bluuebunny/crossref_metadata_2025_split huggingface dataset:
Nonlinear monotone semigroups and viscosity solutions
Authors: Biton Samuel 
Published: July 2002

In a celebrated paper motivated by applications to image analysis, L. Alvarez, F. Guichard, P.-L. Lions and J.-M. Morel showed that any monotone semigroup defined on the space of bounded uniformly continuous functions, which satisfies suitable regularity and locality assumptions is in fact a semigroup associated to a fully nonlinear, possibly degenerate, second-order parabolic partial differential equation. In this paper, we extend this result by weakening the assumptions required on the semigroup to obtain such a result and also by treating the case where the semigroup is defined on a general space of continuous functions like, for example, a space of continuous functions with a prescribed growth at infinity. These extensions rely on a completely different proof using in a more central way the monotonicity of the semigroup and viscosity solutions methods. Then we study the consequences on the partial differential equation of various additional assumptions on the semigroup. Finally we briefly present the adaptation of our proof to the case of two-parameters families.

Résumé
Dans un célèbre article motivé par les applications au traitement d’image, L. Alvarez, F. Guichard, P.-L. Lions and J.-M. Morel ont montré qu’un semi-groupe monotone défini sur l’espace des fonctions bornées uniformément continues satisfaisant des hypothèses de régularité et de localité est en fait un semi-groupe associé à une équation aux dérivées partielles parabolique non linéaire éventuellement dégénérée. Dans le présent article, nous étendons ce résultat en affaiblissant légèrement les hypothèses nécessaires et en traitant le cas de semi-groupes définis sur des espaces généraux de fonctions continues. Ces extension résultent d’une preuve totalement différente utilisant de manière plus centrale la monotonie du semi-groupe et des méthodes de solutions de viscosité. Nous étudions ensuite les conséquences d’hypothèses supplémentaires sur le semi-groupe. Finallement, nous présentons brièvement l’adaptation au cas d’une famille d’opérateurs à deux paramètres.
Quasiharmonic fields
Authors: Iwaniec Tadeusz , Sbordone Carlo 
Published: July 2002

To every solution of an elliptic PDE there corresponds a quasiharmonic field

\mathcal F = [B,E]

− a pair of vector fields with

\mathrm{div} B = 0

and

\mathrm{curl} E=0

which are coupled by a distortion inequality. Quasiharmonic fields capture all the analytic spirit of quasiconformal mappings in the complex plane. Among the many desirable properties, we give dimension free and nearly optimal

L^p

-estimates for the gradient of the solutions to the divergence type elliptic PDEs with measurable coefficients. However, the core of the paper deals with quasiharmonic fields of unbounded distortion, which have far reaching applications to the non-uniformly elliptic PDEs. As far as we are aware this is the first time non-isotropic PDEs have been successfully treated. The right spaces for such equations are the Orlicz–Zygmund classes

L^2\log^αL

. Examples we give here indicate that one cannot go far beyond these classes.

Résumé

A chaque solution d’une équation elliptique correspond un champ quasiharmonique

\mathcal F = [B,E]

, un couple de champs de vecteurs qui vérifient

\mathrm{div} B = 0

et

\mathrm{curl} E=0

et qui sont couplés par une inégalité de distorsion. Les champs harmoniques capturent l’esprit analytique des applications quasiconformes dans le plan complexe. Dans cet article sont fournies des estimations

L^p

concernant le gradient de solutions faibles d’une équation elliptique aux dérivées partielles, indépendantes de la dimension et presque optimales. Sont aussi considérés des champs quasiharmoniques avec distorsion non bornée, hypothèse non sans conséquences sur les équations non uniformément elliptiques. A notre connaissance c’est la première fois que sont obtenus des résultats significatifs pour des équations non-isotropiques. Les bons espaces pour de telles équations sont les espaces

L^2\log^αL

. Des exemples montrent qu’il est difficile de s’éloigner de cette classe.
Positive bound states having prescribed symmetry for a class of nonlinear elliptic equations in RN
Authors: Catrina Florin , Wang Zhi-Qiang 
Published: July 2002

We consider positive solutions of

-\operatorname{div}(|x|^{-2a}\nabla u)=|x|^{-bp}u^{p-1},\quad u\geq 0\text{ in } \mathbf{R}^N

where for

N⩾2: a<(N−2)/2, a<b<a+1

, and

p=2N/(N−2(1+a−b))

. Ground state solutions are the extremal functions of the Caffarelli–Kohn–Nirenberg inequalities [6]. In [10] the authors have observed symmetry breaking phenomena for ground state solutions in a subregion of the parameters. In this paper, we continue our study on the structure of
bound state solutions
and construct bound state solutions having prescribed symmetry.

Résumé
On considère les solutions positive à

-\operatorname{div}(|x|^{-2a}\nabla u)=|x|^{-bp}u^{p-1},\quad u\geq o\text{ dans } \mathbf{R}^N

où, pour

N⩾2: a<(N−2)/2, a<b<a+1

, et

p=2N/(N−2(1+a−b))

. Les solutions à état fondamental sont les fonctions extrémales pour les inégalités des Caffarelli–Kohn–Nirenberg [6]. Dans [10] les auteurs ont observé une brisure de symétrie pour les solutions d’état fondamental dans une région des paramètres. L’objet de cet article est l’étude de la structure des solutions à état borné et de construire des solutions à état borné avec une symétrie prescrite.
Long-time vanishing properties of solutions of some semilinear parabolic equations
Authors: Belaud Yves , Helffer Bernard , Véron Laurent 
Published: July 2002

We study the long-time behavior of solutions of semilinear parabolic equations of the following type (PE)

∂_tu−∇.A(x,t,u,∇u)+f(x,u)=0

where

f(x,u)≈b(x)|u|^{q−1}u

,

b

being a nonnegative bounded and measurable function and

q

a real number such that

0≤q<1

. We give criteria which imply that any solution of the above equations vanishes in finite time and these criteria are associated to semi-classical limits of some Schrödinger operators. We also give a series of sufficient conditions on

b(x)

which imply that any supersolution with positive initial data does not to vanish identically for any positive

t

.

Résumé

Nous étudions le comportement en temps grand de solutions d’équations paraboliques du type (PE)

∂_tu−∇.A(x,t,u,∇u)+f(x,u)=0

, où

f(x,u)≈b(x)|u|^{q−1}u

,

b

étant une fonction positive, bornée et mesurable, et

q

un nombre réel tel que

0≤q<1

. Nous donnons des critères qui impliquent que toute solution des équations ci-dessus devient identiquement nulle en temps fini et ces critères sont associés à des problèmes de limite semi-classique d’opérateurs de Schrödinger. Nous donnons aussi une série de conditions suffisantes sur

b(x)

qui impliquent que toute sur-solution avec des données initiales positives ne devient jamais identiquement égale à zéro.
A nonlinear oblique derivative boundary value problem for the heat equation: Analogy with the porous medium equation
Authors: Caffarelli Luis A , Roquejoffre Jean-Michel 
Published: July 2002

The problem under investigation is the heat equation in the upper half-plane, to which the diffusion in the longitudinal direction has been suppressed, and augmented with a nonlinear oblique derivative condition. This paper proves global existence and qualitative properties to the Cauchy problem for this model, furthering the study [18] of the self-similar solutions. The qualitative behaviour of the solutions exhibits a strong analogy with the porous medium equation: propagation with compact support and finite speed, free boundary relation and time-asymptotic convergence to self-similar solutions.RésuméLe problème étudié concerne l'équation de la chaleur dans le demi-plan supérieur, sans diffusion longitudinale, avec une condition à la limite non linéaire. On démontre l'existence globale d'une solution au problème de Cauchy, ainsi que diverses propriétés qualitatives. En particulier, les solutions présentent une forte analogie avec celles de l'équation des milieux poreux, comme : la propagation à vitesse finie, la relation de frontière libre et la convergence en temps grand vers des solutions auto-similaires.
Reaction-diffusion problems in cylinders with no invariance by translation. Part II: Monotone perturbations
Authors: Hamel François 
Published: July 2002

The purpose of this work is the study of the existence and of
a priori
properties of solutions

(c, u)

of the following reaction-diffusion equations in infinite cylinders

Σ = ℝ × ω

with outward unit normal

\nu

:

\tag{P}
\begin{cases}
\Delta u - \beta \left(x_{1},y,c\right)\partial _{1}u + f\left(x_{1},u\right) = 0 & \text{in }\Sigma \\
\partial _{v}u = 0 & \text{on }\partial \Sigma \\
u\left( - \infty ,.\right) = 0,\ u\left( + \infty ,.\right) = 1 &
\end{cases}

The functions

−β

and

f

are given and are non decreasing in

x_1

. The results on the existence and on the necessary conditions are related to two “limit problems” as

x_1 → ±∞

.

Résumé

Ce travail porte sur l’étude de l’existence et d’estimations
a priori
de solutions

(c, u)

d’équations de réaction-diffusion dans des cylindres infinis

Σ = ℝ × ω

de normale extérieure unitaire

\nu

:

\tag{P}
\begin{cases}
\Delta u - \beta \left(x_{1},y,c\right)\partial _{1}u + f\left(x_{1},u\right) = 0 & \text{dans }\Sigma \\ \partial _{v}u = 0 & \text{sur }\partial \Sigma \\
u\left( - \infty ,.\right) = 0,\ u\left( + \infty ,.\right) = 1 &
\end{cases}

Les fonctions

−β

et

f

sont données et sont croissantes par rapport à

x_1

. Les résultats d’existence et les conditions nécessaires sont reliés à deux « problèmes limites » quand

x_1 → ±∞

.
A generalization of the Weinstein-Moser theorems on periodic orbits of a Hamiltonian system near an equilibrium
Authors: Bartsch Thomas 
Published: July 2002

We study the Hamiltonian system (HS)

\.{x} = JH′(x)

where

H \in C^2 (ℝ^{2N}, ℝ)

satisfies

H (0) = 0

,

H′ (0) = 0

and the quadratic form

Q(x) = \frac{1}{2}\langle H^{″}(0)x,x \rangle

is non-degenerate. We fix

τ_0 > 0

and assume that

ℝ^{2N} ≅ E\oplus F

decomposes into linear subspaces

E

and

F

which are invariant under the flow associated to the linearized system (LHS)

\.{x} = JH″ (0) x

and such that each solution of (LHS) in

E

is

τ_0

-periodic whereas no solution of (LHS) in

F − 0

is

τ_0

-periodic. We write

σ(τ_0) = σ_Q(τ_0)

for the signature of the quadratic form

Q

restricted to

E

. If

σ(τ_0) ≠ 0

then there exist periodic solutions of (HS) arbitrarily close to 0. More precisely we show, either there exists a sequence

x_k → 0

of

τ_k

-periodic orbits on the energy level

H^{−1} (0)

with

τ_k → τ_0

; or for each

λ

close to 0 with

λσ(τ_0) > 0

the energy level

H^{−1} (λ)

contains at least

½|σ(τ_0)|

distinct periodic orbits of (HS) near 0 with periods near

τ_0

. This generalizes a result of Weinstein and Moser who assumed

Q\mid E

to be positive definite.

Résumé

Nous considérons le système hamiltonien (HS)

\.{x} = JH′(x)

ou

H \in C^2 (ℝ^{2N}, ℝ)

satisfait

H (0) = 0

,

H′ (0) = 0

et la forme quadratique

Q(x) = \frac{1}{2}\langle H^{″}(0)x,x \rangle

est non-dégénérée. Nous fixons

τ_0 > 0

et supposons

ℝ^{2N} ≅ E\oplus F

est la somme des sous-espaces linéaires

E

,

F

qui sont invariants sous le flot associé au système linéaire (LHS)

\.{x} = JH″ (0) x

. En plus chaque solution de (LHS) dans

E

est

τ_0

-périodique lorsqu’aucune des solutions de (LHS) dans

F − 0

soit

τ_0

-périodique. Soit

σ(τ_0) = σ_Q(τ_0)

la signature de la forme quadratique

Q

restreint à

E

. Si

σ(τ_0) ≠ 0

il existe des solutions périodiques de (HS) arbitrairement près de 0. Plus précisément nous démontrons que ou bien il existe une suite

x_k → 0

des solutions

τ_k

-périodique au niveau

H^{−1} (0)

avec

τ_k → τ_0

ou bien pour chaque

λ

près de 0 tel que

λσ(τ_0) > 0

il existe au moins

\frac{1}{2}\left|\sigma \left(\tau _{0}\right)\right|

solutions périodiques au niveau

H^{−1} (λ)

près de 0 avec des périodes près de

τ_0

. Ce résultat généralise un théorème de Weinstein et Moser qui supposent que

Q\mid E

est positif défini.
Reaction-diffusion problems in cylinders with no invariance by translation. Part I: Small perturbations
Authors: Hamel François 
Published: July 2002

This paper deals with existence and uniqueness of solutions

(c,u)

of reaction-convection-diffusion equations mainly derived from combustion models and set in infinite cylinders

Σ = \{(x_1,y) ∈ ℝ × ω\}

\begin{cases}
a(x_1,y,u,\nabla u)\Delta u - (c + \alpha (y))\partial _1 u + \overrightarrow{q}(x_1,y,u,\nabla u) \cdot \nabla u \\
\qquad + f(u) + g(x_{1},y,u,\nabla u) = 0& \text{in }\Sigma \\
\partial _{\nu }u = 0 &\text{on }\partial \Sigma \\
u( - \infty , \cdot) = 0,\quad u( + \infty , \cdot ) = 1
\end{cases}

The functions

a

,

α

,

\overrightarrow q

,

f

and

g

are given. The section

ω

is a bounded smooth domain with outward unit normal

ν

. The existence of

(c,u)

is proved under various normalization conditions when the perturbative terms a,

\overrightarrow q

,

g

are close to

(1,\overrightarrow 0,0)

, and a continuity result as

(a,\overrightarrow q,g) → (1,\overrightarrow 0,0)

is stated.

Résumé

Cet article traite de l’existence et de l’unicité de solutions

(c,u)

d’équations de réaction-convection-diffusion provenant essentiellement de modèles de combustion et posées dans des cylindres infinis

Σ = \{(x_1,y) ∈ ℝ × ω\}

\begin{cases}
a(x_1,y,u,\nabla u)\Delta u - (c + \alpha (y))\partial _1 u + \overrightarrow{q}(x_1,y,u,\nabla u) \cdot \nabla u \\
\qquad + f(u) + g(x_{1},y,u,\nabla u) = 0& \text{in }\Sigma \\
\partial _{\nu }u = 0 &\text{on }\partial \Sigma \\
u( - \infty , \cdot) = 0,\quad u( + \infty , \cdot ) = 1
\end{cases}

Les fonctions

a

,

α

,

\overrightarrow q

,

f

et

g

sont données. La section

ω

est un domaine borné régulier de normale extérieure unitaire

ν

. L’existence de

(c,u)

est prouvée pour différentes conditions de normalisation quand les termes perturbatifs a,

\overrightarrow q

,

g

sont proches de

(1,\overrightarrow 0,0)

, et on énonce un résultat de continuité quand

(a,\overrightarrow q,g) → (1,\overrightarrow 0,0)

.
Eventual monotonicity and convergence to travelling fronts for the solutions of parabolic equations in cylinders
Authors: Roquejoffre Jean-Michel 
Published: July 2002

The paper is concerned with the long-time behaviour of the solutions of a certain class of semilinear parabolic equations in cylinders, which contains as a particular case the multidimensional thermo-diffusive model in combustion theory. We prove, under minimal conditions on the initial values, that the solutions eventually become monotone in the direction of the axis of the cylinder on every compact subset; this implies convergence to travelling fronts. This result is applied to propagation versus extinction problems: given a compactly supported initial datum, sufficient conditions ensuring that the solution will either converge to 0 or to a pair of travelling fronts are given. Additional information on the corresponding equations in finite cylinders is also obtained.

Résumé
Cet article traite du comportement en grand temps des solutions d’une classe d’équations paraboliques dans des cylindres; ce type d’équation contient le modèle thermo-diffusif multidimensionnel de la théorie de la combustion. Nous montrons que, sous des hypothèses minimales sur la donnée initiale, les solutions deviennent, en temps fini, monotones sur tout compact dans la direction de l’axe du cylindre; ceci implique la convergence vers des ondes progressives. Ce résultat est ensuite appliquéà des problèmes de propagation et d’extinction: une donnée initiale étant fixée, on donne des conditions suffisantes pour que la solution qui en est issue tende vers 0, ou converge vers deux fronts se déplaçant dans des directions opposées. On obtient enfin des informations supplémentaires pour des équations dans des cylindres bornés.
Bifurcation and stability of families of hyperbolic vector fields in dimension three
Authors: Plaza Sergio , Vera Jaime 
Published: July 2002

In this article we study the global stability of one-parameter families of hyperbolic vector fields with simple bifurcations in three-dimensional manifolds at least in all known cases (
see
introduction).

Résumé
L’objet de ce travail est d’étudier la stabilité globale des familles à un paramètre de champs de vecteurs hyperboliques avec bifurcations simples dans les variétés de dimension trois. Cette étude est faite au moins dans les cas connus (voir le préliminaire).
Multiple boundary peak solutions for some singularly perturbed Neumann problems
Authors: Gui Changfeng , Wei Juncheng , Winter Matthias 
Published: July 2002

We consider the problem

\begin{cases}
ɛ^{2}\Delta u - u + f\left(u\right) = 0 & \text{in }\Omega \\
u > 0 \text{ in }\Omega , \quad \partial \text{u}/ \partial v = 0 &\text{on }\partial \Omega ,
\end{cases}

where

Ω

is a bounded smooth domain in

R^N

,

ɛ > 0

is a small parameter and

f

is a superlinear, subcritical nonlinearity. It is known that this equation possesses boundary spike solutions such that the spike concentrates, as

ε

approaches zero, at a critical point of the mean curvature function

H(P)

,

P \in ∂ Ω

. It is also known that this equation has multiple boundary spike solutions at multiple nondegenerate critical points of

H(P)

or multiple local maximum points of

H(P)

.

In this paper, we prove that for any fixed positive integer

K

there exist boundary

K

-
peak
solutions at a local minimum point of

H(P)

. This implies that for any smooth and bounded domain there always exist boundary

K

-
peak
solutions.

We first use the Liapunov–Schmidt method to reduce the problem to finite dimensions. Then we use a maximizing procedure to obtain multiple boundary spikes.

Résumé
Nous considerons le problème

\begin{cases}
ɛ^{2}\Delta u - u + f\left(u\right) = 0 & \text{in }\Omega \\
u > 0 \text{ in }\Omega , \quad \partial \text{u}/ \partial v = 0 &\text{on }\partial \Omega ,
\end{cases}

où Ω est une domaine bornée avec frontiére lisse en

R^N

,

ɛ > 0

est un parametre petit, et

f

est surlinéaire et souscritique. Il est bien connu que cette équation possede des solutions avec pointe sur la frontiére telle que la pointe se concentre (quand

ε

tend vers zero) à une pointe critique de la courbure moyenne

H(P) \in ∂ Ω

. Il est aussi connu que cette équation possede pleusieurs solutions avec pointes qui se concentrent sur pleusieurs points critiques nondégénerés de

H(P)

, ou sur pleusieurs maxima locaux de

H(P)

.

Dans ce papier, nous prouvons que, pour chaque entier positif

K

donné, il existe solutions avec

K

pointes l̀a frontiére, situées sur un minimum relatif de

H(P)

. Ceci implique que pour chaque domaine qui est lisse et bornée il existe toujours des solutions avec

K

pointes à la frontiére.

Nous utilisons la methode de Liapunov–Schmidt pour reduire le problème dans une espace de dimension finie. Ensuite, nous utilisons une procédé de maximization pour obtenir les pointes sur la frontiére.
Young measure approach to characterization of behaviour of integral functionals on weakly convergent sequences by means of their integrands
Authors: Sychev M. 
Published: July 2002

It is known that sequential weak lower semicontinuity and weak-strong convergence (in the scalar case) properties of integral functionals may be characterized by means of their integrands. In this paper we introduce a Young measure approach obtaining both these results and the characterization for the second property in the vector-valued case. We discuss also motivations for the definition of strict quasiconvexity, and point out that the characterization of the classes of functionals having weak-strong convergence property everywhere is not a trivial problem in the general case.

Résumé
On sait que les propriétés de semicontinuité séquentielle faible et de convergence faible-forte (dans le cas scalaire) pour les intégrales fonctionnelles peuvent être caractérisées au moyen de leurs intégrants. Dans ce papier nous introduisons une approche pour la mesure de Young et nous obtenons ces résultats ainsi que la caractérisation de la seconde propriété dans le cas à valeur vectorielle. Nous discutons également les motivations pour définir la quasiconvexité stricte, et remarquons que la caractérisation des classes de fonctionnelles ayant partout la propriété de convergence faible-forte n’est pas un problème trivial dans le cas général.
Multiple homoclinic solutions for a class of autonomous singular systems in R2
Authors: Caldiroli Paolo , Nolasco Margherita 
Published: July 2002

We look for homoclinic solutions for a class of second order autonomous Hamiltonian systems in

\mathbf R^2

with a potential

V

having a strict global maximum at the origin and a finite set

S ⊂ \mathbf R^2

of singularities, namely

V(x) → −∞

as

\mathrm{dist}(x, S) → 0

. We prove that if

V

satisfies a suitable geometrical property then for any

k\in N

the system admits a homoclinic orbit turning

k

times around a singularity

ξ\in S

.

Résumé

Nous cherchons des solutions homoclines pour une classe de systèmes hamiltoniens autonomes du second ordre dans

\mathbf R^2

définis par un potentiel

V

ayant un maximum global strict à l’origine et un ensemble fini

S ⊂ \mathbf R^2

de singularités:

V(x) → −∞

quand

\mathrm{dist}(x, S) → 0

. Nous montrons que si

V

vérifie une certaine propriété géométrique, alors le système possède une orbite homocline qui tourne

k

fois autour d’une singularité

ξ\in S

.
The structure of extremals of a class of second order variational problems
Authors: Marcus Moshe , Zaslavski Alexander J. 
Published: July 2002

We study the structure of extremals of a class of second order variational problems without convexity, on intervals in

R_+

. The problems are related to a model in thermodynamics introduced in [7]. We are interested in properties of the extremals which are independent of the length of the interval, for all sufficiently large intervals. As in [12, 13] the study of these properties is based on the relation between the variational problem on bounded, large intervals and a limiting problem on

R_+

. Our investigation employs techniques developed in [10, 12, 13] along with turnpike techniques developed in [16, 17].

Résumé

On étudie la structure des extrêmales d’une classe de problèmes variationnels non convexes du deuxième ordre, sur des intervalles de

R_+

. Ces problèmes sont reliés à un modèle thérmodynamique introduit dans [7]. Nous nous intéressons aux propriétés des extrêmales qui ne dependent pas de la longeur des intervalles, pourvu que ceux-ci soient assez grands. Comme dans [12,13] l’etude de ces propriétés s’appuie sur la relation entre le problème variationnel sur de grands intervalles bornés et un problème limite sur

R_+

. Notre travail emploie des techniques développées dans [10,12,13] ainsi que dans [16,17].