A robust modification of the K-means method for clustering under interval-valued data
Authors: Уткин Л.В. , Жук Ю.А. 
Published: September 2020

Предложена робастная модификация метода K-средних для решения задачи кластеризации при условии, что элементы обучающей выборки являются интервальными. Существующие методы кластеризации в большинстве либо основаны на замене интервальных данных их точными аналогами, например, центрами интервалов, либо используют специальные метрики расстояния между гиперпрямоугольниками (многомерными интервалами) или между точкой и гиперпрямоугольником, например расстояние Хаусдорфа. В отличие от существующих методов, идеей, лежащей в основе предлагаемого алгоритма, является трансформация интервального характера неопределенности во множество распределений весов примеров и расширение обучающей выборки. При этом новые элементы обучающей выборки, являющиеся точками исходных интервалов, имеют неопределенные веса, назначенные таким образом, чтобы не нарушить исходную структуру обучающей выборки, не внося никакой дополнительной необоснованной информации. Другой идеей является использование минимаксной стратегии для обеспечения робастности. Показано, что новый алгоритм отличается от стандартного алгоритма K-средних этапом решения простой задачи линейного программирования. Также показано, что в простейшем случае, когда элементы исходной обучающей выборки имеют одинаковые веса, предлагаемый алгоритм сводится к тому, что выбираются точки гиперпрямоугольников, находящиеся от текущего центра тяжести на максимальном расстоянии. Полученные результаты можно рассматривать в рамках теории Демпстера-Шейфера. Предлагаемый алгоритм целесообразно применять в случае больших интервалов данных или при малом объеме обучающей выборки.
A robust modification of the K-means method for solving a clustering problem under interval-valued training data is proposed. The existing methods of clustering are mainly based on the replacement of interval-valued data with their point-valued representations, for example, with centers of intervals, or they use some special distance metrics between hyper-rectangles (multi-dimensional intervals) or between points and hyper-rectangles, for example, the Hausdorff distance. In contrast to the existing methods, the first idea underlying the proposed algorithm is transferring of interval uncertainty to sets of example weights and to an extension of the training set. At that, new elements of the training set, being points approximating intervals, have imprecise weights assigned such that they do not change an initial structure of training data and do not introduce additional unjustified information. The second idea is to use the minimax strategy for providing the robustness. It is shown in the paper that the new algorithm differs from the standard K-means algorithm by a step of solving a simple linear programming problem. It is also shown in the paper that in the simplest case when all elements of the training set have identical weights, the proposed algorithm is reduced to the choice of a point inside hyper-rectangles, which are located on the largest distance from the center of a cluster. The obtained results can be considered also in the framework of Dempster-Shafer theory. The proposed algorithm is useful when the intervals of data are rather large and when the training set is small.