Efficient Calculation of the Jacobian Matrix for 3D inversion of MT Data
Authors: Gomes Karina Palheta , Silva Marcos Welby C. 
Published: November 2020

ABSTRACT. The Jacobian or sensitivity matrix is a fundamental component in the implementation of many numerical algorithms for the solution of nonlinear inverse problems. It is also used as a tool for sensitivity analysis and for the assessment of the solutions obtained. However, the computation of the Jacobian by a direct method using finite perturbations of model parameters can be very time consuming and for the 3D case with realistic problem dimensions, it is simply unfeasible. In this work, we present all the steps of a mathematical algorithm based on the adjoint-state method for the assembly of the Jacobian matrix for the 3D magnetotelluric parameter to data mapping obtaining significant reduction in computer execution times. Central to the proposed method is the use of a factorized form of the finite elements matrix for the forward problem. Besides, we solved Maxwell’s equations using a finite elements method using tetrahedral shaped elements formulated in terms of the vector magnetic and scalar electric potentials. We assessed the efficiency of the proposed methodology using a numerical model of a simple sedimentary basin. Our approach outperformed a direct, brute force method in both total execution time and memory usage while maintaining the same level of numerical accuracy. The efficiency of the proposed method makes possible the use of the Jacobian matrix for the inversion of large real 3D MT data sets. Although developed here for the particular case of magnetotellurics the methodology can be extended with reasonable efforts for other similar electromagnetic methods like for example controlled source electromagnetics.Keywords: mathematical models, factored matrix of finite elements, electromagnetism, Efficient calculation of the Jacobian for magnetotelluric data Cálculo Eficiente da Matriz Jacobiana para Dados MT 3DRESUMO. A matriz jacobiana ou matriz sensibilidade é uma componente fundamental na implementação de inúmeros algorítmos numéricos para a solução de problemas inversos não-lineares. Ela também é usada como uma ferramenta na análise de sensibilidade e avaliação dos resultados obtidos. No entanto, o cálculo da matriz jacobiana por um método de diferenças finitas, usando perturbações nos parâmetros de inversão do modelo pode consumir muito tempo e, para o caso 3D com dimensões realistas de problemas geofísicos, é simplesmente inviável. Neste trabalho, apresentamos todas as etapas de um algoritmo matemático baseado no método de estados adjuntos para a montagem da matriz jacobiana para o método magnetotelúrico 3D, obtendo uma redução significativa nos tempos de execução do computador. Central para o método proposto é o uso de uma forma fatorada da matriz de elementos finitos para o problema direto. Para isto, resolvemos as equações de Maxwell usando o método de elementos finitos em malhas 3d tetraedrais, formulados em termos dos potenciais vetorial magnético e escalar elétrico. Nós avaliamos a eficiência da metodologia proposta usando um modelo numérico de uma bacia sedimentar simples. Nossa abordagem se mostrou mais eficiente do que um método direto, de força bruta, tanto em relação ao tempo total de execução quanto ao uso de memória, mantendo o mesmo nível de precisão numérica. A eficiência do método proposto possibilita o uso da matriz jacobiana para a inversão de grandes conjuntos de dados 3D reais de MT. Embora desenvolvida aqui para o caso particular do método magnetotelúrico, a metodologia pode ser estendida para outros métodos eletromagnéticos semelhantes, como por exemplo o método eletromagnético de fonte controlada.Palavras-chave: modelos matemáticos, matriz de elementos finitos fartorada, eletromagnetismo, Cálculo eficiente da jacobiana para dados Magnetotelúricos