Model of a massive particle in the dynamic medium of reference theory. Explanation of the wave-corpuscle duality and de Broglie wavelength
Authors: Pignard Olivier 
Published: June 2024

The theory of the Dynamic Medium of Reference has already been presented in several articles, in particular O. Pignard, “Dynamic Medium of Reference: A new theory of gravitation” [Phys. Essays 32, 422 (2019)]. The objective of this article is to present a model of
a massive particle within the framework of the Dynamic Medium of Reference theory. A concept of elementary wave on the subatomic level is introduced. An elementary wave is always identical to itself while being constantly renewed by new gravitons (entities that make up the medium of propagation
of the wave). This elementary wave propagates in its medium (Dynamic Medium of Reference) at the speed of light, whatever its trajectory. A possible model of the elementary wave called vortex is presented in Appendix B. Then, the concept of line of vortices is introduced. The proposed model
of a massive particle is then a set of lines of vortices. This model allows to explain that a massive particle has at the same time a wave aspect (because composed only of elementary waves) and a corpuscular aspect (since the elementary waves remain identical to themselves and that the massive
particle remains delimited by the same volume). This model makes it possible to attribute to a massive particle a period <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo>
<mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo>
<mml:mtext>sin</mml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , a pulsation or angular velocity <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi>
</mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext>sin</mml:mtext>
<mml:mo> </mml:mo> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , an energy <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo>
<mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub>
<mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext>sin</mml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi></mml:mi>
</mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , and a momentum <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi>
<mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow>
<mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo>
<mml:mtext>tan</mml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math
display="inline"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , and <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> are, respectively, the period, the pulsation, the energy, and the mass of the particle at rest in the Privileged Frame of Reference and <mml:math display="inline"> <mml:mi></mml:mi> </mml:math> designates
the angle defined by the relation <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:mtext>cos</mml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo>
<mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , where V is the speed of the particle relative to the Privileged Frame of Reference. This same model also makes it possible to attribute to the massive
particle the de Broglie wavelength of expression <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi>
<mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext>tan</mml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math>
and a frequency of expression <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow>
<mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi>
<mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
</mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext>sin</mml:mtext> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow>
</mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math display="inline"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>
<mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn>
</mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub>
<mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi>
</mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> represents the frequency of stationary elementary waves making circular revolutions when the particle is at rest in the Privileged Frame of Reference. Two
types of configuration are considered for the particles of matter. In the first type of configuration, the lines of vortices are radial with a spherical envelope. This corresponds to particles of matter free in space, without any field. In the second type of configuration, the lines of vortices
are parallel with a cylindrical envelope. This corresponds to nucleons (protons, neutrons) confined in an atomic nucleus by the strong force.