A novel arbitrary Lagrangian Eulerian framework for large strain solid dynamics
Authors:   , Giusto Thomas B. J. di 
Published: April 2024

(English) In the realm of Computer-Aided Engineering applied to fast solid dynamics, the intricate mechanical behaviours exhibited by materials when subjected to strong dynamic forces, high speed impacts and complex interactions is modelled efficiently and with high fidelity. Employed in diverse fields such as aerospace, automotive, defence and more, the principal interest is to simulate and comprehend the responses of solids, providing insights into stress propagation and deformation patterns.
However, the pursuit of such ambitious goals faces inherent limitations: the accurate representation of material behaviours is an ongoing challenge, and the intricate interplay between simulation accuracy and computational efficiency demands thoughtful insights. More specifically, the chosen kinematics paradigm and the discretisation of the continuum often restrict numerical frameworks in the array of problems they can simulate. Simulations in fast solid dynamics may feature locking, numerical instabilities, checker-boarding, or other difficulties related to the nonlinear nature of the equations at stake.

In the objective to address the aforementioned shortcomings, this thesis will build on the set of equations by developing a new mixed formulation based on first-order hyperbolic equations and written with the Arbitrary Lagrangian-Eulerian viewpoint. That approach, used here to describe solid bodies, aims at circumventing bottlenecks of Lagrangian and Eulerian methods by distinguishing the behaviour of the mesh from the evolution of the continuum. Moreover, an intuitive aspect of the ALE method is to have the mesh move in such a way that large distortions are reduced (numerical advantage) while maintaining a representation of the material's physical behaviour that is either comparable or surpassing the results obtained with classical methodologies (better simulation outcome). A key feature will be the presentation of an ALE computational framework where the mesh motion relies on a conservation law, and the geometry is therefore automatically updated without the need of an ad hoc procedure.

An acoustic Riemann solver based on upwinding stabilisation, as well as a linear gradient reconstruction, will be used to counteract instabilities brought by the Vertex-Centred Finite Volume Method employed in the framework, and to enhance the overall accuracy. The nonlinear hardening laws will be solved using a Newton-Raphson algorithm. The new framework introduced in this work will be implemented from scratch on the open-source platform OpenFOAM, a tool of choice in industrial and academic environments. The time integration will be tackled by the multi-stage Total Variation Diminishing Runge-Kutta method. Eventually, the robustness and accuracy of the novel computational framework will be examined through a series of challenging numerical examples involving complex body deformations, as well as plastic and thermal considerations.

(Català) En l'àmbit de l'enginyeria assistida per ordinador aplicada a la dinàmica ràpida de sòlids, es modelitzen amb eficàcia i alta
fidelitat els intricats comportaments mecànics que mostren els materials quan es veuen sotmesos a fortes forces
dinàmiques, impactes a alta velocitat i interaccions complexes. Empleat en camps tan diversos com l'aeroespacial, l'automoció
o la defensa, entre altres, el principal interès és simular i comprendre les respostes dels sòlids, proporcionant
informació sobre la propagació de tensions i els patrons de deformació. No obstant això, la persecució d'objectius tan
ambiciosos s'enfronta a limitacions inherents: la representació precisa dels comportaments dels materials és un repte
constant, i la intricada interacció entre la precisió de la simulació i l'eficiència computacional exigeix reflexions
detallades. Més concretament, el paradigma cinemàtic triat i la discretización del continu restringeixen sovint els marcs
numèrics en la gamma de problemes que poden simular. Les simulacions en dinàmica ràpida de sòlids poden presentar
bloquejos, inestabilitats numèriques, checker-*boarding o altres dificultats relacionades amb la naturalesa no lineal de les
equacions en joc.

Amb l'objectiu d'esmenar les deficiències esmentades, aquesta tesi es basarà en el conjunt d'equacions desenvolupant una
nova formulació mixta basada en equacions hiperbòliques de primer ordre i escrita amb el punt de vista
lagrangià-eulerià arbitrari. Aquest enfocament, utilitzat aquí per a descriure cossos sòlids, pretén sortejar els colls d'ampolla
dels mètodes lagrangià i eulerià en distingir el comportament de la malla de l'evolució del continu. A més,
un aspecte intuïtiu del mètode ALE consisteix a fer que la malla es mogui de manera que es redueixin les grans
distorsions (avantatge numèric), mantenint al mateix temps una representació del comportament físic del material
comparable o superior als resultats obtinguts amb les metodologies clàssiques (millor resultat de la simulació). Una
característica clau serà la presentació d'un marc computacional ALE en el qual el moviment de la malla es basa en una llei
de conservació, per la qual cosa la geometria s'actualitza automàticament sense necessitat d'un procediment ad hoc.

S'utilitzarà un solucionador acústic de Riemann basat en l'estabilització upwinding, així com una reconstrucció de
gradient lineal, per a contrarestar les inestabilitats provocades pel mètode de volum finit centrat en vèrtexs
emprat en el marc, i per a millorar la precisió global. Les lleis d'enduriment no lineals es resoldran mitjançant un
algorisme Newton-Raphson. El nou marc introduït en aquest treball s'implementarà des de zero en la plataforma de codi
obert OpenFOAM, una eina d'elecció en entorns industrials i acadèmics. La integració temporal s'abordarà
mitjançant el mètode Runge-*Kutta de Variació Total Disminuyente multietapa. Finalment, s'examinarà la robustesa i precisió
del nou marc computacional a través d'una sèrie de desafiadors exemples numèrics que inclouen complexes deformacions
de cossos, així com consideracions plàstiques i tèrmiques.

(Español) En el ámbito de la ingeniería asistida por ordenador aplicada a la dinámica rápida de sólidos, se modelizan con eficacia y alta
fidelidad los intrincados comportamientos mecánicos que muestran los materiales cuando se ven sometidos a fuertes fuerzas
dinámicas, impactos a alta velocidad e interacciones complejas. Empleado en campos tan diversos como el aeroespacial, la
automoción o la defensa, entre otros, el principal interés es simular y comprender las respuestas de los sólidos, proporcionando
información sobre la propagación de tensiones y los patrones de deformación. Sin embargo, la persecución de objetivos tan
ambiciosos se enfrenta a limitaciones inherentes: la representación precisa de los comportamientos de los materiales es un reto
constante, y la intrincada interacción entre la precisión de la simulación y la eficiencia computacional exige reflexiones
detalladas. Más concretamente, el paradigma cinemático elegido y la discretización del continuo restringen a menudo los marcos
numéricos en la gama de problemas que pueden simular. Las simulaciones en dinámica rápida de sólidos pueden presentar
bloqueos, inestabilidades numéricas, checker-boarding u otras dificultades relacionadas con la naturaleza no lineal de las
ecuaciones en juego.

Con el objetivo de subsanar las deficiencias mencionadas, esta tesis se basará en el conjunto de ecuaciones desarrollando una
nueva formulación mixta basada en ecuaciones hiperbólicas de primer orden y escrita con el punto de vista
lagrangiano-euleriano arbitrario. Este enfoque, utilizado aquí para describir cuerpos sólidos, pretende sortear los cuellos de
botella de los métodos lagrangiano y euleriano al distinguir el comportamiento de la malla de la evolución del continuo. Además,
un aspecto intuitivo del método ALE consiste en hacer que la malla se mueva de manera que se reduzcan las grandes
distorsiones (ventaja numérica), manteniendo al mismo tiempo una representación del comportamiento físico del material
comparable o superior a los resultados obtenidos con las metodologías clásicas (mejor resultado de la simulación). Una
característica clave será la presentación de un marco computacional ALE en el que el movimiento de la malla se basa en una ley
de conservación, por lo que la geometría se actualiza automáticamente sin necesidad de un procedimiento ad hoc.

Se utilizará un solucionador acústico de Riemann basado en la estabilización upwinding, así como una reconstrucción de
gradiente lineal, para contrarrestar las inestabilidades provocadas por el método de volumen finito centrado en vértices
empleado en el marco, y para mejorar la precisión global. Las leyes de endurecimiento no lineales se resolverán mediante un
algoritmo Newton-Raphson. El nuevo marco introducido en este trabajo se implementará desde cero en la plataforma de código
abierto OpenFOAM, una herramienta de elección en entornos industriales y académicos. La integración temporal se abordará
mediante el método Runge-Kutta de Variación Total Disminuyente multietapa. Finalmente, se examinará la robustez y precisión
del nuevo marco computacional a través de una serie de desafiantes ejemplos numéricos que incluyen complejas deformaciones
de cuerpos, así como consideraciones plásticas y térmicas.