Computational Aspects of the Monte-Carlo Method Vector Algorithm for Solving a Nonlinear Integral Equation
Authors: Федоренко Н.И. 
Published: April 2023

Получить точное решение нелинейного интегрального уравнения обычно невозможно. Численное решение таких уравнений связано со значительнымитрудностями. Если функция, являющаяся решением нелинейного интегрального уравнения, зависит от большого числа переменных, то трудоёмкость методов, связанных с приближённой заменой интеграла суммой, оказывается очень большой. В линейном случае эта трудность также имеет место и преодолевается во многих случаях использованием метода Монте-Карло. Для решения интегрального уравнения с полиномиальной нелинейностью предложена векторная оценка, построенная на реализациях однородного ветвящегося марковского процесса. Исследована целесообразность использования предложенной оценки. Рассматриваемая векторная оценка основана на интегрировании по части переменных. Поскольку такое интегрирование может разве лишь уменьшить дисперсию, то дисперсия векторной оценки будет всегда не более дисперсии оценки, предложенной нами ранее. Кроме того, мажорантные условия для векторной оценки слабее, чем для обычной оценки. На примере квадратичной нелинейности показано, что выполнение суммирования до полного построения дерева ведет к большому объему вычислений. Поэтому нужно сначала построить дерево, а потом производить суммирование, начиная с точек поглощения на траектории. Если же начинать от начала траектории, то память, необходимая для запоминания промежуточных результатов, будет возрастать экспоненциально с ростом количества частиц. Таким образом, производить вычисления в прямом порядке нецелесообразно. Приведенные рассуждения, очевидно, справедливы и в случае уравнения более высокой степени. Полученные результаты расширяют возможности метода Монте-Карло при решении специального класса задач.

It is usually impossible to obtain an exact solution of a nonlinear integral equation. The numerical solution of such equations is associated with significant difficulties. If a function that is a solution to a nonlinear equation depends on a large number of variables, then the complexity of the methods associated with the approximate replacement of the integral by the sum turns out to be very large. In the linear case this difficulty also occurs and is overcome in many cases by using the Monte Carlo method. To solve an integral equation with polynomial nonlinearity, a vector estimate is proposed constructed on realizations of a homogeneous branching Markov process. The advisability of using the proposed estimate is examined. The proposed estimate is based on the integration of part of the variables. Since such integration can only reduce the variance, the variance of the vector estimate willalways be no more than the variance of the estimate proposed by the author earlier. In addition, the majorant conditions for the vector estimate are weaker than for the usual estimate. Using the example of quadratic nonlinearity, it is shown that performing summation to complete constructing a tree leads to a large amount of computation. Therefore, you must first construct a tree, and then perform the summation, starting with the absorption points on the trajectory. If we start from the beginning of the trajectory, then the memory required to memorize intermediate results will increase exponentially with an increase in the number of particles. Thus, it is impractical to perform calculations in direct order. The above reasoning is obviously true in the case of an equation of a higher degree. The results obtained expand the Monte Carlo method for solving a special class of problems.