Crossed products of operator spaces and applications to Harmonic Analysis of non commutative groups
Authors: Ανδρέου Δημήτριος 
Published: November 2021

Μελετάμε τα σταυρωτά γινόμενα που προκύπτουν από δράσεις τοπικά συμπαγών ομάδων σε δυϊκούς χώρους τελεστών, τα οποία γενικεύουν την κλασική κατασκευή του σταυρωτού γινομένου για δράσεις ομάδων σε άλγεβρες von Neumann. Οι μέθοδος μας στηρίζεται στις έννοιες των αλγεβρών Hopf-von Neumann και comodules, καθώς μας παρέχουν ένα φυσιολογικό πλαίσιο μελέτης φαινομένων δυϊσμού όσον αφορά δράσεις εν γένει μη αβελιανών τοπικά συμπαγών ομάδων. Παρακάτω, ακολουθεί μια σύντομη περίληψη των κυρίων αποτελεσμάτων αυτής της διατριβής.Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί εισαγωγή του απαραίτητου μαθηματικού υποβάθρου για την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας ακολούθως. Συγκεκριμένα, παραθέτουμε τους βασικούς ορισμούς και ιδιότητες αναφορικά με (δυϊκούς) χώρους τελεστών και τανυστικά γινόμενα χώρων τελεστών, την έννοια της stable point-w*-σύγκλισης και τις βασικές άλγεβρες von Neumann (και Banach) που σχετίζονται με τοπικά συμπαγείς ομάδες.Στο δεύτερο κεφάλαιο, ασχολούμαστε με άλγεβρες Hopf-von Neumann και comodules τα οποία είναι και δυϊκοί χώροι τελεστών. Συγκεκριμένα, μελετάμε τις έννοιες saturated και non-degenerate comodules μιας γενικής άλγεβρας Hopf-von Neumann, καθώς και τις μεταξύ τους σχέσεις. Για παράδειγμα, αποδεικνύουμε ότι αν κάθε comodule μιας άλγεβρας Hopf-von Neumann είναι non-degenerate, τότε κάθε comodule αυτής είναι και saturated. Επίσης, δείχνουμε ότι η τελευταία συνθήκη, δηλαδή ότι μια άλγεβρα Hopf-von Neumann έχει μόνο saturated comodules (η οποία είναι εξ ορισμού αλγεβρικού χαρακτήρα), είναι ισοδύναμη με διάφορες συνθήκες προσέγγισης. Ως εφαρμογή, αποδεικνύουμε ότι μια τοπικά συμπαγής ομάδα G έχει την προσεγγιστική ιδιότητα (AP) κατά Haagerup και Kraus αν και μόνο αν κάθε saturated comodule της άλγεβρας von Neumann L(G) της ομάδας είναι non-degenerate.Στο τρίτο κεφάλαιο, μελετώνται το χωρικό και το Fubini σταυρωτό γινόμενο για δράσεις ομάδων σε δυϊκούς χώρους τελεστών, ενώ εξετάζεται και η φυσιολογική δομή comodule (δυϊκές δράσεις) με την οποία εφοδιάζονται. Αυτά τα δύο σταυρωτά γινόμενα συμπίπτουν για δράσεις ομάδων πάνω σε άλγεβρες von Neumann από το κλασικό θεώρημα Digernes-Takesaki. Ωστόσο, ενδέχεται να διαφέρουν για αυθαίρετους δυϊκούς χώρους τελεστών. Xρησιμοποιώντας θεωρία δυϊσμού για δράσεις και την γενική θεωρία των comodules, αποδεικνύουμε ότι το Fubini σταυρωτό γινόμενο για την δράση μιας ομάδας είναι το μικρότερο saturated comodule που περιέχει το αντίστοιχο χωρικό σταυρωτό γινόμενο, ενώ το δεύτερο είναι το μεγαλύτερο non-degenerate subcomodule του πρώτου. Επομένως, από τον προηγούμενο χαρακτηρισμό των ομάδων με την AP, παίρνουμε το κεντρικό μας θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο μια τοπικά συμπαγής ομάδα G έχει την AP αν και μόνο αν το χωρικό και το Fubini σταυρωτό γινόμενο συμπίπτουν για κάθε G-δράση σε οποιονδήποτε δυϊκό χώρο τελεστών. Αυτό βελτιώνει ένα πρόσφατο αποτέλεσμα των Crann και Neufang.Τέλος, στο τελευταίο κεφάλαιο, εφαρμόζοντας την γενική θεωρία παίρνουμε μια από εννοιολογικής άποψης καλύτερη προσέγγιση ορισμένων κλάσεων διπρότυπων πάνω από τις άλγεβρες von Neumann μιας ομάδας, τα οποία αναπαρίστανται ως σταυρωτά γινόμενα δυϊκών χώρων τελεστών που δεν είναι κατ' ανάγκη άλγεβρες von Neumann. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε μια λιγότερο τεχνική απόδειξη ενός θεωρήματος των Ανούση-Κτάβολου-Todorov και απαντάμε σε μια ερώτηση των ιδίων συγγραφέων αναφορικά με τα ιδεώδη της άλγεβρας Fourier. Επί πλέον, επεκτείνουμε ένα αποτέλεσμα των Crann και Neufang σχετικά με L(G)-διπρότυπα στην περίπτωση που η ομάδα G ικανοποιεί μια συνθήκη a priori ασθενέστερη της AP.