Dynamics and structures of S3T theory in processes of wall-bounded shear flow turbulence
Authors: Νικολαΐδης Μάριος-Ανδρέας 
Published: April 2023

Οι υδροδυναμικές ροές, ιδιαίτερα αυτές που βρίσκονται σε τυρβώδη κατάσταση, αποτελούν αναπόσπαστο στοιχείο του περιβάλλοντος και επηρεάζουν διάφορες εκφάνσεις της καθημερινότητάς μας. Μια θεμελιώδης ιδιότητα της τυρβώδους ροής, η αυτο-οργάνωση συνεκτικών δομών μεγάλης κλίμακας, διαφάνηκε χάρη στις πρώτες συστηματικές παρατηρήσεις στις ατμόσφαιρες πλανητών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα συνεκτικής δομής, που συναντάται στις απλές διατμητικές ροές κοντά σε τοιχώματα, αποτελούν οι οργανωμένες δομές στροβίλων (κλειστών κινήσεων στην κάθετη διατομή της ροής με άξονα περιστροφής ευθυγραμμισμένο με τη θεωρούμενη ως ομογενή διεύθυνση) και προσαυξήσεων (παράλληλες λωρίδες του ρευστού που κινούνται πιο αργά ή πιο γρήγορα από τη μέση ευθύγραμμη ταχύτητα σε ένα οριζόντιο επίπεδο). Η παρούσα εργασία χρησιμοποιεί μια θεωρία μέσου πεδίου με σκοπό να ταυτοποιηθεί ο μηχανισμός που συντηρεί μια ανομοιογενή μέση ροή (την οποία λαμβάνουμε από τη μέση τιμή του πεδίου ταχυτήτων κατά τη θεωρούμενη ομογενή διεύθυνση) στην τυρβώδη κατάσταση και συγκεκριμένα ευθύνεται για το σχηματισμό των στροβίλων. Η διεργασία που σχηματίζει τους στροβίλους είναι απαραίτητη για τη λειτουργία του αναγεννητικού κύκλου της τύρβης κοντά στα τοιχώματα, και σε προηγούμενες μελέτες έχει αποδοθεί σε ασταθείς ιδιοκαταστάσεις ή σε βέλτιστες διαταραχές της μέσης ροής. Μια διαφορετική θεώρηση προτάθηκε στο απλούστερο μοντέλο περιορισμένης μη γραμμικότητας (Restricted Nonlinear - RNL) των εξισώσεων Navier-Stokes (NS) όπου η δυναμική του κύκλου μπορεί να αναπαραχθεί παρά την απαλοιφή του μη γραμμικού όρου από τη δυναμική του πεδίου διαταραχών (που αποτελείται από τις αρμονικές συνιστώσες της ταχύτητας στην ομογενή διεύθυνση). Συνεπώς αυτή η απλοποιημένη δυναμική του πεδίου διαταραχών στηρίζεται αποκλειστικά στις αλληλεπιδράσεις μεταξύ της χρονικά μεταβαλλόμενης μέσης ροής και του πεδίου διαταραχών. Η λειτουργία του κύκλου στο μοντέλο RNL έδειξε ότι οι χρονοεξαρτώμενες προσαυξήσεις οργανώνουν τις τάσεις Reynolds του πεδίου διαταραχών, ώστε να επάγουν επιταχύνσεις οι οποίες συμπίπτουν με τους υπάρχοντες στροβίλους και οδηγούν σε συστηματική ενίσχυση αυτών. Η προσέγγιση που ακολουθούμε στοχεύει στην ανάδειξη της στατιστικής ομοιότητας αυτού του μηχανισμού σε προσομοιώσεις που διενεργούνται με βάση την τυρβώδη δυναμική των εξισώσεων NS και του μοντέλου RNL. Για να αναδειχθεί η επίδραση της μέσης ροής στις διαταραχές και να μελετηθεί η δυναμική της τροποποιούμε κατάλληλα τη συλλογή των δεδομένων από αριθμητικές προσομοιώσεις, έτσι ώστε οι αργές προσαυξήσεις να συμπίπτουν στο κέντρο της κατά πλάτος διεύθυνσης της ροής, αποκαθιστώντας με αυτόν τον τρόπο την κατά πλάτος ανομοιογένεια της μέσης ροής στη στατιστική ανάλυση. Οι ιδιοκαταστάσεις (POD modes) που προκύπτουν από την ιδιοανάλυση του μέσου χρονικά πίνακα των συσχετίσεων ανήκουν σε κατοπτρικά συμμετρικές ή αντισυμμετρικές καταστάσεις του πεδίου διαταραχών. Μέσω ενός στοχαστικού μοντέλου τύρβης, όπου η μέση χρονικά ροή θεωρείται ως η ροή του υποβάθρου, δείχνουμε ότι οι διαταραχές με αυτές τις συμμετρίες εξελίσσονται άνισα λόγω της μεταβατικής αύξησης. Ειδικά, σε περιβάλλον αργής προσαύξησης παρατηρούμε τη μεγαλύτερη αύξηση της ενέργειας των αντισυμμετρικών καταστάσεων σε σχέση με τις συμμετρικές, αποτέλεσμα που είναι συμβατό και με το ενεργειακό βάρος των POD ιδιοκαταστάσεων. Η επίπτωση αυτής της ανισότητας εντοπίζεται στους όρους που συντηρούν το μέσο στροβιλισμό, όπου, λόγω της ανισότητας μεταξύ αντισυμμετρικών και συμμετρικών διαταραχών, υπερισχύουν οι ενισχυτικές τάσεις που επάγονται από τις αντισυμμετρικές καταστάσεις, ενώ οι συμμετρικές προκαλούν επιβράδυνση (το αντίστροφο συμβαίνει σε περιβάλλον γρήγορης προσαύξησης). Με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε ότι η υπεροχή μιας από τις δύο καταστάσεις προκαλεί επιταχύνσεις με ενισχυτικές τάσεις για τη μέση ροή του υποβάθρου, συντηρώντας κατά αυτόν τον τρόπο την ανομοιογένεια. Επιπλέον, αποδεικνύουμε το φαινόμενο του συγχρονισμού μεταξύ των αρμονικών συνιστωσών του πεδίου διαταραχών μεγάλης και μικρής κλίμακας, επιτρέποντας το χαρακτηρισμό του υπόχωρου που συμβάλλει ενεργά στη δυναμική της τύρβης. Σε αυτό το κομμάτι της εργασίας εφαρμόζουμε μια γενικότερη ανάλυση του πεδίου ταχυτήτων σε αρμονικές τις οποίες διαχωρίζουμε σε έναν ενεργό και έναν παθητικό υπόχωρο με βάση ένα μήκος κύματος κατωφλίου. Για να προσδιορίσουμε τον παθητικό υπόχωρο υπολογίζουμε αριθμητικές λύσεις της ροής και εξετάζουμε την παραμετρική σταθερότητα απειροστών διαταραχών του κατά περίπτωση παθητικού υπόχωρου. Από τα πειράματα του συγχρονισμού μπορούμε να προσδιορίσουμε τον υπόχωρο των αρμονικών που είναι υπεύθυνος για τη χαοτική δυναμική, καθώς και ότι αυτός ο υπόχωρος σχετίζεται με την εξαγωγή ενέργειας από τις μεγαλύτερες κλίμακες της ροής.