Περιστρεφόμενα εκτεταμένα αντικείμενα και αντιστοιχία Ads / CFT
Authors: Λιναρδόπουλος Γεώργιος 
Published: August 2021

Στην ισχυρότερη εκδοχή της, η εικασία AdS/CFT αναφέρει ότι η N = 4, su(Nc) super Yang-Mills (SYM) θεωρία είναι ίση με τη θεωρία υπερχορδών τύπου IIB, στο χώρο AdS5xS5. Είναι μακράν από τις σημαντικότερες εξισώσεις θεωρητικής φυσικής της εποχής μας, ένα είδος «αρμονικού ταλαντωτή» τόσο για την κβαντική θεωρία της βαρύτητας, όσο και για τις θεωρίες βαθμίδας. Ως εκ τούτου, είναι επιτακτική η ανάγκη να κατανοηθούν πλήρως τα όρια ισχύος της και να διερευνηθούν διεξοδικά όλες της οι συνέπειες. Πιο συγκεκριμένα, θα ήταν ευκταίο να μπορούσαμε να λύσουμε τη θεωρία, ήτοι να υπολογίσουμε όλα της τα παρατηρήσιμα μεγέθη. Ένα από τα σημαντικότερα παρατηρήσιμα μεγέθη της αντιστοιχίας AdS/CFT είναι το φάσμα της. Σύμφωνα με το «λεξικό» της αντιστοιχίας AdS/CFT, το φάσμα της θεωρίας περιλαμβάνει τις ενέργειες των καταστάσεων χορδών αυτής, καθεμιά εκ των οποίων θα πρέπει να είναι ίση με τις διαστάσεις κλίμακας του δυϊκού τελεστή της χορδής στη θεωρία βαθμίδας. Το πλήρες φασματικό πρόβλημα της αντιστοιχίας AdS/CFT λύνεται από την ολοκληρωσιμότητα, υπό την έννοια ότι η ολοκληρωσιμότητα παρέχει το πλήρες σύνολο αλγεβρικών εξισώσεων που καθορίζουν το φάσμα. Οι μέθοδοι της ολοκληρωσιμότητας περιορίζονται ωστόσο σημαντικά στο όριο των μεγάλων, ισχυρά συζευγμένων τελεστών, όπως π.χ. εκείνων που είναι δυϊκοί στις χορδές Gubser-Klebanov-Polyakov (GKP), τα γιγάντια μαγνόνια και τις «απλές ακίδες». Στην παρούσα διατριβή μελετάμε κλασσικές χορδές και βράνες στα πλαίσια της αντιστοιχίας AdS/CFT. Ο στόχος μας είναι διττός: (1) να αναπτύξουμε μεθόδους για τον υπολογισμό του φάσματος της αντιστοιχίας AdS5/CFT4, στην περίπτωση μεγάλων, ισχυρά συζευγμένων τελεστών, χρησιμοποιώντας κλασσικές χορδές και (2) να κατανοήσουμε το ρόλο των κλασσικών μεμβρανών στην αντιστοιχία AdS/CFT, διερευνώντας τα χορδοειδή τους όρια. Ως προς τον πρώτο στόχο, υπολογίζουμε τα κλασσικά φάσματα των μεγάλων χορδών GKP, των γιγάντιων μαγνονίων και των απλών ακίδων. Οι διατηρούμενη γραμμική ορμή και στροφορμή αυτών των διατάξεων χορδών, οι οποίες ζουν είτε εντός του AdS3 ή στον RxS2, είναι γνωστές σε παραμετρική μορφή συναρτήσει των γραμμικών και γωνιακών ταχυτήτων των χορδών. Απαλείφουμε τη γραμμική και γωνιακή ταχύτητα από τις εκφράσεις που δίνουν την ενέργεια των χορδών, προς όφελος των διατηρούμενων φορτίων της γραμμικής ορμής και στροφορμής των χορδών. Έτσι, βρίσκουμε όλους τους κυρίαρχους, επόμενους και μεθεπόμενους όρους στις σχέσεις διασποράς των παραπάνω διατάξεων. Τα αποτελέσματά μας εκφράζονται σε κλειστές μορφές με τη βοήθεια της συνάρτησης W του Lambert. Για το δεύτερο στόχο, εισάγουμε και μελετάμε τις «χορδοειδείς μεμβράνες», μια νέα κατηγορία μεμβρανών που ζουν στον AdS{4/7}xS{7/4} ή τον AdS4xS7/Zk και έχουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης, συνδέσμους και διατηρούμενα φορτία με χορδές που ζουν σε ένα κατάλληλο υποσύνολο του AdS5. Οι χορδοειδείς μεμβράνες δύνανται να κατασκευαστούν κάθε φορά που ο χωροχρόνος περιέχει μια συμπαγή υποπολλαπλότητα, ταυτοποιώντας μία από τις συμπαγείς συντεταγμένες της υποπολλαπλότητας με μία εκ των συντεταγμένων κοσμικού όγκου της μεμβράνης. Για τις χορδοειδείς μεμβράνες που αναπαράγουν την παλλόμενη και περιστρεφόμενη χορδή των GKP εντός του AdS, βρίσκουμε ότι το φάσμα των εγκάρσιων διαταραχών τους έχει τη δομή πολλαπλών ζωνών/χασμάτων που διέπονται από την εξίσωση Lamé. Αντίθετα, οι διεγέρσεις μιας χορδής αναπαρίστανται από μία δομή μονής ζώνης/χάσματος Lamé. Αυτά τα ευρήματα επιβεβαιώνουν την εικόνα που έχουμε για τις μεμβράνες ως συλλογικές διεγέρσεις των χορδοειδών τους συνιστωσών.