Συναρτησιακές ανισότητες και εφαρμογές σε προβλήματα κυρτής και στοχαστικής γεωμετρίας
Authors: Λιακόπουλος Δημήτριος-Μάριος 
Published: September 2021

Χρησιµοποιώντας γεωµετρικές και αναλυτικές µεθόδους αποδεικνύουµε συναρτησιακές ανισότητες και παρουσιάζουµε εφαρµογές τους στην κυρτή και στοχαστική γεωµετρία.1.Ανισότητες για τον όγκο τοµών και προβολών κυρτών σωµάτων. Αποδεικνύουµε περιορισµένες εκδοχές της ανισότητας Loomis-Whitney και της ανισότητας οµοιόµορφου καλύµµατος των Bollobas και Thomason. Γενικεύουμε αυτά τα αποτελέσµατα στο πλαίσιο των µεικτών όγκων και παίρνουµε ως εφαρµογή νέες εκτιµήσεις για σχετικές εικασίες των Hug-Schneider και Soprunov-Zvavitch. Ξεκινώντας από την δυϊκή ανισότητα Loomis-Whitney του Meyer µελετάµε το δυϊκό πρόβληµα για τοµές και, χρησιµοποιώντας την θεωρία των Lp-κεντροειδών σωµάτων, αποδεικνύουµε τις αντίστοιχες περιορισµένες εκδοχές της ανισότητας του Meyer. Συζητάµε την σχέση της πολυδιάστατης γενίκευσης της γεωµετρικής ανισότητας Brascamp-Lieb και της πολυδιάστατης αντίστροφης ανισότητας Brascamp- Lieb (που οφείλεται στον Barthe) µε την ανισότητα Loomis-Whitney, την ανισότητα οµοιόµορφου καλύµµατος των Bollobas-Thomason και διάφορες γενικεύσεις τους. Αποδεικνύουµε ότι όλες αυτές οι ανισότητες προκύπτουν από την πολυδιάστατη ανισότητα Brascamp-Lieb. Ξεκινώντας από αυτήν την οπτική και έχοντας αυτή τη φορά ως εργαλείο την πολυδιάστατη αντίστροφη ανισότητα Brascamp- Lieb του Barthe, αποδεικνύουµε µια νέα ανισότητα, την δυϊκή ανισότητα Bollobas-Thomason. Το αποτέλεσµα αυτό προκύπτει από µια νέα συναρτησιακή ανισότητα για λογαριθµικά κοίλες συναρτήσεις.2.Συναρτησιακές και στοχαστικές εκδοχές ισοπεριµετρικών ανισοτήτων. Παρουσιάζουµε συναρτησιακές και στοχαστικές εκδοχές κάποιων ισοπεριµετρικών ανισοτήτων για κυρτά σώµατα. Επικεντρωνόµαστε στην προσέγγιση των Παούρη και Pivovarov, οι οποίοι χρησιµοποίησαν ανισότητες αναδιάταξης και ταυτότητες από την ολοκληρωτική γεωµετρία για να επεκτείνουν στο γενικότερο πλαίσιο των συνεχών κατανοµών διάφορα κλασσικά αποτελέσµατα όπως η ανισότητα του Busemann για τυχαία simplices, η ανισότητα Busemann-Straus/Grinberg, η ανισότητα Blaschke-Santalo, ανισότητες για τον όγκο κεντροειδών σωµάτων και άλλες. Τα βασικά εργαλεία σε αυτήν την προσέγγιση είναι η ανισότητα Rogers/Brascamp-Lieb-Luttinger (και µεταγενέστερη δουλειά του Christ) και ταυτότητες τύπου Blaschke-Petkantschin από την ολοκληρωτική γεωµετρία. Αποδεικνύουµε µια επέκταση της ανισότητας Busemann-Straus/Grinberg για φραγµένα Borel σύνολα. Δείχνουµε επίσης ότι στην περίπτωση που το K είναι κυρτό σώµα, ισχύει και αντίστροφη ανισότητα. Αν υποθέσουµε ότι το K είναι συµµετρικό κυρτό σώµα στον Rn τότε ένα επιχείρηµα δυϊσµού, το οποίο βασίζεται στην ανισότητα Blaschke-Santalo και την ανισότητα Bourgain-Milman, οδηγεί σε αντίστοιχες ανισότητες για τον όγκο των προβολών του K. Δίνουµε και ευθεία απόδειξη, χωρίς να υποθέσουµε την συµµετρία του σώµατος. Αποδεικνύ- ουµε επίσης γενικές συναρτησιακές ανισότητες, ειδικές περιπτώσεις των οποίων είναι οι συναρτησιακές εκδοχές των παραπάνω γεωµετρικών ανισοτήτων.3.Εκτιµήσεις για µέτρα τοµών κυρτών σωµάτων. Συζητάµε γενικεύσεις του «προβλήµατος των τοµών» και του προβλήµατος Busemann-Petty, τόσο στο κλασσικό πλαίσιο όσο και στο γενικευµένο πλαίσιο όπου τυχόν µέτρο αντικαθιστά τον όγκο, ένα πλαίσιο το οποίο µελετήθηκε αρχικά από τον Koldobsky για το πρόβλημα των τοµών και από τον Zvavitch για το πρόβλημα Busemann-Petty. Η προσέγγισή µας είναι διαφορετική και βασίζεται σε ολοκληρωτικές ταυτότητες τύπου Blaschke-Petkantschin και ασυµπτωτικές εκτιµήσεις για τα δυϊκά αφφινικά quermassintegrals. Η µέθοδος που εισάγουµε µας επιτρέπει, συχνά, να αφαιρέσουµε τις υποθέσεις της συµµετρίας και κυρτότητας των σωµάτων, καθώς και της συνέχειας της πυκνότητας του µέτρου.4.Παρατηρήσεις για την M -παράµετρο ισοτροπικών κυρτών σωµάτων. Ένα κυρτό σώµα K στον Rn λέγεται ισοτροπικό αν έχει όγκο voln(K) = 1, το κέντρο βάρους του είναι στην αρχή των αξόνων, και ο πίνακας αδρανείας του είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού πίνακα: υπάρχει µια σταθερά LK > 0 τέτοια ώστε∫ (x, θ)^2 dx = (LK)^2για κάθε θ στην Ευκλείδεια µοναδιαία σφαίρα Sn−1. Το ερώτηµα να δοθεί άνω φράγµα για το µέσο πλάτος w(K) ενός ισοτροπικού κυρτού σώµατος ήταν ανοικτό για αρκετά χρόνια και, τελικά, απαντή- θηκε από τον E. Milman ο οποίος απέδειξε ότι αν K είναι ένα ισοτροπικό κυρτό σώµα στον Rn τότε w(K) = C n(log n)^2LK. Η εξάρτηση από το n είναι βέλτιστη αν εξαιρέσουµε τον λογαριθµικό παρά- γοντα. Το δυϊκό πρόβληµα, να δοθεί άνω φράγµα για την αντίστοιχη L1-νόρµα του συναρτησοειδούςMinkowski του K, όταν το K είναι συµµετρικό ισοτροπικό κυρτό σώµα, είναι ανοικτό: η καλύτερη γνωστή εκτίµηση οφείλεται στους Γιαννόπουλο και E. Milman. Περιγράφουµε µια αναγωγή του προβλήµατος, η οποία οδηγεί σε νέα, κατά την γνώµη µας ενδιαφέροντα, προβλήµατα για την γεωµετρία των χαµηλότερης διάστασης τοµών και προβολών των ισοτροπικών κυρτών σωµάτων. Συζητάµε αυτά τα προβλήµατα και δίνουµε κάποιες εκτιµήσεις.