Homogenization of renormalized solutions of elliptic equations
Authors: Murat François 
Published: February 2017

We study in this paper the stability of the renormalized nonlinear elliptic equation

\begin{align*}
& u \in \mathrm H^1_0(\Omega) \\
& -\mathrm{div} (h(u)A\,\mathrm{grad} u)+h'(u)A\, \mathrm{grad} u\, \mathrm{grad} u \\
& -\mathrm{div} (h(u)\Phi(u)) + h'(u) \Phi(u) \mathrm{grad} u= fh(u)\quad \text{in } \mathscr D'(\Omega) \\
&\forall h\in C^1_c(\mathbb R)
\end{align*}

where

Φ : ℝ → ℝ^N

is a continuous function which is not assumed to satisfy any growth condition. The above renormalized formulation differs from the usual weak one by the fact that the test functions

h(u) φ

(which depend on the solution itself) are used in place of the usual test functions

\varphi \in \mathscr D \Omega

.

Consider a sequence of renormalized solutions

u^ε

relative to a fixed right-hand side

f

, to a fixed function

Φ

and to a sequence of matrices

Α^ε

which converges in the homogenization’s sense to

A^0

. We prove that a subsequence of

u^ε

weakly converges in

\mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega })

to a renormalized solution of the equation relative to

f

,

Φ

and

A^0

.

We also consider a sequence of renormalized solutions

u^ε

relative to a fixed matrix

A

, to a fixed function

Φ

and to a sequence of right-hand sides

f^ε

which weakly converges to

f^0

in

\mathrm Η^{−1}(Ω)

. Under a special equi-integrability assumption on

f^ε

we prove that a subsequence of

u^ε

weakly converges in&

\mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega })

to a renormalized solution of the equation relative to

Α

,

Φ

and

f^0

.

Nous étudions dans cet article la stabilité de l’équation elliptique non linéaire renormalisée

\begin{align*}
& u \in \mathrm H^1_0(\Omega) \\
& -\mathrm{div} (h(u)A\,\mathrm{grad} u)+h'(u)A\, \mathrm{grad} u\, \mathrm{grad} u \\
& -\mathrm{div} (h(u)\Phi(u)) + h'(u) \Phi(u) \mathrm{grad} u= fh(u)\quad \text{dans } \mathscr D'(\Omega) \\
&\forall h\in C^1_c(\mathbb R)
\end{align*}

où

Φ : ℝ → ℝ^N

est une fonction continue à laquelle aucune hypothèse de croissance n’est imposée. La formulation renormalisée ci-dessus diffère de la formulation faible habituelle par le fait qu’on y utilise des fonctions test

h(u) φ

(qui dépendent de la solution elle-même) et non seulement les fonctions test habituelles

\varphi \in \mathscr D \Omega

.

Considérons une suite de solutions renormalisées

u^ε

relatives à un second membre fixé

f

, à une fonction fixée

Φ

et à une suite de matrices

A^ε

qui converge au sens de l’homogénéisation vers

A^0

. Nous démontrons qu’une sous-suite de

u^ε

converge faiblement dans

\mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega })

vers une solution renormalisée de l’équation relative à

f

,

Φ

et

A^0

.

Nous considérons également une suite de solutions renormalisées

u^ε

relatives à une matrice fixée

A

, à une fonction fixée

Φ

et à une suite de second membres

f^ε

qui converge faiblement dans

\mathrm Η^{−1}(Ω)

vers

f^0

. Sous une hypothèse d’équi-intégrabilité spéciale sur les

f^ε

nous montrons qu’une sous-suite de

u^ε

converge faiblement dans

\mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega })

vers une solution renormalisée de l’équation relative à

A

,

Φ

et

f^0

.