Προβλήματα εξαρμώσεων και ρωγμών στα πλαίσια γενικευμένων θεωριών συνεχούς μέσου
Authors: Γουργιώτης Παναγιώτης 
Published: August 2021

Εισαγωγή: Η Διατριβή έχει τίτλο «Προβλήματα Εξαρμώσεων και Ρωγμών στα Πλαίσια Γενικευμένων Θεωριών Συνεχούς Μέσου» και αντικείμενό της είναι η μελέτη προβλημάτων ρωγμών και εξαρμώσεων στα πλαίσια της Θεωρίας Τάσεων Ζεύγους και της Διπολικής Θεωρίας Βαθμίδας των Toupin και Mindlin. Η Διατριβή συνίσταται από μία Περίληψη στα Ελληνικά και στα Αγγλικά, την Εισαγωγή, Επτά Κεφάλαια, τα Παραρτήματα και τις Αναφορές στη Βιβλιογραφία. Το περιεχόμενο των Κεφαλαίων αναφέρεται περιληπτικά κατωτέρω. Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή στη Γενική Διπολική Θεωρία Βαθμίδας των Toupin και Mindlin. Παρουσιάζεται η θεμελίωση της διπολικής θεωρίας βαθμίδας κατά Toupin και Mindlin και εκτίθενται οι έννοιες και οι εξισώσεις που διέπουν την θεωρία. Κεφάλαιο 2: Θεωρία Τάσεων Ζεύγους. Παρουσιάζονται οι αρχές της θεωρίας τάσεων ζεύγους και δίνονται οι βασικές εξισώσεις στην περίπτωση επίπεδης και αντι-επίπεδης παραμόρφωσης. Κεφάλαιο 3: Θεωρία Βαθμίδας Τροπής. Παρουσιάζονται οι αρχές της θεωρίας βαθμίδας τροπής (form II) και δίνονται οι βασικές εξισώσεις στην περίπτωση επίπεδης και αντι-επίπεδης παραμόρφωσης. Κεφάλαιο 4: Προβλήματα Ρωγμών στη Θεωρία Τάσεων Ζεύγους. Στο Κεφάλαιο αυτό εξετάζονται επίπεδα και αντι-επίπεδα προβλήματα ρωγμών στα πλαίσια της θεωρίας τάσεων ζεύγους με την Τεχνική των Διανεμημένων Εξαρμώσεων (Distributed Dislocation Technique). Αρχικά, εξετάζεται το πρόβλημα κεντρικής ρωγμής τύπου I (mode I). Οι τάσεις που εισάγονται μέσω μιας διακριτής ορθής εξάρμωσης (discrete climb dislocation) και μιας διακριτής ‘δεσμευμένης’ στροφικής εξάρμωσης (discrete constrained wedge disclination) αποτελούν τις κατάλληλες συναρτήσεις Green του προβλήματος. Εφαρμόζοντας την τεχνική των διανεμημένων εξαρμώσεων οδηγούμαστε σε ένα σύστημα συζευγμένων ολοκληρωτικών εξισώσεων με πυρήνες λογαριθμικούς και τύπου Cauchy. Από την αριθμητική επίλυση του συστήματος προκύπτει ότι το ρηγματωμένο υλικό συμπεριφέρεται πιο ‘δύσκαμπτα’ από ότι προβλέπει η κλασική ελαστικότητα. Επίσης, αποδεικνύεται ότι ο συντελεστής έντασης τάσεων (stress intensity factor) εμφανίζει σημαντική αύξηση σε σχέση με τον αντίστοιχο της κλασικής θεωρίας. Ανάλογα αποτελέσματα προκύπτουν και για τον τύπο θραύσης II. Τέλος, επιλύεται το πρόβλημα της κεντρικής ρωγμής τύπου III (mode III). Στην περίπτωση αυτή η εφαρμογή της τεχνικής οδηγεί σε μια υπεριδιόμορφη (hypersingular) ολοκληρωτική εξίσωση με κυβική ιδιομορφία. Από την αριθμητική επίλυση της υπεριδιόμορφης ολοκληρωτικής εξίσωσης προκύπτει ότι η ρωγμή κλείνει πιο ομαλά (με ραμφοειδή τρόπο) από ότι στην κλασική θεωρία, ενώ οι τάσεις μπροστά από το άκρο της ρωγμής, εμφανίζουν πιο ισχυρή ιδιομορφία σε σχέση με τις αντίστοιχες τάσεις της κλασικής ελαστικότητας. Κεφάλαιο 5: Προβλήματα Ρωγμών στη Θεωρία Βαθμίδας Τροπής. Στο Κεφάλαιο αυτό εξετάζονται τα προβλήματα κεντρικών ρωγμών τύπου I και II στα πλαίσια της διπολικής θεωρίας βαθμίδας τροπής. Η θεωρία αυτή αποτελεί τον τύπο II (Form II) στην εργασία του Mindlin (1964). Για την ανάλυση των προβλημάτων μας χρησιμοποιούμε αρχικά την ασυμπτωτική μέθοδο Knein-Williams. Βάσει της μεθόδου αυτής προσδιορίζεται η φύση των τάσεων και των μετατοπίσεων κοντά στο άκρο της ρωγμής. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τη μέθοδο των Ολοκληρωτικών Εξισώσεων, πετυχαίνουμε λύση πλήρους πεδίου (full-field solution) για τα προβλήματα κεντρικών ρωγμών τύπου I και II. Συγκεκριμένα, μέσω του μετασχηματισμού Fourier, καταλήγουμε σε συστήματα συζευγμένων υπεριδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων με κυβική ιδιομορφία. Από την αριθμητική επίλυση των παραπάνω συστημάτων συμπεραίνουμε ότι: (i) Το ρηγματωμένο σώμα συμπεριφέρεται πιο ‘δύσκαμπτα’ στη διπολική θεωρία βαθμίδας τροπής από ότι στην κλασική ελαστικότητα. Επίσης, οι μετατοπίσεις στα χείλη της ρωγμής επιδεικνύουν συμπεριφορά τύπου r3/2 (ραμφοειδής τρόπος κλεισίματος), όπου r η απόσταση από το άκρο της ρωγμής. (ii) Οι τροπές είναι φραγμένες, σε αντίθεση με την κλασική θεωρία, (iii) Οι ολικές τάσεις εμφανίζουν τυπική συμπεριφορά συνοριακού στρώματος. Ειδικότερα, μπροστά από το άκρο της ρωγμής και για μια πολύ μικρή περιοχή εμφανίζονται τάσεις συνοχής (cohesive tractions), (iv) Τέλος, το ολοκλήρωμα J είναι φραγμένο και η μεταβολή του αναδεικνύει το φαινόμενο κλίμακος. Κεφάλαιο 6: Το Πρόβλημα της Εγκοπής στη Θεωρία Βαθμίδας Τροπής. Στο Κεφάλαιο αυτό εξετάζεται το πρόβλημα της ελαστικής εγκοπής (notch), υπό συνθήκες επίπεδης και αντι-επίπεδης παραμόρφωσης, στα πλαίσια της διπολικής θεωρίας βαθμίδας τροπής. Για την ανάλυση του προβλήματος εγκοπής χρησιμοποιούμε την ασυμπτωτική μέθοδο Knein-Williams. Βάσει της μεθόδου αυτής προσδιορίζεται η φύση των τάσεων και των μετατοπίσεων κοντά στην αιχμή της εγκοπής. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι: (i) Σε αντίθεση με την κλασική θεωρία, το πεδίο τροπών είναι φραγμένο στην περιοχή της κορυφής της εγκοπής. (ii) Η ιδιομορφία των τάσεων δεν εξαρτώνται μόνο από την γωνία της εγκοπής αλλά και από το λόγο Poisson. Κεφάλαιο 7: Το Πρόβλημα της Εγκοπής στη Θεωρία Τάσεων Ζεύγους. Στο Κεφάλαιο αυτό εξετάζεται το πρόβλημα της ελαστικής εγκοπής (notch) σε σώμα με μικροδομή, το οποίο βρίσκεται υπό συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης. Η κατάστρωση του προβλήματος γίνεται τώρα στα πλαίσια της θεωρίας τάσεων ζεύγους. Εφαρμόζεται και πάλι η ασυμπτωτική τεχνική Knein-Williams και το πεδίο των μετατοπίσεων εκφράζεται σε μορφή χωριζομένων μεταβλητών. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι: (i) Σε αντίθεση με την κλασική θεωρία, το διάνυσμα της στροφής είναι φραγμένο στην περιοχή της κορυφής της εγκοπής, ενώ το πεδίο των τροπών παραμένει ιδιόμορφο, (ii) Οι τάσεις δεν εξαρτώνται μόνο από την γωνία της εγκοπής αλλά και από το λόγο Poisson.