A study on geodetic boundary value problems in ellipsoidal geometry
Authors: Πάνου Γεώργιος 
Published: September 2021

Στην παρούσα διατριβή, ειδικά γεωδαιτικά προβλήματα αντιμετωπίζονται ωςπροβλήματα συνοριακών τιμών. Το γεωδαισιακό πρόβλημα, το πεδίο βαρύτητας πουπαράγεται από ένα ομογενές ελλειψοειδές και το γραμμικό δεσμευμένο αλτιμετρικό-βαρυτημετρικό πρόβλημα μελετώνται πλήρως σε ελλειψοειδή γεωμετρία. Η μελέτηδεν περιορίζεται στο διαξονικό ελλειψοειδές (πεπλατυσμένο σφαιροειδές), που είναιτο κλασικό μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται στη γεωδαισία, αλλάεπεκτείνεται και στο τριαξονικό ελλειψοειδές. Το ουσιαστικό θέμα στην ανάλυσητων παραπάνω προβλημάτων είναι η έκφρασή τους στο κατάλληλο ελλειψοειδέςσύστημα συντεταγμένων.Το ελλειψοειδές σύστημα συντεταγμένων περιγράφεται λεπτομερώς. Για μιααντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ ελλειψοειδών και Καρτεσιανών συντεταγμένων,εισάγονται δύο παραλλαγές των ελλειψοειδών συντεταγμένων. Στις δύο αυτέςπαραλλαγές παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός μεταξύ ελλειψοειδών καιΚαρτεσιανών συντεταγμένων στο τριαξονικό ελλειψοειδές. Επίσης, το στοιχειώδεςμήκος και η εξίσωση Laplace εκφράζονται στις συντεταγμένες αυτές. Για τηνπαραλλαγή των ελλειψοειδών συντεταγμένων που χρησιμοποιείται στουςφορμαλισμούς της παρούσας μελέτης, ο μετασχηματισμός έχει τη μορφήcos β sin β cos λ1/ 22222 2cosβsin λy y u E ,β sin xeEE όπου u 0, –π/2 β +π/2, –π < λ +π είναι οι ελλειψοειδείς συντεταγμένες.Συνεπώς, οι συντεταγμένες επιφάνειες είναι: (i) τριαξονικά ελλειψοειδή (u =σταθερό), (ii) μονόχωνα υπερβολοειδή (β = σταθερό) και (iii) δίχωνα υπερβολοειδή(λ = σταθερό). Γεωμετρικά, οι συντεταγμένες ερμηνεύονται ως ακολούθως: Σε έναΚαρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ένα σημείο P έχει συντεταγμένες (x, y, z).Ορίζουμε ότι ένα τριαξονικό ελλειψοειδές που περιλαμβάνει το σημείο P, έχει ωςαρχή την αρχή του συστήματος, ο πολικός άξονας του 2b ταυτίζεται με τον άξονατων z, ο μεγάλος ισημερινός άξονας 2 x a ταυτίζεται με τον άξονα των x, ο μικρόςισημερινός άξονας 2 y a ταυτίζεται με τον άξονα των y και οι δύο γραμμικέςεκκεντρότητες έχουν σταθερές τιμές x E και y E . Η συντεταγμένη u είναι ο πολικόςημιάξονας του ελλειψοειδούς, β είναι το ελλειψοειδές πλάτος και λ είναι τοελλειψοειδές μήκος. Από τη σχέση οδηγούμαστε στην ερμηνεία ότι το ελλειψοειδές πλάτος β χαρακτηρίζει την κλίσητων ασύμπτωτων της οικογένειας των ομοέστιων κύριων υπερβολών στο επίπεδο x =0. Όμοια, από τη σχέσητο ελλειψοειδές μήκος λ, χαρακτηρίζει την κλίση των ασύμπτωτων της οικογένειαςτων ομοέστιων κύριων υπερβολών στο επίπεδο z = 0. Ο αντίστροφοςμετασχηματισμός έχει τη μορφήu b2 s , β tan-1a sb sy , λ tan-1a sa sxy , (4γ)όπου οι τιμές των 1 s , 2 s , 3 s υπολογίζονται από την επίλυση κατάλληλης κυβικήςεξίσωσης. Τέλος, ο κλασικός μετασχηματισμός μεταξύ ελλειψοειδών καιΚαρτεσιανών συντεταγμένων στο διαξονικό ελλειψοειδές παρουσιάζεται ως μιαεκφυλισμένη περίπτωση.Το γεωδαισιακό πρόβλημα περιλαμβάνει τον προσδιορισμό της γεωδαισιακήςμεταξύ δύο σημείων 0 0 0 P β , λ και 1 1 1 P β , λ σε ένα ελλειψοειδές. Στην παρούσαμελέτη, το γεωδαισιακό πρόβλημα στο τριαξονικό ελλειψοειδές επιλύεται ως έναπρόβλημα συνοριακών τιμών χρησιμοποιώντας το λογισμό μεταβολών. Διακρίνονταιδύο περιπτώσεις όπου η γεωδαισιακή περιγράφεται ως: (i) β = β(λ) και (ii) λ = λ(β).Το συνοριακό πρόβλημα τυποποιείται σύμφωνα με την εξίσωση Euler-Lagrange καιπεριλαμβάνει την επίλυση μίας μη γραμμικής δεύτερης τάξης συνήθη διαφορικήεξίσωση. Στην πρώτη περίπτωση, η εξίσωση έχει τη μορφή2 β'' β' 2 β' 2 β' 0 λ λ β2β β3λ EG EE EG E G E G EG GG , (5)και υπόκεινται στις συνθήκες τύπου Dirichlet 0 0 β β λ , 1 1 β β λ . (6)Ακολούθως, το πρόβλημα ανάγεται σε ένα πρόβλημα αρχικών τιμώνβ β'λdddd λ 3 β β 2 λ λ β2β' 12β' 12β' 12β με συνθήκες Dirichlet και Neumann D: 0 0 β β λ , N: 0 0 β' β' λ Η συνθήκη Neumann προσδιορίζεται με επαναληπτική διαδικασία επιλύοντας, μεαριθμητική ολοκλήρωση, το παρακάτω σύστημα τεσσάρων πρώτης τάξης συνήθωνδιαφορικών εξισώσεων β β'λd λ 3 β β 2 λ λ β2β' 12 β' 12β' 12β' 1 0 β'β'β'βλ 'β'λ p p p p p p p όπου οι συντελεστές στην εξίσωση (9δ) δίνονται από τις σχέσεις βλ λ β33 21β Gp E G E G β22 21β EEE E EGp GG G G βλ β λ11 21β EEE E EGp GG G G p Η τελευταία επανάληψη παράγει και τη λύση του συνοριακού προβλήματος. Από τηλύση προσδιορίζονται, σε κάθε σημείο κατά μήκος της γεωδαισιακής, οιελλειψοειδείς συντεταγμένες και η γωνία α μεταξύ της γραμμής σταθερούελλειψοειδούς μήκους και της γεωδαισιακής, από τη σχέση α cot β Επίσης, προσδιορίζεται η σταθερά c στην εξίσωση του Liouville cos2 β sin β sin α cos λ cos α cEEEExexe και υπολογίζεται, με αριθμητική ολοκλήρωση, η γεωδαισιακή απόσταση μεταξύ δύοσημείων, από τη σχέση s E 2 G Ανάλογες εκφράσεις ισχύουν και για τη δεύτερη περίπτωση. Για να αποδεχθεί η ισχύςτης μεθόδου δίνονται αριθμητικά παραδείγματα. Το γεωδαισιακό πρόβλημασυνοριακών τιμών και η λύση του στο διαξονικό ελλειψοειδές λαμβάνονται ως μιαεκφυλισμένη περίπτωση. Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιώντας μια ειδικήπερίπτωση της εξίσωσης Euler-Lagrange, η εξίσωση Clairaut επαληθεύεται και ησταθερά του Clairaut προσδιορίζεται με ακρίβεια. Επίσης, οι αριθμητικοί έλεγχοιεπικυρώνονται από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων με τη μέθοδο του Vincenty.Το εξωτερικό δυναμικό βαρύτητας U και η παραγωγός του ( u γ , β γ , λ γ ), πουπαράγονται από ένα ομογενές τριαξονικό ελλειψοειδές, παρουσιάζονται σεελλειψοειδείς συντεταγμένες (u, β, λ) από τις σχέσεις Φ ,β, λ2,β, λ 3 232220 1όπου ux y E EI u d 0 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 σ σ I u d 1 2 2 3 / 2 2 2 1/ 2I u d 2 2 2 1/ 2 2 2 3 / 2 σ σ σ ,I u d 3 2 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 σ σΦ ,β, λ 1 2 2222 2 2 2 2 2 2 2xey e x EEu u E 1/ 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2sin β sin λγ1/ 22 2 2 2 2 2 22 2 2β Uu Eγ1/ 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2λ UuΑρχικά, αναφέρονται κάποιες εκφράσεις που χρησιμοποιούνται για τηναναπαράσταση του εξωτερικού ελκτικού δυναμικού. Ακολούθως, το μαθηματικόπλαίσιο δημιουργείται σύμφωνα με τις ελλειψοειδείς συντεταγμένες. Όπως είναι φανερό από τις Εξισώσεις 14 και 15, το δυναμικό περιλαμβάνει ελλειπτικάολοκληρώματα που υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση. Από το δυναμικόβαρύτητας λαμβάνονται διαδοχικά οι συνιστώσες του διανύσματος της βαρύτητας. Οιπαραπάνω νέες εκφράσεις ισχύουν σε ένα τριαξονικό και διαξονικό ελλειψοειδές.Επίσης, το πεδίο βαρύτητας που παράγεται από ένα ομογενές πεπλατυσμένοσφαιροειδές λαμβάνεται και ως μια εκφυλισμένη περίπτωση. Προκειμένου ναεπικυρωθεί η ισχύς των γενικών εκφράσεων δίνονται αριθμητικά παραδείγματα.Το γραμμικό δεσμευμένο αλτιμετρικό-βαρυτημετρικό πρόβλημα συνοριακώντιμών αναλύεται ως προς την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της λύσης του. Στις μέρεςμας είναι δυνατό να προσδιοριστούν με μεγάλη ακρίβεια, μέσω δορυφορικώντεχνολογιών, σημεία στη φυσική γήινη επιφάνεια. Συνεπώς, το πρόβλημα ανάγεταιστον προσδιορισμό του διαταρακτικού δυναμικού Τ σε ένα μη φραγμένο χωρίο Ω πουαναπαριστά το εξωτερικό της Γης. Προκειμένου να σχηματιστούν ρεαλιστικέςσυνοριακές συνθήκες, επιβάλλεται μια συνθήκη Dirichlet στις θάλασσες ΩS και μιασυνθήκη πλάγιας παραγώγου στη στεριά L Ω . Το μαθηματικό μοντέλο που προκύπτει, έχει την παρακάτω μορφήΔΤ = 0 in Ω, (17α)Τ = S f on S Ω , (17β)(n·T ) + (a· T L ) = – L f on L Ω , (17γ)Τ = O( 1 x) as x + . (17δ)Κατόπιν, χρησιμοποιούνται μαθηματικές μέθοδοι εντός του πλαισίου τηςσυναρτησιακής ανάλυσης για την αντιμετώπιση του υπό μελέτη προβλήματος.Ειδικότερα, χρησιμοποιείται το θεώρημα του Stampacchia στην απόφαση για τηνύπαρξη και την μοναδικότητα της ασθενούς λύσης του προβλήματος σε ένα σταθμικόχώρο Sobolev. Τα αποτελέσματα της μελέτης συνοψίζονται στο ακόλουθο θεώρημα:Θεώρημα. Θεωρούμε Ω ένα μη φραγμένο χωρίο και Ω' = 3 – Ω ένα αστρόμορφοχωρίο ως προς την αφετηρία με σύνορο τύπου C1,1 . Επιπλέον, θεωρούμε a H1, τέτοιο ώστε div (a) L < t, (18)να ισχύει στο L Ω , όπου t είναι μια θετική σταθερά. Τότε, για όλα τα S f 1 2,2 ( )S H και L f 1 2,2 ( )L H υπάρχει μία και μόνο μία ασθενή λύση Τ (1)2 W (Ω) του γραμμικού δεσμευμένου αλτιμετρικού-βαρυτημετρικού προβλήματοςσυνοριακών τιμών. Τέλος, επιβεβαιώνεται ότι η συνθήκη ισχύος του θεωρήματος(Εξίσωση 18) έχει γεωμετρική ερμηνεία. Καταλήγοντας, παρουσιάζεται μια μέθοδος επίλυσης του προβλήματοςενοποίησης των υψομετρικών αναφορών. Πρόκειται ουσιαστικά για ένα πρόβλημαπροσδιορισμού των διαφορών δυναμικού μεταξύ των διαφόρων υψομετρικώναναφορών. Οι τοπικές υψομετρικές αναφορές διαφέρουν κυρίως λόγω τωνδιαφορετικών τρόπων ορισμού τους, των μεθόδων υλοποίησης και του γεγονότος ότιστηρίζονται σε τοπικά δεδομένα. Οι κύριες προσεγγίσεις προσδιορισμού διαφορώνδυναμικού περιγράφονται και συγκρίνονται, λαμβάνοντας υπόψη τις τρέχουσεςεξελίξεις της θεωρίας των γεωδαιτικών προβλημάτων συνοριακών τιμών. Αυτό μαςεπιτρέπει να επιλέξουμε το δεσμευμένο μεικτό πρόβλημα συνοριακών τιμών ως τοπιο κατάλληλο για την εκτίμηση του σχεδόν γεωειδούς, που είναι ανεξάρτητο απόκάθε τοπική υψομετρική αναφορά και μπορεί να θεωρηθεί ως παγκόσμια υψομετρικήαναφορά. Η βασική μέθοδος ενοποίησης των αναφορών στηρίζεται στη σύγκρισητων διαφορών δυναμικού καθεμιάς τοπικής υψομετρικής αναφοράς με τηναποκαλούμενη παγκόσμια υψομετρική αναφορά, δηλαδή το σχεδόν γεωειδές.