DEFORMATION OF ORTHOTROPIC PLATES TAKING INTO ACCOUNT TRANSVERSE SHIFTS AND NONLINEAR DEPENDENCE OF MECHANICAL PROPERTIES of THE COMPOSITE MATERIAL DEPENDS ON THE TYPE OF STRESS STATE
Authors: Трещев А. А. , Ющенко Н. С. , Захарова И. А. , Судакова И. А. 
Published: October 2022

Разработана конечно-разностная [4]модель поперечного изгиба кольцевой пластины средней толщины, для которой применение классических гипотез Кирхгофа-Лява совершенно не оправдано. Кроме того, структура пластины принята с цилиндрической ортотропией, осложненной физической нелинейностью и зависимостью деформационных характеристик материала от вида напряженного состояния. При моделировании уравнений состояния для ортотропного материала с несовершенной упругостью осуществлен переход от квазилинейных зависимостей к существенно нелинейным. Для перехода от общей трехмерной краевой задачи загружения кольца к уравнениям, определяющим деформирования срединной плоскости, принят подход С.П. Тимошенко, учитывающий влияние поперечных сдвигов, зарекомендовавший себя как надежный инструмент для расчета пластин средней толщины. Разработана конечно-разностная модель изгиба пластин, основанная на использовании аппроксимаций повышенной точности. Проведена оценка сходимости численных расчетов. Учитывая, что традиционно исследование напряженно-деформированного состояния пластин, имеющих круговое очертание контура, проводится в цилиндрических системах координат, таковая и была принята для построения модели. В предыдущих работах одного из авторов продемонстрировано, что известные уравнения состояния для ортотропных материалов с несовершенной упругостью имеют грубые ошибки, возникающие при расчете элементов конструкций. Эти уравнения, предложенные в предыдущие 40 лет, противоречивы и обилуют недостатками, которые непреодолимы при расчетах. Одним из авторов настоящей статьи в предыдущих работах были сформулированы подходы к построению потенциальных нелинейных зависимостей между деформациями и напряжениями, для их идентификации предложен комплекс экспериментов, среди которых в обязательном порядке требуется проведение экспериментов на сложные напряженные состояния, часть из них до настоящего времени реализовать не удается. В связи с этим в 2021 году был сформулирован потенциал деформаций в квазилинейном приближении, для которого константы возможно определить из простейших опытов, проведенных в главных материальных осях ортотропии. Наряду с весомыми преимуществами этого потенциала он базируется на аппроксимации нелинейных диаграмм деформирования прямыми лучами по методу наименьших квадратов, что при высокой качественной адекватности для отдельных материалов может приводить к отдельным количественным погрешностям. Поэтому предлагаемая расчетная модель пластины основана на отходе от энергетических нелинейных правил постулирования связи тензора деформаций с напряжениями. Для этой цели сформулирована нелинейная модель взаимозависимости двух тензоров второго ранга, которая объединяет форму обобщенного закона Гука ортотропного материала с теорией малых упругопластических деформаций, которые преобразованы с использованием методики пространства тензора нормированных напряжений. Такое комплексное использование теоретических подходов позволяет устанавливать материальные нелинейные функции, обработав лишь диаграммы деформирования, полученные из простейших экспериментов.

A finite-difference model of transverse bending of an annular plate of medium thickness has been developed, for which the application of the classical Kirchhoff-Love hypotheses is completely unjustified. In addition, the plate structure is adopted with cylindrical orthotropy, complicated by physical nonlinearity and dependence of the deformation characteristics of the material on the type of stress state. When modeling the equations of state for an orthotropic material with imperfect elasticity, the transition from quasi-linear to substantially nonlinear dependencies is carried out. To move from the general three-dimensional boundary value problem of ring loading to the equations determining the deformations of the median plane, S.P.Timoshenko's approach was adopted, taking into account the influence of transverse shifts, which proved to be a reliable tool for calculating plates of medium thickness. A finite-difference model of plate bending is developed based on the use of high-precision approximations. The convergence of numerical calculations is estimated. Considering that traditionally the study of the stress-strain state of plates having a circular contour is carried out in cylindrical coordinate systems, such was adopted for the construction of the model. Considering that in the previous works of one of their authors it was demonstrated that the known equations of state for orthotropic materials with imperfect elasticity have gross errors that occur when calculating structural elements. These equations proposed in the previous 40 years are contradictory and full of shortcomings that are insurmountable in calculations. One of the authors of this article, in previous works, formulated approaches to the construction of potential nonlinear dependencies between deformations and stresses, for the identification of which a set of experiments was proposed, among which experiments on complex stress states are necessarily required, some of which cannot be implemented to date. In this regard, in 2021, the deformation potential was formed in a quasi-linear approximation, for which constants can be determined from the simplest experiments conducted in the main material axes of orthotropy. Along with the significant advantages of this potential, it is based on the approximation of nonlinear deformation diagrams by direct rays using the least squares method, which, with high qualitative adequacy for individual materials, can lead to individual quantitative errors. Therefore, the proposed computational model of the plate is based on a departure from the energy nonlinear rules for postulating the relationship of the strain tensor with stresses. For this purpose, a nonlinear model of the interdependence of two second-rank tensors is formulated, which combines the form of the generalized Hooke's law of orthotropic material with the theory of small elastic-plastic deformations, which are transformed using the normalized stress tensor space technique. Such a comprehensive use of theoretical approaches makes it possible to establish material nonlinear functions by processing only the deformation diagrams obtained from the simplest experiments.