New developments on modelling techniques for dynamical systems with applications
Authors: Καλλιγέρης Εμμανουήλ-Νεκτάριος 
Published: September 2022

Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Στόχος της, είναι η κάλυψη του κενού στη βιβλιογραφία όσον αφορά τη μοντελοποίηση δυναμικών συστημάτων που αφορούν δεδομένα επίπτωσης. Παράγοντες όπως το Περιβάλλον, η Επιστήμη και η Τεχνολογία, αποτελούν συστήματα με ένα κοινό βασικό στοιχείο, τον χρόνο. Πρώτος, ο ́Αλμπερτ Αϊνστάιν μελέτησε τον χρόνο και τον χαρακτήρισε ως «ψευδαίσθηση». Σχεδόν κάθε σύστημα τείνει να εξελίσσεται, με διαφορετικούς ρυθμούς και συμπεριφορές, με την πάροδο του χρόνου. Το γεγονός αυτό κάνει τη φύση τέτοιων συστημάτων, δυναμική. Τα δυναμικά συστήματα αποτελούν ζωτικό εργαλείο για τη μοντελοποίηση φαινομένων που εξελίσσονται στον χρόνο. Η δημιουργία ενός τέτοιου συστήματος είναι σχετικά «απλή» καθώς χρειάζεται (1) ο προσδιορισμός της ποσότητας που εξελίσσεται στον χρόνο και (2) να τεθεί ο κανόνας που διέπει την εξέλιξη αυτή.Υπάρχουν τρεις τύποι δυναμικών συστημάτων: (1) Διακριτά ή Συνεχή, (2) Πεπερασμένα ή ́Απειρα, και (3) Ντετερμινιστικά ή Στοχαστικά. Αν και είναι διαθέσιμη μία πληθώρα θεωρητικών αποτελεσμάτων και εφαρμογών, εξακολουθούν να υπάρχουν αρκετά αναπάντητα ερωτήματα-κλειδί που αφορούν (κυρίως) τις γενικότερες πτυχές της δυναμικής και την έλλειψη επαρκούς συμφωνίας μεταξύ ποιοτικών και ποσοτικών αποτελεσμάτων. Στις μέρες μας, η μελέτη δυναμικών συστημάτων έχει να επιδείξει μεγάλα άλματα λόγω της ραγδαίας τεχνολογικής εξέλιξης η οποία έχει φέρει στο προσκήνιο νέους παράγοντες που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Ως φυσική συνέπεια όλων των παραπάνω ο βαθμός πολυπλοκότητας, της ήδη πολύπλοκης έννοιας των δυναμικών συστημάτων, έχει αυξηθεί απότομα.Η μοντελοποίηση των μηχανισμών αλλά και των συμπεριφορών που διέπουν τα δυναμικά συστήματα, βρίσκεται στο επίκεντρο διάφορων επιστημονικών πεδίων. ́Ενα από αυτά τα πεδία είναι αυτό της επιδημιολογίας το οποίο έχει επηρεαστεί σε μεγάλο βαθμό από τη δυναμική μοντελοποίηση. Τα επιδημιολογικά συστήματα μελετώνται εδώ και καιρό μέσω δυναμικών μοντέλων λόγω της άμεσης συσχέτισής τους με τη δημόσια υγεία και της πολυπλοκότητας που τα συνοδεύουν. Πολλοί ερευνητές έχουν στρέψει το ενδιαφέρον τους στη δημιουργία επαρκών μοντέλων που είναι σε θέση να περιγράψουν και να προβλέψουν την εξέλιξη τέτοιων συστημάτων. Τα μοντέλα αυτά συνήθως προέρχονται από μηχανισμούς υποθέσεων, διαμορφώνοντας έτσι δυναμικά μαθηματικά μοντέλα που αντιπροσωπεύουν τους προαναφερθέντες μηχανισμούς τα οποία και εφαρμόζονται/δοκιμάζονται πάνω σε δεδομένα.Τα δυναμικά συστήματα έχουν τη μοναδική ικανότητα να συνδυάζουν πολλά (αλληλεπιδρώντα) κομμάτια, οδηγώντας στη δημιουργία μιας νέας «όλα σε ένα» συμπεριφοράς. Αυτή η συνειδητοποίηση, δηλαδή ότι η συνολική συμπεριφορά ενός συστήματος δεν μπορεί να γίνει κατανοητή μελετώντας μόνο τη συμπεριφορά των επιμέρους συστατικών του, δημιούργησε μια πληθώρα νέων εννοιών και μαθηματικών εργαλείων. Ως αποτέλεσμα, η ανάπτυξη ενός δυναμικού μοντέλου δεν είναι εύκολη υπόθεση, καθώς το τελευταίο θα πρέπει να μπορεί να περιγράψει με επαρκή τρόπο τα χαρακτηριστικά της υπό μελέτη διαδικασίας. Η παρούσα διατριβή στοχεύει στο να προσφερθούν νέες προοπτικές στον τομέα της δυναμικής μοντελοποίησης προτείνοντας νέα, ακριβή, ευέλικτα και εύκολα εφαρμόσιμα μοντέλα και τεχνικές μοντελοποίησης. ́Ετσι, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εκτενής εισαγωγή στο αντικείμενο μελέτης της διατριβής παρουσιάζοντας όλες τις απαιτούμενες ορολογίες. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται λεπτομερής παρουσίαση όλων των απαραίτητων εργαλείων και μεθόδων που χρησιμοποιήθηκαν στα μετέπειτα κεφάλαια για την ανάπτυξη νέων καινοτόμων τεχνικών μοντελοποίησης δεδομένων επίπτωσης. Η παρακολούθηση σε πραγματικό χρόνο της επιδημικής δραστηριότητας στα συστήματα επιδημιολογικής επιτήρησης, είναι συχνά δύσκολο να επιτευχθεί πλήρως λόγω της εποχικότητας που εμπλέκεται στη σειρά. Με αφορμή το γεγονός αυτό, στο κεφάλαιο τρία εξετάζεται η γενική μορφή καθώς και ειδικές περιπτώσεις περιοδικών αυτοπαλίνδρομων μοντέλων με σκοπό τη μοντελοποίηση δεδομένων επίπτωσης που αφορούν τα εβδομαδιαία εκτιμώμενα ποσοστά ασθενειών τύπου γρίπης στην Ελλάδα για την περίοδο 2014-2016. Στο προηγούμενο κεφάλαιο επικεντρωθήκαμε αποκλειστικά στην αποτύπωση της συμπεριφοράς των δεδομένων επίπτωσης κατά τη διάρκεια τυπικών (μη ακραίων) περιόδων. Ωστόσο, ο προσδιορισμός της πλήρους πορείας τέτοιων δεδομένων, όπως τα εκτιμώμενα ποσοστά ασθενειών τύπου γρίπης στην Ελλάδα, είναι χρήσιμος για διάφορους λόγους. Για παράδειγμα ο εντοπισμός του τέλους μιας επιδημίας βοηθά τους υπεύθυνους δημόσιας υγείας στο να καθορίσουν εάν τα νέα κρούσματα αποτελούν μέρος μίας ήδη γνωστής (ή νέας) έξαρσης. Ως εκ τούτου, στο τέταρτο κεφάλαιο επιχειρούμε να αποτυπώσουμε τη συμπεριφορά τόσο των μη ακραίων όσο και των ακραίων περιόδων που εμφανίζονται σε δεδομένα επίπτωσης. Ο προσδιορισμός των ακραίων περιόδων καθίσταται δυνατός μέσω της ανάλυσης ανίχνευσης σημείων αλλαγής και αναπτύσσονται τεχνικές επιλογής μοντέλων προκειμένου να προσδιοριστεί το βέλτιστο περιοδικό αυτοπαλίνδρομο μοντέλο με συμμεταβλητές που περιγράφει καλύτερα το μοτίβο της υπό εξέταση χρονοσειράς. Επιπροσθέτως, αναπτύχθηκε ένας προηγμένος αλγόριθμος προκειμένου να βελτιωθεί η ακρίβεια του επιλεγμένου μοντέλου. Το κεφάλαιο πέντε απαρτίζεται από δύο συγκριτικές μελέτες. Η πρώτη έχει ως στόχο την αξιολόγηση της προβλεπτικής ικανότητας του μοντέλου που προτείνεται στο κεφάλαιο τρία σε αντιπαραβολή με εναλλακτικά μοντέλα που σχετίζονται με τη μοντελοποίηση της νοσηρότητας της γρίπης. Στην δεύτερη, εφαρμόσαμε και αξιολογήσαμε πρωτοπόρες μεθόδους που βασίζονται στην ανάλυση σημείων αλλαγής για τον εντοπισμό αλλαγών σε δεδομένα τύπου γρίπης. Η εμπειρική συγκριτική μελέτη παρείχε στοιχεία από τα οποία διαφαίνεται δείχνουν ότι οι στατιστικές μέθοδοι που βασίζονται στην ανάλυση σημείων αλλαγής έχουν αρκετές ελκυστικές ιδιότητες σε σύγκριση με την τρέχουσα πρακτική για την ανίχνευση επιδημιών. Συνεχίζοντας την προσπάθεια ανάπτυξης μιας αποτελεσματικής μεθοδολογίας για τη μοντελοποίηση της πλήρους συμπεριφοράς των δεδομένων επίπτωσης χρονοσειρών, στο έκτο κεφάλαιο προτείνεται μια επέκταση του Μαρκοβιανού εναλλασσόμενου μοντέλου. Τα συστατικά του επιλέγονται με τεχνικές ποινικοποιημένης πιθανότητας με στόχο την επίτευξη υψηλού βαθμού ευρωστίας όσον αφορά τη μοντελοποίηση των δυναμικών συμπεριφορών των επιδημιολογικών δεδομένων. Εκτός από τα στατιστικά συμπεράσματα, εφαρμόζεται ανάλυση ανίχνευσης σημείου αλλαγής για την επιλογή του αριθμού των εναλλαγών, η οποία μειώνει την πολυπλοκότητα της προαναφερθείσας διαδικασίας. Στο πλαίσιο αυτό προτείνεται μια διαδικασία τριών φάσεων για τη μοντελοποίηση δεδομένων επίπτωσης και ελέγχεται μέσω πραγματικών και προσομοιωμένων δεδομένων.Βασιζόμενοι (κυρίως) στα αποτελέσματα του προηγούμενου κεφαλαίου, στο κεφάλαιο εφτά επιθυμούμε να ξεκινήσουμε τη διερεύνηση μιας «φυσικής» επέκτασης της μεθοδολογίας που παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, δηλαδή τη χρήση ημι-Μαρκοβιανών εναλλασσόμενων μοντέλων για τη μοντελοποίηση δεδομένων επίπτωσης. Ως αποτέλεσμα, σε αυτό το κεφάλαιο ορίζουμε το διακριτού χρόνου ημι-Μαρκοβιανό εναλλασσόμενο μοντέλο δεσμευμένου μέσου με συμμεταβλητές. Θα πρέπει να σημειωθεί ωστόσο, ότι η μελέτη που παρουσιάζεται σε αυτό το κεφάλαιο βρίσκεται υπό εξέλιξη. Η διδακτορική διατριβή ολοκληρώνεται με σύντομη συζήτηση σχετικά με τα ευρήματα καθώς και τις πιθανές επεκτάσεις της.