Advanced high performance computing methods for the solution of crack propagation and material design problems using the extended finite element method (XFEM)
Authors: Μπακαλάκος Σεραφείμ 
Published: September 2023

Η ανάγκη για προχωρημένα υλικά υψηλών επιδόσεων στη βιομηχανία οδήγησε στην ανάπτυξη διαφόρων καινοτόμων λύσεων, σχεδιασμένων να έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες ανάλογα με την εφαρμογή, όπως αυξημένη θερμική αγωγιμότητα. Για την προσομοίωση της διάδοσης θερμότητας σε σύνθετα υλικά, πρέπει να ληφθούν υπόψη η πολύπλοκη μικροδομή τους, αλλά και η θερμική αντίσταση στις διεπιφάνειες μεταξύ υλικών. Η συμβατική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) απαιτεί πολύ πυκνά πλέγματα ώστε να ακολουθήσει την πολύπλοκη γεωμετρία αυτών των διεπιφανειών. Σε αυτή τη διατριβή προτείνεται μια μεθοδολογία εξελιγμένων πεπερασμένων στοιχείων (XFEM), η οποία αποτυπώνει το άλμα θερμοκρασίας εμπλουτίζοντας την πολυωνυμική προσέγγιση με κατάλληλες ασυνεχείς συναρτήσεις γύρω απο τις ασυνέχειες υλικού. Συγκεκριμένα, αναπτύσσεται μια νέα στρατηγική εμπλουτισμού, ώστε να αντιμετωπιστεί η συμβολή πολλαπλών φάσεων υλικού, δηλαδή περιοχών που τέμνονται πολλαπλές διεπιφάνειες με διαφορετικές θερμικές αντιστάσεις. Επιπλέον, για την γεωμετρική περιγραφή των διεπιφανειών υλικού, παρουσιάζεται μία τεχνική διπλού πλέγματος. Ένα πολύ πυκνό πλέγμα επιστρατεύεται απο τη μέθοδο ισοϋψών (LSM) για την απεικόνιση της πολύπλοκης γεωμετρίας των διεπιφανειών με μεγάλη ακρίβεια, ενώ η XFEM χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό πλέγμα, το οποίο δεν προσαρμόζεται στις διεπιφάνειες, αλλά αποτελεί αραιότερη παραλλαγή του πλέγματος της LSM, ώστε να μειωθεί το υπολογιστικό κόστος της ανάλυσης. Το συνολικό αριθμητικό μοντέλο επικυρώνεται αρχικά με αποτελέσματα από τη βιβλιογραφία για πολυκρυσταλλικά υλικά. Έπειτα εφαρμόζεται για την ανάλυση διάδοσης θερμότητας σε πολυμερή υλικά ενισχυμένα με νανοσωλήνες άνθρακα. Η άγνωστη διεπιφανεικαή θερμική αντίσταση μεταξύ των υλικών προσδιορίζεται από βαθμονόμηση της υπολογιζόμενης μακροσκοπικής αγωγιμότητας του υλικού ως προς αντίστοιχες πειραματικές μετρήσεις. Το προτεινόμενο μοντέλο XFEM μπορεί να επεκταθεί άμεσα σε άλλα παρόμοια προβλήματα, όπως ελαστικότητα ή ηλεκτρική αγωγιμότητα.Ταυτόχρονα, η XFEM αποτελεί ελκυστική επιλογή για την προσομοίωση διάδοσης ρωγμών, εμπλουτίζοντας το πολυωνυμικό πεδίο μετατοπίσεων της FEM με εξειδικευμένες μη λείες συναρτήσεις, αποφεύγοντας την ανάγκη αναδημιουργίας του πλέγματος κοντά στη ρωγμή σε κάθε βήμα διάδοσης της. Ωστόσο, αυτός ο εμπλουτισμός οδηγεί σε εντόνως κακή κατάσταση του πίνακα δυσκαμψίας και έτσι καθιστά πολύ αργή τη σύγκλιση επαναληπτικών μεθόδων επίλυσης συστημάτων. Από την άλλη, οι άμεσοι αλγόριθμοι επίλυσης δεν είναι αποδοτικοί σε τρισδιάστατα προβλήματα, λόγω του αυξημένου ύψους στηλών του πίνακα του συστήματος. Σε αυτή τη διατριβή, δύο μέθοδοι υποφορέων (FETI-DP και PFETI-DP) προτείνονται για επίλυση γραμμικών συστημάτων που προκύπτουν από την ανάλυση διάδοσης ρωγμών σε τρισδιάστατα προβλήματα μεγάλης κλίμακας με τη μέθοδο XFEM. Τροποποιώντας το αραιό πρόβλημα των δύο επιλυτών, αποφεύγεται η μη αντιστρεψιμότητα που προκαλείται από την διάδοση της ρωγμής, ενώ παράλληλα απαλείφεται η κακή κατάσταση του πίνακα δυσκαμψίας λόγω XFEM. Έτσι εξασφαλίζεται η κλιμακωσιμότητα των FETI-DP και PFETI-DP, καθώς ο αριθμός των υποφορέων αυξάνεται. Τέλος προτείνεται μια αποδοτική υλοποίηση σε υπολογιστικά συστήματα υψηλών επιδόσεων, και συγκεκριμένα σε συστοιχία υπολογιστών συνδεδεμένων σε τοπικό δίκτυο, μετασχηματίζοντας τις αρχικές εξισώσεις των FETI-DP και PFETI-DP, ώστε να ελαχιστοποιούνται η επικοινωνία και η συμφόρηση σε συστήματα.