РАЗРЕШИМОСТЬ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ
Authors: Айтжанов С.Е. 
Published: October 2023

Бұл жұмыста локалдік емес шекаралық шартты псевдогиперболалық теңдеу үшін шеттік есебінің шешімділігі зерттелінген. Зерттелініп отырған теңдеуді кейде Кирхгоф, Клейн-Гордон жалпы жағдайда Соболев теңдеуі деп те атайды. Бұл жұмыстағы шекаралық шарттың локалдік емес және сызықты еместігімен ерекшеленеді. Қойылған есептің әлсіз жалпылама шешімнің бар және жалғыздығы дәлелденген. Әлсiз жалпыланған шешiмнiң бар және жалғыздығы үшін уақыт бойынша локалдік теорема дәлелдендi. Есептің шешімнің бар және жалғыздығын дәлелдеуде Галеркин әдiсi, жуық шешімдерінің априорлық бағалаулары, қажетті интерполяциялық теңсіздіктер, Юнг, Гельдер және Минковский теңсіздіктері, Гронуолла және Бихари леммалары қолданылды. Сызықты емес псевдогиперболалық теңдеу үшiн бастапқы-шеттiк есептердi қарастыру және зерттеу қажеттiлiгi практикалық мұқтаждықтардан туындайды. Бұл жұмыста теңдеуге қатысатын шешімнің уақыт бойынша барлық туындыларына L2 (QT ) кеңістігіне тиісті болатындығы көрсетілді. Түйін сөздер: псевдогиперболалық теңдеу, шешімділік, жалғыздық, сызықты емес теңдеу, локалдік емес шекаралық шарт.

В работе исследована разрешимость краевой задачи с нелокальным граничным условием для псевдогиперболического уравнения. Изучаемое уравнение иногда называют уравнением Кирхгофа, Клейн- Гордона, в общем случае – уравнением Соболева. Граничное условие в данной работе отличается нелокальностью и нелинейностью. Доказано существование и единственность слабого обобщенного решения поставленной задачи. Доказана теорема о локальности во времени для существования и единственности слабого обобщенного решения. При доказательстве существования и единственности решения задачи использовались метод Галеркина, априорные оценки приближенных решений, необходимые интерполяционные неравенства, неравенства Юнга, Гелдеря и Минковского, леммы Гронуолла и Бихари. Необходимость рассмотрения и исследования начально-краевых задач для нелинейного псевдогиперболического уравнения вытекает из практических потребностей. В данной работе показано, что все производные по времени решения, участвующего в уравнении, принадлежит пространству L2 (QT ) . Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, разрешимость, единственность, нелинейное уравнение, нелокальное граничное уравнение.

In the paper the solvability of a boundary value problem with a non-local boundary condition for a pseudo-hyperbolic equation is investigated. The studied equation is sometimes called the Kirchhoff equation, Klein-Gordon equation and in general case, the Sobolev equation. The boundary condition in this paper is distinguished by nonlocality and nonlinearity. The existence and uniqueness of a weak generalized solution of the problem is proved. A time locality theorem is proved for the existence and uniqueness of a weak generalized solution. The Galerkin method, a priori estimates of approximate solutions, the necessary interpolation inequalities, the inequalities of Young, Gelder and Minkowski, the lemmas of Gronwall and Bihari were used to prove the existence and uniqueness of the problem's solution. The need to consider and study initial boundary value problems for a nonlinear pseudo-hyperbolic equation follows from practical needs. In this paper, it is shown that all derivatives of the solution in time involved in the equation belong to the space L. Keywords: pseudohyperbolic equation, solvability, uniqueness, non-linear equation, non-local boundary equation.