Longer-term seeding eects on epidemic processes: a network approach
Authors: Ódor Gergely , Czifra Domonkos , Komjáthy Júlia , Lovász László , Karsai Márton 
Published: April 2022

Summary. In this paper we touch upon three phenomena observed in
real life as well as in simulations; in one case, we state mathematical results
about the appearance of the phenomenon on arbitrary graphs (networks) under
rather general conditions. We discuss a phenomenon of critical fluctuations,
demonstrating that an epidemic can behave very differently even if it runs on
the same network, with the same transmission probabilities and started from the
same initial seeds. We explore a connection between the geographic distribution
and intensity of the spreading epidemic. We argue that the speed of the spread
of an epidemic depends not only on the number of current infections, but also on
their geographic distribution over a country. Through the observations of these
phenomena we suggest a dependence of the final epidemic size on the geometric
position of initial seeds of an epidemic process.

Összefoglalás. A 2020. március és 2021. február közötti hazai
COVID–19 járványügyi adatokat felhasználva a járványok geográfiai terjedését
kutatjuk. Alapvető modellünk az, hogy a járvány azon emberek között terjed, akik
mobilitási mintáik alapján egy városban tartózkodnak, így van esély arra, hogy
találkozhatnak egymással. Ezt a hálózatot úgy közelítjük, hogy tekintjük az 1000
fő feletti települések hálózatát (gráfját), ahol a települések közötti élek
súlya a közöttük becsült forgalomból, elsősorban ingázásból nyerhető. Az egyes
településeken belül feltételezzük, hogy minden ember ugyanakkora valószínűséggel
találkozhat. A településeken belül és között átlagolással (meanfield) kapjuk a
terjedés paramétereit. Három kérdést tanulmányozunk a cikkben. Az első kettőben
többé-kevésbé a várakozásnak megfelelőek az eredmények, a harmadik azonban
meglepetéssel szolgált. Mennyire jelezhető előre a járvány lefutása?
Szimulációink alapján az R0 = 1 érték közelében a
helyzet némileg a meteorológiai előrejelzésekhez hasonló, azonos hálózaton,
azonos kezdeti fertőzésből, azonos paraméterekkel is nagyon eltérő járványgörbék
keletkezhetnek. Mennyire befolyásolja a napi fertőzésszámot a járvány
elterjedtsége, vagyis az, hogy mennyire oszlik meg a fertőzésszám a lakossággal
arányosan az egyes településeken (járásokban, megyékben)? Szimulációink
egyértelműen mutatják, hogy a fertőzöttek azonos száma mellett, minél
egyenletesebb a fertőzöttek eloszlása az országban, annál nagyobb a napi új
fertőzések száma. Egy járvány első, korai esetei (pl. külföldről behozott
fertőzés) hogyan befolyásolják a terjedés végkimenetelét, a teljes lefutás
alatti megbetegedések számát? A kutatás egyik fontos célja az, hogy megtalálja a
kezdeti fertőzöttek azon konfigurációját, amely a legnagyobb járványhoz vezet.
Ezzel kapcsolatban egy új jelenséget figyeltünk meg. Az általánosan elfogadott
kép szerint, ha a vizsgált betegség egy elszigetelt, alacsony népsűrűségű és nem
túl sűrű tömegközlekedési kapcsolattal rendelkező településen jelenik meg
először, akkor gyorsan kipusztulhat anélkül, hogy nagyobb járványt okozna.
Egészen más lehet a dinamika, ha a betegség egy jól összekapcsolt, sűrűn lakott
településről indul, ahol könnyebben túlélhet és terjedhet szét a lakosság többi
részére. A kutatás során ezt a feltevést megkérdőjeleztük, és demonstráljuk,
hogy az a járvány, ami a városok hálózatának legszorosabban összekapcsolt
részéből indul, hosszú távon nem mindig vezet több fertőzötthöz. Ha a
betegségnek nagy a fertőzőképessége, akkor egy járvány, ami véletlenszerűen
kiválasztott városokból indul, akár nagyobb populációt is megfertőzhet.
Eredményeinket magyar mobilitási és járványügyi adatok, szimulációk, illetve
matematikai bizonyítások is alátámasztják. A tudományos megállapításaikon
túlmenően eredményeink hozzájárulhatnak járvány-előrejelzések és az intervenciós
stratégiák jobb megtervezéséhez egy adott országban egy éppen zajló világjárvány
idején. Arra világítanak rá, hogy egy járvány korai szakaszában nemcsak a
terjedő betegség fertőzési eseteinek számát fontos követni, hanem a fertőzések
geográfiai eloszlása is fontos információt hordoz. A most kidolgozott modell
ilyen korai megfigyelésekből kiindulva, egy ország populációjának földrajzi
szerkezetét, valamint a mobilitási hálózatának hatásait is figyelembe veszi, és
már a járvány kezdeti szakaszában segíthet hosszabb távú következtetések
levonásában.