КЛЕЙН- ГОРДОН ТЕҢДЕУІНІҢ ШЕШІМДЕРІН ОПТИМАЛДЫ ДИСКРЕТТЕУ ТУРАЛЫ
Authors: Утесов А.Б. 
Published: October 2023

Цель исследования заключается в дискретизации (приближении) классических решений уравнения Клейна - Гордона, представимых в виде абсолютно сходящихся кратных функциональных рядов, и оценки погрешности дискретизации. Методология исследования основана на многочисленных аналогичных исследованиях из теории приближений. В исследовании получены следующие результаты: во-первых, выписан в явном виде точный порядок наименьшей погрешности дискретизации; во-вторых, доказано, что вычислительный агрегат, являющийся суммой тригонометрических полиномов, определенных на гиперболических крестах, реализует точный порядок; в-третьих, доказано, что любой вычислительный агрегат, построенный по N тригонометрическим коэффициентам Фурье начальных условий, не улучшает установленный точный порядок наименьшей погрешности дискретизации. Значимость данного исследования заключается в том, что сформулированная по полученным результатом теорема является новой в задачах дискретизации классических решений дифференциальных уравнений в частных производных. Ключевые слова: уравнение Клейна-Гордона, дискретизация решений, вычислительный агрегат, коэффициенты Фурье, погрешность дискретизации, классы Коробова.

Бұл зерттеудің мақсаты – Клейн- Гордон теңдеуінің абсолютті жинақталатын еселі функциялық қатарлар түрінде бейнеленетін классикалық шешімдерін дискреттеу (жуықтау) және дискреттеу қателігін бағалау. Зерттеу әдістемесі жуықтаулар теориясындағы осы тәрізді әдістемелерді негізге алған. Бұл зерттеуде келесі нәтижелерге қол жеткізілген: біріншіден, дискреттеудің ең кіші қателігінің дәл реті айқын түрде жазылған; екіншіден, гиперболалық крестерде анықталған тригонометриялық полиномдар қосындысы болатын есептеу агрегатының дәл ретті жүзеге асыратыны дәлеленген; үшіншіден, алғашқы шарттардың N тригонометриялық Фурье коэффициенттері бойынша құрылған кез келген есептеу агрегаты дискреттеудің ең кіші қателігінің айқындалған дәл ретін одан әрі жақсартпайтыны дәлелденген. Зерттеудің маңыздылығы алынған нәтижелер бойынша тұжырымдалған теореманың дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің классикалық шешімдерін дискреттеу есептеріндегі жаңа болуымен түсіндіріледі. Түйін сөздер: Клейн- Гордон теңдеуі, шешімдерді дискреттеу, есептеу агрегаты, Фурье коэффициенттері, дискреттеу қателігі, Коробов кластары.

The goal of this study is to discretize (approximate) classical solutions of Klein-Gordon equation, represented as absolutely convergent multiple functional series, and to estimate the discretization error. The research methodology is based on numerous similar studies from the theory of approximations. In this study, the following results were obtained: first, exact order of the smallest discretization error is explicitly written out; Secondly, it is proved that the computing unit, which is the sum of trigonometric polynomials defined on hyperbolic crosses, implements the exact order; thirdly, it is proved that any computing unit constructed according to the N trigonometric Fourier coefficients of initial conditions does not improve the established exact order of the smallest discretization error. The significance of this study lies in the fact that the theorem formulated according to the results obtained is new in the problems of discretization of classical solutions of partial differential equations. Keywords: Klein- Gordon equation, discretization of solutions, computing unit, Fourier coefficients, discretization error, Korobov classes.