Sobre los grafos VPT y los grafos EPT
Authors:   , Mazzoleni María Pía 
Published: August 2019

El grafo de intersección de una familia de conjuntos es un grafo cuyos vértices son los miembros de la familia y la adyacencia es definida por la intersección no vacía de los correspondientes miembros. Los grafos de intersección son bastante conocidos y muy estudiados. Algunas clases de grafos definidas como intersección son hereditarias y pueden ser caracterizadas por subgrafos inducidos prohibidos minimales. Los elementos de las familias y las propiedades que las definen aparecen en varios contextos, modelando diferentes situaciones, inclusive de la vida real, lo que es un incentivo adicional para el estudio de estas clases. Ejemplos clásicos son los grafos de intervalos y los grafos cordales. Un grafo de intervalos es el grafo de intersección de una familia de intervalos en la recta real, o, en forma equivalente, el grafo vértice intersección de una familia de subcaminos de un camino. Llamamos Intervalos a la clase formada por los grafos de intervalos. Un grafo cordal es un grafo sin ciclos inducidos de longitud al menos cuatro. Llamamos Cordal a la clase formada por los grafos cordales. Gavril probó que un grafo es cordal si y sólo si es el grafo vértice intersección de una familia de subárboles de un árbol. Ambas clases han sido cuidadosamente estudiadas en la literatura. Con el fin de definir nuevas clases de grafos representadas por subárboles, se imponen condiciones en los árboles, subárboles y en el tamaño de la intersección. Sean h, s y t enteros positivos; una (h,s,t)-representación de un grafo G consiste de un árbol huésped T y una colección (T_v), siendo v un vértice de G, de subárboles de T, tal que: el grado máximo de T es a lo sumo h; todo subárbol T_v tiene grado máximo a lo sumo s; dos vértices v y w son adyacentes en G si y sólo si los correspondientes subárboles T_v y T_w tienen al menos t vértices en común en T. La clase de grafos que tiene una (h,s,t)-representación es denotada [h,s,t]. Cuando no hay restricción en el grado máximo de T o en el grado máximo de los subárboles, usamos h=∞ y s=∞ respectivamente. De ahí que, [∞, ∞,1] = Cordal y [2,2,1] = Intervalos. Las clases [∞,2,1] y [∞,2,2] son llamadas VPT (vertex intersection graph of paths in a tree) y EPT (edge intersection graph of paths in a tree) respectivamente. VPT y EPT son clases incomparables de grafos. Sin embargo, cuando el grado máximo del árbol huésped es tres la clase de los grafos VPT coincide con la clase de los grafos EPT. Los grafos VPT son útiles en muchas áreas, entre las cuales cabe destacar la genética, arqueología y ecología. Los grafos EPT son usados en aplicaciones de redes, donde el problema de planificación de llamadas no dirigidas en una red que es un árbol es equivalente al problema de colorear un grafo EPT. La red de comunicación está representada como un grafo no dirigido de interconexión, donde cada arista es asociada con una conexión física entre nodos. Una llamada no dirigida es un camino en la red. Cuando la red es un árbol, este modelo es claramente una representación EPT. Colorear el grafo EPT de forma tal que dos vértices adyacentes tengan distintos colores, significa que llamadas no dirigidas que comparten una conexión física tienen que planificarse en distintos momentos. En los últimos años, el estudio de las clases [h,s,t] ha merecido varias publicaciones en la literatura. El mínimo t tal que un grafo dado pertenece a [3,3,t] ha sido estudiado. Se ha demostrado que [3,3,1] = Cordal. Los [4,4,2] grafos han sido caracterizados y se da un algoritmo polinomial para su reconocimiento. Las clases [4,2,2] y [4,3,2] han sido estudiadas. La relación entre diferentes clases de grafos de intersección de caminos en un árbol también ha sido analizada. Gravril mostró que el problema de reconocer a los grafos VPT es polinomial. Por otro lado, el reconocimiento de los grafos EPT es un problema NP-completo. Esta Tesis está organizada de la siguiente forma: El Capítulo 2 contiene definiciones que serán utilizadas en los capítulos siguientes y que son necesarias para entender el texto. En el Capítulo 3 nos enfocamos en las clases [h,2,1] para cualquier h>2 fijo; estas son todas subclases de VPT. Caracterizamos a los grafos [h,2,1] usando el número cromático. Mostramos que el problema de decidir si un grafo VPT dado pertenece a [h,2,1] es NP-completo, mientras que el problema de decidir si el grafo dado pertenece a [h,2,1]-[h-1,2,1] es NP-difícil. Ambos problemas permanecen difíciles aún cuando nos restringimos a la clase VPT ∩ Split. Adicionalmente, presentamos una subclase no trivial de VPT ∩ Split en la cual estos problemas son polinomiales. El caso h=2 no es considerado porque [2,2,1]= Intervalos. Nuestros resultados se aplican para cualquier h>2 fijo, pueden ser vistos como una generalización del caso h=3 el cual coincide con la clase [3,2,1]=[3,2,2]= VPT ∩ EPT = EPT ∩ Cordal. Las clases [h,2,1], son cerradas por subgrafos inducidos, de ahí que cada una puede ser caracterizada por una familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales. Tal familia es conocida sólo para h=2 y hay algunos resultados parciales para h=3. En este Capítulo asociamos los subgrafos inducidos prohibidos minimales para [h,2,1] que son VPT con los grafos (color) críticos. Describimos cómo obtener subgrafos inducidos prohibidos minimales a partir de los grafos críticos, más aún, mostramos que la familia de grafos obtenida usando nuestro procedimiento es exactamente la familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para [h,2,1] que son VPT. Esta familia junto con la familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para VPT, es la familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para [h,2,1], con h>2. En el Capítulo 4 caracterizamos la clase [h,2,1] por subgrafos inducidos prohibidos minimales para cada h>2 fijo. Cabe destacar que, tomando h=3, obtenemos una caracterización por subgrafos inducidos prohibidos minimales para la clase VPT ∩ EPT = EPT ∩ Cordal=[3,2,2]=[3,2,1]. En el Capítulo 5 damos una nueva condición necesaria para ser un grafo EPT. Para esto nos basamos en la estructura de los cliques de un grafo EPT. Además, encontramos una nueva familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para la clase EPT. En el Capítulo 6 nos enfocamos en los grafos EPT que pueden ser representados en un árbol con grado acotado. Respondemos negativamente una pregunta que Golumbic, Lypshteyn y Stern dejaron abierta, basándonos en la representación EPT que tienen los ciclos de un grafo EPT. Finalmente, en el Capítulo 7, damos algunas conclusiones y analizamos cuáles son los trabajos futuros que nos gustaría realizar.