Sobre la representació i generació de relacions d'indistingibilitat
Authors:   , Recasens Ferrés Jorge 
Published: October 2023

La determinació d'una igualtat és essencial en tota teoria perquè equival al problema de discernir els objectes dels què tracta. <br/>Ho és perquè permet classificar en el context de la teoria; i classificar és un dels processos més importants del coneixement, ja que permet relacionar, estructurar, generalitzar, abstraure, trobar lleis generals, etc.<br/>Com a primera aproximació al concepte d'igualtat es pot partir del Principi d'identitat de Leibnitz: "Dos objectes són idèntics en un univers de discurs, quan comparteixen el mateix conjunt de propietats considerades en aquest univers."<br/>No obstant, en moltes situacions reals els objectes no necessàriament verifiquen (o no) una propietat de forma categòrica, sinó que en general la satisfan només en un cert grau o nivell. Les propietats passen a ser conceptes difusos i ocorre el mateix amb el Principi de identitat:<br/>No es pot parlar d'objectes idèntics (o diferents), sinó que cal introduir un grau de similitud entre ells. Així mateix, la igualtat es transforma en un concepte difús. <br/>Un model d'igualtat útil ha de permetre gestionar aquesta idea. Les relacions d'indistingibilitat han demostrat ser-ne una bona eina.<br/>Aquesta memòria es proposa aprofundir l'estudi de la seva estructura.<br/>Està dividida en cinc capítols, el primer dels quals conté les definicions i propietats bàsiques de las T-indistingibilitats, les S-mètriques i la seva dualitat via ternes de De Morgan.<br/>En el capítol 2 s'estudien les relacions d'indistingibilitat a través del producte Max-T.<br/>El producte Max-T s'identifica amb operadors de clausura i s'aprofita aquest fet per a definir nous mètodes de classificació.<br/>El capítol 3 estudia les T-indistingibilitats i les S-mètriques a través del Teorema de Representació de L. Valverde.<br/>Es dóna una interpretació geomètrica al conjunt de generadors d'una T-indistingibilitat E que permet determinar-ne una base i la seva dimensió, si T es una t-norma arquimediana.<br/>Es veu que té sentit parlar de la dimensió d'una mètrica clàssica i es demostra que la mètrica derivada de la norma 1 en R2 es infinit en Rn es n-dimensional y la mètrica euclídea en Rn (n superior o igual 2) té dimensió infinita.<br/>Escrivint explícitament les condicions que ha de satisfer la clausura T-transitiva E d'una relació reflexiva y simètrica s'obté un nou mètode per al calcul de la clausura T-transitiva.<br/>També es demostra que una T-indistingibilitat E en X (T arquimediana) determina una relació de betweenness en X. El cardinal d'aquesta relació està íntimament lligat a la dimensió de E.<br/>La determinació d'una cota inferior al cardinal de les relacions de betweenness determinades per T-indistingibilitats resulta ser equivalent a la resolució de un problema combinatori obert de P.Turán<br/>En el capítol 4 es defineixen els Morfismes de mètodes de classificació per a poder comparar-los i relacionar-los.<br/>En el capítol 5 es tracta la qüestió de reduir de forma coherent el nombre de clusters a través de la introducció de relacions d'indistingibilitat no necessàriament reflexives.