Μελέτη διάχυσης σε ανομοιογενή συστήματα
Authors: Σκαρπαλέζος Λουκάς Νικόλαος Μάρκος 
Published: August 2021

Στην παρούσα διατριβή οι διαδικασίες διάχυσης και απορρέουσες ιδιότητες μελετώνται σε μια ποικιλία διαφορετικών μέσων πηγαίνοντας από απλό μονοδιάστατο πλέγμα σε πολύπλοκα δίκτυα άνευ κλίμακας. Το κεφάλαιο 1 αποτελεί μια εισαγωγή στις βασικές έννοιες γύρω από τα προβλήματα διάχυσης σε πολύπλοκα συστήματα. Στο κεφάλαιο 2, μελετώνται τα φαινόμενα μνήμης για θερμοκρασίες λίγο μεγαλύτερες της κρίσιμης μετά το πέρας της ισορροπίας, σε δισδιάστατα και τρισδιάστατα πλεγματικά ρευστά, όπου τα σωματίδια αλληλεπιδρούν με ελκτικές δυνάμεις με τους πρώτους γείτονες τους. Μέσω της μελέτης των αποτελεσμάτων Monte Carlo προσομοιώσεων για το ίδιο-τμήμα της ενδιάμεσης συνάρτησης σκέδασης (SISF), επιτυγχάνεται η περιγραφή των χαρακτηριστικών μιας γενικευμένης μορφής του συντελεστού διάχυσης ίχνους, η οποία εξαρτάται τόσο από τον χρόνο όσο και από την τιμή του κυματοδιανύσματος. Ημιαναλυτικές εκφράσεις προκύπτουν από την ανάλυση των αποτελεσμάτων. Η ανισοτροπία της ενδιάμεσης συνάρτησης σκέδασης και τα φαινόμενα μνήμης εκφράζονται μέσω των διαδικασιών χαλάρωσης των διαφόρων παραμέτρων. Στο κεφάλαιο 3, μελετάται θεωρητικά και με τη βοήθεια υπολογιστικών προσομοιώσεων η διαδικασία της παγίδευσης σωματιδίων που διαχέονται με μη κλασικό τρόπο σε μονοδιάστατα πλέγματα. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζονται πολωμένοι τυχαίοι βηματισμοί στους οποίους η πιθανότητα κίνησης προς τις παγίδες είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασής τους από αυτές. Για μια απλή περίπτωση, όπου θεωρείται έλξη μόνον από τις δυο παγίδες που περικυκλώνουν το σωματίδιο, βρίσκεται με αναλυτικό τρόπο η εξάρτηση του μέσου χρόνου παγίδευσης από την συγκέντρωση των παγίδων. Επίσης, μελετάται μέσω συναρτήσεων προσαρμογής η πιθανότητα επιβίωσης σε μια πιο σύνθετη περίπτωση. Στο κεφάλαιο 4, μια παραλλαγή αυτού του θεωρητικού μοντέλου σε εξαγωνικό δισδιάστατο πλέγμα χρησιμοποιείται για να μελετηθεί η ασυνήθιστα γρήγορη διεργασία διεύρυνσης που παρατηρήθηκε πρόσφατα μεταξύ ασταθών και ευσταθών νανονησίδων σε πειραματικά συστήματα επιταξιακής ανάπτυξης μολύβδου πάνω σε πυρίτιο. Πιο συγκεκριμένα, με την βοήθεια υπολογιστικών, δείχνεται πως η εφαρμογή πολωμένης διάχυσης προς τις ευσταθείς νησίδες αναπαραγάγει ικανοποιητικά τα ποιοτικά χαρακτηριστικά που παρατηρούνται στα πειράματα, σε αντίθεση με τον κλασικό ισοτροπικό τρόπο διάχυσης. Στο κεφάλαιο 5, η έννοια της πολωμένης διάχυσης εκτείνεται και εφαρμόζεται πάνω σε πολύπλοκα δίκτυα. Στο πρώτο μέρος δίνεται έμφαση στο πρόβλημα του μέσου χρόνου πρώτης διάβασης (MFPT), όταν εφαρμόζονται πολωμένοι τυχαίοι βηματισμοί από έναν τυχαία διαλεγμένο κόμβο αποστολέα προς έναν επίσης τυχαία διαλεγμένο κόμβο στόχο. Η παράμετρος πόλωσης p εκφράζει την πιθανότητα να παραμείνει το σωματίδιο στη συντομότερη διαδρομή. Βρίσκεται μία αναλυτική λύση για δίκτυα τύπου Random Regular (RR), η οποία είναι εφαρμόσιμη και σε τυχαία δίκτυα τύπου Erdos-Renyi (ER). Σε αυτή τη περίπτωση, η κλιμάκωση του MFPT από το μέγεθος του δικτύου παρουσιάζει απότομη αλλαγή συμπεριφοράς από νόμο δύναμης σε λογαριθμική συνάρτηση για μια κρίσιμη τιμή της παραμέτρου πόλωσης. Για τα δίκτυα άνευ κλίμακας (SF), βρίσκεται ένα άνω όριο του χρόνου πρώτης διάβασης από το οποίο προκύπτει ότι κλιμακώνεται με το μέγεθος Ν το πολύ σαν δύναμη του log(N) για όλες τις τιμές του p. Στο δεύτερο μέρος, μελετάται το πρόβλημα της αποτελεσματικότητας της διαβίβασης της πληροφορίας παρουσία δυσλειτουργικών κόμβων που λειτουργούν ως παγίδες, για την κλασική περίπτωση και όταν εφαρμόζονται κανόνες προτιμητέας κατεύθυνσης. Για κάθε τιμή της συγκέντρωσης των παγίδων υπάρχει μια ελάχιστη τιμή της παραμέτρου πόλωσης για την οποία η αποτελεσματικότητα της διαβίβασης δεν επηρεάζεται από την παρουσία των παγίδων και πρακτικά όλα τα σωματίδια/μηνύματα φτάνουν στον στόχο. Αυτή η τιμή μπορεί απευθείας να υπολογιστεί όταν είναι γνωστός ο μέσος χρόνος διάβασης χωρίς παγίδευση δηλαδή για RR και ER δίκτυα. Για δίκτυα άνευ κλίμακας μια τιμή ασφαλείας της παραμέτρου πόλωσης μπορεί να προκύψει από το άνω όριο του MFPT και επομένως μπορεί να εφαρμοστεί σε πραγματικά δίκτυα για να αποφευχθεί η απώλεια πληροφορίας εξαιτίας δυσλειτουργικών κόμβων. Επίσης, χρησιμοποιώντας μια απλή προσέγγιση του μέσου αριθμού των κόμβων που επισκέπτεται το σωματίδιο πριν να φτάσει στο στόχο, προκύπτει μια αναλυτική έκφραση της αποτελεσματικότητας διαβίβασης η οποία είναι ακριβής για αρκετά μεγάλη τιμή της παραμέτρου πόλωσης. Τέλος εξετάζεται η περίπτωση που μόνο ο πιο συνδεδεμένος κόμβος είναι παγίδα και προκύπτει αναλυτική έκφραση για την περίπτωση χωρίς πόλωση.