Синтез оптимального управления в задаче регулирования степени загрязнения озера
Authors: Ву И. 
Published: December 2024

В работе исследуется задача оптимального управления степенью загрязнения озера отходами промышленного предприятия. Рассматривается математическая модель, представляющая процесс загрязнения озера с учетом изменения скорости его самоочистки как функции времени. При этом указанная функция принимается кусочно-постоянной, а переключения между ее двумя возможными значениями происходят периодически, что отражает сезонные колебания скорости самоочистки озера. Формулируется задача оптимального управления по отношению к заданному функционалу качества, характеризующему прибыль предприятия. Для решения поставленной задачи применяется принцип максимума Понтрягина. Получены аналитические выражения для оптимальныхтраекторийпеременной состояния и сопряженной переменной, проведен качественный анализ полученных решений. Введено понятие природо-устойчивого решения и показано, что такое решение дает оптимальный возможный компромисс между прибылью предприятия и штрафами за загрязнение озера. Выполнено сравнение полученного оптимального решения с так называемым «близоруким» решением, то есть решением, жадно преследующим мгновенную прибыль. Показано, что «близорукое» решение может увеличить краткосрочную прибыль за счет ухудшения состояния окружающей среды, но в долгосрочной перспективе оно не только приносит худший результат по сравнению с природо-устойчивым решением, но и наносит непоправимый вред окружающей среде, который можнонейтрализовать только ценой полной остановки производства на длительный период времени. В результате проведенного исследования предлагается новое смешанное решение, которое сочетает в себе преимущества обеих стратегий и является более эффективным для практического применения. Полученные в работе результаты иллюстрируются примерами численного моделирования при различных значениях параметров системы.

This paper studies the problem of optimal control of the degree of lake pollution by the pollutants of an industrial plant. A mathematical model is considered that represents the process of lake pollution, taking into account the change in its self-cleaning rate as a function of time. This function is assumed to be piecewise constant and switches between its two possible values periodically, that reflects seasonal fluctuations in the rate of self-cleaning of the lake. An optimal control problem is formulated with respect to a given quality functional characterizing the profit of the plant. To solve this problem, the Pontryagin's maximum principle is applied. Analytical expressions for the optimal trajectories of the state variable and the adjoint variable are obtained, a qualitative analysis of the obtained solutions is carried out. The concept of environmentally sustainable solution is introduced, and it is shown that such a solution gives the best possible trade-off between the profit of the plant and penalties for lake pollution. The obtained optimal solution is compared with the so-called "myopic" solution, that is, a solution greedily pursuing instantaneous profit. It is shown that the “myopic” solution can increase short-term profits due to environmental degradation, but in the long term it not only brings worse results compared to the environmentally sustainable solution, but also causes irreparable harm to the environment, which can only be neutralized at the cost of complete shutdown of production for an extended period of time. As a result of the work, a new mixed solution is proposed that combines the advantages of both strategies and is more effective for practical use. The results obtained in this paper are illustrated by examples of numerical simulation for various values of the system parameters.