Finite Element numerical simulation of the Fluid-Structure Interaction between incompressible flows and dimensionally-reduced solids
Authors:   , Cantón Sánchez Rafael 
Published: December 2024

Using numerical methods to study the mechanical interactions between slender solids and continua is a challenging task because the optimal spatial discretizations of each of them are radically different. While continuum models have great generality, being able to support geometric and material descriptions that include all the details of the physical entity, slender bodies are better simulated through structural models, as they are more computationally efficient and better suited for problems with large displacements and strains.

This dissertation describes a dimensional reduction technique that is employed to study the dynamics of three-dimensional slender bodies subjected to completely generic loads. The main idea of the methodology is to leverage the differential geometry internal structure of base and fiber manifolds to define two strongly coupled models, a master structural model and a slave three dimensional solid. These two models are tied in such a way that the external loads are imposed over the three-dimensional body (and therefore they can be represented in full geometrical detail), while the structural model enforces the kinematics and solves the balance equations. In short, the internal, master structural model "drags" the external, slave continuum solid, which accumulates and "pushes" the loads to the first.

By this choice, the expensive numerical discretizations of three-dimensional continuum models can be replaced by computationally cheaper structural members without losing relevant geometrical features and keeping all the details of the applied loading, a key feature for accurately modeling the interface between structures and continua. In particular, dimensional reduction is applied to solids that can be assumed as rigid bodies and geometrically-exact rods and shells, although the methodology itself does not pose any limitation to the kinematic hypothesis of the structural model.

Finite element discretizations of such a coupled model are derived, and they are used to simulate problems in which details in the external geometry are essential to capture interactions. This is the case of mechanical contact and fluid-structure interaction. Dimensional reduction is successful in predicting the behavior of solid-to-rigid body, solid-to-rod, solid-to-shell, fluid-to-rod and fluid-to-shell systems.

The most interesting and complex application of the methodology is precisely fluid-structure interaction of slender bodies. The resulting proposed numerical scheme is completely monolithic in space and time, which is well suited to model strongly coupled problems. The fluid conservation laws are expressed in the Arbitrary Lagrangian-Eulerian framework, and its discretization is also done with finite elements, with the Variational Multiscale stabilization method.

All the methods and algorithms have been implemented in an in-house, object-oriented, finite element, C++ code. Numerical examples show that when comparing dimensionally-reduced solid models with purely structural models subjected to equivalent three-dimensional and reduced loads, differences can be attributed to the numerical discretization error. In addition, when dimensionally-reduced solid models are compared with generic solid three-dimensional models subjected to the same loads, the benefit of using structural models becomes apparent with a prominent reduction in the number of degrees of freedom and computational cost.

RESUMEN

El uso de métodos numéricos para el estudio de las interacciones mecánicas entre sólidos esbeltos y medios continuos es un reto debido a que la discretización espacial óptima de cada uno de ellos es radicalmente distinta. Mientras los modelos basados en medios continuos son genéricos y admiten descripciones geométricas y materiales que pueden incorporar todos los detalles del sólido, los cuerpos esbeltos se simulan mejor a través de modelos estructurales, ya que son más eficientes computacionalmente y están más indicados en problemas en los que aparecen grandes desplazamientos y deformaciones.

Esta tesis doctoral describe una técnica de reducción dimensional que se emplea para estudiar la dinámica de sólidos esbeltos tridimensionales sometidos a cargas completamente genéricas. La idea fundamental detrás de la metodología es aprovechar la estructura interna de geometría diferencial de variedad base y fibra para definir dos modelos fuertemente acoplados: un modelo estructural maestro y un sólido tridimensional esclavo. Los dos modelos se acoplan de forma que las cargas externas se imponen sobre el cuerpo tridimensional (de modo que se puedan representar con todo detalle geométrico), mientras que el modelo estructural define la cinemática y resuelve las ecuaciones de conservación. En resumen, el modelo estructural interno maestro "arrastra" al sólido externo esclavo, que acumula las cargas y las "aplica" sobre el primero.

De este modo, las discretizaciones numéricas costosas de los modelos continuos tridimensionales se pueden reemplazar por modelos estructurales computacionalmente más eficientes sin perder los detalles más relevantes en la geometría y en las cargas, lo cual resulta clave para modelar con precisión la interfaz entre estructuras y medios continuos. En concreto, la reducción dimensional se aplica a sólidos que se pueden suponer como rígidos o como vigas y láminas geométricamente exactas, aunque la metodología no está limitada por la hipótesis cinemática del modelo estructural.

Se desarrollan discretizaciones por elementos finitos de este tipo de modelos acoplados, que posteriormente se emplean para simular problemas en los que los detalles en la geometría externa son esenciales para describir interacciones. Este es el caso del contacto mecánico y de la interacción fluido-estructura. La reducción dimensional se emplea para predecir con éxito el comportamiento del contacto entre cuerpos rígidos y sólidos, vigas y sólidos, láminas y sólidos; así como la interacción entre fluido y viga, y fluido y lámina.

La más interesante y compleja de las aplicaciones es precisamente la interacción fluido-estructura de cuerpos esbeltos. El esquema numérico propuesto es completamente monolítico en espacio y tiempo, lo que lo hace especialmente indicado para modelar problemas fuertemente acoplados. Las ecuaciones de conservación de los fluidos se expresan en con el formalismo ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian), y también se discretizan por Elementos Finitos empleando el método de estabilización VMS (Variational Multiscale Stabilization).

Todos los métodos y algoritmos se han implementado en un código de elementos finitos orientado a objetos escrito en C++ de autoría propia. Los ejemplos numéricos demuestran que cuando se comparan las soluciones de sólidos con reducción dimensional y modelos puramente estructurales sometidos a cargas tridimensionales y reducidas equivalentes, las diferencias se pueden atribuir al error numérico de discretización. Además, si en su lugar se comparan las soluciones de sólidos con reducción dimensional y sólidos tridimensionales genéricos, el beneficio de la reducción dimensional resulta patente con una importante disminución en el número de grados de libertad y coste computacional.