bm-Symplectic manifolds: symmetries, classification and stability
Authors:   , Planas Bahí Arnau 
Published: October 2023

This thesis explores classification and perturbation problems for group actions on a class of Poisson manifolds called $b^m$-Poisson manifolds.
$b^m$-Poisson manifolds are manifolds which are symplectic away from a hypersurface along which they satisfy some transversality properties. They often model problems on symplectic manifolds with boundary such as the study of their deformation quantization and celestial mechanics.

One of the interesting properties of $b^m$-Poisson manifolds is that their study can be achieved considering the language of $b^m$-forms. That is to say, we can work with forms which are symplectic away from the critical set and admit a smooth extension as a \emph{form over a Lie algebroid} generalizing De Rham forms as form over the standard Lie algebroid of the tangent bundle of the manifold. To consider $b^m$-forms the standard tangent bundle is replaced by the $b^m$-tangent bundle.

This thesis starts with the equivariant classification of $b^m$-Poisson structures investigating, in particular, the analogue of Moser's classification theorem for symplectic surfaces and their equivariant analogues. The classification invariants in the case of surfaces are encoded in a cohomology called $b^m$-cohomology which has been deeply studied by \cite{Scott16}. Mazzeo-Melrose type formula for $b^m$-cohomology decomposes it in two pieces which can be read off the De Rham cohomology of both the ambient manifold $M$ and the critical hypersurface. As an outcome of this identification, the Poisson classification of these manifolds is given by the De Rham cohomology of the manifold and the hypersurface.

This classification is extended to the equivariant setting if we assume that the singular forms are preserved by the group action of a compact Lie group.
These techniques can be extended to the classification of $b^m$-Nambu structures which are also considered in this thesis.

Group actions re-appear in the last chapters as integrable systems on these manifolds turn out to have associated Hamiltonian actions of tori in a neighbourhood of a Liouville torus. We use this Hamiltonian group action to prove existence of action-angle coordinates in a neighborhood of a Liouville torus. The action-angle coordinate theorem that we prove gives a semilocal normal form in the neighbourhood of a Liouville torus for the $b^m$-symplectic structure which depends on the modular weight of the connected component of the critical set in which the Liouville torus is lying and the modular weights of the associated toric action. This action-angle theorem allows us to identify a neighborhood of the Liouville torus with the $b^m$-cotangent lift of the action of a torus acting by translations on itself.

We end up this thesis proving a KAM theorem for $b^m$-Poisson manifolds which clearly refines and improves the one obtained for $b$-Poisson manifolds in \cite{KMS16}. As an outcome of this result together with the extension of the desingularization techniques of Guillemin-Miranda-Weitsman to the realm of integrable systems, we obtain a KAM theorem for folded symplectic manifolds where KAM theory has never been considered before. In the way, we also obtain a brand new KAM theorem for symplectic manifolds where the perturbation keeps track of a distinguished hypersurface. In celestial mechanics this distinguished hypersurface can be the line at infinity or the collision set.

Esta tesis doctoral explora problemas de clasificación y perturbación para acciones de grupo en una clase particular de variedades de Poisson llamadas variedades de $b^m$-Poisson. Las variedades de $b^m$-Poisson son variedades que son simplécticas fuera de una hipersuperficie en la cual satisfacen ciertas propiedades de transversalidad. A menudo modelan problemas en variedades simplécticas con borde tales como el estudio de la \textcolor{black}{cuantización por deformación} o problemas de mecánica celeste. Una de las propiedades interesantes de las variedades $b^m$-Poisson es que se pueden estudiar usando el lenguage de $b^m$-formas. Es decir, que podemos trabajar con formas que son simplécticas lejos un conjunto crítico y que admiten una extensión suave como forma sobre un algebroide de Lie generalizando formas de De Rham como formas sobre el algebroide de Lie del fibrado tangente de la variedad. Para considerar $b^m$-formas el fibrado tangente estándar debe reemplazarse por el fibrado $b^m$-tangente. Esta tesis empieza con una clasificación equivariante de estructuras $b^m$-Poisson, investigando, en particular, el análogo del teorema de clasificación de Moser para superficies simplécticas y sus análogos equivariantes. La clasificación de invariantes en el caso de superfícies estan codificados en una cohomologia llamada $b^m$-cohomologia que ha sido estudiada en profundiad por \cite{Scott16}. Una fórmula del tipo de Mazzeo-Melrose para la $b^m$-cohomologia descompone en dos partes que pueden interpretarse como las cohomologias de De Rham tanto de la variedad ambiente $M$ como de la hypersuperficie crítica. Como consecuencia de esta identificación, la clasificación de Poisson de estas variedades viene dada por la cohomologia de De Rham de la variedad y de la hipersuperficie. Esta clasificación se extiende al contexto equivariante si asumimos que las formas singulares son preservadas por la acción de un grupo de Lie compacto. Estas técnicas pueden ser extendidas a la clasificación de structuras de $b^m$-Nambu que se consideran también en esta tesis. Las acciones de grupo reaparecen en los últimos capitulos ya que los sistemas integrables en estas variedades resulta que tienen asociadas acciones Hamiltonianas de toros en un entorno de un toro de Liouville. Usamos estas acciones Hamiltonianas de grupos para demostrar la existencia de coordenadas accion-ángulo en un entorno de un toro de Liouville. El teorema de acción-ángulo que demostramos da un teorema de formas normales semilocales en un entorno del toro de Liouville para la forma $b^m$-simpléctica que depende tanto del peso modular de la componente conexa de la hipersuperfície donde se encuentra el toro de Liouville como los pesos asociados a la acción tórica. Este teorema de accion-ángulo nos permite identificar un entorno del toro de Liouville como el $b^m$-cotangent lift de la acción de un toro actuano por translaciones sobre sí mismo. Acabamos la tesis demostrando un teorema KAM para variedades de $b^m$-Poisson que claramente refina y mejora el teorema obtenido para variedades de $b$-Poisson en \cite{KMS16}. Como consecuencia de este resultado junto con la extension de las técnicas de desingularización de Guillemin-Miranda-Weitsman en el ambiente de los sistemas integrables, obtenemos un teorema KAM para variedad folded-simplécticas donde la teoria KAM nunca ha sido considerada con anterioridad. En el camino, también obtenemos un nuevo teorema KAM para variedades simplécticas dónde la perturbación permite seguir con detalle una hipersuperície concreta. En mecánica celeste esta hipersuperfície puede ser interpretada cómo la línea al infinito o el conjunto de colisión.