Προσδιορισμός πεπερασμένων σεισμικών ρηγμάτων από γεωδαιτικές παρατηρήσεις με βάση την αριθμητική-στοχαστική μέθοδο της τοπολογικής αντιστροφής (αλγόριθμος TOPological INVersion, TOPINV)
Authors: Σαλτογιάννη Βασιλική 
Published: September 2021

Οι σημειακές θραύσεις των πετρωμάτων κατά τη διάρκεια ενός σεισμού προκαλούν μόνιμες παραμορφώσεις στη γύρω βραχόμαζα και περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις. Συνήθως θεωρείται ότι τα ρήγματα μπορούν να προσομοιωθούν από μία ή περισσότερες επίπεδες επιφάνειες θραύσης (πεπερασμένα ρήγματα) σε ελαστικό χώρο, και έχουν προταθεί συστήματα συνήθων εξισώσεων που συνδέουν τα χαρακτηριστικά του κάθε ρήγματος που προσδιορίζονται από 9 μεταβλητές με επιφανειακές παραμορφώσεις (elastic dislocation models). Εάν, οι μόνιμες παραμορφώσεις επεκτείνονται μέχρι και την επιφάνεια του εδάφους και έχουν μετρηθεί με γεωδαιτικές μεθόδους, συνήθως GPS, είναι δυνατόν να δημιουργηθεί σύστημα εξισώσεων παρατήρησης που συνδέει τα χαρακτηριστικά των σεισμικών ρηγμάτων με γεωδαιτικές παρατηρήσεις. Η επίλυση τω συστημάτων αυτών (αντιστροφή) μπορεί να προσδιορίσει τη γεωμετρία και την κινηματική ενός σεισμικού ρήγματος (ή περισσότερων σεισμικών ρηγμάτων). Η αντιστροφή δεν είναι συνήθως δυνατή με τυπικές αλγεβρικές μεθόδους επειδή οι εξισώσεις οδηγούν σε υπερστατικό σύστημα παρατηρήσεων, είναι γενικά εξαιρετικά μη γραμμικές, δεν υπάρχουν διαθέσιμες προσεγγιστικές εκτιμήσεις των χαρακτηριστικών των ρηγμάτων και οι σταθεροί όροι των εξισώσεων (μετρήσεις) χαρακτηρίζονται από αβεβαιότητες (σφάλματα).Για το λόγο αυτό έχουν προταθεί διάφορες αριθμητικές τεχνικές αντιστροφής, συνήθως δειγματοληπτικές (sampling search) βασισμένες στη μέθοδο Monte Carlo, οι οποίες εστιάζονται στην ελαχιστοποίηση μίας αντικειμενικής συνάρτησης (συνάρτηση κόστους, cost function) για συγκεκριμένα πεδία τιμών (χώρο αναζήτησης n διαστάσεων για σύστημα n αγνώστων). Τα βασικά μειονεκτήματα των μεθόδων αυτών είναι a priori δεσμευμένες τιμές αγνώστων, εκτιμήσεις εγκλωβισμένες σε τοπικά ακρότατα, υποτίμηση της αβεβαιότητας των παρατηρήσεων, λύσεις με υψηλό βαθμό συσχέτισης και ελλιπής προσδιορισμός των στατιστικών τους χαρακτηριστικών.Με στόχο να αντιμετωπιστούν τέτοιου είδους προβλήματα, αναπτύχθηκε μια εναλλακτική μέθοδος τοπολογικής/γεωμετρικής αντιστροφής (αλγόριθμος TOPological INVersion, TOPINV) με πηγή έμπνευσης την παραδοσιακή πλοήγηση με χρήση φάρων. Η βέλτιστη λύση δεν βασίζεται σε μία σημειακή ακρότατη λύση, αλλά στον προσδιορισμό ενός n-διάστατου χώρου που περιέχει την «αληθή» λύση. Αυτό επιτυγχάνεται αφενός με τη μετατροπή των εξισώσεων παρατήρησης σε ανισώσεις συναρτήσει των σφαλμάτων των μετρήσεων και μιας παραμέτρου βελτιστοποίησης k. Και αφετέρου με τη μετατροπή του n-διάστατου (υπερ-)χώρου των πιθανών λύσεων σε διακριτό χώρο σημείων. Για επιλεγμένη τιμή της παραμέτρου k και με λογική Boole προσδιορίζονται τα σημεία που ικανοποιούν τις ανισώσεις παρατήρησης (ομοίομορφη αναζήτηση, uniform search), και κατά πόσο ορίζουν συμπαγή χώρο (ή χώρους) n διαστάσεων, ο οποιος εξ ορισμού περιέχει την αληθή λύση του συστήματος των εξισώσεων. Από τον πληθυσμό των σημείων αυτών υπολογίζεται η βέλτιστη λύση (ή λύσεις) και ο αντίστοιχος Πίνακας Μεταβλητότητας-Συμμεταβλητότητας ως πρώτες και δεύτερες στατιστικές ροπές, αντίστοιχα.Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου τεκμηριώνεται με την επίλυση προβλημάτων με βάση συνθετικά δεδομένα, όπου είναι γνωστή η αληθής λύση, και με ανάλυση ευαισθησίας αναφορικά με την συμπαγότητα (compactness) της λύσης, την ακρίβειά της (precision) και την απόκλισή της από την αληθή τιμή (αξιοπιστία, accuracy).Η μέθοδος εφαρμόστηκε σε αντιστροφή γεωδαιτικών παρατηρήσεων για τον προσδιορισμό δύο σεισμικών ρηγμάτων (18 συνολικά άγνωστες μεταβλητές) που ενεργοποιήθηκαν κατά το σεισμό του 2003 της Λευκάδας, μεγέθους 6.2, του πρώτου σεισμού στον Ελληνικό χώρο που καλύφθηκε από εκτενή δεδομένα GPS, προσφέροντας ακριβή λύση χωρίς δεσμεύσεις και συμβατή με ανεξάρτητα σεισμολογικά δεδομένα.