Stabilized finite element methods for convection-diffusion-reaction, helmholtz and stokes problems
Authors:   , Nadukandi Prashanth 
Published: October 2023

We present three new stabilized finite element (FE) based Petrov-Galerkin methods for the convection-diffusionreaction
(CDR), the Helmholtz and the Stokes problems, respectively. The work embarks upon a priori analysis of a
consistency recovery procedure for some stabilization methods belonging to the Petrov- Galerkin framework. It was
ound that the use of some standard practices (e.g. M-Matrices theory) for the design of essentially non-oscillatory
numerical methods is not appropriate when consistency recovery methods are employed. Hence, with respect to
convective stabilization, such recovery methods are not preferred. Next, we present the design of a high-resolution
Petrov-Galerkin (HRPG) method for the CDR problem. The structure of the method in 1 D is identical to the consistent
approximate upwind (CAU) Petrov-Galerkin method [doi: 10.1016/0045-7825(88)90108-9] except for the definitions of
he stabilization parameters. Such a structure may also be attained via the Finite Calculus (FIC) procedure [doi:
10.1 016/S0045-7825(97)00119-9] by an appropriate definition of the characteristic length. The prefix high-resolution is
used here in the sense popularized by Harten, i.e. second order accuracy for smooth/regular regimes and good
shock-capturing in non-regular re9jmes. The design procedure in 1 D embarks on the problem of circumventing the
Gibbs phenomenon observed in L projections. Next, we study the conditions on the stabilization parameters to
ircumvent the global oscillations due to the convective term. A conjuncture of the two results is made to deal with the
problem at hand that is usually plagued by Gibbs, global and dispersive oscillations in the numerical solution. A multi
dimensional extension of the HRPG method using multi-linear block finite elements is also presented.
Next, we propose a higher-order compact scheme (involving two parameters) on structured meshes for the Helmholtz
equation. Making the parameters equal, we recover the alpha-interpolation of the Galerkin finite element method
(FEM) and the classical central finite difference method. In 1 D this scheme is identical to the alpha-interpolation
method [doi: 10.1 016/0771 -050X(82)90002-X] and in 2D choosing the value 0.5 for both the parameters, we recover
he generalized fourth-order compact Pade approximation [doi: 10.1 006/jcph.1995.1134, doi: 10.1016/S0045-
7825(98)00023-1] (therein using the parameter V = 2). We follow [doi: 10.1 016/0045-7825(95)00890-X] for the
analysis of this scheme and its performance on square meshes is compared with that of the quasi-stabilized FEM [doi:
10.1016/0045-7825(95)00890-X]. Generic expressions for the parameters are given that guarantees a dispersion
accuracy of sixth-order should the parameters be distinct and fourth-order should they be equal. In the later case, an
expression for the parameter is given that minimizes the maximum relative phase error in 2D. A Petrov-Galerkin
ormulation that yields the aforesaid scheme on structured meshes is also presented. Convergence studies of the
error in the L2 norm, the H1 semi-norm and the I ~ Euclidean norm is done and the pollution effect is found to be small.

Presentamos tres nuevos metodos estabilizados de tipo Petrov- Galerkin basado en elementos finitos (FE) para los
problemas de convecci6n-difusi6n- reacci6n (CDR), de Helmholtz y de Stokes, respectivamente. El trabajo comienza
con un analisis a priori de un metodo de recuperaci6n de la consistencia de algunos metodos de estabilizaci6n que
pertenecen al marco de Petrov-Galerkin. Hallamos que el uso de algunas de las practicas estandar (por ejemplo, la
eoria de Matriz-M) para el diserio de metodos numericos esencialmente no oscilatorios no es apropiado cuando
utilizamos los metodos de recu eraci6n de la consistencia. Por 10 tanto, con res ecto a la estabilizaci6n de
conveccion, no preferimos tales metodos de recuperacion . A continuacion, presentamos el diser'io de un metodo de
Petrov-Galerkin de alta-resolucion (HRPG) para el problema CDR. La estructura del metodo en 10 es identico al
metodo CAU [doi: 10.1016/0045-7825(88)90108-9] excepto en la definicion de los parametros de estabilizacion. Esta
estructura tambien se puede obtener a traves de la formulacion del calculo finito (FIC) [doi: 10.1 016/S0045-
7825(97)00119-9] usando una definicion adecuada de la longitud caracteristica. El prefijo de "alta-resolucion" se
utiliza aqui en el sentido popularizado por Harten, es decir, tener una solucion con una precision de segundo orden
en los regimenes suaves y ser esencialmente no oscilatoria en los regimenes no regulares. El diser'io en 10 se
embarca en el problema de eludir el fenomeno de Gibbs observado en las proyecciones de tipo L2. A continuacion,
estudiamos las condiciones de los parametros de estabilizacion para evitar las oscilaciones globales debido al
ermino convectivo. Combinamos los dos resultados (una conjetura) para tratar el problema COR, cuya solucion
numerica sufre de oscilaciones numericas del tipo global, Gibbs y dispersiva. Tambien presentamos una extension
multidimensional del metodo HRPG utilizando los elementos finitos multi-lineales.
fa. continuacion, proponemos un esquema compacto de orden superior (que incluye dos parametros) en mallas
estructuradas para la ecuacion de Helmholtz. Haciendo igual ambos parametros, se recupera la interpolacion lineal
del metodo de elementos finitos (FEM) de tipo Galerkin y el clasico metodo de diferencias finitas centradas. En 10
este esquema es identico al metodo AIM [doi: 10.1 016/0771 -050X(82)90002-X] y en 20 eligiendo el valor de 0,5 para
ambos parametros, se recupera el esquema compacto de cuarto orden de Pade generalizada en [doi:
10.1 006/jcph.1 995.1134, doi: 10.1 016/S0045-7825(98)00023-1] (con el parametro V = 2). Seguimos [doi:
10.1 016/0045-7825(95)00890-X] para el analisis de este esquema y comparamos su rendimiento en las mallas
uniformes con el de "FEM cuasi-estabilizado" (QSFEM) [doi: 10.1016/0045-7825 (95) 00890-X]. Presentamos
expresiones genericas de los para metros que garantiza una precision dispersiva de sexto orden si ambos parametros
son distintos y de cuarto orden en caso de ser iguales. En este ultimo caso, presentamos la expresion del parametro
que minimiza el error maxima de fase relativa en 20. Tambien proponemos una formulacion de tipo Petrov-Galerkin
~ue recupera los esquemas antes mencionados en mallas estructuradas. Presentamos estudios de convergencia del
error en la norma de tipo L2, la semi-norma de tipo H1 y la norma Euclidiana tipo I~ y mostramos que la perdida de
estabilidad del operador de Helmholtz ("pollution effect") es incluso pequer'ia para grandes numeros de onda.
Por ultimo, presentamos una coleccion de metodos FE estabilizado para el problema de Stokes desarrollados a
raves del metodo FIC de primer orden y de segundo orden. Mostramos que varios metodos FE de estabilizacion
existentes y conocidos como el metodo de penalizacion, el metodo de Galerkin de minimos cuadrados (GLS) [doi:
10.1016/0045-7825(86)90025-3], el metodo PGP (estabilizado a traves de la proyeccion del gradiente de presion)
[doi: 10.1 016/S0045-7825(96)01154-1] Y el metodo OSS (estabilizado a traves de las sub-escalas ortogonales) [doi:
10.1016/S0045-7825(00)00254-1] se recuperan del marco general de FIC. Oesarrollamos una nueva familia de
metodos FE, en adelante denominado como PLS (estabilizado a traves del Laplaciano de presion) con las formas no
lineales y consistentes de los parametros de estabilizacion. Una caracteristica distintiva de la familia de los metodos
PLS es que son no lineales y basados en el residuo, es decir, los terminos de estabilizacion dependera de los
residuos discretos del momento y/o las ecuaciones de incompresibilidad. Oiscutimos las ventajas y desventajas de
estas tecnicas de estabilizaci6n y presentamos varios ejemplos de aplicacion