О КЛАССИЧЕСКОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА С ДРОБНОЙ ПО ВРЕМЕНИ ПРОИЗВОДНОЙ
Authors: Аблабеков Б.С. , Аблабекова А.Б. , Мамышева З.Э. 
Published: October 2024

При исследовании обратных задач математической физики важную роль играет знание решений соответствующей прямой (в данном случае начально- краевой задачи со смешанными граничными условиями) задачи. В ограниченной области исследована одна начально-краевая задача для неоднородного псевдопараболического уравнения Аллера с дробной по времени производной Капуто. В данном исследовании построены аналитическое решение начально-краевой задачи со смешанными граничными условиями для одномерного уравнения Аллера. Используя метод разделения переменных решение задачи дается в виде ряда Фурье относительно собственных функций соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Установлены условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классе непрерывно дифференцируемых функций. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения рассматриваемой задачи. Для доказательства существования и единственности решения поставленной задачи применяется метод Фурье. В пространстве непрерывно-дифференцируемых функций получено и обосновано решение и представлено в виде ряда.

Математикалык физиканын тескери маселелерин изилдөөдө тиешелүү түз (биздин учурда аралаш чек ара шарттары бар баштапкы-чектик маселе) маселелердин чечимдерин билүү маанилүү роль ойнойт. Чектелген областа убакыт боюнча Капутонун маанисинде бөлчөк туундусу бар бир тектүү эмес псевдопараболалык Аллер теңдемеси үчүн бир баштапкы-чек ара маселеси изилденди. Бул изилдөөдө бир өлчөмдүү Аллер теңдемеси үчүн аралаш чек ара шарттары менен баштапкы-чектик маселенин аналитикалык чыгарылышы тургузулду. Өзгөрмөлөрдү ажыратуу ыкмасын колдонуу менен маселенин чыгарылышы тиешелүү Штурм-Лиувилл маселесинин өздүк функцияларына карата Фурье катары түрүндө берилет. Үзгүлтүксүз дифференциалдануучу функциялар классында каралып жаткан маселенин уникалдуу чечилиши үчүн шарттар белгиленген. Каралып жаткан маселенин классикалык чечилиши үчүн бар болуу жана уникалдуулук теоремалары далилденген. Фурье ыкмасы коюлган маселени чечүүнүн бар экендигин жана уникалдуулугун далилдөө үчүн колдонулат. Үзгүлтүксүз дифференциалдануучу функциялар мейкиндигинде чечим алынат жана негизделет жана катар катары берилет.

In the study of inverse problems of mathematical physics, an important role is played by the knowledge of the solutions of the corresponding direct (in this case, the initial-boundary value problem with mixed boundary conditions) problem. In this study, an analytical solution of an initial-boundary value problem with mixed boundary conditions for the one-dimensional Aller equation is constructed. Using the method of separation of variables, the solution of the problem is given in the form of a Fourier series with respect to the eigenfunctions of the corresponding Sturm-Liouville problem.In a limited domain, one initial-boundary value problem for the inhomogeneous pseudo-parabolic Aller equation with a time-fractional Caputo derivative is studied. Conditions for the unique solvability of the problem under consideration in the class of continuously differentiable functions are established. Existence and uniqueness theorems for the classical solution of the problem under consideration are proved. The Fourier method is used to prove the existence and uniqueness of a solution to the problem posed. In the space of continuously differentiable functions, a solution is obtained and substantiated and presented as a series.