Некоторые аспекты реализации программного комплекса PRPHMM 1.0 для уточнения параметров эредитарных математических моделей переноса радона в накопительной камере
Authors: Д.А. Твёрдый , Е.О. Макаров 
Published: November 2024

Математические модели некоторых динамических процессов можно существенно уточнить, используя в них производные и интегралы нецелого порядка, учитывая эффекты, которые не описать с помощью обыкновенных производных. Так, например, с помощью дробных производных Герасимова-Капуто постоянного и переменного порядка можно учитывать эффект памяти в модели процесса, а порядок производной будет связан с интенсивностью процесса. В частности, авторами ранее разработана эредитарная α-модель объемной активности радона, где параметр α связан с проницаемостью среды. Однако возникает вопрос об определении оптимальных значений как α, так и других параметров модели. Для решения проблемы можно решать обратную задачу — распространенный тип задач во многих научных областях, где необходимо определить значения параметров модели на основе наблюдаемых данных, но невозможно провести прямые измерения этих параметров. Необходимость такого подхода часто возникает при работе с геологическими данными. В статье описывается программная реализация программного комплекса PRPHMM 1.0, способного восстанавливать оптимальные значения эредитарных математических моделей на основе производной Герасимова-Капуто. Адаптирован и реализован на языке MATLAB алгоритм безусловной оптимизации ньютоновского типа Левенберга-Марквардта. Реализованы подпрограммы для чтения, обработки и визуализации экспериментальных и модельных данных. Приводится тестовый пример, решающий на основе экспериментальных данных радонового мониторинга обратную задачу для эредитарной α-модели на параметры α и λ0-коэффициент воздухообмена. Показано, что PRPHMM 1.0 позволяет для эредитарных математических моделей на восстанавливать значения параметров, близкие к оптимальным.

Mathematical models of some dynamic processes can be significantly enhanced by using derivatives and integrals of non-integer order in them, taking into account effects that cannot be described by ordinary derivatives. For example, by using fractional Gerasimov- Caputo derivatives of constant and variable order, it is possible to take into account the memory effect in the process model, and the order of the derivative will be related to the intensity of the process. In particular, the authors have previously developed an hereditary α-model of the volumetric activity of radon, where the parameter α is related to the permeability of the medium. However, the question arises about determination of optimal values of both α and other parameters of the model. To solve the problem, it is possible to solve the inverse problem, a common type of problem in many scientific fields, where it is necessary to determine the values of model parameters from observed data, but it is impossible to make direct measurements of these parameters. The need for such an approach often arises when working with geological data. The article describes the software implementation of the PRPHMM 1.0 software package which can clarifying optimal values of hereditary mathematical models based on the Gerasimov- Caputo derivative. The Levenberg-Marquardt unconditional Newtonian optimisation algorithm is adapted and implemented in MATLAB language. Subroutines for reading, processing and visualisation of experimental and model data are implemented. A test case solving the inverse problem for the hereditary α-model for the parameters α and λ0-air exchange coefficient on the basis of experimental radon monitoring data is presented. It is shown that PRPHMM 1.0 allows for the clarify of parameter values close to the optimum values for the hereditary mathematical models.