Численная схема для одной интегро-дифференциальной системы, связанной с задачей космического динамо
Authors: Е.А. Казаков 
Published: November 2024

Статья посвящена описанию разработанной численной схемы для моделирования эредитарной динамической системой, являющейся моделью двумодового гидромагнитного динамо. Модели включают в себя два генератора магнитного поля — крупномасштабный и турбулентный (α-эффект). Влияние магнитного поля на движения среды представлено через подавление α-эффекта функционалом от компонент поля, что вводит в модель память (эредитарность). Модель описывается интегро-дифференциальной системой уравнений.В работе представлена сама численная схема и исследован порядок точности на вложенных сетках. Численная схема состоит из двух частей, для дифференциальной части используется метод трапеций, а для интегральной квадратурная формула трапеций. В результате сопряжения схем получаем нелинейную алгебраическую систему уравнений. Для решения такой системы необходимо привлечение методов для нелинейных алгебраических систем. В работе был выбран метод Ньютона. Показано, что в случае экспоненциального ядра функционала подавления модель может быть сведена к классической системе Лоренца. Известный характер динамики системы Лоренца при различных параметрах позволил верифицировать численную схему. Показано, что численная схема позволяет решать на качественном уровне интегро-дифференциальную систему уравнений, которая является моделью космического динамо. Данная численная схема была разработана для конкретной модели, но может быть легко обобщена для других квадратично-нелинейных интегро-дифференциальных систем.

The article is devoted to the description of the developed numerical scheme for modeling a hereditary dynamic system, which is a model of a two-mode hydromagnetic dynamo. The models include two magnetic field generators – large-scale and turbulent (α-effect). The influence of the magnetic field on the motion of the medium is presented through the suppression of the α-effect by the functional of the field components, which introduces memory into the model (hereditary). The model is described by an integro-differential system of equations. The paper presents the numerical scheme itself and investigates the order of accuracy on nested grids. The numerical scheme consists of two parts, the trapezoid method is used for the differential part, and the trapezoid quadrature formula is used for the integral part. As a result of conjugation of the schemes, we obtain a nonlinear algebraic system of equations. To solve such a system, it is necessary to involve methods for nonlinear algebraic systems. In this paper, the Newton method was chosen. It is shown that in the case of an exponential kernel of the suppression functional, the model can be reduced to the classical Lorenz system. The known nature of the dynamics of the Lorenz system for various parameters allowed us to verify the numerical scheme. It is shown that the numerical scheme allows us to qualitatively solve the integro-differential system of equations, which is a model of a cosmic dynamo. This numerical scheme was developed for a specific model, but can be easily generalized for other quadratic-nonlinear integro-differential systems.