Συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης και αντίστροφα προβλήματα
Authors: Μαρκάκη Βασιλική 
Published: December 2021

Στην πλειονότητά τους οι τεχνικές αντιστροφής που αφορούν στον προσδιορισμό των κατανεμημένων παραμέτρων ενός φυσικού συστήματος ή στην ανίχνευση ατελειών (ρωγμές, κοιλότητες, εγκλεισμοί) που εμφανίζονται εντός των φυσικών δομών, διαχωρίζουν τη φυσική και γεωμετρική ανακατασκευή. Η υλοποίησή τους απαιτεί την κατανόηση και ανάλυση του φυσικού φαινομένου, τη δυνατότητα διεξαγωγής κατάλληλων μετρήσεων, τη διαμόρφωση του μαθηματικού μοντέλου που περιγράφει το σύστημα και το σχεδιασμό της αντίστοιχης αριθμητικής μεθόδου ανακατασκευής. Όλα τα παραπάνω αποτελούν τα πλέον σημαντικά βήματα για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος δηλαδή, τον εντοπισμό της θέσης και του σχήματος της ανομοιογένειας και τον προσδιορισμό των φυσικών ιδιοτήτων της. Ωστόσο, η αναπτυχθείσα μεθοδολογία και η αποτελεσματικότητα αυτής καθορίζονται από την a priori επιλογή του συναρτησιακού χώρου που αναμένεται να ανήκουν οι άγνωστοι συντελεστές του συστήματος. Το παρόν έργο υιοθετεί μια νέα προσέγγιση με σκοπό να άρει τον παραδοσιακό διαχωρισμό φυσικής και γεωμετρίας. Ειδικά, προτείνει τις συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης (functions of bounded variation (BV)) ως το καταλληλότερο συναρτησιακό πλαίσιο για να φιλοξενεί τις λύσεις του αντίστροφου προβλήματος, αξιοποιώντας το κύριο εγγενές χαρακτηριστικό του λογισμού τους να φέρουν στο πεδίο ορισμού τους την ιδιότητα της πεπερασμένης ασυνέχειας. Με βάση αυτή τη συνθήκη, ο προσδιορισμός τους σημαίνει την εύρεση των φυσικών αλλά και γεωμετρικών ιδιοτήτων του συστήματος, ορίζοντας ένα ενιαίο πλαίσιο αντιστροφής που ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα των εφαρμογών και μας επιτρέπει να εμβαθύνουμε στη φυσική ερμηνεία των φαινομένων.Η παρούσα πρόταση εστιάζει στην επίλυση του αντίστροφου προβλήματος ανακατασκευής ανομοιογενειών που εμφανίζονται ως διακριτά ομογενή σώματα εντός πεπερασμένου χωρίου, βάσει της παραδοχής ότι οι άγνωστες παράμετροι του μοντέλου που περιγράφει το πρόβλημα ανήκουν στον χώρο BV. Η υλοποίηση του θέματος ξεκινά με την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος προσδιορισμού της συνάρτησης αγωγιμότητας, α(x), ενός αγώγιμου χωρίου από επιφανειακές μετρήσεις στη μορφή του Calderón τελεστή υπό τη θεώρηση ότι α∈BV (Κεφ. 2). Η προτεινόμενη μεθοδολογία συνίσταται στην κατασκευή ενός σχήματος ελαχιστοποίησης που εμπλέκει τα χαρακτηριστικά του ευθέος και αντίστροφου προβλήματος με τη BV- δομή της άγνωστης συνάρτησης α, συνθέτοντας ένα αποδοτικό σχήμα ανακατασκευής. Η επικαιροποίηση του συναρτησιακού ελαχιστοποίησης συντελείται με μια επαναληψιμότητα υβριδικού τύπου, όπου τα υπεισερχόμενα φυσικά πεδία αναζητούνται στον χώρο Sobolev H^1, αλλά ο συντελεστής α έχει χαρακτηριστικά συνάρτησης φραγμένης κύμανσης. Κάτι τέτοιο πραγματοποιείται με την εισαγωγή μιας βοηθητικής μεταβλητής, ω(x), που συνοδεύει τις παραγώγους της α(x) και δρα ως ομαλοποιητής των ασυνεχειών της. Υιοθετούμε τη δυϊκή προσέγγιση “Half-Quadratic Minimization Approach”, που βιβλιογραφικά κατατάσσεται στις τεχνικές αποκατάστασης εικόνας, ενσωματώνοντας τη μεταβλητή ω στον όρο ομαλοποίησης του προβλήματος. Αυτή η διαδικασία ορίζει ένα χρηστικό τύπο κανονικοποίησης για την αριθμητική υλοποίηση του προβλήματος. Στα πλαίσια εφαρμογής της δυϊκής τεχνικής, η βοηθητική μεταβλητή ω χειρίζεται μία υποψήφια συνάρτηση α τη φορά και βάσει αυτού του κανόνα το σχήμα ελαχιστοποίησης βελτιστοποιείται σε κάθε επανάληψη ώστε να συγκλίνει σταδιακά στην αναζητούμενη διεπιφάνεια. Γενικά, σε αυτά τα προβλήματα οι κλασικές μέθοδοι βελτιστοποίησης εμφανίζουν πολλά τοπικά ελάχιστα. Για την αντιμετώπιση τέτοιων δυσκολιών, αξιοποιούμε περαιτέρω τη δυϊκή μεταβλητή ω για να εισάγουμε στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης a priori πληροφορία σχετικά με την πιθανή θέση των κρυμμένων διεπιφανειών. Το κατασκευασμένο συναρτησιακό ελαχιστοποίησης μαζί με την προαναφερθείσα επιπρόσθετη ιδιότητα της μεταβλητής ω συνιστούν την προτεινόμενη μέθοδο αντιστροφής. Τεκμηριώνουμε τη μέθοδο θεωρητικά και παρουσιάζουμε αριθμητικά αποτελέσματα ανακατασκευής ενδεικτικών διδιάστατων αγώγιμων προφίλ πιστοποιώντας την καταλληλότητά της.Η προηγούμενη έρευνα οδήγησε στην επινόηση ενός καινοτόμου σχήματος ανακατασκευής, που αξιοποιεί τα χαρακτηριστικά της half-quadratic προσέγγισης και ταυτόχρονα διατηρεί την BV- ταυτότητα των συντελεστών α καθ’ όλη τη διάρκεια της ελαχιστοποίησης. Το Κεφάλαιο 3 περιγράφει την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος της αγωγιμότητας με αυτό το εναλλακτικό σχήμα ανακατασκευής. Η επονομαζόμενη “Dual Self-Monitored TV- inversion” τεχνική χειρίζεται ισοδύναμα τα πεδία α και ω αναπτύσσοντας ένα διπλό μηχανισμό ελέγχου στη δυϊκή μεταβλητή ω και μέσω αυτής στο φορέα των ασυνεχειών της α. Η αντίστοιχη αριθμητική μέθοδος επιτρέπει την αντιμετώπιση μεγαλύτερου εύρους ανομοιογενών προφίλ, ενώ απαιτεί λιγότερη υπολογιστική ισχύ καθώς συγκλίνει μετά από μία μόλις κλήση του αλγορίθμου σε ένα τοπικό ελάχιστο (α,ω). Η υπολογιστική απόδοση της μεθόδου εξετάζεται στις πειραματικές πλατφόρμες αντιστροφής του Κεφαλαίου 2, αλλά και σε μια ιδιόμορφη γεωμετρικά περίπτωση ανομοιογένειας, με τις εξαγόμενες λύσεις να μαρτυρούν μια εντυπωσιακά ακριβή ανακατασκευή, ακόμη και παρουσία ενθόρυβων δεδομένων.Στη συνέχεια, το έργο ασχολείται με δύο τύπους αντίστροφων προβλημάτων που διατυπώνονται στα πλαίσια της ελαστικότητας (Κεφ. 4). Αρχίζουμε με τη μελέτη του αντίστροφου προβλήματος προσδιορισμού των ελαστικών σταθερών του Lamé σε ένα διδιάστατο γραμμικό και ισότροπο ελαστικό μέσο. Υποθέτουμε ότι οι αναζητούμενοι συντελεστές λ,μ είναι μέλη του χώρου BV, α=(λ,μ)∈(BV)^2, και αποσκοπούμε στον ταυτόχρονο προσδιορισμό τους. Η υλοποίηση αυτού του στόχου αντανακλά στην ιδέα του διπλού μηχανισμού ελέγχου που εφαρμόζεται στο Κεφάλαιο 3 για τον προσδιορισμό μιας BV- αγωγιμότητας. Η προτεινόμενη τεχνική αντιστροφής επεκτείνεται στη διανυσματική περίπτωση της ελαστικότητας αποτελώντας τη γενικευμένη εκδοχή του σχήματος ανακατασκευής της διανυσματικής μεταβλητής (α,ω). Εφαρμόζουμε τη μέθοδο για τον προσδιορισμό ενός διφασικού ελαστικού υλικού επιλύοντας το αντίστροφο πρόβλημα σε αντιπροσωπευτικές ελαστικές δομές που περιγράφονται από τις Lamé σταθερές τους. Το καταληκτικό σχήμα ελαχιστοποίησης επιτυγχάνει εξίσου ακριβή αποτελέσματα ανακατασκευής με τη βαθμωτή περίπτωση της αγωγιμότητας. Τέλος, επιθυμούμε να δημιουργήσουμε ένα ανάλογο μοτίβο ελαχιστοποίησης για το αντίστροφο πρόβλημα του εντοπισμού μιας επίπεδης ρωγμής σε συνεχές ισότροπο και ομογενές ελαστικό μέσο, στηριζόμενοι στην υπόθεση ότι και το ίδιο το ελαστικό πεδίο θα μπορούσε να έχει τη δομή μιας BV- συνάρτησης. Αποδίδουμε στη βοηθητική συνάρτηση r(x) το ρόλο της δυϊκής μεταβλητής ω(x) και αναπτύσσουμε ένα σχήμα κανονικοποίησης βάσει της αποδοτικής αλληλεπίδρασης της r με την L^1- νόρμα των ελαστικών μετατοπίσεων, με στόχο τον εντοπισμό μίας ρωγμής σε άπειρο ελαστικό επίπεδο. Επιχειρούμε την αντιστροφή για διαφορετικές υλοποιήσεις του μήκους και της θέσης της ρωγμής με ένα ζεύγος συνθετικών δεδομένων σε κάθε περίπτωση. Γίνεται σαφές πως μια τέτοια προσέγγιση αποτελεί ένα πρώτο στάδιο υλοποίησης, καθώς το γενικότερο πρόβλημα είναι πολυπαραμετρικό. Στην πράξη, πολλές εκδοχές αυτού του αντίστροφου προβλήματος προκύπτουν σε διαφορετικά φυσικά πλαίσια και αντίστοιχα λαμβάνουν υπόψιν διάφορους περιορισμούς ανάλογα με το πρακτικό πεδίο εφαρμογής και το ζητούμενο της μελέτης. Παρ’ όλα αυτά, τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων παροτρύνουν τη χρήση του προτεινόμενου σχήματος αντιστροφής στην εν λόγω περίπτωση.