Backward stochastic differential equations with jumps are stable
Authors: Σαπλαούρας Αλέξανδρος 
Published: March 2024

Μια οπισθόδρομη στοχαστική διαφορική εξίσωση είναι μια στοχαστική διαφορική εξίσωση της οποίας η τελική τιμή είναι γνωστή, σε αντίθεση με μια στοχαστική διαφορική εξίσωση της οποίας η αρχική τιμή είναι γνωστή και της οποίας η λύση πρέπει να προσαρμοστεί σε μια δεδομένη διήθηση. Ο κύριος στόχος αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να παρέχει το κατάλληλο πλαίσιο για την ευστάθεια των οπισθόδρομων στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων με άλματα, εφεξής BSDEs ή BSDE όταν αναφερόμαστε σε ένα μεμονωμένο αντικείμενο. Με τον όρο ευστάθεια κατανοούμε τη συνέχεια του τελεστή που απεικονίζει τα τυπικά δεδομένα μιας BSDE, δηλαδή ένα σύνολο που μεταξύ άλλων περιλαμβάνει την τελική τιμή της BSDE και τη διύλιση ως προς την οποία πρέπει να προσαρμοστεί η λύση, στη λύση της BSDE. Με άλλα λόγια, η ιδιότητα ευστάθειας επιτρέπει την προσέγγισης της λύσης της υπό ενδιαφέρον BSDE, αφού προσδιορίσουμε μια προσέγγιση των τυπικών δεδομένων της υπό ενδιαφέρον BSDE. Σε αυτή τη διατριβή παρέχουμε ένα γενικό αποτέλεσμα καλής τοποθέτησης πολυδιάστατων BSDEs με στοχαστικό Lipschitz γεννήτορα και η οποία οδηγείται από μια πιθανώς στοχαστικά ασυνεχή τετραγωνικά ολοκληρώσιμη martingale διαδικασία. Ο χρονικός ορίζοντας μπορεί να είναι άπειρος και όπως έχει ήδη δηλωθεί σιωπηρά, η δεξιά-συνεχής διήθηση επιτρέπεται να είναι στοχαστικά ασυνεχής. Επιπλέον, παρέχουμε ένα πλαίσιο κάτω από το οποίο επαληθεύεται η ιδιότητα ευστάθειας των BSDE. Αυτό το πλαίσιο επιτρέπει προσεγγίσεις τύπου συνεχούς χρόνου και διακριτού χρόνου υπό την L2 νόρμα, οι οποίες μπορεί να αποδειχθούν ιδιαίτερα χρήσιμες για την ορθή τοποθέτηση των αριθμητικών σχημάτων για BSDEs. Τα αποτελέσματα αυτά παρουσιάζονται στο δεύτερο και στο τέταρτο κεφάλαιο της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η ευστάθεια των αναπαραστάσεων martingale διαδικασιών, ένα αποτέλεσμα που βρίσκεται στον πυρήνα της ιδιότητας ευστάθειας των BSDE. Η ιδιότητα της ευστάθειας των αναπαραστάσεων martingale δεν είναι μόνο ένα χρήσιμο εργαλείο για την ευστάθεια των BSDEs, αλλά είναι επίσης ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα από μόνη της. Σε γενικές γραμμές, ισοδυναμεί με τη σύγκλιση των χώρων που δημιουργούνται από μια συγκλίνουσα ακολουθία στοχαστικών ολοκληρωτών καθώς και των αντίστοιχων ορθογώνιων χώρων τους.Εκτός από αυτά τα κύρια αποτελέσματα, έχουν αποδειχθεί μια σειρά από άλλα αποτελέσματα, τα οποία είτε βελτιώνουν είτε συμπληρώνουν κλασικά αποτελέσματα. Το πιο ενδιαφέρον από αυτά είναι καθαρά αναλυτικού χαρακτήρα. Παρέχει έναν χαρακτηρισμό της ασθενούς σύγκλισης των πεπερασμένων μέτρων στη θετική πραγματική γραμμή μέσω σχετικά συμπαγών συνόλων του χώρου Skorokhod εφοδιασμένου με την J1-τοπολογία. Παραμένουμε στον χώρο Skorokhod, όπου εκλεπτύνουμε ένα κλασικό αποτέλεσμα σχετικά με τη σύγκλιση των χρόνων άλματος μιας J1-συγκλίνουσας ακολουθίας. Πιο συγκεκριμένα, για την περίπτωση μιας πολυδιάστατης συγκλίνουσας J1-ακολουθίας αποδεικνύουμε ότι οι χρόνοι που τα ύψη των αλμάτων βρίσκονται σε ένα κατάλληλο σταθερό σύνολο σχηματίζουν μια συγκλίνουσα ακολουθία στην εκτεταμένη θετική πραγματική γραμμή. Νέα αποτελέσματα επίσης παρουσιάζονται για συναρτήσεις Young. Τέλος, μια νέα ανισότητα σχετικά με τις γενικευμένες αντίστροφες συναρτήσεις συμπληρώνει τις γνωστές κλασικές ανισότητες.