Το αλγεβρικό συνεχές και διακριτό στην κατασκευή ερευνητικών εργαλείων και στην επεξεργασία δεδομένων για τις επιστήμες αγωγής
Authors: Νικολαΐδου Πιπίνα 
Published: September 2021

Οι υπερδομές αποτελούν ένα σχετικά νέο πεδίο των Μαθηματικών, δεδομένου ότι μόλις το 1934 ο Frederic Marty εισάγει το θέμα αυτό στο 8ο συνέδριο Σκανδιναβών Μαθηματικών, με την εργασία του : “Sur une generalisation de la notion de groupe”, στην οποία δίνεται για πρώτη φορά ο ορισμός της υπερομάδας. Στη συνέχεια ο F. Marty δημοσιεύει 2 ακόμα εργασίες [78], [79] και ταυτόχρονα πλήθος μαθηματικών ξεκινάει να ασχολείται με το συγκεκριμένο αντικείμενο, πάνω στο οποίο αρχίζουν να δημοσιεύονται οι πρώτες σχετικές εργασίες από τους H. Wall [154], J. Kuntzmann [71], M. Dresher και O.Ore [47], L. Griffiths [53], J. Eaton [50] και M. Krasner [68]. Μελετώνται διάφοροι τύποι υπερομάδων, όπως οι regular} από τους Wall & Kuntzmann και οι αντιστρέψιμες από τους Dresher & Ore.Η θεωρία των υπερδομών αποτελεί επέκταση της κλασσικής θεωρίας των αλγεβρικών δομών, και κατά συνέπεια όπως και στην κλασσική θεωρία έτσι και στις υπερδομές, έχουμε πλήθος εφαρμογών τόσο στις ομάδες [49], [118], [48], [56], [96], [84], [112], [113], [114], [115], [54], [55] στην άλγεβρα [36], [67], [68] και στη γεωμετρία όσο και στις δυαδικές σχέσεις [110], [107], [109].Με την εφαρμογή των υπερδομών και συγκεκριμένα των υπερομάδων στη γεωμετρία, πρώτος ασχολήθηκε ο W. Prenowitz [91], αρχικά μόνος του και στη συνέχεια σε συνεργασία με τον J. Jantosciak, και ορίζουν τους Join Spaces [92], [93]. Στο βιβλίο τους “Join geometries”, παρόλο που δεν αναφέρεται η λέξη υπερομάδα, οι ονομαζόμενοι Join Spaces, είναι μια κατηγορία υπερδομών, που μελετήθηκε στη συνέχεια από δεκάδες ερευνητές. Χαρακτηριστικό του βιβλίου είναι ότι προσπαθεί να εκφράσει με ενιαίο αλγεβρικό τρόπο τα γεωμετρικά προβλήματα.Καθοριστική υπήρξε η συμβολή του M. Krasner στη διαχρονικότητα των υπερδομών, καθώς αυτός και η σχολή του 'διέσωσαν' τις υπερδομές με την ενασχόλησή τους με το συγκεκριμένο θέμα για πολλά χρόνια και σε αυτούς οφείλεται σε μεγάλο βαθμό η εξέλιξη τους. Στο βιβλίο “Il mondo Krasneriano”, [94] ο P. Ribenboim αναφέρεται στο μαθηματικό έργο του M. Krasner και στο πως ξεκίνησε η ενασχόλησή του με τις υπερομάδες. Μαθητές του Krasner υπήρξαν σημαντικά πρόσωπα στο χώρο των υπερδομών, όπως οι Stratigopoulos, Mittas, και Konguetsof.O Krasner εισάγει τη δομή του υπερσώματος, που έχει την πρόσθεση υπερπράξη και τον πολλαπλασιασμό πράξη. Το γεγονός αυτό “υποχρεώνει” την υπερδομή να έχει βασικές ιδιότητες, ιδιότητες που οδήγησαν στην κανονική (canonical) υπερομάδα, η οποία μελετήθηκε κυρίως από τον Mitta και συνεχίστηκε από τον Corsini. Η ενασχόληση του P. Corsini με τις υπερομάδες ξεκίνησε με αφορμή την εργασία του Mitta, “Canonical hypergroups”. Επειδή η κανονική υπερομάδα αποτελεί μια αρκετά “στενή δομή”, οδήγησε σε πλήθος θεωρημάτων και συμπερασμάτων.Η μελέτη των υπερδομών επεκτάθηκε και πέρα από τις υπερομάδες. Αρχικά λοιπόν, εισάγεται από τον M. Krasner η έννοια του υπερσώματος [69], ενώ 10 χρόνια αργότερα ορίζεται από τον ίδιο η έννοια του υπερδακτυλίου, στον οποίο η πρόσθεση αποτελεί υπερπράξη και ο πολλαπλασιασμός πράξη. Μια νέα έννοια υπερδακτυλίου εισάγει η R. Rota αρκετά χρόνια αργότερα [95] και τον ονομάζει πολλαπλασιαστικό υπερδακτύλιο, ο οποίος σε αντίθεση με τον υπερδακτύλιο του M. Krasner, έχει για πράξη την πρόσθεση και υπερπράξη τον πολλαπλασιασμό, οπότε ο υπερδακτύλιος του M. Krasner αποκτά την ονομασία προσθετικός δακτύλιος. Με τα υπερσώματα ασχολήθηκε επίσης και ο C. Massouros [80]. Η έννοια του γενικευμένου υπερδακτυλίου θεμελιώνεται στο [122] από τον T. Vougiouklis. Ο γενικευμένος αυτός ορισμός περιλαμβάνει τους 2 προηγούμενους ως ειδικές περιπτώσεις. Ο ίδιος, δίνει επίσης τον ορισμό του γενικευμένου υπερσώματος [126]. Με τους υπερδακτυλίους ασχολείται εκτενώς και ο Σ. Σπάρταλης στη διδακτορική του διατριβή [6] και αργότερα στο ερευνητικό του έργο [104], [105].Το 1970 ο M. Koskas [66] εισάγει τη β* σχέση ισοδυναμίας. Η σχέση αυτή μελετήθηκε και αναπτύχθηκε εκτενώς στο βιβλίο του Corsini, “Prolegomena of hypergroup theory”. Το βιβλίο αυτό [19] είναι το πρώτο σύγγραμα σχετικά με τις υπερδομές και τις σχέσεις ισοδυναμίας και στο οποίο εμφανίζονται νέες έννοιες, όπως η έννοια closed}.Η β σχέση είναι η πρώτη προσπάθεια στην οποία οι Υπερδομές συνδέονται με τις κλασσικές δομές. Πέρα από τον Corsini με τη σχέση ισοδυναμίας ασχολήθηκαν εκτενώς οι D. Freni} και T. Vougiouklis. Πιο συγκεκριμένα, 20 χρόνια μετά τον ορισμό της β* σχέσης, ο Vougiouklis ορίζει τις σχέσεις γ* και ε*, τις οποίες και ονομάζει θεμελιώδεις [126], ενώ ο D. Freni (σε εργασία του 1990) είναι ο πρώτος που αποδεικνύει ότι η β* σχέση ισούται με τη β για τις υπερομάδες κατά Marty, λύνοντας ένα ανοιχτό μέχρι τότε πρόβλημα.O P. Corsini ήταν ο πρώτος που συνέδεσε τις Υπερδομές με τις Ασαφείς Δομές και εισήγαγε τους Join Spaces στα Ασαφή σύνολα [17], [18] . Στον ίδιο τομέα δημοσιεύτηκαν αρκετές εργασίες και από την V. Leoreanu [9], [74], [75], καθώς και σε συνεργασία με τον Corsini [2]. Ο συνδυασμός των Fuzzy} και των υπερδομών άνοιξε νέα πεδία τόσο στα Fuzzy όσο και στις υπερδομές. Με τη σύνδεση των υπερδομών με τις ασαφείς δομές ασχολούνται επίσης και πολλοί Ιρανοί (Davvaz, Zahedi, Ameri, Borzooei, Hasankhani, Iranmanesh).Εξίσου καθοριστική υπήρξε η συμβολή του Θ. Βουγιουκλή στην εξέλιξη των υπερδομών, καθώς το 1981 ορίζονται από τον ίδιο οι Ρ-υπερδομές [119], που αποτελούν γενίκευση των Ρ-υπερπράξεων που ορίστηκαν στη διδακτορική του διατριβή [3]. Το 1990 εισάγει τις Hv-δομές, μια κλάση υπερδομών ευρύτερη από τις κλασσικές υπερδομές, βασικό αντικείμενο της παρούσας διατριβής. Λίγα χρόνια αργότερα ορίζει τις -πράξεις και κατ' επέκταση τις -υπερδομές [137]. Πάνω στις Hv-δομές και τη θεωρία παραστάσεων εκδίδεται το 1994 το βιβλίο του “Hyperstructures and their Represantations”. Στις Hv-δομές κάνουν την εμφάνισή τους διάφορες δομές, που δεν υπήρχαν στις απλές υπερδομές. Οι P-υπερδομές, για παράδειγμα, εντάσσονται στις Hv, γιατί δεν μπορούσαν να μελετηθούν σε μη αντιμεταθετικές δομές. Επειδή το πλήθος των Hv που ορίζονται, σε σχέση με τις υπερδομές, είναι τεράστιο για ένα σύνολο συγκεκριμένων στοιχείων, αρχίζει και η μελέτη της απαρίθμησης των Hv “ως προς τον ισομορφισμό”, δηλαδή πόσες Hv δομές υπάρχουν που να μην είναι ισόμορφες. Με το θέμα αυτό ασχολήθηκαν οι R. Migliorato, R. Bayon, N. Lygeros, C. Chaunier, B.M Choi και S.C Chung [81], [14], [16], [10], [11], [12], [13], θέμα που απασχολεί μέχρι και σήμερα και αποτελεί μια εργασία, η οποία απαιτεί χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Εξαιτίας λοιπόν του μεγάλου πλήθους των Hv-δομών ανοίγει το θέμα εύρεσης εφαρμογών, με την έννοια να εκφραστούν προβλήματα Φυσικής, Χημείας, Οικονομίας, Βιολογίας και Κοινωνικών Επιστημών με τις υπερδομές και σε αυτήν την κατεύθυνση δημοσιεύονται αρκετές εργασίες.Με τις Hv-δομές, πέρα από τον εμπνευστή τους Θ. Βουγιουκλή, ασχολούνται επίσης κατά το ερευνητικό τους έργο οι Σ. Σπάρταλης [106], Α. Δραμαλίδης [37], [38], [40], [42] και Ν. Ανταμπούφης, συνδέοντας τις Hv-δομές με το πεδίο ερευνητικού ενδιαφέροντος του καθενός [111], [108], [8], [44], [45], [43], [46]. Πλήθος εργασιών σχετικά με τις Hv-δομές έχουν δημοσιευτεί και από τον Ιρανό μαθηματικό B. Davvaz [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], με πολύ σημαντική συνεισφορά τα τελευταία χρόνια στην έρευνα σχετικά με τις υπερδομές, τόσο με τον μεγάλο όγκο των εργασιών του, όσο και με τα σχετικά του συγγράμματα [32], [31].Πέρα όμως από τη γενικότερη θεωρία των υπερδομών, η παρούσα Διδακτορική Διατριβή ασχολείται και με τις Lie-υπεράλγεβρες. Μία από τις εφαρμογές των Hv-δομών στη Φυσική και στη Χημεία προέκυψε από το ερώτημα του R.M Santilli “ποιοι είναι οι υπεραριθμοί (hypernumbers);”, οι οποίοι ήταν απαραίτητοι για να εκφράσει τη θεωρία του πάνω στα iso (isotheory, isotopy). Στην ίδια αναζήτηση ο Santilli χρειάστηκε να μελετήσει τη Lie-Santilli admissibility, την οποία εισάγει στις κλασσικές δομές, ενώ δημιουργείται η ανάγκη να εκφραστεί και στις υπερδομές, υπερδακτυλίους και υπερσώματα. Στα πλαίσια αυτής της αναζήτησης ξαναμελετώνται οι κλασσικές Lie-άλγεβρες υπό το πρίσμα των υπερδομών. Η μελέτη αυτή των Lie-αλγεβρών γίνεται στα πλαίσια της θεωρίας παραστάσεων. Από τα πρώτα χρόνια που διατυπώθηκε, η Lie θεωρία είχε μεγάλο εύρος εφαρμογών στη Φυσική και στα Μαθηματικά, γεγονός που με το πέρασμα των χρόνων γινόταν όλο και πιο αισθητό [57], [90], [52].Γενίκευση της Lie θεωρίας αποτελεί η Lie-Santilli θεωρία, την οποία εισήγαγε ο R.M Santilli το 1978 [98]. Η θεωρία αυτή αρχικά ονομάστηκε Lie θεωρία των isotopy, ενώ στη συνέχεια πήρε το όνομά της από τον δημιουργό της, R.M Santilli. Με τη Lie-Santilli θεωρία, πέρα από τον Santilli [99], [100], [101], [102] ασχολήθηκαν και οι D.S Sourlas & G.T. Tsagkas [117], [116], o T. Vougiouklis [120], [134], [145], [143], B. Davvaz [34], καθώς και ο Kadeisvili [60], [59].Σημαντική όμως είναι και η εφαρμογή των υπερδομών στον τομέα των Κοινωνικών Επιστημών, στα ερωτηματολόγια, με την εισαγωγή της Ράβδου, η οποία συνδέει τις Υπερδομές με τις Ασαφείς δομές.Στα ερωτηματολόγια με την εισαγωγή της Ράβδου από τους T. Vougioukli & P. Vougioukli εμφανίζονται 2 πλεονεκτήματα: Πρώτον, η ευκολότερη απάντηση και δεύτερον οι πολλοί τρόποι επεξεργασίας των δεδομένων, γνωρίζοντας τη θεωρία των υπερδομών. Το πρώτο πλεονέκτημα ελαττώνει το χρόνο απάντησης των ερωτηματολογίων, δίνοντας το δικαίωμα αύξησης των ερωτήσεων στα ερωτηματολόγια ενώ το δεύτερο πλεονέκτημα δίνει περισσότερους τρόπους επεξεργασίας, βελτίωσης των συμπερασμάτων και εξαγωγής συμπερασμάτων που ήταν αδύνατο να προκύψουν με την κλασσική θεωρία. Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη των υπερδομών μέσα από την εφαρμογή τους στους 2 αυτούς τομείς, των Lie-Santilli admissible υπεραλγεβρών, καθώς και της χρήσης τους στην επεξεργασία δεδομένων που συλλέχθηκαν από ερωτηματολόγια που χρησιμοποιούν τη ράβδο.Στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής δίνονται βασικές έννοιες και ορισμοί των υπερδομών. Πιο συγκεκριμένα, στην πρώτη παράγραφο παρατίθενται βασικοί ορισμοί της κλασσικής θεωρίας των υπερδομών, ορίζεται η έννοια της κυκλικότητας και περιγράφονται ορισμένες κλάσεις υπερδομών. Στη δεύτερη παράγραφο γίνεται μια εκτενής αναφορά στις Hv -δομές και στις θεμελιώδεις σχέσεις, παραθέτοντας βασικά θεωρήματα και ορισμένες αποδείξεις και στην τρίτη παράγραφο γίνεται μια σύντομη περιγραφή της θεωρίας παραστάσεων και δίνονται οι στοιχειώδεις ορισμοί.Στο επόμενο κεφάλαιο, κεφάλαιο 2, γίνεται περιγραφή δύο μεγάλων κλάσεων υπερδομών: των -υπερδομών και των P-υπερδομών.Ξεκινώντας από τις -υπερδομές, δίνονται στην αρχή ορισμοί και ιδιότητες, ενώ ακολουθεί η σύνδεσή τους, τόσο με τις θεμελιώδεις σχέσεις και τις Hv-δομές, όσο και με τα ερωτηματολόγια και τη ράβδο. Ακολουθούν ορισμοί και θεωρήματα για τις P-υπερδομές, ενώ στο τέλος της παραγράφου οι P-υπερπράξεις εφαρμόζονται σε πίνακες, ορίζοντας ένα νέο είδος P-υπερπράξης, την P.Στο κεφάλαιο 3 μελετώνται οι Lie-admissible υπεράλγεβρες. Στην παράγραφο 3.1 γίνεται μια εισαγωγή στις Lie άλγεβρες της κλασσικής θεωρίας, και συγκεκριμένα των τύπων An και Dn, για να γίνει στη συνέχεια η επέκταση τους στη θεωρία των υπερδομών. Στις επόμενες παραγράφους δίνονται κάποιοι βασικοί ορισμοί, όπως του Hv-διανυσματικού χώρου και της Hv-Lie-άλγεβρας, ενώ ακολούθως εισάγονται οι έννοιες της Santilli's admissibility και δίνονται οι ορισμοί των e-υπερδομών, e-υπερσωμάτων και e-υπεραριθμών. Οι 2 τελευταίες παράγραφοι αφορούν στη γενίκευση των 2 τύπων Lie-αλγεβρών που αναφέρθηκαν νωρίτερα, όπου και διατυπώνονται θεωρήματα πάνω στη θεωρία της Lie-Santilli-admissibility, συνοδευόμενα από τις αποδείξεις τους. Στα πλαίσια της εφαρμογής των Υπερδομών στις Κοινωνικές Επιστήμες, στο κεφάλαιο 4, περιγράφεται η ράβδος και η χρησιμότητά της στα ερωτηματολόγια. Γίνεται επίσης περιγραφή του λογισμικού που δημιουργήθηκε στα πλαίσια της συγκεκριμένης διατριβής για τη συλλογή και επεξεργασία δεδομένων από ερωτηματολόγια που χρησιμοποιούν τη ράβδο, και στη συνέχεια παρουσιάζεται μια κατασκευή, όπου οι -υπερπράξεις εφαρμόζονται στη ράβδο. Στην τελευταία παράγραφο ορίζεται μια νέα υπερπράξη, η οποία εφαρμόζεται πάνω σε στοιχεία της ράβδου, όταν αυτή είναι χωρισμένη σε ίσα και σε ισοεμβαδικά διαστήματα (κατά Gauss ή βάση παραβολών). Με αφορμή τους πίνακες που προκύπτουν, εισάγονται νέοι ορισμοί και διατυπώνονται θεωρήματα.Το κεφάλαιο 5 αποτελεί την εφαρμογή των υπερδομών και της ράβδου σε ένα πραγματικό πείραμα, που διεξήχθη στα πλαίσια αξιολόγησης του μαθήματος της Άλγεβρας Α' εξαμήνου, του Παιδαγωγικού Τμήματος του Δημοκρίτειου Πανεπιστημίου. Πραγματοποιείται συλλογή δεδομένων με τη χρήση της ράβδου και ακολουθείται επεξεργασία με ποικίλους τρόπους, προκειμένου να αναδειχθεί η χρησιμότητα του συγκεκριμένου εργαλείου, μέσω των σαφέστερων αποτελεσμάτων που εξάγονται.Η παρούσα διατριβή συμπληρώνεται από το Παράρτημα, στο οποίο περιλαμβάνεται το ερωτηματολόγιο αξιολόγησης που κλήθηκαν να απαντήσουν οι φοιτητές, καθώς και 2 κώδικες σε Matlab, που δημιουργήθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν στα πλαίσια της διατριβής.