Rigidity and deformability of immersed submanifolds
Authors: Πολυμεράκης Κλεάνθης 
Published: September 2021

Μελετάμε το πρόβλημα Bonnet για επιφάνειες σε τετραδιάστατους χώρους μορφής Q4c. Δύο ισομετρικές επιφάνειες λέγεται ότι έχουν την ίδια μέση καμπυλότητα, εάν υπάρχει μια παράλληλη ισομετρία διανυσματικών δεσμών μεταξύ των καθέτων δεσμών τους, η οποία διατηρεί τα διανυσματικά πεδία μέσης καμπυλότητας. Μη γεωμετρικά ισότιμες επιφάνειες με την ίδια μέση καμπυλότητα καλούνται Bonnet mates. Μια επιφάνεια στον Q4c καλείται επιφάνεια Bonnet, ή γνήσια επιφάνεια Bonnet, εάν δέχεται τουλάχιστον μία, ή άπειρες το πλήθος Bonnet mates, αντίστοιχα. Εισάγουμε τις έννοιες των ισοτροπικά ισοθερμικών και ισχυρά ισοτροπικά ισοθερμικών επιφανειών στον Q4c , ως γενίκευση της έννοιας των ισοθερμικών επιφανειών στον Q3c και αποδεικνύουμε ότι η ισοτροπική ισοθερμικότητα είναι μια σύμμορφα αναλλοίωτη ιδιότητα. Αποδεικνύουμε ότι εάν μια μη-συμπαγής, απλά συνεκτική επιφάνεια f : M → Q4c δεν είναι γνήσια επιφάνεια Bonnet, τότε δέχεται είτε το πολύ μία, είτε ακριβώς τρεις Bonnet mates. Εάν μια τέτοια επιφάνεια είναι γνήσια επιφάνεια Bonnet, τότε ο moduli space των κλάσεων γεωμετρικής ισοτιμίας όλων των ισομετρικών εμβαπτίσεων του M στον Q4c που έχουν την ίδια μέση καμπυλότητα με την f, είναι διαφορομορφικός με ένα πολύπτυγμα. Οι γνήσιες επιφάνειες Bonnet χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τις tight επιφάνειες που ο moduli space είναι μονοδιάστατος με το πολύ δύο συνεκτικές συνιστώσες διαφορομορφικές με τον κύκλο S1 ≃ R/2πZ, και τις flexible επιφάνειες που ο moduli space είναι διαφορομορφικός με τον τόρο S1 × S1. Αποδεικνύουμε ότι η ισοτροπική ισοθερμικότητα χαρακτηρίζει τις γνήσιες επιφάνειες Bonnet και ειδικότερα, η ισχυρή ισοτροπική ισοθερμικότητα, χαρακτηρίζει τις flexible επιφάνειες. Επιπλέον, δείχνουμε ότι μια ολικά μη ημι-ισοτροπικά ισοθερμική επιφάνεια είναι πάντα μια επιφάνεια Bonnet η οποία ειδικότερα, δέχεται ακριβώς τρεις Bonnet mates αν είναι επιπροσθέτως ισχυρά ολικά μη ισοτροπικά ισοθερμική. Επίσης, αποδεικνύουμε ότι μια επιφάνεια Bonnet που κείται σε ολικά γεωδαισιακή υπερεπιφάνεια του Q4c με μη-σταθερή μέση καμπυλότητα, δέχεται τουλάχιστον δύο Bonnet mates οι οποίες δεν κείνται σε καμία ολικά ομφαλική υπερεπιφάνεια του Q4c. Αποδεικνύουμε ότι αν και τα δύο Gauss lifts μιας συμπαγούς επιφάνειας στην twistor bundle δεν είναι vertically harmonic, τότε η επιφάνεια δέχεται το πολύ τρεις Bonnet mates. Ειδικότερα, δείχνουμε ότι μια τέτοια επιφάνεια δέχεται το πολύ μία Bonnet mate, υπό πρόσθετες υποθέσεις που αφορούν την ισοτροπική ισοθερμικότητα. Δείχνουμε ότι οι μη-ελαχιστικές επιφάνειες με ένα vertically harmonic Gauss lift δέχον- ται ένα ολόμορφο τετραγωνικό διαφορικό, κι έτσι προκύπτει ένα θεώρημα τύπου Hopf. Αποδεικνύουμε ότι τέτοιες επιφάνειες δέχονται τοπικά μια μονοπαραμετρική οικογένεια ισομετρικών παραμορφώσεων που διατηρούν τη μέση καμπυλότητα. Η οικογένεια αυτή είναι τετριμμένη μόνο εάν η επιφάνεια είναι superconformal. Για τέτοιες συμπαγείς επιφάνειες με μη-παράλληλο διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας, αποδεικνύουμε ότι ο moduli space είναι η ξένη ένωση δύο συνόλων, το καθένα από τα οποία είναι είτε πεπερασμένο είτε ο κύκλος. Ειδικότερα, για επιφάνειες στον R4 αποδεικνύουμε ότι ο moduli space είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, υπό μία συνθήκη για τους αριθμούς Euler της εφαπτόμενης και της κάθετης δέσμης.