A new computational approach to topology optimization in solid mechanics problems
Authors:   , Yago Llamas Daniel 
Published: September 2023

This doctoral thesis addresses topology optimization problems at a single scale. Based on this purpose, a new topology optimization approach is developed in order to improve existing and widespread techniques in the research community on the topic. The proposed technique presents several characteristics that overcome some of the well-known difficulties in topological optimization while maintaining a considerable degree of simplicity.
In the first place, the formulation of the topological optimization technique is presented, as well as its algorithm. The method is based on 4 fundamental features: (1) the use of a 1-0 characteristic function, as well as the precise identification of the material boundaries from a discrimination function (0-level-set function), (2) the definition of a topological derivative consistent with the ersatz method (used in the state problem), as an approximation to the exact topological derivative, (3) the inclusion of a Laplacian regularization with minimum size control of the different components, and (4) the formulation of an analytical optimality condition aiming at the optimal topology solution.
The approach is applied to different topology optimization problems, well-reported in the literature and used as numerical benchmarks (in structural and thermal problems), to examine their performance. In these fields, stiffness and conductivity maximization problems are considered for validation, respectively. In addition, different topological optimization problems of major engineering interest are tackled, including the design of compliant mechanisms within the structural field and thermal cloaking devices within the thermal field.
Finally, a comparison of the formulation with other existing topology optimization techniques is performed, including (1) SIMP, (2) ESO/BESO, and (3) Level-set with Hamilton-Jacobi as the updating equation. The analysis of the results provides a comparison in terms of the quality of the topology of each method, the computational cost of the optimal solutions, as well as the simplicity of implementation. The resulting study reveals the potential of the developed methodology in these specific comparison terms.
In an attempt to bring the method closer to other researchers and to promote its use, an educational version of the method (written in MATLAB) has been published in an online repository, together with documentation, facilitating its dissemination
and subsequent use in other applications of interest.

El objetivo de esta tesis doctoral es abordar el problema de optimización topológica a una única escala. En base a este propósito, se desarrolla una nueva técnica de optimización capaz de competir con técnicas ya existentes y extendidas entre la comunidad investigadora sobre el tema. Esta técnica presenta características que superan algunas de las dificultades bien conocidas en optimización topológica manteniendo un buen grado de simplicidad. En primer lugar, se presenta la formulación de la técnica de optimización topológica, así como su algoritmia. El método se fundamenta en 4 aspectos básicos: (1) la utilización de una función característica 1-0, así como la definición precisa de las fronteras materiales a partir de una función de discriminación (isonivel 0 de la función level-set), (2) la definición de una derivada topológica coherente con el método ersatz (utilizado en la ecuación de estado), como aproximación a la derivada topológica exacta, (3) la inclusión de una regularización Laplaciana con control de tamaño mínimo de los diferentes componentes, y (4) la definición de una condición de optimalidad analítica para la determinación de la solución óptima de la topología. La metodología se aplica a diferentes problemas de optimización topológica bien detallados en la literatura y utilizados como ensayos numéricos para examinar su respuesta frente a problemas estructurales y térmicos. En estos campos, se incluyen problemas de maximización de la rigidez y de la conductividad, respectivamente. Además, se resuelven diferentes problemas de optimización topológica con gran interés ingenieril en los campos estructurales con el diseño de mecanismos y térmicos con el diseño de dispositivos de camuflaje térmicos. Finalmente, se realiza una comparación de la formulación con otras técnicas ya existentes, por ejemplo: (1) SIMP, (2) ESO/BESO, y (3) Level-set con Hamilton-Jacobi como ecuación de evolución. El análisis de los resultados permite comparar la calidad de la topología de cada método, el coste computacional de las soluciones óptimas, así como la simplicidad de implementación, demostrando el potencial de la metodología desarrollada principalmente en estos términos de comparación. Con la finalidad de acercar el método a otros investigadores y de promover su utilización, se ha publicado una versión educativa del mismo (en MATLAB) en un repositorio online, junto a documentación, permitiendo así la divulgación del mismo y la posible utilización en otras aplicaciones de interés.