Ομογενείς και διπλά ομογενείς γεωδαισιακές καμπύλες σε ομογενείς πολλαπλότητες
Authors: Σουρής Νικόλαος-Παναγιώτης 
Published: September 2021

Το γενικό θέμα της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη γεωδαισιακών καμπυλών σε ομογενείς χώρους. Η εύρεση της μορφής των γεωδαισιακών καμπυλών σε μια ψευδορημάννεια πολλαπλότητα αποτελεί ένα ενδιαφέρον και εν γένει δύσκολο πρόβλημα που συνήθως ανάγεται είτε στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων, είτε σε εφαρμογή του λογισμού μεταβολών. Στην περίπτωση όμως των ομογενών χώρων G/H η προσέγγιση που ακολουθούμε είναι να θεωρήσουμε συγκεκριμένες μορφές καμπυλών και κατόπιν να αναζητήσουμε τις G-αναλλοίωτες ψευδομετρικές &lt; , &gt;, έτσι ώστε οι γεωδαισιακές καμπύλες στον (G/H, &lt; , &gt;) να έχουν τις αντίστοιχες μορφές. Η προσέγγιση αυτή ευνοείται από το γεγονός ότι η γεωμετρία ενός ομογενούς χώρου G/H είναι αναλλοίωτη σε κάθε σημείο του G/H, συνεπώς οι γεωδαισιακές καμπύλες έχουν επίσης αναλλοίωτη μορφή. Έτσι, η μελέτη των γεωδαισιακών καμπυλών ανάγεται σε μεγάλο βαθμό στη δομική θεωρία και τη θεωρία αναπαραστάσεων των ομάδων και των αλγεβρών Lie, καθώς επίσης και στη μελέτη της δράσης ομάδων Lie σε πολλαπλότητες. Η κυριότερη έρευνα προς αυτή την κατεύθυνση επικεντρώνεται στις γεωδαισιακές καμπύλες που αποτελούν τροχιές μοναπαραμετρικών υποομάδων της G, μέσω της δράσης της G στον G/H, τις λεγόμενες ομογενείς γεωδαισιακές. Μια ομογενής γεωδαισιακή καμπύλη γ έχει τη μορφή γ(t)=exp(tX).p, όπου X είναι ένα διάνυσμα στην άλγεβα Lie της ομάδας G, p σημείο του G/H, και με ''.'' συμβολίζουμε την δράση της G στον G/H. Οι χώροι γεωδαισιακών τροχιών, δηλαδή χώροι των οποίων όλες οι γεωδαισιακές είναι ομογενείς, προκύπτουν ως μια σημαντική φυσική γενίκευση των συμμετρικών χώρων με ενδιαφέρουσες προεκτάσεις στη Φυσική αλλά και σε άλλους κλάδους, όπως την επιστήμη των υπολογιστών. Η συνεισφορά μας στην ήδη πλούσια βιβλιογραφία, περιλαμβάνει την μελέτη των μετρικών γεωδαισιακών τροχιών Riemann σε συμπαγείς ομογενείς χώρους G/H, τέτοιους ώστε η ισοτροπική αναπαράσταση της H στον εφαπτόμενο χώρο T(G/H) na περιέχει ισοδύναμα αναλλοίωτα υποπρότυπα, κάτι το οποίο δεν είχε προηγουμένως μελετηθεί υπό αυτή τη σκοπιά. Εφαρμόζοντας τα αποτελέσματά μας, προσδιορίζουμε τις μετρικές γεωδαισιακών τροχιών στις πραγματικές και μιγαδικές πολλαπλότητες Stiefel.Παράλληλα, εισάγουμε την έννοια της πολλαπλά ομογενούς γεωδαισιακής, που δίνεται ως τροχιά του γινομένου ενός πεπερασμένου πλήθος μονοπαραμετρικών υποομάδων της G, μέσω της δράσης της G στον G/H. Δηλαδή μια τέτοια γεωδαισιακή γ έχει τη μορφή γ(t)=exp(tX_1)exp(tX_2)... exp(tX_n). pόπου τα X_1,...,X_n είναι διανύσματα στην άλγεβρα Lie της G. Στην περίπτωση των δύο εκθετικών παραγόντων, βρίσκουμε μια γενική αλγεβρική συνθήκη ύπαρξης διπλά ομογενών γεωδαισιακών, και αποκτούμε μια ευρεία κλάση ψευδορημάννειων ομογενών χώρων των οποίων όλες οι γεωδαισιακές είναι διπλά ομογενείς. Αυτοί δίνονται ως ολικοί χώροι μιας ομογενούς νηματοποίησης G/H--> G/K--> K/H με H&lt;K&lt;G. Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύουμε ότι κάθε μη συμμετρική πολλαπλότητα σημαιών G/H επιδέχεται τουλάχιστον l μετρικές διπλά γεωδαισιακών τροχιών, όπου l είναι η διάσταση του κέντρου της ομάδας H. Τέλος, εξετάζουμε την ύπαρξη μετρικών τριπλά γεωδαισιακών τροχιών σε γενικευμένους χώρους Wallach.