Infinite-game semantics for logic programming languages
Authors: Γαλανάκη Χρυσίδα 
Published: September 2021

Η διατριβή επικεντρώνεται στη μελέτη της σημασιολογίας λογικών προγραμμάτων και την ανάπτυξη άπειρων παιγνίων πλήρους πληροφόρησης που αποδίδουν αυτή τη σημασιολογία. Αρχικώς, μελετάται ο προτασιακός λογικός προγραμματισμός. Στο άρθρο [M.H. van Emden, Quantitative deduction and its fixpoint theory, Journal of Logic Programming 3(1)(1986) 37-53] περιγράφεται ένα παίγνιο μεταξύ δύο παικτών. Σε αυτό, δεδομένου ενός προτασιακού λογικού προγράμματος χωρίς άρνηση και ενός ατόμου (ground atom) που ανήκει σε αυτό, ο Παίκτης Ι, προσπαθεί να αποδείξει ότι ο ατομικός τύπος είναι αληθής (έχει δηλαδή το ρόλο του Believer), ενώ ο Παίκτης ΙΙ ότι δεν είναι (έχει δηλαδή το ρόλο του Doubter). Έτσι ο στόχος (goal), επιτυγχάνει ως αποτέλεσμα μιας ερώτησης (query) στο πρόγραμμα, αν ο Παίκτης Ι έχει νικηφόρα στρατηγική. Στα πλαίσια της διατριβής, το παίγνιο επεκτείνεται έτσι ώστε να αποδίδει τη σημασιολογία και των προγραμμάτων με άρνηση. Όταν κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού εμφανίζεται αρνητικά προσημασμένο άτομο, τότε οι δύο παίκτες αλλάζουν τους μεταξύ τους ρόλους. Ο Believer γίνεται Doubter και το αντίστροφο. Στην περίπτωση άπειρων εναλλαγών ρόλων το παιχνίδι θεωρείται ισόπαλο. Αποδεικνύεται ότι το παίγνιο είναι αποφασισμένο (determined). Στην περίπτωση του παιχνιδιού με τρία δυνατά αποτελέσματα, η ερμηνεία του προγράμματος, η οποία λαμβάνεται χρησιμοποιώντας το παιχνίδι, αποτελεί μοντέλο του και αποδεικνύεται ισοδύναμη με την καλώς θεμελιωμένη σημασιολογία (well-founded semantics) του λογικού προγράμματος. Για την απόδειξη αυτή ορίζεται και χρησιμοποιείται ένα νέο παίγνιο με άπειρα δυνατά αποτελέσματα. Η τιμή του παιχνιδιού εξαρτάται από το πλήθος των εναλλαγών ρόλων (role switches) που λαμβάνουν χώρα κατά τη διάρκειά του. Η ερμηνεία που παίρνουμε χρησιμοποιώντας το παίγνιο αυτό, αποτελεί μοντέλο του λογικού προγράμματος και αποδεικνύεται ισοδύναμη με την απειρότιμη σημασιολογία ελαχίστου μοντέλου, όπως αυτή ορίζεται στο [P. Rondogiannis, W.W.Wadge, Minimum model semantics for logic programs with negation-as-failure, ACM Transactions on Computational Logic 6(2)(2005) 441-467]. Η μελέτη επεκτείνεται στον νοηματικό (intensional) λογικό προγραμματισμό όπως παρουσιαζεται στο [M.A. Orgun, W.W.Wadge, Towards a unified theory of intensional logic programming, 13(4):413-440, 1992] και αποτελεί γενίκευση, μεταξύ άλλων, του χρονικού (temporal) και τροπικού (modal) λογικού προγραμματισμού. Στα πλαίσια της διατριβής αναπτύσσεται ένα νέο παίγνιο πλήρους πληροφόρησης. Και για αυτό, αποδεικνύεται ότι είναι αποφασισμένο (determined) και ότι το αποτέλεσμά του συμπίπτει με τη σημασιολογία ελαχίστου μοντέλου του άρθρου των M.A. Orgun, W.W. Wadge. Στη συνέχεια το παίγνιο επεκτείνεται έτσι ώστε να υποστηρίζει εναλλαγή ρόλων μεταξύ των παικτών και να έχει τρία δυνατά αποτελέσματα (νίκη για τον Παίκτη Ι ή τον Παίκτη ΙΙ ή ισοπαλία). Η ερμηνεία την οποία παίρνουμε χρησιμοποιώντας το παιχνίδι, αποτελεί ελαχιστικό μοντέλο του προγράμματος και αποδίδει τη σημασιολογία νοηματικών λογικών προγραμμάτων με άρνηση και γενικότερα των νοηματικών λογικών προγραμμάτων με οποιoδήποτε μη μονοτονικό τελεστή στο σώμα των κανόνων. Η παιγνιοθεωρητική αυτή προσέγγιση αποτελεί και το πρώτο σημασιολογικό πλαίσιο για τον μη μονοτονικό νοηματικό (intensional) λογικό προγραμματισμό.