MODELING OF ENTANGLED STATES IN QUBIT CLUSTERS
Authors: Андре Эдуард , Цирулев Александр Николаевич 
Published: December 2022

Модель универсальных квантовых вычислений, которая задействует квантовые схемы, состоящие из однокубитных и двухкубитных логических элементов реализована в нескольких действующих квантовых вычислительных устройствах. В последнее десятилетие идея использования многокубитных логических элементов стала очень актуальной, поскольку такой подход в перспективе позволит уменьшить зашумленность квантовых схем. Основным ресурсом квантовых вычислений является запутанность отдельных кубитов, образующих кластер. Несмотря на актуальность этого вопроса, пока в теории рассматриваются только несколько примеров простейших логических элементов, реализующих запутанность в системе трех кубитов (элемент Тоффоли и двойное управляемое NOT). Работа посвящена математическому моделированию запутанных состояний квантовых систем, состоящих из нескольких кубитов. Предложен математический метод точного или приближенного конструирования гамильтонианов, порождающих требуемые унитарные преобразования. Оказывается, что подход, основанный на представлении гамильтонианов и унитарных преобразований в базисе Паули, является наиболее подходящим в данном контексте по двум причинам: во-первых, базис Паули образует алгебру Ли соответствующей унитарной группы; во-вторых, в разложениях по этому базису гамильтонианов и операторов плотности состояний присутствуют только вещественные коэффициенты. В деталях метод рассмотрен на примере трехкубитного кластера, управляемого тернарным гамильтонианом, предназначенным для получения запутанного состояния Гринбергера-Хорна-Цайлингера. Кроме того, для этой системы изучено состояние теплового равновесия и получен соответствующий оператор плотности состояния.

The model of universal quantum computation, which uses quantum circuits consisting of one-qubit and two-qubit logic elements, is implemented in several existing quantum-computing devices. In the last decade, the idea of using multiqubit gates has become very relevant, since this, in the future, will reduce the noise level of quantum circuits. The main resource of quantum computing is the entanglement of individual qubits that form a cluster. Despite the actuality of this issue, so far only a few examples of the simplest logic elements with entanglement are considered in theory for a system of three qubits (Toffoli element and double controlled NOT). This work is devoted to mathematical modeling of the entangled states of quantum systems composed of several qubits. A mathematical method is proposed for the exact or approximate construction of Hamiltonians generating the required unitary transformations. It turns out that the approach based on the representation of Hamiltonians and unitary transformations in the Pauli basis is the most suitable in this context for two reasons: firstly, the Pauli basis forms the Lie algebra of the corresponding unitary group; secondly, there are only real coefficients in the decompositions of Hamiltonians and state density operators in this basis. The method is considered in detail on the example of a three-qubit cluster driven by a ternary Hamiltonian to obtain the Greenberger-Horn-Zeilinger entangled state. For this system, the thermal state is also studied and the corresponding density operator is obtained.