Stochastic dynamic response and optimization of structures with finite elements
Authors: Κόκκινος Οδυσσέας 
Published: September 2021

Η καθιέρωση αξιόπιστων και υπολογιστικά αποτελεσματικών μεθοδολογιών στη στοχαστική δυναμική ανάλυση κατασκευών αποτελεί μια συνεχιζόμενη προσπάθεια στους κύκλους της ακαδημαϊκής έρευνας. Κατά τις δύο τελευταίες δεκαετίες αρκετή έρευνα έχει εστιάσει στη στοχαστική ανάλυση δομικών συστημάτων που ενσωματώνουν αβέβαιες παραμέτρους σε σχέση με το υλικό ή/και τη γεωμετρία με ταυτόχρονη χρήση μεθοδολογιών στοχαστικών πεπερασμένων στοιχείων για την αριθμητική επίλυση των μερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τα εν λόγω προβλήματα. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις προϋποτίθεται γνώση της συνάρτησης συσχέτισης και της οριακής συνάρτησης πυκνότητας της πιθανότητας των στοχαστικών πεδίων που περιγράφουν τις αβεβαιότητες του συστήματος για την ακριβή εκτίμηση της απόκρισης. Στη συνήθη περίπτωση ανεπαρκών πειραματικών δεδομένων οι μηχανικοί υποχρεούνται να καταφύγουν σε κοστοβόρες αναλύσεις ευαισθησίας.Σε αυτή την περίπτωση όμως, τα προβλήματα που εγείρονται είναι αυτά του αυξημένου υπολογιστικού κόστους, της έλειψης εποπτείας επί των μηχανισμών που ελέγχουν τη διακύμανση της απόκρισης του συστήματος και της αδυναμίας προσδιορισμού ορίων στη διακύμανση της απόκρισης. Ένα σχετικά μικρό κλάσμα αυτών των ερευνητικών προσπαθειών έχουν αντιμετωπίσει τη δυναμική διάδοση αυτών των αβεβαιοτήτων, οι περισσότερες των οποίων υποβιβάζουν τις στοχαστικές δυναμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις σε ένα γραμμικό πρόβλημα τυχαίων ιδιοτιμών. Αν και όλες οι μέθοδοι αυτού του είδους έχουν παρουσιάσει αξιόλογη ακρίβεια και μικρό υπολογιστικό κόστος υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός προβλημάτων στη στοχαστική μηχανική που περιλαμβάνουν συνδυασμούς έντονων μη-γραμμικοτήτων και μεγάλων διακυμάνσεων των ιδιοτήτων του συστήματος όπως επίσης και μη Γκαουσιανές ιδιότητες του συστήματος που μπορούν να επιλυθούν με ικανοποιητική ακρίβεια μόνο με την υπολογιστικά κοστοβόρα μέθοδο Monte Carlo.Σε αυτό το πλάισιο και για την αντιμετώπιση των ανωτέρω θεμάτων, στα τέλη της δεκαετίας του 80’ προτάθηκε η έννοια της συνάρτησης διακύμανσης της απόκρισης (ΣΔΑ). Αυτή η ιδέα ανατύχθηκε χρησιμοποιώντας μια διατύπωση βασισμένη στη θεωρία της ελαστικότητας. Δείχτηκε ότι η ΣΔΑ εξαρτάται από την τυπική απόκλιση του στοχαστικού πεδίου αλλά φαίνεται να είναι ανεξάρτητη από τη συνάρτηση της φασματικής πυκνότητας του αντιστρόφου του μέτρου ελαστικότητας.Η παρούσα διατριβή εστιάζει στην ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας που προσφέρει μια εναλλακτική στην ανάλυση στοχαστικών δυναμικών συστημάτων βασισμένη στην παραπάνω ιδέα των ΣΔΑ. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο μέρος η έννοια των Συναρτήσεων Διακύμανσης της Απόκρισης (ΣΔΑ) επεκτείνεται αρχικά σε γραμμικά και μετά σε γενικευμένα στοχαστικά δυναμικά συστήματα πεπερασμένων στοιχείων οδηγώντας σε ολοκληρωτικές σχέσεις για το δυναμική μέση τιμή και διακύμανση της απόκρισης. Η ολοκληρωτική σχέση για τη διακύμανση της δυναμικής απόκρισης συνεπώς περιλαμβάνει τη Δυναμική εκδοχή της ΣΔΑ (ΔΣΔΑ) και τη συνάρτηση φασματικής πυκνότητας του στοχαστικού πεδίου που περιγράφει τις αβέβαιες παραμέτρους του συστήματος.Ακολούθως χρησιμοποιείται μια γρήγορη προσομοίωση Μόντε Κάρλο βασιζόμενη στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για τον ακριβή και υπολογιστικά αποτελεσματικό αριθμητικό υπολογισμό αυτών των συναρτήσεων. Όπως και στην περίπτωση των γραμμικών στοχαστικών συστημάτων υπό στατική φόρτιση, η ανεξαρτησία της ΔΣΔΑ από τη συνάρτηση φασματική πυκνότητας και από την οριακή συνάρτηση πυκνότητας της πιθανότητας του στοχαστικού πεδίου που περιγράφει τις αβέβαιες παραμέτρους πρέπει να επιβεβαιωθεί μέσω σύγκρισης των αποτελεσμάτων με την γενική μέθοδο προσομοίωσης φορέων Μόντε Κάρλο. Ως περαιτέρω επιβεβαίωση της υπόθεσης για την ανεξαρτησία των συναρτήσεων διακύμανσης της απόκρισης από τις στοχαστικές παραμέτρους του προβλήματος, χρησιμοποιήθηκε η έννοια των γενικευμένων συναρτήσεων διακύμανσης της απόκρισης (ΓΣΔΑ) και τα αποτελέσματα συγκρίθηκαν με αυτά της προτεινόμενης μεθοδολογίας με ΔΣΔΑ για την περίπτωση ψευδοστατικής φόρτισης. Ως αβέβαιη παράμετρος του συστήματος θεωρήθηκε το αντίστροφο του μέτρου ελαστικότητας. Οι δυναμικές συναρτήσεις μέσης τιμής και διακύμανσης της απόκρισης, εφόσον υπολογιστούν, δύνανται να χρησιμοποιηθούν για τη διεξαγωγή παραμετρικών αναλύσεων και αναλύσεων ευαισθησίας σε σχέση με διάφορα πιθανοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με το πρόβλημα (π.χ. απόσταση συσχέτισης,τυπική απόκλιση) και για τον υπολογισμό πραγματοποιήσιμων άνω ορίων της δυναμικής μέσης τιμής και διακύμανσης της απόκρισης με πρακτικά αμελητέο πρόσθετο υπολογιστικό κόστος. Προσφέρουν επίσης μια διορατική εικόνα για τους μηχανισμούς που ελέγχουν τη δυναμική μέση τιμή και διακύμανση της απόκρισης του συστήματος.Το δεύτερο μέρος αυτής της διατριβής προτείνει μια διαφορετική προσέγγιση στο Εύρωστο Βέλτιστο Σχεδιασμό (ΕΒΣ) χρησιμοποιώντας την έννοια της ΣΔΑ. Η βασική ιδέα είναι να γίνει εκμετάλευση της ανεξαρτησίας της ΣΔΑ από τις στοχαστικές παραμέτρους του συστήματος, για να επιτευχθούν πιο ασφαλήβέλτιστα τα οποία εξαρτώνται μόνο από τις ντετερμινιστικές παραμέτρους του προβλήματος. Με αυτόν τον τρόπο, βέλτιστοι δομικοί σχεδιασμοί επιτυγχάνονται οι οποίοι παρουσιάζουν τη μικρότερη διακύμανση για το χειρότερο δυνατό σενάριο αβέβαιων παραμέτρων, δηλ. είναι ανεξάρτητοι από τα χαρακτηριστικά της φασματική πυκνότητας και της οριακής συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας του στοχαστικού πεδίου των αβεβαιοτήτων. Αυτό καθίσταται δυνατό εάν οριστεί, εκτός του συνολικού κόστους της κατασκευής,και η μέγιστη τιμή της ΣΔΑ ως αντικειμενική συνάρτηση. Τα πλεονεκτήματα της χρήσης της προτεινόμενης μεθοδολογίας έναντι των παραδοσιακών διατυπώσεων Εύρωστου Βέλτιστου Σχεδιασμού παρουσιάζονται μέσω μιας εφαρμογής σε μια πλαισιωτή κατασκευή όπου επιδεικνύεται ότι οι επιλεγόμενοι σχεδιασμοί μέσω του κλασικού ΕΒΣ για ένα συγκεκριμένο στοχαστικό πεδίο δεν είναι βέλτιστοι για μια διαφοροποίηση των φασματικών ιδιοτήτων του τυχαίου πεδίου που περιγράφει την αβεβαιότητα του συστήματος, ενώ οι βέλτιστοι σχεδιασμοί που προκύπτουν από τον ΕΒΣ που βασίζεται στις ΣΔΑ είναι βέλτιστοι για το χειρότερο δυνατό σενάριο στοχαστικού πεδίου.