Topics on mean-field and McKean-Vlasov backward stochastic differential equations, and the backward propagation of chaos
Authors: Θεοδωρακόπουλος Στέφανος 
Published: August 2024

Η οπισθόδρομη διάδοση του χάους αναφέρεται στο φαινόμενο όπου η συμπεριφορά αλληλεπιδραστικών παραγόντων (ή σωματιδίων), που περιγράφεται από ένα σύστημα οπισθόδρομων στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων (BSDEs), μοιάζει προοδευτικά με αυτήν σαν να ήταν ανεξάρτητοι, ενώ ο αριθμός των παραγόντων τείνει άπειρο. Η παρούσα διατριβή στοχεύει να μελετήσει την οπισθόδρομη (ή προς τα πίσω) διάδοση του χάους σε ένα περιβάλλον όσο το δυνατόν γενικότερο και να εισαγάγει την έννοια της ευστάθειας της οπισθόδρομης διάδοσης του χάους. Εδώ η ευστάθεια νοείται ως η ιδιότητα συνέχειας της οπισθόδρομης διάδοσης του χάους σε σχέση με τα σύνολα δεδομένων. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των διαφορετικών παραγόντων εκφράζεται μέσω του εμπειρικού τους μέτρου. Για να προσδιορίσουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά των mean-field συστημάτων από BSDEs θα χρησιμοποιήσουμε τη McKean–Vlasov BSDE. Θεωρούμε δύο περιπτώσεις αντίστροφης διάδοσης του χάους, όταν έχουμε εξάρτηση μονοπατιού στον γεννήτορα και όταν έχουμε τη συνήθη στιγμιαία εξάρτηση. ΄Ετσι, ξεκινάμεμε την καθιέρωση της ύπαρξης και της μοναδικότητας για τις λύσεις του συστήματος mean-field και της McKean–Vlasov BSDE, κάτω από κατάλληλα πλαίσια. Στη συνέχεια, εισάγουμε έναν νέο τρόπο απόδειξης της οπισθόδρομης διάδοσης του χάους που επιτρέπει ασύμμετρες τερματικές συνθήκες για τα συστήματα μέσου πεδίου και γενικά τετραγωνικά ολοκληρώσιμα martingales με ανεξάρτητες προσαυξήσεις ως οδηγούς. Επιπλέον, δείχνουμε επίσης ότι οι γνωστοί ρυθμοί σύγκλισης για την αντίστροφη διάδοση του χάους επεκτείνονται και στο γενικό μας περιβάλλον. Τέλος, εισάγουμε την έννοια της ευστάθειας της οπισθόδρομης διάδοσης του χάους σε σχέση με τα σύνολα δεδομένων, και αποδεικνύουμε την εγκυρότητά της εντός φυσιολογικού πλαισίου, για τη περίπτωση της συνήθους εξάρτησης. Πρώτα καθιερώνουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση των συστημάτων μέσου πεδίου στις McKean–Vlasov BSDE σε σχέση με τα σύνολα δεδομένων και στη συνέχεια επεκτείνουμε φυσιολογικά τη γνωστή ευστάθεια των BSDE για να συμπεριλάβουμε και McKean–Vlasov BSDE. Η σύνθεση τους μας δίνει το αποτέλεσμα ευστάθειας. Επειδή το πλαίσιο μας ενσωματώνει τόσο συνεχείς όσο και ασυνεχείς περιπτώσεις, επιτρέπει την ανάπτυξη αριθμητικών σχημάτων για την αντίστροφη διάδοση του χάους υπό προσεγγίσεις τύπου L^2.Επιπρόσθετα της έρευνας της αντίστροφης διάδοσης του χάους, στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζουμε έναν νέο τρόπο για την απόδειξη μερικών από τα θεμελιώδη θεωρήματα του στοχαστικού λογισμού. Κάποια από τα πλεονεκτήματα της προσέγγισής μας είναι ότι απαιτεί ελάχιστες προϋποθέσεις, αποφεύγει οποιαδήποτε άμεση αναφορά σε χωρητικότητες, εργάζεται άμεσα με τη προβλέψιμη τομή ενώ η μετρήσιμη τομή είναι ένα άμεσοσυμπέρασμα και έτσι αποφεύγεται η διπλή εργασία που κρύβεται στο παρασκήνιο στις συνήθεις αποδείξεις. Τελευταίο αλλά εξίσου σημαντικό, η επιλεκτική (αντιστ. προβλέψιμη) τομή απορρέει από ένα διαισθητικό επιχείρημα προσέγγισης που βασίζεται στη διχοτόμηση προβλέψιμων και ολοκληρωτικά απρόσιτων χρόνων που διασαφηνίζει περαιτέρω τη σχέση μεταξύ αυτών των εννοιών. Το κεφάλαιο κλείνει με μια ενδιαφέρουσασύντομη απόδειξη ενός θεωρήματος αποσύνθεσης μέτρων, που παρέχεται για λόγους πληρότητας.