The equations of Rees algebras of ideals of almost-linear type
Authors:   , Muiños Bellester Ferran 
Published: October 2023

L’àlgebra de Rees R(I) d’un ideal I d’un anell Noetherià local R juga un paper molt important en àlgebra commutativa i geometria algebraica, perquè Proj(R(I)) és l’explosió (blowup) de l’esquema afí Spec(R) al llarg del subesquema Spec(R/I). Fins avui dia, el problema de descriure les equacions de l’àlgebra de Rees d’ideals, així com altres àlgebres relacionades, com ara l’anell graduat associat G(I) o el con de la fibra F(I), s’ha mostrat molt rellevant per tal de comprendre els fenòmens que envolten aquestes àlgebres.
Les equacions de l’àlgebra de Rees R(I) són definibles com els elements del nucli Q d’una presentació polinòmica de R(I). Malgrat que aquest nucli pot dependre de la presentació escollida, no és difícil veure que els graus d’un sistema minimal de generadors homogenis de Q no depenen de la presentació.
El màxim entre els graus dels generadors homogenis minimals de qualsevol presentació polinòmica, conegut com a tipus de relació, denotat rt(I), dóna una mesura senzilla – i tanmateix útil en molts contextos – de la complexitat de l’àlgebra de Rees. Els ideals tals que rt(I)=1, anomenats ideals de tipus lineal, han sigut intensament estudiats en les darreres dècades i encara avui dia romanen una font de problemes i exemples interessants.
En aquest treball encarem el problema de descriure les equacions de R(I) quan l’ideal I és de la forma I=(J,y), on J és un ideal de tipus lineal: d’aquests ideals objecte del nostre estudi en direm ideals de tipus quasi-lineal.
Els resultats principals d’aquest treball rauen en dues aproximacions diferents vers el problema. Per una banda, donem una descripció explícita de les equacions dels ideals I de la forma I=(J,y) quan els generadors de J satisfan l’anul·lació d’un cert grup d’homologia de Koszul. Si bé l’anul·lació d’aquesta homologia no implica automàticament que J sigui de tipus lineal, sí n’és una condició molt propera i també ens permet contemplar altres classes d’ideals. El nostre Teorema A ens permet recuperar, unificar i estendre resultats ja coneguts en el context d’ideals de tipus quasi-lineal deguts a Vasconcelos, Huckaba, Trung, Heinzer i Kim.
Sigui α: S(I) → R(I) el morfisme graduat canònic des de l’àlgebra simètrica de I vers l’àlgebra de Rees de I. El segon resultat principal d’aquest treball demostra que l’injectivitat d’una sola component graduada de α és condició suficient per a garantir l’injectivitat de la resta de les components graduades inferiors si I és un ideal de tipus quasi-lineal. En particular, el nostre resultat respon afirmativament i de manera parcial a una pregunta formulada per Tchernev.
Val a dir que el nostre resultat funciona per a tots els ideals de tipus quasi-lineal i encara per a ideals una mica més generals.
Finalment, donem exemples que il·lustren l’abast i les aplicacions de la col·lecció de resultants presentats. L’autor també dóna una col·lecció de càlculs i exemples que motiven presents i futures activitats de recerca.

The Rees algebra R(I) = R[It] of an ideal I of a Noetherian local ring R plays a major role in commutative algebra and in algebraic geometry, since Proj(R(I)) is the blowup of the affine scheme Spec(R) along the closed subscheme Spec(R/I).
So far, the problem of describing the equations of Rees algebras of ideals, as well as other related algebras, has shown to be relevant in order to further understand these major algebraic objects. The equations of R(I) arise as the elements in the kernel Q of a symmetric presentation of R(I). While this kernel may differ from one presentation to another, the degrees of a minimal generating set of homogeneous elements are known to be independent from the chosen presentation. The top degree among such generating sets, known as the relation type and denoted by rt(I), is a coarse measurement of the complexity of the underlying Rees algebra which is nonetheless a useful numerical invariant. The ideals I such that rt(I) = 1, known as ideals of linear type, have been intensely studied so far.
In this dissertation, we tackle the problem of describing the equations of R(I) for I =(J, y), with J being of linear type, i.e., for ideals of linear type up to one minimal generator. Throughout, such ideals will be referred to as ideals of almost-linear type.
The main results of this work stem from two different approaches towards the problem. In Theorem A, we give a full description of the equations of Rees algebras of ideals of the form I = (J,y), with J satisfying an homological vanishing condition. Theorem A permits us to recover and extend well-known results about families of ideals fulfilling the almost-linear type condition due to Vasconelos, Huckaba, Trung, Heinzer and Kim, among others.
Let α: S(I)→R(I) be the canonical morphism from the symmetric algebra of I to the Rees algebra of I. In Theorem B, we prove that the injectivity of a single component of α: S(I)→R(I) propagates downwards, provided I is of almost-linear type. In particular, this result gives a partial answer to a question posed by Tchernev.
Finally, packs of examples are introduced, which illustrate the scope and applications of each of the results presented. The author also gives a collection of computations and examples which motivate ongoing and future research.