STOCHASTIZATION OF CLASSICAL MODELS WITH DYNAMICAL INVARIANTS
Authors: Карачанская Е.В. 
Published: March 2023

Рассматривается возможность построения стохастических вариантов для известных моделей, описываемых системой дифференциальных уравнений и обладающих известным первым интегралом. Предложенный метод стохастизации отпирается на понятие первого интеграла системы стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) и теорему о построении системы СДУ на основе первого интеграла. Рассматриваются три модели модель распространения инфекционных заболеваний (SIR-модель), модель хищник жертва и модель многостадийной полиферментной реакции. Стохастизация осуществляется за счет внесения трех дополнительных слагаемых. Первое слагаемое диффузионное, обусловленное влиянием винеровского процесса. Второе описывает мгновенный качественный переход, связанный с реализацией пуассоновского процесса. Третье слагаемое дополняющая функция для коэффициента сноса. Для первых двух моделей построены варианты систем диффузионных уравнений Ито со скачками, для третьей без скачков. Для построения коэффициентов СДУ используются функция первый интеграл и несколько дополнительных произвольных функций. Показано, что выбор дополнительных функций позволяет построить систему уравнений с такими коэффициентами, чтобы решение этой системы удовлетворяло разумным ограничениям. Приведены примеры с численным решением построенных уравнений, которые подтверждают сохранение значения динамического инварианта при любой реализации решения СДУ.

The article considers the possibility of construction of stochastic analogues for classical models described by a differential equations system and having an invariant function. The suggested method of stochastization is based on both the concept of the first integral for a stochastic differential Ito equations system (SDE) and the theorem for construction of the SDE system using its first integral. We consider three models. The first is a simple mathematical model of epidemics or the SIR (susceptible-infectedrecovered) model, the second is the predator-prey model, and the third model is the multistage multi-enzymatic chemical reaction. The process of stochastization includes three constituents of the classical model. The first constituent is the diffuse component and described by the Wiener process violence, the second describes the intermittent transition connected with the Poisson jumps realization, and the third is the complementary function for the drift coefficient. We construct systems of stochastic differential Ito equations with Poisson jumps for the SIR model and the predator-prey model. The stochastic analogue for the third model is described with the use of a stochastic differential Ito equations system without Poisson jumps. We use a collection of functions, including an invariant function, several complementary functions, and arbitrary functions to construct coefficients for the differential equations system. It is shown that the choice of complementary functions allows us to obtain such coefficients that ensure that the solution of the differential equations system satisfies some reasonable limitations. Examples of differential equations system construction are obtained using the authors MathCad computer software for analytical simulation. The obtained numerical solutions of the systems verify the theoretical propositions and preserve the constant value for the dynamic invariant function for any realizations of the SDE solutions.