Нарушение единственности решений для математической модели движения аэродинамического маятника в потоке квазистатической среды
Authors: Беляков Д.В. 
Published: December 2024

В статье построена и исследована математическая модели малых колебаний аэродинамического маятника в потоке движущейся среды. В качестве модели воздействия среды на тело принята модель квазистатического обтекания пластинки средой. Согласно этой гипотезе, аэродинамические силы, действующие на тело, прикладываются в центре давления. В нашей задаче центр давления является подвижным относительно пластинки. Получены уравнения движения для рассматриваемого тела. Проведен переход к новым безразмерным переменным. Показано нарушение единственности при определении угла атаки в точках, где воздушная скорость центра давления близка к нулю. Построены некоторые области неоднозначности с помощью многократного решения алгебраических нелинейных уравнений полученных из кинематических соотношений. Такой способ создания областей неоднозначности достаточно трудоемкий и не позволяет это делать в широких пределах фазовых переменных. Более легкий способ работы с областями неоднозначности возможен, если определить координаты точек возврата и изобразить границы областей неоднозначности в виде двух огибающих. Подробно описан алгоритм получения этих огибающих. В математическом пакете MATLAB 18 написана программа, которая строит верхнюю и нижнюю границы областей неоднозначности. С ее помощью проведен их параметрический анализ складок при различных значениях фазовых переменных. Показано, что размеры полученных областей неоднозначности невелики. Указано, что изменение угла атаки при интегрировании должно носить непрерывный характер, иначе происходит сбой в поиске численного решения. Также создан комплекс программ, позволяющий строить области неоднозначности с помощью многократного решения нелинейного уравнения. Таким образом, разработана математическая модель колебаний пластинки и проведен геометрический анализ поверхностей и складок, с помощью комплекса программ на базе специализированной системы компьютерной математики MATLAB 18 . Таким образом, рассмотрена очень интересная задача в которой существует многозначность угла атаки, что более понятно если мы рассматриваем механическую интерпретацию, но нетривиально с точки зрения общей теории решения дифференциальных уравнений.

The article presents the construction and study of a mathematical model of small oscillations of an aerodynamic pendulum in a flow of a moving medium. The model of the impact of the medium on the body is taken as the model of the quasi-static flow around the plate by the medium. According to this hypothesis, the aerodynamic forces acting on the body are applied at the center of pressure. In our task, the pressure centre is movable relative to the plate. The equations of motion for the considered body are obtained. A transition to new dimensionless variables is carried out. Uniqueness is shown to be impaired when determining the angle of attack at points where the air velocity of the pressure center is near zero. Some areas of ambiguity are constructed using multiple solutions of algebraic nonlinear equations obtained from kinematic relations. This method of creating areas of ambiguity is rather laborious and does not allow it to be done within a wide range of phase variables. An easier way of dealing with ambiguity areas is to define the coordinates of return points and draw the boundaries of ambiguity areas as two envelopes. The algorithm for obtaining these envelopes is described in detail. In the mathematical package MATLAB 18, a program is written that builds the upper and lower boundaries of the ambiguity regions. With its help, a parametric analysis of folds was carried out for various values of phase variables. It is shown that the sizes of the obtained areas of ambiguity are small. It is specified that the change of the angle of the attack during integration must be continuous, otherwise there is a failure in the search for a numerical solution. A set of programs has also been created, which makes it possible to build areas of ambiguity by repeatedly solving a nonlinear equation. Thus, a mathematical model of plate vibrations has been developed and a geometric analysis of surfaces and folds has been carried out using a set of programs based on a specialized computer mathematics system MATLAB 18. In this way, a very interesting problem in which there is a multi-valued angle of attack is considered, which is more understandable if we consider a mechanical interpretation, but non-trivial from the point of view of the general theory of solving differential equations.