Numerical methods for shallow water equations
Authors: Κουνάδης Γρηγόριος 
Published: September 2021

Στο πρώτο κεφάλαιο διατυπώνονται οι εξισώσεις του Euler για κύματα επιφανείας ενός τέλειου ρευστού (π.χ. νερού) σε διδιάστατο κυματοδηγό πεπερασμένου βάθους με μεταβλητή τοπογραφία πυθμένα. Οι εξισώσεις γράφονται σε αδιάστατη, κανονικοποιημένη μορφή με παραμέτρους κλίμακας ε=α₀/λ₀, μ=(D₀/λ₀)², όπου α₀ τυπικό πλάτος των κυμάτων, λ₀ τυπικό μήκος κύματος, και D₀ το μέσο βάθος πυθμένα. Από τις εξισώσεις του Euler παράγονται προσεγγιστικά, απλούστερα μοντέλα για την περιγραφή της κίνησης μη γραμμικών, διασπειρομένων κυμάτων επιφανείας σε δύο κατευθύνσεις με μεγάλο μήκος κύματος σχετικά με το μέσο βάθος του πυθμένα, δηλ. για τα οποία μ≪1. Το βασικό μοντέλο είναι οι εξισώσεις Serre-Green-Naghdi (SGN) με μεταβλητό πυθμένα, από τις οποίες παράγονται εν συνεχεία τρία απλούστερα μοντέλα σε ειδικές περιοχές των παραμέτρων κλίμακας: Α) το κλασσικό σύστημα Boussinesq με μεταβλητό πυθμένα γενικής τοπογραφίας (CBs), στο οποίο ε=O(μ) και β=Ο(1), όπου β=B/D₀, με Β να είναι τυπικό μέγεθος της μεταβολής του πυθμένα. Β) το κλασσικό σύστημα Boussinesq με ασθενή μεταβολή του πυθμένα, β=O(ε), (CBw). Γ) το σύστημα των εξισώσεων ρηχών υδάτων (SW) για το οποίο μ=0 και γενικά ε=O(1). Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά την αριθμητική ανάλυση προβλημάτων αρχικών και συνοριακών συνθηκών (α.σ.σ) για τα συστήματα (CBs), (CBw), σε πεπερασμένο διάστημα με u=0 στο σύνορο. Ύστερα από ανασκόπηση της θεωρίας ύπαρξης-μοναδικότητας των λύσεων των προβλημάτων αυτών, τα συστήματα διακριτοποιούνται ως προς την χωρική συνιστώσα με την συνήθη μέθοδο Galerkin-πεπερασμένων στοιχείων, και εκτιμάται το σφάλμα της ημιδιακριτοποίησης αυτής στον L²×H¹. Η εκτίμηση του σφάλματος επιβεβαιώνεται αριθμητικά. Εξετάζονται και τέτοιες αριθμητικές μέθοδοι για την περίπτωση απορροφητικών συνθηκών στο σύνορο. Τέλος εξετάζονται υπολογιστικά, με βάση κυρίως το μοντέλο (CBs), φαινόμενα που αφορούν μεταβολές που υφίσταται ένα αρχικά μοναχικό κύμα όταν κινείται σε περιβάλλον με πυθμένα μεταβλητής τοπογραφίας. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται το σύστημα (SW) με μεταβλητό πυθμένα υπό την προϋπόθεση ότι έχει ομαλές λύσεις. Αποδεικνύονται εκτιμήσεις σφαλμάτων των μεθόδων Galerkin-ΠΣ στον χώρο L²×L² για το πρόβλημα α.σ.σ. με u=0 στα άκρα πεπερασμένου διαστήματος, καθώς και με χαρακτηριστικές συνοριακές συνθήκες απορρόφησης για υπερκρίσιμες ή υποκρίσιμες ροές. Εξετάζεται υπολογιστικά η ικανότητα της αριθμητικής μεθόδου να προσεγγίζει λύσεις σταθερής μορφής και λύσεις της μορφής «ηρεμουσών ροών» όταν το σύστημα γραφτεί σε μορφή νόμου ισορροπίας. Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζεται η ασυνεχής μέθοδος Galerkin-ΠΣ (DG) για το σύστημα (SW), γραμμένο σε μορφή νόμου ισορροπίας. Γίνεται ανασκόπηση των μεθόδων RKDG για υπερβολικά συστήματα νόμων διατήρησης σε μία διάσταση και εξετάζονται τεχνικές περιορισμού κλίσης. Κατόπιν εξετάζονται οι μέθοδοι RKDG για (SW) με μεταβλητό πυθμένα. Εξετάζονται θέματα και αλγόριθμοι καλής εξισορρόπησης, διατήρησης του μη-αρνητικού βάθους της στήλης νερού όταν ο πυθμένας πλησιάζει την ελεύθερη επιφάνεια, περιορισμού της κλίσης σε περίπτωση ασυνεχειών κ.α. Τέλος παρατίθεται μια σειρά προβλημάτων δοκιμής τα οποία ο αλγόριθμος προσεγγίζει με μεγάλη ακρίβεια.