Μελέτη ασαφών συνδέσμων και συνεπαγωγών με εφαρμογές σε συμπερασματικά συστήματα
Authors: Γραμματικόπουλος Δημήτριος 
Published: February 2022

Η Ασαφής Λογική έχει εδραιώσει την παρουσία της σε αναρίθμητες επιστημονικές εφαρμογές στις μέρες μας και σίγουρα η πλειοψηφία των ανθρώπων καθημερινά χρησιμοποιούν τουλάχιστον μία συσκευή που η λειτουργία της στηρίζεται σε μεθόδους και εργαλεία της ασαφούς λογικής. Στη Διδακτορική Διατριβή αυτή, λοιπόν, εκπονείται μία μελέτη, πρωτίστως μαθηματική, ιδιαιτέρως στις ασαφείς συνεπαγωγές και προτείνονται νέες μέθοδοι παραγωγής τους, με τη χρήση ασαφών συνδέσμων. Η διάρθρωση της Διδακτορικής Διατριβής ως προς το περιεχόμενο και τα κεφάλαιά της είναι η ακόλουθη. Στο Κεφάλαιο 1 περιέχονται οι πρωταρχικές και προαπαιτούμενες έννοιες, που χρειάζεται να γνωρίζει ο αναγνώστης, ώστε να διαβάσει τη συνέχεια της μελέτης. Οι έννοιες αυτές (ορισμοί, προτάσεις, παρατηρήσεις κ.α.) είτε έχουν αντληθεί από γνωστά διεθνή βιβλία, είτε από δημοσιευμένα επιστημονικά άρθρα στο γνωστικό αυτό αντικείμενο. Για κάθε μία από αυτές υπάρχει η αναφορά, από όπου αντλήθηκε, ή τουλάχιστον μία αναφορά όπου μπορεί να βρεθεί. Επιπλέον, η Πρόταση 1.5.11 και η Παρατήρηση 1.5.12 προστέθηκαν στο κεφάλαιο αυτό με τις αποδείξεις τους, ώστε να συμπληρώσουν όλες τις προαπαιτούμενες πρωταρχικές έννοιες. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζεται μία μέθοδος παραγωγής νέων κλάσεων ασαφών συνεπαγωγών με την εφαρμογή των νόμων De Morgan και αν είναι απαραίτητο, του κλασικού νόμου της διπλής άρνησης, σε γνωστούς τύπους παραγωγής ασαφών συνεπαγωγών. Γίνονται τέσσερις εφαρμογές της παραπάνω μεθόδου. Οι τρεις από αυτές οδηγούν στη γένεση τριών νέων κλάσεων ασαφών συνεπαγωγών, των D′-, QL′- και R′- συνεπαγωγών, αντίστοιχα. Κάθε κλάση χρήζει ξεχωριστής μελέτης, όπως αποδεικνύεται στο κεφάλαιο αυτό. Επίσης, αποδεικνύεται ότι κάθε κλάση είναι μία νέα κλάση ασαφών συνεπαγωγών και γίνεται η βασική της μελέτη. Για τις νέες κλάσεις αυτές παρουσιάζονται επίσης οι τομές ή οι σχέσεις τους με υφιστάμενες κλάσεις ασαφών συνεπαγωγών. Στο Κεφάλαιο 3 μελετώνται εκτενώς δύο υπερκλάσεις ασαφών συνεπαγωγών, αυτές των (N′, T, N)- και GD′- συνεπαγωγών, αντίστοιχα. Η πρώτη είναι γνωστή και συμπληρώνεται η μελέτη της, ενώ η δεύτερη είναι μία νέα κλάση ασαφών συνεπαγωγών, η οποία παρουσιάζεται και μελετάται. Η κεντρική ιδέα του κεφαλαίου αυτού είναι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και διαφορετικές ασαφείς αρνήσεις, αν θέλουμε, σε τύπους παραγωγής ασαφών συνεπαγωγών που χρησιμοποιούν την ασαφή άρνηση περισσότερες από μία φορά. Τα αποτελέσματα του κεφαλαίου αυτού ισχύουν με κατάλληλες τροποποιήσεις και για τις (T, N)- και D′- συνεπαγωγές αντίστοιχα. Επιπλέον, στο κεφάλαιο αυτό ανακαλύπτεται μία νέα σύνδεση μεταξύ των QL- και D- συνεπαγωγών, γεγονός που ενθαρρύνει την ύπαρξη τέτοιου είδους μελετών και αποδεικνύει την αναγκαιότητά τους. Στο Κεφάλαιο 4 μελετάται εκτενώς η ικανοποίηση ή όχι του νόμου της εισαγωγής ως προς μία τριγωνική νόρμα T, από μία (N′, T, N)- συνεπαγωγή. Πρόκειται για ακόμα ένα νόμο που προέρχεται από γενίκευση ταυτολογίας της κλασικής λογικής. Κάποια αποτελέσματα είναι γνωστά από τη βιβλιογραφία. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται νέα αποτελέσματα, που πολλές φορές επικεντρώνονται στην ύπαρξη ή όχι, ή και στην μοναδικότητα ή όχι μιας τριγωνικής νόρμας T. Επιπλέον, τα αποτελέσματα ανάγονται στα αντίστοιχα για την υποκλάση των (T, N)- συνεπαγωγών. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται μία μέθοδος παραγωγής ασαφών συνεπαγωγών από n γνωστές ασαφείς συνεπαγωγές και μία κατάλληλη συνάρτηση f. Μελετάται ιδιαίτερα η περίπτωση όπου n = 2 και η συνάρτηση f είναι μία τριγωνική νόρμα T ή συννόρμα S. Στο κεφάλαιο αυτό αποδεικνύεται και παρουσιάζεται μία χειραγώγηση ιδιοτήτων ασαφών συνεπαγωγών και μία παραγωγή τους με συγκεκριμένες ιδιότητες ή όχι, εκ των προτέρων. Ακόμη, πετυχαίνεται ένα είδος διάταξης τους με τη μέθοδο αυτή. Επίσης, παρουσιάζεται μία ειδική περίπτωση όπου από μία ασαφή συνεπαγωγή και μία τριγωνική νόρμα ή συννόρμα παράγουμε νέες ασαφείς συνεπαγωγές. Στο Κεφάλαιο 6 διερευνάται και μελετάται μία ειδική περίπτωση ενός ανοιχτού άλυτου προβλήματος, που σχετίζεται με την αρχή της ανταλλαγής (EP) μέσω των πράξεων πλέγματος ανάμεσα σε δύο ασαφείς συνεπαγωγές. Το πρόβλημα διερευνάται και μελετάται μόνο για (S, N)- συνεπαγωγές. Δεν λύνεται πλήρως, αλλά αρκετά χρήσιμα αποτελέσματα παρουσιάζονται και αποδεικνύονται. Στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται εφαρμογές, όπου οι ασαφείς σύνδεσμοι και οι ασαφείς συνεπαγωγές αποτελούν δομικά συστατικά. Εξηγείται η αναγκαιότητα της μελέτης της Διδακτορικής Διατριβής και περιγράφονται σε γενικές γραμμές οι τρεις άξονες πρωτοτυπίας πάνω στους οποίους στηρίζεται ολόκληρη η μελέτη. Επιπλέον, περιγράφεται εκτενώς το πως μπορούμε να κατασκευάσουμε ασαφείς συνεπαγωγές, που εκ των προτέρων έχουν ή όχι συγκεκριμένες ιδιότητες, όπως αυτές μελετήθηκαν στο Κεφάλαιο 5. Με λίγα λόγια περιγράφεται πως μπορεί να εφαρμοστεί η μελέτη αυτή σε πιθανές εφαρμογές. Τέλος, όλη η μελέτη της Διδακτορικής Διατριβής στηρίζεται αποκλειστικά σε γενικεύσεις από την κλασική λογική στην ασαφή λογική και σε τύπους παραγωγής ασαφών συνεπαγωγών με τη χρήση ασαφών συνδέσμων.