Μη γραμμικά κύματα στη ροή κοκκώδους ύλης
Authors: Ραζής Δημήτριος 
Published: September 2021

Η κοκκώδης ύλη όταν ρέει μέσα σε έναν ανοικτό κεκλιμένο αγωγό μπορεί να θεωρηθεί ως συνεχές μέσο και κατά συνέπεια η κίνησή της επιδέχεται μια περιγραφή υδροδυναμικού τύπου. Η ιδιαίτερη φύση του κοκκώδους ρευστού λαμβάνεται υπόψη μέσω κατάλληλων καταστατικών σχέσεων για την τριβή με τον πυθμένα του αγωγού (αποτέλεσμα των διατμητικών τάσεων) και τις ιξώδεις ορθές τάσεις που αναπτύσσονται στο κοκκώδες στρώμα. Στα δύο πρώτα κεφάλαια της παρούσας διατριβής περιγράφεται αυτή η υδροδυναμική προσέγγιση του κοκκώδους στρώματος, στο πλαίσιο της οποίας η δυναμική του διέπεται από δύο συζευγμένες μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ). Στις εν λόγω ΜΔΕ, που αποτελούν το κοκκώδες ανάλογο των εξισώσεων Saint-Venant για τη ροή του αβαθούς νερού, κατοπτρίζεται η διατήρηση της μάζας και η μεταβολή της ορμής του κοκκώδους στρώματος αντιστοίχως. Το κοκκώδες στρώμα μπορεί να φιλοξενήσει μια μεγάλη ποικιλία κυματομορφών ανάλογα με την τιμή του αριθμού Froude (Fr) της εισερχόμενης ροής. Στο Κεφάλαιο 3 μελετάμε την περίπτωση Fr < 2/3, όπου η ομοιόμορφη ροή είναι ευσταθής. Για αυτές τις τιμές του Fr, στο κοκκώδες στρώμα μπορεί να αναπτυχθεί ένα μονοκλινές κύμα πλημμύρας όταν η εισροή υλικού από την κορυφή του αγωγού αυξηθεί. Πρόκειται για την κρουστική οδεύουσα δομή που συνδέει δύο περιοχές ομοιόμορφης ροής (πλατώ) με διαφορετικό βάθος. Στο Κεφάλαιο 4, ξεκινώντας από το μονοκλινές κύμα, παρακολουθούμε την αλληλουχία των κυματομορφών που εμφανίζονται στο κοκκώδες στρώμα όταν ο αριθμός Fr αυξάνεται σταδιακά. Προς τούτο εστιάζουμε στις λύσεις οδεύοντος κύματος των προαναφερθέντων ΜΔΕ και διατυπώνουμε το αντίστοιχο δυναμικό σύστημα που αποτελείται από δύο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) πρώτης τάξης. Η ανάλυση ευστάθειας του εν λόγω δυναμικού συστήματος, επικουρούμενη από τα πορτραίτα του χώρου φάσεων για αυξανόμενο Fr, αποκαλύπτει όλες τις διαδοχικές κυματομορφές που δύνανται να αναπτυχθούν στο σύστημα. Λίγο πριν την κρίσιμη τιμή Fr = 2/3 βρίσκουμε μια καινοφανή κυματομορφή, το κοκκώδες undular bore, που αποτελεί μια διαταραγμένη μορφή του μονοκλινούς κύματος, η οποία παρουσιάζει κυματισμούς στο υψηλό πλατώ. Όταν ο αριθμός Fr της εισερχόμενης ροής ξεπεράσει την τιμή 2/3, το υψηλό πλατώ του undular bore αποσταθεροποιείται. Τότε οι κυματισμοί του λειτουργούν ως εστίες περαιτέρω ανάπτυξης των διακυμάνσεων, οδηγώντας στην οργάνωση μιας περιοδικής αλληλουχίας από roll waves. Στο Κεφάλαιο 5 θεωρούμε την αλληλεπίδραση ανάμεσα σε roll waves διαφορετικού πλάτους. Ένα μεγάλο roll wave οδεύει ταχύτερα από ένα μικρό και τα δύο τους συνενώνονται όταν συναντηθούν. Αυτό συνιστά τη βάση μιας διαδικασίας εκτράχυνσης που παρατηρείται στις κοκκώδεις ροές για Fr > 2/3. Ταυτοχρόνως, τα roll waves τείνουν να εξισώσουν το πλάτος τους (και επομένως την ταχύτητά τους) με μια συγκεκριμένη τιμή που αντιστοιχεί στην ισοκατανομή του κοκκώδους υλικού μεταξύ τους. Προφανώς, η τιμή αυτή αυξάνεται κάθε φορά που συμβαίνει μια συνένωση κυμάτων. Όταν πλέον οι διαδοχικές συνενώσεις έχουν μειώσει το πλήθος των roll waves σε τέτοιο βαθμό ώστε τα κύματα να προλαβαίνουν να φτάσουν στο προαναφερθέν επιθυμητό πλάτος πριν συμβεί μια νέα συνένωση, τότε το σύστημα παραμένει ες αεί στην τρέχουσα κατάσταση, στην οποία όλα τα εναπομείναντα roll waves έχουν ίδιο πλάτος και ταχύτητα. Το φαινόμενο αυτό καλείται "πάγωμα" της διαδικασίας εκτράχυνσης της κοκκώδους ροής. Εν κατακλείδι, στο Κεφάλαιο 6 συνοψίζουμε τα πιο σημαντικά μας ευρήματα και παρουσιάζουμε προτάσεις για μελλοντική έρευνα.