МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Authors: Аксенов А. В. 
Published: August 2023

В 2020 г. в издательстве Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН вышла в свет книга А.Д. Полянина и А.И. Журова «Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики».

Нелинейные уравнения математической физики и другие нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными второго и более высоких порядков часто встречаются в различных областях математики, физики, механики, химии, биологии и в многочисленных приложениях. Общее решение таких уравнений удается получить весьма редко в исключительных случаях. Поэтому на практике обычно приходится ограничиваться поиском и анализом частных решений, которые принято называть «точными решениями».

Точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль для выявления качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Точные решения нелинейных уравнений наглядно демонстрируют и позволяют лучше понять сложные нелинейные эффекты, такие как пространственная локализация процессов переноса, множественность или отсутствие стационарных состояний при определенных условиях, существование режимов с обострением, возможная негладкость или разрывность искомых величин и др. Простые решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений широко используются для иллюстрации теоретического материала и некоторых приложений в учебных курсах университетов и технических вузов (по прикладной и вычислительной математике, асимптотическим методам, теоретической физике, теории тепло- и массопереноса, гидродинамике, газовой динамике, теории волн, нелинейной оптике и др.).

Важно отметить, что точные решения уравнений математической физики играют важную роль стандартных «математических эталонов», которые широко используются для оценки точности различных численных, асимптотических и приближенных аналитических методов.

Лет двадцать–тридцать назад было весьма распространено мнение, что подавляющее большинство точных решений являются «инвариантными решениями», которые можно найти путем использования метода группового анализа дифференциальных уравнений (называемого также классическим методом поиска симметрий), основанного на поиске непрерывных однопараметрических преобразований, сохраняющих вид рассматриваемых уравнений. Однако потом все чаще и чаще исследователи стали находить более сложные (неинвариантные) точные решения нелинейных уравнений математической физики, для построения которых надо было использовать уже другие методы. В последние годы пополнение списка точных решений в основном происходит за счет поиска новых неинвариантных решений.

В рассматриваемой книге излагаются конструктивные аналитические методы построения неинвариантных точных решений нелинейных уравнений математической физики, обладающие широким диапазоном применимости. Описаны методы обобщенного и функционального разделения переменных, прямой метод построения редукций (метод Кларксона–Крускала), метод поиска слабых симметрий (обобщающий прямой метод построения редукций) и метод дифференциальных связей. Эти методы позволяют находить точные решения нелинейных уравнений с частными производными разных типов и разных порядков. Важно отметить, что в книгу включены разработанные в последние несколько лет прямые методы построения точных решений с функциональным разделением переменных в неявной форме (характерная качественная особенность этих методов заключается в том, что они обычно позволяют получать решения в замкнутом виде). Проведено сопоставление эффективности рассматриваемых методов.

Изложение сопровождается многочисленными конкретными примерами, в которых авторы старались давать неформальные пояснения и высказывать соображения, которые использовались при построении тех или иных решений. Для иллюстрации широкой области применимости описанных методов рассматриваются как нелинейные УрЧП второго порядка, так и различные УрЧП старших порядков.

При отборе практического материала авторы отдавали наибольшее предпочтение следующим важным типам УрЧП:

1) нелинейным уравнениям, которые встречаются в различных приложениях (в теории тепло- и массопереноса, гидродинамике, теории волн, газовой динамике, теории горения, нелинейной оптике, химической технологии, биологии и др.);

2) нелинейным уравнениям достаточно общего вида, которые зависят от одной или нескольких произвольных функций (такие уравнения и их решения представляют наибольший практический интерес для тестирования численных и приближенных аналитических методов).

В целом, книга содержит много нового материала, который ранее в монографиях не публиковался.

Данная книга будет полезной для широкого круга научных работников, преподавателей вузов, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся в области прикладной и вычислительной математики, теоретической физики, механики, теории управления, химической технологии и биологии. Отдельные разделы книги и примеры могут быть использованы в курсах лекций по уравнениям математической физики и уравнениям с частными производными, для чтения спецкурсов и для проведения практических занятий.

Отметим, что электронная версия книги находится в свободном доступе в интернете

(https://eqworld.ipmnet.ru/Arts_Polyanin/Book_Polyanin_Zhurov_2020.pdf).