Ρωγμές και εξαρμόσεις στη βαθμοελαστικότητα
Authors: Κωνσταντόπουλος Ιάσων 
Published: August 2021

Σκοπός της παρούσας διατριβής ήταν ο προσδιορισμός της ελαστικής απόκρισης ενός συνεχούς στην παρουσία εξαρμόσεων και ρωγμών στη θεωρία της βαθμοελαστικότητας. Μέρος αυτής της μελέτης αποτέλεσε ο προσδιορισμός των πλεονεκτημάτων της βαθμοελαστικότητας σε σχέση με την κλασσική ελαστικότητα. Παρουσιάσαμε τα αναγκαία στοιχεία γι’ αυτή τη μελέτη που είναι μια τεχνική επίλυσης προβλημάτων συνοριακών τιμών συστημάτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Η τεχνική αυτή η οποία βασίζεται στη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων που επιτρέπει την ανάλυση επί ασυνεχών μεγεθών και στο μετασχηματισμό Fourier περιλαμβάνει την επίλυση ενός συνοριακού προβλήματος με ενσωμάτωση των συνοριακών συνθηκών στη διαφορική εξίσωση με τη μορφή ενός κατάλληλου ιδιάζοντος όρου που τις αντιπροσωπεύει. Πεδίο εφαρμογής των προηγουμένων είναι οι εξισώσεις Laplace και Helmholtz στο άνω ημιεπίπεδο. Εισάγαμε την ορολογία που χρησιμοποιήθηκε για τις ρωγμές και τις εξαρμόσεις σε κρυσταλλογραφικό επίπεδο και στο επίπεδο της μηχανικής του συνεχούς ενώ επιδιώχθηκε η μελέτη των ατελειών αυτών στο ενοποιημένο πλαίσιο των εξαρμόσεων Somigliana. Για τον προσδιορισμό της απόκρισης του συνεχούς σε δεδομένη κατανομή πλαστικής παραμόρφωσης απαιτείται ο προσδιορισμός της σχέσης ανάμεσα στο μέτρο των ασυνεχειών του πεδίου μετατόπισης και της πλαστικής παραμόρφωσης η οποία εξαρτάται από τις χρησιμοποιούμενες καταστατικές εξισώσεις. Έτσι αναπτύξαμε ένα μοντέλο πλαστικής παραμόρφωσης για την κλασσική ελαστικότητα στο οποίο βασίσαμε την ανάπτυξη ενός αντιστοίχου μοντέλου για την απλοποιημένη θεωρία της βαθμοελαστικότητας. Με τη βοήθεια του κλασσικού μοντέλου πλαστικής παραμόρφωσης προσδιορίσαμε τα όρια εφαρμογής της κλασσικής θεωρίας και αναδείχθηκε η ανάγκη εφαρμογής της βαθμοελαστικότητας κατασκευάζοντας απλής δομής τροποποιήσεις των κλασικών μοντέλων εξαρμόσεων και ρωγμών. Αυτές οι κατασκευές δεν υπέφεραν από απειρισμούς της τάσης και της παραμόρφωσης και έδειξαν ότι η πρόβλεψη του μεγέθους του πυρήνα μιας εξάρμοσης και της ζώνης συνοχής μιας ρωγμής δεν είναι εφικτή στην κλασσική ελαστικότητα. Το θεωρητικό αυτό κενό καλύπτεται από τη θεωρία της βαθμοελαστικότητας για την οποία αναπτύσσονται λύσεις του πεδίου μετατόπισης και τάσης για ρωγμές και εξαρμόσεις οι οποίες επίσης δεν υποφέρουν από απειρισμούς ενώ το μέγεθος του πυρήνα μιας εξάρμοσης και της ζώνης συνοχής μιας ρωγμής καθίστανται πλέον σταθερές υλικού εξαρτόμενες από την επιπλέον σταθερά υλικού της βαθμοελαστικότητας, το βαθμοελαστικό συντελεστή. Οι βαθμοελαστικές λύσεις συμπληρώνονται εκτελώντας ενεργειακούς υπολογισμούς για εξαρμόσεις. Συγκρίναμε αυτούς τους υπολογισμούς με αντίστοιχες εκτιμήσεις της δυναμικής θεωρίας πλεγμάτων και ειδικότερα με υπολογισμούς της ενέργειας μερικών εξαρμόσεων στο Νιτρίδιο του Γαλλίου βασισμένους σε ένα εμπειρικό διατομικό δυναμικό τύπου Stillinger - Weber. Βασικό πόρισμα αυτής της σύγκρισης είναι ότι η σταθερά που εισάγει η θεωρία της βαθμοελαστικότητας και συνεπώς η αυτοενέργεια μιας εξάρμοσης και το μέγεθος του πυρήνα πρέπει να θεωρηθεί σταθερά του υλικού. Αυτοί οι υπολογισμοί έδωσαν για πρώτη φορά μια αριθμητική εκτίμηση της τιμής του βαθμιδικού συντελεστή σε πραγματικό υλικό επιβεβαιώνοντας ως προς την τάξη μεγέθους παλαιότερες εκτιμήσεις. Τέλος τα βαθμοελαστικά αποτελέσματα χρησιμοποιούνται για την ανασκόπηση μερικών αποτελεσμάτων της φυσικής των εξαρμόσεων αντικαθιστώντας τη χρήση της κλασσικής ελαστικότητας με τη χρήση της βαθμοελαστικότητας.