Μελέτη συμπεριφοράς υλικών υπό την επίδραση συζευγμένων πεδίων με χρήση αριθμητικών μεθόδων
Authors: Φιλόπουλος Σωτήριος 
Published: August 2021

Η ταχεία εξέλιξη της νανοτεχνολογίας και της βιομηχανικής τεχνολογίας έχει οδηγήσει στην ανάγκη αντιμετώπισης περίπλοκων προβλημάτων στην περιοχή της μηχανικής των υλικών. Η μακροσκοπική συμπεριφορά των χρησιμοποιούμενων, σε τέτοιες εφαρμογές, υλικών εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την εσωτερική τους δομή και στην πλειονότητα των περιπτώσεων είναι αποτέλεσμα επίδρασης περισσότερων του ενός πεδίων. Αν και η μεμονωμένη επίδραση πεδίων στα υλικά έχει κατανοηθεί επαρκώς, η σύζευξή τους, σε συνδυασμό με την εσωτερική δομή, δημιουργεί πολλές δυσκολίες και αναδεικνύει μια εντελώς νέα και ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα κατηγορία προβλημάτων. Στο πλαίσιο αυτό, το αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η κατασκευή μαθηματικών και αριθμητικών προσομοιωμάτων δυναμικής θερμοελαστικότητας και ηλεκτροελαστικότητας. Έχοντας υπόψη τις απαιτήσεις των σύγχρονων τεχνολογικών εφαρμογών, χρησιμοποιούμε θεωρίες συνεχούς μέσου ανώτερης τάξης, δηλ. θεωρίες που έχουν εγγενώς τη δυνατότητα να απεικονίσουν την επίδραση της μικρο-δομής των υλικών. Πιο συγκεκριμένα, επεκτείνουμε τα κλασσικά μοντέλα Green - Lindsay και Lord - Shulman ούτως ώστε να συνδυάσουμε την κυματική θεωρία μετάδοσης θερμότητας με τη θεωρία βαθμίδας τροπής (Mindlin, 1964) λαμβάνοντας υπόψη και την επίδραση της μικρο-αδράνειας. Η εξαγωγή των μαθηματικών μοντέλων γίνεται σε θερμοδυναμική βάση και εξειδικεύεται για τη γραμμική περίπτωση. Σαν εφαρμογή επιλύεται ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα γενικευμένης θερμοελαστικότητας με τη χρήση κλασσικών και μικτών πεπερασμένων στοιχείων. Όσον αφορά στην ηλεκτροελαστικότητα, κατασκευάζουμε τα αντίστοιχα μοντέλα με επέκταση της μεθοδολογίας Lekhnitskii και εισαγωγή μιγαδικών δυναμικών. Αναλύουμε εκτενώς την περίπτωση της γενικευμένης επίπεδης παραμόρφωσης και τις σχετικές ειδικές περιπτώσεις που προκύπτουν με βάση τις συμμετρίες του υλικού. Στην επόμενη ενότητα, κατασκευάζουμε κανόνες αριθμητικού υπολογισμού ιδιόμορφων (Cauchy) και υπερ-ιδιόμορφων (Hadamard) ολοκληρωμάτων, τα οποία προκύπτουν συχνά σε διάφορες περιοχές της μαθηματικής φυσικής και της αριθμητικής ανάλυσης (αεροελαστικότητα, ηλεκτρομαγνητική σκέδαση, προβλήματα ρωγμών, συνοριακά στοιχεία, κλπ.). Οι κανόνες αριθμητικής ολοκλήρωσης που αναπτύσσονται στην παρούσα διατριβή είναι παρεμβολικού τύπου Newton-Cotes. Χρησιμοποιούμε τμηματικά συνεχείς παρεμβολές Lagrange μέχρι 3ου βαθμού και αναλύουμε το σφάλμα και την τάξη σύγκλισης για διάφορες περιπτώσεις ομαλότητας της ολοκληρωτέας συνάρτησης. Κατασκευάζεται επίσης ο σχετικός κώδικας Η/Υ για την υλοποίηση των κανόνων αριθμητικής ολοκλήρωσης. Οι θεωρητικές προβλέψεις επιβεβαιώνονται με αριθμητικά παραδείγματα. Στη συνέχεια, οι κανόνες διαμορφώνονται έτσι ώστε να είναι άμεσα εφαρμόσιμοι για την επίλυση ιδιόμορφων και υπεριδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων 1ου και 2ου είδους. Τέλος, επιλύεται αριθμητικά ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα κεντρικής ρωγμής σε άπειρη πιεζοηλεκτρική πλάκα με αναγωγή σε σύστημα ιδιόμορφων ολοκληρωτικών, συνήθων ολοκληρωτικών και αλγεβρικών εξισώσεων. Τμήματα της παρούσας διατριβής έχουν κατά καιρούς δημοσιευθεί σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά με κριτές και πρακτικά διεθνών επιστημονικών συνεδρίων.