Identification of multivariate stochastic functional models with applications in damage detection of structures
Authors: Χίος Ιωάννης 
Published: January 2014

Η παρούσα διατριβή πραγματεύεται την αναγνώριση πολυμεταβλητών στοχαστικών συστημάτων που παρουσιάζουν πολλαπλές συνθήκες λειτουργίας, βασιζόμενοι σε δεδομένα που αντιστοιχούν σε ένα δείγμα ενδεικτικών συνθηκών λειτουργίας. Η σπουδαιότητα του προβλήματος είναι μεγάλη, καθώς στην πράξη συναντώνται πολύ συχνά συστήματα όπου οι επιμέρους συνθήκες λειτουργίας παραμένουν σταθερές ανά χρονικά διαστήματα. Τυπικά παραδείγματα περιλαμβάνουν μηχανολογικές, αεροναυτικές και δομικές κατασκευές που λειτουργούν κάτω από διαφορετικές συνθήκες (π.χ. θερμοκρασίας και/ή υγρασίας) σε διαφορετικές συνθήκες (π.χ. περίοδος της ημέρας). Οι διαφορετικές συνθήκες λειτουργίας ενδέχεται να επηρεάσουν ένα σύστημα και ως εκ τούτου τα δυναμικά χαρακτηριστικά του. Λαμβάνοντας υπόψη ένα σύνολο δεδομένων που αντιστοιχούν σε διαφορετικές συνθήκες λειτουργίας, είναι επιθυμητή η εύρεση ενός "γενικευμένου" μοντέλου ικανού να περιγράψει το σύστημα σε όλο το φάσμα των αποδεκτών συνθηκών λειτουργίας. Στην παρούσα διατριβή το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται μέσω ενός καινοτόμου πλαισίου αναγνώρισης στοχαστικών μοντέλων Συναρτησιακής Σώρευσης (stochastic Functional Pooling Framework), το οποίο εισάγει συναρτησιακές εξαρτήσεις (αναφορικά με την κατάσταση λειτουργίας) στην δομή του μοντέλου. Το συγκεκριμένο πλαίσιο Συναρτησιακής Σώρευσης προσφέρει σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με άλλες μεθόδους εύρεσης γενικευμένων μοντέλων που χρησιμοποιούν μεθόδους παρεμβολής (interpolation) σε ένα σύνολο συμβατικών μοντέλων (ένα για κάθε συνθήκη λειτουργίας), όπως: (i) Η ταυτόχρονη διαχείριση δεδομένων που αντιστοιχούν σε διαφορετικές συνθήκες λειτουργίας, καθώς και η διευθέτηση των αλληλοεξαρτήσεων μεταξύ δεδομένων που ανήκουν σε διαφορετικές συνθήκες λειτουργίας παρέχοντας με τον τρόπο αυτό μοντέλα με βέλτιστη στατιστική ακρίβεια, (ii) η χρήση συμπτυγμένων μοντέλων τα οποία περιγράφουν με ακρίβεια τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος σε κάθε κατάσταση λειτουργίας, αποφεύγοντας έτσι την χρήση συμβατικών μεθόδων παρεμβολής, (iii) ο προσδιορισμός των αβεβαιοτήτων στη μοντελοποίηση κάθε κατάστασης λειτουργίας μέσω εκτίμησης κατάλληλων διαστημάτων εμπιστοσύνης. Μέχρι στιγμής, η έρευνα πάνω στο πλαίσιο Συναρτησιακής Σώρευσης έχει επικεντρωθεί στα βαθμωτά στοχαστικά μοντέλα. Η παρούσα διατριβή σαν στόχο έχει (i) την κατάλληλη διαμόρφωση και επέκταση του πλαισίου Συναρτησιακής Σώρευσης για την περίπτωση πολυμεταβλητών στοχαστικών συστημάτων που λειτουργούν με πολλαπλές συνθήκες λειτουργίας , και (ii) την εισαγωγή μιας καινοτόμου μεθοδολογίας ανίχνευσης βλαβών για συστήματα που παρουσιάζουν πολλαπλές συνθήκες λειτουργίας βασιζόμενη σε πολυμεταβλητά μοντέλα Συναρτησιακής Σώρευσης και στον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων. Η περίπτωση των πολυμεταβλητών μοντέλων παρουσιάζει τεχνικές δυσκολίες που δεν συναντώνται στα βαθμωτά μοντέλα, καθώς η δομή των μοντέλων είναι πιο περίπλοκη ενώ η παραμετροποίησή τους είναι μη-τετριμμένη θέτοντας έτσι ζητήματα αναγνωρισιμότητας (model identifiability). Η παρούσα διατριβή εστιάζει σε Συναρτησιακά Σωρευμένα Διανυσματικά μοντέλα ΑυτοΠαλινδρόμησης με εΞωγενή είσοδο (Functionally Pooled Vector AutoRegressive with eXogenous excitation; FP-VARX), και σε Διανυσματικά μοντέλα ΑυτοΠαλινδρόμησης με Κινητό Μέσο Όρο (Functionally Pooled AutoRegressive with Moving Average; FP-VARMA). Τα μοντέλα αυτά μπορεί να θεωρηθούν ως γενικεύσεις των συμβατικών μοντέλων VARX/VARMA με την σημαντική διαφοροποίηση ότι οι παράμετροι του μοντέλου είναι συναρτήσεις της συνθήκης λειτουργίας. Το πρώτο κεφάλαιο της διατριβής επικεντρώνεται στην αναγνώριση μοντέλων FP-VARX. Αναπτύσσονται εκτιμήτριες βασισμένες στις μεθόδους των Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Squares; LS) και της Μέγιστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood; ML), ενώ στη συνέχεια μελετώνται η συνέπεια (consistency) και η ασυμπτωτική κατανομή (asymptotic distribution)τους. Επιπλέον, καθορίζονται συνθήκες που εξασφαλίζουν την αναγνωρισιμότητα (identifiability) των FP-VARX μοντέλων, ενώ ο προσδιορισμός της δομής τους βασίζεται σε κατάλληλα τροποποιημένα κριτήρια πληροφορίας (information criteria). Η αποτίμηση της μοντελοποίησης με FP-VARX, καθώς επίσης και η αποτελεσματικότητά τους έναντι των συμβατικών μοντέλων VARX εξακριβώνεται μέσω προσομοιώσεων Monte Carlo. Στο δεύτερο κεφάλαιο διερευνάται η αναγνώριση των θερμοκρασιακών επιρροών στα δυναμικά χαρακτηριστικά μιας ευφυούς δοκού από σύνθετο υλικό. Το πρόβλημα μελετάται χρησιμοποιώντας συμβατικά μοντέλα καθώς και "γενικευμένα" μοντέλα. Η συμβατική μοντελοποίηση περιλαμβάνει μη-παραμετρικές παραστάσεις που βασίζονται στην μέθοδο Welch (ανάλυση στο πεδίο συχνοτήτων), καθώς και παραμετρικές παραστάσεις βασισμένες στα μοντέλα VARX (ανάλυση στο πεδίο χρόνου). H "γενικευμένη" μοντελοποίηση περιλαμβάνει παραστάσεις Σώρευσης με Σταθερές Παραμέτρους (Constant Coefficient Pooled VARX; CCP-VARX), καθώς και VARX παραστάσεις Συναρτησιακής Σώρευσης (Functionally Pooled VARX; FP-VARX). Η ανάλυση υποδεικνύει ότι τα χαρακτηριστικά των "γενικευμένων" και των συμβατικών μοντέλων βρίσκονται σε γενική συμφωνία μεταξύ τους. Ωστόσο, τα "γενικευμένα" μοντέλα περιγράφουν τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος με μικρότερο αριθμό παραμέτρων, γεγονός που προσδίδει μεγαλύτερη ακρίβεια στην εκτίμησή τους. Το μοντέλο CCP-VARX τείνει να σταθμίσει τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος σε κάποιον "μέσο όρο" με σχετική ακρίβεια. Απεναντίας το μοντέλο FP-VARX υπερέχει σε ακρίβεια, καθώς επιδεικνύει μια εξομαλυμένη καθοριστική εξάρτηση των δυναμικών χαρακτηριστικών του συστήματος με την θερμοκρασία, γεγονός που είναι συμβατό με την φυσική του προβλήματος. Το τρίτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στην αναγνώριση μοντέλων FP-VARMA. Αναπτύσσονται εκτιμήτριες βασισμένες στις μεθόδους των Ελαχίστων Τετραγώνων Δύο Σταδίων (Two Stage Least Squares; 2SLS) και της Μέγιστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood; ML), ενώ στην συνέχεια μελετώνται η συνέπεια και η ασυμπτωτική κατανομή τους. Επιπλέον, εισάγεται μια νέα μέθοδος για την εκτίμηση 2SLS που απλοποιεί σημαντικά την διαδικασία εξαγωγής υπολοίπων (residuals) από το πρώτο στάδιο. Επίσης, καθορίζονται οι συνθήκες που εξασφαλίζουν αναγνωρισιμότητα στα μοντέλα FP-VARMA. Ο προσδιορισμός της δομής των μοντέλων FP-VARMA πραγματοποιείται χάρη σε μια μεθοδολογία δύο σταδίων που βασίζεται στην Ανάλυση Κανονικοποιημένων Συσχετίσεων (Canonical Correlation Analysis; CCA) και κριτηρίων πληροφορίας, αποφεύγοντας έτσι την εκτεταμένη χρήση αλγορίθμων αναζήτησης. Η αποτίμηση της μοντελοποίησης με FP-VARMA, καθώς επίσης και η αποτελεσματικότητά τους έναντι των συμβατικών VARMA εξακριβώνεται μέσω προσομοιώσεων Monte Carlo. Το τέταρτο κεφάλαιο πραγματεύεται την ανίχνευση βλαβών σε συστήματα που παρουσιάζουν πολλαπλές συνθήκες λειτουργίας. Προτείνεται μια νέα μεθοδολογία που βασίζεται σε καινοτόμα μοντέλα Συναρτησιακής Σώρευσης και στον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων. Παρουσιάζονται δυο εκδόσεις της μεθοδολογίας: η πρώτη βασίζεται στα μορφικά χαρακτηριστικά του μοντέλου ενώ η δεύτερη στις παραμέτρους του μοντέλου. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται μέθοδοι συμπίεσης της πληροφορίας που περιέχουν τα μορφικά χαρακτηριστικά ή οι παράμετροι του μοντέλου μέσω της Ανάλυσης Κύριων Συνιστωσών (Principal Component Analysis; PCA) σε μια προσπάθεια απλοποίησης της διαδικασίας ανίχνευσης βλαβών. Η αποτελεσματικότητα της μεθοδολογίας επαληθεύεται πειραματικά σε μια "ευφυή" δοκό από σύνθετο υλικό, η οποία ταλαντώνεται σε διαφορετικές θερμοκρασίες. Στην παρούσα μορφή της η μεθοδολογία χρησιμοποιεί δεδομένα απόκρισης ταλάντωσης, ωστόσο δεδομένα διέγερσης-απόκρισης μπορούν να χρησιμοποιηθούν εφόσον κριθεί σκόπιμο. Η εξάρτηση των δυναμικών χαρακτηριστικών της δοκού με την θερμοκρασία περιγράφεται με τη χρήση μοντέλων FP-VAR, ενώ εισάγεται μια νέα μέθοδος καθορισμού της δομής του μοντέλου που αποφεύγει την χρήση αλγορίθμων αναζήτησης. Πλήθος πειραμάτων που καλύπτουν ένα ευρύ θερμοκρασιακό πεδίο, καθώς και συγκρίσεις με άλλες μεθοδολογίες ανίχνευσης βλαβών, πιστοποιούν την ικανότητα της προτεινόμενης μεθοδολογίας να διαγνώσει την κατάσταση της δοκού σε διάφορες θερμοκρασίες. Το πέμπτο κεφάλαιο ασχολείται με ειδικά θέματα μοντελοποίησης των "γενικευμένων" VARX . Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στην μελέτη Σωρευμένων VARX (P-VARX) και CCP-VARX μοντέλων. Σε αντιστοιχία με τα μοντέλα FP, αναπτύσσονται εκτιμήτριες LS και ML, ενώ στην συνέχεια μελετώνται οι ιδιότητές τους. Επιπλέον, καθορίζονται οι συνθήκες που εξασφαλίζουν την αναγνωρισιμότητα των μοντέλων P-VARX και CCP-VARX. Μελετώνται επίσης και οι σχέσεις που συνδέουν τις δομές των μοντέλων P-VARX και CCP-VARX με τα FP-VARX ως προς την παραμετροποίησή τους και την ακρίβεια που επιτυγχάνουν. Επιπλέον, μελετάται και η σχέση των παραπάνω μοντέλων με τα συμβατικά VARX. Η αποτίμηση των γενικευμένων μοντέλων VARX αναφορικά με το πλήθος των εκτιμώμενων παραμέτρων και την ακρίβεια που επιτυγχάνουν εξακριβώνεται μέσω προσομοιώσεων Monte Carlo.