Numerical & theoretical study of the static response of coated microbubbles subject to uniform and distributed load
Authors: Λύτρα Αλκμήνη 
Published: September 2021

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάται θεωρητικά και υπολογιστικά η στατική απόκριση φυσαλίδων τύπου contrast agent (σκιαγραφικό μέσο). Το ελαστικό περίβλημα που τις καλύπτει είναι βιο-συμβατό και παρέχει μηχανική αντοχή καθιστώντας τες κατάλληλες για εφαρμογές όπως η στοχευμένη διανομή φαρμάκου και απεικόνιση παθολογικών ιστών (in-vivo). Ο χαρακτηρισμός των ιδιοτήτων του κελύφους, του μέτρου ελαστικότητας και του μέτρου κάμψης, είναι κεντρικής σημασίας για τη βέλτιστη λειτουργία τους. Δύο βασικοί τύποι κελυφών συναντώνται σε αυτές τις εφαρμογές: Μικροφυσαλίδες επικαλυμμένες με πολυμερές και μικροφυσαλίδες με μονές στιβάδες λιπιδίου. Οι πρώτες χαρακτηρίζονται από υψηλότερο μέτρο ελαστικότητας σε σχέση με τις δεύτερες. Τα τελευταία χρόνια το μικροσκόπιο ατομικής δύναμης (AFM) έχει αναδειχθεί σημαντικό εργαλείο για την εκτίμηση των παραπάνω ιδιοτήτων μέσω των καμπυλών δύναμης-παραμόρφωσης. Σε αυτή την κατεύθυνση, αρχικός σκοπός αυτής της διατριβής είναι η μοντελοποίηση της στατικής απόκρισης φυσαλίδων επικαλυμμένων με ελαστικό περίβλημα κάτω από τον πρόβολο του AFM και η ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας για την εκτίμηση των ελαστικών ιδιοτήτων και για τους δύο τύπους κελυφών.Στο πλαίσιο της διατριβής έχουν αναπτυχθεί δύο θεωρητικά και αριθμητικά μοντέλα για την περιγραφή του προβλήματος της επαφής μεταξύ προβόλου και φυσαλίδας. Ο πρόβολος θεωρείται ως μια επίπεδη και απαραμόρφωτη επιφάνεια, ενώ η φυσαλίδα περιγράφεται ως μια ελαστική μεμβράνη και το αέριο στο εσωτερικό της ως συμπιεστό. Το πρώτο μοντέλο είναι μια απλή θεώρηση στην οποία όλο το φορτίο είναι συγκεντρωμένο στο τέλος της γραμμής επαφής, ενώ στο δεύτερο ο μηχανισμός φόρτισης του κελύφους περιγράφεται μέσω της πίεσης αποσύνδεσης (disjoining pressure) ως αποτέλεσμα της τοπικής λέπτυνσης της υγρής φάσης μεταξύ προβόλου και μικροφυσαλίδας. Ο βαθμός λέπτυνσης του υγρού φιλμ περιγράφει την δύναμη μεταξύ των δύο επιφανειών, απωστική ή ελκτική, ανάλογα την σχετική τους θέσης. Σε κάθε περίπτωση επιλύονται μέσω πεπερασμένων στοιχείων το ισοζύγιο ορθών και εφαπτομενικών δυνάμεων, καθώς και η εξίσωση της ισοθερμοκρασιακής συμπίεσης του αερίου. Οι ελαστικές τάσεις περιγράφονται με τη βοήθεια καταστατικών νόμων, η πίεση αποσύνδεσης μέσω ενός δυναμικού πρόσφυσης και γίνεται παραδοχή αξονικής συμμετρίας. Η αξιοπιστία της αριθμητικής μεθοδολογίας έχει ελεγχθεί συγκρίνοντας με ανάλογα αναλυτικά αποτελέσματα. Τα αποτελέσματα κάθε μοντέλου περιγράφονται κυρίως με τη μορφή καμπυλών δύναμης- παραμόρφωσης, στις οποίες διερευνάται ο λυγισμός του κελύφους στην περιοχή της επαφής. Στο πρώτο μοντέλο επαφής η απόκριση είναι αρχικά γραμμική (περιοχή Reissner), ενώ όταν συμβαίνει λυγισμός (περιοχή Pogorelov) η καμπύλη γίνεται μη γραμμική με τα κοίλα προς τα κάτω. Η γραμμική λύση συνεχίζει να υπάρχει και μετά το σημείο λυγισμού, αλλά χαρακτηρίζεται από περισσότερη ενέργεια σε σχέση με την λύση λυγισμού. Μια τρίτη, μη γραμμική με τα κοίλα προς τα πάνω, περιοχή παρατηρείται σε σχετικά μεγάλες παραμορφώσεις της μεταλυγισμικής και συνδέεται με την σημαντική αύξηση της εσωτερικής πίεσης σε σχέση με την ελαστικότητα του κελύφους, ως αποτέλεσμα της σημαντικής μείωσης του όγκου. Οι παραπάνω περιοχές ανακτώνται και στην περίπτωση του μοντέλου της πίεσης αποσύνδεσης. Σε κάθε περίπτωση το αδιάστατο μέτρο κάμψης, kb , δηλαδή ο λόγος της αντίστασης σε κάμψη σε σχέση με την αντίσταση σε εφελκυσμό, καθορίζει τη θέση του σημείου λυγισμού. Τα πολυμερικά κελύφη έχουν σχετικά μικρό kb~10^(-5) και για αυτό στις αντίστοιχες πειραματικές καμπύλες AFM παρατηρείται λυγισμός, ενώ σε κελύφη καλυμμένα με λιπίδιο το αδιάστατο μέτρο κάμψης είναι σχετικά μεγαλύτερο , kb~10^(-3) , και έτσι ο λυγισμός δεν είναι προτιμητέα λύση, καθώς η αντίσταση σε κάμψη είναι σχετικά μεγάλη. Επιπλέον, όταν η πρόσφυση είναι ισχυρή, ο τοπικός λυγισμός μεταφέρεται σε μεγαλύτερες τιμές δύναμης-παραμόρφωσης ή σε ακραίες περιπτώσεις δεν παρατηρείται, διότι το κέλυφος βρίσκεται σε σημαντική έλξη με τον πρόβολο, αυξάνοντας έτσι τις εφελκυστικές τάσεις που προστατεύουν τον λυγισμό. Η επιφανειακή τάση τείνει να αυξήσει την εσωτερική πίεση, ενώ παραμένουσες θλιπτικές τάσεις τείνουν να την μειώσουν και να μεταφέρουν το σημείο λυγισμού σε χαμηλότερες τιμές. Τα παραπάνω μελετώνται εκτενώς μέσω παραμετρικής μελέτης.Επιπλέον, με κατάλληλη τροποποίηση των εξισώσεων ισορροπίας, γίνεται ανάλογη μελέτη για φυσαλίδες που δεν είναι καλυμμένες με ελαστικό περίβλημα, οι οποίες χαρακτηρίζονται ως ελεύθερες, και η συμπεριφορά τους διέπεται από την επιφανειακή τάση και το εσωτερικό αέριο. Σε αυτή την περίπτωση, λυγισμός δεν συμβαίνει ποτέ, όπως αναμένονταν, ενώ η απόκριση στις αντίστοιχες καμπύλες δύναμης-παραμόρφωσης είναι σχεδόν τετραγωνική. Μια τέτοια προσέγγιση είναι χρήσιμη για την περίπτωση νανο-φυσαλίδων, στις οποίες δεν υπάρχει ελαστικό περίβλημα.Αξιοποιώντας αναλυτικές σχέσεις της βιβλιογραφίας για τη γραμμική και μη γραμμική περιοχή (Reissner-Pogorelov) των πειραματικών καμπυλών για φυσαλίδες επικαλυμμένες με πολυμερές, υπολογίζονται ταυτόχρονα το μέτρο ελαστικότητας και το πάχος του κελύφους με πολύ ικανοποιητική συμφωνία με τις πειραματικές τιμές. Επιπλέον, οι αντίστοιχες καμπύλες δύναμης-παραμόρφωσης για φυσαλίδες επικαλυμμένες με λιπίδιο δεν εμφανίζουν μετάπτωση από τη γραμμική στη μη γραμμική περιοχή, αλλά είναι γραμμικές. Σε αρκετά μεγάλη παραμόρφωση τείνουν να στρέψουν τα κοίλα προς πάνω. Σε αυτή την περίπτωση η εκτίμηση των ελαστικών παραμέτρων γίνεται συνδυάζοντας τη σχέση του Reissner με τη σχέση των Lulevich et al. και Shanahan. Πραγματοποιώντας προσομοιώσεις και με τα δύο αριθμητικά μοντέλα, θεωρώντας τις παραμέτρους που υπολογίστηκαν με τις προηγούμενες μεθόδους, η πειραματική απόκριση και των δύο τύπων φυσαλίδων ανακτάται ιδιαίτερα ικανοποιητικά, αναδεικνύοντας την ορθότητα των υπολογισμών.Το δεύτερο πρόβλημα που μελετάει η παρούσα διατριβή είναι ο λυγισμός των προηγούμενων κελυφών όταν συμπιέζονται υπό την επίδραση ενός ομοιόμορφου πεδίου πίεσης, κάθετο ως προς την επιφάνεια του κελύφους με σκοπό την κατασκευή των διαγραμμάτων διακλάδωσης για τους δύο τύπους κελυφών. Επιλύονται οι ίδιες εξισώσεις, όπως παραπάνω, αλλά η φόρτιση είναι γνωστή και επιβάλλεται σε όλη την γενέτειρα καμπύλη. Η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων για αυτό το πρόβλημα έχει ελεγχθεί συγκρίνοντάς τα με αντίστοιχα αριθμητικά αποτελέσματα και ανακτώντας τη θεωρητική τιμή του κρίσιμου φορτίου λυγισμού.Σε αυτό το πρόβλημα, καθώς η πίεση αυξάνεται το κέλυφος συμπιέζεται, αλλά το σχήμα του παραμένει σφαιρικό, το οποίο θεωρείται ως η βασική λύση. Όταν το φορτίο γίνει ίσο με το κρίσιμο φορτίο λυγισμού, ο πίνακας της ιακωβιανής έχει μία παραπάνω ασταθή ιδιοτιμή, όπου διαταράσσοντας τη σφαιρική λύση με το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα, προκύπτει ο μεταλυγισμικός κλάδος ο οποίος χαρακτηρίζεται από ασύμμετρα ή συμμετρικά ως προς τον ισημερινό σχήματα.Όταν η πρώτη αστάθεια πάνω στον σφαιρικό κλάδο των πολυμερών κυριαρχείται από ασύμμετρη ιδιομορφή, ο κλάδος λυγισμού αναπτύσσεται υποκρίσιμα μόνο (subcritical bifurcation). Η δεύτερη αστάθεια στον σφαιρικό κλάδο κυριαρχείται από συμμετρική λύση και αναπτύσσεται τόσο προς τα πάνω, όσο και προς τα κάτω του φορτίου λυγισμού (transcritical bifurcation). Τα σχήματα του υπερκρίσιμου (supercritical) συμμετρικού κλάδου είναι τεντωμένα στους πόλους και συμπιεσμένα στον ισημερινό (prolate), ενώ τα σχήματα του υποκρίσιμου (subcritical) συμμετρικού κλάδου είναι πεπλατυσμένα (oblate). Αντίθετα, όταν η πρώτη αστάθεια κυριαρχείται από συμμετρική ιδιομορφή, αυτή αναπτύσσεται ξανά και στις δύο κατευθύνσεις, αλλά η δεύτερη αστάθεια της σφαίρας που χαρακτηρίζεται από ασύμμετρη ιδιομορφή δεν είναι δυνατό να εξελιχθεί. Ωστόσο, ο υποκρίσιμος συμμετρικός κλάδος γρήγορα παρουσιάζει μία ακόμα ασταθή ιδιοτιμή, που οδηγεί σε ασύμμετρο υποκρίσιμο λυγισμό. Σε κάθε περίπτωση, καθώς εξελίσσονται οι υποκρίσιμοι κλάδοι, εμφανίζουν κρίσιμο σημείο (limit point), που τους οδηγεί στο να εξελιχθούν σε υψηλότερες πιέσεις από το φορτίο λυγισμού. Σε αυτή την περιοχή ο αριθμός των ασταθών ιδιοτιμών είναι κατά ένα λιγότερος σε σχέση με το σημείο διακλάδωσης και έχουν χαμηλότερη ενέργεια από τη σφαίρα. Στην περιοχή αυτή επιπλέον ο όγκος έχει μειωθεί σημαντικά και οι δύο πόλοι του κελύφους τείνουν να προχωρήσουν στη δημιουργία ζώνης επαφής. Στα κελύφη λιπιδίου η εικόνα είναι παρόμοια, με τη διαφορά πως, όταν η πρώτη αστάθεια είναι συμμετρική, δεν προκύπτει ο ασύμμετρος κλάδος ούτε από την σφαίρα, αλλά ούτε από την συμμετρική λύση.Στο πλαίσιο της διατριβής διεξήχθη παραμετρική μελέτη για να γίνει κατανοητό πως το αδιάστατο μέτρο κάμψης, , καθορίζει το σχήμα της πρώτης αστάθειας. Για μια φυσαλίδα με σχετικά μικρό kb, η πρώτη αστάθεια είναι συμμετρική, καθώς όμως μειώνεται το kb , ή ισοδύναμα το πάχος του κελύφους, η πρώτη ιδιομορφή είναι ασύμμετρη, ώστε σχηματίζοντας μία μόνο περιοχή με έντονη παραμόρφωση να μειωθούν οι τάσεις στο κέλυφος, καθώς η μείωση του kb ισοδυναμεί με αύξηση του επιφανειακού μέτρου ελαστικότητας. Μειώνοντας περαιτέρω το μέτρο πάχος του κελύφους, δεν είναι αρκετή μία περιοχή λυγισμό για να μειώσει τις τάσεις και έτσι μια δεύτερη περιοχή με λυγισμό σχηματίζεται, οδηγώντας σε συμμετρικά σχήματα. Θα πρέπει όμως να σημειωθεί ότι όταν συνυπάρχουν οι δύο ιδιομορφές σε σχετικά μικρούς όγκους λίγο πριν από τη δημιουργία ζώνης επαφής, ο ασύμμετρος κλάδος είναι αυτός με τη χαμηλότερη ενέργεια. Επιπλέον στα κελύφη από λιπίδιο, όπου η αντίσταση της συμπίεσης του αερίου είναι σημαντική σε σχέση με την ελαστικότητα, το κρίσιμο σημείο (limit point) των υποκρίσιμων κλάδων οδηγεί σε γρήγορη αύξηση της απαιτούμενης πίεσης, χωρίς να είναι απαραίτητο να μειωθεί σημαντικά ο όγκος. Στα πολυμερή αντιθέτως, μετά το κρίσιμο σημείο ο όγκος μειώνεται σημαντικά μέχρι να επιτευχθεί ζώνη επαφής.Τα κυριότερα συμπεράσματα της παρούσας διατριβής συνοψίζονται στα παρακάτω σημεία:Πρόβλημα επαφής:•Το μοντέλο των διαμοριακών δυνάμεων είναι ένα καινοτόμο εργαλείο, που μπορεί να περιγράψει τις πειραματικές καμπύλες δύναμης-παραμόρφωσης και για τους δύο τύπους κελυφών (πολυμερή και μονές στιβάδες λιπιδίου).•Οι ελαστικές ιδιότητες μικροφυσαλίδων επικαλυμμένων με πολυμερές μπορούν να εκτιμηθούν από τις πειραματικές καμπύλες δύναμης-παραμόρφωσης μέσω της μετάπτωσης από την γραμμική περιοχή Reissner (προ-λυγισμική) στη μη γραμμική Pogorelov (μετά-λυγισμική).•Διεξάγοντας προσομοιώσεις για τις μικροφυσαλίδες επικαλυμμένες με λιπίδιο δεν παρατηρήθηκε λυγισμός. Η στατική τους απόκριση αρχικά ακολουθεί την λύση Reissner, όπου το βασικό ισοζύγιο είναι μεταξύ των αντιστάσεων λόγω συμπίεσης και κάμψης. Στη συνέχεια, η συμπεριφορά γίνεται μη γραμμική (Δ3), όπου κυριαρχεί η αντίσταση της συμπίεσης του αερίου μαζί με την διόγκωση του κελύφους στην περιοχή του ισημερινού.•Οι ελαστικές ιδιότητες, δηλαδή το επιφανειακό μέτρο ελαστικότητας και το μέτρο κάμψης, για τις μικροφυσαλίδες επικαλυμμένες με λιπίδιο μπορούν να εκτιμηθούν από την μετάβαση από την περιοχή Reissner στην περιοχή που κυριαρχεί η συμπίεση του αερίου.•Η παραμετρική μελέτη δείχνει ότι το αδιάστατο μέτρο κάμψης καθορίζει την θέση του σημείου λυγισμού. Ωστόσο, όταν η πρόσφυση του κελύφους στον πρόβολο είναι σημαντική, απαιτείται μεγαλύτερη δύναμη για να λυγίσει το κέλυφος ή σε περιπτώσεις πολύ υψηλής πρόσφυσης, το κέλυφος δεν λυγίζει και παραμένει προσκολλημένο στον πρόβολο.•Οι προσομοιώσεις δείχνουν πως η γραμμική συμπεριφορά, που παρατηρείται έντονα και στις πειραματικές καμπύλες, είναι συνδεδεμένη με την ελαστικότητα. Αντιθέτως, στις ελεύθερες φυσαλίδες δεν παρατηρείται γραμμική απόκριση. Επομένως, οι μικροφυσαλίδες που είναι επικαλυμμένες με μονή στιβάδα λιπιδίου (Definity) μπορούν να χαρακτηριστούν ως ιξωδοελαστικές στερεές μεμβράνες. Διαγράμματα διακλάδωσης:•Στα διαγράμματα διακλάδωσης η πρώτη αστάθεια καθορίζεται από την σχετική σημασία του μέτρου κάμψης ως προς το επιφανειακό μέτρο ελαστικότητας, δηλαδή του αδιάστατου μέτρου κάμψης .•Πιο συγκεκριμένα, σε σχετικά μεγάλες τιμές του kb η πρώτη αστάθεια χαρακτηρίζεται από συμμετρικά σχήματα, ενώ καθώς το μειώνεται τα σχήματα γίνονται ασύμμετρα και σε εξαιρετικά χαμηλές του kb, η πρώτη αστάθεια έχει πάλι συμμετρικά σχήματα.•Η εναλλαγή από συμμετρικά σε ασύμμετρα και πάλι σε συμμετρικά είναι αποτέλεσμα της διαφοροποίησης της αντίστασης σε κάμψη σε σχέση με την αντίσταση σε εφελκυσμό/συμπίεση και σε συνδυασμό με τον σχηματισμό δύο ή ενός λοβών στους πόλους οδηγεί σε ελαχιστοποίηση της συνολικής ενέργειας.•Οι ασύμμετροι κλάδοι αναπτύσσονται μόνο υποκρίσιμα, ενώ οι συμμετρικοί τόσο υποκρίσιμα όσο και υπερκρίσιμα.•Στις μικροφυσαλίδες επικαλυμμένες με πολυμερές, όταν η πρώτη αστάθεια είναι συμμετρική, η ασύμμετρη προκύπτει από τον συμμετρικό κλάδο ως λύση και όχι από την σφαίρα.•Στις μικροφυσαλίδες επικαλυμμένες με πολυμερές, όταν η πρώτη αστάθεια είναι συμμετρική, η ασύμμετρη λύση υπάρχει πάνω στην σφαίρα ως δεύτερη αστάθεια, αλλά δεν αναπτύσσεται. Επιπλέον, στην συμμετρική λύση δεν παρατηρείται νέα αστάθεια που μπορεί να οδηγήσει σε ασύμμετρη, όπως συμβαίνει στα πολυμερή.•Καθώς οι υποκρίσιμοι κλάδοι αναπτύσσονται προς τιμές χαμηλότερες του φορτίου λυγισμού, εμφανίζουν κρίσιμο σημείο και είναι γραμμικά ευσταθείς. Μετά το κρίσιμο σημείο αναπτύσσονται αυξάνοντας την απαιτούμενη εξωτερική πίεση και πολύ σύντομα η συνολική τους ενέργεια γίνεται χαμηλότερη από την σφαίρα. Η λύση παρακολουθείται μέχρι σχηματισμό ζώνης επαφής, δηλαδή μέχρι οι δύο πόλοι να έρθουν πολύ κοντά. Για τον εντοπισμό λύσεων με πλήρη επαφή απαιτείται νέος μαθηματικός φορμαλισμός.•Τέλος, στα πολυμερή η ζώνη επαφής εντοπίζεται σε πολύ χαμηλούς όγκους και αντίστοιχα υψηλή υπερπιέση. Αντίθετα, στα λιπίδια μετά το κρίσιμο σημείο η υπερπίεση αυξάνεται σχετικά απότομα, αποτρέποντας τη λύση να πάει σε χαμηλούς όγκους. Αυτή είναι μία σημαντική διαφορά στους δύο τύπους κελυφών και είναι αποτέλεσμα της σημαντικής αντίστασης σε συμπίεση που έχουν τα λιπίδια σε σχέση με τα πολυμερή. Έτσι, στα πρώτα αποτρέπεται η σημαντική μείωση του όγκου, ώστε να μην αυξηθεί και γίνει ακόμα πιο σημαντική η εσωτερική πίεση, που δεν θα οδηγούσε σε ισορροπία.