bluuebunny/crossref_metadata_2025 huggingface dataset:
Bott-Samelson Varieties, Subword Complexes and Brick Polytopes
Authors: Escobar Laura
Published: August 2021

Bott-Samelson varieties factor the flag variety $G/B$ into a product of $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$'s with a map into $G/B$. These varieties are mostly studied in the case in which the map into $G/B$ is birational; however in this paper we study fibers of this map when it is not birational. We will see that in some cases this fiber is a toric variety. In order to do so we use the moment map of a Bott-Samelson variety to translate this problem into a purely combinatorial one in terms of a subword complex. These simplicial complexes, defined by Knutson and Miller, encode a lot of information about reduced words in a Coxeter system. Pilaud and Stump realized certain subword complexes as the dual to the boundary of a polytope which generalizes the brick polytope defined by Pilaud and Santos. For a nice family of words, the brick polytope is the generalized associahedron realized by Hohlweg and Lange. These stories connect in a nice way: the moment polytope of a fiber of the Bott-Samelson map is the Brick polytope. In particular, we give a nice description of the toric variety of the associahedron.
Affine permutations and rational slope parking functions
Authors: Gorsky Eugene , Mazin Mikhail , Vazirani Monica
Published: August 2021

We introduce a new approach to the enumeration of rational slope parking functions with respect to the area and a generalized dinv statistics, and relate the combinatorics of parking functions to that of affine permutations. We relate our construction to two previously known combinatorial constructions: Haglund's bijection ζ exchanging the pairs of statistics (area,dinv) and (bounce, area) on Dyck paths, and Pak-Stanley labeling of the regions of k-Shi hyperplane arrangements by k-parking functions. Essentially, our approach can be viewed as a generalization and a unification of these two constructions.
Depth in Coxeter groups of type $B$
Authors: Bagno Eli , Biagioli Riccardo , Novick Mordechai
Published: August 2021

The depth statistic was defined for every Coxeter group in terms of factorizations of its elements into product of reflections. Essentially, the depth gives the minimal path cost in the Bruaht graph, where the edges have prescribed weights. We present an algorithm for calculating the depth of a signed permutation which yields a simple formula for this statistic. We use our algorithm to characterize signed permutations having depth equal to length. These are the fully commutative top-and-bottom elements defined by Stembridge. We finally give a characterization of the signed permutations in which the reflection length coincides with both the depth and the length.

La statistique profondeur a été introduite par Petersen et Tenner pour tout groupe de Coxeter $W$. Elle est définie pour tout $w \in W$ à partir de ses factorisations en produit de réflexions (non nécessairement simples). Pour le type $B$, nous introduisons un algorithme calculant la profondeur, et donnant une formule explicite pour cette statistique. On utilise par ailleurs cet algorithme pour caractériser tous les éléments ayant une profondeur égale à leur longueur. Ces derniers s’avèrent être les éléments pleinement commutatifs “hauts-et-bas” introduits par Stembridge. Nous donnons enfin une caractérisation des éléments dont la longueur absolue, la profondeur et la longueur coïncident.
Tableaux combinatorics for two-species PASEP probabilities
Authors: Mandelshtam Olya
Published: August 2021

The goal of this paper is to provide a combinatorial expression for the steady state probabilities of the twospecies PASEP. In this model, there are two species of particles, one “heavy” and one “light”, on a one-dimensional finite lattice with open boundaries. Both particles can hop into adjacent holes to the right and left at rates 1 and $q$. Moreover, when the heavy and light particles are adjacent to each other, they can switch places as if the light particle were a hole. Additionally, the heavy particle can hop in and out at the boundary of the lattice. Our first result is a combinatorial interpretation for the stationary distribution at $q=0$ in terms of certain multi-Catalan tableaux. We provide an explicit determinantal formula for the steady state probabilities, as well as some general enumerative results for this case. We also describe a Markov process on these tableaux that projects to the two-species PASEP, and hence directly explains the connection between the two. Finally, we extend our formula for the stationary distribution to the $q=1$ case, using certain two-species alternative tableaux.

Le but de ce document est de fournir une expression combinatoire décrivant les probabilités de l’état d’équilibre de PASEP à deux espèces. Dans ce modèle, il existe deux espèces de particules, une “lourde” et une “légère”, disposées sur un réseau fini unidimensionnel. Les deux particules peuvent sauter dans les trous adjacents à droite et à gauche, avec des probabilités proportionnelles à 1 et $q$. Par ailleurs, lorsque les particules lourdes et légères sont à côté l’une de l’autre, elles peuvent changer de place, comme si la particule légère était un trou. En outre, la particule lourde peut sauter dans et hors de la frontière du réseau. Notre premier résultat est une interprétation combinatoire de la distribution stationnaire dans le cas $q=0$, en termes de certains tableaux “multi-Catalan”. Nous proposons une formule explicite déterminantale pour les probabilités stationnaires, ainsi que plusieurs résultats énumératifs généraux pour ce cas. Nous décrivons aussi un processus de Markov sur ces tableaux, qui se projette sur le PASEP à deux espèces, et qui fournit donc directement une connexion entre les deux. Enfin, nous exprimons notre formule pour la distribution stationnaire dans le cas $q=1$, en utilisant certains tableaux alternatifs de deux espèces.
Descendants and ascendants in binary trees
Authors: Panholzer Alois , Prodinger Helmut
Published: August 2021

There are three classical algorithms to visit all the nodes of a binary tree - preorder, inorder and postorder traversal. From this one gets a natural labelling of the n internal nodes of a binary tree by the numbers 1, 2, ..., n, indicating the sequence in which the nodes are visited. For given n (size of the tree) and j (a number between 1 and n), we consider the statistics number of ascendants of node j and number of descendants of node j. By appropriate trivariate generating functions, we are able to find explicit formulae for the expectation and the variance in all instances. The heavy computations that are necessary are facilitated by MAPLE and Zeilberger's algorithm. A similar problem comes fromlabelling the leaves from left to right by 1, 2, ..., n and considering the statistic number of ascendants (=height) of leaf j. For this, Kirschenhofer [1] has computed the average. With our approach, we are also able to get the variance. In the last section, a table with asymptotic equivalents is provided for the reader's convenience.
The frequency of pattern occurrence in random walks
Authors: Elizalde Sergi , Martinez Megan
Published: August 2021

In the past decade, the use of ordinal patterns in the analysis of time series and dynamical systems has become an important tool. Ordinal patterns (otherwise known as a permutation patterns) are found in time series by taking $n$ data points at evenly-spaced time intervals and mapping them to a length-$n$ permutation determined by relative ordering. The frequency with which certain patterns occur is a useful statistic for such series. However, the behavior of the frequency of pattern occurrence is unstudied for most models. We look at the frequency of pattern occurrence in random walks in discrete time, and we define a natural equivalence relation on permutations under which equivalent patterns appear with equal frequency, regardless of probability distribution. We characterize these equivalence classes applying combinatorial methods.

Au cours de la dernière décennie, l’utilisation des motifs ordinaux dans l’analyse des séries chronologiques et systèmes dynamiques est devenu un outil important. Des motifs ordinaux (autrement appelés motifs de permutations) se trouvent dans les séries chronologiques en prenant $n$ points de données au intervalles de temps uniformément espacées et les faisant correspondre à une permutation de longueur $n$ déterminée par leur ordre relatif. La fréquence avec laquelle certains motifs apparaissent est une statistique utile pour ces séries. Toutefois, le comportement de la fréquence d’apparition de ces motifs n’a pas été étudié pour la plupart des modèles. Nous regardons la fréquence d’occurrence des motifs dans les marches aléatoires en temps discret, et nous définissons une relation d’équivalence naturelle sur des permutations dans laquelle les motifs équivalents apparaissent avec la même fréquence, quelle que soit la distribution de probabilité. Nous caractérisons ces classes d’équivalence utilisant des méthodes combinatoires
Factoring peak polynomials
Authors: Billey Sara , Fahrbach Matthew , Talmage Alan
Published: August 2021

Given a permutation $\pi=\pi_1\pi_2\cdots \pi_n \in S_n$, we say an index $i$ is a peak if $\pi_{i-1} < \pi_i > \pi_{i+1}$. Let $P(\pi)$ denote the set of peaks of $\pi$. Given any set $S$ of positive integers, define ${P_S(n)=\{\pi\in S_n:P(\pi)=S\}}$. Billey-Burdzy-Sagan showed that for all fixed subsets of positive integers $S$ and sufficiently large $n$, $|P_S(n)|=p_S(n)2^{n-|S|-1}$ for some polynomial $p_S(x)$ depending on $S$. They conjectured that the coefficients of $p_S(x)$ expanded in a binomial coefficient basis centered at $max(S)$ are all positive. We show that this is a consequence of a stronger conjecture that bounds the modulus of the roots of $p_S(x)$. Furthermore, we give an efficient explicit formula for peak polynomials in the binomial basis centered at $0$, which we use to identify many integer roots of peak polynomials along with certain inequalities and identities.

Etant donné une permutation $\pi=\pi_1\pi_2\cdots \pi_n \in S_n$ du groupe symétrique, nous disons qu’un indice i est unsommet si $\pi_{i-1} < \pi_i > \pi_{i+1}$. Soit $P(\pi)$ l’ensemble des sommets de $\pi$. Billey-Burdzy-Sagan ont montré que,pour tout sous-ensemble d’entiers positifs S et n suffisamment grand, le nombre de permutations de $n$ éléments avecensemble de sommets $S$ est $|P_S(n)|=p_S(n)2^{n-|S|-1}$ pour un certain polynôme $p_S(x)$ dépendant de $S$.. Ils ont fait la conjectureque les coefficients du polynôme $p_S(x)$ exprimé dans une base de coefficients binomiaux centrée en $max(S)$ sont touspositifs. Nous montrons que cela découle d’une conjecture plus forte qui borne le module des racines du polynôme$p_S(x)$. De plus, nous donnons une formule explicite efficace pour les polynômes sommets dans la base binomialecentrée en $0$, que nous utilisons pour identifier plusieurs racines entières de polynômes sommets, ainsi que certainesinégalités et identités.
Right-cancellability of a family of operations on binary trees
Authors: Duchon Philippe
Published: August 2021

We prove some new results on a family of operations on binary trees, some of which are similar to addition, multiplication and exponentiation for natural numbers. The main result is that each operation in the family is right-cancellable.
Alignments, crossings, cycles, inversions, and weak Bruhat order in permutation tableaux of type $B$
Authors: Cho Soojin , Park Kyoungsuk
Published: August 2021

Alignments, crossings and inversions of signed permutations are realized in the corresponding permutation tableaux of type $B$, and the cycles of signed permutations are understood in the corresponding bare tableaux of type $B$. We find the relation between the number of alignments, crossings and other statistics of signed permutations, and also characterize the covering relation in weak Bruhat order on Coxeter system of type $B$ in terms of permutation tableaux of type $B$.

De nombreuses statistiques importantes des permutations signées sont réalisées dans les tableaux de permutations ou ”bare” tableaux de type $B$ correspondants : les alignements, croisements et inversions des permutations signées sont réalisés dans les tableaux de permutations de type $B$ correspondants, et les cycles des permutations signées sont comprises dans les ”bare” tableaux de type $B$ correspondants. Cela nous mène à relier le nombre d’alignements et de croisements avec d’autres statistiques des permutations signées, et aussi de caractériser la relation de couverture dans l’ordre de Bruhat faible sur des systèmes de Coxeter de type $B$ en termes de tableaux de permutations de type $B$.
Triangular fully packed loop configurations of excess 2
Authors: Beil Sabine
Published: August 2021

Triangular fully packed loop configurations (TFPLs) came up in the study of fully packed loop configurations on a square (FPLs) corresponding to link patterns with a large number of nested arches. To a TFPL is assigned a triple $(u,v;w)$ of $01$-words encoding its boundary conditions. A necessary condition for the boundary $(u,v;w)$ of a TFPL is $\lvert \lambda(u) \rvert +\lvert \lambda(v) \rvert \leq \lvert \lambda(w) \rvert$, where $\lambda(u)$ denotes the Young diagram associated with the $01$-word $u$. Wieland gyration, on the other hand, was invented to show the rotational invariance of the numbers $A_\pi$ of FPLs corresponding to a given link pattern $\pi$. Later, Wieland drift was defined as the natural adaption of Wieland gyration to TFPLs. The main contribution of this article is a linear expression for the number of TFPLs with boundary $(u,v;w)$ where $\lvert \lambda (w) \rvert - \lvert\lambda (u) \rvert - \lvert \lambda (v)\rvert \leq 2$ in terms of numbers of stable TFPLs that is TFPLs invariant under Wieland drift. These stable TFPLs have boundary $(u^{+},v^{+};w)$ for words $u^{+}$ and $v^{+}$ such that $\lambda (u) \subseteq \lambda (u^{+})$ and $\lambda (v) \subseteq \lambda (v^{+})$.

Les configurations de boucles compactes triangulaires (”triangular fully packed loop configurations”, ou TFPLs) sont apparues dans l’étude des configurations de boucles compactes dans un carré (FPLs) correspondant à des motifs de liaison avec un grand nombre d’arcs imbriqués. À chaque TPFL on associe un triplet $(u,v;w)$ de mots sur {0,1}, qui encode ses conditions aux bords. Une condition nécessaire pour le bord $(u,v;w)$ d’un TFPL est $\lvert \lambda(u) \rvert +\lvert \lambda(v) \rvert \leq \lvert \lambda(w) \rvert$, où $\lambda(u)$ désigne le diagramme de Young associé au mot $u$. D’un autre côté, la giration de Wieland a été inventée pour montrer l’invariance par rotation des nombres $A_\pi$ de FPLs correspondant à un motif de liaison donné $\pi$. Plus tard, la déviation de Wieland a été définie pour adapter de manière naturelle la giration de Wieland aux TFPLs. La contribution principale de cet article est une expression linéaire pour le nombre de TFPLs de bord $(u,v;w)$, où $\lvert \lambda (w) \rvert - \lvert\lambda (u) \rvert - \lvert \lambda (v)\rvert \leq 2$, en fonction des nombres de TFPLs stables, i.e., les TFPLs invariants par déviation de Wieland. Ces TFPLs stables ont pour bord $(u^{+},v^{+};w)$, avec $u^{+}$ et $v^{+}$ des mots tels que $\lambda (u) \subseteq \lambda (u^{+})$ et $\lambda (v) \subseteq \lambda (v^{+})$.
A uniform realization of the combinatorial $R$-matrix
Authors: Lenart Cristian , Lubovsky Arthur
Published: August 2021

Kirillov-Reshetikhin (KR) crystals are colored directed graphs encoding the structure of certain finite-dimensional representations of affine Lie algebras. A tensor product of column shape KR crystals has recently been realized in a uniform way, for all untwisted affine types, in terms of the quantum alcove model. We enhance this model by using it to give a uniform realization of the combinatorial $R$-matrix, i.e., the unique affine crystal isomorphism permuting factors in a tensor product of KR crystals. In other words, we are generalizing to all Lie types Schützenberger’s sliding game (jeu de taquin) for Young tableaux, which realizes the combinatorial $R$-matrix in type $A$. We also show that the quantum alcove model does not depend on the choice of a sequence of alcoves

Les cristaux de Kirillov–Reshetikhin (KR) sont des graphes orientés avec des arêtes étiquetées qui encodent certaines représentations de dimension finie des algèbres de Lie affines. Les produits tensoriels des cristaux KR de type colonne ont été récemment réalisés de manière uniforme, pour tous les types affines symétriques, en termes du modèle des alcôves quantique. Nous enrichissons ce modèle en l’utilisant pour donner une réalisation uniforme de la $R$-matrice combinatoire, c’est à dire, l’isomorphisme des cristaux affines unique quit permute les facteurs dans un produit tensoriel des cristaux KR. En d’autres termes, nous généralisons pour tous les types de Lie le jeu de taquin de Schützenberger sur les tableaux de Young, qui réalise la $R$-matrice combinatoire dans le type $A$. Nous montrons aussi que le modèle des alcôves quantique ne dépend pas du choix d’une suite d’alcôves.
Bijections of dominant regions in the $m$-Shi arrangements of type $A$, $B$ and $C$
Authors: Kallipoliti Myrto , Tzanaki Eleni
Published: August 2021

In the present paper, the relation between the dominant regions in the $m$-Shi arrangement of types $B_n/C_n$, and those of the $m$-Shi arrangement of type $A_{n-1}$ is investigated. More precisely, it is shown explicitly how the sets $R^m(B_n)$ and $R^m(C_n)$, of dominant regions of the $m$-Shi arrangement of types $B_n$ and $C_n$ respectively, can be projected to the set $R^m(A_{n-1})$ of dominant regions of the $m$-Shi arrangement of type $A_{n-1}$. This is done by using two different viewpoints for the representative alcoves of these regions: the Shi tableaux and the abacus diagrams. Moreover, bijections between the sets $R^m(B_n)$, $R^m(C_n)$, and lattice paths inside a rectangle $n\times{mn}$ are provided.

Dans cet article, nous étudions la relation entre les régions dominantes du $m$-arrangement de Shi de types $B_n/C_n$ et ceux du $m$-arrangement de Shi de type $A_{n-1}$. Plus précisément, nous montrons comment les ensembles $R^m(B_n)$ et $R^m(C_n)$, des régions dominantes du $m$ -arrangement de Shi de types $B_n$ et $C_n$ respectivement, peuvent être projetés sur l’ensemble $R^m(A_{n-1})$ des régions dominantes du $m$-arrangement de Shi de types $A_{n-1}$. Pour cela nous utilisons deux points de vue différents sur les alcôves représentatives de ces régions: les tableaux de Shi et les diagrammes d’abaques. De plus, nous fournissons des bijections entre les ensembles $R^m(B_n)$, $R^m(C_n)$, et les chemins à l’intérieur d’un rectangle $n\times{mn}$.
Pieri rules for Schur functions in superspace
Authors: Jones Miles Eli , Lapointe Luc
Published: August 2021

The Schur functions in superspace $s_\Lambda$ and $\overline{s}_\Lambda$ are the limits $q=t= 0$ and $q=t=\infty$ respectively of the Macdonald polynomials in superspace. We present the elementary properties of the bases $s_\Lambda$ and $\overline{s}_\Lambda$ (which happen to be essentially dual) such as Pieri rules, dualities, monomial expansions, tableaux generating functions, and Cauchy identities.

Les fonctions de Schur dans le superespace $s_\Lambda$ et $\overline{s}_\Lambda$ sont les limites $q=t= 0$ et $q=t=\infty$ respectivement des polynômes de Macdonald dans le superespace. Nous présentons les propriétés élémentaires des bases $s_\Lambda$ et $\overline{s}_\Lambda$ (qui sont essentiellement duales l'une de l'autre) tels que les règles de Pieri, la dualité, le développement en fonctions monomiales, les fonctions génératrices de tableaux et les identités de Cauchy.
A Nekrasov-Okounkov type formula for affine $\widetilde{C}$
Authors: Pétréolle Mathias
Published: August 2021

In 2008, Han rediscovered an expansion of powers of Dedekind $\eta$ function due to Nekrasov and Okounkov by using Macdonald's identity in type $\widetilde{A}$. In this paper, we obtain new combinatorial expansions of powers of $\eta$, in terms of partition hook lengths, by using Macdonald's identity in type $\widetilde{C}$ and a new bijection. As applications, we derive a symplectic hook formula and a relation between Macdonald's identities in types $\widetilde{C}$, $\widetilde{B}$, and $\widetilde{BC}$.

En 2008, Han a redécouvert un développement des puissances de la fonction $\eta$ de Dedekind, dû à Nekrasov et Okounkov, en utilisant l’identité de Macdonald en type $\widetilde{A}$. Dans cet article, nous obtenons un nouveau développement combinatoire des puissances de $\eta$, en termes de longueurs d’équerres de partitions, en utilisant l’identité de Macdonald en type $\widetilde{C}$ ainsi qu’une nouvelle bijection. Plusieurs applications en sont déduites, comme un analogue symplectique de la formule des équerres, ou une relation entre les identités de Macdonald en types $\widetilde{C}$, $\widetilde{B}$, et $\widetilde{BC}$.
The $(m, n)$-rational $q, t$-Catalan polynomials for $m=3$ and their $q, t$-symmetry
Authors: Kaliszewski Ryan , Li Huilan
Published: August 2021

We introduce a new statistic, skip, on rational $(3,n)$-Dyck paths and define a marked rank word for each path when $n$ is not a multiple of 3. If a triple of valid statistics (area; skip; dinv) are given, we have an algorithm to construct the marked rank word corresponding to the triple. By considering all valid triples we give an explicit formula for the $(m,n)$-rational $q; t$-Catalan polynomials when $m=3$. Then there is a natural bijection on the triples of statistics (area; skip; dinv) which exchanges the statistics area and dinv while fixing the skip. Thus we prove the $q; t$-symmetry of $(m,n)$-rational $q; t$-Catalan polynomials for $m=3$..

Nous introduisons une nouvelle statistique, le skip, sur les chemins de $(3,n)$-Dyck rationnels et définissons le mot de rang marqué pour chaque chemin quand $n$ n’est pas un multiple de 3. Si un triplet valide de statistiques (aire, skip, dinv) est donné, nous avons un algorithme pour construire le mot de rang marqué correspondant au triplet. En considérant tous les triplets valides, nous donnons une formule explicite pour les polynômes de $q; t$-Catalan $(m,n)$- rationnels quand $m=3$. Enfin, il existe une bijection naturelle sur les triplets de statistiques (aire, skip, dinv) qui échange les statistiques aires et dinv en conservant le skip. Ainsi, nous prouvons la $q; t$-symétrie des polynômes de $q; t$-Catalan $(m,n)$-rationnels pour $m=3$..
Negative $q$-Stirling numbers
Authors: Cai Yue , Readdy Margaret
Published: August 2021

The notion of the negative $q$-binomial was recently introduced by Fu, Reiner, Stanton and Thiem. Mirroring the negative $q$-binomial, we show the classical $q$ -Stirling numbers of the second kind can be expressed as a pair of statistics on a subset of restricted growth words. The resulting expressions are polynomials in $q$ and $(1+q)$. We extend this enumerative result via a decomposition of the Stirling poset, as well as a homological version of Stembridge’s $q=-1$ phenomenon. A parallel enumerative, poset theoretic and homological study for the $q$-Stirling numbers of the first kind is done beginning with de Médicis and Leroux’s rook placement formulation. Letting $t=1+q$ we give a bijective combinatorial argument à la Viennot showing the $(q; t)$-Stirling numbers of the first and second kind are orthogonal.

La notion de la $q$-binomial négative était introduite par Fu, Reiner, Stanton et Thiem. Réfléchissant la $q$-binomial négative, nous démontrons que les classiques $q$-nombres de Stirling de deuxième espèce peuvent être exprimés comme une paire de statistiques sur un sous-ensemble des mots de croissance restreinte. Les expressions résultantes sont les polynômes en $q$ et $1+q$. Nous étendons ce résultat énumératif via une décomposition du poset de Stirling, ainsi que d’une version homologique du $q=-1$ phénomène de Stembridge. Un parallèle énumératif, poset théorique et étude homologique des $q$-nombres de Stirling de première espèce se fait en commençant par la formulation du placement des tours par suite des auteurs de Médicis et Leroux. On laisse $t=1+q$ et on donne les arguments combinatoires et bijectifs à la Viennot qui démontrent que les $(q;t)$-nombres de Stirling de première et deuxième espèces sont orthogonaux.
Bruhat interval polytopes
Authors: Tsukerman Emmanuel , Williams Lauren
Published: August 2021

Let $u$ and $v$ be permutations on $n$ letters, with $u$ ≤ $v$ in Bruhat order. A Bruhat interval polytope $Q_{u,v}$ is the convex hull of all permutation vectors $z=(z(1),z(2),...,z(n))$ with $u$ ≤ $z$ ≤ $v$. Note that when $u=e$ and $v=w_0$ are the shortest and longest elements of the symmetric group, $Q_{e,w_0}$ is the classical permutohedron. Bruhat interval polytopes were studied recently in the 2013 paper “The full Kostant-Toda hierarchy on the positive flag variety” by Kodama and the second author, in the context of the Toda lattice and the moment map on the flag variety. In this paper we study combinatorial aspects of Bruhat interval polytopes. For example, we give an inequality description and a dimension formula for Bruhat interval polytopes, and prove that every face of a Bruhat interval polytope is a Bruhat interval polytope. A key tool in the proof of the latter statement is a generalization of the well-known lifting property for Coxeter groups. Motivated by the relationship between the lifting property and $R$-polynomials, we also give a generalization of the standard recurrence for $R$-polynomials.

Soient $u$ et $v$ des permutations sur $n$ lettres, avec, $u$ ≤ $v$ dans l’ordre de Bruhat. Un polytope d’intervalles de Bruhat $Q_{u,v}$ est l’enveloppe convexe de tous les vecteurs de permutations $z=(z(1),z(2),...,z(n))$ avec $u$ ≤ $z$ ≤ $v$. Notons que lorsque $u=e$ et $v=w_0$ sont respectivement le plus court et le plus long élément du groupe symétrique, $Q_{e,w_0}$ est le permutoèdre classique. Les polytopes d’intervalles de Bruhat ont été étudiés récemment dans le papier de 2013 “The full Kostant-Toda hierarchy on the positive flag variety” par Kodama et le deuxième auteur, dans le contexte du treillis de Toda et la carte des moments sur la variété de drapeaux. Dans ce papier nous étudions des aspects combinatoires des polytopes d’intervalles de Bruhat. Par exemple, nous donnons une description par inégalités et une formule dimensionnelle pour les polytopes d’intervalles de Bruhat, et prouvons que chaque face d’un polytope d’intervalles de Bruhat est un polytope d’intervalles de Bruhat. Un outil essentiel dans la preuve de cette dernière affirmation est une généralisation de la célèbre propriété de lifting pour les groupes de Coxeter. Motivés par la relation entre la propriété de lifting et les $R$-polynômes, nous donnons aussi une généralisation de la récurrence standard pour les $R$-polynômes.
Cyclic Sieving and Plethysm Coefficients
Authors: Rush David B
Published: August 2021

A combinatorial expression for the coefficient of the Schur function $s_{\lambda}$ in the expansion of the plethysm $p_{n/d}^d \circ s_{\mu}$ is given for all $d$ dividing $n$ for the cases in which $n=2$ or $\lambda$ is rectangular. In these cases, the coefficient $\langle p_{n/d}^d \circ s_{\mu}, s_{\lambda} \rangle$ is shown to count, up to sign, the number of fixed points of an $\langle s_{\mu}^n, s_{\lambda} \rangle$-element set under the $d^e$ power of an order $n$ cyclic action. If $n=2$, the action is the Schützenberger involution on semistandard Young tableaux (also known as evacuation), and, if $\lambda$ is rectangular, the action is a certain power of Schützenberger and Shimozono's jeu-de-taquin promotion.This work extends results of Stembridge and Rhoades linking fixed points of the Schützenberger actions to ribbon tableaux enumeration. The conclusion for the case $n=2$ is equivalent to the domino tableaux rule of Carré and Leclerc for discriminating between the symmetric and antisymmetric parts of the square of a Schur function.

Une expression combinatoire pour le coefficient de la fonction de Schur $s_{\lambda}$ dans l’expansion du pléthysme $p_{n/d}^d \circ s_{\mu}$ est donné pour tous $d$ que disent $n$, dans les cas où $n=2$, ou $\lambda$ est rectangulaire. Dans ces cas, le coefficient $\langle p_{n/d}^d \circ s_{\mu}, s_{\lambda} \rangle$ se montre à compter, où l’on ignore le signe, le nombre des point fixés d’un ensemble de $\langle s_{\mu}^n, s_{\lambda} \rangle$ éléments sous la puissance $d^e$ d’une action cyclique de l’ordre $n$. Si $n=2$, l’action est l’involution de Schützenberger sur les tableaux semi-standard de Young (aussi connu sous le nom des évacuations), et si $\lambda$ est rectangulaire, l’action est une certaine puissance de l’avancement jeu-de-taquin de Schützenberger et Shimozono.Ce travail étend les résultats de Stembridge et Rhoades, liant les point fixés des actions de Schützenberger aux tableaux de ruban. Pour le cas $n=2$ , la conclusion est équivalent à la règle des tableaux de dominos de Carré et Leclerc, qui distingue entre les parties symétriques et asymétriques du carré d’une fonction de Schur.
A combinatorial model for exceptional sequences in type A
Authors: Garver Alexander , Matherne Jacob P.
Published: August 2021

Exceptional sequences are certain ordered sequences of quiver representations. We use noncrossing edge-labeled trees in a disk with boundary vertices (expanding on T. Araya’s work) to classify exceptional sequences of representations of $Q$, the linearly ordered quiver with $n$ vertices. We also show how to use variations of this model to classify $c$-matrices of $Q$, to interpret exceptional sequences as linear extensions, and to give a simple bijection between exceptional sequences and certain chains in the lattice of noncrossing partitions. In the case of $c$-matrices, we also give an interpretation of $c$-matrix mutation in terms of our noncrossing trees with directed edges.

Les suites exceptionnelles sont certaines suites ordonnées de représentations de carquois. Nous utilisons des arbres aux arêtes étiquetés et aux sommets dans le bord d’un disque (expansion sur le travail de T. Araya) pour classifier les suites exceptionnelles de représentations du carquois linéairement ordonné à $n$ sommets. Nous exploitons des variations de ce modèle pour classifier les $c$-matrices dudit carquois, pour interpréter les suites exceptionnelles comme des extensions linéaires, et pour donner une bijection élémentaire entre les suites exceptionnelles et certaines chaînes dans le réseau des partitions sans croisement. Dans le cas des $c$-matrices, nous donnons également une interprétation de la mutation des $c$-matrices en termes des arbres sans croisement aux arêtes orientés.
Dual filtered graphs
Authors: Patrias Rebecca , Pylyavskyy Pavlo
Published: August 2021

We define a $K$ -theoretic analogue of Fomin’s dual graded graphs, which we call dual filtered graphs. The key formula in the definition is $DU - UD = D + I$. Our major examples are $K$ -theoretic analogues of Young’s lattice, the binary tree, and the graph determined by the Poirier-Reutenauer Hopf algebra. Most of our examples arise via two constructions, which we call the Pieri construction and the Möbius construction. The Pieri construction is closely related to the construction of dual graded graphs from a graded Hopf algebra, as described in Bergeron-Lam-Li, Nzeutchap, and Lam-Shimozono. The Möbius construction is more mysterious but also potentially more important, as it corresponds to natural insertion algorithms.

Nous définissons un analogue $K$ -théorique aux graphes gradués en dualité de Fomin que nous appelons les graphes filtrés en dualité. La formule importante pour la définition est $DU - UD = D + I$. Nos principaux exemples sont un analogue $K$ -théorique aux graphe de Young, l’arbre binaire, et un graphe déterminé par l’algèbre de Hopf de Poirier-Reutenauer. La plupart de nos exemples surviennent de deux constructions que nous appelons la construction de Pieri et la construction de Möbius. La construction de Pieri est étroitement liée à la construction des graphes gradués en dualité d’une algèbre graduée de Hopf à la Bergeron-Lam-Li, Nzeutchap, et Lam-Shimozono. La construction de Möbius est plus mystérieuse, mais aussi peut-être plus importante car cette construction correspond aux algorithmes d’insertion naturelles.
Dyck path triangulations and extendability (extended abstract)
Authors: Ceballos Cesar , Padrol Arnau , Sarmiento Camilo
Published: August 2021

We introduce the Dyck path triangulation of the cartesian product of two simplices $\Delta_{n-1}\times\Delta_{n-1}$. The maximal simplices of this triangulation are given by Dyck paths, and its construction naturally generalizes to produce triangulations of $\Delta_{r\ n-1}\times\Delta_{n-1}$ using rational Dyck paths. Our study of the Dyck path triangulation is motivated by extendability problems of partial triangulations of products of two simplices. We show that whenever$m\geq k>n$, any triangulations of $\Delta_{m-1}^{(k-1)}\times\Delta_{n-1}$ extends to a unique triangulation of $\Delta_{m-1}\times\Delta_{n-1}$. Moreover, with an explicit construction, we prove that the bound $k>n$ is optimal. We also exhibit interpretations of our results in the language of tropical oriented matroids, which are analogous to classical results in oriented matroid theory.

Nous introduisons la triangulation par chemins de Dyck du produit cartésien de deux simplexes $\Delta_{n-1}\times\Delta_{n-1}$. Les simplexes maximaux de cette triangulation sont donnés par des chemins de Dyck, et cette construction se généralise de façon naturelle pour produire des triangulations $\Delta_{r\ n-1}\times\Delta_{n-1}$ qui utilisent des chemins de Dyck rationnels. Notre étude de la triangulation par chemins de Dyck est motivée par des problèmes de prolongement de triangulations partielles de produits de deux simplexes. On montre que $m\geq k>n$ alors toute triangulation de $\Delta_{m-1}^{(k-1)}\times\Delta_{n-1}$ se prolonge en une unique triangulation de $\Delta_{m-1}\times\Delta_{n-1}$. De plus, avec une construction explicite, nous montrons que la borne $k>n$ est optimale. Nous présentons aussi des interprétations de nos résultats dans le langage des matroïdes orientés tropicaux, qui sont analogues aux résultats classiques de la théorie des matroïdes orientés.
Coxeter-biCatalan combinatorics
Authors: Barnard Emily , Reading Nathan
Published: August 2021

We consider several counting problems related to Coxeter-Catalan combinatorics and conjecture that the problems all have the same answer, which we call the $W$ -biCatalan number. We prove the conjecture in many cases.

Nous considérons des problèmes énumératifs liés à la combinatoire de Coxeter-Catalan et conjecturons que tous les problèmes ont la même solution, que nous appelons le nombre $W$ -biCatalan. Nous prouvons la conjecture dans de nombreux cas.
Atomic Bases and $T$-path Formula for Cluster Algebras of Type $D$
Authors: Gunawan Emily , Musiker Gregg
Published: August 2021

We extend a $T$-path expansion formula for arcs on an unpunctured surface to the case of arcs on a once-punctured polygon and use this formula to give a combinatorial proof that cluster monomials form the atomic basis of a cluster algebra of type $D$.

Nous généralisons une formule de développement en $T$-chemins pour les arcs sur une surface non-perforée aux arcs sur un polygone à une perforation. Nous utilisons cette formule pour donner une preuve combinatoire du fait que les monômes amassées constituent la base atomique d’une algèbre amassée de type $D$.
Stability properties of Plethysm: new approach with combinatorial proofs (Extended abstract)
Authors: Colmenarejo Laura
Published: August 2021

Plethysm coefficients are important structural constants in the theory of symmetric functions and in the representations theory of symmetric groups and general linear groups. In 1950, Foulkes observed stability properties: some sequences of plethysm coefficients are eventually constants. Such stability properties were proven by Brion with geometric techniques and by Thibon and Carré by means of vertex operators. In this paper we present a newapproach to prove such stability properties. This new proofs are purely combinatorial and follow the same scheme. We decompose plethysm coefficients in terms of other plethysm coefficients (related to the complete homogeneous basis of symmetric functions). We show that these other plethysm coefficients count integer points in polytopes and we prove stability for them by exhibiting bijections between the corresponding sets of integer points of each polytope.

Les coefficients du pléthysme sont des constantes de structure importantes de la théorie des fonctions symétriques, ainsi que de la théorie de la représentation des groupes symétriques et des groupes généraux linéaires. En 1950, Foulkes a observé pour ces coefficients de phénomènes de stabilité: certaines suites de coefficients du pléthysme sont stationnaires. De telles propriétés ont été démontrées par Brion, au moyen de techniques géométriques, et par Thibon et Carré, au moyen d’opérateurs vertex. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle approche, purement combinatoire, pour démontrer des propriétés de stabilité de ce type. Nous décomposons les coefficients du pléthysme comme somme alternées de coefficients de pléthysme d’un autre type (liés à la base des fonctions symétriques sommes complètes), qui comptent les points entiers dans des polytopes. Nous démontrons la stabilité des suites de ces coefficients en exhibant des bijections entres les ensembles de points entiers des polytopes correspondants.
A generalisation of two partition theorems of Andrews
Authors: Dousse Jehanne
Published: August 2021

In 1968 and 1969, Andrews proved two partition theorems of the Rogers-Ramanujan type which generalise Schur’s celebrated partition identity (1926). Andrews’ two generalisations of Schur’s theorem went on to become two of the most influential results in the theory of partitions, finding applications in combinatorics, representation theory and quantum algebra. In this paper we generalise both of Andrews’ theorems to overpartitions. The proofs use a new technique which consists in going back and forth from $q$-difference equations on generating functions to recurrence equations on their coefficients.

En 1968 et 1969, Andrews a prouvé deux identités de partitions du type Rogers-Ramanujan qui généralisent le célèbre théorème de Schur (1926). Ces deux généralisations sont devenues deux des théorèmes les plus importants de la théorie des partitions, avec des applications en combinatoire, en théorie des représentations et en algèbre quantique. Dans ce papier, nous généralisons les deux théorèmes de Andrews aux surpartitions. Les preuves utilisent une nouvelle technique qui consiste à faire des allers-retours entre équations aux $q$-différences sur les séries génératrices et équations de récurrence sur leurs coefficients.
Partially persistent search trees with transcript operations
Authors: Larsen Kim S.
Published: August 2021

When dictionaries are persistent, it is natural to introduce a transcript operation which reports the status changes for a given key over time. We discuss when and how a time and space efficient implementation of this operation can be provided.
The Cambrian Hopf Algebra
Authors: Chatel G. , Pilaud V.
Published: August 2021

Cambrian trees are oriented and labeled trees which fulfill local conditions around each node generalizing the conditions for classical binary search trees. Based on the bijective correspondence between signed permutations and leveled Cambrian trees, we define the Cambrian Hopf algebra generalizing J.-L. Loday and M. Ronco’s algebra on binary trees. We describe combinatorially the products and coproducts of both the Cambrian algebra and its dual in terms of operations on Cambrian trees. Finally, we define multiplicative bases of the Cambrian algebra and study structural and combinatorial properties of their indecomposable elements.

Les arbres Cambriens sont des arbres orientés et étiquetés qui satisfont des conditions locales autour de leurs nœuds généralisant les conditions des arbres binaires de recherche classiques. A partir de la correspondence bijective entre permutations signées et arbres Cambriens à niveau, nous définissons l’algèbre Cambrienne qui généralise l’algèbre sur les arbres binaires de J.-L. Loday et M. Ronco. Nous donnons une description combinatoire du produit et du coproduit aussi bien dans l’algèbre Cambrienne que dans sa duale en termes d’opérations sur les arbres Cambriens. Enfin, nous définissons des bases multiplicatives de l’algèbre Cambrienne et étudions les propriétés structurelles et énumératives de leurs éléments indécomposables.
A bijection for rooted maps on general surfaces (extended abstract)
Authors: Chapuy Guillaume , Dołęga Maciej
Published: August 2021

We extend the Marcus-Schaeffer bijection between orientable rooted bipartite quadrangulations (equivalently: rooted maps) and orientable labeled one-face maps to the case of all surfaces, orientable or non-orientable. This general construction requires new ideas and is more delicate than the special orientable case, but carries the same information. It thus gives a uniform combinatorial interpretation of the counting exponent $\frac{5(h-1)}{2}$ for both orientable and non-orientable maps of Euler characteristic $2-2h$ and of the algebraicity of their generating functions. It also shows the universality of the renormalization factor $n$¼ for the metric of maps, on all surfaces: the renormalized profile and radius in a uniform random pointed bipartite quadrangulation of size $n$ on any fixed surface converge in distribution. Finally, it also opens the way to the study of Brownian surfaces for any compact 2-dimensional manifold.

Nous étendons la bijection de Marcus et Schaeffer entre quadrangulations biparties orientables (de manière équivalente: cartes enracinées) et cartes à une face étiquetées orientables à toutes les surfaces, orientables ou non. Cette construction générale requiert des idées nouvelles et est plus délicate que dans le cas particulier orientable, mais permet des utilisations similaires. Elle donne donc une interprétation combinatoire uniforme de l’exposant de comptage $\frac{5(h-1)}{2}$ pour les cartes orientables et non-orientables de caractéristique d’Euler $2-2h$, et de l’algébricité des fonctions génératrices. Elle montre l’universalité du facteur de normalisation $n$¼ pour la métrique des cartes, sur toutes les surfaces: le profil et le rayon d’une quadrangulation enracinée pointée sur une surface fixée converge en distribution. Enfin, elle ouvre à la voie à l’étude des surfaces Browniennes pour toute 2-variété compacte.
Some generalized juggling processes (extended abstract)
Authors: Ayyer Arvind , Bouttier Jérémie , Linusson Svante , Nunzi François
Published: August 2021

We consider generalizations of juggling Markov chains introduced by Ayyer, Bouttier, Corteel and Nunzi. We first study multispecies generalizations of all the finite models therein, namely the MJMC, the add-drop and the annihilation models. We then consider the case of several jugglers exchanging balls. In all cases, we give explicit product formulas for the stationary probability and closed-form expressions for the normalization factor if known.

On s’intéresse à des généralisations des chaînes de Markov de jonglage introduites par Ayyer, Bouttier, Corteel et Nunzi. On étudie d’abord des généralisations multiespèces de tous les modèles finis, à savoir le MJMC et les modèles d’add-drop et d’annihilation. On considère ensuite le cas de plusieurs jongleurs échangeant des balles entre eux. Dans chacun des cas, on donne une formule explicite sous forme de produit pour l’état stationnaire, ainsi qu’une forme réduite pour le facteur de normalisation dans les cas où l’on en connaît une.
Diameters and geodesic properties of generalizations of the associahedron
Authors: Ceballos C. , Manneville T. , Pilaud V. , Pournin L.
Published: August 2021

The $n$-dimensional associahedron is a polytope whose vertices correspond to triangulations of a convex $(n + 3)$-gon and whose edges are flips between them. It was recently shown that the diameter of this polytope is $2n - 4$ as soon as $n > 9$. We study the diameters of the graphs of relevant generalizations of the associahedron: on the one hand the generalized associahedra arising from cluster algebras, and on the other hand the graph associahedra and nestohedra. Related to the diameter, we investigate the non-leaving-face property for these polytopes, which asserts that every geodesic connecting two vertices in the graph of the polytope stays in the minimal face containing both.

L’associaèdre de dimension $n$ est un polytope dont les sommets correspondent aux triangulations d’un $(n + 3)$-gone convexe et dont les arêtes sont les échanges entre ces triangulations. Il a été récemment démontré que le diamètre de ce polytope est $2n - 4$ dès que $n > 9$. Nous étudions les diamètres des graphes de certaines généralisations de l’associaèdre : d’une part les associaèdres généralisés provenant des algèbres amassées, et d’autre part les associaèdres de graphes et les nestoèdres. En lien avec le diamètre, nous étudions si toutes les géodésiques entre deux sommets de ces polytopes restent dans la plus petite face les contenant.
Applying a uniform marked morphism to a word
Authors: Frid Anna
Published: August 2021

We describe the relationship between different parameters of the initial word and its image obtained by application of a uniform marked morphism. The functions described include the subword complexity, frequency of factors, and the recurrence function. The relations obtained for the image of a word can be used also for the image of a factorial language. Using induction, we give a full description of the involved functions of the fixed point of the morphism considered.
NP-Completeness Results for Minimum Planar Spanners
Authors: Brandes Ulrik , Handke Dagmar
Published: August 2021

For any fixed parameter t greater or equal to 1, a \emph t-spanner of a graph G is a spanning subgraph in which the distance between every pair of vertices is at most t times their distance in G. A \emph minimum t-spanner is a t-spanner with minimum total edge weight or, in unweighted graphs, minimum number of edges. In this paper, we prove the NP-hardness of finding minimum t-spanners for planar weighted graphs and digraphs if t greater or equal to 3, and for planar unweighted graphs and digraphs if t greater or equal to 5. We thus extend results on that problem to the interesting case where the instances are known to be planar. We also introduce the related problem of finding minimum \emphplanar t-spanners and establish its NP-hardness for similar fixed values of t.
Analysis of an Approximation Algorithm for Scheduling Independent Parallel Tasks
Authors: Li Keqin
Published: August 2021

In this paper, we consider the problem of scheduling independent parallel tasks in parallel systems with identical processors. The problem is NP-hard, since it includes the bin packing problem as a special case when all tasks have unit execution time. We propose and analyze a simple approximation algorithm called H_m, where m is a positive integer. Algorithm H_m has a moderate asymptotic worst-case performance ratio in the range [4/3 ... 31/18] for all m≥ 6; but the algorithm has a small asymptotic worst-case performance ratio in the range [1+1/(r+1)..1+1/r], when task sizes do not exceed 1/r of the total available processors, where r>1 is an integer. Furthermore, we show that if the task sizes are independent, identically distributed (i.i.d.) uniform random variables, and task execution times are i.i.d. random variables with finite mean and variance, then the average-case performance ratio of algorithm H_m is no larger than 1.2898680..., and for an exponential distribution of task sizes, it does not exceed 1.2898305.... As demonstrated by our analytical as well as numerical results, the average-case performance ratio improves significantly when tasks request for smaller numbers of processors.