Lattice-based zero-knowledge proofs of knowledge
Authors:   , Martínez Pinilla Ramiro 
Published: November 2023

(English) The main goal of this dissertation is to develop new lattice-based cryptographic schemes. Most of the cryptographic protocols that each and every one of us use on a daily basis are only secure under the assumption that two mathematical problems, namely the discrete logarithm on elliptic curves and the factorization of products of two primes, are computationally hard. That is believed to be true for classical computers, but quantum computers would be able to solve these problems much more efficiently, demolishing the foundations of plenty of cryptographic constructions. This reveals the importance of post-quantum alternatives, cryptographic schemes whose security relies on different problems intractable for both classical and quantum computers. The most promising family of problems widely believed to be hard for quantum computers are lattice-based problems. We increase the supply of lattice-based tools providing new Zero-Knowledge Proofs of Knowledge for the Ring Learning With Errors (RLWE) problem, perhaps the most popular lattice-based problem. Zero-knowledge proofs are protocols between a prover and a verifier where the prover convinces the verifier of the validity of certain statements without revealing any additional relevant information. Our proofs extend the literature of Stern-based proofs, following the techniques presented by Jacques Stern in 1994. His original idea involved a code-based problem, but it has been reiteratedly improved and generalized to be used with lattices. We illustrate our proposal defining a variant of the commitment scheme, a cryptographic primitive that allows us to ensure some message was already determined at some point without revealing it until a future time, defined by Benhamouda et al. in ESORICS 2015, and proving in zero-knowledge the knowledge of a valid opening. Most importantly we also show how to prove that the message committed in one commitment is a linear combination, with some public coefficients, of the committed messages from two other commitments, again without revealing any further information about the messages. Finally, we also present a zero-knowledge proof analogous to the previous one but for multiplicative relations, something much more involved that allows us to prove any arithmetic circuit. We give first an interactive version of these proofs and then show how to construct a non-interactive one. We diligently prove that both the commitment and the companion Zero-Knowledge Proofs of Knowledge are secure under the assumption of the hardness of the underlying lattice problems. Furthermore, we specifically develop such proofs so that the arising conditions can be directly used to compute parameters that satisfy them. This way we provide a general method to instantiate our commitment and proofs with any desired security level. Thanks to this practical approach we have been able to implement all the proposed schemes and benchmark the prototype im-plementation with actually secure parameters, which allows us to obtain meaningful results and compare its performance with the existing alternatives.
Moreover, provided that multiplication of polynomials in the quotient ring ℤₚ[𝑥]/⟨𝑥ⁿ + 1⟩, with 𝑝 prime and 𝑛 a power of two, is the most basic operation when working with ideal lattices we comprehensively study what are the necessary and sufficient conditions needed for applying (a generalized version of) the Fast Fourier Transform (FFT) to obtain an efficient multiplication algorithm in quotient rings as ℤₘ[𝑥]/⟨𝑥ⁿ − 𝑎⟩ (where we consider any positive integer 𝑚 and generalize the quotient), as we think it is of independent interest. We believe such a theoretical analysis is fundamental to be able to determine when a given generalization can also be applied to design an efficient multiplication algorithm when the FFT is not defined for the ring we are considering. That is the case of the rings used for the commitment and proofs described before, where only a partial FFT is available.

(Español) El objetivo principal de esta tesis es obtener nuevos esquemas criptográficos basados en retículos. La mayoría de los protocolos criptográficos que usamos a diario son únicamente seguros bajo la hipótesis de que el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas y la factorización de productos de dos primos son computacionalmente difíciles. Se cree que esto es cierto para los ordenadores clásicos, pero los ordenadores cuánticos podrían resolver estos problemas de forma mucho más eficiente, acabando con las bases sobre las que se fundamenta una multitud de construcciones criptográficas. Esto evidencia la importancia de las alternativas poscuánticas, cuya seguridad se basa en problemas diferentes que sean inasumibles tanto para los ordenadores clásicos como los cuánticos. Los problemas de retículos son los candidatos más prometedores, puesto que se considera que son problemas difíciles para los ordenadores cuánticos. Presentamos nuevas herramientas basadas en retículos con unas Pruebas de Conocimiento Nulo para el problema Ring Learning With Errors (RLWE), seguramente el problema de retículos más popular. Las pruebas de Conocimiento Nulo son protocolos entre un probador y un verificador en los que el primero convence al segundo de la validez de una proposición, sin revelar ninguna información adicional relevante. Nuestras pruebas se basan en el protocolo de Stern, siguiendo sus técnicas presentadas en 1994. Su idea original involucraba un problema de códigos, pero se ha mejorado y generalizado reiteradamente para poder aplicarse a retículos. Ilustramos nuestra propuesta definiendo una variante del esquema de compromiso, una primitiva criptográfica que nos permite asegurar que un mensaje fue determinado en cierto momento sin revelarlo hasta pasado un tiempo, definido por Benhamouda et al. en ESORICS 2015, y probando que conocemos una apertura válida. Además mostramos cómo probar que el mensaje comprometido es una combinación lineal, con coeficientes públicos, de los mensajes comprometidos en otros dos compromisos. Finalmente también presentamos una prueba de Conocimiento Nulo análoga a la anterior pero para relaciones multiplicativas, algo mucho más laborioso que nos permite realizar circuitos aritméticos. Todo esto sin revelar ninguna información adicional sobre los mensajes. Mostramos tanto una versión interactiva como una no interactiva. Probamos que tanto el compromiso como las pruebas de Conocimiento Nulo que le acompañan son seguras bajo la hipótesis de que el problema de retículos subyacente sea difícil. Además planteamos estas pruebas específicamente con el objetivo de que las condiciones que surjan puedan ser utilizadas directamente para calcular los parámetros que las satisfagan. De esta forma proporcionamos un método genérico para instanciar nuestro compromiso y pruebas con cualquier nivel de seguridad. Gracias a este enfoque práctico hemos podido implementar todos los esquemas propuestos y evaluar el rendimiento con parámetros seguros, lo que nos permite obtener resultados relevantes que poder comparar con las alternativas existentes. Por otra parte, dado que la multiplicación de polinomios en el anillo cociente ℤₚ[𝑥]/⟨𝑥ⁿ + 1⟩, con 𝑝 primo y 𝑛 una potencia de 2, es la operación más utilizada al trabajar con retículos ideales, estudiamos de forma exhaustiva cuáles son las condiciones suficientes y necesarias para aplicar (una versión generalizada de) la Transformada Rápida de Fourier (FFT, por sus siglas en inglés) para obtener algoritmos de multiplicación eficientes en anillos cociente ℤₘ[𝑥]/⟨𝑥ⁿ − 𝑎⟩, (considerando cualquier 𝑚 positiva y generalizando el cociente), de interés por sí mismo. Creemos que este análisis teórico es fundamental para determinar cuándo puede diseñarse un algoritmo eficiente de multiplicación si la FFT no está definida para el anillo considerado. Es el caso de los anillos que utilizamos en el compromiso y las pruebas descritas anteriormente, donde solo es posible calcular una FFT parcial.