Упругопластическое состояние полого шара
Authors: Syomka E. 
Published: September 2020

Для модели сжимаемого идеального изотропного упругопластического тела рассмотрена
задача о полом шаре, на внешнюю и внутреннюю границы которого заданы разные давление и температура. Решается несвязанная задача в рамках теории малых деформаций. Принимается, что полные деформации равны сумме упругих и пластических деформаций, пластические деформации и
напряжения связаны соотношениями ассоциированного закона течения. Упругие деформации определяются из соотношений закона Дюамеля–Неймана. Выбирается условие пластичности, не зависящее от первого инварианта тензора напряжений. При определении напряжения и деформации в пластической области рассматривается квазистатический подход, т.е. не указывается закон изменения
внешних параметров воздействия (давление и температура на границах шара) до значений, принимаемых при вычислениях.
В настоящей работе определены границы изменения перепада давления и температуры, для которых
шар будет находиться в упругом состоянии. Установлено, что в зависимости от значений внешних
параметров воздействия пластическая зона может зарождаться на внутренней или на внешней границе шара, или на внутренней и внешней границах одновременно, или между границами шара. В качестве примера приведены графики распределений напряжений, деформаций, перемещений, когда пластическая зона занимает некоторую часть, расположенную между внутренней и внешней границей
шара. Приводятся графики годографа напряжений, которые являются элементами верификации решения задачи.
В настоящей работе учитывается внешнее и внутреннее давление на полый шар, а также температура
внешней и внутренней границы шара, что приводит к более общей постановке задачи и необходимости построения разных алгоритмов ее решения. Также определены области изменения внешних параметров, при которых полый шар находится в определенном состоянии.
Ключевые слова: упругопластическое тело, теория пластического течения, температурные напряжения, полый шар, допустимые значения внешних параметров, термоупругопластичность, упругопластическая граница, эквивалентное напряжение.

The problem of a hollow sphere with different pressure and temperature levels on the external and the internal boundaries has been considered for the model of an ideal compressible isotropic elastic body. An independent problem is solved within the theory of small strains. It is assumed that total deformations are equal to the sum of elastic and plastic deformations, plastic deformations and stresses are related by the relations of the associated flow law. Elastic deformations are determined by their correlation under the DuhamelNeumann law. The plasticity condition which is independent of the first invariant of the stress tensor is considered. In determination of stress and strain in the plastic range a quasi-static approach is considered, that is, the law of changing the external parameters of the action (pressure and temperature at the boundaries of the
sphere) to the values assumed in the calculations is not indicated.
In this article, the boundaries of the pressure drop and temperature for which the sphere will be in an elastic state are determined. It has been established that depending on the values of the external parameters of the impact, the plastic zone can occur on the inner or outer boundary of the sphere, or on the inner and outer boundaries simultaneously, or between the boundaries of the sphere. As an example, the graphs of the distributions of stresses, deformations, displacements when the plastic zone occupies a certain part located between the inner and outer boundary of the sphere are given. The stress hodograph graphs which are integral elements of verification of the solution of the problem are given.
Keywords: elastoplastic body, theory of plastic flow, temperature stresses, hollow sphere, permissible values of external parameters, thermoelastic elasticity, elastic-plastic boundary, equivalent stress.