Error estimation and adaptivity for PGD solutions
Authors:   , Reis Jonatha Oliveira de Matos 
Published: July 2023

A significant part of the current research efforts in computational mechanics is focused on analyzing and handling large amounts of data, exploring high dimensional parametric spaces and providing answers to increasingly complex problems in short or real-time. This alludes to concepts (like digital twins) and technologies (like machine learning), methodologies to be considered in combination with classical computational models. Reduced Order Models (ROM) contribute to address these challenges by reducing the number of degrees of freedom of the models, suppressing redundancies in the description of the system to be modeled and simplifying the representation of the mathematical objects quantifying the physical magnitudes.

Among these reduce order models, the Proper Generalized Decomposition (PGD) can be a powerful tool, as it provides solutions to parametric problems, without being affected by the "curse of dimensionality", providing explicit expressions, computed a priori, of the parametric solution, making it is well suited to provide real-time responses. The PGD is a well-established reduced order method, but assessing the accuracy of its solutions is still a relevant challenge, particularly when seeking guaranteed bounds of the error of the solutions it provides.

There are several approaches to analyze the errors of approximate solutions, but the only way that provides computable and guaranteed error bounds is by applying dual analysis. The idea behind dual analysis is to use a pair of complementary solutions (one that is compatible, and the other equilibrated) for a specified problem and to use the difference between these solutions, which bounds their errors. Dual analysis is also effective to drive mesh adaptivity refinement processes, as it provides information of the contribution of the elements to the error, either in a global or in a local framework.

In this work we deal with finite element solutions for solid mechanics problems, computing compatible and equilibrated PGD solutions, using them in the context of dual analysis. The PGD approximations are obtained with an algebraic approach, leading to separable solutions that can be manipulated for an efficient computational implementation. We use these solutions to obtain global and local error bounds and use these bounds to drive an adaptivity process. The meshes obtained through these refinements provide solutions with errors significantly lower than those obtained using a uniform refinement.

Una parte importante de los esfuerzos de investigación actuales en mecánica computacional se centra en analizar y manejar grandes cantidades de datos, explorar espacios paramétricos de alta dimensión, y proporcionar respuestas a problemas cada vez más complejos en un tiempo breve o en tiempo real. Esto alude a conceptos (como gemelos digitales) y tecnología (como aprendizaje automático), metodologías a ser consideradas en combinación con modelos computacionales clásicos. Los modelos de orden reducido (ROM) contribuyen a abordar estos desafíos al reducir el número de grados de libertad de los modelos, suprimir redundancias en la descripción del sistema a modelar, y simplificar la representación de los objetos matemáticos que cuantifican las magnitudes físicas. Entre estos modelos de orden reducido, la PGD (del inglés Porper Generalized Decomposition) puede ser una herramienta poderosa, ya que proporciona soluciones a problemas paramétricos, sin verse afectada por ¿el problema de la dimensionalidad¿. La PGD proporciona expresiones explícitas, calculadas a priori, de la solución paramédica, por lo que es adecuado para proporcionar. La PGD es un método de reducción de orden bien establecido, pero evaluar la precisión de sus soluciones sigue siendo un desafío relevante, en particular cuando se buscan límites garantizando el error de las soluciones que proporciona. Existen varios enfoques para analizar los errores de las soluciones aproximadas, pero la única forma de proporcionar límites de error computables y garantizados es mediante la aplicación de un análisis dual. La idea del análisis dual es utilizar un par de soluciones complementarias(una que sea compatible y la otra equilibrada) para un problema específico. La diferencia entre las dos soluciones es lo que limitará el error. El análisis dual también es efectivo para impulsar procesos de refinamientos de adaptabilidad de malla, ya que proporciona información sobre la contribución de los elementos al error, sea en un marco global o local. En este trabajo tratamos con soluciones de elementos finitos para problemas de mecánica de sólidos , calculando soluciones PGD compatibles y equilibradas, utilizándolas en contexto análisis dual. Las aproximaciones PGD se obtienen con un enfoque algebraico, lo que lleva a soluciones separables para obtener límites en el error globales como locales, y los empleamos para impulsar un proceso de adaptabilidad. Las mallas producidas a través de estos refinamientos proporcionan soluciones con errores significativamente más bajos que las obtenidos usando un refinamiento uniforme.

O cenário atual da pesquisa em mecanica computacional está focado em analisar grandes quantidades de dados, explorar grandes espaços paramétricos e fornecer respostas a problemas cada vez mais complexos em tempo (quase) real. Podemos relacionar esses desafios a conceitos como gemeos digitais, e tecnologias como aprendizado de máquinas, que se combinam com modelos computacionais clássicos. Os Modelos de Ordem Reduzida (MOR) contribuem para solucionar esses problemas atraés de uma reduccao dos graus de liberdade destes modelos, suprimindo redundàncias na descriçao dos sistemas e simplificando a sua representaçao matemática.
Dentre estes modelos de ordem reduzida a PGD (de Proper Generalized Decomposition, em portuguès Decomposiçao Generalizada Característica) pode ser uma poderosa ferramenta, fornecendo soluçoes paramétricas que nao sao afetadas pelo “maldiçao da dimensionalidade”. A PGD prove expressçoes explicitas das soluçoes paramétricas, sendo estas calculadas a priori, o que torna este método vantajoso quando se buscam soluçoes em tempo real. A PGD ´e uma metodologia bem estabelecida, mas avaliar a preciçao das aproximaçoes obtidas ainda é uma questao relevante, particularmente quando se procuram majorantes do erro das suas soluçoes, que sejam garantidos.
Existem diversas maneiras de analisar os erros das aproximaçoes que obtemos, mas a única forma de obter soluçoes com majorantes dos erros garantidos é aplicando uma análise dual. A ideia por trás da análise dual é utilizar um par de soluçoes complementares (uma solu¸c˜ao compatível e uma soluçao equilibrada) para um problema específico e usar a diferença entre essas soluçoes.
Ela é também efetiva para direcionar processos de refinamentos de malhas, já que é possível obter a contribuiçao dos elementos para o erro tanto num contexto local quando global.
Neste trabalho lidamos com soluçoes de elementos finitos para problemas de mecánica dos sólidos, calculando soluçoes compatíveis e equilibradas para soluçoes PGD e usando estas na análise dual do erro. As aproximaçoes por PGD sao obtidas utilizando um método algébrico, o que resulta em soluçoes separáveis que podem ser manipuladas para uma eficiente implementaçao computacional. Utilizamos estas soluçoes para obter majorantes locais e globais para o erro e usamos esses majorantes para direcionar processos adaptativos ótimos. As malhas obtidas através desse processo de refinamento geram soluçoes com erros significativamente menores que aquelas obtidas através de um refinamento uniforme.