Certification in quantum information theory: key distribution, self-testing and entanglement
Authors:   , Balanzó Juandó Maria 
Published: February 2025

(English) In the beginning of the last century, we witnessed a change of paradigm in how physics described the world with the formulation of quantum mechanics. This new theory shook the pillars of science by setting fundamental limits on our ability to describe nature. It was able to explain the laws that govern physics at the microscopic level, which could not be explained by means of the existing laws. The behavior at such small scales differs significantly from our daily experience. For instance, exotic phenomena such as entanglement or nonlocality are exclusively observed at the microscale. Entanglement and nonlocal correlations represent two essential resources in quantum information processing, enabling novel tasks that are unattainable within a classical framework.

The end of the twentieth century has seen a wave of studies on the fundamental properties of quantum theory. Nowadays, as a consequence of these advances in quantum theory and experiments, various companies are selling devices claimed to perform a quantum information task with no classical analog, such as quantum random number generators, prototypes of quantum computers, or quantum key distribution devices. Since quantum devices cannot be simulated classically, it is hard to verify them using only classical resources, which are the ones available to the average user. Hence, a natural question to ask ourselves is how we can verify the properties and functioning of quantum devices in an efficient way.

In this context, device-independent protocols have been developed in quantum information theory over the past decade. The main advantage of such protocols is that users do not have to make any assumption about the inner workings of their devices, considering them as black boxes. The security and success of a device-independent protocol relies on the observation of nonlocal correlations in a Bell experiment.

This thesis is dedicated to provide tools to achieve the certification of quantum information devices or tasks in a device-independent way.

In the first part of this thesis, we focus on certifying the security of device-independent quantum key distribution. To this end, we first study whether Bell nonlocality is a sufficient condition for security in the most used protocols, proving that there exist nonlocal correlations that are not useful for secure device-independent quantum key distribution using these protocols. Moreover, we study noisy scenarios, that is when experimental imperfections are present, and derive upper bounds on the two-way and one-way key rates for this kind of protocols.

In the second part, we study self-testing, which is one of the simplest device-independent protocols. Its goal is to recover quantum states solely from the observed measurement correlations. In the majority of quantum information processing tasks one needs to consider a particular quantum state, making the certification of quantum states of great importance in the device-independent paradigm. We prove that all multipartite states of qubits can be self-tested. Moreover, we study self-testing in higher-dimensional systems.

Finally, in the third part of this thesis, we tackle the problem of certification of entanglement. It is well known that certifying the presence of entanglement in a system is a hard task. The key methods for entanglement detection, entanglement witnesses and positive maps, rely on our understanding of the mathematical features of multilinear algebra. By using the fact that any separable state is one to one related to a matrix inequality, we port previously known results on the entanglement of states with positive partial transpose into the domain of matrix inequalities, which also allow us to translate multilinear positive maps back into entanglement witnesses. This approach leads to a unified treatment of a large class of matrix inequalities, allowing us to find new inequalities on the basis of advances in entanglement theory.

(Català) A principis del segle passat vam ser testimonis d'un canvi de paradigma en la manera com la física descrivia el món, amb la formulació de la física quàntica, una nova teoria que sacsejà les bases de la ciència establint límits fonamentals a la nostra capacitat de descriure la natura. Era capaç d'explicar les lleis que governen la física a una escala microscòpica, a diferència de la física clàssica. El comportament a aquestes escales és radicalment diferent del que experimentem al nostre dia a dia. Per exemple, els fenòmens d'entrellaçament i no-localitat només es poden observar a escala microscòpica. Precisament, l'entrellaçament i les correlacions no locals són dos recursos essencials en el processament de la informació quàntica, permetent tasques innovadores inaccessibles dins una estructura purament clàssica.

A finals segle XX es van produir una sèrie d'estudis de les propietats fonamentals de la física quàntica. Actualment, i com a conseqüència d'aquests avenços, diverses companyies venen aparells assegurant que duen a terme una tasca d'informació quàntica sense anàleg clàssic, com per exemple generadors de números aleatoris, prototips d'ordinadors quàntics, o aparells de distribució de claus quàntiques. Com que aquest tipus d'aparells no es poden simular clàssicament, resulta difícil verificar-ne el funcionament fent servir únicament recursos clàssics, que són els que estan a l'abast de l'usuari mitjà. Així doncs, és lògic preguntar-nos de quina manera podem verificar-ne el funcionament i les propietats d'una forma eficient.

En aquest context, durant les útlimes dècades, s'han desenvolupat el que coneixem com protocols independents de l'aparell dins la teoria de la informació quàntica. El principal avantatge d'aquests protocols és que els usuaris no han de fer cap mena de suposició sobre el funcionament intern de l'aparell, considerant-los com caixes negres. L'èxit i la seguretat d'aquesta mena de protocols es basa en l'observació de correlacions no locals en un experiment de Bell.

Aquesta tesi pretén proporcionar eines per aconseguir la certificació d'aparells o tasques d'informació quàntica amb independència de l'aparell utilitzat. Per aconseguir-ho, la tesi està dividida en tres parts.

En primer lloc, ens centrem en la certificació de la seguretat en la distribució de claus quàntiques amb independència de l'aparell proporcionat. Per fer-ho, primer estudiem si la no-localitat de Bell és una condició suficient per garantir la seguretat en el tipus de protocols més utilitzats, demostrant que hi ha correlacions no locals que no són útils per la seguretat fent servir aquesta mena de protocols. A més, estudiem escenaris amb presència d'imperfeccions experimentals.

En la segona part estudiem el que anomenem auto-proves, que és un dels protocols independents de l'aparell més simples que existeixen. L'objectiu és recuperar estats quàntics únicament a partir de les correlacions observades. Donat que en la majoria de tasques de processament d'informació és necessari considerar un estat quàntic determinat, certificar estats quàntics té una gran importància en aquest paradigma. Demostrem que els estats de qubits multipartits poden ser autoprovats i estudiem què podem saber de sistemes de dimensions més grans.

Per acabar, entomem el problema de la certificació d'entrellaçament, ja que se sap de la dificultat de certificar la presència d'entrellaçament en un sistema. Els mètodes més coneguts per detectar entrellaçament són els testimonis d'entrellaçament i els mapes positius, i tots dos depenen de la nostra comprensió de les propietats de l'àlgebra multilineal. Fent servir que qualsevol estat separable té una correspondència unívoca amb una desigualtat matricial, traduim mapes multilineals positius a testimonis d'entrellaçament. Aquest enfocament ens duu a un tractament unificat d'una àmplia classe de desigualtats matricials, permetent-nos assolir nous avenços en la teoria de l'entrellaçament.

(Español) A principios del siglo pasado fuimos testigos de un cambio de paradigma en la
forma en la que la física describe el mundo gracias a la formulación de la física
cuántica. Esta nueva teoría sacudió las bases de la ciencia, estableciendo límites
fundamentales a nuestra capacidad de describir la naturaleza. Esta nueva teoría
era capaz de explicar las leyes que gobiernan la física a nivel microscópico, a
diferencia de la física clásica. El comportamiento a estas escalas es radicalmente
distinto a nuestras experiencias diarias. Por ejemplo, los fenómenos de entrelazamiento
y no-localidad sólo pueden ser observados a escala microscópica.
Precisamente, el entrelazamiento y las correlaciones no locales son dos recursos
esenciales en el procesamiento de la información cuántica, permitiendo tareas
innovadoras inaccesibles dentro de una estructura puramente clásica.
A finales del siglo XX se produjeron una serie de estudios de las propiedades
fundamentales de la física cuántica. Actualmente, como consecuencia de estos
avances en la teoría cuántica y los experimentos realizados, varias compañías
están vendiendo aparatos asegurando que realizan tareas de información cuántica
sin análogo clásico, como por ejemplo generadores de números aleatorios,
prototipos de ordenadores cuánticos, o aparatos de distribución de claves cuánticas.
Dado que este tipo de aparatos no se pueden simular clásicamente, resulta
difícil verificar su funcionamiento utilizando sólo recursos clásicos, que son los
que están disponibles para un usuario medio. Por lo tanto, resulta lógico preguntarnos
de qué forma podemos verificar el funcionamiento y las propiedades
de estos aparatos de una forma eficiente.
En este contexto, durante las últimas décadas, se han desarrollado lo que se
conoce como protocolos independientes del aparato –device-independent protocols–
en el marco de la teoría de la información cuántica. La principal ventaja
de este tipo de protocolos es que el usuario no tiene que hacer ninguna suposición
acerca del funcionamiento interno del aparato, pudiéndolo considerar como
una caja negra. El éxito y la seguridad de este tipo de protocolos se basa en la
observación de correlaciones no locales en un experimento de Bell.
Esta tesis está dedicada a proporcionar herramientas para conseguir la certificación
de aparatos o tareas de información cuántica utilizando protocolos
independientes del aparato. Para realizarlo, la tesis está dividida en tres partes.
En la primera parte de la tesis nos centramos en la certificación de la seguridad en la distribución de claves cuánticas independientemente del aparato.
Para realizarlo, estudiamos si la no-localidad de Bell es condición suficiente para
garantizar la seguridad en el tipo de protocolos más utilizados, probando que
hay correlaciones no locales que no son útiles para la seguridad en la distribución
de claves cuánticas utilizando este tipo de protocolos. Además, estudiamos escenarios
con ruido, es decir, cuando hay imperfecciones experimentales, derivando
cotas superiores para la longitud de la clave obtenida mediante estos protocolos.
En la segunda parte estudiamos lo que denominamos auto-pruebas –selftesting–
que es uno de los protocolos independientes del aparato más sencillos
que existen. El objetivo es recuperar los estados cuánticos únicamente a partir
de las correlaciones observadas. Dado que en la mayoría de tareas de procesado
de información es necesario considerar un estado cuántico determinado,
certificar estados cuánticos tiene una gran importancia en el paradigma de independencia
del aparato. Demostramos que los estados de qubits multipartitos
pueden ser autoprobados. Además, estudiamos qué podemos saber de sistemas
cuyas dimensiones sean mayores.
Por último, en la tercera parte de la tesis, atacamos el problema de la certificación
de entrelazamiento. Es bien sabida la dificultad de certificar la presencia
de entrelazamiento en un sistema. Los métodos más conocidos para detectarlo
son los testigos de entrelazamiento y los mapas positivos, y ambos dependen de
nuestra comprensión de las propiedades del álgebra multilineal. Utilizando que
cualquier estado separable tiene una correspondencia unívoca con una desigualdad
matricial, trasladamos resultados previamente conocidos sobre entrelazamiento
de estados que tengan una transposición parcial positiva al dominio de
desigualdades matriciales, de forma que podemos traducir mapas multilineales
positivos a testigos de entrelazamiento. Este enfoque nos lleva a un tratamiento
unificado de una amplia clase de desigualdades matriciales, permitiéndonos descubrir
nuevas desigualdades y alcanzar nuevos avances en la teoría del entrelazamiento.