Modelling of structures using the isogeometric method
Authors: Τσαπέτης Δημήτριος 
Published: March 2021

Κύριος σκοπός των υπολογιστικών μεθόδων είναι η μελέτη και ερμηνεία των φυσικών φαινομένων μέσω της μαθηματικής τους μοντελοποίησης. Η διαδικασία αυτή συχνά οδηγεί στη μετάφραση ενός φυσικού φαινομένου σε όρους μερικών διαφορικών εξισώσεων, η λύση των οποίων αναζητείται από μαθηματικούς και επιστήμονες. Η εύρεση αναλυτικής λύσης σε αυτά τα προβλήματα δεν είναι πάντα εφικτή, γεγονός που οδήγησε στην ανάπτυξη υπολογιστικών μεθόδων. Μια από τις πλέον διαδεδομένες υπολογιστικές μεθόδους, είναι αυτή των Πεπερασμένων Στοιχείων, η οποία διακριτοποιεί τον φορέα και προσφέρει μια προσεγγιστική λύση της διαφορικής εξίσωσης σε ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων του. Καθώς όμως η πολυπλοκότητα των φορέων προς επίλυση αυξάνει, δημιουργείται η ανάγκη μιας στενότερης σύνδεσης της ανάλυσης με τη σχεδίαση του προσομοιώματος. Η Ισογεωμετρική Ανάλυση προτάθηκε ως μια τεχνολογία χωρικής δια-κριτοποίησης, η οποία αντιμετωπίζει την ανάγκη για μια κοινή εξέλιξη των τεχνολογιών σχεδίασης και ανάλυσης φορέων, με σκοπό να αμβλύνει τα προβλήματα χρήσης προσεγγιστικής γεωμετρίας κατά την ανάλυση. Αυτό το επιτυγχάνει με τη χρήση των συναρτήσεων σχεδίασης σαν κοινή βάση και για την ανάλυση των φορέων. Η ισογεωμετρική ανάλυση εμφανίζει πολλές ομοιότητες με την προκάτοχο τεχνολογία της, τα Πεπερασμένα Στοιχεία, καθώς και οι δυο αποτελούν ισοπαραμετρικές υλοποιήσεις της μεθόδου Galerkin και διατηρούν παρόμοια ροή του κώδικα και ιδιότητες, όπως το εύρος διαγωνίου των παραγόμενων μητρώων. Από μια άλλη οπτική, πολλές πτυχές της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων παύουν να ισχύουν. Για παράδειγμα, η τεχνική διακριτοποίησης της γεωμετρίας καταργείται, αφού πλέον χρησιμοποιείται η αρχική γεωμετρία για την ανάλυση, ενώ οι κόμβοι, που είναι τα σημεία ελέγχου, δεν ανήκουν πλέον κατά κανόνα πάνω στη γεωμετρία. Το θεωρητικό υπόβαθρο της διατριβής αφορά δύο κύριες κατηγορίες: α) την μελέτη των υφιστάμενων αλγορίθμων επίλυσης φορέων που έχουν προσομοιωθεί με τη μέθοδο της ισογεωμετρικής ανάλυσης και την εισαγωγή αποδοτικότερων εναλλακτικών τους, βασισμένες σε μεθόδους επίλυσης με υποφορείς και β) την προσομοίωση κατασκευών λεπτότοιχων κελυφών στα πλαίσια της ισογεωμετρικής ανάλυσης με χρήση σύνθετων υλικών, λαμβάνοντας υπόψη τη μικροδομή τους μέσω μιας ανάλυσης πολλαπλών κλιμάκων. Συγκεκριμένα, έχει γίνει εκτενής μελέτη των ισοπαραμετρικών υλοποιήσεων της ισογεωμετρικής ανάλυσης, τόσο με τη χρήση της μεθόδου Galerkin, όσο και με τη μέθοδο ταξιθεσίας (collocation) με σκοπό τη μόρφωση των απαιτούμενων μητρώων στιβαρότητας, στο πλαίσιο προσομοίωσης φορέων γραμμικής ελαστικότητας. Η ανάλυση φορέων με την ισογεωμετρική μέθοδο Galerkin, έχει αποδειχθεί πως παράγει αποτελέσματα με σημαντικά αυξημένη ακρίβεια ανά βαθμό ελευθερίας, σε σχέση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Αυτό οφείλεται κυρίως στην αυξημένη συνέχεια των συναρτήσεων σχήματος, η οποία σε συνδυασμό με το μηδενισμό του γεωμετρικού σφάλματος, οδηγεί σε αυξημένη ομαλότητα των χαρακτηριστικών δεύτερης τάξης, όπως οι τάσεις και παραμορφώσεις. Δυστυχώς, αυτό το πλεονέκτημα της ισογεωμετρικής ανάλυσης συνοδεύεται από ένα αυξημένο κόστος για τη μόρφωση των μητρώων, αφού τα απαιτούμενα σημεία ολοκλήρωσης είναι τάξης μεγέθους περισσότερα σε σχέση με τα πεπερασμένα στοιχεία. Για το λόγο αυτό αναπτύχθηκαν εναλλακτικοί τρόποι αριθμητικής ολοκλήρωσης που να ελαχιστοποιούν το κόστος μόρφωσης των μητρώων. Αυτό οδήγησε στη χρήση της μεθόδου collocation για την ανάλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών στα πλαίσια της ισογεωμετρικής ανάλυσης. Η μέθοδος collocation μειώνει δραστικά τον αριθμό των απαιτούμενων σημείων ολοκλήρωσης, που είναι πλέον ίσος με τον αριθμό σημείων ελέγχου του φορέα. Η βασική διαφορά της μεθόδου collocation σε σχέση με τη Galerkin, είναι ότι απαιτείται η ικανοποίηση της ισχυρής μορφής της διαφορικής εξίσωσης σε περιορισμένο πλήθος σημείων. Στα πλαίσια αυτής της διατριβής προτείνονται και υλοποιούνται εναλλακτικοί τρόποι διαχωρισμού του φορέα σε υποφορείς, με σκοπό την αποδοτική επίλυση των φορέων που δημιουργούνται από τη μέθοδο Galerkin, που αμβλύνουν το μειονέκτημα της μεθόδου ΙΕΤΙ. Η πρώτη εναλλακτική ονομάστηκε ΙΕΤΙ-P και αποτελεί μια επέκταση της υφιστάμενης μεθόδου ΙΕΤΙ, η οποία χωρίζει τα ανισομεγέθη τμήματα σε περισσότερους υποφορείς. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της μείωσης της συνέχειας στους κόμβους () των παραμετρικών αξόνων. Όταν η συνέχεια ενός κόμβου μειωθεί, μέσω της αύξησης της πολλαπλότητάς του σε 0, τότε ο αρχικός φορέας μπορεί να διασπαστεί στο σημείο του κόμβου σε δυο υποφορείς. Αυτός ο νέος διαχωρισμός, έχει θετική επίδραση στην επίλυση ενός φορέα με τη μέθοδο της ΙΕΤΙ, καθώς απαλείφει την ανισοκατανομή του υπολογιστικού φορτίου, εισάγοντας όμως επιπλέον κόστος λόγω εισαγωγής νέων κόμβων. Η δεύτερη εναλλακτική προσέγγιση που προτάθηκε για το χωρισμό υποφορέων, είναι η μέθοδος IETI-O. Στη μέθοδο αυτή δεν απαιτείται μείωση της συνέχειας στους κόμβους, αλλά προκύπτει από τον αρχικό φορέα θεωρώντας μια διευρυμένη διεπιφάνεια μεταξύ των νέων υποφορέων. Όπως ακριβώς η ΙΕΤΙ-P , έτσι και η μέθοδος IETI-O, καταφέρνει να αμβλύνει το μειονέκτημα της μεθόδου IETI. Το μειονέκτημα της IETI-O είναι ότι αυξάνει σημαντικά το ενδοσυνοριακό πρόβλημα μεταξύ των υποφορέων, αυξάνοντας σημαντικά το κόστος επίλυσης του. Παρά τις ευνοϊκές τους ιδιότητες, οι μέθοδοι IETI-P και IETI-O, δημιουργούν νέα μειονεκτήματα, όπως η αύξηση του μεγέθους του ενδοσυνοριακού προβλήματος, που επιβαρύνουν σημαντικά την επίλυση του τελικού προβλήματος. Για το λόγο αυτό εισάγεται μια ακόμα μεθοδολογία επίλυσης με υποφορείς, η οποία συνδυάζει τα πλεονεκτήματα μιας επαναληπτικής μεθόδου όπως η PCG, με μεθόδους υποφορέων, η οποία ονομάστηκε PCG-IETI-N. Συγκεκριμένα, η μέθοδος αυτή εισάγει ένα προσομοίωμα που έχει την ίδια γεωμετρία και ίδιες ιδιότητες με το αρχικό, αλλά οι συναρτήσεις σχήματος έχουν αποκοπεί στη διεπιφάνεια μεταξύ υποφορέων. Αυτές οι ασυνέχειες έχουν σαν αποτέλεσμα τη μειωμένη ακρίβεια του νέου προσομοιώματος. Το νέο αυτό προσομοίωμα δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του συνολικού φορέα, μπορεί όμως να αποτελέσει έναν αποδοτικό προσταθεροποιητή για μια επαναληπτική μέθοδο επίλυσης όπως η PCG.Η μελέτη για την επίλυση συστημάτων με υποφορείς επεκτείνεται στη συνέχεια της διατριβής και στην περίπτωση μη-συμμετρικών συστημάτων που πηγάζουν από την μέθοδο collocation. Πάρα το μειωμένο της κόστος κατά τη φάση μόρφωσης των μητρώων, η μέθοδος collocation μετατοπίζει σημαντικό κομμάτι του υπολογιστικού κόστους στην επίλυση των παραγόμενων γραμμικών συστημάτων καθώς τα μητρώα είναι μη συμμετρικά. Η υπάρχουσα βιβλιογραφία επικεντρώνεται στη δημιουργία αποτελεσματικών προσταθεροποιητών για την επιτάχυνση της μεθόδου GMRES. Στο πλαίσιο αυτό, η μοναδική συμβολή με τη χρήση υποφορέων, αποδίδεται στην δημιουργία ενός προσταθεροποιητή με τη μέθοδο overlapping additive Schwarz (OAS). Παρά τη ευνοϊκές δυνατότητές της, η μέθοδος αυτή παρουσιάζει ένα σημαντικό μειονέκτημα, που είναι το αυξημένο εύρος της ζώνης αλληλεπικάλυψης μεταξύ των υποφορέων. Το εύρος αυτό μπορεί να γίνει απαγορευτικά μεγάλο στην περίπτωση αυξημένου πολυωνυμικού βαθμού των συναρτήσεων σχήματος, επιβαρύνοντας έτσι σημαντικά το απαιτούμενο υπολογιστικό κόστος για την επίλυση. Στα πλαίσια αυτής της διατριβής μελετήθηκαν τόσο πρωτογενείς όσο δυϊκές μέθοδοι επίλυσης με υποφορείς με στόχο να αντιμετωπίσουν τα μειονεκτήματα της OAS και να εισάγουν ένα αποτελεσματικότερο προσταθεροποιητή για τη μέθοδο GMRES, καταλήγοντας στην μέθοδο P-FETI-DP, ως τον αποτελεσματικότερο ανάμεσα τους. Έχοντας αντιμετωπίσει επιτυχώς την επίλυση προβλημάτων συνεχούς μέσου που διακριτοποιούνται είτε με τη μέθοδο Galerkin είτε με τη μέθοδο collocation, το τελευταίο τμήμα της διατριβής επικεντρώνεται στη μελέτη πολύπλοκων κατασκευών με δομικά ισογεωμετρικά στοιχεία κελύφους. Με δεδομένο ότι η ισογεωμετρική ανάλυση μπορεί να περιγράψει με μηδενικό γεωμετρικό σφάλμα οσοδήποτε πολύπλοκες γεωμετρίες, θεωρείται ιδανική στην περίπτωση ανάλυσης λεπτότοιχων κατασκευών όπου οι αρχικές γεωμετρικές ατέλειες μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά την τελική μηχανική απόκριση του φορέα. Οι λεπτότοιχες κατασκευές στα πλαίσια των υπολογιστικών μεθόδων περιγράφονται συχνά από δυο θεωρίες, συγκεκριμένα την Kirchhoff-Love για λεπτότοιχα κελύφη και την Reisner-Midlin για κελύφη με μεγάλο πάχος. Παρόλο που οι περισσότερες κατασκευές ανήκουν στην πρώτη κατηγορία, οι περιορισμοί συνέχειας της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων, καθιέρωσαν την θεωρία Reisner-Midlin στην πλειονότητα των λογισμικών. Οι αυξημένη συνέχεια από C0 σε Cp-1 που εισάγεται στην γεωμετρία των φορέων με την ισογεωμετρική ανάλυση, επιτρέπει πλέον μια άμεση υλοποίηση σε κώδικα της τεχνολογίας των λεπτότοιχων κελυφών. Για το λόγο αυτό, και σαν επέκταση των υφιστάμενων θεωριών λεπτών κελυφών για διαφορετικά υλικά, εισάγεται μια μεθοδολογία ανάλυσης τους, η οποία μπορεί να συνδεθεί με οποιοδήποτε υλικό λαμβάνοντας υπόψη τη μικροδομή του μέσω μιας ανάλυσης πολλαπλών κλιμάκων.