Un nuevo método para la simulación numérica de problemas de partición de dominios
Authors:   , Cafiero Díaz Mailhyn E. 
Published: October 2023

The aim of this work is to develop, implement and validate a technique for information transfer, in the domain decomposition methods, able to address coupled thermomechanical problems, with mixed displacement-pressure formulations.
In the domain partitioning techniques, once divided a domain into a finite number of subdomains, the discretization of each subdomain component is carried out by known techniques, in this case, by the Finite Elements Method, thus, the problem lies in the correct transfer of information through the contact interface between the partitions.
Many existing domain decomposition techniques enforce the coupling of triangulations across subdomains boundaries, by a partition-frame. In this work, an interface of the same dimension of the partitions is created by a simple Delaunay triangulation, this interface can be interpreted as a fictive intermediate region connecting the subdomains, which gives the method, accuracy, robustness, versatility and ability of coupling subdomains with not-matching meshes.
When partitioning a domain into subdomains, one can generate the so-called floating subdomains, which are those without sufficient boundary conditions to eliminate rigid body motions. To carry out numerical simulations with the presence of floating subdomains, this work propose a new technique, low computational cost and minimally invasive that calculates robustly the pseudoinverse of the floating subdomain.
In this work we demonstrate that the proposed technique, unlike some alternative methods, pass the patch test successfully, even, when there are not-matching subdomains and floating subdomains. Additionally, it has been shown from analysis of convergence and error measurements, that the results obtained by the proposed method, are comparable in terms of accuracy and speed of convergence with alternative methods incorporating a partition-frame between subdomains, and even have remarkable advantages at level precision when is compared with the coarse mortar mesh method.
Knowing that the connection between subdomains is accomplished by incorporating Lagrange multipliers on the interface, to carry out simulations with mixed displacement-pressure formulations, we had to include a pressure Lagrange multiplier and their virtual work principle equations and constraint variational equations on the interface. From a validation test and analysis of convergence, it has been shown that the incorporation of this parameter is critical to achieve a good accuracy level and to obtain a correct transfer of pressure variable through interface.
Similarly, to address numerical simulations of coupled thermomechanical problems, we had to include the temperature Lagrange multiplier and their respective work principle equations and constraint variational equations on the interface, showing, by a validation test, that even in metal forming problems wherein the material undergoes high plastic deformation, the proposed domain partitioning technique achieves results in robustness and accuracy comparable with monolithic numerical simulations.
In order to use the proposed method in the context of parallel computing, the technique has been implemented such that each subdomain can be processed independently. It is for this reason that we have used the substructures method for calculating the variables (displacement, pressure and temperature).

Este trabajo de investigación tiene como objetivo principal, desarrollar, implementar y validar una técnica de transferencia de información, en los métodos de descomposición de dominios, capaz de abordar problemas termomecánicos acoplados con formulaciones mixtas desplazamiento-presión. En las técnicas de partición de dominios, una vez dividido un dominio en un número finito de subdominios, la discretización de cada uno de los componentes internos o subdominios, se lleva a cabo mediante técnicas conocidas, en este caso, mediante la técnica de los Elementos Finitos, con lo cual, el problema se centra en la correcta transferencia de información a través de la interfaz de contacto entre las particiones. En la mayoría de los métodos alternativos de descomposición de dominios, la interfaz entre subdominios se genera mediante la creación de un marco de partición. En este trabajo por el contrario, se propone la generación de una malla de interfaz, de espesor nulo entre fronteras, por degeneración de una triangulación de Delaunay. Esta forma tan sencilla de generar la interfaz le confiere al método, además de precisión y robustez, versatilidad, ya que las mallas de los subdominios pueden ser arbitrariamente no coincidentes en sus fronteras, con lo cual, no se está supeditado a utilizar la misma discretización en cada una de las particiones, ni el mismo tipo de elementos en cada subdominio. Al particionar un dominio en subdominios, se pueden generar los denominados subdominios flotantes, que son aquellos que carecen de las condiciones de contorno suficientes para eliminar los movimientos de sólido rígido. Para poder llevar a cabo simulaciones numéricas con la presencia de subdominios flotantes, en este trabajo se propone una técnica innovadora, de bajo coste computacional y mínimamente invasiva a nivel de implementación, que permite calcular de forma robusta la pseudoinversa del subdominio flotante. Se demuestra, que la técnica propuesta, a diferencia de algunos métodos alternativos, pasa el ¿patch test¿ de forma satisfactoria, aun y cuando existen subdominios flotantes y mallas no coincidentes. Adicionalmente, se ha demostrado a partir de análisis de convergencia y medidas del error, que los resultados obtenidos mediante el método propuesto, son comparables, a nivel de precisión y velocidad de convergencia, con métodos alternativos que incorporan un marco de partición entre subdominios y que incluso, puede presentar ventajas notables a nivel de precisión, al ser comparada con el método de mortero de malla burda. Tomando en cuenta que la conexión entre subdominios se lleva a cabo mediante la incorporación de multiplicadores de Lagrange sobre la interfaz, para llevar a cabo simulaciones mixtas desplazamiento-presión, se ha incorporado el multiplicador de Lagrange de las presiones y sus respectivas ecuaciones de trabajo y restricciones sobre la interfaz. Mediante un test de validación, estudios de convergencia y medidas del error, se ha demostrado que la incorporación de este parámetro es fundamental a nivel de precisión, para llevar a cabo una correcta transferencia de la variable presión a través de la interfaz. De la misma manera, para poder abordar simulaciones numéricas de problemas termomecánicos acoplados, se ha incorporado el multiplicador de Lagrange de la temperatura y sus respectivas ecuaciones de trabajo y restricciones sobre la interfaz, demostrándose, mediante un test de validación, que incluso en problemas de conformado de metales en donde el material sufre altos niveles de deformación plástica, la técnica propuesta de partición de dominios consigue obtener resultados comparables en robustez y precisión con simulaciones numéricas monolíticas. Con el fin de utilizar el método propuesto en el contexto del cálculo en paralelo, se ha implementado la técnica, tal que, cada subdominio pueda ser procesado independientemente.Es por esta razón que se ha utilizado el método de las subestructuras para el cálculo de las variables