Συμμετρίες στην κβαντική κοσμολογία – βαρύτητα και το πρόβλημα του χρόνου
Authors: Καραγιώργος Αλέξανδρος 
Published: September 2021

Στη παρούσα εργασία μελετήσαμε συγκεκριμένες κλασικές και κβαντικές κοσμολογικές λύσεις. Τα κβαντικά κοσμολογικά πρότυπα είναι ιδιαίτερα χρήσιμα,λαμβάνοντας υπόψιν ότι λειτουργούν ως εργαλεία ελέγχου για τα θεωρητικά μοντέλα της κβαντικής βαρύτητας. Επίσης, όπως θα δούμε και σε κάποια από ταμοντέλα που αναλύσαμε, στην κβαντική κοσμολογία απαλείφονται οι κλασσικέςανωμαλίες. Η ανάλυση μας γίνεται με την χρήση των συμμετριών της δράσης καιτων εξισώσεων κίνησης. Τα διατηρήσιμα φορτία που προκύπτουν από την εκάστοτεσυμμετρία (γραμμική ή τετραγωνική) δίνουν επιπλέον εξισώσεις για την αναλυτικήεπίλυση του μοντέλου.Αρχικά αναλύουμε ένα στατικό, σφαιρικά συμμετρικό χωρόχρονο παρουσία ενόςηλεκτροστατικού πεδίου και κατασκευάζουμε τη Λαγκρανζιανή του μίνιυπερχώρου που αναπαράγει τη γνωστή λύση Reissner-Nordström. Επιλέγουμε στη συνέχειατα κλασικά ολοκληρώματα της κίνησης που πρόκειται να αναχθούν σε κβαντικάπαρατηρήσιμα και τα οποία σχετίζονται με τη μάζα και το φορτίο. Οι εξισώσειςτων ιδιοτιμών τους χρησιμοποιούνται ως συμπληρωματικές συνθήκες στην εξίσωσηWheeler-DeWitt και παρέχεται σύνδεση μεταξύ της ύπαρξης ενός ορίζοντα και τουεάν το φάσμα των παρατηρητών είναι πλήρως διακριτό ή όχι. Για κάθε περίπτωσηπαρέχουμε μια ορθοκανονική βάση καταστάσεων όπως προκύπτει από τη διαδικασία της κανονικής κβάντωσης.Στη συνέχεια θεωρούμε μια αξονο-συμμετρική γεωμετρία Bianchi τύπου III παρουσία ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Ένα πρώτο αποτέλεσμα σε κλασσικό επίπεδο είναι ότι η συμμετρία της γεωμετρίας δεν χρειάζεται να εφαρμοστεί στον ηλεκτρομαγνητικό τανυστή Fμν . Οι αλγεβρικοί περιορισμοί, που προέρχονται από τιςεξισώσεις πεδίων Einstein στον τανυστή ενεργείας πίεσης Tμν , αρκούν για τη αναγωγή της γενικής F μν στην κατάλληλη μορφή. Η κλασική λύση που βρέθηκε περιέχειένα χρονοεξαρτωμενο ηλεκτρικό φορτίο και ένα σταθερό μαγνητικό φορτίο. Η λύσημπορεί να βρεθεί και από την δράση του μίνι-υπερχώρου, η οποία είναι εντυπωσιακά παρόμοια με την Reissner-Nordstrom. Αυτό καταδεικνύει μια σχέση μεταξύτης γεωμετρίας των μελανών οπών και της κοσμολογικής λύσης που βρέθηκε εδώ,η οποία είναι αντίστοιχη με την αναλογία μεταξύ Schwarzschild μελανής οπής καιτου κοσμολογικού μοντέλου Kantowski-Sachs. Ο θεσεογραφικός χώρος τροποποιείται δραστικά από την παρουσία του μαγνητικού φορτίου, από επίπεδος τρισδιάστατος σε επίπεδο τρισδιάστατο pp-wave. Απεικονίζουμε τα γραμμικά και τετραγωνικά κλασικά ολοκληρώματα της κίνησης, σε κβαντικά παρατηρήσιμα. Μαζί μετην εξίσωση Wheeler-DeWitt αυτά τα παρατηρήσιμα στοιχεία παρέχουν μοναδικέςκυματοσυναρτήσεις με απροσδιόριστες τις σταθερές.Τέλος επανεξετάζουμε τα αξονοσυμμετρικά πρότυπα Bianchi VIII και IX. Στοκλασσικό επίπεδο αναπαράγουμε τη γνωστή αναλυτική λύση, με ένα νέο τρόπο χρησιμοποιώντας δύο τετραγωνικά ολοκληρώματα της κίνησης, τον δεσμό, καθώς καιένα γραμμικό μη τοπικό ολοκλήρωμα της κίνησης. Αυτές οι ποσότητες αντιστοιχούνσε δύο τανυστές Killing δεύτερης τάξης και ένα ομοθετικό διανυσματικό πεδίο πουυπάρχει στον αντίστοιχο θεσεογραφικό χώρο. Στο αντίστοιχο φασικό χώρο τα δύοτετραγωνικά φορτία μετατίθονται με τον Χαμιλτονιανό δεσμό αλλά όχι μεταξύ τους.Έτσι, αφού μετατρέψουμε αυτά τα φορτία σε τελεστές, έχουμε δύο διαφορετικέςλύσεις στην εξίσωση Wheeler DeWitt που αντιστοιχούν στους δύο τετραγωνικούςτελεστές. Το ομοθετικό διάνυσμα στη συνέχεια χρησιμοποιείται ως κατευθυντήριαγραμμή για τον ορισμό μιας κανονικοποιήσιμης υπό συνθήκη πιθανότητας που μηδενίζεται στις κλασσικές ανωμαλίες.