Ruin theory problems in simple SDE models with large deviation asymptotics
Authors: Μπουγιουκλή Ευσταθία 
Published: November 2022

Εξετάζουμε προβλήματα πιθανοτήτων σχετικά με τη συμπεριφορά απλών γραμμικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων με εκθετικά όρια, που σχετίζονται με προβλήματα που προκύπτουν στη θεωρία κινδύνου και στα μοντέλα asset και liability στα pension funds.Το πρώτο μοντέλο που εξετάζουμε, στο Κεφάλαιο 2, είναι μια διαδικασία Ornstein-Uhlenbeck (OU) που περιγράφεται από τη Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση dX_t=μ X_t dt+σdW_t με X_0=x_0 δεδομένο, όπου μ>0 και {W_t } είναι standard κίνηση Brown. Αυτό το μοντέλο προκύπτει ως μια προσέγγιση διάχυσης των μοντέλων θεωρίας κινδύνου στα οποία τα «ελεύθερα» αποθεματικά τοκίζονται. Το ερώτημα που τίθεται είναι αυτό του προσδιορισμού της πιθανότητας η διαδικασία να «χτυπήσει/συναντήσει» μια κάτω ντετερμινιστική καμπύλη υ_0 e^βt ή/και μια άνω καμπύλη u_0 e^αt, υποθέτοντας αρχικά ότι τα «ελεύθερα» αποθέματα βρίσκονται μεταξύ αυτών των τιμών, δηλ. 0< υ_0< x_0< u_0 και ότι β<μ<α. Εξετάζονται τόσο το «πρόβλημα πιθανοτήτων καταστροφής» του πεπερασμένου ορίζοντα για τον προσδιορισμό της πιθανότητας πρόσκρουσης στο όριο εντός ενός πεπερασμένου ορίζοντα, όσο και η πιθανότητα άπειρου ορίζοντα. Αυτό το πρόβλημα μπορεί φυσικά να διατυπωθεί με όρους PDE δεύτερης τάξης με καμπύλα (εκθετικά) όρια στο επίπεδο και να λυθεί αριθμητικά. (Μια εναλλακτική προσέγγιση που περιλαμβάνει ένα επιχείρημα αλλαγής χρόνου (time change argument)αναφέρεται εν συντομία στο Κεφάλαιο 2.) Το κύριο μέρος της ανάλυσης περιλαμβάνει τεχνικές Large Deviations και ειδικότερα την προσέγγιση των Wentzell-Freidlin προκειμένου να ληφθούν λογαριθμικές ασυμπτωτικές για την πιθανότητα «πρόσκρουσης» είτε του κάτω είτε του άνω ορίου. Οι ασυμπτωτικές χαμηλού θορύβου ισχύουν όταν η διακύμανση σ είναι μικρή και ως εκ τούτου το γεγονός να χτυπήσει οποιοδήποτε όριο είναι σπάνιο. Ο εκθετικός ρυθμός που χαρακτηρίζει την πιθανότητα προκύπτει με την επίλυση ενός variational προβλήματος το οποίο δίνει επίσης το «μονοπάτι προς την καταστροφή». Ξεκινάμε με μια προσεκτική και λεπτομερή ανάλυση του προβλήματος του πεπερασμένου ορίζοντα της πρόσκρουσης σε ένα κατώτερο όριο. Το πρόβλημα του άπειρου ορίζοντα τόσο για το «χτύπημα» του κάτω όσο και του άνω εκθετικού ορίου αντιμετωπίζεται χρησιμοποιώντας την προσέγγιση των transversality conditions του λογισμού μεταβολών. Επιπλέον, εξετάζεται η διαδικασία OU με γενικότερο συντελεστή γραμμικής μετατόπισης, δηλαδή η διαδικασία που προκύπτει από την SDE dX_t=(μ X_t+r)dt+σdW_t με το άνω εκθετικό όριο u_0 e^αt (με 0<μ<α).Θεωρούμε επίσης, στο τέλος του Κεφαλαίου 2, το πρόβλημα δύο ανεξάρτητων OU διαδικασιών που προκύπτουν από τα SDEs dX_t=α X_t dt+σdW_t, dY_t=β Y_t dt+bdV_t, με δεδομένα X_0=x_0 , Y_0=y_0 . Επίσης, οι {W_t } και {V_t } είναι ανεξάρτητες κινήσεις Brown. Αν α>β και x_0> y_0 τότε, στην απουσία θορύβου, θα ισχύει ότι X_t> Y_t για όλα τα t>0. Εξετάζουμε, την πιθανότητα να συναντηθούν οι δύο διαδικασίες χρησιμοποιώντας ξανά την προσέγγιση των Wentzell-Freidlin. Οι βέλτιστες διαδρομές που ακολουθούνται από τις δύο διαδικασίες και ο χρόνος συνάντησης T καθορίζονται με την επίλυση ενός variational προβλήματος χρησιμοποιώντας transversality conditions. Είναι ενδιαφέρον ότι το ίδιο μοντέλο όταν θεωρήσουμε μια συσχέτιση μεταξύ των δύο κινήσεων Brown παρουσιάζει πιο περίπλοκη συμπεριφορά εάν ο συντελεστής συσχέτισης υπερβαίνει ένα ορισμένο όριο. Αυτή η τελευταία περίπτωση συζητείται στο κεφάλαιο 4.Στο Κεφάλαιο 3 εξετάζεται ένα αντίστοιχο πρόβλημα που περιλαμβάνει μια Γεωμετρική κίνηση Brown που περιγράφεται από τη SDE dX_t=μ X_t dt+σX_t dW_t με X_0=x_0 , μαζί με ένα άνω και ένα κάτω εκθετικό όριο. Και πάλι, χρησιμοποιείται η θεωρία των Wentzell-Freidlin. Σε αυτήν την περίπτωση, ωστόσο, μια ακριβής λύση είναι δυνατή, και επομένως μπορούμε να αποκτήσουμε μια ιδέα για την ακρίβεια των λογαριθμικών ασυμπτωτικών που προτείνουμε. Όπως αναμενόταν, όταν η διακύμανση σ γίνει μικρότερη, η εκτίμηση βελτιώνεται. Αναφέρεται επίσης η περίπτωση δύο συσχετιζόμενων γεωμετρικών κινήσεων Brown. Αυτά τα μοντέλα είναι εμπνευσμένα από το μοντέλο των Gerber και Shiu για τα assets & liabilities στα pension funds.Στο Κεφάλαιο 4, εκτός από την επανεξέταση του προβλήματος δύο διαδικασιών Ornstein-Ulhenbeck με την παρουσία συσχέτισης, εξετάζουμε επίσης εν συντομία διαδικασίες OU με χρονικά μεταβαλλόμενη διακύμανση, που προκύπτουν από την SDE dX_t=μ X_t dt+σ(t)dW_t . Το πρόβλημα «πρόσκρουσης» που εξετάζουμε έχει κάτω εκθετικό όριο και άπειρο ορίζοντα. Το πρόβλημα μεταβλητότητας που προκύπτει από τη μέθοδο Wentzell-Freidlin είναι επιλύσιμο. Ωστόσο, η εξίσωση που δίνει τον βέλτιστο χρόνο «πρόσκρουσης» μπορεί να μην έχει μοναδική λύση. Επιλύουμε ένα παράδειγμα αυτού του προβλήματος αριθμητικά για να επεξηγήσουμε την προσέγγιση.