Banach space-based mixed finite element methods for coupled diffusion problems and related models.
Authors:   , Inzunza Domínguez Cristian Andrés 
Published: November 2024

En esta tesis, se exploran nuevos métodos de elementos finitos mixtos basados en espacios de Banach para abordar problemas de difusión acoplada y modelos relacionados en mecánica de medios continuos. El enfoque se centra en el análisis numérico y simulación de los problemas de difusión asistida por esfuerzos y chemotaxis-Navier-Stokes.
Primero, introducimos y analizamos formulaciones variacionales mixtas basadas en espacios de Banach para el problema de elasticidad lineal casi incompresible y el problema de Stokes. Este enfoque esta motivado por las similitudes entre las formulaciones variacionales de estos modelos con respecto a las obtenidas para el problema de difusión asistida por esfuerzo, el cual sera estudiado subsecuentemente. Con el fin de evadir la imposición de simetría débil sobre el tensor de esfuerzos de Cauchy, reformulamos los problemas en términos del tensor de pseudoesfuerzos. Aplicamos fórmulas de integración por partes acordes a los espacios de Banach utilizados y obteniendo como resultado los esquemas continuos para ambos modelos. Empleamos la teoría de Babuška-Brezzi en espacios de Banach y generalizamos resultados clásicos para establecer que las formulaciones obtenidas estén bien planteadas dentro de estos espacios.
A continuación, abordamos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describen la difusión de un soluto en un material elástico. El modelo de elasticidad, inicialmente definido de acuerdo a la relación constitutiva de la ley de Hooke, cuya ecuación de momentum incluye un término fuente dependiente de la difusión, es reformulado usando el tensor de psudoesfuerzos no simétrico y la deformación del solido como incógnitas del esquema mixto. La ecuación de difusión, con función de difusividad y termino fuente dependiendo del tensor de esfuerzos y deformación del sólido, respectivamente, es abordada usando una formulación primal con la concentración como incógnita. Para ambas ecuaciones son consideradas condiciones de contorno Dirichlet.
Como continuación natural de lo anterior, se plantea y analiza un enfoque completamente mixto basado en espacios de Banach, generando un nuevo método de elementos finitos para el problema acoplado de difusión asistido por esfuerzo a ser resuelto numéricamente. Introducimos dos esquemas mixtos para el problema de difusión, empleando al flujo de difusión como variable adicional, y para el segundo, consideramos además el gradiente de la concentración como incógnita.
Finalmente, introducimos y analizamos un método completamente mixto basado en espacios de Banach para resolver numéricamente el problema de chemotaxis-Navier-Stokes en estado estacionario. Este modelo acoplado y no lineal representa el proceso biológico dado por movimientos celulares conducidos por una señal química externa o interna dentro de un fluido incompresible. Además de la velocidad y presión del fluido, el gradiente de la velocidad y el tensor de esfuerzos de tipo Bernoulli se introducen como variables adicionales, lo que permite eliminar la presión del fluido de las ecuaciones y calcularse mediante un postproceso tras resolver el sistema. A su vez, además de la densidad celular y la concentración de la señal química, los psudoesfuerzos asociados a estas últimas variables y sus correspondientes gradientes son introducidos como incógnitas adicionales. La formulación continua resultante, establecida en un marco Banach, consiste en un sistema acoplado de tres problemas de punto silla, cada uno perturbado con formas trilineales dependientes de los datos y de las incógnitas de los otros dos problemas.
Las formulaciones continuas resultantes de cada uno de los esquemas son abordadas mediante una estrategia de punto fijo, por lo cual, la teoría de Babˇuzka-Brezzi en espacios de Banach permite establecer que los operadores asociados a cada uno de los problemas están bien planteados. Por su parte, el clásico teorema de punto fijo de Banach en conjunto con suposiciones de datos pequeños da como resultado la existencia y unicidad de solución a nivel continuo. Luego, sobre subespacios de elementos finitos arbitrarios, establecemos esquemas de Galerkin correspondientes a cada uno de los problemas. Asumiendo que los subspespacios mencionados son inf-sup estables, con lo cual el teorema de Brouwer permite establecer la existencia de solución a nivel discreto. Adicionalmente, para el esquema asociado al problema estacionario de chemotaxis-Navier-Stokes, el teorema de punto fijo de Banach permite además establecer unicidad de dicha solución discreta. Obtenemos estimaciones de Céa correspondiente a cada esquema, y una vez particularizados los subespacios de elementos finitos, las propiedades de aproximación permiten establecer las correspondientes tasas de convergencia. Finalmente, experimentos numéricos confirman dichas tasas e ilustran el buen desempeño de nuestros métodos.