О поведении функций, родственных функции Чебышева
Authors: Гриценко Сергей Александрович , Деза Елена Ивановна , Варухина Лидия Владимировна 
Published: February 2020

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле $$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$$ и сумматорных функций $$\Phi(x)=\sum_{n\leq x} a_n$$ их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана $$\zeta(s),$$  определенная для любого комплексного числа $$s=\sigma+it$$ с действительной частью $$\Re s=\sigma> 1$$ как $$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$$ Квадрат дзета-функции $$\zeta^{2}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \qquad \Re s >1, $$ связан с функцией делителей $$\tau(n)=\sum_{d|n}1,$$ дающей  число натуральных делителей натурального числа n. Сумматорной функцией ряда Дирихле $$\zeta^2(s)$$ является функция $$D(x)=\sum_{n\leq x}\tau(n),$$ вопросы асимптотической оценки которой известны как   проблема делителей Дирихле. В общем случае, $$ \zeta^{k}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \qquad\Re s>1, $$ где функция $$\tau_k(n)=\sum_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$$ дает число представлений натурального числа  n в виде произведения  k натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $$\zeta^k(s)$$ является функция $$D_k(x)=\sum_{n\leq x}\tau_k(n).$$ Ее изучение - это  многомерная проблема делителей Дирихле. Логарифмическая производная  $$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ дзета-функции представима  в виде $$ \frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},\quad\Re s >1. $$ Здесь $$\Lambda(n)$$ - функция Мангольдта, которая определяется как $$\Lambda(n)=\log p,$$ если $$n=p^{k}$$ для простого p и натурального k, и как $$\Lambda(n)=0,$$ иначе. Таким образом, функция Чебышева $$\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$$ является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}, $$ соответствующего логарифмической производной $$\displaystyle\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими  задачами, прежде всего, с  асимптотическим законом распределения простых чисел. В частности, хорошо известно представление  функции $$\psi(x)$$  по нулям дзета-функции: $$\psi(x)=x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right), $$ где x=n+0,5, $$n \in\mathbb{N},$$ $$2\leq T \leq x,$$ и $$\rho=\beta+i\gamma$$ -  нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $$\zeta(s),$$ лежащие в критической полосе 0 < Res < 1. Аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, можно получить и для арифметических функций, родственных функции Чебышева, например, для функции $$\psi_{1}(x)=\sum_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n).$$ Именно, в настоящей статье получено представление  функции $$\psi_1(x)$$  по нулям дзета-функции Римана следующего вида: $$\psi_1(x)=\frac{x^2}{2}-\left(\frac{\zeta^{'}(0)}{\zeta(0)}\right)x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)}+O\left(\frac{x^{2}}{T^2}\ln^2 x\right)+O\left(\sqrt{x}\ln^2x\right),$$ где x>2, $$T \geq 2,$$ и $$\rho=\beta+i\gamma$$ - нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $$\zeta(s),$$ лежащие в критической полосе 0 < Res < 1.