Strict particular solutions of heat conductivity and thermoelasticity problems
Authors: Левина Любовь Владимировна , Пеньков Виктор Борисович , Новиков Евгений Александрович 
Published: October 2022

Рассматриваются краевые задачи для линейной термоупругой изотропнооднородной среды. Состояние среды подчинено уравнениям Дюамеля-Неймана. В случае, когда характеристики напряженно-деформированного состояния (НДС) на поверхности тела не связаны в граничных условиях (ГУ) с температурными факторами, задача декомпозируется на последовательность неоднородных задач теплопроводности и теории упругости с известной коррекцией объемных сил в уравнениях равновесия. Особое внимание обращено на способ построения частного решения задачи теплопроводности. Метод функций Грина представляет частные решения таких задач в сингулярной форме, что при произвольной геометрической конфигурации тела не позволяет выписывать строгое аналитическое решение. Предложен подход, позволяющий при регулярном описании тепловых источников многочленом конечного порядка получать частное решение строго. След такого решения на границе позволяет скорректировать ГУ задачи теплопроводности и построить численно-аналитическое решение средствами метода граничных состояний (МГС). Аналогичный подход реализован для строгого частного решения задачи линейной упругости. Построенное температурное поле вносит регулярную добавку в объемные силы второго шага - задачу теории упругости. Ее решение также эффективно строится применением МГС. Совокупность двух этих шагов позволяет выписывать строго частное решение для задач линейной термоэластостатики.

Boundary value problems for a linear thermoelastic isotropically homogeneous medium are considered. The state of the medium is subject to the Duhamel-Neumann equations. In the case when the characteristics of the stress-strain state (SSS) on the surface of the body are not related to temperature factors in the boundary conditions (BC), the problem is decomposed into a sequence of inhomogeneous problems of heat conduction and elasticity theory with a known correction of body forces in the equilibrium equations. Particular attention is paid to the method of constructing a particular solution to the problem of heat conduction. The Green’s function method presents particular solutions of such problems in a singular form, which, for an arbitrary geometric configuration of the body, does not allow us to write out a rigorous analytical solution. An approach is proposed that makes it possible to obtain a particular solution rigorously in the case of a regular description of heat sources by a polynomial of finite order. The trace of such a solution at the boundary makes it possible to correct the BC of the heat conduction problem and construct a numerical-analytical solution by means of the method of boundary states (MBS). A similar approach is implemented for a rigorous particular solution of the linear elasticity problem. The constructed temperature field makes a regular addition to the volume forces of the second step - the problem of the theory of elasticity. Its solution is also effectively built using the MBS. The combination of these two steps makes it possible to write out a strictly particular solution for problems of linear thermoelastics.