Completion and decomposition of hypergraphs by domination hypergraphs
Authors:   , Ruiz Muñoz José Luis 
Published: October 2023

A graph consists of a finite non-empty set of vertices and a set of unordered pairs of vertices, called edges. A dominating set of a graph is a set of vertices D such that every vertex not in D is adjacent to some vertex in D. A hypergraph on a finite set X is a collection of subsets of X, none of which is a proper subset of another. The domination hypergraph of a graph is the collection of all the minimal vertex dominating sets of the graph. A hypergraph is a domination hypergraph if it is the domination hypergraph of a graph. In general, a hypergraph is not a domination hypergraph. The objective of this work is to approximate a hypergraph by domination hypergraphs and that the optimal approximations determine uniquely the hypergraph.

In Chapter 1 we introduce two structures of distributive lattices on the set of hypergraphs on a finite set and also define some operations: the complementary hypergraph and two transversal operations. We study the behavior of these operations with respect to the partial orders and the lattice structures.

In Chapter 2 we first introduce several hypergraphs associated with a graph, the most important one being the domination hypergraph, and we establish several relationships among them. Then we compute the domination hypergraph of all graphs, modulo isomorphism, up to order 5. We also investigate when a given hypergraph is a domination hypergraph and find all domination hypergraphs in some cases.

In Chapter 3 we present the problem of approximating a hypergraph by domination hypergraphs. We introduce four families of approximations of a hypergraph, which we call completions, depending on which partial order we use and on which side we approximate. We set some sufficient conditions for the existence of completions, introduce the sets of minimal or maximal completions of a hypergraph and study the concept of decomposition, which leads to the decomposition index of a hypergraph. Avoidance properties turn out to be an essential ingredient for the existence of domination completions.

In Chapter 4 we give some computational techniques and calculate the upper minimal domination completions and the decomposition indices of some hypergraphs.

In the appendices we give the SAGE code developed to perform the calculations of the thesis and we list all the domination hypergraphs of all graphs of order 5 and all the graphs of order 5 with the same domination hypergraph.

Un grafo consiste en un conjunto no vacío de vértices y un conjunto de pares no ordenados de vértices denominados aristas. Un conjunto de vértices D es dominante si todo vértice que no esté en D es adyacente a algún vértice de D. Un hipergrafo sobre un conjunto finito X es una colección de subconjuntos de X, ninguno de los cuales es un subconjunto de ningún otro. El hipergrafo de dominación de un grafo es la colección de los conjuntos dominantes minimales del grafo. Un hipergrafo es de dominación si es el hipergrafo de dominación de un grafo. En el capítulo 1 introducimos dos estructuras de retículo distributivo en el conjunto de hipergrafos sobre un conjunto finito y también definimos algunas operaciones: el complementario de un hipergrafo y las dos operaciones de transversal correspondientes a cada una de las estructuras de retículo. Estudiamos el comportamiento de estas operaciones con respecto a los órdenes parciales y las estructuras de retículo. En el capítulo 2 introducimos varios hipergrafos asociados a un grafo, siendo los más importantes el hipergrafo de dominación y el hipergrafo de independencia-dominación del grafo, cuyos elementos son los conjuntos independientes maximales del grafo, y establecemos varias relaciones entre ellos. Después calculamos el hipergrafo de dominación de todos los grafos de orden 5, salvo isomorfismo. También investigamos cuándo un hipergrafo es un hipergrafo de dominación y encontramos todos los hipergrafos de dominación en algunos casos. En el capítulo 3 presentamos el problema de la aproximación de un hipergrafo por hipergrafos de una familia dada. Dado un hipergrafo, definimos cuatro familias de aproximaciones, que llamamos compleciones, dependiendo del orden parcial usado y de por dónde aproximemos el hipergrafo. Establecemos condiciones suficientes para la existencia de compleciones, introducimos los conjuntos de compleciones minimales o maximales de un hipergrafo y estudiamos el concepto de descomposición, que conduce al índice de descomposición de un hipergrafo. Las propiedades de evitación resultan ser cruciales en el estudio de la existencia de descomposiciones. En el capítulo 4 presentamos técnicas de cálculo y calculamos las compleciones de dominación minimales superiores y los índices de descomposición de algunos hipergrafos. En los apéndices damos el código SAGE, desarrollado para realizar los cálculos de esta tesis, y damos la lista de los hipergrafos de dominación de todos los grafos de orden 5 así como todos los grafos de orden 5 que poseen el mismo hipergrafo de dominación.