One effective method for solving initial-boundary problems of transverse vibrations of a beam, taking into account its internal resistance
Authors: Заалишвили В.Б. , Музаев И.Д. 
Published: June 2023

В статье приведен вновь разработанный эффективный метод постановки и решения краевых задач поперечных колебаний балки с учетом внутреннего сопротивления материала балки по гипотезе Е.С. Сорокина. Рассматриваемые колебания, обусловленные приложением к балке сосредоточенных сил в случае, когда концы балки закреплены шарнирно, моделируются краевыми задачами для дифференциального уравнения с комплексным коэффициентом. Комплексный коэффициент создает некоторые математические сложности в процессе решения начально-краевой задачи. Методы исследования. Разработанный в статье метод постановки и решения, подобных начально-краевых задач, основан на последовательном выполнении ряда математических операций. Достоверность и приемлемость разработанного метода доказаны концептуальным анализом и путем сопоставления полученных в статье результатов с ранее известными решениями таких же задач, но без учета внутреннего сопротивления балки. Результаты расчетов, являясь частными случаями при равенстве нулю коэффициента потерь, через который учтено внутреннее сопротивление балки, точно совпадают с результатами, полученными в данной статье. Результаты работы. На основе полученных расчетных формул в статье доказано утверждение о том, что учет внутреннего сопротивления балки существенно уточняет закономерности вынужденных колебаний, когда частота колебаний вынуждающей силы близка к значению собственной частоты колебаний балки. Это показывает высокую эффективность разработанного подхода. На основе проведенного сопоставительного анализа в статье доказано следующее важное утверждение: решения краевых задач, моделирующих вынужденные поперечные колебания балки, поставленные на основе гипотез Е.С. Сорокина и Кельвина-Фойгта, могут резко отличаться одно от другого, однако их амплитудные значения будут точно совпадать. Вследствие того, что вынужденные колебания балки с учетом внутреннего сопротивления моделируются линейными краевыми, либо линейными начально-краевыми задачами математической физики, к ним и к разработанному в статье методу применим принцип суперпозиции решений. Согласно этому принципу, если на балку приложено несколько гармонических сил, то результирующие колебания можно получить наложением колебаний, вызванных каждой отдельной силой. Точно таким же образом можно решить по разработанному методу задачу о колебании балки, когда на нее приложена непрерывно распределенная гармоническая нагрузка, но дискретное суммирование необходимо заменить интегрированием вдоль длины балки.

The article presents a newly developed effective method for setting and solving boundary value problems of transverse vibrations of a beam, taking into account the internal resistance of the beam material according to the hypothesis of E.S. Sorokin. The considered vibrations caused by the application of concentrated forces to the beam in the case when the ends of the beam are hinged, are modeled by boundary value problems for a differential equation with a complex coefficient. The complex coefficient creates some mathematical difficulties in the process of solving the initial boundary value problem. Methods. The method of setting and solving similar initial-boundary value problems developed in the article is based on the sequential execution of a number of mathematical operations. The reliability and acceptability of the developed method are proved by conceptual analysis and by comparing the results obtained in the article with previously known solutions to the same problems, but without taking into account the internal resistance of the beam. The calculation results, being special cases when the loss factor is equal to zero, through which the internal resistance of the beam is taken into account, exactly coincide with the results obtained in this article. Results. On the basis of the obtained calculation formulas, the paper proves the assertion that taking into account the internal resistance of the beam significantly refines the patterns of forced vibrations when the frequency of the driving force is close to the value of the natural frequency of the beam. This shows the high efficiency of the developed approach. On the basis of the comparative analysis carried out in the article, the following important statement is proved: the solution of boundary value problems simulating the forced transverse vibrations of the beam, set on the basis of the hypotheses of E.S. Sorokin and Kelvin-Voigt may differ sharply from one another, but their amplitude values will exactly match. Due to the fact that the forced vibrations of the beam, taking into account internal resistance, are modeled by linear boundary or linear initial-boundary problems of mathematical physics, the principle of superposition of solutions is applicable to them and to the method developed in the article. According to this principle, if several harmonic forces are applied to the beam, then the resulting vibrations can be obtained by superimposing the vibrations caused by each individual force. In exactly the same way, it is possible to solve the problem of beam vibrations using the developed method when a continuously distributed harmonic load is applied to it, but the discrete summation must be replaced by integration along the length of the beam.