Ανάλυση φορέων με συμβατικά, προσαρμοστικά και στοχαστικά πεπερασμένα στοιχεία σε διαδικτυωμένους ηλεκτρονικούς υπολογιστές
Authors: Χαρμπής Δήμος 
Published: August 2021

Η παρούσα διδακτορική διατριβή έχει ως αντικείμενο τη συμβολή στην εξέλιξη των σύγχρονων μεθόδων και υπολογιστικών τεχνικών για την ανάλυση φορέων με μεγάλο πλήθος βαθμών ελευθερίας. Χρησιμοποιείται η πιο διαδεδομένη σήμερα αριθμητική μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων υπολογιστικής μηχανικής, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, η οποία προσφέρεται από τη φύση της για προγραμματισμό σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η επίλυση της μητρωικής εξίσωσης ισορροπίας ενός φορέα αποτελεί κατά κανόνα το πιο χρονοβόρο και απαιτητικό σε υπολογιστική μνήμη τμήμα της ανάλυσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, με αποτέλεσμα να αποτελεί δεσμευτικό παράγοντα για το μηχανικό ως προς τον αριθμό των αναλύσεων που μπορεί να πραγματοποιήσει και την πυκνότητα της διακριτοποίησης σε πεπερασμένα στοιχεία που μπορεί να επιλέξει. Στη διατριβή αυτή επιχειρείται η ανάπτυξη και αποδοτική εφαρμογή αλγορίθμων για την ταχεία και ολιγαρκή σε υπολογιστική μνήμη επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας των πεπερασμένων στοιχείων. Οι διαρκώς αυξανόμενες ανάγκες για ακριβείς και πολύπλοκες αναλύσεις (υπάρχουν προβλήματα, για τα οποία απαιτείται η επίλυση γραμμικών συστημάτων με εκατοντάδες χιλιάδες ή και εκατομμύρια αγνώστους) συνεπάγονται μεγάλο υπολογιστικό φόρτο και κατά συνέπεια δημιουργούν την ανάγκη για ανάπτυξη προηγμένων αριθμητικών τεχνικών επίλυσης των μητρωικών εξισώσεων ισορροπίας και διαχείρισης των εμπλεκομένων μητρώων. Η υπολογιστική ισχύς και μνήμη που απαιτούνται για την επίλυση των μητρωικών εξισώσεων εξασφαλίζεται με τη χρήση παράλληλων υπολογιστών, δηλαδή με τη συνδυασμένη και ταυτόχρονη χρήση περισσότερων επεξεργαστών για την επίλυση ενός προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιούνται διαδικτυωμένοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, οι οποίοι παρέχουν ένα παράλληλο υπολογιστικό περιβάλλον με μικρό κόστος εγκατάστασης, διαδικτύωσης και συντήρησης και επομένως με ολοένα και αυξανόμενη εξάπλωση ακόμα και σε μικρές επιχειρήσεις, τεχνικά γραφεία και μεμονωμένες ερευνητικές ομάδες. Έτσι, κύριο στόχο της παρούσας διατριβής αποτελεί η ανάπτυξη και εφαρμογή αλγορίθμων πεπερασμένων στοιχείων κατάλληλων για την ταχύτατη αριθμητική επίλυση των σχηματιζόμενων εξισώσεων και την αποτελεσματική διαχείριση των εμπλεκομένων μητρώων σε διαδικτυωμένους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Στη διατριβή αυτή χρησιμοποιούνται μέθοδοι διαχωρισμού του προς επίλυση προβλήματος σε πολλά τμήματα όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητα μεταξύ τους. Με τις μεθόδους αυτές προσπαθούμε να εκμεταλλευθούμε μία βασική ιδιότητα της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων, ότι δηλαδή κάθε φορέας μπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο απλών στοιχείων ή και συνθετότερων τμημάτων του (των υπερστοιχείων ή υποφορέων), καθένα από τα οποία συνδέεται με τα γειτονικά του μέσω των κόμβων του μοντελοποιημένου φορέα. Τέτοιες μέθοδοι βρίσκουν ευρεία εφαρμογή στον παράλληλο προγραμματισμό, αφού μας επιτρέπουν να μετατρέπουμε ένα μεγάλο πρόβλημα σε πολλά μικρότερα και να αναθέτουμε την επίλυση καθενός από τα επιμέρους προβλήματα σε έναν επεξεργαστή. Έτσι επιτυγχάνουμε σημαντική οικονομία χρόνου και μνήμης, αφού ένας αριθμός επεξεργαστών εργάζεται ταυτόχρονα για την επίλυση των επιμέρους προβλημάτων, των οποίων η σύνθεση των λύσεων αποτελεί και τη λύση του αρχικού, ολικού προβλήματος. Οι αλγόριθμοι που αναπτύχθηκαν στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής προορίζονται για την επίλυση διδιάστατων και τρισδιάστατων προβλημάτων τόσο συμβατικών όσο και προσαρμοστικών και πιθανοτικών/στοχαστικών πεπερασμένων στοιχείων. Με τη χρήση προσαρμοστικών πεπερασμένων στοιχείων είμαστε σε θέση να ελέγξουμε το σφάλμα διακριτοποίησης του εξεταζόμενου φορέα αυξάνοντας με έναν αυτόματο τρόπο τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας σε περιοχές του φορέα που το αρχικό δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων δεν είναι επαρκές. Με την πιθανοτική και τη στοχαστική θεώρηση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων παρέχεται η δυνατότητα εκτέλεσης μη αιτιοκρατικών αναλύσεων αξιοπιστίας του εξεταζόμενου φορέα, κατά τις οποίες μπορούν να ληφθούν υπόψη οι αβεβαιότητες στα φορτία, τις στηρίξεις και τα χαρακτηριστικά των δομικών στοιχείων του φορέα. Ο υπολογιστικός φόρτος που δημιουργείται με τη χρήση συμβατικών πεπερασμένων στοιχείων πολλαπλασιάζεται όταν πραγματοποιούνται αναλύσεις με προσαρμοστικά ή πιθανοτικά/στοχαστικά πεπερασμένα στοιχεία, αφού τόσο στην προσαρμοστική όσο και στην πιθανοτική/στοχαστική θεώρηση καλούμαστε να επιλύσουμε έναν αριθμό διαδοχικών προβλημάτων πεπερασμένων στοιχείων. Είναι επομένως εμφανής η ανάγκη αποτελεσματικού χειρισμού τέτοιων προβλημάτων, ιδίως όταν οι εξεταζόμενοι φορείς μοντελοποιούνται με μεγάλο πλήθος βαθμών ελευθερίας. Με τις τεχνικές που παρουσιάζονται στη διατριβή παρέχεται η δυνατότητα αποτελεσματικού χειρισμού προβλημάτων πεπερασμένων στοιχείων με δεκάδες ή και εκατοντάδες χιλιάδες βαθμούς ελευθερίας. Χαρακτηριστικά αναφέρεται ότι στο πλαίσιο της διατριβής έχει επιλυθεί ένα τρισδιάστατο πρόβλημα με περίπου 250000 βαθμούς ελευθερίας σε λιγότερο από 2 λεπτά, έχει διεξαχθεί μία πλήρης προσαρμοστική ανάλυση ενός τρισδιάστατου προβλήματος με περίπου 30000, 90000, 130000 και 180000 βαθμούς ελευθερίας για κάθε προσαρμοστικό βήμα σε περίπου 4 λεπτά και έχουν πραγματοποιηθεί 500 προσομοιώσεις για την ανάλυση αξιοπιστίας ενός κελύφους με σχεδόν 50000 βαθμούς ελευθερίας σε λιγότερο από 40 λεπτά.