Optimal adaptive wavelet methods for solving first order system least squares
Authors: Ρεκατσίνας Νικόλαος 
Published: January 2024

Η αποδοτική αριθμητική προσέγγιση της λύσης μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης (ΜΔΕ) απαιτεί τη χρήση ενός συναρτησιακού χώρου προσέγγισης με τοπική ανάλυση προσαρμοσμένου στην τοπική ομαλότητα της λύσης. Δεδομένου ότι αυτή η λύση είναι άγνωστη εκ των προτέρων, ένας τέτοιος χώρος πρέπει να δημιουργηθεί προσαρμοστικά με τη χρήση ενός επαναληπτικού σχήματος κατά το οποίο κατασκευάζονται ολοένα και πιο ακριβείς προσεγγίσεις της λύσης. Δύο παραδείγματα τέτοιων προσαρμοστικών μεθόδων επίλυσης είναι οι προσαρμοστικές μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων και οι προσαρμοστικές μέθοδοι κυματοδηγών (wavelets) Galerkin. Οι τελευταίες μέθοδοι είναι ουσιαστικά πιο περίπλοκες στην εφαρμογή τους, όμως έχουν το σημαντικό πλεονέκτημα πως η χρήση τους δεν περιορίζεται σε ελλειπτικές ΜΔΕ. Κάθε καλά τοποθετημένη εξίσωση τελεστή σε έναν χώρο Hilbert, εφοδιασμένο με μια βάση τύπου Riesz, έχει ισοδύναμη διατύπωση σε μια εξίσωση (άπειρου) πίνακα επί διάνυμα. Δεδομένου ενός πεπερασμένου συνόλου δεικτών Λ ⊂ Ν, και έχοντας υπολογίσει μια (ψευδο-) καλύτερη προσέγγιση της λύσης με ένα διάνυσμα με δείκτες στο Λ, η νόρμα του διανύσματος υπολοίπου αυτής της προσέγγισης είναι ανάλογη με τη νόρμα του σφάλματός της. Προσθέτοντας αυτούς τους δείκτες του διανύσματος υπολοίπου που αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες κατα απόλυτη τιμή καταχωρήσεις του στο σύνολο Λ δημιουργείται ένα επεκταμένο σύνολο, και ο βρόχος μπορεί να επαναληφθεί. Γενικά το αναφερόμενο διάνυσμα υπολοίπου έχει άπειρη διάσταση, και συνεπώς πρέπει να προσεγγιστεί. Αυτό το διάνυσμα υπολοίπου είναι η διαφορά του άπειρου διανύσματος και του άπειρης διάστασης πίνακα ακαμψίας εφαρμοσμένου στο τρέχον διάνυσμα προσέγγισης. Η τυπική προσέγγιση είναι να προσεγγίσουμε και τους δύο όρους ξεχωριστά, τον δεύτερο χρησιμοποιώντας τη μη γραμμική προσεγγιστική ρουτίνα πολλαπλασιασμού πίνακα-διανύσματος, γνωστής στη σχετική βιβλιογραφία ως η ρουτίνα APPLY. Σε αντίθεση με τη διαφορά τους, που είναι το διανυσματικό υπόλοιπο, οι προαναφερθέντες όροι δεν τείνουν στο μηδέν με το πέρας των επαναλήψων. Ως εκ τούτου, για να προσεγγίσουμε το υπόλοιπο εντός κάποιας σταθερής σχετικής ανοχής ακρίβειας, πρέπει να τους προσεγγίσουμε εντός μιας σχετικής ανοχής που γίνεται ολοένα και μικρότερη. Για να βελτιωθούν οι ποσοτικές ιδιότητες της προσαρμοστικής μεθόδου κυματοδιγών, το Κεφάλαιο 2 αυτής της διατριβής αφιερώνεται σε μια προσεγγιστική μέθοδο για την εκτίμηση του διανύσματος υπολοίπου χωρίς την διάσπασή του. Για να γίνει αυτό, απαιτείται η δυνατότητα αναπαράστασης και των δύο μερών του υπολοίπου σε ένα κοινό λεξικό. Στην τυπική διaδικασία, για μια μερική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης και κατα τμήματα συνεχείς πολυωνυμικούς κυματοδηγούς, ο τελεστής που εφαρμόζεται σε έναν κυματοδηγό είναι μια κατανομή, και η διάσπαση δεν μπορεί να αποφευχθεί. Ως εκ τούτου, εξετάζουμε μια αναδιατύπωση μιας τέτοιας εξίσωσης ως σύστημα πρώτης τάξης με την εισαγωγή της ροής ως ξεχωριστή άγνωστη μεταβλητή. Δείχνουμε ότι κάθε καλά τοποθετημένη ημι-γραμμική ΜΔΕ δεύτερης τάξης επιτρέπει μια αναδιατύπωση ως καλά ορισμένο πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων συστήματος πρώτης τάξης (FOSLS). Για ένα τέτοιο σύστημα σχεδιάζουμε μια εναλλακτική, πιο αποδοτική μέθοδο προσέγγισης της αξιολόγησης του υπολοίπου, η οποία, σε περίπτωση μιας γραμμικής ΜΔΕ, εξαρτάται γραμμικά από την τρέχουσα προσέγγιση. Στο Κεφάλαιο 4 εφαρμόζουμε αυτό το μηχανισμό σε παραβολικές εξελικτικές ΜΔΕ σε μια ταυτόχρονη χωρό-χρονική μεταβολική διατύπωση. Τα τελευταία χρόνια, παρατηρείται αυξανόμενο ενδιαφέρον για τέτοιες διατυπώσεις ως εναλλακτική για τα συνήθη πολυβηματικά σχήματα στο χρόνο που είναι από φύση τους σειριακά και δεν είναι κατάλληλα για την αποδοτική προσέγγιση των ανωμαλιών της λύσης που είναι τοπικές τόσο στον χώρο όσο και στον χρόνο. Οι χώροι Hilbert που προκύπτουν σε αυτή τη διατύπωση είναι χώροι τύπου Bochner που εξοπλίζονται φυσικά με βάσεις τύπου Riesz που είναι τανυστικά γινόμενα χρονικών και χωρικών βάσεων κυματοδηγών. Αυτές οι βάσεις κυματοδηγών τανυστικού γινομένου απαιτούν μια τροποποιημένη, πιο περίπλοκη διαδικασία για την προσεγγιστική αξιολόγηση του υπολοίπου, καθώς δεν είναι δυνατή μια μετατροπή σε μια τοπικά μοναδική αναπαράσταση μιας κλίμακας. Από την άλλη πλευρά, παρέχουν το μεγάλο πλεονέκτημα μιας αποτελεσματικής μείωσης της διάστασης γνωστή από τις μεθόδους αραιού πλέγματος (sparse-grids) σε ένα μη προσαρμοστικό πλαίσιο. Θα είμαστε σε θέση να λύσουμε ολόκληρo το χωρο-χρονικό πρόβλημα με πολυπλοκότητα ίση με αυτή της επίλυσης ενός στατικού προβλήματος. Για την εκτέλεση της προσαρμοστικής μεθόδου κυματοδηγών Galerkin, χρειάζονται βάσεις κυματοδηγών για τα γενικά μη τετράγωνα χωρία στα οποία ορίζονται οι εξισώσεις. Είναι γνωστές αρκετές κατασκευές κατα τμήματα συνεχών γραμμικών κυματοδηγών σε γενικά πολυγωνικά ή πολυεδρικά χωρία. Λόγω της διατύπωσης FOSLS που χρησιμοποιούμε, χρειαζόμαστε επιπλέον μια βάση τύπου Riesz κυματοδηγών αποτελούμενη από κατα τμήματα τετραγωνικές συναρτήσεις. Τέτοιες βάσεις κατασκευάζονται στο Κεφάλαιο 3. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 παρέχονται λεπτομέρειες για διάφορες πτυχές της υλοποίησης των αλγορίθμων που έχουμε αναπτύξει.