Κατασκευή βαρυτικών μοντέλων ως θεωριών βαθμίδας σε μη μεταθετικούς χώρους
Authors: Μανωλάκος Γεώργιος 
Published: September 2021

Η βαρυτική αλληλεπίδραση στις τρεις και τέσσερις διαστάσεις περιγράφεται επιτυχώς από τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein στις οποίες η βαρύτητα θεωρείται ως μία ιδιότητα του χωρόχρονου. Παρόλα αυτά, η περιγραφή της βαρυτικής αλληλεπίδρασης επιδέχεται μία εναλλακτική προσέγγιση, αυτήν της θεωρίας βαθμίδας των ομάδων συμμετριών των θεωρούμενων χωρόχρονων, στις οποίες τα πεδία βαθμίδας ταυτοποιούνται με το vielbein και το spin connection. Η βαρύτητα στις τρεις διαστάσεις είναι ακριβώς ισοδύναμη με μία θεωρία βαθμίδας τύπου Chern Simons της ομάδας ISO(1,2), ενώ αν περιλαμβάνεται η κοσμολογική σταθερά τότε οι αντίστοιχες ομάδες είναι οι SO(1,3) και SO(2,2), ανάλογα με το πρόσημό της. Η τετραδιάστατη περίπτωση είναι λίγο πιο περίπλοκη, μιας και αν θεωρήσουμε μία θεωρία βαθμίδας, παρά το γεγονός ότι οι μετασχηματισμοί των πεδίων και οι εκφράσεις των τανυστών καμπυλότητας προκύπτουν ως αναμένεται, υπάρχει ένα κώλυμα στο δυναμικό κομμάτι της θεωρίας, διότι δεν μπορεί να οριστεί με αυτό τον τρόπο κάποια δράση, η μορφή της οποίας να συμπίπτει με την Einstein-Hilbert. Ωστόσο, το παραπάνω πρόβλημα ξεπερνιέται θεωρώντας μία SO(1,4) αναλλοίωτη δράση με την ταυτόχρονη συμπερίληψη ενός βαθμωτού πεδίου στη θεμελιώδη αναπαράσταση. Το πεδίο αυτό επάγει την αυθόρμητη παραβίαση της συμμετρίας και οδηγεί στη ζητούμενη Einstein-Hilbert δράση. Επιπλέον, υπάρχει ένα παρόμοιο πρόγραμμα στο οποίο η βαρύτητα Weyl μεταφράζεται επιτυχώς ως μία θεωρία βαθμίδας της τετραδιάστατης σύμμορφης ομάδας, SO(2,4). Παρομοίως, στην περίπτωση αυτή, κάποιος ξεκινάει με μια δράση τύπου Yang-Mills και με την επιβολή συγκεκριμένων συνδέσμων, σπάει την επιπλέον συμμετρία, καταλήγωντας με μία θεωρία ταυτόσημη με αυτήν της βαρύτητας Weyl. Οι παραπάνω κατασκευές μπορούν να μεταφερθούν στο πλαίσιο της μη μεταθετικής γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, στην περιοχή υψηλών ενεργειών (κλίμακα Planck) η μεταθετικότητα των συντεταγμένων του χώρου μπορεί να θεωρηθεί ότι αίρεται, επομένως οι φυσικές θεωρίες στην περιοχή αυτήν πρέπει να τροποποιηθούν κατάλληλα. Αυτή είναι η ουσία των εργασιών που συνθέτουν την παρούσα διατριβή, δηλαδή η διερεύνηση της βαρυτικής αλληλεπίδρασης στο μη μεταθετικό πλαίσιο εργασίας. Αυτό επιτυγχάνεται συνδυάζοντας την πετυχημένη περιγραφή της βαρύτητας ως θεωρίας βαθμίδας στις τρεις και τέσσερις διαστάσεις με την καλώς ορισμένη κατασκευή θεωριών βαθμίδας σε μη μεταθετικούς χώρους, με αποτέλεσμα την κατασκευή βαρυτικών μοντέλων ως θεωριών βαθμίδας σε μη μεταθετικούς (ασαφείς) χώρους. Αρχικά, δουλέψαμε στην τρισδιάστατη περίπτωση, τόσο στην Lorentzian, όσο και στην Ευκλείδεια περίπτωση, χρησιμοποιώντας δύο ασαφείς χώρους, οι οποίοι ορίζονται ως φυλλοποιήσεις των τρισδιάστατων Minkowski και Ευκλείδειου χώρων από ασαφή υπερβολοειδή και ασαφείς σφαίρες, αντίστοιχα. Η κατασκευή των θεωριών βαθμίδας οδήγησε στην εξεύρεση των μετασχηματισμών των πεδίων βαθμίδας (vielbein και spin connection) και των εκφράσεων των τανυστών καμπυλότητας καθώς επίσης και στην δράση τύπου Chern-Simons, από την οποία εξάχθηκαν οι εξισώσεις κίνησης. Είναι αξιοσημείωτο ότι όλα τα αποτελέσματα ανάγονται σε αυτά της τρισδιάστατης θεωρίας της βαρύτητας του Einstein κατά την θεώρηση του μεταθετικού ορίου. Έπειτα, επικεντρωθήκαμε στην τετραδιάστατη περίπτωση στην οποία ο μη μεταθετικός χώρος που θεωρήσαμε ήταν η ασαφής εκδοχή του τετραδιάστατου χώρου de Sitter. Παρομοίως με την τρισδιάστατη περίπτωση, ακολουθώντας την καθιερωμένη διαδικασία κατασκευής θεωριών βαθμίδας σε μη μεταθετικούς χώρους, υπολογίζονται οι μετασχηματισμοί των πεδίων βαθμίδας και οι εκφράσεις των τανυστών καμπυλότητας καθώς και ορίζεται αρχικά μία δράση τύπου Yang-Mills, η συμμετρία της οποίας παραβιάζεται από την επιβολή κατάλληλων συνδέσμων. Τα αποτελέσματα και στην περίπτωση αυτή συνάδουν με αυτά της σύμμορφης βαρύτητας στο μεταθετικό όριο.