Algebraic models of tonal function
Authors:   , Fernández del Pozo Esteban David Isaac 
Published: January 2025

This thesis presents an algebraic model of tonal function. This model is based on several pillars. The first one is a mathematical formalization of the musical universe, from pure frequencies to voice leading, passing through voice distribution in chords and a distance between notes. This formalization will provide a mathematical and computational basis for the tonal function model that is developed subsequently.

The second pillar is a study of the vertical dimension of harmony. This study will examine dissonances in the vertical musical dimension, particularly the avoid notes. Within this second pillar, concepts such as compact tonalities, open tonalities, and poly-chords will be reviewed; all these structures are contemplated in the general model.

The third pillar is a detailed and in-depth study of the physical characteristics of harmony. Elements such as the energy of voicings, the Weber-Fechner law, the Hungarian algorithm, and voice optimization are incorporated into the model. The Hungarian algorithm and its application to obtaining optimal voice leading is one of the most outstanding contributions of this thesis.

The fourth pillar is a study of the horizontal dimension of harmony. It begins with a very detailed review of the concept of tonal function, and after this review, it is generalized in a way that can explain and predict tonal functions beyond those seen in the period of common practice in classical music. Tonal function categories are expanded and become more subtle and precise. It is within this fourth pillar that the core of the algebraic tonal function model is presented. Parametric and non-parametric cadences are presented here, and the complete process by which the tonal function is obtained is described, going from link matrices to the polynomial criterion. Ultimately, the model reduces the classification of tonal function to the location of the roots of a certain complex polynomial in certain areas. The model is both algebraic and geometric. Within this fourth pillar, we also find a generalization of tonal gravity. One of the virtues of this model is that it does not require the number of voices between two consecutive chords to be the same. This generalization implies an extension of the Hungarian algorithm to infinite arithmetic and this extension to be consistent with the case of constant voices. The model is consistent in this regard.

The fifth pillar is a study of modulation in the light of the previously designed model.

At the end of the thesis, several practical applications are presented, and by this, we mean applications that a composer or performer can directly use without having to go through understanding the model. There are applications for voice leading, progression generation, writing bass lines and melody writing, among others.

The last part of the thesis is a study of cadences through the algebraic model presented here. The most important cadences in each of the seven modes have been studied.

RESUMEN

En esta tesis se presenta un modelo algebraico de función tonal. Este modelo está basado en varios pilares.

El primero es una formalización matemática del universo musical, desde las frecuencias puras hasta la conducción de voces, pasando por la distribución de voces en acordes y por la distancia entre notas. Esta formalización proporcionará una base matemática y computacional al modelo de la función tonal que se desarrolla a continuación.

El segundo pilar es un estudio de la dimensión vertical de la armonía. En este estudio se examinarán las disonancias en la dimensión musical vertical y en particular, las notas a evitar. Dentro de este segundo pilar se revisarán conceptos tales como las tonalidades compactas, las tonalidades abiertas y los poli-acordes, estructuras musicales todas contempladas en el modelo general.

El tercer pilar es un estudio detallado y profundo de las características físicas de la armonía. Se incorporan al modelo elementos tales como la energía de la distribución de voces de un acorde, la ley de Weber-Fechner, el algoritmo húngaro o la optimización de voces. El algoritmo húngaro y su aplicación a la obtención de la conducción de voces óptima es una de las contribuciones más sobresalientes de esta tesis.

El cuarto pilar es un estudio de la dimensión horizontal de la armonía. Se empieza por una revisión muy profunda del concepto de función tonal y después de dicha revisión, se generaliza de manera que puede explicar y predecir funciones tonales más allá de las que se pueden ver en la música clásica y otras músicas de la práctica común. Las categorías de función tonal se amplían y son más sutiles y precisas. Es dentro de este cuarto pilar, donde se presenta el núcleo del modelo algebraico de función tonal. Aquí se presentan las cadencias paramétricas y no paramétricas y se describe el proceso completo, por el cual se obtiene la función tonal, yendo desde las matrices de enlace hasta el criterio polinomial. En última instancia, el modelo reduce la clasificación de la función tonal a la ubicación de las raíces de un cierto polinomio complejo en ciertas áreas. El modelo es a la vez, algebraico y geométrico. En este cuarto pilar encontramos también una generalización de la gravedad tonal. Una de las virtudes que tiene este modelo es que no requiere que el número de voces entre dos acordes consecutivos sea el mismo. Esta generalización implica una ampliación del algoritmo húngaro a una aritmética infinita y que dicha ampliación sea consistente con el caso de voces constantes. El modelo es consistente en este sentido.

El quinto pilar es un estudio de la modulación a la luz del modelo previamente diseñado. Al final de la tesis se presentan varias aplicaciones prácticas, y por ello queremos decir que son aplicaciones que un compositor o un intérprete pueden usar de manera directa, sin tener que pasar por la comprensión del modelo. Hay aplicaciones a la conducción de voces, a la generación de progresiones, a la escritura de bajos o a la escritura de melodias, entre otras.

La última parte de la tesis es un estudio de las cadencias a través del modelo algebraico presentado aquí. Se han estudiado las cadencias más importantes en cada uno de los modos.