Μελέτη της γραμμικής και μη-γραμμικής συμπεριφοράς σύνθετων ελαστικών πιεζοηλεκτρικών δομών με διατμητικές θεωρίες ανώτερης τάξης
Authors: Ντάφλος Κωνσταντίνος 
Published: December 2023

Σε προβλήματα μηχανικής ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις, οι μετατοπίσεις είναι ίδιας τάξης μεγέθους με το πάχος της δοκού. Στις περιπτώσεις αυτές, οι γραμμικές θεωρίες δοκών δεν παράγουν ακριβή αποτελέσματα καθώς δεν μπορούν να προβλέψουν τις εντός επιπέδου μετακινήσεις της δοκού. Για το λόγο αυτό, είναι απαραίτητη η ανάπτυξη μη γραμμικών θεωριών (θεωρίες μεγάλων παραμορφώσεων) που λαμβάνουν υπόψη τη γεωμετρική μη γραμμικότητα για την άρση σχετικών ασυνεπειών και τη μελέτη τέτοιου είδους προβλημάτων. Στην εργασία, αυτή, μελετώνται στατικά και δυναμικά προβλήματα δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις τόσο σε ελαστικές όσο και σε πιεζοηλεκτρικές δοκούς. Αρχικά, παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι συνοριακές συνθήκες με χρήση μεταβολικής αρχής, της «Αρχής Hamilton». Στη συνέχεια, μελετάται η επίδραση της γεωμετρικής μη γραμμικότητας και γίνεται προσπάθεια αναλυτικής επίλυσης των γραμμικών και μη γραμμικών εξισώσεων κίνησης σε στατικά προβλήματα, όπως προβλήματα κάμψης και σε δυναμικά προβλήματα όπως προβλήματα ελεύθερων ταλαντώσεων σε δοκούς. Αρχικά, το πρώτο μέρος της διατριβής αποτελείται από το θεωρητικό υπόβαθρο της μελέτης. Πιο συγκεκριμένα, στο 1ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι τεχνικές θεωρίες δοκών και αναλύονται οι θεωρίες δοκών Euler-Bernoulli και Timoshenko. Στο 2ο κεφάλαιο αναλύεται η έννοια της μη γραμμικότητας, παρουσιάζονται οι κύριες πηγές μη γραμμικότητας σε προβλήματα μηχανικής και εστιάζεται κύρια στη γεωμετρική μη γραμμικότητα που είναι η βασική πηγή μη γραμμικότητας στην παρούσα μελέτη. Στο 3ο κεφάλαιο παρατίθεται μια εισαγωγή στα πιεζοηλεκτρικά υλικά. Παρουσιάζονται τα έξυπνα υλικά και οι κατηγορίες τέτοιων υλικών. Αναφέρονται οι κύριες εφαρμογές τους, το ευθύ και αντίστροφο πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο καθώς και οι βασικές εξισώσεις του πιεζοηλεκτρισμoύ. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα σύνθετα υλικά, οι βασικές κατηγορίες τους και οι κύριες εφαρμογές τους. Επίσης, δίνεται έμφαση στα σύνθετα πολυστρωματικά υλικά τύπου «σάντουιτς» με πιεζοηλεκτρικά και ελαστικά στρώματα σε προβλήματα με εφαρμογές όπως οι αισθητήρες και οι ενεργοποιητές. Το δεύτερο μέρος της διατριβής αποτελείται από τη μαθηματική μοντελοποίηση στατικών και δυναμικών προβλημάτων ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών δοκών. Πιο συγκεκριμένα, στο 5ο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρητική διατύπωση προβλημάτων κάμψης ελαστικών δοκών με διάφορες τεχνικές θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης. Παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για στατικά και δυναμικά προβλήματα ελαστικών δοκών. Επιλύονται στατικά και δυναμικά προβλήματα για όλα τα γραμμικά μοντέλα και παρουσιάζονται τα αριθμητικά αποτελέσματα. Στο 6ο κεφάλαιο αναλύονται οι μη γραμμικές τεχνικές θεωρίες διάτμησης σε ελαστικές δοκούς. Στη συνέχεια, μέσω της «Αρχής Hamilton», παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για μη γραμμικές τεχνικές θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης, ελαστικών δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις. Επιλύονται σχετικά προβλήματα κάμψης ελαστικών δοκών λαμβάνοντας υπόψη τη γεωμετρική μη γραμμικότητα και παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα. Στη συνέχεια, γίνεται επέκταση των μοντέλων που περιγράφονται στα κεφάλαια 5 και 6 για πιεζοηλεκτρικές δοκούς και περιγράφονται στα κεφάλαια 7 και 8. Πιο συγκεκριμένα, στο 7ο κεφάλαιο γίνεται η παραγωγή των γραμμικών εξισώσεων κίνησης και συνοριακών συνθηκών για πιεζοηλεκτρικές δοκούς. Στη συνέχεια, γίνεται αναλυτική επίλυση στατικών και δυναμικών προβλημάτων πιεζοηλεκτρικών δοκών με θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης και παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα. Το 8ο κεφάλαιο αναφέρεται στη θεωρητική διατύπωση πιεζοηλεκτρικών δοκών με θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης λαμβάνοντας υπόψη και γεωμετρικές μη γραμμικότητες. Γίνεται παραγωγή των μη γραμμικών εξισώσεων κίνησης και των αντίστοιχων συνοριακών συνθηκών. Στη συνέχεια, προτείνεται ένα αναλυτικός τρόπος επίλυσης των μη γραμμικών εξισώσεων και παρουσιάζονται τα αριθμητικά αποτελέσματα. Το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής παρουσιάζει τη μοντελοποίηση σύνθετων πολυστρωματικών ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών δοκών σε προβλήματα κάμψης με τεχνικές θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης. Πιο συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 9 διατυπώνονται οι εξισώσεις κίνησης και οι συνοριακές συνθήκες γραμμικά ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών σύνθετων πολυστρωματικών δοκών σε προβλήματα κάμψης. Στη συνέχεια, διατυπώνονται και οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης και συνοριακές συνθήκες για ελαστικές και πιεζοηλεκτρικές σύνθετες πολυστρωματικές δοκούς με γεωμετρικές μη γραμμικότητες τύπου von Karman. Το τρίτο μέρος της διατριβής αποτελείται από τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την έρευνα καθώς και σχετικές προτάσεις για μελλοντική έρευνα. Επίσης, παρουσιάζεται η βιβλιογραφία, οι σχετικές δημοσιεύσεις που προκύψανε και τα σχετικά παραρτήματα.