Математика: отдаленный результат
Authors: Шур Олександр Борисович 
Published: March 2022

Неуспеваемость по математике – главная причина отсева. Но он был бы благом, если бы служил фильтром. Главная беда – слабая выживаемость знаний и отсутствие понимания у тех, кто считаются успевающими. Блокируется математизация спецкурсов. Мне приходилось доказывать студентам 5 курса, что понятия производной и интеграла нужны «простому человеку» и будут им полезны в практической деятельности. Старшекурсники не владеют понятиями производной и интеграла (разумея под владением понимание сути, пусть и без запоминания формул), хотя не менее 15 раз встречались с ними в разных дисциплинах. В норме многократные встречи с одной и той же задачей под разными названиями (мощность – работа; перерезывающая сила – изгибающий момент ...) не должны вызывать трудностей. Эти понятия, казалось бы, должны проникнуть в подсознание, пользование ими – дойти до автоматизма.Но нет. Материал каждый раз воспринимается как нечто новое, опять затрачиваются силы и время. Зная определение, не справляются с простейшим тестом на его понимание (для кусочно-линейной функции построить график производной). А значит, процесс учебы обессмыслен и превращен в сизифов труд. Согласно психологии, трудоемкость механического заучивания и осмысленного изучения различаются в 10 и более раз. И наши Сизифы и их учителя управляются с этой неблагодарной задачей, но более простая и действительно нужная – даже не поставлена. Отсюда перегрузки и вечная нехватка времени. Первопричина – неправильные целевые установки курса математики, начиная, впрочем, со школы.Существует афоризм: образование – то, что остается, когда забыто “все”, чему учили. Этот остаток – активное ядро знаний. Его состав и структуру нужно целенаправленно формировать: оно не должно превращаться в хаотический склад отрывочных, случайно выхваченных фактов. Выделить скелет-минимум с установкой на его запоминание навсегда. Максимально облегчить запоминание, формируя основные понятия на базе простейших предельных случаев. Усложнения, исключения и подробности – лишь после усвоения скелета. Главный критерий качества обучения – отдаленные последствия: выживаемость знаний и навыков, структура активного ядра. Для достижения этих целей – усиление нагрузки на правое полушарие, целостное восприятие и эмоции.Вот несколько мыслей А. Пуанкаре. Переместительный закон умножения доходчив, лишь если пересчитывать солдат в каре по колоннам и шеренгам. Обучение дробям успешно, если разрезать на равные доли яблоко или пирог [1]. В науке хорошее определение – то, которое приложимо ко всем определяемым предметам и только к ним. Но при преподавании иначе: хорошее определение – то, которое понятно ученикам [2].Руководствуясь этой логикой, а также рекомендацией укрупнять дидактические единицы для выявления взаимосвязей между основными понятиями и попутной экономии времени [3], приведу примеры того, как это можно делать.Важнейший мостик между элементарной и высшей математикой – понятие тангенса угла. Без него нет ни аналитической геометрии, ни дифференциального исчисления. Но его классическое определение недостаточно для того, чтобы служить надежным фундаментом при изучении ВМ. В лучшем случае, студент помнит его наизусть, не ощущая смысла, а нередко путает с синусом, котангенсом и т.д. Причина: при обучении не были подключены эмоции. Вводя это понятие, его нужно заключить в торжественную рамку. Подчеркнуть, что это – важнейшая из тригонометрических функций, на которой основаны целые разделы высшей математики. Показать, что это – мера крутизны, отношение подъема к продвижению вперед, высоты ступеньки к ее длине. Причем растущая мера крутизны (отличие от котангенса). И мера крутизны, применимая на топографической карте, а не на местности (отличие от синуса).Реанимируя это и основанные на нем понятия, можно начать с того, что тангенс, угловой коэффициент и производная – это одно и то же. Потом уточнить. Тангенс – принадлежность угла, а угловой коэффициент – принадлежность прямой. Притом, они совпадают, лишь если масштабы по осям одинаковы. Если же они разные, а тем более разные физически (например, часы и километры), то нужен еще масштабный коэффициент. А производная распространяет то же самое на кривые линии. Здесь важно: производная – во-первых, мера крутизны; во-вторых, отношение подъема к продвижению вперед; и лишь в третьих – его предел при стремлении числителя и знаменателя к нулю. Идя в таком порядке, опираемся на житейский опыт. Начиная же с третьего, добиваются полного тумана в голове.А вот пример скелета для интеграла и производной, с перегруппировкой разделов для более последовательного проведения принципа: от простого к сложному. Определенный интеграл – площадь прямоугольника с движущейся правой границей, пропорциональная его длине с коэффициентом пропорциональности, равным высоте. График этой зависимости – прямая линия; тангенс угла ее наклона и есть производная – не только для нее, но и для любой, параллельной ей. Их семейство– неопределенный интеграл. Вот и вся суть обоих понятий для простейшего частного случая, но зато во взаимной связи. Все прозрачно. Именно она и должна сохраниться в памяти навсегда, как таблица умножения. Это фундамент для всего последующего (предела, дифференциала, интегральной суммы ...), без которого оно (последующее) просто превращается в фикцию. И это – первая сизифова горка, в отношении которой проявляется поразительное массовое невежество (тот самый тест).Отдельная тема – рационализация математических приемов на основе достижений прикладных наук. Ей посвящена книга [4].Заключение. Необходимо раскрывать на простых и наглядных примерах возможности ВМ, как средства междисциплинарной преемственности, экономии времени и осмысленности обучения. Уходить от бурбакизации. Выделять ключевые моменты и ариаднины нити от первооснов к практике. Структуризация знаний – цель обучения и одновременно средство повышения его эффективности.