Descent in Lawson homology and morphic cohomology
Authors:   , Roig Maranges Abdó 
Published: October 2023

The traditional way to study algebraic cycles on an algebraic variety uses the Chow groups. However, in the beginnings of the 90's, Blaine Lawson and Eric Friedlander developed a different way to study algebraic cycles on varieties over the complex numbers. Instead of taking discrete groups of cycles modulo some equivalence relation, they use the Chow varieties to provide the spaces of algebraic cycles with a topology, and use homotopy invariants of those cycle spaces as geometric invariants.
In Chapter 1, we collect the basics of the semi-topological theories for algebraic cycles and cocycles, developed mainly by Friedlander and Lawson. This is an exposition of the state of the art, and we do not claim any results. We cover the topology on spaces of cycles, Lawson homology and morphic cohomology, including the bivariant cocycle spaces, and end with the duality theorem relating both theories.
In Chapter 2 we reformulate a descent theorem of Guillén and Navarro in the modern language of infinity-categories, following the work of Joyal and particularly Lurie. The aim is to produce a variant of the main extension theorem of Guillén-Navarro with a much simpler proof.
In Chapter 3 we study several flavours of descent for the Lawson homology and morphic cohomology. We define refined Gysin maps extending the definition from Friedlander and Gabber. Then we prove an excess intersection formula for those refined Gysin maps, and use it to prove a blow-up formula for the blow-up of a variety along a regularly embedded center. We do not assume smoothness, extending results of Hu to the singular case. After that, we collect several flavours of descent properties for the semi-topological theories. In particular, we have descent results for the covariant variable of the bivariant cycle complexes. On the other hand, not much is known regarding descent properties in the
contravariant variable in the general case. We conclude the chapter by proving a generalized duality theorem relating complexes of algebraic cocycles, and extending the results of Friedlander and Lawson.
Finally, in Chapter 4 we study morphic cohomology in the particular case of toric varieties. Toric varieties are a class of rational varieties which have a very explicit and rich combinatorial description. We prove Zariski descent for morphic cohomology of toric varieties, with respect to torus-equivariant open sets. Then we develop a spectral sequence that computes morphic cohomology for toric varieties in terms of a very explicit combinatorial description. Toric varieties are a very special class of varieties, of course, but
the interest on those computations lay in the fact that very few computations of morphic cohomology for singular varieties are known.

Tradicionalment per a l'estudi de cicles algebraics en varietats algebraiques s'usen els grups de Chow. A principis dels anys 90, Blain Lawson i Eric Friedlander van desenvolupar un enfoc diferent per a l'estudi de cicles algebraics en varietats algebraiques complexes. En lloc de fer quocient del grup lliure de cicles per una relació d'equivalència, usen la varietat de Chow per donar una topologia als espais de cicles algebraics, i fan servir invariants homotòpics d'aquest espai de cicles com invariants geomètrics. Al capítol 1, recollim resultats bàsics sobre aquestes teories semi-topològiques de cicles i cocicles algebraics, desenvolupades principalment per Lawson i Friedlander. Aquest capítol és purament expositori, tractant la topologia dels espais de cicles, homologia de Lawson i cohomologia mòrfica, incloent els espais de cocicles bivariants i acabant amb un teorema de dualitat relacionant les dues teories. Al capítol 2 reformulem un teorema de descens de Guillén i Navarro, en el llenguatge de les infinit-categories, seguint els treballs de Joyal i particularment Lurie. LA finalitat és obtenir una variant del teorema d'extensió de Guillén-Navarro, amb una demostració més senzilla. Al capítol 3, estudiem diverses variants de descens per la homologia de Lawson i cohomologia mòrfica. Definim un morfisme de Gysin refinat, estenent la definició de Friedlander i Gabber. Tot seguit demostrem una fórmula d'intersecció excedentària i la usem per a demostrar una fórmula de blow-up per una immersió regular. No assumim que les varietats siguin llises, generalitzant resultats de Hu al cas singular. Després, recollim diverses propietats de descens per les teories semi-topològiques. En particular, demostrem descens cdh per als complexos de cocicles bivariants respecte la variable covariant. En canvi, no coneixem gaire cosa sobre les propietats de descens en la variable contravariant per al cas general. Acabem el capítol demostrant un teorema de dualitat generalitzat, relacionant complexos de cocicles algebraics, i estenent els resultats de Friedlander i Lawson. Finalment, al capítol 4 estudiem la cohomologia mòrfica en el cas particular de les varietats tòriques. Les varietats tòriques són una classe de varietats racionals amb una descripció combinatòrica explícita. Demostrem descens per recobriments de Zariski en varietats tòriques, respecte oberts invariants. Usant aquesta propietat desenvolupem una successió espectral que calcula la cohomologia mòrfica de varietats tòriques de forma combinatòrica. Tot i que les varietats tòriques són una classe molt particular, l'interès d'aquest resultat està en el fet que es tenen molt pocs càlculs d'aquests invariants per varietats singulars.