The method of auxiliary sources in electromagnetic problems of scattering, mode analysis, and shielding
Authors: Κουρουμπλάκης Μηνάς 
Published: July 2022

Τα προβλήματα συνοριακών τιμών που αφορούν τη σκέδαση και τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών (H/M) κυμάτων διέπονται από διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις. Η επιλογή της επίλυσης μέσω ολοκληρωτικών ή διαφορικών εξισώσεων σχετίζεται με τα χαρακτηριστικά του κάθε συγκεκριμένου ηλεκτρομαγνητικού προβλήματος. Η επίλυση μπορεί να γίνει αναλυτικά μόνο για απλές γεωμετρίες όπως κυκλικές, ελλειπτικές, σφαιρικές και ελλειψοειδείς. Σε άλλες περιπτώσεις απαιτείται η χρήση αριθμητικών μεθόδων.Η συνήθης επιλογή για την αριθμητική επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων είναι η Μέθοδος των Ροπών. Κατά την εφαρμογή της όμως, και συγκεκριμένα, κατά την συμπλήρωση του πίνακα εμπέδησης, είναι απαραίτητος ο υπολογισμός ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων λόγω της ολοκλήρωσης πάνω στην συνοριακή επιφάνεια ή καμπύλη. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την εξαγωγή μιας προσεγγιστικής λύσης των πεδίων του χώρου η οποία σε ορισμένες περιπτώσεις ενδέχεται να εμφανίσει φαινόμενα αριθμητικών ασταθειώνΓια τον παραπάνω αλλά και για άλλους λόγους, έχουν αναπτυχθεί μια ομάδα από μεθόδους γνωστές ως “Γενικευμένες Πολυπολικές Τεχνικές” (ΓΠΤ). Η βασική αρχή των μεθόδων αυτών είναι ότι κατά την εφαρμογή τους ορίζεται ένα ισοδύναμο με το αρχικό πρόβλημα, στο οποίο το ζητούμενο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι ίσο με την επαλληλία των πεδίων που εκπέμπονται από ένα σύνολο διακριτών πηγών οι οποίες είναι απομακρυσμένες από την συνoριακή καμπύλη ή επιφάνεια. Ως εκ τούτου, κατά την συμπλήρωση του πίνακα εμπέδησης δεν είναι απαραίτητος ο υπολογισμός ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων.Μια από τις μεθόδους των ΓΠΤ είναι η Μέθοδος των Βοηθητικών Πηγών (ΜΒΠ) η οπόια χαρακτηρίζεται από την χρήση διακριτών πηγών, ονόματι Βοηθητικές Πηγές (ΒΠ), που εκπέμπουν πεδία οι εκφράσεις των οποίων είναι ανάλογες των συναρτήσεων Green του ελευθέρου χώρου. Οι ΒΠ τοποθετούνται πάνω σε βοηθητικές καμπύλες ή επιφάνειες το σχήμα των οποίων είναι όμοιο με το σχήμα του συνόρου. Σκοπός αυτής της διδακτορικής διατριβής είναι η παρουσίαση θεωρίας και εφαρμογών της ΜΒΠ σε προβλήματα ηλεκτρομαγνητικής σκέδασης, ανάλυσης ρυθμών κυματοδήγησης μεταλλικών και διηλεκτρικών κυματοδηγών, καθώς και σε προβλήματα θωράκισης με λεπτά υλικά. Γενικά η ΜΒΠ αποτελεί μια ιδιαιτέρως αποτελεσματική μέθοδο για την επίλυση συνοριακών προβλημάτων με κύρια πλεονεκτήματα την απλότητα στην υλοποίηση και την ταχύτατη εξαγωγή αποτελεσμάτων. Από την άλλη όμως, η εφαρμογή της ΜΒΠ χρειάζεται προσοχή ιδιαίτερα σε περιπτώσεις που έχουμε απόκλιση των ρευμάτων των βοηθητικών πηγών (divergence of current amplitudes), την εμφάνιση εσφαλμένων ιδιοτιμών σε προβλήματα ανάλυσης κυματοδηγών, ή και όταν απαιτείται υπολογισμός πεδίων σε περιοχές με υψηλή αγωγιμότητα. Η διατριβή πραγματεύεται την εφαρμογή της ΜΒΠ σε προβλήματα που υφίστανται οι προαναφερθείσες συνθήκες.Συγκεκριμένα, εφαρμόζουμε τη ΜΒΠ σε προβλήματα Η/Μ σκέδασης από κυλίνδρους τέλειων αγωγών (Perfect Electric Conductor-PEC), με κύριο σκοπό τη μελέτη της επίδρασης της απόκλισης (divergence) του πλάτους των βοηθητικών πηγών στον αριθμητικό υπολογισμό των Η/Μ πεδίων. Βρίσκουμε αναλυτικά (για την κυκλική γεωμετρία) και αριθμητικά (για πολύπλοκες γεωμετρίες) ότι, υπό ορισμένες συνθήκες, ακόμα και όταν τα ρεύματα αποκλίνουν, τα αποτελέσματα των πεδίων είναι ορθά.Στην συνέχεια εφαρμόζεται η ΜΒΠ για την εύρεση των ιδιοτιμών (eigenvalues) μεταλλικών κυματοδηγων με αυθαίρετη διατομή. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος των εσφαλμένων ιδιοτιμών, ακολουθείται μια διαφορετική από την συνηθισμένη προσέγγιση κατά την οποία, ο κυματοδηγός διεγείρεται από κάποια πηγή (excitation source) όπως π.χ. σημειακή πηγή ή επίπεδο κύμα. Έτσι προκύπτει η ΜΒΠ με Πηγή Διέγερσης (ΜΒΠ-ΠΔ). Οι ιδιοτιμές σε αυτή την περίπτωση υπολογίζονται εντοπίζοντας τους κυματάριθμους εκείνους για τους οποίους έχουμε συντονισμό στην διατομή του κυματοδηγού. Ο συντονισμός εντοπίζεται από τις μέγιστες τιμές μιας κατάλληλα ορισμένης συνάρτησης απόκρισης.Έπειτα επεκτείνουμε την ΜΒΠ-ΠΔ αποδεικνύοντας ότι οι συντονισμοί εντοπίζονται και από την μεγιστοποίηση της απόλυτης τιμής του διανύσματος των βοηθητικών πηγών. To πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης σε σχέση με την αντίστοιχη της συνάρτησης απόκρισης, είναι η απλότητα του αλγορίθμου, η σαφήνεια της καμπύλης απόκρισης, καθώς και η ταχύτητα εξαγωγής των αποτελεσμάτων. Επιπλέον, παρουσιάζεται και ένας αλγόριθμος με τον οποίο επιτυγχάνεται ταχύτατος υπολογισμός του πίνακα εμπέδησης.Η ΜΒΠ-ΠΔ εφαρμόζεται και στην περίπτωση των διηλεκτρικών κυματοδηγών. Δεδομένου ότι στους διηλεκτρικούς κυματοδηγούς διαδίδονται γενικά υβριδικοί ρυθμοί, απαιτούνται δύο πηγές διέγερσης ταυτόχρονα, μια ηλεκτρική και μία μαγνητική, ώστε να προκύπτουν ορθά αποτελέσματα. Έτσι προκύπτει η ΜΒΠ με Δύο Πηγές Διέγερσης. Αποδεικνύεται αριθμητικά ότι αν οι πηγές διέγερσης τοποθετούνται εντός μιας περιοχής που περικλείεται από μια βέλτιστη καμπύλη, δεν εμφανίζονται εσφαλμένες ιδιοτιμές στο διάγραμμα απόκρισης.Τέλος, διερευνάται η αποτελεσματικότητα του μονοστρωματικού γραφενίου ως υλικού κατάλληλου για ηλεκτρομαγνητική θωράκιση. Η μεγάλη αγωγιμότητα του γραφενίου σε RF συχνότητες σε συνδυασμό με άλλες ιδιότητες του όπως η διαφάνεια στο οπτικό φάσμα, η μηχανική αντοχή, η ελαστικότητα, η θερμική αγωγιμότητα κ.α, το καθιστούν ιδανικό υλικό για Η/Μ θωράκιση. Διερευνώνται αριθμητικά περιπτώσεις κυλινδρικών δομών που έχουν ως θωράκιση γραφένιο το οποίο έχει αποτεθεί σε διοξείδιο του πυριτίου. Δεδομένου ότι η συνήθης ΜΒΠ εμφανίζει δυσκολίες στην εύρεση πεδίων σε υλικά με μεγάλη αγωγιμότητα, προτείνεται τροποποιημένη ΜΒΠ σύμφωνα με την οποία αντικαθίσταται το γραφένιο με μία Συνοριακή Συνθήκη Πίνακα Εμπέδησης. Με αυτό τον τρόπο αποφεύγουμε τον υπολογισμό των πεδίων στο εσωτερικό του γραφενίου. Τα αριθμητικά αποτελέσματα δείχνουν ότι το γραφένιο μπορεί να παρέχει έως και 40 dB θωράκιση στην RF περιοχή.