Численный анализ на неравномерной сетке задачи о кратчайшей очереди для масштабируемой во времени системы массового обслуживания с малым параметром
Authors: Буатта А.М. , Васильев С.А. , Канзитдинов С.К. , Царева Г.О. 
Published: December 2024

В этой работе мы используем численные методы с использованием неравномерной сетки Шишкина для анализа длин очередей масштабируемой во времени системы массового обслуживания при , для которой имеется пуассоновский входящий поток заявок с интенсивностью и временем обслуживания , где - параметр интенсивности обслуживания. Система массового обслуживания реализует дисциплину обслуживания таким образом, что для каждой входящей заявки обеспечивается случайный выбор любых приборов и среди них выбирается приборов, которые имеют самую короткую очередь. Динамика такой системы массового обслуживания может быть описана с помощью функции кратчайшей очереди , которая может быть найдена путем решения системы дифференциальных уравнений бесконечного порядка, которая может быть получена с использованием подхода, который подразумевает использование цепей Маркова. Для этой системы дифференциальных уравнений бесконечного порядка, которую можно отнести к системе дифференциальных уравнений тихоновского типа, формулируется сингулярно возмущенная задача Коши с малым параметром. Для системы дифференциальных уравнений этой задачи Коши используется процедура усечения, которая позволяет получить сингулярно возмущенную усеченную задачу Коши для системы дифференциальных уравнений конечного порядка тихоновского типа. Для численного анализа решений усеченной задачи Коши применяется неоднородная сеточная схема Шишкина высокого порядка. Эта схема демонстрирует хорошую сходимость решений сингулярно возмущенной усеченной задачи Коши, когда малый параметр стремится к нулю. Результаты численного анализа решений усеченной задачи Коши показывают, что масштабируемая во времени система массового обслуживания может справляться с интенсивным входящим потоком заявок.

In this paper, we use numerical methods using an uneven Shishkin grid to analyze the queue lengths of a time-scalable queuing system ( ) for which there is a Poisson incoming flow of requests with an intensity and service time , where is the service intensity parameter. The queuing system implements the service discipline in such a way that a random selection of any servers is provided for each incoming request and among them servers that have the shortest queue are selected. The dynamics of such a queuing system can be described using the shortest queue function , which can be found by solving a system of differential equations of infinite order, which can be obtained using an approach that involves the use of Markov chains. For this system of differential equations of infinite order, which can be attributed to a system of differential equations of the Tikhonov type, a singularly perturbed Cauchy problem with a small parameter is formulated. For the system of differential equations of this Cauchy problem, a truncation procedure is used, which allows us to obtain a singularly perturbed truncated Cauchy problem for a system of differential equations of finite order of Tikhonov type. For the numerical analysis of solutions to the truncated Cauchy problem, a non-uniform high-order Shishkin grid scheme is used. This scheme demonstrates good convergence of solutions to the singularly perturbed truncated Cauchy problem when the small parameter tends to zero. The results of numerical analysis of solutions to the truncated Cauchy problem show that a time-scalable queuing system can cope with an intensive incoming flow of applications.