Adaptive low and high-order hybridized methods for unsteady incompressible flow simulations
Authors:   , Karkoulias Alexandros 
Published: October 2023

Simulations of incompressible flows are performed on a daily basis to solve problems of practical and industrial interest in several fields of engineering, including automotive, aeronautical, mechanical and biomedical applications.
Although finite volume (FV) methods are still the preferred choice by the industry due to their efficiency and robustness, sensitivity to mesh quality and limited accuracy represent two main bottlenecks of these approaches. This is especially critical in the context of transient phenomena, in which FV methods show excessive numerical diffusion. In this context, there has been a growing interest towards high-order discretisation strategies in last decades.
In this PhD thesis, a high-order adaptive hybidisable discontinuous Galerkin (HDG) method is proposed for the approximation of steady and unsteady laminar incompressible Navier-Stokes equations. Voigt notation for symmetric second-order tensors is exploited to devise an HDG method for the Cauchy formulation of the momentum equation with optimal convergence properties, even when low-order polynomial degrees of approximation are considered. In addition, a postprocessing strategy accounting for rigid translational and rotational modes is proposed to construct an element-by-element superconvergent velocity field.
The discrepancy between the computed and postprocessed velocities is utilised to define a local error indicator to drive degree adaptivity procedures and accurately capture localised features of the flow. The resulting HDG solver is thus extended to the case of transient problems via high-order time integration schemes, namely the explicit singly diagonal implicit Runge-Kutta (ESDIRK) schemes. In this context, the embedded explicit step is exploited to define an inexpensive estimate of the temporal error to devise an efficient timestep control strategy.
Finally, in order to efficiently solve the global problem arising from the HDG discretisation, a preconditioned iterative solver is proposed. This is critical in the context of high-order approximations in three-dimensional domains leading to large-scale problems, especially in transient simulations. A block diagonal preconditioner coupled with an inexpensive approximation of the Schur complement of the matrix is proposed to reduce the computational cost of the overall HDG solver.
Extensive numerical validation of two and three-dimensional steady and unsteady benchmark tests of viscous laminar incompressible flows is performed to validate the proposed methodology.

Simulaciones de flujo incompresible se emplean a diario para resolver problemas de interés práctico e industrial en varios campos de la ingeniería, p.ej. en aplicaciones automovilísticas, aeronáuticas, mecánicas y biomédicas. Aunque los métodos de volúmenes finitos (FV) siguen siendo la opción preferida por la industria debido a su eficiencia y robustez, la sensibilidad a la calidad de la malla y la baja precisión representan dos limitaciones importantes para estas técnicas. Estas limitaciones son todavía más críticas en el contexto de simulaciones de fenómenos transitorios, donde los FV están penalizados por su excesiva difusión numérica. En este contexto, las estrategias de discretización de alto orden han ganado una popularidad creciente en las últimas décadas para problemas transitorios dónde se necesitan soluciones precisas. Esta tesis propone un método de Galerkin discontinuo híbrido (HDG), de alto orden y adaptativo para la aproximación de las ecuaciones de Navier-Stokes incomprensible laminar, en el caso estacionario y transitorio en el entorno de aplicaciones ingenieriles. Para ello, la notación de Voigt para tensores simétricos de segundo orden (habituales en mecánica de los medios continuos) permite introducir un método HDG para la formulación de Cauchy de la ecuación de momento. La novedad de este resultado reside en la convergencia óptima alcanzada por el método, incluso para aproximaciones de orden polinómico bajo. Además, se desarrolla una estrategia de post-proceso local para construir elemento a elemento un campo de velocidad súper-convergente, tomando en cuenta los modos rígidos de traslación y rotación. La discrepancia entre el campo de velocidad calculado y el súper-convergente, obtenido a través del post-proceso, permite definir un indicador del error local. De esta forma, se desarrolla una estrategia para realizar adecuar elemento a elemento el grado de la aproximación polinómica y así mejorar la precisión adaptándose a las características localizadas del flujo. Seguidamente, se extiende el método HDG propuesto al tratamiento de problemas dependientes del tiempo. Más concretamente, se consideran los esquemas de integración temporal de alto orden explicit singly diagonal implicit Runge-Kutta (ESDIRK). En este contexto, se utiliza el paso explícito embedded para calcular una estimación computacionalmente eficiente del error temporal y definir una estrategia de adaptividad del paso de tiempo. Finalmente, se desarrolla un precondicionador adaptado a la estrategia HDG que acelera la convergencia del método iterativo empleado y, de esta forma, obtener resoluciones eficaces del problema global surgido de la discretización HDG. Es importante resaltar la importancia de una herramienta de resolución eficiente para problemas de gran escala en el contexto de aproximaciones de alto orden y en dominios tridimensionales. Estas herramientas se hacen aún más criticas en simulaciones transitorias. Más concretamente, se proponen un precondicionador diagonal por bloques y una aproximación eficiente del complemento Schur de la matriz para reducir el coste computacional del método HDG. Para validar la metodología propuesta, se realizan varias simulaciones numéricas de flujo incompresible laminar viscoso, para problemas estacionarios y transitorios, en dos y tres dimensiones.