Determination of the stabilization rate of the solution to one initial problem for the heat equation
Authors: Рябенко А.С. , Тран З. 
Published: July 2024

Дифференциальные уравнения интенсивно применяются в качестве моделей широкого круга естественнонаучных задач. Для большинства дифференциальных уравнений не удается получить решения в квадратурах, выраженных через элементарные или специальные функции, а если и удается, то зачастую представления этих решений очень громоздки, что затрудняет их практическое использование. Поэтому очень остро стоит вопрос об отыскании простых формул, которые с достаточной степенью точности описывают качественное поведение решений дифференциальных уравнений на некотором интервале изменения независимой переменной. Для определения качественного поведения решений дифференциальных уравнений на некотором интервале изменения независимой переменной используются асимптотические методы. Асимптотические методы более предпочтительны, чем численные методы, когда нужно знать поведение решения дифференциального уравнения, рассматриваемого на неограниченном интервале. Это объясняется тем, что невязка решения дифференциального уравнения (модуль разности истинного решения и численного решения) обычно оценивается сверху через величину, пропорциональную длине интервала, на котором применяется численный метод. В работе рассматривается одномерная задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием. Используя явное представление решения задачи Коши, была построена точная равномерная оценка и точная поточечная оценка скорости стабилизации решения задачи Коши к нулю при большом времени.

Differential equations are intensively used as models for a wide range of natural science problems. For most differential equations, it is not possible to obtain solutions in quadratures expressed in terms of elementary or special functions, and if it is possible, then the representations of these solutions are often very cumbersome, which makes their practical application difficult. Therefore, the question of finding simple formulas that describe with a sufficient degree of accuracy the qualitative behavior of solutions to differential equations on a certain interval of variation of the independent variable is very acute. Asymptotic methods are employed to determine the qualitative behavior of solutions to differential equations on a certain interval of change of the independent variable. Asymptotic methods are more preferable than numerical methods when one needs to know the behavior of the solution to a differential equation considered on an unbounded interval. This is explained by the fact that the discrepancy of the solution to a differential equation (the modulus of the difference between the true solution and the numerical solution) is usually estimated from above through a value proportional to the length of the interval on which the numerical method is applied. The paper considers the one-dimensional Cauchy problem for an inhomogeneous heat equation with a homogeneous initial condition. Using an explicit representation of the solution to the Cauchy problem, an exact uniform estimate and an exact pointwise estimate of the stabilization rate of the solution to the Cauchy problem to zero for a long time were constructed.