ЕКІЛІК ИНТЕГРАЛДЫҚ ҮЗІЛІССІЗДІК МОДУЛІ ЖӘНЕ КӨП АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ УОЛШ ПОЛИНОМДАРЫ АРҚЫЛЫ ЕҢ ЖАҚЫН ЖУЫҚТАУЛАРЫ
Authors: Игенберлина А.Е. 
Published: October 2023

В теории ортогональных рядов, наряду с тригонометрическими системами, широко используются системы Хаара, Уолша и их обобщения. Классическая теория рядов Фурье имеет дело с разложением функций по синусоидальным гармоникам. В отличие от этих непрерывных гармоник, функции Уолша представляют собой «прямоугольные» волны. Оказалось, что в некоторых случаях они предпочтительнее синусоидальных волн. Изучение классических функциональных пространств основано на приближении функций тригонометрическими полиномами, а в данной работе рассмотрены функциональные пространства с точки зрения приближения функций частичными суммами Фурье-Уолша на двоичной группе: устанавливается связь между двоичным интегральным модулем непрерывности и наилучшими приближениями функции многих переменных полиномами Уолша. Кроме этого, дана интегральная оценка частичных сумм кратного ряда Фурье-Уолша и изучена связь между отклонениями таких сумм кратного ряда от функции и групповым модулем непрерывности. В одномерном случае двоичные модули непрерывности рассмотрены в монографии Голубова Б.И. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. Ключевые слова: интеграл, непрерывность, полином, полином Уолша, двоичная свёртка, модуль непрерывности, двоичный интервал.

Ортогоналдық қатарлар теориясында тригонометриялық жүйелермен қатар Хаар және Уолш жүйелері мен олардың жалпылаулары кеңінен қолданылады. Фурье қатарының классикалық теориясы синусоидалды гармоника бойынша функциялардың жіктелуімен айналысады. Уолш функцияларының осы үзіліссіз гармоникалардан айырмашылығы, олар «тікбұрышты» толқындар болып табылады. Кейбір жағдайларда олар синусоидалды толқындардан артықшылығы бар екендігі белгілі болды. Классикалық функционалдық кеңістіктерді зерттеу функциялардың тригонометриялық көпмүшеліктер арқылы жуықтауына негізделген және бұл жұмыста функционалдық кеңістіктер функциялардың екілік группадағы Фурье-Уолштың дербес қосындыларымен жуықталуы тұрғысынан қарастырылады: көп айнымалы функцияларды Уолш көпмүшеліктерімен ең жақсы жуықтау және екілік интегралдық үзіліссіздік модулі арасында өзара байланыстар орнатылады. Сонымен қатар, Фурье-Уолш еселі қатарларының дербес қосындыларының интегралдық бағалауы келтіріліп, функцияның еселі қатарының мұндай қосындылары мен үзіліссіздіктің группалық модулі арасындағы байланысы зерттеледі. Бір өлшемді жағдайда үзіліссіздіктің екілік модульдері Б.И. Голубовтың "Қатарлар және Уолш түрлендірулері. Теория және қолданылуы" атты монографиясында қарастырылған. Түйін сөздер: интеграл, үзіліссіздік, көпмүшелік, Уолш полиномы, екілік үйірткі, үзіліссіздік модулі, екілік интервал.

In the theory of orthogonal series, along with trigonometric systems, Haar and Walsh systems and their generalizations are widely used. The classical theory of Fourier series deals with the expansion of functions in sinusoidal harmonics. Unlike these continuous harmonics, Walsh functions are "square" waves. It turned out that in some cases they are preferable to sinusoidal waves. The study of classical function spaces is based on the approximation of functions by trigonometric polynomials, and in this paper, functional spaces are considered from the point of view of approximation of functions by partial Fourier-Walsh sums on a dyadic group: a connection is established between the dyadic integral modulus of continuity and the best approximations of a function of many variables by Walsh polynomials. In addition, an integral estimate of the partial sums of the multiple Fourier-Walsh series is given and the relationship between the deviations of such sums of the multiple series from the function and the group modulus of continuity is studied. In the one-dimensional case, dyadic modules of continuity are considered in the monograph by Golubov B.I. «Walsh series and transformations. Theory and applications». Keywords: integral, continuity, polynomial, Walsh polynomial, dyadic convolution, modulus of continuity, dyadic interval.