THE STUDY OF THE PROPERTIES OF COMMUNITIES OF PLAYERS AND FUNCTIONS OF WIN IN GAMES WITH NON-OPPOSING INTERESTS
Authors: Меньших Т.В. , Новосельцев В.И. 
Published: July 2024

При решении многих прикладных задач используются методы теории игр. В частности, при принятии управленческих решений требуется согласование различных аспектов решений, за которые отвечают специалисты разного профиля. Это приводит к необходимости использования игр с непротивоположными интересами и нахождения для них равновесий по Дж. Нэшу. Решение указанной задачи для частного случая игр с иерархическим вектором интересов определяется теоремой Гермейера и Вателя. Однако, при доказательстве теоремы, не был учтен целый ряд аспектов. В частности, неопределенны условия построения иерархического дерева групп игроков и в неполной мере описаны свойства функции выигрыша для этих групп. В данной работе предлагается ввести понятия целей игроков и на этой основе построить структурно-параметрическую модель сообщества игроков, представляющую собой нечеткий граф с множеством вершин, соответствующих игрокам, и дуг, отражающих совпадение целей игроков. Веса дуг определяются функциями принадлежности нечетких множеств, описывающих значимости целей для игроков. Цвета дуг соответствуют целям игроков. После этого вводится понятие цветной клики и разрабатывается алгоритм построения иерархической структуры групп на основе последовательного нахождения цветных клик. Далее, на основе анализа доказательства теоремы Гермейера и Вателя, показывается, что функция выигрыша группы игроков должна быть непрерывной. Следствием этого является исключение случаев, использования дискретных (в частности, целочисленных) ресурсов.

When solving many applied problems, methods of game theory are used. In particular, when making management decisions, it is necessary to coordinate various aspects of decisions for which specialists in different fields are responsible. This leads to the need to use games with non-opposing interests and finding for them Nash equilibrium. The solution of this problem for the particular case of games with a hierarchical vector of interests is determined by the theorem of Germeyer and Vatel. However, in proving the theorem, a number of aspects were not taken into account. In particular, the conditions for constructing a hierarchical tree of groups of players are undefined and the properties of the functions of win for these groups are not fully described. In this paper, it is proposed to introduce the concepts of player goals and, on this basis, construct a structural-parametric model of a community of players, representing a fuzzy graph with a set of vertices corresponding to players, and arcs reflecting the coincidence of players' goals. The weights of the arcs are determined by the membership functions of fuzzy sets describing the significance of goals for players. The colors of the arcs correspond to the goals of the players. After that, the concept of a color clique is introduced and an algorithm is developed for constructing the hierarchical structure of groups based on the successive finding of color cliques. Further, based on the analysis of the proof of the theorem of Germeyer and Vatel, it is shown that the function of win of a group of players must be continuous. The consequence of this is the exclusion of cases of using discrete (in particular, integer) resources.