Η φασματική ανάλυσις του τανυστού ενδόσεως του ανισότροπου ελαστικού μέσου
Authors: Σοκόλης Δημήτριος 
Published: August 2021

Κεφάλαιο 1ο: Περιγραφή της Ανισοτρόπου Ελαστικότητος. Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο, θεωρώντες τους συμμετρικούς τανυστές τετάρτης-τάξεως ως γραμμικούς τελεστές, οι οποίοι δρουν στον εξαδιάστατο χώρο των συμμετρικών τανυστών δευτέρας-τάξεως, αποδεικνύεται ότι οι τανυστές της ενδόσεως και της δυσκαμψίας είναι ισομορφικοί με τα 6x6 μητρώα. Ακολούθως, συνάγεται, λόγω της ερμητιανούς φύσεως των τανυστών αυτών, ότι αφ’ ενός οι ιδιοτιμές των είναι πραγματικοί αριθμοί, αφ’ ετέρου οι ιδιοτανυστές των είναι ορθογώνιοι, και, επί προσθέτως, οι ιδιοτιμές των παραμένουν αναλλοίωτοι υπό ορθογωνίους μετασχηματισμούς των συντεταγμένων. Συμπεραίνεται, επομένως, ότι οι ιδιοτιμές και οι ιδιοτανυστές αποτελούν αυτονόμους παραμέτρους, υπευθύνους για τον αναλλοίωτο προσδιορισμό των ελαστικών ιδιοτήτων και, άρα, της ανισοτροπίας του γενικώς ανισοτρόπου ελαστικού σώματος. Τελικώς και μάλιστα σημαντικώς, προκύπτουν οι νόμοι, οι οποίοι διέπουν την μεταβολή της ανισοτροπίας ενός εν γένει μη-γραμμικού ελαστικού μέσου, βάσει της μεταβολής των ιδιοτιμών και των ιδιοτανυστών του τανυστού της ενδόσεως. Κεφάλαιο 2ο: Κυβική Συμμετρία. Μελετάται η φασματική ανάλυσις του τανυστού τετάρτης-τάξεως της ενδόσεως του κυβικού ελαστικού στερεού, και ευρίσκονται αναλυτικώς οι τρεις χαρακτηριστικές του τιμές, διπλής, τριπλής και μονής πολλαπλότητος, καθώς και οι τρεις τετάρτης-τάξεως ιδιοτανυστές του. Προσδιορίζονται οι τρεις ενεργειακώς ορθογώνιοι εντατικές καταστάσεις του κυβικού μέσου, οι οποίες αποτελούν καθαρά διάτμηση, απλή διάτμηση και υδροστατική φόρτιση, αντιστοίχως. Ύστερον, σχετίζονται οι, αντιστοιχούσες προς τους ιδιοτανυστές αυτούς, συνιστώσες της πυκνότητος ελαστικής ενεργείας παραμορφώσεων με τις ευρέως γνωστές στροφικές και διογκωτικές μορφές ενεργείας παραμορφώσεων, οι οποίες συναντώνται αποκλειστικώς στα ισότροπα σώματα. Κατόπιν, εξετάζεται η φασματική ανάπτυξις του ισοτρόπου τανυστού της ενδόσεως και συζητώνται οι υφιστάμενες ομοιότητες με την κυβική συμμετρία. Μετά ταύτα, παρουσιάζεται πληθώρα αριθμητικών παραδειγμάτων χημικών στοιχείων και ενώσεων του κυβικού κρυσταλλικού συστήματος. Κεφάλαιο 3ο: Εγκαρσίως Ισότροπες Πλάκες. Η θεωρία της φασματικής αναλύσεως των τανυστών της ελαστικότητος επεκτείνεται, στο κεφάλαιο αυτό, σ’ επίπεδα προβλήματα τάσεων, παρέχοντας, κατ’ αυτόν τον τρόπο, την δυνατότητα χαρακτηρισμού των ελαστικών ιδιοτήτων των ανισοτρόπων μέσων υπό συνθήκες επιπέδων εντάσεων. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι οι τρεις ιδιοτιμές μονής πολλαπλότητος, μετά μίας αδιαστάτου παραμέτρου, η οποία ονομάζεται επίπεδος ιδιογωνία, συνιστούν τις αναγκαίες παραμέτρους διά την αναλλοίωτο περιγραφή της ελαστικής συμπεριφοράς των ανισοτρόπων πλακών. Εξετάζονται τόσο τα όρια μεταβολής της ιδιογωνίας, όσο και τα αυστηρώς καθορισμένα όρια στις τιμές των λόγων του Poisson. Επίσης, αποδεικνύεται ότι η επίπεδος ιδιογωνία δύναται να χρησιμοποιηθεί ως μια μονοπαραμετρική ένδειξις της ανισοτροπίας του υλικού. Εν συνεχεία, μελετώνται τα, επιβαλλόμενα υπό θερμοδυναμικών περιορισμών, όρια στις τιμές των ελαστικών σταθερών. Εξ άλλου, το επίμηκες μέτρο διατμήσεως προσδιορίζεται θεωρητικώς, συναρτήσει των λοιπών ελαστικών σταθερών, προσφέροντας επομένως έναν τρόπο επαληθεύσεως της εγκυρότητος της πειραματικώς ευρεθείσης τιμής του. Τελικώς, δεικνύεται ότι η επίπεδος ιδιογωνία αποτελεί έναν δείκτη όχι μόνον της ανισοτροπίας αλλά και της στερρότητος θραύσεως των εγκαρσίως ισοτρόπων πλακών. Περαιτέρω, η πυκνότης ελαστικής ενεργείας, η οποία αποθηκεύεται σε λεπτές πλάκες εγκαρσίως ισοτρόπων υλικών, διαιρείται σε διακριτές και ανεξαρτήτους μεταξύ των ποσότητες. Αυτό επιτυγχάνεται βασιζόμενοι στα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ελλειπτικής παραβολοειδούς επιφάνειας αστοχίας, η οποία έχει αποδειχθεί κατά το παρελθόν ότι αποτελεί ένα ιδανικό κριτήριο περιγραφής της διαρροής ή της αστοχίας των ανισοτρόπων μέσων, και επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον μας σε εγκαρσίως ισοτρόπους πλάκες. Ακολούθως, εφαρμόζοντες την θεωρία της φασματικής αναλύσεως στον τανυστή τετάρτης-τάξεως της ενδόσεως εγκαρσίως ισοτρόπων πλακών, προκύπτει ότι οι δύο ενεργειακώς ορθογώνιοι ιδιοτανυστές των τάσεων επιφέρουν αλλοιώσεις του όγκου και του σχήματος της πλακός, ενώ ο τρίτος αντιστοιχεί αποκλειστικώς σε συνιστώσα ατροφικής ενεργείας. Αμφότερες οι αναλύσεις της ελαστικής ενεργείας παραμορφώσεων, οι οποίες προτείνονται στο κεφάλαιο αυτό, είναι ενεργειακώς ισοδύναμες και προνομιακές, επιδεικνύοντας στενή συσχέτιση με την ανάλυση της πυκνότητος ελαστικής ενεργείας παραμορφώσεων των ισοτρόπων υλικών σε στροφικές και διογκωτικές συνιστώσες. […]