ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО КИРАЛЬНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Authors: Прімхан Н.Т. 
Published: October 2023

Математикалық физиканың сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулері физиканың маңызды объектісі болып табылады. Осындай белгілі теңдеулердің бірі – сызықты емес Шредингер теңдеуі болып табылады, ол гидродинамика, сызықтық емес оптика, кванттық механика және т.б. салаларда қолданылады. Сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулердің нақты шешімдерін іздеу сызықтық емес құбылыстардың динамикасын зерттеуде маңызды рөл атқарады. Қазіргі уақытта нақты шешімдерді табудың көптеген тиімді және эффективті әдістері бар. Бұл жұмыста біз сәйкес сызықты емес мүшелері бар екі өлшемді киральды сызықты емес Шредингер теңдеуін зерттейміз. Бұл теңдеу бір өлшемді сызықты емес Шредингер теңдеуінің кеңеюі болып табылады және Абловиц-Кауп-Ньюэлл-Сегура иерархиясы арқылы сипатталады. Нақты шешімдерді алу үшін синус-косинус әдісі қолданылады. Синус-косинус әдісі математикалық физиканың сызықты емес дербес дифференциалдық теңдеулерінің шешімдерін табудың тиімді математикалық құралы екендігі көрсетілген. Алынған шешімдердің динамикасы суреттерде көрсетіледі. Түйін сөздер: синус-косинус әдісі, қарапайым дифференциалдық теңдеу, дербес туындылы дифференциалдық теңдеу, бейсызықтық, Шредингер теңдеуі.

Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных математической физики являются важным объектом в физике. Одним из известных таких уравнений является нелинейное уравнение Шредингера, которое имеет приложение в таких областях как гидродинамика, нелинейная оптика, квантовая механика, и т. д. Поиск точных решений нелинейных уравнений в частных производных играет немалую роль в изучении динамики нелинейных явлений. В настоящее время существует множество действенных и эффективных методов нахождения точных решений. В данной работе исследовано двумерное киральное нелинейное уравнение Шредингера, которое содержит соответствующие нелинейные члены. Это уравнение является расширением одномерного нелинейного уравнения Шредингера и описывается иерархией Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сегура. Для получения точных решений применен метод синуса-косинуса. Показано, что метод синуса-косинуса представляет собой эффективный математический инструмент для поиска решения нелинейных уравнений в частных производных математической физики. Динамика полученных решений представлена на рисунках. Ключевые слова: метод синуса-косинуса, обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, нелинейность, уравнение Шредингера.

Nonlinear partial differential equations of mathematical physics are an important subject in physics. One of the well- known such equations is the nonlinear Schrödinger equation, which has applications in such areas as hydrodynamics, nonlinear optics, quantum mechanics, etc. The search for exact solutions to nonlinear partial differential equations plays a significant role in the study of the dynamics of nonlinear phenomena. Currently, there are many efficient and effective methods for finding exact solutions. In this paper, we study the two-dimensional chiral nonlinear Schrödinger equation, which contains the corresponding nonlinear terms. This equation is an extension of the one-dimensional nonlinear Schrödinger equation and is described by the Ablowitz-Kaup-Newell-Segur hierarchy. To obtain exact solutions, the sine- cosine method is applied. It is shown that the sine-cosine method is an effective mathematical tool for finding solutions to nonlinear partial differential equations of mathematical physics. The dynamics of the obtained solutions is shown in the figures. Keywords: sine-cosine method, ordinary differential equation, partial differential equation, nonlinearity, Schrodinger equation.