Γεωμετρικά γραφήματα με y-μονότονα και xy-μονότονα μονοπάτια
Authors: Μάστακας Κωνσταντίνος 
Published: March 2023

Ένα σύνολο σημείων με k ρίζες P είναι ένα σύνολο σημείων όπου k σημεία του r_1 , r_2 , . . ., r_k ∈ P διαφοροποιούνται από τα υπόλοιπα σημεία του P και αποκαλούνται ρίζες του P. Ένα γεωμετρικό γράφημα με k ρίζες G = (P,E) είναι ένα γεωμετρικό γράφημα όπου το σύνολο των κόμβων του, P, είναι ένα σύνολο σημείων με k ρίζες και οι ρίζες του G είναι οι ρίζες του P. Ένα γεωμετρικό μονοπάτι Q = (q_0, q_1, . . ., q_t) είναι y−μονότονο αν η ακολουθία των y−συντεταγμένων των σημείων του Q, δηλαδή η ακολουθία y(q_0), y(q_1), . . ., y(q_t), είναι μονότονη. Ένα γεωμετρικό γράφημα με k ρίζες G = (P,E) είναι y−μονότονο με k ρίζες αν κάθε ρίζα r ∈ P και κάθε σημείο p ∈ P \ {r} συνδέονται με κάποιο y−μονότονο μονοπάτι. Δοθέντος ενός συνόλου σημείων με k ρίζες P το y−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γράφημα με k ρίζες του P είναι το y−μονότονο συνδετικό γράφημα με k ρίζες του P με το ελάχιστο κόστος. Το κόστος ενός γεωμετρικού γραφήματος είναι το άθροισμα των μηκών των ακμών του. Ασχολούμαστε με το πρόβλημα της εύρεσης του y−μονότονου ελάχιστου συνδετικού γραφήματος με ρίζα ενός συνόλου σημείων με ρίζα P. Χτίζοντας πάνω σε προηγούμενα αποτελέσματα δείχνουμε ότι το y−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γραφήμα με ρίζα του P (i) είναι ένα δέντρο το οποίο αποκαλούμε το y−μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα του P και (ii) εξάγεται σε O(|P|log^2 |P|) χρόνο. Μελετάμε επίσης το πρόβλημα της απεικόνισης ενός δέντρου με ρίζα ως ένα y−μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα. Αρχικά δίνουμε ένα γραμμικού χρόνου αλγόριθμο ο οποίος απεικονίζει ένα δέντρο με ρίζα ως ένα y−μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα. Πόρισμα της προηγούμενης πρότασης είναι ότι δεν υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε ο μέγιστος βαθμός κάθε y−μονότονου ελάχιστου συνδετικού δέντρου με ρίζα να είναι φραγμένος από τη C. Επιπλέον δείχνουμε ότι υπάρχουν δέντρα με ρίζα για τα οποία κάθε απεικονιση στο πλέγμα ως ένα y−μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα απαιτεί ένα πλέγμα με εκθετικό εμβαδό. Δίνουμε ακόμα έναν απλό 2−προσεγγιστικό αλγόριθμο για το πρόβλημα της εύρεσης του y−μονότονου ελάχιστου συνδετικού γραφήματος με k ρίζες ενός συνόλου σημείων με k ρίζες P. Ένα γεωμετρικό γράφημα με ρίζα G είναι ομοιόμορφα μονότονο με ρίζα αν είναι y′−μονότονο με ρίζα για κάποιον άξονα y′. Παρέχουμε έναν O(|E|log|P|) χρόνου αλγόριθμο που καθορίζει αν ένα γεωμετρικό γράφημα με ρίζα G = (P,E) είναι ομοιόμορφα μονότονο με ρίζα. Επιπρόσθετα ασχολούμαστε με το πρόβλημα της εύρεσης του ομοιόμορφα μονότονου ελάχιστου συνδετικού δέντρου με ρίζα ενός συνόλου σημείων με ρίζα P, όπου το ομοιόμορφα μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα του P είναι το ομοιόμορφα μονότονο συνδετικό δέντρο με ρίζα του P με το ελάχιστο κόστος. Δείχνουμε ότι το ομοιόμορφα μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα του P εξάγεται σε O(|P|^2 log|P|) χρόνο. Ένα γεωμετρικό μονοπάτι Q = (q_0, q_1, . . . , q_t) είναι xy−μονότονο αν και η ακολουθία των x−συντεταγμένων των σημείων του Q, δηλαδή η ακολουθία x(q_0), x(q_1), . . ., x(q_t), είναι μονότονη και η ακολουθία των y−συντεταγμένων των σημείων του Q, δηλαδή η ακολουθία y(q_0), y(q_1), . . ., y(q_t), είναι μονότονη. Το γεωμετρικό μονοπάτι Q είναι 2K−μονότονο αν είναι x′y′−μονότονο για κάποιο Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων x′y′. Ένα γεωμετρικό γράφημα G = (P,E) είναι 2K−μονότονο αν κάθε ζευγάρι σημείων του P συνδέεται με ένα 2K−μονότονο μονοπάτι. Μελετάμε το πρόβλημα της παραγωγής 2K−μονότονων συνδετικών γραφημάτων σε σύνολα σημείων σε κυρτή θέση. Εξάγουμε ότι δοθέντος ενός συνόλου σημείων σε κυρτή θέση P παράγεται ένα 2K−μονότονο συνδετικό γράφημα που έχει ως σύνολο κόμβων το P μαζί με λιγότερο από ή ίσο με ένα Steiner σημείο (δηλαδή ένα επιπρόσθετο σημείο που δεν δίνεται ως είσοδος) και έχει λιγότερες από ή ίσες με 4|P| − 8 ακμές. Ένα γεωμετρικό γράφημα G = (P,E) λέγεται xy−μονότονο αν κάθε ζευγάρι κόμβων του G συνδέεται με ένα xy−μονότονο μονοπάτι. Δοθέντος ενός συνόλου σημείων P το xy−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γράφημα του P είναι το xy−μονότονο συνδετικό γράφημα του P ελάχιστου κόστους. Μελετάμε το πρόβλημα της εύρεσης του xy−μονότονου ελάχιστου συνδετικού γραφήματος ενός συνόλου σημείων P και το πρόβλημα της εύρεσης του xy−μονότονου συνδετικού γραφήματος με το ελάχιστο πλήθος ακμών ενός συνόλου σημείων P. Χτίζοντας πάνω σε προηγούμενα αποτελέσματα εξάγουμε εύκολα ότι δοθέντος ενός συνόλου σημείων P το xy−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γράφημα του P είναι ίσο με το xy−μονότονο συνδετικό γράφημα με το ελάχιστο πλήθος ακμών του P και τα δύο αυτά είναι ίσα με το γράφημα του ορθογωνίου επιρροής του P. Όπου το γράφημα του ορθογωνίου επιρροής ενός συνόλου σημείων P είναι το γεωμετρικό γράφημα με σύνολο κόμβων το P όπου οι κόμβοι p και q συνδέονται με ακμή αν και μόνο αν το ορθογώνιο με γωνιακά σημεία τα p και q και πλευρές παράλληλες στους άξονες του Καρτεσιανού Συστήματος Συντεταγμένων δεν περιέχει άλλα σημεία (εκτός από τα p και q) του P. Το γεωμετρικό γράφημα G λέγεται ομοιόμορφα 2K−μονότονο αν υπάρχει Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων x′y′ τέτοιο ώστε το G να είναι x′y′−μονότονο. Το ομοιόμορφα 2K−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γράφημα ενός συνόλου σημείων P είναι το ομοιόμορφα 2K−μονότονο συνδετικό γράφημα του P ελάχιστου κόστους. Μελετάμε επίσης το πρόβλημα της εύρεσης του ομοιόμορφα 2K−μονότονου ελάχιστου συνδετικού γραφήματος ενός συνόλου σημείων P και το πρόβλημα της εύρεσης του ομοιόμορφα 2K−μονότονου συνδετικού γραφήματος με το ελάχιστο πλήθος ακμών ενός συνόλου σημείων P. Σημειώνουμε ότι δοθέντος ενός συνόλου σημείων P το ομοιόμορφα 2K−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γράφημα του P δεν ταυτίζεται πάντα με το ομοιόμορφα 2K−μονότονο συνδετικό γράφημα με το ελάχιστο πλήθος ακμών του P. Όμως δείχνουμε ότι και το ομοιόμορφα 2K−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γράφημα του P και το ομοιόμορφα 2K−μονότονο συνδετικό γράφημα με το ελάχιστο πλήθος ακμών του P μπορούν να παραχθούν σε O(|P|^3) χρόνο. Ένα γεωμετρικό γράφημα G = (P,E) με ρίζα r λέγεται xy−μονότονο με ρίζα αν κάθε κόμβος του G διαφορετικός από τη ρίζα συνδέεται με την r με ένα xy−μονότονο μονοπάτι. Έστω P ένα σύνολο σημείων με ρίζα τότε το xy−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γράφημα με ρίζα του P είναι το xy−μονότονο συνδετικό γράφημα με ρίζα του P ελάχιστου κόστους. Δείχνουμε ότι το xy−μονότονο ελάχιστο συνδετικό γραφήμα με ρίζα του P είναι ένα δέντρο το οποίο αποκαλούμε το xy−μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα του P και το οποίο εξάγεται σε O(|P|log^3 |P|) χρόνο. Το γεωμετρικό γράφημα με ρίζα G λέγεται ομοιόμορφα 2K−μονότονο με ρίζα αν υπάρχει Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων x′y′ τέτοιο ώστε το G να είναι x′y′−μονότονο με ρίζα. Παρέχουμε έναν αλγόριθμο που καθορίζει αν ένα γεωμετρικό γράφημα με ρίζα G = (P,E) είναι ομοιόμορφα 2K−μονότονο με ρίζα σε O(|E|log|P|) χρόνο. Το ομοιόμορφα 2K−μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα ενός συνόλου σημείων με ρίζα P είναι το ομοιόμορφα 2K−μονότονο συνδετικό δέντρο με ρίζα του P ελάχιστου κόστους. Δείχνουμε ότι το ομοιόμορφα 2K−μονότονο ελάχιστο συνδετικό δέντρο με ρίζα του P εξάγεται σε O(|P|^2 log|P|) χρόνο.