Αναλλοίωτες μετρικές Einstein σε πολλαπλότητες Stiefel και συμπαγείς ομάδες Lie
Authors: Σταθά Μαρίνα 
Published: September 2021

Μια πολλαπλότητα Riemann (M, g) καλείται πολλαπλότητα Einstein εάν ο τανυστής Ricci Ric_g της μετρικής g ικανοποιεί την εξίσωση Ric_g = \lambda g, για κάποιο \lambda\in \bb{R}. Στους ομογενείς χώρους Riemann (M=G/H, g), όπου G είναι μια ομάδα Lie και Η μια κλειστή υποομάδα της, η μετρική g καλείται G-αναλλοίωτη εάν για κάθε \al\in G οι αριστερές μεταφορές \tau_{\al} : G/H\to G/H, p\mapsto \al p είναι ισομετρίες και καθορίζεται από \Ad(H)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο T_{o}(G/H). Τα γινόμενα αυτά εξαρτώνται από την ισοτροπική αναπαράσταση του ομογενούς χώρου, η οποία είναι είτε μη αναγώγιμη (όλες οι G-αναλλοίωτες μετρικές είναι Einstein) είτε αναγώγιμη. Η δεύτερη περίπτωση γίνεται πιο πολύπλοκη εάν οι υποαναπαραστάσεις της, είναι μεταξύ τους ισοδύναμες, διότι η πλήρης περιγραφή αλλά και ο χειρισμός τέτοιων γινομένων είναι αρκετά δύσκολος. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν και οι πραγματικές, μιγαδικές και υπερμιγαδικές (ή κβατερνιανές) πολλαπλότητες Stiefel V_k\bb{R}^{n}=\SO(n)/\SO(n-k), V_{k}\bb{C}^{n}=\SU(n)/\SU(n-k), V_{k}\bb{H}^{n}=\Sp(n)/\Sp(n-k). Γενικά, μια πολλαπλότητα Stiefel G/H = V_{k}\bb{K}^{n}, όπου \bb{K}=\bb{R}, \bb{C}, ή \bb{H} ορίζεται ως το σύνολο όλων των k-πλαισίων του χώρου \bb{Κ}^{n}. Στην παρούσα διατριβή μελετάμε, για την περίπτωση \bb{K}=\bb{R}, \bb{H}, μετρικές Einstein, οι οποίες ανήκουν σε ένα υποσύνολο των G-αναλλοίωτων μετρικών. Ειδικότερα, η μέθοδος που ακολουθούμε είναι η εξής: Αρχικά θεωρούμε μια κλειστή υποομάδα K της G με την ιδιότητα H\subset K\subset N_{G}(H). Τότε η πολλαπλότητα Stiefel G/H είναι ο ολικός χώρος της νηματοποίησης K/H\to G/H\to G/K. Θεωρούμε τις περιπτώσεις όπου η βάση G/K είναι είτε ένας γενικευμένος χώρος Wallach, είτε μια γενικευμένη πολλαπλότητα σημαιών με δύο ισοτροπικούς προσθεταίους. Σε κάθε περίπτωση οι μετρικές Einstein που βρίσκουμε, καθορίζονται από \Ad(K)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο \fr{m} του G/H, ο οποίος γράφεται ως ευθύ άθροισμα των εξής δύο υπόχωρων: του κάθετου \fr{a}=T_{o}(K/H) και του οριζόντιου \fr{p}=T_{o}(G/K), δηλαδή \fr{m}=\fr{a}\oplus\fr{p}. Το δεύτερο αντικείμενο μελέτης της διατριβής, είναι η εύρεση αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein, οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές, στις συμπαγείς ομάδες Lie SO(n) και Sp(n). Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουμε τις ομάδες Lie G ως ομογενείς χώρους μέσω της αμφιδιαφόρισης G\cong (G\times K)/\Delta(K), όπου K μια κλειστή υποομάδα της G και να μελετήσουμε τις αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην ομάδα G, οι οποίες καθορίζονται από \Ad(K)-αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα στον εφαπτόμενο χώρο \fr{M} του ομογενούς χώρου (G\times K)/\Delta(K). Για αυτά τα αναλλοίωτα εσωτερικά γινόμενα αποδεικνύουμε κατάλληλες συνθήκες για τις παραμέτρους τους, ώστε οι αντίστοιχες αριστερά αναλλοίωτες μετρικές στην G να είναι φυσικά αναγωγικές, σύμφωνα με τη θεωρία των J. D' Atri και W. Ziller. Τέλος, εκμεταλλευόμενοι καταλλήλως αυτές τις συνθήκες αποδεικνύουμε την ύπαρξη αριστερά αναλλοίωτων μετρικών Einstein στις ομάδες Lie G= \SO(n), \Sp(n) οι οποίες δεν είναι φυσικά αναγωγικές. Στα δύο παραπάνω προβλήματα η εξίσωση Einstein ανάγεται σε ένα πολυωνυμικό σύστημα εξισώσεων, το οποίο προκειμένου να το χειριστούμε (ύπαρξη θετικών λύσεων ή εύρεση όλων των λύσεων) χρησιμοποιούμε εκτενώς τη θεωρία βάσεων Gr\"obner.