Μέτρα εξάρτησης και υποφαινομενικές συμπεριφορές για γραμμικές σχέσεις που δημιουργούνται από μη-γραμμικής μορφής χρονοσειρές
Authors: Δεληγιαννάκης Εμμανουήλ 
Published: May 2024

Ο προσδιορισμός της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών είναι μία από τις πιο σημαντικές πτυχές κάθε ποσοτικής ανάλυσης. Στόχος αυτής της προσπάθειας είναι να διερευνηθεί σε αρχικό στάδιο εάν υπάρχει και σε ποιο βαθμό εξάρτηση μεταξύ των μεταβλητών, έτσι ώστε η ανάλυση να επεκταθεί στον ποσοτικό καθορισμό της σχέσης τους. Η τεχνική του συντελεστή συσχέτισης που εφαρμόζεται κατά κανόνα στην ποσοτική ανάλυση έχει αποδειχθεί ότι αρκετά συχνά δεν είναι ικανή να εντοπίσει ικανοποιητικά την ύπαρξη της σχέσης των μεταβλητών, δεδομένου ότι η τιμή του συντελεστή συσχέτισης εξαρτάται από τη φύση των δεδομένων, εμφανίζοντας μάλιστα ακόμα και εικονικές σχέσεις για την περίπτωση ανεξάρτητων χρονοσειρών. Για το λόγο αυτό, χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση της εξάρτησης και άλλες πιο πολύπλοκες τεχνικές, όπως οι Copula, προκειμένου να συλλάβουν καλύτερα την έννοια της εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών ακόμα και για δεδομένου που παρουσιάζουν μεγάλη μεταβλητότητα και ποικιλομορφία. Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή διερευνάται η συμπεριφορά διαφόρων μέτρων εξάρτησης, συμπεριλαμβανομένου και του συντελεστή συσχέτισης, για γραμμικές σχέσεις που παράγονται από μη γραμμικές χρονοσειρές που έχουν έντονη μεταβλητότητα. Πιο συγκεκριμένα, για την εφαρμογή των προσομοιώσεων χρησιμοποιούνται τα υποδείγματα AR(1) – ARCH(1) των Bera, Higgins και Lee (1992 και 1996), τα οποία παρουσιάζουν μεγάλη μεταβλητότητα στις τιμές τους, δεδομένου ότι η ετεροσκεδαστικότητα προέρχεται από τις τιμές της μεταβλητής και όχι από τις τιμές του τυχαίου σφάλματος. Μάλιστα, όπως αναφέρουν οι συγγραφείς τα υποδείγματα αυτά μπορούν να παρουσιαστούν και ως μη γραμμικά υποδείγματα με μεταβαλλόμενους συντελεστές. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται συνοπτικά τα βασικά στοιχεία που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση τυχαίων μεταβλητών και περιγράφουν τον τρόπο συμπεριφοράς τους. Στη συνέχεια, αναλύεται η έννοια της από κοινού κατανομής δύο τυχαίων μεταβλητών με σκοπό την παρουσίαση του συντελεστή γραμμικής συσχέτισης, ενώ γίνεται ακόμα και μία σύντομη αναφορά στο πρόβλημα των υποφαινομενικών συσχετίσεων που υπάρχει από τη χρήση στάσιμων και μη στάσιμων χρονοσειρών. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες των συναρτήσεων Copula μαζί με το θεώρημα του Sklar, το οποίο θεμελιώνει την ύπαρξη αυτών των συναρτήσεων και ορίζει τα άνω και κάτω όρια τους. Κατόπιν, περιγράφονται οι πιο σημαντικές συναρτήσεις Copula, οι οποίες χρησιμοποιούνται ευρέως και οι οποίες θα εφαρμοστούν σε αυτή τη διδακτορική διατριβή για τη διερεύνηση της συμπεριφοράς τους σε περίπλοκες χρονοσειρές, ενώ στο τέλος γίνεται μία σύντομη αναφορά στον τρόπο εκτίμησης των παραμέτρων τους. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύονται τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες των στάσιμων χρονοσειρών και παρουσιάζονται τα βασικά υποδείγματα της μεθοδολογίας των Βox και Jenkins. Κατόπιν, γίνεται μία σύντομη αναφορά στις μη στάσιμες χρονοσειρές και περιγράφονται οι στατιστικοί έλεγχοι που εφαρμόζονται για τη διαπίστωση της ύπαρξης μοναδιαίας αυτοσυσχετιζόμενης ρίζας, σημειώνοντας ότι οι χρονοσειρές αυτές αποτυπώνουν συμπεριφορές φαινομένων με έντονη μεταβλητότητα. Στα πλαίσια αυτής της συμπεριφοράς παρουσιάστηκαν και τα υποδείγματα υπό συνθήκης ετεροσκεδαστικότητας τα οποία και αυτά απεικονίζουν τη μεταβλητότητα αλλά με ένα διαφορετικό τρόπο, όπου η διακύμανση των τιμών της χρονοσειράς μεταβάλλεται διαχρονικά με συγκεκριμένο υπόδειγμα. Τέλος, αναφορά γίνεται και στα υποδείγματα υπό συνθήκης ετεροσκεδαστικότητας στις τιμές της μεταβλητής που παρουσιάστηκαν από τους Bera, Higgins και Lee (1992 και 1996) ως μία άλλη μορφή υποδειγμάτων που μπορεί να περιλάβει ακόμα μεγαλύτερη μεταβλητότητα στις τιμές μιας χρονοσειράς. Στο τέταρτο κεφάλαιο διερευνάται η συμπεριφορά του συντελεστή συσχέτισης, καθώς και ορισμένων τεχνικών Copula για ανεξάρτητες, για γραμμικά εξαρτημένες χρονοσειρές με ετεροσκεδαστικότητα, όπου η συμπεριφορά ορισμένων από των οποίων ομοιάζει και με μη γραμμική, χρησιμοποιώντας ανάλυση Monte Carlo. Επιπρόσθετα, διερευνώνται και οι υποφαινομενικές συσχετίσεις που εμφανίζονται από τέτοια μορφής υποδείγματα, χρησιμοποιώντας το στατιστικό έλεγχο για τη μηδενική υπόθεση ότι δεν υπάρχει γραμμική συσχέτιση με βάση το συντελεστή συσχέτισης. Τέλος, εξετάζονται τόσο οι συμπεριφορές των μέτρων εξάρτησης όσο και της δύναμης τους στατιστικού ελέγχου της μηδενικής συσχέτισης για γραμμικές εξαρτήσεις δύο μεταβλητών που κατασκευάζονται. Στο πέμπτο κεφάλαιο διερευνάται μέσω Monte Carlo ανάλυσης η συμπεριφορά του φαινομένου των υποφαινομενικών παλινδρομήσεων για δύο ανεξάρτητες στάσιμες αυτοπαλίνδρομου πρώτου βαθμού AR(1) χρονοσειρές αλλά και δύο ανεξάρτητες μη στάσιμες τυχαίου περπατήματος χρονοσειρές, των οποίων τα σφάλματα δεν έχουν σταθερή διακύμανση, αλλά η διαχρονικά μεταβαλλόμενη διακύμανσή τους κατασκευάζεται από ένα αυτοπαλίνδρομο υπό όρους ετεροσκεδαστικότητας υπόδειγμα πρώτου βαθμού, δηλαδή από ένα ARCH(1) υπόδειγμα, όπου η μεταβλητότητα στη διακύμανση προέρχεται είτε από τις τιμές των σφαλμάτων είτε από τις τιμές της ίδιας της χρονοσειράς, με την τελευταία μορφή να σχηματίζει μια οικογένεια χρονοσειρών που μπορούν να θεωρηθούν και ως μη γραμμικές διεργασίες. Επίσης, διερευνάται η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στις τιμές των σφαλμάτων της παλινδρόμησης, καθώς και ο τρόπος αντιμετώπισης και των δύο προαναφερθέντων προβλημάτων. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο εξετάζονται οι σχέσεις εξάρτησης μεταξύ διαφόρων μεταβλητών που συνδέονται με την αγορά ενέργειας και ειδικότερα με την τιμή του πετρελαίου για συγκεκριμένη χρονική περίοδο χρησιμοποιώντας όλες τις τεχνικές Copula που εφαρμόστηκαν στην διατριβή αυτή. Αρχικά εξετάζονται οι σχέσεις των μεταβλητών στις τιμές τους και κατόπιν στις τιμές των πρώτες διαφορών τους, δεδομένου ότι οι χρονοσειρές βρέθηκαν να είναι μη στάσιμες πρώτου βαθμού. Τέλος, η ανάλυση της εξάρτησής τους επεκτάθηκε στις εκτιμηθείσες τιμές αλλά και στις τιμές των καταλοίπων που προέκυψαν από την εκτίμηση του καταλληλότερου ARIMA υποδείγματος, διαπιστώνοντας σημαντικές αλλαγές στις σχέσεις τους.