Size effects in semi-brittle materials and gradient theories with application to concrete
Authors: Τριανταφύλλου Αντώνιος 
Published: September 2021

Με βάση τη βιβλιογραφία η σχέση μεταξύ του εσωτερικού μήκους και της μικροδομής ενός υλικού περιορίζεται συνήθως στην ασαφή πρόταση ότι το εσωτερικό μήκος του υλικού είναι συνάρτηση της κυρίαρχης λεπτομέρειας της μικροδομής. Η συνεχώς αυξανόμενη βέβαια επίγνωση της χρησιμότητας των θεωριών βαθμοελαστικότητας και το σημαντικό θεωρητικό ερευνητικό έργο που έχει πραγματοποιηθεί την τελευταία δεκαετία δίνει τη δυνατότητα να γίνει περαιτέρω εμβάθυνση στη μελέτη του εσωτερικού μήκους. Ο κύριος σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής ήταν η έρευνα της φυσικής συσχέτισης του εσωτερικού μήκους που υποθέτουν οι θεωρίες βαθμοελαστικότητας και της μικροδομής του υλικού. Για να πραγματοποιηθεί αυτό και για να ερευνηθούν φαινόμενα κλίμακας στην ελαστικότητα με βάση πειραματικών μετρήσεων δοκιμών κάμψης σε δοκίμια δοκών σκυροδέματος, οι δυο κλασικές ελαστικές σταθερές δηλ. το μέτρο ελαστικότητας και ο λόγος Poisson, απαιτείται να εκτιμηθούν από άλλες δοκιμές. Στην παρούσα μελέτη, εφαρμόστηκε μια διαδικασία ομοιογενοποίησης σε ανομοιογενή υλικά και αποδείχτηκε ότι το εσωτερικό μήκος πρέπει να αντιμετωπιστεί σαν ένα μέτρο ανομοιογένειας, η οποία δεν μπορεί να οριστεί μόνο με βάση την κυρίαρχη λεπτομέρεια της μικροδομής (μέγεθος αδρανών) αλλά πρέπει να συμπεριλάβει και τη σχετική δυσκαμψία μήτρας/εγκλεισμάτων. Αυτό επαληθεύτηκε πειραματικά από τα αποτελέσματα δοκιμίων σκυροδέματος διαφορετικών μιγμάτων με παρόμοια λεπτομέρεια μικροδομής αλλά διαφορετική σχετική δυσκαμψία μήτρας/αδρανών. Με βάση τις εκτιμήσεις του εσωτερικού μήκους από το παρόν μοντέλο, φαίνεται ότι το εσωτερικό μήκος μειώνεται με μείωση της σχετικής δυσκαμψίας του υλικού. Η εφαρμογή του βαθμοελαστικού προσομοιώματος βλάβης, που προτείνεται σ’ αυτή την διατριβή για την περίπτωση δοκών σκυροδέματος σε κάμψη, εξαρτάται από την ελαστική λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών για την περίπτωση μιας βαθμοελαστικής δοκού Timoshenko. Το πρόβλημα έχει κλειστή λύση και παρουσιάζεται μια μεθοδολογία για την επίλυση σύνθετων στατικών προβλημάτων, όπως αόριστα στατικά συστήματα,. Αυτό το μοντέλο οδηγεί στη βαθμοελαστική Bernoulli-Euler λύση και την κλασσική λύση Timoshenko εάν εφαρμοστούν κατάλληλα όρια και απλοποιήσεις. Η ελαστική λύση του προβλήματος συνοριακών τιμών χρησιμοποιήθηκε μαζί με έναν υποθετικό νόμο τάσης-τροπής για ημι-ψαθυρά υλικά με σκοπό τη παραγωγή αριθμητικών προβλέψεων για την ανελαστική συμπεριφορά των δοκών που δοκιμάστηκαν πειραματικά. Το μοντέλο που προτείνεται αποδεικνύεται ότι παράγει αντικειμενικό χαρακτηρισμό της βλάβης που είναι ανεξάρτητος του κανάβου που χρησιμοποιήθηκε για την ανάλυση. Στην παρούσα εργασία, η ύπαρξη φαινόμενων κλίμακας στην ελαστικότητα και ανελαστικότητα τσιμεντοειδών υλικών εξετάστηκε με βάση τις πειραματικές μετρήσεις του βέλους κάμψης και των αξονικών τροπών στο μέσον του ανοίγματος των δοκιμίων δοκών άοπλου σκυροδέματος θλιπτικής αντοχής έως 40 MPa, που δοκιμάστηκαν σε κάμψη 4-σημείων με επιβολή του βέλους κάμψης στο μέσον του ανοίγματος. Τα γεωμετρικά όμοια δοκίμια των δοκών είχαν λόγο ύψους προς μέγιστη διάσταση αδρανών έως 6.5. Επειδή το σκυρόδεμα περιέχει μια σύνθετη μικροδομή εξαιτίας της ύπαρξης αδρανών διαφορετικών διαστάσεων σε διάφορα κατ’ όγκο ποσοστά (κοκκομετρική διαβάθμιση), το εσωτερικό μήκος για κάθε μίγμα συγκρίνεται με το μέσο μέγεθος αδρανών που περιγράφει την ανομοιογένειά του. Η μέση διάσταση των αδρανών των μιγμάτων σκυροδέματος με μέγιστο μέγεθος αδρανών 32 mm προσδιορίστηκε με βάση την οπτική απεικόνιση της μικροδομής του υλικού από τομές σε διάφορα δοκίμια και βρέθηκε οτι κυμαίνεται μεταξύ 10 και 20 mm. Επίσης, η τιμή του εσωτερικού μήκους για κάθε μίγμα εκτιμήθηκε με βάση τα πειραματικά αποτελέσματα του επιβαλλόμενου φορτίου συναρτήσει είτε του βέλους κάμψης ή της καμπυλότητας στο μέσον του ανοίγματος των δοκών. Μια περισσότερο δύσκαμπτη συμπεριφορά παρατηρήθηκε στην ελαστική περιοχή της απόκρισης σε σχέση με αυτή που προβλέπει η κλασσική θεωρεία ελαστικότητας. Το προτεινόμενο μοντέλο προβλέπει ένα εσωτερικό μήκος περίπου ίσο με mm για την περίπτωση μιγμάτων σκυροδέματος με σημαντική σχετική δυσκαμψία στη μικροδομή, όπου η ρηγμάτωση συμβαίνει κατά κύριο λόγο στο υλικό της μήτρας (σκυρόδεμα χαμηλής αντοχής). Αυτά τα σκυροδέματα είναι αντιπροσωπευτικά ενός σύνθετου υλικού με εγκλείσματα πολύ πιο δύσκαμπτα από το υλικό της μήτρας. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η εκτίμηση του εσωτερικού μήκους είναι παρόμοια ανεξάρτητα εάν χρησιμοποιήθηκαν οι πειραματικές μετρήσεις του βέλους κάμψης ή της καμπυλότητας. Στην περίπτωση αυτή εκτιμάται ότι το εσωτερικό μήκος είναι περίπου ίσο με τη μέση διάσταση των αδρανών. Οι εκτιμήσεις για την τιμή του εσωτερικού μήκους για τα δύο μίγματα σκυροδέματος με την υψηλότερη θλιπτική αντοχή είναι χαμηλότερες της τάξης των και mm, δηλ. περίπου ίση με το ήμισυ της μέσης διάστασης των αδρανών. Οι χαμηλότερες τιμές για τα σκυροδέματα με την υψηλότερη θλιπτική αντοχή μπορεί να αποδοθούν στη χαμηλότερη σχετική δυσκαμψία της μικροδομής αυτών των μιγμάτων, όπου έλαβε χώρα θραύση ενός σημαντικού αριθμού αδρανών κατά μήκος της ρωγμής. Επίσης, όπως αναμένεται, το φαινόμενο κλίμακας στην ελαστικότητα ήταν αμελητέο για την περίπτωση του τσιμεντοκονιάματος με μέγιστη διάσταση αδρανών ίση με 1 mm, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί σχεδόν ομοιογενές υλικό. Επιπρόσθετα, υποστηρίζεται ότι η μικρορηγμάτωση στα ημι-ψαθυρά υλικά, η οποία προκαλεί φθίνουσα φέρουσα ικανότητα στη συμπεριφορά του υλικού, πρέπει επίσης να επηρεάζει την αρχική τιμή του εσωτερικού μήκους, g0, η οποία σχετίζεται με την αρχική ανομοιογένεια του υλικού. Εάν το εσωτερικό μήκος υποτεθεί ότι είναι συνάρτηση της υπάρχουσας βλάβης, θερμοδυναμική ανάλυση του προβλήματος απέδειξε ότι αυτό το μήκος πρέπει είτε να αυξάνει ή να παραμένει σταθερό με την αύξηση του επιπέδου της βλάβης. Μια πειραματική διερεύνηση της συγκεκριμένης μορφής του νόμου αλλαγής του εσωτερικού μήκους επιβεβαίωσε αυτό το θεωρητικό αποτέλεσμα καθώς αποδείχτηκε ότι ένα αυξανόμενο εσωτερικό μήκος συναρτήσει της βλάβης καταλήγει σε προβλέψεις που είναι σε καλύτερη συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα απ’ ότι οι προβλέψεις του κλασσικού μοντέλου. Τέλος, μια μη-γραμμική (εκθετική) σχέση μεταξύ του εσωτερικού μήκους και της βλάβης βρέθηκε να ικανοποιεί το κριτήριο αντικειμενικότητας ενός νόμου εξέλιξης ανεξάρτητα της κλίμακας για τα τσιμεντοειδή μίγματα που εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία. Τελικά, βρέθηκε ότι ο ρυθμός αύξησης του εσωτερικού μήκους με τη βλάβη αυξάνει με την αύξηση της ψαθυρότητας του υλικού.