Interaction-based nonlinear quantum metrology with a cold atomic ensemble
Authors:   , Napolitano Mario 
Published: October 2023

In this manuscript we present an experimental and theoretical investigation of quantum-noise-limited measurement by nonlinear interferometry, or from another perspective, quantum-noise-limited interaction-based measurement. The experimental work is performed using a polarization-based quantum interface between propagating light pulses and cold rubidium-87 atoms trapped in an optical dipole trap.
We first review the theory of quantum metrology and estimation theory, and we describe theoretical proposals for nonlinear quantum metrology as developed by the group of Carlton M. Caves in the University of New Mexico.
We then describe our proposal, made in 2010, to implement the Caves group's ideas using nonlinear optical interactions in a cold atomic ensemble to implement a nonlinear spin measurement. To evaluate this proposal we develop two theoretical approaches, first an extension of the collective quantum variables approach, often employed to describe quantum interfaces and atomic spin ensembles, to nonlinear optical processes. This results in an effective Hamiltonian containing nonlinear terms of the form described by the Caves group, and demonstrates a qualitative equivalence of the two schemes. The second approach uses the Maxwell-Bloch equations to describe nonlinear propagation of pulses through an atomic spin ensemble, including inhomogeneities and relaxation effects. This latter method makes quantitative predictions about optical rotation signals under realistic experimental conditions.
We then describe the implementation of the proposal in a polarization-based light-atom quantum interface. We describe the existing trapping and probing system, focusing on the characteristics that make it suitable for shot-noise-limited and projection-noise-limited atomic spin measurements. We then describe adaptations to use the apparatus with shorter, higher-intensity pulses as required for nonlinear measurement, as well as characterization of the photodetection system under these modified conditions. Calibration of the nonlinear polarization rotation versus probe laser detuning allows us to produce a nearly pure nonlinear rotation signal. Finally, experimental results are presented showing shot-noise-limited nonlinear rotation signals over three orders of magnitude in photon number N. The results are consistent with our theoretical models and confirm a major prediction of the Caves group's work, in that a two-photon interaction gives a scaling for the measurement sensitivity
as N^{-3/2}.
A brief discussion relates this experimental observation to theoretical discussions of the ¿Heiseinberg limit¿ of quantum metrology, and possible further applications of nonlinear measurement techniques.

En aquest manuscrit presentem una recerca experimental i teòrica sobre mesures limitades pel soroll quàntic fetes mitjançant interferometria no lineal, o des de un altra perspectiva, mitjançant interacció. En el treball experimental es va fer servir una interfície quàntica de polarització entre polsos de llum en propagació i àtoms freds de rubidi-87 atrapats en una trampa òptica de dipol.
Primer, farem un repàs de la teoria de la metrologia quàntica i de la teoria de la estimació, descriurem la proposició teòrica sobre metrologia quàntica no lineal tal i com la va desenvolupar el grup de Carlton M. Caves al Universitat de Nou Mèxic.
A continuació descriurem la nostra proposta, feta al 2010, de com implantar la idea del grup de Caves fent servir interaccions òptiques no lineals en un conjunt d’àtoms freds amb la finalitat d’efectuar una mesura no lineal de spin. Per avaluar aquesta proposta vam desenvolupar dues aproximacions teòriques fent ús de dos mètodes diferents. En primer lloc vam estendre la tècnica de variables quàntiques col lectives cap als processos òptics no lineals, aquesta tècnica sovint és utilitzada per descriure interfícies quàntiques i conjunts de spin atòmics. Això dóna com
a resultat un Hamiltonià efectiu que conté termes no lineals de la forma descrita pel grup de Caves, i demostra una equivalència qualitativa entre el nostre esquema i el seu.
El segon mètode fa ús de les equacions de Maxwell-Bloch per descriure la propagació no lineal dels polsos a través del conjunt de spins atòmics, tenint en compte deshomogeneïtats i efectes de relaxació. D’aquesta manera podem fer prediccions quantitatives sobre senyals de rotació de polarització òptica en les condicions d’un experiment real. Seguirem amb la descripció de com vam implementar al laboratori la nostra proposta teòrica mitjançant una interfície quàntica de polarització entre llum i àtoms. Descriurem el ja existent sistema de confinament i sondeig dels àtoms, concentrant-nos en les característiques que permeten fer mesures al limit del soroll quàntic i del soroll de projecció. Aleshores detallarem com vam adaptar el sistema per l’ús amb polsos més curts i intensos, tal i com requereix la mesura no lineal, i al mateix temps com vam
calibrar el sistema de detecció de llum en aquestes diferents condicions.
El calibratge de la rotació no lineal de polarització en funció de la freqüència del làser de sonda, ens permet obtenir un senyal de rotació casi purament no lineal. Finalment, presentarem els resultats experimentals que mostren senyals de rotació no lineal limitats pel soroll quàntic al llarg de tres ordres de magnitud en el número N de fotons. Tals resultats son consistents amb els nostres models teòrics i confirmen una important
predicció del treball del grup de Caves, és a dir que la interacció de dos fotons dóna una llei d’escala de N-3/2 per a la sensibilitat de la mesura.
Per concloure, una concisa discussió relaciona aquesta observació experimental amb discussions teòriques sobre el “limit d’Heisenberg” de la metrologia quàntica, i amb d’altres possibles aplicacions de tècniques de mesura no lineal