Υπολογιστική διαπραγμάτευση των ταλαντώσεων και των κυμάτων βαρύτητας σε αστέρες νετρονίων
Authors: Τζελάτη Ελευθερία 
Published: September 2021

Η παρούσα διδακτορική διατριβή αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος μελετούμε τις ημιακτινικές ταλαντώσεις ομοιόμορφα και αργά περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων και υπολογίζουμε τις ιδιοσυχνότητες των ταλαντώσεων αυτών.Ως "ημιακτινικές ταλαντώσεις" (semi-radial oscillations) χαρακτηρίζονται οι ταλαντώσεις των ομοιόμορφα και αργά περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων. Η μελέτη των καταστάσεων ισορροπίας ενός περιστρεφόμενου αστέρα νετρονίων είναι σημαντική, γιατί η περιστροφή είναι ένας πολύ πιθανός μηχανισμός για την αποτροπή της βαρυτικής κατάρρευσης υπέρμαζων αστέρων πριν την εκκίνηση των πυρηνικών καύσεων στο εσωτερικό τους, αλλά μπορεί επίσης να παίξει σημαντικό ρόλο στην απόσβεση των ακτινικών του ταλαντώσεων με αποτέλεσμα τη σταδιακή απώλεια ενέργειας με τη μορφή βαρυτικής ακτινοβολίας. Οι υπολογισμοί των ζητούμενων ιδιοσυχνοτήτων στηρίζονται στη μέθοδο διαταραχής του Hartle, σύμφωνα με την οποία, η μελέτη περιστρεφόμενων σχετικιστικών μοντέλων μεγάλης μάζας στηρίζεται σε μια διαταρακτική λύση των πεδιακών εξισώσεων του Einstein οι οποίες περιγράφουν ένα στατικό, σφαιρικά συμμετρικό μοντέλο.Σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε, βασιζόμενοι στη μελέτη των Hartle και Hartle and Friedmann, τις ιδιοσυχνότητες μηδενικής και δεύτερης τάξης των τριών χαμηλότερων τρόπων ημιακτινικής ταλάντωσης για σχετικιστικά πολυτροπικά μοντέλα. Οι ιδιοσυχνότητες μηδενικής τάξης ([σ^2]^(0)) είναι οι ιδιοσυχνότητες του μη περιστρεφόμενου μοντέλου, ενώ οι ιδιοσυχνότητες δεύτερης τάξης ([σ^2]^(2)) είναι οι μεταβολές που προκύπτουν στις ιδιοσυχνότητες λόγω περιστροφής. Όταν ένας αστέρας περιστρέφεται ομοιόμορφα και αργά, τα τετράγωνα των ιδιοσυχνοτήτων σ^2 μπορούν να αναπτυχθούν σε σειρές του Ω, σ^2 = [σ^2]^(0) + [σ^2]^(2) + ... όπου ο δείκτης (0) δηλώνει τους όρους μηδενικής τάξης ως προς ω και ο δείκτης (2) δηλώνει τους όρους δεύτερης τάξης ως προς ω. Για τον υπολογισμό των ιδιοσυχνοτήτων δεύτερης τάξης, εφαρμόζουμε τον "τελεστή Chandrasekhar" στη "συνάρτηση μετατόπισης" U και απαιτούμε το αποτέλεσμα να είναι μηδέν. Για να υπολογίσουμε τις ιδιοσυχνότητες [σ^2]^(0), ξεκινάμε την αριθμητική ολοκλήρωση για μια δοκιμαστική τιμή σ^2 και τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες και ολοκληρώνουμε έως την επιφάνεια του αστέρα. Στο σημείο αυτό, ελέγχουμε εάν η λύση της συνάρτησης U που προκύπτει ικανοποιεί την οριακή συνθήκη ΓPU(R)'=0. Προκύπτει επομένως ένα πρόβλημα οριακών τιμών Sturm-Liouville (SL) με ιδιοτιμές τις ιδιοσυχνότητες [σ^2]^(0). Το πρόβλημα SL μπορεί να γραφεί με τη μορφή δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Στη συνέχεια, οι ιδιοσυχνότητες δεύτερης τάξης, [σ^2]^(2), μπορούν να υπολογιστούν αριθμητικά.Οι υπολογισμοί γίνονται αρχικά για τέσσερα πολυτροπικά μοντέλα με πολυτροπικούς δείκτες n = 1.0, 1.5, 2.0 και 2.5, ενώ κάθε μοντέλο επιλύεται για πέντε περιπτώσεις κεντρικών πυκνοτήτων μάζας-ενέργειας, για τους τρεις πρώτους τρόπους παλμικής ταλάντωσης, 1, 2 και 3. Οι τιμές κεντρικών πυκνοτήτων έχουν επιλεγεί λίγο κάτω από τις "πυκνότητες μέγιστης μάζας" των αντίστοιχων μοντέλων και είναι αυτές που παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Για κάθε τρόπο ταλάντωσης, κάνουμε τους υπολογισμούς μας για ομοιόμορφη περιστροφή, με γωνιακή ταχύτητα ίση με την αντίστοιχη Κεπλεριανή γωνιακή ταχύτητα, Ωκ. Η μέθοδος διαταραχής του Hartle χρησιμοποιεί τα κατάλληλα αναπτύγματα ως προς την παράμετρο περιστροφής ε=Ω/Ωmax, όπου Ωmax=sqrt(GM/R^3) είναι η τιμή της γωνιακής ταχύτητας για την οποία ξεκινάει η κατάρρευση μάζας προς τον ισημερινό του αστέρα. Επομένως, η Ωmax περιγράφει τη Νευτώνεια ισορροπία μεταξύ βαρυτικών και φυγόκεντρων δυνάμεων. Βέβαια, αυτό το Νευτώνειο άνω όριο φαίνεται να είναι ένα μάλλον υπερεκτιμημένο όριο για τους αστέρες νετρονίων. Για τέτοιου είδους σχετικιστικά αντικείμενα, το κατάλληλο άνω όριο είναι η Ωκ. Για τους αριθμητικούς υπολογισμούς μας χρησιμοποιήσαμε το πακέτο Mathematica®, ενώ οι Κεπλεριανές γωνιακές ταχύτητες έχουν υπολογιστεί με χρήση του πακέτου "Rotating Neutron Stars Package" (RNS).Στο δεύτερο μέρος της διατριβής μελετούμε τις "μη ακτινικές ταλαντώσεις" (nonradial oscillations) των αστέρων νετρονίων. Συγκεκριμένα, αναπτύσσουμε μια νέα αριθμητική μέθοδο, τη λεγόμενη "συνολική στρατηγική του μιγαδικού επιπέδου" (overall complex plane strategy, OCPS) για τον υπολογισμό των ιδιοσυχνοτήτων των w, f και p τρόπων μη ακτινικής ταλάντωσης σχετικιστικών και πολυτροπικών αστέρων νετρονίων που δεν έχουν Νευτώνειο ανάλογο. Οι αριθμητικές ολοκληρώσεις γίνονται με τον κώδικα Fortran DCRKF54, ο οποίος είναι ένας κώδικας Runge-Kutta-Fehlberg τέταρτης και πέμπτης τάξης, τροποποιημένος ώστε να ολοκληρώνει "προβλήματα αρχικών τιμών" σε συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης για μιγαδικές συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής. Επιλύουμε αριθμητικά στο μιγαδικό επίπεδο το σύστημα των τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που περιγράφουν τις μη ακτινικές ταλαντώσεις. Προκειμένου να αποφευχθούν οι ασυνέχειες και οι απροσδιοριστίες στο κέντρο και στην επιφάνεια του αστέρα, εισάγουμε ένα μικρό φανταστικό μέρος στην ακτινική μεταβλητή r και πραγματοποιούμε τις ολοκληρώσεις στο μιγαδικό επίπεδο και, συγκεκριμένα, επάνω σε ένα "μονοπάτι" (contour) παράλληλο προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο OCPS , ξεκινούμε τις ολοκληρώσεις ακριβώς από το κέντρο του αστέρα νετρονίων, αποφεύγοντας αριθμητικά προβλήματα και επιτυγχάνοντας μεγαλύτερη ακρίβεια στους υπολογισμούς μας, σε αντίθεση με προηγούμενες μελέτες κατά τις οποίες έγιναν προσπάθειες προσέγγισης του σημείου εκκίνησης των ολοκληρώσεων είτε χρησιμοποιώντας σειρές Taylor και αναπτύγματα σειρών είτε επιλέγοντας να ξεκινήσουν την ολοκλήρωση πολύ κοντά στο κέντρο του αστέρα για να αποφύγουν την εμφάνιση ασυνεχειών. Στο σημείο αυτό οφείλεται η αυξημένη ακρίβεια της μεθόδου μας. Επίσης, με τη μέθοδο OCPS επιτυγχάνουμε να υπολογίσουμε με εξαιρετική ακρίβεια ακόμα και τις ιδιοσυχνότητες με πολύ μικρά φανταστικά μέρη, σημείο στο οποίο παλαιότερες μελέτες παρουσίασαν υπολογιστικά προβλήματα. Τέλος, η σταθερότητα της μεθόδου μας επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα δεν επηρεάζονται από το σημείο στο οποίο τερματίζουν οι ολοκληρώσεις στο εξωτερικό του αστέρα νετρονίων, ούτε από το σημείο στο οποίο γίνεται γραμμικός συνδυασμός των ολοκληρώσεων στο εσωτερικό του αστέρα νετρονίων, με σκοπό την εύρεση μοναδικής λύσης. Οι αριθμητικές τιμές των ιδιοσυχνοτήτων που υπολογίζουμε συγκρίνονται με αυτές τις βιβλιογραφίας και συγκεκριμένα με αυτές των w, f, p τρόπων ταλάντωσης που αποτελούν δύσκολες περιπτώσεις και έτσι επιβεβαιώνουμε την ακρίβεια της μεθόδου μας.Ο Einstein ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τις εξισώσεις που περιγράφουν μικρές, μη ακτινικές, ημιπεριοδικές ταλαντώσεις για σχετικιστικά αστρικά μοντέλα. Το σύστημα αυτό αποδεικνύεται ότι μπορεί να απλοποιηθεί σε ένα σύστημα τεσσάρων συνήθων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, το οποίο μπορεί να γραφεί σε διανυσματική μορφή.Η επίλυση γίνεται σύμφωνα με τη μελέτη των Kokkotas και Schultz πραγματοποιώντας αρχικά πέντε ολοκληρώσεις στο εσωτερικό του αστέρα, δύο από το κέντρο προς την επιφάνεια και τρεις από την επιφάνεια προς το κέντρο. Οι πέντε αυτές ολοκληρώσεις πραγματοποιούνται πάνω σε ευθεία παράλληλη στον άξονα των πραγματικών αριθμών και πολύ κοντά σε αυτόν (σε απόσταση όσο το φανταστικό μέρος που εισάγουμε στην ακτινική συνιστώσα r) και τερματίζουν στο λεγόμενο σημείο πλέξης, όπου γίνεται ο γραμμικός συνδυασμός αυτών με σκοπό την εύρεση μιας και μοναδικής λύσης. Συνεχίζουμε με μια έκτη ολοκλήρωση στο εσωτερικό του αστέρα, από το σημείο πλέξης μέχρι την επιφάνεια και οι τιμές των λύσεων που λαμβάνονται πάνω στην επιφάνεια του αστέρα αποτελούν τις αρχικές συνθήκες της ολοκλήρωσης της εξίσωσης Zerilli που ακολουθεί. Η ολοκλήρωση της εξίσωσης Zerilli πραγματοποιείται, αφού πρώτα η εξίσωση τροποποιηθεί, από την επιφάνεια του αστέρα σε απόσταση πολύ μακριά από αυτόν, πάνω σε ευθεία με που σχηματίζει με τον άξονα των πραγματικών αριθμών γωνία κλίσης ωim/ωre. Η ευθεία αυτή αποτελεί, σύμφωνα με το "φαινόμενο Stokes", τη βέλτιστη διαδρομή για να ολοκληρώσουμε. Τέλος, ολοκληρώνουμε την τροποποιημένη εξίσωση Zerilli μέχρι ένα σταθερό σημείο που λαμβάνεται ως σημείο αναφοράς και εκεί θεωρούμε ότι τοποθετείται αδρανειακός παρατηρητής. Στο σημείο αυτό, η συνάρτηση Zerilli μετατρέπεται στην αρχική της μορφή και υπολογίζεται ο λόγος γ(ω)/β(ω) που εκφράζει το λόγο της έντασης της εισερχόμενης στον αστέρα βαρυτικής ακτινοβολίας προς την ένταση της εξερχόμενης από τον αστέρα βαρυτικής ακτινοβολίας. Οι συχνότητες ω που μηδενίζουν το λόγο αυτό, αποτελούν τις ζητούμενες ιδιοσυχνότητες ελεύθερης ταλάντωσης του αστέρα νετρονίων, είναι μιγαδικές και μπορούν να έχουν είτε μεγάλα φανταστικά μέρη είτε πολύ μικρά φανταστικά μέρη. Το πραγματικό μέρος των ιδιοσυχνοτήτων ερμηνεύει το ρυθμό των παλμών του αστέρα, ενώ το φανταστικό μέρος δείχνει την απόσβεση της ταλάντωσης λόγω βαρυτικής ακτινοβολίας.