Μελέτη της θεωρίας διαστάσεων στην περιοχή των τοπολογικών χώρων και των δικτυωτών
Authors: Σερέτη Φωτεινή 
Published: September 2021

Αντικείμενο μελέτης της διδακτορικής διατριβής αποτελούν οι διαστάσεις τοπολογικών χώρων και μερικώς διατεταγμένων συνόλων (partially ordered sets ή συνηθέστερα, posets), οι χαρακτηρισμοί αυτών με πίνακες και η έννοια της καθολικότητας σε κλάσεις frames και κλάσεις βάσεων για frames οι οποίες προσδιορίζονται από έννοιες διαστάσεων. Ειδικότερα, ορίζουμε μία νέα τοπολογική διάσταση, την quasi διάσταση κάλυψης, dimq. Αποδεικνύουμε ότι η dimq είναι μεγαλύτερη ή ίση της κλασικής διάστασης κάλυψης, dim, και παρουσιάζουμε παραδείγματα τοπολογικών χώρων, προσδιορίζοντας τόσο τη διάσταση dimq όσο και τη διάσταση dim αυτών. Επίσης, αποδεικνύουμε ιδιότητες της διάστασης dimq. Επίσης, μελετάμε το Πρόβλημα Καθολικότητας, το οποίο έγκειται στην εύρεση καθολικών τοπολογικών χώρων (αντίστοιχα, καθολικών frames) σε διάφορες κλάσεις τοπολογικών χώρων (αντίστοιχα, κλάσεις frames). Αποδεικνύουμε ότι στην κλάση όλων των κανονικών frames που έχουν βάρος μικρότερο ή ίσο ενός πληθαρίθμου τ και μικρή επαγωγική διάσταση, frind, μικρότερη ή ίση ενός διατακτικού αριθμού α, υπάρχουν καθολικά στοιχεία. Η μελέτη αυτή επιτυγχάνεται με τον ορισμό και τη μελέτη μίας νέας διάστασης για frames, την οποία καλούμε μικρή επαγωγική διάσταση, frind, και της έννοιας της κορεσμένης κλάσης frames. Ορίζουμε νέες, για τη θεωρία των frames, έννοιες, όπως της κλάσης βάσεων, του καθολικού στοιχείου για κλάσεις βάσεων καθώς, επίσης, την έννοια της διάστασης βάσης του τύπου της μικρής επαγωγικής διάστασης frind. Βασιζόμενοι στις παραπάνω έννοιες, αποδεικνύουμε ότι σε κλάση βάσεων για frames, η οποία προσδιορίζεται από τη νέα διάσταση βάσης, υπάρχουν καθολικά στοιχεία. Μελετάμε την order-διάσταση πεπερασμένων μερικώς διατεταγμένων συνόλων μέσα από πίνακες. Σε κάθε πεπερασμένο poset (X,≤) προσαρτάμε τον λεγόμενο order-πίνακα. Μελετάμε ιδιότητες αυτού του πίνακα και χαρακτηρίζουμε τις γραμμικές επεκτάσεις της μερικής διάταξης ≤ και την order-διάσταση του X χρησιμοποιώντας τους order-πίνακες. Βασιζόμενοι στα παραπάνω αποτελέσματα, δίνουμε έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό της order-διάστασης ενός τυχαίου πεπερασμένου poset. Επιπλέον, μελετάμε τη διάσταση κάλυψης πεπερασμένων δικτυωτών μέσα από πίνακες. Μελετάμε τις έννοιες των minimal καλύψεων και της τάξης αυτών μέσα από order-πίνακες και πίνακες πρόσπτωσης. Δίνουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος προσδιορίζει το σύνολο των minimal καλύψεων σε ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο δικτυωτό και βασιζόμενοι σε αυτή τη μελέτη δίνουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολογίζει τη διάσταση κάλυψης ενός τυχαίου πεπερασμένου δικτυωτού. Η μελέτη αυτής της διάστασης ολοκληρώνεται παρουσιάζοντας έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολογίζει τη διάσταση κάλυψης του γραμμικού αθροίσματος και του λεξικογραφικού γινομένου δύο οποιονδήποτε πεπερασμένων δικτυωτών. Τέλος, μελετάμε τη Krull-διάσταση πεπερασμένων επιμεριστικών δικτυωτών μέσα από join-πρώτα στοιχεία, order-πίνακες και πίνακες πρόσπτωσης. Περιγράφονται νέοι χαρακτηρισμοί αυτών των εννοιών μέσα από αυτούς τους πίνακες και δίνονται ένας αλγόριθμος προσδιορισμού του συνόλου των join-πρώτων στοιχείων σε ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο δικτυωτό και ένας αλγόριθμος υπολογισμού του ύψους πεπερασμένων posets. Βάσει όλων αυτών των αποτελεσμάτων επιτυγχάνεται ο υπολογισμός της Krull-διάστασης για ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο επιμεριστικό δικτυωτό μέσα από πίνακες.