Minimal submanifolds with nullity in space forms
Authors: Κασιούμης Θεόδωρος 
Published: September 2021

Στην παρούσα διατριβή μελετάμε ελαχιστικές ισομετρικές εμβαπτίσεις f: Mm -> Qcn πλήρων πολυπτυγμάτων Riemann σε χώρους μορφής Qcn με δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον m-2. Ο δείκτης μηδενοκατανομής εισήχθην από τους Chern και Kuiper και παίζει σημαντικό ρόλο στην θεωρία ισομετρικών εμβαπτίσεων. Η μηδενοκατανομή ενός υποπολυπτύγματος μέσα σε έναν χώρο σταθερής καμπυλότητος ορίζεται ως ο πυρήνας της δεύτερης θεμελιώδους μορφής. Ο δείκτης της μηδενοκατανομής σε ένα σημείο του υποπολυπτύγματος ορίζεται ως η διάσταση του πυρήνα της δεύτερης θεμελιώδους μορφής στο σημείο αυτό. Οι πυρήνες αυτοί συνιστούν μια ολοκληρώσιμη κατανομή κατά μήκος κάθε ανοικτού υποσυνόλου του υποπολυπτύγματος όπου ο δείκτης είναι σταθερός και τα φύλλα της μηδενοκατανομής συνιστούν ολικά γεωδαιτικά υποπολυπτύγματα στον περιβάλλοντα χώρο. Εάν επιπλέον το υποπολύπτυγμα είναι πλήρες,τότε αποδεικνύεται ότι τα φύλλα της μηδενοκατανομής είναι επίσης πλήρη στο ανοικτό υποσύνολο όπου ο δείκτης λαμβάνει την ελάχιστη τιμή τουΗ τεχνική μας είναι να κάνουμε χρήση του λεγόμενου τανυστή διάσπασης, ο οποίος περιγράφει πως καμπυλώνεται το ορθοσυμπλήρωμα της μηδενοκατανομής εντός του πολυπτύγματος Mm. Χρησιμοποιούμε εργαλεία από γεωμετρική ανάλυση, όπως η αρχή μεγίστου Omori-Yau και η εκτίμηση κλίσης του Yau ώστε να κατανοηθεί η δομή του τανυστή διάσπασης. Μια από τις σημαντικότερες τεχνικές δυσκολίες στην απόδειξη προέρχεται από το γεγονός ότι επιτρέπουμε στον δείκτη της μηδενοκατανομής να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Επομένως, προκειμένου να επεκτείνουμε τον τανυστή διάσπασης υπεράνω του αναλυτικού συνόλου A των ολικά γεωδαιτικών σημείων, χρησιμοποιούμε θεωρήματα επέκτασης για αρμονικές απεικονίσεις.Η παρούσα διδακτορική διατριβή διαρθρώνεται ως εξής: Αρχικά αναφέρουμε μερικές εισαγωγικές έννοιες στο Κεφάλαιο 1 και στα Κεφάλαια 2,3,4 και 5 περιέχονται τα πρωτότυπα αποτελέσματα της διατριβής.Πιο συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 2 μελετούμε την δομή του τανυστή διάσπασης για τριδιάστατα ελαχιστικά υποπολυπτύγματα σε χώρους μορφής με δείκτη μηδενοκατανομής ένα. Αξίζει να σημειωθεί ότι η τριδιάστατη περίπτωση είναι ουσιώδους σημασίας για τα αποτελέσματα της παρούσας διατριβής.Στο Κεφάλαιο 3, εξετάζουμε πλήρη ελαχιστικά υποπολυπτύγματα Mm στον Ευκλεί-δειο χώρο με θετικό δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον m-2. Αποδεικνύουμε ότι κάθε τέτοιο υποπολύπτυγμα είναι κύλινδρος υπεράνω μιας ελαχιστικής επιφάνειας, υπό την ασθενή υπόθεση ότι ισχύει η αρχή μεγίστου Omori-Yau για τη Λαπλασιανή. Η κλάση των πλήρων πολυπτυγμάτων για τα οποία ισχύει η αρχή μεγίστου είναι ευρεία, αφού περιλαμβάνει τα πολυπτύγματα Riemann των οποίων η καμπυλότητα Ricci δεν φθίνει ταχέως στο μείον άπειρο καθώς και τα proper υποπολυπτύγματα των οποίων η νόρμα του διανύσματος μέσης καμπυλότηταςείναι φραγμένη. Το αποτέλεσμά μας είναι ολικό εκ φύσεως, καθώς υπάρχει πληθώρα παραδειγμάτων μη-πλήρων ελαχιστικών υπο-πολυπτυγμάτων σε οποιασδήποτε συνδιάσταση, με σταθερό δείκτη μηδενοκατανομής, τα οποία δεν είναι τμήματα κυλίνδρου σε κανένα ανοικτό υποσύνολό τους. Όλα αυτά τα υποπολυπτύγματα, μπορούν να παραμετρηθούν τοπικά ως διανυσματικές υποδέσμες της κάθετης δέσμης μιας κλάσης ελλειπτικών επιφανειών για τις οποίες μια συγκεκριμένη έλλειψη καμπυλότητος είναι κύκλος σε κάθε σημείο. Αξίζει να αναφερθεί ότι ένα απαιτητικό ανοικτό πρόβλημα το οποίο αποτελεί πρόκληση, είναι η ύπαρξη ενός μη-κυλινδρικού πλήρους ελαχιστικού υποπολυπτύγματος με δείκτη μηδενοκατανομής μεγαλύτερο ίσο του 1.Στο Κεφάλαιο 4, μελετούμε πλήρεις ελαχιστικές εμβαπτίσεις f: Mm -> Sn με δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον m-2 σε κάθε σημείο.Τα ανωτέρω υποπολυπτύγματα είναι austere υπό την έννοια των Harvey και Lawson και μελετήθηκαν από τον Bryant. Υπάρχει μεγάλη ποικιλία από μη-πλήρη ελαχιστικά υποπολυπτύγματα, σε κάθε συνδιάσταση, τα όποια έχουν παραμετρηθεί από τους και Florit ως διανυσματικές υποδέσμες της κάθετης δέσμης μιας κλάσης ελλειπτικών επιφανειών, για τις οποίες μια συγκεκριμένη έλλειψη καμπυλότητος είναι κύκλος σε κάθε σημείο. Εάν υποθέσουμε ότι το υποπολύπτυγμα είναι πλήρες, τότε συνάγουμε ότι είτε είναι ολικά γεωδαιτικό, είτε η διάστασή του είναι τρία. Στην τελευταία περίπτωση υπάρχουν πολλά παραδείγματα, μεταξύ αυτών και συμπαγή. Υπό την ασθενή υπόθεση ότι ισχύει η αρχή μεγίστου Omori-Yau, μια τετριμμένη υπόθεση όταν το πολύπτυγμα είναι συμπαγές, παρέχουμε μια πλήρη τοπική περιγραφή των ανωτέρω υποπολυπτυγμάτων ως μοναδιαίες εφαπτόμενες υποδέσμες της κάθετης δέσμης 1-ισοτροπικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο. Οι 1-ισοτροπικές επιφάνειες είναι ελαχιστικές επιφάνειες για τις οποίες η συνήθης έλλειψη καμπυλότητος είναι κύκλος σε κάθε σημείο. Για αυτές της επιφάνειες υπάρχει Weierstrass αναπαράσταση που παράγει όλες όσες είναι απλά συνεκτικές. Τέλος, το Κεφάλαιο 5 αναφέρεται σε ελαχιστικά υποπολυπτύγματα του υπερβολικού χώρου και διαιρείται σε τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος, μελετούμε πλήρεις ελαχιστικές ισομετρικές εμβαπτίσεις f: Mm -> Hn με δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον m-2. Σε αντιδιαστολή με τις περιπτώσεις του Ευκλειδείου χώρου και της σφαίρας, η υπόθεση ότι ο δείκτης της μηδενοκατανομής είναι τουλάχιστον m-2 είναι λιγότερο περιοριστική στον υπερβολικό χώρο. Έχουμε ισχυρές ενδείξεις ότι η τριδιάστατη περίπτωση m=3 διαφοροποιείται της περίπτωσης m> 3, γεγονός που μας οδηγεί στον χαρακτηρισμό πλήρων ελαχιστικών εμβαπτίσεων f: M3 -> Hn με δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον ένα σε κάθε σημείο. Υπό την υπόθεση ότι η αριθμητική καμπυλότητα είναι φραγμένη από κάτω, αποδεικνύουμε ότι το υποπολύπτυγμα M3 είναι είτε ολικά γεωδαιτικό, είτε γενικευμένος κώνος υπεράνω μιας πλήρους ελαχιστικής επιφάνειας που κείται σε ισαπέχον υποπολύπτυγμα του Hn. Η υπόθεση της πληρότητας είναι απαραίτητη στην ανωτέρω περιγραφή, καθώς υπάρχει πληθώρα παραδειγμάτων μη-πλήρων υποπολυπτυγμάτων τα οποία δεν ανήκουν στην κλάση των γενικευμένων κώνων. Στο δεύτερο μέρος, μελετάμε m-διάστατα ελαχιστικά υποπολυπτύγματα του υπερβολικού χώρου σε οποιασδήποτε συνδιάσταση, με δείκτη μηδενοκατανομής m-2. Στόχος μας είναι να παραμετρήσουμε τοπικά αυτά τα υποπολυπτύγματα, ως διανυσματικές υποδέσμες της κάθετης δέσμης μιας κατηγορίας ελλειπτικών επιφανειών του χώρου Lorentz ή του χώρου de Sitter. Είναι πλέον εμφανές ότι η υπόθεση της πληρότητας στον χαρακτηρισμό των τριδιάστατων ελαχιστικών υποπολυπτυγμάτων είναι αναγκαία, καθώς υπάρχουν πολλά τοπικά παραδείγματα που δεν ανήκουν στην κλάση των γενικευμένων κώνων. Επιπλέον, η παραμέτρηση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή πλήρων υποπολυπτυγμάτων τυχούσας συνδιάστασης.Στο τρίτο και τελευταίο μέρος της διατριβής κατασκευάζουμε μια νέα κλάση ελαχιστικών εμβαπτίσεων F: Mn -> Hn+2, στον υπερβολικό χώρο οι οποίες είναι (n-2)-ευθειογενείς. Αυτό σημαίνει ότι το Mn επιδέχεται μια ολοκληρώσιμη κατανομή διάστασης n-2 της εφαπτόμενης δέσμης, της οποίας τα φύλλα απεικονίζονται διαφορομορφικά μέσω της F σε ανοικτά υποσύνολα ολικά γεωδαιτικών (n-2)-διάστατων υπερβολικών χώρων. Εάν το Mn είναι απλά συνεκτικό τότε αποδεικνύουμε ότι η εμβάπτιση F επιδέχεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια από ελαχιστικές παραμορφώσεις οι οποίες είναι γνήσιες. Οι παραμορφώσεις αυτές αποκτώνται κρατώντας σταθερή την κάθετη δέσμη και την επαγόμενη κάθετη συνοχή, αλλά η δεύτερη θεμελιώδη μορφή συνδέεται με την αρχική με περίπλοκο τρόπο. Ενδιάφερον ερώτημα είναι αν η ανωτέρω κλάση περιέχει όλες τις γνήσιες παραμορφώσεις. Πρόκληση αποτελεί επίσης και το πρόβλημα ταξινόμησης των πλήρων υποπολυπτυγμάτων βαθμίδος τέσσερα, αφαιρώντας την υπόθεση της πληρότητας ή της ευθειογένειας.