A contribution to the theoretical study and numerical calculation of edge diffraction
Authors: Νικολάου Πέτρος 
Published: September 2021

Θέμα αυτής της διατριβής είναι η μελέτη του ακουστικού πεδίου γύρω από στερεά σώματα και συγκεκριμένα του πεδίου περίθλασης που δημιουργείται όταν ο ήχος συναντά τις ακμές των σωμάτων. Ως παράδειγμα αναφέρονται οι ακμές τύπου ημι-επιπέδου και οι ακμές τύπου σφήνας. Η περίθλαση είναι σημαντική σε πολλές περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, όπως στα ηχοπετάσματα, στη διάδοση υπερηχητικών κρότων γύρω από κτήρια, στην ακουστική κλειστών χώρων, στις ηφαιστειακές εκρήξεις και στην ακουστική αρχαίων θεάτρων. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η δημιουργία νέων αναλυτικών λύσεων και/ή η βελτίωση υπαρχουσών λύσεων τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων. Ακόμα στόχος της παρούσας εργασίας είναι να παρέχει νέα φυσική ερμηνεία στη μελέτη της περίθλασης αλλά και να μικρύνει το υπολογιστικό της κόστος. Η ανάλυση ξεκινάει στο πεδίο των συχνοτήτων από μία υπάρχουσα αναλυτική λύση, το μοντέλο γραμμικής κατευθυντικής πηγής (ΜΓΚΠ), η οποία επεκτείνεται σε περιοχές όπου δεν ήταν έγκυρη. Η νέα λύση έχει μια ενοποιημένη μορφή για όλους τους τύπους προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Επίσης, η νέα λύση είναι ακριβής για επίπεδα κύματα και προσεγγιστική για κυλινδρικά και σφαιρικά προσπίπτοντα κύματα. Η συνάρτηση κατευθυντικότητας της νέας λύσης έχει τροποποιηθεί κατάλληλα, ώστε το πεδίο περίθλασης μπορεί να ερμηνευτεί ως ακτινοβολία από μια γραμμική κατευθυντική πηγή (όπως ορίζεται από το υπάρχον ΜΓΚΠ) ανεξάρτητα πόσο κοντά είναι ένας δέκτης στο σύνορο σκιάς. Στην παρούσα μελέτη οι ιδιότητες της νέας συνάρτησης κατευθυντικότητας διερευνώνται, οι παραμέτροι της αναδιαμορφώνονται και παρουσιάζονται απλούστερες ασυμπτωτικές μορφές της. Με βάση τη νέα συνάρτηση κατευθυντικότητας προτείνεται ένας νέος, ακριβής διαχωρισμός του πεδίου περίθλασης γύρω από τα σύνορα σκιάς, ο οποίος παρέχει επίσης υπολογιστικό πλεονέκτημα, σε σύγκριση με υπάρχουσες λύσεις, για υπολογισμούς μεγάλης κλίμακας. Ακόμα, η προτεινόμενη τροποποιημένη συνάρτηση κατευθυντικότητας επιτρέπει την εφαρμογή της νέας λύσης σε δύο περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος: (i) κατευθυντικές πηγές ήχου και (ii) περίθλαση γύρω από σφήνες, όπου η προτεινόμενη λύση είναι σημαντικά ταχύτερη για τον υπολογισμό σε σύγκριση με καθιερωμένες λύσεις. Στο πεδίο του χρόνου παρουσιάζεται μια καινούργια λύση με τη μορφή κρουστικής απόκρισης. Η νέα λύση προκύπτει από την εύρεση του αναλυτικού μετασχηματισμού Fourier της προτεινόμενης λύσης στο πεδίο των συχνοτήτων. Η νέα λύση έχει μια ενοποιημένη μορφή για όλους τους τύπους προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Είναι ακριβής για επίπεδα σήματα και προσεγγιστική για κυλινδρικά και σφαιρικά προσπίπτοντα σήματα. Η έρευνα πάνω στη νέα λύση στο πεδίο του χρόνου έχει οδηγήσει στη δημιουργία μιας γενέτειρας καμπύλης η οποία περιέχει και μπορεί να αναπαράγει την κρουστική απόκριση για όλους τους συνδυασμούς θέσεων πηγής-δέκτη και για κάθε τύπο προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Η γενέτειρα καμπύλη είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής, του αριθμού περίθλασης. Ο αριθμός περίθλασης είναι μια καθολική παράμετρος για την περίθλαση, η οποία μεταφράζει την γενέτειρα καμπύλη σε κρουστική απόκριση για όλους τους χρόνους, όλους τους συνδυασμούς πηγής-δέκτη και για κάθε τύπο προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Η διαδικασία αυτή περιγράφεται μαθηματικά από μια εξίσωση, τη συνθήκη ομοιότητας. Η χρήση της γενέτειρας καμπύλης μπορεί να προσφέρει αξιόλογο υπολογιστικό όφελος σε σύγκριση με τον άμεσο υπολογισμό της κρουστικής απόκρισης. Προτείνεται επίσης ένας ακριβής διαχωρισμός του περιθλώμενου σήματος σε χρονικά στάδια όπου το σήμα εμφανίζει συγκεκριμένα φυσικά χαρακτηριστικά. Ακόμα, για την περίπτωση του σφαιρικού σήματος η ιδέα της γενέτειρας καμπύλης επεκτείνεται και για την περίπτωση της ακριβούς λύσης. Η ακριβής λύση ενσωματώνεται στην ίδια γενέτειρα καμπύλη την προτεινόμενη κατά προσέγγιση λύση αλλά με διαφορετικό αριθμό περίθλασης και διαφορετική συνθήκη ομοιότητας. Προτείνεται επίσης ένας ακριβής διαχωρισμός του περιθλώμενου σήματος σε στάδια με βάση την ακριβή κρουστική απόκριση. Η παρούσα διατριβή συνεχίζεται στο πεδίο χρόνου με τη μελέτη της συνέλιξης μεταξύ της κρουστική απόκρισης και του προσπίπτοντος σήματος, που χρησιμοποιείται για να τον υπολογισμό του περιθλώμενου παλμού ή της απόκρισης περίθλασης. Οι αρχικές συναρτήσεις της προτεινόμενης κρουστικής απόκρισης χρησιμοποιούνται για: (i) να αποδειχθεί ότι η συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης με οποιοδήποτε φραγμένο σήμα είναι επίσης φραγμένη για όλες τις χρονικές στιγμές, (ii) την αναλυτική εύρεση της απόκρισης περίθλασης, ως συνδυασμό αρχικών συναρτήσεων της κρουστικής απόκρισης, (iii) να βελτιώσει την υπολογιστική απόδοση της αριθμητικής συνέλιξης κατά τάξεις μεγέθους και (iv) να χειριστεί την συνέλιξη σημάτων πολύ αραιής δειγματοληψίας προσπίπτοντος σήματος. Η ανάλυση συνεχίζεται με την περίθλαση σφαιρικών σημάτων που προσπίπτουν σε ακμές πεπερασμένου μήκους. Η υπάρχουσα θεωρία περίθλασης για ακμές πεπερασμένου μήκους και η προτεινόμενη κρουστική απόκριση για τις άπειρες ακμές συνδυάζονται για να σχηματίσουν μια νέα κρουστική απόκριση για πεπερασμένες ακμές. Η νέα κρουστική απόκριση έχει μια απλή αναλυτική μορφή και σε αντίθεση με άλλες αναλυτικές λύσεις δεν απαιτεί ολοκλήρωση κατά το φυσικό μήκος της ακμής για να υπολογίσει το περιθλώμενο σήμα. Επειδή βασίζεται στην κρουστική απόκριση για άπειρες άκρες, η νέα λύση για πεπερασμένες ακμές κληρονομεί όλα τα προαναφερθέντα πλεονεκτήματα που σχετίζονται με τις αρχικές της συναρτήσεις. Επιπλέον, προσφέρει σημαντικό υπολογιστικό όφελος σε σύγκριση με παραδοσιακές λύσεις που είναι ολοκληρωτικές εκφράσεις κατά το φυσικό μήκος της ακμής. Στο πεδίο των συχνοτήτων ο μετασχηματισμός Fourier της νέας κρουστικής απόκρισης για ακμές πεπερασμένου μήκους μπορεί να προσεγγιστεί αναλυτικά. Η έκφραση που προκύπτει στο πεδίο των συχνοτήτων δεν απαιτεί ολοκλήρωση κατά μήκος της ακμής και επιπλέον προσφέρει μια φυσική ερμηνεία για το πώς διαφορετικά τμήματα της ακμής συμβάλλουν στο συνολικό πεδίο περίθλασης.