ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ (РАЗДЕЛИМОСТЬ) НЕЛИНЕЙНОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Authors: Біргебаев А.Б. 
Published: October 2023

Микробөлшектердің әртүрлі күш өрістеріндегі қозғалыс теңдеуі Шредингер толқынының теңдеуі болып табылады. Кванттық механиканың көптеген сұрақтары, атап айтқанда электромагниттік толқындардың жылулық сәулеленуі сингулярлы дифференциалдық операторлардың бөліну мәселесіне әкеледі. Осындай операторлардың бірі жоғарыдағы Шредингер операторы болып табылады. Бұл жұмыста аталған оператор функционалдық талдау әдістерімен зерттеледі. Шешімнің болуы және Гильберт кеңістігіндегі оператордың бөліктенуі үшін жеткілікті шарттар табылды. Барлық теоремалар бастапқыда Штурм-Лиувилл теңдеуінің үлгісі үшін дәлелденді және жалпы жағдайға дейін кеңейтілді. Шешімнің бар болуы және шешімнің тегістігі бөлімдерінде сызықты емес Штурм-Лиувилл теңдеуі үшін коэрцивтілік бағасының болуын қамтамасыз ететін жеткілікті шарттар табылды және шешімнің бірінші туындысы үшін салмақ нормаларының бағалаулары алынды. Соңғы бөлімдерде шешімнің бар болуы және шешімнің тегістігі бөлімдерінің нәтижелері m=3 жағдайындағы Шредингер теңдеуі үшін жалпыланған. Түйін сөздер: сызықты емес теңдеулер, үздіксіз оператор, эквиваленттілік, потенциалдық функция.

Уравнением движения микрочастицы в различных силовых полях является волновое уравнение Шредингера. Многие вопросы квантовой механики, в частности, тепловое излучение электромагнитных волн приводят к задаче разделимости сингулярных дифференциальных операторов. Одним из таких операторов является вышеуказанный оператор Шредингера. В данной работе исследуется названный оператор методами функционального анализа. Найдены достаточные условия существования решения и разделимости оператора в Гильбербовом пространстве. Все теоремы первоначально доказаны для модельного уравнения Штурма – Лиувилля и распространены на более общий случай. В разделах существования и гладкости решения были найдены достаточные условия, обеспечивающие наличие оценки коэрцитивности для нелинейного уравнения штурма-Лиувилля, и получены оценки весовых норм для первой производной решения. Результаты разделов существование решения в последних разделах и гладкость решения обобщены для уравнения Шредингера в случае m=3. Ключевые слова: нелинейные уравнения, непрерывный оператор, эквивалентность, потенциальная функция

Schrödinger wave equation is known as an equation that governs the motion of a microparticle in various force fields. The problem of singular differential operators’ separability occurs due to examination of various issues in quantum mechanics, especially, thermal radiation of electromagnetic waves. One such operator is the above Schrödinger operator. In this paper, we study the specified operator using functional-analytic methods. We found sufficient conditions for existence of a solution and separability of an operator in the Hilbert space. All theorems were originally proved for the model Sturm–Liouville equation and extended to a more general case. In the sections of the existence of the solution and ВЕСТНИК КазНПУ им. Абая, серия «Физико-математические науки», №4(80), 2022 г. the smoothness of the solution, sufficient conditions were found to ensure the existence of a coercivity estimate for the nonlinear Sturm-Liouville equation, and estimates of weight norms for the first derivative of the solution were obtained. The results of the sections the existence of the solution in the last sections and the smoothness of the solution are generalized for the Schrodinger equation in the case m=3. Keywords: nonlinear equations, continuous operator, equivalence, potential function.