Συμβολή στη μελέτη γραμμικών μετασχηματισμών με έμφαση στη μετρική Minkowski και εφαρμογές στη φυσική
Authors: Βώσσος Ηλίας 
Published: December 2024

Η Θεωρία της Σχετικότητας είναι η βάση ανάπτυξης της Κβαντομηχανικής. Οι δύο αυτοί κλάδοι της Φυσικής επιστήμης βρίσκουν εφαρμογή σε τομείς, όπως η Χημεία, η Ιατρική κλπ. Συνεπώς, μια σημαντική αλλαγή στο οικοδόμημα της Σχετικότητας, θα οδηγήσει σε αλλαγές και στους παραπάνω επιστημονικούς τομείς. Η Ειδική Σχετικότητα, στην επικρατούσα εκδοχή της, καταργεί τη μεταβατική ιδιότητα της παραλληλίας, όταν συσχετίζονται τρεις παρατηρητές, αφού η (Πραγματική) Προώθηση Lorentz δεν είναι κλειστός μετασχηματισμός. Στην εργασία αυτή, θεωρούμε το γενικό γραμμικό μετασχηματισμό της Προώθησης Αδρανειακών Συστημάτων αναφοράς και αξιώνουμε να διατηρείται αναλλοίωτη η χωροχρονική απόσταση Lorentz (S^2 ). Επιπρόσθετα, αξιώνουμε να μην επέρχεται στροφή των αξόνων, όταν συσχετίζουμε τρεις παρατηρητές, ώστε ο μετασχηματισμός να είναι κλειστός. H λύση του προβλήματος συνοψίζεται σε πίνακα που περιέχει πραγματικούς και φανταστικούς αριθμούς. Συνεπώς, ο χώρος καθίσταται μιγαδικός, ενώ ο χρόνος παραμένει πραγματικός. Δηλαδή ο (Πραγματικός) χώρος Minkowski (M^4) επεκτείνεται στο Μιγαδικό χώρο Minkowski (ℂΜ^4) και έχουμε την Κλειστή Μιγαδική Προώθηση Lorentz (Closed Complex Lorentz Boost) (CCLB): X΄_C = Λ_ΒΟ΄(Ο) X. Έτσι η μεταβατική ιδιότητα της παραλληλίας ευθειών, που είναι ισοδύναμη με το 5ο Ευκλείδειο Αίτημα, διατηρεί την ισχύ της και για κινούμενες ευθείες (άξονες) στο Μιγαδικό χώρο Minkowski (ℂΜ^4). Ακόμη από τη συγκεκριμένου προσανατολισμού κλειστή προώθηση CCLB εντός του χώρου ℂΜ^4, λαμβάνουμε την αντίστοιχη Ομάδα Μιγαδικών Προωθήσεων Lorentz Συγκεκριμένου Προσανατολισμού (Group of Closed Complex Lorentz Boosts with Specific Orientation) (GrCCLB//) που είναι υποομάδα της Μιγαδικής Ομάδας Lorentz (Complex Lorentz group) L_C(4) ≡ L(6, ℂ) η οποία προκύπτει από το συνδυασμό της CCLB με Μιγαδική Χωρική Στροφή. Αν η CCLB συνδυαστεί τόσο με Μιγαδική Χωρική Στροφή, όσο και με χωροχρονική μετάθεση εντός του ℂΜ^4, τότε έχουμε τον Γενικό Μιγαδικό Μετασχηματισμό Lorentz (General Complex Lorentz Transformation) (GCLT) από όπου προκύπτει η Μιγαδική Ομάδα Poincaré (Complex Poincaré group) P(10, ℂ). Επίσης, αποδεικνύουμε ότι ο Μιγαδικός Χωροχρόνος Minkowski (ℂΜ^4) ουσιαστικά, δε διαφέρει από τον Μιγαδικό Ευκλείδειο Χωροχρόνο (ℂΕ^4), αφού η διαφορά στη μετρική τους, οφείλεται στη διαφορετικότητα των μοναδιαίων διανυσμάτων της μηδενικής διάστασης στις βάσεις των δύο χώρων. Έτσι εύκολα βρέθηκε και η αντίστοιχη Κλειστή Μιγαδική Ευκλείδειος Προώθηση (Closed Complex Euclidean Boost) (CCEB) στον Μιγαδικό Ευκλείδειο Χωροχρόνο (ℂΕ^4). Αξιώνοντας την ύπαρξη (ακίνητου) Αδρανειακού Συστήματος αναφοράς (Οx^0x^1x^2x^3) στο οποίο ο χωρόχρονος είναι πραγματικός, τότε και τα υπόλοιπα φυσικά μεγέθη (ταχύτητα, ενέργεια κλπ) είναι (σε αυτό το Αδρανειακό Σύστημα αναφοράς) πραγματικά. Αφού οι κλειστές μιγαδικές προωθήσεις CCLB και CCEB είναι ισομετρικοί μετασχηματισμοί, τόσο το μέτρο Lorentz, όσο και το Ευκλείδειο μέτρο θα είναι πραγματικά σε κάθε Αδρανειακό Σύστημα αναφοράς Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3. Επιπλέον, προκύπτει ότι σε κάθε κινούμενο (ως προς το Οx^0x^1x^2x^3) Αδρανειακό Σύστημα αναφοράς Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3, ο χώρος καθίσταται μιγαδικός, ενώ ο χρόνος παραμένει πραγματικός. Γενικότερα, για τους κινούμενους αδρανειακούς παρατηρητές, οι μηδενικές Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian Coordinates) (CCs) των τετρανυσμάτων (π.χ. η ενέργεια) είναι πραγματικές, ενώ οι χωρικές Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian Coordinates) (CCs) (π.χ. η ορμή) είναι μιγαδικές, αλλά έχουν μέτρο πραγματικό. Αποδεικνύουμε επίσης, ότι η ταχύτητα του φωτός είναι αναλλοίωτη ποσότητα, έστω και αν οι συντεταγμένες της είναι μιγαδικές. Στη συνέχεια, τα πραγματικά μέτρα των μιγαδικών διανυσμάτων σύμφωνα με την Κλειστή Μιγαδική Προώθηση Lorentz (CCLB) σε Μιγαδικό Χωροχρόνο Minkowski (ℂΜ^4) οδηγούν στην (Ανοικτή Πραγματική) Προώθηση Lorentz σε Πραγματικό Χωροχρόνο Minkowski (Μ^4). Οπότε μπορούμε να έχουμε μια από τις ακόλουθες θεωρήσεις:(i) Η (ανοικτή πραγματική) Προώθηση Lorentz συσχετίζει πάντα δύο οποιαδήποτε Αδρανειακά Συστήματα Αναφοράς με παράλληλους τους αντίστοιχους χωρικούς άξονες. Αφού η Προώθηση Lorentz δεν είναι κλειστός γραμμικός μετασχηματισμός, αυτό είναι ασύμβατο με το 5ο Ευκλείδειο αίτημα διότι αυτό είναι ισοδύναμο με τη μεταβατική ιδιότητα της παραλληλίας του Ε^3. Δηλαδή η παραλληλία δύο κινούμενων ευθειών/αξόνων παύει να είναι απόλυτη και γίνεται σχετική. Έτσι προκύπτει η Υπερβολική Γεωμετρία του M^4, σύμφωνα με την πλειοψηφία των ερευνητών της Θεωρία της Σχετικότητας. Αυτή η θεώρηση οδηγεί στον κλειστό μετασχηματισμό Lorentz (Lorentz transformation) που είναι συνδυασμός της (ανοικτής πραγματικής) Προώθησης Lorentz (Lorentz Boost) με Ευκλείδεια Στροφή (Euclidean Rotation), στην Ομάδα Lorentz (Lorentz Group) και στη κλασσική Στροφή Thomas (Thomas Rotation) [10] (pp. 307-308), [5] (pp. 29-36), [14].(ii) Η (ανοικτή πραγματική) Προώθηση Lorentz συσχετίζει μόνο το (ακίνητο) Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς Οxyz με οποιοδήποτε Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς Ο´x´y´z´ έχει παράλληλους χωρικούς άξονες με τους αντίστοιχους του Οxyz. Η θεώρηση αυτή είναι σε συμφωνία με το 5ο Ευκλείδειο αίτημα στον Μιγαδικό Ευκλείδειο χώρο (ℂΕ^3). Έτσι η παραλληλία δύο κινούμενων ευθειών/αξόνων παραμένει απόλυτη στον ℂΕ^3 όπου ισχύει η Μιγαδική Ευκλείδεια Γεωμετρία, αλλά γίνεται σχετική στον V^3 όπου ισχύει η Πραγματική Υπερβολική Γεωμετρία. Επίσης, οδηγεί σε ένα νέο συσχετισμό (μετασχηματισμό) δύο αδρανειακών συστημάτων αναφοράς που ονομάζεται Πραγματικός Μετασχηματισμός Lorentz Έμμεσης παραλληλίας (Real Lorentz Transformation of Indirect Parallelism) (RLTIP) εντός του χώρου Μ^4. Η ονομασία αυτή προέκυψε διότι στο χώρο V^3, τα δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς Ο´x´y´z´ και Ο´´x´´y´´z´´ έχουν παράλληλους τους αντίστοιχους άξονές τους σύμφωνα με το (ακίνητο) Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς Οxyz, ενώ οι αντίστοιχοι άξονές τους δεν είναι παράλληλοι όταν επιχειρείται ο άμεσος συσχετισμός τους: Χ΄΄ = Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄) Χ΄, όπου Λ_L είναι ο Πίνακας Lorentz. Αντίθετα, ο παραλληλισμός των αντιστοίχων αξόνων των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς Ο´x´y´z´ και Ο´´x´´y´´z´´ διατηρείται στον ℂΕ^3. Ακόμη από τον Πραγματικό Μετασχηματισμό Lorentz Έμμεσης παραλληλίας εντός του χώρου Μ^4, λαμβάνουμε την αντίστοιχη Ομάδα των Πραγματικών Μετασχηματισμών Lorentz Έμμεσης παραλληλίας (Group of Real Lorentz Transformations of Indirect Parallelism) (GrRLTIP) που είναι Υποομάδα της (Πραγματικής) Ομάδας Poincaré P(10, R).Εφαρμόζουμε την παραπάνω θεώρηση για την εξαγωγή σχέσεων μεταξύ φυσικών μεγεθών, οι οποίες είναι ίδιες με την κλασσική Σχετικότητα του Einstein (Einsteinian Special Relativity) (ESR), όταν συσχετίζεται ένα κινούμενο IF Οʹxʹyʹzʹ με το Ακίνητο IF Οxyz (π.χ. είναι ίδιο το σχετικιστικό φαινόμενο Doppler). Όμως, τα αποτελέσματα είναι διαφορετικά, όταν συσχετίζονται περισσότεροι από δυο συστήματα αναφοράς ή δύο κινούμενα (ως προς το Ακίνητο IF Οxyz) αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Επιπρόσθετα, βρίσκουμε ότι ο μετασχηματισμός που μετατρέπει τις μιγαδικές Καρτεσιανές συντεταγμένες (Cartesian Coordinates) (CCs) των φυσικών μεγεθών (που προκύπτουν από την κλειστή προώθηση CCLB στον ℂΜ^4) στις αντίστοιχες πραγματικές CCs: Χ´ = R~_ΒLO´(Ο) Χ´_C , είναι μια φανταστική χωρική στροφή στον ℂΕ^3 με αντίστοιχο πίνακα R_BL. Επειδή η κλειστή προώθηση CCLB είναι μιγαδική, ο αντίστοιχος μετασχηματισμός του ανταλλοίωτου (contravariant) ηλεκτρομαγνητικού τανυστή F^μν, οδηγεί σε μιγαδικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία για οποιοδήποτε κινούμενο (ως προς το Οx^0x^1x^2x^3) Αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3. Επιπλέον, οι μιγαδικοί ηλεκτρομαγνητικοί τανυστές των κινουμένων παρατηρητών (που προκύπτουν από την κλειστή προώθηση CCLB στον ℂΜ^4) μετατρέπονται σε πραγματικούς, μέσω του τύπου F´ = R~_ΒLO´(Ο) F´_C R~_ΒLO(Ο´) . Ακόμη, η συσχέτιση του (ακίνητου) Αδρανειακού συστήματος Οx^0x^1x^2x^3 με ένα κινούμενο Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 σύμφωνα με τον Πραγματικό Μετασχηματισμό Lorentz Έμμεσης παραλληλίας (RLTIP) εντός του χώρου Μ^4, δίνει ακριβώς ίδια πραγματικά ηλεκτρομαγνητικά πεδία, με εκείνα που προβλέπει η κλασική σχετικότητα που χρησιμοποιεί τον πίνακα Lorentz. Όμως, όταν έχουμε δυο κινούμενα (ως προς το Οx^0x^1x^2x^3) Αδρανειακά συστήματα αναφοράς Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 και Ο´´x´´^0x´´^1x´´^2x´´^3, τότε οι πραγματικοί ηλεκτρομαγνητικοί τανυστές τους συσχετίζονται με τον τύπο F΄΄ = Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄) F΄ [Λ_LΟ΄΄(Ο) Λ_LΟ(Ο΄)]^T. Επιπρόσθετα, αποδεικνύουμε ότι ο συσχετισμός δύο κινουμένων (ως προς το Οx^0x^1x^2x^3) Αδρανειακών συστημάτων αναφοράς, στην περίπτωση του Πραγματικού Μετασχηματισμού Lorentz Έμμεσης παραλληλίας (RLTIP) εντός του χώρου Μ^4, συνοδεύεται από μια πραγματική στροφή του ενός συστήματος ως προς το άλλο. Αυτή η στροφή είναι αντιθέτου φοράς και διαφορετικού μέτρου από την Στροφή Thomas που την ονομάζουμε Διαφοροποιημένη Στροφή Thomas (Differentiated Thomas Rotation).Εν συνεχεία, εφαρμόζουμε τη Διαφοροποιημένη Στροφή Thomas στην Ομαλή κυκλική κίνηση (Uniform Circular Motion) (UCM) και στο άτομο του υδρογόνου, θεωρώντας το πρωτόνιο ως (ακίνητο) Σύστημα αναφοράς Οx^0x^1x^2x^3 , τον παρατηρητή εργαστηρίου ως Ο´x´^0x´^1x´^2x´^3 που κινείται με απειροστή ταχύτητα ως προς το Οx^0x^1x^2x^3 και το επιταχυνόμενο ιδιοσύστημα του ηλεκτρονίου ως Ο´´x´´^0x´´^1x´´^2x´´^3. Με την Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών, υπολογίζουμε τη θέση των κορυφών λεπτής υφής των ατομικών φασμάτων. Το αποτέλεσμα είναι ακριβέστερο, τόσο από αυτό που προκύπτει με τη κβαντική θεωρία του P. Dirac, όσο και από αυτό που προκύπτει με τη κβαντική θεωρία συνδυαζόμενη με τη Στροφή Thomas της κλασσικής ESR.