ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИНВЕСТИЦИЙ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ЧАСТНЫХ ВЫГОДАХ
Authors: Gelrud Y.D. , Loginovskiy O.V. 
Published: July 2024

The article discusses an alternative investment model with given probabilities of investment success and with a random distribution function of the benefits from them. A number of problems are formulated that most often arise when using this mathematical model. Submitted and solved the problem of finding the threshold for a given contract. As a result, it is shown that it is necessary to establish the value of the investment slightly higher than the threshold from which the entrepreneur evades the contract. It is shown that in exceptional cases, if an entrepreneur is indifferent between evasion and work, he decides to work. The task of finding the maximum amount of debt for a given investment threshold is investigated. It is assumed that the investor knows that if the volume is less than the investment threshold, then the entrepreneur works, and if the amount of debt is greater than the investment volume, then the entrepreneur evades, because the expected return on investment must be positive, and the investor must be insured to agree to the contract. The expected utility of an entrepreneur for a given investment threshold has been determined. The conditions were found under which the contract is optimal for an entrepreneur (subject to the break-even of investors). It is shown that in order to stimulate an entrepreneur to work, the “threshold remuneration” should be quite high (somewhere in the upper half of the expected profitability of the entrepreneur). The situation in which the private benefit is observable and verifiable is investigated. Solved the problem of determining the optimal contract between the entrepreneur and investors (compensation can be made depending on the level of private benefits). The proposed conditions for the adjustment of the contract with increasing benefits. It is shown that the optimal contract for an entrepreneur implies zero return for the investor. An analytical solution of these problems is given taking into account the stated requirements and limitations.

В статье рассматривается альтернативная инвестиционная модель с заданными вероятностями успеха инвестиций и со случайной функцией распределения выгоды от них. Формулируется ряд задач, наиболее часто возникающих при использовании данной математической модели. Предложена задача поиска порога для заданного контракта. Как следствие, показано, что необходимо установить стоимость инвестиции чуть выше, чем порог, начиная с которого предприниматель уклоняется от контракта. Показано, что в исключительных случаях если предприниматель безразличен между уклонением и работой, он решает работать. Исследована задача поиска максимального объема задолженности для заданного порога инвестиций. Предполагается, что инвестор знает, что если объем меньше порога инвестиций, то предприниматель работает, а если объем задолженностей больше объема инвестиций, то предприниматель уклоняется, поскольку ожидаемая прибыль от инвестиций должна быть положительной, и инвестор должен быть подстрахован, чтобы согласиться на контракт. Определена ожидаемая полезность предпринимателя для данного порога инвестиций. Найдены условия, при которых договор является оптимальным для предпринимателя (при условии безубыточности инвесторов). Показано, что для стимулирования предпринимателя к работе «пороговое вознаграждение» должно быть достаточно высоким (где-то в верхней половине ожидаемой доходности предпринимателя). Исследована ситуация, в которой частная выгода поддается наблюдению и проверке. Решена задача определения оптимального договора между предпринимателем и инвесторами (возмещение может быть сделано в зависимости от уровня частных выгод). Предложены условия корректировки контракта при увеличении выгоды. Показано, что, оптимальный контракт для предпринимателя подразумевает нулевую отдачу для инвестора. Приводится аналитическое решение этих задач с учетом заявленных требований и ограничений.