Estudio de problemas de reconstrucción de funciones en espacios de Paley Wiener asociados a medidas singulares o grupos localmente compactos abelianos
Authors:   , García María Guadalupe 
Published: May 2021

En espacios de Hilbert separables existe una generalización de familia de generadores en espacios vectoriales de dimensión finita, son los denominados marcos, los cuales nos permiten escribir a cada vector como combinación lineal de elementos del marco. La mayor ventaja con respecto a las bases es la redundancia. En particular, si μ es una medida finita de Borel sobre ℝⁿ, Λ es un subconjunto de ℝⁿ y el marco está constituido por funciones exponenciales e_λ(x)= e^{2πi xλ}, con λϵΛ, decimos que {e_λ}_{ λϵΛ } es un marco de Fourier para L²(μ). Si además el marco {e_λ}_{λϵΛ} es una base, la familia se denomina base de Riesz. La condición de base de Riesz y marco de Fourier puede ser reformulada en términos de sucesiones de muestreo e interpolación en el espacio de Paley Wiener. En efecto, sean Λ un subconjunto de ℝⁿ y Ω un subconjunto acotado medible Borel de ℝⁿ. Dado que dichos espacios son espacios con núcleo reproductor, las desigualdades que caracterizan a una sucesión de muestreo nos da una equivalencia entre la condición de ser Λ un conjunto de este tipo y formar la familia de núcleos reproductores {k_λ}_{λϵΛ}, un marco para el espacio de Paley Wiener PW_Ω. Además, puesto que k_λ es igual a la antitransformada de Fourier de e_λ χ_Ω, por medio de la transformada de Fourier y la identidad de Plancherel, obtenemos que el conjunto de exponenciales {e_λ}_{λϵΛ}, es un marco de Fourier para L²(Ω). Por otra parte, un conjunto Λ es un conjunto de muestreo e interpolación si y sólo si {e_λ}_{λϵΛ}, es una base de Riesz para L²(Ω). Luego, mediante estas relaciones podemos estudiar sucesiones de muestreo e interpolación para entender los marcos y las bases de Riesz de exponenciales. En Análisis Armónico resultan de interés los siguientes problemas: I) Conocer para qué clase de medidas μ en ℝⁿ el espacio L²(μ) admite marcos de Fourier II) Estudiar la existencia de conjuntos de muestreo e interpolación en espacios de Paley-Wiener en grupos más generales que ℝⁿ. Se sabe que, si una medida μ admite un marco de Fourier entonces debe ser de tipo puro, es decir, la medida μ es discreta, absolutamente continua o singular continua respecto a la medida de Lebesgue. Si μ es discreta, entonces tiene una cantidad finita de átomos. Por lo tanto, el análisis se reduce esencialmente a ℂⁿ. Si μ es absolutamente continua, entonces μ está soportada en un conjunto Ω de medida de Lebesgue finita en ℝⁿ, y su función de densidad es acotada superior e inferiormente en casi todo punto de Ω. En este caso, Nitzan, Olevskii y Ulanovskii [4] probaron en que L²(μ) admite un marco de Fourier. El último caso, cuando la medida μ es singular continua, es mucho menos conocido. Por ejemplo, no se sabe si para cualquier medida autosimilar μ el correspondiente espacio L²(μ) admite un marco de Fourier. Otra posibilidad de expansiones de Fourier es en términos de las denominadas sucesiones efectivas, las cuales se definen recursivamente utilizando el algoritmo de Kaczmarz. Las sucesiones efectivas {e_n}_{n>=0} tienen una sucesión {g_n}_{n>=0} asociada mediante una definición inductiva. El hecho importante de esta última sucesión es que {e_n}_{n>=0} es efectiva si y sólo si {g_n}_{n>=0} es un marco de Parseval. Respecto al segundo problema, si G es un grupo localmente compacto abeliano y Ĝ es su grupo dual, dado un conjunto de medida de Haar positiva Ω en Ĝ, utilizando la transformada de Fourier para grupos, se define el espacio PW_Ω de las funciones en L²(G) cuya transformada de Fourier se anula en el complemento de Ω. Las definiciones de conjunto de muestreo e interpolación para ℝⁿ se extienden sin ningún cambio a grupos localmente compactos abelianos generales. Gröchening, Kutyniok y Seip [2] generalizaron la noción de densidad de Beurling para grupos compactamente generados. Además, los autores obtienen condiciones necesarias para conjuntos estables de muestreo e interpolación para el espacio de Paley-Wiener PW_Ω, en la misma línea que el clásico resultado de Landau. Sin embargo, encontrar condiciones suficientes para conjuntos de muestreo y de interpolación es mucho más difícil dado que la estructura de Ω entra en juego. En 2006, Olevskii y Ulanovskii [5,6] hallaron subconjuntos Λ de ℝⁿ con densidad uniforme los cuales son de muestreos estables y de interpolación estables para cualquier PW_Ω, tal que |Ω| < D(Λ) y |Ω| > D(Λ), respectivamente, donde |.| denota la medida de Lebesgue y D la densidad de Beurling. A tales conjuntos se los denomina conjuntos de muestreo estables universales y conjuntos de interpolación estables universales. En [3] Matei y Meyer estudiaron la relación entre cuasi-cristales y los problemas de muestreo e interpolación, en particular probaron que los cuasi-cristales simples en ℝⁿ son conjuntos universales de muestreo y de interpolación. En [1] la existencia de cuasi-cristales fue estudiada para grupos localmente compactos abelianos. Como en el caso de ℝⁿ, se probó que si un grupo admite un cuasi-cristal entonces este es un conjunto de muestreo universal y de interpolación universal. Sin embargo, no todo grupo admite un cuasi-cristal. Hay grupos muy sencillos que no admiten cuasi-cristales simples, como por ejemplo G = ℝⁿxℤᵈ. La tesis se encuentra dividida en dos partes: Parte I: Técnicas de espacios modelos en el estudio de desarrollos de Fourier en espacios L² asociados a medidas singulares. Parte II: Conjuntos de muestreo y de interpolación universales en grupos localmente compactos abelianos. Cada una de las partes trata una de las dos ramificaciones mencionadas sobre el problema de desarrollo en series de Fourier. A continuación, damos una breve descripción de los problemas estudiados en cada una de ellas. Si μ es una medida de probabilidad singular con respecto a la medida de Lebesgue sobre el intervalo [0; 1), se sabe que la sucesión de monomios {zⁿ}_{n ϵℕ} es efectiva en L²(T; μ), donde T es el círculo unidad. Por lo tanto, tiene un marco de Parseval asociado por medio del algoritmo de Kaczmarz. Nuestro principal resultado es caracterizar dicho marco de Parseval. Más precisamente probamos que se puede expresar como los valores en el borde del marco de Parseval obtenido por proyectar los monomios sobre un espacio modelo conveniente. Por otra parte, estudiamos y caracterizamos el conjunto de medidas que reproducen al núcleo reproductor de un espacio modelo. Respecto al estudio de sucesiones de muestreo en interpolación universales, nos preguntamos si existen grupos sin cuasi-cristales simples que admitan conjuntos de muestreo y de interpolación universales. En la segunda parte de la tesis respondemos afirmativamente esta pregunta para grupos cuyo dual es compactamente generado que cumplan ser también compactamente generados. Cuando G no cumple esta condición, dado un entorno U de la identidad de Ĝ existe un conjunto compacto K contenido en U tal que Ĝ/K es elemental. Luego, en este caso también obtuvimos resultados sobre la condición de universalidad aunque un poco más débiles debido al factor compacto por el cual cocientamos. [1] E. Agora, J. Antezana, C. Cabrelli and Basarab Matei, Existence of quasicrystals and universal stable sampling and interpolation in LCA groups, Trans. Amer. Math. Soc. (2019). [2] K. Gröchenig, G. Kutyniok and K. Seip, Landau's necessary density conditions for locally compact abelian groups, J. Funct. Anal., Vol. 255, Issue 7, (2008) 1831-1850. [3] B. Matei and Y. Meyer, Simple quasicrystals are sets of stable sampling, Complex Var. Elliptic Equ. 55 (2010) no. 8-10, 947-964. [4] S. Nitzan, A. Olevskii, A. Ulanovskii, Exponential frames on unbounded sets, Proc. Amer. Math. Soc. 144 (2016), no. 1, 109_118. [5] A. Olevskii and A. Ulanovskii, A universal sampling of band-limited signals, C.R. Math. Acad. Sci. Paris 342 (2006) no. 12, 927-931. [6] A. Olevskii and A. Ulanovskii, Universal sampling and interpolation of band-limited signals, Geom. Funct. Anal. 18 (2008), no. 3, 1029-1052.