Η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων διατυπωμένη με θεώρημα αμοιβαιότητας σε όρους ταχυτήτων
Authors: Παναγιωτόπουλος Χρήστος 
Published: January 2014

Η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ) αποτελεί ένα από τα σύγχρονα υπολογιστικά εργαλεία προς επίλυση διαφορικών εξισώσεων για προβλήματα που άπτονται του ενδιαφέροντος του μηχανικού. Η ΜΣΣ δεν είναι διαδεδομένη σε σχέση με άλλες, ποιο γνωστές αριθμητικές μεθόδους, όπως είναι αυτές των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) και των πεπερασμένων διαφορών (ΜΠΔ). Αυτό οφείλεται κυρίως στην ευρεία διάδοση της ΜΠΣ στην επιστημονική κοινότητα και στον επαγγελματικό χώρο του μηχανικού λόγο της παρουσίας πληθώρας επαγγελματικών προγραμμάτων και της ευελιξίας της μεθόδου σε θέματα προσομοίωσης. Παράλληλα η ΜΣΣ τυγχάνει ευρείας αναγνώρισης από τη επιστημονική κοινότητα ως μια εξειδικευμένη μέθοδος υψηλής ακρίβειας, αλλά δεν είναι διαδεδομένη στον τομέα των εφαρμογών. Μια βασική αιτία της έλλειψης διάδοσης της ΜΣΣ είναι και η απουσία κατάλληλου λογισμικού. Το μέχρι τώρα διαθέσιμο λογισμικό Η/Υ της ΜΣΣ είναι ελαφρώς παρωχημένο καθότι στηρίζεται σε σχεδιαστικά υποδείγματα και γλώσσες προγραμματισμού τα οποία τείνουν σταδιακά να αντικατασταθούν από πιο σύγχρονες δομές. Ένα παράδειγμα σύγχρονης σχεδίασης λογισμικού είναι ο αντικειμενοστρεφής προγραμματισμός ο οποίος τείνει να αντικαταστήσει το κλασικό, τουλάχιστον για επιστημονικές εφαρμογές, διαδικαστικό προγραμματισμό. Τα υπάρχοντα προγράμματα που αξιοποιούν τη ΜΣΣ στοχεύουν στην αντιμετώπιση πολύ ειδικών προβλημάτων της μηχανικής και δύσκολα μπορούν να επεκταθούν. Στη παρούσα διατριβή γίνεται χρήση της αντικειμενοστραφούς σχεδίασης και προγραμματίζεται η ΜΣΣ στη γλώσσα προγραμματισμού java, το δε τελικό προϊόν (με ονομασία προγράμματος jBEM και jBEMapplication) είναι ελευθέρα προσβάσιμο από ειδική ιστοσελίδα που δημιουργήθηκε για τη διάδοση και επέκταση της ΜΣΣ (www.openbennproiect.orq). Η ΜΣΣ είναι ιδιαίτερα προσανατολισμένη για την επίλυση προβλημάτων ελαστοδυναμικής τα οποία έχουν ευρεία εφαρμογή σε κατασκευές πολιτικού μηχανικού. Η κλασική διατύπωση της μεθόδου η οποία βασίζεται στο θεώρημα αμοιβαιότητας της ελαστοδυναμικής σε όρους μετακινήσεων, έχει διερευνηθεί και παρουσιάζει προβλήματα αστάθειας. Το αποτέλεσμα είναι πως πολλές περιπτώσεις να καθίσταται η ΜΣΣ ακατάλληλη για την αντιμετώπιση προβλημάτων όπου η χρονική κλίμακα είναι ιδιαίτερα μεγάλη. Στη παρούσα διατριβή επιχειρείται μια κριτική επαναπροσέγγιση του θεωρήματος αμοιβαιότητας και διατυπώνεται ένα νέο θεώρημα στην ελαστοδυναμική σε όρους ταχυτήτων. Η νέα αυτή διατύπωση του θεωρήματος αμοιβαιότητας σε όρους ταχυτήτων αποδεικνύεται, πέραν του ότι είναι κατάλληλη για καλύτερη περιγραφή της ελαστοδυναμικής στο πεδίο του χρόνου, να καταλήγει και σε αλγόριθμους με πολύ βελτιωμένη αριθμητική συμπεριφορά όσο αφορά τα προβλήματα ευστάθειας. Στη μελέτη που έγινε συμπεριλήφθηκε η περίπτωση του ασυμπίεστου υλικού το οποίο περιγράφει πρωτίστως προβλήματα εδαφομηχανικής. Συμπερασματικά η διατύπωση του νέου θεωρήματος αμοιβαιότητας και η μόρφωση μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων σε όρους ταχυτήτων χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του λογισμικού jBEM. Ταυτόχρονα ελέγχθηκε και η κλασική διατύπωση της ΜΣΣ η οποία συμπεριλαμβάνεται στο εν λόγο λογισμικό.