Contribution à la théorie des EDP non linéaires avec applications à la méthode des surfaces de niveau, aux fluides non newtoniens et à l’équation de Boltzmann
Authors: Ντοβόρης Ελευθέριος 
Published: December 2021

Η παρούσα διατριβή αποτελείται από τρία διαφορετικά και ανεξάρτητα κεφάλαια, που αφορούν τη μαθηματική μελέτη τριών διαφορετικών φυσικών προβλημάτων, τα οποία μοντελοποιούνται από τρεις μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Αυτές οι εξισώσεις αφορούν τη μέθοδο των συνόλων στάθμης, τη θεωρία της ασυμπίεστης ροής μη νευτώνειων υλικών και την κινητική θεωρία των αραιών αερίων. Το πρώτο κεφάλαιο της διατριβής αφορά τη δυναμική των κινούμενων συνόρων και περιέχει μια αιτιολόγηση μιας αριθμητικής διαδικασίας που ονομάζεται re-initialization, για την οποία υπάρχουν αρκετές εφαρμογές στο πλαίσιο της μεθόδου των συνόλων στάθμης. Εφαρμόζουμε αυτά τα αποτελέσματα για εξισώσεις πρώτης τάξης. Γράφουμε τη διαδικασία re-initialization ως ένα αλγόριθμο διαχωρισμού και μελετάμε τη σύγκλιση του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας τεχνικές ομογενοποίησης στη μεταβλητή χρόνου. Ως αποτέλεσμα της ανάλυσης, είμαστε επίσης σε θέση να εισάγουμε μια νέα μέθοδο για την προσέγγιση της συνάρτησης απόστασης στο πλαίσιο της μεθόδου των συνόλων στάθμης. Στην περίπτωση που κάποιος αναζητά μόνο μια συνάρτηση στάθμης με κλίση φραγμένη από κάτω κοντά στη μηδενική στάθμη, προτείνουμε μια απλούστερη προσέγγιση. Στη γενική περίπτωση όπου το σύνολο μηδενικής στάθμης μπορεί να παρουσιάζει αλλαγές τοπολογίας, εισάγουμε μια νέα έννοια ασθενών ορίων. Στο δεύτερο κεφάλαιο της διατριβής, μελετάμε ένα πρόβλημα ελεύθερων συνόρων που προκύπτει από τη μελέτη της ροής ενός ασυμπίεστου μη-νευτώνειου υλικού με πλαστικότητα Drucker-Prager σε κεκλιμένο επίπεδο. Εξάγουμε μια διαφορική ανισότητα, μελετάμε την ενέργεια του προβλήματος η οποία περιέχει έναν όρο με γραμμική αύξηση στη παράγωγο σε ένα μη φραγμένο χώρο. Δείχνουμε ότι το πρόβλημα είναι καλώς τοποθετημένο και αποδεικνύουμε ορισμένες ιδιότητες λειότητας των λύσεων. Στη συνέχεια, μπορούμε να συνδέσουμε τις φυσικές παραμέτρους με το μαθηματικό πρόβλημα και να αποδείξουμε κάποιες ιδιότητες της λύσης. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι η λύση έχει συμπαγή φορέα και το σύνορο του φορέα είναι το ελεύθερο σύνορο. Κατασκευάζουμε επίσης ακριβείς λύσεις μιας συνήθης διαφορικής εξίσωσης, τις οποίες χρησιμοποιούμε για να εκτιμήσουμε το ελεύθερο σύνορο. Το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής είναι αφιερωμένο στη μελέτη λύσεων άπειρης ενέργειας της ομογενούς εξίσωσης Boltzmann. Παρουσιάζουμε νέα αποτελέσματα σχετικά με την ύπαρξη λύσεων, με χρόνο στην πραγματική ευθεία, στο χώρο του μέτρου πιθανότητας με άπειρη ενέργεια (δηλαδή η ροπή δεύτερης τάξης είναι άπειρη). Αυτές οι λύσεις περιγράφουν την ασυμπτωτική συμπεριφορά άλλων λύσεων άπειρης ενέργειας αλλά θα μπορούσαν επίσης να είναι χρήσιμες στη μελέτη ενδιάμεσων ασυμπτωτικών καταστάσεων λύσεων με πεπερασμένη αλλά αυθαίρετα μεγάλη ενέργεια. Χρησιμοποιούμε εργαλεία από την αρμονική ανάλυση για να μελετήσουμε την εξίσωση, όπου η μεταβλητή της ταχύτητας εκφράζεται στο χώρο Fourier. Τέλος, μια λογαριθμική αλλαγή κλίμακας της μεταβλητής του χρόνου επιτρέπει τον προσδιορισμό της σωστής ασυμπτωτικής κλίμακας των λύσεων