Παραστάσεις συμπληρούμενων τοπολογικών αλγεβρών
Authors: Τζιρώνης Κωνσταντίνος 
Published: September 2021

Η θεωρία (ανα)παραστάσεων, μέσω χώρων Hilbert, αλγεβρικών δομών με συμβιβαστές τοπολογίες είναι ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Στόχος της παρούσας διατριβής είναι η θεωρία (ανα)παραστάσεων στο πλαίσιο κατάλληλων (αριστερά) συμπληρούμενων (μη-νορμαρισμένων) τοπολογικών αλγεβρών. Για το λόγο αυτό εισάγεται η έννοια της θεμελιώδους (αριστερά, δεξιά) συμπληρούμενης (τοπολογικής) άλγεβρας μέσω των συνεχών προβολών. Σε αυτό το πλαίσιο, ορίζεται η έννοια του -συγκλίνοντος δικτύου ελάχιστων κλειστών αριστερών (δεξιών) ιδεωδών και στη συνέχεια, μέσω των αξονικά κλειστών στοιχείων της E, ορίζεται ένα είδος συνέχειας της συμπληρούσας απεικόνισης η οποία βοηθά στη διατύπωση μίας θεωρίας αναπαραστάσεων. Επίσης, εισάγεται η έννοια του θεμελιώδους συμπληρούμενου γραμμικού χώρου Η ιδιότητα “θεμελιώδης” κληρονομείται από κατάλληλη συμπληρούμενη άλγεβρα σε διανυσματικούς υπόχωρους αξονικής μορφής, ενώ η έννοια του τοπολογικού διαιρέτη του μηδενός είναι σημαντικό εργαλείο στη διατύπωση ενός είδους αντίστροφου αυτού. Επίσης, δίνονται εφαρμογές ενός θεωρήματος των S. Kakutani και G.W. Mackey και ένα είδος μερικής επέκτασής του, που με τη σειρά του, εφαρμόζεται στη θεωρία αναπαραστάσεων κατάλληλων αριστερά συμπληρού-μενων αλγεβρών. Η έννοια της ημιγραμμικότητας αποτελεί προϋπόθεση στον ορισμό των αυτομορφικά τέλειων ζευγών, μέσω των οποίων εξασφαλίζεται η ύπαρξη εσωτερικών γινομένων, ως προς τα οποία, κατάλληλοι ψευδο-συμπληρούμενοι διανυσματικοί χώροι γίνονται προ-Hilbert χώροι. Επιπλέον, μέσω του αυτομορφικά τέλειου ζεύγους, για ένα ελάχιστο κλειστό μονόπλευρο ιδεώδες μιας τοπολογικά απλής, αριστερά συμπληρούμενης τοπικά m-κυρτής άλγεβρας, επιτυγχάνεται για την τελευταία μία συνεχής αναπαράσταση επί ενός χώρου με εσωτερικό γινόμενο. Επίσης, τα αυτομορφικά τέλεια ζεύγη συμβάλουν στο να γίνει συμπληρούμενη μία κατάλληλη υπάλγεβρα της άλγεβρας των συνεχών γραμμικών τελεστών επί ενός “αξονικού ιδεώδους”. Έτσι, αντιμετωπίστηκε το πρόβλημα του κατά πόσο, μέσω αξονικών υποδομών μιας συμπληρούμενης τοπολογικής άλγεβρας μπορεί να εξασφαλιστεί συμπληρωματικότητα υπαλγεβρών της άλγεβρας των γραμμικών τελεστών επί μιας τέτοιας υποδομής. Το πρόβλημα ύπαρξης αναπαραστάσεων μιας αλγεβροτοπολογικής δομής επί ενός χώρου Hilbert, αντιμετωπίζεται ενίοτε μέσω επαγόμενων αναπαραστάσεων. Με την έννοια ότι, από μία αναπαράσταση μιας υποδομής της ορίζεται αντίστοιχη αναπαράσταση της Το γεγονός αυτό αποκτά ιδιαίτερη σημασία στις περιπτώσεις που υπάρχουν αναπαραστάσιμες υποδομές. Με ανάλογο τρόπο, και έχοντας ως εργαλείο την ανάλυση Arens-Michael, κατάλληλη αριστερά συμπληρούμενη τοπικά m–κυρτή άλγεβρα αναπαρίσταται συνεχώς επί ενός χώρου Hilbert. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω μιας αναπαράστασης ειδικού παράγοντα της ανάλυσης Arens-Michael. Το πλεονέκτημα εδώ είναι ότι έχουμε σημαντικές πληροφορίες για τις σχέσεις μεταξύ της συμπληρούσας απεικόνισης και του ορθογωνίου συμπληρώματος (που επάγει το εσωτερικό γινόμενο του χώρου Hilbert). To πρόβλημα αναπαραστάσεων Hausdorff αριστερά ψευδο-συμπληρούμενων τοπικά m-κυρτών αλγεβρών αντιμετωπίζεται επίσης. Επιπλέον, γίνονται κάποιες σκέψεις για πιθανές αναπαραστάσεις, επί χώρων Hilbert, συμπληρούμενων τοπολογικών αλγεβρών μέσω αθροισμάτων αναπαραστάσεων των ελάχιστων κλειστών δίπλευρων ιδεωδών τους. Προς αυτή την κατεύθυνση, έγινε μία πρώτη προσέγγιση που οδήγησε σε ανεξάρτητα αποτελέσματα, όπως για παράδειγμα, κάθε τοπικά -άλγεβρα με ένα είδος συμπληρωματικότητας των μέγιστων κλειστών μονόπλευρων ιδεωδών της είναι τελικά, μηδενιστική και δυϊκή. Αυτή η πληροφορία οδηγεί στο δεύτερο θεώρημα δομής Wedderburn για κατάλληλες αριστερά προσυμπληρούμενες τοπικά -άλγεβρες, που φαίνεται να είναι πληροφορία κλειδί για τον παραπάνω προβληματισμό. Εξάλλου, προέκυψαν και αποτελέσματα αλγεβροτοπολογικών ταυτίσεων τοπολογικών αλγεβρών που εκφράζονται ως αθροίσματα ελάχιστων κλειστών δίπλευρων ιδεωδών, γεγονός που οδηγεί σε μια ισομετρική -ισομορφική “παράσταση” κατάλληλων προσυμπληρούμενων ενελικτικών τοπολογικών αλγεβρών. Εδώ, τα ελάχιστα κλειστά δίπλευρα ιδεώδη δεν εξαντλούν κατ’ ανάγκη όλα τα ιδεώδη αυτής της μορφής. Οι πληροφορίες αυτές, με τη σειρά τους, ενδεχομένως να οδηγήσουν σε αναπαραστάσεις, μέσω χώρων Hilbert, των εν λόγω τοπολογικών αλγεβρών.