Διωνυμικές ισοδυναμίες, κυκλοτομία και διαμερίσεις
Authors: Χαβάτζα Χρυσάνθη 
Published: August 2021

Στην παρούσα διατριβή εξετάζεται, κυρίως, το πρόβλημα της λύσης της γενικής διωνυμικής ισοδυναμίας. Συγκεκριμένα, για την ισοδυναμία xn=a(mod m) προσδιορίζονται τα εξής: 1. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχει λύσεις. 2. Τύποι, που δίνουν όλες τις λύσεις της μέσο αρχικών ριζών, όταν είναι, εκ των προτέρων, γνωστή μία λύση. 3. Το πλήθος των λύσεών της.(Κεφάλαια 1-4). Ειδικά, για τη διωνυμική ισοδυναμία δευτέρου βαθμού παρέχεται εκπεφρασμένος τύπος όλων των λύσεών της, χωρίς χρήση αρχικών ριζών και χωρίς να προαπαιτείται να είναι γνωστή μία λύση της. Επί πλέον, επιτυγχάνεται ο προσδιορισμός όλων των λύσεων της γενικής ισοδυναμίας δευτέρου βαθμού ax2+bx+c=0(mod m) και παρέχεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη λύσεων (Κεφάλαιο 5). Στο Κεφάλαιο 6 παρέχονται συγκεκριμένοι τύποι προσδιορισμού των υπολοίπων η-τάξεως mod m (για n,m τυχαίους φυσικούς αριθμούς), βάσει των αποτελεσμάτων μας, των αφορώντων την λύση διωνυμικών ισοδυναμιών. Στο Κεφάλαιο 7 προσδιορίζεται η δομή της (πεπερασμένης)Αβελιανής ομάδας G όλων των λύσεων της ισοδυναμίας xn=l(mod m), αφ’ ενός μεν υπό την μορφή ευθέος γινομένου κυκλικών ομάδων, με τάξεις δυνάμεις πρώτων αριθμών και, αφ’ ετέρου δε, κατά την λεγάμενη κανονική ανάλυση. Επί πλέον, παρέχεται αναγκαία και ικανή συνθήκη, για να είναι κυκλική η G, και προσδιορίζεται γεννήτορας της εν λόγω ομάδας, όταν πληρούται η συνθήκη αυτή.Η πλήρης λύση της γενικής διωνυμικής ισοδυναμίας, καθώς, επίσης, και ο προσδιορισμός των υπολοίπων η-τάξεως mod m και, ακόμη, ο προσδ ιορισμός των διασπάσεων της ομάδας λύσεων της xn=l(mod m) επιτυγχάνεται μέσω αρχικών ριζών του 1, ως προς κατάλληλα μέτρα. Στο Κεφάλαιο 8 παρέχονται δύο μέθοδοι προσδιορισμού όλων των αρχικών ριζών του 1 mod m, όπου ο m είναι της μορφής ρη ή 2ρη και ρ είναι περιττός πρώτος. Η μία μέθοδος Βασίζεται στη λύση ισοδυναμιών, ενώ η άλλη αποτελεί, κατ’ ουσίαν, βελτίωση σχετικού κριτηρίου του Gauss. Στο ίδιο Κεφάλαιο μελετώνται αρχικές ρίζες του 1 mod ρ, όπου ρ είναι, εκάστοτε, πρώτος αριθμός ειδικής μορφής. Μελετώνται, ακόμη, αρχικές ρίζες πρώτων αριθμών Fermat. Είναι γνωστό ότι οι αρχικές ρίζες του 1 mod ρ, όπου ρ περιττός πρώτος, είναι οι λύσεις της ισοδυναμίας Fp-1 ( χ )=0(mod ρ), όπου Fp-1(x) είναι το κυκλοτομικά πολυώνυμο τάξεως ρ-1. 0 προσδιορισμός των συντελεστών οποιουδήποτε κυκλοτομικου πολυωνύμου, μέσω των αριθμών Von Sterneck (αθροισμάτων Ramanujan), αποτελεί το αντικείμενο του Κεφαλαίου 9. Συγκεκριμένα, για κάθε η παρέχεται επαγωγικός τύπος προσδιορισμού των συντελεστών του Fn(x), καθώς και εκπεφρασμένοι τύποι, μέσω μη διατεταγμένων, καθώς και μέσω διατεταγμένων διαμερίσεων.Στο Κεφάλαιο 9, ως πρόσθετο θέμα, παρέχονται ορισμένοι τύποι προσδιορισμού της συνάρτησης διαμερίσεων p(m), η οποία παριστά το πλήθος των μη διατεταγμένων διαμερίσεων του m. Οι εν λόγω τύποι είναι εντελώς ανάλογοι με τους αντίστοιχους τύπους για τους συντελεστές του κυκλοτομικού πολυωνύμου.Στο Κεφάλαιο 10 μελεχάται, ως εφαρμογή των ισοδυναμιών δευτέρου βαθμού, το θέμα των Πυθαγορείων τριάδων, και παρέχονται τύποι προσδιορισμού των, διαφορετικοί από τους γνωστούς τύπους του Ευκλείδη, αλλά ισοδύναμοι με αυτούς. Επίσης, μελετάται το θέμα των συνδεσμικών σημείων γενικής παραβολής, με ακέραιους συντελεστές, και παρέχεται μέθοδος προσδιορισμού τους.