On the numerical solution of high Mach number flows
Authors: Κλωθάκης Άγγελος 
Published: December 2024

Σκοπός της παρούσας διατριβής ήταν η προσομοίωση και ανάλυση ροών σε χαμηλή πίεση και υπερηχητική ταχύτητα. Οι συγκεκριμένες ροές παρατηρούνται γύρω από ιπτάμενα οχήματα στα άνω όρια της ατμόσφαιρας και σε οχήματα κατά τη διάρκεια της επανεισόδου στην ατμόσφαιρα. Η διατριβή είναι χωρισμένη σε δυο μέρη. Πιο συγκεκριμένα στο πρώτο μέρος, παρουσιάζεται η τροποποίηση του ακαδημαϊκού κώδικα Γαλάτεια με την ενσωμάτωση των οριακών συνθηκών για τον υπολογισμό της ταχύτητας ολίσθησης (velocity slip) και θερμοκρασιακού άλματος (temperature jump) σε επιφάνειες που βρίσκονται εντός υπερηχητικών ροών χαμηλής πίεσης. Ο κώδικας Γαλάτεια χρησιμοποιεί τις εξισώσεις Navier-Stokes για τη μοντελοποίηση της ροής. Η διακριτοποίηση των εξισώσεων εγινε με χρήση της κεντροκομβικής μεθόδου πεπερασμένων όγκων (Finite Volume Method) επί υβριδικών μη-δομημένων υπολογιστικών πλεγμάτων. Για τον υπολογισμό των μη-συνεκτικών διανυσμάτων ροής εφαρμόστηκε ο προσεγγιστικός επιλύτης του Roe, θεωρώντας ένα τοπικό μονοδιάστατο πρόβλημα Riemann στη διεπαφή γειτονικών όγκων ελέγχου. Αύξηση στην υπολογιστική ακρίβεια του προαναφερθέντος υπολογισμού επιτυγχάνεται με την εφαρμογή χωρικού σχήματος ακρίβειας δεύτερης τάξης βασισμένο στη τεχνική MUSCL (Monotonic Upwind Scheme for Conservation Laws). Το εν λόγω σχήμα συνδυάστηκε με δύο κατάλληλες συναρτήσεις περιορισμού (Van Albada – Van Leer ή Min-mod) οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν για την διασφάλιση της μονοτονίας μεταξύ των τιμών των μεταβλητών σε γειτονικούς όγκους ελέγχου. Ο υπολογισμός των συνεκτικών διανυσμάτων της ροής απαιτεί τον πρώτερο υπολογισμό των παραγώγων των συνιστωσών της ταχύτητας και της θερμοκρασίας στη διεπαφή των όγκων ελέγχου, η οποία συμπίπτει με το μέσο της ακμής που συνδέει τους αντίστοιχους υπολογιστικούς κόμβους. Γι’αυτόν τον υπολογισμό χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος του κομβικού μέσου όρου (nodal averaging) κατα την οποία οι παράγωγοι προκύπτουν από τις αντίστοιχες τιμές των παραγώγων των ακραίων κόμβων της υπο εξέταση ακμής. Ο υπολογισμός τόσο των μη-συνεκτικών όσο και των συνεκτικών διανυσμάτων ροής επιτυγχάνεται με σάρωση των ακμών του πλέγματος, χρησιμοποιώντας κατάλληλες δομές δεδομένων (edge-based data structures), που επιτρέπουν τη μείωση του υπολογιστικού χρόνου με σκοπό την επιτάχυνση της επίλυσης της ροής. Η ολοκλήρωση στο χρόνο καθώς κι η τελική κατάσταση της ροής υπολογίζονται επαναληπτικά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Runge-Kutta τεσσάρων βημάτων (RK4) και δεύτερης τάξης χρονική ακρίβεια. Για την αύξηση της ακρίβειας των οριακών συνθηκών ταχύτητας ολίσθησης και θερμοκρασιακού άλματος πάνω στα όρια επιφανειών που βρίσκονται μέσα στη ροή, χρησιμοποιηθήκε το δεύτερης τάξης ακρίβειας σχήμα των Beskok και Καρνιαδάκη. Το εν λόγω μοντέλο χρησιμοποιήθηκε διότι λόγω της ευκολίας εφαρμογής του σε μη δομημένα ή υβριδικά πλέγματα μπορεί να υπερκεράσει αριθμητικές δυσκολίες που προκύπτουν από τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου της ταχύτητας ολίσθησης. Επιπλέον για τον περιορισμό των διακυμάνσεων κατα τα αρχικά βήματα της επαναληπτικής διαδικασίας που προκαλούνται λόγω του Dirichet τύπου των οριακών συνθηκών ολίσθησης/άλματος, χρησιμοποιήθηκε το σχήμα ομαλοποίησης των Ferras, Nobregal και Pinho που επιτρέπει τη σταδιακή αύξηση της ταχύτητας ολίσθησης και του θερμοκρασιακού άλματος. Το δεύτερο μέρος της διατριβής παρουσιάζει τη χρήση της μεθόδου DSMC για την παραγωγή βασικών υπερηχητικών ροών γύρω από διάφορες γεωμετρίες με σκοπό την μαθηματική «γραμμική ανάλυση ευστάθειας» (Linear Stability Αnalysis) για την εύρεση των ιδιοτιμών και ιδιομορφών της ροής. Οι ιδιοτιμές της ροής προβλέπουν αν η ροή σε μεταγενέστερο χρόνο θα παραμείνει στρωτή ή αν υπάρχει κάποιος υποθάλπων φυσικός μηχανισμός που θα αναγκάσει τη ροή να γίνει τυρβώδης. Για την πιστοποίηση της ποιότητας της βασικής ροής γίνεται σύγκριση του οριακού στρώματος που υπολογίστηκε από τη μέθοδο DSMC με τις εξισώσεις αναλυτικού υπολογισμού του οριακού στρώματος. Από τις συγκρίσεις διαφαίνεται η αποτελεσματικότητα της μεθόδου για την παραγωγή βασικών ροών για γραμμική ανάλυση ευστάθειας, τόσο ως προς την ακρίβειά της όσο κι ως προς την αποδοτικότητας της. Λόγω του ότι η μέθοδος DSMC είναι μια στατιστική μέθοδος υπολογισμού της ροής, υπάρχει θόρυβος (noise) στα παραγώμενα αποτελέσματα. Ο θόρυβος αυτός προκαλεί μεγάλες αριθμητικές αποκλίσεις στη γραμμική ανάλυση ευστάθειας. Γι’αυτό, η παρούσα έρευνα καταδεικνύει τεχνικές με τις οποίες μπορεί να μειωθεί ο θόρυβος στα αποτελέσματα διατηρώντας παράλληλα αναλλοίωτες τις βασικές πληροφορίες της ροής. Επιπλέον συγκρίνονται κλασικές και προηγμένες τεχνικές μείωσης θορύβου και παρουσιάζεται ο αντίκτυπος που έχει κάθε τεχνική στα αποτελέσματα. Τέλος παρουσιάζονται επίσης διάφορες τεχνικές γραμμικής ανάλυσης ευστάθειας και γίνεται σύγκριση μεταξύ τους για την εύρεση και τεκμηρίωση τόσο ποσοτικών όσο και ποιοτικών διαφορών. Επιπρόσθετα, γίνονται προσομοιώσεις υπερηχητικών ροών με θερμοχημικές αντιδράσεις και γίνεται ανάλυση των διαταραχών που παρατηρούνται στη ροή. Επιπλέον γίνεται ανάλυση της μεθοδολογίας σχεδίασης και προσομοίωση ενός υπερηχητικού οχήματος για μεγάλο υψόμετρο. Πέραν από τη παρουσίαση των αποτελεσμάτων γίνεται και μελέτη της αεροδυναμικής ικανότητας του εν λόγω οχήματος για υπερηχητική πτήση σε περιβάλλον χαμηλής πίεσης.