MODELING OF DIAGRAMS OF STATES USING SPECTRAL DIFFERENTIATION AT CHEBYSHEVSKY NODES
Authors: Герасименко Д.С. 
Published: October 2024

Неразрушающий контроль является одним из самых перспективных методов мониторинга состояния технических объектов, так как он позволяет производить диагностику в реальном времени без прерывания работы механизмов. К одной из самых эффективных разновидностей неразрушающего контроля относится вибродиагностика. Отслеживая вибрации, проходящие через диагностируемый объект можно построить диаграммы, отображающие его состояние. Ранее установлено что о наличии дефекта говорит присутствие хаотических колебаний, для обнаружения которых используются диаграммы отображающие зависимости между смещением скоростью и ускорением. Отслеживание этих величин по отдельности является достаточно ресурсозатратным процессом, поэтому скорость и ускорение рационально вычислять путем дифференцирования, при этом достаточно знать только смещение. Известно, что классический метод дифференцирования не обеспечивает точность необходимую для отыскания хаотических колебаний. Поэтому для данной задачи целесообразно использовать спектральные методы, обеспечивающие стандарт двойной арифметической точности. Однако данные методы применимы только к периодическим функциям, а случае, например, систем с затухающими колебаниями дают некорректный результат. Выходом может послужить использование спектрального метода дифференцирования на узлах Чебышева. В основе метода лежит дифференцирование при помощи преобразования Фурье. Дискретность данных дает возможность использования быстрого преобразования Фурье, являющегося хорошо проработанным и многократно реализованным на ЭВМ инструментом. Вычисления в приведенном методе осуществляются в основном с матрицами в следствии чего для проведения эксперимента был выбран пакет MatLab, что позволило в добавок создать приложение с оконным интерфейсом. Целью практической части этой статьи является демонстрация возможности построения диаграмм состояний при помощи спектрального метода дифференцирования на Чебышевских узлах.

Nondestructive testing is one of the most promising methods for monitoring the state of technical objects, since it allows you to diagnose in real time without interrupting the operation of mechanisms. One of the most effective types of nondestructive testing is vibration-based diagnostics. By tracking the vibrations passing through the diagnosed object, you can build diagrams showing its state. It was previously established that the presence of a defect is indicated by the presence of chaotic oscillations, for the detection of which diagrams are used displaying the dependences between the displacement by speed and acceleration. Tracking these values separately is a fairly resource-consuming process, therefore, it is rational to calculate speed and acceleration by differentiation, and it is enough to know only the displacement. It is known that the classical method of differentiation does not provide the accuracy necessary for finding chaotic oscillations. Therefore, for this task, it is advisable to use spectral methods that provide a standard for double arithmetic accuracy. However, these methods are applicable only to periodic functions, and in the case of, for example, systems with damped oscillations, they give an incorrect result. The solution may be the use of the spectral method of differentiation at Chebyshev nodes. The method is based on differentiation using the Fourier transform. The discreteness of the data makes it possible to use the fast Fourier transform, which is a well-developed and repeatedly implemented computer tool. The calculations in the above method are carried out mainly with matrices, as a result of which the MatLab package was chosen for the experiment, which allowed in addition to create an application with a window interface. The purpose of the practical part of this article is to demonstrate the possibility of constructing state diagrams using the spectral method of differentiation at Chebyshev nodes.