Inverse Jacobian and related topics for certain superelliptic curves
Authors:   , Somoza Henares Anna 
Published: October 2023

Given an elliptic curve E over the complex numbers (CC) given by y^2 = x^3 + ax + b, there exists a lattice L in CC such that the group E(CC) of complex points on E is isomorphic to the complex analytic group CC/L. This correspondence between elliptic curves and one-dimensional complex tori is called the Uniformization Theorem, and one can make the inverse map explicit with the Weierstrass p-function, its derivative, and the Eisenstein series.
Similarly, given an algebraic curve C of genus g, one associates to it a principally polarized abelian variety J(C), the Jacobian of C. Over CC, the Jacobian J(C) is isomorphic to a g-dimensional complex torus CC^g/L for a lattice L of full rank in CC^g.
This determines a map J from the set M_g of isomorphism classes of algebraic curves of genus g to the set A_g of principally polarized abelian varieties of dimension g, and one may wonder if there exists an explicit inverse to this map, as in the case of elliptic curves. We call this the inverse Jacobian problem.
This problem has been solved for curves of genus 2 and genus 3. However, for genus g > 3 there is the additional obstruction that not all principally polarized abelian varieties are Jacobians of curves, hence in order to solve the inverse Jacobian problem one needs to study the image by J of M_g in A_g. The problem of describing J(M_g) is known as the Riemann-Schottky problem.
In this thesis we treat these two problems for two families of superelliptic curves, that is, curves of the form y^k = (x - a_1)·...·(x - a_l). We focus on the family of Picard curves, with (k,l) = (3,4) and genus 3, where we give a more efficient solution, and the family of cyclic plane quintic curves, with (k,l) = (5,5) and genus 6, where we solve both problems. We solve the inverse Jacobian problem from a computational point of view, that is, we provide an algorithm to obtain a model for the curve from the lattice L of its Jacobian. While Picard curves have genus 3, hence there is no obstruction to the inverse Jacobian problem, in the case of CPQ curves we also provide a characterization of the principally polarized abelian varieties that arise as Jacobians of CPQ curves.
In Chapter 1 we first introduce some background on abelian varieties, Jacobians of curves, and Riemann theta constants, and then we present an inverse Jacobian algorithm for Picard curves.
This was originally done by Koike and Weng in their paper "Construction of CM Picard curves", but their exposition presents some mistakes that we address and correct here. This chapter is based on joint work with Joan-Carles Lario.
In Chapter 2 we present an inverse Jacobian algorithm for CPQ curves. We follow a strategy analogous to the one in Chapter 1 for the case of Picard curves.
In Chapter 3 we address the Riemann-Schottky problem for CPQ curves, that is, we characterize the principally polarized abelian varieties that are Jacobians of CPQ curves. We use a generalization of the classical theory of complex multiplication due to Shimura (see his paper "On analytic families of polarized abelian varieties and automorphic functions") to study how the existence of the automorphism of CPQ curves (x,y) -> (x,e^(2·pi·i/5)y) affects the structure of the Jacobians.
Finally, in Chapter 4 we present one application for the above algorithms: constructing curves such that their Jacobians have complex multiplication. This has previously been done for genus 2 and genus 3, and here we follow methods presented by Kilicer in her PhD thesis to determine a complete list of CM-fields whose ring of integers occurs as the endomorphism ring over CC of the Jacobian of a CPQ curve defined over the rational numbers.
In particular, for every field K listed in Chapter 4 we also give a CPQ curve that is numerically close (and conjecturally equal) to a curve C that satisfies End(J(CC)) = O_K.

Voor elke elliptische kromme E over C bestaat er een rooster Picard-krommen geslacht 3 hebben, en er dus geen obstructie voor het inverse-Jacobiaan-probleem is.
Picard-krommen zijn een speciaal geval van vlakke vierdegraads krommen,
dus het inverse-Jacobiaan-probleem voor Picard-krommen kan worden opgelost met behulp van de formules voor vlakke vierdegraads krommen gegeven in [52], maar de beperking tot een kleinere familie van krommen zorgt ervoor dat we een efficiëntere oplossing voor deze familie kunnen geven.
Dit is oorspronkelijk gedaan door Koike en Weng in [16], maar hun uiteenzetting bevat een aantal fouten die we hier aankaarten en corrigeren. Dit hoofdstuk is gebaseerd op gezamenlijk werk met Joan-Carles Lario, zie ook [21].
In Hoofdstuk 2 geven we een inverse-Jacobiaan-algoritme voor CPQkrommen. We volgen een strategie analoog aan die in Hoofdstuk 1 voor het geval van Picard-krommen.
In Hoofdstuk 3 pakken we het Riemann-Schottky-probleem voor CPQkrommen aan, dat wil zeggen dat we de hoofdgepolariseerde abelse variëteiten die Jacobianen van CPQ-krommen zijn classificeren. Eerst gebruiken we Shimura’s algemene vorm van de theorie van complexe vermenigvuldiging, zie [39], om te bestuderen hoe het bestaan van het automorfisme (x; y) 7! (x; z5y) met z5 = exp(2 i=5) van een CPQ-kromme de structuur van de Jacobiaan beïnvloedt. Vervolgens lossen we een klassengetal-één-probleem voor hogerdimensionale Hermitese roosters over Z[ 5] op, wat cruciaal is voor het oplossen van het Riemann-Schottky-probleem voor CPQ-krommen.
Tot slot geven we in Hoofdstuk 4 een toepassing van bovenstaande algoritmes: het construeren van krommen waarvan de Jacobianen complexe vermenigvuldiging toestaan. Dit is eerder gedaan voor geslacht 2 [51, 47] en geslacht 3 [1, 13, 16, 21, 53]. Hier breiden we methoden van Kılıçer [12] uit om een complete lijst van CM-lichamen te bepalen waarvan de ringen van gehelen voorkomen als
endomorfismering over C van de Jacobiaan van een CPQ-kromme over Q.
In het bijzonder geeft dit ons de mogelijkheid om een lijst te geven met vermoedelijke modellen voor alle CPQ-krommen over Q waarvan de Jacobianen de maximale orde van een CM lichaam van graad 12 als endomorfismering over C hebben. Onze lijst bevat het juiste aantal krommen, die gedefinieerd zijn over Q en numeriek correct met hoge nauwkeurigheid. C, zodanig dat de groep E(C) van complexe punten op E isomorf is met de complex analytische groep C= . Dit verband tussen elliptische krommen en één-dimensionale complexe tori heet de Uniformisatiestelling, en de constructie in omgekeerde richting (van roosters naar krommen) kan expliciet worden beschreven met de
Weierstrass }-functie, zijn afgeleide, en de Eisenstein-reeksen.
Algemener kennen we aan een algebraïsche kromme C van geslacht g een hoofdgepolariseerde abelse variëteit J(C) toe, de Jacobiaan van C. Over C is de Jacobiaan J(C) isomorf met een g-dimensionale complexe torus Cg= voor een rooster van volledige rang in Cg.
Dit bepaalt een afbeelding J van de verzameling Mg van isomorfieklassen van algebraïsche krommen van geslacht g naar de verzameling Ag van g-dimensionale hoofdgepolariseerde abelse variëteiten. We kunnen ons afvragen of er een expliciete inverse afbeelding bestaat, zoals het geval is voor elliptische krommen.
Dit is het inverse-Jacobiaan-probleem.
Dit probleem is opgelost voor krommen van geslacht 2 [37, 50] en geslacht 3 [1, 9, 16, 21, 48, 52, 53]. Voor geslacht 4 is er echter de extra obstructie dat niet alle hoofdgepolariseerde abelse variëteiten Jacobianen van krommen zijn, dus om het inverse-Jacobiaan-probleem op te lossen moeten we in dit geval het beeld van Mg in Ag onder J bestuderen. Het beschrijven van J(Mg) staat bekend als het Riemann-Schottky-probleem.
In dit proefschrift behandelen we deze twee problemen voor twee families van superelliptische krommen, dat wil zeggen, krommen gegeven door yk = Ql i=1(x 􀀀� i). We richten ons op de familie van Picard-krommen, met (k; l) = (3; 4) en van geslacht 3, waarvoor we het inverse-Jacobiaan-probleem oplossen en de familie van cyclische vlakke vijfdegraads krommen (CPQ-krommen),
met (k; l) = (5; 5) en van geslacht 6, waarvoor we beide problemen oplossen.
In Hoofdstuk 1 introduceren we eerst achtergrondkennis over abelse varieteiten, Jacobianen van krommen en Riemann theta constanten. Daarna geven we een inverse-Jacobiaan-algoritme voor Picard-krommen. Merk op dat Picard-krommen geslacht 3 hebben, en er dus geen obstructie voor het inverse- Jacobiaan-probleem is.
Picard-krommen zijn een speciaal geval van vlakke vierdegraads krommen, dus het inverse-Jacobiaan-probleem voor Picard-krommen kan worden opgelost met behulp van de formules voor vlakke vierdegraads krommen gegeven in [52], maar de beperking tot een kleinere familie van krommen zorgt ervoor dat we een efficiëntere oplossing voor deze familie kunnen geven.
Dit is oorspronkelijk gedaan door Koike en Weng in [16], maar hun uiteenzetting bevat een aantal fouten die we hier aankaarten en corrigeren. Dit hoofdstuk is gebaseerd op gezamenlijk werk met Joan-Carles Lario, zie ook [21].
In Hoofdstuk 2 geven we een inverse-Jacobiaan-algoritme voor CPQkrommen. We volgen een strategie analoog aan die in Hoofdstuk 1 voor het geval van Picard-krommen.
In Hoofdstuk 3 pakken we het Riemann-Schottky-probleem voor CPQkrommen aan, dat wil zeggen dat we de hoofdgepolariseerde abelse variëteiten die Jacobianen van CPQ-krommen zijn classificeren. Eerst gebruiken we Shimura’s algemene vorm van de theorie van complexe vermenigvuldiging, zie [39], om te bestuderen hoe het bestaan van het automorfisme (x; y) 7! (x; z5y) met z5 = exp(2 i=5) van een CPQ-kromme de structuur van de Jacobiaan beïnvloedt. Vervolgens lossen we een klassengetal-één-probleem voor hogerdimensionale Hermitese roosters over Z[ 5] op, wat cruciaal is voor het oplossen van het Riemann-Schottky-probleem voor CPQ-krommen.
Tot slot geven we in Hoofdstuk 4 een toepassing van bovenstaande algoritmes: het construeren van krommen waarvan de Jacobianen complexe vermenigvuldiging toestaan. Dit is eerder gedaan voor geslacht 2 [51, 47] en geslacht 3 [1, 13, 16, 21, 53]. Hier breiden we methoden van Kılıçer [12] uit om een complete lijst van CM-lichamen te bepalen waarvan de ringen van gehelen voorkomen als
endomorfismering over C van de Jacobiaan van een CPQ-kromme over Q.
In het bijzonder geeft dit ons de mogelijkheid om een lijst te geven met vermoedelijke modellen voor alle CPQ-krommen over Q waarvan de Jacobianen de maximale orde van een CM lichaam van graad 12 als endomorfismering over C hebben. Onze lijst bevat het juiste aantal krommen, die gedefinieerd zijn over Q en numeriek correct met hoge nauwkeurigheid.

Dada una curva elíptica E definida sobre los complejos (CC) con ecuación y^2 = x^3 + ax + b, existe una red L en CC tal que el grupo E(CC) de puntos complejos en E es isomórfico al grupo analítico complejo CC/L. La correspondencia entre curvas elípticas y toros de dimensión 1 se llama Teorema de la Uniformización de Riemann, y podemos hacer la función inversa explícita con la función p de Weierstrass, su derivada, y las series Eisenstein. De forma similar, dada una curva algebraica C de género g, podemos definir una variedad abeliana principalmente polarizada J(C), la Jacobiana de C. Sobre los números complejos, la Jacobiana J(C) es isomórfica a un toro complejo g-dimensional CC^g/L para una red L de rango completo en CC^g. Esto determina una función J del conjunto M_g de clases de isomorfismo de curvas algebraicas de género g al conjunto A_g de variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión g, y nos preguntamos si existe una función inversa explícita, como en el caso de las curvas elípticas. Se trata del problema de la Jacobiana inversa. Este problema ha sido resuelto para curvas de género 2 y 3. Sin embargo, para género g > 3, tenemos el obstáculo añadido de que no todas las variedades abelianas principalmente polarizadas son Jacobianas de curvas, por lo que para resolver el problema de la Jacobiana inversa tenemos que estudiar la imagen vía J de M_g en A_g. El problema de describir J(M_g) se conoce como el problema de Riemann-Schottky. En esta tesis tratamos estos problemas para dos familias de curvas superelípticas, es decir, curvas de la forma y^k = (x - a_1)·...·(x - a_l). Nos centramos en la familia de curvas de Picard, con (k,l) = (3,4) y género 3, donde damos una solución más eficiente, y la família de las curvas cíclicas quínticas planas (curvas CPQ), con (k,l) = (5,5) y género 6. Resolvemos el problema de la Jacobiana inversa desde un punto de vista computacional, es decir, damos un algoritmo para obtener un modelo para la curva a partir de la red L de su Jacobiana. Las curvas de Picard tienen género 3, por lo que no hay obstrucción al problema de la Jacobiana inversa, pero en el caso de las curvas CPQ también damos una caracterización de las variedades abelianas principalmente polarizadas que surgen como Jacobianas de curvas CPQ. En el Capítulo 1 introducimos algunos preliminares de variedades abelianas, Jacobianas de curvas y constantes teta de Riemann, y a continuación presentamos un algoritmo de Jacobiana inversa para las curvas de Picard. Esto lo hicieron originalmente Koike y Weng en su artículo "Construction of CM Picard curves", pero su exposición presenta algunos errores que corregimos aquí. El capítulo está basado en una colaboración con Joan-Carles Lario. En el Capítulo 2 presentamos un algoritmo de Jacobiana inversa para las curvas CPQ. Seguimos la estrategia análoga a la del Capítulo 1 para el caso de curvas de Picard. En el Capítulo 3 nos centramos en el problema de Riemann-Schottky para el caso de curvas CPQ, es decir, caracterizamos las variedades abelianas principalmente polarizadas que son Jacobianas de curvas CPQ. Usamos una generalización de la teoría clásica de multiplicación compleja de Shimura para estudiar cómo la existencia del automorfismo de curvas CPQ (x,y) -> (x,e^(2·pi·i/5)y) afecta la estructura de las Jacobianas. Finalmente, en el Capítulo 4 presentamos una aplicación de los algoritmos anteriores: construir curvas cuyas Jacobianas tengan multiplicación compleja. Esto se ha hecho anteriormente para género 2 y 3, y aquí seguimos los métodos dados por Kilicer en su tesis doctoral para determinar una lista completa de cuerpos CM cuyo anillo de enteros se da como el anillo de endomorfismos sobre CC de la Jacobiana de una curva CPQ definida sobre los racionales. En particular,
ésto nos permite listar modelos conjeturales para todas las curvas CPQ sobre Q cuyas Jacobianas tienen el orden maximal de un cuerpo CM de grado 12 como anillo de endomorfismos sobre C. Nuestra lista contiene el número previsto de curvas, y éstas están definidas sobre Q y son numéricamente
correctas hasta un cierto grado de precisión