Nonlinear water waves over varying bathymetry
Authors: Παπουτσέλλης Χρήστος 
Published: September 2021

Η κατανόηση της κίνησης των υδάτινων κυμάτων είναι ουσιαστικής σημασίας για πολλές εφαρμογές που σχετίζονται ε τομείς όπως η Ναυτική και Θαλάσσια Υδροδυναμική, η Παράκτια και Περιβαλλοντική Μηχανική, και η n ωκεανογραφία. Ακόμη και υπό τις απλοποιητικές υποθέσεις του ιδανικού ρευστού και της αστρόβιλης ροής, η πλήρης μαθηματική διατύπωση του κυματικού προβλήματος με την ελεύθερη επιφάνεια είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη και η θεωρητική και αριθμητική της μελέτη αποτελεί μία σύγχρονη κατεύθυνση έρευνας.Στο πρώτο μέρος της παρούσας διατριβής, εξάγεται ένα νέο σύστημα δύο μη-τοπικών εξελικτικών εξισώσεων Hamilton, οι οποίες περιγράφουν την δυναμική των μη-γραμμικών κυμάτων ελεύθερης επιφάνειας. Αυτό το σύστημα είναι συζευγμένο ε ένα χρονοανεξάρτητο κινηματικό υποπρόβλημα που αναπαριστά την κινηματική του υποκείμενου ρευστού. Η διαδικασία βασίζεται στη χρήση της μεταβολικής αρχής του (Luke 1967) σε συνδυασμό με μία κατάλληλη αναπαράσταση του δυναμικού της ταχύτητας σε μορφή συγκλίνουσας σειράς. Το βασικό χαρακτηριστικό αυτής της μεθοδολογίας, η οποία εισήχθη με τις εργασίες (Athanassoulis & Belibassakis 1999, 2000) είναι η χρήση ενός βελτιωμένου αναπτύγματος κατακόρυφων ιδιοσυναρτήσεων, το οποίο οδηγεί σε μια ακριβή αναπαράσταση του δυναμικού της ταχύτητας συναρτήσει των συντελεστών (πλατών) των ιδιομορφών που συνθέτουν το ανάπτυγμα. Σε αυτή την εργασία, το ανωτέρω ανάπτυγμα μελετάται λεπτομερώς για την περίπτωση των πλήρως μη-γραμμικών υδατίνων κυμάτων. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι, υπό κατάλληλες υποθέσεις λειότητας, τα πλάτη των ιδιομορφών μειώνονται ταχέως, εξασφαλίζοντας έτσι ότι το ανάπτυγμα μπορεί να παραγωγίζεται κατά όρους στο χωρίο του ρευστού, μέχρι και τα ανομοιόορφα φυσικά του σύνορα (ελεύθερη επιφάνεια και πυθμένας). Το γεγονός αυτό, νομιμοποιεί τους χειρισμούς στην μεταβολική διαδικασία που ακολουθείται, και αποδεικνύει ότι το προκύπτον σύστημα (Hamiltonian/Coupled-Mode System (HCMS)), είναι μία ακριβής αναδιατύπωση του πλήρους υδροδυναμικού προβλήματος. Στην ουσία είναι μία εναλλακτική εκδοχή της Zakharov/Craig-Sulem διατύπωσης κατα Hamilton (Zakharov 1968, Craig & Sulem 1993) με μία νέα, ευέλικτη και αποδοτική αναπαράσταση του τελεστή Dirichlet to Neumann (DtN), ο οποίος υπεισέρχεται στην διατύπωση των μη-τοπικών εξελικτικών εξισώσεων. Εν προκειμένω, ο τελεστής DtN εκφράζεται μέσω του πρώτου όρου του αναπτύγματος του δυναμικού ταχύτητας. δεν γίνεται χρήση καμίας ασυμπτωτικής υπόθεσης, δηλαδή, η παρούσα μέθοδος είναι μη-διαταρακτική. Ο υπολογισμός του τελεστή DtN παρακάμπτει την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace σε όλο το υγρό χωρίο, όπως απαιτείται στις ευθείες αριθμητικές μεθόδους, καθώς και την υλοποίηση υψηλής τάξεως οριζοντίων παραγώγων, όπως απαιτείται σε μεθόδους τύπου Boussinesq ή σε υψηλοτάξιες διαταρακτικές μεθόδους. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής, τα θεωρητικά ας αποτελέσματα εφαρμόζονται για την αριθμητική επίλυση μη-γραμμικών προβλημάτων υδάτινων κυμάτων. Το θεμελιώδες στοιχείο της αριθμητικής μεθόδου είναι ο υπολογισμός του τελεστή DtN, μέσω της επίλυσης του υποκειμένου κινηματικού προβλήματος στην μορφή οριζόντιων διαφορικών εξισώσεων. Η ακρίβεια και σύγκλιση αυτού του υπολογισμού αξιολογείται σε δοκιμαστικές περιπτώσεις έντονα ανομοιόμορφων χωρίων και τα θεωρητικά ευρήματα, σχετικά με το ρυθμό μείωσης των πλατών του αναπτύγματος, επιβεβαιώνονται αριθμητικά. Αυτή η προκαταρκτική διερεύνηση καταδεικνύει ότι ένας μικρός αριθμός όρων του αναπτύγματος αρκεί για τον ακριβή υπολογισμό του τελεστή DtN, ακόμη και σε περιπτώσεις έντονα παραμορφωμένων χωρίων. Στην συνέχεια, θεωρούμε διάφορα προβλήματα μη- γραμμικών υδάτινων κυμάτων, πάνω από σταθερή ή μεταβαλλόμενη βαθυμετρία. Η πρώτη εφαρμογή αφορά τον υπολογισμό οδευόντων περιοδικών κυμάτων σε σταθερό βάθος, για ένα ευρύ φάσμα συνθηκών η-γραμμικότητας και ρηχότητας, έως το όριοθραύσεως. Στη συνέχεια, θεωρούμε την αριθμητική ολοκλήρωση των εξελικτικών εξισώσεων, η οποία επιτυγχάνεται με την μέθοδο Runge-Kutta τετάρτης τάξεως, και υλοποιείται για την προσομοίωση των αλληλεπιδράσεων υδάτινων κυμάτων με μεταβαλλόμενο πυθμένα ή με κατακόρυφα σύνορα. Οι υπολογισμοί επαληθεύονται με την χρήση διαθέσιμων αποτελεσμάτων από εργαστηριακά πειράματα ή/και άλλες αριθμητικές μεθόδους. Συγκεκριμένα, μελετάται η αλληλεπίδραση μοναχικών (solitary) κυμάτων με κατακόρυφο τοίχο (ανάκλαση) και με κεκλιμένο επίπεδο (ρήχωση). Επίσης, μελετάται ο μετασχηματισμός μονοχρωματικών κυματισμών που κινούνται πάνω από βυθισμένα εμπόδια (γένεση αρμονικών) ή κυματοειδή βαθυμετρία (ανάκλαση Bragg). Επιπλέον, δίνονται αποτελέσματα για την περίπτωση μοναχικού κύματος σε βαθυμετρία που αποτελείται από ένα κυματοειδές τμήμα σε έναν κατά τα άλλα σταθερό πυθμένα. Η παρούσα μέθοδος επιτυγχάνει ευσταθείς και ακριβείς προσομοιώσεις ισχυρά μη-γραμμικών κυμάτων σε ύδατα ενδιαμέσου και μικρού βάθους, αποφεύγοντας το υπολογιστικό κόστος των ευθέων αριθμητικών μεθόδων καθώς και τη χρήση τεχνικών φιλτραρίσματος, που συχνά απαιτούνται σε διαταρακτικές μεθόδους.