Low and high-order hybridised methods for compressible flows
Authors:   , Vila Pérez Jordi 
Published: July 2023

The aerospace community is challenged as of today for being able to manage accurate overnight computational fluid dynamics (CFD) simulations of compressible flow problems. Well-established CFD solvers based on second-order finite volume (FV) methods provide accurate approximations of steady-state turbulent flows but are incapable to produce reliable predictions of the full flight envelope. Alternatively, promising high-order discretisations, claimed to permit feasible highfidelity simulations of unsteady turbulent flows, are still subject to strong limitations in robustness and efficiency, placing their level of maturity far away from industrial requirements. In consequence, the CFD paradigm is immersed at this point into the crossroads outlined by the inherent limitations of low-order methods and the yet immature state of high-order discretisations. Accordingly, this thesis develops a twofold strategy for the high-fidelity simulation of compressible flows introducing two methodologies, at the low and high-order levels, respectively, based on hybridised formulations.
First, a new finite volume paradigm, the face-centred finite volume (FCFV) method, is proposed for the formulation of steady-state compressible flows. The present methodology describes a hybrid mixed FV formulation that, following a hybridisation process, defines the unknowns of the problem at the face barycentres.
The problem variables, i.e. the conservative quantities and the stress tensor and heat flux in the viscous case, are retrieved with optimal first-order accuracy inside each cell by means of an inexpensive postprocessing step without need of reconstruction of the gradients. Hence, the FCFV solver preserves the accuracy of the approximation even in presence of highly stretched or distorted cells, providing a solver insensitive to mesh quality. In addition, the FCFV method is a monotonicity-preserving scheme, leading to non-oscillatory approximations of sharp gradients without resorting to shock capturing or limiting techniques. Finally, the method is robust in the incompressible limit and is capable of computing accurate solutions for flows at low Mach number without the need of introducing specific pressure correction strategies.
In parallel, the high-order hybridisable discontinuous Galerkin (HDG) method is reviewed in the context of compressible flows, presenting an original unified framework for the derivation of Riemann solvers in hybridised formulations. The framework includes, for the first time in an HDG context, the HLL and HLLEM Riemann solvers as well as the traditional Lax-Friedrichs and Roe solvers. The positivity preserving properties of HLL-type Riemann solvers are displayed, demonstrating their superiority with respect to Roe in supersonic cases. In addition, HLLEM specifically outstands in the approximation of boundary layers because of its shear preservation, which confers it an increased accuracy with respect to HLL and Lax-Friedrichs.
An extensive set of numerical benchmarks of practical interest is introduced along this study in order to validate both the low and high-order approaches.
Different examples of compressible flows in a great variety of regimes, from inviscid to viscous laminar flows, from subsonic to supersonic speeds, are presented to verify the accuracy properties of each of the proposed methodologies and the performance of the introduced Riemann solvers.

La comunitat aeroespacial té el repte a dia d’avui de poder tractar amb precisió simulacions de mecànica de fluids computacional (CFD) de problemes de flux compressible en càlcul nocturn. Programes convencionals de simulació CFD basats en mètodes de volums finits (VF) de segon ordre ofereixen aproximacions precises de fluxos turbulents estacionaris però són incapaços de produir prediccions fidels de l’entorn de vol complet. Alternativament, les discretitzations prometedores d’alt ordre, de les quals s’espera que permetin simulacions accessibles d’alta fidelitat per a fluxos turbulents transitoris, encara estan subjectes a fortes limitacions en eficiència i robustesa, delimitant-ne el nivell de maduresa encara lluny de requeriments industrials. En conseqüència, el paradigma del CFD es troba immers ara mateix en la cruïlla delimitada per les limitacions inherents dels mètodes de baix ordre i l’estat encara immadur de les discretitzacions d’alt ordre. D’acord amb això, aquesta tesi desenvolupa una estratègia doble per a la simulació d’alta fidelitat de flux compressible introduint dues metodologies, als nivells de baix i alt ordre, respectivament, basades en formulacions híbrides. Primer, es proposa un nou paradigma de VF, el mètode de volums finits centrats en les cares (FCFV), per a la formulació de fluxos compressible estacionaris. Aquesta metodologia descriu una formulació mixta híbrida de VF que, seguint un procés d’hibridització, defineix les incògnites del problema als baricentres de les cares. Les variables del problema -quantitats conservatives i tensor de tensions i flux de calor en el cas viscós- són obtingudes amb precisió òptima de primer ordre dins de cada element mitjançant una etapa de postprocessat de cost reduït sense la necessitat de reconstrucció dels gradients. Amb això, el mètode FCFV preserva la qualitat de l’aproximació fins i tot en presència d’elements amb un alt estretament o distorsió, donant lloc a un mètode insensible a la qualitat de la malla. A més a més, el mètode de FCFV és un esquema preservador de monotonia, donant lloc a aproximacions no oscil·latòries de forts gradients sense necessitat d’utilitzar mètodes de captura de xocs o limitadors. Finalment, el mètode és robust en el límit incompressible i és capaç de calcular amb precisió solucions de fluxos amb nombre de Mach baix sense haver d’introduir estratègies específiques de correcció de pressió. En paral·lel, es presenta una revisió del mètode híbrid de Galerkin discontinu (HDG) d’alt ordre en el context de flux compressible, presentant un marc unificat per a la derivació de fluxos numèrics del problema de Riemann en formulacions híbrides. El marc inclou per primera vegada en un entorn HDG, els fluxos numèrics d’HLL i HLLEM, així com els tradicionals de Lax-Friedrichs i Roe. Es mostren les propietats de preservació de positivitat dels fluxos de tipus HLL, que demostren la seva superioritat respecte els de Roe en casos supersònics. Addicionalment, el mètode d’HLLEM destaca especialment en l’aproximació de capes límit com a resultat de la seva preservació d’esforços tallants, la qual li confereix una precisió afegida respecte les d’HLL i Lax-Friedrichs. Al llarg de l’estudi s’introdueix una llista extensa d’exemples numèrics de referència d’interès pràctic per tal de validar les propostes en baix i alt ordre. Es presenten diferents exemples de flux compressible en una gran varietat de règims, des de flux invíscid fins a flux laminar viscós, des de velocitats subsòniques fins a supersòniques, per tal de verificar la precisió de les metodologies proposades i el rendiment dels fluxos numèrics introduïts