Computational cost reduction and stabilization of solvers of the continuous adjoint method in aerodynamic shape optimization, with or without uncertainties
Authors: Σκαμάγκης Θεμιστοκλής 
Published: July 2024

Στη διδακτορική διατριβή αναπτύσσονται τεχνικές με σκοπό τη μείωση του υπολογιστικού κόστους αιτιοκρατικών μεθόδων βελτιστοποίησης μορφής στην αεροδυναμική, για ροές με ήπια χρονική αστάθεια ή/και με αβεβαιότητες. Όλες οι τεχνικές βασίζονται στη συνεχή συζυγή μέθοδο και αναπτύχθηκαν σε περιβάλλον OpenFOAM, συμπληρωματικά του επιλύτη συζυγών εξισώσεων ανοιχτής πρόσβασης ο οποίος έχει αναπτυχθεί από τη Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης του ΕΜΠ. Αρχικά, γίνεται πιστοποίηση των τεχνικών σε ακαδημαϊκές και ακολουθεί η χρήση τους σε βιομηχανικές εφαρμογές. Η συζυγής μέθοδος για χρονικά μη-μόνιμους επιλύτες έχει μεγάλες απαιτήσεις σε υπολογιστικό κόστος ή/και αποθήκευση δεδομένων. Για αυτό και δεν χρησιμοποιείται συχνά στη βελτιστοποίηση μορφής σε βιομηχανικές εφαρμογές. Οι μόνιμοι επιλύτες πρωτευουσών και συζυγών εξισώσεων μπορούν, κατά περίπτωση, να χρησιμοποιηθούν όταν η ροή παρουσιάζει ήπια χρονική αστάθεια. Στη διατριβή αυτή εφαρμόζεται η Μέθοδος Αναδρομικών Προβολών (Recursive ProjectionMethod, RPM) για την αντιμετώπιση των δυσκολιών σύγκλισης που παρουσιάζουν οι χρονικά μόνιμοι πρωτεύοντες και (συνεχείς) συζυγείς επιλύτες λόγω της χρονικής αστάθειας της ροής. Με το πέρας της βελτιστοποίησης με μόνιμους επιλύτες, οι βελτιστοποιημένες λύσεις επαναξιολογούνται από μη-μόνιμους επιλύτες πρωτεύοντος προβλήματος για να επιβεβαιωθεί η μείωση του χρονικού μέσου των συναρτήσεων στόχου. Έτσι, η βελτιστοποίηση γίνεται με υπολογιστικό κόστος ως και κατά μία τάξη μεγέθους χαμηλότερο από ότι με χρονικά μη-μόνιμους επιλύτες. Η τεχνική αυτή χρησιμοποιείται επίσης για βελτιστοποίηση μορφής σε ροές όπου εκλύονται στρόβιλοι. Παρότι μπορούν να υπολογιστούν βελτιωμένες λύσεις για τέτοιου είδους ροές με μόνιμους επιλύτες, δεν μπορεί εν τέλει να αποφευχθεί ένας βρόχος βελτιστοποίησης με μη-μόνιμους επιλύτες. Το συνολικό κόστος, όμως, μειώνεται χρησιμοποιώντας τη βελτιστοποιημένη λύση με μόνιμους επιλύτες ως αρχικοποίηση για τη βελτιστοποίηση με μη-μόνιμους. Σε πιο πολύπλοκες εφαρμογές, οι δυσκολίες σύγκλισης των μόνιμων πρωτεύοντων και συζυγών επιλυτών, ακόμα και με την RPM, είναι πολύ πιο έντονες. Αιτία για αυτό μπορεί να είναι η ποιότητα του πλέγματος γύρω από περίπλοκες γεωμετρίες ή η ύπαρξη πληθώρας ιδιοσυχνοτήτων που προκαλούν τη γρήγορη απόκλιση του συζυγούς επιλύτη. Προκειμένου να αποφευχθούν τέτοια προβλήματα, χρησιμοποιείται (επιπλέον της RPM) ελεγχόμενη απόσβεση της Συζυγούς Ανάστροφης Συμμεταφοράς (Adjoint Transposed-Convection, ATC), ενός όρου που εμφανίζεται στις συνεχείς συζυγείς εξισώσεις ορμής. Η απόσβεση ή απαλοιφή αυτού του όρου χρησιμοποιείται συχνά στη βιβλιογραφία για τη σταθεροποίηση συνεχών συζυγών επιλυτών. Μελετάται, εδώ, η επίδραση που έχει αυτή η πρακτική στην ακρίβεια των παραγώγων ευαισθησίας σε περιπτώσεις όπου η RPM επιτυγχάνει από μόνη της τη σταθεροποίηση του συζυγούς επιλύτη. Η ελεγχόμενη απόσβεση της ATC (εφόσον απαιτείται) αποδεικνύεται πρακτικά αβλαβής και συνεισφέρει σημαντικά στην ευστάθεια των συζυγών επιλυτών. Αντίθετα, η ανεξέλεγκτη απόσβεση του όρου απουσία της RPM είναι αρκετά συχνά επιζήμια. Επίσης, χάριν της RPM, αποφεύγεται η επίλυση συζυγών εξισώσεων βασισμένων στη μέση τιμή των μη-συγκλιμένων πρωτευόντων πεδίων. Το δεύτερο σκέλος της διατριβής αφορά την αεροδυναμική βελτιστοποίηση μορφής υπό αβεβαιότητες. Σε τέτοια προβλήματα, προσδιορίζεται ποσοτικά η απόκριση μιας Ποσότητας Ενδιαφέροντος (Quantity of Interest, QoI) ως προς ένα σύνολο μεταβλητών αβεβαιότητας με τις λεγόμενες μεθόδους Ποσοτικοποίησης Αβεβαιότητας (Uncertainty Quantification, UQ). Αυτό αυξάνει σημαντικά το υπολογιστικό κόστος ενός βρόχου βελτιστοποίησης. Xρησιμοποιούνται οι μέθοδοι Πρώτης-Τάξης Δεύτερης-Ροπής (First-Order Second-Moment, FOSM) και Αναπτύγματος Πολυωνυμικού Χάους υποβοηθούμενου από τη Συζυγή Μέθοδο (Adjoint-assisted Polynomial Chaos Expansion, APCE) για τον υπολογισμό των δύο πρώτων στατιστικών ροπών (μέσης τιμής και τυπικής απόκλισης) μιας QoI. Το σταθμισμένο άθροισμα αυτών των ροπών χρησιμοποιείται ως συνάρτηση στόχος. Για μια τέτοια συνάρτηση, η βελτιστοποίηση με παραγώγους ευαισθησίας απαιτεί τις μικτές παραγώγους της QoI ως προς τις μεταβλητές σχεδιασμού και αβεβαιότητας. Καθώς, όμως, αρκεί μόνο ο υπολογισμός της προβολής του μητρώου των μικτών παραγώγων σε διανύσματα, αναπτύσσονται δύο μέθοδοι βελτιστοποίησης με προβολές, οι pFOSM και pAPCE, σε αντιστοιχία με τις δύο μεθόδους UQ που προαναφέρθηκαν. Βασικό κέρδος από τη χρήση των μεθόδων προβολής είναι πως το κόστος υπολογισμού του προβεβλημένου μητρώου μικτών παραγώγων δεν αυξάνεται με το πλήθος των μεταβλητών αβεβαιότητας ή σχεδιασμού. Στην pFOSM, το κόστος ανά κύκλο βελτιστοποίησης είναι ίσο με 4 Υπολογιστικές Μονάδες (Equivalent Flow Solutions, EFS), ως δηλαδή να λύνεται το πρόβλημα ροής 4 φορές. Στην pAPCE, το κόστος είναι ίσο με 4L EFS (L είναι το πλήθος των σημείων δειγματοληψίας στην παλινδρόμηση). Το κέρδος είναι σημαντικό ακόμα και για μικρό πλήθος μεταβλητών αβεβαιότητας. Η pAPCE έχει μεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος από την pFOSM, αλλά υπολογίζει στατιστικές ροπές με μεγαλύτερη ακρίβεια. Οι δύο μέθοδοι παρουσιάζονται σε προβλήματα αεροδυναμικής βελτιστοποίησης μορφής για στρωτές και τυρβώδεις ροές. Στις τελευταίες, η επίλυση γίνεται με χρήση του μοντέλου τύρβης των Spalart-Allmaras και της συζυγούς του εξίσωσης. Οι βιομηχανικές εφαρμογές περιλαμβάνουν την αεροδυναμική βελτιστοποίηση μορφής οχημάτων επίγειας μεταφοράς με χρήση μόνιμων επιλυτών σε συνδυασμό με την RPM και μιας πτέρυγας αεροσκάφους παρουσία αβεβαιοτήτων ως προς τις συνθήκες ροής με χρήση των pFOSM και pAPCE.