Μαθηματική προσομοίωση και μελέτη μαγνητοϋδροδυναμικών ροών σε καμπυλόγραμμες γεωμετρίες
Authors: Φείδαρος Δημήτριος 
Published: August 2021

Αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη μαγνητοϋδροδυναμικών ροών με τη χρήση μαθηματικών μοντέλων υπολογιστικής ρευστοδυναμικής υπό το πρίσμα μη επαγωγικών μεθόδων. Ως μελέτη ΜΥΔ ροών ορίζεται η μελέτη των αμοιβαίων αλληλεπιδράσεων μεταξύ των δυνάμεων αδρανείας, ιξώδους και ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων σε στοιχεία αγώγιμου ρευστού εκτεθειμένα σε μαγνητικά πεδία. Σκοπός της ΜΥΔ ανάλυσης είναι να αναδείξει τον συσχετισμό δυνάμενων που συνυπάρχουν κατά τη ροή αγώγιμου ρευστού σε συγκεκριμένες δυναμικές περιοχές. Η μελέτη επικεντρώνεται στην περιοχή στην οποία εμφανίζεται ισχυρή σύζευξη ρευστομηχανικών και ηλεκτρομαγνητικών μεγεθών. Περιοχή η οποία, αφενός μεν χαρακτηρίζεται από ισχυρή μη-γραμμικότητα αφετέρου δε, είναι ιδιαίτερης σημασίας για το σχεδίασμά εξαρτημάτων των υποσυστημάτων ψύξης για αντιδραστήρες σύντηξης. Βασικός στόχος της παρούσας διατριβής είναι η δημιουργία μαθηματικών μοντέλων ικανών να προβλέπουν την ΜΥΔ συμπεριφορά αγώγιμων ρευστών με το μικρότερο δυνατό υπολογιστικό κόστος και η εφαρμογή τους σε περιοχές όπου οι ασυμπτωτικές-αναλυτικές μέθοδοι δεν ισχύουν. Οι ιδιαιτερότητες κατά την προσομοίωση ΜΥΔ ροών είναι, οι μεγάλοι όροι πηγής που αυξάνουν εκθετικά με την αύξηση του μαγνητικής επαγωγής και η ανομοιομορφία των συγκεκριμένων όρων στο εύρος τιμών τους (εμφάνιση υψηλών τιμών σε λεπτόπαχα Hartmann και πλάγια στρώματα ή σε επίσης λεπτές παράλληλες δέσμες, με ταυτόχρονα μικρές τιμές των ίδιων όρων στους πυρήνες της ροής). Ταυτόχρονα, οι αρκετά μικροί όροι συναγωγής ή και διάχυσης, που δημιουργούν ανισορροπία κατά την επίλυση των διακριτοποιημένων εξισώσεων, έχουν ως αποτέλεσμα την εξασθένιση της κυρίας διαγώνιου στο διαμορφούμενο αραιό μητρώο επίλυσης των γραμμικοποιημένων εξισώσεων. Παράλληλα, οι πολλές και έντονες ασυνέχειες στο πεδίου υπολογισμών και τα μεγάλα υπολογιστικά πλέγματα επιβάλλουν μικρούς συντελεστές υποχαλάρωσης που οδηγούν στην επιμήκυνση του χρόνου εκτέλεσης. Συνεπώς με βάση τα παραπάνω, αξιολογούνται αρχικά, τέσσερις βασικοί αλγόριθμοι ημι-πεπλεγμένης σύζευξης των βασικών εξισώσεων ΜΥΔ ροών. Από την συγκριτική δοκιμασία σύζευξης πίεσης-ορμής προκύπτει ότι το σχήμα με την ταχύτερη απόκριση για την επίτευξη σύγκλισης σε προβλήματα ΥΡΔ με μεγάλους όρους πηγής και σε πεδία που εμφανίζουν έντονη ανομοιογένεια (π.χ. προβλήματα φυσικής συναγωγής και ΜΥΔ) είναι ο αλγόριθμος SIMPLEC, ενώ την καλύτερη προσαρμοστικότητα εμφανίζει ο αλγόριθμος SIMPLEX. Στην συνέχεια αναλύονται και συγκρίνονται οι αλγόριθμοι επίλυσης γραμμικών συστημάτων που αποτελούν τον βασικό κορμό ενός λογισμικού αριθμητικής προσομοίωσης πεπλεγμένων εξισώσεων. Η ανάγκη για την ταχύτερη επίλυση μεγάλων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων που προκύπτουν από την διακριτοποίηση των ΜΔΕ είναι επιτακτική και εάν σε αυτό προστεθούν, και οι ιδιαιτερότητες της ΜΥΔ, τότε η διερεύνηση αυτών των μεθόδων αποκτά ιδιαίτερη σημασία με αποτέλεσμα η επιλογή ενός αποδοτικού και γρήγορου αλγόριθμου βοηθά σημαντικά στην περιστολή του χρόνου εκτέλεσης. Για τους παραπάνω λόγους αντιπαραβάλλονται τέσσερις οικογένειες αλγορίθμων επίλυσης γραμμικών συστημάτων (στατικές, κατευθυντικής αποικοδόμησης, ισχυρά πεπλεγμένες μέθοδοι και μέθοδοι συζυγών κλίσεων). Βέλτιστα χαρακτηριστικά εμφανίζουν οι αλγόριθμοι της ομάδας των ισχυρά πεπλεγμένων μεθόδων και άριστη συμπεριφορά η ομάδα των συζυγών κλίσεων. Οι επιδόσεις της τελευταίας ομάδας μπορούν να βελτιωθούν με την χρήση προρυθμιστών και να αποτελέσουν αποδοτικό εργαλείο στην επίλυση μεγάλων γραμμικών συστημάτων. Συγχρόνως, διερευνώνται σχήματα διακριτοποίησης των όρων συναγωγής και χρονικής μεταβολής. Η αξιολόγηση των σχημάτων διακριτοποίησης γίνεται με γνωστές από την βιβλιογραφία δοκιμασίες, προκρίνοντας σχήματα τρίτης τάξης, που ανήκουν στην οικογένεια σχημάτων TVD και έχουν την ιδιότητα να μεταπίπτουν σε σχήματα μικρότερης τάξης σε περιοχές με έντονη ασυνέχεια, έτσι ώστε να διατηρούν την μονοτονία τους κάτι που δεν υφίσταται με σχήματα, QUICK, SOU και CD. Παράλληλα εξετάζεται ο συνδυασμός σχημάτων χωρικής και χρονικής διακριτοποίησης για την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων με σκοπό την επιλογή του καταλληλότερου συνδυασμού για να περιοριστεί στο ελάχιστο δυνατό το αριθμητικό σφάλμα. Στην συνέχεια, παρουσιάζονται συγκεκριμένες τροποποιήσεις των αριθμητικών εργαλείων που οφείλονται αποκλειστικά στην ΜΥΔ. Μία από αυτές είναι η μέθοδος παρεμβολής για τον υπολογισμό της δύναμης Lorentz. Η ύπαρξη αναλυτικής λύσης, η οποία συγχρόνως είναι ανεξάρτητη από το εξωτερικά επιβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, βοηθά στο να αποδειχθεί ότι η δύναμη Lorentz δεν θα πρέπει να αντιμετωπίζεται ως ένας απλός όρος πηγής των εξισώσεων ορμής, καθώς η κοινή αντιμετώπιση οδηγεί σε αριθμητικά σφάλματα, το μέγεθος των οποίων είναι ανάλογο του τετραγώνου του αριθμού Ha. Παρόλα αυτά όμως η μέθοδος με την καλύτερη ποιότητα αποτελεσμάτων είναι και η δαπανηρότερη σε υπολογιστικό κόστος. Ένα άλλο ενδιαφέρον σημείο που σχετίζεται με την εξίσωση του ηλεκτρικού δυναμικού, βρίσκει εφαρμογή στις προσομοιώσεις τριών διαστάσεων και ιδιαίτερα σε περιπτώσεις με μονωμένα ή πεπερασμένης αγωγιμότητας τοιχώματα. Για την επίλυση των οποίων, απαιτείται η επιπλέον επίλυση της εξίσωσης Poisson για το δυναμικό σε κάθε συνοριακή επιφάνεια, προκειμένου να ικανοποιηθεί η διατήρηση της ρεύματος εντός του υπολογιστικού πεδίου. Οι προσομοιώσεις ΜΥΔ ροής φυσικής συναγωγής αγώγιμού ρευστού αποτελούν ένα προνομιακό χώρο για την πιστοποίηση υπολογιστικών εργαλείων, καθώς υπάρχει πλήθος εργασιών που αποτελούν βάση σύγκρισης, που σχετίζονται με την ενσωμάτωση των ανωτέρω τεχνικών, για να επιτευχθεί αξιόπιστη εκκίνηση για την διερεύνηση άλλων προβλημάτων υπολογιστικής ΜΥΔ. Τα προβλήματα αυτά αφορούν ΜΥΔ ροές σε περιστρεφόμενα εγκλείσματα και η έρευνα εστιάζει στην φυσική αυτών των ροών υπό την επίδραση ομογενούς μαγνητικού πεδίου. Μελετώνται περιπτώσεις κυλινδρικού και σφαιρικού κελύφους, όπου στο εσωτερικό τους υφίσταται αγώγιμο στερεό σώμα που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Στο επίσης αγώγιμο ρευστό αναπτύσσεται παράλληλη δέσμη αντίθετης φοράς από αυτή του περιστρεφόμενου σώματος, η οποία γίνεται λεπτότερη και ταχύτερη με την αύξηση του μαγνητικού πεδίου Τα δύο μεγέθη μεταβάλλονται ασυμπτωτικά με την αύξηση του αριθμού Hartmann. Οι προσομοιώσεις περιορίζονται σε περιοχές αριθμών Ha από 0 μέχρι 600, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στους μικρούς αριθμούς Ha, καθώς σε αυτές τις περιοχές οι ιξώδεις όροι είναι ισχυροί και υπολογίσιμοι, κάτι που δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη στις θεωρητικές προσεγγίσεις. Οι υπολογισμοί σε αυτή την περιοχή επιτρέπουν την εξαγωγή συμπερασμάτων για μικρούς αριθμούς Ha, έτσι ώστε να συμπληρωθεί η εικόνα, που αδυνατούν να παράγουν οι αναλυτικές-ασυμπτωτικές λύσεις στην συγκεκριμένη περιοχή. Στο επόμενο βήμα, εξετάζεται σε κυλινδρική γεωμετρία ποιοτικά η αγωγιμότητα των τοιχωμάτων και οι επιδράσεις αυτών στο πεδίο ροής του αγώγιμου ρευστού. Η διαφορετική αγωγιμότητα των τοιχωμάτων επιφέρει σημαντικές αλλαγές στην συμπεριφορά του ρευστού σε σχέση με την υδροδυναμική περίπτωση. Η κατάλληλη επιλογή των τοιχωμάτων μπορεί να ελέγξει την ροή και την κλίση των ταχυτήτων στην επιφάνεια του τοιχώματος. Επίσης, παρατηρείται ότι η χρήση ηλεκτρικά αγώγιμών τοιχωμάτων οδηγεί στην εμφάνιση υπερ-περιστρεφόμενων δεσμών (super rotational jets) που αποτελεί αφετηρία τεχνολογικών εφαρμογών. Τέλος, στις ενδιάμεσες περιπτώσεις, όπου η ηλεκτρική αγωγιμότητα των τοιχωμάτων είναι μεταξύ των δύο ακραίων περιπτώσεων (πλήρως αγώγιμα ή μονωμένα), η συμπεριφορά του ρευστού δεν είναι αποτέλεσμα γραμμικών υπερθέσεων των δύο άκρων. Αντιθέτως, από τις προσομοιώσεις προκύπτει ότι ακόμη και για πολύ μικρό λόγο αγωγιμότητας, η ροή δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί ως ροή με μονωμένα τοιχώματα. Συγχρόνως, ο παραπάνω λόγος αποτελεί βασική παράμετρος για την εξέταση της διάβρωσης των μεταλλικών τοιχωμάτων του εγκλείσματος, με την εφαρμογή απλοποιημένου μοντέλου μεταφοράς συγκεντρώσεων. Με βάση το οποίο παρατηρείται ότι ο ρυθμός διάβρωσης, που σχετίζεται με τον αριθμό Sherwood, μεταβάλλεται μη γραμμικά με το μέτρο αγωγιμότητας.