Μελέτη μεθόδων διαμετατροπής των ιξωδοελαστικών συναρτήσεων σε ευρεία κλίμακα χρόνων και συχνοτήτων
Authors: Κατσουρίνης Στυλιανός 
Published: April 2021

Στην παρούσα διατριβή μελετήθηκαν οι θεμελιώδεις συναρτήσεις που χαρακτηρίζουν την ιξωδοελαστική συμπεριφορά των υλικών, καθώς και οι σχέσεις που τις συνδέουν, μέσα από την παρουσίαση διαφόρων μεθόδων διαμετατροπής (interconversion methods), και την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων που παράγει κάθε μία από αυτές. Για τον σκοπό αυτό αξιοποιήθηκαν τα διαθέσιμα πειραματικά δεδομένων αριθμού υλικών ευρείας κατηγορίας πολυμερικών συστημάτων. Αρχικά γίνεται μια παρουσίαση των βασικών ιξωδοελαστικών φαινομένων και των μεγεθών που τα χαρακτηρίζουν, ενώ παράλληλα εξάγονται οι αντίστοιχες καταστατικές σχέσεις, καθώς και οι σχέσεις εκείνες που συσχετίζουν τις θεμελιώδεις ιξωδοελαστικές συναρτήσεις. Ιδιαίτερη μνεία γίνεται στην επίδραση της θερμοκρασίας και την εξάρτηση των ιξωδοελαστικών συναρτήσεων από αυτή, καθώς και στην αρχή της ισοδυναμίας χρόνου-θερμοκρασίας, με βάση την οποία είναι εφικτό να κατασκευαστούν οι καμπύλες των βασικών ιξωδοελαστικών συναρτήσεων για ένα μεγάλο εύρος χρόνου ή συχνότητας, χωρίς να απαιτείται η διεξαγωγή πολύπλοκων και μεγάλης χρονικής διάρκειας πειραμάτων. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στα διάφορα μοντέλα που έχουν αναπτυχθεί με σκοπό να προσεγγιστούν τόσο η χαλάρωση όσο και ο ερπυσμός, ξεκινώντας από τα πιο απλά (μοντέλα Maxwell και Kelvin) και καταλήγοντας στα γενικευμένα μοντέλα Maxwell και Kelvin, τα οποία αποτελούν τα βασικά εργαλεία για την μηχανική αναπαράσταση των ανωτέρω φαινομένων, μέσω της έκφρασης των συναρτήσεων του μέτρου χαλάρωσης και της ενδοτικότητας ως σειρές Prony. Επιπλέον, παρουσιάστηκε η θεωρία των κλασματικών παραγώγων, καθώς και τα αντίστοιχα μοντέλα κλασματικής παραγώγου Maxwell και Kelvin, μαζί με τη γενικευμένη μορφή τους κατ’ αναλογία με τα κλασικά μοντέλα Maxwell και Kelvin, τα οποία δύναται να περιγράψουν τις βασικές ιξωδοελαστικές συναρτήσεις με σημαντικά μικρότερο αριθμό παραμέτρων. Προχωρώντας, παρουσιάζονται οι διάφοροι μέθοδοι διαμετατροπής των βασικών ιξωδοελαστικών συναρτήσεων. Η πρώτη μέθοδος διαμετατροπής που αναλύεται αφορά στην προσαρμογή των πειραματικών δεδομένων του μέτρου χαλάρωσης ή του μέτρου ενδοτικότητας με τη βοήθεια των γενικευμένων μοντέλων Maxwell και Kelvin και των σειρών Prony, ενώ η τελική ζητούμενη συνάρτηση του μέτρου ενδοτικότητας ή του μέτρου χαλάρωσης, αντίστοιχα, προκύπτει από την ολοκληρωτική σχέση που συνδέει τις δύο βασικές ιξωδοελαστικές συναρτήσεις. Ακολούθως, παρουσιάζονται πέντε διαφορετικές μέθοδοι διαμετατροπής. Οι δύο πρώτες από αυτές εκμεταλλεύονται και πάλι τις σειρές Prony και τα γενικευμένα μοντέλα Maxwell και Kelvin για την προσαρμογή και την διαμετατροπή των πειραματικών δεδομένων του μέτρου αποθήκευσης και του μέτρου απωλειών, ενώ οι τρεις υπόλοιπες βασίζονται σε καθαρά μαθηματικά μοντέλα, όπως είναι η σιγμοειδής συνάρτηση, η συνάρτηση stretched-exponential και μια απλή πολυωνυμική συνάρτηση μεγάλου βαθμού. Βασικό στοιχείο όλων αυτών των μεθόδων είναι ο υπολογισμός του ενδοτικού μέτρου αποθήκευσης και του αντίστοιχου μέτρου απωλειών με τη βοήθεια της σχέσης που συσχετίζει το μιγαδικό μέτρο χαλάρωσης με το μιγαδικό μέτρο ενδοτικότητας. Επιπλέον, αναλύεται η διαδικασία διαμετατροπής με τη βοήθεια των μοντέλων κλασματικής παραγώγου (Fractional Models), όπως τα γενικευμένα μοντέλα κλασματικής παραγώγου Maxwell και Kelvin και το μοντέλο κλασματικής παραγώγου Zener, όπου αξιοποιούνται και πάλι τα πειραματικά δεδομένα των δυναμικών μέτρων. Παράλληλα, εισάγεται στην σχέση υπολογισμού της συνάρτησης του μέτρου ενδοτικότητας ένας συντελεστής διόρθωσης, ο οποίος ορίζεται από τον λόγο της πειραματικής τιμής ισορροπίας του μέτρου ενδοτικότητας, προς την αντίστοιχη θεωρητική τιμή που υπολογίζεται από την ολοκληρωτική σχέση που περιγράφεται στο βιβλίο του Ferry (1980), γεγονός που προϋποθέτει την σαφή οριοθέτηση των περιοχών ισορροπίας των πειραματικών δεδομένων του μέτρου ενδοτικότητας των υπό εξέταση υλικών. Τέλος αναπτύσσεται και παρουσιάζεται και μία μέθοδος διαμετατροπής, η οποία βασίζεται στο μαθηματικό μοντέλο που αναπτύχθηκε από τον Drozdov και οδηγεί σε μία χρονοεξαρτώμενη καταστατική εξίσωση μεταξύ της εφαρμοζόμενης τάσης και της παρατηρούμενης παραμόρφωσης, εξαρτώμενη από μία συνάρτηση κατανομής των οριακών τιμών της δυναμικής ενέργειας που απαιτείται για την αναδιάταξη των μοριακών αλυσίδων του πολυμερούς. Στην ανάλυση που ακολουθεί χρησιμοποιούνται δύο τέτοιες συναρτήσεις, μία συνάρτηση κατανομής Gauss με μηδενική μέση τιμή και μία που προκύπτει από την διαδικασία κανονικοποίησης των πειραματικών δεδομένων του μέτρου απωλειών. Για τον έλεγχο της αποτελεσματικότητας των εν λόγω μεθόδων διαμετατροπής, αξιοποιήθηκαν τα στοιχεία διάφορων πολυμερών υλικών και συγκεκριμένα του Polymethyl Methacrylate (PMMA), του Ecovio® LBX 8145 (EC), του πολυμερούς PMMA με βαθμό cross-linking 1%, όσο και αυτά ενός ευρέως γνωστού βιοδιασπώμενου πολυμερούς το οποίο παράγεται από φυσικούς πόρους, του polylactic acid (PLA). Το τελικό συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι η χρήση των διάφορων μοντέλων (μηχανικών ή αποκλειστικά μαθηματικών), σε συνδυασμό με τη διαδικασία διαμετατροπής των βασικών ιξωδοελαστικών συναρτήσεων, είναι δυνατόν να περιγράψει σε ικανοποιητικό βαθμό την ιξωδοελαστική συμπεριφορά των πολυμερών υλικών, ανεξάρτητα της μεθόδου που θα χρησιμοποιηθεί. Η μέθοδος που τελικά θα επιλεγεί έγκειται στο υλικό που εξετάζεται κάθε φορά και την ποιότητα των διαθέσιμων πειραματικών δεδομένων, καθώς και στην απλότητα των υπολογισμών που προσφέρει κάθε μία από αυτές.