Ασύμμετρες σύμμορφες θεωρίες πεδίου μέσω ολοκληρώσιμων παραμορφώσεων και D-βράνες
Authors: Παππάς Γεώργιος 
Published: May 2024

Στόχος της παρούσας διατριβής είναι η κατασκευή και μελέτη μιας μεγάλης κλάσης ολοκληρώσιμων δισδιάστατων θεωριών πεδίου οι οποίες παρουσιάζονται ως γενικεύσεις των γνωστών στην βιβλιογραφία λ-προτύπων. Αυτές αποτελούν πολυπαραμετρικές παραμορφώσεις γινομένου $N$ \en Wess-Zumino-Witten (WZW) \gr προτύπων, ορισμένα με διαφορετικά επίπεδα. Οι τελεστές που απομακρύνουν τις θεωρίες μας από το σύμμορφο σταθερό σημείο συζευγνύουν τα \en Kac-Moody \gr ρεύματα από γειτονικές άλγεβρες και επάγουν μη τετριμμένες ροές της ΟΕ προς υπέρυθρα σταθερά σημεία. Η διατριβή είναι χωρισμένη σε τρία βασικά μέρη εκ των οποίων τα δύο πρώτα είναι βιβλιογραφικά, όπου παρουσιάζουμε έννοιες και τεχνικές απαραίτητες για την κατανόηση του τρίτου μέρους που αποτελεί το ερευνητικό.\noindent Συγκεκριμένα, το πρώτο μέρος παρουσιάζει τις έννοιες της κλειστής και ανοιχτής χορδής και συνδέει την απαίτηση της σύμμορφης/\en Weyl \gr συμμετρίας σε κβαντικό επίπεδο με την γεωμετρία του χώρου υποβάθρου. Στην συνέχεια μελετάμε ολοκληρώσιμες θεωρίες πεδίου δίνοντας έμφαση στα μαθηματικά εργαλεία της ολοκληρωσιμότητας και στο χειραλικό πρότυπο, ορισμένο σε χώρο ομάδας και πηλίκου (συμμετρικός). Πέραν των ολοκληρώσιμων προτύπων, ιδιαίτερα σημαντικές στην παρούσα έρευνα είναι και οι σύμμορφες θεωρίες πεδίου (ΣΘΠ). Παρουσιάζουμε το \en WZW \gr και διαγώνια βαθμωμένο \en WZW \gr πρότυπο, επικεντρώνοντας στον λαγκραντζιανό φορμαλισμό τους, και περιγράφουμε σύντομα τις ΣΘΠ σε ασύμμετρους χώρους πηλίκου. Τέλος, θεωρούμε ανοιχτές χορδές στα προαναφερθέντα πρότυπα και αναπτύσουμε το κατάλληλο θεωρητικό πλαίσιο για να συμπεριλάβουμε την ύπαρξη συνόρου στην κοσμική τους επιφάνεια με τελικό στόχο τον ορισμό σύμμορφων και ολοκληρώσιμων βρανών σε αυτά. \noindent Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζουμε τις λ-παραμορφώσεις σε χώρους ομάδας και χώρους πηλίκου. Αφού θεμελιώσουμε την ολοκληρώσιμη δομή του, και στις δύο περιπτώσεις χώρων, μελετάμε τις ροές της ΟΕ της παραμέτρου παραμόρφωσης υπολογίζοντας την β-συνάρτηση της. Η έκφραση της αποκαλύπτει ότι το πρότυπο παρεμβάλεται μεταξύ του \en WZW \gr προτύπου στο υπεριώδες και του μη αβελιανού Τ-δυϊκού προτύπου προς το υπέρυθρο. Τέλος βρίσκουμε τις ολοκληρώσιμες συνοριακές συνθήκες του προτύπου, οι οποίες αποδεικνύεται ότι διατηρούν την ίδια γεωμετρική εικόνα με τις σύμμορφες, στην περίπτωση του \en WZW\gr.\noindent Στο τρίτο και τελευταίο μέρος επικεντρωνόμαστε στα γενικευμένα λ-πρότυπα που αποτελούν την βάση της έρευνας μας. Αυτά ρέουν προς υπέρυθρες ΣΘΠ τις οποίες και επιθυμούμε να προσδιορίσουμε. Χρησιμοποιώντας την β-συνάρτηση των παραμέτρων παραμόρφωσης και το κεντρικό φορτίο στα υπέρυθρα σημεία, τα οποία υπολογίζουμε μέσω της συνάρτησης του \en Zamolodchikov, \gr βρίσκουμε ότι οι σύμμορφες άλγεβρες συμμετρίας των αντίστοιχων ΣΘΠ είναι ευαίσθητες στην επιλογή της διάταξης των επιπέδων. Παρότι η έκφραση του κεντρικού φορτίου συνδέεται άμεσα με την μορφή των συμμετριών, για τις περιπτώσεις $N>2$ δεν μπορούμε να τις προσδιορίσουμε μονοσήμαντα. Για τον λόγο αυτό επιστρατεύουμε τον λαγκραντζιανό φορμαλισμό των υπέρυθρων ΣΘΠ. Αναβαθμίζοντας σε τοπική, κάθε φορά, μια διαφορετική υποομάδα μετασχηματισμών της $G_L\times G_R$ συμμετρίας κατάλληλα επιλεγμένων $N$ \en WZW \gr προτύπων συμπεραίνουμε ότι οι επιθυμητές ΣΘΠ χαρακτηρίζονται από ασύμμετρους ολομορφικούς και αντιολομορφικούς τομείς. Παρόλη την ασυμμετρία, τα κεντρικά τους φορτία είναι ίσα, με αποτέλεσμα οι θεωρίες να είναι ελεύθερες από ανωμαλίες. Χρησιμοποιώντας τις συμμετρίες τους, παρατηρούμε ότι εξ' αυτών δεν είναι όλες ανεξάρτητες αλλά σχετίζονται μέσω ενός γενικευμένου τελεστή ομοτιμίας. Ορίζοντας την δράση του διαγραμματικά, αντιστοιχίζοντας την λαγκραντζιανή των ΣΘΠ σε πολύγωνα, προσδιορίζουμε με ευκολία το υποσύνολο των ανεξάρτητων ΣΘΠ. Στην συνέχεια μελετάμε $D$-βράνες εμβαπτισμένες στα πρότυπα ενδιαφέροντος με τρόπο που να διατηρούν την ολοκληρωσιμότητα τους. Αυτό επιτυγχάνεται ορίζοντας κατάλληλες συνοριακές συνθήκες μέσω της γενίκευσης της μεθόδου του συνοριακού μονόδρομου πίνακα και χρησιμοποιώντας την προσέγγιση σ-προτύπου δόθηκε η γεωμετρική τους ερμηνεία. Αποδεικνύουμε έτσι, ότι όλες οι γνωστές στην βιβλιογραφία γεωμετρίες βρανών που διατηρούν την σύμμορφη συμμετρία γινομένων \en WZW \gr προτύπων επιβιώνουν στα πρότυπά μας ως ολοκληρώσιμες και διαθέτουν χαρακτηριστικά ανεξάρτητα των παραμέτρων παραμόρφωσης. Τέλος κλείνουμε με την παρουσίαση των συμπερασμάτων και των μελλοντικών ερευνητικών κατευθύνσεων της έρευνας μας.