Η νοηματοδότηση της συνάρτησης ως συμμεταβολής μέσω δραστηριοτήτων μοντελοποίησης με τη χρήση εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας
Authors: Καφετζόπουλος Γεώργιος-Ιγνάτιος 
Published: May 2023

Η κατανόηση των συναρτήσεων και των συμμεταβολών αποτελεί κεντρική πτυχή της στατιστικής σκέψης και αναδεικνύεται ως ουσιώδης για την κατανόηση θεμελιωδών εννοιών της Στατιστικής και του Απειροστικού Λογισμού, όπως για παράδειγμα του ρυθμού μεταβολής. Η παρούσα διατριβή εστιάζει στη μελέτη της νοηματοδότησης της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων και τη μετάβαση προς τη συναρτησιακή σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών κατά τη μοντελοποίηση διερευνητικών προβλημάτων, τα οποία είναι εμπνευσμένα από αυθεντικές πρακτικές επαγγελματιών του χώρου εργασίας, μέσα από τη χρήση χειραπτικών και ψηφιακών εργαλείων. Επίσης, ερευνώνται τα είδη των συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων (π.χ. μεγέθη, μεταβλητές) τα οποία συμμεταβάλλονται, αλλά και τα μοντέλα που συμμετέχουν στη διαδικασία μοντελοποίησης, καθώς και στις συνδέσεις μεταξύ τους. Επιπλέον, ερευνάται ο ρόλος του μαθησιακού πλαισίου μέσα από τη μελέτη των παρεμβάσεων του εκπαιδευτικού και τον ρόλο των εργαλείων. Η αλγεβρική μοντελοποίηση γεωμετρικών εξαρτήσεων προσφέρεται ως πεδίο ευκαιριών για την εμπλοκή των μαθητών με τη συναρτησιακή σκέψη και κατ’ επέκταση τη νοηματοδότηση της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων. Είναι γνωστό ότι η χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας αποτελεί εδώ και πολλά χρόνια κεντρικό στοιχείο για την κατανόηση της συνάρτησης ιδιαίτερα μέσα από τη χρήση κατάλληλα σχεδιασμένων ψηφιακών περιβαλλόντων που προσφέρουν διασυνδεόμενες αλγεβρικές και γεωμετρικές αναπαραστάσεις της συνάρτησης. Η παρούσα έρευνα βασίζεται στην χρήση του ψηφιακού περιβάλλοντος Casyopée, το οποίο παρέχει τη δυνατότητα δημιουργίας μίας συνάρτησης από δύο συμμεταβαλλόμενες ποσότητες και της νοηματοδότησής της μέσω της χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων. Στην παρούσα διατριβή ακολουθήθηκε ποιοτική μεθοδολογία έρευνας και συλλέχθηκαν δεδομένα από δύο φάσεις σχεδιασμού και εφαρμογής κατά τη διάρκεια δύο ετών σε τρία σχολεία. Συγκεκριμένα, παρατηρήθηκε ο τρόπος που ομάδες μαθητών Β΄ λυκείου από τρεις σχολικές τάξεις νοηματοδοτούν τη συνάρτηση ως σχέση μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων μέσω από την εμπλοκή τους με δραστηριότητες μοντελοποίησης εμπνευσμένες από αυθεντικές καταστάσεις και ειδικά σχεδιασμένα ψηφιακά εργαλεία. Οι παρεμβάσεις βιντεοσκοπήθηκαν, ηχογραφήθηκαν και αποτέλεσαν το κύριο σώμα των δεδομένων. Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκε η θεμελιωμένη θεωρία ανάλυσης (grounded theory) και το θεωρητικό πλαίσιο μαθησιακές τροχιές (Clements & Sarama, 2004) σε συνδυασμό με την Αφαίρεση εντός Πλαισίου (Dreyfus et al., 2015). Τα δύο θεωρητικά πλαίσια χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από κοινού προκειμένου να σκιαγραφηθεί ο τρόπος που νοηματοδοτείται η συνάρτηση ως σχέση μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων, αλλά και να αναλυθούν τα στοιχεία του πλαισίου που συμμετέχουν στη νοηματοδότηση της συνάρτησης κατά τη διερεύνηση δραστηριοτήτων μοντελοποίησης. Ως μοντελοποίηση θεωρείται η εργασία σε διάφορα μοντέλα της πραγματικότητας τα οποία ανήκουν σε διαφορετικά επιστημονικά πεδία περιλαμβάνοντας διάφορες μαθηματικοποιήσεις. Η παρούσα έρευνα βασίστηκε στον ορισμό διαφορετικών μοντέλων, τα οποία εμπλέκονται κατά τη μετάβαση από τη συμμεταβολή στις συναρτησιακές σχέσεις. Η νοηματοδότηση της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων είναι αλληλένδετη με την εργασία των μαθητών στα διαφορετικά μοντέλα. Συνεπώς, αναλύθηκαν οι συνδέσεις μεταξύ των διαφορετικών μοντέλων κατά τη μοντελοποίηση δραστηριοτήτων με στόχο την πιο ολοκληρωμένη σκιαγράφηση της νοηματοδότησης. Επίσης, μέσα από τις παρεμβάσεις του εκπαιδευτικού και από τον ρόλο των εργαλείων αναλύθηκε ο ρόλος του πλαισίου εφαρμογής στις νοηματοδοτήσεις των μαθητών.Τα αποτελέσματα δείχνουν την ανερχόμενη σταδιακή νοηματοδότηση των συναρτησιακών σχέσεων ξεκινώντας από τις ποσοτικές και συμμεταβαλλόμενες σχέσεις μέσα από τη χρήση των μαθησιακών τροχιών. Επίσης, φαίνεται ο ρόλος των μοντέλων, αλλά και των συνδέσεων μεταξύ τους στην εξέλιξη των νοηματοδοτήσεων των μαθητών. Χρησιμοποιώντας την Αφαίρεση εντός Πλαισίου φαίνεται η δυνατότητα των μαθητών λυκείου να νοηματοδοτούν τη συνάρτηση ως σχέση μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων περιλαμβάνοντας τον ρυθμό μεταβολής. Παράλληλα, φωτίζεται ο ρόλος του πλαισίου κατά την εφαρμογή των δραστηριοτήτων μέσα από τις παρεμβάσεις του εκπαιδευτικού και τη χρήση των διαθέσιμων εργαλείων. Τα συμπεράσματα της διατριβής περιλαμβάνουν την ενημέρωση της υπάρχουσας έρευνας σχετικά με τη ανερχόμενη διαδικασία νοηματοδότησης της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων, τον κρίσιμο ρόλο των συνδέσεων των μοντέλων κατά τη μοντελοποίηση δραστηριοτήτων, τον καθοριστικό ρόλο των εργαλείων για τη μετάβαση στις συναρτησιακές σχέσεις, τον καθοριστικό ρόλο των θεωρητικών πλαισίων, τη σύνδεση της μαθησιακής τροχιάς τόσο με τις υπάρχουσες κατηγοριοποιήσεις όσο και με τις έρευνες που υποστηρίζουν τη σύνδεση μεταξύ ποσοτικών, συμμεταβαλλόμενων και συναρτησιακών σχέσεων με τη μοντελοποίηση. Η παρούσα διατριβή συνεισφέρει στα προαναφερθέντα πεδία, αλλά και σε εκπαιδευτικούς, σχεδιαστές δραστηριοτήτων και ερευνητές που ασχολούνται με τις συναρτήσεις και τις συμμεταβολές. Πιο συγκεκριμένα, βοηθά στο να είναι ενήμεροι για (α) τον κρίσιμο ρόλο των μοντέλων στη δραστηριότητα των μαθητών ιδιαίτερα όταν εμπλέκονται ψηφιακά εργαλεία, (β) τη διαφορετικότητα των συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων στα μοντέλα, (γ) τις απαιτήσεις του σχεδιασμού δραστηριοτήτων που ενσωματώνουν αυθεντικές καταστάσεις και μοντελοποίηση και (δ) τον ρόλο του εκπαιδευτικού και των εργαλείων στην εφαρμογή των δραστηριοτήτων.