Competencia y colusión en el juego de Hotelling
Authors:   , Garcia Perez Luis 
Published: February 2025

This doctoral thesis belongs to the field of science called Game Theory and, specifically, addresses the analysis of Hotelling's game. In the model defined by Harold Hotelling (1895-1973), two players sell the same product and compete in location and price along a linear market segment where potential consumers are homogeneously distributed. A customer decides to buy the product from one of them on the basis of the price and the transportation cost from his position to the point of sale. In addition to the original model, this thesis addresses the reservation cost game and the game with elastic (variable) demand, called Hotelling-Smithies game. The game is analyzed from several points of view, depending on the market structure (monopoly vs. duopoly) and on the type of the transportation cost function (lineal vs quadratic). Different tools are used in this work to study Hotellings game, such as numerical simulation techniques based on cellular automata and the entanglement of players strategies based on Quantum Game Theory.

To characterize the game, two specific game situations are analyzed: the Nash equilibrium and the Pareto optimal solution. The Nash equilibrium is the game situation in which the strategy of each player is the best response to the strategy of the rest, while the Pareto optimal is given by a combination of strategies where the players agree to achieve the maximum possible payoffs, against the consumer interest (collusion).

Under these premises, the research aim is to apply a new and reliable methodology which allows analyzing the game in a highly operational way, particularly locating its critical solutions (Nash equilibrium, Pareto optimal solution...). In the context of this general purpose, other more specific objectives are covered, such as the evaluation of the effectiveness and accuracy of the simulation technique used, the analysis of the effect of quantization on the results compared to the classic game (in absence of entanglement), the study of the model with close players or how particular values of the parameters involved in the game can increase the payoffs.

After this research, as a first conclusion, it is verified that the numerical simulation technique used constitutes a powerful tool in the analysis of the game, its monitoring and the knowledge of its real behaviour, especially when an analytical solution cannot be obtained. Regarding quantization, at a general level, it is concluded that, for high entanglement values, the Pareto optimal solution emerges in the Nash equilibrium as a form of collusion, maximizing the payoffs of the players and improving the result of the classic game in this sense. The study of the game with close players has made it possible to calculate the strategy to which the players tend when there is no equilibrium (collective consensus solution), theoretically predicted in the specialized scientific literature, and to observe that the equilibrium region increases progressively in the three versions of the game analyzed: original model, the game with reservation cost and the Hotelling-Smithies game.

RESUMEN

Esta tesis doctoral se enmarca en la rama de la ciencia denominada Teoría de Juegos y, en concreto, aborda el análisis del juego de Hotelling. En el modelo definido por Harold Hotelling (1895-1973), dos jugadores venden un mismo producto y compiten en localización y precio a lo largo de un segmento de mercado lineal donde se distribuyen homogéneamente los potenciales consumidores. Un consumidor decide comprar el producto a uno de ellos en función del precio y el coste de desplazamiento desde su posición al punto de venta. Además del modelo original, en esta tesis se abordan el juego con límite de coste y el juego con demanda elástica (variable), denominado juego de Hotelling-Smithies. Se analiza el juego desde diversos puntos de vista, dependiendo de la estructura del mercado (monopolio vs. duopolio) y del tipo de función de coste de desplazamiento (lineal vs. cuadrática). En este trabajo se utilizan diferentes herramientas para el estudio del juego de Hotelling, tales como técnicas de simulación numérica basadas en autómatas celulares o el entrelazamiento de las estrategias de los jugadores basado en la Teoría de Juegos Cuántica.

Para caracterizar el juego, se analizan principalmente dos situaciones específicas del mismo: el equilibrio de Nash y la solución óptima de Pareto. El equilibrio de Nash es la situación del juego en la cual la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta a la estrategia del resto, mientras que el óptimo de Pareto viene dado por una combinación de estrategias donde los jugadores se ponen de acuerdo para obtener los máximos beneficios posibles, en contra de los intereses del consumidor (colusión).

Bajo estas premisas, el objetivo de esta investigación es aplicar una metodología novedosa y fiable que permita analizar el juego de forma altamente operativa, en particular localizando sus soluciones críticas (equilibrio de Nash, óptimo de Pareto...). En el contexto de este propósito general, se cubren otros objetivos más específicos como la evaluación de la eficacia y exactitud de la técnica de simulación utilizada, el análisis del efecto de la cuantización en los resultados en comparación con el juego clásico (sin entrelazamiento), el estudio del modelo con jugadores próximos o cómo valores concretos de los parámetros que intervienen en el juego pueden aumentar los beneficios.

Tras este trabajo de investigación, como una primera conclusión, se comprueba que la técnica de simulación numérica utilizada constituye una poderosa herramienta en el análisis del juego, su monitorización y el conocimiento del comportamiento real del mismo, especialmente cuando no se puede obtener una solución analítica. En cuanto a la cuantización, a nivel general, se concluye que, para valores de entrelazamiento elevados, la solución óptima de Pareto emerge en el equilibrio de Nash como una forma de colusión, maximizando los beneficios de los jugadores y mejorando el resultado del juego clásico en este sentido. El estudio del juego con jugadores próximos ha permitido calcular la estrategia a la que tienden los jugadores cuando no existe equilibrio (solución de consenso colectiva), anticipada de forma teórica en la literatura científica especializada, y observar que la región de equilibrio aumenta progresivamente en las tres versiones del juego analizadas: modelo original, el juego con límite de coste y el juego de Hotelling-Smithies.