Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα βελτιστοποίησης υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση υδρολογικών μοντέλων
Authors: Ευστρατιάδης Ανδρέας 
Published: August 2021

Επιχειρείται μια ολοκληρωμένη προσέγγιση του αντικειμένου της πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης, τόσο ως προς το μαθηματικό-υπολογιστικό του σκέλος (επισκόπηση και ανάπτυξη αλγορίθμων) όσο και το πρακτικό σκέλος, που αφορά στην εφαρμογή τέτοιων προσεγγίσεων στην επιστήμη και τεχνολογία υδατικών πόρων. Ως προς το τελευταίο, η έμφαση δίνεται σε ένα από τα πλέον απαιτητικά προβλήματα, ήτοι στην εκτίμηση των παραμέτρων σύνθετων υδρολογικών μοντέλων, με χρήση πολλαπλών κριτηρίων προσαρμογής. Το πρόβλημα εξετάζεται ως προς διάφορες πτυχές του, από τη διαμόρφωση του μοντέλου (σχηματοποίηση, παραμετροποίηση) μέχρι τη διαδικασία βαθμονόμησης και την στρατηγική επιλογής της καλύτερα συμβιβαστικής λύσης. Η διερεύνηση ξεκινά από την απλή δομή του προβλήματος βελτιστοποίησης, που αφορά σε μη κυρτές βαθμωτές συναρτήσεις. Το ενδιαφέρον εστιάζεται στις τεχνικές ολικής αναζήτησης, για τις οποίες διατυπώνεται ένα πλαίσιο αλγοριθμικών απαιτήσεων (ευρωστία, αμεροληψία, γενικότητα, αποτελεσματικότητα, αποδοτικότητα, εγγυημένη σύγκλιση, ευκολία στη χρήση). Με βάση αυτό, αξιολογούνται οι υφιστάμενες μέθοδοι, αρκετές από τις οποίες εμπνέονται από συναφείς φυσικές (π.χ. προσομοιωμένη ανόπτηση) και βιολογικές διεργασίες (π.χ. γενετικοί αλγόριθμοι). Ο χειρισμός του προβλήματος διαφοροποιείται ριζικά εφόσον λαμβάνονται υπόψη περισσότερα του ενός κριτήρια, που είναι μεταξύ τους ανταγωνιστικά ή δεν αποτιμώνται σε κοινή μονάδα μέτρησης. Το υπόβαθρο μιας τέτοιας προσέγγισης είναι η έννοια της κυριαρχίας, που συνεπάγεται την ύπαρξη πολλαπλών εναλλακτικών λύσεων που είναι από μαθηματική οπτική βέλτιστες, διαμορφώνοντας το λεγόμενο μέτωπο Pareto στο πεδίο αποτίμησης. Μετακινούμενοι στην επιφάνεια του μετώπου, δεν είναι δυνατή η βελτίωση ενός κριτηρίου χωρίς την επιδείνωση ενός τουλάχιστον άλλου. Στα πλαίσια της εργασίας εξετάζεται με λεπτομέρεια το ιστορικό των μεθόδων πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης. Οι πλέον σύγχρονες προσεγγίσεις υλοποιούνται ως παραλλαγές των εξελικτικών αλγορίθμων, αποσκοπώντας στην παραγωγή ενός προκαθορισμένου πλήθους μη κατωτέρων λύσεων, που περιγράφουν όσον το δυνατό πιο αντιπροσωπευτικά το μέτωπο Pareto. Κύρια συμβολή είναι η ανάπτυξη εξελικτικών σχημάτων ανόπτησης-απλόκου (annealing-simplex), η δομή των οποίων προσαρμόστηκε στις ιδιαιτερότητες της μη γραμμικής βελτιστοποίησης, βαθμωτής ή διανυσματικής. Η πρώτη περίπτωση αντιμετωπίζεται μέσω μιας συνδυαστικής στρατηγικής, όπου υιοθετείται ένα εξελικτικό σχήμα, ήτοι ένας αρχικός πληθυσμός τυχαίων σημείων, που συγκλίνουν σε ένα πρόσφορο ακρότατο της συνάρτησης. Οι παραγωγικές διαδικασίες έχουν ως υπόβαθρο μια γενίκευση του γνωστού σχήματος κατερχόμενου απλόκου, οι κορυφές του οποίου επιλέγονται τυχαία από τον υφιστάμενο πληθυσμό σε κάθε γενιά. Η προς αντικατάσταση κορυφή επιλέγεται στη βάση μιας τροποποιημένης στοχικής συνάρτησης, όπου στην πραγματική τιμή της προστίθεται μια τυχαία μεταβλητή, που είναι ανάλογη της τρέχουσας «θερμοκρασίας» (ο όρος προέρχεται από την προσομοιωμένη ανόπτηση, υποδηλώνοντας ένα ρυθμιστή της τυχαιότητας των διαδικασιών επιλογής). Για τη γέννηση νέων σημείων, πέρα από τους τυπικούς γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, εμπλουτίζονται οι κινήσεις του απλόκου και ενσωματώνονται στοχαστικοί όροι, που εξασφαλίζουν ευελιξία στις τραχείες επιφάνειας απόκρισης. Η παραπάνω στρατηγική αναζήτησης διατηρείται, με ορισμένες τροποποιήσεις, στη βελτιστοποίηση διανυσματικών συναρτήσεων, ο χειρισμός των οποίων γίνεται μέσω του πολυκριτηριακού εξελικτικού αλγορίθμου ανόπτησης-απλόκου (multiobjective evolutionary annealing-simplex, MEAS). Η διαφορά έγκειται, κυρίως, στη διαδικασία αποτίμησης, με την οποία διαμορφώνεται ένα σύνθετο μέτρο που περιλαμβάνει τέσσερις όρους: • έναν ακέραιο βαθμό τάξης, που αποτιμά τη σχετική επίδοση κάθε σημείου με βάση τον αριθμό των ατόμων επί των οποίων κυριαρχεί και τον αριθμό των ατόμων ως προς τα οποία κυριαρχείται • έναν βαθμό τάξης που επιτρέπει τη σύγκριση ενός σημείου σε σχέση με αδιάφορες, ως προς αυτό, λύσεις, με βάση τον μέσο αριθμό κριτηρίων ως προς τα οποία υπερτερεί (ο όρος αυτός έχει νόημα σε προβλήματα τριών ή περισσότερων κριτηρίων) • έναν όρο ποινής, που εξαρτάται από την πυκνότητα του πληθυσμού στη γειτονιά κάθε σημείου, δηλαδή το ποσοστό των λύσεων που ανήκουν σε κοινούς θύλακες • έναν όρο εφικτότητας, με τον οποίο εισάγεται ποινή στην περίπτωση που κάποια λύση βρίσκεται εκτός του επιθυμητού εύρους διακύμανσης των τιμών των κριτηρίων. Με συνάθροιση των παραπάνω προκύπτει μια τεχνητή επιφάνεια απόκρισης, με εξαιρετικά μεγάλη ποικιλία τιμών, η οποία αναδιαμορφώνεται σε κάθε γενιά. Με εισαγωγή κατάλληλων παραμέτρων, εξασφαλίζεται αυτόματη προσαρμογή του χρονοδιαγράμματος ανόπτησης, ώστε να διατηρείται ικανή αλλά όχι υπερβολική τυχαιότητα κατά την εξελικτική διαδικασία. Η επίδοση της μεθόδου MEAS αξιολογείται ως προς ένα πλήθος αντιπροσωπευτικών προβλημάτων και συγκρίνεται ως προς δύο τυπικές εκπροσώπους της δεύτερης (non-dominated sorting genetic algorithm, NSGA) και τρίτης (strength Pareto evolutionary algorithm, SPEA) γενιάς πολυκριτηριακών εξελικτικών αλγορίθμων. Το πρώτο στάδιο ελέγχων έχει ως βάση 11 βιβλιογραφικές συναρτήσεις δύο κριτηρίων, που διαφοροποιούνται ως προς τον αριθμό των μεταβλητών ελέγχου και τη γεωμετρία του μετώπου Pareto. Σε όλα τα προβλήματα, η μέθοδος MEAS αποδεικνύεται εξαιρετικά αποτελεσματική, τόσο ως προς την ακρίβεια όσο και ως προς την ταχύτητα προσέγγισης του μετώπου. Ακολουθεί μια εφαρμογή στοχαστικής υδρολογίας, η αποσύνθεση των μητρώων συνδιασπορών κατά την εκτίμηση των παραμέτρων πολυμεταβλητών μοντέλων, όπου επιδιώκεται η ταυτόχρονη ελαχιστοποίηση δύο μέτρων: (α) απόκλιση προσομοιωμένων από δειγματικές συνδιασπορές, και (β) μέγιστη ασυμμετρία παραγόμενου λευκού θορύβου. Η εφαρμογή αφορά στις παραμέτρους ενός περιοδικού σχήματος αυτοπαλινδρόμησης πρώτης τάξης 8 μεταβλητών, που αναφέρονται στις μεταβλητές απορροής και βροχόπτωσης των ταμιευτήρων της Αθήνας. Διερευνάται μια ιδιαίτερη πτυχή της μεθόδου, ήτοι η ενσωμάτωση περιορισμών εφικτότητας στο πεδίο αποτίμησης, με την οποία εξασφαλίζεται καλύτερη εποπτεία του προβλήματος, για ένα τέτοιο μεγάλο εύρος ανταγωνιστικότητας των κριτηρίων. Η πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση είναι κατάλληλη για προβλήματα σχεδιασμού και ανάλυσης πολύπλοκων συστημάτων, όπως των υδατικών πόρων. Εξετάζονται, συνοπτικά, τρεις κατηγορίες τεχνολογικών προβλημάτων (διαχείριση ταμιευτήρων, έλεγχος ποιότητας υδροφορέων, σχεδιασμός και αποκατάσταση δικτύων ύδρευσης), ενώ διερευνάται ενδελεχώς μια ειδική κατηγορία εφαρμογών, που αναφέρεται στην εκτίμηση των παραμέτρων υδρολογικών μοντέλων μέσω βαθμονόμησης. Η κλασική διαδικασία αυτόματης βαθμονόμησης αποσκοπεί στην προσαρμογή των προσομοιωμένων αποκρίσεων σε ένα δείγμα παρατηρήσεων πεδίου, με βάση ένα καθολικό κριτήριο επίδοσης, που αντιστοιχεί στη στοχική συνάρτηση ενός προβλήματος ολικής βελτιστοποίησης. Καταδεικνύεται ότι μια τέτοια προσέγγιση δεν εξασφαλίζει επαρκή προγνωστική ικανότητα του μοντέλου, γεγονός που οφείλεται σε ένα πλήθος αβεβαιοτήτων που αλληλεπιδρούν κατά τρόπο ανεξέλεγκτο. Ορισμένες είναι εγγενείς (π.χ. σφάλματα δεδομένων), άλλες όμως μπορούν να ελεγχθούν και να περιοριστούν κατά τη διατύπωση του μοντέλου (π.χ. παραμετροποίηση). Η αβεβαιότητα συνδέεται με την έννοια της ισοδυναμίας (equifinality), που στην πράξη υποδηλώνει ότι μοντέλα διαφορετικής δομής ή με διαφορετικές τιμές παραμέτρων μπορούν να παράξουν αποδεκτές αποκρίσεις. Τελικά, προτείνεται ένα πλαίσιο για το χειρισμό υδρολογικών μοντέλων, που περιλαμβάνει: • ένα πλέγμα αρχών που εξασφαλίζουν συνεπή σχηματοποίηση και παραμετροποίηση • κατευθύνσεις αξιοποίησης των μη συστηματικών μετρήσεων και της υδρολογικής εμπειρίας, στα πλαίσια μιας πολυκριτηριακής προσέγγισης, η οποία αποσκοπεί στην ερμηνεία των παραμέτρων σύνθετων μοντέλων με αναγκαστικά μεγάλο πλήθος βαθμών ελευθερίας • στρατηγικές υβριδικής βαθμονόμησης, που συνδυάζουν την ανθρώπινη εμπειρία και τη χρήση αυτοματοποιημένων εργαλείων βελτιστοποίησης, με σκοπό την παραγωγή ρεαλιστικών (ως προς το φυσικό υπόβαθρο) παραμέτρων, που εξασφαλίζουν ικανοποιητική προγνωστική ικανότητα. Οι παραπάνω αρχές εφαρμόζονται στο υδροσύστημα του Βοιωτικού Κηφισού, που χαρακτηρίζεται από σημαντικές ιδιαιτερότητες όσον αφορά στο φυσικό του καθεστώς και στη διαχείριση των υδατικών πόρων. Η αναπαράσταση των υδρολογικών και ανθρωπογενών διεργασιών γίνεται με το μοντέλο ΥΔΡΟΓΕΙΟΣ, συνιστώσες του οποίου αναπτύχθηκαν στα πλαίσια της διατριβής. Εξηγούνται η φιλοσοφία της σχηματοποίησης και παραμετροποίησης, η κατασκευή των δεδομένων εισόδου, γεωγραφικών και υδρολογικών, και η διατύπωση των κριτηρίων ελέγχου. Αυτά αφορούν σε τυπικά στατιστικά μέτρα προσαρμογής και σε εμπειρικά μέτρα, που επιτρέπουν καλύτερο έλεγχο των μετρημένων αποκρίσεων (έλεγχος στείρευσης της παροχής) και εξασφαλίζουν συνεπή αναπαράσταση αποκρίσεων που δεν ελέγχονται μέσω μετρήσεων (δίαιτα υπόγειου νερού). Η προσαρμογή του μοντέλου γίνεται για την περίοδο 1984-1994, με βάση το μηνιαίο δείγμα παροχής στην έξοδο της λεκάνης και σποραδικές υδρομετρήσεις κατάντη έξι κύριων καρστικών πηγών της. Το πρόβλημα βαθμονόμησης περιλαμβάνει 100 παραμέτρους και 40 κριτήρια και αντιμετωπίζεται σε δύο φάσεις. Αρχικά, διατυπώνεται ένα καθολικό μέτρο προσαρμογής και υιοθετείται μια υβριδική ημιαυτόματη στρατηγική, με σταδιακή βελτιστοποίηση των παραμέτρων κατά ομάδες. Μετά από επίπονη προσπάθεια, εντοπίζεται μια λύση που εξασφαλίζει ικανοποιητική επίδοση τόσο κατά την περίοδο βαθμονόμησης όσο και κατά την περίοδο επαλήθευσης, για όλα τα υδρογραφήματα, με ευλογοφανείς τιμές παραμέτρων. Στη συνέχεια, επιλύονται, με τη μέθοδο MEAS, έξι πολυκριτηριακά προβλήματα, θεωρώντας τις πιο σημαντικές παραμέτρους. Σε κάθε πρόβλημα χρησιμοποιείται διαφορετικός αριθμός κριτηρίων (από δύο έως επτά), με εισαγωγή ή όχι περιορισμών εφικτότητας. Στα πλαίσια των αναλύσεων διερευνώνται οι ανταγωνισμοί των κριτηρίων και το εύρος αβεβαιότητας των παραμέτρων, ενώ επιχειρείται ερμηνεία των μη ομαλών γεωμετριών των μετώπων Pareto. Τέλος, εντοπίζεται μια μη κατώτερη λύση, που εξασφαλίζει καλύτερη επίδοση σε σχέση με τη λύση της υβριδικής βαθμονόμησης, κατά την περίοδο επαλήθευσης (1990-1994). Επιπλέον, η προγνωστική ικανότητα του μοντέλου ελέγχεται για μια εκτενή περίοδο (1907-2003), που είναι υπερδεκαπενταπλάσια της περιόδου βαθμονόμησης. Παρά τις ασάφειες που οφείλονται στην προσεγγιστική κατασκευή των δεδομένων εισόδου για τόσο μεγάλο χρονικό ορίζοντα, η επίδοση του μοντέλου κρίνεται πολύ ικανοποιητική. Με κριτήριο τις διαχειριστικές απαιτήσεις της εφαρμογής, επιλέγεται ως καλύτερα συμβιβαστικό το σύνολο παραμέτρων που προέκυψε από τις πολυκριτηριακές αναλύσεις, γεγονός που τεκμηριώνει την πρακτική χρησιμότητα της προτεινόμενης προσέγγισης, για την εύρεση πρόσφορων λύσεων σε εξαιρετικά σύνθετα προβλήματα βαθμονόμησης.