Duality and integrability in superstring and gauge field theory
Authors: Φίλιππας Κωνσταντίνος 
Published: February 2023

Στην παρούσα διατριβή, εξερευνούμε ορισμένες πτυχές της θεωρίας υπερχορδών και της υπερσυμμετρικής θεωρίας πεδίου βαθμίδας, ανεξάρτητα καθώς και στο πλαίσιο της ολογραφικής δυϊκότητας. Το πρώτο μέρος της διατριβής είναι αφιερωμένο στην κλασική ολοκλήρωσιμότητα και, ειδικότερα, σε ορισμένες μεθόδους αναλυτικής μη-ολοκλήρωσιμότητας, οι οποίες χρησιμοποιούνται σε διάφορες λύσεις της υπερβαρύτητας. Στο Κεφάλαιο 1, εισάγουμε εκείνα τα εργαλεία μη-ολοκλήρωσιμότητας, τα οποία συνίστανται στην επιλογή μιας κατάλληλης εμβάπτισης της χορδής και στη χρήση της διαφορικής θεωρίας Galois στο σχετικό σύστημα Hamilton. Το πεδίο εφαρμογής όλων αυτών, για το πρώτο κεφάλαιο, είναι δύο κατηγορίες λύσεων στη μαζική υπερβαρύτητα τύπου ΙΙΑ, οι οποίες αποδεικνύονται μη-ολοκληρώσιμες, έως και τις τετριμμένες περιπτώσεις όπου η λύση ανάγεται σε Αβελιανή και μη-Αβελιανή Τ-δυϊκή λύση γνωστών ολοκληρώσιμων υποβάθρων. Σε αυτό το πλαίσιο, η διαφορική θεωρία Galois παίρνει αλγεβρική μορφή μέσω του θεωρήματος του Kovacic, η σωστή χρήση του οποίου, για παραμετροποιημένες διαφορικές εξισώσεις, διευκρινίζεται στις παραπάνω εφαρμογές.Στο Κεφάλαιο 2, μελετάμε την ολοκληρωσιμότητα για μια λύση υπερβαρύτητας η οποία είναι Τ-δυϊκή της πεδιακής Ω-παραμόρφωσης της υπερσυμμετρικής Yang-Mills θεωρίας. Η παραμόρφωση εκδηλώνεται ως ενεργοποίηση ενός πεδίου Kalb-Ramond στη λύση της δυϊκής υπερβαρύτητας και, κατασκευάζοντας κατάλληλες εμβαπτίσεις χορδών, δείχνουμε ότι ο χώρος αυτός εμφανίζει μη-ολοκληρώσιμη δυναμική. Αυτό, με τη σειρά του, υποδηλώνει ότι η Ω-παραμόρφωση δεν διατηρεί την κλασική ολοκλήρωσιμότητα. Στο Κεφάλαιο 3, διερευνούμε την ολοκλήρωσιμότητα σε λύσεις στη μαζική υπερβαρύτητα τύπου IIA, δυϊκές σε εξαδιάστατες υπερσύμμορφες quiver θεωρίες πεδίου. Η αναλυτική μη-ολοκλήρωσιμότητα δείχνει ότι όλες οι λύσεις με πεπλεγμένη γεωμετρία, μεταξύ του χώρου Anti-de-Sitter και της εσωτερικής πολλαπλότητας, παρουσιάζουν πλήρη μη-ολοκλήρωσιμότητα, ενώ το αντίθετο αποδεικνύεται στην ειδική περίπτωση του μη-πεπλεγμένου χώρου. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι, εκτός από την ολοκλήρωσιμότητα στον συμμετρικό υποχώρο Anti-de-Sitter της μη-πεπλεγμένης γεωμετρίας, το σ-μοντέλο στην εσωτερική πολλαπλότητα είναι μια ολοκληρώσιμη παραμόρφωση του ίδιου μοντέλου στη συμμετρική τρία-σφαίρα, που τελικά συνεπάγεται κλασική ολοκλήρωσιμότητα της μποζονικής θεωρίας χορδών για αυτή την ειδική λύση. Το δεύτερο μέρος της διατριβής είναι αφιερωμένο στην ολογραφία και, ειδικότερα, στη δυϊκότητα AdS/CFT, την οποία εκμεταλλευόμαστε για να μελετήσουμε χαρακτηριστικά ορισμένων υπερσυμμετρικών κβαντικών θεωριών πεδίου σε δύο χωροχρονικές διαστάσεις. Πιο συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 4, το τελευταίο κεφάλαιο, μελετάμε τη δυϊκότητα μεταξύ λύσεων της υπερβαρύτητας τύπου IIA και δισδιάστατων δομών quiver. Αφού κατηγοριοποιήσουμε όλα τα είδη λύσεων βαρύτητας, απομυθοποιούμε αυτές που φαίνεται να αντανακλούν ανώμαλες θεωρίες βαθμίδας. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι υπάρχουν δέσμιες καταστάσεις D-βρανών στο όριο του χώρου, οι οποίες παρέχουν στη δυϊκή θεωρία quiver ακριβώς τη σωστή ποσότητα ύλης προκειμένου να ακυρωθούν οι ανωμαλίες βαθμίδας. Προτείνουμε επίσης ότι η δομή αυτής της θεωρίας πεδίου θα πρέπει να συμπληρωθεί με πρόσθετη ύλη στη δι-θεμελιώδη αναπαράσταση, ενώ, τέλος, κατασκευάζουμε μια BPS εμβάπτιση χορδής και χρησιμοποιούμε την παλιά και τη νέα υπερσυμμετρική ύλη για να χτίσουμε τον δυϊκό υπεριώδη τελεστή της.