Mathematical and computational modeling for the generation and propagation of waves in marine and coastal environments
Authors: Καζολέα Μαρία 
Published: August 2021

Στο ϑαλάσσιο περιβάλλον εξελίσσεται ταυτόχρονα ένα πλήθος κυµατικών ϕαινοµένων,αρκετά από τα οποία βρίσκονται σε ουσιώδη σύζευξη µεταξύ τους. Η προσοµοίωσητης γένεσης και διάδοσης των κυµατισµών και η ακριβής περιγραφή τωνµετασχηµατισµών που υφίστανται στις παράκτιες περιοχές είναι απαραίτητη σεσχέση µε τον σχεδιασµό των ϑαλάσσιων κατασκευών, την ασφάλεια καθώς και τηνπρόβλεψη της εξέλιξης του προφίλ της ακτογραµµής. ΄Ενα από τα πιο ενδιαφέροντακαι ενεργά πεδία έρευνας, τις τελευταίες δεκαετίες είναι η µαθηµατική και αριθµητικήµοντελοποίηση των επιφανειακών κυµατισµών β αρύτητας. Αυτό αποτελεί και τοαντικείµενο µελέτης της παρούσας εργασίας. Τα µοντέλα που χρησιµοποιούνταιευρέως τα τελευταία χρόνια, για αυτό το σκοπό, είναι τα µοντέλα µέσου βάθους,µε το πιο γνωστό από αυτά να είναι οι µη γραµµικές εξισώσεις ρηχών υδάτων(NSWE). Οι εξισώσεις αυτές είναι ικανές να µοντελοποιήσουν µερικά σηµαντικάϕαινόµενα όπως η αναρρίχηση των κυµάτων σε ακτές αλλά δεν είναι κατάλληλες γιανερά µέσου η µεγαλύτερου βάθους όπου τα ϕαινόµενα διασποράς είναιισχυρότερα από τα µη-γραµµικά ϕαινόµενα. Για αυτόν τον λόγο εισάγονται οιεξισώσεις τύπου Boussinesq (ΒΤ) οι οποίες περιέχουν όρους διασποράς.Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η υλοποίηση και παρουσίαση µιας νέαςαριϑµητικής µεθόδου για την επίλυση ενός 2∆ ΒΤ µοντέλου αναπτύσσοντας µιαυψηλής τάξης ακρίβειας µέθοδο πεπερασµένων όγκων εφαρµόσιµη σε µη δοµηµέναυπολογιστικά πλέγµατα. Η επίτευξη του παραπάνω επιτυγχάνεται σε τρία στάδια.Αρχικά κατασκευάζεται µια καλώς ισορροπηµένη υβριδική µέθοδος πεπερασµένωνόγκων (ΠΟ)/πεπερασµένων διαφορών (Π∆) για την επίλυση δυο εκτεταµένων ΒΤµοντέλων στη 1∆, αυτών του Nwogu και των Madsen και Sørensen. Το σχήµα ΠΟείναι τύπου Godunov υψηλής ευκρίνειας (high resolution) και χρησιµοποιεί τονπροσεγγιστικό επιλυτή Riemann του Roe για τον υπολογισµό των αριθµητικώνροών . Οι όροι διασποράς διακριτοποιούνται κατάλληλα και γίνεται ανάντη διακριτοποίηση των πηγαίων όρων τοπογραφίας καταλήγοντας σε ένα καλώςισορροπηµένο σχήµα. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στην ακριβή διακριτοποίηση τωνυγρών/στεγανών κινούµενων συνόρων. Οι δυο ΒΤ εξισώσεις συγκρίνονται µεταξύ τουςκαι µε τις NSWE έτσι ώστε να επιλεχθεί το κατάλληλο για την διακριτοποίησή του σε2∆.Στην συνέχεια γίνεται σύγκριση των δυο βασικών τρόπων υλοποίησης τωνµεθόδων ΠΟ, για την επίλυση των NSWE, σε 2∆ για µη δοµηµένα υπολογιστικάπλέγµατα που προέρχονται από τριγωνισµούς. Συγκρίνουµε, µέσα σε έναελεγχόµενο υπολογιστικό περιβάλλον, ένα κεντροθετηµένο ανά κέντρο βάρουςυπολογιστικού κελιού (τριγώνου) και ένα κεντροθετηµένο ανά κόµβο (median-dual)σχήµα, µε στόχο την επιλογή του βέλτιστου για την διακριτοποίηση των ΒΤεξισώσεων σε 2∆. Και τα δύο σχήµα συγκρίνονται και δοκιµάζονται ως προς τηνσυµπεριφορά και απόδοσή τους σε προβλήµατα αναφοράς.Τέλος παρουσιάζεται ένα νέο αριθµητικό σχήµα για την επίλυση 2∆ ΒΤ εξισώσεωνχρησιµοποιώντας το κεντροθετηµένο ανά κόµβο σχήµα ΠΟ για µη δοµηµέναυπολο- γιστικά πλέγµατα. Από όσο γνωρίζουµε είναι η πρώτη ϕορά που µιαπροσέγγιση ΠΟ αναπτύσεται και εφαρµόζεται για την προσέγγιση εκτεταµένων ΒΤεξισώσεων σε µη δοµηµένα πλέγµατα. Το σχήµα είναι υψηλής τάξης ακρίβειας καικαλώς ισορροπηµένο. Η υψηλή τάξη ακρίβειας επιτυγχάνεται µέσω της τεχνικήςMUSCL (Monotone Upstream- centered Schemes for Conservation Laws) και ηχρονική δακριτοποίηση µέσω µιας άµεσης µεθόδου SSP Runge-Kutta υψηλής τάξης.Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στην ακριβή διακριτοποίηση των υγρών/στεγανών κινούµενωνσυνόρων. Επιπρόσθετα και για το παραπάνω αριθµητικό µοντέλο, κατασκευάζονταικαι συγκρίνονται δυο τύπων µηχανισµοί ϑραύσης επιφανειακών κυµατισµών. ΄Εναςνέος µηχανισµός ϑραύσης υβριδικού τύπου παρουσιάζεται εδώ για πρώτη ϕορά. Τοαριθµητικό µοντέλο β α θµονοµείται ως προς την ακρίβεια και ευρωστεία του σεεκτεταµένο αριθµό υπολογιστικών προβληµάτων που περ- ιλαµβάνουν πληθώρακυµατικών ϕαινοµένων και γίνεται σύγκριση µε πειραµατικά δεδοµένα.