Singularities and symmetries on the crossroads of geometry and physics
Authors:   , Mir Garcia Pau 
Published: April 2024

(English) In this thesis we study several mathematical objects that are essential to formulate and model physical systems. Applying the tools provided by differential geometry, we develop and analyze different mathematical structures that are used in three physical contexts: dissipative dynamics, integrable systems and geometric quantization. To do it, we mainly employ the setting of b-symplectic geometry, a natural extension of symplectic geometry which is specifically designed to address manifolds with boundary. It is based on the concept of b-forms introduced by Melrose and was initiated by Guillemin, Miranda and Pires.

Firstly, in the context of dissipative dynamics, we introduce and discuss a variety of twisted b-cotangent models. In these models, defined on the cotangent bundle of a smooth manifold, the fundamental structure is a b-symplectic form that is singular within the fibers of the bundle. Our models give rise to dynamical systems governed by the standard Hamiltonian of a free particle, accompanied by a positiondependent potential. After examining different types of potentials and finding that all of them induce dissipation of energy in the system, we prove that these twisted bcotangent models offer a suitable Hamiltonian formulation for dissipative systems. Consequently, they expand the scope of Hamiltonian dynamics and bring a new approach to the study of non-conservative systems.

Secondly, in the context of integrable systems, we introduce and investigate bsemitoric systems, a family of systems that generalizes simultaneously semitoric systems and b-toric systems, and which is tailored for b-symplectic manifolds. We provide a comprehensive definition of b-semitoric systems, that adapts the characteristics of semitoric systems to the framework of b-symplectic manifolds, and we construct three examples of this type of system. The three examples are based on modifications of the coupled angular momenta system, a classical semitoric system that represents the coupling of two rigid rotors. Our examination of the examples, which includes the classification of the singular points and the study of the global dynamics, allows us to highlight the unique characteristics of b-semitoric systems.

Thirdly, in the context of geometric quantization, we introduce a Bohr-Sommerfeld quantization method for b-symplectic toric manifolds. We establish that the dimension of this quantization method depends on a signed count of the integer points in the image of the moment map of the toric action. Additionally, we demonstrate its equivalence with the formal geometric quantization of such manifolds. Furthermore, we present a geometric quantization model based on sheaf cohomology, suitable for integrable systems with non-degenerate singularities, that also relies on the count of the integer points in the image of the moment map.

(Català) En aquesta tesi estudiem diversos objectes matemàtics que són essencials per a formular i modelar sistemes físics. Aplicant les eines proporcionades per la geometria diferencial, desenvolupem i analitzem diferents estructures matemàtiques que s’utilitzen en tres contextos físics: la dinàmica dissipativa, els sistemes integrables i la quantització geomètrica. Per a fer-ho, utilitzem principalment el marc de la geometria b-simplèctica, una extensió natural de la geometria simplèctica dissenyada específicament per a varietats amb vora, basada en el concepte de b-formes introduït per Melrose, i iniciada per Guillemin, Miranda i Pires.

En primer lloc, en el context de la dinàmica dissipativa, introduïm i estudiem un conjunt de models b-cotangents. En aquests models, definits al fibrat cotangent d’una varietat suau, l’estructura fonamental és una forma b-simplèctica que és singular a les fibres. Aquests models generen sistemes dinàmics governats pel Hamiltonià estàndard d’una partícula lliure, acompanyat d’un potencial que depèn de la posició de la partícula. Després d’analitzar diferents tipus de potencials i de trobar que en tots ells s’observa dissipació de l’energia del sistema, demostrem que els models b-cotangents permeten una formulació Hamiltoniana adequada per a sistemes dissipatius. D’aquesta manera, aquests models amplien l’abast de la dinàmica Hamiltoniana i aporten una nova aproximació a l’estudi de sistemes no conservatius.

En segon lloc, en el context dels sistemes integrables, introduïm i investiguem els sistemes b-semitòrics, una família de sistemes que generalitza simultàniament els sistemes semitòrics i els sistemes b-tòrics i que està adaptada per a les varietats b-simplèctiques. Proporcionem una definició completa dels sistemes b-semitòrics, que fa encaixar les característiques dels sistemes semitòrics en el marc de les varietats b-simplèctiques, i construïm tres exemples d’aquest tipus de sistema. Els tres exemples es basen en modificacions del sistema de moments angulars acoblats, un sistema semitòric clàssic que representa l’acoblament de dos rotors rígids. La nostra anàlisi dels exemples, que inclou la classificació dels punts singulars i l’estudi de la dinàmica global, ens permet ressaltar les característiques úniques dels sistemes b-semitòrics.

En tercer lloc, en el context de la quantització geomètrica, introduïm un mètode de quantització de Bohr-Sommerfeld per a les varietats b-simplèctiques tòriques. Establim que la dimensió d’aquest mètode de quantització depèn del recompte amb signe dels punts enters a la imatge de l’aplicació moment de l’acció tòrica. A més, demostrem la seva equivalència amb la quantització geomètrica formal d’aquestes varietats. També presentem un model de quantització geomètrica basat en la cohomologia de feixos, adequat per a sistemes integrables amb singularitats no degenerades, que també depèn del recompte dels punts enters a la imatge de l'aplicació moment.