Static, dynamic and stability finite element analysis of gradient elastic beam structures
Authors: Πέγιος Ιωάννης 
Published: September 2021

Η παρούσα διδακτορική διατριβή αναπτύσσει μία μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για την στατική και δυναμική ανάλυση και ανάλυση ευστάθειας κατασκευών που αποτελoύνται από βαθμοελαστικές δοκούς. Αυτές οι κατασκευές βρίσκουν εφαρμογές σε σύγχρονες μικροηλεκτρονικές ή νανοηλεκτρονικές κατασκευές, δηλαδή κατασκευές με εξαιρετικά μικρές διαστάσεις που είναι συγκρίσιμες με τα μήκη της μικροδομής τους. Έτσι η στατική και δυναμική απόκριση τους σε φορτίσεις εξαρτάται από τη μικροδομή τους. Η κλασική θεωρία ελαστικότητας δεν μπορεί να λάβει υπόψη τις επιδράσεις μικροδομής και θα πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει γενικευμένες ή ανωτέρου βαθμού θεωρίες ελαστικότητας. Αυτές οι θεωρίες χαρακτηρίζονται από μη-τοπικές τάσεις και εσωτερικά μήκη και μπορούν να λάβουν υπόψη τους επιδράσεις μικροδομής κατά τρόπο μακροσκοπικό. Η διατριβή αυτή βασίζεται στη γενική θεωρία ελαστικότητας με μικροδομή του Mindlin (1964) στην απλοποιημένη της μορφή με μια μόνο ελαστική σταθερά επιπλέον των κλασικών σταθερών, γνωστή ως βαθμοελαστική θεωρία. Αν και έχουν επιλυθεί αρκετά προβλήματα που αφορούν βαθμοελαστικές δοκούς, πλάκες και κελύφη υπό στατικά ή δυναμικά φορτία, η χρήση αριθμητικών μεθόδων για επίλυση προβλημάτων με πολύπλοκη γεωμετρία και φορτία, είναι επιτακτική. Εδώ γίνεται χρήση της ισχυρής και δημοφιλούς μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για να μελετηθούν προβλήματα στατικά, ευστάθειας και δυναμικά κατασκευών από βαθμοελαστικές δοκούς. Για προβλήματα στατικά ή ευστάθειας, ως συνάρτηση παραμόρφωσης για την κατασκευή του μητρώου δυσκαμψίας ενός στοιχείου δοκού ή δοκού-υποστυλώματος, χρησιμοποιείται η ακριβής λύση της εξίσωσης που διέπει την ισορροπία ή την ευστάθεια μιας βαθμοελαστικής δοκού. Έτσι οδηγείται κανείς στο ακριβές μητρώο δυσκαμψίας και επομένως στην ακριβή λύση του προβλήματος. Για ένα βαθμοελαστικό στοιχείο δοκού Bernoulli-Euler με δύο κόμβους και τρείς βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο (βύθιση, στροφή, καμπυλότητα) το μητρώο δυσκαμψίας δοκού προκύπτει να είναι βαθμών 6x6. Το φορτίο λυγισμού ή κρίσιμο φορτίο βρίσκεται θέτοντας την ορίζουσα του μητρώου δυσκαμψίας ίση με το μηδέν. Για τη δυναμική ανάλυση, η εξίσωση που διέπει τις καμπτικές ταλαντώσεις μιας βαθμοελαστικής δοκού επιλύεται αναλυτικά στο πεδίο συχνοτήτων και η διέπουσα ακριβής λύση χρησιμοποιείται ως συνάρτηση παραμόρφωσης για την κατασκευή του 6x6 μητρώου δυσκαμψίας ενός στοιχείου δοκού. Χρήση αυτού του μητρώου μέσα στα πλαίσια της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων οδηγεί στην ακριβή λύση του προβλήματος, είτε αυτό είναι ελεύθερων ταλαντώσεων είτε εξαναγκασμένων ταλαντώσεων. Επίλυση του προβλήματος ελεύθερων ταλαντώσεων καταλήγει στην εύρεση ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών. Επίλυση του προβλήματος εξαναγκασμένων ταλαντώσεων καταλήγει στην εύρεση της απόκρισης στο πεδίο συχνοτήτων, η οποία τελικά προσδιορίζεται στο πεδίο του χρόνου με αριθμητική αντιστροφή. Εδώ το πεδίο συχνοτήτων είναι μιγαδικό ή πεδίο μετασχηματισμού Laplace και η αντιστροφή αφορά στον μετασχηματισμό αυτό. Επιλύονται και παρουσιάζονται διάφορα αριθμητικά παραδείγματα και επιδεικνύονται τα πλεονεκτήματα της μεθόδου. Επίσης παρουσιάζονται συγκρίσεις της μεθόδου με αναλυτικές λύσεις για λόγους επαλήθευσης. Τέλος εκτελούνται παραμετρικές μελέτες για τον προσδιορισμό της επίδρασης της μικροδομής στην απόκριση κατασκευών από βαθμοελαστικές δοκούς σε μηχανική φόρτιση.