Criterion of conservativeness of the principles of abstraction in neologism: features of application in the construction of the Foundation of mathematics
Authors: Олейник П.И. 
Published: July 2024

Аннотация. В статье рассматриваются особенности неологицистского построения основания математики. Работы представителей неологицизма, в частности, К. Райта, привлекли внимание исследователей к используемой ими методологии принципов абстракции. В рамках программы неологицизма для выведения основных понятий арифметики и установления аксиом Пеано используется принцип абстракции, известный как принцип Юма. Допустимость использования данной методологии оспаривается в современной литературе. Автором рассматривается вопрос, касающийся существования принципов абстракции, приводящих к противоречию, который получил название «проблема “плохой компании”». В статье демонстрируется необходимость поиска критерия демаркации приемлемых принципов абстракции и неприемлемых. Одним из таких критериев, который тематизируется в данной статье, является консервативность. Автор раскрывает содержание понятия «консервативность» в контексте его первоначального введения Х. Филдом. В связи с тем, что в логике второго порядка семантическое и дедуктивное понятия логического следования не совпадают, в статье различаются и поясняются два вида консервативности – семантический и дедуктивный. Далее консервативность анализируется в качестве критерия демаркации «хороших» принципов абстракции и «плохих». Понятие консервативности уточняется в контексте его использования в неологицизме. В частности, указывается на то, что принцип Юма не является консервативным расширением какой-либо теории, которая уже не влечет за собой существование бесконечно многих объектов. В результате проведенного исследования показаны условия выполнения двух видов консервативности для принципов абстракции, а также перспектива использования критерия консервативности для определения приемлемости принципа абстракции в неологицизме. Основное внимание автор акцентирует на проблематичности введения и использования критерия консервативности в связи с недоопределенностью самого критерия, а также блокировкой этим критерием потенциально необходимых принципов абстракции.

Abstract. The article deals with the features of neologistic construction of the foundation of mathematics. The works of representatives of neologism, in particular, K. Wright, attracted the attention of researchers to the methodology they used for the principles of abstraction. The neologism program uses the principle of abstraction, known as the Hume principle, to derive the basic concepts of arithmetic and establish the Peano axioms. The validity of this methodology is disputed in modern literature. The author considers a question concerning the existence of principles of abstraction that lead to a contradiction, which is called "the problem of "bad company". The article demonstrates the need to search for a criterion of demarcation between acceptable and unacceptable principles of abstraction. One of these criteria, which is discussed in this article, is conservatism. The author reveals the content of the concept of "conservatism" in the context of its initial introduction by H. Field. Due to the fact that in second – order logic semantic and deductive concepts of logical sequence do not coincide, the article distinguishes and explains two types of conservatism-semantic and deductive ones. Further, conservatism is analyzed as a criterion for the demarcation of "good" principles of abstraction and "bad" ones. The concept of conservatism is clarified in the context of its use in neologism. In particular, it is pointed out that the Hume principle is not a conservative extension of any theory that no longer entails the existence of infinitely many objects. As a result of the research, the conditions for fulfilling two types of conservatism for the principles of abstraction are shown, as well as the prospect of using the criterion of conservatism to determine the acceptability of the principle of abstraction in neologism. The author focuses on the problematic nature of the introduction and use of the conservatism criterion due to the undefinability of the criterion itself, as well as the blocking of potentially necessary principles of abstraction by this criterion.