Κρυπτογραφία με χάος
Authors: Μακρής Γεώργιος 
Published: August 2021

Σκοπός της διδακτορικής διατριβής είναι η εφαρμογή χαοτικών μετασχηματισμών στην Κρυπτογραφία. Στόχοι της διατριβής είναι 1) η στατιστική ανάλυση των χαοτικών μετασχηματισμών μέσω της παραγωγής εντροπίας, 2) η μαθηματική μοντελοποίηση της κρυπτογραφίας με χάος, 3) η ανάπτυξη των σχετικών αλγορίθμων με χρήση κλάσεων χαοτικών μετασχηματισμών για την κρυπτογράφηση κειμένου και εικόνας, 4) η εφαρμογή των αλγορίθμων σε πραγματικές εικόνες και κείμενα και 5) η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων με βάση σχετικά κριτήρια και δείκτες. Αναλύονται οι αλγόριθμοι κρυπτογράφησης από 4 κλάσεις χαοτικών συστημάτων, 6 σχήματα κρυπτογράφησης εικόνων (ΣΚΕ) και 2 σχήματα κρυπτογράφησης κειμένων (ΣΚΚ). Έκαστος από τους 4 αλγόριθμους κρυπτογράφησης δύναται να συνδυαστεί με οποιονδήποτε από τα 6 σχήματα κρυπτογράφησης εικόνων, καθώς επίσης και με οποιονδήποτε από 2 σχήματα κρυπτογράφησης κειμένου, κατά περίπτωση. Κάθε Σχήμα κρυπτογράφησης εικόνων μπορεί να συνδυαστεί με οποιοδήποτε αλγόριθμο κρυπτογράφησης είτε με αυθαίρετους συνδυασμούς των αλγορίθμων κρυπτογράφησης. Οι χαοτικές διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται στη κρυπτογραφία κυρίως ως γεννήτριες τυχαίων αριθμών. Ως εκ τούτου στην παρούσα εργασία θα περιοριστούμε στις χαοτικές απεικονίσεις. Ο περιορισμός αυτός δεν είναι ουσιώδης καθόσον οι χαοτικές ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων κληρονομούνται στις σχετικές απεικονίσεις Poincare μέσω των τομών Poincare. Οι καινοτομίες της διατριβής είναι: 1) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πλάστη (Baker’s Map) ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πλέγμα διάστασης Ν×Μ. 2) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πλάστη (Baker’s Map Multi Line) με L συνενώσεις γραμμών ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πλέγμα διάστασης Ν×Μ. 3) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πετάλου (Horseshoe Map). 4) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πετάλου (Horseshoe Map) ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πλέγμα διάστασης Ν×Μ. 5) Κατασκευή διακριτοποίησης του μετασχηματισμού του Πετάλου (Horseshoe Map Multi Line) με L συνενώσεις γραμμών ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε πλέγμα διάστασης Ν×Μ. 6) Κατασκευή διακριτοποίησης του μονοδιάστατου μετασχηματισμού Bernoulli (Bernoulli Map) ώστε να είναι εφικτή η εφαρμογή του για κρυπτογράφηση σε διδιάστατο πλέγμα κατά γραμμές ή στήλες. 7) Δείξαμε ότι είναι εφικτός ο σχεδιασμός χαοτικών αυτομορφισμών Τόρου με επιθυμητή παραγωγή εντροπίας και ότι οι Αυτομορφισμοί του Τόρου με την ίδια παραγωγή εντροπίας έχουν την ίδια Περίοδο η οποία εξαρτάται μόνο από το μέγεθος του πλέγματος. 8) Μελετήθηκαν οι διδιάστατοι αυτομορφισμοί του Τόρου με στοιχεία διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci σε σχέση με την παραγωγή εντροπίας. Υπολογίστηκαν οι σχέσεις που συνδέουν την επιθυμητή παραγωγή εντροπίας με τα στοιχεία των αυτομορφισμών. 9) Κατασκευάστηκαν δύο διαφορετικοί μηχανισμοί δημιουργίας τυχαίων αριθμών (γεννήτριες) οι οποίες παράγουν τυχαίες ακολουθίες αριθμών με δεδομένη περίοδο. Οι γεννήτριες αυτές παρότι κατασκευάστηκαν για την Στεγανογραφία έχουν ευρεία εφαρμογή. 10) Κατασκευάστηκαν νέοι αλγόριθμοι με χάος για Στεγανογραφία οι οποίοι επιλέγουν τις θέσεις ενσωμάτωσης του μηνύματος στο καλύπτον μήνυμα και επιπλέον κρυπτογραφούν το μήνυμα πριν ενσωματωθεί. 11) Κατασκευάστηκαν έξι νέα σχήματα κρυπτογράφησης εικόνων με μετάθεση και υποκατάσταση. Τα σχήματα αυτά χρησιμοποιούν 4 χαοτικούς μετασχηματισμούς για την κρυπτογράφηση. Χρησιμοποιήθηκαν οι μηχανισμοί τυχαίων αριθμών για την αλλαγή χρώματος των εικονοστοιχείων στα 3 σχήματα κρυπτογράφησης. 12) Κατασκευάστηκαν 3 αλγόριθμοι τοποθέτησης κειμένου σε πλέγμα ώστε να είναι εφικτή η κρυπτογράφηση του με χρήση των χαοτικών μετασχηματισμών. 13) Αναλύθηκαν τα κριτήρια του Shannon στην εφαρμογή των χαοτικών μετασχηματισμών σε κείμενο.