Statistical modeling of extreme environmental values
Authors: Τσάλης Χρήστος 
Published: November 2021

Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση ακραίων τιμών, αποτελεί, τις τελευταίες τρεις δεκαετίες, σημαντικό πεδίο έρευνας της επιστήμης των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Η μοντελοποίηση και μακροπρόθεσμη πρόβλεψη εμφανίσεων ακραίων συμβάντων παίζει σημαντικό ρόλο σε εφαρμοσμένα πεδία όπως η Μετεωρολογία, Υδρολογία αλλά και σε έργα θαλάσσιας μηχανικής όπου η γνώση της κλιματολογίας της περιοχής είναι απαραίτητη για την εκτίμηση της ασφάλειας και την καλή λειτουγία των κατασκευών. Η εκτίμηση λοιπόν της επικινδυνότητας (ρίσκου) εμφάνισης ακραίων συμβάντων μελετάται μέσω της Θεωρίας των Ακραίων Τιμών. Οι δύο επικρατέστερες ασυμπτωτικές προσεγγίσεις κατανομών από ακραία δεδομένα στην μακροχρόνια κλίμακα του χρόνου είναι οι μέγιστες τιμές διατεταγμένων τυχαίων μεταβλητών και η ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών οι οποίες υπερβαίνουν μία “αρκετά υψηλή” τιμή κατωφλίου. Στο πλαίσιο της Θεωριάς Ακραίων Τιμών και βασιζόμενοι στις δυο επικρατέστερες ασυμπτωτικές προσεγγίσεις, η παρούσα μελέτη αποσκοπεί στην ανάπτυξη μιας ολοκληρωμένης, κατά το δυνατόν, προσέγγισης για την μοντελοποίηση των μεγίστων τιμών της ταχύτητας του ανέμου, όταν το διαθέσιμο δείγμα είναι περιορισμένο ή εμφανίζει ασυνέχεια καταγραφής δεδομένων. Στο πλαίσιο αυτό, οι βασικοί στόχοι της παρούσας διατριβής είναι οι εξής: (i) Μελέτη επίδρασης του διαθέσιμου δείγματος στην μοντελοποίηση των ακραίων ενδεχομένων ταχύτητας ανέμου με χρήση της θεωρίας των ακραίων τιμών, (ii) Επισήμανση γνωστών αλλά και λιγότερο γνωστών μεθόδων εκτίμησης παραμέτρων της πιθανοθεωρητικής κατανομής των ακραίων τιμών της ταχύτητας του ανέμου και η αξιολόγηση συμπεριφοράς της απόδοσής τους έναντι των καθιερωμένων μεθόδων εκτίμησης, (iii) μοντελοποίηση των παραμέτρων της τυπικής γενικευμένης κατανομής ακραίων τιμών με συστηματική μελέτη και σύγκριση διαφόρων συνδυασμών χρονικής εξάρτησης των παραμέτρων, και (iv) ανάπτυξη μιας ολοκληρωμένης προσέγγισης για μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές μέσω ενός προτεινόμενου μοντέλου που λαμβάνει υπόψη την συσχέτιση των ακραίων τιμών όταν αυτές εμφανίζονται ακανόνιστα στην κλίμακα του χρόνου. Ο κύριος στόχος του μοντέλου είναι η δημιουργία νέου υποδείγματος με ασυμπωτική θεώρηση στατιστικά ανεξάρτητων πλέον παρατηρήσεων. Ειδικότερα, το πρόβλημα που σχετίζεται με την μελέτη της επίδρασης του διαθέσιμου δειγματικού μεγέθους στην εκτίμηση τιμών σχεδιάσεως απο μοντέλα ερμηνείας, εκτιμήσεων και προβλέψεων ακραίων συμβάντων, μελετάται διεξοδικά από δύο δειγματοληπτικές προσεγγίσεις. Απο προσομοιώσεις τύπου Monte-Carlo και από ανεμολογικά δεδομένα χρονοσειρών από βάσεις δεδομένων μέτριας χωρικής ανάλυσης. Η εκτίμηση και η εξάρτηση των παραμέτρων της κατανομής από το διαθέσιμο δείγμα θα γίνεται μέσω βασικών αλλά και λιγότερο γνωστών μεθόδων. Απο την στατιστική ανάλυση των βέλτιστων μεθόδων εκτίμησης με βάση τα κριτήρια καλής απόδοσης σε δεδομένα προσομοίωσης, γίνεται στην συνέχεια εκτίμηση της απόδοσης σε ανεμολογικά δεδομένα διαφορετικών χρονικών περιόδων και διαφορετικού χρονικού βήματος. Η παρούσα μελέτη εστιάζει σε σημεία της Βορείου Θάλασσας και σε σημεία Ανατολικά και Δυτικά της Κεντρικής Αμερικής όπου ισχυρή μετεωρολογική δραστηριότητα στις περιοχές αυτές οδηγεί αναπόφευκτα σε φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από ακραίες τιμές ταχύτητας ανέμων. Η επίδραση του διαθέσιμου δείγματος στην απόδοση των μεθόδων εκτίμησης για τιμές σχεδιάσεως των 50 και 100 ετών περιόδων επαναφοράς θα αξιολογηθεί με στατιστικά κριτήρια. Απο την μελέτη αυτή συμπεραίνεται ότι η συνδυαστική μέθοδος Σταθμισμένων Ροπών προτείνεται ως η ικανοποιητική μέθοδος για την μοντελοποίσηση ακραίων τιμών όταν το διαθέσιμο δείγμα είναι περιορισμένο. Ο επόμενος άξονας μελέτης σχετίζεται με την διερεύνηση της τάσης μεταβολής των πιθανοθεωρητικών χαρακτηριστικών της ασυμπτωτικής κατανομής των ακραίων τιμών της ταχύτητας του ανέμου. Ειδικότερα, για την ευρύτερη περιοχή της Βορείου Θάλασσας, όπου έχουν παρατηρηθεί τα τελευταία χρόνια μεταβολές του ανεμολογικού κλίματος, γίνεται έλεγχος της στασιμότητας των χρονοσειρών ανέμου. Για τις χρονοσειρές στα σημεία που ικανοποιούν τον έλεγχο υπόθεσης στασιμότητας απο κατάλληλα στατιστικά κριτήρια, γίνεται μοντελοποίηση των παραμέτρων της τυπικής Γενικευμένης Κατανομής Ακραίων Τιμών με κατάλληλους συνδυασμούς χρονικής εξάρτησης κυρίως στις κανονικοποιημένες παραμέτρους θέσης και κλίμακας. Στην παραμετροποίηση αυτή, η παράμετρος σχήματος της κατανομής θεωρήθηκε ανεξάρτητη του χρόνου. Η επιλογή του κατάλληλου μοντέλου, παραμετρικού ή μη παραμετρικού, βασίζεται σε στατιστικά κριτήρια καλής προσαρμογής (goodness-of-fit criteria) χρησιμοποιώντας ανεμολογικά δεδομένα χαμηλής χωρικής ανάλυσης σε δείγμα με εύρος πολλών ετών. Στο πλαίσιο αυτής της μελέτης, συμπεραίνεται ότι η απλούστερη παραμετροποίηση της ασυμπτωτικής κατανομής των ακραίων τιμών μοντελοποιεί κατάλληλα τις μεταβολές του ανεμολογικού κλίματος. Ο τελευταίος άξονας μελέτης εστιάζει στην μελέτη της πιθανής συσχέτισης ακραίων τιμών όταν αυτές εμφανιζονται με ακανόνιστο χρονικό βήμα στην κλίμακα του χρόνου. Στο πλαίσιο αυτό, προτείνεται μια νέα μέθοδος αναδειγματοληψίας με κύριο στόχο την δημιουργία ενός νέου υπο-δείγματος που αποτελείται από ανεξάρτητες παρατηρήσεις έτσι ώστε να πληρούνται τα απαραίτητα στατιστικά κριτήρια για την εκτίμηση των τιμών σχεδιάσεων μέσω της θεωρίας των ακραίων τιμών. Η προτεινόμενη μέθοδος DeCA Uncorrelated (DeCAUn) model βελτιστοποιεί και διορθώνει την υπάρχουσα μέθοδο αναδειγματοληψίας physical De-Clustering Algorithm (DeCA) model, λαμβάνοντας υπόψη την συσχέτιση των παρατηρήσεων όταν αυτές εμφανίζονται με ακανόνιστο χρονικό βήμα στην κλίμακα του χρόνου. Η προτεινόμενη αναδειγματοληπτική μέθοδος θεωρείται ως εναλλακτική από μια σειρά από προτεινόμενα μοντέλα που εκτιμούν τον συντελεστή αυτοσυσχέτισης από παρατηρήσεις με ακανόνιστο χρονικό βήμα στην κλίμακα του χρόνου. Ειδικότερα, το προτεινόμενο μοντέλο δεν επιχειρεί έλεγχο του φάσματος, αλλά υπολογίζει απευθείας την συσχέτιση των χρονικά ακανόνιστων παρατηρήσεων με κατάλληλες συναρτήσεις βάρους, καθορίζοντας τον βαθμό εξάρτησης μεταξύ των παρατηρήσεων. Συγκριτικά αποτελέσματα των εκτιμώμενων τιμών σχεδιάσεως και διακύμανσης του μοντέλου παρουσιάζονται για περιοχές της Ευρώπης που είναι εκτεθειμένες στα καιρικά συστήματα του Ατλαντικού Ωκεανού, της Βόρειας Θάλασσας και της Μεσογείου. Για την στατιστική ανάλυση του προτεινόμενου μοντέλου χρησιμοποιήθηκε η κλασσική μέθοδος εκτίμησης παραμέτρων μέσω της Μεγίστης Πιθανοφάνειας με χρονοσειρές από βάσεις δεδομένων χαμηλής και υψηλής ανάλυσης. Τα ανεμολογικά δεδομένα απο βάσεις υψηλής ανάλυσης είναι απαραίτητα για την πληρέστερη αναπαράσταση του ακραίου αιoλικού δυναμικού ειδικότερα σε κλειστές θαλάσσιες περιοχές. Για τον έλεγχο της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς της προτενόμενης μεθόδου αναδειγματοληψίας χρειάστηκαν χρονοσειρές απο δείγμα με εύρος πολλών ετών όπου αναπόφευκτα η μοντελοποίηση σ’αυτή την περίπτωση πραγματοποιήθηκε απο βάσεις δεδομένων χαμηλής ανάλυσης. Στο πλαίσιο αυτής της μελέτης η προτεινόμενη μεθοδολογία αναδειγματοληψίας θεωρείται εναλλακτική προσέγγιση για την μοντελοποίηση ακραίων τιμών απο μικρό δείγμα λαμβάνοντας υπόψη την συσχέτιση των παρατηρήσεων όταν αυτές εμφανίζονται με ακανόνιστο χρονικό βήμα στην κλίμακα του χρόνου.Τα κυριότερα ευρήματα στο πλαίσιο αυτής της μελέτης για την μοντελοποίηση των μεγίστων τιμών της ταχύτητας του ανέμου παρουσιάζονται συνοπτικά παρακάτω: (i) Η συνδυαστική μέθοδος Σταθμισμένων Ροπών προτείνεται ως η κατάλληλη μέθοδος για την μοντελοποίηση ακραίων τιμών σε σχέση με την κλασική προσέγγιση της Μεγίστης Πιθανοφάνειας όταν το διαθέσιμο δείγμα είναι περιορισμένο. Το σφάλμα αβεβαιότητας στην εκτίμηση των επιθυμητών τιμών σχεδιάσεως μειώνεται σημαντικά όταν το διαθέσιμο δείγμα είναι μεγαλύτερο απο 35 έτη. (ii) Η ανάλυση αυτή ανέξειξε ότι το γραμμικό μοντέλο της χρονικής εξάρτησης στην παράμετρο θέσης μοντελοποιεί κατάλληλα τις ακραίες τιμές της ταχύτητας ανέμου σε σημεία στην Βόρεια Θάλασσα όπου αποδεδειγμένα παρατηρούνται μεταβολές του ανεμολογικού κλίματος. (iii) Για χρονοσειρές μεγαλύτερες απο 15 έτη συμπεραίνεται ότι η προτεινόμενη αναδειγματοληπτική μέθοδος θεωρείται ως εναλλακτική για την μοντελοποίηση των ακραίων τιμών της ταχύτητας ανέμου ικανοποιώντας τα κατάλληλα κριτήρια καλής απόδοσης. (iv) Στα πλαίσια αυτής της μελέτης συμπεραίνεται ότι τα πιθανοθεωρητικά χαρακτηριστικά της ασυμπτωτικής κατανομής των ακραίων τιμών της ταχύτητας του ανέμου ικανοποιούνται σε μεγαλύτερο βαθμό όταν η μοντελοποίηση που πραγματοποιεί η προτεινόμενη μέθοδος DeCAUn με ακανόνιστο χρονικό βήμα στην κλίμακα του χρόνου βασίζεται σε χρονοσειρές δεδομένων υψηλής ανάλυσης και σε μικρότερο βαθμό απο την μοντελοποίηση που πραγματοποιείται απο δεδομένα χαμηλής ανάλυσης.