A type-theoretic approach to proof support for algebraic design frameworks
Authors:   , Mylonakis Pascual Nicos 
Published: October 2023

A TYPE -THEORETIC APPROACH TO PROOF SUPPORT FOR ALGEBRAIC <br/> DESIGN FRAMEWORKS<br/><br/><br/> En el desarrollo formal de software, la especificación formal se utiliza con fines de verificación y validación. Se han definido diferentes tipos de especificaciones formales. En esta tesis nos centraremos en especificaciones algebraicas. Este tipo de especificaciones formales son especificaciones axiomáticas, que suelen definirse en un lenguaje de especificación que incluye diferentes operadores de estructuración. La semántica de estos operadores se define de una forma que sea lo más independiente posible de la lógica de especificación o institución. <br/>Otra etapa fundamental en métodos formales es el diseño de software. Las tareas básicas que suelen realizarse durante esta etapa son la deducción de propiedades a partir de una especificación, el refinamiento de especificaciones o verificar que un programa satisface una especificación. Entendemos por entorno de diseño algebraico a un formalismo que incluye la definición de un lenguaje de especificación algebraica con semántica formal y la definición implícita o explícita de, al menos, las dos primeras de las tres tareas de diseño mencionadas anteriormente. Es importante que la definición de los entornos de diseño algebraico sea tambien lo más independiente posible de la lógica del lenguaje de especificación y, si es el caso, que la definición sea para una clase arbitraria de lenguajes de programación. El entorno de diseño algebraico con el que trabajaremos en esta tesis está basado en un lenguaje de especificación muy sencillo que ha sido utilizado para dar semántica a otros lenguajes de especificación de más alto nivel.<br/> El principal objetivo de esta tesis es definir un marco formal que permite reusar demostradores de teoremas para teorías de tipos con tipos dependientes e inductivos para el desarrollo de demostradores de teoremas para entornos de diseño algebraico. El problema puede considerarse interesante por varios motivos. Primero, esperamos que el desarrollo de este tipo de herramientas incrementará el uso de este tipo de métodos formales. Segundo, la investigación a realizar es completamente diferente a los trabajos realizados anteriormente y por último, el trabajo requiere un conocimiento extenso de una familia de formalismos no standard que forman las diferentes teorías de tipos con tipos dependientes que se han definido.<br/> En esta tesis, primero presentamos de forma general, las características basicas y las aplicaciones de las diferentes teorías de tipos con tipos dependientes. Estudiamos con más detalle la teoría de tipos que vamos a utilizar en el resto de la tesis, y a continuación presentamos un nuevo principio de codificación de sistemas de demostración finitos para la teoría de tipos escogida que mejora algunas de las limitaciones de otros principios de codificación existentes.<br/>Con el fin de comparar de forma abstracta las diferentes semánticas dadas a ciertos operadores de comportamiento del lenguaje de especificación escogido, definimos una institución a la que denominamos institución algebraica de comportamiento. Esta institución es también útil para definir las formas normales de las especificaciones que son necesarias para definir cierta clase de sistemas de demostración. A continuación, presentamos diferentes sistemas de demostración para la deducción de propiedades a partir de especificaciones y para el refinamiento de especificaciones. La principal aportación en esta parte<br/>consiste en rediseñar los sistemas de demostración que no es posible dar representaciones adecuadas en la teoría de tipos escogida por ser sistemas de demostración infinitarios.<br/>Finalmente, damos una representación en la teoría de tipos de los sistemas de demostración más significativos de nuestro entorno de diseño algebraico usando el nuevo principio de codificación presentado en la tesis. Esto nos permite reutilizar los demostradores de teoremas de la teoría de tipos escogida para el desarrollo de demostradores de teoremas del entorno de diseño algebraico escogido.<br/><br/><br/><br/> A TYPE -THEORETIC APPROACH TO PROOF SUPPORT FOR ALGEBRAIC <br/> DESIGN FRAMEWORKS<br/><br/><br/>In software engineering, a formal specification of what a system has to do plays a crucial role in the software development process. Formality is required for verification and validation purposes. Different forms of formal specifications have been developed. This thesis concentrates on the algeraic approach to system specification. In essence, this approach can be characterized by:<br/>· Axiomatic specifications which consist of a signature together with a set of axioms in a specification logic which any implementation of the system with that specification has to satisfy.<br/>· Operations to combine and modify specifications from subspecifications with an algebraic semantics.<br/>· An abstract presentation of the semantics as independent as possible of the specification logic or institution.<br/><br/>Another crucial step in the software development process is software design. Some of the usual tasks which are performed during software design are the following: deduction of properties from specifications, refinement of specifications and verification of a program with respect to a specification. We understand by an algebraic design framework a formalism which includes a formal definition of an algebraic specification language including a model-theoretic semantics and the implicit or explicit formal definition of at least the two first software design tasks. The definition of algebraic design frameworks should be for several specification logics or even better for an arbitrary but fixed institution, and if it is the case for an arbitrary class of programming languages. In the literature, there exists a large amount of algebraic specification languages and algebraic design frameworks. The algebraic design framework which we will work in this thesis will be based on a kernel and simple algebraic specification language.<br/> The main objective of this thesis is to give an approach to reuse theorem provers for type theories with dependent and inductive types for the development of theorem provers for algebraic design frameworks. The problem can be considered interesting for several reasons. First, we believe that the development of tools in type-theoretic theorem provers will help to spread the use of algebraic techniques. Note that these kind of theorem provers have been widely used and applied. Second, the work to be done is completely different to the work done before and finally this work requires a thorough understanding of a non-standard family of formalisms which are type theories.<br/> In this thesis, first we give an overall view of type theories together with their apllications and then we present a new principle of encoding in an expressive type theory which solves some of the limitations of previous principle of encodings.<br/> In order to give a generic presentation of the framework of ASL for different specification logics, we give an abstract semantic framework in which the semantics of the the behavioural operators of ASL can be uniformly instantiated in first-order and higher-order logic.<br/> We also redesign the different proof systems for deduction and refinement when it is not possible to give adequate encodings in the type theory because they are infinatary proof systems. In some cases, different solutions are given for first and higher-order logics.<br/> Finally, the main proof systems of the algebraic design framework for ASL have been encoded in UTT using the new principle of encoding presented in the thesis. This allows us to take advantage of the current implementation of theorem provers for UTT to implement proof checkers for the proof systems of our chosen algebraic design framework.