MÉTODOS DE ELEMENTOS FINITOS MIXTOS PARA BRINKMAN–FORCHHEIMER Y MODELOS RELACIONADOS, ACOPLADOS Y SIMPLES, EN MECÁNICA DE FLUIDOS
Authors:   , Ortega Ponce Juan Paulo 
Published: December 2024

El objetivo principal de esta tesis es desarrollar, analizar e implementar nuevos métodos de elementos finitos mixtos para problemas acoplados y no acoplados que surgen en el contexto de la mecánica de fluidos. En particular, nos enfocamos en modelos que describen el comportamiento de un fluido a través de medios porosos.
En primer lugar, se desarrolla un análisis de error a priori de un método finitos de elementos com- pletamente mixto basado en espacios de Banach para un problema acoplado no lineal que surge de la interacción entre la concentración y la temperatura de un soluto que está inmerso en un fluido que se mueve a través de un medio poroso. El modelo consiste en el acoplamiento de las ecuaciones esta- cionarias de Brinkman–Forchheimer con un fenómeno de doble difusión. Para el análisis matemático, se propone una formulación mixta no lineal para la ecuación de Brinkman–Forchheimer, en donde además de la velocidad se introducen como nuevas incógnitas el gradiente de velocidad y el tensor de pseudo-esfuerzo. A su vez, se adopta una formulación dual-mixta para las ecuaciones de doble difusión haciendo uso de los gradientes de temperatura/concentración y vectores tipo Bernoulli como incógnitas adicionales. La solubilidad de dicha formulación se establece combinando argumentos de punto fijo, resultados clásicos sobre operadores monótonos no lineales, la teoría de Babuška-Brezzi en espacios de Banach, supuestos de datos suficientemente pequeños y el teorema de punto fijo de Banach. En particular, empleamos espacios de Raviart-Thomas de orden k ≥ 0 para aproximar el tensor de pseudo-esfuerzo y los vectores de Bernoulli, y polinomios discontinuos por partes de grado k para el campo de velocidad, temperatura, concentración y sus correspondientes gradientes.
Luego, se realiza un análisis de error a posteriori y de adaptabilidad computacional para la for- mulación variacional completamente mixta desarrollada para el acoplamiento de las ecuaciones de Brinkman–Forchheimer y de doble difusión. Aquí, se deriva un estimador de error a posteriori basado en residuos, confiable y eficiente. El análisis de confiabilidad del estimador propuesto se basa princi- palmente en el uso de las condiciones de Monotonía fuerte e inf-sup de los operadores involucrados, junto con un supuesto adecuado sobre los datos, una descomposición de Helmholtz estable en espacios de Banach no estándar y propiedades de aproximación local de los interpolantes de Raviart-Thomas y Clément. A su vez, la estimación de eficiencia es consecuencia de argumentos estándares como las desigualdades inversas, la técnica de localización basada en funciones de burbuja, y otros resultados disponibles en la literatura.
Finalmente, se estudia un método de elementos finitos mixtos para el problema no lineal dado por las ecuaciones estacionarias de Brinkman–Forchheimer convectivas con porosidad variable. Aquí, incorporamos el pseudo-esfuerzo y el gradiente de la porosidad por la velocidad, como incógnitas adicionales. Como consecuencia, obtenemos una formulación variacional mixta basada en espacios de Banach de tres campos, donde las variables mencionadas son las incógnitas principales del sistema junto con la velocidad. El esquema mixto resultante se escribe entonces de forma equivalente como una ecuación de punto fijo, de modo que el conocido teorema de Banach, combinado con resultados clásicos sobre operadores no lineales monótonos y una hipótesis de datos suficientemente pequeños, se aplican para demostrar la solubilidad de los sistemas continuo y discreto.
Para todos los problemas descritos anteriormente se proporcionan varios experimentos numéricos que ilustran el buen desempeño de los métodos propuestos, y que confirman los resultados teóricos de convergencia así como de confiabilidad y eficiencia de los estimadores de error a posteriori respectivos.