Συμβολή στη μελέτη γενικευμένων μετρικών πραγματικών και μιγαδικών χώρων, οι γραμμικοί μετασχηματισμοί τους και σχετικές εφαρμογές στη φυσική
Authors: Βώσσος Σπυρίδων 
Published: November 2024

Ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι διττός. Αφενός, συνεισφέρει στην έρευνα των Διανυσματικών χώρων τεσσάρων διαστάσεων (Χωροχρόνοι) που συνήθως περιορίζεται στην περιγραφή των στοιχείων τους (Τετρανύσματα) με συντεταγμένες από το σώμα των Πραγματικών αριθμών (R), στην Ευκλείδεια Μετρική ή τη μετρική Lorentz και σε ανοικτές Προωθήσεις και κλειστούς Γραμμικούς μετασχηματισμούς (από όπου προκύπτουν οι αντίστοιχες Ομάδες), επεκτείνοντας τη μελέτη στην περιγραφή των Τετρανυσμάτων με συντεταγμένες από το σώμα των Μιγαδικών αριθμών (ℂ), σε γενικευμένη Ισοτροπική μετρική καθώς και σε ανοικτές και κλειστές Προωθήσεις που είναι Κλειστοί Γραμμικοί μετασχηματισμοί (από όπου προκύπτουν οι αντίστοιχες Ομάδες).Αφετέρου, συνεισφέρει στην έρευνα των Καμπύλων χωροχρόνων και της αδρανειακής κίνησης εντός αυτών (Γενική Σχετικότητα), συνδέοντας τους με ένα Διανυσματικό πεδίο που προκύπτει από Βαρυτικό Βαθμωτό Γενικευμένο Δυναμικό (Gravitational Scalar Generalized Potential - GSGP) στους αντιστοίχους Επίπεδους χωροχρόνους (Ειδική Σχετικότητα). Έτσι επιτυγχάνεται μια νέα«επικοινωνία» μεταξύ Γενικής και Ειδικής Σχετικότητας. Στην §8.9, μετατρέψαμε τη μετρική Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW), από τη μορφή των τεχνικών αδιάστατων συντεταγμένων:(3.1)στην πολύ πιο σαφή μορφή των σφαιρικών συντεταγμένων:(3.2)και εν συνεχεία λάβαμε την ισοτροπική μορφή:(3.3)όπου k είναι o δείκτης καμπυλότητας του Σύμπαντος, R είναι η ακτίνα καμπυλότητας του Σύμπαντος και(3.4)Η μετρική αυτή χρησιμοποιείται στην εξήγηση της Διαστολής του Σύμπαντος και οδήγησε στην ανάπτυξη του καθιερωμένου Κοσμολογικού Προτύπου ΛCDM (Lambda Cold Dark Matter).Όμως, σε αντίθεση με το χωροχρόνο Minkowski που έχει μετρική Lorentz, ο χωροχρόνος με μετρική FLRW έχει μεταβλητή ταχύτητα του φωτός στο κενό. Επιπρόσθετα, αν εξαιρέσουμε τις δύο πρώτες εβδομάδες μετά τη Μεγάλη Έκρηξη (Big Bang), όπου ακτίνα καμπυλότητας του Σύμπαντος R άλλαζε με γρήγορο σχετικό ρυθμό, ο σχετικός ρυθμός αλλαγής της ακτίνας καμπυλότητας του Σύμπαντος (που ταυτίζεται με την παράμετρο Hubble H(t) = = R. / R = dR/dt / R(t) ) είναι πολύ μικρός (η τελεία συμβολίζει ολική παράγωγο ως προς χρόνο). Με δεδομένο ότι η ηλικία του Σύμπαντος είναι της τάξεως των 13 δισεκατομμυρίων ετών (= 3×10^17 s) και το παρόν μέγεθός του είναι της τάξεως των 3×10^6 Mpc (= 1×10^26 m), υπάρχουν χωροχρονικά διαστήματα της τάξεως των 7 χιλιάδων Mpc × 17 εκατομμυρίων ετών, όπου η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι σχεδόν σταθερή, με σχετικά σφάλματα μικρότερα του ενός χιλιοστού (βλ. §11.8). Σε αυτά τα πολύ μεγάλα χωροχρονικά διαστήματα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές της (ισοτροπικής) μετρικής FLRW παραμένουν σταθεροί και να δημιουργήσουμε τους αντίστοιχους Γραμμικούς μετασχηματισμούς των Συντεταγμένων Αδρανειακών Συστημάτων Αναφοράς. Σε αρμονία με τα παραπάνω, δημοσιεύσαμε τον Κλειστό Γραμμικό Μετασχηματισμό (Λ_Ι) εντός του Ισοτροπικού Χωροχρόνου (ℂΙ^4 ) που έχει Γενικευμένη Μετρική (g_Ι ) και τα στοιχεία του περιγράφονται με μιγαδικές Καρτεσιανές συντεταγμένες του χώρου Rℂ^3. Αυτός ο Χωροχρόνος ℂΙ^4 αποτελεί επέκταση του Πραγματικού Χώρου Minkowski (Μ^4 ) που έχει μετρική Lorentz (g_L) και τα στοιχεία του περιγράφονται με πραγματικές Καρτεσιανές συντεταγμένες του χώρου R^4 [1].Στη δημοσίευση περιλαμβάνεται και ο αντίστοιχος Κλειστός Μετασχηματισμός (Λ_B^E ) εντός Χωροχρόνου Ευκλείδειας Μετρικής (g_E ) που περιγράφεται με τόσο με πραγματικές όσο και με μιγαδικές Καρτεσιανές συντεταγμένες, Ε^4 και ℂΕ^4 , αντίστοιχα. Οι παραπάνω μετασχηματισμοί αποτελούν τη βάση ανάπτυξης μιας νέας Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας σε Πραγματικό και Μιγαδικό Χωρόχρονο. Επίσης οδηγούν στην ενοποίηση της Νευτώνειας Φυσικής με τη Θεωρία της Σχετικότητας του Einstein (μέσω της Γενικευμένης Πραγματικής Προώθησης) [2]. Στο ύστερο Σύμπαν, οι συντελεστές της μετρικής FLRW προσεγγίζουν αυτούς της μετρικής Lorentz (τείνουν σε αυτούς μετά από άπειρο χρόνο) και ισχύει με μεγάλη ακρίβεια η Ειδική Σχετικότητα του Einstein. Αντίθετα στο πρώιμο Σύμπαν, η ταχύτητα του φωτός στο κενό ήταν σημαντικά μεγαλύτερη της σημερινής. Έτσι για γεγονότα σε μικρές (από κοσμολογική άποψη) αποστάσεις, ίσχυε μια Ειδική Σχετικότητα ενδιάμεση αυτών του Einstein (όπου η ταχύτητα αλληλεπίδρασης περιορίζεται από τη σημερινή ταχύτητα του φωτός) και του Νεύτωνα (που θεωρεί ακαριαία δράση από απόσταση) (βλ. §10.3 και §11.8). Επιπλέον, όπως ανεδείχθη στις δημοσιεύσεις μας [3-5], η Βαρύτητα της Γενικής Σχετικότητας μπορεί να οδηγήσει στην αντίστοιχη Βαρύτητα της Ειδικής Σχετικότητας και το αντίστροφο. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω της διαστολής χρόνου που προέρχεται από τη Γενική Σχετικότητα, η οποία χρησιμοποιείται για να λάβουμε την αντίστοιχη Lagrangian και το Βαρυτικό Βαθμωτό Γενικευμένο Δυναμικό της Ειδικής Σχετικότητας. Επίσης, παρουσιάζεται και η αντίστροφη διαδικασία. Έτσι το Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα οδηγεί σε non-Riemannian μετρική της Γενικής Σχετικότητας, δηλαδή σε Finsler geometry. Η περίπτωση της σφαιρικής συμμετρίας παρουσιάζεται αναλυτικά. Γίνεται εφαρμογή της μεθόδου σε λευκές και μελανές οπές σύμφωνα με τη μετρική του Schwarzschild και την Τηλεπαράλληλη βαρύτητα και σε σφαιρικές σκουληκότρυπες σύμφωνα με το βαθμωτό πεδίο των εξισώσεων Einstein. Επίσης, δείχνουμε ότι υπάρχουν βαρυτικά πεδία στα οποία τα σωματίδια έχουν υπερφωτονικές ταχύτητες. Πρέπει να γίνει σαφές ότι η παραπάνω διαδικασία έχει την ακόλουθη ιδιότητα: τα αποτελέσματα της Βαρύτητας της Ειδικής Σχετικότητας ταυτίζονται με αυτά της Βαρύτητας της Γενικής Σχετικότητας, μόνο για μετρικές που δεν εξαρτώνται από το χρόνο (stationary metrics). Στην αντίθετη περίπτωση (non-stationary metrics), όπως η μετρική FLRW, τα αποτελέσματα της Βαρύτητας της Ειδική Σχετικότητας ταυτίζονται με αυτά της Βαρύτητας της Γενικής Σχετικότητας, μόνο στο όριο των χαμηλών ταχυτήτων (low velocities limit).Τέλος, η προαναφερόμενη μέθοδος εφαρμόσθηκε στην μετρική FLRW και λάβαμε το αντίστοιχο Βαρυτικό Βαθμωτό Γενικευμένο Δυναμικό και τη Lagrangian της Ειδικής Σχετικότητας. Αξιώνοντας ότι τα πρωτογενή φωτόνια από τη Μεγάλη Έκρηξη (Big Bang) κινούνται με σταθερή ταχύτητα c στο πλαίσιο της FLRW Βαρύτητας της Ειδικής Σχετικότητας, μπορέσαμε να υπολογίσουμε το ρυθμό αποκαμπύλωσης του Χωροχρόνου στο πλαίσιο της FLRW Βαρύτητας της Γενικής Σχετικότητας. Έτσι καταλήξαμε σε ένα πρότυπο Διαστελλόμενου Σύμπαντος που έχει αρνητική καμπυλότητα (k = -1), είναι επιβραδυνόμενο με παράμετρο επιβράδυνσης q_0 = 0.55 και ερμηνεύει την κοσμολογική μετατόπιση προς το ερυθρό (cosmological red shift) του φωτός από μακρινούς υπερκαινοφανείς αστέρες (supernovae), όπως κάνει το καθιερωμένο Κοσμολογικό Πρότυπο ΛCDM με q_0 = -0.55 (δηλαδή με αρνητική παράμετρο επιβράδυνσης).