Unfittted finite element methods for explicit boundary representations
Authors:   , Martorell Pol Pere Antoni 
Published: April 2024

(English) This thesis covers the development of large-scale numerical methods for the simulations of partial differential equations on arbitrarily complex geometries. The target application of this thesis is the structural simulation of buildings and civil infrastructures, in which lightweight and aesthetical demands usually increase the complexity of their geometries. In these applications, empirical experimentation is often not feasible during the design loop. Thus, we rely on numerical simulations to predict the performance of these shapes under realistic loads, e.g., wind loads that increase the complexity with the sophistication of the geometry. Current simulation tools are based on unstructured body-fitted meshes. The generation of unstructured meshes is time-consuming and involves human intervention. Furthermore, body-fitted methods cannot efficiently exploit modern high performance computing resources.

The main goal of this thesis is to design novel simulation tools for rapid, accurate, and automated solutions of partial differential equations on geometries described by computer-aided design. Thus, we aim for a framework that combines (1) an automated pipeline from computer-aided design to finite element analysis, (2) a novel space-time formulation for moving geometries, and (3) a scalable implementation for high performance computing resources. Our developments are accessible through open-source software within the Gridap ecosystem and FEMPAR packages (written in Julia and Fortran, respectively).

The contributions of this thesis increase the functionality of state-of-the-art unfitted (or immersed or embedded) finite element methods. These methods utilize structured background meshes to solve partial differential equations on complex domains. In the literature, these domains are implicitly represented by level sets. To address this limitation, (1) we developed a robust algorithm that solves problems on domains described by linear boundary representations. This algorithm is based on robust polyhedra clipping algorithms. We have tested the algorithm against all the analysis-ready geometries (STL files) in the Thingi10k dataset (almost 5,000). We have extended this algorithm to high-order boundary representations. In this extension, we utilize Bernstein-Bézier basis and multi-variate root-finding algorithms. We validate the resulting method with analytical benchmarks and real-world geometries from computer-aided design files.

Then, (2) we formulated an unfitted space-time finite element framework for moving explicit geometries. In this formulation, we utilized space-only meshes, circumventing the need for 4D geometrical algorithms. In turn, we developed a transfer method for evaluating the initial values at each time slab. The results matched with analytical analysis and external numerical experiments. Furthermore, we have demonstrated the applicability of fluid problems on rotating complex (2D and 3D) geometries.

Finally, (3) we proposed the acceleration of the methods of this thesis through highly scalable algorithms. These algorithms tackle the bottlenecks of parallelization of the intersection algorithms. We have demonstrated the scalability of these algorithms over one billion cells and 12,000 cores. Furthermore, we can combine these algorithms with adaptive mesh refinement techniques to reduce the computational cost further. These tools provide the means to significantly accelerate the design-to-simulation pipeline while increasing the fidelity of the results.

(Català) Aquesta tesi cobreix el desenvolupament de mètodes numèrics a gran escala per a la simulació d'equacions amb derivades parcials en geometries arbitràriament complexes. L'aplicació d'aquesta tesi està orientada a la simulació estructural d'edificis i infraestructures civils, en les quals les demandes estètiques i de lleugeresa augmenten la complexitat de les geometries. En aquestes aplicacions, l'experimentació empírica no és factible durant el procés de disseny. Per tant, es confia en simulacions numèriques per a predir el comportament d'aquestes estructures sotmeses a càrregues realistes, e.g., efectes del vent que es compliquen amb la sofisticació de la geometria. Les eines de simulació actuals es basen en malles no estructurades adaptades a la geometria. La creació de malles no estructurades és un procés demandant que requereix la intervenció humana. A més, els mètodes de malles adaptades a la geometria no poden explotar els recursos computacionals d'alt rendiment moderns de manera eficient.

L'objectiu principal d'aquesta tesi és el disseny de noves eines per a simular ràpidament, acurada i automàtica equacions amb derivades parcials sobre geometries definides per disseny assistit per ordinador. Per aquest motiu, es cerca un sistema que combina (1) un procés automàtic des del disseny assistit per ordinador fins a l'anàlisi d'elements finits, (2) una nova formulació espai-temps per a geometries en moviment, i (3) una implementació escalable per explotar recursos computacionals d'alt rendiment. Els desenvolupaments estan accessibles mitjançant programari de codi obert dins de l'ecosistema Gridap i del paquet FEMPAR (escrits en Julia i Fortran, respectivament).

Les contribucions d'aquesta tesi incrementen la funcionalitat dels mètodes d'elements finits embeguts ("immersed", "embeddedd" o "unfitted" en anglès) respecte a l'estat de l'art. Aquests mètodes utilitzen malles de fons estructurades per resoldre equacions amb derivades parcials en dominis complexos. En la literatura, aquests dominis es representen implícitament per conjunts de nivell. Per a abordar aquesta limitació, (1) s'ha desenvolupat un algorisme robust que resol problemes en dominis descrits per representacions de contorn lineals. Aquest algorisme es basa en algorismes robustos per retallar poliedres. S'ha testejat l'algorisme amb totes les geometries (fitxers STL) analitzables del recurs Thingi10k (gairebé 5.000). S'ha ampliat l'algorisme per a representacions de contorn d'alt ordre. En aquesta extensió, es fan servir les bases de Bernstein-Bézier i algorismes de cerca d'arrels multivariables. S'ha validat el mètode mitjançant referències analítiques i geometries reals creades amb eines de disseny assistit per ordinador.

A continuació, (2) s'ha formulat un marc d'elements finits embegut i espai-temps per a geometries explícites que es mouen. En aquesta formulació, s'utilitzen malles espacials per a evitar la necessitat d'algorismes geomètrics en 4D. En canvi, s'ha desenvolupat un mètode de transferència de valors inicials a les llesques temporals. Els resultats coincideixen amb l'anàlisi matemàtica i amb els experiments numèrics externs. Així mateix, s'ha demostrat l'aplicabilitat a problemes de fluids amb geometries complexes (2D i 3D) en rotació.

Finalment, (3) s'ha proposat l'acceleració dels mètodes d'aquesta tesi a través d'algorismes altament escalables. Aquests algorismes aborden colls d'ampolla de la paral·lelització dels algorismes d'intersecció. S'ha demostrat l'escalabilitat d'aquests algorismes amb més de mil milions de cel·les i 12.000 processadors. Per afegiment, es poden combinar aquests algorismes amb tècniques d'adaptació de malla per reduir, encara més, el cost computacional. Aquestes eines proporcionen els mitjans per a accelerar el procés de disseny a simulació tot incrementant la fidelitat dels resultats.

(Español) Esta tesis cubre el desarrollo de métodos numéricos a gran escala para la simulación de ecuaciones con derivadas parciales en geometrías arbitrariamente complejas. La aplicación de esta tesis está orientada a la simulación estructural de edificios e infraestructuras civiles, en las cuales las demandas estéticas y de ligereza aumentan la complejidad de las geometrías. En estas aplicaciones, la experimentación empírica no es factible durante el proceso de diseño. Por lo tanto, se confía en simulaciones numéricas para predecir el comportamiento de estas estructuras sometidas a cargas realistas, e.g., efectos del viento que se complican con la sofisticación de la geometría. Las herramientas de simulación actuales se basan en mallas no estructuradas adaptadas a la geometría. La creación de mallas no estructuradas es un proceso demandante que requiere la intervención humana. Además, los métodos de mallas adaptadas a la geometría no pueden explotar los recursos computacionales de alto rendimiento modernos de manera eficiente.

El objetivo principal de esta tesis es el diseño de nuevas herramientas para simular rápidamente, esmerada y automática ecuaciones con derivadas parciales sobre geometrías definidas por diseño asistido por ordenador. Por este motivo, se busca un sistema que combina (1) un proceso automático desde el diseño asistido por ordenador hasta el análisis de elementos finitos, (2) una nueva formulación espacio-tiempo para geometrías en movimiento, y (3) una implementación escalable para explotar recursos computacionales de alto rendimiento. Los desarrollos están accesibles mediante software de código abierto dentro del ecosistema Gridap y del paquete FEMPAR (escritos Julia y Fortran, respectivamente).

Las contribuciones de esta tesis incrementan la funcionalidad de los métodos de elementos finitos embebidos ("immersed", "embeddedd" o "unfitted" en inglés) respecto al estado del arte. Estos métodos utilizan mallas de fondos estructuradas para resolver ecuaciones con derivadas parciales en dominios complejos. En la literatura, estos dominios se representan implícitamente por conjuntos de nivel. Para abordar esta limitación, (1) se ha desarrollado un algoritmo robusto que resuelve problemas en dominios descritos por representaciones de contorno lineales. Este algoritmo se basa en algoritmos robustos para recortar poliedros. Se ha testado el algoritmo con todas las geometrías (ficheros STL) analizables del recurso Thingi10k (casi 5.000). Se ha ampliado el algoritmo para representaciones de contorno de alto orden. En esta extensión, se usan las bases de Bernstein-*Bézier y algoritmos de búsqueda de raíces multivariables. Se ha validado el método mediante referencias analíticas y geometrías reales creadas con herramientas de diseño asistido por ordenador.

A continuación, (2) se ha formulado un marco de elementos finitos embebido y espacio-tiempo para geometrías explícitas que se mueven. En esta formulación, se utilizan mallas espaciales para evitar la necesidad de algoritmos geométricos en 4D. En cambio, se ha desarrollado un método de transferencia de valores iniciales a las rebanadas temporales. Los resultados coinciden con el análisis matemático y con los experimentos numéricos externos. Así mismo, se ha demostrado la aplicabilidad a problemas de fluidos con geometrías complejas (2D y 3D) en rotación.

Finalmente, (3) se ha propuesto la aceleración de los métodos de esta tesis a través de algoritmos altamente escalables. Estos algoritmos abordan cuellos de botella de la paralelización de los algoritmos de intersección. Se ha demostrado la escalabilidad de estos algoritmos con más de mil millones de celdas y 12.000 procesadores. Por añadidura, se pueden combinar estos algoritmos con técnicas de adaptación de malla para reducir, todavía más, el coste computacional. Estas herramientas proporcionan los medios para acelerar el proceso de diseño a simulación incrementando la fidelidad de los resultados.