Computing, modelling, and scientific practice
Authors: Παπαγιαννόπουλος Φίλιππος-Αναστάσιος 
Published: September 2024

Η παρούσα διατριβή εξετάζει πτυχές της αλληλεπίδρασης μεταξύ υπολογιστικής και επιστημονικής πρακτικής. Το κατάλληλο θεμελιακό πλαίσιο για μια τέτοια προσπάθεια είναι περισσότερο η πραγματική υπολογισιμότητα παρά η κλασική θεωρία υπολογισιμότητας. Αυτό ισχύει επειδή τα υπολογιστικά προβλήματα στις φυσικές επιστήμες, τις επιστήμες του μηχανικού και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά είναι, ως επί το πλείστον, προβλήματα που ενέχουν πραγματικές συναρτήσεις και συνεχή μαθηματικά. Ωστόσο, σε αντίθεση με την περίπτωση υπολογισμών αριθμητικών συναρτήσεων, για την περίπτωση των πραγματικών συναρτήσεων δεν υπάρχει ακόμα μια καθολικά αποδεκτή θεωρία πραγματικής υπολογισιμότητας. Αντ' αυτού, συναντούμε στη βιβλιογραφία δύο πολύ διαφορετικές (και γενικά ασύμβατες) μαθηματικές προσεγγίσεις: την προσέγγιση της υπολογίσιμης ανάλυσης (computable analysis) και την προσέγγιση του μοντέλου BSS ("Blum-Shub-Smale"). Ωστόσο, και οι δύο προσεγγίσεις ως προς την πραγματική υπολογισιμότητα ισχυρίζονται ότι η καθεμία τυποποιεί καταλλήλως την έννοια του «αλγοριθμικό υπολογισμού» και προσφέρει τα αυστηρά μαθηματικά θεμέλια για την πρακτική του επιστημονικού υπολογισμού (αριθμητική ανάλυση). Η διατριβή αποτελείται από τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος, εξετάζεται ποια έννοια «αλγοριθμικού υπολογισμού» διέπει κάθε μία από τις δύο προσεγγίσεις της βιβλιογραφίας και, αντιστοίχως, πώς η έννοια αυτή τυποποιείται στην καθεμία. Υποστηρίζεται ότι η ίδια η ύπαρξη δύο ανταγωνιστικών πλαισίων υποδεικνύει ότι η έννοια του «αλγορίθμου» δεν είναι μονοσήμαντη στα μαθηματικά, αλλά στην πραγματικότητα χρησιμοποιείται με περισσότερους από έναν τρόπους, σε διαφορετικούς κλάδους. Εξετάζεται κατά πόσο αυτή η υπόθεση είναι συνεπής με την υπάρχουσα μαθηματική πρακτική καθώς και με βασικές ερευνητικές εργασίες στα θεμέλια των αλγορίθμων οι οποίες έχουν αποσκοπήσει κατά καιρούς να ορίσουν τη συγκεκριμένη έννοια. Ως αποτέλεσμα, η διατριβή δημιουργεί νέες συνδέσεις μεταξύ επιμέρους πεδίων των μαθηματικών και της πληροφορικής, που ως τώρα παραμένουν ασύνδετες· περαιτέρω, προτείνεται μια καινούργια διάκριση μεταξύ των εννοιών του «αλγορίθμου» και της «αποτελεσματικής διαδικασίας» (effective procedure). Το δεύτερο μέρος της εργασίας, εστιάζει στον δεύτερο στόχο των δύο ανταγωνιστικών προσεγγίσεων για την πραγματική υπολογισιμότητα: δηλαδή την παροχή αυστηρών θεμελίων για την μαθηματική περιοχή του επιστημονικού υπολογισμού (αριθμητική ανάλυση). Εξετάζονται λεπτομερώς τα δύο πλαίσια (υπολογιστική ανάλυση και BSS), με ιδιαίτερη έμφαση στο είδος των εξιδανικεύσεων που χρησιμοποιούν και στο πώς σχετίζονται με τα αριθμητικά συστήματα κινητής υποδιαστολής (foating-point arithmetic) που χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση υπολογισμών σε πραγματικούς υπολογιστές. Εκτίθενται τα πλεονεκτήματα και οι περιορισμοί των δύο μαθηματικών προσεγγίσεων και απαντώνται ερωτήματα σχετικά με το ποια από τις δύο είναι καταλληλότερη να παρέχει μαθηματικά θεμέλια για διαδικασίες υπολογιστικής μοντελοποίησης και ποια για την αντιμετώπιση ευρύτερων προβλημάτων υπολογισιμότητας. Στο τρίτο μέρος της διατριβής, διερευνάται επιστημολογικά ο αναλογικός υπολογισμός και η σχέση του με την αναλογική/φυσική μοντελοποίηση (δηλαδή τη χρήση φυσικών μοντέλων κλίμακας--scale models) στην επιστημονική πρακτική. Με βάση ορισμένες παραδειγματικές περιπτώσεις αναλογικών υπολογιστών, προτείνεται μια συγκεκριμένη προσέγγιση ως προς τον ορισμό και τη φύση του «υπολογισμού» εν γένει, κατά την οποία αποδίδεται ιδιαίτερος επιστημικός ρόλος στην έννοια της «αναπαράστασης». Επιπρόσθετα, προτείνεται μια νέα ερμηνεία της διάκρισης μεταξύ «αναλογικού» και «ψηφιακού» υπολογισμού και, βάσει αυτής, συγκρίνονται επιστημολογικά η πρακτική της αναλογικής υπολογιστικής μοντελοποίησης και η πρακτική της φυσικής μοντελοποίησης (χρήση μοντέλων κλίμακας). Συμπεραίνεται ότι, παρά τις φαινομενικές τους ομοιότητές τους, οι δύο αυτές πρακτικές είναι επιστημολογικά ασύμμετρες.