Bernstein-Sato polynomial of plane curves and Yano's conjecture
Authors:   , Blanco Fernández Guillem 
Published: October 2023

The main aim of this thesis is the study of the Bernstein-Sato polynomial of plane curve singularities. In this context, we prove a conjecture posed by Yano about the generic b-exponents of a plane irreducible curve.

In a part of the thesis, we study the Bernstein-Sato polynomial through the analytic continuation of the complex zeta function of a singularity. We obtain several results on the vanishing and non-vanishing of the residues of the complex zeta function. Using these results we obtain a proof of Yano's conjecture under the hypothesis that the eigenvalues of the monodromy are pair-wise different. In another part of the thesis, we study the periods of integrals in the Milnor fiber and their asymptotic expansion. These periods of integrals can be related to the b-exponents and can be constructed in terms of resolution of singularities. Using these techniques, we can present a proof for the general case of Yano's conjecture.

In addition to the Bernstein-Sato polynomial, we also study the minimal Tjurina number of a plane irreducible curve and we answer in the positive a question raised by Dimca and Greuel on the quotient between the Milnor and Tjurina numbers. More precisely, we prove a formula for the minimal Tjurina number of a plane irreducible curve in terms of the multiplicities of the strict transform along its minimal resolution. From this formula, we obtain the positive answer to Dimca and Greuel question.

This thesis also contains computational results for the theory of singularities on smooth complex surfaces. First, we describe an algorithm to compute log-resolutions of ideals on a smooth complex surface. Secondly, we provide an algorithm to compute generators for complete ideals on a smooth complex surface. These algorithms have several applications, for instance, in the computation of the multiplier ideals associated to an ideal on a smooth complex surface.

El principal objectiu d'aquesta tesi és l'estudi del polinomi de Bernstein-Sato de singularitats de corbes planes. En aquest context, es demostra una conjectura proposada per Yano el 1982 sobre els \( b \)-exponents genèrics d'una corba plana irreductible. En una part d'aquesta tesi, s'estudia el polinomi de Bernstein-Sato utilitzant la continuació analítica de la funció zeta complexa d'una singularitat. S'obtenen diversos resultat sobre l'anul·lació i no anul·lació del residu de la funció zeta complexa d'una corba plana. Utilitzant aquests resultats, s'obté una demostració de la conjectura de Yano sota la hipòtesi de que els valors propis de la monodromia siguin diferents dos a dos. En un altre part de la tesi, s'estudien els períodes d'integrals en la fibra de Milnor i la seva expansió asimptòtica. Aquesta expansió asimptòtica dels períodes pot ser relacionada amb els b-exponents i pot ser construïda en termes de la resolució de singularitats. Utilitzant aquestes tècniques, es presenta una prova del cas general de la conjectura de Yano. A més a més del polinomi de Bernstein-Sato, també s'estudia el nombre de Tjurina mínim d'una corba plana irreductible i responem positivament a una pregunta formulada per Dimca i Greuel sobre el quocient entre els nombres de Milnor i Tjurina. Concretament, es demostra una fórmula pel nombre de Tjurina mínim en un classe d'equisingularitat de corbes planes irreductibles en termes de la seqüència de multiplicitats de la transformada estricta al llarg de la resolució minimal. A partir d'aquesta fórmula, s'obté la resposta positiva a la pregunta de Dimca i Greuel. Aquesta tesi també conté resultats computacionals per la teoria de singularitats en superfícies complexes llises. Primer, es descriu un algorisme que calcula la log-resolució d'ideals en un superfície complexa llisa. En segon lloc, es dona un algorisme per calcular generadors per ideals complets en una superfície complexa llisa. Aquests algorismes tenen diverses aplicacions, com per exemple, en el càlcul d'ideals multiplicadors associats a un ideal en una superfície complexa llisa.