Statistical physics algorithms for wireless communication networks
Authors: Ευαγγελάτος Σπυρίδων 
Published: August 2024

Σε αυτή τη διατριβή παρουσιάζονται διάφορες εφαρμογές για ανάλυση της επίδοσης ασυρμάτων δικτύων με τη βοήθεια κάποιων ευρέως διαδεδομένων μαθηματικών εργαλειών που έχουν αναπτυχθεί στο τομέα της θεωρητικής φυσικής. Επιλύονται προβλήματα βελτιστοποίησης μέσω του ευρέως διαδεδομένου αλγόριθμου διαβίβασης μηνυμάτων μέσω της μοντελοποίησης τους στο πλαίσο της στατιστικής φυσικής. Συγκεκριμένα τροποποίηθηκε και εφάρμοστηκε ένας αλγόριθμος διαβίβασης μηνυμάτων (message passing) σε τυχαία δίκτυα, που μοντελοποιήθηκαν σαν διμερείς ακυκλικοί γράφοι. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε σε αραιούς γράφους, λόγω της πολύ μικρής πιθανότητας εύρεσης κύκλων και συνεπώς της εύκολης μετατροπής τους σε δέντρα, όπως για παράδειγμα τα δέντρα Cayley. Οι συγκεκριμένοι γράφοι, μπορούν να αποδώσουν με εξαιρετική ακρίβεια τις ιδιότητες ασύρματων δικτύων με τυχαία συνδεσιμότητα και αποτελούν εργαλείο για τη μοντελοπίηση γνωσιακών δικτύων IoT (Cognitive Radio-enabled IoT). Συνοπτικά, εφάρμοστηκαν τεχνικές από τη θεωρία των spin-glasses στην Στατιστική Φυσική για την κατασκευή επαναληπτικών αλγορίθμων με σκοπό την ανίχνευση και τον εντοπισμό πολλαπλών ασύρματων πηγών από ασύρματους αισθητήρες. Ο απώτερος σκοπός της μελέτης αυτής ήταν να διαστατοποιηθεί το πρόβλημα με απλό ημιαναλυτικό τρόπο. Παράλληλα, μελετήθηκε και η απεικόνιση διμερών γράφων σε τοπολογίες δικτύων για τις περιπτώσεις που δεν υπάρχει συνεργασία μεταξύ των διαφορετικών δικτυακών στοιχείων (κύριες πηγές, δευτερεύοντες χρήστες). Το προαναφερθέν πρόβλημα εστιάζει σε αλγορίθμους μεταβίβασης μηνυμάτων διαφορετικών οντοτήτων. Το πρώτο μέρος αυτής της έρευνας που αφορά μια τέτοια αρχιτεκτονική έχει παρουσιαστεί και στο [1], όπου αρχικά παρήχθησαν αναλυτικές εκφράσεις με τη μορφή κλειστού συνόλου εξισώσεων για την πυκνότητα των πηγών (κυρίων και δευτερευόντων) οι οποίες και λύθηκαν με τη χρήση του αλγορίθμου της πληθυσμιακής δυναμικής (population dynamics). Μελετήθηκε επίσης - μέσω εκτενών προσομοιώσεων - η περίπτωση της τυχαίας συνδεσιμότητας μεταξύ κόμβων σε κανάλι διαλείψεων Rayleigh όπου μετά τη σύγκριση των δύο αλγοριίθμων σε πολλαπλές υλοποιήσεις τυχαίων δισδιάστατων δικτύων, αποδείχθηκε η σχεδόν ταύτιση των αποτελεσμάτων τους. Τέλος, μελετήθηκες και η ταχύτητα σύγκλισης του αλγόριθμου μεταβίβασης μηνυμάτων η οποία αποδείχθηκε γραμμική σε συνάρτηση με τον αριθμό των πηγών. Στο δεύτερο μερός αυτής της μελέτης, εξετάστηκε η εύρεση της σωστής ανίχνευσης πηγών με τη βοήθεια της μεθόδου της συμμετρίας των αντιγράφων (Replica Symmetry Method) η οποία είχε ίδια αποτελέσματα με την μέθοδο της ελεύθερης ενέργειας Bethe. Η πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης πηγών εξήχθη σαν συνάρτηση δυο επαναληπτικών εξισώσεων ενσωματώνοντας και περιπτώσεις όπου οι πηγές είναι εκτός της εμβέλειας των δευτερευόντων πηγών/αισθητήρων. Στην εργασία [2], συμπεριλήφθησαν οι αναλυτικές εκφράσεις της μεθόδου της συμμετρίας των αντιγράφων, η σύγκριση της μέσης ενέργειας επικοινωνίας γιατην περίπτωση του αλγορίθμου μεταβίβασης μηνυμάτων με έναν αλγόριθμο πλησιέστερου γείτονα (nearest neighbour) όπου και αποδείξαμε σχεδόν όμοια αποτελέσματα για πολύ πυκνά δίκτυα, η σύγκριση του αλγορίθμου μεταβίβασης μηνυμάτων με μυωπικούς αλγόριθμους οι οποίοι παρ’όλη την απλότητας τους δεν έχουν την ίδια απόδοση και τέλος η λεπτομερής σύγκριση του του αλγορίθμου μεταβίβασης μηνυμάτων με άλλε μεθόδους ανίχνευσης πολλαπλών πηγών. Η παραπάνω μελέτη παρέδωσε μία αναλυτική μεθοδολογία για την ανίχνευση της κατάστασης πολλαπλών πηγών σε ένα δίκτυο με δευτερεύοντες χρήστες/αισθητήρες παρουσιά θορύβου. Στο τελευταίο μέρος αυτής της διατριβής εστίαζει στη μελέτη πολυ-βηματικών (multihop) δικτύων επικοινωνιών με αναμεταδότες σε περιπτώσεις περιορισμένης υποδομής για πιθανή μελλοντική χρήση δικτύων με επέκταση ακτίνας κάλυψης. Συγκεκριμένα, υπολόγιζεαι η χωρητικότητα και η πιθανότητα επιτυχούς μετάδοσης σήματος και ανέλυονται τα συγκεκριμένα μοντέλα λήψης σήματος με εργαλεία από τη στοχαστική γεωμετρία [3,4]. H ανάλυση αυτή επικεντρώθηκε σε ταυτόχρονη μετάδοση (είτε ορθογώνια είτε συνυπάρχουσα) για ασυμπτωτικές περιοχές με κόμβους κατανεμημένους κατά Poisson και σε περιοχές με χαμηλό BER.