A Genealogic-Structural Hypotesis of Harmonic Dualism
Authors: Даи Пра Джанлука 
Published: February 2023

В «классической» теории музыки минорное трезвучие всегда считалось подчиненным господствующему и более «естественному» мажорному (как в мажорных, так и в минорных тональностях). Принцип гармонического дуализма придает равную значимость мажорным и минорным трезвучиям, рассматриваемым с диалектической и акустической точек зрения, т. е. с точки зрения унтертонов и обертонов, опосредования противоположных сил и физиолого-структурного понимания (см. труды Эттингена (1866), Гауптмана (1853) и Римана (1905 и 1915)). Однако оправдание существования минорного трезвучия, предлагаемое в этих трудах, не выглядит убедительным; все попытки обнаружить основание минорных трезвучий в унтертоновых рядах Эттингена оказываются в равной мере безуспешными. Хотя существование минорного трезвучия - и минорной тональности - не подлежит сомнению, лишь «Формальная теория обобщенных тональных функций» Дэвида Льюина (1982) способна дать структурно-формальное объяснение гармонического дуализма, исходя из инверсии интервалов, составляющих мажорное трезвучие. Принимая во внимание тот факт, что тональная практика, по всей вероятности, берет свое начало в транспозиции псалмовых тонов в инструментальной музыке XVII века (см. публикации Барнетта (1998) и Пауэрса (2014)), мы ищем онтологическую основу гармонического дуализма в практике темперации; в зависимости от взаимного расположения консонансов двух трезвучий в среднетоновых темперациях (для простоты назовем их среднетоновыми темперациями на 1/3 и на 1/4 синтонической коммы) можно проследить двойной дуализм, в котором обсуждаемая терция онтологически преобладает, а дополняющая является ее двойником. Однако темперации не позволяют осуществлять модуляции без транспозиции в отдаленные тональности. И наоборот, модель Льюина позволяет генерировать «двойственные» трезвучия путем математических манипуляций с их составляющими - инверсии (операция «TDINV») и/или сопряжения (операция «CONJ»). Если посмотреть на модальные диатонические звукоряды, на которых основаны псалмовые тоны («белые ноты» с добавлением си бемоля), и расположить звуковысоты этих тонов по терциям, можно получить два палиндрома, репрезентирующие все возможные в рамках данных модальных звукорядов трезвучия; это подтверждает структуру, которую Льюин получил теоретическим путем (и которая также является палиндромом). Наш подход находится в противоречии с теориями «классического» гармонического дуализма, при котором внимание фокусируется только на одиночных составляющих трезвучий (в названном выше контексте). Более того, такие подходы стремятся определить, каким образом можно приспособить модель к темперации независимо от таковой, т. е. не включая в модель саму темперацию. Все эти аспекты не позволяют дать убедительное объяснение гармоническому дуализму, и такое положение вещей существовало до тех пор, пока Льюин не сформулировал свою теорию. Отойдя от обычной практики и рассматривая аккорды как автономные сущности, а не наложения принадлежащих гамме интервалов, Льюин впервые дал убедительное с формальной точки зрения объяснение, основанное на равномерной темперации, не выводя сопоставляемый консонанс и «естественность» мажорного и минорного трезвучий из особой интонации (см. упомянутую статью Льюина). Цель моей статьи - подчеркнуть значимость исторически информированной генеалогии гармонического дуализма, рассмотрения его с точки зрения музыкальных практик, которые привели к возникновению тональности благодаря использованию темпераций и их интервальной структуры.

In “classical” music theory, the minor triad has always been considered subordinate to the prevailing, and more “natural”, major triad (both for major and minor tonalities). Harmonic dualism is a principle that ascribes equal importance to the major and minor triads approached from dialectical and acoustical point of view, i.e. in terms of undertones and overtones, mediation of contrasting forces and physiological-structural understanding (following Oettingen’s (1866), Hauptmann’s (1853), and Riemann’s (1905 and 1915) studies). However, these studies do not seem to convincingly justify the existence of the minor triad; all attempts to trace the foundation of the minor triads in Oettingen’s series of undertones appears equally weak. Being the minor triad - and tonality - an indisputable piece of evidence, the David Lewin’s A Formal Theory of Generalized Tonal Functions (1982) is the only one able to demonstrate the structural-formal explanation of harmonic dualism in terms of inversion of the same intervals which belong to the major triad. Considering that the tonal praxis is likely to come from transposition of psalm-tones in the instrumental music of the XVII century (following Barnett’s (1998), and Powers’s (2014) papers), we seek the ontological basis of harmonic dualism in the praxis of temperaments; depending on the higher or lower consonance of the two triads in meantone temperaments (for simplicity 1/3 and 1/4 of syntonic comma (s.c.) meantone temperaments), we can trace back a double dualism, in which the third in question is ontologically prevalent, and the complementary one is its dual. However, temperaments do not allow modulations without a transposition to distant keys. Conversely, Lewin’s model allows generating “dual” triads by mathematical manipulation of their constituents - i.e., inversion (“TDINV” operation) and/or conjugation (“CONJ” operation). By looking at the modal diatonic sets on which psalmodic-tones are based (the natural notes with added BL») and by arranging the pitches of these tones as thirds, one can obtain two palindromes which represent all the triadic possibilities for these modal sets, which confirms the structure theorized by Lewin (which is a palindrome as well). Our approach contradicts the theories of “classical” harmonic dualism, which focuses only on the single constituents of the triads (regarding the topics cited above). Moreover, such approaches seek to identify how the model could be adapted to the temperament independently, i. e. without including the temperament itself into the model. All these aspects fail to provide a convincing explanation of the harmonic dualism, that wasn’t achieved until Lewin’s formulation. By considering chords as autonomous entities, different from the ordinary superposition of scalar intervals, Lewin provided for the first time a formally convincing explanation based on the equal temperament, i.e. without making comparable consonance and “naturalness” of the major and minor triad a consequence of a specific intonation (following Lewin’s 1982 paper). My paper aims at highlighting the relevance of a historically informed genealogy of the harmonic dualism, in relation with the musical practices that led to the emergence of tonality through the use of temperaments and their interval structure.