Γενικευμένες θεωρίες βαρύτητας με μη-τετριμμένες ζεύξεις βαθμωτών πεδίων
Authors: Ντρέκης Κωνσταντίνος 
Published: September 2021

Η θεωρία της Γενικής Σχετικότητας του Einstein το 1915 έθεσε τα θεμέλια για την μελέτη της κατασκευής του χωρόχρονου $($spacetime$)$ και της εξέλιξης του Σύμπαντος με βάση τους φυσικούς νόμους. Το 1922 ο Friedmann ανέδειξε την ύπαρξη λύσεων των εξισώσεων του Einstein που περιγράφουν σενάρια διαστολής/κατάρρευσης του Σύμπαντος. Το 1929 ο Hubble ανακάλυψε την διαστολή του Σύμπαντος με βάση παρατηρησιακά δεδομένα που υπονοούσαν την απομάκρυνση των γαλαξιών, όπως προέβλεπε και η Γενική Σχετικότητα. Το 1946 ο Gamow και οι συνεργάτες του με τη θεωρία της πυρηνοσύνθεσης έδειξαν ότι η εξέλιξη του Σύμπαντος θα πρέπει να ξεκινά από μια πολύ θερμή και πυκνή κατάσταση. Προέβλεψαν επίσης ότι το τωρινό Σύμπαν θα είναι κατεκλυσμένο από μικροκυματικές ακτινοβολίες μέλανος σώματος. Πράγματι το 1965 οι Penzias και Wilson ανακάλυψαν μικροκυματικές ακτινοβολίες υποβάθρου που συνάδουν με τις θεωρητικές προβλέψεις του Gamow. Αυτές οι παρατηρησιακές ενδείξεις οδήγησαν στην πεποίθηση ότι το Σύμπαν ξεκίνησε από μια θερμή και πυκνή κατάσταση η οποία περιγράφεται από το μοντέλο της Μεγάλης Έκρηξης $($Big-Bang model$)$. Το σενάριο της Μεγάλης Έκρηξης έχει τρία θεμελιώδη προβλήματα $($πρόβλημα επιπεδότητας $($flatness problem$)$, πρόβλημα του ορίζοντα $($horizon problem$)$ και παραγωγή ανεπιθύμητων σωματιδίων $($unwanted relics$))$ τα οποία λύνονται στα πλαίσια του Πληθωρισμού $($Inflation$)$. Η ιδέα του πληθωρισμού $($Guth 1981, Albrecht και Steinhardt 1982, Linde 1982,1983$)$ δεν αντικαθιστά το σενάριο της Μεγάλης Έκρηξης παρά μόνο αντιμετωπίζει τα προβλήματά της διατηρώντας της επιτυχίες της. Πιο συγκεκριμένα ο πληθωρισμός τοποθετείται σε μια περίοδο μετά τη Μεγάλη Έκρηξη και ορίζεται ως μια κατάσταση επιταχυνόμενης διαστολής του Σύμπαντος. Για να είναι εφικτό το σενάριο του πληθωρισμού χρειάζεται μια μορφή ύλης που να επιτρέπεται να αποκτήσει την ασυνήθιστη ιδιότητα της αρνητικής πίεσης. Κάτι τέτοιο είναι δυνατό με τα βαθμωτά πεδία, που περιγράφουν βαθμωτά $(spin-0)$ σωματίδια. Στο σενάριο του πληθωρισμού ως υπεύθυνο βαθμωτό πεδίο θεωρείται το πληθωριστικό πεδίο inflaton, το οποίο δεν μπορεί να παρατηρηθεί πλέον αφού διασπάται με το τέλος του πληθωρισμού είτε διαταρακτικά $($reheating$)$ είτε μη διαταρακτικά $($preheating$)$. Η εισαγωγή ενός βαθμωτού πεδίου στη θεωρία της βαρύτητας και η απαίτηση οι συνιστώσες του τανυστή ενέργειας-ορμής να ικανοποιούν μια ιδιαίτερη σχέση, αποτέλεσαν τις θεμελιώδεις λίθους για το επιτυχημένο σενάριο του πληθωρισμού. Είναι αρκετά ενδιαφέρον να μελετηθεί αν μια αντίστοιχη διαδικασία θα μπορούσε να οδηγήσει, όχι σε μια ραγδαία διαστολή του Σύμπαντος όπως στον πληθωρισμό, αλλά στην κατάρρευσή του. Στο σενάριο αυτό ο χωρόχρονος καταλήγει σε μια ανωμαλία $($singularity$)$ και μένει να μελετηθεί αν η ανωμαλία αυτή μπορεί να παρατηρηθεί ή όχι. Στην πρώτη περίπτωση η ανωμαλία αυτή καλείται γυμνή $($naked$)$ και σύμφωνα με την Υπόθεση Κοσμικής Λογοκρισίας $($Cosmic Censorship Conjecture$)$ του Penrose (1969), δεν υπάρχουν στο σύμπαν γυμνές ανωμαλίες εκτός από αυτή της Μεγάλης Έκρηξης. Στη δεύτερη περίπτωση είναι δυνατόν να δημιουργηθεί ένας ορίζοντας γεγονότων (event horizon) ορίζοντας το σύνορο μιας μελανής οπής $($black hole$)$ που θα καλύπτει την ανωμαλία στο κέντρο της. Οι μελανές οπές προέρχονται από τη βαρυτική κατάρρευση αστέρων μεγάλης μάζας στους οποίους η εσωτερική πίεση δεν είναι αρκετή ώστε να αντισταθεί στην ίδια τους τη βαρύτητα και χωρίζονται σε \tl{stellar black holes} $(\sim 10 M_{Sun})$, \tl{intermediate black holes} $(~\sim 10^3 M_{Sun})$ και supermassive black hole $(~\sim 10^5 - 10^{10} M_{Sun})$. Το 1971 εισάγεται από τον Hawking η ιδέα ύπαρξης πολύ μικρότερων μελανών οπών $(\sim10^{-8} kg)$που ονομάστηκαν αρχέγονες μελανές οπές $($\tl{primordial black holes}$)$. Πρόκειται για έναν υποθετικό τύπο μελανών οπών οι οποίες σχηματίζονται στο αρχικό σύμπαν, μετά τη Μεγάλη Έκρηξη, λόγω των τεράστιων πυκνοτήτων ενέργειας που αναπτύσσονται. Η παραπάνω μελέτη της βαρυτικής κατάρρευσης ενός βαθμωτού πεδίου δύναται, εκτός των άλλων, να εξηγήσει τη δημιουργία αυτής της κλάσης μελανών οπών.Παρά την τεράστια επιτυχία της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας $($ΓΣ$)$, τόσο κατά τη διεξαγωγή πειραμάτων στο Ηλιακό μας σύστημα, όσο και με την πρόσφατη επιβεβαίωση της ύπαρξης βαρυτικών κυμάτων, αυτή εξακολουθεί να είναι μια ατελής θεωρία. Σχετικά πρόσφατα παρατηρησιακά δεδομένα υποδεικνύουν ότι η ΓΣ δεν είναι σε θέση να επεξηγήσει τη συμπεριφορά του σύμπαντος σε μεγάλες αποστάσεις. Το σύμπαν έχει εισέλθει σε μια περίοδο επιταχυνόμενης διαστολής. Στα πλαίσια της ΓΣ η συμπεριφορά αυτή θεωρείται ότι πηγάζει από μια καινούργια συνιστώσα πυκνότητας ενέργειας με αρνητική πίεση που ονομάστηκε Σκοτεινή Ενέργεια $($Dark Energy$)$. Η φύση της Σκοτεινής Ενέργειας είναι ακόμα άγνωστη και γίνονται πολλές προσπάθειες εντοπισμού της προέλευσης της καθώς και των ιδιοτήτων της. Μια πιθανή πηγή της Σκοτεινής Ενέργειας μπορεί να θεωρηθεί μια Κοσμολογική Σταθερά $($Λ$)$, τότε όμως αντιμετωπίζουμε προβλήματα τα οποία σχετίζονται με την προέλευση και την τάξη μεγέθους της. Πιο συγκεκριμένα η κοσμολογική σταθερά εισάγεται στη θεωρία $``$με το χέρι$"$, ενώ ταυτόχρονα η υπόθεση ότι η πυκνότητα ενέργειας $\rho_\Lambda = \frac{\Lambda}{8\pi G} = 6.72\times 10^{-24} g\;m^{-3}$ αντιστοιχεί σε μια πυκνότητα ενέργειας του κενού $\rho_{Planck} = 5.16 \times 10^{99} g\;m^{-3}$ οδηγεί σε μια διαφορά τάξης μεγέθους $\frac{\rho_\Lambda}{\rho_{Planck}} \sim 10^{-123}$ ! Αυτό είναι το λεγόμενο \tl{Fine tuning problem}. Επιπλέον, μετά τους πρώτους παρατηρησιακούς περιορισμούς από δεδομένα που αφορούν τον πληθωρισμό $($φάσμα βαθμωτών διαταραχών, λόγος τανυστικών προς βαθμωτές διαταραχές$)$ άρχισε η απόρριψη ενός μεγάλου αριθμού πληθωριστικών σεναρίων. Αν η φύση επιδέχεται μια πιο γενικευμένη θεωρία βαρύτητας τότε οφείλουμε να δούμε πως επηρεάζει αυτά τα μοντέλα, αν τα κάνει πάλι αποδεκτά ή τα περιορίζει περισσότερο. Όμοια και η μελέτη των μελανών οπών από βαθμωτά πεδία επιδέχεται πλήθος σεναρίων τα οποία θα μπορούσαν να εισαγάγουν επιπλέον παρατηρησιακά μεγέθη όπως στην περίπτωση του πληθωρισμού. Ας μην ξεχνάμε πως η Γενική Σχετικότητα ήταν η πρώτη τροποποιημένη θεωρία βαρύτητας η οποία ενσωμάτωσε τα κοσμολογικά φαινόμενα σε ένα πιο γενικό πλαίσιο με όριο τη Νευτώνια βαρύτητα. Όμοια μια τροποποιημένη θεωρία βαρύτητας οφείλει να έχει επιφέρει ένα γενικότερο πλαίσιο μελέτης που θα έχει ως όριό του τη Γενική Σχετικότητα. Μία από τις απλούστερες τροποποιήσεις της ΓΣ συνίσταται στην εισαγωγή ενός βαθμωτού πεδίου στη δράση, με αποτέλεσμα τη δημιουργία μιας Θεωρίας Βαθμωτού - Τανυστή $($ΘΒΤ$)$ $($\tl{scalar} - \tl{tensor theory}$)$. H αλληλεπίδραση του βαθμωτού γίνεται σε πρώτο βαθμό εφικτή, μέσω μιας αλληλεπίδρασης ελαχίστου σύζευξης $($\tl{minimal coupling}$)$, ενώ στην πλήρη της μορφή, μέσω μιας αλληλεπίδρασης μη - ελαχίστου ζεύξης $($\tl{non} - \tl{minimal coupling}$)$ με τη βαρύτητα. Μία κρίσιμη απαίτηση/προϋπόθεση η οποία πρέπει να ικανοποιηθεί κατα την κατασκευή ενός προτύπου θεωρίας βαρύτητας βαθμωτού - τανυστή, είναι ότι οι εξισώσεις κίνησης θα πρέπει να παραμένουν δεύτερης τάξης ως προς τις παραγώγους, έτσι ώστε να αποφευχθούν οι λεγόμενες αστάθειες \tl{Ostrogradski}. Η πιο γενική Λανγκρανζιανή στις τέσσερις διαστάσεις, η οποία πληρoί αυτή την προϋπόθεση ανακαλύφθηκε σχεδόν σαράντα χρόνια πριν από τον G.W.Horndeski.Η γενικότητα του πλαισίου των θεωριών Horndeski, προβάλλει άμεσα το ερώτημα του, κατα πόσο υπάρχουν συγκεκριμένες υποθεωρίες με εξέχουσες ιδιότητες. Η ιδιαίτερη επιλογή $G_5(\phi,X) = -\frac{\lambda_5}{2}\phi$ και η επίδρασή της σε σενάρια πληθωρισμού και δημιουργίας μελανών οπών απασχόλησαν το κύριο κομμάτι της συγκεκριμένης διδακτορικής διατριβής. Στο τελευταίο κομμάτι της διατριβής μελετάται μια πιο γενικευμένη θεωρία ή οποία παραμένει υπο κλάση της Horndeski και χρησιμοποιεί τα πεδία Galileon των οποίων οι εξισώσεις κίνησης σέβονται τη συμμετρία μετατόπισης (shift symmetry) $\phi \rightarrow \phi + b_\mu x^\mu + c$. Εκεί κατασκευάζεται ένα μοντέλο που περιγράφει την σκοτεινή ύλη και τη σκοτεινή ενέργεια με μια ενοποιημένη μορφή ενώ η εντυπωσιακή συνέπεια με τα παρατηρησιακά δεδομένα το καθιστά συγκρίσιμο με το $\Lambda$CDM.