Συμβολές στην Ευκλείδεια Θεωρία Ramsey
Authors: Καραμανλής Μιλτιάδης 
Published: November 2021

Η παρούσα διδακτορική διατριβή έχει σαν αντικείμενο μελέτης την Ευκλείδεια θεωρία Ramsey και πιο συγκεκριμένα, τα Ramsey υποσύνολα των ευκλείδειων χώρων. Ένα πεπερασμένο σύνολο X, το οποίο είναι υποσύνολο κάποιου ευκλείδειου χώρου Rm για κάποιο m ∈ N, λέγεται Ramsey, αν για κάθε αριθμό χρωμάτων r ∈ N, υπάρχει μια αρκετά μεγάλη διάσταση N ∈ N, η οποία είναι τέτοια, ώστε για κάθε διαμέριση του ευκλείδειου χώρου RN διάστασης N σε r σύνολα (την οποία αποκαλούμε χρωματισμό), υπάρχει ένα ισομετρικό (ως προς την ευκλείδεια νόρμα) αντίγραφο του X, το οποίο είναι μονοχρωματικό (περιέχεται σε ένα στοιχείο της διαμέρισης).Στην Εισαγωγή, αφού κάνουμε μια αναφορά στο θεμελιώδες θεώρημα του Frank Plumpton Ramsey, στην συνέχεια εξετάζουμε κάποια αποτελέσματα από την εργασία του 1973 “Euclidean Ramsey Theorems I” όπου ορίστηκαν για πρώτη φορά τα Ramsey σύνολα και από την οποία ουσιαστικά γεννήθηκε η Ευκλείδεια θεωρία Ramsey. Συγκεκριμένα, βλέπουμε τα πρώτα παραδείγματα Ramsey συνόλων, όπως για παράδειγμα το σύνολο των κορυφών ενός κανονικού simplex και τα πρώτα αντιπαραδείγματα, όπως κάθε σύνολο τριών συνευθειακών σημείων. Στην συνέχεια, αναφέρουμε τα θεμελιώδη δομικά χαρακτηριστικά των Ramsey συνόλων, δηλαδή ότι το καρτεσιανό γινόμενο Ramsey συνόλων είναι Ramsey και ότι κάθε Ramseyσύνολο είναι υποσύνολο της επιφάνειας μιας σφαίρας. Ύστερα, αναφέρουμε (σχεδόν) όλα τα αποτελέσματα από τα οποία προέκυψαν νέες κλάσεις Ramsey συνόλων, σκιαγραφώντας κάποιες από τις αποδείξεις. Τα πιο σημαντικά αποτελέσματα όσον αφορά το πρόβλημα του χαρακτηρισμού των Ramsey συνόλων είναι τα εξής. Το πρώτο είναι αυτό των Frankl και Rödl οι οποίοι το 1990 κατάφεραν να δείξουν ότι κάθε simplex, δηλαδή κάθε πεπερασμένο αφινικά ανεξάρτητο σύνολο, είναι Ramsey. Το δεύτερο και σημαντικότερο, το οφείλουμε στον Igor Kříž, ο οποίος το 1991 απέδειξε ότι κάθε πεπερασμένο transitive ευκλείδειο σύνολο, για το οποίο υπάρχει μία επιλύσιμη ομάδα συμμετριών, με το πολύ δύο τροχιές, είναι Ramsey. Σαν άμεσο πόρισμα τα κανονικά πολύγωνα και τα σύνολα κορυφών όλων των πλατωνικών στερεών είναι Ramsey. Στην συνέχεια, περνάμε στην περιγραφή των αποτελεσμάτων που προέκυψαν κατά την διάρκεια αυτής της διατριβής. Οδηγούμενοι από την διαφαινόμενη εφαρμοστικότητα του θεωρήματος του Kříž, αναρωτιόμαστε αν το θεώρημα των Frankl και Rödl για τα simplices μπορεί να προκύψει από το αποτέλεσμα του Kříž. Απαντάμε καταφατικά, δείχνοντας ότι κάθε simplex μπορεί να εμφυτευτεί ισομετρικά σε έναν κανονικό πολυγωνικό τόρο, που δεν είναι τίποτα άλλο, από το καρτεσιανό γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού κανονικών πολυγώνων.Υπάρχουν δύο διαδεδομένες εικασίες όσον αφορά τα Ramsey σύνολα. Η πρώτη, του Graham, υποστηρίζει ότι όλα τα σφαιρικά σύνολα είναι Ramsey. Η δεύτερη και πιο πρόσφατη, από τους Leader, Russell και Walters λέει ότι τα Ramsey σύνολα είναι ακριβώς αυτά που εμφυτεύονται σε κάποιο transitive σύνολο. Οι τελευταίοι, σε μια σειρά από ισοδύναμες εικασίες, εξέφρασαν μια ικανή συνθήκη ώστε όλα τα transitive σύνολα να είναι Ramsey, μετασχηματίζοντας το πρόβλημα σε καθαρά συνδυαστικό. Οι εικασίες αυτές, προσομοιάζουν το γνωστό αποτέλεσμα των Hales και Jewett για μεταβλητές λέξεις και μια από αυτές αφορά μια ιδιότητα που πρέπει να έχει κάθε πεπερασμένη ομάδα. Αφού δώσουμε κατάλληλους ορισμούς, διατυπώνουμε κάποια σχετικά αποτελέσματα που αφορούν γενικές δράσεις επιλύσιμων ομάδων, από τα οποία προκύπτει μια ισχυρότερη μορφή της αντίστοιχης εικασίας των LRW και μια εκλέπτυνση των αποτελεσμάτων του Kříž.Στα επόμενα δύο κεφάλαια παρουσιάζουμε τις αποδείξεις των αποτελεσμάτων μας. Για τα simplices, πρώτα δείχνουμε ότι κάθε “σχεδόν κανονικό” simplex, εμφυτεύεται ισομετρικά σε έναν κανονικό πολυγωνικό τόρο. Στην συνέχεια, δείχνουμε ότι κάθε πεπερασμένο σύνολο, είναι αυθαίρετα κοντά σε ένα υποσύνολο ενός κανονικού πολυγωνικού τόρου. Τέλος, με την βοήθεια ενός χαρακτηρισμού των πεπερασμένων μετρικών χώρων που εμφυτεύονται ισομετρικά σε κάποιο Ευκλείδειο χώρο, “σπάμε” το simplex, σε μέρη που εμφυτεύονται σε κάποιο πολυγωνικό τόρο και ολοκληρώνουμε την απόδειξη. Για τα αποτελέσματα “τύπου” Hales-Jewett, προσαρμόζουμε ένα γνωστό λήμμα του Shelah στις ανάγκες της απόδειξης και με τεχνικές της σχετικής θεωρίας, εκμεταλλευόμαστε ένα συνδυαστικό επιχείρημα του Kříž χρησιμοποιώντας το ως αρχή του περιστερώνα, για να φτάσουμε στο ζητούμενο.Στα τελευταία κεφάλαια, αναφέρουμε λίγα πράγματα επιπλέον για μια άλλη από τις ισοδύναμες εικασίες των LRW, που δεν αφορά πεπερασμένες ομάδες και για την οποία απέδειξαν την εικασία τους σε μια πολύ συγκεκριμένη περίπτωση. Στην συνέχεια, δείχνουμε ότι για τα ευκλείδεια σύνολα για τα οποία προκύπτει ότι είναι Ramsey μέσω των αποτελεσμάτων των LRW, υπάρχει εναλλακτική απόδειξη μέσω του θεωρήματος του Kříž και καταλήγουμε στο συμπέρασμα, ότι όλα τα μέχρι σήμερα γνωστά Ramsey σύνολα, έπονται ως τέτοια από το θεώρημα του Kříž. Κλείνουμε αυτή την εργασία κάνοντας μια αφελή εικασία για τα transitive ευκλείδεια σύνολα και προτείνοντας κάποιες πιθανές κατευθύνσεις της σχετικής έρευνας.