A p-version of the collocation method for solving the Fredholm integral equations of the second kind in the Mathematica environment
Authors: Ворожцов Е.В. , Шапеев В.П. 
Published: August 2021

Предложена и реализована p-версия метода коллокации численного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В данной реализации осуществлены возможности варьирования степени полинома в полиномиальном представлении приближенного решения уравнений и варьирования количества узлов используемой квадратурной формулы Гаусса для влияния на точность решения. Исследовано влияние числа точек коллокации, использованных для аппроксимации решения, и количества узлов квадратурной формулы Гаусса на число обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, к решению которой сводится построение приближенного решения, и на его точность путем численного решения примеров, в том числе приведенных в известных изданиях. Предложенный алгоритм реализован на языке программного пакета Mathematica. Во всех
рассмотренных примерах предложенная версия метода коллокации позволила достичь точности решения уравнений, близкой к уровню машинных ошибок округления. Программный продукт, реализующий предложенную p-версию, получился достаточно компактным, а метод оказался экономичным: машинное время, необходимое для решения рассмотренных в работе задач, не превышало 3 секунды работы персонального компьютера. Описан алгоритм, позволяющий оценить точность приближенного решения по предложенной p-версии метода в тех случаях, когда точное решение интегрального уравнения неизвестно.

A p-version of the collocation method for the numerical solution of Fredholm integral equations of the second kind is proposed and implemented. In the considered implementation, the possibilities are realized for the variation of the polynomial degree in the polynomial representation of the approximate solution of equations and the variation of the number of nodes of the employed Gauss quadrature formula to affect the solution accuracy. The influence of the number of collocation points used for the solution approximation and of the number of nodes of the Gauss quadrature formula on the condition number of the system of linear algebraic equations to the solution of which the construction of the approximate solution is reduced and on its accuracy are studied by the numerical solution of examples, including some examples presented in well-known publications. The proposed algorithm is implemented in the language of the program package Mathematica. In all considered examples, the proposed version of the collocation method has enabled us to reach the accuracy of the solution of equations, which is close to the level of the machine rounding errors. The program product implementing the proposed p-version has proved to be compact and the method turned out to be economical: the machine time required for the solution of problems considered in the paper did not exceed 3 seconds of the CPU time of a personal computer. We describe an algorithm allowing us to estimate the accuracy of the approximate solution obtained by the proposed p-version of the method in the cases where the exact solution of the integral equation is unknown.