Aportaciones al estudio de los sistemas electorales
Authors:   , - Sales i Inglès,Vicenç 
Published: October 2023

An important question that modern societies have to decide is the election of some people who represent them and can also make some decisions. Mechanisms to do it are called Electoral Systems. In fact, there are a lot of them and they are very different. In this work, we present some ideas to carry out a mathematical analysis of them.
The first chapter is a global analysis of electoral systems. It begins with the definition of electoral system --helped by Probability Theory-- and the introduction of most important simple examples found in practice. Next we define two operations on electoral systems and, in particular, we obtain two different generalizations of each one of the examples. We also introduce some important properties that electoral systems may have -- superadditivity, monotonicity, increasing and stability-- and we study which examples enjoy them and the behavior of these properties with respect to the operations defined before. Finally, stability give us the possibility to define majority and proportional electoral systems.
In the second chapter we study electoral systems individually. In this sense, we introduce the electoral expectatives, obtained when the vote vector of an arbitrary list of candidates is fixed. Then we study their connection with the operations before defined and we finish the chapter by introducing some individual properties that electoral systems may have and analysing what happens when we consider again the operations defined before.
The third chapter refers to a parameter introduced to assess whether an arbitrary list of candidates gets profit or not from an electoral system. The way used to do it consists in considering the expected value of electoral expectatives introduced in the second chapter. We obtain in this form the concept of average electoral expectative. And we finish the chapter by studying the behavior of this concept with respect to the operations and examples introduced above.
In the fourth chapter we analyse three questions of majority weighted games that we will use in the next chapter: another form to define them, a new operation between them and their convergence.
Finally, in the fifth chapter we replace the number of seats of each litst of candidates by its Shapley-Shubik power index and we study the electoral systems using this new indicator. In this form, we obtain the concept of power system and, analogously, the concepts of power expectative and average power expectative. We finish by introducing some new properties of each one of these concepts and we also analyse their relation with the analogous properties of electoral systems.

Una cuestión importante que las sociedades modernas deben decidir es la elección de algunos individuos que los representen y puedan asimismo tomar ciertas decisiones. Los mecanismos encargados de hacer esto se llaman Sistemas Electorales. De hecho, existen muchos y son muy diferentes. En este trabajo, presentamos algunas ideas para analizamos matemáticamente. El primer capítulo es un análisis global de los sistemas electorales. Comienza con la definición de sistema electoral --con la ayuda de la Teoría de Probabilidades-- y la introducción de los ejemplos simples más importantes que hay. Después definimos dos operaciones para los sistemas electorales, con lo que obtenemos dos generalizaciones diferentes de cada uno de los ejemplos. Introducimos también algunas propiedades importantes que pueden poseer los sistemas electorales --superaditividad, monotonía, crecimiento y estabilidad-- y estudiamos cuáles de los ejemplos las poseen y el comportamiento de dichas propiedades respecto de las operaciones anteriormente definidas. Finalmente, la estabilidad nos proporciona la posibilidad de definir los sistemas electorales mayoritarios y proporcionales. En el segundo capítulo estudiamos los sistemas electorales desde el punto de vista individual. En tal sentido, introducimos las expectativas electorales, obtenidas fijando el vector de votos de una candidatura arbitraria. Seguidamente, estudiamos su relación con las operaciones anteriormente definidas y terminamos el capítulo introduciendo algunas propiedades de tipo individual que los sistemas electorales pueden poseer y analizando qué sucede cuando consideramos las operaciones anteriores. El tercer capítulo trata sobre un parámetro introducido para evaluar si una candidatura cualquiera resulta beneficiada o no por un sistema electoral. La forma de hacerlo ha sido considerar la media de las expectativas electorales introducidas en el segundo capítulo. Obtenemos de esta forma el concepto de expectativa electoral media. Y finalizamos el capítulo estudiando de nuevo su comportamiento respecto de las operaciones y los ejemplos introducidos. En el cuarto capítulo analizamos tres cuestiones sobre juegos de mayoría ponderada que serán utilizados en el capítulo siguiente: otra forma de definirlos, una nueva operación entre ellos y su convergencia. Finalmente, en el quinto capítulo substituimos el número de respresentantes de cada candidatura por su índice de poder de Shapley-Shubik y estudiamos los sistemas electorales utilizando este nuevo indicador. De esta forma, obtenemos el concepto de sistema de poder y, análogamente, los de expectativa de poder y expectativa de poder media. E introducimos algunas propiedades nuevas sobre cada uno de los conceptos anteriores y analizamos también su relación con las propiedades análogas de los sistemas electorales.