Υπολογιστικές τεχνικές αιχμής στη γεωτεχνική μηχανική με τη μέθοδο των διακριτών στοιχείων
Authors: Θωμάς Κωνσταντίνος 
Published: August 2021

Στον περιβάλλοντα χώρο του άνθρωπου, τα κοκκώδη υλικά εμφανίζονται σχεδόν παντού. Από τις κατασκευές οι οποίες εδράζονται σε εδαφικά υλικά, την τροφή του, μέσω της αποθήκευσης και διακίνησης δημητριακών και κάθε είδους σπόρου, μέχρι τον τομέα της υγείας του - με την παρασκευή σκευασμάτων σε είδος χαπιών, η διακριτή δομή τους επηρεάζει πολλούς τομείς της ζωής του. Η ίδια η φύση είναι ουσιαστικά διακριτή σε μικροσκοπικό επίπεδο, (μόρια, στοιχειώδη σωμάτια), αλλά και σε μακροσκοπικό, (πλανήτες, γαλαξίες, κλπ). Επομένως τα κοκκώδη μέσα απαντώνται σε όλες τις κλίμακες. Με την εφαρμογή των κοκκωδών υλικών σε διαφορετικά πεδία της επιστήμης και της τεχνολογίας, είναι λογικό η μελέτη της συμπεριφοράς τους να απασχολεί ευρύ σύνολο ερευνητών διαφορετικών ειδικοτήτων, όπως μηχανικών, (πολιτικών, μηχανολόγων, χημικών), φυσικών, γεωλόγων και άλλων.Το έδαφος αποτελεί μια ιδιαίτερη κατηγορία φυσικού κοκκώδους υλικού, το οποίο χαρακτηρίζεται από τρεις φάσεις: τη στερεά δομή, η οποία αποτελείται εν γένει από ανομοιόμορφους και ανισομεγέθεις κόκκους, και τα μεταξύ της δομής κενά, τα οποία πληρώνονται με ρευστά όπως αέρας ή νερό. Αν και η φύση του εδάφους είναι σαφώς διακριτή, η πολύπλοκη συμπεριφορά του σε επιβαλλόμενες φορτίσεις, διερευνάται παραδοσιακά μέσω θεωριών συνεχούς μέσου και κατάλληλων καταστατικών προσομοιωμάτων, τα οποία, με λίγες εξαιρέσεις, δεν λαμβάνουν υπόψη τους μηχανισμούς που διέπουν την εδαφική συμπεριφορά σε επίπεδο κόκκου. Οι θεωρίες αυτές και τα αντίστοιχα καταστατικά μοντέλα βαθμονομούνται συνήθως με τη βοήθεια εργαστηριακών δοκιμών, μέσω μακροσκοπικών μετρήσεων στα δοκίμια, όπως οι τάσεις και οι παραμορφώσεις, χωρίς να υπάρχει δυνατότητα μέτρησης της πραγματικής εντατικής κατάστασης στο εσωτερικό τους, εκτός ίσως με την χρήση πολύπλοκων και ακριβών δοκιμών, όπως αυτές που στηρίζονται σε φωτοελαστικές θεωρήσεις.Το κενό των θεωριών συνεχούς μέσου καλύπτεται από τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων (ΜΔΣ), η οποία αποτελεί πλέον ένα ισχυρό αριθμητικό εργαλείο για την προσομοίωση των εδαφικών υλικών. Η ΜΔΣ βρίσκει εφαρμογή σε πληθώρα προβλημάτων που εμπίπτουν στο αντικείμενο της Γεωτεχνικής Μηχανικής και αποτελεί πλέον δημοφιλή μέθοδο ανάμεσα στους ερευνητές. Στο πεδίο εφαρμογής της συγκαταλέγονται προβλήματα ερπυσμού, μηχανισμών σχηματισμού ρωγμών, μελέτη μηχανισμού διατμητικών ζωνών, προβλήματα μικρομηχανικής, αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής, ακόμα και μεγάλης κλίμακας προβλήματα όπως η κινηματική μελέτη κατολισθήσεων και οι συνεπαγόμενες μεγάλες παραμορφώσεις.Η παρούσα Διδακτορική Διατριβή έχει τρεις κύριους στόχους. Ο πρώτος είναι να αναδείξει τη σημασία και την πρακτική χρησιμότητα της Μεθόδου των Διακριτών Στοιχείων στη μελέτη διαφορετικών προβλημάτων που αφορούν κοκκώδη υλικά όπως το έδαφος. Ο δεύτερος στόχος είναι η ανάπτυξη αριθμητικών εργαλείων τα οποία αποτελούν τη βάση διερευνήσεων με την Μέθοδο, και ο τρίτος αφορά τη μελέτη συγκεκριμένων προβλημάτων της Γεωτεχνικής Μηχανικής, θεωρητικής και πρακτικής φύσης, με έμφαση στη συμπεριφορά της μικροδομής, η οποία είναι δύσκολο να διερευνηθεί πλήρως μέσω εργαστηριακών δοκιμών.Το πρώτο από τα αριθμητικά εργαλεία που αναπτύχθηκαν είναι αλγόριθμος δημι-ουργίας πυκνών διδιάστατων ορθογωνικών διατάξεων κόκκων. Το κίνητρο για την ανάπτυξή του προέρχεται από την προφανή προαπαίτηση των αναλύσεων, την ύπαρξη αρχικής διάταξης σωματιδίων, τέτοια ώστε να αντιπροσωπεύει ρεαλιστικά τις πραγματικές συνθήκες του υπό μελέτη προβλήματος.Το δεύτερο αριθμητικό εργαλείο αφορά την ανάπτυξη αλγόριθμου προσομοίωσης της εργαστηριακής δοκιμής αξονικής φόρτισης υπό πλευρική τάση, δηλαδή δοκιμές μονοαξονικής, διαξονικής και τριαξονικής φόρτισης. Η προσομοίωση της δοκιμής κρίθηκε απαραίτητη, καθότι αποτελεί αρκετά διαδεδομένη εργαστηριακή μέθοδο μέτρησης των μηχανικών ιδιοτήτων των εδαφικών υλικών, και ταυτόχρονα χρησιμεύει ως εργαλείο βαθμονόμησης των προσομοιωμάτων.Αναφορικά με τα προβλήματα της Γεωτεχνικής Μηχανικής που επιλέχθηκαν προς διερεύνηση, το πρώτο αφορά στη διάδοση διαμήκων κυμάτων σε κοκκώδη υλικά, (τομέας αιχμής της Γεωτεχνικής Μηχανικής, της Γεωφυσικής, της Εμβιομηχανικής και της Επιστήμης των Υλικών). Οι μελέτες για τη διάδοση των κυμάτων σε αυτά, αποσκοπούν στην κατανόηση της εσωτερικής μικροδομής τους, καθορίζοντας έτσι τις μηχανικές ιδιότητες σε δυναμική φόρτιση. Σημειώνεται ότι το συγκεκριμένο τμήμα της έρευνας αποτελεί συνέχεια σχετικής εργασίας του συγγραφέα για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης, επεκτείνοντας τις αναλύσεις σε τρεις διαστάσεις και διερευνώντας ταυτόχρονα το σημαντικό ζήτημα του προσδιορισμού του χρόνου άφιξης ενός κύματος.Το δεύτερο πεδίο διερεύνησης αφορά στη μελέτη της επιρροής των μικροπαραμέ-τρων που περιγράφουν τα προσομοιώματα της Μεθόδου, στην απόκριση των α-ριθμητικών δοκιμίων υπό διαξονική φόρτιση. Ο ορισμός τους αποτελεί μια από τις κύριες προκλήσεις στις αναλύσεις με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων, με την ακρίβεια των αποτελεσμάτων της να εξαρτάται άμεσα από τις τιμές τους. Οι σχετικές εργασίες στη βιβλιογραφία, αναλυτικές και αριθμητικές, αναδεικνύουν τον πα-ραπάνω συλλογισμό, καθώς όμως και τις διαφορές μεταξύ των ερευνητών, επιση-μαίνοντας έτσι την ανάγκη περαιτέρω έρευνας στο αντικείμενο.Το τρίτο και τελικό πρόβλημα υπό διερεύνηση αφορά στη μελέτη σε επίπεδο μικροδομής του μηχανισμού, μέσω του οποίου σταθεροποιούνται παθητικά τα εδαφικά υλικά έναντι ρευστοποίησης, με χρήση ενέματος κολλοειδούς πυριτίας. Η παθητική σταθεροποίηση αποτελεί νέα τεχνική βελτίωσης εδαφών έναντι ρευστοποίησης και η μακροσκοπική απόδοσή της έχει εξεταστεί ενδελεχώς μέσω εργαστηριακών δοκιμών. Αντίθετα, ο μηχανισμός με τον οποίο συμβάλλει στη βελτίωση των εδαφών σε επίπεδο μικροδομής, παραμένει σχετικά άγνωστος. Το συγκεκριμένο κεφάλαιο της Διατριβής εστιάζει στην κατανόηση του.Με βάση τα παραπάνω, η Διατριβή χωρίζεται σε 7 Κεφάλαια των οποίων περιληπτικά τα περιεχόμενα τους, αναπτύσσονται παρακάτω.Το Κεφάλαιο 1 αποτελεί την εισαγωγή της Διατριβής στο οποίο παρουσιάζονται γενικά στοιχεία της ΜΔΣ και αναπτύσσονται οι βασικές λειτουργίες της.Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται λεπτομερής περιγραφή του κώδικα που αναπτύχθηκε για την αριθμητική προσομοίωση της συμπεριφοράς κοκκωδών υλικών με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων. Για την εκτέλεση των αριθμητικών αναλύσεων προαπαιτείται η δημιουργία μιας διδιάστατης διάταξης αλληλοεφαπτόμενων κόκκων, που να αντιπροσωπεύει ρεαλιστικά τις συνθήκες του προβλήματος. Αναπτύσσεται αλγόριθμος που δημιουργεί διδιάστατες ορθογωνικές διατάξεις δίσκων, με δυνατότητα επέκτασης για οποιαδήποτε μορφή διάταξης. Η βασική ιδέα είναι, με δεδομένη την ακτίνα ενός δίσκου, να υπολογίζεται η κατάλληλη θέση του στο χώρο, ώστε να εφάπτεται και να μην επικαλύπτει γειτονικούς δίσκους. Η διαδικασία δημιουργίας της διάταξης υλοποιείται μέσω της εφαρμογής υπορουτίνων που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: (α) τις υπορουτίνες δημιουργίας δίσκων, που εκτελούν κυρίως γεωμετρικούς υπολογισμούς, και (β) τις υπορουτίνες ελέγχου, που πραγματοποιούν ελέγχους κατά τη ροή του αλγορίθμου και αλγεβρικούς υπολογισμούς. Επίσης, βάσει αποτελεσμάτων παραμετρικών αναλύσεων προκύπτει ότι ο αλγόριθμος λειτουργεί σωστά, δημιουργώντας πυκνές και σταθερές ορθογωνικές διατάξεις κόκκων.Στο Κεφάλαιο 3 παρατίθενται οι αλγόριθμοι προσομοίωσης της δοκιμής αξονικής φόρτισης σε δυο και τρεις διαστάσεις, οι οποίοι αναπτύχθηκαν κυρίως στη γλώσσα προγραμματισμού FISH που είναι ενσωματωμένη στο εμπορικό λογισμικό PFC2D της εταιρίας ITASCA. Κύρια λειτουργία των αλγορίθμων είναι η σωστή επιβολή των ορθών τάσεων (ισοτροπικής-πλευρικής τάσης σ3 και “εκτροπικής” τάσης q ) στα όρια των δοκιμίων. Η εκτροπική τάση q, εφαρμόζεται μέσω λείων ή τραχειών απαραμόρφωτων στοιχείων, τα οποία μετακινούνται με σταθερή ταχύτητα επιβάλλοντας τον απαιτούμενο ρυθμό αξονικής παραμόρφωσης στο δοκίμιο, όπως η εργαστηριακή δοκιμή. Για την επιβολή της ισοτροπικής τάσης σ3 κρίνεται απαραίτητη η επιβολή των πλευρικών συνθηκών μέσω ελαστικών και παραμορφώσιμων ορίων τα οποία προσομοιώνουν το ρόλο της μεμβράνης στην εργαστηριακή δοκιμή. Τα όρια αυτά αποτελούνται από μεμονωμένα σωματίδια πάνω στα οποία εφαρμόζεται η περιβάλλουσα τάση σ3. Η ταυτοποίηση των σωματιδίων που θα αναλάβουν το ρόλο της μεμβράνης γίνεται με δύο μεθόδους, α) η μεμβράνη προσομοιώνεται με σωματίδια που ενώνονται μεταξύ τους μέσω ελαστικών σημειακών δεσμών (contact bonding) και β) προσομοιώνεται η επιρροή της μεμβράνης. Κατά την ανάπτυξη του αλγορίθμου της δοκιμής σε δυο διαστάσεις ενσωματώθηκαν και οι δύο μέθοδοι για την προσομοίωση της μεμβράνης.Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται τρισδιάστατη αριθμητική παραμετρική διερεύνηση της διασποράς διαμήκων κυμάτων σε ορθογωνικά κοκκώδη δοκίμια με ομοιόμορφους κόκκους. Οι κόκκοι θεωρούνται ελαστικές σφαίρες, οι οποίες συνδέονται μέσω γραμμικών ελατηρίων και αποσβεστήρων τόσο κατά την αξονική όσο και την εφαπτομενική διεύθυνση. Αρχικά ορίζονται θεωρητικές έννοιες όπως η διασπορά (ομαλή και ανώμαλη) διαμήκων κυμάτων σε υλικά, η ταχύτητα φάσης και η ταχύτητα ομάδας. Στη συνέχεια υπολογίζεται αναλυτικά η ταχύτητα ομάδας από τη ταχύτητα φάσης (ευθύ πρόβλημα) και αντίστροφα. Για την αριθμητική προσομοίωση απαιτείται ο υπολογισμός των στιφροτήτων των ελατηρίων καθώς και ο καθορισμός του χρόνου άφιξης κύματος σε μια θέση-δέκτη μέσα στο δοκίμιο. Από τη διαστατική ανάλυση του προβλήματος προκύπτει ότι ο δείκτης κενών, ο λόγος Poisson, η λυγηρότητα του δοκιμίου, ο λόγος πλάτος δοκιμίου προς τη διάμετρο του κόκκου, ο λόγος απόσβεσης και το αδιάστατο μήκος κύματος αποτελούν τις κύριες παραμέτρους του προβλήματος. Η επιρροή αυτών των παραμέτρων στη ταχύτητα διάδοσης των διαμήκων κυμάτων παρουσιάζεται με τη μορφή αδιάστατων διαγραμμάτων, απεικονισμένη σε όρους ταχύτητας ομάδας. Τα κύρια συμπεράσματα των παραμετρικών αναλύσεων είναι ότι: (α) παρατηρείται ανώμαλη διασπορά για μήκη κύματος έως και διπλάσια της διαμέτρου των κόκκων, (β) το φαινόμενο της κυματικής διασποράς είναι πιο έντονο στις διδιάστατες αναλύσεις, (γ) το φαινόμενο είναι λιγότερο έντονο στα υψίκορμα δοκίμια, για αυτό και προτείνεται η χρήση τους στις δοκιμές συντονισμού. Στο Κεφάλαιο 5 μελετάται ο ορισμός και η επιρροή μικροπαραμέτρων της ΜΔΣ στην απόκριση εδαφικών δοκιμίων υπό διαξονική φόρτιση. Αρχικά πραγματοποιείται βιβλιογραφική ανασκόπηση σε προηγούμενες αναλυτικές και αριθμητικές εργασίες, με έμφαση σε αυτές με τις οποίες πραγματοποιούνται συγκρίσεις. Στη συνέχεια διερευνάται η επιρροή μικροπαραμέτρων στη συμπεριφορά ξηρών μη συνεκτικών δοκιμίων, όπως αυτή εκφράζεται μέσω της κορυφαίας (φpeak) και της κρίσιμης (φcs) γωνίας τριβής αντίστοιχα. Οι αναλύσεις εστιάζουν στην επιρροή στη σχέση φpeak,φcs − φμ υπό διαφορετικές συνθήκες, οι οποίες εκφράζονται μέσω των αδιάστατων λόγων ks/kn και kn/(B*σ3), όπου Β το πλάτος δοκιμίου και σ3 η πλευρική τάση, καθώς και από την δέσμευση ή μη της ικανότητας στροφής των κόκκων.Στο Κεφάλαιο 6 πραγματοποιείται διερεύνηση του μηχανισμού – σε επίπεδο μικροδομής – μέσω του οποίου σταθεροποιούνται παθητικά τα εδαφικά υλικά έναντι ρευστοποίησης, με χρήση ενέματος κολλοειδούς πυριτίας. Η παθητική σταθερο-ποίηση αποτελεί νέα τεχνική βελτίωσης εδαφών έναντι ρευστοποίησης, και ο μη-χανισμός με τον οποίο η σταθεροποίηση συμβάλλει στη βελτίωση των εδαφών σε επίπεδο μικροδομής παραμένει σχετικά άγνωστος. Σκοπός της συγκεκριμένης με-λέτης αποτελεί η κατανόηση αυτού του μηχανισμού μέσω της εσωτερικής ανακατανομής του επιβαλλόμενου μηχανικού φορτίου στο δοκίμιο. Για το λόγο αυτό, πραγματοποιείται βαθμονόμηση προσομοιώματος δοκιμίων φυσικής άμμου και εξετάζεται ο μηχανισμός με τον οποίο αλληλεπιδρά η γέλη και οι κόκκοι της φυσικής άμμου με εφαρμογή δύο μεθόδων: Η πρώτη (Μέθοδος Α) προσομοιώνει την ίδια την γέλη με διακριτά σωματίδια τοποθετημένα στα κενά μεταξύ των κόκκων της άμμου, με μεγέθη περίπου 10−1 της διαμέτρου των κόκκων της. Η δεύτερη (Μέθοδος Β) προσομοιώνει την συμπεριφορά της γέλης μέσω κατάλληλων δεσμών ανάμεσα στους κόκκους της φυσικής άμμου. Τέλος παρατίθενται ποιοτικές συγκρίσεις μεταξύ των ενισχυμένων και μη δοκιμίων καθώς και σχολιασμός των διαφορών στην συμπεριφορά τους. Όλες οι αναλύσεις πραγματοποιούνται στην πλατφόρμα PFC2D v. 3.1 της Itasca (Itasca, 2004).Τέλος στο Κεφάλαιο 7, συνοψίζονται τα κύρια συμπεράσματα που προέκυψαν από το σύνολο της διερεύνησης.