Εφαρμογές της διαφορικής γεωμετρίας στην οδήγηση εργαλείων εργαλειομηχανών CNC
Authors: Πατρικουσάκης Μάριος 
Published: August 2021

Στόχος της παρούσας διατριβής είναι η παρουσίαση ενός νέου μαθηματικού πλαισίου, βασιζόμενου στις γνωστές από τη Διαφορική Γεωμετρία κανονικές εξισώσεις (συντετμημένα ΚΕ) της καμπύλης. Όντας πολυωνυμικές εκφράσεις του μήκους τόξου s, οι ΚΕ παρέχουν ακριβέστερο έλεγχο της ταχύτητας πρόωσης σε σύγκριση με τους υπάρχοντες παραμετρικούς αλγορίθμους της ίδιας τάξης. Το ανωτέρω γεγονός, σε συνδυασμό με την εφαρμοσιμότητά τους σε όλες τις συνεχείς καμπύλες με συνεχείς παραγώγους, ανεξάρτητα από τον τρόπο αναπαράστασής τους, καθιστά τις ΚΕ ένα ιδανικό εργαλείο για την ανάπτυξη γενικών αλγορίθμων παρεμβολής, ικανών να εργάζονται επί οποιασδήποτε επίπεδης ή χωρικής καμπύλης σε πραγματικό χρόνο.Δοθέντος ότι οι συντελεστές των ΚΕ συναρτώνται με τις διαφορικές ιδιότητες της καμπύλης (δηλαδή την καμπυλότητα, τη στρέψη και τις παραγώγους τους ως προς το s), αναπτύσσονται αναλυτικές εκφράσεις για τον υπολογισμό των εν λόγω ιδιοτήτων, ανάλογα με τον εκάστοτε τρόπο αναπαράστασης της καμπύλης. Στα αντικείμενα της διατριβής συμπεριλαμβάνεται και ο υπολογισμός των διαφορικών ιδιοτήτων των επιφανειακών τομών, ενός δημοφιλούς τρόπου αναπαράστασης πολύπλοκων χωρικών καμπυλών στα συστήματα CAD. Επιπλέον, εξετάζεται η εισαγωγή διορθωτικών όρων στις ΚΕ, μέσω της οποίας επιτυγχάνεται η βελτίωση της ακρίβειας στον έλεγχο της ταχύτητας πρόωσης, χωρίς το επιπρόσθετο υπολογιστικό κόστος που επιφέρει η χρήση υψηλότερης τάξης όρων της σειράς Taylor.Σημαντικό πλεονέκτημα των προτεινόμενων αλγορίθμων είναι, επίσης, το γεγονός ότι για την εφαρμογή τους δεν απαιτείται η γνώση της αναλυτικής έκφρασης της παρεμβαλλόμενης καμπύλης. Κατά συνέπεια, επιτρέπουν την παρεμβολή πολύπλοκων γεωμετρικών τόπων, οι αναλυτικές εκφράσεις των οποίων είτε είναι δύσκολο να προσδιοριστούν με τις τρέχουσες μεθόδους απαλοιφής αγνώστων από μη γραμμικά συστήματα εξισώσεων, είτε είναι δύσχρηστες, εξ αιτίας της πολυπλοκότητάς τους. Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, μελετάται το πρόβλημα της παρεμβολής δύο γεωμετρικών τόπων με σημαντικές εφαρμογές στον τομέα του αριθμητικού ελέγχου των εργαλειομηχανών, καθώς χρησιμοποιούνται, μεταξύ άλλων, για την αντιστάθμιση της ακτίνας του κοπτικού εργαλείου και τον προγραμματισμό των διαδοχικών διαδρομών του κατά την κατεργασία θυλάκων: των καμπυλών offset και των ισαπεχουσών δύο επίπεδων καμπυλών.Πραγματοποιείται μία εκτενής εξέταση των διαφορικών ιδιοτήτων των προαναφερθέντων γεωμετρικών τόπων και παρουσιάζονται εκφράσεις για τον υπολογισμό τους, βασιζόμενες αποκλειστικά στις αντίστοιχες ιδιότητες των γενετειρών καμπυλών. Γίνεται, επίσης, μία ανασκόπηση των μεθόδων που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία για την αντιμετώπιση των τοπολογικών ιδιομορφιών τους (αυτοτομών και εσωτερικών βρόγχων), ώστε να εξασφαλιστεί η παραμονή των παραγόμενων σημείων επί του πραγματικού γεωμετρικού τόπου.Παράλληλα, συζητείται η επέκταση των προτεινόμενων μεθόδων παρεμβολής των καμπυλών offset για τον έλεγχο της διαδρομής του κέντρου ενός σφαιρικού εργαλείου, ώστε αυτό να διατηρείται σε μόνιμη επαφή με δύο προκαθορισμένες επιφάνειες – μία τεχνική που χρησιμοποιείται συχνά από τα συστήματα CAD/CAM για την επιφανειακή κατεργασία πολύπλοκων εξαρτημάτων. Το εργαλείο μπορεί να εφάπτεται οποιασδήποτε εκ των δύο επιφανειών είτε μέσω του ημισφαιρικού του άκρου, ή μέσω του κυλινδρικού του στελέχους.