Goodness–of–fit tests in stochastic frontier models
Authors: Παπαδημητρίου Χρήστος 
Published: February 2025

Τα Στοχαστικά Υποδείγματα Συνόρων (SFM) χρησιμοποιούνται ευρέως στην ανάλυση αποδοτικότητας, και βοηθούν στην εκτίμηση της αποδοτικότητας των μονάδων λήψης αποφάσεων. Σε αντίθεση με τα συμβατικά μοντέλα σφάλματος μηδενικού μέσου όρου, η θεμελιώδης ιδέα πίσω από τα SFM είναι η ύπαρξη ενός ασύμμετρου, μη-μηδενικής μέσης τιμής, σύνθετου όρου σφάλματος. Αυτός ο σύνθετος όρος σφάλματος αποτελείται από δύο τυχαίες μεταβλητές – οι οποίες αντιπροσωπεύουν τον τυχαίο θόρυβο και την αναποτελεσματικότητα – και ο χαρακτηρισμός ενός SFM βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στις υποθέσεις για την κατανομή καθεμίας από αυτές τις μεταβλητές. Στη βιβλιογραφία έχουν αναπτυχθεί (στατιστικοί) έλεγχοι καλής προσαρμογής (GoF tests) για να εξασφαλίσουν ότι τα εκτιμώμενα μοντέλα αντιπροσωπεύουν με ακρίβεια τα δεδομένα, παρέχοντας έτσι αξιόπιστα μέτρα αποδοτικότητας. Ωστόσο, οι περισσότεροι από αυτούς τους ελέγχους δεν είναι “omnibus”, δηλαδή μπορεί να έχουν αμελητέα δύναμη ενάντια σε ορισμένες εναλλακτικές υποθέσεις. Η προσέγγισή μας είναι να ορίσουμε στατιστικούς ελέγχους για τις παραμετρικές υποθέσεις των κατανομών των όρων του σύνθετου σφάλματος οι οποίοι θα είναι “omnibus”, δηλαδή στατιστικοί ελέγχοι οι οποίοι είναι συνεπείς, και παρουσιάζουν μη-αμελητέα δύναμη κάτω από αυθαίρετες αποκλίσεις από τη μηδενική υπόθεση και όχι μόνο για συγκεκριμένες και καθορισμένες εναλλακτικές υποθέσεις. Πιο συγκεκριμένα, προτείνουμε ελέγχους καλής προσαρμογής οι οποίοι ορίζονται ως ένα σταθμισμένο ολοκλήρωμα κατάλληλα κανονικοποιημένων δεδομένων για την κατανομή του σύνθετου όρου σφάλματος. Αντί για τα κλασικά εργαλεία τα οποία χρησιμοποιούν ροπές, συναρτήσεις κατανομής ή αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής, η προσέγγισή μας βασίζεται στους μετασχηματισμούς κατανομών, όπως είναι η Χαρακτηριστική Συνάρτηση (CF), η Ροπογεννήτρια Συνάρτηση (MGF) και ο μετασχηματισμός Laplace. Για αυτόν τον σκοπό, δεδομένου ότι ο σύνθετος όρος σφάλματος ενός SFM ορίζεται πάντα ως το άθροισμα δύο επιμέρους τυχαίων μεταβλητών, αξιοποιούμε την ιδιότητα ότι ο μετασχηματισμός του αθροίσματος των (ανεξάρτητων μεταξύ τους) συνιστωσών του σφάλματος ισούται με το γινόμενο των μετασχηματισμών των επιμέρους συνιστωσών. Στην παρούσα διατριβή εξετάζεται μια σειρά υποδειγμάτων, και πιο συγκεκριμένα τα normal/exponential, normal/gamma, και stable/gamma. Εξετάζουμε το ευρέως χρησιμοποιούμενο normal/exponential υπόδειγμα, αλλά και το υπόδειγμα normal/gamma με γνωστή παράμετρο λοξότητας (shape parameter) της gamma. Οι προτεινόμενοι έλεγχοι αποδεικνύεται ότι είναι συνεπής και υπολογιστικά εύχρηστοι. Επίσης, συγκρινόμενοι σε πεπερασμένα δείγματα με τα κλασικά GoF tests Kolmogorov-Smirnov και Cramer-von Mises, επιδεικνύουν βελτιωμένα αποτελέσματα σε ότι αφορά στην δύναμη του ελέγχου.Ακολούθως, εξετάζουμε τις πιο σύνθετες - σε όρους συνάρτησης κατανομής - περιπτώσεις, εκείνες των υποδειγμάτων normal/gamma, με άγνωστες τις παραμέτρους της gamma, και stable/gamma. Παρά την πολύπλοκη συναρτησιακή τους μορφή, οι προτεινόμενοι έλεγχοι είναι υπολογιστικά αποδοτικοί καθώς δεν περιλαμβλάνουν αριθμιτική ολοκλήρωση, καθιστώντας τους πιο εύχρηστους στην εφαρμογή σε σύγκριση με τους ελέγχους οι οποίοι βασίζονται στις συναρτήσεις κατανομής. Ο προτεινόμενος έλεγχος για το normal/gamma υπόδειγμα είναι συνεπής και σχετίζεται με ελέγχους οι οποίοι βασίζονται στις ροπές, ενώ ο προτεινόμενος έλεγχος για το stable/gamma υπόδειγμα παρέχει μια μέθοδο η οποία επιτρέπει να διακρίνουμε μεταξύ ενός medium–tailed normal/gamma και ενός purely heavy–tailed stable/gamma SFM. Η εφαρμογή των μεθόδων μας σε πραγματικά δεδομένα διερευνά κυρίως την ύπαρξη “βαριών ουρών” (heavy tails) στην εμπειρική μοντελοποίηση της παραγωγής, όπου τα αποτελέσματά μας οδηγούν σε μη-απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης ενός normal/gamma SFM υποδείγματος.Συνοψίζοντας, η προσέγγισή μας παρέχει σημαντικές προόδους προτείνοντας νέους στατιστικούς ελέγχους στο πλαίσιο των SFMs.