Теорема существования равновесия в безопасных стратегиях по Рени
Authors: Михаил Борисович Искаков , Алексей Борисович Искаков 
Published: October 2024

Статья является продолжением цикла статей 2018, 2022, 2023 годов посвященного теоретическому обоснованию равновесия в безопасных стратегиях (РБС), как концепции решения игровых задач. Представлен метод конструирования теорем существования РБС из известных теорем существования равновесия Нэша (РН). При этом исходная теорема существования РН приводится к стандартной формулировке, которая, как условие, вставляется в текст мета-теоремы существования РБС. Согласно данному методу из теоремы Рени (1999) существования равновесий Нэша получены и доказаны две альтернативных теоремы существования РБС. Общая схема вывода теорем существования выглядит следующим образом. В разделе 2 кратко изложены теоремы, опубликованные в предыдущих работах автора. В разделе 3 приводятся две оригинальные теоремы из работы Рени. В разделе 4 дается подробная интерпретация условий теорем Рени в сравнении с условиями теоремы Дебре. В разделе 5 дается подробный анализ теоремы Рени. На ряде примеров условие теоремы интерпретируется как условие отсутствия точек перескока или точек, гарантирующих наилучший ответ. В разделе 6 формально, методом метатеоремы, строятся два критерия существования для РБС, использующие исходные теоремы существования РН. В разделах 7 и 8 сформулированы и доказаны две теоремы, специально доработанные для решения прикладных задач (пространственная конкуренция Хотеллинга, конкуренция за ренту Таллока, олигополия Бертрана – Эджворта). Все рассмотренные теоремы сведены в итоговую таблицу.

The paper is a continuation of the cycle of papers in 2018-2023 devoted to the theoretical justification of equilibrium in secure strategies (EinSS) as a concept of solving non-cooperative games in pure strategies.A method for constructing EinSS existence theorems from known Nash equilibrium (NE) existence theorems is presented. In particular, theorems for the existence of Nash equilibria are formulated in a standard form and are inserted as a condition into the meta-theorem for the existence of EinSS. According to this method, two theorems for the existence of EinSS are derived and proven based on the theorem of Reny (1999) on the existence of Nash equilibria. The general scheme of deriving existence theorems is as follows. Section 2 summarizes the theorems published in the author's previous papers. Section 3 presents two original theorems from Reny's paper. Section 4 gives a detailed interpretation of the conditions of Reni's theorems, compared to the conditions of Debre's theorem. Section 5 gives a detailed analysis of Reni's theorem. Using a number of examples, the condition of the theorem is interpreted as the condition that there are no jump points or points that guarantee the best answer. Section 6 constructs formally, by the method of meta-theorem, two existence criteria for EinSS that use the original NE existence theorems. In Sections 7 and 8, two theorems are formulated and proved, which are specifically refined for solving applied problems (Hotelling's spatial competition, Tullock's rent competition, Bertrand – Edgeworth oligopoly). All considered theorems are summarized in a final table.