The method of fundamental solutions for direct and inverse scattering problems of electromagnetic waves in chiral media
Authors: Αρκούδης Ιωάννης 
Published: October 2023

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή η Μέθοδος των Θεμελιωδών Λύσεων (MFS) για ευθέα και αντίστροφα προβλήματα σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χειρόμορφα μέσα μελετάται. Συγκεκριμένα θεωρούμε τα προβλήματα σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με χρονική αρμονική εξάρτηση για τις περιπτώσεις ενός τέλεια αγώγιμου σώματος σε χειρόμορφο περιβάλλον, ενός μη τέλεια αγώγιμου σώματος σε χειρόμορφο περιβάλλον, ενός διαπερατού χειρόμορφου σώματος σε μη χειρόμορφο περιβάλλον, ενός διαπερατού μη χειρόμορφου σώματος σε χειρόμορφο περιβάλλον και ενός διαπερατού χειρόμορφου σώματος σε χειρόμορφο περιβάλλον. Αρχικά ορίζουμε τα επιφανειακά διανυσματικά δυναμικά ως προς τη δυαδική θεμελιώδη λύση του διαφορικού τελεστή που διέπει τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χειρόμορφα μέσα καθώς επίσης και τους επιφανειακούς ολοκληρωτικούς τελεστές που συνδέονται με τις οριακές τους τιμές. Μελετάμε την επιλυσιμότητα των προαναφερθέντων προβλημάτων σκέδασης με χρήση των δυναμικών αυτών και των αντίστοιχων επιφανειακών ολοκληρωτικών τελεστών καθώς και την εξάρτηση της λύσης από τα συνοριακά δεδομένα. Στη συνέχεια μελετάμε το μαθηματικό υπόβαθρο και την εφαρμογή της MFS στα υπό μελέτη προβλήματα σκέδασης προκειμένου να προσεγγίσουμε τις ζητούμενες λύσεις. Η κύρια ιδέα είναι να προσεγγίσουμε τη ζητούμενη λήση του εκάστοτε προβλήματος σκέδασης από έναν πεπερασμένο γραμμικό συνδυασμό ως προς τις δυαδικές θεμελιώδεις λύσεις που διέπουν τα πρόβληματα σκέδασης σε χειρόμορφα ή μη χειρόμορφα μέσα για ιδιάζοντα σημεία κατανεμημένα σε βοηθητικές επιφάνειες εκτός του πεδίου ορισμού της λύσης και για άγνωστους διανυσματικούς συντελεστές οι οποίοι θα προσδιοριστούν από τις συνοριακές συνθήκες ή από τις συνθήκες διαπερατότητας. Για το λόγο αυτό κατασκευάζουμε κατάλληλα συστήματα διανυσματικών συναρτήσεων για το κάθε πρόβλημα ως προς τις εφαπτομενικές συνιστώσες των δυαδικών θεμελιωδών λύσεων για πυκνά κατανεμημένα ιδιάζοντα σημεία σε βοηθητικές επιφάνειες εκτός του πεδίου ορισμού της λύσης. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε γραμμική ανεξαρτησία για τα συστήματα αυτά στην επιφάνεια του σκεδαστή καθώς επίσης και πληρότητα σε κατάλληλους χώρους Hilbert. Με χρήση των αποτελεσμάτων αυτών αποδεικνύουμε ότι η προσέγγιση της λύσης από τον αντίστοιχο πεπερασμένο γραμμικό συνδυσμό της MFS ανάγεται στην προσέγγιση των αντίστοιχων συνοριακών δεδομένων. Ο προσδιορισμός των αγνώστων συντελεστών της MFS προσέγγισης γίνεται επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες ή τις συνθήκες διαπερατότητας σε ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων πάνω στην επιφάνεια του σκεδαστή ανάγοντας το πρόβλημα προσέγγισης στην επίλυση ένος γραμμικού αλγεβρικού συστήματος. Επίσης, κατασκευάζονται προσεγγίσεις των δεδομένων μακρινού πεδίου για κάθε πρόβλημα σκέδασης χρησιμοποιώντας την MFS προσέγγιση της λύσης. Επιπλέον, παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα που αφορούν την εφαρμογή της μεθόδου στα υπό μελέτη προβλήματα σκέδασης, κάνοντας χρήση κώδικα MATLAB που κατασκευάσαμε, για τις ειδικές περιπτώσεις σφαίρας, επιμήκους σφαιροειδούς και πεπλατυσμένου σφαιροειδούς. Τέλος, μελετάμε την εφαρμογή της MFS στην επίλυση ενός γεωμετρικού τύπου αντιστρόφων προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χειρόμορφα μέσα. Έχοντας εξασφαλίσει τη μοναδικότητα της λύσης παρουσιάζουμε τη μαθηματική μοντελοποίηση της MFS για την επίλυση αυτού του τύπου αντιστρόφου προβλήματος σκέδασης και παρουσιάζουμε αριθμητικά αποτελέσματα για την ειδική περίπτωση σφαιρικού σκεδαστή.