Στατιστικά μοντέλα για δεδομένα διάρκειας ζωής
Authors: Στογιάννης Δημήτριος 
Published: December 2022

Μια κατανομή που βρίσκει μεγάλη εφαρμογή σε στατιστικά μοντέλα για την ανάλυση δεδομένων διάρκειας ζωής είναι η αντίστροφη Γκαουσιανή κατανομή (Inverse Gaussian - IG).Ένας σημαντικός λόγος για το εύρος των εφαρμογών της αποτελεί το γεγονός ότι προκύπτει ως κατανομή του χρόνου 1ης μετάβασης σε ανέλιξη Wiener στην παλινδρόμηση Κατωφλιού (Threshold regression ή First Hitting Time – FHT-regression). Βασικό στόχο της διδακτορικής διατριβής αποτελεί η συμβολή στην περαιτέρω ανάπτυξη του θεωρητικού υποβάθρου της παλινδρόμησης Κατωφλιού. Αρχικά, γίνεται μία εκτενής μελέτη της αντίστροφης Γκαουσιανής κατανομής (IG distribution) και μελετώνται γενικές ιδιότητες της κατανομής που τη συμπεριλαμβάνουν ως γενικευμένο γραμμικό μοντέλο. Το γενικευμένο γραμμικό μοντέλο (GLM) παρουσιάστηκε από τους Nelder and Wedderburn (1972) και αποτελεί μία ενοποίηση γραμμικών και μη γραμμικών μοντέλων παλινδρόμησης, τα οποία επιτρέπουν στον πειραματιστή να διαλέξει για τη μεταβλητή απόκρισης μία κατανομή που είναι μέλος της εκθετικής οικογένειας κατανομών. Η Κανονική, η Διωνυμική, η Εκθετική και η αντίστροφη Γκαουσιανή κατανομή είναι μεταξύ άλλων, κάποιες από τις κατανομές αυτής της οικογένειας. Η αντίστροφη Γκαουσιανή κατανομή είναι το πιο σπάνια χρησιμοποιούμενο γενικευμένο γραμμικό μοντέλο. Η IG ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών τάξης 2. Σε αυτή, συναντώνται οι εξής τέσσερις συναρτήσεις σύνδεσης: α) η κανονική, β) η αντίστροφη, γ) η ταυτοτική και δ) η λογαριθμική. Σε κάποιες περιπτώσεις, η κανονική συνάρτηση μπορεί να επιλεχθεί εκ των προτέρων, συνήθως για ευκολία στην ερμηνεία. Η χρήση της κανονικής συνάρτησης σύνδεσης σε ένα GLM προσφέρει μερικά τεχνικά πλεονεκτήματα αλλά δεν είναι απαραίτητη, π.χ. η παλινδρόμηση Poisson δε γίνεται υποχρεωτικά με τη λογαριθμική συνάρτηση. Για κάποιες περιπτώσεις όμως, μπορεί να μην είναι προφανής η επιλογή της κατάλληλης συνάρτησης σύνδεσης.Στηριζόμενοι στο έργο των Myers and Montgomery (1997), αλλά και στους Lewis et al. (2001a και 2001b), μελετούμε την επίδραση που έχει μία λανθασμένη επιλογής συνάρτησης σύνδεσης στις εκτιμήσεις της κάλυψης και της ακρίβειας (μήκος) ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την παράμετρο της μέσης τιμής της IG κατανομής. Τελικά, συμπεραίνουμε με τη βοήθεια προσομοιώσεων πως σε ένα IG GLM μεγάλο ρόλο κατέχει η επιλογή της κατάλληλης συνάρτησης σύνδεσης, ιδιαίτερα όταν αυτή δεν είναι η κανονική.Στη συνέχεια μελετούμε τα διάφορα υπόλοιπα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την IG κατανομή. Τα υπόλοιπα κατέχουν κεντρικό ρόλο στην προσαρμογή του γενικού γραμμικού μοντέλου και χρησιμοποιούνται ευρύτατα για την αξιολόγηση της καταλληλότητας όχι μόνο των γενικευμένων γραμμικών μοντέλων (McCullagh and Nelder, 1989), αλλά και των μοντέλων PH, AL και PO (Collett, 2003). Κατά τη διάρκεια της διατριβής μελετώνται τα διάφορα διαθέσιμα υπόλοιπα για την κατανομή IG και κατασκευάστηκαν αλγόριθμοι για την παραγωγή τους μέσω της R. Ειδικότερα, διερευνάται η σχέση μεταξύ των Pearson, Anscombe και Deviance υπολοίπων. Αποδεικνύεται πως σε ειδικές περιπτώσεις τα Anscombe και τα Deviance έχουν πολύ κοντινές τιμές στην IG. Τα διάφορα ευρήματα καταγράφονται τόσο θεωρητικά όσο και με τη βοήθεια προσομοιώσεων που έγιναν στην R.Όπως και σε όλα τα στατιστικά μοντέλα, είναι σημαντικός ο εντοπισμός άτυπων σημείων (outliers), δεδομένων με ασυνήθιστα διαφορετικές τιμές και συμπεριφορά από τα υπόλοιπα, τα οποία ενδεχομένως έχουν μεγάλη επιρροή στην προσαρμογή του μοντέλου. Για το λόγο αυτό, έχουν αναπτυχθεί έλεγχοι εντοπισμού άτυπων σημείων για πολλές κατανομές. (Barnett and Lewis, 1994). Ωστόσο, δεν έχουν ακόμα αναπτυχθεί αντίστοιχες τεχνικές για την κατανομή IG. Βασισμένοι στο έργο των Chhikara και Folks (1989) και της Davis (1980), κατασκευάζουμε ελέγχους για τον εντοπισμό άτυπων τιμών των παραμέτρων μ και λ της IG σε δεδομένα ανεξάρτητων μονάδων με επαναλαμβανόμενα ανεξάρτητα γεγονότα ανά μονάδα. Οι διάφοροι έλεγχοι βασίζονται στη μεγιστοποίηση της τιμής του ελέγχου του λόγου των πιθανοφανειών για την ισότητα παραμέτρων, με διόρθωση Bonferroni για τις p-τιμές. Προσομοιώσεις γίνονται προκειμένου να επιβεβαιώσουμε την ακρίβεια των Bonferroni ελέγχων υπό τη μηδενική υπόθεση και να μελετήσουμε την ισχύ των ελέγχων υπό την εναλλακτική υπόθεση. Στη συνέχεια, χρησιμοποιείται μία εναλλακτική παραμέτρηση για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της IG, η οποία βρίσκεται σε αντιστοιχία με τις παραμέτρους μ και λ και είναι η παραμέτρηση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου πρώτης μετάβασης που ακολουθεί την IG και χρησιμοποιείται στην παλινδρόμηση Κατωφλιού.Το ημι-παραμετρικό μοντέλο αναλογικής διακινδύνευσης (PH) του Cox είναι ευρέως διαδεδομένο σε εφαρμογές δεδομένων διάρκειας ζωής και αποτελεί συχνά την πρώτη επιλογή του πειραματιστή ως εργαλείο ανάλυσης της επιβίωσης. Ωστόσο, το συγκεκριμένο μοντέλο θέτει κάποιους περιορισμούς στην πιθανή μορφή της συνάρτησης διακινδύνευσης. Εναλλακτικά, όλο και περισσότερο έχουν αρχίσει να χρησιμοποιούνται μοντέλα βασισμένα στο χρόνο πρώτης διακοπής (FHT) μίας στοχαστικής ανέλιξης. Στη διατριβή συγκρίνουμε το μοντέλο του Cox και ένα μοντέλο FHT παλινδρόμησης βασισμένο σε ανέλιξη Wiener, το οποίο οδηγεί σε χρόνο πρώτης διακοπής που ακολουθεί την IG κατανομή. Διαγνωστικές τεχνικές αναπτύσσονται για την καταλληλότητα του μοντέλου και γίνεται διερεύνηση πρακτικών θεμάτων στην προσαρμογή του μοντέλου παλινδρόμησης χρόνου πρώτης μετάβασης (IG FHTR). Στην παλινδρόμηση Κατωφλιού, μια συμμεταβλητή μπορεί να επηρεάζει τη διάρκεια ζωής με δύο τρόπους, και να υπάρχει ένας βαθμός μη αναγνωρισημότητας ή πολυσυγγραμικότητας στο μοντέλο. Η συχνή παρουσία αντιφατικών εκτιμήσεων των δύο επιδράσεων μιας συμμεταβλητής σε δημοσιευμένες εφαρμογές του FHT μοντέλου, μπορεί να αποτελεί επιβεβαίωση αυτής της δυσκολίας. Κατά τη διάρκεια της διατριβής γίνεται μία προσπάθεια να αποδοθούν εμπειρικές αποδείξεις σχετικά με τη δυνατότητα προσαρμογής του μοντέλου. Ειδικότερα, εξετάζεται εάν υπάρχει κάποια ένδειξη κατά τη διαδικασία προσαρμογής να τοποθετεί μία μεταβλητή σε λάθος παράμετρο. Επιπρόσθετα, ερευνούμε το φαινόμενο εμφάνισης αντίθετων προσήμων μίας μεταβλητής στις διάφορες παραμέτρους της κατανομής.Στη συνέχεια προτείνουμε μία διαδικασία επιλογής μεταβλητών για την περίπτωση του IG FHT μοντέλου παλινδρόμησης. Η ύπαρξη μίας τέτοιας διαδικασίας θεωρείται αναγκαία για την Ανάλυση Επιβίωσης, ιδιαίτερα σε ιατρικές εφαρμογές στις οποίες συνήθως υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός διαθέσιμων υποψήφιων μεταβλητών για τις επιμέρους αναλύσεις. Η προτεινόμενη διαδικασία αποτελείται από δύο διαδοχικές εφαρμογές της προσαρμοσμένης LASSO τεχνικής (adaptive LASSO) εκτελεσμένες από έναν αλγόριθμο ελαχίστων τετραγώνων. Η διαδικασία αποδεικνύεται αποτελεσματική για την ορθή αναγνώριση των μη–μηδενικών (στατιστικά σημαντικών) συντελεστών της παλινδρόμησης. Η μελέτη αυτή αποτελεί την πρώτη συνδρομή στη μεθοδολογία μοντελοποίησης, η οποία είναι απαραίτητο να αναπτυχθεί περαιτέρω για το παρόν μοντέλο παλινδρόμησης.Μετά τη μοντελοποίηση και τον εντοπισμό άτυπων τιμών, πολύ σημαντική για την Ανάλυση Επιβίωσης θεωρείται η αναγνώριση σημείων επιρροής κατά την προσαρμογή του μοντέλου. Με τον όρο επιρροή, εννοούμε την επίδραση της κάθε παρατήρησης στην προσαρμογή του μοντέλου. Στη βιβλιογραφία υπάρχει πληθώρα τεχνικών για την αναγνώριση σημείων επιρροής (Cook και Weisberg, 1982 και Therneau και Grambsch, 2000). Ωστόσο, δεν υπάρχει κάποια παρόμοια τεχνική για την παλινδρόμηση Κατωφλιού. Σκοπό αυτού του τμήματος της διατριβής αποτελεί η μελέτη και η ανάπτυξη μεθόδων για τον εντοπισμό σημείων επιρροής για την περίπτωση του IG FHT μοντέλου παλινδρόμησης. Αναπτύσσουμε μία μέθοδο βασισμένη στην τεχνική αφαίρεσης σημείου (Case Deletion Model - CDM), προκειμένου να μετρήσουμε την επιρροή της καθεμιάς παρατήρησης. Ακόμα, τα διάφορα στατιστικά μοντέλα συνήθως έχουν κάποιο βαθμό προσέγγισης, με αποτέλεσμα να είναι συνήθως λανθασμένα. Για το λόγο αυτό, η αξιολόγηση της επιρροής μικρών διαταραχών του μοντέλου είναι ιδιαίτερα σημαντική. Ο Cook (1986) ανέπτυξε μία τέτοια μέθοδο μέτρησης της τοπικής επιρροής, η οποία δεν περιορίζεται μόνο σε γραμμικά μοντέλα. Την τεχνική αυτή την επεκτείνουμε και την προσαρμόζουμε κατάλληλα για το FHT μοντέλο παλινδρόμησης. Η εγκυρότητα των διαφόρων θεωρητικών αποτελεσμάτων ελέγχεται με τη βοήθεια προσομοιώσεων. Όλες οι μελέτες έγιναν με τη βοήθεια του στατιστικού πακέτου R, το οποίο έχει προγραμματιστικό περιβάλλον και είναι κατάλληλο για μελέτες με τη βοήθεια προσομοιώσεων. Επιπρόσθετα, χρησιμοποιήθηκε και πληθώρα στατιστικών πακέτων, όπως είναι τα SPSS, STATA, MINITAB, κυρίως για τις διάφορες εφαρμογές πραγματικών δεδομένων.