Έλεγχος της δυναμικής συμπεριφοράς μη-γραμμικών κυκλωμάτων με μικροϋπολογιστές και εκπαιδευτικές εφαρμογές του
Authors: Γιακουμής Άγγελος 
Published: September 2021

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, που πραγματοποιήθηκε στο τμήμα Φυσικής του ΑΠΘ, αντικείμενο μελέτης αποτέλεσε ο έλεγχος της δυναμικής συμπεριφοράς μη γραμμικών κυκλωμάτων με την χρήση μικροελεγκτών. Στα πλαίσια της διατριβής προτείνονται πρωτότυπες εκπαιδευτικές συσκευές για τον έλεγχο της δυναμικής συμπεριφοράς και ένας νέος τρόπος προσέγγισης, μέσω της πειραματικής μελέτης των χαοτικών συστημάτων. Η διατριβή αποτελείται από δέκα κεφάλαια, με εννέα από αυτά να ανήκουν σε πέντε ενότητες και το δέκατο κεφάλαιο να περιέχει τα συμπεράσματα από όλη την διατριβή. Η πρώτη ενότητα αποτελείται από το πρώτο κεφάλαιο στο οποίο η μελέτη επικεντρώνεται στην ανάλυση των δυναμικών συστημάτων, με την μελέτη των σημείων ισορροπίας και της ευστάθειάς τους. Επίσης εξετάζονται μέθοδοι προσδιορισμού της συμπεριφοράς των δυναμικών συστημάτων καθώς και η πορεία τους προς το χάος. Για τον σκοπό αυτό μελετώνται οι εκθέτες Lyapunov, οι διαστάσεις και η απεικόνιση Poincaré. Εξετάζονται οι προσεγγιστικές μέθοδοι επίλυσης των δυναμικών συστημάτων με τις μεθόδους Euler και Runge-Kutta.Στην δεύτερη ενότητα ανήκει το δεύτερο κεφάλαιο όπου παρουσιάζεται μια νέα εργαστηριακή συσκευή του ταλαντωτή του Chua. Η προτεινόμενη υλοποίηση είναι κατάλληλη για τη διδασκαλία στο εργαστήριο, μαθημάτων που σχετίζονται με τα μη γραμμικά κυκλώματα και το χάος για προπτυχιακούς, μεταπτυχιακούς και διδακτορικούς φοιτητές. Αποτελείται από δύο ανεξάρτητα κυκλώματα, το πρώτο από τα οποία είναι η μη γραμμική αντίσταση του Chua, ενώ το δεύτερο είναι το υπόλοιπο κύκλωμα του ταλαντωτή Chua.Στην τρίτη ενότητα ανήκει το τρίτο κεφάλαιο όπου παρουσιάζονται οι προσπάθειες δημιουργίας μια συσκευής χαοτικής γεννήτριας που δεν έχει παρουσιαστεί σε καμία άλλη εργασία και έχει σαν σκοπό να δώσει την δυνατότητα της μελέτης των χαοτικών συστημάτων σε κάθε επίπεδο διδασκαλίας. Η συσκευή έχει την δυνατότητα απεικόνισης των τριών βασικών γραφημάτων της χαοτικής θεωρίας (πορτραίτου φάσης, διαγράμματος διακλάδωσης και απεικόνισης Poincaré) σε αναλογικό ή ψηφιακό παλμογράφο, ή εγγραφής των παραγόμενων χρονοσειρών σε κάρτα SD για την περαιτέρω επεξεργασία σε προσωπικό υπολογιστή. Δίδονται διεξοδικά όλες οι μελέτες και κατασκευές των μικροελεγκτικών συστημάτων με τις δυνατότητες τους. Στην τέταρτη ενότητα ανήκουν το τέταρτο, πέμπτο, έκτο, έβδομο και όγδοο κεφάλαιο όπου μελετώνται θεωρητικά και πειραματικά μέσω της πρωτότυπης εκπαιδευτικής συσκευής επτά μη γραμμικά συστήματα, τρία από τα οποία προτείνονται πρώτη φορά. Στο πρώτο σύστημα μελετάται, το σύστημα του Lorenz με τις πιο συνήθεις τιμές για τις παραμέτρους, σ =10 και b = 8/3, με την παράμετρο (ρ) να παίρνει τιμές στο διάστημα [99.5, 235]. Δεύτερο σύστημα που μελετάται είναι το σύστημα του ταλαντωτή Chua και τρίτο σύστημα το γενικευμένο κύκλωμα ταλαντωτή Chua με μη γραμμικό στοιχείο με κυβική χαρακτηριστική. Τα κυκλώματα παρουσιάζουν πλούσια δυναμικά χαρακτηριστικά με πολλές ομοιότητες, αλλά και πολλές διαφοροποιήσεις, όπως φαίνεται από τα διαγράμματα που παρατίθενται στα αντίστοιχα κεφάλαια. Το τέταρτο σύστημα που μελετάται είναι ο ταλαντωτής του Duffing που περιγράφεται από μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης που περιλαμβάνει ένα μη-γραμμικό όρο και διεγείρεται από ένα αρμονικό σήμα. Λόγω της έντονα μη γραμμικής συμπεριφοράς του παρουσιάζει μεγάλη γκάμα δυναμικών συμπεριφορών. Το πέμπτο σύστημα που μελετάται είναι μια παραλλαγή του συστήματος του Lorenz, με την παράμετρο b [0, 1] και με την παράμετρο (α) να παίρνει τις διακριτές τιμές 2.5, 1.0, 0.5. Το σύστημα ανήκει στα συστήματα με κρυφούς ελκυστές και στην κατηγορία χωρίς σημεία ισορροπίας. Το σύστημα έχει περιοχές όπου το τοροειδές συνυπάρχει είτε με συμμετρικό ζεύγος παράξενων ελκυστών είτε με συμμετρικό ζεύγος οριακών κύκλων και άλλες περιοχές όπου συνυπάρχουν 3 οριακοί κύκλοι. Το έκτο σύστημα που μελετάται είναι ένα Hyperjerk σύστημα με την παράμετρο α [3.6, 5.6] και με την παράμετρο (b) να παίρνει τις διακριτές τιμές 0.01, 0.2, 0.4, 0.6. και το οποίο παρουσιάζει και υπερχαοτικές περιοχές.Το έβδομο σύστημα που μελετάται είναι ένα σύστημα όπου συνυπάρχουν άπειροι ελκυστές και εξετάστηκε το φαινόμενο της πολυευστάθειας για διαφορετικές αρχικές συνθήκες καθώς οι παράμετροι ελέγχου του συστήματος είναι σταθερές. Επιπλέον, μελετήθηκε για πρώτη φορά το φαινόμενο του συγχρονισμού δύο αμφίδρομα και μονόδρομα συζευγμένων quasiperiodic forced nonlinear systems QFO με πολύ-ευστάθεια (megastability). Σε όλα τα παραπάνω συστήματα η μελέτη πραγματοποιήθηκε θεωρητικά, και στον υπολογιστή με την χρήση προγραμμάτων γραμμένων σε True Basic, καθώς και πειραματικά με την χρήση της αναπτυχθείσας συσκευής. Δίδονται τα φασικά διαγράμματα, απεικονίσεις Poincaré και διαγράμματα διακλάδωσης όπως πάρθηκαν από τον παλμογράφο.Στην Πέμπτη ενότητα που αποτελείται από το ένατο κεφάλαιο, μελετήθηκε και κατασκευάστηκε μια συσκευή κρυπτογράφησης κειμένου βασισμένη σε μια χαοτική γεννήτρια “τυχαίων” αριθμών. Το κύριο στοιχείο αυτής της CRNG ήταν ένας μικροελεγκτής, ο οποίος χρησιμοποιήθηκε ως πλατφόρμα για την εφαρμογή της προτεινόμενης CRNG.