Entanglement entropy and gravity
Authors: Κατσινής Δημήτριος 
Published: November 2021

Στην παρούσα διατριβή μελετάται η Εντροπία Διεμπλοκής στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, μέθοδοι ολοκληρωσιμότητας σε Μη Γραμμικά Σίγμα Μοντέλα και η Ολογραφική Εντροπία Διεμπλοκής. Η Διατριβή είναι χωρισμένη σε 5 μέρη.Στο 1ο μέρος γίνεται ανασκόπηση των θεμάτων που αποτελούν το πλαίσιο στο οποίο εντάσσεται η έρευνα που παρουσιάζεται στην διατριβή. Γίνεται μια ανασκόπηση των ιδεών που σχετίζονται με την συμπεριφορά της κβαντικής πληροφορίας στα πλαίσια της κβαντικής βαρύτητας. Οι ιδέες αυτές προϋπήρχαν της αντιστοιχίας AdS/CFT και οδήγησαν στην διατύπωση της ολογραφικής αρχής. Στην συνέχεια γίνεται μια σύντομη εισαγωγή στην αντιστοιχία AdS/CFT, στην Κβαντική Διεμπλοκή, στην Διεμπλοκή στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Τέλος παρουσιάζεται η Ολογραφική Εντροπία Διεμπλοκής.Το 2ο μέρος είναι αφιερωμένο στην Εντροπία Διεμπλοκής στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου. Γενικεύουμε την μέθοδο του Srednicki εισάγοντας όρο μάζας για το βαθμωτό πεδίο, καθώς και πεπερασμένη θερμοκρασία. Αναπτύσσουμε μια διαταρακτική μέθοδο η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του φάσματος του ανηγμένου τελεστή πυκνότητας. Δείχνουμε πως σε πεπερασμένη θερμοκρασία είναι η αμοιβαία πληροφορία αυτή που υπακούει «νόμο εμβαδού». Παράλληλα προτείνουμε μια μέθοδο για τον διαχωρισμό των κλασσικών και κβαντικών συνεισφορών στην αμοιβαία πληροφορία.Στόχος του 3ου μέρους είναι η διερεύνηση της σχέσης της εντροπίας διεμπλοκής με την ολοκληρωσιμότητα. Προκειμένου να αποκτήσουμε διαίσθηση για την εφαρμογή της μεθόδου ένδυσης (dressing method) στις στατικές ελάχιστες επιφάνειες του AdS4, τα οποία είναι ευκλείδεια κοσμικά σεντόνια, στρεφόμαστε στο Ο(3) Μη Γραμμικό Σίγμα Μοντέλο με Minkowski κοσμικό σεντόνι. Αρχικά κατασκευάζουμε λύσεις του ΜΓΣΜ, οι οποίες αντιστοιχούν σε λύσεις της ανηγμένης κατά Pohlmeyer θεωρίας, εκπεφρασμένες με ελλειπτικές συναρτήσεις, αντιστρέφοντας την αναγωγή Pohlmeyer. Παρουσιάζουμε μια παράλληλη μελέτη των ιδιοτήτων των λύσεων και της εικόνας τους στην ανηγμένη θεωρία. Εφαρμόζουμε την μέθοδο ένδυσης στις λύσεις του ΜΓΣΜ, καθώς και μετασχηματισμούς Backünd στις λύσεις της ανηγμένης θεωρίας. Μελετάμε παράλληλα ιδιότητες, όπως την ύπαρξη μιας ειδικής κλάσης λύσεων η οποίες σχετίζονται με αστάθειες των ελλειπτικών λύσεων. Στην συνέχεια δείχνουμε πως αυτό το συμπέρασμα επαληθεύεται από μια συμβατική ανάλυση ευστάθειας βασιζόμενη σε γραμμικοποιημένες διαταραχές. Ακολούθως εφαρμόζουμε την μέθοδο ένδυσης στις στατικές ελάχιστες επιφάνειες του AdS4 και παρουσιάζουμε έναν κανόνα μεταβολής για το στοιχείο του εμβαδού. Τέλος, επιστρέφουμε στο Ο(3) ΜΓΣΜ και παρουσιάζουμε την λύση του βοηθητικού συστήματος, το οποίο εξασφαλίζει την ολοκληρωσιμότητα της θεωρίας, για τυχαία αρχική λύση. Στο 4ο μέρος μελετάμε την ολογραφική εντροπία διεμπλοκής. Αρχικά παρουσιάζουμε την εξίσωση ροής, η οποία περιγράφει μια ελάχιστη επιφάνεια ως γεωμετρική ροή με παράμετρο την ολογραφική συντεταγμένη. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον φορμαλισμό μελετάμε τους αποκλίνοντες όρους του αναπτύγματος της ολογραφικής εντροπίας διεμπλοκής χρησιμοποιώντας μια αμιγώς ολογραφική προσέγγιση. Τέλος συζητάμε την ισοδυναμία του 1ου νόμου της θερμοδυναμικής της διεμπλοκής με τις γραμμικοποιημένες εξισώσεις Einstein. Κατασκευάζουμε τoν διαδότη του βαρυτονίου από το εσωτερικό του χωροχρόνου AdS στο σύνορο, στην βαθμίδα Fefferman – Graham, ο οποίος είναι ο συνδετικός κρίκος ανάμεσα στις δύο ισοδύναμες περιγραφές.Το 5ο μέρος περιέχει παραρτήματα.