Modeling of the mixed form of wave problems with correcting terms based on training artificial neural networks: application to acoustic black holes
Authors:   , Fabra Ruiz Arnau 
Published: September 2024

(English) This thesis presents novel approaches and computational methods for solving wave propagation problems in acoustics and linear elasticity. Stabilized finite element methods in the context of the variational multi-scale method are developed to model the mixed form of the wave equation in time and frequency domains. Additionally, the thesis explores the incorporation of correcting terms based on artificial neural networks to enhance the accuracy and efficiency of the solutions of the numerical simulations.

The first part of the thesis focuses on the field of acoustics. The wave equation in its irreducible and mixed form is computed including the contributions from both element interiors and interelement boundaries, which are often overlooked in traditional stabilization methods. Moreover, non-reflecting boundary conditions are employed to reduce spurious reflections. The stability, convergence and performance of the proposed methods are demonstrated through different numerical examples. A really important point of this work is the presentation of a general approach to refine coarse models by introducing a correcting term based on fine solutions. This term is computed and trained making use of learning algorithms, such as the least squares model or a model constructed from an artificial neural network (ANN). This technique is applied to both the time and the frequency domains of the wave equation in the context of acoustics. Its effectiveness is evaluated through multiple numerical examples, where fine solutions with finer discretization in either time or space are used.

In the second part of the thesis, the wave equation in the field of elastodynamics is explored. Concretely, stabilized finite element methods are developed for the mixed velocity-stress elasticity equations and their irreducible form, where just the velocity is computed. Both time and frequency domains are considered, with the latter assuming harmonic behavior in time, the study of the mixed form in frequency domain is one of the novelties of this thesis. One of the advantages of using this new mixed form is the flexibility to switch between the primal and dual functional frameworks by appropriately selecting algorithmic parameters, moreover, using the mixed formulation the locking problem is avoided. The proposed formulations are validated through various numerical examples, including a convergence study. Finally, as a case study we consider acoustic black holes (ABHs) on beams and plates. These structural configurations are designed to trap flexural elastic waves by gradually reducing the structural thickness according to a power-law profile at the end of a beam or within a two-dimensional circular indentation in a plate. When a propagating wave encounters an ABH, it undergoes a decrease in wavelength and an increase in amplitude, resulting in a reduction in wave propagation speed as it approaches the termination point in the case of beams or the center point in the case of plates. To ensure the optimal functionality of the ABH, it is imperative that the thickness at the termination or center of the structure be exceedingly small, which demands very fine computational meshes. At this point, the previously presented correcting technique based on training ANN is employed to mitigate computational expenses by allowing the use of coarse meshes maintaining the precision of fine meshes. The effectiveness of this approach is demonstrated through different simulations of ABHs on coarse meshes for values of ABH order and residual thickness outside the training test, as well as for different excitation frequencies.

(Català) Aquesta tesi presenta enfocaments novells que utilitzen mètodes computacionals per resoldre problemes de propagació d'ones en acústica i elasticitat lineal. Els mètodes d'elements finits estabilitzats, en el context del mètode de la multiescala variacional, es desenvolupen per modelar la forma mixta de l'equació d'ona en els dominis del temps i de la freqüència. A més a més, aquesta tesi també explora la incorporació de termes de correcció basats en xarxes neuronals artificials per millorar la precisió i eficiència de les solucions de les simulacions numèriques.

La primera part de la tesi se centra en el camp de l'acústica. L'equació d'ona en la seva forma irreductible i mixta es calcula incloent les contribucions tant de l'interior dels elements com de les seves fronteres, que sovint es passen per alt en els mètodes d'estabilització tradicionals. A més, s'utilitzen condicions de frontera no reflectores per reduir possibles reflexions falses. L'estabilitat, la convergència i el rendiment dels mètodes proposats es demostren a través de diferents exemples numèrics. Un punt realment important d'aquest treball és la presentació d'un enfocament general per a refinar els models grollers introduint un terme corrector basat en solucions fines. Aquest terme és calculat i entrenat fent ús d'algoritmes d'aprenentatge, com el model de mínims quadrats o un model construït a partir d'una xarxa neuronal artificial (XNA). Aquesta tècnica s'aplica tant als dominis de temps com de freqüència de l'equació d'ona en el context de l'acústica. La seva eficàcia s'avalua a través de múltiples exemples numèrics, on es fan servir solucions fines amb una discretització més precisa en el temps o l'espai.

En la segona part de la tesi, s'explora l'equació d'ona en el camp de l'elastodinàmica. En concret, es desenvolupen mètodes d'elements finits estabilitzats per a les equacions d'elasticitat de velocitat mixta i la seva forma irreductible, on només es calcula la velocitat. Tant el domini del temps com el de la freqüència són considerats, l'estudi de la forma mixta en el domini de la freqüència és una de les novetats d'aquesta tesi. Un dels avantatges d'usar aquesta nova forma mixta és la flexibilitat de canviar entre els marcs funcionals primal i dual mitjançant la selecció apropiada de paràmetres algorítmics, a més, utilitzant la formulació mixta també s'eviten els problemes de bloqueig. Les formulacions proposades es validen a través de diversos exemples numèrics, incloent-hi un estudi de convergència. Finalment, com a aplicació pràctica, considerem els forats negres acústics (FNA) en bigues i plaques. Aquestes estructures estan dissenyades per atrapar les ones elàstiques flexores reduint gradualment el gruix estructural d'acord amb una llei de potència al final d'una biga o dins d'una inclinació circular bidimensional en una placa. Quan una ona es troba amb un FNA, experimenta una disminució de la longitud d'ona i un augment de l'amplitud, resultant en una reducció de la velocitat de propagació d'ona a mesura que s'aproxima al punt final en el cas dels feixos o el punt central en el cas de les plaques. Per assegurar la funcionalitat òptima de la FNA, és imperatiu que el gruix al final o centre de l'estructura sigui extremadament petit, el que requereix malles computacionals molt fines. En aquest punt, la tècnica de correcció presentada anteriorment basada en l'entrenament de XNA s'utilitza per mitigar les despeses computacionals permetent l'ús de malles gruixudes però mantenint la precisió de malles fines. L'eficàcia d'aquest enfocament es demostra a través de simulacions de FNA en malles gruixudes per a diferents valors d'ordre dels FNA i diferent gruix residual dels emprats en els casos d'entrenament, així com per a diferents freqüències d'excitació.

(Español) Esta tesis presenta enfoques novedosos y métodos computacionales para resolver problemas de propagación de ondas en acústica y elasticidad lineal. Se desarrollan métodos de elementos finitos estabilizados en el contexto del método de variación de multi-escala para modelar la forma mixta de la ecuación de onda en los dominios del tiempo y la frecuencia. Además, la tesis explora la incorporación de términos correctores basados en redes neuronales artificiales para mejorar la precisión y eficiencia de las soluciones de las simulaciones numéricas.
La primera parte de la tesis se centra en el campo de la acústica. Se presenta la ecuación de onda en su forma irreducible y mixta, incluyendo las contribuciones tanto de los interiores como de las fronteras de los elementos, que a menudo se pasan por alto en los métodos de estabilización tradicionales. Además, se utilizan condiciones de frontera no reflectantes para reducir las reflexiones falsas. La estabilidad, convergencia y rendimiento de los métodos propuestos se demuestran a través de diferentes ejemplos numéricos. Un punto muy importante de este trabajo es la presentación de un enfoque general para refinar modelos gruesos introduciendo un término corrector basado en soluciones finas. Este término se calcula y entrena utilizando algoritmos de aprendizaje, como el modelo de mínimos cuadrados o un modelo construido a partir de una red neuronal artificial (ANN). Esta técnica se aplica tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia de la ecuación de onda en el contexto de la acústica. Su efectividad se evalúa a través de múltiples ejemplos numéricos, donde se utilizan soluciones finas con una discretización más fina en el tiempo o el espacio.
En la segunda parte de la tesis, se explora la ecuación de onda en el campo de la elastodinámica. Concretamente, se desarrollan métodos de elementos finitos estabilizados para las ecuaciones de elasticidad de velocidad-tensión mixtas y su forma irreducible, donde solo se calcula la velocidad. Se consideran tanto los dominios del tiempo como de la frecuencia, asumiendo en este último un comportamiento armónico en el tiempo; el estudio de la forma mixta en el dominio de la frecuencia es una de las novedades de esta tesis. Una de las ventajas de utilizar esta nueva forma mixta es la flexibilidad para alternar entre los marcos funcionales primal y dual seleccionando adecuadamente los parámetros algorítmicos; además, mediante la formulación mixta se evita el problema de bloqueo (locking). Las formulaciones propuestas se validan a través de varios ejemplos numéricos, incluido un estudio de convergencia. Finalmente, como aplicación, se consideran los agujeros negros acústicos (ABHs) en vigas y placas. Estas configuraciones estructurales están diseñadas para atrapar ondas elásticas flexurales al reducir gradualmente el grosor estructural de acuerdo con un perfil de ley de potencia al final de una viga o dentro de una indentación circular bidimensional en una placa. Cuando una onda en propagación encuentra un ABH, experimenta una disminución en la longitud de onda y un aumento en la amplitud, lo que resulta en una reducción en la velocidad de propagación de la onda a medida que se acerca al punto de terminación en el caso de las vigas o al punto central en el caso de las placas. Para garantizar la funcionalidad óptima del ABH, es imperativo que el grosor en el punto de terminación o centro de la estructura sea extremadamente pequeño, lo que requiere mallas computacionales muy finas.En este punto, se emplea la técnica de corrección previamente presentada basada en el entrenamiento de ANN para mitigar los gastos computacionales, permitiendo el uso de mallas gruesas manteniendo la precisión de las mallas finas.La efectividad de este enfoque se demuestra a través de diferentes simulaciones de ABHs en mallas gruesas para valores de orden de ABH y grosor residual fuera de la prueba de entrenamiento, así como para diferentes frecuencias de excitación