Análisis matemático del equilibrio en estructuras de membrana con bordes rígidos y cables. Pasarelas: forma y pretensado
Authors:   , Viglialoro Giuseppe 
Published: October 2023

Las membranas son estructuras (sin rigidez a flexión) que conforman una superficie en el espacio, con espesor mínimo. Se aproximan a una superficie geométrica y trabajan sólo mediante esfuerzos de membrana (de tracción) y tangentes a la superficie.<br/>La tesis se centra en el análisis matemático de las membranas portantes (abiertas y con bordes), con miras a extender sus aplicaciones en el campo de la ingeniería civil, concretamente a las pasarelas de peatones. Esto implica esfuerzos mayores, no sólo por los efectos de las cargas de uso de tales estructuras, sino porque requieren mayor pretensado para mantener la rigidez.<br/>La tesis se centra en el análisis matemático de membranas a tracción en la fase de pretensado, en la que, como resultado de aplicar el pretensado a una forma potencial o virtual de la membrana, correspondiente a esfuerzos nulos, se llega ya a una forma real. <br/>El problema de introducir y mantener el pretensado está relacionado con los bordes de la membrana, definidos por curvas en el espacio. Los mismos pueden tener curvatura o no tenerla (elementos rectos). Si los elementos de borde son rectos, para equilibrar el pretensado de la membrana, deben tener rigidez a flexión.<br/>Entre los elementos de borde curvos, revisten notable importancia los cables a tracción, elementos sin rigidez a flexión cuya disposición permite distribuir los esfuerzos de tracción en toda la membrana.<br/>Se aprecia, así, que ha de buscarse cierto equilibrio entre forma y pretensado tanto en el interior de la membrana como en su borde.<br/>Matemáticamente, el planteamiento más general, y más complejo, corresponde al caso en que los elementos de borde son cables a tracción. <br/>Lo dicho lleva a dos problemas de contorno.<br/>El primero consiste en encontrar, una vez fijada la forma de membrana, los esfuerzos de pretensado que verifiquen el equilibrio (planteamiento directo) y el segundo en encontrar, una vez fijados los esfuerzos de tracción, la forma de la membrana que verifique el equilibrio (planteamiento dual).<br/>Ambos problemas se complican sensiblemente en el caso en que el borde esté compuesto por cables a tracción.<br/>El resultado principal del problema directo es que, en cualquier caso (esto es, independientemente de que el borde sea rígido o no), se obtiene un problema diferencial hiperbólico con condición de contorno de tipo Dirichlet.<br/>Si a esto se le añade que, en el caso en que se consideren cables de borde éstos coinciden con las curvas características, el problema directo está en general mal definido.<br/>El resultado principal del problema dual es que, en cualquier caso (esto es, independientemente de que el borde sea rígido o no) se obtiene un problema diferencial elíptico con condición de contorno de tipo Dirichlet, esto es un problema diferencial en general bien definido.<br/>Siempre que no se consideren cables, el problema dual devuelve una única forma de membrana por cada distribución de esfuerzos de tracción (problema elíptico con condición de Dirichlet). <br/>Al revés, el problema dual completo (con cables) tiene una formulación "no clásica" visto que, a largo del cable, su incógnita ha de verificar contemporáneamente dos condiciones: una de tipo Dirichlet y otra (no estándar) sobre las derivadas segundas de la forma de membrana.<br/>En la tesis se describe un método numérico para el cálculo de la solución. Éste se basa en la definición de un "vector residual" que, al ser "minimizado", devuelve el valor nodal de la membrana a lo largo del cable.

Membranes are structures (without bending stiffness) identified with space surfaces with minimal thickness. They are approximated by geometrical surfaces and its stress tensor is defined by tension vectors in the tangent plane.<br/>The PhD thesis is based on the mathematical analysis of membrane structures (opened and with boundaries) with the idea of applying them in Civil Engineering, more precisely to a new technology such as bridgefoots. It implies taking in account greater tensions, not only due to the loads that structures are subjected to, but because the same structures need more prestressed to preserve rigidity.<br/>The report is based on mathematical analysis of tension membranes in the prestressed phase. In this phase, starting from a virtual shape for the membrane, with all tensions zeros, you obtain, due to the application of the prestressed, a real form.<br/>The problem in introducing and preserving the prestressed is related to the boundaries of the membrane, defined by regular space curves. The boundaries can be curved or not (straight elements). If boundary elements are straight, to verify the equilibrium with the prestressed of membrane, they must have bending stiffness.<br/>On the other hand, cables are very important curved boundary elements. They have no bending stiffness (work in tension, do not resist to compression) and its shape and placement is such that they can administer tensions all over the membrane.<br/>In this way you can notice that is important looking for an equilibrium between shape and prestressed both in the interior of membrane and on its boundaries.<br/>Mathematically the general approach, which is more difficult, concerns the case in which boundary elements are cables.<br/>What has been said leads to two boundary problems. <br/>The first one consists in finding, given the shape of the membrane, its prestressed stress tensor that verifies the equilibrium (direct approach). The second one concerns in finding, given the prestressed stress tensor of the membrane, its shape that verifies the equilibrium (dual approach).<br/>If a boundary with tension cables is considered both problems make more difficult.<br/>The principal result about the direct problem is that, in any case (that is, regardless of the kind of boundary used), a hyperbolic differential problem with Dirichlet boundary conditions is obtained.<br/>Moreover if you consider that, in case that cables boundary elements are taken in account they are characteristic curves for the differential equation, the direct problem is generally ill posed.<br/>The principal result about the dual problem is that, in any case (that is, regardless of the kind of boundary used), an elliptical differential problem with Dirichlet boundary conditions is obtained; it means considering a problem generally well posed.<br/>To be more precise, if no cable is taken in account on membrane boundary, dual problem always returns an unique shape of membrane for each given tensions stress tensor (elliptical Dirichlet problem).<br/>On the other hand the general dual problem (with cables) has a "no classical" formulation. In fact along the cable the unknown of the problem has contemporaneously to verify two conditions: one Dirichlet condition and other one (not standard) on the second derivatives of the membrane shape.<br/>In the report a numerical method of resolution is presented. It consists on defining a "residual vector" that, once minimized, returns the nodal values of the membrane along the cables.