CONVERGENCE OF THE COMPUTATIONAL PROCESS WHEN IMPLEMENTING A VARIATIONAL METHOD FOR SOLVING A BOUNDARY VALUE PROBLEM OF HYDRODYNAMICS
Authors: Проскурин Д.К. , Сысоев Д.В. , Сазонова С.А. 
Published: July 2021

Анализируются результаты применения вариационного метода решения краевой задачи гидродинамики. С точки зрения численного исследования задач математической физики эти вариационные постановки рассматриваются как основа проекционных методов (метод Ритца). Рассматриваемая задача сводится к исследованию волновых колебаний свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, находящейся внутри осесимметричной полости и подверженной действию однородного поля массовых сил. Представлены основные методики, позволяющие снизить затраты машинного времени и ускорить сходимость вычислительного процесса при расчете гидродинамических характеристик полостей различной конфигурации. Использование метода Трефтца позволяет сократить время расчета краевой задачи. Преобразование позволяет свести трехмерный интеграл к одномерному. Это создает универсальный метод определения гидродинамических коэффициентов для полостей вращения с произвольным контуром меридианного сечения. Однако для большинства конфигураций резонаторов скорость сходимости является удовлетворительной и обеспечивает численные значения с высокой степенью точности. Учитывая, что функции Бесселя дают быструю сходимость, но не являются полными, а полиномы Лежандра обладают полнотой, было реализовано построение вариационного ряда на основе «смешанной» системы функций. Эта методика позволила нам значительно ускорить и улучшить процесс сходимости для неблагоприятных случаев, когда использование каждой системы координатных функций в отдельности не привело к успеху

We analyze the results of the application of the variational method for solving the boundary value problem of hydrodynamics. From the point of view of the numerical study of problems in mathematical physics, these variational statements are considered as the basis of projection methods (the Ritz method). The problem under consideration is reduced to the study of wave oscillations of the free surface of an ideal incompressible fluid located inside an axisymmetric cavity and subject to the action of a uniform field of mass forces. We present the main techniques that allow one to reduce the consumption of computer time and accelerate the convergence of the computational process when calculating the hydrodynamic characteristics of cavities of various configurations. The use of the Treftz method makes it possible to reduce the time for calculating the boundary value problem. The transformation allows one to reduce a three-dimensional integral to a one-dimensional one. This creates a universal method for determining the hydrodynamic coefficients for cavities of revolution with an arbitrary contour of the meridian section. However, for most resonator configurations, the convergence rate is satisfactory and provides numerical values with a high degree of accuracy. Taking into account that the Bessel functions give fast convergence but are not complete, and the Legendre polynomials are complete, we implemented the construction of a variational series on the basis of a "mixed" system of functions. This technique allowed us to significantly speed up and improve the convergence process for unfavorable cases when the use of each coordinate function system separately did not lead to success