Randomized space-time block coding for the multiple-relay channel
Authors:   , Gregoratti David 
Published: October 2023

En la última década, la cooperación entre usuarios ha generado un gran interés por la posibilidad de mejorar la velocidad de transmisión en las redes de comunicaciones inalámbricas. El objetivo es formar un array con las antenas de todos los dispositivos y, de esta forma, aplicar técnicas de procesado espacio-temporal. El esquema de cooperación más sencillo es el canal con relays: todos los terminales que escuchen una comunicación entre dos puntos pueden ayudar a la fuente retransmitiendo lo que hayan recibido.<br/><br/>En un sistema realista, los relays no disponen de información sobre el canal en trasmisión. En este escenario, los códigos espacio-temporales (STC, del inglés space-time coding) son la alternativa más eficiente para aprovechar la diversidad introducida por los relays. Sin embargo, los STC clásicos están diseñados para un número limitado y fijo de antenas transmisoras y no se adaptan bien a sistemas cooperativos donde el número de relays puede ser elevado y, sobretodo, puede variar en el tiempo, según los usuarios entren o salgan de la red. El problema principal es la necesidad de usar un código nuevo cada vez que cambie la configuración de la red, generando un importante tráfico de señalización.<br/><br/>Esta tesis analiza un código espacio-temporal a bloques de dispersión lineal (LD-STBC, del inglés linear-dispersion space-time block coding), aleatorio y distribuido: a cada relay se le asigna una matriz aleatoria que aplica una transformación lineal al vector que contiene los símbolos de la fuente. Cada matriz se genera de forma independiente y sin ninguna relación con el número de usuarios involucrados. De esta manera, el número de nodos puede variar sin necesidad de modificar los códigos existentes.<br/><br/>La forma más intuitiva de construir matrices de dispersión lineal independientes es que sus elementos sean variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.). Por esta razón, se estudia primero la eficiencia espectral obtenida por este tipo de LD-STBC. Es importante remarcar que la eficiencia espectral es una cantidad aleatoria, ya que es una función de los códigos aleatorios anteriormente descritos. Sin embargo, cuando las dimensiones de las matrices crecen infinitamente pero manteniendo constante la tasa del código (relación entre número de símbolos de la fuente sobre el número de símbolos de los relays), la eficiencia espectral converge rápidamente hacia una cantidad determinista. Este resultado se demuestra usando la teoría de las matrices aleatorias. Por esta razón, el sistema se analiza aproximando la eficiencia espectral con su limite. Por ejemplo, la comparación con el canal directo entre fuente y destino permite definir unas condiciones suficientes en donde el sistema con relays es superior a la comunicación punto a punto.<br/><br/>Posteriormente se debe analizar la probabilidad de outage, es decir la probabilidad de que, debido a la baja calidad del canal, la eficiencia espectral sea menor que la velocidad de transmisión solicitada por el sistema. Como ya se ha mencionado anteriormente, los relays se introducen para aumentar la diversidad del canal y, con ella, el número de caminos independientes entre la fuente y el receptor, reduciendo la probabilidad de outage. Para los LD-STBC i.i.d. las prestaciones en términos de outage dependen del tipo de relay (amplify and forward o decode and forward) y son función de la tasa del código, que debe ser cuidadosamente elegida para maximizar el orden de diversidad sin desperdiciar demasiados recursos.<br/><br/>Finalmente, en el último capítulo de la tesis se considera otro tipo de LD-STBC, distinto del i.i.d. analizado hasta ahora. En este caso, las matrices de dispersión lineal siguen siendo independientes la una de la otra pero se añade la restricción de que cada una tenga columnas (o filas, según la tasa del código) ortogonales. Así, se consigue que el código siga siendo flexible con respecto a las variaciones en el número de usuarios, pero su estructura permite reducir la interferencia generada por cada relay, como se puede notar comparando su eficiencia espectral con la eficiencia espectral obtenida por el código i.i.d. Cabe destacar que el análisis asintótico de estos códigos (llamados isométricos) se basa en herramientas matemáticas más sofisticadas que las anteriores y, por lo tanto, es necesario un estudio más profundo para poder entender cómo se comporta en términos de outage.

In the last decade, cooperation among multiple terminals has been seen as one of the more promising strategies to improve transmission speed in wireless communications networks. Basically, the idea is to mimic an antenna array and apply distributed versions of well-known space-diversity techniques. In this context, the simplest cooperative scheme is the relay channel: all the terminals (relays) that overhear a point-to-point communication between a source and a destination may decide to aid the source by forwarding (relaying) its message.<br/><br/>In a mobile system, it is common to assume that the relays do not have any information about the channel between them and the destination. Under this hypothesis, the best solution to exploit the diversity offered by multiple transmitting antennas is to use space-time coding (STC). However, classical STC's are designed for systems with a fixed and usually low number of antennas. Thus, they are not suitable for relaying in most mobile communications systems where the number of terminals is potentially large and may vary as users join or leave the network. For each new configuration, a new code has to be chosen and notified to the relays, introducing a set-up overhead of signaling traffic.<br/><br/>In this dissertation we will propose and analyze a randomized distributed linear-dispersion space-time block code (LD-STBC): each relay is assigned a specific matrix which linearly transforms (left-multiplies) the column vector of source symbols. Each matrix is independently generated and does not depend on the total number of transmitters, which can thus change without interrupting data transmission for a new code--relay assignment.<br/><br/>The more intuitive way to build independent linear-dispersion matrices is to fill them with independent and identically distributed (i.i.d.) random variables. Therefore, we will first consider these i.i.d. codes and characterize the resulting spectral efficiency. In order to analyze the performance achieved by the system, we consider a large-system analysis based on random matrix theory. We will show that the random spectral efficiency (function of the random linear-dispersion matrices) converges almost surely to a deterministic quantity when the dimensions of the code grow indefinitely while keeping constant the coding rate. Since convergence is very fast, the random spectral efficiency will be approximated by the deterministic limit in the subsequent analysis. By comparison with the direct link, sufficient conditions are derived for the superiority of relaying.<br/><br/>Next, we will analyze the outage probability of the system, that is the probability that the spectral efficiency falls below a given target rate due to channel fading. The main purpose of diversity techniques is to introduce alternative paths from the source to the destination, so that data transmission does not fail when the direct link undergoes deep fading. We will show that the diversity behavior of LD-STBC relaying mainly depends on both the coding rate and the relaying strategy (amplify and forward or decode and forward). It is then important to choose the coding rate that maximizes the diversity order without wasting too many resources.<br/><br/>To conclude the dissertation, we will consider a different code based on independent isometric Haar-distributed random linear-dispersion matrices. The<br/>new code maintains the flexibility of the previous one with respect to variations in the number of relays. However, the more complex structure of the codes allows a noticeable reduction of the interference generated by the relays. Unfortunately, isometric codes also require more sophisticated mathematical tools for their asymptotic analysis. For this reason, we simply introduce the problem by showing that it is possible to have some spectral-efficiency gain with respect to i.i.d. codes. The outage-probability analysis requires a more thorough understanding and will be the subject of future work.