Retaining Exact Blade Counts in Turbomachinery Scale-Resolving Simulations Using the Time-Inclined Method
Authors:   , Montiel Ruiz Miguel 
Published: February 2025

Scale-Resolving Simulations (SRSs) of turbulent flows in turbomachinery are becoming increasingly common at the industry level for reduced computational domains and moderate Reynolds numbers. To reduce their cost, the full annular domains are generally reduced to a single passage. However, the unsteady character of turbomachinery stages and non-integer pitch ratios prevent the imposition of spatial periodicity in the passage.

Several methodologies have been developed to account for arbitrary blade counts in reduced computational domains for URANS simulations. Nevertheless, the stochastic nature of turbulent flows impedes the direct imposition of temporal periodicity to the flow, on which most time-marching methodologies rely. Thus, the blade count is commonly approximated to the nearest integer in SRSs, so that spatial periodicity can be imposed in a single passage.

The Time-Inclined (TI) method is a domain-reducing approach that does not directly impose any temporal periodicity to the flow. It has been successfully used for URANS in the past and has been shown not to degrade the convergence rate to a quasi-periodic state. Nevertheless, it still has not been explored as an alternative to the single-passage approximation for SRSs.

Thus, the goal of this thesis is to evaluate the suitability of the TI method for retaining the exact blade count in SRSs. To that end, several objectives of incremental complexity, which form the structure of the present work, have been formulated.

The usual TI formulation for the Navier-Stokes (NS) equations excludes some of the diffusive terms. Providing insight into such a potential source of errors is one of the main objectives of the present thesis, since it has never been thoroughly analysed and might be relevant for SRSs. Hence, Chapter 3 includes a novel analysis on the truncation of the inclined NS equations.

Chapter 4 verifies the implementation of the TI method into the high-order baseline solver through 2D simulations of linear cascades subjected to upstream perturbations which are only spatially periodic in a multi-passage domain, motivating the use of the TI method.

Figures of merit from multi-passage and TI inviscid simulations are nearly identical, proving the correct implementation of the method. Meanwhile, viscous simulations allow fulfilling the second objective of this work: to validate the theoretical analysis of the viscous TI approximation. As predicted, the truncated terms become relevant for regions of high Strouhal numbers. Due to their viscous origin, their impact is most noticeable for low Reynolds number flows.

In Chapter 5, the results from 3D simulations of the T106 LPT linear cascade with incoming wakes are reported. Three-way comparisons have been generated between the solutions of the multi-passage domain, the single-passage TI solution and the single-passage solution of the approximate pitch ratio problem.

Thus, Chapter 5 is concerned with the third main objective: to assess the accuracy of the TI method in a 3D problem of industrial interest. The results indicate that the TI method, retaining the exact blade count, produces very accurate predictions and outperforms the approximate pitch ratio single-passage methodology in most of the variables of interest and is equivalent in the rest.

The results of the turbulent flows in Chapter 5 are complemented by virtual experiments of canonical turbulence problems in Chapter 6, including a transitional problem and the simulation of turbulent boundary layers in periodic channels. Although some differences are found for the mixing process at the smallest scales, Chapter 6 shows how the TI method can be used for accurate simulations of turbulent flows, the fourth and last objective of this work.

RESUMEN

El uso de simulaciones de resolución de escalas (SRSs) está cada vez más extendido en entornos industriales. Para reducir su coste, las geometrías anulares suelen ser reducidas a un solo pasaje. Sin embargo, el carácter no-estacionario del problema y el hecho de que los números de álabes de rotor y estátor no suelen ser divisibles impiden imponer periodicidad espacial en un solo pasaje.

Varias metodologías han sido desarrolladas para simular configuraciones arbitrarias de una etapa en dominios reducidos para simulaciones URANS. No obstante, la naturaleza estocástica de los flujos turbulentos resueltos en SRSs impide establecer una periodicidad temporal en la solución, que es esencial para la mayoría de dichas metodologías. Por eso en SRSs es común aproximar los números de álabes de las filas de modo que sean divisibles, permitiendo imponer periodicidad espacial en pocos pasajes.

El método Time-Inclined (TI) es una técnica de reducción de dominio computacional que no impone de forma directa la periodicidad temporal del flujo. Además, no muestra una degradación de la convergencia a soluciones cuasi-periódicas. Sin embargo, su uso no está extendido para SRSs. Por tanto, el propósito de esta tesis es evaluar la idoneidad del TI para retener el número exacto de álabes en SRS.

La formulación del método TI para las ecuaciones de Navier-Stokes (NS) excluye algunos de los términos difusivos. Un primer objetivo de este trabajo es cuantificar el impacto de dicho truncamiento en la precisión del método, y evaluar si puede suponer una fuente de error relevante. Este análisis se encuentra en el Capítulo 3, en el que se introduce el método TI y se describen otras posibles limitaciones del mismo.

En el Capítulo 4 se verifica la implementación del TI en el código del resolvedor base mediante simulaciones 2D de cascadas lineales sometidas a perturbaciones que solo son periódicas en un dominio multi-pasaje, motivando el uso del TI para reducir el problema.

Los resultados multi-pasaje y TI para simulaciones no viscosas son prácticamente idénticos, lo que indica la correcta implementación del método. Las simulaciones viscosas permiten completar el segundo objetivo de esta tesis: validar el análisis teórico sobre las ecuaciones de NS inclinadas y truncadas. Como predice la teoría, los términos truncados son relevantes en regiones de altos números de Strouhal y, dada su proveniencia viscosa, su impacto es apreciable a bajos números de Reynolds.

En el Capítulo 5 se presentan los resultados de simulaciones 3D de una cascada lineal de perfiles T106 aguas abajo de estelas provenientes de una fila anterior. Se han generado comparaciones triples entre las soluciones multi-pasaje, TI, y una solución al problema aproximado que modifica el número de estelas para obtener la periodicidad en un solo pasaje sin recurrir al TI.

Por lo tanto, el Capítulo 5 se centra en el tercer objetivo de la tesis: estudiar la precisión del método TI en simulaciones 3D de interés industrial. Los resultados indican que el TI, reteniendo la geometría original del problema, es capaz de alcanzar soluciones muy precisas en flujos turbulentos. De hecho, se obtienen mejores resultados que con la metodología aproximada de un solo pasaje en la mayoría de las variables de interés, y resultados de calidad semejante en el resto.

El Capítulo 6 incluye la resolución numérica de problemas canónicos de flujos turbulentos como la solución numérica de un problema de flujo en transición (el vórtice de Taylor-Green) y la de capas límite turbulentas en canales periódicos. A pesar de que se encuentran diferencias apreciables en el proceso de mezclado para las escalas más pequeñas, los resultados indican que el TI puede reproducir fielmente flujos turbulentos, lo que conforma el cuarto y último objetivo de esta tesis.