Frege's Theory of Relations and the Search for a Workable Alternative
Authors: Peña Lorenzo 
Published: March 2020

El artículo brinda una reconstrucción de la ontología fregeana y, tras someterla a una crítica, hace someras indicaciones para una alternativa a la misma. El problema aquí tratado aparece ya planteado por el propio Frege en “Uber Begriff und Gegenstand”, en la interesante discusión con Benno Kerry, y surge así: los desnivelamientos categoriales en Frege acarrean que lo que puede afirmarse o negarse de un ente de cierta categoría no pueda ni afirmarse ni negarse de un ente de otra; dentro de un mismo nivel categorial hay barreras categoriales por la adicidad de los conceptos y por la categoría diversa de los argumentos que puedan tomar los conceptos pluriargumentales; surgen así las dos dificultades que acarrean: por un lado, las nominalizaciones de expresiones no nominales, las cuales nominalizaciones son sintagmas nominales conmutables con nombres propios sin desmedro de la corrección sintáctica; y, por otro lado, la regla de cercenamiento que aparentemente opera en la lengua, por la cual, en idiomas como el español al menos, se puede amputar un complemento directo sin pérdida de corrección sintáctica. A esta última dificultad, Frege responde por un procedimiento de catálisis; la oración ‘Ismael come’ abreviará a ‘Ismael come algo’; pero eso tiene el inconveniente de que no puede tomarse ‘Sí, el pastel’ como respuesta literal a la pregunta ‘¿Come Ismael?’ A la primera dificultad responde Frege con su noción de correlato de función (en general y de concepto en particular). Por otro lado, existe un problema particular para las funciones pluriargumentales: no sólo asignan un valor a los argumentos, sino que lo hacen al tomar a los argumentos en cierto orden; pero el tomarlos en un orden determinado en lugar de otro no es algo funcional, no depende de cuáles sean los argumentos; si puede ser meramente de papel y no de naturaleza el distingo entre el actuar como primer argumento de una función biargumental y el actuar como segundo argumento de la misma, ¿por qué no va a ser también meramente de papel, y no de naturaleza, el distingo entre ser (actuar como) un objeto y ser (actuar como) un concepto? Surgen en fin problemas múltiples de inefabilidad de la propia teoría que postula tales barreras categoriales —problemas a los que también sucumben la teoría de tipos russelliana y las demás teorías pluricategoriales—. Para solucionar algunos de tales problemas se puede diseñar una teoría que es una reconstrucción de la de Frege. Se reemplazan los conceptos por sus correlatos, salvo que —como primera aproximación— se mantiene un único concepto, siendo éste el concepto biargumental de primer orden significado por ‘caer bajo’ (que no es idéntico al significado en la teoría de Frege por ese sintagma verbal, pues para Frege se trataba de un concepto biargumental mixto, o sea para argumentos heterogéneos —e.d. de diverso nivel categorial). Así hemos confinado, ya que no eliminado, el problema de las barreras categoriales. La reconstrucción de la teoría fregeana va operándose por estadios consecutivos; en cada uno de ellos se consideran ciertas hipótesis, se examinan sus resultados y, al encontrarse dificultades, pásase al estadio ulterior por introducción de rectificaciones apropiadas, hasta llegar a la (re)construcción final. Primer estadio: como correlato de un concepto tómase un objeto, z, que es tal que el valor que al par <x, z=""> asigna la función de caer-bajo es: si (el concepto cuyo correlato es) z es uniargumental, entonces o bien V o bien F; si z es biargumental, entonces el correlato del concepto fregeano de caer bajo z, siendo u tal correlato y, por ende, tal que, para cualquier objeto v, v cae bajo u (en el nuevo sentido de ‘caer bajo’) ssi con v guarda x aquella relación en que consiste el concepto biargumental inicialmente tornado. El inconveniente de esa primera aproximación es que, entonces, “Es verdad que p” —donde ‘es verdad que’ es un sinónimo de la raya fregeana— significará la Falsedad cuando “p” sea una fórmula como ‘Mauricio ama’, o sea con un verbo transitivo pero sin complemento directo; pues ‘Es verdad que’ significa para Frege la función significada por “ = V”. Pásase, pues, al segundo estadio de reelaboración: ‘Es verdad que’ significará lo mismo que “≠ F”, siendo, por lo tanto, verdaderos todos los objetos salvo F. Mas entonces “Es verdad que p” seguirá significando algo diverso de “p”. Eso se resuelve si la raya (y tal es el tercer estadio) significa una función que sea una transformación nula o idéntica, de suerte que x = el ser verdad que x (para cualquier x). Sólo que, entonces —y como seguimos manteniendo que, si “φ” significa (el correlato de) un concepto uniargumental, entonces “x cae bajo φ” significará o bien V o bien F—, si la Verdad es (cual parece natural) el correlato de esa función significada por ‘Es verdad que’, para cada verbo intransitivo φ y para dos sintagmas nominales cualesquiera,”x” y “z” tales que es verdadera la oración “xφ”, la oración “x φ a z” será también verdadera siempre que “z” signifique un objeto diverso de la Falsedad. Llegamos así al 4° estadio: en lugar de que la función de caer-bajo asigne V o F a todo par <x, z=""> cuando z sea el correlato de un concepto uniargumental, en lugar de eso lo asignado será o bien F, si x no cae bajo z, o bien un hecho, el de que x cae bajo z, si eso es verdad; también serán hechos los correlatos de conceptos uniargumentales; un hecho que sea el correlato de un concepto cero-argumental (o sea: el significado de una oración a la que no quepa añadir ya, ni con verdad ni con falsedad, ningún complemento directo, p. ej. la oración ‘Lupe es guapa’) será tal que él y sólo él caerá bajo sí mismo, en tanto que el correlato de un concepto uniargumental (p. ej. significado por “xφ” donde “φ” es un verbo transitivo y “x” un sintagma nominal —o, en nuestro lenguaje regimentado, por la fórmula “x cae bajo el φ-ar”, donde “el φ-ar” es la nominalización de “φ”) será un objeto z tal que a un par ordenado <u, z=""> le asigne la función de caer-bajo o bien un hecho (verdadero) o bien F. Surge empero, con esa concepción, el problema de que vendrían —por el principio de extensionalidad— identificadas dos relaciones cualesquiera que compartan el mismo dominio. Eso se resuelve al relajarse ese principio; puedes introducir para ello un signo primitivo de identidad; mejor sería, sin embargo, introducir como primitivos dos signos: uno monádico con las características de un operador modal dotado de la regla de Gödel, y otro diádico de equivalencia, tal que valgan las equivalencias impuestas por los principios de absorción, conmutatividad y asociatividad tanto de la disyunción como de la coyunción, y distributividad mutuas (pero no cualesquiera bicondicionales lógicamente verdaderos podrán transformarse en equivalencias). Con ayuda de esos dos signos, el de equivalencia, I, que es binario y el operador modal unario, ‘B’, defínese así la identidad: si “p” y “q” son dos expresiones bien formadas, “p = q” abreviara a “B(pIq)”: el principio de extensionalidad será, en versión prenexa, éste: </u,></x,></x,>

∃x(((x cae bajo z) = (x cae bajo u))⊃(z = u)”. Por otro lado, y para evitar las paradojas lógicas, se puede articular esta teoría con instrumentos como los de una teoría de conjuntos axiomática, p. ej. los de ML de Quine.

Alcánzase el último estadio en la reconstrucción de la teoría fregeana al abatirse la restante barrera categorial ontológica; se estatuye que la diferencia categorial sintáctica entre la única locución verbal que queda en nuestro lenguaje regimentado (‘caer bajo’) y las locuciones nominales estribará, no en una desnivelación categorial ontológica entre lo significado por aquélla y lo significado por éstas, sino en que la primera guarda con su significado una relación semántica diversa de la que guardan las segundas con sus respectivos significados.

Aunque el tratamiento así propuesto constituye un gran avance sobre el originario de Frege, encierra todavía una seria dificultad con la que nos la habíamos al comienzo: la verdad tiene que ordenar sus argumentos y, una vez ordenados de determinada manera, hacerles corresponder un hecho como valor. En el plano lingüístico se reproduce un problema similar. A solventarlo iba destinada la solución de Frege, que ya hemos visto cómo fallaba. Una teoría sintáctica que de manera interesante puede confrontarse a este respecto con la de Frege es la de Martinet, que, como se revela, también encierra problemas de la misma índole, pese a todo. Tras forcejar con esa dificultad sintáctico-semántica, muestro que nos enfrentamos a un verdadero problema de regresión bradleyana al infinito, y que, si bien parecíamos habernos librado de las formas inasequibles de Aristóteles o de las funciones innombrables de Frege, lo hemos logrado sólo a expensas de desestructurar tanto la realidad como el lenguaje (o más exactamente, el mensaje lingüístico).

Apunta todo ello a la necesidad de una alternativa radicalmente diferente y que utilice un utillaje, un planteamiento y un enfoque muy alejados de los de Frege, a saber: una concepción contradictoria que tome en serio la vieja idea de que, en el hecho relacional la relación pasa del referente (sujeto) al relatado (término). Semejante alternativa puede entenderse tomando como base una lógica transitiva como la puesta en pie por el autor del presente artículo.

La sección 5 (y última) del artículo está, pues, consagrada a delinear en sus grandes rasgos tal alternativa. Un hecho relacional es (visto como) un proceso no temporal que transcurre en un “orden de naturaleza” o serie de lapsos atemporales de tal modo que en cada uno de esos lapsos la propiedad relacional está y no está en el referente y, a la vez, está y no está en el relatado, pero sin embargo está más en el primero y menos en el segundo cuanto más inicial sea la posición del lapso en cuestión dentro del orden (parcial) entre dichos lapsos. Ese proceso es infinitamente complejo, y consiste en una función continua que proyecta cada lapso sobre un par de grados de verdad, uno para el referente y otro para el relatado (siendo cada grado un tensor cuyos componentes son grados escalares, de suerte que, si e es un sublapso de e', el grado que el proceso hace corresponder a e para uno de los extremos es un subtensor del que hace corresponder a e' para el mismo extremo). Cada ente es luego “reducido” a un hecho, el de que ese ente existe; la existencia es identificada con la relación de abarcar, de suerte que cada ente resulta ser su propio ser abarcado por la existencia (un hecho relacional, pues). En el plano lingüístico, en lugar de entender los signos como inscripciones (trozos de papel, o de tinta sobre el papel), los entendemos como actos, como prolaciones, con lo cual ya deja de ser verdad que en el signo ‘ab’ hay una ocurrencia del signo ‘a’; antes bien, (escribir) un signo complejo ‘ab’ es un pasar de escribir ‘a’ a escribir ‘b’, sin ser nunca un escribir ‘a’ y sin llegar nunca a ser un escribir ‘b’. (Los signos de que se trata son muestras: un signo-tipo no es sino una propiedad de signos muestra.) Llegamos así a un paralelismo lingüístico-ontológico que, a diferencia del de Wittgenstein en el Tractatus, entiende un estado de cosas (y similarmente a una oración) como un transcurrir (de un extremo a otro), y no como dos (o más) cosas tomadas en combinación: una concepción dinámica, pues, frente al combinacionismo estático del Tractatus. El enfoque aquí propuesto es una teoría formalizable mediante una lógica combinatoria no clásica.

[L.P.]