Neural network method of restoring an initial proﬁle of the shock wave
Authors: Shemyakina Tatiana A , Tarkhov Dmitriy A , Beliaeva Alexandra R , Zulkarnay Ildar U 
Published: January 2025

In this paper, we apply neural network modeling to solve the inverse problem of mathematical physics with a system of nonlinear partial differential equations of hyperbolic type. In the problem, the initial conditions are unknown and are reconstructed from measurements made at a later point in time. For this we use the methodology developed by us to construct approximate mathematical models with respect to differential equations and additional data. It is known that inverse problems are difficult to apply classical numerical methods for solving boundary value problems for partial differential equations and require the use of various artificial methods. Our approach allows us to solve both direct and inverse problems in almost the same way. We reconstruct the initial profile of the pressure distribution in the tube in which the shock wave propagates, as measured by the sensor at the end of the tube. In this neural network model we use a perceptron with one hidden layer with an activation function in the form of a hyperbolic tangent. It is known that such a neural network is a universal approximator, i.e. allows us to arbitrarily accurately approximate a function from a sufficiently wide class (in particular, the desired solution of the problem belongs to this class). We also tried other architectures of neural networks, in particular, a network with radial basis functions (RBF), but for this task they were less suitable. Previously, we applied this approach to problems with a known analytical solution in order to verify the results of the application of the method. Our method proved to be sufficiently accurate and robust to errors in the original data. A feature of this work is the application of the method to the problem with real measurements. The obtained results allow us to recommend the proposed method for solving other similar problems.

В данной работе мы применяем нейросетевое моделирование для решения обратной задачи математической физики с системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. В задаче начальные условия неизвестны и восстанавливаются по измерениям, проведённым в более поздний момент времени. Для этого мы используем разработанную нами методологию построения приближённых математических моделей по дифференциальным уравнениям и дополнительным данным. Известно, что обратные задачи являются трудными для применения классических численных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и требует применения различных искусственных приёмов. Наш подход позволяет решать как прямые, так и обратные задачи практически одинаковым образом. Мы восстанавливаем начальный профиль распределения давления в трубе, в которой распространяется ударная волна, по результатам измерений на датчике, расположенном в конце трубы. В этой нейросетевой модели мы применяем персептрон с одним скрытым слоем с функцией активации в виде гиперболический тангенс. Известно, что такая нейронная сеть является универсальным аппроксиматором, т.е. позволяет сколь угодно точно приблизить функцию из достаточно широкого класса  (в частности, к такому классу принадлежит и искомое решение задачи). Мы опробовали и другие архитектуры нейронных сетей, в частности, сеть с радиальными базисными функциями (RBF), но для данной задачи они оказались менее подходящими. Ранее мы применяли такой подход к задачам с известным аналитическим решением с целью проверки результатов применения метода. Наш метод показал себя достаточно точным и устойчивым к ошибкам в исходных данных. Особенностью данной работы является применение метода к задаче с реальными измерениями. Полученные результаты позволяют рекомендовать предложенный метод для решения и других подобных задач.