Particle finite element methods for modelling granular material flows
Authors:   , Dávalos Chargoy César Emilio 
Published: October 2023

The aim of this work is to present a new procedure for modelling industrial processes that involve granular material flows, using a numerical model based on the Particle Finite Element Method (PFEM). The numerical results herein presented show the potential of this methodology when applied to different branches of industry. Due to the phenomenological richness exhibited by granular materials, the present work will exclusively focus on the modelling of cohesionless dense granular flows.
The numerical model is based on a continuum approach in the framework of large-deformation plasticity theory. For the constitutive model, the yield function is defined in the stress space by a Drucker-Prager yield surface characterized by two constitutive parameters, the cohesion and the internal friction coefficient, and equipped with a non-associative deviatoric flow rule. This plastic flow condition is considered nearly incompressible, so the proposal is integrated in a mixed formulation with a stabilization of the pressure term via the Polynomial Pressure Projection (PPP). In order to characterize the non-linear dependency on the shear rate when flowing a visco-plastic regularization is proposed.
The numerical integration is developed within the Impl-Ex technique, which increases the robustness and reduces the iteration number, compared with a typical implicit integration scheme. The spatial discretization is addressed within the framework of the PFEM which allows treating the large deformations and motions associated to granular flows with minimal distortion of the involved finite element meshes. Since the Delaunay triangulation and the reconnection process minimize such distortion but does not ensure its elimination, a dynamic particle discretization of the domain is proposed, regularizing, in this manner, the smoothness and particle density of the mesh. Likewise, it is proposed a method that ensures conservation of material or Lagrangian surfaces by means of a boundary constraint, avoiding in this way, the geometric definition of the boundary through the classic a-shape method.
For modelling the interaction between the confinement boundaries and granular material, it is advocated for a method, based on the Contact Domain Method (CDM) that allows coupling of both domains in terms of an intermediate region connecting the potential contact surfaces by a domain of the same dimension than the contacting bodies. The constitutive model for the contact domain is posed similarly to that for the granular material, defining a correct representation of the wall friction angle.
In order to validate the numerical model, a comparison between experimental results of the spreading of a granular mass on a horizontal plane tests, and finite element predictions, is carried out. These sets of examples allow us validating the model according to the prediction of the different kinematics conditions of granular materials while spreading ¿ from a stagnant condition, while the material is at rest, to a transition to a granular flow, and back to a deposit profile.
The potential of the numerical method for the solution and optimization of industrial granular flows problems is achieved by focusing on two specific industrial applications in mining industry and pellet manufacturing: the silo discharge and the calculation of the power draw in tumbling mills. Both examples are representative when dealing with granular flows due to the presence of variations on the granular material mechanical response.

El objetivo principal de este trabajo es presentar una nueva metodología para la simulación de procesos industriales que involucren flujos de materiales granulares, mediante un modelo numérico basado en el Método de Elementos Finitos de Partículas (PFEM, por sus siglas en inglés). Los resultados numéricos que se presentan en este documento, muestran el potencial de aplicar esta metodología a diferentes ramas de la industria. Debido a la riqueza fenomenológica exhibida por los materiales granulares, el presente trabajo se centrará exclusivamente en la simulación de flujos granulares densos sin cohesión.
El modelo numérico se basa en un enfoque del medio continuo, en el marco teórico de plasticidad en grandes deformaciones. Para el modelo constitutivo, la función de fluencia se define en el espacio de tensiones mediante una superficie de fluencia del tipo Drucker-Prager caracterizada por dos parámetros constitutivos, la cohesión y el coeficiente de fricción interna, y equipado con una regla de flujo desviadora no asociada. Esta condición de flujo plástico se considera incompresible, por lo que se propone su integración mediante una formulación mixta del tipo u- p y estabilizando la expresión de la presión a través de una proyección polinomial (Polynomial Pressure Projection, PPP). A su vez, se propone una regularización visco-plástica con el fin de caracterizar la no linealidad de la velocidad de cizallamiento del material cuando fluye.
La integración numérica se desarrolla en el marco de la técnica Impl-Ex, aumentando la robustez y reduciendo el número de iteraciones, en comparación con un esquema típico de integración implícito. La discretización espacial se aborda en el marco del PFEM, permitiendo el manejo de grandes deformaciones y del movimiento asociado a los flujos granulares con una distorsión mínima de las mallas de elementos finitos. La triangulación de Delaunay y el proceso de reconexión minimizan tales distorsiones pero no aseguran su eliminación; por esto, se propone una discretización en partículas del dominio dinámica y constante, regularizando de esta manera, la suavidad y la densidad de las partículas en la malla. Asimismo, se propone un método para asegura la conservación de las superficies materiales o Lagrangeanas por medio de una restricción de la frontera, evitando de esta manera, su definición geométrica a través del método clásico alpha-shape.
Para el modelado de la interacción entre el material granular y las superficies de su confinamiento, se apuesta por un método basado en el Contact Domain Method (CDM) que permite el acoplamiento de ambos dominios en términos de una región intermedia que conecta las superficies potenciales de contacto – siendo este dominio de la misma dimensión que los cuerpos en contacto. El modelo constitutivo a emplear para el dominio de contacto se plantea de manera similar al del material granular, definiendo una correcta representación del ángulo de pared.
Con el fin de validar el modelo numérico, se llevó a cabo una comparación entre los resultados experimentales de la difusión o desmoronamiento de una masa granular en un plano horizontal y las predicciones obtenidas mediante la simulación por medio de elementos finitos. Este conjunto de ejemplos nos permite validar el modelo de acuerdo a la predicción de las diferentes condiciones de la cinemática de los materiales granulares: desde una condición de confinamiento, con el material en reposo, a una transición hacia el flujo granular y de nuevo, a un estancamiento del material hasta definir su depósito final.
El potencial del método numérico, para la solución y optimización de los problemas industriales que involucran flujos granulares, se logra enfocándose en dos aplicaciones industriales específicas en la industria minera y la fabricación de pellets: la descarga de un silo y el cálculo del consumo de energía en molinos rotacionales (tumbling mills). Ambos ejemplos son representativos en cuanto a los flujos granulares en la industria debido a la presencia de variaciones en la respuesta mecánica del material granular.