Numerical solution of incompressible flow equations over irregular geometry, with application to coastal hydrodynamics
Authors: Κοζυράκης Γεώργιος 
Published: September 2021

Οι σύγχρονες εφαρμογές υπολογιστικής ρευστοδυναμικής (CFD) επιβάλουν την χρήση γενικευμένων σύνθετων γεωμετρικών χωρίων για την ακριβή επίλυση των πεδίων ροής. Με την παρούσα εργασία προτείνεται μία νέα μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes για ασυμπίεστη ροή σε σύνθετα χωρία με χρήση γενικευμένου καμπυλόγραμμου συστήματος συντεταγμένων. Η χρήση εναλλασσόμενου πλέγματος (staggered grid) πραγματοποιείται τόσο στο φυσικό όσο και στο υπολογιστικό χωρίο. Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού καθώς και οι μετρικοί συντελεστές υπολογίζονται επί ενός υποπλέγματος του πραγματικού χωρίου. Οι μέθοδοι διακριτοποίησης που υλοποιούνται στην παρούσα εργασία περιλαμβάνουν χαμηλής (1ης, 2ης) και υψηλότερης τάξης (4ης) συμπαγή έμμεσα σχήματα πεπερασμένων διαφορών για τους όρους μεταφοράς και διάχυσης των εξισώσεων N-S καθώς και για την χρονική προέλαση αυτών. Η χρονική προέλαση τους πραγματοποιείται είτε με άμεση μέθοδο (Euler), είτε με την δεύτερης τάξης μέθοδο Πρόβλεψης - Διόρθωσης (2nd Order Predictor-Corrector), ή με την 4ης τάξης μέθοδο Runge-Kutta (RK4). Καθώς η μέθοδος υλοποιείται για την κάλυψη ποικιλόμορφων σύνθετων γεωμετρικών χωρίων, η αντιμετώπιση των συνοριακών συνθηκών είναι πολύ σημαντική, ιδιαίτερα σε γενικές καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, όπου το σχήμα και η πολυπλοκότητα των συνοριακών περιοχών (συνθήκες ολίσθησης / μη ολίσθησης, εισόδου, εξόδου, συμμετρίας, περιοδικότητας, ελεύθερης επιφάνειας, κλπ) αποκλίνουν σε μεγάλο βαθμό από τις αντίστοιχες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η συνθήκη ασυμπιεστότητας, κατάλληλα μετασχηματισμένη για καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, επιβάλλεται με την χρήση μίας επαναληπτικής μεθόδου τοπικής διόρθωσης της πίεσης, ή μίας καθολικής μεθόδου, μέσω της αριθμητικής επίλυσης ενός γενικευμένου ελλειπτικού προβλήματος συνοριακών τιμών (εξίσωση τύπου Poisson). Η επιβολή της συνθήκης ασυμπιεστότητας για κάθε χρονικό βήμα της αριθμητικής επίλυσης γίνετε με χρήση μεθόδου υψηλής τάξης ακρίβειας και είναι κοινά αποδεκτό ότι αποτελεί το πιο υπολογιστικά απαιτητικό τμήμα της συνολικής αριθμητικής μεθόδου. Για την επέκταση των υπολογιστικών δυνατοτήτων της παρούσας μεθοδολογίας, οι επιλυόμενες εξισώσεις μπορούν, με κατάλληλο μετασχηματισμό, να αποδώσουν τις εξισώσεις ρηχών υδάτων, που συμπεριλαμβάνουν την βαθυμετρία, δυνάμεις αδράνειας και τριβής. Συνδυαζόμενες με την εξίσωση Exner για την περιγραφή της μορφοδυναμικής εξέλιξης, δημιουργείται ένα ενιαίο σύστημα εξισώσεων που μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά με χρήση μιας υψηλής ακρίβειας μεθόδου χαλάρωσης. Στην εξίσωση Exner χρησιμοποιήθηκαν διάφορες μορφές για την ροή του φορτίου στερεομεταφοράς. Παρατίθεται μία σειρά μορφοδυναμικών αποτελεσμάτων ειδικά εστιασμένη στην μορφολογία των παράκτιων περιοχών. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τον προτεινόμενο αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων Navier-Stokes, παρουσιάζουν πολύ καλή συμφωνία με άλλους πειραματικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς για μια πλειάδα πεδίων ροής και διαμορφώσεις πλέγματος. Η συνολική αριθμητική μέθοδος αντιμετωπίζει αποτελεσματικά τα γενικευμένα πολύπλοκα χωρία, για τα διάφορα είδη των συνοριακών συνθηκών. Για να ελεγχθεί η εγκυρότητα των αποτελεσμάτων, που λαμβάνονται από τις εξισώσεις ρηχών υδάτων σε συνδυασμό με την εξίσωση Exner, γίνονται συγκρίσεις με χαρακτηριστικά παραδείγματα αναφοράς από τη βιβλιογραφία, καθώς και με εμπορικό λογισμικό, σε παράκτιες περιοχές της νήσου Κρήτης.