Ανάπτυξη μεθόδου πεπερασµένων στοιχείων για την επίλυση της συζευγµένης μη-γραµµικής συµπεριφοράς ευφυών συνθέτων πλακών και κελυφών µε πιεζοηλεκτρικά στοιχεία
Authors: Βαρέλης Δημήτριος 
Published: August 2021

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η διατύπωση µοντέλων µηχανικής και η ανάπτυξη µεθοδολογίας πεπερασµένων στοιχείων, για τηv αριθµητική επίλυση τoυ προβλήµατος της συζευγµένης µη-γραµµικής απόκρισης πιεζοηλεκτρικών κελυφών και πλακών µε εµφυτευµένα πιεζοηλεκτρικά στοιχεία. Η ανάπτυξη της παρούσας µεθόδου στηρίχθηκε σε θεωρίες µεσοµηχανικής για τη ανάλυση στρωµατοποιηµένων πιεζοηλεκτρικών κελυφών και κατά επέκταση πλακών και δοκών. Πιο συγκεκριµένα διατυπώνονται σε επίπεδο στρώσης, οι καταστατικές εξισώσεις του ηλεκτροµηχανικού πεδίου, οι εξισώσεις συµβιβαστού των παραµορφώσεων-µετατοπίσεων, που εµπεριέχουν την γεωµετρική µη γραµµικότητα, καθώς και οι γενικευµένες εξισώσεις κίνησης (εξισώσεις ισορροπίας των τάσεων στο µηχανικό και διατήρησης ηλεκτρικού φορτίου στο ηλεκτρικό πεδίο). Στη συνέχεια δύναται να γραφούν οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης σε ολοκληρωτική µορφή, µε την βοήθεια της αρχής των φανταστικών µετατοπίσεων, ώστε να ισχύουν για ολόκληρη την πιεζοηλεκτρική πολύστρωτη δοµή. Τα παραπάνω ολοκληρώµατα όγκου υποβιβάζονται σε ολοκληρώµατα επιφάνειας µε την εισαγωγή των κινηµατικών υποθέσεων για τις ελαστικές και ηλεκτρικές µεταβλητές κατάστασης. Για την επίλυση των παραπάνω συζευγµένων µη γραµµικών ολοκληρωτικών εξισώσεων αναπτύχθηκε µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων. ∆υο 8-κοµβα συζευγµένα µη γραµµικά ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία κελύφους και πλάκας αναπτύσσονται. Στο εσωτερικό των στοιχειών το παραµορφωσιακό πεδίο προσεγγίζεται µε πολυώνυµικές εξισώσεις δευτέρου βαθµού, που ονοµάζονται συναρτήσεις µορφής. Με την βοήθεια των συναρτήσεων µορφής προκύπτουν οι συζευγµένες µη γραµµικές εξισώσεις σε µητρωική µορφή, και λόγω του ότι εξαρτώνται από τη λύση δεν µπορούν να λυθούν απευθείας αλλά χρησιµοποιείται µια σταδιακή- επαναληπτική µέθοδος βασισµένη στη Newton-Raphson τεχνική. Αφού πραγµατοποιηθεί η σύνθεση των ολικών µητρώων, εφαρµοστούν οι µηχανικές και ηλεκτρικές συνοριακές συνθήκες τελικά επιλύονται οι προκύπτουσες γραµµικοποιηµένες συζευγµένες εξισώσεις σε κάθε επανάληψη εως ότου επιτευχθεί σύγκλιση της λύσης. Σε κάθε επανάληψη υπολογίζονται ταπραγµατικά και εφαπτοµενικά µη γραµµικά µητρώα καθώς επίσης και τα διανύσµατα ανισορροπίας µεταξύ των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάµεων και ηλεκτρικών φορτίων. Τα µη γραµµικά ελαστικά και πιεζοηλεκτρικά µητρώα, που εµπεριέχουν τη γεωµετρική µη γραµµικότητα, καθώς και τα γραµµικά επιλύονται αριθµητικά µε τη µέθοδο Gauss. Η παρούσα µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί για τη διερεύνηση και αριθµητική επίλυση µιας σειράς προβληµάτων ευφυών πιεζοηλεκτρικών κατασκευών, όπου η γεωµετρική µη γραµµικότητα (µεγάλες µετατοπίσεις και περιστροφές σε σχέση µε το πάχος, αλλά µικρές παραµορφώσεις) παίζει σηµαντικό ή πρωτεύοντα ρόλο, µε ιδιαίτερη έµφαση στα εξής προβλήµατα: Μοντελοποίηση ευφυών κατασκευών υπό µεγάλη κάµψη. Εφαρµογές σε κατασκευές, στις οποίες επιδιώκονται µεγάλες αλλαγές στο σχήµα τους µέσω µεγάλων ενεργών µετατοπίσεων και περιστροφών, υπό την επιβολή ηλεκτρικού πεδίου στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες (morphing structures) . Πρόβλεψη κρίσιµων επίπεδων µηχανικών δυνάµεων και ηλεκτρικών τάσεων λυγισµού, οι οποίες µπορεί να οδηγήσουν τις ευφυείς πλάκες και τα κελύφη σε συνθήκες λυγισµού και απώλειας ευστάθειας. Πρόβλεψη και προσοµοίωση του λυγισµού και µετα-λυγισµού σε panel αεροναυπηγικών κατασκευών, µέσω παρακολούθησης της µεταβολής των φυσικών συχνοτήτων της κατασκευής ή της αναπτυσσόµενης ηλεκτρικής τάσης στους πιεζοηλεκτρικούς αισθητήρες. Την ενεργή µεταβολή της δυσκαµψίας (αύξηση ή µείωση) ευφυών κατασκευών µε την επιβολή κατάλληλου ηλεκτρικού δυναµικού στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες. Πρόβλεψη της µετάβασης των πιεζοηλεκτρικών κελυφών από τη µια θέση ισορροπίας σε άλλη (snap-through), υπό την επιβολή µηχανικού φορτίου ή πιεζοηλεκτρικής καµπτικής ροπής µέσω των πιεζοηλεκτρικών διεγερτών.πραγµατικά και εφαπτοµενικά µη γραµµικά µητρώα καθώς επίσης και τα διανύσµατα ανισορροπίας µεταξύ των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάµεων και ηλεκτρικών φορτίων. Τα µη γραµµικά ελαστικά και πιεζοηλεκτρικά µητρώα, που εµπεριέχουν τη γεωµετρική µη γραµµικότητα, καθώς και τα γραµµικά επιλύονται αριθµητικά µε τη µέθοδο Gauss. Η παρούσα µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί για τη διερεύνηση και αριθµητική επίλυση µιας σειράς προβληµάτων ευφυών πιεζοηλεκτρικών κατασκευών, όπου η γεωµετρική µη γραµµικότητα (µεγάλες µετατοπίσεις και περιστροφές σε σχέση µε το πάχος, αλλά µικρές παραµορφώσεις) παίζει σηµαντικό ή πρωτεύοντα ρόλο, µε ιδιαίτερη έµφαση στα εξής προβλήµατα: Μοντελοποίηση ευφυών κατασκευών υπό µεγάλη κάµψη. Εφαρµογές σε κατασκευές, στις οποίες επιδιώκονται µεγάλες αλλαγές στο σχήµα τους µέσω µεγάλων ενεργών µετατοπίσεων και περιστροφών, υπό την επιβολή ηλεκτρικού πεδίου στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες (morphing structures) . Πρόβλεψη κρίσιµων επίπεδων µηχανικών δυνάµεων και ηλεκτρικών τάσεων λυγισµού, οι οποίες µπορεί να οδηγήσουν τις ευφυείς πλάκες και τα κελύφη σε συνθήκες λυγισµού και απώλειας ευστάθειας. Πρόβλεψη και προσοµοίωση του λυγισµού και µετα-λυγισµού σε panel αεροναυπηγικών κατασκευών, µέσω παρακολούθησης της µεταβολής των φυσικών συχνοτήτων της κατασκευής ή της αναπτυσσόµενης ηλεκτρικής τάσης στους πιεζοηλεκτρικούς αισθητήρες. Την ενεργή µεταβολή της δυσκαµψίας (αύξηση ή µείωση) ευφυών κατασκευών µε την επιβολή κατάλληλου ηλεκτρικού δυναµικού στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες. Πρόβλεψη της µετάβασης των πιεζοηλεκτρικών κελυφών από τη µια θέση ισορροπίας σε άλλη (snap-through), υπό την επιβολή µηχανικού φορτίου ή πιεζοηλεκτρικής καµπτικής ροπής µέσω των πιεζοηλεκτρικών διεγερτών.πραγµατικά και εφαπτοµενικά µη γραµµικά µητρώα καθώς επίσης και τα διανύσµατα ανισορροπίας µεταξύ των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάµεων και ηλεκτρικών φορτίων. Τα µη γραµµικά ελαστικά και πιεζοηλεκτρικά µητρώα, που εµπεριέχουν τη γεωµετρική µη γραµµικότητα, καθώς και τα γραµµικά επιλύονται αριθµητικά µε τη µέθοδο Gauss. Η παρούσα µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί για τη διερεύνηση και αριθµητική επίλυση µιας σειράς προβληµάτων ευφυών πιεζοηλεκτρικών κατασκευών, όπου η γεωµετρική µη γραµµικότητα (µεγάλες µετατοπίσεις και περιστροφές σε σχέση µε το πάχος, αλλά µικρές παραµορφώσεις) παίζει σηµαντικό ή πρωτεύοντα ρόλο, µε ιδιαίτερη έµφαση στα εξής προβλήµατα: Μοντελοποίηση ευφυών κατασκευών υπό µεγάλη κάµψη. Εφαρµογές σε κατασκευές, στις οποίες επιδιώκονται µεγάλες αλλαγές στο σχήµα τους µέσω µεγάλων ενεργών µετατοπίσεων και περιστροφών, υπό την επιβολή ηλεκτρικού πεδίου στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες (morphing structures) . Πρόβλεψη κρίσιµων επίπεδων µηχανικών δυνάµεων και ηλεκτρικών τάσεων λυγισµού, οι οποίες µπορεί να οδηγήσουν τις ευφυείς πλάκες και τα κελύφη σε συνθήκες λυγισµού και απώλειας ευστάθειας. Πρόβλεψη και προσοµοίωση του λυγισµού και µετα-λυγισµού σε panel αεροναυπηγικών κατασκευών, µέσω παρακολούθησης της µεταβολής των φυσικών συχνοτήτων της κατασκευής ή της αναπτυσσόµενης ηλεκτρικής τάσης στους πιεζοηλεκτρικούς αισθητήρες. Την ενεργή µεταβολή της δυσκαµψίας (αύξηση ή µείωση) ευφυών κατασκευών µε την επιβολή κατάλληλου ηλεκτρικού δυναµικού στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες. Πρόβλεψη της µετάβασης των πιεζοηλεκτρικών κελυφών από τη µια θέση ισορροπίας σε άλλη (snap-through), υπό την επιβολή µηχανικού φορτίου ή πιεζοηλεκτρικής καµπτικής ροπής µέσω των πιεζοηλεκτρικών διεγερτών.