From hypothesis testing of quantum channels to secret sharing
Authors:   , Salek Shishavan Farzin 
Published: October 2023

The present thesis has three major thrusts: the first thrust presents a broad investigation of asymptotic binary hypothesis testing, when each hypothesis represents asymptotically many independent instances of a quantum channel. Unlike the familiar setting of quantum states as hypotheses, there is a fundamental distinction between adaptive and non-adaptive strategies with respect to the channel uses, and we introduce a number of further variants of the discrimination tasks by imposing different restrictions on the test strategies. The following results are obtained: (1) The first separation between adaptive and non-adaptive symmetric hypothesis testing exponents for quantum channels, which we derive from a general lower bound on the error probability for non-adaptive strategies. (2) We prove that for classical-quantum channels, adaptive and non-adaptive strategies lead to the same error exponents both in the symmetric (Chernoff) and asymmetric (Hoeffding) settings. (3) We prove that, in some sense generalizing the previous statement, for general channels adaptive strategies restricted to classical feed-forward and product state channel inputs are not superior to non-adaptive product state strategies. (4) As application of our findings, we address the discrimination power of quantum channels and show that neither adaptive strategies nor input quantum memory can increase the discrimination power of an entanglement-breaking channel.
In the second thrust, we construct new protocols for the tasks of converting noisy multipartite quantum
correlations into noiseless classical and quantum ones using local operations and classical communications (LOCC). For the former, known as common randomness (CR) distillation, two new lower bounds are obtained. Our proof relies on a generalization of communication for omniscience (CO). Our contribution here is a novel simultaneous decoder for the compression of correlated classical sources by random binning with quantum side information at the decoder. For the latter, we derive two new lower bounds on the rate at which Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) states can be asymptotically distilled from any given pure state under LOCC. Our approach consists in “making coherent” the proposed CR distillation protocols and recycling of resources.
The final thrust studies communication over a single-serving two-receiver quantum broadcast channel with legitimate receiver and eavesdropper. We find inner and outer boundary regions for the tradeoff between common, individualized, confidential messages as well as the rate of the dummy randomness used for obfuscation. As applications, we find one-shot capacity bounds on the simultaneous transmission of classical and quantum information and re-derive a number of asymptotic results in the literature.

Esta tesis está estructurada en tres ejes: En la primera parte se presenta una investigación extensa de los test de hipótesis binarios asintóticos cuando cada hipótesis representa diferentes instancias independientes de un canal cuántico. A diferencia del caso habitual ya conocido en el que los estados cuánticos se modelan como hipótesis, en este trabajo se distingue entre estrategias adaptativas y no adaptativas con respecto al uso del canal, y se presentan una serie de variantes adicionales de las tareas de discriminación imponiendo diferentes restricciones a la estrategia de test. Se obtienen los siguientes resultados: (1) Se obtiene por primera vez una separación entre los exponentes de test de hipótesis simétricos adaptativos y no adaptativos, derivándose por primera vez una cota inferior de la probabilidad de error para estrategias no adaptativas. (2) Se demuestra que para canales cuánticos clásicos, las estrategias adaptativas y no adaptativas conducen a los mismos exponentes de error tanto en el caso simétrico (Chernoff) como en configuraciones asimétricas (Hoeffding); (3) Se demuestra, generalizando el resultado anterior, que en general estrategias adaptativas restringidas al feedforward clásico y entradas de tipo producto no son superiores a estrategias de tipo producto no adaptativas; (4) Como aplicación de los resultados anteriores se aborda la discriminación de potencia en canales cuánticos. Se demuestra que, ni estrategias adaptativas, ni la utilización de entradas con memoria, permiten mejorar la discriminación de potencia de canales del tipo entanglement-breaking. En la segunda parte de la tesis se construyen nuevos protocolos para convertir correlaciones cuánticas ruidosas en correlaciones clásicas, o bien en correlaciones cuánticas, ambas libres de ruido, mediante la utilización de operaciones locales y comunicaciones clásicas (LOCC). Para la primera tarea, conocida como destilación de aleatoriedad común (CR), se obtienen dos nuevos límites inferiores de la aleatoriedad común destilable. Este trabajo supone una generalización de la comunicación para la omnisciencia. En la segunda tarea, se obtienen dos nuevos límites inferiores de la tasa a la que los estados Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) pueden destilarse asintóticamente, desde cualquier estado puro, utilizando LOCC. El enfoque consiste en hacer coherente el protocolo de destilación CR propuesto, así como en la reutilización de recursos. La última parte de la tesis final estudia la comunicación mediante un solo uso del canal cuántico en presencia de un receptor legítimo y de un observador no autorizado. Se obtienen regiones interiores y exteriores asociadas al compromiso entre la tasa de transmisión común, confidencial, individualizada y de la fuente aleatoria.

Aquesta tesi està estructurada en tres eixos: A la primera part es presenta
una investigació extensa dels test d’hipòtesis binaris asimptòtics quan
cada hipòtesi representa diferents instàncies independents d’un canal quàntic.
A diferència del cas habitual ja conegut en el qual els estats quàntics
es modelen com a hipòtesi, en aquest treball es distingeix entre estratègies
adaptatives i no adaptatives pel que fa a l’ús del canal, i es presenten una
sèrie de variants addicionals de les tasques de discriminació imposant diferents
restriccions a la estratègies de test. S’obtenen els següents resultats:
(1) S’obté per primera vegada una separació entre els exponents de test d’-
hipòtesis simètrics adaptatius i no adaptatius, derivant per primera vegada
una fita inferior de la probabilitat d’error per estratègies no adaptatives. (2)
Es demostra que per a canals quàntics clàssics, les estratègies adaptatives
i no adaptatives condueixen als mateixos exponents d’error tant en el cas
simètric (Chernoff) com en configuracions asimètriques (Hoeffding); (3) Es
demostra, generalitzant el resultat anterior, que en general estratègies adaptatives restringides a feed-forward clàssic i entrades de tipus producte no són superiors a estratègies de tipus producte no adaptatives; (4) Com a aplicació dels resultats anteriors s’aborda la discriminació de potència en canals quàntics.
Es demostra que, ni estratègies adaptatives, ni la utilització d’entrades
amb memòria, permeten millorar la discriminació de potència de canals de
tipus entanglement-breaking.
A la segona part de la tesi es construeixen nous protocols per convertir
correlacions quàntiques sorolloses en correlacions clàssiques, o bé en correlacions quàntiques, ambdues lliures de soroll, mitjançant la utilització d’operacions locals i comunicacions clàssiques (LOCC). Per a la primera tasca,
coneguda com destil·lació d’aleatorietat comú (CR), s’obtenen dos nous
límits inferiors de l’aleatorietat comuna destil·lable. Aquest treball suposa
una generalització de la comunicació per a l’omnisciència. En la segona tasca,
s’obtenen dos nous límits inferiors de la taxa a la qual els estats Greenberger-
Horne-Zeilinger (GHZ) poden destil·lar asimptòticament, des de qualsevol estat
pur, utilitzant LOCC. L’enfocament consisteix a fer coherent el protocol
de destil·lació CR proposat així com en la reutilització de recursos.
L’última part de la tesi final estudia la comunicació mitjançant un sol
ús de canal quàntic en presència d’un receptor legítim i d’un observador no
autoritzat. S’obtenen regions interiors i exteriors associades a el compromís
entre la taxa de transmissió comú, confidencial, individualitzada i de la font
aleatòria.