Limit and deformation analysis for frame structures with mathematical programming
Authors: Μανωλά Μαρίνα-Μυρτώ 
Published: August 2021

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, η οριακή και παραμορφωσιακή ανάλυση διατυπώνεται στο πλαίσιο του μαθηματικού προγραμματισμού για επίπεδα και τρισδιάστατα πλαίσια. Η διατύπωση του προβλήματος εξαρτάται από τη συμπεριφορά της κατασκευής (τελείως πλαστική ή με κράτυνση/χαλάρωση (hardening/softening)) και επιπλέον απαιτήσεις, όπως περιορισμού πλαστιμότητας, επιμέρους σχεδιαστικοί περιορισμοί κτλ. Η κλασική οριακή ανάλυση των κατασκευών βασίζεται σε τελείως πλαστική συμπεριφορά, χωρίς περιορισμούς πλαστιμότητας. Για αυτήν την περίπτωση, η οριακή ανάλυση διατυπώνεται ως ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, το οποίο έχει ως στόχο τη μεγιστοποίηση του φορτικού συντελεστή με περιορισμούς ισορροπίας και διαρροής ή στη δυϊκή (dual) μορφή του, την ελαχιστοποίηση της ενέργειας με περιορισμούς συμβιβαστού παραμορφώσεων και κανονικοποίησης της ενέργειας. Η ίδια έκφραση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού δύναται να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση ισοτροπικής κράτυνσης, εστιάζοντας στον άξονα της φόρτισης και αγνοώντας τις παραμορφώσεις. Αν θεωρηθεί φθίνων κλάδος συμπεριφοράς – ερπυστικής χαλάρωσης (softening) ή/και περιορισμοί πλαστιμότητας, ανακύπτει η ανάγκη για οριακή και παραμορφωσιακή ανάλυση, περιλαμβάνοντας περιορισμούς που αποκλείουν για κάθε διατομή την ταυτόχρονη παρουσία πλαστικής παραμόρφωσης και περιθωρίων αντοχής (συνθήκη συμπληρωματικότητας). Αυτή η περίπτωση διατυπώνεται ως ένα πρόβλημα Μαθηματικού Προγραμματισμού με Περιορισμούς Ισορροπίας (Mathematical Programming with Equilibrium Constraints), οι οποίοι αναφέρονται στη συνθήκη συμπληρωματικότητας. Στόχος είναι η μεγιστοποίηση του φορτικού συντελεστή με περιορισμούς ισορροπίας, συμβιβαστού των ποαραμορφώσεων, διαρροής, συμπληρωματικότητας και άνω και κάτω ορίων για τις μετατοπίσεις και τις πλαστικές παραμορφώσεις. Το πρόβλημα αυτό μετατρέπεται σε ένα πρόβλημα μη-γραμμικού προγραμματισμού υιοθετώντας μια μέθοδο ποινής. Οι υφιστάμενες μέθοδοι βασίζονται στην εκ των προτέρων γραμμικοποίηση της συνθήκης διαρροής, συνδέοντας το μέγεθος του προβλήματος με τη διακριτοποίηση, ενώ πολυγραμμικοί νόμοι κράτυνσης/χαλάρωσης καθιστούν τα αντίστοιχα μητρώα πρακτικά μη διαχειρίσιμα κατά τη διαδικασία της βελτιστοποίησης. Η πρωτοτυπία της παρούσας εργασίας συνίσταται στον περιορισμό της πολυπλοκότητας του προβλήματος με χρήση φυσικών θεωρήσεων, οι οποίες επεμβαίνουν στην εσωτερική δομή του προβλήματος και καθιστούν το μέγεθός του ανεξάρτητο από οποιαδήποτε διακριτοποίηση. Σε αυτήν την κατεύθυνση, η συνθήκη διαρροής εκφράζεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους: i) με θεώρηση κυρτού πολύεδρου - περιγράμματος (convex hull), ii) με εντοπισμό του κρίσιμου κώνου (cone identification) και iii) εφαρμόζοντας εσωτερική τοπική γραμμικοποίηση. Παράλληλα, ενσωματώθηκαν αποτελεσματικά πολυγραμμικοί ή μη-γραμμικοί νόμοι ισοτροπικής κράτυνσης/ερπυστικής χαλάρωσης, ενώ παράλληλα το μέγεθος της συνθήκης συμπληρωματικότητας μειώθηκε στο ελάχιστο.Πιο συγκεκριμένα, για την πρώτη περίπτωση του κυρτού πολυέδρου (convex hull), το πολύεδρο διαρροής εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων, που αντιστοιχούν στις κορυφές του και οδηγεί στην τελική έκφραση του κριτηρίου διαρροής με ισοτικούς περιορισμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των περιορισμών είναι ανεξάρτητος από τη διακριτοποίηση της επιφάνειας διαρροής, αλλά ο αριθμός των μεταβλητών αυξάνεται εξαιτίας της εισαγωγής ενός συνόλου μη-αρνητικών παραμέτρων. Η προτεινόμενη θεώρηση συγκρίνεται με την υπάρχουσα, η οποία εκφράζει τη συνθήκη διαρροής ως τομή ημιχώρων. Οι δύο διατυπώσεις διαφέρουν ως προς τον αριθμό των μεταβλητών και των περιορισμών και διερευνήθηκε η αποτελεσματικότητά τους για αλληλεπίδραση αξονικής δύναμης-καμπτικής ροπής και αξονικής-τέμνουσας δύναμης-καμπτικής ροπής. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης επίπεδων, μεταλλικών πλαισίων, αποδεικνύουν τα υπολογιστικά πλεονεκτήματα της διατύπωσης του κριτηρίου διαρροής με χρήση κυρτού πολυέδρου για το στατικό θεώρημα και για τις δυο περιπτώσεις αλληλεπίδρασης.Η ιδέα του εντοπισμού του κρίσιμου κώνου (cone identification) βασίζεται στο γεγονός ότι σε κάθε επανάληψη του αλγόριθμου βελτιστοποίησης, η εντατική κατάσταση κάθε διατομής ανήκει σε έναν συγκεκριμένο κώνο στοχεύοντας ή ενεργοποιώντας ένα μόνον επίπεδο διαρροής. Για αυτόν τον λόγο, αναπτύχθηκε αλγόριθμος, ο οποίος εντοπίζει τον κρίσιμο κώνο του γραμμικοποιημένου διαγράμματος αλληλεπίδρασης, στον οποίο ανήκει κάθε διατομή. Κατόπιν, ο περιορισμός διαρροής μορφώνεται για κάθε διατομή μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα που αντιστοιχεί στον κώνο, σε αντίθεση με την υφιστάμενη μέθοδο, η οποία για κάθε διατομή διατυπώνει ισάριθμους περιορισμούς διαρροής με το πλήθος των ευθυγράμμων τμημάτων του κριτηρίου διαρροής. Κατά αυτόν τον τρόπο, το πλήθος των περιορισμών μειώνεται σημαντικά και το πρόβλημα γίνεται ανεξάρτητο από τη γραμμικοποίηση της επιφάνειας διαρροής. Προτάθηκαν δύο απλές μέθοδοι για τον εντοπισμό του κρίσιμου κώνου για δισδιάστατα και τρισδιάστατα κριτήρια διαρροής. Επίσης, ενσωματώθηκαν νόμοι πολυγραμμικής ή μη-γραμμικής κράτυνσης/ερπυστικής χαλάρωσης (hardening/softening), χωρίς να επηρεάζεται το μέγεθος του προβλήματος. Στην περίπτωση της πολυγραμμικής κράτυνσης, εντοπίζεται το ευθύγραμμο τμήμα κράτυνσης, το οποίο αντιστοιχεί σε κάθε διατομή, μορφώνονται τα μητρώα κράτυνσης μόνο για το τμήμα αυτό (και όχι για όλα τα δυνατά). Στην περίπτωση της μη-γραμμικής κράτυνσης, ο υπολογισμός του μεγεθυμένου/συρρικνωμένου ορίου διαρροής είναι άμεσος και προκύπτει από την τιμή του πλαστικού πολλαπλασιαστή. Κατ’επέκτασιν μειώνεται το πλήθος των συνθηκών συμπληρωματικότητας, οι οποίες λόγω του διακριτού χαρακτήρα τους είναι πηγή αριθμητικής αστάθειας του προβλήματος βελτιστοποίησης. Η προτεινόμενη μέθοδος εφαρμόστηκε για την ανάλυση επίπεδων μεταλλικών πλαισίων υπό την αλληλεπίδραση αξονικής-ροπής και αξονικής-τέμνουσας δύναμης-ροπής.Επεκτείνοντας την ιδέα εντοπισμού του κρίσιμου κώνου, εφαρμόστηκε τεχνική τοπικής γραμμικοποίησης του κριτηρίου διαρροής για κάθε διατομή, σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου βελτιστοποίησης. Σύμφωνα με την προτεινόμενη διαδικασία, τα επίπεδα διαρροής δεν είναι εκ των προτέρων καθορισμένα, αλλά προσδιορίζονται για κάθε διατομή, σε κάθε επανάληψη. Αυτή η διαδικασία παρέχει ακριβέστερες λύσεις, ενώ παράλληλα αποφεύγεται η εκ των προτέρων γραμμικοποίηση του κριτηρίου διαρροής. Επιπλέον, και για αυτήν τη θεώρηση, ενσωματώθηκαν νόμοι πολυγραμμικής ή μη-γραμμικής κράτυνσης/ερπυστικής χαλάρωσης (hardening/softening), χωρίς να επηρεάζεται το μέγεθος του προβλήματος.Η οριακή και παραμορφωσιακή ανάλυση με χρήση μαθηματικού προγραμματισμού εφαρμόστηκε και σε τρισδιάστατα μεταλλικά πλαίσια, υιοθετώντας τις προαναφερθείσες θεωρήσεις.