КЕЗДЕЙСОҚ КОМПОЗИТТЕРДІҢ КОМПЛЕКС МӘНДІ ӨТКІЗГІШТІГІНІҢ АСИМПТОТИКАЛЫҚ ФОРМУЛАСЫ ТУРАЛЫ
Authors: Mityushev V. 
Published: October 2023

The R - linear boundary value problem in a multiply connected domain on a flat torus is considered. This problem is closely related to the Riemann-Hilbert problem on analytical functions. The considered problem arises in the homogenization procedure of random media with complex constants, which express the permittivity of components. A new asymptotical formula for the effective permittivity tensor is derived. The formula contains location of inclusions in symbolic form. The application of the derived formula to investigation of the morphology of the tumor cells in disordered biological media is discussed. Glioma cells are modeled by elliptic inclusion and neuron cells by disks. In the considered two-phase medium, the dependencies of permittivity of glioma and neuron on the frequency and their different shapes can allow to investigate the impact of the tumor cells morphology on the effective permittivity tensor expressed through the complex gradient. Keywords: R - linear boundary value problem, Riemann-Hilbert problem, analytic function, permittivity tensor, flat torus, inclusion.

Жазық торда көпбайланысты аймақта R - сызықтық шекаралық есеп қарастырылады. Бұл есеп Риман- Гильберттің аналитикалық функциялар туралы есебімен тығыз байланысады. Қарастырылған есеп компоненттердің диэлектрикалық өткізгіштігін білдіретін комплекстік тұрақтылары бар кездейсоқ орталарды орташалау процедурасында туындайды. Тиімді диэлектрикалық өткізгіш тензоры үшін жаңа асимптотикалық формула құрылды. Формула символдық формадағы қосындылардың орналасуын қамтиды. Алынған формуланы реттелмеген биологиялық ортадағы ісік жасушаларының морфологиясын зерттеуге қолдануы қарастырылады. Глиома жасушалар эллиптикалық қосындылармен және нейрондық жасушалар дискілер арқылы модельденеді. Қарастырылып отырған екі фазалы ортада глиома мен нейронның өткізгіштігінің жиілікке және олардың әртүрлі пішініне тәуелділігі ісік жасушаларының морфологиясының, сонымен қатар комплекстік градиент арқылы өрнектеуге болатын тиімді өткізгіштік тензорына әсерін зерттеуге мүмкіндік береді. Түйін сөздер: R - сызықтық шекаралық есеп, Риман-Гильберт есебі, аналитикалық функция, өткізгіштік тензоры, жазық тор, қосу.

Рассматривается R - линейная краевая задача в многосвязной области на плоском торе. Эта задача тесно связана с задачей Римана-Гильберта об аналитических функциях. Рассматриваемая задача возникает в процедуре усреднения случайных сред с комплексными константами, выражающими диэлектрические проницаемости компонентов. Получена новая асимптотическая формула для тензора эффективной диэлектрической проницаемости. Формула содержит расположение включений в символической форме. Обсуждается применение полученной формулы для исследования морфологии опухолевых клеток в неупорядоченных биологических средах. Глиомные клетки моделируются эллиптическими включениями, а нейронные клетки – дисками. В рассматриваемой двухфазной среде зависимости диэлектрической проницаемости глиомы и нейрона от частоты и их разная форма могут позволить исследовать влияние морфологии опухолевых клеток на тензор эффективной диэлектрической проницаемости, который можно выразить через комплексный градиент. Ключевые слова: R - линейная краевая задача, задача Римана-Гильберта, аналитическая функция, тензор проницаемости, плоский тор, включение.