Simetrías en sistemas mecánicos discretos forzados y estructuras de Dirac
Authors:   , Caruso Matías Ignacio 
Published: July 2024

La Mecánica Discreta es una teoría inspirada en la Mecánica Clásica en la que el tiempo solo toma valores discretos. Principalmente desarrollada a partir de la formulación Lagrangiana, sus orígenes (en la versión que usaremos) se remontan a trabajos de la teoría de control óptimo tales como Jordan y Polak (1964), Hwang y Fan (1967) y Cadzow (1970); y a algunos ya en Mecánica incluyendo Cadzow (1973) y Logan (1973). En este contexto, las ecuaciones de movimiento que describen la dinámica del sistema resultan ser ecuaciones en diferencias (y no diferenciales como las de un sistema clásico), cuyas soluciones son más fáciles de hallar. Además, puede probarse que los flujos de los sistemas discretos en muchos casos preservan el mismo tipo de magnitudes que las de los sistemas continuos. Si un sistema discreto aproxima (en algún sentido) a un sistema continuo, las trayectorias del primero pueden usarse para aproximar a las del segundo, dando lugar a los llamados integradores variacionales, que tienden a presentar mejores propiedades cualitativas que los integradores genéricos mencionados anteriormente. Una referencia clásica en estos temas es Marsden y West (2001). En esta tesis estudiaremos propiedades y características de ciertos sistemas a tiempo discreto que, filosóficamente, aproximan a sistemas estudiados en la Mecánica Clásica. En particular, nos van a interesar los sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos forzados y algunas posibles generalizaciones. Los sistemas forzados son muy comunes al modelar sistemas físicos del mundo real, en particular, sistemas mecánicos. Estas fuerzas pueden originarse por fricción, disipación, etc. Como en el caso de los sistemas Lagrangianos, la necesidad de tener integradores eficientes ha llevado a estudiar sistemas mecánicos discretos forzados. Tal como sucede en el mundo continuo, es bien conocido que los sistemas Lagrangianos discretos (sin fuerzas) presentan magnitudes conservadas: por ejemplo, su flujo preserva una estructura simpléctica asociada al Lagrangiano discreto, y tenemos un Teorema de Noether discreto sobre la conservación de la aplicación momento discreta (ver la Sección 1.3 de Marsden y West (2001)). Tales resultados no se trasladan en principio a los sistemas forzados, aunque sí existe una versión forzada del Teorema de Noether discreto bajo ciertas condiciones sobre la fuerza (ver la Sección 3.2 de Marsden y West (2001)). Nos preguntamos, entonces, si bajo ciertas condiciones sobre la fuerza existirá alguna estructura simpléctica conservada por el flujo de un sistema Lagrangiano discreto forzado. En tal caso, dado que en el mundo continuo existe una relación entre la estructura simpléctica conservada y la estructura simpléctica canónica del fibrado cotangente al espacio de configuraciones, también nos preguntamos si sucede algo análogo en el mundo discreto. Hasta aquí hemos discutido ideas estrechamente relacionadas con sistemas Lagrangianos. Sin embargo, existe también otra formulación de la Mecánica Clásica: el formalismo Hamiltoniano. Si bien la manera más tradicional de presentar a los sistemas Hamiltonianos es en términos de estructuras simplécticas y campos vectoriales Hamiltonianos, existe una versión variacional, aunque mucho menos desarrollada. En el contexto discreto, los sistemas Hamiltonianos están todavía menos desarrollados (el caso sin fuerzas ha sido estudiado por ejemplo en Marsden y West (2001), Lall y West (2006), Leok y Zhang (2011) y Clavero (2014)), aunque no mucho ha sido dicho en presencia de fuerzas. Nos propusimos entonces dar una definición de sistema Hamiltoniano discreto forzado y estudiar sus propiedades, teniendo como guía los resultados conocidos del mundo continuo. En un plano totalmente distinto, nos interesa la construcción de un formalismo unificado en el contexto de los sistemas mecánicos discretos. Para ello, miramos primero lo que ocurre en el mundo continuo, donde se ha avanzado en esta dirección usando unos objetos llamados estructuras de Dirac. La noción de estructura de Dirac como una generalización tanto de estructuras presimplécticas como de Poisson data del trabajo de T. Courant y A. Weinstein alrededor de 1990 (Courant y Weinstein (1988) y Courant (1990)). El uso de estos objetos para construir sistemas mecánicos puede rastrearse hasta, por ejemplo, los sistemas Port-Hamiltonianos considerados en Dalsmo y van der Schaft (1998). Años más tarde, J. E. Marsden y H. Yoshimura continuaron estas ideas para ir hacia un marco unificado donde tratar tanto sistemas Lagrangianos como Hamiltonianos (Yoshimura y Marsden (2006a,b)). En estos trabajos, ellos introducen los llamados sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos implícitos, que permiten considerar Lagrangianos degenerados y vínculos no holónomos. En el contexto discreto, análogos de estos sistemas fueron presentados en Leok y Ohsawa (2011), donde los autores introducen el concepto de estructura de Dirac inducida discreta. Usando estos objetos, definen sistemas de Lagrange–Dirac discretos y sistemas Hamiltonianos no holónomos discretos, que les permiten recuperar los sistemas Lagrangianos discretos (tales como los considerados en Marsden y West (2001)) y los sistemas Hamiltonianos discretos (tales como son considerados en Lall y West (2006)). Estas estructuras, sin embargo, no son estructuras de Dirac en sí mismas, y es una pregunta natural si es posible obtener los mismos resultados usando estructuras de Dirac. Nos propusimos, entonces, dar una versión alternativa de sistema mecánico discreto en el contexto de Dirac, pero haciendo uso de estructuras de Dirac. Creemos que una ventaja de este enfoque sería poder hacer uso en el futuro de los resultados ya conocidos de la teoría de estructuras de Dirac para encarar, entre otras cosas, un proceso de reducción.