Modelo analítico tridimensional de deformabilidad de macizos rocosos
Authors:   , Esteban Rivera Noelia 
Published: June 2024

Rock mass deformability is a critical factor in the design of civil infrastructures where the natural ground is under high levels of stress. However, the estimation of the stress strain parameters of rock masses is a complex matter.

There are three approaches currently used to estimate rock mass deformation moduli: from field and laboratory tests, using empirical formulations and analytical models. Each of these methods has its own advantages and limitations and is suitable for their use in different stages of the design, or in combination with the others.

Many analytical models have been developed over time, but their use in practical applications is limited. This is due to the limitations of the simpler models, and the high complexity of the more advanced ones. Analytical models are a powerful tool for rock mass characterisation, so the aim of this PhD thesis is to develop a model that overcomes the limitations of the simpler formulations and is easy to use. The model allows a three-dimensional assessment of the rock mass, with up to three sets of discontinuities of any orientation, and incorporates all parameters related to the deformability behaviour. The formulation has been programmed in Matlab to facilitate its use.

The theoretical formulation was developed in two stages. First, a method was formulated for the assembly of the materials within the rock mass (rock matrix and joint sets), based on the equilibrium and compatibility equations in the interfaces between them. It combines the compliance matrices of these materials and provides the three-dimensional compliance matrix of the rock mass. The model was completed by adapting the constitutive equations of the materials involved. The rock matrix was considered as a linear elastic solid, while the joint sets were divided into two separate cases: fully filled discontinuities, and those with no filling. The joint fill was simulated as a linear elastic solid, whereas a non-linear elastic Hertz-Mindlin formulation was used for the roughnesses present in the unfilled discontinuities. The constitutive matrices of these materials were integrated into the assembly model to obtain the complete analytical formulation.

The results of the analytical model were evaluated against three different methods. The general performance of the model was tested by comparing its results with another analytical formulation in simple cases. General discontinuity geometries were analysed using a discrete element model. Finally, the deformation moduli were compared with those obtained from empirical equations widely used in rock mechanics. The assessment was completed with a study on scale effect.

It is concluded, from the results estimated by the model, that the deformability of the rock mass depends on many variables. The orientation of the discontinuities dictates the anisotropy behaviour, and the unit volume of joints within the rock mass is directly related to the reduction in stiffness from the maximum theoretical value, set by the deformation modulus of the intact rock. Secondary factors identified as influencing the deformability behaviour were the fill stiffness (in filled joints) and the opening-to-roughness ratio (in unfilled joints).

The analytical model provided in this thesis has been proven capable of simulating the deformability behaviour of rock masses, including their anisotropy and dependency on multiple parameters. It is an interesting tool for the characterisation of rock masses in the design of civil infrastructures.

RESUMEN

La deformabilidad de macizos rocosos es un factor fundamental en el diseño de grandes infraestructuras de obra civil en las que el terreno se encuentra sometido a altos niveles de tensiones. Sin embargo, la caracterización deformacional de los macizos es compleja.

Actualmente, existen tres vías para la estimación del módulo de deformabilidad en macizos rocosos: obtención de datos de ensayos (de laboratorio e in situ), uso de fórmulas empíricas y modelos analíticos. Cada uno de estos métodos tiene sus fortalezas y limitaciones, lo cual los hace aptos para su utilización en distintas etapas del diseño, y de forma conjunta.

Existe un vasto número de modelos analíticos, pero su uso en aplicaciones prácticas es muy limitado. Esto se debe a las hipótesis limitantes de las formulaciones sencillas, y a la gran complejidad conceptual y de uso de las más avanzadas. Los modelos analíticos son una herramienta interesante de caracterización, por lo que el objetivo de esta tesis es el desarrollo de una formulación que supere las limitaciones de los modelos sencillos, pero cuyo uso sea asequible. El modelo presentado permite un estudio tridimensional del macizo, con hasta tres familias de juntas de orientación cualquiera e integrando todos los parámetros de influencia para el cálculo de la deformabilidad. Ha sido programado en lenguaje Matlab para facilitar su utilización.

El desarrollo teórico del modelo se realizó en dos fases. En primer lugar, se ha formulado un método de ensamblado, basado en el cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad en los contactos entre juntas y roca intacta. Permite integrar las matrices de flexibilidad de los materiales que componen el macizo (roca matriz y las familias de discontinuidades) y calcular su matriz de comportamiento en tres dimensiones. Para completar el modelo, se adaptaron las formulaciones constitutivas de los materiales mencionados. Se han considerado la roca matriz, aproximada como un sólido lineal y elástico, y las familias de discontinuidades. Respecto a estas últimas, se han formulado dos casos: juntas completamente rellenas, y juntas sin relleno. En el primer caso, se ha modelizado el relleno como un sólido elástico y lineal. En juntas sin relleno, se ha empleado la formulación elástica y no lineal de Hertz-Mindlin para aproximar el comportamiento de las rugosidades de las paredes. Integrando las matrices de comportamiento obtenidas en el aparato de ensamblado, se obtiene el modelo analítico completo.

La validez de los resultados estimados por el modelo ha sido evaluada por tres vías. El comportamiento general se ha analizado por comparación con formulaciones analíticas en casos de geometría sencilla. Para casos con distribuciones de fracturación generales, se ha empleado un modelo numérico de diferencias finitas. Y, en último lugar, se han comparado los resultados con los obtenidos mediante las formulaciones empíricas más ampliamente utilizadas en mecánica de rocas. El análisis se ha completado con un estudio del efecto escala.

Los resultados obtenidos permiten concluir que el comportamiento deformacional del macizo es dependiente de múltiples variables. La orientación de las discontinuidades gobierna la anisotropía, mientras que el volumen relativo que ocupan las juntas está directamente relacionado con la reducción del rigidez del macizo respecto a su máximo teórico, expresado por el módulo de la roca intacta. Como factores de influencia de segundo orden, se han identificado la rigidez del relleno (en juntas rellenas) y el ratio apertura rugosidad (en juntas sin relleno).

Se ha demostrado que el modelo analítico presentado es capaz de modelizar el comportamiento deformacional del macizo rocoso, su anisotropía y su dependencia de múltiples parámetros. Por tanto, se trata de una herramienta interesante para la caracterización de macizos en aplicaciones de obra civil.