Παραμετρική βελτιστοποίηση
Authors: Πατρινός Παναγιώτης 
Published: January 2014

Ένα από τα πιο σημαντικά και θεμελιώδη προβλήματα στον αυτόματο έλεγχο είναι η ανάπτυξη συστηματικών εργαλείων υπολογισμού ρυθμιστών για συστήματα υπό περιορισμούς, που εξασφαλίζουν την ευστάθεια, την εφικτότητα και τη βέλτιστη λειτουργία συστημάτων κλειστού βρόγχου. Κεντρικό ρόλο στην εν λόγω ερευνητική περιοχή διαδραματίζει ο προβλεπτικός έλεγχος, η χρήση του οποίου όμως μέχρι πρότινος περιοριζόταν σε συστήματα με αρκετό μεγάλο χρόνο δειγματοληψίας, λόγω των υψηλών υπολογιστικών απαιτήσεών του σε πραγματικό χρόνο. Ωστόσο πρόσφατα, η εισαγωγή της παραμετρικής βελτιστοποίησης στο βέλτιστο έλεγχο συστημάτων υπό περιορισμούς επέτρεψε την αναλυτική επίλυση των προβλημάτων πριν την έναρξη λειτουργίας του συστήματος και την εξαγωγή του ρητού νόμου βέλτιστου και προβλεπτικού ελέγχου σε κλειστή μορφή. Ο ρητός νόμος ελέγχου είναι συνήθως μία τμηματικά αφφινική απεικόνιση και κατά τη λειτουργία του συστήματος, η υλοποίηση του απαιτεί μόνο τον εντοπισμό της περιοχής του χώρου κατάστασης στην οποία ανήκει η τρέχουσα κατάσταση. Το βασικό αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη νέων αλγόριθμων παραμετρικής βελτιστοποίησης με βελτιωμένα χαρακτηριστικά και η εφαρμογή τους στην αναλυτική επίλυση προβλημάτων βέλτιστου και προβλεπτικού ελέγχου στοχαστικών διακοπτικών και δικτυωμένων συστημάτων με περιορισμούς. Συγκεκριμένα, στην παρούσα διατριβή γίνεται χρήση εννοιών και εργαλείων της μεταβολικής ανάλυσης προκειμένου να αναπτυχθεί ένας νέος αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων κυρτής παραμετρικής τετραγωνικής βελτιστοποίησης. Τα προβλήματα αυτού του τύπου συναντώνται κυρίως στον προβλεπτικό έλεγχο γραμμικών συστημάτων με γραμμικούς περιορισμούς, και η νέα προσέγγιση που ακολουθείται στην παρούσα διατριβή έρχεται να καλύψει τα κενά των προϋπαρχόντων αλγόριθμων στη βιβλιογραφία. Συγκεκριμένα ο προτεινόμενος αλγόριθμος, εν αντιθέσει με τις περισσότερες μεθοδολογίες που έχουν προταθεί μέχρι σήμερα, καταφέρνει να απαριθμήσει και να προσδιορίσει αποτελεσματικά όλες τις κρίσιμες περιοχές του προβλήματος παραμετρικής βελτιστοποίησης. Στη συνέχεια, μελετάται το πρόβλημα της κυρτής παραμετρικής τμηματικά τετραγωνικής βελτιστοποίησης και για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία προτείνεται ένας συστηματικός αλγόριθμος επίλυσής του. Και εδώ, το βασικό εργαλείο είναι η γραφική παράγωγος της απεικόνισης των λύσεων. Ο εν λόγω αλγόριθμος, συζευγμένος με το δυναμικό προγραμματισμό επιτρέπει την αναλυτική επίλυση προβλημάτων βέλτιστου ελέγχου για διάφορες κλάσεις συστημάτων, για τα οποία δεν έχουν παρουσιαστεί μέχρι σήμερα λύσεις στη βιβλιογραφία. Συγκεκριμένα, στην παρούσα διατριβή εισάγονται τα Μαρκοβιανά διακοπτικά συστήματα με περιορισμούς, μία κλάση στοχαστικών υβριδικών συστημάτων, όπου η μεταγωγή μεταξύ των καταστάσεων λειτουργία ενορχηστρώνεται από μία Μαρκοβιανή αλυσίδα. Αναπτύσσονται οι κατάλληλες έννοιες αναλλοιότητας και ευστάθειας και διατυπώνονται ικανές συνθήκες τύπου Lyapunov για τα εν λόγω συστήματα. Μελετάται το πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου πεπερασμένου και άπειρου ορίζοντα, και διατυπώνονται ικανές συνθήκες που πρέπει να πληρούν το τερματικό κόστος και το τερματικό σύνολο, προκειμένου να εξασφαλιστεί μέση τετραγωνική ευστάθεια και εφικτότητα για το Μαρκοβιανό διακοπτικό σύστημα σε κλειστό βρόγχο με το νόμο προβλεπτικού ελέγχου. Στη συνέχεια, η διατριβή ασχολείται με τη ραγδαία αναπτυσσόμενη περιοχή των δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου. Συγκεκριμένα, προτείνεται για πρώτη φορά μία μεθοδολογία προβλεπτικού ελέγχου για γραμμικά δικτυωμένα συστήματα συνεχούς χρόνου που εξασφαλίζει την ικανοποίηση των περιορισμών στο συνεχή χρόνο. Υπό την υπόθεση ότι η υστέρηση διαβίβασης λαμβάνει τιμές σύμφωνα με μία Μαρκοβιανή αλυσίδα, το δικτυωμένο σύστημα ελέγχου αναδιαμορφώνεται ως ένα Μαρκοβιανό διακοπτικό σύστημα. Ωστόσο, επειδή η εφαρμογή του ρητού προβλεπτικού ελέγχου περιορίζεται σε συστήματα μεσαίας κλίμακας λόγω της εκθετικής αύξησης του αριθμού των κρίσιμων περιοχών με τη διάσταση του προβλήματος, στο τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής προτείνεται μία νέα μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων προβλεπτικού ελέγχου σε πραγματικό χρόνο. Η εν λόγω μεθοδολογία βασίζεται στην αναδιαμόρφωση του προβλήματος τετραγωνικής βελτιστοποίησης ως ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης μια λείας, κυρτής τμηματικά τετραγωνικής συνάρτησης άνευ περιορισμών. Για την επίλυση του αναδιαμορφωμένου προβλήματος, προτείνεται μία τμηματικά λεία μέθοδος Newton. O προτεινόμενος αλγόριθμος συγκρίνεται έναντι state-of-the-art αλγόριθμων που έχουν προταθεί πολύ πρόσφατα στη βιβλιογραφία σε μία σειρά από benchmark προβλήματα προβλεπτικού ελέγχου, επιδεικνύοντας σημαντικά μικρότερους χρόνους εκτέλεσης. Το αποτέλεσμα αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό αφού καθιστά τον προβλεπτικό έλεγχο εφαρμόσιμο σε συστήματα μεγάλης κλίμακας με μικρό χρόνο δειγματοληψίας.