Навчальні дослідження при вивченні методів обчислювальної математики
Authors: Білоусова Людмила Іванівна , Бєлявцева Тетяна Василівна , Колгатін Олександр Геннадійович , Колгатіна Лариса Сергіївна 
Published: March 2022

Постановка проблеми. У підготовці майбутніх фахівців в області математики курс чисельних методів відіграє значну роль, оскільки при його вивченні студенти опановують способи і засоби розв’язування тих математичних задач, що виникають на практиці і непідвласні строгим методам чистої математики.Курс чисельних методів можна розглядати як своєрідний “місток” між логічно вивіреними математичними теоріями і реальністю. Аналізуючи чисельні методи, легко помітити, що вони часто являють собою прямий наслідок з теорем чистої математики, їхню проекцію на практичні задачі. Серед них є методи настільки прості й очевидні, що їх можна вивести не з теоретичних посилок, а попросту спираючись на здоровий глузд чи геометричну інтерпретацію задачі. Однак, є і такі методи, що вражають уяву оригінальністю і своєрідністю ідеї, нестандартністю підходу до розв’язування задачі.Постановка курсу чисельних методів являє собою досить складну проблему. Це зумовлено низкою факторів, з яких наведемо основні.Теоретична частина курсу досить важка для сприйняття студентами, оскільки обґрунтування чисельного методу, з одного боку, вимагає широкого залучення апарату чистої математики з різних її областей; з іншого боку, математична основа чисельних методів ґрунтується на оцінках, що не завжди виглядають досить переконливими. Більш того, багато з них студент повинен прийняти на віру, тому що їхнє послідовне виведення виходить за межі навчального курсу і найчастіше навіть не наводиться в підручниках.Усе сказане вище ускладнюється ще і тією обставиною, що поряд з теоретично встановленими нормами застосування того чи іншого методу існують і практичні правила – “неписані закони”, що не мають строгого обґрунтування, але якими проте зручно і доцільно керуватися на практиці. Згідно з цими правилами встановлюється реальна сфера дії чисельного методу, що звичайно виходить за рамки тієї, котра визначена теорією; умови застосовності методу одержують конкретизацію з врахуванням реальних технічних можливостей, а для контролю обчислювального процесу й оцінювання досягнутої точності рішення задачі пропонуються досить прості прийоми і співвідношення.Використання практичних правил дозволяє додати процедурі застосування чисельного методу технологічність. Разом з тим, недоведеність практичних правил залишає деякий сумнів у їхній правомірності, усунути який дозволяє лише досвід багаторазового контрольованого застосування чисельного методу – той самий досвід, що і породив ці правила.Слід зазначити також, що світ чисельних методів надзвичайно різноманітний, кожен з них має свою специфіку, свою область ефективного застосування, тому основною задачею обчислювача є правильний вибір методу, найбільш придатного для розв’язування поставленої конкретної задачі, вміле сполучення різних методів на різних етапах її розв’язування, для чого вимагаються не тільки і не стільки теоретичні знання в галузі чисельних методів, скільки інтуїція, що здобувається в міру нагромадження знову ж такі особистого досвіду застосування цих методів.Таким чином, курс чисельних методів, у силу свого явно вираженого практичного характеру, з необхідністю має спиратися на лабораторний практикум, якість постановки якого значною мірою визначає результати навчання за курсом у цілому.Метою даної роботи є висвітлення цілей, способу і результатів реалізації навчально-дослідницького лабораторного практикуму з чисельних методів.У стандартній постановці лабораторний практикум з чисельних методів зводиться до виконання розрахунків, необхідних для розв’язування задачі за відомим алгоритмом. Використання засобів обчислювальної техніки дозволяє цю роботу полегшити або автоматизувати, однак, у будь-якому випадку, коли це використання здійснюється на рівнях, що не виходять за рамки виконання обчислень або програмування, діяльність студента зводиться до відтворення алгоритму методу і кропіткої роботи з числами, що фактично призводить до заміщення змістовної задачі рутинною роботою.У такому режимі за час, що відводиться на вивчення курсу, вдається лише випробувати окремі методи на прикладі розв’язування якої-небудь однієї задачі. У такому усіченому і, можна сказати, збитковому виді курс чисельних методів утрачає свою привабливість і внутрішню красу і, цілком природно, виявляється нудним і нецікавим для студентів.Наше глибоке переконання полягає в тому, що істотних змін у постановці курсу чисельних методів і, як наслідок, у математичній підготовці студентів, можна досягти лише перетворенням лабораторного практикуму на цикл навчальних досліджень. При цьому дуже істотними є дві обставини: навчальні дослідження не вкрапляються окремими епізодами в тканину практикуму, а складають сутність кожної лабораторної роботи; використання обчислювальної техніки здійснюється на рівні середовища підтримки професійної математичної діяльності.Перша обставина змушує переглянути весь курс, надавши лекціям характеру тематичних оглядів, а практикуму – систематичності, що є необхідною умовою для поетапного розвитку, поглиблення й ускладнення навчальних досліджень студентів з опорою на набутий досвід такої діяльності та дослідницькі уміння і навички, які формуються.Необхідно відзначити, що епізодичне використання навчальних досліджень у лабораторному практикумі за принципом "час від часу" недоцільно. Практика показала, що в такому випадку студенти не усвідомлюють суті запропонованих їм завдань, а недостатній рівень дослідницьких умінь привносить у їхню діяльність елементи хаотичності і безсистемності. В решті більш привабливою формою проведення практикуму для більшості студентів виявляється звична робота за інструкціями.Що стосується другої обставини, то орієнтація вузівського навчального процесу на використання сучасного професійного комп’ютерного інструментарію, а не на навчальні пакети, представляється найбільш доцільної. Така орієнтація, з одного боку, сприяє формуванню в студентів стійких навичок використання комп'ютера в професійних цілях, з іншого боку – визначає досить високий рівень постановки навчальних досліджень, відразу відтинаючи рутинну роботу.Професійні пакети підтримки математичної діяльності, що одержали широке поширення, не розраховані на застосування в навчанні. Вони забезпечують розв’язання широкого кола стандартних математичних задач, залишаючи схованими від користувача використані для розв’язання методи. Разом з тим, такі пакети оснащені досить потужними і зручними вбудованими засобами, що дозволяють розширити функції пакета, у тому числі і такі, котрі пристосовують його для використання з метою навчання.Для постановки навчально-дослідницьких робіт з курсу чисельних методів нами був узятий за основу пакет MathCAD, засобами якого був розроблений комплект динамічних опорних конспектів (ДОК’ів), що підтримують виконання таких робіт із усіх тем курсу. Таким чином, фактично студенту була надана віртуальна лабораторія для проведення обчислювальних експериментів.Вибір пакета MathCAD зумовлений тим, що він широко застосовується для розв’язування прикладних задач математики і разом з тим йому притаманні такі якості, що дозволяють використовувати його в навчанні: можливість створення динамічної екранної сторінки, вільне переміщення курсору по екрану, досить розвинена вбудована мова і т.д. Створення ДОК’а в середовищі MathCAD зводиться до розробки програми, що реалізує алгоритм відповідного чисельного методу, і інтерфейсу, зручного для введення даних задачі і відображення на екрані процесу і результатів роботи алгоритму. Математичні можливості пакета були використані для оцінювання якості отриманих результатів.Кожен ДОК орієнтований на роботу з одним з чисельних методів і надає можливість багаторазових випробувань цього методу на різних задачах з виведенням на екран результатів у числовій і графічній формі. Проводячи навчальне дослідження, студент здійснює серію таких випробувань і на підставі спостереження за обчислювальним процесом, шляхом аналізу його характеристичних показників робить висновки.Необхідно відзначити, що задачі, розв'язувані студентом у ході навчального дослідження, істотно відрізняються від тих, котрі складають суть традиційної лабораторної роботи. Так, наприклад, при дослідженні чисельних методів розв’язування рівнянь студенту пропонується встановити, який критерій варто обрати для оцінки близькості знайденого наближення до шуканого значення кореня рівняння – точність, з якою це наближення задовольняє рівняння, чи точність, з якою це наближення повторює попереднє. У кожному дослідженні студенту пропонується вирішити такі задачі: експериментально оцінити порядок і швидкість збіжності методу; виділити основні фактори, що впливають на ці характеристики; встановити область ефективного застосування методу.При дослідженні, наприклад, інтерполяційних формул, де, на перший погляд, усе ясно – чим більше вузлів інтерполяції, тим вище ступінь полінома, точніше наближення, – студент має переконатися в тому, що далеко не завжди це й справді так. Для досягнення потрібної точності іноді доцільно змінити тактику: замість нарощування вузлів використовувати дроблення проміжку інтерполяції. Студенту пропонується побудувати найкраще можливе наближення функції на відрізку по заданій на ньому обмеженій кількості її значень. Як варто розпорядитися цими даними? Який спосіб інтерполяції дасть найбільш надійний результат? Вивчаючи питання про точність відновлення значення функції в проміжній точці таблиці за інтерполяційними формулами, студент експериментально встановлює правило для вибору тих табличних значень, на які варто спиратися для мінімізації похибки і т.д.Для того, щоб діяльність студента була осмисленої, націленою і забезпечувала досягнення прогнозованого навчального ефекту, нами було розроблено методичну підтримку практикуму у виді планів-звітів з кожної лабораторної роботи.Плани-звіти виконані за єдиною схемою і складаються з двох частин – інформативної й інструктивної. В інформативній частині повідомляється тема роботи, її ціль, програмне забезпечення роботи, наводиться характеристика вхідних і вихідних числових і графічних даних.Інструктивна частина містить порядок виконання роботи, де позначені і зафіксовані її ключові моменти. Для орієнтації студента на виконання дослідження йому спочатку пропонується ланцюжок відповідним чином підібраних питань. Деякі з них адресовані до інтуїтивних уявлень студента про досліджуваний метод, інші – на те, щоб наштовхнути його на думку про можливу помилковість таких уявлень. У ході обмірковування запропонованих питань студент одержує можливість зорієнтуватися в проблемі, усвідомити її та вибудувати робочу гіпотезу дослідження.Уся наступна – основна – робота студента спрямована на перевірку, уточнення, конкретизацію гіпотези. Ця робота виконується за запропонованим планом, що визначає окремі етапи дослідження, задачі, що розв’язуються на кожному етапі, експериментальний матеріал, який потрібно отримати, форму його подання і т.д. У міру просування практикуму інструкції студенту все менш деталізуються, здобуваючи характер рекомендацій. Деякі експерименти він повинний продумати, поставити і здійснити самостійно.Для виконання кожної з лабораторних робіт підібрані індивідуальні варіанти комплектів задач, на яких пропонується випробувати метод для отримання експериментального матеріалу, що відповідає меті роботи. При бажанні студент може доповнити ці комплекти задачами за власним вибором.Завершальним етапом дослідження є підведення його підсумків. Це пропонується зробити у вигляді висновків, контури яких з більшим чи меншим ступенем виразності намічені в плані-звіті. Підказки допомагають студенту зафіксувати результати роботи, структурувати їх, дозволяють звернути увагу на ті моменти дослідження, що можуть залишитися непоміченими.Виконання запланованого дослідження дає студенту досить глибоке розуміння властивостей і специфіки застосування досліджуваного методу, і це повинно знайти відображення в "творі на вільну тему": придумати таку практичну задачу, для якої найбільш ефективним інструментом рішення є саме досліджуваний метод.Зазначимо, що плани-звіти надаються студентам як у друкованому виді, так і в електронній формі. Остання використовується паралельно з ДОК’ом під час проведення лабораторної роботи, що зручно для перенесення експериментальних даних з ДОК’а в заготовлені таблиці, для підготовки звітних матеріалів.Висновки. Досвід впровадження описаного практикуму в навчальний процес на фізико-математичному факультеті Харківського національного педагогічного університету дозволяє зробити наступні висновки. Курс чисельних методів набув більшої значимості у формуванні математичної культури студентів, було істотно розширено коло апробованих методів і коло розглянутих задач. Навчальні дослідження, при наявності відповідного програмного і методичного забезпечення, а також при певній наполегливості викладача виявилися цілком посильною і результативною формою навчальної роботи студентів.