Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων και προς τα πίσω ανάλυση σφάλματος
Authors: Στασινός Παναγιώτης 
Published: December 2022

Πολλά προβλήματα δεύτερης τάξης αρχικών τιμών εμφανίζονται στην τροχιακή μηχανική που έχουν ως κοινό χαρακτηριστικό το γεγονός ότι η πρώτη παράγωγος απουσιάζει. Από τους πιο αποτελεσματικούς τρόπους για την επίλυση αυτών των προβλημάτων συνίσταται στη χρήση μια αρχικής μεθόδου και στη συνέχεια στην αριθμητική ολοκλήρωση του προβλήματος. Αυτό επιτυγχάνεται συνήθως μέσω μια άμεσης μεθόδου ολοκλήρωσης πολλαπλών σταδίων. Μέθοδοι αυτού του τύπου είναι οι κλασσικοί τύποι Stromer – Cowell γραμμικών πολυβηματικών μεθόδων , οι οποίοι έχουν το μειονέκτημα ότι η αριθμητική λύση στρέφεται προς τα μέσα , όταν ο αριθμός των βημάτων της μεθόδου υπερβαίνει τα δύο. Οι Stiefel και Bettis αναφέρονται στο φαινόμενο αυτό ως τροχιακή αστάθεια . ́Οταν τα προβλήματα με περιοδική λύση, ολοκληρώνονται αριθμητικά, είναι επιθυμητό η αριθμητική λύση να είναι επίσης περιοδική, με παρόμοια περίοδο με την πραγματική. Μια κατάλληλη απαίτηση για αριθμητικές μεθόδους που ολοκληρώνουν περιοδικά προβλήματα είναι η ιδιότητα P-stability μια έννοια που δίνεται από τους Lambert και Watson .‘Ετσι μπορούμε να αποκτήσουμε πολυβηματικές γραμμικές μεθόδους με καλές ιδιότητες περιοδικό-τητας για την αριθμητική ολοκλήρωση περιοδικών προβλημάτων. Σε οποιοδήποτε πρόβλημα με περιοδική λύση , ακόμη και αν η συχνότητα του προβλήματος είναι αρχικά άγνωστη , έχουμε μεθόδους με σταθερούς συντελεστές. Οι μέθοδοι αυτής της κατηγορίας πρέπει να είναι P-stable , και αυτό ισχύει ιδιαίτερα στην περίπτωση προβλημάτων με εξαιρετικά ταλαντωτικές λύσεις. Μια σημαντική συμβολή για τις P-stable μεθόδους είναι η εργασία του Hairer στην οποία έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι P-stabe χαμηλότερης τάξης. ́Εχουν προταθεί διάφορες μέθοδοι για να ξεπεραστεί το μειονέκτημα της τροχιακής αστάθειας , όπως οι τροποποιημένες μέθοδοι Störmer – Cowell , οι οποίες όμως όλες αυτές οι μέθοδοι απαιτούν από πριν γνώση της συχνότητας. ́Ετσι θα συναντήσουμε προβλήματα αρχικών τιμών των οποίων η συχνότητά τους θα είναι γνωστή εκ των προτέρων καθώς και προβλήματα των οποίων δεν έχουμε καμία γνώση της συχνότητάς τους. Με προβλήματα για τα οποία δεν έχουμε γνώση της συχνότητάς τους ασχολήθηκαν οι Lambert και Watson οι οποίοι όρισαν τις συνθήκες κατά τιςοποίες μια γραμμική πολυβηματική μέθοδος έχει ένα μη- εξαφανιζόμενο διάστημα περιοδικότητας. Συγκεκριμένα οι Lambert και Watson παρουσίασαν ορισμένες γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους αυθαίρετου αριθμού βημάτων , οι οποίες έχουν την ιδιότητα της περιοδικότητας όταν ο αριθμός των βημάτων καθώς και η γωνιακή συχνότητα κινούνται εντός ενός ορισμένου διαστήματος , το διάστημα περιοδικότητας. Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η κατασκευή ταχύτερων και πιο αξιόπιστων αλγορίθμων για την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger καθώς και συναφή προβλημάτων. Το αποτέλεσμα της έρευνας που πραγματοποιήσαμε είναι η κατασκευή τέτοιων μεθόδων που αφορούν συνήθεις διαφορικές εξισώσεις με ταλαντωτικές ή περιοδικές λύσεις. Ο λόγος της αποτελεσματικότητάς τους, όπως αποδεικνύεται από την ανάλυση που κάναμε, είναι ότι στις νέες μεθόδους η φάση υστέρησης αλλά και οι παράγωγοι αυτών εξαλείφονται. ́Ενας επιπλέον λόγος είναι πως οι μέθοδοι που κατασκευάσαμε είναι υψηλότερης αλγεβρικής τάξης.