Unfolding piecewise-smooth dynamics in a single inductor multiple-output switching converter
Authors:   , Moreno Font Vanessa 
Published: October 2023

Els convertidors commutats de potència són solucions apropiades per subministrar energia a dispositius electrònics per la seva elevada eficiència i reduït cost. El seu ús extensiu en les últimes dècades ha motivat els investigadors a millorar els seus dissenys i aprofundir en la comprensió del seu comportament el qual, com la majoria de dispositius electrònics de potència, presenta dinàmiques no lineals. Recentment, han aparegut equipaments electrònics que disposen de múltiples càrregues com són els PDA, telèfons mòbils, MP3... Freqüentment, aquestes aplicacions necessiten múltiples alimentacions amb doble polaritat. Els convertidors amb inductor únic i múltiples sortides, Single-Inductor Multiple-Input Multiple-Output (SIMIMO), han esdevingut solucions per subministrar energia a dispositius de baixa potència, com pantalles LCD, i per carregar bateries ja que l'ús d'un sol inductor redueix significativament la mida del convertidor. <br/>La inherent naturalesa commutada d'aquests sistemes classifica la seva dinàmica dins el camp de sistemes d'estructura variable, Variable Structure Systems (VSS), els quals també es coneixen com a sistemes suaus a trams, Piecewise Smooth (PWS) systems. Atès que la teoria clàssica per a sistemes suaus no pot explicar completament el seu comportament, en els últims anys s'han dirigit molts esforços cap a la recerca de les propietats de la dinàmica no suau en diferent camps d'aplicació. <br/>Aquesta tesi aprofundeix en la caracterització de convertidors SIMIMO, que ens permetrà provar la seva viabilitat. Es proposen dues estratègies de control basades en el conegut control PWM (Pulse Width Modulation). En la primera alternativa, el control ens permet regular un convertidor amb dues entrades i dues sortides (Two-Input Two-Output , SITITO), amb polaritats oposades. En aquest cas, les dues senyals moduladores necessàries són generades sincronitzadament i per aquest motiu, en aquesta tesi ens referirem a aquesta estratègia de control PWM com a SPC (Single Phase Control) en contraposició amb la segona alternativa, la qual serà anomenada IC (Interleaved Control), capaç de regular un número generalitzat de sortides. Aquest control està basat en l'ús de diverses senyals moduladores, tantes com a sortides, les quals s'han desfasat progressivament. <br/>La dinàmica dels convertidors SIMIMO, al igual que els convertidors bàsics contínua - contínua, exhibeix una rica varietat de fenòmens, els quals engloben des de bifurcacions suaus, com són les bifurcacions de doblament de període (period doubling bifurcation), Saddle-Node o Hopf, fins a bifurcacions no suaus. Un cop verificada l'existència de dinàmica estable quan els paràmetres s'han seleccionatapropiadament, aquesta tesi aborda la recerca de models amb els quals analitzar la complexa dinàmica dels convertidors en un rang ampli de paràmetres. Es proposen i analitzen alguns models que s'utilitzen complementàriament: els anomenats averaged models, amb els quals es pot analitzar la dinàmica lenta, i els models discrets, capaços de detectar les inestabilitats degudes a la dinàmica ràpida. A més a més, alguns d'aquest models seran definits i analitzats. La seva utilitat s'ha provat no només en la predicció de la estabilitat, sinó també en la caracterització de bifurcacions no suaus presents en el circuit. Es demostra que senzills sistemes lineals a trams de dimensió ú proporcionen expressions analítiques per a les condicions d'estabilitat y existència de punts fixos. Per finalitzar, es desenvolupen mapes de dimensió més elevada per tal d'incrementar la precisió de les prediccions obtingudes mitjançat els averaged models i els models discrets. <br/>L'anàlisi discreta del convertidor SITITO governat per cadascuna d'aquestes estratègies ha revelat que la dinàmica por ser modelada per un sistema lineal a trams en un rang específic de paràmetres. Fins on sabem, la bibliografia proporcionada sobre mapes PWL inclou tant mapes continus com discontinus, encara que limitats a dos trams. Per tant, aquesta tesi contribueix en el camp de la dinàmica no suau amb el desenvolupament de les propietats d'un mapa de tres trams. <br/>Respecte al control IC, s'ha obtingut una anàlisi general de la seva estabilitat per a un convertidor SIMIMO amb un nombre genèric de càrregues. L'estudi de l'estabilitat del model discret de dimensió ú ha revelat l'existència d'un tipus de bifurcació no suau la qual ha estat classificada con una non-smooth pitchfork atesa l'aparició de nous punts fixos després de produir-se la bifurcació. Una anàlisi més detallada de models discrets de dimensions més elevades, associa aquesta bifurcació a una Neimark-Sacker. <br/>Finalment, aquesta tesi també inclou alguns resultats experimentals obtinguts amb un prototip d'un convertidor SITITO, per tal de validar els escenaris trobats en l'anàlisi del comportament dinàmic del convertidor regulat per les dues estratègies de control.

Switching power converters are known to be appropriate solutions to supply energy to electronic devices owing to their high efficiency and low cost. Their extensive use in the last decades has motivated researches to improve their designs and to go deeply into the comprehension of their behavior which, like most power electronic devices, exhibit nonlinear dynamics. More recently, electronic equipments containing multiple loads have been arisen such as PDA, mobile phones, MP3... These applications frequently require multiple supplies with different polarities. Single-Inductor Multiple-Input Multiple-Output (SIMIMO) switching dc-dc converters are becoming as solutions to supply low power devices as LCD displays and to charge batteries due to the significant reduction of size because the use of a single inductor. <br/>The inherent switching nature of these systems classifies their dynamics into the field of Variable Structure Systems (VSS), which are also known as Piecewise Smooth (PWS) systems. Due to the fact that their dynamics cannot be completely explained with the classical smooth theory, in the last years a lot of effort has been addressed towards the research on a theory of non-smooth dynamics motivated by different fields of application. <br/>This dissertation deals with the dynamical characterization of SIMIMO converters, which can help us to prove their viability. Two strategies of control, both of them based on the widely used Pulse Width Modulation (PWM) control, are discussed. In the first alternative, the control is used to regulate a Two-Input Two-Output (SITITO) converter with opposite polarity. The two required modulate signals are generated synchronizely. This strategy of PWM control is called in this work Single Phase Control (SPC) in contrast to a second strategy, which is noted here as Interleaved Control (IC), capable of driving a generalized single inductor multiple-input multiple-output converters. This control is based on the use of various modulating signals, equal to the number of outputs, which are progressively time delayed. <br/>The dynamics of the SIMIMO converters, just like of the basic dc-dc converters, presents a rich variety of nonlinear phenomena, which covers from smooth bifurcations, such as period doubling, Saddle-Node or Hopf bifurcations, to non-smooth bifurcations. After proving the existence of stable dynamics if appropriate parameters are selected, this dissertation will deal with the investigation of models to analyze the complex dynamics of the converter in a wide range of parameters. Several models are proposed and analyzed in this work. Averaged models, from which slow scale instability condition can be determined, and discrete-time models, able to prove fast scale instabilities, are used in a complementary way. Besides this, several approaches of these models will be established and validated. Their usefulness will be proved not only in the prediction of the stability, but also in the characterization of the non-smooth bifurcations presents in this converter. It will be shown that simple one-dimensional Piecewise-Linear (PWL) models provide analytical expressions for the stability and existence conditions of fixed points of the discrete-time models. Furthermore, higher dimensional maps are developed to improve the accuracy of the predictions obtained by means of one-dimensional maps and averaged models. <br/>The discrete-time analysis of a SITITO converter driven by each of the two strategies of control has revealed that its dynamics can be modeled by a PWL with three trams in a specific range of parameters. To our best knowledge, the literature on PWL maps includes continuous and discontinuous maps but is limited to two trams. Therefore, this dissertation is a contribution in the field of non-smooth dynamics in base to the unfolding of specific dynamics of three-piece maps. <br/>Concerning the IC control, a generalized analysis of the stability is obtained for a SIMIMO converter with a generic number of loads. The stability analysis of the one-dimensional model has revealed the existence of a type of non-smooth bifurcation, which has been classified in this dissertation as a non-smooth pitchfork owing to the appearance of two new fixed points after undergoing the bifurcation. Detailed analysis in higher dimensional maps associates this bifurcation to a Neimark-Sacker, whose existence cannot be predicted by averaged models. <br/>This dissertation also includes some experimental results obtained with a SITITO dc-dc converter prototype, to validate some of the scenarios found in the analysis.