Μη διαταρακτικές μέθοδοι και το θεώρημα μονοτονίας σε διδιάστατες θεωρίες πεδίου
Authors: Πανόπουλος Παντελής 
Published: November 2021

Στη διδακτορική του διατριβή με τίτλο «Μη διαταρακτικές μέθοδοι και το θεώρημα μονοτονίας σε διδιάστατες θεωρίες πεδίου» μελετώνται η εύρεση των C-συναρτήσεων και η χρήση μη διαταρακτικών μεθόδων στις ολοκληρώσιμες λ-παραμορφώσεις, για την εύρεση ανώμαλων διαστάσεων διαφόρων κλάσεων τελεστών.Ξεκινάμε με μία επαρκή παρουσίαση του θεωρητικού υποβάθρου για την κατανόηση των υπολογισμών. Συγκεκριμένα ως αφετηρία παρουσιάζουμε βασικά στοιχεία της σύμμορφης θεωρίας πεδίου και στη συνέχεια επικεντρωνόμαστε στις πληροφορίες που χρειαζόμαστε από τα σύμμορφα πρότυπα WZW. Ο λόγος είναι ότι οι λ-παραμορφώσεις αποτελούν παραμορφώσεις των προτύπων αυτών. Στη συνέχεια περιγράφουμε τα θεωρήματα μονοτονίας σε δύο, τρεις και τέσσερις διαστάσεις δίνοντας έμφαση στο θεώρημα Zamolodchikov όπου αποδεικνύεται ότι για κάθε διδιάστατη σύμμορφη θεωρία πεδίου υπάρχει μια συνάρτηση που καλείται C και μετράει τους ενεργούς, άμαζους βαθμούς ελευθερίας καθώς η θεωρία ρέει από τις υψηλές στις χαμηλές ενέργειες. Επίσης δίνουμε περιληπτικά και τις κατασκευές των λ-προτύπων που θα χρησιμοποιήσουμε, για πληρότητα.Στη συνέχεια, προχωρούμε στη χρήση μη διαταρακτικών μεθόδων για την εύρεση των ανώμαλων διαστάσεων αλυσιδών ολομορφικών, αντι-ολομορφικών και μεικτών ρευματικών τελεστών. Ακριβέστερα, χρησιμοποιούμε τη γεωμετρία του χώρου των σταθερών ζεύξης καθώς επίσης και την ενεργό δράση των λ-παραμορφωμένων θεωριών. Εισάγοντας στις λ-παραμορφωμένες δράσεις έναν επιπρόσθετο όρο με μία νέα ζεύξη και ζητώντας κοντά στο σύμμορφο σημείο να εξαφανίζονται φαινόμενα μίξης των τελεστών, υπολογίζουμε τις ανώμαλες διαστάσεις χωρίς να υπεισέλθουμε στη χρήση θεωρίας διαταραχών. Συγκεκριμένα ο υπολογισμός προκύπτει από ένα σύνολο βημάτων τα οποία περιγραφικά είναι τα εξής: Ξεκινούμε με τη δράση που περιέχει ένα πρότυπο WZW ένα πρότυπο PCM και έναν επιπρόσθετο βοηθητικό όρο. Στη συνέχεια ακολουθώντας τη διαδικασία βάθμισης, μέσω της εισαγωγής των πεδίων βαθμίδας και βρίσκοντας τις εξισώσεις κίνησής τους, καταλήγουμε σε μία δράση για την οποία υπολογίζουμε τη συνάρτηση β καθώς και τη μετρική Zamolodchikov. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις που συνδέουν τις ανώμαλες διαστάσεις με τη μετρική και τη συνάρτηση β, υπολογίζουμε τον πίνακα των ανώμαλων διαστάσεων των τελεστών που μελετούμε. Ο πίνακας είναι διαγώνιος και τα στοιχεία του είναι η ανώμαλη διάσταση του κάθε τελεστή από το ζεύγος τελεστών που εμφανίζονται στη δράση. Τέλος, τα αποτελέσματά μας ελέγχονται μέσω της θεωρίας διαταραχών. Για να επιτευχθεί αυτό, αναπτύσουμε τις ακριβείς εκφράσεις για μικρές τιμές της ζεύξης λ, ενώ ταυτόχρονα υπολογίζουμε και διαταρακτικά την ανώμαλη διάσταση του τελεστή. Οι τελικές εκφράσεις βρίσκονται σε πλήρη συμφωνία μεταξύ τους.Με τη χρήση του θεωρήματος Zamolodchikov, υπολογίζουμε τη συνάρτηση C για μία μεγάλη κλάση λ-παραμορφώσεων, χρησιμοποιώντας τεχνικές της σύμμορφης θεωρίας πεδίου. Οι C-συναρτήσεις ικανοποιούν φθινουσα μονοτονία και στα άκρα έχουν τις τιμές των κεντρικών φορτίων των σύμμορφων θεωριών μεταξύ των οποίων παρεμβάλλονται. Οι εκφράσεις που υπολογίζουμε είναι ακριβείς ως προς λ και ικανοποιούν όλες τις απαιτούμενες ιδιότητες και συμμετρίες των λ-παραμορφώσεων. Οι C-συναρτήσεις που υπολογίζουμε αφορούν τις απλές -παραμορφώσεις, τις παραμορφώσεις με διαφορετικά επίπεδα της άλγεβρας ρευμάτων, καθώς και τις λ παραμορφώσεις για χώρους πηλίκα. Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις, οι θεωρίες εμφανίζουν σύμμορφα σημεία στο IR και οπότε και περιγράφονται από σύμμορφες θεωρίες. Αντικαθιστώντας τις τιμές των σύμμορφων σημείων στη συνάρτηση C μπορεί κανείς να αναγνωρίσει τις παραπάνω σύμμορφες θεωρίες.