Nonlinear subgrid finite element models for low Mach number flows coupled with radiative heat transfer
Authors:   , Avila Matías 
Published: October 2023

The general description of a fluid flow involves the solution of the compressible Navier-Stokes equations, a very complex problem whose mathematical structure is not well understood. It is widely accepted that these equations provide an accurate description of any problem in fluid mechanics which may present many different nonlinear physical mechanisms. Depending on the physics of the problem under consideration, different simplified models neglecting some physical mechanisms can be derived from asymptotic analysis. On the other hand, radiative heat transfer can strongly interact with convection in high temperature flows, and neglecting its effects may have significant consequences in the overall predictions. Problems as fire scenarios emphasized the need for an evaluation of the effect of radiative heat transfer. This work is directed to strongly thermally coupled low Mach number flows with radiative heat transfer.
The complexity of these mathematical problem makes their numerical solution very difficult. Despite the important difference in the treatment of the incompressibility, the low Mach number equations present the same mathematical structure as the incompressible Navier-Stokes equations, in the sense that the mechanical pressure is determined from the mass conservation constraint. Consequently the same type of numerical instabilities can be found, namely, the problem of compatibility conditions between the velocity and pressure finite element spaces, and the instabilities due to convection dominated flows. These instabilities can be avoided by the use of stabilization techniques. Many stabilization techniques used nowadays are based on the variational multiscale method, in which a decomposition of the approximating space into a coarse scale resolvable part and a fine scale subgrid part is performed. The modeling of the subgrid scale and its influence leads to a modified coarse scale problem providing stability. The quality of the final approximation (accuracy, efficiency) depends on the particular model.
The extension of these techniques to nonlinear and coupled problems is presented. The distinctive features of our approach are to consider the subscales as transient and to keep the scale splitting in all the nonlinear terms appearing in the finite element equations and in the subgrid scale model. The first ingredient permits to obtain an improved time discretization scheme(higher accuracy, better stability). The second ingredient permits to prove global conservation properties, being also responsible of the higher accuracy of the method. This ingredient is intimately related to the problem of thermal turbulence modeling from a strictly numerical point of view. The capability for the simulation of turbulent flows is a measure of the ability of modeling the effect of the subgrid flow structures over the coarser ones. The performance of the model in predicting the behavior of turbulent flows is demonstrated.
The radiation transport equation has been also approximated within the variational multiscale framework, the design and analysis of stabilized finite element methods is presented.

La descripción general del movimiento de un flujo implica la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles, un problema de muy compleja estructura matemática. Estas ecuaciones proporcinan una descripción detallada de cualquier problema en mecánica de fluidos, que puede presentar distintos mecanismos no lineales que interactúan entre si. En función de la física del problema que se esté considerando, pueden derivarse modelos simplificados de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante analisis dimensional, que ignoran algunos fenómenos físicos. Por otro lado, la transferencia de calor por radiación puede interactuar con el movimiento de un fluido, e ignorar sus efectos puede tener consecuencias importantes en las predicciones del flujo. Problemas donde hay fuego implican la evaluacion del efecto del calor por radiación.
El presente trabajo está dirigido a flujos a bajo número de Mach térmicamente acoplados, donde el calor por radiación afecta al flujo. Debido a la complejidad del problema matemático, la solución numérica es muy complicada. A pesar de las diferencia en el tratamiento de la incompresibilidad, las ecuaciones de flujo a bajo número de Mach poseen una estructura matemática similar a la de flujo incompresible, en el sentido que la presión mecánica se determina a partir de la ecuación de conservación de la masa. En consecuencia poseen el mismo tipo de inestabilidades numéricas, que son el problema de condiciones de compatibilidad entre los espacios de elementos finitos de velocidad y presión, y las inestabilidades debidas a flujos con convección dominante. Estas inestabilidades pueden evitarse mediante técnicas de estabilización numérica. Muchos métodos de estabilización utilizados hoy día se basan en el método de multiscalas variacionales, donde el espacio funcional de la solucion se divide en un espacio discreto y resolubre y un espacio infinito de subscalas. El modelado de las subescalas y su influencia modifican el problema discreto proporcionando estabilidad. La calidad de la aproximación numérica final (precisión, eficiencia) depende del modelo particular de subescalas. En este trabajo se extienden estas técnicas de estabilización a problemas no lineales y acoplados. Las características que distinguen a nuestra aproximación son considerar las subsecalas como transitorias y mantener la división de escalas en todos los términos no lineales que aparecen en las ecuaciones de elementros finitos y en las del modelo de subescalas. La primera característica permite obtener mayor precisión y mejor estabilidad en la solución, la segunda característica permite obtener esquemas donde las propiedades se conservan globalmente, y mayor precisión del método. El hecho de mantener la división de escalas en todos los términos no lineales está intimamemte relacionado con el modelado de turbulencia en flujos térmicamente acoplados desde un punto de vista estrictamente numérico. La capacidad de simulación de flujo turbulento es una medida de la habilidad de modelar el efecto de las estructuras de escala fina sobre las estructuras de escala gruesa. Se muestra en esta tesis el desempeño del método para de predecir flujo turbulento. La ecuación de transporte de radiación también se aproxima numéricamente en el marco de multiscala variacional. El diseño y análisis de este método se presenta en detalle en esta tesis