On the Modulation of Molecular Wave Functions by the Potential
Authors: SEELIG FRIEDRICH FRANZ 
Published: September 2017

Spinless wave functions are written as the product of a modulation function that generates cusps at all loci where one electron is at one nucleus or where two electrons collide and that is independent of the electronic state, and a fundamental function that is specific for the state regarded and generates the nodes. The modulation function can be formulated in such a way that the cusps are rendered in the correct way. In this case the true potential that is singular (infinite) at these loci is transformed into a pseudopotential that is finite and continuous. The fundamental functions appear to be differentiable at these loci. The same formalism is applied to orbitals, and special modulation functions are defined for plane and linear molecules and atoms, the modulation factors now being common for all wave functions with the same symmetry. If the correct wave function of the ground state is found along these lines and taken as the modulation function itself, and if the true potential is equal for all different states, the space‐dependent pseudopotential is replaced by a constant, namely the energy of the ground state.

On écrit des fonctions d'onde sans spin comme le produit d'une fonction de modulation et d'une fonction fondamentale, qui est caractéristique pour l'état considéré et qui engendre les noeuds. La fonction de modulation crée des “cusps” où un électron coincide avec un noyau ou avec tin autre électron; elle est indépendante de l'état électronique. Dans ce cas‐ci on transforme le vrai potentiel, qui est singulier en ces points‐ci en un pseudopotentiel qui est fini et continu. Les fonctions fondamentales sont différentiables en ces points. Le même formalisme peut être appliqué à des orbitales. On définit des fonctions de modulation particulières pour des atomes et des molécules planes et linéaires avec les mêmes facteurs de modulation pour toutes les fonctions d'onde d'une même symétrie. Si on choisit comme fonction de modulation la fonction d'onde exacte de l'état fondamental, et si le vrai potentiel est le même pour les états différents, le pseudopotentiel devient une constante, c'est‐à‐dire l'énergie de l'état fondamental.

Spinlose Wellenfunktionen werden als ein Produkt von einer Modulationsfunktion und einer fundamentalen Funktion, die spezifisch für den elektronischen Zustand ist und die die Knoten erzeugt, beschrieben. Die Modulationsfunktion erzeugt “cusps”, wo ein Elektron mit einem Kern oder einem anderen Elektron zusammentrifft; sie ist vom elektronischen Zustand unabhängig. Auf diese Weise wird das wirkliche Potential, das singulär in diesen “Cusp”‐Punkten ist, in ein Pseudopotential, das endlich und stetig ist, transformiert. Die fundamentalen Funktionen sind in diesen Punkten differenzierbar. Dieselbe Methode wird auf Orbitale angewendet, und spezielle Modulationsfunktionen werden für Atome sowie ebene und lineare Moleküle definiert. Die Modulationsfaktoren sind dann gemeinsam für alle Wellenfunktionen mit derselben Symmetric. Wenn als Modulationsfunktion die exakte Wellenfunktion des Grundzustands angewendet wird, und wenn das wirkliche Potential für alle verschiedenen Zustände gleich ist, wird, das ortsabhängige Pseudopotential durch eine Konstante, nämlich die Energie des Grundzustands, ersetzt.