Study of the asymptotic behavior of the solutions of nonlinear difference equations and systems of difference equations
Authors: Μυλωνά Χρυσούλα 
Published: November 2021

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, μελετάται η ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων μη-γραμμικών εξισώσεων διαφορών και συστημάτων εξισώσεων διαφορών. Πιο συγκεκριμένα, μελετάται η ασυμπτωτική συμπεριφορά των μη-υπερβολικών μηδενικών σημείων ισορροπίας σε πρώτης τάξης 2x2 και 3x3 σχεδόν συμμετρικά και κυκλικά συστήματα εξισώσεων διαφορών με εκθετικούς όρους αντίστοιχα, και οι συνθήκες κάτω υπό τις οποίες εμφανίζονται διακλαδώσεις. Οι εξισώσεις διαφορών που μελετώνται περιγράφουν βιολογικά συστήματα και προέρχονται γενικότερα από τον χώρο της δυναμικής των πληθυσμών, ωστόσο μπορούν κατάλληλα να εφαρμοστούν σε μεγάλο εύρος διαφόρων επιστημονικών πεδίων.Η μελέτη διενεργείται με την εφαρμογή της θεωρίας των κεντρικών πολλαπλοτήτων και την ανάλυση των συστημάτων σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων. Η θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων εφαρμόζεται για τη μελέτη της ευστάθειας μη-υπερβολικών σημείων ισορροπίας. Κεντρική πολλαπλότητα είναι ένα σύνολο Mc σε χώρο χαμηλότερων διαστάσεων, όπου η δυναμική συμπεριφορά του αρχικού συστήματος συμπίπτει με τη δυναμική συμπεριφορά του ισοδύναμου συστήματος στο σύνολο Mc. Στην παρούσα διατριβή, μελετάται η δυναμική συμπεριφορά των μη υπερβολικών σημείων ισορροπίας 2x2 και 3x3 συστημάτων μη-γραμμικών εξισώσεων διαφορών διερευνώντας τη δυναμική τους συμπεριφορά σε μια μονοδιάστατη κεντρική πολλαπλότητα Mc.Διακλάδωση σε ένα δυναμικό σύστημα εμφανίζεται όταν μια μικρή μεταβολή στις τιμές των παραμέτρων προκαλεί μια έντονη ποιοτική αλλαγή στη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Η ανάλυση σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων βασίζεται στην τεχνική μετασχηματισμού των συνήθων εξισώσεων διαφορών σε συγκεκριμένους τύπους εξισώσεων διαφορών. Στην παρούσα διατριβή, χρησιμοποιώντας κατάλληλους μετασχηματισμούς συντεταγμένων, μετατρέπουμε το αρχικό σύστημα σε μια απεικόνιση η οποία παρουσιάζει ένα συγκεκριμένο είδος τοπικής διακλάδωσης. Εφαρμόζοντας την ανάλυση σε κανονικές μορφές διακλαδώσεων, διερευνώνται οι συνθήκες υπό τις οποίες εξελίσσονται οι τοπικές διακλαδώσεις στα υπό μελέτη συστήματα. Στο Κεφάλαιο 1, παρατίθεται η βασική θεωρία και ορολογία που χρησιμοποιείται στην παρούσα διατριβή. Στο Κεφάλαιο 2, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας των δύο ακόλουθων σχεδόν συμμετρικών συστημάτων εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=ax_n+by_n e^(-x_n )y_(n+1)=cy_n+dx_n e^(-y_n )καιx_(n+1)=ay_n+bx_n e^(-y_n )y_(n+1)=cx_n+dy_n e^(-x_n )όπου a, b, c, d είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Μελετάται η ευστάθεια των συγκεκριμένων συστημάτων στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και η δεύτερη ιδιοτιμή έχει απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας, εφαρμόζοντας τη θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων. Στο Κεφάλαιο 3, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας των δύο ακόλουθων σχεδόν κυκλικών συστημάτων εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 x_n+b_1 y_n e^(-x_n )y_(n+1)=a_2 y_n+b_2 z_n e^(-y_n )z_(n+1)=a_3 z_n+b_3 x_n e^(-z_n )καιx_(n+1)=a_1 y_n+b_1 x_n e^(-y_n )y_(n+1)=a_2 z_n+b_2 y_n e^(-z_n )z_(n+1)=a_3 x_n+b_3 z_n e^(-x_n )όπου a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3 είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 και z_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Η ευστάθεια αυτών των συστημάτων μελετάται στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και οι υπόλοιπες ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας, εφαρμόζοντας τη θεωρία κεντρικών πολλαπλοτήτων. Στο Κεφάλαιο 4, μελετάται η ευστάθεια του μηδενικού σημείου ισορροπίας και η εμφάνιση διακλάδωσης διπλασιασμού περιόδου στο ακόλουθο σύστημα εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 y_n/(b_1+y_n )+c_1 (x_n e^(k_1-d_1 x_n ))/(1+e^(k_1-d_1 x_n ) )y_(n+1)=a_2 z_n/(b_2+z_n )+c_2 (y_n e^(k_2-d_2 y_n ))/(1+e^(k_2-d_2 y_n ) )z_(n+1)=a_3 x_n/(b_3+x_n )+c_3 (z_n e^(k_3-d_3 z_n ))/(1+e^(k_3-d_3 z_n ) )όπου a_i, b_i, c_i, d_i, k_i, για i=1,2,3, είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 και z_0 είναι πραγματικοί αριθμοί. Μελετάται το παραπάνω σύστημα στην ειδική περίπτωση όπου η μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα συντελεστών του αντίστοιχου γραμμικοποιημένου συστήματος είναι ίση με -1 και οι υπόλοιπες ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5, μελετώνται οι συνθήκες υπό τις οποίες στο ακόλουθο σχεδόν συμμετρικό σύστημα εξισώσεων διαφορώνx_(n+1)=a_1 y_n/(b_1+y_n )+c_1 (x_n e^(k_1-d_1 x_n ))/(1+e^(k_1-d_1 x_n ) )y_(n+1)=a_2 x_n/(b_2+x_n )+c_2 (y_n e^(k_2-d_2 y_n ))/(1+e^(k_2-d_2 y_n ) )όπου a_i, b_i, c_i, d_i, k_i, για i=1,2, είναι πραγματικές παράμετροι και οι αρχικές τιμές x_0, y_0 είναι πραγματικοί αριθμοί, εμφανίζεται Neimark-Shacker διακλάδωση, διακλάδωση διπλασιασμού περιόδου και μετακρίσιμη διακλάδωση.