Κλασσική και κβαντική θεώρησις χωρικώς ομογενών χωροχρόνων διαστάσεως D=3,4,5
Authors: Παΐλας Θεόδωρος 
Published: September 2021

Τα πρότυπα Bianchi μελετήθηκαν αρχικά στο πλαίσιο της κοσμολογίας. Πρόκειται για την απλούστερη γενίκευση του προτύπου FLRW, καθώς διατηρείται η ομογένεια των τρισδιάστατων, χωρικών υπερ-επιφανειών αλλά δεν υπάρχει πλέον η χωρική ισοτροπία. Πιο συγκεκριμένα, αντί να υπάρχει ένας μοναδικός παράγοντας κλίμακας όπως στη περίπτωση των FLRW, έχουμε πολλούς, σε κάποιες περιπτώσεις έως και εννέα. Ωστόσο, όπως θα δούμε παρακάτω, ο αριθμός αυτός δεν είναι πραγματικός, καθώς με διάφορα μαθηματικά επιχειρήματα μπορεί να μειωθεί σημαντικά. Η αναζήτηση λύσεων και επιπλέον η μοναδικότητα αυτών, για το εκάστοτε πρότυπο Bianchi, δεν είναι καθόλου τετριμμένη υπόθεση καθώς, το σύστημα των εξισώσεων Einstein είναι ένα μη-γραμμικό, πεπλεγμένο σύνολο από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Οι πρώτες προσπάθειες που έγιναν από την επιστημονική κοινότητα στην αναζήτηση λύσεων, βασίστηκαν σε διαισθητικές απλοποιήσεις της χωρικής μετρικής, οδηγώντας έτσι σε απλουστεύσεις του συστήματος των εξισώσεων και τελικά στην επίλυση αυτού. Ωστόσο, χωρίς να είναι καλά καθορισμένη η γενικότητα αυτών των λύσεων. Οι προσπάθειες έγιναν μεθοδικές και μαθηματικά πιο πλήρεις από τη στιγμή που άρχισε να χρησιμοποιείται η έννοια της συμμετρίας: Συμμετρίες του ίδιου του χωρόχρονου και συμμετρίες των διαφορικών εξισώσεων Einstein. Όπως θα δούμε παρακάτω, η θεωρία του Lie σχετικά με την ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων με χρήση των συμμετριών τους, οδηγεί στην εύρεση όλου του χώρου λύσεων για κάποια από τα πρότυπα, απαντώντας τελικά και στο ερώτημα της μοναδικότητας. Καθοριστικό ρόλο κατέχει η ομάδα των Αυτομορφισμών η οποία υποδεικνύει τους γεννήτορες των συμμετριών Lie. Ένας από τους σκοπούς αυτής της εργασίας είναι να αναδείξουμε την σημαντικότητα των προτύπων Bianchi τόσο στην σύχρονη κοσμολογία (μελέτη τετραδιάστατων και πενταδιάστατων προτύπων) καθώς και την εμφάνιση τους σε άλλου είδους χωροχρόνους όπως οι pp-wave. Παράλληλα, επιθυμούμε να καταστεί προφανής και η αναγκαιότητα χρήσης της μεθόδου Lie ώστε να επιτευχθεί η μαθηματική πληρότητα στην ολοκλήρωση του συστήματος των εξισώσεων. Συγκεκριμένα, η εργασία αποτελείται από τρία μέρη: Μέρος Ι: Θεωρία, Μέρος ΙΙ: Εφαρμογές, Μέρος ΙΙΙ: Εφαρμογές σε εξέλιξη. Σχετικά με το πρώτο μέρος, παρουσιάζουμε όλη τη βασική θεωρία που θα χρησιμοποιήσουμε στα υπόλοιπα δύο μέρη. Αυτή αποτελείται από τις εξής ενότητες: I) Σημειακές συμμετρίες διαφορικών εξισώσεων, II) (d+1) Ανάλυση, III) Ομογενείς υπερ-επιφάνειες (Κλάσεις “Bianchi”), IV) Συμμετρίες των εξισώσεων Einstein+Maxwell+Ρευστά σε ομογενείς χωροχρόνους. Όσον αφορά το δεύτερο μέρος παρουσιάζουμε τις εργασίες που δημοσιεύθηκαν στο πλαίσιο της διατριβής, συγκεκριμένα: 1) Ο χώρος λύσεων των εξισώσεων Einstein στο κενό, για το (4+1)-διάστατο πρότυπο Bianchi I (Type 4A1).The solution space of Einstein’s vacuum field equations for the case of five-dimensional Bianchi Type I (Type 4A1) July 26, 2018 Classical and Quantum Gravity 35(14), 145003. Αναζητήθηκε ο χώρος των λύσεων των εξισώσεων Einstein στο κενό για την περίπτωση του πενταδιάστατου προτύπου Bianchi Type I (Type 4A1). Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας την ομάδα των Aυτομορφισμών των αλγεβρών Lie, η οποία στην προκειμένη περίπτωση είναι η γενική γραμμική τετραδιάστατη ομάδα, βρέθηκαν 7 οικογένειες λύσεων, 21 διαφορετικές μετρικές εκ των οποίων μόνο οι 5 ήταν γνωστές. Η διαδικασία σαρώνει όλο το χώρο των λύσεων. Για μια από αυτές, αναζητήθηκε μια φυσική ερμηνεία στα πλαίσια της κοσμολογίας βράνης. Το βασικό αποτέλεσμα ήταν πως η ύλη στον τετραδιάστατο χωρόχρονο, αν αναπαρασταθεί με τον τανυστή ενέργειας ορμής ενός ιδανικού ρευστού, τότε ο τετραδιάστατος χωρόχρονος γίνεται FLRW και μπορεί να ερμηνευθεί ως η κίνηση της βράνης στον πενταδιάστατο χωρόχρονο. Ακόμη, εκφράστηκαν οι σταθερές οι οποίες εμφανίζονται μέσα στις λύσεις, σαν συνάρτηση αναλλοίωτων ποσοτήτων, το οποίο εγγυάται πως είναι ουσιώδεις. Επιπλέον, εξετάστηκαν σε μικρό βαθμό οι αλλαγές που θα προκύψουν αν κανείς λάβει υπόψη του και την ύπαρξη κοσμολογικής σταθεράς. 2) Κλασσική και κβαντική ανάλυση 3D ηλεκτρομαγνητικών pp-wave χωροχρόνων. Classical and quantum analysis of 3D electromagnetic pp-wave spacetime T Pailas, NDimakis, A Karagiorgos, Petros A Terzis, G O Papadopoulos and T Christodoulakis, 2019Class. Quantum Grav. 36 135010. Μελετήθηκε το σύστημα των εξισώσεων Einstein-Maxwell στις τρεις διαστάσεις υπό την υπόθεση pp-wave μετρικής. Βρέθηκε όλος ο χώρος λύσεων ο οποίος αποτελείται από δύο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία αποτελείται από τρεις κλάσεις, ενώ η δεύτερη περιγράφεται από μια εξίσωση Riccati η οποία περιέχει μια αυθαίρετη συνάρτηση. Αποδείχθηκε ότι για κάθε διαφορετική μορφή της συνάρτησης προκύπτει και διαφορετική γεωμετρία. Όσον αφορά τις τρεις πρώτες κλάσεις αναπαράχθηκε η λύση μέσω Χαμιλτονιανού φορμαλισμού παρότι η Einstein-Hilbert δράση είναι ταυτοτικά μηδέν λόγω της υποθέσεως pp-wave μετρικής. Η Χαμιλτονιανή περιέχει ένα μη πραγματικό βαθμό ελευθερίας n(t). Οι κλασσικές λύσεις μπορούν να αναπαραχθούν αντιμετωπίζοντας τον μη πραγματικό βαθμό ελευθερίας, είτε ως δυναμική (παραλλαγή της δράσης ως προς n(t)) ή μη δυναμική(αυθαίρετη συνάρτηση του t χωρίς παραλλαγή) μεταβλητή. Στη συνέχεια η κανονική κβάντωση έδωσε τις κυματοσυναρτήσεις του συστήματος. Οι λύσεις (κυματοσυναρτήσεις) προέκυψαν μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Schrödinger (n(t)=μη δυναμική μεταβλητή) και αντίστοιχα μέσω της Wheeler-DeWitt (n(t)=δυναμική μεταβλητή). Η ερμηνεία των κυματοσυναρτήσεων μέσω της ανάλυσης κατά Bohm οδήγησε σε δυο διαφορετικές ημικλασσικά διορθωμένες μετρικές, υποδεικνύοντας πως έχει αρθεί πλέον η κλασσική ισοδυναμία των δύο θεωρήσεων του n(t). 3) Δυναμικά ισοδύναμες εξισώσεις ΛCDM υπό την ύπαρξη γεωμετρίας Bianchi. Dynamically equivalent ΛCDM equations with underlying Bianchi Type geometry. T.Pailas, T. Christodoulakis, JCAP 07 (2019) 029Σε αυτή την εργασία μελετήθηκαν τα τετραδιάστατα πρότυπα Bianchi υπό την παρουσία ενός σύμμορφου διανυσματικού πεδίου Killing. Συγκεκριμένα, έχοντας χρησιμοποιηθεί η ομάδα των σταθερών αυτομορφισμών η μετρική μετασχηματίζεται στην πλέον ανάγωγη μορφή της. Λόγω του σύμμορφου διανυσματικού πεδίου Killing, υπάρχει ένας μοναδικός παράγοντας κλίμακας με αποτέλεσμα η ανισοτροπία των προτύπων να είναι «παγωμένη»(όχι χρονικώς εξελισόμενη). Υποθέτοντας την ύπαρξη ηλεκτρομαγνητικού πεδίου και φορτισμένης ύλης, μπορεί να «απορροφηθεί» αυτή η παραμένουσα ανισοτροπία, οδηγώντας έτσι τις εξισώσεις να είναι ισοδύναμες με εκείνες του κοσμολογικού προτύπου ΛCDM. Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται σε μαθηματικό επίπεδο, πως η ομογένεια και ισοτροπία της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου δεν οδηγεί μονοσήμαντα στην επιλογή FLRW μετρικής η οποία χρησιμοποιείται στο κοσμολογικό πρότυπο ΛCDM. 4) H απειροδιάστατη ομάδα συμμετρίας των εξισώσεων Friedmann Infinite dimensional symmetry groups of the Friedmann equations. T. Pailas, N. Dimakis, Andronikos Paliathanasis, Petros A. Terzis, T. Christodoulakis, Phys. Rev. D 102,063524 (2020). Θεωρήσαμε γεωμετρία FLRW υπό την παρουσία κοσμολογικής σταθεράς και ενός ιδανικού ρευστού με τυχαία αλλά δοθείσα καταστατική εξίσωση. Αναζητήσαμε τις συμμετρίες των εξισώσεων, θεωρώντας διάφορες παραλλαγές, για παράδειγμα, θεώρηση της πίεσης ως βαθμού ελευθερίας στη μια περίπτωση και ως συνάρτηση της πυκνότητας ενέργειας σε άλλη. Αποδείξαμε πως η ομάδα συμμετρίας είναι απειροδιάστατη. Με την χρήση των συμμετριών, βρήκαμε νέες λύσεις από ήδη γνωστές. Επιπλέον, δείξαμε με ποιόν τρόπο μέσω των συμμετριών, μπορούμε να παράξουμε τις καταστατικές εξισώσεις των διαφόρων κοσμολογικών εποχών, ξεκινώντας από την εποχή του πληθωρισμού. Τέλος, αναζητήσαμε την επίδραση των συμμετριών στο επίπεδο της βασικής θεωρίας. Συγκεκριμένα, θεωρήσαμε ένα βαθμωτό πεδίο και το αντίστοιχο ρευστό με το οποίο αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί. 5) “Χρονικά”-συναλλοίωτη εξίσωση Schrödinger και η κανονική κβάντωση της μελανής οπής Reissner-Nordström“Time”-Covariant Schrödinger Equation and the Canonical Quantization of the Reissner–Nordström Black Hole. Theodoros Pailas, Quantum Reports 2020, 2(3), 414-441. Στη συγκεκριμένη εργασία κατασκευάσαμε μια “χρονικά” συναλλοίωτη εξίσωση Schrödinger για την περίπτωση της μελανής οπής Reissner-Nordström. Ακολουθήσαμε μια διαφορετική μέθοδο από τις υπάρχουσες στη βιβλιογραφία. Η διαφορετικότητα εντοπίζεται στο σημείο αντιμετώπισης της συνδεσμικής εξίσωσης. Συγκεκριμένα, επιλύοντας αυτήν την εξίσωση ως προς τον βαθμό ελευθερίας Lapse, μπορέσαμε να κατασκευάσουμε μια λαγκρανζιανή η οποία είναι μη-ιδιάζουσα (regular) και “χρονικά” εξαρτημένη. Συνεπώς, δεν υπάρχει πλέον συνδεσμική εξίσωση και εμφανίζεται μια παράμετρος μέσα στην λαγκρανζιανή η οποία μπορεί να αντιμετωπιστεί ως παράμετρος “χρόνου”. Επιπλέον, εξακολουθεί να υπάρχει η ελευθερία επιλογής βαθμίδας, επομένως, οι διαφορετικές κβαντικές περιγραφές, για διαφορετικη επιλογή βαθμίδας, είναι εξ’ ορισμού ισοδύναμες. Αποδείξαμε την ισοδυναμία του παραπάνω συστήματος με εκείνο της εργασίας (2), στο επίπεδο των εξισώσεων. Παρουσιάσαμε ένα κριτήριο σχετικά με τα ιδιάζοντα (ανωμαλίες) σημεία: “λιγότερο” ιδιάζων χαρακτηρίζεται εκείνος ο χωρόχρονος του οποίου η ανωμαλία είναι πιο εντοπισμένη γύρω από το σημείο ενδιαφέροντος. Τέλος, εντοπίσαμε μια ασυμφωνία σχετικά με την ύπαρξη ανωμαλίας, μεταξύ της γεωμετρικής ερμηνείας στο πλαίσιο της ανάλυσης Bohm και την πρόταση DeWitt (μηδενική πυκνότητα πιθανότητας στο κλασσικό σημείο ανωμαλίας). Όσον αφορά το τρίτο μέρος της διατριβής, παρουσιάζουμε την έως τώρα ανάλυση που έχει γίνει, σχετικά με την δυνατότητα σύγκρισης των αποτελεσμάτων που παράχθηκαν στην εργασία (3), με παρατηρήσεις.