Advanced beam theories for the analysis of beam structures
Authors: Δίκαρος Ιωάννης 
Published: September 2021

Η παρούσα διδακτορική διατριβή αποτελεί συμβολή στην ανάπτυξη εξελιγμένων θεωριών δοκού για την ανάλυση ραβδωτών φορέων. Οι εξελιγμένες θεωρίες δοκού που αναπτύχθηκαν λαμβάνουν υπόψη φαινόμενα γενικευμένης στρέβλωσης (διατμητική υστέρηση λόγω κάμψης και στρέψης), διαστρέβλωσης (παραμόρφωση διατομής – distortion), ενώ πραγματοποιείται και γεωμετρικά μη γραμμική δυναμική ανάλυση δοκών σταθερής ή μεταβλητής διατομής, λαμβάνοντας υπόψη φαινόμενα ανώτερης τάξης όπως η περιστροφική και στρεβλωτική αδράνεια, η μη γραμμικότητα εξωτερικής φόρτισης, οι όροι Wagner και η βράχυνση λόγω στρέψης. Οι εν λόγω καινοτόμες θεωρίες συνδυάζουν την αυξημένη ακρίβεια με τα εγγενή πλεονεκτήματα των στοιχείων δοκού, οδηγώντας στην ανάπτυξη εξελιγμένων υπολογιστικών εργαλείων για την ανάλυση ραβδωτών φορέων.Η γενικευμένη στρέβλωση λαμβάνεται υπόψη, με την εισαγωγή ανεξάρτητων παραμέτρων, που εκφράζουν την «ένταση» της στρέβλωσης στο μήκος της δοκού. Οι παράμετροι αυτές πολλαπλασιάζουν αντίστοιχες συναρτήσεις στρέβλωσης, που προκύπτουν από ισάριθμα διδιάστατα προβλήματα συνοριακών τιμών στο χωρίο της διατομής. Στην παρούσα διατριβή αντιμετωπίζεται το πρόβλημα παραβίασης της συνοριακής συνθήκης μηδενισμού της διατμητικής τάσης στην παράπλευρη επιφάνεια της δοκού (ισορροπία σε επίπεδο υλικού σημείου) από τις τάσεις που προκύπτουν από το υιοθετούμενο πεδίο μετατοπίσεων. Προτείνεται διαδικασία «διόρθωσης» του τασικού πεδίου με χρήση της εξίσωσης διαμήκους τοπικής ισορροπίας. Μέσω της διόρθωσης αυτής βελτιώνεται η ακρίβεια των παραγόμενων αποτελεσμάτων χωρίς αύξηση των κινηματικών αγνώστων και διατηρείται κατά το μέγιστο δυνατό βαθμό η απλότητα της διατύπωσης.Όσον αφορά στη διαστρέβλωση (distortion), παράγεται κατάλληλη βάση συναρτήσεων διαστρέβλωσης/στρέβλωσης μέσω επαναληπτικού σχήματος ισορροπίας στο χωρίο της διατομής. Το σχήμα αυτό παράγεται χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις τοπικής ισορροπίας της θεωρίας ελαστικότητας. Η προσέγγιση αυτή παρουσιάζει πλεονεκτήματα έναντι των αντίστοιχων προσεγγίσεων της διεθνούς βιβλιογραφίας που βασίζονται στην Ανάλυση Ιδιομορφών (ανεξάρτητος προσδιορισμός αξονικών, καμπτικών, στρεπτικών μορφών διαστρέβλωσης/στρέβλωσης). Συνεπώς, διατυπώνεται θεωρία δοκού με το μικρότερο δυνατό αγνώστων παραμέτρων διαστρέβλωσης που αντιπροσωπεύουν εξίσου όλους τους μηχανισμούς αντίστασης.Στη συνέχεια οι ως άνω θεωρίες ενσωματώνονται στη μητρωική ανάλυση ραβδωτών φορέων. Παράγονται καινοτόμα τρισδιάστατα στοιχεία δοκού τυχούσας διατομής που περιλαμβάνουν διατμητικές παραμορφώσεις, γενικευμένη στρέβλωση (μητρώο στιβαρότητας 20×20) και διαστρέβλωση (μητρώο στιβαρότητας 32×32) μαζί με τα αντίστοιχα διανύσματα ισοδύναμης επικόμβιας φόρτισης. Τα εν λόγω στοιχεία δοκού ενσωματώνονται σε υπολογιστικό εργαλείο που βασίζεται στoν αλγόριθμο της Μεθόδου Άμεσης Στιβαρότητας (ΜΑΣ, Direct Stiffness Method – DSM) διαμορφώνοντας εξελιγμένο υπολογιστικό εργαλείο για την ανάλυση πλαισιωτών φορέων. Προκειμένου να αρθεί η αδυναμία μετασχηματισμού των επικόμβιων Βαθμών Ελευθερίας (ΒΕ) ανώτερης τάξης σε μέλη συνδεδεμένα υπό γωνία, αναπτύσσεται μεθοδολογία μετασχηματισμού που λαμβάνει υπόψη τις συνθήκες μετάδοσης διαστρέβλωσης/στρέβλωσης στους κόμβους του πλαισίου.Παρουσιάζεται επίσης γενική μεθοδολογία για τη γεωμετρικά μη γραμμική δυναμική ανάλυση δοκών σταθερής και μεταβλητής διατομής. Όσον αφορά στις πρισματικές δοκούς, εξετάζεται η πλέον γενική περίπτωση διατομής, ενώ όσον αφορά στην περίπτωση μεταβλητής διατομής, εξετάζεται η συνήθης περίπτωση της διπλά συμμετρικής διατομής με ομαλό νόμο μεταβολής. Η δοκός υπόκειται σε τυχούσα εξωτερική χρονικά μεταβαλλόμενη φόρτιση, συνοριακές και αρχικές συνθήκες και αναπτύσσει μετρίως μεγάλες μετατοπίσεις και στρεπτικές στροφές. Το μη γραμμικό φαινόμενο της αλλαγής μοχλοβραχίονα του εξωτερικού φορτίου, η επιρροή της περιστροφικής και στρεβλωτικής αδράνειας, των συντελεστών Wagner, καθώς και του φαινομένου βράχυνσης λόγω στρέψης λαμβάνονται υπόψη.Στην παρούσα διατριβή, τα προβλήματα συνοριακών και αρχικών τιμών επιλύονται αριθμητικά χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων (ΜΣΣ, Boundary Element Method – BEM) και τη Μέθοδο Αναλογικής Εξίσωσης (ΜΑΕ, Analog Equation Method – AEM), η οποία αποτελεί εξέλιξη της BEM. Η AEM αντιμετωπίζει τις εγγενείς αδυναμίες της BEM και προσφέρεται για την επίλυση μεγάλου εύρους προβλημάτων μηχανικής που ορίζονται από χρονικά εξαρτώμενες ή/και μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές.Βάσει των διαδικασιών που αναπτύσσονται, μελετώνται αντιπροσωπευτικά αριθμητικά παραδείγματα. Η ακρίβεια και αξιοπιστία των προτεινόμενων μεθόδων επιβεβαιώνονται με υπάρχουσες αναλυτικές και αριθμητικές λύσεις, πειραματικά αποτελέσματα καθώς και με προσομοιώματα στερεών πεπερασμένων στοιχείων και πεπερασμένων στοιχείων κελύφους.