Electromagnetic simulation and eigen-analysis of three dimensional radiating structures based on the finite element method
Authors: Ζέκιος Κωνσταντίνος 
Published: August 2021

Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η ιδιοανάλυση ανοικτών ακτινοβολουσών δομών με την εφαρμογή της αριθμητικής τεχνικής πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Στην ιδιοανάλυση η εξίσωση κύματος επιλύεται απουσία πηγής. Ο βασικός λόγος για τον οποίο η εργασία αυτή κατευθύνθηκε στην ιδιοανάλυση είναι το γεγονός πως μέσω αυτής μπορούν να μελετηθούν τα φυσικά χαρακτηριστικά της υπό μελέτης δομής. Πρόκειται στην πραγματικότητα για μια συμπληρωματική ανάλυση της αιτιοκρατικής-ντετερμινιστικής προσέγγισης (πρόκειται για την προσέγγιση στην οποία η εξίσωση κύματος επιλύεται παρουσία πηγής). Η ιδιοανάλυση εφαρμόζεται στην ουσία σε πρώτο χρόνο πριν την αιτιοκρατική προσέγγιση, εισάγωντας ζωτικής σημασίας κατευθυντήριες γραμμές για τη λειτουργικότητα της υπό μελέτης δομής.Προκειμένου να μελετηθεί η συνθήκη ακτινοβολίας μιας δομής είναι απαραίτητη η εισαγωγή μιας τεχνικής περιορισμού του χώρου επίλυσης. Η βασική ιδέα είναι η εισαγωγή μιας φανταστικής επιφάνειας γύρω από την υπο μελέτη δομή, περιορίζοντας τον άπειρο χώρο επίλυσης. Η φανταστική επιφάνεια εισάγει μια μιγαδική αντίσταση, ενώ βασικός της σκοπός είναι να είναι διαφανής σε οποιοδήποτε σκεδανύμενο κύμα. Οι τεχνικές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση ανοικτών ακτινοβολούντων δομών μπορεί να κατηγοριοποιηθεί στις τοπικές και καθολικές τεχνικές. Η διάκριση αυτή σχετίζεται με το είδος των οριακών συνθηκών που εφαρμόζονται πάνω στη φανταστική επιφάνεια. Στα πλαίσια της διατριβής αυτής γίνεται η ανάπτυξη τόσο μιας τοπικής όσο και μιας καθολικής τεχνικής, εκμεταλλευόμενοι κάθε φορά τα πλεονεκτήματα που προσφέρει η καθεμία. Επιπρόσθετα, το πρόβλημα της εμφάνισης ψευδών λύσεων αναλύεται εκτενώς και προτείνεται μια νέα τεχνική για την απομάκρυνσή τους.Για τις τοπικές οριακές συνθήκες οι απορροφητικές οριακές συνθήκες (absorbing boundary conditions, ABC) πρώτης 1ης και δεύτερης 2ης τάξης εφαρμόζονται. Δεδομένου ότι οι τοπικές οριακές συνθήκες εμφάνιζουν έκδηλα το πρόβλημα των ψευδών λύσεων μια νέα τεχνική για την απομάκρυνσή τους αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διατριβής. Η τεχνική αναπτύχθηκε σε μια γενικευμένη μορφή με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορεί να εφαρμοσθεί σε μια σειρά από συχνά εμφανιζόμενα προβλήματα στον ηλεκτρομαγνητισμό: i) κλειστές κοιλότητες με τέλεια ηλεκτρικά αγώγιμα τοιχώματα, ii) κλειστές κοιλότητες με τέλεια μαγνητικά αγώγιμα τοιχώματα, iii) κλειστές κοιλότητες με πεπερασμένη αγωγιμότητα τοιχωμάτων (συνθήκη Leontovich), iv) κλειστές κοιλότητες με απώλειες εξαιτίας αγώγιμων φορέων στο εσωτερικό τους, v) ανοικτές ακτινοβολούσες διατάξεις με την εφαρμογή απορροφητικών οριακών συνθηκών πρώτης 1ης και δεύτερης 2ης τάξης, και vi) οποιοδήποτε συνδυασμό των παραπάνω περιπτώσεων.Για τις καθολικές οριακές συνθήκες η διανυσματική τεχνική απεικόνισης δεδομένων Dirichlet σε δεδομένα Neumann (Dirichlet to Neumann mapping, DtN) αναπτύχθηκε. Προκειμένουν να περιορισθεί ο άπειρος χώρος επίλυσης μια φανταστική σφαίρα σχεδιάζεται μέσα στην οποία εσωκλείεται η υπό μελέτη δομή. Στην περίπτωση αυτή το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο έξω από τη σφαίρα περιγράφεται από ένα άπειρο πλήθος σφαιρικών αρμονικών. Οι αρμονικές αυτές εκφράζονται σε όρους σφαιρικών αρμονικών Hankel τάξης v=n+1/2 και δεύτερου τύπου στην ακτινική διεύθυνση, ενώ έχουν και ημιτονοειδή εξάρτηση στις δύο γωνίες φ και θ (e^{+jmφ} , $e^{-jmθ}). Μέσα στη σφαίρα αναπτύσσεται η αριθμητική τεχνική των πεπερασμένων στοιχείων. Η συσχέτιση των δύο λύσεων επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της συνέχειας του πεδίου τόσο ως προς τις ηλεκτρικές όσο και ως προς τις μαγνητικές εφαπτομενικές συνιστώσες (Eφ, Eθ, Hφ, Hθ) πάνω στην φανταστική επιφάνεια. Στη συνέχεια εφαρμόζονται οι συνθήκες ορθογωνιότητας τωνς σφαρικών αρμονικών καταστρώνοντας ένα σύστημα εξισώσεων. Οι συντελεστές βάρους του αναπτύγματος του πεδίου του χώρου έξω από τη σφαιρική επιφάνεια αποτελούν τους άγνωστους. Το ανάπτυγμα του πεδίου εκφράζεται με τον τρόπο αυτό σε όρους των συναρτήσεων των πεπερασμένων στοιχείων μέσω των οριακών συνθηκών. Έτσι με τον τρόπο αυτό καταστρώνεται μια κλειστή έκφραση, η οποία είναι γραμμένη σε ένα σύστημα εξισώσεων και που μπορεί να επιλυθεί ώστε να προσδιοριστούν οι τιμές του πεδίου. Πολύ σημαντικός επίσης είναι ο υπολογισμός του μακρινού πεδίου, το οποίο μπορεί εύκολα να υπολογισθεί αξιοποιώντας τους συντελεστές βάρους των σφαιρικών αρμονικών. Με βάση τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι δυνατόν να επιλεγεί η καλύτερη τροφοδοσία ώστε να επιτευχθεί ο κατάλληλος ρυθμός. Λαμβάνοντας υπόψιν όλα τα παραπάνω, το ανοικτό πρόβλημα μετασχηματίζεται σε ένα ισοδύναμο κλειστό γενικευμένο πρόβλημα ιδιοτιμών, το οποίο όμως είναι μη-γραμμικό. Η μη γραμμικότητα παρουσιάζεται εξαιτίας της εμφάνισης της ιδιοτιμής του προβλήματος στο όρισμα των συναρτήσεων Hankel. Για να αντιμετωπιστεί η μη-γραμμικότητα αυτή ο αλγόριθμος εσφαλμένης θέσης (regula falsi) αναπτύσσεται, ενώ το πρόβλημα ιδιοτιμών επιλύεται με την προβολή του αρχικού προβλήματος σε ένα χώρο Krylov και την εφαρμογή του αλγορίθμου Arnoldi αξιοποιώντας την αραιότητα των πινάκων. Αυτό είναι και το βασικό μειονέκτημα της τεχνικής αυτής. Το ότι ο πίνακας διασύνδεσης των δύο λύσεων πρέπει να καταστρώνεται σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου γραμμικοποίησης regula falsi. Αυτό κάνει την τεχνική αυτή αρκετά αργή και υπολογιστικά μη-αποδοτική.