Κατασκευές και στατιστική ανάλυση παραγοντικών και εύρωστων παραμετρικών σχεδιασμών
Authors: Δρόσου Κρυσταλλένια 
Published: September 2021

Η παρούσα διατριβή ασχολείται με την κατασκευή και τη στατιστική ανάλυση των παραγοντικών και των εύρωστων παραμετρικών σχεδιασμών. Η μελέτη των πειραματικών σχεδιασμών είναι εξαιρετικά σημαντική στη σύγχρονη βιομηχανία, στην επιστήμη και στη μηχανική. Στο Κεφάλαιο 1 παρέχουμε μερικές βασικές έννοιες στους παραγοντικούς σχεδιασμούς, στους βέλτιστους σχεδιασμούς και στα πειράματα υπολογιστών. Επίσης παρέχουμε μια συγκεντρωτική παρουσίαση των σημαντικότερων σημείων όσον αφορά στους στόχους των πειραμάτων, τα βήματα για να είναι επιτυχημένο ένα πείραμα καθώς επίσης και τα στοιχεία που επηρεάζουν την καλή επιλογή ενός πειραματικού σχεδιασμού. Το Κεφάλαιο 2 αφιερώνεται σε μια σύντομη εισαγωγή για τα πειράματα υπολογιστών, τα οποία είναι εξαιρετικά σημαντικά στη σύγχρονη βιομηχανία, στην επιστήμη και στη μηχανική. Στο Κεφάλαιο 3 μελετάμε τους U-type, ορθογώνιους κατά στήλη (column-orthogo-nal) και τους σχεδόν ορθογώνιους κατά στήλη (nearly column-orthogonal) σχεδιασμούς. Οι σχεδόν ορθογώνιοι κατά στήλη σχεδιασμοί είναι πολύ χρήσιμοι σε περιπτώσεις όπου δεν είναι γνωστοί οι ορθογώνιοι κατά στήλη σχεδιασμοί. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζουμε την κατασκευή νέων σχεδιασμών οι οποίοι είναι κατάλληλοι για πειράματα κρησαρίσματος (screening experiments). Σε κάποιες περιπτώσεις, οι σχεδιασμοί που κατασκευάστηκαν είναι βέλτιστοι όσον αφορά στη δομή των ταυτόσημων επιδράσεων (aliased structure). Οι δομές των ταυτόσημων επιδράσεων των U-type, ορθογώνιων και σχεδόν ορθογώνιων κατά στήλη σχεδιασμών, υπολογίζονται και παρουσιάζονται σε κλειστή μορφή. Το γεγονός αυτό κάνει αυτή την καινούργια προσέγγιση ιδιαίτερα καινοτόμα και καθιστά ικανή την κατασκευή σχεδιασμών που είναι διαφορετικοί από τους ήδη υπάρχοντες στη βιβλιογραφία. Επίσης παρουσιάζονται ένα εκτεταμένο πολλαπλασιαστικό θεώρημα (multiplication theorem), καθώς και νέες άπειρες οικογένειες (infinite families) ορθογώνιων κατά στήλη σχεδιασμών χρησιμοποιώντας ζεύγη περιοδικών ακολουθιών Golay (periodic Golay pairs). Τα ερευνητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο παρόν κεφάλαιο δημοσιεύτηκαν στην επιστημονική εργασία [II]. Στο επόμενο κεφάλαιο (Κεφάλαιο 4) παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες για τους παραγοντικούς σχεδιασμούς. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται σε μία ειδική κλάση κλασματικών παραγοντικών σχεδιασμών, τους υπερκορεσμένους σχεδιασμούς για τους οποίους παρουσιάζονται βασικές έννοιες σχετικά με τα κριτήρια βελτιστότητας, την κατασκευή και την ανάλυσή τους. Το Κεφάλαιο 5 παρουσιάζει μία μέθοδο κατασκευής υπερκορεσμένων σχεδιασμών πολλαπλών και μικτών-επιπέδων. Πιο συγκεκριμένα, παρέχουμε ένα νέο κάτω φράγμα για την βελτιστοποίηση τέτοιων σχεδιασμών. Αυτό το φράγμα αποδεικνύεται ότι είναι ισχυρό και αρκετά γενικό αφού μπορεί να εφαρμοστεί σε ισορροπημένους και μη ισορροπημένους σχεδιασμούς. Επιπλέον, κατασκευάζονται και αξιολογούνται νέες οικογένειες ισορροπημένων και μη ισορροπημένων υπερκορεσμένων σχεδιασμών. Οι νέοι σχεδιασμοί κατασκευάζονται εφαρμόζοντας τη μεθοδολογία των k- κυκλικών σχεδιασμών για τους σχεδιασμούς πολλαπλών και μικτών επιπέδων. Επιπλέον, αναπτύσσονται και αποδεικνύονται πρόσθετες συνθήκες που είναι απαραίτητες για τους γεννήτορες και οι οποίες εξασφαλίζουν ότι οι αντίστοιχοι $κ-$κυκλικοί υπερκορεσμένοι σχεδιασμοί είναι βέλτιστοι. Η παρούσα μεθοδολογία οδηγεί σε μια σειρά νέων, βελτιωμένων, οικογενειών υπερκορεσμένων σχεδιασμών και παρέχει εργαλεία για την άμεση κατασκευή βέλτιστων ή σχεδόν βέλτιστων k-κυκλικών σχεδιασμών, ελέγχοντας απλά τον αντίστοιχο γεννήτορα. Τα ερευνητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο παρόν κεφάλαιο δημοσιεύτηκαν στην επιστημονική εργασία [V]. Στα επόμενα δύο κεφάλαια μελετάμε δύο μεθόδους για την ανάλυση υπερκορεσμένων σχεδιασμών. Πιο συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζουμε μία μέθοδο ανάλυσης υπερκορεσμένων σχεδιασμών δύο, πολλαπλών και μικτών-επιπέδων. Η ανάπτυξη νέων στατιστικών μεθόδων που είναι εμπνευσμένες από τους αλγόριθμους μηχανικής μάθησης αυξάνεται ταχύτατα, ιδιαίτερα στην εποχή μας. Μία από αυτές τις μεθόδους βασίζεται στις μηχανές διανυσμάτων υποστήριξης (SVM), οι οποίες καταφέρνουν να εξαγάγουν με μεγάλη επιτυχία τα σημαντικά γονίδια σε προβλήματα ταξινόμησης, επιτυγχάνοντας εξαιρετικά υψηλή απόδοση. Σε αυτό το κεφάλαιο, λοιπόν, προτείνουμε μία νέα μέθοδο επιλογής μεταβλητών σε προβλήματα παλινδρόμησης, που την ονομάζουμε SVR-RFE, για την ανίχνευση ενεργών επιδράσεων τόσο σε σχεδιασμούς δύο επιπέδων όσο και σε σχεδιασμούς μικτών επιπέδων. Οι μελέτες προσομοίωσης που παρουσιάζουμε δείχνουν ότι αυτή η διαδικασία είναι αρκετά αποτελεσματική, ειδικά όσον αφορά τη στατιστική ισχύ. Τα ερευνητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο παρόν κεφάλαιο δημοσιεύτηκαν στην επιστημονική εργασία [ΙΙΙ]. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζουμε μία μέθοδο ανάλυσης υπερκορεσμένων σχεδιασμών δύο επιπέδων. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζουμε μια διαδικασία δύο σταδίων για την ανάλυση δύο επιπέδων ΥΣ θεωρώντας ένα μοντέλο κύριων επιδράσεων, χωρίς την παρουσία αλληλεπιδράσεων. Η προτεινόμενη διαδικασία συνδυάζει τη μέθοδο του σίγουρου κρησαρίσματος (sure independence screening, SIS) με τις ποινικοποιημένες μεθόδους, όπως είναι η SCAD, η LASSO και η MC. Με τη διαδικασία αυτή επιτυγχάνουμε ταυτόχρονα τόσο την επιλογή όσο και την εκτίμηση των σημαντικών επιδράσεων. Η απόδοση της μεθόδου παρουσιάζεται μέσω διαφόρων σεναρίων προσομοίωσης όπου πραγματοποιούνται συγκρίσεις με υπάρχουσες μεθοδολογίες. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιήσαμε στην παρούσα μελέτη είναι η παλινδρόμηση κατά βήματα σε συνδυασμό με τη SCAD, καθώς επίσης και ο DS. Τα αποτελέσματα από τη μελέτη προσομοιώσεων, και από ένα παράδειγμα με πραγματικά δεδομένα, αποκαλύπτουν ότι η προτεινόμενη διαδικασία μπορεί να θεωρηθεί ως ένα επωφελές εργαλείο λόγω της εξαιρετικά καλής απόδοσής του για τον εντοπισμό ενεργών παραγόντων. Τα ερευνητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο παρόν κεφάλαιο δημοσιεύτηκαν στην επιστημονική εργασία [VI]. Το Κεφάλαιο 8 πραγματεύεται κάποιες βασικές έννοιες για τους εύρωστους παραμετρικούς σχεδιασμούς. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται τόσο στα είδη των σχεδιασμών που απαρτίζουν τη μεθοδολογία των εύρωστων παραμετρικών σχεδιασμών όσο και στις τεχνικές μοντελοποίησης, που συμπεριλαμβάνουν τη μοντελοποίηση θέσης και διασποράς άρα και την αποκριτική μοντελοποίηση. Στο Κεφάλαιο 9 προτείνουμε μια κατασκευή αποτελεσματικών ΥΣ μαζί με μία μέθοδο ανάλυσης, προκειμένου να αντιμετωπιστεί το ιδιαίτερα σημαντικό πρόβλημα που αφορά στη μεθοδολογία των εύρωστων παραμετρικών σχεδιασμών (RPDM). Συνδυάζοντας την επαναληπτική μέθοδο σίγουρου κρησαρίσματος (iterative sure independence screening, iter-SIS) για την επιλογή των μεταβλητών με μία ποινικοποιημένη μέθοδο, την αποκαλούμενη SCAD, προχωρήσαμε στην ανάλυση των ΥΣ που κατασκευάστηκαν στο παρόν κεφάλαιο. Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόστηκε σε διαφορετικά μοντέλα με σκοπό να γίνει ορατή η αποτελεσματικότητά της σε πολλά διαφορετικά σενάρια, υποθέτοντας τόσο μοντέλα πρώτης όσο και μοντέλα δεύτερης τάξης υπό την έννοια των σχεδιασμών της επιφάνειας απόκρισης. Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζουμε δύο επεξηγηματικά παραδείγματα καθώς και πολυάριθμα αριθμητικά πειράματα προσομοίωσης για πολλές διαφορετικές περιπτώσεις. Τα αποτελέσματα υποδηλώνουν ότι η προτεινόμενη μέθοδος είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική για τον προσδιορισμό των ενεργών επιδράσεων των κύριων παραγόντων, των αλληλεπιδράσεων δύο παραγόντων, των αλληλεπιδράσεων τριών παραγόντων καθώς επίσης και των καθαρά τετραγωνικών όρων, υπό την προϋπόθεση της σποραδικότητας των επιδράσεων. Τα ερευνητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο παρόν κεφάλαιο δημοσιεύτηκαν στην επιστημονική εργασία [V]. Η παρουσίαση του ερευνητικού έργου για αυτή τη διατριβή ολοκληρώνεται με το Κεφάλαιο 10, όπου προτείνουμε μια κατασκευή για υπερκορεσμένους split-plot σχεδιασμούς (SSSPD) κατάλληλους για RPD πειράματα. Εφαρμόσαμε τη μεθοδολογία των σύνθετων ορθογώνιων σχηματισμών χρησιμοποιώντας ορθογώνιους σχηματισμούς ισχύος μεγαλύτερης από 1 για τις split-plot μονάδες και ισορροπημένους ΥΣ για όλες τις whole-plot μονάδες. Η προτεινόμενη μεθοδολογία υποδεικνύει ότι τα πειράματα που διεξάγονται υπό το πρίσμα των split-plot σχεδιασμών μπορούν να έχουν τεράστια αξία στη μεθοδολογία των RPD, αφού επιτρέπουν την εκτίμηση των επιδράσεων που μας ενδιαφέρουν με πολύ πιο εύκολο τρόπο από τους σχεδιασμούς που προτάθηκαν από τον Taguchi. Τα ερευνητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο παρόν κεφάλαιο δημοσιεύτηκαν στην επιστημονική εργασία [IV]. Η παρουσίαση της διατριβής ολοκληρώνεται με τα τέσσερα Παραρτήματα. Στο Παράρτημα Α παρουσιάζουμε συνοπτικά τα αποτελέσματα που προέκυψαν από το Κεφάλαιο 5. Στο Παράρτημα Β παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων που προέκυψαν από το Κεφάλαιο 6. Στο Παράρτημα Γ παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων που προέκυψαν από το Κεφάλαιο 7 και τέλος στο Παράρτημα Δ δίνουμε την απόδειξη του Λήμματος 1 καθώς επίσης και τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων που προέκυψαν από το Κεφάλαιο 9.