ISFAA : Implicit SPH for astrophysical apllications
Authors:   , Escartín Vigo José Antonio 
Published: October 2023

Computational simulation is one of the basic techniques of modern Astrophysics. The long-term time astrophysical processes cannot be treated with explicit approaches because that they are limited, in their maximum time step, by the restriction known as Courant-Friedrichs-Lewy Condition.
In order to use implicit approaches a system of coupled algebraic equations needs to be solved. It is composed by all the equations of each one of the discrete points of the model and the usual solution comes through a Newton-Raphson scheme. The computational cost substantially increases with the number of unknowns of the model. In implicit schemes the properties of the current time step depends on the values of the unknown variables at that time step, so everything has to be calculated simultaneously. The consequence is that all equations should be jointly solved inverting of a huge sparse matrix (it is a squared n*v matrix, being n the number of particles and v the number of independent variables of the system). Due to this restriction, historically the implicit hydrodynamics had been only applied to one-dimensional systems.
It would be very interesting to build an Implicit hydrocode taking advantage of the so called Smoothed Particle Hydrodynamics or SPH. This technique has been being applied successfully in astrophysics and cosmology and fluid physics. SPH integrates the dynamic fluid equations in each point of the Lagragian formalism (named particles because they have an associated mass) calculating speed, position, density and pressure as interpolations from neighbour particles. Unlike Eulerian methods the Lagragian approach does not need from a rectangular grid covering the integration domain. Therefore storage and computing time is not wasted in void regions. Fluids are decomposed in a set of particles where the numerical treatment of the three-dimensional movement derived from pressure and auto-gravity is easier.
The goal of this thesis is to describe the main features and the implementation of a new SPH code which uses implicit approach, called ISFAA (Implicit SPH for Astrophysical Applications). This code enlarges the previous work from "An Implicit Smooth Particle hydrodynamic Code", Knapp C. (2000) and recent developments of the SPH scheme (based on the variation principle), artificial viscosity, gravity and thermal conductivity.
Because of the huge effort which has to be invested to build and validate the new SPH code, it is pretended that in the future its use can be extended to a large number of scenarios. With this end a modular design has been implemented that allows to separate the code general treatment, the particular implementation of the basic evolutionary equations and the physical properties (equation of state, artificial viscosity, etc.). Furthermore, to find the solution of the equations' system, the library of parallel algorithms PARDISO, embodied in the library Intel MKL, has been used. Future improvements in these libraries will have a positive impact on the new code.
To validate the code and check each one of the physical ingredients, a set of basic tests (point-like explosion, The wall heating shock, Rayleigh-Taylor instabilities, Free-Fall collapse, etc) were run and analyzed as well as several tests incorporating gravity (Toy Star, stability of a solar mass star and a White Dwarf).
And finally, we show the evolution of a single quasi-static system. To handle with these scenarios we have built a slightly different implicit scheme, were velocities are not explicitly included in the equations of movement. The main aim of this tests is to demonstrate that an implicit quasi-hydrostatic scheme is able to work with time-steps many orders of magnitude large (10^4) than the characteristic current Courant time.

La simulación mediante ordenador es una de las herramientas básicas de la Astrofísica moderna. Los procesos de gran escala temporal son imposibles de tratar con enfoques explícitos ya que estos se encuentran limitados, en su paso de tiempo máximo, por la restricción conocida como condición de Courant-Friedrichs-Lewy. Para utilizar los enfoques implícitos se genera un sistema de ecuaciones algebraicas acopladas, habitualmente resuelto con un esquema de Newton-Raphson y compuesto por todas las ecuaciones de cada uno de los puntos de resolución del modelo. El coste computacional de resolución aumenta sustancialmente con el número de incógnitas que han de determinarse a cada paso de tiempo. Las propiedades del siguiente paso de tiempo dependen de los valores de las variables desconocidas en dicho paso de tiempo y por tanto todas han de ser calculadas simultáneamente. La consecuencia es que todo el sistema de ecuaciones se ha de resolver conjuntamente realizando la inversión de una matriz dispersa enorme (la matriz es cuadrada y tiene un tamaño de n*v, siendo n el numero de partículas y v el número de variables independientes del sistema). Debido a esta restricción, la hidrodinámica implícita históricamente ha sido aplicada a sistemas en una sola dimensión. Para su implementación multidimensional sería interesante utilizar un enfoque lagrangiano como el suavizado de partículas hidrodinámicas denominado "Smooth Particle Hydrodynamics" ó SPH. La técnica se viene aplicando con éxito al campo de la astrofísica, la cosmología y diferentes problemas de la física de fluidos. El SPH integra las ecuaciones de la dinámica de fluidos en cada punto del formalismo lagrangiano (denominado partícula por tener una masa asociada) calculando velocidad, posición, densidad y presión como una interpolación de los valores de las partículas vecinas. Los métodos lagrangianos, a diferencia de los eulerianos, no necesitan de una malla regular que cubra la totalidad del espacio de integración, por tanto, la memoria y el tiempo de cálculo no se desperdician en la resolución de espacios vacíos. Los fluidos se descomponen en un conjunto de partículas donde podemos tratar numéricamente de forma más sencilla el movimiento en tres dimensiones derivado de las fuerzas de presión y auto-gravedad. El objetivo de esta tesis es detallar las principales características y la implementación de un nuevo código SPH, con un enfoque implícito, al que hemos denominado ISFAA (Implicit SPH for Astrophysical Applications). Este código amplia el trabajo previo de Knapp. C., 2000 e incluye el esquema físico más actual del SPH (basado en el principio variacional), viscosidad artificial, gravedad y conductividad térmica. Dado el enorme esfuerzo que supone construir y validar un nuevo código SPH, se pretende que en el futuro su utilidad se extienda al mayor número posible de escenarios. Con este fin se ha optado por un diseño modular que separe el tratamiento general del código de la implementación concreta de ecuaciones evolutivas básicas y de las propiedades del material (ecuación de estado, viscosidad artificial, etc.). Además, para la resolución del sistema de ecuaciones se utiliza la biblioteca de algoritmos paralelos PARDISO, que incorpora la librería Intel MKL y que en el futuro tendrá mejoras que impactarán positivamente en el código. Para comprobar la corrección del código y probar cada uno de los ingredientes físicos, se especifican una serie de test básicos (Explosión puntual, The wall heating shock, inestabilidades de Rayleigh-Taylor, caída libre, etc.) y una serie de test con gravedad (Toy Star, estabilización de una estrella de masa solar y una enana blanca). Por último se muestra la evolución de un sistema cuasiestático, en el que las velocidades no se encuentran explícitamente en el modelo. Este test está orientado a demostrar que el código implícito podría aplicarse con éxito en estas situaciones, consiguiendo simular el sistema en largos intervalos temporales.