Monodromías geométricas en familias de curvas de género 4
Authors:   , Berna Sepúlveda Isabel 
Published: October 2023

The goal of the thesis is the effective computation of the geometric monodromy, equivalently the monodromy in the fundamental group, for families of compact connected Riemann surfaces (complex algebraic curves) of genus 4. This extends previous work up to genus 2, by using the trigonal structure (triple cover of the Riemann sphere) of genus 4 curves: they have 2 such structures, so a 2:1 base change for any family of them allows the glueing of the trigonal structures to form a family of trigonal covers of the Riemann sphere. The generic trigonal genus 4 covering has branching in 12 simple points. In a family of trigonal covers these form a branching divisor of relative degree 12, whose braid monodromy determines the geometric monodromy of the family.

The main theoretic result of the thesis is the construction of a universal family of trigonal genus 4 curves, inside the Hurwitz scheme of trigonal covers but with a lower dimension, computable geometric monodromy, and with a topological universality property: any family of trigonal genus 4 curves is obtained from this universal family by pullback plus deformation of a map to its base. This theorem is completed with the computation of the monodromy in the fundamental group for this universal family. The computation is derived from the braid monodromy of the branching divisor, which is then lifted to the trigonal covers. A gap remains in the computation of the monodromy for this universal family: it is a conjecture about the stabilizer of a braid group action on the Hurwitz scheme that remains open. If the conjecture is true then the computed geometric monodromy is that of the universal trigonal family. If the conjecture is false the monodromy computations in the thesis remain valid, but have to be completed with analogous computations to cover all the universal family.

The theoretical results in the thesis are completed with effective computation tools for them. A library of functions for the program Singular is developed, to find the trigonal structure of genus 4 curves from their canonical equation, and with help of a Pari-GP procedure, to find the equation of the branching divisor in a family of canonical genus 4 curves. This library is applied to examples of geometric interest:
- the Lefschetz pencil of hyperplane sections in the genus 4 projective K3 surface (whose geometric monodromy is necessary to prove Seidel¿s version of the Mirror Symmetry conjecture on these surfaces).
- a 1-parameter deformation of the Bring curve.
Moreover, a library of functions for the program Matlab is developed, in order to compute the braid monodromy of a divisor in C^2. It is based on the integration of a system of complex-valued ordinary differential equations which determines the branches of the divisor. This is done with a Runge-Kutta method with variable step size regulated by the equation of the divisor, used as a first integral. The ode system is integrated over a path system formed by the boundaries of the Voronoi cells of the branching values of the divisor. The braid monodromy is then determined from the evolution of the branches of the divisor along this path system. This library is successfully applied to compute the braid monodromy of academic examples of degrees 6-8 in the thesis.

El objetivo de la tesis es el calculo efectivo de la monodromía geométrica y en el grupo fundamental, de familias de superficies de Riemann compactas
conexas (curvas algebraicas complejas) de género 4.
Este estudio se extiende a otros desarrollados hasta la fecha en los marcos de la Geometría Algebraica, Topología Diferencial y Simpléctica, que
estudian esta monodromía geométrica y en el grupo fundamental para familias de superficies de Riemann de hasta género 2, usando la estructura
elíptica/hiperelíptica de tales familias.
El salto de género 2 a género 4 se realiza para aprovechar la estructura trigonal (de recubrimiento triple de la esfera de Riemann) que tienen las
curvas en género 4. Tal curva genérica tiene dos estructuras trigonales, en una familia genérica se puede hacer un cambio de base
2:1 para conseguir pegar las estructuras de recubrimiento trigonal de las fibras y obtener una familia de recubrimientos trigonales de la esfera de
Riemann.
El recubrimiento trigonal genérico para curvas de género 4 tiene 12 puntos de ramificación simple. Esto significa, en una familia de recubrimientos
trigonales hay un divisor de grado relativo 12 en la familia de esferas de Riemann recubiertas, denominado divisor de ramificación, tal que la
monodromía de trenzas de este divisor determina la monodromía geométrica y en el grupo fundamental de la familia.
El resultado teórico principal de esta memoria es la construcción de una familia universal de curvas trigonales de género 4, bajo el esquema de
recubrimientos trigonales de Hurwitz, pero de dimensión más reducida, monodromía geométrica calculable, y que mantiene una propiedad de
universalidad topológica: toda familia de recubrimientos trigonales de género 4 se obtiene por pullback de una aplicación de la base a la de esta familia
universal, más deformación.
Completa el resultado teórico principal el cálculo de la monodromía geométrica y en el grupo fundamental de esta familia. Este cálculo se hace
siguiendo la monodromía de trenzas del divisor de ramificación de la familia, y levantando esta monodromía de las esferas de Riemann a sus cubiertas
triples.
El cálculo de la monodromía en el grupo fundamental de la familia no ha podido ser completado desde el punto de vista lógico, debido a una conjetura
sobre el estabilizador de una acción del grupo de trenzas en el esquema de Hurwitz de cubiertas triples. Sin embargo, los cálculos realizados
permanecen válidos sea cual sea la respuesta; en caso de ser cierta implica que el cálculo realizado es toda la monodromía de la familia universal y lo
contrario significaría que hay que añadir algunos cálculos de monodromía análogos a los aquí realizados.
Los resultados teóricos de la tesis se completan con trabajo de computación para realizar cálculos efectivos de monodromía geométrica en el grupo
fundamental en las familias de curvas de género 4.
Primero, se desarrolla una librería de funciones para el programa Singular que hallan la estructura trigonal de curvas de género 4 a partir de su
ecuación canónica y con la ayuda de un cálculo auxiliar en Pari-GP, determinan el divisor de ramificación relativo de una familia de curvas de género 4
canónicas (no hiperelípticas).
En la tesis se aplica esta librería al cálculo de estructuras trigonales y divisores de ramificación en familias de curvas de género 4, tanto ejemplos
académicos como familias de interés geométrico:
- la familia de curvas de género 4 que describe un pincel de Lefschetz en la superficie K3 de género 4 (cuya monodromía geométrica es necesaria
para demostrar la versión de Paul Seidel de la conjetura de la 'Mirror Symmetry'),
- una familia de curvas de género 4 deformación de la curva de Bring (la única curva de género 4 que tiene grupo de simetrías de orden 5).
Segundo, se desarrolla una librería de funciones para el programa MATLAB que calculan la monodromía de trenzas de un divisor en C^2. Este cálculo
se inicia en la integración de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a valores complejos, que sigue la evolución de las ramas del divisor,
para el que se ha desarrollado un integrador numérico de paso variable combinando un método de Runge-Kutta con el uso de
la ecuación del divisor como integral primera de las soluciones para el control del paso. Este sistema de ecuaciones se integra sobre un sistema de
generadores del grupo fundamental de la base obtenido a partir de una descomposición celular de Voronoi asociada a los valores de ramificación de la
familia, y finalmente se identifica la monodromía de trenzas a partir del análisis de la posición de las ramas del divisor a lo largo de los caminos
escogidos en la base.
Esta librería funciona correctamente para divisores de grados hasta 6-8 en el plano. Se ilustra en la tesis mediante su aplicación a ejemplos
académicos, completa con representación e identificación de las monodromías de trenzas en estos ejemplos.