COMPARISON OF THE SPEED OF NUMERICAL METHODS OF GAUSSIAN AND LUP DECOMPOSITION IN THE PROBLEM OF FINDING THE EQUILIBRIUM CHEMICAL COMPOSITION
Authors: Сеченов П.А. 
Published: May 2023

рассмотрены программные комплексы, позволяющие определить конечный состав сложной гетерогенной системы. В основу таких комплексов заложены базы данных индивидуальных веществ. При расчете равновесного состава был применен принцип максимума энтропии. Задача нахождения равновесного химического состава представляется как решение нелинейного уравнения с ограничениями. Для решения нелинейного уравнения применяются методы: 1) неопределенных множителей Лагранжа, который позволяет перейти от задачи с ограничениями к задаче безусловной оптимизации; 2) Ньютона – Рафсона, который позволяет перейти от нелинейной системы уравнений к линейной; 3) Гаусса для решения системы линейных уравнений, а также для аналогичной задачи применяется LUP-разложение. Приведены теоретические сведения о вычислительной сложности алгоритмов решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Алгоритмическая сложность метода Гаусса составляет O(N3), метод LUP-разложения решается быстрее, разложение матрицы на две матрицы составляет такую же сложность, а решение двух треугольных матриц выполняется за время O(N2). Приведены отличительные особенности алгоритма LUP-разложения по сравнению с методом Гаусса. Проведен вычислительный эксперимент, показывающий скорость вычисления для методов Гаусса и LUP-разложения в зависимости от количества неизвестных в системе алгебраических линейных уравнений. Тестирование на трех конфигурациях компьютеров показало, что LUP-разложение выполняется быстрее, чем метод Гаусса, от 1,1 до 4,5 раз

software complexes that allow determining the final composition of a complex heterogeneous system are considered. Such complexes are based on databases of individual substances. When calculating the equilibrium composition, the principle of maximum entropy was applied. The problem of finding the equilibrium chemical composition is presented as the solution of a nonlinear equation with constraints. To solve a nonlinear equation, the methods are used: 1) indeterminate Lagrange multipliers, which allows us to move from a problem with constraints to an unconditional optimization problem; 2) Newton-Raphson, which allows us to move from a nonlinear system of equations to a linear one; 3) Gaussian LUP decomposition is used to solve a system of linear equations, as well as for a similar problem. Theoretical information about the computational complexity of algorithms for solving a system of linear algebraic equations (SLAE) is given. The algorithmic complexity of the Gauss method is O(N3), the LUP decomposition method is solved faster, the decomposition of a matrix into two matrices is the same complexity, and the solution of two triangular matrices is performed in O(N2) time. The distinctive features of the LUP decomposition algorithm in comparison with the Gauss method are given. A computational experiment has been carried out showing the calculation speed for Gauss and LUP decomposition methods depending on the number of unknowns in the system of algebraic linear equations. Testing on three computer configurations showed that LUP decomposition is performed 1.1 to 4.5 times faster than the Gauss method