Enseñanza de la geometría : análisis de las praxeologías que se estudian en la escuela secundaria
Authors: María de la Trinidad Quijano 
Published: March 2023

El estudio de la geometría favorece procesos propios del quehacer matemático y resulta una potente herramienta para resolver situaciones del mundo real. En la actualidad, pese a su presencia en los diferentes diseños curriculares, investigaciones de distintos países destacan su ausencia en las aulas y su estudio con poco sentido. En esta tesis se aborda la problemática de la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria argentina. Con fundamento en la Teoría Antropológica de lo Didáctico, se presentan los resultados de un estudio descriptivo e interpretativo. En esta investigación se procuró comprender las características de las organizaciones matemáticas que se proponen estudiar y que se estudian en torno a la geometría en la escuela secundaria de la provincia de Río Negro (Argentina). También se pretendió conocer y comprender las ideas de los profesores acerca del estudio de la geometría en este nivel educativo. La investigación demandó la construcción de un Modelo Praxeológico de Referencia en torno a la geometría en correspondencia con el diseño curricular de la provincia en mención. Este modelo se centró en el estudio del triángulo, poniendo en evidencia la potencialidad de esta figura para el estudio de diferentes nociones de geometría, y sirvió de marco referencial para realizar el análisis de las etapas posteriores de la tesis. El desarrollo de la investigación demandó recoger y analizar el diseño curricular para el estudio de la matemática en la escuela secundaria en la provincia de Río Negro y las producciones registradas en las clases de matemática de estudiantes de los cuatro primeros años de tres escuelas secundarias de dicha provincia. También se realizaron entrevistas en profundidad a los profesores que participaron de la investigación, y que facilitaron los registros de clases de los estudiantes. El análisis de los datos permitió hacer inferencias acerca de la Organización Matemática Propuesta a Enseñar, de la Organización Matemática Estudiada en torno a la geometría y de decisiones didácticas de los profesores para el estudio de la geometría en la escuela secundaria. En esta investigación, los principales resultados indican un reduccionismo de saberes geométricos que se proponen estudiar, los cuales están centrados casi exclusivamente en la geometría plana. En los registros de clases analizados, predomina una estructura que se corresponde con la metodología tradicional de enseñanza. Se asocia al estudio de organizaciones matemáticas puntuales y no se vislumbra un proceso de articulación e integración entre ellas. Las tareas se caracterizan por ser cerradas, demandando la aplicación de una técnica específica para su hacer. Por otra parte, los profesores manifiestan la importancia del estudio de la geometría, relacionándola con situaciones del mundo real, pero esto no se refleja en sus propuestas. Las aplicaciones de las nociones geométricas estudiadas se presentan bajo tareas en contexto pseudo real, generando una actividad matemática reducida y ligada al fenómeno de monumentalización de saberes. Finalmente, en función del análisis de datos realizado y en contraste con el Modelo Praxeológico de Referencia, se identificaron situaciones del mundo real, de las que se derivan tareas que podrían ser estudiadas en este nivel educativo. Además, se retomaron tareas propuestas por los profesores a fin de reformular sus enunciados para que se dirijan a un estudio con sentido para el estudiante. Los resultados reportados indican que es necesario continuar el estudio de dispositivos didácticos que involucren a la geometría en situaciones del mundo real, que ofrezcan a los estudiantes herramientas matemáticas para comprender, describir, representar y transformar el mundo en el que viven.

The study of geometry favours mathematical processes and is a powerful tool for solving realworld situations. At present, despite its presence in the different curricular designs, research from different countries highlights its absence in the classroom and its study with little sense. This thesis addresses the problem of geometry teaching in Argentinean secondary school. Based on the Anthropological Theory of the Didactic, we present the results of a descriptive and interpretative study. In this research we attempt to understand the characteristics of the mathematical organizations related to geometry that are usually proposed to study, and those that are effectively studied, in secondary school level in the province of Río Negro (Argentina). In addition, we also seek to know and understand teachers' ideas about the study of geometry at this educational level. This research demanded the construction of a Praxeological Reference Model related to geometry in correspondence with the curricular design in the above mentioned province. This model focused on the study of the triangle, highlighting the potential of this figure for the study of different notions of geometry, and served as a reference framework for the analysis of the subsequent stages of this thesis. On the one hand, the development of the research required the collection and analysis of the curricular design for the study of mathematics in the secondary school in the province of Río Negro. On the other hand, we also included in our study the productions done for mathematics lessons by students coursing the first four years, of three different secondary schools in the province. In-depth interviews were also conducted with the teachers who participated in the research, and who provided the students' class records. The analysis of the data allowed inferences to be made about the Mathematical Organisation Proposed to Teach, the Mathematical Organisation Studied in relation to geometry in secondary schools, and teachers' didactic decisions for the study of geometry in secondary school. In this research, the main results indicate a reductionism of the geometric knowledge that is proposed to be studied, which is centred almost exclusively on plane geometry. In the classroom records analysed, the predominating structure corresponds to the traditional teaching methodology. It is associated with the study of specific mathematical organisations, with no glimpse of articulation and integration among them. These tasks are characterised by being closed, and requiring the application of a specific technique. On the other hand, teachers state the importance of the study of geometry, relating it to real-world situations, but this is not reflected in their proposed activities. The applications of the geometric notions studied are presented under tasks in a pseudo-real context, generating a reduced mathematical activity linked to the phenomenon of monumentalisation of knowledge. Finally, based on the data analysis we carried out and contrasting it with the Praxeological Reference Model, we identified real-world situations that provide geometric tasks that could be studied at this educational level. In addition, tasks proposed by teachers were also taken up in order to reformulate their statements and direct them towards the study meaningful for the student. The results reported indicate that it is necessary to continue studying didactic devices that involve geometry in real-world situations, offering students mathematical tools to understand, describe, represent and transform the world where they live.

L'étude de la géométrie favorise les processus mathématiques et constitue un outil puissant pour résoudre des situations du monde réel. Actuellement, malgré sa présence dans des diverses constructions curriculaires, des recherches réalisées dans des différentes de pays soulignent son absence en classe et remarquent que son étude n'a pas de sens. Cette thèse aborde le problème de l'enseignement de la géométrie dans les écoles secondaires argentines. Sur la base de la Théorie Anthropologique de la Didactique, les résultats d'une étude descriptive et interprétative sont présentés. Dans cet travail de recherche nous visons à comprendre les caractéristiques des organisations mathématiques que l'on se propose d'étudier, et ces qui sont effectivement étudiées, en relation à la géométrie aux écoles secondaires dans la province de Río Negro (Argentine). L'objectif est également de comprendre les idées des enseignants sur l'étude de la géométrie à ce niveau d'éducation. La recherche a exigé la construction d'un Modèle Praxéologique de Référence sur la géométrie d’accord avec la conception curriculaire de la province sous étude. Ce modèle se concentrait sur l'étude du triangle, mettant en évidence le potentiel de cette figure pour l'étude de différentes notions de géométrie, et aussi a été utilisé comme cadre de référence pour l'analyse des étapes suivantes de cette thèse. Le développement de ce travail de recherche a demandé la collecte et l'analyse du programme d'études des mathématiques dans l'enseignement secondaire de la province de Río Negro, et aussi des productions enregistrées dans les classes de mathématiques des étudiants des quatre premières années de trois écoles secondaires de la province. Nous avons également mené des entretiens approfondis avec les enseignants qui ont participé à la recherche, et qui ont fourni les dossiers de classe des étudiants. L'analyse des données nous a permis de faire déductions sur l'Organisation Mathématique que l'on se Propose d'enseigner, sur l'Organisation Mathématique étudiée en relation avec la géométrie, et les décisions didactiques des enseignants pour l'étude de la géométrie dans l'école secondaire. Dans cette recherche, les principaux résultats indiquent un réductionnisme des connaissances géométriques, qui sont presque exclusivement centrées sur la géométrie plane. Dans les registres de classe analysés, il y a une prédominance d'une structure qui correspond à la méthodologie d'enseignement traditionnelle. Elle est associée à l'étude d’organisations mathématiques particulières, il n'y a aucune évidence d'un processus d'articulation et d'intégration entre elles, et elles se centrent sur le bloc pratique-technique. Les tâches se caractérisent par le fait qu'elles sont fermées et qu'elles requièrent l'application d'une technique spécifique pour les réaliser. D'autre part, les enseignants soulignent également l'importance de l'étude de la géométrie, en la reliant à des situations du monde réel, mais cela ne se reflète pas dans leurs propositions aux élèves. Les applications des notions géométriques étudiées sont présentées sous la forme de tâches dans un contexte pseudo-réel, qui ne généré qu'une activité mathématique réduite liée au phénomène de monumentalisation des connaissances. Enfin, sur la base de l'analyse des données effectuée et en contraste avec le Modèle Praxéologique de Référence, des situations du monde réel ont été identifiées, à partir desquelles on trouve des tâches qui pourraient être étudiés à ce niveau d'enseignement. En outre, les tâches proposées par les enseignants ont été reprises afin de reformuler leurs déclarations pour les rendre plus significatifs pour les étudiants. Les résultats rapportés indiquent qu'il est nécessaire de poursuivre l'étude de dispositifs didactiques qui impliquent la géométrie dans des situations réelles, afin d’offrir aux élèves des outils mathématiques pour comprendre, décrire, représenter et transformer le monde où ils vivent.