Solving the biharmonic equation with high order accuracy in irregular domains by the least squares collocation method
Authors: Шапеев В.П. , Беляев В.А. 
Published: August 2021

Предложен и реализован новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК)
повышенной точности для численного решения неоднородного бигармонического уравнения.
Дифференциальная задача методом КНК проектируется в пространство полиномов четвертой и восьмой степеней.
Реализованный алгоритм применяется в нерегулярных областях, границы которых заданы аналитическими кривыми, в частности сплайнами. Исходная нерегулярная область включается в прямоугольник, который покрывается регулярной сеткой с прямоугольными ячейками. На границе области используется "одинарный" слой ререгулярных ячеек (н-ячеек), отсеченных границей от прямоугольных граничных ячеек начальной регулярной сетки. Все н-ячейки разбиваются на два
класса: самостоятельные, в которых находится центр содержащих их граничных ячеек, и несамостоятельные,
центр содержащих их граничных ячеек которых расположен вне области. Вытянутые несамостоятельные
граничные н-ячейки присоединяются к соседним самостоятельным ячейкам, и в объединенных ячейках
строится свой отдельный кусок аналитического решения. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы "законтурные"
(расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи.
Эти два приема позволили существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приближенной задачи по сравнению со случаем, когда несамостоятельные н-ячейки
использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи и не была использована
"законтурная" часть граничных ячеек. В численных экспериментах по сходимости приближенного решения
различных задач на последовательности сеток установлено, что решение сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда решение
известно. Приведено сравнение полученных результатов с известными результатами других авторов, которые использовали конечно-разностный метод (FDM, Finite Difference Method) повышенного порядка
аппроксимации. В качестве приложения решение
неоднородного бигармонического уравнения использовано для моделирования
напряженно-деформированного состояния
(НДС) изотропных тонких пластин нерегулярных форм.

This paper addresses a new version of the least squares collocation (LSC) method of high order accuracy proposed and implemented for the numerical solution of the nonhomogeneous biharmonic equation. The differential problem is projected onto a polynomial space of fourth and eighth degrees by the LSC method. The algorithm implemented is applied in irregular domains. The boundaries of these domains are given by analytical curves, in particular, by splines. The irregular domain is embedded in a rectangle covered by a regular grid with rectangular cells. In this paper we use the irregular cells (i-cells) which are cut off by the domain boundary from the rectangular cells of the initial regular grid. All i-cells are divided into two classes: the independent and dependent ones. The center of a dependent cell is located outside the domain by contrast with the center of
an independent cell. The idea of attaching elongated dependent irregular cells to the neighboring ones is used. A separate piece of the analytical solution is
constructed in the combined cells. The collocation and matching points located outside the domain are used to approximate the differential equations in the
boundary cells. These two approaches allow us to essentially reduce the conditionality of the corresponding system of linear algebraic equations. It is shown that the approximate solutions obtained by the LSC method converge with an increased order and coincide with the analytical solutions of the test
problems with high accuracy in the case of the known solution. The numerical results are compared with those found by other authors who used a high order finite difference method. The nonhomogeneous biharmonic equation is used to
model the stress-strain state of isotropic thin irregular plates as an application.