Γραμμικά και μη γραμμικά φαινόμενα στη φωτονική τεχνολογία με έμφαση σε συστοιχίες και πλέγματα οπτικών κυματοδηγών και περιοδικές διατάξεις
Authors: Τσόπελας Ηλίας 
Published: August 2021

Στις μέρες μας, η μετάδοση ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας και πληροφορίας με μικρές απώλειες από σημείο σε σημείο επιτυγχάνεται με τη χρήση κυματοδηγών. Συγκεκριμένα, στα σύγχρονα τηλεπικοινωνιακά φωτονικά δίκτυα, η μετάδοση ψηφιακής πληροφορίας γίνεται με τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο οπτικό φάσμα συχνοτήτων σε διηλεκτρικούς κυματοδηγούς, οι οποίοι συνήθως διαθέτουν κυκλικής συμμετρίας εγκάρσια διατομή (οπτικές ίνες). Οι εξελίξεις στην φωτονική τεχνολογία τις τελευταίες δεκαετίες είναι ραγδαίες, με αποτέλεσμα στα σύγχρονα οπτικά δίκτυα η μέγιστη ταχύτητα μετάδοσης πληροφορίας να αγγίζει τα 1Tb/s. Η κατασκευή οπτικών ινών με χαμηλές απώλειες ήταν μια από τις σημαντικότερες εξελίξεις στην οπτική τεχνολογία (μια σύγχρονη τηλεπικοινωνιακή ίνα διαθέτει συντελεστή εξασθένισης 0.2dB/Km, ενώ μια αντίστοιχη της δεκαετίας του '60 παρουσίαζε 1000dB/Km απώλειες), εξασφαλίζοντας μετάδοση σε πολύ υψηλές ταχύτητες και μεγάλες αποστάσεις ταυτόχρονα. Παρόλα αυτά, ένα σύγχρονο οπτικό δίκτυο πληροφορίας, εκτός από ένα μέσο διάδοσης με μικρές απώλειες, πρέπει να διαθέτει επιπλέον και τα κατάλληλα δομικά στοιχεία για την επεξεργασία (φώραση, αναγέννηση, ενίσχυση, διαχωρισμό) του οπτικού σήματος. Η επεξεργασία αυτή θα πρέπει να εκτελείται με ελάχιστες απώλειες, καθώς επίσης και με μεγάλη ταχύτητα. Οι πρώτες συσκευές επεξεργασίας οπτικού σήματος συνήθως μετέτρεπαν το οπτικό σήμα σε ηλεκτρικό (και το αντίστροφο), με αποτέλεσμα να εμφανίζονται σημαντικές απώλειες κατά τη διαδικασία. Σύμφωνα με τις σύγχρονες απαιτήσεις στην οπτική τεχνολογία, ο τρόπος επεξεργασίας του σήματος στα φωτονικά δίκτυα απαιτείται να εκτελείται με αποκλειστικά οπτικό, και ως επί το πλείστον, ελεγχόμενο τρόπο. Επιπλέον, τις τελευταίες δύο δεκαετίες, από αρκετές θεωρητικές και πειραματικές μελέτες έχει γίνει εμφανές ότι οι περιοδικές φωτονικές διατάξεις προσφέρουν μοναδικές δυνατότητες επεξεργασίας οπτικών σημάτων και διαδιδόμενων δεσμών. Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η μελέτη των βασικών γραμμικών και μη-γραμμικών φαινομένων σε καινοτόμες περιοδικές φωτονικές διατάξεις, οι οποίες μπορούν να διαδραματίσουν μελλοντικά σημαντικό ρόλο ως δομικά στοιχεία ενός οπτικού δικτύου πληροφορίας. Μέσα από την ερευνά μας δίνεται ιδιαίτερη έμφαση σε φαινόμενα οπτικής διάδοσης σε συσκευές οπτικών συζευκτών-ενισχυτών, σε φωτονικά πλέγματα, σε συστοιχίες διηλεκτρικών κυματοδηγών και σε οπτικές ίνες με μεταβαλλόμενο κατά το μήκος τους δείκτη διάθλασης. Συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 1, εξετάζουμε τις οπτικές ιδιότητες μιας καινοτόμου συσκευής οπτικής σύζευξης, της οποίας η εγκάρσια διατομή διαθέτει κυκλική περιδικότητα, και αποτελείται από ένα κεντρικό κυκλικό κυματοδηγό με πανομοιότυπες περιφερειακές οδοντώσεις. Η εν λόγω διάταξη μπορεί να ενταχθεί στην κατηγορία των (ασυμμετρικών) πολυπυρηνικών κυκλικών διηλεκτρικών οπτικών συσκευών σύζευξης με διπλοθλαστικά χαρακτηριστικά. Επιπλέον, στην περίπτωση όπου ο πυρήνας των περιφερειακών οδοντώσεων διαθέτει διαφορετικό δείκτη διάθλασης από αυτό του κεντρικού κυματοδηγού, ο συγκεκριμένος συζεύκτης μπορεί να θεωρηθεί ως ένας σύνθετος (από πλευράς υλικού) κυματοδηγός συνδυάζοντας έτσι όλα τα χαρακτηριστικά των σύγχρονων οπτικών συσκευών σύζευξης. Η ανάλυση των οπτικών ιδιοτήτων της διάταξης αυτής ξεκινά από την μελέτη των θεμελιωδών υβριδικών ρυθμών ενός εκ των περιφερειακών πυρήνων, οι οποίοι στο πρόβλημά μας θεωρούμε ότι διαθέτουν εγκάρσια διατομή τμήματος κυκλικής στεφάνης (δακτυλιοειδής τομέας). Η εφαρμογή της μεθόδου προσαρμογής σημείων στις διεπαφές της εγκάρσιας διατομής του περιφερειακού κυματοδηγού, καθώς επίσης και η εφαρμογή ειδικής αριθμητικής μεθόδου για τον προσδιορισμό του μηδενισμού της ορίζουσας του γραμμικού συστήματος κυματοδήγησης, έκανε εφικτή την εξαγωγή της κανονικοποιημένης σταθεράς διάδοσης του εκάστοτε κυματοδηγούμενου ρυθμού με ακρίβεια 3ου δεκαδικού ψηφίου. Ακόμη και σε περιπτώσεις αυξημένης καμπυλότητας περιφερειακών πυρήνων, με κατάλληλη κατανομή σημείων προσαρμογής, τα κρίσιμα οπτικά μεγέθη των θεμελιωδών ρυθμών προσδιορίστηκαν με ικανοποιητική ακρίβεια. Η ευστάθεια, η απόδοση και η αξιοπιστία της ημιαναλυτικής μεθόδου που εφαρμόσαμε επιβεβαιώθηκαν και συγκρίθηκαν με αναλύσεις γνωστών διατάξεων στο όριο της μηδενικής καμπυλότητας, με μετατόπιση του κέντρου του τοπικού συστήματος συντεταγμένων, καθώς επίσης και με άλλες κατανομές σημείων προσαρμογής και μεθόδους χωρισμού διαφορετικών περιοχών κυματοδήγησης για τον περιφερειακό κυματοδηγό. Γνωρίζοντας έτσι τις παραμέτρους των θεμελιωδών υβριδικών ρυθμών (ενεργό δείκτη διάθλασης, πεδιακή κατανομή κλπ.) όλων των κυματοδηγών (περιφερειακών και κεντρικού) του συζεύκτη, στη συνέχεια υπολογίζουμε τους γραμμικούς και μη-γραμμικούς συντελεστές της συσκευής και συγκεκριμένα: τους μη-γραμμικούς συντελεστές Kerr, τους συντελεστές σύζευξης κεντρικού-περιφερειακού κυματοδηγού, τους συντελεστές σύζευξης μεταξύ δύο περιφερειακών πυρήνων, καθώς επίσης και τους αντίστοιχους μη-γραμμικούς συντελεστές σύζευξης. Από τα αποτελέσματα της ερευνάς μας αποδείχθηκαν κάποιες βασικές παραδοχές που εφαρμόζονται σε μελέτες για την μοντελοποίηση οπτικών συζευκτών και ενισχυτών. Συγκεκριμένα, έγινε εμφανές ότι στον προτεινόμενο συζεύκτη, τις περισσότερες φορές για ένα συγκεκριμένο περιφερειακό πυρήνα, η γραμμική σύζευξη καθορίζεται αποκλειστικά και μόνο από τους άμεσα γειτνιάζοντες πυρήνες, ενώ τα φαινόμενα μη-γραμμικής σύζευξης είναι ασθενή σε σχέση με το φαινόμενο αυτό-διαμόρφωσης φάσης. Επιπλέον, παρουσιάστηκαν καμπύλες και διαγράμματα μεταβολής χαρακτηριστικών παραμέτρων σύζευξης για την προτεινόμενη διάταξη που αποδεικνύουν ότι η λειτουργία της συσκευής μπορεί να ελεγχθεί από πολλές παραμέτρους, ώστε τα φαινόμενα σύζευξης να ενισχύονται, να εξασθενούν ή να εξισορροπούνται πλήρως. Στο Κεφάλαιο 2 της παρούσας διατριβής, μελετήσαμε τη δυναμική και τις αλληλεπιδράσεις φωτεινών χωρικών σολιτονίων διαδιδόμενων σε φωτονικά μονοδιάστατα πλέγματα τα οποία επάγονται από ένα γραμμικό Περιοδικό Κύμα (ΠΚ) με διασπορά. Στην ανάλυσή μας, θεωρούμε ότι το ΠΚ διαμορφώνει με δυναμικό τρόπο τον μη-γραμμικό (τύπου Kerr) κυματοδηγό μέσω του φαινομένου της εξάρτησης του δείκτη διάθλασης από την ένταση φωτός, ενώ το μοντέλο διάδοσης, που περιγράφει την εξέλιξη της αργά μεταβαλλόμενης περιβάλλουσας του ηλεκτρικού πεδίου στο μέσο αυτό, δίνεται από την 1+1 διαστάσεων μη-γραμμική εξίσωση Schrodinger. Στην μελέτη μας, αποδεικνύεται ότι ακόμη και ένα μικρού πλάτους ΠΚ μπορεί να επηρεάσει την εξέλιξη του σολιτονίου, η οποία εξαρτάται σημαντικά από τις αρχικές παραμέτρους και των δύο κυμάτων. Η ημι-σωματιδιακή διαταρακτική μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης, που εφαρμόζουμε στο κεφάλαιο αυτό, επεκτείνει τα αποτελέσματα παλαιότερων μελετών, που αναπτύχθηκαν για τη δυναμική ενός σολιτονίου σε φωτονικά πλέγματα, θεωρώντας γενικά περιοδικά προφίλ για το ΠΚ αντί για επίπεδου κύματος (καθαρά ημιτονοειδή) σήματα ελέγχου. Το αναλυτικό μοντέλο μας περιλαμβάνει και τις περιπτώσεις στις οποίες το εύρος του σολιτονίου και η περίοδος του ΠΚ διαθέτουν συγκρινόμενες κλίμακες μήκους, ενώ στη συνέχεια η διαταρακτική μέθοδος επεκτείνεται για την μελέτη αλληλεπιδράσεων μεταξύ σολιτονίων υπό την παρουσία ενός ΠΚ, έχοντας ως αποτέλεσμα την παραγωγή ενός δυναμικού συστήματος που περιγράφει πλήρως την αλληλενέργεια της επίδρασης του υποκείμενου ΠΚ και της αμοιβαίας σολιτονικής αλληλεπίδρασης. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι η εξέλιξη δύο αρχικά σαφώς διαχωρισμένων σολιτονικών δεσμών καθορίζεται σημαντικά από το ΠΚ. Η παρουσία του τελευταίου μπορεί να επιφέρει είτε την ενίσχυση είτε την εξασθένηση της αμοιβαίας σολιτονικής αλληλεπίδρασης. Τα αναλυτικά αποτελέσματα της διαταρακτικής μεθόδου για τη δυναμική ενός ή δύο σολιτονίων υπό την παρουσία ΠΚ αποδεικνύεται ότι συμφωνούν με τα αποτελέσματα που απορρέουν από τις απ’ ευθείας αριθμητικές ολοκληρώσεις της μη-γραμμικής εξίσωσης Schrodinger. Στο Κεφάλαιο 3 αναλύεται η δυναμική εξέλιξη ενός σκοτεινού χωρικού σολιτονίου σε μονοδιάστατο φωτονικό πλέγμα δυναμικώς επαγόμενο από φωτεινή πηγή Συνεχούς Κύματος (ΣΚ), καθώς επίσης και φαινόμενα αλληλεπιδράσεων σκοτεινών σολιτονίων σε φωτονικά πλέγματα υπό την παρουσία ΣΚ. Η ανάλυσή μας βασίζεται σε παρόμοιες παραδοχές με αυτές του Κεφαλαίου 2. Μέσα από την εν λόγω έρευνα αναδεικνύεται η διαφορετική συμπεριφορά ενός σκοτεινού σολιτονίου υπό την παρουσία γραμμικού κύματος σε σχέση με το φωτεινό σολιτόνιο. Η αναλυτική μέθοδος, που εφαρμόζουμε για την περίπτωση της διάδοσης ενός χωρικού σκοτεινού σολιτονίου υπό την παρουσία ΣΚ, βασίζεται στην αδιαβατική μεταβολική Lagrangian μέθοδο της οποίας τα αναλυτικά αποτελέσματα συγκλίνουν με τα αριθμητικά για μεγάλο εύρος μεταβολής των παραμέτρων του προβλήματος. Στη συνέχεια, έχοντας αποκτήσει ολοκληρωμένη εικόνα για το πως συμπεριφέρεται ένα σκοτεινό σολιτόνιο υπό την παρουσία ενός ΣΚ και γνωρίζοντας τα βασικά χαρακτηριστικά της αλληλενέργειας μεταξύ δύο σκοτεινών σολιτονίων από παλαιότερες έρευνες, εξετάζουμε τη διάδοση δύο σκοτεινών δεσμών υπό την παρουσία ενός ΣΚ. Με τον τρόπο αυτό αποδεικνύεται ότι, αναλόγως των χαρακτηριστικών του ΣΚ και της αρχικής σχετικής θέσης των δεσμών, τα φαινόμενα αλληλεπίδρασης μπορούν να ελεγχθούν πλήρως (συμμετρική - ασύμμετρη σύγκλιση, και σύγκρουση-αποφυγή σύγκρουσης δεσμών κλπ.), και μάλιστα με αποτελεσματικότερο τρόπο σε σχέση με τα αντίστοιχα φωτεινών σολιτονίων. Στο Κεφάλαιο 4 μελετούμε τις οπτικές ιδιότητες ενός εξαγωνικού ομογενούς πλέγματος συζευγμένων μη-γραμμικών κυματοδηγών με απώλειες ή κέρδος, το οποίο εξετάζεται ως ένας πολυπυρηνικός μη-γραμμικός συζεύκτης και ενισχυτής. Η εγκάρσια διατομή της εν λόγω διάταξης ομοιάζει με τις αντίστοιχες ορισμένων φωτονικών κρυστάλλων. Η συγκεκριμένη μελέτη αποτελεί μια προέκταση παλαιότερης εργασίας, όπου διερευνήθηκαν οι γραμμικές και μη-γραμμικές οπτικές ιδιότητες ενός κυκλικού πολυπυρηνικού συζεύκτη-ενισχυτή, ο οποίος διέθετε ένα κεντρικό κυματοδηγό και πολλούς περιφερειακούς σε κυκλική συστοιχία. Αρχικά η έρευνά μας εστιάζεται στην ανάλυση των οπτικών ιδιοτήτων του εξαγωνικού πλέγματος με δύο εξαγωνικές συστοιχίες και με ή χωρίς κεντρικό κυματοδηγό. Η εξαγωγή των γραμμικών και των βασικών μη-γραμμικών ρυθμών του συστήματος βασίζεται σε μια ημι-αναλυτική προσέγγιση που αφορά την αντίστοιχη εξίσωση Discrete Complex Ginzburg - Landau (dCGL). Τα αποτελέσματα της ημι-αναλυτικής μεθόδου επιβεβαιώνονται και με τα αντίστοιχα αριθμητικά, ενώ δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην ανάλυση ευστάθειας των μη-γραμμικών ρυθμών ΣΚ του συστήματος, και στη γένεση και διάδοση αναπνέοντων ρυθμών. Επιπλέον, στο ίδιο Κεφάλαιο παρουσιάσουμε ενδεικτικά αριθμητικά αποτελέσματα από προσομοιώσεις που εκτελέσαμε για την περίπτωση πλέγματος με περισσότερες από δύο εξαγωνικές συστοιχίες. Τόσο η γραμμική, όσο και η μη-γραμμική ανάλυση, έδειξαν ότι, το σύστημα διαθέτει πληθώρα ρυθμών και ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά διάδοσης. Συγκεκριμένου τύπου μη-γραμμικοί ΣΚ ρυθμοί μπορούν να υπολογιστούν για δεδομένες τιμές οπτικών παραμέτρων του συζεύκτη αρκετά εύκολα και γρήγορα, ενώ ταυτόχρονα δείχνεται και η δυνατότητα διερεύνησης των χαρακτηριστικών ευστάθειας αυτών αναλυτικά. Μέσα από την ανάλυσή μας δείχνουμε ότι εντός των περιοχών μη-γραμμικής ευστάθειας, οι συγκεκριμένοι ρυθμοί διαθέτουν αξιοσημείωτα χαρακτηριστικά ευστάθειας ως προς τυχαίες αρχικές διαταραχές φάσης και πλάτους, ενώ οι ασταθείς ρυθμοί του ίδιου τύπου μπορούν με κατάλληλη αρχική διαταραχή να διεγείρουν διαφορετικού τύπου ρυθμούς. Η παρουσία του κεντρικού κόμβου στο πλέγμα επιφέρει αύξηση της ευστάθειας των λύσεων, ενώ η αύξηση των εξαγωνικών περιμετρικών συστοιχιών έχει ως αποτέλεσμα τον κεντρικό εντοπισμό αυτών. Τέλος, στο Κεφάλαιο 5 εξετάζεται η διάδοση οπτικού σήματος σε λυγισμένη πολυστρωματική LPFG ίνα με αζιμουθιακής εξάρτησης μεταβολή δείκτη διάθλασης στην γραμμική περιοχή λειτουργίας. Το προτεινόμενο μοντέλο αποτελεί επέκταση αυτού που παρουσιάζεται σε παλαιότερη εργασία, στην οποία δεν συμπεριλαμβάνονται φαινόμενα λυγισμού ή μεταβολής της γωνίας εγγραφής. Στην ανάλυσή μας, θεωρούμε ότι μια λυγισμένη LPFG ίνα ισοδυναμεί με μια LPFG ίνα στην οποία η εγγραφή (π.χ. θέρμανση από laser) έγινε υπό μεταβαλλόμενη, ως προς την απόσταση διάδοσης, γωνία προσπτώσεως ακτινοβολίας laser, και όχι κάθετα προς τον διαμήκη άξονα της ίνας. Η σημαντικότερη διαφορά, που τονίζεται μέσα από την έρευνά μας, σε σχέση με την αντίστοιχη περίπτωση της μη-λυγισμένης LPFG ίνας, είναι το γεγονός ότι η εξάρτηση των συντελεστών σύζευξης, που περιγράφει τα εγκάρσια χαρακτηριστικά των πεδιακών εντάσεων, αλλά και της μεταβολής του δείκτη διάθλασης της ίνας, εκφράζεται από μια πολύπλοκη συνάρτηση της διαμήκους συντεταγμένης.