Development of analytical models of mixed boundary value problems for the determination of the hydrodynamic loading on solid bodies, with a focus on violent slamming of free-surface flows
Authors: Τσαούσης Θεοδόσιος 
Published: February 2022

Τα φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από τη βίαιη πρόσκρουση ενός στερεού σώματος με έναν όγκο νερού, προκαλούν την εμφάνιση ιδιαίτερα υψηλών πιέσεων πολύ μικρής διάρκειας. Ο παλμός που θα ασκηθεί στην κατασκευή μπορεί να επιφέρει αστοχίες σε τοπικό αλλά και ευρύτερο πλαίσιο. Γι’ αυτό τον λόγο κρίνεται απαραίτητη η διεξοδική μελέτη τέτοιων φαινόμενων. Από μαθηματική σκοπιά, απαιτείται η επίλυση προβλημάτων μικτών οριακών τιμών. Αυτό προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι διαφορετικού τύπου οριακές συνθήκες πρέπει να ισχύουν σε διαφορετικά μέρη του ίδιου ορίου (ή της ίδια επιφάνειας): συνθήκη Neumann στο τμήμα του στερεού που προσβάλλεται και συνθήκη Dirichlet στο υπόλοιπο. Η μέθοδος επίλυσης των προβλημάτων σε αυτή τη διδακτορική διατριβή είναι αναλυτική. Η παρούσα διδακτορική διατριβή εστιάζει ενδελεχώς στα ακόλουθα δύο φαινόμενα: i) τη βίαιη πρόσκρουση ενός πλήρως κατακόρυφου μετώπου κυματισμού, που κινείται με σταθερή ταχύτητα προς έναν άκαμπτο, κατακόρυφο κύλινδρο κυκλικής διατομής και ii) την πρόσκρουση ενός θραυόμενου κυματισμού σε έναν κατακόρυφο, αδιαπέρατο τοίχο. Αρχικά, επιλύθηκε το πρόβλημα της βίαιης πρόσκρουσης ενός κατακόρυφου μετώπου κυματισμού με έναν κατακόρυφο κύλινδρο. Επιλέχθηκε το συγκεκριμένο στερεό, καθώς είναι γνωστό ότι οι κύλινδροι αποτελούν το βασικό κατασκευαστικό στοιχείο των υπεράκτιων πλωτών ή σταθερών κατασκευών. Το πρόβλημα επιλύεται κάνοντας την παραδοχή των μικρών χρόνων, δηλαδή εξετάζοντας το φαινόμενο αποκλειστικά στα πρώτα στάδια της πρόσκρουσης, καθώς τότε εμφανίζονται τα υψηλότερα φορτία. Κάνοντας την υπόθεση ότι η στιγμιαία γραμμή επαφής που οριοθετεί το τμήμα του κυλίνδρου που προσβάλλεται από το νερό είναι σχεδόν κατακόρυφη (μία υπόθεση που αποδεικνύεται και από αριθμητικά αποτελέσματα CFD) λύνουμε το πρόβλημα στο πλαίσιο της κλασική θεωρίας του Wagner, ωστόσο σε 3D. Υποθέτοντας ασυμπίεστη, μη συνεκτική και αστρόβιλη ροή, επιλύουμε το πρόβλημα με τη βοήθεια του δυναμικού ταχύτητας. Εξάγονται αποτελέσματα για την στιγμιαία γραμμή επαφής, την παραμόρφωση του μετώπου του κυματισμού μετά την πρόσκρουση, τη δύναμη και τέλος τον παλμό που θα ασκηθούν στον κύλινδρο. Συγκρίνονται τα αποτελέσματα με αυτά που προβλέπονται από τις υπάρχουσες θεωρίες των Wagner και von Karman στο 2D πεδίο και καταγράφονται οι διαφορές. Το δεύτερο φαινόμενο το οποίο μελετήθηκε είναι αυτό της βίαιης πρόσκρουσης ενός θραυόμενου κυματισμού σε έναν κατακόρυφο, αδιαπέρατο τοίχο. Γι’ αυτό τον λόγο υποτέθηκε ένα ελαφρώς κεκλιμένο μέτωπο θραυόμενου κυματισμού, το οποίο εγκλωβίζει έναν μικρό θύλακα αέρα, στον οποίο υποθέτουμε ότι υπάρχει κενό. Η επίλυση του προβλήματος βασίζεται και πάλι στην παραδοχή των μικρών χρόνων. Ορίζοντας σαν μικρή παράμετρο του προβλήματος το χρόνο, χρησιμοποιούμε την μέθοδο των διαταραχών χωρίζοντας το κυρίως υδροδυναμικό πρόβλημα σε επιμέρους, διαφορετικής τάξης (ως προς το χρόνο) υπο-προβλήματα. Αρχικά επιλύεται το πρωτοτάξιο πρόβλημα. Εξάγονται αποτελέσματα για i) το δυναμικό της ταχύτητας και κατ’ επέκταση για την πίεση πάνω στον τοίχο για διάφορα μεγέθη του θύλακα του αέρα και ii) την ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας μετά την πρόσκρουση. Σε αυτό το σημείο, πρέπει να τονιστεί ο απειρισμός της κατακόρυφης ταχύτητας του νερού, λόγω της εμφάνισης ενός πίδακα στο σημείο τομής της αδιατάρακτης επιφάνειας του νερού με τον τοίχο. Γι’ αυτόν τον λόγο απαιτείται μία ασυμπτωτική ανάλυση στη γειτονία αυτού του σημείου. Προς αυτή την κατεύθυνση, αξιοποιείται μία παλαιότερη δημοσίευση των King and Needham (1993). Σε συνέχεια της προηγούμενης ανάλυσης, επιλύεται το τριτοτάξιο πρόβλημα, το οποίο εκφράζει επί της ουσίας πιο αργά μεταβαλλόμενα μεγέθη. Η επίλυση του προβλήματος μικτών οριακών τιμών ανάγεται στην επίλυση ενός προβλήματος Sturm-Liouville, μικτών οριακών συνθηκών. Η διαφορά σε σχέση με αντίστοιχα προβλήματα έγκειται στην μορφή των οριακών συνθηκών, οι οποίες περιλαμβάνουν απειροσειρές. Τέτοιου είδους προβλήματα δεν έχουν μελετηθεί μέχρι τώρα σε φαινόμενα υδροδυναμικής που σχετίζονται με αναλυτικές επιλύσεις προβλημάτων βίαιης πρόσκρουσης μεταξύ ενός στερεού και ενός όγκου νερού.Εν κατακλείδι, η παρούσα διδακτορική διατριβή συνεισφέρει αδιαμφισβήτητα, σε ερευνητικό επίπεδο, στην υπάρχουσα έρευνα σε αυτό το σπουδαίο αντικείμενο της Ναυπηγικής καθώς και στην μαθηματική βιβλιογραφία που αφορά προβλήματα Sturm-Liouville.