Ανάλυση ευστάθειας και μεταβατικής / υπομεταβατικής συμπεριφοράς σύγχρονης γεννήτριας ως Euler-Lagrange και Hamiltonian συστήματος
Authors: Ανδρουλιδάκης Ευάγγελος 
Published: September 2021

Η ανάπτυξη της παρούσας εργασίας μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη. Το πρώτο, που είναι αμιγώς θεωρητικό και περιλαμβάνει τα πρώτα τέσσερα κεφάλαια, διερευνά την απλή, ασυμπτωτική και εκθετική ευστάθεια μη γραμμικών Euler-Lagrange και Hamiltonian συστημάτων με/ή χωρίς είσοδο και με μερική μόνο απόσβεση και η οποία έχει ως αντικειμενικό στόχο την μοντελοποίηση και ανάλυση με βάση αυτό το θεωρητικό υπόβαθρο της ευστάθειας της σύγχρονης γεννήτριας. Το δεύτερο μέρος, διερευνά την ευστάθεια της σύγχρονης γεννήτριας χρησιμοποιώντας το πλήρες, μη γραμμικό μοντέλο αυτής. Η ανάλυση ευστάθειας της σύγχρονης μηχανής με βάση το πλήρες της μοντέλο, χωρίς τις παραδοχές και περιοριστικές συνθήκες που μέχρι πρόσφατα έχουν χρησιμοποιηθεί σε ανάλογες προσπάθειες και οι οποίες έχουν φανεί να είναι εντελώς ανεδαφικές, γίνεται για πρώτη φορά και αποτελεί τη βασική συνεισφορά της εργασίαςΣυγκεκριμένα, στην εργασία αναπτύχθηκαν κριτήρια ικανά για την απόδειξη της ασυμπτωτικής και σε κάποιες περιπτώσεις της εκθετικής ευστάθειας μη γραμμικών Χαμιλτονιανών συστημάτων χωρίς είσοδο και με μερική μόνο απόσβεση, που βασίζονται στον βαθμό του πίνακα απόσβεσης. Τα κριτήρια αυτά, παρουσιάζουν οφέλη έναντι των υπαρχόντων μεθόδων, με χρήση των οποίων η ευστάθεια εισόδου-προς-κατάσταση είναι η ιδιότητα που συνήθως αποδεικνύεται, ενώ η ασυμπτωτική ευστάθεια είναι δυνατόν ν’ αποδειχθεί με μεθόδους όπως της ‘επιμένουσας διέγερσης’. Οι προτεινόμενες μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν και σε περιπτώσεις όπου η μέθοδος της επιμένουσας διέγερσης δεν ισχύει, ενώ η απλότητα στην εφαρμογή τους είναι ένα πρόσθετο πλεονέκτημα. Τέλος, οι μέθοδοι αξιοποιούνται για την ανάλυση που αφορά σε συστήματα με είσοδο, όπου μελετάται η ευστάθεια φραγμένης εισόδου-προς-κατάσταση και η ασυμπτωτική ευστάθεια, ολοκληρώνοντας έτσι το θεωρητικό υπόβαθρο για την ανάλυση ευστάθειας της σύγχρονης μηχανής.Η ευστάθεια και η ασυμπτωτική ευστάθεια της σύγχρονης γεννήτριας στο σημείο λειτουργίας της, αναπτύσσεται στο δεύτερο μέρος (κεφάλαια 5 έως 8) με χρήση του πλήρους, μη γραμμικού μοντέλου υπό την επίδραση οποιασδήποτε φραγμένης εισόδου. Για τον σκοπό αυτό, εισήχθη κατάλληλη συνάρτηση Lyapunov, η οποία εξασφαλίζει τη σύγκλιση των λύσεων εντός φραγμένης περιοχής και την απόδειξη της ιδιότητας ευστάθειας φραγμένης εισόδου-προς-κατάσταση. Στη συνέχεια, χρησιμοποιείται το θεώρημα LaSalle για να αποδειχθεί η σύγκλιση σε σημείο ισορροπίας εντός του αμετάβλητου συνόλου που ορίστηκε στην περιοχή σύγκλισης. Η προτεινόμενη στην παρούσα εργασία μέθοδος, πλεονεκτεί έναντι των υπαρχόντων μεθόδων, μιας και αντιμετωπίζει το πρόβλημα της ευστάθειας στο πλήρες, μη γραμμικό μοντέλο χωρίς τη χρήση περιορισμών, πέραν της υπόθεσης ότι οι όποιες εξωτερικές είσοδοι της μηχανής (τάσεις στάτη και τυλίγματος διέγερσης, μηχανική ροπή) παραμένουν φραγμένες.Τα αποτελέσματα ευστάθειας που εξάγονται που προκύπτουν, ισχύουν για σύγχρονες γεννήτριες με ή χωρίς τυλίγματα απόσβεσης. Ωστόσο, ενδεχόμενη απουσία τυλιγμάτων απόσβεσης σε μικρότερες γεννήτριες που χρησιμοποιούνται στη ΔΠ, οδηγεί στη χειροτέρευση της υπομεταβατικής απόκρισης. Για να ενισχυθεί η ευστάθεια του συστήματος σ’ αυτές τις περιπτώσεις, προτείνεται η παρουσία πρόσθετων βρόχων ανάδρασης στις εισόδους τάσης της γεννήτριας, που έχουν σαν σκοπό να επιδράσουν στη δυναμική απόκριση της σύγχρονης γεννήτριας, με τρόπο ανάλογο αυτού των τυλιγμάτων απόσβεσης. Οι πρόσθετες αυτοί είσοδοι (που αναφέρονται ως εικονικά τυλίγματα απόσβεσης) πράγματι βελτιώνουν σημαντικά τη συμπεριφορά της σύγχρονης γεννήτριας, όπως προκύπτει από αναλυτικές προσομοιώσεις. Για τον σχεδιασμό τους αναπτύσονται τρεις ξεχωριστές μεθοδολογίες, με ανάλυση που προοδευτικά καταλήγει σε τελικό σχήμα για το οποίο αποδεικνύεται και η συνολική ευστάθεια της σύγχρονης γεννήτριας υπό το πλήρες μη γραμμικό μοντέλο που προκύπτει. Μετά το πρώτο εισαγωγικό κεφάλαιο, η εργασία διαμορφώνεται ως εξής:Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα δοθεί μια αναλυτική παρουσίαση των Euler – Lagrange (E-L) συστημάτων, με έμφαση στις ιδιότητες και στην εξαγωγή των σχετικών εξισώσεων. Στο τρίτο κεφάλαιο, θα γίνει μια επισκόπηση των μεθόδων ανάλυσης ευστάθειας των μη γραμμικών συστημάτων, με έμφαση στα θεωρήματα Lyapunov και στο θεωρήματος LaSalle. Το θεώρημα LaSalle θα αναλυθεί διεξοδικά τόσο στην αυτόνομη όσο και στην μη αυτόνομη μορφή του.Στο τέταρτο κεφάλαιο, εξετάζεται η ευστάθεια για μη γραμμικά Χαμιλτονιανά συστήματα χωρίς είσοδο και με μερική μόνο απόσβεση και εξάγονται συνθήκες βαθμού για τον πίνακα απόσβεσης, ικανές για την απόδειξη της εκθετικής και ασυμπτωτικής ευστάθειας. Δείχνεται επίσης ότι το θεώρημα LaSalle στην περίπτωση μη αυτόνομων συστημάτων είναι δυνατόν να επεκταθεί σε συνθήκη βαθμού ικανή για την ομοιόμορφη ασυμπτωτική ευστάθεια. Επίσης, αναλύονται η ιδιότητα φραγμένης εισόδου προς κατάσταση και η ασυμπτωτική ευστάθεια για Euler-Lagrange συστήματα υπό τη δράση φραγμένης εισόδου.Στο πέμπτο κεφάλαιο αναλύεται η σύγχρονη γεννήτρια ως σύστημα με έμφαση στη δυναμική της συμπεριφορά, την περιγραφή της με κατάλληλα μοντέλα πλήρους και μειωμένης τάξης. Στο έκτο κεφάλαιο, γίνεται χρήση της ασυμπτωτική ευστάθεια στο μη μηδενικό σημείο ισορροπίας αυτόνομων μη γραμμικών Euler-Lagrange και Hamiltonian συστημάτων. Η ανάλυση καλύπτει περιπτώσεις μεγάλου πρακτικού ενδιαφέροντος, όπως η σύγχρονη γεννήτρια της οποίας η ευστάθεια αποδεικνύεται στο πλήρες μη γραμμικό μοντέλο χωρίς να απαιτούνται απλοποιήσεις και εισαγωγή παραμετρικών περιορισμώνΣτο έβδομο κεφάλαιο, εισάγεται η έννοια των εικονικών τυλιγμάτων απόσβεσης. Πρόκειται για πρόσθετες εισόδους ελέγχου, που έχουν σκοπό να υποκαταστήσουν τη δράση των τυλιγμάτων απόσβεσης στη δυναμική συμπεριφορά της σύγχρονης γεννήτριας. Στο όγδοο κεφάλαιο, αναλύεται η συμπεριφορά της σύγχρονης γεννήτριας, υπό την παρουσία κυκλωμάτων ΑΡΤ/ΣΣΙ για το πλήρες και το απλοποιημένο μοντέλο. Τέλος, στο ένατο κεφάλαιο, συνοψίζονται τα συμπεράσματα της εργασία