Computational vademecums for lattice materials using algebraic PGD
Authors:   , Sibileau Alberto 
Published: October 2023

This dissertation is motivated by the concept of materials by design. Focusing on structures, this states that the properties in a mechanical component are not only inherited by its constituent material, but also by the shape in which this one is distributed in space. Although this notion has been developed for thousands of years in architecture, its relevance at a smaller scale has not been conceived until the arrival of additive manufacturing technologies.
The materials by design approach is certainly multidisciplinary, from the study of the shape, its representation in CAD, to the final manufacturing by 3D printing. We here assess the first one, by means of numerical simulations. These play an important role, by reinforcing our physical intuition in the resolution of the following question: which is the material structure at a small scale (meso-structure) that features some prescribed properties at a global scale (bulk material).
We introduce the material meso-structure as a lattice model with a parametric shape. The mechanical properties arising at the global scale are recovered by solving an equilibrium problem. Naturally, this one acquires the parametric nature of the lattice model. The main difficulty to handle the emerging mechanical properties of the bulk parametrically, is that the computational complexity of numerical simulations increases exponentially with the number of parameters.
To overcome this, we resort to the Proper Generalized Decomposition (PGD), which provides explicit parametric solutions of our equilibrium problem. As a major contribution, we obtain the parametric solutions of the algebraic equations arising from different lattice structures using the same PGD framework. In this sense, the algebraic PGD works as a non-intrusive solver, which is not limited to structural problems but in general, any discrete form of a parametrized linear PDE.
The parametric mechanical properties of 2D and 3D lattice materials are explicitly represented by the PGD solutions or computational vademecums. In particular, we reproduce the response of orthotropic Poisson's ratios in terms of the design parameters. Extreme negative values are identified, a characteristic that is relevant regarding the outperforming of auxetic (or negative Poisson's ratios) properties compared to conventional materials. Moreover, these computational vademecums could be further exploited to tailor the material design through multi-objective and constraint optimizations, providing an efficient tool to browse the parametric design space.
Finally, we extend our parametric analysis using geometrically nonlinear finite elements to compute equilibrium, and the algebraic PGD a posteriori to interpolate their response. This is achieved with very good accuracy, for engineering purposes, at a considerably low number of modes. The nonlinear parametric framework surely broadens the range of applications, and we highlight this in two distinctive situations. First, we demonstrate its capability to describe the loading magnitude as an extra parameter to the material properties behavior. Last but not least, we show its potential to perform buckling analysis of lattice structures, as a function of the geometric parameters and the loading magnitude itself.

Este trabajo está motivado por el concepto del diseño de materiales a medida. Centrándose en estructuras, esto significa que las propiedades de un componente mecánico no sólo se heredan por su material constitutivo, sino también por la forma en la que éste se distribuye en el espacio. A pesar de que esta idea se haya desarrollado hace miles de años en arquitectura, su relevancia en un tamaño de escala menor no se ha concebido posible hasta el advenimiento de las tecnologías de manufactura aditiva. El diseño de materiales a medida es ciertamente multidisciplinario, desde el estudio de la forma, su representación en CAD, hasta su fabricación por medio de impresoras 3D. Aquí nos focalizamos en el primer aspecto, utilizando simulaciones numéricas. Éstas juegan un rol esencial, ayudando a nuestra intuición física en la respuesta del siguiente interrogante: ¿cuál es la estructura de un material en un pequeño tamaño de escala (meso-estructura), que determina ciertas propiedades mecánicas deseadas en un tamaño de escala grande? En este sentido, introducimos una meso-estructura de material a través de un modelo de tipo lattice, cuya forma está parametrizada. Las propiedades mecánicas, resultantes a gran escala, se derivan resolviendo un problema de equilibrio. Naturalmente, este problema hereda la parametrización introducida para el modelo lattice. La dificultad de resolver las propiedades mecánicas resultantes, de manera paramétrica, reside en que la complejidad computacional de las simulaciones numéricas se incrementa exponencialmente con el número de parámetros. Para evitar este infortunio, nos remitimos al método PGD (Proper Generalized Decomposition), que provee una solución paramétrica explícita de nuestro problema de equilibrio en cuestión. Como contribución destacada, obtenemos la solución paramétrica del sistema de ecuaciones algebraicas, resultante de diversas estructuras de tipo lattice, utilizando el mismo algoritmo PGD. En este sentido, la PGD algebraica funciona como un solver no intrusivo, cuyo uso no está limitado sólo a problemas estructurales sino a cualquier forma discreta de una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) paramétrica. Las propiedades mecánicas paramétricas de materiales tipo lattice en 2D y 3D son representadas de manera explícita por soluciones PGD, también llamadas vademécums computacionales. En particular, obtenemos la respuesta de módulos de Poisson ortotrópicos, en función de los parámetros de diseño. Valores negativos extremos son identificados, una característica que es relevante en cuanto que ciertas propiedades auxéticas, esto es, relacionadas con módulos de Poisson negativos, resultan superiores en performance en comparación a los materiales convencionales. Además, los vademécums computacionales pueden utilizarse para explotar el diseño de materiales a medida a través de optimizaciones numéricas multi-objetivo, ya que permiten explorar las diversas soluciones en el espacio paramétrico de manera eficiente. Finalmente, este análisis paramétrico es extendido a no-linealidades geométricas, utilizando elementos finitos para resolver equilibrio, y la PGD algebraica a posteriori para interpolar su respuesta. Los resultados muestran una muy buena precisión, en términos ingenieriles, para un número de modos considerablemente bajo. El análisis no lineal amplía el rango de aplicaciones, para lo cual nos centramos en dos situaciones diversas. Primero, demostramos la capacidad de describir el comportamiento de las propiedades mecánicas teniendo a la magnitud de carga como un parámetro extra. Finalmente, demostramos el potencial de realizar el análisis de pandeo de estructuras tipo lattice, en función de los parámetros geométricos y de la magnitud de carga.