Mathematical modeling of shear seismic vibrations of an array consisting of recultivated material deposits of the mining industry (tailings)
Authors: Музаев И.Д. , Харебов К.С. , Музаев Н.И. 
Published: June 2022

В статье поставлены и решены две начально-краевые задачи математической физики, моделирующие сдвиговые сейсмические колебания массива, состоящего из отходного материала хвостохранилища, когда движение массива вызвано падением сейсмической волны на его подстилающую поверхность. Цель работы. Пристальный интерес к подобным прикладным задачам обусловлен тем, что нередко такой массив расположен в узкой пойме реки близко к речному потоку. При сейсмотектонических ситуациях может создаться потенциальная экологическая опасность для речной системы региона из-за возможного обрушения в речной поток токсического материала, слагающего массив. Методы работы. Одна задача решена в рамках гипотезы Е.С. Сорокина относительно диссипации энергии, обусловленной внутренним сопротивлением в среде. Другая задача поставлена и решена в рамках гипотезы Кельвина-Фойгта. Один коэффициент в дифференциальных уравнениях сдвиговых колебаний является комплексной величиной. Другой коэффициент представляет функцию, зависящую от пространственной координаты. Эти особенности в представленных краевых задачах создают математические трудности при попытке их решения аналитическими методами математической физики. В связи с указанными особенностями, при произвольной зависимости коэффициентов от пространственной координаты поставленные задачи во всем мире никем не решены. Результаты работы. В данной работе найден путь решения этих задач в частном случае при экспоненциальной зависимости ширины массива от координаты. В этом частном случае переменные коэффициенты вырождаются в постоянные величины и тем самым путь решения поставленных задач существенно облегчается. В результате решения поставленных двух задач, для каждой получена совокупность расчетных формул для вычисления сейсмонапряжений и сейсмоперемещений в теле массива. По полученным расчетным формулам выполнены вычислительные эксперименты с использованием компьютерных технологий по определению сейсмических напряжений и перемещений на подстилающей поверхности и на гребне массива в зависимости от частоты и амплитуды падающей сейсмической волны. Полученные результаты позволяют выполнить дальнейшие оценочные расчеты по нарушению целостности массива и его частичного либо полного обрушения в речной поток

When the tailings, where toxic waste from the processing of the mining and metallurgical industry was constantly dumped and accumulated, collapse, an environmental threatoccurs. Sometime, the waste array is located in a narrow floodplain of the river close to the river stream. In seismotectonic situations, a potential environmental hazard may be created for the region river system due to the possible collapse of toxic material composing the massif into the river stream. Aim. Formulation and solution of two initial boundary value problems of mathematical physics modeling shear seismic vibrations of an array consisting of waste material of a tailings dump, when the movement of the array is caused by the fall of a seismic wave on its underlying surface. Methods. One problem is solved within the framework of the hypothesis of E.S. Sorokin regarding the dissipation of energy due to internal resistance in the medium. Another problem is posed and solved within the framework of the Kelvin-Voigt hypothesis. One coefficient in the differential equations of shear oscillations is a complex quantity. The other coefficient represents a function depending on the spatial coordinate. These features in the presented boundary value problems create mathematical difficulties when trying to solve them by analytical methods of mathematical physics.Due to these features, with an arbitrary dependence of the coefficients on the spatial coordinate, the tasks set have not been solved by anyone all over the world. In this paper, we have found a way to solve these problems in the special case with an exponential dependence of the array width on the coordinate. In this particular case, the variable coefficients degenerate into constant values and thus the way to solve the tasks is significantly facilitated. Results. When solving the two tasks, a set of calculation formulas for calculating seismic stresses and seismic displacements in the body of the array was obtained for each. According to the obtained calculation formulas, computational experiments were performed, using computer technologies to determine seismic stresses and displacements on the underlying surface and on the ridge of the array, depending on the frequency and amplitude of the incident seismic wave. The results obtained make it possible to perform further estimated calculations on the violation of the integrity of the massif and its partial or complete collapse into the river stream.