Suppression and control of modulation instability
Authors:   , Kumar Shubham 
Published: October 2023

Dynamical instabilities which lead to spontaneous pattern formation are present in a wide variety of nonlinear dynamical systems, both in nature as well as in technological areas. The instabilities may be saturating, leading to stationary and regular patterns, or not, leading to complex periodic structures or spatiotemporal chaos. Such pattern formation occurs universally, ranging diversely from fields such as biology and ecology to optics, hydrodynamics, condensed matter systems etc. Modulation Instability (MI), initially studied on systems such as deep-water waves, plasmas, nonlinear optics, and electromagnetics, is crucial to many current key technologies and research fields such as lasers, chemical systems, Bose-Einstein condensates of attracting atoms, high energy physics, ecology and vegetation, hydrodynamics, astrophysics etc. Despite the enormous variety of patterns in various different systems, the onset of such unstable spatiotemporal dynamics always originates through a modulation instability, when the initial, maximally-symmetric homogeneous state of the system spontaneous loses stability with respect to exponentially growing modulation modes. Therefore, the control and suppression of the MI, especially in spatially-extended systems that present a continuum (an infinite number) of unstable spatial modes, is vital for the stabilization of various such pattern-forming nonlinear systems and achieving this remains an ambitious goal.
In this study, a fundamental new understanding of the MI in spatially-extended systems is developed, and a mechanism for the complete suppression of MI in such unstable systems is presented. The mechanism relies on an appropriate manipulation of the dispersion of the system, through a properly designed spatiotemporal modulation of its potential. This mechanism of MI suppression relies on a "resonant" interaction between the spatial and temporal frequencies of the modulation, which only occurs when the modulation geometry is close to the resonance.
A second, much-more powerful, mechanism is also developed based on this initial understanding, in which the stabilization procedure is generalized, to form a "stabilization on demand" scheme, which achieves successful stabilization even for highly complex nonlinear systems. This method, based on the introduction of multiple "resonant" modulations of the system's potential relies on a Genetic Algorithm based optimization procedure, to suit arbitrarily complex stabilization requirements in various systems.
The results bear general character, as they have been developed on the Complex Ginzburg-Landau model, which provides a universal description of MI across various systems from lasers to chemical systems, Bose-Einstein condensates, biological systems etc.
Lastly, both methods are successfully applied to real-world systems, by providing a robust stabilization of MI in Broad Area Semiconductor (BAS) amplifiers and Vertical Cavity Surface Emitting semiconductor lasers. In BAS amplifiers the stabilization relays on a two-dimensional spatial modulation of the pump current, as may be provided through fishnet-like electrodes. While in the case of Vertical Cavity lasers the same may be achieved via a spatiotemporal modulation. These results have been demonstrated for realistic parameters, including large nonlinear coefficients and at high operating powers, representing a significant breakthrough in the stabilization of these widely prevalent and indispensable photonic devices.

Les inestabilitats lineals que duen a la formació espontània de patrons són presents en un ampli ventall de sistemes dinàmics no lineals, tant en sistemes naturals com o sistemes tecnològics artificials. Les inestabilitats poden saturar-se, donant lloc a patrons estacionaris regulars, o no, donant lloc a estructures periòdiques complexes o a caos espai-temporal. Aquesta formació de patrons té lloc de forma universal, abraçant camps diversos, des de la biologia i l'ecologia a l'òptica, la hidrodinàmica, o sistemes de matèria condensada, etc. La Inestabilitat de Modulació (IM), inicialment estudiada en sistemes com ara ones d'aigües profundes, plasmes, òptica no lineal, i l'electromagnetisme, és crucial per a moltes tecnologies clau actuals i camps d'investigació com ara el làser, sistemes químics, condensats de Bose-Einstein d'àtoms que s’atreuen, física d'altes energia, l'ecologia i la vegetació, la hidrodinàmica, l'astrofísica, etc. Tot i l'enorme varietat de patrons en els diversos sistemes diferents, l’aparició de la inestabilitat espai-temporal dinàmica sempre s'origina a través d'una inestabilitat de modulació, quan l'estat homogeni inicial del sistema, amb màxima simetria, perd de forma espontània l’estabilitat respecte a modes de modulació de creixement exponencial. Per tant, el control i la supressió de la IM, especialment en sistemes espacials extensos que presenten un continu de modes espacials inestables, és vital per a l'estabilització de diverses tals sistemes no lineals i l'obtenció d'això continua sent un gran repte. Aquest estudi desenvolupa un nou enfoc fonamental per a la comprensió de la IM en sistemes extensos espacials, i presenta un mecanisme per a la complerta supressió de la IM en aquests sistemes inestables. El mecanisme es basa una manipulació de la dispersió del sistema de forma adequada, mitjançant una modulació espai-temporal especialment dissenyada del seu potencial. Aquest mecanisme de supressió de MI es basa en la interacció 'ressonant' entre les freqüències espacials i temporals de la modulació, que només es produeix quan el, la geometria de modulació és a prop de la ressonància. Un segon mecanisme d’estabilització, molt més potent, es desenvolupa sobre la base d'aquesta troballa inicial, en la qual es generalitza el procediment, per donar lloc a un esquema 'estabilització a demanda', que aconsegueix una estabilització exitosa fins i tot per a sistemes no lineals altament complexes. Aquest mètode, es fonamenta en la introducció de múltiples modulacions 'ressonants' en el potencial del sistemes i es basa en un procediment d'optimització mitjançant algoritmes genètics, capaç de satisfer requisits arbitràriament complexes per l’estabilització en sistemes diversos. El resultats obtinguts tenen un caràcter general, ja que han estat desenvolupats per a l’equació de Ginzburg-Landau complexa, que proporciona una descripció universal de la IM en diferents sistemes làser, sistemes químics, condensats de Bose-Einstein, sistemes biològics, etc. Finalment, tots dos mètodes s'apliquen amb èxit per a sistemes reals, proporcionant una eina potent per a l'estabilització d’amplificadors òptics de semiconductor d’àrea ampla i làsers de semiconductor de cavitat vertical. En el cas d’amplificadors òptics l’estabilització s’aconsegueix amb la modulació en dues dimensions espacials del corrent de bombeig, per exemple proporcionat a través d'elèctrodes de reixeta. D’altra banda, pels làsers de cavitat vertical s’aconsegueix a través d'una modulació espai-temporal. Aquests resultats han estat demostrat per a paràmetres realistes incloent grans coeficients no lineals i potències de funcionament elevades. Per tot això, aquest treball representa un avenç significatiu en l'estabilització d'aquests dispositius fotònics tan comuns com indispensables.