Διαφορική γεωμετρία και θεωρία μεταβολών στην αναγνώριση προτύπων και την ψηφιακή ανάλυση εικόνας, με πρωτότυπες εφαρμογές στη βιοϊατρική και την αρχαιομετρία
Authors: Αραμπατζής Δημήτριος 
Published: September 2021

Στην παρούσα διατριβή ορίζονται νέες ποσότητες και αναπτύσσονται συνεπαγόμενες διαδικασίες ομαδοποίησης δεδομένων με χρήση α) εννοιών και νέων προσεγγίσεων στο γνωστικό πεδίο της Θεωρίας Μεταβολών και β) αναπαραστάσεων και ποσοτήτων επί Διαφορίσιμων Πολλαπλοτήτων (Differentiable Manifolds) σε δύο, τρεις και τέσσερις διαστάσεις.Η περίπτωση των τριών διαστάσεων αφορά τη μαθηματική τοποθέτηση και επίλυση του προβλήματος της ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων. Η τοποθέτηση του προβλήματος στηρίζεται στην αναπαράσταση των αποκλίσεων των επιφανειών θραύσης μέσω ενεργειακών σε τρεις, δύο και μία διάσταση. Η επίλυση του προβλήματος ανακατασκευής στηρίζεται τόσο στην επίλυση των προβλημάτων Μεταβολών που αντιστοιχούν στην, υπό περιορισμούς μεγιστοποίηση αυτών των μέτρων διαφοροποίησης, όσο και στον προσδιορισμό της ιεραρχίας των κριτηρίων που επάγεται από τη συναλήθευση όλων αυτών των ορίων διαφοροποίησης. Η ιεραρχία αυτή αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική μέχρις ισομορφισμού και κατά συνέπεια αποτελεί τη βάση πάνω στην οποία αναπτύσσεται ο αλγόριθμος της ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων. Ο αλγόριθμος αυτός εφαρμόστηκε στα πλαίσια ενός ολοκληρωμένου συστήματος ανακατασκευής τοιχογραφιών που χρησιμοποιήθηκε για τον αυτόματο εντοπισμό συνενώσεων μεταξύ θραυσμάτων Μυκηναϊκών νωπογραφιών από την ανασκαφή της Τίρυνθας που φυλάσσονται στην Προϊστορική Συλλογή του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου.Οι περιπτώσεις των Πολλαπλοτήτων δύο και τεσσάρων διαστάσεων αφορούν τον προσδιορισμό αντιστοιχιών μεταξύ οικογενειών καμπυλών υπό ελαστικές παραμορφώσεις και παραμορφώσεις της πεπλεγμένης παράστασής τους αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, στην πρώτη περίπτωση προσδιορίζονται οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τις διαφορίσιμες παραμορφώσεις των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων 2Δ σωμάτων. Προσδιορίζονται επίσης οι μορφολογικοί τελεστές των οποίων η δράση ισοδυναμεί με την παραμόρφωση που περιγράφουν οι προσδιορισθείσες ΜΔΕ. Λόγω της καμπυλόγραμμης παράστασης των σωμάτων οι παραμορφώσεις αποσυμπλέκονται σε ελαστικές και παραμορφώσεις που αντιστοιχούν σε τοπικές διαστολές/συστολές. Με τη χρήση του τελεστή που αντιστοιχεί στις ελαστικές παραμορφώσεις αναπτύσσονται 2 διαδικασίες που προσδιορίζουν την καμπύλης αναφοράς, η οποία ελαχιστοποιεί την παραμόρφωση της καμπυλόγραμμης παράστασης του σώματος και, εν συνεχεία, αντιστρέφουν την παραμόρφωση αυτή. Με βάση αυτές τις 2 διαδικασίες αναπτύσσεται ένα υπολογιστικό σύστημα ανακατασκευής απαραμόρφωτων εκδοχών σωμάτων που υφίστανται 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις και παρουσιάζεται η εφαρμογή του στην αυτόματη αναγνώριση παρασίτων από εικόνες μικροσκοπίου.Τέλος στο 3ο θέμα της διατριβής η αντιστοιχία καμπυλών μελετάται υπό την ομαδοποίησή τους σε παραμετρικές οικογένειες επιπεδοσυνόλων (level-sets) της ιδίας συνάρτησης R4 → R. Αποδεικνύεται πως αυτή η ομαδοποίηση μπορεί να συμπεριλάβει κάθε διαφορίσιμη μη-Ευκλείδια αντιστοιχία καμπυλών στον R2 και είναι ελάχιστη ως προς τις διαστάσεις της αναπαράστασής της. Με προβολή του γενικευμένου τελεστή σχήματος (shape operator) στο χώρο των εφαπτομένων των επιπεδοσυνόλων κάθε οικογένειας καμπυλών και με χρήση του γενικευμένου θεωρήματος Stokes αναπτύσσεται ένα σφάλμα προσαρμογής βασισμένο στην διαφορική μορφή της καμπυλότητας. Αποδεικνύεται πως η ελαχιστοποίηση του σφάλματος αυτού ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της γεωδαιτικής απόστασης εντός της 4 – πολλαπλότητας που ορίζει κάθε οικογένεια επιπεδοσυνόλων ενώ ταυτόχρονα το σφάλμα παραμένει ανεξάρτητο Ευκλείδειων μετασχηματισμών. Απαιτώντας το σφάλμα αυτό να παραμένει στάσιμο στο επιπεδοσύνολο της οικογένειας που προσαρμόζει καλύτερα μια καμπύλη δεδομένων αναπτύσσονται 2 συμπληρωματικές διαδικασίες, μια κατάταξης καμπυλών σε αντίστοιχα μέλη μιας δοσμένης παραμετρικής οικογένειας καμπυλών και μια ομαδοποίησης καμπυλών υπό το ίδιο μέλος της παραμετρικής οικογένειας. Στη βάση αυτών των διαδικασιών αναπτύσσεται ένα πλήρες υπολογιστικό σύστημα για τον προσδιορισμό του ελάχιστου αριθμού προτύπων καμπυλών που προσαρμόζουν κατά μήκος τους βέλτιστα το μεγαλύτερο δυνατό ποσοστό ενός συνόλου δεδομένων καμπυλών. Η εφαρμογή του συστήματος αυτού σε Μυκηναϊκές νωπογραφίες του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου έδειξε πως η τοιχογραφία «Μυκηναία» έχει παραχθεί με τη χρήση προηγμένων γεωμετρικών οδηγών που αντιστοιχούν σε 2 υπερβολές και 2 γραμμικές σπείρες. Αποκλείστηκε επίσης, μεταξύ άλλων, το ενδεχόμενο μια δεύτερη νωπογραφία με εξαιρετικά σταθερά περιγράμματα να έχει παραχθεί από οδηγούς που αντιστοιχούν σε κωνικές τομές ή σε γραμμικές και εκθετικές σπείρες ή σε σπείρες εκτύλιξης.