DIFFERENTIAL EQUILIBRIUM EQUATIONS IN IDEAL ELASTIC-PLASTIC CONTINUOUS MEDIUM FOR PLANE DEFORMATION IN CARTESIAN COORDINATES AT APPROXIMATION OF CLOSING EQUATIONS BY BIQUADRATIC FUNCTIONS
Authors: Бакушев С. В. 
Published: June 2022

Постановка задачи. Рассматривается построение дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях идеально упругопластической в отношении сдвиговых деформаций геометрически и физически нелинейной сплошной среды для плоского деформирования при биквадратичной аппроксимации замыкающих уравнений в декартовой прямоугольной системе координат. Построение физических зависимостей при этом основано на вычислении секущих модулей объёмного и сдвигового деформирования. Результаты. Исходя из предположения о независимости друг от друга диаграмм объёмного и сдвигового деформирования, рассмотрены пять основных случаев физических зависимостей, зависящих от взаимного расположения точек излома биквадратичных диаграмм объёмного и сдвигового деформирования. При аппроксимации графиков диаграмм объёмного и сдвигового деформирования при помощи двух отрезков парабол секущий модуль сдвига на первом участке является линейной функцией интенсивности деформаций сдвига; секущий модуль объёмного расширения-сжатия является линейной функцией первого инварианта тензора деформаций. На втором участке диаграмм и объёмного, и сдвигового деформирования секущий модуль сдвига является дробной (рациональной) функцией интенсивности деформаций сдвига; секущий модуль объёмного расширения-сжатия является дробной (рациональной) функцией первого инварианта тензора деформации. Подставляя соответствующие физические уравнения в дифференциальные уравнения равновесия сплошной среды, записанные как без учёта, так и с учётом геометрической нелинейности, получаем разрешающие дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях идеально упругопластической в отношении сдвиговых деформаций геометрически и физически нелинейной сплошной среды для плоской деформации в декартовой прямоугольной системе координат. Выводы. Полученные дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях могут найти применение при определении напряжённо-деформированного состояния физически и геометрически нелинейных идеально упругопластических сплошных сред, находящихся в условиях плоского деформирования, замыкающие уравнения физических соотношений для которых аппроксимированы биквадратичными функциями.

Problem statement. We consider the construction of differential equations of equilibrium in displacements of ideal elastic plastic in relation to shear deformations geometrically and physically nonlinear continuous medium for plane deformation with biquadratic approximation of the closing equations in Cartesian rectangular coordinate system. The construction of physical dependencies in this case is based on the calculation of the secant moduli of volumetric and shear deformation. Results. Proceeding from the assumption that, generally speaking, the diagrams of volumetric and shear deformation are independent from each other, five main cases of physical dependencies are considered, depending on the relative position of break points of the biquadratic diagrams of volumetric and shear deformation. When approximating the graphs of volumetric and shear deformation diagrams using two segments of parabolas, the secant shear modulus in the first section is a linear function of the intensity of shear deformations; the secant modulus of volumetric expansion-compression is a linear function of the first invariant of the strain tensor. In the second section of diagrams of both volumetric and shear deformation, the secant shear modulus is a fractional (rational) function of the intensity of shear deformations; the secant modulus of volume expansion-compression is a fractional (rational) function of the first invariant of the strain tensor. Substituting the corresponding physical equations into the differential equations of equilibrium of continuous medium, written both regarding and regardless geometric nonlinearity, we obtain resolving differential equations of equilibrium in the displacements of ideal elastic-plastic in relation to shear deformations of geometrically and physically nonlinear continuous medium for plane deformation in Cartesian rectangular system coordinates. Conclusions. The obtained differential equations of equilibrium in displacements can be applied in determining the stress-strain state of physically and geometrically nonlinear ideal elastic-plastic continuums under plane deformation conditions, the closing equations of physical relations for which are approximated by biquadratic functions.