The variational approach to brittle fracture in materials with anisotropic surface energy and in thin sheets
Authors:   , Li Bin 
Published: October 2023

Fracture mechanics of brittle materials has focused on bulk materials with isotropic surface energy. In this situation different physical principles for crack path selection are very similar or even equivalent. The situation is radically different when considering crack propagation in brittle materials with anisotropic surface energy. Such materials are important in applications involving single crystals, extruded polymers, or geological and organic materials. When this anisotropy is strong, the phenomenology of crack propagation becomes very rich, with forbidden crack propagation directions or complex sawtooth crack patterns. Thus, this situation interrogates fundamental issues in fracture mechanics, including the principles behind the selection of crack direction. Similarly, tearing of brittle thin elastic sheets, ubiquitous in nature, technology and daily life, challenges our understanding of fracture. Since tearing typically involves large geometric nonlinearity, it is not clear whether the stress intensity factors are meaningful or if and how they determine crack propagation. Geometry, together with the interplay between stretching and bending deformation, leads to complex behaviors, restricting analytical approximate solutions to very simplified settings and specific parameter regimes.
In both situations, a rich and nontrivial experimental record has been successfully understood in terms of simple energetic models. However, general modeling approaches to either fracture in the presence of strong surface energy anisotropy or to tearing, capable of exploring new physics, have been lacking. The success of energetic simple models suggests that variational theories of brittle fracture may provide a unifying and general framework capable of dealing with the more general situations considered here.
To address fracture in materials with strongly anisotropic surface energy, we propose a variational phase-field model resorting to the extended Cahn-Hilliard framework proposed in the context of crystal growth. Previous phase-field models for anisotropic fracture were formulated in a framework only allowing for weak anisotropy. We implement numerically our higher-order phase-field model with smooth local maximum entropy approximants in a direct Galerkin method. The numerical results exhibit all the features of strongly anisotropic fracture, and reproduce strikingly well recent experimental observations. To explore tearing of thin films, we develop a geometrically exact model and a computational framework coupling elasticity (stretching and bending), fracture, and adhesion to a substrate. We numerically implement the model with subdivision surface finite elements. Our simulations qualitatively and quantitatively reproduced the crack patterns observed in tearing experiments.
Finally, we examine how shell geometry affects fracture. As suggested by previous results and our own phase-field simulations, shell shape dramatically affects crack evolution and the effective toughness of the shell structure. To gain insight and eventually develop new concepts for optimizing the design of thin shell structures, we derive the configurational force conjugate to crack extension for Koiter's linear thin shell theory. We identify the conservative contribution to this force through an Eshelby tensor, as well as non-conservative contributions arising from curvature.

La mécanica de fractura frágil se ha centrado en materiales tridimensionales con una energía de superficie isotrópica. En esta situación, los diferentes principios para la selección del camino de la fisura son muy similares, o incluso equivalentes. La situación es radicalmente opuesta cuando se considera la propagación de fisuras en medios con energía de superficie anisótropa. Estos materiales son importantes en aplicaciones que involucran materiales cristalinos, polímeros extrudidos, o materiales orgánicos y geológicos. Cuando la anisotropía es fuerte, el fenómeno de la propagación de fisuras es muy rico, con direcciones de propagación prohibidas o complejos patrones de ruptura en dientes de sierra. Por tanto, esta situación plantea cuestiones fundamentales en la mecánica de la fractura, incluyendo los principios de selección de la dirección de propagación de la fractura. Igualmente, el proceso de rasgado de láminas delgadas y frágiles, comunes en la naturaleza, la tecnología y la vida diaria, desafía nuestro entendimiento de la fractura. Dado que el rasgado de estas láminas típicamente involucra grandes no linealidades geométricas, no está claro si los factores de intensidad de esfuerzos son válidos o si, y en tal caso cómo determinan la propagación de fisuras. La interacción entre la geometría, las deformaciones y la curvatura da lugar a comportamientos complejos, lo que restringe las soluciones analíticas aproximadas a ejemplos muy simplificados y a regímenes de parámetros limitados. En ambas situaciones, se han podido interpretar experimentos no triviales con modelos energéticos simples. Sin embargo, no se ha profundizado en modelos generales de fractura en presencia de energía de superficie fuertemente anisótropa o en láminas delgadas, ambas interesantes por su capacidad para explorar nueva física. El mencionado éxito de los modelos energéticos simplificados sugiere que las teorías variacionales de fractura en medios frágiles pueden proveer un marco unificador para considerar situaciones más generales, como las que se consideran en este trabajo. Para caracterizar la fractura en materiales con energía de superficie fuertemente anisótropa, proponemos un modelo variacional de campo de fase basado en el modelo extendido de Cahn-Hilliard. Los modelos de campo de fase existentes para la fractura anisótropa fueron formulados en un contexto que sólo admite anisotropía débil. En este trabajo, implementamos numéricamente nuestro modelo de campo de fase de alto orden con aproximantes locales de máxima entropía en un método directo de Garlerkin. Los resultados numéricos muestran todas las características de fractura con anisotropía fuerte, y reproducen llamativamente bien las últimas observaciones experimentales. Para explorar el rasgado de láminas delgadas, desarrollamos un modelo geométricamente exacto y un esquema computacional que acopla elasticidad (estiramiento y flexión), fractura, y la adhesión a un substrato. Implementamos numéricamente el modelo con elementos finitos basados en superficies de subdivisión. Nuestras simulaciones reproducen los patrones de ruptura, tanto cualitativamente como cuantitativamente, observados en los experimentos de rasgado. Finalmente, examinamos cómo la geometría de la lámina afecta la fractura. Como ha sido sugerido en resultados previos y en nuestras propias simulaciones de campo de fase, la forma de la lámina afecta dramáticamente la evolución de fisuras y la resistencia efectiva del material. Para comprender mejor estos fenómenos y con el objetivo de desarrollar nuevos conceptos para la optimización del diseño de estructuras de láminas delgadas, derivamos la fuerza configuracional conjugada a la extensión de la fractura para la teoría lineal de láminas delgadas de Koiter. Identificamos las contribuciones conservativas a esta fuerza a través del tensor de Eshelby, así como las contriuciones no conservativas que aparecen por el efecto de la curvatura.