Large deviations for semi-exponential distributions
Authors: Μπάζμπας Μιχαήλ 
Published: September 2024

Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναπτύσσουμε την συναρτησιακή αρχή μεγάλης απόκλισης (LDP) για διαδικασίες Lévy και τυχαίους περιπάτους με προσαυξήσεις Weibull βαριάς ουράς (ημιεκθετικές). Αυτό το αποτέλεσμα ισχύει στο χώρο Skorokhod με βάση την M1’ τοπολογία. Επιπρόσθετα, αποδεικνύουμε την επεκτεταμένη συναρτησιακή αρχή μεγάλης απόκλισης στο χώρο Skorokhod (επεκτεταμένο LDP) με βάση την J1 τοπολογία. Επιπλέον, αναπτύσσουμε θεωρητικά εργαλεία για το επεκτεταμένο LDP και δείχνουμε ότι το κανονικό LDP δεν μπορεί να επιτευχθεί για διαδικασίες Lévy με προσαυξήσεις Weibull βαριάς ουράς στη J1 τοπολογία. Τα αποτελέσματα θεωρίας μεγάλων αποκλίσεων έχουν γενικευτεί σε χώρους πολλών διαστάσεων στην περίπτωση των διαδικασιών Lévy και των τυχαίων περιπάτων. Για να ενισχύσουμε την εφαρμοστικότητα του επεκτεταμένου LDP, αναπτύξαμε ένα θεώρημα συνέχειας. Μελετούμε πιθανότητες καταστροφής σε ένα ασφαλιστικό παράδειγμα. Συγκεκριμένα, υπολογίζουμε την πιθανότητα η διαδικασία Lévy να περάσει ένα φράγμα όταν οι ασυνέχειες της εχουν δεσμευτεί να είναι μετριοπαθείς. Σε τελική ανάλυση, για τις στοχαστικές διαδικασίες Lévy και τους τυχαίους περιπάτους, η ανάλυση μας δείχνει ότι τα συσχετιζόμενα σπάνια ενδεχόμενα προκαλούνται από μεγάλες ασυνέχειες των μονοπατιών τους. Αυτό το φαινόμενο έχει χαρακτηριστεί ως η αρχή των πολλαπλών μεγάλων αλμάτων. Το τρίτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στη συναρτησιακή αρχή μεγάλης απόκλισης για προσθετικές διαδικασίες Markov. Ειδικά, αποδεικνύουμε την συναρτησιακή αρχή μεγάλης απόκλισης για μη φραγμένα προσθετικά συναρτησοειδή διαδικασιών με προσαυξήσεις ελαφριάς ουράς που δημιουργούνται απο την αναδρομή Lindley. Το LDP ισχύει στο χώρο Skorokhod με την M1’ τοπολογία και με υπογραμμική ταχύτητα. Αν και η διαδικασία υπό εξέταση κατασκευάζεται απο προσαυξήσεις ελαφριάς ουράς, σπάνια ενδεχόμενα προκαλούνται από μεγάλες ασυνέχειες. Αυτό το αποτέλεσμα εγκαθιδρύει ότι η δομή μιας διαδικασίας με ελαφριές ουρές μπορεί να προκαλέσει, ασυμπτωτικά, μια συμπεριφορά βαριάς ουράς. Η τεχνική μας βασίζεται σε μια κατάλληλη αποσύνθεση της αλυσίδας Markov με βάση κάποιους αναγεννητικούς κύκλους. Σε κάθε αναγεννητικό κύκλο μελετούμε την συσσωρευμένη περιοχή της διαδικασίας Lindley. Συνεπώς, η συσσωρευμένη περιοχή επιδεικνύει μια συμπεριφορά βαριάς ουράς και ικανοποιεί μια αρχή μεγάλης απόκλισης. Για να αποδείξουμε την ασυμπτωτική μορφή της ουράς, χρησιμοποιούμε την μέθοδο ανάλυσης μονοπατιών όπου καταλήγουμε στο γεγονός ότι μεγάλες περιοχές προκαλούνται απο κοίλες τροχιές της διαδικασίας μας. Στο τέταρτο κεφάλαιο, επικεντρωνόμαστε στην ουρά πολλαπλών εξυπηρετητών. Μια σημαντική ερώτηση είναι η πιθανότητα μεγάλου μήκους της ουράς ή του χρόνου αναμονής σε αυτές τις ουρές. Πιο συγκεκριμένα, εστω d εξυπηρετητές, ο καθένας απο τους οποίους δουλεύει με συγκεκριμένη ταχύτητα και έστω ότι η κατανομή εξυπηρέτησης είναι Weibull βαριάς ουράς. Εάν κ μεγάλες δουλειές εμφανιστούν στο σύστημα ταυτόχρονα, τότε μειώνουν τη χωρητικότητα του συστήματος, το οποίο δεν είναι καταστροφικό εάν η υπολειπόμενη χωρητικότητα του εξυπηρέτη ξεπερνά το φορτίο του συστήματος ρ. Με αυτό τον τρόπο χρειάζονται κ* μεγάλες δουλειές ωστε το σύστημα να μην συμπεριφέρεται σωστά και κ* είναι οι ελάχιστες δουλειές που χρειάζονται για να προκληθεί αστάθεια. Τα κύρια αποτελέσματα του κεφαλαίου 4 παρέχουν μια εκτίμηση της πιθανότητας μεγάλων μηκών ουράς καθώς και αναλυτικές απαντήσεις για το πως πραγματοποιούνται αυτά τα μεγάλα μήκη ουρών. Δηλαδή, υπολογίζουμε τον αριθμό των μεγάλων δουλειών μαζί με τα μεγέθη τους ώστε να προκληθεί συμφόρηση. Στο πέμπτο κεφάλαιο εφαρμόζουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα του κεφαλαίου 2 ώστε να μελετήσουμε ενα στοχαστικό δίκτυο ροών όπου οι εξωγενείς διαδικασίες είναι σύνθετες διαδικασίες Poisson με Weibull ασυνέχειες κατανομής βαριάς ουράς. Τα αποτελέσματα μας περιέχουν την συνέχεια της πολυδιάστατης ανακλαστικής απεικόνισης σε συγκεκριμένους υπόχωρους του χώρου Skorokhod με την τοπολογία J1. Με βάση την συνέχεια της πολυδιάστατης ανακλαστικής απεικόνισης αποδεικνύουμε φράγματα μεγάλων αποκλίσεων για την πολυδιάστατη διαδικασία φόρτωσης του στοχαστικού δικτύου. Επιπλέον, χρησιμοποιούμε τα φράγματα μεγάλων αποκλίσεων της διαδικασίας φόρτωσης ώστε να εκτιμήσουμε πιθανότητες υπερχείλισης για υποσύνολα των κόμβων του στοχαστικού δικτύου. Συσχετίζουμε τις πιθανότητες υπερχείλισηςμε ένα απλοποιημένο πρόβλημα βελτιστοποίησης και λύνουμε το πρόβλημα στην περίπτωση του δικτύου πολλαπλών ανοιχτών-κλειστών πηγών.