Προβλήματα αλληλεπίδρασης μη γραμμικών οπτικών παλμών
Authors: Μοσχονάς Νικόλαος 
Published: January 2014

Η παρούσα διδακτορική διατριβή αποτελείται από τη παρουσίαση της εργασίας μας πάνω σε τέσσερα προβλήματα Μη Γραμμικής Οπτικής, με τα οποία ασχοληθήκαμε στο εργαστήριο Πλάσματος, Ηλεκτρονικής Δέσμης και Μη Γραμμικής Οπτικής. Ο κοινός παρονομαστής αυτών των προβλημάτων είναι οι αλληλεπιδράσεις φωτεινών παλμών παρουσία μη γραμμικότητας, όταν δηλαδή η απόκριση του μέσου εξαρτάται από τον ίδιο τον παλμό. Οι εν λόγω παλμοί (ή ακτίνες) με τους οποίους ασχολούμαστε μπορεί να είναι σολιτονικοί ή και όχι, αλλά σε κάθε περίπτωση το ενδεδειγμένο μοντέλο περιγραφής τους είναι η μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger (NLS). Η μελέτη που ακολουθούμε είναι, ανάλογα με το πρόβλημα, πότε αναλυτική (ή για να το πούμε πιο σωστά, ημί αναλυτική) και πότε αριθμητική.Οι αλληλεπιδράσεις των παλμών, που λόγω των φαινομένων που εμπλέκονται συχνά ονομάζονται «μη γραμμικοί», μπορούν να είναι σύμφωνες ή ασύμφωνες, να εξαρτώνται δηλαδή από τη σχετική τους φάση ή και όχι. Ανάλογα με το είδος της αλληλεπίδρασης αλλάζει η απόκριση του μέσου, οπότε τα φαινόμενα που κυριαρχούν, και βέβαια πρέπει να μοντελοποιηθούν, είναι κάθε φορά διαφορετικά. Μία άλλη διαφοροποίηση, σχετική τόσο με τη Φυσική όσο και με τη μεθοδολογία, είναι η διαστάσεις του προβλήματος. Για παράδειγμα, οι παλμοί που οδεύουν σε μονότροπη οπτική ίνα είναι μονοδιάστατες οντότητες, διότι, καθώς είναι εγκλωβισμένοι στις χωρικές διατάσεις, το μόνο που υπόκειται σε δυναμική εξέλιξη και επίδραση μη γραμμικότητας σε τυχαίο σημείο της γραμμής διάδοσης είναι το χρονικό τους εύρος. Ένας τέτοιος παλμός, με κατάλληλη ισχύ, μπορεί σχετικά εύκολα να δημιουργήσει ένα σολιτόνιο που θα οδεύει αδιατάρακτο. Ένας παλμός με συγκεκριμένο χρονικό εύρος που στέλνεται σε επίπεδο κυματοδηγό αποτελεί πρόβλημα δύο διατάσεων, ενώ, όταν οδεύει σε ελεύθερο μέσο, τριών.Για να μπορέσουμε να συμπεριλάβουμε αυτά τα θέματα γράψαμε μια σχετικά εκτενή εισαγωγή, η οποία βρίσκεται στο 1ο Κεφάλαιο. Εκεί, εκτός από μερικά ιστορικά στοιχεία για την έρευνα πάνω στα μη γραμμικά κύματα γενικά, αλλά και για τις αναπαραστάσεις τους στην Οπτική, δίνονται σύντομες εξηγήσεις για τους όρους σολιτόνιο και τις σύμφωνες ή ασύμφωνες αλληλεπιδράσεις των παλμών. Ακόμα, αναφέρονται τα κύρια εμπλεκόμενα φαινόμενα και σκιαγραφούνται κάποιες συνήθεις μέθοδοι προσέγγισης του προβλήματος της εξέλιξης των παλμών, μερικές από τις οποίες χρησιμοποιήσαμε στη μελέτη μας. Επίσης γίνεται σύντομη αναφορά στο μαθηματικό υπόβαθρο των μοντέλων, την NLS και κάποιες διατηρήσιμες ποσότητες που χρειάζονται στην ανάλυση.Στα Κεφάλαια 2 και 3, καταγράφεται η μελέτη δύο μονοδιάστατων προβλημάτων. Και στις δύο περιπτώσεις, μελετάται η ασύμφωνη αλληλεπίδραση σολιτονικών παλμών και το μοντέλο που χρησιμοποιείται είναι δύο εξισώσεις NLS συζευγμένες, κατά κύριο λόγο μέσω του όρου της ετεροδιαμόρφωσης φάσης. Επίσης, και στα δύο προβλήματα χρησιμοποιούμε διαταρακτικές μεθόδους προσέγγισης. Συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 2 ασχολούμαστε με την επίδραση κάποιας περιοδικής μεταβολής της διασποράς στην αλληλεπίδραση των παλμών. Κατ’ αρχάς μελετάμε την επίδραση της περιοδικής μεταβολής μικρού πλάτους, αλλά για διάφορες συχνότητες, στη σύζευξη των κάθετα πολωμένων ρυθμών σολιτονικού παλμού που διαδίδεται σε ίνα με ισχυρή διπλοθλαστικότητα. Χρησιμοποιούμε τη Μεταβολική Μέθοδο για να εκπέσουμε από το πρόβλημα δύο συζευγμένων PDEs σε σύστημα ODEs με μεταβλητές τα χαρακτηριστικά των ρυθμών του παλμού. Μέσω δυναμικής ανάλυσης του συστήματος βρίσκουμε τις χαρακτηριστικές του συχνότητες, οι οποίες μας οδηγούν στη διερεύνησή μας. Για να έχουμε μια γενική εικόνα του συστήματος για μεγάλο εύρος αρχικών τιμών, αλλά και της συχνότητας και πλάτους της διαταραχής χρησιμοποιούμε τομές Poincaré, μέσω των οποίων μπορούμε να έχουμε εικόνα για πιθανούς συντονισμούς, αλλά κυρίως για την ευστάθειά του. Καθώς τα συστήματα που μελετάμε είναι τριών βαθμών ελευθερίας, οι τομές καταλήγουν να είναι τεσσάρων διαστάσεων. Αντλώντας εμπειρία από τη βιβλιογραφία της σχετικής μεθοδολογίας, μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια του συστήματος παρατηρώντας είτε τρισδιάστατες προβολές των τομών, είτε παράγοντας τις ίδιες τις τομές, όπου χρησιμοποιούμε χρωματισμό για την αναπαράσταση της τέταρτης διάστασης. Ακόμα επιλύουμε το ζεύγος των PDEs αριθμητικά και, συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με αυτά της δυναμικής ανάλυσης, μπορούμε να βρούμε για ποιες τιμές της συχνότητας της διαταραχής η Μεταβολική Μέθοδος αποτυγχάνει να δώσει σωστή ποσοτική ή ακόμα και ποιοτική περιγραφή.Ένα ακόμα πρόβλημα που μοντελοποιείται από τις ίδιες εξισώσεις είναι η αλληλεπίδραση σολιτονικών παλμών διαφορετικής συχνότητας παρουσία διαχείρισης διασποράς (DM). Σε αυτή τη περίπτωση η συχνότητα της διαχείρισης είναι αρκετά μεγαλύτερη από τις χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος, κάτι που επιτρέπει πολύ μεγάλες μεταβολές του πλάτους αυτής, χωρίς να καταστρέφει τους παλμούς. Ακολουθώντας μια απλή αλγεβρική διαδικασία και δυναμική ανάλυση, υπολογίζουμε την απαραίτητη ενέργεια και τερέτισμα για τους παλμούς και δείχνουμε ότι, για συγκεκριμένες τιμές της συχνότητας και του πλάτους της διαχείρισης, η φασματική μετατόπιση κατά την αλληλεπίδραση (σύγκρουση) των παλμών μπορεί να μηδενιστεί.Στο Κεφάλαιο 3 μελετάμε ένα ακόμα πρόβλημα αλληλεπίδρασης σολιτονικών παλμών με διαφορετική συχνότητα. Η διαφορά με τα προηγούμενα είναι ότι οι παλμοί θεωρούνται στενοί, με εύρος κάτω του 1ps. Ως εκ τούτου, φαινόμενα ανώτερης τάξης, όπως το Raman και η διασπορά 3ης τάξης, δε μπορούν να αγνοηθούν. Ιδιαίτερα το φαινόμενο Raman προκαλεί ολίσθηση στη συχνότητας των παλμών, καθώς και μεταφορά ενέργειας μεταξύ τους. Το βασικό μοντέλο είναι δύο συζευγμένες NLS, μαζί με επιπλέον όρους. Χρησιμοποιούμε την Άμεση Μέθοδο Διαταραχών και καταλήγουμε πάλι σε σύστημα συνήθων διαφορικών με μεταβλητές τα χαρακτηριστικά των παλμών. Το σύστημα μας δίνει μια καλή αίσθηση για την επίδραση των φαινομένων πάνω στους παλμούς, σαφέστερη από ότι οι PDEs. Εξετάζουμε τη δυνατότητα ισοζύγισης της χρονικής μετατόπισης που προκαλεί η ολίσθηση συχνότητας, τουλάχιστον για τον ένα παλμό (κανάλι), μέσω της αλληλεπίδρασης του με παλμούς μικρότερης συχνότητας. Φαίνεται πως κάτι τέτοιο είναι δυνατό, αλλά η ενεργειακή απώλεια που υφίσταται ο παλμός μπορεί να γίνει υπολογίσιμη.Στο υπόλοιπο της εργασίας ασχολούμαστε με δύο προβλήματα σύμφωνης αλληλεπίδρασης, που αφορούν δισδιάστατα κυματοπακέτα, δηλαδή χωροχρονικούς παλμούς. Η μελέτη που εκτελούμε είναι αριθμητική και το μοντέλο που ακολουθείται είναι η δισδιάστατη NLS. Καθώς οι παλμοί έχουν ίδια συχνότητα, μπορούν να ειδωθούν σαν υπέρθεση του ενός στον άλλο και να μοντελοποιηθούν από μία μόνο εξίσωση.Το πρώτο πρόβλημα αφορά τη δυνατότητα δημιουργίας μη γραμμικού κύματος «Χ». Τα συγκεκριμένα κυματοπακέτα, ανάλογα των γραμμικών κυμάτων «Χ», μελετώνται εκτεταμένα τα τελευταία χρόνια, λόγω της ιδιότητας τους να διαδίδονται αναλλοίωτα σε δύο ή και τρεις διαστάσεις, δηλαδή σε επίπεδους κυματοδηγούς και ελεύθερα μέσα, πάντα με κανονική διασπορά. Η αιτία που ευνοεί την ύπαρξη τους είναι η μορφή της χωροχρονικής διαμορφωτικής αστάθειας. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η δυνατότητα δημιουργίας τους από μετασχηματισμό συνηθισμένων κυματοπακέτων, όπως τέτοια γκαουσιανού προφίλ. Μέσω της αλληλεπίδρασης τέτοιων παλμών με επίπεδο συνεχές κύμα (CW) δείχνουμε ότι μπορεί να δημιουργηθεί κυματοπακέτο τύπου «Χ», το οποίο διαδίδεται διατηρώντας το πλάτος και το σχήμα του για αρκετά μήκη περίθλασης, ενώ οι συνήθεις γκαουσιανοί παλμοί καταστρέφονται γρήγορα λόγω διασποράς. Ρυθμιστικό ρόλο στη δημιουργία τους παίζει το πλάτος, αλλά κυρίως η σχετική φάση του CW. Με τη βοήθεια μιας ποιοτικής περισσότερο μελέτης, μπορούμε να επιλέξουμε τα αρχικά χαρακτηριστικά των παλμών, ώστε να αποφευχθεί η διασπορά, ή ο χρονικός διαχωρισμός τους, και να διατηρηθούν αρκετά, ώστε να μετασχηματιστούν σε κυματοπακέτο «ΤύπουΧ».Το δεύτερο πρόβλημα, το οποίο είναι και το τελευταίο της διατριβής, παρουσιάζεται στο 5ο Κεφάλαιο και αφορά στη σύμφωνη αλληλεπίδραση χωροχρονικών γκαουσιανών παλμών παρουσία CW. Το μέσο διάδοσης θεωρείται ξανά κανονικής διασποράς. Ανάλογα με την αρχική τους μετατόπιση, το πλάτος και τη φάση τους, όπως και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του CW εξετάζουμε τη δυνατότητα συσσωμάτωσής τους και δημιουργίας «αμαλγάματος». Ως αμάλγαμα νοείται το συσσωμάτωμα που συμπεριφέρεται σαν ένα κυματοπακέτο επαρκούς ενέργειας που δύναται να εξελιχθεί δυναμικά και να μη διασπαρθεί. Στη περίπτωση της κανονικής διασποράς η δυναμικής εξέλιξη του κυματοπακέτου καταλήγει σε χρονικό διαχωρισμό του σε δύο νέα κυματοπακέτα χρονικά μετατοπισμένα. Έχουμε λοιπόν μια «χωροχρονική μετάθεση», όπου δύο κυματοπακέτα χωρικά μετατοπισμένα, αφού αλληλεπιδράσουν, καταλήγουν σε δύο άλλα κυματοπακέτα, χρονικά και φασματικά μετατοπισμένα.