Ιδιότητες συναρτήσεων μέτρησης πλήθους λύσεων σε προβλήματα με εύκολη απόφαση ύπαρξης λύσης
Authors: Μπακάλη Ελένη 
Published: September 2021

Η κλάση πολυπλοκότητας #P είναι η κλάση συναρτήσεων που μετρούν το πλήθος των λύσεων σε προβλήματα των οποίων το αντίστοιχο πρόβλημα απόφασης ύπαρξης λύσης είναι στο NP, π.χ. η #SAT είναι η συνάρτηση που αντιστοιχίζει κάθε λογικό τύπο ϕ στον αριθμό των ικανοποιητικών αναθέσεων του ϕ: Το πλήθος των λύσεων για NP-πλήρη προβλήματα είναι δύσκολο να υπολογιστεί, αλλά υπάρχουν επίσης δύσκολα προβλήματα καταμέτρησης, για τα οποία τo αντίστοιχο πρόβλημα απόφασης ύπαρξης λύσης είναι στο P, δηλαδή εύκολο. Η TotP είναι μια υποκλάση της #P που περιέχει όλα τα αυτοαναγώγιμα προβλήματα καταμέτρησης με εύκολη απόφαση ύπαρξης λύσης. Περιέχει πολλά ενδιαφέροντα προβλήματααπό πολλές επιστημονικές περιοχές.Οι Cook αναγωγές θολώνουν πολλές δομικές διαφορές μεταξύ των προβλημάτων καταμέτρησης, π.χ. η συνάρτηση PERMANENT είναι #P-πλήρης, αλλά ανήκει επίσης στην TotP. Επομένως απαιτούνται αυστηρότερες αναγωγές προκειμένουνα χαρακτηριστεί πλήρως η πολυπλοκότητα ενός προβλήματος καταμέτρησης: οι λεγόμενες φειδωλές (parsimonious) αναγωγές, οι οποίες έχουν την ιδιότητα να διατηρούν ακριβώς τις τιμές των συναρτήσεων που ανάγεται η μία στην άλλη, ή αλ-λιώς διατηρούν το πλήθος των λύσεων των αντίστοιχων προβλημάτων. Η ύπαρξη TotP -πλήρων προβλημάτων κάτω από φειδωλές αναγωγές ήταν ένα ανοιχτό πρόβλημα εδώ και δέκα περίπου χρόνια. Ο πρώτος σκοπός αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει τα πρώτα τέτοια προβλήματα (κεφάλαιο 2). Αυτά τα προβλήματα σχετίζονται με την ικανοποιησιμότητα Boolean κυκλωμάτων (συγκεκριμένα το #tree-monotone-circuit-SAT) και τύπων (συγκεκριμένα το #clustered-monotone-SAT ή #CM-SAT) και με το πρόβλημα της εκτίμησης του μεγέθους του δέντρου μιας backtracking διαδικασίας (συγκεκριμένα το Size-of-Subtree).Ένα σημαντικό θεώρημα που αποδεικνύουμε στο κεφάλαιο 2 είναι ότι το #SAT ανάγεται στο #CM-SAT υπό αναγωγές που διατηρούν την προσεγγισιμότητα. Η δειγματοληψία και η προσεγγιστική μέτρηση πραγματοποιούνται συνήθως με τηχρήση μαρκοβιανών αλυσίδων, οι οποίες πρέπει να είναι εργοδικές (δηλαδή μη αναγώγιμες και απεριοδικές), προκειμένου να λειτουργούν σωστά οι αντίστοιχοι αλγόριθμοι. Ωστόσο, για το #SAT είναι γνωστό ότι δεν μπορούμε να σχεδιάσουμε μη αναγώγιμες μαρκοβιανές αλυσίδες, των οποίων ο χώρος καταστάσεων να είναι το σύνολο ικανοποιητικών αναθέσεων ενός τύπου που δίνεται ως είσοδος, εξαιτίας ενός φαινομένου διασκορπισμού του συνόλου των λύσεων. Αντίθετα, το σύνολο των λύσεων του #CM-SAT, καθώς και του Size-of-Subtree, συνδέεται με έναν συγκεκριμένο τρόπο που επιτρέπει το σχεδιασμό μη αναγώγιμων μαρκοβιανών αλυσίδων.Στο κεφάλαιο 4 σχεδιάζουμε και μελετάμε μερικές μαρκοβιανές αλυσίδες, των οποίων ο χώρος καταστάσεων είναι το σύνολο των λύσεων των παραπάνω προβλημάτων. Αναλύουμε το χρόνο σύγκλισης, τις στάσιμες κατανομές τους και την πολυπλοκότητα υπολογισμού των συντελεστών κανονικοποίησης, όπως και του μεγέθους του στηρίγματος των στάσιμων κατανομών. Τα κύρια αποτελέσματα της μελέτης μας είναι καταρχάς ότι το SAT ανάγεται στον υπολογισμό του συντελεστή κανονικοποίησης των στάσιμων κατανομών κάποιων μαρκοβιανών αλυσίδων, οι οποίες ανήκουν σε μια οικογένεια που σχεδιάζουμε. Με άλλα λόγια, ο υπολογισμός του συντελεστή κανονικοποίησης αυτών των κατανομών είναι δύσκολος εκτός αν NP=P. Δεύτερον, ο συντελεστής κανονικοποίησης αυτών των κατανομών μπορεί να προσεγγιστεί με FPRAS (δηλ. με ένα αυθαίρετα μικρό πολλαπλασιαστικό σφάλμα σε πολυωνυμικό χρόνο).Παρατηρούμε στη συνέχεια ένα ενδιαφέρον φαινόμενο. Στο καφάλαιο 4 για κάθε είσοδο σε ένα πρόβλημα στην TotP θεωρήσαμε δύο διαφορετικές μαρκοβιανές αλυσίδες που συγκλίνουν σε δύο διαφορετικές κατανομές P1, P2, με συντελε-στές κανονικοποίησης Z1,Z2 αντίστοιχα. Στο κεφάλαιο 5 δείχνουμε ότι μπορούμε να γενικεύσουμε τις δύο παραπάνω κατανομές πιθανότητας με ένα ενιαίο μοντέλο P( λ), λ>0; έτσι ώστε P(1) = P1 και P(2) = P2: Αυτό το μοντέλο παρουσιάζει εντελώς διαφορετική συμπεριφορά για λ = 1 και λ = 2: Και για τα δύο λ = 1 και λ = 2, ο υπολογισμός του Z είναι δύσκολος (#P-πλήρης), αλλά για λ = 1 έχουμε• εκθετικό χρόνο σύγκλισης της αντίστοιχης μαρκοβιανής αλυσίδας• αδυναμία ύπαρξης FPRAS για το Z1 εκτός NP = RP.και για λ = 2 έχουμε• πολυωνυμικό χρόνο σύγκλισης της αντίστοιχης μαρκοβιανής αλυσίδας• FPRAS για το Z2.Το ερώτημα που τίθεται είναι τι ισχύει για τις υπόλοιπες τιμές του λ > 0. Σχεδιάζουμε (στο κεφάλαιο 5) μια μαρκοβιανή αλυσίδα, παραμετροποιημένη από το λ, που γενικεύει τις δύο διαφορετικές μαρκοβιανές αλυσίδες που μελετήθηκαν στο κε-φάλαιο 4. Αυτή η μαρκοβιανή αλυσίδα Mλ ακολουθεί τον κανόνα του Metropolis και συγκλίνει στην κατανομή P(λ). Δείχνουμε ότι υπάρχει αλλαγή φάσης ως προς τον χρόνο σύγκλισης της Mλ συναρτήσει του λ. Συγκεκριμένα, υπάρχει μια ασυνεχής μετάβαση από εκθετικό σε πολυωνυμικό χρόνο σύγκλισης για λ που εξαρτάται από το δέντρο. Για το πλήρες δέντρο, όπως και για τα δέντρα που αποτελούν δύσκολα στιγμιότυπα του προβλήματος Size-of-Subtree, η αλλαγή φάσης είναι στο λ = 2, ενώ για το μονοπάτι (τοοποίο βρίκεται στον αντίποδα του πλήρους δέντρου) η αλλαγή φάσης είναι στο λ = 1. Επίσης αποδεικνύουμε ότι υπάρχει αλλαγή φάσης για την πολυπλοκότητα του προβλήματος από δύσκολα προσεγγίσιμο (ΝP-hard to approximate) σε προ- σεγγίσιμο με FPRAS για κάποιο λ που ανήκει στο [1, 2].Μια παράλληλη κατεύθυνση αυτής της διατριβής αφορά την προσέγγιση των συναρτήσεων στην TotP. Παρατηρούμε ότι FPRAS για όλα τα προβλήματα στην TotP είναι εφικτό αν και μόνο αν NP = RP. Το ίδιο είναι γνωστό ότι ισχύει και για τη #P. Ωστόσο, στο κεφάλαιο 3 δείχνουμε ότι μπορούμε να έχουμε κάποια καλύτερα αποτελέσματα προσέγγισης για την TotP σε σχέση με τα αντίστοιχα που ισχύουν για την #P. Πρώτον, για κάθε πρόβλημα στην TotP, αν ο αριθμός λύσεων είναι x, μπορούμε να υπολογίσουμε ακριβώς αυτόν τον αριθμό σε χρόνο x*poly(n), όπου n είναι το μέγεθος της εισόδου. Με άλλα λόγια, αν ο αριθμός των λύσεων είναι πολυωνυμικός (δηλαδή μικρός), μπορούμε να τις μετρήσουμε ακριβώς σε πολυωνυμικό χρόνο. Δεύτερον, αν ο αριθμός των λύσεων είναι 2^n/x, μπορούμε να έχουμε RAS (δηλαδή αυθαίρετα μικρό πολλαπλασιαστικό σφάλμα) σε χρόνο poly(n, x): Με άλλα λόγια, εάν ο αριθμός των λύσεων είναι 2^n/poly(n) (δηλαδή μεγάλος), μπορούμε να έχουμε FPRAS. Τρίτον, αν συνδυάσουμε τα παραπάνω αποτελέσματα με το γνωστό γεγονός ότι όλα τα προβλήματα στην #Ρ επιδέχονται μια προσθετικού σφάλματος προσέγγιση, παίρνουμε καλύτερα εκθετικού χρόνου αλγοριθμικά αποτελέσματα για την TotP από τα αντίστοιχα γνωστά αποτελέσματα για την #Ρ. Παραμένει ανοιχτό το ερώτημα εάν αυτά τα αποτελέσματα είναι βέλτιστα υπό μια fine-grained οπτική πολυπλοκότητας (δηλ. υπό κάποια παραδοχή ανάλογη με την SETH, η οποία δηλώνει χοντρικά ότι το SAT χρειάζεται για ναλυθεί χρόνο (2^n)). Επίσης αφού παρατηρούμε ότι το TotP-πλήρες πρόβλημα Size-of-Subtree είναι εύκολο να προσεγγιστεί σε πολλές περιπτώσεις, στο ίδιο κεφάλαιο προσδιορίζουμε μια οικογένεια δέντρων για την οποία αποδεικνύουμε ότι περιέχει δύσκολα στιγμιότυπα του προβλήματος.Το τελευταίο θέμα που εξετάζει αυτή η διατριβή (στο κεφάλαιο 3) αφορά στη σχέση της TotP με την κλάση προβλημάτων που επιδέχονται FPRAS. Όπως αναφέραμε ήδη, NP=RP αν και μόνο αν όλα τα προβλήματα στην TotP επιδέχονται FPRAS. Αφου το NP vs. RP είναι ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα τηε θεωρητικής πληροφορικής, το ίδιο ισχύει άρα και για το TotP vs. FPRAS, για αυτό και το μελετούμε. Mια διαισθητική πεποίθηση πολλών επιστημόνων είναι ότι τα μόνα προβλήματα στην #Ρ που μπορεί να έχουν FPRAS ανήκουν στην TotP, και δεν υπάρχουν ως τώρα γνωστά αντιπαραδείγματα σε αυτή την εικασία. Αποδεικνύουμε ότι αυτή η πεποίθηση είναι λάθος εκτός εάν P = RP. Προκειμένου να το δείξουμε αυτό, εισάγουμε δύο νέες κλάσεις πολυπλοκότητας #RP1 και #RP2 με τη βοήθεια των οποίων το αποτέλεσμα προκύπτει εύκολα. Δείχνουμε επίσης ότι η κλάση των προβλημάτων που επιδέχονται FPRAS βρίσκεται μεταξύ αυτών των δύο κλάσεων και ότι αυτές οι κλάσεις δεν συμπίπτουν εκτός αν NP = RP. Τέλος, για να αποκτήσουμε μια πιο ξεκάθαρη εικόνα των σχέσεων των παραπάνω κλάσεων με την #P και την TotP (και με μερικές άλλες σχετικές κλάσεις), μελετάμε τους εγκλεισμούς μεταξύ τους και παρουσιάζουμε τους τέσσερις δυνατούς κόσμους σεσχέση με τα προβλήματα NP vs. RP και RP vs. P.