STABILITY OF SOLUTIONS TO THE FRACTIONAL DIFFERENTIAL FILTRATIONPROBLEM WITH A VARIABLE ORDER OF THE FRACTIONAL DERIVATIVE
Authors: Алимбекова Н.Б. , Бакишев А.К. , Бердышев А.С. 
Published: July 2024

Проблема решения начально-краевых задач для нелинейных дробно-дифференциальных уравнений с переменными порядками дробных производных имеет большое прикладное значение в нефтедобывающей промышленности.Суть обобщения дробно-дифференциальной модели течения жидкости в гетерогенных пористых средах состоит в предположении, что порядки дробных производных не являются постоянными, а являются функциями временной и пространственной переменной, и, в частности, функциями искомого решения. Гипотеза обобщения состоит в изучении течения жидкости, когда порядок производной проявляет монотонный переход от начального порядка к конечному, либо когда режим диффузии сменяется в некоторый момент времени. В настоящей работе рассматривается дробно-дифференциальное уравнение фильтрации с переходным (нестационарным) законом фильтрации. Для численного решения построена аппроксимация с использованием метода конечных разностей для дробного временного производного и метода конечных элементов по пространственной переменной. Дробная производная переменного порядка в смысле Капуто аппроксимирована формулой второго порядка по времени. Получены априорные оценки устойчивости численного метода по начальным данным и по правой части уравнения.

In this paper, we consider a fractional differential filtration equation with a transient (non-stationary) filtration law. The essence of the generalization of the fractional differential model of fluid flow in heterogeneous porous media is the assumption thatthe orders of fractional derivatives are not constant, but are functions of a time and space variable, and, in particular, functions of the desired solution. The generalization hypothesis is to study the fluid flow when the order of the derivative exhibits a monotonic transition from the initial order to the final one, or when the diffusion regime changes at some point in time. In this paper, a fractional-differential generalization of the filtration equation with a transient (non-stationary) filtration law is considered. For the numerical solution, an approximation is constructed using the finite difference method for the fractional time derivative and the finite element method for a spatial variable. The fractional derivative of variable order in the sense of Caputo is approximated by a second-order formula in time. A priori estimates of the stability of the numerical method are obtained from the initial data and from the right side of the equation.

Бөлшек туындылары айнымалы ретті сызықтық емес бөлшек-дифференциалды теңдеулер үшін бастапқы-шекаралық есептерді шешу мәселесі мұнай өнеркәсібінде үлкен қолданбалы мәнге ие. Гетерогенді кеуекті ортадағы сұйықтық ағынының бөлшек-дифференциалды моделін жалпылаудың мағынасы бөлшек туындылардың реті тұрақты емес, олардың уақыт пен кеңістіктік айнымалының функциялары болуында, соның ішінде, ізделінді шешімнің функциялары деп болжауында жатыр. Жалпылау гипотезасы туынды ретінің бастапқы реттен соңғы ретке монотонды ауысқанда немесе диффузия режимі белгілі бір уақытта өзгергенде сұйықтықтың гетерогенді кеуекті ортадағы ағынын зерттеуден тұрады. Бұл жұмыста өтпелі (стационарлық емес) фильтрация заңымен берілген бөлшек-дифференциалды фильтрация теңдеуі қарастырылады. Сандық шешім үшін уақыт бойынша бөлшек туынды үшін ақырлы айырымдар әдісін және кеңістіктік айнымалы бойынша ақырлы элементтер әдісін қолданаотырып жуықтау құрылды. Капуто мағынасындағы айнымалы ретті бөлшек туынды уақыт бойынша екінші ретті формуламен жуықталған. Бастапқы мәліметтер және теңдеудің оң жағы бойынша сандық әдістің орнықтылығының априорлық бағалары алынды.