Arithmetic properties of non-hyperelliptic genus 3 curves
Authors:   , Lorenzo García Elisa 
Published: October 2023

This thesis explores the explicit computation of twists of curves. We develope an algorithm for computing the twists of a given curve assuming that its automorphism group is known. And in the particular case in which the curve is non-hyperelliptic we show how to compute equations of the twists. The algorithm is based on a correspondence that we establish beetwen the set of twists and the set of solutions of a certain Galois embedding problem. In general is not known how to compute all the solution of a Galois embedding problem. Throughout the thesis we give some ideas of how to solve these problems.
The twists of curves of genus less or equal than 2 are well-known. While the genus 0 and 1 cases go back from long ago, the genus 2 case is due to the work of Cardona and Quer. All the genus 0, 1 or 2 curves are hyperelliptic, however for genus greater than 2 almost all the curves are non-hyperelliptic.
As an application to our algorithm we give a classification with equations of the twists of all plane quartic curves, that is, the non-hyperelliptic genus 3 curves, defined over any number field k. The first step for computing such twists is providing a classification of the plane quartic curves defined over a concrete number field k. The starting point for doing this is Henn classification of plane quartic curves with non-trivial automorphism group over the complex numbers.
An example of the importance of the study of the set of twists of a curve is that it has been proven to be really useful for a better understanding of the behaviour of the Generalize Sato-Tate conjecture, see the work of Fité, Kedlaya and Sutherland. We show a proof of the Sato-Tate conjecture for the twists of the Fermat and Klein quartics as a corollary of a deep result of Johansson, and we compute the Sato-Tate groups and Sato-Tate distributions of them.
Following with the study of the Generalize Sato-Tate conjecture, in the last chapter of this thesis we explore such conjecture for the Fermat hypersurfaces X_{n}^{m}: x_{0}^{m}+...+x_{n+1}^{m} = 0. We explicitly show how to compute the Sato-Tate groups and the Sato-Tate distributions of these Fermat hypersurfaces. We also prove the conjecture over the rational numbers for n=1 and over than the cyclotomic field of mth-roots of the unity if n is greater 1.

En esta tesis estudiamos el cálculo explícito de twists de curvas. Se desarrolla un algoritmo para calcular los twists de una curva dada asumiendo que su grupo de automorfismos en conocido. Además, en el caso particular en que la curva es no hiperelíptica se enseña como calcular ecuaciones de los twists. El algoritmo está basado es una correspondencia que establecemos entre el conjunto de twists de la curva y el conjunto de soluciones a un cierto problema de embeding de Galois. Aunque no existe un método general para resolver este tipo de problemas a lo largo de la tesis se exponen algunas ideas para resolver algunos de estos problemas en concreto. Los twists de curvas de género menor o igual que 2 son bien conocidos. Mientras que los casos de género 0 y 1 se conocen desde hace tiempo, el caso de género 2 es más reciente y se debe al trabajo de Cardona y Quer. Todas las curvas de género, 0,1 y 2 son hiperelípticas, sin embargo, las curvas de género mayor o igual que 3 son en su mayoría no hipèrelípticas. Como aplicación a nuestro algoritmo damos una clasificación con ecuaciones de los twists de todas las cuárticas planas lisas, es decir, de todas las curvas no hiperelípticas de género 3, definidas sobre un cuerpo de números k. El primer paso para calcualr estos twists es obtener una clasificación de las cuárticas planas lisas definidas sobre un cuerpo de números k arbitrario. El punto de partida para obtener esta clasificación es la clasificación de Henn de cuárticas planas definidas sobre los números complejos y con grupo de automorfismos no trivial. Un ejemplo de la importancia del estudio de los twists de curvas es que se ha probado que resulta ser de gran utilidad para el mejor entendimiento del carácter de la conjetura de Sato-Tate generalizada, como puede verse en los trabajos de entre otros: Fité, Kedlaya y Sutherland. En la tesis se prueba la conjetura de Sato-Tate para el caso de los twists de las cuárticas de Fermat y de Klein como corolario de un resultado de Johansson, además se calculan los grupos y las distribuciones de Sato-Tate de estos twists. Siguiendo con el estudio de la conjetura generalizada de Sato-Tate, en el último capítulo de la tesis se estudia la conjetura para el caso de las hipersuperficies de Fermat: X_{n}^{m}: x_{0}^{m}+...+x_{n+1}^{m} = 0. Se muestra esplícitamente como calcular los grupos de Sato-Tate y las correspondientes distribuciones. Además se prueba la conjetura para el caso n=1 sobre el cuerpo de los números racionales y para n mayor que 1 sobre el cuerpo de las raíces m-ésimas de la unidad.