Spectral methods to approximate control and inverse problems for the wave equation and elasticity system
Authors:   , Boumimez Somia 
Published: August 2024

In this Thesis, we explore the use of spectral methods to approximate numerically some control and inverse problems for the wave equation and the elasticity system.

Roughly speaking, in a control problem one is interested in acting on the system (though a control) in order to drive an initial state into a desired final state after some prescribed time interval. Of course the main interest, and difficulty, arises when the control acts in a small part of the domain or the boundary. Here we focus on boundary controllability, i.e. the particular case where the control acts in one part of the boundary, since it is the case with more practical applications.

After the seminal work by J.-L. Lions in the eighties, it is well-known that boundary controllability of the wave equation can be reduced to a suitable observability inequality for the solutions of the adjoint uncontrolled wave equation. Roughly speaking, such observability inequalities give an estimate of global information, typically the energy of the solution, from local one obtained from the solution on the part of the boundary where the control acts, and for sufficiently large time. They are obtained by specific techniques such as the multipliers method, Carleman inequalities, moment problems, etc.

To obtain a numerical approximation of controls a natural procedure is as follows: first, replace the control problem by a discrete one where the controlled system is approximated by a suitable discretization of the continous one. This discrete approximation will depend on a small discretization parameter h. Then, solve the discrete control problem and, finally, prove the convergence of the discrete control to a control of the continuous system, as the discretization parameter h goes to zero.

It is important to note that a convergent numerical scheme for the continuous system does not guarantee the convergence of the discrete controls. In fact, the existence of discrete controls requires a discrete observability inequality for the discrete adjoint system, while the convergence will require the uniformity of this constant with respect to the discretization parameter h.

It turns out that this uniformity is not true for the classical discretization of the wave equation (finite difference or finite elements) and in fact, the discrete controls obtained by this natural procedure constitute an unbounded sequence, as h goes to zero. This difficulty has given rise to an active research topic in the last 30 years and a number of different techniques have been studied to overcome this difficulty: Tychonoff regularization, bigrid techniques, space-time finite elements, perturbation, etc.

Here we focus on the spectral collocation method to discretize the wave equation. In contrast with other methods, the main advantage here is the high order accuracy that gives good approximation with a not-too-fine discretization, when the data are smooth. This is important in higher dimensions or vector problems like the elasticity system. On the other hand, the main drawback is that the method is mainly restricted to the rectangle domain due to the difficulty of imposing boundary conditions when considering polynomial approximation in separated variables.

In this Thesis, we find a method to obtain a discrete version of the boundary observability inequality which is uniform with respect to the discretization parameter. The method is applied to the wave model and the elasticity system. This allows us to find convergent numerical approximations of the associated control problems and some related inverse source problems. This is particularly significant as it overcomes the limitations encountered in classical discretization techniques which fail to achieve such uniformity. By harnessing the high-order accuracy inherent to spectral collocation methods, our approach enables efficient approximations.

RESUMEN

En esta tesis, exploramos el uso de métodos espectrales para aproximar numéricamente algunos problemas de control y problemas inversos para la ecuación de ondas y el sistema de elasticidad.

En términos generales, un problema de control consiste en actuar sobre el sistema a través de una fuerza externa (conocida como control) para llevar un estado inicial a un estado final deseado en un tiempo fijado de antemano. Por supuesto, el principal interés, y dificultad, surge cuando el control actúa en una pequeña parte del dominio o de la frontera. En este trabajo nos centramos en el control en la frontera ya que es el caso con más aplicaciones prácticas.

A partir del trabajo seminal de J.-L. Lions en los años 80, es bien conocido que la controlabilidad desde la frontera de la ecuación de ondas puede reducirse a una desigualdad de observabilidad adecuada para la ecuación de ondas adjunta, sin control. Tales desigualdades de observabilidad estiman cantidades globales de las soluciones, típicamente la energía, a partir de información local obtenida en la parte de la frontera donde actúa el control durante un tiempo suficientemente largo. Se obtienen mediante técnicas específicas como el método de los multiplicadores, desigualdades de Carleman, problemas de momentos, etc.

Para obtener una aproximación numérica de los controles un procedimiento natural es el siguiente: en primer lugar, se sustituye el problema de control por uno discreto en el que la ecuación de ondas se reemplaza por una discretización convergente adecuada dependiendo de un parámetro h pequeño. A continuación, se resuelve el problema de control discreto y finalmente, se prueba la convergencia del control discreto a uno de los controles del problema continuo cuando h tiende a cero.

La existencia de controles para el problema discreto requiere una desigualdad de observabilidad discreta para el sistema adjunto discreto, mientras que la convergencia va a requerir la uniformidad de esta constante con respecto al parámetro de discretización h. Curiosamente esta uniformidad no es cierta para la discretización clásica de la ecuación de ondas (diferencias finitas o elementos finitos). Este ha sido un tema de investigación activo en los últimos 30 años y se han analizado varias técnicas diferentes para superar esta dificultad: regularización de Tychonoff, elementos finitos mixtos, técnicas multimalla, elementos finitos espacio-temporales, etc.

En esta Tesis nos centramos en el método de colocación espectral para discretizar el problema de control las ecuaciones de ondas y el sistema de la elasticidad lineal. La principal ventaja de este método, en contraste con otros, es la alta precisión. Esto proporciona una buena aproximación con una discretización no demasiado fina, cuando los datos son regulares. Esto es especialmente relevante en dimensiones 2 y 3 o problemas vectoriales, como el sistema de elasticidad. Por otro lado, la principal desventaja es que el método está principalmente restringido a dominios rectangulares debido a la dificultad de imponer condiciones de contorno en dominios generales cuando se considera una aproximación polinomial obtenida por separación de variables.

Como principal contribución, encontramos un método para obtener una versión discreta de la desigualdad de observabilidad que es uniforme con respecto al parámetro de discretización. El método se aplica tanto a la ecuación de ondas, como al sistema de elasticidad. Esto nos permite encontrar aproximaciones numéricas convergentes de problemas de control asociados a estas ecuaciones. Finalmente, aplicamos el resultado a la resolución de algunos problemas inversos cuya estabilidad se deduce también de desigualdades de observabilidad.

RÉSUMÉ

Dans cette thèse, nous explorons l’utilisation de méthodes spectrales pour approximer numériquement certains problèmes de contrôle et problèmes inverses pour l’équation des ondes et le système d’élasticité.

En général, un problème de contrôle consiste à agir sur le système à travers une force externe (appelée contrôle) pour amener un état initial à un état final souhaité dans un temps prédéterminé. Bien sûr, l’intérêt principal, et la difficulté, survient lorsque le contrôle agit sur une petite partie du domaine ou de la frontière. Dans ce travail, nous nous concentrons sur le contrôle à la frontière car c’est le cas le plus courant dans les applications pratiques.

À partir du travail séminaire de Lions, 1988a, il est bien connu que la contrôlabilité frontière de l’équation des ondes peut être réduite à une inégalité d’observabilité appropriée pour l’équation des ondes adjointe, sans contrôle. De telles inégalités d’observabilité estiment des quantités globales des solutions, typiquement l’énergie, à partir d’informations locales obtenues sur la partie de la frontière où agit le contrôle pendant un temps suffisamment long. Elles sont obtenues grâce à des techniques spécifiques telles que la méthode des multiplicateurs, les inégalités de Carleman, les problèmes de moments, etc.

Pour obtenir une approximation numérique des contrôles, une procédure naturelle est la suivante: d’abord, on remplace le problème de contrôle par un problème discret où l’équation des ondes est remplacée par une discrétisation convergente appropriée dépendant d’un paramètre h petit. Ensuite, on résout le problème de contrôle discret et enfin, on teste la convergence du contrôle discret vers un contrôle du problème continu lorsque h tend vers zéro.

L’existence de contrôles pour le problème discret nécessite une inégalité d’observabilité discrète pour le système adjoint discret, tandis que la convergence nécessitera l’uniformité de cette constante par rapport au paramètre de discrétisation h. Curieusement, cette uniformité n’est pas vraie pour la discrétisation classique de l’équation des ondes (différences finies ou éléments finis). Cela a été un sujet de recherche actif au cours des 30 dernières années et plusieurs techniques différentes ont été analysées pour surmonter cette difficulté : régularisation de Tychonoff, éléments finis mixtes, techniques multi-maillages, éléments finis espace-temps, etc.

Dans cette thèse, nous nous concentrons sur la méthode de placement spectral pour discrétiser le problème de contrôle des équations des ondes et du système d’élasticité linéaire. L’avantage principal de cette méthode, contrairement aux autres, est sa haute précision. Cela fournit une bonne approximation avec une discrétisation pas trop fine, lorsque les données sont régulières. Cela est particulièrement pertinent en dimensions 2 et 3 ou pour les problèmes vectoriels, comme le système d’élasticité. D’autre part, le principal inconvénient est que la méthode est principalement restreinte aux domaines rectangulaires en raison de la difficulté d’imposer des conditions aux limites dans des domaines généraux lorsqu’on considère une approximation polynomiale obtenue par séparation de variables.

Comme principale contribution, nous avons trouvé une méthode pour obtenir une version discrète de l’inégalité d’observabilité qui est uniforme par rapport au paramètre de discrétisation. La méthode est appliquée à la fois à l’équation des ondes et au système d’élasticité. Cela nous permet de trouver des approximations numériques convergentes des problèmes de contrôle associés à ces équations. Enfin, nous appliquons le résultat à la résolution de certains problèmes inverses dont la stabilité est également déduite des inégalités d’observabilité.