Collaborative pde solvers
Authors: Τσομπανοπούλου Παναγιώτα 
Published: August 2021

Υπάρχουν τρεις υπολογιστικές μεθοδεύσεις για την προσομοίωση μεγάλων επιστημονικών προβλημάτων. Η πρώτη και περισσότερο γνωστή προσέγγιση είναι η διακριτοποίηση του γεωμετρικού χωρίου χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα διακριτοποίησης με σκοπό τη δημιουργία ενός μεγάλου διακριτού προβλήματος. Τα στοιχεία του πλέγματος αυτού χωρίζονται για να δημιουργήσουν ένα σύνολο από συνδεόμενα διακριτά υπο-προβλήματα. Αυτός ο τρόπος είναι απλός διαχωρισμός χωρίων (γνωστός και ως substructuring) και η σύζευξη μεταξύ δύο συνιστωσών (διακριτών προβλημάτων) είναι ισχυρή καθώς το μαθηματικό μοντέλο κατά μήκος των σημείων ή των στοιχείων της διεπιφάνειας διακριτοποιείται σε εξισώσεις που εμπλέκουν πληροφορίες και από τα δύο γειτονικά υποχωρία. Ο δεύτερος και παλιότερος τρόπος λέγεται διαχωρισμός Schwarz και χωρίζει το γεωμετρικό χωρίο σε υποχωρία με μικρή επικάλυψη. Τα μαθηματικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται σε κάθε υποχωρίο μπορούν να λυθούν ανεξάρτητα κατά κάποιο τρόπο, ενώ η μέθοδος εναλλαγής Schwarz χρησιμοποιείται επαναληπτικά για να υπολογισθεί η λύση του αρχικού προβλήματος. Φυσικά, χρησιμοποιείται κάποια μέθοδος διακριτοποίησης για την επίλυση κάθε υπό-προβλήματος. Η επικάλυψη των υποχωρίων δημιουργεί σοβαρό πρόβλημα στη μέθοδο Schwarz ακόμη και στην περίπτωση απλής γεωμετρίας. Ο τρόπος αυτός έγινε περισσότερο αποτελεσματικός με την ανακάλυψη των μη-επικαλυπτόμενων εκδόσεων του. Ο τρίτος και νεώτερος τρόπος λέγεται χαλάρωση στη διεπιφάνεια. Και εδώ το γεωμετρικό χωρίο χωρίζεται σε υποχωρία, όπου καθένα έχει το δικό του μαθηματικό μοντέλο. Κατά μήκος της διεπιφάνειας (ή διεπαφής) μεταξύ δύο υποχωρίων πρέπει να ικανοποιούνται οι συνθήκες διεπιφάνειας που επάγονται από τα φυσικά φαινόμενα (π.χ., συνέχεια της μάζας ή της θερμοκρασίας, διατήρηση της ορμής). Τα μαθηματικά μοντέλα σε κάθε υποχωρίο επιλύονται στην εσωτερική ανακύκλωση της επαναληπτικής μεθόδου χαλάρωσης στη διεπιφάνεια για να υπολογισθεί η ολική λύση. Αυτές οι τεχνικές χρησιμοποιούν μια πλειάδα μεθόδων εξομάλυνσης για να ελαττώσουν το σφάλμα ικανοποιώντας τις συνθήκες στη διεπιφάνεια. Ο χειρισμός διαφορετικών φυσικών μοντέλων, η χρήση παράλληλων υπολογιστών και η επαναχρησιμοποίηση ήδη υπάρχοντος λογισμικού, οδηγούν στην ανάγκη για μεγάλη προσαρμοστικότητα και μία χαλαρή και ασθενή σύζευξη ανάμεσα στα υπό-προβλήματα κατά τη διάρκεια των υπολογισμών. Η ισχυρή σύζευξη των μεθόδων διαχωρισμού του χωρίου απαιτεί από τα γειτονικά υπό-προβλήματα να μοιράζονται αρκετή πληροφορία σχετική με τις διακριτοποιήσεις τους. Επιπλέον αυτός ο τρόπος είναι δύσχρηστος όταν τα μοντέλα σε γειτονικά υπό-προβλήματα είναι διαφορετικά. Η μέθοδος mortar στοιχείων δημιουργεί ειδικές εκλεπτύνσεις των μοντέλων επίλυσης και των διακριτοποιήσεων ώστε αυτές να προσαρμοστούν στις αλλαγές των μοντέλων κατά μήκος των διεπιφανειών. Οι μέθοδοι επικάλυψης Schwarz περιορίζονται με όμοιο τρόπο σε ένα και μόνο φυσικό μοντέλο και δημιουργούν ισχυρή σύζευξη μεταξύ των γειτονικών υπό-προβλημάτων. Οι μη επικαλυπτόμενες μέθοδοι Schwarz περιορίζονται επίσης σε ένα και μόνο μαθηματικό μοντέλο για γειτονικά υπό-χωρία. Ο τρόπος χαλάρωσης στη διεπιφάνεια δεν χρησιμοποιεί συνθήκες σύζευξης, εκτός από εκείνες που προκύπτουν από τα μαθηματικά μοντέλα προσδίδοντάς του μέγιστη γενικότητα και ελευθερία. Η ισχύς του διαχωρισμού ενός προβλήματος Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) σε μια συλλογή από υπό-προβλήματα ΜΔΕ παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Schwartz το 1890. Πέρασε σχεδόν ένας αιώνας ώσπου οι ερευνητές που ανήκουν στην περιοχή της Αριθμητικής Ανάλυσης και των Υπολογιστικών Μαθηματικών, με πρώτον τον Κ. Miller το 1965, να χρησιμοποιήσουν την ιδέα αυτή. Από τότε έχει κερδίσει το ενδιαφέρον μιας επιστημονικής κοινότητας που μεγαλώνει διαρκώς. Τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά αυτού του τρόπου συνοψίζονται στην κομψότητα του μαθηματικού μοντέλου και στη δύναμη του σαν νέο υπολογιστικό εργαλείο. Η κινητήρια δύναμη αυτού του τρόπου, που ονομάζουμε Συνεργαζόμενοι Επιλυτές ΜΔΕ, είναι η ευκολία στην προσομοίωση προβλημάτων που αποτελούνται από πολλά υπό-χωρία με διαφορετικές φυσικές ιδιότητες και η εύκολη υλοποίησή του με φυσικό τρόπο. Ο κύριος σκοπός της διατριβής αυτής είναι να διατυπώσει, να αναλύσει, να υλοποιήσει και να εκτιμήσει την απόδοση του γενικού πλαισίου ενός συστήματος Συνεργαζόμενων Επιλυτών ΜΔΕ το οποίο έχει πολλές επιθυμητές ιδιότητες όπως ταχεία σύγκλιση, ευρεία εφαρμογή, αυξημένη προσαρμοστικότητα, υψηλή αποδοτικότητα, παραλληλία και εύκολη επαναχρησιμοποίηση λογισμικού. Επιπρόσθετα είναι σε θέση να αξιοποιήσει πλήθος σύγχρονων αποτελεσμάτων από πολλές επιστημονικές περιοχές όπως μαθηματική ανάλυση, αριθμητική ανάλυση, θεωρία προσέγγισης, επιστημονικοί υπολογισμοί, κατανεμημένοι υπολογισμοί και υπολογισμοί διαμεσολαβητών (agents). Ένα μεγάλο μέρος αυτής της εργασίας είναι αφιερωμένο στις μεθόδους Χαλάρωσης στην Διεπιφάνεια που αποτελούν τον πυρήνα ενός τέτοιου συστήματος. Αν και η ιδέα των Συνεργαζόμενων Επιλυτών ΜΔΕ μπορεί να εφαρμοστεί με μεγάλη επιτυχία σε όλα τα είδη ΜΔΕ, στην παρούσα εργασία περιοριζόμαστε μόνο σε ελλειπτικές ΜΔΕ δεύτερης τάξης. Πιστεύουμε όμως ότι τα ερευνητικά μας αποτελέσματα που παρουσιάζονται εδώ, μπορούν να επεκταθούν εύκολα, τουλάχιστον σε παραβολικές ΜΔΕ. Η βασική ιδέα πάνω στην οποία χτίστηκε η παρούσα διατριβή, προτάθηκε με συστηματικό τρόπο για πρώτη φορά από τον J.R. Rice το 1987. Δύο από τους μαθητές του έχουν σχεδιάσει και υλοποιήσει αρχικές εκδόσεις του συστήματός μας. Οι δύο πρώτοι ερευνητές που πρότειναν και ανέλυσαν συγκεκριμένες μεθόδους Χαλάρωσης στη Διεπιφάνεια ήταν ο P.L. Lions και ο A. Quarteroni. Η παρούσα διατριβή έχει την εξής δομή. Στην Ενότητα 1.2 περιγράφουμε εν΄ συντομία μερικά σύνθετα προβλήματα ΜΔΕ η αριθμητική επίλυση των οποίων είναι ο βασικός στόχος της διατριβής. Στην Ενότητα 1.3 περιγράφουμε το γενικό μοντέλο συνεργασίας ΜΔΕ που χρησιμοποιούμε και εισάγουμε τη βασική ορολογία και τους βασικούς ορισμούς. Στο Κεφάλαιο 2, παρουσιάζουμε μια σύντομη ανασκόπηση μιας συλλογής από μηχανισμούς χαλάρωσης στη διεπιφάνεια, που αποτελούν τον κεντρικό πυρήνα του συστήματος. Τα Κεφάλαια 3 και 4 είναι αφιερωμένα στη θεωρητική και πειραματική μελέτη τριών μεθόδων χαλάρωσης στη διεπιφάνεια. Συγκεκριμένα, παρουσιάζουμε την ανάλυση σύγκλισης τους και ορίζουμε περιοχές σύγκλισης και "βέλτιστες" τιμές για τις εμπλεκόμενες παραμέτρους χαλάρωσης. Επίσης επιβεβαιώνουμε τα θεωρητικά μας αποτελέσματα με εκτενή αριθμητικά δεδομένα. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζουμε την υλοποίηση του γενικού υπολογιστικού μοντέλου σε ένα δίκτυο ετερογενών υπολογιστών που χρησιμοποιούν την τεχνολογία των διαμεσολαβητών. Επίσης παρουσιάζουμε εν' συντομία καίρια υπολογιστικά θέματα για την πλήρη κατανόηση της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Το Κεφάλαιο 6 περιέχει βασικά προκαταρτικά αποτελέσματα από ένα σύνολο εκτεταμένων αριθμητικών πειραμάτων και εστιάζει στην πρακτική σημασία των σχημάτων Χαλάρωσης στην Διεπιφάνεια που έχουμε αναλύσει. Επιπρόσθετα, τα αποτελέσματα αυτά επιβεβαιώνουν ότι η θεωρία που αναπτύξαμε μπορεί να έχει σημαντική πρακτική αξία στην επίλυση περισσότερο γενικών προβλημάτων από εκείνα που μελετήσαμε θεωρητικά. Τα περισσότερα από τα παραπάνω Κεφάλαια τελειώνουν με συμπεράσματα σχετικά με το περιεχόμενό τους. Στο Κεφάλαιο 7, παρουσιάζουμε τα γενικά συμπεράσματα μας, κάποιες από τις επόμενες προσπάθειες μας και απαριθμούμε μερικά ανοικτά προβλήματα.