Zadatsite viv drevnogretskata matematika i viv savremenoto gretsko ytsiliste” (“Задачите в древногръцката математика и в съвременното гръцко училище)
Authors: Σάλτας Βασίλειος 
Published: January 2014

Είναι γνωστό ότι, από τα βάθη της αρχαιότητας τα προβλήματα (ασκήσεις) ήταν αδιαίρετο μέρος, όχι μόνο για την επιστήμη των μαθηματικών, αλλά και για τη διδασκαλία των μαθηματικών. Ακόμη και σήμερα, ένας από τους πρωταρχικούς σκοπούς της διδασκαλίας των μαθηματικών είναι η διαμόρφωση της ευρετικής ικανότητας για λύση μαθηματικών ασκήσεων. Η ενέργεια «λύση ασκήσεων» αποδεικνύεται ότι είναι από τις δυσκολότερες στη διδασκαλία των μαθηματικών. Η πρακτική φανερώνει, ότι ανεξάρτητα από την προσπάθεια των μαθητών, πολύ απ’ αυτούς δεν κατορθώνουν να λύνουν μαθηματικές ασκήσεις ή ακόμη και αν αυτό το γίνει, είναι σε στοιχειώδες επίπεδο. Συνεπώς υπάρχει τι να περιμένει κανείς από την επιστήμη των μαθηματικών, τουλάχιστον σε σχέση με τη διδασκαλία λύσης ασκήσεων. Με άλλα λόγια, η αναζήτηση δυνατοτήτων για ελάττωση των δυσκολιών κατά την κατανόηση της ενέργειας «λύση ασκήσεων» κατέχει την δική της θέση στις επιστημονικές έρευνες.Ευρέως διαδεδομένη είναι η άποψη, ότι οι ασκήσεις εκπληρώνουν πάνω απ’ όλα μαθηματικές λειτουργίες και με τη βοήθεια των ασκήσεων πραγματοποιούνται με μεγάλη επιτυχία ακολουθία διδακτικών σκοπών. Για παράδειγμα στη διδασκαλία των μαθηματικών, πολλές από τις νέες γνώσεις αιτιολογούνται και εισάγονται με τη βοήθεια ασκήσεων. Με τις ασκήσεις εμπεδώνονται και διατηρούνται και εφαρμόζονται πολλές από τις διδασκόμενες μαθηματικές έννοιες. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθηματικές ασκήσεις είναι σημαντική διδακτική κατηγορία. Σ’ αυτή τη σχέση οι έννοιες άσκηση και λύση της άσκησης είναι ιδιαίτερα βασικά αντικείμενα για την εκμάθηση των μαθηματικών από διδακτικής πλευράς. Για το λόγο αυτό δεν είναι τυχαίο το γεγονός ότι πολύ διακεκριμένοι μαθηματικοί, όπως ο Polya, αφιέρωσαν μέρος των διδακτικών τους ερευνών στη διδασκαλία των μαθηματικών. Ένα κοινό χαρακτηριστικό των μελετών που ήδη υπάρχουν για τις μαθηματικές ασκήσεις και τις λύσεις αυτών στη διδασκαλία των μαθηματικών είναι ότι προγυμνάζουν το πρόβλημα σε λογικό – διδακτικό πλάνο. Σ’ αυτές η ιστορία της διδασκαλίας λύσης ασκήσεων σχεδόν δεν λαμβάνει μέρος και παραμένει ανοιχτή η ερώτηση της γέννησης του προβλήματος. Η τελευταία κατάσταση οδήγησε στην ακόλουθη ιδέα: προσεκτική ιστορική παρατήρηση του προβλήματος για τις ασκήσεις (προβλήματα) και τις λύσεις αυτών στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά μπορεί να παράγει χρήσιμες διδακτικές πληροφορίες και ιδέες που μπορούν να υλοποιηθούν στη σύγχρονη διδασκαλία των μαθηματικών. Έγινε προσπάθεια μελέτης του προβλήματος για τις μαθηματικές ασκήσεις (προβλήματα) και τις λύσεις αυτών όχι μόνο από σύγχρονη οπτική γωνία, αλλά και από ιστορική – διδακτική. Μετά απ’ αυτό έγινε προσπάθεια χρησιμοποίησης των αποτελεσμάτων της ιστορικής ανάλυσης για την επεξεργασία νέων ασκήσεων και τη λύση τους στο σύγχρονο σχολείο.Τέθηκε ο ακόλουθος σκοπός: Να εξεταστεί η θέση, ο ρόλος και οι διδακτικές λειτουργίες των μαθηματικών προβλημάτων στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά και στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο, να ανακαλυφθούν δυνατότητες και να επεξεργαστούν τακτικές για την αύξηση του επιπέδου διδασκαλίας των μαθηματικών και συγκεκριμένα τη διδασκαλία λύση ασκήσεων. Υπόθεση: Συστηματική ένταξη ιστορικών, παραδοσιακών και διασκεδαστικών μαθηματικών ασκήσεων στη διδασκαλία των μαθηματικών και η χρήση συστημάτων ασκήσεων (συστηματοποίηση γνώσεων) στη βάση των οποίων βρίσκονται οι ασκήσεις – θεωρήματα (ημιθεωρήματα), οδηγεί στη ενίσχυση του ενδιαφέροντος και στην τελειοποίηση των ικανοτήτων των μαθητών να λύνουν μαθηματικές ασκήσεις.Για την εκπλήρωση του σκοπού και για τον έλεγχο της υπόθεσης έγιναν μελέτες προς στις ακόλουθες κατευθύνσεις:1)Εξετάστηκε ο χαρακτήρας, η θέση και ο ρόλος των προβλημάτων στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά και στη διδασκαλία των μαθηματικών σε ιστορικό πλάνο. 2)Εξετάστηκε η κατάσταση του προβλήματος για τις ασκήσεις στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία μαθηματικών μέσης εκπαίδευσης.3)Έγινε ανάλυση και εκτίμηση της χρήσης ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των μαθηματικών και στα σύγχρονα σχολικά βιβλία μαθηματικών.4)Με βάση την ανάλυση, εκτίμηση και τις παρατηρούμενες τάσεις για το πρόβλημα των ασκήσεων στη διδασκαλία των μαθηματικών, έγινε επεξεργασία μεθοδολογικής αλλαγής για περισσότερο πολύτιμη εφαρμογή των ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των μαθηματικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο.5)Ερευνητικά έγινε έλεγχος της διδακτικής εφαρμογής των προτεινόμενων εναλλακτικών μεθόδων διδασκαλίας των ασκήσεων και των λύσης αυτών. Η διατριβή αποτελείται από έξι κεφάλαια.Το πρώτο κεφάλαιο έχει τίτλο: «Οι ασκήσεις στη σύγχρονη διδασκαλία ως διδακτική κατηγορία» Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζονται και αναλύονται ιδέες διδακτικής των μαθηματικών σχετικές με την ουσία των μαθηματικών ασκήσεων, τη δομή της λύσης τους, τις λειτουργίες και το ρόλο των ασκήσεων στη διδασκαλία των μαθηματικών (εκπαιδευτικές, διαπαιδαγωγικές και αναπτυξιακές λειτουργίες των μαθηματικών ασκήσεων). Τα αναφερόμενα στο κεφάλαιο αυτό επικεντρώνονται στις λεγόμενες ασκήσεις – τμήματα άλλων ασκήσεων και στις ζώνες ανάπτυξης της ευρετικής ικανότητας των μαθητών. Διακρίνονται δυο ζώνες ανάπτυξης: η ζώνη επίκαιρης ανάπτυξης (ΖΕΑ) που αναφέρεται στις ώριμες ψυχολογικές λειτουργίες του ατόμου σε δεδομένη χρονική στιγμή και η ζώνη κοντινής ανάπτυξης (ΖΚΑ) που αναφέρεται στις προς ωρίμανση ψυχολογικές λειτουργίες του ατόμου σε δεδομένη χρονική στιγμή. Οι ασκήσεις – τμήματα είναι ασκήσεις που πρέπει πρώτα να λυθούν και αποτελούν μέρος της λύσης δεδομένης άσκησης. Όσο περισσότερες ασκήσεις – τμήματα μιας άσκησης λύνονται από συγκεκριμένο μαθητής, τόσο η λύση της άσκησης είναι πιο εύκολη γι’ αυτόν. Η πολυπλοκότητα της λύσης ορίζεται από τον αριθμό των ασκήσεις – τμήματα, τις οποίες η άσκηση περιλαμβάνει. Η δυσκολία για την λύση μιας άσκησης ορίζεται από τον αριθμό των πριν απ' αυτή λυμένων ασκήσεις – τμήματα αυτής, καθώς επίσης και από το χρόνο, περίοδο, που αυτές έχουν λυθεί. Προτείνεται οι ασκήσεις να ταξινομούνται σε ομάδες με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μια, μετά την πρώτη, να έχει προετοιμαστεί από πριν απ' αυτή λυμένες δικές της ασκήσεις-μέρη.Συνοπτικά τα συμπεράσματα από το πρώτο κεφάλαιο είναι τα ακόλουθα:1)Κάθε θεώρημα μπορεί να ληφθεί σαν άσκηση – τμήμα άσκησης στη λύση της οποίας χρησιμοποιείται το θεώρημα.2)Ταυτόχρονη υλοποίηση των ενεργειών «απόδειξη» και «μελέτη» κατά τη λύση προβλημάτων γεωμετρικής κατασκευής εξασφαλίζει καλύτερη ισοδυναμία μεταξύ του σκοπού της άσκησης (προβλήματος) και των διδακτικών τις συναρτήσεων στη διδασκαλία των μαθηματικών.3)Η χρήση των ασκήσεων και ως μέσο και ως σκοπό της διδασκαλίας εξασφαλίζει συνθήκες για την εμπέδωση της διαδικασίας «λύση ασκήσεων» από τους μαθητές.Το δεύτερο κεφάλαιο φέρει τον τίτλο «Μαθηματικά προβλήματα στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά (έως τον 4ο αιώνα μ.Χ.)» Στο κεφάλαιο αυτό μελετούνται και αναλύονται τα ακόλουθα: i)Ιστορικές πληροφορίες για τα προβλήματα και τις ασκήσεις στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά (έως και τον 4ο αιώνα μ.Χ.).ii)Το αλφαβητικό σύστημα γραφής των αριθμών στην Αρχαία Ελλάδα.iii)Η εμφάνιση των σχημάτων λύσης των προβλημάτων.iv)Τα τρία άλυτα προβλήματα στην Αρχαία Ελλάδα.Δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στην αλλαγή – μετασχηματισμό των γραμμάτων με αριθμούς και στους λεγόμενους «πυθμένες αριθμών» σε κάποιους στοίχους της «Ιλιάδας» του Ομήρου. Παρουσιάζονται οι δυο βασικές κατηγορίες προβλημάτων στην Αρχαία Ελλάδα: α) Ευθείς διαδικασίες, κατά τις οποίες δίνεται το σχήμα και βρίσκονται ορισμένες ιδιότητές του με προτάσεις οι οποίες εκφράζουν αυτές τις ιδιότητες. Οι προτάσεις αυτές ονομάστηκαν αργότερα «θεωρήματα».β) Αντίστροφες διαδικασίες, κατά τις οποίες πρέπει να κατασκευαστεί σχήμα το οποίο επαληθεύει κάποιες γνωστές ιδιότητες, προβλήματα γεωμετρικής κατασκευής.Στο σημείο αυτό επισημαίνονται τα δυο σχήματα λύσης προβλημάτων γεωμετρικής κατασκευής τα αναφερόμενα ως «Σχήμα Ευκλείδη» (3ο αιώνα π.Χ.) και «Σχήμα Πάππου» (3ο αιώνα μ.Χ.). Τέλος στο κεφάλαιο αυτό παραθέτονται και 15 ομάδες ιστορικών προβλημάτων και ασκήσεων της Αρχαίας Ελλάδας όπως για παράδειγμα: γεωμετρική ερμηνεία του τετραγώνου αθροίσματος, προβλήματα από τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, το πρόβλημα του Απολλώνιου, προβλήματα στα συγγράμματα του Πάππου και ασκήσεις στα συγγράμματα του Νικόμαχου. Τα συμπεράσματα από το κεφάλαιο αυτό είναι τα ακόλουθα:1)Στην Αρχαία Ελλάδα (έως και το Διόφαντο) τα προβλήματα και οι λιγοστές ασκήσεις χρησιμοποιούνταν για την εδραίωση μόνο επιλεγμένων μερών της θεωρίας και όχι για ολόκληρη της θεωρία, όπως πρακτικός σήμερα γίνεται. Παρόλα αυτά σαν περιεχόμενο τα προβλήματα στα Αρχαία Ελληνικά μαθηματικά και οι ασκήσεις στα σύγχρονα σχολικά βιβλία μαθηματικών μοιάζουν πολύ.2)Τα ιστορικά γεγονότα φανερώνουν ότι τα προβλήματα στην Αρχαία Ελλάδα εφαρμόζονταν και χρησιμοποιούνταν στην εκπαιδευτική διαδικασία και είχαν προορισμό να εμπλουτίσουν τη μαθηματική κουλτούρα τόσο των εκπαιδευόμενων όσο και των εκπαιδευτών.3)Καλή γνώση της ιστορίας των Αρχαίων Ελληνικών μαθηματικών είναι προσανατολισμός κατά την εκλογή του μαθηματικού περιεχομένου των σύγχρονων σχολικών βιβλίων, όπως και κατά την εκλογή της διδακτικής τεχνολογίας για την εμπέδωση της μαθηματικής ενέργειας «λύση ασκήσεων».Το τρίτο κεφάλαιο έχει τίτλο «Οι ασκήσεις στη διδασκαλία των μαθηματικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο»Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται παρουσίαση της δομής των σύγχρονων σχολικών βιβλίων μαθηματικών, των χαρακτηριστικών της διδασκαλίας των μαθηματικών και τέλος υπογραμμίστηκαν οι βασικοί τύποι ασκήσεων που λύνονται ή προτείνονται για λύση στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία μαθηματικών. Οι τύποι αυτών των ασκήσεων είναι: ασκήσεις (προβλήματα) γεωμετρικών κατασκευών, ασκήσεις απόδειξης, ασκήσεις ύπαρξης και υπολογιστικές ασκήσεις.Αναφέρονται συνοπτικά τα ακόλουθα συμπεράσματα από το τρίτο κεφάλαιο:1)Οι βασικοί τύποι ασκήσεων που διδάσκονται στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο είναι: ασκήσεις απόδειξης, υπολογιστικές ασκήσεις, ασκήσεις (προβλήματα) γεωμετρικών κατασκευών και ασκήσεις ύπαρξης.2)Η σχέση μεταξύ των ασκήσεων απόδειξη, ύπαρξης, κατασκευαστικών και υπολογιστικών είναι 1:9,9:0,06:7,6.3)Ο τρόπος απόδοσης των εκφωνήσεων μεγάλου μέρους των ασκήσεων απαιτεί εκσυγχρονισμό. Εκτός αυτού πρέπει να ενταχθούν και νέες ασκήσεις. Το τέταρτο κεφάλαιο φέρει τον τίτλο «Δυνατότητες επέκτασης του ρόλου των ασκήσεων στη διδασκαλία των μαθηματικών» Στο κεφάλαιο αυτό μελετήθηκαν δυνατότητες για επέκταση του ρόλου των ασκήσεων στη διδασκαλία των μαθηματικών. Αρχικά έγινε προσπάθεια να βρεθεί τρόπος για επέκταση του ρόλου των ασκήσεων κατά την προπαίδευση των μαθητών για την εμπέδωση νέων εννοιών. Η προσπάθεια αυτή βασίστηκε στα βιβλία μαθηματικών που διδάσκονται στα σύγχρονα ελληνικά σχολεία. Προτάθηκαν παραδείγματα συστημάτων ασκήσεων με τις οποίες παρουσιάζεται και διευκολύνεται η εισαγωγή και η εκμάθηση βασικών ασκήσεων (προβλημάτων) γεωμετρικής κατασκευής, ασκήσεων απόδειξης και υπολογισμού. Κατά δεύτερο έγινε προσπάθεια να βρεθούν δυνατότητες ανάπτυξης του ρόλου των ασκήσεων κατά την εμπέδωση των προπαιδευτικών μαθηματικών εννοιών. Για το σκοπό αυτό προτάθηκαν παραδείγματα – ασκήσεις για την προπαίδευση στις έννοιες τετραγωνική ρίζα αριθμού, αριθμητική συνάρτηση, ίσα τρίγωνα και Θεώρημα Θαλή. Σε τρίτη θέση έγινε προσπάθεια εύρεσης δυνατοτήτων εφαρμογής των ασκήσεων ως μέσο για την αύξηση του ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά. Οι ιστορικές, παραδοσιακές, πρακτικές και οι διασκεδαστικές ασκήσεις είναι αποτελεσματικό μέσο για το σκοπό αυτό (αύξηση ενδιαφέροντος), αλλά ακόμη ελάχιστα χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό. Προτάθηκαν συγκεκριμένες ιδέες για την αλλαγή του περιεχομένου των μαθηματικών και του εκπαιδευτικού προγράμματος με πρόταση να συμπεριληφθούν ιστορικές, παραδοσιακές, πρακτικές και διασκεδαστικές ασκήσεις τόσο στην εισαγωγή, εμπέδωση και διατήρηση των μαθηματικών γνώσεων, όσο και στην εξέταση αυτών. Σαν άσκηση συνδεδεμένη με ιστορικά γεγονότα καθώς και με το αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης των αρχαίων ελλήνων, προτείνεται και η ακόλουθη άσκηση: «α) Να βρεθεί ο «πυθμένας» των λέξεων «Πυθαγόρας» και «Σάμιος». β) Να βρεθεί ο «πυθμένας» των αριθμών 580 και 500. γ) Λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι ο Πυθαγόρας ήταν από τη Σάμο, γεννήθηκε το 580 π.Χ. και πέθανε το 500 π.Χ. τι συμπέρασμα βγάζεται για τα α) και β);»Τα συμπεράσματα από το κεφάλαιο αυτό είναι τα ακόλουθα: 1)Η ενέργεια «λύση ασκήσεων» έχει θετική επιρροή κατά την προετοιμασία των μαθητών για την εμπέδωση νέων εννοιών.2)Το περιεχόμενο των ασκήσεων και οι ενέργειες κατά τη λύση αυτών είναι βασικό διδακτικό μέσο για την αιτιολόγηση, στους μαθητές, του ότι πρέπει να διδάσκονται τα μαθηματικά. 3)Οι ιστορικές ασκήσεις, οι ασκήσεις με παραδοσιακό, αυτές με πρακτικό ή διασκεδαστικό χαρακτήρα είναι αποτελεσματικό μέσο για την αύξηση του ενδιαφέροντος των μαθητών για τα μαθηματικά.Το πέμπτο κεφάλαιο αναφέρεται στις «Δυνατότητες ανάπτυξης και τελειοποίησης των ικανοτήτων των μαθητών να λύνουν μαθηματικές ασκήσεις».Στο κεφάλαιο αυτό αρχικά έγινε προσπάθεια, με γνώμονα τις ιδέες του Polya, να υπογραμμιστούν, από θεωρητική πλευρά, οι βασικές προϋποθέσεις για τη διάπλαση των ικανοτήτων για λύση ασκήσεων. Απαριθμούνται οι θετικές και αρνητικές πλευρές τις επαγωγικής δομής των μαθηματικών γνώσεων και τις εκμάθησης αυτών και αιτιολογείται η αναγκαιότητα για νέα συστηματοποίηση των ορισμών, των θεωρημάτων και των ασκήσεων. Σχετικά μ’ αυτά παρουσιάζεται η ιδέα για συστηματοποίηση των θεωρημάτων και η δημιουργία δυο τέτοιων διδακτικών συστημάτων: διδακτικά συστήματα αναγκαίων συνθηκών (ΔΣΑΣ) και διδακτικά συστήματα ικανών συνθηκών (ΔΣΙΣ).Συσχετίστηκαν τα Δ.Σ.Ι.Σ. και Δ.Σ.Α.Σ. με την ιδέα του «κανόνα συστηματοποίησης», δηλαδή του τρόπου ομαδοποίησης των ασκήσεων που λύνονται για την εμπέδωση συγκεκριμένης μαθηματικής έννοιας και της σχέσης μεταξύ των ασκήσεων στα διάφορα επίπεδα της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Παρουσιάστηκαν συγκεκριμένα παραδείγματα συστηματοποίησης βασικών εννοιών και παραδείγματα, βασισμένα στη συστηματοποίηση με ημιτελείς λύσεις – λύσεις για συμπλήρωση. Με βάση τη συστηματοποίηση αυτή έγινε προσπάθεια να συστηματοποιηθούν και οι ασκήσεις, οι οποίες εξασφαλίζουν τόσο μεθόδους υπολογισμού, όσο και μεθόδους κατασκευής σχημάτων από ξεχωριστά γεωμετρικά αντικείμενα, όπως για παράδειγμα η «γωνία». Βασικό μέρος στο κεφάλαιο αυτό λαμβάνει η έννοια «ημιθεώρημα». Σε διαφορά με τα θεωρήματα, οι λύσεις αυτών δεν συμπεριλαμβάνονται στη θεωρία και δεν πρέπει να εξετάζονται όπως οι αποδείξεις των θεωρημάτων. Τονίζεται ότι για ορισμένο θεώρημα μπορούν να υπάρχουν περισσότερα από ένα «ημιθεώρημα». Αν η λύση μιας άσκησης αποτελείται μόνο από ένα στάδιο, τότε δεν ενδείκνυται να αποτελέσει «ημιθεώρημα». Οι λύσεις των ασκήσεων αυτών πρέπει να συμπεριλαμβάνεται στις ενέργειες οι οποίες μπορούν να εκτελεστούν με τη συνεχή εφαρμογή των διδασκόμενων θεωρημάτων.Με τα «ημιθεωρήματα» πλησιάζουμε περισσότερο στη λύση δεδομένης άσκησης, δηλαδή «συμπιέζουμε» τα στάδια λύσης αυτής, εφόσον δεν απαιτείται η επανάληψη της λύσης αυτών. Τα «ημιθεωρήματα» πρέπει να τοποθετούνται μετά από τα αντίστοιχα θεωρήματα και εν συνεχεία να λύνονται ασκήσεις σχετικές με αυτά. Ο τρόπος αυτός οργάνωσης των μαθηματικών γνώσεων έχει και κάποια αρνητικά σημεία. Στις περισσότερες περιπτώσεις τα ημιθεωρήματα είναι δύσκολες ασκήσεις, ακόμη και δυσκολότερες από τις ασκήσεις, οι οποίες λύνονται με άμεση εφαρμογή των διδασκόμενων θεωρημάτων. Για το λόγο αυτό προτείνονται δυο τρόποι οργάνωσης της διδασκόμενης θεωρίας:1) Όταν το ημιθεώρημα είναι με εύκολη απόδειξη, τότε να ακολουθείται το σχήμα:-Θεώρημα-Ημιθεώρημα-Ασκήσεις2) Όταν το ημιθεώρημα είναι με δύσκολη απόδειξη, τότε να ακολουθείται το σχήμα:-Θεώρημα-Ασκήσεις (εύκολες με άμεση εφαρμογή του θεωρήματος)-Ημιθεώρημα-ΑσκήσειςΟ τρόπος αυτός παρουσίασης μπορεί να εφαρμοστεί σχεδόν σε όλο το μαθηματικό περιεχόμενο. Γεννιούνται όμως τα εξής ερωτήματα: Πώς θα γίνει η επιλογή των «ημιθεωρημάτων» και πώς οι μαθητές θα γνωρίζουν ποια άσκηση να λύσουν πρώτα και ποία απ’ αυτές είναι «ημιθεώρημα»;Το πρώτο ερώτημα συνδέεται άμεσα με την άποψη ότι από μια πλευρά τα «ημιθεωρήματα» ελαττώνουν τα στάδια λύσης μιας άσκησης, αυξάνουν από την άλλη πλευρά τον αριθμό των γνώσεων τις οποίες οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν και να θυμούνται χωρίς αποδείξεις. Για το λόγο αυτό πρέπει να οριστεί ένα μέγεθος με βάση το οποίο θα καθορίζεται ο βαθμός σημαντικότητας της κάθε άσκησης (συγκριτικά με το σύνολο των ασκήσεων του δεδομένου θέματος). Ονομάζεται το αυτό μέγεθος «ισχύ» της άσκησης, να το συμβολίζεται με «p» και μετριέται σε %. Είναι φανερό ότι για τον προσδιορισμό του p πρέπει να λαμβάνεται υπό όψιν και το γνωστικό επίπεδο των μαθητών.Κατά τη λύσης κάποιας άσκησης μεταβαίνουμε από μια κατάσταση σε κάποια άλλη. Με τη βοήθεια της p θα μπορούμε να ορίσουμε τις τιμές των γνώσεων των δυο αυτών επιπέδων. Με τον τρόπο αυτό θα μπορούμε να προσδιορίσουμε αν μια άσκηση προσφέρει αρκετές γνώσεις και πρέπει να γίνει «ημιθεώρημα» ή όχι. Όσο αφορά το δεύτερο ερώτημα προτείνεται τα «ημιθεωρήματα και οι ασκήσεις που λύνονται με τη βοήθειά τους να επισημαίνονται με ειδικά σύμβολα από τους ίδιους τους συγγραφείς. Τα συμπεράσματα από το πέμπτο κεφάλαιο είναι τα ακόλουθα:1)Κατά την εκμάθηση κάθε θεωρήματος είναι απαραίτητο να υποδειχτούν και να αναπτυχθούν όλες οι δυνατές ενέργειες τις οποίες το θεώρημα δύναται να υπηρετήσει.2)Υπάρχουν στα σύγχρονα σχολικά βιβλία μαθηματικών ασκήσεις οι οποίες μπορούν να ληφθούν ως ημιθεώρημα.3)Η άμεση – ξεκάθαρη διατύπωση των ασκήσεων ημιθεωρημάτων και η κατάλληλη ταξινόμηση των ασκήσεων, η λύση των οποίων απαιτεί την εφαρμογή του αντίστοιχου ημιθεωρήματος, δημιουργούν κατάλληλες προϋποθέσεις για την καλυτέρευση των ικανοτήτων των μαθητών να λύνουν μαθηματικές ασκήσεις. Το έκτο και τελευταίο κεφάλαιο φέρει τον τίτλο «Διδακτική έρευνα».Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα αποτελέσματα ερευνών προς 3 κατευθύνσεις και συγκεκριμένος προς στις ακόλουθες:i) Λύση μαθηματικών ασκήσεων: Η έρευνα αναφερόταν στις ακόλουθες γεωμετρικές έννοιες: «Γενίκευση Πυθαγορείου Θεωρήματος», «Θεώρημα εσωτερικών γωνιών τριγώνου» και «Θεώρημα διαμέσων τριγώνου». Υλοποιήθηκε με τη βοήθεια 264 μαθητών της Β΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου οι οποίοι χωρίστηκαν σε δυο ομάδες Α΄ και Β΄. Ο σκοπός της ήταν να προσδιοριστεί το επίπεδο γνώσεων των μαθητών και η δυνατότητα των μαθητών να λύνουν μαθηματικές ασκήσεις χωρίς και με τη χρήση των «ημιθεωρημάτων». ii) Λύση μαθηματικών ασκήσεων με τη βοήθεια των ημιθεωρημάτων: Η έρευνα υλοποιήθηκε με τη βοήθεια 50 μαθητών της Α΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου οι οποίοι χωρίστηκαν σε δυο ίσες ομάδες Α΄ και Β΄. Η Α΄ Ομάδα εργάστηκε με τη βοήθεια των «ημιθεωρημάτων» ενώ η Β΄ Ομάδα με τον κλασσικό τρόπο. Ο σκοπός της ήταν ο προσδιορισμός του επιπέδου των ικανοτήτων των μαθητών να λύνουν μαθηματικές ασκήσεις με τη χρήση των ημιθεωρημάτων (διδασκαλία με τη νέα – προτεινόμενη μέθοδο) και χωρίς τη χρήση αυτών. iii) Πρακτική εφαρμογή των μαθηματικών γνώσεων: Υλοποιήθηκε με τη βοήθεια 50 μαθητών της Β΄ Τάξης Γυμνασίου. Σκοπό είχε τον έλεγχο της επιρροής των πρακτικών ασκήσεων και των ασκήσεων με παραδοσιακό και διασκεδαστικό χαρακτήρα, στην αύξηση του ενδιαφέροντος για λύση μαθηματικών ασκήσεων. Τα συμπεράσματα από τις έρευνες συνοπτικά είναι τα ακόλουθα: 1)Τα ημιθεωρήματα είναι αποτελεσματικό διδακτικό μέσο με τα οποία μπορεί τόσο να καλυτερεύσει και να τελειοποιηθεί η ικανότητα των μαθητών να λύνουν μαθηματικές ασκήσεις, όσο και κα καλλιεργηθεί η ευρετική τους ικανότητα να λύνουν τυχαίες ασκήσεις.2)Οι πρακτικές ασκήσεις και αυτές με παραδοσιακό και διασκεδαστικό χαρακτήρα αρέσουν στους μαθητές και είναι καλή προϋπόθεση για τη διαμόρφωση του ενδιαφέροντος για λύση μαθηματικών ασκήσεων. Στα προαναφερόμενα έξι κεφάλαια προσθέτονται και επτά παραρτήματα, τα οποία συμπληρώνουν και εξηγούν ορισμένα σημεία του βασικού κειμένου.Σαν γενικό συμπέρασμα της διατριβής μπορεί να ειπωθεί το ακόλουθο:Η διενεργούμενη θεωρητική και ερευνητική μελέτη εξασφαλίζει προϋποθέσεις για τη διευκρίνιση, συμπλήρωση και γενίκευση μέρους των ιδεών που μελετούνται στη σύγχρονη διδακτική των μαθηματικών για τις μαθηματικές ασκήσεις και τις λύσεις αυτών. Ιδέες που αναφέρονται στην ανακάλυψη των δυνατοτήτων για επέκταση του ρόλου των ασκήσεων στη διδασκαλία των μαθηματικών, την ενίσχυση του ενδιαφέροντος των μαθητών για τα μαθηματικά και στην τελειοποίηση των ικανοτήτων των μαθητών για λύση μαθηματικών ασκήσεων.Δύναται να γίνουν οι ακόλουθες προτάσεις: Πρέπει να γίνει αναδιάταξη του περιεχομένου των σύγχρονων σχολικών μαθηματικών βιβλίων προς δυο κατευθύνσεις. Η μια κατεύθυνση αναφέρεται στην ένταξη ασκήσεων ιστορικών, παραδοσιακών και διασκεδαστικών όσο αφορά την εισαγωγή, εμπέδωση, διατήρηση και εξέταση των νέων μαθηματικών εννοιών. Η δεύτερη κατεύθυνση αναφέρεται στον καθορισμό των ασκήσεων – ημιθεωρημάτων, τη θέση αυτών στα διάφορα μαθηματικά θέματα και τέλος τη μορφή και τον χαρακτήρα των ασκήσεων που σχετίζονται με τα ημιθεωρήματα.