Chaos and Dynamics in a Fractional Duffing Equation
Authors:   , Hamaizia Sara 
Published: November 2024

The Duffing equation is a nonlinear dynamical system known for exhibiting chaotic behaviour. It serves as a standard model for exploring chaos in a low-dimensional dynamical system.

In the work presented, we characterize the chaos in the Duffing equation with negative linear stiffness and a fractional damping term. The fractional form of the equation studied is a substitution of the first-order derivative in the Duffing equation with a Caputo fractional derivative of order $\alpha$, ranging within the two intervals (0,1) and (1,2).

We determine that the phase space of the problem studied includes three dimensions, representing the parameters that define the system's state. However, with the phase remaining constant, we can effectively treat the phase space as two-dimensional, simplifying the analysis of the system's dynamics. We demonstrate that its regular solutions are not $T$-periodic.

We approximate the fractional Duffing equation using a new numerical method based on two approaches: by Strauss-V\'azquez for conservative systems and by Odibat representation for the fractional derivative.

The purpose of the numerical simulations is to explore how the amplitude and the order of the fractional derivative $\alpha$ influence the system. The system displays a diverse range of behaviours depending on these two parameters. In our study, we have examined various values for amplitude and $\alpha$ to present the most significant solutions: regular solutions, chaotic solutions, long chaotic transient, solutions switching from regular or chaotic attractors and intermittent regime.

To clarify the various behaviours exhibited by the fractional system. We estimate the Lyapunov Characteristic Exponents (LCEs) and extend them to the whole range of values of $\alpha$.

To analyze the threshold of chaos in this equation, we extend the Melnikov method to the fractional case and we conduct a comparative analysis between the analytical chaos threshold and its numerical counterpart.

The extension to values of $\alpha\in(1,2)$ is also motivated by the fact that as $\alpha\to 2^-$, the fractional model becomes closer to a limit system where no damping and no saddle point exists. And that system can be seen as equivalent, at least for some range of the parameters, to the one obtained in the opposite limit, when $\alpha\to 0^+$. In this way, the fractional equations can be seen as an interpolation between the Duffing equation (limit $\alpha=1$) and an undamped, forced system. In this work, we examine the behaviour of the fractional system in the vicinity of these limits.

For $\alpha \in (1,2)$, the intermittent behaviour is notably common, with its manifestations influenced by the number of reinjection channels present, through the analysis of return map plots, which delineate these channels, along with approximations of the average laminar length corresponding to type I intermittency and the use of Floquet multipliers. We classify certain cases as type I intermittency.

RESUMEN

La ecuación de Duffing es un sistema dinámico no lineal conocido por presentar comportamiento caótico. Sirve como un modelo estándar para explorar el caos en sistemas dinámicos de baja dimensión.

En este trabajo, caracterizamos el caos en la ecuación de Duffing con rigidez lineal negativa y una disipación fraccional. La forma fraccional de la ecuación estudiada es una sustitución de la derivada de primer orden en la ecuación de Duffing con una derivada fraccional de Caputo de orden $\alpha$, con valores dentro de los intervalos $(0,1)$ y $(1,2)$.

Establecemos que el espacio de fases del problema estudiado tiene tres dimensiones, representando los parámetros que definen el estado del sistema. Sin embargo, con la fase mantenida constante, podemos tratar de manera efectiva el espacio de fases como bidimensional, simplificando el análisis de la dinámica del sistema. Demostramos que los soluciónes regulares no son $T$-periódicas.

Aproximamos la ecuación de Duffing fraccional usando un nuevo método numérico basado en dos enfoques: el de Strauss-Vázquez para sistemas conservativos y la representación de Odibat para la derivada fraccional.

El propósito de las simulaciones numéricas es explorar cómo la amplitud y el orden de la derivada fraccional $\alpha$ influyen en el sistema. El sistema muestra una diversa gama de comportamientos dependiendo de estos dos parámetros. En nuestro estudio, hemos explorado varios valores para la amplitud y para $\alpha$, para presentar las soluciones más significativas: soluciones regulares, soluciones caóticas, transitorios caóticos largos, soluciones que cambian de atractores regulares o caóticos y régimen intermitente.

Para aclarar los diversos comportamientos presentados por el sistema fraccionario, estimamos los Exponentes Característicos de Lyapunov (LCEs) y los extendemos a todo el rango de valores de $\alpha$.

Para analizar el umbral del caos en esta ecuación, extendemos el método de Melnikov al caso fraccional y realizamos un análisis comparativo entre el umbral de caos analítico y su contraparte numérica.

La extensión a valores de $\alpha \in (1,2)$ también está motivada por el hecho de que a medida que $\alpha \to 2^-$, el modelo fraccionario se aproxima a un sistema límite donde no existe amortiguamiento ni punto de silla. Y ese sistema puede considerarse equivalente, al menos para algunos rangos de los parámetros, al que se obtiene en el límite opuesto, cuando $\alpha \to 0^+$. De esta manera, las ecuaciones fraccionarios pueden verse como una interpolación entre la ecuación de Duffing (límite $\alpha=1$) y un sistema forzado sin amortiguamiento. En este trabajo, examinamos el comportamiento del sistema fraccionario en la vecindad de estos límites.

Para $\alpha \in (1,2)$, el comportamiento intermitente es notablemente común, con sus manifestaciones influenciadas por el número de canales de reinyección presentes. A través del análisis de gráficos de mapas de retorno, que delinean estos canales, junto con aproximaciones de la longitud laminar promedio correspondiente a la intermitencia de tipo I y aprovechando los multiplicadores de Floquet, clasificamos ciertos casos como intermitencia de tipo I.