Essays οn limit theorems for Martingale transforms with heavy-tailed innovations and the limit theory of the QMLE in conditionally heteroskedastic models
Authors: Λουκά Αλέξανδρος 
Published: August 2021

Ως γνωστόν οι χρονολογικές σειρές χρηματοοικονομικών τίτλων εμφανίζουν παχιές ουρές οι οποίες μερικώς μόνο αποτυπώνονται από GARCH-τύπου μοντέλα. Αυτό έχει οδηγήσει στη μελέτη κατανομών με παχιές ουρές για το τετράγωνο της ανέλιξης των σφαλμάτων. Ο σκοπός αυτής της διατριβής είναι να εξάγει οριακά θεωρήματα με όρια μικτές ευσταθείς κατανομές και, χρησιμοποιώντας τα τελευταία, να εξετάσει την ασυμπτωτική θεωρία του οιονεί εκτιμητή μεγίστης πιθανοφάνειας (QMLE) στο πλαίσιο μοντέλων δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας χαλαρώνοντας τη συνηθισμένη υπόθεση πεπερασμένων ροπών τέταρτης τάξης στην ανέλιξη των καταλοίπων.Το πρώτο κεφάλαιο αφορά στην οριακή θεωρία του QMLE για το μη γραμμικό μοντέλο GQARCH (1,1) κάτω από την υπόθεση αυστηρής στασιμότητας και εργοδικότητας. Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση των στοχαστικών αναδρομικών εξισώσεων παρέχουμε συνθήκες για στασιμότητα και εργοδικότητα και διατυπώνουμε την εικασία ότι αρκούν οι αντίστοιχες συνθήκες του GARCH(1,1) μοντέλου ενώ αποδεικνύουμε αυτό το επιχείρημα στην περίπτωση του QARCH(1) μοντέλου. Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας την ασυμπτωτική θεωρία του QMLE επιτρέποντας στο τετράγωνο της ανέλιξης των σφαλμάτων να βρίσκεται στο κανονικό τομέα έλξης μιας ευσταθούς κατανομής με δείκτη σταθερότητας \alpha\in(1,2] και το διάνυσμα της πραγματικής παραμέτρου να βρίσκεται στο σύνορο του παραμετρικού χώρου έχοντας ως αποτέλεσμα ασθενή όρια τα οποία ως εκ τούτου επιτρέπονται να είναι μη κανονικά.Στο δεύτερο κεφάλαιο επεκτείνουμε ένα υπάρχον αποτέλεσμα στη βιβλιογραφία, το οποίο δείχνει την ασυμπτωτική κανονικότητα του QMLE στο μη στάσιμο ARCH(1) μοντέλο, επιτρέποντας στην ανέλιξη των σφαλμάτων να μην διαθέτουν πεπερασμένη τέταρτη ροπή. Συγκεκριμένα υποθέτουμε ότι το τετράγωνο της ανέλιξης των σφαλμάτων βρίσκεται στον τομέα (όχι απαραίτητα κανονικό) έλξης μιας ευσταθούς κατανομής με \alpha\in(0,2]. Όταν \alpha\in[1,2] βγάζουμε ευσταθή όρια με το ίδιο \alpha, ενώ στην περίπτωση όπου \alpha\in(0,1) βγάζουμε ασυνέπεια και μη σφιχτότητα του QMLE.Στο τρίτο κεφάλαιο παρέχουμε ένα κεντρικό οριακό θεώρημα για martingale μετασχηματισμούς το οποίο ισχύει ακόμα και για ακολουθίες με άπειρη διακύμανση όπου σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε κανονικά όρια αλλά με ρυθμό σύγκλισης διαφορετικό από το συνηθισμένο \sqrt{n}. Πιο συγκεκριμένα, ο ρυθμός θα εξαρτάται από τον ρυθμό απόκλισης των αποκομμένων δεύτερων ροπών. Αρκετά ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι το αποτέλεσμα προκύπτει επιβεβαιώνοντας μια τροποποιημένη εκδοχή της συνθήκης Lindeberg κάτω από ήπιες συνθήκες και ο ρυθμός σύγκλισης μπορεί πολύ εύκολα να εκτιμηθεί.Στο τέταρτο κεφάλαιο παρέχουμε ένα οριακό θεώρημα με μικτά ευσταθή όρια το οποίο είναι αρκετά γενικό ώστε να είναι εφαρμόσιμο σε διάφορες περιπτώσεις, συμπεριλαμβανομένων όσων εξετάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια. Παρέχουμε ένα γενικό πλαίσιο για στάσιμες και εργοδικές ανελίξεις δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας για την ασυμπτωτική θεωρία του QMLE χρησιμοποιώντας μεθόδους στοχαστικών αναδρομικών εξισώσεων. Μετά βγάζουμε την ασυμπτωτική θεωρία του QMLE όταν \alpha\in[1,2), και ασυνέπεια και μη σφιχτότητα όταν \alpha\in(0,1). Επιπλεόν, παρέχουμε ένα παράδειγμα όπου το πλάισιο της στασιμότητας μπορεί να χαλαρωθεί βγάζοντας την ασυμπτωτική θεωρία του συνηθισμένου στατιστικού Wald και αποδεικνύουμε την ασυμπτωτική ακρίβεια και συνέπεια της σχετικής διαδικασίας ελέγχου χρησιμοποιώντας μεθόδους υποδειγματοληψίας. Τέλος αξιολογούμε την επίδοση του τελευταίου αριθμητικά.