Μελέτη εξισώσεων πεδίου σε γενικευμένα κοσμολογικά μοντέλα και ασθενές πεδίο
Authors: Τριανταφυλλόπουλος Αλκιβιάδης-Ιωάννης 
Published: June 2022

Στο πρώτο μέρος αυτής της εργασίας, παρουσιάζεται μια σύντομη ανασκόπηση σχετικά με την πρόσφατη ανάπτυξη εφαρμογών των γεωμετριών Finsler, Finsler-like και Finsler-Lagrange. Συζητείται ο ρόλος της γεωμετρίας Finsler στις φυσικές εκτιμήσεις, στις οποίες η τοπική ανισοτροπία περιλαμβάνεται στη δομή της βαρύτητας και της κοσμολογίας. Στη συνέχεια, δίνονται τα βασικά μαθηματικά εργαλεία που χρειάζονται για την κατανόηση αυτής της εργασίας. Σημειώνουμε πως μια θεμελιώδης γνώση διαφορικής γεωμετρίας προαπαιτείται από τον αναγνώστη.Μια γεωμετρική επέκταση της Γενικής Σχετικότητας (GR) θεωρείται εισάγοντας την έννοια της τοπικής ανισοτροπίας, δηλαδή μια άμεση εξάρτηση γεωμετρικών μεγεθώναπό την 4−ταχύτητα του παρατηρητή. Διερευνούμε τη δυναμική του βαρυτικού πεδίου και των σωματιδίων σε ένα γενικευμένο πλαίσιο μίας εφαπτομένης Lorentz δέσμης και, μεταβάλλοντας μια κατάλληλη δράση για κάθε περίπτωση, λαμβάνουμε γενικευμένες μορφές τροχιών και γενικευμένες εξισώσεις πεδίου για μια μετρική τύπου Sasaki. Σε αυτό το πλαίσιο, θεωρούμε μια μετρική στην εφαπτόμενη δέσμη ως το άθροισμα μιας μετρικής δομής h-Riemann και μιας ασθενώς ανισοτροπικής διαταραχής και λαμβάνουμε τις κλασικές εξισώσεις του Einstein διορθωμένες με μικρές τοπικά ανισοτροπικές διαταραχές. Επιπλέον, οι εκτεταμένες εξισώσεις Raychaudhuri μελετώνται σε αυτό το πλαίσιο επεκτάσεων τύπου Finsler. Η κανονική ορμή και η εξίσωση ενέργειας-ορμής γενικεύονται επίσης σε σχέση με τις αντίστοιχες της GR. Η κβάντωση αυτής της εξίσωσης οδηγεί σε μια γενίκευση της εξίσωσης Klein-Gordon και της σχέσης διασποράς για ένα βαθμωτό πεδίο. Σε αυτό το μοντέλο, η επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος μπορεί να αποδοθεί στην ίδια τη γεωμετρία. Μια κοσμολογική αναπήδηση μοντελοποιείται με την εισαγωγή ενός τοπικά ανισoτροπικού βαθμωτού πεδίου. Επιπλέον, οι εξισώσεις ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ενσωματώνονται άμεσα σε αυτό το πλαίσιο.Επιπρόσθετα, επεκτείνουμε για πρώτη φορά τις σφαιρικά συμμετρικές λύσεις Schwarzschild και Schwarzschild - de Sitter με διαταραχή τύπου Finsler-Randers που δημιουργείται απόένα συναλλοίωτο διάνυσμα $A_\mu$. Αυτό δίνει έναν τοπικά ανισοτροπικό χαρακτήρα στη μετρική και προκαλεί απόκλιση από τα μοντέλα της βαρύτητας Riemann. Εφαρμόζουμε τις γενικευμένες εξισώσεις πεδίου στη διαταραγμένη μετρική και εξάγουμε τη δυναμική για το συναλλοίωτο διάνυσμα $A_\mu$. Τέλος, βρίσκουμε τις χρονικές, χωρικές και φωτοειδείς τροχιές στον χωροχρόνο Schwarzschild-Randers, λύνουμε αριθμητικά τις χρονικές και τις συγκρίνουμε με τις κλασικές γεωδαισιακές της γενικής σχετικότητας. Οι λύσεις που λαμβάνονται είναι νέες και εμπλουτίζουν την αντίστοιχη βιβλιογραφία.Στο επόμενο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε τα θεμέλια των γενικευμένων θεωριών scalar-tensor που προκύπτουν από κατασκευές σε διανυσματικές δέσμες και μελετάμε τις κινηματικές, δυναμικές και κοσμολογικές συνέπειες. Συγκεκριμένα, σε μια ψευδο-Riemann χωροχρονική πολλαπλότητα βάσης, ορίζουμε μια νηματική δέσμη με δύο βαθμωτούς νηματικούς βαθμούς ελευθερίας. Ο χώρος που προκύπτει είναι μια 6-διάστατη διανυσματική δέσμη εφοδιασμένη με μια μη γραμμική συνοχή. Παρέχουμε τη μορφή των γεωδαισιακών και των εξισώσεων Raychaudhuri, καθώς και τις γενικευμένες εξισώσεις πεδίου με την Palatini και τη μετρική μέθοδο. Όταν εφαρμόζεται σε ένα κοσμολογικό πλαίσιο, αυτή η νέα γεωμετρική δομή παράγει επιπλέον όρους στις τροποποιημένες εξισώσεις Friedmann, οδηγώντας στην εμφάνιση ενός φαινόμενου τομέα σκοτεινής ενέργειας, καθώς και τομέα αλληλεπίδρασης της σκοτεινής ύλης με τη μετρική. Δείχνουμε ότι μπορούμε να λάβουμε την τυπική θερμική ιστορία του σύμπαντος, με την ακολουθία της ύλης και των εποχών σκοτεινής ενέργειας, και επιπλέον πως η παράμετρος της καταστατικής εξίσωσης της φαινόμενης σκοτεινής ενέργειας μπορεί να βρεθεί στις περιοχές quintessence ή phantom, ή να υφίσταται τη διέλευση phantom-divide. Επιπλέον, από την εφαρμογή του σεναρίου σε πρώιμους χρόνους βλέπουμε ότι μπορεί κανείς να αποκτήσει μια εκθετική λύση de Sitter, καθώς καιμια πληθωριστική εποχή με την επιθυμητή εξέλιξη του συντελεστή κλίμακας.