Information and thermodynamics
Authors:   , Scandi Matteo 
Published: July 2024

(English) The modern understanding of physics is deeply linked with the concept of information. The revival of the study of quantum mechanics in the form of quantum information is just an example of a more general trend showing how the incorporation of ideas from information theory into the practice of physics is not simply a fertile opportunity to find new results, but it also offers a radically new understanding of what physics should be describing: emblematic of this paradigm shift is the transition from the infinite dimensional space associated to the wave functions appearing in the Schrödinger equation, to the extreme simplicity of the modern cornerstone of quantum mechanics, the qubit. A special place in this context is taken by thermodynamics: on the one hand, because it was one of the first branches of physics in which the role of information was explicitly recognised; on the other, as the formal correspondence between Shannon and Boltzmann entropy hints at a deep connection between the two. Ultimately, it almost feels like these two theories will end up coinciding, and one will speak about thermodynamics just as information theory with erasure. We are still far away from this claim, but the continuous appearance of information quantifiers in genuinely thermodynamics setting, especially when characterising the dissipation, cannot but corroborate this belief.
The aim of this thesis is to move further in the identification of the two theories, by focusing on some aspects of information geometry and showing how these naturally apply to the study of thermodynamic transformations. In particular, the main object of interest is the family of quantum Fisher information metrics, thoroughly studied in the first part of the thesis. In there we prove a fact that motivates the interest in this quantity: despite the statistical setting in which it was originally formulated, it has such a deep dynamical nature that all physical evolutions can actually be defined just in terms of their behaviour with respect to the Fisher information. In the second part of the thesis, we connect this discussion to the field of thermodynamics. In this context, we show that the Fisher information metrics naturally emerge in the description of the dissipation in near-isothermal transformations, that is whenever the driving is slow enough for the system to be close to equilibrium during the whole protocol. This shows another example of what seems to be a general rule: the naturality with which structures developed in the context of statistical inference and information theory apply to the study of entropy production.

(Català) La comprensió moderna de la física està profundament relacionada amb el concepte d'informació. El renaixement de l'estudi de la mecànica quàntica en forma d'informació quàntica és només un exemple d'una tendència més general que mostra com la incorporació d'idees de la teoria de la informació a la pràctica de la física no és simplement una oportunitat fèrtil per trobar nous resultats, sinó que també ofereix una comprensió radicalment nova del que hauria de descriure la física: emblemàtica d'aquest canvi de paradigma és la transició de l'espai dimensional infinit associat a les funcions d'ona que apareixen a l'equació de Schrödinger, a l'extrema simplicitat de la pedra angular moderna de la mecànica quàntica, la qubit. Un lloc especial en aquest context ocupa la termodinàmica: d'una banda, perquè va ser una de les primeres branques de la física en què es va reconèixer explícitament el paper de la informació; de l'altra, ja que la correspondència formal entre l'entropia de Shannon i Boltzmann deixa entreveure una connexió profunda entre tots dos. En última instància, gairebé sembla que aquestes dues teories acabaran coincidint, i es parlarà de termodinàmica igual que de teoria de la informació amb esborrat. Encara estem lluny d'aquesta afirmació, però l'aparició contínua de quantificadors d'informació en un entorn genuïnament termodinàmic, especialment quan es caracteritza la dissipació, no pot deixar de corroborar aquesta creença.
L'objectiu d'aquesta tesi és avançar més en la identificació de les dues teories, centrant-se en alguns aspectes de la geometria de la informació i mostrant com aquestes s'apliquen de manera natural a l'estudi de les transformacions termodinàmiques. En particular, el principal objecte d'interès és la família de mètriques d'informació quàntiques de Fisher, estudiades a fons a la primera part de la tesi. Allà demostrem un fet que motiva l'interès per aquesta magnitud: malgrat l'entorn estadístic en què es va formular originalment, té una naturalesa dinàmica tan profunda que totes les evolucions físiques es poden definir en realitat només en termes del seu comportament respecte a la Informació de Fisher. En la segona part de la tesi, connectem aquesta discussió amb el camp de la termodinàmica. En aquest context, mostrem que les mètriques d'informació de Fisher sorgeixen de manera natural en la descripció de la dissipació en transformacions gairebé isotèrmiques, és a dir, sempre que la conducció és prou lenta perquè el sistema estigui a prop de l'equilibri durant tot el protocol. Això mostra un altre exemple del que sembla ser una regla general: la naturalitat amb què les estructures desenvolupades en el context de la inferència estadística i la teoria de la informació s'apliquen a l'estudi de la producció d'entropia.

(Español) La comprensión moderna de la física está enlazada al concepto de información. El renacimiento en el interés por la mecánica cuántica causado por el nacimiento de la información cuántica es solo un ejemplo de una tendencia más general que muestra cómo la incorporación de ideas de la teoría de la información en la práctica de la física no es simplemente una oportunidad fértil para encontrar nuevos resultados, sino que también ofrece una comprensión radicalmente nueva de lo que la física debería describir: emblemático de este cambio de paradigma es la transición del espacio de dimensión infinita asociado a las funciones de onda que aparecen en la ecuación de Schrödinger, a la extrema simplicidad de la reciente piedra angular de la mecánica cuántica, el qubit. Un espacio especial en este contexto lo ocupa la termodinámica: por un lado, porque fue una de las primeras ramas de la física en la que se reconoció explícitamente el papel de la información; por el otro, por el hecho que la correspondencia formal entre la entropía de Shannon y la de Boltzmann sugiere una conexión profunda entre las dos. En última instancia, casi parece que estas dos teorías terminarán coincidiendo, y se hablará sobre termodinámica como la teoría de la información con pérdidas. Todavía estamos lejos de esta afirmación, pero la continua aparición de cuantificadores de información en contextos genuinamente termodinámico, especialmente al momento de caracterizar la disipación, no puede no corroborar esta creencia.
El objetivo de esta tesis es avanzar en la identificación de las dos teorías, centrándose en algunos aspectos de la geometría de la informa- ción y mostrando cómo se aplican naturalmente al estudio de las transformaciones termodinámicas. En particular, el principal objeto de interés es la familia de métricas de información cuántica de Fisher, ampliamente estudiada en la primera parte de la tesis. Allí probamos un hecho que motiva el interés en esta cantidad: a pesar del contexto estadístico en el que se formuló originalmente, tiene una natura dinámica tan profunda que todas las evoluciones físicas pueden definirse solo en términos de sus comportamientos con respecto a la Información de Fisher. En la segunda parte de la tesis, conectamos esta discusión con el campo de la termodinámica. En este contexto, mostramos que las métricas de información de Fisher emergen naturalmente en la descripción de la disipación en transformaciones casi-isotérmicas, es decir, siempre que el desplazamiento sea lo suficientemente lento como para que el sistema esté cerca del equilibrio durante todo el protocolo. Esto muestra otro ejemplo de lo que parece ser una regla general: la naturalidad con la que estructuras desarrolladas en el contexto de la inferencia estadística y de la teoría de la información se aplican al estudio de la producción de entropía.