Η κατανόηση της μαθηματικής έννοιας του συνόλου απο μαθητές των τρίων σχολικών βαθμίδων και μελλοντικούς εκπαιδευτικούς
Authors: Βλάχος Ιωάννης 
Published: July 2024

H έννοια του συνόλου είναι θεμελιώδης έννοια των Μαθηματικών αφού «σχεδόν κάθε κλάδος των μαθηματικών βασίζεται στη θεωρία των συνόλων ως μέρος της θεμελίωσής του, επομένως είναι σημαντικό να αποκτήσει κανείς τουλάχιστον κάποιες βάσεις στη Θεωρία Συνόλων προτού επιχειρήσει να ασχοληθεί με άλλους κλάδους των μαθηματικών» (Tao, 2016). Στα σχολικά μαθηματικά, οι περισσότερες έννοιες προσεγγίζονται χωρίς άμεση αναφορά στην έννοια του συνόλου. Ωστόσο, η έννοια του συνόλου χρησιμοποιείται σε διάφορα πλαίσια, κάποιες φορές με τρόπο ασυνεπή με αποτέλεσμα οι μαθητές να αναπτύσσουν λανθασμένες αντιλήψεις (Fischbein & Baltsan, 1998). Κατά τον Cantor «με τη λέξη σύνολο εννοούμε μια οποιαδήποτε συνάθροιση σε ολότητα οριστικών και διακεκριμένων στοιχείων της διαίσθησης ή του στοχασμού μας» (Μοσχοβάκης, 1993). Διαισθητικά, το σύνολο, το αντιλαμβανόμαστε ως μια συλλογή καλώς ορισμένων και διακεκριμένων αντικειμένων. Στην Ελληνική γλώσσα η λέξη σύνολο χρησιμοποιείται για να δηλώσει, εκτός από τη συλλογή, το άθροισμα ή το πλήθος των αντικειμένων μιας συλλογής. Ο μαθηματικός λόγος, συμπεριλαμβανομένου του λεξιλογίου, συχνά περιλαμβάνει επέκταση ή τροποποίηση της χρήσης καθημερινών λέξεων, ενώ η ανάπτυξη του μαθηματικού λόγου θα πρέπει να περιλαμβάνει την ενσωμάτωση της καθημερινής γλώσσας στον μαθηματικό λόγο της τάξης (Barwell, 2013). Στην παρούσα διατριβή διερευνούμε τις αντιλήψεις μαθητών της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, καθώς και μελλοντικών εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, για την έννοια του συνόλου και την ενδεχόμενη επίδραση της καθημερινής χρήσης της λέξης ‘σύνολο’ στη νοηματοδότηση αυτής της της έννοιας. Τα ερευνητικά μας ερωτήματα είναι: (α) πώς κατανοούν μαθητές διαφορετικών σχολικών βαθμίδων και μελλοντικοί εκπαιδευτικοί την έννοια του συνόλου, τις σχέσεις συνόλων, καθώς και την ισοπληθικότητα μεταξύ απειροσυνόλων και (β) πώς η νοηματοδότηση της έννοιας του συνόλου επηρεάζεται από το κοινωνικό πλαίσιο; Στο πρώτο στάδιο της έρευνας, σχεδιάσαμε ένα ερωτηματολόγιο με βάση τη βιβλιογραφία (Fischbein & Baltsan, 1998 Tirosh & Tsamir, 1996 Bagni, 2006), το οποίο χορηγήθηκε σε 116 μαθητές της ΣT΄ Δημοτικού, 127 μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου και 154 της Γ΄ Λυκείου από διάφορα σχολεία της Ελλάδας. Στην συνέχεια, δώσαμε το ερωτηματολόγιο σε 245 φοιτητές ενός Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης, οι οποίοι είχαν διδαχθεί βασικά στοιχεία της Θεωρίας Συνόλων στο πλαίσιο του μαθήματος «Θεμέλια των Μαθηματικών». Στόχος μας ήταν η διερεύνηση της ύπαρξης παρανοήσεων μεταξύ των φοιτητών οι οποίες επιμένουν ακόμη και μετά την συστηματική εμπλοκή τους με την στοιχειώδη Θεωρία Συνόλων στο Πανεπιστήμιο. Με βάση τις απαντήσεις τους στο ερωτηματολόγιο, επιλέχθηκαν 5 μαθητές της ΣΤ΄ Δημοτικού, 5 μαθητές Γ΄ Γυμνασίου και 6 μαθητές της Γ΄ Λυκείου και πραγματοποιήθηκαν ημι-δομημένες, ημι-κλινικές συνεντεύξεις (Elkind, 1964) με στόχο τη διερεύνηση της προέλευσης των αντιλήψεων τους και ιδιαίτερα της επίδρασης του διαφορετικών γλωσσικών ιδιωμάτων των μαθητών (Halliday, 1978). Οι συχνότερες παρανοήσεις που εμφανίστηκαν μεταξύ των συμμετεχόντων που απάντησαν στο ερωτηματολόγιο της έρευνας μας ήταν (1) η αντίληψη ότι τα στοιχεία ενός συνόλου θα πρέπει να έχουν κάποια κοινή ιδιότητα, (2) η αποδοχή της συμπερίληψης μη διακεκριμένων στοιχείων, (3) η απόρριψη της ύπαρξης κενού συνόλου, (4) η απόρριψη της ύπαρξης μονοσυνόλων, (5) η σύγχυση της ισότητας με την ισοπληθικότητα, (6) η σύγχυση των εννοιών του ανήκειν και του υποσυνόλου, (7) η αντίληψη ότι το πλήθος των στοιχείων ενός απειροσυνόλου είναι μεγαλύτερο από το πλήθος των στοιχείων κάθε γνήσιου υποσυνόλου του, (8) η αντίληψη ότι τα απειροσύνολα είναι μη-συγκρίσημα και (9) η αντίληψη ότι όλα τα απειροσύνολα είναι ισοπληθικά.Μεταξύ των μαθητών των τριών σχολικών βαθμίδων η επίδραση της ηλικίας φάνηκε να είναι θετική στις περισσότερες περιπτώσεις αλλά όχι σε όλες. Οι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί, φάνηκε να έχουν αισθητά καλύτερα αποτελέσματα στην πλειοψηφία των ερωτήσεων. Ωστόσο, ορισμένες από τις επικρατέστερες λανθασμένες αντιλήψεις οι οποίες παρατηρούνται σε μαθητές και των τριών σχολικών βαθμίδων, παρατηρούνται και στους φοιτητές-μελλοντικούς δασκάλους. Συγκεκριμένα η απαίτηση από τα στοιχεία ενός συνόλου να έχουν μία κοινή χαρακτηριστική ιδιότητα, η σύγχυση των εννοιών του ανήκειν και του υποσυνόλου και η αντίληψη ότι τα απειροσύνολα είναι μη συγκρίσιμα, φαίνεται να διατηρείται παρά την συστηματική διδασκαλία στη Θεωρία Συνόλων. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων από τις συνεντεύξεις ανέδειξε ότι πολλοί μαθητές, επηρεασμένοι από τη χρήση του όρου ‘σύνολο’ στο γλωσσικό ιδίωμα της σχολικής τάξης των Μαθηματικών και στα καθημερινά γλωσσικά ιδιώματα (Halliday, 1978), αντιλαμβάνονται το σύνολο ως αριθμό και όχι ως συλλογή ή έχουν και τις δύο αντιλήψεις ταυτόχρονα. Γίνεται λοιπόν εμφανής η επιρροή της ονοματοδοσίας στην απόδοση νοήματος από τους μαθητές (Planas et al., 2022̇ Adler & Ronda, 2015) αλλά και η απαίτηση για ιδιαίτερη προσοχή από τους εκπαιδευτικούς όλων των βαθμίδων, όχι μόνο κατά τη διδασκαλία της έννοιας του συνόλου αλλά γενικότερα στη σωστή χρήση της λέξης ‘σύνολο’ στη σχολική τάξη.