ФУНКЦИЯНЫҢ КЕЙБІР ҚАСИЕТТЕРІН АНЫҚТАУ: ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ТӘСІЛ
Authors: СПАНКУЛОВА Л.С. , КЕРИМБАЕВ Р.К. 
Published: February 2023

В статье изучена задача определения некоторых свойств функций полезности с использованием геометрической интерпретаций значения коэффициента Эрроу - Пратта. В частности, раскрыты геометрические свойства коэффициента Эрроу - Пратта, которая определяет расстояние от начала координат до прямой параллельной к касательной прямой в точке, где вычисляется этот коэффициент. Предполагается, что значение функций полезности положительно, а область определения – действительная прямая. Следовательно, возрастание и убывание значения коэффициента определяет выпуклость или вогнутость функции полезности. С возрастанием значения коэффициента Эрроу - Пратта касательная прямая удаляется от начала координат. Этот процесс описывает выпуклость функций полезности. Наш подход, заключается в том, что с помощью касательной прямой и прямой параллельной к касательной со свободным членом, связанный с дисперсией переменных и коэффициентом Эрроу – Пратта, мы определяем поведения функции полезности: монотонность, выпуклость. Приведены двадцать четыре различных варианта расположения этих прямых относительно начала координат, которые разделены на четыре группы, в зависимости от знаков первой и второй производной функций полезности в точке, где проходит касательная прямая.

Мақалада Эрроу - Пратт коэффициентінің мәнін геометриялық түсіндіруді қолдана отырып, қызметтік функциялардың кейбір қасиеттерін анықтау міндеті зерттелген. Атап айтқанда, осы коэффициент есептелетін нүктеде шығу тегінен тангенс сызығына параллель түзуге дейінгі қашықтықты анықтайтын Эрроу - Пратт коэффициентінің геометриялық қасиеттері ашылды. Қызметтік функциялардың мәні оң, ал анықтама саласы нақты түзу деп болжанады. Демек, коэффициент мәнінің жоғарылауы және төмендеуі қызметтік функцияның дөңес немесе қисықтығын анықтайды. Эрроу - Пратта коэффициентінің жоғарылауымен тангенс сызығы шығу тегінен алынады. Бұл процесс қызметтік функциялардың көлемін сипаттайды. Біздің көзқарасымыз – айнымалы дисперсиямен және Эрроу - Пратт коэффициентімен байланысты еркін мүшемен тангенс түзуімен және тангенске параллель түзу арқылы біз пайдалы функцияның мінез-құлқын анықтаймыз: монотондылық, дөңес. Бұл түзулердің шығу тегіне қатысты жиырма төрт түрлі орналасуы бар, олар тангенс сызығы өтетін нүктеде қызметтік функциялардың бірінші және екінші туындыларының белгілеріне байланысты төрт топқа бөлінеді.

The article discusses a geometric approach for determining some properties of the utility function using the Arrow-Pratt coefficient. In particular, the geometric properties of the ArrowPratt coefficient are disclosed, it turned out that the Arrow-Pratt coefficient determines the distance from the origin to the straight line parallel to the tangent line at the point where the Arrow-Pratt coefficient is calculated. Therefore, an increase and decrease in the value of this coefficient determines the convexity or concavity of the utility function. With an increase in the value of the Arrow-Pratt coefficient, the tangent line moves away from the origin. This process describes the convexity of the utility function as a function of location from the origin. There are two concepts: the expected utility model and the utility function. Our approach is that due to a tangent line and a straight line parallel to the tangent with a free term, associated with the variance of variables and the Arrow-Pratt coefficient, we determine the behavior of the utility function: monotonicity, convexity, etc. The location of these lines relative to the origin gives us twenty-four different options, which are divided into four groups, depending on the signs of the first and second derivatives of the utility function at the point where the tangent line passes.