Αναλυτικές σχέσεις και αριθμητικός κώδικας για τον υπολογισμό τασικού πεδίου πέριξ σηράγγων, διαφόρων σχημάτων, υπό σεισμική φόρτιση κυμάτων S
Authors: Πέλλη Ευαγγελία 
Published: September 2021

Η παρούσα μελέτη έχει ως αντικείμενο τον υπολογισμό του τασικού πεδίου πέριξ σηράγγων, διαφόρων σχημάτων υπό σεισμική φόρτιση κυμάτων S με Αναλυτικές Σχέσεις και Αριθμητικό Κώδικα Πεπερασμένων Διαφορών τριών διαστάσεων. Εξετάζεται μόνο η επίδραση της σεισμικής φόρτισης και δεν λαμβάνονται υπ΄ όψιν άλλες φορτίσεις.Τα διατμητικά κύματα S, διακρίνονται ανάλογα με το επίπεδο ταλάντωσης των υλικών σημείων σε SH, όταν τα υλικά ταλαντώνονται σε επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα της Δ/νσης διάδοσης του κύματος και σε SV, όταν τα υλικά σημεία ταλαντώνονται εντός του επιπέδου στο οποίο ανήκει το διάνυσμα της Δ/νσης διάδοσης του κύματος.Η απόκριση των Υπογείων Έργων διαφοροποιείται ανάλογα με την Σεισμική πρόσπτωση κυμάτων SH ή SV λόγω των διαφορετικών συνοριακών συνθηκών πάνω στη διατομή.Η Κυματική Εξίσωση επιλύεται με τον υπολογισμό των κυματικών δυναμικών w, σε περίπτωση SH κυμάτων και Φ & Ψ αντίστοιχα στην περίπτωση των SV κυμάτων, τα οποία εκφράζουν ποσότητες σε όρους μετακινήσεων και έχουν την ιδιότητα αυτά ή οι παράγωγοί τους να επαληθεύουν την Κυματική Εξίσωση. Έτσι για μεν τα κύματα SH το κυματικό δυναμικό w εκφράζει τη συνολική μετακίνηση , ενώ αντίθετα για τα κύματα SV η συνολική μετακίνηση ορίζεται από τη σχέση: u=∇Φ+∇×Ψ. Λόγω των ιδιοτήτων των κυμάτων SH, η «εκτός επιπέδου» μετακίνηση δεν είναι συνάρτηση των μετακινήσεων πάνω στον άξονα της διατομής, αντίθετα με τα κύματα SV όπου η μετακίνηση είναι συνάρτηση των μετακινήσεων πάνω στη διατομή.Στην παρούσα μελέτη θεωρούμε ότι το Υπόγειο Έργο βρίσκεται σε Ελαστικό, Γραμμικό Έδαφος. Στο Υπόγειο Έργο προσπίπτει αρμονικό σεισμικό διατμητικό κύμα S, SH ή SV, κατακορύφως διαδιδόμενο.Στα πλαίσια της Αναλυτικής Λύσης και για τις δύο περιπτώσεις SH ή SV κυμάτων, υπολογίζονται τα Κυματικά Δυναμικά αντίστοιχα, με ανάπτυξη σε Σειρές Απείρων όρων Bessel-Fourrier ή Hankel Fourrier, σε συνδυασμό και με την εφαρμογή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών πάνω στη διατομή. Επίσης, σε συνδυασμό με τη θεωρία των Μιγαδικών Μεταβλητών και συγκεκριμένα με τις σύμμορφες απεικονίσεις η λύση για την κυκλική οπή, επεκτείνεται και σε διατομές άλλων σχημάτων, (έλλειψη, τετράγωνο, πεταλοειδές), ανεπένδυτων ή επενδεδυμένων. Απαραίτητη προϋπόθεση η καμπύλη του κάθε σχήματος θα πρέπει να διαθέτει παραμετρικές εξισώσεις. Για την προσομοίωση του βάθους που βρίσκεται το Υπόγειο Έργο (μεγάλο βάθος – πλήρης χώρος (full space) , μικρό βάθος – ημίχωρος (half space)) προτείνονται αντίστοιχες σχέσεις μετασχηματισμού και ανάλογες συνοριακές συνθήκες για κάθε περίπτωση πρόσπτωσης SH ή SV κυμάτων.Η σύνταξη όλων των μετασχηματισμών για τις διάφορες περιπτώσεις σχημάτων και συνοριακών συνθηκών, καθώς και οι επιλύσεις των συστημάτων εξισώσεων για τον υπολογισμό των Κυματικών Δυναμικών και κατά συνέπεια των εντατικών μεγεθών, πραγματοποιούνται με τη δημιουργία αντίστοιχων κωδίκων προγραμματισμού στο Μαθηματικό λογισμικό πακέτο MATLAB.Αρχικά γίνονται αναλύσεις για την περίπτωση της Σεισμικής πρόσπτωσης κυμάτων SH κατακορύφως διαδιδόμενων, σε διατομές Υπογείων Έργων διαφόρων σχημάτων ανεπένδυτων ή επενδεδυμένων, στον πλήρη χώρο. Με την εφαρμογή των σύμμορφων απεικονίσεων τα διάφορα σχήματα στο επίπεδο w, μετασχηματίζονται σε μοναδιαίο κύκλο στο επίπεδο ζ. Λόγω των ιδιοτήτων των SH κυμάτων υπάρχει μόνο η μετακίνηση κατά τον άξονα της σήραγγας z δηλαδή «εκτός επιπέδου της διατομής». Η συνοριακή συνθήκη που διέπει τα SH κύματα επάνω στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου, στο επίπεδο ζ είναι trz=0. Ο υπολογισμός των κυματικών δυναμικών , (το προσπίπτον & το σκεδαζόμενο από την διατομή) και συνεπώς των εντατικών μεγεθών, πραγματοποιείται με τη σύνταξη αντίστοιχων κωδίκων προγραμματισμού στο Μαθηματικό λογισμικό πακέτο MATLAB.Στη συνέχεια γίνονται αναλύσεις για την περίπτωση της Σεισμικής πρόσπτωσης κυμάτων SH κατακορύφως διαδιδόμενων, σε διατομές Υπογείων Έργων διαφόρων σχημάτων ανεπένδυτων ή επενδεδυμένων, στον ημίχωρο . Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα του ημίχωρου ανάγεται σε πρόβλημα πλήρους χώρου, με τη θεώρηση της συμμετρικής διατομής, ως προς την επιφάνεια του εδάφους. Έτσι ο χώρος μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας και της διατομής είναι ισοδύναμος με τον εξωτερικό χώρο δύο κυκλικών συμμετρικών διατομών μοναδιαίας ακτίνας , με άξονα συμμετρίας την ελεύθερη επιφάνεια. Τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη προκύπτουν από τη συνολική επίλυση του μοντέλου και των κυματικών δυναμικών,(το προσπίπτον, το ανακλώμενο καθώς και κάθε ένα από τα σκεδαζόμενα από τις συμμετρικές διατομές), αφού ληφθούν υπ’ όψη και οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες.Πραγματοποιούνται αναλύσεις και στην περίπτωση της Σεισμικής πρόσπτωσης κυμάτων SV κατακορύφως διαδιδόμενων, σε διατομές Υπογείων Έργων διαφόρων σχημάτων ανεπένδυτων ή επενδεδυμένων, στον πλήρη χώρο. Με την εφαρμογή των σύμμορφων απεικονίσεων τα διάφορα σχήματα στο επίπεδο w, μετασχηματίζονται σε μοναδιαίο κύκλο στο επίπεδο ζ. Λόγω των ιδιοτήτων των SV κυμάτων υπάρχoυν οι μετακινήσεις κατά τους άξονες πάνω στη διατομή. Οι συνοριακές συνθήκες που διέπουν τα SV κύματα επάνω στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου, στο επίπεδο ζ είναι trr= trθ =0. Ο υπολογισμός των κυματικών δυναμικών , (το προσπίπτον & τα δύο σκεδαζόμενα από την διατομή) και συνεπώς των εντατικών μεγεθών πραγματοποιείται, με τη σύνταξη αντίστοιχων κωδίκων προγραμματισμού στο Μαθηματικό λογισμικό πακέτο MATLAB.Στην περίπτωση του ημίχωρου, με την παρουσία σήραγγας ευρισκόμενης σε βάθος H από την επιφάνεια του εδάφους, υπό σεισμική πρόσπτωση κυμάτων τύπου SV, τα κυματικά δυναμικά που διέπουν το πρόβλημα είναι τα εξής: το προσπίπτον, το ανακλώμενο από την ελεύθερη επιφάνεια , δύο σκεδαζόμενα κυματικά δυναμικά από την διατομή καθώς και δύο σκεδαζόμενα κυματικά δυναμικά από την ελεύθερη επιφάνεια. Η προτεινόμενη μεθοδολογία για την επίλυση του προβλήματος αυτού πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Το πρώτο στάδιο αφορά στον μετασχηματισμό του χώρου μεταξύ της διατομής της σήραγγας που βρίσκεται σε βάθος H και της ελεύθερης επιφάνειας στο επίπεδο w, στον αντίστοιχο χώρο μεταξύ του μοναδιαίου κύκλου στον οποίο μετασχηματίζεται η διατομή και της ελεύθερης επιφάνειας στο επίπεδο ζ ο οποίος βρίσκεται στο «ισοδύναμο βάθος h » . Για τον υπολογισμό του«ισοδύναμου βάθους h », προτείνονται και οι αντίστοιχες σχέσεις μετασχηματισμού κατά περίπτωση. Το δεύτερο στάδιο αφορά στην σύνταξη κατάλληλων μετασχηματισμών, προκειμένου να εφαρμοστούν οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Οι συνοριακές συνθήκες που διέπουν το πρόβλημα είναι οι κάτωθι:- στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου, στο επίπεδο ζ οι τάσεις tr1r1= tr1θ1 =0-στην ελεύθερη επιφάνεια στο επίπεδο ζ, οι τάσεις tr2r2=tr2θ2=0Η εφαρμογή της δεύτερης συνοριακής συνθήκης πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια θεωρείται ένα από τα πιο δύσκολα προβλήματα της φυσικής, (Lin et al., 2010). Η επίλυση του προβλήματος μέχρι στιγμής έχει αντιμετωπιστεί προσεγγιστικά. Στην παρούσα μελέτη προτείνονται αναλυτικές σχέσεις, αξιοποιώντας τις ιδιότητες των σύμμορφων απεικονίσεων, οι οποίες επιλύουν το πρόβλημα ακριβώς και όχι προσεγγιστικά. Ο προτεινόμενος μετασχηματισμός, ο οποίος τροποποιείται κατά περίπτωση ανάλογα με το εξεταζόμενο σχήμα της διατομής, μετασχηματίζει τον χώρο εκτός της διατομής της σήραγγας που βρίσκεται σε βάθος H από την επιφάνεια του εδάφους και της ελεύθερης επιφάνειας στο επίπεδο w, στον αντίστοιχο χώρο εκτός δύο μοναδιαίων κύκλων τα κέντρα των οποίων βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο και απέχουν b, στο επίπεδο ζ. Με βάση τις ανωτέρω προτεινόμενες αναλυτικές σχέσεις, πραγματοποιούνται αναλύσεις σε διατομές Υπογείων Έργων διαφόρων σχημάτων ανεπένδυτων , που βρίσκονται σε βάθος H. Ο υπολογισμός του «ισοδύναμου βάθους h», καθώς και των προτεινόμενων μετασχηματισμών για κάθε σχήμα, των κυματικών δυναμικών , (το προσπίπτον, το ανακλώμενο, τα δύο σκεδαζόμενα από την διατομή & τα δύο σκεδαζόμενα από την ελεύθερη επιφάνεια ) και συνεπώς των εντατικών μεγεθών πραγματοποιείται, με τη σύνταξη αντίστοιχων κωδίκων προγραμματισμού στο Μαθηματικό λογισμικό πακέτο MATLAB.Για την αξιολόγηση της προτεινόμενης μεθοδολογίας συγκρίθηκαν τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τις ανωτέρω αναλύσεις για τον ημίχωρο, με τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη θεώρηση μιας απλοποιημένης μεθόδου, σύμφωνα με την οποία , τα σκεδαζόμενα από την ελεύθερη επιφάνεια κυματικά δυναμικά είναι 0.(Μέθοδος Χαλαρού Συνόρου-Relaxed Boundaries). Η θεώρηση αυτή είναι ρεαλιστική διότι οι τιμές των σκεδαζόμενων κυματικών δυναμικών από την ελεύθερη επιφάνεια είναι μικρές. Έτσι το πρόβλημα του ημίχωρου σε αυτήν την περίπτωση ανάγεται σε πρόβλημα πλήρους χώρου, διότι η μόνη συνοριακή συνθήκη που διέπει το πρόβλημα, είναι η θεώρηση των μηδενικών τάσεων tr1r1= tr1θ1 =0 στο επίπεδο ζ, με προσπίπτον κυματικό δυναμικό το άθροισμα του προσπίπτοντος και ανακλώμενου κυματικού δυναμικού. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από τις δύο θεωρήσεις ήταν πολύ ικανοποιητική. Συνεπώς, η προτεινόμενη μεθοδολογία έλυσε το πρόβλημα του υπολογισμού των εντατικών μεγεθών σε διατομή υπόγειου έργου τυχαίου σχήματος(με παραμετρική καμπύλη) η οποία βρίσκεται σε βάθος H από την ελεύθερη επιφάνεια, υπό σεισμική φόρτιση κυμάτων SV . Επίσης ο προτεινόμενος μετασχηματισμός μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες περιπτώσεις επίλυσης φυσικών προβλημάτων συνοριακών τιμών, μηδενικών τάσεων στην ελεύθερη επιφάνεια tr2r2=tr2θ2=0.Με την απλοποιημένη μεθοδολογία του χαλαρού συνόρου, πραγματοποιούνται αναλύσεις στην περίπτωση επενδεδυμένων διατομών διαφόρων σχημάτων στον ημίχωρο υπό σεισμική διέγερση κυμάτων SV.Για την Αριθμητική Λύση εφαρμόστηκε ο Κώδικας Πεπερασμένων Διαφορών τριών διαστάσεων, FLAC 3D. Το λογισμικό αυτό εφαρμόζεται σε προβλήματα Γεωτεχνικής Μηχανικής για την ακριβή επίλυση της διαφορικής εξίσωσης της κίνησης. Το μοντέλο εδάφους-σήραγγας θεωρείται ελαστικό και υποβάλλεται σε σεισμική διέγερση από αρμονικό διατμητικό κύμα S κατακορύφως διαδιδόμενο, τύπου SH ή SV. Ένα επιπλέον πλεονέκτημα είναι ότι το FLAC 3D διαθέτει μια ενσωματωμένη γλώσσα την FISH, όπου ο χρήστης μπορεί να δημιουργήσει υπορουτίνες και κώδικες για την καλύτερη προσομοίωση του μοντέλου. Η διαμόρφωση του καννάβου για τα διάφορα σχήματα των διατομών της σήραγγας(κυκλική, τετραγωνική, ελλειπτική και πεταλοειδής) σχεδιάστηκε για μεν την κυκλική και τετραγωνική διατομή, με τα τυποποιημένα στοιχεία του FLAC 3D, για δε τις διατομές με περιπλοκότερα σχήματα, όπως η ελλειπτική και η πεταλοειδής διατομή, χρησιμοποιείται η γλώσσα FISH σε συνδυασμό με την θεωρία των σύμμορφων απεικονίσεων, όπου με τις κατάλληλες συναρτήσεις μετασχηματισμού μετασχηματίζεται το σύνορο της διατομής σε διατομή μοναδιαίου κύκλου. Η εξωτερική διέγερση, που προσομοιώνει την σεισμική φόρτιση, επιβλήθηκε στο σύνορο του καννάβου ως χρονοϊστορία τάσεων διαφορετική για κάθε μία από τις περιπτώσεις διατμητικών κυμάτων SH ή SV. Η αλληλεπίδραση εδάφους και κατασκευής προσομοιώνεται με το συντελεστή ευκαμψίας (flexibility ratio) F, ο οποίος ποσοτικοποιεί τη δυνατότητα της διατομής να ανθίσταται στις επιβαλλόμενες από το περιβάλλον έδαφος μετατοπίσεις . Για μεν τις περιπτώσεις της κυκλικής και της τετραγωνικής διατομής ο συντελεστής ευκαμψίας υπολογίζεται από συγκεκριμένους τύπους, για δε τις περιπτώσεις της ελλειπτικής και της πεταλοειδούς διατομής προτείνονται στη παρούσα μελέτη σχέσεις για τον υπολογισμό του.Πραγματοποιούνται δυναμικές αναλύσεις στην ελαστική περιοχή, στις οποίες διαφοροποιούνται οι κάτωθι παράγοντες :-Το είδος του διατμητικού κύματος S, (SH ή SV)-Το βάθος H που βρίσκεται η σήραγγα. Σε περίπτωση μεγάλου βάθους ισχύουν συνθήκες πλήρους χώρου (full space ).Αντίθετα στην περίπτωση που η σήραγγα βρίσκεται σε μικρό βάθος (αβαθής σήραγγα) ισχύουν συνθήκες ημίχωρου (half space). Στην παρούσα μελέτη εξετάζεται το βάθος μετρούμενο από το κέντρο της διατομής έως την ελεύθερη επιφάνεια, το οποίο είναι 2 ακτίνες σε περίπτωση κυκλικής διατομής, ενώ για τα υπόλοιπα σχήματα 2 «ισοδύναμες ακτίνες»-Το σχήμα της διατομής (κυκλικό, ελλειπτικό, τετραγωνικό, πεταλοειδές)-Η σχετική ακαμψία μεταξύ του υπογείου έργου και του περιβάλλοντος εδάφους, η οποία προσομοιάζεται με τον συντελεστή ευκαμψίας F (ανεπένδυτη ή επενδεδυμένη, άκαμπτη ή εύκαμπτη, κατασκευή). -Η υστερητική απόσβεση (ανεξάρτητη της συχνότητας), τύπου Rayleigh .Στην ανάλυση αυτή θεωρούμε απόσβεση ξ= 2%.Οι ανωτέρω παράγοντες παίζουν καθοριστικό ρόλο στις τιμές των εντατικών μεγεθών. Οι Αναλύσεις επαλήθευσαν τις ιδιότητες τόσο των κυμάτων SH όσο και των κυμάτων SV.Συγκρίνοντας την Αναλυτική με την Αριθμητική Μέθοδο παρατηρούμε ότι και οι δύο επαληθεύουν τις συνοριακές συνθήκες για τα SH & τα SV κύματα. Η Αναλυτική Μέθοδος δεν λαμβάνει υπ΄όψιν της σαν ενιαίο το μοντέλο Εδάφους-Κατασκευής, οπότε τα προκύπτοντα εντατικά μεγέθη για μεν την περίπτωση των μετατοπίσεων είναι της ίδιας τάξης μεγέθους, για δεν την περίπτωση των τάσεων υπάρχει σημαντική απόκλιση με τις μεγαλύτερες τιμές να εμφανίζονται στην Αναλυτική Μέθοδο. Αναφορικά με την καταπόνηση που υφίσταται η ίδια η σήραγγα παρατηρήθηκε σημαντική επιβάρυνση λόγω της σεισμικής διέγερσης.