Problemas sobre flujos por curvatura extrínseca no lineales
Authors:   , Torres Santaella José Gabriel 
Published: September 2023

Un flujo geométrico consiste en encontrar soluciones de ecuaciones parabólicas en derivadas parciales que involucran cantidades geométricas de dos o más variedades dadas. En el caso de los flujos geométricos extrínsecos, las soluciones corresponden a una familia de un parámetro de inmersiones cuyas deformaciones dependen de las curvaturas de la hipersuperficie en una variedad riemanniana ambiente. El flujo geométrico extrínseco más estudiado en la literatura es el flujo por la curvatura media (FCM), ya que es el flujo gradiente del funcional de área. En la Introducción de esta tesis presentamos una breve descripción del FCM actuando sobre hipersuperficies en Rn+1. En particular, queremos mencionar el trabajo pionero de Huisken en [Hui2] que demostró que cualquier hipersuperficie cerrada y convexa en Rn+1, en el sentido de que las curvaturas principales son no negativas, se encoge al evolucionar por FCM hasta un punto en tiempo finito. Este fenómeno se suele denominar como desarrollo de una singularidad bajo el FCM, y es una tarea importante entender por qué aparecen singularidades, y cómo tratar con ellas luego de rescalar la hipersuperficie cerca de la singularidad. Por otra parte, es natural preguntarse qué ocurre si consideramos otras funciones de curvatura en lugar de la curvatura media en el contexto de flujos geométricos extrínsecos. En este espíritu, los trabajos de B. Andrews y sus colaboradores en [And2], [And1], [AMZ] y [ALM] desarrollaron una potente teoría, similar a la dada para el FCM, para hipersuperficies estrictamente convexas en Rn+1, donde la función de curvatura es convexa o cóncava. Por función de curvatura entendemos una función homogénea suave y simétrica cuyo dominio es un cono abierto de Rn. En esta tesis nos interesamos en soluciones eternas, soluciones que están definidas para todo tiempo, de flujos por curvatura extrínseca completamente no lineales tal que la evolución está dada por traslaciones en una dirección unitaria fija. Además, nos referimos a estas soluciones por solitones de traslación de la función de curvatura que estemos estudiando.Los solitones de traslación pueden verse como hipersuperficies en Rn+1 que satisfacen una ecuación diferencial parcial de la forma () = h⌫, vi, donde () es la función de curvatura evaluada en las curvaturas principales de la hipersuperficie, ⌫ es el vector normal unitario que apunta hacia afuera de la hipersuperficie (mirar Remark 5.0.1), y v 2 Sn (normalmente v = en+1) es la dirección de la traslación del flujo. Es importante destacar que esta ecuación es localmente uniforme elíptica cuando las curvaturas principales pertenecen al cono := ⇢ 2 Rn : () > 0, @ @i > 0. Esto nos permite estudiar los trasladores como en el contexto de la geometría diferencial clásica. Por otro lado, cuando la función de curvatura es la curvatura media, los trasladores son un modelo para las singularidades de tipo II del FCM. Esto significa que el supremo de la norma de la segunda forma fundamental estalla en una tasa mayor que O ✓ 1 pT t ◆, donde T es el tiempo máximo de existencia del flujo, y luego de escalar la hipersuperficie de manera adecuada, la evolución de la hipersuperficie converge a un H-traslador del espacio ambiente. Además, los trasladores del FCM son hipersuperficies mínimas en (Rn+1, ehx,vi dx2). Este es un hecho notable para el estudio de estas soluciones ya que la teoría local de hipersuperficies mínimas se puede aplicar para construirlas y caracterizarlas. Desgraciadamente, cuando la función de curvatura no es lineal, sólo se sabe que las singularidades de tipo II pueden modelarse mediante trasladores si además la función de curvatura es convexa como función definida en su dominio. Además, no tenemos esperanzas de que estas hipersuperficies sean mínimas en un espacio euclidiano conforme como en el caso de la curvatura media. Por ello, el estudio de los trasladores para funciones de curvatura no lineales es más complicado, y necesita que se desarrollen otro tipos de técnicas para el desarrollo de esta teoría. Los resultados de esta tesis están en el espíritu de explotar el hecho de que la ecuación () = h⌫, vi es localmente. Uniformemente elíptica cuando 2 . En particular, pudimos desarrollar propiedades geométricas para los trasladores contenidas en el capítulo 5. Una de las propiedades geométricas que obtuvimos fue un principio de tangencia, y como corolarios, también obtuvimos un resultado de no existencia, y un teorema de unicidad cuando el solitón de traslación es un grafo estrictamente convexo definido sobre una bola (mirar Teorema 5.0.5). Este último resultado se obtuvo mediante el método de los planos móviles de Alexandrov aplicado para esta ecuación. Por otra parte, el resultado principal de esta tesis es una estimación de convexidad en el espíritu de [SS], donde los autores mostraron que un H-traslador 2-convexo con H > 0 en Rn con n 3, es convexo. Hasta donde sabemos, sigue siendo un problema abierto si un -traslador que es un gráfico en Rn+1 tal que 2 y : ! R es una función de curvatura cóncava es convexo o no. Afortunadamente, bajo las hipótesis del Teorema de estimación de convexidad 2.2.12, pudimos demostrar que para una función de curvatura estrictamente concava, los -solitones de traslación que son uniformente 2-convexos cuyas curvaturas principales satisfacen ↵H  ( + 1) para constantes ↵ y positivas, se tiene que el mínimo de las curvaturas principales es asintóticamente cero al infintio del soliton de traslación. Además, para la familia de las funciones de curvatura Qk = Sk+1 Sk, donde Sk denota el polinomio simétrico elemental de grado k en n-variables, mostramos en el Capítulo 3 estimaciones de gradiente y de segundo orden en el espíritu del trabajo de Ecker y Huisken en [EH1]. La principal contribución de este capítulo es un resultado de tipo Liouville Teorema 3.0.3 para Qk-trasladores que son planos en el infinito. Finalmente, también construimos trasladores rotacionalmente simétricos para la función de curvatura pn Sn y Qn1 en Rn+1. Estas soluciones son de tipo “bowl” ya que son gráficos estrictamente convexos definidos en una bola o en todo Rn. Merece la pena mencionar un trabajo reciente de [Ren], en el que el autor construye soluciones de tipo “bowl” para una clase general de funciones de curvatura que son ↵-homogéneas con ↵ 1. 2 . Además, caracterizó cuándo la solución de tipo “bowl” estará definida en una bola o en todo el hiperplano en términos de la función de curvatura.