FEATURES OF ESTIMATION OF DISTRIBUTION DENSITY FUNCTION WITH THE HELP OF NON-ORTHONORMAL WAVELETS
Authors: Тимофеев В.С. , Исаева Е.В. 
Published: June 2022

В рамках статистического анализа данных очень часто возникает необходимость получить информацию о виде распределения случайной величины. Оценить плотность вероятности распределения можно с использованием различных подходов. Рассмотрим способ, основанный на вейвлет оценивании. Оценка функции плотности распределения в этом случае может быть представлена в виде разложения в ряд по некоторым ортонормированным базисным функциям, определённым на том же отрезке, что и область значений случайной величины. В случае, если для оценивания функции плотности используются материнские вейвлеты обладающие свойством ортонормированности, то и системы базисных функций, построенные на их основе, также являются ортонормированными. Известно, что свойством ортонормированности обладает вейвлет Хаара. Так же авторами было установлено, что ортонормированым является вейвлет LITTLEWOOD & PALEY. Исследование оценок, построенных с их помощью, показало качественное восстановление функции плотности при различных условиях формирования выборок. В рамках данной работы будут рассмотрены вейвлет оценки плотности распределения случайной величины, построенные с помощью не ортонормированных материнских вейвлетов, в частности вейвлета «Мексиканская шляпа» и DOG вейвлета. Исследование качества восстановления функции плотности на их основе показало, что использование не ортонормированных вейвлетов влечет за собой ряд трудностей, приводящих к значительному ухудшению качества восстановления функции плотности. В связи этим установлена необходимость введение определенного поправочного коэффициента. Предложены три способа его определения. Для количественной оценки степени близости функции плотности распределения и её вейвлет оценки была проведена проверка согласия по критерию хи квадрат, которая показала, что значение нормирующего коэффициента, вычисленное одним из предложенных способов, позволяет обеспечить качественное восстановление функции плотности.

Within the framework of statistical data analysis, very often there is a need to obtain information about the type of distribution of a random variable. The probability density of a distribution can be estimated using various approaches. Consider a method based on wavelet estimation. The estimate of the distribution density function in this case can be represented as an expansion of the series in terms of some orthonormal basis functions defined on the same segment as the range of values of the random variable. If mother wavelets with the orthonormal property are used to estimate the density function, then the systems of basic functions built on their basis are also orthonormal. It is known that the Haar wavelet has the property of orthonormality. The authors also found that the LITTLEWOOD & PALEY wavelet is orthonormalized. The study of the estimates constructed with their help showed a qualitative restoration of the density function under various conditions for the formation of samples. Within the framework of this work, we will consider wavelet estimates of the distribution density of a random variable, constructed using non-orthonormal parent wavelets, in particular, the Mexican Hat wavelet and the DOG wavelet. The study of the quality of the density function recovery based on them showed that the use of non-orthonormal wavelets entails a number of difficulties leading to a significant deterioration in the quality of the density function recovery. In this regard, the need to introduce a certain correction factor has been established. Three ways of its definition are offered. To quantify the degree of closeness of the distribution density function and its wavelet evaluation, a fit test was carried out using the chi-square criterion, which showed that the value of the normalizing coefficient calculated by one of the proposed methods makes it possible to provide a qualitative restoration of the density function.