Solving boundary value problems for partial differential equations in triangular domains by the least squares collocation method
Authors: Шапеев В.П. , Беляев В.А. 
Published: August 2021

Предложен и реализован новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) повышенной точности для численного решения краевых задач для уравнений с частными производными (PDE, Partial Differential Equations) в треугольных областях. Реализация этого подхода и численные эксперименты выполнены на примерах решения уравнения Пуассона и бигармонического уравнения. Решение второго уравнения с повышенной точностью использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропной треугольной пластины, находящейся под действием поперечной нагрузки. Дифференциальные задачи методом КНК
проектируются в пространство полиномов четвертой степени. Граничные условия для приближенного решения задач выписываются точно на границе расчетной области, что позволяет теоретически неограниченно повышать порядок точности метода КНК. В новом варианте используются регулярная сетка с прямоугольными ячейками в области решения задачи и на границе области "одинарный" слой нерегулярных ячеек, отсеченных границей от прямоугольных ячеек начальной регулярной сетки. Треугольные нерегулярные граничные ячейки присоединяются к соседним четырехугольным или пятиугольным ячейкам, и в объединенных ячейках строится свой отдельный кусок аналитического решения. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы "законтурные" (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Эти два приема позволили существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений приближенной задачи по сравнению со случаем, когда треугольные ячейки использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи и не была использована "законтурная" часть граничных ячеек. Показано преимущество рассматриваемого подхода перед подходом с применением отображения треугольной области на прямоугольную. В численных экспериментах по анализу сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что решение сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда оно известно.

A high-accuracy new version of the least squares collocation method (LSC) is proposed and implemented for the numerical solution of boundary value problems for PDEs in triangular domains. The implementation of this approach and numerical
experiments are performed using the examples of the biharmonic and Poisson equations. The solution of the biharmonic equation with high accuracy is used to simulate the stress-strain state of an isotropic triangular plate under the action of a
transverse load. The differential problems are projected onto the space of fourth-degree polynomials by the LSC method. The boundary conditions for the approximate solution are given exactly on the boundary of the computational domain, which allows us theoretically and indefinitely to increase the order of accuracy of the LSC. The new version of the LSC utilizes a regular grid with rectangular cells inside the domain of the solution. It is relatively easy to use a "single" layer of irregular
cells that are cut off by the boundary from the rectangular cells of the initial regular grid. Triangular irregular boundary cells are joint to the adjacent quadrangular or pentagonal cells. Thus, a separate piece of the analytical solution is constructed
in combined cells. The collocation and matching points situated outside the domain are used to approximate the differential equations in the boundary cells crossed by the boundary. These two methods allows us to reduce significantly the
condition number of the system of linear algebraic equations in the approximate compared to the case when the triangular cells are used as independent ones for constructing an approximate solution of the problem and when the extraboundary part
of the boundary cells is not used. The advantage of the proposed approach is shown in comparison with the approach using the mapping of the triangular domain onto the rectangular one. It is also shown that the approximate solution converges with a high order and is coincident with the analytical solution of the test problems with a high accuracy.