Αναλυτική και αριθμητική μελέτη στην δυναμική πολλαπλών παραμορφώσιμων σωμάτων
Authors: Ντινόπουλος Ιωάννης 
Published: December 2024

Η Μηχανική είναι ένας από τους παλαιότερους και πιο αναπτυγμένους κλάδους με πλείστες εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Ως εκ τούτου, είναι απολύτως απαραίτητο να υφίσταται αφενός ένα αυστηρά θεμελιωμένο θεωρητικό υπόβαθρο και αφετέρου να προκύπτουν αξιόπιστα αριθμητικά σχήματα, ώστε να μπορεί να προσδιορίζεται με αξιοπιστία η συμπεριφορά των κατασκευών καθώς και η βελτιστοποίησή τους σε όλες τις κλίμακες, ήτοι, από εξαρτήματα στις μηχανολογικές εγκαταστάσεις έως τα κτήρια και τις γέφυρες. Το κύριο μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται ευρέως στη διατύπωση των εξισώσεων που διέπουν την κίνηση των μηχανικών συστημάτων με περιορισμούς είναι οι Διαφορικές Αλγεβρικές Εξισώσεις (Δ.Α.Ε.). Λόγω της εγγενούς τους φύσης, οι Δ.Α.Ε. είναι ιδιάζοντα συστήματα, γεγονός που οδηγεί σε αστάθειες κατά την αριθμητική επίλυση. Οι εν λόγω αστάθειες μπορεί αρχικά να φαίνονται αμελητέες, αυξάνονται ωστόσο με την πάροδο του χρόνου, οδηγώντας τελικά σε μια εντελώς αλλοιωμένη εικόνα για την συμπεριφορά του υπό εξέταση μηχανικού συστήματος. Πρωτίστως εξάγονται με γεωμετρική συνέπεια οι εξισώσεις κίνησης ενός παραμορφώσιμου σώματος. Αρχικά διατυπώνεται η κινηματική του παραμορφώσιμου σώματος. Στην κατεύθυνση αυτή εισάγεται μία απεικόνιση (mapping) μεταξύ ενός Ευκλείδειου τριδιάστατου χώρου με Καρτεσιανές συντεταγμένες και μίας καινούργιας πολλαπλότητας στην οποία η κίνηση εξελίσσεται ως υπέρθεση μιας γενικής χωρικής κίνησης ενός απολύτως στερεού σώματος ακολουθούμενη από την τοπική παραμόρφωση. Μέσω της απεικόνισης, οι συνθήκες για τη μεταφορά της μετρικής, ήτοι, της μάζας και των συνδέσεων, ήτοι, των τετραγωνικών όρων της ταχύτητας, προσδιορίζονται πλήρως ώστε ο νόμος του Νεύτωνα να διατηρεί τη μορφή του και στις δύο πολλαπλότητες. Επιπρόσθετα, εξάγεται το μητρώο μάζας του παραμορφώσιμου σώματος και υπολογίζονται οι προκύπτουσες αναλλοίωτες ενώ δίνεται ένα μικρό παράδειγμα εφαρμογής μίας δισδιάστατης ράβδου με σημειακές μάζες ώστε να καταστεί εμφανές το αναπτυχθέν σκεπτικό αλλά και να προκύψει η διαδικασία μέσω της οποίας επεκτείνεται η εφαρμογή σε πιο σύνθετα σώματα όπως για παράδειγμα μιας τριδιάστατης δοκού. Τα σύνθετα μηχανικά συστήματα αποτελούνται από σώματα που συνδέονται κατάλληλα μεταξύ τους. Η ύπαρξη των συνδέσμων οδηγεί στην εμφάνιση δεσμών κίνησης. Προκειμένου να εξαλειφθούν τα ζητήματα που προκύπτουν από την χρήση των Δ.Α.Ε., χρησιμοποιείται η ρηξικέλευθη, γεωμετρικά συνεπής μέθοδος που αναπτύχθηκε στο Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών, η οποία οδηγεί σε ένα σύστημα κανονικών διαφορικών εξισώσεων με αγνώστους τις γενικευμένες συντεταγμένες καθώς και τους πολλαπλασιαστές του Lagrange. Οι τελευταίοι αντιμετωπίζονται ως γενικευμένες συντεταγμένες. Η διατύπωση αντιμετωπίζει τόσο την περίπτωση των ολόνομων όσο και αυτή των ανολόνομων περιορισμών. Ωστόσο, η έμφαση δίνεται στους τέσσερις θεμελιώδεις περιορισμούς, ήτοι, στον Σφαιρικό, τον Επίπεδο, τον Κάθετο και τον Γωνιακό, οι οποίοι όταν συνδυάζονται κατάλληλα παρέχουν μια πληθώρα συνδέσεων που απαντώνται στις εφαρμογές του Μηχανικού. Για κάθε μία από τις προαναφερθείσες περιπτώσεις υπολογίζονται αναλυτικά οι εξισώσεις των περιορισμών και ο αντίστοιχος Ιακωβιανός πίνακας. Προκειμένου να προκύψουν αποτελέσματα, προτείνεται ένα σχήμα αριθμητικής ολοκλήρωσης. Οι εξισώσεις κίνησης μαζί με τις εξισώσεις των περιορισμών διακριτοποιούνται χρονικά και χρησιμοποιείται η μέθοδος του Newmark. Προκύπτει επομένως ένα έμμεσο (implicit) θαμιστικό σχήμα είτε σε επίπεδο επιταχύνσεων είτε στο αντίστοιχο των μετατοπίσεων όπου οι μεταβολές των μεγεθών τροποποιούνται επαναληπτικά μεταξύ των χρονικών βημάτων έως ότου να επιτευχθεί η επιθυμητή σύγκλιση. Ως ειδική περίπτωση εξετάζεται ο γραμμικός ταλαντωτής. Το ιδιοπρόβλημα αντιμετωπίζεται αναλυτικά αναδεικνύοντας σημαντικά αποτελέσματα όπως η ύπαρξη πεπερασμένων, επαναλαμβανόμενων ιδιοσυχνοτήτων για την περίπτωση των περιορισμών. Επιπλέον, εφαρμόστηκε ένα σχήμα για τον υπολογισμό των γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων με στόχο τον αναλυτικό υπολογισμό της απόκρισης μέσω της Κανονικής Μορφής του Jordan. Για την τεκμηρίωση της μεθοδολογίας αλλά και τη σύγκριση με τις μεθόδους Δ.Α.Ε. με δείκτη 1 & 3 επιλύθηκε ένας τετραβάθμιος γραμμικός ταλαντωτής με δύο δεσμούς κίνησης καθώς και ένας μη γραμμικός τύπου Duffing.