Statistical Inference for the Rate Ratio in a Two-way Contingency Table with an Empty Cell
Authors: Okasha Mahmoud 
Published: April 2023

In many statistical data analyses, the problem of analyzing contingency tables that contain empty cells is commonly encountered in all fields of research. The odds ratio and risk ratio are not applicable in such a case because of an unidentifiably problem. In the present paper the rate ratio between the second negative response given an initial negative response and the initial negative response in a two-way contingency table with a zero-count in one of the off-diagonal cells is utilized. Hypothesis testing and confidence interval construction for the rate ratio based on the Wald’s test statistic and its logarithmic transformation will be reviewed. Inference based on large sample theory and small-sample on the rate ratio of this case is discussed. The asymptotic performance of the Wald’s test statistic and its logarithmic transformation is examined. By adopting these statistics, full unconditional exact small-sample procedures that have been proposed by Tang and Tang (2002) are discussed. The procedures are modified by utilizing the maximum likelihood estimator of the rate ratio and the conditional likelihood functions. The accuracy of all the methods is empirically assessed. We show that our modified conditional procedures are more reliable than both exact and asymptotic procedures in terms of coverage probability and expected interval width. The methodology is applied to data on family planning in the Gaza Strip and other examples from the literature.

يواجه الكثير من الباحثين أثناء التحليل الإحصائي للبيانات الوصفية في مجالات العلوم المختلفة حالات وجود خلايا ذات تكرارات صفرية حقيقية في جداول توافق ثنائية، في مثل هذه الحالات لن يتمكن الباحث من حساب أي من النسب والمعدلات المعروفة مثل نسب الخلاف أو نسب المخاطرة بسبب ظهور مشكلة "عدم التعريف" نتيجة لتساوي أحد التكرارات بالصفر، ولعلاج هذه المشكلة تقوم هذه الدراسة على توظيف المعدل النسبي بين الاستجابة السلبية للظاهرة الثانية بمعلومية وقوع استجابة سلبية للظاهرة الأولى مقارنة بالاستجابة السلبية للظاهرة الأولى وإجراء استدلال إحصائي حول هذا المعدل وذلك في جدول توافق ثنائي يحتوي على خلية خالية في أحد خلايا قطره الثانوي، وقد تم تقدير المعدل النسبي وبناء فترة ثقة له واشتقاق اختبارات للفرضيات المتعلقة به مع توظيف كلاً من إحصاء والد المعروف والإحصاء المتعلق بتحويلته اللوغاريتمية، وقد تم مراجعة التوزيع التقاربي لهذين الإحصاءين وكذلك نتائج استخداميهما في حالة العينات الكبيرة، كذلك فقد تم دراسة واستخدام التوزيع الاحتمالي الدقيق لكل من هذين الإحصاءين، وبناء عليه فقد تم دراسة الطرق الدقيقة الغير مشروطة التي قام بتطويرها Tang and Tang (2002) لحالات العينات الصغيرة باستخدام هذين الإحصاءين، ولقد تم تطوير هذه الطرق في هذه الدراسة لحساب الاحتمالات ومستويات الثقة عن طريق استخدام مقدر الأرجحية العظمى للمعدل النسبي وتوظيف دوال الأرجحية العظمى الكاملة للمعدل النسبي غير المشروطة والمشروطة وذلك لتطبيقها في حالات العينات الصغيرة، وقد استخدمت أيضاً طرق المحاكاة للتحقق من دقة جميع الطرق التي تم التعرض لها، وسوف يتبين من ذلك أن هذه الطرق سواء كانت الغير مشروطة أو المشروطة التي قمنا بتطويرها تعطي نتائج أدق ويمكن الاعتماد عليها بشكل أفضل من الطرق السابقة في تقدير فترات الثقة واختبارات الفرضيات للمعدل النسبي في جداول التوافق الثنائية المحتوية على تكرار صفري حقيقي في أحد خلاياها وذلك باستخدام معياري احتمال التغطية لفترات الثقة وطول الفترة، وفي النهاية تم تطبيق جميع الطرق التي تم التعرض إليها في هذه الدراسة على بيانات حقيقية منها المنشور في المجلات العلمية ومنها الميدانية عن بحث يتعلق بتنظيم الأسرة في قطاع غزة.