bluuebunny/crossref_metadata_2025 huggingface dataset:
Arrangements of equal minors in the positive Grassmannian
Authors: Farber Miriam , Postnikov Alexander
Published: August 2021

We discuss arrangements of equal minors in totally positive matrices. More precisely, we would like to investigate the structure of possible equalities and inequalities between the minors. We show that arrangements of equals minors of largest value are in bijection with sorted sets, which earlier appeared in the context of alcoved polytopes and Gröbner bases. Maximal arrangements of this form correspond to simplices of the alcoved triangulation of the hypersimplex; and the number of such arrangements equals the Eulerian number. On the other hand, we conjecture and prove in many cases that arrangements of equal minors of smallest value are exactly the weakly separated sets. Weakly separated sets, originally introduced by Leclerc and Zelevinsky, are closely related to the \textitpositive Grassmannian and the associated cluster algebra.
SIF Permutations and Chord-Connected Permutations
Authors: Blitvić Natasha
Published: August 2021

A stabilized-interval-free  (SIF) permutation on [n], introduced by Callan, is a permutation that does not stabilize any proper interval of [n]. Such permutations are known to be the irreducibles in the decomposition of permutations along non-crossing partitions. That is, if $s_n$ denotes the number of SIF permutations on [n], $S(z)=1+\sum_{n\geq1} s_n z^n$, and $F(z)=1+\sum_{n\geq1} n! z^n$, then $F(z)= S(zF(z))$. This article presents, in turn, a decomposition of SIF permutations along non-crossing partitions. Specifically, by working with a convenient diagrammatic representation, given in terms of perfect matchings on alternating binary strings, we arrive at the \emphchord-connected permutations on [n], counted by $\{c_n\}_{n\geq1}$, whose generating function satisfies $S(z)= C(zS(z))$. The expressions at hand have immediate probabilistic interpretations, via the celebrated moment-cumulant formula of Speicher, in the context of the free probability theory of Voiculescu. The probability distributions that appear are the exponential and the complex Gaussian.
Controllability of affine right-invariant systems on solvable Lie groups
Authors: Sachkov Yuri L.
Published: August 2021

The aim of this paper is to present some recent results on controllability of right-invariant systems on Lie groups. From the Lie-theoretical point of view, we study conditions under which subsemigroups generated by half-planes in the Lie algebra of a Lie group coincide with the whole Lie group.
A factorization formula for power series
Authors: Birmajer Daniel , Gil Juan B. , Weiner Michael D.
Published: August 2021

Given an odd prime p, we give an explicit factorization over the ring of formal power series with integer coefficients for certain reducible polynomials whose constant term is of the form $p^w$ with $w>1$. Our formulas are given in terms of partial Bell polynomials and rely on the inversion formula of Lagrange.
Graph Orientations and Linear Extensions.
Authors: Iriarte Benjamin
Published: August 2021

Given an underlying undirected simple graph, we consider the set of all acyclic orientations of its edges. Each of these orientations induces a partial order on the vertices of our graph, and therefore we can count the number of linear extensions of these posets. We want to know which choice of orientation maximizes the number of linear extensions of the corresponding poset, and this problem is solved essentially for comparability graphs and odd cycles, presenting several proofs. We then provide an inequality for general graphs and discuss further techniques.
Scaling Limits of Random Graphs from Subcritical Classes: Extended abstract
Authors: Panagiotou Konstantinos , Stufler Benedikt , Weller Kerstin
Published: August 2021

We study the uniform random graph $\mathsf{C}_n$ with $n$ vertices drawn from a subcritical class of connected graphs. Our main result is that the rescaled graph $\mathsf{C}_n / \sqrt{n}$ converges to the Brownian Continuum Random Tree $\mathcal{T}_{\mathsf{e}}$ multiplied by a constant scaling factor that depends on the class under consideration. In addition, we provide subgaussian tail bounds for the diameter $\text{D}(\mathsf{C}_n)$ and height $\text{H}(\mathsf{C}_n^\bullet)$ of the rooted random graph $\mathsf{C}_n^\bullet$. We give analytic expressions for the scaling factor of several classes, including for example the prominent class of outerplanar graphs. Our methods also enable us to study first passage percolation on $\mathsf{C}_n$, where we show the convergence to $\mathcal{T}_{\mathsf{e}}$ under an appropriate rescaling.

On s’int´eresse au comportement asymptotique du graphe aleatoire $\mathsf{C}_n$ sur $n$ sommets pris uniformément d’une classe sous-critique des graphes sur n sommets. Dans cette contribution nous montrons que le graphe normalisée$\mathsf{C}_n / \sqrt{n}$ converges vers un arbre aléatoire brownien continue Te multiplie par une constante qui dépends de la classede graphes considérée. Nous calculons l’expression analytique pour cette constante dans plusieurs cas parmi la classefameuse des graphes planaire extérieure. En plus, on montre que le diamètre $\text{D}(\mathsf{C}_n)$ et la hauteur $\text{H}(\mathsf{C}_n^\bullet)$ de l’équivalent racine de $\mathsf{C}_n$ sont bornes par des bornes sous gaussiens. Notre méthode nous permettons aussi de l’étudier la percolation du premier passage sur $\mathsf{C}_n$. Nous montrons que $\mathcal{T}_{\mathsf{e}}$ sujet a une changement d’échelle appropriée
On non-conjugate Coxeter elements in well-generated reflection groups
Authors: Reiner Victor , Ripoll Vivien , Stump Christian
Published: August 2021

Given an irreducible well-generated complex reflection group $W$ with Coxeter number $h$, we call a Coxeter element any regular element (in the sense of Springer) of order $h$ in $W$; this is a slight extension of the most common notion of Coxeter element. We show that the class of these Coxeter elements forms a single orbit in $W$ under the action of reflection automorphisms. For Coxeter and Shephard groups, this implies that an element $c$ is a Coxeter element if and only if there exists a simple system $S$ of reflections such that $c$ is the product of the generators in $S$. We moreover deduce multiple further implications of this property. In particular, we obtain that all noncrossing partition lattices of $W$ associated to different Coxeter elements are isomorphic. We also prove that there is a simply transitive action of the Galois group of the field of definition of $W$ on the set of conjugacy classes of Coxeter elements. Finally, we extend several of these properties to Springer's regular elements of arbitrary order.

Étant donnés un groupe de réflexion complexe $W$, irréductible et bien engendré, et $h$ son nombre de Coxeter, nous appelons élément de Coxeter un élément régulier (au sens de Springer) d’ordre $h$; ceci est une extension de la notion la plus habituelle d’élément de Coxeter. Nous montrons que l’ensemble de ces éléments de Coxeter forme une seule orbite sous l’action des automorphismes de réflexion de $W$. Pour les groupes de Coxeter et de Shephard, ceci implique qu’un élément $c$ est un élément de Coxeter si et seulement s’il existe un système simple $S$ de réflexions tel que $c$ soit le produit des générateurs dans $S$. Nous déduisons de cette propriété plusieurs autres résultats. En particulier, nous obtenons que tous les treillis de partitions non-croisées de $W$, associés à différents éléments de Coxeter, sont isomorphes. Nous montrons également qu’il existe une action simplement transitive du groupe de Galois du corps de définition de $W$ sur l’ensemble des classes de conjugaison d’éléments de Coxeter. Enfin, nous étendons plusieurs de ces propriétés au cas des éléments réguliers d’ordre quelconque.
Arrangements Of Minors In The Positive Grassmannian And a Triangulation of The Hypersimplex
Authors: Farber Miriam , Mandelshtam Yelena
Published: August 2021

The structure of zero and nonzero minors in the Grassmannian leads to rich combinatorics of matroids. In this paper, we investigate an even richer structure of possible equalities and inequalities between the minors in the positive Grassmannian. It was previously shown that arrangements of equal minors of largest value are in bijection with the simplices in a certain triangulation of the hypersimplex that was studied by Stanley, Sturmfels, Lam and Postnikov. Here we investigate the entire set of arrangements and its relations with this triangulation. First, we show that second largest minors correspond to the facets of the simplices. We then introduce the notion of cubical distance on the dual graph of the triangulation, and study its relations with the arrangement of t-th largest minors. Finally, we show that arrangements of largest minors induce a structure of partially ordered sets on the entire collection of minors. We use the Lam and Postnikov circuit triangulation of the hypersimplex to describe a 2-dimensional grid structure of this poset.

La structure des mineurs nuls et non nuls dans la Grassmannienne amène à une combinatoire très riche dematroïdes. Dans cet article, nous examinons la structure encore plus riche des égalités et inégalités possibles entreles mineurs de la Grassmannienne positive. Il a été montré précédemment que les arrangements de mineurs égauxde valeur maximale sont en bijection avec les simplexes d’une certaine triangulation de l’hypersimplexe étudiée parStanley, Sturmfels, Lam et Postnikov. Nous examinons ici l’ensemble total des arrangements et ses relations aveccette triangulation. Tout d’abord, nous montrons que les deuxièmes plus grands mineurs correspondent aux facettesdes simplexes. Nous introduisons ensuite la notion de distance cubique sur le graphe dual de la triangulation, et nousétudions ses relations avec l’arrangement des t-ièmes plus grands mineurs. Enfin, nous montrons que les arrangementsde mineurs maximaux induisent une structure d’ensemble partiellement ordonn´e sur la collection totale des mineurs.Nous utilisons la triangulation-circuit de Lam et Postnikov de l’hypersimplexe pour décrire une structure de réseau2-dimensionnel sur ce poset.
The Bruhat order on conjugation-invariant sets of involutions in the symmetric group
Authors: Hansson Mikael
Published: August 2021

12 pages, 3 figures

Let $I_n$ be the set of involutions in the symmetric group $S_n$, and for $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$, let \[ F_n^A=\{\sigma \in I_n \mid \text{$\sigma$ has $a$ fixed points for some $a \in A$}\}. \] We give a complete characterisation of the sets $A$ for which $F_n^A$, with the order induced by the Bruhat order on $S_n$, is a graded poset. In particular, we prove that $F_n^{\{1\}}$ (i.e., the set of involutions with exactly one fixed point) is graded, which settles a conjecture of Hultman in the affirmative. When $F_n^A$ is graded, we give its rank function. We also give a short new proof of the EL-shellability of $F_n^{\{0\}}$ (i.e., the set of fixed point-free involutions), which was recently proved by Can, Cherniavsky, and Twelbeck.

Soit $I_n$ l’ensemble d’involutions dans le groupe symétrique $S_n$, et pour $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$, soit\[ F_n^A=\{\sigma \in I_n \mid \text{$\sigma$ a $a$ points fixes pour quelque $a \in A$}\}. \] Nous caractérisons tous les ensembles $A$ dont les $F_n^A$ , avec l’ordre induit par l’ordre de Bruhat sur $S_n$, est un posetgradué. En particulier, nous démontrons que $F_n^{\{1\}}$ (c’est-à-dire, l’ensemble d’involutions avec précis en point fixe)est gradué, ce qui résout une conjecture d’Hultman à l’affirmative. Lorsque $F_n^A$ est gradué, nous donnons sa fonctionde rang. En plus, nous donnons une nouvelle démonstration courte l’EL-shellability de $F_n^{\{0\}}$ (c’est-à-dire, l’ensembled’involutions sans points fixes), établie récemment par Can, Cherniavsky et Twelbeck.
Maximal increasing sequences in fillings of almost-moon polyominoes
Authors: Poznanović Svetlana , Yan Catherine H.
Published: August 2021

It was proved by Rubey that the number of fillings with zeros and ones of a given moon polyomino thatdo not contain a northeast chain of a fixed size depends only on the set of column lengths of the polyomino. Rubey’sproof uses an adaption of jeu de taquin and promotion for arbitrary fillings of moon polyominoes and deduces theresult for 01-fillings via a variation of the pigeonhole principle. In this paper we present the first completely bijectiveproof of this result by considering fillings of almost-moon polyominoes, which are moon polyominoes after removingone of the rows. More precisely, we construct a simple bijection which preserves the size of the largest northeast chainof the fillings when two adjacent rows of the polyomino are exchanged. This bijection also preserves the column sumof the fillings. In addition, we also present a simple bijection that preserves the size of the largest northeast chains, therow sum and the column sum if every row of the filling has at most one 1. Thereby, we not only provide a bijectiveproof of Rubey’s result but also two refinements of it.

Rubey a montré que le nombre de remplissages d’un polyomino lunaire donné par des zéros et des uns quine contiennent pas de chaîne nord-est d’une taille fixée ne dépend que de l’ensemble des longueurs des colonnesdu polyomino. La preuve de Rubey utilise une adaptation du jeu de taquin et de la promotion sur des remplissagesarbitraires de polyominos lunaires et déduit le résultat pour les remplissages 0/1 par inclusion-exclusion. Dans cetarticle, nous présentons la première preuve bijective de ce résultat en considérant des remplissages de polyominospresque lunaires, qui sont des polyominos lunaires dont on a supprimé une ligne. Plus précisément, nous construisonsune bijection simple qui préserve la taille de la plus longue chaîne nord-est des remplissages lorsque deux lignesadjacentes du polyomino sont échangées. Cette bijection préserve aussi la somme des colonnes des remplissages. Enoutre, nous présentons aussi une bijection simple qui préserve la taille de la plus longue chaîne nord-est, la sommedes lignes et la somme des colonnes si chaque ligne du remplissage contient au plus un 1. Nous fournissons donc nonseulement une preuve bijective du résultat de Rubey, mais aussi deux raffinements de celui-ci.
Kraśkiewicz-Pragacz modules and some positivity properties of Schubert polynomials
Authors: Watanabe Masaki
Published: August 2021

We use the modules introduced by Kraśkiewicz and Pragacz (1987, 2004) to show some positivity propertiesof Schubert polynomials. We give a new proof to the classical fact that the product of two Schubert polynomialsis Schubert-positive, and also show a new result that the plethystic composition of a Schur function with a Schubertpolynomial is Schubert-positive. The present submission is an extended abstract on these results and the full versionof this work will be published elsewhere.

Nous employons les modules introduits par Kraśkiewicz et Pragacz (1987, 2004) et démontrons certainespropriétés de positivité des polynômes de Schubert: nous donnons une nouvelle preuve pour le fait classique quele produit de deux polynômes de Schubert est Schubert-positif; nous démontrons aussi un nouveau résultat que lacomposition plethystique d’une fonction de Schur avec un polynôme de Schubert est Schubert-positif. Cet article estun sommaire de ces résultats, et une version pleine de ce travail sera publée ailleurs.
Mixed volumes of hypersimplices
Authors: Liu Gaku
Published: August 2021

In this extended abstract we consider mixed volumes of combinations of hypersimplices. These numbers, called mixed Eulerian numbers, were first considered by A. Postnikov and were shown to satisfy many properties related to Eulerian numbers, Catalan numbers, binomial coefficients, etc. We give a general combinatorial interpretation for mixed Eulerian numbers and prove the above properties combinatorially. In particular, we show that each mixed Eulerian number enumerates a certain set of permutations in $S_n$. We also prove several new properties of mixed Eulerian numbers using our methods. Finally, we consider a type $B$ analogue of mixed Eulerian numbers and give an analogous combinatorial interpretation for these numbers.

Dans ce résumé étendu nous considérons les volumes mixtes de combinaisons d’hyper-simplexes. Ces nombres, appelés les nombres Eulériens mixtes, ont été pour la première fois étudiés par A. Postnikov, et il a été montré qu’ils satisfont à de nombreuses propriétés reliées aux nombres Eulériens, au nombres de Catalan, aux coefficients binomiaux, etc. Nous donnons une interprétation combinatoire générale des nombres Eulériens mixtes, et nous prouvons combinatoirement les propriétés mentionnées ci-dessus. En particulier, nous montrons que chaque nombre Eulérien mixte compte les éléments d’un certain sous-ensemble de l’ensemble des permutations $S_n$. Nous établissons également plusieurs nouvelles propriétés des nombres Eulériens mixtes grâce à notre méthode. Pour finir, nous introduisons une généralisation en type $B$ des nombres Eulériens mixtes, et nous en donnons une interprétation combinatoire analogue.
Bridge Graphs and Deodhar Parametrizations for Positroid Varieties
Authors: Karpman Rachel
Published: August 2021

A parametrization of a positroid variety $\Pi$ of dimension $d$ is a regular map $(\mathbb{C}^{\times})^{d} \rightarrow \Pi$ which is birational onto a dense subset of $\Pi$. There are several remarkable combinatorial constructions which yield parametrizations of positroid varieties. We investigate the relationship between two families of such parametrizations, and prove they are essentially the same. Our first family is defined in terms of Postnikov’s boundary measurement map, and the domain of each parametrization is the space of edge weights of a planar network. We focus on a special class of planar networks called bridge graphs, which have applications to particle physics. Our second family arises from Marsh and Rietsch’s parametrizations of Deodhar components of the flag variety, which are indexed by certain subexpressions of reduced words. Projecting to the Grassmannian gives a family of parametrizations for each positroid variety. We show that each Deodhar parametrization for a positroid variety corresponds to a bridge graph, while each parametrization from a bridge graph agrees with some projected Deodhar parametrization.

Soit $\Pi$ une variété positroïde. Nous appellerons paramétrisation toute application régulière $(\mathbb{C}^{\times})^{d} \rightarrow \Pi$ qui est un isomorphisme birégulier sur un sous-ensemble dense de $\Pi$. On sait que plusieurs constructions combinatoires donnent des paramétrisations intéressantes. Le but du présent article est d’investiguer deux familles de telles paramétrisations et de montrer, essentiellement, qu’elles coïncident. La première famille trouve son origine dans la fonction de mesure des bords de Postnikov. Le domaine de chaque paramétrisation est en ce cas-ci l’ensemble de poids des arêtes d’un réseau planaire pondéré. Nous nous concentrons sur une classe particulière de réseaux planaires, les graphes de ponts, ayant des applications à la physique subatomique. La deuxième famille provient des paramétrisations de Marsh et de Rietsch des composantes de Deodhar (indexées par certaines sous-expressions de mots réduits de permutations) de la variété de drapeaux. On obtient alors des paramétrisations de cellules de positroïdes en appliquant la projection à la grassmannienne. Nous montrons que chaque paramétrisation de Deodhar correspond à un graphe de ponts; d’autre part, chaque paramétrisation provenant d’un graphe de ponts s’accorde avec quelque paramétrisation de Deodhar.
A representation-theoretic proof of the branching rule for Macdonald polynomials
Authors: Sun Yi
Published: August 2021

We give a new representation-theoretic proof of the branching rule for Macdonald polynomials using the Etingof-Kirillov Jr. expression for Macdonald polynomials as traces of intertwiners of $U_q(gl_n)$. In the Gelfand-Tsetlin basis, we show that diagonal matrix elements of such intertwiners are given by application of Macdonald's operators to a simple kernel. An essential ingredient in the proof is a map between spherical parts of double affine Hecke algebras of different ranks based upon the Dunkl-Kasatani conjecture.

Nous donnons une nouvelle preuve représentation-théorique de la règle de branchement pour les polynômes de Macdonald en utilisant l’expression Etingof-Kirillov Jr. pour les polynômes de Macdonald comme des traces de intertwiners de $U_q(gl_n)$. Dans la base de Gelfand-Tsetlin, nous montrons que les éléments de matrice diagonaux de ces intertwiners sont donnés par action des opérateurs de Macdonald à un noyau simple. Un ingrédient essentiel dans la preuve est une application entre les parties sphériques des algèbres de Hecke double affines de rangs différents basés sur la conjecture Dunkl-Kasatani.
Type C parking functions and a zeta map
Authors: Sulzgruber Robin , Thiel Marko
Published: August 2021

We introduce type $C$ parking functions, encoded as vertically labelled lattice paths and endowed with a statistic dinv'. We define a bijection from type $C$ parking functions to regions of the Shi arrangement of type $C$, encoded as diagonally labelled ballot paths and endowed with a natural statistic area'. This bijection is a natural analogue of the zeta map of Haglund and Loehr and maps dinv' to area'. We give three different descriptions of it.

Nous introduisons les fonctions de stationnement de type $C$, encodées par des chemins étiquetés verticalement et munies d’une statistique dinv'. Nous définissons une bijection entre les fonctions de stationnement de type $C$ et les régions de l’arrangement de Shi de type $C$, encodées par des chemins étiquetés diagonalement et munies d’une statistique naturelle area'. Cette bijection est un analogue naturel à la fonction zeta de Haglund et Loehr, et envoie dinv' sur area'. Nous donnons trois différentes descriptions de celle-ci.
Enumeration and structure of inhomogeneous graphs
Authors: De Panafieu Élie
Published: August 2021

We analyze a general model of weighted graphs, introduced by de Panafieu and Ravelomanana (2014) and similar to the inhomogeneous graph model of Söderberg (2002). We investigate the sum of the weights of those graphs and their structure. Those results allow us to give a new proof in a more general setting of a theorem of Wright (1972) on the enumeration of properly colored graphs. We also discuss applications related to social networks

Nous étudions un modèle de graphes pondérés, introduits par de Panafieu et Ravelomanana (2014) et proche des graphes inhomogènes de Söderberg (2002). Nous analysons la somme des poids de ces graphes et leur structure. Ces résultats nous permettent d’obtenir une nouvelle preuve d’un théorème de Wright (1972) sur l’énumération des graphes bien colorés, ainsi que sur un modèle lié aux réseaux sociaux.
Ehrhart Positivity for Generalized Permutohedra
Authors: Castillo Federico , Liu Fu
Published: August 2021

There are few general results about the coefficients of Ehrhart polynomials. We present a conjecture about their positivity for a certain family of polytopes known as generalized permutohedra. We have verified the conjecture for small dimensions combining perturbation methods with a new valuation on the algebra of rational pointed polyhedral cones constructed by Berline and Vergne.

Il existe peu de résultats sur les coefficients des polynômes d’Ehrhart. On présente une conjecture concernant leur positivité pour une certaine famille de polytopes connus sous le nom de permutoèdre généralisé. On a vérifié la conjecture pour les petites dimensions en combinant des méthodes de perturbation avec une nouvelle valuation sur l’algèbre des cônes polyédraux rationnels pointés, construite par Berline et Vergne.
The Real-rootedness of Eulerian Polynomials via the Hermite–Biehler Theorem
Authors: Yang Arthur L.B. , Zhang Philip B.
Published: August 2021

Based on the Hermite–Biehler theorem, we simultaneously prove the real-rootedness of Eulerian polynomials of type $D$ and the real-rootedness of affine Eulerian polynomials of type $B$, which were first obtained by Savage and Visontai by using the theory of $s$-Eulerian polynomials. We also confirm Hyatt’s conjectures on the inter-lacing property of half Eulerian polynomials. Borcea and Brändén’s work on the characterization of linear operators preserving Hurwitz stability is critical to this approach.

Basé sur le théorème de Hermite–Biehler, nous prouvons simultanément les polynômes eulériens de type $D$ et les polynômes eulériens affine de type $B$ ont seulement racines réelle, qui sont d’abord obtenue par Savage et Visontai en utilisant le théorie des polynômes $s$-eulériens. Nous confirmons aussi les conjectures de Hyatt sur la propriété entrelacement de polynômes mi-eulériens. Le travail de Borcea et Brändén sur la caractérisation des opérateurs linéaires préservant la stabilité Hurwitz est essentielle à cette approche.
The Optimal Lower Bound for Generators of Invariant Rings without Finite SAGBI Bases with Respect to Any Admissible Order
Authors: Göbel Manfred
Published: August 2021

We prove the existence of an invariant ring \textbfC[X_1,...,X_n]^T generated by elements with a total degree of at most 2, which has no finite SAGBI basis with respect to any admissible order. Therefore, 2 is the optimal lower bound for the total degree of generators of invariant rings with such a property.
Record statistics in integer compositions
Authors: Knopfmacher Arnold , Mansour Toufik
Published: August 2021

A $\textit{composition}$ $\sigma =a_1 a_2 \ldots a_m$ of $n$ is an ordered collection of positive integers whose sum is $n$. An element $a_i$ in $\sigma$ is a strong (weak) $\textit{record}$ if $a_i> a_j (a_i \geq a_j)$ for all $j=1,2,\ldots,i-1$. Furthermore, the position of this record is $i$. We derive generating functions for the total number of strong (weak) records in all compositions of $n$, as well as for the sum of the positions of the records in all compositions of $n$, where the parts $a_i$ belong to a fixed subset $A$ of the natural numbers. In particular when $A=\mathbb{N}$, we find the asymptotic mean values for the number, and for the sum of positions, of records in compositions of $n$.
Spanning forests, electrical networks, and a determinant identity
Authors: Teufl Elmar , Wagner Stephan
Published: August 2021

We aim to generalize a theorem on the number of rooted spanning forests of a highly symmetric graph to the case of asymmetric graphs. We show that this can be achieved by means of an identity between the minor determinants of a Laplace matrix, for which we provide two different (combinatorial as well as algebraic) proofs in the simplest case. Furthermore, we discuss the connections to electrical networks and the enumeration of spanning trees in sequences of self-similar graphs.

Nous visons à généraliser un théorème sur le nombre de forêts couvrantes d'un graphe fortement symétrique au cas des graphes asymétriques. Nous montrons que cela peut être obtenu au moyen d'une identité sur les déterminants mineurs d'une matrice Laplacienne, pour laquelle nous donnons deux preuves différentes (combinatoire ou bien algébrique) dans le cas le plus simple. De plus, nous discutons les relations avec des réseaux électriques et l'énumération d'arbres couvrants dans de suites de graphes autosimilaires.
Type B plactic relations for $r$-domino tableaux
Authors: Taşkın Müge
Published: August 2021

The recent work of Bonnafé et al. (2007) shows through two conjectures that $r$-domino tableaux have an important role in Kazhdan-Lusztig theory of type $B$ with unequal parameters. In this paper we provide plactic relations on signed permutations which determine whether given two signed permutations have the same insertion $r$-domino tableaux in Garfinkle's algorithm (1990). Moreover, we show that a particular extension of these relations can describe Garfinkle's equivalence relation on $r$-domino tableaux which is given through the notion of open cycles. With these results we enunciate the conjectures of Bonnafé et al. and provide necessary tool for their proofs.
A promotion operator on rigged configurations
Authors: Wang Qiang
Published: August 2021

In a recent paper, Schilling proposed an operator $\overline{\mathrm{pr}}$ on unrestricted rigged configurations $RC$, and conjectured it to be the promotion operator of the type $A$ crystal formed by $RC$. In this paper we announce a proof for this conjecture.
The Discrete Fundamental Group of the Associahedron
Authors: Severs Christopher , White Jacob
Published: August 2021

The associahedron is an object that has been well studied and has numerous applications, particularly in the theory of operads, the study of non-crossing partitions, lattice theory and more recently in the study of cluster algebras. We approach the associahedron from the point of view of discrete homotopy theory, that is we consider 5-cycles in the 1-skeleton of the associahedron to be combinatorial holes, but 4-cycles to be contractible. We give a simple description of the equivalence classes of 5-cycles in the 1-skeleton and then identify a set of 5-cycles from which we may produce all other cycles. This set of 5-cycle equivalence classes turns out to be the generating set for the abelianization of the discrete fundamental group of the associahedron. In this paper we provide presentations for the discrete fundamental group and the abelianization of the discrete fundamental group. We also discuss applications to cluster algebras as well as generalizations to type B and D associahedra. \par

L'associahèdre est un objet bien etudié que l'on retrouve dans plusieurs contextes. Par exemple, il est associé à la théorie des opérades, à l'étude des partitions non-croisées, à la théorie des treillis et plus récemment aux algèbres dámas. Nous étudions cet objet par le biais de la théorie des homotopies discretes. En bref cette théorie signifie qu'un cycle de longueur 5 (sur le squelette de l'associahèdre) est considéré comme étant le bord d'un trou combinatoire, alors qu'un cycle de longueur 4 peut être contracté sans problème. Les classes d'homotopies discrètes sont donc des classes d'équivalence de cycles de longueurs 5. Nous donnons une description simple de ces classes d'équivalence et identifions un ensemble de générateurs du groupe correspondant (abélien) d'homotopies discrètes. Nous d'ecrivons également les liens entre notre construction et les algèbres d'amas.
$m$-noncrossing partitions and $m$-clusters
Authors: Bakke Buan Aslak , Reiten Idun , Thomas Hugh
Published: August 2021

Let $W$ be a finite crystallographic reflection group, with root system $\Phi$. Associated to $W$ there is a positive integer, the generalized Catalan number, which counts the clusters in the associated cluster algebra, the noncrossing partitions for $W$, and several other interesting sets. Bijections have been found between the clusters and the noncrossing partitions by Reading and Athanasiadis et al. There is a further generalization of the generalized Catalan number, sometimes called the Fuss-Catalan number for $W$, which we will denote $C_m(W)$. Here $m$ is a positive integer, and $C_1(W)$ is the usual generalized Catalan number. $C_m(W)$ counts the $m$-noncrossing partitions for $W$ and the $m$-clusters for $\Phi$. In this abstract, we will give an explicit description of a bijection between these two sets. The proof depends on a representation-theoretic reinterpretation of the problem, in terms of exceptional sequences of representations of quivers.

Soit $W$ un groupe de réflexions fini et cristallographique, avec système de racines $\Phi$. Associé à $W$, il y a un entier positif, le nombre de Catalan généralisé, qui compte les amas dans l'algèbre amassée associée, les partitions non-croisées de $W$, et plusieurs autres ensembles intéressantes. Des bijections entre les amas et les partitions non-croisées ont été données par Reading et Athanasiadis et al. On peut encore généraliser le nombre de Catalan généralisé, obtenant le nombre Fuss-Catalan de $W$, que nous noterons $C_m(W)$. Ici $m$ est un entier positif, et $C_1(W)$ est le nombre Catalan généralisé standard. $C_m(W)$ compte les partitions $m$-non-croisées de $W$ et les $m$-amas de $\Phi$. Dans ce résumé, nous donnerons une bijection explicite entre ces deux ensembles. La démonstration dépend d'une réinterprétation des objets du point de vue des suites exceptionnelles de représentations de carquois.
Unlabeled $(2+2)$-free posets, ascent sequences and pattern avoiding permutations
Authors: Bousquet-Mélou Mireille , Claesson Anders , Dukes Mark , Kitaev Sergey
Published: August 2021

We present statistic-preserving bijections between four classes of combinatorial objects. Two of them, the class of unlabeled $(\textrm{2+2})$-free posets and a certain class of chord diagrams (or involutions), already appeared in the literature, but were apparently not known to be equinumerous. The third one is a new class of pattern avoiding permutations, and the fourth one consists of certain integer sequences called $\textit{ascent sequences}$. We also determine the generating function of these classes of objects, thus recovering a non-D-finite series obtained by Zagier for chord diagrams. Finally, we characterize the ascent sequences that correspond to permutations avoiding the barred pattern $3\bar{1}52\bar{4}$, and enumerate those permutations, thus settling a conjecture of Pudwell.

Nous présentons des bijections, transportant de nombreuses statistiques, entre quatre classes d'objets. Deux d'entre elles, la classe des EPO (ensembles partiellement ordonnés) sans motif $(\textrm{2+2})$ et une certaine classe d'involutions, sont déjà apparues dans la littérature. La troisième est une classe de permutations à motifs exclus, et la quatrième une classe de suites que nous appelons $\textit{suites à montées}$. Nous déterminons ensuite la série génératrice de ces classes, retrouvant ainsi un résultat prouvé par Zagier pour les involutions sus-mentionnées. La série obtenue n'est pas D-finie. Apparemment, le fait qu'elle compte aussi les EPO sans motif $(\textrm{2+2})$ est nouveau. Finalement, nous caractérisons les suites à montées qui correspondent aux permutations évitant le motif barré $3\bar{1}52\bar{4}$ et énumérons ces permutations, ce qui démontre une conjecture de Pudwell.
Universal cycles for permutation classes
Authors: Albert Michael , West Julian
Published: August 2021

We define a universal cycle for a class of $n$-permutations as a cyclic word in which each element of the class occurs exactly once as an $n$-factor. We give a general result for cyclically closed classes, and then survey the situation when the class is defined as the avoidance class of a set of permutations of length $3$, or of a set of permutations of mixed lengths $3$ and $4$.

Nous définissons un cycle universel pour une classe de $n$-permutations comme un mot cyclique dans lequel chaque élément de la classe apparaît une unique fois comme $n$-facteur. Nous donnons un résultat général pour les classes cycliquement closes, et détaillons la situation où la classe de permutations est définie par motifs exclus, avec des motifs de taille $3$, ou bien à la fois des motifs de taille $3$ et de taille $4$.
Median clouds and a fast transposition median solver
Authors: Eriksen Niklas
Published: August 2021

The median problem seeks a permutation whose total distance to a given set of permutations (the base set) is minimal. This is an important problem in comparative genomics and has been studied for several distance measures such as reversals. The transposition distance is less relevant biologically, but it has been shown that it behaves similarly to the most important biological distances, and can thus give important information on their properties. We have derived an algorithm which solves the transposition median problem, giving all transposition medians (the median cloud). We show that our algorithm can be modified to accept median clouds as elements in the base set and briefly discuss the new concept of median iterates (medians of medians) and limit medians, that is the limit of this iterate.

Le problème de la médiane est de trouver une permutation dont la distance totale à un ensemble donné de permutations (l´ensemble de base) est minimale. C'est un problème important en génomique comparative et il a été étudié pour certaines mesures de distance. La distance de transposition n'est pas directement liée à  la biologie, mais il a été démontré que son comportement est similaire à celui des distances biologiques essentielles, et elle peut donc donner des indications sur leurs propriétés. Nous construisons un algorithme qui résout le problème de la médiane pour la transposition, et donne toutes les transpositions médianes (le nuage des médianes). Nous démontrons que notre algorithme peut être modifié pour admettre des nuages de médianes comme éléments de l´ensemble de base et introduisons le concept de médianes itérées (médianes de médianes) et de médianes limites, c-à-d de limites de ces itérations.
Counting Quiver Representations over Finite Fields Via Graph Enumeration
Authors: Helleloid Geir , Rodriguez-Villegas Fernando
Published: August 2021

Let $\Gamma$ be a quiver on $n$ vertices $v_1, v_2, \ldots , v_n$ with $g_{ij}$ edges between $v_i$ and $v_j$, and let $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$. Hua gave a formula for $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$, the number of isomorphism classes of absolutely indecomposable representations of $\Gamma$ over the finite field $\mathbb{F}_q$ with dimension vector $\boldsymbol{\alpha}$. We use Hua's formula to show that the derivatives of $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$ with respect to $q$, when evaluated at $q = 1$, are polynomials in the variables $g_{ij}$, and we can compute the highest degree terms in these polynomials. The formulas for these coefficients depend on the enumeration of certain families of connected graphs. This note simply gives an overview of these results; a complete account of this research is available on the arXiv and has been submitted for publication.

Soit $\Gamma$ un carquois sur $n$ sommets $ v_1, v_2, \ldots , v_n$ avec $g_{ij}$ arêtes entre $v_i$ et $v_j$, et soit $\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{N}^n$. Hua a donné une formule pour $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$, le nombre de classes d'isomorphisme absolument indécomposables de représentations de $\Gamma$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$ avec vecteur de dimension $\boldsymbol{\alpha}$. Nous utilisons la formule de Hua pour montrer que les dérivées de $A_{\Gamma}(\boldsymbol{\alpha}, q)$ par rapport à $q$, alors évaluée à $q=1$, sont des polynômes dans les variables $g_{ij}$, et on peut calculer les termes de plus haut degré de ces polynômes. Les formules pour ces coefficients dépendent de l'énumération de certaines familles de graphes connectés. Cette note donne simplement un aperçu de ces résultats, un compte rendu complet de cette recherche est disponible sur arXiv et a été soumis pour publication.
Permutations realized by shifts
Authors: Elizalde Sergi
Published: August 2021

A permutation $\pi$ is realized by the shift on $N$ symbols if there is an infinite word on an $N$-letter alphabet whose successive left shifts by one position are lexicographically in the same relative order as $\pi$. The set of realized permutations is closed under consecutive pattern containment. Permutations that cannot be realized are called forbidden patterns. It was shown in [J.M. Amigó, S. Elizalde and M. Kennel, $\textit{J. Combin. Theory Ser. A}$ 115 (2008), 485―504] that the shortest forbidden patterns of the shift on $N$ symbols have length $N+2$. In this paper we give a characterization of the set of permutations that are realized by the shift on $N$ symbols, and we enumerate them with respect to their length.

Une permutation $\pi$ est réalisée par le $\textit{shift}$ avec $N$ symboles s'il y a un mot infini sur un alphabet de $N$ lettres dont les déplacements successifs d'une position à gauche sont lexicographiquement dans le même ordre relatif que $\pi$. Les permutations qui ne sont pas réalisées s'appellent des motifs interdits. On sait [J.M. Amigó, S. Elizalde and M. Kennel, $\textit{J. Combin. Theory Ser. A}$ 115 (2008), 485―504] que les motifs interdits les plus courts du $\textit{shift}$ avec $N$ symboles ont longueur $N+2$. Dans cet article on donne une caractérisation des permutations réalisées par le $\textit{shift}$ avec $N$ symboles, et on les dénombre selon leur longueur.
Indecomposable permutations with a given number of cycles
Authors: Cori Robert , Mathieu Claire
Published: August 2021

A permutation $a_1a_2 \ldots a_n$ is $\textit{indecomposable}$ if there does not exist $p \lt n$ such that $a_1a_2 \ldots a_p$ is a permutation of $\{ 1,2, \ldots ,p\}$. We compute the asymptotic probability that a permutation of $\mathbb{S}_n$ with $m$ cycles is indecomposable as $n$ goes to infinity with $m/n$ fixed. The error term is $O(\frac{\log(n-m)}{ n-m})$. The asymptotic probability is monotone in $m/n$, and there is no threshold phenomenon: it degrades gracefully from $1$ to $0$. When $n=2m$, a slight majority ($51.1 \ldots$ percent) of the permutations are indecomposable. We also consider indecomposable fixed point free involutions which are in bijection with maps of arbitrary genus on orientable surfaces, for these involutions with $m$ left-to-right maxima we obtain a lower bound for the probability of being indecomposable.

Une permutation $a_1a_2 \ldots a_n$ est $\textit{indécomposable}$, s’il n’existe pas de $p \lt n$ tel que $a_1a_2 \ldots a_p$ est une permutation de $\{ 1,2, \ldots ,p\}$. Nous calculons la probabilité pour qu’une permutation de $\mathbb{S}_n$ ayant $m$ cycles soit indécomposable et plus particulièrement son comportement asymptotique lorsque $n$ tend vers l’infini et que $m=n$ est fixé. Cette valeur décroît régulièrement de $1$ à $0$ lorsque $m=n$ croît, et il n’y a pas de phénomène de seuil. Lorsque $n=2m$, une faible majorité ($51.1 \ldots$ pour cent) des permutations sont indécomposables. Nous considérons aussi les involutions sans point fixe indécomposables qui sont en bijection avec les cartes de genre quelconque plongées dans une surface orientable, pour ces involutions ayant $m$ maxima partiels (ou records) nous obtenons une borne inférieure pour leur probabilité d’êtres indécomposables.
Minimal Recurrent Configurations of Chip Firing Games and Directed Acyclic Graphs
Authors: Schulz Matthias
Published: August 2021

We discuss a very close relation between minimal recurrent configurations of Chip Firing Games and Directed Acyclic Graphs and demonstrate the usefulness of this relation by giving a lower bound for the number of minimal recurrent configurations of the Abelian Sandpile Model as well as a lower bound for the number of firings which are caused by the addition of two recurrent configurations on particular graphs.
Dynamic Threshold Strategy for Universal Best Choice Problem
Authors: Kozik Jakub
Published: August 2021

We propose a new strategy for universal best choice problem for partially ordered sets. We present its partial analysis which is sufficient to prove that the probability of success with this strategy is asymptotically strictly greater than 1/4, which is the value of the best universal strategy known so far.
The Bernoulli sieve: an overview
Authors: Gnedin Alexander , Iksanov Alexander , Marynych Alexander
Published: August 2021

The Bernoulli sieve is a version of the classical balls-in-boxes occupancy scheme, in which random frequencies of infinitely many boxes are produced by a multiplicative random walk, also known as the residual allocation model or stick-breaking. We give an overview of the limit theorems concerning the number of boxes occupied by some balls out of the first $n$ balls thrown, and present some new results concerning the number of empty boxes within the occupancy range.
Almost sure asymptotics for the random binary search tree
Authors: Roberts Matthew
Published: August 2021

We consider a (random permutation model) binary search tree with $n$ nodes and give asymptotics on the $\log$ $\log$ scale for the height $H_n$ and saturation level $h_n$ of the tree as $n \to \infty$, both almost surely and in probability. We then consider the number $F_n$ of particles at level $H_n$ at time $n$, and show that $F_n$ is unbounded almost surely.
The total Steiner $k$-distance for $b$-ary recursive trees and linear recursive trees
Authors: Munsonius Götz Olaf
Published: August 2021

We prove a limit theorem for the total Steiner $k$-distance of a random $b$-ary recursive tree with weighted edges. The total Steiner $k$-distance is the sum of all Steiner $k$-distances in a tree and it generalises the Wiener index. The limit theorem is obtained by using a limit theorem in the general setting of the contraction method. In order to use the contraction method we prove a recursion formula and determine the asymptotic expansion of the expectation using the so-called Master Theorem by Roura (2001). In a second step we prove a transformation of the total Steiner $k$-distance of $b$-ary trees with weighted edges to arbitrary recursive trees. This transformation yields the limit theorem for the total Steiner $k$-distance of the linear recursive trees when the parameter of these trees is a non-negative integer.
The number of Euler tours of a random $d$-in/$d$-out graph
Authors: Creed Páidí , Cryan Mary
Published: August 2021

In this paper we obtain the expectation and variance of the number of Euler tours of a random $d$-in/$d$-out directed graph, for $d \geq 2$. We use this to obtain the asymptotic distribution and prove a concentration result. We are then able to show that a very simple approach for uniform sampling or approximately counting Euler tours yields algorithms running in expected polynomial time for almost every $d$-in/$d$-out graph. We make use of the BEST theorem of de Bruijn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith and Tutte, which shows that the number of Euler tours of a $d$-in/$d$-out graph is the product of the number of arborescences and the term $[(d-1)!]^n/n$. Therefore most of our effort is towards estimating the asymptotic distribution of the number of arborescences of a random $d$-in/$d$-out graph.
The height of scaled attachment random recursive trees
Authors: Devroye Luc , Fawzi Omar , Fraiman Nicolas
Published: August 2021

We study depth properties of a general class of random recursive trees where each node $n$ attaches to the random node $\lfloor nX_n \rfloor$ and $X_0, \ldots , X_n$ is a sequence of i.i.d. random variables taking values in $[0,1)$. We call such trees scaled attachment random recursive trees (SARRT). We prove that the height $H_n$ of a SARRT is asymptotically given by $H_n \sim \alpha_{\max} \log n$ where $\alpha_{\max}$ is a constant depending only on the distribution of $X_0$ whenever $X_0$ has a bounded density. This gives a new elementary proof for the height of uniform random recursive trees $H_n \sim e \log n$ that does not use branching random walks.
The variance for partial match retrievals in $k$-dimensional bucket digital trees
Authors: Fuchs Michael
Published: August 2021

The variance of partial match queries in $k$-dimensional tries was investigated in a couple of papers in the mid-nineties, the resulting analysis being long and complicated. In this paper, we are going to re-derive these results with a much easier approach. Moreover, our approach works for $k$-dimensional PATRICIA tries, $k$-dimensional digital search trees and bucket versions as well.
Simple Equational Specifications of Rational Arithmetic
Authors: Moss Lawrence S.
Published: August 2021

We exhibit an initial specification of the rational numbers equipped with addition, subtraction, multiplication, greatest integer function, and absolute value. Our specification uses only the sort of rational numbers. It uses one hidden function; that function is unary. But it does not use an error constant, or extra (hidden) sorts, or conditional equations. All of our work is elementary and self-contained.