Αναλυτικοί αλγόριθμοι προβλημάτων συνοριακών τιμών κυματικής σκέδασης από σημειακές πηγές
Authors: Προκοπίου Προκόπιος 
Published: September 2021

Στην διατριβή αυτή διερευνούμε προβλήματα συνοριακών τιμών, τα οποία εντάσσονται στη γενική θεωρία σκέδασης από πολυστρωματικούς σφαιρικούς σκεδαστές. Οι μοντελοποιήσεις που επιτυγχάνουμε διατυπώνονται και διερευνώνται με εφαρμογή μεθόδων μερικών διαφορικών εξισώσεων και ασυμπτωτικής ανάλυσης. Η θεωρούμενη κυματική διάδοση αφορά ακουστικά και ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Η ακουστική κυματική διάδοση διέπεται από τις βαθμωτές εξισώσεις Helmholtz, ενώ η ηλεκτρομαγνητική κυματική διάδοση από τις εξισώσεις Maxwell και τις διανυσματικές εξισώσεις Helmholtz. Διερευνούμε την ακουστική και την ηλεκτρομαγνητική διέγερση ενός τμηματικά ομογενούς σφαιρικού μέσου από μια σημειακή ακουστική πηγή ή ένα σημειακό ηλεκτρικό (μαγνητικό) δίπολο εντοπισμένο σε τυχούσα θέση εντός ή εκτός του σφαιρικού μέσου και με τυχούσα πόλωση. Αρχικά, μελετώνται τα ευθέα προβλήματα σκέδασης. Διατυπώνονται αναλυτικοί αλγόριθμοι για τον προσδιορισμό της ακριβούς βαθμωτής στην Ακουστική και δυαδικής στον Ηλεκτρομαγνητισμό συνάρτησης Green. Τα βαθμωτά ακουστικά πεδία και τα διανυσματικά ηλεκτρικά πεδία καθώς και τα αντίστοιχα μακρινά πεδία εξάγονται με τη βοήθεια των ήδη προσδιορισθέντων συναρτήσεων Green. Στη συνέχεια, επιτυγχάνονται ασυμπτωτικές προσεγγίσεις των ακριβών ακουστικών και ηλεκτρομαγνητικών πεδίων υπό την υπόθεση των χαμηλών συχνοτήτων k0α1<<1 (όπου k0 είναι ο κυματικός αριθμός του ελευθέρου χώρου και α1 η εξωτερική ακτίνα του σφαιρικού μέσου). Οι συνιστώσες του διανύσματος πόλωσης του διπόλου καθώς και οι συντεταγμένες της θέσης της σημειακής πηγής και του σημειακού διπόλου περιέχονται στις διαφορετικές τάξεις των παραγομένων αναπτυγμάτων χαμηλών συχνοτήτων. Το γεγονός αυτό δίνει την δυνατότητα να διατυπώσουμε αναλυτικούς αλγορίθμους αντίστροφης σκέδασης μακρινού πεδίου για την ακουστική και την ηλεκτρομαγνητική διέγερση <<μικρής σφαίρας>> από μια τυχούσα πηγή ή ένα τυχόν δίπολο, αντιστοίχως. Οι αναλυτικοί αλγόριθμοι που παρουσιά-ζονται χρησιμοποιούν μετρήσεις σε διαφορετικές τάξεις των αναπτυγμάτων των μακρινών πεδίων σε κατάλληλα επιλεγμένες γωνίες παρατήρησης. Στη συνέχεια διατυπώνονται ανα-λυτικοί αλγόριθμοι για την επίλυση αντιστρόφων προβλημάτων σκέδασης μακρινού πεδίου για την ακουστική και την ηλεκτρομαγνητική διέγερση <<μικρής>> σφαίρας από μία τυχούσα πηγή ή ένα τυχόν δίπολο, αντιστοίχως. Δύο βασικοί τύποι αντιστρόφων προβλημάτων σκέδα-σης εξετάζονται. Ο πρώτος τύπος αφορά ένα αντίστροφο πρόβλημα μέσου για τον προσδιορι-σμό των φυσικών παραμέτρων του υλικού του σκεδαστή και ο δεύτερος αναφέρεται σε ένα αντίστροφο πρόβλημα πηγής και αφορά στον προσδιορισμό της θέσης της ακουστικής σημειακής πηγής και της θέσης και της πόλωσης του σημειακού ηλεκτρικού (μαγνητικού) διπόλου. Η ανάλυση αυτού του αντιστρόφου προβλήματος πηγής αναμένεται να είναι ιδιαιτέ-ρως χρηστική σε εφαρμογές ιατρικής διάγνωσης, οι οποίες προϋποθέτουν τον προσδιορισμό ενός διπόλου που ακτινοβολεί εντός σφαιρικού μέσου. Οι σχετικοί αλγόριθμοι παρουσιάζονται κατά συστηματικό τρόπο και σε μία μορφή η οποία μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί σε υπολογιστικό πρόγραμμα και περιέχει όλες τις ειδικές περιπτώσεις για τις τιμές των υπό προσδιορισμό παραμέτρων. Σημειώνεται ότι στα θεωρούμενα αντίστροφα προβλήματα, όλες οι παράμετροι προσδιορίζονται επακριβώς και όχι ως λύσεις συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων.