Hydrodynamic analysis of oblate spheroids in harmonic water waves using the method of image singularities
Authors: Αναστασίου Ειρήνη 
Published: September 2024

Στην παρούσα διατριβή μελετάται αρχικά το πρόβλημα της περίθλασης και της ακτινοβολίας για έναπλήρως βυθισμένο σφαιροειδής σώμα, το οποίο είναι τοποθετημένο σε βαθύ νερό. Ο όρος σφαιροειδές αναφέρεται σε oblate, πεπλατυσμένο, σώμα αυθαίρετης εκκεντρότητας και στην αξονική συμμετρική διαμόρφωση, όπου ο άξονας συμμετρίας είναι κάθετος στην ελεύθερη επιφάνεια. Όσον αφορά το πρόβλημα της περίθλασης το σώμα υποβάλλεται σε αρμονικούς προσπίπτοντες κυματισμούς ενώ για το πρόβλημα της ακτινοβολίας λαμβάνονται υπόψη οι κινήσεις του σώματος στις μεταφορικές διευθύνσεις. Για κάθε υδροδυναμικό πρόβλημα προσδιορίζεται το πρόβλημα των οριακών τιμών χωριστά. Στην συνέχεια με βάση το πρόβλημα των οριακών τιμών ορίζεται σε καρτεσιανές συντεταγμένες η συνάρτηση “Green”. Στην συνέχεια γίνεται χρήση της μεθόδου των κατοπτρικών ιδιομορφών έτσι ώστε η συνάρτηση “Green” να εκφραστεί σε σφαιροειδείς αρμονικές. Οι σφαιροειδείς αρμονικές εκφράζονται μέσω των συναρτήσεων Legendre πρώτου και δευτέρου είδους. Ύστερα από τον προσδιορισμό της συνάρτησης “Green” σε σφαιροειδής αρμονικές είναι εφικτός πλέον ο προσδιορισμός του δυναμικού της ταχύτητας για κάθε υδροδυναμικό πρόβλημα. Η όλη διαδικασία οδηγεί τελικά σε απλές αναλυτικές εκφράσεις για τις δυνάμεις και τις ροπές καθώς και των πρόσθετων μαζών και αποσβέσεων. Τα αποτελέσματα που εξήχθησαν από την παρούσα μέθοδο συγκρίθηκαν με τα αποτελέσματα του κώδικα “WAMIT”. Η ικανοποιητική σύγκλιση των αποτελεσμάτων εξασφαλίζει την ακρίβεια και την ορθότητα της μεθόδου. Εφόσον έχει εξασφαλιστεί η αξιοπιστία της μεθόδου για την περίπτωση όπου το βάθος του νερού είναι άπειρο, η μέθοδος επεκτείνεται και εφαρμόζεται για τα δυο αυτά υδροδυναμικά προβλήματα για ένα πλήρως βυθισμένο σφαιροειδές σώμα, το οποίο πλέον τοποθετείται σε πεπερασμένο βάθος νερού. Σε αυτή την περίπτωση το πρόβλημα των οριακών τιμών τροποποιείται όπως και η θεμελιώδης συνάρτηση “Green”. Η διαδικασία υπολογισμού παραμένει ίδια και επαναλαμβάνεται εξ αρχής. Ένα oblate (πεπλατυσμένο) σφαιροειδές μπορεί να προσομοιάσει μια σφαίρα ή έναν δίσκο στις δυο οριακές συνθήκες της γεωμετρίας του. Στην πρώτη περίπτωση το σφαιροειδές μπορεί να μετατραπεί σε σφαίρα ορίζοντας την μικρό ημι-άξονα να τείνει να είναι ίσος με τον μεγάλο ημι-άξονα, ενώ η όλη προσέγγιση του προβλήματος παραμένει ίδια χωρίς μεταβολές. Στην δεύτερη περίπτωση ο δίσκος προσεγγίζεται θέτοντας τον μικρό ημι-άξονα ίσο με μηδέν. Σαφώς, η προσέγγιση παραμένει αμετάβλητη, με την εξαίρεση της θεώρησης της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των συναρτήσεων Legendre για μηδενικό όρισμα. Για τις δυο αυτές γεωμετρίες μελετάται το πρόβλημα της περίθλασης και της ακτινοβολίας για άπειρο βάθος νερού. Τα αποτελέσματα που εξάγονται συγκρίνονται με υπάρχοντα δεδομένα της βιβλιογραφίας. Τέλος, η παρούσα έρευνα επεκτείνεται σε συστοιχίες σφαιροειδών σωμάτων, πλήρως βυθισμένων στην γενική περίπτωση πεπερασμένου βάθους νερού. Η ανάλυση αφορά μόνο το πρόβλημα της περίθλασης. Είναι σαφές ότι για τις περιπτώσεις υδροδυναμικά αλληλεπιδρώντων σωμάτων, οι υδροδυναμικές φορτίσεις επηρεάζονται από τις συνεχείς αλληλεπιδράσεις διαδιδόμενων κυματισμώνμε τους ανακλώμενους, από τα σώματα, κυματισμούς, και της συνεχούς υπέρθεσης των διαταραχών από τα σώματα. Η μεθοδολογία βασίζεται στη μελέτη ενός μόνο, τυχαία επιλεγμένου, σώματος από τη συστοιχία. Το σώμα δέχεται τον προσπίπτοντα κυματισμό και τις κυματικές διαταραχές που δημιουργούνται από το φαινόμενο περίθλασης σε κάθε σώματα της διάταξης ξεχωριστά. Το συνολικό κυματικό πεδίο εκφράζεται συναρτήσει του τοπικού συστήματος του σώματος που έχει επιλεχθεί. Κατ’ αυτόν τον τρόπο καθίσταται δυνατή η εφαρμογή της κινηματικής συνθήκης Neumann στο σώμα. Για την επίλυση και αυτού του προβλήματος χρησιμοποιείται η μέθοδος των κατοπτρικών ιδιόμορφών ώστε να εκφραστεί η συνάρτηση “Green” στο τοπικό σύστημα σε oblate σφαιροειδείς συντεταγμένες. Η μέθοδος των κατοπτρικών ιδιόμορφών αποδεικνύεται ότι είναι ικανή να περιγράψει τόσο το πρόβλημα της περίθλασης όσο και το πρόβλημα της ακτινοβολίας είτε για ένα μεμονωμένο πλήρως βυθισμένο oblate (πεπλατυσμένο) σφαιροειδές είτε μια συστοιχία που αποτελείται από πολλαπλά σώματα. Παρόλο που πρόκειται για μια επίπονη διαδικασία μαθηματικών επεξεργασιών και αναλύσεων είναι χρήσιμη καθώς τα αριθμητικά αποτελέσματα εξάγονται σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα και δεν απαιτείται ιδιαίτερα μεγάλη υπολογιστική ισχύ.