Comprensión del concepto transformación de funciones y su aplicación a la ecuación sinusoidal de la onda
Authors: Sergio Pablo Farabello 
Published: March 2024

En esta tesis doctoral se presenta una investigación sobre la comprensión del concepto de transformación de funciones y su aplicación a la Física, particularmente a la ecuación sinusoidal de la onda. La investigación se llevó a cabo en el marco de la Teoría APOE y se realizó con estudiantes universitarios de un curso de Cálculo y estudiantes avanzados del profesorado de Matemática. El primer paso del ciclo de investigación definido por la Teoría APOE para realizar el estudio sobre la comprensión del concepto de transformación de funciones consistió en la realización del análisis teórico, etapa que comenzó con la descripción de la descomposición genética —descripción detallada de las construcciones mentales que el individuo debería realizar para poder enfrentarse satisfactoriamente a un concepto matemático en particular—, y culminó con la propuesta de una descomposición genética inicial. En la segunda etapa del ciclo de investigación, que es el diseño e implementación de la instrucción, en base a la descomposición genética inicial, se diseñaron las actividades y ejercicios que luego se implementaron en el ciclo de enseñanza ACE —definido por la Teoría APOE— en sus tres etapas: (A) actividades, (C) discusión en el aula y (E) ejercicios. Para implementar la última etapa del ciclo ACE, se diseñó un instrumento en función de la descomposición genética inicial y se predijeron las construcciones mentales —Acción, Proceso y Objeto— que podrían encontrarse en cada una de las categorías de análisis definidas. Finalmente se realizó la observación, el análisis y la verificación de los datos para poder contabilizar y clasificar las construcciones mentales del concepto matemático estudiado y analizar la descomposición genética. Una vez terminado el análisis de las producciones escritas, y luego de clasificar a los estudiantes según las construcciones mentales evidenciadas, se seleccionaron cuatro que se encontraban en distintos niveles y se les realizó una entrevista semiestructurada. El análisis de los resultados reveló que las construcciones mentales previstas en la descomposición genética inicial aparecieron mayoritariamente en las producciones escritas. Podría decirse que la descomposición genética inicial ha sido verificada empíricamente, por lo que puede constituir un modelo útil de cognición, aunque factible de ser mejorado, dado que, como sostiene la Teoría APOE, la descomposición genética no es única y tampoco tiene limitaciones en cuanto a su evolución. Se pudo identificar en cada estudiante la construcción mental —Acción, Proceso u Objeto— del concepto transformación de funciones. Esto no quiere decir que hayan evidenciado solo una de las construcciones, sino que dieron muestras de otras construcciones mentales, moviéndose entre Acción, Proceso y Objeto según la característica de la consigna que tenían que resolver. Tanto el refinamiento de la descomposición genética como el trabajo sobre la construcción de Esquemas por parte de los estudiantes queda como propuesta para futuras investigaciones. Se espera que los resultados obtenidos en esta investigación aporten información sobre cómo los estudiantes construyen el concepto de transformación de funciones y cómo esa construcción incide en su aplicación a la ecuación sinusoidal de la onda. Pueden surgir otras líneas de trabajo similares, referidas a la Modelización Matemática de otro tipo de fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc. Además, los resultados de esta investigación podrán ser utilizados como base para diseñar, en el marco de la teoría APOE, instrumentos para la enseñanza del concepto de transformación de funciones y su aplicación a la Modelización Matemática en general.

In this doctoral thesis there is an investigation into the understanding of the concept of transformation of functions and its application to physics, particularly to the sinuidal equation of the wave. The research was carried out within the framework of APOS Theory and was carried out with university students of a calculation course and advanced students of the Math teachers. The first step of the research cycle defined by the APOS Theory to carry out the study on the understanding of the concept of transformation of functions consisted of the area of the theoretical analysis, a stage that began with the description of genetic decomposition —detailed description of the mental constructions that the individual should perform in order to face a particular mathematical concept—, ended with the proposal a initial genetic decomposition. In the second stage of the research cycle, which is the design and implementation of the instruction, based on the initial genetic decomposition, the activities and exercises were de signed that were then implemented in the ACE teaching cycle —defined by the APOS Theory— in its three stages: (A) activities, (C) discussion in the classroom and (E) exercises. To implement the last stage of the ACE cycle, an instrument was designed according to the initial genetic decomposition and mental constructions —Action, Process and Object— were predicted that could be found in each of the defined analysis categories. Finally, the observation, analysis and verification of the data were carried out to account and classify the mental constructions of the mathematical concept studied and analyze genetic decomposition. Once the analysis of the written productions is finished, and after classifying the stu dents according to the evidenced mental constructions, four that were at different levels were selected and a semi-structured interview was conducted. The analysis of the results revealed that the mental constructions provided for in the initial genetic decomposition appeared mostly in written productions. It could be said that the initial genetic decomposition has been empirically verified, so it can constitute a useful model of cognition, although feasible to be improved, since, as the APOS Theory maintains, genetic decomposition is not unique and does not have limitations as soon as to its evolution. The mental construction —Action, Process or Object— of the concept transformation of functions could be identified in each student. This does not mean that they showed only one of the constructions, but rather that they showed signs of other mental constructions, moving between Action, Process and Object according to the characteristic of the task they had to solve. Both the refinement of genetic decomposition and work on the construction of Schemes by students remains a proposal for future research. The results obtained in this research are expected to provide information on how stu dents build the concept of functions transformation and how this construction affects its application to the wave sinusoidal equation. Other similar lines of work may arise, referring to Math ematical Modeling of another type of physical, chemical, biological phenomena, etc. In addition, the results of this research may be used as a basis for di-to follow, within the framework of APOS Theory, instruments for teaching the concept of functions transfor mation and its application to Mathematical Modeling in general.

Dans cette thèse de doctorat, on présente une enquête sur la compréhension du concept de transformation des fonctions et de son application à la Physique, en particulier à l'équation sinusoïdale de l`onde. La recherche a été menée dans le cadre de la Théorie APOS et a été réalisée avec des étudiants universitaires d'un cours de calcul et des étudiants avancés du pro fessorat de Mathématiques. La première étape du cycle de recherche défini par la Théorie APOS pour mener à bien l'étude sur la compréhension du concept de transformation des fonctions consistait en la réali sation de l'analyse théorique, une étape qui a commencé par la description de la décomposition génétique —description détaillée des constructions mentales que l'individu devrait effectuer afin de faire face à un concept mathématique particulier— en général, et a abouti à la création de la décomposition génétique initiale. Dans la deuxième étape du cycle de recherche, qui est la conception et la mise en œuvre de l'instruction, sur la base de la décomposition génétique initiale, les activités et les exercices ont été conçus et ensuite ont été mis en œuvre dans le cycle d'enseignement ACE —défini par la Théorie APOS— à ses trois étapes: (A) activités, (C) discussion en classe et (E) exercices. Pour mettre en œuvre la dernière étape du cycle ACE, un instrument a été conçu en fonction de la décomposition génétique initiale et des constructions mentales ont été prédites —Action, Processus et Objet— qui pouvaient être trouvées dans chacune des catégories d'analyse définies. Enfin, l'observation, l'analyse et la vérification des données ont été effectuées afin de tenir compte et de classer les constructions mentales du concept mathématique étudié et d'analyser la décomposition génétique. Une fois que l'analyse des productions écrites des étudiants est terminée, et après les avoir classés selon les constructions mentales comme en témoigne, cinq étudiants qui étaient à différents niveaux ont été sélectionnés et un entretien semi-structuré a été mené. L'analyse des résultats a révélé que les constructions mentales prévues dans la décomposition génétique initiale sont apparues principalement dans les productions écrites réalisées. On pourrait dire que la décomposition génétique initiale a été vérifiée empiriquement, donc elle peut constituer un modèle utile de cognition, bien qu'il puisse être amélioré, car, comme la théorie de l'APOS maintient, la décomposition génétique n'est pas unique et n'a pas de limites en termes de son évolution. La construction mentale —Action, Processus ou Objet— du concept de transformation des fonctions a pu être identifiée chez chaque élève. Cela ne veut pas dire qu'ils ont montré une seule des constructions, mais plutôt qu'ils ont montré des signes d'autres constructions mentales, se déplaçant entre Action, Processus et Objet selon les caractéristiques de la tâche qu'ils devaient résoudre. Le raffinement de la décomposition génétique et des travaux sur la construction de Schémas par les étudiants restent une proposition de recherche future. Les résultats obtenus dans cette recherche devraient fournir des informations sur la fa çon dont les élèves construisent le concept de transformation des fonctions et comment cette construction affecte son application à l'équation sinusoïdale de l´onde. D'autres lignes de travail similaires peuvent survenir, se référant à la Modélisation Mathématique d'un autre type de phénomènes physiques, chimiques et biologiques, etc. De plus, les résultats de cette recherche peuvent être utilisés comme base pour concevoir, dans le cadre de la Théorie APOS, des instruments pour enseigner le concept de transformation des fonctions et son application à la Modélisation Mathématique en général.