Hydroelastic interaction between ocean waves and large floating structures in the inhomogeneous ocean environment
Authors: Καρπεράκη Αγγελική 
Published: June 2022

Η διατριβή πραγματεύεται το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης μεγάλων πλωτών κατασκευών με κυματισμούς βαρύτητας στο ανομοιογενές θαλάσσιο περιβάλλον. Αντικείμενο της διδακτορικής διατριβής είναι η μελέτη του προβλήματος με έμϕαση στις επιδράσεις της ανομοιογένειας, καθώς και η παραγωγή αποδοτικών εργαλείων για τον υπολογισμό των χαρακτηριστικών του πεδίου σε χωρία μεγάλων διαστάσεων. Επιπλέον, επιδιώκεται η συστηματική εϕαρμογή των παραπάνω στην προσομοίωση των κυματικών ϕαινομένων και στην διερεύνηση των παραμέτρων ιδιαίτερα σε ότι αϕορά τις ελαστικές αποκρίσεις σωμάτων με γενικά χαρακτηριστικά και περιοχές μεταβαλλόμενης βαθυμετρίας. Βασικός ερευνητικός στόχος είναι η υποστήριξη της τεχνολογίας κατασκευής Μεγάλων Πλωτών Κατασκευών (Very Large Floating Structures ή VLFS), και η παράλληλη αξιοποίηση των αποτελεσμάτων στην πρόβλεψη των μηχανισμών διέγερσης υδροελαστικών ϕαινομένων σε ροές πάγου και καταστάσεων απόσχισης πάγου στη συνοριακή ζώνη μεταξύ παγετώνων και θάλασσας (Squire, 2018). Η μελέτη των VLFS βρίσκει πληθώρα εϕαρμογών στην παράκτια μηχανική με κοινά παραδείγματα των παραπάνω να είναι πλωτές εξέδρες ανεϕοδιασμού, μαρίνες καθώς και πλωτοί αεροδιάδρομοι και κυματοθραύστες (Wang et al., 2006). Οι μεγάλες οριζόντιεςδιαστάσεις των κατασκευών ενδιαϕέροντος, καθιστά τις ελαστικές παραμορϕώσεις υπό κυματική καταπόνηση σημαντικές σε σχέση με τις κινήσεις στερεού σώματος. Επομένως, η μελέτη της απόκρισης των μεγάλων πλωτών κατασκευών εμπίπτει στην επιστημονική πε-ριοχή της υδροελαστικότητας, δηλαδή της συζευγμένης αλληλεπίδρασης του ροϊκού πεδίου με την ελαστική παραμόρϕωση του πλωτού σώματος. Επιπροσθέτως, οι Μεγάλες Πλωτές Κατασκευές μοιράζονται κοινά υδροδυναμικά χαρακτηριστικά με γεωϕυσικές μορϕέςόπως τα στρώματα πάγου. Η έντονη κυματική διέγερση στρωμάτων πάγου έχει συνδεθεί με ϕαινόμενα αποσταθεροποίησης και κατακερματισμού τραπεζών πάγου και παγοκριπίδων. Η παλιρροϊκή δράση και η συνεχής καταπόνηση των γεωϕυσικών μορϕών, σε συνδυασμό με τις εγγενείς ατέλειες του πάγου οδηγεί σε καμπτική αστοχία και την τελική απόσχιση τμημάτων υλικού με προϕανές περιβαλλοντικό κόστος και επίδραση στην τοπικήανθρώπινη δραστηριότητα. Ο καταγεγραμμένος κατακερματισμός των στρωμάτων πάγου στην Ανταρκτική και η σημαντική μείωση του θαλάσσιου πάγου στην Αρκτική, ϕαίνονται να επηρεάζουν άμεσα τις εμπορικές δραστηριότητες και να επιβεβαιώνουν την αρχή μιαςσειράς κλιματικών διαταραχών χρίζοντας επομένως εντατικής μελέτης. Τέλος, τα κοινά χαρακτηριστικά των δύο ϕαινομενικά ασύνδετων πεδίων εϕαρμογής της υδροελαστικότητας πλωτών σωμάτων οδηγεί στην συχνή απο κοινού αντιμετώπιση στην επιστημονική βιβλιογραϕία (Squire, 2008). Σημειώνεται ότι λόγω έλλειψης χώρου η παρούσα εστιάζει στην ανάπτυξη αριθμητικής μεθοδολογίας για την μελέτη του υδροελαστικού προβλήματος στο πεδίο συχνοτήτων, ενώ στο τελευταίο μέρος του τεύχους παρουσιάζονται περιληπτικά σχήματα πεπερασμένων στοιχείων υψηλής τάξης που αναπτύχθηκαν κατά τη διάρκεια των διδακτορικών σπουδών με στόχο την μελέτη μεταβατικών ϕαινομένων σε περιβάλλον ρηχών υδάτων. Επισυνάπτονται οι σχετικές δημοσιεύσεις σε επιστημονικά περιοδικά. Οι ϕυσικές ανομοιογένειες των συνόρων του θαλάσσιου κυματοδηγού και της γενικής γεωμετρίας του ελαστικού σώματος, καθώς και η ύπαρξη χωρίων μεγάλων διαστάσεων καθιστούν ιδιαίτερα πολύπλοκο τον χειρισμό ακόμα και του γραμμικοποιημένου προβλήματος. Με στόχο την ανάπτυξη αποδοτικών τεχνικών επίλυσης για το τρισδιάστατο πρόβλημα, παρουσιάζεται μια αριθμητική μεθοδολογία βασισμένη σε σχήματα πεπερασμένων στοιχείων σε συνδυασμό με συστήματα συζευγμένων ιδιομορϕών που βασίζονταισε κατάλληλες κατακόρυϕες αναπαραστάσεις του μιγαδικού δυναμικού.Πιο συγκεκριμένα, στο πεδίο συχνοτήτων το τρισδιάστατο πρόβλημα διατυπώνεται με χρήση της θεωρίας απειροστού πλάτους για την μοντελοποίηση του υδροδυναμικού πεδίου, ενώ για την απόκριση του ελαστικού σώματος εξετάστηκαν οι θεωρίες λεπτής πλάκας Kirchhoff (CPT) καθώς και θεωρία Mindlin (Mindlin, 1951) για σώματα παραμορϕώσιμα σε διάτμηση (FSDT). Υποθέτουμε την ύπαρξη στρώματος νερού με πεπερασμένο τμήμα τηςπάνω επιϕάνειας να δεσμεύεται απο την παρουσία του ελαστικού σώματος. Οι μεγάλες οριζόντιες διαστάσεις της κατασκευής επιτρέπουν επιπροσθέτως την υπόθεση αμελητέας βύθισης, έτσι ώστε η άνω επιϕάνεια του ρευστού να ακολουθεί την ουδέτερη γραμμή του πλωτού σώματος στο πεπερασμένο τμήμα της επιϕάνειας σύζευξης που οριοθετεί την υδροελαστική περιοχή. Επομένως, η παρουσία του πλωτού σώματος δημιουργεί τις ιδεατέςυποπεριοχές ελεύθερης επιϕάνειας και υδροελαστικής σύζευξης. Εν συνεχεία, η ελαστική απόκριση αναπτύσσεται στις in vacuo ιδιομορϕές της κατασκευής με στόχο την μερική αποσύζευξη της υδροδυναμικού πεδίου και του πεδίου παραμορϕώσεων. Το συνολικό πεδίο αποσυντίθεται στις συνιστώσες του διαδιδόμενου κυματισμού (χωρίς την παρουσία του σώματος), του πεδίου περίθλασης καθώς και του πεδίου ακτινοβολίας λόγω της κίνησης του ελαστικού κινήσεων σώματος. Επιπροσθέτως, η συνιστώσα της ακτινοβολίας γράϕεται ως επαλληλία λύσεων σε προβλήματα που αντιστοιχούν στην μοναδιαία ϕόρτιση από την εκάστοτε ιδιομορϕή του ελαστικού σώματος, επιτρέποντας την διατύπωση μιας σειράςυπο-προβλημάτων ακτινοβολίας. Τα ανωτέρω προβλήματα ικανοποιούν στην ουσία μόνο τις κινηματικές παραδοχές του προβλήματος, συγκεκριμένα την εξίσωση των κάθετων ταχυτήτων για το ρευστό και το σώμα πάνω στην υδροελαστική επιϕάνεια. Η σύζευξη που επιτρέπει τη σύνθεση της τελικής λύσης επιτυγχάνεται μέσω της ικανοποίησης της δυναμικής συνθήκης στην βρεχόμενη επιϕάνεια του σώματος που εκϕράζει την ισορροπία των πιέσεων.Σημειώνεται ότι η γενική τρισδιάστατη διατύπωση του υδροελαστικού προβλήματος (3D) εκϕυλίζεται στο κατακόρυϕο δισδιάστατο πεδίο (2D) με την υπόθεση κυματοδηγού με μη μεταβαλλόμενα χαρακτηριστικά κατά τη μία οριζόντια διεύθυνση ενώ γα την ελαστική πλάκα ισχύει επιπλέον η υπόθεση ότι η διάσταση της κατά την ανωτέρω διεύθυνση είναι σημαντικά μεγαλύτερη οδηγώντας σε κατάσταση κυλινδρικής κάμψης. Στην παρούσα διατριβή εξετάζονται και οι δυο περιπτώσεις 3D και 2D μοντελοποίησης του προβλήματος. Δεδομένης της παραπάνω διατύπωσης του ολικού προβλήματος σε σειρά υποπροβλημάτων, η προτεινόμενη στρατηγική επίλυσης συνίσταται από διακριτά βήματα. Αρχικά επιζητείται η αριθμητική εύρεση των in vacuo ιδιομορϕών για την περίπτωση ανομοιογενούς κατασκευής γενικού σχήματος, έπειτα η επίλυση του προβλήματος διάδοσης στον ανομοιογενή κυματοδηγό και στη συνέχεια ο χειρισμός του πεπερασμένου πλήθουςπροβλημάτων ακτινοβολίας που προκύπτουν από την περικομμένη αναπαράσταση της ελαστικής απόκρισης. Τέλος, για την ολοκλήρωση της σύζευξης επιδιώκεται η ικανοποίηση του ισοζυγίου των πιέσεων στην υδροελαστική επιϕάνεια με δεδομένες τις λύσεις των ανωτέρω προβλημάτων. Η επίλυση των υδροδυναμικών προβλημάτων στον ανομοιογενή κυματοδηγό αλλά και του προβλήματος ελεύθερης ταλάντωσης της κατασκευής γενικού σχήματος επιτυγχάνεται αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων.Με στόχο την κατασκευή των αριθμητικών σχημάτων υιοθετείται η μέθοδος Σταθμικών Υπολοίπων για την παραγωγή κατάλληλων ασθενών μορϕών των επιμέρους υδροδυναμικών προβλημάτων. Για τη σειρά των προβλημάτων ακτινοβολίας απαιτείται επιπροσθέτως η ικανοποίηση συνθηκών συνέχειας για το δυναμικό της ταχύτητας και της κάθετης παραγώγου στην κυλινδρική διεπιϕάνεια ανάμεσα στις περιοχές ελεύθερου ρευστού και υδροελαστικής σύζευξης. Για την αποϕυγή της ab initio ικανοποίησης της ουσιώδους απαίτησης συνέχειας στην διεπιϕάνεια, επιλέγεται η ασθενής ικανοποίηση της παραπάνω μέσω μιας συνάρτησης πολλαπλασιαστή Lagrange. Επομένως, το τυπικό πρόβλημα επανατοποθετεί-ται σε μικτή μορϕή που επιτρέπει την επιλογή συμβατικών χώρων για τις συναρτήσεις δοκιμής και την κατασκευή ενός ευέλικτου αριθμητικού σχήματος.Εν συνεχεία, επιχειρείται η μείωση της διάστασης των ασθενών προβλημάτων που παρήχθησαν, υιοθετώντας κατάλληλες κατακόρυϕες αναπαραστάσεις για το υδροδυναμικό πεδίο. Οι επιλεγμένες αναπαραστάσεις που καλούνται να ικανοποιούν τις κινηματικές συνθήκες της στήλης του ρευστού διαϕέρουν στις δυο υποπεριοχές. Για την περιοχή ελεύθερης επιϕάνειας χρησιμοποιείται η κλασσική κατακόρυϕη αναπαράσταση που προκύ-πτει από χωρισμό μεταβλητών στο στρώμα ρευστού. Η ϕυσική αναπαράσταση ενισχύεται από πρόσθετη μορϕή που στοχεύει στην συνεπή ικανοποίησή της κινηματικής συνθήκης στον κεκλιμένο πυθμένα ακολουθώντας την εργασία των Αθανασούλη και Μπελιμπασάκη (1999). Στην υδροελαστική περιοχή επιλέχθηκε εναλλακτικά η βάση του προκύπτει από το κατακόρυϕο πρόβλημα ιδιοτιμών με επιβαλλόμενες ομογενείς Dirichlet συνθήκες. Στην αναπαράσταση, εκτός από τον πρόσθετο όρο για την ικανοποίηση της συνθήκης του πυθμένα προστίθεται και μια μορϕή που επιτρέπει την ικανοποίηση της κινηματικής συνθήκης στην άνω επιϕάνεια. Η παραπάνω διαδικασία παράγει ασθενή συστήματα συζευγμένωνιδιομορϕών, ενώ η γεωμετρικά σύμμορϕη διεπιϕάνεια επιτρέπει ομοίως την ανάπτυξη των συναρτήσεων Lagrange (που ορίζονται στη διεπιϕάνεια) σε οποιαδήποτε απο τις δύο βάσεις οδηγώντας ετσι στη μικτή ασθενή διατύπωση των παραπάνω. Τέλος, έχοντας αποϕύγει την πολυπλοκότητα της κατάλληλης κατασκευής υπόχωρων συναρτήσεων δοκιμής με ενσωματωμένες ουσιώδεις συνθήκες, χτίζεται ενα C0 σχήμα πεπερασμένων στοιχείων που χαρακτηρίζεται απο h −p προσαρμοστικότητα.Για την αριθμητική επίλυση των προβλημάτων ακρινοβολίας εϕαρμόστηκε επιπροσθέτως ενα στρώμα απορρόϕησης PML με σκοπό την ελαχιστοποίηση των αριθμητικών ανακλάσεων. Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας επιλέγεται μια συνάρτηση απορρόϕησης με ιδιομορϕία για το στρώμα. Οι ιδιότητες του σχήματος πεπερασμένων στοιχείων με PML εξετάζονται αρχικά στο εξωτερικό πρόβλημα Helmholtz με κυκλικό σκεδαστή, ενώ στησυνέχεια επεκτείνεται στην περίπτωση της εξίσωσης Mild Slope στο πεδίο συχνοτήτων και τέλος στην περίπτωση της κατακόρυϕης αναπαράστασης του δυναμικού.Στη συνέχεια, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχειών εϕαρμόζεται επίσης για την επίλυση του προβλήματος ελεύθερης ταλάντωσης της ανομοιογενούς κατασκευής με γενική γεωμετρία. Κατα την μοντελοποίηση του δισδιάστατου υδροελαστικού προβλήματος (2D), η θεώρηση ημιάπειρης πλάκας υπό κυλινδρική κάμψη επιτρέπει τη χρήση κλασσικών C1 προσεγγίσεων. Στην περίπτωση ανομοιόμορϕης, παραμορϕώσιμης σε διάτμηση δοκού, η κατακόρυϕη κίνηση εκϕράζεται μέσω των συζευγμένων εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων και ροπών που επιδέχεται C0 προσέγγιση υψηλής τάξης. Για τον αριθμητικό υπολογισμό των ιδιομορϕών κατασκευών με πεπερασμένες διαστάσεις, χρησιμοποιούνται δισδιάσταταστοιχεία πλακών. Συγκεκριμένα χρησιμοποιούνται τρίγωνα Discrete Kirchhoff (DKT) και Discrete Shear (DST) (C0 προσέγγισης). Η ιδιαιτερότητα των παραπάνω στοιχείων είναι η διακριτή ικανοποίηση των κινηματικών συνθηκών που αντιστοιχούν στις θεωρίες λεπτής πλάκας (CPT) και πλάκας σημαντικού πάχους (FSDT) αντίστοιχα. Αριθμητικά αποτελέσματα παρουσιάζονται στις δύο και τις τρεις διαστάσεις. Η μεθοδολογία, συγκρινόμενη με πειραματικά δεδομένα και πληθώρα αριθμητικών αποτελεσμάτων από τη βιβλιογραϕία κατέγραψε ικανοποιητική ακρίβεια στις δύο διαστάσεις, ενώ καταδεικνύεται το βασικό πλεονέκτημα της που είναι ο χειρισμός ανομοιογενείων στις ιδιότητες του ελαστικού σώματος, του γενικού σχήματος και των μεταβολών της βαθυμετρίας.