Σημεία ισορροπίας και αλληλεπιδράσεις μεταξύ των παιχτών σε παιχνίδια χωρίς συνεργασία
Authors: Λεονάρδος Στέφανος 
Published: September 2021

Το πρώτο πεδίο έρευνας αφορά τη σύγκριση των σημείων ισορροπίας -- στρατηγικών και πληρωμών -- ενός διπινακοπαιχνιδιού όταν αυτό παίζεται ταυτόχρονα και των σημείων ισορροπίας του ίδιου παιχνιδιού όταν αυτό παίζεται εξακολουθητικά. Συγκεκριμένα, δεδομένου ενός διπινακο-παιχνιδιού (πεπερασμένου παιχνιδιού δύο παικτών σε κανονική μορφή), αναλύουμε το παραγόμενο εξακολουθητικό παιχνίδι ή παιχνίδι ηγεσίας (commitment or leadership game), το οποίο ορίζεται ως το παιχνίδι στο οποίο ένας παίκτης, ο οδηγός (leader), δεσμεύεται σε μία - δυνητικά μεικτή - στρατηγική, και ο άλλος παίκτης, ο ακόλουθος, επιλέγει τη στρατηγική του αφού πληροφορηθεί τη δεσμευτική και μη αναστρέψιμη μεικτή στρατηγική του οδηγού. Βασιζόμενοι σε ένα αποτέλεσμα των von Stengel and Zamir (2010), εισάγουμε τις έννοιες της τιμής δέσμευσης (commitment value) και των βέλτιστων στρατηγικών δέσμευσης ή στρατηγικών βέλτιστης δέσμευσης (commitment optimal strategies) ως προτεινόμενες έννοιες λύσης του διπινακοπαιχνιδιού. Σε μη-εκφυλισμένα διπινακοπαιχνίδια αποδεικνύουμε ότι, πρώτον, κάθε καθαρή βέλτιστη στρατηγική δέσμευσης μαζί με τη βέλτιστη σε αυτήν απάντηση αποτελούν σημείο ισορροπίας Nash του ταυτόχρονου παιχνιδιού (του παιχνιδιού σε κανονική μορφή) και δεύτερον, ότι οι στρατηγικές που συμμετέχουν σε εντελώς μεικτά σημεία ισορροπίας Nash και δεν αποτελούν στρατηγικές maxmin (στο αντίστοιχο πινακοπαιχνίδι) κυριαρχούνται αυστηρά από τις βέλτιστες στρατηγικές δέσμευσης. Στο ίδιο πλαίσιο, ασχολούμαστε στη συνέχεια με διάφορες κλάσεις διπινακοπαιχνιδιών που γενικεύουν τα παιχνίδια 2-παικτών 0-αθροίσματος και αναλύουμε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ του επιπέδου ασφάλειας (τιμή πινακοπαιχνιδιού), των πληρωμών στα σημεία Nash και των τιμών δέσμευσης κάθε παίκτη. Υπολογίζουμε την τιμή δέσμευσης στο κλασικό παιχνίδι του Διλήμματος του Ταξιδιώτη και καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι αποτελεί περισσότερο ελκυστική και πειστική λύση σε σχέση με το μοναδικό σημείο Nash. Τέλος, σε διπινακοπαιχνίδια 2x2 (δηλαδή διπινακοπαιχνίδια στα οποία κάθε παίκτης έχει 2 στρατηγικές), περιγράφουμε αναλυτικά τη σχέση μεταξύ στρατηγικών ισορροπίας Nash και βέλτιστων στρατηγικών δέσμευσης και διατυπώνουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες κάτω από τις οποίες η πληρωμή του ακόλουθου στο σημείο ισορροπίας του εξακολουθητικού παιχνιδιού είναι χειρότερη από τις πληρωμές του σε όλα τα σημεία Nash του ταυτόχρονου παιχνιδιού.Τα αποτελέσματα της έρευνάς μας παρουσιάζονται στο άρθρο On the commitment value and commitment optimal strategies in bimatrix games, το οποίο έχει γίνει δεκτό για δημοσίευση στο περιοδικό International Game Theory Review. Επίσης, έχει παρουσιαστεί στα διεθνή συνέδρια με κριτές 9th International Conference of the Israeli Chapter of Game Theory και Stony Brook International Conference in Game Theory, σε μια προσκεκλημένη ομιλία στο South Dakota State University και στο Τακτικό Σεμινάριο του Τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας.Το δεύτερο πεδίο έρευνας αφορά το κλασικό μοντέλο ολιγοπωλίου του Cournot -- ολιγοπώλιο στο οποίο μεταβλητή απόφασης των λιανοπωλητών είναι η ποσότητα -- στο οποίο θέτουμε υπό εξέταση την κλασική υπόθεση ότι το κόστος των ολιγοπωλητών είναι σταθερό και δεδομένο εξωγενώς. Σε αυτήν την κατεύθυνση προέκυψαν δύο άρθρα. Στο πρώτο από αυτά, εξετάζουμε την αγορά ενός ομογενούς προϊόντος με αφινική αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης, στην οποία δραστηριοποι-ούνται δύο παραγωγοί/λιανοπωλητές. Οι παραγωγοί έχουν δυνατότητα παραγωγής περιορισμένης ποσότητας του προϊόντος αλλά μπορούν να παραγγείλουν πρόσθετες ποσότητες από έναν -- μοναδικό -- προμηθευτή ο οπ-οίος επιδιώκει να μεγιστοποιήσει το κέρδος του. Μοντελοποιούμε την συγκεκριμένη αγορά ή εφοδιαστική αλυσίδα ως ένα παιχνίδι δύο σταδίων και αποδεικνύουμε ότι έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας Nash τέλειο ως προς τα υποπαιχνίδια, το οποίο και υπολογίζουμε αναλυτικά. Αν ο προμηθευτής είναι αβέβαιος για την πραγματική ζήτηση που αντιμετωπίζουν οι παραγωγοί, τότε το βέλτιστο περιθώριο κέρδους του σε κάθε μπεϋζιανό σημείο ισορροπίας Nash (όταν αυτό υπάρχει), είναι σταθερό σημείο μίας κατάλληλης μετατόπισης της συνάρτησης του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής -- Mean Residual Lifetime (MRL) function -- της πίστης του για την στοχαστική παράμετρο της ζήτησης κάτω από την υπόθεση ότι η πίστη του έχει συνεχή συνάρτηση κατανομής -- δεν περιλαμβάνει δηλαδή μεμονωμένα σημεία (άτομα) με μάζα πιθανότητας -- και οι λιανοπωλητές είναι πανομοιότυποι. Αν η συνάρτηση του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής είναι φθίνουσα, τότε το παιχνίδι έχει μοναδικό μπεϋζιανό σημείο ισορροπίας Nash τέλειο ως προς τα υποπαιχνίδια. Ακολούθως, προσδιορίζουμε διάφορες ιδιότητες του σημείου ισορροπίας, δίνουμε παραδείγματα σε ένα μεγάλο εύρος κατανομών πιθανότητας (για την πίστη του προμηθευτή) και εξετάζουμε την αναποτελεσματικότητα που προκύπτει στο μπεϋζιανό σημείο ισορροπίας λόγω της έλλειψης πληροφόρησης για την πραγματική ζήτηση από την πλευρά του προμηθευτή. Τέλος, γενικεύουμε τα βασικά αποτέλεσματα στην περίπτωση περισσότερων από δύο πανομοιότυπων παραγωγών/ λιανοπωλητών. Η συνεισφορά μας βρίσκεται στην επέκταση του κλασικού μοντέλου ολιγοπωλίου Cournot και φιλοδοξεί να αποτελέσει τη θεωρητική βάση για την επανεξέταση της πλειονότητας των αποτελεσμάτων τα οποία έχουν εξαχθεί κάτω από τη μη ρεαλιστική στη σημερινή οικονομία υπόθεση του σταθερού οριακού κόστους παραγωγής. Στο δεύτερο άρθρο, μελετούμε μια κλασική αγορά Cournot, την οποία επεκτείνουμε σε ένα παιχνίδι δύο σταδίων με ενδογενή προσδιορισμό του κόστους: το οριακό κόστος των λιανοπωλητών αντιστοιχεί στη χονδρική τιμή που θέτει ένας μοναδικός προμηθευτής. Ο προμηθευτής παράγει επαρκή ποσότητα για να καλύψει οποιαδήποτε ζήτηση από τους λιανοπωλητές και έτσι η μοναδική μεταβλητή απόφασής του είναι η χονδρική τιμή. Στόχος του είναι η μεγιστοποίηση της προσόδου του. Η όποια αβεβαιότητα για την τελική αγοραστική ζήτηση από τους καταναλωτές βαραίνει τον προμηθευτή, ο οποίος συνεπώς θέτει την χονδρική τιμή κάτω από ελλιπή πληροφόρηση για το ποσό που είναι διατεθειμένοι να πληρώσουν σε αυτόν οι λιανοπωλητές για τις παραγγελίες τους. Εισάγουμε την γενικευμένη συνάρτηση μέσης υπολειπόμενης ζωής (generalized mean residual life (GMRL) function) της κατανομής F που περιγράφει την πίστη του προμηθευτή για την αβέβαιη ζήτηση και δείχνουμε ότι αν η συνάρτηση GMRL είναι φθίνουσα και η δεύτερη ροπή της F είναι πεπερασμένη, τότε η συνάρτηση προσόδου του προμηθευτή είναι μονοκόρυφη. Στην περίπτωση αυτή, χαρακτηρίζουμε την βέλτιστη χονδρική τιμή ως σταθερό σημείο της συνάρτησης MRL και εξάγουμε ένα σφικτό, ως προς όλες τις κατανομές με την ιδιότητα DMRL, άνω φράγμα για την αναποτελεσματικότητα που υπάρχει στο σημείο ισορροπίας της αγοράς λόγω της ελλιπούς πληροφόρησης του προμηθευτή. Στη συνέχεια, στρέφουμε την προσοχή μας στην κλάση των DGMRL τυχαίων μεταβλητών και μελετούμε τις ροπές τους, την οριακή τους συμπεριφορά και τις ιδιότητες αναλλοίωτου που έχουν κάτω από διάφορους μετασχηματισμούς. Κάτω από την πρόσθετη υπόθεση ότι η F έχει πυκνότητα, εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ της κλάσης DGMRL και της ευρεώς διαδεδομένης κλάσης των τυχαίων μεταβλητών με αύξοντα γενικευμένο ρυθμό κινδύνου (increasing generalized failure rate (IGFR)). Αν μία τυχαία μεταβλητή είναι IGFR, τότε είναι και DGMRL. Μια επαρκής, αν και περιοριστική, συνθήκη για να ισχύει το αντίθετο, είναι ο λογάριθμος της συνάρτησης MRL να είναι κυρτός. Τέλος, δείχνουμε ότι η οριακή συμπεριφορά των συναρτήσεων GMRL και GFR συνδέεται με μία αντίστροφη σχέση και μελετούμε παραδείγματα που διευκρινίζουν τα αποτελέσματά μας. Τα αποτελέσματά μας παρουσιάζονται σε μια σειρά από δύο άρθρα με τίτλους: eq{Endogenizing the cost parameter in Cournot oligopoly και Selling to Cournot oligopolists: pricing under uncertainty & generalized mean residual life. Το πρώτο από αυτά έχει παρουσιαστεί σε μια σειρά διεθνών συνεδρίων με κριτές, μεταξύ των οποίων τα 10th International Conference on Game Theory and Management, 12th European Meeting on Game Theory καθώς και το κεντρικό τετρατές συνέδριο της περιοχής GAMES 2016, 5th World Congress of the Game Theory Society.Οι διδακτορικές μου σπουδές και η έρευνα που αφορά τα δύο παραπάνω άρθρα, χρηματοδοτήθηκαν σε όλη τη διάρκειά τους από μία υποτροφία του Κοινοφελούς Ιδρύματος Αλέξανδρου Σ. Ωνάση. Τα άρθρα Endogenizing the cost parameter in Cournot oligopoly και On the commitment value and commitment optimal strategies in bimatrix games αποτέλεσαν μέρος του προγράμματος Αριστείας Excellence II, European Social Fund for Research: "Optimization of stochastic systems under partial information. Η παρουσίαση του άρθρου στα συνέδρια SING 12 και Stony Brook χρηματοδοτήθηκε από τον Ειδικό Λογαριασμό Κονδυλίων Έρευνας του Εθνικού & Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών.