FINITE ELEMENT METHOD FOR SOLVING A FRACTIONAL FLOW MODEL IN POROUS MEDIA
Authors: Алимбекова Н.Б. 
Published: May 2023

Кеуектілігі жоғары жарықшалы қабаттарда көп фазалы фильтрация модельдерін сандық жүзеге асыру мәселесі мұнай өнеркәсібінде үлкен қолданбалы мәнге ие. Бұл жұмыста Капуто мағынасындағы бөлшек туындылары бар жарықшалы кеуекті ортадағы тұтқыр-серпімді сұйықтықтың фильтрация теңдеуі қарастырылады. Сандық шешім үшін бүтін және бөлшек уақыт туындылары үшін ақырлы айырымдар әдісін, ал кеңістіктік айнымалысы бойынша ақырлы элементтер әдісін қолдана отырып жуықтау жасалды. Бастапқы мәліметтер және теңдеудің оң жағы бойынша сандық әдістің орнықтылығы үшін априорлық бағалау алынды. Құрылған әдістің кеңістіктік бағыт бойынша екінші ретті дәлдікпен және уақыт айнымалысы бойынша 2,2,2minретті дәлдікпен жинақталуы дәлелденді, мұндағы 0,1,,–бөлшек туындылардың реті. Жарықшалы кеуекті ортадағы сұйықтық ағынының моделі үшін ұсынылған әдісінің тиімділігін көрсететін үлгілік есепті сандық шешудің нәтижелері келтірілген.

The problem of numerical implementation of multiphase filtration models in highly porous fractured formations is of great applied importance in the oil industry. In this paper, we consider the equation of filtration of a viscoelastic fluid in a fractured porous medium with fractional time derivatives in the sense of Caputo. For the numerical solution, an approximation was constructed using the finite difference method for integer and fractional time derivatives and the finite element method with respect to the spatial variable. The stability a priori estimates for the numerical method with respect to the initialdata and the right-hand side of the equation were obtained. The convergence of the constructed method in the spatial direction with the second order of accuracy and in the time variable with the accuracy order of 2,2,2min, where 0,1,,are the orders of fractional derivatives. The results of numerical tests for the model problem are presented, which show the efficiency of the proposed method for modeling the flow in fractured porous media.Keywords:finite element method, filtration problem, fractional derivative in the sense of Caputo, fractured porous medium, a priori estimates, stability, convergence.

Проблема численной реализации моделей многофазной фильтрации в сильнопористых трещиноватых пластах имеет большое прикладное значение в нефтедобывающей промышленности. В настоящей работе рассматривается уравнение фильтрации вязкоупругой жидкости в трещиновато-пористой среде с дробными производными по времени в смысле Капуто. Для численного решения построена аппроксимация с использованием метода конечных разностей для целых и дробных временных производных и метода конечных элементов по пространственной переменной. Получены априорные оценки устойчивости численного метода по начальным данным и по правой части уравнения. Доказана сходимость построенного метода по пространственному направлению со вторым порядком точности и по временной переменной с порядком точности 2,2,2min, 0,1,,–порядки дробных производных. Представлены результаты численного решения модельной задачи, которые показывают эффективность предложенного метода для моделирования течения в трещиноватых пористых средах.