ОБ УСЛОВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОГО АНАЛОГА ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Authors: Баканов Г.Б. 
Published: October 2023

Бұл жұмыста гиперболалық-параболалық теңдеу үшін шекаралық есептің шектеулі - айырымдық аналогы қарастырылады. Мұндай есепке қисықтар үйірі үшін қойылған интегралдық геометрия есебі келтіріледі. Бұл есептің тегіс функциялар кеңістігінде шешімі бар деп жорамалданып, орнықтылық бағалауы дәлелденді. Интегралдық геометрияның мұндай есептері көптеген қолданыс тапқан, оның ішінде сейсмобарлау мәліметтерін интерпретациялау есептері, компьютерлік томография және техникалық диагностика есептері. Интегралдық геометрия есептерінің айырымдық аналогтарын зерттеудің өзіне тән күрделі тұстары бар, үзіліссіз қойылымда алынатын көптеген қатынастар дискретті аналогқа ауысқанда анағұрлым күрделі түрге ие болады және ығысу барысында туындайтын қосылғыштарға қатысты қосымша зерттеулерді талап етеді. Мұндай есептердің жалпы жағдайда шешім бар болуының теоремасы болмағандықтан шартты корректілік ұғымы қолданылады. Жұмыс нәтижелері геотомография, медициналық томография, дефектоскопия және т.б. есептерді шешуде қолданылатын сандық әдістердің жинақтылығын көрсету үшін өте маңызды болып табылады. Түйін сөздер: қисынсыз есеп, интегралдық геометрия, қисықтар үйірі, орнықтылық бағалауы, аралас типті теңдеу, шектеулі - айырымдық есеп, квадраттық форма.

В работе рассматривается конечно-разностный аналог граничной задачи для уравнения гиперболо- параболического типа, к которой сводится задача интегральной геометрии для семейства кривых. Полагая, что решение существует доказывается оценка устойчивости дискретного аналога этой задачи на пространстве достаточно гладких функций. Эти задачи интегральной геометрии связаны с многочисленными приложениями, в том числе задачи интерпретации данных сейсморазведки, задачи компьютерной томографии и технической диагностики. Исследование разностных аналогов задач интегральной геометрии имеет специфические трудности, связанные с тем обстоятельством, что для конечно-разностных аналогов частных производных основные соотношения выполняются с некоторым сдвигом по дискретной переменной. В связи с этим многие соотношения, получаемые в непрерывной постановке, при переходе к дискретному аналогу имеет более сложную и громоздкую форму, что требует дополнительных исследований возникающих слагаемых со сдвигом. Так как отсутствует теорема существования решения в общем случае в работе использовано понятие условной корректности. Полученный в работе результат имеет важное значение для понимания эффективности численных методов решения задач геотомографии, медицинской томографии, дефектоскопии и т.д. Ключевые слова: некорректная задача, интегральная геометрия, семейство кривых, оценка устойчивоcти, уравнение смешанного типа, конечно-разностная задача, квадратичная форма.

In this paper, we consider a finite-difference analog of the boundary value problem for an equation of hyperbolic- parabolic type. The problem of integral geometry for a family of curves is reduced to this problem. Assuming that the solution exists, an estimation of the stability of the discrete analogue of this problem on the space of sufficiently smooth functions is proved. These problems of integral geometry are associated with numerous applications, including problems of interpretation of seismic data, problems of computed tomography and technical diagnostics. The study of difference analogues of integral geometry problems has specific difficulties associated with the fact that for finite-difference analogues of partial derivatives, the basic relations are performed with a certain shift in the discrete variable. In this regard, many relations obtained in a continuous formulation, when transitioning to a discrete analogue, have a more complex and cumbersome form, which requires additional studies of the resulting terms with a shift. Since there is no theorem of the existence of a solution in the general case, the concept of conditional correctness is used in the work. The result of this work is important for understanding the effectiveness of numerical methods for solving problems of geotomography, medical tomography, flaw detection, etc. Keywords: ill-posed problem, integral geometry, family of curves, stability estimation, mixed-type equation, finite- difference problem, quadratic form.