Categories de descens: aplicacions a la teoría K algebraica
Authors:   , Rubió Pons Llorenç 
Published: October 2023

En el marc de l'estudi de la cohomologia de les varietats algebraiques, i en particular en les aplicacions cohomològiques del teorema de resolució de singularitats d'Hironaka, utilitzem la tècnica de les hiperresolucions cúbiques i el criteri d'extensió de functors de Guillén i Navarro per a definir una variant de la teoria K algebraica de les varietats sobre un cos de característica zero, que coincideix amb la teoria K per a les varietats llises. Considerem la teoria K com un functor de varietats algebraiques a espectres. Anomenem teoria K de descens a aquesta extensió, que satisfà descens per a blow-ups abstractes.<br/>Per a aplicar el criteri d'extensió hem demostrat que la categoria d'espectres fibrants és una categoria de descens cohomològic, en el sentit de Guillén i Navarro, amb el límit homotòpic com a functor simple. Més generalment hem demostrat que la subcategoria d'objectes fibrants d'una categoria de models simplicial és una categoria de descens cohomològic si i només si se satisfà un criteri d'aciclicitat. En particular les categories de models simplicials estables satisfan el criteri d'aciclicitat i per tant són de descens cohomològic.<br/>Hem vist com una teoria obtinguda pel criteri d'extensió hereta moltes de les propietats del functor sobre les varietats llises, de manera que la teoria K de descens satisfà per exemple la propietats de Mayer-Vietoris i d'invariància homotòpica.<br/>Hem demostrat també que sota certes hipòtesis l'extensió de Guillén i Navarro d'un functor a espectres coincideix amb l'aproximació fibrant en la categoria de models de prefeixos d'espectres considerant la cd-topologia dels blow-ups abstractes.<br/>Utilitzant un resultat de Haesemeyer hem demostrat que la teoria K de descens és equivalent a la teoria K homotòpica introduïda per Weibel. Hem demostrat també que hi ha una filtració pel pes natural en els grups de teoria K homotòpica.

En el marco del estudio de la cohomología de las variedades algebraicas, y en particular de las aplicaciones cohomológicas del teorema de resolución de singularidades de Hironaka, utilizamos la técnica de las hiperresoluciones cúbicas y el criterio de extensión de funtores de Guillén y Navarro para definir una variante de la teoría K algebraica de las variedades sobre un cuerpo de característica cero, que coincide con la teoría K para las variedades lisas. Consideramos la teoría K como un funtor de variedades algebraicas a espectros. Llamamos teoría K de descenso a esta extensión, que satisface descenso para blow-ups abstractos. Para aplicar el criterio de extensión hemos demostrado que la categoría de espectros fibrantes es una categoria de descenso cohomológico, en el sentido de Guillén y Navarro, con el límite homotópico como funtor simple. Más generalmente hemos demostrado que la subcategoría de objectos fibrantes<br/>de una categoría de modelos simplicial es una categoría de descenso cohomológico si y sólo si se satisface un criterio de aciclicidad. En particular las categorías de modelos simpliciales estables satisfacen el criterio de aciclicidad y por lo tanto son de descenso cohomológico.<br/>Hemos visto como una teoría obtenida por el criterio de extensión hereda muchas de las propiedades del funtor sobre las variedades lisas, de manera que la teoría K de descenso satisface por ejemplo las propiedades de Mayer-Vietoris y de invariancia homotópica.<br/>Hemos demostrado también que bajo ciertas hipótesis la extensión de Guillén y Navarro de un funtor a espectros coincide con la aproximación fibrante en la categoría de models de prehaces de espectros considerando la cd topología de los blow-ups abstractos.<br/>Usando un resultado de Haesemeyer hemos demostrado que la teoría K de descenso es equivalente a la teoría K homotópica introducida por Weibel. Hemos demostrado también que hay una filtración por el peso natural en los grupos de teoría K homotópica.

In the setting of the study of the cohomology of algebraic varieties, and in particular in the cohomological applications of Hironaka's resolution of singularities theorem, we use the technique of cubical hyperresolutions and the extension criterion of functors of Guillén and Navarro to define a variant of algebraic K-theory of varietes over a field of characteristic zero, which coincides with K-theory for smooth varieties. We consider K- theory as a functor from algebraic varieties to spectra. We call this extension descent algebraic K-theory, which satisfies descent for abstract blow-ups.<br/>In order to apply the extension criterion we prove that the category of fibrant spectra is a cohomological descent category, in the sense of Guillén and Navarro, with the homotopy limit as a simple functor. More generally we prove that the subcategory of fibrant objects of a simplicial model category is a descent category if and only if an acyclicity criterion holds. In particular stable simplicial model categories satisfy the aciclicity criterion so they are cohomological descent categories.<br/>We see that a theory obtained by extension criterion inherits many properties of the functor over smooth varieties, in a way such that descent algebraic K-theory satisfies for example Mayer-Vietoris and homotopy invariance properties.<br/>We prove also that under certain hypotheses the Guillén and Navarro extension of a functor to spectra coincides with the fibrant approximation in the model category of presheaves of spectra considering the abstract blow-up cd-topology.<br/>After a result of Haesemeyer we prove that descent K-theory is equivalent to the homotopy algebraic K-theory introduced by Weibel. We prove also that there is a natural weight filtration in the groups of homotopy algebraic K-theory.