Γεωμετρική επίλυση προβλημάτων δυναμικής πολλαπλών στερεών σωμάτων με αμφίπλευρους και μονόπλευρους δεσμούς κίνησης
Authors: Πασσάς Παναγιώτης 
Published: March 2022

Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η ανάπτυξη και εφαρμογή μιας ολοκληρωμένης αριθμητικής διαδικασίας, ικανής να προβλέψει την δυναμική απόκριση συστημάτων που περιλαμβάνουν Πολλαπλά Στερεά Σώματα. Τα σώματα, μπορεί να συνδέονται μεταξύ τους με αρθρώσεις ή ακόμη και να συγκρούονται, ενώ αν οι συνθήκες είναι κατάλληλες, μετά από μία κρούση τα σώματα μπορεί να παραμένουν σε επαφή. Αυτή η μηχανική συμπεριφορά, περιγράφεται μαθηματικά με τον κατάλληλο εγκιβωτισμό ορισμένων αμφίπλευρων και μονόπλευρων περιορισμών στις εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Αρχικά, οι ολόνομοι αμφίπλευροι περιορισμοί προέρχονται από τις αρθρώσεις μεταξύ των σωμάτων, ενώ οι ανολόνομοι περιγράφουν καταστάσεις κύλισης ή ολίσθησης. Το προτεινόμενο σύστημα εξισώσεων που διέπει την δυναμική συμπεριφορά συστημάτων, τα οποία αρχικά υπόκεινται αμιγώς σε αμφίπλευρους περιορισμούς, παρουσιάζεται με φυσικό τρόπο σε μορφή Κανονικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΚΔΕ). Αντίθετα, στην διεθνή βιβλιογραφία οι αντίστοιχες εξισώσεις εμφανίζονται σε μορφή συστήματος Διαφορικών Αλγεβρικών Εξισώσεων (ΔΑΕ). Το γεγονός αυτό αποτελεί την ουσιαστική καινοτομία της μεθόδου και απορρέει από μία γεωμετρικά συνεπή εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στον αντίστοιχο σχηματικό χώρο των εξεταζόμενων συστημάτων. Η μορφή των εξισώσεων αξιοποιείται περαιτέρω με την κατάλληλη χρονική διακριτοποίηση στην ασθενή μορφή τριπλού πεδίου, κατά την οποία η θέση, ταχύτητα και ορμή του συστήματος θεωρούνται ποσότητες ανεξάρτητες μεταξύ τους. Έτσι, αναπτύσσεται το προτεινόμενο σχήμα αριθμητικής ολοκλήρωσης που χαρακτηρίζεται από ευρωστότητα, ακρίβεια και αποδοτικότητα έναντι κλασικών σχημάτων που χρησιμοποιούνται στην βιβλιογραφία, αλλά και σε βιομηχανικούς κώδικες, με κοινό χαρακτηριστικό την εφαρμογή αποκλειστικά σε συστήματα ΔΑΕ, αντί της προτεινόμενης μορφής ΚΔΕ. Στην συνέχεια, η συμπερίληψη της δυνατότητας εμφάνισης κρούσεων, με την εισαγωγή των μονόπλευρων περιορισμών, οδηγεί σε μία φυσική απαίτηση για άρση της αμοιβαίας εισχώρησης στις γεωμετρίες των εμπλεκόμενων σωμάτων. Η διαδικασία αυτή, επιτυγχάνεται με την ανάπτυξη και εφαρμογή μίας κατάλληλης αριθμητικής διαδικασίας που ονομάζεται Αλγόριθμος Επιστροφής, που τελικά προβάλλει θέση του συστήματος πίσω στο σύνορο που δημιουργεί ο μονόπλευρος περιορισμός. Έτσι, προσδιορίζεται μονοσήμαντα η κατάσταση του συστήματος αμέσως πριν την κρούση, ενώ η αντίστοιχη κατάσταση αμέσως μετά την κρούση προσδιορίζεται με επίλυση των εξισώσεων κίνησης κατά την μικρή σε χρόνο, πλην όμως πεπερασμένη διάρκεια της κρούσης. Οι εξισώσεις αυτές, προέρχονται με εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα εντός μίας μικρής περιοχής πλησίον του συνόρου, που ονομάζεται συνοριακή στιβάδα. To προκύπτον σύστημα αποτελείται από τρεις μόνον σε πλήθος διαφορικές εξισώσεις, που επιλύονται ξεχωριστά από το υπόλοιπο σύστημα εξισώσεων, στην δική του χρονική κλίμακα και έτσι αίρεται η αριθμητικά στιβαρή φύση του φαινομένου της κρούσης. Η αριθμητική επίλυσή τους γίνεται με χρήση κατάλληλων πολυωνύμων τρίτου βαθμού, ειδικά προσαρμοσμένων στην γεωμετρία εντός της συνοριακής στιβάδας. Τέλος, οι περιγραφείσες έννοιες για τον χειρισμό των μονόπλευρων και αμφίπλευρων περιορισμών συνδυάζονται με σκοπό την κατασκευή ενός γενικευμένου αριθμητικού αλγορίθμου που περιλαμβάνει επιπλέον την δυνατότητα εμφάνισης φάσεων διαρκούς επαφής. Ο αλγόριθμος παρουσιάζεται με ένα κατάλληλο διάγραμμα ροής, η ορθή λειτουργία του οποίου επικυρώνεται μέσω αριθμητικής εφαρμογής σε επιλεγμένα μηχανικά παραδείγματα. Αριθμητικές εφαρμογές πραγματοποιούνται επίσης σε συστήματα που διαθέτουν αμιγώς αμφίπλευρους ή μονόπλευρους περιορισμούς, καθώς και συνδυασμό αυτών. Σε όλες τις περιπτώσεις, αναδεικνύονται τα πλεονεκτήματα των προτεινόμενων μεθοδολογιών αναφορικά με την ακρίβεια, χρηστικότητα και καινοτομία που αυτές παρουσιάζουν.