Dynamic stochastic modeling for inertial sensors
Authors:   , Wis Gil Mariano 
Published: October 2023

Es ampliamente conocido que los modelos de error para sensores inerciales tienen dos componentes: El primero es un componente determinista que normalmente es calibrado por el fabricante en el firmware de la IMU. El segundo es un componente aleatorio que es caracterizado a través de un modelo estocástico que tiene su impacto en la solución de navegación calculada con las observaciones no procesadas obtenidas con dichos sensores.
La caracterización de este comportamiento estocástico se apoya en el análisis de observaciones adquiridas en condiciones estáticas. El sensor inercial es aislado de cualquier perturbación externa y se llevan a cabo adquisiciones estáticas de larga duración. Estas observaciones se evalúan a través de herramientas de análisis como la varianza de Allan. Esta herramienta permite caracterizar el modelo estocástico que mejor se ajusta a las observaciones, permitiendo obtener parámetros como el ruido de observación o el bias del sensor, los factores de escala, etcétera.
Existen referencias que indican que la caracterización de sensores en condiciones estáticas podría ser imprecisa cuando el sensor está funcionando en entornos no estáticos. Esta es la principal motivación de esta tesis doctoral. De cara a entender la variación del error del sensor con la dinámica aplicada, una serie de campañas experimentales (en laboratorio y en vehículos) fueron llevadas a cabo. Estos experimentos consistieron en un conjunto de IMUs de prueba acopladas a una plataforma rígida a la que a su vez se integraba una IMU de grado de navegación que se utilizaba como referencia. Primero, se debe resolver el alineamiento entre las IMUs de prueba y la IMU de referencia. Un método para calcular dicho alineamiento es presentado en esta tesis. Una vez que la IMU de referencia está correctamente alienada con las observaciones de la IMU en pruebas, y asumiendo que las observaciones de la IMU de referencia son ideales (no tienen errores), las observaciones de ambas IMUS son comparadas. Las diferencias entre ambos conjuntos de observaciones se pueden considerar que son los errores de la IMU en pruebas.
El análisis de la varianza de Allan es entonces aplicada a estas diferencias. Se muestra que debido a las limitaciones de esta técnica de análisis y a la longitud del conjunto de datos, la única medida fiable que se puede obtener con la varianza de Allan es el ruido de observación (que normalmente sigue un modelo estocástico de ruido blanco).
Por esta razón, esta tesis propone una aproximación diferente al problema. Se demuestra que existe una conexión entre el error del sensor y la dinámica aplicada a dicho sensor. Esta dinámica está caracterizada por las medidas directas del sensor y las derivadas enésimas de de dichas medidas. Por tanto, gracias a esta nueva aproximación, un nuevo modelo de error inercial es mostrado. Este nuevo modelo está compuesto por un sesgo, un factor de escala que afecta a la magnitud medida por el sensor y una serie de coeficientes que multiplican a las enésimas derivadas de las medidas del sensor.
Esta tesis establece dos maneras que este modelo se puede usar para determinar estos coeficientes. Si existe un sensor de referencia, el modelo se puede implementar en un ajuste de mínimos cuadrados para estimar dichos coeficientes. El resultado de este ajuste es un conjunto de observaciones “mejoradas” del sensor inercial que pueden procesarse en un navegador INS/GNSS convencional. En caso de no existir el sensor de referencia, la otra opción para determinar los coeficientes es a través de un filtro de Kalman extendido que incorpora dichos coeficientes. En esta tesis, dichos coeficientes fueron implementados y testeados en un navegador INS/GNSS con arquitectura “loosely coupled”. Por lo que conoce el autor de esta tesis, la utilización de las derivadas de las observaciones nunca se han investigado y se demuestra que ayudan a mejorar la precisión de la trayectoria suministrada por el navegador INS/GNSS.

The inertial sensor error model is widely known to have two components. The first is a deterministic component that is usually calibrated by the manufacturer in the IMU integrated firmware and, secondly, there is a random component that is characterized through a stochastic model that has its impact on the navigation solution computed with the raw data obtained with these sensors. The characterization of this stochastic behavior relies on the analysis of datasets acquired under static conditions. The inertial sensor is isolated from any external perturbation and long periods of static acquisitions are conducted. These datasets are then evaluated through complex tools like the Allan variance analysis. This analysis tool lets the stochastic model be determined that best fits with the sensor observation noise, the sensor bias scale factors and so forth. There have been reports that these sensor characterization models start to become inaccurate when the sensor is submitted to non-static environments. This is the main motivation for this PhD thesis. In order to understand the sensor error variation with dynamics, a series of laboratory and vehicular experiments were performed, using a set of IMUs rigidly attached to a navigation grade reference IMU. First, the reference IMU misalignment must be resolved, with respect to the IMU under test (IUT) that was selected for this study. A method for resolving the issue is presented in this thesis. Once the reference IMU data is correctly aligned with the test IMU observations, and assuming that the reference IMU measurements are error-free, observations of the two sensors are compared. The difference between both observations is the error of the sensor from the IMU under test. A classic Allan variance analysis is then applied to this varying error. It is shown that due to the limitations of the Allan variance tool and the length of the dataset, the only reliable measurement that can be obtained by employing the Allan variance analysis is the observation of white noise. For this reason, a different approach is presented in this thesis. A connection is shown between the sensor error and the dynamic applied to the sensor. This dynamic is characterized by the sensor raw measurement and the nth order derivatives of these measurements. Therefore, thanks to this new approach, a new sensor error model is presented. This sensor model is composed of a bias and a scale factor that affects the actual sensed magnitude and a series of nth order derivatives of the sensed magnitude that are multiplied by a coefficient. This thesis sets out two ways that this model can be used to determine these coefficients. If there is a reference sensor, it can be used in a least squares adjustment to estimate these coefficients. The result of this adjustment is "improved" sensor observation that can be processed via an ordinary INS/GNSS navigator. Another way to determine these coefficients is by implementing this new sensor model in an extended Kalman filter. In the case of this thesis, it was implemented and tested in a loosely coupled INS/GNSS. To the knowledge of the author, the utilization of sensor observation derivatives has never been researched and it is demonstrated that it helps to improve the precision of the trajectory provided by the INS/GNSS navigator.

Es àmpliament conegut que els models d’error per a sensors inercials tenen dues components. La primera es una component determinista que normalment es calibrada pel fabricant en el firmware de la IMU. El segon es una component aleatòria que es caracteritzada a traves d’un model estocàstic que te el seu impacte en la solució de navegació calculada amb les observacions no processades obtingudes amb aquests sensors. La caracterització d’aquest comportament estocàstic es recolza en la anàlisi d’observacions adquirides en condicions estàtiques. El sensor inercial es aïllat de qualsevol pertorbació externa i es porten a terme adquisicions estàtiques de llarga durada. Aquestes observacions s’avaluen a través d’eines d’anàlisi com la variança d’Allan. Aquesta eina d’anàlisi permet caracteritzar el model estocàstic que millor s’ajusta a les observacions, permetent obtenir paràmetres com el soroll d’observació, el biaix del sensor, els factors d’escala, etcètera. N’hi han referències que indiquen que la caracterització de sensors en condicions estàtiques podria ser imprecisa quan el sensor està funcionant en entorns no estàtics. Aquesta es la principal motivació d’aquesta tesi doctoral. De cara a entendre la variació del error del sensor amb una dinàmica aplicada, una sèrie de campanyes de mesura experimentals (en laboratori i vehicles) van ser portades a terme. Aquests experiments van consistir en un conjunt d’IMUs de prova acoblades a una plataforma rígida que a la seva vegada integrava una IMU de grau de navegació que s’utilitzava com a referència. Primer de tot, s’ha de resoldre l’alineament entre les IMUs de prova i la IMU de referència. Un mètode per a calcular aquest alineament es presentat en aquesta tesi. Una vegada que la IMU de referència està correctament alineada amb les observacions de la IMU en proves, i assumint que les observacions de la IMU de referència son ideals (no tenen errors), les observacions de ambdues IMUs son comparades. Les diferencies entre els dos conjunts d’observacions es poden considerar que son els errors de la IMU de proves. L’anàlisi de la variança d’Allan es llavors aplicat a aquestes diferències. Es mostra que degut a les limitacions d’aquesta tècnica d’anàlisi i a la durada del conjunt de dades, l’única mesura fiable que es pot obtenir amb la variança d’Allan es el soroll d’observació (que normalment segueix un model estocàstic de soroll blanc). Per aquesta raó, aquesta tesi proposa una aproximació diferent al problema. Es demostra que existeix una connexió entre el error del sensor i la dinàmica aplicada a aquest sensor. Aquesta dinàmica està caracteritzada per les mesures directes del sensors i les derivades enèsimes d’aquestes mesures. Per tant, gràcies a aquesta nova aproximació, un nou model d’error inercial es mostrat. Aquest nou model està composat per un biaix, un factor d’escala que afecta a la magnitud mesurada pel sensor i una sèrie de coeficients que multipliquen a les enèsimes derivades de les mesures del sensor. Aquesta tesi estableix dues maneres que aquest model es pugui utilitzar per a determinar aquests coeficients. Si existeix un sensor de referència, el model es pot implementar en un ajust de mínims quadrats per a estimar aquests coeficients. El resultat d’aquest ajust es un conjunt d’observacions “millorades” del sensor inercial que es poden processar en un navegador INS/GNSS convencional. En cas de no haver-hi sensor de referència, l’altra opció per a determinar els coeficients es a través d’un filtre de Kalman estès que incorpora aquests coeficients. En el cas d’aquesta tesi, aquests coeficients van ser implementats i comprovats en un navegador INS/GNSS amb arquitectura “loosely coupled”. Pel que coneix l’autor d’aquesta tesi, la utilització de les derivades de les observacions mai s’han investigat i es demostra que ajuden a millorar la precisió de la trajectòria subministrada pel navegador INS/GNSS.