Αναλυτικές, αριθμητικές και υβριδικές μέθοδοι επιλύσεως εξισώσεων κινητικής πολυμερισμού θερμοσκληρυνόμενων ρητινών και επίλυση προβλημάτων μεταφοράς θερμότητας-αντιδράσεως πολυμερισμού σε σύνθετες πολυστρωματικές δομές με εφαρμογές στη μέθοδο επισκευής με επιθέματα από σύνθετα υλικά πολυμερούς μήτρας
Authors: Παπαθανασίου Θεοδόσιος 
Published: August 2021

Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται την κατασκευή και ανάλυση αριθμητικών σχημάτων και γενικότερα τη χρήση μαθηματικών μεθόδων για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων μεταφοράς θερμότητας - αντίδρασης πολυμερισμού σε θερμοσκληρυνόμενα πολυμερή. Ειδικότερα, εξετάζεται η περίπτωση εποξειδικών ρητινών και σύνθετων υλικών πολυμερούς μήτρας από εποξειδική ρητίνη. Ο πολυμερισμός των εποξειδικών ρητινών είναι μια ισχυρά εξώθερμη αντίδραση. Το ποσό της εκλυόμενης θερμότητας είναι μια μη γραμμική συνάρτηση της θερμοκρασίας και του ίδιου του βαθμού πολυμερισμού. Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με την πιθανή εξάρτηση των ιδιοτήτων του υλικού από τη θερμοκρασία και τον βαθμό πολυμερισμού καθιστούν το σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν τα φαινόμενα ισχυρά μη γραμμικές. Ειδικά μοντέλα μεταφοράς θερμότητας αναπτύσσονται για λεπτές πολυστρωματικές δομές και εφαρμόζονται στην μοντελοποίηση και ανάλυση μιας συγκεκριμένης βιομηχανικής διαδικασίας, η οποία αφορά σε τεχνικές επισκευής ρηγματωμένων ή διαβρωμένων λεπτών πλακών με χρήση επιθεμάτων από σύνθετα υλικά (Composite Patch Repair ή CPR). Για την εφαρμογή της τεχνικής CPR, ένα επίθεμα, το οποίο αποτελείται από φύλλα σύνθετου υλικού (Συνήθως πρόκειται για ίνες γραφίτη ή βορίου προεμποτισμένες σε εποξειδική ρητίνη), τοποθετείται πάνω από τη ρηγματωμένη ή διαβρωμένη επιφάνεια της προς επισκευή δομής. Ανάμεσα στο επίθεμα και την επιφάνεια παρεμβάλλεται λεπτό φύλλο ισχυρής βιομηχανικής κόλλας, η οποία είναι στις περισσότερες περιπτώσεις κάποια εποξειδική ρητίνη επίσης. Η περιοχή της επισκευής θερμαίνεται με τη χρήση ειδικών θερμικών κουβερτών. Με την αύξηση της θερμοκρασίας τόσο η κόλλα όσο και το επίθεμα πολυμερίζονται και σκληραίνουν. Η όλη διαδικασία γίνεται υπό πίεση έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η σωστή κόλληση. Σκοπός μας δεν είναι η απλή χρήση μεθόδων ανάλυσης για την επίλυση ενός και μόνο συγκεκριμένου προβλήματος. Αντίθετα μεγαλύτερο βάρος δίνεται στην αυστηρή μαθηματική προσέγγιση των προβλημάτων και μεθοδολογιών, οι οποίες πρόκειται να χρησιμοποιηθούν. Η αντιμετώπιση αυτή πιστεύουμε ότι μπορεί να ωφελήσει τα μέγιστα στην βαθύτερη κατανόηση α) των φυσικών φαινόμενων τα οποία θα μοντελοποιηθούν μέσω μερικών διαφορικών εξισώσεων, β) στις συγκεκριμένες ιδιότητες τις οποίες πρέπει να έχουν οι λύσεις των προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών τα οποία περιλαμβάνουν τις εξισώσεις αυτές και γ) στην αποτελεσματικότητα αλλά και τους τυχόν περιορισμούς των μαθηματικών μεθόδων επίλυσης των προβλημάτων αυτών. Οι καινοτομίες της παρούσας διατριβής συνοψίζονται στις επόμενες παραγράφους. Αρχικά αναπτύσσεται και αναλύεται μια νέα μέθοδος κατασκευής εξισώσεων οι οποίες προσομοιώνουν φαινόμενα διάχυσης θερμότητας σε λεπτές σύνθετες πλάκες πολλών στρώσεων. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται σε συνεχή αναπαράσταση του πεδίου στο μέσο επίπεδο κάθε στρώσης, σε συνδυασμό με διακριτή θεώρηση μετάδοσης θερμότητας από στρώση σε στρώση. Γίνεται η μεταβολική διατύπωση του προβλήματος αρχικών και συνοριακών τιμών μεταφοράς θερμότητας - αντίδρασης πολυμερισμού σε σύνθετες πολυστρωματικές δομές. Αποδεικνύεται η ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης της μεταβολικής διατύπωσης σε ένα πολύ γενικό πλαίσιο και διατυπώνονται κάποιες a priori εκτιμήσεις ευστάθειας της λύσης ως προς συγκεκριμένες νόρμες. Παρουσιάζονται αναλυτικές, αριθμητικές και υβριδικές μέθοδοι χρονικής ολοκλήρωσης κάποιων εξισώσεων - μοντέλων κινητικής πολυμερισμού. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε δυνατότητες αναλυτικής ολοκλήρωσης για περιπτώσεις ισοθερμοκρασιακού πολυμερισμού καθώς και σε μια υβριδική, αριθμητική - αναλυτική μέθοδο, η οποία προτείνεται για την ολοκλήρωση της εξίσωσης αυτοκαταλυούμενης αντίδρασης πολυμερισμού. Για τη γενική μορφή της υβριδικής μεθόδου αποδεικνύονται, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, συνέπεια, Β - Ευστάθεια και γίνεται εκτίμηση του σφάλματος σύγκλισης. Παρουσιάζεται η μέθοδος Galerkin με πεπερασμένα στοιχεία για την αριθμητική επίλυση των μεταβολικών διατυπώσεων που προαναφέραμε και γίνεται εκτίμηση του σφάλματος της μεθόδου. Εξατάζονται εφαρμογές όλων των προαναφερθέντων μοντέλων και τεχνικών επίλυσης σε προβλήματα, τα οποία αφορούν στη τεχνική επισκευής δομών αεροναυπηγικής με την μέθοδο επικολλούμενων συνδέσμων από σύνθετα υλικά. Θεωρούμε δύο γεωμετρίες επισκευής. Για τις δύο αυτές περιπτώσεις γίνεται αρχικά μελέτη μόνιμης κατάστασης κατά την φάση ισοθεμοκρασιακού πολυμερισμού. Η φάση αυτή αναφέρεται ως στάδιο Plateau του κύκλου πολυμερισμού. Σε περιπτώσεις κατά τις οποίες η θερμότητα η οποία παράγεται λόγω πολυμερισμού είναι πολύ μικρότερη από αυτή που παρέχεται εξωτερικά στο σύστημα μέσω θερμικών κουβερτών, είναι δυνατό, σε πρώτη προσέγγιση οι εξισώσεις θερμότητας και κινητικής πολυμερισμού να αποζευχθούν. Για την περίπτωση αυτή παρουσιάζονται αναλυτικές λύσεις μόνιμης κατάστασης. Επιπλέον, γίνεται προσομοίωση του όλου κύκλου πολυμερισμού με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για μια συγκεκριμένη επισκευή. Τέλος γίνεται παρουσίαση κάποιων απλουστευμένων μοντέλων θερμικών τάσεων και δίνεται η γενική αναλυτική λύση των εξισώσεων αυτών για τον υπολογισμό θερμικών τάσεων κατά την διαδικασία εφαρμογής της τεχνικής CPR.