Two-time response excitation theory for non linear stochastic dynamical systems
Authors: Τσαντίλη Σεβαστή-Ήβη 
Published: August 2021

Στo πλαίσιo της πιθανοθεωρητικής μοντελοποίησης οι παράμετροι/συναρτήσεις που ενέχουναβεβαιότητα μοντελοποιούνται ως τυχαίες. Γενικά, ο χαρακτηρισμός των τυχαίων συναρτήσεων είναιμια δύσκολη εργασία καθώς αφορά τη γνώση της ιεραρχίας των κατανομών πιθανότητας όλων τωντάξεων ή, ισοδυνάμως, τη γνώση του χαρακτηριστικού συναρτησιακού. Όταν οι αρχικές συνθήκεςή/και η τυχαία είσοδος/διέγερση (εξωτερική ή/και παραμετρική) δυναμικών συστημάτωνμοντελοποιούνται από τυχαίες παραμέτρους/συναρτήσεις, τότε η έξοδος/απόκριση του συστήματος θαείναι επίσης μια τυχαία συνάρτηση. Στην περίπτωση που η δυναμική του συστήματος μπορεί ναμοντελοποιηθεί με τη χρήση διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται τυχαίεςδιαφορικές εξισώσεις (ΤΔΕ). Η δυσκολία του υπολογισμού των πιθανοθεωρητικών χαρακτηριστικώντης απόκρισης μειώνεται δραστικά όταν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση συσχέτισης της στοχαστικήςδιέγερσης μπορεί να μοντελοποιηθεί από μια συνάρτηση δέλτα. Εντούτοις, αυτή η υπόθεση δεν είναιευλογοφανής όταν ο χρόνος συσχέτισης της διέγερσης είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τον χρόνοηρεμίας του συστήματος, όπως συμβαίνει σε μακροσκοπικά δυναμικά συστήματα π.χ. συστήματα πουδιεγείρονται από θαλάσσια κύματα, φορτία ανέμου, ή σεισμούς. Σε αυτή την περίπτωση η διέγερσημπορεί να μοντελοποιηθεί ρεαλιστικά από τυχαίες συναρτήσεις με λείες συναρτήσεις συσχέτισης(ομαλή διέγερση). Οι τυχαίες διαφορικές εξισώσεις με ομαλή διέγερση (γνωστές και ως γενικευμένεςεξισώσεις Langevin) εμπεριέχουν αυξημένη πολυπλοκότητα λόγω του ότι, προκειμένου ναχαρακτηρίσει κανείς πιθανοθεωρητικά την απόκριση, πρέπει να θεωρήσει απειροδιάστατες διαφορικέςεξισώσεις. Παρά το γεγονός ότι η γενική περίπτωση τυχαίων διεγέρσεων με λείες συναρτήσειςσυσχέτισης παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον στη μηχανική και στις εφαρμοσμένες επιστήμες, οιυπάρχουσες μεθοδολογίες αποτυγχάνουν να την αντιμετωπίσουν ικανοποιητικά.Σε απάντηση αυτής της κατάστασης η θεωρία απόκρισης-διέγερσης (ΑΔ), μια νέα μέθοδος για τονπιθανοθεωρητικό χαρακτηρισμό κάθε μη-γραμμικού συστήματος υπό κάθε τύπου τυχαία διέγερση μελεία συνάρτηση συσχέτισης, εισήχθη πρόσφατα από τους Αθανασούλη & Σαψή (2006) και Σαψή καιΑθανασούλη (2008). Η θεωρία ΑΔ, προτείνει την από κοινού αντιμετώπιση της πιθανοθεωρητικήςδομής της απόκρισης και της διέγερσης, αφήνοντας χώρο για τον καθορισμό της στοχαστικής τουςεξάρτησης κατά την επίλυση του προβλήματος. Οι Αθανασσούλης και Σαψής χρησιμοποιώντας τημέθοδο του χαρακτηριστικού συναρτησιακού έδειξαν ότι, προβάλλοντας κατάλληλα τηναπειροδιάστατη εξίσωση, είναι δυνατό να παραχθούν εξισώσεις για την εξέλιξη της από κοινούσυνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) της απόκρισης και της διέγερσης. H παραχθείσα εξίσωσηεξέλιξης της από κοινού σππ απόκρισης και διέγερσης (σππΑΔ) παρουσιάζει ιδιαιτερότητες καθώςπεριέχει δυο χρόνους (έναν για την διέγερση, s, και έναν για την απόκριση, t ), και μια μερικήπαραγώγο μόνο ως προς έναν από αυτούς (χρόνο απόκρισης), ενώ, μετά την παραγώγιση, πρέπει ναλαμβάνεται το όριο του χρόνου διέγερσης st . Δηλαδή η σππΑΔ συμπεριλαμβάνει την παράγωγο«μισού χρόνου» ( ) ( ) ( ) / x t y s s tf t¶ a,b ¶ . Αυτή η ιδιαιτερότητα προκάλεσε βασικά ερωτήματα σχετικάμε το αν η εξίσωση είναι καλά ορισμένη αλλά και ως προς τη μέθοδο αριθμητικής της επίλυσης. Κατάτη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διατριβής έγινε φανερό ότι η σππΑΔ των Αθανασούλη καιΣαψή δεν είναι κλειστή και άρα δεν μπορεί να προσδιορίσει κατά μοναδικό τρόπο την από κοινούσππΑΔ. Το ίδιο εύρημα διατυπώθηκε πρόσφατα από τους Venturi et al (2012). Αυτό οφείλεται στογεγονός ότι όταν λαμβάνεται το όριο «μισού χρόνου» ( ) ( ) ( ) / x t y s s tf t¶ a,b ¶ τα μη-τοπικά (στοχρόνο) χαρακτηριστικά του προβλήματος μερικώς χάνονται. Η παρούσα εργασία συνεχίζει την μελέτητης θεωρίας ΑΔ, με σκοπό να ξεκαθαρίσει κάποια ασαφή σημεία και να την αναπτύξει περαιτέρωαποσκοπώντας στην εφαρμογή αποτελεσματικών αλγορίθμων για αριθμητικές λύσεις.Στο πρώτο μέρος της εργασίας αυτής, η θεωρία ΑΔ, που εισήχθη από τους Αθανασούλη και Σαψή,επανεξετάζεται και γενικεύεται σε μη-γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξεως. Η εξίσωση εξέλιξης τηςαπό κοινού σππΑΔ για μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα υπό λεία στοχαστική διέγερση παράγεταιξανά με τη χρήση της μεθόδου του χαρακτηριστικού συναρτησιακού. Για να επαληθευτεί η ισχύς τωνπαραχθεισών εξισώσεων, οι τελευταίες χρησιμοποιούνται για την παραγωγή εκ νέου του άπειρουσυστήματος οριακών εξισώσεων ροπών δυο χρόνων, οι οποίες μπορούν να παραχθούν και απευθείας από το δυναμικό σύστημα. Τέλος, η εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ συγκεκριμενοποιείταιγια την περίπτωση του προβλήματος της κίνησης διατοιχισμού πλοίου (ship roll ploblem).Στη συνέχεια ένα ευρέως μελετημένο, απλό πρόβλημα εξετάζεται στα πλαίσια της θεωρίας ΑΔ.Συγκεκριμένα αναπτύσσονται οι εξισώσεις ροπών ΑΔ δύο χρόνων για ένα γραμμικό βαθμωτόδυναμικό σύστημα υπό ομαλή διέγερση. Αυτές οι εξισώσεις λύνονται αναλυτικά, ενώ αποτελέσματαλαμβάνονται για διαφορετικές περιπτώσεις στοχαστικής διέγερσης. Για κανονική (Gaussian)διέγερση, λαμβάνουμε μια πλήρη αναλυτική λύση του υπό εξέταση προβλήματος, τόσο στηνμεταβατική όσο και στην κατάσταση στατιστικής ισορροπίας σε μεγάλους χρόνους. Η αναλυτικήλύση αυτού του απλού προβλήματος χρησιμοποιείται στη συνέχεια για να επαληθεύσει/αποσαφηνίσειτην εξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ για γραμμικές ΤΔΕ, και να αποδείξει ότι αυτή δέχεταιπερισσότερες από μία λύσεις. Επομένως, αναδεικνύεται η ανάγκη συμπλήρωσης της εξίσωσηςεξέλιξης της από κοινού σππΑΔ με επιπλέον συνθήκες οι οποίες είναι ικανές να παρέχουν επιπλέονπληροφορία για τη δομή συσχέτισης της απόκρισης και της διέγερσης του συστήματος. Μια από τιςθεμελιώδεις συμβολές της παρούσας διατριβής αποτελεί και η ανάπτυξη και εφαρμογή ενόςαποτελεσματικού σχήματος που οδηγεί σε κλειστές λύσεις της εξίσωσης εξέλιξης της από κοινούσππΑΔ.Τα ευρήματα από τη μελέτη της γραμμικής/Gaussian περίπτωσης γενικεύονται στη μη-γραμμική/μη-Gaussian περίπτωση αξιοποιώντας, επιπλέον, ευρήματα που προέκυψαν από τη μελέτηαποτελεσμάτων προσομοιώσεων Monte Carlo (MC) οι οποίες πραγματοποιήθηκαν από τον ΖαχαρίαΓ. Καπελώνη. Συγκεκριμένα, σε μεγάλους χρόνους η από κοινού σππΑΔ τείνει να συγκεντρώνεταιγύρω από την καμπύλη ισορροπίας των ντετερμινιστικών προβλημάτων που πραγματοποιούνται στοχώρο ΑΔ. Λαμβάνοντας υπόψη τα ευρήματα αυτά, παράγονται νέες τοπικές (στο χώρο απόκρισης-διέγερσης), από κοινού εξισώσεις ροπών ΑΔ δύο χρόνων, χρησιμοποιώντας τοπικέςγραμματικοποιήσεις/κανονικοποιήσεις (linearizations/Gaussianizations) γύρω από την καμπύληισορροπίας του μη-γραμμικού βαθμωτού συστήματος σε μεγάλους χρόνους. Οι τοπικές εξισώσειςεπιλύονται αναλυτικά για διάφορες περιπτώσεις. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται ικανοποιητικά μεαποτελέσματα από προσομοιώσεις ΜC και επομένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για νασχηματίσουν ένα νέο σχήμα που συμπληρώνει, a priori, τη μη-γραμμική εξίσωση εξέλιξης της απόκοινού σππΑΔ. Η πληροφορία για την τοπική δομή συσχέτισης της απόκρισης και της διέγερσης πουλαμβάνεται αναλυτικά μέσω των νέων εξισώσεων συντίθεται με την εξίσωσης εξέλιξης της απόκοινού σππΑΔ με τη χρήση κατάλληλης αναπαράστασης αποτελούμενης από Gaussian Kernels, ηοποία μπορεί να «φέρει» την επιπλέον πληροφορία στην αρχική εξίσωση. Η αναδιαμορφωμένηεξίσωση εξέλιξης της από κοινού σππΑΔ μαζί με τις νέες συμπληρωματικές εξισώσεις επιλύονταιαριθμητικά μέσω ενός σχήματος επίλυσης τύπου Galerkin. Mε τον τρόπο αυτό εισάγεται η δομή τηςσυγκεκριμένης ΤΔΕ στους συντελεστές Galerkin τόσο άμεσα, μέσω της εξάρτησης τους από τηνεξίσωση του προς επίλυση δυναμικού συστήματος, όσο και έμμεσα, μέσω των παραμέτρων τωνKernel που περιέχουν πληροφορίες από την οικογένεια των τοπικών εξισώσεων. Οι συντελεστές τουσχήματος Galerkin, έχουν τη μορφή γινομένων πολυωνύμων με δυσδιάστατες Gaussian κατανομέςκαι μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά, ενώ τελικά το πρόβλημα λύνεται ως πρόβλημαελαχιστοποίησης υπό περιορισμούς. Αυτό το σχήμα Galerkin χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμότων από κοινού πιθανοθεωρητικών χαρακτηριστικών ΑΔ ενός βαθμωτού ταλαντωτή υπό ασυμπωτικάστάσιμη, ομαλή Gaussian ή μη-Gaussian (κυβική Gaussian) διέγερση. Τα αποτελέσματα συγκρίνονταιμε επιτυχία με αποτελέσματα προσομοιώσεων που παρήχθησαν μέσω MC προσομοιώσεων για το ίδιοπρόβλημα.Η επιλογή του κατάλληλου υπολογιστικού πεδίου για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης εξέλιξηςτης από κοινού σππΑΔ σε μεγάλους χρόνους, έδωσε το έναυσμα για την ανάπτυξη μιας νέαςμεθοδολογίας για τον σχηματισμό και την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων ροπών δυο χρόνων.Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε μη-γραμμικό σύστημα με πολυωνυμικές μη-γραμμικότητες, που διεγείρεται από ομαλές Gaussian ή (πολυωνυμικά) μη-Gaussian τυχαίεςδιαδικασίες. Συγκεκριμένα, εξισώσεις ροπών για τη μέση τιμή της απόκρισης mx (t) , τη συνάρτησησυνδιακύμανσης ΑΔ δύο χρόνων Cxy (t, s) , τη συνάρτηση αυτοδιακύμανσης ΑΔ δυο χρόνωνCxx (t, s) και τη συνάρτηση αυτοδιακύμανσης στη διαγώνιο των χρόνων Cxx (t, t) παράγονται απευθείας από το δυναμικό σύστημα. Η υπόθεση ότι οι τυχαίες συναρτήσεις είναι Gaussian (Gaussianclosure condition) τίθεται στη συνέχεια προκειμένου να εξαλειφθούν οι ροπές ανώτερης τάξης από τιςεξισώσεις ροπών δυο χρόνων. Μετά την εφαρμογή της υπόθεσης αυτής, θεωρώντας το χρόνο s ωςπαράμετρο, οι εξισώσεις που παίρνουμε μπορούν να θεωρηθούν ως γραμμικές συνήθεις διαφορικέςεξισώσεις ως προς το χρόνο t , έχοντας παραμέτρους που εξαρτώνται από τις ροπές στη διαγώνιο τωνχρόνων. Η εξίσωση για την Cxy (t, s) χρησιμοποιείται για να εκφράσει την Cxy (t,t) ως έναν μη-γραμμικό, μη-τοπικό στο χρόνο (αιτιατό) τελεστή πάνω σε όλη την ιστορία των mx (u) και Cxx (u , u) ,για t0 £ u £ t . Χρησιμοποιώντας τον τελεστή για το Cxy (t,t) λαμβάνεται ένα κλειστό, μη-γραμμικόαιτιατό σύστημα από εξισώσεις εξέλιξης για τις mx (t) ,Cxx (t,t) . Μετά την επίλυση του αιτιατού συ-στήματος μπορούν να υπολογιστούν οι ροπές δυο χρόνων για όλα τα ζεύγη ( t , s ) . Παρουσιάζονταιαποτελέσματα από την επίλυση των εξισώσεων ροπών ΑΔ δύο χρόνων στην κατάσταση στατιστικήςισορροπίας, σε μεγάλους χρόνους. Επίσης, αποσκοπώντας στην επέκταση της μεθοδολογίας σεβαθμωτούς ταλαντωτές με δυο σημεία ευστάθειας (bi-stable), σε μεγάλους χρόνους, παρουσιάζονταικάποιες πρώτες ιδέες για ένα σχήμα στο οποίο τίθεται, εναλλακτικά, η υπόθεση ότι οι τυχαίεςσυναρτήσεις είναι μια υπέρθεση από δυο Gaussian τυχαίες συναρτήσεις (bi-Gaussian closurecondition). Στην περίπτωση συστημάτων με ένα σημείο ευστάθειας τα αποτελέσματα πουλαμβάνονται συγκρίνονται ικανοποιητικά με αποτελέσματα από προσομοιώσεις MC. Στην περίπτωσησυστημάτων με δύο σημεία ευστάθειας το υπό συζήτηση σχήμα δίνει αποδεκτά αποτελέσματα για τιςροπές στην διαγώνιο των χρόνων και για τη συνάρτηση διασυσχέτισης ΑΔ δύο χρόνων ενώ, υπό τηνπαρούσα μορφή του σχήματος, οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης δεν προσεγγίζονται επιτυχώς.