Θέματα θεωρίας συστημάτων εξυπηρέτησης με επαναλαμβανόμενους πελάτες
Authors: Δημητρίου Ιωάννης 
Published: August 2021

Μελετώνται τρία συστήματα εξυπηρέτησης με το χαρακτηριστικό των επαναλαμβανόμενων αφίξεων ενώ περιλαμβάνονται προτεραιότητες και διακοπές υπαλλήλου. Το πρώτο μοντέλο αποτελείται από έναν υπάλληλο που παρέχει εξυπηρέτηση δύο φάσεων σε σειρά σε κάθε πελάτη που καταφθάνει στο σύστημα. Οι πελάτες τοποθετούνται σε μία ουρά και κάθε πελάτης που ολοκληρώνει τη πρώτη φάση εξυπηρέτησης είτε προωθείται άμεσα στη δεύτερη φάση είτε εισέρχεται στην ουρά των επαναλαμβανόμενων αφίξεων, απ’ όπου προσπαθεί να συνδεθεί με τον υπάλληλο για να εξυπηρετηθεί στη δεύτερη φάση. Κάθε φορά που ο υπάλληλος ελευθερώνεται αναχωρεί για απλές διακοπές. Στο δεύτερο, υπάρχει ένας υπάλληλος που παρέχει εξυπηρέτηση n φάσεων σε σειρά και (n- 1) τύπους πελατών επαναλαμβανόμενων αφίξεων. Οι πελάτες τοποθετούνται σε μια ουρά άπειρου μήκους και περιμένουν τη σειρά τους να εξυπηρετηθούν. Μετά το πέρας της i οστης φάσης εξυπηρέτησης (i = 1 n - 1) ο πελάτης, είτε προωθείται άμεσα στην (i + 1)-στη φάση, είτε εισέρχεται στην i οστη ουρά επαναλαμβανόμενων αφίξεων απ' όπου προσπαθεί να συνδεθεί με τον υπάλληλο για να λάβει την (i + 1) οστη φάση εξυπηρέτησης που του αναλογεί. Οι πελάτες της κανονικής ουράς έχουν μη διακόπτουσα προτεραιότητα έναντι αυτών που βρίσκονται στις (n - 1) ουρές επαναλαμβανόμενων αφίξεων ενώ κάθε φορά που ελευθερώνεται ο υπάλληλος αναχωρεί για απλές διακοπές. Στο τρίτο μοντέλο καταφθάνουν δύο κλάσεις πελατών ενώ περιλαμβάνει χρόνους προετοιμασίας και αποφόρτισης. Οι πελάτες κλάσεις 1 τοποθετούνται στην ουρά, ενώ η κλάσης 2 στο κουτί των επαναλαμβανόμενων αφίξεων, εφόσον δεν βρουν διαθέσιμο τον υπάλληλο. Για να αρχίσει να εξυπηρετεί έναν πελάτη οποιασδήποτε κλάσης, ο υπάλληλος χρειάζεται ένα χρόνο προετοιμασίας, ενώ κάθε φορά που δεν υπάρχουν πελάτες να περιμένουν στην κανονική ουρά, ενεργοποιεί μία περίοδο αποφόρτισης. Μόλις ολοκληρωθεί επιτυχώς η περίοδος αποφόρτισης, ο υπάλληλος αναχωρεί για απλές διακοπές. Οι πελάτες κλάσης 1 έχουν διακόπτουσα επαναληπτική προτεραιότητα, όταν η διαδικασία εξυπηρέτησης ενός πελάτη κλάσης 2 βρίσκεται σε φάση προετοιμασίας και μη διακόπτουσα προτεραιότητα όταν βρίσκεται στη φάση της άμεσης εξυπηρέτησης. Για το πρώτο και τρίτο μοντέλο με τη βοήθεια της Μαρκοβιανής θεωρίας ανανεώσεων βρέθηκε η συνθήκη στατιστικής ισορροπίας ενώ η από κοινού κατανομή του αριθμού των πελατών στην ουρά και στην ουρά των επαναλαμβανόμενων αφίξεων μελετήθηκε με τη βοήθεια της μεθόδου της συμπληρωματικής μεταβλητής τόσο σε συνεχή χρόνο, όσο και σε στατιστική ισορροπία. Υπολογίστηκαν οι πιθανότητες των καταστάσεων του υπάλληλου και οι αναμενόμενοι αριθμοί των πελατών τόσο στη κανονική ουρά όσο και στην ουρά των επαναλαμβανόμενων αφίξεων. Επιπλέον κατασκευάστηκαν πίνακες με αριθμητικά αποτελέσματα που περιγράφουν ουσιωδώς τη λειτουργία του συστήματος. Τέλος, στο πρώτο μοντέλο αποδείχθηκε ότι στο υπό μελέτη μοντέλο ισχύει η ιδιότητα της διάσπασης. Για το δεύτερο μοντέλο υπολογίστηκαν σε κλειστή μορφή οι αναμενόμενοι αριθμοί των πελατών στη κανονική ουρά, ενώ με τη επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων υπολογίστηκαν και οι αναμενόμενες τιμές των πελατών κάθε ουράς επαναλαμβανόμενων αφίξεων ξεχωριστά. Επιπλέον δόθηκαν αριθμητικά αποτελέσματα, που περιγράφουν ουσιωδώς το σύστημα.