Applications of stochastic analysis in sensitivity analysis and insurance mathematics
Authors: Ρουμελιώτη Ελένη 
Published: September 2021

Η διατριβή αυτή πραγματεύεται την χρήση τεχνικών του λογισμού Malliavin σε προβλήματα εκτίμησης της ευαισθησίας συναρτησιακών που προκύπτουν από διαδικασίες διάχυσης. Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει μια περιγραφή των ιδεών πάνω στις οποίες βασίζονται αυτές οι εκτιμήτριες ευαισθησίας.Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά το πρόβλημα εκτίμησης ευαισθησίας μέσω εκτιμητριών με παράγοντες στάθμισης οι οποίοι προκύπτουν μέσω μιας διαδικασίας ολοκλήρωσης κατά παράγοντες και γενικότερα με χρήση των τεχνικών του λογισμού Malliavin. Ας υποθέσουμε ότι η X είναι τυχαία μεταβλητή με τιμές στον R^m της οποίας η κατανομή εξαρτάται από μια πραγματική παράμετρο θ και ότι η f:R^m→R είναι μετρήσιμη συνάρτηση. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει παράγοντας στάθμισης, δηλαδή τυχαία μεταβλητή Hθ τέτοια ώστε d/dθ Ef (X)=E[f (X)Hθ ] για κάθε αρκούντως ομαλήσυνάρτηση f , σκοπός μας είναι να βρούμε ικανές συνθήκες κάτω από τις οποίες η εκτιμήτρια αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για συναρτήσεις οι οποίες δεν είναι ομαλές, όπως για παράδειγμα συναρτήσεις με ασυνέχειες που προκύπτουν συχνά στις εφαρμογές. Η επέκταση την οποία επιτυγχάνουμε αφορά τελικά γενικές μετρήσιμες συναρτήσεις, κάτω από την προϋπόθεση ότι η τυχαία μεταβλητή f(Χ) έχει πεπερασμένη ροπή τάξης μεγαλύτερης του 2. Τα αποτελέσματα στο κεφάλαιο αυτό είναι πιο αναλυτικά και εξετάζουν το θέμα σε μεγαλύτερη λεπτομέρεια από τα υπάρχοντα στην βιβλιογραφία.Το τρίτο κεφάλαιο εξετάζει το πρόβλημα της ανάλυσης ευαισθησίας κριτηρίων στο πλαίσιο των διαδικασιών διάχυσης στον R^m ως προς παραμέτρους της τάσης και του συντελεστή διάχυσης όπως και ως προς την αρχική συνθήκη. Τα κριτήρια των οποίων εξετάζουμε την ευαισθησία είναι μέσες τιμές κυλινδρικών συναρτησιακών, δηλαδή συναρτησιακών των οποίων η τιμή εξαρτάται από τις τιμές της διαδικασίας διάχυσης σε ένα πεπερασμένο πλήθος χρονικών σημείων. Οι εκτιμήτριες που εξετάζουμε προκύπτουν από την διαδικασία πρώτης μεταβολής (First variation process) που προκύπτει από μια στοχαστική διαφορική εξίσωση και την χρήση του τύπου παραγοντικής ολοκλήρωσης του λογισμού Malliavin προκειμένου να εκφράσουμε την παράγωγο της μέσης τιμής του συναρτησιακού ως μέση τιμή του συναρτησιακού πολλαπλασιασμένου με ένα παράγοντα στάθμισης. Παρουσιάζονται επίσης συγκεκριμένα παραδείγματα με ιδιαίτερη έμφαση στις διαδικασίες Ornstein-Uhlenbeck στον R^m. Δεδομένου ότι οι διαδικασίες αυτές είναι Gauss προκύπτουν ιδιαίτερα απλές λύσεις οι οποίες μας επιτρέπουν να εξετάσουμε τις ιδιότητες των εκτιμητριών με σχετικά στοιχειώδεις μεθόδους.Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε εφαρμογές των μεθόδων αυτών σε προβλήματα αντασφάλισης τα οποία προσεγγίζουμε μέσω διαδικασιών διάχυσης, και συγκεκριμένα στο πρόβλημα της από κοινού καταστροφής του ασφαλιστή και του αντασφαλιστή.Τέλος στο κεφάλαιο 5 εξετάζουμε το πρόβλημα της ανάλυσης ευαισθησίας συναρτησιακών που προκύπτουν από διαδικασίες Gauss ως προς διαταραχές της συνάρτησης του μέσου και της συνάρτησης συνδιακύμανσης. Χρησιμοποιούμε τεχνικές αναπαράστασης των διαδικασιών αυτών μέσω μέτρων Gauss σε κατάλληλους χώρους Hilbert. Η βασική ιδέα για να προσδιορίσουμε τους κατάλληλους παράγοντες στάθμισης στην περίπτωση αυτή είναι το θεώρημα Feldman-Hajek και η αντίστοιχη έκφραση της παραγώγου κατά Radon-Nikodym ανάμεσα στο μέτρο που αναφέρεται στον αρχικό μέσο και στην συνάρτηση συνδιακύμανσης και στις αντίστοιχες διαταραγμένες συναρτήσεις. Όπως αναμένεται ο χώρος Cameron-Martin που σχετίζεται με τον τελεστή συνδιακύμανσης παίζει καθοριστικό ρόλο στην περίπτωση αυτή.