Application of dynamical system methods to galactic dynamics : from warps to double bars
Authors:   , Sánchez Martín Patricia 
Published: October 2023

Most galaxies have a warped shape when they are seen from an edge-on point of view. In this work we apply dynamical system methods to find an explanation of this phenomenon that agrees with its abundance among galaxies, its persistence in time and the angular size of observed warps.
Starting from a simple, but realistic, 3D galaxy model formed by a bar and a flat disc, we study the effect produced by a small misalignment between the angular momentum of the system and its angular velocity. To this end, a precession model is developed and considered, assuming that the bar behaves like a rigid body. In order to study the behaviour of the rigid body, we solve its Euler equations. We study the resulting solution in a precessing reference system, selected in such a way to make the angular momentum and angular velocity of the body time independent. After checking that the periodic orbits inside the bar keep being the skeleton of the inner system, even after inflicting a precession to the potential, we compute the invariant manifolds of the unstable periodic orbits departing from the equilibrium points at the ends of the bar to get evidence of their warped shapes. As is well known, from previous studies with 2D galaxy models, the invariant manifolds associated with these periodic orbits drive the arms and rings of barred galaxies and constitute the skeleton of these building blocks. Now, looking at them from an edge-on viewpoint, we find that these manifolds present warped shapes such as those recognized in observations with a close concordance in angles.
In addition, test particle simulations have been performed to determine how the stars are affected by the applied precession, confirming in this way the theoretical results obtained.
Once the behaviour of the precessing model is known, we develop the model with a more complex potential, including a spherical halo, in order to study the influence of each parameter that gives shape to the potential and to determine the effect of the halo in the formation of galaxy warps. We have observed that the presence of the halo helps to increase the resulting warp angle.
The theory of invariant manifolds is also applied to the study of the existence of galaxies with four spiral arms, such as ESO 566-24 and possibly the Milky Way. A double-barred galaxy model is tested as a plausible explanation of the formation of four spiral arms in a galaxy. This is checked through the method of invariant manifolds in various double-barred systems, not restricting ourselves to the Milky Way. We find that the double-barred model is not sufficient by itself to give rise to the shape of four spiral arms as observed, and we suggest possible refinements of the galaxy model in order to better match the experimental observations.
The most promising of these model refinements is to consider the galaxy as a non-autonomous system, with two bars which are rotating with different pattern speeds. Dealing with non-autonomous systems leads to the study of their dynamics by means of Lagrange Coherent Structures (LCS). This is a recent, still developing theory, in which the LCS behave analogously to the invariant manifolds in autonomous systems, organizing the evolution of the flow. We have developed our own code for the computation of LCS, which can be applied to parametrized surfaces in systems of any dimension. To establish the comparison between LCS and invariant manifolds, we apply both methods to the pendulum problem, in its autonomous and non-autonomous versions. After this, we compute the LCS for our galaxy model formed by a disc and bar, without precession. We demonstrate that the LCS show the same behaviour as the stable invariant manifolds, and that they exhibit more information in a wide region of the space.

La mayoría de galaxias tienen forma alabeada cuando son vistas desde un punto de vista lateral. En este trabajo aplicamos métodos de sistemas dinámicos para encontrar una explicación de este fenómeno que concuerde con su abundancia entre galaxias, su persistencia en el tiempo y el tamaño de los ángulos de alabeo observados. Partiendo de un modelo de galaxia tridimensional sencillo, pero realista, formado por una barra y un disco delgado, estudiamos los efectos que produce un pequeño desalineamiento entre el momento angular del sistema y su velocidad angular. Con este fin, se desarrolla un modelo de precesión, asumiendo que la barra se comporta como un sólido rígido. Para estudiar el comportamiento del sólido rígido, resolvemos sus ecuaciones de Euler. Estudiamos la solución obtenida en un sistema de referencia de precesión, que hace que el momento y la velocidad angular del cuerpo sean constantes. Después de comprobar que las órbitas periódicas del interior de la barra siguen siendo el esqueleto del sistema, incluso después de aplicar una precesión al potencial, calculamos las variedades invariantes de las órbitas periódicas inestables que parten de los puntos de equilibrio en los extremos de la barra, obteniendo evidencias de sus formas alabeadas. Como es conocido, a partir de estudios previos con modelos bidimensionales de galaxias, las variedades invariantes asociadas con estas órbitas periódicas marcan la posición de los brazos y anillos de las galaxias barradas y constituyen el esqueleto de estos elementos. Ahora, observándolos desde un punto de vista lateral, hallamos que estas variedades presentan formas alabeadas análogas a las observadas, y con una gran concordancia de ángulos. Además, hemos realizado simulaciones de test de partículas para determinar como la precesión aplicada al potencial afecta a las estrellas, confirmando de esta manera los resultados teóricos obtenidos. Una vez se conoce el comportamiento del modelo de precesión, lo sofisticamos con un potencial más complejo, incluyendo un halo esférico, para estudiar la influencia de cada parámetro que da forma al potencial y para determinar el efecto del halo en la formación de galaxias alabeadas. Hemos constatado que la presencia del halo incrementa el ángulo de alabeo. Aplicamos también la teoría de variedades invariantes al estudio de galaxias con cuatro brazos espirales, tales como la ESO 566-24 y posiblemente la Vía Láctea. Se prueba por el método de variedades invariantes un modelo de galaxia con doble barra como una explicación plausible de la formación de los cuatro brazos espirales en una galaxia, utilizando para ello varios sistemas de doble barra, no restringiéndonos a la Vía Láctea. Concluimos que el modelo de doble barra no es suficiente para explicar la formación de cuatro brazos espirales, y sugerimos posibles refinamientos del modelo galáctico para que concuerde mejor con las observaciones experimentales. El más prometedor de estos refinamientos del modelo es considerar la galaxia como un sistema no autónomo, donde las dos barras rotan a distinta velocidad. Tratar con sistemas no autónomos nos conduce al estudio de su dinámica por medio de las Estructuras Coherentes Lagrangianas (LCS). Esta es una teoría muy reciente, todavía en desarrollo, en la que las LCS organizan la dinámica del sistema de manera análoga a cómo lo hacen las variedades invariantes en sistemas autónomos. Hemos creado un programa propio para el cálculo de las LCS, que puede ser aplicado a superficies parametrizadas en sistemas de cualquier dimensión. Para establecer la comparación entre LCS y variedades invariantes, aplicamos ambos métodos al problema del péndulo, en sus versiones autónoma y no autónoma. Después, calculamos las LCS en nuestro modelo galáctico formado por un disco y una barra, sin precesión. Mostramos que las LCS se comportan como las variedades invariantes estables, y que proporcionan más información en una amplia región del espacio.