Albebraic, geometric and complexity aspects of quantum search algorithms
Authors: Κωνσταντάκης Χρήστος 
Published: September 2021

Ο αλγόριθμος κβαντικής αναζήτησης είναι ένας από τους σημαντικότερους κβαντικούς αλγόριθμους και χρησιμοποιείται στην αναζήτηση k το πλήθος μαρκαρισμένων στοιχείων συνόλου (μη δομημένη βάση δεδομένων), πληθικού αριθμού Ν. Ο αλγόριθμος είναι πιθανοθεωρητικός και απαντά επιτυχώς με Order(SQRT(N/k)) δοκιμές, επιτυγχάνοντας έτσι τετραγωνική ελάττωση της πολυπλοκότητας αναζήτησης σε σύγκριση με κάθε αντίστοιχο κλασικό αλγόριθμο πολυπλοκότητας Οrder(N/k). Ο αλγοριθμος εκμεταλλεύεται βασικά χαρακτηριστικά της Κβαντομηχανικής όπως η γραμμική υπέρθεση, ο κβαντικός εναγκαλισμός (quantum entanglement) διανυσμάτων κατάστασης σε τανυστικά γινόμενα χώρων Hilbert, η γιουνίταρι δυναμική, η κβαντική προβολική μέτρηση. Στην παρούσα εργασία διερευνούμε διάφορες αλγεβρικές, γεωμετρικές και υπολογιστικές (από την σκοπιά της πολυπλοκότητας) πτυχές της κβαντικής αναζήτησης και προτείνουμε νέους κβαντικούς αλγόριθμους οι οποίοι ελαττώνουν περαιτέρω τα όρια της πολυπλοκότητας. Πιο συγκεκριμένα, εισάγουμε πρώτα την έννοια της άλγεβρας του μαντείου η οποία καθορίζεται από τις Boolean συναρτήσεις χαρακτηρισμού των ζητούμενων στοιχείων, ως μια ισομορφική άλγεβρα της SU(2) εμφυτευμένης στην άλγεβρα SU(N) και επαναδιατυπώνουμε αλγεβρικά τον αλγόριθμο. Δυνάμει της αλγεβρικής επαναδιατύπωσης αποδεικνύεται ότι το διάνυσμα αναζήτησης Bloch ακολουθεί σφαιρική γεωδαισιακή τροχιά, αιτιολογώντας έτσι γεωμετρικά την τετραγωνική ελάττωση της πολυπλοκότητας αναζήτησης. Έχοντας επαναδιατυπώσει αλγεβρικά τον αλγόριθμο, εισάγουμε την χαλάρωση του γιουνίταρι χαρακτήρα του τελεστή αναζήτησης, ο οποίος αντικαθίσταται από μία μονοπαραμετρική πλήρως θετική ιχνοδιατηρητική απεικόνιση. Η μελέτη της απεικόνισης αναζήτησης οδηγεί στην διερεύνηση της σχέσης πολυπλοκότητας-ακρίβειας στην εύρεση στοιχείων και οδηγεί στην διατύπωση μίας νέας στρατηγικής αναζήτησης. Η χρήση της θεωρίας αναπραστάσεων της άλγεβρας μαντείου μας επιτρέπει να εισάγουμε δυο νέους τρόπους συλλογικής κβαντικής αναζήτησης : την συγχώνευση (merging) και την αλύσωση (concatenation) , που αντιστοιχούν σε δύο τρόπους συνένωσης των συναρτήσεων Boole και των χώρων Hilbert των επιμέρους (έστω n τον αριθμό), κβαντικών αλγορίθμων. Αποδεικνύουμε ότι για τις αντίστοιχες πολυπλοκότητες αλύσωσης Tconc και συγχώνευσης Tmerg, ισχύει ότι αφενός η αλύσωση δεν προσφέρει επιπλέον επιτάχυνση αλλά και ότι Tconc=Order(SQRT(n)) Tmerg. Επομένως η συλλογική αναζήτηση μέσω συγχώνευσης αλγορίθμων παρέχει επιτάχυνση χρόνου αναζήτησης κατά SQRT παράγοντα του αριθμού εμπλεκομένων αλγορίθμων. Χρησιμοποιώντας την θεωρία διαμερίσεων ακεραίων, διαγραμμάτων Young και την θεωρία της κατίσχυσης (majoirization), εξετάζουμε τις ενδιάμεσες τιμές πολυπλοκότητας για όλα τα παρεμβαλλόμενα σχήματα συνένωσης ανάμεσα στα ακραία σχήματα “όλες οι n αναζητήσεις συγχωνευμένες ” και στο “όλες οι n αναζητήσεις αλυσωμένες ”. Χρησιμοποιώντας την θεωρία της γιουνίταρι επέκτασης των θετικών ιχνοδιατηρητικών απεικονίσεων, αποδεικνύουμε ότι η παραπάνω παραμετρική αναζήτηση είναι ισοδύναμη με έναν κβαντικό περίπατο υπό το κόστος της εισαγωγής (βοηθητικών) χώρων κβαντικού “νομίσματος”. Ακριβέστερα, αποδεικνύουμε ότι ο αριθμός των επαναλήψεων από τη σκοπιά της κβαντικής αναζήτησης είναι ίσος με τον αριθμό των κβαντικών “νομισμάτων” (από τη σκοπιά του κβαντικού περιπάτου) και ότι η τετραγωνική επιτάχυνση της κβαντικής αναζήτησης εκφράζεται ως η τετραγωνική αύξηση της διάχυσης στον κβαντικό περίπατο. Επίσης, αποδεικνύεται ότι με το (επιπλέον) κόστος των δυο ερωτήσεων στο μαντείο, τα άρτιας τάξης βήματα του κβαντικού τυχαίου περιπάτου ισοδυναμούν με τον “διπλασιασμό” της κβαντικής αναζήτησης. Τέλος, χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο κβαντικής αναζήτησης ενός στοιχείου ως εργαλείο για την λύση ενός εντελώς διαφορετικού προβλήματος: της καταμέτρησης των στοιχείων (έστω Ν), ενός πεπερασμένου συνόλου το οποίο ταυτοποιούμε ως σύνολο βάσης δεδομένων. Προς τούτο αποδεικνύουμε την την περιοδικότητα του συναρτησιακού μέτρου του κβαντικού εναγκαλισμού μεταξύ δυο οποιονδήποτε μερών διαμέρισης του χώρου βάσης δεδομένων. Αποδεικνύουμε ότι αρκεί να προσδιορίσουμε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς αυτού του εναγκαλισμού που συμβαίνουν με περιοδικότητα Order(SQRT(N)), προκειμένου να μετρηθεί ο πληθάριθμος Ν με τετραγωνική επιτάχυνση της καταμέτρησης, σε σχέση με την κλασική καταμέτρηση κόστους Ν. Η επιτάχυνση καταμέτρησης βελτιώνεται υπερτετραγωνικά ενισχύοντας , εξ αιτίας εικασίας ή a priori πληροφορίας, την αρχική πιθανότητα επιλογής του στοιχείου αναζήτησης.