Malliavin calculus for a combined stochastic partial differential equation with unbounded noise diffusion & applications
Authors: Φαραζάκης Δημήτριος 
Published: October 2024

Πρωταρχικός σκοπός αυτής της διατριβής είναι ο συνδυασμός μαθηματικών τεχνικών στον τομέα τηςφυσικής και των οικονομικών για την προσέγγιση δυναμικών συστημάτων που διέπονται από αβεβαιότητα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με την πρώτηερευνητική εργασία εξ΄ αυτών. Το στοχαστικό μοντέλο Cahn-Hilliard/Allen-Cahn ανήκει στην ευρύτερηκατηγορία των δυναμικών συστημάτων και συγκεκριμένα είναι μια εξίσωση αντίδρασης-διάχυσης. Πρόκει-ται για το συνδυασμό των εξισώσεων Cahn-Hilliard και Allen-Cahn, δηλαδή με την παρουσία πολλαπλασιαστικού λευκού θορύβου ως προς τον χώρο και χρόνο. Η παραπάνω στοχαστική διαφορική εξίσωση εκφράζει την εξέλιξη τηςδιαχυτικής διαδικασίας μιας επιφάνειας ως προς τις αλληλεπιδράσεις των μορίων της (Cahn-Hilliard), καθώςκαι την διαδικασία του φαινομένου προσρόφησης-εκρόφησης προς και από την προαναφερθείσα επιφάνεια(Allen-Cahn) αντίστοιχα. Εφαρμόζουμε Malliavin calculus στην εξίσωση Cahn-Hilliard/Allen-Cahn με μη φραγμένο συντελεστή διάχυσης. Αρχικά μετα-τρέπουμε την διαφορική μορφή της εξίσωσης σε ολοκληρωτική, χρησιμοποιώντας επίσης υπολογισμούς τηςσυνάρτησης Green. Μέσω μιας κατάλληλης συνάρτησης αποκοπής η λύσητου διαφορικού μας μοντέλου, u (της οποίας η ύπαρξη και μοναδικότητα στην μία διάσταση έχει αποδειχθεί), μετατρέπεται σε τοπικοποιημένη μορφή un. ΄Επειτα χρησιμοποιώντας την μέθοδοδιαδοχικών προσεγγίσεων κατά Picard αποδεικνύουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της un, επαληθεύονταςμε αυτόν τον τρόπο και την εγκυρότητα της αρχικής επιλογής της συνάρτησης αποκοπής. ΄Ετσι, μπορούμεπλέον να εφαρμόσουμε τον τελεστή Malliavin, D, στην un και να καθιερώσουμε την ύπαρξη και μοναδι-κότητα λύσης της έκφρασης Dun. Πρόκειται για ένα σημαντικό αποτέλεσμα στην έρευνα αυτή, διότι ωςάμεση συνέπεια είναι η απόδειξη της απόλυτης συνέχειας της τοπικοποιημένης ακολουθίας un. Αυτό σημα-ίνει και ότι η λύση, u, της εξίσωσης Cahn-Hilliard/Allen-Cahn είναι απολύτως συνεχής, καθώς και ότι έχειπυκνότητα. Συγκεκριμένα αποδεικνύουμε ότι ο νόμος τόσο της un όσο και της u είναι απολύτως συνεχήςως προς το μέτρο Lebesgue στον R, και άρα έχουν πυκνότητα.Η επόμενη καινοτομία σχετίζεταιμε το πρόβλημα Stefan μιας φάσεως. Πρόκειται για ένα δυναμικό σύστημα μιας διάστασης που περιγράφειτη συνολική πυκνότητα των sell και buy limit orders ενός περιουσιακού στοιχείο υπό την ύπαρξη spread.Επίσης το παραπάνω μοντέλο ικανοποιεί το στοχαστικό πρόβλημα κατά Stefan σε συδυασμό με την εξίσωσητης θερμότητας παρουσία λευκού θορύβου ως προς χώρο και χρόνο. Επίσης μεσω κατάλληλης αλλαγήςμεταβλητών το άνωθεν μοντέλο μπορεί να μετατραπεί σε μια στοχαστικη διαφορική εξίσωση ανακλάσεως(reflected stochastic partial differential equation). Η στοχαστικότητα αυτή προέρχεται από τον θόρυβοτου Walsh. Αρχικά ο πρώτος στόχος είναι η επίτευξη της ύπαρξης ολοκληρωτικής λύσης (globalsolution) του μοντέλου μας.΄Επειτα περιγράφεται το χρηματοοικονομικό περιβάλλον που αντικατοπτρίζει η διαφορική μας εξίσωση. Δη-λαδή το γενικότερο μαθηματικό πρόβλημα που μελετάμε σε αυτην την εργασία ικανοποιεί συγκεκριμένεςχρηματοπιστωτικές αγορές. Αυτές είναι αγορές που λαμβάνουν χώρα ηλεκτρονικά διαμέσου κατάλληλωνπλατφόρμων. Επιπλέον οποιαδήποτε επένδυση πραγματοποιείται σε αυτήν την αγορά διακυβεύεται από τηνπαρουσία θορύβου στον οποίο υπόκεινται και οι αντίστοιχοι επενδυτές για την επίτευξη κέρδους.