Meshless methods for solving large-scale problems
Authors: Μέτσης Παναγιώτης 
Published: August 2021

Η παρούσα Διδακτορική Διατριβή έχει ως αντικείμενο τη συμβολή στην ανάπτυξη υπολογιστικών μεθόδων που διακριτοποιούν τον υπολογιστικό χώρο μόνο σε κόμβους χωρίς την ύπαρξη πλέγματος στοιχείων, με ή χωρίς την ύπαρξη οπίσθιου δικτύου ολοκλήρωσης των διαφορικών εξισώσεων. Οι μέθοδοι αυτές πλεονεκτούν κατά τη βιβλιογραφία έναντι των συμβατικών, εδραιωμένων μεθόδων (όπως η κλασσική μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων) στην ακρίβεια των παραγόμενων αποτελεσμάτων, σε προβλήματα μεγάλων παραμορφώσεων – μετατοπίσεων αλλά και σε ορισμένα προβλήματα δημιουργίας και διάδοσης ασυνεχειών. Τα κύρια χαρακτηριστικά των μη πλεγματικών (meshless ή meshfree) μεθόδων, εκτός από τη διακριτοποίηση με κόμβους, είναι το τοπικό χωρίο επιρροής κάθε κόμβου (ή βαθμού ελευθερίας) το οποίο ενδεχομένως να μεταβάλλεται και τα σημεία ολοκλήρωσης των διαφορικών εξισώσεων που μπορεί να ανήκουν σε ένα δίκτυο (όπως στην τυπική ολοκλήρωση με σημεία Gauss) ή να είναι αυτόνομα (σημειακή ολοκλήρωση). Λόγω της διασποράς των κόμβων στο χώρο, οι συναρτήσεις σχήματος που χρησιμοποιούνται είναι πιο περίπλοκες και άρα δυσκολότερα ολοκληρώσιμες από τις κλασσικές συναρτήσεις σχήματος της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Λόγω της ιδιομορφίας των συναρτήσεων σχήματος είναι δυσκολότερη και η επιβολή συνοριακών συνθηκών αλλά και σημειακών φορτίσεων.Από τα αρχικά στάδια της έρευνας έγινε ορατό το ιδιαίτερα αυξημένο υπολογιστικό κόστος της μεθόδου. Προς την κατεύθυνση της μείωσης αυτού του κόστους πραγματοποιήθηκε πρωτότυπη εργασία στο χωρισμό του φορέα σε υποφορείς βάσει του φυσικού προβλήματος δημιουργώντας επικαλυπτόμενους υποφορείς. Το ενδοσυνοριακό πρόβλημα επιλύθηκε με άμεση αλλά και επαναληπτική διαδικασία. Παράλληλα προτάθηκε μία διαδικασία εξισορρόπησης των μητρώων στιβαρότητας των υποφορέων που προκύπτουν και τέλος μία μη-επικαλυπτόμενη προσέγγιση στο διαχωρισμό των υποφορέων.Για τη μείωση του κόστους μόρφωσης του μητρώου στιβαρότητας αναπτύχθηκε μία διαφορετική διαδικασία συσχέτισης των βαθμών ελευθερίας με τα σημεία ολοκλήρωσης. Η αναζήτηση των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των βαθμών ελευθερίας και των σημείων ολοκλήρωσης πραγματοποιείται σε συγκεκριμένες περιοχές και όχι σε όλο το φορέα μειώνοντας σημαντικά το χρόνο αναζήτησης. Παράλληλα αναπτύχθηκε μία καινοτόμος διαδικασία μόρφωσης του μητρώου στιβαρότητας, έχοντας ως σημείο αναφοράς τον κάθε βαθμό ελευθερίας και όχι το σημείο ολοκλήρωσης. Κατά αυτόν τον τρόπο γίνεται «απευθείας» η δημιουργία των στοιχείων του μητρώου στιβαρότητας στους βαθμούς ελευθερίας (κόμβους του φορέα). Για την προτεινόμενη υλοποίηση χρησιμοποιείται μία διαδικασία δύο σταδίων η οποία είναι άμεσα παραλληλοποιήσιμη. Κατά αυτόν τον τρόπο το κάθε στοιχείο του μητρώου στιβαρότητας εγγράφεται μία φορά και δεν ανανεώνεται διαρκώς όπως στη συμβατική διατύπωση, βελτιώνοντας σημαντικά το υπολογιστικό κόστος.Παράλληλα δημιουργήθηκε μία νέα διατύπωση του πεδίου των συναρτήσεων σχήματος κατά τμήματα. Στην περίπτωση που γίνεται προσθήκη κόμβων (βαθμών ελευθερίας) οι αρχικές συναρτήσεις σχήματος και οι παράγωγοί τους διατηρούνται και η συνεισφορά των νέων κόμβων υπολογίζεται ξεχωριστά μέσω μιας πρωτότυπης διαδικασίας. Η εξέλιξη της παραπάνω διατύπωσης όσον αφορά τα στοιχεία του μητρώου στιβαρότητας επιτρέπει μία ιεραρχική δόμηση του ολικού μητρώου στιβαρότητας, καθώς στο υπάρχον (προ-υπολογισμένο) αρχικό μητρώο στιβαρότητας προστίθενται οι πρόσθετες συνεισφορές και δε χρειάζεται να γίνει επανυπολογισμός του μητρώου από την αρχή, όπως γίνεται στη συνήθη διαδικασία. Δημιουργήθηκε επίσης μία δεύτερη πρωτότυπη διατύπωση του πεδίου των συναρτήσεων σχήματος, η οποία οδηγεί σε μία καθαρά ιεραρχική δόμηση του μητρώου στιβαρότητας, με την έννοια της απεμπλοκής του αρχικού από το προστιθέμενο τμήμα. Κατά αυτόν τον τρόπο το αρχικό (προ-υπολογισμένο) μητρώο στιβαρότητας δέχεται συνεισφορές μόνο στους πρόσθετους βαθμούς ελευθερίας.