Special values of the triple product p-adic L-function
Authors:   , Gatti Francesca 
Published: October 2023

Let E be an elliptic curve defined over the field of rational numbers and let f be the corresponding newform of weight 2. Let g,h be two weight one newforms whose nebentype characters are mutually inverse. Let V be the tensor product of the Artin representations attached to g and h, let L be the number field generated by the Fourier coefficients of g and h and let H be the number field cut by V.
The points of E having coefficients in H form a finitely generated abelian group E(H), and one can attach to the pair (E,V) the finite-dimensional L-vector space MW(E,V) consisting of the homomorphisms from V to E(H) which are equivariant with respect to the action of the absolute Galois group of the rational numbers. We call algebraic rank of (E,V) the L-dimension of MW(E,V).

On the other hand, a complex L-function L(E,V;s), which satisfies a functional equation whose center of symmetry is s=1, can be attached to (E,V). The Galois-equivariant version of the Birch and Swinnerton–Dyer conjecture predicts that the algebraic rank of (E,V) should equal the order of vanishing of L(E,V;s) at s=1, that we call analytic rank of (E,V).

An interesting approach to these sort of problems (which are in general still unsolved) is via p-adic analysis. In our setting, we will consider the triple product p-adic L-function Lp(F,G,H)(k,l,m) attached by Darmon and Rotger to a triple of Hida families F,G,H passing through f,g,h respectively at weights 2,1,1. The function Lp(F,G,H)(k,l,m) interpolates p-adically the central values of the complex L-functions attached to the specialisations of the families F,G and H at classical weights k,l,m for which the weight l is greater or equal to the sum of the other two (in this case we say that l is ’dominant’). In particular, the triple (2,1,1), which corresponds to the pair (E,V) lies outside the region of classical interpolation of the triple product L-function. In this thesis we study the value Lp(F,G,H)(2,1,1), and more in general the values of Lp(F,G,H) at weights (k,l,m) with k dominant, in different settings.
n the case in which the ranks of (E,V) are 2, with the elliptic Stark conjecture Darmon, Lauder and Rotger predict (and prove, in some special cases) that Lp(F,G,H)(2,1,1) can be expressed as a p-adic regulator involving the p-adic logarithm of points on E(H), divided by the logarithm of a so- called Stark unit. We generalise this conjecture to general weights (k,l,m) with k dominant and we prove some cases of this conjecture. Here p is an odd prime which does not divide the conductors of g and h and divides at most once the conductor of E.

If p does not divide any of the conductors and if the analytic and the alge- braic ranks of (E,V) are 0 we prove, under the additional hypothesis that the Selmer group of (E,V) is trivial, a formula for the value Lp(F,G,H)(2,1,1) in terms of the Bloch–Kato logarithm of a canonical non-cristalline class which belongs to the p-relaxed Selmer group of (E,V), along a certain cristalline direction. As a corollary we prove that, in the special case in which g and h are theta series of Hecke characters of the same imaginary quadratic field in which p splits, the triple product L-function vanishes at (2,1,1).

Finally we study the case in which E has multiplicative reduction at p, g and h are theta series of the same imaginary quadratic field K in which p is inert, p does not divide the conductors of g and h and the analytic rank of (E,V) is 0. In this setting, Bertolini and Darmon constructed a so–called Kolyvagin class with interesting arithmetic properties, which lies in the relaxed Selmer group of E over the field H cut out by V. We prove a formula which relates the value Lp(F,G,H)(2,1,1) to the p-adic logarithm of the projection along a cristalline direction of the Kolyvagin class.

Sea E una curva elíptica definida sobre el campo de números racionales y sea f la nueva forma correspondiente de peso 2. Sean g, h dos formas nuevas de peso uno cuyos caracteres nebentype son mutuamente inversos. Sea V el producto tensorial de las representaciones de Artin adjuntas a gyh, sea L el campo numérico generado por los coeficientes de Fourier de gyh y sea H el cuerpo de números cortado por V. Los puntos de E que tienen coeficientes en H forman el grupo abeliano finitamente generado E(H), y podemos asociar al par (E,V) el L- espacio vectorial MW(E,V) de los homomorfismos entre V y E(H) que sean equivariantes con respecto a la acción del grupo de Galois absoluto de los racionales. La dimensión de MW(E,V) sobre L es el rango algebraico de (E,V). Por otro lado, podemos asociar a (E,V) una función compleja L(E,V;s), que satisface una ecuación funcional con centro de simetría s=1. Según la versión Galois, equivariante de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, el rango algebraico de (E,V) tendría que ser igual al orden de anulamiento de L(E,V;s) en s=1, lo que llamamos el rango analítico de (E,V). Una manera interesante de abordar este tipo de problemas (que en gen- eral siguen abiertos) es a través del análisis p-ádico. En este contexto, vamos a considerar la función L p-adica del triple producto Lp(F,G,H)(k,l,m), definida por Darmon y Rotger a partir de una tripleta de familias de Hida F,G y H cuyas especializaciones en pesos 2,1,1 son respectivamente f,g y h. La función Lp(F,G,H)(k,l,m) interpola p-ádicamente los valores centrales de las funciones L complejas asociadas a las especializaciones de F,G y H en pesos clásicos k,l,m tales que l sea mayor o igual que la suma de los otros pesos (en este caso decimos que k es “dominante”). En particular la tripleta (2,1,1), que corresponde al par (E,V), no pertenece a la región de interpolación de la funcion L p-ádica del triple producto. En esta tesis vamos a estudiar el valor Lp (F,G,H)(2,1,1), y, más en general, los valores de Lp (F,G,H) en pesos (k,l,m) con k dominante, en contextos diferentes. En el caso en que los rangos de (E,V) son iguales a 2, Darmon, Lauder y Rotger establecieron la “Elliptic Stark Conjecture”, con la cual suponen (y demuestran en algunos casos particulares) que Lp(F,G,H)(2,1,1) se puede expresar en términos de un regulador p-ádico que involucra el logaritmo p-ádico de puntos en E(H), dividido por el logaritmo de una unidad de Stark. En la tesis, generalizamos esta conjetura para pesos generales (k,l,m) con k dominante, y demostramos algunos casos de la conjetura. En este contexto, p es un primo impar que no divide los conductores de g y h y divide como máximo una vez el conductor de E. Si p no divide ninguno de los conductores y si los rangos algebraico y analítico de (E,V) son 0, demostramos, bajo la hipótesis adicional que el grupo de Selmer de (E,V) sea trivial, una fórmula por el valor Lp(F,G,H)(2,1,1) en términos del logaritmo de Bloch-Kato de una clase no-cristalina canónica que pertenece al grupo de Selmer p-relajado de (E,V), en una dirección cristalina. Como corolario demostramos que, en el caso particular donde g y h son series theta de caracteres de Hecke del mismo cuerpo cuadrático imaginario donde p es split, la función L p-ádica del triple producto se anula en el punto (2,1,1). Como último, estudiamos el caso en que E tiene reducción multiplicativa en p, g y h son series teta del mismo cuerpo cuadrático imaginario donde p es inerte, p no divide al conductor de g y h y el rango analítico de (E,V) es 0. En este caso, Bertolini y Darmon construyeron una clase de cohomología (clase de Kolyvagin) con interesantes propiedades aritméticas y perteneciente al grupo de Selmer p-relajado de E sobre H. En la tesis demostramos una fórmula que relaciona Lp(F,G,H)(2,1,1) en este contexto al logaritmo p-ádico en una dirección cristalina de la clase de Kolyvagin.