user: 확률의 주요 요소에 대해 설명해 주세요.

gpt: 일어날 수 있는 모든 경우의 수 가운데 선택된 각각의 경우를 사건이라고 하며, 더 이상 분해 될 수 없는 기본 사건과 이들이 결합한 복합 사건으로 구분된다. 또한 기본 사건은 그 성격에 따라 독립 사건 과 종속 사건, 상호 배타 사건 등으로 구분된다.

현대 수학에서 확률은 집합론과 함수에 의해 설명된다. 즉 확률은 어떤 일이 일어날 모든 경우의 수의 집합을 정의역인 표본 공간으로 하고 그것이 일어날 확률의 집합인 확률 공간을 치역으로 하며 함수인 확률 변수에 의해 정의역에서 치역으로 사상된다.

하나의 정육면체 주사위 던지기와 같은 기본 사건은 각각의 경우의 수가 나타날 확률이 균등하지만, 둘 이상이 되면 나타나 수 있는 확률의 분포가 동일하지 않다. 복합 사건에서 어떤 것은 보다 많이 나타날 가능성이 있고 어떤 것의 확률은 희박하다. 포커는 이러한 확률의 차이를 바탕에 둔 카드 게임이다. 확률 분포의 정도는 확률 질량 함수나 확률 밀도 함수를 통해 계산할 수 있으며 이렇게 계산된 정도에 따라 기대값을 생각할 수 있다.

## 사건의 종류
일어나는 사건들이 서로 아무런 영향을 주지 않을 때 독립 사건이라고 한다. 반면에 둘 이상의 사건이 서로 영향을 미친다면 종속 사건이라고 한다. 정육면체 주사위 던지기에서 나오는 눈의 값은 서로 영향을 미치지 않기 때문에 독립 사건이지만, 흰 공과 검은 공이 섞여 있는 주머니에서 공을 꺼내는 사건의 확률은 종속적이다. 앞서 꺼낸 공 때문에 확률이 변하기 때문이다. 예를 들어 흰 공 5 개와 검은 공 5 개가 들어 있는 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 50% 이지만 처음 꺼낸 공이 흰 공이었을 때 두 번째 공도 흰 공일 확률은 로 변하게 된다. 이미 흰 공 하나가 밖으로 나와 있기 때문이다.

배반 사건 또는 배타 사건은 동시에 두 가지가 일어날 수 없는 경우를 가리킨다. 정육면체 주사위를 던졌을 때 홀수이면서 동시에 짝수일 수는 없기 때문에 두 사건은 서로 배타적이다. 반면에 두 사건이 동시에 고려되어야 한다면 결합 사건이라고 한다.

## 표본 공간과 확률 공간
어떤 일이 일어날 확률은 일어날 수 있는 모든 경우의 수에 대한 선택된 일이 일어날 경우의 수의 비율로 정의할 수 있다. 예를 들어 정육면체 주사위를 한 번 던져 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6이다.

이 가운데 짝수가 나올 경우는 2, 4, 6의 세 가지이므로, 정육면체 주사위를 한 번 던져 짝수가 나올 확률은 이고 약분 하면 이 된다. 0.5 또는 50 % 로 표기할 수도 있다.

이 때 모든 경우의 수를 원소로 하는 집합을 표본 공간이라고 하고 일반적으로 

확률 공간은 표본 공간에서 사건이 일어날 범위를 측정하는 측도 공간이다. 사건 F가 아무런 원소도 갖지 않는 공집합이라면 확률은 0 이 되고 사건 F에 속하는 원소가 전체 집합인 표본 공간 S와 같다면 확률은 1이 된다.

정육면체 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 눈을 원소로 하는 표본 공간 S는 다음과 같다.

이때 짝수가 나오는 사건 F는 다음과 같은 부분 집합이다.

표본 집합 S에 대한 사건 F의 확률은 다음과 같이 표현된다.

한편 정육면체 주사위의 경우 짝수가 나오지 않으면 홀수이기 때문에 이 경우는 사건 F의 여 집합으로 생각할 수 있다.

## 확률 변수
현대 수학에서 확률은 표본 공간에서 확률 공간으로 사상되는 함수로 취급된다. 표본 공간의 원소인 각각의 경우의 수를 일정한 확률로 계산할 수 있는 것은 확률 변수의 작용 때문이다. 표본 공간은 확률 함수의 정의 역으로 동전 던지기처럼 단 두 가지 경우를 원소로 할 수도 있고 실수 전체를 원소로 할 수도 있다. 그러나 확률 변수에 의해 사상 된 확률의 치역은 0과 1사이의 실수 값을 갖는다.

## 확률 분포
주사위 두 개를 한 번에 던져 나오는 눈의 수를 더한다고 해 보자. 두 눈의 합이 6이 될 확률은 얼마나 될까? 주사위 두 개를 한 번에 던졌을 때 나올 수 있는 모든 경우의 수는 36가지로 이 때 표본 공간 S는 다음과 같은 순서쌍을 원소로 하는 집합이다.

이 가운데 더하여 6 이 되는 순서쌍을 원소로 하는 집합 사건 F는 다음과 같다.

따라서 두 눈의 합이 6이 될 확률 는 로 약 13.89 %이다. 반면에 더하여 2가 되는 경우는 두 눈 모두 1 인 경우 밖에 없기 때문에 확률은 로 약 0.28 %에 불과하다.

이와 같이 서로 다른 확률을 갖는 사건들의 분포를 확률 분포라고 한다. 확률 분포는 주사위 던지기나 동전 던지기와 같이 불연속적인 값일 수도 있고, 신입생의 키나 몸무게와 같이 연속적으로 늘어선 구간의 어느 값으로 나타날 수도 있다. 불연속적인 값을 갖는 확률 분포를 이산 확률 분포라고 하고 연속적인 경우를 연속 확률 분포라고 한다. 정규분포는 가장 널리 쓰이는 연속 확률 분포이다.

## 확률 분포 함수
확률의 분포가 확률 변수에 따라 차이가 나는 점을 생각할 때 확률의 분포 자체를 표현하는 확률 분포 함수를 생각할 수 있다. 연속적이지 않은 이산형 확률 변수 가 취할 수 있는 값이 확률 질량 함수이다. 반면에 연속적인 확률 변수의 경우 일정 구간의 확률을 넓이로 구할 수 있기 때문에 확률 밀도 함수라고 한다. 질량이나 밀도라는 명칭은 두 함수의 계산 법이 물리적 질량이나 밀도를 구하는 식과 같기 때문에 붙인 것이다. 빗물이 무작위로 쟁반 위에 떨어진다고 하자, 쟁반의 모양이 완전한 원반이라면 원의 중심에서 일정 반지름까지 빗방울이 떨어질 확률은 전체 원반 넓이에 대한 특정 반지름까지 원의 넓이 비율로 계산 될 것이다. 확률 밀도 함수는 이와 같이 표본 공간이 무한이 많은 경우로 이루어 질 때 확률의 분포를 표현하기 위해 쓰인다. 단, 확률 분포 함수는 확률 변수의 분포 만을 다룰 뿐 확률 자체를 나타내지는 않는다.

## 기댓값
확률 분포 함수에 따라 어떤 사건이 가장 많이 일어나는 지 알 수 있다. 기댓값은 확률 분포의 대표적인 중심 값으로 확률분포의 성격을 결정짓는 확률적 평균치이다. 기댓값은 산술적 평균이 아니며 확률의 예측에 따른 가중 평균이다.

예를 들어 정육면체 주사위 두 개를 동시에 던졌을 때 나올 수 있는 확률 변수 X에 대한 기댓값 E는 다음과 같이 계산된다.

## 확률의 합과 곱
다시 한 번 주사위 던지기를 생각해 보자. 정육면체 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 값이 2의 배수일 사건을 F2 라 하고, 3의 배수일 사건을 F3이라고 하면 두 사건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이제 정육면체 주사위를 한 번 던져 2의 배수 이거나 3의 배수일 경우의 확률은 두 사건 F2와 F3의 합집합 로 생각할 수 있다. 이 때 2의 배수이기도 하고 3의 배수이기도 한 6은 중복 되는 교집합이므로 한 번 빼 줘야 한다.

따라서 정육면체 주사위를 한 번 던져 2의 배수 이거나 3의 배수일 경우의 확률은 다음과 같다.

한편 정육면체 주사위를 두 번 던져 처음 나온 값은 2의 배수, 두 번째의 것은 3의 배수일 경우를 생각해 보면, 다음과 같이 두 확률의 곱으로 나타낼 수 있다. 두 사건이 동시에 일어나는 경우를 곱사건이라고 한다.

이를 계산하면,

생방송 행복드림 로또 6/45는 1에서 45개의 숫자 가운데 6 개를 맞추는 곱사건이고, 한 숫자를 맞출 때마다 골라야 하는 숫자와 고를 수 있는 숫자가 하나씩 줄어드는 종속 사건이기 때문에 6 개의 숫자 모두를 맞출 확률은 다음과 같이 여섯 가지 확률을 곱셈하여 계산할 수 있다.

## 조건부 확률
조건부 확률은 주어진 사건이 일어났다는 가정 하에 다른 한 사건이 일어날 확률을 뜻한다. 사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 조건부 확률은 를 분자로 하여 나타낼 수 있다.

조건부 확률의 널리 알려진 예시로는 몬티 홀 문제가 있다. 세 개의 문 가운데 하나에 경품이 있다. 참가자가 문 하나를 선택하면 진행자는 남은 두 문 가운데 경품이 없는 문을 하나 열어 보여 주고는 참가자에게 선택을 바꿀 것인지 묻는다. 참가자 입장에선 어떤 것이 유리한가? 이 문제는 미국의 텔레비전 쇼 거래를 합시다에서 유래한 것이다. 대부분의 참가자는 자신의 선택을 유지하였는데, 세 문 가운데 하나에 경품이 없다는 것을 확인하였기 때문에 당첨 확률이 에서 로 올라갔다고 생각하기 때문이다. 그러나 선택을 바꾸면 당첨 확률은 으로 올라간다.