수학, 특히 미분기하학에서 **게이지 이론**은 선형 다발, 주다발 및 올다발에서 정의된 접속에 대한 일반적인 연구이다. 수학의 한 분야인 게이지 이론과 게이지 대칭을 가진 장론인 물리학의 게이지 이론은 밀접하게 관련되어 있다. 물리학에서 게이지 이론을 수학에서 게이지 이론과 혼동하지 않도록 주의하라.

수학에서 게이지 이론은 일반적으로 게이지 이론적 방정식의 연구와 관련이 있다. 이 방정식들은 선형 다발 또는 주다발의 접속을 포함하거나 선형 다발의 단면을 포함하는 미분방정식이므로 게이지 이론과 기하 해석학 사이에 강한 연관이 있다. 이런 방정식은 종종 물리적으로 의미가 있으며 양자장론이나 끈 이론의 중요한 개념에 해당하는 동시에, 수학적으로 중요한 의미도 있다. 예를 들어, 양-밀스 방정식은 주다발의 접속에 대한 연립 편미분방정식이며, 물리학에서 이 방정식에 대한 해는 고전적 장론에 대한 운동 방정식의 진공 해이다.

게이지 이론은 매끄러운 다양체의 새로운 불변량, 초켈러 다양체와 같은 특이한 기하학적 구조의 구성, 또한 선형 다발의 모듈라이 공간 및 연접층과 같은 대수기하학의 중요한 구조에 대한 또 다른 설명을 제공하는 데 사용된다.

## 역사
미분 기하학에서 게이지 이론은 마이클 아티야, 이저도어 싱어 및 나이절 히친의 4차원의 리만 다양체에 대한 자기 쌍대 방정식에 대한 연구에 그 기원을 두고 있다. 이 연구에서는, 유클리드 공간에서 자기 쌍대 접속(순간자)의 모듈라이 공간이 연구되었으며, 양의 정수 차원 모듈라이 공간에 대응된다.

이와 비슷한 시기에, 마이클 아티야와 리차드 와드는 복소 사영 공간 에서 순수 선형 대수적 성질들로 부터 반자기 쌍대 방정식에 대한 해를 허용했다.

1980년대 초에 게이지 이론의 발전을 이끈 중요한 돌파구가 있었다. 이 시기에 아티야와 라울 보트가 했던 리만 곡면 위에서 양-밀스 방정식에 대한 중요한 연구는 게이지 이론 문제가 흥미로운 기하학적 구조를 일으킬 수 있음을 보여주었으며, 이를 계기로 무한 차원 운동량 사상, 모스 이론 및 게이지 이론과 대수 기하학의 연관성에 대한 연구가 발전되었다. 기하 해석학의 중요한 해석적 도구는 접속 및 곡률의 해석적 성질을 연구한 카렌 울렌벡에 의해 이때 개발되어 중요한 컴팩트성 결과들을 증명했다. 이 분야에서 가장 중요한 발전은 사이먼 도날드슨과 에드워드 위튼의 연구로 인해 발생했다.

도날드슨은 대수 기하학과 기하 해석학적 방법을 조합하여 현재 도널드슨 불변량으로 알려진 4가지 다양체들의 새로운 불변량을 구성했다.에 비가산 가지의 매끄러운 구조의 존재성과 같은 새로운 결과가 증명될 수 있었다. 이 공로로 도날드슨은 1986년 필즈상을 수상했다.

위튼은 3차원에서 천-사이먼스 이론에서 발생하는 양을 매듭의 불변량인 존스 다항식과 관련시킴으로써 위상 불변량을 설명하는 게이지 이론의 힘을 유사하게 관찰했다. 이 업적과 도날드슨 불변량의 발견, 그리고 안드레아스 플뢰어의 플뢰어 호몰로지에 대한 새로운 업적은 위상 양자장론 연구에 영감을 주었다.

다양체의 불변량을 정의하는 게이지 이론의 힘이 알려진 후 수학적 게이지 이론은 인기를 얻었다. 자이베르그-위튼 불변 및 바파-위튼 불변과 같은 추가 불변량이 알려지게 되었다. 끈 이론과 칼라비-야우 다양체들의 거울 대칭성의 관계에서 게이지 이론은 호몰로지 거울 대칭 가설과 AdS/CFT 대응을 표현하는 데 필수적이다.

## 기본 연구 대상
게이지 이론의 기본적인 연구 대상은 선형 다발과 주다발의 접속이다. 이 절에서는 이러한 구성을 간략하게 살펴보고 자세한 내용을 볼 수 있는 주요 문서를 언급한다. 여기에 설명된 구조는 미분 기하학 문헌의 표준이며 게이지 이론적인 관점에서 주제에 대한 소개는 도날드슨과 피터 크론하이머의 책에서 찾을 수 있다.

### 주다발
게이지 이론에서 연구의 중심 대상은 주다발과 선형 다발이다.

**구조 군 을 정의한다.

주다발의 가장 간단한 예는 구조군 으로부터 주어진다.

주다발은 올다발이기 때문에, 국소적으로는 곱공간 구조를 갖는다. 따라서, 다음 서술 될 성질들을 가진 에서 코사이클 조건

이 성립하는 은 잘 정의되어 있다. 위 내용은 ''올다발 구성 정리''로 알려져 있으며, 주다발이나 선형 다발뿐만 아니라 추이 사상으로 설명되는 모든 올다발에 대해 동일한 방법이 적용된다.

.

### 선형 다발
**선형 다발**  측면에서 선형 다발을 국소적으로 묘사 할 수 있다. 동형사상

에 대해, 선형 공간 로 표기한다. 이들은 다음 방정식으로 정의된다:

따라서 자명화을 특정하는 것은, 모든 곳에서 선형 독립인 개의 국소 단면들의 모임을 주고 이 표현을 사용하여 해당 동형을 정의하는 것과 동등하다. 이러한 국소 단면들의 모임을 ''틀''이라고 한다.

주다발과 유사하게, 선형 다발에 대해, 다음과 같이 정의된

추이 사상 의 틀다발을 얻는다.

### 연관된 다발
주어진 를 이 작용에 대한 몫 공간으로 정의한다.

추이 사상 관점에서 연관된 다발을 더 간단하게 이해할 수 있다. 주다발 을 사용하여 관련 선형 다발을 구성할 수 있다.

연관된 다발 구성은 군 동형 사상 이다.

### 게이지 변환
선형 다발 또는 주다발의 **게이지 변환**은 이 다발의 자기 동형 사상이다. 주다발인 경우, 게이지 변환은 사영 연산자 으로 정의된다.

는 틀다발을 나타낸다.

또한 **국소 게이지 변환**을 자명화 하는 열린 부분 집합 )으로 유일하게 결정 될 수 있다. 여기서 유도된 다발 동형은 다음과 같이 정의된다:

선형 다발에 대해서도 비슷하다.

동일한 열린 부분 집합 이다. 즉, ''국소 게이지 변환은 주다발 또는 선형 다발에 대한 국소 자명화의 변화가다'' .

### 주다발 접속
주다발에 대한 접속은 단면 에는 **자명한 접속**이 주어져 있다.

일반적으로 **접속**은 모든 점 이 있다. 접속의 **곡률**은 다음과 같이 정의되는

인접 다발 안에 매장되지 않는 정도를 정확하게 측정한다.

수평 부분 공간의 선택은 **접속 제 1형식**이라고도 불리는 사영 연산자 으로 볼 수 있다.

을 준다. 카르탕 구조 방정식에 따르면 곡률은 다음과 같은 표현

으로 국소 제 1형식  위에서의 리 괄호를 사용하였다.

에 대해, 국소적 접속 제 1형식은 다음 식

에 따라 변환된다. 여기서 을 가진다.

### 선형 다발의 접속
선형 다발에 대한 접속은 위에서 다룬 주다발에 대한 경우와 유사하게 지정될 수 있다. 이는 에레스만 접속으로 알려져 있다. 그러나 선형 다발 접속은 미분 연산자 측면에서 더 잘 설명된다. 선형 다발의 **접속**은, 모든 -선형 미분 연산자

의 특정한 선택이다.

단면 의 방향 **공변 도함수**는 다음과 같이 정의된다:

여기서 오른쪽에 의 **곡률**은 자기 사상 다발의 값을 가지며

로 정의되는 연산자 의 경우 다음을 정의한다:

여기서 국소 단면 에 대해 아인슈타인 표기법을 사용했다.

임의의 두 접속 -선형인지 보면 된다:

특히 모든 선형 다발은 접속을 허용하기 때문에(단위 분할 및 국소적 자명한 접속 사용), 선형 다발의 접속들의 집합은 선형 공간 로 표시된다.

이 관찰을 국소적으로 적용하면, 자명화 부분 집합 와 다르다. 이 국소 접속 형식의 관점에서 곡률은 다음과 같이 쓸 수 있다:

여기서 쐐기 곱은 제 1형식 성분에서 발생하고, 자기 사상 성분에서 자기 사상을 구성한다. 이를 주다발 이론으로 다시 연결하려면, 을 확인하라. 여기서 오른쪽에 이제 제 1형식의 쐐기와 자기 사상의 교환자를 수행한다.

선형 다발 에 대해 같은 표현을 얻는다:

### 유도된 접속
주다발에 대한 접속은 연관된 선형 다발에 대한 접속을 유도한다. 이를 확인하는 한 가지 방법은, 위에서 설명한 국소 접속 형식을 사용하는 것이다. 즉, 주 다발 접속 의 표현이다. 그러면, 유도된 국소 접속 1형식은 다음과 같이 정의된다:

여기서 의 준동형사상을 유도한다는 사실을 사용한다.

유도된 곡률은 다음과 같이 간단히 정의할 수 있다:

위 논의에서, 리 대수 의 자기 사상의 교환자로 보내지는 것과 같이, 곡률에 대한 국소적 표현들이 주다발 및 선형 다발과 어떻게 관련되는지 볼 수 있다.

### 접속들의 공간
게이지 이론에서 연구의 중심 목표는 선형 다발 또는 주요 다발의 접속 들의 공간이다. 이것은 선형 공간 는 일반적으로 하우스도르프 공간이나 매끄러운 다양체가 아니다.

기저 다양체  주다발의 양-밀스 접속의 모듈라이 공간을 쓴다. 이 업적으로 도날드슨은 필즈상을 수상했다.

## 표기법
여기에 선형 다발 및 주다발에 대한 접속에 사용되는 다양한 표기법 규칙이 있다.

### 수학적 게이지 이론 용어들과 물리적 게이지 이론 용어들의 관계
게이지 이론의 수학적 및 물리적 분야는 동일한 대상에 대한 연구를 포함하지만 다른 용어를 사용하여 설명한다. 다음은 이러한 용어가 서로 어떻게 관련되어 있는지 요약한 것이다.
(예: 연관된 다발의 단면에 적용된 공변 도함수 또는 두 항의 곱)
이 사전의 실증으로, 양자전기역학의 라그랑지안 밀도에서 전자-위치 입자장과 전자기장의 상호작용 항을 고려하라:

수학적으로 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다:

여기서  사이의 가장 단순한 상호작용이다.

## 양-밀스 이론
양-밀스 이론은 수학적 게이지 이론에서 발생하는 주요한 이론이다. 이 이론에서는 다음과 같이 정의된 **양-밀스 범함수**의 임계점인 접속에 대한 연구를 한다:

여기서 -norm의 제곱이다. 따라서 이 범함수의 임계점인 접속은 곡률이 최소인 접속이다.

이러한 임계점들은, 연관된 오일러-라그랑주 방정식에 해당하는 **양-밀스 방정식**

의 해로 특징 지어진다. 여기서 는 호지 별 연산자이다. 이러한 해를 **양-밀스 접속**이라고 하며, 기하학적으로 중요하다.

비앙키 항등식에 따라 모든 접속에 대해 는 다음 조건으로 특징 짓는다:

다음과 같은 조건

으로 조화 접속을 정의하면, 양-밀스 접속에 대한 연구는 본질적으로 조화 형식의 연구와 비슷하다. 호지 이론에서, 모든 드람 코호몰로지류 에서 각 궤도에 대한 고유한 대표원을 찾는 것으로 볼 수 있다.

### 자기 쌍대성 및 반 자기 쌍대성 방정식
4차원에서 호지 별 연산자  고유 공간에 대응되는 **자기 쌍대** 및 **반 자기 쌍대** 제 2형식들의 직합으로 분해된다:

즉, 처럼 자기 쌍대 및 반 자기 쌍대 부분으로 분해 된다.

4차원 다양체를 기저 다양체로 하는 주다발의 접속 이고, 따라서 접속은 자동으로 양-밀스 방정식이 된다. 방정식

은 접속 를 **반 자기 쌍대 방정식**이라고 한다. 이 방정식들의 해는 각각 **자기 쌍대 접속**과 **반 자기 쌍대 접속**이다.

### 차원 축소
''차원 축소'' 과정을 양-밀스 방정식에 적용하는 것은 새롭고 흥미로운 게이지 이론 방정식을 얻는 한 가지 방식이다. 이 과정은 다양체 의 자기 홀극을 설명하는 보고몰니 방정식, 리만 곡면의 힉스 다발을 설명하는 히친의 방정식과 실수 구간들에 대한 남 방정식으로 이어진다. 이 방정식들은 각각 한 방향, 두 방향 및 세 방향으로의 변환 대칭성 조건으로부터 유도된다.

## 1차원 및 2차원 게이지 이론
여기에서는 기저 다양체 로 작용하기 때문에 아주 단순화된다.

### 양-밀스 이론
2차원 다양체에서 직접 양-밀스 방정식을 연구할 수 있다. 기저 다양체가 컴팩트 리만 곡면 일 때, 양-밀스 방정식의 이론은 마이클 아티야 와 라울 보트가 연구하였다.에 대해 다음과 같다:

이러한 접속을 ''사영적으로 평평하다''고 하며, 선형 다발이 위상학적으로 자명한 경우(), 정확히 평탄 접속이다.

선형 다발의 랭크와 차수가 서로소인 경우, 양-밀스 접속의 모듈라이 공간 와 동형인 안정한 정칙 선형 다발의 모듈라이 공간으로서 이 표현들의 공간에 대한 대안적인 설명을 제공한다. 이 동형사상을 통해 양-밀스 접속의 모듈라이 공간은 아티야 및 보트의 심플렉틱 구조와 상호 작용하여 콤팩트 켈러 다양체를 만드는 복소 구조를 얻는다.

사이먼 도널드슨은 양-밀스 접속에서 안정적 정칙 구조로 직접 전달된 나라심한과 세샤드리 정리의 대안적인 증명을 제시했다. 아티야와 보트는 게이지 군  그 자체. 이 관찰은 나라심한-세샤드리 정리를 기하 불변량 이론의 켐프-네스 정리의 무한 차원 버전으로 운동량 사상(이 경우 양-밀스 접속)의 norm 제곱의 임계점을 해당 대수적 몫(이 경우 안정적인 정칙 선형 다발)의 안정점에 연결한다. 이 아이디어는 게이지 이론과 복소 기하학에 큰 영향을 미쳤다.

### 남 방정식
워너 남이 도입한 남 방정식은, 세 방향의 병진 불변성을 이용해 4차원에서 반 자기 쌍대성을 1차원으로 차원 축소해서 얻어진다. 구체적으로, 접속 형식

남은 이 연립 방정식의 해가 의 자기 홀극을 묘사하는 보고몰니 방정식의 해를 구성하는데 쓰일 수 있음을 보였다. 한편, 나이절 히친은 두 문제의 해가 동치임을 보이므로써, 보고몰니 방정식의 해가 남 방정식의 해를 구성하는데 쓰일 수 있음을 보였다.

남 방정식에 대한 해의 모듈라이 공간은 초켈러 다양체 구조를 가진다.

### 히친 방정식과 힉스 다발
나이절 히친이 도입한 히친 방정식은 4차원의 자기 쌍대 방정식을 두 방향으로 병진 불변성을 부과하여 2차원으로 차원 축소하여 얻어진다. 이 조건에서 두 개의 추가 접속 형식 성분 

이라고 서술한다. 여기서  -성분이다. 히친 방정식의 해를 **히친 쌍**이라고 한다.

콤팩트 리만 곡면의 양-밀스 방정식에 대한 해는 곡면 군의 사영 ''유니타리'' 표현에 해당하는 반면, 히친은 히친 방정식에 대한 해가 곡면 군의 사영 ''복소수'' 표현에 해당함을 보여주었다. 히친 쌍의 모듈라이 공간은 자연스럽게 켈러 다양체의 구조를 갖는다(다발의 랭크와 차수가 서로소인 경우). 양-밀스 방정식에 대한 아티야와 보트의 관찰의 유사성을 통해 히친은 히친 쌍이 소위 안정적인 힉스 다발에 해당함을 보여주었다. 여기서 힉스 다발은 쌍 에서 두 개의 복소 구조로 이어진다. 이들은 결합하여 이 모듈라이 공간을 초켈러 다양체로 만드는 세 번째 요소를 제공한다.

히친의 작업은 나중에 카를로스 심슨에 의해 광범위하게 일반화되었으며 히친의 방정식에 대한 해과 임의의 켈러 다양체에 대한 힉스 다발 사이의 대응 관계는 비가환 호지 정리로 알려져 있다.

## 3차원 게이지 이론

### 자기 홀극
한 방향으로 병진 불변성을 부과하여 양-밀스 방정식을 3차원으로 차원 축소하면 에 대한 보고몰니 방정식이 생성된다.그 방정식은 다음과 같다:

주다발 이 무한대로 갈 때 극한 값으로 정의된다:

### 천–사이먼스이론
3차원 천-사이먼스 이론은 천-사이먼스 형식의 적분에 비례하는 작용 범함수를 갖는 미분 위상 수학적 양자장 이론이다.

닫힌 3차원 다양체  이것은 위상 수학에 대한 새로운 통찰력을 제공하는 게이지 이론 문제의 힘을 확실하게 입증했으며 위상 양자장론의 초기 사례들 중 하나였다.

고전적인 천-사이먼스 이론의 양자화에서 3차원 다양체 안의 곡면  이 공간들의 기하학적 양자화는 나이절 히친과 Axelrod-Della Pietra-위튼에 의해 독립적으로 이루어졌으며, 구조 군이 복소적인 경우 구성 공간은 힉스 다발의 모듈라이 공간이 된다. 이 양자화는 위튼이 하였다.

### 플뢰어 호몰로지
안드레아스 플뢰어는 유한 차원에서 모스 호몰로지와 비슷하게 정의된 3차원 다양체에 대한 호몰로지 유형을 도입했다. 이 호몰로지 이론에서 모스 함수는 구조 군 의 평탄 접속의 모듈라이 공간의 라그랑주 교차 플뢰어 호몰로지와 일치한다고 주장한다. 이는 아티야와 보트의 관찰로 인해 심플렉틱이다.

순간자 플뢰어 호몰로지과 비슷하게, 순간자가 자이베르그–위튼 방정식의 해로 대체되는 자이베르그–위튼 플뢰어 호몰로지를 정의할 수 있다. 클리포드 타우베스의 업적에 의해 이것은 매장된 접촉 호몰로지와, 후속적으로 히가드 플뢰어 호몰로지에 대해 동형인 것으로 알려져 있다.

## 4차원 게이지 이론
게이지 이론은 4차원에서 가장 집중적으로 연구되어 왔다. 입자 물리학의 표준 모형이 4차원 시공간에서 양자장론으로 생각할 수 있기 때문에, 4차원에서 수학적 게이지 이론은 물리학적 게이지 이론과 상당히 겹친다. 4차원 게이지 이론 문제에 대한 연구는 자연스럽게 위상 양자장론으로 이어진다. 위상 양자장론은 배경이 되는 4차원 리만 다양체에 주어진 리만 계량의 변화에 민감하지 않은 물리학적 게이지 이론이므로, 다양체의 미분 위상 수학적 불변량을 정의하는 데 사용할 수 있다.

### 반 자기 쌍대 방정식
4차원에서 양-밀스 방정식은 향을 줄 수 있는 4차원 리만 다양체 에서 배경 4차원 다양체에 대한 유용한 불변량을 도출할 수 있다.
이 이론은 개 분리 합집합 사이에 보충 경계를 제공한다. 방향이 반대로 된 상태에서. 이는 이러한 4차원 다양체의 교차 형식이 대각화 가능함을 의미한다. E8 다양체와 같이 대각화 불가능한 교차 형식를 갖는 단순 연결 위상 4차원 다양체의 예가 있으므로, 도날드슨 정리는 미분 구조를 부여 할 수 없는 4차원 위상 다양체의 존재를 암시한다. 이것은 위상 구조와 매끄러운 구조가 동등한 2차원 또는 3차원 다양체의 경우와 극명한 대조를 이룬다. 3보다 작거나 같은 차원의 모든 위상 다양체는 유일한 미분 구조를 갖는다.

유클리드 공간 이 비가산 무한 가지의 서로 다른 미분 구조들을 허용함을 보여주기 위해 클리포드 타우베스와 도날드슨이 비슷한 방법을 사용했다. 이는 4차원이 아닌 모든 유클리드 공간이 유일한 미분 구조를 가지고 있다는 사실과 극명한 대조를 이룬다.

이러한 아이디어의 확장은 도날드슨 이론으로 이어지며, 이는 접속들의 모듈라이 공간에서 매끄러운 4차원 다양체의 추가적 불변량을 구성한다. 이러한 불변량들은 카렌 울렌백, 타우베스 및 도날드슨이 모듈라이 공간의 향을 줄 수 있음과 콤팩트성을 보여주는 해석학적 작업으로 인해 존재하는 기본류에 대해 모듈 공간의 코호몰로지 류를 계산하여 얻는다.

4차원 다양체가 켈러 다양체 또는 대수 곡면이고 주다발이 소멸하는 첫 번째 천 특성류를 가질 때, 반 자기 쌍대 방정식들은 복소 다양체 의 해밀턴 양-밀스 방정식과 동일하다. 도날드슨과 일반적으로 울렌백 및 야우에 의해 대수 곡면에 대해 입증된 코바야시-히친 대응은 HYM 방정식에 대한 해가 안정적인 정칙 선형 다발에 해당한다고 주장한다. 이 작업은 모듈라이 공간과 그 콤팩트화에 대한 대안적인 대수적 설명을 제공했는데, 이는 복소 다양체에 대한 ''준안정'' 정칙 선형 다발의 모듈라이 공간이 사영 다형체이고, 따라서 콤팩트하기 때문이다. 이것은 연결의 모듈라이 공간을 콤팩트화 하는 한 가지 방법이 소위 ''준 해밀턴 양-밀스 접속''이라고 하는 준안정 선형 다발에 해당하는 접속을 추가하는 것임을 나타낸다.

### 자이베르그–위튼 방정식
4차원 공간에서 초대칭을 연구하는 동안, 에드워드 위튼과 나탄 자이베르그는 현재 자이베르그–위튼 방정식이라고 하는 접속 

자이베르그-위튼 방정식의 해를 자기 홀극이라고 한다. 자이베르그–위튼 방정식에 대한 해의 모듈라이 공간 가 ''단순 유형'' 일 때), 이 모듈라이 공간은 0차원이다. 즉, 유한한 수의 점들의 집합이다. 이 경우 자이베르그–위튼 불변량은 단순히 모듈라이 공간의 점들의 수이다. 자이베르그-위튼 불변량은 도날드슨 불변량과 동일한 결과를 증명하는 데 사용할 수 있지만 더 일반적으로 적용되는 더 쉬운 증명을 사용하는 경우가 많다.

## 더 높은 차원의 게이지 이론

### 에르미트 양-밀스 방정식
특정 종류의 양-밀스 접속은 켈러 다양체 또는 에르미트 다양체에 대해 정의된 경우에도 연구될 수 있다. 에르미트 양-밀스 방정식은 4차원 양-밀스 이론에서 발생하는 반 자기 쌍대 방정식을 모든 차원의 에르미트 복소 다양체에 대한 정칙 선형 다발로 일반화한다. 만약에 

여기서

### 예외적 홀로노미 순간자
4차원 다양체의 불변량을 정의하는 양-밀스 방정식의 해의 효율성은 7차원 G 다양체와 8차원 스핀(7) 다양체와 같은 예외적인 홀로노미 다양체를 구별하는 데 도움이 될 수 있다는 관심을 불러일으켰다. 또한 6차원 칼라비-야우 다양체들 및 준 켈러 다양체들과 같은 관련 구조들을 구별하는데도 도움이 될 수 있다.

### 끈 이론
초끈 이론 모델에서 새로운 게이지 이론 문제가 발생한다. 이러한 모델에서 시공간은 4차원의 정규 시공간과 6차원 칼라비-야우 다양체로 구성된 10차원 다양체로 수학적 모델링 된다. 이 이론에서 끈에 작용하는 장은 이러한 고차원 공간의 다발에 존재하며, 이들과 관련된 게이지 이론 문제에 관심이 있다. 예를 들어, 6차원 칼라비-야우 다양체에서 끈의 반경이 0에 접근할 때, 초끈 이론의 자연스러운 장 이론의 극한(소위 ''큰 부피 극한'')은 이 다양체에 대한 에르미트 양-밀스 방정식에 의해 제공된다. 큰 부피 극한에서 벗어나 변형된 에르미트 양-밀스 방정식 거울 대칭은 이러한 방정식에 대한 해가 거울 쌍대 칼라비-야우 다양체의 특수한 라그랑주 부분 다양체에 해당해야 한다고 예측한다.