**페르마의 마지막 정리**란, 정수론에서 가 존재하지 않는다는 정리이다.

이 정리는 1637년 프랑스의 유명한 수학자였던 피에르 드 페르마가 처음으로 추측하였다. 수많은 수학자들이 이를 증명하기 위해서 노력하였으나 실패하였다. 페르마가 자신의 추측을 기록한지 358년이 지난 1995년에 이르러서야 영국의 저명한 수학자인 앤드루 와일스가 이를 증명하였다. 이 방법이 페르마가 살던 시기에는 발견되지 않은 데다가 매우 복잡하기 때문에 수학자들은 페르마가 다른 방법으로 증명했거나 증명에 실패했다고 추측한다.

이 정리를 증명하기 위한 수학자들의 각고의 노력 덕분에 19세기 대수적 수론이 발전했고 20세기에 모듈러성 정리가 증명되었다. 앤드루 와일스의 증명은 기네스북에서 가장 어려운 수학 문제로 등재되었다.

이 문제는 고대 그리스의 저명한 수학자인 피타고라스가 증명한 피타고라스 정리가 세제곱 이상에서도 성립할까라는 질문에서 시작되었다고 한다

## 역사
1637년 피에르 드 페르마는 1621년 출간된 디오판토스의 산법(Arithmetica)의 여백에 다음과 같이 주석을 달았다.

페르마는  이 3, 5, 7 인 경우가 증명되었고 1839년 소피 제르맹이 100 이하의 소수에 대해 증명하였다. 19세기 중반 에른스트 쿠머는 정규 소수 전체에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명하였다. 이후 쿠머의 작업을 기반으로 컴퓨터를 사용한 정교한 연구를 통해 4백만 이하의 모든 정수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것이 증명되었다.

1984년 게르하르트 프라이(Gerhard Frey)는 당시 다니야마-시무라 추론으로 알려진 타원 곡선에 대한 모듈러성 정리가 참일 경우 모든 정수  에 대하여 페르마의 마지막 정리 역시 성립된다는 것을 보였다. 1986년 케네스 앨런 리벳은 프라이의 추론 가운데 일부를 증명하였고, 1995년 앤드루 와일스는 리벳의 작업을 바탕으로 리처드 로런스 테일러의 도움을 받아 모듈러성 정리가 참이라는 것과 따라서 페르마의 마지막 정리 역시 성립한다는 것을 증명하였다. 와일스의 증명은 널리 알려졌으며 여러 책과 텔레비전 프로그램에서 소개되었다.

## 수학적 배경
페르마의 마지막 정리는 피타고라스 수의 관계식 이 3 이상일 때 정수 해가 없다는 것을 뜻한다. 여기에는 피타고라스 수 외에도 디오판토스 방정식과 같은 수학적 배경이 자리하고 있다.

### 피타고라스 수
피타고라스 수는 다음의 등식을 만족하는 세 정수로 된 튜플 이다.

이 등식은 페르마의 방정식에서  인 경우에 해당한다.

피타고라스 수에 대한 간단한 예로는  와  이 있다. 피타고라스 수를 이루는 세 정수로 된 튜플은 무한히 많다. 여러 문화에서 튜플을 이루는 정수가 존재하는 지에 대한 문제이다.

### 디오판토스 방정식
페르마의 방정식 은 디오판토스 방정식의 특수한 예이다.

디오판토스 방정식은 정수로 된 해만을 허용하는 부정 다항 방정식이다. 디오판토스 문제는 미지수인 변수와 그 변수의 수 보다 적은 방정식을 제시하고, 주어진 모든 방정식을 만족하는 정수 해들을 찾도록 한다. 방정식의 이름은 풀이 방법을 서술한 3세기에 살았던 알렉산드리아의 수학자 디오판토스의 이름에서 유래하였다.

디오판토스 방정식의 예로 아래의 방정식을 들 수 있다.

위 두 방정식을 모두 만족하는 정수 ''x'' 와 ''y''를 구하는 것이 디오판토스 문제이다.

디오판토스의 주요 저작 가운데 전해진 것으로는 산법(Arithmetica)이 유일하다.

디오판토스 방정식은 수천년에 걸쳐 연구되어온 주제이다. 예를 들어 피타고라스 수를 찾는 방정식  은 기원전 1800년 무렵 바빌로니아에서도 연구된 바 있다.

## 특정 지수에 대한 증명
페르마 자신이 이 정리에 대하여 증명한 것 가운데 오늘날까지 전해오는 것은 인 경우 단 한 가지뿐이다. 페르마는 무한강하법을 이용하여 직각 삼각형의 두 변을 이루는 정수로 된 네제곱 수가 존재할 수 없다는 것을 증명하였다. 페르마의 증명은 다음의 방정식에 대한 정수해가 없다는 것을 뜻한다.

위의 증명은 페르마의 마지막 정리에서 n = 4 인 경우인  로 바꾸어 쓸 수 있다. 페르마는 이 방정식에서 a, b, c 의 절댓값을 아무리 작은 수로 잡아도 그 보다 더 작은 수로 나타낼 수 있다는 점을 증명하였다. 그런데, 정수의 절댓값이 무한히 작아지는 것은 불가능하므로 결국 정수해가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다.

### 소피 제르맹
19세기 초, 소피 제르맹은 페르마의 마지막 정리를 모든 지수에 대해 적용하는 단초로써 몇 가지 특별한 접근법을 개발하였다. 을 만족하는 보조적인 소수의 집합 θ를 정의하였다. 제르맹은 만약 모듈러 θ에 인접한 정수가 소수 ''p'' 제곱으로 나타낼 수 없다면 (이를 비접속 조건이라 한다), θ는 반드시 세 정수 ''xyz''의 곱으로 나타낼 수 있다는 것을 보였다. 제르맹은 

학적 귀납법을 사용하여 이와 같은 조건을 만족할 경우 페르마의 마지막 정리가 참이 된다는 것을 증명하였고, 100 이하의 소수에 대해 이를 검증하였다.

### 쿠머의 아이디얼 이론
에른스트 쿠머는 또한 페르마의 마지막 정리에 대한 증명 과정에서 근대 정수론의 기반을 마련하였다. 쿠머는 소수를 정규 소수와 비정규 소수로 구분하고, 페르마의 마지막 정리의 방정식 에 대해 n이 정규 소수일 때 해를 갖지 않는다는 것을 증명하였다.

### 모델 추측
1920년대에 들어 루이스 모델은 페르마의 방정식에서 지수 n 이 자명하지 않은 소수일 경우 n이 아무리 큰 수라도 페르마의 마지막 정리가 성립할 것이란 추측을 내놓았다. 팔팅스 정리라고 불리게 되었다.

### 컴퓨터의 이용
20세기 후반에 들어 컴퓨터를 이용해 비정규 소수에 대한 쿠머의 접근법을 확장하는 연구가 있었다. 1954년, 해리 밴디버(Harry Vandiver)는 SWAC 컴퓨터를 이용하여 2521까지의 소수 n에 대하여 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명하였다

## 타원곡선과의 관계
1984년 게르하르트 프라이는 모듈러성 정리를 증명하면 페르마의 마지막 정리 역시 증명 가능하다는 것을 최초로 설명하였다.

그런데 이렇게 나타낸 타원 방정식은 모듈러 곡선으로 변환할 수 없는 비정상적인 모습이 된다.

위와 같은 방식의 증명은 두 단계의 세부적인 증명을 거쳐야 한다. 우선 프라이가 나타낸 바와 같이 페르마의 방정식이 타원 방정식으로 변환 가능한 지를 증명하여야 한다. 프라이는 이것을 엄밀하게 증명하는데 성공하지 못하였다. 장피에르 세르는 프라이가 놓친 부분을 “엡실론 추측”이라는 이름으로 정리하였고, 1986년 케네스 앨런 리벳은 세르의 엡실론 추측을 증명하였다. 두 번째 단계는 모든 타원 방정식이 대응되는 특정한 모듈러 곡선을 갖고 있는데 반해 페르마 방정식은 그러지 못하다는 것을 보이는 것이다. 앤드루 와일스는 1995년 이것을 증명하여 페르마의 정리를 증명할 수 있었다.

## 와일스의 증명
1986년 이루어진 리벳의 엡실론 추측에 대한 증명으로, 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 프라이 방법의 첫 단계가 해결되었다. 앤드루 와일스는 프라이 방법의 두 번째 단계인 타니야마-시무라 추론을 홀로 증명하기로 결심하였다.

1993년 중반 무렵, 와일스는 자신의 결과에 대해서 충분히 확신할 수 있었다. 와일스는 6월 21일에서 6월 23일까지 아이작 뉴턴 수리과학 협회에서 3번의 강의를 통해 자신의 연구 결과를 발표하였다.

와일스와 그의 제자였던 리처드 로런스 테일러는 1년 가까이 오류를 해결하기 위해서 노력하였으나 실패하였다., 다시 테일러와 함께 증명을 완성하였다. 와일스는 1995년 5월에 두 편의 논문을 발표해서 358년 된 수학 난제인 페르마의 마지막 정리를 완벽하게 증명하였다.

## 양의 정수 이외의 지수
지수의 법칙에 따라 어떤 수의 거듭제곱 a 일 경우의 일반 해를 구하였다..

## 페르마의 실제 증명에 대한 의문
페르마는 산법 여백에 자신이 놀라운 방법으로 증명하였다고 기록하였지만, 남아있는 상세한 증명은 의 정수 해가 존재하지 않는다는 것뿐이다. 실제 페르마는 아마추어 수학자로서, 여가 활동으로 수학을 즐겼기 때문에 어느 정도 자신의 생각이 정리되면 다음 문제로 넘어가곤 하였다. 앤드루 와일스와 리처드 로런스 테일러가 마무리 지은 증명 방법은 20세기에 발견한 많은 현대 수학을 바탕으로 하고 있기 때문에, 페르마가 이와 같은 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명할 생각을 할 수는 없었을 것이다.

오하이오 주립 대학교의 수학 논리학자인 하비 프리드먼(Harvey Friedman)은 페르마가 직접 페르마의 마지막 정리를 증명하기에는 당시 개발된 산술의 기초 도구들이 빈약하였기 때문에, 무리였을 것이라고 주장한 바 있다.

## 포상
프랑스 과학 아카데미는 1816년과 1850년에 페르마의 마지막 정리에 대한 일반적인 증명에 대해서 포상을 내걸었다.

1908년 독일의 기업가이자 아마추어 수학자였던 파울 볼프스켈은 100,000 마르크를 괴팅겐 과학 아카데미에 기탁해서, 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게 수여되도록 하였다.

볼프스켈상 심사 위원회에는 와일스 이전에 이미 수천 건의 잘못된 증명이 접수되어 있었는데, 이렇게 모인 증명의 양은 높이가 약 3미터에 달했다. 수학사 연구자인 하워드 이브스는 "페르마의 마지막 정리는 가장 많은 잘못된 증명들이 발표된 정리이기도 하다"고 언급하였다.