기하학에서 **로비어 공간**(Lawvere空間) 또는 **일반화 거리 공간** 또는 **반거리 공간** 또는 **확장 준 유사 거리 공간**은 거리 공간 및 유사 거리 공간 및 확장 유사 거리 공간의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다.

## 정의
**로비어 공간**의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.
두 정의는 서로 동치이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 범주론적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다.

### 기초적 정의
집합  위의 **로비어 계량**은 다음 두 조건을 만족시키는, 확장된 실수 값 함수
이다.

다만, 위 정의에서 의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 **유사 거리 공간**이 된다.

로비어 공간들과 상수 1의 립시츠 연속 함수들, 즉 함수  가운데
를 만족시키는 것들은 구체적 범주를 이룬다. 이를 라고 표기하자.

### 접근 구조를 통한 정의
집합 는 다음 네 조건을 만족시키는 함수
이다.
접근 구조를 갖춘 집합을 **접근 공간**이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간 
이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 **로비어 공간**이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 한원소 집합만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다.

반대로, 로비어 공간 이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는
가 된다.

### 범주론적 정의
다음과 같은 작은 범주 를 생각하자.
이 범주는 완비 범주이며, 텐서곱
에 대하여 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 이에 따라 를 **로비어 공간**이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 립시츠 연속 함수의 개념과 일치한다.

두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.

### 위상
유사 거리 공간의 경우와 달리, 로비어 공간  위에는 다양한 위상이 사용된다.

로비어 공간 
열린 공들의 집합족
은 위상의 기저를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 **일반화 알렉산드로프 위상** 또는 **열린 공 위상**이라고 한다.

**증명:**

#### 일반화 스콧 위상
로비어 공간 
여기서 에 대하여, 만약
이라면, 로 **수렴**한다고 하자.

로비어 공간 가 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 (일반위상수학의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 엉성한 위상이다.

만약

## 연산

### 반대 공간
임의의 로비어 공간 
이는 반대 범주의 개념의 특수한 경우이다.

### 대칭화
로비어 공간 에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다.
그렇다면,  둘 다 확장 유사 거리 공간을 이룬다.

만약 이다.

### 상수배
로비어 공간 으로 정의하며, 이는 원순서 집합이다.)

### 로비어 계량의 합성
집합  위에 로비어 계량들의 족
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 항등 함수에 대한 시작 구조의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 가산 개의 로비어 계량의 족
이 주어졌을 때,
역시 로비어 계량을 이룬다.

### 주어진 함수를 상계로 하는 최대 로비어 계량
임의의 집합  및 임의의 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합
가
를 만족시키는 로비어 계량 이 로비어 계량이므로, 이는 항상 공집합이 아니다.) 그렇다면, 이는 최대 원소
를 가지며, 이는 를 상계로 하는 최대의 로비어 계량이다.

구체적으로, 임의의 집합 
그렇다면, 에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다.

### 몫공간
로비어 공간 
이에 대하여 몫집합
위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약 는 거리 공간을 이룬다.

마찬가지로, 로비어 공간 에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
이에 대한 몫집합
은 대략  위에는 자연스럽게 원순서
를 취할 수 있다. 만약 이다.

### 분리합
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 
이 연산은 로비어 공간의 범주 의 범주론적 쌍대곱을 이룬다.

### 곱
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 의 **곱**은 집합으로서 곱집합
이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
이 연산은 로비어 공간의 범주

### 시작 계량과 끝 계량
로비어 공간의 범주의 망각 함자 는 위상 함자이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다.

구체적으로, 임의의 집합  위의 **시작 로비어 계량**은 다음과 같다.

마찬가지로, 임의의 집합  위의 **끝 로비어 계량**은 함수
를 상계로 하는 최대 로비어 계량이다.

## 성질

### 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

### 범주론적 성질
로비어 공간의 범주 가 주어졌을 때, 망각 함자
는 위상 함자이다. 위의 임의의 함수족
이 주어졌으며 로 가는 임의의 함수족
이 주어졌으며 들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 **끝 로비어 계량**을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 끝 위상과 유사하다.

또한, 위상 공간과 연속 함수의 범주로 가는 망각 함자
가 존재하며, 이는 로비어 공간에 열린 공 위상을 대응시킨다.

### 위상 공간의 로비어 계량을 통한 표현
임의의 위상은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 {{저널 인용

**구성:**

위상 공간 
이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 한원소 집합 를 기저로 하는 위상, 즉
이다.

이에 따라, 로비어 계량들의 집합

## 역사와 어원
프랜시스 윌리엄 로비어가 도입하였다.

이 개념은 거리 공간의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다.
The non-symmetry is the more serious generalization, and moreover occurs in many naturally arising examples, such as . […]}}

첫째 [일반화] [즉, 거리가 0인 서로 다른 두 점이 존재할 수 있음]는 범주론적 관점에서 별로 자연스럽지 않다. 이는 서로 동형인 대상이 같다는 것에 해당하기 때문이다. […] [거리가] ∞인 것을 허용하는 것은 공집합을 집합으로 취급하는 것과 마찬가지로, 완비성에 의하여 필요하다. […] [거리 함수의] 비대칭성은 더 중대한 일반화이며, 다음과 같은 자연스러운 예들이 존재한다. 예를 들어, 로 가는 데 필요한 에너지라고 하자. […]
즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리" 로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다.

간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’에서, 각 성분은 고전적 거리 공간의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다.

## 예
모든 확장 유사 거리 공간은 로비어 공간이다.

### 시작 대상과 끝 대상
공집합  위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 시작 대상이다.

한원소 공간 )이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 끝 대상이다.

### 원순서 집합
임의의 원순서 집합 
그렇다면

## 외부 링크
Metric spaces, generalized logic, and closed categories|날짜=2014-02-21|웹사이트=The ''n''-Category Café|이름=Tom|성=Avery|언어=en}}