**커누스 윗화살표 표기법**(Knuth's up-arrow notation)은 도널드 커누스가 1976년에 개발한 아주 큰 수를 표기하는 방법이다. 이 표기법은 아커만 함수와 특히 하이퍼 연산 수열과 매우 밀접한 관련이 있으며, 곱셈은 반복되는 덧셈으로 볼 수 있고, 거듭제곱도 반복되는 곱셈으로 볼 수 있다는 사실에 기반해서 아이디어를 얻었다. 이런 방식으로 계속하면 테트레이션(반복된 거듭제곱)과 보통 커누스 윗화살표 표기법으로 표시되는 하이퍼 연산 수열의 나머지로 이어진다. 이 표기법은 명시적으로 쓸 수 있는 수보다 훨씬 더 큰 수를 간단하게 표기할 수 있다.

윗화살표 한 개는 거듭제곱(반복되는 곱셈)을 의미하고, 한 개 이상의 윗화살표는 한 개 적은 화살표를 반복하는 것을 의미한다.

예를 들어,
2 \uparrow\uparrow\uparrow 3
&= 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow\uparrow 2 )\\
&= 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 2)\\
&= 2 \uparrow\uparrow 2^2\\
&= 2 \uparrow\uparrow 4\\
&= 2 \uparrow 2 \uparrow 2 \uparrow 2\\
&= 2^{2^{2^{2}}}\\
&=65536
\end{align}

## 소개
덧셈, 곱셈, 그리고 거듭제곱의 일반 산술 연산은 자연적으로 다음과 같이 하이퍼 연산의 수열로 확장된다.

자연수에 의한 곱셈은 덧셈의 반복으로 정의된다:

 \begin{matrix}
 a\times b & = & \underbrace{a+a+\dots+a} \\
 & & b\mbox{ copies of }a
 \end{matrix}
 

자연수 지수 

예를 들면,

 \begin{matrix}
 4\uparrow 3= 4^3 = & \underbrace{4\times 4\times 4} & = & 64\\
 & 3\mbox{ copies of }4
 \end{matrix}
 

예를 들면,

 \begin{matrix}
 4\uparrow\uparrow 3 & = {\ ^{3}4} = & \underbrace{4^{4^4}} &
 = & \underbrace{4\uparrow (4\uparrow 4)} & = & 4^{256} & \approx & 1.34078079\times 10^{154}&
\\
 & & 3\mbox{ copies of }4
 & & 3\mbox{ copies of }4
 \end{matrix}
 

잇따라 “사중 윗화살표“ 연산은 펜테이션의 반복(헥세이션)을 의미한다:

 \begin{matrix}
 a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= &
 \underbrace{a_{}\uparrow\uparrow\uparrow (a\uparrow\uparrow\uparrow(\dots\uparrow\uparrow\uparrow a))}\\
 & b\mbox{ copies of }a
 \end{matrix}
 

그리고 계속된다. 일반적인 규칙은 

예시:

 \begin{matrix}
 3\uparrow\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3) = 3\uparrow\uparrow(3\uparrow3\uparrow3) = &
 \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow\dots\uparrow 3} \\
 & 3\uparrow3\uparrow3\mbox{ copies of }3
 \end{matrix}
 \begin{matrix}
 = & \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow\dots\uparrow 3} \\
 & \mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}
 \end{matrix}
 \begin{matrix}
 = & \underbrace{3^{3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}}}} \\
 & \mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}
 \end{matrix}
 

은 77 [79] 77이지 77 [77] 77이 아니다.

커누스 윗화살표 표기법은 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 표기로 이어지는 반복 계산 표기법을 일반화한 의미가 있다. 덧셈이란 1을 반복하여 증가시키는 연산이고, 곱셈이란 덧셈을 반복하는 연산이고, 거듭제곱은 곱셈을 반복하는 연산이다. 이러한 반복 연산을 무한히 확장할 수 있는 표기법으로 윗화살표(

## 표기법
를 적용했다. 윗화살표는 '다음을 지수로 올린다'는 것을 제시한다. 문자 인코딩에서는 윗화살표를 포함하지 않기 때문에 캐럿(^)을 대신해서 쓴다.

윗첨자 표기법 를 대신에 쓴 이유이다.

이다.

### 윗화살표 표기법을 거듭제곱으로 쓰기
를 익숙한 윗첨자 표기법으로 쓰려고 하면 거듭제곱의 탑을 얻게 된다.

''b''가 변수면 (또는 너무 크면), 거듭제곱의 탑은 점들과 탑의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.

이 표기법으로 계속하면, 

또 ''b''가 변수거나 너무 클 경우에는 스택도 점들과 스택의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.

 \left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\} b

더 나아가서, 

또다시 일반적으로:

 \underbrace{
 \left.\left.\left. \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
 \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}}_{ \underbrace{\vdots}_{a} }} \right\}
 \cdots \right\}
 a

이것은 을 어떤 ''a'', ''n''과 ''b''에 대해서든지 (비록 이것이 분명히 더 번거롭지만) 반복되는 거듭제곱의 반복외는 거듭제곱으로 부정적으로 나타낼 수 있다는 것을 나타낸다.

#### 테트레이션을 사용
테트레이션 표기법 

결국, 한 예로 네 번째 아커만 수

## 일반화
어떤 수는 너무 커서 커누스 윗화살표 표기법으로 쓰기에도 버거울 수 있다. 그러면 ''n''중 화살표 연산 

보통 커누스 윗화살표는 비교적 작은 수에, 연쇄 화살표나 하이퍼 연산은 더 큰 수에 써야 한다고 주장한다.

## 정의
윗화살표 표기법은 공식적으로 

이 정의는 곱셈을 기본 연산으로 두고을 거듭제곱의 반복으로, 등등을 얻는다. 

모든 윗화살표 연산(평범한 거듭제곱 를 포함해서)은 right associative이다. 즉, 수식의 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다.
.

right-associativity 때문에 일 때 다음과 같다

각

## 값들의 표

### 2↑&nbsp;''n'' 계산
\begin{matrix}
 \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
 \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
 65536\mbox{ copies of }2
 \end{matrix}
 \begin{matrix}
 \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^2}}}}}}\\
 65536\mbox{ copies of }2
 \end{matrix} || &nbsp; || &nbsp; || &nbsp;

이 표는 이 약간 밀린 것과 모든 값에 3이 더해진 것을 제외하고는 아커만 함수의 표와 같다.

### 3↑&nbsp;''n'' 계산
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}\\
 7{,}625{,}597{,}484{,}987\mbox{ copies of }3
 \end{matrix} || &nbsp; || &nbsp; || &nbsp;

### 4↑&nbsp;''n''의 계산
\begin{matrix}
 \underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
 \underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
 4^{1.3407807930 \times 10^{154}}\mbox{ copies of }4
 \end{matrix} || &nbsp; || &nbsp; || &nbsp;

### 10↑&nbsp;''n''의 계산
\begin{matrix}
 \underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
 \underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
 10\mbox{ copies of }10
 \end{matrix}
 \begin{matrix}
 \underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
 10\mbox{ copies of }10
 \end{matrix} || &nbsp; || &nbsp;

2 ≤ ''n'' ≤ 9일 때 의 수치적인 순서는 ''m''이 가장 우선적인 사전식 순서여서 이 8열에서 수치적인 순서는 단순히 행의 순서대로인 것을 보라. 3 ≤ ''n'' ≤ 99인 97열에도 마찬가지로 적용이 되고, ''m'' = 1에서 시작하면 3 ≤ ''n'' ≤ 9,999,999,999까지 가능하다.

## 하이퍼 연산 수열에 기반한 기수법
루벤 루이스 굿스타인은 커누스 화살표와 다른 표기법 시스템을 가지고 을 나타낸다고 하면 소위 ''b''를 밑으로 하는 정수 ''n''의 ''k''단계 ''완전 hereditary 표현''은 처음 ''k'' 하이퍼 연산과 0, 1, ..., ''b'' − 1의 자릿수와 밑인 ''b'' 자신을 포함하는 숫자들만을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:



이 부분의 나머지는 하이퍼 연산을 표현하기 위해 윗첨자로 사용한다.

계산할 때 고차 연산에 높은 우선도를 부여해서 불필요한 괄호를 피할 수 있다; 따라서,

1단계 표현은 b [1] X의 형태를 하고, ''X''도 이 형태이다.

2단계 표현은 b [2] X [1] Y의 형태를 하고, ''X'',''Y''도 이 형태이다.

3단계 표현은 b [3] X [2] Y [1] Z의 형태를 하고, ''X'',''Y'',''Z''도 이 형태이다.

4단계 표현은 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W의 형태를 하고, ''X'',''Y'',''Z'',''W''도 이 형태이다.

그리고 계속된다.

밑이 ''b''인 ''hereditary'' 표현의 종류에서, 밑 자신이 {0, 1, ..., ''b''-1}의 "자릿수"처럼 표현에서 나타난다는 점을 주목하라. 이 표현은 문자가 밑을 ''b''로 표시했을 때 ''일반적인'' 이진법과 비교된다. 예를 들어, 일반적인 이진법에서는 6 = (110) = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0이고 밑이 2인 3단계 hereditary 표현은 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)이다. hereditary 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, 등등의 요소를 제거해서 간략하게 만들 수 있다. 예를 들어, 위의 밑이 2인 6의 3단계 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 간단히 할 수 있다.

예:
266의 밑이 2인 유일한 1, 2, 3, 4, 그리고 5단계 표현은 다음과 같다:

## 그레이엄 수 표기
커누스 윗화살표는 그레이엄 수 G(4)를 표기할 때 사용되고 있다. 그레이엄 수는 이름이 붙은 자연수 중에서 수학적 의미를 갖고 있는 가장 큰 수이다.

(4)개이다.)