수학에서 **투에-모스 수열**, 또는 **프로헷-투에-모스 수열**은 0에서 시작해서 앞의 수열의 불 보수를 덧붙여서 얻어지는 이진 수열 (0과 1의 무한수열)이다. 처음 몇 단계를 거치면 투에-모스 수열의 앞부분인 수열의 첫 단계는 0, 그 다음 단계는 01, 0110, 01101001, 0110100110010110,…을 얻을 수 있다. 전체 수열은 다음과 같이 시작한다.

## 정의
투에-모스 수열을 정의하는 여러 동등한 방법들이 있다.

### 직접 정의
''n''번째 원소 ''t&nbsp;=&nbsp;1이다.

이 방법은 투에-모스 수열을 계산하는 빠른 방법이다. 먼저 ''t과 같다. 따라서 이 알고리즘은 각 수열의 요소를 생성하는데 상수 시간이 걸리며 메모리의 로그 개수의 비트 (상수 개수의 단어)만을 사용한다.

### 점화식
투에-모스 수열은 모든 음이 아닌 정수 ''n''에 대하여 다음 점화식을 만족시키는 수열 ''t

### L-시스템
투에-모스 수열은 morphic word이다. 즉, 투에-모스 수열은 다음의 린덴마이어 시스템의 출력이다:

### 비트 단위 NOT을 사용한 특성화
위에서 비트의 수열로 주어진 형태의 투에-모스 수열은 비트 단위 NOT을 사용하여 재귀적으로 정의할 수 있다.
첫 번째 원소는 0이다.
처음 2개의 원소는 ''s''의 비트 단위 NOT으로 형성된다.
이제 처음 2개의 원소를 정의했으므로 재귀한다.

처음 몇 단계를 자세하게 설명하면,

따라서

### 무한 곱
수열은 다음과 같이도 정의할 수 있다.
이 때, ''t''는 ''j'' = 0에서 시작했을 때 ''j''번째 원소이다.

## 일부 특성
투에-모스 수열의 새로운 부분이 처음 부분에 비트 단위 NOT을 취함으로 만들어졌고, 이것이 다음 블럭의 처음에도 반복되기 때문에, 투에-모스 수열은 ''이중 반복''으로 가득하다.
즉, ''XX''의 예가 많이 있고, 이 때 ''X''는 어떤 문자열을 의미한다. 당연히 에 있는 이중 반복의 길이는 2의 거듭제곱이거나 2의 거듭제곱의 3배이다.)
하지만, ''삼중 반복''은 없다.
또한 ''겹치는 이중 반복''도 없다. 임계 지수는 2이다.

모든 ''n'' > 1에 대해서 ''T''''은 회문 이중 반복 없는 단어이다.

투에-모스 열이 "이중 반복으로 가득하다"는 위의 문장은 더 정확하게 만들 수 있다:
이 수열은 ''고른 재귀 단어''이고, 고른 재귀 단어는 어떤 유한한 문자열 ''X''가 주어지면 결과적으로 길이가 ''n
재귀 단어를 만드는 가장 간단한 방법은 완전히 주어진 수 ''m''단계 다음에 완전히 반복되는 주기 수열을 만드는 것이다.
그러면 ''n''는 ''X''의 길이의 두 배 보다 긴 ''m''의 배수로 둘 수 있다.
하지만 투에-모스 수열은 고른 재귀 수열이지만 주기수열이 아니고 심지어 부분적 주기 수열(일부 비주기 초기치 이후 주기적이 되는것을 의미한다)도 아니다.

**투에-모스 사상**은 이진 수열의 집합에서 수열에 있는 모든 0을 01로, 1을 10으로 바꾸어서 자기 자신에게로 가는 함수 ''f''로 정의한다.과 ''T''를 고정점으로 가지는 연장 가능 사상이다. 당연히 ''T''는 본직적으로 ''f''의 ''유일한'' 고정점이다. 유일한 다른 고정점은 ''T''에 비트 단위 NOT을 취한 것으로 간단히 에서 시작하는 것이 아닌 에서 시작하는 투에-모스 수열이다. 이 특성은 오토마타 수열의 개념으로 일반화 할 수 있다.

이진 체에서 ''T''의 ''생성 급수''는 다음 형식적 멱급수이다

이 멱급수는 다음의 등식을 만족하는 형식적 멱급수의 체에서 대수적이다

### 조합론적 게임 이론에서
''악한 숫자'' ()의 집합은 님 덧셈(비트 단위 배타적 논리합) 아레의 음이 아닌 정수들의 부분집합을 형성한다. Kayles 게임에서, 악한 님 값은 게임에서 매우 적은(유한하게) 상태에서 나타나고 나머지는 모두 다 추악한 님 값을 가진다.

### 프로헷-테리-에스콧 문제
프로헷-테리-에스콧 문제는 다음과 같이 정의할 수 있다. 양의 정수 ''N''과 음이 아닌 정수 ''k''가 주어졌을 때, 집합 ''S'' = { 0, 1, ..., ''N''-1 }를 아래와 같이 k까지 거듭제곱의 합이 같은 두 서로소 부분집합 ''S''으로 분할하는 것이다. 이 때 ''i''는 1에서 ''k''까지의 모든 정수를 의미한다.

이 문제는 ''N''이 2의 배수일 때 다음과 같은 솔루션을 가진다.

예를 들어, ''N'' = 8이고 ''k'' = 2일 때,

''N''이 2의 배수여야 한다는 조건은 반드시 필요한 것은 아니다. 솔루션이 있는 다른 경우가 일부 존재하지만, 이 조건은 더 강한 특성을 보장한다. 조건을 만족한다면, 등차 수열의 수 ''N''개의 ''k''제곱을 한 집합은 합이 같은 두 집합으로 분할 할 수 있다. 이것은 등차 수열의 ''n''번째 원소를 나타내는 이항에 적용된 이항 정리에 의해 주어진 확장에서 직접적으로 따른다.

투에-모스 수열의 일반화와 두 부분 이상으로 분할하는 프로헷-테리-에스콧 문제에 대해서는 Bolker, Offner, Richman 그리고 Zara의 "The Prouhet –Tarry –Escott problem and generalized Thue –Morse sequences"을 보라.

### 프랙탈과 거북이 그래픽
거북이 그래픽을 사용할 때, 오토마톤이 수열로 프로그래밍 되어있다면 곡선이 만들어진다.
투에-모스 수열의 요소는 프로그램 상태를 만들기 위해 사용된다:

나타나는 곡선은 유한한 면적을 가지면서 곡선의 길이가 무한한 프랙탈 곡선인 코흐 눈송이로 수렴한다. 이것은 투메-모스 수열의 프랙탈 성질을 나타낸다.

### Equitable sequencing
In their book on the problem of fair division, Steven Brams and Alan Taylor invoked the Thue–Morse sequence but did not identify it as such. When allocating a contested pile of items between two parties who agree on the items' relative values, Brams and Taylor suggested a method they called ''balanced alternation'', or ''taking turns taking turns taking turns . . . '', as a way to circumvent the favoritism inherent when one party chooses before the other. An example showed how a divorcing couple might reach a fair settlement in the distribution of jointly-owned items. The parties would take turns to be the first chooser at different points in the selection process: Ann chooses one item, then Ben does, then Ben chooses one item, then Ann does.

Lionel Levine and Katherine Stange, in their discussion of how to fairly apportion a shared meal such as an Ethiopian dinner, proposed the Thue–Morse sequence as a way to reduce the advantage of moving first. They suggested that “it would be interesting to quantify the intuition that the Thue-Morse order tends to produce a fair outcome.”

Robert Richman addressed this problem, but he too did not identify the Thue–Morse sequence as such at the time of publication.'' is orthogonal to polynomials of order ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1. A consequence of this result is that a resource whose value is expressed as a monotonically decreasing continuous function is most fairly allocated using a sequence that converges to Thue-Morse as the function becomes flatter. An example showed how to pour cups of coffee of equal strength from a carafe with a nonlinear concentration gradient, prompting a whimsical article in the popular press.

Joshua Cooper and Aaron Dutle showed why the Thue-Morse order provides a fair outcome for discrete events.'', but for sequences of any length.

Thus the mathematics supports using the Thue–Morse sequence instead of alternating turns when the goal is fairness but earlier turns differ monotonically from later turns in some meaningful quality, whether that quality varies continuously

Sports competitions form an important class of equitable sequencing problems, because strict alternation often gives an unfair advantage to one team. Richman suggested that the fairest way for “captain A” and “captain B” to choose sides for a pick-up game of basketball mirrors ''T''

## 역사
투에-모스 수열은 정수론에 적용시킨 외젠 프로헷(Eugène Prouhet)이 1851년에 처음으로 연구를 시작하였다.
하지만, 프로헷은 이 수열을 명시적으로 언급하지 않았다. 이것은 1906년에 악셀 투에에게로 넘겨졌고, 투에는 이 수열으로 단어의 조합론 연구를 시작했다.
이 수열은 1921년 마스턴 모스의 연구에서 모스가 이 수열을 미분기하학에 적용시켰을 때 세상의 주목을 받게 되었다.
이 수열은 수차례 독자적으로 발견되었으며, 수학자들의 전문 연구에서만 발견된 것은 아니다. 예를 들면, 1935년에서 1937년까지 체스 세계 챔피언이였고 수학 교사였던 체스 그랜드마스터인 막스 오이베는 1929년에 체스에서의 적용을 발견하였다. 오이베는 무한히 연장되는 게임을 반복되는 이동에 의해서 무승부를 선언함으로 막는 규칙을 이 수열의 삼중 반복이 없는 특성(위의 문단 참고)을 사용해서 어떻게 회피할 후 있는지를 보였다.