blueapple8259/wikipedia-ko huggingface dataset:
수학에서 **삼각함수 항등식**은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.

참고로 아래에서 

다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.

\begin{matrix}
\sin\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\cos{x}, & & \sin\left(x + \pi\right) = - \sin{x} \\
\cos\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \sin{x}, & & \cos\left(x + \pi\right) = - \cos{x} \\
\tan\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \cot{x}, & & \tan\left(x + \pi\right) = \;\;\tan{x} \\
\cot\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \tan{x}, & & \cot\left(x + \pi\right) = \;\;\cot{x} \\
\sec\left(x + {\pi \over 2}\right) = - \csc{x}, & & \sec\left(x + \pi\right) = - \sec{x} \\
\csc\left(x + {\pi \over 2}\right) = \;\;\sec{x}, & & \csc\left(x + \pi\right) = - \csc{x}
\end{matrix}

## 피타고라스 정리
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

## 덧셈 정리
다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.



여기서

### 두배각 공식
다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 로 놓아도 된다.

### 세배각 공식
아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.

### 네배각 공식
아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.

### n배각 공식
번째 체비쇼프 다항식일 때,

드무아브르의 공식:

디리클레 핵 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :
디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.

## 차수 줄이기
n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.

### 이차식 공식
두배각 공식의 코사인 공식을 으로 푼다.

### 반각 공식
차수 줄이기 이차식 공식에서 으로 푼다.

또한, 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.

## 곱을 합으로 바꾸는 공식
우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.

## 합을 곱으로 바꾸는 공식
위 식의  로 바꾼다.



그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.

## 삼각함수의 역함수
역삼각함수라고도 한다.

 이면

만약 가 된다.

피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.

## 변수 없는 항등식
리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.
그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (를 이용 우변을 정리한다.)
다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.
21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더 이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.
1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)

## 미적분학
미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:
과
을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고 

나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.





적분식은 적분표를 참고하라.
수론에서 **곱셈적 함수** 또는 **곱산술 함수**(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.

## 정의
함수 가 다음 조건을 만족시키면, **곱셈적 함수**라고 한다.

함수 가 다음 조건을 만족시키면, **완전 곱셈적 함수**라고 한다.

(완전) 곱셈적 함수의 정의역은

### 항등식
곱셈적 함수 의 소인수 분해가
일 경우, 다음이 성립한다.
만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.

곱셈적 함수 
여기서 는 뫼비우스 함수이다.

곱셈적 함수 를 만족한다면,
이다.

### 디리클레 합성곱
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 의 디리클레 합성곱
와 디리클레 역원
은 곱셈적 함수이다.

곱셈적 함수 의 소인수 분해가
일 경우, 다음이 성립한다.
만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.

## 예
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.

다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.

양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수
는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.
즉,
이다.

폰 망골트 함수
는 를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.
이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.
수학에서 **체비쇼프 다항식**은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

## 정의
(실수 로 적자.)

실수 차 **체비쇼프 다항식**이라고 한다.
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 의 다항식이다.

## 성질

### 직교성
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.
즉, 다음이 성립한다.

### 대칭
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

### 근
개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

### 분지점
체비쇼프 다항식을 복소수 함수
로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다.
예를 들어,
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 이다. 마찬가지로,
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 이다.

이에 따라,

## 역사
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 또는 독일어 표기 에서 딴 것이다.
**파이의 날**은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다.

3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다.

분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로 7월 22일을 **파이 근삿값의 날**로 부르기도 한다.
기하학에서 **코사인 법칙**은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다.

## 정의
삼각형 라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 

코사인 법칙에서

## 역사
유클리드의 원론 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다.

레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 삼각형에 대하여에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다.가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.

### 삼각법을 통한 증명
삼각형의 세 변을 각각 높이선으로 안에서 또는 밖에서 나누면 다음을 얻는다.한국의 일부 문헌에서는 이를 **제1 코사인 법칙**이라고 부르며, 원래의 코사인 법칙을 **제2 코사인 법칙**이라고 부른다. 예시로는 다음을 참고할 수 있다. {{서적 인용
세 등식의 양변에 각각 를 곱하면 다음을 얻는다.
이제 첫째 등식에 둘째 등식을 더한 뒤 셋째 등식을 빼면 다음을 얻는다.
이로써 코사인 법칙이 증명된다.

### 벡터와 스칼라곱을 사용한 증명
다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
그렇다면, 벡터

## 비유클리드 기하학의 경우

### 구면 코사인 법칙
단위 구면 위의 구면 삼각형 라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 
즉,

#### 제1 구면 코사인 법칙의 증명 (비네-코시 항등식 사용)
단위 구면의 중심을 라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
그렇다면, 이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자.
여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다.
이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다.

#### 제2 구면 코사인 법칙의 증명
구면 삼각형 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
따라서 제1 구면 코사인 법칙을 극삼각형 에 대한 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다.

### 쌍곡 코사인 법칙
가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 **(제1) 쌍곡 코사인 법칙**((第一)雙曲cosine法則, )이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.
이를 **제2 쌍곡 코사인 법칙**이라고 한다.

이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

특히,

#### 제1 쌍곡 코사인 법칙의 증명
복소 평면 에 대하여 증명하는 것으로 족하다. 쌍곡 거리의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.
여기서 은 복소수의 절댓값이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.
여기서 
넷째 등호에서 분자 부분은 평면 삼각형 
이에 따라 각 의 사인 값은 다음과 같다.
또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 
마지막 등호에는 항등식

### 평면 코사인 법칙과의 관계
평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 예를 들어, 평면 코사인 법칙이 제1 쌍곡 코사인 법칙의 극한임을 다음과 같이 보일 수 있다. 푸앵카레 원판의 반지름이 일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같이 된다.

이 경우, 로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다.
이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.
다음에 주의하여, 양변에 을 취하고 다시 양변에 4를 나누자.
그러면 평면 코사인 법칙을 얻는다.
제2 쌍곡 코사인 법칙
에 극한 을 취하면 다음과 같은 자명한 항등식이 된다.
이는
기하학에서 **사인 법칙** 혹은 **라미의 정리**는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

## 정의
삼각형 는 다음과 같다.
자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.
양변에 를 나누면 사인 법칙을 얻는다.

### 외접원을 통한 증명
삼각형 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
만약 이다. 따라서 다음이 성립한다.
만약 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

### 코사인 법칙을 통한 증명
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
결과가 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

## 구면 사인 법칙
단위 구면 위의 구면 삼각형 라고 하자. **구면 사인 법칙**에 따르면 다음이 성립한다.

## 구면 사인 법칙의 증명

### 순수 기하 증명
구의 중심을 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다.
남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

### 벡터를 통한 증명
구의 중심과 세 꼭짓점 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.
따라서 다음이 성립한다.
여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

### 구면 코사인 법칙을 통한 증명
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.

## 쌍곡 사인 법칙
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형
선형대수학에서 **벡터 공간**라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.

## 정의
체 에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다.
이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

실수체 에 대한 벡터 공간을 **복소수 벡터 공간**이라고 한다.

### 부분 공간과 기저
체 의 **부분 벡터 공간**이라고 한다.
즉, 부분 벡터 공간은 의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다.

벡터 공간 가 **선형 독립 집합**이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 **기저**라고 한다.

선택 공리를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 갖는다. 벡터 공간 이라고 한다.

### 선형 변환
두 벡터 공간 사이의 **선형 변환**은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 **동형**이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬로 나타낼 수 있다.

## 분류
선택 공리를 가정하자. 체 에 대하여 다음이 성립한다.
즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 인 경우 이는 곱집합과 다르다.

## 연산
같은 체  위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.

### 몫공간
체  위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다.
**몫공간** 는 집합으로서 이 동치 관계에 대한 몫집합(=동치류들의 집합)이다.
그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.

### 직접곱
이 주어졌을 때, 이들의 **직접곱**
은 집합으로서 -벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,
이는 벡터 공간의 범주에서의 곱이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
이 존재하며, 이는 선형 변환을 이룬다.

### 직합
이 주어졌을 때, 이들의 **직합**은 다음과 같다.
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
가 존재하며, 따라서 각 의 부분 공간을 이룬다.

유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 의 기저라면,
는 의 기저를 이룬다. 따라서,
이다. 여기서 우변은 기수의 합이다.

### 텐서곱
이 주어졌을 때, 이들의 **텐서곱**
이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상
이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상
가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다. 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.

임의의 두 벡터 공간 에 대하여, 다음이 성립한다.
여기서 은 기수의 곱셈이다.

## 성질
체 는 다음 성질들을 만족시킨다.
즉, 체 위에서는 모든 가군이 자유 가군이 된다.

### 집합론적 성질
체 의 집합의 크기는 다음과 같다.

### 범주론적 성질
체 에서의 대표적 범주론적 연산들은 다음과 같다.

### 모형 이론적 성질
모형 이론의 관점에서, 체 에 대한 벡터 공간의 개념은 대수 구조로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.
즉, 만약 가 무한 집합일 경우, 벡터 공간의 언어는 무한 개의 연산을 갖는다. 벡터 공간을 정의하는 공리들은 모두 항등식으로 적을 수 있으므로, 벡터 공간들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이며, 벡터 공간의 부분 대수는 부분 벡터 공간이다. 합동 관계는 부분 벡터 공간과 일대일 대응하며, 주어진 합동 관계에 대응하는 부분 공간은 0과 합동인 벡터들의 집합이다. 특이하게도, 모든 벡터 공간은 자유 대수이다.

## 관련 개념
벡터 공간에 성질을 추가하여 만든 구조로는 거리의 개념을 준 **노름 공간** · **바나흐 공간**, 각의 개념을 준 **내적 공간** · **힐베르트 공간**, 위상적 성질을 가진 **위상 벡터 공간** · **국소 볼록 공간** · **프레셰 공간**, 벡터 곱을 준 **체 위의 대수** 등이 있다.

벡터 공간은 임의의 환 위의 **가군**의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 **자유 가군**이라고 한다.
**펜로즈 삼각형**( 또는 )는 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다.

이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다.

이 방법을 일반화 시켜서 펜로즈 다각형으로 확대할 수 있다. 하지만 펜로즈 사각형은 그 시각적 효과가 삼각형만큼 충격적이진 않다.


펜로즈 삼각형처럼 보이는 입체를 만들 수는 있다. 하지만 이 때에 각 변은 꼬이거나, 끊어져야 한다.
정수론에서 **수론적 함수**는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다.

중요한 수론적 함수로 덧셈적 함수와 곱셈적 함수가 있으며, 수론적 함수 사이의 연산으로는 디리클레 합성곱이 중요하다.

## 예시
곱셈적 함수와 덧셈적 함수에 몇몇 수론적 함수의 예가 수록되어 있다. 아래 예들은 곱셈적이지도, 덧셈적이지도 않은 함수들이다.
**물리 상수**는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다.

물리 상수들 중에 특히 유명한 것으로는 플랑크 상수, 중력 상수, 아보가드로 상수 등이 있다.

물리 상수는 여러 가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다.

## 물리 상수 일람
유효자리는 **굵게** 표시했다.

## 참고 문헌
Peter J. Mohr and Barry N. Taylor, "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998," ''Journal of Physical and Chemical Reference Data,'' Vol. 28, No. 6, 1999 and ''Reviews of Modern Physics,'' Vol. 72, No. 2, 2000. [http://physics.nist.gov/cuu/Constants/]
**대수학의 기본 정리**는 상수가 아닌 복소수 계수 다항식이 적어도 하나의 근을 갖는다는 정리다. 이 정리에 따라, 모든 상수가 아닌 복소수 계수 다항식은 유한 개의 복소수 계수 1차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. 또한, 복소수체는 실수체와 달리 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 이 결과들은 대수학의 기본 정리의 서로 다른 형태들이다.

상수가 아닌 실수 계수 다항식의 복소수체에서 인수 분해하였을 때, 인자가 되는 1차 다항식들은 실수 계수가 아닐 수 있다. 그러나 실수 계수 다항식의 근은 켤레 불변이기 때문에, 허수근에 대응하는 1차 다항식들을 둘씩 조합하여 판별식이 0보다 작은 실수 계수 2차 다항식들로 만들 수 있다. 이에 따른 실수 계수 다항식의 완전한 인수 분해 또한 대수학의 기본 정리와 동치다.

이름과는 달리 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 발견하지 못했으며, 실수의 완비성 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 또한 대수학의 기본 정리는 추상대수학의 기초가 되는 정리는 아니다.

## 정의
다항식 를 뜻한다. **대수학의 기본 정리**에 따르면, 양의 차수의 복소수 계수 다항식
은 근 을 갖는다.

## 역사
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라고 예상하였다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스, 장-로버트 아르간드 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 오귀스탱 루이 코시가 그의 저술 ''Cours d'Analyse''(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한 바 있다.

## 증명
다음은 복소해석학 또는 위상수학을 이용한 증명이다.

### 리우빌 정리를 이용한 증명
복소 다항식

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 는 전해석 함수이다. 이제 삼각 부등식을 이용하여

를 얻고, 이면

이다. 여기서 가 되도록 하면 부등식

이 성립하므로 식 (a)로부터

을 얻는다. 즉, 가 상수 함수가 아니라면 영점을 갖는다.

### 편각 원리를 이용한 증명
''R''인 실수 ''r''에 대해 편각 원리를 적용하면,
이 성립한다. 여기서 ''c(r)''은 반지름이 ''r''인 원의 반시계 방향 경로를 의미하고, ''N''은 의 근의 개수를 의미한다. 한편
이므로
이 성립한다. 여기서 두 번째 식의 적분을 보면 분자는 ''n-1''차 다항식이고 분모는 ''n+1''차 다항식이다. 따라서 ''r''이 충분히 커질수록 적분 값은 0에 수렴한다. 즉 ''N-n''이 0에 수렴하므로 ''N=n''이다.

### 루셰 정리를 이용한 증명
복소 다항식
에 대해, 이면
이다. 그러면 일 때
이므로 이다.
도 ''n''개의 근을 가진다.

### 위상수학적 증명
복소수 계수 차 일계수 다항식
이 근을 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 에 대하여, 원 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.
(이 함수는 항상 은 함수
와 호모토픽하다. 는 널호모토픽하지 않으며, 이는 모순이다.

## 따름정리
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다.

''모든 개의 근을 갖는다.''

이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식

에 대해 복소수 이 존재하여(서로 다를 필요는 없다.)

와 같이 쓸 수 있다.

1차 다항식이 하나의 근만을 가짐은 자명하다. 이제 수학적 귀납법을 쓰기 위해 ''n''차 이하의 다항식이 ''n''개의 근을 가진다고 가정하고, ''n+1''차 다항식 이 존재하므로
인 ''n''차 다항식

## 실계수 다항식의 표현
**실계수 개의 근을 갖지 않을 수도 있다.

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은
와 같이 (는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.

### 실계수 다항식의 근의 켤레성
만일가 실계수 다항식
의 복소수 근이면 즉, 이다.

#### 복소켤레
복소켤레 연산의 성질에 의해

이다.

#### 응용
대수학의 기본정리에 의해 개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.
확률론과 통계학에서 **정규 분포** 또는 **가우스 분포**는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.

정규분포는 2개의 매개 변수 평균 을 **표준 정규 분포**(standard normal distribution)라고 한다.

## 역사
정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 
위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 다.

## 표준 정규 분포
정규 분포 밀도 함수에서 를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.

z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z검정(z-test)이라고 한다.

## 불확실성
를 50% 불확실성이라고 하며, **확률오차**(probable error)라고도 한다. 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.
수론에서의 **뫼비우스 반전 공식**(Möbius inversion formula)은 19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.

## 공식
''g''(''n'') 과 ''f''(''n'')이 수론적 함수(arithmetic function)이며 1보다 큰 모든 에 대해 다음이 성립한다고 하자.
이 때, 1보다 큰 모든 에 대해 다음이 성립한다.
여기서 는 뫼비우스 함수(Möbius function)이고, 덧셈은 ''n''의 양의 약수 ''d'' 전체에 대해 이루어진다.

수론적 함수 를 꺼내는 공식이므로 **반전** 공식이라 불린다.

''f''와 ''g''가 자연수에서 어떤 아벨 군으로의 함수일 때에도 공식은 성립한다.

## 디리클레 합성곱과의 관계
디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)을 사용하여 공식을 써 보면 다음과 같다.
여기서 * 는 디리클레 합성곱이고, 1은 모든 에 대해 항상 1인 수론적 함수이다. 이 경우,
가 성립한다. 즉, 뫼비우스 함수는 모든 함수값이 1인 수론적 함수의 역원이기 때문이다. 당연하게도
이 성립한다. 여기서 일 때만 1이고 나머지는 모두 0인 수론적 함수이다.
다양한 수론적 함수의 계산의 예는 Apostol의 책을 참조하면 좋다.{{서적 인용

## 일반화
조합론(combinatorics)에서 자주 쓰이는 동치의 진술은 다음과 같다.

''F''(''x'')와 ''G''(''x'')가 구간 [1,∞)에서 복소수로의 함수이고, 1보다 크거나 같은 모든 에 대해
을 만족하면, 1보다 크거나 같은 모든 에 대해
이 성립한다.

여기서 합은 ''x''보다 작거나 같은 모든 양의 정수 ''n''에 대해서 이루어진다.
수학에서 **푸리에 급수**는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다.

함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 영상 처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다.

## 역사
프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에가 열 방정식을 풀기 위하여 도입하였다. 프랑스 혁명에 참가했다.|저널=|권=1|쪽=112–116|월=3|연도=1808|위치=Paris|출판사=Bernard|호=6}}
다음 책에 수록.

## 정의
푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 의 주기를 가진다고 하자. 즉,

라고 하자. 또한, 에 대하여,

가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 

그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 의 집합은 르베그 측도 0을 가진다.

만약 로 수렴한다.
**가수**는 목소리를 이용해서 음악을 만들고 부르는 사람을 말한다. 고전음악이나 오페라에서 목소리는 악기와 동일한 용법으로 사용되었다.

## 설명
가수의 급여와 근무 조건은 매우 다양하다. 음악 교육 합창단 지휘자와 같은 다른 음악 분야의 직업은 정규직, 급여 직위를 기반으로 하는 경향이 있는 반면, 노래하는 직업은 개별 쇼나 공연 또는 일련의 쇼에 대한 계약을 기반으로 하는 경향이 있다.

야심 찬 가수와 성악가는 음악적 능력, 뛰어난 목소리, 사람들과 함께 일하는 능력, 쇼맨십과 드라마 감각을 갖추어야한다. 또한 가수는 지속적으로 연구하고 발전하려는 야망과 추진력을 가져야 한다. 전문 가수는 자신의 기술을 연마하고 범위를 확장하며 새로운 스타일을 배우기 위해 계속해서 보컬 코칭을 찾는다. 또한 가수 지망생은 노래를 해석하는 데 사용되는 성악 기술에 대한 전문적인 기술을 습득하고, 자신이 선택한 음악 스타일의 성악 문학에 대해 배우고, 합창 음악 기술, 시창 및 노래 암기, 성악 연습 기술을 익혀야 한다.

일부 가수는 작곡, 음악 제작 및 작곡과 같은 다른 음악 직업을 배운다. 일부 가수는 유튜브와 스트리밍 앱에 동영상을 올린다. 가수들은 음악 감독 앞에서 오디션을 통해 보컬 재능을 가진 구매자들에게 자신을 홍보한다. 개인이 훈련받은 성악 스타일에 따라 그들이 찾는 "재능 구매자"는 음반사, A&R 대표, 음악 감독, 합창단 지휘자, 나이트클럽 매니저 또는 콘서트 프로모터일 수 있다. 보컬 공연을 발췌한 CD나 DVD를 사용하여 가수의 실력을 보여준다. 일부 가수는 에이전트나 매니저를 고용하여 유급 계약 및 기타 공연 기회를 찾는 데 도움을 준다. 에이전트나 매니저는 가수가 무대에서 공연하면서 받는 수수료의 일부를 받아 급여를 받는 경우가 많다.

가수들이 유명세에 비해서 수익이 적으며, 일반 직장인들보다 빈곤하게 사는 것으로 나타났다. 2011년 기준 가수의 연평균 소득세는 29만원이었다. 대중문화평론가 정덕현은 “연예인이란 직업은 인기에 크게 좌우되기 때문에 수입이 불안정할 수밖에 없다.”면서 “잘나가는 연예인은 극히 일부분이고 대부분이 생계형인 게 현실이다.”이라고 지적했다. 특히 가요계가 이런 현상이 가장 심하다고 덧붙였다. 예전처럼 음반 수익이 뚜렷하지 않은 데다 시장 자체도 침체된 상황에서 음원 판매 수익이 유통사로 흘러가는 구조이기 때문이라는 설명이다. 수십년이 지난 지금도 가수들은 대부분 궁핍하게 사는 것으로 나타났다.
수학에서 **감마 함수**는 계승 함수의 해석적 연속이다.

감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.

양의 정수 n에 대하여 이 성립한다.

## 정의
감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.

### 오일러 적분
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 **오일러 적분**이라고 한다.
오일러 적분은 상반평면 
이 정의는 오일러의 이름을 따 **오일러 극한 형태**라고도 불리기도 한다.

### 바이어슈트라스 무한곱
여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 **바이어슈트라스 무한곱 형태**라고도 불리기도 한다.

### 계승의 일반화에서 주의점
만약 감마함수를 자연수 에 대해
을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어
또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

## 성질
감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

### 특이점
감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 이다.
감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 
특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

### 미분과 적분
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 로 주어진다.
특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.
일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.
감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.

### 특별한 값
반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 ''n''에 대하여,
이 공식들은

## 응용
감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

### 초구의 부피
반지름이 차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

### 감마분포
감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 
여기서 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

## 큐-감마 함수(q-gamma function)
큐-감마 함수는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.
**장국영**은 홍콩의 배우이자 가수이다.

하카계의 **가난한 집안**에서 10남매 중 막내로 출생하였으며, 홍콩을 떠나 중국 광둥성 메이저우 시에서 잠시 유아기를 보낸 적도 있다. 영국 북부의 리즈 대학교에서 섬유직물관리학(textile management)을 공부했으나 알콜중독으로 인한 아버지의 건강 악화로 졸업하지는 못했다. 홍콩으로 귀국한 후 우연히 나간 노래 콘테스트에서 〈AMERICAN PIE〉를 불러 2위로 입상하며 데뷔했다.

1980년대와 1990년대 홍콩 느와르를 대표하는 배우로 손꼽히며, 아시아권을 넘어 전 세계에서 폭넒은 인기를 얻은 배우였다. 대표작으로는 영웅본색, 패왕별희, 아비정전, 해피 투게더, 천녀유혼, 종횡사해, 이도공간 등이 있으며 가수로서도 영웅본색의 주제가인 〈당년정〉과 1995년 발매한 싱글 앨범 〈Thousand Dreams of You〉 등의 히트곡을 보유하고 있다. 대한민국에서는 영웅본색의 흥행으로 주목받기 시작했으며 주윤발, 성룡, 양조위, 장학우, 유덕화, 매염방, 장만옥 등과 함께 폭발적인 인기를 누렸다. 한국에서의 인기 때문에 장국영은 1977년, 1989년, 1995년, 1998년, 1999년, 2002년 총 6차례 방한하였다.

2002년까지 가수와 배우로 활발히 활동하고 있던 장국영은 2003년 4월 1일, 자신이 묵고 있던 홍콩 만다린 오리엔탈 호텔 24층 객실에서 투신자살해 향년 46세의 나이로 죽었다.

## 연기 활동
1970년대에 홍콩 RTV (現 ATV/亞洲電視)에 가입하여, 악어루(鰐魚淚), 완화세검록(浣花洗劍錄), 정인전 (情人箭) 등에 출연했지만 평가는 전무했다. 그러다가 영웅본색, 패왕별희 등으로 아시아권을 넘어 세계적으로 이름을 알렸다. 한국에서도 주윤발과 함께 출연한 영웅본색이 엄청난 인기를 끌면서 이름을 알리기 시작했다.

## 가수 활동
1976년 홍콩 ATV의 Asian Music Contest에서 2등상을 수상. 가수 활동으로 슈퍼스타가 된 후 TV 브라운관으로 시작해서 영화와 가요계를 넘나들어 활동했다. 그러다 1990년 고별콘서트를 끝으로 가수 생활을 은퇴하고 캐나다에서 1년간 휴식 후 귀국하여 영화배우 활동에만 전념하였다. 그 후로 영화속 O.S.T.제작 등에 한하여 음악활동을 해오다 1995년 앨범 총애 (寵愛)를 발매함으로 다시 가수로 재개, 2000년까지 중화인민공화국, 일본, 싱가포르, 말레이시아 등 여러 아시아 지역에서 콘서트를 개최했다. 그러나 2000년에 가수 분야에서 다시 은퇴하고 2003년 사망할 때까지 영화배우 활동에만 전념하였다.

다음은 그의 앨범목록이다.

## 개인사
타임지와의 인터뷰에서 양성애자라고 커밍아웃했다. 22세 쯤에 여배우 모순균과 교제했었으며,

1997년 콘서트에서 남자 애인이자 무명 시절 그의 매니지먼트를 담당했던 당학덕와 함께 나타났으며, 당학덕은 장국영이 사망할 때까지 꾸준히 그를 방문하며 관계를 지속했다. 당학덕은 장국영이 죽은 이후 장국영의 화장한 유골을 직접 인계하였으며 장국영과 단 둘이 살던 집에서 홀로 거주하다가 2011년 초 장국영과 자신이 키우던 개가 죽은 이후 그 집을 매각했다.

홍콩의 성상납 X파일이 터졌을 때 당시 2000년대 초기에 장국영이 알 수 없는 이유로 자살했다. 이때 유명 연예인들이 정치인, 재벌가 등 사회의 돈권력이 많은 유력 인사들에게 몸을 팔았는데 이를 폭로하려고 하다가 정계 일부에서 사람들을 써서 장국영을 타살한 것이 아니냐는 추측이 있었다. 하지만 죽은 자는 말이 없었다.{{뉴스 인용

## 사망
2003년 4월 1일 홍콩 만다린 오리엔탈 호텔 24층에서 투신 자살로 생을 마감했다. 장국영이 투신한 이후 홍콩에서만 그의 팬 9명이 투신자살을 시도했고 이 중 6명이 사망했다. 4월 5일 열린 추도식에는 많은 팬들이 SARS의 위험에도 불구하고 세계 곳곳에서 홍콩으로 찾아와 화제가 되기도 했다. 영웅본색에 함께 출연했던 주윤발, 성룡, 유덕화, 매염방, 이연걸 등 동료 배우들 역시 장례식에 참석해 그의 죽음을 기렸다. 공교롭게도 장국영이 죽은 4월 1일은 만우절이었고 많은 사람들이 언론사들의 만우절 거짓말 이벤트라고 의심하기도 하였다. 장국영의 시신은 화장되어 위패는 홍콩 근교에 위치한 보선사에 안치되었고, 유골은 연인이었던 당학덕이 직접 인계하였다.

2004년 홍콩 문화의 거리에 그의 핸드프린팅 석판이 설치되었으나, 설치 전 사망했기에 빈 석판으로 설치되었다. 사망 2년 후인 2005년 중국영화 100주년 기념 가장 사랑받는 남자배우 1위로 선정되었고, 2013년 10주기 추모식 때는 홍콩 IFC 몰에 장국영의 대형 추모 석판이 설치되었다. 매년 4월 1일이 되면 장국영의 팬들은 장국영이 생을 마감한 만다린 오리엔탈 호텔 앞에 모여 추모식을 진행하고 있다.

### 자살 관련 논란
홍콩 경찰은 장국영이 24층에서 투신하여 자살하였다고 밝혔는데 여러 가지 부분에서 논란이 있으며 가장 유력한 용의자로 장국영의 전 재산 460억을 상속받은 애인 당학덕이 지목된다.
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}}

**광자** 또는 **빛알**은 기본입자의 일종으로, 가시광선을 포함한 모든 전자기파를 구성하는 양자이자 전자기력의 매개입자이다. 기호는 그리스 문자 이다. 전자기력의 효과는 미시적, 거시적인 수준에서 쉽게 관찰할 수 있는데, 광자가 질량을 가지지 않기 때문에 장거리에서의 상호작용이 가능하다. 다른 기본입자들과 같이 광자는 양자역학과 입자-파동 이중성 이론을 통해 가장 잘 설명된다. 하나의 현상임에도 파동과 양자라는 두 가지 관측 가능한 모습을 가진 광자의 진짜 성질은 어떤 역학적 모델로도 설명할 수 없다. 이러한 빛의 이중성의 묘사, 전자기파에서의 에너지의 위상을 파악하는 것 또한 불가능하다. 전자기파의 양자의 위치는 공간적으로 국한되지 않기 때문이다.
광자 한 개의 에너지는 플랑크 상수(는 광속)이다.

## 역사
아이작 뉴턴은 빛이 입자로 이뤄져 있다고 주장하였다. 그러나 고전적인 입자론은 빛의 파동적인 성질, 특히 간섭을 설명하지 못한다. 따라서 18세기에 와서는 이중 슬릿 실험을 설명할 수 있는 토머스 영의 파동설이 우세하였고, 제임스 맥스웰의 고전전자기학의 완성으로 파동설은 정설로 인정되었다. 그러나 20세기 초에 와서 고전적인 파동설로 설명할 수 없는 현상이 발견되기 시작하였다. 자외선 파탄이 그중 한 예인데, 이에 따르면 열적 평형에 있고 유한한 온도를 가진 고전적 흑체는 무한한 양의 전자기파를 방출하여야 한다. 이 문제를 해결하기 위해, 막스 플랑크는 전자기파가 양자화되었다는 가설을 도입하였다 (1901). 그러나 그는 실제로 빛이 입자로 구성되었다기보다는, 어떤 알 수 없는 현상에 의해 파동의 에너지가 양자화되었다고 해석하였다. 알베르트 아인슈타인은 힐베르트의 가설에서 시작하여, 빛이 실제로 입자로 구성되었다고 가정하면서 광전효과를 설명할 수 있다는 사실을 보였다 (1905). 이후 양자역학의 발전과 양자전기역학의 도입으로, 빛이 양자화되었다는 사실을 이론적으로 설명할 수 있게 되었다.

## 광자에너지
빨간색의 광자에너지는 
아보가드로 상수는
이다. 따라서 단위물질량당 광자에너지는
**보손**는 스핀이 정수고, 보스-아인슈타인 통계를 따르는 매개 입자다. 인도의 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다. 페르미온의 반대말이다. 모든 입자는 스핀이 정수이거나 반정수이다. 스핀-통계 법칙에 따라 (유령입자나 애니온 따위의 예외적 경우를 제외하고) 전자(前者)의 경우는 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 후자는 페르미-디랙 통계를 따른다. 전자를 **보손**, 후자를 "페르미온"이라고 부른다. 보손은 보스-아인슈타인 통계를 따르므로, 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 여러 입자가 동일한 상태에 있을 수 있다.

예를 들면, 광자는 스핀이 1인 보손이다. 따라서, 들어온 빛을 완전히 흡수하는 흑체가 복사하는 전자기파의 파장 분포는 보스 통계를 따른다. 또 응집물질물리에 나오는 준입자 포논도 보스 통계를 따른다.

## 자연계의 보손

### 기본 보손
현재 알려진 기본 입자 가운데 보손은 다음과 같다.
초대칭이나 각종 대통일 이론 등, 표준 모형을 확장하는 모형들은 대부분 추가 보손을 예측하나, 이들은 아직 발견되지 않았다.

### 합성 보손
짝수개의 페르미온으로 구성된 합성 보손이 구성될 수 있다. 예를 들어, 중간자는 쿼크와 반쿼크로 구성된 합성 보손이다. 이 밖에도, 보손들로도 합성 보손이 구성될 수 있다.

## 성질

### 스핀
양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 보손은 항상 정수의 스핀을 갖는다. 즉, 가능한 스핀은 0, 1, 2, … 따위다. 기본 보손의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 0, 1, 2만이 가능하다고 여겨지며, 스핀 2인 입자는 중력자, 스핀 1인 입자는 **벡터 보손**, 스핀 0인 입자는 **스칼라 보손**으로 불린다.

### 통계역학
페르미온과 달리, 보손은 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 한 양자 상태에 임의의 수의 보손이 존재할 수 있다. 따라서 보손은 낮은 온도에서 보스-아인슈타인 응축 등의 특이한 성질을 보인다.
**디리클레 합성곱**(Dirichlet convolution) 혹은 **디리클레 포갬**은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다.

## 정의
''f'', ''g''가 수론적 함수 일 때, ''f'', ''g''의 디리클레 포갬 ''f'' * ''g''는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.
(f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d)

여기서 덧셈은 ''n''의 모든 양의 약수 ''d''에 대해 이루어진다.

## 성질
이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:

덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 &epsilon;을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 **디리클레 환**(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 ''f''(1) &ne; 0 을 만족하는 f들이다.

나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 &epsilon;을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다. 

곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.

## 역원의 계산
주어진 수론적 함수 이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다.
그리고 일 경우는 다음과 같다.
예를 들어, 모든 
L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다.
좌변이 존재하는 모든 s에 대해,
L L = L

위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.

## 수론적 함수의 미분과의 관계
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.

주어진 산술함수 는 망골트 함수(Mangoldt function)이다.
예를 들어, 모든  때문에 다음이 성립한다
위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.{{서적 인용
수학에서 **동치 관계**는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.

## 정의

### 동치 관계
집합 이다.

### 동치류와 몫집합
집합 와 동치인 원소들을 모은 집합이다.

집합 은 모든 동치류들을 모은 집합이다.

### 모임의 경우
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.

모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임 을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.

모임 {{서적 인용
즉, 의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임
을 정의할 수 있다.

## 성질
집합 이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.
즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.

### 집합의 분할과의 관계
집합 를 정의하자.
그렇다면 는 서로 역함수이다. 즉,
이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.

### 순서론적 성질
집합 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

집합 는 교집합
이다. 을 포함하는 최소의 동치 관계
이다.

동치 관계 격자 는 단순 격자이다.

## 예
임의의 집합 는 동치 관계를 이룬다.

평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다.

임의의 함수 에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계
는 정의역 는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다.

## 반례

### 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계
임의의 집합  위에서, 공관계
는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.

### 대칭 관계가 아닌 반사 추이적 관계
정수의 집합  위의 표준적인 순서
를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 이다.

### 추이적 관계가 아닌 반사 대칭 관계
정수 집합  위의 이항 관계
는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.