**천구좌표계**는 천문학에서 위성, 행성, 항성, 은하 등 천체의 위치를 나타낼 때 사용하는 좌표계이다. 천구좌표계는 구면좌표계의 일종으로, 하늘을 둘러싼 가상의 구인 천구에서 천체의 방향을 가리키는 방식을 사용하는데, 이는 3차원으로 좌표를 표현하려면 해당 지점까지의 위치를 알아야 하는데, 천문학에서는 천체까지의 위치를 정확히 알 수 없거나, 거리가 중요하지 않은 경우도 많기 때문이다.

## 좌표계 종류
밑의 표는 천문학계에서 사용하는 좌표계의 목록이다. 좌표계들은 공통적으로 기본평면을 통해 천구를 2등분하며, 이 기본평면이 위도 계산의 기준점이 된다. 이는 지구 표면에서 나타내는 적도와 같은 개념이다. 극은 기본평면에서 ±90°지점에 위치한다. 기준 방향(Primary direction)은 경도 계산의 기준점이 된다. 좌표의 원점은 천구의 중심이지만, 천구의 개념 자체가 중심의 정의가 명확하지 않다.

### 지평좌표계
지평좌표계(고도-방위각 좌표계)는 지구의 관측자를 중심으로 하며, 관측자가 있는 지점의 이론상의 수평선과 별 사이의 관계를 나타낸다. 천체의 위치를 지평좌표계로 계산하면 위치가 계속해서 변하지만, 천체를 관측 및 추적하기에는 편리한 좌표계이다.

### 적도좌표계
적도좌표계는 지구의 중심이 기준이 되지만, 천구의 극과 춘분점을 기준으로 조정된 좌표계로, 좌표는 별들을 무한한 거리 바깥으로 투영했을 때의 별의 위치와 지구의 적도의 위치의 상대적이 차이로 결정된다. 적도좌표계는 태양계에서 보이는 별의 모습을 보여주며, 현대 사용되는 성도 대부분은 적도좌표계를 사용하고 있다.

### 황도좌표계
황도좌표계의 기본평면은 지구의 궤도면, 즉 황도면이다. 황도좌표계는 지구의 중심을 기준으로 한 지심 황도좌표계와 태양계의 질량중심을 기준으로 한 일심 황도좌표계로 나뉜다.

### 은하좌표계
은하좌표계는 우리은하의 은하면을 기준면으로 사용하는 좌표로, 좌표계의 중심은 태양계이며 기준 방향은 은하중심이다. 은하 위도(은위)는 은하면으로부터 떨어진 거리를, 은하 경도(은경)는 은하 중심에서 떨어진 거리를 뜻한다.

### 초은하좌표계
초은하좌표계는 지구에서 보이는 은하의 평균 수보다 은하가 더 많이 포함된 기준면을 설정하여 좌표를 정의한다.

## 좌표 변환
한 좌표계를 다른 좌표계로 변환하는 것도 가능하다.

### 적도 ↔ 황도
구면삼각법에서 유도된 원초적인 공식은 중괄호 오른쪽에 표시되어 있으며, 첫 식을 둘째 식으로 나누면 왼쪽의 단순한 탄젠트에 대한 식이 된다.

### 적도 ↔ 지평
여기에서의 방위각은 남쪽에서 서쪽을 향해 측정한 값임을 유념해야 한다.

 \tan\left(A\right) &= {\sin\left(h\right) \over \cos\left(h\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) - \tan\left(\delta\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)}; \qquad \begin{cases}
 \cos\left(a\right) \sin\left(A\right) = \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right) ;\\
 \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) = \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) - \sin\left(\delta\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)
 \end{cases} \\[3pt]
 \sin\left(a\right) &= \sin\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(\delta\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right);
\end{align}

만약 위 식에서 가 음수라면, 360°를 더해 양수로 만들 수 있다.

 \begin{bmatrix}
 \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\
 \cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\
 \sin\left(a\right)
 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
 \sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & -\cos\left(\phi_\text{o}\right) \\
 0 & 1 & 0 \\
 \cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)
 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \cos\left(\delta\right)\cos\left(h\right) \\
 \cos\left(\delta\right)\sin\left(h\right) \\
 \sin\left(\delta\right)
 \end{bmatrix} \\
 &= \begin{bmatrix}
 \sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & -\cos\left(\phi_\text{o}\right) \\
 0 & 1 & 0 \\
 \cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)
 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \cos\left(\theta_L\right) & \sin\left(\theta_L\right) & 0 \\
 \sin\left(\theta_L\right) & -\cos\left(\theta_L\right) & 0 \\
 0 & 0 & 1
 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \cos\left(\delta\right)\cos\left(\alpha\right) \\
 \cos\left(\delta\right)\sin\left(\alpha\right) \\
 \sin\left(\delta\right)
 \end{bmatrix}; \\[6pt]
 \tan\left(h\right) &= {\sin\left(A\right) \over \cos\left(A\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right) + \tan\left(a\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right)}; \qquad \begin{cases}
 \cos\left(\delta\right) \sin\left(h\right) = \cos\left(a\right) \sin\left(A\right); \\
 \cos\left(\delta\right) \cos\left(h\right) = \sin\left(a\right) \cos\left(\phi_\text{o}\right) + \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \sin\left(\phi_\text{o}\right)
 \end{cases} \\[3pt]
 \sin\left(\delta\right) &= \sin\left(\phi_\text{o}\right) \sin\left(a\right) - \cos\left(\phi_\text{o}\right) \cos\left(a\right) \cos\left(A\right);
\end{align}

아까와 같이, 에 대해 을 풀 때는 atan2을 사용하기를 권장한다. 따라서, 방위각을 남쪽부터 시작해 서쪽으로 잰다고 한다면, 다음과 같다.

여기서,
 x &= \sin\left(\phi_\text{o}\right)\cos\left(a\right) \cos\left(A\right) + \cos\left(\phi_\text{o}\right)\sin\left(a\right) \\
 y &= \cos\left(a\right)\sin\left(A\right) \\[3pt]
 \begin{bmatrix}
 \cos\left(\delta\right)\cos\left(h\right) \\
 \cos\left(\delta\right)\sin\left(h\right) \\
 \sin\left(\delta\right)
 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
 \sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \cos\left(\phi_\text{o}\right) \\
 0 & 1 & 0 \\
 -\cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)
 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\
 \cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\
 \sin\left(a\right)
 \end{bmatrix} \\
 \begin{bmatrix}
 \cos\left(\delta\right) \cos\left(\alpha\right) \\
 \cos\left(\delta\right) \sin\left(\alpha\right) \\
 \sin\left(\delta\right)
 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
 \cos\left(\theta_L\right) & \sin\left(\theta_L\right) & 0 \\
 \sin\left(\theta_L\right) & -\cos\left(\theta_L\right) & 0 \\
 0 & 0 & 1
 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \sin\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \cos\left(\phi_\text{o}\right) \\
 0 & 1 & 0 \\
 -\cos\left(\phi_\text{o}\right) & 0 & \sin\left(\phi_\text{o}\right)
 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \cos\left(a\right) \cos\left(A\right) \\
 \cos\left(a\right) \sin\left(A\right) \\
 \sin\left(a\right)
 \end{bmatrix}.
\end{align}