blueapple8259/wikipedia-ko huggingface dataset:
**코리올리 효과**(Coriolis effect)는 **전향력** 또는 **코리올리 힘**(Coriolis force)이라고도 하며, 회전하는 계에서 느껴지는 관성력으로, 1835년 프랑스의 과학자 코리올리가 처음 설명해 냈다.

굵은 글꼴은 그 물리량이 벡터라는 점을 나타내고, m은 질량, **v**는 물체의 계에서의 속도를, **Ω**는 계가 돌고 있는 각속도를 나타낸다.

## 정의

### 코리올리 효과
코리올리 힘의 발생원인은 각운동량 보존법칙에 의해 발생한다. 각운동량 보존법칙은 각운동량이 시간에 대해 일정하다는 것을 말한다.
만약 어떤 원점을 기준으로 계에 돌림힘이 작용하지 않으면
이 되어 각운동량이 보존되게 된다. 이를 **각운동량 보존법칙** 또는 간단히 **각운동량보존**이라고 부른다.

회전하는 좌표계 내에서 물체가 운동을 하는 경우 회전축에 대해 반지름이 줄어드는 경우에는 줄어드는 반지름에 대해 속도가 변화하게 된다. 이 결과 회전좌표계는 코리올리힘과, 가로힘이 발생한다.

## 발생원인

### 회전 좌표계

#### 회전좌표계
좌표계 x, y, z와 좌표계 x', y', z'을 보자 두 좌표계의 원점은 같다. 각각의 경우에 대해 벡터 .은 두 좌표계에서 다음과 같이 표시된다.

. 

. 

벡터의 내적을 이용해 x, y, z를 (.)으로 표현할 수 있다. 내적의 방법은 다음과 같다.

.

.

.

으로 표현되는 것을 확인할 수 있다.

#### 회전하는 벡터의 속도
벡터 .의 각속도로 회전하고 있다고 하자.
그런경우 벡터 . 는 다음과 같이 표현된다.

### 회전하는 좌표계에서 벡터의 속도와 가속도

#### 회전하는 좌표계에서 벡터의 속도
회전좌표계의 경우에는 원점을 기준으로 좌표축 x', y', z' 이 회전하는 것으로 생각할 수 있다. 좌표계가 서로 다른 경우 두 좌표계에서 상대적인 속도는 다음과 같다.

이를 바탕으로 회전좌표계에서 x', y', z'의 단위벡터의 회전을 적용하여 표현하면 다음과 같다.

#### 회전하는 좌표계에서 벡터의 가속도
축의 회전에 따른 속도는 이다. 이를 한번 더 시간에 대해 미분을 하면 다음과 같다.

### 코리올리 정리 및 코리올리 힘

#### 코리올리 힘
뉴턴의 운동방정식이 x, y, z 좌표계에서 성립한다고 가정하면 x', y', z' 좌표계에서 아래의 식을 만족한다.

우변의 둘째, 셋째 그리고 넷째 항을 왼쪽으로 옮기면 뉴턴의 운동 방정식과 비슷한 꼴의 운동방정식이 된다.

오른쪽 둘째 항은 코리올리 힘(Coriolis Force)이라고 부른다. 그리고 오른쪽 셋째 항은 원심력(Centripetal Force)이라고 한다. 마지막 항은 가로 힘(Transverse Force)이며 회전 각속도가 일정하지 않은 경우에만 나타난다. 원심력과 코리올리 힘을 도입한다면, 회전하고 있는 좌표계에 대한 운동방정식은 고정된 좌표계에 대해서 같다. 그리고 원심력과 코리올리 힘은 실제 힘이 아니라 회전하고 있는 좌표계에서 나타나는 가상의 힘(Fictitious Force)이다.

## 코리올리 힘의 예

#### 북반구에서의 바람의 우측편향
적도에서 북풍이 부는 경우에도 바람은 코리올리 힘을 받게 된다. 코리올리 힘은 다음과 같은 공식에 의해 계산된다.
지구는 자전 축을 중심으로  북쪽으로 이동한다고 할 수 있지만 실제 지구는 둥글기 때문에 기울어져서 고위도쪽을 향하게 된다. 이때 코리올리 정리를 통해 바람이 받는 힘의 방향을 알 수 있다. 이 때의 코리올리 힘의 방향은 동쪽을 향하게 된다. 즉 운동방향에 대해 오른쪽으로 편향하게 된다는 것을 확인할 수 있다. 수식의 결과가 아니라 각운동량 보존법칙을 적용해보아도 쉽게 우측편향된다는 것을 확인할 수 있다. 적도를 중심으로 바람이 고위도 쪽으로 바람이 부는 경우 지구가 타원형이기 때문에 고위도쪽으로 이동할수록 자전축에 대해 거리가 줄어들게 된다. 이 때에도 각운동량은 보존되어야 한다. 회전축을 중심으로 거리가 줄어들었기 때문에 각속도가 그만큼 증가해야 할 것이다. 이렇게 생각한다면 고위도로 바람이 불면 불수록 반지름이 더더욱 줄어들기 때문에 상대적으로 각속도는 증가하게 된다. 그결과 바람은 우측편향하여 불게 된다.

#### 푸코의 진자
코리올리의 힘이 적용되는 또 다른 예는 푸코의 진자이다. 푸코의 진자는 어떤 수직면에서 자유롭게 흔들리는 줄에 매단 추이다. 진자는 정확한 수직면에서 흔들리기 시작하는데, 진동하는 수직축에 대해 몇 시간의 주기 동안 천천히 옆돌기를 한다. 진자가 긴 시간의 주기동안에 자유로이 계속하여 흔들릴 수 있도록, 추는 무거운 것으로 하고 줄은 아주 길게 한다.
질량 m인 흔들이 추의 운동의 중심을 원점으로 택하고, 이때 벡터 은 진자의 작은 진동에 대해 거의 수평이다. 북반구에서
 라고 생각하면 추의 운동방정식은 다음과 같이 전개 된다.

코리올리 힘에 의해 진자는 수평방향으로 일정한 각속도로 나타낸 것은 다음과 같다.

이를 추의 운동방정식에 적용하면 다음과 같은 식이 된다.

각속도로 회전을 하는 좌표계를 중심으로 나타내면 다음과 같다.

위의 식에서 오른쪽에 있는 모든 벡터는 마지막 항을 빼고는 진자가 있는 수직면에 있다. 하지만 작은 진동에 대해 를 수평으로 만들어 마지막 항도 이 수직면에 있도록 할 수 있다.

 방향을 따른다.
위의 식을 보면 결과적으로 지구에서 푸코의 진자는 각속도  로 옆으로 회전한다는 것을 말한다. 북반구에서 내려다 볼 때 그 회전은 시계방향이 된다.
선형대수학에서 **벡터곱** 또는 **가위곱**은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다.

## 정의
두 벡터 라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

식에서 에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다.

위 정의에서의 문제점은 도 수직이다.

어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 **방향**에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. 

벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.

## 성질
**a**, **b**, **c** ∈ **R**



\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{bmatrix}

## 외적과의 관계
여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 의 외적은 다음과 같다.

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우,  
여기서 
이다. 그리고 여기에 
되고 마지막으로 
이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

## 응용
벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다.

## 고차원에서의 벡터곱
7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다.

7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.
**무리수**는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉 분수로 나타낼 수 없는 소수이다. 

이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다. 

유리수의 집합은 로 정의하고,
무리수의 집합은 로 정의한다.

무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.

무리수는 다시  등의 초월수로 나뉜다.

## 역사와 어원
무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 충격을 주었다. 전설에 따르면 피타고라스 학파의 동료들이 ‘우주의 섭리에 거스르는 요소를 만들어낸’ 히파소스를 살해했다고 하며, 죽이진 않고 추방했다는 이야기도 있다.

에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수를 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 로 번역되어 지금에 이른다.

## 몇 가지 무리수의 증명

### 특수한 로그 꼴의 수
가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:

### 2의 제곱근
무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.

이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.

이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.

### 원주율
1761년 요한 람베르트는 탄젠트 함수를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있음을 증명했다.

또한 
다른 수학자들의 증명은 이 문서에 나와 있다.
**플랑크 상수**는 입자의 에너지와 드브로이 진동수의 비 ("이다. 유니코드 기호 가 있다.

2018년 11월 16일 제26차 국제도량형총회(CGPM)에서

새로운 정의는 2019년 5월 20일 세계 측정의 날부터 발효되었다.

보다 더 많이 사용되는 형태이다.)

식에서 는 폴 디랙의 이름을 따 **디랙 상수**(Dirac's constant)라고도 부른다. 유니코드 기호 가 있다.

의 정수배의 값으로 양자화한다.

는 또 불확정성 원리를 기술하는 식에도 등장한다.

그래서 보다 더 기본적이라고 주장한다.

그 밖에 는 플랑크 단위의 정의에 사용된다.

## 역사
처음에 고전물리는 뉴턴의 역학 이론에서 시작되었지만 재능있는 수많은 학자들이 물리에 뛰어들어 그 영역을 전자기까지 확장을 시켜 모든 영역에서 승승장구하였었다. 막스 플랑크가 물리를 하던 19세기 후반, 물리는 더 이상 발전이 없을 것이며 소소한 몇몇 문제만 해결되면 완벽한 학문이 될 것이라는 의견이 매우 팽배하였다. 하지만 고전물리는 흑체 복사와 관련된 부분에서 문제에 부딪히게 되었다. 그것은 고전물리가 예측하는 결과와 흑체 복사의 실험 결과가 일치하지 않는 문제가 발생한 것이다. 긴 파장에서는 잘 일치하지만 짧은 파장에서는 일치하지 않는 문제가 생긴 것이다. 이에 대한 사고 실험은 다음과 같다.

아주 잘 밀폐된(외부와 에너지 교류가 없는) 한 용기 안에 흑체와 한 줄기 빛을 집어넣고 용기를 다시 밀폐한다고 하자. 이 경우 흑체는 빛을 흡수하여 파장의 형태로 다시 방출을 하게 되는데 고전물리의 등분배법칙에 의하면 흑체가 방출하는 에너지는 모든 파장에 골고루 나뉘어야 한다. 이 말은 아주 작은 빛을 넣게 되더라도 상자를 열게 되면 엑스선이나 감마선이 나오게 되는 현실에서는 불가능한 모순이 생기게 된다.

이러한 문제를 해결하기 위해 몇몇의 물리학자들이 매달리게 되었다. 막스 플랑크는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 혁명적인 착상을 하였다. 그것은 '에너지는 주파수에 비례한다'라는 가정이었다. 즉 에너지가 양자화되어 있다는 것이었다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가  인 것이다. 물론 플랑크는 가정을 통해서 흑체 복사에 관한 문제를 정리하였고 그 식은 실험과 잘 일치하는 결과를 가지고 왔다. 하지만 플랑크는 저 식에 대해서 큰 의미를 두기보다는 실험결과와 일치시키기 위해 어쩔 수 없이 도입시킨 것이라는 입장을 취하였다.

## 상수 개정
역사적으로, CODATA 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다.
**포인팅 벡터**는 전자기장이 가진 에너지와 운동량을 나타내는 벡터로, 전기장과 자기장의 벡터곱이다.

## 역사
영국의 존 헨리 포인팅이 1883년에 유도하였다.

## 정의
포인팅 벡터 **S**는 국제단위계에서 다음과 같다.
CGS 단위계에서는 를 쓴다.

## 성질
포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.

### 전자기장의 운동량과 각운동량
포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 과도 다음과 같이 연관되어 있다.

## 포인팅 정리
**포인팅 정리**는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다.

역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 발산정리를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다.
**미세 구조 상수** 또는 **조머펠트 미세 구조 상수**(Sommerfeld -)는 전자기력의 세기를 나타내는 물리상수다. 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타난다. 1916년 아르놀트 조머펠트가 발견하였다. 원래 조머펠트가 원자 방출 스펙트럼의 미세 구조를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다.

2020년 4월에, 130억 광년 떨어진 곳에서 미세구조상수가 다른 곳이 관측되었다는 논문이 발표되었다. 이는 전자기법칙이 전 우주에서 같지는 않을 수 있다는 점을 시사한다.

## 정의
미세 구조 상수 는 국제단위계에서는 다음과 같이 정의한다.
여기서 의 비로 해석할 수 있다.

## 유도
CGS 단위계에서는  인자가 전하량에 포함되므로 식이 다음과 같이 바뀐다.

는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면
이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 양자 전기역학에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 자기 모멘트와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다.
선형대수학에서 **크래머 법칙** 또는 **크래머 공식**은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

## 정의
연립 일차 방정식
에서, 
여기서 로 대신하여 얻는 행렬이다.

## 증명
연립 일차 방정식
의 계수 행렬 라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.
이에 따라, 각 을 곱한 뒤 모두 합하면
를 얻는다. 로 나누면
를 얻는다.

## 예

### 2개의 방정식의 경우
연립 일차 방정식
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

### 3개의 방정식의 경우
연립 일차 방정식
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

## 응용

### 미분기하학
크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 라 정의한다.

여기서 

이것은 두 개의 야코비안 항이다.

유사하게 의 공식들도 유도할 수 있다.

## 역사
스위스 수학자 가브리엘 크라메르에게서 유래한다.
선형대수학에서 **행렬식**은 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수의 하나이다.{{서적 인용

## 정의
가환환 
또는
 \begin{vmatrix}
 M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\
 M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\
 \vdots & \vdots & & \vdots \\
 M_{n1} & M_{n2} & \cdots & M_{nn} \\
 \end{vmatrix}

으로 표기하며, 다음 방법들을 통하여 정의할 수 있다.

### 다중 선형 형식을 통한 정의
행렬식은 행 또는 열에 대한 표준적인 교대 다중 선형 형식으로 정의할 수 있다.

가환환 -가군을 행벡터를 통하여 다음과 같이 나타내자.

즉, 행렬 으로 여기자.

가환환 
\det=0
조건 ㈀ 아래, 조건 ㈁은 다음 조건을 함의하며, 만약 가 표수가 2가 아닌 체일 경우 조건 ㈁은 이 조건과 동치이다.
조건 ㈁’은 인 경우와 동치이다.

마찬가지로, 행렬식은 열벡터를 사용하여 같은 조건으로 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.

### 다항식 정의
행렬식은 행렬의 성분에 대한 특수한 다항식으로서 정의할 수 있다.

가환환 의 **행렬식**은 다음과 같다 .
여기서
등식의 우변은 일 경우 반은 더하는 항, 반은 빼는 항이다.

### 재귀적 정의
행렬식은 행 또는 열에 대한 라플라스 전개를 통해 작은 크기의 행렬부터 시작하여 재귀적으로 정의할 수 있다.

가환환 로 표기하자.

가환환 

이는 모든 행 에 대한 라플라스 전개를 사용하여 정의할 수도 있다.

## 성질

### 항등식
가우스 소거법은 정사각행렬을 일련의 기본행연산을 통해 상삼각행렬로 변환한다. 행렬식의 선형성과 교대성에 따라, 기본행연산은 행렬식을 보고 알아낼 수 있는 배수만큼 변화시킨다. 또한, 상삼각행렬의 행렬식은 자명하게 모든 대각항의 곱이다. 따라서, 가우스 소거법을 통해 행렬식을 계산할 수 있다.

가환환 에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.
특히, 행렬식 -결합 대수 준동형이 아니다.

### 점화식
가환환 에 대하여, 행렬식은 다음과 같은 점화식을 갖는다.

마찬가지로, 열의 집합 에 대한 점화식은 다음과 같다.

### 다중선형대수학
가환환 는 다음과 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

### 가역성과의 관계
가환환 가 체일 경우, 가역 행렬은 행렬식이 0이 아닌 것과 동치이다.

### 크라메르 공식
가환환 
을 만족시킨다. (여기서 
이다.

### 고윳값과의 관계
체 의 행렬식은 (중복도를 감안한) 모든 고윳값의 곱이자 특성 다항식의 상수항이다.

### 측도론적 성질
실수 정사각 행렬 에 대하여, 실수 선형 변환
가 가측 집합 이다.

보다 일반적으로, 실수 행렬 에 대하여, 실수 선형 변환
가 가측 집합 
 \begin{vmatrix}
 a & b & c \\
 d & e & f \\
 g & h & i
 \end{vmatrix}
정수론에서 **리만 제타 함수** 는 소수들의 정수론적 성질을 해석적으로 내포하는 유리형 함수이다. 해석적 수론에서 소수의 분포를 연구할 때 핵심적인 역할을 하며, 또한 L-함수 이론의 모태이다.

## 정의
리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.
이 무한급수는 의 영역에서 수렴하고, 위 식은 정칙함수를 정의한다. 리만은 제타 함수가 ''s'' ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속이 가능하다는 것을 알았으며, 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.

## 성질

### 해석적 연속과 함수 방정식
야코비 세타 함수
를 쓰자.
이므로,
자이 함수( function)를 얻을 수 있다.
오른쪽의 적분은 모든 복소수 에 대하여 수렴한다.
한편 여기서 세타 함수의 성질
를 사용하면,
를 보일 수 있다.
이로부터 제타 함수의 해석적 연속과 함수 방정식
를 얻는다.

### 특수한 값들
다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다.
현재 리만 제타 함수가 실수부가 짝수(의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌다. 홀수일 때에는 3의 제타 함수 값은 무리수이며, 5, 7, 9, 11의 제타 함수 값 중 적어도 하나가 무리수라는 것만이 알려져 있다.

### 오일러 곱셈과 디리클레 덧셈
레온하르트 오일러는 리만 제타 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 것을 알아냈다.

위와 같은 절차를 거쳐서 우변의 모든 소수의 배수를 없애주면
특정 합성수는 항상 소수의 곱으로써 나타낼 수 있다는 산술의 기본 정리에 따라서 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고
마지막에는 1만이 남는다. 즉
위에서 제시되는,
이것은 디리클레 급수(디리클레 덧셈)이다.

따라서,
리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다.

즉 리만 제타 함수는 모든 소수 에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타낼 수 있다. 위 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 산술의 기본 정리로부터 유도해낼 수 있다. 그 간단한 증명은 다음과 같다.

우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰할 수 있다. 또한 계속해서 반복하면,

동일한 절차로 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다.

### 영점
함수 방정식에 따라, 리만 제타 함수는 음의 짝수 에서 영점을 가진다. 이 영점들을 **자명한 영점**이라고 한다. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들은 다음과 같은 **임계 구역**에 존재한다.
임계 구역에서 다음과 같은 부분집합을 **임계 직선**이라고 한다.
임계 직선 위에는 무한히 많은 영점들이 존재한다는 사실이 알려져 있다. 현재까지 계산된 모든 비자명 영점들은 임계 직선 위에 존재하고 있지만, 모든 영점들이 실제로 임계 직선 위에 있는지 여부는 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 이는 **리만 가설**로 일컬어지는 문제로, 현대 수학의 주요 난제로 꼽힌다.

리만 제타 함수의 영점들은 해석적 수론에서 소수의 분포에 대한 연구에 대해 매우 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 소수 정리는 리만 제타 함수의 영점들에 대한 동치인 명제로 바뀌어 증명될 수 있다.

## 일반화
리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.
이 함수는 일 때 리만 제타 함수가 된다.
**좌표계** 혹은 **자리표계**는 유클리드 공간과 같은 다양체의 점이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 **좌표**를 사용하는 체계이다. 스칼라 튜플을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 **스칼라**는 보통 실수, 경우에 따라서는 복소수나 다른 일반적인 환(ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 스칼라는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 데카르트 좌표계는 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 데카르트 좌표계를 발명해 냈다고 한다.

## 기하학적 객체의 좌표
좌표계는 점의 위치를 지정하는 데 자주 사용되지만 선, 평면, 원 또는 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데에도 사용될 수 있다. 예를 들어, 플러커 좌표는 공간에서 선의 위치를 결정하는 데 사용된다. 필요한 경우 설명되는 그림의 유형은 좌표계의 유형을 구별하는 데 사용된다. 예를 들어 선 좌표라는 용어는 선의 위치를 지정하는 모든 좌표계에 사용된다.

두 개의 서로 다른 기하학적 도형 세트에 대한 좌표계가 분석 측면에서 동일할 수 있다. 이에 대한 예는 투영 평면의 점과 선에 대한 동차 좌표계이다. 이와 같은 경우의 두 시스템은 이원적이라고 한다. 이원론적 시스템은 한 시스템의 결과가 다른 시스템으로 전달될 수 있는 특성을 가지고 있다. 왜냐하면 이러한 결과는 동일한 분석 결과에 대한 서로 다른 해석일 뿐이기 때문이다. 이것이 쌍대성의 원리로 알려져 있다.
함수해석학에서 **힐베르트 공간**은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.

## 정의
-내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.

이와 동치로, 
가 된다.

## 분류
힐베르트 공간 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 이라고 한다.

일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.

두 
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, 
즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 이다.

## 성질
리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 일 경우 이는 표준적 동형이다.

## 예
-힐베르트 공간을 이룬다.<ref name="Tao"
>

만약 가 셈측도가 부여된 집합이라면
이며, 함수
는 의 정규 직교 기저를 이룬다.

만약

## 응용
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.

푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.

양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.

## 역사
1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 가 완비 거리 공간임을 증명하였다.
1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 공간이 된다.
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 을 정의하였다. 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.
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**양자역학의 수학적 공식화**는 양자역학에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. C* 대수 이론, 스튀름-리우빌 이론 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 힐베르트 공간중 하나인 L2 공간에 작용하는 선형 연산자를 통해 기술한다. 이는 존 폰 노이만이 1930년대에 완성한 것으로, 20세기 이전에 개발된 물리학의 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다. 

여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더 이상 위상 공간상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고윳값으로 다루어진다.

## 전개
편의상 브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 쓰자. 양자역학의 공준은 다음과 같다.

여기서 를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.

이 수학적 틀에서 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.
**노벨 물리학상**은 6개 분야의 노벨상 중 하나로, 1년에 한 번 스웨덴 왕립 과학원에 의해 수여된다. 첫 번째 노벨 물리학상은 1901년, 엑스선을 발견한 독일의 빌헬름 콘라트 뢴트겐에게 수여되었다. 이 상은 노벨 재단이 주관하며, 이 상을 수상하는 것은 물리학계에서 최고의 영예로 꼽힌다. 노벨 물리학상은 알프레드 노벨의 사망일인 12월 10일에 스톡홀름에서 수여된다. 2007년의 노벨 물리학상은 프랑스의 알베르 페르와 독일의 페터 그륀베르크가 거대 자기저항의 발견에 대한 공로로 공동 수상하였고, 상금인 1,000만 스웨덴 크로나를 나누어 가졌다.

노벨 물리학상은 사람들이 그 과학자의 업적의 중요성을 알기까지의 시간이 걸리기 때문에, 다른 한 편으로는 시간과의 싸움이라고 말할 수 있다. 예를 들어 1983년 노벨 물리학상 수상자인 수브라마니안 찬드라세카르의 경우 그 이론은 1930년에 발표하였지만 사람들에게 인정을 받지 못하여 50여년이 지나서야 상을 받았다. 또한 2013년 노벨 물리학상 수상자인 피터 힉스와 프랑수아 앙글레르의 경우 그의 이론을 검증할 수 있게 되는 과학기술이 발전하기까지 오랜 시간이 걸려, 49년 뒤 그의 업적이 사실로 확인되어 노벨상을 받게 되었다. 그래서 많은 이론과 발견이 사람들에게 중요성을 인정받았지만, 그 이론이나 발견을 발표한 과학자가 이미 죽어버렸기에 노벨 물리학상을 받지 못하는 안타까운 경우도 있다.
**가속도**는 시간에 따라 속도가 변하는 정도를 나타내는 물리량이다. 일반적으로 물체는 속력이나 운동방향이 바뀌면서 속도가 변하는데, 이와 같이 속도가 시간에 따라 변할 때는 가속도가 있다고 한다. 속도와 마찬가지로, 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터량으로 나타낸다. SI 단위로는 m/s를 사용하며, 주로 **a**라는 문자를 사용하여 가속도를 표기한다

고전 물리학에서, 일정한 질량을 가지고 있는 물체는 뉴턴의 운동법칙에 의해 다음 식을 만족하게 된다.
여기서 **F**는 물체에 주어지는 힘을, **m**은 물체의 질량을, **a**는 물체의 가속도를 나타낸다.

## 정의
속도와 마찬가지로 가속도는 시간간격 라 한다.
어떠한 순간의 가속도는 이 시간간격을 0으로 보내는 극한으로 생각할 수 있다. 이렇게 정의하는 가속도를 **순간가속도** 라 한다. 이렇게 정의한 가속도는 어느 순간의 속도를 시간으로 미분한 것으로도 정의된다.

## 가속운동

### 등속운동
**등속운동**은 속도 혹은 속력이 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례한다. 이에 반하여 속도 혹은 속력이 시간에 따라 일정하게 증가하는 **등가속운동**에서는 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

### 가속운동
**가속운동**은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 증가하는 운동을 의미한다. 이때 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 또는 등가속운동이라 한다.

### 등가속운동
**등가속운동** 또는 **등가속도운동**은 시간에 따른 속도의 변화 즉 가속도가 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례하지만 등가속운동에서 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.

뉴턴역학에서 힘은 질량과 가속도의 곱이므로, 힘과 질량이 일정하다면 물체는 가속도가 일정한 등가속운동을 한다. 지구 표면에서 물체는 일정한 가속도로 운동하며 이를 지구의 중력가속도라고 한다.

### 감속 운동
**감속운동**은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 감소하는 운동을 말한다. 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 **등가속도운동** 혹은 **등가속운동**이라고 하는데, 속도 혹은 속력이 일정하게 감속하는 운동을 의미하는 용어로 **등감속운동**의 용어는 사용하지는 않고 음(&minus;)의 **등가속운동**으로 취급하는 것이 일반적이다.
**속도**는 어떠한 물체의 위치 변화를 뜻하는 변위를 변화가 일어난 시간 간격을 나눈 값이다. 변위는 방향과 크기를 갖는 벡터이기 때문에 속도 역시 벡터이다. 단위 시간당 변위의 비로 나타낼 수 있다.

## 정의
속도란 움직이는 물체의 위치가 변하는 정도를 나타내는 물리량이므로, 시간간격 

물리학에서 일반적으로 다루는 속도는 물체가 갖는 어떠한 순간의 속도, 즉 **순간속도**이다. 순간속도는 평균속도를 측정하는 시간간격을 매우 짧게 하여 0에 접근시킨 극한값이라고 생각할 수 있다.라고 하면 다음과 같이 수식으로 나타낼 수 있다.

위와 같이 순간속도는 변위를 시간에 대하여 미분한 것으로 이해할 수 있다. 물리학에서 일반적으로 속도라고 할 때는 순간속도를 의미한다.

## 속도와 속력
속도가 방향과 크기를 갖는 벡터량인 반면, 속력은 크기만을 갖는 스칼라량이다. 속력은 물체가 움직인 경로의 전체 거리에 대하여 변화가 일어난 시간 간격으로 나눈 값이다. 예를 들어 자동차가 50초 동안 앞으로 30m 전진한 다음 80m를 후진하였다고 하자. 전진할 때의 위치 변화를 양으로 후진할 때의 위치 변화를 음으로 나타내면 변위는 

순간속도는 변화가 일어나는 시간 변화가 0에 접근하기 때문에 변위와 전체 경로의 차이가 없다. 따라서 순간속도를 나타내는 벡터의 크기는 순간속력과 같다. 그러나 보다 큰 시간 간격을 고려하는 평균속도의 크기는 일반적으로 평균속력과 다르다.

## 상대속도
상대속도는 한 좌표계 안의 두 물체의 속도를 비교한 것이다. 두 물체 A, B의 속도를 각각 

예를 들어 두 자동차 A, B가 직선 상에서 마주 보며 달리고 있을 때 A의 속도가 3m/s 이고 B의 속도가 -5m/s 라면 A에 대한 B의 상대속도는 -8m/s 이고 B에 대한 A의 상대속도는 8m/s 가 된다.

한편 특수 상대성 이론에서는 물체의 속도가 매우 빠를 때 상대속도가 고전물리학과는 다른 양상을 보인다고 설명한다. 관성계가 다르더라도 빛의 속도는 일정하므로 특수 상대성 이론에서 매우 빠르게 움직이는 두 물체의 속도 관계는 다음과 같이 계산된다.

위 식에서 빛의 속도 c는 매우 큰 값이기 때문에 A와 B의 속도가 충분히 느릴 경우 는 0에 접근하게 되고 그 결과 상대속도는 고전물리학의 계산과 같아지게 된다.
**운동량** 은 물리학 특히, 뉴턴 역학에서 물체의 질량과 속도의 곱으로 나타내는 물리량이다. 운동량의 국제 단위는 뉴턴 초 (N · s) 또는 킬로그램 미터 매 초 (kg · m/s)이고, 통상적인 기호는 라틴 소문자 ''p''이다. **선형 운동량** 혹은 **병진 운동량**이라고도 부른다.

예를 들어 빠르게 움직이는 무거운 트럭 같은 물체는 운동량이 크다. 무거운 트럭을 빠른 속도까지 가속시키기 위해서는 큰 힘을 한참 동안 가해야 하고, 반대로 그 트럭을 정지시키기 위해서도 큰 힘을 오랫동안 가해야 한다. 트럭이 더 가볍다거나 더 느리게 움직인다면 그만큼 운동량도 작아질 것이다. 또한 트럭을 정지시키는 값이 일정할때, 시간을 많이줘서 힘의 크기를 작게주거나 힘의 크기를 크게해서 시간을 짧게주거나 한다.

선형 운동량은 보존되는 양으로, 외부에서 가해지는 힘에 의한 영향이 없는 닫힌계의 선형 운동량의 총합은 바뀌지 않는다. 고전역학에서는 선형 운동량 보존법칙이 뉴턴의 운동 법칙에 포함되어 있다. 하지만 특수 상대성 이론에서도 공식을 약간 수정한 형태로 선형 운동량 보존 법칙을 충족시킬 수 있으며, (일반화된) 선형 운동량 보존 법칙은 적절한 정의를 이용하면 전자기학, 양자역학, 양자장론, 일반 상대성 이론에도 적용할 수 있는 보존 법칙이다.

## 고전역학에서의 운동량
고전역학에서, 운동량은 질량과 속도의 곱으로, 크기와 방향을 모두 갖는 벡터다. 즉, 운동량을 **p**, 질량을 ''m'', 속도를 **''v**''라고 하면, 운동량은 다음과 같다.

### 운동량 보존 법칙
만약 어떤 계에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 뉴턴의 운동법칙에 따라 계의 총 운동량은 바뀌지 않는다.

두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 라고 하면 다음의 식이 성립한다.

이 때 
이 성립한다.

1차원 공간의 탄성 충돌에서, 두 물체의 속도는 다음과 같다.

반면, e < 1인 경우는 비탄성 충돌이라고 하고, 특히 e = 0인 경우는 **완전 비탄성 충돌**이라고 부른다. 이 때에는 충돌한 두 물체의 속도차, 즉 입자 사이 상대 속도가 같다.

### 충격량
충격량(impulse)은 어떤 시간 동안에 운동량의 변화이다. 이에 따라, 충격량의 단위는 운동량의 단위와 같다.

충돌 전후 두 물체가 주고받은 충격량의 합은 무조건 0이 된다. 힘은 뉴턴의 운동법칙에 따라 운동량의 시간에 따른 변화율이므로, 일정한 시간 ''t''에 대한 힘 **F**에 대한 충격량 **I**는
이다. 만약 힘의 세기나 방향이 시간에 따라 바뀌지 않으면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

힘의 정의를 이 식에 다시 사용하면, 다음 식을 유도할 수 있다.

## 상대론적 운동량
특수 상대성 이론에서, 3차원의 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다. 즉, 그 정의는 다음과 같다.
여기서 E는 계의 총 에너지이며, **p**는 계의 상대론적 (3차원) 운동량이다.
상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 의 곱이다. 즉,
여기서 는 신속도이다.

광자등과 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 입자의 경우, 에너지 는 서로 비례한다. 즉

## 양자역학의 운동량
양자역학에서, 운동량은 파동함수에 대한 연산자이다. 불확정성 원리에 의하여, 입자의 운동량은 (입자의 위치에 대한 정보가 어느 정도 있는 한) 항상 어느 정도의 불확정성을 갖는다.

전하와 스핀이 없는 입자의 운동량 연산자는 다음과 같다.
여기서,
**도모나가 신이치로**는 일본의 물리학자이다.

양자전기역학의 발전에 큰 영향을 끼쳤으며 그 공로로 1965년 리처드 파인먼과 줄리언 슈윙거와 노벨 물리학상을 수상했다.

## 생애
1906년 그는 도쿄도에서 도모나가 산주로(朝永三十郎)의 아들로 태어났다. 어릴 때는 병약하였으며 1913년 부친이 교토제국대학 교수로 취임하면서 교토로 이사갔다. 1937부터 1939년까지 독일 라이프치히에서 베르너 하이젠베르크 아래에서 연구 활동을 하였다. 제2차 세계 대전 이후 프린스턴 고등연구소 등에서 연구하였다. 니시나 요시오의 제자이다.

유카와 히데키와는 제삼고등학교, 교토제국대학 동창으로, 평생의 동료이자 라이벌로 지냈다. 권위적인 유카와 히데키와 달리 도모나가는 소탈한 성품이었으며, 유카와는 직관을 중시함에 비해 도모나가는 논리적인 전개를 선호했다. 학창시절에는 도모나가 신이치로가 성적이 더 좋았으나, 정작 노벨물리학상을 유카와 히데키가 먼저 받게 되자 그는 큰 충격을 받았다고 한다.
**정몽헌**은 대한민국의 기업인으로, 현대그룹 부회장을 지냈다. 1975년 11월 현대중공업에 입사, 현대전자 대표이사 사장과 회장, 현대그룹 부회장, 현대건설 대표이사 회장 등을 역임했다. 그는 현대전자(SK하이닉스의 전신)의 설립자이기도 하다.

2002년 9월부터 대북 불법송금 사건 관련 조사를 받던 도중 2003년 8월 4일 현대계동사옥 12층 회장실에서 갑자기 투신자살하였다. 그의 유서 한 장이 사라진 점, 자살 현장에 지문이 없는 점, 진술 후 갑작스럽게 사망한 점, 고층에서 투신했으나 시신에 상처가 별로 없는 점 등 의혹이 존재하며, 일설에는 타살설 의혹이 있다. 본관은 하동.

## 생애

### 생애 초기
정몽헌은 현대그룹 창업주인 정주영의 넷째 아들로 서울 성북구 성북동에서 태어났다. 1962년~1965년 송파구의 보성중학교, 1965년~1968년 보성고등학교를 거쳐 연세대학교 국어국문과를 졸업했다. 미국 페어레이디킨스대학교 경영대학원에서 석사 학위를 받았다.

그는 1975년 11월 현대중공업에 입사하여 현대그룹에서 활동했다. 1977년 2월 현대건설 이사가 되고, 1981년 2월부터 1988년 2월 현대상선 대표이사 사장, 1984년부터 1991년 현대전자산업 대표이사 사장, 1992년 1월부터 2000년 5월까지 현대전자산업 대표이사 회장이었다. 1996년 현대전자 대표이사 회장으로 현대그룹 부회장이 되었다. 같은 해 현대건설 대표이사 회장, 현대상선 대표이사 회장직을 겸했다.

### 현대그룹 총수
1983년 현대전자(하이닉스의 전신)을 설립하였다. 그러나 경영권 갈등 이후 현대그룹이 쪼개지면서 투자금을 감당하지 못하고, 2001년 채권단에 매각, 하이닉스에 흡수된다.

1998년 현대그룹 부회장에서 공동회장으로 임명됐다가, 아버지 정주영이 명예 회장이 되면서 현대그룹 회장에 취임하였다. 정주영 사후 금강산 관광 개발 사업을 주관하였다.

### 왕자의 난
2000년, 정주영 명예회장의 장남인 정몽구 당시 현대그룹 공동 회장과 4남인 정몽헌 당시 현대그룹 공동 회장이 그룹의 패권을 놓고 다투게 된다. 정몽구 회장은 정몽헌 회장이 해외 출장을 간 사이 3월 14일 밤 기습적으로 이익치 현대증권 회장을 고려산업개발로 전보시킨다. 이익치 회장은 정주영 명예회장과 정몽헌 회장의 최측근이었다.

이 일을 계기로 현대그룹의 경영권 계승을 둘러싸고 정주영 회장의 장남 정몽구와 갈등, 분쟁이 발생했다. 당시 대한민국 언론에서는 조선시대 이방원과 이방석 사이의 대립에 빗대 현대그룹 왕자의 난이라 불렀다.

2000년 3월 24일 귀국한 정몽헌 회장은 자신과 아버지의 측근인 이익치 현대증권회장, 김윤규 현대건설 사장, 김재수 현대그룹 구조조정본부장 등을 모아 이익치 회장의 인사 발령을 무효화하고 정몽구 회장의 현대그룹 공동회장직을 박탈한다. 정몽구 회장은 26일 아버지인 정주영 명예회장을 만나 회장직 복귀 명령을 받아내지만 몇 시간 뒤 정몽헌 회장과 그의 측근들이 정주영 명예회장을 만나 다시 그 명령을 무효화시킨다.

2000년 3월 27일 정주영 명예회장이 직접 현대경영자협의회에서 ‘정몽헌 단독 회장 체제’를 공식 승인하면서 왕자의 난은 정몽헌의 승리로 마무리되고 정몽구 회장은 8월 현대자동차와 기타 자동차 관련 계열사들을 가지고 현대그룹으로부터 계열 분리를 실시해 현대자동차그룹을 만든다.

### 생애 후반
현대가의 ‘왕자의 난’을 거치면서 형제들 사이에서 외톨이가 되었는데, 이후 2002년 9월에 5억 달러 대북 불법송금 사건이 터지면서 2003년에 검찰 조사를 받았고, 추진하던 대북사업의 차질과 현대그룹의 경영 악재로 힘든 시기를 보냈다. 2003년 2월 5일, 출국금지가 일시 해제되자 직접 금강산 육로관광 답사에 참여하였다.

2003년 8월 4일, 서울시 종로구 계동 현대 사옥 12층 회장실에서 유서를 남기고 투신자살했으나 타살 의혹이 있다.{{뉴스 인용

### 사후
시신은 경기도 하남시 창우동 검단산 정주영의 묘소 100m 지점 아래에 안장되었다. 창우동 검단산 선영에는 그의 아버지 정주영의 묘, 조부모의 묘, 정인영 한라그룹 회장, 어머니 변중석, 큰형 정몽구의 처 이정화 등이 안장되어 있다.

## 논란과 의혹
정몽헌 회장은 3000만 달러 해외송금 진술 열흘 후인 8월 4일 사망했다. 정 회장의 죽음은 자살로 알려졌지만 그의 죽음을 둘러싼 많은 의문이 아직도 풀리지 않은 상태다.

### 타살 논란
평소와 다를 바 없었던 鄭회장의 모습」과 對北 비밀송금 사건, 現代 비자금 사건 등은 鄭회장의 죽음과 관련 여러 가지 의혹들을 낳았다. 혹시 타살된 것은 아니냐는 의혹들이었다. 특히 12층 높이에서 떨어졌는 데도 시신 발견 당시 외부로 드러난 상처가 심하지 않았다는 점도 의혹의 대상이었다.

사건 수사를 맡았던 당시 종로경찰서 곽영진 형사계장(現 202경비대 副대장)은 『사건에 대한 국민의 관심이 워낙 높았기 때문에 수사를 오픈하다시피 했던 사건이라면서 『정 회장이 타살됐을 가능성은 제로라고 했다.

### 현장의 지문 부재 의혹
현장에서 두 차례의 현장감식에 정몽헌의 지문이 발견되지 않았다. 키 174cm에 70kg이 넘는 정 회장이 성인이 통과하기 어려운 반 개폐식 창문틀을 통과하면서 지문을 남기지 않았다. 두 차례에 걸쳐 현장 지문감식을 실시한 경찰도 그의 지문을 확보하지 못했다. 창문틀에는 산 자의 지문만 남았을 뿐, 죽은 자의 지문은 없었다.

### 유서 1장 실종 의혹
정몽헌의 측근은 경찰이 신고를 받고 현장에 도착하기 전 정 회장 주변 인물이 정 회장 사무실에 먼저 다녀갔다. 그 과정에서 유서 1장이 없어졌다고 밝혔다.

정 회장의 최측근으로 일했던 한 인사는 애초 정 회장이 투신한 사무실의 책상에는 월간조선 2월호에서 검찰관계자가 증언한 대로 유서가 4장이 아니라 5장이 놓여 있었다며 유서 1장은 정 회장 주변 인물이 경찰이 현장에 도착하기 전 없앤 걸로 안다고 했다. 정몽헌의 유서 중 1장은 누가 가져갔으며, 언제 어디에서 사라졌는지, 숨기고 있다면 누가 보관하고 있는지 여부가 확인된 것이 없다.

## 기타
1999년 1월 금강산 개발 관련 전담법인의 이름을 아산으로 제안했다 한다. 현대는 당초 전담법인의 이름을 '금강산개발주식회사'로 추진했으나, 정몽헌 회장이 '아산'을 제안한 것으로 알려졌다. 아산은 그의 아버지 정주영의 고향 마을 이름이자 아호였다.

정몽헌은 보성고등학교 58기 졸업생이고, 그의 삼촌 정세영은 보성고등학교 39기 졸업생이다.