일반위상수학에서 **수슬린 수**는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.

## 정의

### 무게
위상 공간 인 위상 공간이다.

무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.

#### 유사 무게
위상 공간 이다.
위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T 공간인 것이다.

T는 그 유사 기저의 최소 크기이다.

#### π-무게
위상 공간 이다.
위상 공간 는 그 π-기저의 최소 크기이다.

#### 망 무게
위상 공간 이다.
따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다.

위상 공간 는 그 망의 최소 크기이다.

### 밀도
위상 공간 인 위상 공간이다.

#### 유전적 밀도
위상 공간 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
즉,
이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다.
인 부분 집합
가 존재한다. 임의의 상집합 이다. 즉,
이다.

을 만들 수 있다.
이제,
라고 하자. 라고 하면,
이므로, 는 열린집합이다. 따라서,
이다.

### 수슬린 수
위상 공간 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들로 이루어진 집합족들이다.

위상 공간 의 강하향 반사슬의 크기의 상한이다.

#### 유전적 수슬린 수
위상 공간 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다.
즉,
이다.
에 대하여
를 고르면,
는 의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다.

가 주어졌을 때,
는 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다.

### 린델뢰프 수
위상 공간 가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 는 다음과 같다.
**린델뢰프 공간**은 인 위상 공간이다.

#### 유전적 린델뢰프 수
위상 공간 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
즉,
이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간이 있다.)
인 부분 집합
가 존재한다. 의 열린 덮개
의 모든 부분 덮개의 크기는 이다. 즉,
이다.

을 만들 수 있다.
이제,
라고 하자. 의 임의의 하집합
은 의 열린집합이다. 따라서,
이다.

### 지표
위상 공간 의 국소 기저의 최소 크기이다.

위상 공간 는 모든 점의 국소 지표의 상한이다.
**제1 가산 공간**은 인 위상 공간이다.

마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

#### 유사 지표
위상 공간 이다.

위상 공간 의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.

T는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다.

#### π-지표
위상 공간 이다.

위상 공간 의 국소 π-기저의 최소 크기이다.

위상 공간 는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다.

### 밀착도
위상 공간 의 최소 크기라고 하자.

위상 공간 의 **국소 밀착도**는 다음과 같다.

위상 공간 는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다.

**가산 생성 공간**은 인 위상 공간이다.

## 성질
위상 공간 이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
에 대하여
를 고를 수 있다. 이다.

를 고르자. 그렇다면,
는 조밀 집합이며, 이다.

의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.

의 기저를 이루므로 자명하다.

이므로 자명하다.

임을 보이면 족하다. 이는
가 전사 함수이므로 자명하다.

을 고르자. 그렇다면,
는 조밀 집합이며, 이다.

를 찾으면 족하다.
라고 하자. 임의의 에 대하여
인 를 고르자. 그렇다면,
은 이다.

의 망이므로 자명하다.

의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.
라고 하자.
인 를 고르자. 그렇다면,
는 위 조건들을 만족시킨다.

에 대하여,
는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.

에 대하여,
는 의 국소 기저이므로 자명하다.

가 주어졌을 때,
는 의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.

가 주어졌을 때,
는 의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

임의의 이므로 자명하다.
 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 에 대하여,
가 들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자.  이제, 함수
를 생각하자. 자명하게 라면,
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 함수
를 생각하자. 만약 라면,
인 열린집합 를 골랐을 때,
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

콜모고로프 공간 에서, 다음이 성립한다.
가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수
는 단사 함수이다.

T에서, 다음이 성립한다.
의 유사 기저이므로 자명하다.

 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.

의 열린집합이므로 자명하다.
T의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다.
의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.

에 대하여,
는 의 국소 유사 기저이므로 자명하다.
가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 함수
를 생각하자. 만약 라면,
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
를 찾으면 족하다. 임의의 을 고르자. 이제, 함수
생각하자. (라면,
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.
에 대하여,
는 의 망을 이루며,
이다.

하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.
가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 함수
를 생각하자. 만약
라면, 하우스도르프 조건에 따라
이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

가 주어졌다고 하자. 단사 함수
를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여
를 고르고,
라고 하자. 이제, 함수
를 생각하자. 자명하게
이다. 하우스도르프 조건에 따라
이다. 따라서, 만약
라면,
이다. 즉, 이 함수는 단사 함수이다.
의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

를 찾으면 족하다.
라고 하자. 임의의 에 대하여,
인 열린집합 를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,
는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게
이다.

정칙 하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.
정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

콤팩트 T에서, 다음이 성립한다.
T 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.

콤팩트 하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.

위상 공간 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

만약 가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다.