**켤레기울기법** 또는 **공역기울기법**이란 수학에서 대칭인 양의 준정부호행렬을 갖는 선형계의 해를 구하는 수치 알고리즘이다. 이는 보통 반복알고리즘으로 풀리고, 따라서 숄레스키 분해와 같은 방법이나 직접 풀기에 너무 큰 계가 갖는 희소행렬 등에 사용하기 적합하다. 그러한 계는 편미분 방정식들이나 최적화 문제들을 수치적으로 풀 때 자주 등장한다.

켤레기울기법은 또한 에너지 최소화같은 제약조건이 없는 최적화문제를 풀 수 있다. 이것은 Magnus Hestenes와 Eduard Stiefel에 의해 개발되었다.

## 방법의 설명
우리는 다음과 같은 선형 계의 방정식을 풀기 원한다고 가정하자.
**A**는 n x n 대칭행렬이고 (i.e. **A** 0 )이고, 실수이고, x, b는 n x 1 실수 인 열벡터이다.

여기서 우리는 이 계의 유일한 해를 라고 하자.

## 직접적 방법으로서 공역 구배법
다음과 같이

두개의 영이 아닌 벡터들을 ''u'' 과 ''v''를 켤레라고 하자. (''A''에 대하여)
**A**는 대칭이고 양의 정부호를 갖는 행렬이기 때문에 왼쪽 변이 내적으로 정의 된다.

만일 두개의 벡터가 이 내적에 대하여 수직이면 그것들을 켤레라고 한다.

켤레가 되는것은 대칭관계이다: 만일 **u**가 **v**에 켤레이면
**v**가 **u**에 켤레이다.

 
는 n개 상호적인 켤레 방향들의 집합이라고 가정하자.
그러면 의 기저이고,
그래서 내에서 우리는
그 해 를 확장시킬 수 있다:

그리고 우리가 보면

어떤 에 관하여,

(왜냐하면 는 상호적인 켤레이기 때문에)

이 결과는 위에 정의된 내적을 고려하면서 이 결과는 아마도 매우 명백하다.

이것은 **Ax** = **b** 방정식을 풀 때 다음의 방법을 쓴다. :
n개의 켤레 방향들의 수열을 찾고, 그런뒤 그 계수들 을 계산한다.

## 반복적 방법으로서 공역 구배법
만일 우리가 켤레 벡터들을 **p** 의 좋은 근사 값을 얻기 위해서 그들의 모두가 필요하지 않을 수 있다.
그래서 우리는 반복적인 방법으로서 공역 구배법을 보기를 원한다.
''n''이 매우 커서 직접적인 방법으로 풀기에 시간이 매우 많이 걸리는 계들의 경우 이 방법을 거의 정확하게 풀게 해준다.

라고 하자.
우리는 일반성을 잃지 않고 **x** ) 라고 가정할 수 있다.
**x**(우리에게 잘알려지지 않은 해) 에 근접한게 무엇인지 알려주는 측도가 필요하다.
이 측도는 그 해 가 또한
다음의 이차함수의 유일하게 최소치라는 사실로부터 나왔다.
그래서 만일 f(**x**)가 반복에 있어서 작아진다면 그것은 우리가 에 가까이 간다는 것을 의미한다.

**x** = **x**를 잡는다.

그 ''f''의 구배(영어:gradient)가 **Ax**&minus;**b**와 같고, 추측 해**x**를 가지고 시작한다.
(우리는 만일 우리가 다른 어떤 것을 추측할 이유가 없다면  **0**으로 항상 추측할 수 있다. )
이것을 **p**라고 두자.
그 기저안에 다른 벡터들은 그 구배(영어:gradient)에 켤레가 될 것이다.
그래서 이 방법의 이름이 ''공역 구배법''(영어:''conjugate gradient method'')이다.

우선 ''k''번째 단계에서 **r**를 ''유수''(영어:residue)라고 하자:

**r**에서 음의 ''f''의 구배(gradient)라는 점을 염두에 두고,
그래서 경사 하강법은 **r** 방향에서 움직일 것이다.
여기, 우리는 그 방향들 **p**이 각각 다른것과 켤레라고 주장한다.
이 시행은 충분히 합리적인데,
우리는 또한 다음 찾는 방향은 최근의 유수와 이전의 모든 검색방향들에 의해서 정하게 한다.

그 공역 제약조건은 직교-유형의 제약조건이고 그래서, 그 알고리즘은 ''그램 -슈미트''와 유사하다.

이것은 다음의 표현과 같다:

(수렴에 켤레성 제약조건의 영향에 관한 문서의 상단에 있는 그림을 참조)
이 방향에 따르면, 그 다음 최적의 위치는 다음에 의해 주어진다.

를 포함함

(**p** 가 켤레이기 때문에 마지막 등식이 성립한다.)

### 그 결과의 알고리즘
그 위에 알고리즘은 공역 구배법의 가장 간단한 설명을 제공한다.
일견에, 그 알고리즘에 명시된대로 이전의 검색 방향들과 유수 벡터들의 저장이 필요할 뿐만 아니라
많은 행렬 벡터의 곱셉들이 필요로 하고, 따라서 계산하는데 비용이 많이 들 수 있다.
그러나 그 알고리즘의 근접한 분석은 다음 과 같이 볼 수 있다.

모든 ''i 과 켤레이다.
(예를 들어 귀납법에 의해 증명될 수 있다) 그러므로 오직 **r**,
그리고 **x**를 세우는데 필요로 한다.
게다가 오직 하나의 행렬-벡터 곱셈이 각각의 반복적인 계산마다 필요하다.

실수이고, 대칭행렬이고 양의 정부호 행렬인 **A**에 관하여 **Ax** = **b**를 푸는 알고리즘 방법은 밑에 상세히 설명되어 있다.

그 입력 벡터 **x**는 거의 정확한 초기 해나 **0**이 될 수 있다.
이것은 위에 명시된 정확한 절차의 다른 식이다.

이것은 일반적으로 자주 사용되는 알고리즘이다. 이와 같은 식은은 비선형 공역 구배법인 플레처 리브스에서 또한 사용된다.

#### 알파와 베타의 계산
알고리즘에서,  는
에 직교가 되도록 선택된다. 그 분모는 다음과 같이 단순화된다.

 는

의 분자는 다음과 같이 다시 쓰면,

 처음 구상에 의해 직교이기 때문에 그분모는 다음과 같이 다시 쓰면,

검색 방향들 를
제거한 후를 얻는다.

### 수치적 예제
공역 구배법을 설명하기 위해서, 우리는 간단한 예를 들겠다.
다음과 같은 선형 계인 **Ax** = **b**을 고려하면

4 & 1 \\
1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
2 \end{bmatrix}
,

#### 해
참고에 따르면 정확한 해는 :: 

우리의 첫번째 단계는 **x**를 계산 하는 것이다.

이 유수는 식 **r**

이것은 첫번째 반복 계산이기 때문에, 우리는 우리의 초기 검색방향**p**를 사용할 것이다.

앞으로의 반복 계산에서 **p**를 선택하는 방법은 변할 것이다.

우리는 이제 위의 관계를 이용하여 이제 스칼라 α

우리는 그 식을 이용하여 **x**

이 결과는 첫번째 반복 계산을 완료되고, 그 계에 "향상된" 거의 정확한 해**x**가 된다.
우리는 이제 이동하여 이 식을 이용하여 새로운 유수 벡터 **r**

그 과정속에서 우리의 다음 단계는 다음 검색 방향 **p**

이제, 이 스칼라 β

우리는 α에서 사용했던 같은 방식으로
새로 얻은 **p**

마지막으로, 우리는 **x**

그 결과, **x**보다 "더나은" 근사치가 된다.

만일 제한된 정밀도 대신에 이 예에서 정확한 계산이 되었다면, 그 정확한 해는 이론적으로 ''n''=2 반복수행 후 도달 할 것이다.
(''n''은 그 계의 크기임).