이론물리학에서 **천-사이먼스 이론**은 3차 천-사이먼스 형식을 작용으로 갖는 3차원 시바르츠형 위상 양자장론이다. 끈 이론과 응집물질물리학, 매듭 이론에서 쓰인다. 천-사이먼스 이론은 미분기하학에서 천-사이먼스 형식을 도입한 두 수학자 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스의 이름에서 유래했다.

## 천-사이먼스 범함수
다음이 주어졌다고 하자.

 위의 주접속의 공간을
라고 하자. 이는 이 다음과 같은 오른쪽 작용을 갖는다.
이에 대한 몫공간
을 정의할 수 있다.

**천-사이먼스 범함수**는 다음과 같은 함수이다.
이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다. 우선,
가 주어졌을 때, 다음을 고르자.
그렇다면, 다음을 정의하자.
이 값은 의 선택에 대하여 불변이다.

**증명:**

우선, 를 정의할 수 있다. 이 경우
가 된다. 만약 
사실, 구체적으로
가 되는 3차 미분 형식 의 임의의 충실한 행렬 표현에서 이는 다음과 같다.
스토크스 정리에 따라서
이다.

의 주동차 공간이다. 즉, 임의의
에 대하여 항상
인 게이지 변환 에 게이지 변환을 가하는 것과 동치이다.

이 경우, 는 다음과 같이 변환한다.
여기서 는 다음과 같다. 우선,
이다. 그 생성원의 하나를 라고 하자. 그렇다면
가 된다. 

따라서,  위에 잘 정의되지 않는다. 그러나
은 잘 정의된다. 사실, 의 범피복 공간
를 취하자. 여기서  위에 잘 정의된다.

## 고전적 천-사이먼스 이론
천-사이먼스 범함수를 작용으로 하는 고전 장론을 **고전적 천-사이먼스 이론**이라고 한다. 이 경우, 오일러-라그랑주 방정식의 해는 천-사이먼스 범함수의 변분이 0이 되게 하는 주접속이다. 즉, 아핀 공간 위의 범함수
의 임계점
인 것이다. 이 경우
이므로, 이 조건은 인 것과 동치이다. 즉, 고전적 천-사이먼스 이론의 해는 평탄 주접속이다. (이 조건은 게이지 변환의 작용에 대하여 불변이다.)

### 해밀턴 역학
천-사이먼스 이론은 해밀턴 역학으로도 묘사할 수 있으며, 이는 이후 기하학적 양자화에 용이하다. 이를 위하여, 시공간 이 시간과 공간의 곱공간, 즉
의 꼴이라고 하자. 여기서 는 유향 콤팩트 곡면이다. (아직 여기에 복소구조 등은 존재하지 않는다.)

에 대하여 다음과 같은 게이지 고정 조건(**바일 게이지** )을 가할 수 있다.
천-사이먼스 형식의 두 항
가운데, 둘째 항은 항상 을 포함하므로 0이 되며, 첫 항의 경우 오직
만이 살아남는다. 즉, 이 게이지에서 작용은 다음과 같다.
여기서 가 2차원이므로, 이는 심플렉틱 다양체의 구조와 같다.

이 게이지에서 운동 방정식은 자명하다.
또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.
따라서, 고전적으로 위상 공간은 이다.

평탄 주접속은 홀로노미
에 의하여 완전히 분류된다. 여기서 가 게이지 변환으로 작용하므로, 모듈라이 공간은
이다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이룬다. 은 (오비폴드 특이점을 무시하면) 심플렉틱 다양체 구조를 갖는다.

특히, 만약 (원환면)인 경우,
이므로
이다. 여기서 는 그 위에 작용하는 바일 군이다.

## 양자 천-사이먼스 이론
천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다. 양자장론은 일반적으로 경로 적분으로 정의되는데, 이 경우 다음과 같은 꼴이 된다.
여기서 경로 적분이 잘 정의되기 위하여 를 양의 정수로 놓을 수 있다.

3차원 다양체  위에 켈러 다양체의 구조가 존재해야 한다.

평탄 주접속의 모듈라이 공간 을 가하면, 그 힐베르트 공간은
이다. 보다 일반적으로, 준위가 인 경우, 힐베르트 공간은
가 된다.

힐베르트 공간 ) 위의 벡터 다발을 이룬다.

천-사이먼스 이론이 위상 양자장론을 이루려면 상태 공간은 복소구조에 의존할 수 없다. 그러나 벡터 다발 는 복소구조에 의존하지 않는 것을 보일 수 있다.

천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 같은 리 군의 베스-추미노-위튼 모형의 등각 블록의 공간과 표준적으로 동형이다. 예를 들어, 만약 가 리만 구라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 (한원소 공간의 양자화이므로) 1차원이다. 종수 0의 타이히뮐러 공간은 자명하므로 이 경우 복소구조에 의존하지 않음은 자명하다.

만약 의 적분 가능 표현들의 공간이다. 천-사이먼스 이론에서, 윌슨 고리를 삽입한 경우의 힐베르트 공간은 베스-추미노-위튼 모형에서 중간에 진공(항등 함수)이 아닌 자명하지 않은 상태를 삽입한 등각 블록에 대응한다.

### 준위의 재규격화
양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 준위 인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, 측도의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 준위가
가 된다. 여기서 의 이중 콕서터 수이다.

다음과 같은 이론들을 생각하자.
이는 물론 위상 양자장론이 아니며, 오직 
따라서, 이중 콕서터 수가 홀수인 경우에는 고전적 준위 인 경우 재규격화가 없다.

## 초대칭 천-사이먼스 이론
순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여, **초대칭 천-사이먼스 이론**을 만들 수 있다. 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여  초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다.

예를 들어, 를 추가하면 작용은 다음과 같다.
여기서
게이지노 장 의 작용은 리만 계량에 의존한다. 그러나 이는 운동항이 없어 보조장이므로, 페르미온의 경로 적분을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다.

이 작용의 초대칭은 다음과 같다.
여기서 은 초대칭 매개 변수이다.

이는 물론 위상 양자장론으로서 (비초대칭) 천-사이먼스 이론과 같지만, 만약 천-사이먼스 항을 3차원 초대칭 게이지 이론에 추가할 경우 위와 같이 적절히 초대칭화된 천-사이먼스 항을 사용해야 한다.

## 응용

### 3차원 양자 중력
3차원 양자 중력은 천-사이먼스 이론의 일종이다. 이는 3차원에는 중력자가 국소적 질량껍질 위 자유도를 갖지 않기 때문에 가능하다.

### 매듭 이론
천-사이먼스 이론은 매듭 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 존스 다항식과 홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리로 해석할 수 있다.

### 분수 양자 홀 효과
응집물질물리학에서, 천-사이먼스 이론은 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다.

### 끈 이론
초대칭 천-사이먼스 이론은 끈 이론에서 자주 등장한다. D-막의 세계부피 이론의 작용은 천-사이먼스 형 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 일종이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 등각 장론의 하나인 베스-추미노-위튼 모형과도 관련되어 있다.

## 역사
1978년에 알베르트 시바르츠가 아벨 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 최초로 고전적으로 다루었다.

1981년에 조너선 숀펠드가 3차원 양-밀스 이론에 천-사이먼스 항을 추가한 모형을 도입하였다.

에드워드 위튼이 1989년에 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 양자화하였으며, 존스 다항식 및 베스-추미노-위튼 모형과의 관계를 밝혔다.

“천-사이먼스”라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 천-사이먼스 형식이기 때문이다. 이는 천싱선과 제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다.