blueapple8259/wikipedia-ko huggingface dataset:
**캠**(cam)은 기계공학에서 동력 전달 장치의 하나로 회전 운동을 직선 운동으로 또는 그 반대로 바꾸는 철덩어리이다. 원동축의 정속(定速) 회전에 대응하여 종동 링크를 복잡한 경과를 더듬게 왕복직선 운동과 왕복 각운동을 부여하는 데는, 운동의 성질에 응해서 각종 기구가 쓰인다. 그중에서도 임의의 경과를 더듬는 운동을 가장 재빠르게 행하게 하는 데에는 캠장치를 능가하는 것은 없다. 평면 캠과 확동 캠, 입체 캠으로 분류할 수 있다.

## 개요
캠은 회전운동에서 왕복운동으로 변화시키는 철덩어리로 볼 수 있다. 널리 알려진 예는 자동차의 캠축으로, 엔진의 회전 운동을 실린더의 흡배기 밸브 작동에 필요한 왕복운동으로 변환한다.

순/역방향 운동이나 원형운동을 왕복운동으로 변화시키는 것은 크랭크라는 철덩어리에 의해서 움직일 수 있다. 휠의 동작에 필요한 회전운동을 전환시키고, 피스톤의 왕복운동을 취하는 자동차의 크랭크축은 그 예이다.

캠은 또한 저장된 정보와 도구전송 정보를 볼 수 있게 한다. 스크류 머신의 다양한 도구와 척의 움직임, 또는 뮤직 박스의 노트를 지시하는 'CAM-DRUM'은 그 예이다. 캠에 의해 전송되고 저장된 정보는 ‘어떤 행동이 일어나고, 언제쯤 일어날까?’ 라는 질문의 답이 될 수 있다. 

어떤 캠은 축에 대해 회전하는 캠으로 만들어진 롤러 follower의 변화가 반영되는 변위 다이어그램에 의해서 특별할 수 있다. 이 다이어그램은 반경변위의 그 위치에서 각도 위치와 관련된다. 몇 가지 주요 용어는 플레이트 캠의 구조와 연관성이 있다.
변위 다이어그램은 전통적으로 음수가 아닌 값을 그래프로 표시된다.

## 캠장치
캠장치는 인도할 운동에 상응한 윤곽을 지닌 회전체(캠)을 일정한 속도로 돌리고, 둥글거나 또는 평면의 단면을 가진 종동절(從動節)을 그것에 대해 밀어붙임으로써, 필요로 하는 운동을 하게끔 한 것이다. 하트캠은 판(板)캠의 일종으로, 종동절의 끄트머리가 나이프에지로 되어 있으며, 그것이 캠의 회전 중심을 통과하는 직선상으로 왕복운동 하도록 되어 있다. 이는 가장 기초적인 캠장치이다. 캠은 각종 자동 기계류에 많이 쓰이고 있는데, 엔진 등의 연료판(瓣)이나 흡배기 밸브의 작동을 제어하는 데에도 쓰이고 있다.

## 배력장치
배력장치(倍力裝置)는 원동절(原動節)의 변위에 비교해서, 어떤 종동절의 변위가 매우 작을 경우는, 그 종동절에 현저하게 큰 힘을 내게 할 수 있다.

## 직선운동 기구
엄밀히 직선을 그리는 링크장치는, 포슬리에 기구(機構) 외에 여러 종류가 있지만, 미끄럼기구를 갖고 있지 않는 한 기구가 복잡하게 되므로, 기구를 간단하게 해서 근사적(近似的)인 직선운동으로 만족하는 경우가 적지 않다. 여기에도 여러 종류의 기구가 있는 데 〔그림〕－39는 그 일종으로서, 점 P가 그리는 렘니스케이트곡선(雙葉曲線)의 일부가 직선을 거의 닮고 있다는 것을 이용하여, 선박용 하역크레인으로 짐을 거의 수평으로 이동하도록 한 기구이다.

## 구면링크장치의 응용
구면링크장치에서는, 축선(軸線)이 이루는 중심각이 평면링크장치의 링크의 길이에 상당하며, 중심각이 90°인 것은 평면링크장치의 슬라이더 즉 미끄럼자(子)에 상당한다. 구면링크장치에서도 4절(節)의 것이 기초적인 것이다. 그 가운데서도 실제로 쓰이고 있는 것은 중심각이 90°인 링크 3개를 지니는 구면양(兩)미끄럼자 크랭크 연쇄로부터 고정링크의 교체로서 얻어지는 회전미끄럼자 기구와 요동(搖動)미끄럼자(子)기구 등이 주이다. 예전에 기차의 천장에 설치된 천장선풍기의 목흔들기 기구도 이의 응용이다.

## 역사
초기 캠은 기원전 3 세기부터 헬레니즘 문명의 수력식 자동화기기에 내장되었다. 후에 캠축에 캠을 사용하는 방식이 아랍 발명가 알 자자리에 의해 채용되었다. 유럽기계에는 캠 및 캠축이 14세기부터 나타났다.
**통신체**(通信體)는 컴퓨터를 통해 발달한 한국어의 독특한 문체와 그 형태를 의미한다.

## 통신체의 역사
1980년대 말에서 2000년대~2000년대 말까지 PC통신이 널리 쓰이던 때에는 자판을 한 번 치는 시간도 전화요금으로 청구되었다. 그래서, 시간과 돈, 노력을 절약하는 수단으로 통신체가 각광받으며 널리 퍼졌다. 당시 유행하던 '통신체'로는, '어솨요(어서오세요), 리하이(리하)(다시 만나서 반갑습니다), ^_^/^-^(재미있네요)', '방가방가'등이 있었다.

그 이후, 리니지 등의 게임이나, 디시인사이드같은 유저포탈의 생성으로 즐, 원츄, 아햏햏, 뷁 등의 새로운 단어가 생겨났다.

## 종류
문화관광부 연구보고서인 “바람직한 통신 언어 확립을 위한 기초 연구”에 따르면, 통신 언어는 다음과 같이 분류된다.
**햄버거**는 샌드위치 패스트 푸드의 일종인 음식이다. 또한 햄버거는 양념, 빵가루 등에 고기를 갈아 넣고 버무린 뒤 구워낸 햄버그 스테이크(패티), 채소, 양념 등을 두 장 이상의 동그란 빵 사이에 넣어 만들며, 보통 손으로 쥐면서 들고 먹는다. 길쭉한 빵에 넣어 만들면 핫도그가 되며 대한민국에서 흔히 핫도그라 불리는 음식은 '콘도그'이다. 가정에서 직접 만들어 먹기도 하지만, 일반적으로 패스트푸드 식당에서 사먹는다. 수많은 패스트푸드 식당들은 햄버거, 감자 튀김, 콜라 등을 하나로 묶어서 세트로 판매하기도 한다.

## 유래
독일의 함부르크를 중심으로 활동하던 상인들이 지난날 몽골에서 독일로 가져온 음식이었던 타르타르 스테이크를 모방하여 그 지역 요리사가 다진 육회를 재료로 반죽하여 뭉친 것을 불에 구운 것으로 햄버그 스테이크 또는 '함부르크 스테이크'라 한다. 18세기 초 미국으로 이민온 독일 출신 이민자들에게서 이 스테이크가 미국에서 널리 알려지면서 함부르크에서 온 스테이크라는 이름인 햄버그 스테이크(Hamburg steak)로 불리게 된다.

이후 미국 각지에서 햄버그 스테이크를 사용하여 햄버거라는 요리가 유행하게 되었는데 시초에 대해서는 많은 주장이 있을 뿐 정확히 누가 어디서 시작했는지는 알 수 없다. 다만 미국에서 만들어졌다는 것에 대해서만큼은 큰 이견이 없다. 햄버거의 시초를 둘러싼 주장 중 가장 유명한 것으로는 1904년 세인트루이스 박람회 때 한 요리사가 샌드위치를 만들던 중 너무 바쁜 나머지 함부르크 스테이크를 일반 고기 대신 샌드위치 빵에 넣어 판매한 것이 오늘날 햄버거의 시초라는 설이 있다.

## 종류
들어가는 패티의 원료나 양념에 따라서 치킨버거, 불고기버거, 비프버거 등으로 구별해 불리기도 한다. 또 패티 이외의 소에 따라 치즈버거로도 불린다. 채식주의자들을 위해 채소만 넣어 만들거나 콩을 원료로 한 패티로 만든 샌드위치(베지 버거)역시 햄버거로 불릴 때가 많다. 대한민국에서는 김치의 맛을 낸 김치 버거와 밥을 뭉쳐 모양을 낸 것을 빵 대신 사용한 라이스 버거도 존재한다.

## 안전
익히지 않은 햄버거에는 초기에 종종 부적절한 고기 준비로 인해 O-157과 같은 식품 매개 질병을 유발할 수 있는 해로운 세균이 포함될 수 있는데, 이로 인해 관리와 조리 중에 주의가 필요하다. 이러한 식품 매개 질병의 잠재성으로 인해 미국 농무부(USDA)는 햄버거의 내부 온도를 71°C(160°F)로 조리할 것을 권고한다. 이 온도로 조리할 경우 웰 던(well-done)으로 간주된다.
**놀이** 또는 **유희**(遊戱)는 인간이 재미를 얻고 스트레스를 풀기 위해 하는 활동을 말한다. 물질적 보상 또는 대가를 바라지 않고 하는 행위이며 외부의 강제에 의한 행위도 아니라는 점에서 노동이나 일과 구별되지만, 노동에도 유희적 측면이 있다고 보는 견해도 존재한다.

일반적으로 놀이는 기분전환을 위한 여가 활동으로 규정되며, 서양 기원의 승부와 관련 있는 놀이는 게임(game)으로 불리기도 한다.

즐거움 외에도 민첩성이나 사회성 등 성장에 필요한 경험을 얻기 위해 놀이를 하기도 하는데, 이는 인간뿐 아니라 동물들에게서도 발견되는 현상이다.

## 정의
놀이를 어떠한 것으로 생각하느냐에 관해서는 종래 많은 학설이 있다. 잉여정력설(剩餘精力說)·생활준비설·반복설·휴양설·생물학설 등이 있다. 놀이를 작업과의 대립개념으로 했을 때 그 본질은 분명해진다. 작업은 진지한 것이며, 피곤함과 고됨이 따른다. 또한 의무적·강제적인 것임에 반해서, 놀이는 자기목적적이며, 자기충족적 운동으로, 활동에는 쾌감이 따르고, 또한 자발적·해방적인 것이다.

놀이에는 기본적인 요소로 참여자와 목표가 있어야 하며, 목표에 도달하기 위한 방법(rule)이 추가 요소로 포함될 때도 있다. 근대의 놀이는 기본적으로 방법을 포함하고 있는 것을 의미한다.

놀이의 핵심은 '즐거움'이다. 놀이의 참여자는 놀이 규칙에 따라 수행하는 여러 가지 행위를 하면서 '즐거움'을 얻거나, 특정 행위 이후에 돌아오는 보상으로서 '즐거움'을 얻고자 한다. 즉, 한 사람 이상의 참여자가 과정 또는 목표를 통해 '즐거움'을 얻을 수 있는 행위를 '놀이'라고 부를 수 있다. 여기서 '즐거움'이란, 통념상 타인에게 피해를 입히지 않는 범위 안에서 느끼는 '긴장감, 성취감, 기쁨' 등의 건강한 정신 상태를 말한다.

## 유아기와 놀이
유아기(乳兒期)에는 작업과 놀이가 미분화상태이기 때문에, 놀이에 대해서 어른의 작업에 대한 것과 같이 진지하다. 이 미분화성 때문에 이 시대에서는 놀이 가운데서 작업(간단한 심부름 등)을 시키는 일도 가능하며, 또한 완구(玩具)를 보더라도 일상생활에서 사용되고 있는 여러 가지 도구가 그 역할을 한다.

유아에게는 혼잣놀이나 평행놀이가 많다. 아동기의 중기부터 후기는 집단적 놀이가 특징이며, 소위 갱(gang)시대를 이룬다. 유희집단의 성원 수도 연령과 함께 변화한다. 집단참가의 인원수는 초등학교 저학년에서는 2~4명이던 것이 고학년에 가서는 6~10명으로 증가한다. 그 후 청년기가 됨에 따라 다시 감소한다. 동일유희라도 발달에 따라서 그 구조가 변화한다.
오가와타로(小川太郞)에 의하면, 유희는 혼자서 가능한 조직없는 유희로부터 단순한 규칙을 가진 단순한 조직놀이로, 다시 복잡한 규칙을 가진 복잡한 조직놀이로 변화한다. 아동기부터 청년기에는 놀이가 집단적으로 행해지며, 규칙이 정해진 그룹조직이라든가 운동경기 등이 왕성하게 실시된다. 이 놀이집단을 통해서 협조성이나 자기통제와 같은 성격형성이 가능해지며, 신체의 훈련, 규칙 존중 등의 사회성의 증진이 학습될 가능성이 많다.

### 분류
뵐러(Ch. Buhler)는 놀이를, ① 기능놀이, ② 상상(想像)놀이(소위 경쟁놀이), ③ 구성놀이(토막쌓기·찰흙빚기·描畵 등), ④ 수용(受容)놀이(그림극·레코드 등을 보고 들으며 즐기는 것)등으로 분류하여 발달을 고찰한다.
파텐(M. B. Parten)은 사회적 행동양식에 의해서, ① 아무것도 하고 있지 않는 행동, ② 방관적 행동, ③ 혼잣놀이, ④ 평행놀이, ⑤ 연합놀이, ⑥ 협동놀이로 분류한다.

### 유아기의 놀이 형태
유아기의 놀이의 형태는, 대개 유희활동의 경과형식(經過形式)에 의해서 다음과 같이 분류하여, 그 발달 차이를 알아보고 있다.

가장 원시적인 유희활동. 거의 2-3분 간격으로 다른 활동을 나타내며, 더욱이 그 하나하나의 행동이 유희라고 이름붙일 수 없을 정도로 정리되지 않은 것으로 1세아에 많다. 대부분 적응적 목적을 위해 습득한 어떤 하나의 기제로 순환적 반응을 반복하는 행위가 주를 이룬다. 이 시기는 심상이 아닌 기능적 동화가 주를 이룬다는 점에서 다른 단계와 구별된다.

단편적 유희행동이 모자이크식으로 접합한 것이다. 10분간 정도씩 유희(遊戱)가 계속되나 다음 유희와의 관계성이 없이 이루어지는 놀이 방법으로, 1시간에 4~9종의 놀이가 나타난다. 2~3세아에 가장 많다. 이 시기에 이르른 아동은 단순한 감각운동적 면에서 탈피해 상징적 가작화를 통한 놀이에 집중한다. 하지만 아동은 사진의 행동을 가작화로써 이해하지 않고 습관적으로 의식화하는데에만 머무르며, 이는 누적형놀이와 연속형 놀이를 구분하는 기준이 된다.

같은 종류의 유희가 1시간 가까이 연속된다. 하나의 유희가 그것과 관계 있는 유희로 발전한다든지, 혹은 다른 유희를 도입하여, 잡다(雜多)하게 하나의 유희의 형태를 이루고 있는 것이다. 2~5세아에 비교적 많다. 이 때에부터는 놀이가 습관화된 의식으로부터 분리되어 상징적 도식의 형태를 취한다.

정지된 유희활동이 1시간에 2가지나 3가지의 비율로 실시된다. 4~6세아에 많다.

분절형의 유희가 다시 오래 계속된다. 1시간 내의 대부분이 하나의 유희이다. 분절형 놀이의 상위유희로 이해하는 것이 좋다. 언뜻 보기에는 연속형 놀이와 비슷해보이지만, 각각의 유희 사이에 뚜렷한 차이점이 있다는것으로 연속형 놀이와 구분된다.

## 놀이의 예
승부나 규칙과 관련이 없는 놀이는 다음과 같다.

승부나 규칙과 관련이 있는 놀이는 다음과 같다.
**막스 루트비히 헤닝 델브뤼크**(, ForMemRS

## 생애
델브뤽은 괴팅겐 대학교에서 천문물리학을 공부하다가 이론물리로 전향하여 박사 학위를 받았다. 박사 학위 취득 후 영국과 덴마크, 스위스 등 여러 나라들을 순회했다. 볼프강 파울리와 닐스 보어를 만나 생물학에 관심을 갖게 됐고 1932년 베를린에 돌아와 리제 마이트너의 조수가 된다.

1937년에 미국으로 이주하여, 캘리포니아 공과대학교에서 초파리(drosophila) 유전자에 대한 연구에 착수했다. 제2차 세계 대전 기간 동안 테네시주 내슈빌의 밴더빌트 대학교에서 물리를 가르치며 미국에 머물렀다. 1941년 매리 브루스(Mary Bruce)와 결혼하면서 나중에 그녀와의 사이에서 네 아이를 얻었다.

1942년 살바도르 에드워드 루리아와 함께 박테리아의 바이러스 감염에 대한 저항력이, 잘 조절된 변화가 아닌 무작위적인 돌연변이에 의해 형성된다는 사실을 알아냈다. 이 공로로 1969년 앨프리드 허시와 함께 노벨 생리학·의학상을 수상했다. 1950년대 이후 델브뤽은 유전학보다는 생리학쪽의 연구에 집중했고 또한 쾰른 대학교에 분자유전학 연구소를 세우기도 하였다.

## 가족 관계
아버지는 베를린 대학교의 역사학 교수였고, 어머니는 유스투스 폰 리비히(Justus von Liebig)의 손녀였다.
수학에서 **유리수**는 두 정수의 비율 또는 분수의 형식으로 나타낼 수 있는 수이다. 단, 분모가 0이 아니어야 한다. 특히, 분모가 1일 수 있으므로 모든 정수는 유리수이다. 유리수체의 기호는 이며, 몫을 뜻하는 영어 quotient에서 따왔다.

## 정의
**유리수체** 의 분수체이다. 이는 다음과 같은 집합으로 생각할 수 있다.

### 추상적 정의
엄밀히 말해, 유리수체 는 다음과 같은 공리를 만족시키는 (동형 아래 유일한) 체이다.

### 구체적 정의
유리수체 를 줄 수 있다.
유리수체 이며, 그 위의 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.
체가 만족시켜야 하는 조건인 각종 연산 법칙과 덧셈 항등원 의 존재가 성립하므로, 이는 체를 이룬다.
정수환과 유리수체 사이의 표준적인 단사 환 준동형은 다음과 같다.
각 유리수 으로 나타내면, 유리수를 마치 두 정수의 비율인 것처럼 다룰 수 있다.

## 표현

### 분수 표현
유리수는 두 정수의 비율이므로, 나눗셈 기호와 의미가 같은 분수 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 이다. 분자와 분모를 동시에 그 공약수로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 약분이라고 한다. 분자와 분모가 서로소이어서 더 이상 약분할 수 없는 분 을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면 기약 분수 을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수, 작지 않은 분수를 가분수라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 대분수라고 한다. 예를 들어, 의 대분수 표현은 1이다.

무리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없으므로 분수 표현이 불가능하다.

### 십진법 표현
유리수의 진법 전개는 유한 소수이거나 순환 소수이다. 십진법 전개가 가장 흔하며, 그 예는 다음과 같다.
분수를 소수로 전환하려면 나머지 있는 나눗셈을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면 = 0.1, = 0.01, = 0.001 및 = 0.111..., = 0.010101..., = 0.001001001... 따위를 이용하면 된다.

반면 무리수의 진법 전개는 비순환 소수이다.

### 연분수 표현
유리수는 유한 연분수 표현이 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다.
분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 유클리드 호제법을 응용하면 된다.

무리수의 경우, 연분수 표현은 항상 무한 연분수이다.

## 연산

### 등식과 부등식
두 유리수가 같을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
어떤 유리수가 다른 어떤 유리수보다 작을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

### 덧셈과 뺄셈
두 유리수의 덧셈에는 통분 기법이 쓰이며, 이는 다음과 같다.
유리수의 반수를 구하는 공식은 다음과 같다.
두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다.
분모의 최소 공배수를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다.

### 곱셈과 나눗셈
두 유리수의 곱셈은 다음과 같다.
0이 아닌 유리수의 역수는 다음과 같다.
두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다.

## 성질
집합 는 사칙연산이 자유로운 체이다.

집합 와 동형인 체를 반드시 포함한다.

서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 는 가산 무한 집합이다.

유리수체에는 표준적인 절댓값과 p진 절댓값을 줄 수 있으며, 이들에 의한 완비화는 각각 실수체와 p진수체이다.
**자연로그의 밑**(base of the natural logarithm)라고도 부른다.

## 명칭
정식 수학 용어는 **자연로그의 밑**이지만, 수학교육학 분야에 한정하면 로그가 선행되지 않은 상태에서 서술되는 경우가 많고 이 때에는 상수 ****로 지칭한다.

그외의 용어는 모두 비공식 용어이다. 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 부르자는 의논이 있었으나 오일러가 발견한 수가 많아서 통용되지 않고 있다. 그 외 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어를 기려 부르자는 이야기가 있었으나, 정작 그것을 발전시켜 밝혀낸 사람은 그가 아닌 야코프 베르누이여서 무산되었다.

## 역사
과 동치이다. 이를 오일러가 정의하여 오늘날까지 사용하고 있는 로그함수 정의로 옮기면 네이피어의 로그는
인 로그함수이다. 위의 로그에서 사용된 밑은 의 역수인 와 매우 가까운 근삿값이다. 

베르누이는 위의 식이 수렴한다는 것과 그것이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 이다.

베르누이가 정리한 위의 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠이다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였다. 한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 로 표현하여 사용하기 시작하였다.

## 자연로그
로 표기한다. 

로그함수 이다. 즉,
이고,
이다. 이는 를 밑으로 한 자연로그의 가장 큰 특징으로 지수가 등차적으로 증가할 때 로그곡선의 기울기는 등비적으로 감소한다는 의미가 된다.

를 밑으로 하는 자연로그는 여러 가지 증정도와 밀접한 관련을 보인다. 대표적인 것으로는 자연수에서 주어진 수가 충분히 클때 1에서부터 주어진 수까지의 소수의 개수는 로그함수에 점근한다는 소수 정리가 있다. 리만 가설에서 출발한 이 정리는 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 발레푸생이 서로 독자적인 연구를 통하여 증명하였다.

이외에도 자연로그는 물리와 화학 등 여러 자연 과학의 변화량에서 사용된다. 다음은 자연로그가 자연 과학에 사용된 예이다.

## 특성
는 무리수에 속하며 초월수로 알려져 있다.

### 초월수
가 대수적인 수라고 가정하면 다항식을 구성하는 계수가 무한히 약분되는 모순이 생긴다는 것을 보이는 것이다.

### 무리수
또한 는 무리수이기도 하다. 이에 대한 증명은 다음과 같다.

먼저 의 테일러 전개는

이 성립한다.

이제 에 대해
가 되어야 한다. 따라서,
이어야 하고 이 부등식의 각 변에 를 곱하면
이 된다. 한편,  = 라 가정하였으므로
이 된다. 이에 따라 는 두 양의 정수의 비, 즉 유리수로 나타낼 수 없는 무리수이다.

의 근삿값은 다음과 같은 연분수의 전개를 통하여 계산할 수 있다.

### 계산
테일러 전개를 이용한 
를 사용하여 8차항까지 더하면
위 계산은 소수점 아래 4자리까지 유효하다. 계승이 증가함에 따라 역수는 빠르게 

한편 인 지수함수의 테일러 급수는
이다.

### 함수론
이다.

먼저 의 미분을 보면,
이다. 이에 대한 증명은 다음과 같은 계산을 통해 확인할 수 있다.

한편 오른쪽 그림과 같은 까지 아래 넓이는 아래와 같다.

## 적용

### 복리문제
복리 적금의 원리합계는 다음의 식과 같이 계산할 수 있다.
예를 들어 1,000원을 예금하였을 때의 복리 합계는 이율에 따라 다음과 같이 계산 된다.
위의 식을 이용하면 원리합계가 목표하는 금액이 되기 위해서 얼마의 기간이 필요한 지 계산할 수 있다. 예를 들어 1천원을 복리 5%로 예금할 때 원리합계가 1억원을 넘기 위해서는 236년이 걸린다.

### 오일러의 공식
1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연 로그 함수를 복소수로 확장할 경우 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.
1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.
이를 오일러의 공식이라 한다.

오일러의 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 복소수를 복소평면 위의 한 점으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터였다.

오일러 공식은 테일러 급수를 통해 유도될 수 있다. 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다.

절댓값이 1 보다 작은 어떤 수 x에 대해 다음과 같은 무한 차수 다항식이 성립한다.

삼각함수 역시 위와 같은 조건을 만족하므로 다음과 같은 무한 차수 다항식으로 표기할 수 있다. 삼각함수의 무한 차수 다항식이 실제 무한히 전개된다는 것은 영국의 브룩 테일러가 증명하였기 때문에 이 전개를 흔히 테일러 급수라고 한다. 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

한편 인 지수함수의 테일러 급수는
이다. 이때, 라 하면 이 테일러 급수의 전개는 다음과 같이 변환될 수 있다.
위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면
가 된다. 

위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 오일러 공식이 성립한다.

여기에서 ''x''에 π를 대입하면
이 되고, 이를 오일러의 등식이라고 한다.

## 미해결 문제
와 연관된 여러 문제가 아직 해결되지 않았다. 대표적인 문제로는 오일러-마스케로니 상수 γ 가 무리수나 초월수인지를 밝히는 것인데, 아직까지 증명되지 않고 있다. γ 는 조화 급수와 자연로그의 차에 대한 극한으로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

## e의 소수점 아래 첫 500자리
의 소수점 아래 첫 500자리는 아래와 같다. (줄당 100자리)
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**자유 소프트웨어**는 복사와 사용, 연구, 수정, 배포 등의 제한이 없는 소프트웨어 혹은 그 통칭이다. 소프트웨어의 수정 및 수정본의 재배포는 인간이 해독 가능한 프로그램의 소스 코드가 있어야만 가능하며, 소스 코드는 GPL 등의 라이선스를 통하거나, 혹은 극히 드물게 퍼블릭 도메인으로 공개되기도 한다. 자유 소프트웨어 운동은 초창기의 컴퓨터 사용자들이 이러한 자유를 누릴 수 있도록 하기 위해서 1983년에 시작되었다.

1990년대 후반에는 자유 소프트웨어 대신 오픈 소스 소프트웨어라는 용어가 많이 쓰이기 시작했다. 하지만 자유 소프트웨어 재단은 자유로운 사용을 강조하는 대신 기술적인 면에 치우친 용어라는 점에서 "오픈 소스 소프트웨어"라는 용어 대신 "자유 소프트웨어"라는 용어를 사용할 것을 권장한다. 이와 반대되는 개념으로 독점 소프트웨어 혹은 비자유 소프트웨어 등의 용어도 있다.

자유 소프트웨어는 완전히 무료로 또는 최소한의 금액만을 받고 자유롭게 배포되어야 하며 자유 소프트웨어를 통한 비즈니스 모델들은 대개 고객 지원이나 커스터마이징 등을 통한 것들이다. 반면 독점 소프트웨어를 이용한 비즈니스 모델들은 사용자가 합법적으로 소프트웨어를 이용하기 위한 허가를 위해서 반드시 일정 비용을 지불해야 하기 때문에, 자유 소프트웨어와는 맞지 않는다.

자유 소프트웨어는 이제 거대한 전 세계적인 움직임으로 확산되었으며, 개인 및 거대 단체와 정부 기관 등에서 사용하는 소프트웨어들이 만들어지고 있다. 아파치 웹 서버나 MySQL 데이터베이스, PHP 스크립트 언어 같은 자유 소프트웨어들은 서버 측 인터넷 애플리케이션 영역에서 강한 영향력을 지니고 있다. 완벽히 자유로운 컴퓨터 환경은 리눅스나 FreeBSD 등의 시스템 소프트웨어들을 기본으로 한 많은 패키지들을 통해서 구성할 수 있다. 자유 소프트웨어 개발자들은 웹 브라우저나 오피스 제품군 혹은 멀티미디어 플레이어 등의 거의 대부분의 데스크톱 애플리케이션들을 자유 소프트웨어로 만들어냈다. 그러나 많은 영역에서 개인 사용자를 위한 이런 소프트웨어들은 경쟁 독점 소프트웨어들에 비해 미미한 시장 점유율만을 차지하고 있다. 대부분의 자유 소프트웨어들은 온라인으로 무료로 제공되거나, 오프라인으로 적당한 가격으로 배포된다. 그러나 이것이 필수적인 것은 아니다.

자유 소프트웨어의 경제적 가능성은 IBM이나 레드햇, 썬 마이크로시스템즈 등의 거대 회사들에 의해 인식되었다. 주력 산업이 IT 영역이 아닌 많은 회사들이 인터넷의 홍보 및 판매 사이트를 위해 비용이 적게 들고 애플리케이션을 쉽게 수정할 수 있다는 점에서 자유 소프트웨어를 선택했다. 또한 소프트웨어 이외의 산업에서도 그 연구와 개발을 위해서 자유 소프트웨어의 개발과 유사한 방법을 사용하기 시작했다. 예를 들어 과학자들은 좀 더 공개된 개발 과정을 생각하고 있었고, 마이크로칩과 같은 하드웨어들은 카피레프트 라이선스가 적용된 명세서와 함께 개발되기 시작했다.(오픈코어 프로젝트를 참조.) 크리에이티브 커먼스나 자유 문화 운동 등의 움직임들도 또한 자유 소프트웨어 운동의 영향을 크게 받은 사례이다.

## 정의
자유 소프트웨어를 이해하려면 먼저 자유에 무게중심이 있다는 것을 이해해야 한다. 자유는 소프트웨어를 자유롭게 이용할 수 있도록 하는 것을 의미하며 자유롭게 이용함을 말한다. 자유에는 일정한 책임이 따르게 된다. 자유롭게 이용하더라도 출처를 밝히고 소프트웨어를 사용하는 조건이 무엇인지 알아야 한다. 이유는 본인 혼자서 자유롭게 쓴다 하더라도 결국 재생산, 재배포 등의 활동이 수반될 수 있기 때문에 책임범위 안에서 활동할 수 있다.

자유는 결국 책임을 수반한다고 보고 책임을 다하는 것은 출처를 밝히고 사용조건을 준수하는 것이다. 결론적으로 자유 소프트웨어에 대한 정의는 남이 만든 소프트웨어를 사용할 경우 책임을 지겠다는 최소한의 조건을 이행함으로써 누구나 쉽게 사용할 수 있게 하는 것이다.

## 역사
1950년대부터 1970년대까지의 컴퓨터 사용자들은 대부분의 소프트웨어를 자유롭게 이용할 수 있었다. 사람들은 흔하게 소프트웨어를 서로 공유했고, 하드웨어 제조사들은 하드웨어를 편리하게 사용할 수 있게 하는 소프트웨어들이 제작되는 것을 기꺼워했다. 1970년대와 1980년대 초반에는 소프트웨어 산업이 복제권을 법적으로 적용하기 시작하여, 사용자들이 소프트웨어를 연구하거나 수정하지 못하도록 바이너리 형태로만 배포하는 등의 기술적 방법을 사용하곤 했다.

1983년에, 리처드 스톨만은 컴퓨터 산업의 이러한 변화에 저항해 GNU 프로젝트를 시작했다. 1984년에는 GNU 운영 체제의 개발이 시작되었으며, 자유 소프트웨어 재단(FSF)은 1985년 10월에 설립되었다. 그는 카피레프트를 주창하며 자유 소프트웨어의 정의를 모두가 자유롭게 사용할 수 있도록 디자인된 소프트웨어로 소개하였다. 1991년에는 핀란드에서 리누스 투르발스가 리눅스를 발표하였고 이것이 GNU 프로젝트에 통합되면서, 자유 소프트웨어 커뮤니티는 활성화되기 시작했다.
**허수**는 실수가 아닌 복소수를 뜻한다. 기호는 를 사용한다.

실수의 특성상, 제곱하면 무조건 0 또는 양수가 되기 때문에 이차방정식 에서는 실수의 범위에서 해를 전혀 구할 수가 없다. 또한 수직선에 모든 실수를 하나하나 대응시키면, 수직선은 빈틈없이 채워지는 것으로 볼 때, 우리가 존재한다고 느낄 수 있는 수는 실수밖에 없다는 것은 필연코 부정할 수 없는 사실이다.

여기서 라고 정의했다.

복소수는 실수와 허수를 포괄하는 수이며,  로 나타낼 수 있고, 이때 a를 실수부, b를 허수부라고 한다.

또한, 허수는 기존에 있었던 수직선, 실수축(가로)에 허수축(세로)를 덧붙여 복소수평면을 만든 결정적인 계기가 되었다.

허수가 정의되기 전까지만 해도, 수의 개념은 1차원적이었다. 즉, 수의 개념은 오직 **수직선**으로만 표현되었다. 그러나 허수가 정의된 후, 수의 개념은 2차원으로 확장되었다. 즉, 수의 개념은 **복소평면**으로 표현된 것이다. 수의 틀을 직선에서 평면으로 확장시킨 것은 모두 **허수**의 덕택임을 알 수 있다.

## 역사
고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다. 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 허수 단위를 정의하였다. 이후 르네 데카르트가 방법서설의 부록 〈기하〉에서 상상의 수(imaginary numbers)라고 부른 데에서 허수라는 이름이 정착되었다.

1843년 윌리엄 로언 해밀턴은 복소수를 확장하여 사원수 체계를 만들었다.

미국 수학에서 허수란 가 곱해진 형식을 가지고 있고, 따라서 제곱하면 음수가 된다.

## 기하학적 해석
한 평면상에 데카르트 좌표계를 정하고 이에 대한 한 점 Z의 위치 를 로 정하여 복소수를 평면상의 점으로 표시할 수 있다. 이 때, 좌표와 복소수는 일대일 대응을 이룬다. 또한, 이렇게 나타낸 점 Z는 극좌표를 사용하여 원점에서부터 점 Z 사이의 반지름과 각도로서도 나타낼 수 있다. 즉,
가 된다.

한편, 왼쪽의 그림과 같이 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대인 를 생각할 수 있다. 이를 켤레복소수(복소켤레)라고 한다. 켤레 복소수는 극좌표에서 반지름이 같고 x축에 대해 대칭인 점이 된다.

복소평면에서 허수의 위치를 극좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로, 임의의 단위 원을 그려 복소수와 삼각함수의 관계를 생각할 수 있다. 1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연로그가 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.
1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.
이를 오일러의 공식이라 한다.

## 수 체계
수 체계에서 허수는 복소수와 함께 다루어지는 것이 보통이다. 이를 복소수체라고 하며  로 나타낸다.
**라플라스 변환**은 어떠한 함수 에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

## 정의
함수 
여기서 , σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 로 표기하기도 한다.

라플라스 변환 의 증가양태에 따르는 상수이다.
-->

## 성질

### 선형성
= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
 b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}
 = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)

 = -F'(s)

### ''t'' shifting
= e^{-as} F(s)
참고:

### 주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환
= {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

### 전자공학적인 관점에서 라플라스 변환
라플라스 변환은 전자공학에서 다양하게 사용된다.
라플라스 변환은 시간(t)의 영역(domain)에서 의 영역(domain)으로
공간의 basis를 바꿔주는 것으로 생각할 수 있는데, 는
복소수형태로 표현할 수 있기 때문에 위상(phase)를 나타낼 수 있다.
따라서 라플라스 변환은 시간에 의해 표현된 어떤 신호를
특정한  형태의 주파수로 표현할 수 있다.
-->

## 역변환
함수 
하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어
F(s) = \frac1{s^2 + 3s + 2},

로 
를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터

## 미분방정식의 풀이

### 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식
다음과 같은 
양변에 라플라스 변환을 취하면
s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}\mathbf{U}(s),

이고 이를 
이다. 따라서,
**초파리**는 **초파리과**(Drosophilidae) 동물의 총칭으로, 세계에 3,000여 종이 분포하고 있다.

특히 노랑초파리(''Drosophila melanogaster'')는 Morgan 이후 유전학 실험에서 가장 많이 쓰이는 다세포 생물이다. 큰 이유는 초파리의 한 세대는 12일 전후로 상대적으로 짧아서 교배 실험에 효율적이다. 그리고 한 쌍의 교배로 약 500개의 알을 얻을 수 있어 고전적인 통계를 처리할 때에도 좋은 표본이 될 수가 있다. 몸집이 매우 작아서 많은 개체수를 사육하여도 어렵지 않다는 장점이 있고, 환경에서 직접 채취하여 사육하기도 쉽다. 돌연변이가 빈번하게 발생하고, 염색체 수가 적어서 염색체 지도를 작성하기에도 매우 적합하기 때문이다. 초파리의 거대 침샘염색체는 매우 잘 알려진 유전자 실험 재료다. 동양안충은 초파리를 중간숙주로 삼는 기생충이다.

## 형태
기본적으로 몸이 머리, 가슴, 배로 나뉘며 다리가 6개, 날개는 앞날개 1쌍만 발달하고 뒷날개는 퇴화된 파리의 특징을 지니고 있다. 몸 크기는 작아서 대체로 2~5mm 정도이며 대체로 암컷이 수컷에 비해 크다. 겹눈은 붉은 빛, 더듬이는 어두운 색을 띠는 경우가 많으며, 몸 색깔은 노란색, 갈색, 검은색 등으로 다양하다.

## 유전학

### 특징
또한 크기가 작고 실험실에서 키우기가 쉬우며, 한 세대가 약 2주 정도로 매우 짧고, 한세대에서 많은 자손을 번식하며 수컷에서는 감수분열 과정에서 재조합(meiotic recombination)이 일어나지 않아서 유전학적으로 염색체를 추적하기가 용이하다.

### 유전학의 역사

#### 과거
1933년 노벨생리학상 수상자인 토머스 모건(Thomas Hunt Morgan)을 빼놓을 수 없다. 1910~1915년 미국 컬럼비아 대학에서 초파리를 연구하고 있었던 그는 그동안 몰랐던 염색체의 유전적 특징을 파악할 수 있었다. 그는 생물의 유전형질을 나타내는 유전자가 쌍을 이루어 염색체에 선상배열을 하고 있다는, 기본적인 유전메커니즘인 염색체 지도를 초파리의 실험으로 입증했다. 그의 공로로 이전까지 방향을 잡지 못했던 유전자 연구가 튼튼한 기반 위에서 발전할 수 있었다.

모건 학파의 일원이었던 허먼 멀러(Hermann J. Muller) 역시 초파리 연구와 떼어놓을 수 없는 중요한 인물이다. 그는 X선에 의한 인공 돌연변이의 유발 효소를 결정화한 공로로 1946년 노벨생리·의학상을 수상했다.

#### 현재
캠브리지 대학의 마이클 애쉬버너(Michael Ashburner) 교수는 1970년대 초파리 연구를 통해 유전자 돌연변이로 인해 사람에게 발생하고 있는 질병들을 규명해냈다. 그의 제자인 사이먼 콜리어(Simon Collier) 박사는 25년 동안의 초파리 연구를 통해 새로운 사실들을 밝혀냈다. 초파리를 자세히 관찰하다 보면 마치 사람이 연가를 부르는 것과 같은 수컷과 암컷 사이의 애절한 구애 모습을 보게 된다는 것이다.

초파리 애벌레의 침샘에 있는 다사염색체(polytene chromosome)는 핵분열 없이 염색체가 반복적으로 복제되어 크기가 상당히 크기 때문에, 유전자의 관찰이 용이하고 유전자의 작용을 연구하기에 적당하다. 최근의 유전학 연구는 다수가 이 염색체를 이용하여 진행된다.
**1950년대**는 1950년부터 1959년까지를 가리킨다.

1950년대는 전후 경제호황에 힘입어 제2차 세계 대전으로부터의 상흔을 회복하는 기간이었다. 출생률이 증가하고 베이비붐 세대가 나타나는 등 높은 인구성장률도 보였다. 이러한 회복에도 불구하고, 1940년대 후반에는 그리 심각하지 않던 냉전은 1960년대 초까지 미국과 소련 사이의 치열한 경쟁으로 발전했다. 공산주의와 자본주의의 이념적 충돌은 특히 북반구에서 1950년 발생한 한국전쟁부터 쿠바 혁명, 프랑스령 인도차이나에서 촉발된 베트남 전쟁, 1957년 스푸트니크 1호 발사에서 비롯한 우주 경쟁 등 1950년대를 지배했다. 또한 핵실험이 잦아지며 긴박한 지정학적 상황은 정치적으로 보수적인 분위기가 조성되도록 하였다. 미국에서는 매카시즘으로 알려진 감정적 반공주의의 물결이 의회에서 양원의 의회 청문회를 이끌어냈다. 아프리카와 아시아에서도 탈식민지화가 시작되었으며 가속되어갔다.
**20세기**는 1901년 1월 1일부터 2000년 12월 31일까지의 기간으로, 제2천년기의 마지막 세기이다.

20세기에는 수많은 전쟁들이 발생하였으며, 20세기의 대부분 동안 세계는 이념에 따라 양분되어 냉전 체제를 유지하였고 두 진영의 대리전 성격을 띈 크고 작은 분쟁이 끊이지 않았다.

19세기 동안 맹위를 떨쳤던 서구 열강에 의한 제국주의적 식민지 확대는 두 차례의 세계 대전을 고비로 쇠락하였다. 아시아와 아프리카의 각지에서 수 많은 식민지들이 독립하여 신생독립국들이 세워졌다. 식민지의 독립은 인도와 같이 평화적으로 진행된 경우도 있었으나, 인도네시아, 베트남, 리비아 같은 국가들처럼 독립전쟁을 치르고서야 이루어진 경우가 많았다. 새롭게 독립한 국가들 사이에서는 어느 진영에도 가입하지 않는 비동맹 운동이 일어났다. 이들은 냉전의 양 진영에 대비되어 흔히 제3세계로 불렸다.

한국의 역사에서 20세기는 대한제국 시기와, 일제강점기, 그리고 해방이후 대한민국과 조선민주주의인민공화국의 분단 시기로 구분될 수 있다. 1905년 일본 제국은 이른바 을사조약을 강제하여 대한제국의 외교권을 박탈하고 통감부를 설치하여 내정을 간섭하였다. 1910년 대한제국을 강점하여 식민지로 삼았다. 일제강점기 동안 한국인들은 지속적으로 독립운동을 이어갔다. 1919년 3·1 운동은 일제의 강점에 맞서는 전민족적인 저항 운동이었다. 이후 대한민국 임시정부를 비롯한 다양한 독립운동이 있었다. 한국전쟁은 큰 피해를 남기고 휴전을 맞았고, 이후 두 국가는 체제 경쟁을 지속하였다. 조선민주주의인민공화국은 전쟁이후 김일성주의를 표방하고 이후 유일체제라고 불리는 주체사상을 바탕으로한 일당 독재 국가를 이루었다. 대한민국은 이승만의 장기 독재에 저항한 4·19 혁명이 일어났으나, 5·16 군사정변으로 권력을 잡은 박정희에 의한 군사독재가 이루어졌고, 박정희의 사망 이후에도 5·18 광주 민주화 운동을 유혈 진압한 전두환에 의해 군사독재가 지속되었다. 1987년 6월 항쟁의 결과 대통령 직선제를 골자로 하는 대한민국 헌법 개정이 이루어졌다. 1987년 개정 헌법은 오늘날에도 유지되고 있는 현행 헌법이기도 하다. 이후 노태우, 김영삼, 김대중 등이 대통령을 역임하였다.

한편, 20세기 동안 과학, 기술은 전분야에 걸쳐 급격한 발전을 이루었다. 19세기에 그레고어 멘델에 의해 발견된 멘델의 유전법칙은 20세기 초 여러 학자들에 의해 다시 발견되어 현대 유전학의 기반이 되었다.

물리학 분야에서는 알베르트 아인슈타인이 상대성 이론을 발표하여 물리학의 패러다임을 송두리째 바꾸었다. 아인슈타인인 자신의 발견에 대해 “상대성 이론은 돌파구가 있을 것 같지 않은 심각하고 깊은 옛 이론의 모순을 해결하기 위해 생겨났다. 이 새로운 이론은 일관성과 간결함을 유지하면서 옛 이론의 모순을 강력히 해결한다.”고 자평하였다. 1969년에는 아폴로 11호의 승무원들이 달에 착륙하였다.

20세기 화학 분야에서의 가장 큰 성과는 인공적인 고분자화합물의 대량생산에 성공한 것을 꼽을 수 있다. 20세기 레오 베이클랜드가 페놀과 포름알데히드를 반응시켜 베이클라이트를 합성한 이후 다양한 플라스틱이 개발되어 생활 전반에 사용되게 되었다.

20세기에는 여러 가지 새로운 기술을 바탕으로 한 도구들이 등장하였다. 비행기, 냉장고, 라디오, 텔레비전, 인공위성, 이동통신, 컴퓨터, 휴대폰, 스마트폰 등 20세기의 발명품들은 오늘날에도 일상 생활에 큰 영향을 주고 있다. 또한 방송과 통신의 발달로 대중 매체가 크게 성장하였고, 이를 통해 대중음악이 세계적으로 동시에 유행하기도 하였다.
수학에서 **실수**는 주로 실직선 위의 점 또는 십진법 전개로 표현되는 수 체계이다. 예를 들어, -1, 0, }}, ''e'', π 등은 모두 실수이다. 즉 좌표축을 꽉 채울 수 있는 수의 집합이라고도 할 수 있다.

실수에 대하여 사칙 연산(덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 · 나눗셈)을 실행할 수 있다. 실수는 크기비교가 가능하며, 실직선에서 더 왼쪽에 있는 수가 더 오른쪽에 있는 수보다 작다. 특히, 실수는 0보다 큰 양수 · 0보다 작은 음수 · 0으로 분류된다. 또한, 실수는 정수의 비인 유리수와 그렇지 않은 무리수로도 분류되며, 정수 계수 다항식의 근인 대수적 수와 그렇지 않은 초월수로도 분류된다. 실직선은 복소 평면의 일부로 볼 수 있으며, 이 경우 실수는 허수와 함께 복소수를 이룬다.

공리적으로, 실수는 완비 순서체로 정의되고, 이는 동형 의미 아래 유일하다. 구성적으로, 실수는 유리수 코시 수열의 동치류 · 데데킨트 절단 · 십진법 전개의 동치류로서 구성된다. 실수의 완비성은 공집합이 아닌 실수 유계 집합이 항상 상한과 하한을 갖는다는 성질이다. 이는 유리수와 구별되는 중요한 성질이다.

실수 집합은 비가산 집합이다. 즉, 자연수 집합과 실수 집합은 둘다 무한 집합이나, 그 사이에 일대일 대응이 존재하지 않는다. 실수 집합의 크기는 자연수 집합의 크기보다 크다. 연속체 가설은 자연수 집합보다 크며 실수 집합보다 작은 크기를 갖는 실수 부분 집합이 존재하지 않는다는 명제이다. 연속체 가설은 ZFC에서 증명할 수도, 반증할 수도 없으며, 연속체 가설을 만족하거나, 그 부정을 만족하는 ZFC의 모형이 모두 존재한다.

## 정의
실수 체계 는 실수의 공리계를 통해 정의하거나, 구체적인 모형을 구성하여 정의할 수 있다.

### 공리적 정의
실수는 다음과 같은 공리를 만족하는 수 체계이다.
마지막 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 동형 의미 하에 유일하다.

### 구성적 정의
실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 실수는 실수 공리계의 모형을 이룬다. 즉, 실수 공리계의 모든 공리들을 만족한다.

## 연산

### 사칙 연산
실수 집합 위에는 덧셈 +, 뺄셈 -, 곱셈 ×, 나눗셈 ÷이 정의되어 있으며, 이들 중 덧셈과 곱셈은 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
실수 0과 1은 사칙 연산에서 특별한 역할을 맡는다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
실수 를 더하면 0이다. 즉,
0이 아닌 실수 를 곱하면 1이다. 즉,
뺄셈과 나눗셈은 다음과 같이 덧셈과 곱셈으로 귀결된다.

### 거듭제곱과 거듭제곱근
양수(=실직선에서 0의 우측의 실수=0보다 큰 수) 밑, 실수 지수의 거듭제곱을 정의할 수 있다. 실수에 대하여 거듭제곱을 정의할 수 있는 건 실수의 완비성이 있기 때문이다. 대략의 정의는 다음과 같다.
음수(=실직선에서 0의 좌측의 실수=0보다 작은 수) 밑의 거듭제곱 역시 정의할 수 있는데, 이는 유리수 지수에 한하며, 또한 이렇게 확장된 거듭제곱은 위의 연산 법칙을 비롯한 좋은 성질들을 만족시키지 못한다.

## 순서
실수들 사이에는 순서가 존재한다. 두 실수 라는 뜻이다. 이에 따라, 실수의 순서는 다음 성질들을 만족시킨다.
또한, 실수의 순서는 실수의 연산과 호환된다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
양수는 0보다 큰 실수를 뜻하며, **음수**는 0보다 작은 실수를 뜻한다. 위의 성질들에 따라, 모든 실수는 양수, 음수와 0 가운데 하나에 속한다. 또한, 양수 곱하기 양수는 항상 양수이며, 양수 곱하기 음수는 항상 음수이며, 음수 곱하기 음수는 항상 양수이다. 특히, 임의의 실수의 제곱은 항상 음수가 아닌 실수이다.

### 구간
구간은 특별한 실수 부분 집합으로서, 주어진 두 실수 사이의 실수를 원소로 갖거나, 주어진 한 실수를 시작점으로 하는 반직선에 놓인 실수를 원소로 갖는다. 예를 들어, 임의의 에 대하여, 다음과 같다.
퇴화 구간은 구간과 비슷한 집합으로서, 두 끝점의 순서가 정상적인 구간의 반대이다. 예를 들어, 다음과 같다.

### 상한 공리
수들의 집합의 모든 수들보다 작지 않은 수를 그 집합의 상계라고 한다. 이는 보통 존재하지 않거나, 존재한다면 여럿이 같이 존재한다. 수들의 집합에 상계들이 존재하며, 이들 가운데 가장 작은 하나가 존재한다면, 이를 상한이라고 한다. 실수 집합 은 다음 성질을 만족시킨다.
이를 상한 공리이라고 한다. 상한 공리는 실수의 완비성에 대한 한 가지 표현이다.

### 데데킨트 완비성
실수의 완비성은 실수의 가장 중요한 성질의 하나이다. **데데킨트 절단**을 통해 서술하는 것이 가장 간단하다. 실수 집합 의 **데데킨트 절단**이라고 한다.
이제, 실수의 **데데킨트 완비성 공리**를 다음과 같이 서술할 수 있다.
데데킨트 완비성 공리는 상한 공리와 서로 동치이다.

### 기타 성질
실수 집합은 아르키메데스 성질을 만족한다. 즉, 두 실수 를 초과한다. 즉,
실수 집합 위의 순서는 조밀 순서이다. 즉, 임의의 서로 다른 두 실수 가 존재한다.

## 위상
실수 집합 위에는 표준적인 위상 공간 · 거리 공간 · 노름 공간 · 내적 공간 구조를 부여할 수 있다. 즉,
실수 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
사실, 모든 유클리드 공간에 대하여, 위 네 조건은 서로 동치이며, 모든 거리 공간에 대하여, 앞에 세 조건은 서로 동치이다.

또한, 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

## 분류
실수는 유리수와 무리수로 분류된다. 실수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
예를 들어, 1/3 = 0.333...은 유리수이며, ''e'' = 2.7182...와 π = 3.1415...는 무리수이다.

## 성질

### 집합론적 성질
실수 집합의 크기는 다음과 같다.
여기서 은 알레프 0이다. 달리 말해, 실수는 자연수 부분 집합과 일대일 대응한다. 이 둘 사이의 일대일 대응은 여러 가지 만들 수 있다.

## 역사
실수에 대한 엄밀한 정의는 게오르크 칸토어에 의해 이루어졌다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 규정짓게 된 것은 카를 바이어슈트라스, 게오르크 칸토어, 리하르트 데데킨트와 같은 수학자들의 공이 지대하였다.
**스칼라**(scalar)는 선형대수학에서 선형공간을 정의 할 때, 선형공간의 원소와 스칼라 곱을 하는 체의 원소이다. 예를 들어, 1차 실수 계수 다항식들의 선형공간 에서 스칼라는 실수이다.

## 정의
스칼라의 정의는 N차원 공간에서 N의 0승개의 수로 표현할 수 있는 물리량이다.

그러므로 좌표계가 변환되어도 그에 따라 변화하지 않는 양이라는 것이다. 예를 들어 속도 벡터가 두 개의 성분을 가지고 있다고 할 때 각각의 성분은 크기만을 가지고 있지만 스칼라는 아니다. 왜냐하면 그 속도를 나타내기 위한 좌표계가 바뀌면 각각의 성분도 바뀌기 때문이다.

하지만 막대의 길이가 1 m이면 어느 좌표계에서 재어도 1 m가 될 것이다. 따라서 막대의 길이는 스칼라이다(단 상대론적으로 움직이는 좌표계는 논외로 한다). 수학에서도 스칼라는 비슷한 의미를 가진다. 전산학에서는 스칼라를 단순히 '하나의 수'를 가리키는 말로 쓰기도 한다.

## 유래
스칼라(scalar)라는 말은 '사다리'를 뜻하는 라틴어 scala의 형용사형인 scalaris에서 따온 것이다. 이 용어를 수학에서 처음으로 쓴 사람은 프랑수아 비에트로, 그의 저서 해석학입문(1591년)에 쓰였다.

한편 옥스포드 영어사전에 따르면 영어에서 이를 처음 쓴 사람은 윌리엄 로언 해밀턴으로, 1846년에 사원수의 실수부에 관한 내용을 서술하면서 사용하였다.

(대수적인 실수부는, 관련된 문제에 따라 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 전 범위에 걸친 하나의 척도(scale)에 속하는 어느 값이든 가질 수 있다. 따라서 이 부분을 **'스칼라** 부'라고 부르기로 하겠다.)}}

해밀턴의 용례는 사원수 표기를 염두에 두고 쓴 것으로, 회전을 하나의 스칼라(사원수의 실수부)로 표현하고 벡터를 나머지 세개의 허수부로 표현하는 것이다.