**리 대수**는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.

## 정의
가환환 로 이루어진다.
이 이항 연산은 **리 괄호**로 불린다. 리 대수의 **준동형**은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

만약 인 성질로 대체할 수 있다. 

통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자  등으로 나타낸다.

정수환  위의 리 대수를 **리 환**이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.

### 부분 대수와 아이디얼
가환환 이다.

가환환 를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

### 등급 리 대수
환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, **등급 리 대수**의 개념을 정의할 수 있다.
가환 모노이드 는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,
이다.

## 성질

### 리 군론적 성질
리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 이다.

### 보편 대수학적 성질
리 군과 달리, 주어진 체  위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.
이는  위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

### 범주론적 성질
주어진 체 는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)

리 대수의 범주는 아벨 군의 범주  위의 풍성한 범주이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.

체 로 가는 망각 함자
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자
이다.

### 오퍼라드 이론적 성질
리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 **리 오퍼라드** -대수는 **리 초대수**라고 한다.

다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 **L∞-대수**라고 한다.

## 연산

### 중심
가환환 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.

### 몫 리 대수
가환환 이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.
이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

### 직합
가환환 를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.
보다 일반적으로, 이 주어졌을 때, 그 직합
를 정의할 수 있다. 마찬가지로, 이 주어졌을 때, 그 **직접곱**
를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.

실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.

### 리 대수의 확대
군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 **확대**를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열
이 주어졌다면, 의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) **중심 확대**라고 한다.

### 반직접합
군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 **반직접합**을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.

### 미분
체 -선형 변환이다.
이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.
리 대수 라고 한다.
이는 이다.

의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소 는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 **내부 미분**이라고 한다.

## 구조론과 분류
우선 다음 성질을 정의하자.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

다음을 보일 수 있다.

아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

## 낮은 차원의 리 대수
3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, **비앙키 분류**라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.

### 2차원 이하 리 대수
임의의 체 에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.

### 3차원 실수 리 대수
모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는
실수 반단순 리 대수는 는 **IX형**으로 불린다.

3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용
는 2×2 실수 정사각 행렬 
이 가운데 **I형**은 아벨 리 대수이며, **II형**은 하이젠베르크 대수 형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. **VI형**과 **VII형**은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.

즉,
일 경우, 로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.

### 3차원 복소수 리 대수
3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.

3차원 복소수 단순 리 대수의 경우,  하나밖에 없다. 이는 전통적으로 **VIII/IX형**으로 불린다.

3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI

### 4차원 이상
레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.

## 예

### 아벨 리 대수
가환환 를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.

보다 일반적으로, 가환환 가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.

### 단위 결합 대수의 리 대수 구조
가환환 는 리 대수를 이룬다.
특히, 이다.

### 미분
가환환  위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.
그렇다면 -리 대수를 이룬다.

### 자유 리 대수
리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, **자유 리 대수**를 정의할 수 있다. 집합 로 생성되는 부분 리 대수이다.

### 벡터장
매끄러운 다양체 은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

리 군 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

심플렉틱 다양체 에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.
그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 푸아송 다양체 -리 대수를 이룬다.

### 형식적 벡터장
표수가 0인 체 

두 형식적 벡터장 리 대수 의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 **좌표 변환 아래 동치**라고 한다.

의 **차수**는 다음과 같다.
여기서 우변에서 을 **추이적 형식적 벡터장 리 대수**라고 한다.

1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.
이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는  세 개이다.

대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다.

### 반단순 리 대수
표수 0인 대수적으로 닫힌 체  5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 의 등급은
이다.

### 중심렬
군  속의 한 중심렬
이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 에 대하여
라고 하자. 그렇다면, 은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.
이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.
그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.

### 호모토피 군
점을 가진 공간  위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.
이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다.)으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다.

1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도가 1935년에 증명하였다.