수론에서 **베르누이 수**는 거듭제곱수(Exponentiation)의 합, 삼각함수(trigonometric functions 또는 circular functions)의 멱급수(power series)의 다양한 공식에 등장하는 유리수 수열이다.

정수론과 깊은 관계가 있는 실수열로, 야코프 베르누이에 의해 발견되고 그의 이름에서 명명됐다. 이와는 별개로 동시대에 세키 다카카즈도 발견했다.

## 정의
**베르누이 수열** 은 다음과 같은 생성함수로 정의할 수 있다.
보다 일반적으로, 다음이 성립한다.
따라서, 베르누이 수열 은 다음과 같다.
여기서 분자는 이며, 분모는 이다.

일부 저자들은 첫 베르누이 수를 로 표기하자.

### 베르누이 다항식
베르누이 수 을 정의할 수 있다.
이는 아펠 다항식열을 이룬다.

그렇다면, 베르누이 수는 베르누이 다항식으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

## 성질

### 생성 함수
베르누이 다항식의 생성 함수는 다음과 같다.
따라서, 베르누이 수의 생성 함수는 다음과 같다.

### 대칭
베르누이 다항식은 다음 항등식들을 만족시킨다.

### 삼각 함수의 멱급수
베르누이 수는 탄젠트 및 코탄젠트의 매클로린 급수에 등장한다.
마찬가지로, 쌍곡 탄젠트의 매클로린 급수는 다음과 같다.

### 푸리에 급수
베르누이 다항식의 푸리에 급수는 다음과 같다.
따라서, 베르누이 다항식은 다음과 같이 사인 또는 코사인으로 수렴하는 것을 알 수 있다.

### 제타 함수와의 관계
베르누이 수는 리만 제타 함수의 특수한 값이다.
따라서, 리만 제타 함수는 베르누이 수의 복소수 에 대한 해석적 연속으로 볼 수 있다.

일 경우 리만 제타 함수는 극을 갖지만, 이 경우 다음과 같이 극한을 취할 수 있다.
따라서, 스털링 공식에 따라 짝수차 베르누이 수의 절댓값에 대하여 다음과 같은 점근 공식이 성립한다.

보다 일반적으로, 베르누이 다항식은 후르비츠 제타 함수 의 특수한 값이다.
따라서, 후르비츠 제타 함수는 베르누이 다항식의 복소수 에 대한 해석적 연속으로 볼 수 있다.

### 스털링 수와의 관계
베르누이 다항식과 베르누이 수는 제2종 스털링 수와 하강 포흐하머 기호로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이 경우 이 된다.

반대로, 하강 포흐하머 기호를 베르누이 다항식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 는 제1종 스털링 수이다.

### 거듭제곱수의 합
임의의 자연수 제곱수들의 합은 다음과 같다.
이를 **베르누이 공식** 또는 **파울하버 공식**이라고 한다.

예를 들어, 까지의 자연수의 합인 삼각수(삼각형 수) 공식을 얻을 수 있다.
일 경우, 제곱수의 합 공식을 얻을 수 있다.

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베르누이 공식은 음계산법을 통하여 간단하게 적을 수 있다. 우선, 음변수 에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.
그렇다면
가 된다. 따라서,
이다.

### 알고리즘
베르누이 수를 계산하는 효율적인 알고리즘들이 알려져 있으며, 를 계산하는 가장 빠른 알려진 알고리즘의 시간 복잡도는
이다.

### 수론적 성질
**폰 슈타우트-클라우젠 정리**에 따르면, 모든 양의 정수 이라면 다음이 성립한다.
여기서 이다.

소수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 소수를 **정규 소수**이라고 한다.
이를 정규 소수의 **쿠머 조건**이라고 한다.

## 계산
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## 표
낮은 차수의 베르누이 수는 다음과 같다. , 

낮은 차수의 베르누이 다항식은 다음과 같다.

## 역사
1631년에 요한 파울하버는 거듭제곱수의 합을 계산하는 알고리즘을 출판하였다. 파울하버의 알고리즘은 효율적이지만, 파울하버는 이를 베르누이 수를 통하여 나타내지 않았다. 이에 대하여 도널드 커누스는 다음과 같이 적었다.
파울하버는 베르누이 수를 발견하지 않았다. 즉, 그는 하나의 상수열 에 대하여 임의의 거듭제곱수의 합에 대한 똑같은 공식
이 성립한다는 것을 알지 못했다. 예를 들어, 그는 
for all sums of powers. He never mentioned, for example, the fact that almost half of the coefficients turned out to be zero after he had converted his formulas for .}}|}}

세키 다카카즈(1642~1708)는 1712년 사후에 출판된 괄요산법에 거듭제곱수의 합에 대한 일반 공식 및 베르누이 수를 제시하였다. 괄요산법에는 산가지로 표기된 파스칼 삼각형 밑에 다음과 같이 처음 12개의 베르누이 수가 수록돼 있다.
즉, 분수 은 ''n''''k''로 표시돼 있고, 부호는 양수일 경우 , 음수일 경우 로 표시돼 있다. 

세키와 거의 동시에, 야코프 베르누이는 1713년 사후에 출판된 저서 추측술 2부 3장 97쪽에 거듭제곱수의 합의 일반 공식을 제시하였지만, 증명하지 않았다. 이 책에서 베르누이는 다음과 같이 적었다.
이 표를 사용하여 처음 1000개의 10제곱수들의 합이
임을 계산하는 데 ⅛시간조차 걸리지 않았다. 이로부터 이즈마엘 불리오의 저서 무한 산술에 대하여가 얼마나 쓸모없는지를 알 수 있다. 이 두꺼운 책에서 그는 엄청난 노동을 통해 처음 6개의 항의 합을 계산하였는데, 이는 이 책에서 1쪽도 안 되는 계산의 일부분에 불과하다.

E quibus apparet, quàm inutilis cenſenda ſit opera Iſmaëlis Bulialdi, quam conſcribendo tam ſpiſſo volumini Arithmeticæ ſuae Infinitorum impendit, ubi nihil præſtitit aliud, quàm ut primarum tantum ſex potestatum ſummas (partem ejus quot unicâ nos conſecuti ſumus paginâ) immenso labore demonstratas exhiberet.}}

1830년대에 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린은 오일러-매클로린 공식을 발견하면서 베르누이 수를 재발견하였다. 아브라암 드무아브르와 레온하르트 오일러는 "베르누이 수"라는 표현을 최초로 사용하였다.

에이다 러브레이스는 1843년에 찰스 배비지의 해석기관에 대한 책의 주석 G에 베르누이 수를 계산하는 알고리즘을 기술하였다. 이 주석 G는 세계 최초의 컴퓨터 프로그램으로 여겨진다.

폰 슈타우트-클라우젠 정리는 카를 게오르크 크리스티안 폰 슈타우트 이 1840년에 독자적으로 발견하였다.
정규 소수의 쿠머 조건은 에른스트 쿠머가 1850년에 증명하였다.

## 각주
Mathematische Semesterberichte|volume=45|호=1|year=1998 |pages=61–75 |doi=10.1007/s005910050037|언어=de|issn=0720-728X}}