수학에서 **순열** 또는 **치환**(置換)은 순서가 부여된 임의의 집합을 다른 순서로 뒤섞는 연산이다. 즉, 정의역과 공역이 같은 전단사 함수이다. 의 계승
과 같다.

주어진 집합의 순열은 함수의 합성에 따라 대칭군이라고 불리는 군을 이룬다. 이와 같이 주어진 집합의 전부 또는 일부 순열들로 구성된 군을 **순열군**이라고 일컫기도 한다. 예를 들어, 모든 짝순열의 집합은 대칭군의 부분군이며, 이를 교대군이라고 한다.

조합론에서는 더 많은 순열의 개념들이 사용된다. 예컨대 개의 원소를 골라 배열하는 방법들의 가짓수는 하강 계승
과 같다.

## 정의
집합 은 다음과 같이 표를 통해 표기할 수 있다.
모든 으로 표기한다.

### 순환
양의 정수 는 서로 다른 원소이다.)
또한, **길이 는 서로 다른 원소이다.)
특히, **호환** 이다.

### 반전
순열 의 **반전**(反轉 )이라고 한다.
또한, 로 끝나는 반전의 개수인 벡터이다. 즉, 이는 다음과 같다.
또한, 의 모든 반전의 개수이다. 즉, 반전 벡터의 모든 성분의 합이다.

### 궤도
순열 의 **궤도**라고 한다.

순열

### 부호
순열의 **부호** 은 다음 조건을 만족시키는 유일한 군 준동형이다.
구체적으로, 는 다음의 두 값과 같다.

### 홀짝성
반전수·감소량·부호를 통해 유한 집합의 순열의 **홀짝성**을 정의할 수 있다. 순열 를 **홀순열**이라고 한다.
홀순열이 아닌 순열을 **짝순열**이라고 한다. 즉, 순열 를 **짝순열**이라고 한다.

## 순열의 수
유한 집합 이다. 이들 가운데 홀순열의 수는 다음과 같다.
또한, 짝순열의 수는 다음과 같다.
순열이 고정점을 갖지 않는다면, 이 순열을 **완전 순열**이라고 한다. 유한 집합 으로 주어진다.

유한 집합 은 점화식을 통해 주어진다.

조합론에서는 조금 더 일반화된 순열의 수가 연구되며, 이는 다음과 같다.

### ''k''-순열
음이 아닌 정수 와 같이 표기하며, 다음과 같이 하강 계승으로 주어진다.
예를 들어, 6곡의 노래 가운데 3곡을 골라 재생 목록을 만드는 방법의 수는 다음과 같다.
-조합의 수(이항 계수)의 관계는 다음과 같다.

### 중복 순열
음이 아닌 정수 이다.

### 중복집합 순열
크기 이다.
풀어 말해, 중복집합 순열은 중복집합의 각 원소를 그 중복도만큼씩 순서 있게 나열한 것이다. 다시 말해, 원래의 순열의 정의에서, 주어진 방식대로 짝지어진 원소들을 같다고 여겨 얻는 개념이다. 그 수는 다음과 같이 다항 계수로 주어진다.
예를 들어, 영어 단어 "MISSISSIPPI"의 어구전철의 수는 다음과 같다.

### 원순열
유한 집합 개의 원소를 원형 탁자에 둘러앉힌 것이다. 다시 말해, 원래의 순열의 정의에서, 서로 회전만의 차이가 있는 순열을 같다고 여겨 얻는 개념이다. 원순열의 수는 다음과 같다.
이는 원래의 이다.

### 염주 순열
유한 집합 개의 원소를 염주에 꿴 것이다. 다시 말해, 원래의 순열의 정의에서, 서로 회전 및 뒤집기만의 차이가 있는 순열을 같다고 여겨 얻는 개념이다. 염주 순열의 수는 다음과 같다.
이는 원래의 )

## 성질

### 연산에 대한 닫힘
집합 
또한, 다음과 같은 점화식이 성립한다.
\begin{pmatrix}x&x+1\end{pmatrix})=
\begin{cases}
\operatorname{inv\,num}(\sigma)+1&\sigma(x)<\sigma(x+1)\\
\operatorname{inv\,num}(\sigma)-1&\sigma(x)>\sigma(x+1)\end{cases}
또한, 서로 역순열의 반전수·감소량는 서로 같다. 즉, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

### 순환 분해
순열 
만약 비자명 궤도(=크기가 1이 아닌 궤도)의 개수가 유한하다면, 의 **순환 분해**라고 한다. 순환 분해의 길이(=곱해지는 비자명 순환의 개수)는 비자명 궤도의 개수
와 같다. 특히, 쌍대 유한 고정점 집합을 갖는 순열은 항상 서로소 비자명 유한 순환들의 곱으로 유일하게 분해할 수 있다. 특히, 유한 집합의 순열

### 호환 분해
유한 순환은 항상 호환들의 곱으로 분해할 수 있다. 이러한 분해는 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 어떤 호환의 짝수 제곱을 인수로 추가하면 새로운 호환 분해를 얻는다. 또한, 구체적으로 다음과 같은 분해식들이 성립한다.
\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_j&\cdots&x_k\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_j\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_j&x_{j+1}&\cdots&x_k\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_2&x_3\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}x_{k-1}&x_k\end{pmatrix}
홀순열의 호환 분해의 길이는 항상 홀수이며, 짝순열의 호환 분해의 길이는 항상 짝수이다. 이를 순열의 홀짝성을 정의하는 데 쓸 수 있다.

유한 집합의 순열의 호환 분해의 최소 길이는 감소량과 같다. 즉, 순열

### 인접 호환 분해
유한 집합의 호환은 항상 인접 호환들의 곱으로 분해할 수 있다. 이러한 분해는 유일할 필요가 없으며, 구체적으로 다음과 같은 분해식이 성립한다.
\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x&x+1&\cdots&y\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y-1&y-2&\cdots&x\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x&x+1\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}y-1&y\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y-1&y-2\end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix}x+1&x\end{pmatrix}
유한 집합의 순열의 인접 호환 분해의 최소 길이는 반전수와 같다. 즉, 순열

### 군론적 성질
순열 
특히, 순환의 위수는 그 길이와 같다.

대칭군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
대칭군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
유한 집합의 순열의 홀짝성에 대하여, 다음이 성립한다.
달리 말해, 순열의 부호 함수 는 군 준동형이다. 즉, 다음이 성립한다.
이에 따라, 짝순열들은 대칭군의 부분군 을 이루며, 이를 **교대군**이라고 한다. 사실, 교대군은 이 부호 함수의 핵이므로, 대칭군의 정규 부분군이다.
홀순열의 집합은 부분군이 아니다. 또한, 
순열의 역의 한 가지 예는 다음과 같다.
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\3&1&4&7&6&5&2\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}2&7&1&3&6&5&4\\1&2&3&4&5&6&7\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\2&7&1&3&6&5&4\end{pmatrix}
순열의 홀짝성의 몇 가지 예는 다음과 같다.
크기 3의 대칭군 
\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}
이들에 대응하는 3의 분할은 각각 다음과 같다.
순열의 반전수의 몇 가지 예는 다음과 같다.
\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix})=|\{,,\dotsc,,,,\dotsc,,\}|=2|y-x|-1

## 관련 개념

### 순열 행렬
유한 집합  순열 행렬과 자연스럽게 일대일 대응한다.