수학에서 **나눗셈 정리**는 임의의 정수를 0이 아닌 정수로 나눈 몫과 나머지를 유일하게 정의할 수 있다는 정리이다. 두 정수로부터 몫과 나머지를 얻는 연산을 **나머지 있는 나눗셈** 또는 **유클리드 나눗셈**이라고 한다. 양의 정수를 양의 정수로 나눈 몫은 나뉘는 수가 음의 정수가 되기 직전까지 나누는 수를 뺀 횟수를 나타내며, 나머지는 이 횟수만큼 뺀 차를 나타낸다. 예를 들어, 17에서 5를 3번 빼면 2가 남으며, 3번 이상 빼면 음의 정수가 되므로, 17를 5로 나눈 몫은 3이며 나머지는 2이다. 이를 곱셈을 사용하여 표기하면 다음과 같다.
일반적인 두 정수의 나머지 있는 나눗셈에서 나머지는 나누는 수 에 대하여 합동인 정수들
역시 나머지의 범위로 삼을 수 있다.

임의의 다항식을 0이 아닌 다항식으로 나눈 몫과 나머지 역시 유일하게 정의할 수 있다. 다항식의 나머지 있는 나눗셈은 나뉘는 다항식에서 나누는 다항식의 적절한 배수를 빼 차수가 나누는 다항식보다 낮은 다항식이 남도록 만드는 연산이다. 예를 들어, 로 나눌 경우,
이며, 1차 다항식 이다.

정수환이나 다항식환과 같이 나눗셈 정리와 유사한 성질이 성립하는 환을 유클리드 정역이라고 한다. 유클리드 정역에서의 몫과 나머지는 유일하게 정의되지 않을 수 있다. 정수환과 다항식환 이외에도 가우스 정수환은 절댓값에 대하여 유클리드 정역을 이룬다.

일변수 다항식의 나머지 있는 나눗셈은 다변수 다항식에까지 일반화할 수 있다. 즉, 임의의 다변수 다항식을 여러 개의 0이 아닌 다변수 다항식으로 나눈 몫과 나머지를 생각할 수 있다. 이 경우 몫과 나머지는 일반적으로 유일하지 않지만, 나누는 다항식들이 그뢰브너 기저를 이룰 경우 유일한 나머지를 갖는다. 일변수 다항식과 달리, 다변수 다항식의 나머지 있는 나눗셈은 단항식들 사이의 적절한 순서 관계의 선택에 의존한다. 다변수 다항식의 나머지 있는 나눗셈은 다변수 다항식환 위의 유한 생성 자유 가군에까지 일반화된다.

## (정수) 나눗셈 정리

### 정의
두 정수 가 유일하게 존재한다.
여기서 이 유클리드 정역임을 나타낸다.

우선 이 존재한다.
만약 에 적용된다.

이제 이 존재한다.
만약 에 대하여 존재한다.

이제 가 다음 조건을 만족시킨다고 가정하자.
그렇다면,
이며, 양변을 으로 나누고 절댓값을 취하면
을 얻는다. 즉, 는 유일하다.

### 예
).

### 따름정리

#### 대분수 전개
모든 유리수는 정수와 분모가 양의 정수인 기약 진분수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 즉, 유리수 라고 하면,
이며, 이 경우 는 기약 분수이자 진분수이다.

## 다항식 나눗셈 정리

### 정의
환 {{서적 인용
마찬가지로, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식 가 유일하게 존재한다.
여기서 에 대하여 성립한다.

우선 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.
라고 하고,
라고 하자. 그렇다면 가 존재한다.
그렇다면
와 는 원하는 조건을 만족시킨다.

이제 가 다음 조건을 만족시킨다고 가정하자.
그렇다면
이며, 또한 의 최고차항의 계수는 왼쪽 또는 오른쪽 영인자가 아니므로,
이다. 따라서 이다.

보다 일반적으로, 환 {{서적 인용
마찬가지로, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식 가 존재한다.
만약 는 유일하다.

#### 체의 경우
만약 는 가환환이며, 두 종류의 나눗셈을 구분할 필요가 없다. 체 계수의 다항식의 나눗셈 정리는 다음과 같다.

체 가 유일하게 존재한다.
이에 따라, 체에 대한 일변수 다항식환 는 유클리드 정역을 이룬다.

#### 복소수 계수 다항식의 경우
실수체에 대한 다항식 나눗셈 정리에 따라, 실수 계수 다항식을 실수 계수 다항식으로 나눈 몫과 나머지는 실수 계수 다항식이다. 유리수 계수 다항식도 마찬가지다. 정수환에 대한 다항식 나눗셈 정리에 따라, 정수 계수 다항식을 정수 계수 일계수 다항식으로 나눈 몫과 나머지는 항상 정수 계수 다항식이다. 그러나 일반적으로 정수 계수 다항식의 나눗셈에서의 몫과 나머지는 유리수 계수 다항식이며, 이는 정수 계수 다항식이 아닐 수 있다.

### 예
정수 계수 다항식 이다.

임의의 환 에서의 몫과 나머지는 일치한다.

### 따름정리

#### 나머지 정리
환 이다.

특히, 만약 에 대하여 나머지 정리가 성립한다.

다항식 나눗셈 정리에 따라 다음 두 조건을 만족시키는 가 존재한다.
따라서 이다. 함수
는 자명하게 덧셈을 보존한다. 또한, 의 모든 원소와 가환하므로 이는 곱셈을 보존한다. 즉, 환 준동형이다. 이를
에 적용하면
을 얻는다.

#### 인수 정리
환 
특히, 만약 에 대하여 성립한다.

만약 가 존재하므로,
이다.

만약 이라면, 나머지 정리에 따라
인 이다.

#### 대분수 전개
체 에서 계수를 취하는 유리 함수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.
여기서 다항식 는 다음 조건을 만족시킨다.

#### g진 전개
환 
마찬가지로, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식 가 유일하게 존재한다.
여기서 의 통상적인 전개와 같다.

### 알고리즘
다항식의 나머지 있는 나눗셈의 몫과 나머지를 구하는 방법으로 장제법이 있다. 만약 1차 다항식으로 나눌 경우 조립제법을 사용할 수 있다. 다항식 나머지 정리에 따라, 다항식의 정의역 속 원소에 대한 값은 조립제법을 통해 구할 수 있다. 이는 다항식의 통상적인 전개를 통한 계산보다 덜 복잡하다.

## 유클리드 정역

### 정의
정수환 이다.
이 경우 는 정수환이나 다항식환에서와 달리 유일하지 않을 수 있다.

### 예
정수환 에 대하여 유클리드 정역을 이룬다.

주 아이디얼 정역은 유클리드 정역보다 약한 조건이다. 즉, 유클리드 정역의 모든 아이디얼은 한 원소로 생성할 수 있지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 의 아이디얼은 유일한 일계수 다항식 또는 0을 생성원으로 갖는다.

이차 수체의 대수적 정수환은 유클리드 정역을 이룰 필요가 없다. 유클리드 정역을 이루는 허수 이차 수체의 대수적 정수환은 유한 개밖에 없으며, 이들은 모두 체 노름에 대하여 유클리드 정역을 이룬다. 체 노름의 절댓값에 대하여 유클리드 정역을 이루는 실수 이차 수체의 대수적 정수환도 유한 개뿐이다. 다음은 유클리드 정역을 이루는 이차 수체의 대수적 정수환의 일부이다.

#### 가우스 정수환
허수 이차 수체 의 대수적 정수환
를 가우스 정수환이라고 한다.  위의 체 노름은
이며, 가우스 정수환은 체 노름에 대하여 유클리드 정역을 이룬다.

임의의 )에 대하여,
라고 하자. 이제,
인 를 취하고
라고 하자. 그렇다면,
이다. 이에 따라 에 대하여 유클리드 정역을 이룬다.

가우스 정수환의 원소는 데카르트 좌표 평면 위의 격자점, 또는 원점에서 격자점을 향하는 벡터와 일대일 대응하며, 체 노름은 원점과의 거리의 제곱과 같다. 를 향하는 벡터와 같다.

#### −3에 대한 이차 수체의 대수적 정수환
허수 이차 수체 의 대수적 정수환
은 체 노름
에 대하여 유클리드 정역을 이룬다.

임의의 )에 대하여,
라고 하자. 이제,
인 를 취하고,
이라고 하자. 그렇다면,
이다. 이에 따라 에 대하여 유클리드 정역을 이룬다.

## 다변수 다항식

### 정의

#### 단항식 순서
체 의 단항식들 사이에는 표준적인 순서가 존재하지 않으며, 다변수 다항식들의 나눗셈을 정의하기 위해서는 단항식 순서를 미리 지정해야 한다.

체 이다.
두 번째와 세 번째 조건은 하나만 취하여도 좋다. 첫 번째와 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의하며, 반대로 첫 번째와 세 번째 조건도 두 번째 조건을 함의하기 때문이다. 정의에 따라, 만약 이다.

체 에 대하여 큰 항부터 작은 항까지의 순서대로 정렬하여
꼴로 나타낼 수 있다. 이 경우, 단항식 순서 의 **최고차항**과 **최고차 계수**와 **최고차 단항식**은 각각 다음과 같다.

#### 다변수 나눗셈
체 이 존재한다.
이 경우 몫과 나머지 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

#### 그뢰브너 기저
체 의 **그뢰브너 기저**라고 한다.
여기서, 임의의 다항식 집합 로 표기할 수 있다. 또한,
이다. 은 최소 공배수를 뜻한다.

아이디얼 의 그뢰브너 기저는 항상 존재한다. 모든 (무한 집합일 수 있는) 그뢰브너 기저는 유한 부분 그뢰브너 기저를 가지므로, 유한하지 않은 크기의 그뢰브너 기저는 다룰 필요가 없다.

#### 부흐베르거 알고리즘
체 의 그뢰브너 기저는 다음과 같은 과정을 통해 찾을 수 있으며, 이를 **부흐베르거 알고리즘**이라고 한다.