선형대수학에서 **가우스 소거법**이란, 연립일차방정식을 풀이하는 알고리즘이다. 풀이 과정에서, 일부 미지수가 차츰 소거되어 결국 남은 미지수에 대한 선형 결합으로 표현되면서 풀이가 완성된다. 가우스 소거법은 보통 행렬을 사용하며, 첨가 행렬을 그와 풀이가 같은 더 간단한 행렬로 변환하여 풀이를 완성한다. 가우스 소거법은 행렬식과 역행렬의 계산에도 응용된다.

## 정의
체 
은 주어진  행렬이고,
은 
M_{11}&M_{12}&\cdots&M_{1,n+1}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\
M_{i1}&M_{i2}&\cdots&M_{i,n+1}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\
M_{m1}&M_{m2}&\cdots&M_{m,n+1}\end{pmatrix}x=0
\implies\begin{pmatrix}
M_{11}&M_{12}&\cdots&M_{1,n+1}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\
aM_{i1}&aM_{i2}&\cdots&aM_{i,n+1}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\
M_{m1}&M_{m2}&\cdots&M_{m,n+1}\end{pmatrix}x=0

### 행사다리꼴행렬
일반적으로 사다리꼴행렬은,

번째 행의 **선행 계수**라고 한다. 선행 계수는 존재하지 않을 수 있다.

을 **행사다리꼴행렬**이라고 한다.

다음과 같은 행렬은 기약행사다리꼴행렬이다.
1 & 0 & a_1 & 0 & a_2 \\
0 & 1 & a_3 & 0 & a_4 \\
0 & 0 & 0 & 1 & a_5
\end{pmatrix}

### 가우스 소거법
**가우스 소거법**은 을 기본행연산을 가하여 행사다리꼴행렬로 만드는 알고리즘이며, 다음과 같다. 먼저 첫번째 행을 다음과 같이 처리한다.

그 뒤, 두번째 행을 다음과 같이 처리한다.

뒤에 오는 다른 행에 대하여, 순차적으로 위와 같이 처리한다. 일반적으로, 번째 행은 다음과 같이 처리한다.

만약 어떤 으로 둔다.
기약행사다리꼴행렬을 원한다면, 찾았던 모든 에 대하여 순차적으로 다음과 같은 단계를 추가로 거친다.

여기서 인 데 주의하자. 사실, 이는 행렬의 계수이다.

## 성질

### 기본행연산
세 가지 기본행연산은 모두 가역 연산이다.

두 연립일차방정식의 첨가 행렬이 하나에 기본행연산을 가하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 행동치라고 한다. 첨가 행렬이 행동치라면, 연립방정식의 풀이는 서로 같다.

기본 행렬은 단위 행렬에 기본행연산을 한 번 가하여 얻는 행렬이다. 이에 따라, 세 가지 기본행연산은 기본 행렬 곱셈과 같다.

### 행사다리꼴행렬
가우스 소거법 알고리즘에서 알 수 있듯, 모든 연립일차방정식의 첨가 행렬은 그와 같은 해를 갖는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 따라서, 연립일차방정식의 풀이는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴에 대한 풀이로 귀결된다.

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
해가 존재하는 의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
달리 말해, 해가 존재하는 의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

### 행렬식의 계산
가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 행렬식을 계산할 수 있다. 이는 정사각행렬에 대하여 다음 사실들이 성립하기 때문이다.

### 역행렬의 계산
가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 역행렬을 계산할 수 있다. 
이 행렬에 기본행연산을 가하여
\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots\\
0&\cdots&1&\tilde M_{n,1}&\cdots&\tilde M_{n,n}
\end{pmatrix}
로 만든다면, 행렬 과 같다.

### 계수 계산
가우스 소거법을 사용하여 행렬의 계수를 계산할 수 있다.

### 해가 유일한 연립 선형 방정식
다음과 같은 선형 방정식이 주어졌다고 하자.
2u &+& v &+& w &=& 5 \\
4u &-& 6v && &=& -2 \\
-2u &+& 7v &+& 2w &=& 9
\end{matrix}
두 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.

이제 행렬이 사다리꼴이 되었다.

그렇다면, 이제 미지수들을 가장 밑의 행으로부터 순서대로 대입하여 계산할 수 있다. 이것을 **후방대입**(back substitution)이라 한다.

### 해가 유일하지 않거나 없는 연립 선형 방정식
(식 2와 3을 바꾸어 해결한다)
\begin{cases}
10u + 2v + -1w & = \ 27 \\
-3u + -6v + 2w & = \ -61.5 \\
u + v + 5w & = \ -21.5
\end{cases}

\begin{cases}
u + v + w & = \ ? \\
3w & = \ ? \\
4w & = \ ?
\end{cases}

### 역행렬의 계산
다음과 같은 행렬 
기본행연산을 가하면, 다음과 같다.
 \begin{pmatrix}
 \ A &\vert& I
\end{pmatrix} &\to \left( \left. \begin{matrix}
 -1 & 1 & 2 \\
 3 & -1 & 1 \\
 -1 & 3 & 4 \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left(\left. \begin{matrix}
 -1 & 1 & 2 \\
 0 & 2 & 7 \\
 0 & 2 & 2 \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
 1 & 0 & 0 \\
 3 & 1 & 0 \\
 -1 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left(\left. \begin{matrix}
 -1 & 1 & 2 \\
 0 & 2 & 7 \\
 0 & 0 & -5 \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
 1 & 0 & 0 \\
 3 & 1 & 0 \\
 -4 & -1 & 1 \\
\end{matrix}\right)\\
&\to\left( \left. \begin{matrix}
 1 & -1 & -2 \\
 0 & 1 & 3.5 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
 -1 & 0 & 0 \\
 1.5 & 0.5 & 0 \\
 0.8 & 0.2 & -0.2 \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left( \left. \begin{matrix}
 1 & -1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
 0.6 & 0.4 & -0.4 \\
 -1.3 & -0.2 & 0.7 \\
 0.8 & 0.2 & -0.2 \\
\end{matrix} \right) \\
 & \to \left( \left. \begin{matrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
 -0.7 & 0.2 & 0.3 \\
 -1.3 & -0.2 & 0.7 \\
 0.8 & 0.2 & -0.2 \\
\end{matrix} \right)
\end{align}
따라서