**채우기 문제**는 물체를 용기에 채우는 수학의 최적화 문제이다. 목표는 하나의 용기에 물체를 가능한 한 빽빽하게 채우거나 모든 물체를 가능한 한 적은 용기에 채우는 것이다. 이 문제의 대부분은 실생활에 포장, 저장 그리고 수송 문제와 관계지을 수 있다. 각 채우기 문제는 이중 덮기 문제가 있다. 이것은 겹치는 것을 허용하여 용기의 모든 영역을 동일한 물체로 완전히 덮는데 몇 개가 들어가는지를 구하는 문제이다.

상자 채우기 문제는 다음이 주어진다:
보통 채우기는 물건과 다른 물건 사이나 용기 벽 사이에 겹치는 일이 없어야 한다. 일부 변형에서 초점은 용기에 최대 밀도로 채우는 구성을 찾는 것이다. 더 일반적으로 목표는 가능한 적은 용기에 모든 물체를 담는 것이다. 어떤 변형에서 (물체와 물체간 그리고/또는 용기의 경계에서) 겹치는 것은 허락되지만 최소화되어야 한다.

## 무한 공간 채우기
이 문제의 대부분에서 용기의 크기가 모든 방향으로 커질 때 무한 유클리드 공간을 최대한 빽빽하게 채우는 문제와 같아진다. 이 문제는 많은 과학 분야와 관련이 있으며 중대한 관심을 받고 있다. 케플러의 추측은 구 채우기의 최적해를 몇백년 전에 제시되었고, 토머스 캘리스터 헤일즈(Thomas Callister Hales)가 증명했다. 타원체와 같은 많은 모양들도 관심을 받았다.

### 육각형 원 채우기
이 문제는 수학적으로 원 채우기 정리의 아이디어와는 다르다. 관련된 원 채우기 문제는 평면이나 구의 표면에서 원의 크기가 다를 수 있는 원을 채우는 것을 다룬다.

다른 차원의 구는 일차원 보다 큰 차원에서 완벽히 효율적으로 채울 수 없다. 다시 말해, 원으로만 채울 때는 항상 사용하지 않은 공간이 있다. 원을 가장 효율적으로 채우는 방법인 육각형 채우기는 대략적으로 91%의 효율을 얻을 수 있다.

### 높은 차원에서 구 채우기
3차원에서 면심입방구조는 가장 좋은 격자 채우기이기 때문에 최적의 채우기라고 여겨진다. 3차원에서 '단순'한 구 채우기('단순' 은 조심스럽게 정의해야 한다)는 정의 가능한 9가지가 있다. 8차원 E8 격자와 24차원 리치 격자는 각각 실 차원 공간에서 최적으로 증명되었다.

### 3차원에서 정다면체 채우기
정육면체는 3차원 공간을 완전히 채우도록 배열할 수 있다, 가장 자연스러운 채우기는 정육면체 벌집이다. 다른 정다면체는 공간을 스스로 채울 수 없지만 몇 가지 예비 결과가 알려져 있다. 정사면체는 적어도 85%의 채우기를 할 수 있다. 정십이면체의 최대 채우기는 앞에서 말한 면심 입방 격자(FCC)를 기반으로 한다.

정사면체와 정팔면체는 정사면체-정팔면체 벌집으로 알려진 배열로 공간을 채울 수 있다.
국소 발전 방법과 무작위 채우기를 결합한 시뮬레이션은 정이십면체, 정십이면체, 정팔면체에 대한 격자 채우기가 모든 채우기에서 최적이라는 것을 나타낸다.

## 3차원 용기에 채우기

### 입방체에 입방체
주어진 입방체(3차원 직사각형)의 집합으로 채울 수 있는 최소 입방체 용기의 개수를 결정한다. 채우려는 육면체는 각 축을 기준으로 90도 회전시킬 수 있다.

### 유클리드 공에 구
을 갖는 원에 들어있다.

이 조합이 최적임을 보이기 위해서, 중심이 .

### 원기둥에 구
반지름이 ''R'' 이고 반지름이 ''r'' (< ''R'')인 ''n''개의 구가 들어갈 원기둥의 높이 ''h''를 결정한다.

## 2차원 용기에 채우기

### 원 채우기

#### 원에 원
단위원 ''n''개로 가장 작은 원을 채운다. 이것은 단위원에 점을 퍼뜨려 가장 큰 첨들간 최소거리 ''d''를 찾는 문제와 매우 유사한 문제이다.

''n''&nbsp;≤&nbsp;13일 때와&nbsp;''n''&nbsp;=&nbsp;19일 때 최적해가 증명되었다.

#### 정사각형에 원
단위원 ''n''개로 가장 작은 정사각형을 채운다. 이것은 단위원에 점을 퍼뜨려 가장 큰 점들간 최소거리 ''d''이다.

''n''&nbsp;≤&nbsp;30일 때 최적해가 증명되었다.

#### 직각이등변삼각형에 원
단위원 ''n''개로'' ''가장 작은 직각이등변삼각형에 채운다. ''n''<300일 때 좋은 근사가 알려져 있다.

#### 정삼각형에 원
단위원 ''n''개로 가장 작은 정삼각형을 채운다. ''n''<13일 때 최적해가 알려져 있고, ''n''&nbsp;<&nbsp;28일 때 추측 가능하다.

### 정사각형 채우기

#### 정사각형에 정사각형
단위 정사각형 ''n''개를 가능한 작은 정사각형에 넣는다.

최적해는 ''n''&nbsp;=&nbsp;1–10, 14–16, 22–25, 33–36, 62–64, 79–81, 98–100, 그리고 모든 사각수일 때 증명되었다.

낭비되는 공간은 점근적으로 O(''a'')이다.

#### 원에 정사각형 채우기
''n''개를 가능한 작은 원에 넣는다.

최소해:

### 직사각형 채우기

#### 직사각형에 크기가 동일한 직사각형
크기가 인 직사각형 여러개를 90° 회전을 허용하여 크기가 인 큰 직사각형 안에 채우는 문제는 파렛트에 상자를 싣거나 특히 나무 펄프 보관 등의 적용이 있다.

예를 들어, 크기가 인 직사각형 147개는 크기가 인 직사각형을 채울 수 있다.

#### 직사각형에 크기가 다른 직사각형
다양한 너비와 높이를 가지는 직사각형들을 최소 면적의 (하지만 둘러싸는 직사각형의 너비와 높이에는 경계가 없는) 직사각형에 채우는 문제는 이미지들을 하나의 큰 이미지로 결합할 때 중요한 문제이다. 각각의 이미지를 웹 서버에 요청하기 때문에, 하나의 큰 이미지를 로딩하는 웹 페이지는 같은 페이지에서 여러 작은 이미지를 로딩하는 브라우저보다 빠르다.

다양한 너비와 높이를 가지는 직사각형들을 최소넓이의 직사각형에 채우는 빠른 알고리즘의 예는 [https://web.archive.org/web/20170914175015/https://www.codeproject.com/Articles/210979/Fast-optimizing-rectangle-packing-algorithm-for-bu 여기] 있다.

## 관련 분야
타일링이나 테셀레이션 문제에서 틈이나 겹치는 것이 없어야한다. 이런 종류의 퍼즐의 대부분은 직사각형이나 폴리오미노를 큰 직사각형이나 사각형같은 모양에 채우는 문제와 관련되어있다.

직사각형(과 직육면체)를 직사각형 (직육면체)에 틈이나 겹침없는 타일링에 대해서는 상당히 많은 정리들이 있다:
폴리오미노 타일링 연구는 크게 두 종류의 문제로 나뉜다: 합동인 타일로 직사각형을 타일링 하고, 각 폴리오미노를 직사각형에 채운다.

두번째 종류의 고전 퍼즐은 펜토미노 12개 전부를 크기가 3×20, 4×15, 5×12 또는 6×10인 직사각형에 배열하는 것이다.

## 불규칙한 물체 채우기
불규칙한 물체 채우기는 폐쇄적인 해결법에는 적합하지 않다; 하지만 실용 환경 과학에 적용은 매우 중요하다. 예를 들어, 불규칙한 모양의 흙 입자를 크기와 모양을 다양하게 채우기는 식물종의 뿌리 형성과 토양에서 물의 움직임에 중요하다.

## 외부 링크
수학 잡지같이 많은 퍼즐 책은 채우기 문제를 포함하고 있다.