수학에서, 특히 대수기하학과 복소다양체론에서 **연접층 코호몰로지**는 특정 성질을 가진 함수들을 생성하는 방법이다. 많은 기하학적 질문은 선다발 단면 또는 보다 일반적인 연접층이 존재하는지 대한 질문으로 귀결될 수 있다. 이러한 단면은 일반화된 함수로 볼 수 있다. 코호몰로지는 단면을 생성하거나 단면이 존재하지 않는 이유를 설명하기 위한 계산을 제공한다. 또한 대수 다형체들을 구별하기 위한 불변량을 제공한다.

대수 기하학과 복소 해석 기하학의 대부분은 연접층와 그 코호몰로지의 관점에서 공식화된다.

## 연접층
연접층은 선형 다발을 일반화 한 결과로 볼 수 있다. 복소 해석 공간에 대한 **해석적 연접층**의 개념이 있고 이와 비슷하게 스킴에 대한 **대수적 연접층**이라는 개념이 있다. 두 가지 모두 주어진 공간 -가군층) 범주의 충만한 부분 범주로 정의된다.

접다발 같은 선형 다발은 기하학에서 근본적인 역할을 한다. 보다 일반적으로, 의 부분 다형체에 대한 많은 질문이 있다.

선형 다발과 달리, 해석적 또는 대수적 연접층은 아벨 범주를 형성하므로 핵, 상 및 여핵들 가져오기와 같은 작용에서 닫힌다. 스킴에서 **준연접층**은 무한 랭크 국소 자유 층를 포함하는 연접층의 일반화이다.

## 층 코호몰로지
위상 공간 에 대해, 코호몰로지 군의 긴 완전열

이 있다.

만약에 가 다음과 같은 결과들로 인해 연접층 또는 준 연접층인 경우에 강력해진다.

## 아핀인 경우 소멸 정리
복소 해석학은 1953년 카르탕 정리에 의해 혁신되었다. 이 결과는, 만약 의 닫힌 해석 부분 공간과 동형임은 동치다.) 이러한 결과는 주어진 특이점 또는 기타 성질을 가진 복소 해석 함수의 구성에 대한 이전 결과들의 많은 부분을 일반화한다.

1955년에 세르는 대수 기하학에 연접층를 도입했다. 카르탕 정리의 유사점은 아주 일반적으로 유지된다. -가군 범주와 같다는 사실과 관련되어 있다. 사실, 아핀 스킴은 준연접층에 대한 고차 코호몰로지가 사라지는 것으로 모든 준콤팩트 스킴 중에서 특징지어진다.

## 체흐 코호몰로지와 사영 공간의 코호몰로지
아핀 스킴에 대한 코호몰로지가 사라진 결과: 분리된 스킴  계수 코호몰로지를 결정한다.

체흐 코호몰로지를 사용하면 임의의 선다발의 계수로 사영 공간의 코호몰로지를 계산할 수 있다. 즉, 체 ''

로 주어진다. 특히, 이 계산은 ''''-선형 공간으로서 유한 차원을 갖는다.

위의 이러한 코호몰로지 군의 소멸 차원 에 유용하다.

## 평면 곡선의 층 코호몰로지
매끄러운 가 완전하므로 코호몰로지 군의 동형

이 있다. 이것은  위의 연접층의 짧은 완전열을 의미한다.

사영 공간에 대한 이전 계산을 사용하여 이를 단순화할 수 있다. 단순화를 위해 기저 환이 

이 있다. 이는 곡선의 가 랭크

인 유한 차원 선형 공간임을 보여준다.

## 퀴네트 정리
다형체들의 곱에 대한 연접층 코호몰로지에는 퀴네트 공식의 아날로그가 있다. 체 ''인 정사영이다.

### 곡선의 층 코호몰로지 계산
\begin{align}
H^0 &\cong H^0 \\
H^1 &\cong H^2(X,\mathcal{O})
\end{align}의 내부에서 찾을 수 있다.

## 유한 차원
체 ''''-사영 공간인 특별한 경우에는, 이는 위에서 논의한 사영 공간의 선다발의 경우로 축소하여 증명된다. 일반적인 체에 대한 적절한 스킴의 경우에서 그로텐디크는 저우 보조 정리를 사용하여 사영 스킴의 경우로 축소하여 코호몰로지의 유한성을 증명했다.

코호몰로지의 유한 차원성은 또한 아주 다른 주장에 의해 임의의 콤팩트 복소 공간에 대한 해석적 연접층의 유사한 상황에서도 유지된다. 카르탕과 세르는 프레셰 공간에서 콤팩트 연산자에 대한 슈바르츠의 정리를 사용하여 이 해석학적 상황에서 유한 차원성을 증명했다. 적절한 사상에 대한 이 결과의 상대적인 버전은 그로텐디크(국소 뇌터 스킴의 경우)과 Grauert (복소 해석 공간의 경우)가 의해 증명했다. 즉, 적절한 사상 가 점이면, 이 정리는 코호몰로지의 유한 차원성을 제공한다.

코호몰로지의 유한 차원성은 사영 다형체에 대한 많은 수치적 불변량을 초래한다. 예를 들어, 의 차원이다. 그리고 산술 종수(하나의 관례에 따름)은 다음 교대합이다:

## 세르 쌍대성
세르 쌍대성은 연접층 코호몰로지에 대한 푸앵카레 쌍대성의 유사체이다. 이 비유에서 표준 다발 에 대한 세르 쌍대성은 다음 곱

는 모든 정수 는 동일한(유한한) 차원을 가진다. (세르는 또한 모든 콤팩트 복소 다양체에서 정칙 선형 다발에 대한 세르 쌍대성을 입증했다.) 그로텐디크 쌍대 이론은 진술이 덜 기초적이기는 하지만 연접층과 도식의 적절한 형태에 대한 일반화를 포함한다.

예를 들어, 대수적으로 닫힌 체 '' 차원)와 같음을 함의한다.

## GAGA 정리
GAGA 정리는 복소수에 대한 대수다양체을 해당 해석 공간과 관련시킨다. **''에 대해 유한 차원 복소 선형 공간 사이의 자연 사상

은 모든 ''의 모든 닫힌 해석적 부분 공간이 대수적이라는 저우 정리를 암시한다.

## 소멸 정리들
**세르의 소멸 정리**에 따르면 충분한 선 다발에 대해  전역 단면에 걸쳐 있으며 양의 정도에 코호몰로지가 없다.

세르의 소멸 정리가 유용하긴 하지만 에 대해,

세르의 정리는

## 호지 이론
호지 정리는 연접층 코호몰로지를 특이 코호몰로지 (또는 드람 코호몰로지 )와 관련시킨다. 즉, 만약 에 대해,

왼쪽에 있는 군은  또는 모든 콤팩트 켈러 다양체에 대해 동일한 결론이 적용된다.

예를 들어, 호지 정리는 매끄러운 사영 곡선 ''가 복소수인 경우 이 정의는 위상 수학적 정의(첫 번째 베티 수의 절반)와 같다. 호지 이론은 복소 다형체의 위상 수학적 특성에 대한 많은 작업에 영감을 주었다.

## 리만–로흐 정리
체 ''''의 오일러 특성은 정수이다.

연접층 ''''의 선 다발이면 다음과 같다.

여기서 ''''의 차수를 나타낸다.

소멸 정리와 결합할 때 리만-로흐 정리는 종종 선다발 단면의 선형 공간 차원을 결정하는 데 사용될 수 있다. ''''에서 사영 공간, 아마도 닫힌 몰입으로서 사상을 정의하는 데 사용할 수 있다. 이 접근법은 다형체를 분류하는 데 필수적이다.

리만-로흐 정리는 또한 아티야-싱어 지표 정리에 의해 컴팩트 복소 다양체의 정칙 선형 다발에 대해 유지된다.

## 증가
''차 다항식 정도로 커질 수 있다.

''''의 연접층이면,

모든 .

''''의 더 높은 코호몰로지에 대해;

## 응용들
체 ''''이 있는지 검사

주어진 ''''의 변형 클래스를 제어한다. 즉,