조합론에서 **매트로이드**는 일차 독립의 성질을 공리화하여 얻은 조합론적 구조이다. 그래프 이론 · 선형대수학 · 체론 등의 다양한 분야에 응용된다.

## 정의
**매트로이드**의 개념은 다양하게 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.

### 독립 집합을 통한 정의
**매트로이드** 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이 데이터는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
만약 가 유한 집합이라면, 마지막 조건은 자동적으로 성립된다.

### 기저를 통한 정의
**매트로이드** 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

### 회로를 통한 정의
**매트로이드** 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이 데이터는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

### 폐포를 통한 정의
**매트로이드** 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

를 **닫힌집합** 또는 **평탄면**이라고 한다.

### 계수 함수를 통한 정의
**매트로이드** 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

여기서
는  속의, 길이 2의 사슬들의 집합이다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

매트로이드 가
를 만족시키는 것들 가운데 (부분 집합 관계에 대하여) 극대 원소라면, 를 **초평면**이라고 한다.

### 정의들 사이의 관계
일부 정의들 사이의 관계는 다음과 같다.

매트로이드 는 독립 집합들로부터 다음과 같이 정의된다.

매트로이드 는 마찬가지로 상대 계수 함수로부터 다음과 같이 정의된다.
(이러한 최대 원소가 항상 유일하게 존재함을 보일 수 있다.)

매트로이드

## 종류

### 유한성
매트로이드 에 대하여,
즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

### 작은 회로의 부재
크기 1의 회로는 **고리**라고 하며, 크기 2의 회로는 **평행변**이라고 한다. (이러한 용어는 다중 그래프에 대응되는 순환 그래프에서 유래하였다.)

모든 회로의 크기가 2 이상인 매트로이드를 **단순 매트로이드**라고 한다. 모든 회로의 크기가 1 이상인 매트로이드를 **고리 없는 매트로이드**라고 한다.

## 연산

### 부분 매트로이드
매트로이드 의 **계수**는 부분 매트로이드로서의 계수이다.

### 쌍대 매트로이드
매트로이드 이지만,
이다. 이에 따라, 의 기저의 여집합이다.

이 연산은 쌍대성을 가진다. 즉, 이다.

### 직합
두 매트로이드 가 주어졌을 때, 분리합집합
위에 매트로이드 구조
를 부여할 수 있다. 이를 이 두 매트로이드의 **직합**이라고 하며, 로 표기한다.

### 마이너
부분 매트로이드를 취하는 연산 및 쌍대 매트로이드의 부분 매트로이드의 쌍대 매트로이드를 취하는 연산을 반복하여 얻는 매트로이드를 **매트로이드 마이너**라고 한다. 이는 그래프 마이너의 일반화이다.

### 안둘레와 밖둘레
매트로이드의 **안둘레**는 가장 작은 회로의 크기이다. 마찬가지로, 매트로이드의 **밖둘레**는 회로들의 크기의 상한이다.

## 성질

### 계수
유한 매트로이드의 서로 다른 기저들의 크기는 서로 같다.

만약 일반화 연속체 가설이 참이라면, 모든 (유한 또는 무한) 매트로이드들의 서로 다른 기저들의 크기는 서로 같은 기수이다. 이 경우, 기저의 크기를 매트로이드의 **계수**라고 한다. 보다 일반적으로, 만약  이하인 매트로이드의 모든 기저의 크기는 같다.

만약 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 무모순적이라면, “임의의 매트로이드에서, 기저들의 크기는 같다”라는 명제는 ZFC와 독립적이다.

### 작은 매트로이드의 수
작은 크기의 매트로이드의 동형류의 수 및 고리 없는 매트로이드의 동형류의 수 및 단순 매트로이드의 동형류의 수는 다음과 같다.

크기가 이라고 하면, 다음이 성립한다.

### 범주론적 성질
임의의 두 유한 매트로이드 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 **강사상**이라고 하자.

유한 매트로이드와 강사상의 작은 범주를 라고 하자.

그렇다면, 는 구체적 범주이며, 망각 함자
가 존재한다. 이 밖에도, 균등 매트로이드 함자
및
를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 수반 함자 관계를 이룬다.
즉, 균등 매트로이드 은 “쌍대 자유 매트로이드”이다.

## 예

### 균등 매트로이드
임의의 집합  위에,
를 부여하면, 이는 매트로이드를 이룬다. 이를 라고 하자.

마찬가지로, 임의의 집합 
을 부여하면, 이는 매트로이드를 이룬다. 이는 이다.

이들의 성질을 비교하면 다음과 같다.

이와 같은 두 종류의 매트로이드의 직합으로 표현될 수 있는 매트로이드를 **이산 매트로이드**라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 집합  위의 다음과 같은 매트로이드이다.
이는 항상 유한형 매트로이드이다.

만약 의 쌍대 매트로이드는 더 이상 유한형 매트로이드가 아니다.

### 벡터 공간의 부분 집합의 매트로이드
체 는 매트로이드를 이룬다. 이를 **선형 매트로이드**라고 한다.

### 그래프의 매트로이드
모든 그래프에는 **순환 매트로이드**라는 유한형 매트로이드 및 그 쌍대 매트로이드인 **접합 매트로이드**가 대응된다.

### 작은 크기의 매트로이드
공집합 위에는 유일한 매트로이드 구조가 존재하며, 이는 균등 매트로이드 이다.

이는 무변 그래프의 순환 매트로이드이자, 임의의 벡터 공간 속의 공집합으로부터 정의되는 선형 매트로이드이다.

#### 크기 1
크기 1의 매트로이드 동형류들은 다음 두 가지이다.

#### 크기 2
크기 2의 매트로이드 동형류들은 다음 네 가지이다.
이 가운데 단순 매트로이드인 것은 첫째 밖에 없다.

#### 크기 3
크기 3의 매트로이드 동형류들은 다음 여덟 가지이다.
이 가운데 단순 매트로이드인 것은 처음 두 개이다.

#### 크기 4
크기 4의 매트로이드는 총 17개가 있으며, 하나를 제외하고는 나머지는 균등 매트로이드들의 직합으로 표현될 수 있다.

계수 3 및 계수 4의, 크기 4의 매트로이드들은 각각 계수 1 및 계수 0의 것들의 쌍대 매트로이드로 얻어진다.

여기서, 매트로이드 는 다음과 같다.

이는 다음과 같은 다중 그래프에 대응하는 순환 매트로이드이다.

마찬가지로, 이는 (예를 들어) 다음과 같은 실수 벡터 공간 에 대응되는 매트로이드와 동형이다.

## 역사
매트로이드의 개념은 해슬러 휘트니가 1935년에 도입하였다. 크게 알려지지 못했다.

이후 윌리엄 토머스 텃이 매트로이드 이론을 발달시켰고, 텃 다항식과 같은 중요한 개념들을 발견하였다.

1970년에 잔카를로 로타와 헨리 하울런드 크레이포는 매트로이드 이론에 대한 최초의 책을 출판하였다.

무한 매트로이드의 올바른 정의는 오랫동안 미해결 문제였다. 1966년에 리하르트 라도는 무한 매트로이드의 올바른 정의에 대한 문제를 제기하였다.

이후 1978년에 제임스 옥슬리는 “B-매트로이드”의 모임이 쌍대성을 가지며 매트로이드 마이너에 대하여 닫혀 있는 가장 큰 모임이라는 것을 증명하였다. 이후 2010년에 이 “B-매트로이드”에 대한 여러 자연스러운 공리화들이 발견되었으며, 이후 이 개념이 무한 매트로이드의 통상적인 정의로 굳어지게 되었다.