**반 더 시터르 공간/등각 장론 대응성** 또는 **말다세나 이중성**은 반 더 시터르 공간(AdS)을 남기고 축소화한 끈 이론과, 그보다 낮은 차원에서의 등각 장론(CFT)이 반 더 시터르 공간의 등각 경계에서 동등하다는 가설이다. 축소화한 공간은 구, 오비폴드, 코니폴드, 혹은 비가환 공간 등이 쓰인다.

## 전개
차원의 반 더 시터르 공간에 다음과 같은 좌표를 부여하자.
여기서 차원 민코프스키 계량 텐서를 지니게 된다. 이를 **등각경계**라고 부른다.

는 게이지 불변 국소적 연산자다.
또한, AdS 공간에 마당 를 도입하고, 여기에 다음과 같은 경계조건을 부여하자.
여기서 의 공변지수의 수와 반변지수의 수의 차다. 이 경우 AdS/CFT 대응성은 이 두 이론이 다음과 같이 서로 대응한다고 예측한다.
좌변은 시간순서를 가한 연산자 지수의 진공 기댓값이고, 우변은 등각 경계 조건을 가한 양자 중력 이론의 생성범함수다. 우변은 경계조건을 만족하는 유효 작용의 고전적 해를 구하여 계산한다.

이 경우, 양변은 대개 각각 발산하게 된다. 우변의 경우, 이 발산은 반 더 시터르 공간의 부피가 무한하기 때문이다. 이 경우 자연스러운 조절자는 

일반적으로 다음과 같은 꼴의 대응 관계가 존재한다.

### 진동 모드의 대응

#### 스칼라장
일반적으로, 에서 질량이
인 스칼라장과 대응한다.에서 무질량 스칼라장에 대응하게 된다. 이러한 무질량 스칼라장은 통상적으로 딜라톤이라고 불린다.

유니터리 등각 장론에서, 스칼라 1차장의 등각 차원은 **유니터리 하한**에 따라 다음과 같이 제약된다.
마찬가지로, 차원 반 더 시터르 공간에서 스칼라장의 제곱 질량은 다음과 같은 **브라이텐로너-프리드먼 하한**을 따른다.
이들 하한들은 서로 일관적임을 알 수 있다.

AdS에서 제곱 질량 
**표준 양자화**에서는, 보통 첫 번째 항을 0으로 놓는다.
그렇다면 두 번째 항의 계수 의 진공 기댓값에 비례한다.
표준 양자화에서, 첫 번째 항을 0이 아닌 다른 값으로 놓으면, 이는 에 대한 고전적 배경장
을 추가하는 것에 대응한다.

첫 번째 항은 경계 에서 발산한다. 만약
즉
이라면 작용에서의 발산을 규격화해 상쇄시킬 수 있다. 이 경우, **대체 양자화**가 가능하다.의 해석이 표준 양자화에 비해 반대가 된다. 즉,
가 된다. 반면, 만약
즉
인 경우에는 작용의 발산을 해결할 수 없으며, 대체 양자화가 불가능하고, 오직 표준 양자화만이 가능하다.

#### 무질량 고차 스핀
를 갖는 1차장과 대응한다.
즉, 게이지 보손의 경우 () 다음과 같은 차원의 보존 1차장에 대응한다.
중력자의 경우 (에 대응하며, 그 등각 차원은 항상 공식에 따라
이다.

### 내부 게이지 이론
일반적으로, 양-밀스 게이지 군 를 갖는 등각 장론과 대응된다.

### 경계 게이지 이론/끈 이론
만약 경계의 등각 장론이 양-밀스 이론이라면, 이 경우 AdS 중력 이론은 끈 이론이 된다.

### 1/''N'' 전개
많은 경우, 등각 장론은 어떤 변화시킬 수 있는 양의 정수 매개변수  극한의 등각 장론은 작은 결합 상수를 갖는 양자 중력 이론과 대응되며, 따라서 이 경우 1입자 상태를 정의할 수 있다.
여기서 **1대각합 연산자**라는 것은 게이지 이론의 경우
와 같이, 게이지 군 딸림표현의 (행렬로서의) 대각합을 오직 한 번만 사용하는 게이지 불변 연산자이다. 반면, **다중대각합 연산자**는 딸림표현 대각합을 여러 번 사용하여 정의된 국소 연산자이다. 라고 할 때,
는 1대각합 연산자이다.

### AdS
2차원 등각 장론은 고차원 등각 장론과 다른, 특수한 현상들을 보인다. 이들은 AdS 양자 중력의 특별한 성질들과 대응된다.

AdS || 2차원 등각 대칭의 비라소로 대수

## 예
이미 서로 대응된다고 알려진 양자 중력/등각 장론 쌍들의 예로는 다음을 들 수 있다. 이들 가운데 상당수는 초끈 이론에서 유도되었지만 (𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론 등), 일부는 아직 끈 이론과의 관계가 명확하지 않는 경우도 있다 (바실리예프 중력 등).

### AdS IIB 끈 이론 / 𝒩4 초대칭 양-밀스 이론
AdS/CFT 대응성에 따라, AdS은 항상 정수다.) 즉, 다음이 성립한다.
이 예는 최초로 알려진 AdS/CFT 대응성이었으며, 현재까지도 가장 잘 알려진 예이다.

이 식의 양변에 대응하는 값들은 다음과 같다.
여기서 **엇호프트 결합 상수**는 게이지 이론의 1/''N'' 전개에 쓰이는 결합 상수다.

좌변에서의 국소적 연산자는 우변에서의 양자장(입자)에 대응하게 된다. 즉, 등각 장론을 외부 연산자로 변형시키는 것은 끈 이론에서 배경장을 켜는 것과 같다. 또한, 등각 장론에서의 비국소적 연산자(윌슨 고리 따위)들은 끈 이론에서의 끈 또는 D-막 따위를 켜는 것과 같다.

특히, 끈과 D-막과 같은 비섭동적 끈 이론 대상 또한 등각 장론에서 대응하는 연산자들이 존재한다. 즉, AdS/CFT 대응성은 섭동적 초중력뿐만 아니라 비섭동적 끈 이론 전체를 포함한다는 것을 알 수 있다.

''S'' 등각 경계에 붙어 있다. 따라서, 이들은 ''N''개의 외부 쿼크로 이루어진 외부 중입자에 해당한다.

#### 변종
''N''개의 D3-막의 사건 지평선 근처 기하를 고려하면 AdS-평면을 사용하면 SO(2''N'')을 얻는다. 또한, “½개”의 D3-막이 O3-막과 겹쳐 있다. 이 경우, 게이지 군이 SO(2''N''+1)이 된다.

지평선 근처에서, 오리엔티폴드 평면의 존재는 2차 미분형식 게이지장의 장세기로 나타난다. IIB종 끈 이론은 두 개의 2차 미분형식 게이지장을 포함하는데, 이는 ''B''의 2차 (정수 계수) 코호몰로지의 원소다. 실수사영 공간의 호몰로지 군은 (초구와 달리) 꼬임 부분군을 가진다. 즉,
이다. 따라서 ''B''는 각각 두 가지 값을 가질 수 있다. 이에 따라 다음과 같은 게이지 군을 얻는다.
이 경우, 3차 호몰로지 군이 이어야 한다. 이 경우, 게이지 군이 SO(2''N'')인데, 이 때는 파피안 중입자 연산자
이 존재한다. 즉, D3-막은 이 파피안 연산자와 대응된다.

### AdS M이론 / ABJM 이론
11차원 초중력을  초중력을 얻을 수 있다. 이는 M2-막 또는 M5-막의 사건 지평선 근처 기하에 해당한다. 즉, 다음이 성립한다.
겹친 M2-막 위의 3차원 등각장론은 **BLG 이론** 또는 이를 일반화한 **ABJM 이론**이다. ABJM 이론은

### AdS M이론 / 𝒩 6차원 초등각 장론
11차원 초중력을 에 축소화하여도 초대칭을 하나도 깨지 않는다. 이는 M5-막의 사건 지평선 근처 기하에 해당한다. 따라서 다음이 성립한다.
겹친 M5-막 위에 존재하는 6차원 등각 장론은 아직 잘 알려져 있지 않다. 이 이론은 **6차원  초등각 장론**라고 불리는데, 이는 두 개의 같은 손지기 초전하를 가지기 때문이다.

### 평면파 극한
AdS

이 극한은 2002년에 데이비드 베렌스틴과 후안 말다세나, 호라치우 너스타세가 2002년에 도입하였다.

### 바실리예프 중력 / 벡터 모형
3차원 및 4차원 반 더 시터르 공간에는 **고차 스핀 이론** 또는 **바실리예프 중력**이라는 이론이 존재한다. 이 이론은 무한한 수의 임의의 고차 스핀 무질량 게이지장을 포함한다. (일반적인 이론은 콜먼-맨듈라 정리에 따라 스핀 2를 초과하는 게이지장을 가지지 못한다.) 이 이론은 2차원 또는 3차원 O(''N'') 등각 장론 (''N''개의 실수 스칼라장을 가지는, O(''N'') 대칭을 가지는 자유 이론)과 대응한다고 추측된다. **클레바노프-폴랴코프 대응성**이라고 한다. 2009년에 시모네 좀비와 인시가 3입자 상관 함수를 계산하여, 양쪽이 서로 같음을 보였다. 이는 이 대응성의 주요한 증거로 여겨진다.

## 역사
AdS/CFT 대응성은 후안 말다세나가 1997년 말에 처음으로 제안하였다. 말다세나는 IIB종 초끈 이론에서  SU(N) 초대칭 게이지 이론이 서로 동등하다는 사실을 알 수 있다.

곧 스티븐 겁서, 이고리 로마노비치 클레바노프, 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프 등이 대응성을 뒷받침하는 중요한 성질 및 증거들을 발견하였다. 이 대응성은 다른 여러 가지 (비 AdS) 배경들과 그들의 짝(비 등각) 이론들에 대해서 까지도 일반화되었다. 발표된 이후 약 10년 동안 말다세나의 논문은 6000회 이상 인용되며 따라서 1990년대 이론물리학의 가장 중요한 개념적인 발전이 되었고, 양자 중력과 양자 색역학의 여러 영역들의 연관된 논리 전개에 큰 영향을 주고 있다.

## 관련 개념
AdS/CFT 대응성은 홀로그래피 원리의 가장 성공적인 구현이다. 이는 헤라르뒤스 엇호프트가 제안하고 레너드 서스킨드에 의해 발전되고 널리 전파된 양자중력의 한 가지 이론적인 착상이다.

AdS/CFT 대응성은 대수적 홀로그래피혹은 "레렌 이중성"(Rehren duality)과 혼동되어서는 안된다. 끈이론가들은 어떤 경우에 이것이 AdS/CFT와 동일해 질 수 있더라도 둘은 서로 다르다고 말한다.

## 응용
AdS/CFT 대응성은 끈 이론과 양자장론 (특히 양자 색역학 등에서 널리 쓰인다.