기하학의 역사는 고대 문명의 발전과 함께 시작되었다. 세계의 여러 고대 문명에서 농경과 건축을 위해 기하학을 사용하였다. 메소포타미아의 여러 도시 유적과 고대 이집트의 피라미드, 모헨조다로의 유적들은 당시 사람들이 기하학을 이용하여 건축물을 설계하고 축조하였음을 보여준다.

고대 그리스 시기에 형성된 고전 기하학은 컴퍼스와 자 작도를 기반으로 한 것이었다. 에우클레이데스는 고전 기하학을 정리하여 원론을 집필하였다. 원론의 내용은 20세기 중반까지도 유럽을 비롯한 여러 나라에서 교육되었다.

근대 이후 기하학은 매우 높은 수준의 추상적 개념들을 도입하였고, 수학 여러 분야에 의해 재편되었다. 대수학에 의해 재편된 해석기하학, 대수기하학 등을 비롯하여, 공리계에 대한 재검토를 바탕으로한 비유클리드 기하학, 호몰로지에 대한 탐구 등을 다루는 위상수학 등이 새롭게 정립되었다.

## 초기 기하학
세계의 여러 고대 문명에서 농경과 건축을 위해 기하학을 사용하였다. 메소포타미아 시기의 신화인 길가메시 서사시는 우루크의 성벽이 구운 벽돌로 지어진 것임을 자랑한다.

### 고대 이집트의 기하학
고대 이집트의 수학자였던 아메스가 집필한 린드 수학 파피루스의 제30번 문제는 원의 넓이를 구하는 방법으로 다음과 같은 식을 제시하고 있다.

이는 원주율의 근사값을 3.160493… 로 계산한 것이다. 한편 제48번 문제에서는 원주율의 근사값으로 3.111…을 채택하고 있어 당시 사용한 원주율의 근사값이 여러 종류가 있었음을 알게 한다. 한편, 모스크바 수학 파피루스의 제14번 문제는 별다른 증명없이 사각뿔 절두체의 부피를 구하는 방법으로 다음과 같은 방식을 제시하고 있다.

이르기를, 밑면 한 변의 길이가 4이고 윗면 한 변의 길이는 2이며 높이가 6인 사각뿔 절두체가 있다면, 4를 거듭 제곱하면 16이 되고, 4와 2를 곱하면 8이 되며, 2의 거듭 제곱은 4가 되니, 16에 8과 4를 더하여 28을 구하라. 6의 1/3을 취하면 2가 되므로 28에 2를 곱하면 56이 된다. 보라, 56이 답임을 알게 될 것이다.

위 내용을 오늘날 사용하는 수식으로 표현하면 다음과 같다.

위 계산은 오늘날 사용되는 사각뿔 절두체의 부피를 구하는 식과 정확히 일치한다.

### 바빌로니아 수학
수메르 시기부터 메소포타미아 지역에서 발달한 바빌로니아 수학은 60진법에 기초를 둔 것이었다. 바빌로니아의 기수법은 1을 나타내는 '못} ' 모양의 문자와 10에 해당하는 '서까래}' 모양의 문자를 조합하여 나타내었는데, 예를 들어 20px20px은 23을 뜻한다.

### 베다 시대 인도 수학
베다 시대인 기원전 700년 무렵 쓰인 샤타파타 브라마나에는 번제 의식을 위해 모양이 달라도 넓이가 같은 제단을 마련하는 방법이 적혀있다.

## 고전 기하학

### 고대 그리스의 기하학
고대 그리스는 메소포타미아, 이집트와 같은 지역에서 발달한 기하학을 수용하여 고전 기하학을 정립하였다. 고대 그리스의 기하학은 자명하다고 인정되는 것에서부터 출발하여 기존에 알고 있는 것들 만으로 새로운 사실을 증명하는 연역적 방법을 정립하였다. 고대 그리스 이전의 수학 지식이 문제 해결을 위한 일종의 처방전 모음이었던데 비해 고대 그리스의 수학은 단계적으로 전개하여 필연적인 결론을 이끌어내는 추상적 논리학이 되었다.

기원전 600년부터 400년 사이 고대 그리스의 수학자들은 기존의 경험적 방법에 의한 문제 해결을 버리고 모든 수학적 결론은 반드시 연역적으로 증명되어야 한다고 결정하였다. 이러한 결정이 어떤 이유로 이루어진 것인지는 명확하지 않으나 경험적 주장이 진위를 가리기 힘들다는 점과 그리스인의 질서와 아름다움에 대한 집착이 영향을 주었을 것이다.

자명한 사실에서 연역적 논리 전개에 따라 모든 기하학의 정리를 증명하는 시도는 에우클레이데스에 의해 집대성되었다. 헬레니즘 시기인 프톨레마이오스 왕조의 알렉산드리아에 살았던 에우클레이데스는 원론을 집필하여 주어진 정의와 공리만으로 수학 정리를 증명하는 방법을 완성하였다.

원론은 위의 공리를 바탕으로 피타고라스의 정리와 같은 수학적 사실을 증명한다. 이렇게 증명된 수학적 사실을 정리(定理)라고 한다.

아르키메데스는 에우클레이데스보다 후대의 사람으로

### 구장산술
구장산술은 기원후 179년 처음 발간 된 중국의 수학서로 최초의 저자는 알려져 있지 않다. 삼국시대 위나라의 유휘가 263년에 주석을 써서 정본(定本)이 되었는데, 그의 서문에 의하면 전한의 학자가 진나라 때의 유문을 모아서 편집한 것이라 한다. 당나라 때에는 이순풍(李淳風)의 주석이 더하여져, 관리의 교과서로 쓰인 산경십서 중의 하나로 채택되었다.

구장산술은 모두 아홉 개의 장으로 나뉘어 있는데, 도형의 넓이를 재는 방전(方田), 곡물 교역에서 환율을 계산하는 속미(粟米), 고저의 차이가 있는 봉록이나 조세의 비율 배분을 계산하는 쇠분(衰分), 제곱근의 계산과 원의 넓이를 다루는 소광(少廣), 토목공사의 공정과 부피를 계산하는 상공(商功), 운반거리의 멀고 가까움을 고려하여 비용을 동등하게 계산하는 복잡한 비율을 다루는 균수(均輸), 일차방정식의 해를 이용하여 남거나 모자람을 계산하는 영부족(盈不足), 양수와 음수가 섞여있는 연립일차방정식 계산을 위한 방정(方程), 피타고라스의 정리를 다루는 구고(勾股)로 이루어져 있다.

초기의 구장산술은 원주율의 근사값으로 3을 사용하는 것과 같이 부정확한 점이 있었으나, 유휘는 극한의 개념을 도입한 할원술(割圓術)을 도입하여 보다 정확한 원주율을 제시하였다. 특히 피타고라스의 정리를 다루는 구고(勾股)는 고대 중국의 기하학 지식 수준이 매우 높았다는 것을 보여준다.

### 브라마굽타
브라마굽타는 7세기 무렵 인도의 천문학자 겸 수학자로 당시 인도의 수학을 정리한 〈브라마스푸타시단타〉을 저술하였다. 그의 책에는 0의 도입과 같은 인도 수학의 중요 업적이 소개되어 있으며, 제12장에서는 원에 내접하는 사각형의 넓이를 계산하는 브라마굽타의 공식을 서술하였다.

원에 내접하는 사각형의 각 선분의 길이가 a, b, c, d일 때, 사각형의 넓이 s는

이고 여기에서 s는

인 값이다.

이때, d = 0으로 생각하면 이 때는 원에 내접하는 삼각형에 대한 넓이 공식이 나오고, 이것은 헤론의 공식과 일치한다.

브라마굽타는 이 외에도 브라마굽타 정리도 함께 서술하고 있다.

### 이슬람 수학
9세기 바그다드에서 활동한 박학가 타비트 이븐 꾸라는 수학에서도 여러 가지 업적을 남겼다. 그는 양의 실수를 도입하여 수의 영역을 확장하였고, 적분법의 개념을 발전시켰으며, 구면삼각법을 연구하였다. 특히 기하학과 관련하여 에우클레이데스의 평행선 공리에 대해 의문을 나타내고 비유클리드 기하학의 기초를 놓았다. 타비트의 저술은 라틴어로 번역되어 유럽 수학 발전에 큰 영향을 주었다. 구면삼각법에서는 유클리드의 공준과 달리 한 점을 지나는 평행선은 없게 되고 삼각형 내각의 합은 언제나 180°보다 크다.

## 근대 기하학

### 해석기하학의 발전
해석기하학은 피에르 드 페르마와 르네 데카르트에 의해 수립되었다. 1629년 페르마는 해석기하학을 발명하였으며 아이디어를 짤막한 글로 설명하여 놓았는데, 그의 아이디어는 원고 상태로 1637년 초부터 돌아다녔지만 생전에 출간하지는 않았다. 데카르트는 페르마의 원고를 가지고 있었으며 방법서설의 부록으로 출판한 〈기하학〉에서 대수학을 사용하여 기하학 문제를 다루는 개념을 설명하였다. 페르마는 직교 좌표계를 고안하고 이를 이용하여 직선과 원의 일반적인 방정식과 포물선, 타원, 쌍곡선의 간단한 방정식을 구하였다. 뿐만 아니라 모든 일차 또는 이차방정식이 이러한 형태 중의 하나가 됨을 체계적이고 완전한 방법으로 보였다. 데카르트는 이러한 직교 좌표계를 널리 알리는 데 공헌하였고, 이 때문에 직교 좌표계는 데카르트의 이름을 따 데카르트 좌표계라고도 불리게 되었다.

페르마는 함수의 극한을 이용하여 그래프의 접선을 구하는 문제 역시 고찰하여 일반적인 풀이법을 발견하였다.

오늘날 사케리, 가우스, 보여이, 리만은 비유클리드 기하학의 창시자로 인정 받고 있다.

### 위상수학
18세기 오일러가 위상수학의 아이디어를 구체화했다. 기하학에서 다루는 길이, 부피 등 측정할 수 있는 양이 아닌 공간이나 도형의 근원적인 성질을 다루는 수학이 위상수학이다. 다면체에 대한 오일러의 공식 $V-E+F=2$는 면, 변, 꼭짓점의 개수가 수학의 대상이 되었음을 보였고 위상수학이 탄생했다.