리 대수 이론에서, **아핀 리 대수**는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다.{{서적 인용|제목=Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory|이름=Jürgen A.|성=Fuchs

## 정의
아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
이 정의들은 서로 동치이다.

### 카츠-무디 대수로서의 정의
**아핀 리 대수**는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 이다.

### 대수적 구성
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, **아핀 리 대수** -벡터 공간으로서 다음과 같다.
즉, 는 대칭의 변칙을 나타낸다.

라고 하면,
는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열
이 존재한다.

형식적 변수 를 잡아, 직접
를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.
여기서 의 구조 상수이다.

#### 실수 형태
의 복소화라고 하자. 그렇다면,
복소수 아핀 리 대수 는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.
즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점
은 실수 리 대수를 이룬다.

#### 미분 연산의 추가
복소수 벡터 공간
위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.
즉,
이다. 만약 형식적으로 로 놓는다면,
가 된다.

또한,
이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 에도 잘 정의된다.

#### 뒤틀린 아핀 리 대수
의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.

만약 를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.
이와 같은 경우를 **뒤틀린 아핀 리 대수**라고 한다. 마찬가지로 **뒤틀린 카츠-무디 대수**를 정의할 수 있다.

### 아핀 리 대수의 기하학적 정의
아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.

구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간
을 정의할 수 있다. 이는 값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다.
이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는
이다.

고리 리 대수 의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.
여기서
이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열
을 정의한다. 이 경우,

### 리 군의 기하학적 정의
실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.

구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.
즉, 이는 값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.

아핀 리 대수는 의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열
에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.

구체적으로, 원판 를 생각하자. 이제,
이다. 여기서  위의 다음과 같은 함수를 생각하자.
여기서
그렇다면,
는 (자명한 계수의) 의 중심 확대
를 정의한다. 

이제, 임의의 
를 정의할 수 있다. 여기서
는 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다.

이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, 의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군
을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열
을 구성한다. (정수 이다.

## 성질
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.

### 콕서터 수와 쌍대 콕서터 수
아핀 리 대수 에 대하여
를 만족시키는 벡터이다.의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.

아핀 리 대수의 **콕서터 수** 는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.

아핀 리 대수 의 원소이다.
그렇다면, 의 중심은 1차원 부분 대수
이다. 마찬가지로,
를 정의하자.

### 근계의 구조
아핀 리 대수 

(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한,

### 기본 단순 리 대수
단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, 는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.
축척 원소를 선택하였다면, 는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.
라고 하자.

아핀 리 대수 의 슈발레 생성원을
이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 이며, 그 근계 및 쌍대 근계는
이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각
이다.

### 바일 군
아핀 리 대수 
는 를 암묵적으로 사용하였다.

### 표현론
의 유한 차원 유니터리 표현
이 주어졌으며, 자연수 에 대하여
이며
가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현
이 유일하게 존재한다.

### 스가와라 구성
단순 리 대수 가 주어졌다고 하자.

이 경우, 에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.
이를 **스가와라 구성**이라고 한다. 여기서

보다 일반적으로, 반단순 리 대수 에 대응하는 스가와라 구성
및 에 대응하는 스가와라 구성
이 주어진다. 이 경우,
를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 **공액류 구성** 또는 **고더드-켄트-올리브 구성** 또는 **GKO 구성**이라고 한다.

이를 통하여 비라소로 대수의 모든  유니터리 표현을 구현하려면,
를 취하면 된다. 여기서 의 대각 성분이다. 이 경우
이므로,
임을 계산할 수 있다.

## 분류
단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.

딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 이다.

아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.

### Ã
의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.

### Ã
여기서 행·열 의 순서는 다음과 같다.

여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.

### G̃
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
이다.

여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
이다.

## 예
가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수
역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대
에서
이 된다. 이 경우,
로 놓으면,
가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 (

이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.
물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.

## 역사
아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.

스가와라 구성은 스가와라 히로타카(}})가 1968년에 발견하였다.