대수적 수론에서 **대수적 수체**, 줄여서 **수체**는 유리수체 의 유한 확대이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체이다.

## 정의
**대수적 수체** 의 유한 확대이다. 이는 대역체의 한 종류이다.

### 자리
**오스트롭스키 정리**에 따르면, 수체  위의 자명하지 않은 자리들은 다음과 같다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

수체 라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.
이는 에서 복소수체로 가는 체의 확대의 수와 같다. 

대수적 수체 
여기서 는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수
의 경우
이므로
이다.

### 수체의 대수적 성질
가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합이다.

모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다.
그러나 정규 확대가 아닌 수체가 존재한다.

대수적 수체 는 다음과 같은 아델 환의 몫이다.

## 대수적 정수환의 덧셈 구조
대수적 수체  속에서의 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다.
이는 의 부분환을 이룬다.

대수적 수체 의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.

모든 대수적 수체 은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다.
대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다.

모든 대수적 수체 에서, 다음이 성립한다.
여기서 은 분수체를 뜻한다.

### 정수 기저
대수적 수체의 대수적 정수환 의 차수와 같다.
차수 ''n''의 수체 의 모든 대수적 정수들을
로 유일하게 나타낼 수 있고, 의 모든 원소들을
의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

일부 수체의 경우, 정수 기저가
가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 **거듭제곱 정수 기저**라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 **단일생성체**라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.

### 정칙 표현
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬
로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.

의 고유 다항식
은 의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.
이 경우, 의 노름**이라 한다.

대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.

### 판별식
수체의 **판별식**은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

수체 의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
그렇다면 다음과 같은 
이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 라고 한다.

수체의 판별식 는 다음과 같은 성질을 가진다.

## 대수적 정수환의 곱셈 구조

### 디리클레 가역원 정리
라고 하면

**디리클레 가역원 정리**에 따르면, 은 유한 생성 아벨 군이며, 다음과 같은 꼴이다.
즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 이다. 예를 들어, 다음과 같다.

### 가역원 기준
수체의 **가역원 기준**은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

대수적 정수환 에 대한 몫군
을 생각하자. 이 군의 생성원
을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, 는 복소수 자리의 수).

의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
그렇다면 다음과 같은 

라고 한다.

### 유일 인수 분해의 실패
대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역이다.

유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수(留數)로부터 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.

### 분기화
대수기하학적으로, 포함 관계 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, **분기화**가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

수체 에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다.
여기서 에서의 **분기 지표**라고 한다.

이 경우, 는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

수체 에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.

대수기하학적으로, 포함 관계 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, **분기화**가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

## 수체의 기타 불변량
위에 정의된 불변량  밖에도, 수체 에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다.

## 예
다음과 같은 예들이 있다.

### 유리수체
유리수체 는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.

**오스트롭스키 정리**에 따르면, 유리수체 는 다음과 같은 자리들을 가진다.
특히, 는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.
유리수체의 대수적 정수환은 정수환 이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다.

유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다.
유리수체의 대수적 정수환 을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.

유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다.
유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수

### 이차 수체
제곱 인수가 없는 정수 에 대하여, 이차 수체
를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, 이다.

기저를 
이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.

이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 에 대하여,
이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 **기본 판별식**이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.
음의 기본 판별식들은 다음과 같다.

### 원분체
원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 을 추가하여 정의한다.
특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 가 있다.

의 판별식은 다음과 같다.
여기서

### 대수적 수체가 아닌 확대
다음과 같은 체의 확대들은 대수적 수체가 아니다.