**다운링크 빔포밍**(Downlink Beamforming)은 이동통신 시스템에서 기지국이 단말들에게 전송하는 빔포밍이다.

빔포밍은 단말기에서 피드백되는 채널 정보를 통해 빔을 형성한다. 따라서 빔포밍의 성능은 단말기에서 피드백되는 채널 정보의 정확도에 비례한다. 채널 정보의 정확도를 높이기 위해서는 피드백 정보양을 늘려야 한다. 피드백 정보량은 상향 링크의 무선 채널 상태와 피드백에 할당된 무선 자원의 양과 관계가 있다. 상향 링크 무선 채널의 상태에 따라 피드백할 수 있는 최대 시그널링 정보의 양이 정해진다. 상향 링크 무선 채널의 상태가 정해져 있을 때는 피드백 시그널링에 할당된 무선 자원의 양에 따라 빔포밍의 성능이 달라진다. 빔포밍 시스템을 통해서 얻고자 하는 성능이 주어졌다면 이를 위해 필요로 하는 피드백 비트 수를 계산할 수 있고 계산된 피드백 비트 수를 상향 링크로 보내기 위해 필요한 무선 자원의 양을 상향 링크 채널의 상태에 따라 구할 수 있다. 무선 자원은 신호 전송에 필요로 하는 주파수 대역폭과 전송 전력으로 전송 전력이 정해졌다면 피드백에 필요한 주파수 대역폭을 알 수 있다.

## 시스템 모델
기지국과 ''K''개의 단말이 존재하는 이동통신 시스템을 고려한다. 기지국은 ''M''개의 안테나를 가지고 단말들은 1개의 안테나를 가지고 있다. 기지국은 다중 안테나를 활용하여 신호를 다운링크 채널로 송신한다.

### 다운링크 채널 모델
다중 안테나로 송신한 신호를 단말에서 수신한 신호는 다음과 같이 모델링할 수 있다.
y_d = \sqrt{P_d} \mathbf{h}_d^T \mathbf{x} + n_d

여기서 를 주로 사용한다.

### 상향링크 피드백 채널 모델
다중안테나는 단말기들로부터 상향 링크로 전달된 정보에 의해 동작하게 된다. 피드백 신호가 전달되는 기지국에서 임의의 한 단말기까지 상향 링크의 채널을 
여기서 는 단말기에서 사용하는 송신 전력이다.

### 채널 조건
채널벡터인 는 전부 분산이 1이고 평균이 0인 백색 가우시안 랜덤 변수로 가정한다.

## 다운링크 빔포밍 방법
다운링크 빔포밍에서 기지국은 단말들에게 전송할 신호 정보인 벡터이다.

## 피드백 빔포밍
기지국이 빔포밍 메트릭스를 구하는 데 필요한 사용자 채널 벡터들은 사용자들이 기지국으로 피드백하여 알게 된다. 피드백하지 않고 사용자의 방향을 스스로 측정하는 방법은 **방향성 빔포밍 (DOA beamforming)** 또는 빔포밍이라 한다. 여기서 DOA는 direction of arrival의 약자로 빔포밍이 도착하는 방향을 의미한다.

### 채널 피드백 방법
사용자들은 기지국에서 파일럿 신호를 받아 채널 벡터를 측정한다. 파일럿 신호의 신호대잡음비에 따라 측정한 채널의 신뢰도가 달라지게 된다. 본 설명은 다운링크 빔포밍을 다루기 때문에 설명 편의상 측정한 채널의 오류는 무시한다. 측정한 채널 벡터를 보내기 위해 채널 벡터 정보의 부호화 과정이 필요하다. 부호화 과정은 코드북을 이용하는데, 코드북의 원소인 기지국과 단말들간에 약속된 코드 워드 벡터들 중에서 측정한 채널 벡터와 가장 가까운 것을 선택하게 된다. 코드북은

### 채널 피드백 손실
단말기가 채널 벡터를 기지국으로 보내기 위해 코드 워드 인덱스를 사용하므로 코드북의 크기는 피드백량을 결정한다. 채널 벡터의 코드 워드 인덱스를 피드백하는 주기인 . 여기서 등가는 부호화 벡터의 길이가 무한대일 경우 성립한다. 최소 왜곡 노이즈를 적용하면 원 신호 벡터와 부호화 신호 벡터 사이의 관계는 다음과 같게 된다.
\mathbf{h}_d = ||\mathbf{h}_d|| (\hat{\mathbf{h}}_d + \sigma_\mathrm{Bit}(B_\mathrm{FB}) n_q) = ||\mathbf{h}_d|| (\hat{\mathbf{h}}_d + 2^{-B_\mathrm{FB}} \mathbf{n}_q)

여기서 부호화 오류를 나타내는 
와 같다. 피드백용 상향 링크로 보낼 수 있는 최대 정보 효율(spectral efficiency)은 다음과 같다.
C_\mathrm{FB} = \log_2(1+ \rho_\mathrm{FB}) = \Omega_\mathrm{BF} \log_2 \left(1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)

피드백 전송 속도는 는 다음과 같다.
여기서

### 단말 수신 신호
채널 부호화 피드백을 통한 ZF 빔포밍을 사용할 경우 수신 신호의 성능을 알아보자. 부호화 피드백을 고려한 빔포밍 메트릭스인 **W**는 
여기서 편의상 1번 사용자를 가정하였다.

## 간섭 제거 빔포밍
빔포밍 메트릭스인 는 다운링크 채널 메트릭스에 맞게 구성된다. 다운링크 채널 메트릭스는 빔포밍 할 사용자의 채널 벡터들로 구성된다. 빔포밍 메트릭스를 구성하는 한 방법으로 사용자 채널 벡터들간의 간섭의 제거하는 방법이 있다. 간섭을 완전히 제거하는 방식으로 빔포밍 메트릭스를 구성하는 것을 간섭 제거 빔포밍 (Zero forcing beamforming)이라 한다. ZF 빔포밍에서 **W**는 채널 메트릭스를 인버스(inverse)한 메트릭스의 각 열(column)을 정규화한 벡터들로 구성된다.

단말기로부터 피드백한 채널을 바탕으로 간섭 제거 빔포밍을 수행하는 경우를 피드백 간섭 제거 빔포밍 (limited feedback zero forcing beamforming)이라고 한다. 피드백 간섭 제거 빔포밍은 부분적으로 부정확한 채널을 통해 빔포밍 벡터들을 만들므로 완전한 간섭제거를 할 수는 없다. 채널의 정확도가 높아질수록 간섭 제거의 성능이 높아진다.

## 피드백 간섭 제거 빔포밍의 성능 분석
피드백 간섭 제거 빔포밍의 성능을 분석한다. 사용자 1번의 수신 신호 
신호대잡음비(SNR)을 통해 사용자 1번이 달성할 수 있는 평균 주파수 효율 용량을 유도하면 다음과 같다.
R_\mathrm{BF} = E[\log_2(1+\rho_d)] = E \left[ \log_2 \left(1 + \frac{ \frac{P_d}{M} |\mathbf{h}_d^H \mathbf{w}_1|^2}{ \frac{P_d}{M} \sum_{i=2}^M |\mathbf{h}_d^H \mathbf{w}_i|^2 + 1} \right) \right]

여기서 
여기서 용량 차이를 나타내는

### 분석 결과 설명
용량 차이인 
이를 다시 정리하면 다음과 같다.
P_d = \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)^{\frac{\Omega_\mathrm{FB} T_\mathrm{FB}}{M-1}} \Leftrightarrow \frac{\Omega_\mathrm{FB} T_\mathrm{FB}}{M-1} = 
\frac{\log_2 P_d}{ \log_2 \left( 1+ \frac{p_\mathrm{MS} |h_\mathrm{FB}|^2}{D_d^{2 \gamma}} \right)}

필요한 주파수 대역인 
는 안테나 수와 기지국 실효 전력에 비례하여 크져야 한다. 단말기에서 기지국까지 신호대잡음비에는 역비례에 관계에 있다.

## 부가 원리

### ZF 빔포밍의 용량 차이식 유도
용량 차이의 기본 관계식인 . 전개의 편의를 위해 사용하는 무선자원량 대신 사용하는 비트 수로 전개한다.

#### 기본 가정
먼저 은 각각 완벽한 CSIT와 부분적 CSIT를 기지국이 알 경우 ZF 빔포밍의 평균 용량이며
와
로 표현된다. 여기서

#### 분모와 분자 전개
여기서 
이고
\Delta_b = 
 E \left[ \log_2 \left(\frac{P_d}{M} \sum_{i=2}^{M} |\mathbf{h}_1^T \mathbf{w}_i|^2 + 1 \right) \right]
\end{matrix}

#### 용량차 관계식
용량 관계식을 jensen's inequality를 적용하여 풀어보면 다음과 같다.
 \Delta R_\mathrm{BF}
 &\le& \log_2 \left(\frac{P_d}{M} (M-1) E[||\mathbf{h}_1||^2]E[|\tilde{\mathbf{h}}_1^T \mathbf{w}_2|^2] + 1 \right) \\
 &=& \log_2 \left(P_d (M-1) E[|\tilde{\mathbf{h}}_1^T \mathbf{w}_2|^2] + 1 \right)
\end{matrix} 
여기서

#### 세부 전개
이다.

**증명**: 빔포밍 벡터 를 양자화 한 백터이므로 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
여기서 
와 독립적이다.

#### 보충 특징
베타 무작위 변수는 [0,1] 구간에서 값을 가지고 
와 같이 나타낼 수 있다.