수학에서 **대수적 K이론**은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다. 대수적 ''K''이론은 기하학, 위상 수학, 환론, 정수론과 연결된다. 기하, 대수 및 산술 대상에는 ''''군을 계산하는 것은 중요한 미해결 문제이다.

''이론의 발전에 여전히 동기를 부여하는 힘이다. 이 주제는 또한 이차 상호성과 실수체와 복소수체 사이에 수체를 삽입하는 것과 같은 고전적인 정수론 주제뿐만 아니라 고차 조절자의 구성 및 ''L'' 함수의 특수 값과 같은 보다 현대적인 문제를 포함한다.

다른 대수 구조의 관점에서 이러한 군에 대한 적절한 설명이 발견되었다는 의미에서 부분 ''군에 대한 많은 기본적 사실은 로버트 토마슨의 연구 이전까지는 알려지지 않았다.

## 정의
대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 **(대수적) K군** 에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.

K군은 다양하게 정의할 수 있다.

### 퀼런 플러스 구성
환 들의 귀납적 극한
을 취하자. 이는 위상군을 이룬다. 이 위상군의 분류 공간 을 취하자.

위상 공간 차 호모토피 군이다.
는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우
로 정의할 수 있다. (여기서 는 이산 위상을 준 위상군이다.)

### 퀼런 Q-구성
퀼런 완전 범주 
&&A&\twoheadleftarrow&A\times_YB&\hookrightarrow&B\\
&&\|&&&&\|\\
X&\twoheadleftarrow&A&\hookrightarrow&Y&\twoheadleftarrow&B&\hookrightarrow&Z
\end{matrix}

이제, 차 호모토피 군이다.

### 발트하우젠 S-구성
**발트하우젠 범주** 

발트하우젠 범주 을 생각하자.
그렇다면, 각 는 자연스럽게 단체 범주(, (작은) 범주의 범주에서의 단체 대상)를 이룬다.

이 연산 을 이룬다.

의 안정 호모토피 군들이다.

## 낮은 차수의 K군

### K
의 유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열
이 존재한다. 그렇다면 는 이에 의하여 유도되는 군 준동형
의 핵이다.

보다 일반적으로, 퀼런 완전 범주 로 생성되는 부분군에 대한 몫군을 취한 것이다.

#### 상대적 ''K''
''

''상대적 

여기서 사상은 첫 번째 인자에 따른 사영에 의해 유도된다.

상대적

#### 환으로서 ''K''
''

### K
가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.
그렇다면, **1차 K군** 는 무한 일반선형군의 아벨화이다.
하이먼 배스는 환의 단원 군을 일반화하는 다음 정의를 제공했다: 는 무한 일반 선형 군의 아벨화이다.

여기서

는 ''의 **화이트헤드 군**이라고 한다.

#### 상대적 ''K''
''상대적 K-군은'' "double"

자연스러운 완전열이 있다

#### 가환 환 및 체
'' (왼쪽 위 모서리에 있는 단위)를 통해 분할되고 따라서 특정 화이트헤드 군을 핵로 가지며 분할 짧은 완전열을 생성한다. :

이는 특수 선형 군을 정의하는 일반적인 분할 짧은 완전열의 몫이다.

행렬식은 단원군 ''으로 분할된다.

''

''

비가환 환의 경우 행렬식를 일반적으로 정의할 수 없지만 사상

#### 중심 단순 대수
체 ''F'' 에 대한 중심 단순 대수 ''

### K
라고 한다. 이는 로베르트 스테인베르그가 도입하였다.

**2차 K군** 의 중심이다.
존 밀너는 ''''의 중심이다.

이는 사상

의 핵으로 정의할 수도 있다. 또는 기본 행렬 군의 슈어 승수로 정의할 수도 있다.

체의 경우 ''''는 스타인버그 기호에 의해 결정된다. 이것은 마츠모토의 정리로 이어진다.

유한 체에 대해 ''

그리고 그 증명은 이차 상호 법칙에 대한 가우스의 첫 번째 증명을 따랐다고 말했다.

아르키메데스 국소 체가 아닌 경우, 군 ''

''

또한 ''

**마츠모토 정리**

마츠모토의 원래 정리는 훨씬 더 일반적이다. 모든 근계에 대해 불안정한 ''''군을 생성한다''.''

#### 긴 완전열
''''의 체를 갖는 데데킨트 정역이면 긴 완전열이 있다.

여기서 **''

상대적 ''

''

## 밀너 ''K'' 이론
체 ''''군의 정의로 이끌었다.

따라서 곱셈군 '''' 양쪽 이데알의 텐서 대수 몫의 등급이 매겨진 부분으로서

''''는 0이 아니다(아래 참조).

텐서 대수의 텐서 곱은 곱 

''에 대해 다음 사상이 있다.

여기서 '' 번째 단위 근의 군을 나타낸다. 이것은 다음으로 확장된다.

밀너 ''

블라디미르 보예보츠키에 의해 입증된 밀너 추측은 체의 에탈(또는 갈루아) 코호몰로지와 2를 법으로 하는 밀너 K-이론 사이의 관계이다. 홀수 소수에 대한 비슷한 진술은 보예보츠키, 로스트 등에 의해 증명된 블로흐-가토 추측이다.

## 고차 ''K'' 이론
고차 ''

퀼런은 "+-구성"과 " ''Q'' -구성"의 두 가지 구성을 제공했으며 후자는 이후 다른 방식으로 수정되었다.

### +-구조
고등 대수 ''''환 이론의 가능한 정의 중 하나는 퀼런에 의해 제공되었다.

여기서 ''와 관련되어 있다는 것을 알았다.

이 정의는 ''''이론을 다음을 통해 정의한다.

''에도 적용된다.

### ''Q'' 구조
''Q'' 구조는 +구조와 동일한 결과를 제공하지만 보다 일반적인 상황에 적용된다. 더욱이, 정의는 ''Q'' 구성을 통해 정의된 ''''군이 정의에 의해 기능적이라는 점에서 보다 직접적이다. 이 사실은 플러스 구조에서 자동적이지 않다.

로 가는 사상은 다이어그램

의 동형사상 동치류이다. 여기서 첫 번째 화살표는 허용 가능한 전사 사상이고 두 번째 화살표는 허용 가능한 단사 사상이다. 과 함께 다음과 같이 정의된다.

준군 가 된다.

이 정의는 위의 ''''군으로 정의된다.

이에 대한 다음 변형도 사용된다. 유한 생성 사영(=국소 자유) 가군은 유한 생성 가군을 사용한다. 결과 ''''군에도 확장된다.

### ''S-''구성
'''' 구성이다. 이는 여올화가 있는 범주(발트하우젠 범주라고도 함)에 적용된다. 이것은 완전 범주보다 더 일반적인 개념이다.

## 예

### 유한체
유한체 의 K군은 다음과 같다.

### 정수환
정수환 
이나 일반적인 경우에 대해서는 추측만 있다.

퀼런 대수 ''''군은 고립되어 있지만 흥미로운 몇 가지 경우를 제외하고는 특히 계산하기 어려운 것으로 입증되었다. (참조: 체의 K-군)

### 대수적 ''K'' -유한 체 군
환의 고차 대수적 ''''군의 첫 번째이자 가장 중요한 계산 중 하나는 유한 체의 경우에 대해 퀼런 자신이 수행했다.

**''**''가 ''q'' 원소가 있는 유한 체일 때:

퀼런은 ''**''에 대해 보렐은 (꼬임을 법으로)

**''**'' 소멸은 원분 정수의 유군에 대한 Vandiver의 추측에 따라 달라진다. 자세한 내용은 퀼런-리히텐바움 추측을 참조.

## 응용과 미해결 문제
대수 ''

파신의 추측은 유한 체에 대한 매끄러운 다형체에 대한 고차 대수적 ''''군에 관한 것이며, 이 경우 군이 꼬임까지 사라진다고 말한다.

하이먼 배스의 또 다른 근본적인 추측( 배스' 추측 )은 ''''군이다.)

## 역사
이론의 역사는 바이벨이 자세히 설명했다.

K이론의 시초는 알렉산더 그로텐디크에 의한 그로텐디크-리만-로흐 정리의 증명으로 여겨진다 (1956년). 곧 1950년대 말에 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.

세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 유한 생성 사영 가군이다. 이를 사용하여, 1962년에 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼이 환의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다.에 대하여 일반화하였는데, 이를 밀너 K군이라고 한다. 그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.

고차 K군의 올바른 정의는 대니얼 퀼런이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.

이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠이 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.

### 그로텐디크 군 ''K''
19세기에 베른하르트 리만과 그의 학생 구스타프 로흐는 현재 리만-로흐 정리로 알려진 것을 증명했다. 의 속을 뺀 값과 같다. 20세기 중반에, 리만-로흐 정리는 프리드리히 히르제브루흐에 의해 모든 대수적 다형체으로 일반화되었다. 히르체부르흐의 공식화인 히르체부르흐–리만-로흐 정리에서 정리는 오일러 특성에 대한 진술이 되었다. 선형 다발의 특성류에서 오는 보정 계수를 더한 자명한 다발의 이는 사영 리만 곡면에서 선 다발의 오일러 특성이 앞에서 언급한 차원의 차이와 같고, 자명한 다발의 오일러 특성은 1에서 종수를 뺀 값이고, 유일한 중요하지 않은 특성류는 차수이기 때문에 일반화이다.

''로 표시된 경우 선형 다발의 각각의 짧은 완전열에 대해:

그로텐디크는 ''를 정의하며 완전열와 호환되는 방식으로 선형 다발에 불변량을 할당하는 보편적인 방법임을 암시한다.

그로텐디크는 리만-로흐 정리가 다형체 자체가 아니라 다형체의 사상에 대한 진술이라는 관점을 취했다. 그는 천 특성류와 ''가 점이면 선형 다발은 선형 공간이고 선형 공간의 클래스는 선형 공간의 차원이며 그로텐디크-리만-로흐 정리는 히르체부르흐 정리에 특화되어 있다.

군  다형체이 아닌 환에 대해서만 정의되었다.

### ''K''
군환에 대한 의 정수 군환이다. 나중에 존 밀너는 주요 추측(Hauptvermutung)을 반증하기 위해 화이트헤드 비틀림과 관련된 불변량인 라이데마이스터 비틀림을 사용했다.

환의 이 상대적인 호몰로지 정확한 서열과 비슷한 정확한 서열에 함께 맞을 수 있음을 증명했다.

이 기간의 ''''이론 작업은 배스의 책 ''Algebraic'' K ''이론'' 에서 최고조에 달했다.

이 주제의 다음 주요 발전은 가 다음과 동형임을 보여주었다.

이 관계는 국소체에 대한 2차 방정식의 해결 가능성을 나타내는 힐베르트 기호로도 충족된다. 특히 존 테이트는 가 본질적으로 이차 상호 법칙을 중심으로 구조화되어 있음을 증명할 수 있었다.

### 고차 ''K''군
1960년대 말과 1970년대 초에 고차 ''''이론의 호모토피 불변 수정과 관련이 있다.

부분적으로 마츠모토의 정리에서 영감을 받아 밀너는 체의 상위 ''''군에 대한 정의를 만들었다.

널리 받아들여지는 고차 ''''군을 계산할 수 있었다.

분류 공간 ''을 설명하는 것이 불가능했다.

퀼런과의 대화에서 영감을 얻은 세갈은 곧 ''''이론을 정의할 수 있다. 그러나 다양한 선형 다발 범주와 환 위의 모든 가군 범주에는 분할되지 않은 짧은 완전열가 있으므로 세갈의 접근 방식은 모든 관심 사례에 적용되지 않았다.

1972년 봄, 퀼런은 엄청난 성공을 거둔 고차 ''''군을 산출하지 못했다.

모든 아벨 범주는 완전 범주이지만 모든 완전 범주가 아벨 범주는 아니다. 퀼런은 이 보다 일반적인 상황에서 작업할 수 있었기 때문에 완전 범주를 증명 도구로 사용할 수 있었다. 이 기술을 통해 그는 대수적 '''' 이론의 많은 기본 정리를 증명할 수 있었다. 또한 스완과 게르스텐의 이전 정의가 특정 조건에서 퀼런의 정의와 동일함을 증명하는 것이 가능했다.

''''이론에 대한 초기 작업에 널리 퍼졌다.

### 위상 수학에서 대수 ''K''이론의 응용
대수적 '''' 사이의 ''h'' -보충 경계를 정의한다.

화이트헤드 비틀림은 결국 보다 직접적인 ''''에 대한 푸앵카레 추측을 증명했다.

''''의 화이트헤드 비틀림이 사라질 때, 그리고 그 때에만 원통이다. 이것은 단순 연결성 가설이 관련 화이트헤드 군이 자명하다는 것을 암시하기 때문에 ''h'' -보충 경계 정리를 일반화한다. 사실 ''s'' -보충 경계 정리는 ''h'' -보충 경계의 동치류와 화이트헤드 군의 원소 사이에 전단사 대응이 있음을 의미한다.

''h'' -보충 경계의 존재와 관련된 명백한 질문은 그들의 고유성이다. 등가의 자연스러운 개념은 동위 원소이다. 진 세르프는 차원이 최소 5인 ''''차원의 단순하게 연결된 매끄러운 다양체에 대해 ''h'' -보충 경계의 동위 원소는 준등방성이라는 약한 개념과 같다는 것을 증명했다.

''s'' -보충 경계 정리에 대한 적절한 문맥은 ''h'' -보충 경계의 분류 공간이다. ''''일반화 하고 이의 호모토피 올이 호몰로지 이론이다.

''''이론의 기초를 해방시켰다.

### 대수적 ''K'' 이론에서의 대수적 위상 수학와 대수 기하학
퀼런은 그의 학생인 케네스 브라운에게 ''''군의 층. 이것은 현재 브라운–게르스텐 스펙트럼 열라고 한다.

''''에 대해 다음을 증명했다.

이것은 ''블로흐의 공식''으로 알려져 있다. 그 이후로 게르스텐의 추측에 진전이 있었지만 일반적인 경우는 여전히 미해결이다.

리히텐바움은 숫자 체의 제타 함수의 특수 값이 체의 정수 환의 ''''에서 반전할 수 있는 소수 에서 완료한 후 충분히 높은 각도에서 시작한다. 리히텐바움이 연구한 사례에서 스펙트럼 열은 퇴화하여 리히텐바움의 추측을 산출한다.

소수 에 국한해야 할 필요성은 브로우더에게 유한 계수가 있는 ''''이론의 변형이 있어야 한다고 제안했다.

1970년대와 1980년대 초반에 걸쳐 단수 다형체에 대한 ''K'' 이론은 여전히 충분한 토대가 부족했다. 퀼런의 ''K-'' 이론이 올바른 군을 제공한다고 믿었지만 이러한 군이 예상되는 성질을 모두 가지고 있는지는 알려지지 않았다. 이를 위해 대수 ''''이론이 코호몰로지 이론의 모든 예상 성질을 가짐을 증명할 수 있었다.

1976년에 케이스 데니스는 호흐실트 호몰로지를 기반으로 ''''이론을 계산하는 완전히 새로운 기술을 발견했다.