일반위상수학에서 **단조 정규 공간**은 서로소 닫힌집합을 분리하는 서로소 열린집합을 단조함수를 통해 고를 수 있는 정규 공간이다.

## 정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, **단조 정규성 연산자** 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, **자기 서로소 단조 정규성 연산자**라고 한다.
단조 정규성 연산자 라면,
는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다.

다음과 같은 집합들을 정의하자.

그렇다면, 항상 이다.

위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, **단조 정규 공간**이라고 한다.

T{{저널 인용
 공간이므로,
이다. 따라서, 만약  역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자
가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자.
만약
라면, 자명하게 에 대하여,
이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.

## 성질

### 함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
모든 거리 공간 가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.
그렇다면,
가 연속 함수 는 열린집합이다. 만약
라면,
이므로,
이다. 또한,
이다. 즉, 는 단조 정규성 연산자이다.
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간  및 자기 서로소 단조 정규성 연산자
및 닫힌집합들의 이산 집합족
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족
을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의 에 대하여,
라고 하자. 라면,
이다. 즉, 는 서로소 집합족이다.
순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.
임의의 전순서 집합  위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.

**T에 대하여,
이므로 한원소 집합 는 닫힌집합이다.

**단조 정규성.** 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라, 
라고 하자. 가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.

### 연산에 대한 닫힘
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간 가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다.
단조 정규 하우스도르프 공간  및 단조 정규성 연산자
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,
이며,
는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간 
편의상 
이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.

단조 정규 하우스도르프 공간 {{저널 인용
다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다.

**T.** 표준적인 연속 함수
를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합 는 닫힌 위상수학적 매장이며,
이다. (그러나 에 대하여,
이다. 따라서,  공간이다.

**단조 정규성.** 단조 정규성 연산자
가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 에 대하여,
이다. 이제,
라고 하자. 그렇다면, 
\begin{align}
\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))
&=\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cap Z\\
&=\operatorname{cl}_Z(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\
&=Z\setminus\operatorname{int}_Zf^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&\subseteq X\setminus\operatorname{int}_Zf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&=X\setminus f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))
\end{align}

\begin{align}
\operatorname{cl}_Xg^{-1}(F)
&\subseteq g^{-1}(\operatorname{cl}_{X\cup_fY}F)\\
&=g^{-1}(F)\\
&\subseteq(X\setminus Z)\cup(g^{-1}(F)\cap Z)\\
&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(F))\\
&\subseteq(X\setminus Z)\cup f^{-1}(Y\setminus\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&\subseteq(X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup(X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\
&=X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))
\end{align}

이제,
인 열린집합 
\begin{align}
h^{-1}(G)
&=h^{-1}(g(U\cap Z))\cup h^{-1}(h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\
&=h^{-1}(g(f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\\
&=G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\subseteq Y
\end{align}

는 모두 열린집합이므로, 
\begin{align}
F
&=(F\cap g(X\setminus Z))\cup(F\cap h(Y))\\
&\subseteq g(g^{-1}(F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\
&\subseteq g(B\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\
&\subseteq g(X\setminus\operatorname{cl}_XG_1(A,B)\setminus Z)\cup(X\cup_fY\setminus h(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\
&\subseteq X\cup_fY\setminus\operatorname{cl}_{X\cup_fY}G
\end{align}

이며 (가 닫힌 매장이라는 사실을 사용하였다), 만약
라면
이므로
이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.