추상대수학에서 **반군**은 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산이 부여된 대수 구조이다.

## 정의
**반군** 은 다음과 같은 데이터로 구성되는 대수 구조이다.
은 항등원을 가질 필요가 없다. 항등원을 갖는 반군을 **모노이드**라고 한다. 즉, 반군과 모노이드의 관계는 유사환과 환의 관계와 같다. 보통, 편의상 이항 연산을 (곱셈과 같이) 생략하는 경우가 많다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

### 반군 준동형
두 반군 이다.

모든 모노이드는 반군이므로, 두 모노이드 사이의 반군 준동형을 생각할 수 있다. 두 모노이드 사이의 모든 모노이드 준동형은 반군 준동형이지만, 두 모노이드 사이의 반군 준동형은 모노이드 준동형이 아닐 수 있다 .

### 부분 반군
반군 의 **부분 반군**라고 한다.
모노이드의 모든 부분 모노이드는 부분 반군이지만, 모노이드의 부분 반군은 부분 모노이드가 아닐 수 있다 .

반군 의 **왼쪽 아이디얼**이라고 한다.
반군 의 **오른쪽 아이디얼**이라고 한다.
왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼인 부분 반군을 **아이디얼**이라고 한다. 모노이드의 아이디얼은 부분 모노이드를 이룰 필요가 없다 . 이는 환의 환론적 아이디얼이 부분환을 이룰 필요가 없는 것과 마찬가지다.

반군 의 **인자**라고 한다.

### 특별한 원소

#### 영원
반군 의 **왼쪽 영원**이라고 한다.
반군 의 **오른쪽 영원**이라고 한다.
왼쪽 영원이자 오른쪽 영원인 원소를 **영원**이라고 한다. 왼쪽 영원과 오른쪽 영원은 일반적으로 유일하지 않지만, (양쪽) 영원은 만약 존재한다면 유일하다.

#### 항등원
반군 의 **왼쪽 항등원**이라고 한다.
반군 의 **오른쪽 항등원**이라고 한다.
왼쪽 항등원이자 오른쪽 항등원인 원소를 **항등원**이라고 한다. 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원은 일반적으로 유일하지 않지만, (양쪽) 항등원은 만약 존재한다면 유일하다. 이렇게 양쪽 항등원을 갖는 반군을 **모노이드**라고 한다.

#### 멱등원
반군 를 **멱등원**이라고 한다. 왼쪽 영원 · 오른쪽 역원 · 왼쪽 항등원 · 오른쪽 항등원은 모두 항상 멱등원이다.

유한 반군은 항상 적어도 하나 이상의 멱등원을 갖는다. 보다 일반적으로, 모든 원소의 차수가 유한한 반군은 적어도 하나 이상의 멱등원을 갖는다. 이는 하나의 원소로 생성되는 모든 유한 반군은 멱등원을 갖기 때문이다.

#### 정칙원
반군 의 **유사역원**이라고 한다. 유사역원은 일반적으로 유일하지 않다.

## 연산

### 반대 반군
반군 을 줄 수 있다.
그렇다면 으로 쓴다.

반대 모노이드나, 군론의 반대군이나, 환론의 반대환은 반대 반군의 특수한 경우이다.

군의 경우 모든 군은 스스로의 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이지만, 반군의 경우 일반적으로 스스로의 반대 반군과 동형이 아니다. (가환 반군은 물론 스스로의 반대 반군과 같다.)

### 몫반군
반군 는
를 만족시키는 을 정의할 수 있다. 군이나 유사환의 경우와 달리, 반군의 경우 합동 관계는 일반적으로 정규 부분군이나 유사환 아이디얼과 같은 부분 집합으로 나타내어지지 않는다.

몫반군의 특별한 경우로, 반군 가 주어졌을 때, 동치 관계
는 합동 관계를 이루며, 따라서 몫반군 은 자명군이다.

### 직접곱
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 반군들의 **직접곱**을 정의할 수 있다. 이는 반군과 반군 준동형의 범주에서의 범주론적 곱이다. 구체적으로, 반군들의 집합 은 집합으로서 곱집합과 같으며, 그 위의 이항 연산은 다음과 같다.
각 에게 다음과 같이 유전된다.

### 반직접곱
두 반군 를 정의할 수 있다.

### 자유곱
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 반군들의 **자유곱**을 정의할 수 있으며, 이는 반군의 범주의 쌍대곱이다. 반군의 자유곱은 모노이드의 자유곱과 다르다. 즉, 각 성분들의 항등원이 모노이드 자유곱에서는 한 원소로 합쳐지지만, 반군 자유곱에서는 그렇지 않다.

### 영원의 추가
반군 에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
그렇다면  역시 모노이드이다.

### 멱집합
반군  위에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
그렇다면  역시 반군을 이룬다.
만약  역시 모노이드이다.

### 화환곱
군론의 화환곱을 반군에 대하여 일반화할 수 있다. 즉, 두 반군  위에 주어진 반군이다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
작용을 갖춘 반군들에 대하여, 화환곱은 결합 법칙을 따른다.

## 성질
군론의 케일리 정리와 마찬가지로, 반군에 대하여 **케일리 정리**가 성립한다. 즉, 임의의 반군 로 가는 단사 반군 준동형
이 존재한다. 또한, 만약  역시 유한 집합으로 잡을 수 있다.

반군 의 부분 반군 가운데 부분군인 것들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
구체적으로, 에 대한 역원을 갖는 모든 원소들의 집합
은 를 항등원으로 하는 극대 부분군이다.

공집합이 아닌 모든 유한 반군은 항상 하나 이상의 멱등원을 가진다. (모노이드의 경우 항등원이 멱등원이므로 이는 자명하게 성립한다.) 그러나 이는 무한 반군에 대하여 성립하지 않는다.

## 종류
다음과 같은 특별한 종류의 반군들의 모임이 존재한다.

## 분류

### 유한 반군
유한 반군에 대하여, **크론-로즈 정리**라는 구조 정리가 존재한다. 이에 따르면, 모든 유한 반군 는 유한 단순군과 비자명군을 포함하지 않는 유한 반군들의 화환곱의 부분 반군의 몫반군이다. 즉, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
여기서

### 가환 반군의 구조 이론
가환 반군의 경우, 다음과 같은 구조 정리가 존재한다.

임의의 가환 반군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

임의의 가환 반군 는 모두 아르키메데스 반군을 이룬다.

따라서, 가환 반군의 분류는 가환 멱등 반군의 분류와 아르키메데스 반군의 분류로 귀결된다. 가환 멱등 반군은 공집합이 아닌 유한 부분 집합이 항상 최소 원소를 갖는 부분 순서 집합과 동치이다. 이 경우 부분 순서는 와 같다.

## 예
모든 모노이드는 반군이다. 따라서 모든 군은 반군이다. 모든 유사환 이 최대 원소 또는 최소 원소를 갖지 않는다면, 둘 가운데 하나는 모노이드를 이루지 않는다.)

임의의 음이 아닌 정수 이라면 이는 모노이드가 아니다.

### 공반군
공집합  위에 유일한 이항 관계를 준다면, 이는 자명하게 반군을 이룬다. 이를 **공반군**이라고 하며, 이는 모노이드가 아니다.

### 영반군
집합  위에 다음과 같은 이항 연산을 상수 함수로 정의하자.
그렇다면 가 공집합이라면 이는 자명군을 이룬다.)

아벨 군 위에 곱셈을 모두 0으로 정의하여 영 유사환을 정의할 수 있는데, 그 곱셈 반군은 영반군이다.

### 자유 반군
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 이에 대한 자유 대수를 정의할 수 있다. 집합 이다.

한원소 집합으로 생성되는 자유 반군은 양의 정수의 덧셈 반군 과 동형이다.

마찬가지로 **자유 가환 반군**을 정의할 수 있다. 집합  위의 자유 가환 반군은 이 가운데 공집합을 제거한 것이다.

### 왼쪽·오른쪽 영원 반군
집합  위에 다음과 같은 두 이항 연산을 정의하자.
그렇다면 를 **오른쪽 영원 반군**이라고 한다.

왼쪽 영원 반군에서, 모든 원소는 왼쪽 영원이자 오른쪽 항등원이다. 오른쪽 영원 반군에서, 모든 원소는 오른쪽 영원이자 왼쪽 항등원이다.

왼쪽 · 오른쪽 영원 반군은 가 한원소 집합이 아니라면 모노이드를 이루지 않는다.

### 하나의 원소로 생성되는 반군
하나의 원소로 생성되는 반군은 항상 가환 반군이며, 다음 두 경우 가운데 하나와 동형이다.

마찬가지로, 하나의 원소로 생성되는 모노이드는 항상 가환 모노이드이며, 다음 두 경우 가운데 하나와 동형이다.

### 작은 크기의 반군
크기가 . 모노이드와 그 반대 모노이드는 일반적으로 서로 동형이 아니라고 간주한다.)
만약 반군과 그 반대 반군을 동치로 놓았을 때, 동치류의 수는 다음과 같다. ()
만약 반군과 그 반대 반군을 동치로 놓았을 때, 정확히 1개의 멱등원을 갖는 반군의 동치류의 수는 다음과 같다.
정확히 2개의 멱등원을 갖는 반군의 동형류의 수는 다음과 같다.
크기가 인 가환 반군의 동형류의 수는 다음과 같다.

크기가 0인 반군은 공반군 밖에 없고, 크기가 1인 반군은 자명군 밖에 없다. 크기가 2인 반군은 총 5개가 있다.
크기가 3인 반군은 총 24개가 있다. 이 가운데 모노이드가 아닌 것은 17개이며, 다음과 같다. 아래 목록에서 표시는 반군의 표시이며, 영원의 경우 항상 0으로 표기하며 이에 대한 관계 ( 등)는 생략하였다.

## 역사
1904년에 장아르망 드 세기에가 최초로 반군이라는 용어를 사용하였으나, 힐턴은 반군을 오늘날과 같이 정의하였다.

반군에 대한 최초의 (자명하지 않은) 정리들은 하인리히 브란트의 1926년 논문

데이비드 리스는 1947년에 역원 반군의 개념을 도입하였고, 예브게니 세르게예비치 랴핀와 고든 프레스턴은 그 이론을 발전시켰다. 이 밖에도, 제임스 알렉산더 그린, 존 매킨토시 하위 등이 반군 이론에 공헌하였다. 특히, 그린은 1951년에 그린 관계를 도입하였다.

사무엘 에일렌베르크(1913~1998)와 마르셀폴 쉬첸베르제는 반군 이론을 자동기계 이론에 응용하여 발전시켰다. 특히, 쉬첸베르제는 1957년에 쉬첸베르제 군을 도입하였다.

크론-로즈 정리는 미국의 케네스 크론과 존 루이스 로즈가 1965년 박사 학위 논문에서 발표하였다.

1961년~1967년에 클리퍼드와 프레스턴은 당시 알려진 반군 이론을 체계화하여, 반군 이론에 대한 최초의 책을 출판하였다.