이론물리학 또는 수학, 특히 미분기하학 및 게이지 이론에서 **양-밀스 방정식**은 어떤 선형 다발 또는 주다발 접속에 대한 어떤 연립 편미분 방정식이다. 이들은 물리학에서 **양-밀스 작용 함수**의 오일러-라그랑주 방정식으로 발생한다. 그들은 또한 수학에서 중요한 용도를 찾았다.

양-밀스 방정식의 해는 **양-밀스 접속** 또는 **순간자**라고 한다. 순간자들의 모듈라이 공간은 도날드슨 정리를 증명하기 위해 사이먼 도날드슨에 의해 사용되었다.

## 동기 부여

### 물리학
게이지 이론에 대한 기초 논문에서 로버트 밀스와 양전닝은 물리 이론에 적용되는 ''게이지 대칭'' 및 ''게이지 불변''의 개념을 설명하기 위해, 본질적으로 수학 문헌들과 독립적으로, 주다발과 접속에 대한 연구를 했다 양전닝과 로버트 밀스가 한 작업의 참신함은, ''구조 군'' (또는 물리학에서는 ''게이지 군'', 자세한 내용은 게이지 군(수학) 참조)이라고 하는 리 군 인 경우는 전자기학에 해당하며, 그러한 대상을 논의하는 올바른 수학적 틀은 주다발 이론이다.

양전닝과 로버트 밀스의 작업의 요지는 다음과 같다. 하나는 물리적 모델의 기본적 설명은 ''장''을 사용한 설명이라고 가정하고, ''국소 게이지 변환'' (주다발의 국소 자명화의 변경)에서 이러한 물리적 장은 정확히 접속 이다. 게이지 장의 에너지는 양-밀스 작용 함수

에 의해(상수 값까지) 제공된다.

최소 작용의 원리는 이 물리 이론에 대한 올바른 운동 방정식이 아래에서 파생된 양-밀스 방정식인 이 범함수의 오일러-라그랑주 방정식에 의해 주어져야 함을 나타낸다.

### 수학
양-밀스 방정식의 물리적 의미를 완전히 무시하더라도 양-밀스 방정식 자체는 중요한 기하학적 관심사이다. 일반적으로 선형 다발 또는 주다발에 대한 자연스러운 접속의 선택은 없다. 이 다발이 리만 다양체에 대한 접다발인 특수한 경우에는 레비-치비타 접속과 같은 자연스러운 선택이 있지만 일반적으로 가능한 선택들이 이루는 무한 차원 공간이 있다. 양-밀스 접속은 앞으로 설명하는 것처럼 일반적인 올다발에 대한 연결의 일종의 자연스러운 선택을 제공한다.

접속은 자명화 열린 덮개 가 **평평한 접속**인 경우), 기저에 깔린 주다발은 자명한 천 특성류를 가져야 한다. 이는 평평한 접속의 존재에 대한 위상수학적 걸림돌이다. 모든 주다발이 평평한 접속을 가질 수 있는 것은 아니다.

이 때, 바랄 수 있는 최선은 곡률이 사라지는 대신 다발의 곡률이 ''가능한 한 작도록'' 만드는 것이다. 위에서 설명한 양-밀스 작용 범함수는 정확히 곡률의 -노름(의 제곱)과 오일러-라그랑주 방정식은 절대 최소값 또는 국소 최소값 중 하나인 이 범함수의 임계점을 설명한다 즉, 양-밀스 접속은 정확히 곡률을 최소화하는 연결이다. 이런 의미에서 그것들은 수학적 관점에서 다양체보다 주 또는 선형 다발에 대한 접속의 자연스러운 선택이다.

## 정의
가 콤팩트하므로, 연관된 콤팩트 리 대수는 딸림 표현 아래에서 불변인 내적을 인정한다.

-내적이 있다. 즉,

여기서, 적분 안에서 다발 별로 내적이 사용되는 경우 에 의해 정의된다.

이는 는 제 2형식으로 작용하는 호지 별 연산자이다.

위의 설정을 가정하면 양-밀스 방정식은 다음과 같이 주어진 (일반적으로 비선형) 편미분 방정식의 계이다.}}호지 별은 동형 사상이기 때문에 에 대한 공식에 의해 양-밀스 방정식은 }}임과 동치이다.

 또는 를 만족하는 접속을 **양-밀스 접속**이라고 한다.

모든 접속은 자동으로 비양키 항등식 을 충족한다. 그래서 양-밀스 접속은 조화 미분 형식의 비선형 아날로그로 볼 수 있다.

이러한 의미에서 양-밀스 접속에 대한 검색은 미분 형식의 드람 코호몰로지 특성류에서 조화 대표를 찾는 호지 이론과 비교할 수 있다. 양-밀스 접속은 주 다발에서 가능한 모든 연결 집합의 조화 대표와 같다는 비유이다.

## 유도
양-밀스 방정식은 다음과 같이 정의되는 **양-밀스 범함수**의 오일러-라그랑주 방정식이다.

이 범함수에서 방정식을 도출하기 위해 

접속 에 대해 사라지는 경우에만 가능하다. 그리고 이것은 정확히 이 만족될 때 발생한다.

## 양-밀스 접속의 모듈라이 공간
양-밀스 방정식은 게이지 불변이다. **게이지 변환**은 주다발 에 주어진 내적이 불변이므로 양-밀스 범함수는 다음을 충족한다.

그래서 만약 도 그렇다.

양-밀스 접속 모듈로 게이지 변환의 모듈 공간이 있다. 으로 표시된다.

양-밀스 접속의 모듈라이 공간은 특정 상황에서 집중적으로 연구되었다. 마이클 아티야와 라울 보트는 콤팩트 리만 곡면에 대한 다발에 대한 양-밀스 방정식을 연구했다. 여기서 양-밀스 방정식은 2차 편미방에서 1차 편미방으로 단순화된 반자기 쌍대성 방정식을 허용한다.

## 반자기 쌍대성 방정식
기저 다양체 의 차원이 4이면 우연의 일치가 발생한다 호지 별 연산자는 제 2형식를 제 2형식으로 사상한다.

호지 별 연산자는 이 경우 항등식에 제곱하므로 고유값 의 양의 고유 공간과 음의 고유 공간

으로 분해된다. **자기 쌍대** 및 **반자기 쌍대** 제 2형식. 4-다양체 .

반자기 쌍대 접속들의 모듈라이 공간 또는 순간자는 의 차원을 계산할 수 있다:

여기서  위의 순간자들은 울렌벡의 제거 가능한 특이점 정리를 사용하여 무한대의 점을 가로질러 확장될 수 있다.

## 응용

### 도날드슨의 정리
양-밀스 방정식의 모듈라이 공간은 도날드슨이 단일 연결 4차원 다양체의 교차 형식에 대한 도날드슨의 정리를 증명하기 위해 사용했다. 클리포트 타우베스와 카렌 울렌벡의 연구 결과를 사용하여 도날드슨은 특정 상황(교차 형식이 정부호일 때)인 경우, 매끄러운 콤팩트 유향 단일 연결 4-다양체  교차 형식은 동형사상을 기준으로 보충 경계 불변이며, 그러한 매끄러운 다양체는 대각화 가능한 교차 형식를 가짐을 보여준다.

반자기 쌍대 순간자의 모듈라이 공간은 4-다양체의 추가 불변량을 정의하는 데 사용될 수 있다. 도날드슨은 모듈라이 공간에서 코호몰로지 특성류의 쌍에서 발생하는 4-다양체와 관련된 유리수를 정의했다. 이 작업은 이후 자이베르그–위튼 불변량에 의해 능가되었다.

### 차원 축소 및 기타 모듈라이 공간
차원 축소 과정을 통해 양-밀스 방정식을 사용하여 미분 기하학 및 게이지 이론에서 다른 중요한 방정식을 얻을 수 있다. **차원 축소**는 4-다양체(일반적으로 )에 대해 양-밀스 방정식을 취하고 해가 대칭 군에서 불변하는 조건을 추가하는 과정이다. 예를 들어:

 위에 차원 축소된 반자기 쌍대 방정식의 해 사이에는 쌍대성이 있다. 남 방정식 데이터에서 홀극을 구성하는 방법을 처음 설명한 베르너 남의 이름을 따서 이를 남 변환이라고 한다.

이러한 해에 대해 관찰된 쌍대성은 4차원 다양체의 임의의 쌍대 대칭 군을 유지하는 것으로 이론화된다. 실제로  위의 순간자와 단일 점에 대한 쌍대 대수 데이터 사이의 쌍대성으로 생각할 수 있다.

반자기 쌍대 방정식의 대칭 축소는 또한 많은 적분가능계로 이어진다. 예를 들어 SU(2) 반자기 쌍대 양밀스의 축소는 사인-고든 및 코르테버흐–드 프리스 방정식을 제공한다.  이러한 의미에서 그것은 적분가능계에 대한 '마스터 이론'이며 게이지 군 및 대칭 감소 체계의 선택과 같은 적절한 매개변수를 선택하여 많은 알려진 계를 복구할 수 있다. 다른 마스터 이론은 4차원 천-사이먼스 이론과 아핀 가우딘 모델이다.

### 천-사이먼스 이론
콤팩트 리만 곡면 에서 전-사이먼스 이론의 대한 짜임새 공간으로 볼 수 있다. 이 경우 모듈라이 공간은 나이절 히친과 악셀로드–델라 피에트라–위튼이 독립적으로 발견한 기하학적 양자화를 허용한다.