수학에서 **트위스터 공간**은 트위스터 방정식 

여기서 는 민코프스키 공간의 한 점이다. 트위스터 공간은 4차원 민코프스키 공간의 등각 대칭을 자명하게 드러내는 한 방법이기도 하다.

펜로즈는 양자 중력 이론의 하나인 트위스터 이론을 발표하며, 트위스터 공간이 양자 중력 이론의 근본적 배경이고, 여기서 기존의 시공간 개념이 자연스럽게 나온다고 제안했다. 엔드류 호지스에 따르면, 트위스터 공간은 복소수 4개를 가지고 광자의 움직임을 개념화 하는데 유용하다고 한다. 또한 트위스터 공간은 약한 상호작용의 비대칭성을 이해하는데 도움을 줄지 모른다고 한다.

## 정의
트위스터 공간은 다양한 시공간 차원에 대하여 정의될 수 있다.

### 4차원 트위스터 공간
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 4차원 -벡터 공간
을 정의할 수 있다.  그 위에는 비퇴화 이차 형식
이 존재한다. (를 보존한다. 즉, 이는 동형 사상
을 정의한다. 사실, 4차원 벡터 공간  위의 선형 등각 구조와 동치이다.

**설명:**

구체적으로, 를 주었을 때 비퇴화 쌍선형 형식
을 정의할 수 있다. 는 잘 정의된다.

반대로, 

이제, 다음과 같은 공간을 생각하자.
이 5차원 비특이 대수다양체 를 **대응 공간**이라고 한다. 그 국소 좌표는
로 쓸 수 있다. 여기서 의 지표이다.

그렇다면,  사이의 쌍대성으로 인하여 다음과 같은 사영 사상이 유도된다.
이 함수는 전사 함수가 아니며, 그 상은 다음과 같다.
이는 3차원 복소수 사영 공간 속의 열린 부분 스킴을 이루며, 그 여집합은 를 **트위스터**라고 한다.

이는 사영 사상
을 가지며, 이 사영 아래  위의 2차원 벡터 다발
의 전체 공간과 동형이다.

즉, 대응 공간 는 (복소화) 시공간과 트위스터 공간 둘 다 위의 올다발을 이룬다.

#### 앰비트위스터
왼쪽·오른쪽 바일 스피너를 고르는 대신, 둘 다 사용할 수 있다. 이 경우 더 큰 트위스터 공간을 얻으며, 이를 **앰비트위스터 공간**이라고 한다.

구체적으로, **대응 공간**
을 생각하자. 그렇다면, 이는 사상
을 정의한다. 그 상은
를 따른다. 즉, 이는 두 3차원 사영 공간의 곱공간 속의 이차 초곡면이다. 이 5차원 초곡면 
그 상은 4차원 사영 공간  속에서
으로 정의되는 3차원 이차 초곡면이다. 이  이는 세그레 사상
을 통하여, 사실  위의 선다발
의 전체 공간과 같다.

### 6차원 트위스터 공간
다른 차원에서도 유사하게 트위스터 공간을 구성할 수 있다. 예를 들어, 6차원을 생각하자. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면
를 정의하면,  위에는 비퇴화 이차 형식
이 작용하며, 이에 대하여 불변이다. (여기서 일 때 이는 부호수 를 가진다.) 이는 동형 사상
에서 유래한다.

이 경우, 마찬가지로 공간
은 다음과 같은 사영 사상을 갖는다.
이는 마찬가지로 의 부분 집합이다. 그런데
이므로, 그 상은
이다. 이는 6차원 준사영 대수다양체이다. 이 공간  위의 3차원 벡터 다발을 이룬다. 이는 4차원 벡터 다발
의 부분 다발이며, 짧은 완전열
을 따른다.

### 3차원 트위스터 공간
3차원에서도 마찬가지로 트위스터 공간을 정의할 수 있다. 이 경우의 트위스터 공간은 간혹 **미니트위스터 공간**라고 한다.

다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면 3차원 벡터 공간
를 정의할 수 있다.

 위의 이차 형식의 부호수는 이므로, 이는 3차원 민코프스키 공간이다.) 즉, 이는 동형 사상
을 실현한다. 물론, 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조를 와 같이 바꾸더라도, 우변에서 이는 이차 형식을 스칼라배 재정의하는 것에 불과하므로, 우변은 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조에 불변이다.

이 경우, 대응 공간
으로부터, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.
여기서 라고 한다. 이는 2차원 준사영 대수다양체이다.

즉, 이는 가중 사영 공간의 열린집합을 정의한다. 사실, 사영 사상
에 대하여, 이는 선다발을 이룬다. 그 단면 이다.

가중 사영 공간은 물론 다음과 같이 4차원 사영 공간으로 매장된다.
즉,

## 성질

### 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계

#### 4차원
4차원 트위스터 공간
을 생각하자.

이 경우, 시공간  사이에 다음과 같은 대응이 존재한다.

**설명:**

복소화 시공간의 임의의 점 는 다음과 같다.
이는 트위스터 공간의 한 사영 직선 
**설명:**

복소화 시공간의 임의의 두 점 에 대응된다고 하자.
그렇다면
이다. 에 대하여
인 것이다. 즉, 
**설명:**

시공간의 두 점 에 대응하는 직선이 서로 교차할 필요 충분 조건은
이다. 그런데
이 되려면,
가 되어야 함을 보일 수 있다. 이 조건은 사실
인 것과 동치이다. 물리학적으로, 이는 
위 표에서 **영평면**이란 (원점을 지나지 않을 수 있는) 2차원 평면 인 것이다.

사실, 이는 근본적으로 다음과 같은 성질에서 기인한다. 우선, 4차원 벡터 공간 속의 2차원 그라스만 다양체
를 생각하자. 그 속의 닫힌점은 사영 공간  속의 사영 직선의 모듈라이 공간이다.
이제, 계수를 복소수체로 잡으면, 복소다양체 는 사원수 대수이다.)

#### 3차원
3차원 트위스터 공간
을 생각하자. 복소화 시공간의 임의의 점 는 다음과 같다.
이는 트위스터 공간의 한 사영 직선 의 단면을 이룬다. 즉, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.
물론, 우변은 리만-로흐 정리를 통해 3차원임을 쉽게 계산할 수 있다.

임의의 두 점
에 대응되는 단면
이 주어졌을 때, 이를  위에 있다고 하자. 그렇다면
이 된다. 이것이 가능할 필요 충분 조건은
이다. 즉, (4차원과 달리) 3차원에서는 임의의 벡터는 스피너의 대칭화 텐서곱으로 표현될 수 있다. 특히, 인 것이다.

트위스터 공간의 한 점 에 대하여,
이다. 즉
이다. 이는 3개의 변수에 대하여 하나의 방정식이므로, 3차원 시공간 속의 어떤 평면을 정의한다. 또한, 
의 꼴이다. 즉, 이 평면을 정의하는 두 선형 독립 접벡터는 다음과 같다.
0&0\\
0&1
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\right\}

여기서 첫 벡터는 노름이 0이며, 둘째 벡터는 첫째 벡터와 직교한다. 이러한 평면을 **영평면**이라고 한다. 물리학적으로, 이는 빛원뿔과 접하는 평면으로 해석할 수 있다.

### 펜로즈 변환
위에서, 매끄러운 함수
에 대하여 다음과 같은 선형 편미분 방정식을 정의할 수 있다.
이 선형 1차 편미분 방정식의 해를 **나선도 의 영질량장**이라고 한다. 마찬가지로, 매끄러운 함수
에 대하여 선형 1차 편미분 방정식
의 해를 **나선도 를 부여하자. 그렇다면 2차 미분 연산자
를 정의할 수 있다. 그렇다면, **나선도 0의 영질량장**은 매끄러운 함수
가운데
을 따르는 것이다. 2차원 벡터 공간 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례하므로, 만약 다른 심플렉틱 벡터 공간 구조를 사용하더라도 나선도 0의 영질량장의 개념은 잘 정의된다. 나선도 -벡터 공간을
라고 하자.

이제, 4차원 트위스터 공간
을 생각하자. 임의의 열린집합
에 대하여,
라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.
즉, 트위스터 공간 위의 의 영질량장과 일대일 대응한다. 이를 **펜로즈 변환**이라고 한다.

### 순간자 모듈러스 공간
임의의 콤팩트 반단순 리 군 에 대하여,
4차원 유클리드 공간 -양-밀스 이론의 순간자
를 생각하자. 이 경우, 유클리드 공간을 복소화하여 4차원 복소수 벡터 공간  이 대응을 **펜로즈-워드 변환**이라고 한다.

구체적으로, 사영 직선 는 따라서 전이 함수
로 주어진다.

사영 사상 의 열린 덮개를 이루므로, 항상
으로 표현될 수 있다.  위에는 표준적인 벡터장
이 존재하며, 이에 따라
는
를 따른다. 즉,
이다. 이를 짜깁기하여 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
값의 1차 미분 형식
을 정의할 수 있다. 그렇다면 이는  위의 순간자를 정의하는 주접속을 이룬다.

## 역사
1967년에 로저 펜로즈가 4차원 시공간의 트위스터 공간을 최초로 도입하였다.