**룽게-쿠타 방법**은 다음 상미분방정식의 수치해법이다
이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.


이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다:
\begin{array}{c|cccc}
c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
 & b_1 & b_2 & \dots & b_s\\
\end{array}

## 명시적 방법
명시적 방법은 행렬

### 명시적 중간점 방법
(명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):
\begin{array}{c|cc}
0 & 0 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 0 \\
\hline
 & 0 & 1 \\
\end{array}

### 랄스톤 방법
랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:
\begin{array}{c|cc}
0 & 0 & 0 \\
2/3 & 2/3 & 0 \\
\hline
 & 1/4 & 3/4 \\
\end{array}

### 쿠타 삼차 방법
\begin{array}{c|ccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 2 & 0 \\
\hline
 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\
\end{array}

### 3/8-규칙 사차 방법
이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다.
\begin{array}{c|cccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0\\
2/3 & -1/3 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & -1 & 1 & 0\\
\hline
 & 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8\\
\end{array}

## 내장형 방법
내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.

낮은차수의 단계는 다음과 같다
이때 는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다
이 오차는

### 호인-오일러
가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
\begin{array}{c|cc}
	0&\\
	1& 	1 \\
\hline
&	1/2& 	1/2\\
	&	1 &	0
\end{array}

### 암시적 중간점
암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다.
\begin{array}{c|c}
1/2 & 1/2 \\
\hline
 & 1
\end{array}

6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
\begin{array}{c|ccc}
\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} & \frac{2}{9}- \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{30} \\
\frac{1}{2} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{24} & \frac{2}{9} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{24}\\
\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{30} & \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} \\
\hline
 & \frac{5}{18} & \frac{4}{9} & \frac{5}{18} \\
 & -\frac56 & \frac83 & -\frac56
\end{array}

### 로바토 방법
로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2''s-''2차 방법이며, 모두 ''c''
4차 방법은 다음과 같다
\begin{array}{c|ccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\
1 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\
\hline
 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}

4차 방법은 다음과 같다
\begin{array}{c|ccc}
0 & 1/6 & -1/6& 0 \\
1/2 & 1/6 & 1/3 & 0 \\
1 & 1/6 & 5/6 & 0 \\
\hline
 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}

4차 방법은 다음과 같다
\begin{array}{c|ccc}
0 & 1/6 & -1/3& 1/6 \\
1/2 & 1/6 & 5/12& -1/12\\
1 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\
\hline
 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}

4차 방법은 다음과 같다
\begin{array}{c|ccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 1/4 & 1/4 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0 \\
\hline
 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\
\end{array}

이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. .

#### 일반화된 로바토 방법
다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수
그리고
\begin{array}{c|ccc}
0 & 1/6 & 0 & -1/6 \\
1/2 & 1/12 & 5/12 & 0\\
1 & 1/2 & 1/3 & 1/6 \\
\hline
 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\
\end{array}

이 방법은 
5차 방법은 다음과 같다
\begin{array}{c|ccc}
0 & \frac{1}{9} & \frac{-1 - \sqrt{6}}{18} & \frac{-1 + \sqrt{6}}{18} \\
\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{43\sqrt{6}}{360}\\
\frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{43\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} \\
\hline
 & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} \\
\end{array}

#### 라다우 IIA 방법
이 방법의 ''c''는 다음의 근이다

5차 방법은 다음과 같다
\begin{array}{c|ccc}
\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{37}{225} - \frac{169\sqrt{6}}{1800} & -\frac{2}{225} + \frac{\sqrt{6}}{75} \\
\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{37}{225} + \frac{169\sqrt{6}}{1800} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & -\frac{2}{225} - \frac{\sqrt{6}}{75}\\
1 & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9} \\
\hline
 & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9} \\
\end{array}