대수기하학과 복소기하학에서 **연접 가군층** 또는 단순히 **연접층**(連接層)은 유한 계수 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 연접 가군층은 벡터 다발과 마찬가지로 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된 좋은 성질을 가지며, 카르탕 정리나 가가 정리 등 대수기하학과 복소해석기하학에서의 여러 정리가 성립한다.

벡터 다발은 수학의 여러 분야에서 아주 중요한 개념이다. 대수기하학에서 세르-스완 정리에 따라 (유한 차원) "벡터 다발"은 (유한 계수) 국소 자유 가군층에 대응한다. 그러나 주어진 위상 공간  벡터 다발을 이루지 않는다.

이 경우,  위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이 "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여 유한 차원 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 아벨 범주를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 **연접 가군층**이라고 한다.

## 정의

### 연접 가군층
환 
마찬가지로 **연접 오른쪽 가군**의 개념을 정의할 수 있다.

연접 가군의 개념을 국소화하면, **연접 가군층**의 개념을 얻는다. 즉, 국소환 달린 공간 는 조금 다르지만, 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.

### 연접환과 연접 공간
환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 **왼쪽 연접환**이라고 한다.
**오른쪽 연접환**도 마찬가지로 정의된다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

보다 일반적으로, 국소환 달린 공간 를 **연접 공간**이라고 한다.

### 스킴의 경우
을 유한 생성으로 볼 수 있음이 동치이다.

아핀 스킴 로 가져간다.

다음은 스킴에 대한 준연접층의 몇 가지 추가 특성이다.-가군이라 하자. 그러면 다음 명제들은 동치이다.

## 성질

### 함의 관계
임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접 가군층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

### 동치 조건
국소 뇌터 스킴

### 밂과 당김
스킴 사상에 대하여, 준연접층의 밂은 “거의 항상” 준연접층이다. 즉, 매우 약한 조건 아래 준연접성이 보존된다. 그러나 연접성을 보존하려면 이는 매우 강한 조건(유한 사상)이 필요하다.

즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
만약 이 가군층의 특정 성질을 보존하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

### 연접 가군층의 아벨 범주
임의의 왼쪽 연접환 는 아벨 범주이다. 즉, 핵과 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다. 그러나 이는 (거의 항상) 완비 범주나 쌍대 완비 범주가 아닌데, 이는 유한 계수 국소 자유 가군층들의 무한 직합 또는 직접곱은 유한 계수가 아니어서 연접 가군층이 아니기 때문이다.

### 아핀 스킴 위의 연접층
뇌터 가환환 에 대하여 다음 세 개념이 일치한다.
또한, 는 서로 동치이다.

구체적으로, 의 유한 생성 가군이다.

### 준연접층 범주
임의의 고정된 스킴에 대한 준연접층은 아벨 범주를 형성한다. 가버는 모든 스킴의 준연접층이 특히 좋은 성질을 가진 아벨 범주인 그로텐디크 범주를 형성함을 보여주었다. 위의 준연접층의 아벨 범주에 의해 동형사상을 기준으로 결정된다. 로젠버그는 의해 가브리엘의 결과를 일반화했다.

## 연접층의 국소적 성질
한 점 의 어떤 열린 이웃에서 0임이 동치이다. 관련된 사실은 연접층의 올의 차원이 위쪽-반연속이라는 것이다. 따라서 연접층은 열린 집합에서 일정한 랭크를 갖는 반면 낮은 차원의 닫힌 부분 집합에서는 랭크가 올라갈 수 있다.

같은 정신으로: 스킴  위의 자유 가군임이 동치이다.

일반적인 스킴에서는 연접층이 (줄기가 아닌) 올만으로는 선형 다발인지 여부를 결정할 수 없다. 그러나 축소된 국소적 뇌터 스킴에서 연접층은 랭크가 국소적로 일정한 경우에만 선형 다발이다.

## 선형 다발의 예
스킴의 사상 에서 연접층이다.

만약에 를 갖는다.

만약에  위에서 선형 다발의 짧은 완전열이 있다:

이를 의 정의로 사용할 수 있다.

체 의 표준 다발 단면은

로 쓸 수 있다. 여기서 의 원소인 다항식이다.

 -스킴의 사상을 고려하자:

이는 좌표로 표현하면  위의 정규 함수로서

가 성립함을 뜻한다. 모든 정수 이 있다.

특히, 을 고려하는 것이 필수적이다. .

세르는 아핀 공간에서 연접층보다 더 미묘한 사영 공간의 모든 연접층에 대한 대수적 설명을 제공했다. 

체 의 측면에서 설명할 수 있다. 즉, 다음 짧은 완전열인 오일러 수열이 있다.

표준 다발 의 음의 배수라는 사실은 사영 공간이 파노 다형체임을 의미한다. 복소수에 대해 이것은 사영 공간에 양의 리치 곡률을 갖는 켈러 계량이 있음을 의미한다.

### 초곡면의 선형 다발
를 고려하자. 그러면 다음 완전열이 있다.

여기서 두 번째 사상은 미분 형식의 당김이고 첫 번째 사상은

이 열은 의 여법층임을 알려준다. 이것을 쌍대화하면 완전열

이 생성된다. 따라서  선형 다발들의 완전열이 주어진 사실을 사용하면

다음과 같은 선다발 동형사상이 있다:

그러면, 동형사상

이 있음을 알 수 있다. 이는

를 보여준다.

## 세르 구성 및 선형 다발
랭크 2 선형 다발을 구성하는 유용한 방식 중 하나는, 매끄러운 사영 다형체 의 코호몰로지 조건에 의해 제공된다.(아래 참조).

한 방향의 대응은 다음과 같이 제공된다. 단면 가 여차원 2인 부분 다형체이면,

다른 방향에서, 여차원 2인 부분 다형체 

에 대해, 표준 동형사상 K3 곡면 같은 많은 특정 경우에서 안정적인 선형 다발의 모듈라이 공간을 연구하기 위한 기초를 형성한다.

## 예

### 대수기하학
모든 왼쪽 뇌터 환은 왼쪽 연접환이며, 오른쪽 뇌터 환은 오른쪽 연접환이다.에는 모든 스킴의 구조층이 연접 가군층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접 가군층의 정의는 여기서 정의된 연접 가군층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.)

국소 뇌터 스킴 에 대응하는 아이디얼 층은 연접층이다.

### 복소기하학
**오카 연접성 정리**에 따르면, 복소다양체 의 단면층은 연접 가군층이다.

### 뇌터 환이 아닌 연접환
가 무한 집합이라면 이는 왼쪽 뇌터 환이 아니다.

## 연접층 코호몰로지
연접층의 코호몰로지 이론은 대수기하학에서 근본적인 방법이다. 1950년대에야 도입되었지만 대수 기하학의 많은 초기 방법은 연접층에 적용된 층 코호몰로지로 명확해진다. 대체로 말하면, 연접층 코호몰로지는 지정된 성질을 가진 함수를 생성하는 방법으로 볼 수 있다. 선다발 또는 보다 일반적인 층의 단면은 일반화된 함수로 볼 수 있다. 해석적 복소기하학에서도 연접층 코호몰로지는 근본적인 역할을 한다.

연접층 코호몰로지의 핵심 결과로는 코호몰로지의 유한 차원성에 대한 결과, 다양한 경우에 코호몰로지가 사라지는 결과, 세르 쌍대성 등의 쌍대성 정리, 호지 이론 등 위상 수학과 대수 기하학의 관계, 리만-로흐 정리와 같은 연접층의 오일러 지표 공식 등이 있다.

## 역사
연접 가군층의 개념은 원래 앙리 카르탕이 1944년 경에 다변수 복소해석학에서 도입하였다. 1946년에 오카 기요시는 오카 연접성 정리를 증명하였다.

1955년에 장피에르 세르는 유명한 논문 〈대수적 연접층〉에서 연접층의 개념을 대수기하학에 응용하였다.