미분기하학에서 **푸아송 다양체**는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 심플렉틱 다양체의 일반화이다. 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다.

## 정의
푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

### 푸아송 괄호를 통한 정의
체 -리 대수 구조이다.

**푸아송 다양체**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

푸아송 다양체 의 **해밀토니언**이라고 한다.

리 대수 의 중심의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 **카시미르 함수**라고 한다. (이는 0차 푸아송 코호몰로지에 해당한다.)

### 텐서장을 통한 정의
매끄러운 다양체 는 다음 조건을 만족시키는 차 텐서장이다.

구체적으로, 이 경우 푸아송 괄호는
의 꼴로 주어진다.

여기서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호가 0이 되는 것은 야코비 항등식에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다.
여기서 
이다.

### 리 준대수를 통한 정의
**푸아송 다양체**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
여기서 은 1차 미분 형식의 리 미분이다.

이 정의에서의 와 같은 데이터를 정의한다.
이는 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 음악 동형과 유사하지만, 한 방향으로만 가며, 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상이 아니다.

### 푸아송 사상
두 푸아송 다양체 은 매끄러운 함수 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
푸아송 텐서장으로는
이어야 한다. 여기서 는 차 텐서장의 밂이다.

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를 라고 표기하자.

푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상을 이루는 것을 **푸아송 미분 동형 사상**이라고 한다. 이는 의 동형 사상이다.

## 성질
푸아송 다양체 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 **푸아송 부분 다양체**라고 한다.

푸아송 다양체 의 모든 열린집합은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 닫힌집합이 푸아송 다양체가 될 필요 충분 조건은 심플렉틱 잎들의 합집합인 것이다.

심플렉틱 다양체의 푸아송 부분 다양체는 열린집합 밖에 없다.

### 공등방성 부분 다양체
매끄러운 다양체 의 **쌍대 법다발**은 다음과 같다.

이제, 이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 **공등방성 부분 다양체**라고 한다.

정의에 따라서 , 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다.

### 푸아송 사상
세 푸아송 다양체 가 주어졌다고 하자.

특히, 미분 동형인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다.

유한 차원 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형 이 주어졌을 때,
는 푸아송 사상이다. 여기서 는 쌍대 공간이며, 리 대수의 쌍대 공간은 선형 푸아송 다양체로 간주한다.

## 연산

### 곱공간
임의의 두 푸아송 다양체 
이는 푸아송 다양체의 범주의 곱이다. 특히, 사영 사상
역시 푸아송 사상을 이룬다.

### 분리합집합
임의의 푸아송 다양체들의 집합  위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 쌍대곱이다.

### 시작 대상과 끝 대상
푸아송 다양체의 범주의 시작 대상은 공집합 에 대하여 유일한 두 함수
는 각각 푸아송 사상을 이룬다.

### 망각 함자
푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다.
반대로, 매끄러운 다양체에 값이 0인 상수 함수 푸아송 괄호를 부여하는 다음과 같은 포함 함자 역시 존재한다.
그러나 이는 망각 함자와 수반 함자 관계를 갖지 않는다.

모든 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주 는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다.

## 분류

### 심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현
푸아송 다양체 의 **심플렉틱 실현**은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다.

### 심플렉틱 잎
푸아송 다양체 라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
다시 말해, 푸아송 다양체를 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 여길 수 있다. 심플렉틱 잎의 포함 사상은 항상 푸아송 사상이다.

### 국소 구조
의 충분히 작은 근방에 다음과 같은 국소 좌표계
를 항상 찾을 수 있다.
즉, 이는 국소적으로 어떤 는 표준적으로 주어지지 않는다.) 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조의 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.

푸아송 다양체 에서, 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 리 대수
의 부분 리 대수
의 다음과 같은 리 대수 아이디얼을 생각할 수 있다.
이에 따라, 공변접공간
위에 리 대수 구조가 주어진다. 이에 따라, 접공간  근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다.

## 예

### 자명한 푸아송 다양체
임의의 매끄러운 다양체 에 해당한다. 리 준대수로서, 이는 아벨 리 준대수에 해당한다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 한원소 공간들이다.

### 2차원 이하 푸아송 다양체
매끄러운 다양체  위의 임의의 반대칭 차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.

1차원 이하의 경우 반대칭 차 텐서는 0 밖에 없으며, 이 경우 각 점이 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.

2차원 푸아송 다양체 의 심플렉틱 잎들은 다음과 같다.

### 심플렉틱 다양체
심플렉틱 다양체 가 주어졌을 때, 푸아송 괄호
를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 의 연결 성분들이다.

### 선형 푸아송 다양체
유클리드 공간 는 푸아송 다양체를 이룬다.

실수 선형 변환 의 적절한 기저
및 그 쌍대 기저
에 대하여,
가 되게 할 수 있다. 이 경우, 에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각
에 대하여
의 꼴이다. 특히, 만약 일 경우 이는 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

### 리 대수의 쌍대 공간
유한 차원 실수 리 대수 에 대하여,
여기서
이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 **리-푸아송 구조**라고 한다.

리 지수 사상에 따라 에 대한 궤도에 해당한다. 이를 **쌍대딸림표현 궤도**라고 한다.

예를 들어, 에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.
즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다.

### 리 대수의 족
실수 
만약 와 같다.

이 족을 다음과 같이 푸아송 다양체로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간
위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 주자.
그렇다면, 이는 푸아송 구조를 이룬다.

이 위에는 다음과 같은 두 카시미르 함수가 존재한다.
이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 두 함수의 값의 원상으로 정의된다. 즉,
의 꼴이다. (다만 일부 경우 이는 연결 성분 또는 특이점으로 인해 추가로 분해될 수 있다.) 구체적으로 이들은 다음과 같다.

### 국소 선형 모형
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면,
를 정의할 수 있다. 주접속의 정의에 따라, 이는  위의 오른쪽 군 작용에 대하여 불변이다. 따라서, 사영 사상
에 대한 당김을 통하여
를 정의할 수 있다. 이는 -불변 근방
에서 비퇴화 이차 형식을 정의한다. 즉, 이는  (그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다.)

이 푸아송 다양체를 주다발

## 역사
시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다. 이 개념은 물리학에서 비롯되었다. 고전 역학에서, 해밀턴 계를 정의하려면 사실 심플렉틱 다양체 대신 푸아송 다양체의 구조만으로 족하다. 즉, 어떤 해밀토니언 함수  위의 1차 상미분 방정식을 정의하며, 이는 고전 역학의 해밀턴 방정식(의 일반화)이다.