**양자수**는 양자계를 묘사하기 위해 쓰이는 수다. 양자화되어, 대개 정수거나 반정수(half-integer)다. 많은 경우 원자 안에서의 전자의 에너지 등을 묘사하며, 그 외에도 각운동량이나 스핀 등에 대한 정보를 담기도 한다.

## 네 가지 양자수
전자를 완전히 설명할 수 있는 양자수에는 총 네 가지가 있다.

파울리의 배타원리에 따르면 4개의 양자수로 결정되는 하나의 양자적 상태에는 단 하나의 전자만 들어갈 수 있다. 이것은 일반적으로 반정수 스핀의 페르미온(전자 등)에는 적합하지만, 정수 스핀의 보존입자(광자 등)에는 적합하지가 않다.

## 원자 안의 홑전자
원자 안의 홑전자를 묘사하는 양자수는 주기율표와 원자가 등의 화학적 현상의 뒤에 숨은 원인일 뿐만 아니라 기초 양자역학의 연습 문제로서도 난이도가 적절하여 많은 교재에 나타난다.

비상대론적 양자역학에서 이 계의 해밀토니언은 전자의 운동 에너지 및 원자핵과의 사이에 작용하는 정전기력으로 인한 위치 에너지로 이루어져 있다. 운동 에너지는 원자핵을 중심으로 하는 회전에 의한 각운동량 **J**와 나머지로 나눌 수 있다. 여기에서 위치 에너지는 구면 대칭을 이루므로 전체 해밀토니언은 **J**로 쓴다)와 교환한다.

### 설명
예를 들어, 세슘(Cs)원자의 가장 외곽에 존재하는 원자가전자는 6번째 에너지 준위를 가지는 전자껍질에 존재한다. 따라서 세슘원자의 전자가 가질 수 있는 n값 즉, 주양자수는 1에서 6까지의 자연수이다. 그러므로 주양자수는 전자와 원자핵 사이의 거리 (즉 극좌표계상의 r)에 의해서만 변화한다. 평균거리는 과 함께 증가하며, 따라서 서로 다른 주양자수를 가지는 양자상태는 서로 다른 전자껍질에 속한다고 생각된다.

주양자수는 양자수n로 전자의 에너지를 결정한다. 양자수가 n인 궤도함수의 전자는 의 에너지를 가진다. 주양자수 n은 l의 최대치를 제한한다. 주양자수가 동일한 궤도함수들은 원자의 한 껍질을 이룬다고 말한다. 주양자수가 n인 껍질 속에는 n^2개의 궤도함수가 들어 있다. n이 무한대가 되면 사다리의 꼭대기에 도달하고, E=0으로 핵에서 떨어져 나가는데, 이 과정을 이온화라고 한다.

)은 **각 양자수** 또는 **궤도 양자수**라고도 알려져 있는데, 이는 오비탈의 각운동량을
의 관계로 묘사한다. 화학과 분광학에서, “)에서 나오고, 그런 식으로 뒤에도 반복되기 때문이다.

0…으로 시작하는 양자수는 원자의 세 번째 전자껍질에 있는 s 오비탈 속의 전자를 묘사하는 것이다. 화학에서 방위 양자수는 매우 중요한데, 이는 원자 오비탈의 모양을 결정하고 또한 화학 결합이나 결합 각에 굉장히 많은 영향을 주기 때문이다.
의 값이 존재하게 된다.
s오비탈의 경우 어느 방향에서 보든 완전대칭이기 때문에 자기양자수는 0밖에 없는 반면, p, d, f 등의 오비탈은 자기양자수가 여러 개이기 때문에 공간상에서 다양한 형태로 분포해있는 오비탈을 발견할 수 있다. 보통은 공간상에서 방향이 서로 달라도 같은 방위 양자수를 가지는 오비탈들은 에너지 준위가 같지만, 주위에 강한 전기장이나 자기장이 존재하게 될 경우 방향에 따라 오비탈의 에너지 준위가 달라지게 된다.

자기 스핀 양자수는 주어진 입자의 각 운동량을 나타내는 양자수이며 s자로 표기된다. 양자화된 각운동량으로서 스핀양자수는 다음의 식을 포함한다.

여기서 S 양자화된 스핀벡터, )은 다음의 식으로 표현된다.

여기서

## 총 각운동량 양자수

### 입자의 총 운동량
스핀-궤도 상호작용을 고려할 때, L과 S연산자는 더 이상 해밀토니안 오퍼레이터와 교환법칙이 성립하지 않는다. 그리고 그 고유값은 시간에 따라 변화하기 때문에 다른 양자수 체계를 사용해야한다. 이 양자수들은 다음과 같다.

 총 각운동량 양자수:
이 식을 통해 총 각운동량을 다음 관계식으로 표현할 수 있다.

예를 들어, 다음의 양자수들에 의한 8가지 상태를 생각해보면

계에서의 양자 상태는 이 여덟 가지 상태의 선형결합으로 나타낼 원자 안의 홑전자를 묘사하는 양자수는 주기율표와 원자가 등의 화학적 현상의 뒤에 숨은 원인일 뿐만 아니라 기초 양자역학의 연습 문제로서도 난이도가 적절하여 많은 교재에 나타난다.

비상대론적 양자역학에서 이 계의 해밀토니언은 전자의 운동 에너지 및 원자핵과의 사이에 작용하는 정전기력으로 인한 위치 에너지로 이루어져 있다. 운동 에너지는 원자핵을 중심으로 하는 회전에 의한 각운동량 **J**와 나머지로 나눌 수 있다. 여기에서 위치 에너지는 구면 대칭을 이루므로 전체 해밀토니언은 **J**로 쓴다)와 교환한다.

### 설명
예를 들어, 세슘(Cs)원자의 가장 외곽에 존재하는 원자가전자는 6번째 에너지 준위를 가지는 전자껍질에 존재한다. 따라서 세슘원자의 전자가 가질 수 있는 n값 즉, 주양자수는 1에서 6까지의 자연수이다. 그러므로 주양자수는 전자와 원자핵 사이의 거리 (즉 극좌표계상의 r)에 의해서만 변화한다. 평균거리는 과 함께 증가하며, 따라서 서로 다른 주양자수를 가지는 양자상태는 서로 다른 전자껍질에 속한다고 생각된다.

주양자수는 양자수n로 전자의 에너지를 결정한다. 양자수가 n인 궤도함수의 전자는 의 에너지를 가진다. 주양자수 n은 l의 최대치를 제한한다. 주양자수가 동일한 궤도함수들은 원자의 한 껍질을 이룬다고 말한다. 주양자수가 n인 껍질 속에는 n^2개의 궤도함수가 들어 있다. n이 무한대가 되면 사다리의 꼭대기에 도달하고, E=0으로 핵에서 떨어져 나가는데, 이 과정을 이온화라고 한다.

)은 **각 양자수** 또는 **궤도 양자수**라고도 알려져 있는데, 이는 오비탈의 각운동량을
의 관계로 묘사한다. 화학과 분광학에서, “)에서 나오고, 그런 식으로 뒤에도 반복되기 때문이다.

하지만, 스핀-궤도 상호작용이 있을 때, 같은 계를 같은 계를 해밀토니언의 고유벡터로 여덟 가지 상태를 기술하려면, 우리는 다음의 여덟 가지 상태를 고려해야한다.

### 핵의 각운동량 양자수
원자핵에서, 양성자와 중성자 전체는 주로 I로 표시하는 각각의 핵자들의 각운동량에 의해서 합성 각운동량을 갖는다. 만약 중성자의 총 각운동량이 ''j'' = L + ''s''(중성자와 양성자의 s가 다시 1/2이 되는 경우)이면 핵의 각운동량 양자수(I)는 다음과 같이 주어진다.

핵의 각운동량 양자수와 반전성은 핵의 각운동량 상태를 나타내기 위해 쓰인다. 예를 들어 수소(H)와 탄소(C), 나트륨(Na)의 동위원소는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

하나만의 핵자에서도 핵의 각운동량 양자수 I에서 유별난 요동이 일어나는 이유는 양성자와 중성자가 짝수를 이루거나 홀수를 이루기 때문인데, 핵자가 서로 짝을 이루는 경우 총 각운동량이 0(오비탈의 전자쌍의 총 각운동량이 0이듯)이 되며, 이때 홀수 개 또는 짝수 개의 짝을 이루지 않은 핵자가 남는다.

핵스핀의 특성은 외부자기장과 상호작용하는 핵자기 모멘트 때문에 유기화학의 핵자기 공명 분광학과 핵의학의 MRI에서 중요한 요소로써 쓰인다.

## 기본 입자
기본 입자는 일반적으로 그들의 고유 특징이라 생각되는 양자수를 가진다. 하지만 기본 입자는 입자 물리학의 표준모형의 양자 상태이고, 따라서 보어 원자의 양자수와 해밀토니언 사이와 같은 관계를, 기본 입자의 양자수와 이 모델의 해밀토니언이 가진다. 이는 다른 말로, 각각의 양자수는 이 문제의 대칭성을 보여준다는 것이다. 시공간과 내부대칭을 구별하는 것은 양자장론이 더 유용하다.