수학에서 **실해석학** 또는 **실변수함수론**은 실수와 수열, 실수의 급수, 실함수 등을 다루는 해석학의 한 분야이다. 특히 실함수 및 실수열의 수렴, 극한, 연속성, 매끈함, 미분 가능성, 적분 가능성 등을 다룬다.
실해석학은 복소수와 복소함수 등을 다루는 복소해석학과는 구별된다.

## 범위

### 실수의 구성
실해석학의 정리들은 실수 체계의 성질을 기반으로 하기 때문에, 실수를 어떻게 구성할 것인가는 중요한 문제이다. 실수 체계는 비가산 집합( 등)와 구별되는 실수의 고유한 성질로서 실함수의 성질 등을 증명하는 데에 핵심적인 역할을 한다. 실수의 완비성은 주로 상한 공리를 이용하여 나타낸다.

### 실수의 순서 성질
실수는 복소수와는 달리 격자의 성질을 가지며, 또 양수들의 합이나 곱이 양수가 되는 순서체를 이룬다. 실수는 전순서 집합으로, 다음의 최소 상계 성질을 가진다.

이러한 실수의 성질은 단조 수렴 정리와 중간값 정리, 평균값 정리 같은 실해석학의 기본 정리들의 증명에 근간이 된다.

### 실수의 위상적 성질
실해석학의 많은 정리들은 실직선의 위상적 성질로부터 기인한다. 위의 실수의 순서 성질 또한 위상적 성질과 밀접하게 연결되어 있다. 위상 공간으로서 실수는, 순서 뿐만 아니라 다른 일반적인 위상 공간에 대해서도 증명할 수 있다.

### 수열
**수열**이란 가산인 전순서 집합을 정의역으로 가지는 함수이다. 정의역은 보통 자연수로 주어지지만, 음수를 포함하는 정수를 정의역으로 가지는 양방향 수열을 사용하는 경우도 있다.

실해석학에서 다루는 개념인 **실수열**(영어: real-valued sequence)은 자연수를 정의역으로 가지는 사상 으로 바꾼 경우에도 성립할 때 각각 **강한 단조 증가** 또는 **강한 단조 감소**라 한다.

수열 의 **부분수열**이라 한다.

### 극한과 수렴
간단하게 말하면, 변수나 지표가 특정 값에 다가갈 때(함수나 수열이 한도 없이 증가 또는 감소할 때는 에 다가간다고 할 수도 있다.) 함수 또는 수열이 점점 "가까워지는" 값을 **극한**이라고 한다. 극한은 미적분학(넓게는 해석학)에서 중요한 개념이며 연속, 미분, 적분과 같은 개념들을 정의하기 위해서 극한의 엄밀한 정의가 사용된다.

함수에서 극한이라는 개념은 17세기 말 뉴턴과 라이프니츠가 무한소 미적분학을 정립하면서 도입하였다. 수열의 극한 개념은 라이프니츠가 도입하였으며, 이후 19세기 말 볼차노와 바이어슈트라스가 다음의 엡실론-델타 논법을 이용하여 보다 엄밀하게 정의하였다.

**정의.** 이라 쓴다.

위의 정의는 다음과 같이 이해할 수 있다. 가 존재할 수 있다.

함수의 극한처럼, 에 대해서도 극한 개념을 적용할 수 있다.

**정의.** 이 **발산한다**고 한다.

수열에서의 극한의 정의를 약간 변형하여 실함수에 대해서 일반화하면 내에 존재한다고 생각하면 된다.

두 극한의 연산 순서가 서로 바뀔 때, 점별 수렴인지 균등 수렴인지 구별하는 것이 중요할 때가 있다. 보통 실해석학의 많은 정리들에서는 연산 순서가 바뀌어도 성립하기 위해 균등 수렴이 조건으로 붙는 경우가 많다. 예를 들어 연속 함수들로 이루어진 수열이 균등 수렴이라면 수렴 함수가 연속이지만, 점별 수렴인 경우 연속이 아닐 수 있다.

### 콤팩트성
콤팩트성은 실해석학의 많은 정리들에서 중요한 역할을 하는 일반위상수학의 개념이다. 콤팩트성의 성질은 닫힌 유계 집합의 개념을 일반화한 것으로, 특히 실해석학에서 유클리드 공간에서는 집합이 콤팩트인 것과 닫힌 유계인 것이 동치이다. 여기서 닫힌 집합은 모든 경계점들을 포함하는 집합이고, 유계 집합은 임의의 두 점 사이의 거리가 와 같은 집합은 유계이기는 하나 경계점인 0을 포함하지 않기 때문에 콤팩트가 아니다.

실수의 부분집합에 대해서는, 콤팩트와 동치인 몇 가지 정의가 있다.

**정의.** 집합 가 닫힌 유계라면, 콤팩트이다.

이 정의는 모든 차원의 유클리드 공간 에 대해서 성립하지만 일반적인 거리 공간에 대해서는 만족하지 않는다. 하이네-보렐 정리에 의하면 닫힌 유계를 이용한 정의는 후술할 부분덮개를 이용한 정의와 동치이다.

모든 거리 공간에 대한 보다 일반적인 콤팩트의 정의는 부분수열 개념을 사용한다.

**정의.** 거리 공간에서의 집합 는 콤팩트이다.

위와 같은 성질을 점렬 콤팩트성이라고 한다. 에서는 집합이 점렬 콤팩트인 것과 닫힌 유계인 것이 동치이다. 점렬 콤팩트성을 이용한 정의는 거리 공간에서는 부분덮개를 이용한 정의와 동치이나, 일반적인 위상 공간에서는 성립하지 않는다.

위상 공간(따라서 거리 공간과 의 열린 덮개로 가지는 것이 가능할 때, 유한 부분덮개를 가진다고 한다.

**정의.** 위상 공간에서의 집합 는 콤팩트이다.

콤팩트 집합은 수렴이나 연속같은 성질에서 조화를 이룬다. 예를 들어 임의의 코시 수열은 콤팩트 거리 공간에서 수렴한다. 또 연속 사상에서 콤팩트 거리 공간의 상 또한 콤팩트이다.

### 연속
실수 집합에서 실수 집합으로 사상하는 함수는 데카르트 좌표계에서 그래프로 나타낼 수 있다. 함수가 연속이라는 것은, 간단하게 말해서 함수의 그래프가 '구멍'이나 '도약' 없이 하나로 이어진 곡선이라는 것이다.

연속을 수학적으로 엄밀하게 정의하는 방법에는 여러 가지가 있다. 각 정의마다 일반적으로 정의 가능한 대상이 달라질 수 있는데, 두 가지 이상의 정의가 적용 가능한 경우 보통 두 정의가 서로 동치임을 보일 수 있다.

아래의 정의에서 가 공집합이나 원소를 한 개만 갖는 집합이 되는 경우를 제외한다.

**정의.** 비퇴화 구간 를 **연속 함수**라고 한다.

에 대한 정의는 아래와 같다.

**정의.** 를 **연속 함수**라고 한다.

위 정의를 따르면 에서 자명하게 연속이다. 이러한 다소 비직관적인 결론은 더 일반적인 위상 공간 위에서의 사상의 연속의 정의와 일맥상통하기 위해 필수적이다. 아래는 위상 공간에서의 연속의 정의로, 실해석학의 범위를 다소 벗어난다.

**정의.** 를 **연속 함수**라고 한다.

(여기서 의 역상이다.)

#### 균등 연속
**정의.** 에서 **균등 연속**이라고 한다.

에서의 균등 연속과 같은 것은 없다.

콤팩트 집합을 정의역으로 갖는 연속 함수는 균등 연속임을 보일 수 있다. 반면 가 되도록 할 수 있으므로 이 함수는 연속이지만 균등 연속이 아니다.

#### 절대 연속
**정의.** 에서 **절대 연속**이라고 한다.

위에서 n=1이면 연속의 정의에 해당하므로 절대 연속인 함수는 연속이다. ''I''에서 절대 연속인 모든 함수들의 집합은 AC(''I'')로 표기한다. 절대 연속은 르베그 적분에서 중요하게 쓰이는 개념으로, 일반화된 미적분학의 기본정리를 르베그 적분에 대해 적용할 수 있도록 해준다.

### 미분
함수의 미분 또는 미분 가능성이라는 개념은 '가장 최선의' 선형 근사를 이용해 함수를 근사한다는 개념에서 비롯되었다. 이러한 선형 근사는, 만약 존재한다면, 주어진 점 에서의 미분계수인 직선으로 유일하게 주어진다.

함수 에 대해 다음의 극한
이 존재할 때 **의 **미분**(또는 **도함수**)라고 한다. 모든 점에서 도함수가 존재할 때 함수를 **미분 가능**하다고 한다.

에서 연속이다. 따라서 미분 가능성은 연속보다 강한 조건이며(미분은 함수의 '매끄러움'을 나타내는 조건이라고 볼 수 있다.), 모든 점에서 연속이면서 모든 점에서 미분 불가능한 함수가 존재할 수도 있다.(바이어슈트라스 함수 참고) 도함수의 도함수를 계속해서 구하는 식으로 고계 도함수를 정의하는 것도 가능하다.

각 함수는 미분 가능성에 따라 클래스를 분류할 수 있다. 클래스 의 진부분집합이다(매끄럽지만 비해석적인 함수의 예로는 범프 함수가 있다.).

### 급수
급수란 무한히 나열된 수들의 합을 구한다는 개념을 엄밀하게 정의한 것이다. 무한히 많은 수들을 더한 값이 유한한 값이 될 수 있다는 사실은 고대 그리스인들에게 비직관적으로 보였고, 제논과 같은 철학자들은 이와 관련해 많은 역설들을 남겼다. 현대에 이르러서는 무한히 많은 수들을 더한다는 다소 모호한 개념 대신 급수에 값들을 부여한다는 개념을 사용한다. 구체적으로는 첫 이 무한히 커질 때 이 부분합들로 이루어진 수열이 수렴한다면 이 수렴하는 값을 급수로 정의한다.

(무한) 수열 으로 정의한다.

여기서 '합'이란 부분합들로 이루어진 수열의 극한을 의미하는 비유적인 개념으로 이해해야 하며, 단순히 무한히 많은 수들을 '더하는' 개념으로 오해해서는 안 된다. 일례로 유한 수열의 합과는 달리 무한 급수는 각 항들의 더하는 순서를 바꾸면 수렴값이 달라질 수 있다(리만 재배열 정리 참고).

다음의 기하급수는 수렴하는 급수의 예시이며, 제논의 역설 등이 이 원리를 이용하였다.

반면 다음의 조화급수는 중세 시대 때부터 발산한다는 사실이 알려져 있었다.

(위에서 ''은 급수의 부분합이 무한히 커진다는 것을 의미한다.)

급수 이 수렴할 때 **절대 수렴**한다고 한다. 절대 수렴하는 급수가 수렴함은 쉽게 보일 수 있다. 반면 다음과 같은 급수는 수렴하지만 절대 수렴하지는 않는다.

#### 테일러 급수
실함수 또는 복소함수 ''ƒ''(''x'')가 ''a''에서 매끄러울 때 ''a''에서 ''f''(''x'')의 테일러 급수는 다음의 멱급수

이다. 이는 또한 시그마 기호를 사용해

로 나타낼 수도 있다. 여기서 ''n''!은 ''n''의 팩토리얼이고 ''ƒ''과 0!은 1로 정의된다. ''a'' = 0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라 부른다.

''a''에서 ''f''의 테일러 급수는 발산할 수도, ''a''에서만 수렴할 수도, 의 테일러 급수가 그 근방에서 함수로 수렴하면 함수가 해석적이라 한다. 해석 함수는 많은 중요한 성질을 갖고 있는데, 특히 해석적인 실함수는 복소함수로 자연스럽게 확장할 수 있다. 지수 함수와 로그 함수, 삼각함수 및 그 역함수들은 모두 이러한 방법을 통해 복소수로 확장할 수 있다.

#### 푸리에 급수
푸리에 급수는 주기함수나 주기적인 신호를 사인함수나 코사인함수(또는 복소지수)와 같은 단순 진동함수들로 분해하는 데에 사용한다. 푸리에 급수는 해석학의 하위 분야인 푸리에 해석에서 핵심적으로 다루는 개념이다.

### 적분
**적분**이란 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이나 곡선의 길이, 표면으로 둘러싸인 공간의 부피 등을 구하는 데에 쓰이는 개념이다. 고대 그리스와 중국에서는 이런 값들을 구하기 위해 실진법(영어: method of exhaustion)을 이용하였다. 이 방법은 주어진 영역에 내접하는 다각형과 외접하는 다각형의 넓이를 계산하여 구하고자 하는 넓이를 근사하는 것으로, 점점 더 작은 조각들을 영역 내부와 외부에 계속해서 덧붙여 나가면 두 값이 주어진 영역의 넓이로 수렴하는 원리에 기초한다.

리만 적분을 정의할 때도 실진법의 원리를 이용하는데, 점점 더 작은 직사각형 조각(이를 '세분'이라 한다.)으로 영역을 쪼갤 수록 리만(또는 다르부) 상합과 하합이 동시에 특정 값으로 수렴할 때 적분이 존재한다고 한다. 리만 적분보다 좀 더 복잡하기는 하지만 르베그 적분도 비슷한 개념을 사용하여 적분을 정의한다. 리만 적분과 달리 더 정교한 르베그 적분을 이용하면, 넓이를 정의할 수 있는 가측 집합이 아닌 경우를 제외하면 복잡하고 비정규적인 유클리드 공간 집합의 넓이도 계산할 수 있다.

#### 리만 적분
리만 적분은 어떤 구간의 분할이 주어졌을 때 함수의 리만 합을 이용하여 정의할 수 있다. 는 아래의 유한 수열

이다. 의 리만합을

으로 정의한다. 여기서 의 **리만 적분**이라 한다.

리만 적분은 로 표기하기도 한다. 각 구간에서 함숫값이 최대(또는 최소)가 되는 점을 선택했을 때의 리만 합을 **다르부 상합**(또는 **다르부 하합**)이라 한다. 충분히 작은 노름에 대해 다르부 상합과 하합의 차가 임의의 값보다 작아질 수 있으면 함수를 **다르부 적분가능**하다고 한다. 다르부 적분가능은 리만 적분가능과 동치로, 함수의 다르부 적분과 리만 적분 값은 같다. 미적분학 및 해석학 교재에서는 다르부 적분과 리만 적분의 정의를 혼용해서 사용하는 경우가 많다.

미적분학의 기본정리에 의하여, 특정 조건 하에서 미분과 적분은 서로 역연산 관계에 있다.

#### 르베그 적분과 측도
**르베그 적분**은 더 많은 종류의 함수 및 더 다양한 종류의 정의역에 대해 적분을 정의할 수 있게 해 준다. 또 길이와 넓이, 부피 등을 일반화한 개념인 **측도**를 사용한다.

### 분포
**분포**(또는 **일반화된 함수**)란 함수를 일반화한 것이다. 분포를 사용하면 기존에 미분 불가능했던 함수를 미분할 수도 있다.

## 주요 정리
실해석학의 주요 정리들로는 볼차노-바이어슈트라스 정리, 하이네-보렐 정리, 중간값 정리, 평균값 정리, 테일러 정리, 미적분학의 기본정리, 아르젤라-아스콜리 정리, 스톤-바이어슈트라스 정리, 파투 보조정리, 단조 수렴 정리, 지배 수렴 정리 등이 있다.