기하학에서 **곡선 좌표계**는 유클리드 공간에 대한 좌표 시스템의 하나로서, 좌표 라인들이 휘어질 수도 있다는 특징을 갖는다. 널리 사용되는 곡선 좌표계들로는, 직각, 구, 및 원통 좌표계들이 있다. 이들 곡선 좌표계에서의 좌표들은 각 점에서의 국소적으로 가역적인(일대일 맵핑이 가능한) 변환을 통해 데카르트 좌표들의 집합으로부터 얻을 수 있다. 즉, 데카르트 좌표계에서 주어진 한 점의 좌표들은 곡선 좌표들로 변환될 수 있고 그 반대로도 변환될 수 있다. (프랑스의 수학자 Lamé가 이름 붙인) ''곡선 좌표계''는 그것의 좌표 표면들이 휘어져 있다는 사실에서 유래되었다.

3차원 유클리드 공간 (**R**)에서의 잘 알려진 곡선 좌표계의 예들로는, 데카르트, 원통, 및 구 극좌표계들이 있다. 이 공간에서, 데카르트 좌표 표면은 좌표 평면(coordinate plane)이다. 예를 들어, z = 0은 x-y 평면을 정의한다. 같은 공간에서, 구 극 좌표계에서, r = 1인 좌표 표면은 (휘어진 모양을 갖는) 단위 구의 표면이다. 곡선 좌표계의 정식화는 표준적인 좌표계들에 대한 통일적이면서 일반적인 설명을 제공한다.

곡선 좌표들은 종종  물리량들의 위치 또는 분포를 정의하는 데 사용된다.  벡터 계산 및 텐서 해석에서, 이러한 양들과 관련된 수학 표현들은 스칼라, 벡터, 및 텐서에 대한 변환 규칙에 따라, 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환될 수 있다. 그러한 표현들은 어떠한 곡선 좌표계에 대해서도 유효해진다.

문제에 따라서는, 곡선 좌표계를 사용하는 것이 데카르트 좌표계를 사용하는 것보다 간단할 수 있다. 예를 들어, **R**에서 정의되는 구 대칭성을 갖는 물리 문제(예 : 중심력 하에서의 입자의 운동)는 대부분 데카르트 좌표계에서보다 구형 극 좌표계에서 더 쉽게 풀린다. (그 경계 조건이 특정 곡선 좌표 시스템의 좌표 표면을 따라 주어지는) 방정식들은 그러한 곡선 좌표 시스템에서 보다 쉽게 풀린다. 예를 들어, 직사각형 상자 안에서의 입자의 운동은 직교 좌표계에서 기술하는 것이 편하고, 구 내부에서의 입자의 운동은 구 좌표계에서 기술하는 것이 선호된다. 구 좌표계는 지구 과학, 지도 제작, 물리학, 및 공학과 같은 분야에서 가장 많이 사용되는 곡선 좌표계들 중의 하나이다.

## 3차원에서의 직교하는 곡선 좌표계

### 좌표, 기저, 및 벡터
일단은 3차원 공간부터 고려해보자. 3차원 공간에서 한 점 ''P'' (또는 그것의 위치 벡터 **r**)은 데카르트 좌표들  [또는 (''x''는 표준 기저 벡터들(standard basis vectors)이다.

그 점은 **곡선 좌표들**(''q'')이 애매함이 없는 방식으로 그 점을 정의하기만 한다면). 좌표들 사이의 이러한 관계는 아래의 가역적 변환 함수들을 통해 표현될 수 있다.

''q''

점 ''P''에서 곡선 좌표계에 대해 동일한 미분을 적용하면, 다음과 같이, 자연 기저 벡터들(natural basis vectors)을 정의할 수 있다:

\mathbf{h}_2 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_2}; \;
\mathbf{h}_3 = \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_3}.

(벡터들의 크기와 방향이 공간 상의 점마다 달라지지는) 이러한 기저는 **국소 기저**라고 불린다. 곡선 좌표계들과 연관된 모든 기저들은 필연적으로, 국소적이다. (모든 점들에서 동일한) 기저 벡터들은 **전역 기저들**이며, 단지 선형 또는 어핀 좌표계들(linear or affine coordinate systems)과 관련된다.

**이러한 기저 벡터들은 ''P'' 의 위치에 의존하며, 따라서, 이들이 (점이 아니라) 어떤 영역에서 상수인 것으로 가정되지는 않는다는 것을 유념해야 한다**. 

일반적으로, 곡선 좌표계들은 자연 기저 벡터들 **h** 이 상호 간에 서로 수직하지 않은 것도 허용하며, 그들이 단위 길이일 것을 요구하지도 않는다. 즉, 이들은 임의의 길이와 방향을 가질 수도 있다. 직교하는 기저가 사용될 경우, 비직교 기저가 사용되는 경우에 비해, 벡터들은 더 단순하게 다뤄질 수 있다. 하지만, 물리학 및 공학의 일부 분야들에서는, 변형 및 유체 이동을 기술하기 위해, 물리량들의 복잡한 방향 의존성들을 설명 설명하기 위해, 비직교 기저들이 요구되기도 한다.

## 벡터 계산(Vector calculus)

### 미분 요소들(Differential elements)
직교하는 곡선 좌표계에서, **r**에 있어서의 전체 미분 변화는 아래와 같고,

여기서, 는 스케일 인수들이다.

비직교 좌표계에서, '')을 갖는다.

## 공변 및 반변 기저들
[2] 코벡터 기저 또는 코-기저(cobasis) (****)에 대한 법선 벡터들에 의해 표현된다.

직교 좌표계가 아니라면, 기저 및 코-기저가 일치하지 않는다는 것을 주목할 것.]]
공간 그래디언트, 거리, 시간 미분, 및 스케일 인수들은 기저 벡터들의 두 그룹들에 의해, 하나의 좌표계 내에서 상호 연관된다:

은 (아래 첨자들을 통해 표기되는) 공변 벡터들처럼 변환한다. 또는,|다른 좌표들에 의해 만들어진 등위면(isosurface)에 국소적으로 수직한 기저 벡터들:

은 (위 첨자에 의해 표기되는) 반변 벡터처럼 변환한다. 여기서, ∇는 델 연산자이다.}}
결과적으로, 일반적인 곡선 좌표계는, 모든 점들에 대해, 두 종류의 기저 벡터들의 세트들을 갖는다: {**b**}는 반변(또는 레시프로칼) 기저이다. 직교하는 곡선 좌표계에서, 공변 및 반변 기저 벡터들은 동일한 방향을 갖지만, 일반적으로, 서로에 대해 역수의 단위들을 갖는다.

아래의 중요한 등식을 주목할 것.

여기서, 은 일반화된 크로넥커 델타를 나타낸다.

미소 변위 에서의 상응하는 미소 변화의 크기들을 나타낸다고 하자.

체인 룰에 의해, dq

변위 d**r** 이 dq=const인 좌표 축을 따라 극미량 만큼 움직인다면, 그러면:

dq → 0의 극한을 취함으로써:

즉, 다시 말해:

이번에는, 변위 d**r** 이 dq=const인 좌표 축을 따라 극미량 만큼 움직인다면, 그러면:

dq → 0의 극한을 취함으로써:

즉, 다시 말해:

다른 내적에 대해서도 마찬가지이다.
벡터 **v**는 공변 및 반변 기저들 중의 어느 것을 통해서도 명기될 수 있다. 즉,

(아인슈타인 표기법이 사용하면) 기저 벡터들은 아래의 식들을 통해 그 성분들과 관련된다.

그리고

여기서, ''g''는 메트릭 텐서이다 (아래 참조).

벡터는  반변 좌표들을 사용하여 명기될 수 있다. 위 벡터 합들로부터, 반변 좌표들은 공변 기저 벡터들과 연관지어지고, 공변 좌표들은 반변 기저 벡터들과 연관지어지는 것을 알 수 있다.

공변하는 방식(또는 반변하는 방식)으로 변환하는 벡터 성분들은 반변하는 방식(또는 공변하는 방식)으로 변환하는 기저 벡터들과 쌍을 이루며, 이런 점에서, 인덱스된 성분들 및 기저 벡터들을 통한 벡터 및 텐서의 표현의 주요 특징은 ''불변성''이다.

## 공변 기저

### 1차원에서 공변 기저 만들기
도 3에 도시된 1차원 곡선을 고려하자. 원점으로 선택된, 점 ''P'' 에서, ''x''는 데카르트 좌표들 중의 하나이고, ''q''의 각도를 형성한다.

삼각형 ''PAB'' 로부터, 아래를 알 수 있다.

여기서, |**e**| 은 두 기저 벡터들의 크기들이다.

''PA''는 또한 ''x'' 축에 대한 **b**의 투영된 길이에 해당한다.

하지만, 방향 코사인을 사용하여 기저 벡터를 변환하는, 이 방법은 아래의 이유들 때문에, 곡선 좌표계들에는 적용될 수 없다:

점 P로 다가갈수록, ''q'' 라인 및 그 축이 x축과 이루는 각도들은 값에 있어서는 가까워지고, 특히, P에서는 정확하게 같아진다.

점 ''E'' 는, 거리 ''PE가'' 극한적으로 작아지도록(infinitesimally small), P에 아주 가깝게 위치한다고 하자. 그러면, ''q''와 거의 같아진다.

이러한 극한적으로 작은 길이들 ''PD'' 및 ''PE''를 각각 ''dx'' 및 d''q''로 표기하기로 하자. 그러면,

따라서, 변환들에서, 방향 코사인은 극한적으로 작은 좌표 길이들 사이의 보다 정확한 비율들로 대체될 수 있다. 이에 따라, x 축에 대한 **b**의 성분는 아래와 같다:

만일, ''q로서 쓰여질 수 있다. 즉, 그러한 비율들은 다른 좌표계에 속한 좌표들에 대한, 한 좌표계에 속한 좌표들의 편미분들이다.

### 3차원에서 공변 기저 만들기
다른 2개의 차원들에서의 좌표들에 대해 같은 과정을 수행함으로써, **b**

유사한 식들이 **b**

유사한 논거를 통해, 국소 기저로부터 표준 기저로의 역 변환도 얻을 수 있다:

 \mathbf{e}_1 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_1} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_1} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_1} \mathbf{b}_3 \\
 \mathbf{e}_2 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_2} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_2} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_2} \mathbf{b}_3 \\
 \mathbf{e}_3 & = \cfrac{\partial q^1}{\partial x_3} \mathbf{b}_1 + \cfrac{\partial q^2}{\partial x_3} \mathbf{b}_2 + \cfrac{\partial q^3}{\partial x_3} \mathbf{b}_3
\end{align}

역 변환(두번째 방정식 시스템)에서, 미지수들은 곡선 기저 벡터들이다. 특정한 위치에 대해서는, 단지 하나의 기저 벡터들의 세트 만이 존재할 수 있으며, 그렇지 않은 경우, 그 기저는 그 점에서 잘 정의된 것이 아니다. 이러한 조건은 상기 방정식 시스템이 단일 해를 갖는 경우 더 나아가 오직 그러한 경우에만, 충족된다. 선형 대수학에 따르면, 선형 방정식 시스템은 그 시스템의 행렬의 행렬식이 0이 아닐 경우에만, (무의미하지 않은; non-trivial) 단일 해를 갖는다:

위 식은 역-야코비안 행렬식과 관련된 위 요구 사항에 대한 근거를 보여준다.

## n 차원으로의 일반화
위 정식화는 아래와 같이 임의의 유한 차원으로 확장될 수 있다.

벡터 공간인, 실수 유클리드 n차원 공간(즉, **R** = **R** × **R** × ... × **R**(''n'' 번))를 고려하자. 여기서, **R**은 실수들의 집합이고, ×는 데카르트 곱(카르테시언 곱)(Cartesian product)을 나타낸다.

이 공간의 좌표들은 **x** = (''x'''')로 표기된다. 이것은 벡터(벡터 공간의 한 원소)이기 때문에, 다음과 같이 쓰여질 수 있다:

여기서, **e** 공간의 벡터들의 표준 기저 세트이고, ''i'' = 1, 2,...''n''는 인덱스-라벨링 성분들이다. 각 벡터는 각 차원(또는 "축")에서 정확하게 하나의 성분을 갖고, 이들은 서로 직교(수직)하며 정규화된다.

보다 일반적으로, 우리는, **q** = (''q''''를 곱함을 의미하는) 이러한 기저에서의 선형 조합으로서 확장될 수 있다:

새로운 기저에서 **v**를 기술하는 벡터 합은 비록, 그 합 자체는 동일하게 유지되더라도, 다른 벡터들로 구성된다.

## 좌표들의 변환
보다 일반적이면서 추상적인 관점에 따르면, 곡선 좌표계는, 미분가능한 다양체 **E**

이는 그러한 변환이 가역적(''x(**q**))임을 의미한다.

역함수 정리에 따르면, 야코비안 행렬식이 0이 아니라는 조건은 다른 패밀리들로부터의 세 표면들이 하나 단지 하나의 점에서 교차하고, 따라서 이 점의 위치는 일의적인 방식으로 결정할 수 있음을 나타낸다.}}

## 곡선 좌표계에서의 벡터 및 텐서 대수
곡선 좌표계에서의 기초적인 벡터 및 텐서 대수는 역학 및 물리학의 오래된 과학 문헌들에서 사용되며, 1900년대 초반 및 중반부터의 작업(Green과 Zerna의 교과서(아인슈타인 표기법 사용)

여기서 .

아래에 주어진, 위 식의 부분

은 곡선 좌표계에서 유클리드 공간의 **근본(또는 메트릭) 텐서**로 불리는, 대칭 텐서이다.

인덱스들은 위 메트릭을 이용하여 올려지거나 내려질 수 있다.

#### 라미 계수들과의 관계
스케일 인수들 ''h

여기서, ''h''는 라미 계수들이다. 이에 더하여, 직교 기저의 경우, 아래의 식을 얻을 수 있다.

#### 예: 극 좌표계
만일 **R**에서 극 좌표들이 고려된다면, 다음과 같다.

여기서, 는 곡선 좌표들이고, 변환  → 의 야코비안 행렬식은 ''r''이다.

직교하는 기저 벡터들은 **b**

이에 더하여, 아래의 관계가 보여질 수 있다.

 \mathcal{E}^{ijk} = \cfrac{1}{J}\varepsilon_{ijk} = \cfrac{1}{+\sqrt{g}}\varepsilon_{ijk}

여기서, 콤마는 편미분을 나타낸다(리찌 계산(Ricci calculus) 참조). ''g

여기서,

이기 때문에, 이를 사용하여 위에서의 관계들을 재배열하면, 아래의 식을 얻을 수 있다.

### 벡터 계산
곡선 좌표계에서 두 벡터들의 내적은|**외적:**
두 벡터의 외적은 다음과 같이 주어진다:
여기서
여기서  은 3차 얼터네이팅 텐서이다. }}

## 3차원 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산
선, 면, 및 부피 적분을 계산에 있어서, 약간의 수정이 가해질 필요가 있다. 단순함을 위해, 아래의 논의는 3차원 및 직교하는 곡선 좌표계들로 제한한다. 하지만, 동일한 논거는 n차원의 공간들에 대해서도 적용될 수 있다. 좌표계가 직교하지 않을 경우, 표현들에는 몇몇 부가적인 항들이 나타난다.

Simmonds일반적인 곡선 좌표계에서 벡터 및 텐서 계산은 일반 상대론에서의 4차원 곡면 다양체 상의 텐서 해석에, 휘어진 껍질들에서의 역학에, 메타물질에 대한 관심에서 맥스웰 방정식들의 불변성을 조사하는데에, 그리고 많은 다른 분야들에서 사용된다.

곡선 좌표계에서의 벡터들 및 2차 텐서들을 계산함에 있어서, 몇몇 유용한 관계들이 이 절에서 제시된다. 표기법 및 내용들은 주로 Ogden,에 기초한다.

φ = φ(**x**)는 잘-정의된 스칼라 장이고, **v** = **v**(**x**)는 잘-정의된 벡터 장이고, ''λ''...는 좌표들의 파라미터들이라고 하자.

### 기하학적 요소들
은 (체인 룰을 사용하면) 곡선 좌표계에서 ''C''에 대한 접선 벡터이다. 라미 계수에 대한 정의 및 ''i'' ≠ ''j''일 때의 메트릭 ''g'' = 0를 사용하면, 그 크기는 아래와 같다:

여기서, }}

### 미분
그래디언트, 발산, 및 라플라시안에 대한 표현들은 n차원으로 곧장 확장될 수 있지만, 회전에 대한 표현은 단지 3차원에서만 정의된다.

벡터 필드 **b**where **a** is an arbitrary constant vector. In curvilinear coordinates,

where  is the Levi-Civita symbol.

## 일반적인 곡선 좌표계에서 겉보기 힘들
[그것에 작용하는 힘이 없는] 입자가 관성 좌표계(''x''&nbsp;=&nbsp;0).

보다 일반적인 이러한 상황은 (회전하는 좌표계에서의 그리고 정지한 곡선 좌표계에서의) 원심력에 대한 개념들 사이의 대응 관계를 명확하게 만들어 준다. (이들 개념들 모두 문헌들에 종종 나타난다.) 단순한 예로, 각속력 W로 회전하는 극 좌표계에 대해, 반경 r의 원 상에서 각속력 w로 움직이는 질량 m인 물체를 고려해보자. 반경 방향에서의 운동 방정식은 ''mr''”&nbsp;=&nbsp;''F''이다. 결과 값들에서의 이러한 동일성의 이유는, 두 경우 모두에서, 입자의 위치에서의 기저 벡터들이 정확하게 동일한 방식으로 시간에 따라 변하기 때문이다. 따라서, 이들은 실제로는, 정확하게 동일한 것을 기술하는 두 다른 방법들일 뿐이다. 하나는 회전하는 좌표계를 통한 기술이고, 다른 하나는 정지한 곡선 좌표계를 통한 기술로서, 이 둘 모두는 그 항의 보다 추상적인 의미에 따라 비관성적이다.

일반적인 운동을 기술할 때, 입자에 작용하는 실제 힘들은 종종 운동 경로에 접하는 순간적인 접촉 원을 참조하게 되며, 통상적인 경우에서 이러한 원은 고정된 위치에 중심을 갖지 않으며, 따라서, 원심 및 코리올리 성분들로의 분해는 계속해서 변하게 된다. 이는 그러한 운동이 정지 또는 회전 좌표계를 통해 기술되는가에 상관없이 항상 유효하다.