**델타 함수**(δ distribution), 또는 **디랙 델타 함수**는 수학자 시메옹 드니 푸아송(1815)와 오귀스탱 루이 코시(1816)가 푸리에 적분 정리를 연구하면서 처음 고안하였다. 푸아송이 정의한 델타 함수는 다음과 같다:


이후 이론 물리학자 폴 디랙이 양자역학에서 자주 사용하여 유명해졌다. δ(x)와 같이 표기하며, 크로네커 델타의 연속함수화로도 볼 수 있다. 이 함수는 무한대를 값으로 가지기 때문에 실 함수나 복소 함수같은 일반적인 함수는 아니다. 현대에 디랙 델타는 측도 또는 함수 공간에서 정의된 선형 범함수로 정립되었다. 신호 처리 분야에서는 **임펄스 함수**라고 부른다. 이 함수는 다음과 같은 성질로 특징 지어 진다.

## 개요
디랙 델타의 그래프는 보통 x축 전체와 양의 y축을 따라간다고 생각된다 디랙 델타는 길고 좁은 스파이크 모양의 함수가 필요한 상황에 대표적인 함수로 쓰인다. 푸리에 변환 같은 적분 변환을 다룰 때 함수에서 한 점만 골라내고 싶을 때나, 이산 확률 분포의 확률 밀도 함수를 구할 때 쓰인다. 수학 외적인 응용에서 예를 들면 점전하, 점질량 또는 전자 등으로 인한 물리적 현상을 수학적으로 표현하는데 쓰인다. 일상과 가까운 내용을 이용하여 설명하기 위해, 당구공들이 충돌하는 상황을 역학적으로 보자. 이 때 당구공들은 아주 짧은 시간 동안 접촉한다. 이 때 가해지는 힘은 디랙 델타로 표현 할 수 있다. 이러면 더 간단한 방정식을 써서 풀 수 있게 될 뿐만 아니라, 원자 수준의 자세한 탄성 에너지를 고려 할 필요 없이 답을 얻을 수 있다.

조금 더 구체적으로 설명 하겠다. 당구공이 정지해 있다고 가정하자. 시각 이다.)

이 상황을 더 엄밀하게 모델링하기 위해, 대신 힘이 작은 시간 간격 에 걸쳐 균일하게 분포된다고 가정하자. 즉,

그런 다음 적분에 의해 언제든지 시각 ''t''에서 모멘텀을 찾을 수 있다:

이제, 모멘텀의 순간적인 전달의 모델 상황은 극한을 의 값을 얻는다:

여기서 함수들 은 모멘텀의 즉각적인 전달 아이디어에 대한 유용한 근사로 생각된다.

델타 함수를 사용하면 이러한 근사치의 이상적인 극한을 구성할 수 있다. 불행히도 함수의 실제 극한 (점별 수렴의 의미에서) 에 대해

가 극한에서 성립해야 한다. 따라서 방정식 에서, ''극한은 항상 적분 외부에서'' 취해진 것으로 이해된다.

응용 수학에서 델타 함수는 종종 함수열의 일종의 극한(약한 극한)으로 조작되며 각 원소는 원점에 큰 스파이크가 있다. 예를 들어, 분산이 0으로 수렴하는 원점을 중심으로 하는 가우스 분포함수들의 열이 있다.

디랙 델타는 최소한 영역과 범위가 실수인 일반적인 함수는 아니다. 예를 들어, 을 제외하고 모든 곳에서 동일하지만 적분이 다르다. 르베그 적분론에 따르면, 와 가 거의 모든 곳에서 인 함수들 이라면 가 적분이 가능하고 와 의 적분이 동일한 경우에만 도 적분 가능하다. 디랙 델타 함수를 엄밀하게 정의 하려면 측도론 또는 분포 이론이 필요하다.

## 역사
조제프 푸리에는 그의 논문 ''Théorie analytique de la chaleur''에서 현재 푸리에 적분 정리라고 불리는 것을 다음과 같은 형식으로 제시했다.

이것은 다음과 같은 형태로 

나중에 오귀스탱 코시는 지수 함수를 사용하여 이 정리를 표현했다.

코시는 일부 상황에서 적분 ''순서''가 이 결과에서 중요하다고 지적했다(푸비니 정리와 대조적이다).

분포 이론을 사용하여 엄밀히 증명된 것처럼, 코시 등식은 푸리에의 원래 공식과 유사하도록 재배열 될 수 있으며 

여기서  함수는 다음과 같이 표현된다.

지수 형식에 대한 엄밀한 해석과 그 적용에 필요한 함수 

추가적 발전에는 "Plancherel의 선구적인 ''L''

무한히 큰 단위 충격 델타 함수(코시 분포의 무한소 버전)에 대한 무한소 공식은 오귀스탱 루이 코시의 1827년 텍스트에 명시적으로 나타난다. 시메옹 드니 푸아송은 훗날에 구스타프 키르히호프가 했던 것처럼 파동 전파 연구와 관련하여 이 문제를 고려했다. 키르히호프와 헤르만 폰 헬름홀츠는 단위 충격를 정규 분포의 극한으로 도입했으며, 이는 켈빈의 점 열원 개념과도 일치한다. 19세기 말에 올리버 헤비사이드는 형식 푸리에 급수를 사용하여 단위 충격을 다루었다. 에서 소개했으며 그의 교과서 ''The Principles of Quantum Mechanics''에서 사용했다. 그는 그것을 불연속 크로네커 델타의 연속 아날로그로 사용했기 때문에 "델타 함수"라고 불렀다.

## 정의

### 순진한 정의
디랙 델타는 무한대 값을 가진 원점을 제외하고 모든 곳에서 0인 실직선 상의 함수로 대략적으로 생각될 수 있다.

또한 다음을 만족하도록 제한된다.

그러나 이것은 휴리스틱에 불과하다. 디랙 델타는 전통적인 의미의 함수가 아니다. 디랙 델타 함수는 분포 또는 측도로 엄격하게 정의될 수 있다.

### 측도론적 정의
디랙 델타 함수의 개념을 엄격하게 정의하는 한 가지 방법은 측도의 일종으로 정의하는 것이다. 측도는 집합에 길이, 넓이, 부피, ''에 대해

인 측도를 정의하고 이를 디랙 측도라고 한다.에 대해 다음을 충족한다.

측도 는 르베그 측도에 대해 절대 연속적이지 않으며, 특이 측도이다. 결과적으로 델타 측도에는 (르베그 측도과 관련하여)라돈-니코딤 도함수이 없다. 즉,

이 성립하는 함수가 없다. 결과적으로 후자의 표기법은 편리한 표기법 남용이며 표준(리만 또는 르베그) 적분법이 아니다.

이는 에 대한 누적 지표 함수 의 적분임을 의미한다.

후자는 이 구간의 측도 이다. 따라서 특히 연속 함수에 대한 델타 함수의 적분은 리만-스틸체스 적분으로 적절하게 이해될 수 있다. 

의 모든 고차 모멘트는 0이다. 특히 특성 함수와 모멘트 생성 함수는 모두 1과 같다.

### 분포론적 정의
분포론에서 일반화된 함수는 그 자체로 함수가 아니라 다른 함수에 대해 "적분"될 때 다른 함수에 미치는 영향에 대해서만 규정된다. 이에 따라 델타 함수를 적절하게 정의하려면 충분히 "좋은" **시험 함수** ''''에 대해 델타 함수의 "적분"이 무엇인지 말하는 것으로 충분하다. 시험 함수는 범프 함수라고도 한다. 델타 함수가 이미 측도값으로 이해된 경우 해당 측도값에 대한 시험 함수의 르베그 적분이 필요한 적분을 제공한다.

시험 함수의 일반적인 공간은 **''에 대해 }}로 정의된다.

''''이 있는 것이 필요하고 충분한다. 하나는 부등식이 있다.

여기서 ''는'' 차수가 0인 분포이다. 또한 콤팩트 지지가 포함된 분포이다(지지는 {0}임).

델타 분포는 여러 동등한 방법으로 정의할 수도 있다. 예를 들어, 델타 분포는 헤비사이드 계단 함수의 분포 도함수이다. 이는 모든 시험 함수 ''''에 대해

직관적으로 부분 적분이 허용된다면 후자의 적분은 다음과 같이 단순화되어야 한다.

그리고 실제로 스틸체스 적분에 대해 부분에 의한 적분의 형태가 허용되며, 이 경우 하나는 다음을 갖는다.

측도론의 맥락에서 디랙 측도는 적분에 의한 분포를 발생시킨다. 반대로 방정식 은 리츠 표현 정리에 의해 어떤 라돈 측도에 관한 ''''의 공간에 대한 다니엘 적분을 정의한다.

### 고차원 일반화
델타 함수는 ''''에 대해 다음과 같은 측도로 정의할 수 있다''.''

측도로서 ''|}}델타 함수는 1차원에서 위와 같이 정확하게 분포의 의미로 정의될 수도 있다. 그러나, 가 공학적 맥락에서 널리 사용됨에도 불구하고 분포의 곱은 매우 좁은 조건에서만 정의될 수 있기 때문에 주의해서 다뤄야 한다. 

측도의 개념은 실수 집합 뿐만 아니라 임의의 집합에서 정의된다. 즉, 디랙 측도도 실수 집합이 아닌 집합에서도 정의 된다. ''

델타 함수의 또 다른 일반적인 일반화는 미분 가능한 다양체에 대한 일반화이다. 미분 다양체는 미분 구조를 가지고 있어서 분포로서의 대부분의 성질을 이용할 수 있다. 점 ''''에서 열린집합인 경우이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''

여기서 

참고로 은 각각 정규 분포와 코시 로렌츠 분포의 확률 밀도 함수를 나타낸다.

## 성질

### 척도구성과 대칭성(Scaling and symmetry)
델타 함수는 0이 아닌 상수 

그래서{{NumBlk|:|

이 증명에서 델타 함수 표현은 0이 중심인 정규 분포 함수열의 극한으로 정의된 델타 함수 가 사용되었다. 이 증명은 짝함수인 한 다른 델타 함수 표현을 함수 열의 극한으로 사용하여 만들 수 있다.

특히, 델타 함수는 다음과 같은 의미에서 짝(대칭)분포이다.

이는 -1차 동차함수라고 할 수 있다.

### 대수적 성질
''x''와 ''δ''의 분포곱은 0과 같다.

반대로 두 분포 ''''이면 어떤 상수 c에 대해

이다.

### 옮김
옮겨진 디랙 델타와 다른 함수의 적분은

이다. 이것은 ''선별 성질''

옮겨진 디랙 델타 

''선별 성질은'' 가 조정된 분포라는 정확한 조건 하에서 유지된다(아래 푸리에 변환에 대한 설명 참조). 예를 들어 특별한 경우로 다음 항등식(분포론적 의미로 이해됨)을 얻는다:

### 함수와 분포의 합성
보다 일반적으로, 델타 분포는 익숙한 변수 변경 공식이 유지되는 방식으로 매끄러운 함수 로 합성될 수 있다.

단, 에서 실근을 갖는 경우 다음을 충족한다.

따라서 연속적으로 미분 가능한 함수 를 다음과 같이 ''정의하는'' 것이 자연스럽다.

여기서 합은 단순하다고 가정되는 의 모든 근에 걸쳐 더해진다. 따라서 예를 들어

적분 형식에서 일반화된 스케일링 성질은 다음과 같이 쓸 수 있다.

### 부정 적분
상수 에 대해 다음이 성립한다:

여기서 는 전통적인 적분 상수이다.

### 고차원 델타 함수의 성질
'''' 차원 공간의 델타 분포는 대신 다음 스케일링 성질을 충족한다.

따라서 '''' 차 동차 분포이다.

반사 또는 회전 ρ에서 델타 함수는 불변이며,

변수가 하나인 경우와 마찬가지로 쌍 립시츠 함수 의 합성을 고유하게 정의할 수 있다.

기하 측도론의 공면적 공식을 사용하여 하나의 유클리드 공간에서 다른 차원의 다른 공간으로 침몰하는 델타 함수의 구성을 정의할 수도 있다. 결과는 current의 한 유형이다. 연속적으로 미분 가능한 함수 ''의 기울기는 0이 아니며 다음 항등식을 유지한다 

여기서 오른쪽의 적분은 ''''으로 정의된 차원 곡면이다. 이것은 ''단순 계층'' 적분으로 알려져 있다.

보다 일반적으로, ''''에 연결할 수 있다.

여기서 '''' 지시 함수의 정규 도함수와 같다.

여기서 ''은'' 바깥 방향 법선이다. 증명을 위해 예를 들어 곡면 델타 함수에 대한 문서를 참조하라.

## 델타 함수의 푸리에 변환
델타 함수는 조정된 분포이므로 푸리에 변환이 잘 정의되어 있다. 공식적으로

제대로 말하면, 분포의 푸리에 변환은 쌍대 쌍 에 대해 다음을 만족하는 유일한 조정된 분포로 정의된다.

그리고 이것으로부터 과 같은 결과가 나온다.

이러한 항등식의 결과로 델타 함수와 다른 조정된 분포 ''''이다.

즉, 에 대한 적절한 근사치를 선택하여 원하는 정확도로 계산할 수 있으며 일단 알려지면 계을 완전히 특성화한다.

조정된 분포''''의 역 푸리에 변환은 델타 함수이다.

그리고 더 엄밀하게는 모든 슈바르츠 함수에 대해 
과 미지 함수 
이 방정식의 충격 응답을

## 델타 함수의 표현
델타 함수는 함수열의 극한으로 볼 수 있다.

여기서 에 대해 유지된다. 약한 수렴의 이 두 가지 약간 다른 모드 사이의 차이는 종종 미묘하다. 전자는 측도의 모호한 위상에서의 수렴이고 후자는 분포의 의미에서 수렴이다.

### 항등원 근사
일반적으로 초기 델타 함수 ''를 전체 적분값이 1인 **R**에 대해 절대 적분할 수 있는 함수라고 하고 다음을 정의한다.

''n'' 차원에서는 스케일링을 대신 사용한다.

그런 다음 변수를 간단히 변경하면 은 측도의 의미에서 ''δ'' 로 약하게 수렴한다는 것을 보여줄 수 있다.

이러한 방식으로 구성된 는

과 같은 의미에서 항등원을 근사한다. 이 극한은 평균 수렴( ''에 대한 추가 조건, 예를 들어 콤팩트 지지 함수와 관련된 완화자 거의 모든 곳에서 점별 수렴성을 보장하는 데 필요하다.

초기 함수 

수치 해석학과 같은 일부 상황에서는 항등식에 대한 조각 선형 근사가 바람직하다. 이것은 ''''을 선택하면

매끄럽지 않고 완화자는 아니지만 모두 연속적이고 콤팩트 지지된다.

### 확률론적 고려 사항
확률론의 맥락에서 항등식에 대한 근사에서 초기 ''

또 다른 예는 위그너 반원 분포이다.

\frac{2}{\pi \varepsilon^2}\sqrt{\varepsilon^2 - x^2}, & -\varepsilon < x < \varepsilon, \\
0, & \text{otherwise}.
\end{cases}

이것은 연속적이고 콤팩트하게 지지되지만 부드럽지 않기 때문에 완화제가 아니다.

### 반군
초기 델타 함수는 종종 합성곱을 연산으로 하는 반군을 형성한다. 이는 ''의 합성곱이 충족해야 하는 추가 제약에 해당한다.

모든 ''''의 합성곱 반군은 항상 위의 의미에서 항등식에 대한 근사이지만 반군 조건은 상당히 강력한 제한이다.

델타 함수의 응용에서, 델타 함수를 근사하는 반군은 물리학적 동기 타원 또는 포물선 편미분 방정식에 대한 기본 해 또는 그린 함수로 발생한다. 이 반군은 또한 선형 시불변 계 전기 회로의 출력으로 발생한다. 추상적으로, ''A가'' ''x''의 함수에 작용하는 선형 연산자인 경우 초기 값 문제를 해결하여 합성곱 반군이 발생한다.

\dfrac{\partial}{\partial t}\eta = A\eta, \quad t>0 \\[5pt]
\displaystyle\lim_{t\to 0^+} \eta = \delta(x)
\end{cases}

여기서 극한은 일반적으로 약한 의미로 이해된다. 로 설정하면 관련 초기 델타 함수가 제공된다.

이러한 기본 해에서 발생하는 물리적으로 중요한 합성곱 반군의 몇 가지 예는 다음과 같다.

로 정의된 열핵은 에서 무한 와이어의 온도를 나타낸다. 이 반군은 1차원 열 방정식에 따라 전개된다.

확률 이론에서 에서의 확률 밀도를 나타낼 때 쓰인다. 이 경우, 반군 조건은 브라운 운동의 마르코프 성질의 표현이다.

고차원 유클리드 공간 ''''에서 열 핵은 다음과 같다.

이는 열역학에서 약간의 수정을 거쳐 물리적 해석을 가진다. 그것은 또한 분포 의미에서 초기 델타 함수를 나타낸다.

푸아송 핵

는 위쪽 절반 평면에서 라플라스 방정식의 기본 해이다. 가장자리를 따라 전위가 델타 함수에서 고정된 상태로 유지되는 반무한 판의 정전기 전위를 나타낸다. 푸아송 핵은 코시 분포, Epanechnikov 및 가우스 핵 함수와도 밀접한 관련이 있다. 이 반군은 방정식에 따라 진화한다.

여기서 연산자는 푸리에 승수로 엄격하게 정의된다.

### 진동 적분
파동 전파 및 파동 역학과 같은 물리학 분야에서 관련된 방정식은 쌍곡적이므로 더 많은 특이 해를 가질 수 있다. 결과적으로 관련 코시 문제의 기본 해로 발생하는 초기 델타 함수는 일반적으로 진동 적분이다. 천음속 기체 역학의 오일러-트리코미 방정식의 해에서 나온 예는 재조정된 에어리 함수이다.

푸리에 변환을 사용하지만 이것이 어떤 의미에서 반군을 생성한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이는 절대적으로 적분할 수 없으므로 위의 강한 의미에서 반군을 정의할 수 없다. 진동 적분으로 구성된 많은 초기 델타 함수는 측도의 의미가 아니라 분포의 의미에서만 수렴한다(예: 아래의 디리클레 핵).

또 다른 예에는 ''

이 연립 편미방의 해 ''''는 원점에서 초기 교란이 있는 무한 탄성 용수철의 평형 상태로부터의 변위를 나타낸다.

이러한 종류의 항등식에 대한 다른 근사치에는 sinc 함수 (전자 및 전기 통신에서 널리 사용됨)가 포함된다.

및 베셀 함수

### 평면파 분해
선형 편미분 방정식 연구에 대한 한 가지 접근 방식

(여기서 ''''에서 정의된 미분 연산자이다.)은 먼저 방정식의 해인 근본적인 해를 구하는 것이다.

''''이 특히 단순할 때 이 문제는 종종 직접 푸리에 변환을 사용하여 해결할 수 있다(이미 언급한 포아송 핵 및 열 핵의 경우처럼). 보다 어려운 연산자의 경우 다음 형식의 방정식을 먼저 고려하는 것이 더 쉬운 경우가 있다.

여기서 ''h''는 평면 파동 함수이며, 어떤 벡터 ξ에 대해

가 성립함을 의미한다. 이러한 방정식은 (''

로 둔다. 그러면 ''''에 대한 적분에 라플라시안의 거듭제곱을 적용하여 구한다.

여기서 라플라시안은 약한 도함수로 해석되므로 이 방정식은 모든 시험 함수 ''''에 대해 다음을 의미하는 것으로 본다.

이 결과는 푸아송 방정식의 기본 해인 뉴턴 포텐셜에 대한 공식에서 따른다. 이것은 초평면에 대한 적분에서 ''

여기서 ''''의 라돈 변환이다.

''''이 짝수인 경우

'''' 홀수.

### 푸리에 핵
푸리에 급수 연구에서 주요 질문은 주기 함수와 관련된 푸리에 급수가 함수로 수렴하는지 여부와 어떤 의미에서 결정하는 것으로 구성된다. 주기 ''''에서)으로 정의된다.

따라서,

여기서

기본 푸리에 급수의 기본 결과는 디리클레 핵이 ''''에 대해

따라서 공식적으로

그럼에도 불구하고 결과는 컴팩트 지지되는 모든 ''연속'' 함수에 대해 유지되지 않는다. 즉, ''''은 측도의 의미에서 약하게 수렴하지 않는다. 푸리에 급수의 수렴 부족으로 인해 수렴을 생성하기 위한 다양한 합산 가능 방법이 도입되었다. Cesàro 합산 방법은 Fejér 커널로 이어진다 

Fejér 커널은 콤팩트하게 지지되는 모든 연속 함수 ''''에 대해

이는 모든 연속 함수의 푸리에 급수는 모든 점에서 함수 값으로 합산할 수 있다는 의미이다.

### 힐베르트 공간론
디랙 델타 분포는 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간 의 부분 공간을 식별하고 델타 함수가 유계 선형 범함수를 정의하는 더 강력한 위상을 제공하는 것이 가능하다.

**''를 의미한다.

이는 자동으로 연속적이며 특히 다음을 만족한다.

따라서 ''이다.

#### 정칙 함수의 공간
복소 해석학에서 델타 함수는 코시의 적분 공식을 통해 들어간다. 이 공식은 ''''에 대해

이다. 결과적으로, 델타 함수 ''''는 코시 적분에 의해 이 정칙 함수류로 표현된다.

또한, ''''에 대해 Szegő 핵이 코시 적분의 역할을 하는 다변수 복소 함수의 특수한 경우이다.

#### Resolutions of the identity
분리 가능한 힐베르트 공간에서 함수의 완전한 직교 정규 기저 ''는'' 다음과 같이 표현될 수 있다.

계수 ''''는 다음과 같이 구한다.

다음 표기법으로 나타낼 수 있다.

디랙의 브라켓 표기법의 한 형태.''의 확장은 이항 형식을 취한다. 

''''가 힐베르트 공간에서 항등 연산자를 나타내도록 하면 다음 식

은 resolution of the identity이라고 한다. 힐베르트 공간이 영역 ''''인 경우,

는 적분 연산자이며 ''''에 대한 표현식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

우변은 공간 ''''가 연속 함수인 경우에도 점별의 의미로 유지될 필요는 없다. 그럼에도 불구하고 표기법을 남용하고 쓰는 것이 일반적이다.

델타 함수의 표현 결과: 

로 수렴할 수 있다. 실질적인 관심의 대부분의 경우 정규 직교 기저는 적분 또는 미분 연산자에서 나오며, 이 경우 급수는 분포의 의미에서 수렴한다.

### 무한 델타 함수
코시는 무한소 '' 코시는 ''Cours d'Analyse'' ( )에서 0에 가까운 수열로 무한소를 정의했다. 즉, 이러한 null 수열는 코시와 라자르 카르노의 용어로는 무한소가 된다.

비표준 해석학을 통해 무한소를 엄격하게 정의할 수 있다. 의 논문에는 초실수가 제공하는 무한소가 풍부한 연속체의 맥락에서 현대 디랙 델타 함수에 대한 참고 문헌이 포함되어 있다. 비표준 해석학에서는, 푸리에와 코시가 예상한 대로, 디랙 델타가 모든 실함수 과 같은 성질을 갖는 함수로 정의될 수 있다.

## 델타 함수의 도함수
델타 분포의 도함수 에서 정의된다. 

여기서 첫 번째 등식은 부분 적분의 일종이다. 가 진정한 함수이면

계 도함수에 의해 시험 함수에 주어진 분포와 유사하게 정의된다.

특히, 는 무한번 미분 가능한 분포이다.

델타 함수의 1차 도함수는 차분 몫의 분포 극한이다

더 적절하게는

이 성립한다. 여기서 

이 성질은 시험 함수 적용과 부분 적분으로 보일 수 있다.

이러한 성질 중 후자는 분포 도함수 정의, 라이프니츠의 정리 및 내적의 선형성을 적용하여 증명할 수도 있다.이다.

합성곱의 분포 도함수의 성질을 따른다.

### 고차원
더 일반적으로 에 대해

로 정의된다. 여기서 은 

즉, 계 도함수이다.

델타 함수의 1차 부분 도함수는 좌표 평면을 따라 이중 레이어로 간주된다. 보다 일반적으로, 곡면에 지지된 단순 레이어의 방향 도함수는 해당 곡면에 지지된 이중 레이어이며 층류 자기 홀극을 나타낸다. 델타 함수의 고계 도함수는 물리학에서 다극자로 알려져 있다.

더 높은 계수인 도함수는 한 점 지지가 있는 분포의 전체 구조를 위한 구성 원소로 자연스럽게 등장한다. 만약에 에 대해

## 성질 요약
아래 성질들은 등식의 양쪽에 "적절한" 함수

## 디랙 빗
디랙 빗 또는 샤 분포로 알려진 디랙 델타 측도의 소위 균일한 "펄스 트레인"은 디지털 신호 처리 (DSP) 및 이산 시간 신호 해석학에 자주 사용되는 샘플링 함수를 생성한다. 디랙 빗은 무한 합으로 주어지며, 그 극한은 분포 의미에서 이해된다.

이는 각 정수에서 점 질량의 수열이다.

전체 정규화 상수까지 디랙 빗은 자체 푸리에 변환과 동일하다. 이것은 중요하다. 의 주기화는 다음과 같이 합성곱에 의해 주어진다.

특히,

는 정확히 포아송 합 공식이다. 보다 일반적으로, 이 공식은 다음과 같은 경우에 참이다. 는 조절 분포 공간 내에서 천천히 성장하는 일반적인 함수이다.

## 소호츠키-플레멜리 정리
양자 역학에서 중요한 소호스키-플레멜리 정리는 델타 함수를 분포 의 코시 주요 값으로 다음과 같이 정의된다.

소호스키의 공식은 

여기서 극한은 분포 의미에서 이해되며, 모든 콤팩트 지지 매끄러운 함수 에 대해

## 응용

### 확률론
확률론 및 통계에서 디랙 델타 함수는 확률 밀도 함수 (일반적으로 절대 연속 분포를 나타내는 데 사용됨)를 사용하여 이산 분포 또는 부분적으로 이산 부분적으로 연속적인 분포를 나타내는 데 자주 사용된다. 예를 들어, 점 ''''과 함께 다음과 같이 쓸 수 있다.

또 다른 예로, 시간의 6/10은 표준 정규 분포를 반환하고 시간의 4/10은 정확히 값 3.5를 반환하는 분포를 고려한다. 이 분포의 밀도 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

델타 함수는 또한 연속적으로 미분 가능한 함수로 변환되는 무작위 변수의 결과 확률 밀도 함수를 나타내는 데 사용된다. ''''의 밀도는 다음과 같이 쓸 수 있다.

델타 함수는 확산 과정의 국소 시간을 나타내기 위해 완전히 다른 방식으로 사용된다(예: 브라운 운동). 확률과정 ''''의 국소 시간은 다음과 같이 지정된다.

이는 과정 범위의 ''x'' 지점에서 과정이 소비하는 시간을 나타낸다. 보다 정확하게는 한 차원에서 이 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 의 지시 함수이다.

### 양자 역학
델타 함수는 양자 역학에서 자주 쓰인다. 입자의 파동 함수로부터 주어진 공간 영역 내에서 입자를 찾을 확률 진폭을 계산한다. 파동 함수는 제곱 적분 함수의 힐베르트 공간 이

의해 정규화되는 경우 정규 직교라고 한다. 여기서 라도

와 같이 복소수 계수 사용해 이다. 파동 함수의 완비 직교 정규 계는 고유값이라고 하는 에너지 수준을 측정하는 양자 역학에서 해밀턴 (바운드 계의) 고유 함수로 자연스럽게 나타난다. 이 경우 고유값 집합은 해밀토니안의 스펙트럼으로 알려져 있다. 브라-켓 표기법에서 위와 같이 이 같음은 resolution of the identity를 의미한다.

여기서 고유값은 이산적이라고 가정하지만 어떤 관측가능량의 고유값 집합은 연속적일 수 있다. 예를 들어 위치 관측가능량 ''로 레이블이 지정된 완전한 고유 분포 집합을 갖는다.

위치 연산자의 고유 함수는 과 같이 표시된다. 이는 디랙 표기법에서 위치 고유 상태로 알려져 있다.

가 있다.

즉, 의 고유 벡터이다. 고유 벡터를 정규화하면

분포 의미에서 모든 시험 함수 ψ에 대해

여기서

즉, 불연속적인 경우와 마찬가지로 resolution of identity이 있다.

여기서 연산자 값 적분은 약한 의미로 다시 이해된다. 의 스펙트럼에 연속 부분과 불연속 부분이 모두 있는 경우 항등식 분해능은 불연속 스펙트럼에 대한 합산 ''과'' 연속 스펙트럼에 대한 적분을 포함한다.

델타 함수는 또한 단일 및 이중 포텐셜 우물에 대한 델타 퍼텐셜 모델과 같은 양자 역학에서 더 많은 특수 응용 분야를 가지고 있다.

### 구조 역학
델타 함수는 구조 역학에서 구조에 작용하는 과도 하중 또는 점하중을 설명하는 데 사용할 수 있다. 시간 ''에 의해 여기된 단순 질량-스프링 계의 지배 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 ''''는 처짐, ''k는'' 스프링 상수이다.

또 다른 예로서, 가는 빔의 정적 편향을 지배하는 방정식은 오일러-베르누일리 이론에 따라 다음과 같다.

여기서 ''''에 의해 하중을 받는 경우 하중 분포는 다음과 같이 기록된다.

델타 함수의 적분으로 헤비사이드 계단 함수가 생성되므로 다중 점하중이 가해지는 얇은 빔의 정적 편향은 조각별 다항식 집합으로 설명된다.

또한 빔에 작용하는 점 모멘트는 델타 함수로 설명할 수 있다. 거리 ''

따라서 점 모멘트는 델타 함수의 도함수로 나타낼 수 있다. 빔 방정식의 통합은 조각별 다항식 편향을 다시 초래한다.