정보 기하학에서 **피셔 정보 계량**은 매끄러운 통계적 다양체, ''즉,'' 확률 공간에서 정의된 확률 측도를 갖는 매끄러운 다양체에서 정의할 수 있는 특정 리만 계량이다. 측정들 사이의 정보 차이를 계산하는 데 사용할 수 있다.

이 계량은 여러 측면에서 흥미롭다. Chentsov의 정리에 따르면 통계 모델의 피셔 정보 계량은 충분한 통계 하에서 불변인 유일한 리만 계량이다.

이는 상대 엔트로피의 극소 형태로 이해될 수도 있다. 구체적으로는 발산의 헤세 행렬이다. 또는 변수를 적절하게 변경한 후 평평한 공간 유클리드 계량에 의해 유도된 계량으로 이해될 수도 있다. 복소 사영 힐베르트 공간으로 확장되면 푸비니-슈투디 계량이 된다. 혼합 상태로 표현하면 양자 Bures 계량이다.

순수하게 행렬로 보았을 때, 피셔 정보 행렬로 알려져 있다. 관측된 무작위 변수의 관점에서 숨겨진 매개변수를 추정하는 데 사용되는 측정 기술로 여겨지며 관측된 정보라고 한다.

## 정의
좌표 

적분은 ''는'' 다양체의 국소 좌표축을 나타낸다.

마르코프 과정에서와 마찬가지로, 확률이 깁스 측도에서 파생되면 '' 차원 더 작다. 이 경우 계량은 분배 함수에서 명시적으로 유도될 수 있다. 거기서 유도가 제시된다.

정보 이론에서 

등식이 위의 정의와 동일하다는 것을 보여주기 위해 다음을 참고하라.

\mathrm{E}
\left[
 \frac{\partial\log{}p}{\partial \theta_j}
\right]=0

이고, 양 변에 를 취한다.

## 예
피셔 정보 계량은 지수족에 대해 특히 간단하다. 과 같다. .

### 정규 분포
다변량 정규분포 가 precision 행렬이라 하자.

 .

특히, 단일 변수 정규 분포의 경우, 이다. 이는 푸앵카레 반평면이다.

두 개의 일변수 정규 분포 사이의 측지선은  축 중심에 있는 반원호 중 하나에 평행하다.

과 같다.

## 쿨백-라이블러 발산과의 관계
또는 ''상대 엔트로피'' 또는 쿨백-라이블러 발산의 2차 도함수로 계량을 얻을 수 있다. 이를 얻기 위해 두 가지 확률 분포를 고려한다. 이는 서로 무한소만큼 떨어져있다.

에서 2차까지 멱급수 전개된다:

대칭 행렬 의 헤세 행렬이다. 이는 직관적으로 "통계적 미분 다양체에서 무한소만큼 떨어진 두 점 사이의 거리는 두 점 사이의 정보 차이이다."라고 생각할 수 있다.

## 루파이너 기하학과의 관계
루파이너 계량 과 바인홀트 계량은 평형 통계 역학에서 발견되는 것과 같은 깁스 분포에 대해 계산된 피셔 정보 계량이다.

여기서 경로 매개변수는 시간 ''t''이다. 이 작용은 시스템이 ''a'' 시간에서 ''b'' 시간으로 이동할 때 시스템의 자유 엔트로피에 변화를 주는 것으로 이해될 수 있다. 구체적으로 자유 엔트로피의 변화로

를 얻는다. 이러한 관찰은 화학 및 가공 산업에 실제적으로 적용되는 결과를 가져왔다.: 시스템의 자유 엔트로피 변화를 최소화하려면 프로세스의 원하는 끝점 사이의 극소 측지 경로를 따라야 한다. 측지선은 작용이 곡선의 길이 제곱에 의해 아래로 제한된다는 코시-슈바르츠 부등식으로 인해 엔트로피를 최소화한다.

## 젠슨-섀넌 발산과의 관계
피셔 계량을 사용하면 작용과 곡선 길이가 젠슨-섀넌 발산과 관련될 수도 있다.

여기서 피적분 함수 ''dJSD는'' 선택한 경로를 따라 젠슨-섀넌 발산의 무한소 변화로 이해된다. 마찬가지로, 곡선 길이에 대해 다음과 같다.

즉, 젠슨-섀넌 발산의 제곱근은 단지 피셔 계량(다음의 제곱근으로 나눈 값)이다.

이산 확률 공간, 즉 유한 집합의 확률 공간에 대해 피셔 계량은 단순히 변수를 적절하게 변경한 후 단위 구의 양의 오탄트 (예: 에서 "사분면")로 제한된 유클리드 계량으로 이해될 수 있다.

점  차원 유클리드 공간을 생각하자. 유클리드 공간의 계량은 다음과 같이 제공된다.

여기서 는 접공간의 기저 벡터로 사용되므로

유클리드 계량은 다음과 같이 쓸 수 있다.

위첨자 'flat'은 좌표 형식으로 작성될 때 이 계량이 평면 공간  좌표를 기준으로 한다는 점을 상기시키기 위한 것이다.

 차원 유클리드 공간에 매장된 ''N''차원 단위 구는 다음과 같이 정의될 수 있다.

이 매장은 구에 계량을 유도하며 주변 공간의 유클리드 계량에서 직접 물려받는다. 좌표가 구 표면에 있도록 제한되도록 주의하면서 위와 정확히 동일한 형식을 취한다. 이는 예를 들어 라그랑주 승수를 사용하여 수행할 수 있다.

이제 변수 변환 

마지막은 피셔 정보 계량의 4분의 1로 인식될 수 있다. 프로세스를 완료하려면 확률이 다양체 변수 

또는 좌표 형식에서 피셔 정보 계량은 다음과 같다.

g_{jk}(\theta)
 = 4h_{jk}^\mathrm{fisher}
&= 4 h\left \\
& = \sum_i p_i(\theta) \;
\frac{\partial \log p_i(\theta)} {\partial \theta_j} \;
\frac{\partial \log p_i(\theta)} {\partial \theta_k} \\
& = \mathrm{E}\left[
\frac{\partial \log p_i(\theta)} {\partial \theta_j} \;
\frac{\partial \log p_i(\theta)} {\partial \theta_k}
\right]
\end{align}

이전과 마찬가지로

이 표현이  좌표에 적용 가능함을 상기시키기 위해 위 첨자 '피셔'가 표시된다. 비좌표 형식은 유클리드(평면 공간) 계량과 동일하다. 즉, 통계적 다양체에 대한 피셔 정보 계량은 변수를 적절하게 변경한 후 구의 양의 오르탄트로 제한된 유클리드 계량(4배)이다.

확률변수 는 이산적이지 않고 연속적일 때, 이 논의는 여전히 유효하다. 이는 두 가지 방법 중 하나로 볼 수 있다. 한 가지 방법은 모든 조작이 잘 정의되고 수렴되는지 확인하기 위해 무한 차원 공간에서 위의 모든 단계를 신중하게 재구성하고 한계를 적절하게 정의하는 등의 작업을 수행하는 것이다. 다른 방법은 다음과 같다. 그로모프가 지적한 바에 따르면, 범주론적 접근 방식을 사용하는 것이다. 즉, 위의 조작은 확률 범주에서 여전히 유효하다는 점에 유의하라. 여기서 이러한 범주는 라돈-니코딤 성질을 갖게 된다. 즉, 라돈-니코딤 정리가 이 범주에 적용된다. 여기에는 힐베르트 공간이 포함된다. 이는 제곱 적분 가능하며 위의 조작에서는 제곱에 대한 합을 제곱에 대한 적분으로 안전하게 대체하는 데 충분하다.

## 푸비니–슈투디 계량
유클리드 계량에서 피셔 계량을 유도하는 위의 조작은 복소 사영 힐베르트 공간으로 확장될 수 있다. 이 경우 푸비니-슈투디 계량을 얻는다. 후자는 일반적으로 아래와 같이 순수 상태로 작성되는 반면 Bures 계량은 혼합 상태로 작성된다. 복소 좌표의 페이즈를 0으로 설정하면 위와 같이 피셔 정보 계량의 정확히 1/4을 얻을 수 있다.

하나는 극좌표로 작성된 확률 진폭을 구성하는 동일한 트릭으로 시작한다.

여기서, 을 설정하여 얻는다. 확률이 단체내에 있는 일반적인 조건은 다음과 같다.

제곱 진폭이 정규화된다는 아이디어로 동등하게 표현된다.


이 표기법에서는 이고 전체 측도 공간 ''X'' 에 대한 적분은 다음과 같이 작성된다.

표현식 

허수 항은 심플렉틱 형식이며 베리 페이즈 또는 기하학적 페이즈이다. 첨자 표기법에서 계량은 다음과 같다.

h\left \\[8pt]