수학에서 **K이론**은 위상 공간 또는 스킴 위에 존재하는 벡터 다발 또는 연접층을 다루는 분야다. 공간에 존재하는 이러한 다발 또는 층의 성질들로부터, 위상 공간 또는 스킴의 구조를 알 수 있다. 기하학과 위상수학, 대수학, 수론과 관련 있다.

K이론은 위상 공간 또는 스킴에서 관련 환으로 사상하는 ''K''함자 계열의 구성을 포함한다. 이 환은 원래 공간이나 스킴의 구조의 일부 측면을 반영한다. 대수적 위상수학에서 군에 대한 함자와 마찬가지로 이 함자 사상의 이유는 원래 공간이나 스킴보다 사상된 환에서 일부 위상 성질을 계산하는 것이 더 쉽기 때문이다. K-이론 접근법에서 얻은 결과의 예로는 그로텐디크-리만-로흐 정리, 보트 주기성, 아티야-싱어 지표 정리 및 애덤스 연산이 있다.

수학 분야 분류(MSC 2010) 코드는 [http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html?t=19-XX 19].

## 그로텐디크 완비화
아벨 모노이드의 그로텐디크 완비화는 K이론을 정의하는 데 필수적인 과정이다. K이론의 모든 정의가 적절한 범주에서 아벨 모노이드를 구성하고 이 보편적인 구성을 통해 이를 아벨 군으로 바꾸는 것으로 시작하기 때문이다. 주어진 아벨 모노이드 에서 정의된 관계

라 하자. 그렇게 그런 다음 집합 를 가지고 있다. 여기서,

이 군의 동치류는 아벨 모노이드 원소의 형식적 차(差)로 생각해야 한다. 이 군 과 관련이 있다. 이는 보편 성질을 가지고 있다.

이 군을 더 잘 이해하려면 아벨 모노이드 이다. 이것은

를 의미한다. 따라서 로 생각해야 한다는 힌트를 제공 한다. 또 다른 유용한 관찰은 스케일링에서 동치류의 불변성이다.

그로텐디크 완비화는 함자 이 존재한다.

### 자연수 구조의 예시
살펴볼 예가 되는 예는 을 찾을 수 있다. 예를 들어 스케일링 불변성에서 다음을 확인할 수 있다.

일반적으로 이다. 그러면,

이것은 를 음의 정수로 생각해야 함을 보여준다.

## 정의
K이론은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 기하학적 대상 위에, 그 위에 존재할 수 있는 벡터다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 (그로텐디크 군을 취하면) 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 군들을 **K군**이라고 하고, 은 아벨 군의 범주로의 함자를 이룬다.

K이론에는 위상 K이론, 대수적 K이론, 작용소 K이론 등이 있다. 위상 K이론은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 벡터 다발들을 다룬다. 대수적 K이론은 환 위에 존재하는 특정한 호모토피 이론적 구조들을 다룬다.  작용소 K이론은 C* 대수 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다룬다. 이는 비가환 기하학을 통해, 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K이론은 에일렌베르크-스틴로드 공리에 따라, 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. 즉, 차원 공리를 제외하고, 보통 코호몰로지의 성질들을 만족시킨다.

### 콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 그로텐디크 군
주어진 콤팩트 하우스도르프 공간 를 보자. 선형 다발의 동치류에 대해 직합이 잘 정의되므로 동치류에 다음과 같이 연산을 작성할 수 있다.

로 적는다.

세르-스완 정리와 어떤 대수를 사용하여 연속 복소 함수 환

### 대수 기하학에서 선형 다발의 그로텐디크 군
대수 기하학에서 선형 다발을 고려하여 유사한 구성이 있다. 뇌터 스킴 이 정의된다.

### 대수기하학에서 연접층의 그로텐디크 군
대수기하학에서는 동일한 구성을 매끄러운 스킴를 통해 대수 선형 다발에 적용할 수 있다. 그러나 모든 뇌터 스킴 의 동치류를 보면, 짧은 완전열

이 있는 경우 관계 에는 환 구조도 있기 때문에 특별하다. 그것을 다음과 같이 정의한다.

그로텐디크-리만-로흐 정리를 사용하면

는 환 동형사상이다. 따라서 교차 이론에 대해 를 사용할 수 있다.

## 역사
K이론은 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 리만-로흐 정리와 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 확장한 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리를 발표하면서 도입한 것으로 여길 수 있다. "K"는 의 약자로, 특성류를 뜻한다. 그로텐디크가 창시한 이론은 대수적 K이론에서의 에 해당한다.

그로텐디크는 대수적 다형체 는 호몰로지적 행동을 한다.

''''가 매끄러운 아핀 다형체이라면, 국소적으로 자유 층의 모든 확장이 분할되므로 군은 대체적 정의를 갖는다.

위상수학에서는 선형 다발에 동일한 구성을 적용하여 1959년에 마이클 아티야 와 프리드리히 히르체브루흐가 위상 공간 를 정의하고 보트 주기성 정리를 사용하여 이를 놀라운 코호몰로지 이론의 기초로 삼았다. 그것은 아티야-싱어 지표 정리 (1962년경)의 두 번째 증명에서 중요한 역할을 했다. 게다가 이 접근법은 C*-대수에 대한 비가환 K-이론으로 이어졌다.

이미 1955년에 장피에르 세르는 사영 가군이 있는 선형 다발의 유추를 사용하여 다항식 환 위에 유한하게 생성된 모든 사영 가군이 자유 가군이라는 세르 추측을 공식화했다. 이 주장은 맞지만 20년이 지나도록 해결되지 않았다. (스완 정리는 이 비유의 또 다른 측면이다.)

대수적 K이론의 다른 역사적 기원은 나중에 화이트헤드 비틀림으로 알려지게 된 화이트헤드와 다른 사람들의 작업이다.

고차 K이론 함자에 대한 다양한 부분적 정의가 있었던 기간이 뒤따랐다. 마지막으로 1969년과 1972년에 호모토피 이론을 사용하여 대니얼 퀼런이 두 가지 유용하고 동등한 정의를 제공했다. pseudo-isotopies 연구와 관련된 공간의 대수적 K이론을 연구하기 위해 프리드헬름 발트하우젠이 변형을 제공했다. 더 높은 K이론에 대한 많은 현대 연구는 대수 기하학 및 동기 코호몰로지 연구와 관련이 있다. 1973년에 대니얼 퀼런이 고차 대수적 K군을 정의하였다.

보조 이차 형식을 포함하는 해당 구성은 L-이론으로 불린다. 그것은 수술 이론의 주요 도구이다.

끈 이론에서 라몬드-라몬드 장 강도와 안정적인 D-막의 전하의 K-이론 분류는 1997년에 처음 제안되었다. 끈 이론의 D-막들이 시공간의 위상 K이론으로 분류된다는 사실이 밝혀졌다.

## 예 및 성질

### 체의 K
그로텐디크 군의 가장 쉬운 예는 체 이라는 것을 보이는 것은 쉬운 연습이다.

### 체에 대한 아틴 대수의 K
뇌터 스킴

### 사영 공간의 K
그로텐디크 군의 가장 일반적으로 사용되는 계산 중 하나는 체 위의 사영 공간

### 사영 다발의 K
그로텐디크 군에 대한 또 다른 중요한 공식은 사영 다발 공식이다. 주어진 랭크 을 계산하는 데 사용할 수 있다.

### 매끄러운 사영 곡선의 K
매끄러운 사영 곡선 또한, 고립된 특이점에 대해 유도된 특이점 범주를 사용하는 위의 기술은 고립된 코언-매콜리 특이점으로 확장되어 모든 특이 대수 곡선의 그로텐디크 군을 계산하는 기술을 제공한다. 축소는 일반적으로 매끄러운 곡선을 제공하고 모든 특이점은 코언-매콜리이기 때문이다.

## 응용

### 가상 다발
그로텐디크 군의 유용한 응용 중 하나는 가상 선형 다발을 정의하는 것이다. 예를 들어 매끄러운 공간을 삽입한 경우  짧은 완전열이 있다.

여기서 에 묻힌 가상 여법 다발을 다음과 같이 정의한다.

가상 다발의 또 다른 유용한 적용은 공간 교차점의 가상 접다발의 정의이다. 의 가상 접다발을 정의할 수 있다.

콘세비치는 그의 논문 중 하나에서 이 구성을 사용한다.

### 천 특성
천 특성류는 공간의 위상 K-이론에서 유리 코호몰로지(의 완비)로 가는 환의 동형사상을 구성하는 데 사용할 수 있다. 선다발 의 경우 천 특성 ch는 다음과 같이 정의된다.

더 일반적으로, 만약 가 있는 선다발의 직합이다. 천 특성은 가법적으로 정의된다.

천 특성은 텐서 곱의 천 특성류 계산을 용이하게 하기 때문에 부분적으로 유용하다. 천 특성는 히르체부르흐-리만-로흐 정리에서 사용된다.

## 등변 K-이론
등변 대수적 K-이론은 범주와 관련된 대수적 K-이론이다. 의 작용으로, 퀼런의 Q-구성을 통해; 따라서 정의에 따라

특히, 의 그로텐디크 군이다. 이 이론은 1980년대에 토마슨에 의해 개발되었다. 구체적으로 그는 국소화 정리와 같은 기본 정리의 등변적으로 유사한 명제를 증명했다.