**타우동등신뢰도**(tau-equivalent reliability, Sijtsma, K. (2009). On the use, the misuse, and the very limited usefulness of Cronbach’s alpha.
Psychometrika, 74(1), 107–120. https://doi.org/10.1007/s11336-008-9101-0Cho, E., & Kim, S. (2015). Cronbach’s coefficient alpha: Well known but poorly understood.
Organizational Research Methods, 18(2), 207–230.
https://doi.org/10.1177/1094428114555994.

## 공식과 계산

### 체계적 공식과 관행적 공식
의 공식은 여러 가지로 표현할 수 있다.

우선, 이해하기 쉬운 "체계적 공식"

### 계산 예

#### 올바른 자료에 적용한 경우
타우동등의 조건을 만족하는 다음의 자료에 를 적용해 보자.

이다.

#### 올바르지 않은 자료에 적용한 경우
타우동등의 조건을 만족하지 않는 다음의 자료에 를 적용해 보자.

이다.

같은 자료에 동류 신뢰도를 적용한 결과와 비교할 수 있다.

## 타우동등신뢰도의 전제조건
를 신뢰도 계수로 사용하기 위해서는 자료가 다음의 조건을 만족해야 한다.

1) 단일차원이다.

2) (본질적으로) 타우동등하다.

### 단일차원 평행, 타우동등, 동류 조건

#### 평행 조건
평행한 (parallel) 자료는 모집단 수준에서 모든 항목간 공분산(공분산 행렬의 비대각 요소)이 같고, 모든 분산(공분산 행렬의 대각 요소)이 같다. 예를 들어, 다음의 자료는 평행 조건을 충족한다. 평행한 자료에서, 공분산 행렬 대신 상관관계 행렬을 사용하더라도 정보의 손실이 없다. 모든 평행한 자료는 타우동등하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 세 조건 중 평행 조건이 가장 충족되기 어렵다.

#### 타우동등 조건
타우동등한 (tau-equivalent) 자료는 모집단 수준에서 모든 공분산이 같아야 한다. 분산은 다를 수 있다. 예를 들어, 다음의 자료는 타우동등 조건을 충족한다. 타우동등한 자료에서 모든 항목은 동일한 변별력 혹은 중요성을 갖는다. 예를 들어, 아래의 자료에서 모든 항목은 동일한 변별력을 갖는다. 모든 타우동등한 자료는 동류이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

#### 동류 조건
동류 (congeneric) 자료는 모집단 수준에서 모든 공분산과 분산이 다를 수 있다. 단, 단일차원이어야 한다. 예를 들어, 다음의 자료는 동류 조건을 충족한다. 동류 자료에서 모든 항목은 서로 다른 변별력 혹은 중요성을 가질 수 있다. 예를 들어, 아래의 자료에서 2번째 항목은 1번째 항목보다 4배 더 큰 변별력을 갖는다.

## 다른 신뢰도 계수들과의 관계

### 신뢰도 계수의 체계적 분류
수많은 신뢰도계수들이 존재한다. 그 중에서도 서로 관련이 깊고 자주 사용되는 신뢰도 계수들의 관행적 명칭을 정리하면 다음과 같다은 단일차원 및 타우동등의 조건에서 유도되는 신뢰도 계수이다.

관행적 명칭은 무질서하고 비체계적이다. 마치 사용자들에게 최대한의 혼동과 오해를 유발하기 위한 목적으로 설계된 것처럼 보인다. 관행적 명칭은 각 계수의 성격에 대해 아무런 정보도 주지 않거나, 혹은 부정확한 정보(예: 표준화된 알파)를 준다. 관행적 명칭은 비일관적이다. 어떤 것은 공식이고, 어떤 것은 계수이다. 어떤 것은 최초 개발자의 이름이 붙고, 어떤 것은 최초 개발자도 아닌 사람의 이름이 붙고, 다른 것은 어떤 사람의 이름도 붙지 않는다. 같은 공식이 서로 다른 이름으로 지칭되는가 하면, 서로 다른 공식이 같은 이름(예: 여러 알파 및 오메가)으로 지칭된다. 이들 신뢰도 계수에 대해 제안된 체계적 명칭과 그 표기는 다음과 같다.

### 평행신뢰도와의 관계
타우동등 신뢰도(보다 더 엄격한 조건인 평행 조건을 요구하며, 이 계수의 사용은 권장되지 않는다.

### 반분 타우동등 신뢰도와의 관계
모든 가능한 반분에 대해 반분 타우동등 신뢰도의 값은 같다.

단일차원은 만족하지만, 타우동등 조건을 만족하지 않는 자료에 .

.

.

## 역사

### 쿠더-리처드슨 (1937) 이전
쿠더-리처드슨).

### 쿠더-리처드슨 (1937)의 연구
쿠더-리처드슨 (1937)

와 동일한 의미이다.

### 쿠더-리처드슨 (1937)과 크론바흐(1951) 사이의 연구

#### KR-20의 일반식을 발표한 여러 연구
쿠더-리처드슨 (1937)은 을 쿠더-리처드슨 (1937)과 다른 방식으로도 유도할 수 있다는 것을 보여주는 연구가 다수 발표되었다.
호잇 (1941)

거트먼 (1945)

굴릭센 (1950)을 유도하였다. 그가 사용한 가정은 현대적 용어로 본질적 타우동등 조건과 같다.

#### KR-20의 원래 식과 일반식의 관계에 대한 당시의 인식
두 공식은 정확히 같은 것으로 인식되었으며, KR-20의 일반식이라는 표현도 사용되지 않았다. 호잇.

#### KR-20의 과소추정 성향에 대한 당시의 논란
가 반분 신뢰도 기법을 대체할 수 있는 대안으로 권장될 수 없다고 주장하였다.

### 크론바흐 (1951)의 연구
기존 연구들의 평균과 같다는 것을 증명하였다. 또한 그는 KR-20이라는 이름이 이상하다고 언급하면서 coefficient alpha라는 새로운 이름을 제안하였다. 그의 접근은 엄청난 대중적 성공을 거두었다. 그러나 그는 몇 가지 핵심적 사실을 누락하였을 뿐 아니라, 부정확한 설명을 제시하였다.

첫째, 그는 coefficient alpha가 KR-20의 일반식이라는 해석을 제시하였지만, 기존의 다른 연구들도 정확히 같은 공식을 발표하였다는 설명을 생략하였다. 따라서 배경지식 없이 크론바흐 (1951)만을 읽은 사람들은 그가 KR-20의 일반식을 처음 개발한 것으로 오해할 소지가 있었다.

둘째, 그는 가 전제조건에 관계없이 모든 자료에 사용할 수 있는 신뢰도 계수라는 인상을 받을 수 있었다.

셋째, 그는 자신이 의 과소추정 문제에 대한 명확한 답변을 제시하지 않았다.

넷째, 그는 높은  값은 자료의 동질성 혹은 단일차원성을 보여주는 근거라고 주장하였다.

### 크론바흐 (1951) 이후의 연구
노빅과 루이스 (1967)이 신뢰도와 같기 위한 필요충분 조건을 증명하였으며, 이 조건을 본질적 타우동등이라고 명명하였다.

크론바흐 (1978). 그는 다른 유형의 신뢰도 계수에 베타, 감마, 델타,...등의 이름을 연속적으로 붙일 계획이었지만, 나중에 생각을 바꾸었다고 설명하였다.

크론바흐와 샤벨슨 (2004)보다는 일반화 가능성이론의 사용을 권장하였다. 그는 Cronbach's alpha라는 이름의 사용에 반대하였다. 그는 KR-20의 일반식을 크론바흐 (1951)보다 먼저 발표한 기존 연구들의 존재를 명시적으로 부인하였다.

## 타우동등신뢰도에 대한 흔한 오해

### 타우동등신뢰도는 0과 1 사이의 값을 갖는다
정의에 의해, 신뢰도는 0보다 작을 수 없고, 1보다 클 수 없다. 많은 교과서들은 이다.
음의 는 음의 변별력, 혹은 역항목 처리의 실수 등의 이유로 발생할 수 있다.

와 달리, 구조방정식 기반 신뢰도 계수들은 항상 0보다 같거나 크다.

이 이상현상은 가 "백과사전적"(p.296)이라 묘사한 그의 논문에서 이에 대해 한 마디도 언급하지 않았다.

### 측정오차가 없으면 타우동등신뢰도는 1의 값을 갖는다
이다.
위 자료에 대해 은 모두 1의 값을 갖는다.

### 높은 타우동등신뢰도 값은 자료의 동질성 혹은 단일차원성을 보여준다
많은 교과서들은 .아래의 반례를 보자.
위의 단일차원 자료에서 이다.
위의 다차원 자료에서도 이다.
위의 자료에서는 로 높지만, 다차원이다.
위의 자료에서는 로 매우 낮지만, 단일차원이다.

단일차원성은 .

### 높은 타우동등신뢰도 값은 자료의 내적일관성을 보여준다
내적 일관성이라는 용어는 신뢰도 문헌에서 흔히 사용되지만, 그 의미는 명확하게 정의되어 있지 않다. 이 용어는 때로는 특정한 종류의 신뢰도를 지칭하기 위해 사용되기도 하지만 (예: 내적 일관성 신뢰도), 가 이 중 어떤 것의 지표도 아니라는 것을 보였다.

### "alpha if item deleted"를 이용하여 항목을 제거하면 신뢰도는 항상 증가한다
"alpha if item deleted"를 이용하여 항목을 제거하면 표본 수준의 신뢰도 값이 모집단 수준의 신뢰도 값보다 더 높게 보고되는 '알파 인플레이션'.
신뢰도를 낮추는 항목의 제거는 통계적 근거 뿐만 아니라, 이론적 논리적 근거에 기반을 두어야 한다. 또한 표본을 둘로 나누어 교차검증하는 것이 권장된다

## 신뢰도는 얼마나 높아야 하고, 어떻게 높일 수 있는가?

### 신뢰도 수준에 대한 너낼리의 권고
신뢰도 계수가 얼마 이상이어야 하는지에 대해 가장 자주 인용되는 원천은 너낼리의 책. 0.7이라는 수치는 너낼리가 연구의 초기 단계에 대해서 언급한 수치로서, 학술지에 게재된 대부분의 연구는 여기에 해당하지 않는다. .7보다는 너낼리가 응용연구에 대해 언급한 .8이라는 기준이 대부분의 실증연구에 더 적합하다.

또한 권고 수준에 대한 그의 의도는 컷오프 포인트가 아니었다. 어떤 기준이 만약 컷오프 포인트를 의미한다면, 그것을 충족했는지의 여부가 중요할 뿐, 얼마나 넘었는지 혹은 모자라는지는 중요하지 않다. 너낼리는 어떤 기준 을 말할 때 엄밀하게 .8이 되어야 한다는 뜻이 아니라, .8 근처의 어떤 범위를 의미하는 뉴앙스로 제시하였다.

또한 그의 아이디어는 신뢰도를 높이는 데에도 비용이 발생하므로, 모든 상황에서 최대한의 신뢰도를 얻으려고 할 필요는 없다는 것이다.

### 높은 신뢰도의 비용
많은 교과서들은 신뢰도 값이 클수록 바람직하다고 설명한다. 높은 신뢰도의 잠재적 부작용에 대해서는 거의 논의하지 않는다. 그러나 하나를 얻기 위해서는 다른 무언가를 희생해야 한다는 원칙은 신뢰도에도 적용된다.

#### 신뢰도와 타당성 간의 상충관계
완벽한 신뢰도를 갖는 측정은 타당성이 결여된다. 예를 들어, 신뢰도가 1인 시험에 응하는 수험자는 만점 혹은 0점만을 얻게 된다. 왜냐하면, 한 항목에 정답 혹은 오답을 낸 수험자는 다른 모든 항목에도 똑같이 정답 혹은 오답을 낼 것이기 때문이다. 이렇게 신뢰도를 증가시키기 위해 타당성이 희생되는 현상을 attenuation paradox라고 한다.

높은 신뢰도 값은 내용 타당성과 상충관계를 갖는다. 높은 내용타당성을 위해 각각의 항목은 측정하고자 하는 내용을 포괄적으로 대표할 수 있는 것으로 구성되어야 한다. 그런데 신뢰도를 높이기 위해 본질적으로 같은 질문을 서로 다른 방식으로 반복해서 측정하는 전략이 흔히 사용되고 있다.

#### 신뢰도와 경제성 간의 상충관계
다른 조건이 같을 때, 항목의 수가 증가하면 신뢰도도 증가한다. 그러나 항목 수의 증가는 측정의 경제성을 저해한다.

### 신뢰도를 증가시키는 전략
위에서 논의한 신뢰도 증가에 수반되는 비용에도 불구하고, 높은 신뢰도가 요구될 수 있다. 신뢰도를 증가시키기 위해 다음의 방법을 고려할 수 있다.

#### 자료 수집 이전
측정 항목의 모호성을 제거한다.

응답자가 모르는 내용은 측정하지 않는다.

항목 수를 증가시킨다. 단, 측정의 경제성과의 상충관계를 고려한다.

신뢰도가 높다고 이미 알려진 척도를 사용한다.

사전조사를 실시한다. 신뢰도에 문제가 있는 척도를 미리 찾아낸다.

다른 항목들과 내용이나 형식이 다른 항목(예: 역항목)을 제외하거나 수정한다.

#### 자료 수집 이후
"alpha if item deleted"를 이용하여 문제가 되는 항목을 제거한다. 단, 여기에는 논리적 이론적 근거가 수반되어야 한다.

## 어떤 신뢰도 계수를 사용해야 하는가?

### 타우동등신뢰도를 계속 사용해야 하는가?
.

그러나 여러 신뢰도 계수들의 정확성을 비교한 시뮬레이션 연구들
은 가 부정확한 신뢰도 계수라는 공통된 결과를 도출하였다.

관련 연구들은  사용에 대해서 비판적이다. 기존 연구들의 결론을 단순화하여 분류하면 다음과 같다.

(1) 조건적 사용: 특정한 조건을 충족하는 경우에만 .

(2) 사용 반대:

### 타우동등신뢰도의 대안
모든 자료에 무조건적으로  대신 어떤 신뢰도 계수를 사용해야 하는가에 대해서는 서로 다른 의견을 내고 있다.

여러 신뢰도 계수들의 정확성을 비교한 시뮬레이션 연구들

다수 의견은 .

그러나 여러 구조방정식 기반 신뢰도 계수 (예: 단일차원 혹은 다차원 모형) 중에서 구체적으로 어떤 것을 사용하는 것이 최선인지에 대한 합의는 존재하지 않는다.

구조방정식 기반 신뢰도 계수 중에서 가장 흔히 사용되는 것은 단일차원 모형에 기반한 .

### 구조방정식 기반 신뢰도 계수를 위한 소프트웨어
SPSS와 SAS 등의 범용 통계 소프트웨어는 의 공식을 모르더라도 마우스 클릭 몇 번만으로 그 값을 얻을 수 있다.

AMOS, LISREL, MPLUS 등의 구조방정식 전용 소프트웨어는 구조방정식 기반 신뢰도 계수를 계산해주는 기능을 갖고 있지 않다. 사용자들이 직접 계산하는 것은 불편하고, 오류의 가능성도 높다. 아마도 이런 사용자 편의성의 부재로 인해 구조방정식 사용을 보고하는 연구들조차 구조방정식 기반 신뢰도 계수 대신  구조방정식 기반 신뢰도 계수를 자동적으로 계산하기 위한 다음의 대안이 있다.

1) R(무료): psych package는 여러 가지 신뢰도 계수를 계산할 수 있다.

2) EQS(유료): 구조방정식 전용 소프트웨어이며, 신뢰도 계수를 계산해 주는 기능을 갖고 있다.

3) RelCalc(무료)를 구할 수 있다. 또한 구조방정식 전용 소프트웨어의 결과를 바탕으로 여러 가지 다차원 구조방정식 신뢰도 계수를 계산할 수 있다.

## 공식의 유도
를 진점수 분산이라고 한다.

라고 할 때, 위의 가정들로부터 다음의 관계가 성립한다.


따라서 항목간 공분산 행렬은 다음과 같다.


위의 가정을 만족할 때의 신뢰도를