수학에서, **직교좌표계**는 그 좌표 곡면들 모두가 직각으로 만나는 d개의 좌표들의 집합(**q** = (''q''''가 상수로서 주어지는 곡선, 곡면, 또는 초곡면이다. 예를 들면, 3차원 데카르트 좌표계의 경우 그것의 좌표 곡면들이 서로 직각으로 만나는 평면들이라는 점에서 삼차원 데카르트 좌표계는 이 문서에서 말하는 직교 좌표계의 하나이다. 또한 이러한 직교 좌표계는 곡선 좌표계의 특별하면서도 매우 일반적인 경우에 해당한다.

## 동기
데카르트 좌표계에서 벡터 연산 및 물리 법칙들을 다루는 것이 가장 쉽겠지만 비-데카르트 직교 좌표계들 역시 다양한 문제들에 종종 사용된다. 비-데카르트 좌표계들은 양자역학, 유체의 흐름, 전기동역학, 화학 원소 또는 열의 확산 등에서 나타나는 경계값 문제들에서 특히 유용하게 사용된다.

비-데카르트 좌표들의 주된 장점은 주어진 문제의 대칭성을 고려하여 이에 적합한 좌표계를 선택하는 것에 있다. 예를 들면, 지상 또는 다른 장벽으로부터 먼 곳에서 발생한 폭발에 의해 만들어지는 압력파는 데카르트 좌표계에서 3차원적으로 기술될 수 있겠지만 압력은 주로 중심으로부터 멀어지는 방향으로 전파된다는 점에서 이 현상은 구좌표계에서는 거의 1차원적 문제처럼 다뤄질 수 있다. 다른 예로는 원통형의 직선 파이프 내에서 천천히 움직이는 유체가 있다. 데카르트 좌표계에서 이 현상을 기술하기 위해서는 편미분 방정식을 포함하는 어려운 2차원 경계값 문제를 푸는 것이 필요하지만 원통 좌표계에서는 편미분 방정식 대신에 상미분 방정식을 사용하여 1차원적으로 다뤄질 수 있다.

일반화된 곡선 좌표계 대신 직교 좌표계를 선호하는 이유는 단순성에 있다: 대부분의 복잡성은 좌표가 직교하지 않을 때 발생한다. 예를 들면, 직교 좌표계에서는 많은 문제들이 “변수 분리법”이라 불리는 수학적 기법을 사용하여 쉽게 풀려질 수 있다. 변수 분리법을 사용하면 복잡한 d차원의 문제가 알려진 함수들을 통해 풀려질 수 있는 d개의 일차원 문제들로 변환될 수 있다. 많은 방정식들은 라플라스 방정식 또는 헬름홀츠 방정식으로 환원될 수 있으며 라플라스 방정식은 13개의 직교 좌표계들에서 분리가능하고 헬름홀츠 방정식은 11개의 직교 좌표계들에서 분리가능하다.

직교 좌표계에서 그것의 메트릭 텐서는 비대각항들이 0이 되도록 구성된다. 즉, 무한소 제곱 거리(infinitesimal squared distance) ''ds''은 항상 무한소 좌표 변이들의 제곱된 값들의 스케일된 합(a scaled sum of the squared infinitesimal coordinate displacements)으로서 표현될 수 있다.

여기서 ''d''는 고려되는 공간의 차원이고 스케일 함수들(또는 스케일 인수들)은

h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k|

메트릭 텐서의 대각 성분들의 제곱근들 또는 국소 기저 벡터들 '' 은 새로운 좌표계에서 미분 연산자들(예를 들면, 기울기 연산자(gradient), 라플라시안, 발산 연산자 및 회전 연산자)를 계산하는데 사용된다.

2차원에서 직교 좌표계들을 생성하기 위한 간단한 방법은 데카르트 좌표들의 표준적인 2차원 그리드의 등각 매핑을 통해서이다. 복소수 ''z'' = ''x'' + ''iy''는 실수 좌표''x'' 와 ''y''로부터 형성될 수 있다(여기서 i는 허수 단위를 나타낸다). 영이 아닌 복소 도함수를 갖는 임의의 정칙 함수 ''w'' = ''f''(''z'')는 등각 매핑을 생성한다: 그렇게 만들어진 복소수가 ''w'' = ''u'' + ''iv''로 쓰여진다면, u 및 v가 상수인 곡선들은 x 및 y가 상수인 원래의 선들과 마찬가지로 직각으로 교차한다.

삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계들은 직교하는 2차원 좌표계로부터 생성될 수 있다. 예를 들면, 2차원 직교 좌표계를 새로운 차원(원통 좌표)로 투영하거나 2차원 직교 좌표계를 그 대칭 축들 중의 하나에 대해 회전시킴으로써 삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계를 생성할 수 있다. 하지만 2차원 좌표계를 투영하거나 회전하는 방법을 통해서는 얻어질 수 없는 다른 3차원 직교 좌표계들도 있다. 보다 일반적인 직교 좌표는 필요한 좌표 곡면을 가지고 시작하되 그들의 직교 궤도들을 고려함으로써 얻어질 수 있다.

## 기저 벡터

### 공변 기저
데카르트 좌표계에서, 기저 벡터들은 변하지 않는다(고정된다). 반면, 보다 일반적인 곡선 좌표계에서는, 공간 상의 한 점은 좌표들에 의해 명기되고, 그러한 모든 점들에는 (일반적으로는 고정되지 않은) 기저 벡터들의 세트가 바인딩된다: 이것은 일반적인 곡선 좌표의 핵심이며 매우 중요한 개념이다. 직교 좌표들을 특징짓는 것은 (기저 벡터가 변하더라도) 그러한 기저 벡터들은 서로에 대해 항상 직교한다는 것이다. 즉,

이러한 기저 벡터들은, 정의에 의해, 나머지 좌표들은 고정시키면서 하나의 좌표를 변화시킴으로써 얻어지는 곡선들의 접선 벡터들이다:

여기서, **r**은 어떤 점이고 ''q''는 기저 벡터가 추출되는 좌표이다. 즉, 곡선은, 한 좌표를 제외한, 모든 좌표들을 고정시킴으로써 얻어진다: 이때, 고정되지 않은 좌표는 매개변수 곡선(parametric curve)에서와 같이 변하게 되고, 그러한 매개 변수에 대한 그 곡선의 도함수가 그 좌표에 대한 기저 벡터이다.

기저 벡터들이 같은 길이일 필요는 없다. (좌표들의 스케일 인수들로서 알려진) 유용한 함수들은 기저 벡터들 이다(아래 표 참조). 스케일 인수들은 종종 라미 계수들(Lamé coefficients)로 불리기도 하는데, 선형 탄성 분야에서 더욱 잘 알려진 계수에 대해서도, 같은 이름이 사용되고 있으므로, 이러한 용어를 사용하지 않는 것이 바람직하다.

정규화된 기저 벡터들은 아래와 같이 해트를 사용하여 표기되며, 길이로 나눔으로써 얻어진다:

벡터장은, 기저 벡터에 대한 또는 정규화된 기저 벡터에 대한, 그것의 성분들에 의해 기술될 수 있으며, 따라서, 어떤 경우를 의미하는 것인지 명확히 하는 것이 필요하다. 양들에서의 명확성을 위해, 정규화된 기저에서의 성분들이 여러 응용들에서 가장 일반적으로 사용된다: 도함수들에서는, 정규화된 기저는 더욱 복잡하기 때문에 다소 덜 사용된다.

### 반변 기저
위에서 논의된 기저 벡터들은, 벡터들과 함께 변하기 때문에, 공변 기저 벡터들이다. 직교 좌표계의 경우, 반변 기저 벡터들은, 공변 벡터들과 같은 방향이지만 반비례하는 길이를 갖기 때문에, 찾기 쉽다(이런 이유에서 기저 벡터들의 위 두 세트들은 서로에 대해 역이라 한다):

위 식은 크로네커 델타(Kronecker delta)를 사용하여 이라는 사실로부터 얻어진다. 또한 아래와 같다:

이제까지 직교 좌표계들에서 벡터들을 나타내기 위해 일반적으로 사용되는 세가지 다른 기저 세트들이 소개되었다: 공변 기저 **e**''''. **비록 하나의 벡터는 (그 정체성(identity)은 좌표계의 선택에 무관한) ''객관적 양''일지라도, 벡터의 성분들은 그 벡터가 어떤 기저에 기초하여 표현되는지에 따라 달라진다**.

혼동을 피하기 위해, **e**''

여기에서는, 정규화된 공변 및 반변 기저들이 같다는 사실이 사용되었다.

### 외적
3차원 데카르트 좌표계에서, 외적은 아래와 같다:

(x_2 y_3 - x_3 y_2) \hat{ \mathbf e}_1 + (x_3 y_1 - x_1 y_3) \hat{ \mathbf e}_2 + (x_1 y_2 - x_2 y_1) \hat{ \mathbf e}_3

풀어 쓰면,

(x^2 y^3 - x^3 y^2) \frac{h_2 h_3}{h_1} \mathbf e_1 + (x^3 y^1 - x^1 y^3) \frac{h_1 h_3}{h_2} \mathbf e_2 + (x^1 y^2 - x^2 y^1) \frac{h_1 h_2}{h_3} \mathbf e_3

(비직교 좌표계 및 고차원으로의 일반화를 단순화시키는) 외적에 대한 간결한 표기는  레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor)를 사용함으로써 가능하다.

## 벡터 계산

### 미분
어떤 점에서의 무한소 변위를 본다면, 아래는 자명하다.

정의에 의해, 어떤 함수의 기울기 연산자(gradient)는 아래를 만족해야 한다. (이러한 정의는 f가 텐서인 경우에도 유효하다.)

이 경우, 델 연산자는 아래와 같이 주어진다:

이것은, 일반적인 곡선 좌표에서도, 그대로 유효하다. (기울기 연산자 및 라플라스와 같은) 양들은 이 연산자의 적절한 응용을 통해 얻을 수 있다.

### 기저 벡터 공식들
d**r** 과 정교화된 기저 벡터들**ê**''''로부터, 아래의 식들을 구성할 수 있다.

이때, J은, 야코비 행렬식으로서, 아래와 같이 주어진다.

### 적분
위에서 설명된 선요소를 사용하면 경로 

한 개의 좌표 좌표 ''q''를 상수로 유지함으로써 기술되는 표면에 대한 무한소의 면적 요소는 아래와 같다:

유사하게 볼륨 요소는 아래와 같다:

여기서 Σ가 합을 나타내는 것과 같은 방식으로 Π는 곱을 나타낸다. 모든 스케일 인수들의 곱은 야코비 행렬식이라는 것을 주목할 것.

한 예로, 3차원 공간에서 ''q''

이때 **F**
\nabla \cdot \mathbf F =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( F_1 h_2 h_3 \right) +
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( F_2 h_3 h_1 \right) +
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( F_3 h_1 h_2 \right)
\right]

\nabla^2 \phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial \phi}{\partial q^1} \right) +
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( \frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial \phi}{\partial q^2} \right) +
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \phi}{\partial q^3} \right)
\right]

위 표현들은 
\nabla \cdot \mathbf F =
\frac{1}{H}\frac{\partial}{\partial q^k} \left(\frac{H}{h_k} F_k\right)

\nabla^2 \phi = \frac{1}{H}
\frac{\partial}{\partial q^k}\left(\frac{H}{h_k^2}\frac{\partial \phi}{\partial q^k}\right)

## 표: 직교 좌표
일반적인 데카르트 좌표계 이외의 다른 것들이 아래 개시되었다. 간결함을 위해 좌표 열에 구간에 대한 정보가 표기되었다.

h_1&=1 \\
h_2&=r \\
h_3&=r\sin\theta
\end{align}

h_1&=h_3=1 \\
h_2&=r
\end{align}

h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=1
\end{align}

h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=uv
\end{align}

h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2u+\sin^2v} \\
h_3&=1
\end{align}

h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align}

h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align}

h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=1
\end{align}

h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}
\end{align}

h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}
\end{align}

x &= \frac{\lambda\mu\nu}{ab}\\
y &= \frac{\lambda}{a}\sqrt{\frac{(\mu^2-a^2)(\nu^2-a^2)}{a^2-b^2}} \\
z &= \frac{\lambda}{b}\sqrt{\frac{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)}{a^2-b^2}}
\end{align}