호모토피 이론에서 **CW 복합체**는 일련의 **세포**들을 이어붙여 구성할 수 있는 위상 공간이다. 단체 복합체의 개념보다 더 자유롭고, 단체 집합의 개념보다 더 구체적이지만, 그 범주 속에서 호모토피 이론을 용이하게 전개할 수 있으며, 단체 호몰로지와 마찬가지로 CW 복합체 구조로부터 직접 그 호몰로지와 코호몰로지를 계산할 수 있다. 이 계산법을 **세포 호몰로지** 및 **세포 코호몰로지**라고 한다.

## 정의

### 직접적 정의
하우스도르프 공간 
이들은 다음 네 조건들을 만족시켜야 한다.

위 정의에서 차원 열린 공이다.

CW 복합체 

CW 복합체의 임의의 열린 세포는 항상 어떤 유한 차원 부분 복합체에 포함된다. 그리고 CW 복합체의 콤팩트 부분공간은 항상 어떤 유한 개의 열린 세포에 포함되므로, CW 복합체의 임의의 콤팩트 부분 공간은 항상 어떤 유한 차원 부분 복합체에 포함된다.

### 귀납적 정의
CW 복합체의 개념은 다음과 같이 귀납적으로 정의될 수도 있다.

차원 **뼈대**는 다음과 같이 정의될 수 있는 위상 공간이다.

위 정의에서, 이다 (한원소 공간).

이 주어졌다면, 낮은 차원의 뼈대에 대한 포함 사상
이 존재한다. **CW 복합체**는 유한 차원 뼈대들의 귀납적 극한이다. 즉, 뼈대들의 포함 관계
의 귀납적 극한
이다.

이 귀납적 정의에서, 직접적 정의의 C 조건은 자동적으로 성립한다. 이는 세포의 폐포가 콤팩트 공간이기 때문에, 무한 개의 세포들을 포함할 수 없기 때문이다. W 조건은 귀납적 극한의 정의에 포함돼 있다.

### 추상적 정의
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면,  위의 **세포 복합체**는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
위 정의에서, 
특히, 0은 극한 순서수이며, 의 시작 대상이다.

이와 같은 열의 끝에서, 대상 번 “붙여서” 얻는 것으로 여길 수 있다.

이제, 위상 공간의 범주 에서,
가 되는 상대 세포 복합체를 **CW 복합체**라고 한다. 여기서

## 연산
CW 복합체들의 모임은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.

## 성질

### 일반위상수학적 성질
모든 CW 복합체는 다음 성질을 만족시킨다.
유한 개의 세포들로 구성된 CW 복합체는 콤팩트 공간이다.

CW 복합체에서, 모든 세포의 폐포는 오직 유한 개의 세포들과 공집합이 아닌 교집합을 갖는다. 즉, 라면,
이다.

### 호모토피 이론적 성질

#### 세포 호몰로지
단체 복합체에 대하여 단체 호몰로지를 정의할 수 있는 것처럼, CW 복합체에 대하여 그 CW 구조를 사용하여 **세포 호몰로지**라는 호몰로지 이론을 정의할 수 있다. CW 복합체에 대하여 이는 특이 호몰로지와 일치한다.

CW 복합체 이라고 하자.
임의의 에 대하여, 상대 호몰로지
는 자유 아벨 군이며, 그 생성원들은 들과 표준적으로 대응한다.

그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 생각하자.
여기서 는 다음과 같다.
이 경우 이므로, 브라우어르 차수가 잘 정의된다.

이 CW 복합체에 대하여 취한 호몰로지를 의 **세포 호몰로지**라고 한다. 세포 복합체를 쌍대화하여, **세포 코호몰로지** 역시 정의할 수 있다.

CW 복합체의 세포 호몰로지는 그 특이 호몰로지와 일치한다. CW 복합체 차 베티 수의 상계이다.

세포의 수가 유한한 CW 복합체 이라고 하자. 그렇다면, 세포 호몰로지의 정의에 따라
그 오일러 지표는 다음과 같다.

#### 화이트헤드 정리
**화이트헤드 정리** 에 따르면, 두 CW 복합체 사이의 연속 함수가 호모토피 동치가 될 필요충분조건은 이 함수가 약한 호모토피 동치(모든 호모토피 군의 동형을 유도하는 연속 함수)를 이루는 것이다. 따라서, CW 복합체의 경우 호모토피 동치와 약한 호모토피 동치를 구별할 필요가 없다.

#### 세포 근사 정리
두 CW 복합체 사이의 **세포 함수**는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 이다.

**세포 근사 정리**에 따르면, 두 CW 복합체 사이의 임의의 연속 함수 에 대하여 고정되게 잡을 수 있다. 따라서, 호모토피 이론에서는 CW 복합체 사이의 모든 연속 함수를 세포 함수로 가정할 수 있다.

### 모형 범주 이론적 성질
추상적으로, 모든 위상 공간의 범주에 올뭉치가 세르 올뭉치이며, 약한 동치가 약한 호모토피 동치인 모형 범주 구조를 줄 수 있다. 이 모형 범주에서, 모든 CW 복합체는 쌍대올대상이다. CW 복합체의 화이트헤드 정리는 일반적인 모형 범주에서의 화이트헤드 정리의 특수한 경우이다.

## 예
일반적으로 위상 공간의 CW 복합체 구조는 단체 복합체 구조보다 더 간단하다.

### 낮은 차원의 CW 복합체
다음 세 개념이 서로 동치이다.

다음 두 개념이 서로 동치이다.
이 경우, 그래프 이론과 위상수학의 개념이 다음과 같이 대응된다.

1차원 CW 복합체는 양끝점이 같은 변 및 같은 양끝점을 공유하는 변을 허용하므로, 1차원 단체 복합체보다 더 일반적인 개념이다. 사실, 1차원 단체 복합체는 그래프와 동치인 개념이다.

### 유클리드 공간
유클리드 공간  위에는 다음과 같은 CW 구조를 줄 수 있다.

### 초구
위에는 다음과 같은, 두 개의 세포만을 갖는 CW 구조를 줄 수 있다.

이에 따라, 
이다.

초구 사이의 연속 함수 임을 알 수 있다.

### 복소수 사영 공간
따라서, 그 세포 호몰로지는
이다. 모든 경계 사상들은 자명하며, 그 (세포) 호몰로지는
이다.

### 실수 사영 공간
에 세포가 하나씩 존재한다.

### 그라스만 다양체
그라스만 다양체는 **슈베르트 세포**라는 표준적인 CW 구조를 갖는다.

### 다양체
다양체는 모두 CW 복합체의 호모토피 유형을 갖는다.

4차원 이하의 콤팩트 다양체는 모두 단체 복합체와 위상 동형이며 따라서 CW 복합체와 위상 동형이다.

4차원에서는 단체 복합체의 구조를 갖지 않는 콤팩트 다양체가 존재한다. CW 복합체의 구조를 갖지 않는 4차원 콤팩트 다양체가 존재하는지는 아직 알려지지 않았다.

5차원 이상에서 모든 콤팩트 다양체는 CW 복합체의 구조를 갖는다. 그러나 단체 복합체의 구조가 항상 존재하는지는 알려지지 않았다.

#### 모스 이론
리만 다양체 인 임계점과 일대일 대응한다.

### C · W 조건이 성립하지 않는 복합체
일부 저자들은 C 조건 및 W 조건이 성립하지 않을 수 있는 복합체를 “화이트헤드 복합체”나 “세포 복합체”라고 부른다.

2차원 원판 
이는 CW 복합체의 정의에서 W 조건을 따르지만 C 조건만을 따르지 않아 CW 복합체가 아니다.

임의의 위상 공간  위에, 다음과 같이 자명한 화이트헤드 복합체 구조를 줄 수 있다.
이는 CW 복합체의 정의에서 C 조건을 (자명하게) 따르지만 (가 이산 공간이 아니라면) W 조건을 따르지 않아 CW 복합체를 이루지 않는다.

### CW 복합체와 위상 동형이 아닌 공간
모든 CW 복합체는 하우스도르프 공간이며, 따라서 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간은 CW 복합체와 위상 동형일 수 없다.

무한 차원 힐베르트 공간은 하우스도르프 공간이지만 CW 복합체와 위상 동형이지 않다. 무한 차원 힐베르트 공간은 베르 공간이므로, 유한 차원의 뼈대들의 귀납적 극한으로 나타낼 수 없다. 그러나 이는 축약 가능 공간이므로, CW 복합체와 호모토피 동치이다.

다음과 같은 공간은 국소 축약 가능 공간이 아니므로, CW 복합체와 위상동형이지 않다.
그러나 이는 축약 가능 공간이므로, CW 복합체와 호모토피 동치이다.

### CW 복합체의 호모토피 유형을 갖지 않는 공간
유클리드 평면 속의 다음과 같은 부분 공간을 생각하자.
이를 **하와이 귀고리**이라고 한다. 이는 완비 거리 공간이자 콤팩트 공간이며 경로 연결 공간이지만, CW 복합체의 호모토피 유형을 갖지 않는다.

### 다른 범주에서의 세포 복합체
임의의 범주 는 단순히 쌍대곱
이다.

#### 설리번 대수
표수 0의 체 를 생각하자.

만약 세포들을
의 꼴의 -가환 미분 등급 대수 준동형들 및
들로 잡을 경우, 이로부터 얻는 세포 복합체를 **설리번 대수**라고 한다.의 표준적 모형 범주 구조를 생성하는 쌍대올뭉치들이기 때문이다.

## 역사
존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1949년에 화이트헤드 정리를 증명하기 위하여 정의하였다.