**논리사**는 타당한 추론을 탐구하는 학문인 논리학의 발전사를 말한다. 형식논리학은 고대의 중국, 인도, 그리스의 철학에서 그 유래를 찾아볼 수 있다. 그리스 논리학, 그 중에서도 아리스토텔레스식 논리학은 과학·수학에 넓게 수용·응용된 고전논리학이다.

아리스토텔레스 논리학은 중세의 이슬람권 및 기독교 서방 세계에 한 층 더 발전하여, 14세기 중반에 정점을 맞이했다. 14세기부터 19세기 초까지의 시기는 대체로 논리학이 쇠퇴하여 경시되었던 시기로, 적어도 한 명의 논리학 역사가에 의해서 논리학의 침체기로 간주되고 있다.

19세기 중반이 되면 논리학이 부흥, 혁명기가 시작되고, 수학에서 이용되는 엄밀한 증명을 표본으로 하는 엄격하고 형식적인 규칙으로 주제가 발전했다. 근현대에서의 이 시기의 발전, 이른바 '기호' 혹은 '수리' 논리학은 2천 년에 걸친 논리학의 역사에서 가장 현저한 것이며, 인류의 지성의 역사에서 가장 중요·현저한 사건의 하나라고 말할 수 있다.

수리논리학의 발전은 20세기의 최초의 수십 년, 특히 괴델 및 타르스키의 저작에 의해서 일어나, 분석 철학이나 철학적 논리학, 특히 1950년대 이후에 양상 논리나 시제 논리, 의무 논리, 적정 논리 등에 영향을 주었다.

## 논리학 전사
타당한 추론은 인류의 역사의 모든 시대에 이용되어 왔다. 그렇지만 논리학은 타당한 추론·논증·증명의 '원리'를 연구하는 것이다. 추론에 의해서 결론을 이끈다는 발상은 아마도 원래 '토지의 측량'을 의미한 기하학과 관련하여 생겨났다. 특히, 고대 이집트인은 경험적으로, 첨두부를 절단한 형태의 피라미드의 크기의 구하는 방법 등 몇개의 기하학적 진리를 발견하였다.

또 하나의 기원은 바빌로니아에서 찾을 수 있다. 기원전 11세기의 에사길-킨-어플리의 의학서인 '진단 안내서'는 일련의 논리적인 공리계·전제에 근거하여 구축되어 있고,

## 그리스 철학에서의 논리학

### 플라톤 이전
고대 이집트인은 기하학적 진리를 경험적으로 발견했지만, 고대 그리스인에 의한 위대한 실적은 경험적으로 발견한 기하학적 사실들을 논증으로 체제화 한 것에 있다.

기하학과 별도로, 기본적인 논의의 패턴이 기원전 5세기의 소크라테스 이전 철학자 엘레아의 제논이 이용한 '배리법'으로 볼 수 있다. 이는 전제로부터 분명하게 잘못되어 있는 불합리·불가능한 결론을 이끄는 것에 의하여 전제의 잘못을 증명하는 방법이다. 플라톤 대화편의 '파르메니데스'에서는 제논을, 복수의 것이 존재한다는 전제로부터 불합리한 결론을 증명하는 것으로 파르메니데스의 일원론을 옹호하는 책을 저술했다고 주장하는 인물로 묘사하고 있다. 이러한 '변증적'인 추론을 실시한 다른 철학자로서는, 파르메니데스나 제논의 신봉자로 여겨지는 메가라의 에우클레이데스 등의 이른바 소소크라테스 학파가 있다. 이 학파의 성원은 '변증 학파'라고도 불렸다.

아리스토텔레스 이전의 사상가가 추론의 원리에 관심을 가졌다는 증거는 '양론'으로 불리는 단편에 볼 수 있다. 이는 기원전 4세기 초에 쓰여진 것으로 생각되는 것으로, 진위에 관한 매우 길어진 논의의 일부를 수록하고 있다.

### 플라톤의 논리학
기원전 4세기의 철학자 플라톤 (기원전 428년-기원전 347년)의 현존하는 저작 안에서 형식논리학을 취급한 것은 전무하지만, 철학적 논리학에 대한 수요인 공헌이 이루어지고 있다. 플라톤은 세 개의 물음을 세웠다:
첫번째 물음은 '테아이테투스'(Theaetetus)에서 나오는 것으로 것으로, 여기서 플라톤은 사고·의견을 대화·담화 (로고스)와 동일시하고 있다.

### 아리스토텔레스의 논리학
아리스토텔레스의 논리학, 특히 그의 삼단논법의 이론은 서양사상에 거대한 영향을 줬다. 논리학에 관한 그의 저작, 이른바 '오르가논'은 최초의 형식적인 논리학의 연구서로 근현대에까지 전해졌다. 저작의 시기를 결정하는 것은 곤란하지만, 아리스토텔레스의 논리학 관계 저작의 집필 순서는 아래와 같이 생각되고 있다:
이상의 저작은 논리학의 역사 중에서도 두드러져 중요하다. 아리스토텔레스는 통사론을 명사와 동사로 하는 체계적인 분석을 실시하려고 한 최초의 논리학자이다.

'범주론'에서, 그는 명사가 지시할 수 있는 모든 것을 분류하려고 시도했다. 이 작업은 서양사상에 심대한 영향을 준 철학적 저작 '형이상학'의 주장을 보강하는 역할을 이루어 있다. 그는 체계를 세워 말하는데 최초로 모순율과 배중률을 취급한 인물이다. 또한 그는 최초의 형식논리학자이다 . 그는 필요한 추론의 특징이 되는 의존관계를 모색해, 그렇게 말한 관계에서의 타당성을 전제의 진위 (주장의 건전성)와 구별했다.

'분석론 전서'에서는 삼단논법에 대한 연구가 전개되어 역사상 처음 세 개의 원리, 즉 변항의 사용, 순수하게 형식적인 취급해, 공리계의 사용이 채용되고 있다.

'트피카' 및 '궤변 논박론'에서는 그는 비형식논리학 (예를 들면 오류의 이론)을 전개하고 있다.

### 스토아 논리학
그리스 논리학의 다른 큰 학파로서는 스토아 학파가 있다.

스토아파의 세 개의 중요한 실적은 (i) 그들의 양상의 설명, (ii) 그들의 논리 포함의 이론, 그리고 (iii) 그들의 의미와 진리의 설명이다.

## 아시아의 논리학

### 인도의 논리학
형식논리학은 고전기 인도가 독립에 발생해 초기 근대까지 발전하고 있어, 그리스 논리학으로부터 영향이 있었는지 어떠했는지는 알려지지 않는다.

인도의 6학파 가운데, 니야야 학파와 바이시시카 학파의 두 개가 논리학을 취급하고 있다. 아크사 팬더 가우타마 (2세기)의 '니야야 스트라'는 힌두 철학의 6개의 정통 학파의 하나 니야야 학파의 중심적인 문헌이 되고 있다. 이 실재론적인 학파는 최초의 전제, 근거, 사례, 응용, 결론이라는 5단계의 골조로부터 완성되는 엄밀한 추론을 발전시켰다. 이는 물건의 특징을 정의할 때의 포함·제외로 불리는 것과 관련되어 있다.

이러한 시도에 수반하는 곤란이 부분적으로는 나비야-니야야라는 이름의 새로운 논리학파의 교류를 촉진하여, 같은 파가 16세기에 형식적인 분석을 전개하게 된다. 이 후발의 학파는 동인도·벤갈 지방에서 시작되어, 곳트로프 프레게의 '의의와 의미에 대해' 또는 '수의 정의'와 같은 현대 논리학과 유사한 이론을 발달시키고, 더욱이 그 뿐만 아니라 나비야-니야야 학파의 '보편의 제한 조건'의 이론은 근대적인 집합론의 발전에 대해서 몇 개의 점에서 선수를 치고 있었다. 1824년 이후 인도 논리학은 서양의 학자의 관심을 끌어, 찰스 배비지, 오거스터스 드 모르간, 그리고 특히 조지 불 등 19세기의 중요한 논리학자에게 영향을 미쳤다. 이는 조지 불의 처 메어리 에베레스트 불이 1901년에 쓴 '19세기의 인도 사상과 서양 과학'이라는 '보즈 박사에의 공개 편지'에서 증언되고 있다: '1830년-1865년의 수학계에서의 배비지, 드 모르간, 조지 불의 세 명에 의한 강렬한 인도화의 영향이라는 것이 무엇이었을까를 생각해 보자'

### 중국의 논리학
중국에서는 공자와 동시대의 묵자가 묵가의 선조로 되어 있는데, 묵가의 경전에서는 올바른 결론을 이끄는 조건이나 타당한 추론이라는 문제를 취급하고 있다. 그 중에서도, 묵가로부터 분리된 학파인 명가는 원시적인 형식논리학을 연구한 것으로 몇 명의 연구자에게 생각되고 있다. 진왕조 성립에 계속되는 법가의 가열인 지배에 의해서 논리학의 연구는 일단 끊어져 불교도에 의해서 인도 철학이 도입되는 것을 기다리게 된다.

## 중세 논리학

### 이슬람 철학에서의 논리학
파라비, 이븐 시나, 가잘리, 이븐 루시드 그 외의 이슬람 논리학자의 저작은 아리스토텔레스 논리학을 비판적으로 발전시키고 있어 고대의 사상과 중세의 서양사상이 사이를 주선한 점으로 중요시되어 왔다.

이븐 시나 는 아비센나 논리학의 창시자이다. 아비센나 논리학은 이슬람 세계의 논리학에서의 주도적인 체계로서의 지위를 아리스토텔레스 논리학으로부터 빼앗고, 더욱이 아르베르투스 마그누스와 같은 중세 서구의 저술가에게 심대한 영향을 줬다.

파흐르 알딘 알라즈 는 아리스토텔레스의 '제일격'을 비판해 원시적인 귀납 논리학을 조직 세우고 있어 존 스튜어트 밀 (1806년 - 1873년)에 의한 기능론 이학의 발전의 선구가 되고 있다.

그리스 논리학에 대한 체계였던 논박은 샤하브 알딘 스후라와르디 가 창시한 조명 학파에 의해서 집필되었다. 스후라와르디는 모든 양상 을 유일개필연성의 양상에 환원해 버리는 '결정적 필연성'의 개념을 발전시켰다. 이 유추의 모델은 존 F. 소와의 근년의 저작으로 이용되어 왔다.

15세기의 무하마드 이븐 파이드 알라 이븐 무하마드 아민 알샤르와니에 의한 '샤르 알타크밀 필만티크'는 아랍인에 의한 논리학서로 연구가 좋게 되어 왔지만 안으로는 마지막 저명한 작품이다.

### 중세 서구의 논리학
'중세 논리학' ('스콜라 논리학'으로도 알려진다)은 일반적으로, 1200년대부터 1600년대까지의 중세 서구에서 발전한 아리스토텔레스 논리학의 한 형태를 가리킨다.

13세기 초까지는 아리스토텔레스의 '오르가논'의 나머지의 작품 이 서구에서 부활했다.
이 흐름의 마지막에 위치하는 중요한 작품으로서는 요하네스 포인소트 의 '논리학', 프란시스코 수아레스 (1548년 - 1617년)의 '형이상학적 논쟁', 죠반니 지로라모 삭케이리 (1667년 - 1733년)의 '실증 논리학' (라: Logica Demonstrativa)이 있다.

## 전통적 논리학

### 교과서의 전통
''전통적 논리학''은 일반적으로는 안토와느 알노와 피에르 니콜의 '논리학, 혹은 사고의 기법', 통칭 '폴 로와이얄 논리학'에 시작하는 교과서의 전통이다. 본서는 아리스토텔레스 및 중세의 명사 논리학의 골조 안에 데카르트의 교설 을 대략적으로 나타내고 있다. 1664년부터 1700년까지의 사이에 8쇄를 거듭해 그 이후의 시기에도 현저한 영향을 미쳤다. 존 로크가 '인간 오성론'으로 준 명제의 설명은 근본적으로는 '폴 로와이얄 논리학'의 것과 같다: '음성적인 명제, 즉 말[은], 우리가 가지는 관념의 상징[이며], 긍정문 혹은 부정문을 구성하거나 분리한다. 그 때문에 명제는 긍정 혹은 부정을 의미하는 것에 따라서, 이러한 상징을 구성하거나 분리하는 것에 있다.' 

또 하나의 영향력이 높은 작품은 프랜시스 베이컨의 1620년에 발표된 '노붐 오르가눔'이다. 서명은 '신기관'이라고 번역할 수 있지만, 이는 아리스토텔레스의 작품 '오르가논'을 의식한 것이다. 본서 속에서 베이컨은 아리스토텔레스의 삼단논법을 부정해 대신에 '천천히 하고 있어 매우 수고스럽지만 성실한 작업에 의하여 사물로부터 정보를 모아 그 정보를 이해로 이끄는' 방법을 바람직한 것으로 했다. 이 방법은 귀납 추론으로 불리는 것이다. 귀납법은 경험적 관찰로부터 시작되어 하류의 자연법칙이나 명제로 진행된다. 하류의 자연법칙으로부터 보다 상류의, 보다 일반적인 법칙이 (귀납에 의해서) 도출된다. 열과 같은 '현상하는 자연'의 원인을 발견할 때, 열이 찾아내지는 모든 경우를 목록화 해야 한다. 여기로부터 또하나의 목록을 기술할 수 있고, 그 목록에는 열이 없는 경우를 제외하고 최초의 목록에 있는 것과 같은 모든 조건이 쓰여져 있다. 셋째의 표에는 열이 변화하는 경우가 목록화되어 있다. 열의 '양식적 자연', 즉 원인은 제일의 표에 포함되는 모든 경우에 공통되어, 제2의 표에 포함되는 어느 경우에도 존재하지 않고, 제3표에 포함되는 각각의 경우로 정도로 차이가 있어야 한다.

교과서의 전통에 속하는 다른 작품으로서 아이작 와츠의 '논리학: 혹은 이성의 올바른 사용법', 리처드 와틀리의 '논리학' , 존 스튜어트 밀의 '논리학 체계' (1843년)가 있다. '논리학 체계'는 이 흐름에서의 마지막 주요 작품의 하나이지만, 논리학의 기초는 내관에 있다는 밀의 사상

### 헤겔 철학에서의 논리학
게오르크 빌헬름 프리드리히 헤겔은 그의 방대한 저서 '대논리학'을 요약한 작품으로 1817년에 발표한 '철학 백과사전'(Encyclopaedia of the Philosophical sciences) 제1부에서 자신의 철학 체계에 대한 논리학의 중요성을 시사하고 있다. '소론 이학'이라고도 불리는 '백과사전' 안의 '논리학'은 잘 알려져 있듯이, 범주 안의 가장 공허하고 추상적인 물건으로부터 태어나는 일련의 변화를 전개하고 있다: 헤겔은 '순수 존재'와 '순수무', 즉 자신에 앞서는 모든 범주를 포함·해명하는 범주로부터 시작한다 (그리고 절대에 도달한다). 표제에 반해 헤겔의 '논리학'은 사실은 타당한 추론의 학문에 대한 연구는 아니다. 전제로부터 타당한 추론을 통해서 개념에 관한 결론을 이끄는 것보다도 오히려, 하나의 개념에 대해 생각하면 다른 개념도 생각하게 되는 것을 나타내려고 헤겔은 시도하고 있다 (예를 들면 '양'의 개념 없이 '질'의 개념을 가질 수 없다고 그는 주장한다); 또, 여기서 충동은 개인의 심리적인 문제가 아니고, 개념 자체의 내용물로부터 거의 조직적으로 일어서 오는 것이다. 그의 목적은-실로 이성 자체의- '절대'의 이성적 구조를 나타내는 것에 있다. 하나의 개념으로부터 그 대의적 개념으로, 그리고 한 층 더 다른 개념으로 사고가 흘러 가는 방법은 헤겔의 변증법으로 알려져 있다.

헤겔의 '논리학'은 주류파의 논리학 연구에 거의 영향을 미치지 않았지만, 그 영향을 볼 수 있는 작품으로서 카를 폰 프란틀의 '서양 논리학사'나 영국 관념론자의 작품-예를 들면 프랜시스 브래들리의 '논리학의 제원리'  -, 그리고 카를 마르크스 및 마르크스주의 제학파의 경제학, 정치학, 철학 등의 연구 등이 있다.

### 논리학과 심리학
밀과 프레게의 저작의 사이로, 논리학이 넓게 기술 과학으로서 혹은 추론의 구조의 경험적 연구, 또 근본적으로는 심리학의 한 분야로서 다루어진 기간은 반세기에 이른다. 논리학을 심리학적 고찰에 의해서 기초 마련한 일은 모든 논리학적 진리를 증명되어 있지 않은 상태로 해 버리는 것이나 회의주의·상대주의가 불가피한 결과인 것을 시사하고 있다고 후설은 강력하게 주장했다.

이러한 비판에 의해서 이른바 '심리학주의'가 즉석에서 근절된 것은 아니다. 예를 들면, 미국의 철학자 죠시아 로이스는 후설의 비판의 힘은 인정하면서도, 심리학의 발전이 논리학의 발전을 수반하는 것이며, 역도 또 참인 것을 '의심할 수 없다'고 계속 생각하고 있다.

## 현대 논리학의 융성
14세기부터 19세기 초의 사이의 기간은 대체로 쇠퇴와 부정의 시기이며, 논리학 역사가에 의해서 일반적으로 황폐기로 간주되고 있다.

수많은 특징에 의해서 현대 논리학이 고전의 아리스토텔레스 논리학이나 전통적 논리학와 구별되지만, 이중에서도 특히 중요한 것은 이하와 같다:

현대 논리학은 근본적으로는 '계산'(calculus)이며, 이 계산을 수행하는 규칙은 이용되는 기호의 '의미'에 의해서가 아니라, 수학과 같이 기호의 '형식'에 의해서 정해진다. 현대 논리학자는 실로 수학적인 결과에 관해서 논쟁이 길어지지 않는 수학의 '성공'에 강하게 영향을 받고 있다. 라플라스가 정적분의 계산을 잘못했기 때문에 달의 궤도에 관한 잘못이 일어나 그것이 50년 가깝게 존속했다고 해도, 잘못이 한 번 찾아낼 수 있으면 큰 논쟁을 일으키는 일 없이 바로잡아진다고 C. S. 퍼스는 말하고 있다. 퍼스는 이를 전통 논리학에 관련되는 애매함과 그리고 특히 형이상학에서의 추론과 대비시키고 있는 것이다. 실로 '정확한' 논리학은 수학적인, 즉 '도식적'·'기호적'인 사고에 근거한다고 그는 주장했다. '이러한 방법에 준거하는 사람들은 [ ... ] 한번 의심되자마자 바로잡아지는 것을 제외해 모든 잘못으로부터 면할 것이다.

'또, 현대 논리학은 '추상적'(abstractive)인 것보다도 오히려 '구성적'(constructive)이다. 즉, 자연 언어 (혹은 타당성에 관한 심리학적 직관)로부터 이끌어낸 일반 원리를 추상화·정식화하는 것보다도 오히려, 형식적인 방법에 따라 일반 원리를 구성해, 그 후에 자연 언어에서의 해석을 모색하는 것이다. 이는 완전하게 기호적이다, 즉 (중세 논리학자가 공의어라고 부른) 논리적으로 불변인 물건과 자의어의 양쪽 모두가 기호로 나타내진다. 최종적으로, 현대 논리학은 심리적·인식론적·형이상학적인 물음을 강하게 물리친다.

## 현대 논리학의 시대
현대 논리학의 발전은 크게 다섯 개의 시기로 나눌 수 있다:

### 태동기
추론이 순수하게 기계적인 과정에 의해서 나타낼 수 있다는 발상은 동심환의 체계에 의해서 결론을 이끈다는 (약간 이색적인) 방법을 제안한 라몽 류이에서 이미 찾아볼 수 있다. 옥스포드 계산가

제르곤누 (1816년)는 추론은 그에 대해 완전하게 명확한 관념을 가지고 있는 부분의 대상에 관한 것일 필요는 없다는, 대수적인 조작은 거기서 사용된 기호의 의미의 관념을 갖지 않고도 실행할 수 있기 때문이라고 말했다. 이는 오늘로는 의미론적 타당성(semantic validity)으로 알려져 있다.

### 대수학의 시대
현대 논리학은 불(Boole)을 기원으로 하여, 페어스(Peirce), 제본즈(Jevons), 슈뢰더, 존 벤(Venn)을 포함한 이른바 '대수학파'에 시작한다. 선택 함수의 이론과 선택 함수의 '발전'은 진리 함수와 그 가법 표준형에 의한 표현이라는 본질적으로 현대적인 관념이다.

불의 체계는 클래스 논리학 및 명제 논리학이라는 2종류의 해석이 가능하게 된다. 불은 삼단논법의 이론으로 취급하는 '일차 명제'와 명제 논리학으로 취급하는 '2차 명제'를 구별해, 다른 '해석' 아래에서 대수계가 양자를 어떻게 나타낼 수 있는지를 나타냈다. 일차 명제는 예를 들면 '모든 주민이 유럽계나 아시아계이다'이다. 2차 명제는 예를 들면 '모든 주민이 유럽계이거나 모든 주민이 아시아계의 어느 쪽이다'이다.

'기호논리학' 에서, 존 벤은 명제의 클래스 또는 진리 조건(truth-condition)의 불 대수 관계(Boolean relation)를 기술하는 데에 영역이 겹치는 도식을 이용했다. 1869년에 제본즈는 불의 방법이 기계적으로 진행되는 것을 나타내, '논리 기계'를 조립해 다음 해에 왕립 협회에 제출했다. 1885년에 알란 마칸드가 논리 기계의 전기식 버전을 제안했는데, 지금도 현존하고 있다.([https://web.archive.org/web/20080908073359/http://finelib.princeton.edu/instruction/wri172_demonstration.php picture at the Firestone Library])

(존재 명제를 나타내는 데 ''v''라는 문자를 사용하는 등의) 불의 체계의 결점은 모두 그의 추종자들에 의해서 개선되었다. 제본즈는 1864년에 '순수 논리학, 또는 양과는 다른 질의 논리학' 을 출판해, 그 중에 매우 간소화된 불의 체계에 준거해 배타적 논리합을 나타내는 기호를 제안했다.이나, 제르곤누 (1816년)가 최초로 제안해 퍼스 (1870년)가 명확하게 표현한 내포의 개념이 부재하였다.

불 대수계의 성공에 의해, 모든 논리는 대수적으로 나타낼 수 있다고 주장이 되고, 그렇게 말한 형식에서 관계의 논리를 나타내려는 시도가 태어났는데, 그 중에서도 가장 야심적인 것은 슈뢰더의 기념비적 작품 '논리 대수 강의' 이다. 그러나 기본적인 생각은 역시 퍼스에 의해서 예견되고 있었다.

### 논리주의자의 시대
불 이후에 큰 발전은 독일의 수학자 고틀로프 프레게에 의해서 이루어졌다. 프레게의 목적은 논리주의의 계획, 즉 산술은 논리와 완전히 동일하다고 나타내 보이는 것에 있었다. 프레게는 수의 개념이 순수하게 논리학적인 수법으로 나타내지는 것을 나타내려고 시도해 그 결과 (그가 올바르면) 계산이나 계산에 환원할 수 있는 모든 수학의 분야는 논리학에 포함되게 되었다. 그는 이를 제안한 최초의 저술가는 아니다. 그의 선구적 작품 '산술의 기초'(Die Grundlagen der Arithmetik) (15장-17장)에서, 그는 라이프니츠, 밀, 제본즈의 실적을 인정하고 있어 제본즈의 '대수학은 고도로 발달한 논리학, 즉 논리적 구별이 부족한 수이다'라는 주장을 당기고 있다.

프레게의 처녀작 '개념 표기법'은 명제 논리를 엄밀하게 공리화한 체계이며, 단 두 개의 논리합 (부정과 논리 포함), 두 개의 추론 규칙 (모다스포넨스와 대입), 여섯 개의 공리만으로 구축되고 있다. 프레게는 이 체계의 '완전성'에 언급하고 있지만, 그것을 증명할 수 없었다. 양화자에 의한 표현 '모든 인간'은 '모든 인간'과 논리적·의미론적 형식에서 달라, 보편 명제 '모든 A는 B이다'는 두 개의 '함수', 즉 '-은 A이다'와 '-은 B이다'의, 전자를 만족하는 모두 후자도 만족하는 합성 명제라고 프레게는 주장했다. 현대의 기법으로 이는 이하와 같이 표현된다.
한국어로 쓰면 '모든 (임의의) x에 대해서, Ax라면 Bx이다'가 된다. 단칭명제만은 주어-술어의 형식을 취해, 환원되지 못하고 단칭이다, 즉 일반 명제로 환원할 수 없다. 대조적으로 보편 명제와 특수 명제는 단순한 주어-술어의 형식을 결코 취하지 않는다. '모든 포유류'가 '모든 포유류는 육생이다'라는 문장의 논리적 주어이면, 문장 전체를 부정하기 위해서 술부를 부정해 '모든 포유류가 육생'은 아니다' '라는 문장을 줄 것이다. 그러나 이 경우는 그렇지 않다. 이러한 통상 언어문의 함수적인 분석은 후에 철학과 언어학에 심대한 영향을 주었다.

이는 프레게의 계산에서는, 불의 '일차' 명제가 '2차' 명제로부터 다른 형태로 나타낼 수 있는 것을 의미한다. '모든 주민은 유럽계나 아시아계의 어느 쪽이다'는
로과 나타낼 수 있는데 비해 '모든 주민이 유럽계거나 모든 주민이 아시아계의 어느 쪽이다'는
프레게는 불의 계산을 부정해 다음 같이 말하고 있다:
통일적·포괄적인 논리 체계를 제공했던 것 뿐만 아니라, 프레게의 계산은 고전적인 다중 보편성 문제도 해결했다. '모든 여자 아이가 사내 아이에게 키스를 했다'의 애매함은 전통적 논리학으로는 표현 곤란하지만, 프레게의 논리학이라면 이를 양화자의 사정의 틀림에 따라 파악할 수 있다. 그 때문에
는 거기에 있는 모든 여자 아이에게 대응하고 키스를 한 상대인 사내 아이 (모두가 그렇게 한다)가 존재하는 것을 의미한다. 대해
는 어떠한 특정의 소년이 있어 그에게 모든 여자 아이가 키스를 한 것을 의미한다. 이러한 도구 정리가 없으면 논리주의의 계획은 애매모호하거나 불가능했을 것이다. 이를 사용하는 것으로 프레게는 조상 관계, 다대일관계, 수학적 귀납법의 정의를 줬다.

이 시기는 데데킨트, 파슈, 페아노, 힐베르트, 트르메로, 한틴톤, 베브렌, 하이팅 등 이른바 수학파의 저작 간행과 겹치고 있다. 그들의 목적은기하학, 산술, 해석, 집합론과 같은 수학의 분야를 공리화하는 것이었다.

논리주의 계획은 1901년의 버트런드 러셀이 나타내 보인 역설에 의해 반치명적인 좌절을 경험했다. 이에 의해 프레게의 소박 집합론으로부터 모순이 이끌리는 것이 증명되었다. 프레게의 이론은 어떤 형식적 기준에 대해서도 기준에 적절한 것 모두를 포함한 집합이 존재한다는 것이었다. 그에 비해, 자신이 자신의 요소가 아닌 집합을, 그것들만을 포함한 집합은 자신의 정의와 모순된다 라는 것을 러셀이 증명했던 것이다. 트르메로 집합론은 최초의 공리계 집합론이다. 이것이 발전해 오늘 표준적인 물건이 되고 있는 트르메로후렌켈 집합론 (ZF)이 되었다.

1910년-1913년에 발표된 수학기초론에서 기념비적인 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드에 의한 3권으로부터 되는 작품 '프린키피아 마테마티카'에서는 계형이론을 구축하는 것으로 역설을 구축하려고 시도되고 있다: 요소의 집합은 서로가 서로의 요소인 것보다도 오히려 다른 형태에 속하고 있어 (집합은 요소가 아니다; 요소는 집합은 아니다), '모든 집합의 집합'되는 개념에 대해 말할 수 없다. '프린키피아'는 기호논리학에서 자주 정의된 일련의 공리와 추론 규칙으로부터 모든 수학적 진리를 꺼내려는 시도였다.

### 메타 수학의 시대
괴델과 타르스키의 이름이 1930년대, 메타 수학 - 수학적 수법을 이용해 메타 이론, 즉 다른 수학적 이론에 관한 수학적 이론을 만들어 내는 수학-의 발전에 결정적인 시대를 지배했다. 메타 수학에 대한 초기의 연구는 힐베르트 프로그램에 의해서 추진되었다. 힐베르트 프로그램은 유한개의 공리로 모든 수학을 기초 마련하는 일로 수학의 기초부에 진행중인 위기를 해결하려는 것으로, '유한주의'적인 수법에 따라 수학에 무모순성을 주어 모든 수학적 언명의 진위를 판단하는 수속을 제공한다. 메타 수학의 연구가 정점으로 달한 것은 1층 술어 논리에 의한 임의의 문장은 논리적으로 타당할 때, 그리고 그 때만-즉, 그 문장이 그 언어에서의 어떠한 구조에서도 참일 때—도출 가능이다. 이는 괴델의 완전성 정리로서 알려진다. 그 후, 그는 두 개의 중요한 정리를 증명하고 있어, 힐베르트 프로그램은 그 원래의 형태로는 달성 불가능하다는 것이 그에 따라서 나타났다. 두 개 중 첫째는, 알고리즘이나 컴퓨터 프로그램과 같은 효과적 방법에 따라 그 정리를 늘어놓아 들 수 있는 모순되지 않은 공리계로 자연수에 관한 모든 사실이 주어지지 않는다는 정리이다. 그러한 모든 계에 대해서, 참이지만 그 계로부터 증명할 수 없는 자연수에 관한 명제가 항상 존재한다. 둘째는, 그러한 계가 자연수에 관한 기본적인 사실을 증명할 수 있다면, 그 계는 자신의 무모순성을 증명할 수 없다는 것이다. 이 두 개의 결과는 괴델의 불완전성 원리, 혹은 단지 '괴델의 정리'라고 불린다. 후에, 괴델은 선택 공리 및 연속체 가설이 트르메로후렌켈 집합론과 모순되지 않은 것의 증명의 일환으로서 집합론적 구성 가능성의 개념을 발달시켰다.

증명론에서는, 게르하르트 겐트가 자연 연역과 시크엔트 계산 등의 개념을 발달시켰다. 자연 연역은 논리적 추론을, 그것이 실천 중에서 '자연스럽게' 일어나 직관 논리에 가장 용이하게 적용할 수 있는 것이도록 조형하려는 시도이며, 시크엔트 계산은 임의의 형식적 체계에 대해 논리적 증명의 도출을 정식화하기 위해서 구축된다. 겐트의 저작 이후, 자연 연역과 시크엔트 계산은 증명론, 수학적 논리학, 계산기 과학 등의 분야에 넓게 적용되어 왔다. 또, 겐트는 정규화 정리와 컷 제거 정리를 증명했지만, 이는 논리적 증명을 정규의 형식에 환원하는데 사용되는 것으로 직관 논리 및 고전 논리에 나타나게 됐다.

얀 우카시에비치의 제자 알프레트 타르스키는 진리와 논리적 귀결의 정의, 논리적 충족이라는 의미론적 개념에 의해서 가장 잘 알려져 있다. 1933년에, 그는 (폴란드어로) '형식 언어에서의 진리의 개념'을 발표해, 그 중에 자신 진리의 의미론을 제안했다: '눈은 희다'와 같은 문장은 눈이 흴 때에, 그리고 그 때에만 참이다. 타르스키의 이론은 메타 렝귀지, 즉 언명을 실로 하는 것과 대상 언어, 즉 참이라고 주장되는 문장을 포함하는 것을 구별하고, 대상 언어의 어구와 해석의 요소와의 사이에 일치 (T-schema)를 주었다. 진리를 설명한다는 곤란한 과제에 대한 타르스키의 접근은 논리학과 철학에, 특히모델 이론의 발전에 영속적으로 영향을 주고 있다.

알론조 처치와 앨런 튜링은 계산 가능성이 형식적인 모델을 제의해, 1936년 및 1937년에 각각 독자적으로 히르베르트의 '결정 문제'를 부정적으로 해결했다. '결정 문제'란, 임의의 형식적·수학적 언명이 주어졌을 때에 그 언명의 진위를 알고리즘적으로 결정할 수 있는 순서를 탐구하는 것이다. 교회와 튜링은 그러한 순서가 존재하지 않는 것을 증명했다; 튜링의 논문에서는 알고리즘적인 해결이 존재하지 않는 수학적 문제의 중요한 예로서 정지성 문제가 들어지고 있다.

처치의 계산 시스템은 발전하여 람다 계산이 되었고, 한 편 튜링 기계는 다목적 계산 장치의 표준적인 모델이 되었다. 그 밖에도 수많은 계산 모델이 제기되었지만, 그것들은 모두 처치나 튜링이 제안한 것과 동등의 능력을 가지고 있었다. 이 결과로부터, 인간이 실행할 수 있는 임의의 확정적 알고리즘은 튜링 기계도 실행할 수 있다는 처치-튜링 논제가 유도되었다. 처치는 보완적인 결정 불가능의 결과를 증명해, 페아노 계산도 1층 술어 논리도 결정 불가능인 것을 나타냈다. 그 후, 1940년대에 에밀 포스트와 스티븐 클레이니가 계산 가능성 이론의 사정을 확장해, 튜링 차수의 개념을 도입했다.

20세기 최초의 10년의 성과는 분석 철학이나 철학적 논리학에, 특히 1950년 이후의 양상 논리, 시제 논리, 의무 논리 등에 영향을 미쳤다.

### 전후 논리학
제2차 세계대전 후, 수리논리학은 4개의 서로 관련하지만 서로 떨어진 영역, 즉 모델론, 증명론, 계산 가능성 이론, 그리고 집합론으로 나누어졌다.

집합론에서는 강제법이 모델을 구축해 독립한 결과를 얻기 위한 방법을 제공하고 혁명이 일어났다. 1962년에 폴 코엔이 이 방법을 도입해 연속체 가설과 선택 공리가 ZFC 집합론으로부터 독립인 것을 증명했다. 그의 기교는 도입하자마자 간소화 및 확장된 것이며, 이 이후 수리논리학의 모든 분야에서 다른 여러 가지 문제에 도입되어 왔다.

계산 가능성 이론의 기원은 1930년대-1940년대의 튜링, 처치, 클레이니, 그리고 포스트에 있다. 계산 가능성 이론은 추상적 계산 가능성의 연구로 발전해, 재귀 이론으로서 알려져 있는 것이 됐다. 우선도법(priority method)은 1950년대에 알버트 머크닉(Albert Muchnik)와 리처드 프리드베르그(Richard Friedberg)에 각각 독립에 발견되어 튜링 차수와 관련하는 구조의 이해에 큰 진전을 가져왔다. 고차 계산 가능성 이론의 연구에 의해 계산 가능성 이론과 집합론과의 관계가 증명되었다. 구성적 해석학 및 계산 가능성 해석학 등의 분야는 고전 수학의 정리의 유효한 내용을 연구하기 위해서 발전했다; 이들은 번갈아 역수학의 계획을 일으켰다. 계산 가능성 이론의 다른 분야인 계산 복잡도 이론(computational complexity theory)도 또한 기술 계산량의 연구의 결과로서 논리학적인 술어를 사용한다는 특징을 가진다.

모델 이론은 수리논리학의 수법을 이용해 특정의 수학 이론의 모델을 연구하는 분야이다. 알프레트 타르스키는 이 분야의 선구적인 저작을 많이 발표하고 있어 이 분야의 이름도 그가 발표한 일련의 저작의 제목 '모델 이론에의 공헌'에 연관되고 있다. 1960년대에, 아브라함 로빈슨은 모델 이론의 기법을 이용해 무한소, 즉 최초로 라이프니츠가 제의한 문제에 근거한 계산·해석을 발전시켰다.

증명론에서는 고전 수학과 직관적 수학과의 관계가 게오르크·쿠라이젤의 발명한 실현 가능성의 수법이나 괴델의 변증법 해석이라는 도구를 이용해 해명된다. 이 연구에 의해서 증명 채굴(proof mining)이라는 동시대의 영역이 여기되었다. 커리-하워드 대응(Curry-Howard correspondence)이 자연 연역과 계산기 과학으로 이용되는 형태 부착 람다 계산(typed Lambda caculus)와의 일치를 포함한, 논리와 계산과의 깊은 유사로서 일어났다. 결과적으로, 이 형식적 체계의 클래스가 논리학적인 면과 계산기적인 면과의 양쪽 모두를 설명하게 되었다; 이 연구 영역은 현대형 이론으로서 알려지게 되었다. 순서 해석이나, 파리스하린톤의 정리와 같은 산술에서의 독립한 결과의 연구에 의해서도 진전이 일어났다.

이 시기는, 특히 1950년대와 그 이후는 수리논리학의 개념이 철학적 사고에 영향을 주기 시작했던 시기이기도 하다. 예를 들면, 시제 논리는 시간에 수식된 문장을 표현해, 추리하기 위해서 형식화 된 체계이다. 철학자 아서 프라이어는 1960년대에 이 분야의 발전에 큰 역할을 완수했다. 양상 논리는 형식논리학의 사정을 확장해 모다리티의 요소 를 포함 하도록 했다. 솔 크립키의 사상, 특히 가능 세계에 관한 사상과 오늘 크립키 의미론으로 불리고 있는 형식적 체계는 분석 철학에 중대한 영향을 미쳤다. 의무 논리는 양상 논리와 긴밀히 관계하고 있다: 의무 논리는 의무, 허가, 그 외 관련하는 개념의 논리적 특징을 파악하려고 한다. 아레크시우스 마이농의 제자 에른스트 메리는 화이트 헤드와 러셀의 명제 계산의 통어론에 근거해 '의무의 기본법칙' (독일: Grundgesetze des Sollens)으로 처음으로 형식적인 의무 체계를 제의했다. 제2차 세계대전 후에 창시 된 다른 논리 체계로서 이란의 수학자 로트피 자데가 1965년에 시작한 퍼지 논리가 있다.