**행사다리꼴행렬**이라고도 불리는 사다리꼴행렬(echelon form matrix)은 가우스 소거법 및 가우스 조단 소거법 알고리즘을 통해서 알 수 있듯이, 모든 성립하는 연립방정식으로부터 첨가 행렬의 과정을 거쳐 해를 갖는 행사다리꼴행렬(REF) 또는 기약행 사다리꼴행렬로 변환할 수 있다.

이것은, 선형 대수학에서 행렬이 가우스 소거법으로 인해 사다리꼴 형태의 모양을 갖는다는 것을 의미한다.

사다리꼴 행렬(Echelon form matrix)은 가우스 소거법이 행과 열에 대해 작동한다는 것을 의미한다. 바꾸어 말하면 행렬이 행의 형태로 다루어지는 경우 행 사다리꼴 형태의 행렬 모양을 갖게 됨으로써 이처럼 일반적으로 행에 대한 사다리꼴 행렬이 고려되지만 여전히 열 사다리꼴 행렬(column echelon form matrix)의 동등한 성질은 행사다리꼴형식의 모든 성질을 전치시킴으로써 얻어낼 수도 있다.

또한, 연립방정식의 풀이가 행렬식의 과정을 통해서 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬에 대한 풀이로 귀결될 수 있다면 데카르트 좌표평면상의 경우를 포함해서 수식에 의한 (대수적) 연립방정식보다 상대적으로 쉽고 빠른 결과에 대한 정보를 얻을 수 있게되는데,
이러한 사다리꼴행렬 변환처리는 오늘날 컴퓨터에 의한 그래픽처리 등에 있어서 헤밀턴의 사원수와 함께 주요한 이슈이다.

사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 경우이다.

## 조건
행렬, 특히 행사다리꼴행렬(REF)에서,

이 두 조건은 선행 계수 아래의 열에 있는 모든 항이임을 의미한다.
다음은 
-->

행사다리꼴행렬(REF)의 두 조건을 모두 만족하고 다음의 조건을 만족할 때 기약행 사다리꼴행렬이라고 한다.

\left[ \begin{array}{ccccc}
x & x & x & x & x \\
0 & 0 & x & x & x \\
0 & 0 & 0 & x & x
\end{array} \right]

\left[ \begin{array}{ccccc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right]


\left[ \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]

첫째 열을 사다리꼴로 변형시키기 위해 첫째 행을 이용하여 나머지 행들을 계산한다.
 4-({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{2}}) & -6-({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{1}}) & 0 -({\color{red}{2}}\times{\color{blue}{1}}) & -2-({\color{red}{2}}\times {\color{blue}{5}} ) \\
 -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} 
 0 & -8 & -2 & -12 \\
 -2-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{2}}) & 7-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{1}}) & 2-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{1}}) & 9-({\color{red}{-1}}\times {\color{blue}{5}} )

\end{pmatrix} 
둘째 열을 사다리꼴로 변형하기 위해 둘째 행을 이용하여 마지막 행을 계산한다.
 2 & 1 & 1 & 5 \\
 0 -({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{0}})& 8-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-8}}) & 3-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-2}}) & 14-({\color{red}{-1}}\times{\color{blue}{-12}})
\end{pmatrix} 
이렇게 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.

다음처럼 사다리꼴행렬을 얻을 수도 있다.
 2 & 1 & 1 & 5 \\
 4 & -6 & 0 & -2 \\
 -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} 
 2 & 1 & 1 & 5 \\
 0 & -8 & -2 & -12 \\
 -2 & 7 & 2 & 9
\end{pmatrix} 
 2 & 1 & 1 & 5 \\
 0 & -8 & -2 & -12 \\
 0 & 8 & 3 & 14
\end{pmatrix} 
 2 & 1 & 1 & 5 \\
 0 & -8 & -2 & -12 \\
 0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix} 
 -->

## 사다리꼴행렬의 성질
가우스 소거법을 사용해서,
다음과 같은 행렬 을 첨가 행렬로 계산하면,
역행렬 
기본행연산을 가하면, 다음과 같다.
 \begin{pmatrix}
 \ M &\vert& I
\end{pmatrix} &\to \left( \left. \begin{matrix}
 -1 & 1 & 2 \\
 3 & -1 & 1 \\
 -1 & 3 & 4 \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left(\left. \begin{matrix}
 -1 & 1 & 2 \\
 0 & 2 & 7 \\
 0 & 2 & 2 \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
 1 & 0 & 0 \\
 3 & 1 & 0 \\
 -1 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left(\left. \begin{matrix}
 -1 & 1 & 2 \\
 0 & 2 & 7 \\
 0 & 0 & -5 \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
 1 & 0 & 0 \\
 3 & 1 & 0 \\
 -4 & -1 & 1 \\
\end{matrix}\right)\\
&\to\left( \left. \begin{matrix}
 1 & -1 & -2 \\
 0 & 1 & 3.5 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right| \begin{matrix}
 -1 & 0 & 0 \\
 1.5 & 0.5 & 0 \\
 0.8 & 0.2 & -0.2 \\
\end{matrix} \right)\\
 &\to\left( \left. \begin{matrix}
 1 & -1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
 0.6 & 0.4 & -0.4 \\
 -1.3 & -0.2 & 0.7 \\
 0.8 & 0.2 & -0.2 \\
\end{matrix} \right) \\
 & \to \left( \left. \begin{matrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
 -0.7 & 0.2 & 0.3 \\
 -1.3 & -0.2 & 0.7 \\
 0.8 & 0.2 & -0.2 \\
\end{matrix} \right)
\end{align}
따라서 

-->

## 역사
16세기와 17세기 이후 들어 가우스가 제안한 연립방정식 행렬의 삼각행렬로의 변형을 위한 행사다리꼴행렬인 가우스 소거법에 대하여 1888년 조르단은 좀더 강한 변형법으로 가우스-조르단 소거법인 기약행사다리꼴행렬을 제안한 것으로 잘 알려져있지만 프랑스의 동시대의 수학자 클라센(Clasen) 역시 같은 해에 발표한 이와 관련한 자료를 그의 논문에서 볼 수 있다. 조르단과는 독립적으로 기약행사다리꼴행렬을 연구하여 발표한 것으로 여겨진다.

이러한 행렬식(determinant)들은 행,열 및 커널(Kernel)과 같은 행열단위 형식인 배열원소들을 통해서 행렬(matrix)의 많은 속성을 보여줌으로써 순수한 행렬 개념을 정립하는데 많은 기여를 하였다.