그래프 이론에서 **일반화 페테르센 그래프**는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 **페테르센 그래프**라고 한다.

## 정의
3 이상의 정수 라고 하자.

**일반화 페테르센 그래프** 는 다음과 같은 그래프이다.
여기서 첨자는 법 로 간주한다.
일반화 페테르센 그래프의 변 가운데,  꼴의 변을 **바큇살**이라고 한다.

당연히
이므로, 보통
를 가정한다.

## 성질

### 기초적 성질
일반화 페테르센 그래프 은 완벽 부합을 이룬다.

### 동형
임의의 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
예를 들어, 이다.

### 안둘레
일반화 페테르센 그래프 

**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
이다. 그 속에서
는 길이 8의 순환이며,
는 길이 의 순환이며,
는 길이 

**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
이다. 그 속에서
은 길이 

위 상계 가운데 적어도 하나가 포화된다. 즉, 만약 이며,
일 때, 일반화 페테르센 그래프 

**증명:**

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
이다. 일반화 페테르센 그래프 속의 모든 순환은 당연히 짝수 개의 바큇살 을 포함한다.

모든 일반화 페테르센 그래프는 4개의 바큇살을 갖는 길이 8의 순환
을 가지며, 바큇살 6개 이상의 순환의 길이는 항상 12 이상이다. 따라서, 2개의 바큇살 및 0개의 바큇살을 갖는 순환들만 고려하면 된다.

2개의 바큇살을 갖는 순환은 (편의상 첫 변을 로 잡으면) 항상 다음과 같은 꼴이다.
이것이 존재하기 위해서는 이다.

0개의 바큇살을 갖는 순환은

### 케일리 그래프
일반화 페테르센 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
예를 들어, 나우루 그래프 는 케일리 그래프가 아니다.

### 꼭짓점 색칠
일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다.
일반화 페테르센 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 
여기서 의 색칠수는 3이다.

Petersen_graph_3-coloring.svg|페테르센 그래프 의 3색 그래프 색칠
Desargues graph 2COL.svg|데자르그 그래프 의 2색 그래프 색칠
Dürer graph 3COL.svg|뒤러 그래프

### 변 색칠
페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다. 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.{{저널 인용

일반화 페테르센 그래프 는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.

PetersenBarveniHran.svg|페테르센 그래프 의 4색 변 색칠
Dürer graph 3color edge.svg|뒤러 그래프 의 3색 변 색칠
3-colored dodecahedron.svg|정십이면체 그래프 의 3색 변 색칠
Desargues graph 3color edge.svg|데자르그 그래프 의 3색 변 색칠
Symmetric group 4; Cayley graph 1,5,21 (Nauru Petersen); matrices.svg|나우루 그래프

### 해밀턴 경로
임의의 일반화 페테르센 그래프 {{저널 인용
또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. 

예를 들어, 페테르센 그래프 는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.

Dürer graph hamiltonicity.svg|뒤러 그래프  속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
Möbius-kantor Graph hamiltonian.png|일반화 페테르센 그래프  속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
Generalized_Petersen_9_2_Hamiltonicity.svg|일반화 페테르센 그래프  속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다.
Hamiltonian path.svg|정십이면체 그래프  속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다.
Nauru graph.svg|나우루 그래프

### 교차수
각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 은 평면 그래프이다. 즉, 그래프 교차수가 0이다.

페테르센 그래프 의 그래프 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다.

평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프 는 이 둘 다를 그래프 마이너로 갖는다.

Pentagonal prismatic graph.png|오각기둥 그래프 의 교차수는 0이다.
Petersen graph, two crossings.svg|페테르센 그래프 의 교차수는 2이다.
Nauru 1-planar 8-crossing.svg|나우루 그래프

## 예
일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

Triangular prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Cubical graph.png|일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프) 
Pentagonal prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Petersen graph.svg|페테르센 그래프 
Hexagonal prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Dürer_graph.svg|뒤러 그래프 
Heptagonal prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Octagonal prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Dodecahedral graph.neato.svg|정십이면체 그래프 
DesarguesGraph.svg|데자르그 그래프 
Independent set graph.svg|일반화 페테르센 그래프

## 역사
독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 멜란콜리아 1에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.

1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며, 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.

“데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다.

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다.)라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.