수학에서 **함수** 또는 **사상**은 어떤 집합의 각 원소를 다른 어떤 집합의 유일한 원소에 대응시키는 이항 관계이다. 대략적으로, 한 변수의 값에 따라 다른 한 변수의 값이 정해질 때, 후자는 전자의 함수가 된다.

## 정의
**함수** 이다.
이 튜플이 다음 조건을 만족시켜야지만 함수라고 한다.
다시 말해, 함수는 정의역의 각 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응시킨다.

표기
는 를 갖는 함수라는 뜻이다. 표기
는 와 같은 뜻이다.

함수를 정의역과 공역을 생략하여 다음과 같이 표기하기도 한다.

## 예
만약 어떤 가족의 각 구성원 의 함수가 된다. 이는 각 가족 구성원이 어느 날엔가 태어났고 동시에 두 날에 태어났을 수 없기 때문이다. 이 경우 정의역은 가족 구성원의 집합, 공역은 모든 날짜의 집합으로 취할 수 있다.

함수
는 정의역이 로 대응시키는 이항 관계를 나타낸다.

가 실수의 집합이라고 하자. 그렇다면
는 각 실수를 제곱시키는 함수이다. 반면, 각 실수에 그보다 큰 실수를 대응시키는 이항 관계는 함수가 아니다. 이는 각 실수보다 큰 실수는 무한히 많으므로 유일하지 않기 때문이다.

를 공역으로 하는 유일한 함수
가 존재한다.

를 공역으로 하는 유일한 함수
가 존재한다. 일 경우 이는 공역이 공집합인 유일한 함수이다.

## 종류

### 단사 함수와 전사 함수
함수 에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

### 특별한 정의역·공역을 갖는 함수
특별한 정의역 또는 공역을 갖는 함수는 특별한 이름이 붙는다.
특별한 정의역을 갖는 함수에 대하여 추가적인 성질들을 정의할 수 있다. 예컨대 두 위상 공간 사이의 함수에 대하여 연속 함수의 개념을 정의할 수 있으며, 두 매끄러운 다양체 사이의 함수의 각종 매끄러움 성질들을 정의할 수 있다. 실변수 실숫값 함수 의 열린집합)의 경우 추가로 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

### 조각마다 정의된 함수
두 매끄러운 다양체 를 **조각마다 〜 함수**라고 한다.
특히, 정의역이 실수 구간인 경우, 정의역은 작은 구간들로 분할되어야 한다. 예를 들어, 의 분할의 한 가지 예는 다음과 같다.
예를 들어, 실수 절댓값 함수는 조각마다 일차 함수이다. 부호 함수는 조각마다 상수 함수이다. 함수
는 조각마다 연속 함수이다.

### 다가 함수
다가 함수 의 정의는 함수의 조건을 다음과 같이 약화시켜 얻는다.
즉, 다가 함수는 정의역의 각 원소를 적어도 하나의 공역 원소에 대응시키지만, 함수와 달리 여러 개의 공역 원소에 대응시킬 수 있다. 다가 함수 로 가는 함수가 아니지만 멱집합으로 가는 함수
와 동치이다.

복소수의 거듭제곱은 대표적인 다가 함수이다. 특히 음이 아닌 실수의 제곱근
은 (양의 실수가 두 개의 제곱근을 가지므로) 다가 함수이다.

일반적인 함수를 다가 함수와 구별하기 위해 **일가 함수**라고 부르기도 한다.

### 부분 정의 함수
부분 정의 함수 는 다음과 같이 약화된 조건을 사용하여 정의한다.
즉, 로 가는 함수가 아니다. 그러나 이는 다음과 같은 꼴의 함수와 동치이다.

예를 들어, 역수를 취하는 함수
는 (0의 역수가 정의되지 않으므로) 를 추가하여 함수로 만들 수 있다.

일반적인 함수를 부분 정의 함수와 구별하기 위해 **전함수**라고 부르기도 한다.

## 연산

### 상과 원상
집합 에 대하여,
를 에 대하여,
를 을 **치역**이라고 한다.

예를 들어, 사인 함수
의 치역은 의 원상은
이다. 여기서 는 원주율이다.

### 역함수
함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이 경우 정의역과 공역이 뒤바뀌고 대응의 방향이 반대로 바뀐 함수
를 생각할 수 있다. 이를 의 **역함수**라고 한다.

예를 들어, 지수 함수
는 전단사 함수이며, 그 역함수는 로그 함수
이다.

### 합성
첫째 함수의 공역과 둘째 함수의 정의역이 같은 두 함수 의 원소로 대응시키는 함수
를 생각할 수 있다. 이를 의 **합성**이라고 한다.

예를 들어, 만약
일 경우
이다.

### 제한
함수 으로의 **제한**은 다음과 같은 함수를 일컫는다.
즉, 로 줄인 함수이다.

### 호환되는 함수족으로 유도되는 함수
함수족 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면 함수들을 정의역의 합집합에서 공역의 합집합으로 가는 하나의 함수
로 합칠 수 있다.{{서적 인용

### 점별 연산
정의역이 같은 함수족 에 대하여, 공역의 곱집합으로 가는 함수
를 정의할 수 있다.

특수한 공역을 갖는 함수에 대하여 점별 연산을 정의할 수 있으며, 이는 위 함수와 공역 위 연산의 합성을 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 두 실숫값 함수 라고 한다. 구체적으로 이들은 각각 다음과 같다.

## 역사
삼각함수와 같은 특정 함수에 대한 연구는 오래전부터 있어 왔다. 16세기 라이프치히 대학교의 수학 교수이자 코페르니쿠스의 천구의 회전에 관하여가 출간되는데 큰 역할을 하였던 레티쿠스는 1596년 팔라티누스 삼각형 서(書)에서 삼각함수표를 정리하여 발표하기도 하였다.

17세기에 도입한 대부분의 함수는 함수 개념이 충분히 인식되기 이전에는 곡선, 특히 운동 궤적으로서 연구되었다. 1667년, 제임스 그레고리는 논문 원과 쌍곡선의 구적법에 대하여에서 함수를 다른 양들에 대한 대수 연산 및 극한 연산을 통해 얻는 양으로 정의하였다. 1665년부터, 아이작 뉴턴은 줄곧 “플루언트”라는 용어로 변수 간 관계를 지칭하였다. 1673년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 오늘날 쓰이는 용어인 “함수”을 곡선 위 점에 따라 변화하는 양으로 정의하였다. 1697년, 요한 베르누이는 함수를 상수와 변수가 대수 연산 및 초월 연산을 통해 구성하는 양으로 정의하였으며, 1698년에 라이프니츠의 용어를 채택하였다. 1714년, 라이프니츠는 저서 역사에서 함수를 변수에 의존하는 양으로 정의하였다. 그러나, 그는 여태 미분 가능한 함수만을 다루었다.

레온하르트 오일러는 1734년에 오늘날 쓰이는 표기법 를 도입하였다. 또한, 오일러는 1748년에 저서 무한 해석 입문에서 함수를 변수와 상수로 구성된 임의의 해석적 수식으로 정의하였으며, 1775년에 저서 미분학 입문에서 변수에 의존하며 그 변화에 따라 변화하는 또 다른 변수로 정의하였다.

1797년, 실베스트르 프랑수아 라크루아는 저서 미분과 적분에 대하여에서 수식으로 표현될 필요가 없는, 더 넓은 함수의 개념을 도입하였으며, 5차 방정식의 근이 5차 방정식의 계수의 함수라는 예시를 들었다. 1811~15년, 조제프루이 라그랑주는 저서 역학 해석에서 “함수”라는 용어를 거의 모든 유형의 함수에서 사용하였다.

조제프 푸리에는 함수가 해석적 수식으로 표현될 수 있을 필요가 없다고 주장하였으나, 동시에 모든 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있다고 주장하였다. 그러나 그는 임의의 유한 구간에서 유한 개의 불연속점만을 갖는 함수만을 다루었다.

1837년, 페터 구스타프 르죈 디리클레는 논문 완전히 임의인 함수의 사인 및 코사인 함수 표현에 대하여에서, 에 따라 어떤 법칙을 통해 결정되거나, 수학 공식으로 표현될 필요는 없다고 설명하였다. 이는 오늘날에도 사용되는 정의이다.

함수의 현대적 정의는 게오르크 칸토어가 제기한 집합론에 기반한 것이다. 버트런드 러셀은 집합을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 재정의하였다.

### 어원
17세기 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 수학 저서에서 라틴어 단어 를 주로 ‘기능’이란 뜻으로 썼다. 이후 요한 베르누이 등이 를 기술적인 해석학 용어로 쓰기 시작했다. 이것이 다른 유럽 언어로 전파되었다.

‘함수(函數)’라는 용어를 쓰기 시작한 사람은 이선란과 이다. 그들은 번역서 대수학(代數學)(1859)과 대미적습급(代微積拾級)(1859)에서 영어 의 번역어로 ‘함수(函數)’라는 단어를 썼다. 드모르간은 The Elements of Algebra에서 function을 ‘변수를 담고 있는 식’으로 소개하는데, 이를 ‘상자’·‘담다’라는 뜻을 가진 한자 함(函)을 써서 의역한 것이다.

Any expression which contains x in any way is called a function of x: thus a+x, a+bx
x를 어떤 형태로든 담고 있는 모든 식은 x의 함수로 부른다: 즉 a+x, a+bx 등이다.

凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數。
이 변수가 안에 그 변수를 포함한다면, 이 (변수)는 그 (변수)의 함수라 한다.

‘함수’가 영어 단어 의 발음을 음역한 단어라는 설이 있지만 두 발음이 크게 달라 근거가 희박하다. 또한 이선란이 만든 다른 번역어 상수·변수·계수·지수·급수 중의 그 어떤 것도 음역이 아니다.