추상대수학에서 **모노이드**는 항등원을 갖는, 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 군의 정의에서 역원의 존재를 생략하거나, 반군의 정의에서 항등원의 존재를 추가하여 얻는다.

## 정의
**모노이드** 는 다음과 같은 데이터로 구성되는 대수 구조이다.
이 데이터는 다음과 같은 두 공리를 만족시켜야 한다.
두 번째 공리를 생략하면 **반군**의 개념을 얻는다. 즉, 모노이드와 반군의 관계는 환과 유사환의 관계와 같다. 보통, 편의상 이항 연산을 (곱셈과 같이) 생략하는 경우가 많다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

범주론적으로, 모노이드는 집합과 함수의 범주  속의 모노이드 대상이다. 또한, 하나의 대상만을 갖는 작은 범주는 모노이드와 같은 개념이다. 이 경우, 모든 사상은 자기 사상이며, 모노이드 이항 연산은 자기 사상의 합성이다.

### 모노이드 준동형
두 모노이드 이다.
둘째 조건은 생략할 수 없다. 첫째 조건을 만족시키지만 둘째 조건을 만족시키지 않는 함수는 모노이드 준동형이 아닌 반군 준동형이다.

모노이드를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 때, 모노이드 준동형은 두 범주 사이의 함자와 같다.

### 부분 모노이드
모노이드 의 **부분 모노이드**라고 한다.
둘째 조건은 첫째로부터 함의되지 않는다. 첫째 조건을 만족시키지만 둘째 조건을 만족시키지 않는 부분 집합은 부분 반군을 이루지만, 부분 모노이드를 이루지 않는다.

### 가역원군
모노이드 이다.
모노이드 이다.
로 쓴다. 주어진 원소의 왼쪽 역원 및 오른쪽 역원은 유일하지 않을 수 있지만, 주어진 원소의 역원은 (만약 존재한다면) 유일하다. 역원을 갖는 원소를 **가역원**이라고 한다.

모노이드 이라고 한다.

### 영원과 멱등원
모노이드 의 **영원**이라고 한다.
이러한 원소는 만약 존재한다면 유일하다.

모노이드 은 정의에 따라 멱등원이다.

### 아이디얼
모노이드 의 **왼쪽 아이디얼**이라고 한다.
모노이드 의 **오른쪽 아이디얼**이라고 한다.
왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼인 부분 반군을 **아이디얼**이라고 한다.

아이디얼은 부분 모노이드를 이룰 필요가 없다 . 모노이드  전체 밖에 없다.

### 그린 관계
모노이드 
즉, 는 첫째가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 둘째가 생성하는 오른쪽 아이디얼과 교차하는지 여부이다.

## 종류

### 가환 모노이드
모노이드 이 다음 조건을 만족시킨다면, **가환 모노이드**라고 한다.
가환 모노이드인 군은 아벨 군이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

### 멱등 모노이드
모노이드 이 다음 조건을 만족시킨다면, **멱등 모노이드**라고 한다.
자명 모노이드가 아닌 멱등 모노이드는 군이 될 수 없다.

## 연산

### 반대 모노이드
모노이드 을 줄 수 있다.
그렇다면 으로 쓴다.

군론의 반대군이나, 환론의 반대환은 반대 모노이드의 특수한 경우이다. 모노이드를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주한다면, 반대 모노이드는 반대 범주의 특수한 경우이다.

군의 경우 모든 군은 스스로의 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이지만, 모노이드의 경우 일반적으로 스스로의 반대 모노이드와 동형이 아니다. (가환 모노이드는 물론 스스로의 반대 모노이드와 같다.)

### 직접곱
모노이드의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 모노이드들의 **직접곱**을 정의할 수 있다. 구체적으로, 모노이드들의 집합 은 집합으로서 곱집합과 같으며, 그 위의 이항 연산은 다음과 같다.
만약 모든  역시 가환 모노이드이다. 모노이드의 직접곱은 모노이드의 범주에서의 범주론적 곱이다.

### 자유곱
모노이드의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 모노이드들의 **자유곱**을 정의할 수 있으며, 이는 모노이드의 범주의 쌍대곱이다. 구체적으로, 모노이드들의 집합 의 원소는 다음과 같은 문자열이다.
즉, 각 모노이드의 항등원이 아닌 원소들로 구성된 문자열이며, 문자열에서 서로 마주하는 문자들은 서로 다른 모노이드에 속하여야 한다.

### 0의 추가
모노이드 에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
그렇다면 은 모노이드를 이룬다.

### 멱집합
모노이드  위에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
그렇다면 이다.

## 예
모든 군은 모노이드를 이룬다. 모든 (곱셈 항등원을 갖는) 환  역시 아벨 군이므로 가환 모노이드를 이룬다.)

유계 격자  (최대 원소)이다.

자연수(음이 아닌 정수)의 집합 은 덧셈에 대하여 가환 반군을 이루지만 가환 모노이드를 이루지 않는다.)

정수 집합의 다음과 같은 부분 집합들은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.

### 자명 모노이드
다른 대수 구조 다양체와 마찬가지로, 모노이드의 경우 **자명 모노이드**를 정의할 수 있다. 이는 한원소 집합 위에 정의할 수 있는 유일한 이항 연산이다. 이는 사실 아벨 군을 이루며, 이를 **자명군**이라고 한다.

### 자기 사상 모노이드
임의의 국소적으로 작은 범주 이다.

예를 들어, 집합의 범주 이다.

### 자유 모노이드
모노이드의 모임은 대수 구조 다양체를 이루므로, 자유 대수를 정의할 수 있다. 이를 **자유 모노이드**라고 한다. 집합 를 알파벳으로 하는 문자열이며, 모노이드 연산은 문자열의 이음이다. 모노이드 연산의 항등원은 길이가 0인 유일한 문자열이다.

공집합으로 생성되는 자유 모노이드는 자명 모노이드이다. 한원소 집합으로 생성되는 자유 모노이드는 자연수의 덧셈 모노이드 와 동형이다. 두 개 이상의 원소를 갖는 집합으로 생성되는 자유 모노이드는 비가환 모노이드이며 무한 집합이다.

### 자유 가환 모노이드
가환 모노이드의 모임은 대수 구조 다양체를 이루므로, 자유 대수를 정의할 수 있다. 이를 **자유 가환 모노이드**라고 한다. 집합 의 각 원소에 자연수를 대응시키는 함수
로 생각할 수 있다. 이 위의 이항 연산은 함수의 점별 합이다.

공집합으로 생성되는 자유 가환 모노이드는 자명 모노이드이다. 한원소 집합으로 생성되는 자유 가환 모노이드는 한원소 집합 위의 자유 모노이드와 같으며, 자연수의 덧셈 모노이드 는 소수 집합 위의 자유 가환 모노이드와 표준적으로 동형이다.

### 작은 크기의 모노이드
크기가 1인 모노이드는 자명 모노이드 밖에 없다. 크기가 2인 모노이드는 다음 2개가 있으며, 둘 다 가환 모노이드이다.
크기가 3인 모노이드는 다음 7개가 있으며, 7개 가운데 5개는 가환 모노이드이다.
마지막 두 개의, 크기 3의 비가환 모노이드를 **플립플롭 모노이드**라고 한다. 이는 크론-로즈 정리에 등장한다.

크기가 )
모노이드와 그 반대 모노이드를 동치로 간주할 때, 크기가 )
크기가 )

### 연결합
주어진 차원의 콤팩트 매끄러운 다양체들의 미분 동형류들의 집합을 생각하자. 이 집합은 연결합을 통해 가환 모노이드를 이루며, 항등원은 해당 차원의 초구이다. 매끄러운 다양체 대신 (위상) 다양체를 사용하여도 가환 모노이드를 얻는다.

### 벡터 다발
주어진 매끄러운 다양체 위의 실수 벡터 다발들의 동형류의 집합을 생각하자. 이는 직합을 통해, 또는 텐서곱을 통해 가환 모노이드를 이룬다.

### 유한 상태 기계
알파벳 의 완전 변환 모노이드로 가는 모노이드 준동형
을 정의한다. 즉, 이는  위에 작용하는 모노이드를 정의한다. 모노이드 이론, 특히 크론-로즈 정리 등을 사용하여 유한 상태 기계를 분석할 수 있다.