대수 기하학에서 대수적으로 닫힌 체 ''의 자리스키 닫힌 부분 다형체로 포함될 수 있는 경우 사영 다형체이다.

사영 다형체는 차원이 1이면 **사영 곡선**이다. 차원이 2이면 **사영 곡면**이다. 그 차원이 포함하는 사영 공간의 차원보다 하나 작으면 **사영 초곡면**이다. 이 경우 동차다항식 하나의 영점 집합이다.

''''에 의해 정의된 사영 다형체인 경우 몫환

은 ''''의 기본 불변량은 이 등급환의 힐베르트 다항식에서 읽을 수 있다.

사영적 다형체는 여러 가지 방식으로 만들어 진다. 사영 다형체는 완비인데, 여기서 완비란 "누락된" 점이 없음을 의미한다고 대략적으로 설명할 수 있다. 그 반대는 일반적으로 사실이 아니지만 저우 보조 정리는 이 두 개념의 밀접한 관계를 설명한다. 다형체가 사영임을 보여주는 것은 ''''에서 선다발 또는 약수를 연구하여 수행된다.

사영 다형체의 두드러진 특징은 층 코호몰로지에 대한 유한성 제약이다. 매끄러운 사영 다형체의 경우 세르 쌍대성은 푸앵카레 쌍대성과 비슷하다고 볼 수 있다. 또한 사영 곡선, 즉 1차원 사영 다형체에 대한 리만-로흐 정리로 이어진다. 사영 곡선 이론은 특히 풍부하며 곡선의 산술 종수에 따른 분류를 포함한다. 더 높은 차원을 가진 사영 다형체에 대한 분류는 자연스럽게 사영 다형체의 모듈라이 공간으로 이어진다. 힐베르트 스킴은 정해진 힐베르트 다항식으로 의 닫힌 부분 스킴를 매개변수화한다. 힐베르트 스킴은 그라스마니안을 특수한 경우로 포함하며, 힐베르트 스킴도 그 자체로 사영 스킴이다. 기하 불변 이론은 또 다른 접근법을 제공한다. 고전적인 접근 방식에는 타이히뮐러 공간과 저우 다형체가 포함된다.

고전 수학으로 거슬러 올라가는 특히 풍부한 이론은 복소 사영 다형체, 즉 ''''에 대한 정칙 선형 다발(보다 일반적으로 해석적 연접층)이론은 대수 선형 다발 이론과 일치한다. 저우 정리는 사영 공간의 부분 집합이 동차 다항식의 영점 집합임과 정칙 함수 족의 영점 집합임이 동치라고 말한다. 복소 사영 다형체에 대한 해석적 및 대수적 방법의 조합은 호지 이론과 같은 영역으로 이어진다.

## 다형체와 스킴 구조

### 다형체 구조
''이다. 다음과 같은 동치인 방식들로 정의할 수 있다:

들은 동차 좌표라고 부른다.

사영 다형체는 정의 상 에 대해, 조건

는 임의의 다항식에 대해서는 의미가 없고 ''''의 모든 단항식들의 차수가 동일한 경우에만 가능하다. 이 경우

의 소멸은 의 선택과 무관하다.

그러므로 사영 다형체는 ''에서 발생한다.

더욱이, 사영 다형체 ''는 표준 열린 아핀 좌표 조각들

로 덮인다. 이 좌표 조각들 자체는 각각 좌표 환이

인 ''의 닫힌 부분 다형체이다.

따라서 ''들에 덮이는 대수적 다형체이다.

''의 동차 이데알이다.

예를 들어, ''과 같이 주어진다.

### 사영 스킴
다양한 응용을 위해 사영적 다형체, 즉 사영 스킴보다 더 일반적인 대수기하학적 객체를 고려할 필요가 있다. 사영 스킴을 향한 첫 번째 단계는 대수 다형체로서의 사영 공간에 대한 위의 설명을 정제하는 방식으로 사영 공간에 스킴 구조를 부여하는 것이다. '' 위의 사영 공간은 아핀 스킴

들의 합집합이다. 이러한 방식으로 변수가 예상대로 일치한다. 대수적으로 닫힌 체 ''이다.

동일하지만 효율적인 구성은 Proj 구성에 의해 제공되며, 이는 아핀 스킴을 정의하는 "Spec"으로 표시되는 환 스펙트럼과 비슷하다. 예를 들어 ''''가 환이라면

''R''이 ''에 의해 표준 전사는 닫힌 몰입

을 유도한다. 사영 다형체에 비해 이데알 ''''에는 멱영원 함수가 있을 수 있다.

 이 사실은 사영 영점 정리의 세련된 버전으로 간주될 수 있다.

위의 개념에 대해 좌표 없는 아날로그를 제공할 수 있다. 즉, 유한차원 벡터 공간 ''V'' over ''k'' 가 주어지면

여기서 ''에 해당한다. 그러면

''와 같이 설정한다. 이를 ''의 완비 선형계라고 한다.

임의의 스킴 ''''에 대한 사영 공간은 스킴의 올곱

으로 정의할 수 있다. 만약에 .

스킴 ''''로의 사영이 따르는 닫힌 몰입

으로서 분해되면 '''' 위에서 **사영적**이라고 한다.

''로 당겨지도록 하는 몰입

이 있는 경우, ''의 사영 공간으로의 당김은 아주 풍부하다. "사영"이 "적절한"을 의미한다는 것은 더 깊은 의미를 지닌다: 소거론의 주요 정리.

## 완비 다형체와의 관계
정의에 따르면 다형체는 ''''에 대해 적절할 경우 완비다. 적합성의 판별 기준은 적절한 다형체에 "누락된" 점이 없다는 직관을 표현한다.

완비 다형체와 사영 다형체 사이에는 밀접한 관계가 있다. 한편으로는, 사영적 공간, 따라서 모든 사영 다형체가 완비이다. 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다. 하지만:

사영 다형체의 일부 성질은 완비성에서 비롯된다. 예를 들어, 모든 사영 다형체 ''X'' over ''k'' 에 대해,

 이 사실은 리우빌 정리(콤팩트 연결 복소 다양체의 모든 정칙 함수는 상수함수)의 대수학적 유사체이다. 사실, 복소 사영 다형체에 대한 복소 해석적 기하학과 대수 기하학 사이의 유사성은 아래에서 설명하는 것처럼 이보다 훨씬 더 나아간다.

준 사영 다형체는, 정의 상, 사영 다형체의 열린 부분 다형체이다. 이 종류의 다형체에는 아핀 다형체가 포함된다. 거의 모든 아핀 다형체는 완비(또는 사영)가 아니다. 사실, 아핀 다형체의 사영 부분 다형체는 0차원 이여야 한다. 이는 상수함수만이 사영 다형체에 대한 대역적 정규 함수이기 때문이다.

## 예제 및 기본 불변량
정의에 따르면, 다항식 환의 모든 동차 이데알은 사영 스킴을 생성한다(다형체를 제공하려면 소 이데알이어야 함). 이런 의미에서 사영적 다형체의 예는 많다. 다음 목록은 특히 집중적으로 연구되었기 때문에 주목할 만한 다양한 종류의 사영 다형체를 언급한다. 복소 사영 다형체의 중요한 부류, 즉, 

결과적으로, ''의 상 삼각 행렬의 부분 군을 법으로 한 몫군과 같은 깃 다형체들은 사영적이며, 이는 대수군 이론에서 중요한 사실이다.

### 동차 좌표환과 힐베르트 다항식
사영 다형체 ''''가 동차이므로 동차 좌표 환

는 등급환이다. 즉, 등급이 매겨진 성분들의 직합으로 표현할 수 있다.

모든 충분히 큰 ''''이다.

예를 들어, ; 산술 종수는 0이다.

동차 좌표 환 ''''의 동차 좌표 환의 정수적 폐포의 Proj이다.

### 차수
''의 차수를 정의하는 방법에는 적어도 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 유한 집합의 기수로 정의하는 것이다.

여기서 ''''를 정의하는 동차 다항식의 차수이다. "일반 위치"는 예를 들어 교차 이론에 의해 정확해질 수 있다. 교집합이 적절하고 기약 성분의 중복도가 모두 1이라는 것을 요구한다.

이전 적에서 언급한 다른 정의는 ''''에 대한 아핀 원뿔의 꼭지점의 중복도임을 의미한다.

''의 중복도를 나타내는 경우, 베주 정리의 일반화는 다음과 같이 말한다.

교차 중복도 ''''의 계수로 정의될 수 있다.

특히, 만약 ''를 포함하지 않는 초곡면인 경우

여기서 ''''의 스킴 이론적 교점의 기약 성분이다.

복소 사영 다형체는 콤팩트 복소 다양체로 볼 수 있다. 다형체의 차수(매장에 상대적인)는 주변 복소 사영 공간에서 물려받은 계량과 관련하여 다양체로서의 다형체의 부피이다. 복소 사영 다형체는 (어떤 의미에서) 부피의 극소화로 특징지어질 수 있다.

### 단면의 환
''을'' 선 다발이라고 하자. 그러면 등급환

를 ''''로 당기도록.

응용에서, 약수(또는 ''의 표준 약수이면 단면

''&lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;

''의 고다이라 차원을 정의할 수 있다.

### 사영 곡선
1차원 사영 스킴을 사영 곡선이라고 한다. 사영 곡선 이론의 대부분은 매끄러운 사영 곡선에 관한 것이다. 곡선의 특이점은 정규 함수 환의 정수적 폐포를 국소적으로 취하는 정규화로 해결할 수 있기 때문이다. 매끄러운 사영 곡선은 함수체가 동형인 경우에만 동형이다.

의 유한 확장에 대한 연구 또는 동등하게  위의 매끄러운 사영 곡선은 대수적 수론에서 중요한 주제이다.

종수 1인 매끄러운 사영 곡선을 타원 곡선이라고 한다. 리만-로흐 정리의 결과로 이러한 곡선은  안의 매끄러운 닫힌 3차 곡선은 종수- 차원 공식에 의해 종수 1을 가지므로 타원 곡선이다.

2보다 크거나 같은 종수의 매끄러운 완비 곡선은 유한 사상 이 있는 경우 2차 초타원 곡선이라고 한다.

### 사영 초곡면
의 여차원 1인 모든 기약 닫힌 부분 집합은 초곡면이다. 즉, 어떤 동차 기약 다항식의 영점 집합이다.

### 아벨 다형체
사영 다형체 ''''이다.

아코비안 다형체처럼 완비이고 군 구조를 갖는 다형체는 닐스 헨리크 아벨을 기리기 위해 아벨 다형체로 알려져 있다. 이는 과 같은 아핀 대수 군과 뚜렷한 대조를 이룬다. 아벨 다형체의 군은 그 이름처럼 항상 가환이다. 더욱이 그들은 풍부한 선다발을 허용하므로 사영적이다. 반면에, 아벨 스킴은 사영적이지 않을 수 있다. 아벨 다형체의 예로는 타원 곡선, 야코비 다형체 및 K3 곡면이 있다.

## 사영
이다. 이 사상의 기하학적 설명은 다음과 같다.

사영을 사용하여, 유한 사상을 기준으로,사영 다형체가 매장된 차원으로 낮출 수 있다. 사영 다형체 으로 가는 유한 사상이다. 따라서, 이 절차를 반복하면 유한 사상

이 있음을 알 수 있다. 이 결과는 뇌터의 정규화 보조정리의 사영 아날로그이다. (실제로 정규화 보조정리의 기하학적 증명을 제공한다.)

동일한 절차를 사용하여 다음과 같은 약간 더 정확한 결과를 표시할 수 있다. 완전체에 대한 사영 다형체 ''''가 정규이면 ''H''의 정규화이다.

## 쌍대성 및 선형계
''n''차원 사영 공간 , 우리는 사영 ''n'' 공간을 의미한다

다음과 같은 구조를 갖추고 있다.

여기서 

각 ''L''에 대해 구성은 의 초평면의 모듈라이 공간이라고 한다. .

 위의 초평면 족이다.

''V''가 유한차원 ''k-''벡터 공간이면 위와 같은 이유로 

여기서 기저 궤적이라고 하는 ''B''는 ''V'' 에서 0이 아닌 단면의 약수들의 교집합이다( 제수의 선형 시스템#A 사상 구성을 위한 선형 시스템에 의해 결정됨 참조).

## 연접층의 코호몰로지
''''는'' 세르로 인해 다음과 같은 중요한 정리를 충족한다.

이러한 결과는 동형사상

을 사용하여 는 0으로 확장하여 사영 공간 위의 층으로 여겨진다.

위의 따름정리 1.에 대한 결과로서 ''f''가 뇌터 스킴에서 뇌터 환으로의 사영 사상라면 더 높은 직상 은 coherent 하다. 저우 보조정리의 도움으로 표시할 수 있는 것과 같이 적절한 사상 ''f'' 에 대해 동일한 결과가 유지된다.

층 코호몰로지 군 ''H 의 오일러 특성이라고 하는 양

는 ''''의 산술 종수는 다음과 같다.

이는 명백히 내재적인 것이다. 즉, 매장과 무관하다.

차수 ''d안'' 초곡면의 산술 종수는 를 가진다. 이것은 종수-차수 공식이다.

## 매끄러운 사영 다형체
''''는 선다발이다.

### 세레 쌍대성
세르 쌍대성은 ''에 대해 다음과 같이 말한다:

여기서 위첨자 프라임은 쌍대 공간을 나타내고 의 쌍대 다발이다. 사영적이지만 반드시 매끄러운 스킴은 아닌 경우로의 일반화는 베르디에르 쌍대성으로 알려져 있다.

### 리만-로흐 정리
(매끄러운 사영) 곡선 ''''의 종수라고 불릴 것이다.

세르 쌍대성은 또한 리만-로흐 정리 증명의 핵심 요소이다. ''

이 있다.. ω''의 임의의 약수 ''D''에 대해,

세르 쌍대성에 의해 이것은 다음과 같다.

이는 쉽게 증명할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 더 광범위한 그로텐디크-리만-로흐 정리는 리만-로흐 정리를 더 높은 차원으로 일반화한다.

## 힐베르트 스킴
힐베르트 스킴은 H의 점(함자적 의미에서)이 의 모든 닫힌 부분 다형체를 매개변수화한다. 이와 같이 힐베르트 스킴은 모듈라이 공간, 즉 점들이 다른 기하학적 대상을 매개변수화하는 기하학적 대상의 예이다. 보다 정확하게, 힐베르트 스킴은 힐베르트 다항식이 주어진 다항식 P와 같은 닫힌 부분 다형체를 매개변수화한다.임의의 k -스킴 T 에 대해 전단사

가 있는 k-스킴 의 닫힌 부분 스킴을 ''보편족''이라고 한다.

''에서 ''r-''평면의 파노 스킴이라고 한다.

## 복소 사영 다형체
이 절에서 모든 대수 다형체는 복소 대수 다형체이다. 복소 사영 다형체 이론의 핵심 특징은 대수적 방법과 해석적 방법의 조합이다. 이러한 이론 사이의 전환은 다음 연결고리에 의해 제공된다: 모든 복소 다항식은 정칙 함수이기도 하므로 모든 복소 다형체 '' 위에서 적절함과 콤팩트함이 동치이다.

### 복소 켈러 다양체와의 관계
복소 사영 공간은 켈러 다양체이다. 이것은 모든 사영 대수적 다형체 ''가 콤팩트 켈러 다양체임을 의미한다. 그 반대는 일반적으로 참이 아니지만 고다이라 매장 정리는 켈러 다양체가 사영적인지에 대한 판정법을 제공한다.

낮은 차원에서는 다음과 같은 결과가 있다.

### GAGA와 저우의 정리
저우 정리는 해석 기하학에서 대수 기하학으로 나아가는 놀라운 방법을 제공한다. 이 정리는 복소 사영 공간의 모든 해석적 부분 다형체가 대수적이라고 한다. 저우 정리는 특정 성장 조건을 만족하는 정칙 함수가 필연적으로 대수적이라고 말하는 것으로 해석될 수 있다. "사영"은 이 성장 조건을 제공한다. 이 정리에서 다음을 추론할 수 있다.

저우의 정리는 세르의 GAGA 정리를 통해 나타낼 수 있다. 그 주요 정리는 다음과 같이 말한다.

### 복소 토리 대 복소 아벨 다형체
''에 연관된 복소 다양체는 조밀한 복소 리 군이다. 이들은 다음과 같은 형식으로 표시될 수 있다.

이를 복소 토리라고도 한다. 여기서 ''''은 격자(주기 격자라고도 함)이다.

위에서 이미 언급한 균일화 정리에 따르면 모든 1차원 토러스는 1차원 아벨 다형체, 즉, 타원 곡선에서 발생한다. 실제로 ''

p-진 균일화 정리가 있다.

더 높은 차원의 경우, 복소 아벨 다형체와 복소수 토리의 개념이 다르다. 극화된 복소 토리만이 아벨 다형체에서 나온다.

### 코다이라 소멸
근본적인 고다이라 소멸 정리는 풍부한 선다발 ''인 경우

또는 동등하게 세르 쌍대성에 의해 ''.