함수해석학에서 **연속 쌍대 공간**은 주어진 위상 벡터 공간 위의 연속 선형 범함수들로 구성된 벡터 공간이다. 그 위에 다양한 위상을 부여할 수 있다. 이는 유한 차원의 경우 (대수적) 쌍대 공간과 일치하나, 무한 차원일 경우 대수적 쌍대 공간의 부분 집합이다.

## 정의
위상환 는 쌍대 가군
가운데, 연속 함수 )이라고 한다. 원쌍대 공간은 유일하지 않을 수 있으며, 존재하지 않을 수도 있다.

### 강한 위상
위상환 은 (덧셈에 대하여 아벨 위상군이므로) 자연스럽게 균등 공간을 이룬다.

이다.
의 덮개를 이룬다.

그렇다면, 덮개 이 모두 균등 연속 함수가 되게 하는 가장 엉성한 위상이다.

만약  위의 강한 위상은 쌍대 노름으로 정의되는 거리 위상과 같다.

### 약한-* 위상
연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상 대신 **약한-* 위상**을 부여할 수 있다. (이 이름은 원래 위상 가군 위의 약한 위상과 구별하기 위한 것이다.)

구체적으로, 위상환 이 주어졌다고 하자. 이중 연속 쌍대 가군으로의 자연스러운 포함 사상
을 생각하자. 그렇다면, 연속 쌍대 공간 에 대하여
꼴의 집합들을 부분 기저로 한다.

약한-* 위상은 강한 위상보다 더 섬세한 위상이다.

### 쌍대 노름
만약  위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.
이를 **쌍대 노름**이라고 하며, 이는 작용소 노름의 특수한 경우이다.

이에 따라, 은 항상 바나흐 공간을 이룬다.

## 성질

### 대수적 쌍대 공간과의 관계
일반적으로 위상환 위의 연속 쌍대 가군은 (대수적) 쌍대 가군의 부분 가군을 이룬다.

즉, 임의의 위상환 -선형 변환이 존재한다.
그러나 위 사상은 일반적으로 전단사 함수가 아니다.

### 분해 가능성
-바나흐 공간이다.

### 제한 사상
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연스러운 제한 사상
이 존재한다. 이는 선형 변환이다.

만약

### 이중 연속 쌍대 공간
임의의 위상환 에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 연속 선형 변환이 존재한다.

만약 가 하우스도르프 국소 볼록 공간이라면, 이 사상은 단사 함수이다.

만약 를 **반사 바나흐 공간**이라고 한다. (이러한 노름 공간은 물론 항상 바나흐 공간이어야 한다.)

### 바나흐-앨러오글루 정리
**바나흐-앨러오글루 정리**에 따르면, 노름 공간의 연속 쌍대 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상 아래 콤팩트 집합이다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.
**바나흐-앨러오글루-부르바키 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.

**증명:**

다음 위상 공간을 정의하자.
절댓값이 1 이하인 스칼라들의 공간  역시 콤팩트 공간이다.

이제, 의 부분 집합으로 여겨질 수 있다.
즉,

이제, 의 치역이 닫힌집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 그물
의 에 대한 상이 극한
을 갖는다면, 이는 (곱위상의 정의에 따라) 대하여 점별 수렴
인 것과 동치이며, 이 경우
는 

그 특수한 경우로, 만약 -노름 공간이며,
이 그 속의 단위 닫힌 공이라고 할 때,
은 의 단위 닫힌 공이다. 이에 따라, 노름 공간의 쌍대 노름 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상에서 콤팩트 공간을 이룬다. 이 특수한 경우를 **바나흐-앨러오글루 정리**라고 한다.

바나흐-앨러오글루(-부르바키) 정리의 증명은 티호노프 정리, 즉 선택 공리의 한 형태를 필요로 한다.

### 골드스틴 정리
임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 이중 연속 쌍대 공간으로 가는 표준적 사상
을 생각하자. 이는 단사 함수이자 등거리 변환이므로, 이 경우, 의 단위 닫힌 공
의 상은 의 단위 닫힌 공
의 부분 집합이다. 이제, 의 조밀 집합이다 .

그러나 골드스틴 정리는 노름 위상에서는 성립하지 않는다.

**반례**:

이다.

이제, 로 수렴하는 수열
에 대하여, 반지름 의 열린 공
는

## 예

### 유클리드 공간
-벡터 공간으로서 같다.

그러나 예를 들어 의 대수적 쌍대 공간은 연속 쌍대 공간보다 훨씬 더 크다.

### 수열 공간
다음과 같은 르베그 공간을 생각하자.
이 경우, 노름
을 부여하면 이는 에 대하여 바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 만약 이다.

또한, 
이다.

### 수렴 수열 공간
-바나흐 공간을 정의할 수 있다.
두 경우 다 부여되는 노름은 ∞-노름 이다.

이 경우, -바나흐 공간으로서) 동형이 아니다.

### 쌍대 내적 공간
내적 공간의 연속 쌍대 공간은 힐베르트 공간이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 조밀 집합을 이룬다. 특히, 힐베르트 공간은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 .

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, -바나흐 공간이다. 또한, 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.
**리스 표현 정리**에 따르면, 다음이 성립한다.
특히, -반사 바나흐 공간이다.

### 연속 쌍대 공간이 자명한 위상 벡터 공간
만약 일 수 있다.

구체적으로, 의 연속 쌍대 공간은 자명하다.

**증명:**

실수 선형 변환
가 가 연속 함수가 아님을 보이면 족하다. 특히,
이 되는 코시 함수열
을 찾으면,
이므로 족하다. 이러한 함수열을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.

우선, 를 찾을 수 있다.

이제, 만약 가 주어졌으면, 다음과 같은 함수를 생각하자.
이는 연속 함수이다. 따라서, 중간값 정리에 따라
인 이 존재한다. 이제,
를 정의하자 (
를 정의하자. 그렇다면, 삼각 부등식에 따라
\le\frac12(|\phi(g_i)|+|\phi(h_i)|)
\le\max\left\{|\phi(g_i)|,|\phi(h_i)|\right\}
이다. 또한 (편의상 
이다. (인 경우도 마찬가지다.)

따라서 함수열

### 콤팩트 공간 위의 함수
콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주를 로 표기하자.

그렇다면, 다음과 같은 함자들이 존재한다.
여기서 연속 쌍대 공간 에는 강한 위상을 부여한다.

이 밖에도, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
콤팩트 하우스도르프 공간 는 실수 바나흐 공간을 이룬다.

임의의 연속 함수 는 다음과 같다.
그렇다면, **리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리**에 따르면, 다음과 같은 자연 동형

### 국소 콤팩트 공간 위의 함수
리스-마르코프-가쿠타니 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간에서 국소 콤팩트 하우스도르프 공간으로 쉽게 일반화할 수 있다. 이 경우, 임의의 연속 함수를 콤팩트 지지 연속 함수로 대체하여야 한다.

 위의 국소 유한 베르 측도의 집합이라고 하자. 이에 전변동을 노름으로 삼으면 이는 바나흐 공간을 이룬다.

또한, 
여기서

특히,
따라서, 임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음과 같은 실수 위상 벡터 공간들의 동형이 존재한다.
여기서

리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리에 따라, 다음 위상 벡터 공간들이 서로 동형이다.
여기서

### 대각합류 작용소
복소수 힐베르트 공간 에 대하여,
이다. 

특히, 이에 따라  위에 약한-* 위상을 정의할 수 있다. 이를 **초약 위상**이라고 한다.

### 폰 노이만 대수
C* 대수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이 경우, 은 동형 사상 아래 유일하다.

구체적으로, 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 에 초약 위상을 부여했을 때 연속 함수가 되는 것들로 구성된 집합이다.

## 역사
1907년에 리스 프리제시가 각각 독자적으로 1907년에 힐베르트 공간의 리스 표현 정리를 증명하였다.

1909년에 리스 프리제시는 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리를 실수 폐구간의 경우에 대하여 증명하였다.와 가쿠타니 시즈오) · 장 디외도네 · 조지 매키 등이 1930년대에 제창하였다. 이후 로랑 슈와르츠와 알렉산더 그로텐디크 등이 그 이론에 공헌하였고, 이후 니콜라 부르바키가 그 이론을 1950년대에 집대성하였다.