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**공인회계사**는 회계, 세무, 재무 등 회계에 관한 모든 업무를 담당하는 전문가로, 국가 자격시험 등에 의해 자격을 취득한다. 회계사의 주요업무는 한국 감사기준에 따른 회계감사, 한국판국제회계기준(K-IFRS)에 따른 회계업무, 인수합병 업무, 기업가치 평가,세무대리, 기장 등의 업무들을 수행한다. 1966년 8월 31일 이전에는 계리사라고 불렀지만 계리사법이 폐지되고 1966년 7월 15일 공인회계사법이 공포되면서 공인회계사가 그 업무를 대행하였다.

## 공인회계사 자격취득
각국의 회계기준의 차이로 인해 한 나라의 회계사자격이 다른 나라의 회계사자격으로 인정받지 못하는 경우가 있다. 하지만 지금은 IASB(International Accounting Standards Board)에서 제정한 국제회계기준인 IFRS(International Financial Reporting Standards)를 많은 나라에서 도입.채택하고 있으며, 많은 나라들이 타국의 회계사 자격증을 인정하려는 움직임을 보이고 있다.

### 미합중국 CPA
미합중국공인회계사 시험은 National Association of State Boards of Accountancy(NASBA)에서 주관하며 American Institute of Certified Public Accountants(AICPA)기관이 위탁받아, Uniform Certified Public Accountant Examination (Uniform CPA Exam)를 시행한다. 현재는 미합중국 영토와 일본, 호주, 뉴질랜드에서 시험을 볼 수 있다. 미합중국의 공인회계사 시험인 Uniform CPA Exam은 FAR, AUDIT, REG, BEC의 총 4개 Section으로 구성되어 있으며 각 Section에서 각각 75점 이상을 얻어야만 합격증이 나온다. 하지만 시험에 합격한 즉시 주 정부 회계위원회(State Board of Accountancy)에서 라이센스를 받은 정식 회계사가 될 수는 없다. 시험 합격만으로는 업무대행 및 서명 권한 측면에서 자격증이 없는 일반 Accountant와 별반 차이가 없는 단계이다. 정식 회계사에게만 발급되는 CPA License는 US CPA 합격 후, US CPA License를 보유한 상사의 실질적인 지도하에 각 주별로 규정된 기간 동안 수련을 하였는지를 심사하며, 반드시 직급상 상사가 아닌 동료일지라도 업무상 지도를 받았다면 일반적으로 수련으로 인정된다. 또한, 수련을 지도하는 회계사의 면허가 등록된 주와 본인의 CPA License를 신청하는 주가 달라도 무방하다. 2016년부터 AICPA 기관 주관으로 Uniform CPA Exam 시험 전과목을 합격했으나 미국 외 지역에서 근무하여 수련요건 충족이 어려운 시험합격자를 US CPA License 보유자와 연결시켜주는 서비스를 시작하기도 했다. 다만, 해당 서비스 이용자 빈도, 소요비용 및 성과 등에 대한 통계수치는 현재(2016년 12월 기준)까지는 구체적으로 알려진 바가 없다.

이후, 각 주 정부 회계위원회의 수련요건을 충족하고 각 주 정부가 인정한 윤리(Ethics) 시험을 통과할 경우 주 정부 회계위원회에 심사를 요청할 수 있다.

최초 시험을 어떤 주로 응시했었는지의 여부는 크게 중요하지 않으며, 시험 합격 후 Uniform CPA Exam을 통과한 기록을 타 주의 Board of Accountancy로 이전(Transfer) 시킬 수 있다. 단, 이전된 주의 면허 신청을 위해서는 해당 주의 수련과정 요건을 충족시켜야 한다. 일부 주에서는 회계감사(Audit) 수련경력이 없더라도 회계감사에 서명 가능한 면허를 발급하기도 하나, 캘리포니아주 등 면허요건이 까다로운 주의 경우, Attestation 자료에 서명 가능한 License (A) Type과 Attestation 이외의 업무에 대해서만 서명 자격이 있는 License (G) Type 등으로 면허 종류가 나뉜다. G Type 면허 취득 이후에 A Type의 감사 수련요건을 만족 시 License 전환 신청이 가능하다. CPA License 자체도 타주로 면허이전 신청이 가능하나, 캘리포니아, 뉴욕 등 면허요건이 까다로운 주로 이전 신청할 경우 해당 주 정부 회계위원회 심사과정 중 자격미달로 면허이전이 불허될 수도 있다.

미국 공인회계사 시험은 현재는 컴퓨터로 시험을 치르게 된다. 미국 공인회계사 시험구성 및 출제비중은 2004년도에 PBT에서 CBT로 변경이 되어 2011년에 e-CBT로 변경이 되었고 2017년에는 TBS(Task-Based Simulation)의 출제비중을 높인 새로운 방식으로 변경되었다. 2018년 4월 1일부터는 엑셀기능이 추가되었다.

미합중국의 공인회계사 시험은 대한민국 공인회계사 시험과 비교해 볼 때, 계산적인 면을 한국회계사 시험에서 더 많이 다루고 있다면, 미합중국회계사 시험은 내용적인 면과 기본이해, 개념, 논리구조에 대해서 더 많은 범위를 다루고 있는 편이다. 미합중국 내에서는 가장 권위있는 시험 중에 하나로 꼽히고 있다. 미합중국 외 인증받은 국가에서도 미합중국의 CPA 자격을 이용할 수 있다.

### 한국 CPA
1차(객관식)와 2차(주관식) 시험 두 번의 시험으로 구성되어 있고 1차는 과락(40점) 없이 전 과목 평균 60점 이상을 받은 인원 중에서 제2차시험 최소선발예정인원의 2배수(동점자는 합격처리)를 합격처리하며, 2차는 재무회계는 150점 만점 중 90점 이상으로, 그리고 나머지 과목은 100점만점 중 60점 이상으로 통과해야 CPA의 자격이 주어진다.

## 회계업무의 변화
1950년 계리사법이 공포되었으나 6·25전쟁이 끝난 후인 1954년 12월에 비로소 한국계리사회가 설립되었다. 1965년에 계리사법이 폐지되고, 1966년 7월 15일 공인회계사법이 공포됨에 따라, 공인회계사가 그 업무를 행하게 되었다.

1965년에 계리사법이 폐지되면서 세무대리의 모호한 상태로 유지하다가 1961년 9월 법률 제712호로 ＜세무사법＞이 제정되면서 공인회계사의 업무에서 세무대리업무만 할 수 있는 세무사가 탄생하였으며 공인회계사 자격을 취득하면 세무사 자격을 자동부여 받도록 하였다.

2012년 에 의해 세무대리 업무를 하는 것이 가능하므로 공인회계사의 업무 범위 자체는 변동이 없다.
**트리어**( Treviri)는 과거 갈리아 제국의 수도였으며 고대로마시대부터 현재까지 2000년이 넘는 도시역사를 간직한 독일에서 가장 오래된 도시이다. 모젤강의 서안에 위치하며 사암으로 이루어진 계곡에는 포도의 재배가 이루어지고 있다. 룩셈부르크와 지리적으로 가까우며 독일의 라인란트팔츠주에서 마인츠, 루드비히스하펜 암 라인 다음 세번째로 큰 도시로 알려져 있다. 독일 전체에서 77번째로 큰 도시이다. 트리어는 2014년 현재 약 11만 3천의 인구가 거주하고있으며 포도 재배로 유명한 모젤자르루버(Mosel-Saar-Ruwer) 지역의 일부이다.

트리어에 있는 유적지로는 원형극장, 바바라욕탕, 황제의 욕탕, 포르타 니그라, 뢰머브뤼케(고대로마다리), 이겔의 기둥, 트리어 돔, 리베프라우엔 교회 등이 있으며, 이들 모두 1986년 유네스코 세계문화유산에 등재되었다.
**블라디미르 게르쇼노비치 드린펠트**는 소련 태생의 우크라이나의 수학자이다. 정수론, 대수기하학, 수리물리학에서 업적을 쌓았다.

## 생애
1954년 2월 14일 우크라이나 하르키우의 유대인 가정에서 태어났다. 아버지 게르숀 이헬레비치 드린펠트는 하르키우 대학교의 수학 교수였다.

1969년에 15세 때 소련 대표로서 부쿠레슈티에서 열린 국제수학올림피아드에서 만점으로 금메달을 수상하였으며, 이는 당시 국제 수학 올림피아드 사상 최소(最少) 금메달 수상자였다.

같은 해에 국립 모스크바 대학교를 입학하여, 유리 마닌의 지도 아래 1974년에 졸업하였다. 같은 해에 양의 표수의 대역체 에 대한 랭글랜즈 추측을 증명하였다.

이후 스테클로프 수학 연구소에서 1978년에 박사 학위를 수여받았으며, 1988년에 하빌리타치온을 수여받았다.

유대인이며 우크라이나 태생이었던 드린펠트는 당시 소련의 정책에 따라 모스크바에서 일자리를 얻을 수 없었으며, 이 때문에 우파에 있는 바슈키르 국립 대학교에 취직하였다. 이후 1981년에 하르키우로 귀향하여 우크라이나 과학 아카데미에 소속된 물리학 연구소에서 일했다.

1990년에 양자군 이론 및 정수론에 대한 업적으로 필즈상을 수상하였다.

1998년에 우크라이나에서 미국으로 이주했으며, 시카고 대학교의 교수가 되었다. 이후 2008년에 미국 국적을 취득하였으며, 2001년 3월 1일에 시카고 대학교에서 해리 프랫 저드슨 석좌 교수로 승진하였다.
**블라디미르 알렉산드로비치 보예보츠키**는 러시아의 수학자이다. 미국 뉴저지주 프린스턴 고등연구소의 수학 교수로 재직했다.

보예보츠키는 대수기하학의 주 연구 대상인 대수다양체의 연구에 대수적 위상수학에서 주로 쓰이는 호모토피 이론을 접목하여, 대수다양체의 인 경우(밀너 추측)를 증명하였다. 이 업적으로 2002년 중화인민공화국 베이징에서 개최된 제24회 세계 수학자 대회에서 프랑스의 수학자 로랑 라포르그와 함께 필즈상을 수상하였다.

2009년에는 모티브 코호몰로지를 사용하여 일반적인 블록-가토 추측의 증명을 발표하였다.

## 이력
보예보츠키는 소비에트 연방 모스크바에서 태어나 모스크바 대학교에서 학부를 마친 후, 미국으로 건너가서 1992년 하버드 대학교에서 데이비드 카즈단(David Kazhdan) 교수의 지도로 박사학위를 받았다. 그 후, 미국 일리노이주 에반스턴에 위치한 노스웨스턴 대학교에서 근무하다가 프린스턴 고등연구소로 옮겨갔다.

가장 유명한 저서로, 노스웨스턴 대학교의 안드레이 수슬린(Andrei Suslin)과 서던 캘리포니아 대학교의 에릭 프리드랜더(Eric M. Friedlander)와 함께 ''Cycles, Transfers and Motivic Homology Theories''라는 책을 썼다.
**필즈상** 또는 **필즈 메달**은 국제 수학 연맹(IMU)이 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회(ICM)에서 수상 당시 40세 미만의 수학자들에게 수여하는 상이다. 2명 이상 4명 이하에게 수여되며 필즈상 수상은 수학자들에게 가장 큰 영예로 여겨진다.

필즈상은 캐나다의 수학자 존 찰스 필즈의 유언에 따라, 그의 유산을 기금으로 만들어진 상이다. 흔히 수학 부문에서 최고 권위에 있는 상이라 여겨져 "수학의 노벨상"이라고 불리기도 하지만, 노벨상 위원회와는 관련이 없다. 1936년에 처음 시상되었고, 제2차 세계 대전으로 인하여 14년간 시상이 중단되었다가 1950년부터 다시 시상이 이어졌다.

## 수상 조건
필즈상은 상이 수여되는 해의 1월을 기준으로 40세가 되지 않은 수학자들을 대상으로 4년마다 수여되는데, 이 때문에 뛰어난 업적을 남기고도 필즈상을 수상하지 못한 수학자들도 많다. 대표적으로는 페르마의 마지막 정리를 증명했던 앤드루 와일스가 있다. 이러한 규정은 필즈의 유언에서 비롯된 것인데, 필즈는 그의 유언에서 다음과 같이 밝혔다.

이러한 규정에도 불구하고, 앤드루 와일스는 업적의 중요성을 인정받아 1998년 45세에 예외적으로 필즈상 특별상을 수상했다.

1990년에는 필즈상 최초로 물리학자인 에드워드 위튼이 필즈상을 수상하였다.

2014년 마리암 미르자하니가 최초 여성 수상자가 되었다.

## 수상자 명단
1936년

1950년

1954년

도쿄 대학교, 일본

프린스턴 고등연구소, 미국

1958년


1962년

스웨덴

1966년

영국

1970년

모스크바 국립 대학교, 러시아

메릴랜드 대학교, 미국

플로리다 대학교, 미국

1974년


1978년

1982년

콜레주 드 프랑스, 프랑스

오하이오 주립 대학교, 미국


1986년

스토니브룩 대학교, 미국

1990년

밴더빌트 대학교, 미국

1994년

시카고 대학교, 미국

캘리포니아 대학교 샌디에이고, 미국

에콜 폴리테크니크, 프랑스

1998년

케임브리지 대학교, 영국

럿거스 대학교, 미국

럿거스 대학교, 미국

2002년


2006년

캘리포니아 대학교 버클리, 미국

2010년

국립 상트페테르부르크 대학교, 러시아

프린스턴 대학교, 미국

프린스턴 고등연구소, 미국

프린스턴 고등연구소, 미국

앙리 푸앵카레 연구소, 프랑스

앙리 푸앵카레 연구소, 프랑스

2014년

프랑스 국립과학연구센터, 프랑스

IMPA, 브라질

IMPA, 브라질

2018년


2022년

제네바 대학교, 스위스

제네바 대학교, 스위스

## 역대 수상국가
수상 시 국적 기준. 이중국적은 각 나라에 1개 국기는 현재의 것 (2022년 7월 현재)
**존 찰스 필즈**는 캐나다의 수학자이다.

수학의 노벨상이라고 불리는 필즈상의 제창자이다. 필즈상은 1932년 스위스 취리히에서 열린 세계 수학자 대회(ICM)에서 제정되어, 1936년 그가 남긴 유산을 기반으로 설립되었다.

## 약력
1863년 캐나다 온타리오주 해밀턴에서 태어났으며, 1884년 토론토 대학교를 졸업하고, 미국 볼티모어의 존스 홉킨스 대학교에서 박사학위를 취득한다.

이후 미국에서의 연구에 한계를 느껴서 유럽으로 가게 된 필즈는 1891년 베를린과 파리 등지를 옮겨 다니면서 대수학 분야의 연구를 시작하여, 카를 바이어슈트라스, 펠릭스 클라인, 페르디난트 게오르크 프로베니우스, 막스 플랑크 등과 교우한다.

1902년 모교인 토론토 대학교 교수로 초대받아, 캐나다로 돌아온 필즈는 수학의 발전을 위해 노력한다. 온타리오 의회에서의 로비가 성공하여, 토론토 대학교에서 매년 75,000 달러의 지원금을 약속받았으며, 여러 연구 지원 기구의 설립에도 영향을 미친다. 필즈는 1919년부터 1925년까지 캐나다 왕립 재단의 재단장을 지냈으며, 그동안 그는 재단이 과학 연구를 이끌어 나가는 중심이 되길 바랐으나, 그의 염원이 완전히 이루어지지는 않았다. 그럼에도 그의 노력은 토론토가 1924년 세계 수학자 대회(ICM)의 개최지가 되는 것으로 이어졌다.

필즈는 수학의 노벨상이라고 불리는 필즈상을 탄생시킨 것으로 가장 유명하다. 1936년 처음 수여된 필즈상은 1950년 다시 시작되어, 이후 매 4년마다 수학에 중요한 공헌을 한 40세 이하의 수학자 적게는 2명에서 많게는 4명에게 주어진다.

필즈는 1920년대부터 수학자상을 계획했으나, 악화되는 건강으로 생애동안은 그 상이 주어지는 것을 보지 못한다. 그는 3개월 동안 앓다가 1932년 8월 9일 사망한다. 그는 유언에서 47,000 달러를 필즈상 기금으로 기부한다.
**아벨상**은 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 딴 상으로, 노르웨이 왕실에서 수여하는 상이다. 2003년부터 수상이 시작되었다. 수학자가 일생 동안 쌓아온 업적을 바탕으로 상을 주기 때문에 거의 대부분 수상자들의 나이가 많다.

## 역사
1902년 아벨 탄생 100주년이 다가오자, 수학자 소푸스 리가 아벨의 이름을 딴 상을 만들 계획을 최초로 제안했다. 하지만, 1899년 그가 사망하면서 추진력을 잃었다. 이후 1902년, 오스카르 2세가 다시 시행하려 했지만, 스웨덴과 노르웨이 연방이 해체되면서 생긴 재정적 악화로 인해 다시 중단되었다. 2000년, 국제 수학 연맹이 지정한 수학의 해에 이 계획이 또다시 부활했고 이번에는 아무런 지장 없이 2003년에 장피에르 세르에게 상을 수여했다.
**장피에르 세르**는 프랑스의 수학자로, 20세기 대수기하학과 정수론의 발전에 지대한 영향을 끼쳤다.

1954년에 필즈상을 수상하였고, 2003년에는 아벨상을 수상하였다.

## 업적
수학연보(Annals of Mathematics)에 프랑스어로 실린 역사적인 논문 대수적 연접층에서 대수다양체의 개념을 최초로 엄격하게 정의하였으며, 알렉산더 그로텐디크와 더불어서 현대 대수기하학 발전의 기초를 닦은 사람으로 간주된다. 세르의 대수다양체 정의는 그로텐디크의 스킴 이론으로 일반화되며, 이것은 현대 대수기하학과 정수론을 연결하는 중요한 고리가 된다.

또 다른 대표적인 위대한 업적들로는

등 많은 결과들이 있다.

그로텐디크와 세르가 위의 업적들을 발달시킬 단계에서 주고 받은 서신들의 모음집(Grothendieck-Serre correspondences)이 최근 프랑스 수학회와 미국 수학회에 의해 공동 출판되었다.
**존 그리그스 톰프슨**은 유한군 이론에서 탁월한 업적을 나타낸 수학자이다.

1955년 예일 대학교에서 학사 학위를 마치고, 1959년 손더스 매클레인을 지도 교수로 하여 시카고 대학교에서 박사학위를 받았다. 케임브리지 대학교, 코넬 대학교 등에서 교편을 잡다가 플로리다 대학교에 재직중이다.

톰프슨의 가장 뛰어난 업적은 1963년 월터 파이트(Walter Feit)와 같이 증명한 정리 파이트-톰프슨 정리(Feit-Thompson theorem)이다. 이 정리는 '홀수개의 원소를 가지는 임의의 유한군은 가해군이다'라는 놀라운 결과를 증명한 것이며, 태평양 수학 저널(Pacific Journal of Mathematics)에 출판되었다. 이 정리는 임의의 모든 유한단순군들을 모두 분류해 내는 거대한 성과의 초석이 되었다. 이는 20세기 수학의 최대 성과 중의 하나이다. 이 공로로 톰슨은 1970년 필즈상을 수상하였다. 2008년에는 아벨상을 수상하였다.
수학의 한 분야인 군론에서, 이항연산&nbsp;∗ 하에 주어진 군 G에 대하여, G의 부분집합 H 또한 이항연산 ∗ 하에서 군을 이룰 때, H를 G의 **부분군**이라고 한다. 더 정확히는, H가 G의 부분군이라는 것은 ∗의 에 대한 제한이 H에서의 군 연산인 것을 말한다. 이를 대개 로 나타내고, "H는 G의 부분군"이라고 읽는다.

임의의 군의 **자명한 부분군**은 항등원만을 갖고 있는 부분군 {''e''}이다.

군 G의 **진부분군**이란 G의 진부분집합인 부분군 H를 말한다. . 이를 대개 로 나타내고 "H는 G의 진부분군"이라고 읽는다. 몇몇 저자들은 또한 자명한 군을 진부분군으로부터 제외하기도 한다 .

H가 G의 부분군일 때, 때때로 G를 H의 **초군**이라고 부른다.

보다 일반적으로 같은 정의를 G가 임의의 반군일 때도 적용하기도 하나, 이 글에서는 군의 부분군에 대해서만 다룰 것이다. 군 G가 때때로 순서쌍 로 표기되는데, 대개 G가 다수의 대수적 또는 다른 구조들을 가지고 있을 때 연산 ∗를 강조하기 위함이다.

## 잉여류와 라그랑주의 정리
주어진 부분군 H와 G의 원소 a에 대하여, **좌잉여류**를 ''aH'' = {''ah'' : ''h''는 ''H''의 원소}로 정의한다. a가 가역이므로, φ(''h'') = ''ah''로 주어진 사상 φ : ''H'' → ''aH''는 전단사이다. 더욱이, G의 모든 원소는 정확히 H의 좌잉여류 하나에 들어있다; 좌잉여류는 다음과 같이 정의된 동치관계에 대한 동치류이다. ''a'' ''H''의 원소인 것이다. H의 좌잉여류의 개수를 G에서의 H의 지수라 하고, [''G'' : ''H'']로 쓴다.

라그랑주의 정리는 유한군 G와 H에 대하여 다음을 진술한다.

여기서 |''G''| 와 |''H''|는 각각 G와 H의 위수를 가리킨다. 특히, G의 모든 부분군의 위수 (그리고 G의 모든 원소의 위수는) |''G''|의 약수여야 한다.

**우잉여류**는 유사하게 ''Ha'' = {''ha'' : ''h'' in ''H''}로 정의한다. 이는 또한 적절한 동치관계에 대한 동치류들이고, 그들의 개수는 [''G'' : ''H'']와 같다.

만일 모든 G의 원소 a에 대하여 ''aH'' = ''Ha'' 이면, H를 정규부분군이라고 한다. 지수가 2인 모든 부분군은 정규부분군이다: 좌잉여류들과, 또한 우잉여류들이, 부분군이고 여집합이다. 더 일반적으로, p가 유한군 G의 위수를 나누는 가장 작은 소수이면, 지수 p를 갖는 임의의 부분군은 (만약 존재한다면) 정규부분군이다.

## 예: Z의 부분군
G가 원소가 다음과 같은 순환군 Z 이라고 하자.

그리고 이것의 군 연산은 법 8에 대한 덧셈이다. 이것의 케일리 표는
이 군은 두 개의 비자명한 부분군을 갖는다: , 여기서 J는 H의 부분군이기도 하다. H에 대한 케일리 표는 G에 대한 케일리 표의 왼쪽 위의 사분면이다. 군 G는 순환군이고, 이것의 모든 부분군도 그러하다. 일반적으로, 순환군의 부분군은 또한 순환군이다.

## 예: S의 부분군 (4개의 원소 위의 대칭군)
모든 군은 주대각선 상의 중립 원소들만큼 작은 부분군을 갖는다:

자명한 군과 두 원소의 군인 Z이다. 이 작은 부분군들은 다음 목록에서 세지 않는다.
군론에서 **단순군**은 정규 부분군이 자명군과 자기 자신밖에 없는 군이다. 즉, 정규 부분군과 몫군으로 더 작게 분해할 수 없는 군이다. 유한 단순군의 분류는 군론의 아주 중요한 문제이다. 유한군은 유한 단순군의 조합으로 분해할 수 있으며, 조르당-횔더 정리에 따르면 그 조합은 순서를 무시하면 유일하다.

## 정의
군 이 다음 조건을 만족시키면, **단순군**이라고 한다.

## 성질
아벨 단순군 · 순환 단순군 · 소수 크기의 군은 서로 동치이다.

## 예제
예를 들어, 순환군 G = **Z**/3**Z**는 단순군이다. 만약 H가 G의 부분군이라면, 그 차수(원소의 수)는 G의 차수인 3의 약수여야 한다. 그러나 3은 소수이므로 H의 차수는 1 또는 3이고, 따라서 H는 G 전체이거나 자명군일 수밖에 없기 때문이다. 그 반면, G' = **Z**/12**Z**는 단순군이 아니다. H' = {12**Z**, 4+12**Z**, 8+12**Z**}로 놓으면 이는 차수 3의 정규부분군이 되기 때문이다. (아벨 군의 임의의 부분군은 정규부분군임을 인식할 것.) 마찬가지로, 정수 전체의 덧셈군 **Z**는 단순군이 아니다. 짝수들의 집합이 자명하지 않은 정규 진부분군이 되기 때문이다.

## 유한단순군의 분류
유한단순군의 분류는 수학에서 아주 중요한 문제였고, 1981년에 다니엘 고렌스틴에 의해 해결되었다고 선언되었으나, 증명 과정에서 일부 문제가 발견되어, 이후 2004년에 마이클 아시바커와 스티븐 스미스가 쓴 Quasithin case에 대한 논문이 출간됨으로 해서 완결되었다.

유한단순군은 18가지 종류로 분류되며, 이들 분류에 속하지 않는 산재군이 26개 존재한다. 분류는 대략적으로 다음과 같다.
**유한단순군**(finite simple group)이란 단순군으로서 유한 개의 원소만을 가지는 군을 뜻한다. 

월터 파이트와 존 G. 톰프슨이 증명한 파이트-톰프슨 정리를 포함한 수많은 수학자들의 노력에 의해서 모든 **유한단순군**들의 분류가 이루어졌다. 이 결과는 20세기 수학의 많은 결과들 중 가장 중요하고 위대한 업적들 중 하나이다.

## 무한족

### 순환군 Z
**단순성:** 언제나 단순함.

**위수:** p.

**슈어 승군:** 자명군. 

**외부자기동형사상군:** 위수 p-1의 순환군.

**다른 이름:** **Z**/p**Z**

**참고:** 완전군이 아닌 단순군은 이들뿐이다.

### 교대군 A 4
(이 글에서 리형 ''A''는 기울인 글씨(이탤릭체)로, 교대군 A는 기울이지 않은 글씨로 표기한다.)

**단순성:** n이 4 이하일 때는 가해군이지만 5부터는 언제나 단순군.

**위수:** n!/2. (n이 1인 경우는 제외.)

**슈어 승군:** n이 5이거나 7보다 클 때는 위수 2, n이 6이나 7일 때는 위수 6.

**외부자기동형사상군:** 대체로 위수 2. n이 1이나 2일 때는 자명군, n이 6일 때는 위수 4.

**다른 이름:** Alt. 

**동형류:** A(2)와 동형.

**참고:** n이 1보다 클 경우 n차 대칭군의 지표 2짜리 부분군임.

## 산재군
산재군, 또는 간헐단순군, 예외 유한단순군은 괴물군을 포함해 26개이다.
**수막염**은 뇌의 수막에 생기는 염증을 말한다.

## 원인
뇌수막염의 원인으로는 바이러스성, 박테리아성, 결핵성이 있으며 이 중 박테리아성 뇌수막염은 가장 치명적이다. 비교적 더디게 병세가 진행하며 척추 골수와 뇌막에 인플루엔자균ㆍ수막염균ㆍ폐렴균ㆍ대장균 등 화농균의 침투로 인해 발생하며 심할 경우 심각한 후유증을 남기기도 한다. 바이러스성 수막염은 여름과 가을에 주로 발병하고 가장 흔한 편인데, 증상이 가벼운 편이라 대개 저절로 낫는 경우가 많지만 심한 경우 3~5일 병원 입원 치료를 해야 하는 경우가 발생하기도 한다. 또 결핵성 수막염은 G접종으로 예방하며 페니실린계열 약품, 항결핵제로 치료할 수 있다.

## 증상
뇌수막염은 뇌와 연수를 싸는 결합 조직의 막 즉, 뇌와 연수를 덮고 있는 보호 점막(수막)의 급성 염증이다. 가장 흔한 증상은 발열, 두통, 목의 경직이며 다른 증상으로는 혼란 또는 의식의 다른 반응, 구토, 빛이나 시끄러운 소리를 견딜 수 없는 증세가 있다. 어린 아이들은 종종 과민, 졸림, 또는 먹지 않으려는 증상을 보인다. 피부에 발진이 생길 수 있으며 발진이 존재하는 경우, 바이러스성 수막염의 가능성이 있는 것으로 본다. 또한 뇌염이나 뇌농양으로 번질 수도 있기 때문에 등허리뼈나 목뼈, 척추뼈에 통증을 느끼기도 한다. 일반적으로 여름에 가장 많이 발병하며 특히 3~6세의 어린아이에게 많이 나타난다.
**시티에이**(CTA)는 시카고 교통국 (Chicago Transit Authority)의 약자로, 미국 일리노이주 시카고와 인근 지역을 다니는 버스와 전철 등을 운영하는 곳이다.

시티에이 마크가 붙은 버스와 전철, 그리고 장거리 버스인 페이스(Pace)가 있는데, 시카고 카드 및 시카고 카드 플러스를 비롯한 교통 카드를 가지고 있는 경우, 이들 사이의 환승시 할인 혜택을 받는다. 처음 승차할 때에는 미화 1달러 75센트, 두 시간 이내에 두 번째로 탈 때에는 25센트가 추가되고, 최초 승차로부터 두시간 이내에 세 번째로 탈 경우에는 무료이다. 그러나 두 시간이 지나거나, 4회 이상 승차할 경우에는 요금이 추가로 부담된다. 현금 승차도 가능한데, 1달러 지폐와 모든 종류의 동전을 쓸 수 있다.

아래에 있는 공식 홈페이지에서는, 시카고와 인근 지역들을 여행할 때에 미리 여행계획을 쉽게 세울 수 있는 여행계획도우미(trip planner), 운행 일정과 교통지도를 볼 수 있다. 전철은 주로 제 시간에 운영을 하는 경우가 많으나, 버스는 교통 체증 등의 이유로 늦게 운영되는 경우가 종종 있으니 주의가 필요하다.
대수기하학에서 **대수다양체**는 국소적으로 다항식들로 주어지는 방정식들의 영점 집합처럼 보이는 공간이다. 고전적 대수기하학에서 다루는 기본적인 대상이다. 미분다양체, 복소다양체, 사교다양체 등은 위상다양체의 일종이나, 대수다양체는 일반적으로 위상다양체가 아님에 주의하라. 영어는 variety와 manifold로, 또한 많은 나라에서 둘은 다른 이름으로 구별되나, 기존 한국어 번역은 둘 다 다양체로 번역하는 바람에 오해의 여지가 생겼다.

## 정의
가 대수적으로 닫힌 체라고 하자.

### 층 이론을 통한 정의
다항식환 에 대하여,
라고 하자. 이 위에는 자리스키 위상 및 다항함수들의 층 을 정의할 수 있다.

이 데이터는 다음 세 조건들을 만족시켜야 한다.

국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 환 달린 공간이다. 즉, 환 달린 공간  각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.

### 스킴 이론을 통한 정의
이 정의는 스킴 이론을 사용하여 서술할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체

## 종류
고전적 대수기하학에서는 보통
를 정의한다.

### 아핀 다양체
에 대한 아핀 공간이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
고전적으로, 의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉
이다. 그렇다면 **아핀 대수 집합** 이 존재하는 부분 집합이다. **아핀 다양체**는 두 개의 아핀 대수 집합의 자명하지 않는 합집합으로 나타낼 수 없는 아핀 대수 집합이다.

아핀 대수 집합에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. 따라서 모든 아핀 대수 집합은 위상 공간을 이룬다.

**준아핀 다양체**는 아핀 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다.

### 사영 다양체
에 대한 사영 공간이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
고전적으로, 의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉
이다. (다항식이 동차 다항식이 아닌 경우에는 사영 공간에서의 근을 정의할 수 없다.) **사영 대수 집합** 이 존재하는 부분 집합이다. **사영 다양체**는 두 개의 사영 대수 집합의 자명하지 않는 합집합으로 나타낼 수 없는 사영 대수 집합이다. **준사영 다양체**는 사영 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다.

## 성질
대수적으로 닫힌 체  위의 대수다양체들에 대하여, 다음 포함 관계가 성립한다.
이는 아핀 공간 의 자리스키 열린 집합이기 때문이다.

일반적으로 아핀 다양체는 사영 다양체일 필요가 없고, 반대로 사영 다양체는 아핀 다양체일 필요가 없다. 아핀/사영 다양체가 아닌 아핀/사영 대수 집합은 대수다양체가 아니다. 또한, 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재한다.

### 영점 정리
힐베르트 영점 정리에 따르면, 아핀 다양체 의 반소 아이디얼들과 일대일 대응한다.

마찬가지로, 사영 다양체 의 동차 반소 아이디얼들과 일대일 대응한다.

이는 범주론적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체

## 역사
아핀 다양체는 고대부터 유클리드 공간의 초곡면으로 오랫동안 연구되었다. 이후 복소수의 등장으로 대수기하학이 대수적으로 닫힌 체에서 훨씬 더 쉽다는 사실이 발견되었고, 또 사영기하학이 발달하면서 사영 공간 속의 (준)사영 다양체의 개념이 대두되었다.

"국소적으로 아핀 다양체와 동형인 공간"이라는, 대수다양체의 추상적인 정의는 앙드레 베유가 1946년에 제안하였다.

베유 이후, 1955년에 장피에르 세르가 대수다양체를 환 달린 공간의 개념을 사용하여 재정의하였다. 이 정의는 복소수에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 체 위에서도 할 수 있는 토대를 마련하였다. 이후 알렉산더 그로텐디크의 스킴 이론이 등장하면서, 대수다양체는 적절한 성질을 만족시키는 스킴으로 다시 한 번 재정의되었다.
**로랑 라포르그**는 프랑스의 수학자이다. 필즈상을 수상하였다.

## 생애
프랑스 안토니에서 태어났다. 1986년에 파리의 에콜 노르말 쉬페리외르에 입학하였고, 1994년에는 남파리 대학(Université de Paris XI-Sud Orsay)에서 산술기하학과 대수기하학 분야에서 박사학위를 마쳤다. 현재 그는 프랑스 국립과학연구센터에서 일을 하고 있고 동시에 IHÉS의 교수이기도 하다.

2002년 중화인민공화국 베이징시에서 열린 24회 세계 수학자 대회에서 필즈상을 수상하였다. 라포르그는 정수론과 대수기하학에 속하는 분야인 랭글랜즈 추측에서 위대한 업적을 남겼는데 이것이 수상의 이유이다. 그의 업적 중 한가지 정리를 증명하기 위해서 그는 6년간 그 문제에 집중하여 연구를 하였다고 알려져 있다.
**히로나카 헤이스케**는 일본의 수학자이다.

하버드 대학교 전 교수, 교토 대학 수리해석 연구소 전 소장이며 일본인으로서는 두 번째의 필즈상 수상자이다. 전문은 대수기하학으로, 필즈상 수상 대상의 연구는 ‘표수 0인 체 위의 대수적 다양체의 특이점 해소 및 해석 다양체의 특이점 해소’이다. 일본 학사원 회원.

## 생애
1931년 4월 9일 일본 야마구치현에서 태어났다. 어렸을 때는 음악가를 꿈꿨다고 한다. 하지만 학교에서 연주 대회가 있었을 때 무대에서 피아노 연주를 하였는데, 혹평을 받아서 수학으로 관심을 돌렸다고 한다.

재수를 해서 교토 대학 수학과에 입학하였다. 4년 뒤 졸업하고, 교토 대학 대학원 수학과에 입학하였다. 우수한 논문들을 제출하는 다른 학생들을 보고 자신의 능력에 대해서 비관하였는데, 어느 날 한 여학생이 히로나카가 흘린 손수건을 줍고 "선생님! 이거 선생님 것 맞죠?"라고 외치면서 달려와 그의 수첩을 주고 사라졌다. "선생님"이라는 말에 영감을 얻고 첫 번째 논문을 쓰게 되었지만 혹평을 받았다. 그러나 두 번째 논문은 좋은 평가를 받고, 석사 학위를 취득하였다.

히로나카가 교토 대학 대학원 수학과에서 석사 학위를 취득했을 당시, 오스카 자리스키라는 하버드 대학교 수학과에서 대수기하학을 가르치는 수학 교수의 도움으로, 하버드 대학교 대학원 수학과에 입학해서 평소에 관심있었던 분야인 대수기하학을 공부하게 됐다고 한다. 그 후, 하버드 대학교 대학원 수학과에서 오스카 자리스키 교수의 지도 아래 박사 학위를 취득했다. 같이 공부했던 유명한 대수기하학자들로는 데이비드 멈퍼드와 마이클 아틴, 스티븐 클라이먼(Steven Kleiman) 등이 있다(데이비드 멈퍼드와 마이클 아틴이 하버드 대학교 재학 시절에 도움을 많이 줬다고 한다).

박사 학위를 취득한 후의 행적은 브랜다이스 대학교 수학과 조교수가 돼서, 이곳에서 당시 대수기하학에서는 풀리지 않았던 유명한 난제인 대수다양체의 특이점 해소 정리를 완벽하게 증명해서 발표했다. 그 공로를 인정받아서, 컬럼비아 대학교 수학과 정교수가 됐고, 1970년에는 수학의 노벨상이라고 불리는 필즈상을 수상하였다.

컬럼비아 대학교 수학과 정교수에서 하버드 대학교 수학과 정교수로 자리를 옮기고, 하버드 대학교 수학과에서 7년동안 학생들을 가르쳤다고 한다. 그래서 하버드 대학교 수학과에서는 명예 교수로 이름을 남기게 됐다고 한다. 그 후에는 일본으로 귀국하여, 야마구치 대학 수학과 학장을 거쳐 소조가쿠엔 대학 수학과 이사장이 되었다. 2008년 3월에는 서울대학교 자연과학대학 수리과학부 석좌교수로 초빙돼서 현재까지 활발히 활동 중이다.

## 주요 업적
히로나카는 당시 대수기하학에서 풀리지 않던 유명한 난제인 표수 0인 체 위의 대수다양체의 특이점 해소 정리를 1964년에 증명하였다. 이 결과는 프린스턴 대학교에서 발간하는 수학연보에 2번에 나누어 출판되었고, 이 업적으로 히로나카는 1970년에 필즈상을 수상하였다.
**도쿄 대학**은 일본 도쿄도 분쿄구에 본부를 둔 최상위권 명문 국립 대학 법인이다. 아시아에서 최초로 건립한 근대 대학이자 일본 제국 첫 번째 제국대학이었다. 대학 약칭은 **동대**다.

주요 캠퍼스로는 크게 3곳이 있는데, 전통 학문을 주로 담당하는 혼고(本郷) 캠퍼스, 교양학 및 학제간 연구를 담당하는 고마바 캠퍼스, 신영역 및 새로운 학문을 주로 담당하는 가시와(柏) 캠퍼스로 주로 진행하는 연구 분야를 나눌 수 있다.

자유 인문 교육 중시가 도쿄 대학에서 실시하는 교육에 내재한 특징으로, 근래에는 지식 개방 프로그램 일환으로 일반인에 공개가 적합한 강의를 중심으로 팟캐스팅으로써 송신하며, 특색인 자유로운 학풍은 야스다 사건으로 대표되는 학생운동에도 투영되었다.

## 조직

### 학부
도쿄대학의 입학자는 전원이 6개 과류로 나뉘어 교양학부에 소속되고 2년 정도의 전기 과정(課程)을 이수(履修)한 후 교양학부를 포함한 10개 학부로 나뉘어 2년의 후기 과정(課程)을 이수(履修)한다.

### 부속기관

#### 출판회
재단법인 도쿄 대학 출판회는 도쿄 대학 총장을 회장으로 하는 재단법인이다. 조직적으로 독립되어 있으므로, 엄밀히 말하면 부속기관은 아니지만 도쿄 대학 혼고 캠퍼스 내에 사무소가 있으며, 도쿄 대학 관계자의 서적을 발행하기 위한 목적으로 설립되었다. 주로 학술 서적이나 대학 강의에 쓰이는 교과서 등을 출판한다.
**교토 대학**은 일본 교토시 사쿄구에 있는 최상위권 명문 국립 대학이다. 1897년에 설립되었고, 과거에는 **교토 제국대학**으로 불렸다. 대학의 약칭은 **교다이**이다.

## 개관

### 역사
교토대학의 기원은 일본 최초의 서양식 국립병원인 나가사키 양생소(1861년 개원)까지 거슬러 올라가며 이후 정득관(精得館)으로 개칭되었다. 1868년에 정득관의 물리화학교를 오사카로 옮겨 1869년에 「사밀국(舍密局)」으로 개칭해 개교했다. 이듬해 사밀국은 이학소(理學所)로 개칭되었다. 1869년 오사카에서 개교한 양학교(洋學校)와 합병하여 1870년에 개성소(開成所)로 개칭되었고 이후 제3고등중학교라 개칭한다. 1889년 8월 1일에 교토시 사쿄구 요시다혼마치로 이전하였고 1894년 고등학교 포고령이 공포되자 제3고등학교로 개칭되었다.

이후 1895년에 청일 전쟁 배상금의 일부를 도쿄와 교토제국대학의 기본금으로 교부하고 교토제국대학을 설치하자는 사이온지 긴모치 문부대신의 제안이 수용되어 교토제국대학 설치에 관한 칙령이 제정되면서 1897년 6월 18일에 교토제국대학이 발족했다.

이러한 경위로 인해 창립년은 제3고등학교의 전신인 사밀국이 설치된 1869년, 설립년은 교토제국대학이 탄생한 1897년으로 하고 있다.

초대 총장으로는 문부성 학무 국장을 지낸 기노시타 히로지, 사무국장에 해당하는 「서기관」에는 나카가와 고주로가 취임했다. 창설시 계획에서는 법대를 먼저 설치할 예정이었으나, 공과 지망자의 급증으로 1897년 이과 대학으로 출발하였다. 그 후 10년에 걸쳐 법대 및 의대(1899년), 문과대(1906년) 등의 분과 대학 설립을 완성하였다.

「학문의 자유」를 존중한다는 이 대학의 설립시 학풍은 이후 현재까지 「자유로운 연구 학풍」을 형성하는 데 영향을 주었다고 한다. 1919년에는 학과제가 학부제로 바뀌고 1899년부터 법과대학에 소속되어 있던 정치경제학과가 일본의 대학 가운데 최초로 경제학부로 독립하였다. 1923년에는 교토대학의 상징이 된 시계탑을 포함한 대학 본관 건물이 완성되고 농학부 등의 학부 추가 증설이 이루어졌다. 1926년에는 교토대학 최초의 부설 연구소인 화학연구소가 설치되었다.

쇼와 시대에는 사상의 억압이 강화되었던 당시 세태를 반영하듯 교토대학에서도 사상관련 사건이 잇따른다. 1928년 경제학자인 카와카미 하지메 교수를 사직시키라는 문부성의 요구를 교수회가 수용, 카와카미 교수가 대학을 떠났다. 또한 1933년에는 하토야마 이치로 문부대신이 법학부 다키카와 유키토키 교수의 형법 이론에 사상문제를 제기해 휴직 처분을 내린 일로 법학부 교직원과 총장이 사표를 제출하였지만 문부성의 압력으로 다키카와를 포함한 교직원 7명이 대학을 떠난 이른바 「다키카와 사건」이 일어나기도 했다.

전시체제의 강화에 수반해 일본 정신사(문학부), 동아 경제정책 원론(경제학부), 항공학·연료 화학(공학부)등의 국책에 따른 강좌가 설치되었고, 1943년에는 문과 학생의 징병 유예가 정지되어 학생이 잇달아 전장으로 가게 되었다.

제2차 세계 대전 종결 후, 다키카와 사건으로 대학을 떠나 있었던 다키카와 유키토키교수가 대학에 복귀했다. 창립 50주년에 즈음한 1947년에는 대학명에서 「제국」이 사라지고 교토대학으로 개칭되었다.

1949년에는 이학부의 교수인 유카와 히데키가 일본인 최초로 노벨상을 수상하였고 이를 기념하여 유카와 기념관을 설치하였다. 그 이후 유카와 기념관은 유카와 기초물리학 연구소(YITP)로 개편되었다. 이후 물리학, 화학, 생리의학 분야에서 11명의 노벨상 수상자가 배출되었다.

그리고 이토 키요시교수는 이토 보제(補題)로 유명한 확률미분방정식을 확립해 현대 금융공학이론을 진보시키는데 크게 공헌하였고 블랙숄즈방정식을 도출하는데 중요한 기초를 만들었다. 그 공로로 2006년에 필즈상과 더불어 수학분야의 노벨상으로 불리는 가우스상을 수상하였다.

1968년 청년의사연합 교토대 지부가 주도한 의대 대학원 입시 거부에 참여하지 않은 수험생과 청의련 멤버가 대립한 이른바 「청의련사건」을 계기로 교양학부가 파업에 들어가 학생회가 타격을 받았다. 도쿄대학과 같은 입시 중지의 사태는 면했지만, 종전 이후 처음으로 졸업식이 중지되어 그 다음해 9월까지 일부 건물이 폐쇄되기도 하였다.

1992년 종합인간학부가 설치되고 다음 해에는 교양학부가 폐지되는 등의 대학 조직의 개편이 있었다. 1997년에 창립 100주년을 맞이하였으며, 2003년에는 국립대학에 국립대학법인을 설치하게 한 국립대학법인법이 제정되면서 국립대학법인이 설치되었다.

### 건학 정신(교훈·이념)
창립 이래 「자유로운 연구 학풍」을 건학 정신으로 하고 있다.

## 교육 및 연구
학부 및 대학원 외에 연구소 14개, 연구센터 17개로 2006년 3월 현재 일본의 대학 중 가장 많은 연구 기관을 거느리고 있다. 그 중 9개의 연구소와 연구 센터는 다른 대학이나 연구기관에 연구 설비를 제공하는 「전국 공동 이용 연구소」·「전국 공동 이용 연구 센터」이다. 이 「전국 공동 이용 연구소」의 구조를 처음으로 채용한 것은 교토대학의 기초 물리학 연구소이다. 이러한 사실에 대해 교토 대학의 관계자는 "폭넓은 분야에 있어 일본을 대표하는 학술 연구 거점이 되어 온 교토대학의 사회적 특징을 나타내고 있다"라고 견해를 드러내었다. 이 대학 출신으로 11명의 노벨상 수상자와 2명의 필즈상 수상자, 1명의 가우스상 수상자, 1명의 라스커상 수상자가 있다.

### 학풍 및 특색
학문추구에 있어서 전통적으로 「자유로운 연구 학풍」을 표방하고 있다. 이러한 분위기는 현재까지도 이어져 내려오고 있다. 도쿄대학의 경우 엘리트관료를 배출하는 대학의 이미지가 강한 반면 교토대학의 경우 자유로운 연구 학풍에 기초해 창의력이 풍부한 우수한 연구자를 배출하는 대학의 이미지가 강하다.

## 학교 동문
교토 대학은 세계적인 학자들을 여럿 배출했다. 11명의 노벨상 수상자를 배출했고, 2명의 필즈상 수상자, 칼 프리드리히 가우스상 수상자도 배출했다.
**고다이라 구니히코**는 일본의 수학자이다. 1954년에 아시아인 최초로 필즈상을 수상하였다.

## 생애
일본의 농업분야 관료인 고다이라 곤이치의 장남으로 도쿄도에서 태어났다. 1935년 도쿄제국대학 수학과 입학 후 1938년에 졸업하고 다시 같은 학교 물리학과에 입학했다.
도쿄 대학에서 박사학위를 받았는데, 헤르만 바일이 그의 일본 시절 논문에 주목함으로써 미국에 초청 받게 된다. 1949년부터 1962년까지 고다이라는 프린스턴 고등연구소와 프린스턴 대학교에서 일하였다. 그 뒤 존스 홉킨스 대학교, 스탠퍼드 대학교를 거쳐 1967년 도쿄대학으로 돌아가서 교수를 역임하였다.

## 업적
조화적분론과 그것의 대수기하학에 대한 응용으로 1954년 암스테르담에서 필즈상을 수상하였다. 그 후 주요 업적으로는 도널드 클레이턴 스펜서와 함께 개척한 변형 이론이 있다. 고다이라는 스펜서와 함께 고다이라-스펜서 함수(Kodaira-Spencer map)를 정의하였는데, 이 함수는 주어진 복소다양체의 모든 가능한 변형(deformation)들을 분류한다. 이는 변형 이론의 시초를 이룬다.
**모리 시게후미**는 일본의 수학자이다. 1990년 일본 교토 대학에서 있었던 세계 수학자 대회에서 필즈상을 받았다. 일본에서 세 번째로 필즈상을 받은 수학자이다. 전공은 대수기하학이며, 3차원 대수다양체의 극소 모델(minimal model)에 대해서 연구하여 혁혁한 업적을 남겼다. 현재도 교토 대학에서 활발히 연구중이다.

## 업적
모리의 필즈상 수상 업적인, 3차원 대수 다양체의 최소 모형 이론을 간단하게 설명하자면 다음과 같다.

이후, 고차원 다양체에서도 최소 모형을 찾으려는 노력들을 통칭하여 모리 이론 혹은 모리 프로그램이라고 부르게 되었다.
구복규}}

**화순군**(和順郡)은 대한민국 전라남도 중앙부에 있는 군이다. 동쪽은 순천시·곡성군, 서쪽은 나주시, 남쪽은 보성군·장흥군·영암군, 북쪽은 광주광역시·담양군·곡성군과 접한다. 도곡면, 춘양면 일대의 화순 고인돌 유적은 전북 고창, 강화도와 함께 유네스코 세계문화유산으로 지정되어 있다. 군청 소재지는 화순읍이고, 행정구역은 1읍 12면이다.

## 역사
마한시대에는 여래비리국(능주·화순), 벽비리국(동북)이었다. 삼국시대 때 화순은 백제의 잉리아현(仍利阿縣)이었다. 신라에 와서 여미현(汝湄縣)으로 고쳤으며 능성군(綾城郡)의 영현(領縣)이 되었다. 고려 때에 화순으로 고쳐 나주에 속하였다. 후에 능성현에 속하고 감무를 두었다.

## 지리
전라남도의 중앙부에 위치하며 서쪽의 하천 유역을 제외하면 해발 고도 400∼900ｍ의 산지로 되어 있다. 소백산맥의 지맥 무등산맥(無等山脈)이 연연히 솟아 무등산·모후산(母後山：919ｍ)·백아산(白鴉山：804ｍ)·천운산(天雲山：602ｍ)·화학산(華鶴山：614ｍ) 등 높은 산의 기복이 많아 대체로 산악 지대를 이루고 있는 한편 영산강과 섬진강의 여러 지류가 흘러 유역에는 비교적 넓은 평지가 있고 관개가 편하다.

### 기후
대체로 온난한 편이나 내륙지방에 위치해 있기 때문에 기온의 교차가 비교적 심한 대륙성 기후이다. 연평균 기온 12.6°C, 1월 평균 기온 0.7°C, 8월 평균 기온 26.1°C이고, 연평균 강수량은 1,350 mm이다.

## 행정 구역
**화순군의 행정 구역**은 1읍 12면 188법정리로 구성되어 있다. 전체 면적은 786.91 km

## 인구
화순군의 연도별 인구 추이

## 산업

### 농업
농업이 주업으로 주요 농산물은 쌀이 80%를 차지하며 보리·콩·팥·면화·삼·담배와 양봉·양잠, 소의 사육 및 죽세공품 등이 생산된다. 특산물은 복숭아·방울토마토·배·느타리버섯·단감·참외·누에·포도·더덕·파프리카·영지버섯·표고버섯·마포 등이 유명하다.

### 광업
산지가 75%나 되어 석탄을 비롯한 석회석·고령토·규석·납석 등 지하자원이 많이 매장되어 있다. 소량의 금 외에 특히 고생대 평안 누층군이 분포하는 **화순탄전**이 있어 무연탄의 매장량과 생산량이 많다. 총매장량은 약 3,600만t이며, 이 중 가채매장량은 약 1,700만t 정도로 추정된다. 1989년에 최대생산량이 연 70만t가량 기록했으며, 주로 서울·부산·광주 등에 공급되었다.

1993년 이후 민영탄광은 문을 닫고, 대한석탄공사 화순광업소에서만 채광작업을 하고 있다. 그러나 2023년 4월 27일 대한석탄공사측에서 조기 폐광을 위한 예비 신청서를 내고 사실상 추가 생산을 종료한다.

## 교통
경전선이 남북으로 종주하고 장동리(壯東里)에 이르는 화순선이 화순역에서 분기한다. 국도는 장동리에서 광주·순천·벌교의 3방면으로 통하고 국도 29호선, 국도 제22호선이 지난다. 호남선에서 분기한 경전선이 군내를 통과한다. 기타 도로도 비교적 잘 정비되어 편리한 편이다. 광주와의 대중교통편은 매우 빈번하나, 기타 지역과의 대중교통은 거의 대부분 광주에 의존하고 있다.

## 문화·관광
능주면 일대에는 역사적 유적지가 비교적 많은데, 특히 조선 중종 때 개혁 정치를 폈던 정암 조광조가 귀양 와서 죽음을 당한 터와 적려유허추모비가 있다. 동복면에는 깎아지른 듯한 절벽과 맑은 물로 유명한 적벽이 있다. 그 밖에 남면 벽송리에 화순 고인돌군, 북면 백아산에 천연 동굴이 있다. 천태산에는 비자나무 숲과 수령이 500년이 넘는 나무들이 있다. 관광자원으로는 도암면에 있는 운주사를 비롯해 만연사·쌍봉사·유마사·개천사가 있다. 고려시대에 세운 것으로 알려진 운주사에는 석불과 석탑이 많다. 그 밖에 오성산성·예산산성·철옹산성·물염정·화순적벽이 관광지로 알려져 있다. 1995년에는 화순온천과 도곡온천이 개장되었다.
**아이북**은 애플의 매킨토시 노트북 컴퓨터 제품군 중 일반적인 작업을 위한 제품군이다. 아이북은 파워북에 비해 성능이 낮지만 가격이 저렴한 보급형 노트북 컴퓨터이다. 1999년 7월 처음 소개되었고 파워피씨 시리즈 프로세서를 사용한 제품들이 판매되었다. 아이북은 2006년 5월 인텔 코어 듀오 프로세서를 사용한 맥북으로 대체되었다.

## 역사

### 아이북 G3 (조개북)
1999년에 발표된 아이북 G3는 "조개북"이라는 별명으로 불리기도 한다. 이것은 화면 부분을 고정하는 걸쇠가 없고 외형이 조개와 비슷한 모양을 하고 있기 때문이다. 1998년 발표된 아이맥과 같이 여러 가지 색깔로 출시되었고 업그레이드를 거치면서 그라파이트, 인디고, 키 라임 색깔 모델이 추가되었다. 힌지 부분에 접을 수 있는 손잡이가 있어 가방처럼 들고 다닐 수 있었고 애플의 AirPort 무선 인터넷 확장 기능을 추가할 수 있는 첫 번째 매킨토시였다. 2000년 2월에 아이북 SE 가 출시되었고 9월에는 FireWire 포트가 추가된 아이북 FireWire와 아이북 FireWire/SE가 출시되었다.

### 아이북 G3
2001년 5월 디자인이 변경된 아이북 G3가 발표되었다. 다양한 색깔로 출시된 이전 모델과는 달리 흰색과 투명한 폴리카보네이트 재질 케이스를 두른 신형 아이북 G3는 USB 포트를 2개와 슬롯 로딩 드라이브를 갖추고 있었고 10월에는 14인치 모델이 추가되었다.

### 아이북 G4
2003년 10월 발표된 아이북 G4는 매킨토시 라인업의 파워피씨 G4로의 이전을 마무리 짓는 제품이었다. 불투명한 케이스를 갖추고, 속도가 빨라진 AirPort Extreme와 USB 2.0, 블루투스를 지원했다.

### 단종
아이북은 아이맥과 달리 파워피씨 G5 모델이 출시되지 않았다. 이는 파워피씨 G5의 소비전력과 발열이 많았기 때문이었다. 또한 소비 전력 대 성능 비율에서도 인텔 프로세서에 비해 좋지 않았다. 이와 같은 약점은 특히 노트북 컴퓨터에서는 결정적인 장애물이 되었다

애플은 2005년 WWDC에서 인텔 프로세서로의 이전을 발표하고 2006년 5월에 맥북을 발표하면서 아이북을 단종시켰다.
**아라비아반도**는 아시아와 아프리카를 잇는 서아시아의 사막으로 이루어진 반도로 중동의 중심을 이룬다.

남서쪽은 아카바만, 홍해, 아덴만, 남동쪽은 인도양의 일부인 아라비아해, 북동쪽은 오만만, 호르무즈 해협, 페르시아만으로 둘러싸여 있다. 반도의 북쪽은 보통 자그로스산맥을 경계로 삼는다. 시나이반도를 통해 아프리카와 연결되어 있다.

아라비아반도는 정치적으로 아래 나라들로 나뉜다:

반도의 대부분 땅은 사우디아라비아에 속한다. 대부분 사람들은 사우디아라비아와 예멘에 살고 있다.

이곳에서 가장 큰 나라는 사우디아라비아로, 인구도 약 2,300만 명으로 제일 많다.