**브라-켓 표기법**은 양자역학에서 양자 상태를 표현하는 표준 표기법으로, 추상적인 벡터와 선형 범함수를 표현하는 데 사용된다.

이 표기법은 꺾쇠괄호 '⟨', '⟩'와 , 수직선 '|' 을 사용하여 표기한다.
오른꺾쇠괄호로 표기한 것을 **켓**이라고 하며, 주로 열벡터를 나타내고 다음과 같이 쓰인다.
왼꺾쇠괄호로 표기한 것을 **브라**라고 하며, 주로 행벡터를 나타내고, 다음과 같이 쓰인다.
여기에서 }}는 '켓-'로 읽고, }}는 '브라-'로 읽는다.

유한차원벡터공간에 포함된 브라와 켓에 대하여 일반적으로 다음이 성립한다.
 A_1 \\
 A_2 \\
 A_3 \\
 A_4 \\
 \vdots \\
 A_N \\
 \end{pmatrix}
이때, 은 의 켤레 복소수이다.

브라와 켓, 그리고 연산자의 조합은 행렬 곱셈을 표현하는데 사용된다.

브라-켓 표기법은 복소벡터공간에서 벡터의 스칼라곱 또는 벡터 위로의 선형 범함수의 작용을 나타내기 위해 사용된다.
내적이나 작용은 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현된다.

같은 레이블인(같은 내용물을 가진)브라와 켓은 서로에게 에르미트 수반이다.
쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓벡터가 대응된다는 리스 표현 정리에 의해 〈''ψ''| 는 다음과 같이 켓벡터 |''ψ''〉 와 대응되며 잘 정의되어 있다.

브라-켓 표기법은 1939년에 폴 디랙에 의해 소개되었기 때문에 **디랙 표기법**이라고도 한다.

브라-켓 표기법이 생겨나기 100년 전쯤에 헤르만 그라스만이 내적을

으로 표기한 전례가 있다.

## 소개
브라-켓 표기법은 선형 대수학의 표기법으로, 특히 유한/무한 차원의 복소 벡터 공간에서의 벡터, 내적, 선형 연산자, 에르미트 수반, 쌍대공간에 초점이 맞추어져있으며, 특히 양자역학에서 자주 사용되는 연산들을 쉽게 하기 위해 설계되었다.

양자역학에서 브라-켓 표기법은 매우 광범위하게 사용되고 있다. 또한 양자역학으로 설명되는 많은 현상들이 브라-켓 표기법을 사용하여 표현된다.

표기법에 대해 간단히 설명하자면, 켓 }}은 열벡터이며, 같은 레이블의 브라 }} 의 켤레 전치(행벡터)이다. 그리고 브라, 켓, 선형 연산자를 나란히 쓰는 것은 행렬 곱셈을 의미한다.

참고로, 어떠한 기호, 문자, 숫자, 심지어 단어라도 레이블로 적절하다면 무엇이든지 켓 안에 레이블로 쓰일 수 있다. 예를 들어, 위 수식의 마지막 줄은 각 실수 마다 있는 무한히 많은 켓들을 조합해서 만들어진다. 다시 말해서 기호"}}"는 "" 자체의 의미와 관계 없이 구체적이고도 보편적인 수학적 의미를 가지고 있다. 예를 들어, +}}는 }}일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 그러나 이해를 돕기 위해서 켓 안의 레이블은 논리적으로 일관성 있게 붙여진다. 예를 들어, 양자역학에서 에너지 고유켓은 일반적이고 관습적으로 양자수를 나열한 것으로 붙여진다.

### 내적과 브라
내적은 일반화된 스칼라곱으로, 두 벡터의 내적은 스칼라이다. 중성 표기법(오로지 내적에만 사용되는 표기법)에서, 내적은  으로 쓰일 수 있다. 여기에서 와 는 모두 추상벡터공간의 원소, 즉, 둘 다 켓이다.

브라–켓 표기법은 "브래킷(괄호)"으로 불리는 내적을 다음과 같이 "브라"와 "켓" 두 부분으로 나눌 수 있다.
여기에서 }}는 브라로 불리며, "브라-A"로 읽고, }}는 위에서와 같이 켓이다.

내적을 브라와 켓으로 "나누는" 목적은 브라 }}와 켓 }}는 ''둘다'' , ''그 자체''로 의미가 있으며, 내적 밖의 다른 맥락에서 사용될 수 있기 때문이다. 브라와 켓을 분리하는 의미는 크게 두가지가 있지만, 표현 }}는 아래에 있는 두번째 해석, 즉, 선형 범함수의 작용으로 해석된다.

#### 브라와 켓을 행벡터와 열벡터로 해석
고정된 정규 직교 기저를 사용하는 유한차원 벡터공간에서, 내적은 다음과 같이 행벡터와 열벡터의 행렬 곱셈으로 쓰일 수 있다.
\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}

이를 바탕으로 하면, 브라와 켓은 다음과 같이 정의될 수 있다.

그리고 이러한 정의에서는 브라 옆에 켓을 놓는 것이 행렬 곱셈의 의미를 갖는다는 것을 암시한다.

브라의 켤레 전치(''에르미트 수반''으로도 알려져 있다.)는 켓과 일치하고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.
왜냐하면 다음과 같은 브라,
가 있을 때, 켤레 복소수를 취하고 행렬을 전치하면 다음과 같은 켓이 되기 때문이다.

#### 브라를 선형범함수로 해석
무한차원공간으로 일반화하기에 더 쉬운, 동치의 추상적인 정의는 브라를 켓의 공간에서의 선형 범함수로, 즉, 켓을 입력으로 하고 복소수를 출력하는 선형 변환으로 정의하는 것이다. 브라로 표현되는 선형 범함수는 내적과 똑같이 정의된다. 따라서, 만약 }}가 리스 표현 정리 아래에서 }}와 상응하는 선형 범함수라면 다음과 같이 함수로 표시할 수 있다.
즉, 이것 또한 내적과 똑같은 복소수를 만들어낸다. 우변의 표현은 여전히 두개의 켓을 포함하지만 ''내적이 아니다''. 이러한 내용이 혼란스러울 수는 있지만, 결국 같은 숫자가 만들어지므로 내적으로 계산해도 큰 문제는 없다.

수학 용어에서, 브라의 벡터 공간은 켓의 벡터공간의 쌍대 공간이며, 상응하는 브라와 켓은 리스 표현 정리에 따라 연관되어 있다.

### 규격화 불가능 상태와 비힐베르트 공간에서의 브라-켓 표기법
브라–켓 표기법은 힐베르트 공간이 아닌 벡터 공간에서도 사용될 수 있다.

양자역학에서, 무한의 노름을 가지고 있는 켓, 즉, 규격화 불가능 파동함수들은 관습적으로 쓰이고 있다. 예시로는 디랙 델타 함수나 무한 평면파가 파동 함수로 사용되는 상태 등이 있다. 기술적으로, 이러한 상태는 힐베르트 공간에 속하지 않는다. 그러나, "힐베르트 공간"의 정의는 이러한 상태들을 포함하도록 확장될 수 있다.(겔판트-나이마르크-세갈 구성과 조작된 힐베르트 공간을 참고하라.) 브라–켓 표기법은 이러한 넓은 맥락에서도 비유적으로 사용될 수 있다.

바나흐 공간은 힐베르트공간의 다른 정규화이다. 바나흐 공간 }}에서, 벡터는 켓으로, 선형 범함수는 브라로 표기될 수 있다. 사실, 위상 공간이 아닌 어떠한 벡터공간에서도 벡터를 켓으로 선형 범함수를 브라로 표기하는 것이 가능하다. 이러한 더 일반적인 맥락에서 꺾쇠괄호는 리스 표현 정리가 적용될 수 없기 때문에 더 이상 내적의 의미를 가질 수 없다.

## 양자역학에서의 사용
양자역학의 수학적 구조들의 대부분은 선형대수학을 기반으로 한다.

벡터와 선형 연산자를 포함한 양자역학의 모든 계산은 사실상 브라-켓 표기법으로 표기될 수 있다. 아래는 그에 대한 몇 가지 예시이다.

### 스핀이 없는 위치공간 파동함수
스핀-0 점입자의 힐베르트 공간은 "공간기저" 이다. 불가산 무한한 수의 벡터의 원소는 기저에 있는, 이것은 불가산 무한 차원 힐베르트 공간. 힐베르트 공간의 차원(일반적으로 무한한) 그리고 위치 공간은 섞이지 않는다.

이러한 힐베르트 공간에서 시작하는 어느 켓 }} 에 대해 다음과 같이 파동함수로도 알려져 있는 스칼라 함수 을 정의할 수 있다.
왼쪽의 은 공간상의 어느 점으로부터 복소수로의 대응이며, 오른쪽의  ∫ d**r** Ψ(**r**) }}는 켓이다.

그 다음에는 관습적으로 파동함수(켓)에 작용하는 선형 연산자를 다음과 같은 방법으로 정의한다.

예를 들어, 운동량 연산자 는 다음과 같은 형태이다.

간혹 다음과 같은 표현을 만나게 될 때도 있다.
하지만 이것은 표기법의 남용이다. 미분 연산자는 반드시 위치기저
에 사영되는, 켓에 작용하는, 파동함수를 미분하는 효과를 가진 추상적인 연산자로 이해되어야한다.
그럼에도 불구하고, 운동량 기저에서, 연산자는  와 같이 단순한 곱셈 연산자에 해당한다.

### 상태의 중첩
양자 역학에서 식 }}은 일반적으로 상태가 상태 으로 붕괴할 확률 진폭으로 해석된다. 수학적으로는 가 으로 사영될 때의 계수를 의미한다. 또한 그것은 상태 의 상태 로의 사영을 의미한다.

### 스핀- 입자에 대한 기저 변환
정적인 스핀- 입자는 이차원 힐베르트 공간을 가진다. 그 공간의 정규 직교 기저 가운데 하나는 다음과 같다.
여기에서, }} 가 각운동량 연산자 ''S'' 의 값이 확실히 }}인 상태이고, }}는  각운동량 연산자  의 값이 확실히 }}인 상태이다.

이러한 기저를 통해, 입자의 ''어떠한'' 양자 상태도 두 기저의 선형결합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
이때 ''a'' 는 복소수이다.

다음처럼 같은 힐베르트 공간에 대한 ''다른'' 기저도 존재한다.
이 상태들은 대신 의 관점에서 정의된 것이다.
또한, 입자의 ''어떠한'' 상태도 위의 두 기저의 선형 결합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

어떠한 기저를 사용하는지에 따라 다음과 같이 다른 벡터형식으로 다음과 같이 쓰일 수 있다.
다시 말해서, 벡터의 "좌표"는 사용된 기저에 의존한다.

이것은 , 와 , 의 수학적 관계이다. 자세한 내용은 기저 변환을 참고하라.

### 잘못된 사용
표기법의 몇가지 관례와 오용이 물리학계에서 일반적으로 받아들여지고 있지만 이러한 표기법은 혼동을 일으킬 여지가 있다.

같은 방정식에서 ''레이블''과 상수로 같은 기호를 사용하는 것은 일반적이다. 예를 들어, 는 **동시에** ''연산자의 이름'' , ''고유벡터'' }} 그리고 연관된 ''고유값'' 로 사용되었다.

벡터의 요소를 표기할 때 이와 비슷한 일이 발생한다. 동 (대문자)는 전통적으로 파동함수와 연관되었고,  (소문자)는 같은 맥락에서 파동함수 또는 복소상수 레이블을 표시하는데 사용되며, 아래첨자에 의해서만 구분된다.

주된 남용은 벡터 레이블 안에 연산을 포함하는 것이다. 이러한 남용은 벡터의 크기변환을 빠르게 표기하기 위해 사용된다. 즉, 만약 벡터 }}가 배 크기변환될 때, 이것을 }}}}으로 표시하는 셈이다. 그러나 이러한 표기법은 말이 되지 않는다. 왜냐하면  가 함수나 숫자가 아닌 레이블(이름)이기 때문에 연산을 수행할 수 없기 때문이다.

이러한 오용은 }}

이때 외적은 선형 연산자로 볼 수 있는  행렬이다.

외적의 사용 용도 가운데 하나는 사영작용소를 구성하는 것이다. 노름이 1인 주어진 켓 }}에 대해, }}에 펼쳐진 하위공간으로의 직교사영은 다음과 같다.

### 에르미트 수반 연산자
브라와 켓이 서로 변환될 수 있는 것처럼(}}를 }}으로 만듦으로써), }}에 상응하는 쌍대공간의 원소는 ''A''

등과 같다. 식의 오른쪽(어떠한 괄호도 없는)과 표현은 중의적이지만 표현되는 것이 허용된다. ''왜냐하면'' 왼쪽의 표현과 같기 때문이다. 참고로 결합성은 물리의 비선형 시간 역전 연산자와 같은 비선형 연산자 표현까지 적용되지는 않는다.

### 에르미트 수반
브라–켓 표기법은 특히 에르미트 수반(또는 데거라고 하며 으로 표시한다.)의 표현이다. 공식적인 규칙은 다음과 같다:

이러한 규칙은 어떠한 표현에 대해서라도 에르미트 수반을 구하기에 충분하다. 아래는 몇가지 예시이다.

\bigl(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle\bigr)^\dagger = c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2| \,.

## 브라와 켓의 합성
두 힐베르트 공간 와  는 텐서곱을 통해 또다른 공간  을 형성할 수 있는데, 이것은 양자역학에서 복합계를 설명하는데 사용된다. 만약 계가 각각  와  로 설명되는 두개의 부분계의 합성인 경우, 전체 계의 힐베르트 공간은 두 공간의 텐서곱이다. 

만약 }}가 에 속한 켓이고, }}는 ,에 속한 켓일 때, 두 켓의 직접 곱은  에 속한 켓이다. 이것은 다음과 같이 다양한 표기법으로 쓰여진다.

이러한 곱의 적용은 양자 얽힘과 EPR 역설을 참고하라.

## 단위 연산자
완비정규직교계(기저)이고,

인 노름이 내적}}인 힐베르트 공간를 고려하자.

기초적인 함수해석에서, 어떠한 켓 }}는 다음과 같이 쓰일 수 있다는 것은 알려진 사실이다.

이때 }}은 힐베르트 공간 위에서의 내적이다.

이것은 켓의 (복소)스칼라의 교환법칙에 따라 다음의.

는 반드시 각 벡터를 자기 자신으로 보내는 '항등 연산자'여야 한다.

## 수학자들에 의해 사용된 표기법
브라-켓 표기법을 사용할 때 물리학자가 고려하는 대상은 힐베르트 공간 (완비 내적 공간)이다.


이때, , , }}, 그리고, }}는 단지 힐베츠트 공간의 두 원소 사이의 내적을 표현하는 다른 표기법일 뿐이다.
표기의 혼동은 , 와 }}, }}를 각각 식별하는데에서 발생한다. 이것은 문자 그대로 상징적 대체이기 때문이다. ''H'' }}라고 하고 G }}라고 하자. 이러한 가정은 다음과 같은 식을 제공한다

괄호를 무시하고 두개의 세로선을 제거한 식을 얻게 된다.