추상대수학에서 **환**은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙 및 항등원의 존재를 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 추상대수학의 분야를 **환론**이라고 한다.

가환환(곱셈의 교환법칙이 성립하는 환)은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 가환대수학이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학 및 대수적 수론과 깊은 관련이 있다. 1980년대 이후에는 비가환 기하학과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다.

환에 대한 관련된 개념으로, 군의 표현(혹은 가군)이나 군환, 나눗셈환, 보편 포락 대수 등의 특수한 환 및 인접 분야인 호몰로지 대수학 등이 있다.

## 정의
**환**은 아벨 군과 모노이드의 구조를 동시에 갖고, 두 구조가 서로 호환되는 대수 구조이다. 구체적으로, 환 은 이항 연산
을 갖추고, 다음 공리들을 만족시키는 집합이다.

환의 개념은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으나, 이들 정의들은 모두 서로 동치이다.

환의 개념은 다음과 같은 개념들과 유사하지만 다른 개념이다.

### 환 준동형
두 환 가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, **환 준동형 사상**이라고 한다.
유사환의 준동형은 일 필요가 없다. 따라서, 모든 환 준동형은 유사환 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

### 부분환
환의 부분 집합 이 다음 두 조건을 만족시킨다면, **부분환**이라고 한다.
즉, 부분환은 덧셈 부분군이자 곱셈 부분 모노이드인 부분 집합이다.

아이디얼은 전체 아이디얼이 아닐 경우 1을 포함하지 않으므로 부분환이 될 수 없다.

### 가군과 아이디얼
환의 특정 부분 집합을 **아이디얼**이라고 한다. 환 을 정의할 수 있다. 이는 군과 그 정규 부분군이 주어졌을 때, 몫군을 취할 수 있는 것과 마찬가지다.

군이나 모노이드가 집합 위에 왼쪽·오른쪽에서 작용할 수 있는 것처럼, 환의 경우 아벨 군 위에 왼쪽·오른쪽으로 작용할 수 있다. 이렇게 환의 (왼쪽·오른쪽) 작용을 갖춘 아벨 군을 **왼쪽·오른쪽 가군**이라고 한다. 왼쪽·오른쪽 아이디얼은 왼쪽·오른쪽 가군의 특수한 경우이다. 대략, 군의 작용과 환의 작용에 대하여 다음과 같이 대응되는 개념들이 존재한다.

## 연산
주어진 환들로부터 새로운 환을 만드는 다양한 연산들이 존재한다.

### 반대환
환 이 주어졌을 때, 그 위에 다음과 같은 새로운 곱셈 연산을 주자.
그렇다면 의 반대 모노이드이다.

환을 하나의 대상을 갖는, 아벨 군의 모노이드 범주 위의 풍성한 범주로 생각하였을 때, 이는 반대 범주의 특수한 경우이다.

### 몫환
군론의 몫군이나 선형대수학의 몫공간과 마찬가지로, 환론에서도 **몫환**의 개념을 정의할 수 있다. 환론에서 정규 부분군에 해당하는 대상은 양쪽 아이디얼이며, 이에 대한 몫환은 대략 아이디얼에 속한 원소를 모두 0으로 간주하여 얻는 환이다.

환 를 정의할 수 있다.
이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다.
는 이러한 동치류들의 집합이다. 그 위의 환의 연산은 다음과 같다.
이 연산들은 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다는 것을 아이디얼의 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 몫환에서는 이다.

몫환에 대하여, 표준적인 전사 환 준동형
이 존재한다.

### 직접곱
환의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 환들의 집합의 **직접곱**을 정의할 수 있다. 이는 환의 범주의 범주론적 곱을 이룬다. 이는 덧셈 아벨 군으로서는 아벨 군들의 직접곱이며, 곱셈 모노이드로서는 모노이드들의 직접곱이다.

### 자유곱
환의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 환들의 집합의 **자유곱**을 정의할 수 있다. 이는 환의 범주의 쌍대곱을 이룬다. 일반적으로, 환들의 자유곱은 매우 복잡하다.

### 다항식환
환  역시 가환환이다.

환 가 자명환이 아니라면) 항상 가환환이 아니다.

## 성질

### 기초적 성질
환 는 환의 덧셈 및 곱셈 항등원이다.

환 가운데, 이기 때문에, 원소가 0밖에 없기 때문이다.

환의 경우, 다른 대수 구조와 마찬가지로 준동형 정리와 동형 정리가 성립한다.

### 범주론적 성질
환과 환 준동형의 범주 은 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 극한과 쌍대극한은 다음과 같다.
특히, 환의 전사 사상은 전사 함수일 필요가 없다. 하지만 반대로 전사 함수인 환 준동형은 항상 환의 전사 사상이다.

#### 함자
환의 범주 은 아벨 군의 범주 · 모노이드의 범주 · 집합의 범주로 가는 충실한 망각 함자를 갖는다. 이들은 각각 곱셈과 덧셈을 잊는다.

이 두 함자는 모두 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

이들은 다른 함자와 다음과 같이 합성할 수 있다.

이 밖에도, 환의 범주에서 유사환의 범주로 가는 포함 함자
가 존재한다. 이는 충실한 함자이지만 충만한 함자가 아니다.  이 포함 함자는 왼쪽 수반 함자
를 가지며, 이를 유사환의 단위화라고 한다.

### 군론적 성질
환 가 주어졌을 때, 곱셈 구조를 잊으면 아벨 군을 얻는다. 반대로, 모든 유한 생성 아벨 군 위에는 하나 이상의 환 구조가 존재한다. 구체적으로, 임의의 유한 생성 아벨 군은 유한 개의 소수 거듭제곱 크기의 순환군 및 유한 개의 무한 순환군들의 직합이다.
이 아벨 군은 다음 환의 덧셈군이다.

환 가 주어졌을 때, 환의 여러 성질들은 그 덧셈군만으로 유추할 수 있다. 예를 들어, 환의 표수는 덧셈군만으로 정의가 가능하며, 또한 환의 일부 아이디얼들의 존재 역시 유추할 수 있다.

유한환의 분류에 따라, 순환군 

무한 순환군 

꼬임 아벨 군 
예를 들어, 덧셈군 이나 프뤼퍼 군 위에는 환 구조가 존재하지 않는다. 물론, 임의의 아벨 군에 대하여 이를 덧셈군으로 하는 유사환은 항상 존재한다. (아벨 군에 모든 곱이 0인 곱셈을 주면 된다.)

임의의 환 를 부분군으로 갖는다.
소수 크기의 유한 순환군

### 모형 이론적 성질
환은 다음과 같은 연산들을 갖춘 대수 구조이다.
환들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.  마찬가지로, 다음 모임들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

환의 대수 구조 다양체에서, (보편 대수학적) 준동형은 통상적인 환 준동형과 같으며, 부분 대수는 통상적인 부분환과 같으며, 단순 대수는 통상적인 단순환과 같다.

환의 대수 구조 다양체에서, 합동 관계는 양쪽 아이디얼과 같다. 구체적으로, 환 

환의 대수 구조 다양체에서, 환 
이는 환의 스스로의 왼쪽 가군으로서의 소멸자와 스스로의 오른쪽 가군으로서의 소멸자의 교집합과 같다.

### 격자 이론적 성질
환 
이 격자에서 만남 는 두 양쪽 아이디얼의 합 아이디얼이다.
아이디얼의 격자가 분배 격자인 환은 **산술환**이라고 한다.

마찬가지로, 의 모든 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합이나, 오른쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합 역시 완비 모듈러 격자를 이룬다. (이는 모든 가군의 부분 가군 격자가 완비 모듈러 격자라는 정리의 특수한 경우이다.)

또한, 

환  역시 완비 격자를 이루며, 추가로 대수적 격자를 이룬다.

## 종류
다양한 종류의 특별한 환들은 특별한 이름을 갖는다. 이들 가운데 대표적인 것들 및 이들 사이의 함의 관계는 다음과 같다.

위 개념들과 독립적으로, **뇌터 환**은 "지나치게 크지 않은" 환이다. **아르틴 환**은 "매우 작은 (0차원)" 환이다. 모든 아르틴 환은 뇌터 환이나, 그 역은 성립하지 않는다.

### 가환환
곱셈에 대해 교환 법칙이 성립하는 환을 **가환환**이라고 한다. 가환환의 경우 다양한 특수한 개념들이 존재하는데, 그 포함 관계는 다음과 같다.
특히, 모든 **체**는 가환환이다.

만약 덧셈에 대한 항등원 0을 제외한 모든 환의 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지고 있다면 이를 **나눗셈환**이라고 부른다. 가환환인 나눗셈환은 체와 같다.

## 분류
모든 환들을 분류하는 것은 현재 수학으로서는 불가능하다. 다만, 일반적인 환에 대하여 다음과 같은 4단계의 대략적인 구조론이 존재한다.
특별한 종류의 환들의 경우, (거의) 완전한 분류가 존재한다. 예를 들어, 많은 종류의 유한환은 완전히 분류되었고, 마찬가지로 아르틴 단순환 및 반단순환 역시 완전히 분류되었다 (**아르틴-웨더번 정리**).

## 역사
환의 연구는 다항식환 및 수체의 대수적 정수의 이론으로부터 출발했다. 환의 개념은 리하르트 데데킨트가 도입했으며, 1897년에 다비트 힐베르트가 수체의 대수적 정수환을 다루는 동안 처음으로 "수환"( = (數) + (環))이라는 용어를 사용하였다.

아브라함 프렝켈은 1914년에에서 가환환의 이론을 공리적으로 전개하였다.