**k-평균 알고리즘**은 주어진 데이터를 k개의 클러스터로 묶는 알고리즘으로, 각 클러스터와 거리 차이의 분산을 최소화하는 방식으로 동작한다. 이 알고리즘은 자율 학습의 일종으로, 레이블이 달려 있지 않은 입력 데이터에 레이블을 달아주는 역할을 수행한다. 이 알고리즘은 EM 알고리즘을 이용한 클러스터링과 비슷한 구조를 가지고 있다.

## 도입

### 역사
"k-평균"에 대한 개념은 1957년 후고 스테인하우스에 의해 소개되었으나,{{저널 인용

### 개요
k-평균 클러스터링 알고리즘은 클러스터링 방법 중 분할법에 속한다. 분할법은 주어진 데이터를 여러 파티션 (그룹)으로 나누는 방법이다. 예를 들어 n개의 데이터 오브젝트를 입력받았다고 가정하자. 이 때 분할법은 입력 데이터를 n보다 작거나 같은 k개의 그룹으로 나누는데, 이 때 각 그룹은 클러스터를 형성하게 된다. 다시 말해, 데이터를 한 개 이상의 데이터 오브젝트로 구성된 k개의 그룹으로 나누는 것이다. 이 때 그룹을 나누는 과정은 거리 기반의 그룹간 비유사도 (dissimilarity) 와 같은 비용 함수 (cost function) 을 최소화하는 방식으로 이루어지며, 이 과정에서 같은 그룹 내 데이터 오브젝트 끼리의 유사도는 증가하고, 다른 그룹에 있는 데이터 오브젝트와의 유사도는 감소하게 된다.{{서적 인용

### 목표
n개의 d-차원 데이터 오브젝트 (**x**의 중심점이라 할 때

각 집합별 중심점~집합 내 오브젝트간 거리의 제곱합을 최소로 하는 집합 **S**를 찾는 것이 이 알고리즘의 목표다. 이 목적 함수의 전역 최솟값 (global minimum) 을 찾는 것은 NP-난해 문제이므로, 언덕 오르기 (hill climbing) 방식으로 목적 함수의 오차를 줄여나가며 지역 최솟값 (local minimum) 을 발견했을 때 알고리즘을 종료함으로써 근사 최적해를 구한다.

## 알고리즘

### 표준 알고리즘
라고 할 때, 전체 분산은 다음과 같이 계산된다.

이 값을 최소화하는 을 찾는 것이 알고리즘의 목표가 된다.

알고리즘은 우선 초기의 를 설정하는 것으로 시작한다. 이후 다음의 두 단계를 반복한다.

맨 처음, 각 점들을 개 집합으로 나눈다. 이때 임의로 나누거나, 어떤 휴리스틱 기법을 사용할 수도 있다. 그 다음 각 집합의 무게 중심을 구한다. 그 다음, 각각의 점들을 방금 구한 무게중심 가운데 제일 가까운 것에 연결지음으로써 새로이 집합을 나눌 수 있다. 이 작업을 반복하면 점들이 소속된 집합을 바꾸지 않거나, 무게중심이 변하지 않는 상태로 수렴될 수 있다.

출력값: k 개의 클러스터

알고리즘

### 초기화 기법

#### 무작위 분할 (Random Partition)
무작위 분할 알고리즘은 가장 많이 쓰이는 초기화 기법으로

## 한계점
k-평균 알고리즘은 몇 가지 한계점을 가지고 있다.

이 알고리즘은 k값에 따라 결과값이 완전히 달라진다. 예를 들어, 실제 데이터 4개 의 클러스터를 가지고 있는데, k=3으로 입력했다고 가정하자. 그러면 아래와 같은 결과가 나올 수 있다.

이는 실제 클러스터의 수 보다 k값이 작을 때 발생하는 현상이다. 반대로, 실제 클러스터가 5개인데 k=8을 입력했다고 가정하자. 결과는 아래와 같다.

따라서, k값을 어떻게 주느냐에 따라 클러스터링의 결과가 극명하게 달라지며, 좋지 못한 결과를 보여줄 가능성이 있다.

이 알고리즘은 초기값을 어떻게 주느냐에 따라 최적화의 결과가 전역 최적값 (global optimum) 이 아닌 지역 최적값 (local optimum)으로 빠질 가능성이 있다. 예를 들어, 실제 데이터는 3개의 클러스터를 가지고 있고, k도 3이라고 하자. 데이터와 초기 중심값의 분포는 아래와 같다.

그러나 알고리즘을 수행하면서 비용 함수 최소화를 진행하면 아래와 같이 지역 최솟값에 빠져 그대로 수렴하게 된다.

즉, 비용 함수의 함수 공간에서 최적화를 시행할 때, 에러가 줄어드는 방향으로 최적해를 찾아가게 되는데, 전역이 아닌 지역 최솟값에 도달해도 알고리즘의 수렴 조건을 만족하게 되므로 더 이상 최적화를 진행하지 않게 된다. 따라서, 사용자가 기대한 결과를 얻지 못하게 되는 것이다. 이를 방지하기 위해 담금질 기법 (Simulated Annealing) 을 수행하여 의도적으로 에러가 줄어드는 방향을 피하는 방식을 이용하거나, 서로 다른 초기값으로 여러 번 시도해본 뒤 가장 에러값이 낮은 결과를 사용하는 기법 등을 이용함으로써 이 문제를 완화할 수 있다.

k-평균 알고리즘은 이상값 (outlier) 에 민감하게 반응한다. 이상값이란 다른 대부분의 데이터와 비교했을 때 멀리 떨어져 있는 데이터를 의미한다. 이러한 이상값은 알고리즘 내에서 중심점을 갱신하는 과정에서 클러스터 내의 전체 평균 값을 크게 왜곡시킬 수 있다. 따라서 클러스터의 중심점이 클러스터의 실제 중심에 있지 않고 이상값 방향으로 치우치게 위치할 수 있다. 아래의 경우를 살펴보면

실제 데이터 클러스터는 오른쪽 중간에 위치해있는데 반해 클러스터의 중심은 클러스터로부터 왼쪽으로 상당히 떨어진 지점에 위치한다. 이는 실제 클러스터 외부에 퍼져 있는 이상값들이 중심점 계산에 있어 그 값을 크게 왜곡시켰기 때문이다. 이를 방지하기 위해 k-평균 알고리즘을 실시하기 전에 이상값을 제거하는 프로세스를 먼저 실행하거나, 분할법의 일종인 k-대푯값 알고리즘 (k-medoids algorithm) 을 이용하면 이상값의 영향을 줄일 수 있다.

k-평균 알고리즘은 비용 함수를 계산할 때 중심점과 각 데이터 오브젝트간의 거리를 계산하게 된다. 이 때 사용하는 거리는 유클리드 거리이다. 따라서, 알고리즘 수행 시 중심점으로부터 구형으로 군집화가 이루어지게 된다. 만약 주어진 데이터 집합의 분포가 구형이 아닐 경우에는 클러스터링 결과가 예상과 다를 수 있다. 아래의 경우를 살펴보자.

위의 경우에는 총 4개의 클러스터가 존재하는데, 구형인 클러스터는 2개만 존재한다. 위와 같은 경우 클러스터링을 시행하면 중심점으로부터 가까이 있는 데이터 오브젝트들을 한 그룹으로 묶게 되는데, 그러면 얼굴 형상의 데이터 분포를 고르게 4 조각으로 자르는 형상이 나오게 된다. 이는 알고리즘 사용자가 원하는 결과와는 크게 다르다. 위와 같은 경우에는 비슷한 밀도를 가진 데이터 군집을 하나의 클러스터링으로 묶는 방법인 DBSCAN (Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise) 알고리즘이나 mean-shift 클러스터링 알고리즘을 사용하면 원하는 결과를 얻을 수 있다.

## 클러스터의 수
주어진 데이터 집합에서 구하고자 하는 클러스터의 숫자를 설정할 때 다음의 방법론들을 이용할 수 있다.

### Rule of thumb
가장 간단한 방법으로, 데이터의 수가 ''n''이라 할 때, 필요한 클러스터의 수는 다음과 같이 계산될 수 있다.{{서적 인용

### Elbow Method
클러스터의 수를 순차적으로 늘려가면서 결과를 모니터링 한다. 만약 하나의 클러스터를 추가했을 때 이전보다 훨씬 더 나은 결과를 나타내지 않는다면, 이전의 클러스터의 수를 구하고자 하는 클러스터의 수로 설정한다.

### 정보 기준 접근법 (Information Criterion Approach)
클러스터링 모델에 대해 가능도를 계산하는 것이 가능할 때 사용하는 방법으로, [https://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_information_criterion 베이지안 정보 기준] 등이 있다. k-평균 클러스터링 모델의 경우 가우시안 혼합 모델에 가깝기 때문에, 가우시안 혼합 모델에 대한 가능도를 만들어 정보 기준 값을 설정할 수 있다.

## 클러스터링 평가 척도
클러스터링이 얼마나 잘 되었는가를 측정하는 방법으로 내부 평가 혹은 외부 평가, 크게 2가지 방법론을 이용할 수 있다.

### 내부 평가
내부 평가 (internal evaluation) 은 데이터 집합을 클러스터링한 결과 그 자체를 놓고 평가하는 방식이다. 이러한 방식에서는 클러스터 내 높은 유사도 (high intra-cluster similarity)를 가지고, 클러스터 간 낮은 유사도 (low inter-cluster similarity)를 가진 결과물에 높은 점수를 준다. 이와 같은 평가 방법은 오로지 데이터를 클러스터링한 결과물만을 보고 판단하기 때문에, 평가 점수가 높다고 해서 실제 참값 (ground truth) 에 가깝다는 것을 반드시 보장하지는 않는다는 단점이 있다.
n은 클러스터의 개수, 간의 거리이다. 높은 클러스터 내 유사도를 가지고 낮은 클러스터간 유사도를 가지는 클러스터들을 생성하는 클러스터링 알고리즘은 낮은 Davies-Bouldin index 값을 가지게 된다. 따라서, 이 지표가 낮은 클러스터링 알고리즘이 좋은 클러스터링 알고리즘으로 평가된다.

#### Dunn index
Dunn index는 밀도가 높고 잘 나뉜 클러스터링 결과를 목표로 한다. 이 지표는 클러스터간 최소 거리와 클러스터간 최대 거리의 비율로 정의된다. 각 클러스터에 대하여, Dunn index를 아래의 식으로 계산할 수 있다.
''d''는 클러스터 ''i''와 클러스터 ''j''간의 거리이고 ''d'' '(''k'')는 클러스터 ''k''의 클러스터 내 거리 (dissimilarity)를 측정한 값이다. 클러스터 간 거리 ''d''는 두 클러스터의 중심점 끼리의 거리, 혹은 두 클러스터의 각 데이터 오브젝트끼리의 거리의 평균 등 어떤 방식으로든 계산될 수 있다. 마찬가지로, 클러스터 내 거리 ''d'' '(''k'') 역시 클러스터 내 가장 멀리 떨어진 데이터 오브젝트 간 거리 등으로 구할 수 있다. 내부 평가 방식은 높은 클러스터 내 유사도와 낮은 클러스터간 유사도에 높은 점수를 주기 때문에, Dunn index값이 높은 클러스터링 알고리즘은 클러스터링 성능이 좋은 것으로 판단할 수 있다.

#### 실루엣 기법
1986년 Peter J. Rousseeuw에 의해 처음으로 서술된 [https://en.wikipedia.org/wiki/Silhouette_(clustering) 실루엣] 은 간단한 방법으로 데이터들이 얼마나 잘 클러스터링 되었는지를 나타낸다.{{저널 인용
이때 계산된 는 다음의 값을 가진다.

가 1에 가까울 수록 데이터 ''i''는 올바른 클러스터에 분류된 것이며, -1에 가까울 수록 잘못된 클러스터에 분류되었음을 나타낸다.

### 외부 평가
외부 평가 방식 (external evaluation)에서 클러스터링의 결과물은 클러스터링에 사용되지 않은 데이터로 평가된다. 다시 말해, 클러스터링의 결과물을 전문가들이 미리 정해놓은 모범답안 혹은 외부 벤치마크 평가 기준 등을 이용해서 클러스터링 알고리즘의 정확도를 평가하는 것이다. 이러한 평가 방식은 클러스터링 결과가 미리 정해진 결과물과 얼마나 비슷한지를 측정한다.

#### 랜드 측정
랜드 측정(Rand measure)는 클러스터링 알고리즘에 의해 형성된 클러스터링 결과물이 미리 정해진 모범 답안과 얼마나 비슷한지를 계산한다.
을 같은 비중으로 계산한다는 것이다. 이와 같은 방식으로는 일부 클러스터링 알고리즘을 평가할 때 좋지 않을 수 있다. F-measure는 이 문제를 어느 정도 완화한 방식이다.

#### F 측정
F 측정(F-measure)은 
R = \frac {TP } {TP + FN}

F-measure 값은 아래의 식으로 구할 수 있다.

이 값은 두 데이터 집합 간의 공통 원소들의 개수를 두 데이터 집합의 합집합의 원소 개수로 나눈 것이다.

## 응용
k-평균 알고리즘은 시장 분할, 컴퓨터 비전, 지질통계학, 천문학 및 농업 등 광범위한 분야에 적용될 수 있다. 이 기법은 주로 어떤 알고리즘을 수행하기 전 데이터를 전처리 (pre-processing) 하는 용도로 많이 쓰인다.

### 이미지 분할
컴퓨터 비전 분야에서 이미지 분할 (image segmentation) 은 디지털 이미지를 여러 개의 부분 (segments), 즉 픽셀들의 집합 (통칭 superpixel)으로 나누는 과정이다. 좀 더 자세히 말하자면, 이미지 분할은 각 픽셀에 어떤 레이블을 붙여줌으로써 비슷한 성질을 가진 픽셀 끼리 같은 레이블을 가지게 하는 것이다. 이미지 분할의 목표는 주어진 이미지를 단순화하고 이미지 표현 방식을 단순화하여 이미지를 좀 더 분석하기 편한 형태로 만드는 것이다.

이미지 분할의 결과물은 전체 이미지를 모두 포함하는 부분 (segments) 들의 집합 혹은 이미지로부터 추출한 윤곽선들의 집합이다. 오른쪽 결과물은 SLIC (Simple Linear Iterative Clustering) 기법을 이용하여 이미지를 분할한 결과물로, k-평균 알고리즘을 기반으로 한 이미지 분할 기법이다. 이미지 분할을 통해 이미지 내 비슷한 색상 및 위치에 있는 픽셀들 끼리 하나의 부분 (segment) 로 묶을 수 있고, 이를 통해 이미지를 크게 단순화할 수 있다.

### 벡터 양자화
k-평균 알고리즘은 신호 처리 분야에서 나온 것이며, 여전히 그 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 컴퓨터 그래픽스 분야에서는, 색상 양자화를 하는데 k-평균 알고리즘이 사용된다. 색상 양자화는 이미지에 사용된 색의 종류를 k개의 색으로 줄이는 과정이다. 예를 들어, 원래 색상이 65536개의 스펙트럼으로 이루어져 있다고 가정할 때, 이것을 256개 씩 묶게 되면 256개의 색상 스펙트럼으로 줄일 수 있는 것이다.

### 클러스터 분석
클러스터 분석 시, k-평균 알고리즘은 입력 데이터를 k개의 파티션 (클러스터)으로 나누는 데 사용될 수 있다. 그러나 순수 k-평균 알고리즘은 사용에 있어 적용성이 떨어진다. 위의 한계점에서 다루었듯이 k 값을 정하기 어렵고, 비 수치 데이터를 입력으로 받았을 때나 임의의 거리 측도를 이용해야 할 때는 사용될 수 없다. 이러한 경우에는 일반적으로 k-평균 알고리즘 이외의 다른 알고리즘을 사용한다.

## 다른 통계 기반 기계 학습 알고리즘간의 관계

### EM 알고리즘
가우시안 혼합 모델을 이용한 EM 알고리즘 (기댓값 최대화 알고리즘)과 k-평균 알고리즘을 비교했을 때 이 둘은 밀접한 연관성을 가지고 있다. k-평균 알고리즘은 각 데이터 오브젝트를 클러스터에 강하게 결속시킨다. 다시 말해, 데이터 오브젝트는 오로지 하나의 클러스터에만 속하게 되는데, 이를 hard assignment라고 한다. 반면에, EM 알고리즘은 데이터 오브젝트를 클러스터링할 때 클러스터에의 소속 여부를 해당 클러스터에서 데이터 오브젝트가 나타날 확률값으로 표현한다. 즉, 데이터 오브젝트들이 k-평균 알고리즘과 다르게 어느 한 클러스터에만 결속되지 않게 된다. 이러한 클러스터링 방식을 soft assignment라고 한다.
공분산 행렬을 단위 행렬 (identity matrix)에 ε을 곱한 (εΙ) 가우시안 혼합 모델을 가정해보자. 이 때 ε은 분산값을 조절하는 파라미터로, 모든 식의 구성요소가 공유한다. 그렇다면 가우시안 혼합 모델이 주어졌을 때 데이터 오브젝트가 나타날 우도 확률은 아래와 같이 주어진다.

이 식에서 EM 알고리즘을 k 개의 가우시안 혼합 모델에 적용할 때, ε값을 추정해야 할 값으로 보지 않고 고정된 값으로 만들자. 한편, 데이터 오브젝트 에 대한 가우시안 혼합 모델에서의 사후 확률은 아래와 같이 주어진다.

만약 ε값을 0에 근접시키면, 분모의 에서 분모에 데이터 오브젝트로부터 가장 가까운 평균값일때만 1이 되고, 그 이외의 경우는 0이 되는 것이다. 결과적으로, 데이터 오브젝트의 사후 확률은 하나의 클러스터에만 1의 값을 가지고, 나머지 클러스터에서는 0의 값을 가지게 된다. 따라서, 데이터 오브젝트 들은 가장 가까운 평균점에 hard-clustering이 되고, 이는 k-평균 알고리즘의 결과와 일치한다.
참고로, k-평균 알고리즘에서 클러스터 설정 과정은 EM 알고리즘에서의 E-step에 해당하고, 클러스터 중심 재조정 과정은 M-step에 해당한다.

### 평균점 이동 클러스터링
기본적인 평균점 이동 클러스터링 (mean-shift clustering) 알고리즘은 비모수적인 클러스터링 방법으로, 데이터 오브젝트들의 분포에서 그 밀도가 가장 높은 곳 (mode - 최빈값) 을 찾는 방식으로 그룹화를 수행한다. 간단히 설명하자면, 이 알고리즘은 각 데이터 오브젝트에서 미리 지정된 크기의 윈도우 이내의 데이터 오브젝트들을 찾고, 윈도우 내의 평균 값을 구한다. 그리고, 다시 그 평균값에서 같은 크기의 윈도우 이내의 데이터 오브젝트들을 찾고, 윈도우 내의 평균 값을 구한다. 이 방식을 계속하면 데이터 오브젝트들의 지역 밀도가 최대인 곳에서 윈도우의 움직임이 멈추게 된다. 이곳이 데이터 오브젝트 밀도의 지역 최댓값 (최빈값)이다. 이런 방식으로 모든 데이터 오브젝트에 대해 지역 최댓값을 알아낸다. 이 때, 같은 최빈값으로 수렴한 데이터 오브젝트는 같은 클러스터로 간주하고, 한 클러스터로 묶어준다.
평균점 이동 클러스터링은 k-평균 알고리즘과 다르게 k값을 필요로 하지 않는다는 장점이 있다. 하지만 모든 데이터 오브젝트로부터 무게 중심 이동 과정을 수렴할 때까지 거쳐야 하므로 k-평균 알고리즘보다 수행 시간이 훨씬 오래 걸린다.
참고로, 평균점 이동 클러스터링은 컴퓨터 비전 및 이미지 프로세싱 분야에서 주로 사용되며, 이미지 분할, 객체 추적 등에 이용된다.

## 의사 코드
k-평균 알고리즘 메인 함수

  kmeans:
 
 numFeatures = dataSet.getNumFeatures
 centroids = getRandomCentroids

 
 iterations = 0
 oldCentroids = None

 
  shouldStop:
 
 oldCentroids = centroids
 iterations += 1

 
 labels = getLabels

 
 centroids = getCentroids

 
 

k-평균 종료 조건 만족 여부 함수

  shouldStop:
 if iterations > MAX_ITERATIONS: return True
 

클러스터 설정 함수

  getLabels:
 dataSet.label = reassignToNearestCentroid
 

중심점 재계산 함수

  getCentroids:
 newCentroids = computeCentroids

## 변형

### k-평균++
k-평균 클러스터링은 초기 값을 어떻게 선택 하는가에 따라 성능이 크게 달라지는 성질을 가지고 있다. 2007년 David Arthur와 Sergei Vassilvitskii은 이러한 성질로 인한 피해를 줄이기 위해 k-평균++을 제안하였다.{{콘퍼런스 인용
k-평균++ 알고리즘은 초기 값을 설정하기 위해 추가적인 시간을 필요로 하지만, 이후 선택된 초기 값은 이후 k-평균 알고리즘이 의 시간 동안 최적 k-평균 해를 찾는 것을 보장한다. 일반적으로 데이터 마이닝에서 사용된다.

### k-중간점
k-중간점은 클러스터의 무게중심을 구하기 위해 데이터의 평균 대신 중간점을 사용하며, k-평균 알고리즘과 다르게 유클리드 거리뿐 아니라 임의의 거리 함수에 대해서도 동작한다. k-중간점 알고리즘은 1987년 Kaufman과 Rousseeuw에 의해 고안되었다.{{저널 인용
k-중간점 알고리즘의 경우 데이터 간의 거리를 계산하기 위해 대부분의 시간을 소비한다. 때문에 데이터간 거리 값을 미리 계산하여 저장하거나 휴리스틱 기법 등을 이용하여 알고리즘의 속도를 빠르게 할 수 있다.{{콘퍼런스 인용

### k-중앙값 클러스터링
k-중앙값 클러스터링{{서적 인용

### 퍼지 C-평균 클러스터링
퍼지 C-평균 클러스터링의 경우 k-평균 알고리즘과는 다르게 각 점이 완전히 하나의 클러스터에 속하는 것이 아니라, 해당 클러스터에 속한 정도를 나타내는 수치를 갖는다. 그러므로 각 클러스터의 무게중심은 해당 클러스터에 속한 정도를 비중두어 모든 점들의 평균을 계산한 값이 된다.{{서적 인용
퍼지 C-평균 클러스터링은 k-평균 알고리즘의 완화 버전(soft version)이라고 할 수 있다.