**적분**은 정의된 함수의 그래프와 그 구간으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 것이다. 리만 적분에서 다루는 고전적인 정의에 따르면, 실수의 척도를 사용하는 측도 공간에 나타낼 수 있는 연속인 함수 f(x)에 대하여 그 함수의 정의역의 부분 집합을 이루는 구간 [a, b] 에 대응하는 치역으로 이루어진 곡선의 리만 합의 극한을 구하는 것이다. 이를 **정적분**이라 한다. 구간 [a, b]에 대하여 

이를 수식으로 나타내면, 폐구간

## 역사
아르키메데스가 적분의 아이디어를 처음 생각해내었고 앙리 르베그가 적분론을 완성하였다.

고대 그리스 시대 시라쿠사의 수학자 아르키메데스는 도형의 면적이나 부피를 구하는데 오늘날의 적분과 유사한 방법을 사용하였다. 아르키메데스는 구적법을 이용하여 원, 구, 포물선의 일부 등에 대한 면적과 부피를 구하는 증명을 제시하였다.

카발리에리 이후 유럽에서는 도형을 당시의 표현을 빌리자면 불가분량이라고 부르는 아주 작은 양으로 나누어 넓이나 부피를 구하는 방법이 지속적으로 연구되었다. 케플러는 케플러의 행성운동법칙에서 지구의 공전 궤도가 타원을 이루며 같은 시간 동안 지구가 지나가는 황도면의 넓이는 같다고 주장하였다. 그는 타원의 넓이를 계산하기 위해 카빌리에리 이후 알려진 불가분량을 이용하였다. 또한, 케플러는 포도주통의 내측 부피를 구하기 위해 포도주통을 이루는 입체도형을 얇은 막들의 집합으로 파악하여 합산하였다. 이러한 발상은 케플러가 적분의 발견에 매우 근접하였다는 것을 보여준다. 리만 적분은 이후 토마스 요아너스 스틸티어스에 의해 보다 간단히 정리되었다.

1902년 앙리 르베그는 연속된 함수의 유계 구간에 대해 내측도와 외측도의 개념을 정립하고 이를 덮개로 파악하여 계측하는 르베그 측도를 이용한 르베그 적분을 발표하였다. 르베그 적분은 n차원의 일반적인 함수에 대해 리만 적분을 확장하여 적용한 것이다. 르베그 적분은 특정 함수에 대해 리만 적분이 존재할 때에는 리만 적분과 일치하지만, 그렇지 않은 경우에도 적분 가능한 함수들을 만들어 낸다.의 Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus(1835)를 1859년 와 이선란이 번역한 대미적습급(代微積拾級)이다. 한편 조지프 니덤은 에서 11세기 중국에서 이미 ‘적분’이라는 번역어를 사용했었다고 주장했다.

## 개요
적분은 곡면으로 이루어진 도형의 넓이나 물체의 부피와 같은 것에서 중력의 중심을 구하는 문제에 이르기까지 폭넓게 사용된다. 예를 들어 곡면으로 이루어진 수영장을 채우기 위해 얼마만큼의 물이 필요한지를 계산할 수 있다.

임의의 함수  이상인 구간과 상계되어 엄밀한 의미에서 적분과 구간의 넓이는 동일한 개념은 아니지만, 적분의 개요를 이해하기 위해 여기서는 넓이를 구하는 방법으로서 적분을 다룬다.

 라면. 이것은 다음과 같은 적분식으로 표현할 수 있다.

이제 다음과 같은 방법에 따라 위 식이 나타내는 넓이를 구할 수 있다. 우선 에서 전체의 넓이는 가로와 세로가 각각 1인, 즉 넓이가 1인 정사각형 안에 있다고 할 수 있다. 물론, 여기서 구하고자 하는 곡선의 넓이는 이 전체 구간의 넓이보다 작다. 더욱 정확한 넓이를 계산하기 위해서는 구간을 더 세밀하게 나눌 필요가 있다. 오른쪽 그림의 노란색 사각형과 같이 구간 [0, 1]을 폭이 0.2인 구간으로 나누어 오른쪽 값을 높이로 하는 다섯 개의 사각형을 그릴 수 있다. 이들 사각형의 넓이의 합은
이 된다. 그래프에서 나타난 것과 같이 이 사각형들의 넓이의 합은 실제 넓이보다 여전히 크다.

한편, 오른쪽 그래프의 녹색 사각형은 구간 [0,1]을 12등분하여 왼쪽 값을 높이로 하는 사각형을 그린 것이다. 이 사각형들의 넓이의 합은
이다. 이 경우에는 사각형들의 넓이의 합은 실제 곡선의 넓이보다 작다.

이렇게 작게 나눈 구간의 오른쪽을 사각형의 높이로 삼으면 실제 곡선의 넓이보다 크게 되고 왼쪽을 사각형의 높이로 삼으면 실제 곡선의 넓이보다 작게된다. 그러나, 작게 나눈 구간의 폭을 매우 작게 만들면 둘의 차이는 거의 없게 되고 곡선의 실제 넓이에 근사하게 된다.

이와 같이 적분은 곡선의 넓이를 구하기 위해 밑변의 길이가 0으로 수렴하는 무수히 많은 사각형들의 넓이를 합한 것과 같다. 다항식을 관계식으로 하는 함수의 적분 계산법에 따라 구간 [0,1]에서 의 적분은 다음과 같이 계산된다.
계산의 자세한 방법은 이 글의 #표기와 계산 문단에 있다.

지금까지의 예제는 리만 적분에 따른 것이다. 리만 적분에서 함수 f(x)의 적분은 다음과 같이 표기한다.
이때 &int;는 S를 변형시킨 것으로 합한다는 것을 나타내는 적분 기호이고 의 구간에 대한 변화량을 곱한다는 의미를 지닌다.

르베그 적분에서는
와 같은 표기를 사용하는데, 리만 적분과는 달리 곡선을 가로로 잘라낸 사각형들의 넓이의 합을 구한다는 의미를 나타낸다.

이 외에도 스토크스의 정리에서는 적분을 보다 일반적으로 정의하여 다음과 같이 표기한다.

## 표기와 계산
오늘날 일반적으로 사용되는 적분을 나타내는 표기 

위에서 예를 든 의 구간 [4, 9] 에 대한 적분을 계산하면,

구간 [4, 9]에 대한 함수 f(x)=x의 치역은 모두 양수 이므로 위 결과는 구간 [4, 9]에 대한 f(x)=x의 넓이와 같다. 오른쪽의 그래프와 같이 이는 결국 한변의 길이가 9인 직각이등변삼각형의 넓이에서 한변의 길이가 4인 직각이등변삼각형의 넓이를 뺀 것과 동일하고, 그 결과 역시 같다.

위의 예와 같이 적분은 하나의 수로서

### 삼각 함수의 적분
삼각함수 역시 미분적분의 기본정리를 이용하여 원시 함수를 구한후 정적분을 계산한다. 예를 들어 가 되므로, 구간 [a,b]의 정적분은
와 같이 계산할 수 있다.

## 적분의 여러 형식
적분은 여러 가지 형식으로 구분된다. 적분 계산에 대한 정의 방식이 달라 서로 다른 형식으로 분류되는 것이 대부분이지만, 교육적인 목적때문에 구분한 경우도 있다. 가장 일반적으로 널리 쓰이는 적분은 리만 적분과 르베그 적분이다.

### 리만 적분
리만 적분은 주어진 구간에서 리만 합의 극한으로 적분을 정의한다. 폐구간 [a,b]는 다음과 같이 보다 작은 구간으로 분할 될 수 있다.

구간 [a,b]를 n 개의 하위 구간으로 분할하는 경우, 하위 구간들은 [''x'']와 같이 지정할 수 있다. 함수 f(x)의 특정 구간 [a, b]를 n 개의 하위 구간으로 분할 할 때 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

왼쪽의 그래프와 같이 각각의 하위 구간들은 사각형을 구성하게 된다. 이때 곡선과 만나는 어느 지점을 사각형의 높이로 삼을 것인지에 따라 사각형의 크기가 달라지게 된다. 예를 들어 하위 구간의 시작점을 기준으로 한다면 그래프에서는 왼쪽을 기준으로 한 사각형을 그릴 수 있다. 이 경우를 왼쪽 리만 합이라고 한다. 같은 방법으로 하위 구간의 끝점을 기준으로 하는 오른쪽 리만 합, 가운데 지점을 기준으로 하는 가운데 리만 합, 하위 구간에서 곡선의 가장 높은 곳을 기준으로 하는 최댓값 리만 합 등을 만들 수 있다. 왼쪽의 그림에서 가운데에 있는 그래프는 오른쪽 리만 합이든 다른 종류의 리만 합이든 종류에 관계없이 극한을 취할 경우 같은 값으로 수렴함을 보여주고 있다.

구간 [a,b]에 대하여 ''k''를 간격으로 하여 ''n'' 개로 분할된 하위 구간의 변량을 Δ

이 때, 단순 함수 ''s''에 의한 측도 ''A''가 존재한다. 한편, 측정 가능한 ''E''를 다음과 같이 정의한다.

따라서, 함수 f의 르베그 적분은

과 같이 되고, 음이 아닌 측정가능한 함수 f의 상한은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 f^+(x) &{}= \begin{cases}
 f(x), & \text{if } f(x) > 0 \\
 0, & \text{otherwise}
 \end{cases} \\
 f^-(x) &{}= \begin{cases}
 -f(x), & \text{if } f(x) < 0 \\
 0, & \text{otherwise}
 \end{cases}
\end{align}

결국, ''f''의 르베그 적분은
일때
로 정의된다.

### 기타 적분
리만 적분과 르베그 적분을 확장한 리만-스틸티어스 적분, 르베그-스틸티어스 적분 등 여러 가지 확장이 존재한다. 적멸적분이라는 방법 역시 있다.