대수기하학에서 **스킴**은 국소적으로 가환환의 스펙트럼과 동형인 공간이다. 대수다양체와 대수적 정수환들의 공통적인 일반화이다.

## 정의
**아핀 스킴**은 (1이 있는) 어떤 가환환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간이다.

**스킴**은 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 "공간"이다. 이 개념은 다음과 같은 방법으로 엄밀하게 정의할 수 있다.

### 국소환 달린 공간을 통한 정의
**스킴**은 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 국소환 달린 공간이며, **스킴의 범주** 

아핀 스킴의 범주 
를 정의할 수 있으며, 가환환을 층으로 여길 수 있다.

가환환 
준층 

층 들을 갖는다고 하자.
그렇다면 이 조건들을 만족시키는, 

이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 국소환 달린 공간으로서의 스킴 가 주어지면, 다음과 같은 준층을 정의할 수 있다.
즉, 이는 -점들의 집합을 대응시킨다. 이를 **점함자**라고 한다. 이 준층은 자리스키 위상에 대하여 층을 이루며, 위 조건에 따라 스킴이 되는 것을 보일 수 있다.

### 스킴의 사상의 해석
스킴 사상 가 주어졌을 때, 이를 다음과 같이 세 가지로 해석할 수 있으며, 이에 따라 스킴 사상을 서로 다른 용어로 부른다.

#### ''S'' 위의 스킴
스킴  위의 스킴"은 "스킴"과 같은 뜻이다.

#### 점
스킴  공간이 아니므로, 닫힌 점과 닫히지 않은 점을 구분할 수 있다. 스킴의 닫히지 않은 점은 **일반점**이라고 한다. 닫힌 점은 대수다양체의 실제 "점"에 대응하며, 닫히지 않은 점은 (그 폐포를 취하면) 닫힌 부분 스킴에 대응한다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴  위에서 정의하였을 때의 점에 대응한다.

-점이다.

#### 족
스킴 에 대한 올곱
이다.의 족으로 해석할 수 있다.

스킴의 족은 매우 일반적인 개념이므로, 보통 평탄 사상을 이루는 평탄한 족, 매끄러운 사상을 이루는 매끄러운 족 등이 쓰인다.

### 몰입과 부분 스킴
두 국소환 달린 공간 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **열린 몰입**이라고 한다.
두 국소환 달린 공간 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, **닫힌 몰입**이라고 한다.

스킴 가 존재한다.

스킴 가 존재한다. 스킴의 열린 부분 집합이 주어지면 이에 대응하는 열린 부분 스킴이 유일하게 결정되지만, 스킴의 닫힌 부분 집합이 주어지면 이에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 유일하지 않을 수 있다.

스킴

## 성질

### 위상수학적 성질
모든 스킴은 위상 공간으로서 차분한 공간이며 따라서 콜모고로프 공간이다. 또한, 모든 스킴은 국소 콤팩트 공간이다. 그러나 스킴은 일반적으로 T 공간이지 않을 수 있다.

구체적으로, 위상 공간 

그렇다면 임의의 위상 공간 
또한, 임의의 위상 공간

### 범주론적 성질
스킴의 범주 는 유한 완비 범주이지만, 완비 범주도, 쌍대 완비 범주도, 심지어 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 구체적으로, 스킴의 범주는 다음과 같은 (쌍대) 극한을 갖는다.
하지만 스킴의 범주에서는 다음과 같은 (쌍대) 극한들이 존재하지 않는다.

#### 아핀 스킴과의 관계
아핀 스킴의 범주 의 반대 범주이므로) 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

아핀 스킴의 범주 의 왼쪽 수반 함자는 구조층의 대역적 단면환의 스펙트럼이다.
즉, 아핀 스킴의 극한은 스킴의 극한과 일치한다. 반대로, 스킴의 쌍대극한은 (만약 존재한다면) 아핀 스킴의 쌍대극한과 일반적으로 일치하지 않지만, 스킴의 쌍대극한에  함자를 가하면 이는 아핀 스킴의 쌍대극한과 일치한다.

#### 국소환 달린 공간과의 관계
모든 국소환 달린 공간의 범주 

포함 함자
에 따라, 스킴의 범주는 국소환 달린 공간의 범주의 충만한 부분 범주를 이룬다.

이 포함 함자는 쌍대극한을 보존하지 않으며, 일반적 극한도 보존하지 않는다. 그러나 이는 유한 극한을 보존한다.

### 그로텐디크 위상
스킴의 범주  위에는 다양한 그로텐디크 준위상들이 존재한다. 이들은 공통적으로 다음과 같은 형태로 정의된다.
이에 따라, 다음과 같은 위상들을 정의할 수 있다.
이 밖에도, 다음과 같은 위상들이 존재한다.

이 위상들은 다음과 같이, 섬세함에 대하여 전순서 집합을 이룬다. (여기서 오른쪽으로 갈 수록 더 섬세한 위상이다.)
fpqc 위상은 흔히 사용되는 가장 섬세한 그로텐디크 위상이므로, 흔히 사용되는 모든 그로텐디크 위상들은 준표준 위상이다 .

## 종류
스킴 이론에서는 수많은 기술적인 용어들이 사용된다. 우선, 위상 공간의 성질을 스킴에 적용할 수 있다.
또한, 가환환의 성질을 스킴으로 일반화할 수 있다.
이 밖에도, 다음과 같은 용어가 사용된다.

일반적으로, 체 를 **기하학적 성질**이라고 한다.

스킴의 성질 를 **국소적 성질**이라고 한다.

### 대수다양체
대수적으로 닫힌 체 

대수다양체 

관련된 용어로서, **대수적 스킴**은 체 위의 유한형 분리 스킴이다. 즉, 대수다양체는 정역 대수적 스킴이다.

### 사상의 종류
상당수의 형용사는 두 스킴 사이의 사상에 적용된다. 스킴 사이의 사상은 보통 계수체/환이 주어져 있는 스킴으로 여길 수 있으므로, 이러한 형용사는 스킴에도 적용될 수 있다. 예를 들어, 유한형 ''k'' 위의 스킴 이 유한형인 스킴이다.

이 밖에도, 일반위상수학에서 사용되는 연속 함수의 다음과 같은 성질들이 사용된다.
(그러나 스킴의 고유 사상은 일반위상수학의 고유 함수와 관계없다.)

스킴의 사상의 성질 
예를 들어, 유한형 사상은 밑 변환에 대하여 안정적이다. 밑 변환에 대하여 안정적이지 않은 성질 이다.

## 예

### 위상 공간으로서 동형이지만 스킴으로서 동형이 아닌 두 스킴
가장 간단한 예로, 서로 동형이 아닌 체 를 생각하자. 모든 체의 스펙트럼은 한원소 공간이지만, 서로 동형이 아닌 체에 대응하는 아핀 스킴은 스킴으로서 서로 동형이 아니다.

### 위상 공간으로서의 곱과 다른 스킴의 곱
스킴의 곱은 거의 항상 집합(또는 위상 공간)으로서의 곱과 일치하지 않으며, 후자보다 점이 더 많을 수도, 적을 수도 있다.
예를 들어, 
의 경우, 

다른 예로, 

체 위의 스킴의 경우, 체에 대한 올곱 역시 위상 공간으로서의 곱공간과 다르다. 예를 들어, 체  그렇다면
이다. 이 경우, 의 닫힌 점들의 집합의 제곱과 같다.

## 역사
대수기하학의 이탈리아 학파는 대수다양체의 일반점의 개념을 도입하였으며, 바르털 레인더르트 판데르바르던은 1926년 책에서 일반점의 개념을 엄밀히 정의하였다.

피에르 카르티에 역시 박사 학위 논문을 집필하던 중 그로텐디크의 스킴와 동치인 개념을 독자적으로 제안하였으나, 논문이 서론부터 지나치게 길어지는 것을 피하기 위하여 논문에 수록하지 않았다.

스킴의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 그의 저서 대수기하학 원론 1권에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.

그로텐디크는 스킴의 개념에 대하여 회고록에 다음과 같이 적었다.