미적분학에서 **중적분**은 정적분을 다변수 함수에까지 확장한 것이다. 이변수 함수의 경우를 **이중 적분**이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 이중 적분은 함수의 그래프 곡면과  평면 사이의 부피라고 이해할 수 있다. 삼변수 함수의 경우를 **삼중 적분**이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 삼중 적분 역시 (4차원 공간 속의) 초곡면과 좌표 초평면 사이의 초부피라고 생각할 수 있다. 계산을 위해 2차원에선 극좌표, 3차원에서는 구면좌표계와 원통좌표계를 쓴다.

중적분은 정적분을 여러 번 반복하여 계산할 수 있으며, 이를 푸비니 정리라고 한다. 복잡한 중적분의 계산에는 변수 변환을 통해 적분 집합이나 함수를 단순화하는 기법이 필요하며, 이를 치환 적분이라고 한다.

일변수 함수의 리만 적분 · 리만-스틸티어스 적분 · 르베그 적분 · 르베그-스틸티어스 적분에 대하여 각각 그에 대응하는 중적분이 존재한다. 임의의 측도(또는 유한 가법 측도)에 의한 적분이 주어졌을 때, 이에 대응하는 중적분은 곱측도에 의한 적분이다.

## 정의

### 리만 중적분

#### 조르당 측도
**리만 중적분**의 정의는 **조르당 측도**에 기반한다.

유계 집합 는 이에 포함되는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.
비슷하게, 는 이를 덮는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.
유계 집합 를 **조르당 가측 집합**이라고 한다.
조르당 측도는 유한 가법 측도이지만, 이름과 달리 측도가 아니다. 리만 중적분은 조르당 가측 집합 위에서만 정의된다.

(유계) 조르당 가측 집합 이다.
또한, 분할 는 다음과 같다.

#### 리만 중적분
함수 에 대한 **리만 합**은 다음과 같다.
또한, **다르부 상합**은 다음과 같다.
또한, **다르부 하합**은 다음과 같다.
함수 
마찬가지로, **다르부 하적분**은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.
\underline{\int_E}f(x)dx=\underline{\iint\cdots\int_E}fdx_1\cdots dx_n
&=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^m\inf_{\in E_i}f\operatorname m(E_i)\\
&=\sup_{\mathcal P(E)\supseteq\{E_i\}_{i=1}^m\in\operatorname{dom}\lambda}\sum_{i=1}^m\inf_{\in E_i}f\operatorname m(E_i)
\end{align}
특히, 리만 이중 적분을
와 같이 표기하며, 리만 삼중 적분을
와 같이 표기한다.

#### 이상 리만 중적분
유계 집합과 (정의역이 조르당 영집합이 아니라면) 유계 함수에 한정된 리만 중적분을 무계 집합과 무계 함수를 허용하는 **이상 리만 중적분**으로 확장할 수 있다. 일변수 함수에서와 달리, 이상 리만 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴한다는 것이다.

함수 이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
이러한  위의 **이상 리만 중적분**이라고 한다.
\lim_{\sup\{r>0\colon F\supseteq E\cap\bar B_R(0)\}\to\infty}\iint\cdots\int_Ffdx_1\cdots dx_n
비슷하게, 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
이러한  위의 **이상 리만 중적분**이라고 한다.
\lim_{\inf\{r>0\colon F\supseteq E\setminus B_R(a)\}\to0^+}\iint\cdots\int_Ffdx_1\cdots dx_n

### 르베그 중적분
**르베그 중적분**은 유클리드 공간의 르베그 측도에 기반하여 정의된다.

## 성질
리만 적분 가능 함수는 유계 함수일 필요가 없다. 예를 들어, 정의역이 조르당 영집합인 함수는 항상 리만 적분 가능 함수이다. 그러나, 양의 조르당 측도의 집합들로 임의로 세밀하게 분할될 수 있는 정의역 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다. 특히, 조르당 가측 열린집합 또는 그 폐포 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다.

리만 중적분은 일변수 함수의 리만 적분과 같은 성질들을 갖췄다. 예를 들어, 리만 중적분은 선형성 · 적분 집합에 대한 가법성 · 비엄격 부등식의 보존 · 곱의 적분 가능성 보존 등을 만족시킨다.

### 누차 적분과의 관계
함수를 먼저 일부 변수에 대하여 적분한 뒤, 다시 남은 변수에 대하여 적분하는 것을 **누차 적분** 또는 **반복 적분**(反復積分)이라고 한다. 중적분은 일정 조건 아래 누차 적분을 통해 구할 수 있다.

함수 는 조르당 가측 집합)가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
일부 특수한 정의역의 경우는 다음과 같다. (여기서 
\int_a^bdx\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}fdy
\iint_\Omega dxdy\int_{\phi}^{\psi}fdz
\iint_\Omega dydz\int_{\phi}^{\psi}fdx
\int_a^bdy\iint_{\Omega_y}fdxdz
\int_a^bdx\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}dy\int_{\sigma}^{\tau}fdz
그러나, 둘째 전제가 없다면 결론이 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 정의하자.
그렇다면,
이지만, )가 리만 적분 가능 함수가 아니므로
는 존재하지 않는다.

### 치환 적분
함수 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
여기서 의 야코비 행렬식인데, 어떤 점에서의 야코비 행렬식의 값은 대략 변환이 그 점 주위의 초부피를 확대시키는 배수를 나타낸다.

예를 들어, 극좌표 변환
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.
또한, 원통 좌표 변환
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.
또한, 구면 좌표 변환
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.

### 기하학적 성질
음이 아닌 값의 함수 는 조르당 가측 집합)의 리만 중적분은 밑면이 정의역, 윗면이 함수의 그래프인 도형의 조르당 측도와 같다.
특히, 상수 함수 1의 리만 중적분은 정의역의 조르당 측도와 같다.

### 이상 중적분의 성질
이상 중적분 역시 중적분과 비슷한 성질들을 만족시킨다.

예를 들어, 함수 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.

이상 리만 중적분
이 수렴할 필요충분조건은
이다. 즉, 일변수 함수의 경우와 달리, 이상 리만 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴이다.

## 예

### 직육면체의 부피
직육면체

### 삼각뿔의 부피
삼각뿔

### 이차 곡면으로 둘러싸인 도형의 부피
타원 포물면과 원기둥으로 둘러싸인 도형 
구와 원뿔로 둘러싸인 도형

### 치환 적분의 예
극좌표 변환 · 원통 좌표 변환 · 구면 좌표 변환 외의 변환을 사용하여 구할 수 있는 중적분의 한 가지 예는 다음과 같다.
여기에서 다음과 같은 변환을 사용하자.
이 변환의 야코비 행렬식은 다음과 같다.
\cos^2\theta&-r\sin2\theta\\
\sin^2\theta&r\sin2\theta
\end{vmatrix}=r\sin2\theta

### 이상 중적분의 예
가우스 함수의 적분
은 이상 중적분
을 통해 구할 수 있는데, 이는
&=\lim_{a\to\infty}\iint_{[-a,a]\times[-a,a]}e^{-x^2-y^2}dxdy\\
&=\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^ae^{-x^2}dx\int_{-a}^ae^{-y^2}dy\\
&=4\left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2\end{align}
이므로, 가우스 함수의 적분 값은
이다.