대수기하학에서 **그라스만 다양체**는 어떤 선형 공간의 주어진 차원의 부분 선형 공간들을 분류하는 모듈라이 공간이다.

그라스만 다양체 는 -차원 선형 공간 로부터 얻은 사영공간과 같다. 

 차원 매끄러운 대수 다형체의 구조를 가지고 있다.

자명하지 않은 그라스마니안에 대한 최초의 작업은 에 해당하는 사영 3-공간에서 사영 직선 집합을 연구하고 현재 플뤼커 좌표라고 하는 것으로 매개변수화한 율리우스 플뤼커에 의한 것이다. 헤르만 그라스만은 나중에 일반적으로 개념을 도입했다.

그라스마니안에 대한 표기법은 저자마다 다르다. 표기법에는  차원 부분 공간의 그라스마니안을 나타낸다.

## 도입
어떤 선형 공간의 부분 공간들의 모임에 위상 구조를 부여함으로써 부분 공간의 연속적인 선택 또는 부분 공간의 열린 또는 닫힌 모임에 대해 이야기할 수 있다. 미분 다양체의 구조를 제공함으로써 부분 공간의 매끄러운 선택에 대해 이야기할 수 있다.

자연적인 예는 유클리드 공간에 매장된 매끄러운 다양체의 접다발에서 나온다.  차원 벡터 부분 공간을 정의한다. 이 아이디어는 3차원 공간의 곡면에 대한 가우스 사상과 아주 비슷하다.)

이 아이디어는 약간의 노력으로 다양체  에서 적절하게 일반화된 그라스마니안로 연속 사상을 생성한다. 이를 보여주기 위해서는 다양한 매장 정리가 입증되어야 한다. 그런 다음 선형 다발의 속성이 연속 사상으로 표시되는 해당 사상의 속성과 관련되어 있음을 확인한다. 특히 우리는 그라스마니안에 호모토피 사상을 유도하는 선형 다발이 동형임을 발견했다. 여기에서 호모토피의 정의는 연속성, 따라서 위상의 개념에 의존한다.

## 낮은 차원
차원의 사영 공간과 동일하다.

, 사영 평면 는 모두 같다.

사영 공간이 아닌 가장 단순한 그라스마니안은 이다.

## 정의

### 집합
로 표시된다.

### 미분가능 다양체
그라스마니안 를 나타낸다.

이제 좌표 아틀라스를 정의한다. 임의의 에 해당한다. 따라서 다음 문단과 같은 정의가 있다:

순서가 지정된 각 정수 집합 에 대해,  행렬의 공간에.

두 좌표 이웃들의 교집합의 아틀라스를 미분 가능 또는 심지어 대수적 다형체으로 제공한다.

### 직교 사영 집합
실수 다양체로서 실수 또는 복소수 그라스마니안을 정의하는 다른 방법은 전체 랭크의 명시적 방정식으로 정의되는 명시적 직교 사영 집합로 간주하는 것이다( 문제 5-C). 이를 위해 에 대해 동등한 노름을 제공하고 따라서 동등한 거리을 제공하기 때문이다.

### 동차 공간
그라스마니안에 기하학적 구조를 부여하는 가장 빠른 방법은 동차 공간으로 표현하는 것이다. 먼저 일반 선형 군 가 이 작용에서 안정자 집합이면,

가 성립한다. 기본 체가 의 포물선 부분군이다.

이다. 이것은 동차 공간

으로서의 설명을 제공한다. 만약 로 둔다면 동형 사상

을 얻는다. 위에서도 마찬가지로 에르미트 내적 가 추이적으로 작용하고 비슷하게

를 찾는다. 또는 에 대해

특히, 이는 그라스마니안이 콤팩트이고 (실수 또는 복소수) 그라스마니안의 (실수 또는 복소수) 차원이 임을 다시 보여준다.

### 실수 아핀 대수 다형체
을 고려하자.

은 위상 동형이다.

### 스킴
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면 임의의 -가군층
을 정의할 수 있다. 그 몫가군층들 가운데, 계수 인 국소 자유 가군층인 것들의 집합을
라고 하자. 이는 함자
를 정의한다. 이 함자는 표현 가능 함자이며, 그 표현은 분리 으로 잡을 수 있다. 이를 **그라스만 스킴**이라고 한다.

표현 가능 함자의 정의에 따라서 표준적인 스킴 동형
이 존재한다.

과 같다.

#### 고전적 경우
고전적인 경우는 어떤 체 에 의하여 주어질 때이다. 즉,

인 경우이다. 이 경우, 그라스만 스킴 차원 부분 선형 공간들과 일대일 대응한다. 특히,

#### 보편 족
그라스만 스킴은 함자를 나타내므로 보편 대상 이다.

## 성질

### 스킴 이론적 성질
임의의 스킴 의 구조 사상
는 분리 사상이다. 만약 가 추가로 유한 생성 가군층이라면, 이는 사영 사상이다.

임의의 스킴 사상 에 대하여, 스킴의 표준적 동형 사상
이 존재한다. 특히, 임의의 점 에 대하여, 표준적 스킴 사상
를 통하여 동형 사상
이 존재한다. 여기서 -선형 공간의 그라스만 다양체이므로, 일반적 그라스만 스킴은 고전적 그라스만 다양체들의 족(族)으로 여길 수 있다.

### 쌍대성
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.
여기서 는 쌍대 공간이다.

### 플뤼커 매장

#### 고전적인 경우
체  위의 선형 공간이다. 또한, 모든 가군층이 준연접층이 된다. (그 가운데 연접층인 것은 유한 차원 선형 공간이다.)

따라서, 가 주어졌을 때, 그라스만 다양체
를 정의할 수 있다.

이는  위의 외대수
위의 사영 공간
의 닫힌 부분 스킴이며, 이를 정의하는 매장을 **플뤼커 매장**이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
여기서 우변은 의 동차 좌표이다.

플뤼커 매장은 다음과 같은 **플뤼커 방정식**을 만족시킨다. 차원 부분 선형 공간
및 임의의 음이 아닌 정수 에 대하여,
이는 2차 동차 다항식이다. 표수가 0인 경우, 그라스만 다양체는 플뤼커 방정식만으로 완전히 정의된다.

#### 일반적 플뤼커 매장
임의의 스킴 의 몫
에서 계수 국소 자유 가군층이라고 하자. 그렇다면, 연접층의 함자성에 의하여, 외대수 연접층의 사상
이 존재한다.

그라스만 스킴의 정의에 따라, 는 계수 1의 국소 자유 가군층이므로, 어떤 스킴 사상
에 대응한다.

즉, 위 구성은 함수
를 정의한다. 이는 자연 변환
을 이루며, 이는 요네다 보조정리에 따라서 스킴 사상
을 정의한다. 이를 {{서적 인용

### 위상수학적 성질
만약 은 (유한 차원) 매끄러운 다양체를 이루며, 따라서 그 대수적 위상수학을 연구할 수 있다.

의 (정수 계수) 특이 코호몰로지
를 생각하자. 오직 짝수 등급 코호몰로지만이 자명하지 않으며, 따라서 이는 가환환을 이룬다.

가 존재한다. 그 (총) 천 특성류를
라고 하자. 마찬가지로, 가 존재하며, 그 (총) 천 특성류를
라고 하자.

정의에 따라, 차원의 자명한 복소수 벡터 다발이다. 따라서 그 천 특성류는 0이며, 천 특성류의 함자성으로 인하여
이 된다.

복소수 그라스만 다양체의 코호몰로지 환은
로부터 생성되며, 그 위의 유일한 관계는 인 것이다.

## 슈베르트 세포
그라스마니안들에 대한 자세한 연구는 ''슈베르트 세포''라는 부분 집합으로의 분해를 사용하며, 이는 열거 기하학에 처음 적용되었다. 의 해당 부분 집합을 고려한다. 슈베르트 세포의 조작은 슈베르트 미적분학이다.

다음은 기법의 예이다.

### 복소 그라스마니안의 코호몰로지 환
복소 그라스마니안 의 천 특성류에 의해 환으로 생성된다. 특히, 사영 공간의 경우와 같이 모든 적분 코호몰로지가 짝수 차수이다.

이러한 생성자들은 환을 정의하는 일련의 관계를 만족한다.  페르미온 제로 모드를 갖는 순간자의 해당 양자장론에서의 존재를 반영한다.

## 관련된 측도
은 거리 공간 위상에 대한 라돈 측도이며 동일한 반지름(이 거리에 대해)의 모든 공이 동일한 측도라는 점에서 균일하다.

## 예
표수 0에서, 사영 공간이 아닌 가장 간단한 그라스만 다양체 차원 사영 공간 속에서, 플뤼커 방정식
을 통해 정의된다. 여기서 는 5차원 사영 공간의 동차 좌표이다.

## 응용
그라스마니안들의 주요 응용은 콤팩트 다양체의 접속이 있는 다발을 위한 "보편" 매장 공간이다.

Kadomtsev–Petviashvili 방정식의 해는 무한 차원 그라스마니안에서 아벨 군 흐름으로 표현될 수 있다. 타우 함수(적분 가능 계) 측면에서 히로타 쌍선형 형식으로 표현되는 KP 방정식은 플뤼커 관계식과 동일하다.

그라스마니안은 비디오 기반 얼굴 인식 및 모양 인식의 컴퓨터 비전 작업에서 응용을 찾았다. 또한 그랜드 투어로 알려진 데이터 시각화 기술에도 사용된다.

그라스마니안은 아원자 입자의 산란 진폭이 진폭 면체라고 하는 양의 그라스마니안 구조를 통해 계산되도록 한다.