수학에서 **산술-기하 평균 부등식**은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.

## 정의
음이 아닌 실수들 이 주어졌다고 하자. **산술-기하 평균 부등식**에 따르면, 다음이 성립한다.

특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

## 증명

### 귀납적 증명
음이 아닌 실수  및 그 산술 평균

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

이를 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

우선, 인 경우 이는 자명하게 성립한다.

그 다음, 에 대한 산술-기하 평균 부등식

을 보이자.

만약 라고 하여도 무방하다. 그렇다면,

이다. 또한, 양의 실수

를 정의하면, 다음에 따라, 

귀납 가정에 따라,

이며, 또한 ①에 따라

이므로,

이다. ②와 ③에 따라,

④에서, 에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

### 코시의 증명

#### 모든 항이 같은 경우
만약

이라면, 산술 평균과 기하 평균은 로 같다.

#### 모든 항이 같지는 않은 경우
만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히 이다.

##### ''n''  2
서로 다른 두 항 가 주어지면,

\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2-x_1x_2
&=\frac14(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-x_1x_2\\
&=\frac14(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)\\
&=\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2>0
\end{align}

이므로,

이다.

##### ''n''  2
에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다.

인 경우는 이미 증명되었다.

여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로

이어야 한다.

두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면

이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서,

이다.

##### ''n''
을 취할 수 있다.

음이 아닌 실수 개로 확장하자.

그렇다면, 이미 증명한 에 대한 부등식에 따라,

x & = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\[6pt]
&= \frac{\frac{m}{n} (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \frac{m-n}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + (m-n) x}{m} \\[6pt]
&= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} + \cdots + x_m}{m} \\[6pt]
&> \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1} \cdots x_m} \\[6pt]
&= \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x^{m-n}}
\end{align}

따라서,

즉,

이다.

### 미분을 통한 증명
우선, 인 경우, 산술-기하 평균 부등식은 자명하게 성립한다.

이제, 이라고 전제하여도 무방하다. 이 경우, 다음 식을 증명하여야 한다.

이는 음이 아닌 실수 을 고정하고, 함수

를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.

극값을 구하기 위해, 의 미분을 취하자.

따라서, 는 다음과 같은 임계점을 갖는다.

따라서, 의 가능한 극값은 다음과 같다.

\begin{align}
f(t_0) & = \frac{x_1 + \cdots + x_n + ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n}}}{n+1} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}{n+1}}(x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n(n+1)}} \\
 & = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} + \frac{1}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\
 & = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n+1} - \frac{n}{n+1}({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n} \\
 & = \frac{n}{n+1}\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}n - ({x_1 \cdots x_n})^{\frac{1}n}\right) \\
 & > 0
\end{align}

여기서, 에 대하여,

이다. 특히, 일 경우,

이다. 이렇게 에 대한 산술-기하 평균 부등식이 증명되었다.

### 볼록성을 통한 증명
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들 에 대한 다음과 같은 항등식과 동치이다.

이는 로그 함수의 옌센 부등식이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법

에 따라 성립한다.

## 관련 정리

### 가중 산술-기하 평균 부등식
가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. ''n''개의 음수가 아닌 실수들 ''x''이라 하면 다음이 성립한다.
마찬가지로 이 부등식은 모든 ''x''들이 같을 때 등식이 된다.

### 가중 산술-기하 평균 부등식의 증명
는 양수라고 가정할 수 있다.

에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로
\ln\Bigl(\frac{\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n}\alpha\Bigr) & >\frac{\alpha_1}\alpha\ln x_1+\cdots+\frac{\alpha_n}\alpha\ln x_n \\
& =\ln \sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}}.
\end{align}

이다. 는 단조증가함수이므로

가 성립함이 증명된다.

### 제곱-산술-기하-조화 평균 부등식
산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

< \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
< \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
< \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots x_n^2}{n}}
\qquad (\lnot x_1 = x_2 = \cdots = x_n)

### 기타
이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.