수학에서, **리만 가설** 또는 **리만 제타 추측**은 리만 제타 함수의 모든 자명하지 않은 영점의 실수부가 리만 가설 공식 (ℜ(''s'')=1/2⇔∀''s''∈C\2Z− s.t. ''ζ''(''s'')=0)

## 정의
리만 제타 함수는 실수 에 대해서는 해석적 연속으로 정의된다.

리만 가설은 이 영역 밖에서 ''s''를 해석적 연속으로 근을 설명한다. 이것은 디리클레 에타 함수를 이용하여 다음과 같이 설명할 수 있다.

''s''의 실수부가 1보다 크면, 제타 함수는 다음의 관계를 만족한다.

그런데 오른편의 급수는 ''s''의 실수부가 1보다 클 때 뿐만 아니라, 더욱 일반적으로 ''s''가 양의 실수부를 가지면 수렴한다. 따라서, 위의 대안적인 급수에 의하여 제타 함수는 를 제외하고 영역에서 인 영역으로 확장된다.

리만 제타 함수는 극한값을 취하는 방식으로도 확장할 수 있는데, 이러한 방식에 의하면, 단순 극값을 갖는 s=1을 제외하고 양의 실수부를 갖는 모든 s에 대하여 확장할 수 있다.

한편 s<0인 경우에서 리만 제타 함수는 다음 함수 방정식(functional equation)을 만족한다.

그 외의 0이 아닌 모든 복소수에 대한 ζ(''s'')의 값은 임계대 바깥 영역에서 ζ(''s'')가 우측의 식과 양수가 아닌 실수부를 갖는 s에 대하여 등식이 성립하는 것으로 두어 정의 할 수 있다.

리만 제타 함수는 음의 짝수에서 영점을 갖는데, 이는 sin(π''s''/2)=0이기 때문이며 이러한 점들을 리만 제타 함수의 자명한 영점이라고 한다.

만약 ''s''가 양의 짝수이면 영점이 되지 않는데, 이는 사인 함수의 0점과 감마 함수에서 변수가 음의 정수일 때 발생하는 극점(pole)과 상쇄되기 때문이다.

ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−1/2은 위 함수 방정식의 우변이 '1+1+1+...'이 되므로 함수 방정식에서는 결정될 수 없고, ζ(''s'')에서 s가 0으로 수렴할 때의 점근값이다.

리만 제타 함수는 자명한 영점을 제외한 다른 실수에서는 0이 되지 않아, 자명하지 않은 모든 영점 z는 복소수이고 그 실수부는 0과 1사이에 존재한다. 이 영역

**리만 가설**은 다음과 같은 추측이다.

이러한 가설이 옳다면, 리만 제타 함수의 모든 영점은 **임계선** 위에 존재하게 된다.

## 기원

### 제타 함수의 발견
레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하면서 제타 함수를 처음으로 사용하였다. 바젤 문제란 스위스 바젤시의 바젤 대학에 재직하던 야코프 베르누이와 요한 베르누이에 의해 제기된 것으로 다음의 급수를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다. 오일러는 이 급수가 
또한 오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 다음과 같은 제타 함수로 일반화하였으며 모든 0 이상의 짝수에 대하여 급수의 수렴값, 즉 닫힌 형식을 구할 수 있는 방법을 제시하였다.
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
\!
따라서 제타 함수는 다음과 같이 표기 될 수 있으며, 이를 오일러의 곱셈 공식이라 한다.
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}

### 리만 가설의 발표
베른하르트 리만은 1859년 베를린 학술원에 가입하면서 관례에 따라 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉라는 제목의 논문을 제출하였다. 이 논문은 당시 증명되지 않았던 소수 정리에 대한 것이었다. 즉, 임의의 양의 정수 N이 아주 클 경우 N까지의 소수의 수가 로그 적분 함수
에 점근한다는 가설을 고찰하였다. 리만은 이 논문에서 오일러의 곱셈 공식에서 출발하여 모든 소수 ''p''와 모든 양의 정수 ''n''에 대하여 오일러의 곱셈 공식이 복소 변수 ''s''에 대해 수렴한다면 

같은 논문에서, 리만은 훗날 리만 가설로 알려지게 된 추측을 다음과 같이 언급하였다.
그러나 리만의 논문의 주요 목적은 소수의 개수에 관한 것이었기 때문에 가설의 증명을 시도하지는 않았다.

리만은 1859년에 리만 가설이 참이라는 가정 아래 소수 정리를 증명하였다. 즉, 리만 가설이 참일 경우 소수의 개수는 로그 적분 함수에 점근(漸近)한다는 것을 보였다. 그러나 1866년, 리만이 사망하자 리만의 가정부가 집을 정리하면서 그의 연구자료를 불태워버려 그의 연구를 자세히 알 길이 없어졌다.

## 리만 가설과 동치인 명제
현재 수많은 명제들이 리만 가설과 서로 동치임이 증명되었다.

### 제타 함수의 성질
리만 가설은 임의의 양의 실수 에 대하여 다음이 성립한다는 것과 동치이다.

리만 가설은 모든 에 대하여,
에는 제타 함수의 도함수가 영점을 갖지 않는다는 것()과 동치이다.

### 산술 함수
리만 가설은 임의의 복소수 라면 다음 등식이 성립한다는 것과 동치이다.
여기서 은 뫼비우스 함수이다.

메르텐스 함수 를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, 리만 가설은 메르텐스 함수가 임의의 에 대하여 다음을 만족시킨다는 것과 동치이다.
( 레드헤퍼 행렬의 행렬식은 ''M''(''n'')과 같다. 따라서, 리만 가설은 이 행렬식이 얼마나 빨리 증가하는지에 대한 가설로 생각할 수 있다.

1985년 앤드루 오들리츠코와 헤르마뉘스 요하너스 요서프 테 릴러는 리만 가설과 레드헤퍼 행렬의 관계를 이용하여 메르텐스 추측을 반증하였다.

1984년 기 로뱅은 약수 함수에 대하여 로빈 부등식을 발표하였다. 약수 함수는 다음과 같이 정의되며
따라서 다음의 부등식으로 표현된다.

이 때 5041 이상의 모든 ''n''이 로빈 부등식을 만족시키면 리만 가설은 참이 된다.

### 페어리 수열
1924년에 제롬 프라넬과 에드문트 란다우는 리만 가설이 페어리 수열과 밀접한 관계에 있음을 보였다. 엄밀히 말하면 ''F'' 0이 된다고 하면,

이는 리만 가설에 상응한다. 여기서 ''n''에 대한 페어리 수열 안의 ''m''번째 항은 이 된다.

### 군론
리만 가설은 군론적으로도 서술할 수 있다. 1988년 장피에르 마시아와 장루이 니콜라(, 기 로뱅은 ''g''(''n'')이 ''n''차원의 대칭군 ''S''의 원소 중 최대 계수에 의한 란다우 함수일 때, 리만 가설은 충분히 큰 모든 n에 대해 다음의 식과 상응함을 보였다.

### 함수해석학
리만 가설은 특정 형태의 함수들로 구성된 부분 공간이 힐베르트 공간 의 조밀 집합인 것과 동치이다.

또한, 리만 가설은 어떤 적분 방정식이 자명하지 않는 유계해를 갖지 않는다는 사실과 동치이다.

## 함의
리만 가설은 다음과 같은 명제들을 함의한다.

### 제타 함수
만약 리만 가설이 참이라면, 임의의 양의 실수 일 때 다음이 성립한다.
이를 린델뢰프 가설이라고 한다.

만약 리만 가설이 참이라면, 다음이 성립한다.

### 소수의 분포
만약 리만 가설이 참이라면, 소수 사이의 간격은 다음과 같다. 이는 스웨덴의 수학자 하랄드 크라메르가 증명하였다.
또한 크라메르는 여기에 ''p''까지의 실제 소수의 개수와 log''p''의 차가 ''O''(√''p''&nbsp;log&nbsp;''p'')와 같이 점근한다고 추측하였다. 이를 크라메르 추측이라 하며, 이에 대한 상당한 수치적 증거가 존재한다.

## 일반화 및 관련 추측
리만 가설을 일반화하는 **일반화 리만 가설**이 존재한다. 이는 임의의 대수적 수체에 적용되며, 수론에서 다양한 명제들을 함의한다. 일반화 리만 가설은 디리클레 L-함수의 모든 자명하지 않은 근의 실수부가 1/2이라는 가설이다. 디리클레 L-함수의 모든 근의 실수부는 0과 1 사이에 있다. χ가 1인 경우 리만 가설이 된다.

대수적 수체와 대수다양체의 유리 함수체는 여러 유사한 성질을 가지며, 공통적으로 대역체로 분류된다. 이에 따라, 대수다양체에 대한 리만 가설을 정의할 수 있는데, 이를 베유 추측이라고 한다. 에밀 아르틴은 2차 함수체에 대한 리만 가설을 제시하였고,

함수체 위에 정의되는 고스 제타 함수에 대한 리만 가설 역시 증명되었다.

이를 넘어서, 정수환 위의 임의의 유한형 스킴에 대하여 리만 가설을 일반화할 수 있다. 이는 대수적 수체의 경우와 함수체의 경우의 공통적인 일반화이다.

## 부분적 증명
점근적으로, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들 가운데 적어도 2/5가 임계점 위에 있다.에 대하여,
을 만족시키지 않는 영점 의 비율은 점근적으로 0이다.

리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점을 라고 쓰면,
인 양의 상수 가 존재한다.
또한, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점에 대하여 다음이 성립한다.

이 밖에도, 리만 제타 함수의 영점의 분포에 대한 **셀베르그 추측** 및 관련된 명제들이 증명되었다.

## 증명 시도

### 소수 정리의 증명
1896년에 프랑스의 자크 아다마르

### 20세기
리만의 논문 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉의 주제인 소수 정리가 증명되자 수학자들의 관심은 리만 가설 자체에 집중되었다. 다비트 힐베르트는 1900년 8월 8일 소르본 대학에서 열린 제2회 국제수학자대회에서 〈수학 문제들〉이라는 주제의 강연을 통해 20세기에 들어 해결해야할 중요한 수학 문제 23개를 제시하였으며, 이는 오늘날 힐베르트의 문제들로 불린다. 리만 가설은 이 가운데 골드바흐의 추측과 함께 8번 문제로 수록되었다.

소수의 분포 문제는 최근 아다마르와 드 라 발레푸생, 폰 망골트 등에 의하여 크게 진전하였다. 그러나 리만의 논문 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉가 우리에게 제시한 문제가 완전하게 해결되려면, 리만의 매우 중요한 명제, 즉 다음과 같은 방정식
으로 정의된 함수 의 (이미 알려진 음의 정수의 영점들을 제외한) 영점들의 실수부가 모두 ½이라는 명제가 증명되어야 한다.

In der Theorie der Verteilung der Primzahlen sind in neuerer Zeit durch Hadamard, de la Vallée Poussin, v. Mangoldt und Andere wesentliche Fortschritte gemacht worden. Zur vollständigen Lösung der Probleme, die uns die Riemannsche Abhandlung „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe“ gestellt hat, ist es jedoch noch nötig, die Richtigkeit der äußerst wichtigen Behauptung von Riemann nachzuweisen, daß die Nullstellen der Function ζ(s), die durch die Reihe}}

헬리에 본 코크는 리만 가설이 소수 정리의 가장 정밀한 오류항을 제공한다는 것을 증명하였다. 즉, 소수 정리의 오류항을 더 세밀하게 측정하는 것은 제타 함수의 영점이 모두 임계선에 더 가깝게 존재한다는 것과 같다.

외르겐 페데르센 그람은 1903년 리만 제타 함수의 근을 계산하는 방법을 개발하여 실수축에서 가까운 15개의 근을 계산하여, 모두 임계선 위에 위치함을 확인하였다. 고드프리 해럴드 하디는 1914년 임계선 위에 무한히 많은 수의 영점이 존재한다는 것을 증명하였다.

앨버트 잉햄은 1932년 리만 가설에 의한 리만 제타 함수의 해와 주어진 수까지의 소수의 실제 개수 β간의 오차를 상한과 하한으로 표현하는 함수로서 O(''x'')를 정의하였다.

아틀레 셀베르그는 1942년에 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점 가운데, 임계선 위에 있는 것들의 비율은 (점근적으로) 양수라는 것을 증명하였다.의 오차에 다음과 같이 정리하였다.

### 작용소 이론과 양자역학
다비트 힐베르트와 포여 죄르지는 리만 제타 함수의 영점들이 어떤 자기 수반 작용소의 고윳값들과 대응한다고 추측하였다. 자기 수반 작용소의 고윳값들은 자동적으로 허수 성분이 0이므로, 이를 통하여 왜 영점들이 모두 임계선 위에 있는지를 설명할 수 있다. 앤드루 오들리즈코는 1987년에 리만 제타 함수의 영점들의 분포가 일부 무작위 행렬의 고윳값들의 분포와 유사한 성질을 갖는다는 것을 보였다.

돈 재기어는 이러한 연산자가 상반 평면 위의 함수 공간 (보형 형식)의 라플라스 연산자라고 추측하였고,

크리스토퍼 데닝거(Christopher Deninger)는 이러한 연산자가 정수환의 스펙트럼 )는 1990년에 특정한 전해석 함수들의 힐베르트 공간의 특정한 성질로부터 리만 가설을 유추할 수 있음을 보였다.

프리먼 다이슨은 리만 가설이 준결정과 연관되어 있다고 추측하였다.

### 21세기
2004년에는 제타 함수의 처음 10

2001년 미국 클레이 수학연구소가 7개의 밀레니엄 문제 가운데의 하나로 리만 가설에 100만 달러의 상금을 걸었다. 성공하진 못했다.

오늘날 많은 수학자들은 리만 가설이 참일 것이라고 추측하지만, 존 이든저 리틀우드를 비롯한 몇몇 회의적인 수학자들도 존재한다. 그 영점들의 허수부 목록은 오들리즈코의 사이트인
http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/
에 들어 있다.