**채색 다항식**(chromatic polynomial)은 수학의 한 분야인 대수적 그래프 이론에서 연구되는 그래프 다항식이다. 색칠할 색상들의 수를 변수로 하는 함수로 그래프 색칠 수를 계산하며 원래 조지 데이비드 버코프가 4색 문제를 연구하기 위해 정의했다. 이것은 해슬러 휘트니와 윌리엄 토머스 텃에 의해 텃 다항식으로 일반화되었으며 이를 통계 물리학의 포츠 모형과 연결했다.

## 역사
조지 데이비드 버코프는 1912년에 4색 정리를 증명하기 위해 평면 그래프에 대해서만 정의하는 채색 다항식을 도입했다.을 보이면 4색 정리를 증명 할 수 있다. 이러한 방식으로 그는 조합 색칠 문제에 대한 다항식의 근을 연구하기 위한 해석학 및 대수학의 강력한 도구를 적용하기를 바랐다.

해슬러 휘트니는 1932년에 버코프의 다항식을 평면 사례에서 일반 그래프로 일반화했다. 1968년 Ronald C. Read는 어떤 다항식이 어떤 그래프의 채색 다항식인지에 대해 질문하고(난제), 채색 동치 그래프의 개념을 도입했다.

## 정의
그래프 ''''의 **채색 다항식**이라고 한다.

예를 들어 경로 그래프 ''의 자기동형사상에 의해서만 다른 색상은 여전히 다른 것으로 간주된다.)

### 삭제-축소
''''-채색 수는 다음을 충족한다.

마찬가지로, 만약  추가한 다음

이는 ''''-채색 부터 유일하게 얻을 수 있다.

따라서 채색 다항식은 다음과 같이 재귀적으로 정의될 수 있다.

모서리 없는 그래프의 ''''-채색수와 일치하는 모서리 수에 대한 귀납법에 의해 얻어진다. 특히, 채색 다항식은 점

을 통과하는 최대 ''n'' 차의 우일한 보간 다항식이다. 어떤 다른 그래프 불변량이 그러한 재귀를 만족하는지에 대한 텃의 호기심으로 인해 그는 채색 다항식의 이변수 일반화인 텃 다항식 을 발견하게 되었다.

## 성질
''n개의'' 꼭지점으로 고정된 ''은 정수 계수를 갖는 ''n''차 일계수 다항식이다.

채색 다항식은 적어도 색수만큼 ''''의 채색성에 관한 정보를 포함한다. 실제로, 채색수는 채색 다항식의 0이 아닌 가장 작은 양의 정수이며,

''의 비순환 방향의 수를 곱한 값이다.

1에서 계산된 도함수 과 절대값이 같다.

''&lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;


이 있는 경우,

.

''에 대해 참이다.

마지막 성질은 '''' 꼭짓점의 클릭에서 두 개를 붙여서 얻은 그래프)

라는 사실로부터 일반화 된다. ''n''개의 꼭지점을 가진 그래프 ''는'' 다음과 같은 경우에만 트리이다.

### 채색 동치
두 그래프가 동일한 채색 다항식을 갖는 경우 ''채색 동치''라고 한다. 동형 그래프는 동일한 채색 다항식을 가지지만, 동형이 아닌 그래프도 채색 동형일 수 있다. 예를 들어 ''n''개의 꼭지점에 있는 모든 트리는 동일한 채색 다항식을 갖는다. 특히, 는 클로 그래프와 4개의 꼭지점에 대한 경로 그래프의 채색 다항식이다.

그래프는 채색 다항식에 의해 결정되는 경우 ''채색적으로 유일하다''. 즉, ''''가 동형임을 의미한다. 모든 순환 그래프는 채색적으로 유일하다.

### 채색의 근
"채색 근"이라고 불리는 채색 다항식의 근은 임을 보여주는 것이었다. 이것이 성공했다면 4색 정리를 증명 했을 것이다.

어떤 그래프도 0색일 수 없으므로 0은 항상 채채색 근이다. 모서리가 없는 그래프만 단색일 수 있으므로 1은 적어도 하나의 모서리가 있는 모든 그래프의 채색 근이다. 반면, 이 두 점을 제외하고는 어떤 그래프도 32/27보다 작거나 같은 실수에서 채색 근을 가질 수 없다. 텃의 결과는 황금비 가 구의 평면 삼각분할이면

따라서 실수선에는 그래프에 대한 채색 근이 없는 큰 부분이 있지만, 복소 평면에 채색 근이 밀집된 무한한 그래프 계열이 존재한다는 의미에서 복소 평면의 모든 점은 채색 근에 임의로 가깝다.

### 모든 색을 빠짐없이 써서 색칠하기
''n개의'' 꼭짓점을 가진 그래프 '''' (구별 가능한) 색상을 사용한 색상을 선택하여 유일하게 얻을 수 있다. 그러므로:

여기서 의 계수들이다.

표준 기저 '' 번째 계수라 하자. 즉:

스털링 수는 표준 기저와 떨어지는 계승 기저 사이의 기저 변환을 제공한다. 이는 다음을 의미한다.

### 분류
색다항식은 Khovanov 호몰로지와 밀접한 관련이 있는 호몰로지 이론에 의해 분류된다.

## 알고리듬
}}

채색 다항식과 관련된 계산 문제는 다음과 같다.

첫 번째 문제는 더 일반적이다. 왜냐하면 ''-채색수를 계산하는 것으로 본다. 예를 들어, 여기에는 계산 복잡도 연구의 표준 문제인 3가지 색상의 수를 계산하는 문제 **#3-채색**이 포함되며 계산복잡도 #P에 대해 완료된다.

### 효율적인 알고리듬
일부 기본 그래프 클래스의 경우 채색 다항식에 대한 공식이 알려져 있다. 예를 들어 위의 표에 나열된 것처럼 나무와 클릭의 경우에도 마찬가지이다.

다항식 시간 알고리듬은 현 그래프 후자의 종류에는 외부 평면 그래프와 같은 경계 트리 너비 의 여그래프 및 그래프가 포함된다.

### 삭제-축약
삭제-축약 재귀는 ''삭제-축약 알고리듬''이라고 불리는 채색 다항식을 계산하는 방법을 제공한다. 첫 번째 형식(마이너스 포함)에서는 반복이 빈 그래프 모음에서 종료된다. 두 번째 형식(더하기 포함)에서는 완전한 그래프 모음으로 끝난다. 이는 그래프 색상 지정을 위한 많은 알고리듬의 기초를 형성한다. 컴퓨터 대수 시스템 Mathematica의 Combinatorica 패키지에 있는 ChromaticPolynomial 함수는 그래프가 조밀한 경우 두 번째 반복을 사용하고 그래프가 희소한 경우 첫 번째 반복을 사용한다. 최악의 경우 알고리듬은 다항식 인수 내에서 시간에 맞춰 실행된다.

분석은 입력 그래프의 신장 부분 그래프의 수 의 다항식 인자 안으로 개선될 수 있다. 실제로 일부 재귀 호출을 피하기 위해 분기 및 경계 전략과 그래프 동형사상 거부가 사용되며, 실행 시간은 꼭지점 쌍을 선택하는 데 사용되는 경험적 방법에 따라 달라진다.

### 큐브 방식
각 꼭지점에 자연수를 할당하면 그래프 색상이 정수 격자의 벡터라는 것을 관찰함으로써 그래프 색상에 대한 자연스러운 기하학적 관점이 있다. 두 꼭지점 -큐브안의 격자점의 수를 계산한다.

### 계산 복잡도
주어진 그래프의 3가지 색상 수를 계산하는 문제는 #P -완전 문제의 표준 예이므로 채색 다항식의 계수를 계산하는 문제는 #P-난해이다. 마찬가지로 주어진 ''G에'' 대해 는 세 개의 "쉬운 점"을 제외한 모든 ''x''(음의 정수 및 모든 복소수 포함)에 대해 #P-난해이다. 따라서 #P-난해의 관점에서 채색 다항식 계산의 복잡도가 완전히 이해된다.

전개

에서 계수 '' 을 계산하는 계산 문제는 이분 평면 그래프의 경우에도 #P-난해이다.

컴퓨팅을 위한 근사 알고리듬이 없다. 를 계산하는 FPRAS가 없다.