수학에서 **푸비니-슈투디 계량**은 에르미트 형식이 부여된 복소 사영 공간 을 호지 다양체로 만든다.

## 정의
이다.

### 구의 계량과의 관계
복소수 사영 직선(리만 구)은 위상수학적으로 2차원 구이다. 이 경우, 푸비니-슈투디 계량은
이므로, 이는 반지름이 1/2인 구를 나타내는 것을 알 수 있다. 따라서 그 가우스 곡률은 4이다.

## 구성
푸비니–슈투디 계량은 복소 사영 공간의 몫 공간 구성에서 자연스럽게 발생한다.

구체적으로, **의 대각 군 작용에 의한 몫과 일치한다:

이 몫은 들은 점의 동차 좌표라고 한다.

게다가, 이 몫 사상을 두 단계로 실현할 수 있다: 0이 아닌 복소수 ''은 두 부분으로 나뉜다.

여기서 단계 (a)는 양의 실수의 곱셈 군의 원소 **에 의한 몫이다.

(a)에서 몫의 결과는 방정식 의 대원들 중에 있다.

### 계량 몫
리만 다양체(또는 일반적으로 거리 공간)의 몫을 취할 때, 몫 공간이 잘 정의된 계량으로 부여되도록 주의를 기울여야 하다. 예를 들어, 군 의 의미에서 궤도를 따라 일정해야 한다.

에 대한 표준 에르미트 계량은 다음과 같이 표준 기저로 제공된다.

그것의 실현은 의 대각 작용에서 불변한다. 따라서 위의 구성에서 (b) 단계는 (a) 단계가 완료되면 가능하다.

**푸비니–슈투디 계량**은 몫 는 표준 유클리드 계량을 단위 초구로 ''제한하''여 부여된 소위 "둥근 계량"을 수행한다.

### 국소적 아핀 좌표에서
동차 좌표 가 있다.

특히, 의 정칙 접다발

여기서서 

각 행렬 성분은 유니터리 불변이라는 점에 유의하라. 즉, 

이 마지막 식에서 아인슈타인 표기법이 1에서 ''를 합산하는 데 사용되었다.

계량은 다음 켈러 퍼텐셜에서 파생될 수 있다.

~처럼

g_{i\bar{j}}=K_{i\bar{j}}=\frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial\bar{z}^j} K

### 동차 좌표 사용
대수 기하학의 사영 다형체를 설명하는 데 일반적으로 사용되는 동차 좌표 표기법 

여기서 합 규칙은 0에서 

이제 의 텐서로 적절하게 이해해야 한다. 그런 다음 당김 값이 단면 선택과 독립적인지 확인해야 하다. 이것은 직접 계산으로 수행할 수 있다.

이 계량의 켈러 형식은 다음과 같다.

여기서 의 켈러 퍼텐셜(켈러 스칼라라고도 함)이다.

### 브라켓 좌표 표기
양자 역학에서 푸비니–슈투디 계량은 부레스 계량이라고도 한다.

푸비니–슈투디 계량은 양자 역학에서 일반적으로 사용되는 브라켓 표기법을 사용하여 작성할 수 있다. 이 표기법을 위에 주어진 동차 좌표와 명시적으로 동일시하려면,

로 두면 된다. 여기서 

또는 동등하게 사영 다형체 표기법에서,

\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta}

여기서,  사이의 실수 값이다.

이 계량의 무한소 형태는 

양자 역학의 맥락에서 은 블로흐 구면이라고 하다. 푸비니–슈투디 계량은 양자 역학의 기하학에 대한 자연스러운 계량이다. 양자 얽힘 및 베리 페이즈 효과를 포함한 양자 역학의 특이한 동작의 대부분은 푸비니-슈투디 계량의 특성에 기인할 수 있다.

## ''n''  1인 경우
의 반지름 1/2(및 가우스 곡률 4)의 일반 "둥근 계량" 표현을 생성한다.

즉, 만약 

가 성립한다. 여기서 

이다. 비어바인으로 를 선택하면, 켈러 형식은 다음과 같이 단순화된다.

호지 별 연산자를 켈러 형식에 적용하면 다음을 얻는다.

이는 ''''가 조화형식이라는 것을 암시한다.

## ''n''  2인 경우
복소 사영 평면 

이 성립한다.

해당 국소적 아핀 좌표는 다음과 같다. 

일반적인 약자로 

비어바인들은 마지막 표현에서 즉시 읽을 수 있다.

e^0 = \frac{dr}{1+r^2} & & &
e^3 = \frac{r\sigma_3}{1+r^2} \\[5pt]
e^1 = \frac{r\sigma_1}{\sqrt{1+r^2}} & & &
e^2 = \frac{r\sigma_2}{\sqrt{1+r^2}}
\end{align}

비어바인이 주어지면 스핀 접속을 계산할 수 있다. 레비치비타 스핀 접속은 비틀림이 없고 공변적으로 상수인 유일한 접속이다. 즉, 비틀림 없는 조건

을 만족하는 제 1형식 

곡률 제 2형식은

과 같이 정의되고 상수이다.

R_{01} &= -R_{23} = e^0\wedge e^1 - e^2\wedge e^3 \\
R_{02} &= -R_{31} = e^0\wedge e^2 - e^3\wedge e^1 \\
R_{03} &= 4 e^0\wedge e^3 + 2 e^1\wedge e^2 \\
R_{12} &= 2 e^0\wedge e^3 + 4 e^1\wedge e^2
\end{align}

비어바인 첨자의 리치 텐서는 다음과 같이 주어진다.

여기서 곡률 2형은 4개 성분 텐서로 확장되었다.

결과적으로 리치 텐서는 상수이다.

따라서 아인슈타인 방정식

은 우주상수 로 풀 수 있다.

일반적으로 푸비니–슈투디 계량에 대한 바일 텐서는 다음과 같이 제공된다.

## 곡률 성질들
1인 경우 푸비니–슈투디 계량은 일정한 곡률을 갖지 않는다. 그 단면 곡률은 대신 방정식에 의해 제공된다.

여기서 는 푸비니–슈투디 계량이다.

이 공식의 결과는 단면 곡률이 모든 2차원 평면 을 충족한다는 것이다. 최대 단면 곡률(4)은 ''J'' (σ) ⊂ σ인 정칙 2차원 평면에서 달성되는 반면 최소 단면 곡률(1)은 ''J'' (σ)가 σ에 직교하는 2차원 평면에서 달성된다. 이러한 이유로 푸비니–슈투디 계량은 종종 4와 같은 "일정한 ''정칙'' 단면 곡률"을 갖는다고 한다.

이것은 을 (엄격하지 않은) 쿼터 핀치 다양체로 만듭니다. 어떤 유명한 정리는 엄격하게 1/4 핀치로 단일 연결 ''n'' -다양체가 구에 대해 동형이어야 함을 보여준다.

푸비니–슈투디 계량은 자신의 리치 텐서에 비례한다는 점에서 아인슈타인 계량이기도 하다. 모든 ''i'', ''j'' 에 대해

인 상수 을 필수 불가결하게 만든다.

의 경우 공간의 차원으로 표시된다.

## 곱 계량
푸비니–슈투디 계량에는 분리 가능성에 대한 일반적인 개념이 적용된다. 보다 정확하게는 계량은 사영 공간의 자연적 곱인 세그레 매장에서 분리할 수 있다. 만약 과 같이 쓸 수 있다면, 계량은 부분 공간에 대한 계량의 합이다.

여기서 

리만 텐서는 특히 간단하다.

R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial \Gamma^\bar{m}_{\;\;\bar{j}\bar{l}}}{\partial z^k}

## 역사
1904년에 귀도 푸비니가,{{저널 인용|jfm=35.0142.02