대수기하학에서 **에타일 코호몰로지**는 대수 다양체 또는 스킴 위에서 정의되는 코호몰로지이다.가 에탈 코호몰로지 이론을 단순화하여 설명했다. 그로텐디크의 이러한 전체(ZF 집합론에서 그 존재가 증명될 수 없음)의 사용은 에탈 코호몰로지와 그 적용(예: 페르마의 마지막 정리의 증명)이 ZFC 이외의 공리를 필요로 한다는 일부 추측을 이끌어 냈다. 그러나 실제로 에탈 코호몰로지는 주로 정수에 대한 유한 유형의 구성표에 대한 구성 가능한 층의 경우에 사용되며, 이것은 집합 이론의 깊은 공리를 필요로 하지 않는다. ZFC 공리계뿐만 아니라 훨씬 약한 공리계에서도 정의 할 수 있다.

에탈 코호몰로지는 다른 응용을 빠르게 찾았다. 예를 들어 들리뉴와 George Lusztig는 리 유형의 유한 군 표현을 구성하는 데 사용했다. Deigne–Lusztig 이론 참조.

## 동기
복소 대수 다형체의 경우, 기본 군, 코호몰로지 군과 같은 대수적 위상 수학의 불변량은 아주 유용하다. 그래서 유한 체와 같은 다른 체에 대한 다형체에 대해서도 이들과 비슷한 호모토피와 호몰로지 이론을 얻고 싶다. (이에 대한 한 가지 이유는 베유이 이러한 코호몰로지 이론을 사용하여 베유 추측을 증명할 수 있다고 제안했기 때문이다.) 연접층의 코호몰로지의 경우, 세르는 대수 다형체의 자리스키 위상을 사용하는 것만으로도 만족스러운 이론을 얻을 수 있음을 보여주었고, 복소 다형체의 경우 이것은 훨씬 더 세밀한 복소 위상으로서 동일한 (연접층) 코호몰로지 군을 제공한다. 그러나 정수 층과 같은 상수층의 경우에는 정의되지 않는다. 자리스키 위상을 사용하여 정의된 코호몰로지 군은 별 의미가 없다. 예를 들어, 베유는 위상 공간의 일반적인 특이 코호몰로지와 비슷한 유용성을 가진 유한 체의 다형체에 대한 코호몰로지 이론을 구상했지만 실제로는 기약 다형체의 모든 상수층에는 자명한 코호몰로지를 가진다(모든 고차 코호몰로지 군은 사라짐).

여기서 자리스키 위상이 부족한 이유는 너무 거칠기 때문이다. 즉, 열린 집합이 너무 적다. 일반적인 대수 다형체에서 더 세밀한 위상 수학을 사용하여 이 문제를 해결할 수 있는 좋은 방법이 없는 것 같다. 그로텐디크의 핵심 통찰력은 더 일반적인 열린 집합이 대수적 다형체의 부분 집합이어야 하는 이유가 없다는 것을 깨닫는 것이었다. 층의 정의는 공간의 열린 부분 집합의 범주뿐만 아니라 모든 범주에 대해 완벽하게 잘 작동한다. 그는 공간의 열린 부분 집합 범주를 공간에 대한 에탈 사상 범주로 대체하여 에탈 코호몰로지를 정의했다. 대략적으로 말하면 이들은 공간의 유한한 분기되지 않은 덮개의 열린 부분 집합으로 생각할 수 있다. 이것은 (많은 작업 후) 일부 상수 계수에 대해, 특히 n이 기저 체의 표수와 서로소일 때 **Z**/''n**''Z** 계수에 대해 의미있는 코호몰로지 군을 얻을 수 있는 충분히 많은 열린 집합들을 제공하는 것으로 밝혀졌다''.''

이론의 몇 가지 기본 직관은 다음과 같다.

## 정의
**에탈 코호몰로지**는 작은 에탈 위치의 층 코호몰로지이다. 즉, 아벨 군 값을 갖는, 작은 에탈 위치 는 단면 함자
의 번째 오른쪽 유도 함자이다.
특히,
이다.

스킴 과 다른, L진 코호몰로지를 나타낸다.)

작은 에탈 코호몰로지 대신에, 큰 에탈 위치 위의 층 코호몰로지인 큰 에탈 코호몰로지를 생각할 수도 있다. 그러나 작은 에탈 층  즉, 코호몰로지를 계산하려면 편리한 대로 작은 위치나 큰 위치를 사용할 수 있으며, 보통 작은 에탈 위치가 더 다루기 편리하므로 작은 에탈 위치를 사용한다.

### L진 코호몰로지
위와 같이, 작은 에탈 위치에서 층 코호몰로지를 정의하면 유한체 계수의 코호몰로지를 얻을 수 있다. 그러나 정수 계수의 층 코호몰로지는 자명하며, 위상수학적으로 유용한 정보를 제공하지 못한다. 대신 각 유한체 계수의 코호몰로지들을 짜깁기하여 정수 계수 위상수학적 코호몰로지를 근사할 수 있는데, 이를 **L진 코호몰로지**라고 한다.

소수 은 다음과 같은 역극한이다.
좌변에서 를 상징한다. 

L진 코호몰로지는 (이름과 달리) L진 정수 와 일반적으로 다르다. 즉, 역극한은 층 코호몰로지와 가환하지 않는다.

L진 코호몰로지는 유한체에 대한 대수다양체에 대하여 널리 사용된다. 이 경우, 와 다른 소수이다.

## 성질

### 특이 코호몰로지와의 관계
계수의 에탈 코호몰로지는 특이 코호몰로지와 일치한다.
마찬가지로,  계수의 특이 코호몰로지와 일치한다.
하지만 정수 계수의 에탈 코호몰로지는 일반적으로 특이 코호몰로지와 다르다.

### 갈루아 코호몰로지와의 관계
체 의 에탈 코호몰로지는 그 갈루아 코호몰로지와 일치한다.
여기서 는 군 코호몰로지이다.

## 대수 곡선에 대한 에탈 코호몰로지 군의 계산
다형체 에탈 코호몰로지 군을 계산하는 주요 초기 단계는 대수적으로 닫힌 체 ''k''에서 매끄러운 완비 연결 대수 곡선 **''이 영이 아닌 함수의 층이라 하자.

# ''H''
여기서 **와 동형이다.&#x2009;이는 힐베르트 정리 90에 의해 사라진다. 따라서 에탈 코호몰로지 군의 긴 완전열은 완전열

을 제공한다. 여기서 **''(점이 여차원 1인 부분 다형체로 대체됨)에 적용된다.

### ''H)의 계산
위의 동일한 긴 완전열은 ****인 경우 사라진다.

### ''H'')의 계산
**''**''의 표수가 서로소인 경우:

여기서 

알려진 값을 삽입

특히 다음 완전열을 얻는다.

**''**'' 번째 근을 가지지 않기 때문이다. 자리스키 위상은 필수적이다.

### ''H''의 계산''&#x2009;''
단위의 **''** 위의 무료 가군이며 그 랭크는 다음과 같이 지정된다.

여기서 **''**''가 복소 곡선일 때 해당 특이 코호몰로지 군과 동일하다.

### ''H''의 계산
아틴-Schreier 열을 사용하여 유사한 방식으로 쿠머 열 대신 표수로 나눌 수 있는 상수 차수 계수를 갖는 에탈 코호몰로지 군을 계산할 수 있다.

(****의 계수에 대해 비트 벡터를 포함 하는 유사한 열이 있다.) 결과 코호몰로지 군은 일반적으로 표수 0에서 해당 군보다 랭크가 낮다.

## 콤팩트 지지를 제공하는 푸앵카레 쌍대성과 코호몰로지
다형체 **''**''를 콤팩트 지지하는 에탈 코호몰로지 군은 다음과 같이 정의된다.

여기서 **''**''에 대해 0이다.

보다 일반적으로 **''**''에 대해 정의된다

여기서 **''''는 꼬임 층에 대한 콤팩트 지지(복소 위상의 경우)가 있는 일반적인 더 높은 직상과 동일하다.

**''**이'' 표수에 대해 서로소인 경우 대각합 사상이 있다.

값이 ****는 각 군

그리고

을 다른 것의 쌍대로 식별한다.. 이것은 기존의 푸앵카레 쌍대성과 비슷하다.

## 곡선에 대한 응용
여기서는 대수 곡선의 국소 제타 함수에 적용하는 것을 다룬다

**정리.** ''''인 경우

여기서 ''''을 만족하는 특정 대수적 수이다.

이것은 ''''이내). 특히 타원 곡선에 대한 하세의 정리를 일반화한다.

### 증명 아이디어
립셰츠 고정점 정리에 따르면, 모든 사상 의 고정 소수점 수 는 합

과 같다. 이 수식은 일반적인 위상 다형체와 위상 공간에 유효하지만 대부분의 ''대수적'' 위상수학에는 잘못되었다. 그러나 이 공식은 에탈 코호몰로지에 ''적용된다'' (증명하기가 그렇게 간단하지는 않다).

''''는 표수 에서 프로베니우스 자기동형사상이다.

차원 0, 1, 2에서 ''**'', 1이다.

이들 모두에 따르면,

이것은 정리의 일반적인 사상를 제공한다.

''''의 절대값에 대한 주장은 베유 추측의 1차원 리만 가설이다.

전체 아이디어는 모티브의 틀에 들어맞다: 공식적으로 [ ''X'' ] =&nbsp;[점]&nbsp;+&nbsp;[선]&nbsp;+&nbsp;[1-part]이다. 여기서 [1-part]는 '''' 점과 비슷한 것이다.