순서론과 집합론에서 **나무**는 임의의 원소에 대하여 그 미만의 원소들로 구성된 부분 집합이 정렬 전순서 집합을 이루는 부분 순서 집합이다.

## 정의
나무의 개념은 순서론적으로 특정 조건을 만족시키는 부분 순서 집합으로 정의할 수 있으며, 또 범주론적으로 순서수 위의 준층으로 생각할 수도 있다.

### 순서론적 정의
부분 순서 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, **나무**라고 한다.

나무 의 **높이**라고 한다. 이는 함수
를 정의한다. 높이가 0인 원소는 극소 원소이며, 나무의 극소 원소를 **뿌리**라고 한다.

나무 의 **너비**는 그 단계들의 크기들의 상한이다.

나무 는 모든 원소들의 높이를 초과하는 최소의 순서수이다.

나무 라고 하자.

나무 를 **정돈된 나무**라고 한다.

### 범주론적 정의
임의의 순서수 에 대하여,
는 정렬 전순서 집합이므로 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다.

높이  위의 준층이다. 즉, 함자
이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이 데이터는 다음과 같은 함자 조건을 만족시켜야 한다.

이 경우, 분리 합집합
위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

## 종류
기수 
만약 을 뜻한다.

기수 
만약 -아론샤인 나무이다.

만약 -아론샤인 나무이나, 그 역은 성립하지 않는다.

기수 
만약 을 뜻한다.

" 

**

## 구성
일부 나무들은 특정 전순서 집합과 밀접한 관계를 갖는다.

### 나무에 대응하는 전순서 집합
나무 이다.
나무  위에 다음과 같은 전순서를 줄 수 있다.
이를 의 **가지 공간**이라고 한다.

임의의 기수 -강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

**증명:**

라고 하자.
귀류법을 사용하여,
가 를 고르고, 또한 순서수열
을 정의하자. 여기서
는 두 가지가 공유하지 않는 최소의 단계를 뜻하며, 만약 라면 잘 정의된다.

그렇다면,
는

### 전순서 집합에 대응하는 나무
최대·최소 원소를 갖지 않는 전순서 집합 을 정의할 수 있다.
그렇다면, 에 대응하는 나무이다.

### 수슬린 직선
다음 두 조건을 만족시키는 전순서 집합 
**정돈된 수슬린 직선**(整頓-Суслин直線)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 수슬린 직선이다.
만약 수슬린 직선이 존재한다면, 정돈된 수슬린 직선이 존재한다.

다음이 성립한다.
따라서, 수슬린 나무의 존재와 수슬린 직선의 존재는 서로 동치이다.

## 성질

### 순서론적 성질
나무에서, 모든 반사슬은 강상향 반사슬이다. 즉, 반사슬과 강상향 반사슬의 개념이 일치한다.

나무의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

다음 세 개념이 서로 동치이다.

### 논리학적 성질
쾨니그 보조정리에 의하면, -수슬린 나무의 존재(수슬린 가설)는 (ZFC가 무모순적이라면) ZFC와 독립적이다.

만약 구성 가능성 공리 -수슬린 나무가 존재한다.

도달 불가능한 기수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

또한, 다음이 성립한다.

ZFC만으로, 모든 분해 가능 공간인 수슬린 직선은 와 순서 동형임을 증명할 수 있다. 이는 게오르크 칸토어가 증명하였다.

### 강제법
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 강제법 모형

## 예

### 자명한 나무
임의의 집합 가 공집합이 아니라면 1이다.

임의의 순서수 의 나무를 이룬다.

### 완비 나무
임의의 순서수 에 대하여,
는 들의 집합이다. 여기에 부분 순서
를 부여하면, 이는 높이 와 순서 동형이다.

### 묘사적 집합론에서의 나무
집합 의 하집합은 나무를 이룬다.

묘사적 집합론에서는 위와 같은 나무들을 주로 사용한다.가 된다.

**증명:**

임의의 하집합 에 대하여, 그 몸통의 여집합은
인데, 우변의 각 항들은 의 열린집합이다.

반대로, 임의의 닫힌집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 나무를 생각하자.
그렇다면, 

정렬 전순서 집합 
만약 라면,
이므로 는 정렬 전순서가 아니다.

반대로, 만약
라면,
이다. 가 정렬 전순서 집합이므로,
인 이다. 마찬가지로,
이므로,
라고 하자. 이 경우 이다. 이를 반복하면
를 얻는다.

## 역사

### 19세기~20세기 초
게오르크 칸토어는 1895년에 최대·최소 원소를 갖지 않는, 분해 가능 선형 연속체가 항상 실수의 전순서 집합과 순서 동형임을 증명하였다. 이 논문에서 수슬린 가설은 다음과 같이 3번 문제로 수록되어 있다.
이후 주로 쿠레파가 수슬린 나무의 개념을 도입하였고, 수슬린 가설을 수슬린 나무로서 서술할 수 있음을 보였다. 이처럼 역사적으로 수슬린 가설은 전순서 집합의 이론에서 유래하였지만, 케네스 쿠넌은 다음과 같이 적었다.

아론샤인 나무는 1938년에 주로 쿠레파의 논문에서 최초로 등장하였다. 쿠레파는 이 개념을 "아론샤인 씨의 분기 집합"이라고 일컬었으며, 이 논문에서 다음과 같이 적었다.
한동안 나는 [전순서 집합으로부터 구성된 아론샤인 나무]의 존재의 문제에 대하여 시달렸다. 바르샤바를 떠나기 며칠 전 (1937년 4월 말) 나는 이 문제를 긍정적으로 해결했다고 생각하였으며, 이에 대한 논문을 작성하여 푼다멘타 마테마티카이 편집부에 투고하였다. 열흘 뒤에 나는 내 증명 속의 오류를 발견하였으며, 이 오류는 내 박사 학위 논문에도 있던 것이었다 […].

이 명제의 증명을 고칠 수 없어서 나는 아론샤인 씨와 의논하였다. 아론샤인 씨는 이를 성공적으로 증명하였으며, 또한, 재미있게도, 그가 내게 그의 멋진 증명을 보여준 이틀 뒤, 내가 당주아 씨와의 대화 도중에 알게 된 것은, 그 유명한 기하학자 역시, 수슬린 문제와 씨름하는 과정에서, 1936년 봄에 이 명제를 이미 증명했다는 것이었다.

N’ayant pas pu rétablir la démonstration de la proposition ci-dessus, je me suis adressé à M. Aronszajn; M. Aronszajn y a réussi, et, fait curieux, deux jours après qu’il avait bien voulu m’exposer sa belle démonstration, j’ai appris, lors d'une conversation avec M. Denjoy, que, de sa part, l’illustre géomètre, en s’occupant du problème de Souslin, avait été, dès [l]e printemps 1936, en possession de la [p]roposition […].}}

쿠레파 나무 역시 주로 쿠레파가 도입하였다.

### 20세기 중반~21세기
토마시 예흐와 스탠리 테넨바움

같은 해에 잭 하워드 실버는 쿠레파 가설 역시 (ZFC가 무모순적이라면) ZFC와 독립적임을 증명하였다.{{서적 인용|MR=0277379 | zbl=0255.02068

수슬린 문제에 대하여 메리 엘런 루딘은 다음과 같이 적었다.
즉, 수슬린 문제는 사실과 달리 "당연히 참"이거나 "당연히 거짓"인 것처럼 보인다는 것이다.

얀 미치엘스키는 수슬린 가설을 옹호하기 위하여 다음과 같이 적었다.