Sotz vum Pythagoras

Da so gnaunnte Sotz vum Pythagoras is oane vu de grundlegadn Eakenntnisse fia'd Geometrie im emnen Raum. D'wesntliche Aussog is, dass in am jedn Dreieck mit am rechtn Wünki de Quadrate üba de zwoa kiazan Seitn midanaund genau gleich groß san wia s'Quadrat vu da längstn Seitn. De kiazan Seitn nennt ma Kathetn und se schliaßn in rechtn Wünki ei; de länga Seitn wiad aa Hüpotenusn gnaunnt. Vu de Bezeichnungen kimmt da bessa klingade Leahsotz
"„In am rechtwünklign Dreieck entspricht de Summe vu de Flächninhoite vu de Kathetnquadrate da Flächn vum Hüpotenusnquadrat“".
Ois Gleichung notiat schreibt si des so: formula_1, wobei formula_2 und formula_3 fia de zwoa Kathetn steht und formula_4 de Läng vu da Hüpotenusn is.
Umgekeaht bsogt da Sotz vum Pythagoras aa, dass a jeds (in am emnen Raum glengs) Dreieck, in dem de obige Forml a wohre Aussog liefat, rechtwünklig sei muaß. In da modeanen Mathematik hüift da Sotz, damit ma aa in am abstraktn Raum oathogonale Vahötnisse außafindn kau.
Dea Leahsotz is noch'm Pythagoras vu Samos benaunnt und is de theoretische Ausformuliarung vum praktischn Wissn, des schau de Baumoasta und Priesta in Indien, Babylon und Oidegyptn ghobt haum. De haums nämli schau vastaundn, beim Obmessn vu am Föid oda aa beim Baun mit da Hüife vu Seile an genaun rechtn Wünki z'mochn. Schau a kloane Obweichnung vum rechtn Wünki hätt bei großdimensioniate Bautn im Endeffekt zu ana Katastrophn füahn kina, wos kloa mocht, wia genau si de schau auskennt hom.
Vu da historischn Praxis üba d'Irrazionalität zum letztn Sotz vum Fermat.
D'Seuspaunna: Pythagoreische Tripl in da Praxis.
Um de aa heid nu vablüffade Präzision bei de riesing Bautn sichastöin z'kina, hods in da egyptischn Priestaschoft mit de so gnaunntn "Harpedonapten" a eigne Zumft gem: d'Seupaunner. De genaun rechtn Wünkin haum de Seuspaunna mit da Hüif vu Zwöifknotnschnialn gkriagt, indems a Seu duach Knotn in gleich launge Obschnitte untateut haum. Spaunnt ma de Obschnitte im Seitnvoöitnis 5:3:4 mit Pfleck zu am Dreieck, eagibt des an rechtn Wünki, weu 3, 4 und 5 a pythagoreischs Tripl san. Mit dera Methode haum de Ägypta außadem d'Schlaummföida noch'm Rückgaung vu de Nilflutn nei ogmessn, heid nennt ma des „Gäatnakonstrukzion“ und rechtwünklige Bluamenbeet oda Parzöin wean zum Teu imma su so ausgmessn.
Aa de indischn Priesta haum gwusst, wias mit deara Methode an rechtn Wünki bstimma kinan, haum owa dafia a aundas Tripl gwusst und Dreiecke im Seitnvoöitnis 39:15:36 (gkiazt: 13:5:12) heagnumma. De megalithischn Bautn in Noadeiropa san vamutlich aa mit da Hüif vu soiche pythagoreischn Tripl baut woan.
Weu aa d'Umkeahrung vu dem Sotz güit, schliaßn formula_2 und formula_3 an rechtn Wünki ei, waun de Seulängen d'Gleichung formula_7 erfüin dan. Mit de Zoihn 3, 4 und 5 (Ägyta, formula_8) oda 15, 36 und 39 (Inda, formula_9) eagem si agrat güitige Aussong. Wos bei de Babylonia, Inda und Ägypta duach s'praktisch, uasprüngli probierade Auwendn entstaundn is, is (noch'm heiding Wissnsstaund) zu dera Zeit nu ned auf iagnda Oigemeingüitigkeit hintafrogt woan und hod damit mim Leahsotz vum Pythagoras mit formula_1 d'abstrakte und vaoigmoanate mathematische Ausfoamuliarung gkriagt.
Da Pythagoras: D'Suach noch da Harmonie vu da Wöid.
De öidestn bekaunntn mathematischn Aufzeichnungen mit soichane Zoihn-Tripln und sogoa mit de dazuaghearadn Quadrate findt ma auf Tontofin in vu de Babylonia, de in'd Zeit vu da Hammurabi-Dynastie datiat wean (1829 bis 1530 v. Kr.). D'Auwendung vum Sotz woa oiso schau laung voa de griechischn Philosophn und Mathematika bekaunnt. Dass da Sotz trotzdem noch'm Pythagoras bnamslt is, kimmt vum Euklid, dea in seina berühmtn Schrift "Elemente" s'mathematische Wissn vu dera Zeit zsaummgschrim hod und dabei hod a den Sotz im Pythagoras zuagschrim. Da Pythagoras soi zwoa amoi noch Egyptn groast sei und aa amoi bei de Babylonia gwen sei, owa es is umstrittn, ob ma de Berichte ois glaubwüadig auseng deaf. Mit da Entdeckung vu dem Leahsotz, wos d'Üwaliefarung auf'n Pythagoras zruckfüaht, muaß oiso s'Findn vu am Beweis gmoant gwesn sei. Da easchte Beweis staummt owa vielleicht ned vum Pythagoras söiba, sondan vu seina Schui.
S'öideste bekaunnte Rechnbuach vu da Wöid, s'egyptische "Rechnbuach vum Ahmes" (aa "Papyrus Rhind") aus 17. Joahhundat v. Kr., enthoitt zwoa kompliziate Aufgom, owa koa Vaoigmoanarung, Rögi oda Definizion. S'nu öidare "Papyrus Berlin" enthoitt a Aufgob, bei dem d'Lösung a pythagoreischs Tripl is. East in da griechischn Geometrie is aus da Praxis a Wissnschoft woan. Da Nei-Platonika Proklos hod um 470 n. Kr. gsogt,
"…da Pythagoras hod de Bschäftigung mit dem Wissnszweig in a wiakliche Wissenschoft vawaundlt, indem a ia Grundlog vu am hechan Gsichtspunkt aus augschaut hod und de Grundsätz immateriella und intellektuella eafoascht hod."
Daweu is fia de Pythagorea ned d'Mathematik, wia ma in Begriff heid vasteht, im Voadagrund gstaundn, sondan vüi mea is d'Mathematik a Teu vu da Philosophie in da Tradizion vu de Voa-Sokratika Thales vu Milet und Anaximander gwen. Wia de haum aa d'Pythagorea ghofft, dass mathematische Beziehungen und Formin fia'd innare Harmonie vu da Wöid soang und und vu dem hea s'zsaummhoitnde Element aa obüidlt wean kau.
Beweise aundaswo.
Oans is sicha: Im Pythagoras oda seina Schui kau ma de öideste Beweisfüahrung fia'n „Sotz vum Pythagoras“ ned zuaschreim. Da Baudhayana, a Inda, dea um 800 v. Kr. glebt hod und d'öidestm bekaunntn Texte üba Geometrie vu Indien gschrim hod, hod in dem Text an Beweis niedagschrim, dea owa nua fia rechtwünklige, gleichschenklige Dreieck güit. A aundana Inda, da Apastamba, hods im 5. Joahhundat gschofft, duach a Flächnvaschiabung in Sotz oigmein z'beleng, wobeu da niadaländische Mathematika Bartel Leendert van der Waerden moant, des is „nua“ s'Niedaschreim vu am öidan Wissn gwesn.
Auf jedn Foi oba woa des voa'm Pythagoras. Da Historika Albert Burk moant, dass im Apastamba sei Beweis da originale is und bringt de Theorie ins Spüi, dass da Pythagoras noch Indien gfoahn sei kinat und duat vielleicht ogschrim hod.
In China is da Text "Zhou Bi Suan Jing" da öideste Hinweis dafia, dasss duat den Sotz aa bewiesn ghobt haum. Dea duat aufzeichnte visuelle Beweis mit'm Tripl 3, 4 und 5 is ois "Guo-Gu-Theorem" bekaunnt (bnamslt noch da kiazan Kathetn "Guo" und da längan "Gu"; d'Hüpotenusn hoaßat "Xian"). Da Text deafat zwischn 500 Joah voa und 200 Joah noch'm Christus seina Gebuat gschrim woan sei.
Drüwa ob da Sotz iatst oamoi und öftas entdeckt woan is, wiad ziemli vüi debattiad.
D'Entdeckung vu da Irrazionalität.
Da Sotz vum Pythagoras hod dazua gfüaht, dass de Pythagorea d'Irrazionalität vu formula_11 entdeckt haum: Nimmt ma a Quadrat mit ana Seitnläng vu 1 und rechnt ma si dem Quadrat sei Diagonalnläng aus, foigt aus'm Sotz vum Pythagoras: formula_12. D'positive Lösung "c" vu dea Gleichung is daun d'Quadratwuazl aus 2. Auf des Eagebnis aufi entsteht de Frog, ob de Läng vu dea Diagonaln exakt duach a razionale Zoih, oiso duach an Bruch formula_13, doastöin losst oda ned. Schau da Pythagorea Hippasos von Metapont hods im 5. Joahhundat v. Kr. zeing kina, dass do koa Bruch ned außakemma kau. Vum Euklid is dafia a Beweis duach Widaspruch ("reductio ad absurdum") übaliefat, dea aa heid nu an da Schui zoagt wiad.
De öidan Foaschungen haum ana antikn Legende noch augnumma, dass de Entdeckung vu da Irrazionalität bei de Pythagorea a Grundlongkrise ausglöst hod, weus eana voarige Denkweis widalegt hod, nämli dass oißig duach gaunzzohlige Zoihnvoöitnisse ausdrückt wean kau. Des soit oiso s'Wöidbüid vu de Pythagorea quasi auf'n Kopf gstöid haum. De Legende besogt, dass da Hippasos duach Bekaunntmochn vu seina Entdeckung an Geheimnisvarot begaunga hod und desweng im Mea dasoffn is, wos ma ois Strof vu de Götta intapretiat hod. D'heidige wissnschoftsgschichtliche Foaschung glaubt oba nimma, dasss a soiche Krise wiakli gem hod. Vüi mea is de Legende duach a Missvaständnis entstaundn, weus oidgriechische Eingschoftswoat, des woss fia „irrazional“ (im mathematischn Sinn) heagnumma haum, außadem de Bedeitungen „unsogboa“ und „geheim“ ghobt hod.
Im Fermat sei letzta Sotz.
Da franzesische Mathematika Pierre de Fermat hod im 17. Joahhundat in Sotz vum Pythagoras weida untasuacht und dabei sein "letztn Sotz" aufgstöd, fia den a söiba gsschrim hod, dass a an „woahhoft wundaboan Beweis“ gfundn hod, owa dass am Raund, wo a in Sotz gach notiad hod, ned gnuag Plotz dafia is. Wieda drauf kemma auf den Beweis is eascht da Andrew Wiles im Joah 1993, und seithea nennt ma den Sotz nimma d"'Fermatsche Vamutung" sondan aa in "Großn Sotz vum Fermat".
D'wesntliche Aussog vu seim „letztn Sotz“ is, dasss fia'd Gleichung formula_14 fia formula_15 und formula_16 ka Lösung gibt, oiso dasss in hechane Potenzn kane Zoihngruppm gibt, wias de pythagoreischn Tripl san.
D'Mathematische Aussog und Auwendungen.
D'Aussog.
Waun formula_2, formula_3 und formula_4 d'Längan vu de Seitn vu am rechtwünklign Dreieck san und ma in Buchstom formula_4 fia'd Hüpotenusn nimmt, daun güit:
 formula_21
Mit Wörta ausdruckt: D'Summe vu de Quadrate üba de Kathetn is gleich mid'm Quadrat üba da Hüpotenusn.
D'Umkeahrung güit genau aso: Trifft de Gleichung formula_1 auf a Dreieck zua, daun is des Dreieck rechtwünklig, wobei da rechte Wünki gengüba vu da Seitn formula_4 liegt.
Eng vawaundt mit'm Sotz vum Pythagoras san da "Hächnsotz" und da "Kathetnsoatz". De zwoa Sätz büidn zsaumm mit'm Sotz vum Pythagoras d'Sotzgruppm vum Pythagoras. Da Kosinussotz wieda is a Veoigmeinarung vum pythagoreischen Leahsotz auf olle Dreieck.
Da Oigmoane Sotz vum Pythagoras.
Da Sotz vum Pythagoras güit ned netta fia Quadrate, es eagibt si aa mit ana jedn aundan Flächnoat a deaoatige Flächngleichheit, waun de Figuan üba de Kathetn und üba da Hüpotenusn zuranaund ähnli san, oiso waun si de Flächn zuranaunda wia a2 : b2 : c2 vooitn. Oa so a Beispü waratn de Hoibkroas üba de drei Seitn.
Pythagoreische Tripl.
A pythagoreischs Tripl nennt ma Dreiagruppm vu lauta gaunze Zoihn, de in dn pythagoreischn Leahsotz eigsetzt a woahre Aussog eagem. Soichane Tripl gibts undendli vüi, de bekaunntestn vu eana san de Tripl 3–4–5 und 5–12–13; trotzdem sans eha d'Ausnauhm: Bei de meistn rechtwünkling Dreieck is iagnda Seitnläng irrazional. Pythagoreische Tripl lossn si büidn, indem ma zwoa Zoihn formula_24 und formula_25 aunimmt und mit de Foamin formula_26, formula_27 und formula_28 d'Seitnlängan formula_2, formula_3 und formula_4 bstimmt (formula_4 is daun wieda d'Hüpotenusn). Wia mas schau in da Antike vastaundn hod, mit da Hüif vu Zwoifknotnschnialn de pythagoreischn Tripl praktisch auzwendn, is jo schau doaglegt woan.
Ãwendungsmeglichkeitn.
Aus'm Sotz vum Pythagoras foigt, waun ma aus dem gaunzn d'Wuazl ziacht, dass'd Läng vu da Hüpotenusn gleich is mit da Quadratwuazl aus der Summ vu de Kathetnquadrate, es güit oiso:
formula_33
D'oafochste oba gleichzeitig wichtigste Auwendung vu dem Sotz is, dass ma jetzand, waun ma vu zwoa Seitn in am rechtwünklign Dreieck d'Läng kennt, d'Läng vu da drittn Seit ausrechna kau. Des is duach a Umfoamung vu da Gleichung fia olle Seitn megli. Fia de Kathetn hoaßn de Foamin nochand:
formula_34 und formula_35
Weu de Hüpotenusn vu am rechtwünkling Dreieck gleich laung is wia'd Diagonoin vu am Rechteck mit de gleichn Seitnlängan, san de Formin aa güitig, waun ma si d'Läng vu so ana Diagonoin ausrechna wüi.
D'Umkeahrung vum Sotz kau dazua heagnumma wean, dass ma übaprüft, ob a bstimmtes Dreieck rechtwünklig is oda ned. Bei dea Auwendung muaß ma netta testn, ob de Gleichung auf des gemne Dreieck zuatreffn tuad oda ned. Waun ma oiso d'Längan vu olle Seitn in am Dreick woaß, reicht des, damit ma song kau, ob des Dreieck a rechtwünkligs is oda ned:
Seitnlängen 3, 4 und 5: formula_36 → S'Dreieck is rechtwünklig.
Seitnlängen 4, 5 und 6: formula_37formula_38 → S'Dreieck ist ned rechtwünklig.
In da Praxis wiad da Sotz vum Pythagoras, nem am Sinus- und Kosinussotz, aa heid nu voa oim fia s'Vamessn vu am Gelände heagnumma.
Iterazion.
Da Sotz vum Pythagoras is aa "iterativ" güitig. Waun ma d'Hüpotenusn vum easchtn Dreieck ois a Kathetn fia a zweits aunimmt, im rechtn Wünki zu iah a zweite Kathetn draufstöid, d'Hüpotenusn ziagt und beim so entstaundnn Dreieck üba da Hüpotenusn s'Quadrat zeichnt, daun is des Hüpotenusnquadrat gleich groß wia'd Summe vu de Flächn vu de zwa Kathetnquadrate vum easchtn Dreick und vum Quadrat vu da zweitn Kathetn vum zweitn Dreieck. Faungt ma mit dem Spüi mit zwoa Kathetn mit da Seitnläng vu je 1 au und nimmt ma d'Hüpothenusn imma ois a Kathetn vum nextn, wobei ma da aundan Katheten wieda 1 ois Läng gibt und spüid ma des ewig weida, entstehd dsognaunnte "Pythagoras-Spiroin".
Mit dem grundlegadn Vafoahn losst si da Sotz vum Pythagoras aa im 3-dimensionaln Raum auwendn. Ois Beispü dafia kau ma d'Raumdiagonoin vu am Wüafi ausrechna. Zeascht muaß ma dafia a Flächndiagonoin formula_39 ausrechna und fia de güit bei ana Seitnläng formula_2 foigendes:
formula_41, und damit: formula_42
Auf de Flächndiagonoin setzt ma daun a weidare Seitnläng vum Wüafi und ma gkriagt d'Raumdiagonoin formula_43:
formula_44, und somit is formula_45.
Kuaz kau ma fia'd Raumdiagonoin in am Prisma mit da Läng formula_46, da Broadn formula_3 und da Hächn formula_48 aa song: formula_49
Ãwendung im kartesischn Kooadinatnsystem.
Da Sotz vum Pythagoras liefat a Foami fian Obstaund zwischn zwoa Punkte in ana Emn, de wos duach a kartesischs Kooadinatnsystem bschrim wiad. San zwoa Punkte formula_50 und formula_51 bekaunnt, daun kau da Obstaund formula_4 zwischn eana durch
formula_53
ausgrechnt wean. Dabei nutzt ma, wia aa schau beim obing Wüafi-Beispü, aus, dass de Kooadinatn-Axn senkrecht zuranaund lieng. Des losst si analog auf mearare Dimensionen eaweitan und liefat in so gnaunntn euklidischn Obstaund. Fia an dreidimensionaln Foi schaut des daun so aus:
formula_54
Beweise.
Fia den oan Sotz san bis heid üwa 300 vaschiedene Beweise gfundn woan, des wos eam zum mathematischn Sotz mit de meistn Beweise mocht. De do voagfüahtn Beweise san oiso netta ois a poa Beispüle zum seng.
Da geometrische Beweis duach Eagänzung.
In a Quadrat mit da Seitenläng formula_55 wean via gleiche (kongruente) rechtwünklige Dreieck mit de Seitn formula_2, formula_3 und formula_4 (d'Hüpotenusn) einigschrim. Des kau ma auf zwoa Oatn mochn, wia ma im Diagramm rechts seng kau.
D'Flächn vum linkn und vum rechtn Quadrat san gleich (Seitenläng jeweis formula_55). S'linke besteht aus de via rechtwünkling Dreieck und am Quadrat mit da Seitnläng formula_2 und am mit da Seitenläng formula_3, s'rechte aus de gleichn, oba aundas aungoadnetn Dreieck und am Quadrat mit da Seitenläng formula_4. formula_63 und formula_64 miaßn oiso midanaunda gleich groß sei wia formula_65, weu ma bei beide Quadrate mit da Seitnläng formula_55 gleich vüi wegnemma muaß, damit s'formula_65 oda s'formula_68 üwableibt. Algebraisch löst si des so:
Beim linkn bzw. rechtn Quadrat güit foigendes:
Auf da linkn Seit vu de zwoa Gleichungen steht iatst jeweus formula_69, desweng kau ma aa de zwoa rechtn Höiftn gleichsetzn: formula_70. Ma braucht daun netta nu des formula_71 auf beide Seitn oziang, und schau steht da Sotz vum Pythagoras do: formula_1. Dea Sotz eagibt si aa, waun ma bei da rechtn Foami d'Klaumma auflöst und nochhea nu de formula_71 oziagt.
Geometrische Beweise duach neichs Ãnoadnen.
De foigendn Grafikn zoang, wia ma d'Flächn vu de zwoa Kathetnquadrate zateun und neich aunoadnen kau, damit am End s'Hüpotenusnquadrat dosteht:
Beweis üba'n Radius vum Inkroas.
De foigendn zwoa Grafikn zoang, wia si fia a rechtwünkligs Dreieck zwoa vaschiedene Foamin healeitn lossn, mit dena ma in Radius formula_74 vum Inkroas ausrecha kau. Waun ma de zwoa Foamin nochhea gleichsetzt, kimmt ma wieda aufs Gsatzl formula_1:
Aumeakung: D'Foami formula_76 güit fia a jeds Dreieck, ned netta fia rechtwünklige. De aundan Formin san oba, so wias dostengan, nua fia rechtwünklige Dreieck güitig.
Beweis mit Ähnlichkeitn.
In Sotz vum Pythagoras kau ma aa beweisn, ohne dass ma iagndwia mid Flächn ummanaundaspüid. A elegante Methodn iss aa, dass ma Ähnlichkeitn im rechtwünkling Dreieck heanimmt und aus eana de Foami obleitet:
Soboid ma si üwazeigt hod, dass de zwoa greanen Wünkin im Büidl rechts gleich groß san, eagibt si aus dem, dass de Dreieck formula_77, formula_78 und formula_79 ähnli zuranaunda san. Des hoaßt zum Beispü, dass s'Seitnvoöitnis vu formula_2 zu formula_81 gleich is mim Seitnvoöitnis vu formula_4 zu formula_2. Wia si aus dem daun da Sotz vum Pythagoras earechna losst, steht im Büdl.
De Healeitung losst si daduach eaklean, dass de Quadrate üba de Seitn vu am rechtwünkling Dreieck in genau da söibn Propoazion zuranaund stengan wie de Flächn vu de Dreieck formula_79, formula_78 und formula_77. Da Sotz vum Pythagoras repräsentiad oiso aa, dass formula_78 und formula_79 midanaunda formula_77 eagem.
Vaoigmoanarungen.
Da Kosinussotz.
Da Kosinussotz is d'Vaoigmoanarung vum Sotz vum Pythagoras fia ned rechtwünklige Dreieck. Da Kosinussotz schaut foigendamoßn aus:
formula_90
Dabei is formula_91 da Wünki zwischen formula_2 und formula_3. Da Kosinussotz untascheidt si oiso vum Sotz vum Pythagoras duachs zusätzliche Gsatzl formula_94. Weu da Kosinus vu 90° nui eagibt, kau ma des Gsatzl beim Spezialfoi vum am rechtwünkling Dreieck, wo daun formula_2 und formula_3 de Katheten san, vanochlässing und vum Kosinussotz bleibt genau da Sotz vum Pythagoras steh.
Duach'n Kosinussotz eagem si foigende Röigin:
Vaoigmoanarung vum Sotz auf beliabige Dreieck ohne Wünkifunkzionen.
Es is aa mögli, ohne Wünkifunkzionen auf'd Aussog vum Kosinussotz z'kemma. Dazua konstruiad ma a beliabigs Dreieck mit Züaki und Lineal foigendamoßn: Ma zeichnt d'Kantn formula_4 zwischn de Punkte formula_104 und formula_105. Daun traugt ma mid'm Züaki d'Kathetnläng formula_3 vu formula_104 aus in Foam vu am Kroas auf, dea formula_4 schneidt. Vu formula_105 aus trogt ma analog dazua d'Kathetenläng formula_2 ei, wobei formula_4 wieda gschnittn wiad. Ma siacht, dass formula_4 duach de zwoa Kroaslinien in insgesaumt drei Teule zaschnittn wiad.
De Teustreckn auf formula_4, de in formula_104 aufaungt, nennan ma formula_24, in middlan Obschnitt formula_116 und in Teu, dea in formula_105 aufheat formula_25. Foiglich güit formula_119, und außadem formula_120 und formula_121. Fia s'Hüpotenusnquadrat güit oiso formula_122, fia de Kathetnquadrate formula_123 und formula_124.
Fosst ma de Foamin zsaumm, kimmt ma auf de fia a jeds Dreick güitige Foami formula_125. Damit si de Foami beim Spezialfoi vu am rechtwünkling Dreieck auf formula_126 reduziat, güit bei denen oiso formula_127. Natiali güit aa: formula_128 oda formula_129, weu nämli formula_125 dsöwe Aussog mocht wia da Kosinussotz, netta hoid ohne Wünkifunkzionen.
Aus da notwending Gleichung formula_127 fia rechtwünklige Dreieck eagibt si außadem a zweite oafoche Voaschrift, mid dea si pythagoreische Tripl büidn lossn, weu si de Greßn formula_2, formula_3 und formula_4 aus formula_116, formula_24 und formula_25 zsaummsetzn (schau om).
Innenproduktraim.
Obstrahiat ma vum gwähnlichn euklidischn Raum, so kriagt da Mathematika so gnaunnte Innen- oda Skalarproduktraim. Des san lineare Raim mit am Skalarprodukt. Do güit daun, waun ma zwoa Vektoan formula_138 und formula_139 aunimmt, de zuranaund oathogonal (oiso in am rechtn Wünki) steh dan, foigendes:
formula_140
Mit formula_141 is in dea Aussog d'Noam vu dem Raum gmoant. Weu formula_142 d'Hüpotenusn vum Dreick is, wos vu de Vektoan formula_138 und formula_139 aufgspaunnt wiad, steht do eigntli wieda da Sotz vum Pythagoras, netta hoid fia abstrakte mathematische Gebüide wia am unendli dimensionaln Funkzionenraum. D'Umkearung güit do emfois: Waun de Gleichung do oman zuatrifft, daun san de zwoa Vektoan oathogonal zuranaund.
A aundane Variantn, mit dea si feststöin lossat, dass zwoa Vektoan noamal, oiso im rechn Wünki, zuranaund stengan, is, dass daun s'Skalarprodukt Nui sei muaß. Wü ma d'om stehade Foami wieda so vaoigmoanan, dasss aa fia ned oathogonale Dreieck güit, muaß mas um a kuazs Gsatzl länga mochn und s'oigemein güitige Eagebnis warat:
formula_145
Des formula_146 is oane vu mearare Meglichkeitn, wia ma a Skalarprodukt notiat. Waun ma oiso in Spezialfoi vu zwoa noamal zuranaund stehade Vektoan aunimmt, eagibt si bei dem Skalarprodukt daun Nui und damit kau ma in dem Foi des den Teu vu da Foami vanochlässing. Damit warat ma wieda bei da Foami vum Aufaung vu dem Obschnitt.
Ned-euklidische Geometrie.
Da Sotz vum Pythagoras is vu Axiome ogleitet, de in da Ned-euklidische Geometrie nimma göitn. Oa so a Axiom is, dass si parallele Linien in da Endlichkeit nia treffn wean; a aundas, dass d'Wünkisumm in am Dreieck 180° ausmaucht. Dass des zum Beispü auf ana Kugiobaflächn ned güit, siacht ma im Büidl rechts. Des Dreieck besteht aus drei rechte Wünkin und hod damit a Innenwünkisumm vu 270°. Soboid de Axiome nimma göitn, redt ma vu da ned-euklidischn Geometrie und in dea is Sotz vum Pythagoras daun aa nimma güitig.
Fia'd hüpabolische und fia'd Kugigeometrie kau ma aus'm jeweulig güiting Kathetnsotz an Easotz fia'n Sotz vum Pythagoras oleitn, dea daun wieda a bstimmts Vahöitnis zwischn de Längn vu de Kathetn und da Hüpotenusn voagibt.
Auf ana Kugi mim Radius formula_147, güit fia a rechtwünkligs Dreieck formula_148.
Waun ma aunimmt, dass si da Radius im Unendlichn aunähat, oiso dass de Kugi sche laungsaum zu ana Emn wiad, daun kimmt da Sotz vum Pythagoras wieda in sei euklidische Foam formula_1.
Auf ana Hüpeabü (mit da Gaussschn Krümmung -1) güit de Foami formula_150. Aa aus dea Foami kau ma in euklidischn Sotz obleitn, waun formula_2, formula_3 und formula_4 si da Nui aunähan.