Grundlogn vo da Mathematik

Des san de Grundlogn vo da Mathematik (dt.: Grundlagen der Mathematik).
Mengan, Zoihn, Intervolle.
Mengan.
A Menge is a gedaunkliche Zaumenfossung vo vaschiedenan Objektn; de nennt ma Elemente vo da Menge. A Menge kaunst auge'm, waunst de Elemente aufzööst oda charakterisiast. Zwoa Mengan san gleich, wauns de sööm Elemente enthoidn. De Menge, wos kane Elemente enthööt, nennt ma laare Menge.
Waun a Menge a gressdes oda kloanstes Element enthööt, des is a Maximum bzw. Minimum. Olle Zoihn, de wos kloana gleich oda gressa gleich ois wia de Elemente in da Menge san, san Schraunkn. Vo de untan Schraunkn gibd's a gressde, des is es Infimum. Vo de oban Schraunkn gibd's a kloanste, des is es Supremum. A Haifungspunkt vo ana Menge is, waun in da ε-Umgebung vo dem Punkt unendli vü Elemente vo dera Menge liagn.
Intavoi.
A Intavoi is a zaumhängende Täumenge vo ana g'uadnadn Trägamenge. Es bstähd aas oin Elementn, de zwischn de Grenzn liagn. Ob de Grenzn söwa no dazuaghean, hängd dovo oh, ob ma a offans oda a gschlossans Intavoi haum.
Arithmetik.
De Arithmetik bschäftigd se mid Rechnoparationan und Termen und wia ma's vaoafochn oda lösn duad.
Grundrechnoatn.
Es göötn de Operatorraungfuign (Punkt vua Srich), de Klaumaregl (Klauman ois easchts) und es Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgsetz.
Assoziativgsetz:
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Kommutativgsetz:
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Distributivgsetz:
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Neutralität vo 0 und 1:
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Gaunzzohliga Exponent.
A Potenzfunktiaun hod de Form an, a wiad ois Basis (Radikand) bezeichnd und n ois Exponent.
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a0 eagibd imma 1.
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Es güüt:
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Rationala Exponent.
De Umkeahfunktiaun zan Potenzian is des Wuazlziagn. Bei da n-ten Wurzl aas a hosd a nednegative Lösung, waun a aa koa negative Zoih is und n a natialiche Zoih gressa 1. De zwoate Wuazl nennd ma Quadrotwuazl, de dritte Kubikwuazl.
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Logarithmus.
Ois Logarithmus vo ana Zoih a zua Basis b bezeichnd ma de Zoih x, de de Gleichung a = bx lösd. Des Logarithmian is a Umkeahoperation vom Potenzian:
formula_27   (Logarithmus vo da Zoih a zua Basis b; a, b san positive reelle Zoihn)
Speziäufälle:
formula_28   (binära Logarithmus)
formula_29   (natialicha Logarithmus)
formula_30   (dekadischa Logarithmus)
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Logarithmangsetz':
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Obsolutweat.
Da Obsolutweat oda Betrog vo ana reelln oda komplexn Zoih is da Ohstaund vo Nui, des is imma a nednegative reelle Zoih.
Komplexe Zoihn.
Waunst a quadrotische Gleichung lösn wüsd, hosd des Problem, dassd unta da Wuazl a negative Zoih stehn hosd. Sowos kaunst in de Reelln Zoihn ned lösn, wäu jede Zoih mid si söwa muitipliziad imma wos Positivs is. Drum hod da Carl Friedrich Gauß de Komplexn Zoihn eihgfiahd, de bestehngan aas an Realtäu und an Imaginärtäu. Da Realtäu is des wos ma kennan; da Imaginärtäu is aa a Reelle Zoih, owa mid da imaginärn Eihheit "i", de wos in da Gaußschen Zoihnebane noamäu zua realn Achsn stähd. i² is dobei (-1). Beispü: 2 + 3i.
A komplexe Zoih z kau aa in da Polardoastöllung auge'm wean, do wiad stott da x- und y-Koordinatn da Betrog r (= |z|) und da Wingl φ auge'm; de Umrechnung eafuigd aas geometrischn Iwalegungan:
formula_37
Rechnregln:
Addian und Subtrahian gehd aum oafochsdn in da Real-/Imaginärtäu-Doastöllung (z = x + yi); Muitiplizian, Dividian, Potenzian, Wuazlziahgn und Logarithmian aum gscheidan in da Polardoastöllung (z = r · eiφ).
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formula_43 (es gibd so vü Lösungan, de wiavüüte Wuazl doss ma haum)
formula_44 (es gibd unendli vü Lösungan)
Summe, Produkt, Fakultet, Binominäukoeffizent.
Fiara meahfoche Summe schreibd ma kuaz:
formula_45
Dessöwe gehd aa fia Produkte:
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Waun n a natialiche Zoih is, nocha is de Fakultet vo n:
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Waun a a reelle Zoih und k a natialiche Zoih is, is da Binominäukoeffizent a iwa k fuigndamoßn definiad:
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Analytische Geometrie.
Koordinatn und Punkte.
A jeda Punkt P in da Ebane wiad duach zwoa karthesische Koordinatn bschriebn, des san de Abszissn (x-Koordinatn) und de Ordinatn (y-Koordinatn). De x- und y-Achsn büdn de via Quadrauntn. Bam Polarkoordinatnsystem hosd'n Wingl undn Ohstaund zan Uasprung auge'm. 
Mi'm Pythagoras a² + b² = c² kaunsd da'n Ohstaund zwischn zwoa Punktn aasrechnan, waun de Koordinatn bekaund san.
Grodn.
A Grodn wiad duach an Punkt vo da Grodn und de Steigung bschriam.
"k = (y2 − y1)/(x2 − x1)"
"y − y0 = k (x − x0)"
A Grodn y = kx + d ist parallöö zua y0 = k0x + d, waun k = k0 is. Noamäu drauf is', waun k · k0 = −1
Kroas.
A Kroas is de Menge vo oin Punktn vo ana Ebane, de wos an konstauntn Ohstaund zua am vuagebanan Punkt auf diesa Ebane (dem Middlpunkt M) haum. Da Ohstaund vo de Kroaspunkte zan Middlpunkt is da Radius r. De Gleichung fiaran Kroas mim Middlpunkt M (a, b) laut': (x − a)2 + (y − b)2 = r2.
Ellipsn.
A Ellipsn is a Keglschnitt; se wiad definiad ois de Menge vo oin Punktn vo ana Ebane, fia de de Summan vo de Ohständ zua zwoa gebanan Punktn F1 und F2 (Brennpunkte) gleich is. De Variabln a und b wean ois Hoibachsn vo da Ellipsn bezeichnd. Wauns gleich san, nocha is de Ellipsn a Kroas.
De Staundardfuam vo ana Ellipsn laut':
formula_49
Middlpunkt formula_50, Haptachsn parallöö zua x-Achsn
Hyperbel.
A Hyperbel is definiad ois de Mengan vo oin Punktn vo ana Ebane, fia de de absolute Diffarenz vo de Ohständ zua zwoa gebanan Punktn auf da Haptachsn, den Brennpunktn F1 und F2, konstant gleich 2a is.
De Gleichung vo ana Hyperbl in da easchtn Haptlagn laut' (x-Achsn ois Haptachsn):
formula_51
In da zwoatn Haptlagn (y-Achsn ois Haptachsn):
formula_52
Parabl.
A Parabl is definiad ois de Mengan vo oin Punktn vo ana Ebane, dean Ohstaund zua am speziöön festn Punkt (Brennpunkt) gleich dem zua ana speziöön Grodn (Leitlinian) is.
Oigmoane Fuam vo ana Parabl:
formula_53
Duach de quadrotische Eagänzung kriagsd:
formula_54 midm Scheitl formula_55
Polynome.
A Polynom is a endliche Summe vo Vüfochn vo Potenzn. Ois Grad vom Polynom wiad da häxde Exponent n bezeichnd, fia den doss da Koeffizient anxn ned nui is. De Nuistöön san de Weate vo x, wo da Funktiaunsweat nui is.
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Polynome vom Grod:
Binomische Fuamln:
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Quadrotische Eagänzung:
formula_60
Gleichungan.
A Gleichung is a Ausdruck, wo jede Seitn vom Gleichheitszeichn gleich groß is.
Lineare Gleichungan.
A linare Gleichung muassd so laung umfuaman, bis de Unbekonnte aloa af ana Seitn stähd.
formula_61
Quadrotische Gleichungan.
Quadrotische Gleichungan kaunsd mid Lösungsfuamln oda mid da quadratischn Eagänzung lösn.
De oigmoane Fuam laut':
formula_62   mid formula_63
Da Ausdruck b2 −4ac wiad ois Diskriminante D bezeichnd.
Lösungan:
formula_64   fois formula_65
formula_66   fois formula_67
koa reelle Lösung fois formula_68
Kubische und hähare Gleichungan.
Kubische Gleichungan haum drei Lösungan, wo mindestns ane reell is. De beidn aundan san entweda beide reell oda beide komplex. Ma kauns mid da Cardanischen Fuaml lösn. Fia Gleichungan, de häha wia da viate Grod san, gibds koa oigmoane Lösungsfuaml, de wos nua mid de via Grundrechnoaten und'm Wuazlziagn aaskummd.
Wurzlgleichungan.
Waunst de Variable unta da Wurzl stehn hosd, is des a Wuazlgleichung. Ois easchtas isoliasd oa Wurzl und potenziasd daun mim Wuazlexponentn, so doss wecka foid. Dessöwe mochsd ba de aundan Wuazln. Wäu potenzian koa Äquivalentumfuamung ned is, muassd nocha no a Probm mochn.
Gleichungan mid Obsolutweatn.
In obsolutn Betrog vo ana reelln Zoih eahöötsd duach Weglossn vo an Vuazeichn. Waun Q a beliebiga Ausdruck und A ≥ 0 is, daun is de Gleichung |Q| = A äquivalent zua Q = ±A. Dassdn Obsolutweat vo ana Gleichung löst, muassd de Gleichung in Q = A und Q = −A auftäun.
Ungleichungan.
Lösn vo ana Ungleichung hoassd, dossd olle Weate findn muassd, de wos de Ungleichung eafüün. Im Gegnsotz zu Gleichungan kennan des aa unendli vü sei:
Fuaman vo Ungleichungan:
Funktionan.
A Funktiaun is a Beziehung zwischn zwoa Mengan, de jedm x vo da Definitionsmenge a y aas da Buidmenge zuauadnd. A Funktiaun kau duach de Funktiaunsgleichung, a Zuauadnungsvuaschrift oda a Weatetaböön bschriam wean.
Operationan:
Exponentiäufunktiaun.
A Exponentiäufunktiaun is a Funktiaun in da Fuam f(x) = a^x; x ∈ R mid da reelln Basis a &gt; 0. De Exponentiäufunktiaun mid da eulerschen Zoih e = 2,718281... ois Basis is de e-Funktiaun.
Trigonometrische Funktiaun.
De wichtigstn Winglfunktiaunan san da Sinus, da Cosinus und da Tangens, sowia de Keahweate dovo - da Cosektans, Sektans und Cotangens.
formula_69
Waunst da den Wingl aasrechnan wüüst, brauchsd de Umkeahfunktiaun (Arkusfunktiaun).
A poa grundlegande Regln:
A vulla Kroas (360°) entsprechn 2π. Da Wingl θ in Grad is gleichm Wingl (π/180)θ in Radiant. Da Wingl θ in Radiant is gleich'm Wingl (180/π)θ in Grod.
"f(x) = A cos(B (x − φ)) + D"
Vektoan und Matritzn.
Vektoan.
A Vektoa is a grichtde Gressn („a Pfäu“), dea wos duach an Betrog und a Richtung auge'm wiad. Beispü san: Gschwindigkeit, Kroft, elektrische Föödstärkn, ... 
As Gegntäu davau is a Skalar, des is a ungrichtde Gressn wia Massn, Temperatua, elektrisches Potenziäu, ...
A Vektor wiad mid an kloan Pfäu driwa gschriam, und es wean de Koordinotn in x-, y- und z-Richtung auge'm:
 formula_70.
De Längan vom Vektoa is da Betrog, den kriagsd iwa'n Pythagoras:
 formula_71
 formula_72
formula_73
(a negitiavs Vuazoachn kaunsd dobei ignorian)
Matritzn.
A Matrix is a rechteckige taböönfeamige Aunuadnung vo Elementn.
Matritzn kennan addiad wean, wauns gleich groß san, indemst oafoch jeds Element mim entschprechndn vo da aundan Matrix addiasd.
Beispü:
formula_74
Fia's Muitiplizian vo ana Matrix mid an Skalar wiad jeds Element vo da Matrix mim Skalar muitipliziad, z. B.:
formula_75
Zwoa Matritzn kaunsd noch da fuigndn Fuaml midaranaund muitiplizian:
formula_76
Ois Traunsponiate vo ana formula_77-Matrix formula_78 bezeichnd ma formula_79-Matrix formula_80, oiso waunsd Spoitn und Zäun vatauschd.
De Inverse Matrix is de Keahmatrix, de wos mid da Ausgaungsmatrix muitipliziad de Eihheitsmatrix eagibd:
formula_81
Beispü:
De Inverse vo da Matrix
formula_82
is
formula_83,
wäu güüt:
formula_84.
De Determinantn is a Matrix ois Zoih ausdrückd, des is des schräg iwa Kreiz Rechnan, z. B. vo da Matrix:
 formula_85
is de Determinantn:
 formula_86.