Goidna Schnidd

Da Goidne Schnidd (lat. "sectio aurea", dt. "Goldener Schnitt", engl. "golden ratio") is as Vahejtnis zwischn zwoa Zoin vo grob 1:1,618. In da Kunst, im Design und in da Architektua werd des oft aa ois de ideale Proportion vo zwoaraloa Länga zuaranand ogseng und guit ois da Inbegriff vo Esthetik und Harmonie. Mehra no gibts des Vahejtnis vom goidnan Schnitt aa in da Natua, wora se duach mehrane intressante mathematische Meakmoi auszoachna duad. Gnennd weada aa "stetige Teilung" und geddliche Teilung (lat. "proportio divina").
 formula_1
Oiso hamma firas Vahejdnis vo a zu b (schaug obi)
 formula_2
formula_3
Wei se Winkl kleana wia 180° fiad Owendung ois handlicha daweisn, werd da kleana Winkl Ψ1 Goidna Winkl Ψ gnennt, oiso
formula_4
formula_5   für formula_6 und ois Ofangswerte formula_7   und   formula_8
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946
Aa d jeweis naxte Zoi in dera Foign dahoit ma oisd Summe vo de zwoa voaheagangana. As Vahejdnis vo zwoa nacharanandkemmadn Fibonacci-Zoin gähd fia unendlich gegan Goidnan Schnitt, wos da Johannes Kepler seinazeit aa scho gwisst hod.
Geometrischs.
Vagleich mid ondane Teilungsvahejdnissn.
A Grund fiad Beliabtheit vom Goidnan Schnitt kunnt sei hoha Grad an Irrationalität sei. Des bedeit, dassa se vo olle Vahejdniss zwischn gleanare ganze Zoin, wia 2 : 3 oder 3 : 4, deitlich obhehm duad, wos in am bestimmtn ästhetischen Zammadhang dawinscht sei konn. Kunnt sei, er warad und werd aa vui unbewusst und ohne gscheide Maßkontroin intuitiv gwejhd, um sejchane rationale Längenvahejdniss zum vermeihn.
D´foignde Obbildung vagleicht vaschiadne Rechtecke mid schneidige Seitnvahejtniss in da Umgebung vo Φ. Ogehm werd oiwei as Vahejdnis vo da He zua Broadn und am entsprechadn Zoinfaktor.
Typische Einsotzgebiet (vo links auf rechts):
Konstruktiona mim Ziakl und Lineai.
In da Geometrie gibts Konstruktionsvafoarn fian Goidnan Schnidd, de wo nur mid Ziakl und Lineai auskemman. Fiah´d Teilung vo ana Streck im Vahejdnis vom Goidnan Schnitt gibts recht vui sejchana Vafoarn. Es weand expemplarisch a boar gnennt.
Druhnfuaß (Pentagramm).
As Pentagramm, oans vo des ejdastn magischen Symbole vo da Kuituagschicht, stähd in a bsundas enga Beziahung zum Goidnan Schnidd.
Zu a jäda Streckn und Teistreckn findt se as Gegnstick, des wo mit eahm im Vahejdnis vom Goidnan Schnidd stähd. In da Obbildung han olle drei mögliche Strecknpaare in a blaun Fob (längerne Streckn) und in a orangna Fob (kiazaneh Streckn) markiert. Übas oben gschrimne Vafoarn vo da 'stetigen Teilung" loß´nahse nacharanand erzeugn. Theoretisch kannt mas im vakleanadn Druhnfuaß fortsetzn, wos ma ins innerne Fünfeck zeichnen kannt, und so aa in olle weídahn. Standn de zwoa Streckn im Vahejdnis vo ganze Zoin, miassad des Vafoarn vo da furthgsetztn Subtraktion na amoi Null ergehm und obbrecha. D´Betrachtung vom Druhnfuaß zoagt aba guad, dass´ iat da Foi is.
Fiahn Beweis, dass aa a Goidner Schnitt is, muaß ma seng, dass neba de Streckn, de olle aus Symmetriegründ gleich long sandt, aa CD=CC' guit. Des kimmd daher, dass as Dreieck DCC' zwoa gleiche Winkl hod, wia ma beim Parallelvaschiam vo da Streckn CC' sigt, und desweng gleichschenklig is. Nochm Strohlnsotz guit :
formula_9
Dasetzt ma AC=AB+BC und beacht d´Gleichheit vo de auftredendn Teilstück, so erhoit ma genau d´obige Definitionsgleichung fiahn Goidnen Schnitt.
Goidne Spirale.
A Goidns Rechteck loßt se in a Quadrat und in no a Goidns Rechteck zerlegn. Durch wiadahoide Teilung erhoit ma a Figur, de se in a logarithmische Spirale eizeichnen loßt. Oft werds aa, wie in dera Obbildung, durch a Foign vo Viertlkreise approximiert. Ihr Radius ändert se bei a jäda 90°-Drehung um den Faktor Φ.
De schnecknförmign Kalkheisl vo a bor Tierartn ham a ähnliche Steigung, wia beispielsweise de vom Nautilus. Bei de meistn vo dene Tierartn iss´d Steigung oba ned so steil.
Goidner Schnitt im Ikosaeder.
De 12 Eckn vom Ikosaeder buihn d´Eckn vo drei gleich große, senkrecht zuaranand stehende Rechtecke mid am gemeinsamen Mittlpunkt und mit am Seitnvahejdnis im Goidna Schnitt. D´Anordnung vo dene drei Rechtecke hoaßt aa Goidner-Schnitt-Stui.
Historischs.
Hippasos vo Metapont (um 450 v. Kr.), der am Geheimbund der Pythagoreer oghead hod, is bei seine Studien am Fünfeck oufgfoin, dass as Vahejdnis vo Kontnläng zur Diagonale ned durch ganze Zoin darstellbar war. Des stand im Widerspruch zur Überzeigung vo de Pythagoreer, dass d´Wejd se foiständig durch ganze Zoin bschreim loßn miassad. Ironischerweis homms d´Widerlergung dieser Ansicht agrad in eahne eignen Symbol, dem Druhnfuaß, ghabt. Hippasos hod oiso as Phänomen vo irrationale Zoin anhand da Inkommensurabilität vo Streckn gfundn – dass oiso fiah BC und AD im Buidl vo ohm koa Maß gibt, so dass de zwoa Streckn beide ganzzahlige Vielfache davo wahrn – sowia zwoa Größn, de im Vahejdnis vom Goidnen Schnitt stengand. Unbestätigtn Berichtn zuafoign hodda des oba aa no andane Leid vazejhd und na hammd d´Leid vom Geheimbund eahm zur Strof datränkt.
D´easchte gscheide Beschreibung vom Goidnen Schnitt is vom Euklid (325 – 270 v. Kr.), der auf den bei seine Untersuchungen an de platonischen Körpern – in Seitnflächn zuaranand kongruente regelmäßige Vielecke – und am Fünfeck beziehungsweis am Druhnfuaß draufgstoßn is. Sei Bezeichnung fiah des Teilungsvahejdnis hamms späda ois "proportio habens medium et duo extrema" eideitscht, wos heid "Teilung im inneren und äußeren Vahejdnis" hoaßad"
Späda beschäftigte sich da Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an da Universität vo Perugia in Italien Mathematik glehrt hod, mit Euklids Arbeiten. Er hod d´Streckenteilung "Göttliche Teilung" gruafa, wos se auf Platons Indentifizierung der Schöpfung mit de fünf platonischen Körpern bezog, zu dera ihra Konstruktion da Goidne Schnitt a wichtigs Huifsmittl dorstejhd. Sei gleichnomigs Werk "De Divina Proportione" vo 1509 bstähd aus drei unabhängige Biacha. Bei de easchtn handelts se um a rein mathemitsche Obhandlung, die jedoch koanaloa Bezuag zur Kunst und Architektur heaschtejhd. As zwoate is a kurzs Traktat über d´Schriften des Remers Vitruv ausm 1. Jahrhundert v. Kr. zur Architektur, in dene Vitruv – a rämischa Architekt, Ingenieur und Schriftstella – d´Proportionen des menschlichen Körpers ois Vorlage fiah Architektur dorstejhd. Des Biache enthoidt a Studie vo Leonardo da Vinci (1451–1519) übern virtruvischn Menschn. As Vahejdnis da Quadratseitn zum Kreisradius in dem berühmtn Buidl is mit a 1,7%-tigen Abweichung da Goidne Schnitt, der in dem Biacha, des wo dazuaghead, gor ned erwähnt werd. Aa daad ma de Abweichung bei am konstruktiven Verfohrn ned erwartn.
In Obhandlungen vaschiana Autorn im 19. Joarhundert, bsunders vom Philosophen Adolf Zeising (Lit.: Zeising, 1854) san de zwoa Schriftn zua Thesn zamgfügt worn, Pacioli häd in da "De Divina Proportione" in Zammorbat min Leonardo da Vinci an Zammadhang zwischn Kunst in am Goidnen Schnitt heagstejhd und na sei Wiadaentdeckung fiah´d Molerei vo da Renaissance gründt. Zeising is vo da Existenz von am Naturgsetz da Ästhetik überzeigt gwehn, vom dem d´Basis da Goidne Schnitt häd sei miassn. Er hod gsuacht und aa überroin an Goidnen Schnitt gfundn. Seine Schriftn hom se nachad rasch verbreit und a gscheide Euphorie ausglöst. Ondraseits zaogt a Literatuaanalyse, dass vorm Zeising neamands in de Werke der Antikn oder da Renaissance an Goidnen Schnitt z´kenna glaabt hod. Deraloa Fund´ hand oiso heidzdog umstrittn.
D´Bezeichnung "Goidner Schnitt" is easchtmois 1835, oiso nur wenige Joar dafiah, vo Martin Ohm (1792–1872; Bruada vo Georg Simon Ohm) in am Lehrbiache da Mathematik verwendt worn (Lit.: Ohm, 1835). Aa des mit dera 'sectio aurea" kimmd vo dera Zeit.
Gustav Theodor Fechner, a Begründer da experimentelln Psychologie, hod 1876 bei Untersuchungen mid Versuachspersona anhand vo Rechteck´ agrad a Präferenz fiahn Goidnen Schnitt festgstejhd (Lit.: Fechner, 1876). D´Ergebniss´ der Strecknteilung und bei Ellipsn hand oba andeascht ausgfoin und neizeitliche Untersuchungen zoagn, dass as Ergebnis vo sejchane Experimente stark aa vom Kontext der Dorbietung obhängt. Fechner hod bei Vamessungen vo Buidln in vaschiane Museen Europas aa no gseng, dass d´Seitnvahejdniss im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 btrogn und se damit deitlich vom Goidnen Schnitt unterschein.
Onfang vom 20. Joarhundert warn d´Schriftn vom Rumänen Matila Costiescu Ghyka (1927) zum Goidnen Schnitt aktuell, de wo den religiösen Askept vo Pacioli mihm ästhetischn vo Zeising vabundn hom. Fiah eahm war da Goidne Schnitt as fundamentale Gheimnis des Universums und hod dazu vor ollem Beispui aus da Natur brocht.
Am End´ vom 20. Joarhundert hod d´Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mid röntgenanalytische Vafoarn unta da Forb vo Originalgmejdter, de angeblich an Goidnen Schnitt enthoitn, vergeblich noch deraloa Markierungen oder Konstruktionsspuren gsuacht (Lit.: Neveux, 1995).
Architektua.
Friae Hiiweis aufd vermuatlich unbewusste Vawendung vom Goidnan Schnidd hand aus da Architektua bekonnt. D´Schriften vom griachischn Gschichtsschreiba Herodot zua Cheops-Pyramidn wean diamoi in dea Richtung ausglegt, dass d´Heh vo da Seitnflächn zua Hejftn da Basiskontn im Vahejdnis vom Goidnan Schnidd standad. Agrad de Textstej, de wo do dazuaghean dad, loßt se oba niat eindeitig auslegn. Ondraseits wead aa d´Thesn vatredn, dass as Vahejdnis 2:π fia Pyramidnheh zua Basiskontn de tatsächlichn Moße no bessa wiadaspiaglad. Da Unterschied vo dene zwoa Thesn is 1,0 Promille – oiso ned vui.
Vui Weak aus da griachischn Antikn wean ois Beispui fiad Vawendung vom Goidnan Schnidd ogseng wia d´Vordafront vom 447–432 v. Kr. untam Perikles aufgstejhdn Parthenon-Tempel auf da Athener Akropolis heromad. Iatz hand´ zua dene oba koane Pläne ibaliafad und ma woaß ned, obs de Proportionan duach Zuafoi oda bewusst so gwejhd hom.
Oa in spädane Epochn gibts mehrane Beispui fia goidne Proportionan, wia beispuisweis da Dom vo Florenz, d´Notre Dame in Paris oda d´Torhalle in Lorsch (770 n. Kr.)
Es gibt oba koan empirischn Nochweis fiah a signifikant greßane Haifigkeit vom Goidnan Schnidd in dene Epochn ois wia bei ondane Teilungsvahejdnisse. Ebenso fejhn historische Beleg´ fiah a obsichtliche Vawendung vom Goidnan Schnidd.
Da Architekt und Mola Le Corbusier (1887–1965) hod, basiarend auf de menschlichn Moßn und am Goidnan Schnidd, ab 1940 a eiheitlichs Moßsystem entwicklt. In seina Schrift "Der Modulor" (1949), de wo zu de bedeitendstn Schriftn vo da Architektuagtheorie ghead, hoda des vaeffntlicht. Scho 1934 is eahm fiad Owendung vo mathematischn Ordnungsprinzipien vo da Universitet Zürich da Titl "doctor honoris causa" vo de mathematischn Wissnschoftn valiahn worn.
Kunst.
Inwiaweid d´Vawendung vom Goidnan Schnitt in da Kunst za bsundas ästehtische Ergniss fiaht, is letztlich a Frog vo da jeweis herrschadn Kunstauffossung. Fiah d´generelle Thesn, dass de Proportion bsundas osprechad und harmonisch empfundn wead, gibts koane gschichtlichn Belege. Vui Kinstla setztnd an Goidnan Schnitt bewusst ei, bei vui Weakn hand d´Kunsthistoriker eascht im Nochhinein drauf gstoßn. De Befund han olladings ongsichts vo de Haufa an Kandidaten fian Goidnan Schnitt, wia mas in am reich vaziahdn Gmejdt´ findn ko, oft umstrittn.
So wean an Haufa Skuiptuan vo griachischn Buidhauan, wia beispuisweis de Skuiptua Apollo von Belvedere, de wo am Leochares (uma 325 v. Kr.) zuagschrim wead, oda de Weake vo Phidias (5. Jhd. v. Kr.) ois Beispui fiad Verwendung vom Goidnan Schnitt ogseng. Aufn letztan beziagt se aa de heid ibliche Bezoachnung Φ fia an Goidnan Schnitt, de wo vom amerikanischn Mathematiker Mark Barr eigfiaht worn is. De emfois vawendte Bezoachnung τ beziagt se dagegn aufs griachische Woat "tome" fia "Schnitt".
Da Goidne Schnitt werd aa in fui Gmejdter da Renaissance vermuat´, wia bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, zum Beispui bei Dürers Sejbstbuidnis 1500 und seim Kupferstich Melancolia I vo 1514.
Kinstla vo da Neizeid, de an Goidnan Schnitt bewusst eisetztand han beispuisweis Mondrian, Paul Signac und Georges Seurat, Herge odraa de Kinstla vo da Section d'Or.
Aa in da Fotografie werd da Goidne Schnitt zua Buidgstaltung eigsetzt, wia beispuisweis vom franzäsischn Fotograf Henri Cartier-Bresson.
Im Buachdruck is friahras gelegentlich d´Nutzflächn vo a Seitn, da sognennde Satzspiegel, so positioniert, dass as Vahejdnis vom Bundsteg zum Kopfsteg zum Außensteg zum Fuaßsteg se wia 2:3:5:8 vahoidt. De Wahl wo dene Fibonacci-Zoin approximiert an Goidnen Schnitt.
Künstla und Hondwerka ham im 19. Joarhundert zua Konstruktion beziahungsweis zua Überprüfung vom Goidnen Schnitt oft aa an "Goidnen Zirkel" hergnumma, dem wo seine beide Schenkel x-förmig noch ohmad zua am zwoatn Zirkel verlängert gwehn hand´, und dem seine Schenkellängen so gwejhd warn, dass as Vahejdnis da beidn Obschnitt´ an Goidnen Schnitt buidt hod. Andane Instrumenter ham d´Form von am Storchschnabel ghabt.
Literatua.
Historische Literatua.
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