Tek anakütle ortalaması için parametrik hipotez sınaması

Tek anakütle ortalaması için parametrik hipotez sınaması veya tek-örneklem için sınama veya μ için sınama, bir rastgele örneklem ortalaması ile bu örneklemin çekilmiş olduğunu düşündüğümüz anakütlenin μ ile belirtilen "anakütle ortalaması" hakkında bir hipotez değeri belirtilmesinin anlamlı olup olmadığını araştırmamızı sağlayan parametrik hipotez sınamasıdır.Bir anakütleden basit olasılık örnekleme yöntemi kullanarak "n" örneklem büyüklüğü olan bir rastgele örneklem ele geçirilir; istenilen değerler ölçülür ve  (x bar diye okunur) değerindeki örneklem ortalaması bulunur. Hipotez sınaması yönteminde araştırma hedefi bu örneklemin söz konusu anakütleden çekilmiş olup olamayacağını ya da kaynağı olan anakütleden çekilmiş olabilmesinin olasılığının ne olabileceğini ortaya koymaktır.Alçı dolum makinemiz μo=20 kg ortalama ağırlıklı alçı dolumu yaparken arıza yapar. Tamirci getirip tamir ettiririz. Acaba yine μo=20kglık dolum yapabilecek mi?40 torba basit rastgele örnekleme yöntemine göre seçilip bu 40 alçı torbası ağırlıkları şöyle ölçülmüştür:Örneklem büyüklüğü : n = 40 torba Örneklem ortalaması :  = 21,4 kg Örneklem standart sapması: s' = 3,2 kg-Dolum için anakütle standart sapması bilinmemekte ama (yanlılık için ayarlama yapılan) örneklem standart sapması (s') anakütle standart sapması σ için iyi bir kestirimdir.Araştırma sorunu tek bir anakütle parametresi, yani anakütle ortalaması , hakkındadır. Bu anakütle ortalama değeri tam olarak bilinmemekte ve belirlenen bir hipotez değerde  (Mü sıfır diye okunur) olduğu varsayılmaktadır. Hipotez testi anakütle ortalamasına verilen değer hakkındadır.İstenilen araştırma sorusunun tayininde en önemli ilk adım, araştırma sorusunun tayininde, istenilen veya istenmeyen alternatifler ile test edilecek parametrenin belirtilen bir değere eşitsizlik şartına bakılmasıdır. Bu eşitsizlik bir "katı eşitsizlik" midir (yani ≠ veya > veya <) yoksa bir eşitliği de ihtiva eden bir "zayıf eşitsizlik" midir (≤ veya ≥)? Araştırma sorusunun ya katı eşitsizliği ihtiva edip etmediğini mantık yürüterek bulmak gerekmektedir.Ör./Verilen alçı doldurma makinesi örnek problemi için belirtilen anakutle ortalama değerinin μ=20 olması gerekir. Biraz mantık yürütürsek, hem doldurma ortalamasının 20 kg'den düşük doluş yapmasının hem de doluşun 20 kg'dan daha fazla olması halinin istenmeyen sonuçlar olduğunu kabul edebiliriz. Eğer anakütle ortalaması 20 kg değilse, makine isteğe uygun tamir edilmemiştir; yani araştırma sorusu "katı eşitsizlik" (yani ≠) ihtiva eder."Sıfır hipotez" (notasyona göre Ho) değerinin oluşturması için hiç problem yoktur. Her türlü parametrik sınamada ve özellikle μ için sınamada, sıfır hipoteze göre μ mutlaka belirtilen parametre değerine (μo) eşit olur:Fakat karşıt hipotez veya alternatif hipotez (notasyona göre H1) oluşturulması biraz karmaşık olabilir. Karşıt hipotez problemin istediği araştırma sorusu ile ortaya çıkar. Parametrik sınamada karsit hipotezin mutlaka uyduğu bir prensip vardır. Bu prensipKarşıt hipotezin ya "eşit değil (≠)" ya "daha düşük değerde (<)" ya da "daha yüksek değerde (>)" olması gerekir. Bunlardan hangisi olacağı önemlidir; çünkü istatistiksel sınamada reddetme bölgesinin nerede olacağı bu karşıt hipotez eşitsizlik şekline dayanır.Problemin ve araştırma sorusunun tanınması icin ilk yapılacak, istenilen araştırma sorusunun parametrenin belirtilen değere eşit olması şartı ihtiva edip etmediğini tayin etmektir. Araştırma sorusu eşitsizliği ya eşitliği ihtiva eder ya ihtiva etmez ve bu gerçekten ayrı şekillerde karşıt hipotez ortaya çıkar. Bu alternatifleri bir sıraya koyalım ve her alternatifin örnek problemde nasıl ifade edileceğini gösterelim:1. Eğer araştırma sorusu eşitlik ihtiva etmekteyse: Bu halde probleme çözüm, sıfır hipotezin kabul edilmesi ve karşıt hipotezin ret edilmesi ile verilecektir. Karşıt hipotez istenilen araştırma sorunun aksi işaretli olacaktır. Üç alternatif bulunabilir:Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kg midir yani μo=20kg ?" Bu halde araştırma sorusunun aksi işaretli karşıt hipotez μo≠20 kg olur yani hipotezler(1.b.) Araştırma sorusunda anakütle ortalamasının belirtilen değere eşit veya daha küçük olduğu araştırılmakta ise:Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması, 20kg veya daha aşağı değer de midir yani μo≤20kg ?" olur. Aksi işaretli karşıt hipotez bu halde μo>20 kg olur; yani hipotezler şunlardır:(1.c.) Araştırma sorusunda anakütle ortalamasının belirtilen değere eşit veya daha büyük olduğu araştırılmakta ise:Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kg veya daha yüksek değer de midir yani μo≥20kg ?" Bu halde araştırma sorusuna aksi işaretli karşıt hipotez μo<20 kg olur yani hipotezlerBu halde probleme çözüm sıfır hipotezin ret edilmesi ve karşıt hipotezin kabul edilmesi ile verilecektir. Karşıt hipotez istenilen araştırma sorunun ayni işaretli olacaktır. Üç alternatif bulunabilir:Örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kg değil midir yani μo≠20kg ?" Bu halde araştırma sorusuna ayni işaretli karşıt hipotez μo≠20 kg olur yani hipotezler(2.b.) Araştırma sorusu anakütle ortalamasının belirtilen değerden daha küçük olduğu araştırılmakta ise:Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kgdan daha aşağı değer de midir yani μo<20kg ?" Ayni işaretli karşıt hipotez bu halde μo<20 kg olur; yani hipotezler(2.c.) Araştırma sorusu anakütle ortalamasının belirtilen değerden daha büyük olduğu araştırılmakta ise:Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kgdan daha yüksek değer de midir yani μo>20kg ?" Bu halde araştırma sorusuna ayni işaretli karşıt hipotez μo>20 kg olur yani hipotezlerKarşıt hipotez için hem ortalama 20 kg'den düşük hem de 20 kg'dan daha fazla dolum istenmeyen sonuçlar olduğu için karşıt hipotez anakütle ortalamasının 20 olmamasıdır; yaniHipotez sınaması problemi için değişkenin dağılımı ve örneklem hacminin büyüklüğü, örnekleme dağılımı ve örnekleme dağılımı için kullanılması gereken olasılık dağılımını tespit etmek için kullanılır. Üç alternatif bulunur:1. Anakütlenin normal dağılım gösterdiği bilinir veya bilindiği kabul edilir. Anakütle normal dağılım gösterirse örneklem hacmi ne olursa olsun (büyük veya küçük fark etmeden) örneklem ortalamasının örnekleme dağılımının normal dağılım olduğu; örnekleme dağılımının örnekleme ortalamasının belirtilen anakütle dağılımına yani;ve standart hatası (yani örneklem ortalamasının örnekleme dağılımının standart sapmasının ya verilen anakütle standart sapmasının veya kestirim anakütle standart sapmasının örneklem hacmi karesine bölünmesi) şu olur;2. Anakütlenin normal dağılım gösterdiği bilinmez ve bu varsayım olarak da kabul edilmez. Bu halde iki alternatif bulunmaktadır:(2.a.) Basit rastgele örneklem yöntemini göre elde edilmiş n ile ifade edilen örneklem büyüklüğü büyüktür. Bu büyük örneklem hacmi pratikte örneklem veri sayısının 30'dan büyük olması yaniolarak kabul edilir. Bu halde örneklem ortalaması dağılımı için merkezsel limit teoremi uygulanabilir ve örnekleme dağılımı yaklaşık olarakörneklem standart hatalı bir normal dağılım ile belirlenir. Bu halde örnekleme ortalamasının z-değeri, kritik değer, şöyle bulunur:dağılımı]] uygundur ve bu dağılımın t-testi adıyla küçük örneklem verileri için tek anakütle ortalaması için hipotez sınaması için kullanılması tavisye edilir. Bu halde hipotez testine t-testi adı verilir. Bu halde örnekleme ortalamasının t-değeri, kritik değer, şöyle bulunur:Bu t-dağılımının tam tespiti için ν veya serbestlik derecesi adlı bir parametrenin bulunması da gerekir. Tek anakütle ortalaması için hipotez test için serbestlik derecesi örneklem hacmi eksi bir olur; yaniÖr./ Verilen pratik alçı doldurma makinesi problemi için anakütlenin normal dağılım göstermesi varsayımı uygun görülebilir. Eğer anakütle için normallik varsayımı yapılmasa bile, örneklem hacmi 40 (yani n>30) olarak büyük olduğu kabul edilir. Ayrıca örneklem standart sapmasının anakütle standart sapması için en iyi kestirim olduğu varsayılır. Bu nedenle örnekleme dağılımı standart hatası şöyle hesaplanır:Ret alanı demek; standart normal dağılım (z-dağılım) veya Student'in t dağılımı (t-dağılımı) eğrisi altında ve ortasında seçtiğimiz (Ho'ın kabul alanı dışında kalan Ho'ın reddedilmesini sağlayan küçük alanlardır. Ret alanı karşıt hipoteze bağlıdır ve üç alternatif şekilde olur:o zaman çift yönlüdür yani z-dağılımı veya t-dağılımı eğrilerinin alt-kuyruğu ve üst kuyruğunda bulunur. Eğer biraz ilerideki açıklanacak anlamlilik seviyesi olan α kullanırsak her iki kuyruk altına kalan alan α/2 olur; iki kuyruktaki ret alanı toplamı α ve ortada bulunan ve kabul alanı 1-α olur.ise, o zaman sol-yönlüdür yani z-dağılımı veya t-dağılımı eğrilerinin üst-kuyruğunda bulunur. Bu kuyruk altına kalan alan ve ret alanı α ve ortada sağda bulunan ve kabul alanı 1-α olur.ise, o zaman sağ-yönlüdür yani z-dağılımı veya t-dağılımı eğrilerinin alt-kuyruğunda bulunur. Bu kuyruk altına kalan alan ve ret alanı α ve ortada solda bulunan ve kabul alanı 1-α olur.Ör./Verilen pratik alçı doldurma makinesi problemi için karşıt hipotez 'H1 : μ ≠ 20 olduğu için ret alanı çift yönlüdür ve hem alt ve hem üst kuyrukta bulunur.Hatasız bir örneklem bulamayacağımız için her testte bir miktar yanılma riskimiz vardır. Bunu 0,05 ; 0,01 ; 0,005 ; 0,0001;... gibi bir seviye olarak benimseyebiliriz. Yanılma payımız küçüldükçe, testin anlamlilik seviyesi de küçülür. O nedenle istatistikçiler olabildiğince az yanılma ile test yapmak isterler. Yine de α =0,05 ve &alfa;=0,01 düzeyleri en çok kullanılanlardır.Burada tek anakutle ortalaması için hipotez sınaması, her turlu parametrik hipotez sınaması gibi, iki alternatif şekilde devem edilebilir: ya '"test istatistiği" bulunur ya da "p-değeri" bulunur.Birinci alternatif, hesapların elle yapılması ve özel standart normal veya Student-t dağılımı tabloları kullanılması için çok uygundur ve eski usulde yapılan analizdir. Bu halde "anlamlılık seviyesi"ne uygun bir z-skor veya t-skoru (yani bu seviyeye tekabül eden normal veya t-eğrileri altındaki alanlar) bulunur. Buna test istatistiği denilir. Buna hedef elde elde edilen kritik değer ile tablodan bulunan test istatistiğini karşılaştırmaktır. Yani bulunacak test istatistiği"Or./Verilen pratik alçı doldurma makinesi problemi için iki-yönlü ret alanı olduğunu bulmuş, z-dağılımının uygun olduğunu tespit etmiş ve anlamlılık seviyesini 0,05 olduğunu kabul etmiştir; böylece "test istatistiği"olur. Bir "standart normal dağılım tablosu"na bakarsak, "test istatistiği"nin değerinin ±1.96 olduğu bulunur.İkinci alternatif, hesapların kompüter kullanılarak yapılması suretiyle ortaya çıkar. Örneğin "Open Office Calc" gibi kutuçizim programları özel olarak NORMAL veya TDIST fonksiyonları için komutaları kullanarak veya "R" özel "istatistik paketi" programlarını kullanarak ters-Z veya ters-t yöntemi ile "p-değeri" bulunur. "P-değeri" kritik değer olan z-değer veya t-değerin, karşıt eğrilerin altında ne kadar alan kapladıklarını yani kritik değer olasılığını (p İngilizce "probabaility" kelimesinden çıkarılmış) bulmaktır. Genel olarak p-değeri hep üst-kuyruk altında kalan alan değerini verir; ama bunun kullanılan "kutuçizim" ve "istatistik paketi" programlarında kontrol edilmesi gerekir çünkü değişik kuyruk değerleri de verildiği görülür. Böylece bu p-olasılığı "anlamlılık seviyesi" olasılığı ile karşılaştırmak hedef alınır.Eğer ret alanı iki-yönlü ise, "kritik değer" pozitif ve negatif iki "test istatistiği" değerleri dışına düşerse;İki-yönlü ret alanı: Kritik değer=2,767. Test istatistiği=±1,96. Kritik değer pozitif +1.96 dışına düşmekte. "Sıfır hipotez" ret edilmelidir ("Karşıt hipotez" kabul edilmelidir.)İki yönlü ret alanı: p-değeri= ...... + alpha/2=±0,025. p-değeri üst +0.025 seviyesinden daha küçüktür. "Sıfır hipotez" ret edilmelidir ("Karşıt hipotez" kabul edilmelidir.)Bu duruma göre: elimizdeki örneklemin ortalaması, problem için anakütlenin ortalamasından çok uzağa düşen bir büyüklüktedir ve Ho hipotezini kabul edilemez. Demek ki, bu makine hatalı dolum yapmakta, ortalaması 20 kg olan dolumlar gerçekleştirememektedir.Genel olarak hipotez sınaması ve güven aralığı değişik matematik ve felsefi önerilere bağlı olarak geliştirilmişlerdir. Bu nedenle bu iki çıkarımsal istatistik yöntemini birbiri ile karıştırmamak ve ikisini ayrı olarak ayrı şekilde kullanmak tavsiye edilmektedir.Fakat yine de bazı istatistik ders kitapları &alpha anlamlılık seviyesine göre iki-yönlü ret alanı bulunan hipotez sınaması problemi çözmekte iken, aralık kestirimi-güven aralığı kavramları kullanarak (1-&alpha) güven seviyeli bir güven aralığı ortaya çıkarmakta; bu güven aralığının alt ve üst sınırlarını sıfır hipotez olarak belirtilen anakütle ortalaması ile karşılaştırmakta ve eğer sıfır hipotez μ değeri güven aralığı alt ve üst değerleri arasında kalırsa sıfır hipotezi kabul etmekte ve dışında kalırsa sıfır hipotezi reddetmektedirler.Bu çeşit bir "çözüm" (eğer çözüm denilirse), bir olasılık ölçüsü olan "anlamlılık seviyesi" (&alpha) kavramı ile bir olasılık ölçüsü olmayan ile (ama yine notasyonla 1-%alpha şeklinde olan) çokluluk seviyesi olan "güven seviyesi" kavramını karıştırmaya dayanmaktadır. Bu kavram karışıklığının yapılmaması çok daha uygun bir tutum ve yaklaşım olacağı gayet açıktır.