Çevre açı

Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta (açının tepe noktası) ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir.Çevre açı teoremi, bir çevre açının ölçüsünü, aynı yayı oluşturan merkezi açının ölçüsü ile ilişkilendirir.Çevre açı teoremi, bir çember içine çizilmiş bir  açısının, çember üzerindeki aynı yaya karşılık gelen (veya aynı yayı gören) merkezi açı 'nın yarısı olduğunu belirtir. Bu nedenle, tepesi çember üzerinde farklı konumlara taşındığında açı değişmez.Şekilde görüldüğü gibi  bir çemberin merkezi olsun. Çember üzerinde iki nokta seçelim ve bunlara  ve  diyelim.  doğrusunu çizelim ve 'yu geçecek şekilde uzatalım, böylece  noktasının çapa göre zıttı olan  noktasında çemberle kesişir. Tepe noktası  olan ve kenarları  ve  noktalarından geçen bir açı çizelim.doğrusunu çizelim. Açı , bir merkez açıdır; buna  diyelim.  ve  çizgilerinin her ikisi de çemberin yarıçaplarıdır, bu nedenle eşit uzunluklara sahiptirler. Bu nedenle,  üçgeni ikizkenardır, öyle ise  açısı (çevre açı) ve  açısı eşittir; her birini  olarak gösterelim.ve  açıları bütünlerdir. 'dan geçen  çizgisi düz bir doğru olana kadar toplamları 'ye kadar artar. Bu nedenle,  açısının ölçüsü olarak  alınabilir.Merkezi  noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta ,  ve  alalım.  ve  doğrularını çizelim:  açısı, bir çevre açıdır. Şimdi  doğrusunu çizelim ve onu  noktasında çemberle kesişecek şekilde  noktasını geçecek şekilde uzatalım.  açısı, çember üzerindeki  yayını görür.Bu yayın, içinde  noktasını içerdiğini varsayalım.  noktası,  noktasının çapa göre karşısıdır.  ve  açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.Birinci bölümden biliyoruz ki  ve 'dir. Bu sonuçların denklem (2) ile birleştirilmesi aşağıdaki sonucu verir:Önceki durum, çevre açının ölçüsünün, bu ispatın ilk bölümünde tartışıldığı gibi iki çevre açı arasındaki fark olduğu durumu kapsayacak şekilde genişletilebilir.Merkezi  noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta ,  ve  seçilsin.  ve  doğrularını çizelim:  açısı, bir çevre açıdır. Şimdi  doğrusunu çizelim ve  noktasında çemberle kesişecek ve  noktasını geçecek şekilde uzatalım.  açısı, çember üzerindeki  yayını görür.Bu yayın, içinde  noktasını içermediğini varsayalım.  noktası,  noktasının çapa göre zıttıdır.  ve  açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.Benzer bir argümana göre, bir kiriş ile onun kesişme noktalarından birinde teğet doğrusu arasındaki açı, kirişin kapsadığı merkezi açının yarısına eşittir. Ayrıca bkz. Çemberlere teğet doğrular.Çevre açı teoremi, düzlemin temel Öklid geometrisinin birçok ispatında kullanılır. Teoremin özel bir durumu, bir çapın kapsadığı açının her zaman , yani bir dik açı olduğunu belirten Thales teoremidir. Teoremin bir sonucu olarak, kirişler dörtgeninin zıt açılarının toplamı 'dir ve tersine, bunun doğru olduğu herhangi bir dörtgen bir çember içerisine çizilebilir. Başka bir örnek olarak, çevre açı teoremi, bir çembere göre bir noktanın kuvveti ile ilgili birkaç teorem için temel oluşturur. Dahası, iki kiriş bir çember içinde kesiştiğinde, parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu kanıtlamaya izin verir.Çevre açı teoremleri elipsler, hiperboller ve paraboller için de mevcuttur. Temel farklar, bir açının ölçümleridir. (Bir açı, bir çift kesişen çizgi olarak kabul edilir.)