Tetrasyon

Matematikte, tetrasyon (hiper-4 olarak da bilinir), üslü sayıdan sonra gelen ilk aşırı işlecin tekrarlı üssüdür. Tetrasyonun İngilizce karşılığı olan tetration kelimesi ilk kez matematikçi Reuben Louis Goodstein tarafından, tetra- (dört) ve iteration (tekrar)dan türetilerek kullanılmaya başlandı. Tetrasyon çok büyük sayıların gösterimi için kullanıldı. Fakat birkaç pratik uygulaması vardır. Bu yüzden sadece saf matematik incelenir.genellikle temel işlemlerden birini ifade eder. Fakat doğal sayılar gibi özel durumlar için kendine n kere eklenen a olabilir.buradaki her bir işlem, bir öncekinin tekrarı şeklinde tanımlanır. Tetrasyonunu bu işlemlerden ayıran özellik, ilk üçü, (toplama, çarpma ve üs alma) n nin karmaşık değerler ile genelleşmesiyken, tetrasyonun henüz keşfedilen düzenli bir genelleştirilmesi yoktur ve tetrasyon, bir temel fonksiyon olarak nitelendirilmez.Toplama (a + n), en temel işlemdir. Çarpma (an) da temel fonksiyondur. Tetrasyon (), n nin a tane kuvvetini içeren bir dizi olarak düşünülebilir. a değişkeni ilerleyen bölümlerde temel değişken olarak adlandırılırken n değişkeni de yükseklik değişkeni olarak adlandırılacak (integral ilk yaklaşımdır, fakat kesirli olarak genelleştirilebilir, gerçel ve karmaşık yükseklik gibi).Tanımdan da görüldüğü üzere, tetrasyon "üslü kuvvet" olarak hesaplandığında üs, öncelikle en derin seviyede alınır (gösterimdeki en yüksek derece) Diğer ifadeyle:Tetrasyon için birçok terim ve her birinin kullanımı için mantıksal düşünceler vardır. Fakat bazıları, birçok nedenden dolayı yaygınlık kazanamadı. Burada birkaçından bahsedilecektir.Hyperpower (aşırı kuvvet), hyper (aşırı) ve power (kuvvet) kelimelerinin birleşimidir ve tetrasyonun uygun şekilde açıklar.Tetrasyon birbirine yakın ilişkiye sahip fonksiyon ve ifadelerle genellikle karıştırılıyor. Bundan dolayıdır ki tetrasyon ile ilgili birçok terim kullanılıyor. Burada birkaçını vereceğiz:İlk iki ifadede a, tabandır. Kez (kere) sayısı olan diğer a, yükseklikdir. Üçüncü ifadede n, yüksekliktir, fakat her birinin tabanı farklıdır.|Maurer [1901] ve Goodstein [1947] tarafından kullanıldı; Rudy Rucker kitabı olan Sonsuzluk ve zihin, bu gösterimi popüler yaptı.|2 sayısının artırarak genişlemeyi sağlar (yukarıdakinin genişlemesiyle eşdeğerdir). Ayrıca, dizi genişletilerek daha da güçlenir.|Okların sayısını arttırarak süper kuvvetler ve süper üslü fonksiyonları sağlar. Bu gösterim büyük sayılarda kullanılır.Aşağıdaki tablodaki çoğu değerler, bilimsel gösterimde yazmak çok zordur. Bundan dolayı tekrarlı üstel gösterim onları 10 tabanında ifade etti. Değerlerdeki ondalık nokta yaklaşıktır.Lineer yaklaşımı (süreklilik isteğinin çözümüe, differensiyellenebilirlik yaklaşımı) şöyle elde edilir:doğal tetrasyon fonksiyonundaki lineer yaklaşımı sürekli olarak türevlenebilir. Fakat ikinci türevi, argümanının tam sayısında bulunmaz. Hooshmand, onun için de söyle bir eşsiz teorem türetti:Buradaki ispat bir öncekine çok benzer. Özyineleme eşitliği,  olduğunu sağlar ve yakınsaklık şartı (-1, 0)'de  fonksiyonunun lineer olduğunu ifade eder.Bundan dolayı doğal tetrasyondaki lineer yaklaşımı, sadece  eşitliğinin çözümüdür ve , 'de yakınsaktır. Diğer tüm uygun türevlenebilir çözümlerin (-1, 0) aralığında bir büküm noktası olması gerekir.Bu ifade tüm  için türevlenebilir. Faka iki kez türevlenemez. Eğer  ise bu, lineer yaklaşım gibidir.üs ifadesi sürekli olarak tanımlanmaz.  tetrasyonu da, daha önceki formüle göre iyi tanımlanmaz. Yine de  şöyle tanımlanabilir:Karmaşık sayılar kuvvetlerle arttarken, tetrasyon,  formunun tabanlarında uygulanabilir. Buradaki , -1'in kareköküdür. Örneğin,  () tetrasyonu, doğal logaritma prensibi kullanılarak ifade edilebilir. Euler formülünü kullanarak şöyle bir ilişki elde edebiliriz:Önceki bölümle ters ilişkiyi çözme, n nin negatif değerli beklenen  ve 'ı sağlar. Bunun için sanal eksene sonsuz sonuç verilir.Tetrasyon sonsuz yüksekliklere genişletilebilir ('deki n). Örneğin,  ifadesi 2'ye yakınsar, bundan dolayı "2'ye eşittir" denir. 2'ye doğru gidiş, küçük sonlu kuleyi hesaplayarak görülebilir:Genellikle  sonsuz kuvvet kulesi, 'in limiti (sınırı) olarak tanımlanır. Burada n e−e ≤ x ≤ e1/e için sonsuzluğa gider.Burada, genişleme tetrasyonunun genel problemlerinin çözümü için 'nin reel veya karmaşık değerlerinde, yaygın olarak kullanılan kabul edilmiş bir çözüm yoktur. Çeşitli yaklaşımlar aşağıdaki gösteriliyor.Genelde problem, a > 0 ve,  değerleri için  gibi bir süper üstel fonksiyon bulunuyor ki bu da yeterince tatminkârdır.Dördüncü koşul kişiden kişiye ve yaklaşımlara göre değişirr. Tetrasyonunu gerçel yüksekliklere genişletmek için iki ana yaklaşım vardır. Birincisi uygunluk koşulu, diğeri de türevlenebilirlik koşuludur. Bu iki yaklaşım, birbirleriyle tutarsız sonuçlar üretmesi, onların çok farklı olduğunu gösterdi.Neyse ki, bir uzunluğun içindekilerden biri, tüm pozitif reel sayılar için genişletilebilir. Bir içsel uzunluk için  tanımlıysa, tam fonksiyon tüm  için geçerlidir.Şöyle bir konjektür vardır:  eşitliğinin çözümü için eşsiz bir F fonksiyonu vardır ve ek F(0)=1 ve F(z) yaklaşımlarını sağlar. Bu fonksiyon sağdaki şekilde görülüyor.Tetrasyonun Ters fonksiyonları genellikle süper kök ve süper logaritma olarak adlandırılır. 'in süper kökün karesi olan , Lambert W fonksiyonu ile şöyle ifade edilebilir:Her n > tam sayıları için nx şeklinde fonksiyon vardır ve bu fonksiyon x ≥  için artarak 1=n1 = eşitliği elde edilir. Böylece x in n. süper kökü x ≥ 1 için elde edilir.Yine de, eğer yukarıdaki lineer yaklaşım kullanılır ve -1≤y≤0 şart sağlanırsa, 1= yx = y + 1 olur. Böylece 1=ysroot(y + 1) elde edilemez.İnfra logaritma fonksiyonu, ultra üstel fonksiyonun iki katıdır ve  şeklinde ifade edilir. Eğer  ise  fonksiyonunun tersi olur.Süper kök, tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper kök ve süper logaritma. Süper kök, tetrasyonun tabanını ifade eden ters fonksiyonudur: eğer  ise y de x in n. süper kökü olur.2. sıra süper kök veya "süper kare kök" is noteworthy for its simple expression in terms of Lambert W fonksiyonunda terimlerinin basit ifadesi için önemlidir. İfadesi;Fonksiyon her ne kadar süper karenin karşıtı olarak tanımlanmış olsa bile, sonsuz üstelin de karşıtıdır. Sonsuz n.kökte şöyledir;Eğer bir sayının süper kare kökü tam sayı değilse, o irrasyoneldir. Fakat bununla ilgili herhangi bir ispat bilinmiyor.Diğer süper kökler, normal kökle kullanılan aynı tabanda ifade edilebilir: süper küp kökler,  olduğunda y üreten fonksiyon,  olarak ifade edilebilir. 4. süper kök,  olarak ifade edilebilir ve bundan dolayı, n. süper kök, 'dir denilebilir.Tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper logaritma ve süper kök. Süper logaritmayı açıklayan birkaç yol vardır:Bu tanımın sadece tam sayılar verebileceğine ve sadece tam sayı üretebilecek sayıları kabul edebileceğine dikkat edin. Bu tanımın kabul edeceği sayılar  vb. formdadır.Genellikle özel fonksiyonlar, argüman(lar)ın reel değerleri için değil, karmaşık düzlem, diferansiyel ve integral ifadeleri içinde tanımlanır. Slag fonksiyonu için mevcut ifadeler olmadığı için, basit yaklaşımlar şöyle öneriliyor.Verilen bir  Abel fonksiyonunun diğer çözümü herhangi sabit  eklenerek elde edilebilir. Verilen bu süper logaritma  olarak tanımlanır ve üçüncü özelliği üstel fonksiyonun Abel fonksiyonu, eşsiz olarak tanımlanabilmesidir.Tetrasyon olarak , analitik fonksiyon olması husunuda şüphelidir. En azından 'nin bazı değerleri için slogb=sexpb−1 ters fonksiyonu analitik olabilir. Karmaşık z düzlemindeki 'nin davranışı, yukarıdaki şekilde,  durumu için çizilmiştir. slog fonksiyonunun sanal kısmının reel ve tam sayı değerlerinin dereceleri kalın çizgilerle gösteriliyor.Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (2006'dan önce) (A simpler, easier to read review of the next reference)Ioannis Galidakis , On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals  (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two , (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)Ioannis Galidakis,  Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials  (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)Andrew Robbins, Home of Tetration  (An infinitely differentiable extension of tetration to real numbers.)Hans Maurer. "Über die Funktion  für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33-50. (Reference to usage of  from Knobel's paper.)