Fonksiyon

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve bir çok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasında ki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.

Matematiksel tanım 
Fonksiyonun matematiksel yani biçimsel ve kuramsal tanımı şu şekildedir:

 ve  iki küme olmak üzere ve ,  kartezyen çarpımının şu özelliğini sağlayan bir alt kümesi olmak üzere:

Her  için,  ilişkisini sağlayan 

bir tane  elemanı vardır.

Bu durumda  üçlüsüne fonksiyon adı verilir. ,  fonksiyonunun tanım kümesidir,  ise varış (görüntü) kümesidir.

 fonksiyonuna  adı verilirse, verilen bir  için 'nin  ilişkisini sağlayan tek  elemanı  olarak gösterilir. Kimi zaman  yerine  yazıldığı da olur. Yani her  için  olur. Ayrıca  kümesine  fonksiyonunun grafiği adı verilir.

Fonksiyonu matematiksel olarak tanımlamak için bir kural zorunluluğu yoktur. Ama 'nin bir küme olma zorunluluğu vardır.

Eğer  ise  üçlüsünün bir fonksiyon olabilmesi için 'nin boş küme olması gerektiği açıktır, bu durumda bu  üçlüsü boş fonksiyondur.
Çizgileri düşey doğruları hepsi grafiği yalnız bir noktada kestiği için f (x) fonksiyondur.

Örnekler 
 ve  iki küme ise, 'nın her elemanını bir şekilde 'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirilmiştir. Mesela  (gerçel sayılar kümesi),  de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani  olsun. İlişkilendirme de şöyle yapılmalı: 'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirilmiş olsun. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi  olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, mesela -3 sayısı 9'la,  sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte 'dan 'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon  sembolüyle ifade edilir. Verilen örnek için  yazılır.

 yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun.  fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, 'dan 'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden  kümesine giden bir fonksiyondur.

'dan 'ye giden bir  fonksiyonu,  kümesinin her elemanını 'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İleride, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)

Özet olarak, verilmiş bir  fonksiyonu, 'nın her elemanını bir şekilde 'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.

Yukarıdaki örnekte, kural,  olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca  ve  kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile  ve  kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukarıdaki örnek üzerinden gidelim:

Yukarıda  R ve  almış ve fonksiyonu  kuralıyla tanımlanmıştı. Şimdi  yerine  alırsak ve formülü ve  kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen  fonksiyonunu gene  ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır. 'den 'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu mesela  ile gösterilebilir.

Bunun gibi,  kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; mesela  ise, kare alma kuralı 'dan 'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukarıdakilerle karışmasın diye,  ya da  ile değil, bir başka sembolle, mesela  ile gösterilir.

Aynı şekilde 'den 'e giden bir fonksiyon,  ya da  ile değil, mesela  ile gösterilmelidir.

Yukarıda koyu renkle yazılı kelimeler şu nedenle önemlidir: Bir  fonksiyonu,  kümesinin her elemanını 'nin bir elemanına götürür, yani 'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Mesela, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi 'den 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da  (doğal sayılar kümesi) ise,  kuralı, 'dan 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü 'dir ve  olmasına karşın  sayısı 'de değildir. Öte yandan bu  kuralı, 'den tam sayılar kümesi 'ye giden bir fonksiyon tanımlar.

İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir  fonksiyonu, 'nın her elemanını 'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani 'nın aynı elemanı 'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarıda verilen kardeş misali hatırlanmalı.) Mesela  ise, 'nin bir  elemanını  denkleminin  çözümlerine götüremez, çünkü eğer  değilse, bu denklemin R'de iki değişik  çözümü vardır, nitekim  denkleminin çözümleri  ve 'tir. Burada, 'nin 'e mi yoksa 'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir  fonksiyonunda, 'nın her elemanını 'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)

Tanım kümesi ve değer kümesi 

Bir  fonksiyonunda, 'ya tanım kümesi ya da kalkış kümesi denir. 'ye de değer kümesi ya da varış kümesi denir.

Görüntü 

Eğer  ise 'e 'in  altında görüntüsü adı verilir. 'nin

altkümesi  olarak gösterilir ve bu kümeye 'nin görüntü kümesi adı verilir. (Kimi  yerine 'ye görüntü kümesi demeyi yeğliyor ama her zaman görüntü kümesi değer kümesine eşit olmak zorunda değildir.)

Mesela  kuralıyla tanımlanan  (-3,5)  R fonksiyonunun görüntü kümesi  aralığıdır.

Fonksiyon eşitliği 

 ve  fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her  için  olması gerekmektedir. Bu üç şarttan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü şart üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli şart (3) şartıdır. Ardından (1) şartı gelir. (2) şartının gözden kaçtığı olur.

Durağan (sabit) fonksiyonlar 
 ve  iki küme olsun ve  olsun. 'nın her elemanını 'nin bu  elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir.  değerini alan sabit fonksiyonu  olarak gösterirsek, o zaman  fonksiyonu, her  için  kuralıyla tanımlanır. Not:  ve  kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak,  yerine  yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit  fonksiyonu" adı verilir.

Bileşke mümkün olduğunda 'dir. Ama 'dir.

Eğer  ya da 'nin tek bir elemanı varsa, o zaman 'dan 'ye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır.

Boş fonksiyon 
Eğer  ve  ise, 'ye giden bir fonksiyon yoktur.

Eğer  ise,  hangi küme olursa olsun, 'dan 'ye giden bir ve tek fonksiyon vardır: boş fonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.

Özdeşlik fonksiyonu 
Eğer  bir kümeyse, her  için Id kuralıyla tanımlanan Id fonksiyonuna 'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.

Bir fonksiyonun kısıtlanışı 
Eğer  bir fonksiyonsa ve , 'nın bir altkümesiyse, o zaman  fonksiyonunu  altkümesine kısıtlayabiliriz, yani 'nin sadece  kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenilebilir. Bu yeni fonksiyon

olarak yazılır ve bu fonksiyona 'nin 'e kısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer  ise  eşitliği geçerlidir.

Varış kümesini değiştirmek 

Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirilebilir:  bir fonksiyon olsun. , 'nin görüntü kümesi 'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman  tanım kümesini ve  kuralını değiştirmeden yeni bir  fonksiyonu elde edilebilir. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir sembolle gösterilmez.

Fonksiyonların yapıştırılması ya da birleşimi 

 ve  iki fonksiyon olsun.  üzerinde  olan,  üzerinde  olan ve 'den 'ye giden bir  fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer  ise  olmalı. Eğer  ise  olmalı. Ama  olduğunda,  için  ya da  arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer  ise... Bu durumda hangi seçimi yapılırsa yapılsın istediğimiz iki şarttan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her  için , yani  ve  fonksiyonları  kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle . O zaman  fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz:

 eğer  ise

 eğer  ise.

Bu fonksiyona  ve  fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarıda gösterildiği gibi bu fonksiyon  olarak yazılır.

Mesela  fonksiyonu  olarak tanımlanmışsa ve  fonksiyonu  olarak tanımlanmışsa, o zaman  fonksiyonu aynen mutlak değer fonksiyonudur: .

Elbette  ve .

Gene doğal olarak  diye bir fonksiyon varsa  diye bir fonksiyon de vardır ve bu iki fonksiyon birbirine eşittir.

Yukarıdaki yapıştırmayı yapabilmemiz için  ve  fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer  ve  iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların  kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman  üzerinde  olan,  üzerinde  olan bir  fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.

İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli şartlar sağlanıyorsa:  bir fonksiyon ailesi olsun. Ayrıca her  göstergeçleri (endisleri) için  ve  fonksiyonlarının  kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her  ve her  için  eşitliğini sağlayan bir  fonksiyonu,

"eğer  ise "

kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.

Bir fonksiyonun altkümeler kümesinde neden olduğu fonksiyon.  bir fonksiyon olsun. 'nın her  altkümesi için, 'nin  altkümesi şöyle tanımlanır:

.

Bu  yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü 'nın  altkümesi bal gibi de aynı zamanda 'nın bir elemanı olabilir, o zaman  ifadesinin  fonksiyonunun 'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukarıdaki gibi ' nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Mesela,  olsun.  olsun.  fonksiyonu, ,  olarak tanımlansın. Ve son olarak  olsun. , hem 'nın bir elemanı hem de bir alt kümesidir.  eleman olarak görüldüğünde  olur ama altküme olarak görüldüğünde  olur. Belki bu yüzden

tanımı yerine,

tanımını yapmak daha yerinde olur.

Eğer , 'in alt kümeleri kümesiyse, yukarıdaki  kuralı, 'ten 'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu  fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.

Alakalı maddeler 
 Bileşke fonksiyon
 Birebir fonksiyon
 Eşleme
 Eşleşme
 Örten fonksiyon
 Seçim fonksiyonu

Gönderme örnekleri
 Doğal sayılarda bir sayının ardılı bir göndermedir.

 İki değişkenli göndermeler de vardır.

 Verilen sıraya karşılık gelen çift sayıyı söyleyen bağıntı bir göndermedir: f(n)=2n.
 Bir küme üzerinde tanımlı bir ikili işlem, göndermedir: f(x,y)=x+y.
 Diziler birer göndermedir.

 için  yani

Tanım 
A'dan B'ye tanımlı bir gönderme (f), (A,B,F) şeklinde gösterilebilen bir üçlüdür. Burada F, aşağıdaki özelliklere sahip sıralı ikili kümesidir.

Başka bir deyişle, bir bağıntının gönderme olabilmesi için, A kümesindeki herhangi bir ögenin B kümesinden en fazla bir ögeyle eşleşmesi gerekmektedir.

Gönderme, daha soyut matematiksel anlamda bir kümedir ve tanımı şu şekildedir:
 göndermesi için,

buradaki  sembolü y nin biricik olduğunu ifade eder.

Yukarıdaki resmi tanımlama, her zaman kullanışlı olmadığından genelde göndermeler farklı tanımlanır.

En yaygın tanımlama biçimi, örneklerde görüldüğü gibi sağ tarafı girdilere (parametrelere) dayalı formül, sol tarafı göndermenin ve bağımsız girdilerin belirtildiği bir eşitliktir.

Göndermeler aşağıda örnekte görüldüğü gibi parçalı şekilde de tanımlanabilir.

Tümevarımla yakın ilişkisi olan ilginç bir tanımlama biçimi de yinelgedir. Mesela Fibonacci Serisi'nin üretici göndermesi şu şekilde tanımlanabilir.

Böylece 'den 'ye giden bir  fonksiyonu tanımlanır.

Göndermelerin kümesel özellikleri 
 şeklinde tanımlı bir gönderme,
 Birebir ise, A kümesinde tanımlı olduğu her değeri B kümesinden ayrı bir ögeye eşler. Matematiksel olarak; her x1, x2 €A için f(x1)=f(x2) => x1=x2
 İçine ise B kümesinde, eşlenmemiş en az bir değer vardır.
 Örten ise A kümesindeki bütün ögeler için tanımlıdır.
Matematiksel olarak; her y € B için en az bir x€A vardır öyle ki; f(x)=y'dir.

Bilgisayar bilimi ve göndermeler 
Bilgisayarda göndermelere Türkçede genellikle fonksiyon adı verilir.
 Bilgisayar biliminde hesaplanabilir fonksiyonlar, birbirine eşdeğer olan Church ve Turing Tezleri ile incelenir.
 Girdisi ve çıktısı mantıksal (ikili ya da Boolean) olan fonksiyonlar, BDD'ler yardımıyla gösterilebilir.

Kaynakça

Ayrıca bakınız
 Matematiksel fonksiyonların listesi

Temel matematik