Vektör otoregresyon

Vektör otoregresyon (VAR), tek değişkenli AR modellerini genelleştiren, çoklu zaman serileri arasındaki gelişimi ve karşılıklı bağımlılığı veren ekonometrik bir modeldir. Bir VAR'daki tüm değişkenler, modeldeki değişkenin kendi gecikmeleri ve diğer tüm değişkenlerin gecikmelerine bağlı olarak değişkenin gelişimini açıklayarak her bir değişken için bir denklem ile simetrik olarak ele alır. Bu özellik sebebiyle Christopher Sims, ekonomik ilişkilerin tahmininde teoriden bağımsız bir metot olarak VAR modelleri kullanımını, böylelikle yapısal modellerin "inanılmaz tanımlama kısıtlamalarına" bir alternatif olarak destekler.Bir VAR modeli, k değişkenli kümenin (içsel değişkenler)  aynı örnek periyodundaki (t = 1, ..., T) yalnız geçmiş gelişimlerinin lineer fonksiyonu olarak gelişimidir. Değişkenler, k × 1 vektör yt de toplanır(i. eleman yi,t değişken yinin t anındaki gözlemi). Örneğin, i. değişken GDP ise yi,t GDP'nin t deki değeridir.(c: k × 1 sabit vektör(kesişim), Ai k × k matris (her i = 1, ..., p için) ve et:k × 1 hata vektörü aşağıdakileri sağlar:for any non-zero k — zaman karşısında korelasyonsuzdur; özellikle, ferdi hata terimlerinde hiçbir seri korelasyon yoktur.The l-periods back observation yt−l is called the l-th lag of y. Bu yüzden, a p.-mertebe VAR'a bir  p gecikmeli VAR da denir.Kullanılan tüm değişkenlerin aynı integrasyon mertebesinde olmalıdır. Bu yüzden, aşağıdaki durumlar söz konusudur:Değişkenler eşbütünleşik: hata düzeltme terimi, VAR'a katılmalıdır. Model, bir Vektör hata düzeltme modeli (VECM) olur ki, bu model kısıtlı bir VAR olarak görülebilir.Modelde her bir değişken için bir denklem olduğuna dikkat et. Ayrıca, her bir değişkenin o anki (t zamanı) gözleminin, VAR'daki diğer her bir değişkenin gecikmelerinin yanı sıra kendi gecikmelerine bağlı olduğuna dikkat et.p gecikmeli VAR, daima eşdeğer olarak, bağımlı değişkeni uygun biçimde tanımlanmasıyla, 1 gecikmeli VAR olarak yazılabilir. The transformation amounts to merely stacking the lags of the VAR(p) variable in the new VAR(1) dependent variable and appending identities to complete the number of equations.where c0 is a k × 1 vector of constants, Bi is a k × k matrix (for every i = 0, ..., p) and εt is a k × 1 vector of error terms. B0 matrisininana köşegen terimleri  (i. eşitlikteki i. değişkenin katsayıları) 1'e ölçeklenir.Hata terimleri εt (yapısal şoklar) satisfy the conditions (1) - (3) in the definition above, with the particularity that all the elements off the main diagonal of the covariance matrix  are zero. That is, the structural shocks are uncorrelated.B0;1,2≠0 ise y2,t y1,t üzerine eşzamanlı etkili olabilir. Bu, B0 nin birim matris (diagonal dışı tüm elemanları 0 — olduğu durumdan farklıdır, başlangıçtaki tanımdaki durum), y2,t  y1,t+1 ve takip eden gelecek değerleri doğrudan etkileyebileceği, y1,t doğrudan etkileyemez.parametre tanımlama problemi sebebiyle, ordinary least squares estimation of the structural VAR would yield inconsistent parameter estimates. Bu sorun, VAR'ı indirgenmiş formla yeniden yazarak aşılır.Ekonomik bakış açısından, if the joint dynamics of a set of variables can be represented by a VAR model, then the structural form is a depiction of the underlying, "yapısal", ekonomik ilişkiler. Yapısal formun iki özelliği make it the preferred candidate to represent the underlying relations:1. Hata terimleri koreleli değildir. Ekonomik değişkenlerin dinamiklerini tetikleyen yapısal, ekonomik şokların bağımsız olduğu varsayılır (bu varsayım dolayısıyla, istenen bir özellik olarak, hata terimleri arasında 0 korelasyonluluktur). Bu, VAR'daki ekonomik olarak ilişkisiz etkileri ayrıştırmaya yarar. Örneğin, petrol fiyatları şokunun (arz şoku örneği olarak) should be related to a shift in tüketicilerin tercihlerindeki giyim tarzındaki bir değişiklikle ilişkisi olması gerekliliği için hiçbir sebep yoktur(talep şoku örneği olarak); bu yüzden bu etkenlerin istatistiksel olarak bağımsız olduğu beklenebilir.2. Değişkenler, diğer değişkenlere eşzamanlı etkili olabilir. Bu, özellikle düşük frekanslı veri kullanırken özellikle istenen bir özelliktir. Örneğin, dolaylı vergi oranı artışı kararı, kararın alındığı gün, vergi gelirlerini etkilemeyebilecektir ancak yılın ilgili çeyreğindeki veride bir etki olabilir.İndirgenmiş formda, sağdaki tüm değişkenler t zamanında önceden belirlidir. As there are no time t endogenous variables on the right hand side, no variable has a direct contemporaneous effect on other variables in the model.Ancak, indirgenmiş VAR'da hata terimleri are composites of the structural shocks et = B0−1εt. Thus, the occurrence of one structural shock εi,t can potentially lead to the occurrence of shocks in all error terms ej,t, thus creating contemporaneous movement in all endogenous variables. Consequently, the covariance matrix of the reduced VARcan have non-zero off-diagonal elements, böylelikle allowing non-zero correlation between error terms.Bu tahminci consistent ve asymptotically efficient. Ayrıca, koşullu En Çok Olabilirlik Tahmincisi'ne (MLE) eşittir (Hamilton 1994, p 293).Söz konusu açıklayıcı değişkenler aynı olduğundan, çok değişkenli EKK, her bir eşitliğe ayrı ayrı uygulanan Ordinary EKK(OLS) tahmincisine eşittir, Zellner'in (1962) gösterdiği gibi.Walter Enders, Applied Econometric Time Series, 2nd Edition, John Wiley & Sons 2003, ISBN 0-471-23065-0Zellner (1962) An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias.  Journal of the American Statistical Association, Vol. 57, No. 298 (Jun., 1962), pp. 348–368.Hacker, R. S. and Hatemi-J, A. (2008). "Optimal lag-length choice in stable and unstable VAR models under situations of homoscedasticity and ARCH," Journal of Applied Statistics, vol. 35(6), pages 601-615.Hatemi-J A. (2004). "Multivariate tests for autocorrelation in the stable and unstable VAR models," Economic Modelling, Vol. 21(4), Pages 661-683.Hatemi-J A. & R. S. Hacker, (2009). "Can the LR test be helpful in choosing the optimal lag order in the VAR model when information criteria suggest different lag orders?," Applied Economics, vol. 41(9), pages 1121-1125.