Olasılık dağılımı

Bir olasılık dağılımı bir rassal olayın ortaya çıkabilmesi için değerleri ve olasılıkları tanımlar. Değerler olay için mümkün olan tüm sonuçları kapsamalıdır ve olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır. Örneğin, bir rassal olay olarak madeni paranın tek bir defa havaya atılıp yere düşmesi ele alınsın; değerler 'yazı' veya 'tura' veya bunlar isimsel değişken ölçeğinde ifade edilirse 0 (yazı) veya 1 (tura) olur; olasılıklar ise her iki değer için ½ olacaktır. Böylece madeni bir paranın tek bir defa atılma olayı için iki değer ve ilişkili iki olasılık bu rassal olayın olasılık dağılımı olur. Bu dağılım ayrık olasılık dağılımıdır; çünkü sayılabilir şekilde ayrı ayrı sonuçlar ve bunlara bağlı olan pozitif olasılıklar vardır.Bir sürekli olasılık dağılımı değerleri bir sürekli olan açıklıkta tanımlar ve tek bir değer için olasılık sıfıra eşittir. Örneğin bir okçuluk sahasında atılan bir okun hedef tahtasında tek bir noktaya düşmesi olasılığı sıfırdır; çünkü geometri kuramına göre bir noktanın ne eni ne de boyu bulunmaktadır ve hedef üzerindeki varsayılan nokta sonsuz küçüklüktedir. Buna karşılık, atılan okun hedef üzerinde belli bir alana düşmesi olasılığı bulunabilir. Böylece hedefe ok atma olayında hedef tahtasının her bir alanına okun düşme olasılığını tanımlayan bir düzgün fonksiyon olasılık yoğunluk fonksiyonu (ODF), bu olayın olasılık dağılımını tanımlar. Olasılık dağılım fonksiyonun altında kalan alan (yani integrali), hedef tahtasının tümünü (belki de yakınındaki bir duvar parçasını da) kaplayan alanı kapsadığı için, bire eşit olacaktır; çünkü atılan okun mutlaka bir alana gitmesi gerekmektedir.Olasılık dağılımı ve tanımladığı rassal değişkenler matematik biliminin ana bölümünün alt dalları olan olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarının içerdikleri önemli alt bölümleridir. Olasılık dağılımları olasılık incelemesi ve olayların olasılığının tanımlanması için kullanılan modellerdir. Ancak olasılık dağılımlarını kullanmak için matematik işlemler yapılırken ortaya çok önemli matematiksel zorluklar çıkmaktadır; çünkü birçok standart aritmetiksel ve cebirsel işlemlerinin olasılık dağılımları için uygulanması mümkün olmamaktadır.Olasılık kuramına göre, her bir rassal değişkene durum uzayında, bir olasılık dağılımı olarak tanımlanan, bir fonksiyon bağlanmıştır. Bu olasılık fonksiyonu her durum uzayındaki her alt-sete (daha ince tarifle her ölçülebilen alt-sete) olasılık aksiyomlarına uygun olacak bir şekilde, bir olasılık belirlemiştir. Böylelikle olasılık dağılımları olasılık ölçülerinin (örneklem uzayında değil) durum uzayında ifadeleridir. Bir rassal değişken böylece örnek uzayında bir olasılık ölçüsünü, örnek uzayının bir alt-setine durum uzayının ters görüntü olasılığını belirtmek suretiyle tanımlar. Diğer bir ifade ile, bir rassal değişken için olasılık dağılımı, durum uzayında olasılık dağılımını ileriye itme ölçüsüdür.Bir reel doğru üzerinde gösterebilinen bir olasılık dağılımı, Pr, olasılığın yarım-açık olan bir aralıklaEğer bir olasılık dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu ancak aralıklı zıplamalarla artış gösterebiliyorsa, bir ayrık olasılık dağılımı olarak tanımlanır.Bir ayrık rassal değişken için sıfır olasılığı olmayan bütün değerleri kapsayan küme ya sonlu veya sayılabilinir sonsuz küme olur. Çünkü sayılamayan kadar büyük sayıda pozitif sayıların toplamı (ki tüm sonlu bölümsel toplamlar setinin en küçük yukarı sınırı olurlar)  her halde sonsuzluğa doğru uzaklaşma gösterir. Tipik olarak, mümkün değerlerin tümünü kapsayan set topoloji görüş açısından ayrıktır; yani setin bütün noktaları ayrılmış tek nokta halindedir. Fakat şunu da söylemek gerekir ki birkaç ender ayrık rassal değişken için bu türlü sayılabilinir set, reel doğru üzerinde yoğun set olarak bulunur.Ayrık dağılımların niceliksel özellik kazanmaları, bir olasılık kütle fonksiyonunun ifade edilmesi suretiyle yapılır; bu fonksiyon içinde  şu ifadeye uyarBir matematiksel kullanış şekline  göre, bir olasılık dağılımı, eğer yığmalı dağılım fonksiyonu  bir sürekli fonksiyon ise (yani bağlı olduğu rassal değişken X için R içinde tüm x için  Pr[ X = x ] = 0 ise) sürekli olasılık dağılımı olarak tanımlanır.Diğer bir matematiksel kullanış şekline göre sürekli olasılık dağılımı terimi sadece mutlak olarak sürekli dağılımlar için ayrılıklı olarak kullanir. Bu çeşit dağılımlar için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunmakta yani reel sayılar üzerinde bir negatif olmayan Lebesgue integrali bulunan şu   fonksiyonuAyrık dağılımlara ve bazı (bir kısım istatistikçinin kullanışına göre) sürekli olan (özellikle şeytan merdiveni tipte) sürekli dağılımlar için bu fonksiyon uygulanamaz.Bir dağılım için destek,  tamamlayıcı seti sıfır olasılığı olan en küçük kapalı set olarak tanımlanır.İki bağımsız rassal değişkenin olasılık dağılımlarının toplamı, onların her dağılımının konvolüsyonu olarak anılır.İki rassal değişkenin birbirinden çıkarılması ile elde edilen fark için olasılık dağılımı her birinin olasılık dağılımının arasındaki çapraz korelasyon olur.Bir ayrık rassal değişken için olasılık dağılımı ayrık olasılık dağılım olarak anılır ve benzer şekilde sürekli bir rassal değişken için olasılık dağılımı sürekli olasılık dağılımı olur.Olasılık kuramı içinde bazı rassal değişkenler pek çok defa pratikte ortaya çıkmaktadır; buna neden bazı hallerde birçok doğasal veya fiziksel süreçler için kullanılabilmeleri ve diğer hallerde (merkezsel limit teoremi, Poisson limit teoremi veya belleksiz süreçler veya diğer matematiksel özellikleri açıklamak için)  matematiksel kuramların kuruluşu için gerekli olmalarıdır. Bu çeşit özel önemi olan rassal değişkenlerin modelleştirilmesi olasılık dağılım teorisini ortaya çıkartılmasına neden olmuştur.Binom dağılım: Bir seri bağımsız Evet/Hayır (Başarılı/Başarısız) sonuçlu deneylerdeki başarılılık sayısını tanımlar.Bozulmuş dağılım: Sadece x0da bulunur. Burada X mutlaka hiç olasılıksız x0 değeri alır. Bu rassal gibi gözükmez ama matematikte verilen rassal değişken tanımlamasına uygunluk gösterir. Bu dağılım belirli deterministik değişkenler ile rassal değişkenlerinin ayni matematiksel biçimde incelenmesine imkân verir.Ayrık tekdüze dağılım: Bir sonlu set içinde bulunan tüm elemanlar aynı eşit olabilirliktedirler. Bu teorik olarak bir hilesiz madeni para, bir kusursuz zar,  bir kumarhane rulet tekerleği veya iyice karılmış iskambil kâğıtları için uygun olan olasılık dağılımıdır. Kuantum durumları da teorik olarak tekdüze rassal değişken olarak kullanılabilir. Ancak bu mekanik veya fiziksel aletlerin tümü gerçekte yanlı veya pürüzlü veya hatalı veya karışıklık eğimli oldukları için, pratikte görülen hareket ve davranışlar, dolayısıyla tekdüze dağılım, ancak bir yaklaşım olarak bu tip aletlerle uygulanabilmektedir. Bilgisayarların yaygın olarak kullanılması sonucu özel veya genel işlerde kullanılan  bilgisayarlar sözde-rassal-sayı üreticiler olarak kullanılıp ayrık tekdüze rassal değişken sayıları üretilmektedir.Hipergeometrik dağılım: Eğer toplam başarılılık sayısı bilinirse, n tane  bağımsız Evet/Hayir (Başarılı/Başarısız) deneylerde ilk m sayıda başarılılık olasılığını tanımlar.Zipf'in savı  or Zipf dağılımı: Bir ayrık-güç dağılımıdır. En tanınmış örneği İngilizce dilinde bulunan sözcüklerin sıklığını tanımlamada kullanılışıdır.Boltzmann dağılımı: İstatistiksel fizik dalında önemi olan bir ayrık dağılımdır. Bu dağılım termik sıcaklık dengesi bulunan bir sistemin değişik aralıklı enerji seviyelerini tanımlar. Buna analog bir sürekli dağılım da bulunmaktadır. Şu dağılımlar özel halleridir:Geometrik dağılım: Bir seri Evet/Hayır sonuçlu denemelerde birinci başarıyı elde etmek için gerekli deneme sayısının olasılığını açıklar.Negatif binom dağılımı: Geometrik dağılımının genelleştirilmesi olup ninci başarıyı elde etmenin açıklamasıdır.Poisson dağılımı: Belli bir zaman aralığında teker teker, az olabilirlikli olarak ortaya çıkan çok büyük sayıda olayları tanımlar.Skellam dağılımı: İki bağımsız Poisson dağılımı gösteren rassal değişken arasındaki farkın dağılımıdır.Zeta dağılımı Kullanılma alanı genellikle uygulamalı istatistik ve istatistiksel mekanik olup  birkaç teorik istatistikcinin merakını uyandırabilir. Sonsuz sayıda elemanları bulunursa Zipf dağılımına eşittir.Beta dağılımı: Başarı olasılıklarını tahmin etmek için çok kullanışlıdır. Eğer [0,1] aralığında ise tekdüze dağılımı özel bir hal olarak kapsar.Sürekli tekdüze dağılım: [a,b] aralığı için tanımlanmıştır. Bir sonlu aralıkta bulunan tüm noktaların aynı olabilirlilik göstermesi halidir.Dirac delta fonksiyonu kesin tanıma göre bir fonksiyon değildir ve birçok sürekli olasılık fonksiyonlarının sınırlayıcı formu olur. 0 da konsantre edilmiş — bozulmuş dağılım — bir aralıklı dağılımıdır; ama kullanılan notasyon nedeni ile bir sürekli dağılım gibi matematik işlemler uygulanabilir.Kumaraswami dağılımı: Beta dağılımı kadar çok yönlü ve çok kullanışlıdır. Ama hem olasılık yoğunluk fonksiyonu hem de yığmalı yoğunluk fonksiyonu için daha kapalı şekilleri bulunur.Üçgensel dağılımı: [a, b] aralığında tanımlanmıştır. Bir özel hali iki sürekli tekdüze rassal dağılımının birbirine toplamından (yani iki tekdüze dağılımın konvülasyonu olarak) ortaya çıkar.Von Mises-Fisher dağılımı: N-boyutlu bir küre üzerinde tanımlanmıştır. Von Mises dağılımıni bir özel hal olarak kapsar.Ki-kare dağılımı: n sayıda bağımsız Gauss tipi (normal) rassal değişkenin karelerinin toplamıdır. Gamma dağılımınin özel bir halidir. İstatistikte uyum-iyiliği sınamaları için kullanılır.Üstel dağılım, belleksiz olan bir sürecin içindeki birbirini takip eden nadir olayların arasındaki zamanı tanımlar.F-dağılımı, Varyans analizi için kullanılan dağılımdır. İki (normalize edilmiş) ki-kare dağılımlı rassal değişkenin birbirine oranıdır. (Ki-kare gösteren iki değişebilir uygulanmakta iken, eğer serbestlik derecesi ile bölünerek normalize etme işlemi uygulanmazsa, ortaya çıkan sonuca beta prime dağılım adı verilir.)Gamma dağılımı: Belleksiz bir sürec içinde ortaya çıkan, birbirini takip eden nadir olayların ilk defa n kere tekrarlanmasına kadar geçen zamanı tanımlar.Erlang dağılımı: İntegral şekilli parametreli olan gamma dağılımının özel bir şeklidir. Kuyruk sistemlerinde bekleme zamanlarını önceden tahmin etmek için geliştirilmiştir.Log-normal dağılımı: Birçok ufak bağımsız pozitif değişkenin çarpımının maddeleştirmesinde kullanılan değişkenleri tanımlarPareto dağılımı, veya güç kuralı dağılımı. Finansal veriler ve kritik davranış analizi için kullanılır.Rosin Rammler dağılımı - Reel üretimde öğütme, frezeleme ve preseleme işlemlerinde ortaya çıkan parçacıklar için parçacık büyüklük dağılımı konusunu incelemek için kullanılır.Weibull dağılımı, teknik aletlerin ömürlerinin maddeleştirmesinde kullanılır. Üstel dağılım bu dağılımının özel bir halidir.genellikle Lorentz tipi profil olarak anılır ve birçok sayıda sürecin analizi ile ilişkilidir. Bunlar arasında rezonans enerji dağılımı, darbeli ve doğal spectral doğru genişlemesi ve ikinci derece (quadratik) stark doğru genişlemesi sayılabilir.Lévy çarpık alpha-durağan dağılımı: Çok kere finansal verileri ve kritik davranışları nitelendirmek için kullanılır.Normal dağılım: Gauss tipi dağılım veya çan eğrisi olarak da anılır. Doğanın ve istatistiğin   her yanında görülür. Buna neden merkezsel limit teoremidir. Bu teoreme göre birçok sayıda küçük bağımsız değişkenin toplamı olarak modeli kurulabilinen her değişkenin yaklaşık olarak normal  dağılım göstermesidir.Student'in t dağılımı: Gauss tipli anakütlerde bilinmeyen ortalamaların tahmin edilmesi için kullanılır.Voigt dağılımı: Diğer bir adı Voigt profilidir. Bir normal dağılım ile bir Cauchy dağılımı konvolüsyonu sonucudur. Spektroskopide Lorentz tipi ve Doppler genişletici mekanizmalar nedeni ile spektral doğru  profillerinin genişleme göstermesinin analizinde kullanılır.Herhangi bir bağımsız rassal değişken için, birleşik dağılımin olasılık dağılımı, tek tek olasılık yoğunluk fonksiyonlarının birbiriyle çarpımımdan elde edilir.Ewens'in örneklem formülü: Nüfus genetiği biliminde kullanılan ve nin bütün tam sayının ayrılımları üzerinde uygulanan olasılık dağılımıDağılımlara özgü faaliyet Bu etkinlik örnekleri genel olasılık dağılımlarının kullanılmasını göstermek için hazırlanmıştır.