Temel grup

Temel grup, Henri Poincaré'in 1895'te yayınladığı "Analysis Situs" adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinden ortaya çıkmıştır. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.Bu bölümde topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız  aralığı  kapalı aralığı olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası  ve bitiş noktası  olan yollara  ’den  ’ya giden yollar diyeceğiz.Bir  uzayı alalım. Bir  sürekli fonksiyonuna  uzayında bir yol denir. Böyle bir  yolu için  noktası başlangıç noktası ve   noktası bitiş noktası olarak adlandırılır.olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla  ve  olan ve  'den  uzayına giden bütün yolların kümesi    olarak tanımlanır.İlk örnek olarak,  uzayında bir  fonksiyonunu   olarak tanımlayalım.   uzayındaki yollar genellikle   , fonksiyonu ile temsil edilir. Burada  ve  sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir   yolunu  şeklinde tanımlayalım. Bu durumdaAyrıca  üzerindeki oryantasyonun,  fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim.fonksiyonunun grafiği  uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir  fonksiyonunu  olarak tanımlayalım.olduğunu görüyoruz.  ’in bileşenleri olan  ve ,  üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan 'in fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz., bir yol değildir çünkü tanım kümesi  değildir.  fonksiyonunu kullanarak  grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız.Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri  ve ,  tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır.’den ’ya giden bir  yolu için,  ters yolu   olarak tanımlanır. Bu durumda  yolunun başlangıç noktası  ve bitiş noktası  olur.fonksiyonunu    şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı  fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir.Sonuç olarak,  ve  olur. Bu yüzden,  fonksiyonu  üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir.Diğer yandan, ,    biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve  olduğundan  fonksiyonu  üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6).Herhangi  ve  topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma,  birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır;  ve  sürekli fonksiyonlardır.Kanıtı için, önce  kümesinin  işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi  seçelim.  olduğunu göstereceğiz., daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde  için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından  fonksiyonu da artan olur.Öte yandan,  ve  fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde   fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak   elde ederiz.Şimdi () kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.•Birim eleman:  fonksiyonu,  olduğunda ()’nun birim elemanıdır çünkü  (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.•Terslenebilme: Herhangi bir  alalım. ’ın tanımından dolayı, ’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve ’in de sürekli olduğunu biliyoruz.daima artandır ve  olduğu için  olur. ’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı  ve  olan biricik  elemanları vardır.daima artan ve  olduğu için,  olur. Bu yüzden   ve   olur. Sonuç olarak,  işlemi altında  bir gruptur.Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi  alalım; yani  sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde ’ fonksiyonu da süreklidir.olsun, ki bu  anlamına gelir.  aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz. O zaman  sürekli olduğundan ’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.birebir ve örten olduğundan,  olur. Fakat  bağlantılı değildir. Bu yüzden  varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani  olur.Şimdi  olduğunu gösterelim.  olduğunu varsayalım.  fonksiyonu daima artan ve  olduğundan, olur; bu da demektir.bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz;  bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz.•yansıma:  herhangi bir yol olsun. Eğer  fonksiyonunu   şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak  olur. Dolayısıyla  olur.ise  olacak şekilde bir  vardır.  fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz:ve  fonksiyonları  uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi, ,  şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur.(ii) ’den ’ya giden ,  yolları için   ve  ’dir.  ve  yolları bu şekilde bir  homotopisi ile bağlanırlarsa  ve  homotopiktirler denilir ve  şeklinde gösterilir.Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz: , , ve  :  şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer   ve olduğunda   denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır.    arasında  homotopisi  ve  arasında ise  homotopisi tanımlı olsun.    homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz.olduğunda  eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden  denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir  yolunun homotopi sınıfı  ile gösterilir.İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli.•yansıma: , ’den ’ya giden bir yol olsun. ,  şeklinde tanımlanmış  fonksiyonu  ile  arasında bir homotopidir; çünkü her  için,•simetri: ,  ’den ’ya giden 2 yol olsun.  olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir  şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit  için,Şimdi  fonksiyonunu   şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit  için,   fonksiyonu ’den ’ya giden bir yoldur veKanıtını göstermek için, örnek olarak  ve , 'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.•Birim elemanı  ,   olan     döngüsünün sınıfıdır.  Herhangi bir  döngüsü için   eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır:  .• , 'te bulunan herhangi bir döngü olsun. 'in  tersini  olarak tanımlayalım. 'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise   arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır: .•  herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise  olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır: .Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü  bir gruptur.1 noktasına dayalı birim çemberin temel grubu  tam sayılar grubuna izomorftur, şeklinde gösterilir: .Hacettepe Journal of Mathematics & Statistics: https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/808791