Pro sonlu grup

Pro sonlu gruplar, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası Zp,  pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Sonrasında Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Böylece, aslında yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.Ayrık topoloji ile donatılmış bir takım sonlu grupların oluşturduğu projektif sistemin projektif limitine izomorf olan topolojik gruplara pro-sonlu grup denir. Bahsi geçen sistem,  yönlü bir küme (yani, her sonlu altkümesinin bir üst sınıra sahip olduğu yarı-sıralı küme) olmak üzere; sonlu gruplardan oluşan bir  ailesi ile aşağıdaki kosulları sağlayan  şeklindeki grup homomorfizmaların ailesinden oluşur:şeklinde bir küme ile tanımlanır. (Projektif limitin tanımı sağladığı evrensel özellikle daha soyut olarak verilebilir.) Bu küme üstündeki topolojik grup yapısı en doğal haliyle gelir. Sonlu  grupları, ayrık topoloji ile donatılırsa projektif limit çarpım topolojisinden inen topolojiyle bir topolojik uzay olur. Ayrıca  çarpım grubunun ikili işlemi olan noktasal toplama ile birlikte limit aynı zamanda bir grup yapısına sahiptir.Pro-sonlu grupların sağladığı bir takım topolojik özellikleri bakımından daha sade bir başka karakterizasyonu mevcuttur. Her pro-sonlu grup aslında Hausdorff, kompakt ve tümden bağlantısız (yani, tek nokta altkümelerinden başka bağlantılı altkümesi yoktur) bir topolojik gruptur. Tersine bir  topolojik grubu bu üç özelliğe sahip ise bir pro-sonlu gruptur. Nitekim,  bölüm gruplarının  nin açık ve normal olan tüm  altgrupları üzerinden projektif limiti ,  topolojik grubuna topolojik grup olarak izomorftur. Burada her bir bölüm grubu sonlu grup olduğundan limit bir pro-sonlu gruptur. Dolayısıyla  topolojik grubu bu izomorfizma vasıtasıyla pro-sonlu grup olarak görülür.Verilen bir gruptan doğal bir şekilde pro-sonlu grup elde etmenin bir yolu, o grubun sonlu bölüm gruplarının projektif limitini almaktır. Nitekim bir  grubunun sonlu indeksli normal altgrupları kümesi , kapsama ilişkisi ile birlikte bir yönlü küme oluşturur. Sıralama  şeklindedir. Bu durumda  kümesiyle  ile tanımlı  grup homomorfizmaları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin projektif limitine  grubunun pro-sonlu tamlanışı denir ve  ile gösterilir. Daha açık bir ifadeyle pro-sonlu tamlanış,şeklinde verilir. Burada  ile  arasında  ile tanımlı doğal bir  grup homomorfizması mevcuttur.  grubunun  altındaki imgesi  içinde yoğundur. Bu homomorfizmanın birebir olması için gerek ve yeter koşul  olmasıdır. Özel olarak  yerine  tamsayılar grubunu alırsak,  homomorfizması  tamsayılar grubunu  pro-sonlu tamlanışı içine gömer. Dolayısıyla tamsayılar kendi tamlanışı içinde yoğun bir şekilde yaşar. Bu tamlanışın elemanlarına pro-sonlu tamsayılar denir.Toplamsal p-sel tamsayılar grubu ,  sonlu gruplarının projektif limitine topolojik grup olarak izomorftur. Doğal sayılar kümesi üzerindeki doğal sıralama göz önüne alınırsa,  olmak üzere, sonlu  gruplarının oluşturduğu aile ile birlikte; her  doğal sayıları için  ile tanımlı  grup homomorfizmaları ailesi bir projektif sistem verir. Buradaki projektif limitin topolojisi,  üzerindeki p-sel normun ürettiği topoloji ile aynıdır.Her Galois grup bir pro-sonlu gruba izomorftur. Nitekim  bir (sonlu veya sonsuz) Galois genişlemesi olsun.  sonlu Galois genişlemesi olacak şekilde, tüm  ara cisimleri kapsama ilişkisi ile birlikte yönlü bir kime oluşturur. Çünkü  üzerine sonlu Galois genişlemesi olan iki tane ara cismin kompozitumu yine  üzerine sonlu Galois genişlemesidir. Bu durumda, buradaki sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla her  için ,  kısıtlama fonksiyonları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin limiti  grubuna kanonik bir şekilde izomorftur. Aralarındaki grup izomorfizması  ile tanımlı  fonksiyonu ile verilir. Verilen izomorfizma sayesinde, projektif limit üstündeki topoloji  grubuna taşınır ve bu topolojiye Krull topoloji denir. Öte yandan, her pro-sonlu grup bir  Galois genişlemesinin Galois grubuna izomorftur (). Ancak burada  cismi kontrol edilememektedir. Dahası altta verilen birçok K cismi için tüm sonlu grupların elde edilebileceği dahi bilinmemektedir. (Her sonlu grubun  rasyonel sayılar ciminin sonlu bir Galois genişlemesi olup olmadığı ters Galois problemi olarak bilinir.)Bir topolojik grubun pro-sonlu olması için gerek ve yeter koşul Hausdorff, kompakt ve tümden sınırlı olmasıdır.Pro-sonlu grupların (sonlu veya sonsuz) direkt çarpımı yine pro-sonludur. Üstündeki topoloji çarpım topolojisi ile aynıdır.Pro-sonlu grupların kapalı altkümeleri pro-sonludur. Üstündeki topoloji altuzay topolojisi ile aynıdır. Eğer , bir  pro-sonlu grubunun kapalı normal bir altgrubu ise  bölüm grubu da pro-sonludur. Üstündeki topoloji bölüm topolojisi ile aynıdır.Her pro-sonlu grup kompakt bir Hausdorff uzay olduğundan üstünde Haar ölçüsü tanımlanabilir. Dolayısıyla üstünde bir takım olasılıklar hesaplanabilir, üzerinde tanımlı fonksiyonların integrali alınabilir.Pro-sonlu bir grubun altgrubunun açık olması için gerek ve yeter koşul kapalı ve sonlu indeksli olmasıdır.