Riemann zeta işlevi

Matematikte Riemann zeta işlevi (ya da; Euler-Reimann zeta işlevi), Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.Riemann zeta işlevi (Riemann zeta fonksiyonu), farklı şekillerde de ifade edilse de en yaygın gösterimi;Riemann zeta işlevinin, köklerinin dağılımına ilişkin bir sav olan Riemann önermesi birçok matematikçi tarafından yalın matematiğin şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.Böylece, özel olarak  ζ içinde negatif çift tam sayılar kaybolur çünkü; "1" dışında tüm "m"ler için Bm = 01 + 2 + 3 + 4 + · · · ıraksak seriler'e sonlu bir sonuç atamak için bir yol verir ki, sicim teorisi gibi bazı bağlamlarda yararlı olabilir..Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir Bose–Einstein yoğunlaşması, ve manyetik sistemlerde spin dalga fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak bilinir.Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayının aralarında asal olma olasılığı nedir?Bölge içinde burada integral tanımlanıyor. Burada bir Mellin dönüşümü olarak  zeta-fonksiyonu için çeşitli ifadeler vardır. Eğer s'''in gerçek parçası 1'den daha büyük ise,Asal sayılara ilişkin bağlantıları ayrıca bulmak gerekebilir ve asal sayı teoremi eğer π(x) Asal-değer fonksiyonu ise  değerleri ileBir benzer Mellin dönüşümünü, Riemann asal-değer fonksiyonu J(x) içerir, bu değerler asal kuvvet pn ve  1/nin ağırlığı ile böyleceBu bağıntıda ters Mellin dönüşümünü asal sayı teoreminin anlamını sağlamada kullanılabilir. Riemann'ın asal-deger fonksiyonu ile çalışmak için daha kolaydır,ve π(x) Möbius tersi ile bundan kurtulunabilir.Bununla beraber bu integral s 'in herhangi bir değeri için yakınsak değildir ve böylece düzenlenmesine gerek vardır: bu zeta fonksiyonu için aşağıdaki bağıntı verilir:Riemann zeta fonksiyonu   tek  s = 1'de  tek katli bir tek kutup ile meromorfiktir.Bunun için bir Laurent serisi boyutu s = 1 de seriye açılabilir olsun;Bu bütün karmaşık sayılara Dirichlet serisi tanımını genişletmek için yinelemeli olarak kullanılabilir.Riemann zeta fonksiyonu  xs−1;   Gauss–Kuzmin–Wirsing işlemcisi hareketi üzerinde bir integral içinde  Mellin dönüşümüne benzer bir formda ayrıca görünür ve yine bu bağlamda düşen faktöriyelin terimleri içinde bir seri açılımına genişletilir.burada çarpım  ζ'''nın önemsiz-olmayan sıfırlar ρ dir ve  yine γ harfi  Euler–Mascheroni sabiti ifade eder.Daha basit bir sonsuz çarpım açılımıBu form s = 1,de basit kutuplar −2, −4, ... de açıkça görüntülenir önemsiz sıfırlar payda içinde  gamma fonksiyonu terimine gereken, ve s = ρda önemsiz olmayan (Ikinci formülde yakınsama sağlamak, çarpım sıfırların "çiftleri eşleştirme"si üzerine alınmalıdır, yani  ρ formunun sıfırlarının bir çifti için faktörleri ve 1 − ρ birleştirilmelidir.)burada   kritik şerit 0 < Re(s) < 1 üzerinde ζ nın sıfırının yoğunluğudur.(δ Dirac delta dağılımıdır, ve toplam  ζnin üzerinde önemsiz olmayan ρ of dir).zeta fonksiyonu için bir küresel yakınsak seri,tüm karmaşık sayılar  için s değerleri dışında bazı n tam sayı için,Konrad Knopp 1930 içinde Helmut Hasse ile 1930'da bir varsayım sağlamış idi (bakınız. Euler toplamı):serisi yalnızca Hasse'nin notlarına bir ek içinde gösterildi, ve  genel bilgiler kadar olmadı bu  60'lı yıllardan daha sonra yeniden araştırılmış idi (bakınız Sondow, 1994).Peter Borwein yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak seriyi göstermişti.Algoritma, Chebyshev polinomlarından yararlanarak,  Dirichlet eta fonksiyonu üzerine yazılar içinde tanımlanır.Zeta fonksiyonu istatistik uygulamaları içinde oluşur (bak Zipf's kanunu ve Zipf–Mandelbrot kanunu).Zeta fonksiyon düzenlenmesi ıraksak serisinin düzenlenmesi ve kuantum alan teorisi içinde ıraksak integralin bir olasılığı olarak kullanılır.Bir önemli örnekte,Casimir etkisinin hesabı içinde açıkça Riemann zeta-fonksiyonu gösterilir.Zeta fonksiyon dinamik sistemlerin analizi için ayrıca kullanılır.zeta fonksiyonu pozitif tamsayilarda değerlendirildiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir. Burada daha öte formüller  harmonik sayılar yazısı içindedirJacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) s. 199–220Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 s. 458–464. (Globally convergent series expression.)E. T. Whittaker & G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, 4. basım, Cambridge University Press (Bölüm XIII)Jonathan Sondow, "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series", Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) 421–424.Guo Raoh: "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function", Proceedings of the London Mathematical Society 1996; s. 3–72: 1–27Çekiştirilen Asal Sayılar Zeta işlevinin asal sayılar açısından önemine ilişkin genel bir değerlendirme