Reel sayılar

Matematikte reel sayılar (gerçel ya da gerçek sayılar) kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin evrim sürecinden elde edilen bir varsayım kombinasyonudur. Reel sayılar kümesi  sembolüyle gösterilir.Her oranlı sayı (rasyonel sayı) bir gerçek sayıdır; virgülden sonra bloklar halinde tekrar eden ondalık açılımı vardır (0 dahil). Örneğin,eşitliğinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: m, n iki tam sayı (n negatif) olsun. m/n oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, m 'yi n 'ye bölerken (bölme algoritmasını varsayımı uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir.Oranlı sayılardan gerçek sayıları elde etme işlemiyse oranlı sayılara ondalık açılımındaki rakamların devirsel tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz gerçek sayılara oransız sayılar veya irrasyonel sayılar denir.Düzlemde herhangi bir doğru parçası alıp buna da birim (br) uzunluk diyelim. Tam sayılarla bu doğru parçasının katları birebir eşlensin. Alınan bir doğrunun üzerinde bu tam sayı uzunlukları ve olası tüm oranları (oranlı sayılar) işaretlensin. Gösterilebilir ki, herhangi iki oranlı sayı arasında sonsuz çoklukta oranlı sayı vardır. Demek oluyor ki, alınan doğru üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın ve oranlı sayıları temsil eden iki nokta (oranlı nokta) arasında , sonsuz çoklukta oranlı nokta vardır.Bu tür noktaların, dolayısıyla uzunlukların varlığını ispatlamak için, kenar uzunluğu 1 birim (br) olan bir karenin köşegen uzunluğunu (x) sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. x uzunluğu, oranlı bir sayı değildir, yani p ve q birer tam sayı olmak üzere p/q şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır; bu sayı  olarak gösterilecektir.Kabul edelim ki x=p/q olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani p ve q aralarında asal olsunlar. Başka bir deyişle, bunların 1'den başka ortak bölenleri bulunmasın. Pisagor teoremi sayesinde x2=2=p2/q2 elde edilir. Dolayısıyla 2q2=p2 olur. p ve q aralarında asal olduğu için 2, p 'yi bölmek zorundadır. Böylece eşitliğin sağ tarafı 4'e bölünür. Sol tarafının da dörde bölünmesi gerekeceğinden q da 2'ye bölünmek zorunda kalır. Hem p hem de q sayıları 2'ye bölünebiliyorsa, aralarında asallık kabulüyle çelişkili bir sonuç bulunmuş olur. O halde x 'in oranlı bir sayı olduğu kabulünden vazgeçmek gerekecektir.Bu ispat, bir Pisagorcu olan Hippasus'a atfedilmektedir (MÖ 5. yüzyıl). İrrasyonel sayıların varlığının ilk antik Yunan matematikçi Pisagor'un okulu tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır. Rivayete göre Hippasus'u o öldürtmüştür.İrrasyonel Sayılar ile oranlı sayılar kümesinin birleşimi Gerçel sayılar kümesini oluşturur. Bu kümeye reel sayılar veya gerçel sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dâhil edilmişlerdir. Anlatılanlara göre Pisagor doğadaki tüm büyüklükleri rasyonel sayılarla ifade edilebileceğini söylemekteydi. Fakat bulduğu hipotenüs eşitliğinin bir sonucu olarak x2 = 2 gibi bir değerlerle karşılaştı. Uzun yıllar boyu bu tür sayıların uzun kesirlerle ifade edilebileceğini iddia etti ve göstermeye çalıştıysa da, öğrencilerinden birinin bu gibi sayıların kesinlikle kesirli bir biçimde gösterilemeyeceğini ispat etmesiyle ikna oldu ama hayatı boyu bunun bir sır gibi gizlenmesi için çalıştı ve doğada gerçel sayıların yeri olmadığını söylemeye devam etti.Gerçel sayılar "cebirsel sayıların elemanı olanlar" ve "aşkın sayılar" (transcendental) olarak ikiye ayrılırlar. Gerçel sayılar, cebirsel sayıları kapsamaz, fakat aşkın sayıları kapsar. Cebirsel bir gerçel sayı, tam sayı katsayılı bir polinomun kökü olabilen bir sayıdır; örneğin: x2 - 2 polinomunu 0 yapan değerlerden biri (kök) 'dir. x - 2 polinomunun kökü 2'dir. Dolayısıyla  ve 2 cebirsel sayılardır. Ancak  ve e sayıları gibi sayılar herhangi bir polinomun kökü olamazlar; bunlar aşkın sayılardır.