Rabin şifreleme sistemi

Rabin şifreleme sistemi, Rabin kriptoloji veya Rabin kriptosistemi, güvenliği RSA'daki gibi tam sayı çarpanlarına ayırmanın zorluğu üzerine kurgulanmış olan asimetrik bir kriptografik tekniktir. Bununla birlikte, Rabin kriptosisteminin avantajı, saldırgan tam sayıları verimli bir şekilde çarpanlarına ayıramadığı sürece, seçilmiş bir düz metin saldırısına karşı hesaplama açısından güvenli olduğu matematiksel olarak kanıtlanmıştır, oysa RSA için bilinen böyle bir kanıt yoktur. Rabin fonksiyonunun her çıktısının dört olası girdiden herhangi biri tarafından üretilebilmesi dezavantajı; her çıktı bir şifreli metinse, olası dört girdiden hangisinin gerçek düz metin olduğunu belirlemek için şifre çözmede ekstra karmaşıklık gerekir.Algoritma Ocak 1979'da Michael O. Rabin tarafından yayınlandı. Rabin şifreleme sistemi, şifreli metinden düz metni kurtarmanın çarpanlara ayırma kadar zor olduğu kanıtlanabilen ilk asimetrik şifreleme sistemiydi.Tüm asimetrik şifreleme sistemleri gibi, Rabin şifreleme sistemi de bir anahtar çifti kullanır: şifreleme için genel anahtar ve şifre çözme için özel anahtar. Genel anahtar, herkesin kullanması için yayınlanırken, özel anahtar yalnızca mesajın alıcısı tarafından bilinir.İki tane çok büyük ve farklı ,  asal sayıları seçilir. Kare kökün hesaplanmasını basitleştirmek için bir tanesini  yöntemi ile seçebiliriz. Fakat yöntem herhangi daha büyük asal sayılarla çalışır.Bir  mesajı, önce tersine çevrilebilir bir eşleme kullanılarak  sayısına dönüştürülerek ve ardından  hesaplanarak şifrelenebilir. Şifreli metin, 'dir.Bu dört değerden biri orijinal düz metin 'dir, ancak dördünden hangisinin doğru olduğu ek bilgi olmadan belirlenemez.Yukarıdaki 1. adımdaki formüllerin aslında 'in kareköklerini aşağıdaki gibi ürettiğini gösterebiliriz. İlk formül için,  olduğunu kanıtlamak istiyoruz.  olduğundan,  üssü bir tam sayıdır.  ise ispat önemsizdir, bu nedenle 'nin 'yi bölmediğini varsayabiliriz.  ögesinin  anlamına geldiğini unutmayın, dolayısıyla  modül 'ye göre bir kuadratik kalıntıdır (rezidü). Buradan;Biz bu metodun  için çalışmasını aşağıdaki gibi gösterebiliriz. İlk 'ün,  bir tam sayı olduğunu gösterir.  için varsayım basittir. Bu yüzden biz 'nin 'ye bölünmediğini varsayabiliriz. O zaman:ilişkisi bir gereksinim değildir. Çünkü kare kökler in diğer asal sayılarla modülü de hesaplanabilir.Rabin kare köklerin asal sayılarla modlarını bulmak için Berlekamp algoritmasının özel bir durumunu kullanmayı önerir.Örnek olarak,  ve  olarak alalım, ardından  olur (Elbette burada anahtarların seçimi kötüdür. 77'nin çarpanlarına ayrılması basittir gerçek örneklerde çok çok daha büyük sayılar kullanılır). Düz metnimiz olarak  alalım. Şifreli metin bu şekildeBizim basit örneğimizde  bizim düz metin uzayımızdır. Biz 'yi bizim düz metnimiz olarak alacağız. Bu yüzden şifreli metin, 'dir. Açıkça ’nin 4 farklı değeri  için, şifreli metin 15 üretilir. Bu Rabin algoritması tarafından üretilen çoğu şifreli metinler için geçerlidir.ve 'in istenen düz metin olduğunu görüyoruz. Dört adayın hepsinin 15 mod 77'nin karekökleri olduğuna dikkat edin. Yani, her aday için , böylece her  aynı değere (15) şifreler.Eğer  ve  bilinirse düz metin  ile  olacaktır.  bir kompozit sayıdır kompozit sayı asal olmayan herhangi bir pozitif sayıdan daha büyük pozitif sayı demektir. Eğer  bir tam sayı ise ve  gibi  sayısı var ise o zaman  kompozit sayı demektir (yani Rabin algoritmasının  formülüne benzer). 'yi bulmak için bilinen daha etkili bir metot yoktur. Eğer asal ise (Rabin algoritmasındaki  ve  gibi) Çin kalan teoremi 'nin çözümü için başvurulabilecek bir metottur. Bu yüzden kare kökler;Şimdi, Çin kalan teoremi yardımıyla, 'nin dört karekökü , ,  ve  şeklinde hesaplanır (burada ,  uyum sınıfları halkası [ring of congruence classes] anlamına gelir.) 4 kare kök  kümesi içindedir:Rabin kendi makalesinde eğer bir kişi hem  hem de 'yi hesaplayabilirse o zaman 'nin çarpanlarını da hesaplayabileceğini bize şöyle gösteriyor;Çünkü eğer bir kişi  ve 'yi biliyorsa, en büyük ortak bölen 'nin çarpanlarını bulmak için etkili bir hesaplama yöntemidir bizim örneğimizde ( ve 'ü  ve  olarak alalım):Rabin şifreleme sistemi, dijital imza'lar oluşturmak ve doğrulamak için kullanılabilir. İmza oluşturmak için  özel anahtarı gerekir. Bir imzanın doğrulanması için  ortak anahtarı gerekir.'i hesaplamak için bir  kriptografik özet fonksiyonunu kullanın, buradaki | notasyonu birleştirmeyi () gösterir. ,  değerinden küçük bir tam sayı olmalıdır.'yi Rabin tarafından şifrelenmiş bir değer olarak ele alın ve özel anahtarı  kullanarak şifresini çözmeye çalışın. Bu, olağan şekilde dört  sonucunu üretecektir.Her bir  şifrelemenin  üreteceği beklenebilir. Ancak, bu yalnızca  bir kuadratik kalıntı mod  ve  olursa doğru olacaktır. Durumun böyle olup olmadığını belirlemek için, ilk şifre çözme sonucunu  şifreleyin.  olarak şifrelemezse, bu algoritmayı yeni bir rastgele  ile tekrarlayın. Uygun bir  bulmadan önce bu algoritmanın tekrarlanması gereken beklenen tekrar sayısı 4'tür.Şifre çözme, doğru sonuca ek olarak üç yanlış sonuç üretir, böylece doğru sonucun tahmin edilmesi gerekir. Bu, Rabin şifreleme sisteminin en büyük dezavantajıdır ve yaygın pratik kullanım bulmasını engelleyen faktörlerden biridir.Düz metnin bir metin mesajını temsil etmesi amaçlanıyorsa, tahmin etmek zor değildir; bununla birlikte, eğer düz metin sayısal bir değeri temsil etmeyi amaçlıyorsa, bu konu, bir tür belirsizliği giderme şemasıyla çözülmesi gereken bir problem haline gelir. Bu problemi ortadan kaldırmak için özel yapılara sahip düz metinler seçmek veya dolgu eklemek mümkündür. Tersine çevirmenin belirsizliğini ortadan kaldırmanın bir yolu Blum ve Williams tarafından önerilmiştir: kullanılan iki asal sayı, 3 modül 4 ile uyumlu asal sayılarla sınırlandırılmıştır ve kare alma alanı, ikinci dereceden kalıntılar kümesiyle sınırlandırılmıştır. Bu kısıtlamalar, kare alma fonksiyonunu bir tuzak kapı permütasyonuna dönüştürerek belirsizliği ortadan kaldırır.Şifreleme için bir kare modül n hesaplanmalıdır. Bu, en az bir küpün hesaplanmasını gerektiren RSA'dan daha verimlidir.Şifre çözme için, iki modüler üsle birlikte Çin kalan teoremi uygulanır. Burada verimlilik RSA ile karşılaştırılabilir.Belirsizliği giderme, ek hesaplama maliyetleri getirir ve Rabin şifreleme sisteminin yaygın pratik kullanım bulmasını engelleyen şeydir.Rabin ile şifrelenmiş bir değerin şifresini çözen herhangi bir algoritmanın  modülünü çarpanlara ayırmak için kullanılabileceği kanıtlanmıştır. Bu nedenle, Rabin şifre çözme en az tam sayı çarpanlarına ayırma problemi kadar zordur, bu RSA için kanıtlanmamış bir şeydir. Genellikle çarpanlara ayırma için polinom-zaman algoritması olmadığına inanılır, bu da özel anahtar  olmadan Rabin ile şifrelenmiş bir değerin şifresini çözmek için verimli bir algoritma olmadığı anlamına gelir.Rabin şifreleme sistemi, şifreleme süreci deterministik olduğu için seçilen düz metin saldırılarına karşı ayırt edilemezlik sağlamaz. Bir şifreli metin ve bir aday mesaj verilen bir rakip, şifreli metnin aday mesajı kodlayıp kodlamadığını kolayca belirleyebilir (sadece aday mesajı şifrelemenin verilen şifreli metni verip vermediğini kontrol ederek).Rabin şifreleme sistemi, seçilen bir şifreli metin saldırısına karşı güvensizdir (sorgulama mesajları, mesaj uzayından homojen bir biçimde rastgele seçilse bile). Fazlalıklar, örneğin son 64 bitin tekrarı eklenerek, sistem tek bir kök üretmek için yapılmıştır. Bu, seçilen şifreli metin saldırısını engeller, çünkü şifre çözme algoritması yalnızca saldırganın zaten bildiği kökü üretir. Eğer bu teknik uygulanırsa, çarpanlara ayırma problemi ile denkliğin ispatı başarısız olur, bu yüzden bu varyantın güvenli olup olmadığı 2004 itibarıyla belirsizdir. Menezes, Oorschot ve Vanstone tarafından hazırlanan Handbook of Applied Cryptography, köklerin bulunması iki parçalı bir süreç olduğu sürece (1.  ve  kökleri ve 2. Çin kalan teoreminin uygulaması) bu eşdeğerliğin muhtemel olduğunu düşünmektedir.