Montgomery Eğrisi

Montgomery Eğrisi Peter L. Montgomery tarafından 1987’de tanımlanmış, klasik Weierstrass formundan farklı bir eliptik eğri formudur. Belirli hesaplamalar için ve özellikle farklı kriptografi uygulamalarında kullanılır.cismi üzerinde Montgomery egrisi, belirli  değerleri için ve  eşitsizliği sağlanıyorken, aşağıdaki eşitsizlikle tanımlanır:Bu eğri genellikle bir  sonlu cismi üzerinde tanımlı olur. (örnek olarak   elemanın oluşturduğu bir sonlu cisim, ) Bu sonlu cismin karakteristiği 2'den farklı ve    olması gerektiğine dikkat edelim. Aynı zamanda   ve  için aynı kısıtlamalara sahip rasyoneller üzerinde de düşünülür.Bir eliptik eğri üzerinde noktaları arasında, nokta toplama ve nokta ikileme işlemleri gerçekleştirilebilmektedir. Nokta Toplama;   eliptik eğrisi üzerinde tanımlı iki nokta olmak üzere  ; olacak şekilde  noktası bulmak işlemidir. Nokta İkileme ise  işlemidir. (Kullanılan işlemler hakkında detaylı bilgi için bkz; elliptic eğri grup kuralları (eng: the group law))noktası Montgomery formundaki   eliptik eğrisi üzerinde bir nokta olmak üzere, bu noktanın Montgomery koordinatları  Burada  projektif koordinatlardır. ( ve ).Bir nokta için bu tür bir temsilin(dönüşümün) bilgi kaybettiğine dikkat edin: gerçekten  ve  (afin noktalarının kullanımında bir ayrım gözetilmez çünkü her iki noktanın kullanımı da bize  sonucunu verecektir. Ancak, bu gösterim(dönüşüm) ile bir  noktanın n sayısı ile çarpılmasını elde etmek mümkündür;Eğer  ise bu işlem "nokta ikileme" işlemine dönüşür;  Koordinatları ise aşağıdaki eşitsizliklerle belirlenir;Yukarıdaki ilk işlemin(toplama işleminin) maliyeti: (3M+2S) (Burada M, tanımlı eliptik eğrideki herhangi iki elemanın çarpımını, S ise tanımlı cisimdeki bir elemanın karesini ifade ediyor)İkinci işlemin(ikileme) maliyeti : 2M + 2S + 1D, (Burada D herhangi bir elemanın bir  değeri seçilebilir.Montgomery formunda bir eliptik eğrininin bir noktasının  nokta ikilemesi, aşağıdaki algoritma ile gösterilebilir;varsayıldığı durumda bu implementasyonun maliyeti; 1 + 2 + *1 + 3add + 1*4. (Burada M gerekli çarpma işlemlerini, S ise kare alma işelemlerini, a ise A ile çarpma işlemlerini belirtir.)şeklinde belirlenen nokta geometrik olarak  ile  ve  noktalarını birleştiren doğrunun kesimini ifade eden üçüncü bir noktadır. Bu noktanın koordinatları  aşağıdaki şekilde belirlenir:1) 2 boyutlu afin uzayda,  doğrusunun  ve  noktalarından geçtiğini varsayalım.(bu varsayımdan yararlanarak),2) Doğru ile , eğri denklemindeki  değişkeni  ile değiştirilirse aşağıdaki 3. dereceden denklem elde edilir:Daha önce gözlemlenebildiği gibi, bu denklem  ,  ve  noktalarının x koordinatlarına göre üç köke sahiptir. Öyleyse denklem;3) Yukarıda verilen iki özdeş denklemin katsayılarının, özellikle de ikinci mertebeden olanın terimlerinin katsayılarının karşılaştırılmasıyla aşağıdaki denklem elde edilir:4)  noktasının  koordinatını bulabilmek için,  değerini   doğrusunda yerine koymak yeterlidir. Bunun doğrudan  noktasını vermeyeceğine dikkat edin. Gerçekten, bu yöntemle, ,  sağlayan  noktasının koordinatları bulunur. Eğer   ve  nokta ekleme işleminin sonuç noktasına ihtiyaç duyulursa,  ancak ve ancak olması durumunu göz önüne almak gereklidir. Bu yüzden, verilen  noktası için  noktasını bulmak gereklidir. Bu işlem verilen  nin y koordinatının işaretini değiştirerek kolaylıkla yapılabilir. Başka bir deyişle, doğru denkleminde  ün yerine konulmasıyla elde edilen  koordinatının işaretini değiştirmek yeterli olacaktır.Montgomery Eğrisi üzerinde verilen bir  noktası için, ; Geometrik olarak eğri ile 'eğet olan doğru arasındaki kesişimi ifade eden üçüncü noktasını temsil eder; sağlayan  noktasının koordinatlarını bulabilmek için, 'nokta toplama' metodundakine benzer bir yol izlenir; ancak, bu durumda,Aşağıdaki teoremi Mongomery eğrileri ile bükülmüş Edwards eğrileri arasındaki birasyonel denkliği gösterir:Teorem (i)  üzerinde, her bükülmüş Edwards eğrisi bir Montgomery eğrisine birasyonel denktir. Özellikle,  bükülmüş Edwards eğrisi,  Montgomery eğrisine;Dikkat edilirse, iki eğri arasındaki bu denklik her yerde geçerli değildir: gerçekten de  eşlemesi 'de  ya da  noktalarında tanımlı değildir.Tüm eliptik eğriler Weierstrass formunda yazılabilir. Özellikle, Montgomery formundaki eliptik eğriyi ele alalım;Montgomery formuna  ancak ve ancak  mertebesi 4'e bölünebilirse ve aşağıdaki koşulları sağlarsa dönüştürülebilir: