Ki-kare dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (x2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.Burada  ve  alınırsa, elde edilen yeni dağılıma,  serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve  ile gösterilir.Burada  bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir.Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır.Ki-kare dağılımı cikarimsal istatistik analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans değeri güvenlik aralığı ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsallık tablosu üzerinde bağımsızlık testi ve ki-kareye bağlı ortaklılık katsayıları, uzaklık ölçüleri  vb.Varyanslar analizinde F-dagiliminin iki ki-kare dağılımının oranından ortaya çıkması dolayışıyla önemli rol oynamaktadır.Eğer  ise, limitte  sonsuzluğa yaklaştıkça  normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık  ve basıklık fazlalığı  olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:Fisher ispat etmiştir ki  ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması  olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir.Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılaştırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir:Burada  bir Gamma fonksiyonudur.  ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir :Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki  ifadesi, ortalaması  ve varyansı  olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer  olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan  değişkenleri için     ise,  bir ki-kare dağılımı gösterir.Eğer   dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde  bir merkezsel olmayan ki-kare dağılımndan çıkartılmıştır.Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile  ve  birbirinden bağımsız iken  ise,  bir F-dağılımı gösterir.Özellikle, eğer  (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde  ifadesi  Rayleigh dağılımı gösterir.Eğer  bağımsiz ama aynı dağılımlı, yani hepsi  normal dağılım gösteren,  rassal değişkenlerse,  o haldeg serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2  kritik değeriKaynak: Kritik değerler İtalyanca Wikipedia için R (software) serbest programının qchisq(,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.Yale University Stats 101 kodlu ders için ornekler hipotez sinamasi ve parametre tahminleri konularini kapsar.Ki-kare kritik değerleri için On-line hesaplayıcı,  Vassar College Richard Lowry'nin istatistik web sitesinde.Dağılımlar hesaplayıcısı Normal, Student'in t, ki-kare ve F dağılımları için olasılıkları ve kritik değerleri hesaplar.Ki-kare kritik değerleri için Ki-kare hesaplayıcısı  South Carolina Universitesi'nde R.Webster West'in Java applet deposunda