Genelleştirilmiş ortalama

Bir genelleştirilmiş ortalama Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, ayni tanım formülünde birleştirip kapsayan bir abstre genelleştirmedir. Güç ortalaması veya Holder ortalaması adları da verilmektedir.= 1 hali aritmetik ortalama,  = - 1 harmonik ortalamasını ve t = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. t limitte 0a yaklaşırsa, M(t) için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak tanımlamak uygun olur. Bunun yanında t ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(t) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama,  argümanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani  pozitif bir reel sayı ise,  reel sayılarının  üslü genelleştirilmiş ortalaması  teriminin  sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.Genellikle, eğer  olursa, o halde  olur ve iki ortalama ancak ve ancak  ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:Özellikle,  ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:Böylece -p ve -q üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)Herhangi bir q değeri için, q üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:olur. Her iki halde de  silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.Bu eşitsizlik herhangi bir q ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, q limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. q 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:Bunun her iki tarafının 1/q üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:Hem p negatif ve hem q negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -p ve -q konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.Genelliği kaybetmeden xi dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:Bu ifadenin iki tarafının da q üssü alınırsa, (qnun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:olur. Bu epeyce açıkça anlaşılır; çünkü x1 herhangi bir xi değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böyleceGenelleştirilmiş -ortalaması Genelleştirilmiş ortalama (veya güç ortalaması''') daha da genelleştirilip genelleştirilmiş f-ortalaması formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük  için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük  için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göreBu büyük değerde  için rektifiye edilmiş sinyal üzerinde bir zarf detektörü olarak hizmet görebilir.