Fonksiyonun limiti

Her ne kadar (sin x)/x fonksiyonu sıfırda tanımlı olmazsa bile, x, sıfıra çok çok yakın olduğunda, (sin x)/x, 1'e yaklaşır. Diğer taraftan x sıfıra yaklaşırken (sin x)/x fonksiyonunun limiti 1'e eşittir.Matematikte bir fonksiyonun limiti, kalkülüs ve analizde kullanılan bir temel kavramdır ve belirli bir girişe yaklaşan bir fonksiyonun davranışı ile ilgilidir.Formal tanımı ilk olarak 19. yüzyıl başlarında ortaya çıktı ve şöyledir: Bir f fonksiyonunun her x girişi için bir f(x) çıkış olur. Bu fonksiyon p girişinde bir L limiti vardır ve şöyle ifade edilir: x, p ye çok çok yaklaştıkça, f(x) fonksiyonu da L ye çok çok yaklaşır.f : R → R reel doğruda tanımlı ve p,L ∈ R ise, "x, p ye yaklaşırken f fonksiyonunun limiti, Ldir" denir ve şöyle sembolize edilir:Her ε > 0 reel sayısı için bir δ > 0 reel sayısı vardır. Tüm x için, 0 < | x − p | < δ oluyorsa | f(x) − L | < ε olur.Alternatif olarak x, p ye üstten (sağdan), veya alttan (soldan) yaklaşabilir. Bu durumda limitler sırasıyla şöyle yazılır:Eğer her iki durumda da limitler L ye eşit ise, "f(x) in p noktasındaki limitleri L ye eşittir" denir.  Benzer şekilde eğerher iki noktadaki limitte L ye eşit değilse, "limit yoktur" denir.Formal tanımı şu şekildedir: x, p ye üstten yaklaşırken, f(x) in limiti L dir. Her ε > 0 için δ > 0 olur. 0 < x − p < δ olursa |f(x) − L| < ε olur. Benzer şekilde x, p ye alttan yaklaşırken, f(x) in limiti L dir. Her ε > 0 için, δ > 0 olur. 0 < p − x < δ olursa |f(x) − L| < ε olur.M ve N, sırasıyla A ve B metrik uzaylarının alt kümeleri olsun ve f : M → N, M ile N arasında tanımlansın, x ∈ M için p, M nin bir limit noktasıdır ve L ∈ N olur. "x, p ye yaklaşırken f nin limiti L dir" denir. ve şöyle yazılır:Y Hausdorff uzayı ve X topolojik uzay olsun. p, Ω ⊆ X de bir limit noktası ve L ∈Y olsun. f : Ω → Y fonksiyonu için "x, p ye yaklaşırken f nin limiti L dir" denir. (örn, x→p için, f(x)→L) ve şöyle yazılır:Eğer bir f fonksiyonu reel değerli ise, f nin p noktasında ancak ve ancak hem sağ limit hem de sol limit  varsa ve L ye eşit ise, f nin p noktasındaki limiti L dir.f fonksiyonu, p noktasında sürekli ise ancak ve ancak x, p ye yaklaşırken f(x)in limiti vardır ve f(p) ye eşittir. Eğer f : M → N, M ve N metrik uzaylarında bir fonksiyon ise, M deki her dizi için f dönüşümlerine eşdeğerdir.Eğer f reel değerli (veya karmaşık değerli) bir fonksiyon ise, limiti temel aritmetik işlemlerine göre alınır. Bu limit alma işlemi cebirsel limit teoremi olarak adlandırılır.Yukarıdaki her bir eşitlikte sağdaki limit yoksa veya son eşitlikte, hem pay hem de paydanın limitler sıfırsa, soldaki limite yine de belirsiz form denir. Bu belirsizlik f ve g fonksiyonlarının durumuna bağlıdır. Bu kurallar tek taraflı limitlerde de geçerlidir. p = ±∞ ve sonsuz limitler için, aşağıdaki kurallar geçerlidir.q / 0 durumu için genel kural olmadığına dikkat edin. Örneğin, 0/0, 0×∞, ∞−∞, ve ∞/∞ belirsiz formları bu kurallarda da geçerlidir.Matematikte limitin farklı durumlarda kullanımı vardır.Bu kullanımlar Özel Tanımlı Fonksiyonların Limiti olarak tanımlanır.Tanım kümesinin aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara Parçalı Fonksiyonlar denir.Bu fonksiyonların limiti şöyle hesaplanır;Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının sinüsü denir.Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının kosinüsü denir.Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir.Tanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için  π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları bütün gerçek sayılara götürür."tan" ile ifade edilir.Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kotanjantı denir.Kotanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları, bütün gerçek sayılara götürür."cot" ile ifade edilir.cotx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere, x≠tπ koşuluna uyan bütün x sayıları için tanımlı olduğu için,Mutlak değerin tanımına göre ƒ(x) in negatif olmadığı yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiği ile aynıdır. ƒ(x) in negatif olduğu yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiğinin x eksenine göre simetriğidir.mutlak değerin içini 0 yapan değer kritik noktadır. Yani ƒ(a)=0 kritik noktada limit sorulursa ƒ(x) fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerine bakılır.