Karmaşık sayı

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:Karmaşık sayılar kümesi  C şeklinde gösterilir.  .  özelliğini sağlayan sanal birime  denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde  yerine,  kullanılır.Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı  olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizcede karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) fonksiyonlarıyla gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim.sayısı gerçel kısmı Re(4-7i)=4, sanal kısmı Im(4-7i)=-7 olan  uzayında bir karmaşık sayıdır.Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.Gerçek sayılar kümesinde her sayıyı  ile çarparsak elde ettiğimiz  kümesi önceki  kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketleolarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer  yerine tam sayılar cismi  alınırsa oluşan karmaşık tam sayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.Karmaşık olmayan sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir.  sayısı  polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de  olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının  polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü  karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının  olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.Karmaşık sayı, iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, nokta veya konum vektörü olarak gösterilebilir. Sayılar alışıla geldiği gibi yatay bileşen gerçel kısmı ve düşey (dikey) bileşende sanal kısmı olarak çizildi (Şekil 1'e bakınız). Bu iki kısım karmaşık bir sayıyı ifade etmek için kullanılır ve bu yüzden Kartezyen-, dikdörtgensel- veya cebirsel form olarak adlandırılır.Sonuç olarak kutupsal formlar kökleri bulmak içinde kullanılabilir. z herhangi karmaşık sayı olmak üzere ve n pozitif tam sayı için zn = c olarak gösterilebilir. Bu da cnin n. kökü diye okunur. Eğer c sıfır değilse, tam n tane farklı c nin kökü vardır  (cebirin temel teoremine göre). r > 0 için, c = re iφ'de c nin n. kökleri:Burada , pozitif reel sayı olan r nin genellikle pozitif olan n. kökünü ifade eder. Eğer c = 0, ise c nin tek bir kökü vardır, o da 0'dır.Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.Kök derecesi iki den büyük olan karmaşık sayıların genel denklemi uzundur. n sayısı artıkça genel denklemde uzar. Trigonometrik ve üstel biçim daha uygundur.kök derecesinin bir eksiği kadar sıfırdan başlayarak tam sayılar verilebilir. Bu da n dereceden alınan karmaşık sayının köklerini verir.