Grupoid

Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir grupoid için (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır) grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir:Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır.Bir  fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir  alt kümesi için  şeklinde tanımlı fonksiyona kısmi fonksiyon denir.Bir  grupoidi  şeklinde tanımlı tekli işlem ile  kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her  için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir.Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel  grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar.(ii)  grupoidi, her   nesneleri için ’ten ’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir  kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir  morfizması  şeklinde gösterilir.(iv) Her  için ’ten ’ye giden ve ’den ’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır:   öyle ki  (v) Her   için  nesnesinden  nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır:ve  fonksiyonu her ,  ve  morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her   için  kümesi boş kümeden farklı  ise ’ye bağlı grupoid denir.Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak () grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim.  kümesini ve  operatörünü ele alacağız. Rastgele  alalım.(i) Bileşim:  ve ’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığından  elde edilir.Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir  kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak ’in bir grupoid olduğunu gösterelim.(iii) Rastgele bir   nesnesi alalım. Bariz bir şekilde  birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan   olur.(iv) Herhangi üç  nesneleri alalım.  kümesinden  ve  şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim.  ve ’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz.  şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.• İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve  ile  birebir olduğundan ötürü  birebirdir.Sonuç olarak   olur ve dolayısıyla öyle ki;  şeklinde tanımlanabilir.(v) Herhangi iki   nesneleri ve rastgele bir   morfizması ele alalım.  birebir ve örten olduğundan   vardır.   lineer bir fonksiyon olduğundan  de lineerdir. Sonuç olarak   olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan  ,   ve   morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:•.Herhangi bir  topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir. Bu yolların kümesine  diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım:Burada  kümesi homotopi denklik sınıflarından oluşmaktadır. Rastgele bir  aldığımızda bu eleman 'ye homotopik olan yolları içermektedir.(iii) Rastgele bir  nesnesi alalım.  fonksiyonunun ’ten ’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim.  fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde olur. Sonuç olarak   denilir.(iv) Rastgele  alalım. Herhangi iki  ,   morfizmalarını düşünelim. O zaman    öyle ki  iyi tanımlıdır, çünkü  şeklinde  uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak  ’dir.Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir.İspatını yaparken, bir  grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla  ve  diyelim. Rastgele bir   nesnesi alalım. ’ten x’e giden morfizmaların kümesi  'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim.(i) Bileşim: Rastgele   alalım. ’nin kategori teorisindeki tanımına göre  ve  tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre  özelliği sağlanır.(ii) Tersinirlik: Herhangi bir   morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla ’nin de tersi vardır ve  olur. Bu yüzden  . Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre  ve  olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.Şimdi de grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan  grupoidinin kategori teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim.  operatörünü fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini oluşturalım.   olacak şekilde; (i)(ii)    kümeleri  grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre (i) ve (ii) sağlanmış olur.(iii) Rastgele bir    nesnesi olsun.  şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun   kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. ’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı   ve  özellikleri sağlanacağından   olur.(iv) Herhangi üç   nesnelerini ele alalım. Rastgele iki  ,   morfizmaları olsun. ’nın  olduğunu gösterelim.  olduğundan  olur dolayısıyla  ve  elde edilir. Sonuç olarak,    olur.(v) Rastgele   nesneleri ve   morfizmasını ele alalım ve    olduğunu gösterelim. , grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından  olmaktadır.  olduğundan  ve  sağlanmaktadır. Yine ’nin sağladığı tanımdan dolayı  ve  olduğu görülür. Sonuç olarak  sağlanarak   elde edilmiş olur.ilişkisi,  üzerinde bir denklik bağıntısıdır.Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:   olan rastgele bir   alalım. Bariz bir şekilde  olur. Dolayısıyla ’dir. Böylelikle  bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele   alalım.  ve  olduğunu varsayalım ve  olduğunu gösterelim.ve  olduğundan;  ve  olur. Buradan da  eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla ’dir. Sonuç olarak  ilişkisi  kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.Kategori teorisel herhangi bir  grupoidi alalım. Her    nesnesi için  kümesi bir gruptur. Kanıtını açıklayalım;• Kapalılık: Rastgele   alalım.  bileşke fonksiyonu da ’ten ’e giden bir morfizma olacağından  kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.• Bileşim: Herhangi   alalım.  grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre  eşitliği sağlandığından bileşke işlemi  kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.• Birim eleman:  grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her   nesnesi için    olduğundan ve  özellikleri sağlandığından birim eleman  vardır ve tektir.• Ters eleman: Rastgele bir   alalım. ’nin kategori teorisindeki tanımından  ’dir ve  ve  olmaktadır.Görüntü kümesinden yani ’den bir  elemanı alalım. O halde öyle bir   arıyoruz ki  olsun. O halde  alırsak;