Liouville teoremi (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde, Joseph Liouville'in ismine atfedilen Liouville teoremi, sınırlı her tam fonksiyonun sabit olmak zorunda olduğunu ifade eder. Yani, C 'deki her z için |f(z)| ≤ M olan pozitif bir M varsa ve f holomorfsa, f sabittir.Teorem, büyük ölçüde, en az iki karmaşık sayıyı almayan her tam fonksiyonun sabit olacağını söyleyen Picard'ın küçük teoremi ile iyileştirilmiştir.Teorem, "holomorf fonksiyonlar analitiktir" gerçeğinden elde edilir. f, tam olduğu için, 0 etrafında Taylor serisi ile temsil edilebilir; yanitahmini yapılabilir (İkinci eşitsizlikte varsayımdaki her z için |f(z)| ≤ M eşitsizliği kullanılmıştır). Yol integralinde kullanılan r sayısının seçimi ise keyfidir. Bu yüzden, r sonsuza götürülürse, her k ≥ 1 için ak = 0 elde edilir. Böylelikle, f(z) = a0 olur ve teorem kanıtlanmış olur.Teoremin bir sonucu da "gerçekte farklı" fonksiyonların birbirine baskınlık kuramayacağıdır, yani f ve g tamsa ve her yerde |f| ≤ |g| ise , o zaman bir α sayısı için f  = α.g olur. Bunu göstermek içinsefonksiyonunu ele alalım. h 'nin tam bir fonksiyona uzatılabilmesi yetecektir ve böylece Liouville teoremi sonucu verecektir. h 'nin holomorf olması g−1(0) haricindeki noktalarda açıktır. Şimdi g(a) = 0 ise f(a) = 0 ifadesi de vardır. Analitiklik sayesinde, h sürekli, ve bu yüzden de holomorf olarak a üzerine uzatılabilir. Bu yüzden, h, g−1(0) üzerinde tam bir fonksiyona uzatılabilir.Teorem aynı zamanda sabit olmayan eliptik bir f fonksiyonunun tanım kümesinin C 'de olamayacağını göstermekte de kullanılabilir. Olduğunu varsayalım. O zaman, a ve b, f 'nin a/b gerçel olmayacak şekilde iki periyodu ise, köşeleri 0, a, b ve a + b olan P paralelkenarını ele alalım. O zaman, f 'nin görüntüsü f(P) 'ye eşit olacaktır. f sürekli olduğu ve P tıkız olduğu için, f(P) de tıkız olacaktır ve bu yüzden sınırlı olacaktır. Böylece, f sabit olacaktır."Sabit olmayan eliptik fonksiyonlar C 'de tanımlanamaz" gerçeği aslında Liouville'in 1847'de eliptik fonksiyonlar kuramını kullanarak kanıtladığı ifadedir. Aslında Liouville teoremini kanıtlayan Cauchy'dir.f sabit olmayan tam bir fonksiyonsa, o zaman görüntüsü C içinde yoğundur. Bu ifade Liouville teoreminden daha güçlü bir sonuç olarak güzükse de aslında teoremin kolay bir sonucudur. f 'nin görüntüsü yoğun olmasaydı, o zaman bir w karmaşık sayısı ve r > 0 gerçel sayısı olurdu öyle ki w merkezli, r yarıçaplı açık disk, f 'nin görüntüsünden bir eleman içermezdi. g(z) = 1/(f(z) - w) fonksiyonunu tanımlayalım.olduğu için, g sınırlı, tam bir fonksiyon olurdu. Böylece, g sabit olurdu. Ancak, bu saçma olur. Bu yüzden, f 'nin görüntüsü yoğundur.{∞} ∪ C , C 'nin bir nokta tıkızlaştırılması olsun. C 'deki bölgelerde tanımlı holomorf fonksiyonlar yerine, {∞} ∪ C içindeki bölgeler düşünülebilir. Bu şekilde görüldüğünde, C ⊂ {∞} ∪ C 'de tanımlı tam fonksiyonlar için olası tek tekillik ∞ noktasıdır. f, ∞'un bir komşuluğunda sınırlı ise, o zaman ∞, f 'nin kaldırılabilir tekilliğidir; yani f, ∞'da birden patlayamaz veya hatalı davranamaz. Kuvvet serileri açılımı bağlamında, Liouville teoreminin tutması pek de sürpriz değildir.Benzer bir şekilde, tam bir fonksiyonun ∞'da kutup noktaları varsa, yani ∞'un açık bir aralığında zn gibi patlıyorsa, o zaman f polinomdur. Liouville teoreminin bu uzatılmış versiyonu daha kesin bir dille ifade edilebilir: Yeteri kadar büyük z ler için |f(z)| ≤ M.|zn| ise, o zaman f, derecesi en fazla n olan bir polinomdur. Bu, şu şekilde kanıtlanabilir. Yine, f 'nin Taylor serisini ele alalım: