Büyük sayılar

Büyük sayılar, gündelik yaşamda normalde kullanılmayan büyük sayıları ifade eder. Terim genellikle büyük pozitif tam sayıları veya daha genel anlamda büyük pozitif reel sayıları belirtir. Fakat, diğer anlamlar için de kullanılabilir.Çok büyük sayılar matematik, kozmoloji, kriptografi ve istatistiki mekanik gibi alanlarda kullanılır. Bazı insanlar sayıları "astronomik olarak büyük" şeklinde söyler. Yine de gökbiliminde kullanılan çok büyük sayıları bile matematiksel olarak tanımlamak kolaydır.Bilimsel gösterim, bilimsel çalışmalarda karşılaşılan birçok değeri ifade etmek için oluşturuldu. Örneğin 1,0 × 109, bir milyar demektir. 1 rakamından sonra 9 tane sıfır kullanılır ve 1 000 000 000 şeklinde yazılır. Benzer şekilde 1,0 × 10−9, milyarda bir demektir ve 0,000 000 001 şeklinde yazılır. Dokuz tane sıfır yerine 109 yazma, hem okuyucular fazla zahmet çekmemiş olur hem de çok fazla sıfırın bulunduğu uzun serilerdeki sayıların karıştırılma ihtimali azalmış olur.Avogadro sayısı, bir moldeki "öz varlıklar"ın (genellikle atom veya molekül) sayısı. 12 gram Karbon-12'deki atom sayısı; (yaklaşık olarak 6,022 × 1023 bölü mol)Uzunluk ve zaman bakımından nitelendirilen diğer büyük sayılar, astronomi ve kozmoloji'de bulundu. Örneğin, Büyük Patlamadan bu yana kainatın 13,7 milyar (4,3 × 1017 saniye) yaşında olduğu öne sürülüyor. Gözlemlenebilir evren 93 milyar ışık yılı, (8,8 × 1026 metre) genişliğindedir ve yaklaşık 125 milyar (1,25 × 1011) galaksi içindeki 5 × 1022 yıldızdan oluşur. Bunlar Hubble Uzay Teleskobu gözlemine göredir. Gözlemlenebilir evrende kabaca 1080 temel parçacık vardır.Kanada'daki Alberta Üniversitesi fizikçilerinden Don Page'e göre, bir fizikçi tarafından açıkça hesaplanan en uzun zaman, 10101010101.1 yıldır.Kombinatorik işlemler de hızlıca büyük sayılara doğru gider. Karışık düzendeki nesnelerin permütasyonlarının sayısını açıklayan faktöriyel fonksiyonu, nesne sayısına göre çok hızlı bir şekilde artar. Stirling yaklaşımı, bu şekilde büyümeyi asimtotiktik şekilde ifade ederek bir ipucu verir.Kombinasyonel işlemler, istatistiki mekanikte çok büyük sayıları üretir. Bu sayıların çok büyük olmalarından dolayı, normalde sadece kendi logaritmalarında kullanılırlar.Gödel sayıları ve benzer sayılar, algoritmik bilgi teorisinde bit betiklerini ifade etmek için kullanılır.Moore Yasası, genel olarak bir mikroişlemcinin her bir inçkaresindeki transistör sayısının her 18 ayda iki katına çıkacağı tahminine dayanır. Bu, insanlara, bilgisayarların herhangi bir matematik problemini, ne derece karmaşık olursa olsun, çözebileceği fikrini oluşturdu (Turing Testine bakınız).1980 ile 2000 yılları arasında sabit disk hacimleri  10 megabayttan (1 × 107 bayt) 100 gigabayt (1011 bayt) üzerine çıktı. 100 gigabaytlık bir disk, tüm dünyadaki 6 milyar insanın isimlerini, herhangi bir sıkıştırma programı kullanmaksızın, depolama kapasitesine sahiptir. Fakat 40 karakter uzunluğundaki olası tüm şifrelerin depolanması konusu oldukça zorludur. Her bir karakterin bir bayta eşit olduğunu düşünürsek, yaklaşık olarak 2320 tane şifre üretilir. Bu da yaklaşık 2 × 1096 eder. Evrenin hesaplama kapasitesi, adlı yazısında Seth Lloyd, eğer evrendeki her bir zerre, büyük bir bilgisayarın parçasıymış gibi kullanılabilseydi, sadece yaklaşık 1090 bit depolayabilirdi ki, bu da gerekli sözlük boyutunun milyonda birinden daha azdır. Bununla beraber sabit diske bilgi depolama ile onları hesaplama çok farklı işlevlerdir. Bir yandan şu an için depolamanın sınırları olsa bile, fakat hesaplama hızı ise farklı bir konudur.googol = 10100=(10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000)Birinci sayı, ikincisinden çok daha büyüktür. Çünkü birinci sayının üs kulesi (3 tane kule), her ne kadar tabanı 1,1 gibi çok küçük bir sayı olsa bile, daha fazladır.(n≥1) tam sayı dizisini, fonksiyon bileşimlerine uygun olacak şekilde bir fonksiyon gibi yazarak  ile arttıralım. Sonraki dizilerden biri  ile bulunabilir. Burada  "çapraz dizi" seçebiliriz"Bu, verilen bir sayıdaki yeni dizilimi oluşturma işlemidir. Bu tekrarlanabilir (örn, özyinelemeye uygulayabiliriz) ve tekrar sayı matristeki tek bir diziyi, her birinin 10. elemanını alarak seçebiliriz. Tüm bu işlem aynı şekilde tekrar ve tekrar uygulayabiliriz.işlemi bir 10 elemanını n değişkeninden önceki seriye eklemeye denk gelir. Buradaki n serinin sonundadır. Şunu elde ederiz;  ve matristen seçilen yeni dizi k. eleman olan  dir.Bu işlemi tekrarlayarak şunu elde ederiz;  n nin ardışık değerleri için ve k=10 seçerek tek bir dizi elde ederiz, şöyle ki: .Bunu tüm işleme uygularsak daha fazla seri elde ederiz. n=10 seçersek (10→10), (10→10→10), (10→10→10→10),... dizilerini elde ederiz. Bu, işlemleri serinin başından itibaren tekrar ve tekrar ederek kullanılabilir. Hatta  değeri, bu seri için zaten 10 milyar artı bir uzunluğunda bir Conway dizisi olsa bile.Çok büyük sayıların yazımı için standart yol, artış sırasına göre onları kolayca sıralamayı sağlar ve bir sayının diğerinden ne kadar büyük olduğu fikrini verebilir.Bilimsel gösterimde sayıları karşılaştıralım. Örneklerimiz 5×104 ve 2×105 olsun. önce üsleri karşılaştırın. Burada 5 > 4'tür. Bu yüzden 2×105 > 5×104 olur. Eğer üsler eşitse mantis (veya katsayı) karşılaştırılır.  5 > 2 olduğundan dolayı 5×104 > 2×10410 tabanlı tetrasyon,  serisini verir. 10 sayılarının üs kulesi (tetrasyonu), ,  fonksiyonunun (ayrıca fonksiyon googolplex'de "-plex" öneki ile kısaltılır. Googol ailesine bakınız) bir fonksiyon bileşimini verir.Bunlar, her ifadenin bir büyüklük sırasına göre genelleştirildiği çok yuvarlak sayılardır. Bir sayının ne kadar büyük olduğunu belirlemenin basit yolu, bu serideki iki sayının ortasındakini belirlemektir.Daha fazla doğruluk için aradaki sayılar  formunda ifade edilebilir. Örn, 10s'li bir üs kulesi (tetrasyon) ve onun üstündeki bir sayının bilimsel gösterim şöyledir:  sayısı,  ile  arasında bir sayıdır (eğer  ise  olduğuna dikkat edin). (Tetrasyonu gerçek yüksekliklere genişletmeye bakınız.)Bir sayının "büyüklük sırası", çarpım adedi olan n tarafından belirlenebilir. 1 ile 10 arasındaki bir sayısı belirlemek için  kullanılmalıdır. Sayı  ile  arasındadır.Örn,  ifadesindeki x sayısı eğer çok büyükse, bir tane daha üs kule yapabilir ve x yerine log10x koyulur veya alt kuleden tüm sayının log10 ifadesindeki x bulunur. Eğer üs kule (tetrasyon) 10'dan farklı, bir veya daha fazla sayı içerirse, farklı sonuca sahip iki yaklaşım meydana gelir. Alttaki bir tane 10 ile genişleyen kulenin yerine geçen, üstteki 10 ile genişleyen ile aynı değildir (fakat elbetteki tüm üs kule, 10'dan farklı ve aynı adette sayı içerirse, benzer düşünce uygulanır).Eğer kulenin yüksekliği büyükse, büyük sayılar için, bunu yerine çeşitli ifadeler uygulanabilir. Eğer yükseklik yaklaşık olarak verilirse, üsttekine bir değer verme mantıklı değildir. Bu yüzden, çift ok gösterimi kullanabiliriz. Örn, . Eğer çift oktan sonraki değerin kendisi çok büyük bir sayı ise, yukarıdaki işlemler bu değere tekrarlanarak uygulanabilir.Yukarıdakine benzer şekilde, eğer 'un üssü tam olarak belli değilse, sağa bir değer vermek mantıklı değildir ve  üs gösterimini kullanma yerine, 'un üssüne 1 ekleyebiliriz. Böylece örn,  elde ederiz.Eğer 'un üssü büyükse, bu üsse çeşitli ifadeler uygulanabilir. Eğer üs tam olarak belli değilse, aynı şekilde  üs gösterimini kullanma yerine üç ok operatörünü kullanılır. Örn,  olur.Eğer üç oklu operatörün (işlecin) sağdaki argüman büyükse, yukarıdaki işlemler tekrar edilir. Örn,  sayısı ( ile  arasındadır). Bu işlem tekrarlanabilir. Böylece, üç oklu işlecin gücüne sahip olabiliriz.İlkinin avantajı, eğer b bir fonksiyon ise, bu fonksiyonun üsleri için doğal bir gösterim vardır (sadece n tane ok yazıldığında): . Örneğin:b çok büyük sayı olduğunda genellikle,  şeklinde üslü bir seri nnin değeri azaltılarak yazılır ( tam sayı üsleridir). Sondaki bir sayı gösterimi belirtir.  gibi bir sayı çok büyük olduğunda,  değeri 1 azaltılır ve 'in sağındaki her şey tekrar yazılır.Sayıları yaklaşık olarak ifade etmek için, n nin değer azalış sıralarındaki sapmalara gerek yoktur. Örneğin,  ve . Beklenenin aksine elde edilen  x sayısı çok büyüktür. x ve 10x "hemen hemen eşittir" (büyük sayıların aritmetiği için).Artan okun üstindisi büyükse, bunun için özel ifadeler uygulanabilir. Eğer bu üstindis tam olarak belli değilse, işleci belli bir üsse yükseltmek veya netür bir değer olduğunu ayarlamak için hiçbir nokta yoktur. Basitçe sağda standart bir değer kullanabiliriz. 10'u   gibi yaklaşık n ile azaltırız. Daha fazla sayı kullanmanın avantajı için yukarı ok gösterimi artık uygulanmaz ve dizi gösterimini kullanabilirizYukarıdaki işlem bu n için tekrar ve tekrar uygulanabilir. Böylece ilk okun üstindisinde  şeklinde bir gösterim elde edilir. Yoksa iç içe dizi gösterimi olmuş olacak. Örneğin:Eğer derece, elverişlilik için çok büyük ise, bu derece sayısını yazıldığı yere sayısal bir gösterim kullanılır (birçok ok yazmak yerine ok üstindisi kullanma gibi).  = (10 → 10 → n),  gibi bir fonksiyonu arttırarak bu derecelerin fnin fonksiyonel kuvveti olması sağlanır.  formunda bir sayı yazmamıza olanak verir. Burada m kesin ifade ve n ise ister kesin olsun ister olmasın tam sayıdır (örneğin: ). Eğer n büyükse, onu kısaltmak için yukarıdakilerden birini kullanabiliriz. Bu sayıların en "uygunu" fm(1) = (10→10→m→2) formundakilerdir. Örneğin,Graham sayısı ile karşılaştırma: 10 yerine 3 sayısını kullanır ve 64 ok derecesine sahiptir. En üstte 4 sayısı vardır. Burada 'dir. Ayrıca 'dir.Eğer 'deki m bilinemeyecek kadar çok büyükse, (örn, n = 1 ve yukarı doğru tekrar mye kadar giderse) sabit n kullanabiliriz. Örn, yukarı okların derece sayısı, üstindisli yukarı ok gösteriminde kendini ifade eder. f nin fonksiyonel üs gösterimini kullanma, fnin çarpım derecesini verir.  gibi bir fonksiyonu arttırma, bu derecelerin g gibi bir fonksiyonun derecesi olmasını sağlar ve  şeklinde yazılır. Buradaki m tam bilinen ve n de ister tam bilinsin ister bilinmesin bir tam sayıdır. (10→10→m→3) = gm(1). Eğer n büyükse, onu kısaltmak için yukarıdakilerden herhangi birini kullanabiliriz. Benzer şekilde örn, h gibi bir fonksiyonu da arttırabiliriz. Eğer daha çok fonksiyona ihtiyaç duyulursa her seferinde yeni bir harf kullanmak yerine sayı kullanabiliriz. Örn, bir üstindis gibi. Böylece  formunda sayılar elde ederiz. Burada k ve m bilinen ifade ve n ister bilinsin ister bilinmesin bir tam sayıdır. Yukarıdaki f için k=1, g için k=2 kullanarak (10→10→n→k) =  elde edilir. Eğer n büyükse  şeklinde, k nın içe doğru azaldığı iç içe formlar elde edilir. 'nin üs serisinin içindeki argüman, n nin değerleriyle azalır.k belirlenemeyecek kadar çok büyükse, ilgili sayı =(10→10→10→n) olarak, yaklaşık bir n ile kısaltılır. =(10→n) serisinden =(10→10→n) serisine giden işlemin, sonraki =(10→10→10→n) dizisine çok benzer şekilde gittiğine dikkat edin. Bir 10 elemanını dizi gösteriminde diziye eklemek genel bir işlemdir. Bu işlem tekrarlanabilir (önceki bölüme de bakınız). Bu fonksiyonun sonraki sürümlerini numaralandırmak için  fonksiyonu kullanılarak bir sayı belirlenebilir.Çok büyük bir sayıyı Conway dizisi ok gösterimine yazmak için, bu dizi uzunluğu için sayının ne kadar büyük olduğunu açıklanmalıdır. Örneğin sadece dizideki 10 elemanını kullanma, başka bir ifadeyle onun 10, 10→10, 10→10→10, .. serisindeki konumunu belirleme. Hatta serideki konumu bile büyük bir sayı ise, bunun için aynı teknikleri uygulayabiliriz.sayısı için n deki bir birimlik değişmenin sonucu 10 faktör olarak değiştireceğine dikkat edin.  gibi bir sayıda, 6,2'de belirli şekilleri kullanarak tam yuvarlama, üssün doğruluk değerini 50 daha az veya 50 daha çok yapabilir. Benzer şekilde  faktörü çok büyük ya da çok küçük olabilir.Aşırı büyük sayılarda göreceli hata da büyük olabilirken dikkate almak istediğimiz sayıların "büyüklüğüne yakın" bir hassasiyeti olabilir. Örneğin,Bu büyük bir hatadır. Yine de göreceli hatayı logaritmada göz önünde bulundurabiliriz. Bu sebeple 10 tabanındaki logaritmalar 10 ve 9'dur. Böylece logaritmadaki göreceli hata sadece %10 olur.Eğer a ve b küçük göreceli bir hataya sahipse üstel fonksiyonların göreceli hataları oldukça büyüktür,daha büyük göreceli hataya sahip olacaktır. Sonraki soru şöyle olacaktır: hangi seviyedeki yinelenen logaritmada iki sayıyı karşılaştırabiliriz? Göz önünde bulunduracağımız bir hassasiyet vardır"yakın büüklükte" olur. Bu iki sayı arasındaki göreceli hata büyüktür ve onların logaritmaları arasındaki göreceli hata yine büyüktür. Bununla beraber bunların ikinci yineleme logaritmalarındaki hata küçüktür:İki çok büyük sayıyı toplama ve çarpmanın her ikisinin sonucu da "yaklaşık olarak" sayılardan birine eşittir.Çok büyük kuvvete yükselen büyük bir sayı "yaklaşık olarak" aşağıdaki iki değerden birine eşittir: İlk değer ve 10, ikincinin kuvvetine. Örneğin, çok büyük n için  (megayı hesaplamaya bakınız) ve  olur. Burada , Knuth tablolarına bakınız.Meşgul kunduz fonksiyonu Σ, herhangi bir hesaplanabilen fonksiyondan daha hızlı büyüyen bir fonksiyondur. Göreceli girdi değeri küçük olsa bile kendisi kocamandır. n = 1, 2, 3, 4 için Σ(n) fonksiyonu 1, 4, 6, 13'dür. Σ(5) bilinmiyor, fakat ≥ 4098 olarak tanımlanıyor. Σ(6), en az 4,6×101439'dur.Harvey Friedman da, herhangi hesaplanabilir fonksiyonlardan daha hızlı büyüyen serilerle ilgili birkaç çalışma yapmıştır.Her ne kadar yukarıdaki tüm sayılar çok büyük olsa bile, yine de tümü sınırlıdır. Matematiğin belirli alanları sonsuz ve  sonluötesi sayıları tanımlar. Örneğin elif sayısı, doğal sayıların sonsuz serisinin nicelliğidir ve elif-bir sonraki en büyük nicel sayıdır. , gerçellerin nicelliğidir.  önermesi süreklilik hipotezi olarak bilinir.Steinhaus-Moser gösterimi; büyük sayıların yapı yöntemi bir yana bu, çokgenli grafiksel gösterimi de içerir. Geleneksel fonksiyon gösterimleri gibi alternatif gösterimler de aynı fonksiyonlarla kullanılabilirler.Bu gösterimler aslında, tam sayılarla hızlı bir şekilde artar tam sayı değişkenlerinin fonksiyonlarıdır. Fonksiyonlardaki hızlı artma bile, tekrarlı bir şekilde, bu fonksiyonları argüman olarak büyük tam sayılarla uygulayarak kolayca elde edilebilir.