Dönel cisim

Matematik, mühendislik ve imalat alanlarında kullanılan dönel cisim, bir eğriyi aynı düzlemde bulunan bir doğru (dönme ekseni) etrafında döndürülerek elde edilen şekildir.Eğrinin dönme eksenini geçmediği kabul edilirse; dönel cismin hacmi, şeklin ağırlık merkezini merkez kabul eden dairenin uzunluğu ile şeklin alanının çarpımıdır (Pappus'un Ağırlık Merkezi Teoremi).Bu eleman (w uzunluğunda) bir doğru parçasının (r birim uzaklıkta) bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulur. Böylece πr2w birimlik silindirik hacim çevrelenmiş olur.Dönel cismin hacmini bulmak için sıklıkla kullanılan iki integrasyon yöntemi, disk yöntemi ve kabuk yöntemidir. Bu yöntemleri uygulamak için, grafik çizmek en kolayıdır; dönme ekseni etrafında döndürülecek alan belirlenir; dönel cismin δx kalınlığına sahip disk şeklindeki bir diliminin ya da δx genişliğindeki silindirik bir kabuğun hacmi bulunur ve bu hacimlerin δx 0'a yakınsarkenki limit toplamı hesaplanır. Bu limit değeri, uygun bir integral hesaplanarak da bulunabilir.Disk yöntemi, çizilen dilimin dönme eksenine dik olduğu zaman yani dönme eksenine paralel integrasyon gerçekleştirilirken kullanılır.ve  eğrileri ve  ve  doğruları arasında kalan alan x-ekseni etrafında döndürülerek oluşan dönel cismin hacmi şöyle ifade edilir:Eğer g(x) = 0 ise (yani bir eğri ile x-ekseni arasındaki alan döndürülüyorsa) formül şöyle indirgenir:Bu yöntem üst noktası  alt noktası  olmak üzere yatay olarak uzanan çok ince bir dikdörtgen ile görselleştirilebilir. Bu dikdörtgen y-ekseni etrafında döndürülürse yüzük biçimini alır ( ise disk olur). Bu yüzüğün dış yarıçapı f(y) iç yarıçapı ise g(y) olur. R dış yarıçap (bu durumda f(y)), r iç yarıçap (bu durumda g(y)) olmak üzere bu yüzüğün alanı  dir. Aralıktaki tüm alanları toplamak toplam hacmi verir. Bu yüzden her bir sonsuz küçük diskin hacmi  dir. Bu disklerin a ve b aralığındaki sonsuz toplamı açıkça integral (1) şeklinde kendini gösterir.Silindir yöntemi, çizilen dilimin dönme eksenine paralel olduğu zaman yani dönme eksenine dik integrasyon gerçekleştirilirken kullanılır.ve  eğrileri ve  ve  doğruları arasında kalan alan y-ekseni etrafında döndürülerek oluşan dönel cismin hacmi şöyle ifade edilir:Eğer g(x) = 0 ise (yani bir eğri ile x-ekseni arasındaki alan döndürülüyorsa) formül şöyle indirgenir:Bu yöntem  yüksekliğine sahip ve dikey olarak uzanan çok ince bir dikdörtgen ile görselleştirilebilir. Bu dikdörtgen y-ekseni etrafında döndürülürse silindirik kabuk biçimini alır. r yarıçap (bu durumda x) h yükseklik (bu durumda ) olmak üzere bir silindirin yanal alanı  dir. Aralıktaki tüm yüzey alanlarını toplamak toplam hacmi verir.Bir eğri  parametrik formunda  aralığında tanımlandığında, eğriyi x-ekseni veya y-ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan dönel cisimlerin hacmi şöyle verilir:Aynı şartlar altında eğriyi x-ekseni veya y ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan dönel cisimlerin yüzey alanları şöyle verilir:CliffsNotes.com. Volumes of Solids of Revolution. 12 Apr 2011 <https://web.archive.org/web/20120319195953/http://www.cliffsnotes.com/study_guide/topicArticleId-39909,articleId-39907.html>.Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 ()