Hurwitz zeta fonksiyonu

Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla zeta fonksiyonu denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1 ve q 'nun Re(q)>0 yardımıylaBu serinin tanımı verilen s ve q değerleri için mutlak yakınsaktır. Meromorf fonksiyon'a genişletilebilir. Bütün s≠1 değerleri için geçerlidir. Riemann zeta fonksiyonu için ζ(s,1)dir.Hurwitz zeta fonksiyonu için analitik devamlılık genişletilirse meromorf fonksiyon olarak tanımlanır, bütün kompleks sayılar için s ile s ≠ 1. s = 1 bir basit kutup vardır. artık 1. Sabit terimlerle verilirseq > −1 ve herhangi kompleks s ≠ 1 için bir yakınsak seri gösterimi tanımı 1930'da Helmut Hasse tarafından verildi.:Bu yakınsak seri s-düzleminde tam fonksiyon'un tekdüze tıkız altküme'sidir. Burada  n inci ileri fark iç toplamı olarak görülebilir; bu şöyledir,Zetanın kompleks düzlemde sağ sol yarı düzlemde fonksiyonel denklem'le ilişkili değerleri  tam sayıları içintam sayı değerleri için N değişke için s tir. Bakınız Faulhaber formülü tam sayıların kuvvet serisi sonlu toplamı için benzer bir ilişki.Burada ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradaki ikinci formun fonksiyonel denklem'in orijinali Riemann tarafından verilen Riemann zeta fonksiyonu olduğu unutulmamalıdır. z ayrık tabanlı bir tam sayı olmalıdır ve burada z nin  için Jacobi teta fonksiyonunun Dirac delta fonksiyonu'na yakınsaması hesaplanamaz.Dirichlet L-fonksiyonu ile Hurwitz zeta fonksiyonu lineer kombinasyon olarak ifade edilebilir. aynı şekilde:ζ(s) eşitlik q=1, q=1/2 ve q=n/k ve bunun yanında k>2, (n,k)>1 ise 0<n<k ise .(2s-1)ζ(s),ya gider Hurwitz zeta fonksiyonu,Riemann zeta fonksiyonu ile çakışır ve,sonuç olarakEğer "q" = 1 ise Hurwitz zeta fonksiyonu kendini Riemann zeta'ya indirger, q = 1 / 2 durumunda ise basit bir fonksiyonun s karmaşık argümanı çarpımı ile Riemann zeta fonksiyonuna indirgenir (s için yukarıya bakınız), her durumda Riemann zeta fonksiyonunda sıfır ile çalışmak zordur. Özellikle, burada daha gerçel kısmı 1 veya daha büyük ve hiçbir sıfır olmayacaktır. Ancak,Hurwitz's zeta fonksiyonu için 0 <q <1 ve q ≠ 1 / 2, olduğunda ise o zaman 1<Re(s)<1+ε aralığında ε gerçeldir. . Bu Davenport ve Heilbronn tarafından [2] rasyonel ve cebirsel olmayan irrasyonel q ve Cassels tarafından [3]ise cebirsel irrasyonel q için ispat edildi.The Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values (given by Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, reference below). In particular, values in terms of the Euler polynomials :For integer values of ν, these may be expressed in terms of the Euler polynomials. These relations may be derived by employing the functional equation together with Hurwitz's formula, given above.Hurwitz zeta fonksiyonu'nun birçok disiplin içinde uygulamaları vardır . En yaygın, sayı teorisi'nde ortaya çıkar, ve gelişmiş derinleşmiş teoridir.. Bunun yanında, fraktal'ler ve dinamik sistemler'in derinlemesine araştırılmasında kullanılır.istatistik uygulamalarında ;Zipf's kanunu ve Zipf-Mandelbrot kanunu'nda..parçacık fiziği'nde; Julian Schwinger'in bir formülünün içindeki  dirac'ın bir oranı düzgün elektrik alanındaki elektron çift üretimi için kesin sonuç verir.Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.)Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630.Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201–206.