Birim vektör

Matematikte, uzunluğu 1 (birim uzunluğu) olan ve uzayda bir norma sahip olan vektöre birim vektör denir. Birim vektör genellikle ‘û‘ gibi şapkalı ve küçük harflerle ifade edilir.Mutlak u,u vektörünün normunu (veya uzunluğunu) verir. Bu normalize vektör bazen birim vektörün eş anlamı olarak da kullanılır.Bir kaynağın veya bir ilkenin elementleri  birim vektör olmak üzere seçilebilir. Uzaydaki her vektör birim vektörün linear bileşenleri  olarak yazılabilir. En çok rastlanılan kaynaklar Kartezyen, polar ve küresel koordinatlarıdır. Her biri, koordinat sisteminin simetrisine göre farklı birim vektörleri kullanır. Bu sistemler çok farklı içeriklere sahip oldukları için burada kullanıldıklarından daha farklı bir kullanıma rastalamak pek yaygın değildir.Tanım olarak, Öklid geometrisi’nde  iki birim vektörün nokta çarpımı basitçe aralarındaki açının cosinüsüdür. Üç boyutlu Öklid geometrisi’nde ise, iki dikey birim vektörün çapraz çarpımı diğer bir birim vektöre eşittir.Birim vektörler, Kartezyen koordinat sisteminin eksenlerini ifade etmek için de kullanılabilir. Örneğin, üç boyutlu x,y,z  eksenlerinde eş yönlü birim vektörün Kartezyen koordinat sistemi;Genellikle, standart birim vektör işaretlerinden() farklı olarak normal vektör işaretleri (i ya da) ile gösterilirler. Birçok yerde i,j  i, j,  k, ve(  ve )3D Kartezyen koordinat sisteminin versorları olarak varsayılabilir. Ayrıca bu işaretler  , , , or ,  hat, şapkalı veya şapkasız olarak kullanılır. Kaynaklarda özellikle i,j,k başka bir niceliğe sahip olan bir karışıklığa sebep olabilir (örneğin,i,j,k gibi içerik sembolleri bir takımın elementleri, sırası veya çeşitlilik dizisi olarak tanımlanabilir).Uzaydaki bir birim vektör i,j,k 'nın çizgisel kombinasyonları olarak, kartezyen sembolleri ile ifade edildiğinde, bu üç bileşen kosinüs fonksiyonun yönü olarak tanımlanabilir. Her bir bileşenin değeri ayrı ayrı vektörle birim vektörün arasında oluşturdukları açının kosinüsüne eşittir. Düz bir çizginin, çizginin bir kısmının, açısal eksenlerinin veya açısal eksenlerin bir parçasının tanımlamak için kullanılan yöntemlerden bir tanesidir.ve  ’nin fonksiyonları olduğunu belirtmek önemlidir ve sabit bir yönleri yoktur. Silindirik koordinatlarda türevleyerek ve integralini alarak, bu vektörleri çalıştırabiliriz. Daha eksiksiz bir açıklama için, Jacobian matrix'e bakınız. Fonksiyonun  türevleri şunlardır;Küresel bir simetriye uygun birim vektörleri: , orjinden artan radyal uzunluğun yönü   x-y düzleminde saat yönünün tersi yönde gelen pozitif x ekseni artmaktadır; ve   , z ekseni yönündeki pozitif gelen açı artmaktadır. Bozulmayı, çakışıklığı en aza indirmek için, polar açı genellikle  alınır. Sıklıkla  ve gösterilen, küresel koordinatlarda yazılmış herhangi bir düzen üçlü bağlamına dikkat etmek özellikle önemlidir. Amerikan fizik kongresinde de kullanılmıştır. Bu azimutal açı yaparak   silindir koordinatlar da bunun aynısı olarak tanımlanır. Kartezyen ilişkileri şunlardır:Küresel birim vektörler hem  hem ’a bağlıdır ve dolayısıyla beş tane sıfır olmayan türevleri vardır. Daha eksiksiz bir açıklama için Jakobien bakınız. Sıfır olmayan türevleri;Genellikle, koordinat sistemi benzersiz bir vektör numarası kullanılarak belirtilebilir. Bağımsız birim vektörleri  uzayın serbestlik derecesine eşittir. Sıradan 3 uzayı için; bu vektörler  ifade edilebilir. Bu sistemi tanımlamak ve ortonormal olmak için her zaman uygun olan denklemler;δij Kronecker delta’dır (i = j dir ve sıfırdan farklıdır) ve   Levi-Civita symbolüdür (permütasyon düzenlerinin bir tanesidir  ijk' ve  eksi sıralı permütasyonu kji''.