Hiperbolik fonksiyon

Matematikte, hiperbolik fonksiyonlar sıradan trigonometrik fonksiyonların analogudur. Temel hiperbolik fonksiyonlar hiperbolik sinüs "sinh", hiperbolik kosinüs "cosh", bunlardan türetilen hiperbolik tanjant "tanh"  ve benzer fonksiyonlardır. Ters hiperbolik fonksiyonlar alan hiperbolik sinüsü "arsinh" ("asinh" ya da "arcsinh" olarak da gösterilir) ve benzeri fonksiyonlardır.(cos t, sin t) noktalarının birim yarıçaplı bir çember oluşturması gibi, (cosh t, sinh t) noktaları da eşkenar hiperbolün sağ yarısını oluşturur. Hiperbolik fonksiyonlar, zincir eğrisini tanımlayan denklem ile elekromanyetik teori, ısı transferi, akışkanlar dinamiği ve özel görelilik gibi fiziğin çeşitli alanlarında önemli bir denklem olan Kartezyen koordinat sisteminde Laplace denklemi gibi lineer diferansiyel denklemlerin çözümlerinde görülür.Hiperbolik açı adı verilen gerçek bağımsız değişkenler için hiperbolik fonksiyonların değeri de gerçektir. Karmaşık analizde ise basitçe üstel fonksiyonların rasyonel fonksiyonlarıdır, dolayısıyla meromorf fonksiyonlardır.Hiperbolik fonksiyonlar, 1760'larda birbirlerinden bağımsız olarak Vincenzo Riccati ve Johann Heinrich Lambert tarafından tanımlanmıştır. Riccati dairesel fonksiyonlar için Sc. ve Cc. ([co]sinus circulare) hiperbolik fonksiyonlar için ise Sh. ve Ch. ([co]sinus hyperbolico) kısaltmalarını kullanmıştır. Lambert aynı isimleri kullanmış ancak kısaltma olarak günümüzde kullanılan kısaltmaları kullanmıştır. sh ve ch kısaltmaları Fransızca ve Rusça gibi bazı dillerde günümüzde de kullanılmaktadır.Kabul edilen konvansiyon gereği, sinh2 x, (sinh x)2 anlamına gelir ve sinh(sinh x) demek değildir. Bu kabul pozitif üstler ile diğer hiperbolik fonksiyonlar için de geçerlidir. Hiperbolik kotanjant fonksiyonu ctnh x olarak da yazılır ama coth x gösterimi daha yaygındır.Hiperbolik sinüs ve kosinüs,  Pisagor trigonometrik özdeşliği'ne benzeyen aşağıdaki özdeşliği sağlarsinh x fonksiyonunun Taylor dizisi gösteriminde x için yalnızca tek üstel bileşenler bulunur. Tek fonksiyon olduğundan ötürü −sinh x = sinh(−x) ve sinh 0 = 0 doğrudur.cosh x fonksiyonunun Taylor dizisi gösteriminde x için yalnızca çift üstel bileşenler bulunur. Dolayısıyla çift fonksiyondur yani y-eksenine göre simetriktir. sinh ve cosh dizilerinin toplamı üstel fonksiyonun sonsuz dizi gösterimidir.B birim çemberi oluşturur. Doğal olarak  = {(1,0)} dır. Aradaki temel fark t → B periyodik fonksiyon iken t → A değildir.Hiperbolik fonksiyonlar trigonometrik özdeşliklere biçimsel olarak benzeyen birçok özdeşliği sağlar. Aslında, Osborn kuralı herhangi bir trigonometrik özdeşliğin, sinüs ve kosinüslerin üstlerinin integrali olarak genişletildiğinde, sinüsün sinh'a, kosinisün cosh'a değiştirilmesi ve 2, 6, 10, 14, ... sinh çarpımı içeren tüm terimlerin işaretinin değiştirilmesiyle hiperbolik özdeşlikler elde edileceğini gösterir. Örneğin toplama teoremleri:sinh x 'in türevi cosh x ve cosh x 'in türevi sinh x 'tır. Bu dairesel fonksiyonlara benzer ancak işareti farklıdır (örneğin, cos x 'in türevi −sin x 'tir).Gudermannian fonksiyonu karmaşık sayıları içermeyen hiperbolik fonksiyonlar ile dairesel fonksiyonlar arasında doğrudan bağıntıları verir.a cosh(x/a) fonksiyonunun grafiği zincir eğrisi, yani uniform esnek bir zincirin iki sabit noktadan asıldığında uniform yerçekimi kuvveti etkisiyle oluşturduğu eğridir.Bu gösterimler, karmaşık üstel fonksiyonların toplamı olarak, Euler denklemine göre sinüs ve kosinüs gösterimlerine benzerdir.Herhangi bir karmaşık değişken için üstel fonksiyon tanımlanabildiği için hiperbolik fonksiyonların tanımları karmaşık değişkenlere de uygulanabilir. Dolayısıyla sinh z ve cosh z fonksiyonları holomorf fonksiyondur.Dolayısıyla hiperbolik fonksiyonlar  (hiperbolik tanjant ve kotanjant için ) periyoduyla imajiner bileşen için periyodiktir.