Lp uzayı

Matematik'te Lp uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un  doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen Lebesque uzayı denir.İlk Frigyes Riesz (Riesz 1910) tarafından Bourbaki grubu   olarak  tanıtılmasına  rağmen,Henri Lebesgue ,  adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını Lp uzayı formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.Öklid norm'u tarafından   n-boyutlu  gerçel vektör uzayı Rn içinde verilen  bir vektörün uzunluğu x = (x1, x2, …, xn)  genellikle:Öklid uzunluğu  x ve y gibi iki nokta arasındaki   düz çizginin uzunluğudur,birçok durum içinde,Öklid uzaklığı belirli bir alanda gerçek mesafeleri yakalamak için yetersizdir.örneğin,taksi sürücüleri için Manhattan uzunluk ölçüsü gitmesi gereken yerlere düz çizgi uzunluğu açısından değildir,ama Manhattan mesafesi terimlerinin içinde sokakların birbirine dik veya paralel olduğu dikkate alınır. p-norm sınıflarının genellemesi burada iki örnektir ve  matematik,fizik ve bilgisayar bilimleri'nin birçok parçasının içindeki uygulamalar bolcadır.Yukarıdan Öklid norm bu sınıfa düşer ve 2-normdur ve 1-norm karşılık gelen norm Manhattan mesafesi'dirL∞-norm veya en büyük norm (veya tektip norm)   için Lp-normları limitidir.Bu limitin aşağıdaki tanım eşdeğer olduğu ortaya çıktı:Bütün p ≥ 1 için,p-normlar ve maksimum norm olarak yukarıda tanımlanan gerçekten bir "uzunluk fonksiyonu" özelliklerini karşılayacak bir (veya normdur), normda şunlar vardır:İki vektör toplamının uzunluğu vektörlerin uzunlukları toplamından daha büyük değildir (üçgen eşitsizliği).teorik olarak, bunun anlamı Rn ile beraber  p-norm  bir Banach uzayı'dır. Bu Banach uzayı  Rn  üzerinde bir Lp-uzayıdır.Bu iki nokta arasındaki grid uzaklığı ("Manhattan uzaklığı") aralarında çizgi parçasının uzunluğu asla daha kısa değildir bu sezgisel açıktır (mesafe "kuş uçuşu" Öklid veya),biçimsel olarak, herhangi bir vektör öklid norm olan 1-norm ile sınırlı olduğu anlamına gelirherhangi bir vektör x ve gerçek sayılar p ≥ 1 ve a ≥ 0 için. (Aslında bu 1>p>0 ve a ≥ 0 için doğru kalır.)Bu eşitsizlik boyut temel vektör alanı n e bağlıdır ve aşağıdaki Cauchy-Schwartz eşitsizliği ile doğrudan,için derece 1'in mutlak bir homojen fonksiyonu tanımlanır; bununla birlikte bir F-norm sonuç fonksiyon tanımlamaz, çünkü bu altoplamsal değildir.  için  içinde,  için formülGerçi bu metrik içinde çıkış Bnp çevresinde -birim top  "içbükey"dir, topoloji  metrik ile  üzerinde tanımlanır ve  'nın topolojisi genel vektör uzayıdır, bu nedenle ℓnp bir yerel dışbükey topolojik vektör uzaydır. Bu niteliksel beyanı ötesinde,ℓnp'in dışbükeyliğinin eksikliğini ölçmeye bir nicel yol -birim top'un C Bnp gibi çoklu  ile ifade edilen  en küçük sabiti  Bnp'nin dışbükey gövdesini içerir.Bn1 ya eşittir. sabitlemek için aslında elimizdenorm l0 'ın matematiksel tanımı Banach tarafından Doğrusal Operasyon Teorisi ile kurulmuştur. Bu uzayı  dizisinin F-norm tarafından sağlanan bir tam metrik topolojisi idi.,Metrik Doğrusal Uzaylar içinde Stefan Rolewicz tarafından verilen derslerdir. Bu l0-normlu uzay fonksiyonel analizde çalışılmıştır, olasılık teorisi, ve harmonik analizde.Diğer fonksiyon  l0 "norm" olarak adlandırılmıştı David Donoho tarafından —tırnak işareti olan bu fonksiyonun uygun bir norm olmadığına gösterir— x vektörünün sıfır-olmayan sayı girişidir. Birçok yazarın tırnak işaretleri atlanması ile kötü terminoloji'dir .00 = 0 tanımı, xın sıfır "norm"u  ya eşittir.Bu bir norm değildir.(B-norm, "B" ile Banach için)çünkü homojen değildir. Matematiksel bir norm olarak bu hatalarına rağmen, sıfır-dışı sayılabilir "norm"  bilimsel hesaplamalar, bilgi teorisi, ve istatistikler – özellikle sıkıştırılmış algılama'da  işaret işleme'de ve bilişimsel harmonik yerel analiz'de kullanımı vardır.p-norm bileşenlerin sonsuz sayıda vektörleri genişletilebilir,  alanı sağlar ki,bu gibi özel durumlarda içerir:Dizilerin uzayı koordinat toplama ve skaler çarpımın koordinatlara uygulanmasıyla doğal bir vektör uzayı bir yapıya sahip olur.Burada,bir komplikasyon ortaya çıkar, yani bu seri;gerçekten her zaman yakınsak değildir, örneğin,tek olanlar dizisi oluşur,Her sonlu  p ≥ 1 için (1, 1, 1, …), p-norm (uzunluk) sonsuz olacaktır . ℓp uzayı ardından p-norm sonlu olduğu gibi gerçek (ya da karmaşık) sayıların tüm sonsuz sıraları kümesi olarak tanımlanır.p-norm böylece ℓp üzerinde tanımlı  gerçek bir normdur, ve ℓp ile beraber bu norm  bir Banach uzayıdır. Tam genel olarak Lp uzayı elde edilir. — aşağıda görüldüğü gibi —, sonlu ya da sayılabilir-sonsuz birçok bileşenleri değil sadece vektörleri dikkate alınarak,fakat " keyfi birçok bileşen"; başka bir deyişle, fonksiyonları.Bir integral bunun yerine bir  p-norm toplamı tanımlamak için kullanılır.Diyelim ki 1 ≤ p < ∞ ve (S, Σ, μ)  bir ölçü uzayı olsun, tüm ölçülebilir fonksiyon'ların kümesini düşünün S den  C ye(veya R) olan mutlak değer yükseltilmiş p-inci kuvvetten  sonlu integral idi, veya eşdeğeri, şudurBu fonksiyonlar kümesi aşağıdaki doğal işlemleri ile, her skaler λ için  bir vektör uzayı oluşturur:Bu ikisinin toplamı S integrallenebilir fonksiyonların gücü yine pi güç integrallenebilir aşağıdaki eşitsizliğinden  |f + g|p ≤ 2p-1 (|f|p + |g|p). Aslında, daha doğrudur Minkowski eşitsizliği denilen üçgen eşitsizliği içinde geçerlidir· p. Böylece pinci güç integrallenebilir fonksiyonların kümesi, ile birlikte bu fonksiyon  · p,  bir yarınorm'lu vektör uzayıdır,  ile ifade edilir.Bu standart bir şekilde bir normlu vektör uzayı içine yapılabilir; biri sadece bölüm uzayı alır sırası ile · p' nin çekirdeği'dir  durum bu iken  herhangi ölçülebilir fonksiyon f için, bizim  fp = 0  var, yalnız ve yalnız f = 0 hemen hemen her yerde,  · p'in çekirdeği bağlı değildir p,Bölüm Uzayda, iki fonksiyon f ve g ayrı ayrı eğer f = g ise hemen hemen her yerdedir. Sonucu normlu vektör uzayının, tanımından,p = ∞ için, the space L∞(S, μ) uzayı  aşağıda tanımlanmıştır. Tüm ölçülebilir fonksiyonların  seti ile başlarız S den C ye (veya R ye)  temelde sınırlıdır, yani ölçümü sıfır olan bir küme ile sınırlanmış. Yine iki tür fonksiyonlar ayrıştırlırsa bu hemen hemen her yerde eşittir. Bu kümeyi gösterelim L∞(S, μ). L∞(S, μ) içindeki f, bu zorunlu üstünlük uygun bir norm olarak sunulmaktadır:1 ≤ p ≤ ∞, Lp(S, μ) için Banach uzayıdır. Gerçek şu ki Lp  tam dır sık sık Riesz-Fischer teoremi ne başvurulur. Tamlık Lebesgue integral için yakınsama teoremleri kullanılarak kontrol edilebilir. Temel ölçüm aralığı S anlaşıldığı zaman, Lp(S, μ)  genellikle kısaltılmıştır Lp(μ) veya sadece Lp.  Yukarıdaki tanımlar Bochner uzayı'na  genellenebilir.p = 2; ise  ℓ2 gibi uzay, bu uzay L2 yalnızca bu sınıfın Hilbert uzayı'dır. Karmaşık durumda, iç-çarpım olarak  L2 tanımlanırsa,Ek iç çarpım yapısı uygulamaları ile daha zengin bir teori sağlar, örneğin, Fourier serileri ve kuantum mekaniği.L2 içindeki  fonksiyonlara integrallenebilir kare fonksiyonlar denir, 'karesi integrallenebilir fonksiyonlar veya'''  'toplanabilir kare fonksiyonlar- ama bazen bu koşulları, Riemann integrali böyle bir anlamında diğer bazı anlamda karesi integrallenebilir işlevleri, için ayrılmıştır .Eğer karmaşık-değerli fonksiyonlar kullanıyorsak,  L∞ uzayı noktasal çarpım ve birleşme ile bir birleşmeli C*-cebri'dir.Birçok ölçüm uzayları için, tüm sigma-sonlu olanlar dahilinde,bu aslında bir birleşmeli bir von Neumann cebri'dir.  L∞ nin ögesiyle  çarpımı  herhangi Lp uzayı üzerinde bir sınır operatör tanımlar.ℓp uzayı (1 ≤ p ≤ ∞) Lp uzayının bir özel durumudur,S ise, N  pozitif tam sayı kümesidir ve μ ölçüsü  N in sayılabilir ölçüm 'üdür.  Daha genel olarak, L p uzayının sayılabilir ölçüm sonuçlarının kümesi ile S beraber düşünüldüğünde ℓp(S) ile ifade edilir. örneğin, ℓp(Z) uzayı tam sayılarla indislenmiş uzaydır ve öyleyse bir uzay olarak p-norm tüm tam sayılar üzerinde bir toplamları ile tanımlanır  ℓp(n) uzayı, burada  n ögeli bir kümedir,Rn ile  p-norm olarak yukarıda tanımlanmıştır.Herhangi bir Hilbert uzayı olarak, her L2 uzayı doğrusal uygun bir için izometrik ℓ2(I),burada özel  olarak L2 nin bir keyfi Hilbertyen tabanının I kümesi önemlidirÇift uzay Lp(μ)'nin çift uzayı (sürekli doğrusal tüm fonksiyonellerin uzayı)  1 < p < ∞ için Lq(μ) ile  doğal bir izomorfizm idi.,burada q   1/p + 1/q = 1 sağlar, g ∈ Lq(μ) ile κp(g) yi ilişkilendiren fonksiyonel  ∈ Lp(μ)∗ tanımı ile aşağıdadır.Aslında  κp(g) si iyi tanımlanmış ve sürekli Hölder eşitsizliği aşağıdadır. κp göndermesi  Lq(μ)'den  Lp(μ)∗ ye doğrusal gönderme içindedir,Hölder eşitsizliği ile bir izometrisi sıra dışı durumdur.Bunu (Radon–Nikodym teorem'i ile göstermek de mümkündür, bkz) bu herhangi G ∈ Lp(μ)∗ bağıntısı ile gösterilebilir:yani,bu κp üzerindedir. böylece κp  üzerinde ve izometrik ve bir Banach uzayı'nın bir  izomorfizm'idir . Birlikte bu (izometrik:şekil değiştirme yok) izomorfizmi hatırlayın,basitçe söylemek gerekirse  Lp nin çifti Lq"dir"  ise 1 < p < ∞, Lp(μ) uzayı yansıtılabilir. Diyelimki κp yukarıdaki gönderme ve diyelimki  κq  doğrusal izometri olsunkarşılığı  Lp(μ) den  Lq(μ)∗üzerinedirLp(μ)'dan  Lp(μ)∗∗ 'ya, bir düzen ile elde edilir κq ile  κp'nın birbirlerinin tersidir.Devrik (veya eşlenik),Lp(μ) nin   sıklığı ile kanonik gömme J  kendi ikinci sıra duali içine,dahası, jp göndermesi üzerinedir, iki üzerine izometrinin uyumu olarak,ve bu yansıtılabilirliği kanıtlıyor.Eğer ölçü μ olarak S  sigma-sonlu ise L1(μ) dualdir L∞(μ)'ya izometrik izomorftur(daha doğrusu, κ1 haritasıp = 1 karşılar bir izometridir L∞(μ)'dan  L1(μ)∗) üzerinedir.L∞'nin bu çifti zekicedir. (L∞(μ))∗'nin ögesi ayrıştırılabilir ile sınır işareti sonluluk toplamsal ölçüsü olarak  S bu mutlak süreklilik ile sırası  μ yedir,daha detay için bak ba uzayı.Biz seçimin aksiyomu varsayarsak, L1(μ) içinde bazı önemsiz durumlar dışında bu uzay çok daha büyüktür.Ancak, Zermelo-Fraenkel küme teorisi nispeten tutarlı uzantıları vardır ve  ℓ∞nin duali ℓ1dir.Bu, Shelah'nın bir sonucudur.Eric Schechter'in dersleri içinde Analizin el kitabı ve temelleri'dirHalk dilinde olan bir terim, eğer 1 ≤ p < q ≤ ∞, Lp(S, μ) ise daha yerel tekil olan işlevler içerir, Lq(S, μ) elemanları ise daha yayılmış olabilir. (0, ∞) yarım satırı üzerinde Lebesgue ölçümü düşünün.L1 içindeki sürekli bir fonksiyondur,0'a yakınsa havaya uçurmak gerekir ama sonsuza doğru yeterli oranda hızlı çürüme gerekir. Öte yandan, L∞ içindeki sürekli fonksiyonlardır,hiç çürümeye gerek yok ama şişirmeye izin verilir.Kesin bir teknik sonuç şudur:Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ ∞. Lq(S, μ) içeriyor yani Lp(S, μ)  ancak ve ancak S içindedir, keyfi büyük ölçüde kümeleri içermez ve,Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ ∞. Lp(S, μ) içeriyor Lq(S, μ) S ancak ve ancak sıfırdan küçük keyfi ölçüde kümeleri içermez.Özellikle,bağlı olan  etki alanı S ise sonlu ölçü, (Jensen eşitsizliği'nin bir sonucu)Lq uzayının anlamı Lp içinde kesintisiz gömülüdür.Demek ki,kimlik operatörü sınırlı doğrusal harita Lq dan Lp ye'dir.  Yukarıdaki eşitsizlik görünen sabit en uygunudur, I : Lq(S, μ) → Lp(S, μ) is kesin olarakf = 1 a.e.[μ].eşitlik durumu tam olarak ne zaman elde ediliyor?Diyelimki (S, Σ, μ) be bir uzay uzunluğudur.Bir integrallenebilir basit bir fonksiyon f  olarak S  formunun biridirburada aj skalerdir ve Aj ∈ Σ  sonlu ölçü idi,j = 1, …, n için.integral'inin yapısı tarafından,Lp(S, Σ, μ) içinde integrallenebilir basit fonksiyonların vektör uzayında yoğundur.Dahası S  bir metriklenebilir topolojik uzay ve Σ  dır.Bu Borel σ–cebri'dir, yani,S  alt kümesinin daraltılmış σ–cebrinin açık kümesi'ni içeriyor.Varsayalımki  V ⊂ S bir açık küme ile  μ(V) < ∞ dir.Her Borel kümesi  için sağlanabilir V içinde,A ∈ Σ  içeren ve her ε > 0 için, burada bir kapalı küme F  vardır ve bir açık küme U  dur böyleceEğer açık kümelerin sonlu ölçüde artan dizisi tarafından karşılanabilir (Vn) S  var,ise  p–integrallenebilir sürekli fonksiyonlar uzayının Lp(S, Σ, μ) içindeki yoğunluktur,daha doğrusu, açık kümelerin bir Vn dışında kaybolan sınırlı sürekli fonksiyonları kullanılabilir.Bu özellik geçerli olduğunda S = Rd ve eğer μ Lebesgue ölçüsü ise,sürekli ve tıkız desteklenen fonksiyonlar uzayı  Lp(Rd)  yoğundur. Benzer şekilde,integrallenebilirlerin uzayı basamak fonksiyonu  dur. Lp(Rd) içindeki yoğunluktur.Bu uzay sınırlı aralıkların göstergesinin fonksiyonlarının doğrusal süresi d = 1 ise, sınırlı dikdörtgenlerin  d = 2 ise ve daha genel olarak sınırlı aralıklarının çarpımları ise; Genel fonksiyonları çeşitli özellikleri Lp(Rd) içindedir.İlki (bazen basamak fonksiyonlar için) sürekli ve tıkız desteklenen işlevler için kanıtlandı,sonraki tüm fonksiyonlara yoğunluk tarafından genişletilmiştir.Örneğin,ötelemenin sürekli olduğu Lp(Rd) şeklindede kanıtlanmıştır aşağıdaki anlamda:her f ∈  Lp(Rd),içint ∈ Rd ise 0'a gider, burada   tarafından çevrilen fonksiyon olarak tanımlanır.Fourier dönüşümü için gerçek çizgi(sırası ile. periyodik fonksiyonlar için, cf. Fourier serisi) haritaları Lp(R) ya Lq(R) (resp. Lp(T) ya ℓq), burada 1 ≤ p ≤ 2 ve 1/p + 1/q = 1. Bu,Riesz-Thorin interpolasyon teoremi'nin bir sonucudur ve Hausdorff-Young eşitsizliği ile hassas yapılır.Hilbert uzayı birçok uygulamanın merkezindedir, kuantum mekaniği'nden  rassal hesabı'na kadar. Bu  L2 ve ℓ2 her iki uzay Hilbert uzayıdır.aslında seçilen bir Hilbert  tabanın,ℓ2(E) tüm Hilbert uzayları için izometrik olduğu görülür  burada E uygun bir önem düzeyi olan bir kümedir.İstatistikde, bu, ortalama, medyan ve standart sapma olarak merkezi eğilim ve istatistiksel dağılım ölçüleri Lp ölçümleri açısından tanımlanır ve merkezi eğilim ölçüleri varyasyonel sorunlara çözüm olarak karakterize edilebilir.Diyelimki (S, Σ, μ) bir ölçü uzayıdır.  eğer 0 < p < 1, ise Lp(μ) aşağıdaki tanımlanabilir: ölçülebilir böyle fonksiyonların vektör uzayı f böyleceama || · ||p bu durumda, üçgen eşitsizliği doyurucu değildir, ve yalnızca bir kuazi-norm tanımlıyor.bir Lp(μ) bir metrik ve sonuç olarak tam metrik uzaydır doğrulama ailevi duruma benzer  ise p ≥ 1 dir.Lp çerçevesi içerisinde bir ters Minkowski eşitsizliği  uygundur  böylece u ve v için in LpBu sonuç kullanıcıya Clarkson eşitsizliğini sağlar, which are in turn used to establish the tektip dışbükeylik of Lp uzayının 1 < p < ∞ için .0 < p < 1  Lp uzayı için bir F-uzayı şudur:o bir tam öteleme-değişmezi metrik sırasıyla  vektör uzayı için süreklilik operasyonu olduğunu kabul eder o ayrıca yerel sınır gibidir  daha çok  p ≥ 1 durumu gibidir. Bir F-uzayının prototip örneğidir ;en mantıklı ölçüm uzayı için,yerel dışbükey değildir: ℓp  içinde veya Lp([0, 1]), her açık dışbükey küme  0 fonksiyon içeren  p-sözde-norm için sınırlıdır; bu nedenle 0 vektör  dışbükey komşuluğun bir temel sistemine sahip değildir.Özel olarak, bu pozitif ölçümün sonlu kümelerinin parçalarının bir sonsuz ailesi  dahilinde ise S  ölçüm uzayı  doğru ölçülebilir.Lp([0, 1]) içinde yalnızca boş olmayan açık kümenin  tüm uzaydır  . Belirli bir sonucu olarak, burada are no nonzero linear functionals on Lp([0, 1]): dual uzayı  sıfır uzaydır.Doğal sayılar (dizi uzayı  üreten Lp(μ) = ℓp) üzerinde sayılabilir ölçünün durumu içinde sınırlı doğrusal fonksiyoneller  ℓp olarak  tam olarak budur ve ℓ1 sınırdır,yani bu verilen  ℓ∞ içindeki dizi tarafından verilen  ℓp  ye rağmen önemsiz olmayan dışbükey açık kümeler içermektedir, bunların topolojisine yeteri kadar  bir taban vermek için başarısız.Doğrusal olmayan fonksiyonların durumu analiz yapma amaçları için son derece istenmeyendir. Rn olarak Lebesgue ölçüsünün durumu içinde yerine X yerine  çalışan daha  0 < p < 1 için  Lp,  Hardy uzayı Hp ile çalışmak olasılığı daha sıktır,Bu pek çok doğrusal fonksiyonellerde olduğu gibi: birbirinden ayırt etmek için yeterli sayıdadır. Ancak, Hahn–Banach teoremi  Hp içinde  p < 1 .için hala başarısız(sınıfının eşdeğeri) ölçülebilir fonksiyonların vektör uzayı  (S, Σ, μ) olarak  L0(S, Σ, μ) ifade edilir. . Tanımıyla, bu  tüm Lp , yi içerir ve  ölçüm içinde yakınsaklık topolojisi ile donanımlıdır, ise μ bir olasılık ölçüsü (yani., μ(S) = 1), dür.Bu yakınsaklığın modu  olasılık içinde yakınsaklık olarak adlandırılır.Bu tanım μ ye yakın ise sonludur.Eğer μ bir sonlu ölçü olarak (S, Σ),ise bu 0 fonksiyon bir ölçüde yakınsama komşuluğunda aşağıdaki temel sistem için kabul ediliyorburada φ  sınırlı sürekli içbükey ve azalmayan olarak [0, ∞), ile φ(0) = 0 ve φ(t) > 0 ise t > 0 dır. (örnek için, φ(t) = min(t, 1)). Böyle bir  metrik  L0 için Lévy-metrik- olarak adlandırılır.L0  bu metrik uzayı altındadır ve tamdır. (o tekrar bir F-uzayıdır). Bu uzay L0 genel içindeki  yerel sınır değildir, ve yerel  içbükey değildir.Rn için sonsuz Lebesgue ölçüsü λ olarak,komşuluğundaki temel sistemin tanımı değiştirilmiş olarak aşağıdaki olabilirNihai uzay L0(Rn, λ) sıklık  olarak  topolojik vektör uzayı ile L0(Rn, g(x) dλ(x))  için herhangi pozitif λ–integrallenebilir yoğunluk g 'dir.Diyelimki (S, Σ, μ) be bir uzay ölçüsü, ve f bir ölçülebilir fonksiyon ile gerçek veya karmaşık değerler olarak S.   f 'in dağılım fonksiyonu  t > 0 için tanımı aşağıdadırBir  f fonksiyonu  eğer burada  bir sabit C > 0  ise  zayıf Lp(S, μ) uzayı içinde veya Lp,w(S, μ) olduğu söylenir,böylece, bütün  t > 0 için,Zayıf Lp sıklığı ile Lorentz uzayı Lp,∞, öyle ki bu gösterim ayrıca bunları belirtmek için kullanılır.Lp,w-norm  doğru bir norm değildir,dolayısıyla üçgen eşitsizliği korunamıyor.  yine de Lp(S, μ) içinde f içinve özel olarak Lp(S, μ) ⊂ Lp,w(S, μ).  kuralı altındaki iki işlev eğer onlar μ hemen hemen her yerde eşit, ise uzayı Lp,w tamdır..Herhangi 0 < r < p için ifadeLp,w-norm ile karşılaştırılabilir.  durum içinde daha fazla p > 1, bu  bir norm ifade eder eğer r = 1. Bundan dolayı  p > 1 için zayıf Lp uzayı  Banach uzayı'dır .Kullanılan bir büyük sonuç Lp,w''-uzayı Marcinkiewicz interpolasyon teoremi'dir,  harmonik analiz ve  tekil integral çalışmalarında geniş uygulama alanı vardırDaha önce olduğu gibi, bir ölçü uzayı  düşünelim. Diyelimki  bir ölçülebilir fonksiyon olsun.  -ağırlıklı  uzayı   olarak tanımlanıyor, burada  ölçüsü  tanımı ile-uzayları olarak,ağırlıklı uzaylar özel değildir, dahası    ya eşittir. Ama bu  harmonik analiz  içinde bazı sonuçlar için doğal çerçevedir; bu  Muckenhoupt teoremi içinde örnek için görüntüsü:  için,klasik Hilbert dönüşümü  üzerinde tanımlanan burada  ifadesi birim çember ve  Lebesgue ölçüsüdür;(doğrusal olmayan) Hardy–Littlewood maksimal operatörü  üzerinde sınırlıdır. Muckenhoupt'un teoremi   böylece  üzerinde ve Hilbert dönüşümü izleri  üzerinde maksimal operatörü w ağırlıkları tanımlar.bir  manifold olarak uzaylarda tanımlayabiliriz,  manifoldun  iç Lp'' uzayı''' adını alır, yoğunlukları kullanılıyor.