Fonksiyonel analiz

Kökleri fonksiyon uzayları kuramının geliştirilmesine; hatta diferansiyel ve integral denklemlerinin çalışılmasına kadar gitmektedir. Özelde mesela Fourier dönüşümü gibi fonksiyon dönüşümlerinin çalışılmasında da kullanılmıştır. Fonksiyonel kelimesinin ilk kullanımı varyasyonlar hesabına kadar takip edilebilir. Ancak, genel anlamda kullanımı İtalyan matematikçi ve fizikçi Vito Volterra'ya atfedilmektedir. Yine de temeli büyük ölçüde Stefan Banach ve çevresindeki Polonyalı matematikçiler tarafından atılmış ve geliştirilmiştir. Çağdaş anlamda, fonksiyonel analiz bir topolojiye sahip vektör uzaylarının çalışılmasında, özellikle sonsuz boyutlu uzaylarda, gözükmektedir. Tanımdan yola çıkılarak fonksiyon analizinin sonlu boyutlu uzaylar kuramını da içerdiği düşünülebilir; ancak bu uzayları bir topolojisi olmadan inceleyen alan doğrusal cebirdir. Fonksiyonel analizin önemli bir işlevlerinden biri de ölçü, integral ve olasılık kuramı gibi genel kuramları sonsuz boyutlu uzaylara yaymaktır ki bu işlevin özelde adı sonsuz boyutlu analizdir.Fonksiyonel analizde tarihsel olarak ilk çalışılan temel uzaylar gerçel ve karmaşık sayılar üzerinden tanımlı tam normlu vektör uzaylarıdır. Bu uzaylara Banach uzayı adı verilmektedir. Önemli örneklerden biri de normun iç çarpım tarafından tanımlandığı Hilbert uzaylarıdır. Bu iki örnek analizin çeşitli alt dallarında çalışılan temel uzaylardandır ve uygulama açısından büyük bir öneme sahiptir.Daha genel anlamda, fonksiyonel analizin çalışma alanına Fréchet uzayı ve bir norma sahip olmayan topolojik vektör uzayları da girmektedir.Fonksiyonel analizin yapıldığı alanların önemli bir aracı Hilbert veya Banach uzayı üzerinde tanımlı sürekli, doğrusal operatörlerdir. Doğal olarak, bu operatörler C* cebiri veya diğer operator cebirlerinin tanımına öncülük etmektedir.Fonksiyonel analizin kapsamında bulunan, matematiksel analizin ve hatta fonksiyon analizin uygulanma imkânı bulunduğu fizik gibi değişik alanlarda ortaya çıkan önemli sonuçlardan bazıları şunlardır:Düzgün sınırlılık ilkesi veya bir diğer bilinen adıyla Banach-Steinhaus teoremi düzgün sınırlara sahip operatörlerin kümesi üzerinde uygulanmaktadır.Spektral teoremi bir Hilbert uzayı üzerinde tanımlı normal bir operatör için integral formülü vermektedir. Spektral teoremi matematikte birden fazla bulunmaktadır. Fonksiyonel analizde bulunan ve bahsi geçen özelliğe sahip bu teorem, kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonunda önemli bir değere sahiptir.Fonksiyonellerin bir alt uzaydan uzayın tümüne belli koşullar altında genişletilmesinde kullanılan Hahn-Banach teoremiConway, John B.: A Course in Functional Analysis, 2. baskı, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5Eidelman, Yuli, Vitali Milman, and Antonis Tsolomitis: Functional Analysis: An Introduction, American Mathematical Society, 2004.Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, 2. baskı, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1Kolmogorov, A.N and Fomin, S.V.: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover Publications, 1999Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis John Aldrich tarafından, Southampton Üniversitesi.