Karakteristik fonksiyon

Olasılık kuramı içinde herhangi bir rassal değişken için karakteristik fonksiyon, bu değişkenin olasılık dağılımını tüm olarak tanımlar. Herhangi bir rassal değişken X için, gerçel doğru üzerinde, bu fonksiyonu tanımlayan formül şöyle yazılır:Eğer FX yığmalı dağılım fonksiyonu ise, karakteristik fonksiyon Riemann-Stieltjes integrali kullanılarak şöyle ifade edilebilir:Rassal değişken için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani fX, var ise karakteristik fonksiyonu şöyle ifade edilir:Eğer X bir vektör-değerli rassal değişken ise, t değeri bir vektör olarak ve t.X bir nokta çarpan olarak kabul edilip tanım değiştirilmez.R üzerinde veya  Rn üzerindeki her olasılık dağılımının bir karakteristik fonksiyonu bulunur, çünkü sınırlı bir fonksiyonunun ölçümü sonsuz olan bir uzayda(İçinde  olan) bir simetrik olasılık yoğunluk fonksiyonu için karakteristik fonksiyon gerçeldir; çünkü   ifadesinden elde edilen  ile  ifadesinden elde edilen sanal parçalar birbirini eksiltmektedir.Bu özellikten daha kapsamlı bir özellik daha vardır. İki gayet iyi belirlenmiş yığmalı olasılık dağılımı, hiçbir karakteristik fonksiyonuna ortak sahip değildirler. Bir karakteristik fonksiyon, φ, verilmiş ise, karşıtlı bağlı olup çıkartıldığı yığmalı dağılım fonksiyonu F yeniden şöyle meydana getirilir:Genel olarak bu bir uygunsuz integralidir; çünkü Lebesgue integrali olacağına koşullu olarak integrali çıkartılmış olan bir fonksiyonu olabilir. Yani mutlak değerinin integrali sonsuz olabilir.Herhangi bir fonksiyon  belli bir olasılık yasası olan  karşılığı olan bir karakteristik fonksiyon olması için yalnızca ve yalnızca şu üç koşulun sağlanması gerekir:bir kesin pozitif fonksiyon olmalıdır. (Dikkat edilirse bu koşul biraz karmaşık olup  ile eş anlamda değildir.)Levy'nin süreklilik teoremi dolayısıyla karakteristik fonksiyonlar, merkezsel limit teoremini ispat etmek için çok defa kullanılmaktadır. Bir karakteristik fonksiyonunun kullanılmasıyla yapılan hesaplarda atılacak en becerikli adım, eldeki fonksiyonun belli bir dağılımın  karakteristik fonksiyonu olduğunun farkına varmak suretiyle ortaya çıkar.Bağımsız olan rassal değişkenlerin fonksiyonları ile uğraşmak için özellikle karakteristik fonksiyonlar kullanılır. Örneğin, X1, X2, ..., Xn  bir seri bağımsız (ama mutlaka aynı şekilde dağılım göstermeyen) rassal değişken iseler ve ailer sabit olupBurada gözlenebilir ki üçüncü ve dördüncü ifadelerin eşitliğini sağlamak için gereken koşul   ve 'nin birbirinden bağımsız olmasıdır.İlgi çekebilen bir diğer hal de,  olduğu halde 'nin örneklem ortalaması olmasıdır. Bu halde ortalama yerine   konulursaKarakteristik fonksiyonlar, bir rassal değişkenin momentlerini bulmak için de kullanılabilir. Eğer ninci moment mevcut ise, karakteristik fonksiyonun n dereceye kadar arka arkaya türevi alınabilir veÖrneğin,  bir standart Cauchy dağılımı göstersin. O halde bunun  noktasında türevinin bulunmadığını göstermek, Cauchy dağılımı için hiçbir beklenen değer olmadığını gösterir. Aynı örneğinde  tane bağımsız gözlem için örneklem ortalaması olan in karakteristik fonksiyonuolur ve bunu standart bir Cauchy dağılımı için karakteristik fonksiyon olduğu gözümlenebilir. Böylece Cauchy dağılımı için örneklem ortalaması için dağılım anakütle dağılımı ile aynı dağılım olduğu anlaşılmaktadır.Bir karakteristik fonksiyonun logaritması bir kumulant üreten fonksiyon olur ve bu fonksiyon kumulantları bulmak için yararlıdır.