Doğal sayılar

Doğal sayılar, şeklinde sıralanan tam sayılardır. Sayma sayıları kümesine 0'ın dahil edilmesi ile doğal sayılar kümesi elde edilir. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hâlâ sıfırın bir doğal sayı olarak alınıp alınmayacağı tartışma konusu olup cebirsel inşalar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır. Negatif sayılar, doğal sayılar kümesinin elemanı değildir.Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir.12345 sayısındaki 2 nin basamak değeri 2 (sayı değeri) ve 1000 (basamak değeri) çarpılarak 2 × 1000 = 2000 şeklinde bulunur.Peano belitleri tarihsel olarak doğal sayıların en genel (ve sezgisel) tanımıdır. Modern tanımlar bu tanımı sağlar.Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir.Sıfırı doğal sayı olarak kabul etmeyen grup, buradaki belitlerin "Bir, bir doğal sayıdır." olarak kabul eder.Zermelo-Freankel küme kuramı doğal sayılar, von Neumann sıral sayılarıyla inşa edilebilir. Buna göre her sayı temelde bir kümedir. Eğer sıfır boşküme olarak tanımlanırsa ve her n sayının ardılı, , n{n} olarak verilirse, doğal sayılar inşa edilmiş olur.Bu tanım doğal sayıların yinelgen bir yapıda olduğunu da belirtmiş olur. Bu yinelgen tanımla sayılar,Ne var ki bu tanım belitsel küme kuramlarında geçerli değildir, çünkü bir sayı, küme olamayacak kadar büyük topluluklar olmak zorunda kalıyor. Ancak tipler kuramı gibi kuramlarda geçerlidir.Doğal sayıların sıralanmasına en büyük basamaktan başlanır. Aynı basamakta büyük rakam bulunan sayı diğerinden büyüktür.İki sayının yüz milyonlar basamaklarında eşit rakamlar bulunuyor. Bu nedenle karşılaştırma bir sonraki basamak olan on milyonlar basamaklarında yapılır. Bu basamaklarda 9 > 8 olduğundan 894.125.067 > 887.954.700 yazılır. “ 894.125.067 büyüktür 887.954.700 şeklinde okunur.”Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yapılır.Toplamsal birim öğe:a + 0 = a Toplamanın değişme özelliği:a + b = b + a Toplamanın birleşme özelliği:(a + b) + c = a + (b + c) Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma):(a + b)c = ac + bcBir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse  gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:Çarpma işlemi art arda toplama işlemidir. Çarpma işlemine katılan sayılara çarpan, işlemin sonucuna çarpım denir.Çarpımsal birim öge:a1 = a Çarpmanın değişme özelliği:ab = ba Çarpmanın birleşme özelliği(ab)c = a(bc) Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma):c(a + b) = ca + cbBir a sayısını bir b sayısıyla çarpmak, a sayısının b kere toplamını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse  gösterimi n'' sayısının ardılını ifade etmek üzere, çarpma aşağıdaki belitlerle tanımlanır: