Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu

Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu, genel Möbius grubunun alt grubu olup  ile gösterilir. Üst yarı düzlemi koruyan bu grup Riemann küresi üzerinde tanımlıdır.  nin etkisi altında hiperbolik doğrular yine hiperbolik doğrulara giderken, herhangi iki eğri arasındaki açının mutlak değerinin, hiperbolik uzunluk ve uzaklığın korunması grubun karakteristik özelliklerinden bazılarıdır. Bu özelliklerden önemli bir sonuca, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla hiperbolik yarı düzlemin izometri grubunun eşyapılı olduğuna, varmak mümkündür.Ptolemy'nin öne sürdüğü stereografik izdüşüm, 1836'da Bellativis tarafından kürenin düzlem üzerine yayılması olarak tanımlandı. Bu izdüşüm fikrinden hareketle, Riemann 1857'de Riemann küresinin inşasını verdi. Bu arada, E. Beltrami'nin üst yarı düzlem modeliyle ilişkili olarak, A. F. Möbius 4 noktanın çapraz oranı kavramını 1852'de, 2-boyutlu düzlemin Möbius dönüşümü nü de 1855'te ortaya attı.  boyutlu geometrinin A. Cayley'le başlamasının ardından, J. Liouville Möbius dönüşümlerini 3-boyutta ele aldı. Dahası 3-boyutlu uzayın düzgün ve açı koruyan dönüşümünün Möbius dönüşümü olduğunu ispatladı. S. Lie, bu teoremin 2’den büyük boyutlarda da geçerli olduğunu 1871 tarihli makalesinde gösterdi. Sonraları F. Klein bu çalışmaların ışığında önemli bir sonucu,  boyutlu uzayın Möbius dönüşümleri grubuyla,  boyutlu hiperbolik uzayın izometriler grubunun eşyapılı olduğunu ispatladı.Üst yarı düzlem modeli hiperbolik düzlemin modellerinden biridir. Tanımlı olduğu uzaya "üst yarı düzlem" denir veşeklinde tanımlanır. Bu uzayda, iki eğri arasındaki açı Öklid geometrisinde olduğu gibi, eğrilerin teğet doğruları arasındaki açıdır. Ayrıca kesişmeyen doğruların paralel olması ve verilen iki farklı noktadan geçen tek bir doğru çizilebilmesi 'de de doğrudur.Diğer yandan doğrular Öklid doğrularından farklıdır. 'nin; karmaşık düzlem 'de ve reel eksen 'ye dik olan Öklid doğrularıyla, ya da merkezi 'de olan Öklid çemberleriyle kesişimlerine hiperbolik doğrular denir.Bu tanım Öklid geometrisi ve hiperbolik geometri arasında birtakım farklara yol açar. Bunlardan biri Öklid'in beşinci aksiyomunun üst yarı düzlemde geçerliliğini yitirmesidir. Bilindiği gibi Öklid geometrisinde bir doğru  ve bu doğru üzerinde olmayan bir nokta  verildiğinde, 'den geçen ve 'ye paralel olan yalnızca bir doğru çizilebilir. Fakat  ve  hiperbolik düzlemde alınırsa, bu şartları sağlayan sonsuz doğru vardır.Üst yarı düzlem Riemann küresi 'nde bir disktir. (Burada  'de olmayan nokta olarak tanımlıdır.) Bunu görmek için küredeki çember tanımını bilmek gerekir. Riemann küresinde çemberler, ya Öklid çemberleri ya da Öklid doğrularının 'yle birleşimleridir veBöylece genişletilmiş reel eksen  küreyi ikiye bölen bir çemberdir ve onun tümleyenlerinden biri olarak  Riemann küresinde yer alır.Buna ek olarak 'te verilen iki nokta  ve  için  tüm parçalı birinci dereceden sürekli türevlenebilir fonksiyonların kümesi olsun, öyle ki .  ve  arasındaki hiperbolik uzaklık bu fonksiyonların boylarının infimumu alınarak bulunur.nin hiperbolik doğruları yine hiperbolik doğrulara götürdüğünü görmek için, genel Möbius grubu, 'ün Riemann küresi 'de tanımlı çemberleri çemberlere taşıdığını göstermek yeterlidir. Çünkü 'de 'ye dik çemberler, hiperbolik doğrular içerir.'ü tanımlamak için altgrubu 'yla başlamak yerinde olur. Bu grup   şeklinde tanımlanır ve elemanlarına Möbius dönüşümleri denir. Grubun iki üreteç elemanı vardır:,  fonksiyonu da kürede tanımlıdır ve  bu üç homeomorfizmanın (tersi ve kendisi sürekli fonksiyon) ürettiği gruptur. Dahası, bu üreteçler Riemann küresinde çemberleri çemberlere götürdüğünden,  de bu özelliğe sahiptir.genel Möbius grubunun altgrubudur. Dolayısıyla bu grup da Riemann küresinde tanımlı çemberleri çemberlere götürür. 'nin üreteçleri üst yarı düzlemi koruyanHiperbolik düzlemin dönüşüm grubunun üç temel özelliği grubu karakterize etmemize yardımcı olur. Bunlarifadesiyle verilir. Bu eşitliği hiperbolik uzunluğun tanımını kullanarak, grubun üreteç elemanları için göstermek mümkündür. Böylece 'deki her eleman için de yukardaki eşitlik yazılabilir. Bu özellik ve hiperbolik uzaklığın tanımından da'nin her elemanı 'de izometridir. Bu sonuç hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu 'yle hiperbolik yarı düzlemin izometri grubu 'nin eşyapılı olduğuna ulaşmada ilk adımdır. 'nin karakterizasyonunu tamamlamak için 'yi de ispatlamak gerekir.Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla hiperbolik yarı düzlemin izometri grubunun eşyapılı olduğunu, , görmek için, yukarıda verilen  bağıntısına ek olarak, bu ilişkinin tersini de kanıtlamamız gerekir. Bunun için, bir hiperbolik izometri  ve 'den bir eleman  alıp bileşkelerinin üst yarı düzlemde birim fonksiyon olduğunu göstermeliyiz. Böylece 'nun tersi olarak  'nin, 'nin bir elemanı olduğu sonucuna ulaşırız.İspata, pozitif sanal eksen  'nın  tarafından noktasal olarak sabitlendiğiyle başlayalım. Öncelikle  'nin,  'dan alınan iki nokta  ve 'yi yine kendilerine götürdüğü gösterilebilir. Böylece  'nın  altında görüntüsü yine  'dır. Ayrıca gerekirse 'yle () bileşke alarak,  'nın belirlediği çeyrek üst düzlemler  ve  'nin de sabitlendiğini söyleyebiliriz. Bununla birlikte,  'dan alınan bir  noktasının  ve 'ye olan hiperbolik uzaklıkları  ve 'yle eşsiz olarak belirlendiğini biliyoruz.  izometri olduğundan bu uzaklıkları korur ve bunun sonucunda  'yi de sabitler.'da olmayan üst yarı düzlemdeki diğer noktaların da sabitlendiğini görmek için, çeyrek üst düzlemlerden biri 'den herhangi bir  noktası alalım. 'dan geçen ve  'ya dik hiperbolik doğruya ,  'yla kesiştiği noktaya da  diyelim.  'da öyle bir hiperbolik doğru parçası  bulabiliriz ki  'nin orta dikmesidir. Burada  ve 'nin  tarafından sabitlendiğini biliyoruz. Dolayısıyla  'den geçen ve 'yi ikiye bölen hiperbolik doğrudur. Bu özelliklere sahip başka doğru olmadığından  'dır. Bu nedenle  da  üzerinde bir noktadır. Dahası  olduğundan  eşitliğini yazabiliriz. Böylece  noktası ya 'de ya da  'de, 'ye eşit uzaklıktaki noktalardan biri olabilir. Ama  'yi sabitlediğinden, ikinci durum mümkün değildir. Sonuç olarak 'dur.Sonuç olarak  ilişkisiyle, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubunun tatmin edici bir tanımına ve yukarıda verilenlere ek, birtakım özelliklerine de ulaşmış oluruz.