-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.SheafedSpace
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst_1 : (X Y : C) → FunLike.{u_1 + 1, v + 1, v + 1} (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC (CC := CC)
inst_2 : HasColimits.{v, u} C
inst_3 : HasLimits.{v, u} C
inst_4 : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
inst_5 : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
inst_6 : ReflectsIsomorphisms (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
X Y : SheafedSpace.{u, v, v} C
f : X ⟶ Y
h₁ :
  Function.Surjective (α := (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) (β :=
    (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
          f.hom.base) :
      (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
h₂ :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)),
    Mono (X :=
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
              f.hom.base :
            (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          x))
      (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f.hom x)
Z : SheafedSpace.{u, v, v} C
g : (↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) ⟶ (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat)
gc : Z.presheaf ⟶ obj (pushforward C g) Y.presheaf
h : (↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) ⟶ (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat)
hc : Z.presheaf ⟶ obj (pushforward C h) Y.presheaf
e :
  Eq (α := X.toPresheafedSpace ⟶ Z.toPresheafedSpace) (InducedCategory.Hom.hom (f ≫ { hom := { base := g, c := gc } }))
    (InducedCategory.Hom.hom (f ≫ { hom := { base := h, c := hc } }))
y : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)
rw :
  Eq (α := (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                f.hom.base :
              (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
            (⋯.choose (p := fun (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦
              (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                      f.hom.base :
                    (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                  a =
                y)) :
          (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) :
      (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) h :
          (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                f.hom.base :
              (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
            (⋯.choose (p := fun (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦
              (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                      f.hom.base :
                    (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                  a =
                y)) :
          (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) :
      (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
⊢ Eq (α := (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
        y :
      (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) h :
          (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
        y :
      (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))

Tactic:
rw [← (h₁ y).choose_spec]

Premises used: Exists.choose_spec