-- Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.ContinuousFunctionalCalculus.Restrict
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst : Semifield R
inst_1 : StarRing R
inst_2 : MetricSpace R
inst_3 : IsTopologicalSemiring R
inst_4 : ContinuousStar R
inst_5 : Semifield S
inst_6 : StarRing S
inst_7 : MetricSpace S
inst_8 : IsTopologicalSemiring S
inst_9 : ContinuousStar S
inst_10 : Ring A
inst_11 : StarRing A
inst_12 : Algebra S A
inst_13 : Algebra R S
inst_14 : Algebra R A
inst_15 : IsScalarTower R S A
inst_16 : StarModule R S
inst_17 : ContinuousSMul R S
inst_18 : TopologicalSpace A
inst_19 : ContinuousFunctionalCalculus S A q
f : C(S, R)
halg : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := R) (Y := S) (⇑(algebraMap R S) : (a : R) → S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts.{u_1, u_2, u_3} (R := R) (S := S) a (⇑f : (a : S) → R)
a : A
ha : p a
case :
  ∀ (g : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)),
    p ((starAlgHom (cfcHom (p := q) ⋯) ⋯ : (a : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) → A) g)
case₁ :
  ∀ (g : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)),
    q ((starAlgHom (cfcHom (p := q) ⋯) ⋯ : (a : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) → A) g) ∧
      SpectrumRestricts.{u_1, u_2, u_3} (R := R) (S := S) (A := A)
        ((starAlgHom (cfcHom (p := q) ⋯) ⋯ : (a : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) → A) g : A) (⇑f : (a : S) → R)
case₂ :
  ∀ (g : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)),
    SpectrumRestricts.{u_1, u_2, u_3} (R := R) (S := S) (A := A)
      ((starAlgHom (cfcHom (p := q) ⋯) ⋯ : (a : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) → A) g : A) (⇑f : (a : S) → R)
case₃ :
  ∀ (g : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) (s : S)
    (hs :
      s ∈
        spectrum.{u_2, u_3} S (A := A)
          ((starAlgHom (cfcHom (p := q) ⋯) ⋯ : (a : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) → A) g : A)),
    (algebraMap R S : (a : R) → S) ((f : (a : S) → R) s : R) = s
case₄ :
  ∀ (g : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) (s : S)
    (hs :
      Membership.mem (γ := Set S)
        (range (ι := (↑(spectrum S a) : Type u_2))
          (⇑(ContinuousMap.comp { toFun := (⇑(StarAlgHom.ofId R S) : (a : R) → S), continuous_toFun := ⋯ }
                (g.comp
                  {
                    toFun :=
                      Subtype.map (p := fun (x : S) ↦ x ∈ spectrum S a) (q := fun (x : R) ↦ x ∈ spectrum R a)
                        (⇑f : (a : S) → R) ⋯,
                    continuous_toFun := ⋯ :
                    ContinuousMap.{u_2, u_1} (↑(spectrum S a) : Type u_2) (↑(spectrum R a) : Type u_1) })) :
            (a : (↑(spectrum S a) : Type u_2)) → S))
        s),
    (algebraMap R S : (a : R) → S) ((f : (a : S) → R) s : R) = s
case₅ :
  ∀ (g : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) (r : (↑(spectrum S a) : Type u_2)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := S)
      ((algebraMap R S : (a : R) → S)
          ((f : (a : S) → R)
              ((ContinuousMap.comp { toFun := (⇑(StarAlgHom.ofId R S) : (a : R) → S), continuous_toFun := ⋯ }
                      (g.comp
                        {
                          toFun :=
                            Subtype.map (p := fun (x : S) ↦ x ∈ spectrum S a) (q := fun (x : R) ↦ x ∈ spectrum R a)
                              (⇑f : (a : S) → R) ⋯,
                          continuous_toFun := ⋯ :
                          ContinuousMap.{u_2, u_1} (↑(spectrum S a) : Type u_2) (↑(spectrum R a) : Type u_1) }) :
                    (a : (↑(spectrum S a) : Type u_2)) → S)
                  r :
                S) :
            R) :
        S)
      ((ContinuousMap.comp { toFun := (⇑(StarAlgHom.ofId R S) : (a : R) → S), continuous_toFun := ⋯ }
              (g.comp
                {
                  toFun :=
                    Subtype.map (p := fun (x : S) ↦ x ∈ spectrum S a) (q := fun (x : R) ↦ x ∈ spectrum R a)
                      (⇑f : (a : S) → R) ⋯,
                  continuous_toFun := ⋯ :
                  ContinuousMap.{u_2, u_1} (↑(spectrum S a) : Type u_2) (↑(spectrum R a) : Type u_1) }) :
            (a : (↑(spectrum S a) : Type u_2)) → S)
          r :
        S)
⊢ ∀ (f_1 : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)),
    p ((starAlgHom (cfcHom (p := q) ⋯) ⋯ : (a : C((↑(spectrum R a) : Type u_1), R)) → A) f_1)

Tactic:
case predicate_hom =>
      intro g
      rw [h]
      refine ⟨cfcHom_predicate _ _, ?_⟩
      refine .of_rightInvOn (((h a).mp ha).2.left_inv) fun s hs ↦ ?_
      rw [SpectrumRestricts.starAlgHom_apply, cfcHom_map_spectrum] at hs
      obtain ⟨r, rfl⟩ := hs
      simp [((h a).mp ha).2.left_inv _]

Premises used: SpectrumRestricts.starAlgHom_apply, And.right, Iff.mp, cfcHom_map_spectrum, QuasispectrumRestricts.left_inv, rfl