-- Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ Insert.insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(Insert.insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa :
  ∀ (j : Fin l),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), (fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(Insert.insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦
    if hi : i ∈ Insert.insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
insert :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ Insert.insert n_1 s) (l : ℕ) (a : ↥(Insert.insert n_1 s) → Fin l → R) (y : Fin l → M)
    (hay :
      ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)),
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j))
    (hfa :
      ∀ (j : Fin l),
        Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), (fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j)
          0)
    (this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤),
    let n : ↥(Insert.insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯;
    ∀ (n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯) (j : Fin l) (hj : IsUnit (a n j)),
      let a' : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦
        if hi : i ∈ Insert.insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) i hi) j else 0;
      ∀ (hfv : ∑ x ∈ s, f x • v x + ((-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)) • v n_1 = 0)
        (a_eq : ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι))
        (hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)),
        let c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R);
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • HAdd.hAdd (β := ι → M) v (fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)) i) 0
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • HAdd.hAdd (β := ι → M) v (fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)) i) 0

Tactic:
rw [Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i • v i), s.sum_insert hn, add_comm, hfn] at hfv

Premises used: add_comm, HSMul.hSMul, Finset.sum_insert, Finset.sum_coe_sort