-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic
Goal:
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst_3 : AddCommGroup M₁
inst_4 : Module R M₁
inst_5 : LieRingModule L M₁
inst_6 : LieModule R L M₁
inst_7 : AddCommGroup M₂
inst_8 : Module R M₂
inst_9 : LieRingModule L M₂
inst_10 : LieModule R L M₂
inst_11 : AddCommGroup M₃
inst_12 : Module R M₃
inst_13 : LieRingModule L M₃
inst_14 : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : TensorProduct.{u_2, u_5, u_6} R ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ :=
  HSub.hSub (α := Module.End R M₃)
    (((toEnd R L M₃ : LieHom.{u_2, u_3, u_7} R L (Module.End R M₃)) : (a : L) → Module.End R M₃) x : Module.End R M₃)
    (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₃) (χ₁ + χ₂) 1)
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) :=
  LinearMap.rTensor M₂
    (HSub.hSub (α := Module.End R M₁)
      (((toEnd R L M₁ : LieHom.{u_2, u_3, u_5} R L (Module.End R M₁)) : (a : L) → Module.End R M₁) x : Module.End R M₁)
      (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₁) χ₁ 1))
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) :=
  LinearMap.lTensor M₁
    (HSub.hSub (α := Module.End R M₂)
      (((toEnd R L M₂ : LieHom.{u_2, u_3, u_6} R L (Module.End R M₂)) : (a : L) → Module.End R M₂) x : Module.End R M₂)
      (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₂) χ₂ 1))
h_comm_square : F ∘ₗ (↑g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ[R] M₃) = (↑g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ[R] M₃) ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ :
  Eq (α := M₁)
    ((HSub.hSub (α := Module.End R M₁)
              (((toEnd R L M₁ : LieHom.{u_2, u_3, u_5} R L (Module.End R M₁)) : (a : L) → Module.End R M₁) x :
                Module.End R M₁)
              (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₁) χ₁ 1) ^
            k₁ :
          (a : M₁) → M₁)
        m₁ :
      M₁)
    (0 : M₁)
k₂ : ℕ
hk₂ :
  Eq (α := M₂)
    ((HSub.hSub (α := Module.End R M₂)
              (((toEnd R L M₂ : LieHom.{u_2, u_3, u_6} R L (Module.End R M₂)) : (a : L) → Module.End R M₂) x :
                Module.End R M₂)
              (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₂) χ₂ 1) ^
            k₂ :
          (a : M₂) → M₂)
        m₂ :
      M₂)
    (0 : M₂)
hf₁ : Eq (α := M₁ ⊗[R] M₂) ((f₁ ^ k₁ : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₁ ⊗[R] M₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) : M₁ ⊗[R] M₂) (0 : M₁ ⊗[R] M₂)
hf₂ : Eq (α := M₁ ⊗[R] M₂) ((f₂ ^ k₂ : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₁ ⊗[R] M₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) : M₁ ⊗[R] M₂) (0 : M₁ ⊗[R] M₂)
hf_comm : Commute f₁ f₂
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ @Finset.antidiagonal _ Nat.instAddMonoid _ (k₁ + k₂ - 1)
hi : k₁ ≤ (i, j).1
h : Eq (α := M₁ ⊗[R] M₂) ((f₂ ^ j * f₁ ^ i : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₁ ⊗[R] M₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) : M₁ ⊗[R] M₂) (0 : M₁ ⊗[R] M₂)
h₁ :
  Eq (α := M₁ ⊗[R] M₂)
    ((f₂ ^ j : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₁ ⊗[R] M₂) ((f₁ ^ i : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₁ ⊗[R] M₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) : M₁ ⊗[R] M₂)
    (0 : M₁ ⊗[R] M₂)
h₂ : Eq (α := M₁ ⊗[R] M₂) ((f₂ ^ j : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₁ ⊗[R] M₂) 0) 0
h₃ h₄ : Eq (α := M₁ ⊗[R] M₂) 0 0
⊢ Eq (α := M₁ ⊗[R] M₂) ((f₁ ^ i * f₂ ^ j : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₁ ⊗[R] M₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) : M₁ ⊗[R] M₂) (0 : M₁ ⊗[R] M₂)

Tactic:
rw [(hf_comm.pow_pow i j).eq, Module.End.mul_apply, Module.End.pow_map_zero_of_le hi hf₁,
      map_zero]

Premises used: Commute.pow_pow, map_zero, Module.End.pow_map_zero_of_le, Module.End.mul_apply, Commute.eq