awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
x y : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hy :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) y
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
hy_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n y)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
refine_3 :
  m ∈ Finset.range (n + 1) →
    Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
      (hI.dpow m x * hI.dpow (n - m) y)
⊢ m ∈ Finset.range (n + 1) →
    Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
      (hI.dpow m x * hI.dpow (n - m) y)

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
x y : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hy :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) y
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
hy_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n y)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
h : m ∈ Finset.range (n + 1)
pos :
  ∀ (hm0 : m = 0),
    Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
      (hI.dpow m x * hI.dpow (n - m) y)
neg :
  ∀ (hm0 : ¬m = 0),
    Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
      (hI.dpow m x * hI.dpow (n - m) y)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow m x * hI.dpow (n - m) y)

Tactic:
by_cases hm0 : m = 0
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
x y : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hy :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) y
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
hy_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n y)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
h : m ∈ Finset.range (n + 1)
hm0 : m = 0
pos :
  Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow 0 x * hI.dpow (n - 0) y)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow m x * hI.dpow (n - m) y)

Tactic:
rw [hm0]
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
x y : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hy :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) y
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
hy_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n y)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
h : m ∈ Finset.range (n + 1)
hm0 : m = 0
⊢ Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow 0 x * hI.dpow (n - 0) y)

Tactic:
(span _).mul_mem_left _ (hy_pow n hn)

Premises used: Set.Mem, Ideal.span, Ideal.mul_mem_left
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
x y : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hy :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) y
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
hy_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n y)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
h : m ∈ Finset.range (n + 1)
hm0 : m = 0
⊢ Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow 0 x * hI.dpow (n - 0) y)

Tactic:
exact (span _).mul_mem_left _ (hy_pow n hn)

Premises used: Ideal.span, Ideal.mul_mem_left
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
x y : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hy :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) y
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
hy_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n y)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
h : m ∈ Finset.range (n + 1)
hm0 : ¬m = 0
⊢ Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow m x * hI.dpow (n - m) y)

Tactic:
(span _).mul_mem_right _ (hx_pow m hm0)

Premises used: Set.Mem, Ideal.mul_mem_right, Ideal.span
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
x y : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hy :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) y
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
hy_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n y)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
m : ℕ
h : m ∈ Finset.range (n + 1)
hm0 : ¬m = 0
⊢ Membership.mem (γ := Submodule A A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow m x * hI.dpow (n - m) y)

Tactic:
exact (span _).mul_mem_right _ (hx_pow m hm0)

Premises used: Ideal.mul_mem_right, Ideal.span
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
a x : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
refine_4 :
  Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (a ^ n * hI.dpow n x)
⊢ Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow n (a • x))

Tactic:
rw [smul_eq_mul, hI.dpow_mul (hSI hx)]

Premises used: DividedPowers.dpow_mul, smul_eq_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
a x : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (a ^ n * hI.dpow n x)

Tactic:
mul_mem_left (span _) (a ^ n) (hx_pow n hn)

Premises used: HPow.hPow, Ideal.span, Ideal.mul_mem_left
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
a x : A
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule A A)
    (Submodule.span A {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) x
hx_pow :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n x)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (a ^ n * hI.dpow n x)

Tactic:
exact mul_mem_left (span _) (a ^ n) (hx_pow n hn)

Premises used: HPow.hPow, Ideal.span, Ideal.mul_mem_left
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
⊢ ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n z)

Tactic:
have haux : ∀ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0),
      hI.dpow n z ∈ span {y | ∃ n, ∃ (_ : n ≠ 0), ∃ x, ∃ (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} := by
    refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hz
    · -- Elements of S
      rintro y ⟨m, hm, x, hxS, hxy⟩ n hn
      rw [hxy, hI.dpow_comp hm (hS hxS)]
      exact mul_mem_left _ _ (subset_span ⟨n * m, mul_ne_zero hn hm, x, hxS, rfl⟩)
    · -- Zero
      exact fun _ hn ↦ by simp only [hI.dpow_eval_zero hn, zero_mem]
    · intro x y hx hy hx_pow hy_pow n hn
      rw [hI.dpow_add' (hSI hx) (hSI hy)]
      apply Submodule.sum_mem (span _)
      intro m _
      by_cases hm0 : m = 0
      · rw [hm0]; exact (span _).mul_mem_left _ (hy_pow n hn)
      · exact (span _).mul_mem_right _ (hx_pow m hm0)
    · intro a x hx hx_pow n hn
      rw [smul_eq_mul, hI.dpow_mul (hSI hx)]
      exact mul_mem_left (span _) (a ^ n) (hx_pow n hn)
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
haux :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n z)
⊢ Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow k z)

Tactic:
haux _ hk
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
k : ℕ
hk : k ≠ 0
z : A
hz : Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}) z
J : Ideal A := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}
hSI : span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
haux :
  ∀ (n : ℕ),
    n ≠ 0 →
      Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
        (hI.dpow n z)
⊢ Membership.mem (γ := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (hI.dpow k z)

Tactic:
exact haux _ hk
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
a :
  LE.le.{u_1} (α := Ideal A)
    (⨅ (s : hI.SubDPIdeal),
      ⨅ (_ : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) s),
        s.carrier)
    (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
a₁ :
  LE.le.{u_1} (α := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (⨅ (s : hI.SubDPIdeal),
      ⨅ (_ : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) s),
        s.carrier)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Ideal A)
    (⨅ (s : hI.SubDPIdeal),
      ⨅ (_ : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) s),
        s.carrier)
    (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})

Tactic:
apply le_antisymm

Premises used: le_antisymm
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
x : A
hx : x ∈ S
rw rw₁ : x = x
⊢ x = hI.dpow 1 x

Tactic:
rw [hI.dpow_one (hS hx)]

Premises used: DividedPowers.dpow_one
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
⊢ Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) J

Tactic:
have h : J ∈ insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ ↑J.carrier} :=
      Set.mem_insert_of_mem _
        (fun x hx ↦ subset_span ⟨1, one_ne_zero, x, hx, by rw [hI.dpow_one (hS hx)]⟩)
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
h : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) J
⊢ LE.le.{u_1} (α := Ideal A)
    (⨅ (s : hI.SubDPIdeal),
      ⨅ (_ : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) s),
        s.carrier)
    (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})

Tactic:
sInf_le_of_le ⟨J, ?_⟩ (le_refl _)

Premises used: le_refl, Set.Mem, Exists.intro, sInf_le_of_le
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
h : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) J
a :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Ideal A)
    ((fun (s : hI.SubDPIdeal) ↦
        (⨅ (_ : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) s),
            s.carrier :
          Ideal A))
      J)
    (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
⊢ LE.le.{u_1} (α := Ideal A)
    (⨅ (s : hI.SubDPIdeal),
      ⨅ (_ : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) s),
        s.carrier)
    (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})

Tactic:
refine sInf_le_of_le ⟨J, ?_⟩ (le_refl _)
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
h : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) J
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Ideal A)
    ((fun (s : hI.SubDPIdeal) ↦
        (⨅ (_ : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) s),
            s.carrier :
          Ideal A))
      J)
    (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})

Tactic:
simp only [h, ciInf_pos, J]

Premises used: ciInf_pos
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
a :
  ∀ (i : hI.SubDPIdeal)
    (j : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) i),
    span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ i.carrier
⊢ LE.le.{u_1} (α := Ideal A) (span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x})
    (⨅ (s : hI.SubDPIdeal),
      ⨅ (_ : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) s),
        s.carrier)

Tactic:
rw [le_iInf₂_iff]

Premises used: le_iInf₂_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
K : hI.SubDPIdeal
hK : Membership.mem (γ := Set hI.SubDPIdeal) (insert ⊤ {J : hI.SubDPIdeal | S ⊆ (↑J.carrier : Set A)}) K
⊢ K = ⊤ ∨ S ⊆ (↑K.carrier : Set A)

Tactic:
simp only [Set.mem_insert_iff, Set.mem_setOf_eq] at hK

Premises used: Set.mem_setOf_eq, Set.mem_insert_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
K : hI.SubDPIdeal
hK : K = ⊤ ∨ S ⊆ (↑K.carrier : Set A)
inl : S ≤ (↑⊤ : Set A)
inr : ∀ (hKS : S ⊆ (↑K.carrier : Set A)), S ≤ (↑K : Set A)
⊢ S ≤ (↑K : Set A)

Tactic:
rcases hK with rfl | hKS

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
⊢ S ≤ (↑⊤ : Set A)

Tactic:
hS
-- Module: Mathlib.RingTheory.DividedPowers.SubDPIdeal
Goal:
A : Type u_1
inst : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ (↑I : Set A)
J : hI.SubDPIdeal :=
  { carrier := span {y : A | ∃ (n : ℕ) (_ : n ≠ 0) (x : A) (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x}, isSubideal := ⋯,
    dpow_mem := ⋯ }
K : hI.SubDPIdeal
hKS : S ⊆ (↑K.carrier : Set A)
⊢ S ≤ (↑K : Set A)

Tactic:
hKS