-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.SheafedSpace
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst_1 : (X Y : C) → FunLike.{u_1 + 1, v + 1, v + 1} (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC (CC := CC)
inst_2 : HasColimits.{v, u} C
inst_3 : HasLimits.{v, u} C
inst_4 : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
inst_5 : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
inst_6 : ReflectsIsomorphisms (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
X Y : SheafedSpace.{u, v, v} C
f : X ⟶ Y
h₁ :
  Function.Surjective (α := (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) (β :=
    (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
          f.hom.base) :
      (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
h₂ :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)),
    Mono (X :=
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
              f.hom.base :
            (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          x))
      (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f.hom x)
Z : SheafedSpace.{u, v, v} C
g : (↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) ⟶ (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat)
gc hc : Z.presheaf ⟶ obj (pushforward C g) Y.presheaf
e :
  Eq (α := X.toPresheafedSpace ⟶ Z.toPresheafedSpace) (InducedCategory.Hom.hom (f ≫ { hom := { base := g, c := gc } }))
    (InducedCategory.Hom.hom (f ≫ { hom := { base := g, c := hc } }))
y : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)
left_cancellation :
  Eq (α :=
    Z.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
              (↑Y.toPresheafedSpace : TopCat)) (Y := (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat))
              (PresheafedSpace.Hom.base
                (InducedCategory.Hom.hom
                  { hom := { base := g, c := gc : Y.Hom Z.toPresheafedSpace } :
                    InducedCategory.Hom (D := PresheafedSpace.{v, u, v} C) (F := toPresheafedSpace) Y Z })) :
            (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                  f.hom.base :
                (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
              (⋯.choose (p := fun (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦
                (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                        f.hom.base :
                      (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                    a =
                  y)) :
            (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))) ⟶
      X.presheaf.stalk
        (⋯.choose (p := fun (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                  f.hom.base :
                (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
              a =
            y)))
    (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (f.hom ≫ { base := g, c := gc })
      (⋯.choose (p := fun (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                f.hom.base :
              (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
            a =
          y)))
    (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (f.hom ≫ { base := g, c := hc })
      (⋯.choose (p := fun (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                f.hom.base :
              (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
            a =
          y)))
⊢ Eq (α :=
    Z.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
              (↑Y.toPresheafedSpace : TopCat)) (Y := (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat))
              (PresheafedSpace.Hom.base
                (InducedCategory.Hom.hom
                  { hom := { base := g, c := gc : Y.Hom Z.toPresheafedSpace } :
                    InducedCategory.Hom (D := PresheafedSpace.{v, u, v} C) (F := toPresheafedSpace) Y Z })) :
            (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          y) ⟶
      Y.presheaf.stalk y)
    (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (InducedCategory.Hom.hom { hom := { base := g, c := gc } }) y)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      Z.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
              (↑Y.toPresheafedSpace : TopCat)) (Y := (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat))
              (PresheafedSpace.Hom.base (InducedCategory.Hom.hom { hom := { base := g, c := hc } })) :
            (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          y))
      (Iso.hom (Z.presheaf.stalkCongr ⋯))
      (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (InducedCategory.Hom.hom { hom := { base := g, c := hc } }) y))

Tactic:
rw [← (h₁ y).choose_spec, ← cancel_mono (f.hom.stalkMap (h₁ y).choose), stalkCongr_hom,
    stalkSpecializes_refl, Category.id_comp, ← PresheafedSpace.stalkMap.comp f.hom ⟨g, gc⟩,
    ← PresheafedSpace.stalkMap.comp f.hom ⟨g, hc⟩]

Premises used: Exists.choose_spec, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.mk, TopCat.Presheaf.stalkCongr_hom, CategoryTheory.cancel_mono, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.stalkMap.comp, Exists.choose, CategoryTheory.InducedCategory.Hom.hom, TopCat.Presheaf.stalkSpecializes_refl, CategoryTheory.Category.id_comp