-- Module: Mathlib.Analysis.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup E''
inst_3 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_4 : RCLike 𝕜
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E''
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_11 : CompleteSpace F
inst_12 : NormedAddCommGroup F'
inst_13 : NormedSpace ℝ F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
inst_15 : CompleteSpace F'
inst_16 : NormedAddCommGroup F''
inst_17 : NormedSpace ℝ F''
inst_18 : NormedSpace 𝕜 F''
inst_19 : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst_20 : AddGroup G
inst_21 : SFinite μ
inst_22 : SFinite ν
inst_23 : μ.IsAddRightInvariant
inst_24 : MeasurableAdd₂ G
inst_25 : ν.IsAddRightInvariant
inst_26 : MeasurableNeg G
hL :
  ∀ (x : E) (y : E') (z : E''),
    Eq.{uF' + 1} (α := F')
      ((((L₂ : (a : F) → E'' →L[𝕜] F') ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) x : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) y) :
              E'' →L[𝕜] F') :
            (a : E'') → F')
          z :
        F')
      ((((L₃ : (a : E) → F'' →L[𝕜] F') x : F'' →L[𝕜] F') : (a : F'') → F')
          ((((L₄ : (a : E') → E'' →L[𝕜] F'') y : E'' →L[𝕜] F'') : (a : E'') → F'') z : F'') :
        F')
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt.{u𝕜, uG, uE, uE', uF} (𝕜 := 𝕜) (F := F) f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt.{u𝕜, uG, uE', uE'', uF''} (𝕜 := 𝕜) (F := F'') g k x L₄ μ
hi :
  Integrable.{uF', uG} (ε := F')
    (uncurry fun (x y : G) ↦
      (((L₃ : (a : E) → F'' →L[𝕜] F') (f y) : F'' →L[𝕜] F') : (a : F'') → F')
        ((((L₄ : (a : E') → E'' →L[𝕜] F'') (g (x - y)) : E'' →L[𝕜] F'') : (a : E'') → F'') (k (x₀ - x)) : F''))
    (μ.prod ν)
refine :
  ∀ (t : G) (ht : ConvolutionExistsAt.{u𝕜, uG, uE', uE'', uF''} (𝕜 := 𝕜) (F := F'') g k (x₀ - t) L₄ μ),
    Eq.{uF' + 1} (α := F')
      ((fun (s : G) ↦
          (∫ (u : G),
              (((L₃ : (a : E) → F'' →L[𝕜] F') (f s) : F'' →L[𝕜] F') : (a : F'') → F')
                ((((L₄ : (a : E') → E'' →L[𝕜] F'') (g u) : E'' →L[𝕜] F'') : (a : E'') → F'') (k (x₀ - s - u)) :
                  F'') ∂μ :
            F'))
        t)
      ((fun (s : G) ↦
          ((((L₃ : (a : E) → F'' →L[𝕜] F') (f s) : F'' →L[𝕜] F') : (a : F'') → F')
              (∫ (u : G),
                (((L₄ : (a : E') → E'' →L[𝕜] F'') (g u) : E'' →L[𝕜] F'') : (a : E'') → F'') (k (x₀ - s - u)) ∂μ) :
            F'))
        t)
⊢ EventuallyEq.{uG, uF'} (β := F') (ae ν)
    (fun (s : G) ↦
      ∫ (u : G),
        (((L₃ : (a : E) → F'' →L[𝕜] F') (f s) : F'' →L[𝕜] F') : (a : F'') → F')
          ((((L₄ : (a : E') → E'' →L[𝕜] F'') (g u) : E'' →L[𝕜] F'') : (a : E'') → F'') (k (x₀ - s - u)) : F'') ∂μ)
    fun (s : G) ↦
    (((L₃ : (a : E) → F'' →L[𝕜] F') (f s) : F'' →L[𝕜] F') : (a : F'') → F')
      (∫ (u : G), (((L₄ : (a : E') → E'' →L[𝕜] F'') (g u) : E'' →L[𝕜] F'') : (a : E'') → F'') (k (x₀ - s - u)) ∂μ)

Tactic:
refine ((quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant ν x₀).ae hgk).mono fun t ht => ?_

Premises used: MeasureTheory.Measure.QuasiMeasurePreserving.ae, MeasureTheory.quasiMeasurePreserving_sub_left_of_right_invariant, Filter.Eventually.mono