-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity
Goal:
R : Type u_1
M : Type u
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
rw :
  Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥s ⧸ comap s.subtype (s ⊓ t)) + Module.rank R ↥(comap s.subtype (s ⊓ t)) +
      Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₁ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(comap (s ⊔ t).subtype t) +
      Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥s ⧸ comap s.subtype (s ⊓ t)) + Module.rank R ↥(comap s.subtype (s ⊓ t)) +
      Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₂ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(comap (s ⊔ t).subtype t) +
      Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥s ⧸ comap s.subtype s ⊓ comap s.subtype t) +
        Module.rank R ↥(comap s.subtype s ⊓ comap s.subtype t) +
      Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₃ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(comap (s ⊔ t).subtype t) +
      Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(comap s.subtype s ⊓ comap s.subtype t) +
      Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₄ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(comap (s ⊔ t).subtype t) +
      Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(comap s.subtype (s ⊓ t)) +
      Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₅ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(comap (s ⊔ t).subtype t) +
      Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(map s.subtype (comap s.subtype (s ⊓ t))) +
      Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₆ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(comap (s ⊔ t).subtype t) +
      Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ (s ⊓ t)) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₇ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(map (s ⊔ t).subtype (comap (s ⊔ t).subtype t)) +
      Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ (s ⊓ t)) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₈ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ (s ⊓ t)) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₉ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ s ⊓ t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₁₀ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
rw₁₁ rw₁₂ :
  Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)
⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) = Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)

Tactic:
rw [← rank_quotient_add_rank ((s ⊓ t).comap s.subtype),
    ← rank_quotient_add_rank (t.comap (s ⊔ t).subtype),
    comap_inf, (quotientInfEquivSupQuotient s t).rank_eq, ← comap_inf,
    (equivSubtypeMap s (comap _ (s ⊓ t))).rank_eq, Submodule.map_comap_subtype,
    (equivSubtypeMap (s ⊔ t) (comap _ t)).rank_eq, Submodule.map_comap_subtype,
    ← inf_assoc, inf_idem, add_right_comm]

Premises used: Submodule.comap_inf, Submodule.rank_quotient_add_rank, add_right_comm, Submodule.comap, Max.max, LinearEquiv.rank_eq, Submodule.subtype, Submodule.map_comap_subtype, inf_assoc, LinearMap.quotientInfEquivSupQuotient, inf_idem, Submodule.equivSubtypeMap, Min.min