-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.SheafedSpace
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst_1 : (X Y : C) → FunLike.{u_1 + 1, v + 1, v + 1} (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC (CC := CC)
inst_2 : HasColimits.{v, u} C
inst_3 : HasLimits.{v, u} C
inst_4 : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
inst_5 : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
inst_6 : ReflectsIsomorphisms (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
X Y : SheafedSpace.{u, v, v} C
f : X ⟶ Y
h₁ :
  Function.Injective (α := (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) (β :=
    (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
          f.hom.base) :
      (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
h₂ :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)),
    Epi (X :=
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
              f.hom.base :
            (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          x))
      (PresheafedSpace.Hom.stalkMap f.hom x)
Z : SheafedSpace.{u, v, v} C
g : (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) ⟶ (↑X.toPresheafedSpace : TopCat)
gc hc : X.presheaf ⟶ obj (pushforward C g) Z.presheaf
e : Eq (α := Z ⟶ Y) ({ hom := { base := g, c := gc } } ≫ f) ({ hom := { base := g, c := hc } } ≫ f)
x : (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)
right_cancellation :
  Eq (α :=
    Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
              f.hom.base :
            (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
              x :
            (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))) ⟶
      Z.presheaf.stalk x)
    (PresheafedSpace.Hom.stalkMap ({ base := g, c := gc : Z.Hom X.toPresheafedSpace } ≫ f.hom) x :
      Y.presheaf.stalk
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
                (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat))
                (PresheafedSpace.Hom.base ({ base := g, c := gc : Z.Hom X.toPresheafedSpace } ≫ f.hom)) :
              (a : (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
            x) ⟶
        Z.presheaf.stalk x)
    (PresheafedSpace.Hom.stalkMap ({ base := g, c := hc : Z.Hom X.toPresheafedSpace } ≫ f.hom) x)
⊢ Eq (α :=
    X.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
              (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat)) (Y := (↑X.toPresheafedSpace : TopCat))
              (PresheafedSpace.Hom.base
                (InducedCategory.Hom.hom
                  { hom := { base := g, c := gc : Z.Hom X.toPresheafedSpace } :
                    InducedCategory.Hom (D := PresheafedSpace.{v, u, v} C) (F := toPresheafedSpace) Z X })) :
            (a : (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      Z.presheaf.stalk x)
    (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (InducedCategory.Hom.hom { hom := { base := g, c := gc } }) x)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      X.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
              (↑Z.toPresheafedSpace : TopCat)) (Y := (↑X.toPresheafedSpace : TopCat))
              (PresheafedSpace.Hom.base (InducedCategory.Hom.hom { hom := { base := g, c := hc } })) :
            (a : (↑(↑Z.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          x))
      (Iso.hom (X.presheaf.stalkCongr ⋯))
      (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (InducedCategory.Hom.hom { hom := { base := g, c := hc } }) x))

Tactic:
rw [← cancel_epi (f.hom.stalkMap (g x)), stalkCongr_hom, stalkSpecializes_refl, Category.id_comp,
    ← PresheafedSpace.stalkMap.comp ⟨g, gc⟩ f.hom, ← PresheafedSpace.stalkMap.comp ⟨g, hc⟩ f.hom]

Premises used: AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.stalkMap, CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.mk, TopCat.Presheaf.stalkCongr_hom, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.stalkMap.comp, CategoryTheory.InducedCategory.Hom.hom, TopCat.Presheaf.stalkSpecializes_refl, CategoryTheory.cancel_epi, DFunLike.coe, CategoryTheory.Category.id_comp