-- Module: Mathlib.Condensed.Discrete.LocallyConstant
Goal:
P : TopCat.{u} → Prop
inst : ∀ (S : CompHausLike P) (p : (↑(S.toTop (P := P)) : Type u) → Prop), HasProp P (Subtype p)
S : CompHausLike P
Y : (CompHausLike P)ᵒᵖ ⥤ Type (max u w)
inst_1 : HasProp P PUnit.{u + 1}
f : LocallyConstant (↑(S.toTop (P := P)) : Type u) (Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))
inst_2 : PreservesFiniteProducts Y
inst_3 : HasExplicitFiniteCoproducts P
a :
  Fiber (Y := (↑(S.toTop (P := P)) : Type u)) (Z := Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))
    (⇑f : (a : (↑S.toTop : Type u)) → Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))
rw :
  Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op (fiber.{u, w} (P := P) f a))))
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (CategoryStruct.comp (Y :=
                (a :
                    Fiber (Y := (↑(S.toTop (P := P)) : Type u)) (Z := Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))
                      (⇑f : (a : (↑S.toTop : Type u)) → Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))) →
                  Y.obj (op (of P (↑((fiber.{u, w} (P := P) f a).toTop (P := P)) : Type u))))
                (sigmaComparison.{u, w} (P := P) Y
                  fun
                    (a :
                      Fiber (Y := (↑(S.toTop (P := P)) : Type u)) (Z := Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))
                        (⇑f : (a : (↑S.toTop : Type u)) → Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))) ↦
                  (↑((fiber.{u, w} (P := P) f a).toTop (P := P)) : Type u))
                (↾fun
                    (g :
                      (a :
                          Fiber (Y := (↑(S.toTop (P := P)) : Type u)) (Z := Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))
                            (⇑f : (a : (↑S.toTop : Type u)) → Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1})))) →
                        Y.obj (op (of P (↑((fiber.{u, w} (P := P) f a).toTop (P := P)) : Type u)))) ↦
                  g a)) :
            TypeCat.Fun (Y.obj (op (finiteCoproduct (P := P) (fiber.{u, w} (P := P) f))))
              (Y.obj (op (fiber.{u, w} (P := P) f a)))) :
          (a_1 : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op (finiteCoproduct (fiber f))))) →
            (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op (fiber f a))))
        (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (Y.map (Quiver.Hom.op (Iso.hom (sigmaIso (P := P) f)))) :
              TypeCat.Fun (Y.obj (op S)) (Y.obj (op (finiteCoproduct (P := P) (fiber.{u, w} (P := P) f))))) :
            (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op S))) →
              (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op (finiteCoproduct (fiber f)))))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (counitAppApp.{u, w} (P := P) S Y) :
              (a :
                  (fun (X : Type (max u w)) ↦ X)
                    (LocallyConstant (↑S.toTop : Type u) (Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1}))))) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op S)))
            f)) :
      (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op (fiber.{u, w} (P := P) f a))))
    (counitAppAppImage (P := P) f a : Y.obj (op (fiber.{u, w} (P := P) f a)))
⊢ Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op (fiber.{u, w} (P := P) f a))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (Y.map (Quiver.Hom.op (sigmaIncl (P := P) f a))) :
          (a_1 : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op S))) →
            (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op (fiber f a))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (counitAppApp.{u, w} (P := P) S Y) :
            (a :
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X)
                  (LocallyConstant (↑S.toTop : Type u) (Y.obj (op (of P PUnit.{u + 1}))))) →
              (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op S)))
          f) :
      (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (Y.obj (op (fiber.{u, w} (P := P) f a))))
    (counitAppAppImage (P := P) f a : Y.obj (op (fiber.{u, w} (P := P) f a)))

Tactic:
rw [← sigmaComparison_comp_sigmaIso, Functor.mapIso_hom, Iso.op_hom, types_comp_apply]

Premises used: CategoryTheory.Iso.op_hom, CompHausLike.LocallyConstant.sigmaComparison_comp_sigmaIso, CategoryTheory.Functor.mapIso_hom, CategoryTheory.types_comp_apply