awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ ∑ n : Fin N, HMul.hMul (β := ℝ) (|a| + y n + ε') ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n) : ℝ) -
      |a| * ∑ n : Fin N, (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n) ≤
    ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') * (μ.real (E n) + ε' / (↑N : ℝ)) - |a| * ∑ n : Fin N, (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n)

Tactic:
?_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') * (μ.real (E n) + ε' / (↑N : ℝ)) - |a| * ∑ n : Fin N, (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n) ≤
    ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') * (μ.real (E n) + ε' / (↑N : ℝ)) - |a| * μ.real K

Tactic:
?_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') * (μ.real (E n) + ε' / (↑N : ℝ)) - |a| * μ.real K =
    ∑ n : Fin N, (y n - ε') * μ.real (E n) + 2 * ε' * μ.real K + ε' / (↑N : ℝ) * ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε')

Tactic:
?_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ ∑ n : Fin N, (y n - ε') * μ.real (E n) + 2 * ε' * μ.real K + ε' / (↑N : ℝ) * ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') ≤
    ∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ + 2 * ε' * μ.real K + ε' / (↑N : ℝ) * ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε')

Tactic:
?_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ ∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ + 2 * ε' * μ.real K + ε' / (↑N : ℝ) * ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') ≤
    ∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ + ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε')

Tactic:
?_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ ∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ + ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ + ε

Tactic:
simp [hε'.2]

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
calc_1 : f = ∑ n : Fin N, g n • f
⊢ Eq (α := ℝ) ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ) ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (∑ n : Fin N, g n • f) : ℝ)

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
calc_1 : ∀ (x : X), Eq (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((∑ n : Fin N, g n • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ f = ∑ n : Fin N, g n • f

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
x : X
calc_1 :
  (f : (a : X) → ℝ) x =
    HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((∑ i : Fin N, (⇑(g i) : (a : X) → ℝ)) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ Eq (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((∑ n : Fin N, g n • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
simp only [coe_sum, smul_eq_mul, coe_mul, Pi.mul_apply,
      ← Finset.sum_mul]

Premises used: CompactlySupportedContinuousMap.coe_mul, Pi.mul_apply, smul_eq_mul, Finset.sum_mul, CompactlySupportedContinuousMap.coe_sum
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
x : X
pos :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) x),
    (f : (a : X) → ℝ) x =
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((∑ i : Fin N, (⇑(g i) : (a : X) → ℝ)) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
neg :
  ∀ (hx : x ∉ tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)),
    (f : (a : X) → ℝ) x =
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((∑ i : Fin N, (⇑(g i) : (a : X) → ℝ)) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ (f : (a : X) → ℝ) x =
    HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((∑ i : Fin N, (⇑(g i) : (a : X) → ℝ)) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
by_cases hx : x ∈ tsupport f

Premises used: tsupport, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
x : X
hx : Membership.mem (γ := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) x
⊢ (f : (a : X) → ℝ) x =
    HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((∑ i : Fin N, (⇑(g i) : (a : X) → ℝ)) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
simp [hg.2.1 hx]

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
x : X
hx : x ∉ tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
⊢ (f : (a : X) → ℝ) x =
    HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((∑ i : Fin N, (⇑(g i) : (a : X) → ℝ)) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
simp [image_eq_zero_of_notMem_tsupport hx]

Premises used: image_eq_zero_of_notMem_tsupport