awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ¬ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
neg :
  Eq (α := TangentSpace I x₀) (0 : TangentSpace I x₀)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) → TangentSpace I x₀)
        0 :
      TangentSpace I x₀)
neg₁ :
  Eq (α := E)
    (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (mpullbackWithin I I' f V s) (range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    0
neg₂ :
  Eq (α := E)
    (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (mpullbackWithin I I' f W s) (range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    0
⊢ Eq (α := TangentSpace I x₀) (0 : TangentSpace I x₀)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) → TangentSpace I x₀)
        (lieBracketWithin 𝕜
          (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (mpullbackWithin I I' f V s)
            (range (↑I : H → E)))
          (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (mpullbackWithin I I' f W s)
            (range (↑I : H → E)))
          ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) :
      TangentSpace I x₀)

Tactic:
rw [lieBracketWithin_eq_zero_of_eq_zero]

Premises used: VectorField.lieBracketWithin_eq_zero_of_eq_zero
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ¬ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
⊢ Eq (α := TangentSpace I x₀) (0 : TangentSpace I x₀)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) → TangentSpace I x₀)
        0 :
      TangentSpace I x₀)

Tactic:
simp [-extChartAt]

Premises used: extChartAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ¬ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
neg :
  Eq (α := E)
    ((ContinuousLinearMap.inverse
            (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
              ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) :
          (a : TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))) →
            TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
        (((ContinuousLinearMap.inverse
                (mfderivWithin I I' f s ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))) :
              ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_3} (RingHom.id 𝕜)
                (TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))))
                (TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))) :
            (a : TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))) →
              TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
          (V (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    (0 : E)
⊢ Eq (α := E)
    (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (mpullbackWithin I I' f V s) (range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    0

Tactic:
simp only [mpullbackWithin_apply]

Premises used: VectorField.mpullbackWithin_apply
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ¬ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
⊢ Eq (α := E)
    (((ContinuousLinearMap.inverse
              (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
                ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) :
            TangentSpace I x₀ →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) :
          (a : TangentSpace I x₀) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
        (((0 : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_3} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x₀)) (TangentSpace I x₀)) :
            (a : TangentSpace I' (f x₀)) → TangentSpace I x₀)
          (V (f x₀))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    (0 : E)

Tactic:
simp [-extChartAt]

Premises used: extChartAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ¬ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
neg :
  Eq (α := E)
    ((ContinuousLinearMap.inverse
            (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
              ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) :
          (a : TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))) →
            TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
        (((ContinuousLinearMap.inverse
                (mfderivWithin I I' f s ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))) :
              ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_3} (RingHom.id 𝕜)
                (TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))))
                (TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))) :
            (a : TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))) →
              TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
          (W (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    (0 : E)
⊢ Eq (α := E)
    (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (mpullbackWithin I I' f W s) (range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    0

Tactic:
simp only [mpullbackWithin_apply]

Premises used: VectorField.mpullbackWithin_apply
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ¬ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
⊢ Eq (α := E)
    (((ContinuousLinearMap.inverse
              (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
                ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) :
            TangentSpace I x₀ →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) :
          (a : TangentSpace I x₀) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
        (((0 : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_3} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x₀)) (TangentSpace I x₀)) :
            (a : TangentSpace I' (f x₀)) → TangentSpace I x₀)
          (W (f x₀))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    (0 : E)

Tactic:
simp [-extChartAt]

Premises used: extChartAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
rcases :
  ∀ (M : ContinuousLinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_6} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' (f x₀))),
    CompleteSpace E'
⊢ CompleteSpace E'

Tactic:
rcases hfi with ⟨M, -⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M_1 : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M_1
inst_5 : ChartedSpace H M_1
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M'_1 : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'_1
inst_10 : ChartedSpace H' M'_1
inst_11 : IsManifold I 2 M_1
inst_12 : IsManifold I' 2 M'_1
inst_13 : CompleteSpace E
f : M_1 → M'_1
V W : (x : M'_1) → TangentSpace I' x
x₀ : M_1
s : Set M_1
t : Set M'_1
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M'_1 → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M_1))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M_1) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M_1 → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M_1) ((↑(extChartAt I x₀) : M_1 → E) x₀) = x₀
M : ContinuousLinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_6} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' (f x₀))
M' : E ≃L[𝕜] E' := M
⊢ CompleteSpace E

Tactic:
assumption
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M_1 : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M_1
inst_5 : ChartedSpace H M_1
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M'_1 : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'_1
inst_10 : ChartedSpace H' M'_1
inst_11 : IsManifold I 2 M_1
inst_12 : IsManifold I' 2 M'_1
inst_13 : CompleteSpace E
f : M_1 → M'_1
V W : (x : M'_1) → TangentSpace I' x
x₀ : M_1
s : Set M_1
t : Set M'_1
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M'_1 → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M_1))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M_1) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M_1 → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M_1) ((↑(extChartAt I x₀) : M_1 → E) x₀) = x₀
M : ContinuousLinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_6} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' (f x₀))
M' : E ≃L[𝕜] E' := M
⊢ CompleteSpace E'

Tactic:
exact (completeSpace_congr (e := M'.toEquiv) M'.isUniformEmbedding).1 (by assumption)

Premises used: completeSpace_congr, ContinuousLinearEquiv.isUniformEmbedding, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
⊢ CompleteSpace E'

Tactic:
have : CompleteSpace E' := by
    rcases hfi with ⟨M, -⟩
    let M' : E ≃L[𝕜] E' := M
    exact (completeSpace_congr (e := M'.toEquiv) M'.isUniformEmbedding).1 (by assumption)
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
this : CompleteSpace E'
⊢ Eq (α := ℕ∞ω) 2 ∞ → Eq (α := ℕ∞ω) 2 ω

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
hfi :
  ContinuousLinearMap.IsInvertible (M := TangentSpace I x₀) (M₂ := TangentSpace I' (f x₀)) (mfderivWithin I I' f s x₀)
this : CompleteSpace E'
obtain :
  ∀ (u : Set M) (u_open : IsOpen[inst_4] u) (x₀u : x₀ ∈ u) (hu : ContMDiffOn I I' 2 f (insert x₀ s ∩ u)),
    ∃ (u : Set M),
      IsOpen[inst_4] u ∧
        x₀ ∈ u ∧ s ∩ u ⊆ f ⁻¹' t ∧ s ∩ u ⊆ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀)).source ∧ ContMDiffOn I I' 2 f (s ∩ u)
⊢ ∃ (u : Set M),
    IsOpen[inst_4] u ∧
      x₀ ∈ u ∧ s ∩ u ⊆ f ⁻¹' t ∧ s ∩ u ⊆ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀)).source ∧ ContMDiffOn I I' 2 f (s ∩ u)

Tactic:
obtain ⟨u, u_open, x₀u, hu⟩ : ∃ u, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ CMDiff[insert x₀ s ∩ u] 2 f :=
      hf.contMDiffOn' le_rfl (by simp)

Premises used: le_rfl, Insert.insert, ContMDiffWithinAt.contMDiffOn'