-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Cartesian.Mon
Goal:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst : Category.{v, u_1} C
inst_1 : CartesianMonoidalCategory.{v, u_1} C
inst_2 : Category.{w, u_2} D
inst_3 : CartesianMonoidalCategory.{w, u_2} D
M N O X Y_1 : C
inst_4 : MonObj M
inst_5 : MonObj N
inst_6 : MonObj O
F : Functor.{v, v, u_1, v + 1} Cᵒᵖ MonCat
α :
  (F ⋙
        forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC :=
          MonCat.carrier)).RepresentableBy
    X
this : MonObj X := ofRepresentableBy X F α
Y : Cᵒᵖ
f₁ f₂ : unop Y ⟶ X
change :
  (α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) :
        (a : unop Y ⟶ X) → ToType (F.obj (op (unop Y))))
      (CategoryStruct.comp (Y := tensorObj.{v, u_1} (𝒞 := inst) X X) (lift f₁ f₂)
        ((Equiv.symm
              (α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v))) :
            (a : ToType (F.obj (op (X ⊗ X)))) → X ⊗ X ⟶ X)
          (HMul.hMul (α :=
            ToType (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC := MonCat.carrier)
              (F.obj (op (tensorObj.{v, u_1} (𝒞 := inst) X X))))
            (β :=
            ToType (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC := MonCat.carrier)
              (F.obj (op (tensorObj.{v, u_1} (𝒞 := inst) X X))))
            ((α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) :
                  (a : X ⊗ X ⟶ X) → ToType (F.obj (op (X ⊗ X))))
                (fst X X) :
              ToType (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC := MonCat.carrier)
                (F.obj (op (tensorObj.{v, u_1} (𝒞 := inst) X X))))
            ((α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) :
                  (a : X ⊗ X ⟶ X) → ToType (F.obj (op (X ⊗ X))))
                (snd X X) :
              ToType (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC := MonCat.carrier)
                (F.obj (op (tensorObj.{v, u_1} (𝒞 := inst) X X))))))) =
    HMul.hMul (α :=
      ToType (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC := MonCat.carrier)
        (F.obj (op (unop Y))))
      (β :=
      ToType (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC := MonCat.carrier)
        (F.obj (op (unop Y))))
      ((α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) :
            (a : unop Y ⟶ X) → ToType (F.obj (op (unop Y))))
          f₁ :
        ToType (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC := MonCat.carrier)
          (F.obj (op (unop Y))))
      ((α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) :
            (a : unop Y ⟶ X) → ToType (F.obj (op (unop Y))))
          f₂ :
        ToType (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)) (CC := MonCat.carrier)
          (F.obj (op (unop Y))))
⊢ Equiv.toFun (α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)))
      (f₁ * f₂) =
    Equiv.toFun (α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v)))
        f₁ *
      Equiv.toFun
        (α.homEquiv' (CD := MonCat.carrier) (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →* (↑x2 : Type v))) f₂

Tactic:
change α.homEquiv' (lift f₁ f₂ ≫ α.homEquiv'.symm (α.homEquiv' (fst X X) *
          α.homEquiv' (snd X X))) = α.homEquiv' f₁ * α.homEquiv' f₂

Premises used: HMul.hMul, CategoryTheory.Functor.RepresentableBy.homEquiv', CategoryTheory.SemiCartesianMonoidalCategory.snd, CategoryTheory.CartesianMonoidalCategory.lift, CategoryTheory.CategoryStruct.comp, Equiv.symm, DFunLike.coe, CategoryTheory.SemiCartesianMonoidalCategory.fst