-- Module: Mathlib.Condensed.Light.EffectiveEpi
Goal:
X Y : LightProfinite
f : X ⟶ Y
hf :
  Function.Surjective (α :=
    (fun
          (X :
            CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
        (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
          Type u_1))
      X)
    (β :=
    (fun
          (X :
            CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
        (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
          Type u_1))
      Y)
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC :=
          fun
            (x1 x2 :
              CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
              Type u_1),
            (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
              Type u_1)))
          (CC :=
          fun
            (X :
              CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
            Type u_1))
          f) :
      (a :
          (fun
                (X :
                  CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type u_1)) ↦
              (↑X.toTop : Type u_1))
            X) →
        (fun
              (X :
                CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type u_1)) ↦
            (↑X.toTop : Type u_1))
          Y)
S : LightProfinite
g :
  (lightProfiniteToLightCondSet.obj Y).obj (P := Presheaf.IsSheaf (coherentTopology LightProfinite)).obj (Opposite.op S)
y :
  (↑(S.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
        TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
    Type u_1)
x :
  (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
        TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
    Type u_1)
hx :
  Eq (α :=
    (fun
          (X :
            CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
        (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
          Type u_1))
      Y)
    ((ConcreteCategory.hom (FC :=
            fun
              (x1 x2 :
                CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
            C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
                Type u_1),
              (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
                Type u_1)))
            (CC :=
            fun
              (X :
                CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
            (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
              Type u_1))
            f :
          (a :
              (fun
                    (X :
                      CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type u_1)) ↦
                  (↑X.toTop : Type u_1))
                X) →
            (fun
                  (X :
                    CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type u_1)) ↦
                (↑X.toTop : Type u_1))
              Y)
        x :
      (fun
            (X :
              CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
            Type u_1))
        Y)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := TopCat.carrier)
            g.hom :
          (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op S)).toTop : Type u_1)) → (↑Y.toTop : Type u_1))
        y :
      (↑(Y.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
        Type u_1))
⊢ ∃ (a :
    (fun
          (X :
            CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
        (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
          Type u_1))
      (pullback (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
        TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) f g)),
    (ConcreteCategory.hom (FC :=
            fun
              (x1 x2 :
                CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
            C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
                Type u_1),
              (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
                Type u_1)))
            (CC :=
            fun
              (X :
                CompHausLike fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) ↦
            (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1))) :
              Type u_1))
            (X :=
            pullback (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) f g)
            (pullback.snd (P := fun (X : TopCat.{u_1}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u_1} (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology.{u_1} (↑X : Type u_1)) f g) :
          (a :
              (fun
                    (X :
                      CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type u_1)) ↦
                  (↑X.toTop : Type u_1))
                (pullback f g)) →
            (fun
                  (X :
                    CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u_1) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type u_1)) ↦
                (↑X.toTop : Type u_1))
              S)
        a =
      y

Tactic:
⟨⟨⟨x, y⟩, hx⟩, rfl⟩

Premises used: Prod.mk, Subtype.mk, Exists.intro, rfl