awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

Tactic:
le_of_lt one_half_pos

Premises used: le_of_lt, one_half_pos
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

Tactic:
add_halves 1

Premises used: add_halves, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

Tactic:
exact add_halves 1

Premises used: add_halves, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖

Tactic:
have eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
        rw [smul_add]
        apply δ_le'
        apply h₂
        repeat' exact Subtype.mem _
        repeat' exact le_of_lt one_half_pos
        exact add_halves 1
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
grw : δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑q : ℝ) 1 ≤ δ + div
grw₁ grw₂ : δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1 ≤ δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ ‖a‖ ≤ δ + div

Tactic:
grw [hw, Nat.one_div_le_one_div hq]

Premises used: Nat.one_div_le_one_div
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
⊢ ‖a‖ ≤ δ + div

Tactic:
have eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div := by grw [hw, Nat.one_div_le_one_div hq]
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
grw : δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑p : ℝ) 1 ≤ δ + div
grw₁ grw₂ : δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1 ≤ δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ ‖b‖ ≤ δ + div

Tactic:
grw [hw, Nat.one_div_le_one_div hp]

Premises used: Nat.one_div_le_one_div
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
⊢ ‖b‖ ≤ δ + div

Tactic:
have eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div := by grw [hw, Nat.one_div_le_one_div hp]
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ √(b_1 N)
⊢ dist (↑(w p) : F) (↑(w q) : F) ≤ √(b_1 N)

Tactic:
rw [dist_eq_norm]

Premises used: dist_eq_norm
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : 0 ≤ √(b_1 N)
h₃ : ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ * ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ √(b_1 N) * √(b_1 N)
⊢ ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ √(b_1 N)

Tactic:
apply nonneg_le_nonneg_of_sq_le_sq

Premises used: nonneg_le_nonneg_of_sq_le_sq
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 0 ≤ √(b_1 N)

Tactic:
sqrt_nonneg _

Premises used: Real.sqrt_nonneg
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 0 ≤ √(b_1 N)

Tactic:
exact sqrt_nonneg _

Premises used: Real.sqrt_nonneg
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ * ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ b_1 N
h₃ : 0 ≤ b_1 N
⊢ ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ * ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ √(b_1 N) * √(b_1 N)

Tactic:
rw [mul_self_sqrt]

Premises used: Real.mul_self_sqrt
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖

Tactic:
simp [← this]
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : 0 ≤ δ
h₃ : 0 ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖
h₄ : LE.le (α := ℝ) 0 4
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ ≤
    2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : LE.le (α := ℝ) 0 2
h₃ : 0 ≤ ‖a‖
h₄ : 0 ≤ δ + div
h₅ : 0 ≤ ‖b‖
h₆ : 0 ≤ δ + div
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ = 8 * δ * div + 4 * div * div

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
half₁ : ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
half₂ :
  2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ ≤
    2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ
half₃ : 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ
half₄ : 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ = 8 * δ * div + 4 * div * div
⊢ ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ * ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ b_1 N

Tactic:
calc
        ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
            2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
          simp [← this]
        _ ≤ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ = 8 * δ * div + 4 * div * div := by ring

Premises used: Norm.norm, HMul.hMul, HAdd.hAdd
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 0 ≤ b_1 N

Tactic:
positivity