-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
J : Type w
inst_2 : SmallCategory J
inst_3 : FinCategory J
F : Functor.{w, v, w, u} J C
O : Finset C := Finset.image F.obj Finset.univ
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.biUnion Finset.univ fun (X : J) ↦
    Finset.biUnion Finset.univ fun (Y : J) ↦
      Finset.image
        (fun (f : X ⟶ Y) ↦
          PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj X)
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ Y)) (F.obj Y)
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj X ∈ O) ↦ (_ : F.obj Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ F.obj Y)) ⋯
                (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj Y ∈ O) ↦ F.obj X ⟶ F.obj Y) ⋯ (F.map f)))))
        Finset.univ
Z : C
f : {X : C} → X ∈ O → (Z ⟶ X)
w :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f_1))) ∈
        H →
      f mX ≫ f_1 = f mY
j j' : J
g : j ⟶ j'
a :
  ∃ (a : J),
    F.obj a = F.obj j ∧
      ∃ (x : J) (x_1 : a ⟶ x),
        HEq (α :=
          (Y : C) ×'
            (_ : F.obj a ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (_ : Y ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj a ⟶ Y))
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦
            (_ : F.obj a ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (_ : Y ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj a ⟶ Y))
            (F.obj x)
            (PSigma.mk (β := fun (x_2 : F.obj a ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ↦
              (_ : F.obj x ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj a ⟶ F.obj x)) ⋯
              (PSigma.mk (β := fun (x_2 : F.obj x ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ↦ F.obj a ⟶ F.obj x) ⋯
                (F.map x_1))))
          (β :=
          (Y : C) ×'
            (_ : F.obj j ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (_ : Y ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj j ⟶ Y))
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦
            (_ : F.obj j ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (_ : Y ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj j ⟶ Y))
            (F.obj j')
            (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ↦
              (_ : F.obj j' ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj j ⟶ F.obj j')) ⋯
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j' ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ↦ F.obj j ⟶ F.obj j') ⋯ (F.map g))))
⊢ PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj j)
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj j ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj j ⟶ Y)) (F.obj j')
        (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j ∈ O) ↦ (_ : F.obj j' ∈ O) ×' (F.obj j ⟶ F.obj j')) ⋯
          (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j' ∈ O) ↦ F.obj j ⟶ F.obj j') ⋯ (F.map g)))) ∈
    H

Tactic:
simp only [O, H, Finset.mem_biUnion, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
    PSigma.mk.injEq, true_and, exists_and_left]

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.mem_image, exists_and_left, PSigma.mk.injEq, Finset.mem_biUnion, true_and