-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.LeftExactFunctor
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
inst_2 : HasFiniteBiproducts.{v, u} C
F : C ⥤ AddCommGrpCat
inst_3 : PreservesFiniteLimits F
X : C
this_1 : (F ⋙
    forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
      carrier)).Braided :=
  Functor.Braided.ofChosenFiniteProducts
    (F ⋙
      forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier))
this_2 : F.Monoidal := Functor.Monoidal.ofChosenFiniteProducts F
this : F.Additive
x :
  tensorObj (𝒞 := types) (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X
    (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X
h :
  (Multiplicative.toAdd :
        (a : (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X) → ToType (F.obj X))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) μ :
            (a :
                (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X ×
                  (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X) →
              (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X)
          x :
        (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X) =
    HAdd.hAdd (α := (↑(F.obj X) : Type v)) (β := (↑(F.obj X) : Type v))
      ((Hom.hom (SemiCartesianMonoidalCategory.fst (F.obj X) (F.obj X)) :
            (a : (↑(F.obj X ⊗ F.obj X) : Type v)) → (↑(F.obj X) : Type v))
          (((@ConcreteCategory.hom _ types TypeCat.Fun _ _ _ _ _
                    (Functor.LaxMonoidal.μ
                      (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
                        (CC := carrier))
                      (F.obj X) (F.obj X)) :
                  TypeCat.Fun
                    (ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                        (F.obj X) ×
                      ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                        (F.obj X))
                    (ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                      (tensorObj (𝒞 := instCategory) (F.obj X) (F.obj X)))) :
                (a : ToType (F.obj X) × ToType (F.obj X)) → ToType (F.obj X ⊗ F.obj X))
              (((Multiplicative.toAdd :
                      (a : (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X) → ToType (F.obj X))
                    x.1,
                  (Multiplicative.toAdd :
                      (a : (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X) → ToType (F.obj X))
                    x.2) :
                ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                    (F.obj X) ×
                  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                    (F.obj X)) :
            ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
              (tensorObj (𝒞 := instCategory) (F.obj X) (F.obj X))) :
        (↑(F.obj X) : Type v))
      ((Hom.hom (SemiCartesianMonoidalCategory.snd (F.obj X) (F.obj X)) :
            (a : (↑(F.obj X ⊗ F.obj X) : Type v)) → (↑(F.obj X) : Type v))
          (((@ConcreteCategory.hom _ types TypeCat.Fun _ _ _ _ _
                    (Functor.LaxMonoidal.μ
                      (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
                        (CC := carrier))
                      (F.obj X) (F.obj X)) :
                  TypeCat.Fun
                    (ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                        (F.obj X) ×
                      ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                        (F.obj X))
                    (ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                      (tensorObj (𝒞 := instCategory) (F.obj X) (F.obj X)))) :
                (a : ToType (F.obj X) × ToType (F.obj X)) → ToType (F.obj X ⊗ F.obj X))
              (((Multiplicative.toAdd :
                      (a : (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X) → ToType (F.obj X))
                    x.1,
                  (Multiplicative.toAdd :
                      (a : (commGrpTypeEquivalenceCommGrp.inverse.obj (toCommGrp.obj (F.obj X))).X) → ToType (F.obj X))
                    x.2) :
                ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                    (F.obj X) ×
                  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
                    (F.obj X)) :
            ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := carrier)
              (tensorObj (𝒞 := instCategory) (F.obj X) (F.obj X))) :
        (↑(F.obj X) : Type v))
⊢ TypeCat.Fun.toFun (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (μ ≫ Iso.hom (Equiv.toIso Multiplicative.toAdd))) x =
    TypeCat.Fun.toFun
      (@ConcreteCategory.hom _ types TypeCat.Fun _ _ _ _ _
        ((Iso.hom (Equiv.toIso Multiplicative.toAdd) ⊗ₘ Iso.hom (Equiv.toIso Multiplicative.toAdd)) ≫
          CategoryStruct.comp (Y :=
            Functor.obj
              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                carrier))
              (tensorObj (𝒞 := instCategory) (F.obj X) (F.obj X)))
            (Functor.LaxMonoidal.μ
              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                carrier))
              (F.obj X) (F.obj X))
            (CategoryTheory.Functor.map
              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                carrier))
              (SemiCartesianMonoidalCategory.fst (F.obj X) (F.obj X) +
                SemiCartesianMonoidalCategory.snd (F.obj X) (F.obj X)))))
      x

Tactic:
simp only [types_tensorObj_def, TypeCat.Fun.toFun_apply, CategoryTheory.comp_apply,
    Equiv.toIso_hom_hom_apply, Functor.comp_obj, hom_add, tensor_apply, TypeCat.hom_ofHom,
    TypeCat.Fun.coe_mk, AddMonoidHom.add_apply]

Premises used: CategoryTheory.Functor.comp_obj, AddCommGrpCat.hom_add, Equiv.toIso_hom_hom_apply, TypeCat.Fun.coe_mk, TypeCat.hom_ofHom, TypeCat.Fun.toFun_apply, CategoryTheory.types_tensorObj_def, CategoryTheory.comp_apply, AddMonoidHom.add_apply, CategoryTheory.tensor_apply