awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
refine_1 : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ < ∞
⊢ HasFiniteIntegral (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (g x).toReal) μ

Tactic:
simp only [hasFiniteIntegral_iff_norm, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg ENNReal.toReal_nonneg]

Premises used: ENNReal.toReal_nonneg, abs_of_nonneg, MeasureTheory.hasFiniteIntegral_iff_norm, Real.norm_eq_abs
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), g x ∂μ < ∞

Tactic:
gint_ne.lt_top

Premises used: Ne.lt_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ < ∞

Tactic:
convert! gint_ne.lt_top using 1

Premises used: Ne.lt_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
refine_2 :
  (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ).toReal < (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑(f a) : ℝ) ∂μ).toReal + (↑ε : ℝ)
refine_2₁ : (ae μ).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)
refine_2₂ : AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
refine_2₃ : (ae μ).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ (g x).toReal
refine_2₄ : AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (fun (x : α) ↦ (g x).toReal) μ
⊢ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(f x) : ℝ) ∂μ + (↑ε : ℝ)

Tactic:
rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae, integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]

Premises used: MeasureTheory.integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), g a ∂μ).toReal

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
apply : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞) ≠ ∞
⊢ (∫⁻ (a : α), g a ∂μ).toReal ≤ (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)).toReal

Tactic:
apply ENNReal.toReal_mono _ gint

Premises used: ENNReal.toReal_mono
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞) ≠ ∞

Tactic:
simpa using int_f_ne_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
rw : (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑δ : ℝ≥0∞).toReal = (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑δ : ℝ)
rw₁ rw₂ : (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑δ : ℝ) = (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑δ : ℝ)
⊢ (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)).toReal = (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑δ : ℝ)

Tactic:
rw [ENNReal.toReal_add int_f_ne_top ENNReal.coe_ne_top, ENNReal.coe_toReal]

Premises used: ENNReal.toReal_add, ENNReal.coe_toReal, ENNReal.coe_ne_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑δ : ℝ) < (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑ε : ℝ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑ε : ℝ) = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑(f a) : ℝ) ∂μ).toReal + (↑ε : ℝ)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
a : (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), g a ∂μ).toReal
a₁ : (∫⁻ (a : α), g a ∂μ).toReal ≤ (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)).toReal
a₂ : (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)).toReal = (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑δ : ℝ)
a₃ : (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑δ : ℝ) < (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑ε : ℝ)
a₄ : (∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal + (↑ε : ℝ) = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑(f a) : ℝ) ∂μ).toReal + (↑ε : ℝ)
⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ).toReal < (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (↑(f a) : ℝ) ∂μ).toReal + (↑ε : ℝ)

Tactic:
calc
        ENNReal.toReal (∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ) =
            ENNReal.toReal (∫⁻ a : α, g a ∂μ) := by congr 1
        _ ≤ ENNReal.toReal ((∫⁻ a : α, f a ∂μ) + δ) := by
          apply ENNReal.toReal_mono _ gint
          simpa using int_f_ne_top
        _ = ENNReal.toReal (∫⁻ a : α, f a ∂μ) + δ := by
          rw [ENNReal.toReal_add int_f_ne_top ENNReal.coe_ne_top, ENNReal.coe_toReal]
        _ < ENNReal.toReal (∫⁻ a : α, f a ∂μ) + ε := by gcongr
        _ = (∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal ↑(f a) ∂μ).toReal + ε := by simp

Premises used: ENNReal.ofNNReal, ENNReal.ofReal, ENNReal.toReal, HAdd.hAdd, NNReal.toReal, MeasureTheory.lintegral
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
apply : ∀ (x : α), LE.le (α := ℝ) (0 x) ((fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) x)
⊢ (ae μ).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)

Tactic:
apply Filter.Eventually.of_forall fun x => _

Premises used: Filter.Eventually.of_forall
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∀ (x : α), LE.le (α := ℝ) (0 x) ((fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) x)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ

Tactic:
fmeas.coe_nnreal_real.aestronglyMeasurable

Premises used: AEMeasurable.aestronglyMeasurable, AEMeasurable.coe_nnreal_real
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ

Tactic:
exact fmeas.coe_nnreal_real.aestronglyMeasurable

Premises used: AEMeasurable.aestronglyMeasurable, AEMeasurable.coe_nnreal_real
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
apply : ∀ (x : α), LE.le (α := ℝ) (0 x) ((fun (x : α) ↦ (g x).toReal) x)
⊢ (ae μ).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ (g x).toReal

Tactic:
apply Filter.Eventually.of_forall fun x => _

Premises used: Filter.Eventually.of_forall
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ ∀ (x : α), LE.le (α := ℝ) (0 x) ((fun (x : α) ↦ (g x).toReal) x)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
fmeas : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδε : δ < ε
int_f_ne_top : ∫⁻ (a : α), (↑(f a) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0∞
f_lt_g : ∀ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) < g x
gcont : LowerSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑δ : ℝ≥0∞)
gint_ne : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ∞
g_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ∞
Ig : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (fun (x : α) ↦ (g x).toReal) μ

Tactic:
apply gcont.measurable.ennreal_toReal.aemeasurable.aestronglyMeasurable

Premises used: AEMeasurable.aestronglyMeasurable, Measurable.aemeasurable, LowerSemicontinuous.measurable, Measurable.ennreal_toReal
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
pos :
  ∀ (hc : c = 0),
    ∃ (g : α → ℝ≥0),
      (∀ (x : α), g x ≤ (piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) ∧
        UpperSemicontinuous g ∧
          ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤
            ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε
neg :
  ∀ (hc : ¬c = 0),
    ∃ (g : α → ℝ≥0),
      (∀ (x : α), g x ≤ (piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) ∧
        UpperSemicontinuous g ∧
          ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤
            ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ (piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧
        ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤
          ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
by_cases hc : c = 0
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
hc : c = 0
⊢ (∀ (x : α),
      LE.le (α := ℝ≥0) ((fun (x : α) ↦ (0 : ℝ≥0)) x : ℝ≥0)
        ((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x : ℝ≥0)) ∧
    (UpperSemicontinuous (β := ℝ≥0) fun (x : α) ↦ 0) ∧
      ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤
        ∫⁻ (x : α), (↑((fun (x : α) ↦ (0 : ℝ≥0)) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
simp [hc, upperSemicontinuous_const]

Premises used: upperSemicontinuous_const
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
hc : c = 0
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ (piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧
        ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤
          ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
exact ⟨fun _ => 0, by simp [hc, upperSemicontinuous_const]⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
hc : ¬c = 0
⊢ LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
simpa [hs, hc, ENNReal.mul_eq_top, lt_top_iff_ne_top] using int_f

Premises used: lt_top_iff_ne_top, ENNReal.mul_eq_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
hc : ¬c = 0
⊢ LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
have μs_lt_top : μ s < ∞ := by simpa [hs, hc, ENNReal.mul_eq_top, lt_top_iff_ne_top] using int_f
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
hc : ¬c = 0
μs_lt_top : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ 0 < ε / (↑c : ℝ≥0∞)

Tactic:
have : (0 : ℝ≥0∞) < ε / c := ENNReal.div_pos_iff.2 ⟨ε0, ENNReal.coe_ne_top⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑((piecewise s hs (const α c) (const α 0) : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
hc : ¬c = 0
μs_lt_top : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
this : 0 < ε / (↑c : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ F ⊆ s,
    IsClosed F ∧
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) F : ℝ≥0∞) (ε / (↑c : ℝ≥0∞))

Tactic:
hs.exists_isClosed_lt_add μs_lt_top.ne this.ne'

Premises used: MeasurableSet.exists_isClosed_lt_add, LT.lt.ne', LT.lt.ne