-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Module.Finite R M
m : ℕ
ι : Type u
w : Fintype ι
p : ι → R
irr : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
n : ι → ℕ
e : M ≃ₗ[R] (Fin m →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i)
x : R
h :
  (∀ (a : Fin m),
      Eq (α := R)
        (((HSMul.hSMul (β := (Fin m →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i)) x
                  ((Equiv.symm Finsupp.equivFunOnFinite : (a : Fin m → R) → Fin m →₀ R) fun (x : Fin m) ↦ 1,
                    (Equiv.symm
                          (DFinsupp.equivFunOnFintype (β := fun (i : ι) ↦
                            HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))) :
                        (a : (i : ι) → R ⧸ R ∙ p i ^ n i) → Π₀ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i)
                      fun (x : ι) ↦ (mkQ (R ∙ p x ^ n x) : (a : R) → R ⧸ R ∙ p x ^ n x) 1)).1 :
              (a : Fin m) → R)
            a :
          R)
        ((0.1 : (a : Fin m) → R) a : R)) ∧
    ∀ (i : ι),
      ((HSMul.hSMul (β := (Fin m →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i)) x
                ((Equiv.symm Finsupp.equivFunOnFinite : (a : Fin m → R) → Fin m →₀ R) fun (x : Fin m) ↦ 1,
                  (Equiv.symm
                        (DFinsupp.equivFunOnFintype (β := fun (i : ι) ↦
                          HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))) :
                      (a : (i : ι) → R ⧸ R ∙ p i ^ n i) → Π₀ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i)
                    fun (x : ι) ↦ (mkQ (R ∙ p x ^ n x) : (a : R) → R ⧸ R ∙ p x ^ n x) 1)).2 :
            (a : ι) → R ⧸ R ∙ p a ^ n a)
          i =
        (0.2 : (a : ι) → R ⧸ R ∙ p a ^ n a) i
zero :
  ∀ (e : M ≃ₗ[R] (Fin 0 →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))
    (h :
      (∀ (a : Fin 0),
          Eq (α := R)
            (((HSMul.hSMul (β := (Fin 0 →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))
                      x
                      ((Equiv.symm Finsupp.equivFunOnFinite : (a : Fin 0 → R) → Fin 0 →₀ R) fun (x : Fin 0) ↦ 1,
                        (Equiv.symm
                              (DFinsupp.equivFunOnFintype (β := fun (i : ι) ↦
                                HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))) :
                            (a : (i : ι) → R ⧸ R ∙ p i ^ n i) → Π₀ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i)
                          fun (x : ι) ↦ (mkQ (R ∙ p x ^ n x) : (a : R) → R ⧸ R ∙ p x ^ n x) 1)).1 :
                  (a : Fin 0) → R)
                a :
              R)
            ((0.1 : (a : Fin 0) → R) a : R)) ∧
        ∀ (i : ι),
          ((HSMul.hSMul (β := (Fin 0 →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i)) x
                    ((Equiv.symm Finsupp.equivFunOnFinite : (a : Fin 0 → R) → Fin 0 →₀ R) fun (x : Fin 0) ↦ 1,
                      (Equiv.symm
                            (DFinsupp.equivFunOnFintype (β := fun (i : ι) ↦
                              HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))) :
                          (a : (i : ι) → R ⧸ R ∙ p i ^ n i) → Π₀ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i)
                        fun (x : ι) ↦ (mkQ (R ∙ p x ^ n x) : (a : R) → R ⧸ R ∙ p x ^ n x) 1)).2 :
                (a : ι) → R ⧸ R ∙ p a ^ n a)
              i =
            (0.2 : (a : ι) → R ⧸ R ∙ p a ^ n a) i),
    Membership.mem (γ := Submodule R R) (annihilator R M) x
succ :
  ∀ (m : ℕ) (e : M ≃ₗ[R] (Fin (m + 1) →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))
    (h :
      (∀ (a : Fin (m + 1)),
          Eq (α := R)
            (((HSMul.hSMul (β :=
                      (Fin (m + 1) →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i)) x
                      ((Equiv.symm Finsupp.equivFunOnFinite : (a : Fin (m + 1) → R) → Fin (m + 1) →₀ R)
                          fun (x : Fin (m + 1)) ↦ 1,
                        (Equiv.symm
                              (DFinsupp.equivFunOnFintype (β := fun (i : ι) ↦
                                HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))) :
                            (a : (i : ι) → R ⧸ R ∙ p i ^ n i) → Π₀ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i)
                          fun (x : ι) ↦ (mkQ (R ∙ p x ^ n x) : (a : R) → R ⧸ R ∙ p x ^ n x) 1)).1 :
                  (a : Fin (m + 1)) → R)
                a :
              R)
            ((0.1 : (a : Fin (m + 1)) → R) a : R)) ∧
        ∀ (i : ι),
          ((HSMul.hSMul (β :=
                    (Fin (m + 1) →₀ R) × ⨁ (i : ι), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i)) x
                    ((Equiv.symm Finsupp.equivFunOnFinite : (a : Fin (m + 1) → R) → Fin (m + 1) →₀ R)
                        fun (x : Fin (m + 1)) ↦ 1,
                      (Equiv.symm
                            (DFinsupp.equivFunOnFintype (β := fun (i : ι) ↦
                              HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p i ^ n i))) :
                          (a : (i : ι) → R ⧸ R ∙ p i ^ n i) → Π₀ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i)
                        fun (x : ι) ↦ (mkQ (R ∙ p x ^ n x) : (a : R) → R ⧸ R ∙ p x ^ n x) 1)).2 :
                (a : ι) → R ⧸ R ∙ p a ^ n a)
              i =
            (0.2 : (a : ι) → R ⧸ R ∙ p a ^ n a) i),
    Membership.mem (γ := Submodule R R) (annihilator R M) x
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R R) (annihilator R M) x

Tactic:
obtain _ | m := m