awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
⊢ 0 < δ

Tactic:
have I : 0 < δ := by norm_num
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I : 0 < δ
simp :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) =
    ∑ x ∈ s, HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)
⊢ HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) =
    ∑ p ∈ s, (μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball p δ)

Tactic:
simp only [μ.addHaar_ball_of_pos _ I]

Premises used: MeasureTheory.Measure.addHaar_ball_of_pos
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I : 0 < δ
⊢ HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) =
    ∑ x ∈ s, HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)

Tactic:
simp only [Finset.sum_const, nsmul_eq_mul, mul_assoc]

Premises used: mul_assoc, nsmul_eq_mul, Finset.sum_const
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
⊢ (μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 ρ) =
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)

Tactic:
simp only [μ.addHaar_ball_of_pos _ ρpos]

Premises used: MeasureTheory.Measure.addHaar_ball_of_pos
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
⊢ HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)

Tactic:
have I :
    (s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) ≤
      ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) :=
    calc
      (s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) = μ A := by
        rw [hA, measure_biUnion_finset D fun c _ => measurableSet_ball]
        have I : 0 < δ := by norm_num
        simp only [μ.addHaar_ball_of_pos _ I]
        simp only [Finset.sum_const, nsmul_eq_mul, mul_assoc]
      _ ≤ μ (ball (0 : E) ρ) := measure_mono A_subset
      _ = ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1) := by
        simp only [μ.addHaar_ball_of_pos _ ρpos]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)
⊢ (↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)

Tactic:
have J : (s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E) :=
    (ENNReal.mul_le_mul_iff_left (measure_ball_pos _ _ zero_lt_one).ne' measure_ball_lt_top.ne).1 I
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)
J : (↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)
⊢ ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E)).toReal ≤ ρ ^ finrank ℝ E

Tactic:
have := ENNReal.toReal_le_of_le_ofReal (pow_nonneg ρpos.le _) J
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)
J : (↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)
this : ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E)).toReal ≤ ρ ^ finrank ℝ E
⊢ (↑s.card : ℝ) ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
simpa [ρ, δ, div_eq_mul_inv, mul_pow] using this

Premises used: div_eq_mul_inv, mul_pow
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)
J : (↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)
⊢ (↑s.card : ℝ) ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
have K : (s.card : ℝ) ≤ (5 : ℝ) ^ finrank ℝ E := by
    have := ENNReal.toReal_le_of_le_ofReal (pow_nonneg ρpos.le _) J
    simpa [ρ, δ, div_eq_mul_inv, mul_pow] using this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)
J : (↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)
K : (↑s.card : ℝ) ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 5 (finrank ℝ E)
⊢ s.card ≤ HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
mod_cast K

Premises used: Real, congrArg, cast, Nat.cast_le._simp_1, LE.le, Nat.cast, Finset.card, OfNat.ofNat, Module.finrank, Eq.trans, Nat.cast_pow._simp_1
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
μ : Measure E := Measure.addHaar
δ : ℝ := 1 / 2
ρ : ℝ := 5 / 2
ρpos : 0 < ρ
A : Set E := ⋃ c ∈ s, ball c δ
hA : A = ⋃ c ∈ s, ball c δ
D : (↑s : Set E).Pairwise (Function.onFun (β := Set E) Disjoint fun (c : E) ↦ ball c δ)
A_subset : A ⊆ ball 0 ρ
I :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E))
      ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)) ((μ : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (ball 0 1) : ℝ≥0∞)
J : (↑s.card : ℝ≥0∞) * ENNReal.ofReal (δ ^ finrank ℝ E) ≤ ENNReal.ofReal (ρ ^ finrank ℝ E)
K : (↑s.card : ℝ) ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 5 (finrank ℝ E)
⊢ s.card ≤ HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
exact mod_cast K
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h₁ :
  Set.Nonempty (α := ℕ)
    {N : ℕ | ∃ (s : Finset E), s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}
h₂ :
  ∀ (b : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {N : ℕ | ∃ (s : Finset E), s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖} b →
      b ≤ HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E)
⊢ multiplicity E ≤ HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
apply csSup_le

Premises used: csSup_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
⊢ Finset.card.{u_1} (α := E) ∅ = 0 ∧
    (∀ (c : E), Membership.mem (γ := Finset E) ∅ c → ‖c‖ ≤ 2) ∧
      ∀ (c : E),
        Membership.mem (γ := Finset E) ∅ c → ∀ (d : E), Membership.mem (γ := Finset E) ∅ d → c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
⊢ Set.Nonempty (α := ℕ)
    {N : ℕ | ∃ (s : Finset E), s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}

Tactic:
refine ⟨0, ⟨∅, by simp⟩⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
h : (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
Besicovitch.card_le_of_separated s h.1 h.2

Premises used: And.right, And.left, Besicovitch.card_le_of_separated
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
h : (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
exact Besicovitch.card_le_of_separated s h.1 h.2

Premises used: And.right, And.left, Besicovitch.card_le_of_separated
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
h₁ :
  BddAbove (α := ℕ) {N : ℕ | ∃ (s : Finset E), s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}
h₂ :
  Membership.mem (γ := Set ℕ)
    {N : ℕ | ∃ (s : Finset E), s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖} s.card
⊢ s.card ≤ multiplicity E

Tactic:
apply le_csSup

Premises used: le_csSup
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ BddAbove (α := ℕ) {N : ℕ | ∃ (s : Finset E), s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}

Tactic:
⟨5 ^ finrank ℝ E, ?_⟩

Premises used: Real, BddAbove, Set.Nonempty, HPow.hPow, Exists.intro, OfNat.ofNat, Module.finrank
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
h₁ :
  Membership.mem (γ := Set ℕ)
    (upperBounds {N : ℕ | ∃ (s : Finset E), s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖})
    (HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E))
⊢ BddAbove (α := ℕ) {N : ℕ | ∃ (s : Finset E), s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}

Tactic:
refine ⟨5 ^ finrank ℝ E, ?_⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s_1 : Finset E
hs : ∀ c ∈ s_1, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s_1, ∀ d ∈ s_1, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
s : Finset E
h : (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
Besicovitch.card_le_of_separated s h.1 h.2

Premises used: And.right, And.left, Besicovitch.card_le_of_separated
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s_1 : Finset E
hs : ∀ c ∈ s_1, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s_1, ∀ d ∈ s_1, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
s : Finset E
h : (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ HPow.hPow (α := ℕ) 5 (finrank ℝ E)

Tactic:
exact Besicovitch.card_le_of_separated s h.1 h.2

Premises used: And.right, And.left, Besicovitch.card_le_of_separated
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ ∃ (s_1 : Finset E), s_1.card = s.card ∧ (∀ c ∈ s_1, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s_1, ∀ d ∈ s_1, ¬c = d → 1 ≤ ‖c - d‖

Tactic:
⟨s, rfl, hs, h's⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ ∃ (s_1 : Finset E), s_1.card = s.card ∧ (∀ c ∈ s_1, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s_1, ∀ d ∈ s_1, ¬c = d → 1 ≤ ‖c - d‖

Tactic:
exact ⟨s, rfl, hs, h's⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
by_contra! :
  ∀
    (h :
      ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
        ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card),
    False
⊢ ∃ (δ : ℝ),
    0 < δ ∧
      δ < 1 ∧
        ∀ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E

Tactic:
by_contra! h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
⊢ let N := multiplicity E + 1;
  N = multiplicity E + 1

Tactic:
set N := multiplicity E + 1 with hN

Premises used: Besicovitch.multiplicity
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
inl : ∀ (hδ' : δ < 1), ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖
inr : ∀ (hδ' : 1 ≤ δ), ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖
⊢ ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
rcases lt_or_ge δ 1 with (hδ' | hδ')

Premises used: lt_or_ge, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
inl :
  ∀ (s : Finset E) (hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) (h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖)
    (s_card : multiplicity E < s.card),
    ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖
⊢ ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
rcases h δ hδ hδ' with ⟨s, hs, h's, s_card⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < s.card
simp : N ≤ s.card
⊢ Fintype.card (Fin N) ≤ s.card

Tactic:
simp only [Fintype.card_fin]

Premises used: Fintype.card_fin
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < s.card
⊢ N ≤ s.card

Tactic:
s_card

Premises used: Nat.lt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < s.card
⊢ N ≤ s.card

Tactic:
exact s_card
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < s.card
⊢ Fintype.card (Fin N) ≤ s.card

Tactic:
have : Fintype.card (Fin N) ≤ s.card := by simp only [Fintype.card_fin]; exact s_card
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < s.card
this : Fintype.card (Fin N) ≤ s.card
rcases :
  ∀ (f : Fin N ↪ E) (hf : range (ι := Fin N) (⇑f : (a : Fin N) → E) ⊆ (↑s : Set E)),
    ∃ (f : Fin N → E), Function.Injective f ∧ range f ⊆ (↑s : Set E)
⊢ ∃ (f : Fin N → E), Function.Injective f ∧ range f ⊆ (↑s : Set E)

Tactic:
rcases Function.Embedding.exists_of_card_le_finset this with ⟨f, hf⟩

Premises used: Function.Embedding.exists_of_card_le_finset
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : δ < 1
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖
s_card : multiplicity E < s.card
this : Fintype.card (Fin N) ≤ s.card
f : Fin N ↪ E
hf : range (ι := Fin N) (⇑f : (a : Fin N) → E) ⊆ (↑s : Set E)
⊢ ∃ (f : Fin N → E), Function.Injective f ∧ range f ⊆ (↑s : Set E)

Tactic:
⟨f, f.injective, hf⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Function.Embedding.injective, DFunLike.coe