awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x x' : M
h : x = x'
subst :
  Eq (α := E →L[𝕜] E')
    (mfderiv I I' f x :
      ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x)))
    (mfderiv I I' f x)
⊢ Eq (α := E →L[𝕜] E')
    (mfderiv I I' f x :
      ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x)))
    (mfderiv I I' f x')

Tactic:
subst h
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ Eq (α := E →L[𝕜] E')
    (mfderiv I I' f x :
      ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x)))
    (mfderiv I I' f x)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
f' : M → M'
h : f = f'
subst :
  Eq (α := E →L[𝕜] E')
    (mfderiv I I' f x :
      ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x)))
    (mfderiv I I' f x)
⊢ Eq (α := E →L[𝕜] E')
    (mfderiv I I' f x :
      ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x)))
    (mfderiv I I' f' x)

Tactic:
subst h
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g' ∘SL f')

Tactic:
⟨ContinuousWithinAt.comp hg.1 hf.1 hst, ?_⟩

Premises used: And.left, And.intro, ContinuousWithinAt.comp, HasMFDerivWithinAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
refine :
  HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f)) (g' ∘SL f')
    ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g' ∘SL f')

Tactic:
refine ⟨ContinuousWithinAt.comp hg.1 hf.1 hst, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
⊢ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x

Tactic:
have :
      (extChartAt I x).symm ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
        𝓝[(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range I] (extChartAt I x) x :=
      extChartAt_preimage_mem_nhdsWithin
        (hf.1.preimage_mem_nhdsWithin (extChartAt_source_mem_nhds _))
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E')) ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
this :
  (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x
rw :
  ∀
    (hf :
      ContinuousWithinAt f s x ∧
        HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
          ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
          ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
    (hst : s ⊆ f ⁻¹' u)
    (this :
      (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
        𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x),
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (g' ∘SL f')
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (g' ∘SL f')
    ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
rw [← hasFDerivWithinAt_inter' this, ← extChartAt_preimage_inter_eq] at hf ⊢

Premises used: extChartAt_preimage_inter_eq, hasFDerivWithinAt_inter'
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E')) ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
this :
  (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x
⊢ writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = (↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x)

Tactic:
simp only [mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E')) ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
this :
  (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x
⊢ writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = (↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x)

Tactic:
have : writtenInExtChartAt I I' x f ((extChartAt I x) x) = (extChartAt I' (f x)) (f x) := by
      simp only [mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E')) ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
this_1 :
  (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x
this : writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = (↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x)
⊢ ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E'))
      (writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))

Tactic:
rw [← this] at hg
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E')) ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
this_1 :
  (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x
this : writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = (↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x)
hg₁ :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E'))
      (writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
rw [← this] at hg
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E')) ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
this_1 :
  (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x
this : writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = (↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x)
hg₁ :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E'))
      (writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
hf₁ :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ s ⊆ f ⁻¹' u

Tactic:
rw [← this] at hg
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
f' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x))
g' : ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_8} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I' (f x)) (TangentSpace I'' (g (f x)))
hg :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E')) ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x))
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
this_1 :
  (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x
this : writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = (↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') (f x)
hg₁ :
  ContinuousWithinAt g u (f x) ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g) g'
      ((↑(extChartAt I' (f x)).symm : E' → M') ⁻¹' u ∩ range (↑I' : H' → E'))
      (writtenInExtChartAt I I' x f ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
hf₁ :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
hst₁ : s ⊆ f ⁻¹' u
⊢ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x

Tactic:
rw [← this] at hg