-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.OneHypercoverDense
Goal:
C₀ : Type u₀
C : Type u
inst : Category.{v₀, u₀} C₀
inst_1 : Category.{v, u} C
F : Functor.{v₀, v, u₀, u} C₀ C
J₀ : GrothendieckTopology.{v₀, u₀} C₀
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_2 : IsDenseSubsite J₀ J F
X : C
data : OneHypercoverDenseData.{w, v₀, v, u₀, u} F J₀ J X
i₁ i₂ : data.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ F.obj (data.X i₁)
p₂ : W ⟶ F.obj (data.X i₂)
w : p₁ ≫ data.f i₁ = p₂ ≫ data.f i₂
this : F.IsCoverDense J
S : Sieve.{v, u} W :=
  Sieve.bind (Sieve.coverByImage F W).arrows fun (Y : C) (f : Y ⟶ W) (hf : (Sieve.coverByImage F W).arrows f) ↦
    Sieve.pullback (Nonempty.some hf).lift
      (Sieve.functorPushforward F
        (F.imageSieve ((Nonempty.some hf).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some hf).map ≫ p₂)))
T : Sieve.{v, u} W :=
  Sieve.bind S.arrows fun (Z : C) (g : Z ⟶ W) (hg : S.arrows g) ↦
    Sieve.pullback
      ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
            (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯).lift
        (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows))
      (Sieve.functorPushforward F
        (data.sieve₁₀
          (Exists.choose (p :=
            fun
              (l :
                (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).preobj
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                  data.X i₁) ↦
            F.map l =
              F.map
                  ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).premap
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
                (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁)
            ⋯)
          (Exists.choose (p :=
            fun
              (l :
                (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).preobj
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                  data.X i₂) ↦
            F.map l =
              F.map
                  ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).premap
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
                (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)
            ⋯)))
hS : S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) W
hT : T ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) W
U V : C
a : U ⟶ V
b : V ⟶ W
hb : S.arrows b
h :
  Sieve.arrows
    ((fun (Z : C) (g : Z ⟶ W) (hg : S.arrows g) ↦
        Sieve.pullback
          ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯).lift
            (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows))
          (Sieve.functorPushforward F
            (data.sieve₁₀
              (Exists.choose (p :=
                fun
                  (l :
                    (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                            (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓
                                F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                            ⋯).preobj
                        (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓
                            F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                      data.X i₁) ↦
                F.map l =
                  F.map
                      ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                            (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓
                                F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                            ⋯).premap
                        (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓
                            F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
                    (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁)
                ⋯)
              (Exists.choose (p :=
                fun
                  (l :
                    (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                            (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓
                                F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                            ⋯).preobj
                        (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓
                            F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                      data.X i₂) ↦
                F.map l =
                  F.map
                      ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                            (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓
                                F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                            ⋯).premap
                        (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓
                            F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
                    (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)
                ⋯))))
      V b hb)
    a
str : Presieve.FunctorPushforwardStructure F
  (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows
  ((Presieve.bind.bindStruct (S := (Sieve.coverByImage F W).arrows) (R :=
          fun (Y : C) (f : Y ⟶ W) (H : (Sieve.coverByImage F W).arrows f) ↦
          Sieve.arrows
            ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ W) (hf : (Sieve.coverByImage F W).arrows f) ↦
                Sieve.pullback (Nonempty.some hf).lift
                  (Sieve.functorPushforward F
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some hf).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some hf).map ≫ p₂))))
              Y f H))
          hb).g
      (S := (Sieve.coverByImage F W).arrows) (R := fun (Y : C) (f : Y ⟶ W) (H : (Sieve.coverByImage F W).arrows f) ↦
      Sieve.arrows
        ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ W) (hf : (Sieve.coverByImage F W).arrows f) ↦
            Sieve.pullback (Nonempty.some hf).lift
              (Sieve.functorPushforward F
                (F.imageSieve ((Nonempty.some hf).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some hf).map ≫ p₂))))
          Y f H)) ≫
    (Nonempty.some ⋯).lift) :=
  Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯
obtain :
  ∀ (W₀ : C₀)
    (c :
      W₀ ⟶
        (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
              (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯).preobj
          (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows))
    (d : U ⟶ F.obj W₀)
    (fac :
      a ≫
          (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯).lift
            (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) =
        d ≫ F.map c)
    (j : data.I₁ i₁ i₂) (e : W₀ ⟶ data.Y j)
    (h₁ :
      c ≫
          Exists.choose (p :=
            fun
              (l :
                (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).preobj
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                  data.X i₁) ↦
            F.map l =
              F.map
                  ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).premap
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
                (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁)
            ⋯ =
        e ≫ data.p₁ j)
    (h₂ :
      c ≫
          Exists.choose (p :=
            fun
              (l :
                (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).preobj
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                  data.X i₂) ↦
            F.map l =
              F.map
                  ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).premap
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
                (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)
            ⋯ =
        e ≫ data.p₂ j),
    (data.toPreOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂).arrows (a ≫ b)
⊢ (data.toPreOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂).arrows (a ≫ b)

Tactic:
obtain ⟨W₀, c : _ ⟶ _, d, ⟨j, e, h₁, h₂⟩, fac⟩ := h