-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.StructureSheaf
Goal:
R M A : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : CommRing A
inst_4 : Algebra R A
x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
r : R
α : stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R R)) x ≅
  Functor.obj
    (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
        RingCat.carrier) ⋙
      forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
        AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
    (stalk (structurePresheafInCommRingCat R) x) :=
  Limits.colimit.isoColimitCocone
    {
      cocone :=
        Functor.mapCocone
          (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
              RingCat.carrier) ⋙
            forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
              AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
              AddCommGrpCat.carrier))
          (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R)),
      isColimit :=
        Limits.isColimitOfPreserves
          (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
              RingCat.carrier) ⋙
            forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
              AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
              AddCommGrpCat.carrier))
          (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R)) }
U : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
hxU : x ∈ U
s :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
    (Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R R)) (op U))
this :
  germ (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R R)) U x hxU ≫ α.hom =
    CategoryTheory.Functor.map
      (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
          RingCat.carrier) ⋙
        forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
          AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
          AddCommGrpCat.carrier))
      (germ (structurePresheafInCommRingCat R) U x hxU)
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (X :=
          Functor.obj
            (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
                RingCat.carrier) ⋙
              forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
                AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
                AddCommGrpCat.carrier))
            (Functor.obj (structurePresheafInCommRingCat R) (op U)))
          (Y :=
          Functor.obj
            (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
                RingCat.carrier) ⋙
              forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
                AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
                AddCommGrpCat.carrier))
            (stalk (structurePresheafInCommRingCat R) x))
          (CategoryTheory.Functor.map
            (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
                RingCat.carrier) ⋙
              forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
                AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
                AddCommGrpCat.carrier))
            (germ (structurePresheafInCommRingCat R) U x hxU)) :
        (a :
            (↑((forget₂ CommRingCat RingCat ⋙ forget₂ RingCat AddCommGrpCat).obj
                  ((structurePresheafInCommRingCat R).obj (op U))) :
              Type u)) →
          (↑((forget₂ CommRingCat RingCat ⋙ forget₂ RingCat AddCommGrpCat).obj
                ((structurePresheafInCommRingCat R).stalk x)) :
            Type u))
      (HMul.hMul (α :=
        Functor.obj
          (ObjectProperty.FullSubcategory.obj (P :=
            CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
            (structureSheafInType R R))
          (op U))
        ((algebraMap R
                (Functor.obj
                  (ObjectProperty.FullSubcategory.obj (P :=
                    CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
                    (structureSheafInType R R))
                  (op U)) :
              (a : R) → (structureSheafInType R R).obj.obj (op U))
            r :
          Functor.obj
            (ObjectProperty.FullSubcategory.obj (P :=
              CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
              (structureSheafInType R R))
            (op U))
        s) =
    HMul.hMul (α := (↑(stalk (structurePresheafInCommRingCat R) x) : Type u)) (β :=
      (↑(stalk (structurePresheafInCommRingCat R) x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (toStalk R x) :
            (a : (↑(CommRingCat.of R) : Type u)) → (↑((structurePresheafInCommRingCat R).stalk x) : Type u))
          ((RingHom.id R : (a : R) → R) r : R) :
        (↑(stalk (structurePresheafInCommRingCat R) x) : Type u))
      (Equiv.toFun (α :=
          (↑(Limits.colimit
                (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R) ⋙
                  forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                      (CD := RingCat.carrier) ⋙
                    forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))) :
            Type u))
          (AddEquiv.toEquiv
            (Iso.addCommGroupIsoToAddEquiv
              (Limits.colimit.isoColimitCocone
                {
                  cocone :=
                    Functor.mapCocone
                      (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                          (CD := RingCat.carrier) ⋙
                        forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R)),
                  isColimit :=
                    Limits.isColimitOfPreserves
                      (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                          (CD := RingCat.carrier) ⋙
                        forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R)) :
                  Limits.ColimitCocone
                    (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R) ⋙
                      forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                          (CD := RingCat.carrier) ⋙
                        forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R R)) (op U)) (Y :=
                stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R R)) x)
                (germ (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R R)) U x hxU) :
              (a : (↑((moduleStructurePresheaf R R).presheaf.obj (op U)) : Type u)) →
                (↑(stalk (moduleStructurePresheaf R R).presheaf x) : Type u))
            s) :
        (↑(Limits.Cocone.pt (F :=
              ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R) ⋙
                forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                    (CD := RingCat.carrier) ⋙
                  forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              (Limits.ColimitCocone.cocone
                {
                  cocone :=
                    Functor.mapCocone
                      (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                          (CD := RingCat.carrier) ⋙
                        forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R)),
                  isColimit :=
                    Limits.isColimitOfPreserves
                      (forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                          (CD := RingCat.carrier) ⋙
                        forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R)) :
                  Limits.ColimitCocone
                    (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInCommRingCat R) ⋙
                      forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                          (CD := RingCat.carrier) ⋙
                        forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })) :
          Type u))

Tactic:
(((structurePresheafInCommRingCat R).germ U x hxU).hom.map_mul _ _).trans ?_

Premises used: CommRingCat.Hom.hom, TopCat.Presheaf.germ, RingHom.map_mul, AlgebraicGeometry.structurePresheafInCommRingCat, Eq.trans