-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.Lemmas
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
z : M ⊗[R] N
x y : Dual R N ⊗[R] Dual R M
h :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) x : Dual R (N ⊗[R] M)) :
          (a : N ⊗[R] M) → R)
        ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
      R)
    ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
              ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N) x) :
            Dual R (M ⊗[R] N)) :
          (a : M ⊗[R] N) → R)
        z :
      R)
h_1 :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) y : Dual R (N ⊗[R] M)) :
          (a : N ⊗[R] M) → R)
        ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
      R)
    ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
              ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N) y) :
            Dual R (M ⊗[R] N)) :
          (a : M ⊗[R] N) → R)
        z :
      R)
add :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
      ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) x : Dual R (N ⊗[R] M)) :
            (a : N ⊗[R] M) → R)
          ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) 0) :
        R)
      ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                  x) :
              Dual R (M ⊗[R] N)) :
            (a : M ⊗[R] N) → R)
          0 :
        R) →
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
        ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) y : Dual R (N ⊗[R] M)) :
              (a : N ⊗[R] M) → R)
            ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) 0) :
          R)
        ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                  ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                    y) :
                Dual R (M ⊗[R] N)) :
              (a : M ⊗[R] N) → R)
            0 :
          R) →
      Eq.{u_1 + 1} (α := R)
        ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) (x + y) : Dual R (N ⊗[R] M)) :
              (a : N ⊗[R] M) → R)
            ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) 0) :
          R)
        ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                  ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                    (x + y)) :
                Dual R (M ⊗[R] N)) :
              (a : M ⊗[R] N) → R)
            0 :
          R)
add₁ :
  ∀ (x_1 : M) (y_1 : N),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
        ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) x : Dual R (N ⊗[R] M)) :
              (a : N ⊗[R] M) → R)
            ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) : N ⊗[R] M) :
          R)
        ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                  ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                    x) :
                Dual R (M ⊗[R] N)) :
              (a : M ⊗[R] N) → R)
            (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) :
          R) →
      Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) y : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                (a : N ⊗[R] M) → R)
              ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) : N ⊗[R] M) :
            R)
          ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                    ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                        (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                      y) :
                  Dual R (M ⊗[R] N)) :
                (a : M ⊗[R] N) → R)
              (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) :
            R) →
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) (x + y) : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                (a : N ⊗[R] M) → R)
              ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) : N ⊗[R] M) :
            R)
          ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                    ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                        (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                      (x + y)) :
                  Dual R (M ⊗[R] N)) :
                (a : M ⊗[R] N) → R)
              (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) :
            R)
add₂ :
  ∀ (x_1 y_1 : M ⊗[R] N),
    (Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) x : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                (a : N ⊗[R] M) → R)
              ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) x_1 : N ⊗[R] M) :
            R)
          ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                    ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                        (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                      x) :
                  Dual R (M ⊗[R] N)) :
                (a : M ⊗[R] N) → R)
              x_1 :
            R) →
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
            ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) y : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                  (a : N ⊗[R] M) → R)
                ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) x_1 : N ⊗[R] M) :
              R)
            ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                      ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                          (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                        y) :
                    Dual R (M ⊗[R] N)) :
                  (a : M ⊗[R] N) → R)
                x_1 :
              R) →
          Eq.{u_1 + 1} (α := R)
            ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) (x + y) : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                  (a : N ⊗[R] M) → R)
                ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) x_1 : N ⊗[R] M) :
              R)
            ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                      ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                          (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                        (x + y)) :
                    Dual R (M ⊗[R] N)) :
                  (a : M ⊗[R] N) → R)
                x_1 :
              R)) →
      (Eq.{u_1 + 1} (α := R)
            ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) x : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                  (a : N ⊗[R] M) → R)
                ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) y_1 : N ⊗[R] M) :
              R)
            ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                      ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                          (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                        x) :
                    Dual R (M ⊗[R] N)) :
                  (a : M ⊗[R] N) → R)
                y_1 :
              R) →
          Eq.{u_1 + 1} (α := R)
              ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) y : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                    (a : N ⊗[R] M) → R)
                  ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) y_1 : N ⊗[R] M) :
                R)
              ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                        ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                            (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                          y) :
                      Dual R (M ⊗[R] N)) :
                    (a : M ⊗[R] N) → R)
                  y_1 :
                R) →
            Eq.{u_1 + 1} (α := R)
              ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) (x + y) : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                    (a : N ⊗[R] M) → R)
                  ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) y_1 : N ⊗[R] M) :
                R)
              ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                        ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                            (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                          (x + y)) :
                      Dual R (M ⊗[R] N)) :
                    (a : M ⊗[R] N) → R)
                  y_1 :
                R)) →
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
            ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) x : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                  (a : N ⊗[R] M) → R)
                ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) (x_1 + y_1) : N ⊗[R] M) :
              R)
            ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                      ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                          (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                        x) :
                    Dual R (M ⊗[R] N)) :
                  (a : M ⊗[R] N) → R)
                (x_1 + y_1) :
              R) →
          Eq.{u_1 + 1} (α := R)
              ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) y : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                    (a : N ⊗[R] M) → R)
                  ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) (x_1 + y_1) : N ⊗[R] M) :
                R)
              ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                        ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                            (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                          y) :
                      Dual R (M ⊗[R] N)) :
                    (a : M ⊗[R] N) → R)
                  (x_1 + y_1) :
                R) →
            Eq.{u_1 + 1} (α := R)
              ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) (x + y) : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                    (a : N ⊗[R] M) → R)
                  ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) (x_1 + y_1) : N ⊗[R] M) :
                R)
              ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                        ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                            (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                          (x + y)) :
                      Dual R (M ⊗[R] N)) :
                    (a : M ⊗[R] N) → R)
                  (x_1 + y_1) :
                R)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) (x + y) : Dual R (N ⊗[R] M)) :
          (a : N ⊗[R] M) → R)
        ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
      R)
    ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
              ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                (x + y)) :
            Dual R (M ⊗[R] N)) :
          (a : M ⊗[R] N) → R)
        z :
      R)

Tactic:
induction z