-- Module: Mathlib.RingTheory.LinearDisjoint
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst_3 : Algebra.IsIntegral.{u, v} R ↥A
H : ∀ A' ≤ A, ∀ [Module.Finite.{u, v} R ↥A'], A'.LinearDisjoint B
x y :
  ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A : Submodule R S) ⊗[R]
    ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B : Submodule R S)
hxy :
  Eq (α := S)
    ((Submodule.mulMap ((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A)
            ((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B) :
          (a :
              ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A) ⊗[R]
                ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B)) →
            S)
        x :
      S)
    ((Submodule.mulMap ((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A)
            ((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B) :
          (a :
              ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A) ⊗[R]
                ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B)) →
            S)
        y :
      S)
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ (toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A
hf : Module.Finite.{u, v} R ↥M'
s : Finset S
hs : Submodule.span R (↑s : Set S) = M'
hs' : (↑s : Set S) ⊆ (↑A : Set S)
A' : Subalgebra R S := Algebra.adjoin R (↑s : Set S)
hf' : Module.Finite.{u, v} R ↥A'
hA :
  LE.le (α := Submodule R S) ((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A' : Submodule R S)
    ((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A : Submodule R S)
h :
  {x, y} ⊆
    (↑(LinearMap.range
          (LinearMap.rTensor (↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B : Submodule R S))
            (Submodule.inclusion hA))) :
      Set
        (↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A) ⊗[R]
          ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B)))
x' :
  ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A' : Submodule R S) ⊗[R]
    ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B : Submodule R S)
hx' :
  (LinearMap.rTensor (↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B : Submodule R S))
          (Submodule.inclusion hA) :
        (a :
            ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A') ⊗[R]
              ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B)) →
          ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A) ⊗[R]
            ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B))
      x' =
    x
y' :
  ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A' : Submodule R S) ⊗[R]
    ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B : Submodule R S)
hy' :
  (LinearMap.rTensor (↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B : Submodule R S))
          (Submodule.inclusion hA) :
        (a :
            ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A') ⊗[R]
              ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B)) →
          ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) A) ⊗[R]
            ↥((toSubmodule : (a : Subalgebra R S) → Submodule R S) B))
      y' =
    y
⊢ x' = y'

Tactic:
exact (H A' hA).injective (by simp [← Submodule.mulMap_comp_rTensor _ hA, hx', hy', hxy])

Premises used: Submodule.LinearDisjoint.injective