awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
⊢ ∀ (J : Box (Fin (n + 1))),
    LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ)
      ((BoxAdditiveMap.restrict (Measure.toBoxAdditive volume) (↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1)))) ⋯ :
            (a : Box (Fin (n + 1))) → ℝ)
          J :
        ℝ)

Tactic:
fun J => ENNReal.toReal_nonneg

Premises used: MeasureTheory.Measure.real, ENNReal.toReal_nonneg, ENNReal.toReal, NNReal.toReal
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
⊢ ∀ (J : Box (Fin (n + 1))),
    LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ)
      ((BoxAdditiveMap.restrict (Measure.toBoxAdditive volume) (↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1)))) ⋯ :
            (a : Box (Fin (n + 1))) → ℝ)
          J :
        ℝ)

Tactic:
exact fun J => ENNReal.toReal_nonneg

Premises used: ENNReal.toReal_nonneg
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0,
    δ ∈ Set.Ioc 0 (1 / 2) ∧
      (∀ y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
          ∀ y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
            ‖f y₁ - f y₂‖ ≤ ε / 2) ∧
        (2 * δ) ^ (n + 1) *
            norm (E := E) ((f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) : E) ≤
          ε / 2

Tactic:
.and (Ioc_mem_nhdsGT one_half_pos) (.and ?_ ?_)

Premises used: Filter.Eventually.and, Ioc_mem_nhdsGT, one_half_pos
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
refine_1 :
  ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0,
    ∀ y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
      ∀ y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I, ‖f y₁ - f y₂‖ ≤ ε / 2
refine_2 :
  ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0,
    (2 * δ) ^ (n + 1) *
        norm (E := E) ((f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) : E) ≤
      ε / 2
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0,
    δ ∈ Set.Ioc 0 (1 / 2) ∧
      (∀ y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
          ∀ y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
            ‖f y₁ - f y₂‖ ≤ ε / 2) ∧
        (2 * δ) ^ (n + 1) *
            norm (E := E) ((f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) : E) ≤
          ε / 2

Tactic:
refine .and (Ioc_mem_nhdsGT one_half_pos) (.and ?_ ?_)
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
refine_1 :
  ∀ (δ₁ : ℝ) (δ₁0 : 0 < δ₁)
    (hδ₁ :
      ∀ x_1 ∈ closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
        f x_1 ∈ closedBall (f x) (ε / 2 / 2)),
    ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0,
      ∀ y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
        ∀ y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I, ‖f y₁ - f y₂‖ ≤ ε / 2
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0,
    ∀ y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
      ∀ y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I, ‖f y₁ - f y₂‖ ≤ ε / 2

Tactic:
rcases ((nhdsWithin_hasBasis nhds_basis_closedBall _).tendsto_iff nhds_basis_closedBall).1
            (Hs x hx.2) _ (half_pos <| half_pos ε0) with ⟨δ₁, δ₁0, hδ₁⟩

Premises used: half_pos, Filter.HasBasis.tendsto_iff, And.right, Iff.mp, nhdsWithin_hasBasis, Metric.nhds_basis_closedBall
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ₁ : ℝ
δ₁0 : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ x_1 ∈ closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
    f x_1 ∈ closedBall (f x) (ε / 2 / 2)
h :
  ∀ (δ : ℝ) (hδ : δ ∈ Set.Ioc 0 δ₁) (y₁ : Fin (n + 1) → ℝ)
    (hy₁ : y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) (y₂ : Fin (n + 1) → ℝ)
    (hy₂ : y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I), ‖f y₁ - f y₂‖ ≤ ε / 2
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝[>] 0,
    ∀ y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
      ∀ y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I, ‖f y₁ - f y₂‖ ≤ ε / 2

Tactic:
filter_upwards [Ioc_mem_nhdsGT δ₁0] with δ hδ y₁ hy₁ y₂ hy₂

Premises used: Ioc_mem_nhdsGT
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ₁ : ℝ
δ₁0 : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ x_1 ∈ closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
    f x_1 ∈ closedBall (f x) (ε / 2 / 2)
δ : ℝ
hδ : δ ∈ Set.Ioc 0 δ₁
y₁ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
y₂ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
h₁ : δ ≤ δ₁
⊢ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ⊆
    closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ₁ : ℝ
δ₁0 : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ x_1 ∈ closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
    f x_1 ∈ closedBall (f x) (ε / 2 / 2)
δ : ℝ
hδ : δ ∈ Set.Ioc 0 δ₁
y₁ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
y₂ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
⊢ δ ≤ δ₁

Tactic:
hδ.2

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ₁ : ℝ
δ₁0 : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ x_1 ∈ closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
    f x_1 ∈ closedBall (f x) (ε / 2 / 2)
δ : ℝ
hδ : δ ∈ Set.Ioc 0 δ₁
y₁ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
y₂ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
⊢ δ ≤ δ₁

Tactic:
exact hδ.2

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ₁ : ℝ
δ₁0 : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ x_1 ∈ closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
    f x_1 ∈ closedBall (f x) (ε / 2 / 2)
δ : ℝ
hδ : δ ∈ Set.Ioc 0 δ₁
y₁ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
y₂ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
⊢ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ⊆
    closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I

Tactic:
have : closedBall x δ ∩ (Box.Icc I) ⊆ closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc I) := by gcongr; exact hδ.2
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ∩ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ₁ : ℝ
δ₁0 : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ x_1 ∈ closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I,
    f x_1 ∈ closedBall (f x) (ε / 2 / 2)
δ : ℝ
hδ : δ ∈ Set.Ioc 0 δ₁
y₁ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
y₂ : Fin (n + 1) → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
this :
  closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ⊆
    closedBall x δ₁ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I
h : dist (f y₁) (f y₂) ≤ ε / 2
⊢ ‖f y₁ - f y₂‖ ≤ ε / 2

Tactic:
rw [← dist_eq_norm]

Premises used: dist_eq_norm