awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s t : Set M
h : MDifferentiableOn I I' f s
h' : ∀ x ∈ t, f₁ x = f x
h₁ : t ⊆ s
⊢ MDifferentiableOn I I' f₁ t

Tactic:
fun x hx =>
  (h x (h₁ hx)).congr_mono h' (h' x hx) h₁

Premises used: MDifferentiableOn, MDifferentiableWithinAt.congr_mono
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
h : MDifferentiableAt I I' f x
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ MDifferentiableAt I I' f₁ x

Tactic:
(h.hasMFDerivAt.congr_of_eventuallyEq hL).mdifferentiableAt

Premises used: MDifferentiableAt.hasMFDerivAt, HasMFDerivAt.mdifferentiableAt, HasMFDerivAt.congr_of_eventuallyEq
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
hs : ∀ x ∈ t, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
hxt : UniqueMDiffWithinAt I t x
h₁ : t ⊆ s
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderivWithin I I' f₁ t x) (mfderivWithin I I' f s x)

Tactic:
(HasMFDerivWithinAt.congr_mono h.hasMFDerivWithinAt hs hx h₁).mfderivWithin hxt

Premises used: MDifferentiableWithinAt.hasMFDerivWithinAt, HasMFDerivWithinAt.mfderivWithin, HasMFDerivWithinAt.congr_mono
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
hxt : UniqueMDiffWithinAt I t x
h₁ : t ⊆ s
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x)))
    (mfderivWithin I I' f t x) (mfderivWithin I I' f s x)

Tactic:
h.mfderivWithin_congr_mono (fun _ _ ↦ rfl) rfl hxt h₁

Premises used: MDifferentiableWithinAt.mfderivWithin_congr_mono, rfl
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
hxt : UniqueMDiffWithinAt I t x
h₁ : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f x)))
    (mfderivWithin I I' f t x) (mfderivWithin I I' f s x)

Tactic:
(HasMFDerivWithinAt.mono_of_mem_nhdsWithin h.hasMFDerivWithinAt h₁).mfderivWithin hxt

Premises used: MDifferentiableWithinAt.hasMFDerivWithinAt, HasMFDerivWithinAt.mfderivWithin, HasMFDerivWithinAt.mono_of_mem_nhdsWithin
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
pos :
  ∀ (h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x),
    Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
      (mfderivWithin I I' f₁ s x) (mfderivWithin I I' f s x)
neg :
  ∀ (h : ¬MDifferentiableWithinAt I I' f s x),
    Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
      (mfderivWithin I I' f₁ s x) (mfderivWithin I I' f s x)
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderivWithin I I' f₁ s x) (mfderivWithin I I' f s x)

Tactic:
by_cases h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Premises used: MDifferentiableWithinAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
pos :
  Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (fderivWithin 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f₁ x)) : M' → E') ∘ f₁ ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
    (fderivWithin 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (if MDifferentiableWithinAt I I' f₁ s x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f₁) ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
    else 0)
    (if MDifferentiableWithinAt I I' f s x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
    else 0)

Tactic:
simp only [h, (hL.mdifferentiableWithinAt_iff hx).1 h, ↓reduceIte, writtenInExtChartAt]

Premises used: Filter.EventuallyEq.mdifferentiableWithinAt_iff, writtenInExtChartAt, Iff.mp, reduceIte
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
pos :
  (↑(extChartAt I' (f₁ x)) : M' → E') ∘
      f₁ ∘
        (↑(extChartAt I x).symm :
          E → M) =ᶠ[𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x]
    (↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)
pos₁ :
  ((↑(extChartAt I' (f₁ x)) : M' → E') ∘ f₁ ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) =
    ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (fderivWithin 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f₁ x)) : M' → E') ∘ f₁ ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
    (fderivWithin 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))

Tactic:
apply Filter.EventuallyEq.fderivWithin_eq

Premises used: Filter.EventuallyEq.fderivWithin_eq
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ ((↑(extChartAt I' (f₁ x)) : M' → E') ∘ f₁ ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) =
    ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
simp [hx]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
h₁ :
  ∀ (y : E) (hy : y ∈ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' {x : M | f₁ x = f x}),
    ((↑(extChartAt I' (f₁ x)) : M' → E') ∘ f₁ ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) y =
      ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) y
⊢ (↑(extChartAt I' (f₁ x)) : M' → E') ∘
      f₁ ∘
        (↑(extChartAt I x).symm :
          E → M) =ᶠ[𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x]
    (↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)

Tactic:
filter_upwards [extChartAt_preimage_mem_nhdsWithin (I := I) hL] with y hy

Premises used: extChartAt_preimage_mem_nhdsWithin
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x
y : E
hy : f₁ ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) y) = f ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) y)
⊢ ((↑(extChartAt I' (f₁ x)) : M' → E') ∘ f₁ ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) y =
    ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) y

Tactic:
simp [-extChartAt, hy, hx]

Premises used: extChartAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
h : ¬MDifferentiableWithinAt I I' f s x
neg : ¬MDifferentiableWithinAt I I' f₁ s x
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (if MDifferentiableWithinAt I I' f₁ s x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f₁) ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
    else 0)
    (if MDifferentiableWithinAt I I' f s x then
      fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
    else 0)

Tactic:
rw [if_neg h, if_neg]

Premises used: if_neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
h neg neg₁ neg₂ neg₃ : ¬MDifferentiableWithinAt I I' f s x
⊢ ¬MDifferentiableWithinAt I I' f₁ s x

Tactic:
rwa [← hL.mdifferentiableWithinAt_iff hx]

Premises used: Filter.EventuallyEq.mdifferentiableWithinAt_iff
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : x ∈ s
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderivWithin I I' f₁ s x) (mfderivWithin I I' f s x)

Tactic:
hL.mfderivWithin_eq (mem_of_mem_nhdsWithin hx hL :)

Premises used: Filter.EventuallyEq.mfderivWithin_eq, mem_of_mem_nhdsWithin
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderivWithin I I' f₁ s x) (mfderivWithin I I' f s x)

Tactic:
Filter.EventuallyEq.mfderivWithin_eq (Filter.eventuallyEq_of_mem self_mem_nhdsWithin hL) hx

Premises used: Filter.eventuallyEq_of_mem, Filter.EventuallyEq.mfderivWithin_eq, self_mem_nhdsWithin
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
hL : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : x ∈ s
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderivWithin I I' f₁ s x) (mfderivWithin I I' f s x)

Tactic:
Filter.EventuallyEq.mfderivWithin_eq_of_mem (Filter.eventuallyEq_of_mem self_mem_nhdsWithin hL) hx

Premises used: Filter.eventuallyEq_of_mem, Filter.EventuallyEq.mfderivWithin_eq_of_mem, self_mem_nhdsWithin
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s : Set M
h : ∀ x ∈ s, f x = f₁ x
p : TangentBundle I M
hp : p.proj (E := TangentSpace I) ∈ s
⊢ Eq (α := TangentBundle I' M') (tangentMapWithin I I' f s p) (tangentMapWithin I I' f₁ s p)

Tactic:
TotalSpace.ext (h p.1 hp) ?_

Premises used: Bundle.TotalSpace.proj, Bundle.TotalSpace.ext
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
s : Set M
h : ∀ x ∈ s, f x = f₁ x
p : TangentBundle I M
hp : p.proj (E := TangentSpace I) ∈ s
refine :
  HEq (α := TangentSpace I' (TotalSpace.proj (E := TangentSpace I') (tangentMapWithin I I' f s p)))
    (TotalSpace.snd (E := TangentSpace I') (tangentMapWithin I I' f s p)) (β :=
    TangentSpace I' (TotalSpace.proj (E := TangentSpace I') (tangentMapWithin I I' f₁ s p)))
    (TotalSpace.snd (E := TangentSpace I') (tangentMapWithin I I' f₁ s p))
⊢ Eq (α := TangentBundle I' M') (tangentMapWithin I I' f s p) (tangentMapWithin I I' f₁ s p)

Tactic:
refine TotalSpace.ext (h p.1 hp) ?_

Premises used: Bundle.TotalSpace.ext
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ f₁ x = f x

Tactic:
have A : f₁ x = f x := (mem_of_mem_nhds hL :)
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
A : f₁ x = f x
rw :
  Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderivWithin I I' f₁ univ x) (mfderivWithin I I' f univ x)
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderiv I I' f₁ x) (mfderiv I I' f x)

Tactic:
rw [← mfderivWithin_univ, ← mfderivWithin_univ]

Premises used: mfderivWithin_univ
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
A : f₁ x = f x
⊢ f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f

Tactic:
rw [← nhdsWithin_univ] at hL

Premises used: nhdsWithin_univ
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
A : f₁ x = f x
hL₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f
⊢ f₁ x = f x

Tactic:
rw [← nhdsWithin_univ] at hL

Premises used: nhdsWithin_univ
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f
A : f₁ x = f x
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderivWithin I I' f₁ univ x) (mfderivWithin I I' f univ x)

Tactic:
hL.mfderivWithin_eq A

Premises used: Filter.EventuallyEq.mfderivWithin_eq
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
hL : f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f
A : f₁ x = f x
⊢ Eq (α := ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id 𝕜) (TangentSpace I x) (TangentSpace I' (f₁ x)))
    (mfderivWithin I I' f₁ univ x) (mfderivWithin I I' f univ x)

Tactic:
exact hL.mfderivWithin_eq A

Premises used: Filter.EventuallyEq.mfderivWithin_eq