-- Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i j : Multiplicative M
dsimp :
  HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) (β := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (ι := ι) (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M) : ι) :
              ↥(gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                    ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M) : ι)) →+
                ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a :
                ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι)
                    ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i)))) →
              ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
            Membership.mem (γ := Submodule R R[M])
              (gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M) : ι))
              x)
            (Finsupp.single ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i) 1) ⋯) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (ι := ι) (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M) : ι) :
              ↥(gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                    ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M) : ι)) →+
                ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a :
                ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι)
                    ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j)))) →
              ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
            Membership.mem (γ := Submodule R R[M])
              (gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M) : ι))
              x)
            (Finsupp.single ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j) 1) ⋯) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) =
    ((DirectSum.of (ι := ι) (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
            ((f : (a : M) → ι)
                (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M)
                  ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M)) :
              ι) :
          ↥(gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                ((f : (a : M) → ι)
                    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M)
                      ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M)) :
                  ι)) →+
            ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
        (a :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι)
                ((f : (a : M) → ι)
                  ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i +
                    (Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j)))) →
          ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
        Membership.mem (γ := Submodule R R[M])
          (gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
            ((f : (a : M) → ι)
                (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M)
                  ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M)) :
              ι))
          x)
        (Finsupp.single
          (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M)
            ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M))
          1)
        ⋯)
⊢ HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) (β := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (ι := ι) (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M) : ι) :
              ↥(gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                    ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M) : ι)) →+
                ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a :
                ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι)
                    ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i)))) →
              ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
            Membership.mem (γ := Submodule R R[M])
              (gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i : M) : ι))
              x)
            (Finsupp.single ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) i) 1) ⋯) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (ι := ι) (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M) : ι) :
              ↥(gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                    ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M) : ι)) →+
                ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a :
                ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι)
                    ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j)))) →
              ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
            Membership.mem (γ := Submodule R R[M])
              (gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j : M) : ι))
              x)
            (Finsupp.single ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) j) 1) ⋯) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) =
    ((DirectSum.of (ι := ι) (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
            ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) (i * j) : M) : ι) :
          ↥(gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) (i * j) : M) : ι)) →+
            ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
        (a :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι)
                ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) (i * j))))) →
          ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
        Membership.mem (γ := Submodule R R[M])
          (gradeBy.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) R ((⇑f : (a : M) → ι) : (a : M) → ι)
            ((f : (a : M) → ι) ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) (i * j) : M) : ι))
          x)
        (Finsupp.single ((Multiplicative.toAdd : (a : Multiplicative M) → M) (i * j)) 1) ⋯)

Tactic:
dsimp +instances only [toAdd_one, Eq.ndrec, Set.mem_setOf_eq, ne_eq, OneHom.toFun_eq_coe,
          OneHom.coe_mk, toAdd_mul]

Premises used: toAdd_mul, OneHom.coe_mk, Set.mem_setOf_eq, toAdd_one, ne_eq, Eq.ndrec, OneHom.toFun_eq_coe