awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
Fu : Type u
inst_3 : NormedAddCommGroup Fu
inst_4 : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH :
  ∀ m ≤ n,
    ∀ {Gu : Type u} [inst_7 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_8 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}
      (hg : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) g t) (hf : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) f s)
      (hC :
        ∀ i ≤ m,
          norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C)
      (hD :
        ∀ (i : ℕ),
          1 ≤ i →
            i ≤ m →
              norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
                  (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
                D ^ i),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin m) ↦ E) Gu)
          (iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x) ≤
        (↑m ! : ℝ) * C * D ^ m
Gu : Type u
inst_5 : NormedAddCommGroup Gu
inst_6 : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) f s
hC :
  ∀ i ≤ n + 1, norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n + 1 →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
M : LT.lt (α := ℕ∞ω) (↑n : ℕ∞ω) (↑n.succ : ℕ∞ω)
Cnonneg : 0 ≤ C
Dnonneg : 0 ≤ D
I :
  ∀ i ∈ Finset.range (n + 1),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) (Fu →L[𝕜] Gu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fderivWithin 𝕜 g t ∘ f) s x) ≤
      (↑i ! : ℝ) * C * D ^ i
J :
  ∀ (i : ℕ),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin (n - i)) ↦ E) (E →L[𝕜] Fu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) (fderivWithin 𝕜 f s) s x) ≤
      D ^ (n - i + 1)
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ i + (n - i) = n

Tactic:
exact Nat.add_sub_of_le (Finset.mem_range_succ_iff.1 hi)

Premises used: Finset.mem_range_succ_iff, Nat.add_sub_of_le, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
Fu : Type u
inst_3 : NormedAddCommGroup Fu
inst_4 : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH :
  ∀ m ≤ n,
    ∀ {Gu : Type u} [inst_7 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_8 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}
      (hg : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) g t) (hf : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) f s)
      (hC :
        ∀ i ≤ m,
          norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C)
      (hD :
        ∀ (i : ℕ),
          1 ≤ i →
            i ≤ m →
              norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
                  (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
                D ^ i),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin m) ↦ E) Gu)
          (iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x) ≤
        (↑m ! : ℝ) * C * D ^ m
Gu : Type u
inst_5 : NormedAddCommGroup Gu
inst_6 : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) f s
hC :
  ∀ i ≤ n + 1, norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n + 1 →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
M : LT.lt (α := ℕ∞ω) (↑n : ℕ∞ω) (↑n.succ : ℕ∞ω)
Cnonneg : 0 ≤ C
Dnonneg : 0 ≤ D
I :
  ∀ i ∈ Finset.range (n + 1),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) (Fu →L[𝕜] Gu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fderivWithin 𝕜 g t ∘ f) s x) ≤
      (↑i ! : ℝ) * C * D ^ i
J :
  ∀ (i : ℕ),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin (n - i)) ↦ E) (E →L[𝕜] Fu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) (fderivWithin 𝕜 f s) s x) ≤
      D ^ (n - i + 1)
h : ∀ i ∈ Finset.range (n + 1), LE.le (α := ℝ) (↑(n - i)! : ℝ)⁻¹ 1
⊢ LE.le (α := ℝ) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), HMul.hMul (α := ℝ) (↑n ! : ℝ) 1 * C * D ^ (n + 1) * (↑(n - i)! : ℝ)⁻¹)
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), HMul.hMul (α := ℝ) (↑n ! : ℝ) 1 * C * D ^ (n + 1) * 1)

Tactic:
gcongr with i
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
Fu : Type u
inst_3 : NormedAddCommGroup Fu
inst_4 : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH :
  ∀ m ≤ n,
    ∀ {Gu : Type u} [inst_7 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_8 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}
      (hg : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) g t) (hf : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) f s)
      (hC :
        ∀ i ≤ m,
          norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C)
      (hD :
        ∀ (i : ℕ),
          1 ≤ i →
            i ≤ m →
              norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
                  (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
                D ^ i),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin m) ↦ E) Gu)
          (iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x) ≤
        (↑m ! : ℝ) * C * D ^ m
Gu : Type u
inst_5 : NormedAddCommGroup Gu
inst_6 : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) f s
hC :
  ∀ i ≤ n + 1, norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n + 1 →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
M : LT.lt (α := ℕ∞ω) (↑n : ℕ∞ω) (↑n.succ : ℕ∞ω)
Cnonneg : 0 ≤ C
Dnonneg : 0 ≤ D
I :
  ∀ i ∈ Finset.range (n + 1),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) (Fu →L[𝕜] Gu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fderivWithin 𝕜 g t ∘ f) s x) ≤
      (↑i ! : ℝ) * C * D ^ i
J :
  ∀ (i : ℕ),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin (n - i)) ↦ E) (E →L[𝕜] Fu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) (fderivWithin 𝕜 f s) s x) ≤
      D ^ (n - i + 1)
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range (n + 1)
h : LE.le (α := ℝ) 1 (↑(n - i)! : ℝ)
⊢ LE.le (α := ℝ) (↑(n - i)! : ℝ)⁻¹ 1

Tactic:
apply inv_le_one_of_one_le₀

Premises used: inv_le_one_of_one_le₀
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
Fu : Type u
inst_3 : NormedAddCommGroup Fu
inst_4 : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH :
  ∀ m ≤ n,
    ∀ {Gu : Type u} [inst_7 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_8 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}
      (hg : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) g t) (hf : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) f s)
      (hC :
        ∀ i ≤ m,
          norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C)
      (hD :
        ∀ (i : ℕ),
          1 ≤ i →
            i ≤ m →
              norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
                  (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
                D ^ i),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin m) ↦ E) Gu)
          (iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x) ≤
        (↑m ! : ℝ) * C * D ^ m
Gu : Type u
inst_5 : NormedAddCommGroup Gu
inst_6 : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) f s
hC :
  ∀ i ≤ n + 1, norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n + 1 →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
M : LT.lt (α := ℕ∞ω) (↑n : ℕ∞ω) (↑n.succ : ℕ∞ω)
Cnonneg : 0 ≤ C
Dnonneg : 0 ≤ D
I :
  ∀ i ∈ Finset.range (n + 1),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) (Fu →L[𝕜] Gu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fderivWithin 𝕜 g t ∘ f) s x) ≤
      (↑i ! : ℝ) * C * D ^ i
J :
  ∀ (i : ℕ),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin (n - i)) ↦ E) (E →L[𝕜] Fu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) (fderivWithin 𝕜 f s) s x) ≤
      D ^ (n - i + 1)
i : ℕ
h : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ LE.le (α := ℝ) 1 (↑(n - i)! : ℝ)

Tactic:
simpa only [Nat.one_le_cast] using (n - i).factorial_pos

Premises used: HSub.hSub, Nat.one_le_cast, Nat.factorial_pos
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
Fu : Type u
inst_3 : NormedAddCommGroup Fu
inst_4 : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH :
  ∀ m ≤ n,
    ∀ {Gu : Type u} [inst_7 : NormedAddCommGroup Gu] [inst_8 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu}
      (hg : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) g t) (hf : ContDiffOn 𝕜 (↑m : ℕ∞ω) f s)
      (hC :
        ∀ i ≤ m,
          norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C)
      (hD :
        ∀ (i : ℕ),
          1 ≤ i →
            i ≤ m →
              norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
                  (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
                D ^ i),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin m) ↦ E) Gu)
          (iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x) ≤
        (↑m ! : ℝ) * C * D ^ m
Gu : Type u
inst_5 : NormedAddCommGroup Gu
inst_6 : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1) : ℕ∞ω) f s
hC :
  ∀ i ≤ n + 1, norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ Fu) Gu) (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤ C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n + 1 →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) Fu)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
M : LT.lt (α := ℕ∞ω) (↑n : ℕ∞ω) (↑n.succ : ℕ∞ω)
Cnonneg : 0 ≤ C
Dnonneg : 0 ≤ D
I :
  ∀ i ∈ Finset.range (n + 1),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, u} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) (Fu →L[𝕜] Gu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fderivWithin 𝕜 g t ∘ f) s x) ≤
      (↑i ! : ℝ) * C * D ^ i
J :
  ∀ (i : ℕ),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin (n - i)) ↦ E) (E →L[𝕜] Fu))
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) (fderivWithin 𝕜 f s) s x) ≤
      D ^ (n - i + 1)
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), HMul.hMul (α := ℝ) (↑n ! : ℝ) 1 * C * D ^ (n + 1) * 1 = (↑(n + 1)! : ℝ) * C * D ^ (n + 1)

Tactic:
simp only [mul_assoc, mul_one, Finset.sum_const, Finset.card_range, nsmul_eq_mul,
        Nat.factorial_succ, Nat.cast_mul]

Premises used: Nat.factorial_succ, mul_assoc, Finset.card_range, Nat.cast_mul, nsmul_eq_mul, mul_one, Finset.sum_const
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
have :
  ∀ (isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uG} 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x) ≤
      (↑n ! : ℝ) * C * D ^ n
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uG} 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E) G)
      (iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x) ≤
    (↑n ! : ℝ) * C * D ^ n

Tactic:
have isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F := LinearIsometryEquiv.ulift 𝕜 F
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
have :
  ∀ (isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G),
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uG} 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x) ≤
      (↑n ! : ℝ) * C * D ^ n
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uG} 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E) G)
      (iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x) ≤
    (↑n ! : ℝ) * C * D ^ n

Tactic:
have isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G := LinearIsometryEquiv.ulift 𝕜 G
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := (⇑isoF.symm : (a : F) → Fu) ∘ f
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm : (a : G) → Gu) ∘ g ∘ (⇑isoF : (a : Fu) → F)
tu : Set Fu := (⇑isoF : (a : Fu) → F) ⁻¹' t
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 tu

Tactic:
have htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu := isoF.toContinuousLinearEquiv.uniqueDiffOn_preimage_iff.2 ht
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := (⇑isoF.symm : (a : F) → Fu) ∘ f
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm : (a : G) → Gu) ∘ g ∘ (⇑isoF : (a : Fu) → F)
tu : Set Fu := (⇑isoF : (a : Fu) → F) ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
y : E
hy : y ∈ s
⊢ fu y ∈ tu

Tactic:
simpa only [fu, tu, mem_preimage, comp_apply, LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply] using hst hy

Premises used: LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply, Function.comp_apply, Set.mem_preimage
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := (⇑isoF.symm : (a : F) → Fu) ∘ f
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm : (a : G) → Gu) ∘ g ∘ (⇑isoF : (a : Fu) → F)
tu : Set Fu := (⇑isoF : (a : Fu) → F) ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
⊢ MapsTo fu s tu

Tactic:
have hstu : MapsTo fu s tu := fun y hy ↦ by
    simpa only [fu, tu, mem_preimage, comp_apply, LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply] using hst hy
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := (⇑isoF.symm : (a : F) → Fu) ∘ f
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm : (a : G) → Gu) ∘ g ∘ (⇑isoF : (a : Fu) → F)
tu : Set Fu := (⇑isoF : (a : Fu) → F) ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
⊢ (isoF : (a : Fu) → F) (fu x) = f x

Tactic:
simp only [fu, comp_apply, LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply]

Premises used: LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply, Function.comp_apply
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := (⇑isoF.symm : (a : F) → Fu) ∘ f
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm : (a : G) → Gu) ∘ g ∘ (⇑isoF : (a : Fu) → F)
tu : Set Fu := (⇑isoF : (a : Fu) → F) ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
⊢ (isoF : (a : Fu) → F) (fu x) = f x

Tactic:
have Ffu : isoF (fu x) = f x := by
    simp only [fu, comp_apply, LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := (⇑isoF.symm : (a : F) → Fu) ∘ f
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm : (a : G) → Gu) ∘ g ∘ (⇑isoF : (a : Fu) → F)
tu : Set Fu := (⇑isoF : (a : Fu) → F) ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : (isoF : (a : Fu) → F) (fu x) = f x
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) fu s

Tactic:
have hfu : ContDiffOn 𝕜 n fu s := isoF.symm.contDiff.comp_contDiffOn (hf.of_le hn)
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : (↑n : ℕ∞ω) ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC :
  ∀ i ≤ n,
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uF, uG} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G)
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)) ≤
      C
hD :
  ∀ (i : ℕ),
    1 ≤ i →
      i ≤ n →
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F)
            (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x) ≤
          D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := (⇑isoF.symm : (a : F) → Fu) ∘ f
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm : (a : G) → Gu) ∘ g ∘ (⇑isoF : (a : Fu) → F)
tu : Set Fu := (⇑isoF : (a : Fu) → F) ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : (isoF : (a : Fu) → F) (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) fu s
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) gu tu

Tactic:
have hgu : ContDiffOn 𝕜 n gu tu :=
    isoG.symm.contDiff.comp_contDiffOn
      ((hg.of_le hn).comp_continuousLinearMap (isoF : Fu →L[𝕜] F))