awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
succ :
  HPow.hPow (α := R) (-1) (m + 1 + n + m) *
        f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last (m + 1 + n)) (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) *
      Matrix.det (n := Fin (m + (n + 1)))
        (Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1))
          (Fin.castSucc ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))
          (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) ∘
            (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))) =
    HPow.hPow (α := R) (-1) (n + 1) * g.coeff (n + 1) * Matrix.det (n := Fin (m + (n + 1))) (f.sylvester g m (n + 1))
⊢ HPow.hPow (α := R) (-1)
          ((↑(Fin.last ((m + 1).add n)) : ℕ) + (↑(Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m) : Fin (m + 1 + (n + 1))) : ℕ)) *
        f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last ((m + 1).add n)) (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) *
      Matrix.det (n := Fin (m + (n + 1)))
        ((Matrix.reindex (finCongr ⋯) (finCongr ⋯) :
            (a : Matrix (Fin ((m + 1).add n)) (Fin ((m + 1).add n)) R) →
              Matrix (Fin (m + (n + 1))) (Fin (m + (n + 1))) R)
          (Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1)) (Fin.succAbove (Fin.last ((m + 1).add n)))
            (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m))))) =
    HPow.hPow (α := R) (-1) (n + 1) * g.coeff (n + 1) * Matrix.det (n := Fin (m + (n + 1))) (f.sylvester g m (n + 1))

Tactic:
simp only [Nat.add_eq, Nat.succ_eq_add_one, Fin.val_last, Fin.val_castAdd, Fin.succAbove_last,
      Matrix.reindex_apply, finCongr_symm, Matrix.submatrix_submatrix]

Premises used: Fin.succAbove_last, Nat.add_eq, Nat.succ_eq_add_one, Matrix.reindex_apply, Fin.val_castAdd, Matrix.submatrix_submatrix, finCongr_symm, Fin.val_last
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
succ : HPow.hPow (α := R) (-1) (m + 1 + n + m) = HPow.hPow (α := R) (-1) (n + 1)
succ₁ : f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last (m + 1 + n)) (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) = g.coeff (n + 1)
succ₂ :
  Eq (α := Matrix (Fin (m + (n + 1))) (Fin (m + (n + 1))) R)
    (Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1))
      (Fin.castSucc ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))
      (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n))))
    (f.sylvester g m (n + 1))
⊢ HPow.hPow (α := R) (-1) (m + 1 + n + m) *
        f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last (m + 1 + n)) (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) *
      Matrix.det (n := Fin (m + (n + 1)))
        (Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1))
          (Fin.castSucc ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))
          (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) ∘
            (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))) =
    HPow.hPow (α := R) (-1) (n + 1) * g.coeff (n + 1) * Matrix.det (n := Fin (m + (n + 1))) (f.sylvester g m (n + 1))

Tactic:
congr 2
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
trans : HPow.hPow (α := R) (-1) (m + 1 + n + m) = HPow.hPow (α := R) (-1) (2 * m + (n + 1))
trans₁ : HPow.hPow (α := R) (-1) (2 * m + (n + 1)) = HPow.hPow (α := R) (-1) (n + 1)
⊢ HPow.hPow (α := R) (-1) (m + 1 + n + m) = HPow.hPow (α := R) (-1) (n + 1)

Tactic:
trans (-1) ^ (2 * m + (n + 1))

Premises used: HMul.hMul, HAdd.hAdd, OfNat.ofNat, Neg.neg
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
e_a : m + 1 + n + m = 2 * m + (n + 1)
⊢ HPow.hPow (α := R) (-1) (m + 1 + n + m) = HPow.hPow (α := R) (-1) (2 * m + (n + 1))

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
⊢ m + 1 + n + m = 2 * m + (n + 1)

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
⊢ HPow.hPow (α := R) (-1) (2 * m + (n + 1)) = HPow.hPow (α := R) (-1) (n + 1)

Tactic:
simp [pow_add]

Premises used: pow_add
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
succ : (if m ≤ m + 1 + n ∧ m + 1 + n ≤ m + (n + 1) then g.coeff (m + 1 + n - m) else 0) = g.coeff (n + 1)
⊢ f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last (m + 1 + n)) (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) = g.coeff (n + 1)

Tactic:
simp only [sylvester, Set.mem_Icc, Matrix.of_apply, Fin.val_last, Fin.addCases_left]

Premises used: Fin.addCases_left, Matrix.of_apply, Polynomial.sylvester, Set.mem_Icc, Fin.val_last
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
⊢ m ≤ m + 1 + n ∧ m + 1 + n ≤ m + (n + 1)

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
succ : g.coeff (m + 1 + n - m) = g.coeff (n + 1)
⊢ (if m ≤ m + 1 + n ∧ m + 1 + n ≤ m + (n + 1) then g.coeff (m + 1 + n - m) else 0) = g.coeff (n + 1)

Tactic:
rw [if_pos (by lia)]

Premises used: if_pos
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
⊢ g.coeff (m + 1 + n - m) = g.coeff (n + 1)

Tactic:
simp [add_assoc, add_comm 1]

Premises used: add_assoc, add_comm, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
succ :
  ∀ (i j : Fin (m + (n + 1))),
    Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1))
        (Fin.castSucc ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))
        (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))
        i j =
      f.sylvester g m (n + 1) i j
⊢ Eq (α := Matrix (Fin (m + (n + 1))) (Fin (m + (n + 1))) R)
    (Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1))
      (Fin.castSucc ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))
      (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n))))
    (f.sylvester g m (n + 1))

Tactic:
ext i j
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i j : Fin (m + (n + 1))
succ :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + 1 + (n + 1))) ↦ R)
        (fun (j₁ : Fin (m + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (n + 1) then g.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (fun (j₁ : Fin (n + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (m + 1) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ j)) :
      R)
    (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + (n + 1))) ↦ R)
        (fun (j₁ : Fin m) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (n + 1) then g.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (fun (j₁ : Fin (n + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + m then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        j :
      R)
⊢ Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1))
      (Fin.castSucc ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n)))
      (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) ∘ (⇑(finCongr ⋯) : (a : Fin (m + (n + 1))) → Fin (m + 1 + n))) i
      j =
    f.sylvester g m (n + 1) i j

Tactic:
simp only [sylvester, Set.mem_Icc, Matrix.submatrix_apply, Function.comp_apply,
        finCongr_apply, Matrix.of_apply, Fin.val_castSucc, Fin.val_cast]

Premises used: finCongr_apply, Matrix.of_apply, Polynomial.sylvester, Set.mem_Icc, Fin.val_cast, Function.comp_apply, Matrix.submatrix_apply, Fin.val_castSucc
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin m
⊢ m + (n + 1) = (m + 1).add n

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin m
h :
  (↑(Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (n + 1) j))) : ℕ) =
    (↑(Fin.castAdd (n + 1) j.castSucc : Fin (m + 1 + (n + 1))) : ℕ)
⊢ Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (n + 1) j)) = Fin.castAdd (n + 1) j.castSucc

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin m
⊢ (↑(Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (n + 1) j))) : ℕ) =
    (↑(Fin.castAdd (n + 1) j.castSucc : Fin (m + 1 + (n + 1))) : ℕ)

Tactic:
simp [Fin.succAbove, Fin.lt_def]

Premises used: Fin.succAbove, Fin.lt_def
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin m
⊢ Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (n + 1) j)) = Fin.castAdd (n + 1) j.castSucc

Tactic:
have : ((Fin.last m).castAdd (n + 1)).succAbove ((j.castAdd (n + 1)).cast (by grind)) =
          j.castSucc.castAdd (n + 1) := by ext; simp [Fin.succAbove, Fin.lt_def]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin m
this :
  Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (n + 1) j)) = Fin.castAdd (n + 1) j.castSucc
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + 1 + (n + 1))) ↦ R)
        (fun (j₁ : Fin (m + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (n + 1) then g.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (fun (j₁ : Fin (n + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (m + 1) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast (n := m + (n + 1)) ⋯ (Fin.castAdd (n + 1) j))) :
      R)
    (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + (n + 1))) ↦ R)
        (fun (j₁ : Fin m) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (n + 1) then g.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (fun (j₁ : Fin (n + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + m then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (Fin.castAdd (n + 1) j) :
      R)

Tactic:
simp [this]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
⊢ m + (n + 1) = (m + 1).add n

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
h :
  (↑(Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j))) : ℕ) =
    (↑(Fin.natAdd (m + 1) j) : ℕ)
⊢ Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
⊢ (↑(Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j))) : ℕ) =
    (↑(Fin.natAdd (m + 1) j) : ℕ)

Tactic:
simp [Fin.succAbove, Fin.lt_def, add_right_comm]

Premises used: Fin.succAbove, add_right_comm, Fin.lt_def
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
⊢ Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j

Tactic:
have : ((Fin.last m).castAdd (n + 1)).succAbove ((j.natAdd m).cast (by grind)) =
          j.natAdd _ := by ext; simp [Fin.succAbove, Fin.lt_def, add_right_comm]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
succ :
  (if (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) then if (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) else 0 else 0) =
    if (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) then if (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) else 0 else 0
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + 1 + (n + 1))) ↦ R)
        (fun (j₁ : Fin (m + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (n + 1) then g.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (fun (j₁ : Fin (n + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (m + 1) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j))) :
      R)
    (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + (n + 1))) ↦ R)
        (fun (j₁ : Fin m) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + (n + 1) then g.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (fun (j₁ : Fin (n + 1)) ↦
          if (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) ∧ (↑i : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) + m then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j₁ : ℕ)) else 0)
        (Fin.natAdd m j) :
      R)

Tactic:
simp only [ite_and, this, Fin.addCases_right]

Premises used: Fin.addCases_right, ite_and
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
pos :
  ∀ (h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)) (h₂ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)) (h₃ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m),
    f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ))
neg :
  ∀ (h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)) (h₂ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)) (h₃ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m),
    f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = 0
pos₁ :
  ∀ (h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)) (h₂ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)) (h₃ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m),
    0 = f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ))
neg₁ :
  ∀ (h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)) (h₂ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)) (h₃ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0
neg₂ : ∀ (h₁ : ¬(↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)), Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0
⊢ (if (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) then if (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) else 0 else 0) =
    if (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ) then if (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) else 0 else 0

Tactic:
split_ifs with h₁ h₂ h₃ h₃
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ))

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ))

Tactic:
try lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = 0

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ 0 = f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ))

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ 0 = f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ))

Tactic:
try lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0

Tactic:
try lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : ¬(↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : ¬(↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0

Tactic:
try lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ f.natDegree < (↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (m + (n + 1))
j : Fin (n + 1)
this : Fin.succAbove (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)) (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd m j)) = Fin.natAdd (m + 1) j
h₁ : (↑j : ℕ) ≤ (↑i : ℕ)
h₂ : (↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + (m + 1)
h₃ : ¬(↑i : ℕ) ≤ (↑j : ℕ) + m
⊢ f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = 0

Tactic:
exact coeff_eq_zero_of_natDegree_lt (by lia)

Premises used: Polynomial.coeff_eq_zero_of_natDegree_lt
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
b : Fin (m + 1 + (n + 1))
hb : b ≠ Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)
this : f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last (m + 1 + n)) b = 0
⊢ HPow.hPow (α := R) (-1) ((↑(Fin.last ((m + 1).add n)) : ℕ) + (↑b : ℕ)) *
        f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last ((m + 1).add n)) b *
      (Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1)) (Fin.succAbove (Fin.last ((m + 1).add n))) b.succAbove).det =
    0

Tactic:
simp [this]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
b : Fin (m + 1 + (n + 1))
hb : b ≠ Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)
suffices : f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last (m + 1 + n)) b = 0
⊢ HPow.hPow (α := R) (-1) ((↑(Fin.last ((m + 1).add n)) : ℕ) + (↑b : ℕ)) *
        f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last ((m + 1).add n)) b *
      (Matrix.submatrix (f.sylvester g (m + 1) (n + 1)) (Fin.succAbove (Fin.last ((m + 1).add n))) b.succAbove).det =
    0

Tactic:
suffices f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (.last (m + 1 + n)) b = 0 by simp [this]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
b : Fin (m + 1)
hb :
  Ne (α := Fin ((m + 1).add n).succ) (Fin.castAdd (n + 1) b : Fin (m + 1 + (n + 1))) (Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m))
⊢ ¬(↑b : ℕ) = m

Tactic:
simp only [Nat.add_eq, Nat.succ_eq_add_one, ne_eq, Fin.ext_iff, Fin.val_castAdd,
        Fin.val_last] at hb

Premises used: Fin.ext_iff, Nat.add_eq, Nat.succ_eq_add_one, ne_eq, Fin.val_castAdd, Fin.val_last
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
b : Fin (m + 1)
hb : ¬(↑b : ℕ) = m
left : (↑b : ℕ) ≤ m + 1 + n → m + 1 + n ≤ (↑b : ℕ) + (n + 1) → g.coeff (m + 1 + n - (↑b : ℕ)) = 0
⊢ f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last (m + 1 + n)) (Fin.castAdd (n + 1) b) = 0

Tactic:
simp only [sylvester, Set.mem_Icc, Matrix.of_apply, Fin.val_last, Fin.addCases_left,
        ite_eq_right_iff, and_imp]

Premises used: Fin.addCases_left, and_imp, Matrix.of_apply, Polynomial.sylvester, ite_eq_right_iff, Set.mem_Icc, Fin.val_last
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
b : Fin (m + 1)
hb : ¬(↑b : ℕ) = m
h : (↑b : ℕ) ≤ m + 1 + n
h_1 : m + 1 + n ≤ (↑b : ℕ) + (n + 1)
⊢ g.coeff (m + 1 + n - (↑b : ℕ)) = 0

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
hb : Fin.natAdd (m + 1) i ≠ Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)
h : (↑i : ℕ) ≤ m + 1 + n
h_1 : m + 1 + n ≤ (↑i : ℕ) + (m + 1)
⊢ f.natDegree < m + 1 + n - (↑i : ℕ)

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m : ℕ
hf : f.natDegree ≤ m
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
hb : Fin.natAdd (m + 1) i ≠ Fin.castAdd (n + 1) (Fin.last m)
⊢ f.sylvester g (m + 1) (n + 1) (Fin.last (m + 1 + n) : Fin (m + 1 + n + 1)) (Fin.natAdd (m + 1) i) = 0

Tactic:
simpa [sylvester] using fun _ _ ↦ coeff_eq_zero_of_natDegree_lt (by lia)

Premises used: Polynomial.sylvester, Polynomial.coeff_eq_zero_of_natDegree_lt