awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t (h ≫ f) ⋯) =
    y ⋯ (m ≫ l) ⋯

Tactic:
have := ht (U.downward_closed hf h) _ ((B _).downward_closed hl m)
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this_1 : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
this :
  (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t (h ≫ f) ⋯) =
    y ⋯ (m ≫ l) ⋯
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map m.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op M))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map l.op) : (a : P.obj (op W)) → P.obj (op Y)) (t (h ≫ f) ⋯) :
        P.obj (op Y)) =
    y ⋯ (m ≫ l) ⋯

Tactic:
simp only [op_comp, Functor.map_comp, comp_apply] at this

Premises used: CategoryTheory.op_comp, CategoryTheory.comp_apply, CategoryTheory.Functor.map_comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this_1 : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
this :
  (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map m.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op M))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map l.op) : (a : P.obj (op W)) → P.obj (op Y)) (t (h ≫ f) ⋯) :
        P.obj (op Y)) =
    y ⋯ (m ≫ l) ⋯
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map m.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map l.op) :
            (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
          (t (h ≫ f) ⋯) :
        (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) =
    s (m ≫ l ≫ h ≫ f) this_1

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)
⊢ s ((m ≫ l ≫ h) ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l ≫ h).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t f hf)

Tactic:
have h : s _ _ = _ := (ht hf _ hm).symm
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h_1 : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h_1) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h_1 ≫ f)
h :
  s ((m ≫ l ≫ h_1) ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l ≫ h_1).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t f hf)
f₁ : (m ≫ l ≫ h_1) ≫ f
| s ((m ≫ l ≫ h_1) ≫ f) ⋯

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h_1 : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h_1) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h_1 ≫ f)
h :
  s ((m ≫ l ≫ h_1) ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l ≫ h_1).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t f hf)
f₁ : m ≫ l ≫ h_1 ≫ f
| (m ≫ l ≫ h_1) ≫ f

Tactic:
rw [assoc, assoc]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h_1 : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h_1) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h_1 ≫ f)
h :
  s ((m ≫ l ≫ h_1) ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l ≫ h_1).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t f hf)
f₁ : m ≫ l ≫ h_1 ≫ f
| s ((m ≫ l ≫ h_1) ≫ f) ⋯

Tactic:
congr; rw [assoc, assoc]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h_1 : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h_1) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h_1 ≫ f)
h :
  s ((m ≫ l ≫ h_1) ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l ≫ h_1).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t f hf)
⊢ s (m ≫ l ≫ h_1 ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l ≫ h_1).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t f hf)

Tactic:
conv_lhs at h => congr; rw [assoc, assoc]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h_1 : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h_1) (B hf)).arrows m
this : (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h_1 ≫ f)
h :
  s (m ≫ l ≫ h_1 ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (m ≫ l ≫ h_1).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      (t f hf)
⊢ s (m ≫ l ≫ h_1 ≫ f) this =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map m.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op M)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map l.op) :
            (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map h_1.op) :
                (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W)))
              (t f hf) :
            (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W))) :
        (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))

Tactic:
simp [h]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
⊢ t.Compatible (R := U.arrows)

Tactic:
have hT : t.Compatible := by
    rw [Presieve.compatible_iff_sieveCompatible]
    intro Z W f h hf
    apply (hB (U.downward_closed hf h)).isSeparatedFor.ext
    intro Y l hl
    apply (hB' hf (l ≫ h)).ext
    intro M m hm
    have : Sieve.bind U B (m ≫ l ≫ h ≫ f) := by simpa using (bind_comp f hf hm : Sieve.bind U B _)
    trans s (m ≫ l ≫ h ≫ f) this
    · have := ht (U.downward_closed hf h) _ ((B _).downward_closed hl m)
      simp only [op_comp, Functor.map_comp, comp_apply] at this
      grind
    · have h : s _ _ = _ := (ht hf _ hm).symm
      -- Porting note: this was done by `simp only [assoc] at`
      conv_lhs at h => congr; rw [assoc, assoc]
      simp [h]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
hT : t.Compatible (R := U.arrows)
⊢ ∃! t : P.obj (op X), s.IsAmalgamation (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows) t

Tactic:
⟨hU.amalgamate t hT, ?_, ?_⟩

Premises used: CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor.amalgamate, ExistsUnique, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
hT : t.Compatible (R := U.arrows)
refine_1 :
  (fun (t : P.obj (op X)) ↦ s.IsAmalgamation (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows) t)
    (hU.amalgamate (R := U.arrows) t hT)
refine_2 :
  ∀ (y : P.obj (op X)),
    (fun (t : P.obj (op X)) ↦ s.IsAmalgamation (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows) t) y →
      y = hU.amalgamate (R := U.arrows) t hT
⊢ ∃! t : P.obj (op X), s.IsAmalgamation (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows) t

Tactic:
refine ⟨hU.amalgamate t hT, ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
hT : t.Compatible (R := U.arrows)
Z Y : C
f : Z ⟶ Y
g : Y ⟶ X
hg : U.arrows g
hf : (B hg).arrows f
refine_1 :
  (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op Z)) (t g hg) = s (f ≫ g) ⋯
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (f ≫ g).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
      (hU.amalgamate (R := U.arrows) t hT) =
    s (f ≫ g) ⋯

Tactic:
rw [op_comp, Functor.map_comp, comp_apply, Presieve.IsSheafFor.valid_glue _ _ _ hg]

Premises used: CategoryTheory.op_comp, CategoryTheory.comp_apply, CategoryTheory.Functor.map_comp, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor.valid_glue
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
hT : t.Compatible (R := U.arrows)
Z Y : C
f : Z ⟶ Y
g : Y ⟶ X
hg : U.arrows g
hf : (B hg).arrows f
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op Z)) (t g hg) = s (f ≫ g) ⋯

Tactic:
apply ht hg _ hf