awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
m : ι
hm :
  (P.root : (a : ι) → M) m =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
l' : ι
hl' :
  (P.root : (a : ι) → M) l' =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι) (hx : x ≠ m),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))
aux₄ :
  ∀ (x : ι) (hx : x ≠ l'),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) k =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
rw :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
rw₁ rw₂ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) l' =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M)

Tactic:
rw [hl', add_comm]

Premises used: add_comm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
m : ι
hm :
  (P.root : (a : ι) → M) m =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
l' : ι
hl' :
  (P.root : (a : ι) → M) l' =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι) (hx : x ≠ m),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))
aux₄ :
  ∀ (x : ι) (hx : x ≠ l'),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) k =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
rw :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
rw₁ rw₂ :
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) k =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l' : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)

Tactic:
rw [hl', hk]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
m : ι
hm :
  (P.root : (a : ι) → M) m =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
l' : ι
hl' :
  (P.root : (a : ι) → M) l' =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι) (hx : x ≠ m),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))
aux₄ :
  ∀ (x : ι) (hx : x ≠ l'),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) k =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
⊢ (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) m + 1) *
      (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) l + 1) =
    (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) l' + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l + 1)

Tactic:
have := chainBotCoeff_mul_chainTopCoeff i.property j.property hij' hl'.symm hm.symm h₅
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
n : ℕ
h : j ≠ -(↑i : ι)
⊢ Module.IsReflexive R M

Tactic:
have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
n : ℕ
h : j ≠ -(↑i : ι)
this : Module.IsReflexive R M
⊢ IsAddTorsionFree M

Tactic:
have : IsAddTorsionFree M := .of_isTorsionFree R M
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
n_1 : ℕ
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
n : ℕ
rw : e i *ᵥ e i ^ n *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr j) 1 = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
⊢ (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)

Tactic:
rw [pow_succ', ← Matrix.mulVec_single_one, ← Matrix.mulVec_mulVec]

Premises used: Matrix.mulVec_single_one, pow_succ', Matrix.mulVec_mulVec
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
n_1 : ℕ
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
n : ℕ
⊢ e i *ᵥ e i ^ n *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr j) 1 = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
n : ℕ
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)

Tactic:
have aux (n : ℕ) : (e i ^ (n + 1)).col (.inr j) = (e i).mulVec ((e i ^ n).col (.inr j)) := by
    rw [pow_succ', ← Matrix.mulVec_single_one, ← Matrix.mulVec_mulVec]; simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) j =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 0 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
h₁ :
  ∀ (x : ↥b.support ⊕ ι),
    (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 0).col (Sum.inr j) x =
      HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) 1
        (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr j) 1) x
⊢ (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 0).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) 1 (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr j) 1)

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
x : ↥b.support ⊕ ι
⊢ (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 0).col (Sum.inr j) x =
    HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) 1 (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr j) 1)
      x

Tactic:
simp [Pi.single_apply]

Premises used: Pi.single_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
⊢ (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 0).col (Sum.inr j) = 0 ∨
    ∃ (k : ι) (x : ℕ),
      (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 0 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
        (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 0).col (Sum.inr j) =
          HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)

Tactic:
exact Or.inr ⟨j, 1, by simp, by ext; simp [Pi.single_apply]⟩

Premises used: Or.inr
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
ih :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) = 0 ∨
    ∃ (k : ι) (x : ℕ),
      (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
        (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
          HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
succ :
  ∀ (hn : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = 0),
    (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = 0 ∨
      ∃ (k : ι) (x : ℕ),
        (P.root : (a : ι) → M) k =
            HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
              (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
          (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) =
            HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
succ₁ :
  ∀ (k : ι) (x : ℕ)
    (hk₁ :
      (P.root : (a : ι) → M) k =
        HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)))
    (hk₂ :
      (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
        HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)),
    (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = 0 ∨
      ∃ (k : ι) (x : ℕ),
        (P.root : (a : ι) → M) k =
            HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
              (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
          (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) =
            HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
⊢ (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = 0 ∨
    ∃ (k : ι) (x : ℕ),
      (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
        (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) =
          HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)

Tactic:
rcases ih with hn | ⟨k, x, hk₁, hk₂⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
hn : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = 0
succ : (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = 0
⊢ (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = 0 ∨
    ∃ (k : ι) (x : ℕ),
      (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
        (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) =
          HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)

Tactic:
left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
hn : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = 0
⊢ (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = 0

Tactic:
simp [aux, hn]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
succ :
  x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1 = 0 ∨
    ∃ (k_1 : ι) (x_1 : ℕ),
      (P.root : (a : ι) → M) k_1 =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
        x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1 =
          HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x_1
            (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k_1) 1)
⊢ (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = 0 ∨
    ∃ (k : ι) (x : ℕ),
      (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
        (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) =
          HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)

Tactic:
rw [aux, hk₂, Matrix.mulVec_smul]

Premises used: Matrix.mulVec_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x
      (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr (-(↑i : ι))) 1)
simp :
  ∀
    (hk₁ :
      HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
          (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))) =
        0),
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
        (HAdd.hAdd (β := M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) =
      0
⊢ (P.root : (a : ι) → M) (-j) = HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)

Tactic:
simp only [indexNeg_neg, root_reflectionPerm, reflection_apply_self, neg_eq_iff_add_eq_zero,
          add_smul, one_smul] at hk₁ ⊢

Premises used: neg_eq_iff_add_eq_zero, one_smul, RootPairing.reflection_apply_self, add_smul, RootPairing.indexNeg_neg, RootPairing.root_reflectionPerm