awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq.{v + 1} (α := Submodule R M) ⊥ ⊤
x : M
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊤ x

Tactic:
exact Submodule.mem_top

Premises used: Submodule.mem_top
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq.{v + 1} (α := Submodule R M) ⊥ ⊤
h :
  ∀ (this : Unique M),
    Nonempty
      (M ≃ₗ[R]
        ⨁ (i : Fin 0),
          HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R)
            (R ∙ HPow.hPow (β := ℕ) p (finZeroElim (α := fun (a : Fin 0) ↦ ℕ) i : ℕ)))
⊢ Nonempty
    (M ≃ₗ[R]
      ⨁ (i : Fin 0),
        HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R)
          (R ∙ HPow.hPow (β := ℕ) p (finZeroElim (α := fun (a : Fin 0) ↦ ℕ) i : ℕ)))

Tactic:
haveI : Unique M :=
      ⟨⟨0⟩, fun x => by dsimp; rw [← Submodule.mem_bot R, hs]; exact Submodule.mem_top⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq.{v + 1} (α := Submodule R M) ⊥ ⊤
this : Unique M
⊢ Nonempty
    (M ≃ₗ[R]
      ⨁ (i : Fin 0),
        HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R)
          (R ∙ HPow.hPow (β := ℕ) p (finZeroElim (α := fun (a : Fin 0) ↦ ℕ) i : ℕ)))

Tactic:
⟨0⟩

Premises used: Nonempty.intro, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq.{v + 1} (α := Submodule R M) ⊥ ⊤
this : Unique M
⊢ Nonempty
    (M ≃ₗ[R]
      ⨁ (i : Fin 0),
        HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R)
          (R ∙ HPow.hPow (β := ℕ) p (finZeroElim (α := fun (a : Fin 0) ↦ ℕ) i : ℕ)))

Tactic:
exact ⟨0⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
x : M
⊢ Decidable (x = 0)

Tactic:
infer_instance
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
x : M
⊢ Decidable (x = 0)

Tactic:
classical infer_instance
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
h :
  ∀ (this : (x : M) → Decidable (x = 0)),
    ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
      Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
have : ∀ x : M, Decidable (x = 0) := fun _ => by classical infer_instance
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
h :
  ∀ (j : Fin d.succ) (hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))),
    ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
      Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
obtain ⟨j, hj⟩ := exists_isTorsionBy hM d.succ d.succ_ne_zero s hs

Premises used: Submodule.exists_isTorsionBy, Nat.succ_ne_zero, Nat.succ
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
h :
  ∀
    (this :
      ∃ (k : Fin d → ℕ),
        Nonempty
          (LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
            (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)))),
    ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
      Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
h₁ : IsTorsion'.{v, u} (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) ↥(Submonoid.powers p)
h₂ : Eq (α := Submodule R (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))) (Submodule.span R (Set.range s')) ⊤
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
have := IH ?_ s' ?_
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this_1 : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
this :
  ∃ (k : Fin d → ℕ),
    Nonempty
      (LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
        (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)))
h :
  ∀ (k : Fin d → ℕ)
    (f :
      LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
        (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))),
    ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
      Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
obtain ⟨k, ⟨f⟩⟩ := this
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
i : Fin d
fi : LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) :=
  (↑f.symm : (⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) →ₗ[R] M ⧸ R ∙ s j) ∘ₗ
    DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i
obtain :
  ∀ (x : M) (h0 : p ^ k i • x = 0)
    (h1 :
      Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) (Submodule.Quotient.mk x)
        ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1)),
    ∃ (x : M),
      p ^ k i • x = 0 ∧
        Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
          ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
            ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
          (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                  HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                    ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
                (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
              1 :
            ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ ∃ (x : M),
    p ^ k i • x = 0 ∧
      Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                  ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
              (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
            1 :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
obtain ⟨x, h0, h1⟩ := exists_smul_eq_zero_and_mk_eq hp hM hj fi

Premises used: Module.exists_smul_eq_zero_and_mk_eq
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
i : Fin d
fi : LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) :=
  (↑f.symm : (⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) →ₗ[R] M ⧸ R ∙ s j) ∘ₗ
    DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i
x : M
h0 : p ^ k i • x = 0
h1 :
  Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) (Submodule.Quotient.mk x)
    ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1)
⊢ ∃ (x : M),
    p ^ k i • x = 0 ∧
      Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                  ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
              (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
            1 :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
⟨x, h0, ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
i : Fin d
fi : LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) :=
  (↑f.symm : (⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) →ₗ[R] M ⧸ R ∙ s j) ∘ₗ
    DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i
x : M
h0 : p ^ k i • x = 0
h1 :
  Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) (Submodule.Quotient.mk x)
    ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1)
refine :
  Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
            HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
              ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
          (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
        1 :
      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ ∃ (x : M),
    p ^ k i • x = 0 ∧
      Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                  ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
              (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
            1 :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
refine ⟨x, h0, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
i : Fin d
fi : LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) :=
  (↑f.symm : (⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) →ₗ[R] M ⧸ R ∙ s j) ∘ₗ
    DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i
x : M
h0 : p ^ k i • x = 0
h1 :
  Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) (Submodule.Quotient.mk x)
    ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1)
rw :
  Eq (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1) :
      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
            HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
              ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
          (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
        1 :
      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
            HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
              ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
          (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
        1 :
      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
rw [h1]
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
i : Fin d
fi : LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) :=
  (↑f.symm : (⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) →ₗ[R] M ⧸ R ∙ s j) ∘ₗ
    DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i
x : M
h0 : p ^ k i • x = 0
h1 :
  Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) (Submodule.Quotient.mk x)
    ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1)
⊢ Eq (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1) :
      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
            HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
              ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
          (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
        1 :
      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
simp only [fi, LinearMap.coe_comp, f.symm.coe_toLinearMap, f.apply_symm_apply,
          Function.comp_apply]

Premises used: LinearEquiv.symm, LinearMap.coe_comp, LinearEquiv.apply_symm_apply, LinearEquiv.coe_toLinearMap, Function.comp_apply
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.PID
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ ∀ (i : Fin d),
    ∃ (x : M),
      p ^ k i • x = 0 ∧
        Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
          ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
            ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
          (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                  HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                    ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
                (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
              1 :
            ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))

Tactic:
have : ∀ i : Fin d,
          ∃ x : M, p ^ k i • x = 0 ∧ f (Submodule.Quotient.mk x) = DirectSum.lof R _ _ i 1 := by
        intro i
        let fi := f.symm.toLinearMap.comp (DirectSum.lof _ _ _ i)
        obtain ⟨x, h0, h1⟩ := exists_smul_eq_zero_and_mk_eq hp hM hj fi; refine ⟨x, h0, ?_⟩; rw [h1]
        simp only [fi, LinearMap.coe_comp, f.symm.coe_toLinearMap, f.apply_symm_apply,
          Function.comp_apply]