-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
e : N ≃ₗ[R] M × P
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑((↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P) : (a : M) → N)
h :
  Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑((↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P) : (a : M) → N)
    (⇑(snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P)) : (a : N) → P)
refine_5 :
  LinearEquiv.symm
      (↑((fun (l : { l : P →ₗ[R] N // (snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P)) ∘ₗ l = LinearMap.id }) ↦
              (Subtype.mk (p := fun (e_1 : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
                  (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
                    snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P))
                  (LinearEquiv.symm
                    (LinearEquiv.ofBijective
                      (((↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P) ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))
                  ⋯ :
                { e_1 : N ≃ₗ[R] M × P //
                  (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
                    snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P) }))
            ((fun
                  (e_1 :
                    { e_1 : N ≃ₗ[R] M × P //
                      (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
                        snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P) }) ↦
                (Subtype.mk (p := fun (l : P →ₗ[R] N) ↦ (snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P)) ∘ₗ l = LinearMap.id)
                    ((↑(↑e_1 : N ≃ₗ[R] M × P).symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inr R M P) ⋯ :
                  { l : P →ₗ[R] N // (snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P)) ∘ₗ l = LinearMap.id }))
              (Subtype.mk (p := fun (e_1 : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
                (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
                  snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P))
                e ⋯))) :
        N ≃ₗ[R] M × P) =
    (↑(Subtype.mk (p := fun (e_1 : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
            (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
              snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P))
            e ⋯) :
        N ≃ₗ[R] M × P).symm
⊢ (↑((fun (l : { l : P →ₗ[R] N // (snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P)) ∘ₗ l = LinearMap.id }) ↦
            (Subtype.mk (p := fun (e_1 : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
                (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
                  snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P))
                (LinearEquiv.symm
                  (LinearEquiv.ofBijective
                    (((↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P) ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))
                ⋯ :
              { e_1 : N ≃ₗ[R] M × P //
                (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
                  snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P) }))
          ((fun
                (e_1 :
                  { e_1 : N ≃ₗ[R] M × P //
                    (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
                      snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P) }) ↦
              (Subtype.mk (p := fun (l : P →ₗ[R] N) ↦ (snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P)) ∘ₗ l = LinearMap.id)
                  ((↑(↑e_1 : N ≃ₗ[R] M × P).symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inr R M P) ⋯ :
                { l : P →ₗ[R] N // (snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P)) ∘ₗ l = LinearMap.id }))
            (Subtype.mk (p := fun (e_1 : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
              (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
                snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P))
              e ⋯))) :
      N ≃ₗ[R] M × P) =
    (↑(Subtype.mk (p := fun (e_1 : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
          (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P = (↑e_1.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
            snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) = snd R M P ∘ₗ (↑e_1 : N →ₗ[R] M × P))
          e ⋯) :
      N ≃ₗ[R] M × P)

Tactic:
apply LinearEquiv.symm_bijective.injective

Premises used: Function.Bijective.injective, LinearEquiv.symm_bijective