-- Module: Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.AdmissibleCardPowDegree
Goal:
Fq : Type u_1
inst : Fintype Fq
inst_1 : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ (t : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)),
      ∀ (i₀ i₁ : Fin n),
        t i₀ = t i₁ ↔
          (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A i₁ % b - A i₀ % b)) : ℝ) <
            HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' :
  ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ},
    (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A i % b - A j % b)) : ℝ) < ε →
      (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A j % b - A k % b)) : ℝ) < ε →
        (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A i % b - A k % b)) : ℝ) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)
ht' :
  ∀ (i₀ i₁ : Fin n),
    t' i₀ = t' i₁ ↔
      (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ)
              (Fin.tail (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ Fq[X]) A i₁ % b -
                Fin.tail (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ Fq[X]) A i₀ % b)) :
          ℝ) <
        HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)
hj :
  ∀ (i : Fin n),
    t' i = j ↔
      (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A 0 % b - A i.succ % b)) : ℝ) <
        HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
i₀ i₁ : Fin (n + 1)
succ :
  Eq (α := Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) j t' 0 :
        Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) j t' 0 :
        Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) ↔
    (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A 0 % b - A 0 % b)) : ℝ) <
      HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
succ₁ :
  ∀ (i₁ : Fin n),
    Eq (α := Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊))
        (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) j t'
            0 :
          Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊))
        (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) j t'
            i₁.succ :
          Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) ↔
      (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A i₁.succ % b - A 0 % b)) : ℝ) <
        HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
⊢ Eq (α := Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) j t' 0 :
        Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) j t'
          i₁ :
        Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) ↔
    (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A i₁ % b - A 0 % b)) : ℝ) <
      HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε

Tactic:
refine Fin.cases ?_ (fun i₁ => ?_) i₁