-- Module: Mathlib.RepresentationTheory.Homological.GroupHomology.Functoriality
Goal:
k G : Type u
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
A : Rep k G
S : Subgroup G
inst_2 : S.Normal
inst_3 : Representation.IsTrivial (MonoidHom.comp A.ρ S.subtype)
x : G →₀ (↑A : Type u)
hxc : x ∈ cycles₁ A
hx :
  Eq (α := (↑(H1 (A.ofQuotient S)) : Type u))
    (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (X := ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.ofQuotient S))) (Y :=
              groupHomology (A.ofQuotient S) 1) (H1π (A.ofQuotient S)) :
            (↑(ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.ofQuotient S))) : Type u) →ₗ[k]
              (↑(groupHomology (A.ofQuotient S) 1) : Type u)) :
          (a : ↥(cycles₁ (A.ofQuotient S))) → (↑(groupHomology (A.ofQuotient S) 1) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) (Y := ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.ofQuotient S)))
                (mapCycles₁ (QuotientGroup.mk' S) (Iso.inv (A.resOfQuotientIso S))) :
              (a : ↥(cycles₁ A)) → ↥(cycles₁ (A.ofQuotient S)))
            (Subtype.mk (p := fun (x : G →₀ (↑A : Type u)) ↦ x ∈ cycles₁ A) x hxc) :
          ↥(cycles₁ (A.ofQuotient S))) :
      (↑(groupHomology (A.ofQuotient S) 1) : Type u))
    (0 : (↑(H1 (A.ofQuotient S)) : Type u))
y : (↑(ModuleCat.of k ((G ⧸ S) × G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))) : Type u)
hy :
  Eq (α := G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom (d₂₁ (A.ofQuotient S)) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k ((G ⧸ S) × G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))) : Type u)) →
            G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))
        y :
      G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))
    ((↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) (Y := ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.ofQuotient S)))
                (mapCycles₁ (QuotientGroup.mk' S) (Iso.inv (A.resOfQuotientIso S))) :
              (a : ↥(cycles₁ A)) → ↥(cycles₁ (A.ofQuotient S)))
            (Subtype.mk (p := fun (x : G →₀ (↑A : Type u)) ↦ x ∈ cycles₁ A) x hxc)) :
        G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u)) :
      G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))
s : (b : G ⧸ S) → G
hs : ∀ (b : G ⧸ S), (QuotientGroup.mk' S : (a : G) → G ⧸ S) (s b) = b
hs₁ : QuotientGroup.mk ∘ s = id
z : G × G →₀ (↑A : Type u) :=
  (lmapDomain (↑A : Type u) k (Prod.map s s) : (a : (G ⧸ S) × G ⧸ S →₀ (↑A : Type u)) → G × G →₀ (↑A : Type u)) y
hz :
  Eq (α := G ⧸ S →₀ (↑A : Type u))
    ((lmapDomain (↑A : Type u) k (⇑(QuotientGroup.mk' S) : (a : G) → G ⧸ S) :
          (a : G →₀ (↑A : Type u)) → G ⧸ S →₀ (↑A : Type u))
        ((ModuleCat.Hom.hom (d₂₁ A) :
            (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G →₀ (↑A : Type u))) : Type u)) →
              (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u))
          z) :
      G ⧸ S →₀ (↑A : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom (d₂₁ (A.ofQuotient S)) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k ((G ⧸ S) × G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k (G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))) : Type u))
        y :
      (↑(ModuleCat.of k (G ⧸ S →₀ (↑(A.ofQuotient S) : Type u))) : Type u))
v : G →₀ (↑A : Type u) :=
  HSub.hSub (β := (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u)) x
    ((ModuleCat.Hom.hom (d₂₁ A) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G →₀ (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u))
        z :
      (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u))
hv : mapDomain (s ∘ QuotientGroup.mk) v = 0
e : G → G × G := fun (g : G) ↦ (s (↑g : G ⧸ S), (s (↑g : G ⧸ S))⁻¹ * g)
he : Function.Injective e
ve : G × G →₀ (↑A : Type u) := mapDomain e v
hS :
  (↑(HAdd.hAdd (β := (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u)) v
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    ModuleCat.carrier) (d₂₁ A) :
                  (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G →₀ (↑A : Type u))) : Type u)) →
                    (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u))
                ve :
              (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u))).support :
      Set G) ⊆
    (↑S : Set G)
h :
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) (mapCycles₁ S.subtype (𝟙 (res S.subtype A))) :
              (a : ↥(cycles₁ (res S.subtype A))) → ↥(cycles₁ A))
            (Subtype.mk (p := fun (x : ↥S →₀ (↑A : Type u)) ↦ x ∈ cycles₁ (res S.subtype A))
              (comapDomain (Subtype.val (p := fun (x : G) ↦ x ∈ S))
                (HAdd.hAdd (β := G →₀ (↑A : Type u)) v
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                          ModuleCat.carrier) (d₂₁ A) :
                        (a : G × G →₀ (↑A : Type u)) → G →₀ (↑A : Type u))
                      ve :
                    G →₀ (↑A : Type u)))
                ⋯)
              ⋯)) :
        G →₀ (↑A : Type u)) -
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : G →₀ (↑A : Type u)) ↦ x ∈ cycles₁ A) x hxc) : G →₀ (↑A : Type u)) ∈
    boundaries₁ A
⊢ Eq (α := (↑(H1 A) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) (H1π A) :
          (a : ↥(cycles₁ A)) → (↑(groupHomology A 1) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) (mapCycles₁ S.subtype (𝟙 (res S.subtype A))) :
              (a : ↥(cycles₁ (res S.subtype A))) → ↥(cycles₁ A))
            (Subtype.mk (p := fun (x : ↥S →₀ (↑A : Type u)) ↦ x ∈ cycles₁ (res S.subtype A))
              (comapDomain (Subtype.val (p := fun (x : G) ↦ x ∈ S))
                (HAdd.hAdd (β := G →₀ (↑A : Type u)) v
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                          ModuleCat.carrier) (d₂₁ A) :
                        (a : G × G →₀ (↑A : Type u)) → G →₀ (↑A : Type u))
                      ve :
                    G →₀ (↑A : Type u)))
                ⋯)
              ⋯) :
          ↥(cycles₁ A)) :
      (↑(groupHomology A 1) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) (H1π A) :
          (a : ↥(cycles₁ A)) → (↑(H1 A) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : G →₀ (↑A : Type u)) ↦ x ∈ cycles₁ A) x hxc) :
      (↑(H1 A) : Type u))

Tactic:
refine (H1π_eq_iff _ _).2 ?_

Premises used: Iff.mpr, groupHomology.H1π_eq_iff