-- Module: Mathlib.Analysis.Complex.CauchyIntegral
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
f' : ℂ → ℂ →L[ℝ] E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (z : ℂ) ↦
      HSub.hSub (β := E) (HSMul.hSMul (β := E) I ((f' z : (a : ℂ) → E) 1 : E)) ((f' z : (a : ℂ) → E) I : E))
    ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] ℂ := equivRealProdCLM.symm
he₁ : Eq (α := ℂ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) (1, 0) : ℂ) (1 : ℂ)
he₂ : (e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) (0, 1) = I
he : ∀ (x y : ℝ), True
F : ℝ × ℝ → E := f ∘ (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ)
F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun (p : ℝ × ℝ) ↦ f' ((e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) p) ∘SL (↑e : ℝ × ℝ →L[ℝ] ℂ)
hF' :
  ∀ (p : ℝ × ℝ),
    HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((-(I • F' p) : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((F' p : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E) =
      -HSub.hSub (β := E) (HSMul.hSMul (β := E) I ((f' ((e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) p) : (a : ℂ) → E) 1 : E))
          ((f' ((e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) p) : (a : ℂ) → E) I : E)
R : Set (ℝ × ℝ) := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]
t : Set (ℝ × ℝ) := (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) ⁻¹' s
hR : (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R
htc : ContinuousOn F R
htd : ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t, HasFDerivAt F (F' p) p
rw :
  ∀
    (Hi :
      IntegrableOn.{0, u} (α := ℝ × ℝ) (ε := E) (mα := Prod.instMeasurableSpace)
        ((fun (z : ℂ) ↦
            HSub.hSub (β := E) (HSMul.hSMul (β := E) I ((f' z : (a : ℂ) → E) 1 : E)) ((f' z : (a : ℂ) → E) I : E)) ∘
          (⇑measurableEquivRealProd.symm : (a : ℝ × ℝ) → ℂ))
        ((⇑measurableEquivRealProd.symm : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]])) volume),
    let e := equivRealProdCLM.symm;
    ∀ (he₁ : Eq (α := ℂ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) (1, 0) : ℂ) (1 : ℂ)) (he₂ : (e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) (0, 1) = I)
      (he : ∀ (x y : ℝ), True),
      let F : ℝ × ℝ → E := f ∘ (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ);
      let F' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E := fun (p : ℝ × ℝ) ↦ f' ((e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) p) ∘SL (↑e : ℝ × ℝ →L[ℝ] ℂ);
      ∀
        (hF' :
          ∀ (p : ℝ × ℝ),
            HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((-(I • F' p) : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E)
                ((F' p : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E) =
              -HSub.hSub (β := E) (HSMul.hSMul (β := E) I ((f' ((e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) p) : (a : ℂ) → E) 1 : E))
                  ((f' ((e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) p) : (a : ℂ) → E) I : E)),
        let R := [[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]];
        let t : Set (ℝ × ℝ) := (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) ⁻¹' s;
        ∀ (hR : (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → ℂ) ⁻¹' ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[w.im, z.im]]) = R) (htc : ContinuousOn F R)
          (htd :
            ∀ p ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ˢ Ioo (min w.im z.im) (max w.im z.im) \ t,
              HasFDerivAt F (F' p) p),
          IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
            (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
              HAdd.hAdd (α := E) (β := E) (((fun (p : ℝ × ℝ) ↦ -(I • F' p)) x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E)
                ((F' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
            ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume
⊢ IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) (((fun (p : ℝ × ℝ) ↦ -(I • F' p)) x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E)
        ((F' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    ([[z.re, w.re]] ×ˢ [[w.im, z.im]]) volume

Tactic:
rw [← (volume_preserving_equiv_real_prod.symm _).integrableOn_comp_preimage
    (MeasurableEquiv.measurableEmbedding _)] at Hi

Premises used: MeasurableEquiv.measurableEmbedding, MeasureTheory.MeasurePreserving.integrableOn_comp_preimage, MeasureTheory.MeasurePreserving.symm, Complex.volume_preserving_equiv_real_prod