-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.Lemmas
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
z : M ⊗[R] N
zero :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) 0 : (a : N ⊗[R] M) → R)
        ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) 0) :
      R)
    (((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
            ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N) 0) :
          (a : M ⊗[R] N) → R)
        0 :
      R)
zero₁ :
  ∀ (x : M) (y : N),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
      (((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) 0 : (a : N ⊗[R] M) → R)
          ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) (x ⊗ₜ[R] y) : N ⊗[R] M) :
        R)
      (((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
              ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N) 0) :
            (a : M ⊗[R] N) → R)
          (x ⊗ₜ[R] y) :
        R)
zero₂ :
  ∀ (x y : M ⊗[R] N),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
        (((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) 0 : (a : N ⊗[R] M) → R)
            ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) x : N ⊗[R] M) :
          R)
        (((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                  0) :
              (a : M ⊗[R] N) → R)
            x :
          R) →
      Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          (((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) 0 : (a : N ⊗[R] M) → R)
              ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) y : N ⊗[R] M) :
            R)
          (((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                  ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                    0) :
                (a : M ⊗[R] N) → R)
              y :
            R) →
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          (((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) 0 : (a : N ⊗[R] M) → R)
              ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) (x + y) : N ⊗[R] M) :
            R)
          (((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                  ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                    0) :
                (a : M ⊗[R] N) → R)
              (x + y) :
            R)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) 0 : (a : N ⊗[R] M) → R)
        ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
      R)
    (((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
            ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N) 0) :
          (a : M ⊗[R] N) → R)
        z :
      R)

Tactic:
induction z