awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
simp :
  ∃ (i : γ n),
    ∀ (i_1 : ι),
      x i_1 ∈
        Icc ((↑(a i_1) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
          ((↑(a i_1) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
⊢ Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → ℝ)) (⋃ (i : γ n), t n i) x

Tactic:
simp only [t, mem_iUnion, mem_univ_pi]

Premises used: Set.mem_iUnion, Set.mem_univ_pi
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
h : (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)
h' : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)
⊢ ⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ < ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊

Tactic:
apply Nat.floor_lt_ceil_of_lt_of_pos

Premises used: Nat.floor_lt_ceil_of_lt_of_pos
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
h : x i < (↑(b i) : ℝ)
⊢ (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
⊢ x i < (↑(b i) : ℝ)

Tactic:
(hx i).right

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
⊢ x i < (↑(b i) : ℝ)

Tactic:
exact (hx i).right

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
⊢ 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)

Tactic:
mul_pos ?_ npos

Premises used: mul_pos
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
h' : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
⊢ 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)

Tactic:
refine mul_pos ?_ npos

Premises used: mul_pos
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
⊢ 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)

Tactic:
simpa only [Rat.cast_lt, sub_pos] using H i

Premises used: sub_pos, Rat.cast_lt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
⊢ ∃ (i : γ n),
    ∀ (i_1 : ι),
      x i_1 ∈
        Icc ((↑(a i_1) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
          ((↑(a i_1) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))

Tactic:
⟨f, fun i => ⟨?_, ?_⟩⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
refine_1 : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ) ≤ x i
refine_2 : ∀ (i : ι), x i ≤ (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)
⊢ ∃ (i : γ n),
    ∀ (i_1 : ι),
      x i_1 ∈
        Icc ((↑(a i_1) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
          ((↑(a i_1) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))

Tactic:
refine ⟨f, fun i => ⟨?_, ?_⟩⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
bc : (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) ≤ (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)
⊢ (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) (↑n : ℝ) ≤
    (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) ≤ (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)

Tactic:
Nat.floor_le (mul_nonneg (sub_nonneg.2 (hx i).1.le) npos.le)

Premises used: Iff.mpr, mul_nonneg, LT.lt.le, And.left, Nat.floor_le, sub_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) ≤ (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)

Tactic:
exact Nat.floor_le (mul_nonneg (sub_nonneg.2 (hx i).1.le) npos.le)

Premises used: Iff.mpr, mul_nonneg, LT.lt.le, And.left, Nat.floor_le, sub_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ) = x i

Tactic:
field
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
i₁ :
  (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) (↑n : ℝ) ≤
    (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)
i₂ : (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ) = x i
⊢ (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ) ≤ x i

Tactic:
calc
        (a i : ℝ) + ⌊(x i - a i) * n⌋₊ / n ≤ (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by
          gcongr
          exact Nat.floor_le (mul_nonneg (sub_nonneg.2 (hx i).1.le) npos.le)
        _ = x i := by field

Premises used: HSub.hSub, Rat.cast
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ x i = (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)

Tactic:
field
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
bc : (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) 1
⊢ (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ) ≤
    (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) 1

Tactic:
(Nat.lt_floor_add_one _).le

Premises used: LT.lt.le, Nat.lt_floor_add_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) 1

Tactic:
exact (Nat.lt_floor_add_one _).le

Premises used: LT.lt.le, Nat.lt_floor_add_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
x₁ : x i = (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)
x₂ :
  (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ) ≤
    (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)
⊢ x i ≤ (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)

Tactic:
calc
        x i = (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by field
        _ ≤ (a i : ℝ) + (⌊(x i - a i) * n⌋₊ + 1) / n := by
          gcongr
          exact (Nat.lt_floor_add_one _).le

Premises used: HMul.hMul, HSub.hSub, Rat.cast, Nat.cast, HAdd.hAdd, Nat.floor, OfNat.ofNat