-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
H : f.toRingHom.FormallyEtale
this_1 : Algebra P.Ring Q.Ring := f.toRingHom.toAlgebra
this_2 : IsScalarTower.{u_1, u, u} R P.Ring Q.Ring
this_3 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_4 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this_5 : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
this : FormallyEtale.{u, u} P.Ring Q.Ring
x_1 : Q.CotangentSpace
a_1 : Q.Ring
x : Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R]
hx :
  Eq (α := Ω[Q.Ring⁄R])
    ((tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale R P.Ring Q.Ring : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R]) → Ω[Q.Ring⁄R]) x :
      Ω[Q.Ring⁄R])
    ((D R Q.Ring : (a : Q.Ring) → Ω[Q.Ring⁄R]) a_1 : Ω[Q.Ring⁄R])
a : P.Ring
e_a :
  Eq (α := Q.CotangentSpace)
    (1 ⊗ₜ[Q.Ring] (D R Q.Ring : (a : Q.Ring) → Ω[Q.Ring⁄R]) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) a) :
      TensorProduct.{u, u_3, u} Q.Ring T Ω[Q.Ring⁄R])
    (1 ⊗ₜ[Q.Ring] (D R Q.Ring : (a : Q.Ring) → Ω[Q.Ring⁄R]) ((algebraMap P.Ring Q.Ring : (a : P.Ring) → Q.Ring) a) :
      TensorProduct.{u, u_3, u} Q.Ring T Ω[Q.Ring⁄R])
⊢ Eq (α := Q.CotangentSpace)
    (((((LinearMap.compDer
                    (((AlgebraTensorModule.curry
                            ((↑Q.Ring :
                                  {S : Type u_3} →
                                    {M : Type (max (max u u_2) u_3)} →
                                      {M₂ : Type (max u u_3)} →
                                        [inst_7 : Semiring Q.Ring] →
                                          [inst_8 : Semiring S] →
                                            [inst_9 : AddCommMonoid M] →
                                              [inst_10 : AddCommMonoid M₂] →
                                                [inst_11 : Module Q.Ring M] →
                                                  [inst_12 : Module Q.Ring M₂] →
                                                    [inst_13 : Module S M] →
                                                      [inst_14 : Module S M₂] →
                                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ Q.Ring S] →
                                                          (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[Q.Ring] M₂)
                                (LinearMap.liftBaseChange T (CotangentSpace.map f)) ∘ₗ
                              LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
                                ((↑P.Ring :
                                      {S_1 : Type u_2} →
                                        {M : Type (max u u_2)} →
                                          {M₂ : Type (max u_3 u u_2)} →
                                            [inst_7 : Semiring P.Ring] →
                                              [inst_8 : Semiring S_1] →
                                                [inst_9 : AddCommMonoid M] →
                                                  [inst_10 : AddCommMonoid M₂] →
                                                    [inst_11 : Module P.Ring M] →
                                                      [inst_12 : Module P.Ring M₂] →
                                                        [inst_13 : Module S_1 M] →
                                                          [inst_14 : Module S_1 M₂] →
                                                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                                              (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
                                    (S := S)
                                    ((TensorProduct.mk S T P.CotangentSpace :
                                        (a : T) → P.CotangentSpace →ₗ[S] T ⊗[S] P.CotangentSpace)
                                      1) ∘ₗ
                                  (TensorProduct.mk P.Ring S Ω[P.Ring⁄R] :
                                      (a : S) → Ω[P.Ring⁄R] →ₗ[P.Ring] S ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])
                                    1)) :
                          LinearMap (R := Q.Ring) (RingHom.id Q.Ring) Q.Ring
                            (LinearMap (R := P.Ring) (RingHom.id P.Ring) Ω[P.Ring⁄R] Q.CotangentSpace)) :
                        (a : Q.Ring) → Ω[P.Ring⁄R] →ₗ[P.Ring] Q.CotangentSpace)
                      1) :
                  LinearMap (R := P.Ring) (RingHom.id P.Ring) (Derivation R P.Ring Ω[P.Ring⁄R])
                    (Derivation R P.Ring Q.CotangentSpace)) :
                (a : Derivation R P.Ring Ω[P.Ring⁄R]) → Derivation R P.Ring Q.CotangentSpace)
              (D R P.Ring) :
            Derivation R P.Ring Q.CotangentSpace) :
          (a : P.Ring) → Q.CotangentSpace)
        a :
      Q.CotangentSpace)
    (((((LinearMap.compDer
                    (((AlgebraTensorModule.curry
                            ((TensorProduct.mk Q.Ring T Ω[Q.Ring⁄R] :
                                  (a : T) → Ω[Q.Ring⁄R] →ₗ[Q.Ring] T ⊗[Q.Ring] Ω[Q.Ring⁄R])
                                1 ∘ₗ
                              (↑(tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale R P.Ring Q.Ring) :
                                Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R] →ₗ[Q.Ring] Ω[Q.Ring⁄R])) :
                          LinearMap (R := Q.Ring) (RingHom.id Q.Ring) Q.Ring
                            (LinearMap (R := P.Ring) (RingHom.id P.Ring) Ω[P.Ring⁄R] Q.CotangentSpace)) :
                        (a : Q.Ring) → Ω[P.Ring⁄R] →ₗ[P.Ring] Q.CotangentSpace)
                      1) :
                  LinearMap (R := P.Ring) (RingHom.id P.Ring) (Derivation R P.Ring Ω[P.Ring⁄R])
                    (Derivation R P.Ring Q.CotangentSpace)) :
                (a : Derivation R P.Ring Ω[P.Ring⁄R]) → Derivation R P.Ring Q.CotangentSpace)
              (D R P.Ring) :
            Derivation R P.Ring Q.CotangentSpace) :
          (a : P.Ring) → Q.CotangentSpace)
        a :
      Q.CotangentSpace)

Tactic:
simp