-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂_1 : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
h₂ : Disjoint (Finset.image γ₃ Finset.univ) (Finset.image γ₄ Finset.univ)
h₃ :
  Disjoint ((Finset.image γ₃ Finset.univ).disjUnion (Finset.image γ₄ Finset.univ) h₂)
    {(0, 0), (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))}
simp :
  ∀ (a : Fin (n + 2 + 1)) (b : Fin (n + 1 + 1)),
    ((∃ (a_1 : Fin (n + 1)), ∃ b_1 ≤ a_1.castSucc, b_1.castSucc = a ∧ a_1.succ = b) ∨
        ∃ (a_1 : Fin (n + 1)) (b_1 : Fin (n + 2)), a_1.castSucc < b_1 ∧ b_1.succ = a ∧ a_1.castSucc = b) →
      ∀ (a_2 : Fin (n + 2 + 1)) (b_1 : Fin (n + 1 + 1)),
        ((∃ (a : Fin (n + 1)), a.castSucc.succ = a_2 ∧ a.succ = b_1) ∨
              ∃ (a : Fin (n + 1)), a.castSucc.succ = a_2 ∧ a.castSucc = b_1) ∨
            a_2 = 0 ∧ b_1 = 0 ∨ a_2 = Fin.last (n + 2) ∧ b_1 = Fin.last (n + 1) →
          a = a_2 → ¬b = b_1
⊢ ∀ a ∈ (Finset.image γ₁ Sᶜ).disjUnion (Finset.image γ₂ S) h₁,
    ∀
      b ∈
        ((Finset.image γ₃ Finset.univ).disjUnion (Finset.image γ₄ Finset.univ) h₂).disjUnion
          {(0, 0), (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))} h₃,
      a ≠ b

Tactic:
simp only [Finset.compl_filter, not_lt, Finset.disjUnion_eq_union, Finset.mem_union,
      Finset.mem_image, Finset.mem_filter, Finset.mem_univ, true_and, Prod.exists, ne_eq,
      Finset.mem_insert, Finset.mem_singleton, Prod.forall, Prod.mk.injEq, not_and,
      S, γ₁, γ₂, γ₃, γ₄]

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.mem_singleton, Finset.mem_image, Finset.mem_insert, Finset.compl_filter, ne_eq, not_lt, Prod.mk.injEq, Prod.forall, Finset.mem_filter, Finset.mem_union, Finset.disjUnion_eq_union, Prod.exists, not_and, true_and