-- Module: Mathlib.GroupTheory.PushoutI
Goal:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst : (i : ι) → Group (G i)
inst_1 : Group H
φ : (i : ι) → MonoidHom.{u_3, u_2} H (G i)
d : Transversal (G := G) φ
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw :
  ∀ (i : ι) (g : G i),
    Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i g ∈ w.toList (M := G) →
      (↑((⋯.equiv (S := (↑(φ i).range : Set (G i))) (T := d.set (G := G) i) :
                  (a : G i) → (↑(↑(φ i).range : Set (G i)) : Type u_2) × (↑(d.set i) : Type u_2))
                g).2 :
          G i) =
        g
hφw :
  ∀ (j : ι) (g : G j),
    Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) j g ∈
        (HSMul.hSMul (α := CoprodI G)
              ((CoprodI.of (M := G) : (a : G i) → CoprodI G) ((φ i : (a : H) → G i) h) : CoprodI G) w).toList
          (M := G) →
      (↑((⋯.equiv (S := (↑(φ j).range : Set (G j))) (T := d.set (G := G) j) :
                  (a : G j) → (↑(↑(φ j).range : Set (G j)) : Type u_2) × (↑(d.set j) : Type u_2))
                g).2 :
          G j) =
        g
hhead :
  Eq.{u_2 + 1} (α := G i)
    ((↑((⋯.equiv (S := (↑(φ i).range : Set (G i))) (T := d.set (G := G) i) :
                (a : G i) → (↑(↑(φ i).range : Set (G i)) : Type u_2) × (↑(d.set i) : Type u_2))
              (Word.Pair.head (M := G) ((Word.equivPair (M := G) i : (a : Word G) → Word.Pair G i) w) : G i)).2 :
        G i) :
      G i)
    (Word.Pair.head (M := G) ((Word.equivPair (M := G) i : (a : Word G) → Word.Pair G i) w) : G i)
hh1 : ¬h = 1
hep : ∃ (h : ¬w.toList (M := G) = []), (w.toList (M := G).head h).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = i
pos :
  ∀ (hnil : ¬w.toList (M := G) = [])
    (hφw :
      ∀ (j : ι) (g : G j),
        Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) j g ∈
            (HSMul.hSMul (α := CoprodI G)
                  ((CoprodI.of (M := G) : (a : G (w.toList.head hnil).fst) → CoprodI G)
                      ((φ ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) :
                          (a : H) → G (w.toList.head hnil).fst)
                        h) :
                    CoprodI G)
                  w).toList
              (M := G) →
          (↑((⋯.equiv (S := (↑(φ j).range : Set (G j))) (T := d.set (G := G) j) :
                      (a : G j) → (↑(↑(φ j).range : Set (G j)) : Type u_2) × (↑(d.set j) : Type u_2))
                    g).2 :
              G j) =
            g)
    (hhead :
      Eq.{u_2 + 1} (α := G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
        ((↑((equiv (S :=
                      (↑(MonoidHom.range (φ ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))) :
                        Set (G (w.toList.head hnil).fst)))
                      (T := d.set (G := G) ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i))) ⋯ :
                    (a : G (w.toList.head hnil).fst) →
                      (↑(↑(φ (w.toList.head hnil).fst).range : Set (G (w.toList.head hnil).fst)) : Type u_2) ×
                        (↑(d.set (w.toList.head hnil).fst) : Type u_2))
                  (Word.Pair.head (M := G)
                      ((Word.equivPair (M := G) ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) :
                          (a : Word G) → Word.Pair G (w.toList.head hnil).fst)
                        w) :
                    G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))).2 :
            G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i))) :
          G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
        (Word.Pair.head (M := G)
            ((Word.equivPair (M := G) ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) :
                (a : Word G) → Word.Pair G (w.toList.head hnil).fst)
              w) :
          G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))),
    Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i))
          (HMul.hMul (α := G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i))) (β :=
            G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
            ((φ ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) : (a : H) → G (w.toList.head hnil).fst) h :
              G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
            (@Eq.rec _ _ (fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
                ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i))
                ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯ :
              G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))) ∈
        w.toList (M := G).tail ∨
      w.toList (M := G).head? =
          some
            (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i))
              (@Eq.rec _ _ (fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
                ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i))
                ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯)) ∨
        ¬w.fstIdx (M := G) = some ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ∧
          Eq.{u_2 + 1} (α := G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
            (@Eq.rec _ _ (fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
                ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i))
                ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯ :
              G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
            (1 : G ((w.toList (M := G).head hnil).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i
        (HMul.hMul (α := G i) (β := G i) ((φ i : (a : H) → G i) h : G i)
          (Eq.rec (motive := fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
              ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯ :
            G i)) ∈
      w.toList (M := G).tail ∨
    w.toList (M := G).head? =
        some
          (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i
            (Eq.rec (motive := fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
              ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯)) ∨
      ¬w.fstIdx (M := G) = some i ∧
        Eq.{u_2 + 1} (α := G i)
          (Eq.rec (motive := fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
              ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯ :
            G i)
          (1 : G i)

Tactic:
rcases hep with ⟨hnil, rfl⟩

Premises used: rfl