-- Module: Mathlib.RingTheory.FiniteType
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_1
x_1 : AddCommMonoid M
x_2 : Module R M
h : Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Surjective (α := ↥N) (β := M) (⇑f : (a : ↥N) → M)
this_1 : AddCommGroup M := addCommMonoidToAddCommGroup R
this_2 : AddCommGroup ↥N := addCommMonoidToAddCommGroup R
i : ↥N →ₗ[R] M := N.subtype
hi : Function.Injective (α := ↥N) (β := M) (⇑i : (a : ↥N) → M) := ⋯
n : ↥N
hn : Eq (α := M) ((f : (a : ↥N) → M) n : M) (0 : M)
k : ℕ
mj : Fin k → M
hmj :
  Surjective (α := Fin k → R) (β := M)
    (⇑((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
      (a : Fin k → R) → M)
b : Fin k → R
hb :
  Eq (α := M)
    ((((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
          (a : Fin k → R) → M)
        b :
      M)
    ((i : (a : ↥N) → M) n : M)
nj : (j : Fin k) → ↥N
hnj : ∀ (j : Fin k), (f : (a : ↥N) → M) (nj j) = mj j
c : (j : Fin k) → Fin k → R
hc :
  ∀ (j : Fin k),
    Eq (α := M)
      ((((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
            (a : Fin k → R) → M)
          (c j) :
        M)
      ((i : (a : ↥N) → M) (nj j) : M)
A : Subring R := Subring.closure (Set.range b ∪ Set.range (Function.uncurry c))
N' : Submodule ↥A ↥N := span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)
M' : Submodule (↥A) M := span (↥A) (Set.range mj)
this_3 : IsNoetherianRing.{u_1} ↥A
this : Module.Finite.{u_1, u_1} ↥A ↥M'
x_3 : ↥M'
x : M
hx : x ∈ M'
refine_3 :
  ∀ (x : M) (hx : x ∈ Set.range mj),
    Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M)
      (LinearMap.range
        (LinearMap.domRestrict
          ((↑↥A :
              {S M M₂ : Type u_1} →
                [inst_1 : Semiring ↥A] →
                  [inst_2 : Semiring S] →
                    [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                      [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                        [inst_5 : Module (↥A) M] →
                          [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                            [inst_7 : Module S M] →
                              [inst_8 : Module S M₂] →
                                [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
            f)
          N'))
      x
refine_3₁ :
  Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M)
    (LinearMap.range
      (LinearMap.domRestrict
        ((↑↥A :
            {S M M₂ : Type u_1} →
              [inst_1 : Semiring ↥A] →
                [inst_2 : Semiring S] →
                  [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                    [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                      [inst_5 : Module (↥A) M] →
                        [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                          [inst_7 : Module S M] →
                            [inst_8 : Module S M₂] →
                              [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
          f)
        N'))
    0
refine_3₂ :
  ∀ (x y : M),
    Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M) (span (↥A) (Set.range mj)) x →
      Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M) (span (↥A) (Set.range mj)) y →
        ∀
          (hx :
            Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M)
              (LinearMap.range
                (LinearMap.domRestrict
                  ((↑↥A :
                      {S M M₂ : Type u_1} →
                        [inst_1 : Semiring ↥A] →
                          [inst_2 : Semiring S] →
                            [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                  [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                    [inst_7 : Module S M] →
                                      [inst_8 : Module S M₂] →
                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                    f)
                  N'))
              x)
          (hy :
            Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M)
              (LinearMap.range
                (LinearMap.domRestrict
                  ((↑↥A :
                      {S M M₂ : Type u_1} →
                        [inst_1 : Semiring ↥A] →
                          [inst_2 : Semiring S] →
                            [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                  [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                    [inst_7 : Module S M] →
                                      [inst_8 : Module S M₂] →
                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                    f)
                  N'))
              y),
          Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M)
            (LinearMap.range
              (LinearMap.domRestrict
                ((↑↥A :
                    {S M M₂ : Type u_1} →
                      [inst_1 : Semiring ↥A] →
                        [inst_2 : Semiring S] →
                          [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                  [inst_7 : Module S M] →
                                    [inst_8 : Module S M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                  f)
                N'))
            (x + y)
refine_3₃ :
  ∀ (a : ↥A) (x : M),
    Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M) (span (↥A) (Set.range mj)) x →
      ∀
        (hx :
          Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M)
            (LinearMap.range
              (LinearMap.domRestrict
                ((↑↥A :
                    {S M M₂ : Type u_1} →
                      [inst_1 : Semiring ↥A] →
                        [inst_2 : Semiring S] →
                          [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                  [inst_7 : Module S M] →
                                    [inst_8 : Module S M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                  f)
                N'))
            x),
        Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M)
          (LinearMap.range
            (LinearMap.domRestrict
              ((↑↥A :
                  {S M M₂ : Type u_1} →
                    [inst_1 : Semiring ↥A] →
                      [inst_2 : Semiring S] →
                        [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_5 : Module (↥A) M] →
                              [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                [inst_7 : Module S M] →
                                  [inst_8 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                f)
              N'))
          (a • x)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule (↥A) M)
    (LinearMap.range
      (LinearMap.domRestrict
        ((↑↥A :
            {S M M₂ : Type u_1} →
              [inst_1 : Semiring ↥A] →
                [inst_2 : Semiring S] →
                  [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                    [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                      [inst_5 : Module (↥A) M] →
                        [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                          [inst_7 : Module S M] →
                            [inst_8 : Module S M₂] →
                              [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
          f)
        N'))
    x

Tactic:
induction hx using span_induction with
  | mem x hx =>
    obtain ⟨j, rfl⟩ := hx
    exact ⟨⟨nj j, subset_span (by simp)⟩, hnj j⟩
  | zero => exact zero_mem _
  | add x y _ _ hx hy => exact add_mem hx hy
  | smul a x _ hx => exact smul_mem _ a hx

Premises used: Submodule.smul, Submodule.zero, ZeroMemClass.zero_mem, Submodule.add, rfl