awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
simp_rw :
  ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ) - (∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ)) =
    HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (a : α), (↑(f a).toNNReal : ℝ) ∂μ) (∫ (a : α), (↑(-f a).toNNReal : ℝ) ∂μ) + 2 * (↑δ : ℝ)
⊢ ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ) - (∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ)) = ∫ (x : α), f x ∂μ + 2 * (↑δ : ℝ)

Tactic:
simp_rw [integral_eq_integral_pos_part_sub_integral_neg_part hf]

Premises used: MeasureTheory.integral_eq_integral_pos_part_sub_integral_neg_part
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
⊢ ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ) - (∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ)) =
    HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (a : α), (↑(f a).toNNReal : ℝ) ∂μ) (∫ (a : α), (↑(-f a).toNNReal : ℝ) ∂μ) + 2 * (↑δ : ℝ)

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
e_a : 2 * (↑δ : ℝ) = ε
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ + 2 * (↑δ : ℝ) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ε

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
⊢ 2 * (↑δ : ℝ) = ε

Tactic:
simp [field, δ]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
⊢ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε

Tactic:
exact
      calc
        (∫ x : α, (g x).toReal ∂μ) = ∫ x : α, EReal.toReal (gp x) - EReal.toReal (gm x) ∂μ :=
          integral_congr_ae ae_g
        _ = (∫ x : α, EReal.toReal (gp x) ∂μ) - ∫ x : α, ↑(gm x) ∂μ := by
          simp only [EReal.toReal_coe_ennreal, ENNReal.coe_toReal]
          exact integral_sub gp_integrable gm_integrable
        _ < (∫ x : α, ↑(fp x) ∂μ) + ↑δ - ∫ x : α, ↑(gm x) ∂μ := by
          apply sub_lt_sub_right
          convert! gpint
          simp only [EReal.toReal_coe_ennreal]
        _ ≤ (∫ x : α, ↑(fp x) ∂μ) + ↑δ - ((∫ x : α, ↑(fm x) ∂μ) - δ) := sub_le_sub_left gmint _
        _ = (∫ x : α, f x ∂μ) + 2 * δ := by
          simp_rw [integral_eq_integral_pos_part_sub_integral_neg_part hf]; ring
        _ = (∫ x : α, f x ∂μ) + ε := by congr 1; simp [field, δ]

Premises used: MeasureTheory.integral_congr_ae, HSub.hSub, ENNReal.toEReal, MeasureTheory.integral, EReal.toReal, sub_le_sub_left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
⊢ ∫ (x : α), (g x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), f x ∂μ + ε

Tactic:
case intlt =>
    show (∫ x : α, (g x).toReal ∂μ) < (∫ x : α, f x ∂μ) + ε
    exact
      calc
        (∫ x : α, (g x).toReal ∂μ) = ∫ x : α, EReal.toReal (gp x) - EReal.toReal (gm x) ∂μ :=
          integral_congr_ae ae_g
        _ = (∫ x : α, EReal.toReal (gp x) ∂μ) - ∫ x : α, ↑(gm x) ∂μ := by
          simp only [EReal.toReal_coe_ennreal, ENNReal.coe_toReal]
          exact integral_sub gp_integrable gm_integrable
        _ < (∫ x : α, ↑(fp x) ∂μ) + ↑δ - ∫ x : α, ↑(gm x) ∂μ := by
          apply sub_lt_sub_right
          convert! gpint
          simp only [EReal.toReal_coe_ennreal]
        _ ≤ (∫ x : α, ↑(fp x) ∂μ) + ↑δ - ((∫ x : α, ↑(fm x) ∂μ) - δ) := sub_le_sub_left gmint _
        _ = (∫ x : α, f x ∂μ) + 2 * δ := by
          simp_rw [integral_eq_integral_pos_part_sub_integral_neg_part hf]; ring
        _ = (∫ x : α, f x ∂μ) + ε := by congr 1; simp [field, δ]

Premises used: MeasureTheory.integral_congr_ae, HSub.hSub, ENNReal.toEReal, MeasureTheory.integral, EReal.toReal, sub_le_sub_left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
h : ∀ (x : α) (hx : gp x < ∞), g x < ⊤
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤

Tactic:
filter_upwards [gp_lt_top] with ?_ hx
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
x : α
hx : gp x < ∞
⊢ g x < ⊤

Tactic:
simp only [g, sub_eq_add_neg, Ne, (EReal.add_lt_top _ _).ne, lt_top_iff_ne_top,
      lt_top_iff_ne_top.1 hx, EReal.coe_ennreal_eq_top_iff, not_false_iff, EReal.neg_eq_top_iff,
      EReal.coe_ennreal_ne_bot]

Premises used: EReal.neg_eq_top_iff, EReal.add_lt_top, EReal.coe_ennreal_ne_bot, sub_eq_add_neg, Ne, lt_top_iff_ne_top, Iff.mp, not_false_iff, EReal.coe_ennreal_eq_top_iff, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < ⊤

Tactic:
case aelt =>
    show ∀ᵐ x : α ∂μ, g x < ⊤
    filter_upwards [gp_lt_top] with ?_ hx
    simp only [g, sub_eq_add_neg, Ne, (EReal.add_lt_top _ _).ne, lt_top_iff_ne_top,
      lt_top_iff_ne_top.1 hx, EReal.coe_ennreal_eq_top_iff, not_false_iff, EReal.neg_eq_top_iff,
      EReal.coe_ennreal_ne_bot]

Premises used: EReal.neg_eq_top_iff, EReal.add_lt_top, EReal.coe_ennreal_ne_bot, sub_eq_add_neg, Ne, lt_top_iff_ne_top, not_false_iff, EReal.coe_ennreal_eq_top_iff, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
x : α
rw : (↑(↑(f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) - (↑(↑(-f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) < g x
⊢ (↑(f x) : EReal) < g x

Tactic:
rw [EReal.coe_real_ereal_eq_coe_toNNReal_sub_coe_toNNReal (f x)]

Premises used: EReal.coe_real_ereal_eq_coe_toNNReal_sub_coe_toNNReal
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
x : α
⊢ (↑(↑(f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) - (↑(↑(-f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) < g x

Tactic:
EReal.sub_lt_sub_of_lt_of_le ?_ ?_ ?_ ?_

Premises used: EReal.sub_lt_sub_of_lt_of_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
x : α
refine_1 : (↑(↑(f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) < (↑(gp x) : EReal)
refine_2 : (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal) ≤ (↑(↑(-f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal)
refine_3 : (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal) ≠ ⊥
refine_4 : (↑(↑(-f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) ≠ ⊤
⊢ (↑(↑(f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) - (↑(↑(-f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) < g x

Tactic:
refine EReal.sub_lt_sub_of_lt_of_le ?_ ?_ ?_ ?_

Premises used: EReal.sub_lt_sub_of_lt_of_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
x : α
refine_1 : (↑(f x).toNNReal : ℝ≥0∞) < gp x
⊢ (↑(↑(f x).toNNReal : ℝ≥0∞) : EReal) < (↑(gp x) : EReal)

Tactic:
simp only [EReal.coe_ennreal_lt_coe_ennreal_iff]

Premises used: EReal.coe_ennreal_lt_coe_ennreal_iff
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
x : α
⊢ (↑(f x).toNNReal : ℝ≥0∞) < gp x

Tactic:
fp_lt_gp x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
inst_4 : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := NNReal.mk (ε / 2) ⋯
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fp x) : ℝ)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), (↑(fp x) : ℝ≥0∞) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ∞
gp_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), (↑(fp x) : ℝ) ∂μ + (↑δ : ℝ)
fm : α → ℝ≥0 := fun (x : α) ↦ (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(fm x) : ℝ)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(gm x) : ℝ)) μ
gmint : ∫ (x : α), (↑(fm x) : ℝ) ∂μ - (↑δ : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(gm x) : ℝ) ∂μ
g : α → EReal := fun (x : α) ↦ (↑(gp x) : EReal) - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x) : EReal).toReal - (↑(↑(gm x) : ℝ≥0∞) : EReal).toReal
x : α
⊢ (↑(f x).toNNReal : ℝ≥0∞) < gp x

Tactic:
exact fp_lt_gp x