-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FiniteType R S
p : Ideal R
inst_4 : p.IsPrime
q : Ideal S
inst_5 : q.IsPrime
inst_6 : q.LiesOver p
inst_7 : QuasiFiniteAt R q
s : S
hsq : s ∉ q
hRs : IsIntegral R s
hs : ∀ (q' : Ideal S), q'.IsPrime → q' ≠ q → q'.LiesOver p → s ∈ q'
hs₀ :
  ∀ (q' : Ideal ↥(integralClosure R S)),
    q'.IsPrime →
      q' ≠ Ideal.under (↥(integralClosure R S)) q →
        q'.LiesOver p →
          Subtype.mk (p := fun (x : S) ↦ Membership.mem (γ := Subalgebra R S) (integralClosure R S) x) s hRs ∈ q'
m : ℕ
f : R[X]
b : p.ResidueField[X]
hfm : f.Monic
hbm : b.Monic
hab : IsCoprime (HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1)) b
hfab : Polynomial.map (algebraMap R p.ResidueField) f = HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1) * b
hf : Eq.{v + 1} (α := S) ((aeval s : (a : R[X]) → S) f : S) (0 : S)
R' : Type u
w : CommRing R'
w_1 : Algebra R R'
w_2 : Etale R R'
P : Ideal R'
w_3 : P.IsPrime
w_4 : P.LiesOver p
a' b' : R'[X]
hP :
  Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
    (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField)
ha'm : a'.Monic
hb'm : b'.Monic
hfab' : Polynomial.map (algebraMap R R') f = a' * b'
c d : R'[X]
hcd : c * a' + d * b' = 1
ha' :
  Eq (α := P.ResidueField[X])
    (Polynomial.map (AlgHom.toRingHom (Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯))
      (HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1)))
    (Polynomial.map (algebraMap R' P.ResidueField) a')
hb' :
  Eq (α := P.ResidueField[X]) (Polynomial.map (AlgHom.toRingHom (Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)) b)
    (Polynomial.map (algebraMap R' P.ResidueField) b')
s₀ : ↥(integralClosure R S) :=
  Subtype.mk (p := fun (x : S) ↦ Membership.mem (γ := Subalgebra R S) (integralClosure R S) x) s hRs
hfs₀ :
  Eq.{v + 1} (α := ↥(integralClosure R S)) ((aeval s₀ : (a : R[X]) → ↥(integralClosure R S)) f : ↥(integralClosure R S))
    (0 : ↥(integralClosure R S))
s' : R' ⊗[R] S := 1 ⊗ₜ[R] s
hs'f : Eq (α := R' ⊗[R] S) ((aeval s' : (a : R[X]) → R' ⊗[R] S) f : R' ⊗[R] S) (0 : R' ⊗[R] S)
hs₀'f :
  Eq (α := TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))
    ((aeval (1 ⊗ₜ[R] s₀) : (a : R[X]) → R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) f :
      TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))
    (0 : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))
e₀ : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) :=
  (aeval (1 ⊗ₜ[R] s₀) : (a : R'[X]) → R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) (c * a')
he₀ : IsIdempotentElem e₀
e : R' ⊗[R] S := (aeval s' : (a : R'[X]) → R' ⊗[R] S) (c * a')
φ : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S :=
  TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S))
he₀e : (φ : (a : R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) → R' ⊗[R] S) e₀ = e
he : IsIdempotentElem e
P' : (↑(P.primesOver (R' ⊗[R] S)) : Type (max u v)) :=
  (OrderIso.symm (Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hP) :
      (a : (↑(p.primesOver S) : Type v)) → (↑(P.primesOver (R' ⊗[R] S)) : Type (max u v)))
    (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) q ⋯)
this_1 : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
hP'q : Ideal.comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) = q
hs'P' : s' ∉ (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
ha'P' : ((aeval s' : (a : R'[X]) → R' ⊗[R] S) a' : R' ⊗[R] S) ∉ (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
hb'P' : Membership.mem (α := R' ⊗[R] S) (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) ((aeval s' : (a : R'[X]) → R' ⊗[R] S) b' : R' ⊗[R] S)
heP' : e ∉ (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
P'' : Ideal (TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))
h : P''.IsPrime
h_1 : P''.LiesOver P
this_2 : Ideal.LiesOver (Ideal.comap φ.toRingHom (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))) P
H :
  Ne (α := Ideal ↥(integralClosure R S))
    (Ideal.comap (F := ↥(integralClosure R S) →+* TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))
      (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) P'')
    (Ideal.comap (F := ↥(integralClosure R S) →+* S) (AlgHom.toRingHom (Subalgebra.val (integralClosure R S))) q)
this : 1 ⊗ₜ[R] s₀ ∈ P''
refine_1 : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ e₀ ∈ P''

Tactic:
rw [← Ideal.algebraMap_residueField_eq_zero, ← aeval_algebraMap_apply,
      Ideal.algebraMap_residueField_eq_zero.mpr this, ← eval_map_algebraMap, Polynomial.map_mul,
      mul_comm, ← (Ideal.ResidueField.mapₐ P P'' (Algebra.ofId _ _)
      (P''.over_def P)).comp_algebraMap, ← Polynomial.map_map, ← ha']

Premises used: Iff.mpr, Polynomial.map_mul, AlgHom.comp_algebraMap, Ideal.ResidueField.mapₐ, Algebra.ofId, mul_comm, Polynomial.eval_map_algebraMap, Ideal.over_def, Polynomial.map_map, Ideal.algebraMap_residueField_eq_zero, Polynomial.aeval_algebraMap_apply