-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify
Goal:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : (↑X : Type v)
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) → F.stalk (↑y : (↑X : Type v))
hU :
  (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x).pred (T :=
    fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x) fU
fV : (y : ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) → F.stalk (↑y : (↑X : Type v))
hV :
  (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x).pred (T :=
    fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x) fV
U' : Opens (↑X : Type v)
mU : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)) ∈ U'
iU : U' ⟶ (↑U : Opens (↑X : Type v))
gU : F.obj (op U')
wU :
  ∀ (x_1 : ↥U'),
    Eq (α := F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))
      ((fun (x_2 : ↥U') ↦
            (fU ((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_2) :
              ?T (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_2) : (↑?X : Type ?u.5027))))
          x_1 :
        F.stalk (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑X : Type ?u.5027)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' (↑x_1 : (↑X : Type v)) ⋯) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
          gU :
        (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
V' : Opens (↑X : Type v)
mV : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)) ∈ V'
iV : V' ⟶ (↑V : Opens (↑X : Type v))
gV : F.obj (op V')
e :
  Eq (α :=
    F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' x ⋯) : (a : F.obj (op U')) → F.stalk x) gU : F.stalk x)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ V' x ⋯) : (a : F.obj (op V')) → F.stalk x) gV : F.stalk x)
wV :
  ∀ (x_1 : ↥V'),
    Eq (α := F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))
      ((fun (x_2 : ↥V') ↦
            (fV ((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_2) :
              ?T (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_2) : (↑?X : Type ?u.5027))))
          x_1 :
        F.stalk (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑X : Type ?u.5027)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ V' (↑x_1 : (↑X : Type v)) ⋯) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
          gV :
        (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
W : Opens (↑X : Type v)
mW : x ∈ W
iU' : W ⟶ U'
iV' : W ⟶ V'
e' :
  Eq (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iU'.op) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
        gU :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iV'.op) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
        gV :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
h :
  ∃ (iU : Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U) (W ⊓ (U' ⊓ V')) ⋯ ⟶ U) (iV :
    Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U) (W ⊓ (U' ⊓ V')) ⋯ ⟶ V),
    ∀ (w : ↥(↑(Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U) (W ⊓ (U' ⊓ V')) ⋯) : Opens (↑X : Type v))),
      Eq (α :=
        F.stalk
          (↑((iU : (a : ↥(↑⟨W ⊓ (U' ⊓ V'), ⋯⟩ : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w) :
            (↑X : Type v)))
        (fU ((iU : (a : ↥(↑⟨W ⊓ (U' ⊓ V'), ⋯⟩ : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w))
        (fV ((iV : (a : ↥(↑⟨W ⊓ (U' ⊓ V'), ⋯⟩ : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) w))
⊢ ∃ (W : OpenNhds x) (iU : W ⟶ U) (iV : W ⟶ V),
    ∀ (w : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))),
      Eq (α := F.stalk (↑((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w) : (↑X : Type v)))
        (fU ((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w))
        (fV ((iV : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) w))

Tactic:
use ⟨W ⊓ (U' ⊓ V'), ⟨mW, mU, mV⟩⟩