awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this : b.Finite
x : α
hx : x ∈ t
z : α
za : z ∈ a
Dxz : x ∈ eball z (δ / 2)
exists : edist x (F z) < δ
⊢ ∃ y ∈ b, edist x y < δ

Tactic:
exists F z, mem_image_of_mem _ za

Premises used: Set.mem_image_of_mem
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this : b.Finite
x : α
hx : x ∈ t
z : α
za : z ∈ a
Dxz : x ∈ eball z (δ / 2)
⊢ edist x (F z) ≤ edist x z + edist z (F z)

Tactic:
edist_triangle _ _ _

Premises used: PseudoEMetricSpace.edist_triangle
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this : b.Finite
x : α
hx : x ∈ t
z : α
za : z ∈ a
Dxz : x ∈ eball z (δ / 2)
⊢ edist x z + edist z (F z) < δ / 2 + δ / 2

Tactic:
ENNReal.add_lt_add Dxz (Fspec z).2

Premises used: And.right, ENNReal.add_lt_add
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this : b.Finite
x : α
hx : x ∈ t
z : α
za : z ∈ a
Dxz : x ∈ eball z (δ / 2)
⊢ δ / 2 + δ / 2 = δ

Tactic:
ENNReal.add_halves _

Premises used: ENNReal.add_halves
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this : b.Finite
x : α
hx : x ∈ t
z : α
za : z ∈ a
Dxz : x ∈ eball z (δ / 2)
⊢ edist x (F z) < δ

Tactic:
calc
          edist x (F z) ≤ edist x z + edist z (F z) := edist_triangle _ _ _
          _ < δ / 2 + δ / 2 := ENNReal.add_lt_add Dxz (Fspec z).2
          _ = δ := ENNReal.add_halves _

Premises used: And.right, ENNReal.add_halves, EDist.edist, ENNReal.add_lt_add, PseudoEMetricSpace.edist_triangle
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this : b.Finite
⊢ ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ

Tactic:
have tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ := by
        intro x hx
        rcases mem_iUnion₂.1 (ta hx) with ⟨z, za, Dxz⟩
        exists F z, mem_image_of_mem _ za
        calc
          edist x (F z) ≤ edist x z + edist z (F z) := edist_triangle _ _ _
          _ < δ / 2 + δ / 2 := ENNReal.add_lt_add Dxz (Fspec z).2
          _ = δ := ENNReal.add_halves _
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
⊢ c.Finite

Tactic:
have : c.Finite := ‹b.Finite›.subset fun x hx => hx.1
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this : c.Finite
x : α
hx : x ∈ t
rcases : ∀ (y : α) (yv : y ∈ b) (Dxy : edist x y < δ), ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
⊢ ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ

Tactic:
rcases tb x hx with ⟨y, yv, Dxy⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this : c.Finite
x : α
hx : x ∈ t
y : α
yv : y ∈ b
Dxy : edist x y < δ
⊢ y ∈ c

Tactic:
simpa [c, -mem_image] using ⟨yv, ⟨x, hx, Dxy⟩⟩

Premises used: Set.mem_image
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this : c.Finite
x : α
hx : x ∈ t
y : α
yv : y ∈ b
Dxy : edist x y < δ
⊢ y ∈ c

Tactic:
have : y ∈ c := by simpa [c, -mem_image] using ⟨yv, ⟨x, hx, Dxy⟩⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this_3 : c.Finite
x : α
hx : x ∈ t
y : α
yv : y ∈ b
Dxy : edist x y < δ
this : y ∈ c
⊢ ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ

Tactic:
⟨y, this, le_of_lt Dxy⟩

Premises used: le_of_lt, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this_3 : c.Finite
x : α
hx : x ∈ t
y : α
yv : y ∈ b
Dxy : edist x y < δ
this : y ∈ c
⊢ ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ

Tactic:
exact ⟨y, this, le_of_lt Dxy⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this : c.Finite
⊢ ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ

Tactic:
have tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ := by
        intro x hx
        rcases tb x hx with ⟨y, yv, Dxy⟩
        have : y ∈ c := by simpa [c, -mem_image] using ⟨yv, ⟨x, hx, Dxy⟩⟩
        exact ⟨y, this, le_of_lt Dxy⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
y : α
left : y ∈ b
x : α
xt : x ∈ t
Dyx : edist x y < δ
⊢ edist y x ≤ δ

Tactic:
have : edist y x ≤ δ :=
          calc
            edist y x = edist x y := edist_comm _ _
            _ ≤ δ := le_of_lt Dyx
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this_3 : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
y : α
left : y ∈ b
x : α
xt : x ∈ t
Dyx : edist x y < δ
this : edist y x ≤ δ
⊢ ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ

Tactic:
⟨x, xt, this⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this_3 : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
y : α
left : y ∈ b
x : α
xt : x ∈ t
Dyx : edist x y < δ
this : edist y x ≤ δ
⊢ ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ

Tactic:
exact ⟨x, xt, this⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
⊢ ∀ y ∈ c, ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ

Tactic:
have ct : ∀ y ∈ c, ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ := by
        rintro y ⟨_, x, xt, Dyx⟩
        have : edist y x ≤ δ :=
          calc
            edist y x = edist x y := edist_comm _ _
            _ ≤ δ := le_of_lt Dyx
        exact ⟨x, xt, this⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
ct : ∀ y ∈ c, ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ
⊢ hausdorffEDist (↑t : Set α) c ≤ δ

Tactic:
have : hausdorffEDist (t : Set α) c ≤ δ := hausdorffEDist_le_of_mem_edist tc ct
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this_3 : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
ct : ∀ y ∈ c, ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ
this : hausdorffEDist (↑t : Set α) c ≤ δ
⊢ hausdorffEDist (↑t : Set α) c < ε

Tactic:
have Dtc : hausdorffEDist (t : Set α) c < ε := this.trans_lt δlt
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this_3 : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
ct : ∀ y ∈ c, ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ
this : hausdorffEDist (↑t : Set α) c ≤ δ
Dtc : hausdorffEDist (↑t : Set α) c < ε
⊢ c.Nonempty

Tactic:
have hc : c.Nonempty := nonempty_of_hausdorffEDist_ne_top t.nonempty (ne_top_of_lt Dtc)
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this_3 : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
ct : ∀ y ∈ c, ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ
this : hausdorffEDist (↑t : Set α) c ≤ δ
Dtc : hausdorffEDist (↑t : Set α) c < ε
hc : c.Nonempty
d : NonemptyCompacts α := { carrier := c, isCompact' := ⋯, nonempty' := hc }
x : α
hx : x ∈ c
rcases : ∀ y ∈ a, ∀ (yx : F y = x), x ∈ s
⊢ x ∈ s

Tactic:
rcases (mem_image _ _ _).1 hx.1 with ⟨y, ⟨_, yx⟩⟩

Premises used: Set.mem_image, And.left, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : SecondCountableTopology α
s : Set α
cs : s.Countable
s_dense : Dense s
v0 : Set (Set α) := {t : Set α | t.Finite ∧ t ⊆ s}
v : Set (NonemptyCompacts α) := {t : NonemptyCompacts α | (↑t : Set α) ∈ v0}
t : NonemptyCompacts α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
δlt : δ < ε
δpos' : 0 < δ / 2
Exy : ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, edist x y < δ / 2
F : (x : α) → α := fun (x : α) ↦ ⋯.choose (p := fun (y : α) ↦ y ∈ s ∧ edist x y < δ / 2)
Fspec : ∀ (x : α), F x ∈ s ∧ edist x (F x) < δ / 2
this_1 : TotallyBounded (↑t : Set α)
a : Set α
af : a.Finite
ta : (↑t : Set α) ⊆ ⋃ y ∈ a, eball y (δ / 2)
b : Set α := F '' a
this_2 : b.Finite
tb : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ b, edist x y < δ
c : Set α := {y : α | y ∈ b ∧ ∃ x ∈ t, edist x y < δ}
this_3 : c.Finite
tc : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ c, edist x y ≤ δ
ct : ∀ y ∈ c, ∃ x ∈ t, edist y x ≤ δ
this : hausdorffEDist (↑t : Set α) c ≤ δ
Dtc : hausdorffEDist (↑t : Set α) c < ε
hc : c.Nonempty
d : NonemptyCompacts α := { carrier := c, isCompact' := ⋯, nonempty' := hc }
x : α
hx : x ∈ c
y : α
left : y ∈ a
yx : F y = x
rw : F y ∈ s
⊢ x ∈ s

Tactic:
rw [← yx]