awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
⊢ ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x

Tactic:
have g_norm : ∀ x, ‖g x‖ = g x := fun x => by rw [Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg (hg_range x).1]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
x : α
simp : HMul.hMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) ‖c‖ ≤ ‖c‖
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖

Tactic:
simp only [norm_smul, g_norm x]

Premises used: norm_smul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
x : α
apply : LE.le (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) (1 : ℝ)
⊢ HMul.hMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) ‖c‖ ≤ ‖c‖

Tactic:
apply mul_le_of_le_one_left (norm_nonneg _)

Premises used: mul_le_of_le_one_left, norm_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
x : α
⊢ LE.le (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) (1 : ℝ)

Tactic:
(hg_range x).2

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
x : α
⊢ LE.le (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) (1 : ℝ)

Tactic:
exact (hg_range x).2

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
⊢ ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖

Tactic:
have gc_bd0 : ∀ x, ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖ := by
    intro x
    simp only [norm_smul, g_norm x]
    apply mul_le_of_le_one_left (norm_nonneg _)
    exact (hg_range x).2
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
x : α
pos :
  ∀ (hv : x ∈ v),
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
      norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)
neg :
  ∀ (hv : x ∉ v),
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
      norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
    norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)

Tactic:
by_cases hv : x ∈ v
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
x : α
hv : x ∈ v
⊢ x ∈ v \ s ∪ s

Tactic:
rw [← Set.diff_union_of_subset hsv] at hv

Premises used: Set.diff_union_of_subset
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
x : α
hv : x ∈ v \ s ∪ s
pos :
  ∀ (hsv : x ∈ v \ s),
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
      norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)
pos₁ :
  ∀ (hs : x ∈ s),
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
      norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
    norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)

Tactic:
rcases hv with hsv | hs
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv_1 : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
x : α
hsv : x ∈ v \ s
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
    norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)

Tactic:
simpa only [hsv.2, Set.indicator_of_notMem, not_false_iff, sub_zero, hsv,
          Set.indicator_of_mem] using gc_bd0 x

Premises used: sub_zero, Set.indicator_of_mem, And.right, Set.indicator_of_notMem, not_false_iff
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs_1 : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
x : α
hs : x ∈ s
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
    norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)

Tactic:
simp [hgs hs, hs]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
x : α
hv : x ∉ v
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
    norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)

Tactic:
simp [hgv hv, show x ∉ s from fun h => hv (hsv h)]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
⊢ ∀ (x : α),
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
      norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)

Tactic:
have gc_bd :
      ∀ x, ‖g x • c - s.indicator (fun _x => c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x => c) x‖ := by
    intro x
    by_cases hv : x ∈ v
    · rw [← Set.diff_union_of_subset hsv] at hv
      rcases hv with hsv | hs
      · simpa only [hsv.2, Set.indicator_of_notMem, not_false_iff, sub_zero, hsv,
          Set.indicator_of_mem] using gc_bd0 x
      · simp [hgs hs, hs]
    · simp [hgv hv, show x ∉ s from fun h => hv (hsv h)]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
gc_bd :
  ∀ (x : α),
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
      norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)
⊢ (Function.support.{u_1, u_2} (M := E) fun (x : α) ↦ HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c) ⊆ v

Tactic:
Function.support_subset_iff'.2 fun x hx => ?_

Premises used: Iff.mpr, Function.support_subset_iff'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : NormalSpace α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : BorelSpace α
E : Type u_2
inst_4 : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst_5 : NormedSpace ℝ E
inst_6 : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ∞
s u : Set α
s_closed : IsClosed[inst] s
u_open : IsOpen[inst] u
hsu : s ⊆ u
hs : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη :
  ∀ (s : Set α),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ (↑η : ℝ≥0∞) → eLpNorm.{u_1, u_2} (ε := E) (s.indicator fun (_x : α) ↦ c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < (↑η : ℝ≥0∞)
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen[inst] V
h'V : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hV : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (V \ s) < (↑η : ℝ≥0∞)
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (β := ℝ) (⇑g : (a : α) → ℝ) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ)
g_norm : ∀ (x : α), norm (E := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) = (g : (a : α) → ℝ) x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c‖ ≤ ‖c‖
gc_bd :
  ∀ (x : α),
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c - s.indicator (fun (_x : α) ↦ c) x‖ ≤
      norm.{u_2} (E := E) ((v \ s).indicator (fun (_x : α) ↦ c) x)
refine : ∀ (x : α) (hx : x ∉ v), HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c = 0
⊢ (Function.support.{u_1, u_2} (M := E) fun (x : α) ↦ HSMul.hSMul (α := ℝ) ((g : (a : α) → ℝ) x : ℝ) c) ⊆ v

Tactic:
refine Function.support_subset_iff'.2 fun x hx => ?_

Premises used: Iff.mpr, Function.support_subset_iff'