-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Topology.Basic
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
inst_1 : TopologicalSpace R
M : ModuleCat R
I : Type u_1
X : I → TopModuleCat R
f : (i : I) → Quiver.Hom.{?u.292990, max u (?u.292990 + 1)} M (X i).toModuleCat
J : Type u_2
inst_2 : Category.{v_1, u_2} J
F : J ⥤ TopModuleCat.{u_3, u} R
c :
  Cone
    (F ⋙
      forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
        (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC := fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
        (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦
        (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
hc : IsLimit c
s : Cone F
i : J
rw :
  Continuous (X := (↑s.pt.toModuleCat : Type u_3)) (Y := (↑(F.obj i).toModuleCat : Type u_3))
    (⇑(ModuleCat.Hom.hom
            (NatTrans.app
              (Cone.π
                (Functor.mapCone
                  (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                    (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                    fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                    fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                    ModuleCat.carrier))
                  s))
              i) :
          (↑(Cone.pt (F :=
                  F ⋙
                    forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                      (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                      fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                      ModuleCat.carrier))
                  (Functor.mapCone
                    (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                      (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                      fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                      ModuleCat.carrier))
                    s)) :
              Type u_3) →ₗ[R]
            (↑(Functor.obj
                  (F ⋙
                    forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                      (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                      fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                      ModuleCat.carrier))
                  i) :
              Type u_3)) :
      (a : (↑((forget₂ (TopModuleCat R) (ModuleCat R)).mapCone s).pt : Type u_3)) →
        (↑((F ⋙ forget₂ (TopModuleCat R) (ModuleCat R)).obj i) : Type u_3))
⊢ Continuous (X := (↑s.pt.toModuleCat : Type u_3)) (Y := (↑(F.obj i).toModuleCat : Type u_3))
    (⇑(ModuleCat.Hom.hom
          (hc.lift
              (Functor.mapCone
                (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                  (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                  fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                  fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                  ModuleCat.carrier))
                s) ≫
            c.π.app i)) :
      (a : (↑((forget₂ (TopModuleCat R) (ModuleCat R)).mapCone s).pt : Type u_3)) →
        (↑((F ⋙ forget₂ (TopModuleCat R) (ModuleCat R)).obj i) : Type u_3))

Tactic:
rw [hc.fac]

Premises used: CategoryTheory.Limits.IsLimit.fac