-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : IsPrincipalIdealRing R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
inst_12 : IsTriangularizable R L M
z x y : L
hxy :
  ∀ (χ : R),
    MapsTo
      (⇑(((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
            ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
        (a : M) → M)
      (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Set M) (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Set M)
hfin : Set.Finite.{u_1} (α := R) {χ : R | Ne (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Submodule R M) ⊥}
H H₁ H₂ :
  ∀ (h : iSupIndep.{u_1 + 1, u_4} (α := Submodule R M) fun (i : R) ↦ (↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M)),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((traceForm R L M : (a : L) → L →ₗ[R] R) x : L →ₗ[R] R) : (a : L) → R) y : R)
      ((((∑ χ ∈ Finite.toFinset (s := {χ : R | Ne (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}) ⋯,
                    traceForm.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z) :
                  (a : L) → L →ₗ[R] R)
                x :
              L →ₗ[R] R) :
            (a : L) → R)
          y :
        R)
H₃ :
  ∀ (h : iSupIndep.{u_1 + 1, u_4} (α := Submodule R M) fun (i : R) ↦ (↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M))
    (hds : DirectSum.IsInternal (S := Submodule R M) fun (i : R) ↦ (↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M)),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((traceForm R L M : (a : L) → L →ₗ[R] R) x : L →ₗ[R] R) : (a : L) → R) y : R)
      ((((∑ χ ∈ Finite.toFinset (s := {χ : R | Ne (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}) ⋯,
                    traceForm.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z) :
                  (a : L) → L →ₗ[R] R)
                x :
              L →ₗ[R] R) :
            (a : L) → R)
          y :
        R)
H₄ :
  ∀ (h : iSupIndep.{u_1 + 1, u_4} (α := Submodule R M) fun (i : R) ↦ (↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M))
    (hds : DirectSum.IsInternal (S := Submodule R M) fun (i : R) ↦ (↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M)),
    Eq (α := R)
      (∑ i ∈ hfin.toFinset (s := {i : R | Ne (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M) ⊥}),
        (trace R ↥(↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M) :
            (a : ↥(↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M) →ₗ[R] ↥(↑(genWeightSpaceOf M i z) : Submodule R M)) → R)
          (LinearMap.restrict
            (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
              ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
            ⋯))
      (∑ x_1 ∈ Finite.toFinset (s := {χ : R | Ne (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}) ⋯,
        (trace R ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z) : (a : ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z) →ₗ[R] ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z)) → R)
          (((toEnd.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z) :
                  LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z))) :
                (a : L) → End R ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z))
              x ∘ₗ
            ((toEnd.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z) :
                  LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z))) :
                (a : L) → End R ↥(genWeightSpaceOf M x_1 z))
              y))
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((traceForm R L M : (a : L) → L →ₗ[R] R) x : L →ₗ[R] R) : (a : L) → R) y : R)
    ((((∑ χ ∈ Finite.toFinset (s := {χ : R | Ne (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}) ⋯,
                  traceForm.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z) :
                (a : L) → L →ₗ[R] R)
              x :
            L →ₗ[R] R) :
          (a : L) → R)
        y :
      R)

Tactic:
classical
  have h := LieSubmodule.iSupIndep_toSubmodule.mpr <| iSupIndep_genWeightSpaceOf R L M z
  have hds := DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top h <| by
    simp [← LieSubmodule.iSup_toSubmodule]
  simp only [LinearMap.coe_sum, Finset.sum_apply, traceForm_apply_apply,
    LinearMap.trace_eq_sum_trace_restrict' hds hfin hxy]
  exact Finset.sum_congr (by simp) (fun χ _ ↦ rfl)

Premises used: Finset.sum_apply, LinearMap.coe_sum, LieModule.traceForm_apply_apply, Finset.sum_congr, rfl