-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst_5 : AddCommGroup M'
inst_6 : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_7 : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst_8 : AddCommGroup N'
inst_9 : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst_10 : IsLocalizedModule S g
inst_11 : FinitePresentation R M
inst_12 : FinitePresentation R N
l : M' ≃ₗ[R] N'
l' : M →ₗ[R] N
s : ↥S
H : g ∘ₗ l' = s • (↑l : M' →ₗ[R] N') ∘ₗ f
this_1 :
  Function.Bijective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := M') (β := N')
    (⇑((map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l' : M' →ₗ[R] N') : (a : M') → N')
r : R
hr : r ∈ S
hr' :
  ∀ (t : R),
    r ∣ t →
      Function.Bijective (α := LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (β := LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
        (⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
                  (a : M →ₗ[R] N) →
                    LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
                      LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
                l' :
              LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
                (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)) :
          (a : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) → LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
rs : Submonoid R := Submonoid.powers (r * (↑s : R))
Rᵣₛ : Type u_3 := Localization (M := R) rs
hsu : IsUnit (M := Rᵣₛ) ((algebraMap R Rᵣₛ : (a : R) → Rᵣₛ) (↑s : R) : Rᵣₛ)
this_2 :
  Function.Bijective (α := LocalizedModule rs M) (β := LocalizedModule rs N)
    (⇑(HSMul.hSMul (β :=
          LinearMap (R := Localization (M := R) rs) (RingHom.id (Localization (M := R) rs)) (LocalizedModule rs M)
            (LocalizedModule rs N))
          (↑hsu.unit⁻¹ : Rᵣₛ)
          ((LocalizedModule.map rs : (a : M →ₗ[R] N) → LocalizedModule rs M →ₗ[Localization rs] LocalizedModule rs N)
              l' :
            LinearMap (R := Localization (M := R) rs) (RingHom.id (Localization (M := R) rs)) (LocalizedModule rs M)
              (LocalizedModule rs N))) :
      (a : LocalizedModule rs M) → LocalizedModule rs N)
x : M
this :
  ∀ (x : M),
    (g : (a : N) → N') ((l' : (a : M) → N) x : N) =
      HSMul.hSMul (β := N') (↑s : R) ((l : (a : M') → N') ((f : (a : M) → M') x : M') : N')
h :
  (LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) g ⋯ :
        (a : LocalizedModule (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) N) → N')
      (LocalizedModule.mk ((l' : (a : M) → N) x) 1 : LocalizedModule (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) N) =
    HSMul.hSMul (β := N') (↑s : R)
      ((l : (a : M') → N')
          ((LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) f ⋯ :
                (a : LocalizedModule (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) M) → M')
              (LocalizedModule.mk x 1) :
            M') :
        N')
⊢ HSMul.hSMul (β := N') (↑s : R)
      ((LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) g ⋯ :
            (a : LocalizedModule (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) N) → N')
          (HSMul.hSMul (β := LocalizedModule (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) N) (↑hsu.unit⁻¹ : Rᵣₛ)
            (LocalizedModule.mk ((l' : (a : M) → N) x) 1 : LocalizedModule (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) N)) :
        N') =
    HSMul.hSMul (β := N') (↑s : R)
      ((l : (a : M') → N')
          ((LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) f ⋯ :
                (a : LocalizedModule (Submonoid.powers (r * (↑s : R))) M) → M')
              (LocalizedModule.mk x 1) :
            M') :
        N')

Tactic:
rw [← map_smul, ← smul_assoc, Algebra.smul_def s.1, hsu.mul_val_inv, one_smul]

Premises used: IsUnit.mul_val_inv, smul_assoc, one_smul, Algebra.smul_def, Subtype.val, map_smul