-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : InnerProductSpace ℝ E
inst_2 : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : ¬x = 0
a : ℝ := ((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) 0
b : ℝ := ((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) 1
this :
  0 ≤ a * HPow.hPow (β := ℕ) ‖x‖ 2 ∧ b * HPow.hPow (β := ℕ) ‖x‖ 2 = 0 →
    SameRay ℝ x (a • x + HSMul.hSMul (β := E) b ((o.rightAngleRotation : (a : E) → E) x : E))
simp :
  0 ≤
        HMul.hMul (α := ℝ)
          (((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) 0 : ℝ)
          (HPow.hPow (β := ℕ) ‖x‖ 2) ∧
      HMul.hMul (α := ℝ)
          (((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) 1 : ℝ)
          (HPow.hPow (β := ℕ) ‖x‖ 2) =
        0 →
    SameRay ℝ x
      (HSMul.hSMul (α := ℝ)
          (((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) 0 : ℝ)
          x +
        HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E)
          (((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) 1 : ℝ)
          ((o.rightAngleRotation : (a : E) → E) x : E))
⊢ 0 ≤
        ⟪x,
          ∑ i : Fin 2,
            HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E)
              (((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) i :
                ℝ)
              ((o.basisRightAngleRotation x hx : (a : Fin 2) → E) i : E)⟫ ∧
      Eq (α := ℝ)
        ((((o.areaForm : (a : E) → E →ₗ[ℝ] ℝ) x : E →ₗ[ℝ] ℝ) : (a : E) → ℝ)
            (∑ i : Fin 2,
              HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E)
                (((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) i :
                  ℝ)
                ((o.basisRightAngleRotation x hx : (a : Fin 2) → E) i : E)) :
          ℝ)
        (0 : ℝ) →
    SameRay ℝ x
      (∑ i : Fin 2,
        HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E)
          (((((o.basisRightAngleRotation x hx).repr : (a : E) → Fin 2 →₀ ℝ) y : Fin 2 →₀ ℝ) : (a : Fin 2) → ℝ) i : ℝ)
          ((o.basisRightAngleRotation x hx : (a : Fin 2) → E) i : E))

Tactic:
simp only [Fin.sum_univ_succ, coe_basisRightAngleRotation, Matrix.cons_val_zero,
        Fin.succ_zero_eq_one', Finset.univ_eq_empty, Finset.sum_empty, areaForm_apply_self,
        map_smul, map_add, real_inner_smul_right, inner_add_right, Matrix.cons_val_one,
        smul_eq_mul, areaForm_rightAngleRotation_right,
        mul_zero, add_zero, zero_add, neg_zero, inner_rightAngleRotation_right,
        real_inner_self_eq_norm_sq]

Premises used: Fin.succ_zero_eq_one', Matrix.cons_val_one, Matrix.cons_val_zero, Finset.univ_eq_empty, map_add, zero_add, MulZeroClass.mul_zero, real_inner_smul_right, real_inner_self_eq_norm_sq, inner_add_right, Orientation.coe_basisRightAngleRotation, Orientation.inner_rightAngleRotation_right, Orientation.areaForm_apply_self, Finset.sum_empty, smul_eq_mul, Orientation.areaForm_rightAngleRotation_right, add_zero, neg_zero, Fin.sum_univ_succ, map_smul