awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
⊢ HasDerivWithinAt (fun (t : ℝ) ↦ x + h • v + (t * h) • w) (h • w) (Icc 0 1) t

Tactic:
apply_rules [HasDerivAt.hasDerivWithinAt, HasDerivAt.const_add, HasDerivAt.smul_const,
        hasDerivAt_mul_const]

Premises used: HasDerivAt.hasDerivWithinAt, HasDerivAt.smul_const, HasDerivAt.const_add, hasDerivAt_mul_const
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
⊢ HasDerivWithinAt (fun (t : ℝ) ↦ HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F))
    (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) (Icc 0 1) t

Tactic:
apply_rules [HasDerivAt.hasDerivWithinAt, HasDerivAt.smul_const, hasDerivAt_mul_const]

Premises used: HasDerivAt.hasDerivWithinAt, HasDerivAt.smul_const, hasDerivAt_mul_const
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
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t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun (t : ℝ) ↦
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2) ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (Icc 0 1) t

Tactic:
apply_rules [HasDerivAt.hasDerivWithinAt, HasDerivAt.smul_const, hasDerivAt_mul_const]

Premises used: HasDerivAt.hasDerivWithinAt, HasDerivAt.smul_const, hasDerivAt_mul_const
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
H :
  HasDerivWithinAt
    (fun (u : ℝ) ↦
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (u * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (HSMul.hSMul (β := F) ((↑2 : ℝ) * (t * h) ^ HSub.hSub (α := ℕ) 2 1 * (1 * h) / 2)
      ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (Icc 0 1) t
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun (u : ℝ) ↦
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (u * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (HSMul.hSMul (β := F) ((↑2 : ℝ) * (t * h) ^ HSub.hSub (α := ℕ) 2 1 * (1 * h) / 2)
      ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (Icc 0 1) t

Tactic:
H
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
H :
  HasDerivWithinAt
    (fun (u : ℝ) ↦
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (u * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (HSMul.hSMul (β := F) ((↑2 : ℝ) * (t * h) ^ HSub.hSub (α := ℕ) 2 1 * (1 * h) / 2)
      ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (Icc 0 1) t
⊢ t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2 = (↑2 : ℝ) * (t * h) ^ HSub.hSub (α := ℕ) 2 1 * (1 * h) / 2

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
⊢ HasDerivWithinAt
    (fun (u : ℝ) ↦
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (u * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (HSMul.hSMul (β := F) ((↑2 : ℝ) * (t * h) ^ HSub.hSub (α := ℕ) 2 1 * (1 * h) / 2)
      ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F))
    (Icc 0 1) t

Tactic:
apply_rules [HasDerivAt.hasDerivWithinAt, HasDerivAt.smul_const, hasDerivAt_id',
        HasDerivAt.pow, HasDerivAt.mul_const]

Premises used: HasDerivAt.hasDerivWithinAt, hasDerivAt_id', HasDerivAt.pow, HasDerivAt.smul_const, HasDerivAt.mul_const
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g_deriv : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ico 0 1) t
⊢ ‖h • v‖ + ‖(t * h) • w‖ = h * ‖v‖ + t * (h * ‖w‖)

Tactic:
simp only [norm_smul, Real.norm_eq_abs, hpos.le, abs_of_nonneg, abs_mul, ht.left,
            mul_assoc]

Premises used: norm_smul, mul_assoc, abs_mul, LT.lt.le, And.left, abs_of_nonneg, Real.norm_eq_abs
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g_deriv : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ico 0 1) t
bc : t ≤ 1
⊢ h * ‖v‖ + t * (h * ‖w‖) ≤ h * ‖v‖ + 1 * (h * ‖w‖)

Tactic:
gcongr