awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k_1 n : ℕ
hk_1 : (↑k_1 : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
⊢ Integrable (ε := ℝ) (fun (v : V) ↦ ‖v‖ ^ k * ‖f v‖) μ

Tactic:
simpa only [norm_iteratedFDeriv_zero] using h'f k 0 hk bot_le

Premises used: OfNat.ofNat, norm_iteratedFDeriv_zero, bot_le
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
apply :
  ∀ (p : ℕ × ℕ) (hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1)),
    Integrable (ε := ℝ)
      (fun (a : V) ↦
        ‖a‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f a))
      μ
⊢ Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ

Tactic:
apply integrable_finsetSum _ (fun p hp ↦ ?_)

Premises used: MeasureTheory.integrable_finsetSum
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1)
⊢ p.1 ≤ k ∧ p.2 ≤ m

Tactic:
simp only [Finset.mem_product, Finset.mem_range_succ_iff] at hp

Premises used: Finset.mem_range_succ_iff, Finset.mem_product
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
p : ℕ × ℕ
hp : p.1 ≤ k ∧ p.2 ≤ m
⊢ Integrable (ε := ℝ)
    (fun (a : V) ↦
      ‖a‖ ^ p.1 *
        Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
          (iteratedFDeriv ℝ p.2 f a))
    μ

Tactic:
h'f _ _ ((Nat.cast_le.2 hp.1).trans hk) ((Nat.cast_le.2 hp.2).trans hm)

Premises used: Iff.mpr, And.right, And.left, Nat.cast_le, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
p : ℕ × ℕ
hp : p.1 ≤ k ∧ p.2 ≤ m
⊢ Integrable (ε := ℝ)
    (fun (a : V) ↦
      ‖a‖ ^ p.1 *
        Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
          (iteratedFDeriv ℝ p.2 f a))
    μ

Tactic:
exact h'f _ _ ((Nat.cast_le.2 hp.1).trans hk) ((Nat.cast_le.2 hp.2).trans hm)

Premises used: Iff.mpr, And.right, And.left, Nat.cast_le, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
⊢ Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ

Tactic:
have I : Integrable (fun v ↦ ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) μ := by
      apply integrable_finsetSum _ (fun p hp ↦ ?_)
      simp only [Finset.mem_product, Finset.mem_range_succ_iff] at hp
      exact h'f _ _ ((Nat.cast_le.2 hp.1).trans hk) ((Nat.cast_le.2 hp.2).trans hm)
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
I :
  Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ
apply :
  ∀ᵐ (a : V) ∂μ,
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
        (iteratedFDeriv ℝ m (fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) a) ≤
      (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ m * ‖L‖ ^ k *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
          ‖a‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f a)
⊢ Integrable (ε :=
    ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
      (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
    (iteratedFDeriv ℝ m fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) μ

Tactic:
apply (I.const_mul ((2 * π) ^ k * (2 * k + 2) ^ m * ‖L‖ ^ k)).mono'
      ((hf.fourierPowSMulRight L k).continuous_iteratedFDeriv (mod_cast hm)).aestronglyMeasurable

Premises used: Norm.norm, Real.pi, HMul.hMul, MeasureTheory.Integrable.const_mul, MeasureTheory.Integrable.mono', Nat.cast, ContDiff.fourierPowSMulRight, HPow.hPow, HAdd.hAdd, ContDiff.continuous_iteratedFDeriv, OfNat.ofNat, Continuous.aestronglyMeasurable
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
I :
  Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ
h :
  ∀ (v : V),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
        (iteratedFDeriv ℝ m (fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) v) ≤
      (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ m * ‖L‖ ^ k *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v)
⊢ ∀ᵐ (a : V) ∂μ,
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
        (iteratedFDeriv ℝ m (fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) a) ≤
      (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ m * ‖L‖ ^ k *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
          ‖a‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f a)

Tactic:
filter_upwards with v
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
I :
  Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ
v : V
⊢ Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
      (iteratedFDeriv ℝ m (fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) v) ≤
    (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ m * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v)

Tactic:
norm_iteratedFDeriv_fourierPowSMulRight _ hf (mod_cast hm) (fun i hi j hj ↦ ?_)

Premises used: VectorFourier.norm_iteratedFDeriv_fourierPowSMulRight
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
I :
  Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ
v : V
h :
  ∀ (i : ℕ) (hi : i ≤ m) (j : ℕ) (hj : j ≤ k),
    ‖v‖ ^ j *
        Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v)
⊢ Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
      (iteratedFDeriv ℝ m (fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) v) ≤
    (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ m * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v)

Tactic:
refine norm_iteratedFDeriv_fourierPowSMulRight _ hf (mod_cast hm) (fun i hi j hj ↦ ?_)

Premises used: VectorFourier.norm_iteratedFDeriv_fourierPowSMulRight
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
I :
  Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ m
j : ℕ
hj : j ≤ k
h :
  ∀ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
    LE.le (α := ℝ) 0
      ((fun (p : ℕ × ℕ) ↦
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
        i)
h₁ : (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1)
⊢ ‖v‖ ^ j *
      Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
    ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
      ‖v‖ ^ p.1 *
        Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
          (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v)

Tactic:
apply Finset.single_le_sum (f := fun p ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) (a := (j, i))

Premises used: Finset.single_le_sum
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
I :
  Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ
v : V
i_1 : ℕ
hi : i_1 ≤ m
j : ℕ
hj : j ≤ k
i : ℕ × ℕ
_hi : i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1)
⊢ LE.le (α := ℝ) 0
    ((fun (p : ℕ × ℕ) ↦
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
      i)

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ N
I :
  Integrable (ε := ℝ)
    (fun (v : V) ↦
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1),
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
    μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ m
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (m + 1)

Tactic:
simpa only [Finset.mem_product, Finset.mem_range_succ_iff] using ⟨hj, hi⟩

Premises used: Finset.mem_range_succ_iff, Finset.mem_product
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
rw :
  Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) w) ≤
    (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
        ∫ (v : V),
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ
⊢ Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
      (fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f)) w n) ≤
    (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
        ∫ (v : V),
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ

Tactic:
rw [fourierPowSMulRight_iteratedFDeriv_fourierIntegral L hf h'f hk hn]

Premises used: VectorFourier.fourierPowSMulRight_iteratedFDeriv_fourierIntegral