awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_6 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_7 : (i : ι) → StarMul (G i)
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * x_1)⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
simp_rw₁ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star (x * x_1))⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x_1)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
simp_rw₂ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x_1 * star x)⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x_1)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
⊢ star
      (HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧) =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)

Tactic:
simp_rw [mul_def, star_def, star_mul, mul_def]

Premises used: DirectLimit.star_def, DirectLimit.mul_def, StarMul.star_mul
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
inst_4 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_5 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
i : ι
x : G i
r : R
⊢ HSMul.hSMul (β := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f)) r
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧

Tactic:
rfl

Premises used: DirectLimit.map, DirectLimit.lift, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_6 : SMul R C
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
inst_8 : ∀ (i : ι), MulActionHomClass.{u_4, u_1, u_3, u_5} (H i) R (G i) C
g : (i : ι) → H i
h :
  ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_5 + 1} (α := C) ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) i x)
      ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) j ((f i j h : (a : G i) → G j) x))
r : R
x_1 : DirectLimit G (T := T) f
i : ι
x : G i
simp_rw :
  DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧ =
    r •
      DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
simp_rw₁ : (g i : (a : G i) → C) (r • x) = HSMul.hSMul (β := C) r ((g i : (a : G i) → C) x : C)
⊢ DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧) =
    r •
      DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧

Tactic:
simp_rw [smul_def, lift_def, map_smul (g i)]

Premises used: DirectLimit.lift_def, DirectLimit.smul_def, map_smul
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Star R
inst_6 : (i : ι) → Star (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_8 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i : ι), StarModule.{u_1, u_3} R (G i)
r : R
i : ι
x : G i
simp_rw :
  star (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧) =
    HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) (star r) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
simp_rw₁ :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧)
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star r • star x)⟧
simp_rw₂ :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧)
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star (r • x))⟧
⊢ star (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧) =
    HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) (star r) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)

Tactic:
simp_rw [star_def, smul_def, ← star_smul, star_def]

Premises used: StarModule.star_smul, DirectLimit.star_def, DirectLimit.smul_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_3 : ι) → (h : x ≤ x_3) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Monoid R
inst_6 : (i : ι) → MulAction.{u_1, u_3} R (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
x x_1 : R
i : ι
x_2 : G i
simp_rw :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i ((x * x_1) • x_2)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x • x_1 • x_2)⟧
⊢ HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) (x * x_1) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_2⟧ =
    x • HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) x_1 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_2⟧

Tactic:
simp_rw [smul_def, mul_smul]

Premises used: DirectLimit.smul_def, SemigroupAction.mul_smul
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Monoid R
inst_6 : (i : ι) → MulAction.{u_1, u_3} R (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
i : ι
x : G i
rw :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := R) 1 x)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
rw₁ rw₂ :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
⊢ HSMul.hSMul (α := R) (β := DirectLimit G (T := T) f) 1 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧

Tactic:
rw [smul_def, one_smul]

Premises used: DirectLimit.smul_def, one_smul
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → MulOneClass (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
simp_rw :
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
simp_rw₁ :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (1 * x)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
⊢ HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) 1 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧

Tactic:
simp_rw [one_def i, mul_def, one_mul]

Premises used: DirectLimit.mul_def, DirectLimit.one_def, one_mul
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → MulOneClass (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
simp_rw :
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
simp_rw₁ :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * 1)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
⊢ HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ 1 =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧

Tactic:
simp_rw [one_def i, mul_def, mul_one]

Premises used: DirectLimit.mul_def, DirectLimit.one_def, mul_one
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
x : G i
simp_rw : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℕ) x 0)⟧ 1
simp_rw₁ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧ 1
⊢ Eq (α := DirectLimit G (T := T) f)
    (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) x_1 0) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
    1

Tactic:
simp_rw [map_def, pow_zero, one_def i]

Premises used: DirectLimit.map_def, pow_zero, DirectLimit.one_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
simp_rw :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ (n + 1))⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
simp_rw₁ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n * x)⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
⊢ map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1 ^ (n + 1)) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f)
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1 ^ n) ⋯
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧

Tactic:
simp_rw [map_def, pow_succ, mul_def]

Premises used: DirectLimit.map_def, pow_succ, DirectLimit.mul_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
inst_4 : Nonempty ι
inst_5 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_6 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
n : ℕ
⊢ HPow.hPow (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f)) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      n =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧

Tactic:
rfl

Premises used: DirectLimit.map, DirectLimit.lift, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h :
  ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_5 + 1} (α := C) ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) i x)
      ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) j ((f i j h : (a : G i) → G j) x))
x_1 : DirectLimit G (T := T) f
n : ℕ
i : ι
x : G i
simp_rw :
  DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧ =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ^
      n
simp_rw₁ : (g i : (a : G i) → C) (x ^ n) = HPow.hPow (α := C) ((g i : (a : G i) → C) x : C) n
⊢ DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      (HPow.hPow (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ n) =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ^
      n

Tactic:
simp_rw [npow_def, lift_def, map_pow (g i)]

Premises used: DirectLimit.lift_def, map_pow, DirectLimit.npow_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → AddMonoid (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), AddMonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_8 : (i : ι) → StarAddMonoid (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x + x_1)⟧ =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
simp_rw₁ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star (x + x_1))⟧ =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x_1)⟧
simp_rw₂ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x + star x_1)⟧ =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x_1)⟧
⊢ star
      (HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧) =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)

Tactic:
simp_rw [add_def, star_def, star_add, add_def]

Premises used: StarAddMonoid.star_add, DirectLimit.star_def, DirectLimit.add_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Group (G i)
inst_7 : Group C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x / x_1)⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_2 : G x) ↦ x_2⁻¹) ⋯
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
simp_rw₁ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x / x_1)⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⁻¹⟧
simp_rw₂ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * x_1⁻¹)⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⁻¹⟧
⊢ map₂ (F₁ := G) (F₂ := G) (F := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (T := T) f (fun (x : ι) (x1 x2 : G x) ↦ x1 / x2) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_2 : G x) ↦ x_2⁻¹) ⋯
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)

Tactic:
simp_rw [map₂_def, map_def, div_eq_mul_inv, mul_def]

Premises used: DirectLimit.map_def, DirectLimit.mul_def, div_eq_mul_inv, DirectLimit.map₂_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Group (G i)
inst_7 : Group C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
x : G i
simp_rw : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℤ) x 0)⟧ 1
simp_rw₁ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧ 1
⊢ Eq (α := DirectLimit G (T := T) f)
    (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ HPow.hPow (β := ℤ) x_1 0) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
    1

Tactic:
simp_rw [map_def, zpow_zero, one_def i]

Premises used: DirectLimit.map_def, zpow_zero, DirectLimit.one_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Group (G i)
inst_7 : Group C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
simp_rw :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n.succ : ℤ))⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n : ℤ) * x)⟧
⊢ map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ HPow.hPow (β := ℤ) x_1 (↑n.succ : ℤ)) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f)
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ HPow.hPow (β := ℤ) x_1 (↑n : ℤ)) ⋯
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧

Tactic:
simp_rw [map_def, mul_def]

Premises used: DirectLimit.map_def, DirectLimit.mul_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Group (G i)
inst_7 : Group C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
e_a : HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n.succ : ℤ) = HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n : ℤ) * x
⊢ Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n.succ : ℤ))⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n : ℤ) * x)⟧

Tactic:
congr