-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst_9 : AddCommMonoid P
inst_10 : Module R P
inst_11 : AddCommMonoid Q
inst_12 : Module S Q
inst_13 : Module R Q
inst_14 : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
eM : M ≃ₗ[R] P
eN : N ≃ₗ[S] Q
comm : f' ∘ₗ (↑eM : M →ₗ[R] P) = (↑(LinearEquiv.restrictScalars R eN) : N →ₗ[R] Q) ∘ₗ f
this :
  ∀ (m : M),
    Eq.{u_3 + 1} (α := Q) ((f' : (a : P) → Q) ((eM : (a : M) → P) m : P) : Q)
      ((eN : (a : N) → Q) ((f : (a : M) → N) m : N) : Q)
ist :
  IsTensorProduct.{u_1, v₃, v₁, v₂} (M₁ := S) (M₂ := M) (M := N)
    ((↑R :
        {S M : Type v₃} →
          {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
            [inst : Semiring R] →
              [inst_15 : Semiring S] →
                [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                  [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                    [inst_18 : Module R M] →
                      [inst_19 : Module R M₂] →
                        [inst_20 : Module S M] →
                          [inst_21 : Module S M₂] →
                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
      (S := S)
      (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) : (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
          (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
        f))
s : S
m' : P
h :
  ∀ (m : M),
    Eq.{u_3 + 1} (α := Q)
      (((((↑R :
                      {S M : Type v₃} →
                        {M₂ : Type (max u_2 u_3)} →
                          [inst : Semiring R] →
                            [inst_15 : Semiring S] →
                              [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                                [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                                  [inst_18 : Module R M] →
                                    [inst_19 : Module R M₂] →
                                      [inst_20 : Module S M] →
                                        [inst_21 : Module S M₂] →
                                          [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                    (S := S)
                    (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (P →ₗ[R] Q))) :
                          (P →ₗ[R] Q) →ₗ[S] S →ₗ[S] P →ₗ[R] Q) :
                        (a : P →ₗ[R] Q) → S →ₗ[S] P →ₗ[R] Q)
                      f') :
                  (a : S) → P →ₗ[R] Q)
                s :
              P →ₗ[R] Q) :
            (a : P) → Q)
          ((eM : (a : M) → P) m : P) :
        Q)
      ((((LinearMap.compr₂
                    (LinearMap.compl₂ (σ₂₃ := RingHom.id R)
                      ((↑R :
                          {S M : Type v₃} →
                            {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
                              [inst : Semiring R] →
                                [inst_15 : Semiring S] →
                                  [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                                    [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                                      [inst_18 : Module R M] →
                                        [inst_19 : Module R M₂] →
                                          [inst_20 : Module S M] →
                                            [inst_21 : Module S M₂] →
                                              [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                        (S := S)
                        (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) :
                              (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
                            (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
                          f))
                      (↑eM.symm : P →ₗ[R] M))
                    (↑(LinearEquiv.restrictScalars R eN) : N →ₗ[R] Q) :
                  (a : S) → P →ₗ[R] Q)
                s :
              P →ₗ[R] Q) :
            (a : P) → Q)
          ((eM : (a : M) → P) m : P) :
        Q)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := Q)
    (((((↑R :
                    {S M : Type v₃} →
                      {M₂ : Type (max u_2 u_3)} →
                        [inst : Semiring R] →
                          [inst_15 : Semiring S] →
                            [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_18 : Module R M] →
                                  [inst_19 : Module R M₂] →
                                    [inst_20 : Module S M] →
                                      [inst_21 : Module S M₂] →
                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                  (S := S)
                  (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (P →ₗ[R] Q))) :
                        (P →ₗ[R] Q) →ₗ[S] S →ₗ[S] P →ₗ[R] Q) :
                      (a : P →ₗ[R] Q) → S →ₗ[S] P →ₗ[R] Q)
                    f') :
                (a : S) → P →ₗ[R] Q)
              s :
            P →ₗ[R] Q) :
          (a : P) → Q)
        m' :
      Q)
    ((((LinearMap.compr₂
                  (LinearMap.compl₂ (σ₂₃ := RingHom.id R)
                    ((↑R :
                        {S M : Type v₃} →
                          {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
                            [inst : Semiring R] →
                              [inst_15 : Semiring S] →
                                [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                                  [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                                    [inst_18 : Module R M] →
                                      [inst_19 : Module R M₂] →
                                        [inst_20 : Module S M] →
                                          [inst_21 : Module S M₂] →
                                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                      (S := S)
                      (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) :
                            (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
                          (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
                        f))
                    (↑eM.symm : P →ₗ[R] M))
                  (↑(LinearEquiv.restrictScalars R eN) : N →ₗ[R] Q) :
                (a : S) → P →ₗ[R] Q)
              s :
            P →ₗ[R] Q) :
          (a : P) → Q)
        m' :
      Q)

Tactic:
obtain ⟨m, rfl⟩ := eM.surjective m'

Premises used: LinearEquiv.surjective, rfl