-- Module: Mathlib.Topology.Category.CompHaus.Basic
Goal:
X : TopCat
Y : CompHaus
f :
  (↑((stoneCechObj X).toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u) →
    (↑(Y.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)
hf : Continuous f
h :
  ∀
    (x :
      (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))) :
        Type u)),
    Eq (α := (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))) : Type u))
      ((@ConcreteCategory.hom _ (category fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
              (fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                  (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
              (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
              _ _ (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
              (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))
              ((fun (f : X ⟶ compHausToTop.obj Y) ↦
                  (ofHom (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) { toFun := stoneCechExtend ⋯, continuous_toFun := ⋯ } :
                    Quiver.Hom (V := CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
                      (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
                      (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))))
                ((fun (f : stoneCechObj X ⟶ Y) ↦
                    TopCat.ofHom
                      {
                        toFun :=
                          Function.comp (β :=
                            (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                                (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
                              (stoneCechObj X))
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                                  C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                                    (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
                                  (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                                  (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) f) :
                              (a :
                                  (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u))
                                    (stoneCechObj X)) →
                                (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y)
                            stoneCechUnit,
                        continuous_toFun := ⋯ : C((↑X : Type u), (↑Y.1 : Type u)) })
                  { hom := { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } } })) :
            (a : (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u))).toTop : Type u)) →
              (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (↑Y.1 : Type u)).toTop : Type u))
          x :
        (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))) : Type u))
      ((@ConcreteCategory.hom _ (category fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
              (fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                  (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
              (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
              _ _ (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
              (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))
              { hom := { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } } } :
            (a : (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u))).toTop : Type u)) →
              (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (↑Y.1 : Type u)).toTop : Type u))
          x :
        (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))) : Type u))
⊢ Eq.{u + 1} (α := stoneCechObj X ⟶ Y)
    ((fun (f : X ⟶ compHausToTop.obj Y) ↦
        (ofHom (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) { toFun := stoneCechExtend ⋯, continuous_toFun := ⋯ } :
          Quiver.Hom (V := CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
            (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
            (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))))
      ((fun (f : stoneCechObj X ⟶ Y) ↦
          TopCat.ofHom
            {
              toFun :=
                Function.comp (β :=
                  (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                      (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
                    (stoneCechObj X))
                  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                        C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                          (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
                        (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                        (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) f) :
                    (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (stoneCechObj X)) →
                      (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y)
                  stoneCechUnit,
              continuous_toFun := ⋯ : C((↑X : Type u), (↑Y.1 : Type u)) })
        { hom := { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } } }))
    { hom := { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } } }

Tactic:
ext x