-- Module: Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial
Goal:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst : DecidableEq α
inst_1 : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(Insert.insert a s) : Set α).Pairwise (Commute on x)
n : ℕ
ih :
  ∀ (n : ℕ),
    s.sum x ^ n =
      ∑ k : ↥(s.sym n),
        (↑(↑(↑k : Sym α n) : Multiset α).countPerms : R) * (Multiset.map x (↑(↑k : Sym α n) : Multiset α)).noncommProd ⋯
m : ↥((Insert.insert a s).sym n)
insert :
  x a ^ Multiset.count a (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α) *
        (↑(Multiset.filter (fun (x : α) ↦ a ≠ x) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)).countPerms : R) *
      (Multiset.map x (Multiset.filter (fun (a_1 : α) ↦ ¬a = a_1) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α))).noncommProd ⋯ =
    x a ^
          (↑(Sigma.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                  m)) :
            ℕ) *
        (↑(Multiset.countPerms (α := α)
              ((↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                          ((symInsertEquiv ha :
                              (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                            m)) :
                      Sym α
                        (n -
                          (↑((symInsertEquiv ha :
                                    (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                  m).fst :
                            ℕ))) :
                  Multiset α) :
                Multiset α)) :
          R) *
      (Multiset.map x
            (↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                      ((symInsertEquiv ha :
                          (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                        m)) :
                  Sym α
                    (n -
                      (↑((symInsertEquiv ha :
                                (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                              m).fst :
                        ℕ))) :
              Multiset α)).noncommProd
        ⋯
⊢ (↑(Multiset.filter (fun (x : α) ↦ a ≠ x) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)).countPerms : R) *
      (x a ^ Multiset.count a (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α) *
        (Multiset.map x (Multiset.filter (fun (a_1 : α) ↦ ¬a = a_1) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α))).noncommProd ⋯) =
    x a ^
        (↑(Sigma.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
              ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                m)) :
          ℕ) *
      ((↑(Multiset.countPerms (α := α)
              ((↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                          ((symInsertEquiv ha :
                              (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                            m)) :
                      Sym α
                        (n -
                          (↑((symInsertEquiv ha :
                                    (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                  m).fst :
                            ℕ))) :
                  Multiset α) :
                Multiset α)) :
          R) *
        (Multiset.map x
              (↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                        ((symInsertEquiv ha :
                            (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                          m)) :
                    Sym α
                      (n -
                        (↑((symInsertEquiv ha :
                                  (a : ↥((Insert.insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                m).fst :
                          ℕ))) :
                Multiset α)).noncommProd
          ⋯)

Tactic:
simp_rw [← mul_assoc, Nat.cast_comm]

Premises used: Nat.cast_comm, mul_assoc