-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.EtaleSpace
Goal:
X : TopCat
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
CC : C → Type v
FC : C → C → Type w
inst_1 : (X Y : C) → FunLike.{w + 1, v + 1, v + 1} (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst_2 : ConcreteCategory C FC (CC := CC)
inst_3 : Limits.HasColimits.{v, u} C
F : Presheaf C X
inst_4 : Limits.PreservesFilteredColimits (forget C (FC := FC) (CC := CC))
U : Opens (↑X : Type v)
hF_bij :
  ∀ (x : (↑X : Type v)) (hx : x ∈ U),
    Bijective.{v + 1, v + 1} (α := CC (F.obj (op U))) (β := CC (F.stalk x))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ U x hx)) : (a : CC (F.obj (op U))) → CC (F.stalk x))
x : (↑X : Type v)
hx : x ∈ U
y : ↥U
g : ToType (FC := FC) (CC := CC) (F.stalk x)
V : Opens (↑X : Type v)
f : ToType (FC := FC) (CC := CC) (F.obj (op V))
hyV : (↑y : (↑X : Type v)) ∈ V
hgf :
  Eq (α := CC (F.stalk (↑y : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ U (↑y : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : CC (F.obj (op U))) → CC (F.stalk (↑y : (↑X : Type v))))
        (surjInv ⋯ g) :
      CC (F.stalk (↑y : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ V (↑y : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : CC (F.obj (op V))) → CC (F.stalk (↑y : (↑X : Type v))))
        f :
      CC (F.stalk (↑y : (↑X : Type v))))
W : Opens (↑X : Type v)
hyW : (↑y : (↑X : Type v)) ∈ W
ιWU : W ⟶ U
ιWV : W ⟶ V
hW :
  Eq (α := CC (F.obj (op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.map ιWU.op) : (a : CC (F.obj (op U))) → CC (F.obj (op W)))
        (surjInv ⋯ g) :
      CC (F.obj (op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.map ιWV.op) : (a : CC (F.obj (op V))) → CC (F.obj (op W))) f :
      CC (F.obj (op W)))
z : ↥U
hz : Membership.mem (γ := Set ↥U) (Subtype.val (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U) ⁻¹' (↑W : Set (↑X : Type v))) z
h :
  Eq (α := CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ W (↑z : (↑X : Type v)) hz) :
          (a : CC (F.obj (op W))) → CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.map ιWU.op) : (a : CC (F.obj (op U))) → CC (F.obj (op W)))
            (surjInv ⋯ g) :
          CC (F.obj (op W))) :
      CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ V (↑z : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : CC (F.obj (op V))) → CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
        f :
      CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
h₁ :
  Eq (α := CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ W (↑z : (↑X : Type v)) hz) :
          (a : CC (F.obj (op W))) → CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.map ιWV.op) : (a : CC (F.obj (op V))) → CC (F.obj (op W))) f :
          CC (F.obj (op W))) :
      CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ V (↑z : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : CC (F.obj (op V))) → CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
        f :
      CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
h₂ h₃ :
  Eq (α := CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ V (↑z : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : CC (F.obj (op V))) → CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
        f :
      CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ V (↑z : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : CC (F.obj (op V))) → CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
        f :
      CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
⊢ Eq (α := CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ U (↑z : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : CC (F.obj (op U))) → CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
        (surjInv ⋯ g) :
      CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FC) (CC := CC) (F.germ V (↑z : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : CC (F.obj (op V))) → CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))
        f :
      CC (F.stalk (↑z : (↑X : Type v))))

Tactic:
rw [← F.germ_res_apply ιWU z hz, hW, F.germ_res_apply]

Premises used: TopCat.Presheaf.germ_res_apply, Subtype.val