awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p
a b : Associates M
h : p = p * b
ha : a = p
rw : p * b
| p

Tactic:
rw [h]
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p
a b : Associates M
h : p = p * b
ha : a = p
conv_rhs : Associated (p * b) p
conv_rhs₁ : Associated (p * b) (p * b)
⊢ Associated (p * b) p

Tactic:
conv_rhs => rw [h]
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p
a b : Associates M
h : p = p * b
ha : a = p
⊢ IsUnit b

Tactic:
apply isUnit_of_associated_mul (show Associated (p * b) p by conv_rhs => rw [h]) h₁

Premises used: isUnit_of_associated_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
⊢ p ≠ ⊥

Tactic:
simpa only [Associates.isUnit_iff_eq_one, Associates.bot_eq_one] using hp.1

Premises used: Associates.bot_eq_one, Irreducible.not_isUnit, Associates.isUnit_iff_eq_one
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
b : Associates M
h : b < p
a : Associates M
hab : p = b * a
hb_1 : ¬p ∣ b
hb : IsUnit b
rwa : ∀ (hb : b = 1), b = ⊥
rwa₁ rwa₂ rwa₃ rwa₄ : ∀ (hb : b = ⊥), b = ⊥
⊢ b = ⊥

Tactic:
rwa [Associates.isUnit_iff_eq_one, ← Associates.bot_eq_one] at hb

Premises used: Associates.bot_eq_one, Associates.isUnit_iff_eq_one
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
b : Associates M
h : b < p
a : Associates M
hab : p = b * a
hb : ¬p ∣ b
ha : IsUnit a
rw : b = b * a * (↑ha.unit⁻¹ : Associates M)
rw₁ : b = b * (a * (↑ha.unit⁻¹ : Associates M))
rw₂ : b = b * 1
rw₃ rw₄ : b = b
⊢ b = p * (↑ha.unit⁻¹ : Associates M)

Tactic:
rw [hab, mul_assoc, IsUnit.mul_val_inv ha, mul_one]

Premises used: IsUnit.mul_val_inv, mul_assoc, mul_one
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
⊢ ∃ (c : Fin (n + 1) → Associates M),
    c 1 = p ∧ StrictMono c ∧ ∀ {r : Associates M}, r ≤ p ^ n ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i

Tactic:
⟨fun i => p ^ (i : ℕ), ?_, fun n m h => ?_, @fun y => ⟨fun h => ?_, ?_⟩⟩

Premises used: Fin.val, HPow.hPow, And.intro, Iff.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
refine_1 : (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) 1 = p
refine_2 :
  ∀ (n_1 m : Fin (n + 1)) (h : n_1 < m),
    LT.lt.{u_1} (α := Associates M) ((fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) n_1)
      ((fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) m)
refine_3 : ∀ (y : Associates M) (h : y ≤ p ^ n), ∃ (i : Fin (n + 1)), y = (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) i
refine_4 : ∀ (y : Associates M), (∃ (i : Fin (n + 1)), y = (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) i) → y ≤ p ^ n
⊢ ∃ (c : Fin (n + 1) → Associates M),
    c 1 = p ∧ StrictMono c ∧ ∀ {r : Associates M}, r ≤ p ^ n ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i

Tactic:
refine ⟨fun i => p ^ (i : ℕ), ?_, fun n m h => ?_, @fun y => ⟨fun h => ?_, ?_⟩⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
refine_1 : 1 < n + 1
⊢ p ^ (↑1 : ℕ) = p

Tactic:
rw [Fin.coe_ofNat_eq_mod, Nat.mod_eq_of_lt, pow_one]

Premises used: Nat.mod_eq_of_lt, pow_one, Fin.coe_ofNat_eq_mod
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
⊢ 1 < n + 1

Tactic:
Nat.lt_succ_of_le (Nat.one_le_iff_ne_zero.mpr hn)

Premises used: Iff.mpr, Nat.lt_succ_of_le, Nat.one_le_iff_ne_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
⊢ 1 < n + 1

Tactic:
exact Nat.lt_succ_of_le (Nat.one_le_iff_ne_zero.mpr hn)

Premises used: Iff.mpr, Nat.lt_succ_of_le, Nat.one_le_iff_ne_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n_1 : ℕ
hn : n_1 ≠ 0
hp : Prime p
n m : Fin (n_1 + 1)
h : n < m
⊢ LT.lt.{u_1} (α := Associates M) ((fun (i : Fin (n_1 + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) n)
    ((fun (i : Fin (n_1 + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) m)

Tactic:
Associates.dvdNotUnit_iff_lt.mp
        ⟨pow_ne_zero n hp.ne_zero, p ^ (m - n : ℕ),
          not_isUnit_of_not_isUnit_dvd hp.not_unit (dvd_pow dvd_rfl (Nat.sub_pos_of_lt h).ne'),
          (pow_mul_pow_sub p h.le).symm⟩

Premises used: Nat.sub_pos_of_lt, HSub.hSub, pow_ne_zero, LT.lt.le, Fin.val, dvd_pow, Prime.not_unit, LT.lt.ne', Associates.dvdNotUnit_iff_lt, HPow.hPow, And.intro, Exists.intro, Prime.ne_zero, Iff.mp, dvd_rfl, Eq.symm, pow_mul_pow_sub, not_isUnit_of_not_isUnit_dvd
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n_1 : ℕ
hn : n_1 ≠ 0
hp : Prime p
n m : Fin (n_1 + 1)
h : n < m
⊢ LT.lt.{u_1} (α := Associates M) ((fun (i : Fin (n_1 + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) n)
    ((fun (i : Fin (n_1 + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) m)

Tactic:
exact Associates.dvdNotUnit_iff_lt.mp
        ⟨pow_ne_zero n hp.ne_zero, p ^ (m - n : ℕ),
          not_isUnit_of_not_isUnit_dvd hp.not_unit (dvd_pow dvd_rfl (Nat.sub_pos_of_lt h).ne'),
          (pow_mul_pow_sub p h.le).symm⟩

Premises used: Nat.sub_pos_of_lt, HSub.hSub, pow_ne_zero, LT.lt.le, Fin.val, dvd_pow, Prime.not_unit, LT.lt.ne', Associates.dvdNotUnit_iff_lt, HPow.hPow, And.intro, Exists.intro, Prime.ne_zero, Iff.mp, dvd_rfl, Eq.symm, pow_mul_pow_sub, not_isUnit_of_not_isUnit_dvd
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
y : Associates M
h : y ≤ p ^ n
refine_3 :
  ∀ (i : ℕ) (i_le : i ≤ n) (hi : Associated y (p ^ i)),
    ∃ (i : Fin (n + 1)), y = (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) i
⊢ ∃ (i : Fin (n + 1)), y = (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) i

Tactic:
obtain ⟨i, i_le, hi⟩ := (dvd_prime_pow hp n).1 h

Premises used: Iff.mp, dvd_prime_pow
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
y : Associates M
h : y ≤ p ^ n
i : ℕ
i_le : i ≤ n
hi : Associated y (p ^ i)
⊢ y = p ^ i

Tactic:
rw [associated_iff_eq] at hi

Premises used: associated_iff_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
y : Associates M
h : y ≤ p ^ n
i : ℕ
i_le : i ≤ n
hi : y = p ^ i
⊢ ∃ (i : Fin (n + 1)), y = (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) i

Tactic:
⟨⟨i, Nat.lt_succ_of_le i_le⟩, hi⟩

Premises used: Fin.mk, Nat.lt_succ_of_le, Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
y : Associates M
h : y ≤ p ^ n
i : ℕ
i_le : i ≤ n
hi : y = p ^ i
⊢ ∃ (i : Fin (n + 1)), y = (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) i

Tactic:
exact ⟨⟨i, Nat.lt_succ_of_le i_le⟩, hi⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
i : Fin (n + 1)
⊢ (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) i ≤ p ^ n

Tactic:
⟨p ^ (n - i : ℕ), (pow_mul_pow_sub p (Nat.succ_le_succ_iff.mp i.2)).symm⟩

Premises used: HSub.hSub, Fin.isLt, Fin.val, HPow.hPow, Nat.succ_le_succ_iff, Exists.intro, Iff.mp, Eq.symm, pow_mul_pow_sub
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : Prime p
i : Fin (n + 1)
⊢ (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ p ^ (↑i : ℕ)) i ≤ p ^ n

Tactic:
exact ⟨p ^ (n - i : ℕ), (pow_mul_pow_sub p (Nat.succ_le_succ_iff.mp i.2)).symm⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
i_pos : i ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
⊢ ¬IsUnit (c i)

Tactic:
DvdNotUnit.not_unit
    (Associates.dvdNotUnit_iff_lt.2
      (h₁ <| show (0 : Fin (n + 1)) < i from Fin.pos_iff_ne_zero.mpr i_pos))

Premises used: Iff.mpr, Associates.dvdNotUnit_iff_lt, Fin.pos_iff_ne_zero, DvdNotUnit.not_unit
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
obtain : ∀ (i : Fin (n + 1)) (hr : 1 = c i), IsUnit (c 0)
⊢ IsUnit (c 0)

Tactic:
obtain ⟨i, hr⟩ := h₂.mp one_le

Premises used: Iff.mp, one_le
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
i : Fin (n + 1)
hr : 1 = c i
rw : c 0 ≤ c i
⊢ IsUnit (c 0)

Tactic:
rw [Associates.isUnit_iff_eq_one, ← Associates.le_one_iff, hr]

Premises used: Associates.isUnit_iff_eq_one, Associates.le_one_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
i : Fin (n + 1)
hr : 1 = c i
⊢ c 0 ≤ c i

Tactic:
h₁.monotone (Fin.zero_le i)

Premises used: StrictMono.monotone, Fin.zero_le
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
i : Fin (n + 1)
hr : 1 = c i
⊢ c 0 ≤ c i

Tactic:
exact h₁.monotone (Fin.zero_le i)

Premises used: StrictMono.monotone, Fin.zero_le
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
zero :
  ∀ (hn : Ne (α := ℕ) 0 0) {c : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1) → Associates M} (h₁ : StrictMono c)
    (h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1)), r = c i), Irreducible (c 1)
succ :
  ∀ (n : ℕ) (hn : n + 1 ≠ 0) {c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M} (h₁ : StrictMono c)
    (h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i), Irreducible (c 1)
⊢ Irreducible (c 1)

Tactic:
rcases n with - | n
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
hn : Ne (α := ℕ) 0 0
c : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1)), r = c i
⊢ Irreducible (c 1)

Tactic:
contradiction
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
⊢ Irreducible (c 1)

Tactic:
(Associates.isAtom_iff (ne_zero_of_dvd_ne_zero hq (h₂.2 ⟨1, rfl⟩))).mp ⟨?_, fun b hb => ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Associates.isAtom_iff, And.intro, Exists.intro, Iff.mp, ne_zero_of_dvd_ne_zero, OfNat.ofNat, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
succ : c 1 ≠ ⊥
succ₁ : ∀ (b : Associates M) (hb : b < c 1), b = ⊥
⊢ Irreducible (c 1)

Tactic:
refine (Associates.isAtom_iff (ne_zero_of_dvd_ne_zero hq (h₂.2 ⟨1, rfl⟩))).mp ⟨?_, fun b hb => ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Associates.isAtom_iff, And.intro, Exists.intro, Iff.mp, ne_zero_of_dvd_ne_zero, OfNat.ofNat, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
⊢ c 1 ≠ ⊥

Tactic:
ne_bot_of_gt (h₁ zero_lt_one)

Premises used: zero_lt_one, ne_bot_of_gt
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
⊢ c 1 ≠ ⊥

Tactic:
exact ne_bot_of_gt (h₁ zero_lt_one)

Premises used: zero_lt_one, ne_bot_of_gt
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
b : Associates M
hb : b < c 1
succ : ∀ (i : ℕ) (hi : i < n + 1 + 1) (hb : c (⟨i, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) < c 1), c (⟨i, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) = ⊥
⊢ b = ⊥

Tactic:
obtain ⟨⟨i, hi⟩, rfl⟩ := h₂.1 (hb.le.trans (h₂.2 ⟨1, rfl⟩))

Premises used: Iff.mpr, LT.lt.le, Exists.intro, Iff.mp, LE.le.trans, OfNat.ofNat, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
i : ℕ
hi : i < n + 1 + 1
hb : c (⟨i, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) < c 1
succ : ∀ (hi : 0 < n + 1 + 1) (hb : c (⟨0, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) < c 1), c (⟨0, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) = ⊥
succ₁ :
  ∀ (n_1 : ℕ) (hi : n_1 + 1 < n + 1 + 1) (hb : c (⟨n_1 + 1, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) < c 1),
    c (⟨n_1 + 1, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) = ⊥
⊢ c (⟨i, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) = ⊥

Tactic:
cases i
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
hi : 0 < n + 1 + 1
hb : c (⟨0, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) < c 1
⊢ c (⟨0, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) = ⊥

Tactic:
(Associates.isUnit_iff_eq_one _).mp (first_of_chain_isUnit h₁ @h₂)

Premises used: Iff.mp, Associates.isUnit_iff_eq_one, DivisorChain.first_of_chain_isUnit
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
hi : 0 < n + 1 + 1
hb : c (⟨0, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) < c 1
⊢ c (⟨0, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) = ⊥

Tactic:
exact (Associates.isUnit_iff_eq_one _).mp (first_of_chain_isUnit h₁ @h₂)

Premises used: Iff.mp, Associates.isUnit_iff_eq_one, DivisorChain.first_of_chain_isUnit
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q : Associates M
hq : q ≠ 0
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
n_1 : ℕ
hi : n_1 + 1 < n + 1 + 1
hb : c (⟨n_1 + 1, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) < c 1
⊢ c (⟨n_1 + 1, hi⟩ : Fin (n + 1 + 1)) = ⊥

Tactic:
simpa [Fin.lt_def] using h₁.lt_iff_lt.mp hb

Premises used: StrictMono.lt_iff_lt, Fin.lt_def, Iff.mp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hp : Prime p
hr : r ∣ q
hp' : p ∣ r
zero :
  ∀ (hn : Ne (α := ℕ) 0 0) {c : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1) → Associates M} (h₁ : StrictMono c)
    (h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1)), r = c i), p = c 1
succ :
  ∀ (n : ℕ) (hn : n + 1 ≠ 0) {c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M} (h₁ : StrictMono c)
    (h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i), p = c 1
⊢ p = c 1

Tactic:
rcases n with - | n
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p q r : Associates M
hp : Prime p
hr : r ∣ q
hp' : p ∣ r
hn : Ne (α := ℕ) 0 0
c : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1)), r = c i
⊢ p = c 1

Tactic:
contradiction
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
p q r : Associates M
hp : Prime p
hr : r ∣ q
hp' : p ∣ r
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
succ : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)) (hp : Prime (c i)) (hp' : c i ∣ r), c i = c 1
⊢ p = c 1

Tactic:
obtain ⟨i, rfl⟩ := h₂.1 (dvd_trans hp' hr)

Premises used: dvd_trans, Iff.mp, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
⊢ c i = c 1

Tactic:
congr_arg c (eq_of_le_of_not_lt' ?_ fun hi => ?_)

Premises used: congr_arg, eq_of_le_of_not_lt'
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
succ : 1 ≤ i
succ₁ : ∀ (hi : 1 < i), False
⊢ c i = c 1

Tactic:
refine congr_arg c (eq_of_le_of_not_lt' ?_ fun hi => ?_)

Premises used: congr_arg, eq_of_le_of_not_lt'
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
succ : i ≠ 0
⊢ 1 ≤ i

Tactic:
rw [Fin.le_iff_val_le_val, Fin.val_one, Nat.succ_le_iff, ← Fin.val_zero (n.succ + 1), ←
      Fin.lt_def, Fin.pos_iff_ne_zero]

Premises used: Fin.val_one, Fin.lt_def, HAdd.hAdd, Fin.pos_iff_ne_zero, OfNat.ofNat, Nat.succ_le_iff, Nat.succ, Fin.val_zero, Fin.le_iff_val_le_val
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
hp : Prime (c 0)
hp' : c 0 ∣ r
⊢ False

Tactic:
hp.not_unit (first_of_chain_isUnit h₁ @h₂)

Premises used: Prime.not_unit, DivisorChain.first_of_chain_isUnit
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
hp : Prime (c 0)
hp' : c 0 ∣ r
⊢ False

Tactic:
exact hp.not_unit (first_of_chain_isUnit h₁ @h₂)

Premises used: Prime.not_unit, DivisorChain.first_of_chain_isUnit
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
hi : 1 < i
succ : ∀ (hp : Prime (c 0)) (hp' : c 0 ∣ r) (hi : LT.lt (α := Fin (n + 1 + 1)) 1 0), False
succ₁ : ∀ (j : Fin (n + 1)) (hp : Prime (c j.succ)) (hp' : c j.succ ∣ r) (hi : 1 < j.succ), False
⊢ False

Tactic:
obtain rfl | ⟨j, rfl⟩ := i.eq_zero_or_eq_succ

Premises used: Fin.eq_zero_or_eq_succ, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
hp : Prime (c 0)
hp' : c 0 ∣ r
hi : LT.lt (α := Fin (n + 1 + 1)) 1 0
⊢ False

Tactic:
cases hi
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
⊢ False

Tactic:
not_irreducible_of_not_unit_dvdNotUnit
      (DvdNotUnit.not_unit
        (Associates.dvdNotUnit_iff_lt.2 (h₁ (show (0 : Fin (n + 2)) < j.castSucc from ?_))))
      ?_ hp.irreducible

Premises used: Prime.irreducible, Iff.mpr, Associates.dvdNotUnit_iff_lt, not_irreducible_of_not_unit_dvdNotUnit, DvdNotUnit.not_unit
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
succ : 0 < j.castSucc
succ₁ : DvdNotUnit (c j.castSucc) (c j.succ)
⊢ False

Tactic:
refine
    not_irreducible_of_not_unit_dvdNotUnit
      (DvdNotUnit.not_unit
        (Associates.dvdNotUnit_iff_lt.2 (h₁ (show (0 : Fin (n + 2)) < j.castSucc from ?_))))
      ?_ hp.irreducible

Premises used: Prime.irreducible, Iff.mpr, Associates.dvdNotUnit_iff_lt, not_irreducible_of_not_unit_dvdNotUnit, DvdNotUnit.not_unit
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
⊢ 0 < j.castSucc

Tactic:
simpa using Fin.lt_def.mp hi

Premises used: Fin.lt_def, Iff.mp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1 + 1)), r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
⊢ DvdNotUnit (c j.castSucc) (c j.succ)

Tactic:
Associates.dvdNotUnit_iff_lt.2 (h₁ ?_)

Premises used: Iff.mpr, Associates.dvdNotUnit_iff_lt