awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
hfX : (↑f.symm : M' → M) X ∈ c.source
rw : (↑c' : M' → H) X = (↑c' : M' → H) ((↑f : M → M') ((↑f.symm : M' → M) X))
rw₁ rw₂ : (↑c' : M' → H) X = (↑c' : M' → H) X
⊢ (↑c' : M' → H) X = (↑c' : M' → H) ((↑f : M → M') ((↑c.symm : H → M) ((↑c : M → H) x)))

Tactic:
rw [c.left_inv hfX, f.right_inv hX]

Premises used: OpenPartialHomeomorph.left_inv, OpenPartialHomeomorph.right_inv
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
⊢ (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))

Tactic:
have h2X : c' X = e (c (f.symm X)) := by
      rw [← hef hex]
      dsimp only [Function.comp_def]
      have hfX : f.symm X ∈ c.source := by simp only [c, x, mfld_simps]
      rw [c.left_inv hfX, f.right_inv hX]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
h₁ : EqOn (↑e.symm : H → H) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (e.target ∩ e.target)
⊢ EqOn (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (↑e.symm : H → H) (e.target ∩ e.target)

Tactic:
apply EqOn.symm

Premises used: Set.EqOn.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
⊢ EqOn (↑e.symm : H → H) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (e.target ∩ e.target)

Tactic:
e.isImage_source_target.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn ?_ ?_

Premises used: OpenPartialHomeomorph.IsImage.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn, OpenPartialHomeomorph.isImage_source_target
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
h₁ : e.source ∩ e.source = (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source ∩ e.source
h₂ : EqOn (↑e : H → H) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c') : H → H) (e.source ∩ e.source)
⊢ EqOn (↑e.symm : H → H) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (e.target ∩ e.target)

Tactic:
refine e.isImage_source_target.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn ?_ ?_

Premises used: OpenPartialHomeomorph.IsImage.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn, OpenPartialHomeomorph.isImage_source_target
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
h₁ : e.source = (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source ∩ e.source
h₂ h₃ : e.source = e.source
⊢ e.source ∩ e.source = (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source ∩ e.source

Tactic:
rw [inter_self, inter_eq_right.mpr h2e]

Premises used: Iff.mpr, Set.inter_self, Set.inter_eq_right
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
h₁ : EqOn (↑e : H → H) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c') : H → H) e.source
⊢ EqOn (↑e : H → H) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c') : H → H) (e.source ∩ e.source)

Tactic:
rw [inter_self]

Premises used: Set.inter_self
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
⊢ EqOn (↑e : H → H) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c') : H → H) e.source

Tactic:
hef.symm

Premises used: OpenPartialHomeomorph.toFun', Set.EqOn.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
⊢ EqOn (↑e : H → H) (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c') : H → H) e.source

Tactic:
exact hef.symm

Premises used: Set.EqOn.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
⊢ EqOn (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (↑e.symm : H → H) (e.target ∩ e.target)

Tactic:
have h1 : EqOn (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm e.symm (e.target ∩ e.target) := by
        apply EqOn.symm
        refine e.isImage_source_target.symm_eqOn_of_inter_eq_of_eqOn ?_ ?_
        · rw [inter_self, inter_eq_right.mpr h2e]
        · rw [inter_self]; exact hef.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x_1 : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx_1 : x_1 ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x_1
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x_1)) : M' → H) ∘
      (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x_1)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x_1)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x_1) : M → H) x_1)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x_1 ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
h1 : EqOn (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (↑e.symm : H → H) (e.target ∩ e.target)
x : H
hx : x ∈ e.target
rw : ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) ((↑e.symm : H → H) x) ∈ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').target
⊢ x ∈ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').target

Tactic:
rw [← e.right_inv hx, ← hef (e.symm.mapsTo hx)]

Premises used: OpenPartialHomeomorph.mapsTo, OpenPartialHomeomorph.symm, OpenPartialHomeomorph.right_inv
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x_1 : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx_1 : x_1 ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x_1
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x_1)) : M' → H) ∘
      (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x_1)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x_1)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x_1) : M → H) x_1)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x_1 ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
h1 : EqOn (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (↑e.symm : H → H) (e.target ∩ e.target)
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) ((↑e.symm : H → H) x) ∈ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').target

Tactic:
OpenPartialHomeomorph.mapsTo _ (h2e <| e.symm.mapsTo hx)

Premises used: Set.Mem, OpenPartialHomeomorph.trans, OpenPartialHomeomorph.toFun', OpenPartialHomeomorph.mapsTo, OpenPartialHomeomorph.trans', OpenPartialHomeomorph.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x_1 : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx_1 : x_1 ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x_1
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x_1)) : M' → H) ∘
      (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x_1)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x_1)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x_1) : M → H) x_1)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x_1 ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
h1 : EqOn (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (↑e.symm : H → H) (e.target ∩ e.target)
x : H
hx : x ∈ e.target
⊢ ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) ((↑e.symm : H → H) x) ∈ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').target

Tactic:
exact OpenPartialHomeomorph.mapsTo _ (h2e <| e.symm.mapsTo hx)

Premises used: OpenPartialHomeomorph.mapsTo, OpenPartialHomeomorph.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst_6 : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst_7 : TopologicalSpace M'
inst_8 : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f : M → M') f.source
X : M'
hX : X ∈ f.symm.source
x : M := (↑f.symm : M' → M) X
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H := chartAt H X
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt
    ((↑(chartAt H ((↑f : M → M') x)) : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' f.source) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
h2x : (↑(chartAt H X) : M' → H) X ∈ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H X)) : H → M') ⁻¹' f.symm.source
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
h2e : e.source ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').source
hef : EqOn ((↑c' : M' → H) ∘ (↑f : M → M') ∘ (↑c.symm : H → M)) (↑e : H → H) e.source
hex : (↑c : M → H) x ∈ e.source
h2X : (↑c' : M' → H) X = (↑e : H → H) ((↑c : M → H) ((↑f.symm : M' → M) X))
h1 : EqOn (↑(c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').symm : H → H) (↑e.symm : H → H) (e.target ∩ e.target)
⊢ e.target ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').target

Tactic:
have h2 : e.target ⊆ (c.symm ≫ₕ f ≫ₕ c').target := by
        intro x hx; rw [← e.right_inv hx, ← hef (e.symm.mapsTo hx)]
        exact OpenPartialHomeomorph.mapsTo _ (h2e <| e.symm.mapsTo hx)