-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)
simp_rw :
  HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
simp_rw₁ :
  HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
simp_rw₂ :
  HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((algebraMap R (Away (↑b : R)) : (a : R) → Away (↑b : R)) (r b)) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
simp_rw₃ :
  HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          (HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
            ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R))) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          (HMul.hMul (β := Away (↑b : R)) (f b)
            ((algebraMap R (Away (↑b : R)) : (a : R) → Away (↑b : R)) ((↑b : R) ^ N) : Away (↑b : R))) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
simp_rw₄ :
  HMul.hMul (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
            ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N)) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
            ((algebraMap R (Away (↑b : R)) : (a : R) → Away (↑b : R)) ((↑b : R) ^ N)) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
simp_rw₅ :
  HMul.hMul (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
            ((algebraMap R (Away (↑b : R)) : (a : R) → Away (↑b : R)) ((↑b : R) ^ N)) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
simp_rw₆ :
  HMul.hMul (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
simp_rw₇ :
  HMul.hMul (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
simp_rw₈ :
  HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))) =
    HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      (HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
        ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
          Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
simp_rw₉ :
  HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((↑a : R) ^ N * (↑b : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
    HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((↑b : R) ^ N * (↑a : R) ^ N) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
⊢ Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
    ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r a * (↑b : R) ^ N) :
      Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
    ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r b * (↑a : R) ^ N) :
      Away ((↑a : R) * (↑b : R)))

Tactic:
simp_rw [map_mul, ← Away.awayToAwayRight_eq (S := Away a.1) a.1 b (r a),
        ← Away.awayToAwayLeft_eq (S := Away b.1) b.1 a (r b), ← eq, map_mul,
        Away.awayToAwayRight_eq, Away.awayToAwayLeft_eq, h, mul_assoc, ← map_mul, mul_comm]

Premises used: mul_assoc, IsLocalization.Away.awayToAwayLeft_eq, IsLocalization.Away.awayToAwayRight_eq, map_mul, mul_comm, Subtype.val