-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.StructureSheaf
Goal:
R M A : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : CommRing A
inst_4 : Algebra R A
x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
r : R
α : Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x ≅
  Functor.obj
    (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
      ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
    (Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) :=
  Limits.colimit.isoColimitCocone
    {
      cocone :=
        Functor.mapCocone
          (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
            AddCommGrpCat.carrier))
          (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
      isColimit :=
        Limits.isColimitOfPreserves
          (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
            AddCommGrpCat.carrier))
          (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) }
U : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
hxU : x ∈ U
s :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
    (Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) (op U))
this_1 :
  Presheaf.germ (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) U x hxU ≫ α.hom =
    CategoryTheory.Functor.map
      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
        ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
      (Presheaf.germ (structurePresheafInModuleCat R M) U x hxU)
this :
  ∀ (m : (↑(Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) (op U)) : Type u)),
    Eq (α :=
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
              AddCommGrpCat.carrier))
            (Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x)) :
        Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) α.hom :
            (a : (↑(Presheaf.stalk (moduleStructurePresheaf R M).presheaf x) : Type u)) →
              (↑((forget₂ (ModuleCat R) Ab).obj ((structurePresheafInModuleCat R M).stalk x)) : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                  Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) (op U)) (Y :=
                  Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x)
                  (Presheaf.germ (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) U x hxU) :
                (a : (↑((moduleStructurePresheaf R M).presheaf.obj (op U)) : Type u)) →
                  (↑(Presheaf.stalk (moduleStructurePresheaf R M).presheaf x) : Type u))
              m :
            (↑(Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x) : Type u)) :
        (↑(Functor.obj
              (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
                AddCommGrpCat.carrier))
              (Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x)) :
          Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (X := Functor.obj (structurePresheafInModuleCat R M) (op U)) (Y :=
              Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x)
              (Presheaf.germ (structurePresheafInModuleCat R M) U x hxU) :
            (a : (↑((structurePresheafInModuleCat R M).obj (op U)) : Type u)) →
              (↑((structurePresheafInModuleCat R M).stalk x) : Type u))
          m :
        (↑(Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) : Type u))
refine :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) (X := Functor.obj (structurePresheafInModuleCat R M) (op U)) (Y :=
          Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x)
          (Presheaf.germ (structurePresheafInModuleCat R M) U x hxU) :
        (a : (↑((structurePresheafInModuleCat R M).obj (op U)) : Type u)) →
          (↑((structurePresheafInModuleCat R M).stalk x) : Type u))
      (r • s) =
    HSMul.hSMul (β := (↑(Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) : Type u)) r
      (have this : (↑(Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) : Type u) :=
        Equiv.toFun (α :=
          (↑(Limits.colimit
                (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                  forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                    (CD := AddCommGrpCat.carrier))) :
            Type u))
          (AddEquiv.toEquiv
            (Iso.addCommGroupIsoToAddEquiv
              (Limits.colimit.isoColimitCocone
                {
                  cocone :=
                    Functor.mapCocone
                      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
                  isColimit :=
                    Limits.isColimitOfPreserves
                      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) :
                  Limits.ColimitCocone
                    (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                      forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) (op U)) (Y :=
                Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x)
                (Presheaf.germ (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) U x hxU) :
              (a : (↑((moduleStructurePresheaf R M).presheaf.obj (op U)) : Type u)) →
                (↑(Presheaf.stalk (moduleStructurePresheaf R M).presheaf x) : Type u))
            s);
      this)
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) α.hom :
        (a : (↑(Presheaf.stalk (moduleStructurePresheaf R M).presheaf x) : Type u)) →
          (↑((forget₂ (ModuleCat R) Ab).obj ((structurePresheafInModuleCat R M).stalk x)) : Type u))
      ((germₗ M U x hxU :
            (a : (structureSheafInType R M).obj.obj (op U)) →
              (↑(Presheaf.stalk (moduleStructurePresheaf R M).presheaf x) : Type u))
          (r • s) :
        (↑(Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x) : Type u)) =
    HSMul.hSMul (β := (↑(Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) : Type u)) r
      (have this : (↑(Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) : Type u) :=
        Equiv.toFun (α :=
          (↑(Limits.colimit
                (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                  forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                    (CD := AddCommGrpCat.carrier))) :
            Type u))
          (AddEquiv.toEquiv
            (Iso.addCommGroupIsoToAddEquiv
              (Limits.colimit.isoColimitCocone
                {
                  cocone :=
                    Functor.mapCocone
                      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
                  isColimit :=
                    Limits.isColimitOfPreserves
                      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) :
                  Limits.ColimitCocone
                    (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                      forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) (op U)) (Y :=
                Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x)
                (Presheaf.germ (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) U x hxU) :
              (a : (↑((moduleStructurePresheaf R M).presheaf.obj (op U)) : Type u)) →
                (↑(Presheaf.stalk (moduleStructurePresheaf R M).presheaf x) : Type u))
            s);
      this)

Tactic:
refine (this _).trans ?_

Premises used: Eq.trans