-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.FilteredColimits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : SmallCategory J
inst_2 : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCat R
r : R
x y : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
k : J
f :
  x.fst (β := fun (j : J) ↦
      (F ⋙
            forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v)))
              (CC := carrier)).obj
        j) ⟶
    k
g :
  y.fst (β := fun (j : J) ↦
      (F ⋙
            forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v)))
              (CC := carrier)).obj
        j) ⟶
    k
hfg :
  Eq (α :=
    (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
      ((F ⋙
            forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v)))
              (CC := carrier)).obj
        k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun)
            ((F ⋙
                  forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦
                    (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)).map
              f) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) ((F ⋙ forget (ModuleCat R)).obj x.fst)) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) ((F ⋙ forget (ModuleCat R)).obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦
          (F ⋙
                forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦
                  (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)).obj
            j)) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
        ((F ⋙
              forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦
                (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)).obj
          k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun)
            ((F ⋙
                  forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦
                    (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)).map
              g) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) ((F ⋙ forget (ModuleCat R)).obj y.fst)) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) ((F ⋙ forget (ModuleCat R)).obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦
          (F ⋙
                forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦
                  (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)).obj
            j)) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
        ((F ⋙
              forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦
                (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)).obj
          k))
h :
  Eq (α := (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
    ((hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)
            (F.map f) :
          (a : (↑(F.obj ⟨x.fst, r • x.snd⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
        (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
            (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
            (r • x.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))))) :
      (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
    ((hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)
            (F.map g) :
          (a : (↑(F.obj ⟨y.fst, r • y.snd⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
        (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
            (y.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
            (r • y.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))))) :
      (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
⊢ ∃ (k : J) (f :
    Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
          (r • x.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))) ⟶
      k)
    (g :
    Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          (y.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
          (r • y.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))) ⟶
      k),
    Eq (α := (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
      ((hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)
              (F.map f) :
            (a : (↑(F.obj ⟨x.fst, r • x.snd⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
          (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
            (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
              (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
              (r • x.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))))) :
        (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
      ((hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)
              (F.map g) :
            (a : (↑(F.obj ⟨y.fst, r • y.snd⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
          (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
            (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
              (y.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
              (r • y.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))))) :
        (↑(F.obj k) : Type (max u v)))

Tactic:
use k, f, g