-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
a :
  (Iso.hom (α_ M'.X N.X P.X) ≫
      CategoryStruct.comp (Y :=
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
          (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
        (M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X P.X) ⟶
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
        (coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
            (Iso.hom (α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) :
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
            coequalizer (X :=
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X) (TensorBimod.X N P))
              (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              (Iso.hom (α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) :
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X N.X) P.X ⟶ TensorBimod.X M' (N.tensorBimod P))
| (CategoryStruct.comp (Y :=
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M'.X X.X N.X) ≫ M'.X ◁ N.actLeft))
        P.X)
      (colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M'.X X.X N.X) ≫ M'.X ◁ N.actLeft))
          WalkingParallelPair.one ▷
        P.X)
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        coequalizer (X :=
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X) N.X)
            P.X)
          (M'.actRight ▷ N.X ▷ P.X) ((Iso.hom (α_ M'.X X.X N.X) ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X))
        (Iso.inv
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X)
            (Iso.hom (α_ M'.X X.X N.X) ≫ M'.X ◁ N.actLeft)))
        (coequalizer.desc
          (Iso.hom (α_ M'.X N.X P.X) ≫
            CategoryStruct.comp (Y :=
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
              (M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X P.X) ⟶
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                    (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
              (coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                  (Iso.hom (α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) :
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                    (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                  coequalizer (X :=
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X) (TensorBimod.X N P))
                    (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    (Iso.hom (α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)))
          ⋯)) :
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X N.X) P.X ⟶
      colimit
        (parallelPair (X :=
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (Y :=
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (Iso.hom (α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))))

Tactic:
rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]

Premises used: π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc