awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * ‖s.points i -ᵥ s.altitudeFoot i‖ = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r

Tactic:
have h' : ∀ i, w i * ‖s.points i -ᵥ s.altitudeFoot i‖ = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r := by
      intro i
      rw [altitudeFoot, ← s.signedInfDist_affineCombination i h1]
      exact h i
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * ‖s.points i -ᵥ s.altitudeFoot i‖ = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r

Tactic:
simp_rw [← dist_eq_norm_vsub] at h'

Premises used: dist_eq_norm_vsub
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
i : Fin (n + 1)
⊢ w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r

Tactic:
replace h' := h' i
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
i : Fin (n + 1)
h' : w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
⊢ w i = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r / s.height i

Tactic:
rw [← height, ← eq_div_iff (s.height_pos i).ne'] at h'

Premises used: Affine.Simplex.height, Affine.Simplex.height_pos, LT.lt.ne', eq_div_iff
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
i : Fin (n + 1)
h' : w i = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r / s.height i
rw : (if i ∈ signs then -1 else 1) * r / s.height i = r * ((if i ∈ signs then -1 else 1) * (s.height i)⁻¹)
rw₁ : (r * if i ∈ signs then -1 else 1) / s.height i = r * ((if i ∈ signs then -1 else 1) * (s.height i)⁻¹)
rw₂ : (r * if i ∈ signs then -1 else 1) * (s.height i)⁻¹ = r * ((if i ∈ signs then -1 else 1) * (s.height i)⁻¹)
rw₃ : r * ((if i ∈ signs then -1 else 1) * (s.height i)⁻¹) = r * ((if i ∈ signs then -1 else 1) * (s.height i)⁻¹)
rw₄ :
  r * ((if i ∈ signs then -1 else 1) * (dist (s.points i) (s.altitudeFoot i))⁻¹) =
    r * ((if i ∈ signs then -1 else 1) * (dist (s.points i) (s.altitudeFoot i))⁻¹)
rw₅ :
  r *
      ((if i ∈ signs then -1 else 1) *
        (dist (s.points i)
            (↑(((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan :
                    (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)))
                  (s.points i)) :
              P))⁻¹) =
    r *
      ((if i ∈ signs then -1 else 1) *
        (dist (s.points i)
            (↑(((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan :
                    (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)))
                  (s.points i)) :
              P))⁻¹)
rw₆ rw₇ :
  r *
      ((if i ∈ signs then -1 else 1) *
        (dist (s.points i)
            (↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)) :
                    (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)))
                  (s.points i)) :
              P))⁻¹) =
    r *
      ((if i ∈ signs then -1 else 1) *
        (dist (s.points i)
            (↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)) :
                    (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)))
                  (s.points i)) :
              P))⁻¹)
⊢ w i = r * ((if i ∈ signs then -1 else 1) * (s.height i)⁻¹)

Tactic:
rw [h', mul_comm, div_eq_mul_inv, mul_assoc, height, altitudeFoot, orthogonalProjectionSpan]

Premises used: Affine.Simplex.height, Affine.Simplex.orthogonalProjectionSpan, mul_assoc, div_eq_mul_inv, Affine.Simplex.altitudeFoot, mul_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i

Tactic:
have h'' : ∀ i, w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i := by
      simp_rw [excenterWeightsUnnorm]
      intro i
      replace h' := h' i
      rw [← height, ← eq_div_iff (s.height_pos i).ne'] at h'
      rw [h', mul_comm, div_eq_mul_inv, mul_assoc, height, altitudeFoot, orthogonalProjectionSpan]
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
⊢ r * ∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs i = 1

Tactic:
simp_rw [h'', ← Finset.mul_sum] at h1

Premises used: Finset.mul_sum
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
h1 : r * ∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs i = 1
h₁ : ∀ (j : Fin (n + 1)), w j = s.excenterWeights signs j
⊢ w = s.excenterWeights signs

Tactic:
ext j
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
h1 : r * ∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs i = 1
j : Fin (n + 1)
h₁ :
  (∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ * s.excenterWeightsUnnorm signs j = s.excenterWeights signs j
⊢ w j = s.excenterWeights signs j

Tactic:
rw [h'', eq_inv_of_mul_eq_one_left h1]

Premises used: eq_inv_of_mul_eq_one_left
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
h1 : r * ∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs i = 1
j : Fin (n + 1)
⊢ (∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ * s.excenterWeightsUnnorm signs j = s.excenterWeights signs j

Tactic:
simp [excenterWeights]

Premises used: Affine.Simplex.excenterWeights
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
⊢ w = s.excenterWeights signs

Tactic:
have hw : w = s.excenterWeights signs := by
      simp_rw [h'', ← Finset.mul_sum] at h1
      ext j
      rw [h'', eq_inv_of_mul_eq_one_left h1]
      simp [excenterWeights]
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), w i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
hw : w = s.excenterWeights signs
refine_1 :
  ∀ (h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeights signs i) 1)
    (hp :
      Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) : P))
    (h :
      ∀ (i : Fin (n + 1)),
        (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
            ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) :
              P) =
          (if i ∈ signs then -1 else 1) * r)
    (h' :
      ∀ (i : Fin (n + 1)),
        s.excenterWeights signs i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r)
    (h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), s.excenterWeights signs i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i),
    s.ExcenterExists signs ∧
      (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) =
        s.excenter signs
⊢ s.ExcenterExists signs ∧
    (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) w = s.excenter signs

Tactic:
subst hw
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeights signs i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    s.excenterWeights signs i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), s.excenterWeights signs i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
⊢ s.ExcenterExists signs ∧
    (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) =
      s.excenter signs

Tactic:
⟨s.sum_excenterWeights_eq_one_iff.1 h1, rfl⟩

Premises used: Affine.Simplex.sum_excenterWeights_eq_one_iff, And.intro, Iff.mp, rfl
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
h1 : Eq (α := ℝ) (∑ i : Fin (n + 1), s.excenterWeights signs i) 1
hp :
  Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points))
    ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) : P)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ)
        ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) : P) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    s.excenterWeights signs i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), s.excenterWeights signs i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
⊢ s.ExcenterExists signs ∧
    (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → P) (s.excenterWeights signs) =
      s.excenter signs

Tactic:
exact ⟨s.sum_excenterWeights_eq_one_iff.1 h1, rfl⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs)
⊢ ∃ (r : ℝ),
    ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) (s.excenter signs) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r

Tactic:
⟨SignType.sign (∑ j, s.excenterWeightsUnnorm signs j) * (s.exradius signs), fun i ↦ ?_⟩

Premises used: SignType.cast, HMul.hMul, Finset.univ, Affine.Simplex.excenterWeightsUnnorm, Exists.intro, Affine.Simplex.exradius, DFunLike.coe, SignType.sign, Finset.sum
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs)
refine_2 :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) (s.excenter signs) =
      (if i ∈ signs then -1 else 1) *
        ((↑((SignType.sign : (a : ℝ) → SignType) (∑ j : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs j)) : ℝ) *
          s.exradius signs)
⊢ ∃ (r : ℝ),
    ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) (s.excenter signs) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r

Tactic:
refine ⟨SignType.sign (∑ j, s.excenterWeightsUnnorm signs j) * (s.exradius signs), fun i ↦ ?_⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs)
i : Fin (n + 1)
refine_2 :
  HMul.hMul (α := ℝ) (if i ∈ signs then -1 else 1)
        (↑((SignType.sign : (a : ℝ) → SignType) (∑ j : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs j)) : ℝ) *
      s.exradius signs =
    (if i ∈ signs then -1 else 1) *
      ((↑((SignType.sign : (a : ℝ) → SignType) (∑ j : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs j)) : ℝ) *
        s.exradius signs)
⊢ (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) (s.excenter signs) =
    (if i ∈ signs then -1 else 1) *
      ((↑((SignType.sign : (a : ℝ) → SignType) (∑ j : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs j)) : ℝ) *
        s.exradius signs)

Tactic:
rw [h.signedInfDist_excenter]

Premises used: Affine.Simplex.ExcenterExists.signedInfDist_excenter
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs)
i : Fin (n + 1)
⊢ HMul.hMul (α := ℝ) (if i ∈ signs then -1 else 1)
        (↑((SignType.sign : (a : ℝ) → SignType) (∑ j : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs j)) : ℝ) *
      s.exradius signs =
    (if i ∈ signs then -1 else 1) *
      ((↑((SignType.sign : (a : ℝ) → SignType) (∑ j : Fin (n + 1), s.excenterWeightsUnnorm signs j)) : ℝ) *
        s.exradius signs)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
⊢ (∃ (r : ℝ),
      ∀ (i : Fin (n + 1)),
        (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = (if Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) ∅ i then -1 else 1) * r) ↔
    s.ExcenterExists ∅ ∧ p = s.excenter ∅

Tactic:
s.exists_forall_signedInfDist_eq_iff_excenterExists_and_eq_excenter hp (signs := ∅)

Premises used: Affine.Simplex.exists_forall_signedInfDist_eq_iff_excenterExists_and_eq_excenter
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
h : ∀ (x : ℝ) (a : Fin (n + 1)), x = (if Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) ∅ a then -1 else 1) * x
h₁ : p = s.incenter ↔ s.ExcenterExists ∅ ∧ p = s.excenter ∅
⊢ (∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = r) ↔ p = s.incenter

Tactic:
convert! s.exists_forall_signedInfDist_eq_iff_excenterExists_and_eq_excenter hp (signs := ∅)

Premises used: Affine.Simplex.exists_forall_signedInfDist_eq_iff_excenterExists_and_eq_excenter
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
x : ℝ
a : Fin (n + 1)
⊢ x = (if Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) ∅ a then -1 else 1) * x

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
⊢ p = s.incenter ↔ s.ExcenterExists ∅ ∧ p = s.excenter ∅

Tactic:
simp [excenterExists_empty]

Premises used: Affine.Simplex.excenterExists_empty