awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
refine_2 : HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ) ≠ 0
⊢ (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ) ≠ 0

Tactic:
refine div_ne_zero_iff.mpr ⟨?_, hm₀⟩

Premises used: Iff.mpr, div_ne_zero_iff, And.intro
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ) ≠ 0

Tactic:
mod_cast mt sub_eq_zero.mp (mt Rat.eq_iff_mul_eq_mul.mpr hne)

Premises used: Iff.mpr, Int.cast, Int.cast_natCast, Rat.num, HMul.hMul, congrArg, sub_eq_zero, Int.cast_zero, HSub.hSub, cast, Rat.den, mt, Ne, Nat.cast, Int.cast_inj._simp_1, Int.cast_mul._simp_1, congr, Iff.mp, congrFun', Nat.cast_zero, OfNat.ofNat, Eq.symm, Eq, Not, Rat.eq_iff_mul_eq_mul, Eq.trans, Int.cast_sub._simp_1
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ) ≠ 0

Tactic:
exact mod_cast mt sub_eq_zero.mp (mt Rat.eq_iff_mul_eq_mul.mpr hne)

Premises used: Iff.mpr, sub_eq_zero, mt, Iff.mp, Rat.eq_iff_mul_eq_mul
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
⊢ (∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0) ↔ ¬IsSquare d

Tactic:
⟨?_, exists_of_not_isSquare h₀⟩

Premises used: Pell.exists_of_not_isSquare, Iff.intro
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
refine : (∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0) → ¬IsSquare d
⊢ (∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0) ↔ ¬IsSquare d

Tactic:
refine ⟨?_, exists_of_not_isSquare h₀⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
x y : ℤ
hy : y ≠ 0
a : ℤ
h₀ : 0 < a * a
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - a * a * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
⊢ (x + a * y) * (x - a * y) = 1

Tactic:
rw [← sq, ← mul_pow, sq_sub_sq] at hxy

Premises used: sq, mul_pow, sq_sub_sq
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
x y : ℤ
hy : y ≠ 0
a : ℤ
h₀ : 0 < a * a
hxy : (x + a * y) * (x - a * y) = 1
⊢ False

Tactic:
simpa [hy, mul_self_pos.mp h₀, sub_eq_add_neg, eq_neg_self_iff] using Int.eq_of_mul_eq_one hxy

Premises used: Int.eq_of_mul_eq_one, sub_eq_add_neg, mul_self_pos, CharZero.eq_neg_self_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
obtain :
  ∀ (x y : ℤ) (prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1) (hy : y ≠ 0),
    ∃ (a : Solution₁ d), a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), a ≠ 1 ∧ a ≠ -1

Tactic:
obtain ⟨x, y, prop, hy⟩ := exists_of_not_isSquare h₀ hd

Premises used: Pell.exists_of_not_isSquare, Pell.Solution₁.prop
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), a ≠ 1 ∧ a ≠ -1

Tactic:
⟨mk x y prop, fun H => ?_, fun H => ?_⟩

Premises used: And.intro, Pell.Solution₁.mk, Exists.intro
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
refine_1 : ∀ (H : mk x y prop = 1), False
refine_2 : ∀ (H : mk x y prop = -1), False
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), a ≠ 1 ∧ a ≠ -1

Tactic:
refine ⟨mk x y prop, fun H => ?_, fun H => ?_⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
H : mk x y prop = 1
⊢ (mk x y prop).y = Solution₁.y (d := d) 1

Tactic:
apply_fun Solution₁.y at H

Premises used: Pell.Solution₁.y
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
H : mk x y prop = -1
⊢ (mk x y prop).y = Solution₁.y (d := d) (-1)

Tactic:
apply_fun Solution₁.y at H

Premises used: Pell.Solution₁.y
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
H : (mk x y prop).y = Solution₁.y (d := d) 1
⊢ False

Tactic:
simp [hy] at H
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
H : (mk x y prop).y = Solution₁.y (d := d) (-1)
⊢ False

Tactic:
simp [hy] at H
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
obtain :
  ∀ (x y : ℤ) (h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1) (hy : y ≠ 0),
    ∃ (a : Solution₁ d), 1 < a.x ∧ 0 < a.y
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), 1 < a.x ∧ 0 < a.y

Tactic:
obtain ⟨x, y, h, hy⟩ := exists_of_not_isSquare h₀ hd

Premises used: Pell.exists_of_not_isSquare
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
rwa : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) |y| 2 = 1
rwa₁ rwa₂ rwa₃ rwa₄ : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) |x| 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) |y| 2 = 1

Tactic:
rwa [sq_abs, sq_abs]

Premises used: sq_abs
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
refine : 1 < Solution₁.x (d := d) (mk |x| |y| ⋯)
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), 1 < a.x ∧ 0 < a.y

Tactic:
refine ⟨mk |x| |y| (by rwa [sq_abs, sq_abs]), ?_, abs_pos.mpr hy⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
rw : 0 < d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2
⊢ 1 < Solution₁.x (d := d) (mk |x| |y| ⋯)

Tactic:
rw [x_mk, ← one_lt_sq_iff_one_lt_abs, eq_add_of_sub_eq h, lt_add_iff_pos_right]

Premises used: lt_add_iff_pos_right, one_lt_sq_iff_one_lt_abs, eq_add_of_sub_eq, Pell.Solution₁.x_mk
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ 0 < d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2

Tactic:
mul_pos h₀ (sq_pos_of_ne_zero hy)

Premises used: mul_pos, sq_pos_of_ne_zero
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ 0 < d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2

Tactic:
exact mul_pos h₀ (sq_pos_of_ne_zero hy)

Premises used: mul_pos, sq_pos_of_ne_zero
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
⊢ 0 < a.x

Tactic:
zero_lt_one.trans h.1

Premises used: zero_lt_one, And.left, LT.lt.trans
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
⊢ 0 < d

Tactic:
d_pos_of_one_lt_x h.1

Premises used: Pell.Solution₁.d_pos_of_one_lt_x, And.left
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
⊢ ¬IsSquare d

Tactic:
d_nonsquare_of_one_lt_x h.1

Premises used: Pell.Solution₁.d_nonsquare_of_one_lt_x, And.left
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
⊢ a.x = b.x

Tactic:
have hx := le_antisymm (ha.2.2 hb.1) (hb.2.2 ha.1)
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
⊢ a = b

Tactic:
Solution₁.ext hx ?_

Premises used: Pell.Solution₁.ext
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
refine : a.y = b.y
⊢ a = b

Tactic:
refine Solution₁.ext hx ?_

Premises used: Pell.Solution₁.ext
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
rw : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - 1 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
rw₁ : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) b.x 2 - 1
rw₂ rw₃ : HPow.hPow (β := ℕ) b.x 2 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) b.x 2 - 1
⊢ d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2

Tactic:
rw [a.prop_y, b.prop_y, hx]

Premises used: Pell.Solution₁.prop_y
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
⊢ d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2

Tactic:
have : d * a.y ^ 2 = d * b.y ^ 2 := by rw [a.prop_y, b.prop_y, hx]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
this : d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
⊢ a.y = b.y

Tactic:
(sq_eq_sq₀ ha.2.1.le hb.2.1.le).mp (Int.eq_of_mul_eq_mul_left ha.d_pos.ne' this)

Premises used: Int.eq_of_mul_eq_mul_left, LT.lt.le, LT.lt.ne', Pell.IsFundamental.d_pos, And.right, And.left, Iff.mp, sq_eq_sq₀
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
this : d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
⊢ a.y = b.y

Tactic:
exact (sq_eq_sq₀ ha.2.1.le hb.2.1.le).mp (Int.eq_of_mul_eq_mul_left ha.d_pos.ne' this)

Premises used: Int.eq_of_mul_eq_mul_left, LT.lt.le, LT.lt.ne', Pell.IsFundamental.d_pos, And.right, And.left, Iff.mp, sq_eq_sq₀
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
obtain : ∀ (a : Solution₁ d) (ha₁ : 1 < a.x) (ha₂ : 0 < a.y), ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a

Tactic:
obtain ⟨a, ha₁, ha₂⟩ := exists_pos_of_not_isSquare h₀ hd

Premises used: Pell.Solution₁.exists_pos_of_not_isSquare
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1

Tactic:
have hax := a.prop
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
hax : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1
⊢ 0 ≤ a.x

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
hax : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1
lift :
  ∀ (ax : ℕ) (ha₁ : LT.lt (α := ℤ) 1 (↑ax : ℤ))
    (hax : HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑ax : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1),
    ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
⊢ ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1

Tactic:
lift a.x to ℕ using by positivity with ax

Premises used: Pell.Solution₁.x
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₂ : 0 < a.y
ax : ℕ
ha₁ : LT.lt (α := ℤ) 1 (↑ax : ℤ)
hax : HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑ax : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1
⊢ 1 < ax

Tactic:
norm_cast at ha₁
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₂ : 0 < a.y
ax : ℕ
hax : HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑ax : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1
ha₁ : 1 < ax
⊢ ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1

Tactic:
⟨ax, ha₁, a.y, ha₂, hax⟩

Premises used: Pell.Solution₁.y, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₂ : 0 < a.y
ax : ℕ
hax : HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑ax : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1
ha₁ : 1 < ax
⊢ ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1

Tactic:
exact ⟨ax, ha₁, a.y, ha₂, hax⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
⊢ ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1

Tactic:
have P : ∃ x' : ℕ, 1 < x' ∧ ∃ y' : ℤ, 0 < y' ∧ (x' : ℤ) ^ 2 - d * y' ^ 2 = 1 := by
    have hax := a.prop
    lift a.x to ℕ using by positivity with ax
    norm_cast at ha₁
    exact ⟨ax, ha₁, a.y, ha₂, hax⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
obtain :
  ∀
    (hx :
      1 <
        Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
          1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P)
    (y₁ : ℤ) (hy₀ : 0 < y₁)
    (hy₁ :
      HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
            (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
                  1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
                  P) :
              ℤ)
            2 -
          d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
        1),
    ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a

Tactic:
obtain ⟨hx, y₁, hy₀, hy₁⟩ := Nat.find_spec P

Premises used: Nat.find_spec
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
hx :
  1 <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
y₁ : ℤ
hy₀ : 0 < y₁
hy₁ :
  HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
        (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
              1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
              P) :
          ℤ)
        2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
    1
⊢ LT.lt (α := ℤ) 1 (↑x₁ : ℤ)

Tactic:
mod_cast hx

Premises used: HMul.hMul, congrArg, Nat.cast_lt._simp_1, HSub.hSub, cast, Exists, Nat.cast, funext, And, Nat.find.congr_simp, HPow.hPow, congr, LT.lt, Eq.ndrec, congrFun', Nat.cast_zero, OfNat.ofNat, Eq.symm, Eq, Nat.cast_one, Eq.trans, Nat.cast_pow._simp_1
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
hx :
  1 <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
y₁ : ℤ
hy₀ : 0 < y₁
hy₁ :
  HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
        (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
              1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
              P) :
          ℤ)
        2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
    1
⊢ LT.lt (α := ℤ) 1 (↑x₁ : ℤ)

Tactic:
exact mod_cast hx
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
hx :
  1 <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
y₁ : ℤ
hy₀ : 0 < y₁
hy₁ :
  HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
        (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
              1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
              P) :
          ℤ)
        2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
    1
refine : ∀ {b : Solution₁ d} (hb : 1 < b.x), (Solution₁.mk (↑x₁ : ℤ) y₁ hy₁).x ≤ b.x
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a

Tactic:
refine ⟨mk x₁ y₁ hy₁, by rw [x_mk]; exact mod_cast hx, hy₀, fun {b} hb => ?_⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
hx :
  1 <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
y₁ : ℤ
hy₀ : 0 < y₁
hy₁ :
  HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
        (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
              1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
              P) :
          ℤ)
        2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
    1
b : Solution₁ d
hb : 1 < b.x
⊢ b.x = (↑b.x.toNat : ℤ)

Tactic:
have hb' := (Int.toNat_of_nonneg <| zero_le_one.trans hb.le).symm
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
hx :
  1 <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
y₁ : ℤ
hy₀ : 0 < y₁
hy₁ :
  HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
        (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
              1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
              P) :
          ℤ)
        2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
    1
b : Solution₁ d
hb : 1 < b.x
hb' : b.x = (↑b.x.toNat : ℤ)
⊢ 1 < b.x

Tactic:
have hb'' := hb
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
hx :
  1 <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
y₁ : ℤ
hy₀ : 0 < y₁
hy₁ :
  HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
        (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
              1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
              P) :
          ℤ)
        2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
    1
b : Solution₁ d
hb : 1 < b.x
hb' : b.x = (↑b.x.toNat : ℤ)
hb'' : 1 < b.x
rw :
  ∀ (hb : LT.lt (α := ℤ) 1 (↑b.x.toNat : ℤ)) (hb' : b.x = (↑b.x.toNat : ℤ)) (hb'' : 1 < b.x),
    LE.le (α := ℤ) (↑x₁ : ℤ) (↑b.x.toNat : ℤ)
⊢ (↑x₁ : ℤ) ≤ b.x

Tactic:
rw [hb'] at hb ⊢
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
hx :
  1 <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
y₁ : ℤ
hy₀ : 0 < y₁
hy₁ :
  HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
        (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
              1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
              P) :
          ℤ)
        2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
    1
b : Solution₁ d
hb : LT.lt (α := ℤ) 1 (↑b.x.toNat : ℤ)
hb' : b.x = (↑b.x.toNat : ℤ)
hb'' : 1 < b.x
norm_cast : ∀ (hb : 1 < b.x.toNat), x₁ ≤ b.x.toNat
⊢ LE.le (α := ℤ) (↑x₁ : ℤ) (↑b.x.toNat : ℤ)

Tactic:
norm_cast at hb ⊢