-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Sites.Small
Goal:
P Q : MorphismProperty Scheme
S : Scheme
inst : P.IsStableUnderBaseChange
inst_1 : P.IsMultiplicative
inst_2 : P.RespectsIso
inst_3 : Q.IsStableUnderComposition
inst_4 : Q.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : Q.HasOfPostcompProperty Q
X : Q.Over ⊤ S
R : Sieve X
Y : (x : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) → Q.Over ⊤ S
f : (x : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) → Y x ⟶ X
y : (x : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) → ↥(Y x).toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left
hf : ∀ (x : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left), R.arrows (f x)
hP : ∀ (x : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left), P (f x).toCommaMorphism (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left
hy : ∀ (x : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left), (f x).toCommaMorphism (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left (y x) = x
rw :
  (∀ (x : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left),
      ∃ (i :
        PreZeroHypercover.I₀ (C := Scheme) (S := X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left)
          { I₀ := ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
            X := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦ (Y i).toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
            f := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦
              (f i).toCommaMorphism (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left }),
        Membership.mem (γ := Set ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left)
          (Set.range (ι :=
            ↥(PreZeroHypercover.X
                { I₀ := ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
                  X := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦
                    (Y i).toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
                  f := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦
                    (f i).toCommaMorphism (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left :
                  PreZeroHypercover X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left }
                i))
            ⇑(PreZeroHypercover.f
                { I₀ := ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
                  X := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦
                    (Y i).toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
                  f := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦
                    (f i).toCommaMorphism (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left :
                  PreZeroHypercover X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left }
                i))
          x) ∧
    ∀
      (i :
        PreZeroHypercover.I₀ (C := Scheme) (S := X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left)
          { I₀ := ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
            X := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦ (Y i).toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
            f := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦
              (f i).toCommaMorphism (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left }),
      P
        (PreZeroHypercover.f
          { I₀ := ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
            X := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦ (Y i).toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
            f := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦
              (f i).toCommaMorphism (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left :
            PreZeroHypercover X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left }
          i)
⊢ Membership.mem (γ := Set (Presieve X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left))
    ((precoverage P).coverings X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left)
    (PreZeroHypercover.presieve₀
      { I₀ := ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
        X := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦ (Y i).toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left,
        f := fun (i : ↥X.toComma (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left) ↦
          (f i).toCommaMorphism (P := Q) (Q := ⊤) (W := ⊤).left })

Tactic:
rw [presieve₀_mem_precoverage_iff]

Premises used: AlgebraicGeometry.Scheme.presieve₀_mem_precoverage_iff