-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.Homotopy
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F : PreOneHypercover.{w', v, u} S
inst_1 : HasPullbacks.{v, u} C
f g : E.Hom F
i j : (i : E.I₀) × F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)
Y_1 Y : C
k : E.I₁ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))) (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))
refine_2 :
  Sieve.arrows (X := pullback ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)) ((cylinder f g).sieve₁' i j) (Y :=
    pullback (X := pullback ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)) (Z :=
      pullback (X := E.X (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) (Y :=
        E.X (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
      (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)
        (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (pullback.fst
          (pullback.lift (f.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (g.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
          (F.toPullback (i.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (pullback.fst
          (pullback.lift (f.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (g.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
          (F.toPullback (j.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (𝟙 S) ⋯ ⋯)
      (E.toPullback k))
    (pullback.fst
      (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)
        (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (pullback.fst
          (pullback.lift (f.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (g.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
          (F.toPullback (i.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (pullback.fst
          (pullback.lift (f.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (g.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
          (F.toPullback (j.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (𝟙 S) ⋯ ⋯)
      (E.toPullback k))
⊢ Sieve.arrows (X := pullback ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)) ((cylinder f g).sieve₁' i j) (Y :=
    pullback (Y := pullback ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)) (Z :=
      pullback (X := E.X (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) (Y :=
        E.X (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
      (E.toPullback k)
      (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)
        (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (pullback.fst
          (pullback.lift (f.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (g.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
          (F.toPullback (i.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (pullback.fst
          (pullback.lift (f.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (g.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
          (F.toPullback (j.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (𝟙 S) ⋯ ⋯))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        pullback (X := pullback ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)) (Z :=
          pullback (X := E.X (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) (Y :=
            E.X (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
          (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)
            (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (pullback.fst
              (pullback.lift (f.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
                (g.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
              (F.toPullback (i.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
            (pullback.fst
              (pullback.lift (f.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
                (g.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
              (F.toPullback (j.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
            (𝟙 S) ⋯ ⋯)
          (E.toPullback k))
        (Iso.inv
          (pullbackSymmetry
            (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)
              (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
              (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
              (pullback.fst
                (pullback.lift (f.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
                  (g.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
                (F.toPullback (i.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
              (pullback.fst
                (pullback.lift (f.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
                  (g.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
                (F.toPullback (j.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
              (𝟙 S) ⋯ ⋯)
            (E.toPullback k)))
        (pullback.fst
          (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)
            (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (pullback.fst
              (pullback.lift (f.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
                (g.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
              (F.toPullback (i.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
            (pullback.fst
              (pullback.lift (f.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
                (g.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
              (F.toPullback (j.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
            (𝟙 S) ⋯ ⋯)
          (E.toPullback k)) :
      pullback (Y := pullback ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)) (Z :=
          pullback (X := E.X (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) (Y :=
            E.X (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
          (E.toPullback k)
          (pullback.map ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j)
            (E.f (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (E.f (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
            (pullback.fst
              (pullback.lift (f.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
                (g.h₀ (i.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
              (F.toPullback (i.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
            (pullback.fst
              (pullback.lift (f.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
                (g.h₀ (j.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
              (F.toPullback (j.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
            (𝟙 S) ⋯ ⋯) ⟶
        pullback ((cylinder f g).f i) ((cylinder f g).f j))

Tactic:
apply (((cylinder f g).sieve₁' i j)).downward_closed

Premises used: CategoryTheory.PreOneHypercover.cylinder, CategoryTheory.Sieve.downward_closed, CategoryTheory.PreOneHypercover.sieve₁'