awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)

Tactic:
have hle₂ : ν (tᶜ ∩ s) ≤ ∑' (n : {k | ν (t' k) < μ (t' k)}), ν (t' n) :=
      (measure_mono hcap).trans (measure_biUnion_le ν (to_countable {k | ν (t' k) < μ (t' k)}) _)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
      ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞) ≤
    ∑' (n : ℕ), min ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n)) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n))

Tactic:
(add_le_add hle₁ hle₂).trans ?_

Premises used: add_le_add, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
refine_2 :
  HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞)
      (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)))
      (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ))) ≤
    ∑' (n : ℕ), min ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n)) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n))
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
      ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞) ≤
    ∑' (n : ℕ), min ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n)) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n))

Tactic:
refine (add_le_add hle₁ hle₂).trans ?_

Premises used: add_le_add, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
h :
  ∀ (k : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℕ)
        ({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)})
        k ↔
      Membership.mem (γ := Set ℕ) univ k
⊢ Eq (α := Set ℕ)
    ({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
      {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)})
    univ

Tactic:
ext k
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
k : ℕ
⊢ Membership.mem (γ := Set ℕ)
      ({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
        {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)})
      k ↔
    Membership.mem (γ := Set ℕ) univ k

Tactic:
simp [le_or_gt]

Premises used: le_or_gt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := Set ℕ)
    ({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
      {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)})
    univ

Tactic:
have heq : {k | μ (t' k) ≤ ν (t' k)} ∪ {k | ν (t' k) < μ (t' k)} = univ := by
      ext k; simp [le_or_gt]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
heq :
  Eq (α := Set ℕ)
    ({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
      {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)})
    univ
rw :
  ∑' (x :
    (↑({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
          {k : ℕ |
            LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}) :
      Type)),
    min ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑x : ℕ))) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑x : ℕ)))
| ∑' (n : ℕ), min ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n)) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n))

Tactic:
rw [← tsum_univ, ← heq]

Premises used: tsum_univ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
heq :
  Eq (α := Set ℕ)
    ({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
      {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)})
    univ
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞)
      (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)))
      (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ))) ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞)
      (∑' (x :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        min ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑x : ℕ))) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑x : ℕ))))
      (∑' (x :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        min ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑x : ℕ))) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑x : ℕ))))

Tactic:
add_le_add (tsum_congr ?_).le (tsum_congr ?_).le

Premises used: tsum_congr, add_le_add, Eq.le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
heq :
  Eq (α := Set ℕ)
    ({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
      {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)})
    univ
n : ℕ
hn :
  Membership.mem (γ := Set ℕ)
    {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} n
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (t'
          (↑(Subtype.mk (p := fun (a : ℕ) ↦
                Membership.mem (γ := Set ℕ)
                  {k : ℕ |
                    LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
                  a)
                n hn) :
            ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
    (min
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (t'
            (↑(Subtype.mk (p := fun (a : ℕ) ↦
                  Membership.mem (γ := Set ℕ)
                    {k : ℕ |
                      LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)
                        ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
                    a)
                  n hn) :
              ℕ)))
        ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (t'
            (↑(Subtype.mk (p := fun (a : ℕ) ↦
                  Membership.mem (γ := Set ℕ)
                    {k : ℕ |
                      LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)
                        ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
                    a)
                  n hn) :
              ℕ))) :
      ℝ≥0∞)

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.MeasureSpace
Goal:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t' : ℕ → Set α
ht' : s ⊆ iUnion t'
t : Set α :=
  ⋃ (n : ℕ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Set ℕ)
        {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
        n),
      t' n
ht :
  t =
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
hcap :
  tᶜ ∩ s ⊆
    ⋃ (n : ℕ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Set ℕ)
          {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)}
          n),
        t' n
hle₂ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (tᶜ ∩ s) : ℝ≥0∞)
    (∑' (n :
        (↑{k : ℕ |
              LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} :
          Type)),
        (ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' (↑n : ℕ)) :
      ℝ≥0∞)
heq :
  Eq (α := Set ℕ)
    ({k : ℕ | LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} ∪
      {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)})
    univ
n : ℕ
hn :
  Membership.mem (γ := Set ℕ)
    {k : ℕ | LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' k) : ℝ≥0∞)} n
⊢ LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n) : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' n) : ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [mem_setOf_eq] at hn

Premises used: Set.mem_setOf_eq