awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst_4 : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst_5 : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p') =
    Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p')
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
neg :
  ∀
    (h :
      dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p' =
        dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p')
    (hp : p ≠ p') (hpd : 0 < dist p p'),
    dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
      dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
rw : dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≤ dist p p'
rw₁ : dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ≤ dist p p'
⊢ dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)

Tactic:
rw [Real.arcsin_inj (le_trans (by norm_num : (-1 : ℝ) ≤ 0) (by positivity))
        ((div_le_one hpd).2 ?_)
        (le_trans (by norm_num : (-1 : ℝ) ≤ 0) (by positivity)) ((div_le_one hpd).2 ?_)] at h

Premises used: Iff.mpr, div_le_one, Real.arcsin_inj, le_trans
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst_4 : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst_5 : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p' =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p'
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
neg neg₁ neg₂ neg₃ :
  ∀
    (h :
      dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
        dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P))
    (hp : p ≠ p') (hpd : 0 < dist p p'),
    dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
      dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
⊢ dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)

Tactic:
rwa [div_left_inj' hpd.ne'] at h

Premises used: LT.lt.ne', div_left_inj'
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst_4 : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst_5 : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p') =
    Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p')
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
rw : Metric.infDist p (↑s₁ : Set P) ≤ dist p p'
⊢ dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≤ dist p p'

Tactic:
rw [dist_orthogonalProjection_eq_infDist]

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_infDist
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst_4 : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst_5 : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p') =
    Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p')
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
⊢ Metric.infDist p (↑s₁ : Set P) ≤ dist p p'

Tactic:
Metric.infDist_le_dist_of_mem (SetLike.mem_coe.1 hp'₁)

Premises used: Metric.infDist_le_dist_of_mem, SetLike.mem_coe, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst_4 : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst_5 : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p') =
    Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p')
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
⊢ Metric.infDist p (↑s₁ : Set P) ≤ dist p p'

Tactic:
exact Metric.infDist_le_dist_of_mem (SetLike.mem_coe.1 hp'₁)

Premises used: Metric.infDist_le_dist_of_mem, SetLike.mem_coe, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst_4 : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst_5 : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p') =
    Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p')
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
rw : Metric.infDist p (↑s₂ : Set P) ≤ dist p p'
⊢ dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ≤ dist p p'

Tactic:
rw [dist_orthogonalProjection_eq_infDist]

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_infDist
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst_4 : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst_5 : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p') =
    Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p')
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
⊢ Metric.infDist p (↑s₂ : Set P) ≤ dist p p'

Tactic:
Metric.infDist_le_dist_of_mem (SetLike.mem_coe.1 hp'₂)

Premises used: Metric.infDist_le_dist_of_mem, SetLike.mem_coe, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst_4 : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst_5 : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
h' : p ∉ s₁ ∧ p ∉ s₂
h :
  Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) / dist p p') =
    Real.arcsin (dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) / dist p p')
hp : p ≠ p'
hpd : 0 < dist p p'
⊢ Metric.infDist p (↑s₂ : Set P) ≤ dist p p'

Tactic:
exact Metric.infDist_le_dist_of_mem (SetLike.mem_coe.1 hp'₂)

Premises used: Metric.infDist_le_dist_of_mem, SetLike.mem_coe, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hp₁ : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≠ p'
hp₂ : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ≠ p'
h :
  ∡ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) p' p =
    ∡ p p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
rw :
  ∡ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) p' p =
      ∡ p p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ∨
    Wbtw ℝ p' (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
        (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ∨
      Wbtw ℝ p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
        (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
⊢ dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)

Tactic:
rw [dist_orthogonalProjection_eq_iff_angle_eq hp'₁ hp'₂, angle_comm,
      angle_eq_iff_oangle_eq_or_wbtw hp₁ hp₂]

Premises used: EuclideanGeometry.angle_comm, EuclideanGeometry.angle_eq_iff_oangle_eq_or_wbtw, EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_iff_angle_eq
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hp₁ : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≠ p'
hp₂ : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ≠ p'
h :
  ∡ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) p' p =
    ∡ p p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
⊢ ∡ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) p' p =
      ∡ p p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ∨
    Wbtw ℝ p' (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
        (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ∨
      Wbtw ℝ p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
        (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)

Tactic:
.inl h

Premises used: Or.inl
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hp₁ : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≠ p'
hp₂ : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ≠ p'
h :
  ∡ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) p' p =
    ∡ p p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
⊢ ∡ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) p' p =
      ∡ p p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ∨
    Wbtw ℝ p' (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
        (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) ∨
      Wbtw ℝ p' (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
        (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)

Tactic:
exact .inl h
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
⊢ Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁

Tactic:
haveI : Nonempty s₁ := ⟨p', hp'₁⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
⊢ Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂

Tactic:
haveI : Nonempty s₂ := ⟨p', hp'₂⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
⊢ Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)

Tactic:
haveI : Nonempty (s₁ ⊓ s₂ : AffineSubspace ℝ P) := ⟨p', hp'₁, hp'₂⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'
⊢ (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'

Tactic:
rw [hp, eq_comm, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₂] at h

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem, eq_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'
h₁ : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'
⊢ Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁

Tactic:
rw [hp, eq_comm, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₂] at h

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem, eq_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'
h₁ : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'
this₁ : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
⊢ Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂

Tactic:
rw [hp, eq_comm, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₂] at h

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem, eq_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'
h₁ : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'
this₁ : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this₂ : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
⊢ Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)

Tactic:
rw [hp, eq_comm, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₂] at h

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem, eq_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'
h₁ : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'
this₁ : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this₂ : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this₃ : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
⊢ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'

Tactic:
rw [hp, eq_comm, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₂] at h

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem, eq_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'
⊢ False

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
⊢ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≠ p'

Tactic:
have hp₁ : orthogonalProjection s₁ p ≠ p' := by
    intro hp
    rw [hp, eq_comm, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₂] at h
    grind
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≠ p'
hp : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'
⊢ (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'

Tactic:
rw [hp, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₁] at h

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≠ p'
hp : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'
h₁ : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'
⊢ Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁

Tactic:
rw [hp, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₁] at h

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_5 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne :
  Ne.{u_2 + 1} (α := P) (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P)
    (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
h :
  dist p (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) =
    dist p (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P)
this_1 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂
this : Nonempty.{u_2 + 1} ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) ≠ p'
hp : (↑((orthogonalProjection s₂ : (a : P) → ↥s₂) p) : P) = p'
h₁ : (↑((orthogonalProjection s₁ : (a : P) → ↥s₁) p) : P) = p'
this₁ : Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₁
⊢ Nonempty.{u_2 + 1} ↥s₂

Tactic:
rw [hp, dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem hp'₁] at h

Premises used: EuclideanGeometry.dist_orthogonalProjection_eq_dist_iff_eq_of_mem