awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
pos :
  ∀ (H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n),
    Membership.mem (γ := Submodule (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Submodule.span ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
      (mk
        { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
          den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })
neg :
  ∀ (H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n),
    Membership.mem (γ := Submodule (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Submodule.span ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
      (mk
        { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
          den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })
⊢ Membership.mem (γ := Submodule (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Submodule.span ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })

Tactic:
by_cases H : ∑ i, ai i • dv i = n
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
pos :
  Membership.mem (γ := Set (Away 𝒜 f))
    {x : Away 𝒜 f |
      ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x}
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })
⊢ Membership.mem (γ := Submodule (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Submodule.span ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })

Tactic:
apply Submodule.subset_span

Premises used: Submodule.subset_span
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ Membership.mem (γ := Set (Away 𝒜 f))
    {x : Away 𝒜 f |
      ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x}
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })

Tactic:
⟨j, ai, H.trans ?_, ?_⟩

Premises used: Set.Mem, setOf, Exists.intro, Eq.trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
pos : n = j • d
pos₁ :
  Eq (α := Away 𝒜 f) (Away.mk 𝒜 hf j (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯)
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })
⊢ Membership.mem (γ := Set (Away 𝒜 f))
    {x : Away 𝒜 f |
      ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x}
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })

Tactic:
refine ⟨j, ai, H.trans ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ n = j • d

Tactic:
DirectSum.degree_eq_of_mem_mem 𝒜 hb'
          (SetLike.pow_mem_graded j hf) hfj

Premises used: DirectSum.degree_eq_of_mem_mem, SetLike.pow_mem_graded
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ n = j • d

Tactic:
exact DirectSum.degree_eq_of_mem_mem 𝒜 hb'
          (SetLike.pow_mem_graded j hf) hfj

Premises used: DirectSum.degree_eq_of_mem_mem, SetLike.pow_mem_graded
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
pos :
  Eq (α := at Submonoid.powers f) (val (Away.mk 𝒜 hf j (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯))
    (val
      (mk
        { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
          den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
          NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }))
⊢ Eq (α := Away 𝒜 f) (Away.mk 𝒜 hf j (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯)
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
pos :
  Eq (α := at Submonoid.powers f)
    (Localization.mk (∏ i : ι', v i ^ ai i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid A) (Submonoid.powers f) x) (f ^ j) ⋯))
    (val
      (mk
        { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
          den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
          NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }))
⊢ Eq (α := at Submonoid.powers f) (val (Away.mk 𝒜 hf j (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯))
    (val
      (mk
        { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
          den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
          NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }))

Tactic:
simp only [val_mk, Away.val_mk]

Premises used: HomogeneousLocalization.Away.val_mk
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
pos :
  ∏ i : ι', v i ^ ai i =
    (↑(NumDenSameDeg.num
          { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
            den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
            NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }) :
      A)
⊢ Eq (α := at Submonoid.powers f)
    (Localization.mk (∏ i : ι', v i ^ ai i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid A) (Submonoid.powers f) x) (f ^ j) ⋯))
    (val
      (mk
        { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
          den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
          NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }))

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ ∏ i : ι', v i ^ ai i =
    (↑(NumDenSameDeg.num
          { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
            den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
            NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }) :
      A)

Tactic:
(DirectSum.decompose_of_mem_same _ ?_).symm

Premises used: DirectSum.decompose_of_mem_same, Eq.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
pos : ∏ i : ι', v i ^ ai i ∈ 𝒜 n
⊢ ∏ i : ι', v i ^ ai i =
    (↑(NumDenSameDeg.num
          { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
            den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
            NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }) :
      A)

Tactic:
refine (DirectSum.decompose_of_mem_same _ ?_).symm

Premises used: DirectSum.decompose_of_mem_same, Eq.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ ∏ i : ι', v i ^ ai i ∈ 𝒜 n

Tactic:
H ▸ SetLike.prod_pow_mem_graded _ _ _ _ fun i _ ↦ hxd i

Premises used: Eq.rec, SetLike.prod_pow_mem_graded
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ ∏ i : ι', v i ^ ai i ∈ 𝒜 n

Tactic:
exact H ▸ SetLike.prod_pow_mem_graded _ _ _ _ fun i _ ↦ hxd i
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ Membership.mem (γ := Submodule (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Submodule.span ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    0

Tactic:
zero_mem (Submodule.span (𝒜 0) _)

Premises used: Membership.mem, Subtype, Submodule.span, ZeroMemClass.zero_mem, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
h :
  Eq (α := Away 𝒜 f)
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })
    0
⊢ Membership.mem (γ := Submodule (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Submodule.span ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })

Tactic:
convert! zero_mem (Submodule.span (𝒜 0) _)

Premises used: Membership.mem, Subtype, Submodule.span, ZeroMemClass.zero_mem, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
h :
  Eq (α := at Submonoid.powers f)
    (val
      (mk
        { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
          den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
          NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }))
    (val.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) (σ := σ) (𝒜 := 𝒜) 0)
⊢ Eq (α := Away 𝒜 f)
    (mk
      { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
        den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ })
    0

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ (↑(((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n) : A) = 0

Tactic:
DirectSum.decompose_of_mem_ne _ ?_ H

Premises used: DirectSum.decompose_of_mem_ne
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
refine : ∏ i : ι', v i ^ ai i ∈ 𝒜 (∑ i : ι', ai i • dv i)
⊢ (↑(((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n) : A) = 0

Tactic:
refine DirectSum.decompose_of_mem_ne _ ?_ H

Premises used: DirectSum.decompose_of_mem_ne
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ ∏ i : ι', v i ^ ai i ∈ 𝒜 (∑ i : ι', ai i • dv i)

Tactic:
SetLike.prod_pow_mem_graded _ _ _ _ fun i _ ↦ hxd i

Premises used: Set.Mem, SetLike.prod_pow_mem_graded
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ ∏ i : ι', v i ^ ai i ∈ 𝒜 (∑ i : ι', ai i • dv i)

Tactic:
exact SetLike.prod_pow_mem_graded _ _ _ _ fun i _ ↦ hxd i

Premises used: SetLike.prod_pow_mem_graded
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
⊢ (↑(((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n) : A) = 0

Tactic:
have : (DirectSum.decompose 𝒜 (∏ i : ι', v i ^ ai i) n).1 = 0 := by
        refine DirectSum.decompose_of_mem_ne _ ?_ H
        exact SetLike.prod_pow_mem_graded _ _ _ _ fun i _ ↦ hxd i
-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization
Goal:
ι : Type u_1
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
inst_3 : AddCommMonoid ι
inst_4 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → σ
inst_5 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ι
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_6 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ι
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
HH : ¬Subsingleton (Away 𝒜 f)
n : ι
a : A
j : ℕ
hb' : (fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) j ∈ 𝒜 n
hfj : ¬f ^ j = 0
ai : ι' → ℕ
H : ¬∑ i : ι', ai i • dv i = n
this : (↑(((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n) : A) = 0
⊢ Eq (α := at Submonoid.powers f)
    (val
      (mk
        { deg := n, num := ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (∏ i : ι', v i ^ ai i) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) n,
          den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 n) (f ^ j) hb', den_mem := ⋯ :
          NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) }))
    (val.{u_1, u_2, u_3} (ι := ι) (σ := σ) (𝒜 := 𝒜) 0)

Tactic:
simp [this, Localization.mk_zero]

Premises used: Localization.mk_zero