-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
simp :
  a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) *
      Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
        g i =
          (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
              a (Exists.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i) ⋯)
            else 0) *
            c)
        ⋯ =
    a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) *
      Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
        g ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))) =
          a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) * c)
        ⋯
⊢ a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) *
      Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
        g i =
          (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
              a (Exists.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i) ⋯)
            else 0) *
            c)
        ⋯ =
    (if h :
          ∃ (j : Fin n),
            Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
              ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι) then
        a
          (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦
            Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
              ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)))
      else 0) *
      Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
        g ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))) =
          (if h :
                ∃ (j : Fin n),
                  Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
                    ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι) then
              a
                (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦
                  Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
                    ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)))
            else 0) *
            c)
        ⋯

Tactic:
simp only [EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, exists_eq, ↓reduceDIte, Classical.choose_eq]

Premises used: reduceDIte, exists_eq, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, Classical.choose_eq