-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : LieDerivation R L L
z : A ⊗[R] L
H :
  ∀ (a : A) (l : L),
    Eq (α := A ⊗[R] L)
      (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          (a ⊗ₜ[R] l) :
        A ⊗[R] L)
      ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          (a ⊗ₜ[R] l) :
        A ⊗[R] L)
H₁ :
  ∀ (x_2 x_3 : A ⊗[R] L)
    (hx :
      Eq (α := A ⊗[R] L)
        (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            x_2 :
          A ⊗[R] L)
        ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
                { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                  map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
                { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                  map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            x_2 :
          A ⊗[R] L))
    (hy :
      Eq (α := A ⊗[R] L)
        (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            x_3 :
          A ⊗[R] L)
        ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
                { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                  map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
                { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                  map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            x_3 :
          A ⊗[R] L)),
    Eq (α := A ⊗[R] L)
      (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          (x_2 + x_3) :
        A ⊗[R] L)
      ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          (x_2 + x_3) :
        A ⊗[R] L)
⊢ Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        z :
      A ⊗[R] L)
    ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        z :
      A ⊗[R] L)

Tactic:
refine z.induction_on (by simp) (fun a l ↦ ?_) (fun _ _ hx hy ↦ ?_)