awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
neg : ∀ (h' : ∀ (y : ↥K), ¬N.colon {y • x} ≤ I), False
⊢ ∃ (y : ↥K), N.colon {y • x} ≤ I

Tactic:
by_contra! h'
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
h' : ∀ (y : ↥K), ¬N.colon {y • x} ≤ I
⊢ ∀ (y : ↥K), ∃ x_1 ∈ N.colon {y • x}, x_1 ∉ I

Tactic:
simp only [SetLike.not_le_iff_exists] at h'

Premises used: SetLike.not_le_iff_exists
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
h' : ∀ (y : ↥K), ∃ x_1 ∈ N.colon {y • x}, x_1 ∉ I
neg : ∀ (f : (y : ↥K) → R) (g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}) (h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I), False
⊢ False

Tactic:
choose f g h using h'
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
⊢ FG.{u_1, u_1} (R := R) (M := ↥K) ⊤

Tactic:
Module.Finite.fg_top

Premises used: Module.Finite.fg_top
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
neg : ∀ (s : Finset ↥K) (hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤), False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨s, hs⟩ : (⊤ : Submodule R K).FG := Module.Finite.fg_top

Premises used: Module.Finite.fg_top, Submodule.FG, Top.top
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
⊢ z ∉ I

Tactic:
simp [z, hI.isPrime.prod_mem_iff, h]

Premises used: Ideal.IsPrime.prod_mem_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
⊢ z ∉ I

Tactic:
have hz : z ∉ I := by simp [z, hI.isPrime.prod_mem_iff, h]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
rw :
  ∀ (hs : map (Submodule.subtype K) (span R (↑s : Set ↥K)) = K),
    let z : R := ∏ y ∈ s, f y;
    ∀ (hz : z ∉ I), K ≤ N.colon {z • x}
⊢ K ≤ N.colon {z • x}

Tactic:
rw [← (map_injective_of_injective K.subtype_injective).eq_iff, map_subtype_top] at hs

Premises used: Function.Injective.eq_iff, Submodule.map_subtype_top, Submodule.subtype_injective, Submodule.map_injective_of_injective
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : map (Submodule.subtype K) (span R (↑s : Set ↥K)) = K
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
rw : (↑s : Set ↥K) ⊆ (⇑(Submodule.subtype K) : (a : ↥K) → R) ⁻¹' (↑(N.colon {z • x}) : Set R)
⊢ K ≤ N.colon {z • x}

Tactic:
rw [← hs, map_span, span_le, Set.image_subset_iff]

Premises used: Set.image_subset_iff, Submodule.map_span, Submodule.span_le
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : map (Submodule.subtype K) (span R (↑s : Set ↥K)) = K
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
i : ↥K
hi : i ∈ (↑s : Set ↥K)
rw : z ∈ N.colon {HSMul.hSMul (α := R) ((Submodule.subtype K : (a : ↥K) → R) i : R) x}
⊢ Membership.mem (γ := Set ↥K) ((⇑(Submodule.subtype K) : (a : ↥K) → R) ⁻¹' (↑(N.colon {z • x}) : Set R)) i

Tactic:
rw [Set.mem_preimage, SetLike.mem_coe, mem_colon_singleton, smul_comm, ← mem_colon_singleton]

Premises used: SetLike.mem_coe, Submodule.mem_colon_singleton, SMulCommClass.smul_comm, Set.mem_preimage
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : map (Submodule.subtype K) (span R (↑s : Set ↥K)) = K
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
i : ↥K
hi : i ∈ (↑s : Set ↥K)
obtain : ∀ (y : R) (hy : z = f i * y), z ∈ N.colon {HSMul.hSMul (α := R) ((Submodule.subtype K : (a : ↥K) → R) i : R) x}
⊢ z ∈ N.colon {HSMul.hSMul (α := R) ((Submodule.subtype K : (a : ↥K) → R) i : R) x}

Tactic:
obtain ⟨y, hy : z = f i * y⟩ := Finset.dvd_prod_of_mem f hi

Premises used: Finset.dvd_prod_of_mem
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : map (Submodule.subtype K) (span R (↑s : Set ↥K)) = K
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
i : ↥K
hi : i ∈ (↑s : Set ↥K)
y : R
hy : z = f i * y
⊢ z ∈ N.colon {HSMul.hSMul (α := R) ((Submodule.subtype K : (a : ↥K) → R) i : R) x}

Tactic:
hy ▸ Ideal.mul_mem_right y _ (g i)

Premises used: Eq.rec, Ideal.mul_mem_right, Eq.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : map (Submodule.subtype K) (span R (↑s : Set ↥K)) = K
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
i : ↥K
hi : i ∈ (↑s : Set ↥K)
y : R
hy : z = f i * y
⊢ z ∈ N.colon {HSMul.hSMul (α := R) ((Submodule.subtype K : (a : ↥K) → R) i : R) x}

Tactic:
exact hy ▸ Ideal.mul_mem_right y _ (g i)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
⊢ K ≤ N.colon {z • x}

Tactic:
have hz' : K ≤ colon N {z • x} := by
    rw [← (map_injective_of_injective K.subtype_injective).eq_iff, map_subtype_top] at hs
    rw [← hs, map_span, span_le, Set.image_subset_iff]
    intro i hi
    rw [Set.mem_preimage, SetLike.mem_coe, mem_colon_singleton, smul_comm, ← mem_colon_singleton]
    obtain ⟨y, hy : z = f i * y⟩ := Finset.dvd_prod_of_mem f hi
    exact hy ▸ Ideal.mul_mem_right y _ (g i)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K ≤ N.colon {z • x}
rw : ∀ z_1 ∈ K, z * z_1 ∈ ann
⊢ K * Ideal.span {z} ≤ ann

Tactic:
rw [mul_comm, Ideal.span_singleton_mul_le_iff]

Premises used: mul_comm, Ideal.span_singleton_mul_le_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K ≤ N.colon {z • x}
i : R
hi : i ∈ K
⊢ z * i ∈ ann

Tactic:
simpa only [ann, mem_colon_singleton, mul_comm, mul_smul] using hz' hi

Premises used: mul_comm, Submodule.mem_colon_singleton, SemigroupAction.mul_smul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K ≤ N.colon {z • x}
⊢ K * Ideal.span {z} ≤ ann

Tactic:
replace hz' : K * Ideal.span {z} ≤ ann := by
    rw [mul_comm, Ideal.span_singleton_mul_le_iff]
    intro i hi
    simpa only [ann, mem_colon_singleton, mul_comm, mul_smul] using hz' hi
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K * Ideal.span {z} ≤ ann
rw : I ^ (n - 1) * J * Ideal.span {z} ≤ ann ∧ ¬J ≤ I ∧ z ∉ I
⊢ I ^ (n - 1) * (J * Ideal.span {z}) ≤ ann ∧ ¬J * Ideal.span {z} ≤ I

Tactic:
rw [← mul_assoc, hI.isPrime.mul_le, not_or, Ideal.span_singleton_le_iff_mem]

Premises used: mul_assoc, Ideal.span_singleton_le_iff_mem, not_or, Ideal.IsPrime.mul_le, Ideal.IsMinimalPrime.isPrime
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K * Ideal.span {z} ≤ ann
⊢ I ^ (n - 1) * J * Ideal.span {z} ≤ ann ∧ ¬J ≤ I ∧ z ∉ I

Tactic:
⟨hz', hJI, hz⟩

Premises used: And.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K * Ideal.span {z} ≤ ann
⊢ I ^ (n - 1) * J * Ideal.span {z} ≤ ann ∧ ¬J ≤ I ∧ z ∉ I

Tactic:
exact ⟨hz', hJI, hz⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K * Ideal.span {z} ≤ ann
⊢ I ^ (n - 1) * (J * Ideal.span {z}) ≤ ann ∧ ¬J * Ideal.span {z} ≤ I

Tactic:
have hK : I ^ (n - 1) * (J * Ideal.span {z}) ≤ ann ∧ ¬ J * Ideal.span {z} ≤ I := by
    rw [← mul_assoc, hI.isPrime.mul_le, not_or, Ideal.span_singleton_le_iff_mem]
    exact ⟨hz', hJI, hz⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K * Ideal.span {z} ≤ ann
hK : I ^ (n - 1) * (J * Ideal.span {z}) ≤ ann ∧ ¬J * Ideal.span {z} ≤ I
pos : ∀ (hn' : n - 1 = 0), False
neg : ∀ (hn' : ¬n - 1 = 0), False
⊢ False

Tactic:
by_cases hn' : n - 1 = 0
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K * Ideal.span {z} ≤ ann
hK : I ^ (n - 1) * (J * Ideal.span {z}) ≤ ann ∧ ¬J * Ideal.span {z} ≤ I
hn' : n - 1 = 0
⊢ n = 1

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hz' : K * Ideal.span {z} ≤ ann
hK : I ^ (n - 1) * (J * Ideal.span {z}) ≤ ann ∧ ¬J * Ideal.span {z} ≤ I
hn' : n - 1 = 0
⊢ J * Ideal.span {z} ≤ ann

Tactic:
simp [K, show n = 1 by grind] at hz'
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hK : I ^ (n - 1) * (J * Ideal.span {z}) ≤ ann ∧ ¬J * Ideal.span {z} ≤ I
hn' : n - 1 = 0
hz' : J * Ideal.span {z} ≤ ann
⊢ False

Tactic:
(hK.2 (hz'.trans hI.le)).elim

Premises used: False.elim, Ideal.IsMinimalPrime.le, And.right, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
f : (y : ↥K) → R
g : ∀ (y : ↥K), f y ∈ N.colon {y • x}
h : ∀ (y : ↥K), f y ∉ I
s : Finset ↥K
hs : Eq (α := Submodule R ↥K) (span R (↑s : Set ↥K)) ⊤
z : R := ∏ y ∈ s, f y
hz : z ∉ I
hK : I ^ (n - 1) * (J * Ideal.span {z}) ≤ ann ∧ ¬J * Ideal.span {z} ≤ I
hn' : n - 1 = 0
hz' : J * Ideal.span {z} ≤ ann
⊢ False

Tactic:
exact (hK.2 (hz'.trans hI.le)).elim

Premises used: False.elim, Ideal.IsMinimalPrime.le, And.right, LE.le.trans