-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Graded
Goal:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
L : Type u_4
inst : DecidableEq ι
inst_1 : AddCommMonoid ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
ℒ : ι → Submodule R L
inst_5 : GradedLieAlgebra ℒ
φ : ι →+ R
hM :
  ∀ (k : ι) (b : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
    (hb : Membership.mem (α := L) (ℒ k) ((Equiv.symm (decompose ℒ) : (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → L) b : L)),
    (toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
            lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
              HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := ↥(ℒ i) →ₗ[R] ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R) LinearMap.id :
          (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
        b =
      HSMul.hSMul (α := R) ((φ : (a : ι) → R) k : R) b
j i : ι
a : ↥(ℒ i)
f_1 : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)
h : (f_1 : (a : ι) → ↥(ℒ a)) i = 0
h_1 : a ≠ 0
k : ι
b : ↥(ℒ k)
f : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)
h_2 : (f : (a : ι) → ↥(ℒ a)) k = 0
h_3 : b ≠ 0
ih :
  (↑((((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                    lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                      HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                        LinearMap.id :
                  (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                (Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  f) :
              ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
            (a : ι) → ↥(ℒ a))
          j) :
      L) =
    (↑(((Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  ((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                        lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                          HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                            LinearMap.id :
                      (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                    f) :
                ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
              (a : ι) → ↥(ℒ a))
            j) :
        L) -
      (↑((⁅f,
                HSMul.hSMul (α := R) (β := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))⁆ :
              (a : ι) → ↥(ℒ a))
            j) :
        L)
w :
  (↑((((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                        lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                          HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                            LinearMap.id :
                      (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                    (Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                            (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                          a :
                        ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) k : ↥(ℒ k) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                          (a : ↥(ℒ k)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                        b)) :
                  ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                (a : ι) → ↥(ℒ a))
              j) :
          L) +
        (↑(((Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                    (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                          (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                        a :
                      ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                    ((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                          lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                            HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                              LinearMap.id :
                        (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      f) :
                  ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                (a : ι) → ↥(ℒ a))
              j) :
          L) -
      (↑((HSMul.hSMul (α := R) (β := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                (⁅f,
                    ((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a⁆ :
                  ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
              (a : ι) → ↥(ℒ a))
            j) :
        L) =
    (↑(((Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                            (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                          a :
                        ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      ((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                            lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                              HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                                LinearMap.id :
                          (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                        (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) k : ↥(ℒ k) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                            (a : ↥(ℒ k)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                          b)) :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                  (a : ι) → ↥(ℒ a))
                j) :
            L) +
          (↑(((Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                            (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                          a :
                        ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      ((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                            lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                              HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                                LinearMap.id :
                          (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                        f) :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                  (a : ι) → ↥(ℒ a))
                j) :
            L) -
        (↑((HSMul.hSMul (α := R) (β := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                  (Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) k : ↥(ℒ k) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                            (a : ↥(ℒ k)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                          b :
                        ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                          (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                        a) :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                (a : ι) → ↥(ℒ a))
              j) :
          L) -
      (↑((HSMul.hSMul (α := R) (β := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                (⁅f,
                    ((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a⁆ :
                  ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
              (a : ι) → ↥(ℒ a))
            j) :
        L)
⊢ (↑((((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                    lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                      HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                        LinearMap.id :
                  (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                (Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  (HAdd.hAdd (α := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                    (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) k : ↥(ℒ k) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                          (a : ↥(ℒ k)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                        b :
                      ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                    f)) :
              ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
            (a : ι) → ↥(ℒ a))
          j) :
      L) =
    (↑(((Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  ((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                        lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                          HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                            LinearMap.id :
                      (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                    (HAdd.hAdd (α := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) k : ↥(ℒ k) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                            (a : ↥(ℒ k)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                          b :
                        ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      f)) :
                ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
              (a : ι) → ↥(ℒ a))
            j) :
        L) -
      (↑((⁅HAdd.hAdd (α := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) k : ↥(ℒ k) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ k)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      b :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  f,
                HSMul.hSMul (α := R) (β := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))⁆ :
              (a : ι) → ↥(ℒ a))
            j) :
        L)

Tactic:
simp only [lie_add, map_add, DirectSum.add_apply, Submodule.coe_add, ih, lie_smul,
            add_lie, smul_add, add_sub, ← sub_sub]

Premises used: Submodule.coe_add, lie_smul, add_sub, map_add, sub_sub, DirectSum.add_apply, smul_add, lie_add, add_lie