awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
apply :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F)
        (↑(↑(continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) :
              ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F ≃L[𝕜] E →L[𝕜] F) :
          ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F) *
      norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
          (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
        (p.changeOriginSeries 1 n) ≤
    norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
        (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
      (p.changeOriginSeries 1 n)
⊢ ‖p.derivSeries n‖ ≤
    norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
        (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
      (p.changeOriginSeries 1 n)

Tactic:
apply (ContinuousLinearMap.norm_compContinuousMultilinearMap_le _ _).trans

Premises used: ContinuousLinearMap.norm_compContinuousMultilinearMap_le, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
apply :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F)
      (↑(↑(continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F ≃L[𝕜] E →L[𝕜] F) :
        ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F) ≤
    1
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F)
        (↑(↑(continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) :
              ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F ≃L[𝕜] E →L[𝕜] F) :
          ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F) *
      norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
          (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
        (p.changeOriginSeries 1 n) ≤
    norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
        (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
      (p.changeOriginSeries 1 n)

Tactic:
apply mul_le_of_le_one_left (norm_nonneg _)

Premises used: mul_le_of_le_one_left, norm_nonneg
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ ∀ (x : ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F),
    norm (E := E →L[𝕜] F)
        (((↑(↑(continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) :
                    ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F ≃L[𝕜] E →L[𝕜] F) :
                ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F) :
              (a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F) → E →L[𝕜] F)
            x :
          E →L[𝕜] F) ≤
      1 * ‖x‖

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F)
      (↑(↑(continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F ≃L[𝕜] E →L[𝕜] F) :
        ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F →L[𝕜] E →L[𝕜] F) ≤
    1

Tactic:
exact ContinuousLinearMap.opNorm_le_bound _ zero_le_one (by simp)

Premises used: ContinuousLinearMap.opNorm_le_bound, zero_le_one
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) F) (p (n + 1)) 0
this :
  Eq (α :=
    ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
      (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
    (p.changeOriginSeries 1 n) 0
H :
  ∀ (v : (i : Fin n) → E) (x : E),
    Eq.{u_3 + 1} (α := F) ((((p.derivSeries n : (a : (i : Fin n) → E) → E →L[𝕜] F) v : E →L[𝕜] F) : (a : E) → F) x : F)
      ((((0 : (a : (i : Fin n) → E) → E →L[𝕜] F) v : E →L[𝕜] F) : (a : E) → F) x : F)
⊢ p.derivSeries n = 0

Tactic:
ext v
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) F) (p (n + 1)) 0
this :
  Eq (α :=
    ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
      (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
    (p.changeOriginSeries 1 n) 0
v : (i : Fin n) → E
x : E
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := F) ((((p.derivSeries n : (a : (i : Fin n) → E) → E →L[𝕜] F) v : E →L[𝕜] F) : (a : E) → F) x : F)
    ((((0 : (a : (i : Fin n) → E) → E →L[𝕜] F) v : E →L[𝕜] F) : (a : E) → F) x : F)

Tactic:
simp [derivSeries, this]

Premises used: FormalMultilinearSeries.derivSeries
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) F) (p (n + 1)) 0
suffices :
  Eq (α :=
    ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
      (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
    (p.changeOriginSeries 1 n) 0
⊢ p.derivSeries n = 0

Tactic:
suffices p.changeOriginSeries 1 n = 0 by ext v; simp [derivSeries, this]
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) F) (p (n + 1)) 0
apply :
  ∀ (s : { s : Finset (Fin (1 + n)) // s.card = n })
    (hs : Membership.mem (γ := Finset { s : Finset (Fin (1 + n)) // s.card = n }) Finset.univ s),
    p.changeOriginSeriesTerm 1 n (↑s : Finset (Fin (1 + n))) ⋯ = 0
⊢ Eq (α :=
    ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
      (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
    (p.changeOriginSeries 1 n) 0

Tactic:
apply Finset.sum_eq_zero (fun s hs ↦ ?_)

Premises used: Finset.sum_eq_zero
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) F) (p (n + 1)) 0
s : { s : Finset (Fin (1 + n)) // s.card = n }
hs : Membership.mem (γ := Finset { s : Finset (Fin (1 + n)) // s.card = n }) Finset.univ s
⊢ n + 1 = 1 + n

Tactic:
abel
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) F) (p (n + 1)) 0
s : { s : Finset (Fin (1 + n)) // s.card = n }
hs : Membership.mem (γ := Finset { s : Finset (Fin (1 + n)) // s.card = n }) Finset.univ s
⊢ Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (1 + n)) ↦ E) F) (p (1 + n)) 0

Tactic:
have : p (1 + n) = 0 := p.congr_zero (by abel) hp
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hp : Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) F) (p (n + 1)) 0
s : { s : Finset (Fin (1 + n)) // s.card = n }
hs : Membership.mem (γ := Finset { s : Finset (Fin (1 + n)) // s.card = n }) Finset.univ s
this : Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (1 + n)) ↦ E) F) (p (1 + n)) 0
simp :
  Eq (α :=
    ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E)
      (ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
    ((ContinuousMultilinearMap.curryFinFinset 𝕜 E F ⋯ ⋯ :
        (a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin (1 + n)) ↦ E) F) →
          ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin n) ↦ E) (ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 1) ↦ E) F))
      0)
    0
⊢ p.changeOriginSeriesTerm 1 n (↑s : Finset (Fin (1 + n))) ⋯ = 0

Tactic:
simp [changeOriginSeriesTerm, this]

Premises used: FormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
k : ℕ
hr : 0 < p.radius
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (𝕜 := 𝕜) (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
    (fun (x : E) ↦ p.changeOrigin x k) (p.changeOriginSeries k) 0 p.radius

Tactic:
have := p.le_changeOriginSeries_radius k
  ((p.changeOriginSeries k).hasFPowerSeriesOnBall (hr.trans_le this)).mono hr this

Premises used: FormalMultilinearSeries.le_changeOriginSeries_radius, FormalMultilinearSeries.changeOriginSeries, FormalMultilinearSeries.changeOrigin, LT.lt.trans_le, HasFPowerSeriesOnBall.mono, FormalMultilinearSeries.hasFPowerSeriesOnBall
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x

Tactic:
have x_mem_ball : x ∈ Metric.eball (0 : E) p.radius :=
    mem_eball_zero_iff.2 ((le_add_right le_rfl).trans_lt h)
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y

Tactic:
mem_eball_zero_iff.2 (lt_of_lt_of_le ?_ p.changeOrigin_radius)

Premises used: Iff.mpr, Set.Mem, FormalMultilinearSeries.changeOrigin_radius, mem_eball_zero_iff, lt_of_lt_of_le
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
refine : ‖y‖ₑ < p.radius - (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞)
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y

Tactic:
refine mem_eball_zero_iff.2 (lt_of_lt_of_le ?_ p.changeOrigin_radius)

Premises used: Iff.mpr, FormalMultilinearSeries.changeOrigin_radius, mem_eball_zero_iff, lt_of_lt_of_le
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
rwa : ‖y‖ₑ + (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
rwa₁ rwa₂ rwa₃ rwa₄ : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + ‖y‖ₑ < p.radius
⊢ ‖y‖ₑ < p.radius - (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞)

Tactic:
rwa [lt_tsub_iff_right, add_comm]

Premises used: lt_tsub_iff_right, add_comm
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y

Tactic:
have y_mem_ball : y ∈ Metric.eball (0 : E) (p.changeOrigin x).radius := by
    refine mem_eball_zero_iff.2 (lt_of_lt_of_le ?_ p.changeOrigin_radius)
    rwa [lt_tsub_iff_right, add_comm]
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)

Tactic:
mem_eball_zero_iff.2 (lt_of_le_of_lt ?_ h)

Premises used: Iff.mpr, lt_of_le_of_lt, Set.Mem, mem_eball_zero_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
refine : ‖x + y‖ₑ ≤ (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞)
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)

Tactic:
refine mem_eball_zero_iff.2 (lt_of_le_of_lt ?_ h)

Premises used: Iff.mpr, lt_of_le_of_lt, mem_eball_zero_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
⊢ ‖x + y‖ₑ ≤ (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞)

Tactic:
mod_cast nnnorm_add_le x y

Premises used: ENNReal.ofNNReal, WithTop.map₂, cast, WithTop.some, Eq.symm, nnnorm_add_le, enorm_le_coe._simp_1, Option.map₂
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
⊢ ‖x + y‖ₑ ≤ (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞)

Tactic:
exact mod_cast nnnorm_add_le x y

Premises used: nnnorm_add_le
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)

Tactic:
have x_add_y_mem_ball : x + y ∈ Metric.eball (0 : E) p.radius := by
    refine mem_eball_zero_iff.2 (lt_of_le_of_lt ?_ h)
    exact mod_cast nnnorm_add_le x y
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
⊢ Summable f

Tactic:
.of_nnnorm_bounded (p.changeOriginSeries_summable_aux₁ h) ?_

Premises used: Summable.of_nnnorm_bounded, FormalMultilinearSeries.changeOriginSeries_summable_aux₁
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ‖f
        (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) k
          (Sigma.mk (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) l
            (Subtype.mk (p := fun (s : Finset (Fin (k + l))) ↦ s.card = l) s hs)))‖₊ ≤
    nnnorm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (k + l)) ↦ E) F) (p (k + l)) * ‖x‖₊ ^ l *
      ‖y‖₊ ^ k

Tactic:
p.nnnorm_changeOriginSeriesTerm_apply_le _ _ _ _ _ _

Premises used: FormalMultilinearSeries.nnnorm_changeOriginSeriesTerm_apply_le