-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Constructions.Equalizers
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst_1 : Category.{v', u'} D
G : Functor.{v, v', u, u'} C D
inst_2 : HasBinaryProducts.{v, u} C
inst_3 : HasPullbacks.{v, u} C
F : Functor.{0, v, 0, u} WalkingParallelPair C
c : Cone F
m : c.pt ⟶ (equalizerCone F).pt
J : ∀ (j : WalkingParallelPair), m ≫ (equalizerCone F).π.app j = c.π.app j
J0 : m ≫ (equalizerCone F).π.app WalkingParallelPair.zero = c.π.app WalkingParallelPair.zero
h₀ :
  m ≫
      pullback.fst (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
        (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)) =
    CategoryStruct.comp (Y :=
      pullback (Z := prod.{v, u} (F.obj WalkingParallelPair.zero) (F.obj WalkingParallelPair.one))
        (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
        (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)))
      (pullback.lift (c.π.app WalkingParallelPair.zero) (c.π.app WalkingParallelPair.zero) ⋯ :
        c.pt ⟶
          pullback (Z := prod.{v, u} (F.obj WalkingParallelPair.zero) (F.obj WalkingParallelPair.one))
            (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
            (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)))
      (pullback.fst (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
          (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)) :
        pullback (Z := prod.{v, u} (F.obj WalkingParallelPair.zero) (F.obj WalkingParallelPair.one))
            (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
            (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)) ⟶
          F.obj WalkingParallelPair.zero)
h₁ :
  m ≫
      pullback.snd (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
        (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)) =
    CategoryStruct.comp (Y :=
      pullback (Z := prod.{v, u} (F.obj WalkingParallelPair.zero) (F.obj WalkingParallelPair.one))
        (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
        (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)))
      (pullback.lift (c.π.app WalkingParallelPair.zero) (c.π.app WalkingParallelPair.zero) ⋯ :
        c.pt ⟶
          pullback (Z := prod.{v, u} (F.obj WalkingParallelPair.zero) (F.obj WalkingParallelPair.one))
            (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
            (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)))
      (pullback.snd (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
          (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)) :
        pullback (Z := prod.{v, u} (F.obj WalkingParallelPair.zero) (F.obj WalkingParallelPair.one))
            (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left))
            (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right)) ⟶
          F.obj WalkingParallelPair.zero)
⊢ m = pullback.lift (c.π.app WalkingParallelPair.zero) (c.π.app WalkingParallelPair.zero) ⋯

Tactic:
apply pullback.hom_ext

Premises used: CategoryTheory.Limits.pullback.hom_ext