awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
calc_2 : ∀ (n : Fin N) (hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n), g n • f ≤ (y n + ε') • g n
⊢ LE.le (α := ℝ) (∑ n : Fin N, (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n • f))
    (∑ n : Fin N, (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) ((y n + ε') • g n))

Tactic:
gcongr with n hn
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
x : X
pos :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) x),
    LE.le (α := (fun (a : X) ↦ ℝ) x) ((g n • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (((y n + ε') • g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
neg :
  ∀ (hx : x ∉ tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)),
    LE.le (α := (fun (a : X) ↦ ℝ) x) ((g n • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (((y n + ε') • g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ LE.le (α := (fun (a : X) ↦ ℝ) x) ((g n • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (((y n + ε') • g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
by_cases hx : x ∈ tsupport (g n)

Premises used: tsupport, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
x : X
hx : Membership.mem (γ := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) x
pos : LE.le (α := (fun (a : X) ↦ ℝ) x) ((f * g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (((y n + ε') • g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ LE.le (α := (fun (a : X) ↦ ℝ) x) ((g n • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (((y n + ε') • g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
rw [smul_eq_mul, mul_comm]

Premises used: mul_comm, smul_eq_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
x : X
hx : Membership.mem (γ := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) x
apply : ((↑f : C(X, ℝ)) : (a : X) → ℝ) x ≤ y n + ε'
⊢ LE.le (α := (fun (a : X) ↦ ℝ) x) ((f * g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (((y n + ε') • g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
apply mul_le_mul_of_nonneg_right ?_ (hg.2.2.1 n x).1

Premises used: mul_le_mul_of_nonneg_right, And.right, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
x : X
hx : Membership.mem (γ := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) x
⊢ ((↑f : C(X, ℝ)) : (a : X) → ℝ) x ≤ y n + ε'

Tactic:
le_of_lt <| (hV n).2.1 x <| mem_of_subset_of_mem (hg.1 n) hx

Premises used: le_of_lt, Set.mem_of_subset_of_mem, And.right, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
x : X
hx : Membership.mem (γ := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) x
⊢ ((↑f : C(X, ℝ)) : (a : X) → ℝ) x ≤ y n + ε'

Tactic:
exact le_of_lt <| (hV n).2.1 x <| mem_of_subset_of_mem (hg.1 n) hx

Premises used: le_of_lt, Set.mem_of_subset_of_mem, And.right, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
x : X
hx : x ∉ tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ LE.le (α := (fun (a : X) ↦ ℝ) x) ((g n • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (((y n + ε') • g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
simp [image_eq_zero_of_notMem_tsupport hx]

Premises used: image_eq_zero_of_notMem_tsupport
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
calc_3 : ∀ (n : Fin N) (hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n), 0 ≤ |a| + y n + ε'
calc_3₁ :
  ∀ (n : Fin N) (hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n),
    (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n) ≤ μ.real (E n) + ε' / (↑N : ℝ)
⊢ ∑ n : Fin N, HMul.hMul (β := ℝ) (|a| + y n + ε') ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n) : ℝ) -
      |a| * ∑ n : Fin N, (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n) ≤
    ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') * (μ.real (E n) + ε' / (↑N : ℝ)) - |a| * ∑ n : Fin N, (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n)

Tactic:
gcongr with n hn
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
⊢ 0 ≤ |a| + a

Tactic:
neg_le_iff_add_nonneg'.mp <| neg_abs_le a

Premises used: neg_abs_le, neg_le_iff_add_nonneg', Iff.mp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
⊢ |a| + a ≤ |a| + a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1

Tactic:
(le_add_iff_nonneg_right (|a| + a)).mpr <| Left.mul_nonneg
          (le_of_lt hε'.1) <| Left.add_nonneg (Nat.cast_nonneg' n) (zero_le_one' ℝ)

Premises used: Iff.mpr, le_add_iff_nonneg_right, Real, abs, le_of_lt, zero_le_one', Nat.cast_nonneg', Fin.val, Left.mul_nonneg, And.left, HAdd.hAdd, Left.add_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
rw : 0 ≤ ε'
⊢ |a| + a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1 ≤ |a| + y n + ε'

Tactic:
rw [← add_assoc, le_add_iff_nonneg_right]

Premises used: le_add_iff_nonneg_right, add_assoc