awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : multiplicity E + 1 ≤ multiplicity E
⊢ False

Tactic:
exact lt_irrefl _ ((Nat.lt_succ_self (multiplicity E)).trans_le this)

Premises used: lt_irrefl, Nat.lt_succ_self, Besicovitch.multiplicity, LT.lt.trans_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
⊢ goodδ E < 1

Tactic:
(exists_goodδ E).choose_spec.2.1

Premises used: Exists.choose_spec, Besicovitch.goodδ, Besicovitch.exists_goodδ, And.right, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
linarith :
  1 +
        Exists.choose (p := fun (δ : ℝ) ↦
            0 < δ ∧
              δ < 1 ∧
                ∀ (s : Finset E),
                  (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, ¬c = d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E)
            ⋯ /
          4 ≤
      1 →
    4 / 4 = 1
linarith₁ :
  1 +
        Exists.choose (p := fun (δ : ℝ) ↦
            0 < δ ∧
              δ < 1 ∧
                ∀ (s : Finset E),
                  (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, ¬c = d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E)
            ⋯ /
          4 ≤
      1 →
    HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ :
  1 +
        Exists.choose (p := fun (δ : ℝ) ↦
            0 < δ ∧
              δ < 1 ∧
                ∀ (s : Finset E),
                  (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, ¬c = d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E)
            ⋯ /
          4 ≤
      1 →
    GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₃ :
  1 +
        Exists.choose (p := fun (δ : ℝ) ↦
            0 < δ ∧
              δ < 1 ∧
                ∀ (s : Finset E),
                  (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, ¬c = d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E)
            ⋯ /
          4 ≤
      1 →
    HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 +
            1 *
              Exists.choose (p := fun (δ : ℝ) ↦
                0 < δ ∧
                  δ < 1 ∧
                    ∀ (s : Finset E),
                      (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, ¬c = d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E)
                ⋯ -
          HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 +
        (0 -
          Exists.choose (p := fun (δ : ℝ) ↦
            0 < δ ∧
              δ < 1 ∧
                ∀ (s : Finset E),
                  (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E)
            ⋯) =
      0
⊢ 1 <
    1 +
      Exists.choose (p := fun (δ : ℝ) ↦
          0 < δ ∧
            δ < 1 ∧
              ∀ (s : Finset E),
                (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, ¬c = d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E)
          ⋯ /
        4

Tactic:
linarith [(exists_goodδ E).choose_spec.1]

Premises used: Exists.choose_spec, Besicovitch.exists_goodδ, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
s : Finset E
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ multiplicity E

Tactic:
(Classical.choose_spec (exists_goodδ E)).2.2 s hs h's

Premises used: Besicovitch.exists_goodδ, Classical.choose_spec, And.right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin n
hij : f i = f j
by_contra : ∀ (h : ¬i = j), False
⊢ i = j

Tactic:
by_contra h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h_1 : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin n
hij : f i = f j
h : ¬i = j
⊢ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
have : 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖ := h' h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h_1 : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin n
hij : f i = f j
h : ¬i = j
this : 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
⊢ 1 - goodδ E ≤ 0

Tactic:
simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this

Premises used: sub_self, norm_zero
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h_1 : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin n
hij : f i = f j
h : ¬i = j
this : 1 - goodδ E ≤ 0
linarith : 1 - goodδ E - 0 + (goodδ E - 1) = 0
⊢ False

Tactic:
linarith [goodδ_lt_one E]

Premises used: Besicovitch.goodδ_lt_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
⊢ Function.Injective f

Tactic:
have finj : Function.Injective f := by
    intro i j hij
    by_contra h
    have : 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖ := h' h
    simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this
    linarith [goodδ_lt_one E]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
rw : Finset.card (α := Fin n) Finset.univ = n
⊢ s.card = n

Tactic:
rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]

Premises used: Finset.card_image_of_injective
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ Finset.card (α := Fin n) Finset.univ = n

Tactic:
Finset.card_fin n

Premises used: Finset.card_fin
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ Finset.card (α := Fin n) Finset.univ = n

Tactic:
exact Finset.card_fin n

Premises used: Finset.card_fin
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ s.card = n

Tactic:
have s_card : s.card = n := by rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]; exact Finset.card_fin n
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
⊢ ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Tactic:
simp only [s, h, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ,
      Finset.mem_image, imp_true_iff, true_and]

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.mem_image, forall_exists_index, imp_true_iff, forall_apply_eq_imp_iff, true_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
⊢ ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Tactic:
have hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2 := by
    simp only [s, h, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ,
      Finset.mem_image, imp_true_iff, true_and]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
simp : ∀ (a a_1 : Fin n), ¬f a = f a_1 → 1 - goodδ E ≤ ‖f a - f a_1‖
⊢ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖

Tactic:
simp only [s, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
      Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and]

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.mem_image, forall_exists_index, Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h_1 : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f i = f j
h : i = j
⊢ ¬f j = f j

Tactic:
rw [h] at hij
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h_1 : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f i = f j
h : i = j
hij₁ : ¬f j = f j
⊢ i = j

Tactic:
rw [h] at hij
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h_1 : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f j = f j
h : i = j
⊢ False

Tactic:
hij rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h_1 : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f j = f j
h : i = j
⊢ False

Tactic:
exact hij rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f i = f j
⊢ i ≠ j

Tactic:
have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij; exact hij rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f i = f j
this : i ≠ j
⊢ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
h' this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin n
hij : ¬f i = f j
this : i ≠ j
⊢ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
exact h' this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
⊢ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖

Tactic:
have h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖ := by
    simp only [s, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
      Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and]
    intro i j hij
    have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij; exact hij rfl
    exact h' this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ multiplicity E

Tactic:
have : s.card ≤ multiplicity E := card_le_multiplicity_of_δ hs h's
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = n
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖
this : s.card ≤ multiplicity E
rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ : ∀ (this : n ≤ multiplicity E), n ≤ multiplicity E
⊢ n ≤ multiplicity E

Tactic:
rwa [s_card] at this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun (i j : Fin n) ↦ 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
have : Function.Injective f
have₁ : ∀ (finj : Function.Injective f), n ≤ multiplicity E
have₂ : Function.Injective f
have₃ have₄ have₅ : ∀ (finj : Function.Injective f), n ≤ multiplicity E
have₆ :
  ∀ (finj : Function.Injective f),
    let s := Finset.image f Finset.univ;
    ∀ (s_card : s.card = n), n ≤ multiplicity E
have₇ :
  ∀ (finj : Function.Injective f),
    let s := Finset.image f Finset.univ;
    ∀ (s_card : s.card = n) (hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2), n ≤ multiplicity E
have₈ :
  ∀ (finj : Function.Injective f),
    let s := Finset.image f Finset.univ;
    ∀ (s_card : s.card = n) (hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) (h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖),
      n ≤ multiplicity E
have₉ :
  ∀ (finj : Function.Injective f),
    let s := Finset.image f Finset.univ;
    ∀ (s_card : s.card = n) (hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) (h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖)
      (this : s.card ≤ multiplicity E), n ≤ multiplicity E
⊢ n ≤ multiplicity E

Tactic:
classical
  have finj : Function.Injective f := by
    intro i j hij
    by_contra h
    have : 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖ := h' h
    simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this
    linarith [goodδ_lt_one E]
  let s := Finset.image f Finset.univ
  have s_card : s.card = n := by rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]; exact Finset.card_fin n
  have hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2 := by
    simp only [s, h, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ,
      Finset.mem_image, imp_true_iff, true_and]
  have h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - goodδ E ≤ ‖c - d‖ := by
    simp only [s, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
      Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and]
    intro i j hij
    have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij; exact hij rfl
    exact h' this
  have : s.card ≤ multiplicity E := card_le_multiplicity_of_δ hs h's
  rwa [s_card] at this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
⊢ Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j

Tactic:
simpa only [dist_eq_norm] using a.h

Premises used: dist_eq_norm, Besicovitch.SatelliteConfig.h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
⊢ Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j

Tactic:
have ah :
      Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨
        a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j := by
    simpa only [dist_eq_norm] using a.h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : δ < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : δ < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₃ : δ < 0 → δ - 0 + 4 * (1 - τ) + (4 * τ - (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 + 1 * δ)) = 0
linarith₄ : δ < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
⊢ 0 ≤ δ

Tactic:
linarith only [hτ, hδ1]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 0 ≤ δ

Tactic:
have δnonneg : 0 ≤ δ := by linarith only [hτ, hδ1]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₃ :
  1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 3 (-1) + (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ - HMul.hMul (α := ℝ) 4 0) + (δ - 1) = 0
linarith₄ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 3 0
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4

Tactic:
linarith only [hδ2]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4

Tactic:
have D : 0 ≤ 1 - δ / 4 := by linarith only [hδ2]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
⊢ 0 < τ

Tactic:
have τpos : 0 < τ := _root_.zero_lt_one.trans_le hτ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
ha : 0 ≤ 1 - δ / 4
⊢ (1 - δ / 4) * τ ≤ (1 - δ / 4) * (1 + δ / 4)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
⊢ (1 - δ / 4) * (1 + δ / 4) = 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
linarith₂ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 16 = 16
linarith₃ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → GT.gt (α := ℝ) 16 0
linarith₄ :
  1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 →
    HMul.hMul (α := ℝ) 16 1 - (HMul.hMul (α := ℝ) 16 1 - 1 * HPow.hPow (β := ℕ) (1 * δ) 2) +
        (0 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2) =
      0
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1

Tactic:
linarith only [sq_nonneg δ]

Premises used: sq_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
⊢ (1 - δ / 4) * τ ≤ 1

Tactic:
have I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1 :=
    calc
      (1 - δ / 4) * τ ≤ (1 - δ / 4) * (1 + δ / 4) := by gcongr
      _ = (1 : ℝ) - δ ^ 2 / 16 := by ring
      _ ≤ 1 := by linarith only [sq_nonneg δ]