awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
c : Cone F
hc :
  IsLimit (F :=
    F ⋙
      forget₂ (ModuleCat.{w, u} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w, u} R) ↦ (↑x1 : Type w) →ₗ[R] (↑x2 : Type w)) (CC :=
        carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
    (Functor.mapCone
      (forget₂ (ModuleCat.{w, u} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w, u} R) ↦ (↑x1 : Type w) →ₗ[R] (↑x2 : Type w))
        (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
      c)
this_1 :
  HasLimit
    (F ⋙
      forget₂ (ModuleCat.{w, u} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w, u} R) ↦ (↑x1 : Type w) →ₗ[R] (↑x2 : Type w)) (CC :=
        carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
this_2 :
  Small.{w, max v w}
    (↑(F ⋙
            forget (ModuleCat.{w, u} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w, u} R) ↦ (↑x1 : Type w) →ₗ[R] (↑x2 : Type w))
              (CC := carrier)).sections :
      Type (max v w))
this :
  ReflectsLimit F
    (forget₂ (ModuleCat.{w, u} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w, u} R) ↦ (↑x1 : Type w) →ₗ[R] (↑x2 : Type w)) (CC :=
      carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
⊢ IsLimit c

Tactic:
exact isLimitOfReflects _ hc

Premises used: CategoryTheory.Limits.isLimitOfReflects
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
i : ι
hf :
  ∀ (x : (↑(of R (G i)) : Type v)),
    Eq (α := (↑(of R (G i)) : Type v))
      ((Hom.hom (↟(f i i ⋯)) : (a : (↑(of R (G i)) : Type v)) → (↑(of R (G i)) : Type v)) x : (↑(of R (G i)) : Type v))
      ((Hom.hom (𝟙 (of R (G i))) : (a : (↑(of R (G i)) : Type v)) → (↑(of R (G i)) : Type v)) x :
        (↑(of R (G i)) : Type v))
⊢ ↟(f i i ⋯) = 𝟙 (of R (G i))

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
i : ι
x : (↑(of R (G i)) : Type v)
⊢ Eq (α := (↑(of R (G i)) : Type v))
    ((Hom.hom (↟(f i i ⋯)) : (a : (↑(of R (G i)) : Type v)) → (↑(of R (G i)) : Type v)) x : (↑(of R (G i)) : Type v))
    ((Hom.hom (𝟙 (of R (G i))) : (a : (↑(of R (G i)) : Type v)) → (↑(of R (G i)) : Type v)) x :
      (↑(of R (G i)) : Type v))

Tactic:
apply Module.DirectedSystem.map_self

Premises used: Module.DirectedSystem.map_self
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
X Y Z : ι
hij : X ⟶ Y
hjk : Y ⟶ Z
hf :
  ∀ (x : (↑(of R (G X)) : Type v)),
    Eq (α := (↑(of R (G Z)) : Type v))
      ((Hom.hom (↟(f X Z ⋯)) : (a : (↑(of R (G X)) : Type v)) → (↑(of R (G Z)) : Type v)) x : (↑(of R (G Z)) : Type v))
      ((Hom.hom (↟(f X Y ⋯) ≫ ↟(f Y Z ⋯)) : (a : (↑(of R (G X)) : Type v)) → (↑(of R (G Z)) : Type v)) x :
        (↑(of R (G Z)) : Type v))
⊢ ↟(f X Z ⋯) = ↟(f X Y ⋯) ≫ ↟(f Y Z ⋯)

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
X Y Z : ι
hij : X ⟶ Y
hjk : Y ⟶ Z
x : (↑(of R (G X)) : Type v)
hf :
  Eq (α := (↑(of R (G Z)) : Type v))
    ((Hom.hom (↟(f X Y ⋯) ≫ ↟(f Y Z ⋯)) : (a : (↑(of R (G X)) : Type v)) → (↑(of R (G Z)) : Type v)) x :
      (↑(of R (G Z)) : Type v))
    ((Hom.hom (↟(f X Z ⋯)) : (a : (↑(of R (G X)) : Type v)) → (↑(of R (G Z)) : Type v)) x : (↑(of R (G Z)) : Type v))
⊢ Eq (α := (↑(of R (G Z)) : Type v))
    ((Hom.hom (↟(f X Z ⋯)) : (a : (↑(of R (G X)) : Type v)) → (↑(of R (G Z)) : Type v)) x : (↑(of R (G Z)) : Type v))
    ((Hom.hom (↟(f X Y ⋯) ≫ ↟(f Y Z ⋯)) : (a : (↑(of R (G X)) : Type v)) → (↑(of R (G Z)) : Type v)) x :
      (↑(of R (G Z)) : Type v))

Tactic:
symm
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
X Y Z : ι
hij : X ⟶ Y
hjk : Y ⟶ Z
x : (↑(of R (G X)) : Type v)
⊢ Eq (α := (↑(of R (G Z)) : Type v))
    ((Hom.hom (↟(f X Y ⋯) ≫ ↟(f Y Z ⋯)) : (a : (↑(of R (G X)) : Type v)) → (↑(of R (G Z)) : Type v)) x :
      (↑(of R (G Z)) : Type v))
    ((Hom.hom (↟(f X Z ⋯)) : (a : (↑(of R (G X)) : Type v)) → (↑(of R (G Z)) : Type v)) x : (↑(of R (G Z)) : Type v))

Tactic:
apply Module.DirectedSystem.map_map f

Premises used: Module.DirectedSystem.map_map
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
x x_1 : ι
hij : x ⟶ x_1
hf :
  ∀ (x_2 : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)),
    Eq (α := (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))
      ((Hom.hom ((directLimitDiagram G f).map hij ≫ ↟(DirectLimit.of R ι G f x_1)) :
            (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)) →
              (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj x_1) : Type v))
          x_2 :
        (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))
      ((Hom.hom
              (CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x)
                (↟(DirectLimit.of R ι G f x))
                (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) hij)) :
            (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)) →
              (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj x_1) : Type v))
          x_2 :
        (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))
⊢ Eq (α :=
    (directLimitDiagram G f).obj x ⟶ Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1)
    ((directLimitDiagram G f).map hij ≫ ↟(DirectLimit.of R ι G f x_1))
    (CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x)
      (↟(DirectLimit.of R ι G f x))
      (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) hij))

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
x x_1 : ι
hij : x ⟶ x_1
x_2 : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)
⊢ Eq (α := (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))
    ((Hom.hom ((directLimitDiagram G f).map hij ≫ ↟(DirectLimit.of R ι G f x_1)) :
          (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)) →
            (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj x_1) : Type v))
        x_2 :
      (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))
    ((Hom.hom
            (CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x)
              (↟(DirectLimit.of R ι G f x))
              (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) hij)) :
          (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)) →
            (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj x_1) : Type v))
        x_2 :
      (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))

Tactic:
DirectLimit.of_f

Premises used: Module.DirectLimit.of_f, Quotient, Module.DirectLimit, AddCon.toQuotient, ModuleCon.Quotient
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
x x_1 : ι
hij : x ⟶ x_1
x_2 : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)
⊢ Eq (α := (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))
    ((Hom.hom ((directLimitDiagram G f).map hij ≫ ↟(DirectLimit.of R ι G f x_1)) :
          (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)) →
            (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj x_1) : Type v))
        x_2 :
      (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))
    ((Hom.hom
            (CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x)
              (↟(DirectLimit.of R ι G f x))
              (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) hij)) :
          (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj x) : Type v)) →
            (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj x_1) : Type v))
        x_2 :
      (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) x_1) : Type v))

Tactic:
exact DirectLimit.of_f

Premises used: Module.DirectLimit.of_f
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i j : ι
h : i ≤ j
x : G i
simp :
  Eq (α := (↑s.1 : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app j) : (a : G j) → (↑s.1 : Type v)) ((f i j h : (a : G i) → G j) x : G j) : (↑s.1 : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app i) : (a : G i) → (↑s.1 : Type v)) x : (↑s.1 : Type v))
⊢ Eq (α := (↑s.1 : Type v))
    (((fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) j : (a : G j) → (↑s.1 : Type v)) ((f i j h : (a : G i) → G j) x : G j) :
      (↑s.1 : Type v))
    (((fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) i : (a : G i) → (↑s.1 : Type v)) x : (↑s.1 : Type v))

Tactic:
simp only [Functor.const_obj_obj]

Premises used: CategoryTheory.Functor.const_obj_obj
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i j : ι
h : i ≤ j
x : G i
rw :
  Eq (α := (↑s.1 : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app j) : (a : G j) → (↑s.1 : Type v)) ((f i j h : (a : G i) → G j) x : G j) : (↑s.1 : Type v))
    ((Hom.hom ((directLimitDiagram G f).map (homOfLE h) ≫ s.ι.app j) : (a : G i) → (↑s.1 : Type v)) x : (↑s.1 : Type v))
⊢ Eq (α := (↑s.1 : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app j) : (a : G j) → (↑s.1 : Type v)) ((f i j h : (a : G i) → G j) x : G j) : (↑s.1 : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app i) : (a : G i) → (↑s.1 : Type v)) x : (↑s.1 : Type v))

Tactic:
rw [← s.w (homOfLE h)]

Premises used: CategoryTheory.Limits.Cocone.w, CategoryTheory.homOfLE
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i j : ι
h : i ≤ j
x : G i
⊢ Eq (α := (↑s.1 : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app j) : (a : G j) → (↑s.1 : Type v)) ((f i j h : (a : G i) → G j) x : G j) : (↑s.1 : Type v))
    ((Hom.hom ((directLimitDiagram G f).map (homOfLE h) ≫ s.ι.app j) : (a : G i) → (↑s.1 : Type v)) x : (↑s.1 : Type v))

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι
hf :
  ∀ (x : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)),
    Eq (α := (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom
              (CategoryStruct.comp (Y :=
                Functor.obj
                  (Functor.obj (Functor.const ι) (Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f))) i)
                (NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) i)
                (↟(Module.DirectLimit.lift R ι G f (fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) ⋯))) :
            (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          x :
        (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom (s.ι.app i) : (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)) → (↑s.pt : Type v)) x :
        (↑s.pt : Type v))
⊢ CategoryStruct.comp (Y :=
      Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f))) i)
      (NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) i)
      (↟(Module.DirectLimit.lift R ι G f (fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) ⋯)) =
    s.ι.app i

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι
x : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)
hf :
  Eq (α := (↑s.pt : Type v))
    ((Module.DirectLimit.lift R ι G f (fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) ⋯ :
          (a : (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj i) : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        ((DirectLimit.of R ι G f i :
              (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)) →
                (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj i) : Type v))
            x :
          (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) i) : Type v)) :
      (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app i) : (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)) → (↑s.pt : Type v)) x : (↑s.pt : Type v))
⊢ Eq (α := (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom
            (CategoryStruct.comp (Y :=
              Functor.obj
                (Functor.obj (Functor.const ι) (Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f))) i)
              (NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) i)
              (↟(Module.DirectLimit.lift R ι G f (fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) ⋯))) :
          (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        x :
      (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app i) : (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)) → (↑s.pt : Type v)) x : (↑s.pt : Type v))

Tactic:
dsimp only [hom_comp, directLimitCocone, hom_ofHom, LinearMap.comp_apply]

Premises used: ModuleCat.directLimitCocone, LinearMap.comp_apply, ModuleCat.hom_ofHom, ModuleCat.hom_comp
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι
x : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)
⊢ Eq (α := (↑s.pt : Type v))
    ((Module.DirectLimit.lift R ι G f (fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) ⋯ :
          (a : (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj i) : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        ((DirectLimit.of R ι G f i :
              (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)) →
                (↑(((Functor.const ι).obj (of R (Module.DirectLimit G f))).obj i) : Type v))
            x :
          (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) (of R (Module.DirectLimit G f))) i) : Type v)) :
      (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom (s.ι.app i) : (a : (↑((directLimitDiagram G f).obj i) : Type v)) → (↑s.pt : Type v)) x : (↑s.pt : Type v))

Tactic:
apply DirectLimit.lift_of

Premises used: Module.DirectLimit.lift_of
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f) ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) j ≫ m = s.ι.app j
h₁ : ∀ (i : ι), s.ι.app i = ↟(DirectLimit.of R ι (fun (i : ι) ↦ G i) (fun (i j : ι) (H : i ≤ j) ↦ f i j H) i) ≫ m
⊢ s.ι.app = fun (i : ι) ↦ ↟(DirectLimit.of R ι (fun (i : ι) ↦ G i) (fun (i j : ι) (H : i ≤ j) ↦ f i j H) i) ≫ m

Tactic:
funext i
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f) ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) j ≫ m = s.ι.app j
i : ι
h₁ :
  Eq (α := (directLimitDiagram G f).obj i ⟶ Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) s.pt) i)
    (NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) i ≫ m)
    (↟(DirectLimit.of R ι (fun (i : ι) ↦ G i) (fun (i j : ι) (H : i ≤ j) ↦ f i j H) i) ≫ m)
⊢ s.ι.app i = ↟(DirectLimit.of R ι (fun (i : ι) ↦ G i) (fun (i j : ι) (H : i ≤ j) ↦ f i j H) i) ≫ m

Tactic:
rw [← h]
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f) ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) j ≫ m = s.ι.app j
i : ι
⊢ Eq (α := (directLimitDiagram G f).obj i ⟶ Functor.obj (Functor.obj (Functor.const ι) s.pt) i)
    (NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) i ≫ m)
    (↟(DirectLimit.of R ι (fun (i : ι) ↦ G i) (fun (i j : ι) (H : i ≤ j) ↦ f i j H) i) ≫ m)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f) ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) j ≫ m = s.ι.app j
⊢ s.ι.app = fun (i : ι) ↦ ↟(DirectLimit.of R ι (fun (i : ι) ↦ G i) (fun (i j : ι) (H : i ≤ j) ↦ f i j H) i) ≫ m

Tactic:
have :
      s.ι.app = fun i =>
        (ofHom (DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i)) ≫ m := by
      funext i
      rw [← h]
      rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Limits
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
J : Type v
inst_1 : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w, u} R
ι : Type v
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : Preorder ι
G : ι → Type v
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u, v} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_6 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f i j h) : (a : G i) → G j)
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f) ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), NatTrans.app (Cocone.ι (directLimitCocone G f)) j ≫ m = s.ι.app j
this : s.ι.app = fun (i : ι) ↦ ↟(DirectLimit.of R ι (fun (i : ι) ↦ G i) (fun (i j : ι) (H : i ≤ j) ↦ f i j H) i) ≫ m
hf :
  ∀ (x : (↑(Cocone.pt (F := directLimitDiagram G f) (directLimitCocone G f)) : Type v)),
    Eq (α := (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom m : (a : (↑(directLimitCocone G f).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v)) x : (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom (↟(Module.DirectLimit.lift R ι G f (fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) ⋯)) :
            (a : (↑(directLimitCocone G f).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          x :
        (↑s.pt : Type v))
⊢ m = ↟(Module.DirectLimit.lift R ι G f (fun (i : ι) ↦ Hom.hom (s.ι.app i)) ⋯)

Tactic:
ext