-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp
Goal:
p_1 : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι_1 : Type u_2
α_1 : ι_1 → Type u_3
β : ι_1 → Type u_4
hp_1 : Fact (1 ≤ p_1)
inst : Fintype ι_1
inst_1 : Semiring 𝕜
inst_2 : (i : ι_1) → SeminormedAddCommGroup (α_1 i)
inst_3 : (i : ι_1) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst_4 : (i : ι_1) → Module.{u_1, u_3} 𝕜 (α_1 i)
inst_5 : (i : ι_1) → Module.{u_1, u_4} 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι : Type u_5
κ : ι → Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst_6 : Fact (1 ≤ p)
inst_7 : Fintype ι
inst_8 : (i : ι) → Fintype (κ i)
α : (i : ι) → κ i → Type u_7
inst_9 : (i : ι) → (k : κ i) → SeminormedAddCommGroup (α i k)
inst_10 : (i : ι) → (k : κ i) → Module.{u_1, u_7} 𝕜 (α i k)
x : (i : Sigma κ) → (fun (i : Sigma κ) ↦ α (i.fst (β := κ)) (i.snd (β := κ))) i
hp : p ≠ ∞
this : 0 < p.toReal
inr :
  HPow.hPow (α := ℝ≥0)
      (∑ x_1 : ι,
        HPow.hPow (α := ℝ≥0)
            (∑ i : κ x_1,
              nnnorm.{u_7} (E := α x_1 i)
                  (ofLp (p := p)
                    (ofLp (p := p)
                      (((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : Sigma κ) → α (i.fst (β := κ)) (i.snd (β := κ))) ≪≫ₗ
                                LinearEquiv.piCurry 𝕜 (κ := κ) α ≪≫ₗ
                              LinearEquiv.piCongrRight (φ := fun (i : ι) ↦ (j : κ i) → α i j) (ψ := fun (x : ι) ↦
                                WithLp p ((j : κ x) → α x j)) fun (x : ι) ↦
                                LinearEquiv.symm (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((j : κ x) → α x j))) ≪≫ₗ
                            LinearEquiv.symm (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → WithLp p ((j : κ i) → α i j))) :
                          (a : PiLp p fun (i : Sigma κ) ↦ α i.fst i.snd) → PiLp p fun (i : ι) ↦ PiLp p (α i))
                        (Equiv.invFun
                          (AddEquiv.toEquiv (WithLp.addEquiv p ((i : Sigma κ) → α (i.fst (β := κ)) (i.snd (β := κ)))))
                          x))
                      x_1)
                    i) ^
                p.toReal)
            (1 / p.toReal) ^
          p.toReal)
      (1 / p.toReal) =
    HPow.hPow (α := ℝ≥0)
      (∑ i : Sigma κ,
        ‖(Equiv.invFun (AddEquiv.toEquiv (WithLp.addEquiv p ((i : Sigma κ) → α (i.fst (β := κ)) (i.snd (β := κ)))))
                  x).ofLp
              i‖₊ ^
          p.toReal)
      (1 / p.toReal)
⊢ nnnorm (E := PiLp p fun (i : ι) ↦ PiLp p (α i))
      (((WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : Sigma κ) → α (i.fst (β := κ)) (i.snd (β := κ))) ≪≫ₗ
                  LinearEquiv.piCurry 𝕜 (κ := κ) α ≪≫ₗ
                LinearEquiv.piCongrRight (φ := fun (i : ι) ↦ (j : κ i) → α i j) (ψ := fun (x : ι) ↦
                  WithLp p ((j : κ x) → α x j)) fun (x : ι) ↦
                  LinearEquiv.symm (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((j : κ x) → α x j))) ≪≫ₗ
              LinearEquiv.symm (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → WithLp p ((j : κ i) → α i j))) :
            (a : PiLp p fun (i : Sigma κ) ↦ α i.fst i.snd) → PiLp p fun (i : ι) ↦ PiLp p (α i))
          (Equiv.invFun (AddEquiv.toEquiv (WithLp.addEquiv p ((i : Sigma κ) → α (i.fst (β := κ)) (i.snd (β := κ)))))
            x) :
        PiLp p fun (i : ι) ↦ PiLp p (α i)) =
    ‖Equiv.invFun (AddEquiv.toEquiv (WithLp.addEquiv p ((i : Sigma κ) → α (i.fst (β := κ)) (i.snd (β := κ))))) x‖₊

Tactic:
simp_rw [PiLp.nnnorm_eq_sum hp]

Premises used: PiLp.nnnorm_eq_sum