awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l

Tactic:
specialize hgrowth (n - i) (by simp only [tsub_le_self]) x

Premises used: HSub.hSub
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
right :
  ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (C * (1 + ‖x‖) ^ l) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)
⊢ ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
        (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
grw [hgrowth]
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
right :
  ‖x‖ ^ k *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
        (1 + ‖x‖) ^ l *
      C ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
        (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ) *
      C
⊢ ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (C * (1 + ‖x‖) ^ l) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
move_mul [C]
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
right :
  ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)
⊢ ‖x‖ ^ k *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
        (1 + ‖x‖) ^ l *
      C ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
        (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ) *
      C

Tactic:
gcongr ?_ * C
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
⊢ i ≤ n

Tactic:
rw [Finset.mem_range_succ_iff] at hi

Premises used: Finset.mem_range_succ_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
hi₁ : i ≤ n
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l

Tactic:
rw [Finset.mem_range_succ_iff] at hi

Premises used: Finset.mem_range_succ_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ≤ n
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
⊢ i ≤ (l + k, n).2

Tactic:
change i ≤ (l + k, n).snd at hi

Premises used: Prod.mk, HAdd.hAdd, Prod.snd
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
hi : i ≤ (l + k, n).2
⊢ ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
le_trans ?_ (one_add_le_sup_seminorm_apply le_rfl hi f x)

Premises used: le_rfl, SchwartzMap.one_add_le_sup_seminorm_apply, le_trans
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
hi : i ≤ (l + k, n).2
right :
  ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l ≤
    (1 + ‖x‖) ^ (l + k, n).1 *
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
        (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x)
⊢ ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
refine le_trans ?_ (one_add_le_sup_seminorm_apply le_rfl hi f x)

Premises used: le_rfl, SchwartzMap.one_add_le_sup_seminorm_apply, le_trans
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
hi : i ≤ (l + k, n).2
right :
  ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l ≤
    (1 + ‖x‖) ^ l * (1 + ‖x‖) ^ k *
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
        (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x)
⊢ ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l ≤
    (1 + ‖x‖) ^ (l + k, n).1 *
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
        (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x)

Tactic:
rw [pow_add]

Premises used: pow_add
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hgrowth :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    C * (1 + ‖x‖) ^ l
hi : i ≤ (l + k, n).2
right :
  ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l ≤
    (1 + ‖x‖) ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l
⊢ ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      (1 + ‖x‖) ^ l ≤
    (1 + ‖x‖) ^ l * (1 + ‖x‖) ^ k *
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
        (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x)

Tactic:
move_mul [(1 + ‖x‖) ^ l]

Premises used: Norm.norm, HAdd.hAdd, OfNat.ofNat