-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.EqualizerSheafCondition
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve.{v, u} X
x : FirstObj P S.arrows
t :
  ∀ (j : Discrete ((Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })),
    Eq (α :=
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
        (Functor.obj
          (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
            P.obj
              (op
                (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                  fun (Z : C) ↦
                  (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                    { f' : f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                      S.arrows f' }))))
          j))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (limit.π
                (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                  P.obj
                    (op
                      (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                        fun (Z : C) ↦
                        (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                          { f' : f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                            S.arrows f' }))))
                j) :
            (a :
                (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                  (limit
                    (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                      P.obj (op f.snd.fst)))) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                ((Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                      P.obj (op f.snd.fst)).obj
                  j))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstMap P S) :
              (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
                (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
            x) :
        (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
          (Functor.obj
            (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
              P.obj
                (op
                  (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                    fun (Z : C) ↦
                    (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                      { f' : f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                        S.arrows f' }))))
            j))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (limit.π
                (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                  P.obj
                    (op
                      (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                        fun (Z : C) ↦
                        (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                          { f' : f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                            S.arrows f' }))))
                j) :
            (a :
                (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                  (limit
                    (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                      P.obj (op f.snd.fst)))) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                ((Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                      P.obj (op f.snd.fst)).obj
                  j))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (secondMap P S) :
              (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
                (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
            x) :
        (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
          (Functor.obj
            (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
              P.obj
                (op
                  (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                    fun (Z : C) ↦
                    (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                      { f' : f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                        S.arrows f' }))))
            j))
Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
hf : S.arrows f
⊢ Eq (α := P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstObjEqFamily P S.arrows).hom :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (Presieve.FamilyOfElements P S.arrows))
        x (g ≫ f) ⋯ :
      P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstObjEqFamily P S.arrows).hom :
            (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (Presieve.FamilyOfElements P S.arrows))
          x f hf) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Z)))

Tactic:
simpa [firstMap, secondMap] using t ⟨⟨Y, Z, g, f, hf⟩⟩

Premises used: CategoryTheory.Discrete.mk, Subtype.mk, CategoryTheory.Equalizer.Sieve.secondMap, CategoryTheory.Equalizer.Sieve.firstMap, Sigma.mk