awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p_1 q_1 : R[X]
h : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ (p q : R[X]) (hpq : (p * q).degree < (↑n : WithBot ℕ)), (p * q).content = p.content * q.content
p q : R[X]
p0 : ¬p = 0
q0 : ¬q = 0
heq : p.primPart.degree + q.primPart.degree = (↑n : WithBot ℕ)
⊢ p.primPart.eraseLead.degree < p.primPart.degree

Tactic:
apply degree_erase_lt p.primPart_ne_zero

Premises used: Polynomial.degree_erase_lt, Polynomial.primPart_ne_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p_1 q_1 : R[X]
h : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ (p q : R[X]) (hpq : (p * q).degree < (↑n : WithBot ℕ)), (p * q).content = p.content * q.content
p q : R[X]
p0 : ¬p = 0
q0 : ¬q = 0
heq : p.primPart.degree + q.primPart.degree = (↑n : WithBot ℕ)
neg : ¬q.primPart = 0
⊢ q.primPart.degree ≠ ⊥

Tactic:
rw [Ne, degree_eq_bot]

Premises used: Ne, Polynomial.degree_eq_bot
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p_1 q_1 : R[X]
h : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ (p q : R[X]) (hpq : (p * q).degree < (↑n : WithBot ℕ)), (p * q).content = p.content * q.content
p q : R[X]
p0 : ¬p = 0
q0 : ¬q = 0
heq : p.primPart.degree + q.primPart.degree = (↑n : WithBot ℕ)
⊢ ¬q.primPart = 0

Tactic:
apply q.primPart_ne_zero

Premises used: Polynomial.primPart_ne_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p_1 q_1 : R[X]
h : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ (p q : R[X]) (hpq : (p * q).degree < (↑n : WithBot ℕ)), (p * q).content = p.content * q.content
p q : R[X]
p0 : ¬p = 0
q0 : ¬q = 0
heq : p.primPart.degree + q.primPart.degree = (↑n : WithBot ℕ)
neg : q.primPart.eraseLead.degree < q.primPart.degree
neg₁ : p.primPart.degree ≠ ⊥
⊢ (q.primPart.eraseLead * p.primPart).degree < (↑n : WithBot ℕ)

Tactic:
rw [mul_comm, ← heq, degree_mul, WithBot.add_lt_add_iff_left]

Premises used: mul_comm, WithBot.add_lt_add_iff_left, Polynomial.degree_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p_1 q_1 : R[X]
h : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ (p q : R[X]) (hpq : (p * q).degree < (↑n : WithBot ℕ)), (p * q).content = p.content * q.content
p q : R[X]
p0 : ¬p = 0
q0 : ¬q = 0
heq : p.primPart.degree + q.primPart.degree = (↑n : WithBot ℕ)
⊢ q.primPart.eraseLead.degree < q.primPart.degree

Tactic:
apply degree_erase_lt q.primPart_ne_zero

Premises used: Polynomial.degree_erase_lt, Polynomial.primPart_ne_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p_1 q_1 : R[X]
h : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ (p q : R[X]) (hpq : (p * q).degree < (↑n : WithBot ℕ)), (p * q).content = p.content * q.content
p q : R[X]
p0 : ¬p = 0
q0 : ¬q = 0
heq : p.primPart.degree + q.primPart.degree = (↑n : WithBot ℕ)
neg : ¬p.primPart = 0
⊢ p.primPart.degree ≠ ⊥

Tactic:
rw [Ne, degree_eq_bot]

Premises used: Ne, Polynomial.degree_eq_bot
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p_1 q_1 : R[X]
h : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ (p q : R[X]) (hpq : (p * q).degree < (↑n : WithBot ℕ)), (p * q).content = p.content * q.content
p q : R[X]
p0 : ¬p = 0
q0 : ¬q = 0
heq : p.primPart.degree + q.primPart.degree = (↑n : WithBot ℕ)
⊢ ¬p.primPart = 0

Tactic:
apply p.primPart_ne_zero

Premises used: Polynomial.primPart_ne_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
rw : (p * q).content = 1
rw₁ : p.content * q.content = 1
rw₂ : 1 * q.content = 1
rw₃ : HMul.hMul (α := R) 1 1 = 1
rw₄ rw₅ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) 1 1
⊢ (p * q).IsPrimitive

Tactic:
rw [isPrimitive_iff_content_eq_one, content_mul, hp.content_eq_one, hq.content_eq_one, mul_one]

Premises used: Polynomial.isPrimitive_iff_content_eq_one, Polynomial.IsPrimitive.content_eq_one, Polynomial.content_mul, mul_one
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : p * q ≠ 0
⊢ ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (0 : R[X])

Tactic:
rw [Ne, ← content_eq_zero_iff, ← C_eq_zero] at h0

Premises used: Polynomial.content_eq_zero_iff, Polynomial.C_eq_zero, Ne
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (0 : R[X])
apply :
  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (p * q).primPart =
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (p.primPart * q.primPart)
⊢ (p * q).primPart = p.primPart * q.primPart

Tactic:
apply mul_left_cancel₀ h0

Premises used: mul_left_cancel₀
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (0 : R[X])
rw :
  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.content : R[X]) p.primPart *
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) q.content : R[X]) q.primPart
| HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (p * q).primPart

Tactic:
rw [← (p * q).eq_C_content_mul_primPart, p.eq_C_content_mul_primPart,
      q.eq_C_content_mul_primPart]

Premises used: HMul.hMul, Polynomial.eq_C_content_mul_primPart
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (0 : R[X])
conv_lhs :
  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.content : R[X]) p.primPart *
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) q.content : R[X]) q.primPart =
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (p.primPart * q.primPart)
⊢ HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (p * q).primPart =
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (p.primPart * q.primPart)

Tactic:
conv_lhs =>
    rw [← (p * q).eq_C_content_mul_primPart, p.eq_C_content_mul_primPart,
      q.eq_C_content_mul_primPart]

Premises used: HMul.hMul, Polynomial.eq_C_content_mul_primPart
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (0 : R[X])
rw :
  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.content : R[X]) p.primPart *
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) q.content : R[X]) q.primPart =
    HMul.hMul (α := R[X]) (β := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.content : R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) q.content : R[X]) *
      (p.primPart * q.primPart)
⊢ HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.content : R[X]) p.primPart *
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) q.content : R[X]) q.primPart =
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (p.primPart * q.primPart)

Tactic:
rw [content_mul, map_mul]

Premises used: map_mul, Polynomial.content_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) (p * q).content : R[X]) (0 : R[X])
⊢ HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.content : R[X]) p.primPart *
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) q.content : R[X]) q.primPart =
    HMul.hMul (α := R[X]) (β := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.content : R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) q.content : R[X]) *
      (p.primPart * q.primPart)

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0
⊢ p ∣ q.primPart ↔ p ∣ q

Tactic:
⟨fun h => h.trans (Dvd.intro_left _ q.eq_C_content_mul_primPart.symm), fun h => ?_⟩

Premises used: Polynomial.C, Dvd.intro_left, Polynomial.eq_C_content_mul_primPart, Polynomial.content, Iff.intro, Eq.symm, DFunLike.coe, Dvd.dvd.trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0
refine : ∀ (h : p ∣ q), p ∣ q.primPart
⊢ p ∣ q.primPart ↔ p ∣ q

Tactic:
refine ⟨fun h => h.trans (Dvd.intro_left _ q.eq_C_content_mul_primPart.symm), fun h => ?_⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0
h : p ∣ q
rcases : ∀ (r : R[X]) (hq : p * r ≠ 0), p ∣ (p * r).primPart
⊢ p ∣ q.primPart

Tactic:
rcases h with ⟨r, rfl⟩

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0
apply : p * r.primPart = (p * r).primPart
apply₁ : R[X]
⊢ p ∣ (p * r).primPart

Tactic:
apply Dvd.intro _

Premises used: Dvd.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0
rw : p * r.primPart = p.primPart * r.primPart
rw₁ rw₂ : p * r.primPart = p * r.primPart
⊢ p * r.primPart = (p * r).primPart

Tactic:
rw [primPart_mul hq, hp.primPart_eq]

Premises used: Polynomial.IsPrimitive.primPart_eq, Polynomial.primPart_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
⊢ ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r

Tactic:
have h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r :=
      ⟨(p * q).natDegree, p * q, rfl, hp.mul hq, dvd_mul_right _ _, dvd_mul_left _ _⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
rcases :
  ∀ (r : R[X])
    (rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h)
    (rprim : r.IsPrimitive) (pr : p ∣ r) (qr : q ∣ r), ∃ (r : R[X]), r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s
⊢ ∃ (r : R[X]), r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s

Tactic:
rcases Nat.find_spec h with ⟨r, rdeg, rprim, pr, qr⟩

Premises used: Nat.find_spec
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
⊢ ∃ (r : R[X]), r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s

Tactic:
⟨r, rprim, fun s => ⟨?_, fun rs => ⟨pr.trans rs, qr.trans rs⟩⟩⟩

Premises used: And.intro, Iff.intro, Exists.intro, Dvd.dvd.trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
refine : ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s
⊢ ∃ (r : R[X]), r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s

Tactic:
refine ⟨r, rprim, fun s => ⟨?_, fun rs => ⟨pr.trans rs, qr.trans rs⟩⟩⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
s : R[X]
suffices : ∀ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n → p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s
⊢ p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s

Tactic:
suffices hs : ∀ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n → p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s from
      hs s.natDegree s rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
by_contra! : ∀ (con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s), False
⊢ ∀ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n → p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s

Tactic:
by_contra! con
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
rcases :
  ∀ (s : R[X])
    (sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con)
    (rs : ¬r ∣ s) (ps : p ∣ s) (qs : q ∣ s), False
⊢ False

Tactic:
rcases Nat.find_spec con with ⟨s, sdeg, ⟨ps, qs⟩, rs⟩

Premises used: Nat.find_spec
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
contrapose : ∀ (rs : s = 0), r ∣ s
⊢ s ≠ 0

Tactic:
contrapose rs
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
rs : s = 0
⊢ r ∣ s

Tactic:
simp [rs]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
⊢ s ≠ 0

Tactic:
have s0 : s ≠ 0 := by
      contrapose rs
      simp [rs]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
⊢ Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h ≤ s.natDegree

Tactic:
have hs :=
      Nat.find_min' h
        ⟨_, s.natDegree_primPart, s.isPrimitive_primPart, (hp.dvd_primPart_iff_dvd s0).2 ps,
          (hq.dvd_primPart_iff_dvd s0).2 qs⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h ≤ s.natDegree
⊢ r.natDegree ≤ s.natDegree

Tactic:
rw [← rdeg] at hs
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
pos : ∀ (sC : s.natDegree ≤ 0), False
neg : ∀ (sC : 0 < s.natDegree), False
⊢ False

Tactic:
by_cases! sC : s.natDegree ≤ 0

Premises used: Polynomial.natDegree
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
pos :
  ∀ (rprim : IsUnit (r.coeff 0)) (pr : p ∣ r) (qr : q ∣ r)
    (con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) (s : R[X])
    (sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con)
    (rs : ¬r ∣ s) (ps : p ∣ s) (qs : q ∣ s) (s0 : s ≠ 0) (hs : r.natDegree ≤ s.natDegree) (sC : s.natDegree ≤ 0), False
⊢ False

Tactic:
rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), isPrimitive_iff_content_eq_one, content_C,
        normalize_eq_one] at rprim

Premises used: Polynomial.isPrimitive_iff_content_eq_one, Polynomial.eq_C_of_natDegree_le_zero, Polynomial.content_C, normalize_eq_one, le_trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
⊢ ¬r.coeff 0 ∣ s.content

Tactic:
rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), ← dvd_content_iff_C_dvd] at rs

Premises used: Polynomial.eq_C_of_natDegree_le_zero, Polynomial.dvd_content_iff_C_dvd, le_trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
rs₁ : ¬r.coeff 0 ∣ s.content
⊢ p ∣ s

Tactic:
rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), ← dvd_content_iff_C_dvd] at rs

Premises used: Polynomial.eq_C_of_natDegree_le_zero, Polynomial.dvd_content_iff_C_dvd, le_trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
rs₁ : ¬r.coeff 0 ∣ s.content
ps₁ : p ∣ s
⊢ q ∣ s

Tactic:
rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), ← dvd_content_iff_C_dvd] at rs

Premises used: Polynomial.eq_C_of_natDegree_le_zero, Polynomial.dvd_content_iff_C_dvd, le_trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
rs₁ : ¬r.coeff 0 ∣ s.content
ps₁ : p ∣ s
qs₁ : q ∣ s
⊢ s ≠ 0

Tactic:
rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), ← dvd_content_iff_C_dvd] at rs

Premises used: Polynomial.eq_C_of_natDegree_le_zero, Polynomial.dvd_content_iff_C_dvd, le_trans