awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x y : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⟶ k
⊢ HMul.hMul (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))) (G.mk F x) (G.mk F y) =
    G.mk F
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) k
        (HMul.hMul (α := (↑(F.obj k) : Type (max u v))) (β := (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                  carrier) (F.map f) :
                (a : (↑(F.obj x.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
              (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))) :
            (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                  carrier) (F.map g) :
                (a : (↑(F.obj y.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
              (y.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))) :
            (↑(F.obj k) : Type (max u v)))))

Tactic:
MonCat.FilteredColimits.colimit_mul_mk_eq _ _ _ _ _ _

Premises used: CategoryTheory.Functor.comp, CategoryTheory.Functor.ColimitType, MonCat.FilteredColimits.colimit_mul_mk_eq
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
j : J
x y : (↑(F.obj j) : Type (max u v))
⊢ HMul.hMul (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v)))
      (G.mk F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j x))
      (G.mk F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j y)) =
    G.mk F
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j
        (HMul.hMul (α := (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (β := (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory
                  (fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) carrier
                  (fun (X Y : GrpCat) ↦
                    (MonoidHom.instFunLike :
                      FunLike ((↑X : Type (max u v)) →* (↑Y : Type (max u v))) (↑X : Type (max u v))
                        (↑Y : Type (max u v))))
                  _ _ _
                  (F.map
                    (𝟙
                      (Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
                        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j x)))) :
                (a : (↑(F.obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
              (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
                (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j x)) :
            (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory
                  (fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) carrier
                  (fun (X Y : GrpCat) ↦
                    (MonoidHom.instFunLike :
                      FunLike ((↑X : Type (max u v)) →* (↑Y : Type (max u v))) (↑X : Type (max u v))
                        (↑Y : Type (max u v))))
                  _ _ _
                  (F.map
                    (𝟙
                      (Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
                        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j y)))) :
                (a : (↑(F.obj ⟨j, y⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
              (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
                (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j y)) :
            (↑(F.obj j) : Type (max u v)))))

Tactic:
have := colimit_mul_mk_eq F ⟨j, x⟩ ⟨j, y⟩ j (𝟙 _) (𝟙 _)
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
j : J
x y : (↑(F.obj j) : Type (max u v))
this :
  HMul.hMul (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v)))
      (G.mk F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j x))
      (G.mk F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j y)) =
    G.mk F
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j
        (HMul.hMul (α := (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (β := (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory
                  (fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) carrier
                  (fun (X Y : GrpCat) ↦
                    (MonoidHom.instFunLike :
                      FunLike ((↑X : Type (max u v)) →* (↑Y : Type (max u v))) (↑X : Type (max u v))
                        (↑Y : Type (max u v))))
                  _ _ _
                  (F.map
                    (𝟙
                      (Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
                        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j x)))) :
                (a : (↑(F.obj ⟨j, x⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
              (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
                (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j x)) :
            (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory
                  (fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) carrier
                  (fun (X Y : GrpCat) ↦
                    (MonoidHom.instFunLike :
                      FunLike ((↑X : Type (max u v)) →* (↑Y : Type (max u v))) (↑X : Type (max u v))
                        (↑Y : Type (max u v))))
                  _ _ _
                  (F.map
                    (𝟙
                      (Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
                        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j y)))) :
                (a : (↑(F.obj ⟨j, y⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
              (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
                (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j y)) :
            (↑(F.obj j) : Type (max u v)))))
⊢ HMul.hMul (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v)))
      (G.mk F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j x))
      (G.mk F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j y)) =
    G.mk F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))) j (x * y))

Tactic:
simpa using this
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x y : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
h :
  Types.FilteredColimit.Rel
    (F ⋙ forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier))
    x y
h₁ :
  ∃ (k : J) (f :
    Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))⁻¹) ⟶
      k)
    (g :
    Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
          (y.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
          (y.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))⁻¹) ⟶
      k),
    Eq (α := (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              carrier) (F.map f) :
            (a : (↑(F.obj ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
          (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
            (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
              (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
              (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))⁻¹)) :
        (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              carrier) (F.map g) :
            (a : (↑(F.obj ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
          (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
            (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
              (y.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
              (y.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))⁻¹)) :
        (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
⊢ Eq (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))) (colimitInvAux F x) (colimitInvAux F y)

Tactic:
apply G.mk_eq

Premises used: GrpCat.FilteredColimits.G.mk_eq
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x y : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
k : J
f :
  x.fst (β := fun (j : J) ↦
      (F ⋙
            forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              carrier)).obj
        j) ⟶
    k
g :
  y.fst (β := fun (j : J) ↦
      (F ⋙
            forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              carrier)).obj
        j) ⟶
    k
hfg :
  Eq (α :=
    (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
      ((F ⋙
            forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              carrier)).obj
        k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            ((F ⋙
                  forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                    carrier)).map
              f) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) ((F ⋙ forget GrpCat).obj x.fst)) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) ((F ⋙ forget GrpCat).obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦
          (F ⋙
                forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                  carrier)).obj
            j)) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
        ((F ⋙
              forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                carrier)).obj
          k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            ((F ⋙
                  forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                    carrier)).map
              g) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) ((F ⋙ forget GrpCat).obj y.fst)) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) ((F ⋙ forget GrpCat).obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦
          (F ⋙
                forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                  carrier)).obj
            j)) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
        ((F ⋙
              forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                carrier)).obj
          k))
⊢ Eq (α := (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
            carrier) (F.map f) :
          (a : (↑(F.obj ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))) :
      (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
            carrier) (F.map g) :
          (a : (↑(F.obj ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.fst) : Type (max u v))) → (↑(F.obj k) : Type (max u v)))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))) :
      (↑(F.obj k) : Type (max u v)))

Tactic:
hfg
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x : (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))
refine :
  ∀ (a b : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
    (a_1 :
      ((F ⋙
              forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
                MonCat.carrier)) ⋙
            forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
        a b),
    Eq (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))) (colimitInvAux F a) (colimitInvAux F b)
⊢ (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))

Tactic:
refine Quot.lift (colimitInvAux.{v, u} F) ?_ x
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x_1 : (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))
x y : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
h :
  ((F ⋙
          forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)
            MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
            MonCat.carrier)) ⋙
        forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
          MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
    x y
h₁ :
  Types.FilteredColimit.Rel
    (F ⋙ forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier))
    x y
⊢ Eq (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))) (colimitInvAux F x) (colimitInvAux F y)

Tactic:
apply colimitInvAux_eq_of_rel

Premises used: GrpCat.FilteredColimits.colimitInvAux_eq_of_rel
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x_1 : (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))
x y : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
h :
  ((F ⋙
          forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)
            MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
            MonCat.carrier)) ⋙
        forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
          MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
    x y
h₁ :
  (F ⋙
        forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
          carrier)).ColimitTypeRel
    x y
⊢ Types.FilteredColimit.Rel
    (F ⋙ forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier))
    x y

Tactic:
apply Types.FilteredColimit.rel_of_colimitTypeRel

Premises used: CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.rel_of_colimitTypeRel
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x_1 : (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))
x y : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
h :
  ((F ⋙
          forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)
            MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
            MonCat.carrier)) ⋙
        forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
          MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
    x y
⊢ (F ⋙
        forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
          carrier)).ColimitTypeRel
    x y

Tactic:
h

Premises used: CategoryTheory.Functor.comp
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x_1 : (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))
x y : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
h :
  ((F ⋙
          forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC := carrier)
            MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
            MonCat.carrier)) ⋙
        forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
          MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
    x y
⊢ (F ⋙
        forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
          carrier)).ColimitTypeRel
    x y

Tactic:
exact h
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x : (j : J) × (↑(F.obj j) : Type (max u v))
⊢ Eq (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))) (G.mk F x)⁻¹
    (G.mk F
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
        (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (↑(F.obj j) : Type (max u v))))⁻¹))

Tactic:
rfl

Premises used: CategoryTheory.Functor.ιColimitType, GrpCat.FilteredColimits.colimitInvAux, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x : (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))
⊢ x⁻¹ * x = 1

Tactic:
Quot.inductionOn x ?_

Premises used: Quot.inductionOn
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x : (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))
refine :
  ∀
    (a :
      (j : J) ×
        ((F ⋙
                forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                  carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
                  MonCat.carrier)) ⋙
              forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                MonCat.carrier)).obj
          j),
    (Quot.mk
            ((F ⋙
                  forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                    carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v)))
                    (CD := MonCat.carrier)) ⋙
                forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                  MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
            a)⁻¹ *
        Quot.mk
          ((F ⋙
                forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                  carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
                  MonCat.carrier)) ⋙
              forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
          a =
      1
⊢ x⁻¹ * x = 1

Tactic:
refine Quot.inductionOn x ?_
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x :
  (j : J) ×
    ((F ⋙
            forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
              MonCat.carrier)) ⋙
          forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
            MonCat.carrier)).obj
      j
change : HMul.hMul (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))) (G.mk F x)⁻¹ (G.mk F x) = 1
⊢ (Quot.mk
          ((F ⋙
                forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                  carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
                  MonCat.carrier)) ⋙
              forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
          x)⁻¹ *
      Quot.mk
        ((F ⋙
              forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
                MonCat.carrier)) ⋙
            forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              MonCat.carrier)).ColimitTypeRel
        x =
    1

Tactic:
change (G.mk _ _)⁻¹ * G.mk _ _ = _

Premises used: GrpCat.FilteredColimits.G.mk
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.FilteredColimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
F : J ⥤ GrpCat
x :
  (j : J) ×
    ((F ⋙
            forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
              MonCat.carrier)) ⋙
          forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
            MonCat.carrier)).obj
      j
obtain :
  ∀ (j : J)
    (x :
      ((F ⋙
              forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD :=
                MonCat.carrier)) ⋙
            forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
              MonCat.carrier)).obj
        j),
    HMul.hMul (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v)))
        (G.mk F
            (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦
              ((F ⋙
                      forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v)))
                        (CC := carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦
                        (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD := MonCat.carrier)) ⋙
                    forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                      MonCat.carrier)).obj
                j)
              j x))⁻¹
        (G.mk F
          (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦
            ((F ⋙
                    forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v)))
                      (CC := carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat) ↦
                      (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CD := MonCat.carrier)) ⋙
                  forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat) ↦ (↑x1 : Type (max u v)) →* (↑x2 : Type (max u v))) (CC :=
                    MonCat.carrier)).obj
              j)
            j x)) =
      1
⊢ HMul.hMul (α := (↑(G.{v, u} F) : Type (max u v))) (G.mk F x)⁻¹ (G.mk F x) = 1

Tactic:
obtain ⟨j, x⟩ := x