-- Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
h₁ :
  ∀ (s : ℝ),
    Eq (α := Set (euclidean.mixedSpace K))
      {x : euclidean.mixedSpace K |
        Membership.mem (γ := Set (euclidean.mixedSpace K))
            (Set.preimage (β := mixedSpace K) (⇑(toMixed K) : (a : euclidean.mixedSpace K) → mixedSpace K)
              (fundamentalCone K))
            x ∧
          (mixedEmbedding.norm : (a : mixedSpace K) → ℝ)
              ((toMixed K : (a : euclidean.mixedSpace K) → mixedSpace K) x : mixedSpace K) ≤
            s}
      (Set.preimage (β := mixedSpace K) (⇑(toMixed K) : (a : euclidean.mixedSpace K) → mixedSpace K)
        {x : mixedSpace K |
          Membership.mem (γ := Set (mixedSpace K)) (fundamentalCone K) x ∧
            (mixedEmbedding.norm : (a : mixedSpace K) → ℝ) x ≤ s})
h₂ :
  Eq (α := Set (mixedSpace K))
    {x : mixedSpace K |
      Membership.mem (γ := Set (mixedSpace K)) (fundamentalCone K) x ∧
        LE.le (α := ℝ) ((mixedEmbedding.norm : (a : mixedSpace K) → ℝ) x : ℝ) (1 : ℝ)}
    (normLeOne K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) J = C⁻¹
h₃ : Ne (α := ℝ) (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) 0
s : ℝ
h :
  (↑(Nat.card.{u_1}
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
              (↑J : Ideal (𝓞 K)) ∣ (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                IsPrincipal (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                  (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤
                    s * (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) }) :
        ℝ) *
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1}
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
              (↑J : Ideal (𝓞 K)) ∣ (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                IsPrincipal (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                  (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤
                    s * (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) }) :
        ℝ) *
      (s⁻¹ *
        HMul.hMul (α := ℝ) (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ)⁻¹
          (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ))
h₄ :
  (↑(Nat.card.{u_1}
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
              (↑J : Ideal (𝓞 K)) ∣ (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                IsPrincipal (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                  (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤
                    s * (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) }) :
        ℝ) *
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1}
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
              (↑J : Ideal (𝓞 K)) ∣ (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                IsPrincipal (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                  (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤
                    s * (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) }) :
        ℝ) *
      (s⁻¹ * 1)
h₅ h₆ :
  (↑(Nat.card.{u_1}
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
              (↑J : Ideal (𝓞 K)) ∣ (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                IsPrincipal (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                  (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤
                    s * (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) }) :
        ℝ) *
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1}
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
              (↑J : Ideal (𝓞 K)) ∣ (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                IsPrincipal (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                  (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤
                    s * (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) }) :
        ℝ) *
      s⁻¹
⊢ (↑(Nat.card.{u_1}
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
              (↑J : Ideal (𝓞 K)) ∣ (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                IsPrincipal (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                  (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤
                    s * (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) }) :
        ℝ) *
      s⁻¹ =
    (↑(torsionOrder K) : ℝ)⁻¹ *
      ((↑(torsionOrder K) : ℝ) *
        ((↑(Nat.card.{u_1}
                { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
                  (↑J : Ideal (𝓞 K)) ∣ (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                    IsPrincipal (↑I : Ideal (𝓞 K)) ∧
                      (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤
                        s * (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) }) :
            ℝ) *
          (s⁻¹ *
            HMul.hMul (α := ℝ) (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ)⁻¹
              (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑J : Ideal (𝓞 K))) : ℝ))))

Tactic:
rw [inv_mul_cancel_left₀ (Nat.cast_ne_zero.mpr (torsionOrder_ne_zero K)), inv_mul_cancel₀ h₃,
      mul_one]

Premises used: inv_mul_cancel_left₀, mul_one, inv_mul_cancel₀