awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
h'₁ : 4 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
⊢ 0 < B.rootLength i

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
h'₁ : 4 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi₁ : 0 < B.rootLength i
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
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P : RootPairing ι R M N
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B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
⊢ -1 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
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inst_1 : AddCommGroup M
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P : RootPairing ι R M N
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B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
h'₁ : -1 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
⊢ 0 < B.rootLength i

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
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P : RootPairing ι R M N
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B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
h'₁ : -1 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi₁ : 0 < B.rootLength i
⊢ P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
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B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2
⊢ -2 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2
h'₁ : -2 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
⊢ 0 < B.rootLength i

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2
h'₁ : -2 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi₁ : 0 < B.rootLength i
⊢ P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3
⊢ -3 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3
h'₁ : -3 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
⊢ 0 < B.rootLength i

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3
h'₁ : -3 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi₁ : 0 < B.rootLength i
⊢ P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4
⊢ -4 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4
h'₁ : -4 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
⊢ 0 < B.rootLength i

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4
h'₁ : -4 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi₁ : 0 < B.rootLength i
⊢ P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4

Tactic:
rw [hij'.1, hij'.2] at h'

Premises used: And.right, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : 1 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : 2 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : 3 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 3
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : 4 * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : -1 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : -2 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : -3 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : -4 * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
⊢ Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
      (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
    (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i)

Tactic:
have := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystallographic i j
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
this :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
      (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
    (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i)
⊢ P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
⊢ P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4

Tactic:
have hij' : P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4 := by
    have := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystallographic i j
    aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
hij' :
  P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4
⊢ Module.IsReflexive R M

Tactic:
have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
hij' :
  P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4
this : Module.IsReflexive R M
⊢ Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
      (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
    (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i)

Tactic:
have := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystallographic i j
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
hij' :
  P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4
this_1 : Module.IsReflexive R M
this :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
      (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
    (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i)
⊢ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
hij' :
  P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4
⊢ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1

Tactic:
have aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1 := by
    have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
    have := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystallographic i j
    aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
hij' :
  P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j

Tactic:
have aux₂ := B.pairingIn_mul_eq_pairingIn_mul_swap i j
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hne' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
hij' :
  P.pairingIn ℤ i j = -3 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -2 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -4 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1
aux₂ : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
⊢ 0 < B.rootLength i

Tactic:
have hi := B.rootLength_pos i