-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
inst_10 : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
x y : TensorProduct.{w, v, w} P.Ring S Ω[P.Ring⁄R]
h :
  Eq (α := P'.CotangentSpace)
    ((CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g : (a : P.CotangentSpace) → P'.CotangentSpace) x : P'.CotangentSpace)
    (((↑S :
                {S_1 : Type v'} →
                  {M : Type w'} →
                    {M₂ : Type (max v' w')} →
                      [inst : Semiring S] →
                        [inst_11 : Semiring S_1] →
                          [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_14 : Module S M] →
                                [inst_15 : Module S M₂] →
                                  [inst_16 : Module S_1 M] →
                                    [inst_17 : Module S_1 M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ S S_1] → (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[S] M₂)
              P'.cotangentComplex ∘ₗ
            f.sub g :
          (a : P.CotangentSpace) → P'.CotangentSpace)
        x :
      P'.CotangentSpace)
h_1 :
  Eq (α := P'.CotangentSpace)
    ((CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g : (a : P.CotangentSpace) → P'.CotangentSpace) y : P'.CotangentSpace)
    (((↑S :
                {S_1 : Type v'} →
                  {M : Type w'} →
                    {M₂ : Type (max v' w')} →
                      [inst : Semiring S] →
                        [inst_11 : Semiring S_1] →
                          [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_14 : Module S M] →
                                [inst_15 : Module S M₂] →
                                  [inst_16 : Module S_1 M] →
                                    [inst_17 : Module S_1 M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ S S_1] → (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[S] M₂)
              P'.cotangentComplex ∘ₗ
            f.sub g :
          (a : P.CotangentSpace) → P'.CotangentSpace)
        y :
      P'.CotangentSpace)
⊢ Eq (α := P'.CotangentSpace)
    ((CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g : (a : P.CotangentSpace) → P'.CotangentSpace) (x + y) :
      P'.CotangentSpace)
    (((↑S :
                {S_1 : Type v'} →
                  {M : Type w'} →
                    {M₂ : Type (max v' w')} →
                      [inst : Semiring S] →
                        [inst_11 : Semiring S_1] →
                          [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_14 : Module S M] →
                                [inst_15 : Module S M₂] →
                                  [inst_16 : Module S_1 M] →
                                    [inst_17 : Module S_1 M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ S S_1] → (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[S] M₂)
              P'.cotangentComplex ∘ₗ
            f.sub g :
          (a : P.CotangentSpace) → P'.CotangentSpace)
        (x + y) :
      P'.CotangentSpace)

Tactic:
simp only [map_add, LinearMap.coe_comp, LinearMap.coe_restrictScalars, Function.comp_apply, *]

Premises used: LinearMap.coe_restrictScalars, map_add, LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply