-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Grading
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' x y : CliffordAlgebra Q
hx :
  Membership.mem (γ := Submodule R (CliffordAlgebra Q))
    (⨆ (i : { n : ℕ // (↑n : ZMod 2) = i' }), (ι Q).range ^ (↑i : ℕ)) x
hy :
  Membership.mem (γ := Submodule R (CliffordAlgebra Q))
    (⨆ (i : { n : ℕ // (↑n : ZMod 2) = i' }), (ι Q).range ^ (↑i : ℕ)) y
ihx :
  Eq (α := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
    ((((lift Q :
                (a :
                    { f : M →ₗ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i) //
                      ∀ (m : M),
                        (f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m *
                            (f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m =
                          (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) : (a : R) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                            ((Q : (a : M) → R) m) }) →
                  CliffordAlgebra Q →ₐ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
              (Subtype.mk (p := fun (f : M →ₗ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) ↦
                ∀ (m : M),
                  HMul.hMul (α := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) (β := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m : ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m : ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) =
                    (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) : (a : R) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((Q : (a : M) → R) m))
                (GradedAlgebra.ι Q) ⋯) :
            CliffordAlgebra Q →ₐ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) :
          (a : CliffordAlgebra Q) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
        x :
      ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ZMod 2) ↦ ↥(evenOdd Q i)) i' : ↥(evenOdd Q i') →+ ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) :
          (a : ↥(evenOdd Q i')) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : CliffordAlgebra Q) ↦ x ∈ evenOdd Q i') x hx) :
      ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
ihy :
  Eq (α := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
    ((((lift Q :
                (a :
                    { f : M →ₗ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i) //
                      ∀ (m : M),
                        (f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m *
                            (f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m =
                          (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) : (a : R) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                            ((Q : (a : M) → R) m) }) →
                  CliffordAlgebra Q →ₐ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
              (Subtype.mk (p := fun (f : M →ₗ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) ↦
                ∀ (m : M),
                  HMul.hMul (α := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) (β := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m : ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m : ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) =
                    (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) : (a : R) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((Q : (a : M) → R) m))
                (GradedAlgebra.ι Q) ⋯) :
            CliffordAlgebra Q →ₐ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) :
          (a : CliffordAlgebra Q) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
        y :
      ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ZMod 2) ↦ ↥(evenOdd Q i)) i' : ↥(evenOdd Q i') →+ ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) :
          (a : ↥(evenOdd Q i')) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : CliffordAlgebra Q) ↦ x ∈ evenOdd Q i') y hy) :
      ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
add :
  Eq (α := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ZMod 2) ↦ ↥(evenOdd Q i)) i' : ↥(evenOdd Q i') →+ ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) :
          (a : ↥(evenOdd Q i')) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : CliffordAlgebra Q) ↦ x ∈ evenOdd Q i') x hx +
          Subtype.mk (p := fun (x : CliffordAlgebra Q) ↦ x ∈ evenOdd Q i') y hy) :
      ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ZMod 2) ↦ ↥(evenOdd Q i)) i' : ↥(evenOdd Q i') →+ ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) :
          (a : ↥(evenOdd Q i')) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : CliffordAlgebra Q) ↦ x ∈ evenOdd Q i') (x + y) ⋯) :
      ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
⊢ Eq (α := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
    ((((lift Q :
                (a :
                    { f : M →ₗ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i) //
                      ∀ (m : M),
                        (f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m *
                            (f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m =
                          (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) : (a : R) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                            ((Q : (a : M) → R) m) }) →
                  CliffordAlgebra Q →ₐ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
              (Subtype.mk (p := fun (f : M →ₗ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) ↦
                ∀ (m : M),
                  HMul.hMul (α := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) (β := ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m : ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((f : (a : M) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) m : ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) =
                    (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) : (a : R) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
                      ((Q : (a : M) → R) m))
                (GradedAlgebra.ι Q) ⋯) :
            CliffordAlgebra Q →ₐ[R] ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) :
          (a : CliffordAlgebra Q) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
        (x + y) :
      ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ZMod 2) ↦ ↥(evenOdd Q i)) i' : ↥(evenOdd Q i') →+ ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i)) :
          (a : ↥(evenOdd Q i')) → ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : CliffordAlgebra Q) ↦ x ∈ evenOdd Q i') (x + y) ⋯) :
      ⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))

Tactic:
rw [map_add, ihx, ihy, ← map_add]

Premises used: map_add