awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
⊢ PreservesLimits
    (forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier))

Tactic:
CommGrpCat.forget_preservesLimitsOfSize.{u, u}

Premises used: CommGrpCat.forget_preservesLimitsOfSize
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
e : Iso (C := CommGrpCat ⥤ Type u)
  (forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
      (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier) ⋙
    forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := GrpCat.carrier))
  (forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)) :=
  Iso.refl
    (forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
        (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier) ⋙
      forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := GrpCat.carrier))
⊢ CreatesLimit F
    (forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier))

Tactic:
exact createsLimitOfNatIso e

Premises used: CategoryTheory.createsLimitOfNatIso
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
f : ℕ → AddCommGrpCat
⊢ HasProduct f

Tactic:
infer_instance
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ Eq (α := ↥(Hom.hom f).ker)
    (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
          0)
        ⋯ :
      ↥(Hom.hom f).ker)
    (0 : ↥(Hom.hom f).ker)

Tactic:
Subtype.ext ?_

Premises used: Subtype.ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
refine :
  Eq (α := (↑G : Type u))
    ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
              0)
            ⋯) :
        (↑G : Type u)) :
      (↑G : Type u))
    ((↑0 : (↑G : Type u)) : (↑G : Type u))
⊢ Eq (α := ↥(Hom.hom f).ker)
    (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
          0)
        ⋯ :
      ↥(Hom.hom f).ker)
    (0 : ↥(Hom.hom f).ker)

Tactic:
refine Subtype.ext ?_

Premises used: Subtype.ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ Eq (α := (↑G : Type u))
    ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
              0)
            ⋯) :
        (↑G : Type u)) :
      (↑G : Type u))
    ((↑0 : (↑G : Type u)) : (↑G : Type u))

Tactic:
simp only [map_zero, ZeroMemClass.coe_zero]

Premises used: map_zero, ZeroMemClass.coe_zero
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
g g' : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)
⊢ Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (X := kernel f) (kernel.ι f) :
          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
        (g + g'))
      ⋯ =
    HAdd.hAdd (α := ↥(Hom.hom f).ker) (β := ↥(Hom.hom f).ker)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            g)
          ⋯ :
        ↥(Hom.hom f).ker)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            g')
          ⋯ :
        ↥(Hom.hom f).ker)

Tactic:
Subtype.ext ?_

Premises used: Subtype.ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
g g' : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)
refine :
  (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            (g + g'))
          ⋯) :
      (↑G : Type u)) =
    (↑(HAdd.hAdd (α := ↥(Hom.hom f).ker) (β := ↥(Hom.hom f).ker)
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g)
              ⋯ :
            ↥(Hom.hom f).ker)
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g')
              ⋯ :
            ↥(Hom.hom f).ker)) :
      (↑G : Type u))
⊢ Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (X := kernel f) (kernel.ι f) :
          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
        (g + g'))
      ⋯ =
    HAdd.hAdd (α := ↥(Hom.hom f).ker) (β := ↥(Hom.hom f).ker)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            g)
          ⋯ :
        ↥(Hom.hom f).ker)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            g')
          ⋯ :
        ↥(Hom.hom f).ker)

Tactic:
refine Subtype.ext ?_

Premises used: Subtype.ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
g g' : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)
⊢ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            (g + g'))
          ⋯) :
      (↑G : Type u)) =
    (↑(HAdd.hAdd (α := ↥(Hom.hom f).ker) (β := ↥(Hom.hom f).ker)
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g)
              ⋯ :
            ↥(Hom.hom f).ker)
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g')
              ⋯ :
            ↥(Hom.hom f).ker)) :
      (↑G : Type u))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
hf :
  ∀ (x : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)),
    Eq (α := (↑H : Type u))
      ((Hom.hom (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype ≫ f) : (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑H : Type u)) x :
        (↑H : Type u))
      ((Hom.hom 0 : (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑H : Type u)) x : (↑H : Type u))
⊢ ofHom (Hom.hom f).ker.subtype ≫ f = 0

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
x : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)
⊢ Eq (α := (↑H : Type u))
    ((Hom.hom (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype ≫ f) : (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑H : Type u)) x :
      (↑H : Type u))
    ((Hom.hom 0 : (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑H : Type u)) x : (↑H : Type u))

Tactic:
x.2

Premises used: Set.Mem, setOf, Set.preimage, Set.singleton, Subtype.property
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
x : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)
⊢ Eq (α := (↑H : Type u))
    ((Hom.hom (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype ≫ f) : (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑H : Type u)) x :
      (↑H : Type u))
    ((Hom.hom 0 : (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑H : Type u)) x : (↑H : Type u))

Tactic:
exact x.2

Premises used: Subtype.property
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ ofHom
        {
          toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g)
              ⋯,
          map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } ≫
      kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯ =
    𝟙 (kernel f)

Tactic:
equalizer.hom_ext ?_

Premises used: CategoryTheory.Limits.equalizer.hom_ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
refine :
  CategoryStruct.comp (Y := equalizer f 0)
      (ofHom
          {
            toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
              Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                      carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                    (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                  g)
                ⋯,
            map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } ≫
        kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
      (equalizer.ι f 0) =
    𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0
⊢ ofHom
        {
          toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g)
              ⋯,
          map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } ≫
      kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯ =
    𝟙 (kernel f)

Tactic:
refine equalizer.hom_ext ?_

Premises used: CategoryTheory.Limits.equalizer.hom_ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
hf :
  ∀ (x : (↑(kernel f) : Type u)),
    Eq (α := (↑G : Type u))
      ((Hom.hom
              (CategoryStruct.comp (Y := equalizer f 0)
                (ofHom
                    {
                      toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                        Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                                (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                            g)
                          ⋯,
                      map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } ≫
                  kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
                (equalizer.ι f 0)) :
            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
          x :
        (↑G : Type u))
      ((Hom.hom (𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0) : (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u)) x : (↑G : Type u))
⊢ CategoryStruct.comp (Y := equalizer f 0)
      (ofHom
          {
            toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
              Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                      carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                    (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                  g)
                ⋯,
            map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } ≫
        kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
      (equalizer.ι f 0) =
    𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
x : (↑(kernel f) : Type u)
⊢ Eq (α := (↑G : Type u))
    ((Hom.hom
            (CategoryStruct.comp (Y := equalizer f 0)
              (ofHom
                  {
                    toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                      Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                              (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                          g)
                        ⋯,
                    map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } ≫
                kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
              (equalizer.ι f 0)) :
          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
        x :
      (↑G : Type u))
    ((Hom.hom (𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0) : (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u)) x : (↑G : Type u))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
w :
  ∀ (x : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)),
    Eq (α := (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
              (Y := of ↥(Hom.hom f).ker)
              (CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
                (ofHom
                  {
                    toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                      Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                              (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                          g)
                        ⋯,
                    map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ })) :
            (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
          x :
        (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
              (𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)) :
            (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
          x :
        (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
⊢ CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
      (ofHom
        {
          toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g)
              ⋯,
          map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }) =
    𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)

Tactic:
apply AddCommGrpCat.ext

Premises used: AddCommGrpCat.ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
x : (↑G : Type u)
mem : x ∈ (Hom.hom f).ker
⊢ Eq (α := (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (Y := of ↥(Hom.hom f).ker)
            (CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
              (ofHom
                {
                  toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                    Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                            (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                        g)
                      ⋯,
                  map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ })) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem) :
      (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem) :
      (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))

Tactic:
Subtype.ext ?_

Premises used: Subtype.ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
x : (↑G : Type u)
mem : x ∈ (Hom.hom f).ker
w :
  Eq.{u + 1} (α := (↑G : Type u))
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
              (Y := of ↥(Hom.hom f).ker)
              (CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
                (ofHom
                  {
                    toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                      Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                              (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                          g)
                        ⋯,
                    map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ })) :
            (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem)) :
      (↑G : Type u))
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
              (𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)) :
            (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem)) :
      (↑G : Type u))
⊢ Eq (α := (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (Y := of ↥(Hom.hom f).ker)
            (CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
              (ofHom
                {
                  toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                    Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                            (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                        g)
                      ⋯,
                  map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ })) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem) :
      (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem) :
      (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))

Tactic:
refine Subtype.ext ?_

Premises used: Subtype.ext