-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst_5 : CharZero R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : j ≠ i
inr inr₁ inr₂ :
  HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
inr₃ :
  let f : ι → ℤ := fun (k : ι) ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0;
  ∀
    (hf :
      ∑ k ∈ b.support, HSMul.hSMul (β := M) (f k) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) =
        HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)),
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉
      range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
inr₄ :
  let f : ι → ℤ := fun (k : ι) ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0;
  ∀
    (hf :
      ∑ k ∈ b.support, HSMul.hSMul (β := M) (f k) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) =
        HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    (contra :
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))),
    False
inr₅ :
  let f : ι → ℤ := fun (k : ι) ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0;
  ∀
    (hf :
      ∑ k ∈ b.support, HSMul.hSMul (β := M) (f k) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) =
        HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    (contra :
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)))
    (pos : 0 < f), False
inr₆ inr₇ :
  let f : ι → ℤ := fun (k : ι) ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0;
  ∀
    (hf :
      ∑ k ∈ b.support, HSMul.hSMul (β := M) (f k) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) =
        HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    (contra :
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)))
    (neg : f < 0), False
⊢ HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)

Tactic:
classical
  let f : ι → ℤ := fun k ↦ if k = i then 1 else if k = j then -1 else 0
  have hf : ∑ k ∈ b.support, f k • P.root k = P.root i - P.root j := by
    have : {i, j} ⊆ b.support := by aesop (add simp Finset.insert_subset_iff)
    rw [← Finset.sum_subset (s₁ := {i, j}) (s₂ := b.support) (by lia) (by aesop),
      Finset.sum_insert (by grind), Finset.sum_singleton]
    simp [f, hij, sub_eq_add_neg]
  intro contra
  rcases b.pos_or_neg_of_sum_smul_root_mem f (by rwa [hf]) (by aesop) with pos | neg
  · simpa [hij, f] using le_of_lt pos j
  · simpa [hij, f] using le_of_lt neg i