awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
i : Fin n
⊢ HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := MvPolynomial (Fin n) R) (MvPolynomial.X i)
      ((MvPolynomial.aeval h : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → MvPolynomial (Fin n) R) (g i) : MvPolynomial (Fin n) R) ∈
    Set.range g'

Tactic:
exact Set.mem_range_self _

Premises used: Set.mem_range_self
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
r : R
refine_2 : Membership.mem (α := RXn) aeval_h.range.toAddSubmonoid ((algebraMap R RXn : (a : R) → RXn) r : RXn)
⊢ Membership.mem (α := RXn) (aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s'))
    ((algebraMap R RXn : (a : R) → RXn) r : RXn)

Tactic:
apply AddSubmonoid.mem_sup_left

Premises used: AddSubmonoid.mem_sup_left
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
r : R
⊢ Membership.mem (α := RXn) aeval_h.range.toAddSubmonoid ((algebraMap R RXn : (a : R) → RXn) r : RXn)

Tactic:
⟨C r, aeval_C _ _⟩

Premises used: Set.Mem, setOf, MvPolynomial.aeval_C, Exists.intro, Set.range, MvPolynomial.C, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
r : R
⊢ Membership.mem (α := RXn) aeval_h.range.toAddSubmonoid ((algebraMap R RXn : (a : R) → RXn) r : RXn)

Tactic:
exact ⟨C r, aeval_C _ _⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
x_1 : RXn
refine_3 :
  ∀ (y : RXn) (hx : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x_1)
    (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y),
    x_1 ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        x_1 + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
⊢ ∀ (y : RXn) (hx : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x_1)
    (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y),
    x_1 ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        x_1 + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
x_1 y : RXn
refine_3 :
  Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x_1 →
    ∀ (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y),
      x_1 ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
          x_1 + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
⊢ ∀ (hx : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x_1)
    (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y),
    x_1 ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        x_1 + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
x_1 y : RXn
hx_1 : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x_1
refine_3 :
  Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y →
    x_1 ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        x_1 + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
⊢ ∀ (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y),
    x_1 ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        x_1 + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
x_1 y : RXn
hx_1 : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x_1
hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y
h₁ : x_1 ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
h₂ : y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
⊢ x_1 + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')

Tactic:
add_mem h₁ h₂

Premises used: AddMemClass.add_mem
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
x_1 y : RXn
hx_1 : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x_1
hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y
h₁ : x_1 ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
h₂ : y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
⊢ x_1 + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')

Tactic:
exact add_mem h₁ h₂

Premises used: AddMemClass.add_mem
-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
p₁ p₂ : RXn
refine_4 :
  Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) p₁ →
    ∀ (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) p₂),
      p₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
          p₁ * p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
⊢ ∀ (hx : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) p₁)
    (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) p₂),
    p₁ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
      p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        p₁ * p₂ ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')

Tactic:
_