awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
pos :
  ∀ (h'x : x ∈ s'),
    Membership.mem (γ := Set α)
      (⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i, closedBall x (r x)) x
neg :
  ∀ (h'x : x ∉ s'),
    Membership.mem (γ := Set α)
      (⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i, closedBall x (r x)) x
⊢ Membership.mem (γ := Set α)
    (⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i, closedBall x (r x)) x

Tactic:
by_cases h'x : x ∈ s'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
⊢ x ∈ range q.c

Tactic:
simpa only [q, not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and,
            not_le, mem_setOf_eq, Subtype.range_coe_subtype, mem_diff] using h'x

Premises used: not_le, Set.mem_iUnion, not_exists, Set.mem_setOf_eq, Subtype.range_coe_subtype, exists_prop, Set.mem_diff, Metric.mem_closedBall, not_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
⊢ x ∈ range q.c

Tactic:
have A : x ∈ range q.c := by
          simpa only [q, not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and,
            not_le, mem_setOf_eq, Subtype.range_coe_subtype, mem_diff] using h'x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
A : x ∈ range q.c
⊢ ∃ (i : Fin N), ∃ y ∈ S i, x ∈ ball (↑y : α) (r1 (↑y : α))

Tactic:
simpa only [mem_iUnion, mem_image, bex_def] using hS A

Premises used: Set.mem_iUnion, Set.mem_image, bex_def
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
pos :
  ∀ (i : Fin N) (y : (↑s' : Type u_1)) (ySi : y ∈ S i) (xy : x ∈ ball (↑y : α) (r1 (↑y : α))),
    Membership.mem (γ := Set α)
      (⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i, closedBall x (r x)) x
⊢ Membership.mem (γ := Set α)
    (⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i, closedBall x (r x)) x

Tactic:
obtain ⟨i, y, ySi, xy⟩ : ∃ (i : Fin N) (y : ↥s'), y ∈ S i ∧ x ∈ ball (y : α) (r1 y) := by
        have A : x ∈ range q.c := by
          simpa only [q, not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and,
            not_le, mem_setOf_eq, Subtype.range_coe_subtype, mem_diff] using h'x
        simpa only [mem_iUnion, mem_image, bex_def] using hS A

Premises used: Fin
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
i : Fin N
y : (↑s' : Type u_1)
ySi : y ∈ S i
xy : x ∈ ball (↑y : α) (r1 (↑y : α))
⊢ Membership.mem (γ := Set α)
    (⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i, closedBall x (r x)) x

Tactic:
mem_iUnion₂.2 ⟨y, Or.inr ?_, ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Set.mem_iUnion₂, Exists.intro, Subtype.val, Or.inr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
i : Fin N
y : (↑s' : Type u_1)
ySi : y ∈ S i
xy : x ∈ ball (↑y : α) (r1 (↑y : α))
pos : Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) (↑y : α)
pos₁ : x ∈ closedBall (↑y : α) (r (↑y : α))
⊢ Membership.mem (γ := Set α)
    (⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i, closedBall x (r x)) x

Tactic:
refine mem_iUnion₂.2 ⟨y, Or.inr ?_, ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Set.mem_iUnion₂, Exists.intro
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
i : Fin N
y : (↑s' : Type u_1)
ySi : y ∈ S i
xy : x ∈ ball (↑y : α) (r1 (↑y : α))
pos : ∃ (i : Fin N), ∃ x ∈ S i, (↑x : α) = (↑y : α)
⊢ Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) (↑y : α)

Tactic:
simp only [mem_iUnion, mem_image]

Premises used: Set.mem_iUnion, Set.mem_image
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
i : Fin N
y : (↑s' : Type u_1)
ySi : y ∈ S i
xy : x ∈ ball (↑y : α) (r1 (↑y : α))
⊢ ∃ (i : Fin N), ∃ x ∈ S i, (↑x : α) = (↑y : α)

Tactic:
⟨i, y, ySi, rfl⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
i : Fin N
y : (↑s' : Type u_1)
ySi : y ∈ S i
xy : x ∈ ball (↑y : α) (r1 (↑y : α))
⊢ ∃ (i : Fin N), ∃ x ∈ S i, (↑x : α) = (↑y : α)

Tactic:
exact ⟨i, y, ySi, rfl⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
h'x : x ∈ s'
i : Fin N
y : (↑s' : Type u_1)
ySi : y ∈ S i
xy : x ∈ ball (↑y : α) (r1 (↑y : α))
⊢ (↑y : α) ∈ s'

Tactic:
have : (y : α) ∈ s' := y.2