-- Module: Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
p : E → X
cov : IsCoveringMap p
γ : C((↑I : Type), X)
e : E
γ_0 : (γ : (a : (↑I : Type)) → X) 0 = p e
U : (x : X) → Set X :=
  fun (x : X) ↦
    ⋯.choose (p := fun (U : Set X) ↦
      x ∈ U ∧
        IsOpen[inst_1] U ∧
          IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
            ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
              ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 : X) =
                  p (↑x_1 : E))
choose :
  ∀
    (mem_base :
      ∀ (x : X),
        x ∈
          ⋯.choose (p := fun (U : Set X) ↦
            x ∈ U ∧
              IsOpen[inst_1] U ∧
                IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                  ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                    ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                      (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 : X) =
                        p (↑x_1 : E)))
    (U_open :
      ∀ (x : X),
        IsOpen[inst_1]
          (⋯.choose (p := fun (U : Set X) ↦
            x ∈ U ∧
              IsOpen[inst_1] U ∧
                IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                  ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                    ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                      (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 : X) =
                        p (↑x_1 : E)))),
    (∀ (x : X),
        IsOpen[inst]
          (p ⁻¹'
            ⋯.choose (p := fun (U : Set X) ↦
              x ∈ U ∧
                IsOpen[inst_1] U ∧
                  IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                    ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                      ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                        (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 :
                            X) =
                          p (↑x_1 : E)))) →
      ∀
        (H :
          (x : X) →
            (↑(p ⁻¹'
                    ⋯.choose (p := fun (U : Set X) ↦
                      x ∈ U ∧
                        IsOpen[inst_1] U ∧
                          IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                            ∃ (H :
                              (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                              ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                                (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1))
                                          x_1).1 :
                                    X) =
                                  p (↑x_1 : E))) :
                Type u_1) ≃ₜ
              Prod.{u_2, u_1}
                (↑(⋯.choose (p := fun (U : Set X) ↦
                      x ∈ U ∧
                        IsOpen[inst_1] U ∧
                          IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                            ∃ (H :
                              (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                              ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                                (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1))
                                          x_1).1 :
                                    X) =
                                  p (↑x_1 : E))) :
                  Type u_2)
                (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
        (∀ (x : X)
            (x_1 :
              (↑(p ⁻¹'
                    ⋯.choose (p := fun (U : Set X) ↦
                      x ∈ U ∧
                        IsOpen[inst_1] U ∧
                          IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                            ∃ (H :
                              (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                              ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                                (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1))
                                          x_1).1 :
                                    X) =
                                  p (↑x_1 : E))) :
                Type u_1)),
            (↑((H x : (a : (↑(p ⁻¹' ⋯.choose) : Type u_1)) → (↑⋯.choose : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1))
                      x_1).1 :
                X) =
              p (↑x_1 : E)) →
          ∃ (Γ : C((↑I : Type), E)),
            Eq (α := (↑I : Type) → X) (p ∘ (⇑Γ : (a : (↑I : Type)) → E)) (⇑γ : (a : (↑I : Type)) → X) ∧
              (Γ : (a : (↑I : Type)) → E) 0 = e
⊢ ∃ (Γ : C((↑I : Type), E)),
    Eq (α := (↑I : Type) → X) (p ∘ (⇑Γ : (a : (↑I : Type)) → E)) (⇑γ : (a : (↑I : Type)) → X) ∧
      (Γ : (a : (↑I : Type)) → E) 0 = e

Tactic:
choose mem_base U_open _ H _ using fun x ↦ (cov x).2.choose_spec

Premises used: Exists.choose_spec, And.right