awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : μ = 0
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) ⊥
    (condExp m (m₀ := mΩ) 0 fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω))
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (condExp m (m₀ := mΩ) 0 g ω)

Tactic:
norm_cast
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
⊢ (ae μ).NeBot

Tactic:
have : (ae μ).NeBot := ae_neBot.2 hμ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
rcases : ∀ (w : Ω) (h : ‖f w‖ ≤ c), 0 ≤ c
⊢ 0 ≤ c

Tactic:
rcases hf_bound.exists with ⟨_, h⟩

Premises used: Filter.Eventually.exists
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
w : Ω
h : ‖f w‖ ≤ c
⊢ 0 ≤ c

Tactic:
(norm_nonneg _).trans h

Premises used: LE.le.trans, norm_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
w : Ω
h : ‖f w‖ ≤ c
⊢ 0 ≤ c

Tactic:
exact (norm_nonneg _).trans h

Premises used: LE.le.trans, norm_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
⊢ 0 ≤ c

Tactic:
have hc : 0 ≤ c := by
    rcases hf_bound.exists with ⟨_, h⟩
    exact (norm_nonneg _).trans h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
⊢ ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c

Tactic:
have hfs_bound : ∀ n ω, ‖fs n ω‖ ≤ c := hf.norm_approxBounded_le hc
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
⊢ Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)

Tactic:
condExp_of_stronglyMeasurable hm ?_ ?_

Premises used: MeasureTheory.condExp_of_stronglyMeasurable
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
refine_1 :
  StronglyMeasurable.{u_1, u_4} (β := G) fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
refine_2 :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
    (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)) μ
⊢ Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)

Tactic:
refine condExp_of_stronglyMeasurable hm ?_ ?_

Premises used: MeasureTheory.condExp_of_stronglyMeasurable
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
⊢ Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] fun (z : F × E) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) z.1 : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) z.2

Tactic:
fun_prop
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
⊢ StronglyMeasurable.{u_1, u_4} (β := G) fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)

Tactic:
exact Continuous.comp_stronglyMeasurable (g := (fun z : F × E ↦ B z.1 z.2)) (by fun_prop)
        (hf.prodMk stronglyMeasurable_condExp)

Premises used: Continuous.comp_stronglyMeasurable, MeasureTheory.stronglyMeasurable_condExp, MeasureTheory.StronglyMeasurable.prodMk
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
⊢ Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
    (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)) μ

Tactic:
B.integrable_of_bilin_of_bdd_left c (hf.mono hm).aestronglyMeasurable hf_bound
        integrable_condExp

Premises used: ContinuousLinearMap.integrable_of_bilin_of_bdd_left, MeasureTheory.integrable_condExp, MeasureTheory.StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable, MeasureTheory.StronglyMeasurable.mono
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
⊢ Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
    (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)) μ

Tactic:
exact B.integrable_of_bilin_of_bdd_left c (hf.mono hm).aestronglyMeasurable hf_bound
        integrable_condExp

Premises used: ContinuousLinearMap.integrable_of_bilin_of_bdd_left, MeasureTheory.integrable_condExp, MeasureTheory.StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable, MeasureTheory.StronglyMeasurable.mono
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
⊢ Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)

Tactic:
have : μ[fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω) | m] = fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω) := by
    refine condExp_of_stronglyMeasurable hm ?_ ?_
    · exact Continuous.comp_stronglyMeasurable (g := (fun z : F × E ↦ B z.1 z.2)) (by fun_prop)
        (hf.prodMk stronglyMeasurable_condExp)
    · exact B.integrable_of_bilin_of_bdd_left c (hf.mono hm).aestronglyMeasurable hf_bound
        integrable_condExp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
neg :
  EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m] fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)

Tactic:
rw [← this]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]

Tactic:
tendsto_condExp_unique (fun n ω ↦ B (fs n ω) (g ω))
    (fun n ω ↦ B (fs n ω) (μ[g | m] ω)) (fun ω ↦ B (f ω) (g ω))
    (fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω)) ?_ ?_ ?_ ?_ (‖B‖ * c * ‖g ·‖) ?_ (‖B‖ * c * ‖(μ[g | m]) ·‖)
    ?_ ?_ ?_ ?_

Premises used: Norm.norm, HMul.hMul, MeasureTheory.tendsto_condExp_unique, MeasureTheory.condExp, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n)
      μ

Tactic:
fun n ↦ B.integrable_of_bilin_of_bdd_left c
      ((fs n).stronglyMeasurable.mono hm).aestronglyMeasurable (ae_of_all _ <| hfs_bound n) hg

Premises used: ContinuousLinearMap.integrable_of_bilin_of_bdd_left, MeasureTheory.StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable, MeasureTheory.ae_of_all, MeasureTheory.StronglyMeasurable.mono, MeasureTheory.SimpleFunc.stronglyMeasurable
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n)
      μ

Tactic:
exact fun n ↦ B.integrable_of_bilin_of_bdd_left c
      ((fs n).stronglyMeasurable.mono hm).aestronglyMeasurable (ae_of_all _ <| hfs_bound n) hg

Premises used: ContinuousLinearMap.integrable_of_bilin_of_bdd_left, MeasureTheory.StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable, MeasureTheory.ae_of_all, MeasureTheory.StronglyMeasurable.mono, MeasureTheory.SimpleFunc.stronglyMeasurable
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n)
      μ

Tactic:
fun n ↦ B.integrable_of_bilin_of_bdd_left c
      ((fs n).stronglyMeasurable.mono hm).aestronglyMeasurable (ae_of_all _ <| hfs_bound n)
      integrable_condExp

Premises used: ContinuousLinearMap.integrable_of_bilin_of_bdd_left, MeasureTheory.integrable_condExp, MeasureTheory.StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable, MeasureTheory.ae_of_all, MeasureTheory.StronglyMeasurable.mono, MeasureTheory.SimpleFunc.stronglyMeasurable
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n)
      μ

Tactic:
exact fun n ↦ B.integrable_of_bilin_of_bdd_left c
      ((fs n).stronglyMeasurable.mono hm).aestronglyMeasurable (ae_of_all _ <| hfs_bound n)
      integrable_condExp

Premises used: ContinuousLinearMap.integrable_of_bilin_of_bdd_left, MeasureTheory.integrable_condExp, MeasureTheory.StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable, MeasureTheory.ae_of_all, MeasureTheory.StronglyMeasurable.mono, MeasureTheory.SimpleFunc.stronglyMeasurable