-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
simp :
  HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑i.castSucc : ℕ) •
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑j : ℕ))
          ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
              (Matrix.vecCons
                  ((fderivWithin 𝕜
                        (fun (y : E) ↦
                          i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y)
                            j)
                        s x :
                      (a : E) → E)
                    (V i.castSucc x))
                  (j.removeNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1)) ↦
                    i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x_2 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_2 x)
                      x_1) :
                Fin n.succ → E) :
            F) +
      HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑j.succ : ℕ) •
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑i : ℕ))
          ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
              (Matrix.vecCons
                  ((fderivWithin 𝕜
                        (fun (y : E) ↦
                          j.succ.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) i)
                        s x :
                      (a : E) → E)
                    (V j.succ x))
                  (i.removeNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1)) ↦
                    j.succ.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x_2 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_2 x) x_1) :
                Fin n.succ → E) :
            F) =
    HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑i : ℕ) + (↑j : ℕ)))
      ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
          (Matrix.vecCons (lieBracketWithin 𝕜 (V i.castSucc) (V j.succ) s x)
            (Fin.removeNth.{u_2 + 1} (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) j
              (i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x :
                (i : Fin (n + 1)) → E))) :
        F)
⊢ HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑i.castSucc : ℕ))
        ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
            (Function.update (β := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ E)
              (fun (x_1 : Fin (n + 1)) ↦
                i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x_2 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_2 x) x_1)
              j
              ((fderivWithin 𝕜
                    (fun (y : E) ↦
                      i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j)
                    s x :
                  (a : E) → E)
                (V i.castSucc x))) :
          F) +
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑j.succ : ℕ))
        ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
            (Function.update (β := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ E)
              (fun (x_1 : Fin (n + 1)) ↦
                j.succ.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x_2 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_2 x) x_1)
              i
              ((fderivWithin 𝕜
                    (fun (y : E) ↦
                      j.succ.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) i)
                    s x :
                  (a : E) → E)
                (V j.succ x))) :
          F) =
    HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑i : ℕ) + (↑j : ℕ)))
      ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
          (Matrix.vecCons (lieBracketWithin 𝕜 (V i.castSucc) (V j.succ) s x)
            (Fin.removeNth.{u_2 + 1} (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) j
              (i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x :
                (i : Fin (n + 1)) → E))) :
        F)

Tactic:
simp only [← Fin.insertNth_removeNth, map_insertNth]

Premises used: ContinuousAlternatingMap.map_insertNth, Fin.insertNth_removeNth