-- Module: Mathlib.Probability.Independence.Kernel.IndepFun
Goal:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun (β := β) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hμ : μ ≠ 0
η : Kernel α Ω
η_eq : Filter.EventuallyEq.{u_1, u_2} (β := Measure Ω) (ae μ) (⇑κ : (a : α) → Measure Ω) (⇑η : (a : α) → Measure Ω)
hη : IsMarkovKernel η
πSβ : Set (Set ((i : ↥S) → β (↑i : ι))) :=
  Set.pi (α := fun (i : ↥S) ↦ β (↑i : ι)) univ ''
    Set.pi (α := fun (i : ↥S) ↦ Set (β (↑i : ι))) univ fun (i : ↥S) ↦ {s : Set (β (↑i : ι)) | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s : Set Ω | ∃ t ∈ πSβ, (fun (a : Ω) (i : ↥S) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen :
  MeasurableSpace.comap (β := (i : ↥S) → β (↑i : ι)) (fun (a : Ω) (i : ↥S) ↦ f (↑i : ι) a)
      (MeasurableSpace.pi (X := fun (a : ↥S) ↦ β (↑a : ι))) =
    generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : ↥T) → β (↑i : ι))) :=
  Set.pi (α := fun (i : ↥T) ↦ β (↑i : ι)) univ ''
    Set.pi (α := fun (i : ↥T) ↦ Set (β (↑i : ι))) univ fun (i : ↥T) ↦ {s : Set (β (↑i : ι)) | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s : Set Ω | ∃ t ∈ πTβ, (fun (a : Ω) (i : ↥T) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' t = s}
hπT_pi : IsPiSystem πT
hπT_gen :
  MeasurableSpace.comap (β := (i : ↥T) → β (↑i : ι)) (fun (a : Ω) (i : ↥T) ↦ f (↑i : ι) a)
      (MeasurableSpace.pi (X := fun (a : ↥T) ↦ β (↑a : ι))) =
    generateFrom πT
s : Set ((i : ↥S) → β (↑i : ι))
sets_s : (i : ↥S) → Set (β (↑i : ι))
hs2 : Set.pi (α := fun (i : ↥S) ↦ β (↑i : ι)) univ sets_s = s
t : Set ((i : ↥T) → β (↑i : ι))
sets_t : (i : ↥T) → Set (β (↑i : ι))
ht2 : Set.pi (α := fun (i : ↥T) ↦ β (↑i : ι)) univ sets_t = t
hs1 : ∀ (i : ↥S), MeasurableSet (sets_s i)
ht1 : ∀ (i : ↥T), MeasurableSet (sets_t i)
inr :
  ∀ᵐ (a : α) ∂μ,
    (((η : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
        ((fun (a : Ω) (i : ↥S) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' Set.pi (α := fun (i : ↥S) ↦ β (↑i : ι)) univ sets_s ∩
          (fun (a : Ω) (i : ↥T) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' Set.pi (α := fun (i : ↥T) ↦ β (↑i : ι)) univ sets_t) =
      HMul.hMul (α := ENNReal) (β := ENNReal)
        ((((η : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
            ((fun (a : Ω) (i : ↥S) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' Set.pi (α := fun (i : ↥S) ↦ β (↑i : ι)) univ sets_s) :
          ENNReal)
        ((((η : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
            ((fun (a : Ω) (i : ↥T) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' Set.pi (α := fun (i : ↥T) ↦ β (↑i : ι)) univ sets_t) :
          ENNReal)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ,
    (((η : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
        ((fun (a : Ω) (i : ↥S) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' s ∩ (fun (a : Ω) (i : ↥T) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' t) =
      HMul.hMul (α := ENNReal) (β := ENNReal)
        ((((η : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
            ((fun (a : Ω) (i : ↥S) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' s) :
          ENNReal)
        ((((η : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
            ((fun (a : Ω) (i : ↥T) ↦ f (↑i : ι) a) ⁻¹' t) :
          ENNReal)

Tactic:
rw [← hs2, ← ht2]