-- Module: Mathlib.Order.Partition.Equipartition
Goal:
α : Type u_1
inst : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : ↥s ≃ (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)
hf :
  ∀ (a b : ↥s),
    P.part (↑a : α) = P.part (↑b : α) ↔
      Eq.{u_1 + 1} (α := ↥P.parts)
        (Sigma.fst (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
          ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a))
        (Sigma.fst (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
          ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) b))
g : ↥P.parts ≃ Fin #P.parts
hg :
  ∀ (t : ↥P.parts),
    #(↑t : Finset α) = #s / #P.parts + 1 ↔ (↑((g : (a : ↥P.parts) → Fin #P.parts) t) : ℕ) < #s % #P.parts
z : (a : ↥s) → ℕ :=
  fun (a : ↥s) ↦
    #P.parts *
        (↑(Sigma.snd (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
                ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a) :
              Fin
                (Finset.card.{u_1} (α := α)
                  (↑(Sigma.fst (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
                        ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a)) :
                    Finset α))) :
          ℕ) +
      (↑((g : (a : ↥P.parts) → Fin #P.parts)
            (Sigma.fst (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
              ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a))) :
        ℕ)
gl :
  ∀ (a : ↥s),
    (↑((g : (a : ↥P.parts) → Fin #P.parts)
            (Sigma.fst (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
              ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a))) :
        ℕ) <
      #P.parts
a : ↥s
c :
  Finset.card.{u_1} (α := α)
      (↑(Sigma.fst (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
            ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a)) :
        Finset α) =
    #s / #P.parts
_ :
  z a <
    #P.parts *
      ((↑(Sigma.snd (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
                ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a) :
              Fin
                (Finset.card.{u_1} (α := α)
                  (↑(Sigma.fst (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
                        ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a)) :
                    Finset α))) :
          ℕ) +
        1)
_₁ :
  #P.parts *
      ((↑(Sigma.snd (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
                ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a) :
              Fin
                (Finset.card.{u_1} (α := α)
                  (↑(Sigma.fst (β := fun (t : ↥P.parts) ↦ Fin #(↑t : Finset α))
                        ((f : (a : ↥s) → (t : ↥P.parts) × Fin #(↑t : Finset α)) a)) :
                    Finset α))) :
          ℕ) +
        1) ≤
    #P.parts * (#s / #P.parts)
⊢ z a < #s

Tactic:
calc
        _ < #P.parts * ((f a).2 + 1) := by simp only [z, mul_add_one]; gcongr; exact gl a
        _ ≤ #P.parts * (#s / #P.parts) := by gcongr; exact c ▸ (f a).2.2
        _ ≤ #P.parts * (#s / #P.parts) + #s % #P.parts := Nat.le_add_right ..
        _ = _ := Nat.div_add_mod ..

Premises used: Nat.div_add_mod, Nat.le_add_right, HDiv.hDiv, Finpartition.parts, HAdd.hAdd, Finset.card, OfNat.ofNat, Sigma.snd, DFunLike.coe