-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
hy : P y * Q z ≠ W.negY Q * P z
hZ : IsUnit (W.dblZ P)
erw :
  ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] =
    W.dblZ P •
      ![W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
        W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
          (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
        1]
erw₁ :
  ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] =
    ![W.dblZ P *
        ![W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
              (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            1]
          x,
      W.dblZ P *
        ![W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
              (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            1]
          y,
      W.dblZ P *
        ![W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
              (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            1]
          z]
erw₂ :
  ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] =
    ![W.dblZ P *
        ![W.dblX P / W.dblZ P,
            W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
              (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            1]
          x,
      W.dblZ P *
        ![W.dblX P / W.dblZ P,
            W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
              (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            1]
          y,
      W.dblZ P *
        ![W.dblX P / W.dblZ P,
            W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
              (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            1]
          z]
erw₃ :
  ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] =
    ![W.dblX P,
      W.dblZ P *
        ![W.dblX P / W.dblZ P,
            W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
              (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            1]
          y,
      W.dblZ P *
        ![W.dblX P / W.dblZ P,
            W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
              (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
            1]
          z]
erw₄ :
  ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] =
    ![W.dblX P, W.dblZ P * ![W.dblX P / W.dblZ P, W.dblY P / W.dblZ P, 1] y,
      W.dblZ P * ![W.dblX P / W.dblZ P, W.dblY P / W.dblZ P, 1] z]
erw₅ :
  ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] = ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P * ![W.dblX P / W.dblZ P, W.dblY P / W.dblZ P, 1] z]
erw₆ erw₇ : ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P] = ![W.dblX P, W.dblY P, W.dblZ P]
⊢ W.dblXYZ P =
    W.dblZ P •
      ![W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
        W.toAffine.addY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
          (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z)),
        1]

Tactic:
erw [dblXYZ, smul_fin3, ← dblX_of_Z_ne_zero hP hQ hPz hQz hx hy, hZ.mul_div_cancel,
    ← dblY_of_Z_ne_zero hP hQ hPz hQz hx hy, hZ.mul_div_cancel, mul_one]

Premises used: WeierstrassCurve.Projective.dblXYZ, IsUnit.mul_div_cancel, WeierstrassCurve.Projective.smul_fin3, WeierstrassCurve.Projective.dblY_of_Z_ne_zero, mul_one, WeierstrassCurve.Projective.dblX_of_Z_ne_zero