-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    ContinuousOn.{0, u} (Y := E) (fun (y : Fin (n + 1) → ℝ) ↦ f y i)
      ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt (𝕜 := ℝ) f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
      ∑ i : Fin (n + 1),
        (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) volume
hE : CompleteSpace E
A :
  HasIntegral.{0, u, u} (E := E) I ⊥
    (fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
      ∑ i : Fin (n + 1),
        (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
    (BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume))
    (@integral _ _ _ _ (MeasurableSpace.pi (X := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ))
      (Measure.restrict volume (↑I : Set (Fin (n + 1) → ℝ))) fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
      ∑ i : Fin (n + 1),
        (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
B :
  HasIntegral.{0, u, u} (E := E) I IntegrationParams.GP
    (fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
      ∑ i : Fin (n + 1),
        (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
    BoxAdditiveMap.volume
    (∑ i : Fin (n + 1),
      HSub.hSub (α := E)
        (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP
          (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i) x) i)
          BoxAdditiveMap.volume)
        (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP
          (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.lower i) x) i)
          BoxAdditiveMap.volume))
i : Fin (n + 1)
h : Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) Finset.univ i
this_1 :
  ContinuousOn.{0, u} (X := (j : Fin n) → ℝ) (Y := E)
    ((fun (y : Fin (n + 1) → ℝ) ↦ f y i) ∘ i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i) :
      ((j : Fin n) → ℝ) → E)
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i) : Set (Fin n → ℝ))
this :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    ((fun (y : Fin (n + 1) → ℝ) ↦ f y i) ∘ i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i))
    (↑(I.face i) : Set (Fin n → ℝ)) volume
⊢ Eq.{u + 1} (α := E)
    (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP
      (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (↑(I.face i) : Set (Fin n → ℝ)))
      fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i) x) i)

Tactic:
exact (this.hasBoxIntegral ⊥ rfl).integral_eq

Premises used: MeasureTheory.IntegrableOn.hasBoxIntegral, Bot.bot, rfl, BoxIntegral.HasIntegral.integral_eq