-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Ring.FinitePresentation
Goal:
J : Type uJ
inst : Category.{vJ, uJ} J
inst_1 : IsFiltered.{vJ, uJ} J
R : CommRingCat
F : CategoryTheory.Functor.{vJ, u, uJ, u + 1} J CommRingCat
α : Functor.obj (Functor.const J) R ⟶ F
S : CommRingCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
      CommRingCat.carrier))
g : S ⟶ c.pt
hc' :
  IsColimit (F :=
    F ⋙
      forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier))
    (Functor.mapCocone
      (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier))
      c)
n : ℕ
P : CommRingCat := CommRingCat.of (MvPolynomial (Fin n) (↑R : Type u))
iP : R ⟶ P := CommRingCat.ofHom MvPolynomial.C
π : P ⟶ S
hg : ∀ (i : J), (iP ≫ π) ≫ g = α.app i ≫ c.ι.app i
this : Algebra (↑R : Type u) (↑S : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom (iP ≫ π)).toAlgebra
hn :
  ∃ (f : MvPolynomial (Fin n) (↑R : Type u) →ₐ[(↑R : Type u)] (↑S : Type u)),
    Function.Surjective (α := MvPolynomial (Fin n) (↑R : Type u)) (β := (↑S : Type u))
        (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) (↑R : Type u)) → (↑S : Type u)) ∧
      Ideal.FG (ker f.toRingHom)
hπ :
  Function.Surjective (α := (↑P : Type u)) (β := (↑S : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) π) :
      (a : (↑P : Type u)) → (↑S : Type u))
s : Finset (↑P : Type u)
hs : Eq (α := Ideal (↑P : Type u)) (Ideal.span (↑s : Set (↑P : Type u))) (ker (CommRingCat.Hom.hom π))
choose :
  ∀ (j : (i : Fin n) → J)
    (x :
      (i : Fin n) →
        (fun (X : Type u) ↦ X)
          ((F ⋙
                forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier)).obj
            (j i)))
    (h :
      ∀ (i : Fin n),
        Eq (α :=
          (fun (X : Type u) ↦ X)
            (Functor.obj.{vJ, u, uJ, u + 1}
              (Functor.obj (Functor.const J)
                (Cocone.pt (F :=
                  F ⋙
                    forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier))
                  (Functor.mapCocone
                    (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier))
                    c)))
              (j i)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app
                    (Cocone.ι
                      (Functor.mapCocone
                        (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                          CommRingCat.carrier))
                        c))
                    (j i)) :
                (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj (j i))) →
                  (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj ((forget CommRingCat).mapCocone c).pt).obj (j i)))
              (x i) :
            (fun (X : Type u) ↦ X)
              (Functor.obj.{vJ, u, uJ, u + 1}
                (Functor.obj (Functor.const J)
                  (Cocone.pt (F :=
                    F ⋙
                      forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                        CommRingCat.carrier))
                    (Functor.mapCocone
                      (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                        CommRingCat.carrier))
                      c)))
                (j i)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (π ≫ g) :
                (a : (↑P : Type u)) → (↑c.pt : Type u))
              (MvPolynomial.X i) :
            (↑c.pt : Type u))),
    ∃ (i : J) (g' : P ⟶ F.obj i), π ≫ g = g' ≫ c.ι.app i ∧ iP ≫ g' = α.app i
⊢ ∃ (i : J) (g' : P ⟶ F.obj i), π ≫ g = g' ≫ c.ι.app i ∧ iP ≫ g' = α.app i

Tactic:
choose j x h using fun i ↦ Types.jointly_surjective_of_isColimit hc' ((π ≫ g) (.X i))

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, MvPolynomial.X, CategoryTheory.Limits.Types.jointly_surjective_of_isColimit, CategoryTheory.CategoryStruct.comp, DFunLike.coe