awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
R'' : Type ?u.337215
S'' : Type ?u.337218
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
r : P.Ring
rw :
  ((P'.ker.toCotangent : (a : ↥P'.ker) → P'.ker.Cotangent)
      (HSMul.hSMul (α := P'.Ring) (β := ↥P'.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → P'.Ring) r : P'.Ring)
        (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
            (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯ :
          ↥P'.ker)) :
    P'.ker.Cotangent)
| (HSMul.hSMul.{v, u_3, u_3} (α := S) (β := P'.Cotangent) ((algebraMap P.Ring S : (a : P.Ring) → S) r : S)
      (of
        ((P'.ker.toCotangent : (a : ↥P'.ker) → P'.ker.Cotangent)
          (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
            (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯)))).val

Tactic:
rw [← algebraMap_smul S', ← f.algebraMap_toRingHom, algebraMap_smul, val_smul',
      val_of, ← (Ideal.toCotangent _).map_smul]

Premises used: algebraMap_smul, Algebra.Extension.Cotangent.val_smul', Algebra.Extension.Hom.algebraMap_toRingHom, LinearMap.map_smul, Ideal.toCotangent, Algebra.Extension.Cotangent.val_of
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
R'' : Type ?u.337215
S'' : Type ?u.337218
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
r : P.Ring
e :
  Eq (α := P'.ker.Cotangent)
    ((P'.ker.toCotangent : (a : ↥P'.ker) → P'.ker.Cotangent)
        (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑(r • x) : P.Ring)) ⋯) :
      P'.ker.Cotangent)
    ((P'.ker.toCotangent : (a : ↥P'.ker) → P'.ker.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (α := P'.Ring) (β := ↥P'.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → P'.Ring) r : P'.Ring)
          (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
              (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯ :
            ↥P'.ker)) :
      P'.ker.Cotangent)
⊢ (P'.ker.toCotangent : (a : ↥P'.ker) → P'.ker.Cotangent)
      (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
        (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑(r • x) : P.Ring)) ⋯) =
    (HSMul.hSMul.{v, u_3, u_3} (α := S) (β := P'.Cotangent) ((algebraMap P.Ring S : (a : P.Ring) → S) r : S)
        (of
          ((P'.ker.toCotangent : (a : ↥P'.ker) → P'.ker.Cotangent)
            (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
              (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯)))).val

Tactic:
conv_rhs => rw [← algebraMap_smul S', ← f.algebraMap_toRingHom, algebraMap_smul, val_smul',
      val_of, ← (Ideal.toCotangent _).map_smul]

Premises used: algebraMap_smul, Algebra.Extension.Cotangent.val_smul', Algebra.Extension.Hom.algebraMap_toRingHom, LinearMap.map_smul, Ideal.toCotangent, Algebra.Extension.Cotangent.val_of
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
R'' : Type ?u.337215
S'' : Type ?u.337218
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
r : P.Ring
e :
  Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
      (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑(r • x) : P.Ring)) ⋯ =
    HSMul.hSMul (α := P'.Ring) (β := ↥P'.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → P'.Ring) r : P'.Ring)
      (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯ :
        ↥P'.ker)
⊢ Eq (α := P'.ker.Cotangent)
    ((P'.ker.toCotangent : (a : ↥P'.ker) → P'.ker.Cotangent)
        (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑(r • x) : P.Ring)) ⋯) :
      P'.ker.Cotangent)
    ((P'.ker.toCotangent : (a : ↥P'.ker) → P'.ker.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (α := P'.Ring) (β := ↥P'.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → P'.Ring) r : P'.Ring)
          (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
              (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯ :
            ↥P'.ker)) :
      P'.ker.Cotangent)

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
R'' : Type ?u.337215
S'' : Type ?u.337218
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
r : P.Ring
e :
  (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑(r • x) : P.Ring)) ⋯) :
      P'.Ring) =
    (↑(HSMul.hSMul (α := P'.Ring) (β := ↥P'.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → P'.Ring) r : P'.Ring)
          (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
              (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯ :
            ↥P'.ker)) :
      P'.Ring)
⊢ Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
      (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑(r • x) : P.Ring)) ⋯ =
    HSMul.hSMul (α := P'.Ring) (β := ↥P'.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → P'.Ring) r : P'.Ring)
      (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯ :
        ↥P'.ker)

Tactic:
ext1
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
R'' : Type ?u.337215
S'' : Type ?u.337218
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
r : P.Ring
⊢ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑(r • x) : P.Ring)) ⋯) :
      P'.Ring) =
    (↑(HSMul.hSMul (α := P'.Ring) (β := ↥P'.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → P'.Ring) r : P'.Ring)
          (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
              (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯ :
            ↥P'.ker)) :
      P'.Ring)

Tactic:
simp only [SetLike.val_smul, smul_eq_mul, map_mul, Hom.toAlgHom_apply]

Premises used: map_mul, SetLike.val_smul, smul_eq_mul, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
R'' : Type ?u.358245
S'' : Type ?u.358248
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
⊢ Membership.mem (α := P'.Ring) P'.ker
    (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring) : P'.Ring)

Tactic:
simpa [-map_aeval] using RingHom.congr_arg (algebraMap S S') x.2

Premises used: Algebra.algebraMap, MvPolynomial.map_aeval, RingHom.congr_arg, Subtype.property
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := P'.Cotangent)
    ((map f : (a : P.Cotangent) → P'.Cotangent) ((mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) x) : P'.Cotangent)
    ((mk : (a : ↥P'.ker) → P'.Cotangent)
        (Subtype.mk (p := fun (x : P'.Ring) ↦ x ∈ P'.ker)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, u_3} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) (↑x : P.Ring)) ⋯) :
      P'.Cotangent)

Tactic:
rfl

Premises used: iInf, Quotient.liftOn', Set.Mem, iSup, AddCon.liftOn, Set.iInter, Submodule.Quotient.mk, Submodule.restrictScalars, setOf, Set.preimage, Set.singleton, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
h :
  ∀ (x : P.Cotangent),
    Eq.{w + 1} (α := P.ker.Cotangent) (val ((map (Hom.id P) : (a : P.Cotangent) → P.Cotangent) x))
      (val ((LinearMap.id : (a : P.Cotangent) → P.Cotangent) x))
⊢ map (Hom.id P) = LinearMap.id

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
x : P.Cotangent
h :
  ∀ (x : ↥P.ker),
    Eq.{w + 1} (α := P.ker.Cotangent)
      (val ((map (Hom.id P) : (a : P.Cotangent) → P.Cotangent) ((mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) x)))
      (val ((LinearMap.id : (a : P.Cotangent) → P.Cotangent) ((mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) x)))
⊢ Eq.{w + 1} (α := P.ker.Cotangent) (val ((map (Hom.id P) : (a : P.Cotangent) → P.Cotangent) x))
    (val ((LinearMap.id : (a : P.Cotangent) → P.Cotangent) x))

Tactic:
obtain ⟨x, rfl⟩ := Cotangent.mk_surjective x

Premises used: Algebra.Extension.Cotangent.mk_surjective, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
x : ↥P.ker
⊢ Eq.{w + 1} (α := P.ker.Cotangent)
    (val ((map (Hom.id P) : (a : P.Cotangent) → P.Cotangent) ((mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) x)))
    (val ((LinearMap.id : (a : P.Cotangent) → P.Cotangent) ((mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) x)))

Tactic:
simp only [map_mk, Hom.toAlgHom_id, AlgHom.coe_id, id_eq, Subtype.coe_eta, val_mk,
    LinearMap.id_coe]

Premises used: AlgHom.coe_id, Algebra.Extension.Cotangent.val_mk, LinearMap.id_coe, Subtype.coe_eta, Algebra.Extension.Cotangent.map_mk, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_id, id_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension.{u_6, u_4, u_5} R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
inst_17 : Algebra R R''
inst_18 : IsScalarTower R R' R''
inst_19 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_20 : Algebra R S''
inst_21 : IsScalarTower R R'' S''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
h :
  ∀ (x : P.Cotangent),
    Eq.{u_6 + 1} (α := P''.ker.Cotangent)
      (val
        (((map (g.comp f) : LinearMap.{v, v, w, u_6} (RingHom.id S) P.Cotangent P''.Cotangent) :
            (a : P.Cotangent) → P''.Cotangent)
          x))
      (val
        ((((↑S :
                    {S_1 : Type u_2} →
                      {M : Type u_3} →
                        {M₂ : Type u_6} →
                          [inst : Semiring S] →
                            [inst_23 : Semiring S_1] →
                              [inst_24 : AddCommMonoid M] →
                                [inst_25 : AddCommMonoid M₂] →
                                  [inst_26 : Module S M] →
                                    [inst_27 : Module S M₂] →
                                      [inst_28 : Module S_1 M] →
                                        [inst_29 : Module S_1 M₂] →
                                          [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ S S_1] → (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[S] M₂)
                  (map g) ∘ₗ
                map f :
              LinearMap.{v, v, w, u_6} (RingHom.id S) P.Cotangent P''.Cotangent) :
            (a : P.Cotangent) → P''.Cotangent)
          x))
⊢ Eq (α := LinearMap.{v, v, w, u_6} (RingHom.id S) P.Cotangent P''.Cotangent) (map (g.comp f))
    ((↑S :
          {S_1 : Type u_2} →
            {M : Type u_3} →
              {M₂ : Type u_6} →
                [inst : Semiring S] →
                  [inst_23 : Semiring S_1] →
                    [inst_24 : AddCommMonoid M] →
                      [inst_25 : AddCommMonoid M₂] →
                        [inst_26 : Module S M] →
                          [inst_27 : Module S M₂] →
                            [inst_28 : Module S_1 M] →
                              [inst_29 : Module S_1 M₂] →
                                [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ S S_1] → (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[S] M₂)
        (map g) ∘ₗ
      map f)

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{u_3, u_1, u_2} R' S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension.{u_6, u_4, u_5} R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
inst_17 : Algebra R R''
inst_18 : IsScalarTower R R' R''
inst_19 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_20 : Algebra R S''
inst_21 : IsScalarTower R R'' S''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : ↥P.ker
⊢ Eq.{u_6 + 1} (α := P''.ker.Cotangent)
    (val
      (((map (g.comp f) : LinearMap.{v, v, w, u_6} (RingHom.id S) P.Cotangent P''.Cotangent) :
          (a : P.Cotangent) → P''.Cotangent)
        ((mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) x)))
    (val
      ((((↑S :
                  {S_1 : Type u_2} →
                    {M : Type u_3} →
                      {M₂ : Type u_6} →
                        [inst : Semiring S] →
                          [inst_23 : Semiring S_1] →
                            [inst_24 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_25 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_26 : Module S M] →
                                  [inst_27 : Module S M₂] →
                                    [inst_28 : Module S_1 M] →
                                      [inst_29 : Module S_1 M₂] →
                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ S S_1] → (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[S] M₂)
                (map g) ∘ₗ
              map f :
            LinearMap.{v, v, w, u_6} (RingHom.id S) P.Cotangent P''.Cotangent) :
          (a : P.Cotangent) → P''.Cotangent)
        ((mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) x)))

Tactic:
simp only [map_mk, Hom.toAlgHom_apply, Hom.comp_toRingHom, RingHom.coe_comp, Function.comp_apply,
    val_mk, LinearMap.coe_comp, LinearMap.coe_restrictScalars]

Premises used: Algebra.Extension.Cotangent.val_mk, LinearMap.coe_restrictScalars, LinearMap.coe_comp, RingHom.coe_comp, Function.comp_apply, Algebra.Extension.Cotangent.map_mk, Algebra.Extension.Hom.comp_toRingHom, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
hP : P.ker.FG
⊢ Module.Finite.{v, w} S P.Cotangent

Tactic:
⟨.of_restrictScalars (R := P.Ring) ?_⟩

Premises used: Module.Finite.of_fg_top, Algebra.Extension.Ring, Submodule.FG.of_restrictScalars
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
hP : P.ker.FG
refine : Submodule.FG.{w, w} (R := P.Ring) (M := P.Cotangent) (Submodule.restrictScalars.{w, v, w} P.Ring (R := S) ⊤)
⊢ Module.Finite.{v, w} S P.Cotangent

Tactic:
refine ⟨.of_restrictScalars (R := P.Ring) ?_⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
hP : P.ker.FG
rw : Submodule.FG.{w, w} (R := P.Ring) (Submodule.map mk ⊤)
⊢ Submodule.FG.{w, w} (R := P.Ring) (M := P.Cotangent) (Submodule.restrictScalars.{w, v, w} P.Ring (R := S) ⊤)

Tactic:
rw [Submodule.restrictScalars_top, ← LinearMap.range_eq_top.mpr Extension.Cotangent.mk_surjective,
    ← Submodule.map_top]

Premises used: Iff.mpr, Submodule.restrictScalars_top, Submodule.map_top, LinearMap.range_eq_top, Algebra.Extension.Cotangent.mk_surjective
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
hP : P.ker.FG
⊢ Submodule.FG.{w, w} (R := P.Ring) (Submodule.map mk ⊤)

Tactic:
((Submodule.fg_top P.ker).mpr hP).map _

Premises used: Iff.mpr, Algebra.Extension.ker, Set.Mem, Submodule.FG.map, Submodule.fg_top
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
hP : P.ker.FG
⊢ Submodule.FG.{w, w} (R := P.Ring) (Submodule.map mk ⊤)

Tactic:
exact ((Submodule.fg_top P.ker).mpr hP).map _

Premises used: Iff.mpr, Algebra.Extension.ker, Submodule.FG.map, Submodule.fg_top
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type ?u.388327
S' : Type ?u.388330
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.388454
S'' : Type ?u.388457
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
inst_17 : Algebra R R''
inst_18 : IsScalarTower R R' R''
inst_19 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_20 : Algebra R S''
inst_21 : IsScalarTower R R'' S''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
refine_1 :
  Function.Injective (α := TensorProduct.{w, v, w} P.Ring S ↥P.ker) (β := P.Cotangent)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange S Cotangent.mk) : (a : S ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → P.Cotangent)
refine_2 :
  Function.Surjective (α := TensorProduct.{w, v, w} P.Ring S ↥P.ker) (β := P.Cotangent)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange S Cotangent.mk) : (a : S ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → P.Cotangent)
⊢ TensorProduct.{w, v, w} P.Ring S ↥P.ker ≃ₗ[S] P.Cotangent

Tactic:
refine .ofBijective (Cotangent.mk.liftBaseChange _) ⟨?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type ?u.388327
S' : Type ?u.388330
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.388454
S'' : Type ?u.388457
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
inst_17 : Algebra R R''
inst_18 : IsScalarTower R R' R''
inst_19 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_20 : Algebra R S''
inst_21 : IsScalarTower R R'' S''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
⊢ Function.Injective (α := TensorProduct.{w, v, w} P.Ring S ↥P.ker) (β := P.Cotangent)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange S Cotangent.mk) : (a : S ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → P.Cotangent)

Tactic:
(injective_iff_map_eq_zero _).mpr fun x hx ↦ ?_

Premises used: Iff.mpr, injective_iff_map_eq_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type ?u.388327
S' : Type ?u.388330
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.388454
S'' : Type ?u.388457
inst_6 : CommRing R''
inst_7 : CommRing S''
inst_8 : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst_9 : Algebra R R'
inst_10 : Algebra R' R''
inst_11 : Algebra R' S''
inst_12 : Algebra S S'
inst_13 : Algebra S' S''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S'
inst_16 : IsScalarTower R R' S'
inst_17 : Algebra R R''
inst_18 : IsScalarTower R R' R''
inst_19 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_20 : Algebra R S''
inst_21 : IsScalarTower R R'' S''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
refine_1 :
  ∀ (x : TensorProduct.{w, v, w} P.Ring S ↥P.ker)
    (hx :
      Eq.{w + 1} (α := P.Cotangent)
        ((LinearMap.liftBaseChange S Cotangent.mk : (a : S ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → P.Cotangent) x : P.Cotangent)
        (0 : P.Cotangent)),
    x = 0
⊢ Function.Injective (α := TensorProduct.{w, v, w} P.Ring S ↥P.ker) (β := P.Cotangent)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange S Cotangent.mk) : (a : S ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → P.Cotangent)

Tactic:
refine (injective_iff_map_eq_zero _).mpr fun x hx ↦ ?_

Premises used: Iff.mpr, injective_iff_map_eq_zero