-- Module: Mathlib.RingTheory.Kaehler.TensorProduct
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : CommRing A
inst_4 : CommRing B
inst_5 : Algebra R A
inst_6 : Algebra R B
inst_7 : Algebra A B
inst_8 : Algebra S B
inst_9 : IsScalarTower R A B
inst_10 : IsScalarTower R S B
h : Algebra.IsPushout R S A B
x y : B ⊗[S] B
e₁ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Ω[B⁄S])
    ((LinearMap.liftBaseChange S
            ((↑R :
                {S M : Type u_3} →
                  {M₂ : Type u_4} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_11 : Semiring S] →
                        [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_14 : Module R M] →
                              [inst_15 : Module R M₂] →
                                [inst_16 : Module S M] →
                                  [inst_17 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
              (map R S A B)) :
          (a : S ⊗[R] Ω[A⁄R]) → Ω[B⁄S])
        (((Derivation.liftKaehlerDifferential (R := S) (S := B) (M := TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R S Ω[A⁄R])
                (derivationTensorProduct R S A B) :
              Ω[B⁄S] →ₗ[B] TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R S Ω[A⁄R]) :
            (a : Ω[B⁄S]) → S ⊗[R] Ω[A⁄R])
          ((Derivation.tensorProductTo (D S B) : (a : B ⊗[S] B) → Ω[B⁄S]) x)) :
      Ω[B⁄S])
    ((Derivation.tensorProductTo (D S B) : (a : B ⊗[S] B) → Ω[B⁄S]) x : Ω[B⁄S])
e₂ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Ω[B⁄S])
    ((LinearMap.liftBaseChange S
            ((↑R :
                {S M : Type u_3} →
                  {M₂ : Type u_4} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_11 : Semiring S] →
                        [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_14 : Module R M] →
                              [inst_15 : Module R M₂] →
                                [inst_16 : Module S M] →
                                  [inst_17 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
              (map R S A B)) :
          (a : S ⊗[R] Ω[A⁄R]) → Ω[B⁄S])
        (((Derivation.liftKaehlerDifferential (R := S) (S := B) (M := TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R S Ω[A⁄R])
                (derivationTensorProduct R S A B) :
              Ω[B⁄S] →ₗ[B] TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R S Ω[A⁄R]) :
            (a : Ω[B⁄S]) → S ⊗[R] Ω[A⁄R])
          ((Derivation.tensorProductTo (D S B) : (a : B ⊗[S] B) → Ω[B⁄S]) y)) :
      Ω[B⁄S])
    ((Derivation.tensorProductTo (D S B) : (a : B ⊗[S] B) → Ω[B⁄S]) y : Ω[B⁄S])
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := Ω[B⁄S])
    ((LinearMap.liftBaseChange S
            ((↑R :
                {S M : Type u_3} →
                  {M₂ : Type u_4} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_11 : Semiring S] →
                        [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_14 : Module R M] →
                              [inst_15 : Module R M₂] →
                                [inst_16 : Module S M] →
                                  [inst_17 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
              (map R S A B)) :
          (a : S ⊗[R] Ω[A⁄R]) → Ω[B⁄S])
        (((Derivation.liftKaehlerDifferential (R := S) (S := B) (M := TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R S Ω[A⁄R])
                (derivationTensorProduct R S A B) :
              Ω[B⁄S] →ₗ[B] TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R S Ω[A⁄R]) :
            (a : Ω[B⁄S]) → S ⊗[R] Ω[A⁄R])
          ((Derivation.tensorProductTo (D S B) : (a : B ⊗[S] B) → Ω[B⁄S]) (x + y))) :
      Ω[B⁄S])
    ((Derivation.tensorProductTo (D S B) : (a : B ⊗[S] B) → Ω[B⁄S]) (x + y) : Ω[B⁄S])

Tactic:
simp only [map_add, e₁, e₂]

Premises used: map_add