-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i j : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
h :
  Eq (α := Set (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v))
    (Set.image (α := (↑(D.toTopGlueData.V (i, j)) : Type v))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (D.toTopGlueData.t i j ≫ D.toTopGlueData.f j i)) :
        (a : (↑(D.toTopGlueData.V (i, j)) : Type v)) → (↑(D.toTopGlueData.U j) : Type v))
      ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (D.toTopGlueData.f i j)) :
          (a : (↑(D.toTopGlueData.V (i, j)) : Type v)) → (↑(D.toTopGlueData.U i) : Type v)) ⁻¹'
        (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))))
    (Set.image (α := (↑(↑(D.V (j, i)) : TopCat) : Type v))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (D.f j i).base) :
        (a : (↑(↑(D.V (j, i)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v))
      (Set.preimage (β := (↑(↑(D.V (i, j)) : TopCat) : Type v))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (D.t j i).base) :
          (a : (↑(↑(D.V (j, i)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.V (i, j)) : TopCat) : Type v))
        ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (D.f i j).base) :
            (a : (↑(↑(D.V (i, j)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) ⁻¹'
          (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)))))
⊢ Eq (α := Set (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v))
    (Set.preimage (β := (↑(D.mapGlueData (forget C)).glued : Type v))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (Y := (D.mapGlueData (forget C)).glued) ((D.mapGlueData (forget C)).ι j)) :
        (a : (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v)) → (↑(D.mapGlueData (forget C)).glued : Type v))
      ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (Y := (D.mapGlueData (forget C)).glued) ((D.mapGlueData (forget C)).ι i)) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(D.mapGlueData (forget C)).glued : Type v)) ''
        (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))))
    (Set.image (α := (↑(↑(D.V (j, i)) : TopCat) : Type v))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (D.f j i).base) :
        (a : (↑(↑(D.V (j, i)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v))
      (Set.preimage (β := (↑(↑(D.V (i, j)) : TopCat) : Type v))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (D.t j i).base) :
          (a : (↑(↑(D.V (j, i)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.V (i, j)) : TopCat) : Type v))
        ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (D.f i j).base) :
            (a : (↑(↑(D.V (i, j)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) ⁻¹'
          (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)))))

Tactic:
refine Eq.trans (D.toTopGlueData.preimage_image_eq_image' _ _ _) ?_

Premises used: AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.GlueData.toTopGlueData, Eq.trans, TopCat.GlueData.preimage_image_eq_image'