-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl :
  ∀ (k l : ℕ),
    HasSum.{u_3, 0} (α := F)
      (fun (x : { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
        f
          (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) k
            (Sigma.mk (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) l x)))
      (((p.changeOriginSeries k l : (a : (i : Fin l) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
              fun (x_1 : Fin l) ↦ x :
            (a : (i : Fin k) → E) → F)
          fun (x : Fin k) ↦ y :
        F)
hfk :
  ∀ (k : ℕ),
    HasSum.{u_3, 0} (α := F)
      (fun (x : (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
        f (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) k x))
      ((p.changeOrigin x k : (a : (i : Fin k) → E) → F) fun (x : Fin k) ↦ y : F)
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
refine :
  ∀ (n : ℕ),
    HasSum.{u_3, 0} (α := F)
      (fun (c : Finset (Fin n)) ↦
        Function.comp (α := (n : ℕ) × Finset (Fin n)) f
          (⇑changeOriginIndexEquiv.symm :
            (a : (n : ℕ) × Finset (Fin n)) → (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l })
          (Sigma.mk (β := fun (b : ℕ) ↦ Finset (Fin b)) n c))
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ x + y : F)
⊢ HasSum (β := (n : ℕ) × Finset (Fin n))
    (f ∘
      (⇑changeOriginIndexEquiv.symm :
        (a : (n : ℕ) × Finset (Fin n)) → (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
    (p.sum (x + y))

Tactic:
refine (p.hasSum_of_finite hn (x + y)).sigma_of_hasSum (fun n ↦ ?_)
    (changeOriginIndexEquiv.symm.summable_iff.2 hf.summable)

Premises used: Iff.mpr, FormalMultilinearSeries.changeOriginIndexEquiv, FormalMultilinearSeries.hasSum_of_finite, HasSum.summable, HAdd.hAdd, Equiv.summable_iff, Equiv.symm, HasSum.sigma_of_hasSum