-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Flasque
Goal:
X : TopCat
U : Opens (↑X : Type u)
F G : Sheaf AddCommGrpCat X
g : F ⟶ G
s : (↑(G.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op U)) : Type u)
c : Set (Under g s)
h : IsChain (fun (x y : Under g s) ↦ Nonempty.{u + 1} (y ⟶ x)) c
f : (↑c : Type u) → Opens (↑X : Type u) :=
  fun (x : (↑c : Type u)) ↦
    unop
      ((StructuredArrow.right (↑x : Under g s)).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
        (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
              CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
          c))
obtain :
  ∀
    (t :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
        (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (iSup f))))
    (ht :
      IsGluing (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
        (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u)))) f
        (fun (x : (↑c : Type u)) ↦
          (StructuredArrow.right (↑x : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                  CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
              c))
        t),
    (∀
        (y :
          ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier)
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
              (op (iSup f)))),
        (fun
                (s_1 :
                  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    AddCommGrpCat.carrier)
                    (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
                      (op (iSup f)))) ↦
              IsGluing (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier)
                (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u)))) f
                (fun (x : (↑c : Type u)) ↦
                  (StructuredArrow.right (↑x : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
                    (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                          CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                            (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                      c))
                s_1)
            y →
          y = t) →
      ∃ (ub : Under g s), ∀ a ∈ c, Nonempty.{u + 1} (ub ⟶ a)
⊢ ∃ (ub : Under g s), ∀ a ∈ c, Nonempty.{u + 1} (ub ⟶ a)

Tactic:
obtain ⟨t, ht, _⟩ : ∃! s_1, IsGluing F.obj f (fun x => x.val.right.2) s_1 := by
    refine Sheaf.existsUnique_gluing F _ _ (fun i j ↦ ?_)
    obtain (rfl | h₁ | h₁) : i = j ∨ Nonempty (i.val ⟶ j.val) ∨ Nonempty (j.val ⟶ i.val) := by
      grind [Subtype.ext_iff, h i.property j.property]
    · rfl
    all_goals
      rw [← CategoryOfElements.map_snd h₁.some.2]
      dsimp
      rw [← Functor.map_comp_apply]
      rfl