awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
⊢ (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)

Tactic:
simp only [hx, mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
⊢ (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)

Tactic:
have : I (e x) ∈ I.symm ⁻¹' e.target ∩ Set.range I := by simp only [hx, mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))

Tactic:
have := (mem_groupoid_of_pregroupoid.2 he).2.contDiffWithinAt this
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this_2 : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜
    (((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ∘ (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))

Tactic:
(h.comp' _ (this.differentiableWithinAt one_ne_zero)).mono_of_mem_nhdsWithin _

Premises used: one_ne_zero, DifferentiableWithinAt.mono_of_mem_nhdsWithin, ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt, DifferentiableWithinAt.comp'
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this_2 : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
h₁ :
  (↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H) =
    ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ∘ (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)
convert_2 :
  (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E) ∩
      (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ∈
    𝓝[(↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))

Tactic:
convert! (h.comp' _ (this.differentiableWithinAt one_ne_zero)).mono_of_mem_nhdsWithin _
        using 1

Premises used: one_ne_zero, DifferentiableWithinAt.mono_of_mem_nhdsWithin, ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt, DifferentiableWithinAt.comp'
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this_2 : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
h₁ :
  ∀ (y : E),
    ((↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H)) y =
      (((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ∘ (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) y
⊢ (↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H) =
    ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ∘ (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)

Tactic:
ext y
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this_2 : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
y : E
⊢ ((↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H)) y =
    (((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ∘ (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) y

Tactic:
simp only [mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this_2 : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
simp_rw : (↑I.symm : E → H) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)) ∈ e.target
simp_rw₁ : (↑e : H → H) x ∈ e.target
⊢ (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target

Tactic:
simp_rw [Set.mem_preimage, I.left_inv, e.mapsTo hx]

Premises used: OpenPartialHomeomorph.mapsTo, ModelWithCorners.left_inv, Set.mem_preimage
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this_2 : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
convert_2 :
  (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ⊆
    (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E) ∩
      (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
⊢ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E) ∩
      (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ∈
    𝓝[(↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)

Tactic:
refine
        mem_nhdsWithin.mpr
          ⟨I.symm ⁻¹' e.target, e.open_target.preimage I.continuous_symm, by
            simp_rw [Set.mem_preimage, I.left_inv, e.mapsTo hx], ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, PartialEquiv.target, mem_nhdsWithin, ModelWithCorners.continuous_symm, Set.preimage, And.intro, Exists.intro, ModelWithCorners.symm, PartialEquiv.toFun, OpenPartialHomeomorph.open_target, IsOpen.preimage, OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid 1 I
hx : x ∈ e.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this_2 : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
convert_2 convert_2₁ convert_2₂ :
  ∀ ⦃my_y : E⦄,
    my_y ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) →
      my_y ∈
        (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E) ∩
          (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
convert_2₃ convert_2₄ :
  ∀ ⦃my_y : E⦄,
    (↑I.symm : E → H) my_y ∈ e.target ∧ (↑e.symm : H → H) ((↑I.symm : E → H) my_y) ∈ s ∧ my_y ∈ range (↑I : H → E) →
      my_y ∈
        (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E) ∩
          (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
⊢ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ⊆
    (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E) ∩
      (↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))

Tactic:
mfld_set_tac
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x
ht :
  ∀ x ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E),
    ((↑I' : H' → E') ∘ g ∘ (↑I.symm : E → H)) x = ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) x
hx₁ :
  ((↑I' : H' → E') ∘ g ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x) =
    ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x)
⊢ DifferentiableWithinAtProp I I' g s x

Tactic:
apply hf.congr

Premises used: DifferentiableWithinAt.congr
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x
y : E
hy : y ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)
⊢ (↑I.symm : E → H) y ∈ s ∧ y ∈ range (↑I : H → E)

Tactic:
simp only [mfld_simps] at hy
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x
y : E
hy : (↑I.symm : E → H) y ∈ s ∧ y ∈ range (↑I : H → E)
⊢ ((↑I' : H' → E') ∘ g ∘ (↑I.symm : E → H)) y = ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) y

Tactic:
simp only [h, hy, mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f g : H → H'
h : ∀ y ∈ s, f y = g y
hx : f x = g x
hf : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x
⊢ ((↑I' : H' → E') ∘ g ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x) =
    ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x)

Tactic:
simp only [hx, mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid 1 I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h : DifferentiableWithinAtProp I I' f s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x)

Tactic:
rw [DifferentiableWithinAtProp] at h ⊢

Premises used: DifferentiableWithinAtProp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid 1 I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x)
⊢ ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x) ∈
    (↑I'.symm : E' → H') ⁻¹' e'.source ∩ range (↑I' : H' → E')

Tactic:
simp only [hx, mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid 1 I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x)
⊢ ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x) ∈
    (↑I'.symm : E' → H') ⁻¹' e'.source ∩ range (↑I' : H' → E')

Tactic:
have A : (I' ∘ f ∘ I.symm) (I x) ∈ I'.symm ⁻¹' e'.source ∩ Set.range I' := by
        simp only [hx, mfld_simps]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid 1 I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x)
A :
  ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x) ∈
    (↑I'.symm : E' → H') ⁻¹' e'.source ∩ range (↑I' : H' → E')
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I' : H' → E') ∘ (↑e' : H' → H') ∘ (↑I'.symm : E' → H'))
    ((↑I'.symm : E' → H') ⁻¹' e'.source ∩ range (↑I' : H' → E'))
    (((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x))

Tactic:
have := (mem_groupoid_of_pregroupoid.2 he').1.contDiffWithinAt A
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ contDiffGroupoid 1 I'
hs : s ⊆ f ⁻¹' e'.source
hx : f x ∈ e'.source
h :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x)
A :
  ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x) ∈
    (↑I'.symm : E' → H') ⁻¹' e'.source ∩ range (↑I' : H' → E')
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 1 ((↑I' : H' → E') ∘ (↑e' : H' → H') ∘ (↑I'.symm : E' → H'))
    ((↑I'.symm : E' → H') ⁻¹' e'.source ∩ range (↑I' : H' → E'))
    (((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) x))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜
    (((↑I' : H' → E') ∘ (↑e' : H' → H') ∘ (↑I'.symm : E' → H')) ∘ (↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) x)

Tactic:
(this.differentiableWithinAt one_ne_zero).comp _ h _

Premises used: DifferentiableWithinAt.comp, one_ne_zero, ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt