-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Scheme
Goal:
A : Type u_1
σ : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
q : (↑(↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
a b : A
ha : a ∈ carrier f_deg q
hb : b ∈ carrier f_deg q
i : ℕ
g : ℕ → A⁰_ f :=
  fun (j : ℕ) ↦
    HSMul.hSMul (β := A⁰_ f) ((m + m).choose j)
      (if h2 : m + m < j then 0
      else
        if h1 : j ≤ m then
          HMul.hMul (α := HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f))
            (HomogeneousLocalization.mk
              { deg := m * i,
                num :=
                  Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 (m * i))
                    (HPow.hPow (α := A) ((proj 𝒜 i : (a : A) → A) a : A) j *
                      HPow.hPow (α := A) ((proj 𝒜 i : (a : A) → A) b : A) (m - j))
                    ⋯,
                den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 (m * i)) (f ^ i) ⋯, den_mem := ⋯ })
            (HomogeneousLocalization.mk
              { deg := m * i,
                num :=
                  Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 (m * i)) (HPow.hPow (α := A) ((proj 𝒜 i : (a : A) → A) b : A) m)
                    ⋯,
                den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 (m * i)) (f ^ i) ⋯, den_mem := ⋯ })
        else
          HMul.hMul (α := HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f))
            (HomogeneousLocalization.mk
              { deg := m * i,
                num :=
                  Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 (m * i)) (HPow.hPow (α := A) ((proj 𝒜 i : (a : A) → A) a : A) m)
                    ⋯,
                den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 (m * i)) (f ^ i) ⋯, den_mem := ⋯ })
            (HomogeneousLocalization.mk
              { deg := m * i,
                num :=
                  Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 (m * i))
                    (HPow.hPow (α := A) ((proj 𝒜 i : (a : A) → A) a : A) (j - m) *
                      HPow.hPow (α := A) ((proj 𝒜 i : (a : A) → A) b : A) (m + m - j))
                    ⋯,
                den := Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ x ∈ 𝒜 (m * i)) (f ^ i) ⋯, den_mem := ⋯ }))
j : ℕ
hj : j ∈ range (m + m + 1)
h2 : ¬m + m < j
h1 : j ≤ m
pos :
  (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^
        (m + m - j) =
    (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      ((↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ (m - j) *
        (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ m)
pos₁ :
  (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^
        (m + m - j) =
    (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ (m - j + m)
pos₂ :
  (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^
        (m + m - j) =
    (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^
        (m + (m - j))
pos₃ pos₄ :
  (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^
        (m + (m - j)) =
    (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^
        (m + (m - j))
⊢ (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^
        (m + m - j) =
    (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) a : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ j *
        (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ (m - j) *
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) b : ⨁ (i : ℕ), ↥(𝒜 i)) : (a : ℕ) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ^ m

Tactic:
rw [mul_assoc, ← pow_add, add_comm (m - j), Nat.add_sub_assoc h1]

Premises used: mul_assoc, Nat.add_sub_assoc, HSub.hSub, pow_add, add_comm