-- Module: Mathlib.GroupTheory.Transfer
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst_1 : CommGroup A
ϕ : MonoidHom.{u_1, u_2} (↥H) A
inst_2 : H.FiniteIndex
g : G
inst_3 : Fintype (Quotient (α := G ⧸ H) (orbitRel (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)))
this : Fintype (G ⧸ H) := fintypeQuotientOfFiniteIndex
refine :
  ∀ (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := A)
      (∏ s : ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q)),
          (ϕ : (a : ↥H) → A)
            (Subtype.mk (p := fun (x : G) ↦ x ∈ H)
              (HMul.hMul (α := G)
                (↑((⋯.leftQuotientEquiv (S := (↑(H.transferTransversal g) : Set G)) :
                          (a : G ⧸ H) → (↑(↑(H.transferTransversal g) : Set G) : Type u_1))
                        (((H.quotientEquivSigmaZMod g).symm :
                            (a :
                                (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)) ×
                                  ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q))) →
                              G ⧸ H)
                          (Sigma.mk (β := fun (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)) ↦
                            ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q))) q s))) :
                    G)⁻¹
                (↑((⋯.leftQuotientEquiv (S := (↑(g • H.transferTransversal g) : Set G)) :
                        (a : G ⧸ H) → (↑(↑(g • H.transferTransversal g) : Set G) : Type u_1))
                      (((H.quotientEquivSigmaZMod g).symm :
                          (a :
                              (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)) ×
                                ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q))) →
                            G ⧸ H)
                        (Sigma.mk (β := fun (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)) ↦
                          ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q))) q s))) :
                  G))
              ⋯) :
        A)
      ((ϕ : (a : ↥H) → A)
          (Subtype.mk (p := fun (x : G) ↦ x ∈ H)
            ((Quotient.out (Quotient.out q))⁻¹ * g ^ Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q) *
              Quotient.out (Quotient.out q))
            ⋯) :
        A)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := A)
    (∏ a : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H),
      ∏ s : ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out a)),
        (ϕ : (a : ↥H) → A)
          (Subtype.mk (p := fun (x : G) ↦ x ∈ H)
            (HMul.hMul (α := G)
              (↑((⋯.leftQuotientEquiv (S := (↑(H.transferTransversal g) : Set G)) :
                        (a : G ⧸ H) → (↑(↑(H.transferTransversal g) : Set G) : Type u_1))
                      (((H.quotientEquivSigmaZMod g).symm :
                          (a :
                              (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)) ×
                                ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q))) →
                            G ⧸ H)
                        (Sigma.mk (β := fun (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)) ↦
                          ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q))) a s))) :
                  G)⁻¹
              (↑((⋯.leftQuotientEquiv (S := (↑(g • H.transferTransversal g) : Set G)) :
                      (a : G ⧸ H) → (↑(↑(g • H.transferTransversal g) : Set G) : Type u_1))
                    (((H.quotientEquivSigmaZMod g).symm :
                        (a :
                            (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)) ×
                              ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q))) →
                          G ⧸ H)
                      (Sigma.mk (β := fun (q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)) ↦
                        ZMod (Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) (Quotient.out q))) a s))) :
                G))
            ⋯))
    (∏ q : Quotient (orbitRel (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)),
      (ϕ : (a : ↥H) → A)
        (Subtype.mk (p := fun (x : G) ↦ x ∈ H)
          ((Quotient.out q.out)⁻¹ * g ^ Function.minimalPeriod (fun (x : G ⧸ H) ↦ g • x) q.out * Quotient.out q.out) ⋯))

Tactic:
refine Fintype.prod_congr _ _ (fun q => ?_)

Premises used: Fintype.prod_congr