-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.Profinite
Goal:
k : Type u_3
K : Type u_4
inst : Field k
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra k K
L : FiniteGaloisIntermediateField k K
g :
  (↑((limit (J := (FiniteGaloisIntermediateField k K)ᵒᵖ) (asProfiniteGaloisGroupFunctor k K)).toProfinite.toTop (P :=
        fun (X : TopCat.{u_4}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u_4} (↑X : Type u_4))) :
    Type u_4)
x : ↥L.toIntermediateField
L' : FiniteGaloisIntermediateField k K
h : L ≤ L'
mk :
  ∀ (L : IntermediateField k K) [finiteDimensional : FiniteDimensional.{u_3, u_4} k ↥L]
    [isGalois : IsGalois.{u_3, u_4} k ↥L]
    (x :
      ↥{ toIntermediateField := L, finiteDimensional := finiteDimensional, isGalois := isGalois :
            FiniteGaloisIntermediateField k K }.toIntermediateField)
    (h :
      { toIntermediateField := L, finiteDimensional := finiteDimensional, isGalois := isGalois :
          FiniteGaloisIntermediateField k K } ≤
        L'),
    Eq.{u_4 + 1} (α := K)
      (↑((((proj
                      { toIntermediateField := L, finiteDimensional := finiteDimensional, isGalois := isGalois :
                        FiniteGaloisIntermediateField k K } :
                    (a : (↑(limit (asProfiniteGaloisGroupFunctor k K)).toProfinite.toTop : Type u_4)) →
                      Gal(↥{ toIntermediateField := L, finiteDimensional := finiteDimensional,
                              isGalois := isGalois }.toIntermediateField/k))
                  g :
                Gal(↥{ toIntermediateField := L, finiteDimensional := finiteDimensional, isGalois := isGalois :
                        FiniteGaloisIntermediateField k K }.toIntermediateField/k)) :
              (a :
                  ↥{ toIntermediateField := L, finiteDimensional := finiteDimensional,
                        isGalois := isGalois }.toIntermediateField) →
                ↥{ toIntermediateField := L, finiteDimensional := finiteDimensional,
                      isGalois := isGalois }.toIntermediateField)
            x) :
        K)
      (↑((((proj L' :
                    (a : (↑(limit (asProfiniteGaloisGroupFunctor k K)).toProfinite.toTop : Type u_4)) →
                      Gal(↥L'.toIntermediateField/k))
                  g :
                Gal(↥L'.toIntermediateField/k)) :
              (a : ↥L'.toIntermediateField) → ↥L'.toIntermediateField)
            (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L'.toIntermediateField) (↑x : K) ⋯)) :
        K)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    (↑((((proj L :
                  (a : (↑(limit (asProfiniteGaloisGroupFunctor k K)).toProfinite.toTop : Type u_4)) →
                    Gal(↥L.toIntermediateField/k))
                g :
              Gal(↥L.toIntermediateField/k)) :
            (a : ↥L.toIntermediateField) → ↥L.toIntermediateField)
          x) :
      K)
    (↑((((proj L' :
                  (a : (↑(limit (asProfiniteGaloisGroupFunctor k K)).toProfinite.toTop : Type u_4)) →
                    Gal(↥L'.toIntermediateField/k))
                g :
              Gal(↥L'.toIntermediateField/k)) :
            (a : ↥L'.toIntermediateField) → ↥L'.toIntermediateField)
          (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L'.toIntermediateField) (↑x : K) ⋯)) :
      K)

Tactic:
induction L with | _ L => ?_