awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
hf₁ : ∀ (a : E), Membership.mem (γ := Set E) {x : E | (fun (x : E) ↦ 0 x ≤ g x) x} a
hf₂ hf₃ : ∀ (x : E), 0 x ≤ g x
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (↑ρ : Measure E)] g

Tactic:
filter_upwards [] with x using g_nonneg x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
⊢ Integrable (ε := ℝ) ((K n)ᶜ.indicator 1) (↑ρ : Measure E)

Tactic:
apply Integrable.indicator (integrable_const _) (hK n).measurableSet.compl

Premises used: MeasurableSet.compl, IsCompact.measurableSet, MeasureTheory.Integrable.indicator
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
h₁ : ∀ (x : E), g x ≤ (K n)ᶜ.indicator 1 x
⊢ g ≤ᶠ[ae (↑ρ : Measure E)] (K n)ᶜ.indicator 1

Tactic:
filter_upwards [] with x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
x : E
pos : ∀ (hx : x ∈ (K n)ᶜ), g x ≤ (K n)ᶜ.indicator 1 x
neg : ∀ (hx : x ∉ (K n)ᶜ), g x ≤ (K n)ᶜ.indicator 1 x
⊢ g x ≤ (K n)ᶜ.indicator 1 x

Tactic:
by_cases hx : x ∈ (K n)ᶜ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
x : E
hx : x ∈ (K n)ᶜ
⊢ g x ≤ (K n)ᶜ.indicator 1 x

Tactic:
simpa [hx] using g_le x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
x : E
hx : x ∉ (K n)ᶜ
neg : g x ≤ 0
⊢ g x ≤ (K n)ᶜ.indicator 1 x

Tactic:
simp only [hx, not_false_eq_true, indicator_of_notMem]

Premises used: Set.indicator_of_notMem, not_false_eq_true
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
x : E
hx : x ∉ (K n)ᶜ
neg : g x = 0
⊢ g x ≤ 0

Tactic:
apply le_of_eq

Premises used: le_of_eq
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
x : E
hx : x ∉ (K n)ᶜ
neg : x ∈ K n
⊢ g x = 0

Tactic:
apply gK
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
x : E
hx : x ∉ (K n)ᶜ
⊢ x ∈ K n

Tactic:
simpa using hx
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
⊢ ∫ (x : E), (K n)ᶜ.indicator 1 x ∂(↑ρ : Measure E) = (↑((ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ) : ℝ)

Tactic:
simp [integral_indicator (hK n).measurableSet.compl]

Premises used: MeasureTheory.integral_indicator, MeasurableSet.compl, IsCompact.measurableSet
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
⊢ (↑((ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ) : ℝ) ≤ (↑(u n) : ℝ)

Tactic:
mod_cast hρ.2 n

Premises used: NNReal.coe_le_coe._simp_1, cast, And.right, Eq.symm
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : NormalSpace E
this_1 : (↑μ : Measure E).InnerRegular
g : E → ℝ
g_cont : Continuous[inst_1, _] g
gK : EqOn g 0 (K n)
g_nonneg : 0 ≤ g
g_le : g ≤ 1
this :
  Tendsto (β := ℝ) (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E))
    (𝓝 (∫ (x : E), g x ∂(↑μ : Measure E)))
ρ : FiniteMeasure E
hρ : ρ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n
calc : LE.le (α := ℝ) (∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E)) (∫ (x : E), (K n)ᶜ.indicator 1 x ∂(↑ρ : Measure E))
calc₁ : ∫ (x : E), (K n)ᶜ.indicator 1 x ∂(↑ρ : Measure E) = (↑((ρ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ) : ℝ)
⊢ ∫ (x : E), g x ∂(↑ρ : Measure E) ≤ (↑(u n) : ℝ)

Tactic:
calc ∫ x, g x ∂ρ
    _ ≤ ∫ x, indicator (K n)ᶜ 1 x ∂ρ := by
      apply integral_mono_of_nonneg
      · filter_upwards [] with x using g_nonneg x
      · apply Integrable.indicator (integrable_const _) (hK n).measurableSet.compl
      · filter_upwards [] with x
        by_cases hx : x ∈ (K n)ᶜ
        · simpa [hx] using g_le x
        · simp only [hx, not_false_eq_true, indicator_of_notMem]
          apply le_of_eq
          apply gK
          simpa using hx
    _ = ρ (K n)ᶜ := by simp [integral_indicator (hK n).measurableSet.compl]
    _ ≤ u n := mod_cast hρ.2 n

Premises used: Compl.compl, And.right, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Prokhorov
Goal:
E : Type u_1
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : T2Space E
inst_3 : BorelSpace E
u : ℕ → ℝ≥0
K : ℕ → Set E
C : ℝ≥0
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hK : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
I :
  ∀ (μ : FiniteMeasure E) (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), μ.restrict (disjointed K i) = μ.restrict ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
A : ∀ (n : ℕ), IsCompact.{u_1} (X := E) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)
f : Ultrafilter (FiniteMeasure E)
hf : {μ : FiniteMeasure E | μ.mass ≤ C ∧ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n} ∈ f
ν : (n : ℕ) → FiniteMeasure E
ν_reg : ∀ (n : ℕ), (↑(ν n) : Measure E).InnerRegular
νK : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ≥0) ((ν n : (a : Set E) → ℝ≥0) ((partialSups K : (a : ℕ) → Set E) n)ᶜ : ℝ≥0) (0 : ℝ≥0)
hν :
  ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun (ρ : FiniteMeasure E) ↦ ρ.restrict (disjointed K n)) (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 (ν n))
B : ((Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E) : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) univ ≤ (↑C : ℝ≥0∞)
μ : FiniteMeasure E :=
  Subtype.mk (p := fun (μ : Measure E) ↦ IsFiniteMeasure μ) (Measure.sum fun (n : ℕ) ↦ (↑(ν n) : Measure E)) ⋯
L : Tendsto id (↑f : Filter (FiniteMeasure E)) (𝓝 μ)
n : ℕ
h : Monotone K
this : ((↑μ : Measure E) : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (K n)ᶜ ≤ (↑(u n) : ℝ≥0∞)
apply : (↑((μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ) : ℝ≥0∞) ≤ (↑(u n) : ℝ≥0∞)
⊢ (μ : (a : Set E) → ℝ≥0) (K n)ᶜ ≤ u n

Tactic:
apply ENNReal.coe_le_coe.1

Premises used: ENNReal.coe_le_coe, Iff.mp