-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Sheaf.Quasicoherent
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R_1 : Sheaf J RingCat
inst_1 :
  ∀ (X : C),
    (J.over X).HasSheafCompose
      (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
        AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
inst_2 : ∀ (X : C), HasSheafify (J.over X) AddCommGrpCat
inst_3 :
  ∀ (X : C),
    (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CA := AddCommGrpCat.carrier)
inst_4 :
  ∀ (X : C) (Y : Over.{v₁, u₁} X),
    ((J.over X).over Y).HasSheafCompose
      (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
        AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
inst_5 : ∀ (X : C) (Y : Over.{v₁, u₁} X), HasSheafify ((J.over X).over Y) AddCommGrpCat
inst_6 :
  ∀ (X : C) (Y : Over.{v₁, u₁} X),
    ((J.over X).over Y).WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CA := AddCommGrpCat.carrier)
R : Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
I : Type u
X : I → C
hX : J.CoversTop X
D : (i : I) → QuasicoherentData (C := Over.{v₁, u₁} (X i)) (M.over (X i))
i : (i : I) × (D i).I
x : (Over (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))ᵒᵖ
⊢ NatTrans.app
      (InducedCategory.Hom.hom
          (𝟙
            (Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
              (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))) ≫
        (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                      (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).iteratedSliceEquiv.functor.op.whiskerLeft
            (InducedCategory.Hom.hom
              (𝟙
                (R.over
                  (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                      (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).left))) ≫
          Functor.whiskerRight
            (NatTrans.op
              (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                    (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).iteratedSliceEquiv.unit)
            ((Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                  (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                    (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))).obj
              (P :=
              Presheaf.IsSheaf
                (GrothendieckTopology.over (J.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                  (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                    (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))))))
      x =
    NatTrans.app
      (𝟙
        ((Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
              (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))).obj
          (P :=
          Presheaf.IsSheaf
            (GrothendieckTopology.over (J.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
              (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))))))
      x

Tactic:
exact R.1.map_id _

Premises used: CategoryTheory.ObjectProperty.FullSubcategory.obj, CategoryTheory.Functor.map_id