-- Module: Mathlib.Condensed.Light.Sequence
Goal:
R : Type
inst : CommRing R
X Y : LightCondMod R
p : X ⟶ Y
hp : Epi p
S : LightProfinite
f :
  obj (free R)
      (tensorObj (𝒞 :=
          CompHausLike.category fun (X : TopCat.{0}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))
          S ℕ∪{∞}).toCondensed ⟶
    Y
T : LightProfinite
π :
  T ⟶
    tensorObj (𝒞 :=
      CompHausLike.category fun (X : TopCat.{0}) ↦
        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))
      S ℕ∪{∞}
g : obj (free R) T.toCondensed ⟶ X
hπ : Epi π
comm : CategoryTheory.Functor.map (lightProfiniteToLightCondSet ⋙ free R) π ≫ f = g ≫ p
S' T' : LightProfinite
y' : S' ⟶ S
π' :
  T' ⟶
    tensorObj (𝒞 :=
      CompHausLike.category fun (X : TopCat.{0}) ↦
        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))
      S' ℕ∪{∞}
g' : T' ⟶ T
hπ' : Epi π'
hy' : Epi y'
comp : π' ≫ y' ▷ ℕ∪{∞} = g' ≫ π
epi : Epi (cover π')
split :
  SplitEpi (X := LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞}))
    (LightProfinite.fibreIncl ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞}) ≫ π' ≫ fst S' ℕ∪{∞})
hS' :
  Nonempty
    (↑(S'.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
          TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
      Type)
this : Mono (X := LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞})) (LightProfinite.fibreIncl ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞}))
obtain :
  ∀
    (x :
      (↑(T'.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
        Type))
    (hx :
      Eq (α :=
        (fun
              (X :
                CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
            (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
              Type))
          ℕ∪{∞})
        (Function.comp (β :=
          (fun
                (X :
                  CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
              (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
                Type))
            (tensorObj (𝒞 :=
              CompHausLike.category fun (X : TopCat.{0}) ↦
                TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))
              S' ℕ∪{∞}))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC :=
                fun
                  (x1 x2 :
                    CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
                C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
                    Type),
                  (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
                    Type)))
                (CC :=
                fun
                  (X :
                    CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
                (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
                  Type))
                (X :=
                tensorObj (𝒞 :=
                  CompHausLike.category fun (X : TopCat.{0}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))
                  S' ℕ∪{∞})
                (snd S' ℕ∪{∞})) :
            (a :
                (fun
                      (X :
                        CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                          TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
                    (↑X.toTop : Type))
                  (S' ⊗ ℕ∪{∞})) →
              (fun
                    (X :
                      CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
                  (↑X.toTop : Type))
                ℕ∪{∞})
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC :=
                fun
                  (x1 x2 :
                    CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
                C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
                    Type),
                  (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
                    Type)))
                (CC :=
                fun
                  (X :
                    CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
                (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
                  Type))
                π') :
            (a :
                (fun
                      (X :
                        CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                          TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
                    (↑X.toTop : Type))
                  T') →
              (fun
                    (X :
                      CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
                  (↑X.toTop : Type))
                (S' ⊗ ℕ∪{∞}))
          x)
        ∞),
    Nonempty
      (↑((LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞})).toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
        Type)
⊢ Nonempty
    (↑((LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞})).toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
          TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
      Type)

Tactic:
obtain ⟨x, hx⟩ := (.comp ((fun y ↦ ⟨(Nonempty.some inferInstance, y), rfl⟩))
        ((LightProfinite.epi_iff_surjective _).mp hπ') : ((snd S' ℕ∪{∞}) ∘ π').Surjective) ∞

Premises used: OnePoint.infty, inferInstance, Nonempty.some, Prod.mk, Exists.intro, Iff.mp, Function.Surjective.comp, LightProfinite.epi_iff_surjective, rfl