-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X Y_1 : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y_1
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y_1) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y_1) : Type u))
        r) ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y_1) : Type v))
        m)
hS :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y_1))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop Y_1)) S
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop Y_1
r₀ :
  ToType (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
    (R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ :
  Eq (α := (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type u))
    ((RingCat.Hom.hom (α.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(R₀.obj (Opposite.op Y)) : Type u)) → (↑(R.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type u))
        r₀ :
      (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type u))
    ((RingCat.Hom.hom (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
          (a : (↑(R.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y_1))) : Type u)) → (↑(R.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type u))
        ((RingCat.Hom.hom (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y_1) : Type u))
            r :
          (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y_1) : Type u)) :
      (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type u))
m₀ :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
    (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ :
  Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        m₀ :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
          (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y_1))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y_1) : Type v))
            m :
          (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y_1) : Type v)) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
a :
  Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π ≫ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (smul α φ r m) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
          (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y_1))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (smul α φ
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                RingCat.carrier) (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y_1) : Type u))
            r)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y_1) : Type v))
            m)) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
a₁ :
  Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) (Y :=
            A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map (π ≫ f.op)) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (smul α φ r m) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
          (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y_1))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (smul α φ
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                RingCat.carrier) (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y_1) : Type u))
            r)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y_1) : Type v))
            m)) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
a₂ :
  Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (r₀ • m₀) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
          (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y_1))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (smul α φ
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                RingCat.carrier) (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y_1) : Type u))
            r)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y_1) : Type v))
            m)) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
a₃ a₄ :
  Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (r₀ • m₀) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (r₀ • m₀) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
⊢ Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
          (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y_1))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y_1) : Type v))
            (smul α φ r m) :
          (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y_1) : Type v)) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
          (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y_1))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (smul α φ
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                RingCat.carrier) (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y_1) : Type u))
            r)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
              (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y_1) : Type v))
            m)) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))

Tactic:
rw [← ConcreteCategory.comp_apply, ← Functor.map_comp,
    map_smul_eq α φ r m (π ≫ f.op) r₀ (by rw [hr₀, Functor.map_comp, RingCat.comp_apply]) m₀
      (by rw [hm₀, Functor.map_comp, ConcreteCategory.comp_apply]),
    map_smul_eq α φ (R.obj.map π r) (A.obj.map π m) f.op r₀ hr₀ m₀ hm₀]

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.comp_apply, CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, Quiver.Hom.op, PresheafOfModules.Sheafify.map_smul_eq, CategoryTheory.ObjectProperty.FullSubcategory.obj, CategoryTheory.Functor.map, CategoryTheory.CategoryStruct.comp, CategoryTheory.Functor.map_comp, DFunLike.coe