awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y : A ⊗[R] L
x_1 : A
y_1 : L
x_2 : A
y_2 : L
⊢ (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) (x_2 ⊗ₜ[R] y_2)) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_2 ⊗ₜ[R] y_2)) :
        A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_2 ⊗ₜ[R] y_2)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)) :
        A ⊗[R] L)

Tactic:
simp [LieAlgebra.ExtendScalars.bracket_tmul, tmul_sub, mul_comm]

Premises used: TensorProduct.tmul_sub, LieAlgebra.ExtendScalars.bracket_tmul, mul_comm
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y : A ⊗[R] L
x_1 : A
y_1 : L
x_2 y_2 : A ⊗[R] L
h1 :
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) x_2) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_2) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅x_2, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)⁆ : A ⊗[R] L)
h2 :
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) y_2) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_2) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y_2, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)⁆ : A ⊗[R] L)
refine_1 :
  HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_2) :
          A ⊗[R] L)
        (⁅x_2, x_1 ⊗ₜ[R] (d : (a : L) → L) y_1⁆ : A ⊗[R] L) +
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_2) :
          A ⊗[R] L)
        (⁅y_2, x_1 ⊗ₜ[R] (d : (a : L) → L) y_1⁆ : A ⊗[R] L) =
    HAdd.hAdd (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_2) :
          A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_2) :
          A ⊗[R] L) -
      HAdd.hAdd (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L) (⁅x_2, x_1 ⊗ₜ[R] (d : (a : L) → L) y_1⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y_2, x_1 ⊗ₜ[R] (d : (a : L) → L) y_1⁆ : A ⊗[R] L)
⊢ (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) (x_2 + y_2)) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_2 + y_2)) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅x_2 + y_2, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)⁆ : A ⊗[R] L)

Tactic:
simp [h1, h2]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y : A ⊗[R] L
x_1 : A
y_1 : L
x_2 y_2 : A ⊗[R] L
h1 :
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) x_2) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_2) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅x_2, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)⁆ : A ⊗[R] L)
h2 :
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) y_2) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_2) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y_2, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)⁆ : A ⊗[R] L)
⊢ HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_2) :
          A ⊗[R] L)
        (⁅x_2, x_1 ⊗ₜ[R] (d : (a : L) → L) y_1⁆ : A ⊗[R] L) +
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_2) :
          A ⊗[R] L)
        (⁅y_2, x_1 ⊗ₜ[R] (d : (a : L) → L) y_1⁆ : A ⊗[R] L) =
    HAdd.hAdd (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_2) :
          A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_2) :
          A ⊗[R] L) -
      HAdd.hAdd (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L) (⁅x_2, x_1 ⊗ₜ[R] (d : (a : L) → L) y_1⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y_2, x_1 ⊗ₜ[R] (d : (a : L) → L) y_1⁆ : A ⊗[R] L)

Tactic:
abel_nf
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y x_1 y_1 : A ⊗[R] L
h1 :
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x_1, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_1⁆ : A ⊗[R] L)
h2 :
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅y_1, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_1⁆ : A ⊗[R] L)
refine_2 :
  HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅x_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_1⁆ : A ⊗[R] L) +
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_1⁆ : A ⊗[R] L) =
    HAdd.hAdd (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅x_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L) -
      HAdd.hAdd (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_1⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_1⁆ : A ⊗[R] L)
⊢ (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x_1 + y_1, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x_1 + y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 + y_1)⁆ : A ⊗[R] L)

Tactic:
simp [h1, h2]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y x_1 y_1 : A ⊗[R] L
h1 :
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x_1, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_1⁆ : A ⊗[R] L)
h2 :
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅y_1, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_1⁆ : A ⊗[R] L)
⊢ HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅x_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_1⁆ : A ⊗[R] L) +
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_1⁆ : A ⊗[R] L) =
    HAdd.hAdd (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅x_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L) -
      HAdd.hAdd (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_1⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_1⁆ : A ⊗[R] L)

Tactic:
abel_nf
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : LieDerivation R L L
H :
  ∀ (a : A ⊗[R] L),
    Eq (α := A ⊗[R] L)
      (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑(x + x_1) : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          a :
        A ⊗[R] L)
      ((HAdd.hAdd (α := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          a :
        A ⊗[R] L)
⊢ { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑(x + x_1) : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
      map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } =
    HAdd.hAdd (α := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
      { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }
      { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }

Tactic:
ext _
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : LieDerivation R L L
a : A ⊗[R] L
⊢ Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑(x + x_1) : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        a :
      A ⊗[R] L)
    ((HAdd.hAdd (α := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        a :
      A ⊗[R] L)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x : R
x_1 : LieDerivation R L L
H :
  ∀ (a : A ⊗[R] L),
    Eq (α := A ⊗[R] L)
      (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑(x • x_1) : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          a :
        A ⊗[R] L)
      ((HSMul.hSMul (α := R) (β := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) ((RingHom.id R : (a : R) → R) x : R)
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          a :
        A ⊗[R] L)
⊢ { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑(x • x_1) : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
      map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } =
    HSMul.hSMul (α := R) (β := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) ((RingHom.id R : (a : R) → R) x : R)
      { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }

Tactic:
ext _
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x : R
x_1 : LieDerivation R L L
a : A ⊗[R] L
⊢ Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑(x • x_1) : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        a :
      A ⊗[R] L)
    ((HSMul.hSMul (α := R) (β := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) ((RingHom.id R : (a : R) → R) x : R)
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        a :
      A ⊗[R] L)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : LieDerivation R L L
H :
  ∀ (z : A ⊗[R] L),
    Eq (α := A ⊗[R] L)
      (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          z :
        A ⊗[R] L)
      ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
              { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          z :
        A ⊗[R] L)
⊢ Eq (α := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
    { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
      map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
    (Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
      { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ }
      { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ })

Tactic:
ext z
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : LieDerivation R L L
z : A ⊗[R] L
⊢ Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
          map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
        (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      0)
    ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
          { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
          { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
        (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      0)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : LieDerivation R L L
z : A ⊗[R] L
a : A
l : L
⊢ Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        (a ⊗ₜ[R] l) :
      A ⊗[R] L)
    ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        (a ⊗ₜ[R] l) :
      A ⊗[R] L)

Tactic:
simp [tmul_sub]

Premises used: TensorProduct.tmul_sub
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : LieDerivation R L L
z x_2 x_3 : A ⊗[R] L
hx :
  Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        x_2 :
      A ⊗[R] L)
    ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        x_2 :
      A ⊗[R] L)
hy :
  Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        x_3 :
      A ⊗[R] L)
    ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        x_3 :
      A ⊗[R] L)
⊢ Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑⁅x, x_1⁆ : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        (x_2 + x_3) :
      A ⊗[R] L)
    ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
            { toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑x_1 : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        (x_2 + x_3) :
      A ⊗[R] L)

Tactic:
simp_all [sub_add_sub_comm]

Premises used: sub_add_sub_comm
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x : A ⊗[R] L
⊢ Eq (α := A ⊗[R] L)
    ((((ofLieDerivation A : (a : LieDerivation R L L) → LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) d :
            LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        x :
      A ⊗[R] L)
    ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x : A ⊗[R] L)

Tactic:
rfl

Premises used: Quotient.liftOn', AddCon.liftOn, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Basic
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
D D1_1 D2_1 : LieDerivation R L M
a b : L
D1 D2 : LieDerivation R L M
h : Eq (α := (a : L) → M) ((fun (D : LieDerivation R L M) ↦ D.toFun) D1) ((fun (D : LieDerivation R L M) ↦ D.toFun) D2)
mk :
  ∀ (toLinearMap : L →ₗ[R] M)
    (leibniz' :
      ∀ (a b : L),
        (toLinearMap : (a : L) → M) ⁅a, b⁆ =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) (⁅a, (toLinearMap : (a : L) → M) b⁆ : M) (⁅b, (toLinearMap : (a : L) → M) a⁆ : M))
    (h :
      Eq (α := (a : L) → M)
        ((fun (D : LieDerivation R L M) ↦ D.toFun) { toLinearMap := toLinearMap, leibniz' := leibniz' })
        ((fun (D : LieDerivation R L M) ↦ D.toFun) D2)),
    { toLinearMap := toLinearMap, leibniz' := leibniz' } = D2
⊢ D1 = D2

Tactic:
cases D1
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Basic
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
D D1 D2_1 : LieDerivation R L M
a b : L
D2 : LieDerivation R L M
toLinearMap : L →ₗ[R] M
leibniz' :
  ∀ (a b : L),
    (toLinearMap : (a : L) → M) ⁅a, b⁆ =
      HSub.hSub (α := M) (β := M) (⁅a, (toLinearMap : (a : L) → M) b⁆ : M) (⁅b, (toLinearMap : (a : L) → M) a⁆ : M)
h :
  Eq (α := (a : L) → M) ((fun (D : LieDerivation R L M) ↦ D.toFun) { toLinearMap := toLinearMap, leibniz' := leibniz' })
    ((fun (D : LieDerivation R L M) ↦ D.toFun) D2)
mk :
  ∀ (toLinearMap_1 : L →ₗ[R] M)
    (leibniz'_1 :
      ∀ (a b : L),
        (toLinearMap_1 : (a : L) → M) ⁅a, b⁆ =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) (⁅a, (toLinearMap_1 : (a : L) → M) b⁆ : M)
            (⁅b, (toLinearMap_1 : (a : L) → M) a⁆ : M))
    (h :
      Eq (α := (a : L) → M)
        ((fun (D : LieDerivation R L M) ↦ D.toFun) { toLinearMap := toLinearMap, leibniz' := leibniz' })
        ((fun (D : LieDerivation R L M) ↦ D.toFun) { toLinearMap := toLinearMap_1, leibniz' := leibniz'_1 })),
    Eq (α := LieDerivation R L M) { toLinearMap := toLinearMap, leibniz' := leibniz' }
      { toLinearMap := toLinearMap_1, leibniz' := leibniz'_1 }
⊢ { toLinearMap := toLinearMap, leibniz' := leibniz' } = D2

Tactic:
cases D2