awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
rw :
  x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂))
⊢ s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)

Tactic:
rw [SSameSide, and_comm, wSameSide_iff_exists_left h, and_assoc, and_congr_right_iff]

Premises used: AffineSubspace.SSameSide, and_congr_right_iff, and_comm, AffineSubspace.wSameSide_iff_exists_left, and_assoc
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
hx : x ∉ s
rw rw₁ : (y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)

Tactic:
rw [or_iff_right hx]

Premises used: or_iff_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
rw :
  (x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₂_1)) ↔
    x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)

Tactic:
rw [sSameSide_comm, sSameSide_iff_exists_left h, ← and_assoc, and_comm (a := y ∉ s), and_assoc]

Premises used: AffineSubspace.sSameSide_iff_exists_left, and_comm, AffineSubspace.sSameSide_comm, and_assoc
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₂_1)) ↔
    x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)

Tactic:
simp_rw [SameRay.sameRay_comm]

Premises used: SameRay.sameRay_comm
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
mp : s.WOppSide x y → x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
mpr : (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) → s.WOppSide x y
⊢ s.WOppSide x y ↔ x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
h0 : x = p₁'
mp : p₁' ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (p₁' -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rw [h0]
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
h0 : x = p₁'
⊢ p₁' ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (p₁' -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
Or.inl hp₁'

Premises used: Or.inl
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
h0 : x = p₁'
⊢ p₁' ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (p₁' -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
exact Or.inl hp₁'

Premises used: Or.inl
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
h0 : p₂' -ᵥ y = 0
⊢ x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
Or.inr ⟨p₂', hp₂', ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Or.inr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
h0 : p₂' -ᵥ y = 0
mp : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂' -ᵥ y)
⊢ x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
refine Or.inr ⟨p₂', hp₂', ?_⟩

Premises used: Or.inr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
h0 : p₂' -ᵥ y = 0
mp : SameRay R (x -ᵥ p₁) 0
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂' -ᵥ y)

Tactic:
rw [h0]
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
h0 : p₂' -ᵥ y = 0
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) 0

Tactic:
SameRay.zero_right _

Premises used: SameRay.zero_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
h0 : p₂' -ᵥ y = 0
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) 0

Tactic:
exact SameRay.zero_right _

Premises used: SameRay.zero_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
hr : r₁ • (x -ᵥ p₁') = r₂ • (p₂' -ᵥ y)
⊢ x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
Or.inr ⟨(-r₁ / r₂) • (p₁ -ᵥ p₁') +ᵥ p₂', s.smul_vsub_vadd_mem _ h hp₁' hp₂',
        Or.inr (Or.inr ⟨r₁, r₂, hr₁, hr₂, ?_⟩)⟩

Premises used: AffineSubspace.smul_vsub_vadd_mem, HDiv.hDiv, VSub.vsub, HVAdd.hVAdd, And.intro, Exists.intro, HSMul.hSMul, Neg.neg, Or.inr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
hr : r₁ • (x -ᵥ p₁') = r₂ • (p₂' -ᵥ y)
mp : r₁ • (x -ᵥ p₁) = r₂ • (((-r₁ / r₂) • (p₁ -ᵥ p₁') +ᵥ p₂') -ᵥ y)
⊢ x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
refine Or.inr ⟨(-r₁ / r₂) • (p₁ -ᵥ p₁') +ᵥ p₂', s.smul_vsub_vadd_mem _ h hp₁' hp₂',
        Or.inr (Or.inr ⟨r₁, r₂, hr₁, hr₂, ?_⟩)⟩

Premises used: Or.inr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
hr : r₁ • (x -ᵥ p₁') = r₂ • (p₂' -ᵥ y)
mp : r₁ • (x -ᵥ p₁' - (p₁ -ᵥ p₁')) = r₂ • ((-r₁ / r₂) • (p₁ -ᵥ p₁') + (p₂' -ᵥ y))
⊢ r₁ • (x -ᵥ p₁) = r₂ • (((-r₁ / r₂) • (p₁ -ᵥ p₁') +ᵥ p₂') -ᵥ y)

Tactic:
rw [vadd_vsub_assoc, ← vsub_sub_vsub_cancel_right x p₁ p₁']

Premises used: vadd_vsub_assoc, vsub_sub_vsub_cancel_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
hr : r₁ • (x -ᵥ p₁') = r₂ • (p₂' -ᵥ y)
match_scalars : r₁ * 1 - r₁ * 1 = 0
match_scalars₁ : r₁ * -1 - r₂ * (-r₁ / r₂ * 1) = 0
match_scalars₂ : r₂ * 1 - r₂ * 1 = 0
⊢ r₁ • (x -ᵥ p₁' - (p₁ -ᵥ p₁')) + r₂ • (p₂' -ᵥ y) - (r₂ • ((-r₁ / r₂) • (p₁ -ᵥ p₁') + (p₂' -ᵥ y)) + r₁ • (x -ᵥ p₁')) = 0

Tactic:
match_scalars
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
hr : r₁ • (x -ᵥ p₁') = r₂ • (p₂' -ᵥ y)
⊢ r₁ * 1 - r₁ * 1 = 0

Tactic:
field
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
hr : r₁ • (x -ᵥ p₁') = r₂ • (p₂' -ᵥ y)
⊢ r₁ * -1 - r₂ * (-r₁ / r₂ * 1) = 0

Tactic:
field
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
hr : r₁ • (x -ᵥ p₁') = r₂ • (p₂' -ᵥ y)
⊢ r₂ * 1 - r₂ * 1 = 0

Tactic:
field
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
p₁' : P
hp₁' : p₁' ∈ s
p₂' : P
hp₂' : p₂' ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
hr : r₁ • (x -ᵥ p₁') = r₂ • (p₂' -ᵥ y)
a :
  r₁ • (x -ᵥ p₁' - (p₁ -ᵥ p₁')) + r₂ • (p₂' -ᵥ y) - (r₂ • ((-r₁ / r₂) • (p₁ -ᵥ p₁') + (p₂' -ᵥ y)) + r₁ • (x -ᵥ p₁')) = 0
⊢ r₁ • (x -ᵥ p₁' - (p₁ -ᵥ p₁')) = r₂ • ((-r₁ / r₂) • (p₁ -ᵥ p₁') + (p₂' -ᵥ y))

Tactic:
linear_combination (norm := match_scalars <;> field) hr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
h' : x ∈ s
⊢ s.WOppSide x y

Tactic:
wOppSide_of_left_mem y h'

Premises used: AffineSubspace.wOppSide_of_left_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
h' : x ∈ s
⊢ s.WOppSide x y

Tactic:
exact wOppSide_of_left_mem y h'

Premises used: AffineSubspace.wOppSide_of_left_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
h₁ : P
h₂ : h₁ ∈ s
h₃ : SameRay R (x -ᵥ p₁) (h₁ -ᵥ y)
⊢ s.WOppSide x y

Tactic:
⟨p₁, h, h₁, h₂, h₃⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, AffineSubspace.WOppSide
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
h₁ : P
h₂ : h₁ ∈ s
h₃ : SameRay R (x -ᵥ p₁) (h₁ -ᵥ y)
⊢ s.WOppSide x y

Tactic:
exact ⟨p₁, h, h₁, h₂, h₃⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
rw : (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ s.WOppSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rw [wOppSide_comm, wOppSide_iff_exists_left h]

Premises used: AffineSubspace.wOppSide_comm, AffineSubspace.wOppSide_iff_exists_left
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
mp : (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) → y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
mpr : (y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) → y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
Or.inl hy

Premises used: Or.inl
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
exact Or.inl hy

Premises used: Or.inl
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
Or.inr ⟨p, hp, ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Or.inr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
mp : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
refine Or.inr ⟨p, hp, ?_⟩

Premises used: Or.inr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
mp : SameRay R (p₂ -ᵥ y) (x -ᵥ p)
mp₁ : SameRay R (-(p₂ -ᵥ y)) (-(x -ᵥ p))
mp₂ : SameRay R (y -ᵥ p₂) (-(x -ᵥ p))
mp₃ mp₄ mp₅ mp₆ : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rwa [SameRay.sameRay_comm, ← sameRay_neg_iff, neg_vsub_eq_vsub_rev, neg_vsub_eq_vsub_rev]

Premises used: SameRay.sameRay_comm, neg_vsub_eq_vsub_rev, sameRay_neg_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Tactic:
Or.inl hy

Premises used: Or.inl
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Tactic:
exact Or.inl hy

Premises used: Or.inl
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Tactic:
Or.inr ⟨p, hp, ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Or.inr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
mpr : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Tactic:
refine Or.inr ⟨p, hp, ?_⟩

Premises used: Or.inr
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
mpr : SameRay R (p -ᵥ x) (y -ᵥ p₂)
mpr₁ : SameRay R (-(p -ᵥ x)) (-(y -ᵥ p₂))
mpr₂ : SameRay R (x -ᵥ p) (-(y -ᵥ p₂))
mpr₃ mpr₄ mpr₅ mpr₆ : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
⊢ SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)

Tactic:
rwa [SameRay.sameRay_comm, ← sameRay_neg_iff, neg_vsub_eq_vsub_rev, neg_vsub_eq_vsub_rev]

Premises used: SameRay.sameRay_comm, neg_vsub_eq_vsub_rev, sameRay_neg_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
rw :
  x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y))
⊢ s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rw [SOppSide, and_comm, wOppSide_iff_exists_left h, and_assoc, and_congr_right_iff]

Premises used: AffineSubspace.wOppSide_iff_exists_left, and_congr_right_iff, and_comm, AffineSubspace.SOppSide, and_assoc
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
hx : x ∉ s
rw rw₁ : (y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rw [or_iff_right hx]

Premises used: or_iff_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
rw : x ∉ s → y ∉ s → ((y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y))
⊢ s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rw [SOppSide, and_comm, wOppSide_iff_exists_right h, and_assoc, and_congr_right_iff,
    and_congr_right_iff]

Premises used: and_congr_right_iff, and_comm, AffineSubspace.SOppSide, and_assoc, AffineSubspace.wOppSide_iff_exists_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
h_1 : x ∉ s
hy : y ∉ s
rw rw₁ : (∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rw [or_iff_right hy]

Premises used: or_iff_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hxy : s.WSameSide x y
hyz : s.WSameSide y z
hy : y ∉ s
rcases : ∀ (p₁ : P) (hp₁ : p₁ ∈ s) (p₂ : P) (hp₂ : p₂ ∈ s) (hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)), s.WSameSide x z
⊢ s.WSameSide x z

Tactic:
rcases hxy with ⟨p₁, hp₁, p₂, hp₂, hxy⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hyz : s.WSameSide y z
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
⊢ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₂_1)

Tactic:
rw [wSameSide_iff_exists_left hp₂, or_iff_right hy] at hyz

Premises used: AffineSubspace.wSameSide_iff_exists_left, or_iff_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hyz : s.WSameSide y z
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
hyz₁ : ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₂_1)
⊢ p₂ ∈ s

Tactic:
rw [wSameSide_iff_exists_left hp₂, or_iff_right hy] at hyz

Premises used: AffineSubspace.wSameSide_iff_exists_left, or_iff_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hyz : s.WSameSide y z
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
hyz₁ : ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₂_1)
hp₃ : p₂ ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)

Tactic:
rw [wSameSide_iff_exists_left hp₂, or_iff_right hy] at hyz

Premises used: AffineSubspace.wSameSide_iff_exists_left, or_iff_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hyz : ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₂_1)
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
rcases : ∀ (p₃ : P) (hp₃ : p₃ ∈ s) (hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)), s.WSameSide x z
⊢ s.WSameSide x z

Tactic:
rcases hyz with ⟨p₃, hp₃, hyz⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Convex.Side
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
hy : y ∉ s
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hxy : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
p₃ : P
hp₃ : p₃ ∈ s
hyz : SameRay R (y -ᵥ p₂) (z -ᵥ p₃)
⊢ s.WSameSide x z

Tactic:
⟨p₁, hp₁, p₃, hp₃, hxy.trans hyz ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, SameRay.trans, AffineSubspace.WSameSide