-- Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Div
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf :
  (p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).degree <
    p.degree
ih :
  ((p -
            q *
              HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
        hq).2 =
    p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        ((p -
            q *
              HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ
          q)
rw :
  (p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        if hq : q.Monic then
          ((p -
                  q *
                    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                      (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
              hq).1
        else 0) =
    p -
      q *
        if h : q.Monic then
          (if h_1 : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then
              have z :=
                HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                  (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree));
              have _wf := ⋯;
              have dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯;
              (z + dm.1, dm.2)
            else (0, p)).1
        else 0
rw₁ :
  p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        ((p -
                q *
                  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                    (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
            hq).1 =
    p -
      q *
        if h : q.Monic then
          (if h_1 : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then
              have z :=
                HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                  (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree));
              have _wf := ⋯;
              have dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯;
              (z + dm.1, dm.2)
            else (0, p)).1
        else 0
rw₂ :
  p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        ((p -
                q *
                  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                    (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
            hq).1 =
    p -
      q *
        (if h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then
            have z :=
              HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree));
            have _wf := ⋯;
            have dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯;
            (z + dm.1, dm.2)
          else (0, p)).1
rw₃ :
  p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        ((p -
                q *
                  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                    (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
            hq).1 =
    p -
      q *
        (have z :=
            HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
              (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree));
          have _wf := ⋯;
          have dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯;
          (z + dm.1, dm.2)).1
rw₄ :
  p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        ((p -
                q *
                  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                    (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
            hq).1 =
    p -
      (q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) +
        q *
          ((p -
                  q *
                    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                      (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
              ⋯).1)
rw₅ rw₆ :
  p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        ((p -
                q *
                  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                    (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
            hq).1 =
    p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        ((p -
                q *
                  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                    (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux
            ⋯).1
⊢ p -
        q *
          HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree)) -
      q *
        ((p -
            q *
              HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ
          q) =
    p -
      q *
        if h : q.Monic then
          (if h_1 : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then
              have z :=
                HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) p.leadingCoeff : R[X])
                  (HPow.hPow (α := R[X]) X (p.natDegree - q.natDegree));
              have _wf := ⋯;
              have dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯;
              (z + dm.1, dm.2)
            else (0, p)).1
        else 0

Tactic:
rw [divByMonic, dif_pos hq, dif_pos hq, dif_pos h, mul_add, sub_add_eq_sub_sub]

Premises used: dif_pos, Polynomial.divByMonic, sub_add_eq_sub_sub, mul_add