-- Module: Mathlib.ModelTheory.ElementarySubstructures
Goal:
L : Language
M : Type u_1
inst : L.Structure M
A : Set M
hA : MeetsDefinable.{u_1, u_2, u_3} (L := L) A
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)
x : Fin n → ↥(LowerAdjoint.toFun (u := SetLike.coe) (closure L) A)
a : M
hφ :
  BoundedFormula.Realize.{u_2, u_3, u_1, 0} (M := M) φ default
    (Fin.snoc (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ M)
      (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦
          Membership.mem (γ := L.Substructure M) (LowerAdjoint.toFun (u := SetLike.coe) (closure L) A) x) ∘
        x)
      a)
D : Set M :=
  {y : M |
    BoundedFormula.Realize.{u_2, u_3, u_1, 0} (M := M) φ default
      (Fin.snoc (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ M)
        (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦
            Membership.mem (γ := L.Substructure M) (LowerAdjoint.toFun (u := SetLike.coe) (closure L) A) x) ∘
          x)
        y)}
hD_ne : D.Nonempty
v : Fin 1 → M
i : Fin (n + 1)
h :
  Eq.{u_1 + 1} (α := M)
    (Fin.snoc (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ M)
        (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦
            Membership.mem (γ := L.Substructure M) (LowerAdjoint.toFun (u := SetLike.coe) (closure L) A) x) ∘
          x)
        (v 0) (Fin.last n) :
      M)
    ((Function.comp (β := Fin (n + 1) ⊕ Fin 0)
            (Sum.elim
              (fun (a : Fin (n + 1)) ↦
                Term.realize (L := withConstants.{u_2, u_3, u_1} L (↑A : Type u_1)) v
                  (Fin.lastCases (motive := fun (x : Fin (n + 1)) ↦
                    (withConstants.{u_2, u_3, u_1} L (↑A : Type u_1)).Term (Fin 1)) (var 0)
                    (fun (j : Fin n) ↦ Constants.term (L.con (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ A) (↑(x j) : M) ⋯)))
                    a))
              default)
            (Sum.inl ∘ Sum.elim Empty.elim id) ∘
          Sum.inr)
        (Fin.last n) :
      M)
h₁ :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{u_1 + 1} (α := M)
      (Fin.snoc (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ M)
          (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦
              Membership.mem (γ := L.Substructure M) (LowerAdjoint.toFun (u := SetLike.coe) (closure L) A) x) ∘
            x)
          (v 0) i.castSucc :
        M)
      ((Function.comp (β := Fin (n + 1) ⊕ Fin 0)
              (Sum.elim
                (fun (a : Fin (n + 1)) ↦
                  Term.realize (L := withConstants.{u_2, u_3, u_1} L (↑A : Type u_1)) v
                    (Fin.lastCases (motive := fun (x : Fin (n + 1)) ↦
                      (withConstants.{u_2, u_3, u_1} L (↑A : Type u_1)).Term (Fin 1)) (var 0)
                      (fun (j : Fin n) ↦ Constants.term (L.con (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ A) (↑(x j) : M) ⋯)))
                      a))
                default)
              (Sum.inl ∘ Sum.elim Empty.elim id) ∘
            Sum.inr)
          i.castSucc :
        M)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := M)
    (Fin.snoc (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ M)
        (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦
            Membership.mem (γ := L.Substructure M) (LowerAdjoint.toFun (u := SetLike.coe) (closure L) A) x) ∘
          x)
        (v 0) i :
      M)
    ((Function.comp (β := Fin (n + 1) ⊕ Fin 0)
            (Sum.elim
              (fun (a : Fin (n + 1)) ↦
                Term.realize (L := withConstants.{u_2, u_3, u_1} L (↑A : Type u_1)) v
                  (Fin.lastCases (motive := fun (x : Fin (n + 1)) ↦
                    (withConstants.{u_2, u_3, u_1} L (↑A : Type u_1)).Term (Fin 1)) (var 0)
                    (fun (j : Fin n) ↦ Constants.term (L.con (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ A) (↑(x j) : M) ⋯)))
                    a))
              default)
            (Sum.inl ∘ Sum.elim Empty.elim id) ∘
          Sum.inr)
        i :
      M)

Tactic:
cases i using Fin.lastCases