-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
h :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k ∘ₗ
            (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
h₁ :
  Eq (α := L)
    (Function.comp (β := L)
      (⇑(HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k) :
        (a : L) → L)
      (⇑((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L) :
        (a : L) → L)
      x)
    0
h₂ :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ((((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L) :
              (a : L) → L)
            x :
          L) :
      L)
    (0 : L)
h₃ :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
h₄ :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅(↑(Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : L), x⁆ :
      L)
    (0 : L)
h₅ :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
h₆ h₇ : Eq.{u_2 + 1} (α := L) 0 0
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            (k + 1) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)

Tactic:
rw [Module.End.iterate_succ, LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply, toEnd_apply_apply,
    LieSubalgebra.coe_bracket_of_module, Submodule.coe_mk, hk]

Premises used: LieSubalgebra.coe_bracket_of_module, Submodule.coe_mk, LieModule.toEnd_apply_apply, LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply, Module.End.iterate_succ