-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
obtain :
  ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
    (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
    (hi :
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
              ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
    ∃ (w' : ι → k),
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
        (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
          ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
            ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
refine_1 :
  ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
    (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
    (hi :
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
              ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, (↑fs'' : Set ι).indicator w'' j) 1
refine_2 :
  ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
    (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
    (hi :
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
              ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
    (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') = p'
refine_3 :
  ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
    (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
    (hi :
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
              ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j)
    (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
refine_2₁ :
  ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
    (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
    (hi :
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
              ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
    (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') = p'
refine_3₁ refine_3₂ :
  ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
    (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
    (hi :
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
              ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j)
    (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
⊢ ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j

Tactic:
classical
  obtain ⟨w'', fs'', hw'', hw''p', hi⟩ := hp.exists_affineCombination_eq_smul_eq hs hw hp'
  refine ⟨Set.indicator fs'' w'', ?_, ?_, ?_⟩
  · rw [← hw'']
    exact Finset.sum_indicator_subset _ (by simp)
  · rw [← hw''p']
    exact (Finset.affineCombination_indicator_subset _ _ (by simp)).symm
  · intro i
    obtain ⟨r, hr⟩ := hi i
    refine ⟨r, fun j ↦ ?_⟩
    convert! hr j using 1
    · simp [Set.indicator_apply]
    · by_cases hj : j = (i : ι) <;> simp [Set.indicator_apply, hj]

Premises used: Set.indicator_apply, Finset.affineCombination_indicator_subset, Finset.sum_indicator_subset, AffineIndependent.exists_affineCombination_eq_smul_eq, Eq.symm