awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
x : (↑(Y ⨯ Z) : Type u)
x₁ : (↑W : Type u)
hx₁ :
  Eq (α := (↑Y : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑W : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x₁ :
      (↑Y : Type u))
    ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
            (Y ⨯ Z) _ prod.fst :
          (a : (↑(Y ⨯ Z) : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x :
      (↑Y : Type u))
x₂ : (↑X : Type u)
hx₂ :
  Eq (α := (↑Z : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
        x₂ :
      (↑Z : Type u))
    ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
            (Y ⨯ Z) _ prod.snd :
          (a : (↑(Y ⨯ Z) : Type u)) → (↑Z : Type u))
        x :
      (↑Z : Type u))
⊢ Eq (α := (↑(Functor.obj (pair Y Z) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑((pair Y Z).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u))
        (x₁, x₂).2 :
      (↑(Functor.obj (pair Y Z) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            limit (pair Y Z)) (Y := Functor.obj (pair Y Z) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair })
            (limit.π (pair Y Z) { as := WalkingPair.right }) :
          (a : (↑(limit (pair Y Z)) : Type u)) → (↑((pair Y Z).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u))
        x :
      (↑(Functor.obj (pair Y Z) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) : Type u))

Tactic:
hx₂
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
x : (↑(Y ⨯ Z) : Type u)
x₁ : (↑W : Type u)
hx₁ :
  Eq (α := (↑Y : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑W : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x₁ :
      (↑Y : Type u))
    ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
            (Y ⨯ Z) _ prod.fst :
          (a : (↑(Y ⨯ Z) : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x :
      (↑Y : Type u))
x₂ : (↑X : Type u)
hx₂ :
  Eq (α := (↑Z : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
        x₂ :
      (↑Z : Type u))
    ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
            (Y ⨯ Z) _ prod.snd :
          (a : (↑(Y ⨯ Z) : Type u)) → (↑Z : Type u))
        x :
      (↑Z : Type u))
⊢ Eq (α := (↑(Functor.obj (pair Y Z) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑((pair Y Z).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u))
        (x₁, x₂).2 :
      (↑(Functor.obj (pair Y Z) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            limit (pair Y Z)) (Y := Functor.obj (pair Y Z) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair })
            (limit.π (pair Y Z) { as := WalkingPair.right }) :
          (a : (↑(limit (pair Y Z)) : Type u)) → (↑((pair Y Z).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u))
        x :
      (↑(Functor.obj (pair Y Z) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) : Type u))

Tactic:
exact hx₂
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf :
  IsInducing (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑X : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑X : Type u))
hg :
  IsInducing (X := (↑Y : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g) :
      (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
eq_induced :
  Eq (α := TopologicalSpace (↑(W ⨯ Y) : Type u)) (W ⨯ Y).str
    (induced (Y := (↑(X ⨯ Z) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            W ⨯ Y) (Y := X ⨯ Z) (prod.map f g)) :
        (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑(X ⨯ Z) : Type u))
      (X ⨯ Z).str)
⊢ IsInducing (X := (↑(W ⨯ Y) : Type u)) (Y := (↑(X ⨯ Z) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          W ⨯ Y) (Y := X ⨯ Z) (prod.map f g)) :
      (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑(X ⨯ Z) : Type u))

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf :
  IsInducing (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑X : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑X : Type u))
hg :
  IsInducing (X := (↑Y : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g) :
      (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
eq_induced :
  Eq (α := TopologicalSpace (↑(W ⨯ Y) : Type u))
    (induced
        (⇑(@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
              (W ⨯ Y) _ prod.fst) :
          (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑W : Type u))
        W.str ⊓
      induced
        (⇑(@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
              (W ⨯ Y) _ prod.snd) :
          (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑Y : Type u))
        Y.str)
    (induced (Y := (↑W : Type u))
        (⇑(@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
              (W ⨯ Y) _ prod.fst) :
          (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑W : Type u))
        (induced
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f) :
            (a : (↑W : Type u)) → (↑X : Type u))
          X.str) ⊓
      induced (Y := (↑Y : Type u))
        (⇑(@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
              (W ⨯ Y) _ prod.snd) :
          (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑Y : Type u))
        (induced
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g) :
            (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
          Z.str))
⊢ Eq (α := TopologicalSpace (↑(W ⨯ Y) : Type u)) (W ⨯ Y).str
    (induced (Y := (↑(X ⨯ Z) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            W ⨯ Y) (Y := X ⨯ Z) (prod.map f g)) :
        (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑(X ⨯ Z) : Type u))
      (X ⨯ Z).str)

Tactic:
simp_rw [prod_topology, induced_inf, induced_compose, ← coe_comp,
    prod.map_fst, prod.map_snd, coe_comp, ← induced_compose (g := f), ← induced_compose (g := g)]

Premises used: induced_inf, TopCat.prod_topology, induced_compose, CategoryTheory.Limits.prod.map_snd, TopCat.coe_comp, CategoryTheory.Limits.prod.map_fst
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf :
  IsEmbedding (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑X : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑X : Type u))
hg :
  IsEmbedding (X := (↑Y : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g) :
      (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
⊢ Mono f

Tactic:
haveI := (TopCat.mono_iff_injective _).mpr hf.injective
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf :
  IsEmbedding (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑X : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑X : Type u))
hg :
  IsEmbedding (X := (↑Y : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g) :
      (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
this : Mono f
⊢ Mono g

Tactic:
haveI := (TopCat.mono_iff_injective _).mpr hg.injective
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf :
  IsEmbedding (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑X : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑X : Type u))
hg :
  IsEmbedding (X := (↑Y : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g) :
      (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
this_1 : Mono f
this : Mono g
⊢ Function.Injective (α := (↑(W ⨯ Y) : Type u)) (β := (↑(X ⨯ Z) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          W ⨯ Y) (Y := X ⨯ Z) (prod.map f g)) :
      (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑(X ⨯ Z) : Type u))

Tactic:
(TopCat.mono_iff_injective _).mp inferInstance

Premises used: inferInstance, Iff.mp, TopCat.mono_iff_injective
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf :
  IsEmbedding (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑X : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑X : Type u))
hg :
  IsEmbedding (X := (↑Y : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g) :
      (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
this_1 : Mono f
this : Mono g
⊢ Function.Injective (α := (↑(W ⨯ Y) : Type u)) (β := (↑(X ⨯ Z) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          W ⨯ Y) (Y := X ⨯ Z) (prod.map f g)) :
      (a : (↑(W ⨯ Y) : Type u)) → (↑(X ⨯ Z) : Type u))

Tactic:
exact (TopCat.mono_iff_injective _).mp inferInstance

Premises used: inferInstance, Iff.mp, TopCat.mono_iff_injective
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
⊢ Continuous.{u, u} (X := (↑X : Type u)) (Y := (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) Sum.inl

Tactic:
fun_prop
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
⊢ Continuous.{u, u} (X := (↑Y : Type u)) (Y := (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) Sum.inr

Tactic:
fun_prop
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
s : BinaryCofan X Y
⊢ Continuous (X := (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) (Y := (↑s.1 : Type u))
    (Sum.elim
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) s.inl) :
        (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
          (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) s.inr) :
        (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
          (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)))

Tactic:
fun_prop
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
s : BinaryCofan X Y
refine_2 :
  ∀ (x : (↑X : Type u)),
    Eq (α := (↑s.pt : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y :=
              s.pt)
              (ofHom { toFun := Sum.inl, continuous_toFun := ⋯ : C((↑X : Type u), (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) } ≫
                (fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
                    (ofHom
                        {
                          toFun :=
                            Sum.elim
                              (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                    (CC := carrier) s.inl) :
                                (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                                  (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                                    Type u))
                              (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                    (CC := carrier) s.inr) :
                                (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                                  (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj
                                        { as := WalkingPair.right }) :
                                    Type u)),
                          continuous_toFun := ⋯ } :
                      of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
                  s) :
            (a : (↑X : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
          x :
        (↑s.pt : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) s.inl :
            (a : (↑X : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
          x :
        (↑s.pt : Type u))
⊢ ofHom { toFun := Sum.inl, continuous_toFun := ⋯ : C((↑X : Type u), (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) } ≫
      (fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
          (ofHom
              {
                toFun :=
                  Sum.elim
                    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) s.inl) :
                      (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                        (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u))
                    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) s.inr) :
                      (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                        (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                          Type u)),
                continuous_toFun := ⋯ } :
            of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
        s =
    s.inl

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
s : BinaryCofan X Y
x : (↑X : Type u)
⊢ Eq (α := (↑s.pt : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y := s.pt)
            (ofHom { toFun := Sum.inl, continuous_toFun := ⋯ : C((↑X : Type u), (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) } ≫
              (fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
                  (ofHom
                      {
                        toFun :=
                          Sum.elim
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                  (CC := carrier) s.inl) :
                              (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                                (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                                  Type u))
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                  (CC := carrier) s.inr) :
                              (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                                (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                                  Type u)),
                        continuous_toFun := ⋯ } :
                    of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
                s) :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
        x :
      (↑s.pt : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) s.inl :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
        x :
      (↑s.pt : Type u))

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
s : BinaryCofan X Y
refine_3 :
  ∀ (x : (↑Y : Type u)),
    Eq (α := (↑s.pt : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y :=
              s.pt)
              (ofHom { toFun := Sum.inr, continuous_toFun := ⋯ : C((↑Y : Type u), (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) } ≫
                (fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
                    (ofHom
                        {
                          toFun :=
                            Sum.elim
                              (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                    (CC := carrier) s.inl) :
                                (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                                  (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                                    Type u))
                              (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                    (CC := carrier) s.inr) :
                                (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                                  (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj
                                        { as := WalkingPair.right }) :
                                    Type u)),
                          continuous_toFun := ⋯ } :
                      of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
                  s) :
            (a : (↑Y : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
          x :
        (↑s.pt : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) s.inr :
            (a : (↑Y : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
          x :
        (↑s.pt : Type u))
⊢ ofHom { toFun := Sum.inr, continuous_toFun := ⋯ : C((↑Y : Type u), (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) } ≫
      (fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
          (ofHom
              {
                toFun :=
                  Sum.elim
                    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) s.inl) :
                      (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                        (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u))
                    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) s.inr) :
                      (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                        (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                          Type u)),
                continuous_toFun := ⋯ } :
            of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
        s =
    s.inr

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
s : BinaryCofan X Y
x : (↑Y : Type u)
⊢ Eq (α := (↑s.pt : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y := s.pt)
            (ofHom { toFun := Sum.inr, continuous_toFun := ⋯ : C((↑Y : Type u), (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) } ≫
              (fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
                  (ofHom
                      {
                        toFun :=
                          Sum.elim
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                  (CC := carrier) s.inl) :
                              (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                                (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                                  Type u))
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                  (CC := carrier) s.inr) :
                              (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                                (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                                  Type u)),
                        continuous_toFun := ⋯ } :
                    of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
                s) :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
        x :
      (↑s.pt : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) s.inr :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
        x :
      (↑s.pt : Type u))

Tactic:
rfl