-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : IsPrincipalIdealRing R
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
val : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ M0,
    ∀ x ∈ M0,
      (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) →
        ∀ (N : Submodule R M) (N_le_O : N ≤ N'),
          ∃ (n : ℕ) (o : ℕ) (hno : n ≤ o) (bO : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin o) R ↥N') (bN :
            Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N) (a : Fin n → R),
            ∀ (i : Fin n),
              (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
                HSMul.hSMul (β := M) (a i) (↑((bO : (a : Fin o) → ↥N') (Fin.castLE hno i)) : M)
N : Submodule R M
N_le_O : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m) R ↥M0
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
left : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left_1 : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0
left_2 : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥M0),
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'),
                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M0) (Fin.castLE hnm i)) : M)
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'
bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'
as' : Fin n' → R
has' :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N
h' :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
    ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥M0),
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'),
            (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
              HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
          ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
            ∀ (i : Fin (n' + 1)),
              (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M0) (Fin.castLE hnm i)) : M)
hmn : n' + 1 ≤ m' + 1
bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥M0
h'' :
  ∀ (as : Fin n' → R),
    (∀ (i : Fin n'),
        (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
          HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
      ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
        ∀ (i : Fin (n' + 1)),
          (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
            HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M0) (Fin.castLE hmn i)) : M)
as : Fin (n' + 1) → R
has :
  ∀ (i : Fin (n' + 1)),
    (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M0) (Fin.castLE hmn i)) : M)
⊢ ∃ (n : ℕ) (o : ℕ) (hno : n ≤ o) (bO : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin o) R ↥M0) (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N) (a :
    Fin n → R),
    ∀ (i : Fin n),
      (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
        HSMul.hSMul (β := M) (a i) (↑((bO : (a : Fin o) → ↥M0) (Fin.castLE hno i)) : M)

Tactic:
exact ⟨_, _, hmn, bM, bN, as, has⟩