-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Preadditive.Mat
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : Preadditive.{v₁, u₁} C
n : ℕ
f : Fin n → Mat_ C
H :
  ∀ (i : Fin n) (j : (f i).ι)
    (j_1 :
      ι.{u₁} (C := C)
        { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
          X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
            (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }),
    Eq.{v₁ + 1} (α :=
      (fun
            (i j :
              ι.{u₁} (C := C)
                { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                  X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                    (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }) ↦
          Quiver.Hom.{v₁, u₁}
            (X
              { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                  (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) :
                Mat_ C }
              i)
            (X
              { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                  (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }
              j))
        (Sigma.mk (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) i j) j_1)
      ((∑ j : Fin n,
            CategoryStruct.comp.{v₁, max 1 u₁} (Y := f j)
              (fun (x : (j : Fin n) × (f j).ι) (y : (f j).ι) ↦
                if h : x.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) = j then
                  if h' :
                      Eq.rec (motive := fun (x_1 : Fin n) (x : x.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) = x_1) ↦
                          (f x_1).ι) (x.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) h =
                        y then
                    eqToHom ⋯
                  else 0
                else 0)
              fun (x : (f j).ι) (y : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
              if h : y.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) = j then
                if h' :
                    Eq.rec (motive := fun (x : Fin n) (x_1 : y.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) = x) ↦ (f x).ι)
                        (y.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) h =
                      x then
                  eqToHom ⋯
                else 0
              else 0)
          (Sigma.mk (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) i j) j_1 :
        (fun
              (i j :
                ι.{u₁} (C := C)
                  { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                    X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                      (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }) ↦
            Quiver.Hom.{v₁, u₁}
              (X
                { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                  X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                    (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) :
                  Mat_ C }
                i)
              (X
                { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                  X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                    (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }
                j))
          (Sigma.mk (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) i j) j_1)
      (CategoryStruct.id.{v₁, max 1 u₁}
          { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
            X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
              (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }
          (Sigma.mk (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) i j) j_1 :
        (fun
              (i j :
                ι.{u₁} (C := C)
                  { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                    X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                      (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }) ↦
            Quiver.Hom.{v₁, u₁}
              (X
                { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                  X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                    (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) :
                  Mat_ C }
                i)
              (X
                { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
                  X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
                    (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }
                j))
          (Sigma.mk (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) i j) j_1)
⊢ Eq.{v₁ + 1} (α :=
    Quiver.Hom.{v₁, max 1 u₁} (V := Mat_ C)
      { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
        X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
          (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) }
      { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
        X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
          (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) })
    (∑ j : Fin n,
      CategoryStruct.comp.{v₁, max 1 u₁} (Y := f j)
        (fun (x : (j : Fin n) × (f j).ι) (y : (f j).ι) ↦
          if h : x.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) = j then
            if h' :
                Eq.rec (motive := fun (x_1 : Fin n) (x : x.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) = x_1) ↦ (f x_1).ι)
                    (x.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) h =
                  y then
              eqToHom ⋯
            else 0
          else 0)
        fun (x : (f j).ι) (y : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
        if h : y.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) = j then
          if h' :
              Eq.rec (motive := fun (x : Fin n) (x_1 : y.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι) = x) ↦ (f x).ι)
                  (y.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) h =
                x then
            eqToHom ⋯
          else 0
        else 0)
    (CategoryStruct.id.{v₁, max 1 u₁}
      { ι := (j : Fin n) × (f j).ι, fintype := Sigma.instFintype,
        X := fun (p : (j : Fin n) × (f j).ι) ↦
          (f (p.fst (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι))).X (p.snd (β := fun (j : Fin n) ↦ (f j).ι)) })

Tactic:
ext1 ⟨i, j⟩