awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
I :
  ∀ (p : ℕ × ℕ) (hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)),
    Integrable (ε := ℝ)
      (fun (v : V) ↦
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
      μ
v : V
apply :
  ∀ i ≤ n,
    ∀ j ≤ k,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
          ‖v‖ ^ i.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i.2 f v)
⊢ Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
      (iteratedFDeriv ℝ n (fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) v) ≤
    (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
        ‖v‖ ^ i.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i.2 f v)

Tactic:
apply norm_iteratedFDeriv_fourierPowSMulRight _ hf (mod_cast hn) _

Premises used: VectorFourier.norm_iteratedFDeriv_fourierPowSMulRight
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
I :
  ∀ (p : ℕ × ℕ) (hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)),
    Integrable (ε := ℝ)
      (fun (v : V) ↦
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
      μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
hf₁ :
  ∀ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
    LE.le (α := ℝ) 0
      ((fun (p : ℕ × ℕ) ↦
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
        i)
h : (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)
⊢ ‖v‖ ^ j *
      Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
      ‖v‖ ^ i.1 *
        Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i.2) ↦ V) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i.2 f v)

Tactic:
apply Finset.single_le_sum (f := fun p ↦ ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖) (a := (j, i))

Premises used: Finset.single_le_sum
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
I :
  ∀ (p : ℕ × ℕ) (hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)),
    Integrable (ε := ℝ)
      (fun (v : V) ↦
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
      μ
v : V
i_1 : ℕ
hi : i_1 ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
i : ℕ × ℕ
_hi : i ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)
⊢ LE.le (α := ℝ) 0
    ((fun (p : ℕ × ℕ) ↦
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
      i)

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
I :
  ∀ (p : ℕ × ℕ) (hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)),
    Integrable (ε := ℝ)
      (fun (v : V) ↦
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
      μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
h : j ≤ k ∧ i ≤ n
⊢ (j, i) ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)

Tactic:
simp only [Finset.mem_product, Finset.mem_range_succ_iff]

Premises used: Finset.mem_range_succ_iff, Finset.mem_product
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
I :
  ∀ (p : ℕ × ℕ) (hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)),
    Integrable (ε := ℝ)
      (fun (v : V) ↦
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
      μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ j ≤ k ∧ i ≤ n

Tactic:
⟨hj, hi⟩

Premises used: And.intro
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
I :
  ∀ (p : ℕ × ℕ) (hp : p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1)),
    Integrable (ε := ℝ)
      (fun (v : V) ↦
        ‖v‖ ^ p.1 *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v))
      μ
v : V
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ k
⊢ j ≤ k ∧ i ≤ n

Tactic:
exact ⟨hj, hi⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
⊢ 0 ≤
    HPow.hPow (α := ℝ) (|(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w| : ℝ) n *
      Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)
        (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w)

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
apply : 1 ≤ (2 * π) ^ n
⊢ HPow.hPow (α := ℝ) (|(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w| : ℝ) n *
      Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)
        (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w) ≤
    (2 * π) ^ n *
      (HPow.hPow (α := ℝ) (|(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w| : ℝ) n *
        Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)
          (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w))

Tactic:
apply le_mul_of_one_le_left (by positivity)

Premises used: le_mul_of_one_le_left
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
ha : 1 ≤ 2 * π
⊢ 1 ≤ (2 * π) ^ n

Tactic:
apply one_le_pow₀

Premises used: one_le_pow₀
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
linarith : 2 * π < 1 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : 2 * π < 1 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : 2 * π < 1 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₃ : 2 * π < 1 → HMul.hMul (α := ℝ) 3 (-1) + (2 * π - 1) + 2 * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 1 - 1 * π) = 0
linarith₄ : 2 * π < 1 → GT.gt (α := ℝ) 3 0
linarith₅ : 2 * π < 1 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
⊢ 1 ≤ 2 * π

Tactic:
linarith [one_le_pi_div_two]

Premises used: Real.one_le_pi_div_two
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
⊢ (2 * π) ^ n *
      (HPow.hPow (α := ℝ) (|(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w| : ℝ) n *
        Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)
          (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w)) =
    Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)
      ((fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f)) w n :
          (a : (i : Fin n) → V) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)
        fun (x : Fin n) ↦ v)

Tactic:
simp [norm_smul, abs_of_nonneg pi_nonneg]

Premises used: norm_smul, Real.pi_nonneg, abs_of_nonneg
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
h₁ :
  Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
      (fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f)) w n) ≤
    (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
        ∫ (v : V),
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ
h₂ : ∏ x : Fin n, ‖v‖ ≤ ‖v‖ ^ n
⊢ Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
        (fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f)) w n) *
      ∏ x : Fin n, ‖v‖ ≤
    ((2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
          ∫ (v : V),
            ‖v‖ ^ p.1 *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ) *
      ‖v‖ ^ n

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
⊢ Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
      (fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f)) w n) ≤
    (2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
        ∫ (v : V),
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ

Tactic:
apply norm_fourierPowSMulRight_iteratedFDeriv_fourierIntegral_le _ hf h'f hk hn

Premises used: VectorFourier.norm_fourierPowSMulRight_iteratedFDeriv_fourierIntegral_le
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
⊢ ∏ x : Fin n, ‖v‖ ≤ ‖v‖ ^ n

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
simp :
  (HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * π ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
          ∫ (v : V),
            ‖v‖ ^ p.1 *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ) *
      ‖v‖ ^ n =
    ‖v‖ ^ n * (HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * π ^ k * ‖L‖ ^ k) * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
        ∫ (v : V),
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ
⊢ ((2 * π) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
          ∫ (v : V),
            ‖v‖ ^ p.1 *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ) *
      ‖v‖ ^ n =
    ‖v‖ ^ n * (2 * π * ‖L‖) ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
        ∫ (v : V),
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ

Tactic:
simp [mul_pow]

Premises used: mul_pow
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
v : V
w : W
⊢ (HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * π ^ k * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k *
        ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
          ∫ (v : V),
            ‖v‖ ^ p.1 *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ) *
      ‖v‖ ^ n =
    ‖v‖ ^ n * (HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * π ^ k * ‖L‖ ^ k) * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑k : ℝ) + 2) ^ n *
      ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1),
        ∫ (v : V),
          ‖v‖ ^ p.1 *
            Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin p.2) ↦ V) E)
              (iteratedFDeriv ℝ p.2 f v) ∂μ

Tactic:
ring