awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
h :
  HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ →
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ →
    Eq (α := N₁ ⊗[R'] N₂) ((summand a b (Quotient.mk'' σ) : (a : (i : ιa ⊕ ιb) → Mᵢ) → N₁ ⊗[R'] N₂) v : N₁ ⊗[R'] N₂)
      (0 : N₁ ⊗[R'] N₂)

Tactic:
dsimp only [Quotient.liftOn'_mk'', Quotient.map'_mk'', MultilinearMap.smul_apply,
    MultilinearMap.domDomCongr_apply, MultilinearMap.domCoprod_apply, domCoprod.summand]

Premises used: MultilinearMap.smul_apply, Quotient.liftOn'_mk'', AlternatingMap.domCoprod.summand, MultilinearMap.domCoprod_apply, Quotient.map'_mk'', MultilinearMap.domDomCongr_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
h :
  ∀ (sl : Perm ιa) (sr : Perm ιb)
    (hσ :
      (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
        ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
      ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
          ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
        N₁ ⊗[R'] N₂) =
    0

Tactic:
obtain ⟨⟨sl, sr⟩, hσ⟩ := QuotientGroup.leftRel_apply.mp (Quotient.exact' hσ)

Premises used: Iff.mp, Quotient.exact', QuotientGroup.leftRel_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
h :
  ∀ (i' : ιa) (hi : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) i : ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i' : ιa ⊕ ιb)),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
h₁ :
  ∀ (i' : ιb) (hi : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) i : ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i' : ιa ⊕ ιb)),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
      ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
          ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
        N₁ ⊗[R'] N₂) =
    0

Tactic:
rcases hi : σ⁻¹ i with i' | i'

Premises used: Inv.inv, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) i : ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i' : ιa ⊕ ιb)
h :
  ∀ (j' : ιa) (hj : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) j : ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j' : ιa ⊕ ιb)),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
h₁ :
  ∀ (j' : ιb) (hj : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) j : ιa ⊕ ιb) (Sum.inr j' : ιa ⊕ ιb)),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
      ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
          ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
        N₁ ⊗[R'] N₂) =
    0

Tactic:
rcases hj : σ⁻¹ j with j' | j'

Premises used: Inv.inv, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιb
hi : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) i : ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i' : ιa ⊕ ιb)
h :
  ∀ (j' : ιa) (hj : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) j : ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j' : ιa ⊕ ιb)),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
h₁ :
  ∀ (j' : ιb) (hj : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) j : ιa ⊕ ιb) (Sum.inr j' : ιa ⊕ ιb)),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
      ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
          ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
        N₁ ⊗[R'] N₂) =
    0

Tactic:
rcases hj : σ⁻¹ j with j' | j'

Premises used: Inv.inv, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) i : ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i' : ιa ⊕ ιb)
j' : ιa
hj : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) j : ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j' : ιa ⊕ ιb)
h :
  ∀ (hi : i = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')) (j' : ιa)
    (hj : j = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j')),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
      ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
          ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
        N₁ ⊗[R'] N₂) =
    0

Tactic:
rw [Perm.inv_eq_iff_eq] at hi hj

Premises used: Equiv.Perm.inv_eq_iff_eq
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) i : ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i' : ιa ⊕ ιb)
j' : ιb
hj : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) j : ιa ⊕ ιb) (Sum.inr j' : ιa ⊕ ιb)
h :
  ∀ (hi : i = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')) (j' : ιb)
    (hj : j = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr j')),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
      ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
          ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
        N₁ ⊗[R'] N₂) =
    0

Tactic:
rw [Perm.inv_eq_iff_eq] at hi hj

Premises used: Equiv.Perm.inv_eq_iff_eq
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιb
hi : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) i : ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i' : ιa ⊕ ιb)
j' : ιa
hj : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) j : ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j' : ιa ⊕ ιb)
h :
  ∀ (hi : i = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i')) (j' : ιa)
    (hj : j = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j')),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
      ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
          ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
        N₁ ⊗[R'] N₂) =
    0

Tactic:
rw [Perm.inv_eq_iff_eq] at hi hj

Premises used: Equiv.Perm.inv_eq_iff_eq
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιb
hi : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) i : ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i' : ιa ⊕ ιb)
j' : ιb
hj : Eq (α := ιa ⊕ ιb) ((σ⁻¹ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) j : ιa ⊕ ιb) (Sum.inr j' : ιa ⊕ ιb)
h :
  ∀ (hi : i = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i')) (j' : ιb)
    (hj : j = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr j')),
    HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
        ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
            ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
              v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
          N₁ ⊗[R'] N₂) =
      0
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤˣ) (β := N₁ ⊗[R'] N₂) (((Perm.sign : Perm (ιa ⊕ ιb) →* ℤˣ) : (a : Perm (ιa ⊕ ιb)) → ℤˣ) σ : ℤˣ)
      ((((↑a : MultilinearMap R' (fun (x : ιa) ↦ Mᵢ) N₁) : (a : (i : ιa) → Mᵢ) → N₁) fun (i₁ : ιa) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i₁))) ⊗ₜ[R']
          ((↑b : MultilinearMap R' (fun (x : ιb) ↦ Mᵢ) N₂) : (a : (i : ιb) → Mᵢ) → N₂) fun (i₂ : ιb) ↦
            v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inr i₂)) :
        N₁ ⊗[R'] N₂) =
    0

Tactic:
rw [Perm.inv_eq_iff_eq] at hi hj

Premises used: Equiv.Perm.inv_eq_iff_eq
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : i = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')
j' : ιa
hj : j = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j')
⊢ v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')) = v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j'))

Tactic:
substs hi hj
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : i = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')
j' : ιa
hj : j = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j')
hv₁ : v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')) = v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j'))
⊢ Ne (α := ιa ⊕ ιb) ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i') : ιa ⊕ ιb)
    ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j') : ιa ⊕ ιb)

Tactic:
substs hi hj
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod
Goal:
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst : Fintype ιa
inst_1 : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst_2 : CommSemiring R'
inst_3 : AddCommGroup N₁
inst_4 : Module R' N₁
inst_5 : AddCommGroup N₂
inst_6 : Module R' N₂
inst_7 : AddCommMonoid Mᵢ
inst_8 : Module R' Mᵢ
inst_9 : DecidableEq ιa
inst_10 : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ_1 : HSMul.hSMul (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb) (swap i j) (Quotient.mk'' σ) = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ :
  (Perm.sumCongrHom ιa ιb : (a : Perm ιa × Perm ιb) → Perm (ιa ⊕ ιb)) (sl, sr) =
    ((fun (x : Perm (ιa ⊕ ιb)) ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : i = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')
j' : ιa
hj : j = (σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j')
hv₁ : v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')) = v ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j'))
hij₁ :
  Ne (α := ιa ⊕ ιb) ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i') : ιa ⊕ ιb)
    ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j') : ιa ⊕ ιb)
⊢ HSMul.hSMul (α := Perm (ιa ⊕ ιb)) (β := Perm.ModSumCongr ιa ιb)
      (swap ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl i')) ((σ : (a : ιa ⊕ ιb) → ιa ⊕ ιb) (Sum.inl j')) : Perm (ιa ⊕ ιb))
      (Quotient.mk'' σ) =
    Quotient.mk'' σ

Tactic:
substs hi hj