-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y_1 : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy_1 : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y_1 hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y_1 hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y_1 hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
hT : t.Compatible (R := U.arrows)
y : P.obj (op X)
hy : s.IsAmalgamation (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows) y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : U.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (B hf).arrows g
refine_2 :
  Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op ≫ P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → P.obj (op Z))
        y :
      P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
            (hU.amalgamate (R := U.arrows) t hT) :
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
refine_2₁ :
  Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (f.op ≫ g.op)) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → P.obj (op Z))
        y :
      P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
            (hU.amalgamate (R := U.arrows) t hT) :
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
refine_2₂ :
  Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (g ≫ f).op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → P.obj (op Z))
        y :
      P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
            (hU.amalgamate (R := U.arrows) t hT) :
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
refine_2₃ :
  s (g ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) :
            (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
          (hU.amalgamate (R := U.arrows) t hT) :
        (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
refine_2₄ :
  s (g ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
      (t f hf)
refine_2₅ refine_2₆ : s (g ≫ f) ⋯ = y_1 hf g hg
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
            y :
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
            (hU.amalgamate (R := U.arrows) t hT) :
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y))) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))

Tactic:
rw [← comp_apply, ← Functor.map_comp, ← op_comp, hy _ (Presieve.bind_comp _ _ hg),
      hU.valid_glue _ _ hf, ht hf _ hg]

Premises used: CategoryTheory.op_comp, CategoryTheory.comp_apply, CategoryTheory.Presieve.bind_comp, CategoryTheory.Functor.map_comp, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor.valid_glue