-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
hki : -(↑i : ι) ≠ (↑i : ι)
hx :
  ∀ (x : ι),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))
aux :
  ∀ (x : ι),
    ¬(P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
        HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
a :
  -HAdd.hAdd (α := R)
        (∑ x : ↥b.support,
          HMul.hMul (α := R) (↑|b.cartanMatrix i x| : R)
            (Matrix.fromBlocks (l := ↥b.support) (o := ι) 0
              ((Matrix.of : (a : ↥b.support → ι → R) → Matrix (↥b.support) ι R) fun (i' : ↥b.support) (j : ι) ↦
                if i' = i ∧ j = -(↑i : ι) then 1 else 0)
              ((Matrix.of : (a : ι → ↥b.support → R) → Matrix ι (↥b.support) R) fun (i' : ι) (j : ↥b.support) ↦
                if i' = (↑i : ι) then (↑|b.cartanMatrix i j| : R) else 0)
              ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i' j : ι) ↦
                if
                    (P.root : (a : ι) → M) i' =
                      HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
                        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) then
                  HAdd.hAdd (α := R)
                    (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) j) : R) 1
                else 0)
              (Sum.inl x) (Sum.inr l)))
        (∑ x : ι,
          if
              (P.root : (a : ι) → M) x =
                HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) then
            0
          else 0) =
    if -(↑i : ι) = l then (↑(P.pairingIn ℤ (-(↑i : ι)) (↑i : ι)) : R) else 0
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l)

Tactic:
simp only [e, f, h, Ring.lie_def, Matrix.sub_apply, Matrix.mul_apply, Fintype.sum_sum_type,
        Matrix.fromBlocks_apply₂₁, Matrix.of_apply, hki, reduceIte, zero_mul, Finset.sum_const_zero,
        Matrix.fromBlocks_apply₂₂, mul_ite, ite_mul, mul_zero, ← ite_and, if_neg (hx _), add_zero,
        aux, zero_sub, Matrix.diagonal_apply]

Premises used: Matrix.fromBlocks_apply₂₂, RootPairing.GeckConstruction.f, MulZeroClass.zero_mul, RootPairing.GeckConstruction.h, Fintype.sum_sum_type, Matrix.sub_apply, mul_ite, Matrix.mul_apply, Matrix.fromBlocks_apply₂₁, Matrix.of_apply, Finset.sum_const_zero, MulZeroClass.mul_zero, ite_mul, Matrix.diagonal_apply, reduceIte, Ring.lie_def, ite_and, add_zero, if_neg, RootPairing.GeckConstruction.e, zero_sub