-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.OfAssociative
Goal:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
x y : L
z : M
n : ℕ
ih :
  Eq (α := M)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R M)
            (((φ : LieHom.{u, v, w} R L (Module.End R M)) : (a : L) → Module.End R M) x : Module.End R M) n :
          (a : M) → M)
        ⁅y, z⁆ :
      M)
    (∑ ij ∈ @antidiagonal _ Nat.instAddMonoid _ n,
        HSMul.hSMul (β := M) (n.choose ij.1)
          (Bracket.bracket (L := L)
              ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((ad R L : (a : L) → Module.End R L) x : Module.End R L) ij.1 :
                    (a : L) → L)
                  y :
                L)
              ((HPow.hPow (α := Module.End R M)
                    (((φ : LieHom.{u, v, w} R L (Module.End R M)) : (a : L) → Module.End R M) x : Module.End R M) ij.2 :
                  (a : M) → M)
                z) :
            M) :
      M)
succ :
  (HPow.hPow (α := Module.End R M)
          (((φ : LieHom.{u, v, w} R L (Module.End R M)) : (a : L) → Module.End R M) x : Module.End R M) (n + 1) :
        (a : M) → M)
      ⁅y, z⁆ =
    HAdd.hAdd (α := M)
      (∑ ij ∈ @antidiagonal _ Nat.instAddMonoid _ n,
        HSMul.hSMul (β := M) (n.choose ij.1)
          (Bracket.bracket (L := L)
              ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((ad R L : (a : L) → Module.End R L) x : Module.End R L) ij.1 :
                    (a : L) → L)
                  y :
                L)
              ((HPow.hPow (α := Module.End R M)
                    (((φ : LieHom.{u, v, w} R L (Module.End R M)) : (a : L) → Module.End R M) x : Module.End R M)
                    (ij.2 + 1) :
                  (a : M) → M)
                z) :
            M))
      (∑ ij ∈ @antidiagonal _ Nat.instAddMonoid _ n,
        HSMul.hSMul (β := M) (n.choose ij.2)
          (Bracket.bracket (L := L)
              ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((ad R L : (a : L) → Module.End R L) x : Module.End R L) (ij.1 + 1) :
                    (a : L) → L)
                  y :
                L)
              ((HPow.hPow (α := Module.End R M)
                    (((φ : LieHom.{u, v, w} R L (Module.End R M)) : (a : L) → Module.End R M) x : Module.End R M) ij.2 :
                  (a : M) → M)
                z) :
            M))
⊢ Eq (α := M)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R M)
            (((φ : LieHom.{u, v, w} R L (Module.End R M)) : (a : L) → Module.End R M) x : Module.End R M) (n + 1) :
          (a : M) → M)
        ⁅y, z⁆ :
      M)
    (∑ ij ∈ @antidiagonal _ Nat.instAddMonoid _ (n + 1),
        HSMul.hSMul (β := M) ((n + 1).choose ij.1)
          (Bracket.bracket (L := L)
              ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((ad R L : (a : L) → Module.End R L) x : Module.End R L) ij.1 :
                    (a : L) → L)
                  y :
                L)
              ((HPow.hPow (α := Module.End R M)
                    (((φ : LieHom.{u, v, w} R L (Module.End R M)) : (a : L) → Module.End R M) x : Module.End R M) ij.2 :
                  (a : M) → M)
                z) :
            M) :
      M)

Tactic:
rw [Finset.sum_antidiagonal_choose_succ_nsmul
      (fun i j ↦ ⁅((ad R L x) ^ i) y, ((φ x) ^ j) z⁆) n]