awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
this : ∀ g ∈ sV, g ≠ 0
g : ↥b.cartan → R
hg : g ∈ sV
hf : 0 ∈ s0
⊢ 0 ≠ g

Tactic:
(this _ hg).symm

Premises used: Ne.symm
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
this : ∀ g ∈ sV, g ≠ 0
g : ↥b.cartan → R
hg : g ∈ sV
hf : 0 ∈ s0
⊢ 0 ≠ g

Tactic:
exact (this _ hg).symm

Premises used: Ne.symm
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
suffices : ∀ g ∈ sV, g ≠ 0
⊢ Disjoint s0 sV

Tactic:
suffices ∀ g ∈ sV, g ≠ 0 by
      refine Set.disjoint_iff_forall_ne.mpr fun f hf g hg ↦ ?_
      obtain ⟨rfl⟩ : f = 0 := by simpa [hs0] using hf
      exact (this _ hg).symm
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
g : ↥b.cartan → R
hg : g ∈ sV
contra : g = 0
⊢ ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ g = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)

Tactic:
simpa [hsV] using hg
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
g : ↥b.cartan → R
hg : g ∈ sV
contra : g = 0
obtain :
  ∀ (n : ι → ℕ) (hn : n ≠ 0) (hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV)
    (contra : Eq (α := ↥b.cartan → R) (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) 0), False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨n, hn, rfl⟩ : ∃ n : ι → ℕ, n ≠ 0 ∧ g = ∑ i, n i • b.baseSupp i := by
      simpa [hsV] using hg

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV
contra : Eq (α := ↥b.cartan → R) (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) 0
⊢ Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0

Tactic:
rw [LinearMap.coe_zero_iff] at contra

Premises used: LinearMap.coe_zero_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV
contra : Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0
⊢ Eq (α := Dual.{u_2, u_3} R ↥b.cartan) (∑ i : ι, HSMul.hSMul (α := R) ((Nat.cast ∘ n) i) (b.baseSupp i)) 0

Tactic:
simpa [Nat.cast_smul_eq_nsmul]

Premises used: Nat.cast_smul_eq_nsmul
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV
contra : Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0
⊢ ∀ (i : ι), Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((Nat.cast ∘ n) i) 0

Tactic:
have := Fintype.linearIndependent_iff.mp b.linearIndependent_baseSupp ((↑) ∘ n)
      (by simpa [Nat.cast_smul_eq_nsmul])
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV
contra : Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0
this : ∀ (i : ι), Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((Nat.cast ∘ n) i) 0
i : ι
⊢ n i = 0 i

Tactic:
simpa using this i
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV
contra : Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0
this : ∀ (i : ι), Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((Nat.cast ∘ n) i) 0
⊢ False

Tactic:
exact hn <| funext fun i ↦ by simpa using this i

Premises used: funext
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
⊢ Disjoint s0 sV

Tactic:
have hV0 : Disjoint s0 sV := by
    suffices ∀ g ∈ sV, g ≠ 0 by
      refine Set.disjoint_iff_forall_ne.mpr fun f hf g hg ↦ ?_
      obtain ⟨rfl⟩ : f = 0 := by simpa [hs0] using hf
      exact (this _ hg).symm
    intro g hg contra
    obtain ⟨n, hn, rfl⟩ : ∃ n : ι → ℕ, n ≠ 0 ∧ g = ∑ i, n i • b.baseSupp i := by
      simpa [hsV] using hg
    rw [LinearMap.coe_zero_iff] at contra
    have := Fintype.linearIndependent_iff.mp b.linearIndependent_baseSupp ((↑) ∘ n)
      (by simpa [Nat.cast_smul_eq_nsmul])
    exact hn <| funext fun i ↦ by simpa using this i