awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      (↑(n.descFactorial m) : ℝ) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A :
  ContDiff.{0, u_2, u_3} ℝ (F := ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) K fun (y : V) ↦
    (T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) fun (x : Fin n) ↦
      (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
hab : n ≤ n + 1
⊢ n ^ i ≤ (n + 1) ^ i

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      (↑(n.descFactorial m) : ℝ) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A :
  ContDiff.{0, u_2, u_3} ℝ (F := ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) K fun (y : V) ↦
    (T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) fun (x : Fin n) ↦
      (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ n ≤ n + 1

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      (↑(n.descFactorial m) : ℝ) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A :
  ContDiff.{0, u_2, u_3} ℝ (F := ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) K fun (y : V) ↦
    (T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) fun (x : Fin n) ↦
      (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
ha : 1 ≤ n + 1
hmn : i ≤ k
⊢ (n + 1) ^ i ≤ (n + 1) ^ k

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      (↑(n.descFactorial m) : ℝ) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A :
  ContDiff.{0, u_2, u_3} ℝ (F := ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) K fun (y : V) ↦
    (T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) fun (x : Fin n) ↦
      (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ 1 ≤ n + 1

Tactic:
le_add_self

Premises used: le_add_self
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      (↑(n.descFactorial m) : ℝ) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A :
  ContDiff.{0, u_2, u_3} ℝ (F := ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) K fun (y : V) ↦
    (T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) fun (x : Fin n) ↦
      (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ i ≤ k

Tactic:
Finset.mem_range_succ_iff.mp hi

Premises used: Finset.mem_range_succ_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      (↑(n.descFactorial m) : ℝ) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A :
  ContDiff.{0, u_2, u_3} ℝ (F := ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) K fun (y : V) ↦
    (T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) fun (x : Fin n) ↦
      (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ 1 ≤ n + 1

Tactic:
exacts [le_add_self, Finset.mem_range_succ_iff.mp hi]

Premises used: Finset.mem_range_succ_iff, Iff.mp, le_add_self
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      (↑(n.descFactorial m) : ℝ) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A :
  ContDiff.{0, u_2, u_3} ℝ (F := ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) K fun (y : V) ↦
    (T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) fun (x : Fin n) ↦
      (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
calc : n ^ i ≤ (n + 1) ^ i
calc₁ : (n + 1) ^ i ≤ (n + 1) ^ k
⊢ n.descFactorial i ≤ (n + 1) ^ k

Tactic:
calc n.descFactorial i ≤ n ^ i := Nat.descFactorial_le_pow _ _
      _ ≤ (n + 1) ^ i := by gcongr; lia
      _ ≤ (n + 1) ^ k := by gcongr; exacts [le_add_self, Finset.mem_range_succ_iff.mp hi]

Premises used: HAdd.hAdd, Nat.descFactorial_le_pow, OfNat.ofNat, Nat.descFactorial
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
I₂ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
I₃ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m
          (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
              (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          v) ≤
      (↑(n.descFactorial m) : ℝ) * ‖L‖ ^ n * ‖v‖ ^ (n - m)
A :
  ContDiff.{0, u_2, u_3} ℝ (F := ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) K fun (y : V) ↦
    (T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) fun (x : Fin n) ↦
      (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) y
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (k + 1)
⊢ k - i ≤ k

Tactic:
lia