-- Module: Mathlib.RingTheory.FiniteType
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_1
x_1 : AddCommMonoid M
x_2 : Module R M
h : Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Surjective (α := ↥N) (β := M) (⇑f : (a : ↥N) → M)
this_1 : AddCommGroup M := addCommMonoidToAddCommGroup R
this_2 : AddCommGroup ↥N := addCommMonoidToAddCommGroup R
i : ↥N →ₗ[R] M := N.subtype
hi : Function.Injective (α := ↥N) (β := M) (⇑i : (a : ↥N) → M) := ⋯
n : ↥N
hn : Eq (α := M) ((f : (a : ↥N) → M) n : M) (0 : M)
k : ℕ
mj : Fin k → M
hmj :
  Surjective (α := Fin k → R) (β := M)
    (⇑((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
      (a : Fin k → R) → M)
b : Fin k → R
hb :
  Eq (α := M)
    ((((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
          (a : Fin k → R) → M)
        b :
      M)
    ((i : (a : ↥N) → M) n : M)
nj : (j : Fin k) → ↥N
hnj : ∀ (j : Fin k), (f : (a : ↥N) → M) (nj j) = mj j
c : (j : Fin k) → Fin k → R
hc :
  ∀ (j : Fin k),
    Eq (α := M)
      ((((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
            (a : Fin k → R) → M)
          (c j) :
        M)
      ((i : (a : ↥N) → M) (nj j) : M)
A : Subring R := Subring.closure (Set.range b ∪ Set.range (Function.uncurry c))
N' : Submodule ↥A ↥N := span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)
M' : Submodule (↥A) M := span (↥A) (Set.range mj)
this_3 : IsNoetherianRing.{u_1} ↥A
this : Module.Finite.{u_1, u_1} ↥A ↥M'
x : ↥N
hx : x ∈ N'
refine_1 :
  ∀ (x : ↥N) (hx : x ∈ {n} ∪ Set.range nj),
    Membership.mem (α := M) M'
      (((↑↥A :
                {S M M₂ : Type u_1} →
                  [inst_1 : Semiring ↥A] →
                    [inst_2 : Semiring S] →
                      [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_5 : Module (↥A) M] →
                            [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                              [inst_7 : Module S M] →
                                [inst_8 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
              i :
            (a : ↥N) → M)
          x :
        M)
refine_1₁ :
  Membership.mem (α := M) M'
    (((↑↥A :
              {S M M₂ : Type u_1} →
                [inst_1 : Semiring ↥A] →
                  [inst_2 : Semiring S] →
                    [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                      [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                        [inst_5 : Module (↥A) M] →
                          [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                            [inst_7 : Module S M] →
                              [inst_8 : Module S M₂] →
                                [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
            i :
          (a : ↥N) → M)
        0 :
      M)
refine_1₂ :
  ∀ (x y : ↥N) (y_1 : Membership.mem (γ := Submodule ↥A ↥N) (span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)) x),
    Membership.mem (γ := Submodule ↥A ↥N) (span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)) y →
      ∀
        (hx :
          Membership.mem (α := M) M'
            (((↑↥A :
                      {S M M₂ : Type u_1} →
                        [inst_1 : Semiring ↥A] →
                          [inst_2 : Semiring S] →
                            [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                  [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                    [inst_7 : Module S M] →
                                      [inst_8 : Module S M₂] →
                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                    i :
                  (a : ↥N) → M)
                x :
              M))
        (hy :
          Membership.mem (α := M) M'
            (((↑↥A :
                      {S M M₂ : Type u_1} →
                        [inst_1 : Semiring ↥A] →
                          [inst_2 : Semiring S] →
                            [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                  [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                    [inst_7 : Module S M] →
                                      [inst_8 : Module S M₂] →
                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                    i :
                  (a : ↥N) → M)
                y :
              M)),
        Membership.mem (α := M) M'
          (((↑↥A :
                    {S M M₂ : Type u_1} →
                      [inst_1 : Semiring ↥A] →
                        [inst_2 : Semiring S] →
                          [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                  [inst_7 : Module S M] →
                                    [inst_8 : Module S M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                  i :
                (a : ↥N) → M)
              (x + y) :
            M)
refine_1₃ :
  ∀ (a : ↥A) (x : ↥N),
    Membership.mem (γ := Submodule ↥A ↥N) (span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)) x →
      ∀
        (hx :
          Membership.mem (α := M) M'
            (((↑↥A :
                      {S M M₂ : Type u_1} →
                        [inst_1 : Semiring ↥A] →
                          [inst_2 : Semiring S] →
                            [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                  [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                    [inst_7 : Module S M] →
                                      [inst_8 : Module S M₂] →
                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                    i :
                  (a : ↥N) → M)
                x :
              M)),
        Membership.mem (α := M) M'
          (((↑↥A :
                    {S M M₂ : Type u_1} →
                      [inst_1 : Semiring ↥A] →
                        [inst_2 : Semiring S] →
                          [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_5 : Module (↥A) M] →
                                [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                  [inst_7 : Module S M] →
                                    [inst_8 : Module S M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                  i :
                (a : ↥N) → M)
              (a • x) :
            M)
⊢ Membership.mem (α := M) M'
    (((↑↥A :
              {S M M₂ : Type u_1} →
                [inst_1 : Semiring ↥A] →
                  [inst_2 : Semiring S] →
                    [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                      [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                        [inst_5 : Module (↥A) M] →
                          [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                            [inst_7 : Module S M] →
                              [inst_8 : Module S M₂] →
                                [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
            i :
          (a : ↥N) → M)
        x :
      M)

Tactic:
induction hx using span_induction with
    | mem x hx =>
      change i x ∈ M'
      simp only [Set.singleton_union, Set.mem_insert_iff, Set.mem_range] at hx
      rcases hx with hx | ⟨j, rfl⟩
      · rw [hx, ← hb, piEquiv_apply_apply]
        refine Submodule.sum_mem _ fun j _ ↦ ?_
        let b' : A := ⟨b j, Subring.subset_closure (by simp)⟩
        rw [show b j • mj j = b' • mj j from rfl]
        exact smul_mem _ _ (subset_span (by simp))
      · rw [← hc, piEquiv_apply_apply]
        refine Submodule.sum_mem _ fun j' _ ↦ ?_
        let c' : A := ⟨c j j', Subring.subset_closure
          (by simp [show ∃ a b, c a b = c j j' from ⟨j, j', rfl⟩])⟩
        rw [show c j j' • mj j' = c' • mj j' from rfl]
        exact smul_mem _ _ (subset_span (by simp))
    | zero => simp
    | add x _ y _ hx hy => rw [map_add]; exact add_mem hx hy
    | smul a x _ hx => rw [map_smul]; exact smul_mem _ _ hx

Premises used: Set.mem_range, Submodule.sum_mem, Set.singleton_union, Module.piEquiv_apply_apply, map_add, Submodule.smul, Submodule.zero, Submodule.subset_span, Set.mem_insert_iff, Submodule.add, DFunLike.coe, rfl, Submodule.smul_mem, map_smul