-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
i : J
s : Set (F.obj i)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ :
  F.eventualRange j₁ =
    range (ι := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₂)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx :
  Membership.mem (γ := Set ((fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂)))
    (⋂ (f : j₂ ⟶ i),
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) ⁻¹'
        s)
    x
this :
  Membership.mem (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁)) (F.eventualRange j₁)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₂) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
        x :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ :
  Eq (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₃ ≫ f₂)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₃)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
        y :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₂) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
        x :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
refine_2 :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((f₃ ≫ f₂) ≫ f₁)) : (a : F.obj j₃) → F.obj j) y : F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₂ ≫ f₁)) : (a : F.obj j₂) → F.obj j) x : F.obj j)
refine_2₁ :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₃ ≫ f₂) ≫ F.map f₁) : (a : F.obj j₃) → F.obj j) y : F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₂ ≫ f₁)) : (a : F.obj j₂) → F.obj j) x : F.obj j)
refine_2₂ :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₁) : (a : F.obj j₁) → F.obj j)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₃ ≫ f₂)) : (a : F.obj j₃) → F.obj j₁) y : F.obj j₁) :
      F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₂ ≫ f₁)) : (a : F.obj j₂) → F.obj j) x : F.obj j)
refine_2₃ :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₁) : (a : F.obj j₁) → F.obj j)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₂) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
            x :
          (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁)) :
      F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₂ ≫ f₁)) : (a : F.obj j₂) → F.obj j) x : F.obj j)
refine_2₄ :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₁) : (a : F.obj j₁) → F.obj j)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₂) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
            x :
          (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁)) :
      F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₂ ≫ F.map f₁) : (a : F.obj j₂) → F.obj j) x : F.obj j)
refine_2₅ refine_2₆ :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₁) : (a : F.obj j₁) → F.obj j)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₂) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₂)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁))
            x :
          (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j₁)) :
      F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₁) : (a : F.obj j₁) → F.obj j)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f₂) : (a : F.obj j₂) → F.obj j₁) x : F.obj j₁) :
      F.obj j)
⊢ Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁)) : (a : F.obj j₃) → F.obj j) y : F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f₂ ≫ f₁)) : (a : F.obj j₂) → F.obj j) x : F.obj j)

Tactic:
rw [← Category.assoc, map_comp, comp_apply, h₃, map_comp, comp_apply]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc, CategoryTheory.comp_apply, CategoryTheory.Functor.map_comp