-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
S : Cone (pair X Y)
m : S.pt ⟶ (X.prodBinaryFan Y).pt
h : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ (X.prodBinaryFan Y).π.app j = S.π.app j
x : (↑S.pt : Type u)
w :
  Eq.{u + 1} (α := (↑X : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) m :
          (a : (↑S.pt : Type u)) → (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))
        x).1
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (ofHom
              {
                toFun := fun (s : (↑S.1 : Type u)) ↦
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) (BinaryFan.fst S) :
                        (a :
                            (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj S.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                              Type u)) →
                          (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u))
                      s,
                    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) (BinaryFan.snd S) :
                        (a :
                            (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj S.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                              Type u)) →
                          (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u))
                      s),
                continuous_toFun := ⋯ : C((↑S.1 : Type u), (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) }) :
          (a : (↑S.pt : Type u)) → (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))
        x).1
w₁ :
  Eq.{u + 1} (α := (↑Y : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) m :
          (a : (↑S.pt : Type u)) → (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))
        x).2
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (ofHom
              {
                toFun := fun (s : (↑S.1 : Type u)) ↦
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) (BinaryFan.fst S) :
                        (a :
                            (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj S.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                              Type u)) →
                          (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u))
                      s,
                    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) (BinaryFan.snd S) :
                        (a :
                            (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj S.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                              Type u)) →
                          (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u))
                      s),
                continuous_toFun := ⋯ : C((↑S.1 : Type u), (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) }) :
          (a : (↑S.pt : Type u)) → (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))
        x).2
⊢ Eq (α := (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) m :
          (a : (↑S.pt : Type u)) → (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))
        x :
      (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (ofHom
              {
                toFun := fun (s : (↑S.1 : Type u)) ↦
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) (BinaryFan.fst S) :
                        (a :
                            (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj S.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                              Type u)) →
                          (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u))
                      s,
                    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          carrier) (BinaryFan.snd S) :
                        (a :
                            (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj S.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                              Type u)) →
                          (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u))
                      s),
                continuous_toFun := ⋯ : C((↑S.1 : Type u), (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) }) :
          (a : (↑S.pt : Type u)) → (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))
        x :
      (↑(X.prodBinaryFan Y).pt : Type u))

Tactic:
refine Prod.ext ?_ ?_

Premises used: Prod.ext