awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst_5 : AddCommGroup M'
inst_6 : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_7 : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst_8 : AddCommGroup N'
inst_9 : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst_10 : IsLocalizedModule S g
inst_11 : Module.Finite R M
inst_12 : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf :
  Function.Bijective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := M') (β := N')
    (⇑((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l : M' →ₗ[R] N') : (a : M') → N')
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • (↑e.symm : N' →ₗ[R] M') ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
t : R
ht : (↑s₀ : R) * (↑s₁ : R) * (↑s₂ : R) ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
  (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N) :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
      (a : M →ₗ[R] N) →
        LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
          LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
    l
hu :
  IsUnit (M := Rₛ)
    ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ)
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid R) (Submonoid.powers t) x) t ⋯) : R) :
      Rₛ)
hu₀ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₀ : R) : Rₛ)
⊢ (↑s₀ : R) * (↑s₁ : R) * (↑s₂ : R) = (↑s₁ : R) * ((↑s₀ : R) * (↑s₂ : R))

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst_5 : AddCommGroup M'
inst_6 : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_7 : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst_8 : AddCommGroup N'
inst_9 : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst_10 : IsLocalizedModule S g
inst_11 : Module.Finite R M
inst_12 : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf :
  Function.Bijective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := M') (β := N')
    (⇑((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l : M' →ₗ[R] N') : (a : M') → N')
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • (↑e.symm : N' →ₗ[R] M') ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
t : R
ht : (↑s₀ : R) * (↑s₁ : R) * (↑s₂ : R) ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
  (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N) :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
      (a : M →ₗ[R] N) →
        LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
          LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
    l
hu :
  IsUnit (M := Rₛ)
    ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ)
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid R) (Submonoid.powers t) x) t ⋯) : R) :
      Rₛ)
hu₀ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₀ : R) : Rₛ)
⊢ IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₁ : R) : Rₛ)

Tactic:
have hu₁ : IsUnit (algebraMap R Rₛ s₁) := isUnit_of_dvd_unit
      (map_dvd (algebraMap R Rₛ) (dvd_trans ⟨s₀ * s₂, by ring⟩ ht)) hu
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst_5 : AddCommGroup M'
inst_6 : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_7 : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst_8 : AddCommGroup N'
inst_9 : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst_10 : IsLocalizedModule S g
inst_11 : Module.Finite R M
inst_12 : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf :
  Function.Bijective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := M') (β := N')
    (⇑((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l : M' →ₗ[R] N') : (a : M') → N')
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • (↑e.symm : N' →ₗ[R] M') ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
t : R
ht : (↑s₀ : R) * (↑s₁ : R) * (↑s₂ : R) ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
  (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N) :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
      (a : M →ₗ[R] N) →
        LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
          LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
    l
hu :
  IsUnit (M := Rₛ)
    ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ)
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid R) (Submonoid.powers t) x) t ⋯) : R) :
      Rₛ)
hu₀ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₀ : R) : Rₛ)
hu₁ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₁ : R) : Rₛ)
⊢ (↑s₀ : R) * (↑s₁ : R) * (↑s₂ : R) = (↑s₂ : R) * ((↑s₀ : R) * (↑s₁ : R))

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst_5 : AddCommGroup M'
inst_6 : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_7 : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst_8 : AddCommGroup N'
inst_9 : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst_10 : IsLocalizedModule S g
inst_11 : Module.Finite R M
inst_12 : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf :
  Function.Bijective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := M') (β := N')
    (⇑((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l : M' →ₗ[R] N') : (a : M') → N')
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • (↑e.symm : N' →ₗ[R] M') ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
t : R
ht : (↑s₀ : R) * (↑s₁ : R) * (↑s₂ : R) ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
  (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N) :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
      (a : M →ₗ[R] N) →
        LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
          LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
    l
hu :
  IsUnit (M := Rₛ)
    ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ)
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid R) (Submonoid.powers t) x) t ⋯) : R) :
      Rₛ)
hu₀ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₀ : R) : Rₛ)
hu₁ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₁ : R) : Rₛ)
⊢ IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₂ : R) : Rₛ)

Tactic:
have hu₂ : IsUnit (algebraMap R Rₛ s₂) := isUnit_of_dvd_unit
      (map_dvd (algebraMap R Rₛ) (dvd_trans ⟨s₀ * s₁, by ring⟩ ht)) hu
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst_5 : AddCommGroup M'
inst_6 : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_7 : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst_8 : AddCommGroup N'
inst_9 : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst_10 : IsLocalizedModule S g
inst_11 : Module.Finite R M
inst_12 : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf :
  Function.Bijective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := M') (β := N')
    (⇑((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l : M' →ₗ[R] N') : (a : M') → N')
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • (↑e.symm : N' →ₗ[R] M') ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
t : R
ht : (↑s₀ : R) * (↑s₁ : R) * (↑s₂ : R) ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
  (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N) :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
      (a : M →ₗ[R] N) →
        LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
          LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
    l
hu :
  IsUnit (M := Rₛ)
    ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ)
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid R) (Submonoid.powers t) x) t ⋯) : R) :
      Rₛ)
hu₀ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₀ : R) : Rₛ)
hu₁ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₁ : R) : Rₛ)
hu₂ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₂ : R) : Rₛ)
lₛ' : LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
  (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
      (a : N →ₗ[R] M) →
        LocalizedModule (Submonoid.powers t) N →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
          LocalizedModule (Submonoid.powers t) M)
    l'
x : M
⊢ HSMul.hSMul (β := M) (↑s₂ : R) ((l' : (a : N) → M) ((l : (a : M) → N) x : N) : M) = (↑s₂ : R) • (↑s₀ : R) • x

Tactic:
have : s₂.1 • l' (l x) = s₂.1 • s₀.1 • x := congr($hs₂ x)
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst_5 : AddCommGroup M'
inst_6 : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_7 : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst_8 : AddCommGroup N'
inst_9 : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst_10 : IsLocalizedModule S g
inst_11 : Module.Finite R M
inst_12 : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf :
  Function.Bijective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := M') (β := N')
    (⇑((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l : M' →ₗ[R] N') : (a : M') → N')
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g : (a : M →ₗ[R] N) → M' →ₗ[R] N') l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • (↑e.symm : N' →ₗ[R] M') ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • HSMul.hSMul (β := N →ₗ[R] N) s₀ LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • HSMul.hSMul (β := M →ₗ[R] M) s₀ LinearMap.id
t : R
ht : (↑s₀ : R) * (↑s₁ : R) * (↑s₂ : R) ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
  (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N) :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
      (a : M →ₗ[R] N) →
        LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
          LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
    l
hu :
  IsUnit (M := Rₛ)
    ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ)
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid R) (Submonoid.powers t) x) t ⋯) : R) :
      Rₛ)
hu₀ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₀ : R) : Rₛ)
hu₁ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₁ : R) : Rₛ)
hu₂ : IsUnit (M := Rₛ) ((algebraMap R Rₛ : (a : R) → Rₛ) (↑s₂ : R) : Rₛ)
lₛ' : LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
  (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
      (a : N →ₗ[R] M) →
        LocalizedModule (Submonoid.powers t) N →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
          LocalizedModule (Submonoid.powers t) M)
    l'
H_left : ((↑hu₀.unit⁻¹ : Rₛ) • lₛ') ∘ₗ lₛ = LinearMap.id
x : N
⊢ HSMul.hSMul (β := N) (↑s₁ : R) ((l : (a : M) → N) ((l' : (a : N) → M) x : M) : N) = (↑s₁ : R) • (↑s₀ : R) • x

Tactic:
have : s₁.1 • l (l' x) = s₁.1 • s₀.1 • x := congr($hs₁ x)
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Module.Finite R M
inst_6 : FinitePresentation R N
f : M →ₗ[R] N
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
Mₚ : Type u_3
Nₚ : Type u_4
inst_8 : AddCommGroup Mₚ
inst_9 : AddCommGroup Nₚ
inst_10 : Module R Mₚ
inst_11 : Module R Nₚ
fM : M →ₗ[R] Mₚ
fN : N →ₗ[R] Nₚ
inst_12 : IsLocalizedModule p.primeCompl fM
inst_13 : IsLocalizedModule p.primeCompl fN
hf :
  Function.Bijective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := Mₚ) (β := Nₚ)
    (⇑((IsLocalizedModule.map p.primeCompl fM fN : (a : M →ₗ[R] N) → Mₚ →ₗ[R] Nₚ) f : Mₚ →ₗ[R] Nₚ) : (a : Mₚ) → Nₚ)
obtain :
  ∀ (g : R) (hg : g ∈ p.primeCompl)
    (h :
      ∀ (t : R),
        g ∣ t →
          Function.Bijective (α := LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (β := LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
            (⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
                      (a : M →ₗ[R] N) →
                        LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
                          LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
                    f :
                  LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
                    (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)) :
              (a : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) → LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)),
    ∃ g ∉ p,
      Function.Bijective (α := LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) (β := LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
        (⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers g) :
                  (a : M →ₗ[R] N) →
                    LocalizedModule (Submonoid.powers g) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers g)]
                      LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
                f :
              LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers g)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers g)))
                (LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)) :
          (a : LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) → LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
⊢ ∃ g ∉ p,
    Function.Bijective (α := LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) (β := LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
      (⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers g) :
                (a : M →ₗ[R] N) →
                  LocalizedModule (Submonoid.powers g) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers g)]
                    LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
              f :
            LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers g)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers g)))
              (LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)) :
        (a : LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) → LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)

Tactic:
obtain ⟨g, hg, h⟩ := exists_bijective_map_powers p.primeCompl fM fN f hf

Premises used: Ideal.primeCompl, exists_bijective_map_powers
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Module.Finite R M
inst_6 : FinitePresentation R N
f : M →ₗ[R] N
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
Mₚ : Type u_3
Nₚ : Type u_4
inst_8 : AddCommGroup Mₚ
inst_9 : AddCommGroup Nₚ
inst_10 : Module R Mₚ
inst_11 : Module R Nₚ
fM : M →ₗ[R] Mₚ
fN : N →ₗ[R] Nₚ
inst_12 : IsLocalizedModule p.primeCompl fM
inst_13 : IsLocalizedModule p.primeCompl fN
hf :
  Function.Bijective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := Mₚ) (β := Nₚ)
    (⇑((IsLocalizedModule.map p.primeCompl fM fN : (a : M →ₗ[R] N) → Mₚ →ₗ[R] Nₚ) f : Mₚ →ₗ[R] Nₚ) : (a : Mₚ) → Nₚ)
g : R
hg : g ∈ p.primeCompl
h :
  ∀ (t : R),
    g ∣ t →
      Function.Bijective (α := LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (β := LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
        (⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
                  (a : M →ₗ[R] N) →
                    LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
                      LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
                f :
              LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
                (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)) :
          (a : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) → LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
⊢ ∃ g ∉ p,
    Function.Bijective (α := LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) (β := LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
      (⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers g) :
                (a : M →ₗ[R] N) →
                  LocalizedModule (Submonoid.powers g) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers g)]
                    LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
              f :
            LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers g)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers g)))
              (LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)) :
        (a : LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) → LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)

Tactic:
⟨g, hg, h g dvd_rfl⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, dvd_rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Module.Finite R M
inst_6 : FinitePresentation R N
f : M →ₗ[R] N
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
Mₚ : Type u_3
Nₚ : Type u_4
inst_8 : AddCommGroup Mₚ
inst_9 : AddCommGroup Nₚ
inst_10 : Module R Mₚ
inst_11 : Module R Nₚ
fM : M →ₗ[R] Mₚ
fN : N →ₗ[R] Nₚ
inst_12 : IsLocalizedModule p.primeCompl fM
inst_13 : IsLocalizedModule p.primeCompl fN
hf :
  Function.Bijective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := Mₚ) (β := Nₚ)
    (⇑((IsLocalizedModule.map p.primeCompl fM fN : (a : M →ₗ[R] N) → Mₚ →ₗ[R] Nₚ) f : Mₚ →ₗ[R] Nₚ) : (a : Mₚ) → Nₚ)
g : R
hg : g ∈ p.primeCompl
h :
  ∀ (t : R),
    g ∣ t →
      Function.Bijective (α := LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (β := LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
        (⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t) :
                  (a : M →ₗ[R] N) →
                    LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
                      LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
                f :
              LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers t)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers t)))
                (LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)) :
          (a : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M) → LocalizedModule (Submonoid.powers t) N)
⊢ ∃ g ∉ p,
    Function.Bijective (α := LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) (β := LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
      (⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers g) :
                (a : M →ₗ[R] N) →
                  LocalizedModule (Submonoid.powers g) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers g)]
                    LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)
              f :
            LinearMap (R := Localization (Submonoid.powers g)) (RingHom.id (Localization (Submonoid.powers g)))
              (LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) (LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)) :
        (a : LocalizedModule (Submonoid.powers g) M) → LocalizedModule (Submonoid.powers g) N)

Tactic:
exact ⟨g, hg, h g dvd_rfl⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation
Goal:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst_5 : AddCommGroup M'
inst_6 : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_7 : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst_8 : AddCommGroup N'
inst_9 : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst_10 : IsLocalizedModule S g
inst_11 : FinitePresentation R M
inst_12 : FinitePresentation R N
l : M' ≃ₗ[R] N'
obtain :
  ∀ (l' : M →ₗ[R] N) (s : ↥S) (H : g ∘ₗ l' = s • (↑l : M' →ₗ[R] N') ∘ₗ f),
    ∃ (r : R) (hr : r ∈ S) (l' :
      LocalizedModule.Away r M ≃ₗ[Localization (Submonoid.powers r)] LocalizedModule.Away r N),
      LocalizedModule.lift (Submonoid.powers r) g ⋯ ∘ₗ
          (↑R :
              {S : Type u_3} →
                {M : Type (max u_3 u_4)} →
                  {M₂ : Type (max u_3 u_5)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            (↑l' : LocalizedModule.Away r M →ₗ[Localization (Submonoid.powers r)] LocalizedModule.Away r N) =
        (↑l : M' →ₗ[R] N') ∘ₗ LocalizedModule.lift (Submonoid.powers r) f ⋯
⊢ ∃ (r : R) (hr : r ∈ S) (l' : LocalizedModule.Away r M ≃ₗ[Localization (Submonoid.powers r)] LocalizedModule.Away r N),
    LocalizedModule.lift (Submonoid.powers r) g ⋯ ∘ₗ
        (↑R :
            {S : Type u_3} →
              {M : Type (max u_3 u_4)} →
                {M₂ : Type (max u_3 u_5)} →
                  [inst : Semiring R] →
                    [inst_13 : Semiring S] →
                      [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_16 : Module R M] →
                            [inst_17 : Module R M₂] →
                              [inst_18 : Module S M] →
                                [inst_19 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
          (↑l' : LocalizedModule.Away r M →ₗ[Localization (Submonoid.powers r)] LocalizedModule.Away r N) =
      (↑l : M' →ₗ[R] N') ∘ₗ LocalizedModule.lift (Submonoid.powers r) f ⋯

Tactic:
obtain ⟨l', s, H⟩ := Module.FinitePresentation.exists_lift_of_isLocalizedModule S g (l ∘ₗ f)

Premises used: Module.FinitePresentation.exists_lift_of_isLocalizedModule, LinearMap.comp