awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
mp : IsMinimal M α → ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
mpr : (∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) → IsMinimal M α
⊢ IsMinimal M α ↔ ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
h : IsMinimal M α
mp : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
⊢ ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
h : IsMinimal M α
s : Set α
⊢ IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ

Tactic:
eq_empty_or_univ_of_smul_invariant_closed M

Premises used: eq_empty_or_univ_of_smul_invariant_closed
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
h : IsMinimal M α
s : Set α
⊢ IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ

Tactic:
exact eq_empty_or_univ_of_smul_invariant_closed M

Premises used: eq_empty_or_univ_of_smul_invariant_closed
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
⊢ (∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) → IsMinimal M α

Tactic:
fun H ↦ ⟨fun _ ↦ dense_iff_closure_eq.2 <| (H _ ?_ ?_).resolve_left ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, dense_iff_closure_eq, Or.resolve_left, MulAction.orbit, closure, MulAction.IsMinimal.mk
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
mpr :
  ∀ (H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) (x : α), IsClosed (closure (orbit M x))
mpr₁ :
  ∀ (H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) (x : α) (c : M),
    c • closure (orbit M x) ⊆ closure (orbit M x)
mpr₂ : ∀ (H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) (x : α), ¬closure (orbit M x) = ∅
⊢ (∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) → IsMinimal M α

Tactic:
refine fun H ↦ ⟨fun _ ↦ dense_iff_closure_eq.2 <| (H _ ?_ ?_).resolve_left ?_⟩
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x : α
⊢ IsClosed (closure (orbit M x))

Tactic:
isClosed_closure

Premises used: isClosed_closure
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x : α
⊢ ∀ (c : M), c • closure (orbit M x) ⊆ closure (orbit M x)

Tactic:
fun _ ↦ smul_closure_orbit_subset _ _

Premises used: smul_closure_orbit_subset
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x : α
⊢ ¬closure (orbit M x) = ∅

Tactic:
(nonempty_orbit _).closure.ne_empty

Premises used: MulAction.nonempty_orbit, Set.Nonempty.ne_empty, Set.Nonempty.closure
-- Module: Mathlib.Dynamics.Minimal
Goal:
M : Type u_1
α : Type u_3
inst : Monoid M
inst_1 : TopologicalSpace α
inst_2 : MulAction M α
inst_3 : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x : α
⊢ IsClosed (closure (orbit M x))

Tactic:
exacts [isClosed_closure, fun _ ↦ smul_closure_orbit_subset _ _,
    (nonempty_orbit _).closure.ne_empty]

Premises used: MulAction.nonempty_orbit, Set.Nonempty.ne_empty, smul_closure_orbit_subset, Set.Nonempty.closure, isClosed_closure
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
⊢ P.newtonMap x =
    x -
      HMul.hMul (α := S) (β := S)
        (Ring.inverse ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)

Tactic:
rfl

Premises used: Polynomial.newtonMap, rfl
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
⊢ P.newtonMap x = x - HMul.hMul (β := S) (↑h.unit⁻¹ : S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)

Tactic:
simp [newtonMap_apply, Ring.inverse, h]

Premises used: Ring.inverse, Polynomial.newtonMap_apply
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : ¬IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
⊢ P.newtonMap x = x

Tactic:
simp [newtonMap_apply, Ring.inverse, h]

Premises used: Ring.inverse, Polynomial.newtonMap_apply
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
⊢ IsNilpotent (P.newtonMap^[0] x - x)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
n : ℕ
ih : IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
succ :
  IsNilpotent
    (P.newtonMap^[n] x - x -
      HMul.hMul (α := S) (β := S)
        (Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
⊢ IsNilpotent (P.newtonMap^[n + 1] x - x)

Tactic:
rw [iterate_succ', comp_apply, newtonMap_apply, sub_right_comm]

Premises used: Function.iterate_succ', sub_right_comm, Function.comp_apply, Polynomial.newtonMap_apply
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
n : ℕ
ih : IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
⊢ IsNilpotent
    (P.newtonMap^[n] x - x -
      HMul.hMul (α := S) (β := S)
        (Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))

Tactic:
(Commute.all _ _).isNilpotent_sub ih <| (Commute.all _ _).isNilpotent_mul_left ?_

Premises used: Commute.isNilpotent_mul_left, Commute.isNilpotent_sub
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
n : ℕ
ih : IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
succ : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
⊢ IsNilpotent
    (P.newtonMap^[n] x - x -
      HMul.hMul (α := S) (β := S)
        (Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))

Tactic:
refine (Commute.all _ _).isNilpotent_sub ih <| (Commute.all _ _).isNilpotent_mul_left ?_

Premises used: Commute.isNilpotent_mul_left, Commute.isNilpotent_sub
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
n : ℕ
ih : IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
⊢ IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)

Tactic:
simpa using Commute.isNilpotent_add (Commute.all _ _)
      (isNilpotent_aeval_sub_of_isNilpotent_sub P ih) h

Premises used: Polynomial.isNilpotent_aeval_sub_of_isNilpotent_sub, Commute.isNilpotent_add
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
n : ℕ
zero : IsNilpotent (P.newtonMap^[0] x - x)
succ : ∀ (n : ℕ) (ih : IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)), IsNilpotent (P.newtonMap^[n + 1] x - x)
⊢ IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)

Tactic:
induction n with
  | zero => simp
  | succ n ih =>
    rw [iterate_succ', comp_apply, newtonMap_apply, sub_right_comm]
    refine (Commute.all _ _).isNilpotent_sub ih <| (Commute.all _ _).isNilpotent_mul_left ?_
    simpa using Commute.isNilpotent_add (Commute.all _ _)
      (isNilpotent_aeval_sub_of_isNilpotent_sub P ih) h

Premises used: Commute.isNilpotent_mul_left, Function.iterate_succ', sub_right_comm, Function.comp_apply, Polynomial.newtonMap_apply
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
rw : P.newtonMap x = x
rw₁ :
  x -
      HMul.hMul (α := S) (β := S)
        (Ring.inverse ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) =
    x
rw₂ :
  x -
      HMul.hMul (α := S) (β := S)
        (Ring.inverse ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S) (0 : S) =
    x
rw₃ : x - 0 = x
rw₄ rw₅ : x = x
⊢ IsFixedPt P.newtonMap x

Tactic:
rw [IsFixedPt, newtonMap_apply, h, mul_zero, sub_zero]

Premises used: sub_zero, MulZeroClass.mul_zero, Function.IsFixedPt, Polynomial.newtonMap_apply
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
rw : P.newtonMap x = x ↔ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
rw₁ :
  x -
        HMul.hMul (α := S) (β := S)
          (Ring.inverse ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
          ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) =
      x ↔
    Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
rw₂ :
  HMul.hMul (α := S) (β := S)
        (Ring.inverse ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) =
      0 ↔
    Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
rw₃ :
  (aeval x : (a : R[X]) → S) P =
      HMul.hMul (α := S) (β := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (0 : S) ↔
    Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
rw₄ rw₅ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S) ↔
    Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
⊢ IsFixedPt P.newtonMap x ↔ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)

Tactic:
rw [IsFixedPt, newtonMap_apply, sub_eq_self, Ring.inverse_mul_eq_iff_eq_mul _ _ _ h, mul_zero]

Premises used: Ring.inverse_mul_eq_iff_eq_mul, sub_eq_self, MulZeroClass.mul_zero, Function.IsFixedPt, Polynomial.newtonMap_apply
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 2 0) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[0] x) : (a : R[X]) → S) P

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
succ :
  ∀ (d : S)
    (hd :
      eval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          (map (algebraMap R S) P) =
        eval (P.newtonMap^[n] x) (map (algebraMap R S) P) +
            eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
              HMul.hMul (α := S) (β := S)
                (-Ring.inverse
                      ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                  S)
                ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) +
          d *
            HPow.hPow (β := ℕ)
              (HMul.hMul (α := S) (β := S)
                (-Ring.inverse
                      ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                  S)
                ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
              2),
    HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣
      (aeval (P.newtonMap^[n + 1] x) : (a : R[X]) → S) P
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n + 1] x) : (a : R[X]) → S) P

Tactic:
have ⟨d, hd⟩ := binomExpansion (P.map (algebraMap R S)) (P.newtonMap^[n] x)
      (-Ring.inverse (aeval (P.newtonMap^[n] x) <| derivative P) * aeval (P.newtonMap^[n] x) P)
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  eval
      (P.newtonMap^[n] x +
        HMul.hMul (α := S) (β := S)
          (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
          ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
      (map (algebraMap R S) P) =
    eval (P.newtonMap^[n] x) (map (algebraMap R S) P) +
        eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
⊢ (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2

Tactic:
rw [eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap] at hd

Premises used: Polynomial.eval_map_algebraMap
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
succ :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n + 1] x) : (a : R[X]) → S) P

Tactic:
rw [iterate_succ', comp_apply, newtonMap_apply, sub_eq_add_neg, neg_mul_eq_neg_mul, hd]

Premises used: Function.iterate_succ', sub_eq_add_neg, Function.comp_apply, neg_mul_eq_neg_mul, Polynomial.newtonMap_apply
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2

Tactic:
dvd_add ?_ (dvd_mul_of_dvd_right ?_ _)

Premises used: dvd_mul_of_dvd_right, dvd_add
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣ 0

Tactic:
dvd_zero _

Premises used: dvd_zero