-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
hsf : Summable f
k : ℕ
this :
  HasSum
    (fun (n : ℕ) ↦
      (p.changeOriginSeries k n : (a : (i : Fin n) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun (x_1 : Fin n) ↦ x)
    (p.changeOrigin x k)
l : ℕ
refine_1 :
  HasSum (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
    (fun (c : { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
      (p.changeOriginSeriesTerm k l (↑c : Finset (Fin (k + l))) ⋯ :
          (a : (i : Fin l) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun (x_1 : Fin l) ↦ x)
    (∑ a : { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l },
      (p.changeOriginSeriesTerm k l (↑a : Finset (Fin (k + l))) ⋯ :
          (a : (i : Fin l) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun (x_1 : Fin l) ↦ x)
⊢ HasSum (α := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
    (fun (c : { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
      (p.changeOriginSeriesTerm k
            (Sigma.fst (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l })
              (Sigma.mk (β := fun (b : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + b)) // s.card = b }) l c))
            (↑(Sigma.snd (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l })
                  (Sigma.mk (β := fun (b : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + b)) // s.card = b }) l c)) :
              Finset (Fin (k + ⟨l, c⟩.fst)))
            ⋯ :
          (a : (i : Fin ⟨l, c⟩.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun
          (x_1 :
            Fin
              (Sigma.fst (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l })
                (Sigma.mk (β := fun (b : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + b)) // s.card = b }) l c))) ↦
        x)
    ((p.changeOriginSeries k l : (a : (i : Fin l) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
      fun (x_1 : Fin l) ↦ x)

Tactic:
simp only [changeOriginSeries, ContinuousMultilinearMap.sum_apply]

Premises used: FormalMultilinearSeries.changeOriginSeries, ContinuousMultilinearMap.sum_apply