awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞) ≤
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
rw : (↑N : ℝ≥0∞) < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1
⊢ (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)⁻¹ < (↑N : ℝ≥0∞)⁻¹

Tactic:
rw [ENNReal.inv_lt_inv]

Premises used: ENNReal.inv_lt_inv
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞) ≤
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
rw : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0
| (↑N : ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]

Premises used: Nat.cast, add_zero
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞) ≤
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
conv_lhs : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0 < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1
⊢ (↑N : ℝ≥0∞) < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1

Tactic:
conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]

Premises used: Nat.cast, add_zero
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞) ≤
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) ∞

Tactic:
finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞) ≤
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0 < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1

Tactic:
exact ENNReal.add_lt_add_left (by finiteness) zero_lt_one

Premises used: ENNReal.add_lt_add_left, zero_lt_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞) ≤
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
⊢ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)

Tactic:
replace hi : μ s / (N + 1) < μ (s ∩ v i) := by
    apply lt_of_lt_of_le _ hi
    apply (ENNReal.mul_lt_mul_iff_right hμs.ne' (by finiteness)).2
    rw [ENNReal.inv_lt_inv]
    conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]
    exact ENNReal.add_lt_add_left (by finiteness) zero_lt_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
⊢ o ∩ v i = ⋃ x ∈ u i, o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))

Tactic:
simp only [v, inter_iUnion]

Premises used: Set.inter_iUnion
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
⊢ o ∩ v i = ⋃ x ∈ u i, o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))

Tactic:
have : o ∩ v i = ⋃ (x : s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall x (r x) := by
      simp only [v, inter_iUnion]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h_1 : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
this : o ∩ v i = ⋃ x ∈ u i, o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
hd : (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
h : ∀ b ∈ u i, MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑b : α) (r (↑b : α)))
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (o ∩ v i) : ℝ≥0∞)
    (∑' (x : (↑(u i) : Type u_1)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (o ∩ closedBall (↑(↑x : (↑s : Type u_1)) : α) (r (↑(↑x : (↑s : Type u_1)) : α))) :
      ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [this, measure_biUnion (u_count i)]

Premises used: MeasureTheory.measure_biUnion
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
this : o ∩ v i = ⋃ x ∈ u i, o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
⊢ (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))

Tactic:
(hu i).mono fun k => inter_subset_right

Premises used: Set.PairwiseDisjoint.mono, Set.inter_subset_right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
this : o ∩ v i = ⋃ x ∈ u i, o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
⊢ (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))

Tactic:
exact (hu i).mono fun k => inter_subset_right

Premises used: Set.PairwiseDisjoint.mono, Set.inter_subset_right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
this : o ∩ v i = ⋃ x ∈ u i, o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
⊢ ∀ b ∈ u i, MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑b : α) (r (↑b : α)))

Tactic:
fun b _ => omeas.inter measurableSet_closedBall

Premises used: measurableSet_closedBall, MeasurableSet.inter
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
this : o ∩ v i = ⋃ x ∈ u i, o ∩ closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
⊢ ∀ b ∈ u i, MeasurableSet (o ∩ closedBall (↑b : α) (r (↑b : α)))

Tactic:
exact fun b _ => omeas.inter measurableSet_closedBall

Premises used: measurableSet_closedBall, MeasurableSet.inter
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
h : Nonempty α
Npos : N ≠ 0
o : Set α
so : s ⊆ o
omeas : MeasurableSet o
μo : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) o : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
a : BallPackage (↑s : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s : Type u_1)) ↦ r (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
u : Fin N → Set (↑s : Type u_1)
hu : ∀ (i : Fin N), (u i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s : Type u_1)) ↦ closedBall (a.c j) (a.r j)
hu' : range a.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ u i, ball (a.c j) (a.r j)
u_count : ∀ (i : Fin N), (u i).Countable
v : Fin N → Set α := fun (i : Fin N) ↦ ⋃ x ∈ u i, closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))
A : s = ⋃ (i : Fin N), s ∩ v i
S :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∑ _i : Fin N, HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) : ℝ≥0∞))
    (∑ i : Fin N, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i))
i : Fin N
hi :
  HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) <
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∩ v i)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (o ∩ v i) : ℝ≥0∞)
    (∑' (x : (↑(u i) : Type u_1)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (o ∩ closedBall (↑(↑x : (↑s : Type u_1)) : α) (r (↑(↑x : (↑s : Type u_1)) : α))) :
      ℝ≥0∞)

Tactic:
have B : μ (o ∩ v i) = ∑' x : u i, μ (o ∩ closedBall x (r x)) := by
    have : o ∩ v i = ⋃ (x : s) (_ : x ∈ u i), o ∩ closedBall x (r x) := by
      simp only [v, inter_iUnion]
    rw [this, measure_biUnion (u_count i)]
    · exact (hu i).mono fun k => inter_subset_right
    · exact fun b _ => omeas.inter measurableSet_closedBall