-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Graded
Goal:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
L : Type u_4
inst : DecidableEq ι
inst_1 : AddCommMonoid ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
ℒ : ι → Submodule R L
inst_5 : GradedLieAlgebra ℒ
φ : ι →+ R
hM :
  ∀ (k : ι) (b : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
    (hb : Membership.mem (α := L) (ℒ k) ((Equiv.symm (decompose ℒ) : (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → L) b : L)),
    (toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
            lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
              HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := ↥(ℒ i) →ₗ[R] ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R) LinearMap.id :
          (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
        b =
      HSMul.hSMul (α := R) ((φ : (a : ι) → R) k : R) b
j i : ι
a : ↥(ℒ i)
f_1 : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)
h : (f_1 : (a : ι) → ↥(ℒ a)) i = 0
h_1 : a ≠ 0
k : ι
b : ↥(ℒ k)
f : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)
h_2 : (f : (a : ι) → ↥(ℒ a)) k = 0
h_3 : b ≠ 0
ih :
  (↑((((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                    lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                      HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                        LinearMap.id :
                  (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                (Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  f) :
              ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
            (a : ι) → ↥(ℒ a))
          j) :
      L) =
    (↑(((Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                  ((toModule R ι (M := fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) (⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) fun (i : ι) ↦
                        lof.{u_3, u_1, u_4} R ι (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i ∘ₗ
                          HSMul.hSMul.{u_3, u_4, u_4} (α := R) (β := Module.End R ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                            LinearMap.id :
                      (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                    f) :
                ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
              (a : ι) → ↥(ℒ a))
            j) :
        L) -
      (↑((⁅f,
                HSMul.hSMul (α := R) (β := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) ((φ : (a : ι) → R) i : R)
                  (((of.{u_1, u_4} (fun (x : ι) ↦ ↥(ℒ x)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
                        (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                      a :
                    ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))⁆ :
              (a : ι) → ↥(ℒ a))
            j) :
        L)
⊢ Membership.mem (α := L) (ℒ (i + k))
    ((Equiv.symm (decompose ℒ) : (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) → L)
        (Bracket.bracket (L := ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
            (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) i : ↥(ℒ i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) : (a : ↥(ℒ i)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
                a :
              ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
            (((of.{u_1, u_4} (fun (i : ι) ↦ ↥(ℒ i)) k : ↥(ℒ k) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) : (a : ↥(ℒ k)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i))
              b) :
          ⨁ (i : ι), ↥(ℒ i)) :
      L)

Tactic:
have : (decompose ℒ).symm ⁅of (fun i ↦ ℒ i) i a, of (fun i ↦ ℒ i) k b⁆ ∈ ℒ (i + k) := by
            simp [SetLike.GradedBracket.bracket_mem (Submodule.coe_mem a) (Submodule.coe_mem b)]