-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Colimits
Goal:
R : Type w
inst : Ring R
J : Type u
inst_1 : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat.{w', w} R
inst_2 :
  HasColimit
    (F ⋙
      forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
        (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
        (CD := AddCommGrpCat.carrier))
i j : J
f : i ⟶ j
a :
  Eq (α :=
    Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
          (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (F.obj i) ⟶
      Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
          (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (Functor.obj
          (Functor.obj (Functor.const J)
            (mkOfSMul (A :=
              colimit
                (F ⋙
                  forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦
                    (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w')) (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD :=
                    fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w')) (CD :=
                    AddCommGrpCat.carrier)))
              (coconePointSMul F)))
          j))
    (CategoryTheory.Functor.map
        (forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
          (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (F.map f) ≫
      colimit.ι
        (F ⋙
          forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦
            (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w')) (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD :=
            fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w')) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        j)
    (colimit.ι
        (F ⋙
          forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦
            (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w')) (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD :=
            fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w')) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        i ≫
      CategoryTheory.Functor.map
        (forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
          (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (CategoryTheory.Functor.map
          (Functor.obj (Functor.const J)
            (mkOfSMul (A :=
              colimit
                (F ⋙
                  forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦
                    (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w')) (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD :=
                    fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w')) (CD :=
                    AddCommGrpCat.carrier)))
              (coconePointSMul F)))
          f))
⊢ Eq (α :=
    Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
          (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (F.obj i) ⟶
      Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
          (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (Functor.obj
          (Functor.obj (Functor.const J)
            (mkOfSMul (A :=
              colimit
                (F ⋙
                  forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦
                    (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w')) (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD :=
                    fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w')) (CD :=
                    AddCommGrpCat.carrier)))
              (coconePointSMul F)))
          j))
    (CategoryTheory.Functor.map
      (forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
        (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
        (CD := AddCommGrpCat.carrier))
      (F.map f ≫
        homMk
          (colimit.ι
            (F ⋙
              forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦
                (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w')) (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD :=
                fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w')) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            j)
          ⋯))
    (CategoryTheory.Functor.map
      (forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦ (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w'))
        (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w'))
        (CD := AddCommGrpCat.carrier))
      (homMk
          (colimit.ι
            (F ⋙
              forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦
                (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w')) (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD :=
                fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w')) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            i)
          ⋯ ≫
        CategoryTheory.Functor.map
          (Functor.obj (Functor.const J)
            (mkOfSMul (A :=
              colimit
                (F ⋙
                  forget₂ (ModuleCat.{w', w} R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{w', w} R) ↦
                    (↑x1 : Type w') →ₗ[R] (↑x2 : Type w')) (CC := carrier) AddCommGrpCat (FD :=
                    fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w'}) ↦ (↑x1 : Type w') →+ (↑x2 : Type w')) (CD :=
                    AddCommGrpCat.carrier)))
              (coconePointSMul F)))
          f))

Tactic:
simp only [Functor.map_comp, forget₂_map_homMk]

Premises used: ModuleCat.forget₂_map_homMk, CategoryTheory.Functor.map_comp