-- Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Units.Regulator
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : InfinitePlace K
e₁ : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)
e₂ : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K :=
  Equiv.trans (finSuccEquiv (rank K))
    (↑((Equiv.symm (Equiv.optionSubtype w₁) :
            (a : Fin (rank K) ≃ { y : InfinitePlace K // y ≠ w₁ }) →
              { e : Option (Fin (rank K)) ≃ InfinitePlace K //
                (e : (a : Option (Fin (rank K))) → InfinitePlace K) none = w₁ })
          e₁.symm) :
      Option (Fin (rank K)) ≃ InfinitePlace K)
g : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) :=
  Equiv.trans (β := { b : Fin (rank K + 1) // b ≠ (f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂ })
    (f.symm.subtypeEquiv (p := fun (w : InfinitePlace K) ↦ w ≠ w₂) (q := fun (b : Fin (rank K + 1)) ↦
      b ≠ (f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂) ⋯)
    (Equiv.symm (finSuccAboveEquiv ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂)))
h_col :
  Eq (α := ℝ)
    |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
        (submatrix (m := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
            ((of :
                (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                  Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
              fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
              (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
                Real.log
                  (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                    ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                        (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                      K)))
            (⇑(g.trans e₂.symm) : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) id :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)|
    |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
        ((of :
              (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
            fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
            (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
              Real.log
                (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                      (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                    K)) :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)|
i : Fin (rank K)
refine_1 :
  ∀ (x : Fin (rank K + 1)),
    Membership.mem (γ := Finset (Fin (rank K + 1))) Finset.univ x →
      HPow.hPow (α := ℝ)
          ((((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K) x : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
              ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K) (↑(u i) : 𝓞 K) : K) :
            ℝ)
          (mult.{u_1} (K := K) ((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K) x)) ≠
        0
⊢ Eq (α := ℝ)
    (∑ x : Fin (rank K + 1),
      Real.log
        (HPow.hPow (α := ℝ)
          ((((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K) x : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
              ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K) (↑(u i) : 𝓞 K) : K) :
            ℝ)
          (mult.{u_1} (K := K) ((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K) x))))
    0

Tactic:
rw [← Real.log_prod, Equiv.prod_comp f (fun w ↦ (w (u _) ^ (mult w))), prod_eq_abs_norm,
      Units.norm, Rat.cast_one, Real.log_one]

Premises used: Units.val, Real.log_prod, Algebra.algebraMap, NumberField.InfinitePlace.mult, NumberField.Units.norm, Real.log_one, Equiv.prod_comp, HPow.hPow, NumberField.InfinitePlace.prod_eq_abs_norm, NumberField.RingOfIntegers, DFunLike.coe, Rat.cast_one