awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
rw :
  norm.{v} (E := E)
      (∑ y ∈ Finset.image (fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J)) π.boxes,
        integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun (x : Box ι) ↦ N (π.tag x) = y)) ≤
    (↑ε : ℝ)
⊢ dist (integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul π) 0 ≤ (↑ε : ℝ)

Tactic:
rw [dist_eq_norm, sub_zero, ← integralSum_fiberwise fun J => N (π.tag J)]

Premises used: dist_eq_norm, sub_zero, BoxIntegral.TaggedPrepartition.tag, BoxIntegral.integralSum_fiberwise
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
grw :
  norm.{v} (E := E)
      (∑ y ∈ Finset.image (fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J)) π.boxes,
        integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun (x : Box ι) ↦ N (π.tag x) = y)) ≤
    ∑ i ∈ Finset.image (fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J)) π.boxes, (↑(δ i) : ℝ)
grw₁ : Finset ℕ
⊢ norm.{v} (E := E)
      (∑ y ∈ Finset.image (fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J)) π.boxes,
        integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun (x : Box ι) ↦ N (π.tag x) = y)) ≤
    (↑ε : ℝ)

Tactic:
grw [← hcε, ← sum_le_hasSum _ (fun n _ => (δ n).2) (NNReal.hasSum_coe.2 hδc)]

Premises used: Iff.mpr, sum_le_hasSum, NNReal.hasSum_coe, Subtype.property
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h_1 : π.IsPartition
n : ℕ
h :
  norm.{v} (E := E)
      (∑ J ∈ (π.filter fun (x : Box ι) ↦ N (π.tag x) = n).boxes, μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) • f (π.tag J)) ≤
    (↑(δ n) : ℝ)
⊢ ‖integralSum f μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun (x : Box ι) ↦ N (π.tag x) = n)‖ ≤ (↑(δ n) : ℝ)

Tactic:
dsimp [integralSum]

Premises used: BoxIntegral.integralSum
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
J : Box ι
hJ : J ∈ π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n
⊢ J ∈ π ∧ N (π.tag J) = n

Tactic:
rw [TaggedPrepartition.mem_filter] at hJ

Premises used: BoxIntegral.TaggedPrepartition.mem_filter
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
J : Box ι
hJ : J ∈ π ∧ N (π.tag J) = n
rw : μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) * ‖f (π.tag J)‖ ≤ μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) * (↑n : ℝ)
⊢ ‖μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) • f (π.tag J)‖ ≤ μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) * (↑n : ℝ)

Tactic:
rw [norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg measureReal_nonneg]

Premises used: norm_smul, MeasureTheory.measureReal_nonneg, abs_of_nonneg, Real.norm_eq_abs
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
J : Box ι
hJ : J ∈ π ∧ N (π.tag J) = n
hbc : ‖f (π.tag J)‖ ≤ (↑n : ℝ)
⊢ μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) * ‖f (π.tag J)‖ ≤ μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) * (↑n : ℝ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
J : Box ι
hJ : J ∈ π ∧ N (π.tag J) = n
⊢ ‖f (π.tag J)‖ ≤ (↑n : ℝ)

Tactic:
hJ.2 ▸ Nat.le_ceil _

Premises used: Eq.rec, And.right, Nat.le_ceil
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
J : Box ι
hJ : J ∈ π ∧ N (π.tag J) = n
⊢ ‖f (π.tag J)‖ ≤ (↑n : ℝ)

Tactic:
exact hJ.2 ▸ Nat.le_ceil _
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
⊢ ∀ J ∈ π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n,
    ‖μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) • f (π.tag J)‖ ≤ μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) * (↑n : ℝ)

Tactic:
have : ∀ J ∈ π.filter fun J => N (π.tag J) = n,
      ‖μ.real ↑J • f (π.tag J)‖ ≤ μ.real J * n := fun J hJ ↦ by
    rw [TaggedPrepartition.mem_filter] at hJ
    rw [norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg measureReal_nonneg]
    gcongr
    exact hJ.2 ▸ Nat.le_ceil _
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this_1 : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
this :
  ∀ J ∈ π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n,
    ‖μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) • f (π.tag J)‖ ≤ μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) * (↑n : ℝ)
⊢ norm.{v} (E := E)
      (∑ J ∈ (π.filter fun (x : Box ι) ↦ N (π.tag x) = n).boxes, μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) • f (π.tag J)) ≤
    (↑(δ n) : ℝ)

Tactic:
(norm_sum_le_of_le _ this).trans ?_

Premises used: norm_sum_le_of_le, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this_1 : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h_1 : π.IsPartition
n : ℕ
this :
  ∀ J ∈ π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n,
    ‖μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) • f (π.tag J)‖ ≤ μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) * (↑n : ℝ)
h : ∑ b ∈ (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).boxes, μ.real (↑b : Set (ι → ℝ)) * (↑n : ℝ) ≤ (↑(δ n) : ℝ)
⊢ norm.{v} (E := E)
      (∑ J ∈ (π.filter fun (x : Box ι) ↦ N (π.tag x) = n).boxes, μ.real (↑J : Set (ι → ℝ)) • f (π.tag J)) ≤
    (↑(δ n) : ℝ)

Tactic:
refine (norm_sum_le_of_le _ this).trans ?_

Premises used: norm_sum_le_of_le, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h_1 : π.IsPartition
n : ℕ
h : μ.real (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion * (↑n : ℝ) ≤ (↑(δ n) : ℝ)
⊢ ∑ b ∈ (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).boxes, μ.real (↑b : Set (ι → ℝ)) * (↑n : ℝ) ≤ (↑(δ n) : ℝ)

Tactic:
rw [← sum_mul, ← Prepartition.measure_iUnion_toReal]

Premises used: BoxIntegral.Prepartition.measure_iUnion_toReal, Finset.sum_mul
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h_1 : π.IsPartition
n : ℕ
m : ℝ≥0∞ := (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion
h : m.toReal * (↑n : ℝ) ≤ (↑(δ n) : ℝ)
⊢ μ.real (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion * (↑n : ℝ) ≤ (↑(δ n) : ℝ)

Tactic:
change m.toReal * ↑n ≤ ↑(δ n)

Premises used: ENNReal.toReal
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
m : ℝ≥0∞ := (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion
⊢ ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
simp only [Measure.restrict_apply (hUo _).measurableSet] at hμU

Premises used: MeasureTheory.Measure.restrict_apply, IsOpen.measurableSet
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
m : ℝ≥0∞ := (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
⊢ m < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
(measure_mono ?_).trans_lt (hμU _)

Premises used: MeasureTheory.measure_mono, LE.le.trans_lt
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
m : ℝ≥0∞ := (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
refine : (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion ⊆ U n ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
⊢ m < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine (measure_mono ?_).trans_lt (hμU _)

Premises used: MeasureTheory.measure_mono, LE.le.trans_lt
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hl : l.bRiemann = false
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c_1 : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c_1
hcε : c_1 < ε
this : Fact (LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (↑I : Set (ι → ℝ)) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
hf : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ.restrict (↑I : Set (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) {x : ι → ℝ | f x ≠ 0} : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
N : (ι → ℝ) → ℕ := fun (x : ι → ℝ) ↦ ⌈‖f x‖⌉₊
N0 : ∀ {x : ι → ℝ}, N x = 0 ↔ f x = 0
U : (n : ℕ) → Set (ι → ℝ)
hNU : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} ⊆ U n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
r : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrU : ∀ (x : ι → ℝ), closedBall x (↑(r x) : ℝ) ⊆ U (N x)
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
h : π.IsPartition
n : ℕ
m : ℝ≥0∞ := (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion
hμU : ∀ (n : ℕ), (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U n ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) < (↑(δ n) : ℝ≥0∞) / (↑n : ℝ≥0∞)
simp : ∀ (x : ι → ℝ), (∃ (J : Box ι), (J ∈ π ∧ N (π.tag J) = n) ∧ x ∈ J) → x ∈ U n ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
⊢ (π.filter fun (J : Box ι) ↦ N (π.tag J) = n).iUnion ⊆ U n ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))

Tactic:
simp only [Set.subset_def, TaggedPrepartition.mem_iUnion, TaggedPrepartition.mem_filter]

Premises used: Set.subset_def, BoxIntegral.TaggedPrepartition.mem_iUnion, BoxIntegral.TaggedPrepartition.mem_filter