-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
f : X ⟶ Y
x y : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h : x ⤳ y
j :
  OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
    ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y)
op :
  Eq (α :=
    Y.presheaf.obj
        (Opposite.op
          (obj
            (OpenNhds.inclusion
              ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y))
            j)) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (f.c.app
        (obj (C :=
          (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
              ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x))ᵒᵖ)
          (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f.base :
                  (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                x)))
          (Opposite.op
            (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ↦
              Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))
              (↑j : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ⋯))) ≫
      X.presheaf.map
          (𝟙
            ((OpenNhds.map f.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op.obj
              (Opposite.op
                (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ↦
                  Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
                    ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))
                  (↑j : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ⋯)))) ≫
        colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf)
          ((OpenNhds.map f.base x).op.obj
            (Opposite.op
              (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ↦
                Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
                  ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))
                (↑j : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ⋯))))
    (f.c.app
        (obj
          (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f.base :
                  (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                y)))
          (Opposite.op j)) ≫
      X.presheaf.map (𝟙 ((OpenNhds.map f.base y ⋙ OpenNhds.inclusion y).op.obj (Opposite.op j))) ≫
        colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf)
          (Opposite.op
            (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v)) ↦ x ∈ U)
              (↑(unop ((OpenNhds.map f.base y).op.obj (Opposite.op j))) : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v)) ⋯)))
⊢ Eq (α :=
    Y.presheaf.obj
        (Opposite.op
          (obj
            (OpenNhds.inclusion
              ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y))
            j)) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
              ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y))ᵒᵖ)
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y)) ⋙
            Y.presheaf))
        (colimit.ι
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y)) ⋙
            Y.presheaf)
          (Opposite.op j))
        (CategoryStruct.comp (Y :=
          Y.presheaf.stalk ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x))
          (colimit.desc
              (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y)) ⋙
                Y.presheaf)
              {
                pt :=
                  colimit (J :=
                    (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                        ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x))ᵒᵖ)
                    (Functor.op
                        (OpenNhds.inclusion
                          ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x)) ⋙
                      Y.presheaf),
                ι :=
                  {
                    app :=
                      fun
                        (U :
                          (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                              ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                                y))ᵒᵖ) ↦
                      colimit.ι
                        (Functor.op
                            (OpenNhds.inclusion
                              ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                                x)) ⋙
                          Y.presheaf)
                        (Opposite.op
                          (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ↦
                            Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
                              ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                                (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))
                            (↑(unop U) : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ⋯)),
                    naturality := ⋯ } } :
            colimit (J :=
                (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                    ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y))ᵒᵖ)
                (Functor.op
                    (OpenNhds.inclusion
                      ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y)) ⋙
                  Y.presheaf) ⟶
              Cocone.pt.{v, v, v, u} (J :=
                (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                    ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y))ᵒᵖ)
                (F :=
                Functor.op
                    (OpenNhds.inclusion
                      ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y)) ⋙
                  Y.presheaf)
                {
                  pt :=
                    colimit (J :=
                      (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                          ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x))ᵒᵖ)
                      (Functor.op
                          (OpenNhds.inclusion
                            ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x)) ⋙
                        Y.presheaf),
                  ι :=
                    {
                      app :=
                        fun
                          (U :
                            (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                                  y))ᵒᵖ) ↦
                        colimit.ι
                          (Functor.op
                              (OpenNhds.inclusion
                                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                                  x)) ⋙
                            Y.presheaf)
                          (Opposite.op
                            (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ↦
                              Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
                                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                                    x :
                                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))
                              (↑(unop U) : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) ⋯)),
                      naturality := ⋯ } })
          (CategoryStruct.comp (Y :=
              colimit (J :=
                (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x))ᵒᵖ)
                (Functor.op
                    (OpenNhds.inclusion
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) f.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x)) ⋙
                  obj (pushforward C f.base) X.presheaf))
              (colimMap
                (whiskerLeft
                  (Functor.op
                    (OpenNhds.inclusion
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) f.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x)))
                  f.c))
              (CategoryStruct.comp (Y := colimit ((OpenNhds.map f.base x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
                (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map f.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
                (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map f.base x).op)) :
            Y.presheaf.stalk
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f.base :
                    (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                  x) ⟶
              X.presheaf.stalk x)) :
      Y.presheaf.obj
          (Opposite.op
            (obj
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y))
              j)) ⟶
        X.presheaf.stalk x)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
              ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y))ᵒᵖ)
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y)) ⋙
            Y.presheaf))
        (colimit.ι
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y)) ⋙
            Y.presheaf)
          (Opposite.op j))
        (CategoryStruct.comp (Y := X.presheaf.stalk y)
          (CategoryStruct.comp (Y :=
            colimit (J :=
              (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    y))ᵒᵖ)
              (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      y)) ⋙
                obj (pushforward C f.base) X.presheaf))
            (colimMap
              (whiskerLeft
                (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      y)))
                f.c))
            (CategoryStruct.comp (Y := colimit ((OpenNhds.map f.base y).op ⋙ (OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf))
              (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map f.base y ⋙ OpenNhds.inclusion y).op) X.presheaf))
              (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map f.base y).op)))
          (colimit.desc ((OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf)
            { pt := colimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf),
              ι :=
                {
                  app := fun (U : (OpenNhds y)ᵒᵖ) ↦
                    colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf)
                      (Opposite.op
                        (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v)) ↦ x ∈ U)
                          (↑(unop U) : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v)) ⋯)),
                  naturality := ⋯ } })) :
      Y.presheaf.obj
          (Opposite.op
            (obj
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom f.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) y))
              j)) ⟶
        X.presheaf.stalk x)

Tactic:
simp only [colimit.ι_desc_assoc, ι_colimMap_assoc, whiskerLeft_app,
    whiskerRight_app, NatTrans.id_app, colimit.ι_pre, assoc,
    colimit.pre_desc, colimit.map_desc, colimit.ι_desc, Cocone.precompose_obj_ι,
    Cocone.whisker_ι, NatTrans.comp_app]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc, CategoryTheory.Limits.Cocone.whisker_ι, CategoryTheory.Limits.colimit.map_desc, CategoryTheory.Limits.ι_colimMap_assoc, CategoryTheory.Limits.colimit.ι_pre, CategoryTheory.Functor.whiskerLeft_app, CategoryTheory.Limits.Cocone.precompose_obj_ι, CategoryTheory.Limits.colimit.pre_desc, CategoryTheory.Limits.colimit.ι_desc, CategoryTheory.Functor.whiskerRight_app, CategoryTheory.Limits.colimit.ι_desc_assoc, CategoryTheory.NatTrans.id_app, CategoryTheory.NatTrans.comp_app