awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
h₁ : dist (f a' z) (f a z) ≤ ε
⊢ ‖f a' z - f a z‖ ≤ ε

Tactic:
rw [← dist_eq_norm]

Premises used: dist_eq_norm
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
h₁ : dist (Function.uncurry f (a', z)) (Function.uncurry f (a, z)) ≤ ε
⊢ dist (f a' z) (f a z) ≤ ε

Tactic:
change dist (f.uncurry (a', z)) (f.uncurry (a, z)) ≤ ε

Premises used: Prod.mk, Dist.dist, Function.uncurry
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
apply : (a', z).1 ∈ u
apply₁ : (a', z).2 ∈ closedBall x t
⊢ dist (Function.uncurry f (a', z)) (Function.uncurry f (a, z)) ≤ ε

Tactic:
apply (hu _ _ _).le

Premises used: LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ (a', z).1 ∈ u

Tactic:
ha'x'.1

Premises used: Set.Mem, And.left
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ (a', z).1 ∈ u

Tactic:
exact ha'x'.1

Premises used: And.left
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ (a', z).2 ∈ closedBall x t

Tactic:
simp [dzx]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
h₁ : dist (f a' y) (f a y) ≤ ε
⊢ ‖f a y - f a' y‖ ≤ ε

Tactic:
rw [← dist_eq_norm']

Premises used: dist_eq_norm'
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
h₁ : dist (Function.uncurry f (a', y)) (Function.uncurry f (a, y)) ≤ ε
⊢ dist (f a' y) (f a y) ≤ ε

Tactic:
change dist (f.uncurry (a', y)) (f.uncurry (a, y)) ≤ ε

Premises used: Prod.mk, Dist.dist, Function.uncurry
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
apply : (a', y).1 ∈ u
apply₁ : (a', y).2 ∈ closedBall x t
⊢ dist (Function.uncurry f (a', y)) (Function.uncurry f (a, y)) ≤ ε

Tactic:
apply (hu _ _ _).le

Premises used: LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ (a', y).1 ∈ u

Tactic:
ha'x'.1

Premises used: Set.Mem, And.left
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ (a', y).1 ∈ u

Tactic:
exact ha'x'.1

Premises used: And.left
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ (a', y).2 ∈ closedBall x t

Tactic:
simp [dyx]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
⊢ ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b

Tactic:
simp [hb, dyx, dzx]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t
linarith : s * r ≤ ε + ε + b → 2 / 2 = 1
linarith₁ : s * r ≤ ε + ε + b → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : s * r ≤ ε + ε + b → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₃ : s * r ≤ ε + ε + b → 2 / 2 = 1
linarith₄ : s * r ≤ ε + ε + b → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₅ : s * r ≤ ε + ε + b → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₆ : s * r ≤ ε + ε + b → 2 / 2 = 1
linarith₇ : s * r ≤ ε + ε + b → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₈ : s * r ≤ ε + ε + b → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₉ : s * r ≤ ε + ε + b → b + 2 * ε - s * r + (s * r - (ε + ε + b)) = 0
⊢ ε + ε + b < s * r

Tactic:
linarith