awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
rw :
  ∃ (W : J.Cover X) (h1 : W ⟶ Sx) (h2 : W ⟶ Sy), x.refine (FD := FD) (CD := CD) h1 = y.refine (FD := FD) (CD := CD) h2
⊢ Eq (α := ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) ((J.plusObj P).obj (op X))) (mk (FD := FD) (CD := CD) x)
    (mk (FD := FD) (CD := CD) y)

Tactic:
rw [eq_mk_iff_exists]

Premises used: CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.eq_mk_iff_exists
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
h₁ : ∃ (h1 : B ⟶ Sx) (h2 : B ⟶ Sy), x.refine (FD := FD) (CD := CD) h1 = y.refine (FD := FD) (CD := CD) h2
⊢ ∃ (W : J.Cover X) (h1 : W ⟶ Sx) (h2 : W ⟶ Sy), x.refine (FD := FD) (CD := CD) h1 = y.refine (FD := FD) (CD := CD) h2

Tactic:
use B
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
Y : C
f : Y ⟶ X
Z : C
e1 : Y ⟶ Z
e2 : Z ⟶ X
he2 : (↑S : Sieve X).arrows e2
he1 :
  Sieve.arrows
    ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
        ((↑(W { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
          Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
      Z e2 he2)
    e1
hee : e1 ≫ e2 = f
rw : (↑Sx : Sieve X).arrows (e1 ≫ e2)
⊢ (↑Sx : Sieve X).arrows f

Tactic:
rw [← hee]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
Y : C
f : Y ⟶ X
Z : C
e1 : Y ⟶ Z
e2 : Z ⟶ X
he2 : (↑S : Sieve X).arrows e2
he1 :
  Sieve.arrows
    ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
        ((↑(W { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
          Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
      Z e2 he2)
    e1
hee : e1 ≫ e2 = f
a : Sieve.arrows (↑(W { Y := Z, f := e2, hf := he2 : S.Arrow }) : Sieve { Y := Z, f := e2, hf := he2 }.Y) e1
⊢ (↑Sx : Sieve X).arrows (e1 ≫ e2)

Tactic:
apply leOfHom (h1 ⟨_, _, he2⟩)

Premises used: CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.mk, CategoryTheory.leOfHom
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
Y : C
f : Y ⟶ X
Z : C
e1 : Y ⟶ Z
e2 : Z ⟶ X
he2 : (↑S : Sieve X).arrows e2
he1 :
  Sieve.arrows
    ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
        ((↑(W { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
          Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
      Z e2 he2)
    e1
hee : e1 ≫ e2 = f
⊢ Sieve.arrows (↑(W { Y := Z, f := e2, hf := he2 : S.Arrow }) : Sieve { Y := Z, f := e2, hf := he2 }.Y) e1

Tactic:
he1
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
Y : C
f : Y ⟶ X
Z : C
e1 : Y ⟶ Z
e2 : Z ⟶ X
he2 : (↑S : Sieve X).arrows e2
he1 :
  Sieve.arrows
    ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
        ((↑(W { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
          Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
      Z e2 he2)
    e1
hee : e1 ≫ e2 = f
⊢ Sieve.arrows (↑(W { Y := Z, f := e2, hf := he2 : S.Arrow }) : Sieve { Y := Z, f := e2, hf := he2 }.Y) e1

Tactic:
exact he1
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
Y : C
f : Y ⟶ X
Z : C
e1 : Y ⟶ Z
e2 : Z ⟶ X
he2 : (↑S : Sieve X).arrows e2
he1 :
  Sieve.arrows
    ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
        ((↑(W { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
          Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
      Z e2 he2)
    e1
hee : e1 ≫ e2 = f
rw : (↑Sy : Sieve X).arrows (e1 ≫ e2)
⊢ (↑Sy : Sieve X).arrows f

Tactic:
rw [← hee]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
Y : C
f : Y ⟶ X
Z : C
e1 : Y ⟶ Z
e2 : Z ⟶ X
he2 : (↑S : Sieve X).arrows e2
he1 :
  Sieve.arrows
    ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
        ((↑(W { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
          Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
      Z e2 he2)
    e1
hee : e1 ≫ e2 = f
a : Sieve.arrows (↑(W { Y := Z, f := e2, hf := he2 : S.Arrow }) : Sieve { Y := Z, f := e2, hf := he2 }.Y) e1
⊢ (↑Sy : Sieve X).arrows (e1 ≫ e2)

Tactic:
apply leOfHom (h2 ⟨_, _, he2⟩)

Premises used: CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.mk, CategoryTheory.leOfHom
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
Y : C
f : Y ⟶ X
Z : C
e1 : Y ⟶ Z
e2 : Z ⟶ X
he2 : (↑S : Sieve X).arrows e2
he1 :
  Sieve.arrows
    ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
        ((↑(W { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
          Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
      Z e2 he2)
    e1
hee : e1 ≫ e2 = f
⊢ Sieve.arrows (↑(W { Y := Z, f := e2, hf := he2 : S.Arrow }) : Sieve { Y := Z, f := e2, hf := he2 }.Y) e1

Tactic:
he1
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
Y : C
f : Y ⟶ X
Z : C
e1 : Y ⟶ Z
e2 : Z ⟶ X
he2 : (↑S : Sieve X).arrows e2
he1 :
  Sieve.arrows
    ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
        ((↑(W { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
          Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
      Z e2 he2)
    e1
hee : e1 ≫ e2 = f
⊢ Sieve.arrows (↑(W { Y := Z, f := e2, hf := he2 : S.Arrow }) : Sieve { Y := Z, f := e2, hf := he2 }.Y) e1

Tactic:
exact he1
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
ey : B ⟶ Sy := homOfLE ⋯
h₁ : x.refine (FD := FD) (CD := CD) ex = y.refine (FD := FD) (CD := CD) ey
⊢ ∃ (h1 : B ⟶ Sx) (h2 : B ⟶ Sy), x.refine (FD := FD) (CD := CD) h1 = y.refine (FD := FD) (CD := CD) h2

Tactic:
use ex, ey
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
ey : B ⟶ Sy := homOfLE ⋯
h₁ :
  ∀ (I : B.Arrow),
    (↑(x.refine (FD := FD) (CD := CD) ex) : (I : B.Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y))) I =
      (↑(y.refine (FD := FD) (CD := CD) ey) : (I : B.Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y))) I
⊢ x.refine (FD := FD) (CD := CD) ex = y.refine (FD := FD) (CD := CD) ey

Tactic:
ext1 I
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
X : C
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq (FD := FD) (CD := CD) P Sy
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) (mk (FD := FD) (CD := CD) (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
      (mk (FD := FD) (CD := CD) (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f))
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 I) =
      (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) I.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
ey : B ⟶ Sy := homOfLE ⋯
I : B.Arrow
IS : S.Arrow := I.fromMiddle
⊢ (x.pullback (FD := FD) (CD := CD) IS.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h1 IS) =
    (y.pullback (FD := FD) (CD := CD) IS.f).refine (FD := FD) (CD := CD) (h2 IS)

Tactic:
specialize hh IS