awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
obtain :
  ∀ (U : Set (ι → ℝ)) (hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U) (hUo : IsOpen U)
    (hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞))
    (hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)),
    ∃ (r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
      (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
        ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
          l.MemBaseSet I c (r c) π →
            π.IsPartition →
              dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
                  (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
                ‖y‖ * (↑ε : ℝ)
⊢ ∃ (r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
                (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
              ‖y‖ * (↑ε : ℝ)

Tactic:
obtain ⟨U, hsU, hUo, hUt, hμU⟩ :
      ∃ U, s ∩ Box.Icc I ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < ∞ ∧ μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ε :=
    (hs.inter I.measurableSet_Icc).exists_isOpen_diff_lt A (ENNReal.coe_pos.2 ε0).ne'

Premises used: Iff.mpr, BoxIntegral.Box.measurableSet_Icc, BoxIntegral.Box.Icc, MeasurableSet.exists_isOpen_diff_lt, LT.lt.ne', ENNReal.coe_pos, DFunLike.coe, MeasurableSet.inter
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
x : ι → ℝ
hx : x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
rcases : ∀ (r : ℝ) (hr₀ : 0 < r) (hr : closedBall x r ⊆ U), ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ U
⊢ ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ U

Tactic:
rcases nhds_basis_closedBall.mem_iff.1 (hUo.mem_nhds <| hsU hx) with ⟨r, hr₀, hr⟩

Premises used: Filter.HasBasis.mem_iff, IsOpen.mem_nhds, Iff.mp, Metric.nhds_basis_closedBall
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
x : ι → ℝ
hx : x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : closedBall x r ⊆ U
⊢ ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ U

Tactic:
⟨⟨r, hr₀⟩, hr⟩

Premises used: Subtype.mk, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
x : ι → ℝ
hx : x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : closedBall x r ⊆ U
⊢ ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ U

Tactic:
exact ⟨⟨r, hr₀⟩, hr⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ U

Tactic:
have : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, ∃ r : Ioi (0 : ℝ), closedBall x r ⊆ U := fun x hx => by
    rcases nhds_basis_closedBall.mem_iff.1 (hUo.mem_nhds <| hsU hx) with ⟨r, hr₀, hr⟩
    exact ⟨⟨r, hr₀⟩, hr⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
this : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ U
choose! :
  ∀ (rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type))
    (hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U),
    ∃ (r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
      (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
        ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
          l.MemBaseSet I c (r c) π →
            π.IsPartition →
              dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
                  (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
                ‖y‖ * (↑ε : ℝ)
⊢ ∃ (r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
                (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
              ‖y‖ * (↑ε : ℝ)

Tactic:
choose! rs hrsU using this
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
x : ι → ℝ
hx : Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x
obtain : ∀ (r : ℝ) (hr₀ : 0 < r) (hr : closedBall x r ⊆ Fᶜ), ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ Fᶜ
⊢ ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ Fᶜ

Tactic:
obtain ⟨r, hr₀, hr⟩ :=
      nhds_basis_closedBall.mem_iff.1 (hFc.isOpen_compl.mem_nhds fun hx' => hx.2 (hFs hx').1)

Premises used: Filter.HasBasis.mem_iff, IsClosed.isOpen_compl, And.right, And.left, IsOpen.mem_nhds, Iff.mp, Metric.nhds_basis_closedBall
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
x : ι → ℝ
hx : Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : closedBall x r ⊆ Fᶜ
⊢ ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ Fᶜ

Tactic:
⟨⟨r, hr₀⟩, hr⟩

Premises used: Subtype.mk, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
x : ι → ℝ
hx : Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : closedBall x r ⊆ Fᶜ
⊢ ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ Fᶜ

Tactic:
exact ⟨⟨r, hr₀⟩, hr⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
⊢ ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ Fᶜ

Tactic:
have : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∃ r : Ioi (0 : ℝ), closedBall x r ⊆ Fᶜ := fun x hx => by
    obtain ⟨r, hr₀, hr⟩ :=
      nhds_basis_closedBall.mem_iff.1 (hFc.isOpen_compl.mem_nhds fun hx' => hx.2 (hFs hx').1)
    exact ⟨⟨r, hr₀⟩, hr⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
this :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∃ (r : (↑(Set.Ioi 0) : Type)), closedBall x (↑r : ℝ) ⊆ Fᶜ
choose! :
  ∀ (rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type))
    (hrs'F :
      ∀ (x : ι → ℝ),
        Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
          closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ),
    ∃ (r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
      (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
        ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
          l.MemBaseSet I c (r c) π →
            π.IsPartition →
              dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
                  (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
                ‖y‖ * (↑ε : ℝ)
⊢ ∃ (r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
                (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
              ‖y‖ * (↑ε : ℝ)

Tactic:
choose! rs' hrs'F using this
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
⊢ ∃ (r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
                (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
              ‖y‖ * (↑ε : ℝ)

Tactic:
⟨fun _ => r, fun c => l.rCond_of_bRiemann_eq_false hl, fun c π hπ hπp => ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, BoxIntegral.IntegrationParams.rCond_of_bRiemann_eq_false
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
refine :
  ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I) (hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π) (hπp : π.IsPartition),
    dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
        (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
      ‖y‖ * (↑ε : ℝ)
⊢ ∃ (r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π)
                (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
              ‖y‖ * (↑ε : ℝ)

Tactic:
refine ⟨fun _ => r, fun c => l.rCond_of_bRiemann_eq_false hl, fun c π hπ hπp => ?_⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
rw :
  dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
    (↑ε : ℝ) * ‖y‖
⊢ dist (integralSum (s.indicator fun (x : ι → ℝ) ↦ y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) (μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) • y) ≤
    ‖y‖ * (↑ε : ℝ)

Tactic:
rw [mul_comm]

Premises used: mul_comm