-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.Internal
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommSemiring ι
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Ring A
inst_4 : Ring B
inst_5 : Algebra R A
inst_6 : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst_7 : GradedAlgebra 𝒜
inst_8 : GradedAlgebra ℬ
inst_9 : Module ι (Additive ℤˣ)
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
rw :
  HSMul.hSMul (β := 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (j₁ * i₂))
      ((of R 𝒜 ℬ : (a : A ⊗[R] B) → 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ)
          (((LinearEquiv.symm (↑(decomposeAlgEquiv 𝒜) : A ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) ≃ₗ[R] A) :
                (a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) → A)
              (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (β := ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) a₁ : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                (((DirectSum.of.{u_2, u_3} (fun (x : ι) ↦ ↥(𝒜 x)) i₂ : ↥(𝒜 i₂) →+ ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                      (a : ↥(𝒜 i₂)) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                    a₂ :
                  ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))) ⊗ₜ[R]
            ((LinearEquiv.symm (↑(decomposeAlgEquiv ℬ) : B ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) : (⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) ≃ₗ[R] B) :
                (a : ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) → B)
              (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) (β := ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))
                (((DirectSum.of.{u_2, u_4} (fun (x : ι) ↦ ↥(ℬ x)) j₁ : ↥(ℬ j₁) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) :
                      (a : ↥(ℬ j₁)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))
                    b₁ :
                  ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))
                ((decompose ℬ : (a : B) → ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) b₂ : ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)))) :
        𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) =
    HSMul.hSMul (β := 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (j₁ * i₂))
      ((of R 𝒜 ℬ : (a : A ⊗[R] B) → 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ((a₁ * (↑a₂ : A)) ⊗ₜ[R] ((↑b₁ : B) * b₂)) : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ)
⊢ HSMul.hSMul (β := 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (j₁ * i₂))
      ((of R 𝒜 ℬ : (a : A ⊗[R] B) → 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ)
          (((LinearEquiv.symm
                  (TensorProduct.congr (↑(decomposeAlgEquiv 𝒜) : A ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                    (↑(decomposeAlgEquiv ℬ) : B ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))) :
                ((⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) ≃ₗ[R] A ⊗[R] B) :
              (a : (⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) → A ⊗[R] B)
            (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (β := ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) a₁ : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                (((DirectSum.of.{u_2, u_3} (fun (x : ι) ↦ ↥(𝒜 x)) i₂ : ↥(𝒜 i₂) →+ ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                      (a : ↥(𝒜 i₂)) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                    a₂ :
                  ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) ⊗ₜ[R]
              HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) (β := ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))
                (((DirectSum.of.{u_2, u_4} (fun (x : ι) ↦ ↥(ℬ x)) j₁ : ↥(ℬ j₁) →+ ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) :
                      (a : ↥(ℬ j₁)) → ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))
                    b₁ :
                  ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))
                ((decompose ℬ : (a : B) → ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) b₂ : ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)))) :
        𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) =
    HSMul.hSMul (β := 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (j₁ * i₂))
      ((of R 𝒜 ℬ : (a : A ⊗[R] B) → 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ((a₁ * (↑a₂ : A)) ⊗ₜ[R] ((↑b₁ : B) * b₂)) : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ)

Tactic:
rw [congr_symm_tmul]

Premises used: TensorProduct.congr_symm_tmul