awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
⊢ ∀ (i : ℕ) (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det

Tactic:
have (i : ℕ) (hi : i ≤ m) : (M i).det = M₂.det := by
    induction i with
    | zero => simp [M]; rfl
    | succ i IH =>
      rw [← IH (by lia), ← Matrix.det_updateCol_add_smul_self (i := ⟨i, by lia⟩)
        (j := ⟨i + k + m, by lia⟩) (c := -r) (M (i + 1)) (by simp; lia)]
      congr 1
      ext j₁ j₂
      simp only [Matrix.of_apply, lt_add_iff_pos_right, zero_lt_one, ↓reduceIte, add_assoc,
        add_lt_add_iff_left, Nat.lt_one_iff, Nat.add_eq_zero_iff, hm, and_false, smul_eq_mul,
        Matrix.updateCol_apply, Fin.ext_iff, M, M₂, neg_mul, ← sub_eq_add_neg]
      obtain rfl | h := eq_or_ne ↑j₂ i
      · simp only [↓reduceIte, sylvester, Set.mem_Icc, coeff_add, Fin.eta, Matrix.of_apply,
          lt_self_iff_false, M₁]
        induction j₂ using Fin.addCases with
        | left j₂ =>
          dsimp at hi
          have : Fin.mk (n := m + n) (↑j₂ + (k + m)) (by lia) = .natAdd m ⟨j₂ + k, by lia⟩ :=
            Fin.ext (by simp; lia)
          simp only [Fin.addCases_left, Fin.val_castAdd, this, Fin.addCases_right, mul_ite,
            mul_zero, ← C_mul_X_pow_eq_monomial, ← mul_assoc, coeff_mul_X_pow', ite_add_zero,
            coeff_mul_C, add_assoc, add_eq_left, ← ite_and, ← mul_comm r, tsub_add_eq_tsub_tsub,
            add_sub_assoc, sub_eq_zero]
          split_ifs with h₁ h₂ h₂ <;> try rfl
          · rw [coeff_eq_zero_of_natDegree_lt, mul_zero]
            exact hf.trans_lt (by lia)
          · lia
        | right i =>
          simp only [Fin.val_natAdd] at hi
          have : Fin.mk (n := m + n) (m + ↑i + (k + m)) (by lia) =
              Fin.natAdd m ⟨↑i + (k + m), by lia⟩ := Fin.ext (by simp; lia)
          simp only [Fin.addCases_right, Fin.val_natAdd, sub_eq_self, this]
          rw [if_neg, mul_zero]
          lia
      lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
this : ∀ (i : ℕ) (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
inr : (f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n).det = (M m).det
⊢ f.resultant (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n = f.resultant g m n

Tactic:
rw [resultant, resultant, ← this m le_rfl]

Premises used: le_rfl, Polynomial.resultant, Polynomial.natDegree
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
this : ∀ (i : ℕ) (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
inr : f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n = M m
⊢ (f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n).det = (M m).det

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
this : ∀ (i : ℕ) (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
inr :
  ∀ (i j : Fin (m + n)),
    f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n i j = M m i j
⊢ f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n = M m

Tactic:
ext i j
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
this : ∀ (i : ℕ) (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
i j : Fin (m + n)
inr :
  ∀ (i_1 : Fin m),
    f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n i (Fin.castAdd n i_1) =
      M m i (Fin.castAdd n i_1)
inr₁ :
  ∀ (i_1 : Fin n),
    f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n i (Fin.natAdd m i_1) =
      M m i (Fin.natAdd m i_1)
⊢ f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n i j = M m i j

Tactic:
induction j using Fin.addCases
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
this : ∀ (i : ℕ) (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
i : Fin (m + n)
i_1 : Fin m
⊢ f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n i (Fin.castAdd n i_1) =
    M m i (Fin.castAdd n i_1)

Tactic:
simp [M, sylvester, M₁, M₂]

Premises used: Polynomial.sylvester
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
this : ∀ (i : ℕ) (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
i : Fin (m + n)
i_1 : Fin n
⊢ f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n i (Fin.natAdd m i_1) =
    M m i (Fin.natAdd m i_1)

Tactic:
simp [M, sylvester, M₁, M₂]

Premises used: Polynomial.sylvester
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
simp : ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ p.support → x < n - m + 1
⊢ p.support ⊆ Finset.range (n - m + 1)

Tactic:
simp only [Finset.subset_iff, Finset.mem_range]

Premises used: Finset.mem_range, Finset.subset_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
x : ℕ
hx : x ∈ p.support
⊢ p.natDegree < n - m + 1

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
⊢ ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ p.support → x < n - m + 1

Tactic:
exact fun x hx ↦ (le_natDegree_of_mem_supp _ hx).trans_lt (by lia)

Premises used: Polynomial.le_natDegree_of_mem_supp, LE.le.trans_lt
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
⊢ p.support ⊆ Finset.range (n - m + 1)

Tactic:
have H : p.support ⊆ Finset.range (n - m + 1) := by
    simp only [Finset.subset_iff, Finset.mem_range]
    exact fun x hx ↦ (le_natDegree_of_mem_supp _ hx).trans_lt (by lia)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
H : p.support ⊆ Finset.range (n - m + 1)
⊢ ∀ (i : ℕ), Eq.{u_1 + 1} (α := R[X]) ((monomial i : (a : R) → R[X]) 0) 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
H : p.support ⊆ Finset.range (n - m + 1)
rw :
  f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range (n - m + 1), (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n =
    f.resultant g m n
⊢ f.resultant (g + f * p) m n = f.resultant g m n

Tactic:
rw [← p.sum_monomial_eq, Polynomial.sum_eq_of_subset _ (by simp) H]

Premises used: Polynomial.sum_monomial_eq, Polynomial.sum_eq_of_subset
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
H : p.support ⊆ Finset.range (n - m + 1)
set :
  let k := n - m + 1;
  ∀ (H : p.support ⊆ Finset.range k),
    f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n
⊢ f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range (n - m + 1), (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n =
    f.resultant g m n

Tactic:
set k := n - m + 1
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
k : ℕ := n - m + 1
H : p.support ⊆ Finset.range k
⊢ k ≤ n - m + 1

Tactic:
replace H := show k ≤ n - m + 1 from le_rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
k : ℕ := n - m + 1
H : k ≤ n - m + 1
clear_value :
  ∀ (k : ℕ) (H : k ≤ n - m + 1),
    f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n
⊢ f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n

Tactic:
clear_value k
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
g : R[X]
H : 0 ≤ n - m + 1
zero : f.resultant (g + 0) m n = f.resultant g m n
zero₁ zero₂ : f.resultant g m n = f.resultant g m n
⊢ f.resultant (g + f * 0) m n = f.resultant g m n

Tactic:
rw [mul_zero, add_zero]

Premises used: MulZeroClass.mul_zero, add_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
k : ℕ
IH :
  ∀ (g : R[X]) (H : k ≤ n - m + 1),
    f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n
g : R[X]
H : k + 1 ≤ n - m + 1
succ : k ≤ n - m + 1
succ₁ : k + m ≤ n
succ₂ : f.natDegree ≤ m
⊢ f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range (k + 1), (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n

Tactic:
rw [Finset.sum_range_succ, mul_add, ← add_assoc, resultant_add_mul_monomial_right, IH]

Premises used: add_assoc, _private.0.Polynomial.resultant_add_mul_monomial_right, mul_add, Finset.sum_range_succ
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
k : ℕ
IH :
  ∀ (g : R[X]) (H : k ≤ n - m + 1),
    f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n
g : R[X]
H : k + 1 ≤ n - m + 1
⊢ k ≤ n - m + 1

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
k : ℕ
IH :
  ∀ (g : R[X]) (H : k ≤ n - m + 1),
    f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n
g : R[X]
H : k + 1 ≤ n - m + 1
⊢ k + m ≤ n

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
k : ℕ
IH :
  ∀ (g : R[X]) (H : k ≤ n - m + 1),
    f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n
g : R[X]
H : k + 1 ≤ n - m + 1
⊢ f.natDegree ≤ m

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hp : p.natDegree + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
k : ℕ
H : k ≤ n - m + 1
zero :
  ∀ (g : R[X]) (H : 0 ≤ n - m + 1),
    f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range 0, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n
succ :
  ∀ (k : ℕ)
    (IH :
      ∀ (g : R[X]) (H : k ≤ n - m + 1),
        f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n)
    (g : R[X]) (H : k + 1 ≤ n - m + 1),
    f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range (k + 1), (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n
⊢ f.resultant (g + f * ∑ n ∈ Finset.range k, (monomial n : (a : R) → R[X]) (p.coeff n)) m n = f.resultant g m n

Tactic:
induction k generalizing g with
  | zero =>
    simp only [Finset.range_zero, Finset.sum_empty]
    rw [mul_zero, add_zero]
  | succ k IH =>
    rw [Finset.sum_range_succ, mul_add, ← add_assoc, resultant_add_mul_monomial_right, IH] <;> lia

Premises used: add_assoc, _private.0.Polynomial.resultant_add_mul_monomial_right, MulZeroClass.mul_zero, mul_add, Finset.sum_empty, add_zero, Finset.sum_range_succ, Finset.range_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hk : p.natDegree + n ≤ m
hg : g.natDegree ≤ n
rw : HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) (-1) 2 ^ (n * m) * f.resultant g m n = f.resultant g m n
⊢ (f + g * p).resultant g m n = f.resultant g m n

Tactic:
rw [resultant_comm, resultant_add_mul_right _ _ _ _ _ hk hg, resultant_comm,
    ← mul_assoc, ← pow_add, mul_comm m n, ← two_mul, pow_mul]

Premises used: Polynomial.resultant_comm, mul_assoc, two_mul, pow_add, pow_mul, Polynomial.resultant_add_mul_right, mul_comm
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g p : R[X]
m n : ℕ
hk : p.natDegree + n ≤ m
hg : g.natDegree ≤ n
⊢ HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) (-1) 2 ^ (n * m) * f.resultant g m n = f.resultant g m n

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m n : ℕ
r : R
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r : R[X]) g) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
hi : 0 ≤ m
zero :
  Matrix.det (n := Fin (m + n))
      ((Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
        fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦ M₂ j₁ j₂) =
    M₂.det
⊢ (M 0).det = HPow.hPow (β := ℕ) r 0 * M₂.det

Tactic:
simp [M]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m n : ℕ
r : R
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r : R[X]) g) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
hi : 0 ≤ m
⊢ Matrix.det (n := Fin (m + n))
      ((Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
        fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦ M₂ j₁ j₂) =
    M₂.det

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m n : ℕ
r : R
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r : R[X]) g) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = r ^ i * M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
⊢ i < m + n

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m n : ℕ
r : R
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r : R[X]) g) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = r ^ i * M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
j : Fin (m + n)
⊢ i < m + n

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m n : ℕ
r : R
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r : R[X]) g) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = r ^ i * M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
this :
  (M i).updateCol (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))
      (HSMul.hSMul (β := (j : Fin (m + n)) → R) r fun (j : Fin (m + n)) ↦ M i j (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))) =
    M (i + 1)
⊢ i ≤ m

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m n : ℕ
r : R
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r : R[X]) g) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = r ^ i * M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
this :
  (M i).updateCol (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))
      (HSMul.hSMul (β := (j : Fin (m + n)) → R) r fun (j : Fin (m + n)) ↦ M i j (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))) =
    M (i + 1)
rw : (M (i + 1)).det = r * r ^ i * M₂.det
rw₁ : (M (i + 1)).det = r * (r ^ i * M₂.det)
rw₂ : (M (i + 1)).det = r * (M i).det
rw₃ :
  ((M i).updateCol (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))
        (HSMul.hSMul (β := (j : Fin (m + n)) → R) r fun (j : Fin (m + n)) ↦ M i j (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n)))).det =
    r * (M i).det
rw₄ :
  r * ((M i).updateCol (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n)) fun (j : Fin (m + n)) ↦ M i j (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))).det = r * (M i).det
rw₅ rw₆ : r * (M i).det = r * (M i).det
⊢ (M (i + 1)).det = r ^ (i + 1) * M₂.det

Tactic:
rw [pow_succ', mul_assoc, ← IH (by lia), ← this, Matrix.det_updateCol_smul,
          Matrix.updateCol_eq_self]

Premises used: mul_assoc, Matrix.det_updateCol_smul, Matrix.updateCol_eq_self, pow_succ'
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m n : ℕ
r : R
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r : R[X]) g) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = r ^ i * M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
succ :
  (M i).updateCol (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))
      (HSMul.hSMul (β := (j : Fin (m + n)) → R) r fun (j : Fin (m + n)) ↦ M i j (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))) =
    M (i + 1)
⊢ (M (i + 1)).det = r ^ (i + 1) * M₂.det

Tactic:
suffices (M i).updateCol ⟨i, by lia⟩ (r • fun j ↦ M i j ⟨i, by lia⟩) = (M (i + 1)) by
        rw [pow_succ', mul_assoc, ← IH (by lia), ← this, Matrix.det_updateCol_smul,
          Matrix.updateCol_eq_self]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
m n : ℕ
r : R
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r : R[X]) g) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = r ^ i * M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
succ :
  ∀ (j₁ j₂ : Fin (m + n)),
    (M i).updateCol (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))
        (HSMul.hSMul (β := (j : Fin (m + n)) → R) r fun (j : Fin (m + n)) ↦ M i j (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))) j₁ j₂ =
      M (i + 1) j₁ j₂
⊢ (M i).updateCol (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))
      (HSMul.hSMul (β := (j : Fin (m + n)) → R) r fun (j : Fin (m + n)) ↦ M i j (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))) =
    M (i + 1)

Tactic:
ext j₁ j₂