-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Products
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
X Y : TopCat
s : BinaryCofan X Y
m : of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ s.pt
h₁ : ofHom { toFun := Sum.inl, continuous_toFun := ⋯ : C((↑X : Type u), (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) } ≫ m = s.inl
h₂ : ofHom { toFun := Sum.inr, continuous_toFun := ⋯ : C((↑Y : Type u), (↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) } ≫ m = s.inr
refine_4 :
  ∀ (x : (↑X : Type u)),
    Eq (α := (↑s.pt : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) m :
            (a : (↑(of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u))) : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
          (Sum.inl x) :
        (↑s.pt : Type u))
      ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
              (of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u))) s.pt
              ((fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
                  (ofHom
                      {
                        toFun :=
                          Sum.elim
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                  (CC := carrier) s.inl) :
                              (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                                (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                                  Type u))
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                  (CC := carrier) s.inr) :
                              (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                                (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                                  Type u)),
                        continuous_toFun := ⋯ } :
                    of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
                s) :
            (a : (↑(of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u))) : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
          (Sum.inl x) :
        (↑s.pt : Type u))
refine_4₁ :
  ∀ (x : (↑Y : Type u)),
    Eq (α := (↑s.pt : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) m :
            (a : (↑(of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u))) : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
          (Sum.inr x) :
        (↑s.pt : Type u))
      ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) carrier _ _
              (of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u))) s.pt
              ((fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
                  (ofHom
                      {
                        toFun :=
                          Sum.elim
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                  (CC := carrier) s.inl) :
                              (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                                (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) :
                                  Type u))
                            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                  (CC := carrier) s.inr) :
                              (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                                (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.right }) :
                                  Type u)),
                        continuous_toFun := ⋯ } :
                    of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
                s) :
            (a : (↑(of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u))) : Type u)) → (↑s.pt : Type u))
          (Sum.inr x) :
        (↑s.pt : Type u))
⊢ m =
    (fun (s : BinaryCofan X Y) ↦
        (ofHom
            {
              toFun :=
                Sum.elim
                  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                        carrier) s.inl) :
                    (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u)) →
                      (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.left }) : Type u))
                  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                        carrier) s.inr) :
                    (a : (↑((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)) →
                      (↑(((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj s.pt).obj { as := WalkingPair.right }) : Type u)),
              continuous_toFun := ⋯ } :
          of ((↑X : Type u) ⊕ (↑Y : Type u)) ⟶ of (↑s.1 : Type u)))
      s

Tactic:
ext (x | x)