-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.Nonvanishing
Goal:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ
h₀ : 1 < (1 + (↑x : ℂ)).re
h₁ : 1 < (1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)).re
h₂ : 1 < (1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ)).re
H₀ :
  Summable (α := ℂ) fun (p : Nat.Primes) ↦
    -log
        (1 -
          HMul.hMul (α := ℂ) ((1 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
            (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ)))))
H₁ :
  Summable (α := ℂ) fun (p : Nat.Primes) ↦
    -log
        (1 -
          HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
            (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)))))
H₂ :
  Summable (α := ℂ) fun (p : Nat.Primes) ↦
    -log
        (1 -
          HMul.hMul (α := ℂ) ((HPow.hPow (β := ℕ) χ 2 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
            (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ)))))
hsum₀ :
  Summable (α := ℝ) fun (i : Nat.Primes) ↦
    3 *
      (-log
            (1 -
              HMul.hMul (α := ℂ) ((1 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑i : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑i : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ)))))).re
hsum₁ :
  Summable (α := ℝ) fun (i : Nat.Primes) ↦
    4 *
      (-log
            (1 -
              HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑i : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑i : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)))))).re
hsum₂ :
  Summable (α := ℝ) fun (x_1 : Nat.Primes) ↦
    (-log
          (1 -
            HMul.hMul (α := ℂ) ((HPow.hPow (β := ℕ) χ 2 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑x_1 : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
              (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑x_1 : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ)))))).re
simp :
  0 ≤
    3 *
          re
            (∑' (p : Nat.Primes),
              -log
                  (1 -
                    HMul.hMul (α := ℂ) ((1 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ)))))) +
        4 *
          re
            (∑' (p : Nat.Primes),
              -log
                  (1 -
                    HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)))))) +
      re
        (∑' (p : Nat.Primes),
          -log
              (1 -
                HMul.hMul (α := ℂ) ((HPow.hPow (β := ℕ) χ 2 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                  (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ))))))
⊢ ‖HPow.hPow (β := ℕ)
            (cexp
              (∑' (p : Nat.Primes),
                -log
                    (1 -
                      HMul.hMul (α := ℂ) ((1 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                        (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ)))))))
            3 *
          HPow.hPow (β := ℕ)
            (cexp
              (∑' (p : Nat.Primes),
                -log
                    (1 -
                      HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                        (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)))))))
            4 *
        cexp
          (∑' (p : Nat.Primes),
            -log
                (1 -
                  HMul.hMul (α := ℂ) ((HPow.hPow (β := ℕ) χ 2 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                    (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ))))))‖ ≥
    1

Tactic:
simp only [← exp_nat_mul, Nat.cast_ofNat, ← exp_add, norm_exp, add_re, mul_re,
    re_ofNat, im_ofNat, zero_mul, sub_zero, Real.one_le_exp_iff]

Premises used: Nat.cast_ofNat, Complex.mul_re, Real.one_le_exp_iff, Complex.exp_add, sub_zero, MulZeroClass.zero_mul, Complex.add_re, Complex.re_ofNat, Complex.norm_exp, Complex.exp_nat_mul, Complex.im_ofNat