-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_3
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
hna : IsNonarchimedean.{0, u_1} (α := K) Norm.norm
c : ι × ι
left : Membership.mem (γ := Finset (ι × ι)) univ c
hc :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι × ι) ↦
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i.1 : L) ((B : (a : ι) → L) i.2 : L))) =
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
x y : L
ixy : ι
left_1 : Membership.mem (γ := Finset ι) univ ixy
hixy_def :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (x * y) : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (x * y) : ι →₀ K) : (a : ι) → K) ixy : K)
hna' : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := K) (⇑(NormedField.toMulRingNorm K) : (a : K) → ℝ)
h :
  ∀ (k : ι)
    (hk :
      Norm.norm.{u_1} (E := K)
          (∑ i : ι,
            (HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)
                  (∑ i_1 : ι,
                    HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K)
                      ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i_1 : K)
                      ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                          (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) ((B : (a : ι) → L) i_1 : L)) :
                        ι →₀ K)) :
                (a : ι) → K)
              ixy) ≤
        Norm.norm.{u_1} (E := K)
          ((HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) k : K)
                  (∑ j : ι,
                    HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
                      ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                          (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) k : L) ((B : (a : ι) → L) j : L)) :
                        ι →₀ K)) :
                (a : ι) → K)
              ixy :
            K)),
    Norm.norm.{u_1} (E := K)
        ((∑ x_1 : ι,
                HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x_1 : K)
                  (∑ x : ι,
                    HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)
                      ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                          (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) x_1 : L) ((B : (a : ι) → L) x : L)) :
                        ι →₀ K)) :
              (a : ι) → K)
            ixy :
          K) ≤
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L)) * B.norm x * B.norm y
⊢ Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((∑ x_1 : ι,
              HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x_1 : K)
                (∑ x : ι,
                  HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)
                    ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                        (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) x_1 : L) ((B : (a : ι) → L) x : L)) :
                      ι →₀ K)) :
            (a : ι) → K)
          ixy :
        K) ≤
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L)) * B.norm x * B.norm y

Tactic:
obtain ⟨k, -, (hk : ‖∑ i : ι, (B.repr x i • ∑ i_1 : ι,
      B.repr y i_1 • B.repr (B i * B i_1)) ixy‖ ≤
      ‖(B.repr x k • ∑ j : ι, B.repr y j • B.repr (B k * B j)) ixy‖)⟩ :=
      IsNonarchimedean.finset_image_add hna'
        (fun i ↦ (B.repr x i • ∑ i_1 : ι, B.repr y i_1 • B.repr (B i * B i_1)) ixy)
        (univ : Finset ι)

Premises used: HMul.hMul, Finset.univ, IsNonarchimedean.finset_image_add, Module.Basis.repr, HSMul.hSMul, DFunLike.coe, Finset.sum