-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.GrothendieckTopology
Goal:
X Y : TopCat
𝒰 : precoverage.ZeroHypercover Y
heq :
  ∀ (i : 𝒰.I₀) (y : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
    Eq (α := (↑Y : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (𝒰.f i) :
            (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
          y :
        (↑Y : Type u_1))
      ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑Y : Type u_1)) ↦
              Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u_1))
                (Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                        carrier) (𝒰.f i)) :
                    (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                x)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    carrier) (𝒰.f i) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
                y)
              ⋯) :
          (↑Y : Type u_1)) :
        (↑Y : Type u_1))
x : (i : 𝒰.I₀) → Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op (𝒰.X i))
hx : Presieve.Arrows.Compatible (Functor.obj yoneda X) 𝒰.f x
f : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op Y))
hf :
  (fun (t : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op Y))) ↦
      ∀ (i : 𝒰.I₀),
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj yoneda X) (𝒰.f i).op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op Y))) →
                (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op (𝒰.X i))))
            t =
          x i)
    f
i : 𝒰.I₀
y : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)
this :
  Eq (α := (↑X : Type u_1))
    ((Hom.hom f : (a : (↑Y : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        ((Hom.hom (𝒰.f i) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)) y : (↑Y : Type u_1)) :
      (↑X : Type u_1))
    ((Hom.hom (x i) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1)) y : (↑X : Type u_1))
refine_3 :
  Eq (α := (↑X : Type u_1)) ((Hom.hom (x i) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1)) y : (↑X : Type u_1))
    (({
            toFun :=
              Function.comp (β := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                (⇑(Hom.hom (x i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                  (a :
                      (↑(Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                        Type u_1)) →
                    (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
            continuous_toFun := ⋯ } :
          (a :
              (↑(Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                Type u_1)) →
            (↑X : Type u_1))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑Y : Type u_1)) ↦
            Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u_1))
              (Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                      carrier) (𝒰.f i)) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
              x)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                  carrier) (𝒰.f i) :
                (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
              y)
            ⋯ :
          { x : (↑Y : Type u_1) //
            Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u_1))
              (Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                      carrier) (𝒰.f i)) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
              x }) :
      (↑X : Type u_1))
⊢ Eq (α := (↑X : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑Y : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
                (𝒰.f i) :
              (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
            y :
          (↑Y : Type u_1)) :
      (↑X : Type u_1))
    ((ContinuousMap.liftCover
            (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
              Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                      carrier) (𝒰.f i)) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
            (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
              {
                toFun :=
                  Function.comp (β := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                    (⇑(Hom.hom (x i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                    (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                      (a :
                          (↑(Set.range
                                (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                            Type u_1)) →
                        (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
                continuous_toFun := ⋯ })
            ⋯ ⋯ :
          (a : (↑Y : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
                (𝒰.f i) :
              (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
            y :
          (↑Y : Type u_1)) :
      (↑X : Type u_1))

Tactic:
rw [this, heq, ContinuousMap.liftCover_coe]

Premises used: ContinuousMap.liftCover_coe