awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
H : r = c 1 ^ i
this : Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin (i + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) = i + 1
a : Fin (i + 1)
left : Membership.mem (γ := Finset (Fin (i + 1))) Finset.univ a
⊢ c 1 ^ (↑a : ℕ) ≤ q

Tactic:
dvd_trans ?_ hr

Premises used: dvd_trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
H : r = c 1 ^ i
this : Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin (i + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) = i + 1
a : Fin (i + 1)
left : Membership.mem (γ := Finset (Fin (i + 1))) Finset.univ a
refine : c 1 ^ (↑a : ℕ) ∣ r
⊢ c 1 ^ (↑a : ℕ) ≤ q

Tactic:
refine dvd_trans ?_ hr

Premises used: dvd_trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
H : r = c 1 ^ i
this : Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin (i + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) = i + 1
a : Fin (i + 1)
left : Membership.mem (γ := Finset (Fin (i + 1))) Finset.univ a
h : r = c 1 ^ (↑a : ℕ) * c 1 ^ (i - (↑a : ℕ))
⊢ c 1 ^ (↑a : ℕ) ∣ r

Tactic:
use c 1 ^ (i - (a : ℕ))

Premises used: HSub.hSub, Fin.val, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
H : r = c 1 ^ i
this : Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin (i + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) = i + 1
a : Fin (i + 1)
left : Membership.mem (γ := Finset (Fin (i + 1))) Finset.univ a
h : r = c 1 ^ i
h₃ : (↑a : ℕ) ≤ i
⊢ r = c 1 ^ (↑a : ℕ) * c 1 ^ (i - (↑a : ℕ))

Tactic:
rw [pow_mul_pow_sub (c 1)]

Premises used: OfNat.ofNat, pow_mul_pow_sub
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
H : r = c 1 ^ i
this : Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin (i + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) = i + 1
a : Fin (i + 1)
left : Membership.mem (γ := Finset (Fin (i + 1))) Finset.univ a
⊢ r = c 1 ^ i

Tactic:
H
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
H : r = c 1 ^ i
this : Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin (i + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) = i + 1
a : Fin (i + 1)
left : Membership.mem (γ := Finset (Fin (i + 1))) Finset.univ a
⊢ r = c 1 ^ i

Tactic:
exact H
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
H : r = c 1 ^ i
this : Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin (i + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) = i + 1
a : Fin (i + 1)
left : Membership.mem (γ := Finset (Fin (i + 1))) Finset.univ a
⊢ (↑a : ℕ) ≤ i

Tactic:
Nat.succ_le_succ_iff.mp a.2

Premises used: Fin.isLt, Nat.succ_le_succ_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q r : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hr : r ∣ q
hq : q ≠ 0
i : ℕ := (normalizedFactors r).card
hi : normalizedFactors r = Multiset.replicate i (c 1)
H : r = c 1 ^ i
this : Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin (i + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) = i + 1
a : Fin (i + 1)
left : Membership.mem (γ := Finset (Fin (i + 1))) Finset.univ a
⊢ (↑a : ℕ) ≤ i

Tactic:
exact Nat.succ_le_succ_iff.mp a.2

Premises used: Fin.isLt, Nat.succ_le_succ_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
obtain : ∀ (i : Fin (n + 1)) (hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)), q = c 1 ^ n
⊢ q = c 1 ^ n

Tactic:
obtain ⟨i, hi'⟩ := element_of_chain_eq_pow_second_of_chain hn h₁ (@fun r => h₂) (dvd_refl q) hq

Premises used: dvd_refl, DivisorChain.element_of_chain_eq_pow_second_of_chain
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ q = c 1 ^ (↑i : ℕ)

Tactic:
hi'
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
h : n = (↑i : ℕ)
⊢ q = c 1 ^ n

Tactic:
convert! hi'
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ n = (↑i : ℕ)

Tactic:
(Nat.lt_succ_iff.1 i.prop).antisymm' (Nat.le_of_succ_le_succ ?_)

Premises used: LE.le.antisymm', Fin.prop, Nat.le_of_succ_le_succ, Nat.lt_succ_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
h : n.succ ≤ (↑i : ℕ).succ
⊢ n = (↑i : ℕ)

Tactic:
refine (Nat.lt_succ_iff.1 i.prop).antisymm' (Nat.le_of_succ_le_succ ?_)

Premises used: LE.le.antisymm', Fin.prop, Nat.le_of_succ_le_succ, Nat.lt_succ_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ n + 1 = Finset.card (α := Fin (n + 1)) Finset.univ

Tactic:
(Finset.card_fin _).symm

Premises used: Finset.card_fin, Eq.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ Finset.card (α := Fin (n + 1)) Finset.univ = (Finset.image c Finset.univ).card

Tactic:
(Finset.card_image_iff.mpr h₁.injective.injOn).symm

Premises used: Iff.mpr, Function.Injective.injOn, StrictMono.injective, Finset.card_image_iff, Eq.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ (Finset.image c Finset.univ).card ≤
    Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ)

Tactic:
(Finset.card_le_card ?_)

Premises used: Finset.card_le_card
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ Finset.card.{u_1} (α := Associates M) (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) ≤
    Finset.card (α := Fin ((↑i : ℕ) + 1)) Finset.univ

Tactic:
Finset.card_image_le

Premises used: Finset.card_image_le
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ Finset.card (α := Fin ((↑i : ℕ) + 1)) Finset.univ = (↑i : ℕ) + 1

Tactic:
Finset.card_fin _

Premises used: Finset.card_fin
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
h : Finset.image c Finset.univ ⊆ Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ
⊢ n.succ ≤ (↑i : ℕ).succ

Tactic:
calc
      n + 1 = (Finset.univ : Finset (Fin (n + 1))).card := (Finset.card_fin _).symm
      _ = (Finset.univ.image c).card := (Finset.card_image_iff.mpr h₁.injective.injOn).symm
      _ ≤ (Finset.univ.image fun m : Fin (i + 1) => c 1 ^ (m : ℕ)).card :=
        (Finset.card_le_card ?_)
      _ ≤ (Finset.univ : Finset (Fin (i + 1))).card := Finset.card_image_le
      _ = i + 1 := Finset.card_fin _

Premises used: Iff.mpr, Finset.univ, Function.Injective.injOn, Finset.card_le_card, Fin.val, Finset.card_image_le, StrictMono.injective, HPow.hPow, Finset.card_fin, Finset.card_image_iff, Finset.card, OfNat.ofNat, Eq.symm, Finset.image
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
r : Associates M
hr : r ∈ Finset.image c Finset.univ
h :
  ∀ (j : Fin (n + 1)) (hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ),
    Membership.mem (γ := Finset (Associates M))
      (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) (c j)
⊢ Membership.mem (γ := Finset (Associates M)) (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ)
    r

Tactic:
obtain ⟨j, -, rfl⟩ := Finset.mem_image.1 hr

Premises used: Finset.mem_image, Iff.mp, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
⊢ c j ≤ q

Tactic:
have := h₂.2 ⟨j, rfl⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ q
⊢ c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)

Tactic:
rw [hi'] at this
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)
h :
  ∀ (h : ∃ i_1 ≤ (↑i : ℕ), Associated (c j) (c 1 ^ i_1)),
    Membership.mem (γ := Finset (Associates M))
      (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) (c j)
h₃ : Prime (c 1)
⊢ Membership.mem (γ := Finset (Associates M)) (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ)
    (c j)

Tactic:
have h := (dvd_prime_pow (show Prime (c 1) from ?_) i).1 this
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)
h : ∃ i_1 ≤ (↑i : ℕ), Associated (c j) (c 1 ^ i_1)
h₃ :
  ∀ (u : ℕ) (hu : u ≤ (↑i : ℕ)) (hu' : Associated (c j) (c 1 ^ u)),
    Membership.mem (γ := Finset (Associates M))
      (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ) (c j)
⊢ Membership.mem (γ := Finset (Associates M)) (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ)
    (c j)

Tactic:
rcases h with ⟨u, hu, hu'⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)
u : ℕ
hu : u ≤ (↑i : ℕ)
hu' : Associated (c j) (c 1 ^ u)
⊢ Membership.mem (γ := Finset (Associates M)) (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ)
    (c j)

Tactic:
Finset.mem_image.mpr ⟨⟨u, Nat.lt_succ_of_le hu⟩, Finset.mem_univ _, ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Finset.mem_univ, Finset.mem_image, Fin.mk, Nat.lt_succ_of_le, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)
u : ℕ
hu : u ≤ (↑i : ℕ)
hu' : Associated (c j) (c 1 ^ u)
h : c 1 ^ (↑(⟨u, ⋯⟩ : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) : ℕ) = c j
⊢ Membership.mem (γ := Finset (Associates M)) (Finset.image (fun (m : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) ↦ c 1 ^ (↑m : ℕ)) Finset.univ)
    (c j)

Tactic:
refine Finset.mem_image.mpr ⟨⟨u, Nat.lt_succ_of_le hu⟩, Finset.mem_univ _, ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Finset.mem_univ, Finset.mem_image, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)
u : ℕ
hu : u ≤ (↑i : ℕ)
hu' : Associated (c j) (c 1 ^ u)
h : ∀ (hu' : c j = c 1 ^ u), c 1 ^ (↑(⟨u, ⋯⟩ : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) : ℕ) = c j
h₃ h₄ h₅ h₆ : ∀ (hu' : c 1 ^ u = c j), c 1 ^ (↑(⟨u, ⋯⟩ : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) : ℕ) = c j
⊢ c 1 ^ (↑(⟨u, ⋯⟩ : Fin ((↑i : ℕ) + 1)) : ℕ) = c j

Tactic:
rwa [associated_iff_eq, eq_comm] at hu'

Premises used: eq_comm, associated_iff_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)
h : Irreducible (c 1)
⊢ Prime (c 1)

Tactic:
rw [← irreducible_iff_prime]

Premises used: irreducible_iff_prime
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ Irreducible (c 1)

Tactic:
second_of_chain_is_irreducible hn h₁ (@h₂) hq

Premises used: DivisorChain.second_of_chain_is_irreducible
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ (↑i : ℕ)
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ (↑i : ℕ)
⊢ Irreducible (c 1)

Tactic:
exact second_of_chain_is_irreducible hn h₁ (@h₂) hq

Premises used: DivisorChain.second_of_chain_is_irreducible
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ (i : Fin (n + 1)), r = c i
hq : q ≠ 0
⊢ IsPrimePow q

Tactic:
⟨c 1, n, irreducible_iff_prime.mp (second_of_chain_is_irreducible hn h₁ (@h₂) hq),
    zero_lt_iff.mpr hn, (eq_pow_second_of_chain_of_has_chain hn h₁ (@h₂) hq).symm⟩

Premises used: Iff.mpr, IsPrimePow, And.intro, DivisorChain.second_of_chain_is_irreducible, Exists.intro, Iff.mp, DivisorChain.eq_pow_second_of_chain_of_has_chain, zero_lt_iff, irreducible_iff_prime, OfNat.ofNat, Eq.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : OrderIso.{u_1, u_2} { l : Associates M // l ≤ m } { l : Associates N // l ≤ n }
this_1 : OrderBot { l : Associates M // l ≤ m } := Subtype.orderBot (p := fun (l : Associates M) ↦ l ≤ m) ⋯
this : OrderBot { l : Associates N // l ≤ n } := Subtype.orderBot (p := fun (l : Associates N) ↦ l ≤ n) ⋯
simp :
  Eq.{u_2 + 1} (α := { x : Associates N // x ≤ n })
    ((d : (a : { l : Associates M // l ≤ m }) → { l : Associates N // l ≤ n }) ⊥) ⊥
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : { l : Associates M // l ≤ m }) → { l : Associates N // l ≤ n })
          (Subtype.mk (p := fun (l : Associates M) ↦ l ≤ m) 1 ⋯)) :
      Associates N)
    1

Tactic:
simp only [← Associates.bot_eq_one, Subtype.mk_bot, bot_le, Subtype.coe_eq_bot_iff]

Premises used: Associates.bot_eq_one, Subtype.mk_bot, bot_le, Subtype.coe_eq_bot_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : OrderIso.{u_1, u_2} { l : Associates M // l ≤ m } { l : Associates N // l ≤ n }
this_1 : OrderBot { l : Associates M // l ≤ m } := Subtype.orderBot (p := fun (l : Associates M) ↦ l ≤ m) ⋯
this_2 : OrderBot { l : Associates N // l ≤ n } := Subtype.orderBot (p := fun (l : Associates N) ↦ l ≤ n) ⋯
this : BotHomClass (OrderIso.{u_1, u_2} { l : Associates M // l ≤ m } { l : Associates N // l ≤ n })
  { l : Associates M // l ≤ m } { l : Associates N // l ≤ n } :=
  ⋯
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := { x : Associates N // x ≤ n })
    ((d : (a : { l : Associates M // l ≤ m }) → { l : Associates N // l ≤ n }) ⊥) ⊥

Tactic:
map_bot d

Premises used: BotHomClass.map_bot
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : OrderIso.{u_1, u_2} { l : Associates M // l ≤ m } { l : Associates N // l ≤ n }
this_1 : OrderBot { l : Associates M // l ≤ m } := Subtype.orderBot (p := fun (l : Associates M) ↦ l ≤ m) ⋯
this_2 : OrderBot { l : Associates N // l ≤ n } := Subtype.orderBot (p := fun (l : Associates N) ↦ l ≤ n) ⋯
this : BotHomClass (OrderIso.{u_1, u_2} { l : Associates M // l ≤ m } { l : Associates N // l ≤ n })
  { l : Associates M // l ≤ m } { l : Associates N // l ≤ n } :=
  ⋯
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := { x : Associates N // x ≤ n })
    ((d : (a : { l : Associates M // l ≤ m }) → { l : Associates N // l ≤ n }) ⊥) ⊥

Tactic:
exact map_bot d

Premises used: BotHomClass.map_bot
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
      Associates N)
    1
⊢ u =
    (↑((d.symm : (a : (↑(Set.Iic n) : Type u_2)) → (↑(Set.Iic m) : Type u_1))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦ x ∈ Set.Iic n)
            (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
                  (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
              Associates N)
            ⋯)) :
      Associates M)

Tactic:
simp only [Subtype.coe_eta, OrderIso.symm_apply_apply, Subtype.coe_mk]

Premises used: Subtype.coe_mk, Subtype.coe_eta, OrderIso.symm_apply_apply