-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.GrothendieckTopology
Goal:
X Y : TopCat
𝒰 : precoverage.ZeroHypercover Y
heq :
  ∀ (i : 𝒰.I₀) (y : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
    Eq (α := (↑Y : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (𝒰.f i) :
            (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
          y :
        (↑Y : Type u_1))
      ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑Y : Type u_1)) ↦
              Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u_1))
                (Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                        carrier) (𝒰.f i)) :
                    (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                x)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    carrier) (𝒰.f i) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
                y)
              ⋯) :
          (↑Y : Type u_1)) :
        (↑Y : Type u_1))
x_1 : (i : 𝒰.I₀) → Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op (𝒰.X i))
hx : Presieve.Arrows.Compatible (Functor.obj yoneda X) 𝒰.f x_1
f : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op Y))
hf :
  (fun (t : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op Y))) ↦
      ∀ (i : 𝒰.I₀),
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj yoneda X) (𝒰.f i).op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op Y))) →
                (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op (𝒰.X i))))
            t =
          x_1 i)
    f
x : (↑(Opposite.unop (Opposite.op Y)) : Type u_1)
refine_3 :
  ∀ (i : 𝒰.I₀) (y : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
    Eq (α := (↑X : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier) f :
            (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op Y)) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
                  (𝒰.f i) :
                (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
              y :
            (↑Y : Type u_1)) :
        (↑X : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (X := Opposite.unop (Opposite.op Y)) (Y := X)
              (ofHom
                (ContinuousMap.liftCover
                  (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
                    Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1)))
                            (CC := carrier) (𝒰.f i)) :
                        (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                  (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
                    {
                      toFun :=
                        Function.comp (β := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                          (⇑(Hom.hom (x_1 i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                          (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                            (a :
                                (↑(Set.range
                                      (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) :
                                        (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                                  Type u_1)) →
                              (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
                      continuous_toFun := ⋯ })
                  ⋯ ⋯)) :
            (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op Y)) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
                  (𝒰.f i) :
                (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
              y :
            (↑Y : Type u_1)) :
        (↑X : Type u_1))
⊢ Eq (α := (↑X : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op Y)) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        x :
      (↑X : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier) (X :=
            Opposite.unop (Opposite.op Y)) (Y := X)
            (ofHom
              (ContinuousMap.liftCover
                (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
                  Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1)))
                          (CC := carrier) (𝒰.f i)) :
                      (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
                  {
                    toFun :=
                      Function.comp (β := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                        (⇑(Hom.hom (x_1 i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                        (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                          (a :
                              (↑(Set.range
                                    (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                                Type u_1)) →
                            (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
                    continuous_toFun := ⋯ })
                ⋯ ⋯)) :
          (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op Y)) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        x :
      (↑X : Type u_1))

Tactic:
obtain ⟨i, y, rfl⟩ := exists_mem_zeroHypercover_range 𝒰 x

Premises used: TopCat.exists_mem_zeroHypercover_range, rfl