-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m₀ : (i : ι) → J
t₀ : (i : ι) → (D i).top ⟶ m₀ i
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m₀ i ⟶ (D i).top)
m₁ : J := max m₀ hι
t₁ : (i : ι) → m₀ i ⟶ m₁ := fun (i : ι) ↦ toMax m₀ hι i
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m₁ := fun (i : ι) ↦ t₀ i ≫ t₁ i
S : Type (max 0 w) := { x : ι × ι × J // (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2 }
shape : MultispanShape :=
  { L := { x : ι × ι × J // (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2 }, R := PUnit.{w + 1},
    fst := fun (x : { x : ι × ι × J // (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2 }) ↦ PUnit.unit,
    snd := fun (x : { x : ι × ι × J // (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2 }) ↦ PUnit.unit }
index : MultispanIndex shape J :=
  { left := fun (x : shape.L) ↦ (↑x : ι × ι × J).2.2, right := fun (x : shape.R) ↦ m₁,
    fst := fun (x : shape.L) ↦ (D (↑x : ι × ι × J).1).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (↑x : ι × ι × J).1,
    snd := fun (x : shape.L) ↦ (D (↑x : ι × ι × J).2.1).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (↑x : ι × ι × J).2.1 }
hκ : Cardinal.aleph0 ≤ κ
this : HasCardinalLT (ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) κ
i₁ i₂ : ι
j : J
left : (D (i₁, i₂, j).1).P (i₁, i₂, j).2.2
right : (D (i₁, i₂, j).2.1).P (i₁, i₂, j).2.2
i₁' i₂' : ι
j' : J
left_1 : (D (i₁', i₂', j').1).P (i₁', i₂', j').2.2
right_1 : (D (i₁', i₂', j').2.1).P (i₁', i₂', j').2.2
h :
  Eq.{w + 1} (α := ι × (i : ι) × Subtype (D i).P)
    ((fun (x : shape.L) ↦
        (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
          | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
            (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
          ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
      (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁, i₂, j) ⋯))
    ((fun (x : shape.L) ↦
        (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
          | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
            (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
          ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
      (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁', i₂', j') ⋯))
⊢ Eq.{w + 1} (α := ι)
      ((fun (x : shape.L) ↦
            (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
              | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
              ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
          (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁, i₂, j) ⋯)).1
      ((fun (x : shape.L) ↦
            (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
              | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
              ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
          (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁', i₂', j') ⋯)).1 ∧
    Eq.{w + 1} (α := ι)
        (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
          ((fun (x : shape.L) ↦
                (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
                  | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                    (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
                  ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
              (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁, i₂, j) ⋯)).2)
        (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
          ((fun (x : shape.L) ↦
                (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
                  | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                    (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
                  ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
              (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁', i₂', j') ⋯)).2) ∧
      HEq.{w + 1} (α :=
        Subtype
          (D
              (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                ((fun (x : shape.L) ↦
                      (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
                        | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                          (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
                        ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
                    (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁, i₂, j) ⋯)).2)).P)
        (Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
            ((fun (x : shape.L) ↦
                  (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
                    | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                      (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
                    ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
                (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁, i₂, j) ⋯)).2 :
          Subtype
            (D
                (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                  ((fun (x : shape.L) ↦
                        (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
                          | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                            (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
                          ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
                      (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁, i₂, j)
                        ⋯)).2)).P)
        (β :=
        Subtype
          (D
              (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                ((fun (x : shape.L) ↦
                      (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
                        | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                          (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
                        ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
                    (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁', i₂', j')
                      ⋯)).2)).P)
        (Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
            ((fun (x : shape.L) ↦
                  (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
                    | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                      (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
                    ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
                (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁', i₂', j') ⋯)).2 :
          Subtype
            (D
                (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                  ((fun (x : shape.L) ↦
                        (match (motive := shape.L → ι × (i : ι) × Subtype (D i).P) x with
                          | ⟨(i₁, i₂, j), ⋯⟩ =>
                            (i₁, Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i₂ (Subtype.mk (p := (D i₂).P) j h₂)) :
                          ι × (i : ι) × Subtype (D i).P))
                      (Subtype.mk (p := fun (x : ι × ι × J) ↦ (D x.1).P x.2.2 ∧ (D x.2.1).P x.2.2) (i₁', i₂', j')
                        ⋯)).2)).P)

Tactic:
rw [Prod.ext_iff, Sigma.ext_iff] at h

Premises used: Sigma.ext_iff, Prod.ext_iff