awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ f.hom ▷ tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) Y.X N.X ≫ M₂.X ◁ N.actLeft =
    f.hom ▷ Y.X ▷ N.X ≫ Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (M₁.tensorBimod N).actLeft ≫
      colimMap
        (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
          (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) =
    X.X ◁
        colimMap
          (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
            (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫
      (M₂.tensorBimod N).actLeft

Tactic:
(cancel_epi ((tensorLeft _).map (coequalizer.π _ _))).1 ?_

Premises used: CategoryTheory.Limits.colimit, CategoryTheory.Functor.map, CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft, Bimod.TensorBimod.X, Iff.mp, CategoryTheory.Limits.coequalizer.π, CategoryTheory.cancel_epi
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
refine :
  Eq (α :=
    Functor.obj.{v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X.X) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ (M₂.tensorBimod N).X)
    (CategoryTheory.Functor.map (tensorLeft X.X)
        (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)) ≫
      (M₁.tensorBimod N).actLeft ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
            (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      Functor.obj.{v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X.X)
        (coequalizer (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)))
      (CategoryTheory.Functor.map (tensorLeft X.X)
        (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)))
      (X.X ◁
          colimMap
            (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
              (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫
        (M₂.tensorBimod N).actLeft))
⊢ (M₁.tensorBimod N).actLeft ≫
      colimMap
        (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
          (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) =
    X.X ◁
        colimMap
          (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
            (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫
      (M₂.tensorBimod N).actLeft

Tactic:
refine (cancel_epi ((tensorLeft _).map (coequalizer.π _ _))).1 ?_

Premises used: CategoryTheory.Functor.map, CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorLeft, Iff.mp, CategoryTheory.Limits.coequalizer.π, CategoryTheory.cancel_epi
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
a :
  Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
    M₁.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)
| X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) ≫ TensorBimod.actLeft M₁ N

Tactic:
rw [TensorBimod.whiskerLeft_π_actLeft]

Premises used: Bimod.TensorBimod.whiskerLeft_π_actLeft
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
a :
  f.hom ▷ N.X ≫
    colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
| CategoryStruct.comp (Y := TensorBimod.X M₁ N)
    (coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft))
    (colimMap
      (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
        (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯))

Tactic:
rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]

Premises used: CategoryTheory.Limits.ι_colimMap, CategoryTheory.Limits.parallelPairHom_app_one
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
slice_lhs :
  Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
        M₁.actLeft ▷ N.X ≫
          f.hom ▷ N.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
              WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X
          (coequalizer (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)))
        (X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft))
        (X.X ◁
            colimMap
              (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
                (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫
          TensorBimod.actLeft M₂ N) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
⊢ Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (CategoryStruct.comp (Y := TensorBimod.X M₁ N)
        (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
          M₁.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft))
        (colimMap
          (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
            (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯)) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X
          (coequalizer (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)))
        (X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft))
        (X.X ◁
            colimMap
              (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
                (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫
          TensorBimod.actLeft M₂ N) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)

Tactic:
slice_lhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]

Premises used: CategoryTheory.Limits.ι_colimMap, CategoryTheory.Limits.parallelPairHom_app_one
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
a : (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X
| M₁.actLeft ▷ N.X ≫ f.hom ▷ N.X

Tactic:
rw [← comp_whiskerRight, Hom.left_act_hom]

Premises used: Bimod.Hom.left_act_hom, CategoryTheory.MonoidalCategory.comp_whiskerRight
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
slice_lhs :
  Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
        (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫
          colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
            WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X
          (coequalizer (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)))
        (X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft))
        (X.X ◁
            colimMap
              (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
                (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫
          TensorBimod.actLeft M₂ N) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
⊢ Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
        M₁.actLeft ▷ N.X ≫
          f.hom ▷ N.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
              WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X
          (coequalizer (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)))
        (X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft))
        (X.X ◁
            colimMap
              (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
                (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫
          TensorBimod.actLeft M₂ N) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)

Tactic:
slice_lhs 2 3 => rw [← comp_whiskerRight, Hom.left_act_hom]

Premises used: Bimod.Hom.left_act_hom, CategoryTheory.MonoidalCategory.comp_whiskerRight
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
a :
  X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫
    X.X ◁
      colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
        WalkingParallelPair.one
| CategoryStruct.comp (Y :=
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (coequalizer (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)))
    (X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft))
    (X.X ◁
      colimMap
        (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
          (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯))

Tactic:
rw [← whiskerLeft_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one, whiskerLeft_comp]

Premises used: CategoryTheory.Limits.ι_colimMap, CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft_comp, CategoryTheory.Limits.parallelPairHom_app_one
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
slice_rhs :
  Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
        (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫
          colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
            WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    ((X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫
          X.X ◁
            colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        TensorBimod.actLeft M₂ N :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
⊢ Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
        (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫
          colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
            WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X
          (coequalizer (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft)))
        (X.X ◁ coequalizer.π (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft))
        (X.X ◁
            colimMap
              (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
                (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ≫
          TensorBimod.actLeft M₂ N) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)

Tactic:
slice_rhs 1 2 => rw [← whiskerLeft_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one, whiskerLeft_comp]

Premises used: CategoryTheory.Limits.ι_colimMap, CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft_comp, CategoryTheory.Limits.parallelPairHom_app_one
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
a :
  Iso.inv (α_ X.X M₂.X N.X) ≫
    M₂.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft)
| X.X ◁
      colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
        WalkingParallelPair.one ≫
    TensorBimod.actLeft M₂ N

Tactic:
rw [TensorBimod.whiskerLeft_π_actLeft]

Premises used: Bimod.TensorBimod.whiskerLeft_π_actLeft
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
slice_rhs :
  Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
      (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫
        colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
          WalkingParallelPair.one)
    (X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫
      Iso.inv (α_ X.X M₂.X N.X) ≫
        M₂.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
⊢ Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
        (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫
          colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
            WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    ((X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫
          X.X ◁
            colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        TensorBimod.actLeft M₂ N :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)

Tactic:
slice_rhs 2 3 => rw [TensorBimod.whiskerLeft_π_actLeft]

Premises used: Bimod.TensorBimod.whiskerLeft_π_actLeft
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
a : Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫ (X.X ◁ f.hom) ▷ N.X
| X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫ Iso.inv (α_ X.X M₂.X N.X)

Tactic:
rw [associator_inv_naturality_middle]

Premises used: CategoryTheory.MonoidalCategory.associator_inv_naturality_middle
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
slice_rhs :
  Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
      (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫
        colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
          WalkingParallelPair.one)
    (((Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫ (X.X ◁ f.hom) ▷ N.X) ≫ M₂.actLeft ▷ N.X) ≫
      coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
⊢ Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
      (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫
        colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
          WalkingParallelPair.one)
    (X.X ◁ f.hom ▷ N.X ≫
      Iso.inv (α_ X.X M₂.X N.X) ≫
        M₂.actLeft ▷ N.X ≫ coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))

Tactic:
slice_rhs 1 2 => rw [associator_inv_naturality_middle]

Premises used: CategoryTheory.MonoidalCategory.associator_inv_naturality_middle
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ Eq (α := tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) X.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M₁.X N.X) ⟶ TensorBimod.X M₂ N)
    (Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫
      (X.X ◁ f.hom ≫ M₂.actLeft) ▷ N.X ≫
        colimit.ι (parallelPair (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))
          WalkingParallelPair.one)
    (((Iso.inv (α_ X.X M₁.X N.X) ≫ (X.X ◁ f.hom) ▷ N.X) ≫ M₂.actLeft ▷ N.X) ≫
      coequalizer.π (M₂.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
A B : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod A B
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M₁ M₂ : Bimod X Y
f : M₁ ⟶ M₂
N : Bimod Y Z
⊢ (M₁.tensorBimod N).actRight ≫
      colimMap
        (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
          (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) =
    colimMap
          (parallelPairHom (M₁.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M₁.X Y.X N.X) ≫ M₁.X ◁ N.actLeft) (M₂.actRight ▷ N.X)
            (Iso.hom (α_ M₂.X Y.X N.X) ≫ M₂.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ Y.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷
        Z.X ≫
      (M₂.tensorBimod N).actRight

Tactic:
(cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 ?_

Premises used: CategoryTheory.Limits.colimit, CategoryTheory.Functor.map, CategoryTheory.MonoidalCategory.tensorRight, Bimod.TensorBimod.X, Iff.mp, CategoryTheory.Limits.coequalizer.π, CategoryTheory.cancel_epi