-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst_2 : Category.{v₂, u₂} D
inst_3 : MonoidalCategory.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst_4 : Category.{v₃, u₃} E
inst_5 : MonoidalCategory.{v₃, u₃} E
C' : Type u₁'
inst_6 : Category.{v₁', u₁'} C'
F : Functor.{v₁, v₂, u₁, u₂} C D
h : F.CoreMonoidal
x : C
rw :
  Eq (α :=
    tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2)) ⟶
      tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2)))
    (Iso.hom (ρ_ (F.obj x)) ≫ Iso.inv (ρ_ (F.obj x)))
    (Iso.hom (ρ_ (F.obj x)) ≫
      F.map (Iso.inv (ρ_ x)) ≫ Iso.inv (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.obj x ◁ h.εIso.inv)
rw₁ :
  𝟙 (tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2))) =
    Iso.hom (ρ_ (F.obj x)) ≫
      F.map (Iso.inv (ρ_ x)) ≫ Iso.inv (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.obj x ◁ h.εIso.inv
rw₂ :
  𝟙 (tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2))) =
    (F.obj x ◁ h.εIso.hom ≫ Iso.hom (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.map (Iso.hom (ρ_ x))) ≫
      F.map (Iso.inv (ρ_ x)) ≫ Iso.inv (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.obj x ◁ h.εIso.inv
rw₃ :
  𝟙 (tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2))) =
    F.obj x ◁ h.εIso.hom ≫
      (Iso.hom (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.map (Iso.hom (ρ_ x))) ≫
        F.map (Iso.inv (ρ_ x)) ≫ Iso.inv (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.obj x ◁ h.εIso.inv
rw₄ :
  𝟙 (tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2))) =
    F.obj x ◁ h.εIso.hom ≫
      Iso.hom (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫
        F.map (Iso.hom (ρ_ x)) ≫
          F.map (Iso.inv (ρ_ x)) ≫ Iso.inv (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.obj x ◁ h.εIso.inv
rw₅ :
  𝟙 (tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2))) =
    F.obj x ◁ h.εIso.hom ≫
      Iso.hom (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫
        Iso.inv (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.obj x ◁ h.εIso.inv
rw₆ :
  𝟙 (tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2))) =
    F.obj x ◁ h.εIso.hom ≫ F.obj x ◁ h.εIso.inv
rw₇ rw₈ :
  Eq.{v₂ + 1} (α :=
    tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2)) ⟶
      tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2)))
    (𝟙 (tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2))))
    (𝟙 (tensorObj.{v₂, u₂} (𝒞 := inst_2) (F.obj x) (tensorUnit.{v₂, u₂} D (𝒞 := inst_2))))
⊢ Iso.inv (ρ_ (F.obj x)) =
    F.map (Iso.inv (ρ_ x)) ≫ Iso.inv (h.μIso x (tensorUnit.{v₁, u₁} C (𝒞 := inst))) ≫ F.obj x ◁ h.εIso.inv

Tactic:
rw [← cancel_epi (ρ_ _).hom, Iso.hom_inv_id, h.right_unitality, assoc, assoc,
      Iso.map_hom_inv_id_assoc, Iso.hom_inv_id_assoc, whiskerLeft_hom_inv]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc, CategoryTheory.MonoidalCategoryStruct.rightUnitor, CategoryTheory.Iso.map_hom_inv_id_assoc, CategoryTheory.Iso.hom_inv_id, CategoryTheory.MonoidalCategory.whiskerLeft_hom_inv, CategoryTheory.Iso.hom_inv_id_assoc, CategoryTheory.Functor.CoreMonoidal.right_unitality, CategoryTheory.cancel_epi, CategoryTheory.Iso.hom