awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
⊢ HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n.succ : ℤ) = HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n : ℤ) * x

Tactic:
apply DivInvMonoid.zpow_succ'

Premises used: DivInvMonoid.zpow_succ'
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
simp_rw :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ Int.negSucc n)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n.succ : ℤ))⁻¹⟧
⊢ Eq (α := DirectLimit G (T := T) f)
    (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1 ^ Int.negSucc n) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
    (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1⁻¹) ⋯
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ HPow.hPow (β := ℤ) x_1 (↑n.succ : ℤ))
        ⋯ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧))

Tactic:
simp_rw [map_def]

Premises used: DirectLimit.map_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
e_a : x ^ Int.negSucc n = (HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n.succ : ℤ))⁻¹
⊢ Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ Int.negSucc n)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n.succ : ℤ))⁻¹⟧

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
⊢ x ^ Int.negSucc n = (HPow.hPow (β := ℤ) x (↑n.succ : ℤ))⁻¹

Tactic:
apply DivInvMonoid.zpow_neg'

Premises used: DivInvMonoid.zpow_neg'
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
simp_rw simp_rw₁ :
  Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) 0⁻¹⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) 0⟧
⊢ Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i)
        (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)
          (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
            ((fun (x : ι) ↦ (0 : G x)) (Classical.arbitrary ι))))
        ((fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1⁻¹)
          (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)
            (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
              ((fun (x : ι) ↦ (0 : G x)) (Classical.arbitrary ι))))
          (Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ G i)
            (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
              ((fun (x : ι) ↦ (0 : G x)) (Classical.arbitrary ι)))))⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) ((fun (x : ι) ↦ (0 : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧

Tactic:
simp_rw [inv_zero]

Premises used: inv_zero
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
ne : Ne (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 0⟧ 0
⊢ False

Tactic:
ne (zero_def i).symm

Premises used: DirectLimit.zero_def, Eq.symm
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
ne : Ne (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 0⟧ 0
⊢ False

Tactic:
exact ne (zero_def i).symm

Premises used: DirectLimit.zero_def, Eq.symm
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
x : G i
ne : Ne (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ 0
⊢ x ≠ 0

Tactic:
have : x ≠ 0 := by rintro rfl; exact ne (zero_def i).symm
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
x : G i
ne : Ne (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ 0
this : x ≠ 0
simp_rw :
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⁻¹⟧ =
    1
simp_rw₁ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * x⁻¹)⟧ 1
simp_rw₂ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧ 1
⊢ HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1⁻¹) ⋯
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧) =
    1

Tactic:
simp_rw [map_def, mul_def, mul_inv_cancel₀ this, one_def i]

Premises used: mul_inv_cancel₀, DirectLimit.map_def, DirectLimit.mul_def, DirectLimit.one_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
inst_4 : Nonempty ι
inst_5 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_6 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
⊢ Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f)) (⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)⁻¹
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⁻¹⟧

Tactic:
rfl

Premises used: DirectLimit.map, DirectLimit.lift, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
inst_4 : Nonempty ι
inst_5 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_6 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x y : G i
⊢ HDiv.hDiv (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f)) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i y⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x / y)⟧

Tactic:
map₂_def ..

Premises used: DirectLimit.map₂_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
inst_4 : Nonempty ι
inst_5 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_6 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
n : ℤ
⊢ HPow.hPow (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f)) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      n =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧

Tactic:
rfl

Premises used: DirectLimit.map, DirectLimit.lift, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h :
  ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_5 + 1} (α := C) ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) i x)
      ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) j ((f i j h : (a : G i) → G j) x))
x_1 : DirectLimit G (T := T) f
i : ι
x : G i
simp_rw :
  DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⁻¹⟧ =
    (DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)⁻¹
simp_rw₁ : Eq.{u_5 + 1} (α := C) ((g i : (a : G i) → C) x⁻¹ : C) (((g i : (a : G i) → C) x)⁻¹ : C)
⊢ DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      (⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)⁻¹ =
    (DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)⁻¹

Tactic:
simp_rw [inv₀_def, lift_def, map_inv₀ (g i)]

Premises used: DirectLimit.lift_def, map_inv₀, DirectLimit.inv₀_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h :
  ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_5 + 1} (α := C) ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) i x)
      ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) j ((f i j h : (a : G i) → G j) x))
x_1 y_1 : DirectLimit G (T := T) f
i : ι
x y : G i
simp_rw :
  DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x / y)⟧ =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ /
      DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i y⟧
simp_rw₁ :
  (g i : (a : G i) → C) (x / y) =
    HDiv.hDiv (α := C) (β := C) ((g i : (a : G i) → C) x : C) ((g i : (a : G i) → C) y : C)
⊢ DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      (HDiv.hDiv (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i y⟧) =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ /
      DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i y⟧

Tactic:
simp_rw [div₀_def, lift_def, map_div₀ (g i)]

Premises used: DirectLimit.lift_def, map_div₀, DirectLimit.div₀_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → GroupWithZero (G i)
inst_7 : GroupWithZero C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidWithZeroHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidWithZeroHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h :
  ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_5 + 1} (α := C) ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) i x)
      ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) j ((f i j h : (a : G i) → G j) x))
x_1 : DirectLimit G (T := T) f
z : ℤ
i : ι
x : G i
simp_rw :
  DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ z)⟧ =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ^
      z
simp_rw₁ : (g i : (a : G i) → C) (x ^ z) = HPow.hPow (α := C) ((g i : (a : G i) → C) x : C) z
⊢ DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      (HPow.hPow (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ z) =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ^
      z

Tactic:
simp_rw [zpow₀_def, lift_def, map_zpow₀ (g i)]

Premises used: DirectLimit.zpow₀_def, DirectLimit.lift_def, map_zpow₀
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → AddMonoidWithOne (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), AddMonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
simp_rw simp_rw₁ :
  Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) (↑0 : G (Classical.arbitrary ι))⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) 0⟧
⊢ Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
        ((fun (x : ι) ↦ ((↑0 : G x) : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) ((fun (x : ι) ↦ (0 : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧

Tactic:
simp_rw [Nat.cast_zero]

Premises used: Nat.cast_zero
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → AddMonoidWithOne (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), AddMonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
n : ℕ
simp_rw simp_rw₁ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) (↑(n + 1) : G (Classical.arbitrary ι))⟧ =
    HAdd.hAdd (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) (↑n : G (Classical.arbitrary ι))⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) 1⟧
simp_rw₂ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
        (HAdd.hAdd (α := G (Classical.arbitrary ι)) (↑n : G (Classical.arbitrary ι)) 1)⟧ =
    HAdd.hAdd (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) (↑n : G (Classical.arbitrary ι))⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) 1⟧
⊢ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
        ((fun (x : ι) ↦ ((↑(n + 1) : G x) : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧ =
    HAdd.hAdd (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
          ((fun (x : ι) ↦ ((↑n : G x) : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) ((fun (x : ι) ↦ (1 : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧

Tactic:
simp_rw [Nat.cast_succ, add_def]

Premises used: Nat.cast_succ, DirectLimit.add_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
inst_4 : Nonempty ι
inst_5 : (i : ι) → AddMonoidWithOne (G i)
inst_6 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), AddMonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), OneHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
n : ℕ
i : ι
⊢ Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) (↑n : DirectLimit G f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (↑n : G i)⟧

Tactic:
map₀_def _ _ (fun _ _ _ ↦ map_natCast' _ (map_one _) _) _

Premises used: map_one, map_natCast', DirectLimit.map₀_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → AddGroupWithOne (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), AddMonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
n : ℕ
simp_rw simp_rw₁ :
  Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) (↑(↑n : ℤ) : G (Classical.arbitrary ι))⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) (↑n : G (Classical.arbitrary ι))⟧
⊢ Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
        ((fun (x : ι) ↦ ((↑(↑n : ℤ) : G x) : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
        ((fun (x : ι) ↦ ((↑n : G x) : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧

Tactic:
simp_rw [Int.cast_natCast]

Premises used: Int.cast_natCast