awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
x : X
this_2 : f (inl x) ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist (f (inl x)) z < r
this : z ∈ range Ψ
rcases : ∀ (y : Y) (hy : Ψ y = z), ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
⊢ ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r

Tactic:
rcases mem_range.1 this with ⟨y, hy⟩

Premises used: Set.mem_range, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
x : X
this_2 : f (inl x) ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist (f (inl x)) z < r
this : z ∈ range Ψ
y : Y
hy : Ψ y = z
⊢ BddBelow (α := ℝ) (range fun (y : Y) ↦ (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y))

Tactic:
simpa only [add_zero] using HD_below_aux1 0

Premises used: add_zero, OfNat.ofNat, GromovHausdorff.HD_below_aux1
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
x : X
this_2 : f (inl x) ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist (f (inl x)) z < r
this : z ∈ range Ψ
y : Y
hy : Ψ y = z
⊢ (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) = dist (Φ x) (Ψ y)

Tactic:
rfl

Premises used: iSup, dite, rfl, ite
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
x : X
this_2 : f (inl x) ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist (f (inl x)) z < r
this : z ∈ range Ψ
y : Y
hy : Ψ y = z
rw rw₁ : dist (Φ x) z = dist (f (inl x)) z
⊢ dist (Φ x) (Ψ y) = dist (f (inl x)) z

Tactic:
rw [hy]
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
x : X
this_2 : f (inl x) ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist (f (inl x)) z < r
this : z ∈ range Ψ
y : Y
hy : Ψ y = z
⊢ dist (f (inl x)) z ≤ r

Tactic:
le_of_lt hz

Premises used: le_of_lt
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
x : X
this_2 : f (inl x) ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist (f (inl x)) z < r
this : z ∈ range Ψ
y : Y
hy : Ψ y = z
Fb₁ : dist (Φ x) (Ψ y) = dist (f (inl x)) z
⊢ ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r

Tactic:
calc
        (⨅ y, Fb (inl x, inr y)) ≤ Fb (inl x, inr y) :=
          ciInf_le (by simpa only [add_zero] using HD_below_aux1 0) y
        _ = dist (Φ x) (Ψ y) := rfl
        _ = dist (f (inl x)) z := by rw [hy]
        _ ≤ r := le_of_lt hz

Premises used: iInf, le_of_lt, Prod.mk, Sum.inl, ciInf_le, Sum.inr, Dist.dist, DFunLike.coe, rfl
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
⊢ ∀ (x : X), ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r

Tactic:
have I1 : ∀ x : X, (⨅ y, Fb (inl x, inr y)) ≤ r := by
      intro x
      have : f (inl x) ∈ (p : Set _) := Φrange ▸ (mem_range_self _)
      rcases exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt this hr
          (hausdorffEDist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty p.isCompact.isBounded
            q.isCompact.isBounded) with
        ⟨z, zq, hz⟩
      have : z ∈ range Ψ := by rwa [← Ψrange] at zq
      rcases mem_range.1 this with ⟨y, hy⟩
      calc
        (⨅ y, Fb (inl x, inr y)) ≤ Fb (inl x, inr y) :=
          ciInf_le (by simpa only [add_zero] using HD_below_aux1 0) y
        _ = dist (Φ x) (Ψ y) := rfl
        _ = dist (f (inl x)) z := by rw [hy]
        _ ≤ r := le_of_lt hz
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
I1 : ∀ (x : X), ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
y : Y
⊢ f (inr y) ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))

Tactic:
have : f (inr y) ∈ (q : Set _) := Ψrange ▸ (mem_range_self _)
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
I1 : ∀ (x : X), ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
y : Y
this : f (inr y) ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
rcases :
  ∀ (z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (zq : z ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))) (hz : dist z (f (inr y)) < r),
    ⨅ (x : X), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
⊢ ⨅ (x : X), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r

Tactic:
rcases exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt' this hr
          (hausdorffEDist_ne_top_of_nonempty_of_bounded p.nonempty q.nonempty p.isCompact.isBounded
            q.isCompact.isBounded) with
        ⟨z, zq, hz⟩

Premises used: IsCompact.isBounded, Metric.hausdorffEDist_ne_top_of_nonempty_of_bounded, TopologicalSpace.NonemptyCompacts.nonempty, TopologicalSpace.NonemptyCompacts.isCompact, Metric.exists_dist_lt_of_hausdorffDist_lt'
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
I1 : ∀ (x : X), ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
y : Y
this : f (inr y) ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist z (f (inr y)) < r
rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ : ∀ (zq : z ∈ range Φ) (hz : dist z (f (inr y)) < r), z ∈ range Φ
⊢ z ∈ range Φ

Tactic:
rwa [← Φrange] at zq
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
I1 : ∀ (x : X), ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
y : Y
this : f (inr y) ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist z (f (inr y)) < r
⊢ z ∈ range Φ

Tactic:
have : z ∈ range Φ := by rwa [← Φrange] at zq
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
I1 : ∀ (x : X), ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
y : Y
this_2 : f (inr y) ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist z (f (inr y)) < r
this : z ∈ range Φ
rcases : ∀ (x : X) (hx : Φ x = z), ⨅ (x : X), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
⊢ ⨅ (x : X), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r

Tactic:
rcases mem_range.1 this with ⟨x, hx⟩

Premises used: Set.mem_range, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
X : Type u
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : Nonempty X
Y : Type v
inst_3 : MetricSpace Y
inst_4 : CompactSpace Y
inst_5 : Nonempty Y
inhabited_h_1 : Inhabited X
inhabited_h : Inhabited Y
p q : NonemptyCompacts ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
hp : ⟦p⟧ = toGHSpace X
hq : ⟦q⟧ = toGHSpace Y
bound :
  hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) <
    diam.{u} (α := X) univ + 1 + diam.{v} (α := Y) univ
Φ : X → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Φisom : Isometry Φ
Φrange : range Φ = (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
Ψ : Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
Ψisom : Isometry Ψ
Ψrange : range Ψ = (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
I : diam (range Φ ∪ range Ψ) ≤ 2 * diam.{u} (α := X) univ + 1 + 2 * diam.{v} (α := Y) univ
f : X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞) :=
  fun (x : X ⊕ Y) ↦
    match (motive := X ⊕ Y → ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) x with
    | inl y => Φ y
    | inr z => Ψ z
F : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) → ℝ := fun (p : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) ↦ dist (f p.1) (f p.2)
Fgood : F ∈ candidates X Y
Fb : GromovHausdorff.Cb✝ X Y := candidatesBOfCandidates F Fgood
this_1 : hausdorffDist (α := OptimalGHCoupling X Y) (range (optimalGHInjl X Y)) (range (optimalGHInjr X Y)) ≤ HD Fb
r : ℝ
hr : hausdorffDist (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)) < r
I1 : ∀ (x : X), ⨅ (y : Y), (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) ≤ r
y : Y
this_2 : f (inr y) ∈ (↑q : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
z : ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞)
zq : z ∈ (↑p : Set ↥(lp (fun (n : ℕ) ↦ ℝ) ∞))
hz : dist z (f (inr y)) < r
this : z ∈ range Φ
x : X
hx : Φ x = z
⊢ BddBelow (α := ℝ) (range fun (x : X) ↦ (Fb : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y))

Tactic:
simpa only [add_zero] using HD_below_aux2 0

Premises used: GromovHausdorff.HD_below_aux2, add_zero, OfNat.ofNat