-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
t : Finset V
h : ¬AffineIndependent k (P := V) (ι := ↥t) (Subtype.val (p := fun (x : V) ↦ x ∈ t))
rw rw₁ rw₂ :
  ∀
    (h :
      ¬∀ (w : ↥t → k),
          Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, w i) 0 →
            Eq.{u_2 + 1} (α := V)
                ((weightedVSub univ (Subtype.val (p := fun (x : V) ↦ x ∈ t)) : (a : ↥t → k) → V) w : V) (0 : V) →
              ∀ (i : ↥t), w i = 0),
    ∃ (f : V → k), Eq (α := V) (∑ e ∈ t, f e • e) 0 ∧ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ e ∈ t, f e) 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
rw₃ :
  ∀
    (h :
      ∃ (x : ↥t → k),
        Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, x i) 0 ∧
          Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((weightedVSub univ (Subtype.val (p := fun (x : V) ↦ x ∈ t)) : (a : ↥t → k) → V) x : V)
              (0 : V) ∧
            ∃ (x_1 : ↥t), ¬x x_1 = 0),
    ∃ (f : V → k), Eq (α := V) (∑ e ∈ t, f e • e) 0 ∧ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ e ∈ t, f e) 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
rw₄ :
  ∀ (w : ↥t → k) (hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, w i) 0)
    (hwt :
      Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((weightedVSub univ (Subtype.val (p := fun (x : V) ↦ x ∈ t)) : (a : ↥t → k) → V) w : V)
        (0 : V))
    (i : ↥t) (hi : ¬w i = 0),
    ∃ (f : V → k), Eq (α := V) (∑ e ∈ t, f e • e) 0 ∧ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ e ∈ t, f e) 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
rw₅ :
  ∀ (w : ↥t → k) (hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, w i) 0) (i : ↥t) (hi : ¬w i = 0)
    (hwt : Eq.{u_2 + 1} (α := V) (∑ x : ↥t, w x • (↑x : V)) 0),
    ∃ (f : V → k), Eq (α := V) (∑ e ∈ t, f e • e) 0 ∧ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ e ∈ t, f e) 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
rw₆ :
  ∀ (w : ↥t → k) (hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, w i) 0) (i : ↥t) (hi : ¬w i = 0)
    (hwt : Eq.{u_2 + 1} (α := V) (∑ x : ↥t, w x • (↑x : V)) 0),
    ∃ (f : V → k), Eq (α := V) (∑ e ∈ t, f e • e) 0 ∧ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ e ∈ t, f e) 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
refine_1 :
  ∀ (w : ↥t → k) (hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, w i) 0) (i : ↥t) (hi : ¬w i = 0)
    (hwt : Eq.{u_2 + 1} (α := V) (∑ x : ↥t, w x • (↑x : V)) 0),
    let f : (x : V) → x ∈ t → k := fun (x : V) (hx : x ∈ t) ↦ w (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ t) x hx);
    Eq (α := V)
      (∑ e ∈ t, HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := k) ((fun (x : V) ↦ (if hx : x ∈ t then f x hx else 0 : k)) e) e) 0
refine_2 :
  ∀ (w : ↥t → k) (hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, w i) 0) (i : ↥t) (hi : ¬w i = 0)
    (hwt : Eq.{u_2 + 1} (α := V) (∑ x : ↥t, w x • (↑x : V)) 0),
    let f : (x : V) → x ∈ t → k := fun (x : V) (hx : x ∈ t) ↦ w (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ t) x hx);
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ e ∈ t, (fun (x : V) ↦ (if hx : x ∈ t then f x hx else 0 : k)) e) 0
refine_1₁ :
  ∀ (w : ↥t → k) (hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, w i) 0) (i : ↥t) (hi : ¬w i = 0)
    (hwt : Eq.{u_2 + 1} (α := V) (∑ x : ↥t, w x • (↑x : V)) 0),
    let f : (x : V) → x ∈ t → k := fun (x : V) (hx : x ∈ t) ↦ w (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ t) x hx);
    Eq (α := V) (∑ e ∈ t, if hx : e ∈ t then f e hx • e else 0) 0
refine_2₁ :
  ∀ (w : ↥t → k) (hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i : ↥t, w i) 0) (i : ↥t) (hi : ¬w i = 0)
    (hwt : Eq.{u_2 + 1} (α := V) (∑ x : ↥t, w x • (↑x : V)) 0),
    let f : (x : V) → x ∈ t → k := fun (x : V) (hx : x ∈ t) ↦ w (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ t) x hx);
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ e ∈ t, (fun (x : V) ↦ (if hx : x ∈ t then f x hx else 0 : k)) e) 0
⊢ ∃ (f : V → k), Eq (α := V) (∑ e ∈ t, f e • e) 0 ∧ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ e ∈ t, f e) 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Tactic:
classical
    rw [affineIndependent_iff_of_fintype] at h
    simp only [exists_prop, not_forall] at h
    obtain ⟨w, hw, hwt, i, hi⟩ := h
    simp only [Finset.weightedVSub_eq_weightedVSubOfPoint_of_sum_eq_zero _ w ((↑) : t → V) hw 0,
      vsub_eq_sub, Finset.weightedVSubOfPoint_apply, sub_zero] at hwt
    let f : ∀ x : V, x ∈ t → k := fun x hx => w ⟨x, hx⟩
    refine ⟨fun x => if hx : x ∈ t then f x hx else (0 : k), ?_, ?_, by use i; simp [f, hi]⟩
    on_goal 1 =>
      suffices (∑ e ∈ t, dite (e ∈ t) (fun hx => f e hx • e) fun _ => 0) = 0 by
        convert! this
        rename V => x
        by_cases hx : x ∈ t <;> simp [hx]
    all_goals
      simp only [f, Finset.sum_dite_of_true fun _ h => h, Finset.mk_coe, hwt, hw]

Premises used: Finset.weightedVSubOfPoint_apply, sub_zero, Finset.mk_coe, exists_prop, Finset.sum_dite_of_true, affineIndependent_iff_of_fintype, Classical.not_forall, vsub_eq_sub