awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot
Goal:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : IsDomain A
inst_2 : UniqueFactorizationMonoid A
inst_3 : Field K
inst_4 : Algebra A K
inst_5 : IsFractionRing A K
p : A[X]
hp : p.Monic
r : K
hr : Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((aeval r : (a : A[X]) → K) p : K) (0 : K)
inv : A
h_inv : 1 = (↑(den A r) : A) * inv
d_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (↑(den A r) : A) : K) (0 : K)
left :
  (algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) =
    HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r * inv) : K)
      ((algebraMap A K : (a : A) → K) (↑(den A r) : A) : K)
left₁ :
  (algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) =
    HMul.hMul (β := K)
      (HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K)
        ((algebraMap A K : (a : A) → K) inv : K))
      ((algebraMap A K : (a : A) → K) (↑(den A r) : A) : K)
left₂ :
  (algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) =
    HMul.hMul (α := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K)
      (HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) inv : K)
        ((algebraMap A K : (a : A) → K) (↑(den A r) : A) : K))
left₃ :
  (algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) =
    HMul.hMul (α := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K)
      (HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (↑(den A r) : A) : K)
        ((algebraMap A K : (a : A) → K) inv : K))
left₄ :
  (algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) =
    HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K)
      ((algebraMap A K : (a : A) → K) ((↑(den A r) : A) * inv) : K)
left₅ :
  (algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) =
    HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) 1 : K)
left₆ :
  (algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) =
    HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K) (1 : K)
left₇ left₈ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K)
⊢ HDiv.hDiv (α := K) (β := K) ((algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r) : K)
      ((algebraMap A K : (a : A) → K) (↑(den A r) : A) : K) =
    (algebraMap A K : (a : A) → K) (num A r * inv)

Tactic:
rw [div_eq_iff d_ne_zero, map_mul, mul_assoc, mul_comm ((algebraMap A K) inv),
      ← map_mul, ← h_inv, map_one, mul_one]

Premises used: Algebra.algebraMap, mul_assoc, map_mul, div_eq_iff, map_one, mul_comm, mul_one, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot
Goal:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : IsDomain A
inst_2 : UniqueFactorizationMonoid A
inst_3 : Field K
inst_4 : Algebra A K
inst_5 : IsFractionRing A K
x : K
⊢ IsIntegral A x → IsInteger A x

Tactic:
fun ⟨_, hp, hx⟩ =>
  isInteger_of_is_root_of_monic hp hx

Premises used: IsLocalization.IsInteger, isInteger_of_is_root_of_monic, _private.0.UniqueFactorizationMonoid.integer_of_integral.match_1
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.RationalRoot
Goal:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : IsDomain A
inst_2 : UniqueFactorizationMonoid A
inst_3 : Field K
inst_4 : Algebra A K
inst_5 : IsFractionRing A K
⊢ IsIntegrallyClosed A

Tactic:
(isIntegrallyClosed_iff (FractionRing A)).mpr fun {_} => integer_of_integral

Premises used: Iff.mpr, FractionRing, UniqueFactorizationMonoid.integer_of_integral, isIntegrallyClosed_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m : ℕ
i j_1 : Fin (0 + m)
j : Fin m
rw :
  (if (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) else 0) =
    if i = Fin.natAdd 0 j then f.coeff 0 else 0
⊢ f.sylvester g 0 m i (Fin.natAdd 0 j) = Matrix.diagonal (fun (x : Fin (0 + m)) ↦ f.coeff 0) i (Fin.natAdd 0 j)

Tactic:
rw [sylvester, Matrix.of_apply, Fin.addCases_right, Matrix.diagonal_apply]

Premises used: Matrix.of_apply, Fin.addCases_right, Polynomial.sylvester, Matrix.diagonal_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m : ℕ
i j_1 : Fin (0 + m)
j : Fin m
pos : (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → i = Fin.natAdd 0 j → f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = f.coeff 0
neg : (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → ¬i = Fin.natAdd 0 j → f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = 0
pos₁ : (↑i : ℕ) ∉ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → i = Fin.natAdd 0 j → 0 = f.coeff 0
neg₁ : (↑i : ℕ) ∉ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → ¬i = Fin.natAdd 0 j → Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0
⊢ (if (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) else 0) =
    if i = Fin.natAdd 0 j then f.coeff 0 else 0

Tactic:
split_ifs
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m : ℕ
i j_1 : Fin (0 + m)
j : Fin m
h : (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0)
h_1 : i = Fin.natAdd 0 j
⊢ f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = f.coeff 0

Tactic:
simp_all [Fin.ext_iff]

Premises used: Fin.ext_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m : ℕ
i j_1 : Fin (0 + m)
j : Fin m
h : (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0)
h_1 : ¬i = Fin.natAdd 0 j
⊢ f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = 0

Tactic:
simp_all [Fin.ext_iff]

Premises used: Fin.ext_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m : ℕ
i j_1 : Fin (0 + m)
j : Fin m
h : (↑i : ℕ) ∉ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0)
h_1 : i = Fin.natAdd 0 j
⊢ 0 = f.coeff 0

Tactic:
simp_all [Fin.ext_iff]

Premises used: Fin.ext_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m : ℕ
i j_1 : Fin (0 + m)
j : Fin m
h : (↑i : ℕ) ∉ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0)
h_1 : ¬i = Fin.natAdd 0 j
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0

Tactic:
simp_all [Fin.ext_iff]

Premises used: Fin.ext_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m n : ℕ
a :
  ∀ (i j : Fin (m + n)),
    f.sylvester g m n i j =
      (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
            (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
          (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
        (g.sylvester f n m) i j
⊢ f.sylvester g m n =
    (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m)

Tactic:
ext i j
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m n : ℕ
i j : Fin (m + n)
a :
  ∀ (i_1 : Fin m),
    f.sylvester g m n i (Fin.castAdd n i_1) =
      (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
            (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
          (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
        (g.sylvester f n m) i (Fin.castAdd n i_1)
a₁ :
  ∀ (i_1 : Fin n),
    f.sylvester g m n i (Fin.natAdd m i_1) =
      (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
            (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
          (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
        (g.sylvester f n m) i (Fin.natAdd m i_1)
⊢ f.sylvester g m n i j =
    (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m) i j

Tactic:
induction j using Fin.addCases
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m n : ℕ
i : Fin (m + n)
i_1 : Fin m
⊢ f.sylvester g m n i (Fin.castAdd n i_1) =
    (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m) i (Fin.castAdd n i_1)

Tactic:
simp [sylvester]

Premises used: Polynomial.sylvester
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m n : ℕ
i : Fin (m + n)
i_1 : Fin n
⊢ f.sylvester g m n i (Fin.natAdd m i_1) =
    (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m) i (Fin.natAdd m i_1)

Tactic:
simp [sylvester]

Premises used: Polynomial.sylvester
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f g : R[X]
m n : ℕ
φ : R →+* S
a :
  ∀ (i j : Fin (m + n)),
    (map φ f).sylvester (map φ g) m n i j =
      ((φ.mapMatrix :
            RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
          (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
        (f.sylvester g m n) i j
⊢ (map φ f).sylvester (map φ g) m n =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n)

Tactic:
ext i j
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f g : R[X]
m n : ℕ
φ : R →+* S
i j : Fin (m + n)
a :
  ∀ (i_1 : Fin m),
    (map φ f).sylvester (map φ g) m n i (Fin.castAdd n i_1) =
      ((φ.mapMatrix :
            RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
          (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
        (f.sylvester g m n) i (Fin.castAdd n i_1)
a₁ :
  ∀ (i_1 : Fin n),
    (map φ f).sylvester (map φ g) m n i (Fin.natAdd m i_1) =
      ((φ.mapMatrix :
            RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
          (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
        (f.sylvester g m n) i (Fin.natAdd m i_1)
⊢ (map φ f).sylvester (map φ g) m n i j =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n) i j

Tactic:
induction j using Fin.addCases
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f g : R[X]
m n : ℕ
φ : R →+* S
i : Fin (m + n)
i_1 : Fin m
⊢ (map φ f).sylvester (map φ g) m n i (Fin.castAdd n i_1) =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n) i (Fin.castAdd n i_1)

Tactic:
simp [sylvester, apply_ite φ]

Premises used: apply_ite, Polynomial.sylvester, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f g : R[X]
m n : ℕ
φ : R →+* S
i : Fin (m + n)
i_1 : Fin n
⊢ (map φ f).sylvester (map φ g) m n i (Fin.natAdd m i_1) =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n) i (Fin.natAdd m i_1)

Tactic:
simp [sylvester, apply_ite φ]

Premises used: apply_ite, Polynomial.sylvester, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f_1 g : R[X]
m n_1 : ℕ
f : R[X]
n : ℕ := f.natDegree
hn : ¬n = 0
⊢ 2 * n - 2 < n - 1 + n

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f_1 g : R[X]
m n : ℕ
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
⊢ 2 * f.natDegree - 2 < f.natDegree - 1 + f.natDegree

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
pos :
  ∀ (hn : f.natDegree = 0),
    f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
      sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
neg :
  ∀ (hn : ¬f.natDegree = 0),
    f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
      sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree

Tactic:
by_cases hn : f.natDegree = 0

Premises used: Polynomial.natDegree
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : f.natDegree = 0
pos :
  ∀ (i : ℕ) (hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree) (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)),
    f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
        (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) j =
      sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
        (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) j
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree

Tactic:
ext ⟨i, hi⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : f.natDegree = 0
i : ℕ
hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree
j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) j =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) j

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
neg :
  ∀ (i : ℕ) (hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree) (j : ℕ) (hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree),
    f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
        (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
      sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
        (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree

Tactic:
ext ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
i : ℕ
hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
neg :
  (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩

Tactic:
rw [sylvesterDeriv, dif_neg hn]

Premises used: dif_neg, Polynomial.sylvesterDeriv
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
i : ℕ
hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
hi' : i ≠ 2 * f.natDegree - 2
neg :
  Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
        if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
neg₁ neg₂ :
  sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
⊢ (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩

Tactic:
rw [Matrix.updateRow_ne (Fin.ne_of_val_ne hi'),
      Matrix.updateRow_ne (Fin.ne_of_val_ne hi')]

Premises used: Fin.ne_of_val_ne, Matrix.updateRow_ne
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
hi : 2 * f.natDegree - 2 < f.natDegree - 1 + f.natDegree
neg :
  (if j = f.natDegree - 2 then f.coeff f.natDegree
    else if j = 2 * f.natDegree - 2 then f.coeff f.natDegree * (↑f.natDegree : R) else 0) =
    if j < f.natDegree - 1 then
      if j ≤ 2 * f.natDegree - 2 ∧ 2 * f.natDegree ≤ j + f.natDegree + 2 then f.coeff (2 * f.natDegree - 2 - j) else 0
    else
      if
          j ≤ 2 * f.natDegree - 2 + (f.natDegree - 1) ∧
            2 * f.natDegree ≤ j - (f.natDegree - 1) + (f.natDegree - 1) + 2 then
        f.coeff (2 * f.natDegree - 2 - (j - (f.natDegree - 1)) + 1) *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(2 * f.natDegree - 2 - (j - (f.natDegree - 1))) : R) 1
      else 0
⊢ (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨2 * f.natDegree - 2, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨2 * f.natDegree - 2, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩

Tactic:
simp only [sylvester, Fin.addCases, mem_Icc, coeff_derivative, eq_rec_constant, leadingCoeff,
      Matrix.updateRow_self, Matrix.updateRow_apply, ↓reduceIte, Pi.smul_apply, smul_eq_mul,
      mul_ite, mul_one, mul_zero, Matrix.of_apply, Fin.castLT_mk, tsub_le_iff_right, Fin.cast_mk,
      Fin.subNat_mk, dite_eq_ite]

Premises used: Polynomial.coeff_derivative, mul_ite, Polynomial.leadingCoeff, Matrix.of_apply, tsub_le_iff_right, Fin.subNat_mk, MulZeroClass.mul_zero, Polynomial.sylvester, Set.mem_Icc, reduceIte, Fin.cast_mk, eq_rec_constant, Matrix.updateRow_self, dite_eq_ite, smul_eq_mul, mul_one, Fin.castLT_mk, Matrix.updateRow_apply, Pi.smul_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
hi : 2 * f.natDegree - 2 < f.natDegree - 1 + f.natDegree
h : j = f.natDegree - 2
h_1 : j < f.natDegree - 1
h_2 : ¬(j ≤ 2 * f.natDegree - 2 ∧ 2 * f.natDegree ≤ j + f.natDegree + 2)
⊢ f.natDegree = 1

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
hi : 2 * f.natDegree - 2 < f.natDegree - 1 + f.natDegree
h : j = f.natDegree - 2
h_1 : j < f.natDegree - 1
h_2 : ¬(j ≤ 2 * f.natDegree - 2 ∧ 2 * f.natDegree ≤ j + f.natDegree + 2)
neg : f.coeff 1 = 0
⊢ f.coeff f.natDegree = 0

Tactic:
rw [show f.natDegree = 1 by lia]