-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
H₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∃ (x_1 : { a : ℝ // 0 < a }),
            ∀ J ≤ I,
              (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑x_1 : ℝ) →
                Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                  (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                    dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                        ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                      ε
H₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∃ (x_1 : { a : ℝ // 0 < a }),
            ∀ J ≤ I,
              (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑x_1 : ℝ) →
                (l.bHenstock = true →
                    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                  (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                    dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                        ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                      HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
choose! :
  ∀ (δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a })
    (Hδ₁ :
      ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
        Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
          ∀ (ε : ℝ),
            0 < ε →
              ∀ J ≤ I,
                (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                    (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                      dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                          ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                        ε),
    ∃ (ia : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
      (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧
        ∀ (x : TaggedPrepartition I),
          Membership.mem (γ := Set (TaggedPrepartition I))
              {π : TaggedPrepartition I | ∃ (c : ℝ≥0), l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition} x →
            Membership.mem (γ := Set F) (Metric.closedBall ((g : (a : Box ι) → F) I) ε : Set F) (integralSum f vol x)
⊢ ∃ (ia : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)),
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧
      ∀ (x : TaggedPrepartition I),
        Membership.mem (γ := Set (TaggedPrepartition I))
            {π : TaggedPrepartition I | ∃ (c : ℝ≥0), l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition} x →
          Membership.mem (γ := Set F) (Metric.closedBall ((g : (a : Box ι) → F) I) ε : Set F) (integralSum f vol x)

Tactic:
choose! δ₁ Hδ₁ using H₁