-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
x y : M
f g : Dual R M
hf : Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((f : (a : M) → R) x : R) (2 : R)
hg : Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((g : (a : M) → R) y : R) (2 : R)
z : M
t : R
ht : t = HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2
m : ℕ
S_eval_t_sub_two :
  ∀ (k : ℤ), Polynomial.eval t (S R (k - 2)) = t * Polynomial.eval t (S R (k - 1)) - Polynomial.eval t (S R k)
S_eval_t_sq_add_S_eval_t_sq :
  ∀ (k : ℤ),
    HPow.hPow (β := ℕ) (Polynomial.eval t (S R k)) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) (Polynomial.eval t (S R (k + 1))) 2 -
        t * Polynomial.eval t (S R k) * Polynomial.eval t (S R (k + 1)) =
      1
k : ℤ := HDiv.hDiv (α := ℤ) (↑m : ℤ) 2
ih :
  ((reflection hf * reflection hg) ^ m : (a : M) → M) z =
    z +
        (Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 2 / 2)) *
            (Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 1 / 2)) +
              Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 3 / 2)))) •
          (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((g : (a : M) → R) x : R) ((f : (a : M) → R) z : R))
                ((g : (a : M) → R) z : R) •
              y -
            HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R) x) +
      (Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 1 / 2)) *
          (Polynomial.eval t (S R k) + Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 2 / 2)))) •
        (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
              ((f : (a : M) → R) z : R) •
            x -
          HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R) y)
e : ℤ
he : e = 0 ∨ e = 1
a :
  -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (1 : R) -
              HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R)
                (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)) +
            Polynomial.eval t (S R ((e - 2) / 2 + k)) *
                (Polynomial.eval t (S R ((e - 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e - 3) / 2 + k))) *
              (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((g : (a : M) → R) x : R) ((f : (a : M) → R) z : R))
                    ((g : (a : M) → R) z : R) *
                  (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R) -
                    2 * -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)) -
                HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R)
                  (1 - HMul.hMul (α := R) 2 1 -
                    HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) x : R)
                      (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)))) +
          Polynomial.eval t (S R ((e - 1) / 2 + k)) *
              (Polynomial.eval t (S R (e / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e - 2) / 2 + k))) *
            (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
                  ((f : (a : M) → R) z : R) *
                (1 - HMul.hMul (α := R) 2 1 -
                  HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) x : R)
                    (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R))) -
              HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R)
                (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R) -
                  2 * -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R))) +
        ((HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R) *
                Polynomial.eval t (S R (e - 1 + k)) +
              HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (Polynomial.eval t (S R (e - 1 + k)))) *
            (t * Polynomial.eval t (S R (e + k - 1)) - Polynomial.eval t (S R (e + k))) +
          HAdd.hAdd (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R))
              ((f : (a : M) → R) z : R) *
            1) -
      (Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 2) / 2 + k)) *
              (Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 3) / 2 + k))) *
            -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (1 : R) +
          Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 1) / 2 + k)) *
              (Polynomial.eval t (S R ((e + 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 2) / 2 + k))) *
            (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
                ((f : (a : M) → R) z : R) *
              1) +
        ((HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R) *
                Polynomial.eval t (S R (e - 1 + k)) +
              HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (Polynomial.eval t (S R (e - 1 + k)))) *
            Polynomial.eval t (S R (e + k - 2)) +
          HAdd.hAdd (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R))
              ((f : (a : M) → R) z : R) *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (Polynomial.eval t (S R (k - 1))) 2 +
                HPow.hPow (β := ℕ) (Polynomial.eval t (S R (k - 1 + 1))) 2 -
              t * Polynomial.eval t (S R (k - 1)) * Polynomial.eval t (S R (k - 1 + 1))))) =
    0
⊢ -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (1 : R) -
          HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R)
            (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)) +
        Polynomial.eval t (S R ((e - 2) / 2 + k)) *
            (Polynomial.eval t (S R ((e - 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e - 3) / 2 + k))) *
          (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((g : (a : M) → R) x : R) ((f : (a : M) → R) z : R))
                ((g : (a : M) → R) z : R) *
              (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R) -
                2 * -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)) -
            HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R)
              (1 - HMul.hMul (α := R) 2 1 -
                HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) x : R)
                  (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)))) +
      Polynomial.eval t (S R ((e - 1) / 2 + k)) *
          (Polynomial.eval t (S R (e / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e - 2) / 2 + k))) *
        (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
              ((f : (a : M) → R) z : R) *
            (1 - HMul.hMul (α := R) 2 1 -
              HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) x : R)
                (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R))) -
          HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R)
            (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R) -
              2 * -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R))) =
    Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 2) / 2 + k)) *
          (Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 3) / 2 + k))) *
        -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (1 : R) +
      Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 1) / 2 + k)) *
          (Polynomial.eval t (S R ((e + 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 2) / 2 + k))) *
        (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
            ((f : (a : M) → R) z : R) *
          1)

Tactic:
linear_combination (norm := skip) (-g z * f y * (S R (e - 1 + k)).eval t +
          f z * (S R (e - 1 + k)).eval t) * S_eval_t_sub_two (e + k) +
          (-g z * f y + f z) * S_eval_t_sq_add_S_eval_t_sq (k - 1)

Premises used: Polynomial.eval, HMul.hMul, HSub.hSub, Polynomial.Chebyshev.S, HAdd.hAdd, OfNat.ofNat, DFunLike.coe, Neg.neg