-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Cofiltered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
inst_1 : IsCofiltered.{w, v} J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
T : (j : J) → Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
hT : ∀ (j : J), IsTopologicalBasis (T j)
univ : ∀ (i : J), Set.univ ∈ T i
inter : ∀ (i : J) (U1 U2 : Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))), U1 ∈ T i → U2 ∈ T i → U1 ∩ U2 ∈ T i
compat :
  ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j) (V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (_hV : V ∈ T j),
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
              (F.map f)) :
          (a : (↑(F.obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        V ∈
      T i
U0 : Set (↑C.pt : Type (max u v))
U : (i : J) → Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))
G : Finset J
h1 : ∀ i ∈ G, U i ∈ T i
h2 :
  U0 =
    ⋂ i ∈ G,
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app i) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj i) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U i
j : J
hj : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty.{w + 1} (j ⟶ X)
g : (e : J) → e ∈ G → (j ⟶ e) := fun (x : J) (he : x ∈ G) ↦ ⋯.some
Vs : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) :=
  fun (e : J) ↦
    if h : e ∈ G then
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (F.map (g e h))) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
        U e
    else Set.univ
V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) := ⋂ e ∈ G, Vs e
e : J
h :
  Eq (α := Set (↑C.pt : Type (max u v)))
    (⋂ (_ : e ∈ G),
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app e) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj e) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U e)
    (⋂ (_ : e ∈ G),
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (C.π.app j)) :
          (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        Vs e)
⊢ Eq (α := Set (↑C.pt : Type (max u v)))
    (⋂ (_ : e ∈ G),
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app e) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj e) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U e)
    (Set.preimage (β := (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
            carrier) (C.π.app j)) :
        (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
      (⋂ (_ : e ∈ G), Vs e))

Tactic:
rw [Set.preimage_iInter]

Premises used: Set.preimage_iInter