-- Module: Mathlib.RingTheory.FiniteType
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_1
x : AddCommMonoid M
x_1 : Module R M
h : Module.Finite R M
N : Submodule R M
f : ↥N →ₗ[R] M
hf : Surjective (α := ↥N) (β := M) (⇑f : (a : ↥N) → M)
this_1 : AddCommGroup M := addCommMonoidToAddCommGroup R
this_2 : AddCommGroup ↥N := addCommMonoidToAddCommGroup R
i : ↥N →ₗ[R] M := N.subtype
hi : Function.Injective (α := ↥N) (β := M) (⇑i : (a : ↥N) → M) := ⋯
n : ↥N
hn : Eq (α := M) ((f : (a : ↥N) → M) n : M) (0 : M)
k : ℕ
mj : Fin k → M
hmj :
  Surjective (α := Fin k → R) (β := M)
    (⇑((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
      (a : Fin k → R) → M)
b : Fin k → R
hb :
  Eq (α := M)
    ((((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
          (a : Fin k → R) → M)
        b :
      M)
    ((i : (a : ↥N) → M) n : M)
nj : (j : Fin k) → ↥N
hnj : ∀ (j : Fin k), (f : (a : ↥N) → M) (nj j) = mj j
c : (j : Fin k) → Fin k → R
hc :
  ∀ (j : Fin k),
    Eq (α := M)
      ((((Module.piEquiv (Fin k) R M : (a : Fin k → M) → (Fin k → R) →ₗ[R] M) mj : (Fin k → R) →ₗ[R] M) :
            (a : Fin k → R) → M)
          (c j) :
        M)
      ((i : (a : ↥N) → M) (nj j) : M)
A : Subring R := Subring.closure (Set.range b ∪ Set.range (Function.uncurry c))
N' : Submodule ↥A ↥N := span (↥A) ({n} ∪ Set.range nj)
M' : Submodule (↥A) M := span (↥A) (Set.range mj)
this_3 : IsNoetherianRing.{u_1} ↥A
this : Module.Finite.{u_1, u_1} ↥A ↥M'
refine_1 :
  ∀ (x_2 : ↥N) (hx : x_2 ∈ N'),
    Membership.mem (α := M) M'
      (((↑↥A :
                {S M M₂ : Type u_1} →
                  [inst_1 : Semiring ↥A] →
                    [inst_2 : Semiring S] →
                      [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_5 : Module (↥A) M] →
                            [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                              [inst_7 : Module S M] →
                                [inst_8 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
              i :
            (a : ↥N) → M)
          x_2 :
        M)
refine_2 :
  ∀ (x_2 : ↥N) (hx : x_2 ∈ N'),
    Membership.mem (α := M) M'
      (((↑↥A :
                {S M M₂ : Type u_1} →
                  [inst_1 : Semiring ↥A] →
                    [inst_2 : Semiring S] →
                      [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_5 : Module (↥A) M] →
                            [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                              [inst_7 : Module S M] →
                                [inst_8 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
              f :
            (a : ↥N) → M)
          x_2 :
        M)
refine_3 :
  ∀ (x_2 : ↥M') (x_3 : M) (hx : x_3 ∈ M'),
    ∃ (a : ↥N'),
      (LinearMap.restrict
              ((↑↥A :
                  {S M M₂ : Type u_1} →
                    [inst_1 : Semiring ↥A] →
                      [inst_2 : Semiring S] →
                        [inst_3 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_4 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_5 : Module (↥A) M] →
                              [inst_6 : Module (↥A) M₂] →
                                [inst_7 : Module S M] →
                                  [inst_8 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ (↥A) S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[↥A] M₂)
                f)
              ⋯ :
            (a : ↥N') → ↥M')
          a =
        Subtype.mk (p := fun (x_4 : M) ↦ x_4 ∈ M') x_3 hx
⊢ n = 0

Tactic:
refine congr($((LinearMap.ker_eq_bot'.1 <| LinearMap.ker_eq_bot.2 <|
    IsNoetherian.injective_of_surjective_of_injective
      ((i.restrictScalars A).restrict fun x hx ↦ ?_ : N' →ₗ[A] M')
      ((f.restrictScalars A).restrict fun x hx ↦ ?_ : N' →ₗ[A] M')
      (fun _ _ h ↦ injective_subtype _ (hi congr(($h).1)))
      fun ⟨x, hx⟩ ↦ ?_) ⟨n, (subset_span (by simp))⟩ (Subtype.val_injective hn)).1)