-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.GrothendieckTopology
Goal:
X Y : TopCat
𝒰 : precoverage.ZeroHypercover Y
heq :
  ∀ (i : 𝒰.I₀) (y : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
    Eq (α := (↑Y : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (𝒰.f i) :
            (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
          y :
        (↑Y : Type u_1))
      ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑Y : Type u_1)) ↦
              Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u_1))
                (Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                        carrier) (𝒰.f i)) :
                    (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                x)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    carrier) (𝒰.f i) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
                y)
              ⋯) :
          (↑Y : Type u_1)) :
        (↑Y : Type u_1))
x : (i : 𝒰.I₀) → Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op (𝒰.X i))
hx : Presieve.Arrows.Compatible (Functor.obj yoneda X) 𝒰.f x
f : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op Y))
hf :
  (fun (t : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op Y))) ↦
      ∀ (i : 𝒰.I₀),
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj yoneda X) (𝒰.f i).op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op Y))) →
                (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op (𝒰.X i))))
            t =
          x i)
    f
refine_3 :
  f =
    ofHom
      (ContinuousMap.liftCover
        (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
          Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                  carrier) (𝒰.f i)) :
              (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
        (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
          {
            toFun :=
              Function.comp (β := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                (⇑(Hom.hom (x i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                  (a :
                      (↑(Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                        Type u_1)) →
                    (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
            continuous_toFun := ⋯ })
        ⋯ ⋯)
⊢ f =
    ofHom
      (ContinuousMap.liftCover
        (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
          Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                  carrier) (𝒰.f i)) :
              (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
        (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
          {
            toFun :=
              Function.comp (β := (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1))
                (⇑(Hom.hom (x i)) : (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                  (a :
                      (↑(Set.range (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                        Type u_1)) →
                    (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
            continuous_toFun := ⋯ })
        ⋯ ⋯)

Tactic:
dsimp