awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k : ℕ
x y : ℝ
⊢ ∀ x_1 ∈ [[x, y]], HasDerivAt (bernoulliFun (k + 1)) ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k x_1) x_1

Tactic:
exact fun y _ ↦ hasDerivAt_bernoulliFun _ y

Premises used: hasDerivAt_bernoulliFun
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k : ℕ
x y : ℝ
⊢ Continuous (Y := ℝ) fun (t : ℝ) ↦ (↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k t

Tactic:
fun_prop
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k : ℕ
x y : ℝ
⊢ IntervalIntegrable (ε := ℝ) (fun (t : ℝ) ↦ (↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k t) volume x y

Tactic:
exact Continuous.intervalIntegrable (by fun_prop) _ _

Premises used: Continuous.intervalIntegrable
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k : ℕ
x : ℝ
⊢ bernoulliFun k (1 - x) = HPow.hPow (α := ℝ) (-1) k * bernoulliFun k x

Tactic:
simpa [bernoulliFun, Polynomial.aeval_comp]
    using congr_arg (·.aeval x) (Polynomial.bernoulli_comp_one_sub_X k)

Premises used: Polynomial.aeval_comp, bernoulliFun, congr_arg, Polynomial.bernoulli_comp_one_sub_X
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
⊢ Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0

Tactic:
have m0' : (m : ℝ) ≠ 0 := Nat.cast_ne_zero.mpr m0
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
rw :
  bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)) =
    0
⊢ bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) =
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
      ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))

Tactic:
rw [← sub_eq_zero]

Premises used: sub_eq_zero
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
⊢ bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)) =
    0

Tactic:
h x
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
⊢ bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)) =
    0

Tactic:
exact h x
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
k m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
suffices : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
⊢ bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) =
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
      ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))

Tactic:
suffices h : ∀ x, f k x = 0 by
    rw [← sub_eq_zero]
    exact h x
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
x : ℝ
zero : 1 = HMul.hMul (α := ℝ) (↑m : ℝ)⁻¹ (↑m : ℝ)
⊢ f 0 x = 0

Tactic:
simp only [f, bernoulliFun_zero, pow_zero, one_div, Finset.sum_const, Finset.card_range,
      nsmul_eq_mul, mul_one, sub_eq_zero]

Premises used: sub_eq_zero, Finset.card_range, pow_zero, bernoulliFun_zero, one_div, nsmul_eq_mul, mul_one, Finset.sum_const
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
x : ℝ
zero zero₁ : Eq (α := ℝ) 1 1
⊢ 1 = HMul.hMul (α := ℝ) (↑m : ℝ)⁻¹ (↑m : ℝ)

Tactic:
rw [inv_mul_cancel₀ (Nat.cast_ne_zero.mpr m0)]

Premises used: inv_mul_cancel₀
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
simp :
  HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦
      bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
        ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
          HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
          bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x
⊢ HasDerivAt (f (k + 1)) ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * f k x) x

Tactic:
simp only [f, mul_sub, Finset.mul_sum, pow_succ, mul_div_cancel_right₀ _ m0',
        ← mul_assoc, mul_comm _ (_ / _), div_mul_cancel₀ _ m0']

Premises used: Finset.mul_sum, div_mul_cancel₀, mul_sub, pow_succ, mul_assoc, HDiv.hDiv, mul_div_cancel_right₀, mul_comm
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
hf :
  HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
    ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x)) x
hg :
  HasDerivAt (F := ℝ)
    (fun (x : ℝ) ↦
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (∑ x_2 ∈ Finset.range m,
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
        bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x
⊢ HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦
      bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
        ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
          HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
          bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x

Tactic:
apply HasDerivAt.sub

Premises used: HasDerivAt.sub
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
hf :
  HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) * (↑m : ℝ)) x
⊢ HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
    ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x)) x

Tactic:
rw [mul_assoc, mul_comm (m : ℝ) _, ← Nat.cast_add_one]

Premises used: mul_assoc, Nat.cast, mul_comm, Nat.cast_add_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) * (↑m : ℝ)) x

Tactic:
(hasDerivAt_bernoulliFun _ _).comp _ (hasDerivAt_const_mul ..)

Premises used: Polynomial.eval, hasDerivAt_bernoulliFun, HasDerivAt.comp, bernoulliFun, hasDerivAt_const_mul, Nat.pred
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) * (↑m : ℝ)) x

Tactic:
exact (hasDerivAt_bernoulliFun _ _).comp _ (hasDerivAt_const_mul ..)

Premises used: hasDerivAt_bernoulliFun, HasDerivAt.comp, hasDerivAt_const_mul
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (F := ℝ)
    (fun (x : ℝ) ↦
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (∑ x_2 ∈ Finset.range m,
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
        bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x

Tactic:
HasDerivAt.fun_sum fun i _ ↦ ?_

Premises used: HasDerivAt.fun_sum
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
hg :
  ∀ i ∈ Finset.range m,
    HasDerivAt
      (fun (x : ℝ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
      (HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
        bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
      x
⊢ HasDerivAt (F := ℝ)
    (fun (x : ℝ) ↦
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (∑ x_2 ∈ Finset.range m,
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
        bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x

Tactic:
refine HasDerivAt.fun_sum fun i _ ↦ ?_

Premises used: HasDerivAt.fun_sum
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range m
hg :
  HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))) x
⊢ HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
      bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x

Tactic:
simp only [mul_assoc, ← Nat.cast_add_one]

Premises used: mul_assoc, Nat.cast_add_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range m
hg :
  HasDerivAt (fun (y : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (y + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))) x
⊢ HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))) x

Tactic:
apply HasDerivAt.const_mul

Premises used: HasDerivAt.const_mul
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range m
hg :
  HasDerivAt (fun (y : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (y + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)) * 1) x
⊢ HasDerivAt (fun (y : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (y + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))) x

Tactic:
rw [← mul_one (_ * _)]

Premises used: HMul.hMul, mul_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range m
⊢ HasDerivAt (fun (y : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (y + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)) * 1) x

Tactic:
(hasDerivAt_bernoulliFun _ _).comp _ ((hasDerivAt_id' _).add_const _)

Premises used: Polynomial.eval, hasDerivAt_bernoulliFun, HasDerivAt.comp, HasDerivAt.add_const, bernoulliFun, Nat.pred
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range m
⊢ HasDerivAt (fun (y : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (y + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)) * 1) x

Tactic:
exact (hasDerivAt_bernoulliFun _ _).comp _ ((hasDerivAt_id' _).add_const _)

Premises used: hasDerivAt_bernoulliFun, HasDerivAt.comp, HasDerivAt.add_const
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
⊢ ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * f k x) x

Tactic:
have d (x) : HasDerivAt (f (k + 1)) (m * (k + 1) * f k x) x := by
      simp only [f, mul_sub, Finset.mul_sum, pow_succ, mul_div_cancel_right₀ _ m0',
        ← mul_assoc, mul_comm _ (_ / _), div_mul_cancel₀ _ m0']
      apply HasDerivAt.sub
      · rw [mul_assoc, mul_comm (m : ℝ) _, ← Nat.cast_add_one]
        exact (hasDerivAt_bernoulliFun _ _).comp _ (hasDerivAt_const_mul ..)
      · refine HasDerivAt.fun_sum fun i _ ↦ ?_
        simp only [mul_assoc, ← Nat.cast_add_one]
        apply HasDerivAt.const_mul
        rw [← mul_one (_ * _)]
        exact (hasDerivAt_bernoulliFun _ _).comp _ ((hasDerivAt_id' _).add_const _)
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * f k x) x
⊢ ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x

Tactic:
simp only [h, mul_zero] at d

Premises used: MulZeroClass.mul_zero
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
⊢ ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = f (k + 1) 0

Tactic:
have fc (x) : f (k + 1) x = f (k + 1) 0 :=
      is_const_of_deriv_eq_zero (fun _ ↦ (d _).differentiableAt) (fun _ ↦ (d _).deriv) x 0
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = f (k + 1) 0
succ : ∀ (c : ℝ) (fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c) (x : ℝ), f (k + 1) x = 0
⊢ ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = 0

Tactic:
generalize f (k + 1) 0 = c at fc

Premises used: HAdd.hAdd, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
c : ℝ
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c
simp :
  Eq (α := ℝ)
    (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹,
      bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) *
          ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0
⊢ Eq (α := ℝ) (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹, f (k + 1) x) 0

Tactic:
simp only [f]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
c : ℝ
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c
⊢ k + 1 ≠ 0

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
c : ℝ
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c
rw :
  HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) = 0 ∨
    Eq (α := ℝ)
      (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹,
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
      0
hf : IntervalIntegrable (ε := ℝ) (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x)) volume 0 (↑m : ℝ)⁻¹
hg :
  IntervalIntegrable (ε := ℝ)
    (fun (x : ℝ) ↦
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    volume 0 (↑m : ℝ)⁻¹
⊢ Eq (α := ℝ)
    (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹,
      bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) *
          ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0

Tactic:
rw [intervalIntegral.integral_sub, intervalIntegral.integral_comp_mul_left _ m0', mul_zero,
        mul_inv_cancel₀ m0', integral_bernoulliFun_eq_zero (by lia), smul_zero, sub_eq_zero,
        intervalIntegral.integral_const_mul, eq_comm (a := 0), mul_eq_zero]

Premises used: intervalIntegral.integral_comp_mul_left, mul_inv_cancel₀, sub_eq_zero, integral_bernoulliFun_eq_zero, smul_zero, eq_comm, mul_eq_zero, MulZeroClass.mul_zero, intervalIntegral.integral_sub, intervalIntegral.integral_const_mul
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
c : ℝ
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c
h₁ :
  Eq (α := ℝ)
    (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹, ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0
⊢ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) = 0 ∨
    Eq (α := ℝ)
      (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹,
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
      0

Tactic:
right
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
c : ℝ
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c
h₁ :
  Eq (α := ℝ)
    (∑ i ∈ Finset.range m, ∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0
h₂ :
  ∀ i ∈ Finset.range m,
    IntervalIntegrable (ε := ℝ) (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))) volume 0
      (↑m : ℝ)⁻¹
⊢ Eq (α := ℝ)
    (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹, ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0

Tactic:
rw [intervalIntegral.integral_finsetSum]

Premises used: intervalIntegral.integral_finsetSum
-- Module: Mathlib.NumberTheory.ZetaValues
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
c : ℝ
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c
h₁ :
  Eq (α := ℝ)
    (∑ x ∈ Finset.range m,
      ∫ (x : ℝ) in HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x : ℝ) (↑m : ℝ)..HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(x + 1) : ℝ) (↑m : ℝ),
        bernoulliFun (k + 1) x)
    0
⊢ Eq (α := ℝ)
    (∑ i ∈ Finset.range m, ∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0

Tactic:
simp only [intervalIntegral.integral_comp_add_right, zero_add, ← one_div, ← add_div,
            add_comm (1 : ℝ), ← Nat.cast_add_one]

Premises used: zero_add, add_comm, intervalIntegral.integral_comp_add_right, one_div, OfNat.ofNat, Nat.cast_add_one, add_div