-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e_1 : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
V : X.Opens
hxV : x ∈ V
iVU : V ≤ U
hV : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
V' : X.Opens
hxV' : x ∈ V'
hV' : IsAffineOpen V'
iV'V : V' ≤ V
H :
  Function.Injective (α := (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) (β := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')) :
      (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
f : X.presheaf.obj (Opposite.op V') ⟶ X.presheaf.stalk x := X.presheaf.germ V' x hxV'
hf' : RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV)) ≤ (CommRingCat.Hom.hom f).range
e : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u) ≃+*
  ↥(RingHom.range
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV'))) :=
  RingEquiv.ofLeftInverse ⋯
a : (↑A : Type u)
refine_1 :
  Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) φ :
          (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
        a :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    ((↑((e :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) →
                ↥(ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ V' x hxV')).range)
            ((e.symm :
                (a : ↥(ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ V' x hxV')).range) →
                  (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u))
              ((((CommRingCat.Hom.hom φ).codRestrict
                        (RingHom.range
                          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                            (CC := CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))
                        ⋯ :
                      (↑A : Type u) →+*
                        ↥(RingHom.range
                            (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                              (CC := CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))) :
                    (a : (↑A : Type u)) → ↥(ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ V' x hxV')).range)
                  a :
                ↥(RingHom.range
                    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))))) :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
⊢ Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    ((CommRingCat.Hom.hom φ : (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) a :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    ((CommRingCat.Hom.hom
            (CommRingCat.ofHom
                (e.symm.toRingHom.comp
                  ((CommRingCat.Hom.hom φ).codRestrict
                    (RingHom.range
                      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                        CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))
                    ⋯)) ≫
              X.presheaf.germ V' x hxV') :
          (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
        a :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))

Tactic:
change φ a = (e (e.symm _)).1

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, Subtype.val, DFunLike.coe, RingEquiv.symm