awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun (x : α) ↦ a
A : Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + HSMul.hSMul (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn.{u_1, u_2} (ε := E) (fun (x : α) ↦ φ i x • g x) s μ
h'i : ‖HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) 1‖ < 1
h₁ : IntegrableOn.{u_1, u_2} (ε := E) (fun (a_1 : α) ↦ φ i a_1 • a) t (μ.restrict s)
⊢ Integrable.{u_2, u_1} (ε := E) (t.indicator fun (a_1 : α) ↦ φ i a_1 • a) (μ.restrict s)

Tactic:
rw [integrable_indicator_iff ht]

Premises used: MeasureTheory.integrable_indicator_iff
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun (x : α) ↦ a
A : Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + HSMul.hSMul (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn.{u_1, u_2} (ε := E) (fun (x : α) ↦ φ i x • g x) s μ
h'i : ‖HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) 1‖ < 1
h₁ : Integrable (φ i) ((μ.restrict s).restrict t)
⊢ IntegrableOn.{u_1, u_2} (ε := E) (fun (a_1 : α) ↦ φ i a_1 • a) t (μ.restrict s)

Tactic:
apply Integrable.smul_const

Premises used: MeasureTheory.Integrable.smul_const
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun (x : α) ↦ a
A : Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + HSMul.hSMul (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn.{u_1, u_2} (ε := E) (fun (x : α) ↦ φ i x • g x) s μ
h'i : ‖HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) 1‖ < 1
h₁ : Integrable (φ i) (μ.restrict t)
⊢ Integrable (φ i) ((μ.restrict s).restrict t)

Tactic:
rw [restrict_restrict ht, inter_eq_left.mpr hts]

Premises used: Set.inter_eq_left, Iff.mpr, MeasureTheory.Measure.restrict_restrict
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h_1 : α → E := g - t.indicator fun (x : α) ↦ a
A : Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h_1 x ∂μ + HSMul.hSMul (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn.{u_1, u_2} (ε := E) (fun (x : α) ↦ φ i x • g x) s μ
h'i : ‖HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) 1‖ < 1
h : Eq (α := ℝ) (∫ (a : α) in t, φ i a ∂μ) 0
⊢ False

Tactic:
simp [h] at h'i
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun (x : α) ↦ a
A : Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + HSMul.hSMul (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn.{u_1, u_2} (ε := E) (fun (x : α) ↦ φ i x • g x) s μ
h'i : ‖HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) 1‖ < 1
⊢ Integrable (φ i) (μ.restrict t)

Tactic:
exact .of_integral_ne_zero (fun h ↦ by simp [h] at h'i)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
this : Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α), φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
suffices : Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α), φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)

Tactic:
suffices Tendsto (fun i : ι ↦ ∫ x in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a) by simpa
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ t ∈ 𝓝[univ] x₀

Tactic:
simpa [nhdsWithin_univ]

Premises used: nhdsWithin_univ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), Membership.mem (γ := Set α) univ x → 0 ≤ φ i x

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (univ \ u)

Tactic:
simpa [← compl_eq_univ_diff] using hlφ

Premises used: Set.compl_eq_univ_diff
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict univ)

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ IntegrableOn g univ μ

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto g (𝓝[univ] x₀) (𝓝 a)

Tactic:
simpa [nhdsWithin_univ]

Premises used: nhdsWithin_univ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst_4 : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (β := ℝ) (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)
⊢ Tendsto (fun (i : ι) ↦ ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)

Tactic:
exact tendsto_setIntegral_peak_smul_of_integrableOn_of_tendsto MeasurableSet.univ ht (x₀ := x₀)
    (subset_univ _) (by simpa [nhdsWithin_univ]) h't (by simpa)
    (by simpa [← compl_eq_univ_diff] using hlφ) hiφ
    (by simpa) (by simpa) (by simpa [nhdsWithin_univ])

Premises used: tendsto_setIntegral_peak_smul_of_integrableOn_of_tendsto, Set.subset_univ, MeasurableSet.univ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
apply : LE.le (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
⊢ 0 ≤ φ n x

Tactic:
apply mul_nonneg (inv_nonneg.2 _) (pow_nonneg (hnc x hx) _)

Premises used: Iff.mpr, mul_nonneg, pow_nonneg, inv_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ LE.le (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)

Tactic:
setIntegral_nonneg hs.measurableSet fun x hx => pow_nonneg (hnc x hx) _

Premises used: pow_nonneg, MeasureTheory.setIntegral_nonneg, IsCompact.measurableSet
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ LE.le (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)

Tactic:
exact setIntegral_nonneg hs.measurableSet fun x hx => pow_nonneg (hnc x hx) _

Premises used: pow_nonneg, MeasureTheory.setIntegral_nonneg, IsCompact.measurableSet
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x

Tactic:
have hnφ : ∀ n, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x := by
    intro n x hx
    apply mul_nonneg (inv_nonneg.2 _) (pow_nonneg (hnc x hx) _)
    exact setIntegral_nonneg hs.measurableSet fun x hx => pow_nonneg (hnc x hx) _
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
⊢ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ

Tactic:
have I : ∀ n, IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ := fun n =>
    ContinuousOn.integrableOn_compact hs (hc.pow n)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
n : ℕ
h : ∀ (x : α) (hx : x ∈ s), 0 x ≤ c x ^ n
⊢ (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n

Tactic:
filter_upwards [ae_restrict_mem hs.measurableSet] with x hx

Premises used: MeasureTheory.ae_restrict_mem, IsCompact.measurableSet
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ 0 x ≤ c x ^ n

Tactic:
pow_nonneg (hnc x hx) n

Premises used: pow_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s
⊢ 0 x ≤ c x ^ n

Tactic:
exact pow_nonneg (hnc x hx) n

Premises used: pow_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
⊢ ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n

Tactic:
have J : ∀ n, 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x : α => c x ^ n := by
    intro n
    filter_upwards [ae_restrict_mem hs.measurableSet] with x hx
    exact pow_nonneg (hnc x hx) n
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
n : ℕ
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)

Tactic:
(setIntegral_pos_iff_support_of_nonneg_ae (J n) (I n)).2 ?_

Premises used: Iff.mpr, MeasureTheory.setIntegral_pos_iff_support_of_nonneg_ae