-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.LocalPredicate
Goal:
X : TopCat
T : (↑X : Type u_1) → Type u_1
P : LocalPredicate T
x : (↑X : Type u_1)
w :
  ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥(↑U : Opens (↑X : Type u_1))) → T (↑y : (↑X : Type u_1))),
    P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) fU →
      ∀ (fV : (y : ↥(↑V : Opens (↑X : Type u_1))) → T (↑y : (↑X : Type u_1))),
        P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) fV →
          Eq (α :=
              T
                (↑(Subtype.mk (p := fun (x_3 : (↑X : Type u_1)) ↦ x_3 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type u_1))) x ⋯) :
                  (↑X : Type u_1)))
              (fU (Subtype.mk (p := fun (x_3 : (↑X : Type u_1)) ↦ x_3 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type u_1))) x ⋯))
              (fV (Subtype.mk (p := fun (x_3 : (↑X : Type u_1)) ↦ x_3 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type u_1))) x ⋯)) →
            ∃ (W : OpenNhds x) (iU : W ⟶ U) (iV : W ⟶ V),
              ∀ (w : ↥(↑W : Opens (↑X : Type u_1))),
                Eq (α :=
                  T (↑((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type u_1))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type u_1))) w) : (↑X : Type u_1)))
                  (fU ((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type u_1))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type u_1))) w))
                  (fV ((iV : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type u_1))) → ↥(↑V : Opens (↑X : Type u_1))) w))
tU tV : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes (T := T) P).presheaf.stalk x)
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (stalkToFiber (T := T) P x) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x)) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
        tU :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (stalkToFiber (T := T) P x) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x)) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
        tV :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
Q : ∃ (W : (OpenNhds x)ᵒᵖ) (s : (w : ↥(↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))) → T (↑w : (↑X : Type u_1))) (hW :
  P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) s),
  tU =
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            ((subsheafToTypes (T := T) P).presheaf.germ (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1)) x ⋯) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.obj (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) →
            (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x))
        (Subtype.mk (p :=
          fun (f : (x_1 : ↥(unop (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) → T (↑x_1 : (↑X : Type u_1))) ↦
          P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) f) s hW) ∧
    tV =
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            ((subsheafToTypes (T := T) P).presheaf.germ (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1)) x ⋯) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.obj (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) →
            (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x))
        (Subtype.mk (p :=
          fun (f : (x_1 : ↥(unop (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) → T (↑x_1 : (↑X : Type u_1))) ↦
          P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) f) s hW) :=
  ⋯
refine_2 :
  ∀ (W : (OpenNhds x)ᵒᵖ) (s : (w : ↥(↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))) → T (↑w : (↑X : Type u_1)))
    (hW : P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) s)
    (e :
      tU =
          (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                ((subsheafToTypes (T := T) P).presheaf.germ (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1)) x ⋯) :
              (a :
                  (fun (X : Type u_1) ↦ X)
                    ((subsheafToTypes P).presheaf.obj (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) →
                (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x))
            (Subtype.mk (p :=
              fun (f : (x_1 : ↥(unop (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) → T (↑x_1 : (↑X : Type u_1))) ↦
              P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) f) s hW) ∧
        tV =
          (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                ((subsheafToTypes (T := T) P).presheaf.germ (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1)) x ⋯) :
              (a :
                  (fun (X : Type u_1) ↦ X)
                    ((subsheafToTypes P).presheaf.obj (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) →
                (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x))
            (Subtype.mk (p :=
              fun (f : (x_1 : ↥(unop (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) → T (↑x_1 : (↑X : Type u_1))) ↦
              P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) f) s hW)),
    tU = tV
⊢ tU = tV

Tactic:
choose W s hW e using Q