-- Module: Mathlib.Algebra.Colimit.TensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : Module R P
N : { x : Submodule R P // x.FG }
x y : TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M
eq :
  Eq (α :=
    Module.DirectLimit (R := R)
      (fun (x : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑x : Submodule R P)) M)
      fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
    (((Module.DirectLimit.of R { N : Submodule R P // N.FG }
              (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
              (fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
              N :
            TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M →ₗ[R]
              Module.DirectLimit (R := R)
                (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
                fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦
                LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h)) :
          (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) →
            Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P) ⊗[R] M)
              fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
        x :
      Module.DirectLimit (R := R)
        (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
        fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
    (((Module.DirectLimit.of R { N : Submodule R P // N.FG }
              (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
              (fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
              N :
            TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M →ₗ[R]
              Module.DirectLimit (R := R)
                (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
                fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦
                LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h)) :
          (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) →
            Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P) ⊗[R] M)
              fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
        y :
      Module.DirectLimit (R := R)
        (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
        fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
have :
  ∀ (N' : { N : Submodule R P // N.FG }) (le : N ≤ N')
    (eq :
      Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N' : Submodule R P)) M)
        ((LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P N N' le) :
              (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥(↑N' : Submodule R P) ⊗[R] M)
            x :
          TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N' : Submodule R P)) M)
        ((LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P N N' le) :
              (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥(↑N' : Submodule R P) ⊗[R] M)
            y :
          TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N' : Submodule R P)) M)),
    ∃ (N' : Submodule R P),
      N'.FG ∧
        ∃ (h : (↑N : Submodule R P) ≤ N'),
          Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) x :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) y :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
⊢ ∃ (N' : Submodule R P),
    N'.FG ∧
      ∃ (h : (↑N : Submodule R P) ≤ N'),
        Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
          ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) x :
            TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
          ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) y :
            TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)

Tactic:
have ⟨N', le, eq⟩ := Module.DirectLimit.exists_eq_of_of_eq eq