-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x y : (↑(s p) : Type)
this_1 : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x) : ℕ)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ x)) : ℕ)
j : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) y) : ℕ)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ y)) : ℕ)
Ap :
  (↑((F p).snd (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)
          (⟨i, hip⟩ : Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))
          (⟨j, hjp⟩ :
            Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))) :
      ℕ) =
    ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
Aq :
  (↑((F q).snd (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)
          (⟨i, hiq⟩ : Fin (↑((F q).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))
          (⟨j, hjq⟩ :
            Fin (↑((F q).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))) :
      ℕ) =
    ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊
this_2 :
  (↑((F p).snd (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)
          (⟨i, hip⟩ : Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))
          (⟨j, hjp⟩ :
            Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))) :
      ℕ) =
    (↑((F q).snd (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)
          (⟨i, hiq⟩ : Fin (↑((F q).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))
          (⟨j, hjq⟩ :
            Fin (↑((F q).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))) :
      ℕ)
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
I : |ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ 1
x₁ : |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = ε * ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|
x₂ : ε * ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = ε * (|ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|)
⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ ε

Tactic:
calc
        |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = ε * ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| := by
          rw [mul_inv_cancel₀ (ne_of_gt εpos), one_mul]
        _ = ε * (|ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|) := by
          rw [abs_of_nonneg (le_of_lt (inv_pos.2 εpos)), mul_assoc]
        _ ≤ ε * 1 := mul_le_mul_of_nonneg_left I (le_of_lt εpos)
        _ = ε := mul_one _

Premises used: HMul.hMul, abs, HSub.hSub, le_of_lt, Inv.inv, Dist.dist, mul_one, mul_le_mul_of_nonneg_left