awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
I : Set α
e : α
hIe : ¬Indep (insert e I)
h : ∀ (I₀ : Set α) (_ : I₀ ⊆ I) (_ : I₀.Finite), Indep (insert e I₀)
J : Set α
hJss : J ⊆ insert e I
hJfin : J.Finite
⊢ Indep J

Tactic:
exact indep_subset (h (J \ {e}) (by rwa [diff_subset_iff]) hJfin.diff) (by simp)

Premises used: Set.Finite.diff, SDiff.sdiff, Singleton.singleton
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
⊢ ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)

Tactic:
have htofin : ∀ I e, Indep I → ¬ Indep (insert e I) →
        ∃ I₀, I₀ ⊆ I ∧ I₀.Finite ∧ ¬ Indep (insert e I₀) := by
        by_contra! ⟨I, e, -, hIe, h⟩
        refine hIe <| indep_compact _ fun J hJss hJfin ↦ ?_
        exact indep_subset (h (J \ {e}) (by rwa [diff_subset_iff]) hJfin.diff) (by simp)
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
obtain : ∀ (e : α) (heI : e ∉ I) (hins : Indep (insert e I)), ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)

Tactic:
obtain ⟨e, heI, hins⟩ := exists_insert_of_not_maximal indep_subset hI hImax

Premises used: Set.exists_insert_of_not_maximal
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
pos : ∀ (heB : e ∈ B), ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
neg : ∀ (heB : e ∉ B), ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)

Tactic:
by_cases heB : e ∈ B
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∈ B
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)

Tactic:
⟨e, ⟨heB, heI⟩, hins⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∈ B
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)

Tactic:
exact ⟨e, ⟨heB, heI⟩, hins⟩
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
neg : ∀ (hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)), False
⊢ ∃ x ∈ B \ I, Indep (insert x I)

Tactic:
by_contra! hcon
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
⊢ ¬Indep (insert e B)

Tactic:
have heBdep := hBmax.not_prop_of_ssuperset (ssubset_insert heB)
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
neg : ∀ (B₀ : Set α) (hB₀B : B₀ ⊆ B) (hB₀fin : B₀.Finite) (hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)), False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨B₀, hB₀B, hB₀fin, hB₀e⟩ := htofin B e hBmax.1 heBdep

Premises used: And.left
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
⊢ Indep B₀

Tactic:
have hB₀ := indep_subset hBmax.1 hB₀B
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
b : α
hb : b ∈ B₀ \ I
⊢ ∃ Ib ⊆ I, Ib.Finite ∧ ¬Indep (insert (↑(Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ B₀ \ I) b hb) : α) Ib)

Tactic:
htofin I b hI (hcon b ⟨hB₀B hb.1, hb.2⟩)

Premises used: And.right, And.left, And.intro
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
b : α
hb : b ∈ B₀ \ I
⊢ ∃ Ib ⊆ I, Ib.Finite ∧ ¬Indep (insert (↑(Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ B₀ \ I) b hb) : α) Ib)

Tactic:
exact htofin I b hI (hcon b ⟨hB₀B hb.1, hb.2⟩)

Premises used: And.right, And.left, And.intro
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
⊢ ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), ∃ Ib ⊆ I, Ib.Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) Ib)

Tactic:
have hch : ∀ (b : ↑(B₀ \ I)), ∃ Ib, Ib ⊆ I ∧ Ib.Finite ∧ ¬Indep (insert (b : α) Ib) := by
          rintro ⟨b, hb⟩; exact htofin I b hI (hcon b ⟨hB₀B hb.1, hb.2⟩)
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
hch : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), ∃ Ib ⊆ I, Ib.Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) Ib)
choose! :
  ∀ (f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α)
    (hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))),
    ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
⊢ ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)

Tactic:
choose! f hf using hch
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α
hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))
⊢ Finite.{u_1 + 1} (↑(B₀ \ I) : Type u_1)

Tactic:
have : Finite ↑(B₀ \ I) := hB₀fin.diff.to_subtype
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α
hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))
this : Finite.{u_1 + 1} (↑(B₀ \ I) : Type u_1)
⊢ ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)

Tactic:
⟨iUnion f ∪ (B₀ ∩ I),
          union_subset (iUnion_subset (fun i ↦ (hf i).1)) inter_subset_right,
          (finite_iUnion fun i ↦ (hf i).2.1).union (hB₀fin.subset inter_subset_left),
          fun x ⟨hxB₀, hxn⟩ hi ↦ ?_⟩

Premises used: Set.Finite.union, False, Set.finite_iUnion, _private.0.IndepMatroid.ofFinitaryCardAugment.match_1, Set.iUnion_subset, Set.inter_subset_left, Set.Finite.subset, Inter.inter, Set.union_subset, And.right, And.left, And.intro, Exists.intro, Union.union, Set.iUnion, Set.inter_subset_right
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α
hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))
this : Finite.{u_1 + 1} (↑(B₀ \ I) : Type u_1)
refine :
  ∀ x ∈ B₀ \ (iUnion f ∪ B₀ ∩ I),
    ∀ (hi : Indep (insert x (iUnion f ∪ B₀ ∩ I))) (hxB₀ : x ∈ B₀) (hxn : x ∉ iUnion f ∪ B₀ ∩ I), False
⊢ ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)

Tactic:
refine ⟨iUnion f ∪ (B₀ ∩ I),
          union_subset (iUnion_subset (fun i ↦ (hf i).1)) inter_subset_right,
          (finite_iUnion fun i ↦ (hf i).2.1).union (hB₀fin.subset inter_subset_left),
          fun x ⟨hxB₀, hxn⟩ hi ↦ ?_⟩
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α
hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))
this : Finite.{u_1 + 1} (↑(B₀ \ I) : Type u_1)
x : α
h : x ∈ B₀ \ (iUnion f ∪ B₀ ∩ I)
hi : Indep (insert x (iUnion f ∪ B₀ ∩ I))
hxB₀ : x ∈ B₀
hxn : x ∉ iUnion f ∪ B₀ ∩ I
⊢ x ∉ I

Tactic:
have hxI : x ∉ I := fun hxI ↦ hxn <| Or.inr ⟨hxB₀, hxI⟩
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α
hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))
this : Finite.{u_1 + 1} (↑(B₀ \ I) : Type u_1)
x : α
h : x ∈ B₀ \ (iUnion f ∪ B₀ ∩ I)
hi : Indep (insert x (iUnion f ∪ B₀ ∩ I))
hxB₀ : x ∈ B₀
hxn : x ∉ iUnion f ∪ B₀ ∩ I
hxI : x ∉ I
⊢ False

Tactic:
(hf ⟨x, ⟨hxB₀, hxI⟩⟩).2.2 (indep_subset hi <| insert_subset_insert ?_)

Premises used: Subtype.mk, And.right, And.intro, Set.insert_subset_insert
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α
hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))
this : Finite.{u_1 + 1} (↑(B₀ \ I) : Type u_1)
x : α
h : x ∈ B₀ \ (iUnion f ∪ B₀ ∩ I)
hi : Indep (insert x (iUnion f ∪ B₀ ∩ I))
hxB₀ : x ∈ B₀
hxn : x ∉ iUnion f ∪ B₀ ∩ I
hxI : x ∉ I
refine : f (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ B₀ \ I) x ⋯) ⊆ iUnion f ∪ B₀ ∩ I
⊢ False

Tactic:
refine (hf ⟨x, ⟨hxB₀, hxI⟩⟩).2.2 (indep_subset hi <| insert_subset_insert ?_)

Premises used: Subtype.mk, And.right, And.intro, Set.insert_subset_insert
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α
hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))
this : Finite.{u_1 + 1} (↑(B₀ \ I) : Type u_1)
x : α
h_1 : x ∈ B₀ \ (iUnion f ∪ B₀ ∩ I)
hi : Indep (insert x (iUnion f ∪ B₀ ∩ I))
hxB₀ : x ∈ B₀
hxn : x ∉ iUnion f ∪ B₀ ∩ I
hxI : x ∉ I
h : f (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ B₀ \ I) x ⋯) ⊆ iUnion f
⊢ f (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ B₀ \ I) x ⋯) ⊆ iUnion f ∪ B₀ ∩ I

Tactic:
apply subset_union_of_subset_left

Premises used: Set.subset_union_of_subset_left
-- Module: Mathlib.Combinatorics.Matroid.IndepAxioms
Goal:
α : Type u_1
E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug :
  ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hImax : ¬Maximal Indep I
hBmax : Maximal Indep B
e : α
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ (x : α) (_ : x ∈ B \ I), ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
f : (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)) → Set α
hf : ∀ (b : (↑(B₀ \ I) : Type u_1)), f b ⊆ I ∧ (f b).Finite ∧ ¬Indep (insert (↑b : α) (f b))
this : Finite.{u_1 + 1} (↑(B₀ \ I) : Type u_1)
x : α
h : x ∈ B₀ \ (iUnion f ∪ B₀ ∩ I)
hi : Indep (insert x (iUnion f ∪ B₀ ∩ I))
hxB₀ : x ∈ B₀
hxn : x ∉ iUnion f ∪ B₀ ∩ I
hxI : x ∉ I
⊢ f (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ B₀ \ I) x ⋯) ⊆ iUnion f

Tactic:
apply subset_iUnion

Premises used: Set.subset_iUnion