-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dual.Lemmas
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
w : Dual R N ⊗[R] Dual R M
z : M ⊗[R] N
zero :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) 0 : (a : N ⊗[R] M) → R)
        ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
      R)
    (((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
            ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N) 0) :
          (a : M ⊗[R] N) → R)
        z :
      R)
tmul :
  ∀ (x : Dual R N) (y : Dual R M),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
      ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) (x ⊗ₜ[R] y) : Dual R (N ⊗[R] M)) :
            (a : N ⊗[R] M) → R)
          ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
        R)
      ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                  (x ⊗ₜ[R] y)) :
              Dual R (M ⊗[R] N)) :
            (a : M ⊗[R] N) → R)
          z :
        R)
add :
  ∀ (x y : Dual R N ⊗[R] Dual R M),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
        ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) x : Dual R (N ⊗[R] M)) :
              (a : N ⊗[R] M) → R)
            ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
          R)
        ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                  ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                    x) :
                Dual R (M ⊗[R] N)) :
              (a : M ⊗[R] N) → R)
            z :
          R) →
      Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) y : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                (a : N ⊗[R] M) → R)
              ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
            R)
          ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                    ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                        (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                      y) :
                  Dual R (M ⊗[R] N)) :
                (a : M ⊗[R] N) → R)
              z :
            R) →
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) (x + y) : Dual R (N ⊗[R] M)) :
                (a : N ⊗[R] M) → R)
              ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
            R)
          ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
                    ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) :
                        (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N)
                      (x + y)) :
                  Dual R (M ⊗[R] N)) :
                (a : M ⊗[R] N) → R)
              z :
            R)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((dualDistrib R N M : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R (N ⊗[R] M)) w : Dual R (N ⊗[R] M)) :
          (a : N ⊗[R] M) → R)
        ((TensorProduct.comm R M N : (a : M ⊗[R] N) → N ⊗[R] M) z : N ⊗[R] M) :
      R)
    ((((dualDistrib R M N : (a : Dual R M ⊗[R] Dual R N) → Dual R (M ⊗[R] N))
              ((TensorProduct.comm R (Dual R N) (Dual R M) : (a : Dual R N ⊗[R] Dual R M) → Dual R M ⊗[R] Dual R N) w) :
            Dual R (M ⊗[R] N)) :
          (a : M ⊗[R] N) → R)
        z :
      R)

Tactic:
induction w