-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.ColimitFunctor
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : LocallySmall.{w, v, u} C
inst_2 : IsCofiltered.{v, u} C
inst_3 : InitiallySmall.{w, v, u} C
R : CategoryTheory.Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ RingCat
cR : Cocone R
hcR : IsColimit cR
M : PresheafOfModules R
cM : Cocone M.presheaf
hcM : IsColimit cM
M' : PresheafOfModules R
cM' : Cocone M'.presheaf
hcM' : IsColimit cM'
M'' : PresheafOfModules R
cM'' : Cocone M''.presheaf
hcM'' : IsColimit cM''
m : ModuleColimit hcR hcM
m' : ModuleColimit hcR hcM'
m'' : ModuleColimit hcR hcM''
U : Cᵒᵖ
x :
  (M.presheaf ⋙
        forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier)).obj
    U
x' :
  (M'.presheaf ⋙
        forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier)).obj
    U
x'' :
  (M''.presheaf ⋙
        forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier)).obj
    U
h :
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (NatTrans.app
                (Cocone.ι
                  (Cocone.tensor
                    (Functor.mapCocone
                      (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                        (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                      cM)
                    (Cocone.tensor
                      (Functor.mapCocone
                        (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                          (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                        cM')
                      (Functor.mapCocone
                        (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                          (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                        cM''))))
                U) :
            (a :
                (fun (X : Type w) ↦ X)
                  ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                        M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                    U)) →
              (fun (X : Type w) ↦ X)
                (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                      (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                          (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                            ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                  U))
          (x, x', x'')).1 =
      (m, m', m'').1 ∧
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app
                    (Cocone.ι
                      (Cocone.tensor
                        (Functor.mapCocone
                          (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                            (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                          cM)
                        (Cocone.tensor
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM')
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM''))))
                    U) :
                (a :
                    (fun (X : Type w) ↦ X)
                      ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                            M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                        U)) →
                  (fun (X : Type w) ↦ X)
                    (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                          (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                              (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                      U))
              (x, x', x'')).2.1 =
        (m, m', m'').2.1 ∧
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app
                    (Cocone.ι
                      (Cocone.tensor
                        (Functor.mapCocone
                          (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                            (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                          cM)
                        (Cocone.tensor
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM')
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM''))))
                    U) :
                (a :
                    (fun (X : Type w) ↦ X)
                      ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                            M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                        U)) →
                  (fun (X : Type w) ↦ X)
                    (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                          (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                              (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                      U))
              (x, x', x'')).2.2 =
        (m, m', m'').2.2
obtain :
  ∃ (U_1 : Cᵒᵖ) (x_1 : (↑(M.obj U_1) : Type w)) (x'_1 : (↑(M'.obj U_1) : Type w)) (x''_1 : (↑(M''.obj U_1) : Type w)),
    Eq (α := ModuleColimit hcR hcM)
        ((ιM : (a : (↑(M.obj U_1) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) x_1 : ModuleColimit hcR hcM)
        (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app
                    (Cocone.ι
                      (Cocone.tensor
                        (Functor.mapCocone
                          (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                            (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                          cM)
                        (Cocone.tensor
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM')
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM''))))
                    U) :
                (a :
                    (fun (X : Type w) ↦ X)
                      ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                            M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                        U)) →
                  (fun (X : Type w) ↦ X)
                    (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                          (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                              (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                      U))
              (x, x', x'')).1 :
          Cocone.pt (F :=
            M.presheaf ⋙
              forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier))
            (Functor.mapCocone
              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier))
              cM)) ∧
      Eq (α := ModuleColimit hcR hcM')
          ((ιM : (a : (↑(M'.obj U_1) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM') x'_1 : ModuleColimit hcR hcM')
          (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (NatTrans.app
                        (Cocone.ι
                          (Cocone.tensor
                            (Functor.mapCocone
                              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                              cM)
                            (Cocone.tensor
                              (Functor.mapCocone
                                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                                cM')
                              (Functor.mapCocone
                                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                                cM''))))
                        U) :
                    (a :
                        (fun (X : Type w) ↦ X)
                          ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                                M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                            U)) →
                      (fun (X : Type w) ↦ X)
                        (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                              (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                                  (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                    ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                          U))
                  (x, x', x'')).2.1 :
            Cocone.pt (F :=
              M'.presheaf ⋙
                forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier))
              (Functor.mapCocone
                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier))
                cM')) ∧
        Eq (α := ModuleColimit hcR hcM'')
          ((ιM : (a : (↑(M''.obj U_1) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM'') x''_1 : ModuleColimit hcR hcM'')
          (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (NatTrans.app
                        (Cocone.ι
                          (Cocone.tensor
                            (Functor.mapCocone
                              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                              cM)
                            (Cocone.tensor
                              (Functor.mapCocone
                                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                                cM')
                              (Functor.mapCocone
                                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                                cM''))))
                        U) :
                    (a :
                        (fun (X : Type w) ↦ X)
                          ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                                M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                            U)) →
                      (fun (X : Type w) ↦ X)
                        (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                              (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                                  (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                    ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                          U))
                  (x, x', x'')).2.2 :
            Cocone.pt (F :=
              M''.presheaf ⋙
                forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier))
              (Functor.mapCocone
                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier))
                cM''))
⊢ ∃ (U : Cᵒᵖ) (x : (↑(M.obj U) : Type w)) (x' : (↑(M'.obj U) : Type w)) (x'' : (↑(M''.obj U) : Type w)),
    (ιM : (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) x = m ∧
      (ιM : (a : (↑(M'.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM') x' = m' ∧
        (ιM : (a : (↑(M''.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM'') x'' = m''

Tactic:
obtain ⟨rfl, rfl, rfl⟩ := h

Premises used: rfl