-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst_9 : AddCommMonoid P
inst_10 : Module R P
inst_11 : AddCommMonoid Q
inst_12 : Module S Q
inst_13 : Module R Q
inst_14 : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
eM : M ≃ₗ[R] P
eN : N ≃ₗ[S] Q
comm : f' ∘ₗ (↑eM : M →ₗ[R] P) = (↑(LinearEquiv.restrictScalars R eN) : N →ₗ[R] Q) ∘ₗ f
this :
  ∀ (m : M),
    Eq.{u_3 + 1} (α := Q) ((f' : (a : P) → Q) ((eM : (a : M) → P) m : P) : Q)
      ((eN : (a : N) → Q) ((f : (a : M) → N) m : N) : Q)
ist :
  IsTensorProduct.{u_1, v₃, u_2, u_3} (M₁ := S) (M₂ := P) (M := Q)
    ((↑R :
        {S M : Type v₃} →
          {M₂ : Type (max u_2 u_3)} →
            [inst : Semiring R] →
              [inst_15 : Semiring S] →
                [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                  [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                    [inst_18 : Module R M] →
                      [inst_19 : Module R M₂] →
                        [inst_20 : Module S M] →
                          [inst_21 : Module S M₂] →
                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
      (S := S)
      (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (P →ₗ[R] Q))) : (P →ₗ[R] Q) →ₗ[S] S →ₗ[S] P →ₗ[R] Q) :
          (a : P →ₗ[R] Q) → S →ₗ[S] P →ₗ[R] Q)
        f'))
h :
  Eq (α := S →ₗ[R] M →ₗ[R] N)
    ((↑R :
        {S M : Type v₃} →
          {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
            [inst : Semiring R] →
              [inst_15 : Semiring S] →
                [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                  [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                    [inst_18 : Module R M] →
                      [inst_19 : Module R M₂] →
                        [inst_20 : Module S M] →
                          [inst_21 : Module S M₂] →
                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
      (S := S)
      (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) : (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
          (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
        f))
    (LinearMap.compr₂
      (LinearMap.compl₂ (σ₂₃ := RingHom.id R)
        ((↑R :
            {S M : Type v₃} →
              {M₂ : Type (max u_2 u_3)} →
                [inst : Semiring R] →
                  [inst_15 : Semiring S] →
                    [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                      [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                        [inst_18 : Module R M] →
                          [inst_19 : Module R M₂] →
                            [inst_20 : Module S M] →
                              [inst_21 : Module S M₂] →
                                [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
          (S := S)
          (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (P →ₗ[R] Q))) : (P →ₗ[R] Q) →ₗ[S] S →ₗ[S] P →ₗ[R] Q) :
              (a : P →ₗ[R] Q) → S →ₗ[S] P →ₗ[R] Q)
            f'))
        (↑eM : M →ₗ[R] P))
      (↑(LinearEquiv.restrictScalars R eN.symm) : Q →ₗ[R] N))
⊢ IsTensorProduct.{u_1, v₃, v₁, v₂} (M₁ := S) (M₂ := M) (M := N)
    ((↑R :
        {S M : Type v₃} →
          {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
            [inst : Semiring R] →
              [inst_15 : Semiring S] →
                [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                  [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                    [inst_18 : Module R M] →
                      [inst_19 : Module R M₂] →
                        [inst_20 : Module S M] →
                          [inst_21 : Module S M₂] →
                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
      (S := S)
      (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) : (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
          (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
        f))

Tactic:
convert! (ist.compl₂_linearEquiv eM).compr₂_linearEquiv (eN.symm.restrictScalars R)

Premises used: LinearEquiv.symm, LinearEquiv.restrictScalars, IsTensorProduct.compl₂_linearEquiv, IsTensorProduct.compr₂_linearEquiv