awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
μ : Measure V
inst_8 : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), (↑n : ℕ∞) ≤ N → Integrable (ε := ℝ) (fun (v : V) ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
⊢ Eq (α := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) E)
    (iteratedFDeriv ℝ n (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w)
    (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v n) w)

Tactic:
exact ((hasFTaylorSeriesUpTo_fourierIntegral' L hf h'f).eq_iteratedFDeriv
    (mod_cast hn) w).symm

Premises used: HasFTaylorSeriesUpTo.eq_iteratedFDeriv, VectorFourier.hasFTaylorSeriesUpTo_fourierIntegral', Eq.symm
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
hn : (↑0 : ℕ∞) ≤ N
zero :
  ∀ (w : W) (m : (i : Fin 0) → V),
    Eq.{u_1 + 1} (α := E)
      ((fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ 0 f) w : (a : (i : Fin 0) → V) → E) m : E)
      ((fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w 0 : (a : (i : Fin 0) → V) → E) m : E)
⊢ Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin 0) ↦ V) E)
    (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ 0 f)) fun (w : W) ↦
    fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w 0

Tactic:
ext w m
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
hn : (↑0 : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : (i : Fin 0) → V
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := E)
    ((fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ 0 f) w : (a : (i : Fin 0) → V) → E) m : E)
    ((fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w 0 : (a : (i : Fin 0) → V) → E) m : E)

Tactic:
simp only [iteratedFDeriv_zero_apply, fourierPowSMulRight_apply, pow_zero,
      Finset.univ_eq_empty, ContinuousLinearMap.neg_apply, ContinuousLinearMap.flip_apply,
      Finset.prod_empty, one_smul, fourierIntegral_continuousMultilinearMap_apply' ((h'f 0 bot_le))]

Premises used: Finset.prod_empty, ContinuousLinearMap.flip_apply, Finset.univ_eq_empty, pow_zero, one_smul, iteratedFDeriv_zero_apply, ContinuousLinearMap.neg_apply, VectorFourier.fourierPowSMulRight_apply, OfNat.ofNat, bot_le, Real.fourierIntegral_continuousMultilinearMap_apply'
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
ih :
  ∀ (hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N),
    Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n f)) fun (w : W) ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w n
hn : (↑(n + 1) : ℕ∞) ≤ N
succ :
  ∀ (w : W) (m : (i : Fin (n + 1)) → V),
    Eq.{u_1 + 1} (α := E)
      ((fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f) w : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E) m : E)
      ((fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w (n + 1) :
            (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E)
          m :
        E)
⊢ Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ V) E)
    (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f)) fun (w : W) ↦
    fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w (n + 1)

Tactic:
ext w m
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
ih :
  ∀ (hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N),
    Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n f)) fun (w : W) ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w n
hn : (↑(n + 1) : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : (i : Fin (n + 1)) → V
⊢ Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ V) E)
    (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f) μ

Tactic:
specialize h'f (n + 1) hn

Premises used: HAdd.hAdd, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
n : ℕ
ih :
  ∀ (hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N),
    Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n f)) fun (w : W) ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w n
hn : (↑(n + 1) : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : (i : Fin (n + 1)) → V
h'f :
  Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin (n + 1)) ↦ V) E)
    (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f) μ
⊢ Integrable (ε := V →L[ℝ] ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
    (fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f)) μ

Tactic:
rwa [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left, Function.comp_def,
          LinearIsometryEquiv.integrable_comp_iff (𝕜 := ℝ) (φ := fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f))]
        at h'f

Premises used: Function.comp_def, iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left, LinearIsometryEquiv.integrable_comp_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
ih :
  ∀ (hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N),
    Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n f)) fun (w : W) ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w n
hn : (↑(n + 1) : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : (i : Fin (n + 1)) → V
⊢ sorry

Tactic:
have J : Integrable (fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f)) μ := by
      specialize h'f (n + 1) hn
      rwa [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left, Function.comp_def,
          LinearIsometryEquiv.integrable_comp_iff (𝕜 := ℝ) (φ := fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f))]
        at h'f
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
ih :
  ∀ (hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N),
    Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n f)) fun (w : W) ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w n
hn : (↑(n + 1) : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : (i : Fin (n + 1)) → V
J : sorry
H :
  (((fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f)) w :
              (a : V) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
            (m 0) :
          ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) :
        (a : (i : Fin n) → V) → E)
      (Fin.tail (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ V) m) =
    (-(2 * (↑π : ℂ) * I)) ^ (n + 1) •
      HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E)
        (∏ x : Fin (n + 1), -(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) (m x) : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w)
        (∫ (v : V),
          HSMul.hSMul (α := Circle)
            ((𝐞 : (a : ℝ) → Circle) (-(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w) : Circle) (f v) ∂μ)
rw :
  Eq.{u_1 + 1} (α := E)
    (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂
        (fun (x : V) ↦ (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f x : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E) m) w :
      E)
    ((fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w (n + 1) : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E)
        m :
      E)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := E)
    ((fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f) w : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E) m : E)
    ((fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w (n + 1) : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E)
        m :
      E)

Tactic:
rw [fourierIntegral_continuousMultilinearMap_apply' (h'f _ hn)]

Premises used: Real.fourierIntegral_continuousMultilinearMap_apply'
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
ih :
  ∀ (hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N),
    Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n f)) fun (w : W) ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w n
hn : (↑(n + 1) : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : (i : Fin (n + 1)) → V
J : sorry
H :
  (((fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f)) w :
              (a : V) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
            (m 0) :
          ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) :
        (a : (i : Fin n) → V) → E)
      (Fin.tail (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ V) m) =
    (-(2 * (↑π : ℂ) * I)) ^ (n + 1) •
      HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E)
        (∏ x : Fin (n + 1), -(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) (m x) : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w)
        (∫ (v : V),
          HSMul.hSMul (α := Circle)
            ((𝐞 : (a : ℝ) → Circle) (-(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w) : Circle) (f v) ∂μ)
simp :
  fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂
      (fun (x : V) ↦
        (((fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f) x : (a : V) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (m 0) :
              ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) :
            (a : (i : Fin n) → V) → E)
          (Fin.tail (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ V) m))
      w =
    (-(2 * (↑π : ℂ) * I)) ^ (n + 1) •
      HSMul.hSMul (α := ℝ) (∏ x : Fin (n + 1), -(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) (m x) : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w)
        (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f w)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := E)
    (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂
        (fun (x : V) ↦ (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f x : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E) m) w :
      E)
    ((fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w (n + 1) : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E)
        m :
      E)

Tactic:
simp only [iteratedFDeriv_succ_apply_left, fourierPowSMulRight_apply,
        ContinuousLinearMap.neg_apply, ContinuousLinearMap.flip_apply]

Premises used: ContinuousLinearMap.flip_apply, ContinuousLinearMap.neg_apply, VectorFourier.fourierPowSMulRight_apply, iteratedFDeriv_succ_apply_left
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
ih :
  ∀ (hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N),
    Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n f)) fun (w : W) ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w n
hn : (↑(n + 1) : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : (i : Fin (n + 1)) → V
J : sorry
succ :
  (((fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f)) w :
              (a : V) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
            (m 0) :
          ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) :
        (a : (i : Fin n) → V) → E)
      (Fin.tail (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ V) m) =
    (-(2 * (↑π : ℂ) * I)) ^ (n + 1) •
      HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E)
        (∏ x : Fin (n + 1), -(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) (m x) : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w)
        (∫ (v : V),
          HSMul.hSMul (α := Circle)
            ((𝐞 : (a : ℝ) → Circle) (-(((L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v : W →L[ℝ] ℝ) : (a : W) → ℝ) w) : Circle) (f v) ∂μ)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := E)
    ((fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f) w : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E) m : E)
    ((fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w (n + 1) : (a : (i : Fin (n + 1)) → V) → E)
        m :
      E)

Tactic:
suffices H : (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (fderiv ℝ (iteratedFDeriv ℝ n f)) w)
          (m 0) (Fin.tail m) =
        (-(2 * π * I)) ^ (n + 1) • (∏ x : Fin (n + 1), -L (m x) w) • ∫ v, 𝐞 (-L v w) • f v ∂μ by
      rw [fourierIntegral_continuousMultilinearMap_apply' (h'f _ hn)]
      simp only [iteratedFDeriv_succ_apply_left, fourierPowSMulRight_apply,
        ContinuousLinearMap.neg_apply, ContinuousLinearMap.flip_apply]
      rw [← fourierIntegral_continuousMultilinearMap_apply' ((J.apply_continuousLinearMap _)),
          ← fourierIntegral_continuousLinearMap_apply' J]
      exact H
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E) (iteratedFDeriv ℝ n f) μ
n : ℕ
ih :
  ∀ (hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N),
    Eq (α := (w : W) → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
      (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n f)) fun (w : W) ↦
      fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f) w n
hn : (↑(n + 1) : ℕ∞) ≤ N
w : W
m : (i : Fin (n + 1)) → V
J : sorry
⊢ (↑n : ℕ∞) < N

Tactic:
have h'n : n < N := (Nat.cast_lt.mpr n.lt_succ_self).trans_le hn
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
rw :
  Eq (α :=
    ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
      (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
    (fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f)) w n)
    ((fun (w : W) ↦
        (fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) w
            n :
          ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
            (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)))
      w)
rw₁ :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑n : ℕ∞) ≤ N →
      Integrable (ε :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
          (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
        (iteratedFDeriv ℝ n fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) μ
⊢ Eq (α :=
    ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
      (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
    (fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f)) w n)
    (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) w)

Tactic:
rw [fourierIntegral_iteratedFDeriv (N := N) _ (hf.fourierPowSMulRight _ _) _ hn]

Premises used: VectorFourier.fourierIntegral_iteratedFDeriv
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
e_f :
  Eq (α := W → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)
    (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f))
    (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k)
⊢ Eq (α :=
    ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
      (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E))
    (fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f)) w n)
    ((fun (w : W) ↦
        (fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k) w
            n :
          ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V)
            (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)))
      w)

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
inst_6 : MeasurableSpace V
inst_7 : BorelSpace V
inst_8 : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst_9 : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ (↑N : ℕ∞ω) f
h'f :
  ∀ (k n : ℕ),
    (↑k : ℕ∞) ≤ K →
      (↑n : ℕ∞) ≤ N →
        Integrable (ε := ℝ)
          (fun (v : V) ↦
            ‖v‖ ^ k *
              Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ V) E)
                (iteratedFDeriv ℝ n f v))
          μ
k n : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞) ≤ K
hn : (↑n : ℕ∞) ≤ N
w : W
rw : ∀ (n : ℕ), (↑n : ℕ∞) ≤ K → Integrable (ε := ℝ) (fun (v : V) ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
⊢ Eq (α := W → ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin k) ↦ W) E)
    (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ f))
    (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₁₂ fun (v : V) ↦ fourierPowSMulRight L f v k)

Tactic:
rw [iteratedFDeriv_fourierIntegral (N := K) _ _ hf.continuous.aestronglyMeasurable hk]

Premises used: ContDiff.continuous, VectorFourier.iteratedFDeriv_fourierIntegral, Continuous.aestronglyMeasurable