-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.BaseChange
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst_4 : AddCommMonoid M
inst_5 : Module R M
M' : Type u_4
inst_6 : AddCommMonoid M'
inst_7 : Module R M'
inst_8 : Module A M'
inst_9 : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
inst_10 : IsLocalizedModule S f
Q : Type (max u_3 u_4 u_2)
x : AddCommMonoid Q
x_1 : Module R Q
x_2 : Module A Q
h_1 : IsScalarTower R A Q
ℓ : M' →ₗ[R] Q
h₂ : ∀ (y : M' →ₗ[R] Q), (fun (l : M' →ₗ[R] Q) ↦ l ∘ₗ f = ℓ ∘ₗ f) y → y = ℓ
g'' : M' →ₗ[A] Q
h :
  (fun (g' : M' →ₗ[A] Q) ↦
      (↑R :
              {S : Type u_2} →
                {M : Type u_4} →
                  {M₂ : Type (max (max u_3 u_4) u_2)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_11 : Semiring S] →
                        [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_14 : Module R M] →
                              [inst_15 : Module R M₂] →
                                [inst_16 : Module S M] →
                                  [inst_17 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        ℓ ∘ₗ f)
    g''
refl :
  ∀
    (h₂ :
      ∀ (y : M' →ₗ[R] Q),
        (fun (l : M' →ₗ[R] Q) ↦
              l ∘ₗ f =
                (↑R :
                      {S : Type u_2} →
                        {M : Type u_4} →
                          {M₂ : Type (max (max u_2 u_3) u_4)} →
                            [inst : Semiring R] →
                              [inst_11 : Semiring S] →
                                [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                                  [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                                    [inst_14 : Module R M] →
                                      [inst_15 : Module R M₂] →
                                        [inst_16 : Module S M] →
                                          [inst_17 : Module S M₂] →
                                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                    g'' ∘ₗ
                  f)
            y →
          y =
            (↑R :
                {S : Type u_2} →
                  {M : Type u_4} →
                    {M₂ : Type (max (max u_2 u_3) u_4)} →
                      [inst : Semiring R] →
                        [inst_11 : Semiring S] →
                          [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_14 : Module R M] →
                                [inst_15 : Module R M₂] →
                                  [inst_16 : Module S M] →
                                    [inst_17 : Module S M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
              g'')
    (h :
      Eq (α := M →ₗ[R] Q)
        ((↑R :
              {S : Type u_2} →
                {M : Type u_4} →
                  {M₂ : Type (max (max u_3 u_4) u_2)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_11 : Semiring S] →
                        [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_14 : Module R M] →
                              [inst_15 : Module R M₂] →
                                [inst_16 : Module S M] →
                                  [inst_17 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g'' ∘ₗ
          f)
        ((↑R :
              {S : Type u_2} →
                {M : Type u_4} →
                  {M₂ : Type (max (max u_2 u_3) u_4)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_11 : Semiring S] →
                        [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_14 : Module R M] →
                              [inst_15 : Module R M₂] →
                                [inst_16 : Module S M] →
                                  [inst_17 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g'' ∘ₗ
          f)),
    g'' =
      LinearMap.extendScalarsOfIsLocalization S A
        ((↑R :
            {S : Type u_2} →
              {M : Type u_4} →
                {M₂ : Type (max (max u_2 u_3) u_4)} →
                  [inst : Semiring R] →
                    [inst_11 : Semiring S] →
                      [inst_12 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_13 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_14 : Module R M] →
                            [inst_15 : Module R M₂] →
                              [inst_16 : Module S M] →
                                [inst_17 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
          g'')
⊢ g'' = LinearMap.extendScalarsOfIsLocalization S A ℓ

Tactic:
cases h₂ (LinearMap.restrictScalars R g'') h

Premises used: LinearMap.restrictScalars