awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
u' : Set M
hu' : u' ∈ nhds x₀
hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ u').Nonempty}
s : Set ι := {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ u').Nonempty}
this_1 : Fintype (↑{i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ u').Nonempty} : Type u_7)
this_2 :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑ i ∈ s.toFinset, t i x⟩) (u ∩ u') x₀
y : M
hy : y ∈ u ∩ u'
i : ι
hi : i ∉ (↑s.toFinset : Set ι)
h : t i y ≠ 0
this : i ∈ s.toFinset
⊢ False

Tactic:
hi this
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
u' : Set M
hu' : u' ∈ nhds x₀
hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ u').Nonempty}
s : Set ι := {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ u').Nonempty}
this_1 : Fintype (↑{i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ u').Nonempty} : Type u_7)
this_2 :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑ i ∈ s.toFinset, t i x⟩) (u ∩ u') x₀
y : M
hy : y ∈ u ∩ u'
i : ι
hi : i ∉ (↑s.toFinset : Set ι)
h : t i y ≠ 0
this : i ∈ s.toFinset
⊢ False

Tactic:
exact hi this
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) x₀
⊢ ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) Set.univ x₀

Tactic:
simp_rw [← contMDiffWithinAt_univ] at ht' ⊢

Premises used: contMDiffWithinAt_univ
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) Set.univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑' (i : ι), t i x⟩) Set.univ x₀

Tactic:
.sum_section_of_locallyFinite ht ht'

Premises used: ContMDiffWithinAt.sum_section_of_locallyFinite
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) Set.univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑' (i : ι), t i x⟩) Set.univ x₀

Tactic:
exact .sum_section_of_locallyFinite ht ht'
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u
⊢ ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑' (i : ι), t i x⟩) u

Tactic:
fun x hx ↦ .sum_section_of_locallyFinite ht (ht' · x hx)

Premises used: ContMDiffWithinAt.sum_section_of_locallyFinite, ContMDiffOn
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiff I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩
⊢ ContMDiff I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑' (i : ι), t i x⟩

Tactic:
fun x ↦ .sum_section_of_locallyFinite ht fun i ↦ ht' i x

Premises used: ContMDiff, ContMDiffAt.sum_section_of_locallyFinite
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
⊢ u ⊆ Set.univ

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
apply :
  ∀ (y : M) (hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y),
    Eq (α := TotalSpace F V) ⟨y, ∑ᶠ (i : ι), t i y⟩ ⟨y, ∑' (i : ι), t i y⟩
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑ᶠ (i : ι), t i x⟩) u x₀

Tactic:
apply (ContMDiffWithinAt.sum_section_of_locallyFinite ht ht').congr' (t := Set.univ)
      (fun y hy ↦ ?_) (by grind) trivial

Premises used: trivial, ContMDiffWithinAt.congr', ContMDiffWithinAt.sum_section_of_locallyFinite
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y
rw : HasFiniteSupport.{u_7, u_6} (M := V y) fun (i : ι) ↦ t i y
⊢ Eq (α := TotalSpace F V) ⟨y, ∑ᶠ (i : ι), t i y⟩ ⟨y, ∑' (i : ι), t i y⟩

Tactic:
rw [← tsum_eq_finsum (L := SummationFilter.unconditional ι)]

Premises used: tsum_eq_finsum
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y
choose :
  ∀ (U : Set M) (hu : U ∈ nhds y)
    (hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}),
    HasFiniteSupport.{u_7, u_6} (M := V y) fun (i : ι) ↦ t i y
⊢ HasFiniteSupport.{u_7, u_6} (M := V y) fun (i : ι) ↦ t i y

Tactic:
choose U hu hfin using ht y
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y
U : Set M
hu : U ∈ nhds y
hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}
x : ι
hx : Membership.mem (γ := Set ι) {x : ι | t x y ≠ 0} x
⊢ t x y ≠ 0

Tactic:
rw [Set.mem_setOf] at hx ⊢

Premises used: Set.mem_setOf
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y
U : Set M
hu : U ∈ nhds y
hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}
x : ι
hx : t x y ≠ 0
h : y ∈ (fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) x ∩ U
⊢ ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) x ∩ U).Nonempty

Tactic:
use y
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y
U : Set M
hu : U ∈ nhds y
hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}
x : ι
hx : t x y ≠ 0
⊢ y ∈ (fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) x ∩ U

Tactic:
simpa using ⟨hx, mem_of_mem_nhds hu⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y
U : Set M
hu : U ∈ nhds y
hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}
⊢ Subset.{u_7} (α := Set ι) {x : ι | t x y ≠ 0} {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}

Tactic:
have : {x | t x y ≠ 0} ⊆ {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty} := by
    intro x hx
    rw [Set.mem_setOf] at hx ⊢
    use y
    simpa using ⟨hx, mem_of_mem_nhds hu⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y
U : Set M
hu : U ∈ nhds y
hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}
this :
  Subset.{u_7} (α := Set ι) {x : ι | t x y ≠ 0} {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}
⊢ HasFiniteSupport.{u_7, u_6} (M := V y) fun (i : ι) ↦ t i y

Tactic:
Set.Finite.subset hfin this

Premises used: Function.HasFiniteSupport, Set.Finite.subset
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u x₀
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) Set.univ y
U : Set M
hu : U ∈ nhds y
hfin : Set.Finite.{u_7} (α := ι) {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}
this :
  Subset.{u_7} (α := Set ι) {x : ι | t x y ≠ 0} {i : ι | ((fun (i : ι) ↦ ({x : M | t i x ≠ 0} : Set M)) i ∩ U).Nonempty}
⊢ HasFiniteSupport.{u_7, u_6} (M := V y) fun (i : ι) ↦ t i y

Tactic:
exact Set.Finite.subset hfin this

Premises used: Set.Finite.subset
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) Set.univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑ᶠ (i : ι), t i x⟩) Set.univ x₀

Tactic:
.finsum_section_of_locallyFinite ht ht'

Premises used: ContMDiffWithinAt.finsum_section_of_locallyFinite
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
x₀ : M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) Set.univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑ᶠ (i : ι), t i x⟩) Set.univ x₀

Tactic:
exact .finsum_section_of_locallyFinite ht ht'
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_10 : FiberBundle F V
inst_11 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_12 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
u : Set M
ι : Type u_7
t : ι → (x : M) → V x
ht : LocallyFinite.{u_7, u_4} (X := M) fun (i : ι) ↦ {x : M | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, t i x⟩) u
⊢ ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) n (fun (x : M) ↦ ⟨x, ∑ᶠ (i : ι), t i x⟩) u

Tactic:
fun x hx ↦ .finsum_section_of_locallyFinite ht fun i ↦ ht' i x hx

Premises used: ContMDiffWithinAt.finsum_section_of_locallyFinite, ContMDiffOn