-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
EN : Type u_3
inst_6 : NormedAddCommGroup EN
inst_7 : NormedSpace 𝕜 EN
HN : Type u_4
inst_8 : TopologicalSpace HN
IN : ModelWithCorners 𝕜 EN HN
N : Type u
inst_9 : TopologicalSpace N
inst_10 : ChartedSpace HN N
f : M → N
hf : ContMDiff IM IN ∞ f
x : M
U : Opens (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)
hxU :
  Membership.mem (α := (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) U
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
            (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
          (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
            (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
        x :
      (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
ih :
  ∀ (a : (↑((locallyRingedSpace IN N).presheaf.obj (Opposite.op U)) : Type u)),
    Eq (α := (↑(CommRingCat.of 𝕜) : Type u))
      ((CommRingCat.Hom.hom
              ((locallyRingedSpaceMapAux f hf).c.app (Opposite.op U) ≫
                (locallyRingedSpace IM M).presheaf.germ ((Opens.map (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base).obj U) x hxU ≫
                  smoothSheafCommRing.evalHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x) :
            (a : (↑((locallyRingedSpace IN N).presheaf.obj (Opposite.op U)) : Type u)) → (↑(CommRingCat.of 𝕜) : Type u))
          a :
        (↑(CommRingCat.of 𝕜) : Type u))
      ((CommRingCat.Hom.hom
              ((locallyRingedSpace IN N).presheaf.germ U
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                        TopCat.carrier) (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
                      (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
                        (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
                    x)
                  hxU ≫
                smoothSheafCommRing.evalHom IN 𝓘(𝕜, 𝕜) N 𝕜 (f x)) :
            (a : (↑((locallyRingedSpace IN N).presheaf.obj (Opposite.op U)) : Type u)) → (↑(CommRingCat.of 𝕜) : Type u))
          a :
        (↑(CommRingCat.of 𝕜) : Type u))
⊢ (locallyRingedSpaceMapAux f hf).c.app (Opposite.op U) ≫
      (locallyRingedSpace IM M).presheaf.germ ((Opens.map (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base).obj U) x hxU ≫
        smoothSheafCommRing.evalHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x =
    (locallyRingedSpace IN N).presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
              (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
            (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
              (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
          x)
        hxU ≫
      smoothSheafCommRing.evalHom IN 𝓘(𝕜, 𝕜) N 𝕜 (f x)

Tactic:
ext a