-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.InvariantBasisNumber
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
n m : ℕ
a :
  ∀ (f : Matrix (Fin m) (Fin n) R) (g : Matrix (Fin n) (Fin m) R),
    Eq (α := Matrix (Fin n) (Fin n) R)
          ((Equiv.symm (Equiv.mapMatrix opEquiv) : (a : Matrix (Fin n) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) → Matrix (Fin n) (Fin n) R)
              (HMul.hMul (α := Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) (β := Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ)
                ((Equiv.mapMatrix opEquiv : (a : Matrix (Fin n) (Fin m) R) → Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) g :
                  Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ)
                ((Equiv.mapMatrix opEquiv : (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R) → Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) f :
                  Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ)) :
            Matrix (Fin n) (Fin n) R)
          ((Equiv.symm (Equiv.mapMatrix opEquiv) : (a : Matrix (Fin n) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) → Matrix (Fin n) (Fin n) R) 1 :
            Matrix (Fin n) (Fin n) R) →
        Eq (α := Matrix (Fin m) (Fin m) R)
            ((Equiv.symm (Equiv.mapMatrix opEquiv) : (a : Matrix (Fin m) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) → Matrix (Fin m) (Fin m) R)
                (HMul.hMul (α := Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) (β := Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ)
                  ((Equiv.mapMatrix opEquiv : (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R) → Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) f :
                    Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ)
                  ((Equiv.mapMatrix opEquiv : (a : Matrix (Fin n) (Fin m) R) → Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) g :
                    Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ)) :
              Matrix (Fin m) (Fin m) R)
            ((Equiv.symm (Equiv.mapMatrix opEquiv) : (a : Matrix (Fin m) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) → Matrix (Fin m) (Fin m) R) 1 :
              Matrix (Fin m) (Fin m) R) →
          n = m ↔
      HMul.hMul (α := Matrix (Fin n) (Fin m) R) (β := Matrix (Fin m) (Fin n) R)
            ((AddEquiv.toEquiv (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R) :
                  (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R) → Matrix (Fin n) (Fin m) R)
                f :
              Matrix (Fin n) (Fin m) R)
            ((AddEquiv.toEquiv (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R) :
                  (a : Matrix (Fin n) (Fin m) R) → Matrix (Fin m) (Fin n) R)
                g :
              Matrix (Fin m) (Fin n) R) =
          1 →
        HMul.hMul (α := Matrix (Fin m) (Fin n) R) (β := Matrix (Fin n) (Fin m) R)
              ((AddEquiv.toEquiv (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R) :
                    (a : Matrix (Fin n) (Fin m) R) → Matrix (Fin m) (Fin n) R)
                  g :
                Matrix (Fin m) (Fin n) R)
              ((AddEquiv.toEquiv (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R) :
                    (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R) → Matrix (Fin n) (Fin m) R)
                  f :
                Matrix (Fin n) (Fin m) R) =
            1 →
          n = m
⊢ ∀ (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R),
    (∀ (a_1 : Matrix (Fin n) (Fin m) R),
        Eq (α := Matrix (Fin n) (Fin n) R)
            ((Equiv.symm (Equiv.mapMatrix opEquiv) : (a : Matrix (Fin n) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) → Matrix (Fin n) (Fin n) R)
                (HMul.hMul (α := Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) (β := Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ)
                  ((Equiv.mapMatrix opEquiv : (a : Matrix (Fin n) (Fin m) R) → Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) a_1 :
                    Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ)
                  ((Equiv.mapMatrix opEquiv : (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R) → Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) a :
                    Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ)) :
              Matrix (Fin n) (Fin n) R)
            ((Equiv.symm (Equiv.mapMatrix opEquiv) : (a : Matrix (Fin n) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) → Matrix (Fin n) (Fin n) R) 1 :
              Matrix (Fin n) (Fin n) R) →
          Eq (α := Matrix (Fin m) (Fin m) R)
              ((Equiv.symm (Equiv.mapMatrix opEquiv) : (a : Matrix (Fin m) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) → Matrix (Fin m) (Fin m) R)
                  (HMul.hMul (α := Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) (β := Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ)
                    ((Equiv.mapMatrix opEquiv : (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R) → Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ) a :
                      Matrix (Fin m) (Fin n) Rᵐᵒᵖ)
                    ((Equiv.mapMatrix opEquiv : (a : Matrix (Fin n) (Fin m) R) → Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) a_1 :
                      Matrix (Fin n) (Fin m) Rᵐᵒᵖ)) :
                Matrix (Fin m) (Fin m) R)
              ((Equiv.symm (Equiv.mapMatrix opEquiv) : (a : Matrix (Fin m) (Fin m) Rᵐᵒᵖ) → Matrix (Fin m) (Fin m) R) 1 :
                Matrix (Fin m) (Fin m) R) →
            n = m) ↔
      ∀ (g : Matrix (Fin m) (Fin n) R),
        HMul.hMul (α := Matrix (Fin n) (Fin m) R)
              ((AddEquiv.toEquiv (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R) :
                    (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R) → Matrix (Fin n) (Fin m) R)
                  a :
                Matrix (Fin n) (Fin m) R)
              g =
            1 →
          HMul.hMul (β := Matrix (Fin n) (Fin m) R) g
                ((AddEquiv.toEquiv (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R) :
                      (a : Matrix (Fin m) (Fin n) R) → Matrix (Fin n) (Fin m) R)
                    a :
                  Matrix (Fin n) (Fin m) R) =
              1 →
            n = m

Tactic:
refine fun f ↦ .trans (forall_congr' fun g ↦ ?_) (transposeAddEquiv ..).forall_congr_right