awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
h : ∀ (a : α) (ha : f a ∈ Y), f a = fX a
⊢ f =ᶠ[ae μ] fX

Tactic:
filter_upwards [lem0] with a ha
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
a : α
ha : f a ∈ Y
⊢ f a = fX a

Tactic:
simp_all [fX, fY]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
⊢ f =ᶠ[ae μ] fX

Tactic:
have lem1 : f =ᵐ[μ] fX := by
    filter_upwards [lem0] with a ha
    simp_all [fX, fY]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fY a‖ ≤ ‖fX a‖

Tactic:
simp [fX]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
refine : AEStronglyMeasurable fY μ
⊢ Integrable fY μ

Tactic:
refine (hf_int.congr lem1).mono ?_ (by simp [fX])

Premises used: MeasureTheory.Integrable.mono, MeasureTheory.Integrable.congr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
obtain :
  ∀ (g : α → E) (hg1 : StronglyMeasurable g)
    (hg2 : ∀ (x : α), g x ∈ (↑(Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)) : Set E)) (hg3 : f =ᶠ[ae μ] g),
    AEStronglyMeasurable fY μ
⊢ AEStronglyMeasurable fY μ

Tactic:
obtain ⟨g, hg1, hg2, hg3⟩ := hf_int.1.exists_stronglyMeasurable_range_subset
      ((Submodule.isClosed_topologicalClosure _).measurableSet) Nonempty.of_subtype lem0

Premises used: Set.Nonempty.of_subtype, Submodule.isClosed_topologicalClosure, IsClosed.measurableSet, And.left, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable.exists_stronglyMeasurable_range_subset
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
g : α → E
hg1 : StronglyMeasurable g
hg2 : ∀ (x : α), g x ∈ (↑(Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)) : Set E)
hg3 : f =ᶠ[ae μ] g
⊢ AEStronglyMeasurable fY μ

Tactic:
⟨codRestrict g Y hg2, (hg1.measurable.codRestrict hg2).stronglyMeasurable, ?_⟩

Premises used: Measurable.codRestrict, Measurable.stronglyMeasurable, MeasureTheory.StronglyMeasurable.measurable, SetLike.coe, And.intro, Exists.intro, Set.codRestrict, MeasureTheory.AEStronglyMeasurable
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
g : α → E
hg1 : StronglyMeasurable g
hg2 : ∀ (x : α), g x ∈ (↑(Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)) : Set E)
hg3 : f =ᶠ[ae μ] g
refine : fY =ᶠ[ae μ] codRestrict g (↑Y : Set E) hg2
⊢ AEStronglyMeasurable fY μ

Tactic:
refine ⟨codRestrict g Y hg2, (hg1.measurable.codRestrict hg2).stronglyMeasurable, ?_⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
g : α → E
hg1 : StronglyMeasurable g
hg2 : ∀ (x : α), g x ∈ (↑(Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)) : Set E)
hg3 : f =ᶠ[ae μ] g
h : ∀ (a : α) (ha : f a = g a), fY a = codRestrict g (↑Y : Set E) hg2 a
⊢ fY =ᶠ[ae μ] codRestrict g (↑Y : Set E) hg2

Tactic:
filter_upwards [hg3] with a ha
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
g : α → E
hg1 : StronglyMeasurable g
hg2 : ∀ (x : α), g x ∈ (↑(Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)) : Set E)
hg3 : f =ᶠ[ae μ] g
a : α
ha : f a = g a
⊢ g a ∈ Y

Tactic:
have : g a ∈ Y := hg2 a
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this_4 : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
g : α → E
hg1 : StronglyMeasurable g
hg2 : ∀ (x : α), g x ∈ (↑(Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)) : Set E)
hg3 : f =ᶠ[ae μ] g
a : α
ha : f a = g a
this : g a ∈ Y
⊢ fY a = codRestrict g (↑Y : Set E) hg2 a

Tactic:
simp_all [fY, codRestrict]

Premises used: Set.codRestrict
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
⊢ Integrable fY μ

Tactic:
have hfY_int : Integrable fY μ := by
    refine (hf_int.congr lem1).mono ?_ (by simp [fX])
    obtain ⟨g, hg1, hg2, hg3⟩ := hf_int.1.exists_stronglyMeasurable_range_subset
      ((Submodule.isClosed_topologicalClosure _).measurableSet) Nonempty.of_subtype lem0
    refine ⟨codRestrict g Y hg2, (hg1.measurable.codRestrict hg2).stronglyMeasurable, ?_⟩
    filter_upwards [hg3] with a ha
    have : g a ∈ Y := hg2 a
    simp_all [fY, codRestrict]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
hfY_int : Integrable fY μ
⊢ μ[f | m] =ᶠ[ae μ] (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]

Tactic:
have lem2 : μ[f | m] =ᵐ[μ] Y.subtypeL ∘ μ[fY | m] := calc
    _ =ᵐ[μ] μ[fX | m] := condExp_congr_ae lem1
    _ =ᵐ[μ] _ := (Y.subtypeL.comp_condExp_comm hfY_int).symm
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
hfY_int : Integrable fY μ
lem2 : μ[f | m] =ᶠ[ae μ] (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]
h : ∀ (a : α) (ha : f a = fX a), (φ ∘ f) a = (φY ∘ fY) a
⊢ φ ∘ f =ᶠ[ae μ] φY ∘ fY

Tactic:
filter_upwards [lem1] with a ha
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
hfY_int : Integrable fY μ
lem2 : μ[f | m] =ᶠ[ae μ] (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]
a : α
ha : f a = fX a
⊢ (φ ∘ f) a = (φY ∘ fY) a

Tactic:
simp [φY, ha, fX]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
hfY_int : Integrable fY μ
lem2 : μ[f | m] =ᶠ[ae μ] (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]
⊢ φ ∘ f =ᶠ[ae μ] φY ∘ fY

Tactic:
have lem3 : φ ∘ f =ᵐ[μ] φY ∘ fY := by filter_upwards [lem1] with a ha; simp [φY, ha, fX]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
hfY_int : Integrable fY μ
lem2 : μ[f | m] =ᶠ[ae μ] (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]
lem3 : φ ∘ f =ᶠ[ae μ] φY ∘ fY
h : ∀ (a : α) (ha : μ[f | m] a = ((⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]) a), (φ ∘ μ[f | m]) a = (φY ∘ μ[fY | m]) a
⊢ φ ∘ μ[f | m] =ᶠ[ae μ] φY ∘ μ[fY | m]

Tactic:
filter_upwards [lem2] with a ha
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
hfY_int : Integrable fY μ
lem2 : μ[f | m] =ᶠ[ae μ] (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]
lem3 : φ ∘ f =ᶠ[ae μ] φY ∘ fY
a : α
ha : μ[f | m] a = ((⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]) a
⊢ (φ ∘ μ[f | m]) a = (φY ∘ μ[fY | m]) a

Tactic:
simp [φY, ha]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
φ : E → ℝ
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst_3 : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hφ_cvx : ConvexOn ℝ s φ
hφ_cont : LowerSemicontinuousOn φ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
hs : IsClosed s
hf_int : Integrable f μ
hφ_int : Integrable (φ ∘ f) μ
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := Submodule.topologicalClosure (Submodule.span ℝ t)
this_3 : CompleteSpace.{u_1} ↥Y
this : SecondCountableTopology.{u_1} ↥Y
φY : ↥Y → ℝ := φ ∘ (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E)
fY : α → ↥Y := fun (a : α) ↦ if h : f a ∈ Y then Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ x ∈ Y) (f a) h else 0
fX : α → E := (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᶠ[ae μ] fX
hfY_int : Integrable fY μ
lem2 : μ[f | m] =ᶠ[ae μ] (⇑Y.subtypeL : (a : ↥Y) → E) ∘ μ[fY | m]
lem3 : φ ∘ f =ᶠ[ae μ] φY ∘ fY
⊢ φY ∘ μ[fY | m] ≤ᶠ[ae μ] μ[φY ∘ fY | m]

Tactic:
(hφ_cvx.comp_linearMap Y.subtype).map_condExp_le_of_hereditarilyLindelofSpace
        (s := Y.subtypeL ⁻¹' s) hm ?_ ?_ ?_ hfY_int (Integrable.congr hφ_int lem3)

Premises used: MeasureTheory.Integrable.congr, Submodule.subtype, Filter.EventuallyLE, ConvexOn.comp_linearMap, _private.0.ConvexOn.map_condExp_le_of_hereditarilyLindelofSpace