awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ |2| * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (|2| * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 2 (u - half • (wq + wp))‖ * ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 2 (u - half • (wq + wp))‖ +
      ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖

Tactic:
simp [norm_smul]

Premises used: norm_smul
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
rw :
  ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u + HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u - HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (wq + wp)‖ *
        ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u + HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u - HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (wq + wp)‖ +
      ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 2 (u - half • (wq + wp))‖ * ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 2 (u - half • (wq + wp))‖ +
      ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖

Tactic:
rw [smul_sub, smul_smul, mul_one_div_cancel (_root_.two_ne_zero : (2 : ℝ) ≠ 0), ←
              one_add_one_eq_two, add_smul]

Premises used: smul_smul, one_add_one_eq_two, mul_one_div_cancel, two_ne_zero, smul_sub, add_smul
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
simp : ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u + HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u - HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (wq + wp)‖ *
        ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u + HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u - HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (wq + wp)‖ +
      ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖

Tactic:
simp only [one_smul]

Premises used: one_smul
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ wp - wq = a - b

Tactic:
have eq₁ : wp - wq = a - b := (sub_sub_sub_cancel_left _ _ _).symm
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
eq₁ : wp - wq = a - b
change : u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)
⊢ u + u - (wq + wp) = a + b

Tactic:
change u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)

Premises used: HSub.hSub, HAdd.hAdd
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
eq₁ : wp - wq = a - b
⊢ u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)

Tactic:
abel
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
eq₁ : wp - wq = a - b
⊢ u + u - (wq + wp) = a + b

Tactic:
have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b := by
              change u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)
              abel
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
eq₁ : wp - wq = a - b
eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
rw : ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
rw₁ rw₂ : ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
⊢ ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖

Tactic:
rw [eq₁, eq₂]
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)

Tactic:
have :
        4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
          2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) :=
        calc
          4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
              2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ :=
            by ring
          _ =
              absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) +
                ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ := by
            rw [abs_of_nonneg]
            exact zero_le_two
          _ =
              ‖(2 : ℝ) • (u - half • (wq + wp))‖ * ‖(2 : ℝ) • (u - half • (wq + wp))‖ +
                ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ := by simp [norm_smul]
          _ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ := by
            rw [smul_sub, smul_smul, mul_one_div_cancel (_root_.two_ne_zero : (2 : ℝ) ≠ 0), ←
              one_add_one_eq_two, add_smul]
            simp only [one_smul]
            have eq₁ : wp - wq = a - b := (sub_sub_sub_cancel_left _ _ _).symm
            have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b := by
              change u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)
              abel
            rw [eq₁, eq₂]
          _ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) := parallelogram_law_with_norm_mul ℝ _ _
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
rw : δ ≤ ‖u - (half • wq + half • wp)‖
⊢ δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖

Tactic:
rw [smul_add]

Premises used: smul_add
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
a₁ : half • wq + half • wp ∈ K
⊢ δ ≤ ‖u - (half • wq + half • wp)‖

Tactic:
apply δ_le'
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
a₁ : wq ∈ K
a₂ : wp ∈ K
a₃ a₄ : 0 ≤ half
a₅ : half + half = 1
⊢ half • wq + half • wp ∈ K

Tactic:
apply h₂
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ wq ∈ K

Tactic:
Subtype.mem _

Premises used: Set.Mem, Subtype.mem
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ wq ∈ K

Tactic:
exact Subtype.mem _

Premises used: Subtype.mem
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ wp ∈ K

Tactic:
Subtype.mem _

Premises used: Set.Mem, Subtype.mem
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ wp ∈ K

Tactic:
exact Subtype.mem _

Premises used: Subtype.mem
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ 0 ≤ half

Tactic:
Subtype.mem _

Premises used: Subtype.mem
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ half + half = 1

Tactic:
Subtype.mem _

Premises used: Subtype.mem
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ 0 ≤ half

Tactic:
le_of_lt one_half_pos

Premises used: le_of_lt, one_half_pos
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
⊢ 0 ≤ half

Tactic:
exact le_of_lt one_half_pos

Premises used: le_of_lt, one_half_pos