-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt (𝕜 := ℝ) f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
      ∑ i : Fin (n + 1),
        (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) volume
inr :
  ∀
    (this :
      ∀ (hE : CompleteSpace E),
        Eq.{u + 1} (α := E)
          (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
            (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I))
            fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
            ∑ i : Fin (n + 1),
              (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
          (∑ i : Fin (n + 1),
            HSub.hSub (α := E)
              (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
                (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i)))
                fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i) x) i)
              (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
                (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i)))
                fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.lower i) x) i)))
    (hE : ¬CompleteSpace E),
    Eq.{u + 1} (α := E)
      (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
        (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I))
        fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
        ∑ i : Fin (n + 1),
          (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
      (∑ i : Fin (n + 1),
        HSub.hSub (α := E)
          (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
            (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i))) fun (x : Fin n → ℝ) ↦
            f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i) x) i)
          (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
            (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i))) fun (x : Fin n → ℝ) ↦
            f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.lower i) x) i))
wlog :
  ∀ (hE : CompleteSpace E),
    Eq.{u + 1} (α := E)
      (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
        (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I))
        fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
        ∑ i : Fin (n + 1),
          (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
      (∑ i : Fin (n + 1),
        HSub.hSub (α := E)
          (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
            (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i))) fun (x : Fin n → ℝ) ↦
            f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i) x) i)
          (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
            (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i))) fun (x : Fin n → ℝ) ↦
            f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.lower i) x) i))
⊢ Eq.{u + 1} (α := E)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
      (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I))
      fun (x : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
      ∑ i : Fin (n + 1),
        (f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) i)
    (∑ i : Fin (n + 1),
      HSub.hSub (α := E)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i))) fun (x : Fin n → ℝ) ↦
          f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.upper i) x) i)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume ((Box.Icc : (a : Box (Fin n)) → Set (Fin n → ℝ)) (I.face i))) fun (x : Fin n → ℝ) ↦
          f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) (I.lower i) x) i))

Tactic:
wlog hE : CompleteSpace E generalizing

Premises used: CompleteSpace