-- Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
m : ℕ
apply :
  Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            ((ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L :
                (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
              v) :
          ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)) *
      ∏ i : Fin m,
        Norm.norm (E := ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V ((i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
          (ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) ≤
    HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
⊢ Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
      (compContinuousLinearMap (M₁ := fun (x : Fin m) ↦ V) (M₁' := fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
            ((ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L :
                (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
              v) :
          ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
            (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        fun (x : Fin m) ↦
        (ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L :
          ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V ((i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))) ≤
    HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m

Tactic:
apply (norm_compContinuousLinearMap_le _ _).trans

Premises used: LE.le.trans, ContinuousMultilinearMap.norm_compContinuousLinearMap_le