-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Sheaf.PullbackFree
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst_1 : Category.{v₂, u₂} D
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
K : GrothendieckTopology.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor.{v₁, v₂, u₁, u₂} C D
S : Sheaf J RingCat
R : Sheaf K RingCat
inst_2 : F.IsContinuous J K
φ : S ⟶ Functor.obj (F.sheafPushforwardContinuous RingCat J K) R
inst_3 :
  J.HasSheafCompose
    (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
      AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
inst_4 :
  K.HasSheafCompose
    (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
      AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
X : Cᵒᵖ
r : (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
hf :
  ∀
    (m :
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
              LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
              (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
              (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            ((unit S).val.obj X)) :
        Type u)),
    Eq (α :=
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
              LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
              (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
              (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
        Type u))
      (((AddCommGrpCat.Hom.hom
                (CategoryStruct.comp (Y :=
                  Functor.obj
                    (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                      LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                        (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                      (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X))
                  (CategoryTheory.Functor.map
                    (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    (φ.hom.app X))
                  (((((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X).smul :
                      (a : (↑(S.obj.obj X) : Type u)) →
                        End
                          ((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj
                            (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)))
                    r)) :
              (↑(Functor.obj
                      (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                        fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                        LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                          (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u)
                          (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      ((unit S).val.obj X)) :
                  Type u) →+
                (↑(Functor.obj
                      (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                        fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                        LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                          (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u)
                          (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
                  Type u)) :
            (a : (↑((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj ((unit S).val.obj X)) : Type u)) →
              (↑((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj
                    (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
                Type u))
          m :
        (↑(Functor.obj
              (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                  (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
          Type u))
      (((AddCommGrpCat.Hom.hom
                (CategoryStruct.comp (Y :=
                  Functor.obj
                    (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                      LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                        (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                      (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    ((unit S).val.obj X))
                  ((((unit S).val.obj X).smul :
                      (a : (↑(S.obj.obj X) : Type u)) →
                        End ((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj ((unit S).val.obj X)))
                    r)
                  (CategoryTheory.Functor.map
                    (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    (φ.hom.app X))) :
              (↑(Functor.obj
                      (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                        fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                        LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                          (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u)
                          (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      ((unit S).val.obj X)) :
                  Type u) →+
                (↑(Functor.obj
                      (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                        fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                        LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                          (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u)
                          (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
                  Type u)) :
            (a : (↑((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj ((unit S).val.obj X)) : Type u)) →
              (↑((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj
                    (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
                Type u))
          m :
        (↑(Functor.obj
              (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                  (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
          Type u))
⊢ Eq (α :=
    Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
          fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
          LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
            (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
          (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        ((unit S).val.obj X) ⟶
      Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
          fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
          LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
            (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
          (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
            fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
              (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
            (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X))
        (CategoryTheory.Functor.map
          (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
            AddCommGrpCat.carrier))
          (φ.hom.app X))
        (((((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X).smul :
            (a : (↑(S.obj.obj X) : Type u)) →
              End
                ((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj
                  (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)))
          r) :
      Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
            fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
              (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
            (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          ((unit S).val.obj X) ⟶
        Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
            fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
              (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
            (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
            fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
              (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
            (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          ((unit S).val.obj X))
        ((((unit S).val.obj X).smul :
            (a : (↑(S.obj.obj X) : Type u)) →
              End ((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj ((unit S).val.obj X)))
          r)
        (CategoryTheory.Functor.map
          (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
            AddCommGrpCat.carrier))
          (φ.hom.app X)) :
      Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
            fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
              (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
            (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          ((unit S).val.obj X) ⟶
        Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
            fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
              (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
            (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X))

Tactic:
ext m