awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
⊢ ∃ (U : Set β),
    Membership.mem (γ := Filter β) (comap (⇑e : (a : β) → α) (𝓝 x₀)) U ∧
      ∃ (V : Set δ),
        Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V ∧
          ∀ x ∈ U,
            ∀ x' ∈ U,
              ∀ y ∈ V,
                ∀ y' ∈ V,
                  HSub.hSub (α := G)
                      ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
                      ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
                    W'

Tactic:
have key := extend_Z_bilin_key de df hφ W'_nhds x₀ y₀
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
key :
  ∃ (U : Set β),
    Membership.mem (γ := Filter β) (comap (⇑e : (a : β) → α) (𝓝 x₀)) U ∧
      ∃ (V : Set δ),
        Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V ∧
          ∀ x ∈ U,
            ∀ x' ∈ U,
              ∀ y ∈ V,
                ∀ y' ∈ V,
                  HSub.hSub (α := G)
                      ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
                      ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
                    W'
right :
  ∀ (U : Set β) (U_nhds : Membership.mem (γ := Filter β) (comap (⇑e : (a : β) → α) (𝓝 x₀)) U) (V : Set δ)
    (V_nhds : Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V)
    (h :
      ∀ x ∈ U,
        ∀ x' ∈ U,
          ∀ y ∈ V,
            ∀ y' ∈ V,
              HSub.hSub (α := G)
                  ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
                  ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
                W'),
    Membership.mem (γ := Filter G)
      (map
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
        (comap
          (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
            (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
          (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
      W'
⊢ Membership.mem (γ := Filter G)
    (map
      (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
        HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
          ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
      (comap
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
        (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
    W'

Tactic:
rcases key with ⟨U, U_nhds, V, V_nhds, h⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
U : Set β
U_nhds : Membership.mem (γ := Filter β) (comap (⇑e : (a : β) → α) (𝓝 x₀)) U
V : Set δ
V_nhds : Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∀ x' ∈ U,
      ∀ y ∈ V,
        ∀ y' ∈ V,
          HSub.hSub (α := G)
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
            W'
right :
  ∀ (U_nhds : ∃ t ∈ 𝓝 x₀, (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' t ⊆ U) (V : Set δ)
    (V_nhds : Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V)
    (h :
      ∀ x ∈ U,
        ∀ x' ∈ U,
          ∀ y ∈ V,
            ∀ y' ∈ V,
              HSub.hSub (α := G)
                  ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
                  ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
                W'),
    Membership.mem (γ := Filter G)
      (map
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
        (comap
          (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
            (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
          (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
      W'
⊢ Membership.mem (γ := Filter G)
    (map
      (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
        HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
          ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
      (comap
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
        (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
    W'

Tactic:
rw [mem_comap] at U_nhds

Premises used: Filter.mem_comap
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
U : Set β
U_nhds : ∃ t ∈ 𝓝 x₀, (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' t ⊆ U
V : Set δ
V_nhds : Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∀ x' ∈ U,
      ∀ y ∈ V,
        ∀ y' ∈ V,
          HSub.hSub (α := G)
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
            W'
right :
  ∀ (U' : Set α) (U'_nhds : U' ∈ 𝓝 x₀) (U'_sub : (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' U' ⊆ U),
    Membership.mem (γ := Filter G)
      (map
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
        (comap
          (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
            (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
          (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
      W'
⊢ Membership.mem (γ := Filter G)
    (map
      (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
        HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
          ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
      (comap
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
        (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
    W'

Tactic:
rcases U_nhds with ⟨U', U'_nhds, U'_sub⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
U : Set β
V : Set δ
V_nhds : Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∀ x' ∈ U,
      ∀ y ∈ V,
        ∀ y' ∈ V,
          HSub.hSub (α := G)
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
            W'
U' : Set α
U'_nhds : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' U' ⊆ U
right :
  ∀ (V_nhds : ∃ t ∈ 𝓝 y₀, (⇑f : (a : δ) → γ) ⁻¹' t ⊆ V)
    (h :
      ∀ x ∈ U,
        ∀ x' ∈ U,
          ∀ y ∈ V,
            ∀ y' ∈ V,
              HSub.hSub (α := G)
                  ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
                  ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
                W')
    (U' : Set α) (U'_nhds : U' ∈ 𝓝 x₀) (U'_sub : (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' U' ⊆ U),
    Membership.mem (γ := Filter G)
      (map
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
        (comap
          (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
            (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
          (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
      W'
⊢ Membership.mem (γ := Filter G)
    (map
      (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
        HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
          ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
      (comap
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
        (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
    W'

Tactic:
rw [mem_comap] at V_nhds

Premises used: Filter.mem_comap
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
U : Set β
V : Set δ
V_nhds : ∃ t ∈ 𝓝 y₀, (⇑f : (a : δ) → γ) ⁻¹' t ⊆ V
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∀ x' ∈ U,
      ∀ y ∈ V,
        ∀ y' ∈ V,
          HSub.hSub (α := G)
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
            W'
U' : Set α
U'_nhds : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' U' ⊆ U
right :
  ∀ (V' : Set γ) (V'_nhds : V' ∈ 𝓝 y₀) (V'_sub : (⇑f : (a : δ) → γ) ⁻¹' V' ⊆ V),
    Membership.mem (γ := Filter G)
      (map
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
        (comap
          (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
            (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
          (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
      W'
⊢ Membership.mem (γ := Filter G)
    (map
      (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
        HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
          ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
      (comap
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
        (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
    W'

Tactic:
rcases V_nhds with ⟨V', V'_nhds, V'_sub⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
U : Set β
V : Set δ
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∀ x' ∈ U,
      ∀ y ∈ V,
        ∀ y' ∈ V,
          HSub.hSub (α := G)
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
            W'
U' : Set α
U'_nhds : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhds : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : (⇑f : (a : δ) → γ) ⁻¹' V' ⊆ V
right :
  ∃ t ∈ (𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀) ×ˢ 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀,
    Subset (α := Set ((β × δ) × β × δ))
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2)) ⁻¹'
        t)
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1)) ⁻¹'
        W')
⊢ Membership.mem (γ := Filter G)
    (map
      (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
        HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
          ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1))
      (comap
        (fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2))
        (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀))))
    W'

Tactic:
rw [mem_map, mem_comap, nhds_prod_eq]

Premises used: Filter.mem_comap, nhds_prod_eq, Filter.mem_map
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
U : Set β
V : Set δ
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∀ x' ∈ U,
      ∀ y ∈ V,
        ∀ y' ∈ V,
          HSub.hSub (α := G)
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
            W'
U' : Set α
U'_nhds : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhds : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : (⇑f : (a : δ) → γ) ⁻¹' V' ⊆ V
right :
  (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V' ∈ (𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀) ×ˢ 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀ ∧
    Subset (α := Set ((β × δ) × β × δ))
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2)) ⁻¹'
        (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V')
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1)) ⁻¹'
        W')
⊢ ∃ t ∈ (𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀) ×ˢ 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀,
    Subset (α := Set ((β × δ) × β × δ))
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2)) ⁻¹'
        t)
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1)) ⁻¹'
        W')

Tactic:
exists (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V'

Premises used: SProd.sprod
-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
inst_12 : IsUniformAddGroup G
inst_13 : T0Space G
inst_14 : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
U : Set β
V : Set δ
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∀ x' ∈ U,
      ∀ y ∈ V,
        ∀ y' ∈ V,
          HSub.hSub (α := G)
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
              ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
            W'
U' : Set α
U'_nhds : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : (⇑e : (a : β) → α) ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhds : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : (⇑f : (a : δ) → γ) ⁻¹' V' ⊆ V
right :
  (∃ t ∈ 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀, t ×ˢ t ⊆ (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V') ∧
    Subset (α := Set ((β × δ) × β × δ))
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2)) ⁻¹'
        (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V')
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1)) ⁻¹'
        W')
⊢ (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V' ∈ (𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀) ×ˢ 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀ ∧
    Subset (α := Set ((β × δ) × β × δ))
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          (((e : (a : β) → α) p.1.1, (f : (a : δ) → γ) p.1.2), (e : (a : β) → α) p.2.1, (f : (a : δ) → γ) p.2.2)) ⁻¹'
        (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V')
      ((fun (p : (β × δ) × β × δ) ↦
          HSub.hSub (α := G) ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.2)
            ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) p.1)) ⁻¹'
        W')

Tactic:
rw [mem_prod_same_iff]

Premises used: Filter.mem_prod_same_iff