-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m m' x₁ : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
h₁ :
  ∀ ⦃Y : Cᵒᵖ⦄ (f : X ⟶ Y) (r₀ : (↑(R₀.obj Y) : Type u))
    (hr₀ :
      Eq (α := (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
                (α.app Y) :
              (a : (↑(R₀.obj Y) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
            r₀ :
          (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
                (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f) :
              (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
            r :
          (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type u)))
    (m₀ : (↑(M₀.obj Y) : Type v))
    (hm₀ :
      Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (φ.app Y) :
              (a : (↑(M₀.presheaf.obj Y) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
            m₀ :
          (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f) :
              (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
            m :
          (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))),
    Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f) :
            (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
          x₁ :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (φ.app Y) :
            (a : (↑(M₀.presheaf.obj Y) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
          (r₀ • m₀) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
x₂ : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
h₂ :
  ∀ ⦃Y : Cᵒᵖ⦄ (f : X ⟶ Y) (r₀ : (↑(R₀.obj Y) : Type u))
    (hr₀ :
      Eq (α := (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
                (α.app Y) :
              (a : (↑(R₀.obj Y) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
            r₀ :
          (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
                (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f) :
              (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
            r :
          (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type u)))
    (m₀ : (↑(M₀.obj Y) : Type v))
    (hm₀ :
      Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (φ.app Y) :
              (a : (↑(M₀.presheaf.obj Y) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
            m₀ :
          (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f) :
              (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
            m :
          (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))),
    Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f) :
            (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
          x₂ :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (φ.app Y) :
            (a : (↑(M₀.presheaf.obj Y) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
          (r₀ • m₀) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m
rj :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r)
sj :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m)
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S

Tactic:
apply J.intersection_covering

Premises used: CategoryTheory.GrothendieckTopology.intersection_covering