awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
c : 𝕜
v : V x
apply : extend F (E := V) (c • v) x = HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F (E := V) v) x
⊢ Φ (extend F (E := V) (c • v)) = Φ (HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F (E := V) v))

Tactic:
apply hΦ.pointwise (mdifferentiableAt_extend ..) <|
        mdifferentiableAt_const.smul_section (mdifferentiableAt_extend ..)

Premises used: TensorialAt.pointwise, MDifferentiableAt.smul_section, FiberBundle.mdifferentiableAt_extend, mdifferentiableAt_const
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
c : 𝕜
v : V x
⊢ extend F (E := V) (c • v) x = HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F (E := V) v) x

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_19 : TopologicalSpace A
inst_20 : IsTopologicalAddGroup A
inst_21 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
hΦ : TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x) x
σ : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
⊢ extend F (E := V) (σ x) x = σ x

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_19 : TopologicalSpace A
inst_20 : IsTopologicalAddGroup A
inst_21 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ : V x
⊢ (mkHom (V := V) Φ x hΦ : (a : V x) → A) σ = Φ (extend F (E := V) σ)

Tactic:
rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
v₁ v₂ : V x
w : V' x
rw :
  Φ (extend F (E := V) (v₁ + v₂)) (extend F' (E := V') w) =
    Φ (extend F (E := V) v₁ + extend F (E := V) v₂) (extend F' (E := V') w)
⊢ Φ (extend F (E := V) (v₁ + v₂)) (extend F' (E := V') w) =
    Φ (extend F (E := V) v₁) (extend F' (E := V') w) + Φ (extend F (E := V) v₂) (extend F' (E := V') w)

Tactic:
rw [← (hΦ₁ _ (mdifferentiableAt_extend ..)).add (mdifferentiableAt_extend ..)
        (mdifferentiableAt_extend ..)]

Premises used: FiberBundle.mdifferentiableAt_extend, TensorialAt.add
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
v₁ v₂ : V x
w : V' x
apply : (MDiffAt fun (x_2 : M) ↦ ⟨x_2, (extend F (E := V) v₁ + extend F (E := V) v₂) x_2⟩) x
apply₁ : extend F (E := V) (v₁ + v₂) x = (extend F (E := V) v₁ + extend F (E := V) v₂) x
⊢ Φ (extend F (E := V) (v₁ + v₂)) (extend F' (E := V') w) =
    Φ (extend F (E := V) v₁ + extend F (E := V) v₂) (extend F' (E := V') w)

Tactic:
apply TensorialAt.pointwise₂ hΦ₁ hΦ₂ (mdifferentiableAt_extend ..) _
        (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..) _ rfl

Premises used: FiberBundle.mdifferentiableAt_extend, TensorialAt.pointwise₂, rfl
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
v₁ v₂ : V x
w : V' x
⊢ (MDiffAt fun (x_2 : M) ↦ ⟨x_2, (extend F (E := V) v₁ + extend F (E := V) v₂) x_2⟩) x

Tactic:
mdifferentiableAt_add_section (mdifferentiableAt_extend ..)
          (mdifferentiableAt_extend ..)

Premises used: mdifferentiableAt_add_section, FiberBundle.mdifferentiableAt_extend
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
v₁ v₂ : V x
w : V' x
⊢ (MDiffAt fun (x_2 : M) ↦ ⟨x_2, (extend F (E := V) v₁ + extend F (E := V) v₂) x_2⟩) x

Tactic:
exact mdifferentiableAt_add_section (mdifferentiableAt_extend ..)
          (mdifferentiableAt_extend ..)

Premises used: mdifferentiableAt_add_section, FiberBundle.mdifferentiableAt_extend
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
v₁ v₂ : V x
w : V' x
⊢ extend F (E := V) (v₁ + v₂) x = (extend F (E := V) v₁ + extend F (E := V) v₂) x

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
c : 𝕜
v : V x
w : V' x
hσσ' : extend F (E := V) (c • v) x = HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F (E := V) v) x
hττ' : extend F' (E := V') w x = extend F' (E := V') w x
⊢ Φ (extend F (E := V) (c • v)) (extend F' (E := V') w) =
    Φ (HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F (E := V) v)) (extend F' (E := V') w)

Tactic:
apply TensorialAt.pointwise₂ hΦ₁ hΦ₂ (mdifferentiableAt_extend ..)
        (mdifferentiableAt_const.smul_section (mdifferentiableAt_extend ..))
        (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..)

Premises used: MDifferentiableAt.smul_section, FiberBundle.mdifferentiableAt_extend, mdifferentiableAt_const, TensorialAt.pointwise₂
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
c : 𝕜
v : V x
w : V' x
⊢ extend F (E := V) (c • v) x = HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F (E := V) v) x

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
c : 𝕜
v : V x
w : V' x
⊢ extend F' (E := V') w x = extend F' (E := V') w x

Tactic:
rfl