awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
obtain : ∀ (t : ℝ) (t_pos : 0 ≤ t) (tx₀ : t < c x₀) (ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t), TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

Tactic:
obtain ⟨t, t_pos, tx₀, ht⟩ : ∃ t, 0 ≤ t ∧ t < c x₀ ∧ ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t := by
      rcases eq_empty_or_nonempty (s \ u) with (h | h)
      · exact
          ⟨0, le_rfl, hnc₀, by simp only [h, mem_empty_iff_false, IsEmpty.forall_iff, imp_true_iff]⟩
      obtain ⟨x, hx, h'x⟩ : ∃ x ∈ s \ u, ∀ y ∈ s \ u, c y ≤ c x :=
        IsCompact.exists_isMaxOn (hs.diff u_open) h (hc.mono diff_subset)
      refine ⟨c x, hnc x hx.1, h'c x hx.1 ?_, h'x⟩
      rintro rfl
      exact hx.2 x₀u
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
⊢ ∃ (t' : ℝ), t < t' ∧ t' < c x₀

Tactic:
exists_between tx₀

Premises used: exists_between
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
obtain : ∀ (t' : ℝ) (tt' : t < t') (t'x₀ : t' < c x₀), TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

Tactic:
obtain ⟨t', tt', t'x₀⟩ : ∃ t', t < t' ∧ t' < c x₀ := exists_between tx₀

Premises used: exists_between
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
⊢ 0 < t'

Tactic:
have t'_pos : 0 < t' := t_pos.trans_lt tt'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
⊢ ∃ (v : Set α), IsOpen[inst] v ∧ x₀ ∈ v ∧ v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'

Tactic:
_root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi t') isOpen_Ioi t'x₀

Premises used: Set.Ioi, continuousOn_iff, isOpen_Ioi, Iff.mp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
obtain :
  ∀ (v : Set α) (v_open : IsOpen[inst] v) (x₀_v : x₀ ∈ v) (hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'),
    TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
⊢ TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

Tactic:
obtain ⟨v, v_open, x₀_v, hv⟩ : ∃ v : Set α, IsOpen v ∧ x₀ ∈ v ∧ v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t' :=
      _root_.continuousOn_iff.1 hc x₀ h₀ (Ioi t') isOpen_Ioi t'x₀

Premises used: Set.Ioi, continuousOn_iff, isOpen_Ioi, Iff.mp, Set
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ t' ^ n * μ.real (v ∩ s) = ∫ (x : α) in v ∩ s, t' ^ n ∂μ

Tactic:
simp [mul_comm]

Premises used: mul_comm
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
apply : IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ t' ^ n) (v ∩ s) μ
apply₁ : IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) (v ∩ s) μ
apply₂ : ∀ x ∈ v ∩ s, t' ^ n ≤ c x ^ n
⊢ LE.le (α := ℝ) (∫ (x : α) in v ∩ s, t' ^ n ∂μ) (∫ (y : α) in v ∩ s, c y ^ n ∂μ)

Tactic:
apply setIntegral_mono_on _ _ (v_open.measurableSet.inter hs.measurableSet) _

Premises used: IsOpen.measurableSet, MeasureTheory.setIntegral_mono_on, IsCompact.measurableSet, MeasurableSet.inter
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ t' ^ n) (v ∩ s) μ

Tactic:
integrableOn_const (C := t' ^ n) ?_

Premises used: MeasureTheory.integrableOn_const
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
refine : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (v ∩ s) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ t' ^ n) (v ∩ s) μ

Tactic:
refine integrableOn_const (C := t' ^ n) ?_

Premises used: MeasureTheory.integrableOn_const
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (v ∩ s) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
(lt_of_le_of_lt (measure_mono inter_subset_right) hs.measure_lt_top).ne

Premises used: lt_of_le_of_lt, IsCompact.measure_lt_top, MeasureTheory.measure_mono, Set.inter_subset_right, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (v ∩ s) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
exact (lt_of_le_of_lt (measure_mono inter_subset_right) hs.measure_lt_top).ne

Premises used: lt_of_le_of_lt, IsCompact.measure_lt_top, MeasureTheory.measure_mono, Set.inter_subset_right, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) (v ∩ s) μ

Tactic:
(I n).mono inter_subset_right le_rfl

Premises used: le_rfl, MeasureTheory.IntegrableOn.mono, Set.inter_subset_right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s \ u
⊢ IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) (v ∩ s) μ

Tactic:
exact (I n).mono inter_subset_right le_rfl

Premises used: le_rfl, MeasureTheory.IntegrableOn.mono, Set.inter_subset_right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x_1 : α
hx_1 : x_1 ∈ s \ u
x : α
hx : x ∈ v ∩ s
⊢ t' ^ n ≤ c x ^ n

Tactic:
pow_le_pow_left₀ t'_pos.le (hv hx).le _

Premises used: pow_le_pow_left₀, LT.lt.le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction
Goal:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : BorelSpace α
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst_4 : CompleteSpace E
inst_5 : MetrizableSpace α
inst_6 : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst] u → x₀ ∈ u → LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (u ∩ s) : ℝ≥0∞)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun (n : ℕ) (x : α) ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), (ae (μ.restrict s)).EventuallyLE (β := ℝ) 0 fun (x : α) ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)
hiφ : ∀ (n : ℕ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ) 1
u : Set α
u_open : IsOpen[inst] u
x₀u : x₀ ∈ u
t : ℝ
t_pos : 0 ≤ t
tx₀ : t < c x₀
ht : ∀ x ∈ s \ u, c x ≤ t
t' : ℝ
tt' : t < t'
t'x₀ : t' < c x₀
t'_pos : 0 < t'
v : Set α
v_open : IsOpen[inst] v
x₀_v : x₀ ∈ v
hv : v ∩ s ⊆ c ⁻¹' Ioi t'
n : ℕ
x_1 : α
hx_1 : x_1 ∈ s \ u
x : α
hx : x ∈ v ∩ s
⊢ t' ^ n ≤ c x ^ n

Tactic:
exact pow_le_pow_left₀ t'_pos.le (hv hx).le _

Premises used: pow_le_pow_left₀, LT.lt.le