awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
i : J
s : Set (F.obj i)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
j : J
ji : j ⟶ i
x : F.obj j
ys :
  Membership.mem (α := F.obj i) s
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ji) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))
        x :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))
⊢ ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)

Tactic:
⟨x, fun ji' => (F.thin_diagram_of_surjective Fsur ji' ji).symm ▸ ys⟩

Premises used: Eq.rec, Exists.intro, Eq.symm, CategoryTheory.Functor.thin_diagram_of_surjective
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
i : J
s : Set (F.obj i)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
j : J
ji : j ⟶ i
x : F.obj j
ys :
  Membership.mem (α := F.obj i) s
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ji) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))
        x :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))
⊢ ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)

Tactic:
exact ⟨x, fun ji' => (F.thin_diagram_of_surjective Fsur ji' ji).symm ▸ ys⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
⊢ Function.Injective (β := F.obj j) fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j

Tactic:
fun s₀ s₁ h => Subtype.ext <| funext fun k => ?_

Premises used: funext, Function.Injective, Subtype.ext
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
refine :
  ∀ (s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v)))
    (h :
      Eq.{v + 1} (α := F.obj j) ((fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j) s₀)
        ((fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j) s₁))
    (k : J), (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
⊢ Function.Injective (β := F.obj j) fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j

Tactic:
refine fun s₀ s₁ h => Subtype.ext <| funext fun k => ?_

Premises used: funext, Subtype.ext
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v))
h :
  Eq.{v + 1} (α := F.obj j) ((fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j) s₀)
    ((fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j) s₁)
k : J
obtain : ∀ (m : J) (mi : m ⟶ i) (mk : m ⟶ k), True → (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
⊢ (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k

Tactic:
obtain ⟨m, mi, mk, _⟩ := IsCofilteredOrEmpty.cone_objs i k

Premises used: CategoryTheory.Functor.mk, CategoryTheory.IsCofilteredOrEmpty.cone_objs
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v))
h : (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) j = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) j
k m : J
mi : m ⟶ i
mk : m ⟶ k
h_1 : True
rw :
  ∀
    (h :
      Eq (α := F.obj j)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
            ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
          (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
            ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
          (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j)))
    (mk : m ⟶ k), True → (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
⊢ (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k

Tactic:
rw [← s₀.prop (mi ≫ f), ← s₁.prop (mi ≫ f)] at h

Premises used: Subtype.prop, CategoryTheory.CategoryStruct.comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v))
k m : J
mi : m ⟶ i
h :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
mk : m ⟶ k
h_1 : True
rw :
  Eq (α := F.obj k)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map mk) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
        ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map mk) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
        ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
⊢ (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k

Tactic:
rw [← s₀.prop mk, ← s₁.prop mk]

Premises used: Subtype.prop
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v))
k m : J
mi : m ⟶ i
h :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
mk : m ⟶ k
h_1 : True
⊢ Eq (α := F.obj k)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map mk) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
        ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map mk) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
        ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
congr_arg _ (Finj m (mi ≫ f) h)

Premises used: congr_arg, CategoryTheory.CategoryStruct.comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v))
k m : J
mi : m ⟶ i
h :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
mk : m ⟶ k
h_1 : True
⊢ Eq (α := F.obj k)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map mk) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
        ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map mk) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
        ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
exact congr_arg _ (Finj m (mi ≫ f) h)

Premises used: congr_arg, CategoryTheory.CategoryStruct.comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
⊢ ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)

Tactic:
haveI := F.toPreimages_nonempty_of_surjective s Fsur (singleton_nonempty x)
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
obtain :
  ∀ (sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j) (h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections),
    ∃ (a : (↑F.sections : Type (max u v))),
      (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i) a = x
⊢ ∃ (a : (↑F.sections : Type (max u v))), (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i) a = x

Tactic:
obtain ⟨sec, h⟩ := nonempty_sections_of_finite_cofiltered_system (F.toPreimages s)

Premises used: nonempty_sections_of_finite_cofiltered_system, CategoryTheory.Functor.toPreimages
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
j j' : J
jk : j ⟶ j'
⊢ Eq (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map jk) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j'))
        ((fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) j) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j'))
    ((fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) j' : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j'))

Tactic:
simpa [Subtype.ext_iff] using h jk

Premises used: Subtype.ext_iff
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
refine :
  (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
        (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) ⋯) =
    x
⊢ ∃ (a : (↑F.sections : Type (max u v))), (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i) a = x

Tactic:
refine ⟨⟨fun j => (sec j).val, fun jk => by simpa [Subtype.ext_iff] using h jk⟩, ?_⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
⊢ Membership.mem (γ := Set ((fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)))
    (⋂ (f : i ⟶ i),
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) ⁻¹'
        s)
    (↑(sec i) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))

Tactic:
have := (sec i).prop
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this_1 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
this :
  Membership.mem (γ := Set ((fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)))
    (⋂ (f : i ⟶ i),
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) ⁻¹'
        s)
    (↑(sec i) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))
⊢ ∀ (i_1 : i ⟶ i),
    Membership.mem (α := F.obj i) s
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)

Tactic:
simp only [mem_iInter, mem_preimage] at this

Premises used: Set.mem_iInter, Set.mem_preimage
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this_1 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
this :
  ∀ (i_1 : i ⟶ i),
    Membership.mem (α := F.obj i) s
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)
⊢ Membership.mem (α := F.obj i) s
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 i)) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)

Tactic:
have := this (𝟙 i)
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this_1 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
this_2 :
  ∀ (i_1 : i ⟶ i),
    Membership.mem (α := F.obj i) s
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)
this :
  Membership.mem (α := F.obj i) s
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 i)) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)
rwa :
  ∀
    (this :
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (𝟙 (F.obj i)) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) :
          F.obj i)),
    (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
        (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
          (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) ⋯) =
      x
rwa₁ rwa₂ rwa₃ rwa₄ :
  ∀ (this : (↑(sec i) : F.obj i) ∈ s),
    (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
        (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
          (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) ⋯) =
      x
⊢ (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
        (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) ⋯) =
    x

Tactic:
rwa [map_id, id_apply] at this

Premises used: CategoryTheory.id_apply, CategoryTheory.Functor.map_id
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
inst_4 : Nonempty J
inst_5 : Finite (↑F.sections : Type (max u v))
haveI :
  ∀ (this : (j : J) → Fintype (F.obj j)),
    ∃ (j : J),
      ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
        Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
⊢ ∃ (j : J),
    ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
      Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))

Tactic:
haveI : ∀ j, Fintype (F.obj j) := fun j => Fintype.ofFinite (F.obj j)
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
inst_4 : Nonempty J
inst_5 : Finite (↑F.sections : Type (max u v))
this : (j : J) → Fintype (F.obj j)
haveI :
  ∀ (this : Fintype (↑F.sections : Type (max u v))),
    ∃ (j : J),
      ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
        Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
⊢ ∃ (j : J),
    ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
      Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))

Tactic:
haveI : Fintype F.sections := Fintype.ofFinite F.sections