awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → ∃ (i : PartialRefinement u s p) (_ : i ∈ c), x_1 ∈ i.carrier (u := u) (s := s) (p := p)
⊢ Nonempty (PartialRefinement u s p)

Tactic:
haveI : Nonempty (PartialRefinement u s p) := ⟨ne.some⟩
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → ∃ (i : PartialRefinement u s p) (_ : i ∈ c), x_1 ∈ i.carrier (u := u) (s := s) (p := p)
this : Nonempty (PartialRefinement u s p)
inr :
  ∀ (v : (x : ι) → PartialRefinement u s p) (hvc : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → v x_1 ∈ c)
    (hiv : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → x_1 ∈ (v x_1).carrier (u := u) (s := s) (p := p)),
    ∃ (i : ι), x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i
⊢ ∃ (i : ι), x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i

Tactic:
choose! v hvc hiv using hx
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
x : X
hxs : x ∈ s
this : Nonempty (PartialRefinement u s p)
v : (x : ι) → PartialRefinement u s p
hvc : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → v x_1 ∈ c
hiv : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → x_1 ∈ (v x_1).carrier (u := u) (s := s) (p := p)
inr :
  ∀ (i : ι) (hxi : x ∈ u i) (hmax : ∀ (j : ι), x ∈ u j → v i ≤ v j → v j ≤ v i),
    ∃ (i : ι), x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i
⊢ ∃ (i : ι), x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i

Tactic:
rcases (hfin x hxs).exists_maximalFor v _ (mem_iUnion.1 (hU hxs)) with
        ⟨i, hxi : x ∈ u i, hmax : ∀ j, x ∈ u j → v i ≤ v j → v j ≤ v i⟩

Premises used: Set.Finite.exists_maximalFor, Set.mem_iUnion, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
x : X
hxs : x ∈ s
this : Nonempty (PartialRefinement u s p)
v : (x : ι) → PartialRefinement u s p
hvc : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → v x_1 ∈ c
hiv : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → x_1 ∈ (v x_1).carrier (u := u) (s := s) (p := p)
i : ι
hxi : x ∈ u i
hmax : ∀ (j : ι), x ∈ u j → v i ≤ v j → v j ≤ v i
inr :
  ∀ (j : ι) (hj : x ∈ (v i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) j),
    ∃ (i : ι), x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i
⊢ ∃ (i : ι), x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i

Tactic:
rcases mem_iUnion.1 ((v i).subset_iUnion hxs) with ⟨j, hj⟩

Premises used: Set.mem_iUnion, Iff.mp, ShrinkingLemma.PartialRefinement.subset_iUnion
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
x : X
hxs : x ∈ s
this : Nonempty (PartialRefinement u s p)
v : (x : ι) → PartialRefinement u s p
hvc : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → v x_1 ∈ c
hiv : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → x_1 ∈ (v x_1).carrier (u := u) (s := s) (p := p)
i : ι
hxi : x ∈ u i
hmax : ∀ (j : ι), x ∈ u j → v i ≤ v j → v j ≤ v i
j : ι
hj : x ∈ (v i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) j
h : x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne j).toFun (u := u) (s := s) (p := p) j
⊢ ∃ (i : ι), x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i

Tactic:
use j
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
x : X
hxs : x ∈ s
this : Nonempty (PartialRefinement u s p)
v : (x : ι) → PartialRefinement u s p
hvc : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → v x_1 ∈ c
hiv : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → x_1 ∈ (v x_1).carrier (u := u) (s := s) (p := p)
i : ι
hxi : x ∈ u i
hmax : ∀ (j : ι), x ∈ u j → v i ≤ v j → v j ≤ v i
j : ι
hj : x ∈ (v i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) j
⊢ x ∈ u j

Tactic:
have hj' : x ∈ u j := (v i).subset _ hj
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
x : X
hxs : x ∈ s
this : Nonempty (PartialRefinement u s p)
v : (x : ι) → PartialRefinement u s p
hvc : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → v x_1 ∈ c
hiv : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → x_1 ∈ (v x_1).carrier (u := u) (s := s) (p := p)
i : ι
hxi : x ∈ u i
hmax : ∀ (j : ι), x ∈ u j → v i ≤ v j → v j ≤ v i
j : ι
hj : x ∈ (v i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) j
hj' : x ∈ u j
⊢ v j ≤ v i

Tactic:
have : v j ≤ v i := (hc.total (hvc _ hxi) (hvc _ hj')).elim (hmax j hj') id
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
x : X
hxs : x ∈ s
this_1 : Nonempty (PartialRefinement u s p)
v : (x : ι) → PartialRefinement u s p
hvc : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → v x_1 ∈ c
hiv : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → x_1 ∈ (v x_1).carrier (u := u) (s := s) (p := p)
i : ι
hxi : x ∈ u i
hmax : ∀ (j : ι), x ∈ u j → v i ≤ v j → v j ≤ v i
j : ι
hj : x ∈ (v i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) j
hj' : x ∈ u j
this : v j ≤ v i
⊢ x ∈ (find (u := u) (s := s) (p := p) c ne j).toFun (u := u) (s := s) (p := p) j

Tactic:
simpa only [find_apply_of_mem hc ne (hvc _ hxi) (this.1 <| hiv _ hj')]

Premises used: ShrinkingLemma.PartialRefinement.find_apply_of_mem, And.left
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
i : ι
hi : i ∈ chainSupCarrier (u := u) (s := s) (p := p) c
obtain :
  ∀ (v : PartialRefinement u s p)
    (hv : Membership.mem (γ := Set ι) (⋃ (_ : v ∈ c), v.carrier (u := u) (s := s) (p := p)) i),
    p ((find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i)
⊢ p ((find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i)

Tactic:
obtain ⟨v, hv⟩ := Set.mem_iUnion.mp hi

Premises used: Set.mem_iUnion, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
i : ι
hi : i ∈ chainSupCarrier (u := u) (s := s) (p := p) c
v : PartialRefinement u s p
hv : Membership.mem (γ := Set ι) (⋃ (_ : v ∈ c), v.carrier (u := u) (s := s) (p := p)) i
⊢ v ∈ c ∧ i ∈ v.carrier (u := u) (s := s) (p := p)

Tactic:
simp only [mem_iUnion, exists_prop] at hv

Premises used: Set.mem_iUnion, exists_prop
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
i : ι
hi : i ∈ chainSupCarrier (u := u) (s := s) (p := p) c
v : PartialRefinement u s p
hv : v ∈ c ∧ i ∈ v.carrier (u := u) (s := s) (p := p)
rw : p (v.toFun (u := u) (s := s) (p := p) i)
⊢ p ((find (u := u) (s := s) (p := p) c ne i).toFun (u := u) (s := s) (p := p) i)

Tactic:
rw [find_apply_of_mem hc ne hv.1 hv.2]

Premises used: ShrinkingLemma.PartialRefinement.find_apply_of_mem, And.right, And.left
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
i : ι
hi : i ∈ chainSupCarrier (u := u) (s := s) (p := p) c
v : PartialRefinement u s p
hv : v ∈ c ∧ i ∈ v.carrier (u := u) (s := s) (p := p)
⊢ p (v.toFun (u := u) (s := s) (p := p) i)

Tactic:
v.pred_of_mem hv.2

Premises used: ShrinkingLemma.PartialRefinement.pred_of_mem, And.right
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
i : ι
hi : i ∈ chainSupCarrier (u := u) (s := s) (p := p) c
v : PartialRefinement u s p
hv : v ∈ c ∧ i ∈ v.carrier (u := u) (s := s) (p := p)
⊢ p (v.toFun (u := u) (s := s) (p := p) i)

Tactic:
exact v.pred_of_mem hv.2

Premises used: ShrinkingLemma.PartialRefinement.pred_of_mem, And.right
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun (x1 x2 : PartialRefinement u s p) ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, Set.Finite.{u_1} (α := ι) {i : ι | x ∈ u i}
hU : s ⊆ ⋃ (i : ι), u i
v : PartialRefinement u s p
hv : v ∈ c
⊢ v ≤ chainSup (u := u) (s := s) (p := p) c hc ne hfin hU

Tactic:
⟨fun _ hi => mem_biUnion hv hi, fun _ hi => (find_apply_of_mem hc _ hv hi).symm⟩

Premises used: ShrinkingLemma.PartialRefinement.find_apply_of_mem, Set.mem_biUnion, And.intro, Eq.symm
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
simp :
  ∀ x ∈ s,
    (∀ (i_1 : ι) (i : i_1 ≠ i), x ∈ (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i_1)ᶜ) →
      x ∈ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
⊢ s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i

Tactic:
simp only [subset_def, mem_inter_iff, mem_iInter, and_imp]

Premises used: Set.subset_def, and_imp, Set.mem_inter_iff, Set.mem_iInter
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
x : X
hxs : x ∈ s
H : ∀ (i_1 : ι) (i : i_1 ≠ i), x ∈ (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i_1)ᶜ
rcases : ∀ (j : ι) (hj : x ∈ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j), x ∈ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
⊢ x ∈ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i

Tactic:
rcases mem_iUnion.1 (v.subset_iUnion hxs) with ⟨j, hj⟩

Premises used: Set.mem_iUnion, Iff.mp, ShrinkingLemma.PartialRefinement.subset_iUnion
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
x : X
hxs : x ∈ s
H : ∀ (i_1 : ι) (i : i_1 ≠ i), x ∈ (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i_1)ᶜ
j : ι
hj : x ∈ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j
⊢ x ∈ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i

Tactic:
(em (j = i)).elim (fun h => h ▸ hj) fun h => (H j h hj).elim

Premises used: False.elim, Eq.rec, em, Or.elim, Eq
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
x : X
hxs : x ∈ s
H : ∀ (i_1 : ι) (i : i_1 ≠ i), x ∈ (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i_1)ᶜ
j : ι
hj : x ∈ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j
⊢ x ∈ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i

Tactic:
exact (em (j = i)).elim (fun h => h ▸ hj) fun h => (H j h hj).elim

Premises used: False.elim, em, Or.elim, Eq
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
⊢ s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i

Tactic:
have I : (s ∩ ⋂ (j) (_ : j ≠ i), (v j)ᶜ) ⊆ v i := by
    simp only [subset_def, mem_inter_iff, mem_iInter, and_imp]
    intro x hxs H
    rcases mem_iUnion.1 (v.subset_iUnion hxs) with ⟨j, hj⟩
    exact (em (j = i)).elim (fun h => h ▸ hj) fun h => (H j h hj).elim
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
⊢ IsClosed (s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ)

Tactic:
have C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j) (_ : j ≠ i), (v j)ᶜ) :=
    IsClosed.inter hs (isClosed_biInter fun _ _ => isClosed_compl_iff.2 <| v.isOpen _)
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ)
rcases :
  ∀ (vi : Set X) (ovi : IsOpen vi) (hvi : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ vi)
    (cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i), ∃ (v' : PartialRefinement u s ⊤), v < v'
⊢ ∃ (v' : PartialRefinement u s ⊤), v < v'

Tactic:
rcases normal_exists_closure_subset C (v.isOpen i) I with ⟨vi, ovi, hvi, cvi⟩

Premises used: ShrinkingLemma.PartialRefinement.isOpen, normal_exists_closure_subset
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
⊢ ∃ (v' : PartialRefinement u s ⊤), v < v'

Tactic:
⟨⟨update v i vi, insert i v.carrier, ?_, ?_, ?_, ?_, ?_⟩, ?_, ?_⟩

Premises used: Function.update, ShrinkingLemma.PartialRefinement.carrier, ShrinkingLemma.PartialRefinement.mk, Insert.insert, ShrinkingLemma.PartialRefinement.toFun, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
refine_1 : ∀ (i_1 : ι), IsOpen (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi i_1)
refine_2 : s ⊆ ⋃ (i_1 : ι), update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi i_1
refine_3 :
  ∀ {i_1 : ι},
    i_1 ∈ insert i (v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)) →
      closure (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi i_1) ⊆ u i_1
refine_4 :
  ∀ {i_1 : ι} (hi : i_1 ∈ insert i (v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤))),
    ⊤ (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi i_1)
refine_5 :
  ∀ {i_1 : ι},
    i_1 ∉ insert i (v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)) →
      update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi i_1 = u i_1
refine_6 :
  (fun (v₁ v₂ : PartialRefinement u s ⊤) ↦
      v₁.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤) ⊆ v₂.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤) ∧
        ∀ i ∈ v₁.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤),
          v₁.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i = v₂.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i)
    v
    (mk (u := u) (s := s) (p := ⊤) (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi)
      (insert i (v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤))) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯)
refine_7 :
  ¬(fun (v₁ v₂ : PartialRefinement u s ⊤) ↦
        v₁.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤) ⊆ v₂.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤) ∧
          ∀ i ∈ v₁.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤),
            v₁.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i = v₂.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i)
      (mk (u := u) (s := s) (p := ⊤) (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi)
        (insert i (v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤))) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯)
      v
⊢ ∃ (v' : PartialRefinement u s ⊤), v < v'

Tactic:
refine ⟨⟨update v i vi, insert i v.carrier, ?_, ?_, ?_, ?_, ?_⟩, ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
j : ι
refine_1 :
  ∀ (hi : j ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤))
    (I :
      s ∩ ⋂ (j_1 : ι), ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j_1)ᶜ ⊆
        v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)
    (C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j_1 : ι), ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j_1)ᶜ))
    (hvi : s ∩ ⋂ (j_1 : ι), ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j_1)ᶜ ⊆ vi)
    (cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j),
    IsOpen (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) j vi j)
refine_1₁ : ∀ (hne : j ≠ i), IsOpen (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi j)
⊢ IsOpen (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi j)

Tactic:
rcases eq_or_ne j i with (rfl | hne)

Premises used: eq_or_ne, rfl
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
j : ι
hi : j ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j_1 : ι), ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j_1)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j
C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j_1 : ι), ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j_1)ᶜ)
hvi : s ∩ ⋂ (j_1 : ι), ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j_1)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j
⊢ IsOpen (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) j vi j)

Tactic:
simp [*, v.isOpen]

Premises used: ShrinkingLemma.PartialRefinement.isOpen
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
j : ι
hne : j ≠ i
⊢ IsOpen (update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi j)

Tactic:
simp [*, v.isOpen]

Premises used: ShrinkingLemma.PartialRefinement.isOpen
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
⊢ s ⊆ ⋃ (i_1 : ι), update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi i_1

Tactic:
fun x hx => mem_iUnion.2 ?_

Premises used: Iff.mpr, Set.mem_iUnion, Set.Subset
-- Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma
Goal:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst_1 : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier (u := u) (s := s) (p := ⊤)
I : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ (j : ι), ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤) i
refine_2 :
  ∀ (x : X) (hx : x ∈ s),
    ∃ (i_1 : ι), x ∈ update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi i_1
⊢ s ⊆ ⋃ (i_1 : ι), update (β := fun (a : ι) ↦ Set X) (v.toFun (u := u) (s := s) (p := ⊤)) i vi i_1

Tactic:
refine fun x hx => mem_iUnion.2 ?_

Premises used: Iff.mpr, Set.mem_iUnion