-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Extension
Goal:
R : Type u_1
N : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
c : ↥(twoCocycle R L M)
x y z : ofTwoCocycle c
hc :
  Eq (α := L →ₗ[R] L →ₗ[R] L →ₗ[R] M)
    ((d₂₃ R L M : (a : ↥(twoCochain R L M)) → L →ₗ[R] L →ₗ[R] L →ₗ[R] M) (↑c : ↥(twoCochain R L M)) :
      L →ₗ[R] L →ₗ[R] L →ₗ[R] M)
    (0 : L →ₗ[R] L →ₗ[R] L →ₗ[R] M)
this :
  0 =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (β := M)
        (HSub.hSub (β := M)
          (HAdd.hAdd (β := M)
            (HSub.hSub (α := M) (β := M)
              (Bracket.bracket.{u_3, u_4} (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1
                  ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                        (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1 :
                      (a : L) → M)
                    (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1) :
                M)
              (Bracket.bracket.{u_3, u_4} (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1
                  ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                        (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1 :
                      (a : L) → M)
                    (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1) :
                M))
            (Bracket.bracket.{u_3, u_4} (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1
                ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                      (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1 :
                    (a : L) → M)
                  (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1) :
              M))
          ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                  (Bracket.bracket (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1
                    (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1) :
                (a : L) → M)
              (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1 :
            M))
        ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                (Bracket.bracket (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1
                  (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1) :
              (a : L) → M)
            (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1 :
          M))
      ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
              (Bracket.bracket (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1
                (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1) :
            (a : L) → M)
          (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1 :
        M)
⊢ (((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1 :
        (a : L) → M)
      (Bracket.bracket (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1
        (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1) =
    -HAdd.hAdd (β := M)
        (HSub.hSub (β := M)
          (HAdd.hAdd (β := M)
            (HSub.hSub (α := M) (β := M)
              (Bracket.bracket.{u_3, u_4} (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1
                  ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                        (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1 :
                      (a : L) → M)
                    (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1) :
                M)
              (Bracket.bracket.{u_3, u_4} (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1
                  ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                        (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1 :
                      (a : L) → M)
                    (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1) :
                M))
            (Bracket.bracket.{u_3, u_4} (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1
                ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                      (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1 :
                    (a : L) → M)
                  (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1) :
              M))
          ((((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M)
                  (Bracket.bracket (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1
                    (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1) :
                (a : L) → M)
              (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1 :
            M))
        (-(((↑c : ↥(twoCochain R L M)) : (a : L) → L →ₗ[R] M) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) y).1 :
                (a : L) → M)
              (Bracket.bracket (L := L) (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) x).1
                (((ofProd c).symm : (a : ofTwoCocycle c) → L × M) z).1) :
          M)

Tactic:
rw [← twoCochain_skew _ _ ⁅((ofProd c).symm x).1, ((ofProd c).symm z).1⁆,
      ← twoCochain_skew _ _ ⁅((ofProd c).symm y).1, ((ofProd c).symm z).1⁆, eq_sub_iff_add_eq,
      zero_add, neg_eq_iff_eq_neg] at this

Premises used: Bracket.bracket, eq_sub_iff_add_eq, LieModule.Cohomology.twoCochain_skew, neg_eq_iff_eq_neg, zero_add, Prod.fst, LieAlgebra.ofProd, Equiv.symm, DFunLike.coe