-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
refine_1 :
  ∀
    (hp_1 :
      Membership.mem (γ := Finset n) univ
          (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
        Eq (α := ℤˣ)
            (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
                (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
              ℤˣ)
            (1 : ℤˣ) ∧
          ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n)
              j =
            Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)),
    Membership.mem (γ := Finset n) univ
        (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
          ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                (x :
                  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                      {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                    p) ↦
              f p)
            (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp)) ∧
      Eq (α := ℤˣ)
          (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
              (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
                ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                      (x :
                        Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                          (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                            {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                          p) ↦
                    f p)
                  (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp)) :
            ℤˣ)
          (-1 : ℤˣ) ∧
        Eq (α := n)
          (((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
                    ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                          (x :
                            Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                              (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                                {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                              p) ↦
                        f p)
                      (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp) :
                  Perm n) :
                (a : n) → n)
              j :
            n)
          (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
              ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                    (x :
                      Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                        (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                          {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                        p) ↦
                  f p)
                (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp) :
            n)
⊢ Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a})
    ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
          (x :
            Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
              (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
              p) ↦
        f p)
      (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp)

Tactic:
rw [mem_sigma, mem_filter, mem_ofSign] at hp ⊢

Premises used: Finset.mem_sigma, Equiv.Perm.mem_ofSign, Finset.mem_filter