-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Jacobian F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 ≠ Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (addZ P Q ^ n)
erw :
  ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
    addZ P Q •
      ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
          (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
        W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
          (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
          (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
        1]
erw₁ :
  ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
    ![HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 *
        ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          x,
      HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3 *
        ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          y,
      addZ P Q *
        ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          z]
erw₂ :
  ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
    ![HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 *
        ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2,
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          x,
      HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3 *
        ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2,
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          y,
      addZ P Q *
        ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2,
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          z]
erw₃ :
  ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
    ![W.addX P Q,
      HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3 *
        ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2,
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          y,
      addZ P Q *
        ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2,
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          z]
erw₄ :
  ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
    ![W.addX P Q,
      HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3 *
        ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2, W.addY P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3, 1] y,
      addZ P Q * ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2, W.addY P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3, 1] z]
erw₅ :
  ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
    ![W.addX P Q, W.addY P Q,
      addZ P Q * ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2, W.addY P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3, 1] z]
erw₆ erw₇ : ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] = ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q]
⊢ W.addXYZ P Q =
    addZ P Q •
      ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
          (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
        W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
          (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
          (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
        1]

Tactic:
erw [addXYZ, smul_fin3, ← addX_of_Z_ne_zero hP hQ hPz hQz hx, hZ.mul_div_cancel,
    ← addY_of_Z_ne_zero hP hQ hPz hQz hx, hZ.mul_div_cancel, mul_one]

Premises used: IsUnit.mul_div_cancel, WeierstrassCurve.Jacobian.smul_fin3, WeierstrassCurve.Jacobian.addX_of_Z_ne_zero, WeierstrassCurve.Jacobian.addY_of_Z_ne_zero, WeierstrassCurve.Jacobian.addXYZ, mul_one