-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.Nonvanishing
Goal:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
n : ℕ
hn_1 : 2 ≤ n
x : ℝ
hx : 1 < x
y : ℝ
hn' : IsUnit (M := ZMod N) (↑n : ZMod N)
hn : HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (-x) < 1
hz : ‖HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ))))‖ = 1
h :
  HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(↑x : ℂ) + -(2 * I * (↑y : ℂ))) =
    (↑(HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (-x)) : ℂ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))))
        2
h₁ :
  HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(↑x : ℂ)) * HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(2 * I * (↑y : ℂ)))) =
    (↑(HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (-x)) : ℂ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))))
        2
h₂ :
  HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) * HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(2 * I * (↑y : ℂ)))) =
    (↑(HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (-x)) : ℂ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))))
        2
h₃ :
  HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) * HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(2 * I * (↑y : ℂ)))) =
    (↑(↑n : ℝ) : ℂ) ^ (↑(-x) : ℂ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))))
        2
h₄ :
  HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) * HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(2 * I * (↑y : ℂ)))) =
    HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))))
        2
h₅ :
  HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) * HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) ((↑2 : ℂ) * -(I * (↑y : ℂ)))) =
    HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))))
        2
h₆ :
  HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) * HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))) 2) =
    HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))))
        2
h₇ :
  HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) * HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))) 2) =
    HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
        HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))) 2)
h₈ h₉ :
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
        HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))) 2) =
    HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (↑(-x) : ℂ) *
      (HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
        HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))) 2)
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (β := ℕ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) 2 *
      HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-((↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ))) =
    (↑(HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (-x)) : ℂ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑n : ZMod N) : ℂ) (HPow.hPow (α := ℂ) (↑n : ℂ) (-(I * (↑y : ℂ)))))
        2

Tactic:
rw [neg_add, cpow_add _ _ <| mod_cast by lia, ← ofReal_neg, ofReal_cpow n.cast_nonneg (-x),
        ofReal_natCast, show -(2 * I * y) = (2 : ℕ) * -(I * y) by ring, cpow_nat_mul, mul_pow,
        mul_left_comm]

Premises used: Nat.cast_nonneg, Complex.ofReal_cpow, Complex.ofReal_neg, neg_add, Complex.cpow_nat_mul, mul_left_comm, Complex.ofReal_natCast, Complex.cpow_add, mul_pow, Neg.neg