awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
x : W
⊢ Eq (α := W)
    (((↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) :
          (a : W) → W)
        x :
      W)
    ((HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W) : (a : W) → W) x : W)

Tactic:
simpa using congr(y (($hα ∘L y.symm.toContinuousLinearMap) x)).symm

Premises used: ContinuousLinearMap.comp, ContinuousLinearEquiv.symm, congrArg, id, Eq.symm, DFunLike.coe, ContinuousLinearEquiv.toContinuousLinearMap
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
⊢ (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)

Tactic:
have h_comp_adjoint : y.toContinuousLinearMap ∘L adjoint y.toContinuousLinearMap =
      α • ContinuousLinearMap.id 𝕜 _ := by
    ext x
    simpa using congr(y (($hα ∘L y.symm.toContinuousLinearMap) x)).symm
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
rw : β * β = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)⁻¹
⊢ β * β = α⁻¹

Tactic:
rw [hα_re]
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
⊢ β * β = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)⁻¹

Tactic:
norm_num [β, ← RCLike.ofReal_mul, ← Real.rpow_add hα_pos, Real.rpow_neg_one]

Premises used: Real.rpow_neg_one, RCLike.ofReal_mul, Real.rpow_add
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
⊢ β * β = α⁻¹

Tactic:
have hβ : β * β = α⁻¹ := by
    rw [hα_re]
    norm_num [β, ← RCLike.ofReal_mul, ← Real.rpow_add hα_pos, Real.rpow_neg_one]
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
⊢ (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) β = β

Tactic:
simp [β]
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h_1 : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
h : f = U.conjStarAlgEquiv
⊢ ∃ (U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W), f = U.conjStarAlgEquiv

Tactic:
use U
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
⊢ β⁻¹ * β = 1

Tactic:
inv_mul_cancel₀ ?_

Premises used: inv_mul_cancel₀
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
refine : β ≠ 0
⊢ β⁻¹ * β = 1

Tactic:
refine inv_mul_cancel₀ ?_

Premises used: inv_mul_cancel₀
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
simp : ¬HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2)) = 0
⊢ β ≠ 0

Tactic:
simp only [β, ne_eq, map_eq_zero]

Premises used: map_eq_zero, ne_eq
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
⊢ -(1 / 2) ≠ 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
rw : ¬Eq (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (0 : ℝ)
⊢ ¬HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2)) = 0

Tactic:
rw [Real.rpow_eq_zero hα_pos.le (by simp)]

Premises used: Real.rpow_eq_zero, LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
⊢ ¬Eq (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (0 : ℝ)

Tactic:
ne_of_gt hα_pos

Premises used: ne_of_gt
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.ContinuousAlgEquiv
Goal:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup V
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 V
inst_3 : CompleteSpace V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 W
inst_6 : CompleteSpace W
f : StarAlgEquiv.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (V →L[𝕜] V) (W →L[𝕜] W)
hf : Continuous.{u_2, u_3} (X := V →L[𝕜] V) (Y := W →L[𝕜] W) (⇑f : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
h : Nontrivial V
y : V ≃L[𝕜] W
hy :
  Eq (α := (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑{ toAlgEquiv := f.toAlgEquiv, continuous_toFun := hf, continuous_invFun := ⋯ } : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
    (⇑y.conjContinuousAlgEquiv : (a : V →L[𝕜] V) → W →L[𝕜] W)
this_1 :
  ∀ (x : V →L[𝕜] V),
    Commute x (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
α : 𝕜
hα :
  HSMul.hSMul (β := V →L[𝕜] V) α 1 =
    comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W)
this :
  IsUnit (M := V →L[𝕜] V)
    (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) (↑y : V →L[𝕜] W))
hα_re : α = (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α) : 𝕜)
hα_ne_zero : α ≠ 0
hα_nonneg : 0 ≤ α
hα_pos : LT.lt (α := ℝ) (0 : ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ)
h_comp_adjoint :
  (↑y : V →L[𝕜] W).comp (σ₁₂ := RingHom.id 𝕜) ((adjoint : (a : V →L[𝕜] W) → W →L[𝕜] V) (↑y : V →L[𝕜] W)) =
    HSMul.hSMul (β := W →L[𝕜] W) α (ContinuousLinearMap.id 𝕜 W)
β : 𝕜 := (↑(HPow.hPow (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (-(1 / 2))) : 𝕜)
hβ : β * β = α⁻¹
U : V ≃ₗᵢ[𝕜] W := auxIsometry y hα_ne_zero hβ ⋯ h_comp_adjoint ⋯
⊢ ¬Eq (α := ℝ) ((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) α : ℝ) (0 : ℝ)

Tactic:
exact ne_of_gt hα_pos

Premises used: ne_of_gt