-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Nerve
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
x₁ x₂ : ComposableArrows.{v, u} C 0
e₁₂ : Edge (X := nerve.{v, u} C) x₁ x₂
x₀ : C
e₀₁ : Edge (X := nerve.{v, u} C) ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) x₁
e₀₂ : Edge (X := nerve.{v, u} C) ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) x₂
h : e₀₁.CompStruct e₁₂ e₀₂
obtain :
  ∀ (x₁ : C) {e₁₂ : Edge (X := nerve.{v, u} C) ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₁) x₂}
    {e₀₁ :
      Edge (X := nerve.{v, u} C) ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀)
        ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₁)}
    (h : e₀₁.CompStruct e₁₂ e₀₂),
    Eq.{v + 1} (α :=
      Quiver.Hom.{v, u} (V := C)
        ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C)
            ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀ : ComposableArrows.{v, u} C 0) :
          C)
        ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂ : C))
      (CategoryStruct.comp (Y :=
          (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C)
            ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₁ : ComposableArrows.{v, u} C 0))
          ((homEquiv :
              (a :
                  Edge ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀)
                    ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₁)) →
                (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) ⟶
                  (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₁))
            e₀₁)
          ((homEquiv :
              (a : Edge ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₁) x₂) →
                (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₁) ⟶
                  (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂)
            e₁₂) :
        Quiver.Hom.{v, u} (V := C)
          ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C)
              ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀ : ComposableArrows.{v, u} C 0) :
            C)
          ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂ : C))
      ((homEquiv :
            (a : Edge ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) x₂) →
              (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) ⟶
                (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂)
          e₀₂ :
        Quiver.Hom.{v, u} (V := C)
          ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C)
              ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀ : ComposableArrows.{v, u} C 0) :
            C)
          ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂ : C))
⊢ Eq.{v + 1} (α :=
    Quiver.Hom.{v, u} (V := C)
      ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C)
          ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀ : ComposableArrows.{v, u} C 0) :
        C)
      ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂ : C))
    (CategoryStruct.comp (Y := (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₁)
        ((homEquiv :
            (a : Edge ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) x₁) →
              (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) ⟶
                (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₁)
          e₀₁)
        ((homEquiv :
            (a : Edge x₁ x₂) →
              (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₁ ⟶ (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂)
          e₁₂) :
      Quiver.Hom.{v, u} (V := C)
        ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C)
            ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀ : ComposableArrows.{v, u} C 0) :
          C)
        ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂ : C))
    ((homEquiv :
          (a : Edge ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) x₂) →
            (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) ((nerveEquiv.symm : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀) ⟶
              (nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂)
        e₀₂ :
      Quiver.Hom.{v, u} (V := C)
        ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C)
            ((Equiv.symm nerveEquiv : (a : C) → ComposableArrows C 0) x₀ : ComposableArrows.{v, u} C 0) :
          C)
        ((nerveEquiv : (a : ComposableArrows C 0) → C) x₂ : C))

Tactic:
obtain ⟨x₁, rfl⟩ := nerveEquiv.symm.surjective x₁

Premises used: CategoryTheory.nerveEquiv, Equiv.surjective, Equiv.symm, rfl