awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
w : F
hw : (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w
rw : w = (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F)
rw₁ rw₂ : w = w
⊢ HSub.hSub (β := F) w ((ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) : F) = 0

Tactic:
rw [sub_eq_zero, hw]

Premises used: sub_eq_zero
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
⊢ ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V

Tactic:
have hV : ∀ w, ρ (φ w) = w → w ∈ V := by
      intro w hw
      change w - ρ (φ w) = 0
      rw [sub_eq_zero, hw]
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
w : F
hw : w ∈ W
a : (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w
⊢ w ∈ V

Tactic:
apply hV
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
w : F
hw : w ∈ W
a : (ρ : (a : F) → F) w = w
⊢ (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w

Tactic:
rw [hW w hw]
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
w : F
hw : w ∈ W
⊢ (ρ : (a : F) → F) w = w

Tactic:
reflection_mem_subspace_eq_self ?_

Premises used: Submodule.reflection_mem_subspace_eq_self
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
w : F
hw : w ∈ W
a : Membership.mem (γ := Submodule ℝ F) (ℝ ∙ x)ᗮ w
⊢ (ρ : (a : F) → F) w = w

Tactic:
refine reflection_mem_subspace_eq_self ?_

Premises used: Submodule.reflection_mem_subspace_eq_self
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
w : F
hw : w ∈ W
a : ⟪w, x⟫_ℝ = 0
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℝ F) (ℝ ∙ x)ᗮ w

Tactic:
rw [mem_orthogonal_singleton_iff_inner_left]

Premises used: Submodule.mem_orthogonal_singleton_iff_inner_left
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
w : F
hw : w ∈ W
⊢ ⟪w, x⟫_ℝ = 0

Tactic:
Submodule.sub_mem _ v.prop hφv _ hw

Premises used: Subtype.prop, Submodule.sub_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
w : F
hw : w ∈ W
⊢ ⟪w, x⟫_ℝ = 0

Tactic:
exact Submodule.sub_mem _ v.prop hφv _ hw

Premises used: Subtype.prop, Submodule.sub_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
⊢ W ≤ V

Tactic:
have H₂V : W ≤ V := by
      intro w hw
      apply hV
      rw [hW w hw]
      refine reflection_mem_subspace_eq_self ?_
      rw [mem_orthogonal_singleton_iff_inner_left]
      exact Submodule.sub_mem _ v.prop hφv _ hw
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
H₂V : W ≤ V
a : (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) = (↑v : F)
⊢ (↑v : F) ∈ V

Tactic:
apply hV
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
H₂V : W ≤ V
⊢ Eq (α := F) ((ρ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)

Tactic:
have : ρ v = φ v := reflection_sub (φ.norm_map v).symm
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this_1 : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
H₂V : W ≤ V
this : Eq (α := F) ((ρ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
a : (ρ : (a : F) → F) ((ρ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) = (↑v : F)
⊢ (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) = (↑v : F)

Tactic:
rw [← this]
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this_1 : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
H₂V : W ≤ V
this : Eq (α := F) ((ρ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
⊢ (ρ : (a : F) → F) ((ρ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) = (↑v : F)

Tactic:
reflection_reflection _ _

Premises used: Submodule.reflection_reflection
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this_1 : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
H₂V : W ≤ V
this : Eq (α := F) ((ρ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
⊢ (ρ : (a : F) → F) ((ρ : (a : F) → F) (↑v : F) : F) = (↑v : F)

Tactic:
exact reflection_reflection _ _

Premises used: Submodule.reflection_reflection
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
H₂V : W ≤ V
⊢ (↑v : F) ∈ V

Tactic:
have H₁V : (v : F) ∈ V := by
      apply hV
      have : ρ v = φ v := reflection_sub (φ.norm_map v).symm
      rw [← this]
      exact reflection_reflection _ _
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n + 1
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
H₂V : W ≤ V
H₁V : (↑v : F) ∈ V
⊢ finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n + 1

Tactic:
change finrank ℝ Wᗮ ≤ n + 1 at hn

Premises used: Real, Membership.mem, Subtype, Submodule.orthogonal, Module.finrank
-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
inst_2 : FiniteDimensional ℝ F
n : ℕ
IH :
  ∀ (φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F)
    (hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥(↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).kerᗮ ≤ n),
    ∃ (l : List F), l.length ≤ n ∧ φ = List.prod (List.map (fun (v : F) ↦ reflection (ℝ ∙ v)ᗮ) l)
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
W : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑φ : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hW : ∀ w ∈ W, (φ : (a : F) → F) w = w
hn' : ¬finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n
this : Nontrivial.{u_3} ↥Wᗮ
v : ↥Wᗮ
hv : v ≠ 0
hφv : Membership.mem (α := F) Wᗮ ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
hv' : (↑v : F) ∉ W
x : F := HSub.hSub (β := F) (↑v : F) ((φ : (a : F) → F) (↑v : F) : F)
ρ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (ℝ ∙ x)ᗮ
V : Submodule ℝ F := (↑(ContinuousLinearMap.id ℝ F - (↑(↑(φ.trans ρ) : F ≃L[ℝ] F) : F →L[ℝ] F)) : F →ₗ[ℝ] F).ker
hV : ∀ (w : F), (ρ : (a : F) → F) ((φ : (a : F) → F) w : F) = w → w ∈ V
H₂V : W ≤ V
H₁V : (↑v : F) ∈ V
hn : finrank.{0, u_3} ℝ ↥Wᗮ ≤ n + 1
⊢ finrank.{0, u_3} ℝ ↥W + 1 ≤ finrank.{0, u_3} ℝ ↥V

Tactic:
have : finrank ℝ W + 1 ≤ finrank ℝ V :=
        finrank_lt_finrank_of_lt ((SetLike.lt_iff_le_and_exists (B := F)).2 ⟨H₂V, v, H₁V, hv'⟩)