-- Module: Mathlib.Algebra.Homology.ShortComplex.ConcreteCategory
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst_1 : (X Y : C) → FunLike.{u_1 + 1, w + 1, w + 1} (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst_2 : ConcreteCategory.{w, v, u, u_1} C FC (CC := CC)
inst_3 :
  HasForget₂.{w, v, u, u_1, w, w + 1, w} C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
    (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)
inst_4 : Preadditive.{v, u} C
inst_5 :
  Functor.Additive.{v, u, w, w + 1}
    (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
      (CD := AddCommGrpCat.carrier))
inst_6 :
  Functor.PreservesHomology.{v, u, w, w + 1}
    (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
      (CD := AddCommGrpCat.carrier))
S : ShortComplex.{v, u} C
inst_7 : S.HasHomology
x₂ :
  (↑(Functor.obj.{v, w, u, w + 1}
        (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        S.X₂) :
    Type w)
hx₂ :
  Eq (α :=
    (↑(Functor.obj.{v, w, u, w + 1}
          (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
            (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          S.X₃) :
      Type w))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X :=
            Functor.obj.{v, w, u, w + 1}
              (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              S.X₂)
            (Functor.map
              (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              S.g) :
          (a : (↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂) : Type w)) → (↑((forget₂ C Ab).obj S.X₃) : Type w))
        x₂ :
      (↑(Functor.obj.{v, w, u, w + 1}
            (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            S.X₃) :
        Type w))
    (0 :
      (↑(Functor.obj.{v, w, u, w + 1}
            (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            S.X₃) :
        Type w))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (X :=
          cycles
            (S.map
              (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))))
          (iCycles
            (S.map
              (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)))) :
        (a : (↑(S.map (forget₂ C Ab)).cycles : Type w)) → (↑(S.map (forget₂ C Ab)).X₂ : Type w))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (X :=
              AddCommGrpCat.of
                ↥(AddMonoidHom.ker
                    (AddCommGrpCat.Hom.hom
                      (g
                        (S.map
                          (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                            (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)))))))
              (Iso.inv
                (abCyclesIso
                  (S.map
                    (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                      (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))))) :
            (a : (↑(AddCommGrpCat.of ↥(AddCommGrpCat.Hom.hom (S.map (forget₂ C Ab)).g).ker) : Type w)) →
              (↑(S.map (forget₂ C Ab)).cycles : Type w))
          (Subtype.mk (p :=
            fun
              (x :
                (↑(X₂
                      (S.map
                        (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                          (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)))) :
                  Type w)) ↦
            Membership.mem (γ :=
              AddSubgroup
                (↑(X₂
                      (S.map
                        (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                          (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)))) :
                  Type w))
              (AddMonoidHom.ker
                (AddCommGrpCat.Hom.hom
                  (g
                    (S.map
                      (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                        (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))))))
              x)
            x₂ hx₂) :
        (↑(cycles
              (S.map
                (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)))) :
          Type w)) =
    (↑(Subtype.mk (p :=
          fun
            (x :
              (↑(X₂
                    (S.map
                      (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                        (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)))) :
                Type w)) ↦
          Membership.mem (γ :=
            AddSubgroup
              (↑(X₂
                    (S.map
                      (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                        (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)))) :
                Type w))
            (AddMonoidHom.ker
              (AddCommGrpCat.Hom.hom
                (g
                  (S.map
                    (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                      (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))))))
            x)
          x₂ hx₂) :
      (↑(S.map (forget₂ C Ab)).X₂ : Type w))

Tactic:
have := abCyclesIso_inv_apply_iCycles (S.map (forget₂ C Ab)) ⟨x₂, hx₂⟩