awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
obtain :
  ∀ (i' : ι) (hi' : i' ∈ s),
    ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
        (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
          ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
            ∃ (r : k),
              ∀ (j : ι),
                r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k),
            ∀ (j : ι),
              r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
obtain ⟨i', hi'⟩ := hs
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
obtain :
  ∀ (ri' : k)
    (hri' :
      (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
                  (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
                (a : k) → (j : ι) → k)
              ri' :
            (j : ι) → k) =
        p'),
    ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
        (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
          ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
            ∃ (r : k),
              ∀ (j : ι),
                r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k),
            ∀ (j : ι),
              r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
obtain ⟨ri', hri'⟩ := hp'' ⟨i', hi'⟩

Premises used: Subtype.mk
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
⊢ ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k),
            ∀ (j : ι),
              r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
⟨w', fs ⟨i', hi'⟩, ?_, ?_, ?_⟩

Premises used: Subtype.mk, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'), w' j) 1
refine_2 : (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P) w' = p'
refine_3 :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
          ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k),
            ∀ (j : ι),
              r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
refine ⟨w', fs ⟨i', hi'⟩, ?_, ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'), w' j) 1

Tactic:
simp [w', AffineMap.lineMap_apply_module, Finset.sum_add_distrib, ← Finset.mul_sum, hw, hfs]

Premises used: AffineMap.lineMap_apply_module, Finset.mul_sum, Finset.sum_add_distrib
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
⊢ (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P) w' = p'

Tactic:
simp [w', hri']
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
refine_3 :
  ∀ (r : k)
    (hr :
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
          ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ ∃ (r : k),
    ∀ (j : ι),
      r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
        ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
obtain ⟨r, hr⟩ := hp'' i
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
        (j : ι) → k) =
    p'
⊢ ∃ (r : k),
    ∀ (j : ι),
      r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
        ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
⟨r, ?_⟩

Premises used: Exists.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
        (j : ι) → k) =
    p'
refine_3 :
  ∀ (j : ι),
    r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
      ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ ∃ (r : k),
    ∀ (j : ι),
      r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
        ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
refine ⟨r, ?_⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
        (j : ι) → k) =
    p'
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
          (j : ι) → k) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
                (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
              (a : k) → (j : ι) → k)
            ri' :
          (j : ι) → k) :
      P)

Tactic:
rw [← hri'] at hr
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
          (j : ι) → k) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
                (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
              (a : k) → (j : ι) → k)
            ri' :
          (j : ι) → k) :
      P)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)

Tactic:
simp only [AffineMap.lineMap_apply_module] at hr

Premises used: AffineMap.lineMap_apply_module