-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (FD := FD) (CD := CD) (J.plusObj P) S
inj :
  ∀ (X : C),
    Function.Injective.{t + 1, t + 1} (α := CD (P.obj (op X))) (β := CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (NatTrans.app (J.toPlus P) (op X))) :
        (a : CD (P.obj (op X))) → CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq (FD := FD) (CD := CD) P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), (↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) I = mk (FD := FD) (CD := CD) (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : (I : B.Arrow) → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), (↑S : Sieve X).arrows (e2 I)
h_1 :
  ∀ (I : B.Arrow),
    (fun (x : C) (x_1 : x ⟶ X) (h : (↑S : Sieve X).arrows x_1) ↦
        (Sieve.arrows
            ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
                ((↑(T { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
                  Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
              x x_1 h) :
          Presieve.{v, u} x))
      (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
h_2 : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq (FD := FD) (CD := CD) P B := meqOfSep (FD := FD) (CD := CD) P hsep X S s T t ht
I : S.Arrow
II : (T I).Arrow
e0 : (J.pullback II.f).obj (T I) ⟶ (J.pullback II.f).obj ((J.pullback I.f).obj B) := homOfLE ⋯
IV : ((J.pullback II.f).obj (T I)).Arrow
IA : B.Arrow := { Y := IV.Y, f := (IV.f ≫ II.f) ≫ I.f, hf := ⋯ }
IB : S.Arrow := IA.fromMiddle
IC : (T IB).Arrow := IA.toMiddle
ID : (T I).Arrow := { Y := IV.Y, f := IV.f ≫ II.f, hf := ⋯ }
h :
  Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op IV.Y)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (NatTrans.app (J.toPlus P) (op IV.Y)) :
          (a : CD (P.obj (op IV.Y))) → CD ((J.plusObj P).obj (op IV.Y)))
        ((↑(t IB) : (I : (T IB).Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y))) IC) :
      CD ((J.plusObj P).obj (op IV.Y)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (NatTrans.app (J.toPlus P) (op IV.Y)) :
          (a : CD (P.obj (op IV.Y))) → CD ((J.plusObj P).obj (op IV.Y)))
        ((↑(t I) : (I_1 : (T I).Arrow) → ToType (P.obj (op I_1.Y))) ID) :
      CD ((J.plusObj P).obj (op IV.Y)))
⊢ (↑(t IB) : (I : (T IB).Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y))) IC =
    (↑(t I) : (I_1 : (T I).Arrow) → ToType (P.obj (op I_1.Y))) ID

Tactic:
apply inj IV.Y

Premises used: CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.Y