-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.QuasiSeparated
Goal:
X : Scheme
S : (↑X.affineOpens : Type u_1)
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : (↑Γ(X, U₁) : Type u_1)
y₂ : (↑Γ(X, U₂) : Type u_1)
f : (↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂) : Type u_1)
x : (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u_1)
h₁ : (↑S : X.Opens) ≤ U₁
h₂ : (↑S : X.Opens) ≤ U₂
e₁ :
  TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
      CommRingCat.carrier) y₁
      (X.basicOpen
        (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) f U₁ ⋯))
      ⋯ =
    HPow.hPow (α :=
        ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier)
          (X.presheaf.obj
            (op
              (X.basicOpen
                (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦
                  (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier) f U₁ ⋯)))))
        (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier)
          (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
            (CC := CommRingCat.carrier) f U₁ ⋯)
          (X.basicOpen
            (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
              (CC := CommRingCat.carrier) f U₁ ⋯))
          ⋯)
        n₁ *
      TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) x
        (X.basicOpen
          (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
            (CC := CommRingCat.carrier) f U₁ ⋯))
        ⋯
e₂ :
  TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
      CommRingCat.carrier) y₂
      (X.basicOpen
        (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) f U₂ ⋯))
      ⋯ =
    HPow.hPow (α :=
        ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier)
          (X.presheaf.obj
            (op
              (X.basicOpen
                (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦
                  (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier) f U₂ ⋯)))))
        (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier)
          (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
            (CC := CommRingCat.carrier) f U₂ ⋯)
          (X.basicOpen
            (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
              (CC := CommRingCat.carrier) f U₂ ⋯))
          ⋯)
        n₂ *
      TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) x
        (X.basicOpen
          (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
            (CC := CommRingCat.carrier) f U₂ ⋯))
        ⋯
h₇₅ :
  X.basicOpen
      (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) f (↑S : X.Opens) ⋯) ≤
    X.basicOpen
      (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) f U₁ ⋯)
h₇₆ :
  X.basicOpen
      (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) f (↑S : X.Opens) ⋯) ≤
    X.basicOpen
      (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) f U₂ ⋯)
⊢ Eq (α :=
    (↑Γ(X,
          X.basicOpen
            (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
              (CC := CommRingCat.carrier) f (↑S : X.Opens) ⋯)) :
      Type u_1))
    ((algebraMap (↑Γ(X, (↑S : X.Opens)) : Type u_1)
            (↑Γ(X,
                  X.basicOpen
                    (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦
                      (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier) f (↑S : X.Opens) ⋯)) :
              Type u_1) :
          (a : (↑Γ(X, (↑S : X.Opens)) : Type u_1)) → (↑Γ(X, X.basicOpen ((f |_ (↑S : X.Opens)) ⋯)) : Type u_1))
        (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier)
          (HPow.hPow (α :=
              ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.obj (op U₁)))
              (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
                (CC := CommRingCat.carrier) f U₁ ⋯)
              n₂ *
            y₁)
          (↑S : X.Opens) h₁) :
      (↑Γ(X,
            X.basicOpen
              (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
                (CC := CommRingCat.carrier) f (↑S : X.Opens) ⋯)) :
        Type u_1))
    ((algebraMap (↑Γ(X, (↑S : X.Opens)) : Type u_1)
            (↑Γ(X,
                  X.basicOpen
                    (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦
                      (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier) f (↑S : X.Opens) ⋯)) :
              Type u_1) :
          (a : (↑Γ(X, (↑S : X.Opens)) : Type u_1)) → (↑Γ(X, X.basicOpen ((f |_ (↑S : X.Opens)) ⋯)) : Type u_1))
        (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier)
          (HPow.hPow (α :=
              ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.obj (op U₂)))
              (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
                (CC := CommRingCat.carrier) f U₂ ⋯)
              n₁ *
            y₂)
          (↑S : X.Opens) h₂) :
      (↑Γ(X,
            X.basicOpen
              (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1))
                (CC := CommRingCat.carrier) f (↑S : X.Opens) ⋯)) :
        Type u_1))

Tactic:
apply exists_eq_pow_mul_of_is_compact_of_quasi_separated_space_aux_aux (e₁ := e₁) (e₂ := e₂)

Premises used: AlgebraicGeometry.exists_eq_pow_mul_of_is_compact_of_quasi_separated_space_aux_aux, AlgebraicGeometry.exists_eq_pow_mul_of_is_compact_of_quasi_separated_space_aux._proof_3, AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.toSheafedSpace, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.presheaf, AlgebraicGeometry.exists_eq_pow_mul_of_is_compact_of_quasi_separated_space_aux._proof_8, AlgebraicGeometry.SheafedSpace.toPresheafedSpace, AlgebraicGeometry.exists_eq_pow_mul_of_is_compact_of_quasi_separated_space_aux._proof_6, AlgebraicGeometry.Scheme.toLocallyRingedSpace, AlgebraicGeometry.exists_eq_pow_mul_of_is_compact_of_quasi_separated_space_aux._proof_11