-- Module: Mathlib.Computability.PartrecCode
Goal:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst : Primcodable α
inst_1 : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR : (a : α) → (cf cg : Code) → (hf hg : σ) → σ := fun (a : α) (cf cg : Code) (hf hg : σ) ↦ pr a (cf, cg, hf, hg)
CO : (a : α) → (cf cg : Code) → (hf hg : σ) → σ := fun (a : α) (cf cg : Code) (hf hg : σ) ↦ co a (cf, cg, hf, hg)
PC : (a : α) → (cf cg : Code) → (hf hg : σ) → σ := fun (a : α) (cf cg : Code) (hf hg : σ) ↦ pc a (cf, cg, hf, hg)
RF : (a : α) → (cf : Code) → (hf : σ) → σ := fun (a : α) (cf : Code) (hf : σ) ↦ rf a (cf, hf)
F : (a : α) → (c : Code) → σ :=
  fun (a : α) (c : Code) ↦
    Code.recOn (motive := fun (x : Code) ↦ σ) c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR a) (CO a) (PC a) (RF a)
G₁ : Prod.{u_1, u_2} α (List σ) × ℕ × ℕ → Option σ :=
  fun (p : Prod.{u_1, u_2} α (List σ) × ℕ × ℕ) ↦
    (getElem? (valid := fun (as : List σ) (i : ℕ) ↦ i < as.length) p.1.2 p.2.2).bind fun (s : σ) ↦
      (getElem? (valid := fun (as : List σ) (i : ℕ) ↦ i < as.length) p.1.2 (unpair p.2.2).1).bind fun (s₁ : σ) ↦
        Option.map
          (fun (s₂ : σ) ↦
            bif p.2.1.bodd then
              bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)
              else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)
            else
              bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)
              else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))
          (getElem? (valid := fun (as : List σ) (i : ℕ) ↦ i < as.length) p.1.2 (unpair p.2.2).2)
refine :
  Computable (σ := Option σ) fun (p : ((Prod.{u_1, u_2} α (List σ) × ℕ × ℕ) × σ) × σ) ↦
    Option.map
      (fun (s₂ : σ) ↦
        bif p.1.1.2.1.bodd then
          bif p.1.1.2.1.div2.bodd then rf p.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.2.2, p.1.2)
          else pc p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂)
        else
          bif p.1.1.2.1.div2.bodd then
            co p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂)
          else pr p.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.2.2).2, p.2, s₂))
      (getElem? (valid := fun (as : List σ) (i : ℕ) ↦ i < as.length) p.1.1.1.2 (unpair p.1.1.2.2).2)
⊢ Computable (σ := Option σ) fun (p : (Prod.{u_1, u_2} α (List σ) × ℕ × ℕ) × σ) ↦
    (getElem? (valid := fun (as : List σ) (i : ℕ) ↦ i < as.length) p.1.1.2 (unpair p.1.2.2).1).bind fun (s₁ : σ) ↦
      Option.map
        (fun (s₂ : σ) ↦
          bif p.1.2.1.bodd then
            bif p.1.2.1.div2.bodd then rf p.1.1.1 (ofNat Code p.1.2.2, p.2)
            else pc p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂)
          else
            bif p.1.2.1.div2.bodd then co p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂)
            else pr p.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.2.2).2, s₁, s₂))
        (getElem? (valid := fun (as : List σ) (i : ℕ) ↦ i < as.length) p.1.1.2 (unpair p.1.2.2).2)

Tactic:
refine option_bind ((list_getElem?.comp (snd.comp fst)
      (fst.comp <| Computable.unpair.comp (snd.comp snd))).comp fst) <| .mk ?_

Premises used: Computable.list_getElem?, Computable.snd, Computable₂.comp, Computable.unpair, Computable.comp, Computable.fst, Computable.option_bind