-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.AffineTransitionLimit
Goal:
I : Type u
inst : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst_1 : IsCofiltered I
inst_2 : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
i : I
inst_3 : CompactSpace.{u} ↥(D.obj i)
s : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)
hs :
  Eq (α := (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appTop (c.π.app i)) :
          (a : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
        s :
      (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
    (0 : (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
x : ↥(D.obj i)
U : TopologicalSpace.Opens ↥(D.obj i)
hU : IsAffineOpen U
hxU : x ∈ (↑U : Set ↥(D.obj i))
this : ∀ (j : Over i), IsAffine.{u} ((opensDiagram D i U).obj j)
j : Over i
f : j ⟶ Over.mk (𝟙 i)
hj :
  Eq (α := (↑Γ((opensDiagram D i U).obj j, ⊤) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appTop ((opensDiagram D i U).map f)) :
          (a : (↑Γ((opensDiagram D i U).obj (Over.mk (𝟙 i)), ⊤) : Type u)) →
            (↑Γ((opensDiagram D i U).obj j, ⊤) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X := Γ((Over.forget i ⋙ D).obj (Over.mk (𝟙 i)), ⊤))
                (Scheme.Hom.appTop ((opensDiagramι D i U).app (Over.mk (𝟙 i)))) :
              (a : (↑Γ((Over.forget i ⋙ D).obj (Over.mk (𝟙 i)), ⊤) : Type u)) →
                (↑Γ((opensDiagram D i U).obj (Over.mk (𝟙 i)), ⊤) : Type u))
            s :
          (↑Γ((opensDiagram D i U).obj (Over.mk (𝟙 i)), ⊤) : Type u)) :
      (↑Γ((opensDiagram D i U).obj j, ⊤) : Type u))
    (0 : (↑Γ((opensDiagram D i U).obj j, ⊤) : Type u))
refine :
  Eq (α := (↑Γ(D.obj j.left, D.map j.hom ⁻¹ᵁ U) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.app (D.map j.hom) U) :
          (a : (↑Γ(D.obj i, U) : Type u)) → (↑Γ(D.obj j.left, D.map j.hom ⁻¹ᵁ U) : Type u))
        (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) s U ⋯ :
          ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
            ((D.obj i).presheaf.obj (Opposite.op U))) :
      (↑Γ(D.obj j.left, D.map j.hom ⁻¹ᵁ U) : Type u))
    (0 : (↑Γ(D.obj j.left, D.map j.hom ⁻¹ᵁ U) : Type u))
⊢ ∃ (U : (D.obj i).Opens) (_ : IsAffineOpen U) (_ : x ∈ U) (j : I) (f : j ⟶ i),
    Eq (α := (↑Γ(D.obj j, D.map f ⁻¹ᵁ U) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.app (D.map f) U) :
            (a : (↑Γ(D.obj i, U) : Type u)) → (↑Γ(D.obj j, D.map f ⁻¹ᵁ U) : Type u))
          (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) s U ⋯ :
            ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
              ((D.obj i).presheaf.obj (Opposite.op U))) :
        (↑Γ(D.obj j, D.map f ⁻¹ᵁ U) : Type u))
      (0 : (↑Γ(D.obj j, D.map f ⁻¹ᵁ U) : Type u))

Tactic:
refine ⟨U, hU, hxU, j.left, j.hom, ?_⟩