-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
smooth_pM' : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I'.tangent n Prod.snd (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp :
  p.1.proj (E := TangentSpace I) ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I)))).source ∧
    p.2.proj (E := TangentSpace I') ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I')))).source
φ : (x : E') → E' :=
  fun (x : E') ↦
    (↑I' : H' → E')
      ((↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H')
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I')))) : H' → M')
          ((↑I'.symm : E' → H') x)))
D0 :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range (↑I' : H' → E'))
    ((↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I M),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.snd) (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
      ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (w.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (w.proj (E := TangentSpace I))),
        (↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))
h :
  ((ContinuousLinearMap.prod
            (fderivWithin 𝕜
              (fun (x : E × E') ↦
                (↑I : H → E)
                  ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H)
                    ((↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                                (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv
                                  (chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                          ModelProd H H' → M × M')
                        ((↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H') x)).1))
              (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
              ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))),
                (↑I' : H' → E')
                  ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I')))))
            (fderivWithin 𝕜
              (fun (x : E × E') ↦
                (↑I' : H' → E')
                  ((↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H')
                    ((↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                                (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv
                                  (chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                          ModelProd H H' → M × M')
                        ((↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H') x)).2))
              (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
              ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))),
                (↑I' : H' → E')
                  ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))) :
          (a : E × E') → E × E')
        (p.1.snd (E := TangentSpace I), p.2.snd (E := TangentSpace I'))).2 =
    ((↑(trivializationAt E' (TangentSpace I') (b.proj (E := TangentSpace I'))) :
          TotalSpace E' (TangentSpace I') → M' × E')
        p.2).2
rw :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
    (fun (x : E × E') ↦
      (↑I : H → E)
        ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H)
          ((↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                ModelProd H H' → M × M')
              ((↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H') x)).1))
    (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
    ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))),
      (↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))
⊢ ((fderivWithin 𝕜
            (fun (x : E × E') ↦
              ((↑I : H → E)
                  ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H)
                    ((↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                                (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv
                                  (chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                          ModelProd H H' → M × M')
                        ((↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H') x)).1),
                (↑I' : H' → E')
                  ((↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H')
                    ((↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                                (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv
                                  (chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                          ModelProd H H' → M × M')
                        ((↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H') x)).2)))
            (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
            ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))),
              (↑I' : H' → E')
                ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I')))) :
          (a : E × E') → E × E')
        (p.1.snd (E := TangentSpace I), p.2.snd (E := TangentSpace I'))).2 =
    ((↑(trivializationAt E' (TangentSpace I') (b.proj (E := TangentSpace I'))) :
          TotalSpace E' (TangentSpace I') → M' × E')
        p.2).2

Tactic:
rw [DifferentiableWithinAt.fderivWithin_prodMk ?_ (by exact D _) (U _ _)]

Premises used: DifferentiableWithinAt.fderivWithin_prodMk