-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.ClosedImmersion
Goal:
X Y : Scheme
inst : IsAffine Y
f : X ⟶ Y
inst_1 : CompactSpace.{u} ↥X
hfopen : IsOpenMap (X := ↥X) (Y := ↥Y) ⇑f
hfinj₁ : Function.Injective (α := ↥X) (β := ↥Y) ⇑f
hfinj₂ :
  Function.Injective (α := (↑Γ(Y, ⊤) : Type u)) (β := (↑Γ(X, ⊤) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appTop f)) :
      (a : (↑Γ(Y, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(X, ⊤) : Type u))
x : ↥X
φ : Γ(Y, ⊤) ⟶ Γ(X, ⊤) := Scheme.Hom.appTop f
𝒰 : X.OpenCover := X.affineCover.finiteSubcover
res : (i : 𝒰.I₀) → Γ(X, ⊤) ⟶ Γ(𝒰.X i, ⊤) := fun (i : 𝒰.I₀) ↦ Scheme.Hom.appTop (𝒰.f i)
g : (↑Γ(Y, ⊤) : Type u)
h :
  Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X := X.presheaf.obj (op (f ⁻¹ᵁ ⊤))) (Y := X.presheaf.stalk x)
            (X.presheaf.germ (f ⁻¹ᵁ ⊤) x True.intro) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (f ⁻¹ᵁ ⊤))) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X := Γ(Y, ⊤)) (Scheme.Hom.app f ⊤) :
              (a : (↑Γ(Y, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ ⊤) : Type u))
            g :
          (↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ ⊤) : Type u)) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (0 : (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
U : Opens (↑(↑X.toRingedSpace.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)
w : U ⟶ ⊤
hx : x ∈ U
hg :
  Eq (α := (↑(X.toRingedSpace.presheaf.obj (op U)) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.toRingedSpace.presheaf.map w.op) :
          (a : (↑(X.toRingedSpace.presheaf.obj (op ⊤)) : Type u)) → (↑(X.toRingedSpace.presheaf.obj (op U)) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) φ :
              (a : (↑Γ(Y, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(X, ⊤) : Type u))
            g :
          (↑Γ(X, ⊤) : Type u)) :
      (↑(X.toRingedSpace.presheaf.obj (op U)) : Type u))
    (0 : (↑(X.toRingedSpace.presheaf.obj (op U)) : Type u))
obtain :
  ∀ (s : (↑Γ(Y, ⊤) : Type u)) (hyv : Membership.mem (α := ↥Y) (Y.basicOpen s) (f x : ↥Y))
    (bsle : Y.basicOpen s ≤ { carrier := ⇑f '' U.carrier, is_open' := ⋯ }),
    Eq (α := (↑(Y.presheaf.stalk (f x)) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := Y.presheaf.stalk (f x)) (Y.presheaf.Γgerm (f x)) :
            (a : (↑(Y.presheaf.obj (op ⊤)) : Type u)) → (↑(Y.presheaf.stalk (f x)) : Type u))
          g :
        (↑(Y.presheaf.stalk (f x)) : Type u))
      (0 : (↑(Y.presheaf.stalk (f x)) : Type u))
⊢ Eq (α := (↑(Y.presheaf.stalk (f x)) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := Y.presheaf.stalk (f x)) (Y.presheaf.Γgerm (f x)) :
          (a : (↑(Y.presheaf.obj (op ⊤)) : Type u)) → (↑(Y.presheaf.stalk (f x)) : Type u))
        g :
      (↑(Y.presheaf.stalk (f x)) : Type u))
    (0 : (↑(Y.presheaf.stalk (f x)) : Type u))

Tactic:
obtain ⟨_, ⟨s, rfl⟩, hyv, bsle⟩ := Opens.isBasis_iff_nbhd.mp (isBasis_basicOpen Y)
    (show f x ∈ ⟨f '' U.carrier, hfopen U.carrier U.is_open'⟩ from ⟨x, by simpa⟩)

Premises used: TopologicalSpace.Opens.isBasis_iff_nbhd, AlgebraicGeometry.isBasis_basicOpen, Exists.intro, Iff.mp, rfl