awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, a x ∈ s

Tactic:
Eventually.of_forall fun k => (aM k).1

Premises used: Filter.Eventually.of_forall, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, a x ∈ s

Tactic:
exact Eventually.of_forall fun k => (aM k).1

Premises used: Filter.Eventually.of_forall, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
⊢ Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ f (a k)) atTop (𝓝 (f x))

Tactic:
have L : Tendsto (fun k => f (a k)) atTop (𝓝 (f x)) := by
        apply (hf' x xs).continuousWithinAt.tendsto.comp
        apply tendsto_nhdsWithin_of_tendsto_nhds_of_eventually_within _ a_lim
        exact Eventually.of_forall fun k => (aM k).1
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ f (a k)) atTop (𝓝 (f x))
h :
  Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (x : ℕ) ↦ ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a x) : F)) atTop
    (𝓝 ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x)) : Filter F)
⊢ Tendsto
    (fun (x : ℕ) ↦ HSub.hSub (β := F) (f y - f (a x)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a x) : F))
    atTop (𝓝 (HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)))

Tactic:
apply Tendsto.sub (tendsto_const_nhds.sub L)

Premises used: tendsto_const_nhds, Filter.Tendsto.sub
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ f (a k)) atTop (𝓝 (f x))
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (x : ℕ) ↦ ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a x) : F)) atTop
    (𝓝 ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x)) : Filter F)

Tactic:
((f' z).continuous.tendsto _).comp (tendsto_const_nhds.sub a_lim)

Premises used: tendsto_const_nhds, Continuous.tendsto, ContinuousLinearMap.continuous, Filter.Tendsto.comp, Subtype.val, Filter.Tendsto.sub
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ f (a k)) atTop (𝓝 (f x))
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (x : ℕ) ↦ ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a x) : F)) atTop
    (𝓝 ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x)) : Filter F)

Tactic:
exact ((f' z).continuous.tendsto _).comp (tendsto_const_nhds.sub a_lim)

Premises used: tendsto_const_nhds, Continuous.tendsto, ContinuousLinearMap.continuous, Filter.Tendsto.comp, Subtype.val, Filter.Tendsto.sub
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
⊢ Tendsto
    (fun (k : ℕ) ↦
      ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖)
    atTop (𝓝 ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖)

Tactic:
have L1 :
      Tendsto (fun k : ℕ => ‖f y - f (a k) - (f' z) (y - a k)‖) atTop
        (𝓝 ‖f y - f x - (f' z) (y - x)‖) := by
      apply Tendsto.norm
      have L : Tendsto (fun k => f (a k)) atTop (𝓝 (f x)) := by
        apply (hf' x xs).continuousWithinAt.tendsto.comp
        apply tendsto_nhdsWithin_of_tendsto_nhds_of_eventually_within _ a_lim
        exact Eventually.of_forall fun k => (aM k).1
      apply Tendsto.sub (tendsto_const_nhds.sub L)
      exact ((f' z).continuous.tendsto _).comp (tendsto_const_nhds.sub a_lim)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L1 :
  Tendsto
    (fun (k : ℕ) ↦
      ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖)
    atTop (𝓝 ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖)
⊢ Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖) atTop
    (𝓝 ((↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖))

Tactic:
have L2 : Tendsto (fun k : ℕ => (r (f' z) : ℝ) * ‖y - a k‖) atTop (𝓝 (r (f' z) * ‖y - x‖)) :=
      (tendsto_const_nhds.sub a_lim).norm.const_mul _
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L1 :
  Tendsto
    (fun (k : ℕ) ↦
      ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖)
    atTop (𝓝 ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖)
L2 :
  Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖) atTop
    (𝓝 ((↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖))
⊢ Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ dist y (a k)) atTop (𝓝 (dist y x))

Tactic:
have L : Tendsto (fun k => dist y (a k)) atTop (𝓝 (dist y x)) :=
        tendsto_const_nhds.dist a_lim
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L1 :
  Tendsto
    (fun (k : ℕ) ↦
      ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖)
    atTop (𝓝 ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖)
L2 :
  Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖) atTop
    (𝓝 ((↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖))
L : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ dist y (a k)) atTop (𝓝 (dist y x))
h :
  ∀ (a_1 : ℕ),
    dist y (a a_1) < u n →
      ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a a_1)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a a_1) : F)‖ ≤
        (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a a_1‖
⊢ ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop,
    ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖ ≤
      (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖

Tactic:
filter_upwards [(tendsto_order.1 L).2 _ hy.2]

Premises used: tendsto_order, And.right, Iff.mp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L1 :
  Tendsto
    (fun (k : ℕ) ↦
      ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖)
    atTop (𝓝 ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖)
L2 :
  Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖) atTop
    (𝓝 ((↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖))
L : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ dist y (a k)) atTop (𝓝 (dist y x))
k : ℕ
hk : dist y (a k) < u n
⊢ ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖ ≤
    (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖

Tactic:
(aM k).2 y ⟨hy.1, hk⟩

Premises used: And.right, And.left, And.intro
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L1 :
  Tendsto
    (fun (k : ℕ) ↦
      ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖)
    atTop (𝓝 ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖)
L2 :
  Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖) atTop
    (𝓝 ((↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖))
L : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ dist y (a k)) atTop (𝓝 (dist y x))
k : ℕ
hk : dist y (a k) < u n
⊢ ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖ ≤
    (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖

Tactic:
exact (aM k).2 y ⟨hy.1, hk⟩

Premises used: And.right, And.left, And.intro
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : SecondCountableTopology F
f : E → F
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] F
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
r : (E →L[ℝ] F) → ℝ≥0
rpos : ∀ (A : E →L[ℝ] F), r A ≠ 0
hs : s.Nonempty
T : Set (↑s : Type u_1)
T_count : T.Countable
hT :
  Eq (α := Set (E →L[ℝ] F)) (⋃ x ∈ T, ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
    (⋃ (x : (↑s : Type u_1)), ball (f' (↑x : E)) (↑(r (f' (↑x : E))) : ℝ))
u : ℕ → ℝ
left : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
M : ℕ → (↑T : Type u_1) → Set E :=
  fun (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)) ↦
    {x : E |
      x ∈ s ∧
        ∀ y ∈ s ∩ ball x (u n),
          ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖ ≤
            (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖}
s_subset : ∀ x ∈ s, ∃ (n : ℕ) (z : (↑T : Type u_1)), x ∈ M n z
n : ℕ
z : (↑T : Type u_1)
x : E
xs : x ∈ s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (M n z)
y : E
hy : y ∈ s ∩ ball x (u n)
a : ℕ → E
aM : ∀ (k : ℕ), a k ∈ M n z
a_lim : Tendsto a atTop (𝓝 x)
L1 :
  Tendsto
    (fun (k : ℕ) ↦
      ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖)
    atTop (𝓝 ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f x) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - x) : F)‖)
L2 :
  Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖) atTop
    (𝓝 ((↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - x‖))
⊢ ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop,
    ‖HSub.hSub (β := F) (f y - f (a k)) ((f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E) : (a : E) → F) (y - a k) : F)‖ ≤
      (↑(r (f' (↑(↑z : (↑s : Type u_1)) : E))) : ℝ) * ‖y - a k‖

Tactic:
have I : ∀ᶠ k in atTop, ‖f y - f (a k) - (f' z) (y - a k)‖ ≤ r (f' z) * ‖y - a k‖ := by
      have L : Tendsto (fun k => dist y (a k)) atTop (𝓝 (dist y x)) :=
        tendsto_const_nhds.dist a_lim
      filter_upwards [(tendsto_order.1 L).2 _ hy.2]
      intro k hk
      exact (aM k).2 y ⟨hy.1, hk⟩