awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
this :
  ∀ (jx : Ordinal.{u}) (jx_lt : jx < p.lastStep) (jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)) (hx : p.index jx ∈ s i)
    (jy : Ordinal.{u}) (jy_lt : jy < p.lastStep) (jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)) (hy : p.index jy ∈ s i)
    (x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy) (jxy : jx ≤ jy),
    Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
      (p.index jy)
jxy : ¬jx ≤ jy
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)

Tactic:
exact (this jy jy_lt jyi hy jx jx_lt jxi hx x_ne_y.symm (le_of_not_ge jxy)).symm

Premises used: le_of_not_ge, Ne.symm, Disjoint.symm
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
inl : ∀ (H : jx < jy), jx < jy
inr :
  ∀ (jy_lt : jx < p.lastStep) (jyi : p.color jx = (↑i : ℕ)) (hy : p.index jx ∈ s i) (x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jx)
    (jxy : jx ≤ jx), jx < jx
⊢ jx < jy

Tactic:
rcases lt_or_eq_of_le jxy with (H | rfl)

Premises used: lt_or_eq_of_le, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
H : jx < jy
⊢ jx < jy

Tactic:
H
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
H : jx < jy
⊢ jx < jy

Tactic:
exact H
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
H : jx < jy
⊢ jx < jy

Tactic:
{ exact H }
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy_lt : jx < p.lastStep
jyi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hy : p.index jx ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jx
jxy : jx ≤ jx
⊢ jx < jx

Tactic:
(x_ne_y rfl).elim

Premises used: False.elim, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy_lt : jx < p.lastStep
jyi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hy : p.index jx ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jx
jxy : jx ≤ jx
⊢ jx < jx

Tactic:
exact (x_ne_y rfl).elim

Premises used: False.elim, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy_lt : jx < p.lastStep
jyi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hy : p.index jx ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jx
jxy : jx ≤ jx
⊢ jx < jx

Tactic:
{ exact (x_ne_y rfl).elim }

Premises used: False.elim, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
⊢ jx < jy

Tactic:
replace jxy : jx < jy := by
      rcases lt_or_eq_of_le jxy with (H | rfl); · { exact H }; · { exact (x_ne_y rfl).elim }
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
rw rw₁ :
  sInf
      (univ \
        ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
          ⋃ (_ :
            (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
                closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
            {p.color (↑j : Ordinal.{u})}) =
    sInf (univ \ A)
⊢ p.color jy = sInf (univ \ A)

Tactic:
rw [TauPackage.color]

Premises used: Besicovitch.TauPackage.color
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
⊢ p.color jy = sInf (univ \ A)

Tactic:
have color_j : p.color jy = sInf (univ \ A) := by rw [TauPackage.color]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
rw : sInf (univ \ A) ∈ univ \ A
⊢ p.color jy ∈ univ \ A

Tactic:
rw [color_j]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
hs : (univ \ A).Nonempty
⊢ sInf (univ \ A) ∈ univ \ A

Tactic:
apply csInf_mem

Premises used: csInf_mem
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ (univ \ A).Nonempty

Tactic:
⟨N, ?_⟩

Premises used: Set.Nonempty, Exists.intro
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
hs : N ∈ univ \ A
⊢ (univ \ A).Nonempty

Tactic:
refine ⟨N, ?_⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
hs :
  ∀ x < jy,
    (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
      ¬N = p.color x
⊢ N ∈ univ \ A

Tactic:
simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff, not_and,
        mem_univ, mem_diff, Subtype.exists]

Premises used: Set.mem_iUnion, Subtype.exists, not_exists, exists_prop, Set.mem_singleton_iff, Set.mem_diff, Set.mem_univ, not_and, true_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
k : Ordinal.{u}
hk : k < jy
hs :
  (closedBall (p.c (p.index k)) (p.r (p.index k)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
    ¬N = p.color k
⊢ (closedBall (p.c (p.index k)) (p.r (p.index k)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
    ¬N = p.color k

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
k : Ordinal.{u}
hk : k < jy
h_1 : (closedBall (p.c (p.index k)) (p.r (p.index k)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty
⊢ ¬N = p.color k

Tactic:
(p.color_lt (hk.trans jy_lt) hN).ne'

Premises used: LT.lt.ne', LT.lt.trans, Besicovitch.TauPackage.color_lt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
k : Ordinal.{u}
hk : k < jy
h_1 : (closedBall (p.c (p.index k)) (p.r (p.index k)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty
⊢ ¬N = p.color k

Tactic:
exact (p.color_lt (hk.trans jy_lt) hN).ne'

Premises used: LT.lt.ne', LT.lt.trans, Besicovitch.TauPackage.color_lt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ p.color jy ∈ univ \ A

Tactic:
have h : p.color jy ∈ univ \ A := by
      rw [color_j]
      apply csInf_mem
      refine ⟨N, ?_⟩
      simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff, not_and,
        mem_univ, mem_diff, Subtype.exists]
      intro k hk _
      exact (p.color_lt (hk.trans jy_lt) hN).ne'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
h : p.color jy ∈ univ \ A
⊢ ∀ x < jy,
    (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
      ¬p.color jy = p.color x

Tactic:
simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff, not_and,
      mem_univ, mem_diff, Subtype.exists] at h

Premises used: Set.mem_iUnion, Subtype.exists, not_exists, exists_prop, Set.mem_singleton_iff, Set.mem_diff, Set.mem_univ, not_and, true_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
h :
  ∀ x < jy,
    (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
      ¬p.color jy = p.color x
⊢ (closedBall (p.c (p.index jx)) (p.r (p.index jx)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
    ¬p.color jy = p.color jx

Tactic:
specialize h jx jxy