-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
H : f.toRingHom.FormallyEtale
this_1 : Algebra P.Ring Q.Ring := f.toRingHom.toAlgebra
this_2 : IsScalarTower.{u_1, u, u} R P.Ring Q.Ring
this_3 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_4 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this_5 : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
this : FormallyEtale.{u, u} P.Ring Q.Ring
x : Q.CotangentSpace
a : Q.Ring
e_a :
  ∀ (x : Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])
    (hx :
      Eq (α := Ω[Q.Ring⁄R])
        ((tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale R P.Ring Q.Ring : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R]) → Ω[Q.Ring⁄R]) x :
          Ω[Q.Ring⁄R])
        ((D R Q.Ring : (a : Q.Ring) → Ω[Q.Ring⁄R]) a : Ω[Q.Ring⁄R])),
    Eq (α := Q.CotangentSpace)
      ((LinearMap.liftBaseChange T (CotangentSpace.map f) : (a : T ⊗[S] P.CotangentSpace) → Q.CotangentSpace)
          (HSMul.hSMul (α := T) (β := T ⊗[S] P.CotangentSpace) 1
            ((LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
                    ((↑P.Ring :
                          {S_1 : Type u_2} →
                            {M : Type (max u u_2)} →
                              {M₂ : Type (max u_3 u u_2)} →
                                [inst_7 : Semiring P.Ring] →
                                  [inst_8 : Semiring S_1] →
                                    [inst_9 : AddCommMonoid M] →
                                      [inst_10 : AddCommMonoid M₂] →
                                        [inst_11 : Module P.Ring M] →
                                          [inst_12 : Module P.Ring M₂] →
                                            [inst_13 : Module S_1 M] →
                                              [inst_14 : Module S_1 M₂] →
                                                [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                                  (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
                        (S := S)
                        ((TensorProduct.mk S T P.CotangentSpace :
                            (a : T) → P.CotangentSpace →ₗ[S] T ⊗[S] P.CotangentSpace)
                          1) ∘ₗ
                      (TensorProduct.mk P.Ring S Ω[P.Ring⁄R] : (a : S) → Ω[P.Ring⁄R] →ₗ[P.Ring] S ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])
                        1) :
                  (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R]) → T ⊗[S] P.CotangentSpace)
                ((LinearEquiv.symm (tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale R P.Ring Q.Ring) :
                    (a : Ω[Q.Ring⁄R]) → Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])
                  ((D R Q.Ring : (a : Q.Ring) → Ω[Q.Ring⁄R]) a)) :
              T ⊗[S] P.CotangentSpace)) :
        Q.CotangentSpace)
      (1 ⊗ₜ[Q.Ring] (D R Q.Ring : (a : Q.Ring) → Ω[Q.Ring⁄R]) a : TensorProduct.{u, u_3, u} Q.Ring T Ω[Q.Ring⁄R])
⊢ Eq (α := Q.CotangentSpace)
    ((LinearMap.liftBaseChange T (CotangentSpace.map f) : (a : T ⊗[S] P.CotangentSpace) → Q.CotangentSpace)
        (HSMul.hSMul (α := T) (β := T ⊗[S] P.CotangentSpace) 1
          ((LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
                  ((↑P.Ring :
                        {S_1 : Type u_2} →
                          {M : Type (max u u_2)} →
                            {M₂ : Type (max u_3 u u_2)} →
                              [inst_7 : Semiring P.Ring] →
                                [inst_8 : Semiring S_1] →
                                  [inst_9 : AddCommMonoid M] →
                                    [inst_10 : AddCommMonoid M₂] →
                                      [inst_11 : Module P.Ring M] →
                                        [inst_12 : Module P.Ring M₂] →
                                          [inst_13 : Module S_1 M] →
                                            [inst_14 : Module S_1 M₂] →
                                              [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                                (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
                      (S := S)
                      ((TensorProduct.mk S T P.CotangentSpace :
                          (a : T) → P.CotangentSpace →ₗ[S] T ⊗[S] P.CotangentSpace)
                        1) ∘ₗ
                    (TensorProduct.mk P.Ring S Ω[P.Ring⁄R] : (a : S) → Ω[P.Ring⁄R] →ₗ[P.Ring] S ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])
                      1) :
                (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R]) → T ⊗[S] P.CotangentSpace)
              ((LinearEquiv.symm (tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale R P.Ring Q.Ring) :
                  (a : Ω[Q.Ring⁄R]) → Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])
                ((D R Q.Ring : (a : Q.Ring) → Ω[Q.Ring⁄R]) a)) :
            T ⊗[S] P.CotangentSpace)) :
      Q.CotangentSpace)
    (1 ⊗ₜ[Q.Ring] (D R Q.Ring : (a : Q.Ring) → Ω[Q.Ring⁄R]) a : TensorProduct.{u, u_3, u} Q.Ring T Ω[Q.Ring⁄R])

Tactic:
obtain ⟨x, hx⟩ := (tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale R P.Ring _).surjective (D R Q.Ring a)

Premises used: LinearEquiv.surjective, Algebra.Extension.Ring, KaehlerDifferential.D, KaehlerDifferential.tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale, DFunLike.coe