-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : (↑(X ⨯ Y) : Type u)
h :
  Eq (α := (↑Z : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
        (((Hom.hom' prod.fst : (a : (↑(X ⨯ Y) : Type u)) → (↑X : Type u)) x,
              (Hom.hom' prod.snd : (a : (↑(X ⨯ Y) : Type u)) → (↑Y : Type u)) x).1 :
          (↑X : Type u)) :
      (↑Z : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
        (((Hom.hom' prod.fst : (a : (↑(X ⨯ Y) : Type u)) → (↑X : Type u)) x,
              (Hom.hom' prod.snd : (a : (↑(X ⨯ Y) : Type u)) → (↑Y : Type u)) x).2 :
          (↑Y : Type u)) :
      (↑Z : Type u))
h₁ :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback f g) (Y := X ⨯ Y) (prod.lift (pullback.fst f g) (pullback.snd f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑(X ⨯ Y) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (pullbackIsoProdSubtype f g).inv :
            (a :
                (↑(of
                      { p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u) //
                        (ConcreteCategory.hom f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u)) p.1 =
                          (ConcreteCategory.hom g : (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u)) p.2 }) :
                  Type u)) →
              (↑(pullback f g) : Type u))
          (Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
              Eq (α := (↑Z : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        f :
                      (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
                    p.1 :
                  (↑Z : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        g :
                      (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
                    p.2 :
                  (↑Z : Type u)))
              ((Hom.hom' prod.fst : (a : (↑(X ⨯ Y) : Type u)) → (↑X : Type u)) x,
                (Hom.hom' prod.snd : (a : (↑(X ⨯ Y) : Type u)) → (↑Y : Type u)) x)
              h :
            { p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u) //
              Eq (α := (↑Z : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        f :
                      (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
                    p.1 :
                  (↑Z : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        g :
                      (a : (↑Y : Type u)) → (↑Z : Type u))
                    p.2 :
                  (↑Z : Type u)) }) :
        (↑(pullback f g) : Type u)) =
    x
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑(X ⨯ Y) : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (Y := X ⨯ Y) (prod.lift (pullback.fst f g) (pullback.snd f g))) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑(X ⨯ Y) : Type u)))
    x

Tactic:
use (pullbackIsoProdSubtype f g).inv ⟨⟨_, _⟩, h⟩

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, Prod.mk, Subtype.mk, TopCat.pullbackIsoProdSubtype, DFunLike.coe, CategoryTheory.Iso.inv