-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.LocalPredicate
Goal:
X : TopCat
T : (↑X : Type u_1) → Type u_1
P : LocalPredicate T
x : (↑X : Type u_1)
w :
  ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥(↑U : Opens (↑X : Type u_1))) → T (↑y : (↑X : Type u_1))),
    P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) fU →
      ∀ (fV : (y : ↥(↑V : Opens (↑X : Type u_1))) → T (↑y : (↑X : Type u_1))),
        P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) fV →
          Eq (α :=
              T
                (↑(Subtype.mk (p := fun (x_3 : (↑X : Type u_1)) ↦ x_3 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type u_1))) x ⋯) :
                  (↑X : Type u_1)))
              (fU (Subtype.mk (p := fun (x_3 : (↑X : Type u_1)) ↦ x_3 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type u_1))) x ⋯))
              (fV (Subtype.mk (p := fun (x_3 : (↑X : Type u_1)) ↦ x_3 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type u_1))) x ⋯)) →
            ∃ (W : OpenNhds x) (iU : W ⟶ U) (iV : W ⟶ V),
              ∀ (w : ↥(↑W : Opens (↑X : Type u_1))),
                Eq (α :=
                  T (↑((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type u_1))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type u_1))) w) : (↑X : Type u_1)))
                  (fU ((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type u_1))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type u_1))) w))
                  (fV ((iV : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type u_1))) → ↥(↑V : Opens (↑X : Type u_1))) w))
tU tV : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes (T := T) P).presheaf.stalk x)
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (stalkToFiber (T := T) P x) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x)) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
        tU :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (stalkToFiber (T := T) P x) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x)) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
        tV :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (T x))
refine_2 : tU = tV
refine_1 :
  ∃ (W : (OpenNhds x)ᵒᵖ) (s : (w : ↥(↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))) → T (↑w : (↑X : Type u_1))) (hW :
    P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) s),
    tU =
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              ((subsheafToTypes (T := T) P).presheaf.germ (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1)) x ⋯) :
            (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.obj (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) →
              (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x))
          (Subtype.mk (p :=
            fun (f : (x_1 : ↥(unop (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) → T (↑x_1 : (↑X : Type u_1))) ↦
            P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) f) s hW) ∧
      tV =
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              ((subsheafToTypes (T := T) P).presheaf.germ (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1)) x ⋯) :
            (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.obj (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) →
              (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((subsheafToTypes P).presheaf.stalk x))
          (Subtype.mk (p :=
            fun (f : (x_1 : ↥(unop (op (↑(unop W) : Opens (↑X : Type u_1))))) → T (↑x_1 : (↑X : Type u_1))) ↦
            P.toPrelocalPredicate (T := T).pred (T := T) f) s hW)
⊢ tU = tV

Tactic:
let Q :
    ∃ (W : (OpenNhds x)ᵒᵖ) (s : ∀ w : (unop W).1, T w) (hW : P.pred s),
      tU = (subsheafToTypes P).presheaf.germ _ x (unop W).2 ⟨s, hW⟩ ∧
        tV = (subsheafToTypes P).presheaf.germ _ x (unop W).2 ⟨s, hW⟩ :=
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