awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I n M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' n M') e'
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(e.extend I) : M → E) x)

Tactic:
(contDiffWithinAt_localInvariantProp n).liftPropWithinAt_indep_chart he hx he' hy

Premises used: ContMDiffWithinAt, Set.Mem, setOf, PartialEquiv.trans, contDiffWithinAt_localInvariantProp, OpenPartialHomeomorph.toFun', ModelWithCorners.toFun', Set.preimage, ContDiffWithinAtProp, PartialEquiv.trans', StructureGroupoid.LocalInvariantProp.liftPropWithinAt_indep_chart, OpenPartialHomeomorph.extend
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I n M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' n M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
rw :
  ContinuousWithinAt f s x →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(e.extend I) : M → E) x) ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x))
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x)

Tactic:
rw [contMDiffWithinAt_iff_of_mem_maximalAtlas he he' hx hy, and_congr_right_iff]

Premises used: and_congr_right_iff, contMDiffWithinAt_iff_of_mem_maximalAtlas
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I n M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' n M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(e.extend I) : M → E) x) ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x))

Tactic:
fun _ => contDiffWithinAt_congr_set ?_

Premises used: contDiffWithinAt_congr_set
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I n M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' n M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
refine :
  ContinuousWithinAt f s x →
    (↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) =ᶠ[𝓝 ((↑(e.extend I) : M → E) x)]
      (↑(e.extend I) : M → E) '' s
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(e.extend I) : M → E) x) ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x))

Tactic:
refine fun _ => contDiffWithinAt_congr_set ?_

Premises used: contDiffWithinAt_congr_set
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I n M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' n M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ (↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) =ᶠ[𝓝 ((↑(e.extend I) : M → E) x)] (↑(e.extend I) : M → E) '' s

Tactic:
simp_rw [e.extend_symm_preimage_inter_range_eventuallyEq hs hx]

Premises used: OpenPartialHomeomorph.extend_symm_preimage_inter_range_eventuallyEq
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')

Tactic:
contMDiffWithinAt_iff_of_mem_maximalAtlas (chart_mem_maximalAtlas x)
    (chart_mem_maximalAtlas y) hx hy

Premises used: extChartAt, IsManifold.chart_mem_maximalAtlas, contMDiffWithinAt_iff_of_mem_maximalAtlas
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')

Tactic:
(contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source hx hy).trans ?_

Premises used: Iff.trans, contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
refine :
  ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')

Tactic:
refine (contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source hx hy).trans ?_

Premises used: Iff.trans, contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ x' ∈ (extChartAt I x).source

Tactic:
rw [← extChartAt_source I] at hx

Premises used: extChartAt_source
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
hx₁ : x' ∈ (extChartAt I x).source
⊢ f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source

Tactic:
rw [← extChartAt_source I] at hx

Premises used: extChartAt_source
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ f x' ∈ (extChartAt I' y).source

Tactic:
rw [← extChartAt_source I'] at hy

Premises used: extChartAt_source
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
rw :
  ContinuousWithinAt f s x' →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x'))
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')

Tactic:
rw [and_congr_right_iff]

Premises used: and_congr_right_iff
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
set :
  let e := extChartAt I x;
  ∀ (hx : x' ∈ e.source),
    ContinuousWithinAt f s x' →
      (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
          ((↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑e : M → E) x') ↔
        ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
          (e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ((↑e : M → E) x'))
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x'))

Tactic:
set e := extChartAt I x

Premises used: extChartAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
        ((↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑e : M → E) x') ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
        (e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ((↑e : M → E) x'))

Tactic:
fun hc => contDiffWithinAt_congr_set ?_

Premises used: contDiffWithinAt_congr_set
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
refine :
  ∀ (hc : ContinuousWithinAt f s x'),
    (↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) =ᶠ[𝓝 ((↑e : M → E) x')]
      e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
        ((↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑e : M → E) x') ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
        (e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ((↑e : M → E) x'))

Tactic:
refine fun hc => contDiffWithinAt_congr_set ?_

Premises used: contDiffWithinAt_congr_set
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
rw : f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ 𝓝[s] x'
⊢ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) =ᶠ[𝓝 ((↑e : M → E) x')]
    e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)

Tactic:
rw [← nhdsWithin_eq_iff_eventuallyEq, ← e.image_source_inter_eq',
    ← map_extChartAt_nhdsWithin_eq_image' hx,
    ← map_extChartAt_nhdsWithin' hx, inter_comm, nhdsWithin_inter_of_mem]

Premises used: map_extChartAt_nhdsWithin', nhdsWithin_eq_iff_eventuallyEq, nhdsWithin_inter_of_mem, Set.inter_comm, PartialEquiv.image_source_inter_eq', map_extChartAt_nhdsWithin_eq_image'
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ 𝓝[s] x'

Tactic:
hc (extChartAt_source_mem_nhds' hy)

Premises used: Set.Mem, setOf, extChartAt_source_mem_nhds', Set.preimage
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ 𝓝[s] x'

Tactic:
exact hc (extChartAt_source_mem_nhds' hy)

Premises used: extChartAt_source_mem_nhds'