awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx0 : x ∉ C0
hxD : x ∉ D none
hi : x ∈ D none
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i

Tactic:
{grind}
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx0 : x ∉ C0
hxD : x ∉ D none
j : I
hi : x ∈ D (some j)
⊢ x ∈ D' j

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx0 : x ∉ C0
hxD : x ∉ D none
j : I
hi : x ∈ D (some j)
⊢ Membership.mem (γ := Set X) (⋃ (i : I), D' i) x

Tactic:
have hxD' : x ∈ ⋃ i, D' i := mem_iUnion.mpr ⟨j, by grind⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx0 : x ∉ C0
hxD : x ∉ D none
j : I
hi : x ∈ D (some j)
hxD' : Membership.mem (γ := Set X) (⋃ (i : I), D' i) x
neg : ∀ (k : I) (hk : x ∈ C' k), ∃ (i : Option I), x ∈ C i
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i

Tactic:
obtain ⟨k, hk⟩ := mem_iUnion.mp <| C'_cover_D' hxD'

Premises used: Set.mem_iUnion, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx0 : x ∉ C0
hxD : x ∉ D none
j : I
hi : x ∈ D (some j)
hxD' : Membership.mem (γ := Set X) (⋃ (i : I), D' i) x
k : I
hk : x ∈ C' k
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i

Tactic:
⟨some k, hk⟩

Premises used: Option.some, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx0 : x ∉ C0
hxD : x ∉ D none
j : I
hi : x ∈ D (some j)
hxD' : Membership.mem (γ := Set X) (⋃ (i : I), D' i) x
k : I
hk : x ∈ C' k
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i

Tactic:
exact ⟨some k, hk⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
h_option :
  ∀ ⦃i : Option I⦄,
    Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ i →
      ∀ ⦃j : Option I⦄, Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ j → (C i ∩ C j).Nonempty → i = j
⊢ PairwiseDisjoint univ C

Tactic:
rw [Set.pairwiseDisjoint_iff]

Premises used: Set.pairwiseDisjoint_iff
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
h h_1 : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ none
⊢ (C none ∩ C none).Nonempty → Eq.{u_5 + 1} (α := Option I) none none

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
h : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ none
j : I
h_1 : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ (some j)
⊢ (C none ∩ C (some j)).Nonempty → none = some j

Tactic:
simpa [C, C0, Set.not_nonempty_iff_eq_empty, ← Set.disjoint_iff_inter_eq_empty] using
          Disjoint.mono_right (subset_iUnion C' j) disjoint_sdiff_left

Premises used: Set.not_nonempty_iff_eq_empty, Set.disjoint_iff_inter_eq_empty, Set.subset_iUnion, Set.disjoint_sdiff_left, Disjoint.mono_right
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
i : I
h : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ (some i)
h_1 : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ none
⊢ (C (some i) ∩ C none).Nonempty → some i = none

Tactic:
simpa [C, C0, Set.not_nonempty_iff_eq_empty, ← Set.disjoint_iff_inter_eq_empty] using
          Disjoint.mono_left (subset_iUnion C' i) disjoint_sdiff_right

Premises used: Set.not_nonempty_iff_eq_empty, Set.disjoint_iff_inter_eq_empty, Set.subset_iUnion, Disjoint.mono_left, Set.disjoint_sdiff_right
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
i : I
h : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ (some i)
j : I
h_1 : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ (some j)
⊢ Membership.mem (γ := Set I) univ i

Tactic:
trivial
-- Module: Mathlib.Topology.Separation.Profinite
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
i : I
h : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ (some i)
j : I
h_1 : Membership.mem (γ := Set (Option I)) univ (some j)
⊢ Membership.mem (γ := Set I) univ j

Tactic:
trivial