-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hx : x ∈ U
h :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxV : x ∈ V
g :
  ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier)
    (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) := U ⊓ V
hxW : x ∈ W
heq :
  Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ W x hxW) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op W)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        (HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1)) (β := (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))
              g :
            (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ W x hxW) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op W)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        1 :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
obtain :
  ∀ (W' : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hxW' : x ∈ W') (i₁ i₂ : W' ⟶ W)
    (heq' :
      Eq (α := (↑(X.presheaf.obj (op W')) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i₁.op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op W)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op W')) : Type u_1))
            (HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1)) (β :=
              (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) :
                    (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))
                  f :
                (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) :
                    (a : (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))
                  g :
                (↑(X.presheaf.obj (op (U ⊓ V))) : Type u_1))) :
          (↑(X.presheaf.obj (op W')) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i₂.op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op W)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op W')) : Type u_1))
            1 :
          (↑(X.presheaf.obj (op W')) : Type u_1))),
    ∃ (V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (i : V ⟶ U) (_ : x ∈ V),
      IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
⊢ ∃ (V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (i : V ⟶ U) (_ : x ∈ V),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))

Tactic:
obtain ⟨W', hxW', i₁, i₂, heq'⟩ := X.presheaf.germ_eq x hxW hxW _ _ heq

Premises used: AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.presheaf, AlgebraicGeometry.SheafedSpace.toPresheafedSpace, TopCat.Presheaf.germ_eq