-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
calc_1 :
  HMul.hMul (β := R) (P.pairing i (shortAddLong P))
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) (shortAddLong P)) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) (shortAddLong P) : M) :
        R) =
    HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortAddLongRoot P) : R)
calc_2 :
  HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortAddLongRoot P) :
        R) =
    HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R)
calc_3 :
  HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R) =
    HMul.hMul (β := R) (P.pairing i (short P))
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) (shortRoot P) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (β := R) (P.pairing i (long P))
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) (longRoot P) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R)
calc_4 :
  HMul.hMul (β := R) (P.pairing i (short P))
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) (shortRoot P) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (β := R) (P.pairing i (long P))
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) (longRoot P) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R) =
    HMul.hMul (β := R) (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P))
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) (shortAddLongRoot P) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortAddLongRoot P) : R)
⊢ HMul.hMul (β := R) (P.pairing i (shortAddLong P))
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) (shortAddLong P)) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) (shortAddLong P) : M) :
        R) =
    HMul.hMul (β := R) (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P))
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) (shortAddLong P)) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) (shortAddLong P) : M) :
        R)

Tactic:
calc P.pairing i (shortAddLong P) * B.form (P.root (shortAddLong P)) (P.root (shortAddLong P))
    _ = 2 * B.form (P.root i) (shortAddLongRoot P) := ?_
    _ = 2 * B.form (P.root i) (shortRoot P) + 2 * B.form (P.root i) (longRoot P) := ?_
    _ = P.pairing i (short P) * B.form (shortRoot P) (shortRoot P) +
          P.pairing i (long P) * B.form (longRoot P) (longRoot P) := ?_
    _ = (P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) *
          B.form (shortAddLongRoot P) (shortAddLongRoot P) := ?_

Premises used: RootPairing.pairing, HMul.hMul, RootPairing.EmbeddedG2.shortAddLongRoot, RootPairing.EmbeddedG2.shortRoot, RootPairing.EmbeddedG2.long, RootPairing.EmbeddedG2.short, RootPairing.EmbeddedG2.longRoot, RootPairing.root, HAdd.hAdd, RootPairing.EmbeddedG2.shortAddLong, OfNat.ofNat, RootPairing.InvariantForm.form, DFunLike.coe