awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
x y : CD (P.obj (op X))
W : J.Cover X
h1 h2 : W ⟶ ⊤
hh :
  Eq (α := Meq (FD := FD) (CD := CD) P W) (Meq.refine (FD := FD) (CD := CD) (Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) ⊤ x) h1)
    (Meq.refine (FD := FD) (CD := CD) (Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) ⊤ y) h2)
I : W.Arrow
⊢ Eq (α := ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))
    ((↑(Meq.refine (FD := FD) (CD := CD) (Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) ⊤ x) h1) :
          (I : W.Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y)))
        I :
      ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))
    ((↑(Meq.refine (FD := FD) (CD := CD) (Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) ⊤ y) h2) :
          (I : W.Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y)))
        I :
      ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))

Tactic:
apply_fun fun e => e I at hh
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
x y : CD (P.obj (op X))
W : J.Cover X
h1 h2 : W ⟶ ⊤
I : W.Arrow
hh :
  Eq (α := ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))
    ((↑(Meq.refine (FD := FD) (CD := CD) (Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) ⊤ x) h1) :
          (I : W.Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y)))
        I :
      ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))
    ((↑(Meq.refine (FD := FD) (CD := CD) (Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) ⊤ y) h2) :
          (I : W.Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y)))
        I :
      ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))
⊢ Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y))) x :
      CD (P.obj (op I.Y)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y))) y :
      CD (P.obj (op I.Y)))

Tactic:
hh
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
x y : CD (P.obj (op X))
W : J.Cover X
h1 h2 : W ⟶ ⊤
I : W.Arrow
hh :
  Eq (α := ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))
    ((↑(Meq.refine (FD := FD) (CD := CD) (Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) ⊤ x) h1) :
          (I : W.Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y)))
        I :
      ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))
    ((↑(Meq.refine (FD := FD) (CD := CD) (Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) ⊤ y) h2) :
          (I : W.Arrow) → ToType (P.obj (op I.Y)))
        I :
      ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op I.Y)))
⊢ Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y))) x :
      CD (P.obj (op I.Y)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y))) y :
      CD (P.obj (op I.Y)))

Tactic:
exact hh
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (FD := FD) (CD := CD) (J.plusObj P) S
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq (FD := FD) (CD := CD) P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), (↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) I = mk (FD := FD) (CD := CD) (t I)
II : (S.bind T).Relation
⊢ (II.r.g₁ ≫ II.fst.toMiddleHom) ≫ { Y := II.fst.middle, f := II.fst.fromMiddleHom, hf := ⋯ : S.Arrow }.f =
    (II.r.g₂ ≫ II.snd.toMiddleHom) ≫ { Y := II.snd.middle, f := II.snd.fromMiddleHom, hf := ⋯ }.f

Tactic:
simpa only [Category.assoc, Cover.Arrow.middle_spec] using II.r.w

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Relation.r, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.middle_spec, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.Relation.w
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (FD := FD) (CD := CD) (J.plusObj P) S
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq (FD := FD) (CD := CD) P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), (↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) I = mk (FD := FD) (CD := CD) (t I)
II : (S.bind T).Relation
⊢ Eq (α := CD ((J.plusObj P).obj (op II.r.Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) ((J.plusObj P).map (II.r.g₁ ≫ II.fst.toMiddle.f).op) :
          (a : CD ((J.plusObj P).obj (op II.fst.fromMiddle.Y))) → CD ((J.plusObj P).obj (op II.r.Z)))
        ((↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) II.fst.fromMiddle) :
      CD ((J.plusObj P).obj (op II.r.Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) ((J.plusObj P).map (II.r.g₂ ≫ II.snd.toMiddle.f).op) :
          (a : CD ((J.plusObj P).obj (op II.snd.fromMiddle.Y))) → CD ((J.plusObj P).obj (op II.r.Z)))
        ((↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) II.snd.fromMiddle) :
      CD ((J.plusObj P).obj (op II.r.Z)))

Tactic:
exact s.condition
      { fst.hf := II.fst.from_middle_condition
        snd.hf := II.snd.from_middle_condition
        r.g₁ := II.r.g₁ ≫ II.fst.toMiddleHom
        r.g₂ := II.r.g₂ ≫ II.snd.toMiddleHom
        r.w := by simpa only [Category.assoc, Cover.Arrow.middle_spec] using II.r.w
        .. }

Premises used: CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.toMiddleHom, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.Relation.mk, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.Relation.Z, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.Relation.g₁, CategoryTheory.CategoryStruct.comp, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.Relation.g₂, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Relation.mk, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Relation.fst, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Relation.r, CategoryTheory.Meq.condition, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Relation.snd
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (FD := FD) (CD := CD) (J.plusObj P) S
⊢ ∀ (X : C),
    Function.Injective.{t + 1, t + 1} (α := CD (P.obj (op X))) (β := CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (NatTrans.app (J.toPlus P) (op X))) :
        (a : CD (P.obj (op X))) → CD ((J.plusObj P).obj (op X)))

Tactic:
have inj : ∀ X : C, Function.Injective ((J.toPlus P).app (op X)) := inj_of_sep _ hsep
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (FD := FD) (CD := CD) (J.plusObj P) S
inj :
  ∀ (X : C),
    Function.Injective.{t + 1, t + 1} (α := CD (P.obj (op X))) (β := CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (NatTrans.app (J.toPlus P) (op X))) :
        (a : CD (P.obj (op X))) → CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
choose :
  ∀ (T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y) (t : (I : S.Arrow) → Meq (FD := FD) (CD := CD) P (T I))
    (ht :
      ∀ (I : S.Arrow), (↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) I = mk (FD := FD) (CD := CD) (t I)),
    ∃ (t : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) ((J.plusObj P).obj (op X))),
      Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) S t = s
⊢ ∃ (t : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) ((J.plusObj P).obj (op X))), Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) S t = s

Tactic:
choose T t ht using fun I => exists_rep (s I)

Premises used: Subtype.val, CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.exists_rep
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (FD := FD) (CD := CD) (J.plusObj P) S
inj :
  ∀ (X : C),
    Function.Injective.{t + 1, t + 1} (α := CD (P.obj (op X))) (β := CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (NatTrans.app (J.toPlus P) (op X))) :
        (a : CD (P.obj (op X))) → CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq (FD := FD) (CD := CD) P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), (↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) I = mk (FD := FD) (CD := CD) (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
choose :
  ∀ (Z : (I : B.Arrow) → C) (e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I) (e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X)
    (he2 : ∀ (I : B.Arrow), (↑S : Sieve X).arrows (e2 I)),
    (∀ (I : B.Arrow),
        (fun (x : C) (x_1 : x ⟶ X) (h : (↑S : Sieve X).arrows x_1) ↦
            (Sieve.arrows
                ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
                    ((↑(T { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) :
                        Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
                      Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
                  x x_1 h) :
              Presieve.{v, u} x))
          (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)) →
      (∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f) →
        ∃ (t : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) ((J.plusObj P).obj (op X))),
          Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) S t = s
⊢ ∃ (t : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) ((J.plusObj P).obj (op X))), Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) S t = s

Tactic:
choose Z e1 e2 he2 _ _ using fun I : B.Arrow => I.hf

Premises used: CategoryTheory.GrothendieckTopology.Cover.Arrow.hf
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (FD := FD) (CD := CD) (J.plusObj P) S
inj :
  ∀ (X : C),
    Function.Injective.{t + 1, t + 1} (α := CD (P.obj (op X))) (β := CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (NatTrans.app (J.toPlus P) (op X))) :
        (a : CD (P.obj (op X))) → CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq (FD := FD) (CD := CD) P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), (↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) I = mk (FD := FD) (CD := CD) (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : (I : B.Arrow) → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), (↑S : Sieve X).arrows (e2 I)
h_1 :
  ∀ (I : B.Arrow),
    (fun (x : C) (x_1 : x ⟶ X) (h : (↑S : Sieve X).arrows x_1) ↦
        (Sieve.arrows
            ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
                ((↑(T { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
                  Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
              x x_1 h) :
          Presieve.{v, u} x))
      (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
h_2 : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq (FD := FD) (CD := CD) P B := meqOfSep (FD := FD) (CD := CD) P hsep X S s T t ht
h : Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) S (mk (FD := FD) (CD := CD) w) = s
⊢ ∃ (t : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) ((J.plusObj P).obj (op X))), Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) S t = s

Tactic:
use mk w

Premises used: CategoryTheory.GrothendieckTopology.Plus.mk
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.ConcreteSheafification
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
D : Type w
inst_1 : Category.{w', w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type t
inst_2 : (X Y : D) → FunLike.{u_1 + 1, t + 1, t + 1} (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory.{t, w', w, u_1} D FD (CC := CD)
inst_3 : ∀ {X : C} (S : J.Cover X), PreservesLimitsOfShape (WalkingMulticospan S.shape) (forget D (FC := FD) (CC := CD))
inst_4 : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst_5 : ∀ (P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst_6 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D (FC := FD) (CC := CD))
P : Functor.{v, w', u, w} Cᵒᵖ D
hsep :
  ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : ToType.{t, w', w, u_1} (FC := FD) (CC := CD) (P.obj (op X))),
    (∀ (I : S.Arrow),
        Eq (α := CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              x :
            CD (P.obj (op I.Y)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (P.map I.f.op) : (a : CD (P.obj (op X))) → CD (P.obj (op I.Y)))
              y :
            CD (P.obj (op I.Y)))) →
      x = y
X : C
S : J.Cover X
s : Meq (FD := FD) (CD := CD) (J.plusObj P) S
inj :
  ∀ (X : C),
    Function.Injective.{t + 1, t + 1} (α := CD (P.obj (op X))) (β := CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := FD) (CC := CD) (NatTrans.app (J.toPlus P) (op X))) :
        (a : CD (P.obj (op X))) → CD ((J.plusObj P).obj (op X)))
T : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
t : (I : S.Arrow) → Meq (FD := FD) (CD := CD) P (T I)
ht : ∀ (I : S.Arrow), (↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) I = mk (FD := FD) (CD := CD) (t I)
B : J.Cover X := S.bind T
Z : (I : B.Arrow) → C
e1 : (I : B.Arrow) → I.Y ⟶ Z I
e2 : (I : B.Arrow) → Z I ⟶ X
he2 : ∀ (I : B.Arrow), (↑S : Sieve X).arrows (e2 I)
h_1 :
  ∀ (I : B.Arrow),
    (fun (x : C) (x_1 : x ⟶ X) (h : (↑S : Sieve X).arrows x_1) ↦
        (Sieve.arrows
            ((fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : (↑S : Sieve X).arrows f) ↦
                ((↑(T { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }) : Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y) :
                  Sieve.{v, u} { Y := Y, f := f, hf := hf : S.Arrow }.Y))
              x x_1 h) :
          Presieve.{v, u} x))
      (Z I) (e2 I) ⋯ (e1 I)
h_2 : ∀ (I : B.Arrow), e1 I ≫ e2 I = I.f
w : Meq (FD := FD) (CD := CD) P B := meqOfSep (FD := FD) (CD := CD) P hsep X S s T t ht
h :
  ∀ (I : S.Arrow),
    (↑(Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) S (mk (FD := FD) (CD := CD) w)) :
          (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y)))
        I =
      (↑s : (I : S.Arrow) → ToType ((J.plusObj P).obj (op I.Y))) I
⊢ Meq.mk (FD := FD) (CD := CD) S (mk (FD := FD) (CD := CD) w) = s

Tactic:
ext I