awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : i ≤ j.castSucc
x : X _⦋n + 1⦌
h :
  Eq (α := Y _⦋n + 1⦌)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h) (op ⦋n + 1⦌)) :
          (a : (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌) → Y _⦋n + 1⦌)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ (tensorObj (𝒞 := Functor.category) Δ[n + 1] Δ[1]) i.castSucc) :
              (a : (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌) → (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)
            (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                    (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                  j.succ) :
              (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌) :
          tensorObj (𝒞 := Functor.category) Δ[n + 1] Δ[1] _⦋n + 1⦌) :
      Y _⦋n + 1⦌)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (NatTrans.app
              ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X)
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌) ▷
                  Δ[1] ≫
                H.h)
              (op ⦋n + 1⦌)) :
          (a : (Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌) → Y _⦋n + 1⦌)
        (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ : (a : Fin (n + 1)) → (↑((Δ[n] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1)) : Type u))
              j) :
          (Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌) :
      Y _⦋n + 1⦌)
⊢ TypeCat.Fun.toFun
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
        ((↾fun (x : X _⦋n + 1⦌) ↦
            (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h)
                    (op ⦋n + 1 + 1⦌)) :
                (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1 + 1⦌))
              (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                      (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                    j.succ) :
                (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) ≫
          δ Y i.castSucc))
      x =
    TypeCat.Fun.toFun
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
        (δ X i ≫
          ↾fun (x : X _⦋n⦌) ↦
            (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h) (op ⦋n + 1⦌)) :
                (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1⦌))
              (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                      (a : Fin (n + 1)) → (↑((Δ[n] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1)) : Type u))
                    j) :
                (Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)))
      x

Tactic:
simp only [TypeCat.Fun.toFun_apply, types_comp_apply, TypeCat.hom_ofHom, TypeCat.Fun.coe_mk,
      ← SSet.δ_naturality_apply]

Premises used: SSet.δ_naturality_apply, TypeCat.Fun.coe_mk, TypeCat.hom_ofHom, TypeCat.Fun.toFun_apply, CategoryTheory.types_comp_apply
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : i ≤ j.castSucc
x : X _⦋n + 1⦌
⊢ Eq (α := X _⦋n + 1⦌)
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (X.map
                  (Quiver.Hom.op
                    (((stdSimplex.objEquiv : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌ ≃ (unop (op ⦋n + 1⦌) ⟶ ⦋n + 1⦌)) :
                        (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌) → ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌)
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[n + 1] i.castSucc) :
                          (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌)
                        ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1 + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌)
                            (SimplexCategory.σ j.succ) :
                          Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌))))) :
              (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
            x,
          (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[1] i.castSucc) : (a : Δ[1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[1] _⦋n + 1⦌)
            (stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.succ.succ)).1 :
      X _⦋n + 1⦌)
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (NatTrans.app
                  ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X)
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌))
                  (op ⦋n + 1⦌)) :
              (a : Δ[n] _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
            ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n⦌) → Δ[n] _⦋n + 1⦌) (SimplexCategory.σ j) :
              Δ[n] _⦋n + 1⦌),
          stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.succ).1 :
      X _⦋n + 1⦌)

Tactic:
simpa [stdSimplex.δ_objEquiv_symm_apply,
        SSet.yonedaEquiv_symm_app_objEquiv_symm.{u}] using
          ConcreteCategory.congr_hom (X.δ_comp_σ_of_le hij) x

Premises used: SSet.stdSimplex.δ_objEquiv_symm_apply, CategoryTheory.SimplicialObject.δ_comp_σ_of_le, CategoryTheory.ConcreteCategory.congr_hom
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : i ≤ j.castSucc
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
h : i.castSucc.castSucc < j.castSucc.succ.succ
⊢ Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
    (((((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (X.map
                        (Quiver.Hom.op
                          (((stdSimplex.objEquiv : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌ ≃ (unop (op ⦋n + 1⦌) ⟶ ⦋n + 1⦌)) :
                              (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌) → ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌)
                            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[n + 1] i.castSucc) :
                                (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌)
                              ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1 + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌)
                                  (SimplexCategory.σ j.succ) :
                                Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌))))) :
                    (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
                  x,
                (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[1] i.castSucc) : (a : Δ[1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[1] _⦋n + 1⦌)
                  (stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.succ.succ)).2 :
            Δ[1] _⦋n + 1⦌) :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (1 + 1))
        k :
      Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
    (((((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (NatTrans.app
                        ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X)
                          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌))
                        (op ⦋n + 1⦌)) :
                    (a : Δ[n] _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
                  ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n⦌) → Δ[n] _⦋n + 1⦌) (SimplexCategory.σ j) :
                    Δ[n] _⦋n + 1⦌),
                stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.succ) :
              X _⦋n + 1⦌ × Δ[1] _⦋n + 1⦌).2 :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (1 + 1))
        k :
      Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))

Tactic:
rw [stdSimplex.δ_objMk₁_of_lt, Fin.pred_succ]

Premises used: Fin.pred_succ, SSet.stdSimplex.δ_objMk₁_of_lt
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : i ≤ j.castSucc
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
h : i.castSucc ≤ j.succ.castSucc
⊢ i.castSucc.castSucc < j.castSucc.succ.succ

Tactic:
rw [Fin.castSucc_lt_succ_iff, ← Fin.castSucc_succ]

Premises used: Fin.castSucc_succ, Fin.castSucc_lt_succ_iff
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : i ≤ j.castSucc
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
h : i ≤ j.succ
⊢ i.castSucc ≤ j.succ.castSucc

Tactic:
simp only [Fin.castSucc_le_castSucc_iff]

Premises used: Fin.castSucc_le_castSucc_iff
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : i ≤ j.castSucc
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
⊢ i ≤ j.succ

Tactic:
hij.trans (j.castSucc_le_succ)

Premises used: Fin.castSucc_le_succ, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : i ≤ j.castSucc
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
⊢ i ≤ j.succ

Tactic:
exact hij.trans (j.castSucc_le_succ)

Premises used: Fin.castSucc_le_succ, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h :
  ∀ (x : X _⦋n + 1⦌),
    TypeCat.Fun.toFun
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
          ((↾fun (x : X _⦋n + 1⦌) ↦
              (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                    (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h)
                      (op ⦋n + 1 + 1⦌)) :
                  (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) →
                    (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1 + 1⦌))
                (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                        (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                      i.succ) :
                  (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) ≫
            δ Y i.castSucc.succ))
        x =
      TypeCat.Fun.toFun
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
          ((↾fun (x : X _⦋n + 1⦌) ↦
              (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                    (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h)
                      (op ⦋n + 1 + 1⦌)) :
                  (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) →
                    (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1 + 1⦌))
                (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                        (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                      i.castSucc) :
                  (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) ≫
            δ Y i.castSucc.succ))
        x
⊢ Eq (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌)
    ((↾fun (x : X _⦋n + 1⦌) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h)
                (op ⦋n + 1 + 1⦌)) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1 + 1⦌))
          (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                  (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                i.succ) :
            (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) ≫
      δ Y i.castSucc.succ)
    ((↾fun (x : X _⦋n + 1⦌) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h)
                (op ⦋n + 1 + 1⦌)) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1 + 1⦌))
          (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                  (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                i.castSucc) :
            (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) ≫
      δ Y i.castSucc.succ)

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
⊢ i.castSucc.succ.castSucc < i.castSucc.succ.succ

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
⊢ i.castSucc.castSucc.succ ≤ i.castSucc.succ.castSucc

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
⊢ Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
    (((((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (X.map
                        (Quiver.Hom.op
                          (((stdSimplex.objEquiv : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌ ≃ (unop (op ⦋n + 1⦌) ⟶ ⦋n + 1⦌)) :
                              (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌) → ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌)
                            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[n + 1] i.castSucc.succ) :
                                (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌)
                              ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1 + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌)
                                  (SimplexCategory.σ i.succ) :
                                Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌))))) :
                    (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
                  x,
                stdSimplex.objMk₁ (i.castSucc.succ.succ.pred ⋯)) :
              X _⦋n + 1⦌ × Δ[1] _⦋n + 1⦌).2 :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (1 + 1))
        k :
      Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
    (((((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (X.map
                        (Quiver.Hom.op
                          (((stdSimplex.objEquiv : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌ ≃ (unop (op ⦋n + 1⦌) ⟶ ⦋n + 1⦌)) :
                              (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌) → ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌)
                            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[n + 1] i.castSucc.succ) :
                                (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌)
                              ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1 + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌)
                                  (SimplexCategory.σ i.castSucc) :
                                Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌))))) :
                    (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
                  x,
                stdSimplex.objMk₁ (i.castSucc.castSucc.succ.castPred ⋯)) :
              X _⦋n + 1⦌ × Δ[1] _⦋n + 1⦌).2 :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (1 + 1))
        k :
      Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : j.castSucc < i
h :
  ∀ (x : X _⦋n + 1⦌),
    TypeCat.Fun.toFun
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
          ((↾fun (x : X _⦋n + 1⦌) ↦
              (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                    (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h)
                      (op ⦋n + 1 + 1⦌)) :
                  (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) →
                    (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1 + 1⦌))
                (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                        (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                      j.castSucc) :
                  (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) ≫
            δ Y i.succ))
        x =
      TypeCat.Fun.toFun
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
          (δ X i ≫
            ↾fun (x : X _⦋n⦌) ↦
              (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                    (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h) (op ⦋n + 1⦌)) :
                  (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1⦌))
                (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                        (a : Fin (n + 1)) → (↑((Δ[n] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1)) : Type u))
                      j) :
                  (Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)))
        x
⊢ (↾fun (x : X _⦋n + 1⦌) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h)
                (op ⦋n + 1 + 1⦌)) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1 + 1⦌))
          (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                  (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                j.castSucc) :
            (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) ≫
      δ Y i.succ =
    δ X i ≫
      ↾fun (x : X _⦋n⦌) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h) (op ⦋n + 1⦌)) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1⦌))
          (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                  (a : Fin (n + 1)) → (↑((Δ[n] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1)) : Type u))
                j) :
            (Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : j.castSucc < i
x : X _⦋n + 1⦌
h :
  Eq (α := Y _⦋n + 1⦌)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h) (op ⦋n + 1⦌)) :
          (a : (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌) → Y _⦋n + 1⦌)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ (tensorObj (𝒞 := Functor.category) Δ[n + 1] Δ[1]) i.succ) :
              (a : (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌) → (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)
            (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                    (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                  j.castSucc) :
              (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌) :
          tensorObj (𝒞 := Functor.category) Δ[n + 1] Δ[1] _⦋n + 1⦌) :
      Y _⦋n + 1⦌)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (NatTrans.app
              ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X)
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌) ▷
                  Δ[1] ≫
                H.h)
              (op ⦋n + 1⦌)) :
          (a : (Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌) → Y _⦋n + 1⦌)
        (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ : (a : Fin (n + 1)) → (↑((Δ[n] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1)) : Type u))
              j) :
          (Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌) :
      Y _⦋n + 1⦌)
⊢ TypeCat.Fun.toFun
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
        ((↾fun (x : X _⦋n + 1⦌) ↦
            (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h)
                    (op ⦋n + 1 + 1⦌)) :
                (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1 + 1⦌))
              (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                      (a : Fin (n + 1 + 1)) → (↑((Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1 + 1)) : Type u))
                    j.castSucc) :
                (Δ[n + 1] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1 + 1⦌)) ≫
          δ Y i.succ))
      x =
    TypeCat.Fun.toFun
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
        (δ X i ≫
          ↾fun (x : X _⦋n⦌) ↦
            (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X) x ▷ Δ[1] ≫ H.h) (op ⦋n + 1⦌)) :
                (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (Y _⦋n + 1⦌))
              (↑((prodStdSimplex.nonDegenerateEquiv₁ :
                      (a : Fin (n + 1)) → (↑((Δ[n] ⊗ Δ[1]).nonDegenerate (n + 1)) : Type u))
                    j) :
                (Δ[n] ⊗ Δ[1]) _⦋n + 1⦌)))
      x

Tactic:
simp only [TypeCat.Fun.toFun_apply, types_comp_apply, TypeCat.hom_ofHom, TypeCat.Fun.coe_mk,
      ← SSet.δ_naturality_apply]

Premises used: SSet.δ_naturality_apply, TypeCat.Fun.coe_mk, TypeCat.hom_ofHom, TypeCat.Fun.toFun_apply, CategoryTheory.types_comp_apply
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : j.castSucc < i
x : X _⦋n + 1⦌
h :
  Eq (α := X _⦋n + 1⦌)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (X.map (SimplexCategory.σ j).op) : (a : X _⦋n⦌) → X _⦋n + 1⦌)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (X.map (SimplexCategory.δ i).op) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x :
          X _⦋n⦌) :
      X _⦋n + 1⦌)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (X.map (SimplexCategory.σ j).op) : (a : X _⦋n⦌) → X _⦋n + 1⦌)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌) :
      X _⦋n + 1⦌)
⊢ Eq (α := X _⦋n + 1⦌)
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (X.map
                  (Quiver.Hom.op
                    (((stdSimplex.objEquiv : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌ ≃ (unop (op ⦋n + 1⦌) ⟶ ⦋n + 1⦌)) :
                        (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌) → ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌)
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[n + 1] i.succ) :
                          (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌)
                        ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1 + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌)
                            (SimplexCategory.σ j.castSucc) :
                          Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌))))) :
              (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
            x,
          (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[1] i.succ) : (a : Δ[1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[1] _⦋n + 1⦌)
            (stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.castSucc.succ)).1 :
      X _⦋n + 1⦌)
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (NatTrans.app
                  ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X)
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌))
                  (op ⦋n + 1⦌)) :
              (a : Δ[n] _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
            ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n⦌) → Δ[n] _⦋n + 1⦌) (SimplexCategory.σ j) :
              Δ[n] _⦋n + 1⦌),
          stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.succ).1 :
      X _⦋n + 1⦌)

Tactic:
simp [SimplexCategory.δ_comp_σ_of_gt hij, SSet.yonedaEquiv_symm_app_objEquiv_symm.{u}]

Premises used: SimplexCategory.δ_comp_σ_of_gt
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : j.castSucc < i
x : X _⦋n + 1⦌
⊢ Eq (α := X _⦋n + 1⦌)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (X.map (SimplexCategory.σ j).op) : (a : X _⦋n⦌) → X _⦋n + 1⦌)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (X.map (SimplexCategory.δ i).op) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x :
          X _⦋n⦌) :
      X _⦋n + 1⦌)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (X.map (SimplexCategory.σ j).op) : (a : X _⦋n⦌) → X _⦋n + 1⦌)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌) :
      X _⦋n + 1⦌)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : j.castSucc < i
x : X _⦋n + 1⦌
k : Fin (n + 1 + 1)
⊢ j.castSucc.castSucc.succ ≤ i.succ.castSucc

Tactic:
simpa using Fin.le_of_lt hij

Premises used: Fin.le_of_lt