-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.ColimitFunctor
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : LocallySmall.{w, v, u} C
inst_2 : IsCofiltered.{v, u} C
inst_3 : InitiallySmall.{w, v, u} C
R : CategoryTheory.Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ RingCat
cR : Cocone R
hcR : IsColimit cR
M : PresheafOfModules R
cM : Cocone M.presheaf
hcM : IsColimit cM
M'_1 : PresheafOfModules R
cM'_1 : Cocone M'_1.presheaf
hcM'_1 : IsColimit cM'_1
M'' : PresheafOfModules R
cM'' : Cocone M''.presheaf
hcM'' : IsColimit cM''
M' : PresheafOfModules R
cM' : Cocone M'.presheaf
hcM' : IsColimit cM'
f : M ⟶ M'
r : (↑cR.pt : Type w)
m : ModuleColimit hcR hcM
obtain :
  ∀ (U : Cᵒᵖ) (r : (↑(R.obj U) : Type w)) (m : (↑(M.obj U) : Type w)),
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (Y := ((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt)
            (hcM.desc ((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM')) :
          (a : (↑cM.pt : Type w)) → (↑((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt : Type w))
        (HSMul.hSMul (α := (↑cR.pt : Type w)) (β := ModuleColimit hcR hcM)
          ((ιR cR : (a : (↑(R.obj U) : Type w)) → (↑cR.pt : Type w)) r : (↑cR.pt : Type w))
          ((ιM : (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) m : ModuleColimit hcR hcM)) =
      HSMul.hSMul (α := (↑cR.pt : Type w)) (β := ModuleColimit hcR hcM')
        ((RingHom.id (↑cR.pt : Type w) : (a : (↑cR.pt : Type w)) → (↑cR.pt : Type w))
            ((ιR cR : (a : (↑(R.obj U) : Type w)) → (↑cR.pt : Type w)) r : (↑cR.pt : Type w)) :
          (↑cR.pt : Type w))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (Y := ((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt)
                (hcM.desc ((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM')) :
              (a : (↑cM.pt : Type w)) → (↑((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt : Type w))
            ((ιM : (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) m : ModuleColimit hcR hcM) :
          (↑((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt : Type w))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (Y := ((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt)
          (hcM.desc ((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM')) :
        (a : (↑cM.pt : Type w)) → (↑((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt : Type w))
      (r • m) =
    HSMul.hSMul (α := (↑cR.pt : Type w)) (β := ModuleColimit hcR hcM')
      ((RingHom.id (↑cR.pt : Type w) : (a : (↑cR.pt : Type w)) → (↑cR.pt : Type w)) r : (↑cR.pt : Type w))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (Y := ((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt)
              (hcM.desc ((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM')) :
            (a : (↑cM.pt : Type w)) → (↑((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt : Type w))
          m :
        (↑((Cocone.precompose ((toPresheaf R).map f)).obj cM').pt : Type w))

Tactic:
obtain ⟨U, r, m, rfl, rfl⟩ := ModuleColimit.jointly_surjective₂ r m

Premises used: PresheafOfModules.ModuleColimit.jointly_surjective₂, rfl