-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
this : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t)
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s})
    (Set.pi (α := Y) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t})
s₁ : (i : ι) → Set (X i)
hs₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₁
t₁ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₁
s₂ : (i : ι) → Set (X i)
hs₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₂
t₂ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₂
refine_1 :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) fun (i : ι) ↦
    s₁ i ∩ s₂ i
refine_2 :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) fun (j : κ) ↦
    t₁ j ∩ t₂ j
refine_3 :
  Eq (α := Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)))
    ((fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ fun (i : ι) ↦ s₁ i ∩ s₂ i)
      (Set.pi (α := Y) univ fun (j : κ) ↦ t₁ j ∩ t₂ j))
    ((fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ s₁)
        (Set.pi (α := Y) univ t₁) ∩
      (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ s₂)
        (Set.pi (α := Y) univ t₂))
⊢ (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ s₁)
        (Set.pi (α := Y) univ t₁) ∩
      (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ s₂)
        (Set.pi (α := Y) univ t₂) ∈
    π

Tactic:
refine ⟨_, ⟨fun i ↦ s₁ i ∩ s₂ i, ?_, rfl⟩, _, ⟨fun j ↦ t₁ j ∩ t₂ j, ?_, rfl⟩, ?_⟩