-- Module: Mathlib.AlgebraicTopology.FundamentalGroupoid.InducedMaps
Goal:
X Y : TopCat
f g : C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))
H : f.Homotopy g
x : (↑X : Type u)
simp :
  HEq (α :=
    Quiver.Hom (V := (↑(π.obj Y) : Type u))
      ({ as := (f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x } : FundamentalGroupoid (↑Y : Type u))
      ({ as := (g : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x } : FundamentalGroupoid (↑Y : Type u)))
    (⟦H.evalAt x⟧ :
      Quotient (α :=
        Path (X := (↑Y : Type u)) ((f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x : (↑Y : Type u))
          ((g : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x : (↑Y : Type u)))
        (Path.Homotopic.setoid ((f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x)
            ((g : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x) :
          Setoid
            (Path (X := (↑Y : Type u)) ((f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x : (↑Y : Type u))
              ((g : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x : (↑Y : Type u)))))
    (β :=
    Quiver.Hom (V := (↑(π.obj Y) : Type u)) (fromTop ((H : (a : (↑I : Type) × (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) (0, x)))
      { as := (H : (a : (↑I : Type) × (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) (1, x) })
    (Path.Homotopic.Quotient.map
        (CategoryTheory.Functor.map (prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type))) X)
          (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x)))
        H.uliftMap :
      Path.Homotopic.Quotient (X := (↑Y : Type u))
        ((H.uliftMap : (a : ULift.{u, 0} (↑I : Type) × (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u))
            (as
                (Functor.obj (C := (↑(π.obj (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type)))) : Type u) × (↑(π.obj X) : Type u))
                  (prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type))) X) ({ as := { down := 0 } }, { as := x })) :
              ULift.{u, 0} (↑I : Type) × (↑X : Type u)) :
          (↑Y : Type u))
        ((H.uliftMap : (a : ULift.{u, 0} (↑I : Type) × (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u))
            (as
                (Functor.obj (C := (↑(π.obj (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type)))) : Type u) × (↑(π.obj X) : Type u))
                  (prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type))) X) ({ as := { down := 1 } }, { as := x })) :
              ULift.{u, 0} (↑I : Type) × (↑X : Type u)) :
          (↑Y : Type u)))
⊢ HEq (α :=
    Quiver.Hom (V := (↑(π.obj Y) : Type u))
      ({ as := (f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x } : FundamentalGroupoid (↑Y : Type u))
      ({ as := (g : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x } : FundamentalGroupoid (↑Y : Type u)))
    (⟦H.evalAt x⟧ :
      Quotient (α :=
        Path (X := (↑Y : Type u)) ((f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x : (↑Y : Type u))
          ((g : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x : (↑Y : Type u)))
        (Path.Homotopic.setoid ((f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x)
            ((g : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x) :
          Setoid
            (Path (X := (↑Y : Type u)) ((f : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x : (↑Y : Type u))
              ((g : (a : (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) x : (↑Y : Type u)))))
    (β :=
    Quiver.Hom (V := (↑(π.obj Y) : Type u)) (fromTop ((H : (a : (↑I : Type) × (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) (0, x)))
      { as := (H : (a : (↑I : Type) × (↑X : Type u)) → (↑Y : Type u)) (1, x) })
    ((π.map (TopCat.ofHom H.uliftMap)).map
        (CategoryTheory.Functor.map (prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type))) X)
          (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) :
      (π.map (TopCat.ofHom H.uliftMap)).obj
          (Functor.obj (C := (↑(π.obj (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type)))) : Type u) × (↑(π.obj X) : Type u))
            (prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type))) X)
            ({ as := { down := 0 : ULift.{u, 0} (↑I : Type) } : FundamentalGroupoid (ULift.{u, 0} (↑I : Type)) },
              { as := x : FundamentalGroupoid (↑X : Type u) })) ⟶
        (π.map (TopCat.ofHom H.uliftMap)).obj
          (Functor.obj (C := (↑(π.obj (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type)))) : Type u) × (↑(π.obj X) : Type u))
            (prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} (↑I : Type))) X) ({ as := { down := 1 } }, { as := x })))

Tactic:
simp only [map_eq]

Premises used: FundamentalGroupoid.map_eq