-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
U : Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v)
hU :
  Membership.mem (α := (↑(↑Z : TopCat) : Type v)) U
    ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
        ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
          (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) :
      (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
⊢ Eq (α :=
    obj (C :=
        (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
            ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
              ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
          Z.presheaf)
        (op
          (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v)) ↦
            Membership.mem (α := (↑(↑Z : TopCat) : Type v)) U
              ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) :
                (↑(↑Z : TopCat) : Type v)))
            U hU)) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
            ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
              ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
          Z.presheaf))
      (colimit.ι
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
          Z.presheaf)
        (op
          (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v)) ↦
            Membership.mem (α := (↑(↑Z : TopCat) : Type v)) U
              ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) :
                (↑(↑Z : TopCat) : Type v)))
            U hU)))
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
              ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))) ⋙
            obj (pushforward C (α.base ≫ β.base)) X.presheaf))
        (colimMap
          (whiskerLeft
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))))
            (α ≫ β).c))
        (CategoryStruct.comp (Y :=
          colimit ((OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
          (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
          (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op))))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
            ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
              ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
          Z.presheaf))
      (colimit.ι
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
          Z.presheaf)
        (op
          (Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v)) ↦
            Membership.mem (α := (↑(↑Z : TopCat) : Type v)) U
              ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) :
                (↑(↑Z : TopCat) : Type v)))
            U hU)))
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        Y.presheaf.stalk
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x))
        (CategoryStruct.comp (Y :=
          colimit (J :=
            (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) β.base :
                    (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
            (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) β.base :
                      (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))) ⋙
              obj (pushforward C β.base) Y.presheaf))
          (colimMap
            (whiskerLeft
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) β.base :
                      (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))))
              β.c))
          (CategoryStruct.comp (Y :=
            colimit (J :=
              (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) β.base :
                      (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
              (Functor.op
                  (OpenNhds.map β.base
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x)) ⋙
                Functor.op
                    (OpenNhds.inclusion
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x)) ⋙
                  Y.presheaf))
            (colimMap
              (whiskerRight
                (𝟙
                  (Functor.op
                    (OpenNhds.map β.base
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                              TopCat.carrier) α.base :
                            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                          x) ⋙
                      OpenNhds.inclusion
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                              TopCat.carrier) α.base :
                            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                          x))))
                Y.presheaf))
            (colimit.pre
              (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x)) ⋙
                Y.presheaf)
              (Functor.op
                (OpenNhds.map β.base
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x))))))
        (CategoryStruct.comp (Y :=
          colimit (J :=
            (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) α.base :
                    (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                  x))ᵒᵖ)
            (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x)) ⋙
              obj (pushforward C α.base) X.presheaf))
          (colimMap
            (whiskerLeft
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x)))
              α.c))
          (CategoryStruct.comp (Y := colimit ((OpenNhds.map α.base x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
            (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
            (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op)))))

Tactic:
simp