-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Poincare
Goal:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ E
inst_3 : NormedSpace ℝ F
a_1 b_1 c d : E
γ₁ : Path a_1 b_1
γ₂ : Path c d
s : Set ((↑I : Type) × (↑I : Type))
t : Set E
ω : E → E →L[ℝ] F
dω : E → E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
φ : Homotopy (↑γ₁ : C((↑I : Type), E)) (↑γ₂ : C((↑I : Type), E))
hs : s.Countable
hφt :
  ∀ (a : (↑I : Type)),
    Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) a →
      ∀ (b : (↑I : Type)),
        Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) b →
          Membership.mem (α := E) t ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a, b) : E)
hω :
  ∀ (a : (↑I : Type)),
    Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) a →
      ∀ (b : (↑I : Type)),
        Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) b →
          (a, b) ∉ s →
            HasFDerivWithinAt ω (dω ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a, b))) t
              ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a, b))
hωc : ContinuousOn ω (closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t)
hdω_symm :
  ∀ (a : (↑I : Type)),
    Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) a →
      ∀ (b : (↑I : Type)),
        Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) b →
          (a, b) ∉ s →
            ∀ u ∈ tangentConeAt ℝ t ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a, b)),
              ∀ v ∈ tangentConeAt ℝ t ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a, b)),
                Eq.{u_3 + 1} (α := F)
                  ((((dω ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a, b)) : (a : E) → E →L[ℝ] F) u : E →L[ℝ] F) :
                        (a : E) → F)
                      v :
                    F)
                  ((((dω ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a, b)) : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) :
                        (a : E) → F)
                      u :
                    F)
U : Set (ℝ × ℝ) := SProd.sprod (α := Set ℝ) (β := Set ℝ) (Ioo 0 1) (Ioo 0 1)
hU : U = SProd.sprod (α := Set ℝ) (β := Set ℝ) (Ioo 0 1) (Ioo 0 1)
hinterior : interior (Icc 0 1) = U
hunique : UniqueDiffOn ℝ (E := ℝ × ℝ) (Icc 0 1)
hUopen : IsOpen U
hU_subset : U ⊆ Icc 0 1
hclosure : closure U = Icc 0 1
ψ : ℝ × ℝ → E :=
  fun (xy : ℝ × ℝ) ↦
    Set.IccExtend (a := 0) (b := 1) ⋯
      (⇑((φ.extend : (a : ℝ) → C((↑I : Type), E)) xy.1 : C((↑I : Type), E)) : (a : (↑I : Type)) → E) xy.2
hcontdiff : ContDiffOn ℝ 2 ψ (Icc 0 1)
hψ :
  ψ = fun (xy : ℝ × ℝ) ↦
    Set.IccExtend (a := 0) (b := 1) ⋯
      (⇑((φ.extend : (a : ℝ) → C((↑I : Type), E)) xy.1 : C((↑I : Type), E)) : (a : (↑I : Type)) → E) xy.2
hψφ : ∀ (a b : (↑I : Type)), ψ ((↑a : ℝ), (↑b : ℝ)) = (φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a, b)
hψ_cont : Continuous[_, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ψ
b : ℝ
a : { x : ℝ // x ∈ I }
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) ((↑a : ℝ), b).1
hb : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) ((↑a : ℝ), b).2
lift :
  ∀ (b : { x : ℝ // x ∈ I }) (ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) ((↑a : ℝ), (↑b : ℝ)).1)
    (hb : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) ((↑a : ℝ), (↑b : ℝ)).2), ψ ((↑a : ℝ), (↑b : ℝ)) ∈ t
⊢ ψ ((↑a : ℝ), b) ∈ t

Tactic:
lift b to I using Ioo_subset_Icc_self hb

Premises used: Set.Ioo_subset_Icc_self