-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
        r) ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
        m)
hS : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop Y)) S
a :
  ∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Opposite.unop Y),
    S.arrows f →
      Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
              (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                    AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
                  (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
                (smul α φ r m) :
              (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v)) :
          (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
              (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop Y))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
            (smul α φ
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    RingCat.carrier) (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
                  (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
                r)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                    AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
                  (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
                m)) :
          (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
⊢ Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
        (smul α φ r m) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
    (smul α φ
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
              (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
            (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
          r)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
            (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
          m) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))

Tactic:
apply A.isSeparated _ _ hS

Premises used: CategoryTheory.Sheaf.isSeparated