-- Module: Mathlib.GroupTheory.CosetCover
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity :
  ∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹ = HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
h : Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D} = D.index
i_1 : ι
hi_1 : i_1 ∈ s ∧ (H i_1).FiniteIndex
j : ι
hj : j ∈ s ∧ (H j).FiniteIndex
hij : i_1 ≠ j
c : Set G
hi'_1 : c ≤ (fun (i : ι) ↦ g i • (↑(H i) : Set G)) i_1
hj' : c ≤ (fun (i : ι) ↦ g i • (↑(H i) : Set G)) j
x : G
hx : x ∈ c
hdisjoint : (↑{x : κ | K x = D} : Set κ).PairwiseDisjoint (α := Set G) fun (x : κ) ↦ f x • (↑D : Set G)
i : ι
hi : i ∈ s ∧ (H i).FiniteIndex
hi' : c ≤ HSMul.hSMul (β := Set G) (g i) (⋃ g ∈ t i ⋯ ⋯, (↑g : G) • (↑D : Set G))
this : ∃ r ∈ t i ⋯ ⋯, x ∈ (g i * (↑r : G)) • (↑D : Set G)
r : ↥(H i)
hr : r ∈ t i ⋯ ⋯
hxr : x ∈ (g i * (↑r : G)) • (↑D : Set G)
refine :
  K
        (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))
          (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯)
          (Subtype.mk (p := fun (x : ↥(H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯) : ι))) ↦
            Membership.mem (γ := Finset ↥(H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯) : ι)))
              (if h : (H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯) : ι)).FiniteIndex then
                t (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯) : ι) ⋯ h
              else {1})
              x)
            r ⋯)) =
      D ∧
    x ∈
      f
          (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))
            (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯)
            (Subtype.mk (p := fun (x : ↥(H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯) : ι))) ↦
              Membership.mem (γ := Finset ↥(H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯) : ι)))
                (if h : (H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯) : ι)).FiniteIndex then
                  t (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i ⋯) : ι) ⋯ h
                else {1})
                x)
              r ⋯)) •
        (↑D : Set G)
⊢ ∃ (k : κ),
    (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) = i ∧
      K k = D ∧ x ∈ f k • (↑D : Set G)

Tactic:
refine ⟨⟨⟨i, hi.1⟩, ⟨r, dif_pos hi.2 ▸ hr⟩⟩, rfl, ?_⟩