awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
h : Fintype.card (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) = finrank ℝ V + 1
⊢ Eq (α := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) ⊤

Tactic:
rw [t.independent.affineSpan_eq_top_iff_card_eq_finrank_add_one]

Premises used: AffineIndependent.affineSpan_eq_top_iff_card_eq_finrank_add_one, Affine.Simplex.independent
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
⊢ Fintype.card (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) = finrank ℝ V + 1

Tactic:
simp [hd2.out]

Premises used: Fact.out
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
⊢ Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p

Tactic:
have hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points) := by
    convert! AffineSubspace.mem_top ℝ V p
    rw [t.independent.affineSpan_eq_top_iff_card_eq_finrank_add_one]
    simp [hd2.out]
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
⊢ ∃ (r : ℝ),
    ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)),
      dist p
          (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan :
                  (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
                p) :
            P) =
        r

Tactic:
⟨dist p ((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p), ?_⟩

Premises used: Affine.Simplex.orthogonalProjectionSpan, Exists.intro, Affine.Simplex.faceOpposite, Dist.dist, Subtype.val, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
refine :
  ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)),
    dist p
        (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan :
                (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
              p) :
          P) =
      dist p
        (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
                (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
              p) :
          P)
⊢ ∃ (r : ℝ),
    ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)),
      dist p
          (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan :
                  (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
                p) :
            P) =
        r

Tactic:
refine ⟨dist p ((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p), ?_⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)
⊢ i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃

Tactic:
decide +revert
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)
⊢ i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃

Tactic:
have h : i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃ := by clear! p t; decide +revert
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₂ i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)
h₁₂ : i ≠ i₂
h₁₃ : i ≠ i₃
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan : (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
⊢ dist p
      (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan : (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₃ : Fin 3
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
p : P
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i
h₂₃ : i ≠ i₃
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan : (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
            p) :
        P)
⊢ dist p
      (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan : (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)
h₁₃ : i₁ ≠ i
h₂₃ : i₂ ≠ i
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan : (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan : (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
            p) :
        P)
⊢ dist p
      (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan : (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan : (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
            p) :
        P)

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
⊢ ∃ (r : ℝ),
    ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)),
      dist p
          (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan :
                  (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
                p) :
            P) =
        r

Tactic:
have hr : ∃ r : ℝ, ∀ i, dist p ((t.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan p) = r := by
    refine ⟨dist p ((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p), ?_⟩
    intro i
    have h : i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃ := by clear! p t; decide +revert
    rcases h with rfl | rfl | rfl <;> grind
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
hr :
  ∃ (r : ℝ),
    ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)),
      dist p
          (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan :
                  (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
                p) :
            P) =
        r
obtain :
  ∀ (signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))) (hp : p = excenter t signs),
    ∃ (signs : Finset (Fin 3)), p = excenter t signs
⊢ ∃ (signs : Finset (Fin 3)), p = excenter t signs

Tactic:
obtain ⟨signs, -, hp⟩ :=
    (t.exists_forall_dist_eq_iff_exists_excenterExists_and_eq_excenter hp).1 hr

Premises used: Affine.Simplex.exists_forall_dist_eq_iff_exists_excenterExists_and_eq_excenter, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
hp_1 : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
hr :
  ∃ (r : ℝ),
    ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)),
      dist p
          (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan :
                  (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
                p) :
            P) =
        r
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))
hp : p = excenter t signs
⊢ ∃ (signs : Finset (Fin 3)), p = excenter t signs

Tactic:
⟨signs, hp⟩

Premises used: Exists.intro
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₂).points)))
            p) :
        P)
h₂ :
  dist p
      (↑(((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₁).points)))
            p) :
        P) =
    dist p
      (↑(((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan :
              (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i₃).points)))
            p) :
        P)
hp_1 : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range t.points)) p
hr :
  ∃ (r : ℝ),
    ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)),
      dist p
          (↑(((faceOpposite t i).orthogonalProjectionSpan :
                  (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (faceOpposite t i).points)))
                p) :
            P) =
        r
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))
hp : p = excenter t signs
⊢ ∃ (signs : Finset (Fin 3)), p = excenter t signs

Tactic:
exact ⟨signs, hp⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
signs : Finset (Fin 3)
h : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) (excenter t signs) = ∡ (excenter t signs) (t.points i₁) (t.points i₃)
⊢ excenter t signs = incenter t ∨
    excenter t signs = excenter t {i₁} ∨ excenter t signs = excenter t {i₂} ∨ excenter t signs = excenter t {i₃}

Tactic:
have hs := t.excenter_eq_incenter_or_excenter_singleton_of_ne signs h₁₂ h₁₃ h₂₃
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
signs : Finset (Fin 3)
h : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) (excenter t signs) = ∡ (excenter t signs) (t.points i₁) (t.points i₃)
hs :
  excenter t signs = incenter t ∨
    excenter t signs = excenter t {i₁} ∨ excenter t signs = excenter t {i₂} ∨ excenter t signs = excenter t {i₃}
inl : ∀ (hs : excenter t signs = incenter t), excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}
inr : ∀ (hs : excenter t signs = excenter t {i₁}), excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}
inr₁ : ∀ (hs : excenter t signs = excenter t {i₂}), excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}
inr₂ : ∀ (hs : excenter t signs = excenter t {i₃}), excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}
⊢ excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}

Tactic:
rcases hs with hs | hs | hs | hs
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
signs : Finset (Fin 3)
h : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) (excenter t signs) = ∡ (excenter t signs) (t.points i₁) (t.points i₃)
hs : excenter t signs = incenter t
⊢ excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}

Tactic:
.inl hs

Premises used: Or.inl
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
signs : Finset (Fin 3)
h : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) (excenter t signs) = ∡ (excenter t signs) (t.points i₁) (t.points i₃)
hs : excenter t signs = incenter t
⊢ excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}

Tactic:
exact .inl hs
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
signs : Finset (Fin 3)
h : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) (excenter t signs) = ∡ (excenter t signs) (t.points i₁) (t.points i₃)
hs : excenter t signs = excenter t {i₁}
⊢ excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}

Tactic:
.inr hs

Premises used: Or.inr
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
signs : Finset (Fin 3)
h : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) (excenter t signs) = ∡ (excenter t signs) (t.points i₁) (t.points i₃)
hs : excenter t signs = excenter t {i₁}
⊢ excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}

Tactic:
exact .inr hs