-- Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Units.Regulator
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w' : InfinitePlace K
e : { w : InfinitePlace K // w ≠ w' } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K :=
  Equiv.trans (finSuccEquiv (rank K))
    (↑((Equiv.symm (Equiv.optionSubtype w') :
            (a : Fin (rank K) ≃ { y : InfinitePlace K // y ≠ w' }) →
              { e : Option (Fin (rank K)) ≃ InfinitePlace K //
                (e : (a : Option (Fin (rank K))) → InfinitePlace K) none = w' })
          e.symm) :
      Option (Fin (rank K)) ≃ InfinitePlace K)
g : { w : InfinitePlace K // w ≠ w' } ≃ Fin (rank K) :=
  Equiv.trans (β := { b : Fin (rank K + 1) // b ≠ (f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w' })
    (f.symm.subtypeEquiv (p := fun (w : InfinitePlace K) ↦ w ≠ w') (q := fun (b : Fin (rank K + 1)) ↦
      b ≠ (f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w') ⋯)
    (Equiv.symm (finSuccAboveEquiv ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w')))
simp_rw :
  (↑(finrank ℚ K) : ℝ) * regOfFamily u =
    HMul.hMul (α := ℝ) (↑(finrank ℚ K) : ℝ)
      |det (n := Fin (rank K))
          (submatrix (m := InfinitePlace K) (n := InfinitePlace K)
            ((of : (a : InfinitePlace K → InfinitePlace K → ℝ) → Matrix (InfinitePlace K) (InfinitePlace K) ℝ)
                fun (i w : InfinitePlace K) ↦
                if h : i = w' then (↑w.mult : ℝ)
                else
                  (↑w.mult : ℝ) *
                    Real.log
                      ((w : (a : K) → ℝ)
                        ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                            (↑(u
                                  ((e : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w' }) → Fin (rank K))
                                    (Subtype.mk (p := fun (w : InfinitePlace K) ↦ w ≠ w') i h))) :
                              𝓞 K) :
                          K)) :
              Matrix (InfinitePlace K) (InfinitePlace K) ℝ)
            (fun (x : Fin (rank K)) ↦
              ((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K)
                  (Fin.succAbove ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w') x) :
                InfinitePlace K))
            fun (x : Fin (rank K)) ↦
            ((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K)
                (Fin.succAbove ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w') x) :
              InfinitePlace K))|
⊢ (↑(finrank ℚ K) : ℝ) * regOfFamily u =
    HMul.hMul (α := ℝ)
      |∑ j : Fin (rank K + 1),
          ((reindex f.symm f.symm :
                Matrix (InfinitePlace K) (InfinitePlace K) ℝ ≃ Matrix (Fin (rank K + 1)) (Fin (rank K + 1)) ℝ) :
              (a : Matrix (InfinitePlace K) (InfinitePlace K) ℝ) → Matrix (Fin (rank K + 1)) (Fin (rank K + 1)) ℝ)
            ((of : (a : InfinitePlace K → InfinitePlace K → ℝ) → Matrix (InfinitePlace K) (InfinitePlace K) ℝ)
              fun (i w : InfinitePlace K) ↦
              if h : i = w' then (↑w.mult : ℝ)
              else
                (↑w.mult : ℝ) *
                  Real.log
                    ((w : (a : K) → ℝ)
                      ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                          (↑(u
                                ((e : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w' }) → Fin (rank K))
                                  (Subtype.mk (p := fun (w : InfinitePlace K) ↦ w ≠ w') i h))) :
                            𝓞 K) :
                        K)))
            ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w') j|
      |det (n := Fin (rank K))
          (submatrix
            (((reindex f.symm f.symm :
                  Matrix (InfinitePlace K) (InfinitePlace K) ℝ ≃ Matrix (Fin (rank K + 1)) (Fin (rank K + 1)) ℝ) :
                (a : Matrix (InfinitePlace K) (InfinitePlace K) ℝ) → Matrix (Fin (rank K + 1)) (Fin (rank K + 1)) ℝ)
              ((of : (a : InfinitePlace K → InfinitePlace K → ℝ) → Matrix (InfinitePlace K) (InfinitePlace K) ℝ)
                fun (i w : InfinitePlace K) ↦
                if h : i = w' then (↑w.mult : ℝ)
                else
                  (↑w.mult : ℝ) *
                    Real.log
                      ((w : (a : K) → ℝ)
                        ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                            (↑(u
                                  ((e : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w' }) → Fin (rank K))
                                    (Subtype.mk (p := fun (w : InfinitePlace K) ↦ w ≠ w') i h))) :
                              𝓞 K) :
                          K))))
            (Fin.succAbove ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w'))
            (Fin.succAbove ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w')))|

Tactic:
simp_rw [reindex_apply, submatrix_submatrix, ← f.symm.sum_comp, f.symm_symm, submatrix_apply,
      Function.comp_def, Equiv.apply_symm_apply, of_apply, dif_pos, ← Nat.cast_sum, sum_mult_eq,
      Nat.abs_cast]

Premises used: NumberField.InfinitePlace.sum_mult_eq, Equiv.apply_symm_apply, Nat.abs_cast, Equiv.sum_comp, Matrix.reindex_apply, Equiv.symm_symm, dif_pos, Matrix.of_apply, Function.comp_def, Nat.cast_sum, Matrix.submatrix_submatrix, Matrix.submatrix_apply, Equiv.symm