-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h'' :
  ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S)),
    ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
          H' →
        f ≫ T mY = T mX
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
insert :
  ∀ (S' : C) (T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S'))
    (w' :
      ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
        PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
              (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
            H' →
          f ≫ T' mY = T' mX),
    ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S)),
      ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
        PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X_1
              (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X_1 ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y)) Y_1
                (PSigma.mk (β := fun (x : X_1 ∈ O) ↦ (_ : Y_1 ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y_1)) mX_1
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y_1 ∈ O) ↦ X_1 ⟶ Y_1) mY_1 f_1))) ∈
            Insert.insert
              (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
                (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
                  (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                    (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
              H' →
          f_1 ≫ T mY_1 = T mX_1
⊢ ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S)),
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X_1
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X_1 ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y)) Y_1
              (PSigma.mk (β := fun (x : X_1 ∈ O) ↦ (_ : Y_1 ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y_1)) mX_1
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y_1 ∈ O) ↦ X_1 ⟶ Y_1) mY_1 f_1))) ∈
          Insert.insert
            (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
              (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
            H' →
        f_1 ≫ T mY_1 = T mX_1

Tactic:
obtain ⟨S', T', w'⟩ := h''