awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : FilteredColimit.Rel F x y
h_2 : FilteredColimit.Rel F y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
fl : k ⟶ l
gl : k' ⟶ l
h_3 : True
m : J
n : l ⟶ m
hn : (g ≫ fl) ≫ n = (f' ≫ gl) ≫ n
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f ≫ fl ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (fl ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
            (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : FilteredColimit.Rel F x y
h_2 : FilteredColimit.Rel F y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
fl : k ⟶ l
gl : k' ⟶ l
h_3 : True
m : J
n : l ⟶ m
hn : (g ≫ fl) ≫ n = (f' ≫ gl) ≫ n
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (fl ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
              (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
            (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((g ≫ fl) ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : FilteredColimit.Rel F x y
h_2 : FilteredColimit.Rel F y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
fl : k ⟶ l
gl : k' ⟶ l
h_3 : True
m : J
n : l ⟶ m
hn : (g ≫ fl) ≫ n = (f' ≫ gl) ≫ n
rw rw₁ :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((f' ≫ gl) ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((f' ≫ gl) ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((g ≫ fl) ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((f' ≫ gl) ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))

Tactic:
rw [hn]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : FilteredColimit.Rel F x y
h_2 : FilteredColimit.Rel F y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
fl : k ⟶ l
gl : k' ⟶ l
h_3 : True
m : J
n : l ⟶ m
hn : (g ≫ fl) ≫ n = (f' ≫ gl) ≫ n
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((f' ≫ gl) ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (gl ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k')) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
              (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
            (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k')) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : FilteredColimit.Rel F x y
h_2 : FilteredColimit.Rel F y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
fl : k ⟶ l
gl : k' ⟶ l
h_3 : True
m : J
n : l ⟶ m
hn : (g ≫ fl) ≫ n = (f' ≫ gl) ≫ n
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (gl ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k')) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
              (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
            (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k')) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (g' ≫ gl ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
h :
  ∀ (j : J) (x : F.obj j) (j' : J) (y : F.obj j'),
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) ↔
      Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
⊢ FilteredColimit.Rel F = Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel

Tactic:
ext ⟨j, x⟩ ⟨j', y⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
j : J
x : F.obj j
j' : J
y : F.obj j'
h :
  FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
h₁ :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
⊢ FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) ↔
    Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
j : J
x : F.obj j
j' : J
y : F.obj j'
⊢ FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)

Tactic:
apply eqvGen_colimitTypeRel_of_rel

Premises used: CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.eqvGen_colimitTypeRel_of_rel
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
j : J
x : F.obj j
j' : J
y : F.obj j'
h :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    Relation.EqvGen (FilteredColimit.Rel F) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)

Tactic:
rw [← (FilteredColimit.rel_equiv F).eqvGen_iff]

Premises used: CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.rel_equiv, Equivalence.eqvGen_iff
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
j : J
x : F.obj j
j' : J
y : F.obj j'
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    Relation.EqvGen (FilteredColimit.Rel F) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)

Tactic:
Relation.EqvGen.mono (rel_of_colimitTypeRel F)

Premises used: Relation.EqvGen.mono, CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.rel_of_colimitTypeRel
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
j : J
x : F.obj j
j' : J
y : F.obj j'
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    Relation.EqvGen (FilteredColimit.Rel F) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)

Tactic:
exact Relation.EqvGen.mono (rel_of_colimitTypeRel F)

Premises used: Relation.EqvGen.mono, CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.rel_of_colimitTypeRel
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
inst_2 : HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
rw :
  Eq (α := F.ColimitType)
      ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
          ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
            (F.ιColimitType i xi)) :
        F.ColimitType)
      ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
          ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
            (F.ιColimitType j xj)) :
        F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
rw₁ :
  F.ιColimitType i xi =
      (Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
        ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj)) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
rw₂ :
  F.ιColimitType i xi = F.ιColimitType j xj ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
rw₃ :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
rw₄ rw₅ :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj) ↔
    Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
⊢ Eq.{u + 1} (α := Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType i xi) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)

Tactic:
rw [← (equivShrink _).symm.injective.eq_iff, Equiv.symm_apply_apply, Equiv.symm_apply_apply,
    Functor.ιColimitType_eq_iff, FilteredColimit.rel_eq_eqvGen_colimitTypeRel]

Premises used: Equiv.symm_apply_apply, Function.Injective.eq_iff, Equiv.injective, CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.rel_eq_eqvGen_colimitTypeRel, Equiv.symm, equivShrink, CategoryTheory.Functor.ιColimitType_eq_iff
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ HasColimit F

Tactic:
have : HasColimit F := ⟨_, ht⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
this : HasColimit F
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) i))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (t.ι.app i) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj t.pt).obj i))
          xi :
        (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) i))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (t.ι.app j) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj t.pt).obj j))
          xj :
        (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) j)) ↔
    ∃ (k : J) (f : i ⟶ k) (g : j ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
            xi :
          (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
            xj :
          (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
Iff.trans ?_ (colimit_eq_iff_aux F)

Premises used: CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.colimit_eq_iff_aux, Iff.trans
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
this : HasColimit F
refine :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) i))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (t.ι.app i) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj t.pt).obj i))
          xi :
        (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) i))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (t.ι.app j) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj t.pt).obj j))
          xj :
        (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) j)) ↔
    Eq (α :=
      (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) (colimitCocone F).pt) i))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) ((colimitCocone F).ι.app i) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj i)) →
              (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj (colimitCocone F).pt).obj i))
          xi :
        (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) (colimitCocone F).pt) i))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) ((colimitCocone F).ι.app j) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj j)) →
              (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj (colimitCocone F).pt).obj j))
          xj :
        (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) (colimitCocone F).pt) j))
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) i))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (t.ι.app i) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj t.pt).obj i))
          xi :
        (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) i))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (t.ι.app j) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj t.pt).obj j))
          xj :
        (fun (X : Type u) ↦ X) (Functor.obj.{w, u, v, u + 1} (Functor.obj (Functor.const J) t.pt) j)) ↔
    ∃ (k : J) (f : i ⟶ k) (g : j ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
            xi :
          (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
            xj :
          (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
refine Iff.trans ?_ (colimit_eq_iff_aux F)

Premises used: CategoryTheory.Limits.Types.FilteredColimit.colimit_eq_iff_aux, Iff.trans