-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
w :
  ∀
    (j :
      (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
          ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
            ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
              (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ),
    Eq (α :=
      obj
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                    ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                      ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                        (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
            Z.presheaf)
          j ⟶
        X.presheaf.stalk x)
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
              ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                    ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                      ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                        (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
            Z.presheaf))
        (colimit.ι
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                    ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                      ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                        (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
            Z.presheaf)
          j)
        (CategoryStruct.comp (Y :=
          colimit (J :=
            (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
            (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))) ⋙
              obj (pushforward C (α.base ≫ β.base)) X.presheaf))
          (colimMap
            (whiskerLeft
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))))
              (α ≫ β).c))
          (CategoryStruct.comp (Y :=
            colimit ((OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
            (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
            (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op))))
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
              ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                    ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                      ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                        (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
            Z.presheaf))
        (colimit.ι
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                    ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                      ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                        (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑Z : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))))
            Z.presheaf)
          j)
        (CategoryStruct.comp (Y :=
          Y.presheaf.stalk
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) α.base :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
              x))
          (CategoryStruct.comp (Y :=
            colimit (J :=
              (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) β.base :
                      (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x :
                      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
              (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) β.base :
                        (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                              TopCat.carrier) α.base :
                            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                          x :
                        (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))) ⋙
                obj (pushforward C β.base) Y.presheaf))
            (colimMap
              (whiskerLeft
                (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) β.base :
                        (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                              TopCat.carrier) α.base :
                            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                          x :
                        (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))))
                β.c))
            (CategoryStruct.comp (Y :=
              colimit (J :=
                (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) β.base :
                        (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                              TopCat.carrier) α.base :
                            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                          x :
                        (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
                (Functor.op
                    (OpenNhds.map β.base
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x)) ⋙
                  Functor.op
                      (OpenNhds.inclusion
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                              TopCat.carrier) α.base :
                            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                          x)) ⋙
                    Y.presheaf))
              (colimMap
                (whiskerRight
                  (𝟙
                    (Functor.op
                      (OpenNhds.map β.base
                          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                                TopCat.carrier) α.base :
                              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                            x) ⋙
                        OpenNhds.inclusion
                          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                                TopCat.carrier) α.base :
                              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                            x))))
                  Y.presheaf))
              (colimit.pre
                (Functor.op
                    (OpenNhds.inclusion
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x)) ⋙
                  Y.presheaf)
                (Functor.op
                  (OpenNhds.map β.base
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x))))))
          (CategoryStruct.comp (Y :=
            colimit (J :=
              (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ)
              (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x)) ⋙
                obj (pushforward C α.base) X.presheaf))
            (colimMap
              (whiskerLeft
                (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x)))
                α.c))
            (CategoryStruct.comp (Y := colimit ((OpenNhds.map α.base x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
              (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
              (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op)))))
⊢ Eq (α :=
    Z.presheaf.stalk
        ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
          ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
            (↑(↑Y : TopCat) : Type v))) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
            ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
              ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
        (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))) ⋙
          obj (pushforward C (α.base ≫ β.base)) X.presheaf))
      (colimMap
        (whiskerLeft
          (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))))
          (α ≫ β).c))
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit ((OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
        (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
        (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op)))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) β.base :
                  (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) β.base :
                    (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))) ⋙
            obj (pushforward C β.base) Y.presheaf))
        (colimMap
          (whiskerLeft
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) β.base :
                    (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))))
            β.c))
        (CategoryStruct.comp (Y :=
          colimit (J :=
            (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) β.base :
                    (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x :
                    (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
            (Functor.op
                (OpenNhds.map β.base
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x)) ⋙
              Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x)) ⋙
                Y.presheaf))
          (colimMap
            (whiskerRight
              (𝟙
                (Functor.op
                  (OpenNhds.map β.base
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x) ⋙
                    OpenNhds.inclusion
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) α.base :
                          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                        x))))
              Y.presheaf))
          (colimit.pre
            (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x)) ⋙
              Y.presheaf)
            (Functor.op
              (OpenNhds.map β.base
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) α.base :
                    (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                  x))))))
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) α.base :
                  (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                x))ᵒᵖ)
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) α.base :
                    (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                  x)) ⋙
            obj (pushforward C α.base) X.presheaf))
        (colimMap
          (whiskerLeft
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) α.base :
                    (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                  x)))
            α.c))
        (CategoryStruct.comp (Y := colimit ((OpenNhds.map α.base x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
          (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
          (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op))))

Tactic:
apply colimit.hom_ext

Premises used: CategoryTheory.Limits.colimit.hom_ext