awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
z : End K M
hz : z ∈ φ.range
q : K[X]
hq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := End K (End K M))
    (((aeval ((ad K (End K M) : (a : End K M) → End K (End K M)) ((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)) :
            AlgHom.{u_4, u_4, u_3} K K[X] (End K (End K M))) :
          (a : K[X]) → End K (End K M))
        q :
      End K (End K M))
    ((ad K (End K M) : (a : End K M) → End K (End K M)) y : End K (End K M))
w : L
⊢ Membership.mem (α := End K M) (γ := Submodule K (End K M))
    (Submodule.comap (σ₁₂ := RingHom.id K)
      ((ad K (End K M) : (a : End K M) → End K (End K M)) ((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)) φ.range.toSubmodule)
    (((↑φ : L →ₗ[K] End K M) : (a : L) → End K M) w : End K M)

Tactic:
exact ⟨⁅x, w⁆, LieHom.map_lie φ x w⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
⊢ ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range

Tactic:
have hy_range (z : End K M) (hz : z ∈ LieHom.range φ) : ⁅y, z⁆ ∈ LieHom.range φ := by
    obtain ⟨q, hq⟩ : ∃ q : K[X], q.aeval (ad K _ (φ x)) = ad K _ y := by
      obtain ⟨r, hr⟩ : ∃ r : K[X], r.aeval (ad K _ s) = ad K _ y := by
        have h₁ (i j : I) : ⁅s, v.end (i, j)⁆ = (μ i - μ j) • v.end (i, j) := by
          rw [instLieRingModule_eq, v.lie_end_of_apply_eq_smul μ s hsv]
        have h₂ (i j : I) : ⁅y, v.end (i, j)⁆ = (fμ i - fμ j) • v.end (i, j) := by
          rw [instLieRingModule_eq, v.lie_end_of_apply_eq_smul fμ y hyv]
        obtain ⟨r, hr⟩ := exists_polynomial_eval_sub_aux μ hμ f
        refine ⟨r, v.end.ext fun ⟨i, j⟩ ↦ ?_⟩
        rw [ad_apply, ← instLieRingModule_eq, aeval_apply_of_mem_apply_eq_smul (h₁ i j), hr, h₂]
        rfl
      obtain ⟨p, hp⟩ : ∃ p : K[X], p.aeval (ad K _ (φ x)) = ad K _ s :=
        adjoin_mem_exists_aeval K _ <| by
          simpa only [← hX_ns] using ad_mem_adjoin_of_isSemisimple hns hn_nil hs_ss
      exact ⟨r.comp p, by rw [aeval_comp, hp, hr]⟩
    rw [instLieRingModule_eq, ← ad_apply K, ← hq]
    apply q.aeval_apply_smul_mem_of_le_comap hz _ ?_
    rintro - ⟨w, rfl⟩
    exact ⟨⁅x, w⁆, LieHom.map_lie φ x w⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
hy_range : ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
suffices : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[s] y
⊢ Commute n y

Tactic:
suffices y ∈ K[s] from commute_of_mem_adjoin_singleton_of_commute this hns
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
hy_range : ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
rw : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) (AlgHom.range (aeval s)) y
⊢ Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[s] y

Tactic:
rw [adjoin_singleton_eq_range_aeval]

Premises used: Algebra.adjoin_singleton_eq_range_aeval
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
hy_range : ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
⊢ ∀ (i j : I), μ i = μ j → fμ i = fμ j

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
hy_range : ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
obtain :
  ∀ (q : K[X]) (hq : ∀ (i : I), Polynomial.eval (μ i) q = fμ i),
    Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) (AlgHom.range (aeval s)) y
⊢ Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) (AlgHom.range (aeval s)) y

Tactic:
obtain ⟨q, hq⟩ : ∃ q : K[X], ∀ i, q.eval (μ i) = fμ i :=
      (Polynomial.exists_eval_eq_iff μ fμ).mpr <| by aesop

Premises used: Iff.mpr, Polynomial.exists_eval_eq_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
hy_range : ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
q : K[X]
hq : ∀ (i : I), Polynomial.eval (μ i) q = fμ i
⊢ Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) (AlgHom.range (aeval s)) y

Tactic:
⟨q, v.ext fun i ↦ ?_⟩

Premises used: Set.Mem, setOf, Exists.intro, Set.range, Module.Basis.ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
hy_range : ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
q : K[X]
hq : ∀ (i : I), Polynomial.eval (μ i) q = fμ i
refine :
  ∀ (i : I),
    Eq (α := M)
      ((((AlgHom.toRingHom (aeval s) : (a : K[X]) → End K M) q : End K M) : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) : M)
      ((y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) : M)
⊢ Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) (AlgHom.range (aeval s)) y

Tactic:
refine ⟨q, v.ext fun i ↦ ?_⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
hy_range : ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
q : K[X]
hq : ∀ (i : I), Polynomial.eval (μ i) q = fμ i
i : I
rw :
  Eq (α := M)
    (((((↑(aeval s) : K[X] →+* End K M) : (a : K[X]) → End K M) q : End K M) : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) :
      M)
    ((y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) : M)
rw₁ :
  Eq (α := M) ((((aeval s : (a : K[X]) → End K M) q : End K M) : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) : M)
    ((y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) : M)
rw₂ :
  HSMul.hSMul (β := M) (Polynomial.eval (μ i) q) ((v : (a : I) → M) i : M) = (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M)
rw₃ : HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M) = (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M)
rw₄ rw₅ : HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
⊢ Eq (α := M)
    ((((AlgHom.toRingHom (aeval s) : (a : K[X]) → End K M) q : End K M) : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) : M)
    ((y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) : M)

Tactic:
rw [AlgHom.toRingHom_eq_coe, RingHom.coe_coe, aeval_apply_of_mem_apply_eq_smul (hsv i), hq, hyv]

Premises used: RingHom.coe_coe, Module.End.aeval_apply_of_mem_apply_eq_smul, AlgHom.toRingHom_eq_coe
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion
Goal:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst_3 : Field K
inst_4 : CharZero K
inst_5 : IsAlgClosed K
inst_6 : LieAlgebra K L
inst_7 : Module K M
inst_8 : LieModule K L M
inst_9 : FiniteDimensional K M
h : Eq (α := LinearMap.BilinForm K L) (traceForm K L M) 0
φ : LieHom.{u_4, u_2, u_3} K L (End K M) := toEnd K L M
x : L
hx : Membership.mem (γ := LieIdeal K L) (derivedSeries K L 1) x
n : End K M
hn_adj : Membership.mem (γ := Subalgebra K (End K M)) K[((φ : (a : L) → End K M) x : End K M)] n
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : (φ : (a : L) → End K M) x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace := ⋯
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M :=
  eigenDecomp.collectedBasis (α := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν))) fun (μ : K) ↦
    finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst (β := fun (ν : K) ↦ Fin (finrank.{u_4, u_3} K ↥(s.eigenspace ν)))
hsv : ∀ (i : I), (s : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (μ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : (i : I) → K := fun (i : I) ↦ (↑((f : (a : ↥E) → ℚ) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (μ i) ⋯)) : K)
y : End K M := (Matrix.toLin v v : (a : Matrix I I K) → M →ₗ[K] M) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), (y : (a : M) → M) ((v : (a : I) → M) i : M) = HSMul.hSMul (β := M) (fμ i) ((v : (a : I) → M) i : M)
hy_range : ∀ (z : End K M) (hz : z ∈ φ.range), ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
⊢ Commute n y

Tactic:
have hny_comm : Commute n y := by
    suffices y ∈ K[s] from commute_of_mem_adjoin_singleton_of_commute this hns
    rw [adjoin_singleton_eq_range_aeval]
    obtain ⟨q, hq⟩ : ∃ q : K[X], ∀ i, q.eval (μ i) = fμ i :=
      (Polynomial.exists_eval_eq_iff μ fμ).mpr <| by aesop
    refine ⟨q, v.ext fun i ↦ ?_⟩
    rw [AlgHom.toRingHom_eq_coe, RingHom.coe_coe, aeval_apply_of_mem_apply_eq_smul (hsv i), hq, hyv]