awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
nth_rw :
  HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
      (∑ j : ι,
          HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
            ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
        N)
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
      ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)

Tactic:
nth_rw 2 [hP]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
rw :
  HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N)
      (∑ i_1 : ι,
        HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
          ((P.coroot'In S i_1 : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) (P.rootSpanMem S i) : S) ((P.coroot : (a : ι) → N) i_1 : N))
      (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N))
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
      (∑ j : ι,
          HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
            ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
        N)

Tactic:
rw [PolarizationIn_apply]

Premises used: RootPairing.PolarizationIn_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
simp :
  HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
      (∑ x : ι,
        (-HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) +
          P.pairingIn S i x •
            HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
              ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
                  ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) :
                R)
              ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)))
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N)
      (∑ i_1 : ι,
        HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
          ((P.coroot'In S i_1 : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) (P.rootSpanMem S i) : S) ((P.coroot : (a : ι) → N) i_1 : N))
      (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N))

Tactic:
simp only [coroot'In_rootSpanMem_eq_pairingIn, pairingIn_reflectionPerm,
    pairingIn_reflectionPerm_self_left, ← reflectionPerm_coroot, neg_smul,
    smul_sub, sub_neg_eq_add]

Premises used: neg_smul, RootPairing.coroot'In_rootSpanMem_eq_pairingIn, RootPairing.reflectionPerm_coroot, RootPairing.pairingIn_reflectionPerm_self_left, smul_sub, RootPairing.pairingIn_reflectionPerm, sub_neg_eq_add
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
rw :
  HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
        ((((∑ i : ι, LinearMap.smulRight (P.coroot'In S i) (P.coroot'In S i) :
                    (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S)
                  (P.rootSpanMem S i) :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
              (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
            (P.rootSpanMem S i) :
          S)
        ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) -
      ∑ x : ι,
        P.pairingIn S i x •
          HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
            ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
                ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) :
              R)
            ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
      (∑ x : ι, -HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
      (∑ x : ι,
        (-HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) +
          P.pairingIn S i x •
            HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
              ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
                  ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) :
                R)
              ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)))

Tactic:
rw [Finset.sum_add_distrib, ← add_assoc, ← sub_eq_iff_eq_add, RootFormIn]

Premises used: Finset.sum_add_distrib, add_assoc, sub_eq_iff_eq_add, RootPairing.RootFormIn
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
simp :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N)
    (∑ i_1 : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i i_1 * P.pairingIn S i i_1) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))
    (∑ x : ι, P.pairingIn S i x • HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
        ((((∑ i : ι, LinearMap.smulRight (P.coroot'In S i) (P.coroot'In S i) :
                    (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S)
                  (P.rootSpanMem S i) :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
              (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
            (P.rootSpanMem S i) :
          S)
        ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) -
      ∑ x : ι,
        P.pairingIn S i x •
          HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
            ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
                ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) :
              R)
            ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
      (∑ x : ι, -HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))

Tactic:
simp only [LinearMap.coe_sum, LinearMap.coe_smulRight, Finset.sum_apply,
    coroot'In_rootSpanMem_eq_pairingIn, LinearMap.smul_apply, smul_eq_mul, Finset.sum_smul,
    root_coroot_eq_pairing, Finset.sum_neg_distrib, add_neg_cancel, sub_eq_zero]

Premises used: add_neg_cancel, Finset.sum_smul, RootPairing.coroot'In_rootSpanMem_eq_pairingIn, RootPairing.root_coroot_eq_pairing, LinearMap.smul_apply, sub_eq_zero, Finset.sum_apply, LinearMap.coe_sum, LinearMap.coe_smulRight, smul_eq_mul, Finset.sum_neg_distrib
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N)
    (∑ i_1 : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i i_1 * P.pairingIn S i i_1) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))
    (∑ x : ι, P.pairingIn S i x • HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))

Tactic:
Finset.sum_congr rfl ?_

Premises used: Finset.sum_congr, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
refine :
  ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x * P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
        P.pairingIn S i x • HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N)
    (∑ i_1 : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i i_1 * P.pairingIn S i i_1) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))
    (∑ x : ι, P.pairingIn S i x • HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))

Tactic:
refine Finset.sum_congr rfl ?_

Premises used: Finset.sum_congr, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
j : ι
hj : Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ j
rw :
  HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i j * P.pairingIn S i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    P.pairingIn S i j •
      HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((algebraMap S R : (a : S) → R) (P.pairingIn S i j) : R)
        ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
rw₁ :
  HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i j * P.pairingIn S i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    P.pairingIn S i j • HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
rw₂ rw₃ :
  HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i j * P.pairingIn S i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i j * P.pairingIn S i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
⊢ HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i j * P.pairingIn S i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    P.pairingIn S i j • HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)

Tactic:
rw [← P.algebraMap_pairingIn S, IsScalarTower.algebraMap_smul, ← mul_smul]

Premises used: RootPairing.algebraMap_pairingIn, IsScalarTower.algebraMap_smul, SemigroupAction.mul_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
obtain :
  ∀ (c : S)
    (hc :
      ∏ i : ι,
          (((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
              (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
            (P.rootSpanMem S i) =
        HMul.hMul (α := S)
          ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
                  LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
                (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
              (P.rootSpanMem S i) :
            S)
          c),
    Membership.mem (γ := Submodule S N) (LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan S)) (P.PolarizationIn S))
      (HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
        (∏ j : ι,
          (((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S j) :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
              (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
            (P.rootSpanMem S j))
        ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))
⊢ Membership.mem (γ := Submodule S N) (LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan S)) (P.PolarizationIn S))
    (HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      (∏ j : ι,
        (((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S j) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S j))
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))

Tactic:
obtain ⟨c, hc⟩ := Finset.dvd_prod_of_mem
    (fun j ↦ P.RootFormIn S (P.rootSpanMem S j) (P.rootSpanMem S j))
    (Finset.mem_univ i)

Premises used: Finset.mem_univ, RootPairing.rootSpanMem, Finset.dvd_prod_of_mem, RootPairing.RootFormIn, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
c : S
hc :
  ∏ i : ι,
      (((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
          (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
        (P.rootSpanMem S i) =
    HMul.hMul (α := S)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      c
rw :
  Membership.mem (γ := Submodule S N) (LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan S)) (P.PolarizationIn S))
    (c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N))
⊢ Membership.mem (γ := Submodule S N) (LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan S)) (P.PolarizationIn S))
    (HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      (∏ j : ι,
        (((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S j) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S j))
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))

Tactic:
rw [hc, mul_comm, mul_smul, rootFormIn_self_smul_coroot]

Premises used: mul_comm, RootPairing.rootFormIn_self_smul_coroot, SemigroupAction.mul_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
c : S
hc :
  ∏ i : ι,
      (((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
          (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
        (P.rootSpanMem S i) =
    HMul.hMul (α := S)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      c
⊢ Membership.mem (γ := Submodule S N) (LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan S)) (P.PolarizationIn S))
    (c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N))

Tactic:
LinearMap.mem_range.mpr ?_

Premises used: Iff.mpr, LinearMap.mem_range
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
c : S
hc :
  ∏ i : ι,
      (((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
          (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
        (P.rootSpanMem S i) =
    HMul.hMul (α := S)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      c
h :
  (P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N)
      (c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := ↥(P.rootSpan S)) 2 (P.rootSpanMem S i)) =
    c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
⊢ ∃ (y : ↥(P.rootSpan S)),
    (P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) y =
      c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)

Tactic:
use c • 2 • (P.rootSpanMem S i)

Premises used: RootPairing.rootSpanMem