awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
m : ℕ
hm2 :
  ∀ (n : ℕ),
    p ^ m ≤ n → Eq (α := D → D) (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] 0
h_exist :
  ∃ (n : ℕ), 0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
t : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist -
    1
ht :
  t =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist -
      1
h_pos : 0 < t
⊢ t <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0) h_exist

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
m : ℕ
hm2 :
  ∀ (n : ℕ),
    p ^ m ≤ n → Eq (α := D → D) (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] 0
h_exist :
  ∃ (n : ℕ), 0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
t : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist -
    1
ht :
  t =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist -
      1
h_pos : 0 < t
h :
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist =
    t + 1
⊢ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) :
          (a : D) →
            D)^[Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
          0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
          h_exist]
      b ≠
    0

Tactic:
convert! (ne_eq _ _) ▸ not_and.mp (Nat.find_min h_exist (m := t) (by lia)) h_pos
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
m : ℕ
hm2 :
  ∀ (n : ℕ),
    p ^ m ≤ n → Eq (α := D → D) (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] 0
h_exist :
  ∃ (n : ℕ), 0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
t : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist -
    1
ht :
  t =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist -
      1
h_pos : 0 < t
⊢ Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist =
    t + 1

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
m : ℕ
hm2 :
  ∀ (n : ℕ),
    p ^ m ≤ n → Eq (α := D → D) (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] 0
h_exist :
  ∃ (n : ℕ), 0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
t : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist -
    1
ht :
  t =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist -
      1
h_pos : t ≤ 0
h_find :
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist =
    1
rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ : (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[1] b ≠ 0
⊢ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) :
          (a : D) →
            D)^[Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
          0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
          h_exist]
      b ≠
    0

Tactic:
rwa [h_find]
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
m : ℕ
hm2 :
  ∀ (n : ℕ),
    p ^ m ≤ n → Eq (α := D → D) (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] 0
h_exist :
  ∃ (n : ℕ), 0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
t : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist -
    1
ht :
  t =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist -
      1
h_pos : t ≤ 0
neg :
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist =
    1
⊢ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) :
          (a : D) →
            D)^[Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
          0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
          h_exist]
      b ≠
    0

Tactic:
suffices h_find : Nat.find h_exist = 1 by
        rwa [h_find]
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
m : ℕ
hm2 :
  ∀ (n : ℕ),
    p ^ m ≤ n → Eq (α := D → D) (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] 0
h_exist :
  ∃ (n : ℕ), 0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
t : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist -
    1
ht :
  t =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist -
      1
h_pos : t ≤ 0
⊢ Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist ≤
    1

Tactic:
rw [Nat.le_zero, ht, Nat.sub_eq_zero_iff_le] at h_pos

Premises used: Nat.sub_eq_zero_iff_le, Nat.le_zero
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
m : ℕ
hm2 :
  ∀ (n : ℕ),
    p ^ m ≤ n → Eq (α := D → D) (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] 0
h_exist :
  ∃ (n : ℕ), 0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
t : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist -
    1
ht :
  t =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist -
      1
h_pos :
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist ≤
    1
linarith :
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist <
      1 →
    -1 +
          (HAdd.hAdd (α := ℤ)
              (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
                    LT.lt (α := ℤ) 0 (↑n : ℤ) ∧
                      (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
                    ⋯) :
                ℤ)
              1 -
            1) +
        (HAdd.hAdd (α := ℤ) 0 1 -
          (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
                LT.lt (α := ℤ) 0 (↑n : ℤ) ∧
                  (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
                ⋯) :
            ℤ)) =
      0
linarith₁ :
  1 <
      Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
        h_exist →
    -1 +
          HSub.hSub (α := ℤ)
            (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
                  LT.lt (α := ℤ) 0 (↑n : ℤ) ∧
                    (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
                  ⋯) :
              ℤ)
            1 +
        (HAdd.hAdd (α := ℤ) 1 1 -
          (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
                LT.lt (α := ℤ) 0 (↑n : ℤ) ∧
                  (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
                ⋯) :
            ℤ)) =
      0
⊢ Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      0 < n ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0)
      h_exist =
    1

Tactic:
linarith [(Nat.find_spec h_exist).1]

Premises used: And.left, Nat.find_spec
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
obtain :
  ∀ (n : ℕ) (hn : 0 < n)
    (hb :
      (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b ≠ 0 ∧
        (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0),
    False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨n, hn, hb⟩ : ∃ n, 0 < n ∧ (ad k D a)^[n] b ≠ 0 ∧ (ad k D a)^[n + 1] b = 0 := by
    obtain ⟨m, -, hm2⟩ := exist_pow_eq_zero_of_le p ha insep
    have h_exist : ∃ n, 0 < n ∧ (ad k D a)^[n + 1] b = 0 := ⟨p ^ m,
      ⟨expChar_pow_pos D p m, by rw [hm2 (p ^ m + 1) (Nat.le_add_right _ _), Pi.zero_apply]⟩⟩
    classical
    refine ⟨Nat.find h_exist, ⟨(Nat.find_spec h_exist).1, ?_, (Nat.find_spec h_exist).2⟩⟩
    set t := (Nat.find h_exist - 1 : ℕ) with ht
    by_cases! h_pos : 0 < t
    · convert! (ne_eq _ _) ▸ not_and.mp (Nat.find_min h_exist (m := t) (by lia)) h_pos
      lia
    · suffices h_find : Nat.find h_exist = 1 by
        rwa [h_find]
      rw [Nat.le_zero, ht, Nat.sub_eq_zero_iff_le] at h_pos
      linarith [(Nat.find_spec h_exist).1]
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
hb :
  (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b ≠ 0 ∧
    (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
⊢ let c := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b;
  c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0

Tactic:
set c := (ad k D a)^[n] b with hc_def
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
hb :
  (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b ≠ 0 ∧
    (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hb₁ :
  let c := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b;
  c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
⊢ let c := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b;
  c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b

Tactic:
set c := (ad k D a)^[n] b with hc_def
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
c : D := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
hb : c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hc_def : c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
x : Invertible c := { invOf := c⁻¹, invOf_mul_self := ⋯, mul_invOf_self := ⋯ }
h : a * c - c * a = 0
⊢ a * c = c * a

Tactic:
apply eq_of_sub_eq_zero

Premises used: eq_of_sub_eq_zero
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
c : D := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
hb : c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hc_def : c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
x : Invertible c := { invOf := c⁻¹, invOf_mul_self := ⋯, mul_invOf_self := ⋯ }
h : HSub.hSub (α := D) (β := D) ((mulLeft (↥k) a : (a : D) → D) c : D) ((mulRight (↥k) a : (a : D) → D) c : D) = 0
⊢ a * c - c * a = 0

Tactic:
rw [← mulLeft_apply (R := k), ← mulRight_apply (R := k)]
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
c : D := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
hb : c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hc_def : c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
x : Invertible c := { invOf := c⁻¹, invOf_mul_self := ⋯, mul_invOf_self := ⋯ }
this : Eq (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) c : D) (0 : D)
rw :
  HSub.hSub (α := D) (β := D) ((mulLeft (↥k) a : (a : D) → D) c : D) ((mulRight (↥k) a : (a : D) → D) c : D) =
    (((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) c
⊢ HSub.hSub (α := D) (β := D) ((mulLeft (↥k) a : (a : D) → D) c : D) ((mulRight (↥k) a : (a : D) → D) c : D) = 0

Tactic:
rw [← this]
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
c : D := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
hb : c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hc_def : c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
x : Invertible c := { invOf := c⁻¹, invOf_mul_self := ⋯, mul_invOf_self := ⋯ }
this : Eq (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) c : D) (0 : D)
⊢ HSub.hSub (α := D) (β := D) ((mulLeft (↥k) a : (a : D) → D) c : D) ((mulRight (↥k) a : (a : D) → D) c : D) =
    (((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) c

Tactic:
simp [LieRing.of_associative_ring_bracket]

Premises used: LieRing.of_associative_ring_bracket
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
c : D := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
hb : c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hc_def : c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
x : Invertible c := { invOf := c⁻¹, invOf_mul_self := ⋯, mul_invOf_self := ⋯ }
h : Eq (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) c : D) (0 : D)
⊢ HSub.hSub (α := D) (β := D) ((mulLeft (↥k) a : (a : D) → D) c : D) ((mulRight (↥k) a : (a : D) → D) c : D) = 0

Tactic:
suffices ad k D a c = 0 from by
      rw [← this]; simp [LieRing.of_associative_ring_bracket]
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
c : D := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
hb : c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hc_def : c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
x : Invertible c := { invOf := c⁻¹, invOf_mul_self := ⋯, mul_invOf_self := ⋯ }
h : (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n.succ] b = 0
h₁ h₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := D) 0 0
⊢ Eq (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) c : D) (0 : D)

Tactic:
rw [← Function.iterate_succ_apply' (ad k D a) n b, hb.2]

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
c : D := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
hb : c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hc_def : c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
x : Invertible c := { invOf := c⁻¹, invOf_mul_self := ⋯, mul_invOf_self := ⋯ }
⊢ a * c = c * a

Tactic:
have hc : a * c = c * a := by
    apply eq_of_sub_eq_zero
    rw [← mulLeft_apply (R := k), ← mulRight_apply (R := k)]
    suffices ad k D a c = 0 from by
      rw [← this]; simp [LieRing.of_associative_ring_bracket]
    rw [← Function.iterate_succ_apply' (ad k D a) n b, hb.2]
-- Module: Mathlib.FieldTheory.JacobsonNoether
Goal:
D : Type u_1
inst : DivisionRing D
inst_1 : Algebra.IsAlgebraic (↥k) D
H : Ne (α := Subring D) k ⊤
p : ℕ
hp : ExpChar D p
insep : ∀ (x : D), IsSeparable (↥k) x → Membership.mem (γ := Subring D) k x
a : D
ha : a ∉ k
ha₀ : a ≠ 0
b : D
hb1 : Ne (α := D) ((((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D) b : D) (0 : D)
n : ℕ
hn : 0 < n
c : D := (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
hb : c ≠ 0 ∧ (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n + 1] b = 0
hc_def : c = (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n] b
x : Invertible c := { invOf := c⁻¹, invOf_mul_self := ⋯, mul_invOf_self := ⋯ }
hc : a * c = c * a
⊢ let d := c⁻¹ * a * (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n - 1] b;
  d = c⁻¹ * a * (⇑((ad (↥k) D : (a : D) → Module.End (↥k) D) a : Module.End (↥k) D) : (a : D) → D)^[n - 1] b

Tactic:
set d := c⁻¹ * a * (ad k D a)^[n - 1] b with hd_def