-- Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.IsGaussianProcess.Independence
Goal:
T : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : MeasurableSpace E
inst_2 : BorelSpace E
inst_3 : SecondCountableTopology E
inst_4 : CompleteSpace E
S : T → Type u_4
X : (t : T) → (s : S t) → Ω → E
inst_5 : NormedSpace ℝ E
hX :
  IsGaussianProcess (E := E)
    (fun (p : (t : T) × S t) (ω : Ω) ↦ X (p.fst (β := fun (t : T) ↦ S t)) (p.snd (β := fun (t : T) ↦ S t)) ω) P
mX : ∀ (t : T) (s : S t), AEMeasurable (X t s) P
h :
  ∀ (t₁ t₂ : T),
    t₁ ≠ t₂ →
      ∀ (s₁ : S t₁) (s₂ : S t₂) (L₁ L₂ : StrongDual ℝ E),
        cov[(⇑L₁ : (a : E) → ℝ) ∘ X t₁ s₁, (⇑L₂ : (a : E) → ℝ) ∘ X t₂ s₂; P] = 0
this : IsProbabilityMeasure P
I : Finset T
J : (i : ↥I) → Finset (S (↑i : T))
i j : ↥I
hij : i ≠ j
L₁ : StrongDual ℝ ((j : ↥(J i)) → E)
L₂ : StrongDual ℝ ((j : ↥(J j)) → E)
h1 :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Ω → ℝ)
    (Function.comp (β := (j : ↥(J i)) → E) (⇑L₁ : (a : (j : ↥(J i)) → E) → ℝ) fun (ω : Ω) (k : ↥(J i)) ↦
      X (↑i : T) (↑k : S (↑i : T)) ω)
    (∑ k : ↥(J i),
      (⇑(ContinuousLinearMap.comp (σ₁₂ := RingHom.id ℝ) L₁
              (ContinuousLinearMap.single.{0, u_4, u_3} ℝ (fun (j : ↥(J i)) ↦ E) k)) :
          (a : E) → ℝ) ∘
        X (↑i : T) (↑k : S (↑i : T)))
h2 :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Ω → ℝ)
    (Function.comp (β := (j : ↥(J j)) → E) (⇑L₂ : (a : (j : ↥(J j)) → E) → ℝ) fun (ω : Ω) (k : ↥(J j)) ↦
      X (↑j : T) (↑k : S (↑j : T)) ω)
    (∑ k : ↥(J j),
      (⇑(ContinuousLinearMap.comp (σ₁₂ := RingHom.id ℝ) L₂
              (ContinuousLinearMap.single.{0, u_4, u_3} ℝ (fun (j : ↥(J j)) ↦ E) k)) :
          (a : E) → ℝ) ∘
        X (↑j : T) (↑k : S (↑j : T)))
refine_2 :
  Eq (α := ℝ)
    (∑ i_1 : ↥(J i),
      ∑ j_1 : ↥(J j),
        cov[(⇑(ContinuousLinearMap.comp (σ₁₂ := RingHom.id ℝ) L₁
                  (ContinuousLinearMap.single.{0, u_4, u_3} ℝ (fun (j : ↥(J i)) ↦ E) i_1)) :
              (a : E) → ℝ) ∘
            X (↑i : T) (↑i_1 : S (↑i : T)),
          (⇑(ContinuousLinearMap.comp (σ₁₂ := RingHom.id ℝ) L₂
                  (ContinuousLinearMap.single.{0, u_4, u_3} ℝ (fun (j : ↥(J j)) ↦ E) j_1)) :
              (a : E) → ℝ) ∘
            X (↑j : T) (↑j_1 : S (↑j : T));
          P])
    0
refine_2₁ :
  ∀ (i_1 : ↥(J i)),
    MemLp (ε := ℝ)
      ((⇑(ContinuousLinearMap.comp (σ₁₂ := RingHom.id ℝ) L₁
              (ContinuousLinearMap.single.{0, u_4, u_3} ℝ (fun (j : ↥(J i)) ↦ E) i_1)) :
          (a : E) → ℝ) ∘
        X (↑i : T) (↑i_1 : S (↑i : T)))
      2 P
refine_2₂ :
  ∀ (i : ↥(J j)),
    MemLp (ε := ℝ)
      ((⇑(ContinuousLinearMap.comp (σ₁₂ := RingHom.id ℝ) L₂
              (ContinuousLinearMap.single.{0, u_4, u_3} ℝ (fun (j : ↥(J j)) ↦ E) i)) :
          (a : E) → ℝ) ∘
        X (↑j : T) (↑i : S (↑j : T)))
      2 P
⊢ cov[Function.comp (β := (j : ↥(J i)) → E) (⇑L₁ : (a : (j : ↥(J i)) → E) → ℝ) fun (ω : Ω) (j : ↥(J i)) ↦
        X (↑i : T) (↑j : S (↑i : T)) ω,
      Function.comp (β := (j : ↥(J j)) → E) (⇑L₂ : (a : (j : ↥(J j)) → E) → ℝ) fun (ω : Ω) (j_1 : ↥(J j)) ↦
        X (↑j : T) (↑j_1 : S (↑j : T)) ω;
      P] =
    0

Tactic:
rw [h1, h2, covariance_sum_sum]

Premises used: ProbabilityTheory.covariance_sum_sum