-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.Valued.ValuedField
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst_1 : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
s : Set (hat K)
this_1 :
  HasBasis.{u_1, u_2 + 1} (α := hat K) (𝓝 0) (fun (x : (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)ˣ) ↦ True)
    fun (γ : (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)ˣ) ↦
    {x : hat K |
      LT.lt.{u_2} (α := Γ₀) ((extensionValuation : (a : hat K) → Γ₀) x : Γ₀)
        ((↑((Units.map (↑embedding : ValueGroup₀ v →* Γ₀) : (a : (ValueGroup₀ v)ˣ) → Γ₀ˣ) γ) : Γ₀) : Γ₀)}
this :
  ∀ (x : hat K) (γ : (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)ˣ),
    LT.lt.{u_2} (α := ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀)) x :
          ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        ((↑((Units.map (MulEquiv.toMonoidHom valueGroup₀_equiv_extensionValuation) :
                  (a : (ValueGroup₀ v)ˣ) → (ValueGroup₀ extensionValuation)ˣ)
                γ) :
            ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation) :
          ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation) ↔
      LT.lt (α := Γ₀) ((embedding : (a : ValueGroup₀ v) → Γ₀) (extension x) : Γ₀)
        ((embedding : (a : ValueGroup₀ v) → Γ₀) (↑γ : ValueGroup₀ v) : Γ₀)
h_1 :
  ∃ (γ : (ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation)ˣ),
    {x : hat K |
        (Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀)) x <
          (↑γ : ValueGroup₀ extensionValuation)} ⊆
      s
γ : (ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation)ˣ
h :
  {x : hat K |
      (Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀)) x <
        (↑γ : ValueGroup₀ extensionValuation)} ⊆
    s
x : hat K
h₁ :
  LT.lt.{u_2} (α := ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
      ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀)) x :
        ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
      ((↑((Units.map (MulEquiv.toMonoidHom valueGroup₀_equiv_extensionValuation) :
                (a : (ValueGroup₀ v)ˣ) → (ValueGroup₀ extensionValuation)ˣ)
              ((Units.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulEquiv.symm valueGroup₀_equiv_extensionValuation)) :
                  (a : (ValueGroup₀ extensionValuation)ˣ) → (ValueGroup₀ v)ˣ)
                γ)) :
          ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation) :
        ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation) ↔
    (Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀)) x <
      (↑γ : ValueGroup₀ extensionValuation)
⊢ LT.lt (α := Γ₀) ((embedding : (a : ValueGroup₀ v) → Γ₀) (extension x) : Γ₀)
      ((embedding : (a : ValueGroup₀ v) → Γ₀)
          (↑((Units.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulEquiv.symm valueGroup₀_equiv_extensionValuation)) :
                  (a : (ValueGroup₀ extensionValuation)ˣ) → (ValueGroup₀ v)ˣ)
                γ) :
            ValueGroup₀ v) :
        Γ₀) ↔
    (Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀)) x <
      (↑γ : ValueGroup₀ extensionValuation)

Tactic:
rw [← this]