awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
apply :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set E)
    ((fun (t : ℝ) ↦ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s) t ∩ (fun (t : ℝ) ↦ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s) t') ∅
⊢ Function.onFun.{1, u_1 + 1, 1} (β := Set E) Disjoint (fun (t : ℝ) ↦ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s) t t'

Tactic:
apply disjoint_iff_inter_eq_empty.2

Premises used: Iff.mpr, Set.disjoint_iff_inter_eq_empty
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
⊢ {c - x} ∩ s = ∅

Tactic:
simpa only [singleton_inter_eq_empty, mem_compl_iff, Ia] using ha

Premises used: Set.singleton_inter_eq_empty, Set.mem_compl_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
⊢ {c - x} ∩ s = ∅

Tactic:
have N : {c - x} ∩ s = ∅ := by
      simpa only [singleton_inter_eq_empty, mem_compl_iff, Ia] using ha
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
rw : [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ [c - x -[ℝ] c + t' • y] ∩ s ⊆ {c - x} ∩ s
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set E)
    ((fun (t : ℝ) ↦ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s) t ∩ (fun (t : ℝ) ↦ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s) t') ∅

Tactic:
rw [inter_assoc, inter_comm s, inter_assoc, inter_self, ← inter_assoc, ← subset_empty_iff, ← N]

Premises used: Set.inter_self, Set.inter_comm, Set.subset_empty_iff, Set.inter_assoc
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
H : [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ [c - x -[ℝ] c + t' • y] ⊆ {c - x}
⊢ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ [c - x -[ℝ] c + t' • y] ∩ s ⊆ {c - x} ∩ s

Tactic:
apply inter_subset_inter_left

Premises used: Set.inter_subset_inter_left
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
H : [c + -x -[ℝ] c + t • y] ∩ [c + -x -[ℝ] c + t' • y] ⊆ {c + -x}
⊢ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ [c - x -[ℝ] c + t' • y] ⊆ {c - x}

Tactic:
rw [sub_eq_add_neg _ x]

Premises used: sub_eq_add_neg
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
H : [c + -x -[ℝ] c + t • y] ∩ [c + -x -[ℝ] c + t' • y] = {c + -x}
⊢ [c + -x -[ℝ] c + t • y] ∩ [c + -x -[ℝ] c + t' • y] ⊆ {c + -x}

Tactic:
apply Eq.subset

Premises used: Eq.subset
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
apply : LinearIndependent ℝ ![-x, y]
⊢ [c + -x -[ℝ] c + t • y] ∩ [c + -x -[ℝ] c + t' • y] = {c + -x}

Tactic:
apply segment_inter_eq_endpoint_of_linearIndependent_of_ne _ htt'.symm

Premises used: segment_inter_eq_endpoint_of_linearIndependent_of_ne, Ne.symm
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
⊢ LinearIndependent ℝ (HSMul.hSMul (α := Fin (Nat.succ 0).succ → ℝˣ) ![-1, 1] ![x, y])

Tactic:
hy.units_smul ![-1, 1]

Premises used: LinearIndependent.units_smul, Matrix.vecEmpty, OfNat.ofNat, Matrix.vecCons, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
h₁ : ![-x, y] = HSMul.hSMul (α := Fin (Nat.succ 0).succ → ℝˣ) ![-1, 1] ![x, y]
⊢ LinearIndependent ℝ ![-x, y]

Tactic:
convert! hy.units_smul ![-1, 1]

Premises used: LinearIndependent.units_smul, Matrix.vecEmpty, OfNat.ofNat, Matrix.vecCons, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
⊢ ![-x, y] = HSMul.hSMul (α := Fin (Nat.succ 0).succ → ℝˣ) ![-1, 1] ![x, y]

Tactic:
simp [← List.ofFn_inj]

Premises used: List.ofFn_inj
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
⊢ Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}

Tactic:
have B : Set.Countable {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty} := by
    apply countable_setOf_nonempty_of_disjoint _ (fun t ↦ inter_subset_right) hs
    intro t t' htt'
    apply disjoint_iff_inter_eq_empty.2
    have N : {c - x} ∩ s = ∅ := by
      simpa only [singleton_inter_eq_empty, mem_compl_iff, Ia] using ha
    rw [inter_assoc, inter_comm s, inter_assoc, inter_self, ← inter_assoc, ← subset_empty_iff, ← N]
    apply inter_subset_inter_left
    rw [sub_eq_add_neg _ x]
    apply Eq.subset
    apply segment_inter_eq_endpoint_of_linearIndependent_of_ne _ htt'.symm
    convert! hy.units_smul ![-1, 1]
    simp [← List.ofFn_inj]
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
⊢ Set.Nonempty (α := ℝ)
    ({t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty} ∪ {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty})ᶜ

Tactic:
((A.union B).dense_compl ℝ).nonempty

Premises used: Real, Dense.nonempty, Set.Countable.dense_compl, Set.Countable.union
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
inr :
  ∀ (t : ℝ)
    (ht :
      Membership.mem (γ := Set ℝ)
        ({t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty} ∪ {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty})ᶜ t),
    JoinedIn sᶜ a b
⊢ JoinedIn sᶜ a b

Tactic:
obtain ⟨t, ht⟩ : Set.Nonempty ({t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
      ∪ {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty})ᶜ := ((A.union B).dense_compl ℝ).nonempty

Premises used: Real, Compl.compl, setOf, HSub.hSub, Dense.nonempty, segment, Set.Countable.dense_compl, Inter.inter, Set.Countable.union, Set.Nonempty, HAdd.hAdd, HSMul.hSMul, Union.union
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
ht :
  Membership.mem (γ := Set ℝ)
    ({t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty} ∪ {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty})ᶜ t
z : E := c + t • y
⊢ [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅

Tactic:
simp only [compl_union, mem_inter_iff, mem_compl_iff, mem_setOf_eq, not_nonempty_iff_eq_empty]
    at ht

Premises used: Set.compl_union, Set.mem_inter_iff, Set.not_nonempty_iff_eq_empty, Set.mem_setOf_eq, Set.mem_compl_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
h₁ : [a -[ℝ] z] ⊆ sᶜ
⊢ JoinedIn sᶜ a z

Tactic:
apply JoinedIn.of_segment_subset

Premises used: JoinedIn.of_segment_subset
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
h₁ : [a -[ℝ] z] ∩ s = ∅
⊢ [a -[ℝ] z] ⊆ sᶜ

Tactic:
rw [subset_compl_iff_disjoint_right, disjoint_iff_inter_eq_empty]

Premises used: Set.subset_compl_iff_disjoint_right, Set.disjoint_iff_inter_eq_empty
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
⊢ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅

Tactic:
ht.2

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
h₁ : a = c - x
⊢ [a -[ℝ] z] ∩ s = ∅

Tactic:
convert! ht.2

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
⊢ a = c - x

Tactic:
Ia.symm

Premises used: Eq.symm
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
⊢ a = c - x

Tactic:
exact Ia.symm

Premises used: Eq.symm
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
⊢ JoinedIn sᶜ a z

Tactic:
have JA : JoinedIn sᶜ a z := by
    apply JoinedIn.of_segment_subset
    rw [subset_compl_iff_disjoint_right, disjoint_iff_inter_eq_empty]
    convert! ht.2
    exact Ia.symm
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
h₁ : [b -[ℝ] z] ⊆ sᶜ
⊢ JoinedIn sᶜ b z

Tactic:
apply JoinedIn.of_segment_subset

Premises used: JoinedIn.of_segment_subset
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
h₁ : [b -[ℝ] z] ∩ s = ∅
⊢ [b -[ℝ] z] ⊆ sᶜ

Tactic:
rw [subset_compl_iff_disjoint_right, disjoint_iff_inter_eq_empty]

Premises used: Set.subset_compl_iff_disjoint_right, Set.disjoint_iff_inter_eq_empty
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
⊢ [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅

Tactic:
ht.1

Premises used: And.left
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
h₁ : b = c + x
⊢ [b -[ℝ] z] ∩ s = ∅

Tactic:
convert! ht.1

Premises used: And.left
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Connected
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : Module ℝ E
inst_2 : TopologicalSpace E
inst_3 : ContinuousAdd E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + b)
x : E := HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
B : Set.Countable (α := ℝ) {t : ℝ | ([c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s).Nonempty}
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x -[ℝ] c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
⊢ b = c + x

Tactic:
Ib.symm

Premises used: Eq.symm