-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Monoidal
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
R : CategoryTheory.Functor.{v_1, u, u_1, u + 1} Cᵒᵖ CommRingCat
M₁ M₂ M₃ M₄ :
  PresheafOfModules
    (R ⋙
      forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
        RingCat.carrier))
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
a :
  (↑(Functor.obj
        (R ⋙
          forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD :=
            RingCat.carrier))
        X) :
    Type u)
m₁ : (↑(M₁.obj X) : Type u)
m₂ : (↑(M₂.obj X) : Type u)
erw :
  HSMul.hSMul (α := (↑(R.obj Y) : Type u)) (β :=
      TensorProduct (↑(R.obj Y) : Type u) (↑(M₁.obj Y) : Type u) (↑(M₂.obj Y) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (R.map f) :
            (a : (↑(R.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj Y) : Type u))
          a :
        (↑(R.obj Y) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(R.obj X) : Type u)) ↦
                LinearMap (R := (↑(R.obj X) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                (CC := ModuleCat.carrier) (M₁.map f) :
              (a : (↑(M₁.obj X) : Type u)) →
                (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj (M₁.obj Y)) : Type u))
            m₁ ⊗ₜ[(↑(R.obj Y) : Type u)]
          (ConcreteCategory.hom (FC :=
                fun
                  (x1 x2 :
                    ModuleCat
                      (↑(Functor.obj
                            (R ⋙
                              forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                                (CC := CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦
                                (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier))
                            X) :
                        Type u)) ↦
                LinearMap (R :=
                  (↑(Functor.obj
                        (R ⋙
                          forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                            (CC := CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦
                            (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier))
                        X) :
                    Type u))
                  (RingHom.id
                    (↑(Functor.obj
                          (R ⋙
                            forget₂ CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                              (CC := CommRingCat.carrier) RingCat (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦
                              (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier))
                          X) :
                      Type u))
                  (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                (CC := ModuleCat.carrier) (M₂.map f) :
              (a : (↑(M₂.obj X) : Type u)) →
                (↑((ModuleCat.restrictScalars (RingCat.Hom.hom ((R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat).map f))).obj
                      (M₂.obj Y)) :
                  Type u))
            m₂ :
        TensorProduct (↑(R.obj Y) : Type u) (↑(M₁.obj Y) : Type u) (↑(M₂.obj Y) : Type u)) =
    HSMul.hSMul (β :=
      (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj
            (tensorObj (𝒞 := ModuleCat.moduleCategory (↑(R.obj Y) : Type u)) (M₁.obj Y) (M₂.obj Y))) :
        Type u))
      a
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(R.obj X) : Type u)) ↦
                LinearMap (R := (↑(R.obj X) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                (CC := ModuleCat.carrier) (M₁.map f) :
              (a : (↑(M₁.obj X) : Type u)) →
                (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj (M₁.obj Y)) : Type u))
            m₁ ⊗ₜ[(↑(R.obj Y) : Type u)]
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(R.obj X) : Type u)) ↦
                LinearMap (R := (↑(R.obj X) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                (CC := ModuleCat.carrier) (M₂.map f) :
              (a : (↑(M₂.obj X) : Type u)) →
                (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj (M₂.obj Y)) : Type u))
            m₂ :
        TensorProduct (↑(R.obj Y) : Type u) (↑(M₁.obj Y) : Type u) (↑(M₂.obj Y) : Type u))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(R.obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(R.obj X) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) (M₁.map f) :
          (a : (↑(M₁.obj X) : Type u)) →
            (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj (M₁.obj Y)) : Type u))
        m₁ ⊗ₜ[(↑(R.obj Y) : Type u)]
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(R.obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(R.obj X) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) (M₂.map f) :
          (a : (↑(M₂.obj X) : Type u)) →
            (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj (M₂.obj Y)) : Type u))
        (a • m₂) =
    HSMul.hSMul (β :=
      (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj
            (tensorObj (𝒞 := ModuleCat.moduleCategory (↑(R.obj Y) : Type u)) (M₁.obj Y) (M₂.obj Y))) :
        Type u))
      a
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(R.obj X) : Type u)) ↦
                LinearMap (R := (↑(R.obj X) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                (CC := ModuleCat.carrier) (M₁.map f) :
              (a : (↑(M₁.obj X) : Type u)) →
                (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj (M₁.obj Y)) : Type u))
            m₁ ⊗ₜ[(↑(R.obj Y) : Type u)]
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(R.obj X) : Type u)) ↦
                LinearMap (R := (↑(R.obj X) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                (CC := ModuleCat.carrier) (M₂.map f) :
              (a : (↑(M₂.obj X) : Type u)) →
                (↑((ModuleCat.restrictScalars (CommRingCat.Hom.hom (R.map f))).obj (M₂.obj Y)) : Type u))
            m₂ :
        TensorProduct (↑(R.obj Y) : Type u) (↑(M₁.obj Y) : Type u) (↑(M₂.obj Y) : Type u))

Tactic:
erw [M₂.map_smul, TensorProduct.tmul_smul (r := R.map f a)]

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, PresheafOfModules.map_smul, TensorProduct.tmul_smul, CategoryTheory.Functor.map, DFunLike.coe