awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
              Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    ε
δ₂ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₂ c x ε) : ℝ) →
              (l.bHenstock = true →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι)
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), (↑t : Set (ι → ℝ)) ⊆ s → ∑ i ∈ t, HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι) * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := fun (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ) ↦ if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
hJs : π.tag J ∉ s
e_2 : Eq (α := ℝ → Prop) (fun (a : ℝ) ↦ 0 < a) fun (x : ℝ) ↦ Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioi 0) x
⊢ δ₂ c (π.tag J) ε' = δ c (π.tag J)

Tactic:
(if_neg hJs).symm

Premises used: Set.Ioi, Set.Mem, setOf, Eq.symm, if_neg
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
              Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    ε
δ₂ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₂ c x ε) : ℝ) →
              (l.bHenstock = true →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι)
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), (↑t : Set (ι → ℝ)) ⊆ s → ∑ i ∈ t, HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι) * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := fun (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ) ↦ if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
hJs : π.tag J ∉ s
e_2 : Eq (α := ℝ → Prop) (fun (a : ℝ) ↦ 0 < a) fun (x : ℝ) ↦ Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioi 0) x
⊢ δ₂ c (π.tag J) ε' = δ c (π.tag J)

Tactic:
exact (if_neg hJs).symm

Premises used: Eq.symm, if_neg
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
              Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    ε
δ₂ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₂ c x ε) : ℝ) →
              (l.bHenstock = true →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι)
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), (↑t : Set (ι → ℝ)) ⊆ s → ∑ i ∈ t, HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι) * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := fun (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ) ↦ if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
hf : ∀ i ∈ π.boxes, i ∉ {J ∈ π.boxes | π.tag J ∉ s} → 0 ≤ HMul.hMul (β := ℝ) ε' ((B : (a : Box ι) → ℝ) i : ℝ)
h : {J ∈ π.boxes | π.tag J ∉ s} ⊆ π.boxes
⊢ LE.le (α := ℝ) (∑ J ∈ π.boxes with π.tag J ∉ s, HMul.hMul (β := ℝ) ε' ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ))
    (∑ J ∈ π.boxes, HMul.hMul (β := ℝ) ε' ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ))

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
              Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    ε
δ₂ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₂ c x ε) : ℝ) →
              (l.bHenstock = true →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι)
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), (↑t : Set (ι → ℝ)) ⊆ s → ∑ i ∈ t, HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι) * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := fun (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ) ↦ if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ ∀ i ∈ π.boxes, i ∉ {J ∈ π.boxes | π.tag J ∉ s} → 0 ≤ HMul.hMul (β := ℝ) ε' ((B : (a : Box ι) → ℝ) i : ℝ)

Tactic:
fun _ _ _ ↦ mul_nonneg ε'0.le (hB0 _)

Premises used: mul_nonneg, LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
              Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    ε
δ₂ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₂ c x ε) : ℝ) →
              (l.bHenstock = true →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι)
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), (↑t : Set (ι → ℝ)) ⊆ s → ∑ i ∈ t, HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι) * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := fun (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ) ↦ if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ ∀ i ∈ π.boxes, i ∉ {J ∈ π.boxes | π.tag J ∉ s} → 0 ≤ HMul.hMul (β := ℝ) ε' ((B : (a : Box ι) → ℝ) i : ℝ)

Tactic:
exact fun _ _ _ ↦ mul_nonneg ε'0.le (hB0 _)

Premises used: mul_nonneg, LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
              Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    ε
δ₂ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₂ c x ε) : ℝ) →
              (l.bHenstock = true →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι)
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), (↑t : Set (ι → ℝ)) ⊆ s → ∑ i ∈ t, HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι) * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := fun (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ) ↦ if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ {J ∈ π.boxes | π.tag J ∉ s} ⊆ π.boxes

Tactic:
apply filter_subset

Premises used: Finset.filter_subset
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
              Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    ε
δ₂ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₂ c x ε) : ℝ) →
              (l.bHenstock = true →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι)
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), (↑t : Set (ι → ℝ)) ⊆ s → ∑ i ∈ t, HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι) * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := fun (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ) ↦ if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
rw : ε' * ∑ i ∈ π.boxes, (B : (a : Box ι) → ℝ) i = HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε'
rw₁ : HMul.hMul (β := ℝ) ε' ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) = HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε'
rw₂ rw₃ : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' = HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε'
⊢ ∑ J ∈ π.boxes, HMul.hMul (β := ℝ) ε' ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ) =
    HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε'

Tactic:
rw [← mul_sum, B.sum_partition_boxes le_rfl hπp, mul_comm]

Premises used: Finset.mul_sum, le_rfl, BoxIntegral.BoxAdditiveMap.sum_partition_boxes, mul_comm
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Basic
Goal:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
inst_4 : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
hl : l.bRiemann = false
B : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), LE.le (α := ℝ) (0 : ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
g : ι →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box ι))] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
hlH : s.Nonempty → l.bHenstock = true
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ₁ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₁ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ∩ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₁ c x ε) : ℝ) →
              Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    ε
δ₂ : (c : ℝ≥0) → (x : ι → ℝ) → (ε : ℝ) → { a : ℝ // 0 < a }
Hδ₂ :
  ∀ (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      ∀ (ε : ℝ),
        0 < ε →
          ∀ J ≤ I,
            (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J ⊆ Metric.closedBall x (↑(δ₂ c x ε) : ℝ) →
              (l.bHenstock = true →
                  Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) J : Set (ι → ℝ)) x) →
                (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) →
                  dist.{w} (α := F) ((((vol : (a : Box ι) → E →L[ℝ] F) J : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) (f x) : F)
                      ((g : (a : Box ι) → F) J : F) ≤
                    HMul.hMul (β := ℝ) ε ((B : (a : Box ι) → ℝ) J : ℝ)
ε0' : 0 < ε / 2
H0 : 0 < HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι)
εs : (ι → ℝ) → ℝ
hεs0 : ∀ (i : ι → ℝ), 0 < εs i
hεs : ∀ (t : Finset (ι → ℝ)), (↑t : Set (ι → ℝ)) ⊆ s → ∑ i ∈ t, HPow.hPow (α := ℝ) 2 (Fintype.card ι) * εs i ≤ ε / 2
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hεI : HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' < ε / 2
δ : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := fun (c : ℝ≥0) (x : ι → ℝ) ↦ if x ∈ s then δ₁ c x (εs x) else δ₂ c x ε'
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hπδ : l.MemBaseSet I c (δ c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ HMul.hMul (α := ℝ) ((B : (a : Box ι) → ℝ) I : ℝ) ε' ≤ ε / 2

Tactic:
hεI.le

Premises used: LT.lt.le