awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < 2
h2 : multiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < 2
h3 : multiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < 2
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
h3' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
this :
  HMul.hMul (α := ℕ) 2 3 ≤
    multiplicity λ (S'.a + S'.b) + multiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) +
      multiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
⊢ False

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
inl :
  ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b),
    ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
      HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
        IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
inr :
  ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b),
    ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
      HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
        IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
inr₁ :
  ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b),
    ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
      HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
        IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'

Tactic:
rcases lambda_sq_dvd_or_dvd_or_dvd S' with h | h | h

Premises used: _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.lambda_sq_dvd_or_dvd_or_dvd
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'

Tactic:
⟨S'.a, S'.b, S'.H, S'.coprime, S'.ha, S'.hb, h⟩

Premises used: _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.a, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.ha, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.H, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.hb, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.b, And.intro, Exists.intro, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.coprime
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'

Tactic:
exact ⟨S'.a, S'.b, S'.H, S'.coprime, S'.ha, S'.hb, h⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'

Tactic:
⟨S'.a, η * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η ^ 2 * x, ?_⟩, h⟩

Premises used: IsPrimitiveRoot.toInteger_isPrimitiveRoot, Units.val, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.a, HMul.hMul, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.ha, IsPrimitiveRoot.isUnit, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.b, And.intro, Exists.intro, IsUnit.unit
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
inr : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) ((↑η : 𝓞 K) * S'.b) 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₁ : IsCoprime S'.a ((↑η : 𝓞 K) * S'.b)
inr₂ :
  λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b → ∀ (x : 𝓞 K) (hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x), S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'

Tactic:
refine ⟨S'.a, η * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η ^ 2 * x, ?_⟩, h⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) ((↑η : 𝓞 K) * S'.b) 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3

Tactic:
simp [mul_pow, hζ.toInteger_cube_eq_one, one_mul, S'.H]

Premises used: _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.H, mul_pow, one_mul, IsPrimitiveRoot.toInteger_cube_eq_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
⊢ IsCoprime S'.a ((↑η : 𝓞 K) * S'.b)

Tactic:
(isCoprime_mul_unit_left_right (Units.isUnit η) _ _).2 S'.coprime

Premises used: IsPrimitiveRoot.toInteger_isPrimitiveRoot, Iff.mpr, IsPrimitiveRoot.isUnit, isCoprime_mul_unit_left_right, IsUnit.unit, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.coprime, Units.isUnit
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
⊢ IsCoprime S'.a ((↑η : 𝓞 K) * S'.b)

Tactic:
refine (isCoprime_mul_unit_left_right (Units.isUnit η) _ _).2 S'.coprime
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₂ : S'.b = (↑η : 𝓞 K) * S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₃ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₄ : S'.b = S'.b * ((↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₅ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
inr₆ : S'.b = S'.b * hζ.toInteger ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
inr₇ : S'.b = S'.b * 1
inr₈ inr₉ : S'.b = S'.b
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)

Tactic:
rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]

Premises used: IsCyclotomicExtension.Rat.Three.coe_eta, mul_assoc, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.b, mul_comm, mul_one, pow_succ', IsPrimitiveRoot.toInteger_cube_eq_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'

Tactic:
⟨S'.a, η ^ 2 * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η * x, ?_⟩, h⟩

Premises used: IsPrimitiveRoot.toInteger_isPrimitiveRoot, Units.val, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.a, HMul.hMul, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.ha, IsPrimitiveRoot.isUnit, HPow.hPow, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.b, And.intro, Exists.intro, IsUnit.unit, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
inr :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₁ : IsCoprime S'.a (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
inr₂ :
  λ ∣ HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b →
    ∀ (x : 𝓞 K) (hx : HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b = λ * x), S'.b = λ * ((↑η : 𝓞 K) * x)
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'

Tactic:
refine ⟨S'.a, η ^ 2 * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η * x, ?_⟩, h⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
inr :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 2 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₂ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 3 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₃ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₄ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) hζ.toInteger 3) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₅ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (α := 𝓞 K) (β := ℕ) 1 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₆ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₇ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₈ inr₉ : (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3

Tactic:
rw [mul_pow, ← pow_mul, mul_comm 2, pow_mul, coe_eta, hζ.toInteger_cube_eq_one, one_pow,
        one_mul, S'.H]

Premises used: one_pow, IsCyclotomicExtension.Rat.Three.coe_eta, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.H, pow_mul, mul_comm, OfNat.ofNat, mul_pow, one_mul, IsPrimitiveRoot.toInteger_cube_eq_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
⊢ IsCoprime S'.a (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)

Tactic:
(isCoprime_mul_unit_left_right ((Units.isUnit η).pow _) _ _).2 S'.coprime

Premises used: IsPrimitiveRoot.toInteger_isPrimitiveRoot, Iff.mpr, IsPrimitiveRoot.isUnit, IsUnit.pow, isCoprime_mul_unit_left_right, IsUnit.unit, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.coprime, Units.isUnit
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
⊢ IsCoprime S'.a (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)

Tactic:
exact (isCoprime_mul_unit_left_right ((Units.isUnit η).pow _) _ _).2 S'.coprime
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
h_1 : λ ∣ HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * (↑η : 𝓞 K))
inr₁ : S'.b = λ * x * (↑η : 𝓞 K)
inr₂ : S'.b = HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b * (↑η : 𝓞 K)
inr₃ : S'.b = S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * (↑η : 𝓞 K)
inr₄ : S'.b = S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * (↑η : 𝓞 K))
inr₅ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
inr₆ : S'.b = S'.b * hζ.toInteger ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
inr₇ : S'.b = S'.b * 1
inr₈ inr₉ : S'.b = S'.b
⊢ S'.b = λ * ((↑η : 𝓞 K) * x)

Tactic:
rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ, coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]

Premises used: IsCyclotomicExtension.Rat.Three.coe_eta, pow_succ, mul_assoc, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.b, mul_comm, mul_one, IsPrimitiveRoot.toInteger_cube_eq_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
obtain :
  ∀ (a b : 𝓞 K) (H : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
    (coprime : IsCoprime a b) (ha : ¬λ ∣ a) (hb : ¬λ ∣ b) (hab : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a + b),
    ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.multiplicity = S'.multiplicity
⊢ ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.multiplicity = S'.multiplicity

Tactic:
obtain ⟨a, b, H, coprime, ha, hb, hab⟩ := ex_cube_add_cube_eq_and_isCoprime_and_not_dvd_and_dvd S'

Premises used: _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.ex_cube_add_cube_eq_and_isCoprime_and_not_dvd_and_dvd
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
a b : 𝓞 K
H : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
coprime : IsCoprime a b
ha : ¬λ ∣ a
hb : ¬λ ∣ b
hab : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a + b
⊢ ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.multiplicity = S'.multiplicity

Tactic:
⟨
  { a := a
    b := b
    c := S'.c
    u := S'.u
    ha := ha
    hb := hb
    hc := S'.hc
    coprime := coprime
    hcdvd := S'.hcdvd
    H := H
    hab := hab }, rfl⟩

Premises used: _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.u, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.mk, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.hcdvd, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.hc, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.mk, Exists.intro, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.c, rfl
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
a b : 𝓞 K
H : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
coprime : IsCoprime a b
ha : ¬λ ∣ a
hb : ¬λ ∣ b
hab : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a + b
⊢ ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.multiplicity = S'.multiplicity

Tactic:
exact ⟨
  { a := a
    b := b
    c := S'.c
    u := S'.u
    ha := ha
    hb := hb
    hc := S'.hc
    coprime := coprime
    hcdvd := S'.hcdvd
    H := H
    hab := hab }, rfl⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
⊢ S.a + hζ.toInteger * S.b = S.a + S.b + λ * S.b

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
⊢ Ne (α := ℕ) 2 0

Tactic:
decide
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
rw rw₁ : S.b * λ = S.b * λ
⊢ λ * S.b = λ * S.b

Tactic:
rw [mul_comm]

Premises used: mul_comm
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
⊢ S.a + HPow.hPow (β := ℕ) hζ.toInteger 2 * S.b = S.a + S.b + HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * S.b + 2 * λ * S.b

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
rw : λ ∣ S.a + S.b + HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * S.b + 2 * λ * S.b
⊢ λ ∣ S.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b

Tactic:
rw [show S.a + η ^ 2 * S.b = (S.a + S.b) + λ ^ 2 * S.b + 2 * λ * S.b by rw [coe_eta]; ring]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * S.b = λ * (λ * S.b)

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
⊢ 2 * λ * S.b = λ * (2 * S.b)

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
⊢ λ ∣ S.a + S.b + HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * S.b + 2 * λ * S.b

Tactic:
exact dvd_add (dvd_add (dvd_trans (dvd_pow_self _ (by decide)) S.hab) ⟨λ * S.b, by ring⟩)
    ⟨2 * S.b, by ring⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
simp_rw : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S.a + S.b + λ * S.b
simp_rw₁ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ λ * S.b
simp_rw₂ : ¬λ * λ ∣ λ * S.b
simp_rw₃ : ¬λ ∣ S.b
simp_rw₄ : ¬False
⊢ ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S.a + (↑η : 𝓞 K) * S.b

Tactic:
simp_rw [a_add_eta_mul_b, dvd_add_right S.hab, pow_two, mul_dvd_mul_iff_left
    hζ.zeta_sub_one_prime'.ne_zero, S.hb, not_false_eq_true]

Premises used: pow_two, dvd_add_right, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.hab, mul_dvd_mul_iff_left, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.hb, Prime.ne_zero, not_false_eq_true, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.toSolution', _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.a_add_eta_mul_b, IsPrimitiveRoot.zeta_sub_one_prime'
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k : 𝓞 K
hk : S.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k
rcases : ∀ (k' : 𝓞 K) (hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'), False
⊢ False

Tactic:
rcases S.hab with ⟨k', hk'⟩

Premises used: _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.hab
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k : 𝓞 K
hk : S.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
⊢ False

Tactic:
S.hb ⟨(k - k') * (-η), ?_⟩

Premises used: IsPrimitiveRoot.toInteger_isPrimitiveRoot, Units.val, HMul.hMul, HSub.hSub, IsPrimitiveRoot.isUnit, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution'.hb, Exists.intro, IsUnit.unit, _private.0.FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.toSolution', Neg.neg
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k : 𝓞 K
hk : S.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
refine : S.b = λ * ((k - k') * -(↑η : 𝓞 K))
⊢ False

Tactic:
refine S.hb ⟨(k - k') * (-η), ?_⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k : 𝓞 K
hk : S.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
⊢ S.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b = S.a + S.b - S.b + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k k' : 𝓞 K
hk : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k' - S.b + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k' - S.b + HPow.hPow (β := ℕ) hζ.toInteger 2 * S.b = λ * (S.b * (hζ.toInteger + 1) + λ * k')

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k : 𝓞 K
hk : S.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
rw :
  ∀ (k' : 𝓞 K) (hk : λ * (S.b * ((↑η : 𝓞 K) + 1) + λ * k') = λ * (λ * k))
    (hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'), S.b = λ * ((k - k') * -(↑η : 𝓞 K))
⊢ S.b = λ * ((k - k') * -(↑η : 𝓞 K))

Tactic:
rw [show S.a + η ^ 2 * S.b = S.a + S.b - S.b + η ^ 2 * S.b by ring, hk',
    show λ ^ 2 * k' - S.b + η ^ 2 * S.b = λ * (S.b * (η + 1) + λ * k') by rw [coe_eta]; ring,
    pow_two, mul_assoc] at hk

Premises used: pow_two, mul_assoc
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k k' : 𝓞 K
hk : λ * (S.b * ((↑η : 𝓞 K) + 1) + λ * k') = λ * (λ * k)
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
⊢ S.b * ((↑η : 𝓞 K) + 1) + λ * k' = λ * k

Tactic:
simp only [mul_eq_mul_left_iff, hζ.zeta_sub_one_prime'.ne_zero, or_false] at hk

Premises used: mul_eq_mul_left_iff, Prime.ne_zero, or_false, IsPrimitiveRoot.zeta_sub_one_prime'
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
hk : S.b * ((↑η : 𝓞 K) + 1) + λ * k' = λ * k
⊢ (S.b * ((↑η : 𝓞 K) + 1) + λ * k') * -(↑η : 𝓞 K) = λ * k * -(↑η : 𝓞 K)

Tactic:
apply_fun (· * -↑η) at hk

Premises used: HMul.hMul, Neg.neg
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
hk : (S.b * ((↑η : 𝓞 K) + 1) + λ * k') * -(↑η : 𝓞 K) = λ * k * -(↑η : 𝓞 K)
⊢ (S.b * ((↑η : 𝓞 K) + 1) + λ * k') * -(↑η : 𝓞 K) =
    -S.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1 - 1) - (↑η : 𝓞 K) * λ * k'

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Three
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 * k'
hk :
  -S.b * (-(↑(IsUnit.unit (a := hζ.toInteger) ⋯) : 𝓞 K) - 1 + (↑η : 𝓞 K) + 1 - 1) - (↑η : 𝓞 K) * λ * k' =
    λ * k * -(↑η : 𝓞 K)
⊢ -S.b * (-(↑η : 𝓞 K) - 1 + (↑η : 𝓞 K) + 1 - 1) = S.b

Tactic:
ring