-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.Valued.ValuedField
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst_1 : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
a b : ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v
hab :
  Eq.{u_2 + 1} (α := ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation)
    ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        (↑(⋯.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
              ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                    (a : K) → ValueGroup₀ v)
                  a_1 =
                a)) :
          hat K) :
      ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
    ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        (↑(⋯.choose (p := fun (a : K) ↦
              ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                    (a : K) → ValueGroup₀ v)
                  a =
                b)) :
          hat K) :
      ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
x : K :=
  Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
    ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
        a_1 =
      a)
    ⋯
hx_def :
  x =
    Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a_1 =
        a)
      ⋯
hx : ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
    (Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a_1 =
        a)
      ⋯) =
  a :=
  ⋯
y : K :=
  Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
    ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v) a =
      b)
    ⋯
hy_def :
  y =
    Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a =
        b)
      ⋯
hy :
  (if h :
        Eq.{u_2 + 1} (α := Γ₀)
          ((v : (a : K) → Γ₀)
              (Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
                ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                      (a : K) → ValueGroup₀ v)
                    a =
                  b)
                ⋯) :
            Γ₀)
          (0 : Γ₀) then
      0
    else
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Γ₀ˣ) ↦ Membership.mem (γ := Subgroup Γ₀ˣ) (valueGroup (F := Valuation K Γ₀) v) x)
            (Units.mk0
              ((v : (a : K) → Γ₀)
                (Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
                  ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                        (a : K) → ValueGroup₀ v)
                      a =
                    b)
                  ⋯))
              h)
            ⋯) :
        WithZero ↥(valueGroup v))) =
    b
ha0 : a = 0
h0 : Eq (α := ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v) (extension ((algebraMap K (hat K) : (a : K) → hat K) x)) 0
this : y = 0
pos :
  Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a =
        b)
      ⋯ =
    0
pos₁ pos₂ :
  Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a =
        b)
      ⋯ =
    y
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Γ₀)
    ((v : (a : K) → Γ₀)
        (Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
          ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                (a : K) → ValueGroup₀ v)
              a =
            b)
          ⋯) :
      Γ₀)
    (0 : Γ₀)

Tactic:
rw [Valuation.zero_iff, ← this]

Premises used: Valuation.zero_iff