-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.StructureSheaf
Goal:
R M : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
S : Type u
inst_3 : CommRing S
N : Type u
inst_4 : AddCommGroup N
inst_5 : Module S N
σ : R →+* S
f : M →ₛₗ[σ] N
U : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
V : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)
hUV : V.carrier ⊆ PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' U.carrier
s : (x : ↥U) → Localizations M (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))
hs :
  PrelocalPredicate.pred (T := Localizations M)
    (LocalPredicate.toPrelocalPredicate (T := Localizations M) (isLocallyFraction R M)) s
this_1 : Module R N := Module.compHom N σ
this_2 : Algebra R S := σ.toAlgebra
this : IsScalarTower R S N
p : (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)
hpV : p ∈ V
W : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
m :
  (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ U) (PrimeSpectrum.comap σ p) ⋯) :
      (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ∈
    W
iWU : W ⟶ U
a : M
b : R
h_frac :
  ∀ (x : ↥W),
    ∃ (hs : b ∉ (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal),
      Eq (α := Localizations M (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
        ((fun (x : ↥W) ↦
            (s ((iWU : (a : ↥W) → ↥U) x) :
              Localizations (R := R) M (↑((iWU : (a : ↥W) → ↥U) x) : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))))
          x)
        (LocalizedModule.mk a
          (Subtype.mk (p := fun (x_1 : R) ↦ x_1 ∈ (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal.primeCompl) b hs))
refine :
  ∀
    (x :
      ↥({ carrier := PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' W.carrier, is_open' := ⋯ : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u) } ⊓
          V)),
    ∃ (hs : ((σ : (a : R) → S) b : S) ∉ (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)).asIdeal),
      Eq (α := Localizations N (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)))
        ((fun
                (x :
                  ↥({ carrier := PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' W.carrier, is_open' := ⋯ :
                        Opens (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u) } ⊓
                      V)) ↦
              (comapFun f U V hUV s
                  (({ carrier := PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' W.carrier, is_open' := ⋯ :
                            Opens (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u) }.infLERight
                        V :
                      (a : ↥({ carrier := PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' W.carrier, is_open' := ⋯ } ⊓ V)) → ↥V)
                    x) :
                Localizations (R := S) N
                  (↑(({ carrier := PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' W.carrier, is_open' := ⋯ :
                                Opens (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u) }.infLERight
                            V :
                          (a : ↥({ carrier := PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' W.carrier, is_open' := ⋯ } ⊓ V)) → ↥V)
                        x) :
                    (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u))))
            x :
          Localizations (R := S) N
            (↑(({ carrier := PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' W.carrier, is_open' := ⋯ :
                          Opens (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u) }.infLERight
                      V :
                    (a : ↥({ carrier := PrimeSpectrum.comap σ ⁻¹' W.carrier, is_open' := ⋯ } ⊓ V)) → ↥V)
                  x) :
              (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)))
        (LocalizedModule.mk ((f : (a : M) → N) a)
            (Subtype.mk (p := fun (x_1 : S) ↦ x_1 ∈ (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)).asIdeal.primeCompl)
              ((σ : (a : R) → S) b) hs) :
          LocalizedModule (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)).asIdeal.primeCompl N)
⊢ ∃ (V_1 : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)) (_ :
    (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)) ↦ x ∈ V) p hpV) :
        (↑(PrimeSpectrum.Top S) : Type u)) ∈
      V_1)
    (i : V_1 ⟶ V),
    PrelocalPredicate.pred (T := Localizations N) (isFractionPrelocal S N) (U := V_1) fun (x : ↥V_1) ↦
      comapFun f U V hUV s ((i : (a : ↥V_1) → ↥V) x)

Tactic:
refine ⟨⟨_, (PrimeSpectrum.continuous_comap σ).isOpen_preimage _ W.2⟩ ⊓ V,
    ⟨m, hpV⟩, Opens.infLERight _ _, f a, σ b, ?_⟩