awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I J : X.IdealSheafData
ι : Type u_1
U : ι → (↑X.affineOpens : Type u)
hU : Eq.{u + 1} (α := X.Opens) (⨆ (i : ι), (↑(U i) : X.Opens)) ⊤
H : ∀ (i : ι), LE.le (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (I.ideal (U i)) (J.ideal (U i))
V : (↑X.affineOpens : Type u)
i : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → ι
r : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
rU : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑(U (i x)) : X.Opens)) : Type u)
e : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), X.basicOpen (r x) = X.basicOpen (rU x)
hxr : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), (↑x : ↥X) ∈ X.basicOpen (r x)
this : Eq (α := Ideal (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) (Ideal.span (Set.range r)) ⊤
inst : ∀ (f : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)), IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
j : ↥(↑V : X.Opens)
erw :
  LE.le (α := Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (R := (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
        (I.ideal (Subtype.mk (p := fun (x : X.Opens) ↦ x ∈ X.affineOpens) (X.basicOpen (r j)) ⋯)) :
      Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (R := (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
        (J.ideal (Subtype.mk (p := fun (x : X.Opens) ↦ x ∈ X.affineOpens) (X.basicOpen (r j)) ⋯)) :
      Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
⊢ LE.le (α := Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
      (Ideal.map (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) (I.ideal V)))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
      (Ideal.map (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) (J.ideal V)))

Tactic:
erw [I.map_ideal (U := ⟨_, V.2.basicOpen _⟩) (X.basicOpen_le (r j)),
    J.map_ideal (U := ⟨_, V.2.basicOpen _⟩) (X.basicOpen_le (r j))]

Premises used: AlgebraicGeometry.Scheme.basicOpen_le, AlgebraicGeometry.Scheme.IdealSheafData.map_ideal
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I J : X.IdealSheafData
ι : Type u_1
U : ι → (↑X.affineOpens : Type u)
hU : Eq.{u + 1} (α := X.Opens) (⨆ (i : ι), (↑(U i) : X.Opens)) ⊤
H : ∀ (i : ι), LE.le (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (I.ideal (U i)) (J.ideal (U i))
V : (↑X.affineOpens : Type u)
i : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → ι
r : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
rU : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑(U (i x)) : X.Opens)) : Type u)
e : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), X.basicOpen (r x) = X.basicOpen (rU x)
hxr : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), (↑x : ↥X) ∈ X.basicOpen (r x)
this : Eq (α := Ideal (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) (Ideal.span (Set.range r)) ⊤
inst : ∀ (f : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)), IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
j : ↥(↑V : X.Opens)
rw! :
  LE.le (α := Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (R := (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
        (I.ideal (Subtype.mk (p := fun (x : X.Opens) ↦ x ∈ X.affineOpens) (X.basicOpen (rU j)) ⋯)) :
      Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (R := (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
        (J.ideal (Subtype.mk (p := fun (x : X.Opens) ↦ x ∈ X.affineOpens) (X.basicOpen (rU j)) ⋯)) :
      Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
⊢ LE.le (α := Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (R := (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
        (I.ideal (Subtype.mk (p := fun (x : X.Opens) ↦ x ∈ X.affineOpens) (X.basicOpen (r j)) ⋯)) :
      Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (R := (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))
        (J.ideal (Subtype.mk (p := fun (x : X.Opens) ↦ x ∈ X.affineOpens) (X.basicOpen (r j)) ⋯)) :
      Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (r j)) : Type u))

Tactic:
rw! [e]
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I J : X.IdealSheafData
ι : Type u_1
U : ι → (↑X.affineOpens : Type u)
hU : Eq.{u + 1} (α := X.Opens) (⨆ (i : ι), (↑(U i) : X.Opens)) ⊤
H : ∀ (i : ι), LE.le (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (I.ideal (U i)) (J.ideal (U i))
V : (↑X.affineOpens : Type u)
i : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → ι
r : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
rU : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑(U (i x)) : X.Opens)) : Type u)
e : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), X.basicOpen (r x) = X.basicOpen (rU x)
hxr : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), (↑x : ↥X) ∈ X.basicOpen (r x)
this : Eq (α := Ideal (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) (Ideal.span (Set.range r)) ⊤
inst : ∀ (f : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)), IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
j : ↥(↑V : X.Opens)
rw :
  LE.le (α := Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
      (Ideal.map (R := (↑Γ(X, (↑(U (i j)) : X.Opens)) : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op))
        (I.ideal (U (i j)))))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
      (Ideal.map (R := (↑Γ(X, (↑(U (i j)) : X.Opens)) : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op))
        (J.ideal (U (i j)))))
⊢ LE.le (α := Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (R := (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
        (I.ideal (Subtype.mk (p := fun (x : X.Opens) ↦ x ∈ X.affineOpens) (X.basicOpen (rU j)) ⋯)) :
      Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (R := (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
        (J.ideal (Subtype.mk (p := fun (x : X.Opens) ↦ x ∈ X.affineOpens) (X.basicOpen (rU j)) ⋯)) :
      Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))

Tactic:
rw [← I.map_ideal (V := (U _)) (X.basicOpen_le _), ← J.map_ideal (V := (U _)) (X.basicOpen_le _)]

Premises used: AlgebraicGeometry.Scheme.IdealSheafData.map_ideal
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I J : X.IdealSheafData
ι : Type u_1
U : ι → (↑X.affineOpens : Type u)
hU : Eq.{u + 1} (α := X.Opens) (⨆ (i : ι), (↑(U i) : X.Opens)) ⊤
H : ∀ (i : ι), LE.le (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (I.ideal (U i)) (J.ideal (U i))
V : (↑X.affineOpens : Type u)
i : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → ι
r : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
rU : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑(U (i x)) : X.Opens)) : Type u)
e : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), X.basicOpen (r x) = X.basicOpen (rU x)
hxr : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), (↑x : ↥X) ∈ X.basicOpen (r x)
this : Eq (α := Ideal (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) (Ideal.span (Set.range r)) ⊤
inst : ∀ (f : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)), IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
j : ↥(↑V : X.Opens)
⊢ LE.le (α := Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
      (Ideal.map (R := (↑Γ(X, (↑(U (i j)) : X.Opens)) : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op))
        (I.ideal (U (i j)))))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
      (Ideal.map (R := (↑Γ(X, (↑(U (i j)) : X.Opens)) : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op))
        (J.ideal (U (i j)))))

Tactic:
Ideal.map_mono (f := (X.presheaf.map (homOfLE (X.basicOpen_le (rU j))).op).hom) (H (i j))

Premises used: iInf, Set.Mem, Quiver.Hom.op, Set.iInter, setOf, AlgebraicGeometry.RingedSpace.basicOpen, CategoryTheory.homOfLE, AlgebraicGeometry.Scheme.basicOpen, Ideal.map_mono
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I J : X.IdealSheafData
ι : Type u_1
U : ι → (↑X.affineOpens : Type u)
hU : Eq.{u + 1} (α := X.Opens) (⨆ (i : ι), (↑(U i) : X.Opens)) ⊤
H : ∀ (i : ι), LE.le (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (I.ideal (U i)) (J.ideal (U i))
V : (↑X.affineOpens : Type u)
i : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → ι
r : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
rU : (x : ↥(↑V : X.Opens)) → (↑Γ(X, (↑(U (i x)) : X.Opens)) : Type u)
e : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), X.basicOpen (r x) = X.basicOpen (rU x)
hxr : ∀ (x : ↥(↑V : X.Opens)), (↑x : ↥X) ∈ X.basicOpen (r x)
this : Eq (α := Ideal (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) (Ideal.span (Set.range r)) ⊤
inst : ∀ (f : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)), IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
j : ↥(↑V : X.Opens)
⊢ LE.le (α := Submodule (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen (rU j)) : Type u))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
      (Ideal.map (R := (↑Γ(X, (↑(U (i j)) : X.Opens)) : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op))
        (I.ideal (U (i j)))))
    (Submodule.restrictScalars (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
      (Ideal.map (R := (↑Γ(X, (↑(U (i j)) : X.Opens)) : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op))
        (J.ideal (U (i j)))))

Tactic:
exact Ideal.map_mono (f := (X.presheaf.map (homOfLE (X.basicOpen_le (rU j))).op).hom) (H (i j))

Premises used: Ideal.map_mono
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I J : X.IdealSheafData
ι : Type u_1
U : ι → (↑X.affineOpens : Type u)
hU : Eq.{u + 1} (α := X.Opens) (⨆ (i : ι), (↑(U i) : X.Opens)) ⊤
H : ∀ (i : ι), Eq (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (I.ideal (U i)) (J.ideal (U i))
⊢ ∀ (i : ι), LE.le (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (I.ideal (U i)) (J.ideal (U i))

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I J : X.IdealSheafData
ι : Type u_1
U : ι → (↑X.affineOpens : Type u)
hU : Eq.{u + 1} (α := X.Opens) (⨆ (i : ι), (↑(U i) : X.Opens)) ⊤
H : ∀ (i : ι), Eq (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (I.ideal (U i)) (J.ideal (U i))
⊢ ∀ (i : ι), LE.le (α := Ideal (↑Γ(X, (↑(U i) : X.Opens)) : Type u)) (J.ideal (U i)) (I.ideal (U i))

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
x : ↥X
⊢ x ∈ I.supportSet ↔
    ∀ (U : (↑X.affineOpens : Type u)), x ∈ X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u))

Tactic:
(Set.ext_iff.mp I.supportSet_eq_iInter_zeroLocus _).trans Set.mem_iInter

Premises used: Set.mem_iInter, Iff.mp, Iff.trans, Set.ext_iff, AlgebraicGeometry.Scheme.IdealSheafData.supportSet_eq_iInter_zeroLocus
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U : (↑X.affineOpens : Type u)
⊢ I.supportSet ⊆ X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u))

Tactic:
I.supportSet_eq_iInter_zeroLocus.trans_subset (Set.iInter_subset _ _)

Premises used: Set.iInter_subset, Eq.trans_subset, AlgebraicGeometry.Scheme.IdealSheafData.supportSet_eq_iInter_zeroLocus
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U : (↑X.affineOpens : Type u)
rw :
  X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ∩ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X) ⊆
    ⋂ (U : (↑X.affineOpens : Type u)), X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u))
⊢ X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ∩ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X) ⊆ I.supportSet

Tactic:
rw [I.supportSet_eq_iInter_zeroLocus]

Premises used: AlgebraicGeometry.Scheme.IdealSheafData.supportSet_eq_iInter_zeroLocus
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U : (↑X.affineOpens : Type u)
⊢ X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ∩ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X) ⊆
    ⋂ (U : (↑X.affineOpens : Type u)), X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u))

Tactic:
Set.subset_iInter fun V ↦ ?_

Premises used: Set.subset_iInter
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U : (↑X.affineOpens : Type u)
refine :
  ∀ (V : (↑X.affineOpens : Type u)),
    X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ∩ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X) ⊆
      X.zeroLocus (↑(I.ideal V) : Set (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u))
⊢ X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ∩ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X) ⊆
    ⋂ (U : (↑X.affineOpens : Type u)), X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u))

Tactic:
refine Set.subset_iInter fun V ↦ ?_

Premises used: Set.subset_iInter
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U V : (↑X.affineOpens : Type u)
apply :
  X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ∩ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X) ⊓
      (↑(↑V : X.Opens) : Set ↥X) ≤
    X.zeroLocus (↑(I.ideal V) : Set (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u))
⊢ X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ∩ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X) ⊆
    X.zeroLocus (↑(I.ideal V) : Set (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u))

Tactic:
apply (X.codisjoint_zeroLocus (U := V) (I.ideal V)).symm.left_le_of_le_inf_right

Premises used: Codisjoint.left_le_of_le_inf_right, SetLike.coe, Codisjoint.symm, AlgebraicGeometry.Scheme.codisjoint_zeroLocus, AlgebraicGeometry.Scheme.IdealSheafData.ideal
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U V : (↑X.affineOpens : Type u)
x : ↥X
hxV : x ∈ (↑(↑V : X.Opens) : Set ↥X)
hx : x ∈ X.zeroLocus (↑(I.ideal U) : Set (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u))
hxU : x ∈ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X)
simp : ∀ (hx : ∀ f ∈ I.ideal U, x ∉ X.basicOpen f), ∀ f ∈ I.ideal V, x ∉ X.basicOpen f
⊢ x ∈ X.zeroLocus (↑(I.ideal V) : Set (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u))

Tactic:
simp only [Scheme.mem_zeroLocus_iff, SetLike.mem_coe] at hx ⊢

Premises used: SetLike.mem_coe, AlgebraicGeometry.Scheme.mem_zeroLocus_iff
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U V : (↑X.affineOpens : Type u)
x : ↥X
hxV : x ∈ (↑(↑V : X.Opens) : Set ↥X)
hxU : x ∈ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X)
hx : ∀ f ∈ I.ideal U, x ∉ X.basicOpen f
s : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfU : s ∈ I.ideal V
hxs : x ∈ X.basicOpen s
obtain :
  ∀ (f : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) (g : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) (hfg : X.basicOpen f = X.basicOpen g)
    (hxf : x ∈ X.basicOpen f), False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨f, g, hfg, hxf⟩ := exists_basicOpen_le_affine_inter U.2 V.2 x ⟨hxU, hxV⟩

Premises used: And.intro, AlgebraicGeometry.exists_basicOpen_le_affine_inter, Subtype.property
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U V : (↑X.affineOpens : Type u)
x : ↥X
hxV : x ∈ (↑(↑V : X.Opens) : Set ↥X)
hxU : x ∈ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X)
hx : ∀ f ∈ I.ideal U, x ∉ X.basicOpen f
s : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfU : s ∈ I.ideal V
hxs : x ∈ X.basicOpen s
f : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)
g : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfg : X.basicOpen f = X.basicOpen g
hxf : x ∈ X.basicOpen f
⊢ IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)

Tactic:
have inst := U.2.isLocalization_basicOpen f
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U V : (↑X.affineOpens : Type u)
x : ↥X
hxV : x ∈ (↑(↑V : X.Opens) : Set ↥X)
hxU : x ∈ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X)
hx : ∀ f ∈ I.ideal U, x ∉ X.basicOpen f
s : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfU : s ∈ I.ideal V
hxs : x ∈ X.basicOpen s
f : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)
g : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfg : X.basicOpen f = X.basicOpen g
hxf : x ∈ X.basicOpen f
inst : IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
⊢ Membership.mem (α := (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u)) (γ :=
    Submodule (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
    (I.ideal (X.affineBasicOpen f))
    ((CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
          (a : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
        s :
      (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))

Tactic:
have := (I.map_ideal (U := X.affineBasicOpen f) (hfg.trans_le (X.basicOpen_le g))).le
    (Ideal.mem_map_of_mem _ hfU)
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U V : (↑X.affineOpens : Type u)
x : ↥X
hxV : x ∈ (↑(↑V : X.Opens) : Set ↥X)
hxU : x ∈ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X)
hx : ∀ f ∈ I.ideal U, x ∉ X.basicOpen f
s : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfU : s ∈ I.ideal V
hxs : x ∈ X.basicOpen s
f : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)
g : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfg : X.basicOpen f = X.basicOpen g
hxf : x ∈ X.basicOpen f
inst : IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
this :
  Membership.mem (α := (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u)) (γ :=
    Submodule (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
    (I.ideal (X.affineBasicOpen f))
    ((CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
          (a : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
        s :
      (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
⊢ Membership.mem (α := (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u)) (γ :=
    Submodule (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
    (Ideal.map (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) (I.ideal U))
    ((CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
          (a : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
        s :
      (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))

Tactic:
rw [← I.map_ideal_basicOpen] at this

Premises used: AlgebraicGeometry.Scheme.IdealSheafData.map_ideal_basicOpen
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U V : (↑X.affineOpens : Type u)
x : ↥X
hxV : x ∈ (↑(↑V : X.Opens) : Set ↥X)
hxU : x ∈ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X)
hx : ∀ f ∈ I.ideal U, x ∉ X.basicOpen f
s : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfU : s ∈ I.ideal V
hxs : x ∈ X.basicOpen s
f : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)
g : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfg : X.basicOpen f = X.basicOpen g
hxf : x ∈ X.basicOpen f
inst : IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
this :
  Membership.mem (α := (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u)) (γ :=
    Submodule (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
    (Ideal.map (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) (I.ideal U))
    ((CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
          (a : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
        s :
      (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
obtain :
  ∀ (s' : ↥(I.ideal U)) (n : ℕ)
    (hs' :
      HMul.hMul (α := (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)) (β := (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u))
          ((CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
                (a : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
              s :
            (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
          ((algebraMap (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u) :
                (a : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u))
              (↑(s',
                      Subtype.mk (p := fun (x : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ↦
                        Membership.mem (γ := Submonoid (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) (Submonoid.powers f) x)
                        ((fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) n) ⋯).2 :
                (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) :
            (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)) =
        (algebraMap (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u) :
            (a : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u))
          (↑(s',
                  Subtype.mk (p := fun (x : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ↦
                    Membership.mem (γ := Submonoid (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) (Submonoid.powers f) x)
                    ((fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) n) ⋯).1 :
            (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u))),
    False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨⟨s', ⟨_, n, rfl⟩⟩, hs'⟩ :=
    (IsLocalization.mem_map_algebraMap_iff (.powers f) Γ(X, X.basicOpen f)).mp this

Premises used: CommRingCat.carrier, AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.toSheafedSpace, Opposite.op, Submonoid.powers, AlgebraicGeometry.Scheme.basicOpen, Iff.mp, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.presheaf, AlgebraicGeometry.SheafedSpace.toPresheafedSpace, IsLocalization.mem_map_algebraMap_iff, CategoryTheory.Functor.obj, rfl, AlgebraicGeometry.Scheme.toLocallyRingedSpace
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.IdealSheaf.Basic
Goal:
X : Scheme
I : X.IdealSheafData
U V : (↑X.affineOpens : Type u)
x : ↥X
hxV : x ∈ (↑(↑V : X.Opens) : Set ↥X)
hxU : x ∈ (↑(↑U : X.Opens) : Set ↥X)
hx : ∀ f ∈ I.ideal U, x ∉ X.basicOpen f
s : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfU : s ∈ I.ideal V
hxs : x ∈ X.basicOpen s
f : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)
g : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)
hfg : X.basicOpen f = X.basicOpen g
hxf : x ∈ X.basicOpen f
inst : IsLocalization.Away f (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)
this :
  Membership.mem (α := (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u)) (γ :=
    Submodule (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
    (Ideal.map (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) (I.ideal U))
    ((CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
          (a : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
        s :
      (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
s' : ↥(I.ideal U)
n : ℕ
hs' :
  (x ∈
      X.basicOpen
        (HMul.hMul (α := (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)) (β := (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u))
          ((CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
                (a : (↑Γ(X, (↑V : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
              s :
            (↑Γ(X, (↑(X.affineBasicOpen f) : X.Opens)) : Type u))
          ((algebraMap (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u) :
                (a : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u))
              (↑(s',
                      Subtype.mk (p := fun (x : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ↦
                        Membership.mem (γ := Submonoid (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) (Submonoid.powers f) x)
                        ((fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) n) ⋯).2 :
                (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) :
            (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u)))) =
    (x ∈
      X.basicOpen (U := X.basicOpen f)
        ((algebraMap (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u) (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u) :
            (a : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, X.basicOpen f) : Type u))
          (↑(s',
                  Subtype.mk (p := fun (x : (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) ↦
                    Membership.mem (γ := Submonoid (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u)) (Submonoid.powers f) x)
                    ((fun (x : ℕ) ↦ f ^ x) n) ⋯).1 :
            (↑Γ(X, (↑U : X.Opens)) : Type u))))
⊢ False

Tactic:
hx s' s'.2 ?_

Premises used: Subtype.val, Subtype.property