-- Module: Mathlib.FieldTheory.CardinalEmb
Goal:
F : Type u
E : Type v
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Algebra F E
rank_inf : Fact (ℵ₀ ≤ Module.rank F E)
inst_3 : Algebra.IsAlgebraic F E
i : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType
hi : IsSuccPrelimit i
f :
  ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i : IntermediateField F E) →ₐ[F] Ē
h : Nonempty.{v + 1} (↑(Iio i) : Type v)
pos :
  ∀ (x : E)
    (hx :
      Membership.mem (γ := Subalgebra F E)
        (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i)) x),
    Eq (α := Ē)
      (((fun
                  (f :
                    (↑(limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                          ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                                IntermediateField F E) →ₐ[F]
                            Ē)
                          (embFunctor F E) i) :
                      Type v)) ↦
                Subalgebra.iSupLift
                  (fun (x : (↑(Iio i) : Type v)) ↦
                    toSubalgebra
                      ((fun (j : (↑(Iio i) : Type v)) ↦
                          ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                              (↑j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                            IntermediateField F E))
                        x))
                  ⋯
                  (↑f :
                    (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                      ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                            (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType)) →ₐ[F]
                        Ē)
                  ⋯ (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i))
                  ⋯)
              ((fun
                    (f :
                      ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i :
                            IntermediateField F E) →ₐ[F]
                        Ē) ↦
                  (Subtype.mk (p :=
                      fun
                        (x :
                          (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                            ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                                    (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                                  IntermediateField F E) →ₐ[F]
                              Ē) ↦
                      Membership.mem (γ :=
                        Set
                          ((l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                            ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                                    (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                                  IntermediateField F E) →ₐ[F]
                              Ē))
                        (limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                          ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                                IntermediateField F E) →ₐ[F]
                            Ē)
                          (embFunctor F E) i)
                        x)
                      (fun (j : (↑(Iio i) : Type v)) ↦ embFunctor F E ⋯ f) ⋯ :
                    { x :
                      (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                        ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                                (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                              IntermediateField F E) →ₐ[F]
                          Ē //
                      Membership.mem (γ :=
                        Set
                          ((l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                            ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                                    (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                                  IntermediateField F E) →ₐ[F]
                              Ē))
                        (limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                          ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                                IntermediateField F E) →ₐ[F]
                            Ē)
                          (embFunctor F E) i)
                        x }))
                f) :
            (a : ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i).toSubalgebra) →
              Ē)
          (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦
            Membership.mem (γ := Subalgebra F E)
              (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i)) x)
            x hx) :
        Ē)
      ((f :
            (a : ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i).toSubalgebra) →
              Ē)
          (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦
            Membership.mem (γ := Subalgebra F E)
              (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i)) x)
            x hx) :
        Ē)
⊢ (fun
          (f :
            (↑(limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                  ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                        IntermediateField F E) →ₐ[F]
                    Ē)
                  (embFunctor F E) i) :
              Type v)) ↦
        Subalgebra.iSupLift
          (fun (x : (↑(Iio i) : Type v)) ↦
            toSubalgebra
              ((fun (j : (↑(Iio i) : Type v)) ↦
                  ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                      (↑j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                    IntermediateField F E))
                x))
          ⋯
          (↑f :
            (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
              ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                    (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType)) →ₐ[F]
                Ē)
          ⋯ (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i)) ⋯)
      ((fun
            (f :
              ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i :
                    IntermediateField F E) →ₐ[F]
                Ē) ↦
          (Subtype.mk (p :=
              fun
                (x :
                  (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                    ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                            (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                          IntermediateField F E) →ₐ[F]
                      Ē) ↦
              Membership.mem (γ :=
                Set
                  ((l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                    ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                            (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                          IntermediateField F E) →ₐ[F]
                      Ē))
                (limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                  ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                        IntermediateField F E) →ₐ[F]
                    Ē)
                  (embFunctor F E) i)
                x)
              (fun (j : (↑(Iio i) : Type v)) ↦ embFunctor F E ⋯ f) ⋯ :
            { x :
              (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                        (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                      IntermediateField F E) →ₐ[F]
                  Ē //
              Membership.mem (γ :=
                Set
                  ((l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                    ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                            (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                          IntermediateField F E) →ₐ[F]
                      Ē))
                (limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                  ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                        IntermediateField F E) →ₐ[F]
                    Ē)
                  (embFunctor F E) i)
                x }))
        f) =
    f

Tactic:
ext ⟨x, hx⟩