-- Module: Mathlib.Topology.Category.CompHaus.Basic
Goal:
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : (↑(Y.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)
hy :
  ∀ (a : (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)),
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
            C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
              (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
            (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
            (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) f :
          (a : (↑X.toTop : Type u)) → (↑Y.toTop : Type u))
        a ≠
      y
hf : Epi f
C : Set
  ((fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) Y) :=
  Set.range (ι :=
    (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) X)
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
            (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
          (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) f) :
      (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) X) →
        (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y)
hC : IsClosed C
D : Set (↑(Y.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u) := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
φ :
  C((fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) Y,
    ℝ)
hφ0 : Set.EqOn (β := ℝ) (⇑φ : (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y) → ℝ) 0 C
hφ1 : Set.EqOn (β := ℝ) (⇑φ : (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y) → ℝ) 1 D
hφ01 :
  ∀
    (x :
      (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
        Y),
    Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1)
      ((φ : (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y) → ℝ) x : ℝ)
this_1 : CompactSpace.{u} (ULift.{u, 0} (↑(Set.Icc 0 1) : Type))
this : T2Space.{u} (ULift.{u, 0} (↑(Set.Icc 0 1) : Type))
Z : CompHaus := of (ULift.{u, 0} (↑(Set.Icc 0 1) : Type))
g : Y ⟶ Z :=
  ofHom (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
    {
      toFun := fun (y' : (↑Y.1 : Type u)) ↦
        {
          down :=
            Subtype.mk (p := fun (x : ℝ) ↦ Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) x)
              ((φ : (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y) → ℝ) y') ⋯ },
      continuous_toFun := ⋯ }
h : Y ⟶ Z :=
  ofHom (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
    {
      toFun := fun (x : (↑Y.1 : Type u)) ↦
        { down := Subtype.mk (p := fun (x : ℝ) ↦ Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) x) 0 ⋯ },
      continuous_toFun := ⋯ }
⊢ h = g

Tactic:
have H : h = g := by
      rw [← cancel_epi f]
      ext x : 4
      simp [g, h, Z, hφ0 (Set.mem_range_self x)]