awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
rs₁ : ¬r.coeff 0 ∣ s.content
ps₁ : p ∣ s
qs₁ : q ∣ s
s0₁ : s ≠ 0
⊢ r.natDegree ≤ s.natDegree

Tactic:
rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), ← dvd_content_iff_C_dvd] at rs

Premises used: Polynomial.eq_C_of_natDegree_le_zero, Polynomial.dvd_content_iff_C_dvd, le_trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
rs₁ : ¬r.coeff 0 ∣ s.content
ps₁ : p ∣ s
qs₁ : q ∣ s
s0₁ : s ≠ 0
hs₁ : r.natDegree ≤ s.natDegree
⊢ s.natDegree ≤ 0

Tactic:
rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), ← dvd_content_iff_C_dvd] at rs

Premises used: Polynomial.eq_C_of_natDegree_le_zero, Polynomial.dvd_content_iff_C_dvd, le_trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r.coeff 0 ∣ s.content
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
⊢ False

Tactic:
apply rs rprim.dvd

Premises used: IsUnit.dvd
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
⊢ (r.cancelLeads s).natDegree < s.natDegree

Tactic:
have hcancel := natDegree_cancelLeads_lt_of_natDegree_le_natDegree hs sC
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel : (r.cancelLeads s).natDegree < s.natDegree
⊢ (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con

Tactic:
rw [sdeg] at hcancel
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
neg : ∃ (s_1 : R[X]), s_1.natDegree = (r.cancelLeads s).natDegree ∧ (p ∣ s_1 ∧ q ∣ s_1) ∧ ¬r ∣ s_1
⊢ False

Tactic:
apply Nat.find_min con hcancel

Premises used: Nat.find_min
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
⊢ ∃ (s_1 : R[X]), s_1.natDegree = (r.cancelLeads s).natDegree ∧ (p ∣ s_1 ∧ q ∣ s_1) ∧ ¬r ∣ s_1

Tactic:
⟨_, rfl, ⟨dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd pr ps, dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd qr qs⟩,
        fun rcs => rs ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Polynomial.dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
neg : ∀ (rcs : r ∣ r.cancelLeads s), r ∣ s
⊢ ∃ (s_1 : R[X]), s_1.natDegree = (r.cancelLeads s).natDegree ∧ (p ∣ s_1 ∧ q ∣ s_1) ∧ ¬r ∣ s_1

Tactic:
refine
      ⟨_, rfl, ⟨dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd pr ps, dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd qr qs⟩,
        fun rcs => rs ?_⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs : r ∣ r.cancelLeads s
neg : r ∣ s.primPart
⊢ r ∣ s

Tactic:
rw [← rprim.dvd_primPart_iff_dvd s0]

Premises used: Polynomial.IsPrimitive.dvd_primPart_iff_dvd
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs : r ∣ r.cancelLeads s
⊢ r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r

Tactic:
rw [cancelLeads, tsub_eq_zero_iff_le.mpr hs, pow_zero, mul_one] at rcs

Premises used: Iff.mpr, Polynomial.cancelLeads, tsub_eq_zero_iff_le, pow_zero, mul_one
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
⊢ r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r

Tactic:
have h :=
      dvd_add rcs (Dvd.intro_left (C (leadingCoeff s) * X ^ (natDegree s - natDegree r)) rfl)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
⊢ Nontrivial R

Tactic:
nontriviality R
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h_2 : Nontrivial R
⊢ r ≠ 0

Tactic:
have hC0 := rprim.ne_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h_2 : Nontrivial R
hC0 : r ≠ 0
⊢ ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])

Tactic:
rw [Ne, ← leadingCoeff_eq_zero, ← C_eq_zero] at hC0

Premises used: Polynomial.C_eq_zero, Ne, Polynomial.leadingCoeff_eq_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
⊢ r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart

Tactic:
rw [sub_add_cancel, ← rprim.dvd_primPart_iff_dvd (mul_ne_zero hC0 s0)] at h

Premises used: Polynomial.IsPrimitive.dvd_primPart_iff_dvd, mul_ne_zero, sub_add_cancel
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
h₁ : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
⊢ Nontrivial R

Tactic:
rw [sub_add_cancel, ← rprim.dvd_primPart_iff_dvd (mul_ne_zero hC0 s0)] at h

Premises used: Polynomial.IsPrimitive.dvd_primPart_iff_dvd, mul_ne_zero, sub_add_cancel
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
h₁ : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
a : Nontrivial R
⊢ ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])

Tactic:
rw [sub_add_cancel, ← rprim.dvd_primPart_iff_dvd (mul_ne_zero hC0 s0)] at h

Premises used: Polynomial.IsPrimitive.dvd_primPart_iff_dvd, mul_ne_zero, sub_add_cancel
-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
rcases : ∀ (u : R[X]ˣ) (hu : (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff)), r ∣ s.primPart
⊢ r ∣ s.primPart

Tactic:
rcases isUnit_primPart_C r.leadingCoeff with ⟨u, hu⟩

Premises used: Polynomial.leadingCoeff, Polynomial.isUnit_primPart_C