awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Uniformity
Goal:
X_1 : Type u_1
X : Type u_2
t : TopologicalSpace X
inst : TopologicalSpace.MetrizableSpace X
⊢ MetricSpace.toPseudoMetricSpace = TopologicalSpace.pseudoMetrizableSpacePseudoMetric X

Tactic:
with_reducible_and_instances rfl
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Uniformity
Goal:
X : Type u_1
α : Type u_2
inst : PseudoEMetricSpace α
⊢ PseudoMetrizableSpace α

Tactic:
inferInstance

Premises used: inferInstance
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Uniformity
Goal:
X : Type u_1
α : Type u_2
inst : EMetricSpace α
⊢ MetrizableSpace α

Tactic:
inferInstance

Premises used: inferInstance
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
rcases : ∀ (B : Set (Set X)) (hBc : B.Countable) (hB : IsTopologicalBasis B), ∃ (f : X → ℕ →ᵇ ℝ), IsInducing f
⊢ ∃ (f : X → ℕ →ᵇ ℝ), IsInducing f

Tactic:
rcases exists_countable_basis X with ⟨B, hBc, -, hB⟩

Premises used: TopologicalSpace.exists_countable_basis
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
haveI : ∀ (this : Encodable (↑s : Type u_1)), ∃ (f : X → ℕ →ᵇ ℝ), IsInducing f
⊢ ∃ (f : X → ℕ →ᵇ ℝ), IsInducing f

Tactic:
haveI : Encodable s := ((hBc.prod hBc).mono (sep_subset _ _)).toEncodable
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
⊢ DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)

Tactic:
haveI : DiscreteTopology s := ⟨rfl⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
rsuffices : ∀ (f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ) (hf : IsInducing f), ∃ (f : X → ℕ →ᵇ ℝ), IsInducing f
rsuffices₁ : ∃ (f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ), IsInducing f
⊢ ∃ (f : X → ℕ →ᵇ ℝ), IsInducing f

Tactic:
rsuffices ⟨f, hf⟩ : ∃ f : X → s →ᵇ ℝ, IsInducing f
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ
hf : IsInducing f
⊢ ∃ (f : X → ℕ →ᵇ ℝ), IsInducing f

Tactic:
⟨fun x => (f x).extend (Encodable.encode' s) 0,
      (BoundedContinuousFunction.isometry_extend (Encodable.encode' s)
        (0 : ℕ →ᵇ ℝ)).isEmbedding.isInducing.comp hf⟩

Premises used: BoundedContinuousFunction.extend, Topology.IsInducing.comp, Set.Elem, BoundedContinuousFunction.isometry_extend, Topology.IsEmbedding.isInducing, Isometry.isEmbedding, Encodable.encode', Exists.intro, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ
hf : IsInducing f
⊢ ∃ (f : X → ℕ →ᵇ ℝ), IsInducing f

Tactic:
exact ⟨fun x => (f x).extend (Encodable.encode' s) 0,
      (BoundedContinuousFunction.isometry_extend (Encodable.encode' s)
        (0 : ℕ →ᵇ ℝ)).isEmbedding.isInducing.comp hf⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
⊢ ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ

Tactic:
have hd : ∀ UV : s, Disjoint (closure UV.1.1) UV.1.2ᶜ :=
    fun UV => disjoint_compl_right.mono_right (compl_subset_compl.2 UV.2.2)
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
rcases :
  ∀ (ε : (↑s : Type u_1) → ℝ) (ε0 : ∀ (i : (↑s : Type u_1)), 0 < ε i) (c : ℝ) (hεc : HasSum ε c) (hc1 : c ≤ 1),
    ∃ (ε : (↑s : Type u_1) → ℝ),
      (∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)) ∧ Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
⊢ ∃ (ε : (↑s : Type u_1) → ℝ),
    (∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)) ∧ Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Tactic:
rcases posSumOfEncodable zero_lt_one s with ⟨ε, ε0, c, hεc, hc1⟩

Premises used: Set.Elem, posSumOfEncodable, zero_lt_one
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε0 : ∀ (i : (↑s : Type u_1)), 0 < ε i
c : ℝ
hεc : HasSum ε c
hc1 : c ≤ 1
⊢ ∃ (ε : (↑s : Type u_1) → ℝ),
    (∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)) ∧ Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Tactic:
⟨ε, fun UV => ⟨ε0 UV, ?_⟩, hεc.summable.tendsto_cofinite_zero⟩

Premises used: HasSum.summable, Summable.tendsto_cofinite_zero, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε0 : ∀ (i : (↑s : Type u_1)), 0 < ε i
c : ℝ
hεc : HasSum ε c
hc1 : c ≤ 1
refine : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), ε UV ≤ 1
⊢ ∃ (ε : (↑s : Type u_1) → ℝ),
    (∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)) ∧ Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

Tactic:
refine ⟨ε, fun UV => ⟨ε0 UV, ?_⟩, hεc.summable.tendsto_cofinite_zero⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε0 : ∀ (i : (↑s : Type u_1)), 0 < ε i
c : ℝ
hεc : HasSum ε c
hc1 : c ≤ 1
UV : (↑s : Type u_1)
⊢ ε UV ≤ 1

Tactic:
(le_hasSum hεc UV fun _ _ => (ε0 _).le).trans hc1

Premises used: le_hasSum, LT.lt.le, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε0 : ∀ (i : (↑s : Type u_1)), 0 < ε i
c : ℝ
hεc : HasSum ε c
hc1 : c ≤ 1
UV : (↑s : Type u_1)
⊢ ε UV ≤ 1

Tactic:
exact (le_hasSum hεc UV fun _ _ => (ε0 _).le).trans hc1

Premises used: le_hasSum, LT.lt.le, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
obtain :
  ∀ (ε : (↑s : Type u_1) → ℝ) (ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV))
    (hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)), ∃ (f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ), IsInducing f
⊢ ∃ (f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ), IsInducing f

Tactic:
obtain ⟨ε, ε01, hε⟩ : ∃ ε : s → ℝ, (∀ UV, ε UV ∈ Ioc (0 : ℝ) 1) ∧ Tendsto ε cofinite (𝓝 0) := by
    rcases posSumOfEncodable zero_lt_one s with ⟨ε, ε0, c, hεc, hc1⟩
    refine ⟨ε, fun UV => ⟨ε0 UV, ?_⟩, hεc.summable.tendsto_cofinite_zero⟩
    exact (le_hasSum hεc UV fun _ _ => (ε0 _).le).trans hc1
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
UV : (↑s : Type u_1)
rcases :
  ∀ (f : C(X, ℝ)) (hf₀ : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1))
    (hf₁ : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ)
    (hf01 : ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)),
    ∃ (f : C(X, ℝ)),
      EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1 ∧
        EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ ∧
          ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ ∃ (f : C(X, ℝ)),
    EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1 ∧
      EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ ∧
        ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
rcases exists_continuous_zero_one_of_isClosed isClosed_closure
        (hB.isOpen UV.2.1.2).isClosed_compl (hd UV) with
      ⟨f, hf₀, hf₁, hf01⟩

Premises used: exists_continuous_zero_one_of_isClosed, TopologicalSpace.IsTopologicalBasis.isOpen, IsOpen.isClosed_compl, And.right, And.left, isClosed_closure, Subtype.property
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
UV : (↑s : Type u_1)
f : C(X, ℝ)
hf₀ : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1)
hf₁ : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
hf01 : ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hx : x ∈ (↑UV : Set X × Set X).1
⊢ Eq (α := ℝ) ((ε UV • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (0 x : ℝ)

Tactic:
simp [hf₀ (subset_closure hx)]

Premises used: subset_closure
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
UV : (↑s : Type u_1)
f : C(X, ℝ)
hf₀ : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1)
hf₁ : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
hf01 : ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hx : x ∈ (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
⊢ Eq (α := ℝ) ((ε UV • f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((fun (x : X) ↦ ε UV) x : ℝ)

Tactic:
simp [hf₁ hx]
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
UV : (↑s : Type u_1)
f : C(X, ℝ)
hf₀ : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1)
hf₁ : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
hf01 : ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ ∃ (f : C(X, ℝ)),
    EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1 ∧
      EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ ∧
        ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
exact ⟨ε UV • f, fun x hx => by simp [hf₀ (subset_closure hx)], fun x hx => by simp [hf₁ hx],
      fun x => ⟨mul_nonneg (ε01 _).1.le (hf01 _).1, mul_le_of_le_one_right (ε01 _).1.le (hf01 _).2⟩⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
⊢ ∀ (UV : (↑s : Type u_1)),
    ∃ (f : C(X, ℝ)),
      EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1 ∧
        EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ ∧
          ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
have : ∀ UV : s, ∃ f : C(X, ℝ),
      EqOn f 0 UV.1.1 ∧ EqOn f (fun _ => ε UV) UV.1.2ᶜ ∧ ∀ x, f x ∈ Icc 0 (ε UV) := by
    intro UV
    rcases exists_continuous_zero_one_of_isClosed isClosed_closure
        (hB.isOpen UV.2.1.2).isClosed_compl (hd UV) with
      ⟨f, hf₀, hf₁, hf01⟩
    exact ⟨ε UV • f, fun x hx => by simp [hf₀ (subset_closure hx)], fun x hx => by simp [hf₁ hx],
      fun x => ⟨mul_nonneg (ε01 _).1.le (hf01 _).1, mul_le_of_le_one_right (ε01 _).1.le (hf01 _).2⟩⟩
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this_3 : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
this :
  ∀ (UV : (↑s : Type u_1)),
    ∃ (f : C(X, ℝ)),
      EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1 ∧
        EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ ∧
          ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
choose :
  ∀ (f : (UV : (↑s : Type u_1)) → C(X, ℝ))
    (hf0 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), EqOn (β := ℝ) (⇑(f UV) : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1)
    (hfε :
      ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), EqOn (β := ℝ) (⇑(f UV) : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ)
    (hf0ε : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)),
    ∃ (f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ), IsInducing f
⊢ ∃ (f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ), IsInducing f

Tactic:
choose f hf0 hfε hf0ε using this
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : (UV : (↑s : Type u_1)) → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), EqOn (β := ℝ) (⇑(f UV) : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1
hfε : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), EqOn (β := ℝ) (⇑(f UV) : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ ∀ (UV : (↑s : Type u_1)) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
have hf01 : ∀ UV x, f UV x ∈ Icc (0 : ℝ) 1 :=
    fun UV x => Icc_subset_Icc_right (ε01 _).2 (hf0ε _ _)
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : (UV : (↑s : Type u_1)) → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), EqOn (β := ℝ) (⇑(f UV) : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1
hfε : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), EqOn (β := ℝ) (⇑(f UV) : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
hf01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
F : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ :=
  fun (x : X) ↦
    { toFun := fun (UV : (↑s : Type u_1)) ↦ (f UV : (a : X) → ℝ) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
⊢ ∀ (x : X) (UV : (↑s : Type u_1)), Eq (α := ℝ) ((F x : (a : (↑s : Type u_1)) → ℝ) UV : ℝ) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
have hF : ∀ x UV, F x UV = f UV x := fun _ _ => rfl
-- Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Urysohn
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : RegularSpace X
inst_2 : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV : Set X × Set X | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure[inst] UV.1 ⊆ UV.2}
this_1 : Encodable (↑s : Type u_1)
this_2 : TopologicalSpace (↑s : Type u_1) := ⊥
this : DiscreteTopology.{u_1} (↑s : Type u_1)
hd : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Disjoint (closure[inst] (↑UV : Set X × Set X).1) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
ε : (↑s : Type u_1) → ℝ
ε01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioc 0 1) (ε UV)
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : (UV : (↑s : Type u_1)) → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), EqOn (β := ℝ) (⇑(f UV) : (a : X) → ℝ) 0 (↑UV : Set X × Set X).1
hfε : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)), EqOn (β := ℝ) (⇑(f UV) : (a : X) → ℝ) (fun (x : X) ↦ ε UV) (↑UV : Set X × Set X).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (Icc 0 (ε UV)) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
hf01 : ∀ (UV : (↑s : Type u_1)) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
F : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ :=
  fun (x : X) ↦
    { toFun := fun (UV : (↑s : Type u_1)) ↦ (f UV : (a : X) → ℝ) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF :
  ∀ (x : X) (UV : (↑s : Type u_1)), Eq (α := ℝ) ((F x : (a : (↑s : Type u_1)) → ℝ) UV : ℝ) ((f UV : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ ∃ (f : X → (↑s : Type u_1) →ᵇ ℝ), IsInducing f

Tactic:
⟨F, isInducing_iff_nhds.2 fun x => le_antisymm ?_ ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, le_antisymm, Topology.isInducing_iff_nhds, Exists.intro