awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (0 : M)

Tactic:
replace h₁ : P.root l = 0 := by rwa [contra, neg_add_cancel, eq_comm] at h₁
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (0 : M)
⊢ False

Tactic:
exact P.ne_zero _ h₁

Premises used: RootPairing.ne_zero
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)

Tactic:
have hki' : P.root k ≠ -P.root i := fun contra ↦ by
    replace h₁ : P.root l = 0 := by rwa [contra, neg_add_cancel, eq_comm] at h₁
    exact P.ne_zero _ h₁
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (0 : M)

Tactic:
replace h₁ : P.root k = 0 := by rwa [contra, add_eq_right] at h₁
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (0 : M)
⊢ False

Tactic:
P.ne_zero _ h₁

Premises used: RootPairing.ne_zero
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (0 : M)
⊢ False

Tactic:
exact P.ne_zero _ h₁

Premises used: RootPairing.ne_zero
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)

Tactic:
have hli : P.root l ≠ P.root i := fun contra ↦ by
    replace h₁ : P.root k = 0 := by rwa [contra, add_eq_right] at h₁
    exact P.ne_zero _ h₁
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M)

Tactic:
replace h₁ : P.root k = 2 • P.root l := by
      rwa [← neg_eq_iff_eq_neg.mpr contra, ← sub_eq_add_neg, sub_eq_iff_eq_add, ← two_nsmul] at h₁
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
⊢ False

Tactic:
P.nsmul_notMem_range_root ⟨_, h₁⟩

Premises used: Exists.intro, RootPairing.nsmul_notMem_range_root
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
⊢ False

Tactic:
exact P.nsmul_notMem_range_root ⟨_, h₁⟩

Premises used: Exists.intro, RootPairing.nsmul_notMem_range_root
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)

Tactic:
have hli' : P.root l ≠ -P.root i := fun contra ↦ by
    replace h₁ : P.root k = 2 • P.root l := by
      rwa [← neg_eq_iff_eq_neg.mpr contra, ← sub_eq_add_neg, sub_eq_iff_eq_add, ← two_nsmul] at h₁
    exact P.nsmul_notMem_range_root ⟨_, h₁⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) k = HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)

Tactic:
replace h₂ : P.root k = P.root i + P.root j := by rwa [contra, sub_eq_iff_eq_add] at h₂
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₂ :
  (P.root : (a : ι) → M) k = HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
rw :
  HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) n = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)

Tactic:
rw [h₃, h₂]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₂ :
  (P.root : (a : ι) → M) k = HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)

Tactic:
abel