awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
e : G
he : e ∈ image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C
f : G
hf : f ∈ D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C
hu : UniqueMul (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C) e f
refine_3 :
  ∀ (C D : Finset G) (hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D) (hC : 1 ∈ C) (hD : 1 ∈ D),
    let x : Mul (Finset G) := Finset.mul;
    ∀ (e : G) (he : e ∈ image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (f : G) (hf : f ∈ D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C)
      (hu : UniqueMul (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C) e f),
      ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
clear_value C D
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
e : G
he : e ∈ image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C
f : G
hf : f ∈ D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C
hu : UniqueMul (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C) e f
⊢ ∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = e

Tactic:
simp only [UniqueMul, mem_mul, mem_image] at he hf hu

Premises used: UniqueMul, Finset.mem_image, Finset.mem_mul
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
e : G
he : e ∈ image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C
f : G
hf : f ∈ D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C
hu : UniqueMul (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C) e f
he₁ : ∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = e
⊢ ∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = f

Tactic:
simp only [UniqueMul, mem_mul, mem_image] at he hf hu

Premises used: UniqueMul, Finset.mem_image, Finset.mem_mul
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
e : G
he : e ∈ image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C
f : G
hf : f ∈ D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C
hu : UniqueMul (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C) e f
he₁ : ∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = e
hf₁ : ∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = f
⊢ ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = e * f → a = e ∧ b = f

Tactic:
simp only [UniqueMul, mem_mul, mem_image] at he hf hu

Premises used: UniqueMul, Finset.mem_image, Finset.mem_mul
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
e f : G
he : ∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = e
hf : ∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = f
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = e * f → a = e ∧ b = f
refine_3 :
  ∀ (d1 : G) (hd1 : d1 ∈ D) (c1 : G) (hc1 : c1 ∈ C)
    (hu :
      ∀ ⦃a b : G⦄,
        (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
          (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * c1 * f → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = f),
    ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
obtain ⟨_, ⟨d1, hd1, rfl⟩, c1, hc1, rfl⟩ := he

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
f : G
hf : ∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = f
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * c1 * f → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = f
refine_3 :
  ∀ (d2 : G) (hd2 : d2 ∈ D) (c2 : G) (hc2 : c2 ∈ C)
    (hu :
      ∀ ⦃a b : G⦄,
        (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
          (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
            a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹),
    ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
obtain ⟨d2, hd2, _, ⟨c2, hc2, rfl⟩, rfl⟩ := hf

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
pos : ∀ (h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1), ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
neg : ∀ (h12 : c1 = 1 ∧ d2 = 1), ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
by_cases! h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
⟨c1, hc1, d2, hd2, h12, fun c3 d3 hc3 hd3 he => ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
pos : ∀ (c3 d3 : G) (hc3 : c3 ∈ C) (hd3 : d3 ∈ D) (he : c3 * d3 = c1 * d2), c3 = c1 ∧ d3 = d2
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
refine ⟨c1, hc1, d2, hd2, h12, fun c3 d3 hc3 hd3 he => ?_⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
c3 d3 : G
hc3 : c3 ∈ C
hd3 : d3 ∈ D
he : c3 * d3 = c1 * d2
⊢ d1⁻¹ * c3 * (d3 * c2⁻¹) = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → d1⁻¹ * c3 = d1⁻¹ * c1 ∧ d3 * c2⁻¹ = d2 * c2⁻¹

Tactic:
specialize hu ⟨_, ⟨_, hd1, rfl⟩, _, hc3, rfl⟩ ⟨_, hd3, _, ⟨_, hc2, rfl⟩, rfl⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
c3 d3 : G
hc3 : c3 ∈ C
hd3 : d3 ∈ D
he : c3 * d3 = c1 * d2
hu : d1⁻¹ * c3 * (d3 * c2⁻¹) = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → d1⁻¹ * c3 = d1⁻¹ * c1 ∧ d3 * c2⁻¹ = d2 * c2⁻¹
⊢ d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) = d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) → c3 = c1 ∧ d3 = d2

Tactic:
rw [mul_left_cancel_iff, mul_right_cancel_iff,
            mul_assoc, ← mul_assoc c3, he, mul_assoc, mul_assoc] at hu

Premises used: mul_assoc, mul_right_cancel_iff, mul_left_cancel_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
c3 d3 : G
hc3 : c3 ∈ C
hd3 : d3 ∈ D
he : c3 * d3 = c1 * d2
hu : d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) = d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) → c3 = c1 ∧ d3 = d2
⊢ c3 = c1 ∧ d3 = d2

Tactic:
hu rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
c3 d3 : G
hc3 : c3 ∈ C
hd3 : d3 ∈ D
he : c3 * d3 = c1 * d2
hu : d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) = d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) → c3 = c1 ∧ d3 = d2
⊢ c3 = c1 ∧ d3 = d2

Tactic:
exact hu rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 = 1 ∧ d2 = 1
⊢ 1 ∈ C

Tactic:
obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h12

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 = 1 ∧ d2 = 1
hc1₁ : 1 ∈ C
⊢ 1 ∈ D

Tactic:
obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h12

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 = 1 ∧ d2 = 1
hc1₁ : 1 ∈ C
hd2₁ : 1 ∈ D
⊢ ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹

Tactic:
obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h12

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
pos : ∀ (h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1), ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
neg : ∀ (h21 : c2 = 1 ∧ d1 = 1), ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
by_cases! h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
⟨c2, hc2, d1, hd1, h21, fun c4 d4 hc4 hd4 he => ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1
pos : ∀ (c4 d4 : G) (hc4 : c4 ∈ C) (hd4 : d4 ∈ D) (he : c4 * d4 = c2 * d1), c4 = c2 ∧ d4 = d1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
refine ⟨c2, hc2, d1, hd1, h21, fun c4 d4 hc4 hd4 he => ?_⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1
c4 d4 : G
hc4 : c4 ∈ C
hd4 : d4 ∈ D
he : c4 * d4 = c2 * d1
⊢ d4⁻¹ * 1 * (1 * c4⁻¹) = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → d4⁻¹ * 1 = d1⁻¹ * 1 ∧ 1 * c4⁻¹ = 1 * c2⁻¹

Tactic:
specialize hu ⟨_, ⟨_, hd4, rfl⟩, _, hC, rfl⟩ ⟨_, hD, _, ⟨_, hc4, rfl⟩, rfl⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1
c4 d4 : G
hc4 : c4 ∈ C
hd4 : d4 ∈ D
he : c4 * d4 = c2 * d1
hu : d4⁻¹ * 1 * (1 * c4⁻¹) = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → d4⁻¹ * 1 = d1⁻¹ * 1 ∧ 1 * c4⁻¹ = 1 * c2⁻¹
⊢ c4 = c2 ∧ d4 = d1

Tactic:
simpa only [mul_one, one_mul, ← mul_inv_rev, he, true_imp_iff, inv_inj, and_comm] using hu

Premises used: and_comm, true_imp_iff, inv_inj, mul_inv_rev, mul_one, one_mul
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
h21 : c2 = 1 ∧ d1 = 1
⊢ 1 ∈ C

Tactic:
obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h21

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
h21 : c2 = 1 ∧ d1 = 1
hc2₁ : 1 ∈ C
⊢ 1 ∈ D

Tactic:
obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h21

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
h21 : c2 = 1 ∧ d1 = 1
hc2₁ : 1 ∈ C
hd1₁ : 1 ∈ D
⊢ ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 * HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹ →
          a = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 ∧ b = HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹

Tactic:
obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h21

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hc2 : 1 ∈ C
hd1 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 * HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹ →
          a = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 ∧ b = HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹
neg : ∀ (hC : 1 < #C), ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
neg₁ : ∀ (hD : 1 < #D), ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
rcases hcard with hC | hD
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hC_1 : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hc2 : 1 ∈ C
hd1 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 * HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹ →
          a = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 ∧ b = HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹
hC : 1 < #C
neg : ∀ (c : G) (hc : c ∈ C) (hc1 : c ≠ 1), ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
obtain ⟨c, hc, hc1⟩ := exists_mem_ne hC 1

Premises used: Finset.exists_mem_ne, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hC_1 : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
hc1_1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hc2 : 1 ∈ C
hd1 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 * HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹ →
          a = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 ∧ b = HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹
hC : 1 < #C
c : G
hc : c ∈ C
hc1 : c ≠ 1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
(hc1 ?_).elim

Premises used: False.elim
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hC_1 : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
hc1_1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hc2 : 1 ∈ C
hd1 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 * HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹ →
          a = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 ∧ b = HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹
hC : 1 < #C
c : G
hc : c ∈ C
hc1 : c ≠ 1
neg : c = 1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
refine (hc1 ?_).elim

Premises used: False.elim
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu_1 : UniqueMul A B a b
C D : Finset G
hC_1 : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
hc1_1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hc2 : 1 ∈ C
hd1 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ (y : G), (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ (z : G), (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) →
        a * b = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 * HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹ →
          a = HMul.hMul (α := G) 1⁻¹ 1 ∧ b = HMul.hMul (α := G) 1 1⁻¹
hC : 1 < #C
c : G
hc : c ∈ C
hc1 : c ≠ 1
⊢ c = 1

Tactic:
simpa using hu ⟨_, ⟨_, hD, rfl⟩, _, hc, rfl⟩ ⟨_, hD, _, ⟨_, hc, rfl⟩, rfl⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, rfl