awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}
I3 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}
I4 :
  ∀ (x y z : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
            ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}
I5 :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}
I6 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
this :
  Eq (α := Set (Cb X Y)) (candidatesB X Y)
    ((((((⋂ (x : X), ⋂ (y : X), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}) ∩
              ⋂ (x : Y), ⋂ (y : Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}) ∩
            ⋂ (x : X ⊕ Y),
              ⋂ (y : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                    ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}) ∩
          ⋂ (x : X ⊕ Y),
            ⋂ (y : X ⊕ Y),
              ⋂ (z : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
                    HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                      ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}) ∩
        ⋂ (x : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}) ∩
      ⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
apply :
  ∀ (i : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      (⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (i, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
⊢ IsClosed (X := Cb X Y)
    (⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})

Tactic:
apply isClosed_iInter _

Premises used: isClosed_iInter
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}
I3 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}
I4 :
  ∀ (x y z : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
            ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}
I5 :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}
I6 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
this :
  Eq (α := Set (Cb X Y)) (candidatesB X Y)
    ((((((⋂ (x : X), ⋂ (y : X), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}) ∩
              ⋂ (x : Y), ⋂ (y : Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}) ∩
            ⋂ (x : X ⊕ Y),
              ⋂ (y : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                    ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}) ∩
          ⋂ (x : X ⊕ Y),
            ⋂ (y : X ⊕ Y),
              ⋂ (z : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
                    HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                      ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}) ∩
        ⋂ (x : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}) ∩
      ⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
apply :
  ∀ (i : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      (⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (i, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
⊢ IsClosed (X := Cb X Y)
    (⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})

Tactic:
first
      | apply IsClosed.inter _ _
      | apply isClosed_iInter _
      | apply I1 _ _ | apply I2 _ _ | apply I3 _ _ | apply I4 _ _ _ | apply I5 _ | apply I6 _ _
      | intro x

Premises used: IsClosed.inter, isClosed_iInter
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}
I3 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}
I4 :
  ∀ (x y z : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
            ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}
I5 :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}
I6 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
this :
  Eq (α := Set (Cb X Y)) (candidatesB X Y)
    ((((((⋂ (x : X), ⋂ (y : X), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}) ∩
              ⋂ (x : Y), ⋂ (y : Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}) ∩
            ⋂ (x : X ⊕ Y),
              ⋂ (y : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                    ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}) ∩
          ⋂ (x : X ⊕ Y),
            ⋂ (y : X ⊕ Y),
              ⋂ (z : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
                    HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                      ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}) ∩
        ⋂ (x : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}) ∩
      ⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
apply :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      (⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
⊢ ∀ (i : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      (⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (i, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})

Tactic:
first
      | apply IsClosed.inter _ _
      | apply isClosed_iInter _
      | apply I1 _ _ | apply I2 _ _ | apply I3 _ _ | apply I4 _ _ _ | apply I5 _ | apply I6 _ _
      | intro x

Premises used: IsClosed.inter, isClosed_iInter
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}
I3 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}
I4 :
  ∀ (x y z : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
            ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}
I5 :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}
I6 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
this :
  Eq (α := Set (Cb X Y)) (candidatesB X Y)
    ((((((⋂ (x : X), ⋂ (y : X), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}) ∩
              ⋂ (x : Y), ⋂ (y : Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}) ∩
            ⋂ (x : X ⊕ Y),
              ⋂ (y : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                    ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}) ∩
          ⋂ (x : X ⊕ Y),
            ⋂ (y : X ⊕ Y),
              ⋂ (z : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
                    HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                      ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}) ∩
        ⋂ (x : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}) ∩
      ⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
x : X ⊕ Y
apply :
  ∀ (i : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, i) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
⊢ IsClosed (X := Cb X Y) (⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})

Tactic:
apply isClosed_iInter _

Premises used: isClosed_iInter
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}
I3 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}
I4 :
  ∀ (x y z : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
            ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}
I5 :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}
I6 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
this :
  Eq (α := Set (Cb X Y)) (candidatesB X Y)
    ((((((⋂ (x : X), ⋂ (y : X), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}) ∩
              ⋂ (x : Y), ⋂ (y : Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}) ∩
            ⋂ (x : X ⊕ Y),
              ⋂ (y : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                    ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}) ∩
          ⋂ (x : X ⊕ Y),
            ⋂ (y : X ⊕ Y),
              ⋂ (z : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
                    HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                      ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}) ∩
        ⋂ (x : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}) ∩
      ⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
x : X ⊕ Y
apply :
  ∀ (i : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, i) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
⊢ IsClosed (X := Cb X Y) (⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})

Tactic:
first
      | apply IsClosed.inter _ _
      | apply isClosed_iInter _
      | apply I1 _ _ | apply I2 _ _ | apply I3 _ _ | apply I4 _ _ _ | apply I5 _ | apply I6 _ _
      | intro x

Premises used: IsClosed.inter, isClosed_iInter
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}
I3 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}
I4 :
  ∀ (x y z : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
            ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}
I5 :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}
I6 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
this :
  Eq (α := Set (Cb X Y)) (candidatesB X Y)
    ((((((⋂ (x : X), ⋂ (y : X), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}) ∩
              ⋂ (x : Y), ⋂ (y : Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}) ∩
            ⋂ (x : X ⊕ Y),
              ⋂ (y : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                    ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}) ∩
          ⋂ (x : X ⊕ Y),
            ⋂ (y : X ⊕ Y),
              ⋂ (z : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
                    HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                      ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}) ∩
        ⋂ (x : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}) ∩
      ⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
x : X ⊕ Y
apply :
  ∀ (x_1 : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x_1) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
⊢ ∀ (i : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, i) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}

Tactic:
first
      | apply IsClosed.inter _ _
      | apply isClosed_iInter _
      | apply I1 _ _ | apply I2 _ _ | apply I3 _ _ | apply I4 _ _ _ | apply I5 _ | apply I6 _ _
      | intro x

Premises used: IsClosed.inter, isClosed_iInter
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}
I3 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}
I4 :
  ∀ (x y z : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
            ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}
I5 :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}
I6 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
this :
  Eq (α := Set (Cb X Y)) (candidatesB X Y)
    ((((((⋂ (x : X), ⋂ (y : X), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}) ∩
              ⋂ (x : Y), ⋂ (y : Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}) ∩
            ⋂ (x : X ⊕ Y),
              ⋂ (y : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                    ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}) ∩
          ⋂ (x : X ⊕ Y),
            ⋂ (y : X ⊕ Y),
              ⋂ (z : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
                    HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                      ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}) ∩
        ⋂ (x : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}) ∩
      ⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
x_1 x : X ⊕ Y
⊢ IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x_1, x) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}

Tactic:
apply I6 _ _
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}
I3 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}
I4 :
  ∀ (x y z : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y)
      {f : Cb X Y |
        (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
            ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}
I5 :
  ∀ (x : X ⊕ Y),
    IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}
I6 :
  ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}
this :
  Eq (α := Set (Cb X Y)) (candidatesB X Y)
    ((((((⋂ (x : X), ⋂ (y : X), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inl y) = dist x y}) ∩
              ⋂ (x : Y), ⋂ (y : Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inr x, inr y) = dist x y}) ∩
            ⋂ (x : X ⊕ Y),
              ⋂ (y : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                    ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, x) : ℝ)}) ∩
          ⋂ (x : X ⊕ Y),
            ⋂ (y : X ⊕ Y),
              ⋂ (z : X ⊕ Y),
                {f : Cb X Y |
                  (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, z) ≤
                    HAdd.hAdd (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) : ℝ)
                      ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (y, z) : ℝ)}) ∩
        ⋂ (x : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | Eq (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, x) : ℝ) (0 : ℝ)}) ∩
      ⋂ (x : X ⊕ Y), ⋂ (y : X ⊕ Y), {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x, y) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)})
x_1 x : X ⊕ Y
⊢ IsClosed (X := Cb X Y) {f : Cb X Y | (f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (x_1, x) ≤ (↑(maxVar X Y) : ℝ)}

Tactic:
first
      | apply IsClosed.inter _ _
      | apply isClosed_iInter _
      | apply I1 _ _ | apply I2 _ _ | apply I3 _ _ | apply I4 _ _ _ | apply I5 _ | apply I6 _ _
      | intro x

Premises used: IsClosed.inter, isClosed_iInter
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
f : Cb X Y
C : ℝ
x : X
cf : ℝ
hcf : Membership.mem (γ := Set ℝ) (lowerBounds (range (ι := (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) (⇑f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ))) cf
x_1 : Y
grw :
  HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr x_1) : ℝ) C ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr x_1) : ℝ) C
grw₁ : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)
grw₂ :
  HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr x_1) : ℝ) C ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr x_1) : ℝ) C
grw₃ : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)
⊢ cf + C ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr x_1) : ℝ) C

Tactic:
grw [hcf (mem_range_self _)]

Premises used: Set.mem_range_self
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
inst_2 : Nonempty Y
f : Cb X Y
C : ℝ
obtain :
  ∀ (Cf : ℝ)
    (hCf :
      Membership.mem (γ := Set ℝ) (upperBounds (range (ι := (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) (⇑f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ))) Cf),
    BddAbove (α := ℝ)
      (range fun (x : X) ↦ ⨅ (y : Y), HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) : ℝ) C)
⊢ BddAbove (α := ℝ)
    (range fun (x : X) ↦ ⨅ (y : Y), HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) : ℝ) C)

Tactic:
obtain ⟨Cf, hCf⟩ := f.isBounded_range.bddAbove

Premises used: BoundedContinuousFunction.isBounded_range, Bornology.IsBounded.bddAbove
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
inst_2 : Nonempty Y
f : Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Membership.mem (γ := Set ℝ) (upperBounds (range (ι := (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) (⇑f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ))) Cf
⊢ BddAbove (α := ℝ)
    (range fun (x : X) ↦ ⨅ (y : Y), HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) : ℝ) C)

Tactic:
⟨Cf + C, forall_mem_range.2 fun x => ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Set.forall_mem_range, BddAbove, Set.Nonempty, HAdd.hAdd, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
inst_2 : Nonempty Y
f : Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Membership.mem (γ := Set ℝ) (upperBounds (range (ι := (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) (⇑f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ))) Cf
refine : ∀ (x : X), ⨅ (y : Y), HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) : ℝ) C ≤ Cf + C
⊢ BddAbove (α := ℝ)
    (range fun (x : X) ↦ ⨅ (y : Y), HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) : ℝ) C)

Tactic:
refine ⟨Cf + C, forall_mem_range.2 fun x => ?_⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
inst_2 : Nonempty Y
f : Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Membership.mem (γ := Set ℝ) (upperBounds (range (ι := (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) (⇑f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ))) Cf
x : X
⊢ ⨅ (y : Y), HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr y) : ℝ) C ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr default) : ℝ) C

Tactic:
ciInf_le (HD_below_aux1 C) default

Premises used: Inhabited.default, ciInf_le, GromovHausdorff.HD_below_aux1
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorffRealized
Goal:
X : Type u
Y : Type v
inst : MetricSpace X
inst_1 : MetricSpace Y
inst_2 : Nonempty Y
f : Cb X Y
C Cf : ℝ
hCf : Membership.mem (γ := Set ℝ) (upperBounds (range (ι := (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) (⇑f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ))) Cf
x : X
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ) ((f : (a : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)) → ℝ) (inl x, inr default) : ℝ) C ≤ Cf + C

Tactic:
add_le_add ((fun x => hCf (mem_range_self x)) _) le_rfl

Premises used: Set.mem_range_self, le_rfl, add_le_add