awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
this : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) k aux x
⊢ e.baseSet ∈ 𝓝 x

Tactic:
simp [e.open_baseSet.mem_nhds hxe]

Premises used: Bundle.Trivialization.open_baseSet, IsOpen.mem_nhds
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
this : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) k aux x
apply :
  Set.EqOn
    ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜)
            (Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) e b i) :
          ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
        (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
      s)
    aux e.baseSet
⊢ (((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜)
            (Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) e b i) :
          ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
        (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
      s =ᶠ[𝓝 x]
    aux

Tactic:
apply eventuallyEq_of_mem (s := e.baseSet) (by simp [e.open_baseSet.mem_nhds hxe])

Premises used: Filter.eventuallyEq_of_mem
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
this : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) k aux x
y : M
hy : y ∈ e.baseSet
⊢ (((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜)
            (Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) e b i) :
          ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
        (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
      s y =
    aux y

Tactic:
simp [aux, e.localFrame_coeff_eq_coeff hy]

Premises used: Bundle.Trivialization.localFrame_coeff_eq_coeff
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
suffices : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) k aux x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) (M' := 𝕜) k
    ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜)
            (Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) e b i) :
          ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
        (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
      s)
    x

Tactic:
suffices CMDiffAt k aux x by
    apply this.congr_of_eventuallyEq ?_
    apply eventuallyEq_of_mem (s := e.baseSet) (by simp [e.open_baseSet.mem_nhds hxe])
    intro y hy
    simp [aux, e.localFrame_coeff_eq_coeff hy]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
simp :
  ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) (M' := 𝕜) k
    (fun (x : M) ↦ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ⟨x, s x⟩).2 : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i)
    x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) k aux x

Tactic:
simp only [aux]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) (M' := F) k (fun (x : M) ↦ ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x

Tactic:
simpa using (e.contMDiffAt_section_iff hxe).1 hs

Premises used: Bundle.Trivialization.contMDiffAt_section_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) (M' := F) k (fun (x : M) ↦ ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x

Tactic:
have h₁ : CMDiffAt k (fun x ↦ (e ((T% s) x)).2) x := by
    simpa using (e.contMDiffAt_section_iff hxe).1 hs
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) (M' := F) k (fun (x : M) ↦ ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
m m' : F
⊢ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) (m + m') : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i =
    HAdd.hAdd (α := 𝕜) (β := 𝕜) ((((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) m : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i : 𝕜)
      ((((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) m' : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i : 𝕜)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x_1 : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x_1 ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x_1
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
h₁ :
  ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) (M' := F) k (fun (x : M) ↦ ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x_1
m : 𝕜
x : F
⊢ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) (m • x) : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i =
    HSMul.hSMul (α := 𝕜) (β := 𝕜) ((RingHom.id 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) m : 𝕜)
      ((((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) x : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i : 𝕜)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) (M' := F) k (fun (x : M) ↦ ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
breprl : F →ₗ[𝕜] 𝕜 :=
  { toFun := fun (v : F) ↦ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) v : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ ContDiffAt 𝕜 (F := 𝕜) k
    (⇑(((LinearMap.toContinuousLinearMap.{u_1, u_5, u_1} (𝕜 := 𝕜) (E := F) (F' := 𝕜) : (F →ₗ[𝕜] 𝕜) ≃ₗ[𝕜] F →L[𝕜] 𝕜) :
              (a : F →ₗ[𝕜] 𝕜) → F →L[𝕜] 𝕜)
            breprl :
          F →L[𝕜] 𝕜) :
      (a : F) → 𝕜)
    ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2

Tactic:
fun_prop
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) (M' := F) k (fun (x : M) ↦ ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
breprl : F →ₗ[𝕜] 𝕜 :=
  { toFun := fun (v : F) ↦ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) v : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ ContMDiffAt 𝓘(𝕜, F) 𝓘(𝕜, 𝕜) (M' := 𝕜) k
    (⇑(((LinearMap.toContinuousLinearMap.{u_1, u_5, u_1} (𝕜 := 𝕜) (E := F) (F' := 𝕜) : (F →ₗ[𝕜] 𝕜) ≃ₗ[𝕜] F →L[𝕜] 𝕜) :
              (a : F →ₗ[𝕜] 𝕜) → F →L[𝕜] 𝕜)
            breprl :
          F →L[𝕜] 𝕜) :
      (a : F) → 𝕜)
    ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2

Tactic:
have : ContMDiffAt 𝓘(𝕜, F) 𝓘(𝕜) k breprl.toContinuousLinearMap (e ((T% s) x)).2 :=
    contMDiffAt_iff_contDiffAt.mpr <| by fun_prop
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) (M' := F) k (fun (x : M) ↦ ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
breprl : F →ₗ[𝕜] 𝕜 :=
  { toFun := fun (v : F) ↦ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) v : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
this :
  ContMDiffAt 𝓘(𝕜, F) 𝓘(𝕜, 𝕜) (M' := 𝕜) k
    (⇑(((LinearMap.toContinuousLinearMap.{u_1, u_5, u_1} (𝕜 := 𝕜) (E := F) (F' := 𝕜) : (F →ₗ[𝕜] 𝕜) ≃ₗ[𝕜] F →L[𝕜] 𝕜) :
              (a : F →ₗ[𝕜] 𝕜) → F →L[𝕜] 𝕜)
            breprl :
          F →L[𝕜] 𝕜) :
      (a : F) → 𝕜)
    ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) (M' := 𝕜) k
    (fun (x : M) ↦ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ⟨x, s x⟩).2 : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i)
    x

Tactic:
this.comp x h₁

Premises used: ContMDiffAt.comp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
k : ℕ∞ω
x : M
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
hxe : x ∈ e.baseSet
hs : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x
i : ι
aux : (x : M) → 𝕜 :=
  fun (x : M) ↦
    (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2 : ι →₀ 𝕜) :
        (a : ι) → 𝕜)
      i
h₁ : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) (M' := F) k (fun (x : M) ↦ ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2) x
breprl : F →ₗ[𝕜] 𝕜 :=
  { toFun := fun (v : F) ↦ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) v : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
this :
  ContMDiffAt 𝓘(𝕜, F) 𝓘(𝕜, 𝕜) (M' := 𝕜) k
    (⇑(((LinearMap.toContinuousLinearMap.{u_1, u_5, u_1} (𝕜 := 𝕜) (E := F) (F' := 𝕜) : (F →ₗ[𝕜] 𝕜) ≃ₗ[𝕜] F →L[𝕜] 𝕜) :
              (a : F →ₗ[𝕜] 𝕜) → F →L[𝕜] 𝕜)
            breprl :
          F →L[𝕜] 𝕜) :
      (a : F) → 𝕜)
    ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ((fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) x)).2
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) (M' := 𝕜) k
    (fun (x : M) ↦ (((b.repr : (a : F) → ι →₀ 𝕜) ((↑e : TotalSpace F V → M × F) ⟨x, s x⟩).2 : ι →₀ 𝕜) : (a : ι) → 𝕜) i)
    x

Tactic:
exact this.comp x h₁

Premises used: ContMDiffAt.comp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
inst_13 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_14 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
e : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V))
inst_15 : MemTrivializationAtlas (E := V) e
ι : Type u_7
b : Basis ι 𝕜 F
s : (x : M) → V x
t : Set M
k : ℕ∞ω
inst_16 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_17 : CompleteSpace 𝕜
inst_18 : ContMDiffVectorBundle k F V I
ht : IsOpen[inst_4] t
ht' : t ⊆ e.baseSet
hs : ContMDiffOn I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (M' := TotalSpace F V) k (fun (x : M) ↦ ⟨x, s x⟩) t
i : ι
⊢ ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, 𝕜) (M' := 𝕜) k
    ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜)
            (Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) e b i) :
          ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
        (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
      s)
    t

Tactic:
fun _ hx ↦ (contMDiffAt_localFrame_coeff b (ht' hx)
    (hs.contMDiffAt (ht.mem_nhds hx)) i).contMDiffWithinAt

Premises used: ContMDiffAt.contMDiffWithinAt, contMDiffAt_localFrame_coeff, ContMDiffOn.contMDiffAt, IsOpen.mem_nhds, ContMDiffOn