awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
a : A
b : B
x : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
y : B
h :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      ((a • x) ⊗ₜ[R] (b * y)) =
    HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          (x ⊗ₜ[R] y) :
        A ⊗[R] B)
⊢ ∃ (y_1 : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y_1 =
      HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            (x ⊗ₜ[R] y) :
          A ⊗[R] B)

Tactic:
use (a • x) ⊗ₜ[R] (b * y)

Premises used: HMul.hMul, HSMul.hSMul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
a : A
b : B
x : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
y : B
⊢ (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      ((a • x) ⊗ₜ[R] (b * y)) =
    HMul.hMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          (x ⊗ₜ[R] y) :
        A ⊗[R] B)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
a : A
b : B
x : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
y : B
⊢ (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      ((a • x) ⊗ₜ[R] (b * y)) =
    HMul.hMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          (x ⊗ₜ[R] y) :
        A ⊗[R] B)

Tactic:
with_unfolding_all rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx_1 :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
a : A
b : B
x y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hx :
  ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y =
      HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            x :
          A ⊗[R] B)
hy :
  ∃ (y_1 : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y_1 =
      HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            y :
          A ⊗[R] B)
a₁ :
  ∀ (x' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B)
    (hx' :
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x' =
        HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
          ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
                (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
              x :
            A ⊗[R] B)),
    ∃ (y_1 : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          y_1 =
        HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
          ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
                (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
              (x + y) :
            A ⊗[R] B)
⊢ ∃ (y_1 : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y_1 =
      HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            (x + y) :
          A ⊗[R] B)

Tactic:
obtain ⟨x', hx'⟩ := hx
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
a : A
b : B
x y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hy :
  ∃ (y_1 : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y_1 =
      HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            y :
          A ⊗[R] B)
x' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hx' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      x' =
    HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
a₁ :
  ∀ (y' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B)
    (hy' :
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          y' =
        HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
          ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
                (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
              y :
            A ⊗[R] B)),
    ∃ (y_1 : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          y_1 =
        HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
          ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
                (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
              (x + y) :
            A ⊗[R] B)
⊢ ∃ (y_1 : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y_1 =
      HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            (x + y) :
          A ⊗[R] B)

Tactic:
obtain ⟨y', hy'⟩ := hy
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
a : A
b : B
x y x' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hx' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      x' =
    HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
y' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hy' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      y' =
    HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          y :
        A ⊗[R] B)
h :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      (x' + y') =
    HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          (x + y) :
        A ⊗[R] B)
⊢ ∃ (y_1 : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y_1 =
      HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            (x + y) :
          A ⊗[R] B)

Tactic:
use x' + y'
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
a : A
b : B
x y x' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hx' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      x' =
    HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
y' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hy' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      y' =
    HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          y :
        A ⊗[R] B)
⊢ (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      (x' + y') =
    HSMul.hSMul (α := A ⊗[R] B) (β := A ⊗[R] B) (a ⊗ₜ[R] b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          (x + y) :
        A ⊗[R] B)

Tactic:
simp only [map_add, hx', smul_add, hy']

Premises used: map_add, smul_add
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
x : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
a b : A ⊗[R] B
ha :
  ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y =
      HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) a
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            x :
          A ⊗[R] B)
hb :
  ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y =
      HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) b
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            x :
          A ⊗[R] B)
a₁ :
  ∀ (x' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B)
    (ha' :
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x' =
        HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) a
          ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
                (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
              x :
            A ⊗[R] B)),
    ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          y =
        HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) (a + b)
          ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
                (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
              x :
            A ⊗[R] B)
⊢ ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y =
      HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) (a + b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            x :
          A ⊗[R] B)

Tactic:
obtain ⟨x', ha'⟩ := ha
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
x : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
a b : A ⊗[R] B
hb :
  ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y =
      HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) b
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            x :
          A ⊗[R] B)
x' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
ha' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      x' =
    HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) a
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
a₁ :
  ∀ (y' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B)
    (hb' :
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          y' =
        HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) b
          ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
                (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
              x :
            A ⊗[R] B)),
    ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          y =
        HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) (a + b)
          ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
                (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
              x :
            A ⊗[R] B)
⊢ ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y =
      HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) (a + b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            x :
          A ⊗[R] B)

Tactic:
obtain ⟨y', hb'⟩ := hb
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
x : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
a b : A ⊗[R] B
x' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
ha' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      x' =
    HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) a
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
y' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hb' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      y' =
    HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) b
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
h :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      (x' + y') =
    HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) (a + b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
⊢ ∃ (y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B),
    (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
          (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
        y =
      HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) (a + b)
        ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
              (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
            x :
          A ⊗[R] B)

Tactic:
use x' + y'
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
x_1 : A ⊗[R] B
hx :
  x_1 ∈
    (↑(Submodule.restrictScalars R (R := A ⊗[R] B)
          (Submodule.span (A ⊗[R] B) ((⇑includeLeft : (a : A) → A ⊗[R] B) '' (↑I : Set A)))) :
      Set (A ⊗[R] B))
x : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
a b : A ⊗[R] B
x' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
ha' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      x' =
    HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) a
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
y' : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} R (↥(Submodule.restrictScalars R I)) B
hb' :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      y' =
    HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) b
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)
⊢ (LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
        (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
      (x' + y') =
    HSMul.hSMul (β := A ⊗[R] B) (a + b)
      ((LinearMap.rTensor B (Submodule.subtype (Submodule.restrictScalars R I)) :
            (a : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B) → A ⊗[R] B)
          x :
        A ⊗[R] B)

Tactic:
simp only [map_add, ha', add_smul, hb']

Premises used: map_add, add_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst_1 : Semiring A
inst_2 : Semiring B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ 0 ∈ (↑(Submodule.restrictScalars R (map (F := A →ₐ[R] A ⊗[R] B) includeLeft I)) : Set (A ⊗[R] B))

Tactic:
apply zero_mem

Premises used: ZeroMemClass.zero_mem