-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b₁ : ℬ j₁
a₂ : 𝒜 i₂
b₂ : ⨁ (i : ι), ℬ i
rw :
  HSMul.hSMul (α := R) (β := DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (↑(↑(HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (i₂ * j₁)) : ℤ) : R)
      (((map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i)) :
              ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) →ₗ[R]
                DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
            (a : ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)) →
              DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
          ((LinearEquiv.symm
                (TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)) :
              (a : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i))) →
                ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i))
            (a₁ ⊗ₜ[R]
              (TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i) :
                  (a : ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) →
                    (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i))
                ((lof R ι 𝒜 i₂ : (a : 𝒜 i₂) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₂ ⊗ₜ[R]
                    (lof R ι ℬ j₁ : (a : ℬ j₁) → ⨁ (i : ι), ℬ i) b₁ ⊗ₜ[R]
                  b₂))) :
        DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) =
    HSMul.hSMul (α := R) (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) (↑(↑(HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (i₂ * j₁)) : ℤ) : R)
      (HMul.hMul (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₁ ((lof R ι 𝒜 i₂ : (a : 𝒜 i₂) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₂ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗ₜ[R]
        HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) ((lof R ι ℬ j₁ : (a : ℬ j₁) → ⨁ (i : ι), ℬ i) b₁ : ⨁ (i : ι), ℬ i) b₂)
⊢ ((map (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) (LinearMap.mul' R (⨁ (i : ι), ℬ i)) :
          ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) →ₗ[R]
            DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
        (a : ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)) →
          DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
      ((LinearEquiv.symm
            (TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)) :
          (a : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i))) →
            ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i))
        (a₁ ⊗ₜ[R]
          (TensorProduct.assoc R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), ℬ i) :
              (a : ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) →
                (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ((⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i))
            (HSMul.hSMul (α := R) (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)
                (↑(↑(HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (i₂ * j₁)) : ℤ) : R)
                ((lof R ι 𝒜 i₂ : (a : 𝒜 i₂) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁ : (a : ℬ j₁) → ⨁ (i : ι), ℬ i) b₁ :
                  (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗ₜ[R]
              b₂))) =
    HSMul.hSMul (α := R) (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) (↑(↑(HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (i₂ * j₁)) : ℤ) : R)
      (HMul.hMul (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₁ ((lof R ι 𝒜 i₂ : (a : 𝒜 i₂) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₂ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗ₜ[R]
        HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) ((lof R ι ℬ j₁ : (a : ℬ j₁) → ⨁ (i : ι), ℬ i) b₁ : ⨁ (i : ι), ℬ i) b₂)

Tactic:
rw [← smul_tmul', LinearEquiv.map_smul, tmul_smul, LinearEquiv.map_smul, map_smul]

Premises used: TensorProduct.tmul_smul, TensorProduct.smul_tmul', LinearEquiv.map_smul, map_smul