awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
      HSMul.hSMul (β := O) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)
neg :
  ∀ (i : Fin (n' + 1)),
    (↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯ : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
      HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := O) (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n' + 1)) ↦ R) a as i : R)
        (↑((Basis.mkFinConsOfLE y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' ⋯ : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE ⋯ i)) : O)
⊢ ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
    ∀ (i : Fin (n' + 1)),
      (↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯ : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
        HSMul.hSMul (β := O) (as' i)
          (↑((Basis.mkFinConsOfLE y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' ⋯ : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE ⋯ i)) : O)

Tactic:
refine ⟨Fin.cons a as, ?_⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
      HSMul.hSMul (β := O) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)
i : Fin (n' + 1)
⊢ (↑(Fin.cons (α := fun (i : Fin (n' + 1)) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ N) y yN)
          (Function.comp (β := ↥N') (⇑(inclusion N'_le_N) : (a : ↥N') → ↥N) (⇑bN' : (a : Fin n') → ↥N')) i) :
      O) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := O) (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n' + 1)) ↦ R) a as i : R)
      (↑(Fin.cons (α := fun (i : Fin (m' + 1)) ↦ ↥M) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M)
            (Function.comp (β := ↥M') (⇑(inclusion M'_le_M) : (a : ↥M') → ↥M) (⇑bM' : (a : Fin m') → ↥M'))
            (Fin.castLE ⋯ i)) :
        O)

Tactic:
Fin.cases ?_ (fun i ↦ ?_) i

Premises used: Fin.cases
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
      HSMul.hSMul (β := O) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)
i : Fin (n' + 1)
neg : y = a • y'
⊢ (↑(Fin.cons (α := fun (i : Fin (n' + 1)) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ N) y yN)
          (Function.comp (β := ↥N') (⇑(inclusion N'_le_N) : (a : ↥N') → ↥N) (⇑bN' : (a : Fin n') → ↥N')) 0) :
      O) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := O) (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n' + 1)) ↦ R) a as 0 : R)
      (↑(Fin.cons (α := fun (i : Fin (m' + 1)) ↦ ↥M) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M)
            (Function.comp (β := ↥M') (⇑(inclusion M'_le_M) : (a : ↥M') → ↥M) (⇑bM' : (a : Fin m') → ↥M'))
            (Fin.castLE ⋯ 0)) :
        O)

Tactic:
simp only [Fin.cons_zero, Fin.castLE_zero]

Premises used: Fin.castLE_zero, Fin.cons_zero
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
      HSMul.hSMul (β := O) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)
i : Fin (n' + 1)
⊢ y = a • y'

Tactic:
a_smul_y'.symm

Premises used: Eq.symm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
      HSMul.hSMul (β := O) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)
i : Fin (n' + 1)
⊢ y = a • y'

Tactic:
exact a_smul_y'.symm

Premises used: Eq.symm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
      HSMul.hSMul (β := O) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)
i_1 : Fin (n' + 1)
i : Fin n'
⊢ (↑(Fin.cons (α := fun (i : Fin (n' + 1)) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ N) y yN)
          (Function.comp (β := ↥N') (⇑(inclusion N'_le_N) : (a : ↥N') → ↥N) (⇑bN' : (a : Fin n') → ↥N')) i.succ) :
      O) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := O) (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n' + 1)) ↦ R) a as i.succ : R)
      (↑(Fin.cons (α := fun (i : Fin (m' + 1)) ↦ ↥M) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M)
            (Function.comp (β := ↥M') (⇑(inclusion M'_le_M) : (a : ↥M') → ↥M) (⇑bM' : (a : Fin m') → ↥M'))
            (Fin.castLE ⋯ i).succ) :
        O)

Tactic:
simp only [Fin.cons_succ, Function.comp_apply, coe_inclusion, h i]

Premises used: Fin.cons_succ, Submodule.coe_inclusion, Function.comp_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
haveI : ∀ (this : DecidableEq M), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
haveI := Classical.decEq M
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
this : DecidableEq M
intro : ∀ (val : Fintype ι), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
cases nonempty_fintype ι

Premises used: nonempty_fintype
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
pos : ∀ (N_bot : N = ⊥), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
neg : ∀ (N_bot : ¬N = ⊥), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
by_cases N_bot : N = ⊥
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : N = ⊥
pos :
  ∀
    (ih :
      ∀ N' ≤ ⊥,
        ∀ (x : M),
          Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊥ x →
            (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')),
    ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
subst N_bot
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
ih :
  ∀ N' ≤ ⊥,
    ∀ (x : M),
      Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊥ x →
        (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)

Tactic:
⟨0, ⟨Basis.empty _⟩⟩

Premises used: Nonempty.intro, Exists.intro, Module.Basis.empty, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
ih :
  ∀ N' ≤ ⊥,
    ∀ (x : M),
      Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊥ x →
        (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)

Tactic:
exact ⟨0, ⟨Basis.empty _⟩⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : ¬N = ⊥
neg :
  ∀ (y : M) (a : R) (hay : a • y ∈ N) (M' N' : Submodule R M) (N'_le_N : N' ≤ N)
    (ay_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0)
    (h' :
      ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
        ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
          ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
            ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
              ∀ (as : Fin n' → R),
                (∀ (i : Fin n'),
                    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                      HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
                  ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                    ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                      (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                        HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)),
    ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
obtain ⟨y, -, a, hay, M', -, N', N'_le_N, -, -, ay_ortho, h'⟩ :=
    Submodule.basis_of_pid_aux ⊤ N b' N_bot le_top

Premises used: le_top, Top.top, Submodule.basis_of_pid_aux