-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
h :
  Eq (α :=
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) P.X ⟶
      colimit
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
          WalkingParallelPair.one)
    (Iso.hom (α_ M.X N.X P.X) ≫
      M.X ◁ N.X ◁ f.hom ≫
        Iso.inv (α_ M.X N.X P'.X) ≫
          coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫
            coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
              (Iso.hom (α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X) ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft))
⊢ Eq (α :=
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) P.X ⟶
      colimit
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
        coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) P.X ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (Iso.hom (α_ M.X N.X P.X) ≫
        CategoryStruct.comp (Y :=
          coequalizer (X :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
              (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X) P'.X))
            (M.X ◁ N.actRight ▷ P'.X) (M.X ◁ (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
          (CategoryStruct.comp (Y :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
            (M.X ◁ N.X ◁ f.hom ≫
              M.X ◁
                colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
                  WalkingParallelPair.one)
            (Iso.inv
              (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P'.X)
                (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))))
          (coequalizer.desc
            (Iso.inv (α_ M.X N.X P'.X) ≫
              coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫
                coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
                  (Iso.hom (α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X) ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft))
            ⋯) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) P.X ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))

Tactic:
slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]

Premises used: id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc