-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_3
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
hna : IsNonarchimedean.{0, u_1} (α := K) Norm.norm
c : ι × ι
left : Membership.mem (γ := Finset (ι × ι)) univ c
hc :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι × ι) ↦
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i.1 : L) ((B : (a : ι) → L) i.2 : L))) =
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
x y : L
ixy : ι
left_1 : Membership.mem (γ := Finset ι) univ ixy
hixy_def :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (x * y) : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (x * y) : ι →₀ K) : (a : ι) → K) ixy : K)
hna' : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := K) (⇑(NormedField.toMulRingNorm K) : (a : K) → ℝ)
k : ι
hk :
  Norm.norm.{u_1} (E := K)
      (∑ i : ι,
        (HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)
              (∑ i_1 : ι,
                HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i_1 : K)
                  ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                      (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) ((B : (a : ι) → L) i_1 : L)) :
                    ι →₀ K)) :
            (a : ι) → K)
          ixy) ≤
    Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) k : K)
              (∑ j : ι,
                HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
                  ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                      (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) k : L) ((B : (a : ι) → L) j : L)) :
                    ι →₀ K)) :
            (a : ι) → K)
          ixy :
        K)
h :
  ∀
    (hk :
      Norm.norm.{u_1} (E := K)
          (∑ x_1 : ι,
            HMul.hMul (α := K) (β := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x_1 : K)
              (∑ x : ι,
                  HMul.hMul (α := K) (β := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)
                    ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                              (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) x_1 : L) ((B : (a : ι) → L) x : L)) :
                            ι →₀ K) :
                          (a : ι) → K)
                        ixy :
                      K) :
                K)) ≤
        Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) k : K) *
          Norm.norm.{u_1} (E := K)
            (∑ x : ι,
              HMul.hMul (α := K) (β := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)
                ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                          (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) k : L) ((B : (a : ι) → L) x : L)) :
                        ι →₀ K) :
                      (a : ι) → K)
                    ixy :
                  K))),
    Norm.norm.{u_1} (E := K)
        (∑ x_1 : ι,
          HMul.hMul (α := K) (β := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x_1 : K)
            (∑ x : ι,
                HMul.hMul (α := K) (β := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)
                  ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                            (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) x_1 : L) ((B : (a : ι) → L) x : L)) :
                          ι →₀ K) :
                        (a : ι) → K)
                      ixy :
                    K) :
              K)) ≤
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L)) * B.norm x * B.norm y
⊢ Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((∑ x_1 : ι,
              HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x_1 : K)
                (∑ x : ι,
                  HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)
                    ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                        (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) x_1 : L) ((B : (a : ι) → L) x : L)) :
                      ι →₀ K)) :
            (a : ι) → K)
          ixy :
        K) ≤
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L)) * B.norm x * B.norm y

Tactic:
simp only [Finsupp.coe_smul, Finsupp.coe_finsetSum, Pi.smul_apply, sum_apply, smul_eq_mul,
      norm_mul] at hk ⊢

Premises used: Finset.sum_apply, norm_mul, Finsupp.coe_smul, smul_eq_mul, Finsupp.coe_finsetSum, Pi.smul_apply