-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.Zero
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_1 : J.RespectsIso
S : C
R T : Presieve.{v, u} S
hR : R ∈ J.coverings S
YR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → R g → C
eR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : R g) → YR g a ≅ Z
hTeg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : R g), T ((eR g a).hom ≫ g)
YT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → T g → C
eT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : T g) → YT g a ≅ Z
hReg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : T g), R ((eT g a).hom ≫ g)
E : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := (↑R.uncurry : Type (max u v)) ⊕ (↑T.uncurry : Type (max u v)),
    X := fun (i : (↑R.uncurry : Type (max u v)) ⊕ (↑T.uncurry : Type (max u v))) ↦
      Sum.elim (fun (j : (↑R.uncurry : Type (max u v))) ↦ (↑j : (Y : C) × (Y ⟶ S)).fst (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S))
        (fun (j : (↑T.uncurry : Type (max u v))) ↦ YT ((↑j : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) ⋯) i,
    f := fun (i : (↑R.uncurry : Type (max u v)) ⊕ (↑T.uncurry : Type (max u v))) ↦
      match (motive :=
        (i : (↑R.uncurry : Type (max u v)) ⊕ (↑T.uncurry : Type (max u v))) →
          Sum.elim (fun (j : (↑R.uncurry : Type (max u v))) ↦ (↑j : (Y : C) × (Y ⟶ S)).fst (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S))
              (fun (j : (↑T.uncurry : Type (max u v))) ↦ YT ((↑j : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) ⋯)
              i ⟶
            S)
        i with
      | Sum.inl i => (↑i : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)
      | Sum.inr i =>
        Iso.hom (eT ((↑i : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) ⋯) ≫
          (↑i : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S) }
F : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := (↑R.uncurry : Type (max u v)) ⊕ (↑T.uncurry : Type (max u v)),
    X := fun (i : (↑R.uncurry : Type (max u v)) ⊕ (↑T.uncurry : Type (max u v))) ↦
      Sum.elim
        (fun (j : (↑R.uncurry : Type (max u v))) ↦ YR ((↑j : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) ⋯)
        (fun (j : (↑T.uncurry : Type (max u v))) ↦ (↑j : (Y : C) × (Y ⟶ S)).fst (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) i,
    f := fun (i : (↑R.uncurry : Type (max u v)) ⊕ (↑T.uncurry : Type (max u v))) ↦
      match (motive :=
        (i : (↑R.uncurry : Type (max u v)) ⊕ (↑T.uncurry : Type (max u v))) →
          Sum.elim
              (fun (j : (↑R.uncurry : Type (max u v))) ↦ YR ((↑j : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) ⋯)
              (fun (j : (↑T.uncurry : Type (max u v))) ↦ (↑j : (Y : C) × (Y ⟶ S)).fst (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) i ⟶
            S)
        i with
      | Sum.inl i =>
        Iso.hom (eR ((↑i : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) ⋯) ≫
          (↑i : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)
      | Sum.inr i => (↑i : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S) }
e : E ≅ F :=
  PreZeroHypercover.isoMk (Equiv.refl E.I₀)
    (fun (i : E.I₀) ↦
      match (motive := (i : E.I₀) → E.X i ≅ F.X ((Equiv.refl E.I₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) i)) i with
      | Sum.inl i => id (Iso.symm (eR ((↑i : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) ⋯))
      | Sum.inr i => id (eT ((↑i : (Y : C) × (Y ⟶ S)).snd (β := fun (Y : C) ↦ Y ⟶ S)) ⋯))
    ⋯
Y : C
i_1 : E.I₀
i : (↑T.uncurry : Type (max u v))
⊢ R (Y := E.X (Sum.inr i)) (E.f (Sum.inr i))

Tactic:
apply hReg