awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
⊢ Eq (α := P'.CotangentSpace)
    ((CotangentSpace.map f ∘ₗ P.cotangentComplex : (a : P.Cotangent) → P'.CotangentSpace) x : P'.CotangentSpace)
    (((↑S :
                {S_1 : Type v'} →
                  {M : Type w'} →
                    {M₂ : Type (max v' w')} →
                      [inst : Semiring S] →
                        [inst_10 : Semiring S_1] →
                          [inst_11 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_12 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_13 : Module S M] →
                                [inst_14 : Module S M₂] →
                                  [inst_15 : Module S_1 M] →
                                    [inst_16 : Module S_1 M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ S S_1] → (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[S] M₂)
              P'.cotangentComplex ∘ₗ
            Cotangent.map f :
          (a : P.Cotangent) → P'.CotangentSpace)
        x :
      P'.CotangentSpace)

Tactic:
exact map_cotangentComplex f x

Premises used: Algebra.Extension.CotangentSpace.map_cotangentComplex
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
rw :
  HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) +
      HSub.hSub (α := P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    P'.ker * P'.ker
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) +
      HSub.hSub (α := P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    HPow.hPow (β := ℕ) P'.ker 2

Tactic:
rw [pow_two]

Premises used: pow_two
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) +
      HSub.hSub (α := P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    P'.ker * P'.ker

Tactic:
Ideal.add_mem _ (Ideal.mul_mem_mul ?_ ?_) (Ideal.mul_mem_mul ?_ ?_)

Premises used: Ideal.add_mem, Ideal.mul_mem_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
refine_1 :
  HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
      (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) ∈
    P'.ker
refine_2 :
  HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
      (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
      (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) ∈
    P'.ker
refine_3 :
  HSub.hSub (α := P'.Ring) (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
      (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) ∈
    P'.ker
refine_4 :
  HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
      (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
      (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    P'.ker
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) +
      HSub.hSub (α := P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    P'.ker * P'.ker

Tactic:
refine Ideal.add_mem _ (Ideal.mul_mem_mul ?_ ?_) (Ideal.mul_mem_mul ?_ ?_)

Premises used: Ideal.add_mem, Ideal.mul_mem_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
      (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) ∈
    P'.ker

Tactic:
simp only [RingHom.algebraMap_toAlgebra, RingHom.coe_comp,
        Function.comp_apply,
        ker, RingHom.mem_ker, map_sub, algebraMap_toRingHom,
        algebraMap_σ, sub_self, toAlgHom_apply]

Premises used: map_sub, Algebra.Extension.ker, sub_self, RingHom.mem_ker, Algebra.Extension.Hom.algebraMap_toRingHom, Algebra.Extension.algebraMap_σ, RingHom.coe_comp, Function.comp_apply, RingHom.algebraMap_toAlgebra, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
      (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
      (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) ∈
    P'.ker

Tactic:
simp only [RingHom.algebraMap_toAlgebra, RingHom.coe_comp,
        Function.comp_apply,
        ker, RingHom.mem_ker, map_sub, algebraMap_toRingHom,
        algebraMap_σ, sub_self, toAlgHom_apply]

Premises used: map_sub, Algebra.Extension.ker, sub_self, RingHom.mem_ker, Algebra.Extension.Hom.algebraMap_toRingHom, Algebra.Extension.algebraMap_σ, RingHom.coe_comp, Function.comp_apply, RingHom.algebraMap_toAlgebra, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
      (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) ∈
    P'.ker

Tactic:
simp only [RingHom.algebraMap_toAlgebra, RingHom.coe_comp,
        Function.comp_apply,
        ker, RingHom.mem_ker, map_sub, algebraMap_toRingHom,
        algebraMap_σ, sub_self, toAlgHom_apply]

Premises used: map_sub, Algebra.Extension.ker, sub_self, RingHom.mem_ker, Algebra.Extension.Hom.algebraMap_toRingHom, Algebra.Extension.algebraMap_σ, RingHom.coe_comp, Function.comp_apply, RingHom.algebraMap_toAlgebra, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
      (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
      (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    P'.ker

Tactic:
simp only [RingHom.algebraMap_toAlgebra, RingHom.coe_comp,
        Function.comp_apply,
        ker, RingHom.mem_ker, map_sub, algebraMap_toRingHom,
        algebraMap_σ, sub_self, toAlgHom_apply]

Premises used: map_sub, Algebra.Extension.ker, sub_self, RingHom.mem_ker, Algebra.Extension.Hom.algebraMap_toRingHom, Algebra.Extension.algebraMap_σ, RingHom.coe_comp, Function.comp_apply, RingHom.algebraMap_toAlgebra, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) +
      HSub.hSub (α := P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    HPow.hPow (β := ℕ) P'.ker 2

Tactic:
have :
      (f.toAlgHom x - P'.σ (algebraMap P.Ring S' x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) +
      (g.toAlgHom y - P'.σ (algebraMap P.Ring S' y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)
        ∈ P'.ker ^ 2 := by
    rw [pow_two]
    refine Ideal.add_mem _ (Ideal.mul_mem_mul ?_ ?_) (Ideal.mul_mem_mul ?_ ?_) <;>
      simp only [RingHom.algebraMap_toAlgebra, RingHom.coe_comp,
        Function.comp_apply,
        ker, RingHom.mem_ker, map_sub, algebraMap_toRingHom,
        algebraMap_σ, sub_self, toAlgHom_apply]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this_1 : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
this :
  HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) +
      HSub.hSub (α := P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    HPow.hPow (β := ℕ) P'.ker 2
⊢ HSub.hSub (α := P'.Ring) (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') x)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring) +
      HSub.hSub (α := P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) y : P'.Ring)
          (P'.σ ((algebraMap P.Ring S' : (a : P.Ring) → S') y)) *
        HSub.hSub (α := P'.Ring) (β := P'.Ring)
          (((f.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring)
          (((g.toAlgHom : AlgHom.{u, w, w'} R P.Ring P'.Ring) : (a : P.Ring) → P'.Ring) x : P'.Ring) ∈
    HPow.hPow (β := ℕ) P'.ker 2

Tactic:
this
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst_10 : CommRing R''
inst_11 : CommRing S''
inst_12 : Algebra R'' S''
P'' : Extension.{w'', u'', v''} R'' S''
inst_13 : Algebra R R''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S''
inst_16 : IsScalarTower R R'' S''
inst_17 : Algebra R' R''
inst_18 : Algebra S' S''
inst_19 : Algebra R' S''
inst_20 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_21 : IsScalarTower R R' R''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
f g : P.Hom P'
refine :
  ∀ (c : P.Ring),
    Membership.mem (α := P'.Ring) (γ := Submodule R P'.Ring) (Submodule.restrictScalars R P'.ker)
      ((HSub.hSub (α := LinearMap.{u, u, w, w'} (RingHom.id R) P.Ring P'.Ring) (AlgHom.toLinearMap f.toAlgHom)
              (AlgHom.toLinearMap g.toAlgHom) :
            (a : P.Ring) → P'.Ring)
          c :
        P'.Ring)
⊢ LinearMap.{u, u, w, w'} (RingHom.id R) P.Ring ↥P'.ker

Tactic:
refine ((f.toAlgHom.toLinearMap - g.toAlgHom.toLinearMap).codRestrict
    (P'.ker.restrictScalars R) ?_)

Premises used: AlgHom.toLinearMap, Algebra.Extension.ker, Submodule.restrictScalars, HSub.hSub, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom, LinearMap.codRestrict
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst_10 : CommRing R''
inst_11 : CommRing S''
inst_12 : Algebra R'' S''
P'' : Extension.{w'', u'', v''} R'' S''
inst_13 : Algebra R R''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S''
inst_16 : IsScalarTower R R'' S''
inst_17 : Algebra R' R''
inst_18 : Algebra S' S''
inst_19 : Algebra R' S''
inst_20 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_21 : IsScalarTower R R' R''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
f g : P.Hom P'
x : P.Ring
⊢ Membership.mem (α := P'.Ring) (γ := Submodule R P'.Ring) (Submodule.restrictScalars R P'.ker)
    ((HSub.hSub (α := LinearMap.{u, u, w, w'} (RingHom.id R) P.Ring P'.Ring) (AlgHom.toLinearMap f.toAlgHom)
            (AlgHom.toLinearMap g.toAlgHom) :
          (a : P.Ring) → P'.Ring)
        x :
      P'.Ring)

Tactic:
simp only [LinearMap.sub_apply, AlgHom.toLinearMap_apply, ker,
    Submodule.restrictScalars_mem, RingHom.mem_ker, map_sub, algebraMap_toRingHom,
    sub_self, toAlgHom_apply]

Premises used: map_sub, Algebra.Extension.ker, sub_self, RingHom.mem_ker, AlgHom.toLinearMap_apply, Submodule.restrictScalars_mem, Algebra.Extension.Hom.algebraMap_toRingHom, LinearMap.sub_apply, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst_10 : CommRing R''
inst_11 : CommRing S''
inst_12 : Algebra R'' S''
P'' : Extension.{w'', u'', v''} R'' S''
inst_13 : Algebra R R''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S''
inst_16 : IsScalarTower R R'' S''
inst_17 : Algebra R' R''
inst_18 : Algebra S' S''
inst_19 : Algebra R' S''
inst_20 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_21 : IsScalarTower R R' R''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
inst_23 : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
this : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
⊢ IsScalarTower.{w, v, v'} P.Ring S S'

Tactic:
haveI : IsScalarTower P.Ring S S' := IsScalarTower.of_algebraMap_eq' rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : Extension.{w, u, v} R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : CommRing S'
inst_5 : Algebra R' S'
P' : Extension.{w', u', v'} R' S'
inst_6 : Algebra R R'
inst_7 : Algebra S S'
inst_8 : Algebra R S'
inst_9 : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst_10 : CommRing R''
inst_11 : CommRing S''
inst_12 : Algebra R'' S''
P'' : Extension.{w'', u'', v''} R'' S''
inst_13 : Algebra R R''
inst_14 : Algebra S S''
inst_15 : Algebra R S''
inst_16 : IsScalarTower R R'' S''
inst_17 : Algebra R' R''
inst_18 : Algebra S' S''
inst_19 : Algebra R' S''
inst_20 : IsScalarTower R' R'' S''
inst_21 : IsScalarTower R R' R''
inst_22 : IsScalarTower S S' S''
inst_23 : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
this_1 : Algebra.{w, v'} P.Ring S' :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S S') (algebraMap P.Ring S))
this_2 : IsScalarTower.{w, v, v'} P.Ring S S'
this : Algebra.{w, w'} P.Ring P'.Ring := (AlgHom.toRingHom f.toAlgHom).toAlgebra
⊢ IsScalarTower.{w, w', v'} P.Ring P'.Ring S'

Tactic:
haveI : IsScalarTower P.Ring P'.Ring S' :=
    IsScalarTower.of_algebraMap_eq fun x ↦ (f.algebraMap_toRingHom x).symm