-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.StandardEtale
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : StandardEtalePresentation R S
x : Localization.Away (M := AdjoinRoot P.f) ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g : AdjoinRoot P.f)
n : ℕ
p : R[X]
e :
  HMul.hMul (β :=
      Localization.Away (M := AdjoinRoot P.f) ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g : AdjoinRoot P.f))
      x
      ((algebraMap (AdjoinRoot P.f)
              (Localization.Away (M := AdjoinRoot P.f)
                ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g : AdjoinRoot P.f)) :
            (a : AdjoinRoot P.f) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g))
          (↑(((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) p,
                    Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot P.f) ↦
                      Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot P.f))
                        (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g) :
                          Submonoid (AdjoinRoot P.f))
                        x)
                      ((fun (x : ℕ) ↦
                          HPow.hPow (α := AdjoinRoot P.f)
                            ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g : AdjoinRoot P.f) x)
                        n)
                      ⋯) :
                  AdjoinRoot P.f ×
                    ↥(Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g) :
                        Submonoid (AdjoinRoot P.f))).2 :
            AdjoinRoot P.f) :
        Localization.Away (M := AdjoinRoot P.f)
          ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g : AdjoinRoot P.f)) =
    (algebraMap (AdjoinRoot P.f)
          (Localization.Away (M := AdjoinRoot P.f)
            ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g : AdjoinRoot P.f)) :
        (a : AdjoinRoot P.f) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g))
      ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) p,
          Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot P.f) ↦
            Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot P.f))
              (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g) : Submonoid (AdjoinRoot P.f)) x)
            ((fun (x : ℕ) ↦
                HPow.hPow (α := AdjoinRoot P.f) ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g : AdjoinRoot P.f)
                  x)
              n)
            ⋯).1
refine :
  Eq.{u_1 + 1} (α := P.Ring)
    ((P.equivRing : (a : S) → P.Ring)
        (HMul.hMul (α := S)
          (((P.equivRing.trans P.equivAwayAdjoinRoot).symm :
                (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g)) → S)
              x :
            S)
          (HPow.hPow (α := S) ((aeval P.x : (a : R[X]) → S) P.g : S) n)) :
      P.Ring)
    ((P.equivRing : (a : S) → P.Ring) ((aeval P.x : (a : R[X]) → S) p) : P.Ring)
⊢ ∃ (p : R[X]) (n : ℕ),
    HMul.hMul (α := S)
        (((P.equivRing.trans P.equivAwayAdjoinRoot).symm :
              (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk P.f : (a : R[X]) → AdjoinRoot P.f) P.g)) → S)
            x :
          S)
        (HPow.hPow (α := S) ((aeval P.x : (a : R[X]) → S) P.g : S) n) =
      (aeval P.x : (a : R[X]) → S) p

Tactic:
refine ⟨p, n, P.equivRing.injective ?_⟩