-- Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
i : ℕ
hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
neg :
  ∀ (hi' : i ≠ 2 * f.natDegree - 2),
    (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
            (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
            fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
            else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
        (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (f.leadingCoeff •
          Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
            (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
            (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
              if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
              else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
            (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
        (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
      sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
        (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
neg₁ :
  ∀ (hi : 2 * f.natDegree - 2 < f.natDegree - 1 + f.natDegree),
    (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
            (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
            fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
            else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
        (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (f.leadingCoeff •
          Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
            (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
            (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
              if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
              else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
            (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
        (⟨2 * f.natDegree - 2, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
      sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
        (⟨2 * f.natDegree - 2, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
⊢ (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩

Tactic:
rcases ne_or_eq i (2 * f.natDegree - 2) with hi' | rfl

Premises used: ne_or_eq, HMul.hMul, HSub.hSub, Polynomial.natDegree, OfNat.ofNat, rfl