-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Ring.Colimits
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
s : Cocone F
m : (colimitCocone F).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : J), (colimitCocone F).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
x_1 : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)
x : Prequotient F
zero :
  Eq (α := (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) Prequotient.zero) :
      (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) Prequotient.zero) :
      (↑s.pt : Type v))
one :
  Eq (α := (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) Prequotient.one) :
      (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) Prequotient.one) :
      (↑s.pt : Type v))
neg :
  ∀ (x : Prequotient F)
    (ih :
      Eq (α := (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x) :
          (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x) :
          (↑s.pt : Type v))),
    Eq (α := (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x.neg) :
        (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x.neg) :
        (↑s.pt : Type v))
of :
  ∀ (j : J) (x : (↑(F.obj j) : Type v)),
    Eq (α := (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) (Prequotient.of j x)) :
        (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) (Prequotient.of j x)) :
        (↑s.pt : Type v))
add :
  ∀ (x y : Prequotient F)
    (ih_x :
      Eq (α := (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x) :
          (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x) :
          (↑s.pt : Type v)))
    (ih_y :
      Eq (α := (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) y) :
          (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) y) :
          (↑s.pt : Type v))),
    Eq (α := (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) (x.add y)) :
        (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) (x.add y)) :
        (↑s.pt : Type v))
mul :
  ∀ (x y : Prequotient F)
    (ih_x :
      Eq (α := (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x) :
          (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x) :
          (↑s.pt : Type v)))
    (ih_y :
      Eq (α := (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) y) :
          (↑s.pt : Type v))
        ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
            (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) y) :
          (↑s.pt : Type v))),
    Eq (α := (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) (x.mul y)) :
        (↑s.pt : Type v))
      ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
          (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) (x.mul y)) :
        (↑s.pt : Type v))
⊢ Eq (α := (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom m : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x) :
      (↑s.pt : Type v))
    ((Hom.hom (descMorphism F s) : (a : (↑(colimitCocone F).pt : Type v)) → (↑s.pt : Type v))
        (Quot.mk (⇑(colimitSetoid F) : Prequotient F → Prequotient F → Prop) x) :
      (↑s.pt : Type v))

Tactic:
induction x with
    | zero => simp
    | one => simp
    | neg x ih => simp [ih]
    | of j x =>
      exact congr_fun (congr_arg (fun f : F.obj j ⟶ s.pt => (f : F.obj j → s.pt)) (w j)) x
    | add x y ih_x ih_y => simp [ih_x, ih_y]
    | mul x y ih_x ih_y => simp [ih_x, ih_y]

Premises used: RingCat.Colimits.Prequotient.one, RingCat.of, RingCat.Colimits.Prequotient.neg, RingCat.Colimits.Prequotient.add, RingCat.Colimits.Prequotient.zero, RingCat.Colimits.Prequotient.mul