awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
i : ℕ
monomial :
  Eq (α := M)
    ((((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
              (HMul.hMul (α := A[X]) (β := A[X]) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
                  ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])).toFinsupp :
            PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)
    ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (toFinsupp ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b)) :
                PolynomialModule A M) +
            HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (toFinsupp ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a)) :
                PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)
⊢ Eq (α := M)
    ((((PolynomialModule.map A (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
              ((LinearEquiv.symm PolynomialModule.equivPolynomial : (a : A[X]) → PolynomialModule R A)
                (HMul.hMul (α := A[X]) (β := A[X]) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
                  ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X]))) :
            PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)
    ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((PolynomialModule.map A (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  ((LinearEquiv.symm PolynomialModule.equivPolynomial : (a : A[X]) → PolynomialModule R A)
                    ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b)) :
                PolynomialModule A M) +
            HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((PolynomialModule.map A (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  ((LinearEquiv.symm PolynomialModule.equivPolynomial : (a : A[X]) → PolynomialModule R A)
                    ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a)) :
                PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)

Tactic:
dsimp [PolynomialModule.equivPolynomial, PolynomialModule.map]

Premises used: PolynomialModule.equivPolynomial, PolynomialModule.map
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
i : ℕ
monomial :
  Eq (α := M)
    ((((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
              (AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b)) :
            PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)
    ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (AddMonoidAlgebra.single m b) :
                PolynomialModule A M) +
            HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (AddMonoidAlgebra.single n a) :
                PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)
⊢ Eq (α := M)
    ((((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
              (HMul.hMul (α := A[X]) (β := A[X]) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
                  ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])).toFinsupp :
            PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)
    ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (toFinsupp ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b)) :
                PolynomialModule A M) +
            HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (toFinsupp ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a)) :
                PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)

Tactic:
simp only [toFinsupp_mul, toFinsupp_monomial, AddMonoidAlgebra.single_mul_single]

Premises used: Polynomial.toFinsupp_monomial, Polynomial.toFinsupp_mul, AddMonoidAlgebra.single_mul_single
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
i : ℕ
monomial :
  (d : (a : A) → M) ((AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b) : (a : ℕ) → A) i : A) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (AddMonoidAlgebra.single m b) :
                PolynomialModule A M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (AddMonoidAlgebra.single n a) :
                PolynomialModule A M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
⊢ Eq (α := M)
    ((((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
              (AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b)) :
            PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)
    ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (AddMonoidAlgebra.single m b) :
                PolynomialModule A M) +
            HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (AddMonoidAlgebra.single n a) :
                PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        i :
      M)

Tactic:
change d _ = _ + _

Premises used: DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
i : ℕ
monomial :
  (d : (a : A) → M) ((AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b) : (a : ℕ) → A) i : A) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              (Finsupp.mapRange (⇑d : (a : A) → M) ⋯ (AddMonoidAlgebra.single m b)) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              (Finsupp.mapRange (⇑d : (a : A) → M) ⋯ (AddMonoidAlgebra.single n a)) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
⊢ (d : (a : A) → M) ((AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b) : (a : ℕ) → A) i : A) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (AddMonoidAlgebra.single m b) :
                PolynomialModule A M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((Finsupp.mapRange.linearMap (↑d : A →ₗ[R] M) : (a : PolynomialModule R A) → PolynomialModule A M)
                  (AddMonoidAlgebra.single n a) :
                PolynomialModule A M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)

Tactic:
dsimp only [PolynomialModule, Finsupp.mapRange.linearMap_apply, coeFn_coe]

Premises used: Finsupp.mapRange.linearMap_apply, PolynomialModule, Derivation.coeFn_coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
i : ℕ
monomial :
  (d : (a : A) → M) ((AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b) : (a : ℕ) → A) i : A) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := ℕ →₀ M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              (Finsupp.single m ((d : (a : A) → M) b) : ℕ →₀ M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := ℕ →₀ M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              (Finsupp.single n ((d : (a : A) → M) a) : ℕ →₀ M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
⊢ (d : (a : A) → M) ((AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b) : (a : ℕ) → A) i : A) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              (Finsupp.mapRange (⇑d : (a : A) → M) ⋯ (AddMonoidAlgebra.single m b)) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              (Finsupp.mapRange (⇑d : (a : A) → M) ⋯ (AddMonoidAlgebra.single n a)) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)

Tactic:
rw [Finsupp.mapRange_single, Finsupp.mapRange_single]

Premises used: Finsupp.mapRange_single
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
i : ℕ
monomial :
  (d : (a : A) → M) ((AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b) : (a : ℕ) → A) i : A) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((PolynomialModule.single A m : (a : M) → PolynomialModule A M) ((d : (a : A) → M) b) :
                PolynomialModule A M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((PolynomialModule.single A n : (a : M) → PolynomialModule A M) ((d : (a : A) → M) a) :
                PolynomialModule A M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
⊢ (d : (a : A) → M) ((AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b) : (a : ℕ) → A) i : A) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := ℕ →₀ M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              (Finsupp.single m ((d : (a : A) → M) b) : ℕ →₀ M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := ℕ →₀ M) ((Polynomial.monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              (Finsupp.single n ((d : (a : A) → M) a) : ℕ →₀ M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)

Tactic:
change _ = (_ • PolynomialModule.single A _ _) _ + (_ • PolynomialModule.single A _ _) i

Premises used: PolynomialModule.single, HSMul.hSMul, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
n : ℕ
a : A
m : ℕ
b : A
i : ℕ
⊢ (d : (a : A) → M) ((AddMonoidAlgebra.single (n + m) (a * b) : (a : ℕ) → A) i : A) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X])
              ((PolynomialModule.single A m : (a : M) → PolynomialModule A M) ((d : (a : A) → M) b) :
                PolynomialModule A M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)
      ((HSMul.hSMul (α := A[X]) (β := PolynomialModule A M) ((monomial m : (a : A) → A[X]) b : A[X])
              ((PolynomialModule.single A n : (a : M) → PolynomialModule A M) ((d : (a : A) → M) a) :
                PolynomialModule A M) :
            (a : ℕ) → M)
          i :
        M)

Tactic:
simp only [PolynomialModule.monomial_smul_single, AddMonoidAlgebra.single_apply,
          apply_ite d, leibniz, map_zero, PolynomialModule.single_apply, ite_add_zero,
          add_comm m n]

Premises used: AddMonoidAlgebra.single_apply, PolynomialModule.monomial_smul_single, ite_add_zero, PolynomialModule.single_apply, apply_ite, map_zero, add_comm, Derivation.leibniz, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
p : A[X]
i : ℕ
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := M)
    ((((d.mapCoeffs : (a : A[X]) → PolynomialModule A M) p : PolynomialModule A M) : (a : ℕ) → M) i : M)
    ((d : (a : A) → M) (p.coeff i) : M)

Tactic:
rfl

Premises used: Polynomial.coeff, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
n : ℕ
x : A
x_1 : ℕ
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := M)
    ((((d.mapCoeffs : (a : A[X]) → PolynomialModule A M) ((monomial n : (a : A) → A[X]) x) : PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        x_1 :
      M)
    ((((PolynomialModule.single A n : (a : M) → PolynomialModule A M) ((d : (a : A) → M) x) : PolynomialModule A M) :
          (a : ℕ) → M)
        x_1 :
      M)

Tactic:
simp [coeff_monomial, apply_ite d, PolynomialModule.single_apply]

Premises used: PolynomialModule.single_apply, apply_ite, Polynomial.coeff_monomial, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := PolynomialModule A M) ((d.mapCoeffs : (a : A[X]) → PolynomialModule A M) X : PolynomialModule A M)
    (0 : PolynomialModule A M)

Tactic:
simp [← monomial_one_one_eq_X]

Premises used: Polynomial.monomial_one_one_eq_X
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
x : A
⊢ Eq (α := PolynomialModule A M)
    ((d.mapCoeffs : (a : A[X]) → PolynomialModule A M) ((C : (a : A) → A[X]) x) : PolynomialModule A M)
    ((PolynomialModule.single A 0 : (a : M) → PolynomialModule A M) ((d : (a : A) → M) x) : PolynomialModule A M)

Tactic:
simp [← monomial_zero_left]

Premises used: Polynomial.monomial_zero_left
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module A M
inst_5 : Module R M
d : Derivation R A M
B : Type u_4
M' : Type u_5
inst_6 : CommRing B
inst_7 : Algebra R B
inst_8 : Algebra A B
inst_9 : AddCommGroup M'
inst_10 : Module B M'
inst_11 : Module R M'
inst_12 : Module A M'
d' : Derivation R B M'
f : M →ₗ[A] M'
h :
  ∀ (a : A),
    Eq.{u_5 + 1} (α := M') ((f : (a : M) → M') ((d : (a : A) → M) a : M) : M')
      ((d' : (a : B) → M') ((algebraMap A B : (a : A) → B) a : B) : M')
x : B
n : ℕ
a : A
monomial :
  HSMul.hSMul.{u_4, u_5, u_5} (α := B) ((algebraMap A B : (a : A) → B) a : B)
        (n • HSMul.hSMul (β := M') (x ^ (n - 1)) ((d' : (a : B) → M') x : M')) +
      HSMul.hSMul (β := M') (x ^ n) ((d' : (a : B) → M') ((algebraMap A B : (a : A) → B) a : B) : M') =
    HSMul.hSMul (β := M') (x ^ n) ((d' : (a : B) → M') ((algebraMap A B : (a : A) → B) a : B) : M') +
      HSMul.hSMul (β := M')
        (HMul.hMul (α := B) (β := B) ((algebraMap A B : (a : A) → B) a : B) ((↑n : B) : B) * x ^ (n - 1))
        ((d' : (a : B) → M') x : M')
⊢ (d' : (a : B) → M') ((aeval x : (a : A[X]) → B) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a : A[X]) : B) =
    HAdd.hAdd (α := M')
      ((PolynomialModule.eval x : (a : PolynomialModule B M') → M')
          (((PolynomialModule.map B f :
                  LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_5} (RingHom.id A) (PolynomialModule A M) (PolynomialModule B M')) :
                (a : PolynomialModule A M) → PolynomialModule B M')
              ((d.mapCoeffs : (a : A[X]) → PolynomialModule A M) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a)) :
            PolynomialModule B M') :
        M')
      (HSMul.hSMul.{u_4, u_5, u_5} (α := B) (β := M')
        ((aeval x : (a : A[X]) → B)
            ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) ((Polynomial.monomial n : (a : A) → A[X]) a) : A[X]) :
          B)
        ((d' : (a : B) → M') x : M'))

Tactic:
simp only [aeval_monomial, leibniz, leibniz_pow, mapCoeffs_monomial,
      PolynomialModule.map_single, PolynomialModule.eval_single, derivative_monomial, map_mul,
      _root_.map_natCast, h]

Premises used: Polynomial.derivative_monomial, Derivation.mapCoeffs_monomial, Derivation.leibniz, map_mul, map_natCast, Derivation.leibniz_pow, Polynomial.aeval_monomial, PolynomialModule.map_single, PolynomialModule.eval_single
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
B : Type u_4
M' : Type u_5
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra R B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : AddCommGroup M'
inst_7 : Module B M'
inst_8 : Module R M'
inst_9 : Module A M'
inst_10 : IsScalarTower R A B
inst_11 : IsScalarTower A B M'
d : Derivation R B M'
x : B
p : A[X]
⊢ (d : (a : B) → M') ((aeval x : (a : A[X]) → B) p : B) =
    HAdd.hAdd (α := M')
      ((PolynomialModule.eval x : (a : PolynomialModule B M') → M')
          ((PolynomialModule.map B LinearMap.id : (a : PolynomialModule A M') → PolynomialModule B M')
              ((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p) :
            PolynomialModule B M') :
        M')
      (HSMul.hSMul.{u_4, u_5, u_5} (α := B) (β := M')
        ((aeval x : (a : A[X]) → B) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : B) ((d : (a : B) → M') x : M'))

Tactic:
apply_aeval_eq' (d.compAlgebraMap A) d LinearMap.id _ x p

Premises used: LinearMap.id, Derivation.compAlgebraMap, Derivation.apply_aeval_eq'
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
B : Type u_4
M' : Type u_5
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra R B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : AddCommGroup M'
inst_7 : Module B M'
inst_8 : Module R M'
inst_9 : Module A M'
inst_10 : IsScalarTower R A B
inst_11 : IsScalarTower A B M'
d : Derivation R B M'
x : B
p : A[X]
h :
  Eq.{u_5 + 1} (α := PolynomialModule B M')
    ((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p : PolynomialModule A M')
    ((PolynomialModule.map B LinearMap.id : (a : PolynomialModule A M') → PolynomialModule B M')
        ((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p) :
      PolynomialModule B M')
convert! :
  ∀ (a : A),
    Eq.{u_5 + 1} (α := M') ((LinearMap.id : (a : M') → M') ((compAlgebraMap A d : (a : A) → M') a : M') : M')
      ((d : (a : B) → M') ((algebraMap A B : (a : A) → B) a : B) : M')
⊢ (d : (a : B) → M') ((aeval x : (a : A[X]) → B) p : B) =
    HAdd.hAdd (α := M')
      ((PolynomialModule.eval x : (a : PolynomialModule B M') → M')
          ((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p : PolynomialModule A M') :
        M')
      (HSMul.hSMul.{u_4, u_5, u_5} (α := B) (β := M')
        ((aeval x : (a : A[X]) → B) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : B) ((d : (a : B) → M') x : M'))

Tactic:
convert! apply_aeval_eq' (d.compAlgebraMap A) d LinearMap.id _ x p

Premises used: LinearMap.id, Derivation.compAlgebraMap, Derivation.apply_aeval_eq'
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
B : Type u_4
M' : Type u_5
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra R B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : AddCommGroup M'
inst_7 : Module B M'
inst_8 : Module R M'
inst_9 : Module A M'
inst_10 : IsScalarTower R A B
inst_11 : IsScalarTower A B M'
d : Derivation R B M'
x : B
p : A[X]
h :
  ∀ (a : ℕ),
    Eq.{u_5 + 1} (α := M')
      ((((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p : PolynomialModule A M') :
            (a : ℕ) → M')
          a :
        M')
      ((((PolynomialModule.map B LinearMap.id : (a : PolynomialModule A M') → PolynomialModule B M')
                ((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p) :
              PolynomialModule B M') :
            (a : ℕ) → M')
          a :
        M')
⊢ Eq.{u_5 + 1} (α := PolynomialModule B M')
    ((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p : PolynomialModule A M')
    ((PolynomialModule.map B LinearMap.id : (a : PolynomialModule A M') → PolynomialModule B M')
        ((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p) :
      PolynomialModule B M')

Tactic:
apply Finsupp.ext

Premises used: Finsupp.ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
B : Type u_4
M' : Type u_5
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra R B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : AddCommGroup M'
inst_7 : Module B M'
inst_8 : Module R M'
inst_9 : Module A M'
inst_10 : IsScalarTower R A B
inst_11 : IsScalarTower A B M'
d : Derivation R B M'
x_1 : B
p : A[X]
x : ℕ
⊢ Eq.{u_5 + 1} (α := M')
    ((((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p : PolynomialModule A M') : (a : ℕ) → M')
        x :
      M')
    ((((PolynomialModule.map B LinearMap.id : (a : PolynomialModule A M') → PolynomialModule B M')
              ((mapCoeffs (compAlgebraMap A d) : (a : A[X]) → PolynomialModule A M') p) :
            PolynomialModule B M') :
          (a : ℕ) → M')
        x :
      M')

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
B : Type u_4
M' : Type u_5
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra R B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : AddCommGroup M'
inst_7 : Module B M'
inst_8 : Module R M'
inst_9 : Module A M'
inst_10 : IsScalarTower R A B
inst_11 : IsScalarTower A B M'
d : Derivation R B M'
x : B
p : A[X]
a : A
⊢ Eq.{u_5 + 1} (α := M') ((LinearMap.id : (a : M') → M') ((compAlgebraMap A d : (a : A) → M') a : M') : M')
    ((d : (a : B) → M') ((algebraMap A B : (a : A) → B) a : B) : M')

Tactic:
rfl