-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Sheaf.Quasicoherent
Goal:
C_1 : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C_1
J_1 : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C_1
R_1 : Sheaf J_1 RingCat
C : Type u₁
inst_1 : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R : Sheaf J RingCat
inst_2 : HasSheafify J AddCommGrpCat
inst_3 :
  J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
    (CA := AddCommGrpCat.carrier)
inst_4 :
  J.HasSheafCompose
    (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
      AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
ι σ : Type u
C' : Type u₂
inst_5 : Category.{v₂, u₂} C'
J' : GrothendieckTopology.{v₂, u₂} C'
S : Sheaf J' RingCat
inst_6 : HasSheafify J' AddCommGrpCat
inst_7 :
  J'.WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
    (CA := AddCommGrpCat.carrier)
inst_8 :
  J'.HasSheafCompose
    (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
      AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
M : SheafOfModules R
P : M.Presentation
F : SheafOfModules R ⥤ SheafOfModules S
inst_9 : PreservesColimitsOfSize.{u, u, max u u₁, max u u₂, max (max (u + 1) u₁) v₁, max (max (u + 1) u₂) v₂} F
η : unit S ≅ F.obj (unit R)
refine :
  Iso (C :=
    Cocone
      (parallelPair (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
        (P.mapRelations F η : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I))
        (0 : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I))))
    (Functor.obj (C :=
        Cocone (C := SheafOfModules S)
          (parallelPair (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
              (CategoryStruct.comp (Y := kernel P.generators.π)
                ((Equiv.symm (kernel P.generators.π).freeHomEquiv :
                    (a : P.relations.I → (kernel P.generators.π).sections) → free P.relations.I ⟶ kernel P.generators.π)
                  P.relations.s)
                (kernel.ι P.generators.π))
              0 ⋙
            F))
        (Cocone.precompose
            (Iso.inv
              (parallelPairIsoMk (Iso.symm (mapFreeIso F P.relations.I η)) (Iso.symm (mapFreeIso F P.generators.I η)) ⋯
                ⋯)) :
          Cocone (C := SheafOfModules S)
              (parallelPair (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
                  (CategoryStruct.comp (Y := kernel P.generators.π)
                    ((Equiv.symm (kernel P.generators.π).freeHomEquiv :
                        (a : P.relations.I → (kernel P.generators.π).sections) →
                          free P.relations.I ⟶ kernel P.generators.π)
                      P.relations.s)
                    (kernel.ι P.generators.π))
                  0 ⋙
                F) ⥤
            Cocone
              (parallelPair (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
                (P.mapRelations F η : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I))
                (0 : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I))))
        (F.mapCocone (CokernelCofork.ofπ P.generators.π ⋯) :
          Cocone (C := SheafOfModules S)
            (parallelPair (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
                (CategoryStruct.comp (Y := kernel P.generators.π)
                  ((Equiv.symm (kernel P.generators.π).freeHomEquiv :
                      (a : P.relations.I → (kernel P.generators.π).sections) →
                        free P.relations.I ⟶ kernel P.generators.π)
                    P.relations.s)
                  (kernel.ι P.generators.π))
                0 ⋙
              F)) :
      Cocone
        (parallelPair (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
          (P.mapRelations F η : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I))
          (0 : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I))))
    (CokernelCofork.ofπ (P.mapGenerators F η) ⋯ :
      CokernelCofork (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
        (P.mapRelations F η : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I)))
⊢ IsColimit (F :=
    parallelPair (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
      (P.mapRelations F η : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I))
      (0 : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I)))
    (CokernelCofork.ofπ (P.mapGenerators F η) ⋯ :
      CokernelCofork (X := free P.relations.I) (Y := free P.generators.I)
        (P.mapRelations F η : Quiver.Hom (V := SheafOfModules S) (free P.relations.I) (free P.generators.I)))

Tactic:
refine IsColimit.equivOfNatIsoOfIso
      (parallelPairIsoMk (mapFreeIso F _ η).symm (mapFreeIso F _ η).symm
        (by simp [Presentation.mapRelations]) (by simp)) _ _ ?_ (isColimitOfPreserves F P.isColimit)

Premises used: CategoryTheory.Limits.IsColimit.equivOfNatIsoOfIso, SheafOfModules.Presentation.isColimit, CategoryTheory.Limits.parallelPairIsoMk, DFunLike.coe, CategoryTheory.Limits.isColimitOfPreserves