-- Module: Mathlib.Topology.Category.CompHaus.EffectiveEpi
Goal:
α : Type
inst : Finite α
B : CompHaus
X : α → CompHaus
π : (a : α) → X a ⟶ B
tfae_2_to_1 : ∀ (a : Epi (X := ∐ X) (Sigma.desc π)), EffectiveEpiFamily X π
tfae_1_to_2 : ∀ (a : EffectiveEpiFamily X π), Epi (X := ∐ X) (Sigma.desc π)
tfae_3_to_2 :
  ∀
    (a :
      ∀ (b : (↑(B.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)),
        ∃ (a : α) (x : (↑((X a).toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)),
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                  C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                    (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
                  (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                  (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) (π a) :
                (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (X a)) →
                  (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) B)
              x =
            b),
    Epi (X := ∐ X) (Sigma.desc π)
h : Epi (X := ∐ X) (Sigma.desc π)
e :
  Function.Surjective (α :=
    (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
      (∐ X))
    (β :=
    (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) B)
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
            (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
          (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) (X := ∐ X) (Sigma.desc π)) :
      (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (∐ X)) →
        (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) B)
i : ∐ X ≅ finiteCoproduct (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) X :=
  IsColimit.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit (Discrete.functor X))
    (finiteCoproduct.isColimit (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) X)
t : (↑((∐ X).toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)
q : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
  (finiteCoproduct (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) X) :=
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
        C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
          (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
        (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
        (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) i.hom :
      (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (∐ X)) →
        (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (finiteCoproduct X))
    t
simp :
  t =
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
            (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
          (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) (𝟙 (∐ X)) :
        (a : (↑(∐ X).toTop : Type u)) → (↑(∐ X).toTop : Type u))
      t
⊢ t =
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
            (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
          (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) (i.hom ≫ i.inv) :
        (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (∐ X)) →
          (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (∐ X))
      t

Tactic:
simp only [i.hom_inv_id]

Premises used: CategoryTheory.Iso.hom_inv_id