awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst_5 : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P)
rw :
  ∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p' = (↑(π / 2) : Real.Angle) ∨
    ∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p' = (↑(-π / 2) : Real.Angle)
⊢ ∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p = (↑(π / 2) : Real.Angle) ∨
    ∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p = (↑(-π / 2) : Real.Angle)

Tactic:
rw [oangle_rev, neg_eq_iff_eq_neg, neg_eq_iff_eq_neg, or_comm, ← Real.Angle.coe_neg, neg_div,
    neg_neg, ← Real.Angle.coe_neg, ← neg_div]

Premises used: neg_div, EuclideanGeometry.oangle_rev, neg_neg, neg_eq_iff_eq_neg, or_comm, Real.Angle.coe_neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst_5 : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P)
⊢ ∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p' = (↑(π / 2) : Real.Angle) ∨
    ∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p' = (↑(-π / 2) : Real.Angle)

Tactic:
oangle_self_orthogonalProjection p hp h hp'

Premises used: EuclideanGeometry.oangle_self_orthogonalProjection
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst_5 : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P)
⊢ ∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p' = (↑(π / 2) : Real.Angle) ∨
    ∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p' = (↑(-π / 2) : Real.Angle)

Tactic:
exact oangle_self_orthogonalProjection p hp h hp'

Premises used: EuclideanGeometry.oangle_self_orthogonalProjection
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst_5 : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P)
rw :
  ∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p' = (↑(π / 2) : Real.Angle) ∨
    ∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p' = (↑(-π / 2) : Real.Angle)
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤ) 2 (∡ p (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p') = (↑π : Real.Angle)

Tactic:
rw [Real.Angle.two_zsmul_eq_pi_iff]

Premises used: Real.Angle.two_zsmul_eq_pi_iff
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst_5 : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P)
rw :
  ∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p = (↑(π / 2) : Real.Angle) ∨
    ∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p = (↑(-π / 2) : Real.Angle)
⊢ HSMul.hSMul (α := ℤ) 2 (∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p) = (↑π : Real.Angle)

Tactic:
rw [Real.Angle.two_zsmul_eq_pi_iff]

Premises used: Real.Angle.two_zsmul_eq_pi_iff
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst_5 : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P)
⊢ ∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p = (↑(π / 2) : Real.Angle) ∨
    ∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p = (↑(-π / 2) : Real.Angle)

Tactic:
oangle_orthogonalProjection_self p hp h hp'

Premises used: EuclideanGeometry.oangle_orthogonalProjection_self
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst_4 : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst_5 : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P)
⊢ ∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p = (↑(π / 2) : Real.Angle) ∨
    ∡ p' (↑((orthogonalProjection s : (a : P) → ↥s) p) : P) p = (↑(-π / 2) : Real.Angle)

Tactic:
exact oangle_orthogonalProjection_self p hp h hp'

Premises used: EuclideanGeometry.oangle_orthogonalProjection_self
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : (o.oangle x y).sign = 1
rw₁ : (↑(π / 2) : Real.Angle).sign = 1
rw₂ rw₃ : Eq (α := SignType) 1 1
⊢ (o.oangle x (x + y)).sign = 1

Tactic:
rw [oangle_sign_add_right, h, Real.Angle.sign_coe_pi_div_two]

Premises used: Real.Angle.sign_coe_pi_div_two, Orientation.oangle_sign_add_right
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ (o.oangle x (x + y)).sign = 1

Tactic:
have hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1 := by
    rw [oangle_sign_add_right, h, Real.Angle.sign_coe_pi_div_two]
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
rw : (↑(InnerProductGeometry.angle x (x + y)) : Real.Angle) = (↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)
rw₁ rw₂ : (↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle) = (↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)
⊢ o.oangle x (x + y) = (↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [o.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs,
    InnerProductGeometry.angle_add_eq_arccos_of_inner_eq_zero
      (o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h)]

Premises used: Orientation.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one, Orientation.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two, InnerProductGeometry.angle_add_eq_arccos_of_inner_eq_zero
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw :
  ∀ (h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)),
    (-o).oangle y (x + y) = (↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)
⊢ o.oangle (x + y) y = (↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj] at h ⊢

Premises used: neg_inj, Orientation.oangle_rev, Orientation.oangle_neg_orientation_eq_neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y + x‖)) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (x + y) = (↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [add_comm]

Premises used: add_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y + x‖)) : Real.Angle)

Tactic:
(-o).oangle_add_right_eq_arccos_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Neg.neg, Orientation.oangle_add_right_eq_arccos_of_oangle_eq_pi_div_two
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y + x‖)) : Real.Angle)

Tactic:
exact (-o).oangle_add_right_eq_arccos_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Neg.neg, Orientation.oangle_add_right_eq_arccos_of_oangle_eq_pi_div_two
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
rw : (↑(InnerProductGeometry.angle x (x + y)) : Real.Angle) = (↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)
rw₁ rw₂ : (↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle) = (↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)
⊢ o.oangle x (x + y) = (↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [o.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs,
    InnerProductGeometry.angle_add_eq_arcsin_of_inner_eq_zero
      (o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h)
      (Or.inl (o.left_ne_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h))]

Premises used: Orientation.left_ne_zero_of_oangle_eq_pi_div_two, Orientation.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one, Orientation.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two, Or.inl, InnerProductGeometry.angle_add_eq_arcsin_of_inner_eq_zero
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw :
  ∀ (h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)),
    (-o).oangle y (x + y) = (↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)
⊢ o.oangle (x + y) y = (↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj] at h ⊢

Premises used: neg_inj, Orientation.oangle_rev, Orientation.oangle_neg_orientation_eq_neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y + x‖)) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (x + y) = (↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [add_comm]

Premises used: add_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y + x‖)) : Real.Angle)

Tactic:
(-o).oangle_add_right_eq_arcsin_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.oangle_add_right_eq_arcsin_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y + x‖)) : Real.Angle)

Tactic:
exact (-o).oangle_add_right_eq_arcsin_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.oangle_add_right_eq_arcsin_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
rw : (↑(InnerProductGeometry.angle x (x + y)) : Real.Angle) = (↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)) : Real.Angle)
rw₁ rw₂ : (↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)) : Real.Angle) = (↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)) : Real.Angle)
⊢ o.oangle x (x + y) = (↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [o.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs,
    InnerProductGeometry.angle_add_eq_arctan_of_inner_eq_zero
      (o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h) (o.left_ne_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h)]

Premises used: Orientation.left_ne_zero_of_oangle_eq_pi_div_two, InnerProductGeometry.angle_add_eq_arctan_of_inner_eq_zero, Orientation.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one, Orientation.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw :
  ∀ (h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)), (-o).oangle y (x + y) = (↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖)) : Real.Angle)
⊢ o.oangle (x + y) y = (↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj] at h ⊢

Premises used: neg_inj, Orientation.oangle_rev, Orientation.oangle_neg_orientation_eq_neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖)) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (x + y) = (↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
rw [add_comm]

Premises used: add_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
(-o).oangle_add_right_eq_arctan_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.oangle_add_right_eq_arctan_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ (-o).oangle y (y + x) = (↑(Real.arctan (‖x‖ / ‖y‖)) : Real.Angle)

Tactic:
exact (-o).oangle_add_right_eq_arctan_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.oangle_add_right_eq_arctan_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
rw : (↑(InnerProductGeometry.angle x (x + y)) : Real.Angle).cos = ‖x‖ / ‖x + y‖
rw₁ : Real.cos (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) = ‖x‖ / ‖x + y‖
rw₂ rw₃ : ‖x‖ / ‖x + y‖ = ‖x‖ / ‖x + y‖
⊢ (o.oangle x (x + y)).cos = ‖x‖ / ‖x + y‖

Tactic:
rw [o.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs, Real.Angle.cos_coe,
    InnerProductGeometry.cos_angle_add_of_inner_eq_zero (o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h)]

Premises used: InnerProductGeometry.cos_angle_add_of_inner_eq_zero, Orientation.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one, Orientation.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two, Real.Angle.cos_coe
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : ∀ (h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)), ((-o).oangle y (x + y)).cos = ‖y‖ / ‖x + y‖
⊢ (o.oangle (x + y) y).cos = ‖y‖ / ‖x + y‖

Tactic:
rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj] at h ⊢

Premises used: neg_inj, Orientation.oangle_rev, Orientation.oangle_neg_orientation_eq_neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : ((-o).oangle y (y + x)).cos = ‖y‖ / ‖y + x‖
⊢ ((-o).oangle y (x + y)).cos = ‖y‖ / ‖x + y‖

Tactic:
rw [add_comm]

Premises used: add_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).cos = ‖y‖ / ‖y + x‖

Tactic:
(-o).cos_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.cos_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).cos = ‖y‖ / ‖y + x‖

Tactic:
exact (-o).cos_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.cos_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
rw : (↑(InnerProductGeometry.angle x (x + y)) : Real.Angle).sin = ‖y‖ / ‖x + y‖
rw₁ : Real.sin (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) = ‖y‖ / ‖x + y‖
rw₂ rw₃ : ‖y‖ / ‖x + y‖ = ‖y‖ / ‖x + y‖
⊢ (o.oangle x (x + y)).sin = ‖y‖ / ‖x + y‖

Tactic:
rw [o.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs, Real.Angle.sin_coe,
    InnerProductGeometry.sin_angle_add_of_inner_eq_zero (o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h)
      (Or.inl (o.left_ne_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h))]

Premises used: Orientation.left_ne_zero_of_oangle_eq_pi_div_two, Orientation.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one, Orientation.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two, Real.Angle.sin_coe, InnerProductGeometry.sin_angle_add_of_inner_eq_zero, Or.inl
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : ∀ (h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)), ((-o).oangle y (x + y)).sin = ‖x‖ / ‖x + y‖
⊢ (o.oangle (x + y) y).sin = ‖x‖ / ‖x + y‖

Tactic:
rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj] at h ⊢

Premises used: neg_inj, Orientation.oangle_rev, Orientation.oangle_neg_orientation_eq_neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : ((-o).oangle y (y + x)).sin = ‖x‖ / ‖y + x‖
⊢ ((-o).oangle y (x + y)).sin = ‖x‖ / ‖x + y‖

Tactic:
rw [add_comm]

Premises used: add_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).sin = ‖x‖ / ‖y + x‖

Tactic:
(-o).sin_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.sin_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).sin = ‖x‖ / ‖y + x‖

Tactic:
exact (-o).sin_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.sin_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
rw : (↑(InnerProductGeometry.angle x (x + y)) : Real.Angle).tan = ‖y‖ / ‖x‖
rw₁ : Real.tan (InnerProductGeometry.angle x (x + y)) = ‖y‖ / ‖x‖
rw₂ rw₃ : ‖y‖ / ‖x‖ = ‖y‖ / ‖x‖
⊢ (o.oangle x (x + y)).tan = ‖y‖ / ‖x‖

Tactic:
rw [o.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs, Real.Angle.tan_coe,
    InnerProductGeometry.tan_angle_add_of_inner_eq_zero (o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h)]

Premises used: InnerProductGeometry.tan_angle_add_of_inner_eq_zero, Orientation.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one, Orientation.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two, Real.Angle.tan_coe
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : ∀ (h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)), ((-o).oangle y (x + y)).tan = ‖x‖ / ‖y‖
⊢ (o.oangle (x + y) y).tan = ‖x‖ / ‖y‖

Tactic:
rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj] at h ⊢

Premises used: neg_inj, Orientation.oangle_rev, Orientation.oangle_neg_orientation_eq_neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
rw : ((-o).oangle y (y + x)).tan = ‖x‖ / ‖y‖
⊢ ((-o).oangle y (x + y)).tan = ‖x‖ / ‖y‖

Tactic:
rw [add_comm]

Premises used: add_comm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).tan = ‖x‖ / ‖y‖

Tactic:
(-o).tan_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.tan_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle
Goal:
V : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = (↑(π / 2) : Real.Angle)
⊢ ((-o).oangle y (y + x)).tan = ‖x‖ / ‖y‖

Tactic:
exact (-o).tan_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two h

Premises used: Orientation.tan_oangle_add_right_of_oangle_eq_pi_div_two, Neg.neg