awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
⊢ ∃ (lift : m ⟶ m),
    (((⨆ (i : ι), (D i).W) ⊔
          MorphismProperty.ofHoms (X := fun (x : Unit) ↦ m) (Y := fun (x : Unit) ↦ m) fun (x : Unit) ↦ 𝟙 m) ⊔
        MorphismProperty.ofHoms (X := fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
          (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J)) (Y := fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦ m)
          fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
          (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫
            u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)))
      lift

Tactic:
exact ⟨𝟙 _, Or.inl (Or.inr ⟨⟨⟩⟩)⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j : J
hj : (D₂ D hι u).P j
l₁ l₂ : j ⟶ m
hl₁ : (D₂ D hι u).W l₁
hl₂ : (D₂ D hι u).W l₂
⊢ (∃ (a : ι), (D a).P j) ∨ m = j

Tactic:
simp only [D₂_P] at hj

Premises used: CategoryTheory.IsCardinalFiltered.exists_cardinal_directed.D₂_P
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j : J
l₁ l₂ : j ⟶ m
hl₁ : (D₂ D hι u).W l₁
hl₂ : (D₂ D hι u).W l₂
hj : (∃ (a : ι), (D a).P j) ∨ m = j
refine_3 : ∀ (i : ι) (hj : (D i).P j), l₁ = l₂
refine_3₁ : ∀ (l₁ l₂ : m ⟶ m) (hl₁ : (D₂ D hι u).W l₁) (hl₂ : (D₂ D hι u).W l₂), l₁ = l₂
⊢ l₁ = l₂

Tactic:
obtain (⟨i, hj⟩ | rfl) := hj

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j : J
l₁ l₂ : j ⟶ m
hl₁ : (D₂ D hι u).W l₁
hl₂ : (D₂ D hι u).W l₂
i : ι
hj : (D i).P j
refine_3 :
  ∀
    (hl₁ :
      (D₂ D hι u).W (X := j)
        (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) :
          (↑(Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                  (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))) :
              J) ⟶
            m)),
    φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) = l₂
⊢ l₁ = l₂

Tactic:
obtain rfl := H hj hl₁

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j : J
l₂ : j ⟶ m
hl₂ : (D₂ D hι u).W l₂
i : ι
hj : (D i).P j
hl₁ :
  (D₂ D hι u).W (X := j)
    (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) :
      (↑(Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
              (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))) :
          J) ⟶
        m)
refine_3 :
  ∀
    (hl₂ :
      (D₂ D hι u).W (X := j)
        (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) :
          (↑(Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                  (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))) :
              J) ⟶
            m)),
    Eq.{w + 1} (α := j ⟶ m)
      (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) :
        (↑(Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))) :
            J) ⟶
          m)
      (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)))
⊢ φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) = l₂

Tactic:
obtain rfl := H hj hl₂

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j : J
i : ι
hj : (D i).P j
hl₁ hl₂ :
  (D₂ D hι u).W (X := j)
    (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) :
      (↑(Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
              (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))) :
          J) ⟶
        m)
⊢ Eq.{w + 1} (α := j ⟶ m)
    (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) :
      (↑(Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
              (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))) :
          J) ⟶
        m)
    (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)))

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
l₁ l₂ : m ⟶ m
hl₁ : (D₂ D hι u).W l₁
hl₂ : (D₂ D hι u).W l₂
refine_3 : 𝟙 m = l₂
refine_3₁ refine_3₂ : Eq (α := m ⟶ m) (𝟙 m) (𝟙 m)
⊢ l₁ = l₂

Tactic:
rw [eq_id_of_D₂_W D hι u hD hl₁, eq_id_of_D₂_W D hι u hD hl₂]

Premises used: CategoryTheory.IsCardinalFiltered.exists_cardinal_directed.eq_id_of_D₂_W
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j k : J
f : j ⟶ k
hf : Diagram.W (Diagram.iSup (fun (i : ι) ↦ (D i).toDiagram) hι) f
⊢ ∃ (i : ι), (D i).W f

Tactic:
simp only [Diagram.iSup_W, MorphismProperty.iSup_iff] at hf

Premises used: CategoryTheory.IsCardinalFiltered.exists_cardinal_directed.Diagram.iSup_W, CategoryTheory.MorphismProperty.iSup_iff
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j k : J
f : j ⟶ k
hf : ∃ (i : ι), (D i).W f
refine_4 : ∀ (i : ι) (hf : (D i).W f), ∃ (li : j ⟶ m) (lj : k ⟶ m), (D₂ D hι u).W li ∧ (D₂ D hι u).W lj ∧ f ≫ lj = li
⊢ ∃ (li : j ⟶ m) (lj : k ⟶ m), (D₂ D hι u).W li ∧ (D₂ D hι u).W lj ∧ f ≫ lj = li

Tactic:
obtain ⟨i, hf⟩ := hf
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j k : J
f : j ⟶ k
i : ι
hf : (D i).W f
⊢ Eq (α := j ⟶ m) (f ≫ φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) k ⋯)))
    (φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j ⋯)))

Tactic:
simp [φ, (D i).isTerminal.comm_assoc _ hf]

Premises used: CategoryTheory.IsCardinalFiltered.exists_cardinal_directed.DiagramWithUniqueTerminal.isTerminal, CategoryTheory.IsCardinalFiltered.exists_cardinal_directed.Diagram.IsTerminal.comm_assoc
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
j k : J
f : j ⟶ k
i : ι
hf : (D i).W f
⊢ ∃ (li : j ⟶ m) (lj : k ⟶ m), (D₂ D hι u).W li ∧ (D₂ D hι u).W lj ∧ f ≫ lj = li

Tactic:
exact ⟨φ ⟨i, j, (D i).src hf⟩, φ ⟨i, k, (D i).tgt hf⟩, Or.inr ⟨_⟩, Or.inr ⟨_⟩,
            by simp [φ, (D i).isTerminal.comm_assoc _ hf]⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
X Y : J
i : Unit
⊢ Eq (α := m ⟶ m) (𝟙 m ≫ 𝟙 m) (𝟙 m)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
X Y : J
i : Unit
⊢ ∃ (li : m ⟶ m) (lj : m ⟶ m), (D₂ D hι u).W li ∧ (D₂ D hι u).W lj ∧ 𝟙 m ≫ lj = li

Tactic:
exact ⟨𝟙 _, 𝟙 _, Or.inl (Or.inr ⟨⟨⟩⟩), Or.inl (Or.inr ⟨⟨⟩⟩), by simp⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
X Y : J
i : ι
j : J
hj : (D i).P j
⊢ ((D
                (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                  (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)))).isTerminal.lift
          ⋯ ≫
        u
          (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
            (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)))) ≫
      𝟙 m =
    φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))

Tactic:
simp [φ]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
H :
  ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
    f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))
X Y : J
i : ι
j : J
hj : (D i).P j
⊢ ∃ (li :
    (↑(Sigma.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
            (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj))) :
        J) ⟶
      m)
    (lj : m ⟶ m),
    (D₂ D hι u).W li ∧
      (D₂ D hι u).W lj ∧
        ((D
                      (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                        (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i
                          (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)))).isTerminal.lift
                ⋯ ≫
              u
                (Sigma.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)
                  (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)))) ≫
            lj =
          li

Tactic:
refine ⟨φ ⟨i, j, hj⟩, 𝟙 _, Or.inr ⟨_⟩, Or.inl (Or.inr ⟨⟨⟩⟩), by simp [φ]⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
he : (D₂ D hι u).IsTerminal m :=
  have H :
    ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
      f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) :=
    ⋯;
  Diagram.IsTerminal.ofExistsUnique ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
j : J
hj : (D₂ D hι u).IsTerminal j
⊢ (D₂ D hι u).P j

Tactic:
have := hj.prop
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Directed
Goal:
J : Type w
inst : SmallCategory J
κ : Cardinal.{w}
inst_1 : Fact κ.IsRegular
inst_2 : IsCardinalFiltered J κ
hJ : ∀ (e : J), ∃ (m : J) (x : e ⟶ m), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ e)
ι : Type w
D : ι → DiagramWithUniqueTerminal J κ
hι : HasCardinalLT ι κ
m : J
u : (i : ι) → (D i).top ⟶ m
hm₀ : ∀ (i : ι), IsEmpty.{w + 1} (m ⟶ (D i).top)
hm :
  ∀ (i₁ i₂ : ι) (j : J) (hj₁ : (D i₁).P j) (hj₂ : (D i₂).P j),
    (D i₁).isTerminal.lift hj₁ ≫ u i₁ = (D i₂).isTerminal.lift hj₂ ≫ u i₂
φ : (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) → (↑(x.snd (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P)) : J) ⟶ m :=
  fun (x : (i : ι) × Subtype (D i).P) ↦
    (D (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))).isTerminal.lift ⋯ ≫ u (x.fst (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P))
hD : ∀ {i : ι}, ¬(D i).P m
he : (D₂ D hι u).IsTerminal m :=
  have H :
    ∀ {i : ι} {j : J} (hj : (D i).P j) {f : j ⟶ m} (hf : (D₂ D hι u).W f),
      f = φ (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ Subtype (D i).P) i (Subtype.mk (p := (D i).P) j hj)) :=
    ⋯;
  Diagram.IsTerminal.ofExistsUnique ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
j : J
hj : (D₂ D hι u).IsTerminal j
this : (D₂ D hι u).P j
⊢ (∃ (a : ι), (D a).P j) ∨ m = j

Tactic:
simp only [D₂_P] at this

Premises used: CategoryTheory.IsCardinalFiltered.exists_cardinal_directed.D₂_P