awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 = Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
hy : P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 = Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3
hy' : P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 = W.negY Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3
⊢ W.dblXYZ P = HSMul.hSMul (β := Fin (Nat.succ 0).succ.succ → F) (W.dblU P) ![1, 1, 0]

Tactic:
simp [dblXYZ_of_Y_eq' hQz hx hy hy', smul_fin3]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.smul_fin3, WeierstrassCurve.Jacobian.dblXYZ_of_Y_eq'
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Jacobian F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 = Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
hy : P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 ≠ W.negY Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3
⊢ ∀ {n : ℕ}, IsUnit (W.dblZ P ^ n)

Tactic:
have hZ {n : ℕ} : IsUnit <| W.dblZ P ^ n := (isUnit_dblZ_of_Y_ne' hP hQ hPz hx hy).pow n
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
u v : F
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ addU (u • P) (v • Q) = HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * addU P Q

Tactic:
simp [field, addU, smul_fin3_ext]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.addU, WeierstrassCurve.Jacobian.smul_fin3_ext
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
rw : -((P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) / (P z * Q z)) = 0
rw₁ : -((P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (α := F) (β := ℕ) 0 3) / (0 * Q z)) = 0
rw₂ : -((P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (α := F) (β := ℕ) 0 3) / 0) = 0
rw₃ : Eq.{u + 1} (α := F) (-0) 0
rw₄ rw₅ : Eq.{u + 1} (α := F) 0 0
⊢ addU P Q = 0

Tactic:
rw [addU, hPz, zero_mul, div_zero, neg_zero]

Premises used: MulZeroClass.zero_mul, WeierstrassCurve.Jacobian.addU, neg_zero, div_zero
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
P Q : Fin 3 → F
hQz : Q z = 0
rw : -((P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) / (P z * Q z)) = 0
rw₁ : -((P y * HPow.hPow (α := F) (β := ℕ) 0 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) / (P z * 0)) = 0
rw₂ : -((P y * HPow.hPow (α := F) (β := ℕ) 0 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) / 0) = 0
rw₃ : Eq.{u + 1} (α := F) (-0) 0
rw₄ rw₅ : Eq.{u + 1} (α := F) 0 0
⊢ addU P Q = 0

Tactic:
rw [addU, hQz, mul_zero, div_zero, neg_zero]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.addU, MulZeroClass.mul_zero, neg_zero, div_zero
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hy : P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 ≠ Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3
⊢ addU P Q ≠ 0

Tactic:
neg_ne_zero.mpr <| div_ne_zero (sub_ne_zero.mpr hy) <| mul_ne_zero hPz hQz

Premises used: Iff.mpr, sub_ne_zero, WeierstrassCurve.Jacobian.addU, div_ne_zero, neg_ne_zero, mul_ne_zero
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hy : P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 ≠ Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3
⊢ IsUnit (addU P Q)

Tactic:
(addU_ne_zero_of_Y_ne hPz hQz hy).isUnit

Premises used: Ne.isUnit, WeierstrassCurve.Jacobian.addU_ne_zero_of_Y_ne
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
simp :
  HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
      HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 =
    HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2)
⊢ addZ (u • P) (v • Q) = HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * addZ P Q

Tactic:
simp only [addZ, smul_fin3_ext]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.smul_fin3_ext, WeierstrassCurve.Jacobian.addZ
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
      HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 =
    HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2)

Tactic:
ring1
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P : Fin 3 → R
⊢ addZ P P = 0

Tactic:
sub_self <| P x * P z ^ 2

Premises used: HMul.hMul, sub_self, HPow.hPow, OfNat.ofNat, WeierstrassCurve.Jacobian.addZ
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
rw : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 = P x * Q z * Q z
⊢ addZ P Q = P x * Q z * Q z

Tactic:
rw [addZ, hPz]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.addZ
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
⊢ P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 = P x * Q z * Q z

Tactic:
ring1
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z = 0
rw : P x * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 = -(Q x * P z) * P z
⊢ addZ P Q = -(Q x * P z) * P z

Tactic:
rw [addZ, hQz]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.addZ
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z = 0
⊢ P x * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 = -(Q x * P z) * P z

Tactic:
ring1
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 = Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
rw : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 = 0
rw₁ : Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 = 0
rw₂ rw₃ : Eq.{r + 1} (α := R) 0 0
⊢ addZ P Q = 0

Tactic:
rw [addZ, hx, sub_self]

Premises used: sub_self, WeierstrassCurve.Jacobian.addZ
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 ≠ Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
⊢ addZ P Q ≠ 0

Tactic:
sub_ne_zero.mpr hx

Premises used: Iff.mpr, sub_ne_zero, WeierstrassCurve.Jacobian.addZ
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
P Q : Fin 3 → F
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 ≠ Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
⊢ IsUnit (addZ P Q)

Tactic:
(addZ_ne_zero_of_X_ne hx).isUnit

Premises used: Ne.isUnit, WeierstrassCurve.Jacobian.addZ_ne_zero_of_X_ne
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Jacobian F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 ≠ Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
rwa : ¬P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 = Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2
rwa₁ rwa₂ rwa₃ rwa₄ : ¬P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 = Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
⊢ P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 ≠ Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2

Tactic:
rwa [ne_eq, ← X_eq_iff hPz hQz]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.X_eq_iff, ne_eq
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Jacobian F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 ≠ Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
rw :
  (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 - Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3) /
      ((P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) /
        (HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)) =
    (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) /
      (P z * Q z * (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2))
⊢ W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
      (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3) =
    (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) / (P z * Q z * addZ P Q)

Tactic:
rw [Affine.slope_of_X_ne <| by rwa [ne_eq, ← X_eq_iff hPz hQz],
    div_sub_div _ _ (pow_ne_zero 2 hPz) (pow_ne_zero 2 hQz), mul_comm <| _ ^ 2, addZ]

Premises used: pow_ne_zero, WeierstrassCurve.Affine.slope_of_X_ne, mul_comm, div_sub_div, OfNat.ofNat, WeierstrassCurve.Jacobian.addZ
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Jacobian F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 ≠ Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
⊢ (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 - Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3) /
      ((P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) /
        (HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)) =
    (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) /
      (P z * Q z * (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2))

Tactic:
simp [field]
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
⊢ (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 - 2 * P y * Q y * P z * Q z +
                            HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
                          W'.a₁ * P x * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * Q z -
                        W'.a₁ * P y * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                      2 * W'.a₂ * P x * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
                    W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * Q z -
                  W'.a₃ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
                W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
              W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
            2 * W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) *
          HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 +
        (-HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 6 * 0 +
          HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6 *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 -
              (HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                  W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
                W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 6))) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) 2 +
                W'.a₁ * (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) * P z * Q z *
                  (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) -
              W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 *
                HPow.hPow (β := ℕ) (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) 2 -
            P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 *
              HPow.hPow (β := ℕ) (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) 2 -
          Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 *
            HPow.hPow (β := ℕ) (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 - Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) 2 +
        (-HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 6 *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 -
              (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                  W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
                W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6)) +
          HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6 * 0)) =
    0

Tactic:
ring1
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
a :
  W'.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 +
        (-HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 6 * 0 +
          HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6 *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 -
              (HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                  W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
                W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 6))) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) 2 +
                W'.a₁ * (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) * P z * Q z * addZ P Q -
              W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 -
            P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 -
          Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 +
        (-HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 6 *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 -
              (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                  W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
                W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6)) +
          HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6 * 0)) =
    0
⊢ W'.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 =
    HPow.hPow (β := ℕ) (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) 2 +
            W'.a₁ * (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) * P z * Q z * addZ P Q -
          W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 -
        P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 -
      Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2

Tactic:
linear_combination (norm := (rw [addX, addZ]; ring1)) -Q z ^ 6 * (equation_iff P).mp hP
    - P z ^ 6 * (equation_iff Q).mp hQ

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.equation_iff, Iff.mp, OfNat.ofNat, WeierstrassCurve.Jacobian.addZ, WeierstrassCurve.Jacobian.addX
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
rw : W.addX P Q = W.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
rw₁ rw₂ : W.addX P Q = W.addX P Q
⊢ W.addX P Q =
    (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) 2 +
              W.a₁ * (P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) * P z * Q z * addZ P Q -
            W.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 -
          P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 -
        Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2

Tactic:
rw [← addX_eq' hP hQ, mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]

Premises used: pow_ne_zero, WeierstrassCurve.Jacobian.addX_eq', mul_div_cancel_right₀, mul_ne_zero, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
simp :
  HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 -
                        2 * (HPow.hPow (β := ℕ) u 3 * P y) * (HPow.hPow (β := ℕ) v 3 * Q y) * (u * P z) * (v * Q z) +
                      HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x) 2 * (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) *
                        HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
                    W'.a₁ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x) * (HPow.hPow (β := ℕ) v 3 * Q y) *
                        HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 *
                      (v * Q z) -
                  W'.a₁ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 3 * P y) * (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) * (u * P z) *
                    HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 +
                2 * W'.a₂ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x) * (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) *
                    HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 *
                  HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
              W'.a₃ * (HPow.hPow (β := ℕ) v 3 * Q y) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 4 * (v * Q z) -
            W'.a₃ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 3 * P y) * (u * P z) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 4 +
          W'.a₄ * (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 +
        W'.a₄ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 4 +
      2 * W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 4 =
    HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2) 2 *
      (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 - 2 * P y * Q y * P z * Q z +
                        HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
                      W'.a₁ * P x * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * Q z -
                    W'.a₁ * P y * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                  2 * W'.a₂ * P x * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
                W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * Q z -
              W'.a₃ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
            W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
          W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
        2 * W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4)
⊢ W'.addX (u • P) (v • Q) = HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2) 2 * W'.addX P Q

Tactic:
simp only [addX, smul_fin3_ext]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.smul_fin3_ext, WeierstrassCurve.Jacobian.addX
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Jacobian R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 -
                        2 * (HPow.hPow (β := ℕ) u 3 * P y) * (HPow.hPow (β := ℕ) v 3 * Q y) * (u * P z) * (v * Q z) +
                      HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x) 2 * (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) *
                        HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
                    W'.a₁ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x) * (HPow.hPow (β := ℕ) v 3 * Q y) *
                        HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 *
                      (v * Q z) -
                  W'.a₁ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 3 * P y) * (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) * (u * P z) *
                    HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 +
                2 * W'.a₂ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x) * (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) *
                    HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 *
                  HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
              W'.a₃ * (HPow.hPow (β := ℕ) v 3 * Q y) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 4 * (v * Q z) -
            W'.a₃ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 3 * P y) * (u * P z) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 4 +
          W'.a₄ * (HPow.hPow (β := ℕ) v 2 * Q x) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 +
        W'.a₄ * (HPow.hPow (β := ℕ) u 2 * P x) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 4 +
      2 * W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 4 =
    HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2) 2 *
      (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 - 2 * P y * Q y * P z * Q z +
                        HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
                      W'.a₁ * P x * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * Q z -
                    W'.a₁ * P y * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                  2 * W'.a₂ * P x * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
                W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * Q z -
              W'.a₃ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
            W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
          W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
        2 * W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4)

Tactic:
ring1
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
a :
  P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 - 2 * P y * P y * P z * P z +
                          HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
                        W'.a₁ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * P z -
                      W'.a₁ * P y * P x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                    2 * W'.a₂ * P x * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
                  W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * P z -
                W'.a₃ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
              W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
            W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
          2 * W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
        -2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * 0 -
      (0 +
        -2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6))) =
    0
⊢ W'.addX P P + -2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * 0 -
      (0 +
        -2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6))) =
    0

Tactic:
rw [addX]

Premises used: WeierstrassCurve.Jacobian.addX
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Jacobian R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 - 2 * P y * P y * P z * P z +
                          HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
                        W'.a₁ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * P z -
                      W'.a₁ * P y * P x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                    2 * W'.a₂ * P x * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
                  W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * P z -
                W'.a₃ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
              W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
            W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
          2 * W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
        -2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * 0 -
      (0 +
        -2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 6))) =
    0

Tactic:
ring1