awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
hbc :
  HSub.hSub (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) ≤
    (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ μ.real t - μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) ≤ (↑ε : ℝ)

Tactic:
refine (ENNReal.le_toReal_sub B).trans (ENNReal.toReal_le_coe_of_le_coe ?_)

Premises used: ENNReal.le_toReal_sub, ENNReal.toReal_le_coe_of_le_coe, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
⊢ HSub.hSub (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) ≤
    (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
(tsub_le_tsub (measure_mono htU) le_rfl).trans (le_measure_diff.trans ?_)

Premises used: le_rfl, tsub_le_tsub, MeasureTheory.measure_mono, LE.le.trans, MeasureTheory.le_measure_diff
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
hbc : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) \ (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ)))) ≤ (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ HSub.hSub (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) ≤
    (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine (tsub_le_tsub (measure_mono htU) le_rfl).trans (le_measure_diff.trans ?_)

Premises used: le_rfl, tsub_le_tsub, MeasureTheory.measure_mono, LE.le.trans, MeasureTheory.le_measure_diff
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
⊢ (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) \ (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ)))) ≤ (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
(measure_mono fun x hx => ?_).trans hμU.le

Premises used: LT.lt.le, MeasureTheory.measure_mono, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
hbc :
  ∀ (x : ι → ℝ) (hx : x ∈ (U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) \ (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ)))),
    x ∈ U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)
⊢ (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) \ (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ)))) ≤ (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine (measure_mono fun x hx => ?_).trans hμU.le

Premises used: LT.lt.le, MeasureTheory.measure_mono, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
x : ι → ℝ
hx : x ∈ (U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) \ (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ)))
⊢ x ∈ U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)

Tactic:
⟨hx.1.1, fun hx' => hx.2 ⟨hx'.1, hx.1.2⟩⟩

Premises used: Set.Mem, Set.diff, setOf, And.right, And.left, And.intro
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
x : ι → ℝ
hx : x ∈ (U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) \ (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ)))
⊢ x ∈ U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)

Tactic:
exact ⟨hx.1.1, fun hx' => hx.2 ⟨hx'.1, hx.1.2⟩⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
have hμt : μ t ≠ ∞ := ((measure_mono (htU.trans inter_subset_left)).trans_lt hUt).ne
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
hμt : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) - μ.real t ≤ (↑ε : ℝ)

Tactic:
(ENNReal.le_toReal_sub hμt).trans (ENNReal.toReal_le_coe_of_le_coe ?_)

Premises used: ENNReal.le_toReal_sub, MeasureTheory.Measure.real, ENNReal.toReal_le_coe_of_le_coe, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
hμt : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hbc :
  HSub.hSub (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) ≤
    (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ μ.real (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) - μ.real t ≤ (↑ε : ℝ)

Tactic:
refine (ENNReal.le_toReal_sub hμt).trans (ENNReal.toReal_le_coe_of_le_coe ?_)

Premises used: ENNReal.le_toReal_sub, ENNReal.toReal_le_coe_of_le_coe, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
hμt : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ HSub.hSub (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) ≤
    (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
le_measure_diff.trans ((measure_mono ?_).trans hμF.le)

Premises used: LT.lt.le, MeasureTheory.measure_mono, LE.le.trans, MeasureTheory.le_measure_diff
-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Integrability
Goal:
ι : Type u
E : Type v
inst : Fintype ι
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst_3 : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
B : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I
hFc : IsClosed F
hμF : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) ((s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F) < (↑ε : ℝ≥0∞)
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) U : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμU : (μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (U \ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I)) < (↑ε : ℝ≥0∞)
rs : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I, closedBall x (↑(rs x) : ℝ) ⊆ U
rs' : (x : ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type)
hrs'F :
  ∀ (x : ι → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (ι → ℝ)) ((Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I \ s : Set (ι → ℝ)) x →
      closedBall x (↑(rs' x) : ℝ) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → (↑(Set.Ioi 0) : Type) := s.piecewise (β := fun (a : ι → ℝ) ↦ (↑(Set.Ioi 0) : Type)) rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun (x : ℝ≥0) ↦ r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun (x : Box ι) ↦ π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))
hμt : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hbc : (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) \ t ⊆ (s ∩ (Box.Icc : (a : Box ι) → Set (ι → ℝ)) I) \ F
⊢ HSub.hSub (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ∩ (↑I : Set (ι → ℝ))) : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) t : ℝ≥0∞) ≤
    (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine le_measure_diff.trans ((measure_mono ?_).trans hμF.le)

Premises used: LT.lt.le, MeasureTheory.measure_mono, LE.le.trans, MeasureTheory.le_measure_diff