awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
j : J
x : (↑(F.obj j) : Type (max t w))
hx :
  ∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (g : j ⟶ k),
    Eq (α := (↑(F.obj k) : Type (max t w)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
              (CC := ModuleCat.carrier) (F.map f) :
            (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj k) : Type (max t w)))
          x :
        (↑(F.obj k) : Type (max t w)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
              (CC := ModuleCat.carrier) (F.map g) :
            (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj k) : Type (max t w)))
          0 :
        (↑(F.obj k) : Type (max t w)))
obtain :
  ∀ (j' : J) (i y : j ⟶ j')
    (g :
      Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
                (CC := ModuleCat.carrier) (F.map i) :
              (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
            x :
          (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
                (CC := ModuleCat.carrier) (F.map y) :
              (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
            0 :
          (↑(F.obj j') : Type (max t w)))),
    ∃ (j' : J) (i : j ⟶ j'),
      Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) x :
          (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
⊢ ∃ (j' : J) (i : j ⟶ j'),
    Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
      ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) x :
        (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
      (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))

Tactic:
obtain ⟨j', i, y, g⟩ := hx
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
j : J
x : (↑(F.obj j) : Type (max t w))
j' : J
i y : j ⟶ j'
g :
  Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
            (CC := ModuleCat.carrier) (F.map i) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        x :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
            (CC := ModuleCat.carrier) (F.map y) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        0 :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
⊢ Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
          (CC := ModuleCat.carrier) (F.map y) :
        (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
      0)
    0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
j : J
x : (↑(F.obj j) : Type (max t w))
j' : J
i y : j ⟶ j'
g :
  Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
            (CC := ModuleCat.carrier) (F.map i) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        x :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
            (CC := ModuleCat.carrier) (F.map y) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        0 :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
⊢ ∃ (j' : J) (i : j ⟶ j'),
    Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
      ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) x :
        (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
      (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))

Tactic:
exact ⟨j', i, g ▸ by simp⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
r : R
H : ∃ (j' : J), ∀ (j : J) (x : j' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0
x :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
    ModuleCat.carrier) (colimit F)
hx : r • x = 0
obtain :
  ∀ (j : J)
    (x :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (F.obj j))
    (hx :
      HSMul.hSMul (β :=
          ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
            ModuleCat.carrier) (colimit F))
          r
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
                  (CC := ModuleCat.carrier) (Y := colimit F) (colimit.ι F j) :
                (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
              x :
            (↑(colimit F) : Type (max t w))) =
        0),
    Eq (α :=
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
              (CC := ModuleCat.carrier) (Y := colimit F) (colimit.ι F j) :
            (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
          x :
        (↑(colimit F) : Type (max t w)))
      (0 :
        ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
          ModuleCat.carrier) (colimit F))
⊢ x = 0

Tactic:
obtain ⟨j, x, rfl⟩ := Concrete.colimit_exists_rep F x

Premises used: CategoryTheory.Limits.Concrete.colimit_exists_rep, rfl
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
r : R
H : ∃ (j' : J), ∀ (j : J) (x : j' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0
j : J
x :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
    ModuleCat.carrier) (F.obj j)
hx :
  HSMul.hSMul (β :=
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
      r
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
              (CC := ModuleCat.carrier) (Y := colimit F) (colimit.ι F j) :
            (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
          x :
        (↑(colimit F) : Type (max t w))) =
    0
⊢ Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        (r • x) :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))

Tactic:
rw [← map_smul (colimit.ι F j).hom] at hx

Premises used: ModuleCat.Hom.hom, map_smul, CategoryTheory.Limits.colimit.ι
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
r : R
H : ∃ (j' : J), ∀ (j : J) (x : j' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0
j : J
x :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
    ModuleCat.carrier) (F.obj j)
hx :
  Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        (r • x) :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
obtain :
  ∀ (j' : J) (i : j ⟶ j')
    (h :
      Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) (r • x) :
          (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
        (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))),
    Eq (α :=
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
              (CC := ModuleCat.carrier) (Y := colimit F) (colimit.ι F j) :
            (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
          x :
        (↑(colimit F) : Type (max t w)))
      (0 :
        ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
          ModuleCat.carrier) (colimit F))
⊢ Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
            (CC := ModuleCat.carrier) (Y := colimit F) (colimit.ι F j) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        x :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))

Tactic:
obtain ⟨j', i, h⟩ := Concrete.colimit_rep_eq_zero (hx := hx)

Premises used: CategoryTheory.Limits.Concrete.colimit_rep_eq_zero
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
r : R
H : ∃ (j' : J), ∀ (j : J) (x : j' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0
j : J
x :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
    ModuleCat.carrier) (F.obj j)
hx :
  Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        (r • x) :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
j' : J
i : j ⟶ j'
h :
  Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) (r • x) :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
obtain :
  ∀ (j'' : J) (H : ∀ (j : J) (x : j'' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0),
    Eq (α :=
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
              (CC := ModuleCat.carrier) (Y := colimit F) (colimit.ι F j) :
            (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
          x :
        (↑(colimit F) : Type (max t w)))
      (0 :
        ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
          ModuleCat.carrier) (colimit F))
⊢ Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w)))
            (CC := ModuleCat.carrier) (Y := colimit F) (colimit.ι F j) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        x :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))

Tactic:
obtain ⟨j'', H⟩ := H
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
r : R
j : J
x :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
    ModuleCat.carrier) (F.obj j)
hx :
  Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        (r • x) :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
j' : J
i : j ⟶ j'
h :
  Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) (r • x) :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
j'' : J
H : ∀ (j : J) (x : j'' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0
⊢ Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
r : R
j : J
x :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
    ModuleCat.carrier) (F.obj j)
hx :
  Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        (r • x) :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
j' : J
i : j ⟶ j'
h :
  Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) (r • x) :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
j'' : J
H : ∀ (j : J) (x : j'' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0
⊢ Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j'

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
r : R
j : J
x :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
    ModuleCat.carrier) (F.obj j)
hx :
  Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        (r • x) :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
j' : J
i : j ⟶ j'
h :
  Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) (r • x) :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
j'' : J
H : ∀ (j : J) (x : j'' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0
⊢ Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j''

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
J : Type w
inst_1 : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier))
inst_3 : IsFiltered.{r, w} J
inst_4 : HasColimit F
r : R
j : J
x :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
    ModuleCat.carrier) (F.obj j)
hx :
  Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
      ModuleCat.carrier) (colimit F))
    ((ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(colimit F) : Type (max t w)))
        (r • x) :
      (↑(colimit F) : Type (max t w)))
    (0 :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type (max t w)) →ₗ[R] (↑x2 : Type (max t w))) (CC :=
        ModuleCat.carrier) (colimit F))
j' : J
i : j ⟶ j'
h :
  Eq (α := (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    ((ModuleCat.Hom.hom (F.map i) : (a : (↑(F.obj j) : Type (max t w))) → (↑(F.obj j') : Type (max t w))) (r • x) :
      (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
    (0 : (↑(F.obj j') : Type (max t w)))
j'' : J
H : ∀ (j : J) (x : j'' ⟶ j) (c : (↑(F.obj j) : Type (max t w))), r • c = 0 → c = 0
⊢ Membership.mem (γ :=
    Finset
      ((X : J) ×'
        (Y : J) ×'
          (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} X) ×'
            (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} Y) ×' (X ⟶ Y)))
    {PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦
        (Y : J) ×'
          (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} X) ×'
            (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} Y) ×' (X ⟶ Y))
        j
        (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦
          (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j) ×'
            (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} Y) ×' (j ⟶ Y))
          j'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j) ↦
            (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j') ×' (j ⟶ j')) ⋯
            (PSigma.mk (β := fun (x : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j') ↦ j ⟶ j') ⋯ i)))}
    (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦
      (Y : J) ×'
        (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} X) ×'
          (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} Y) ×' (X ⟶ Y))
      j
      (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦
        (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j) ×'
          (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} Y) ×' (j ⟶ Y))
        j'
        (PSigma.mk (β := fun (x : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j) ↦
          (_ : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j') ×' (j ⟶ j')) ⋯
          (PSigma.mk (β := fun (x : Membership.mem (γ := Finset J) {j, j', j''} j') ↦ j ⟶ j') ⋯ i))))

Tactic:
simp