awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞)
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
⊢ HasSum
    (fun (n : ℕ) ↦
      HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p (n + 2) : (a : (i : Fin (n + 2)) → E) → F) fun (x_1 : Fin (n + 2)) ↦ y.1 - x : F)
        ((p (n + 2) : (a : (i : Fin (n + 2)) → E) → F) fun (x_1 : Fin (n + 2)) ↦ y.2 - x : F))
    (f y.1 - f y.2 -
      ∑ i ∈ Finset.range 2,
        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x_1 : Fin i) ↦ y.1 - x : F)
          ((p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x_1 : Fin i) ↦ y.2 - x : F))

Tactic:
(hasSum_nat_add_iff' 2).2
          ((hf.hasSum_sub ⟨ys.1, hy.1⟩).sub (hf.hasSum_sub ⟨ys.2, hy.2⟩))

Premises used: Iff.mpr, HasFPowerSeriesWithinOnBall.hasSum_sub, hasSum_nat_add_iff', And.right, And.left, And.intro, OfNat.ofNat, HasSum.sub
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞)
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
h :
  HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F) =
    f y.1 - f y.2 -
      ∑ i ∈ Finset.range 2,
        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x_1 : Fin i) ↦ y.1 - x : F)
          ((p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x_1 : Fin i) ↦ y.2 - x : F)
⊢ HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))

Tactic:
convert!
        (hasSum_nat_add_iff' 2).2
          ((hf.hasSum_sub ⟨ys.1, hy.1⟩).sub (hf.hasSum_sub ⟨ys.2, hy.2⟩)) using 1

Premises used: Iff.mpr, HasFPowerSeriesWithinOnBall.hasSum_sub, hasSum_nat_add_iff', And.right, And.left, And.intro, OfNat.ofNat, HasSum.sub
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞)
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
⊢ HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))

Tactic:
have hA : HasSum (fun n => A (n + 2)) (f y.1 - f y.2 - p 1 fun _ => y.1 - y.2) := by
      convert!
        (hasSum_nat_add_iff' 2).2
          ((hf.hasSum_sub ⟨ys.1, hy.1⟩).sub (hf.hasSum_sub ⟨ys.2, hy.2⟩)) using 1
      rw [Finset.sum_range_succ, Finset.sum_range_one, hf.coeff_zero, hf.coeff_zero, sub_self,
        zero_add, ← Subsingleton.pi_single_eq (0 : Fin 1) (y.1 - x), Pi.single,
        ← Subsingleton.pi_single_eq (0 : Fin 1) (y.2 - x), Pi.single, ← (p 1).map_update_sub,
        ← Pi.single, Subsingleton.pi_single_eq, sub_sub_sub_cancel_right]
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞)
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
⊢ ‖y - (x, x)‖₊ < r'

Tactic:
rw [Metric.mem_eball, edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe] at hy'

Premises used: edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe, Metric.mem_eball
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞)
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
hy'₁ : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
⊢ y ∈ insert x s ×ˢ insert x s

Tactic:
rw [Metric.mem_eball, edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe] at hy'

Premises used: edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe, Metric.mem_eball
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞)
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
hy'₁ : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys₁ : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
⊢ y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r

Tactic:
rw [Metric.mem_eball, edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe] at hy'

Premises used: edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe, Metric.mem_eball
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞)
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
hy'₁ : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys₁ : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy₁ : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
⊢ let A : ℕ → F := fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F);
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))

Tactic:
rw [Metric.mem_eball, edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe] at hy'

Premises used: edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe, Metric.mem_eball
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
n : ℕ
⊢ ‖A (n + 2)‖ ≤
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 2)) ↦ E) F) (p (n + 2)) *
          (↑(n + 2) : ℝ) *
        ‖y - (x, x)‖ ^ (n + 1) *
      ‖y.1 - y.2‖

Tactic:
simpa only [Fintype.card_fin, pi_norm_const, Prod.norm_def, Pi.sub_def,
            Prod.fst_sub, Prod.snd_sub, sub_sub_sub_cancel_right] using
            (p <| n + 2).norm_image_sub_le (fun _ => y.1 - x) fun _ => y.2 - x

Premises used: sub_sub_sub_cancel_right, Fintype.card_fin, ContinuousMultilinearMap.norm_image_sub_le, HSub.hSub, Pi.sub_def, Prod.fst, Prod.norm_def, HAdd.hAdd, pi_norm_const, OfNat.ofNat, Prod.snd, Prod.snd_sub, Prod.fst_sub
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
n : ℕ
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 2)) ↦ E) F) (p (n + 2)) * (↑(n + 2) : ℝ) *
        (‖y - (x, x)‖ ^ n * ‖y - (x, x)‖) *
      ‖y.1 - y.2‖ =
    norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 2)) ↦ E) F) (p (n + 2)) *
        ‖y - (x, x)‖ ^ n *
      ((↑(n + 2) : ℝ) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖)

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
n : ℕ
⊢ 0 < a

Tactic:
have : 0 < a := ha.1
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
n : ℕ
this : 0 < a
hbc :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 2)) ↦ E) F) (p (n + 2)) ≤
    C * a ^ (n + 2) / (↑r' : ℝ) ^ (n + 2)
hbc₁ : ‖y - (x, x)‖ ≤ (↑r' : ℝ)
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 2)) ↦ E) F) (p (n + 2)) *
        ‖y - (x, x)‖ ^ n *
      ((↑(n + 2) : ℝ) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) ≤
    C * a ^ (n + 2) / (↑r' : ℝ) ^ (n + 2) * (↑r' : ℝ) ^ n * ((↑(n + 2) : ℝ) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
n : ℕ
this : 0 < a
⊢ norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + 2)) ↦ E) F) (p (n + 2)) ≤
    C * a ^ (n + 2) / (↑r' : ℝ) ^ (n + 2)

Tactic:
apply hp
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
n : ℕ
this : 0 < a
⊢ ‖y - (x, x)‖ ≤ (↑r' : ℝ)

Tactic:
apply hy'.le

Premises used: LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
n : ℕ
⊢ C * a ^ (n + 2) / (↑r' : ℝ) ^ (n + 2) * (↑r' : ℝ) ^ n * ((↑(n + 2) : ℝ) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) = B n

Tactic:
simp [field, B, pow_succ]

Premises used: pow_succ
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
⊢ ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n

Tactic:
have hAB : ∀ n, ‖A (n + 2)‖ ≤ B n := fun n =>
      calc
        ‖A (n + 2)‖ ≤ ‖p (n + 2)‖ * ↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ ^ (n + 1) * ‖y.1 - y.2‖ := by
          simpa only [Fintype.card_fin, pi_norm_const, Prod.norm_def, Pi.sub_def,
            Prod.fst_sub, Prod.snd_sub, sub_sub_sub_cancel_right] using
            (p <| n + 2).norm_image_sub_le (fun _ => y.1 - x) fun _ => y.2 - x
        _ = ‖p (n + 2)‖ * ‖y - (x, x)‖ ^ n * (↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) := by
          rw [pow_succ ‖y - (x, x)‖]
          ring
        _ ≤ C * a ^ (n + 2) / r' ^ (n + 2)
            * r' ^ n * (↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) := by
          have : 0 < a := ha.1
          gcongr
          · apply hp
          · apply hy'.le
        _ = B n := by
          simp [field, B, pow_succ]