awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a_1 a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a' : R) (b' : R) (c' : R), IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
pos : p * (c' * b') = p * b
pos₁ pos₂ : p * b = p * b
⊢ p * c' * b' = p * b

Tactic:
rw [mul_assoc, hb']

Premises used: mul_assoc
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a_1 a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a' : R) (b' : R) (c' : R), IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : ¬p ∣ b
neg :
  ∀ (a' b' c' : R) (coprime : IsRelPrime a' b') (a_ne_zero : c' * a' ≠ 0)
    (ih_a :
      c' * a' ≠ 0 →
        ∀ (b : R), ∃ (a'_1 : R) (b' : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b)
    (pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0) (h : ¬p ∣ c' * b'),
    ∃ (a'_1 : R) (b'_1 : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b'_1 ∧ c'_1 * a'_1 = p * (c' * a') ∧ c'_1 * b'_1 = c' * b'
⊢ ∃ (a' : R) (b' : R) (c' : R), IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Tactic:
obtain ⟨a', b', c', coprime, rfl, rfl⟩ := ih_a a_ne_zero b

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a :
  c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a'_1 : R) (b' : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
⊢ ∃ (a'_1 : R) (b'_1 : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b'_1 ∧ c'_1 * a'_1 = p * (c' * a') ∧ c'_1 * b'_1 = c' * b'

Tactic:
⟨p * a', b', c', ?_, mul_left_comm _ _ _, rfl⟩

Premises used: HMul.hMul, mul_left_comm, And.intro, Exists.intro, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a :
  c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a'_1 : R) (b' : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
neg : IsRelPrime (p * a') b'
⊢ ∃ (a'_1 : R) (b'_1 : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b'_1 ∧ c'_1 * a'_1 = p * (c' * a') ∧ c'_1 * b'_1 = c' * b'

Tactic:
refine ⟨p * a', b', c', ?_, mul_left_comm _ _ _, rfl⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a :
  c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a'_1 : R) (b' : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
neg : ∀ (p_dvd_q : p ∣ q), IsUnit q
neg₁ : ∀ (q_dvd_a' : q ∣ a'), IsUnit q
⊢ IsUnit q

Tactic:
rcases p_prime.left_dvd_or_dvd_right_of_dvd_mul q_dvd_pa' with p_dvd_q | q_dvd_a'

Premises used: Prime.left_dvd_or_dvd_right_of_dvd_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a :
  c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a'_1 : R) (b' : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
p_dvd_q : p ∣ q
⊢ p ∣ c' * b'

Tactic:
have : p ∣ c' * b' := dvd_mul_of_dvd_right (p_dvd_q.trans q_dvd_b') _
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a :
  c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a'_1 : R) (b' : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
p_dvd_q : p ∣ q
this : p ∣ c' * b'
⊢ IsUnit q

Tactic:
contradiction
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a :
  c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a'_1 : R) (b' : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
q_dvd_a' : q ∣ a'
⊢ IsUnit q

Tactic:
coprime q_dvd_a' q_dvd_b'
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a :
  c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ (a'_1 : R) (b' : R) (c'_1 : R), IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
q_dvd_a' : q ∣ a'
⊢ IsUnit q

Tactic:
exact coprime q_dvd_a' q_dvd_b'
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Basic
Goal:
R : Type u_2
inst : CommMonoidWithZero R
inst_1 : UniqueFactorizationMonoid R
a b : R
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ (a' : R) (b' : R) (c' : R), IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b

Tactic:
let ⟨b', a', c', no_factor, hb, ha⟩ := exists_reduced_factors b hb a
  ⟨a', b', c', fun _ hpb hpa => no_factor hpa hpb, ha, hb⟩

Premises used: UniqueFactorizationMonoid.exists_reduced_factors, HMul.hMul, Exists, IsRelPrime, _private.0.UniqueFactorizationMonoid.exists_reduced_factors'.match_1, And, And.intro, Exists.intro, Eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
hJ : ∃ (K : Ideal R), J * K ≠ 0 ∧ Submodule.IsPrincipal (J * K)
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
obtain : ∀ (K : Ideal R) (hJK0 : J * K ≠ 0) (hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)), Submodule.IsPrincipal J
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
obtain ⟨K, hJK0, hK⟩ := hJ
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
rcases : ∀ (x : R) (hJK : J * K = R ∙ x), Submodule.IsPrincipal J
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
rcases hK.principal with ⟨x, hJK⟩

Premises used: Submodule.IsPrincipal.principal
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
⊢ x ∈ J * K

Tactic:
simp [hJK]
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
⊢ x ∈ J * K

Tactic:
have hxmemJK : x ∈ J * K := by simp [hJK]
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
obtain :
  ∀ (S T : Finset R) (hSJ : (↑S : Set R) ⊆ (↑J : Set R)) (hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R))
    (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R ((↑S : Set R) * (↑T : Set R))) x),
    ∃ (T : Finset R), (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R) ∧ x ∈ J * span (↑T : Set R)
⊢ ∃ (T : Finset R), (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R) ∧ x ∈ J * span (↑T : Set R)

Tactic:
obtain ⟨S, T, hSJ, hTK, hx⟩ := Submodule.mem_span_mul_finite_of_mem_mul hxmemJK

Premises used: Submodule.mem_span_mul_finite_of_mem_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
S T : Finset R
hSJ : (↑S : Set R) ⊆ (↑J : Set R)
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
hx : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R ((↑S : Set R) * (↑T : Set R))) x
⊢ ∃ (T : Finset R), (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R) ∧ x ∈ J * span (↑T : Set R)

Tactic:
⟨T, hTK, ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
S T : Finset R
hSJ : (↑S : Set R) ⊆ (↑J : Set R)
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
hx : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R ((↑S : Set R) * (↑T : Set R))) x
refine : x ∈ J * span (↑T : Set R)
⊢ ∃ (T : Finset R), (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R) ∧ x ∈ J * span (↑T : Set R)

Tactic:
refine ⟨T, hTK, ?_⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
S T : Finset R
hSJ : (↑S : Set R) ⊆ (↑J : Set R)
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
hx : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R ((↑S : Set R) * (↑T : Set R))) x
rw : Membership.mem (γ := Ideal R) (span ((↑J : Set R) * (↑T : Set R))) x
⊢ x ∈ J * span (↑T : Set R)

Tactic:
rw [← J.span_eq, span_mul_span]

Premises used: Ideal.span_eq, Ideal.span_mul_span
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
S T : Finset R
hSJ : (↑S : Set R) ⊆ (↑J : Set R)
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
hx : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R ((↑S : Set R) * (↑T : Set R))) x
⊢ Membership.mem (γ := Ideal R) (span ((↑J : Set R) * (↑T : Set R))) x

Tactic:
span_mono (Set.mul_subset_mul_right hSJ) hx

Premises used: Set.Mem, setOf, Set.mul_subset_mul_right, Ideal.span_mono
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
S T : Finset R
hSJ : (↑S : Set R) ⊆ (↑J : Set R)
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
hx : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R ((↑S : Set R) * (↑T : Set R))) x
⊢ Membership.mem (γ := Ideal R) (span ((↑J : Set R) * (↑T : Set R))) x

Tactic:
exact span_mono (Set.mul_subset_mul_right hSJ) hx

Premises used: Set.mul_subset_mul_right, Ideal.span_mono
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
⊢ ∃ (T : Finset R), (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R) ∧ x ∈ J * span (↑T : Set R)

Tactic:
have : ∃ T : Finset R, (T : Set R) ⊆ K ∧ x ∈ J * span T := by
    obtain ⟨S, T, hSJ, hTK, hx⟩ := Submodule.mem_span_mul_finite_of_mem_mul hxmemJK
    refine ⟨T, hTK, ?_⟩
    rw [← J.span_eq, span_mul_span]
    exact span_mono (Set.mul_subset_mul_right hSJ) hx
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this_1 : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
this : ∃ (T : Finset R), (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R) ∧ x ∈ J * span (↑T : Set R)
obtain : ∀ (T : Finset R) (hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)) (hxT : x ∈ J * span (↑T : Set R)), Submodule.IsPrincipal J
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
obtain ⟨T, hTK, hxT⟩ := this
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
hxT : x ∈ J * span (↑T : Set R)
⊢ let K' : Ideal R := span (↑T : Set R);
  x ∈ J * K'

Tactic:
set K' : Ideal R := span T

Premises used: Ideal, Ideal.span
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
⊢ K' ≤ span {g}

Tactic:
have hK' : K' ≤ span {g} :=
    span_le.mpr fun z hz ↦ mem_span_singleton.mpr (Finset.gcd_dvd hz)
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
⊢ x ∈ J * span {g}

Tactic:
have hxJg : x ∈ J * span {g} := mul_mono_right hK' hxT
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
hx : x = 0
apply : J * K = 0
⊢ False

Tactic:
apply hJK0
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
hx : x = 0
⊢ J * K = 0

Tactic:
simpa [hJK]
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
⊢ x ≠ 0

Tactic:
have hx0 : x ≠ 0 := by
    intro hx
    apply hJK0
    simpa [hJK]
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this_1 : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
hx0 : x ≠ 0
this : J * span {g} = span {x}
obtain :
  ∀ (y : R) (hyJ : y ∈ J) (hJK : J * K = R ∙ y * g) (hxmemJK : y * g ∈ J * K) (hxT : y * g ∈ J * K')
    (hxJg : y * g ∈ J * span {g}) (hx0 : y * g ≠ 0) (this : J * span {g} = span {y * g}), Submodule.IsPrincipal J
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
obtain ⟨y, hyJ, rfl⟩ := (Ideal.mem_mul_span_singleton).1 hxJg

Premises used: Iff.mp, Ideal.mem_mul_span_singleton, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this_1 : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
y : R
hyJ : y ∈ J
hJK : J * K = R ∙ y * g
hxmemJK : y * g ∈ J * K
hxT : y * g ∈ J * K'
hxJg : y * g ∈ J * span {g}
hx0 : y * g ≠ 0
this : J * span {g} = span {y * g}
rw : ∀ (this : J = span {y}), Submodule.IsPrincipal J
rw₁ : ∀ (this : J * span {g} = HMul.hMul (α := Ideal R) (span {y}) (span {g})), g ≠ 0
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
rw [← span_singleton_mul_span_singleton, span_singleton_mul_left_inj] at this

Premises used: Ideal.span_singleton_mul_span_singleton, Ideal.span_singleton_mul_left_inj
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this_1 : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
y : R
hyJ : y ∈ J
hJK : J * K = R ∙ y * g
hxmemJK : y * g ∈ J * K
hxT : y * g ∈ J * K'
hxJg : y * g ∈ J * span {g}
hx0 : y * g ≠ 0
this : J = span {y}
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
⟨y, this⟩

Premises used: Submodule.IsPrincipal.mk, Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this_1 : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
y : R
hyJ : y ∈ J
hJK : J * K = R ∙ y * g
hxmemJK : y * g ∈ J * K
hxT : y * g ∈ J * K'
hxJg : y * g ∈ J * span {g}
hx0 : y * g ≠ 0
this : J = span {y}
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
exact ⟨y, this⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this_1 : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
y : R
hyJ : y ∈ J
hJK : J * K = R ∙ y * g
hxmemJK : y * g ∈ J * K
hxT : y * g ∈ J * K'
hxJg : y * g ∈ J * span {g}
hx0 : y * g ≠ 0
this : J * span {g} = HMul.hMul (α := Ideal R) (span {y}) (span {g})
contrapose : ∀ (hx0 : g = 0), y * g = 0
⊢ g ≠ 0

Tactic:
contrapose hx0
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this_1 : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
y : R
hyJ : y ∈ J
hJK : J * K = R ∙ y * g
hxmemJK : y * g ∈ J * K
hxT : y * g ∈ J * K'
hxJg : y * g ∈ J * span {g}
this : J * span {g} = HMul.hMul (α := Ideal R) (span {y}) (span {g})
hx0 : g = 0
rw : y * 0 = 0
rw₁ rw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0
⊢ y * g = 0

Tactic:
rw [hx0, mul_zero]

Premises used: MulZeroClass.mul_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
hx0 : x ≠ 0
suffices : J * span {g} = span {x}
⊢ Submodule.IsPrincipal J

Tactic:
suffices J * span {g} = span {x} by
    obtain ⟨y, hyJ, rfl⟩ := (Ideal.mem_mul_span_singleton).1 hxJg
    rw [← span_singleton_mul_span_singleton, span_singleton_mul_left_inj] at this
    · exact ⟨y, this⟩
    · contrapose hx0
      rw [hx0, mul_zero]
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
hx0 : x ≠ 0
⊢ J * span {g} = span {x}

Tactic:
le_antisymm
      (mul_le.mpr fun b hb z hz ↦ ?_)
      ((span_singleton_le_iff_mem _).mpr hxJg)

Premises used: Iff.mpr, Ideal.mul_le, Ideal.span_singleton_le_iff_mem, le_antisymm
-- Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Nonempty.{u_1 + 1} (NormalizedGCDMonoid R)
J : Ideal R
this : NormalizedGCDMonoid R := Classical.choice ⋯
K : Ideal R
hJK0 : J * K ≠ 0
hK : Submodule.IsPrincipal (J * K)
x : R
hJK : J * K = R ∙ x
hxmemJK : x ∈ J * K
T : Finset R
hTK : (↑T : Set R) ⊆ (↑K : Set R)
K' : Ideal R := span (↑T : Set R)
hxT : x ∈ J * K'
g : R := T.gcd id
hK' : K' ≤ span {g}
hxJg : x ∈ J * span {g}
hx0 : x ≠ 0
refine :
  ∀ (b : R) (hb : b ∈ J) (z : R) (hz : Membership.mem (γ := Ideal R) (span {g}) z),
    Membership.mem (γ := Ideal R) (span {x}) (b * z)
⊢ J * span {g} = span {x}

Tactic:
refine le_antisymm
      (mul_le.mpr fun b hb z hz ↦ ?_)
      ((span_singleton_le_iff_mem _).mpr hxJg)