awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
i j : E.I₀
Z : C
gi : Z ⟶ E.X i
gj : Z ⟶ E.X j
hgij : gi ≫ E.f i = gj ≫ E.f j
Y : C
f : Y ⟶ Z
h_1 : (E.sieve₁ gi gj).arrows f
k : E.I₁ i j
h : Y ⟶ E.Y k
hf₁ : f ≫ gi = h ≫ E.p₁ k
hf₂ : f ≫ gj = h ≫ E.p₂ k
⊢ Eq (α := F.obj (op (E.Y k)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.p₁ k).op) : (a : F.obj (op (E.X i))) → F.obj (op (E.Y k)))
        (s i) :
      F.obj (op (E.Y k)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.p₂ k).op) : (a : F.obj (op (E.X j))) → F.obj (op (E.Y k)))
        (s j) :
      F.obj (op (E.Y k)))

Tactic:
(H' k).ext fun W p hp ↦ ?_

Premises used: CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor.ext
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
i j : E.I₀
Z : C
gi : Z ⟶ E.X i
gj : Z ⟶ E.X j
hgij : gi ≫ E.f i = gj ≫ E.f j
Y : C
f : Y ⟶ Z
h_1 : (E.sieve₁ gi gj).arrows f
k : E.I₁ i j
h : Y ⟶ E.Y k
hf₁ : f ≫ gi = h ≫ E.p₁ k
hf₂ : f ≫ gj = h ≫ E.p₂ k
h₃ :
  ∀ (W : C) (p : W ⟶ E.Y k) (hp : (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows p),
    Eq (α := (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map p.op) :
            (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op (E.Y k)))) → (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.p₁ k).op) :
                (a : F.obj (op (E.X i))) → F.obj (op (E.Y k)))
              (s i) :
            F.obj (op (E.Y k))) :
        (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map p.op) :
            (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op (E.Y k)))) → (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.p₂ k).op) :
                (a : F.obj (op (E.X j))) → F.obj (op (E.Y k)))
              (s j) :
            F.obj (op (E.Y k))) :
        (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
⊢ Eq (α := F.obj (op (E.Y k)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.p₁ k).op) : (a : F.obj (op (E.X i))) → F.obj (op (E.Y k)))
        (s i) :
      F.obj (op (E.Y k)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.p₂ k).op) : (a : F.obj (op (E.X j))) → F.obj (op (E.Y k)))
        (s j) :
      F.obj (op (E.Y k)))

Tactic:
refine (H' k).ext fun W p hp ↦ ?_

Premises used: CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor.ext
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
i j : E.I₀
Z : C
gi : Z ⟶ E.X i
gj : Z ⟶ E.X j
hgij : gi ≫ E.f i = gj ≫ E.f j
Y : C
f : Y ⟶ Z
h_1 : (E.sieve₁ gi gj).arrows f
k : E.I₁ i j
h : Y ⟶ E.Y k
hf₁ : f ≫ gi = h ≫ E.p₁ k
hf₂ : f ≫ gj = h ≫ E.p₂ k
W : C
p : W ⟶ E.Y k
hp : (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows p
⊢ (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows (p ≫ E.p₁ k)

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
i j : E.I₀
Z : C
gi : Z ⟶ E.X i
gj : Z ⟶ E.X j
hgij : gi ≫ E.f i = gj ≫ E.f j
Y : C
f : Y ⟶ Z
h_1 : (E.sieve₁ gi gj).arrows f
k : E.I₁ i j
h : Y ⟶ E.Y k
hf₁ : f ≫ gi = h ≫ E.p₁ k
hf₂ : f ≫ gj = h ≫ E.p₂ k
W : C
p : W ⟶ E.Y k
hp : (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows p
⊢ (Sieve.pullback (E.f j) S).arrows (p ≫ E.p₂ k)

Tactic:
simpa [← E.w]

Premises used: CategoryTheory.PreOneHypercover.w
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
i j : E.I₀
Z : C
gi : Z ⟶ E.X i
gj : Z ⟶ E.X j
hgij : gi ≫ E.f i = gj ≫ E.f j
Y : C
f : Y ⟶ Z
h_1 : (E.sieve₁ gi gj).arrows f
k : E.I₁ i j
h : Y ⟶ E.Y k
hf₁ : f ≫ gi = h ≫ E.p₁ k
hf₂ : f ≫ gj = h ≫ E.p₂ k
W : C
p : W ⟶ E.Y k
hp : (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows p
h₃ :
  Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t (p ≫ E.p₁ k) ⋯ =
    Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f j) t (p ≫ E.p₂ k) ⋯
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map p.op) :
          (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op (E.Y k)))) → (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.p₁ k).op) : (a : F.obj (op (E.X i))) → F.obj (op (E.Y k)))
            (s i) :
          F.obj (op (E.Y k))) :
      (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map p.op) :
          (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op (E.Y k)))) → (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.p₂ k).op) : (a : F.obj (op (E.X j))) → F.obj (op (E.Y k)))
            (s j) :
          F.obj (op (E.Y k))) :
      (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op W)))

Tactic:
simp only [← comp_apply, ← Functor.map_comp, ← op_comp, hs i (p ≫ E.p₁ k) (by simpa),
      hs j (p ≫ E.p₂ k) (by simpa [← E.w])]

Premises used: CategoryTheory.op_comp, CategoryTheory.comp_apply, CategoryTheory.PreOneHypercover.p₂, CategoryTheory.CategoryStruct.comp, CategoryTheory.Functor.map_comp, CategoryTheory.PreOneHypercover.p₁
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
i j : E.I₀
Z : C
gi : Z ⟶ E.X i
gj : Z ⟶ E.X j
hgij : gi ≫ E.f i = gj ≫ E.f j
Y : C
f : Y ⟶ Z
h_1 : (E.sieve₁ gi gj).arrows f
k : E.I₁ i j
h : Y ⟶ E.Y k
hf₁ : f ≫ gi = h ≫ E.p₁ k
hf₂ : f ≫ gj = h ≫ E.p₂ k
W : C
p : W ⟶ E.Y k
hp : (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows p
h₃ : t ((p ≫ E.p₁ k) ≫ E.f i) ⋯ = t ((p ≫ E.p₂ k) ≫ E.f j) ⋯
⊢ Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t (p ≫ E.p₁ k) ⋯ =
    Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f j) t (p ≫ E.p₂ k) ⋯

Tactic:
dsimp only [Presieve.FamilyOfElements.pullback]

Premises used: CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.pullback
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
i j : E.I₀
Z : C
gi : Z ⟶ E.X i
gj : Z ⟶ E.X j
hgij : gi ≫ E.f i = gj ≫ E.f j
Y : C
f : Y ⟶ Z
h_1 : (E.sieve₁ gi gj).arrows f
k : E.I₁ i j
h : Y ⟶ E.Y k
hf₁ : f ≫ gi = h ≫ E.p₁ k
hf₂ : f ≫ gj = h ≫ E.p₂ k
W : C
p : W ⟶ E.Y k
hp : (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows p
h₃ : (p ≫ E.p₁ k) ≫ E.f i = (p ≫ E.p₂ k) ≫ E.f j
⊢ t ((p ≫ E.p₁ k) ≫ E.f i) ⋯ = t ((p ≫ E.p₂ k) ≫ E.f j) ⋯

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
i j : E.I₀
Z : C
gi : Z ⟶ E.X i
gj : Z ⟶ E.X j
hgij : gi ≫ E.f i = gj ≫ E.f j
Y : C
f : Y ⟶ Z
h_1 : (E.sieve₁ gi gj).arrows f
k : E.I₁ i j
h : Y ⟶ E.Y k
hf₁ : f ≫ gi = h ≫ E.p₁ k
hf₂ : f ≫ gj = h ≫ E.p₂ k
W : C
p : W ⟶ E.Y k
hp : (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows p
⊢ (p ≫ E.p₁ k) ≫ E.f i = (p ≫ E.p₂ k) ≫ E.f j

Tactic:
simp [E.w]

Premises used: CategoryTheory.PreOneHypercover.w
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
⊢ Presieve.Arrows.Compatible F E.f s

Tactic:
have hr : Presieve.Arrows.Compatible _ E.f s := by
    intro i j Z gi gj hgij
    refine (h₁.isSeparatedFor_sieve₁ gi gj hgij).ext fun Y f ⟨k, h, hf₁, hf₂⟩ ↦ ?_
    simp only [← comp_apply, ← Functor.map_comp, ← op_comp, hf₁, hf₂]
    simp only [op_comp, Functor.map_comp, comp_apply]
    congr! 1
    refine (H' k).ext fun W p hp ↦ ?_
    simp only [← comp_apply, ← Functor.map_comp, ← op_comp, hs i (p ≫ E.p₁ k) (by simpa),
      hs j (p ≫ E.p₂ k) (by simpa [← E.w])]
    dsimp only [Presieve.FamilyOfElements.pullback]
    congr 1
    simp [E.w]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
hr : Presieve.Arrows.Compatible F E.f s
obtain :
  ∀ (s' : Presieve.FamilyOfElements F (Presieve.ofArrows E.X E.f)) (hs' : ∀ (i : E.I₀), s' (E.f i) ⋯ = s i),
    ∃! t_1 : F.obj (op X), t.IsAmalgamation (R := S.arrows) t_1
⊢ ∃! t_1 : F.obj (op X), t.IsAmalgamation (R := S.arrows) t_1

Tactic:
obtain ⟨s', hs'⟩ := hr.exists_familyOfElements

Premises used: CategoryTheory.Presieve.Arrows.Compatible.exists_familyOfElements
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
hr : Presieve.Arrows.Compatible F E.f s
s' : Presieve.FamilyOfElements F (Presieve.ofArrows E.X E.f)
hs' : ∀ (i : E.I₀), s' (E.f i) ⋯ = s i
obtain :
  ∀ (t' : F.obj (op X))
    (ht' :
      ∀ (i : E.I₀),
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.f i).op) :
              (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op X))) → (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op (E.X i))))
            t' =
          s i)
    (hunique :
      ∀ (y : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op X))),
        (fun (t : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op X))) ↦
              ∀ (i : E.I₀),
                (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.f i).op) :
                      (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op X))) → (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op (E.X i))))
                    t =
                  s i)
            y →
          y = t'),
    ∃! t_1 : F.obj (op X), t.IsAmalgamation (R := S.arrows) t_1
⊢ ∃! t_1 : F.obj (op X), t.IsAmalgamation (R := S.arrows) t_1

Tactic:
obtain ⟨t', ht', hunique⟩ := (Presieve.isSheafFor_arrows_iff _ _).mp h₁.isSheafFor_presieve₀ _ hr

Premises used: CategoryTheory.PreOneHypercover.IsStronglySheafFor.isSheafFor_presieve₀, CategoryTheory.Presieve.isSheafFor_arrows_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.SheafOfTypes
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : C
E : PreOneHypercover.{w, v_1, u_1} X
F : Functor.{v_1, u_2, u_1, u_2 + 1} Cᵒᵖ (Type u_2)
h₁ : E.IsStronglySheafFor F
h₂ :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X),
    Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback f (PreZeroHypercover.sieve₀.{w, v_1, u_1} E.toPreZeroHypercover)).arrows
S : Sieve.{v_1, u_1} X
H : ∀ (i : E.I₀), Presieve.IsSheafFor F (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows
H' : ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j), Presieve.IsSeparatedFor F (Sieve.pullback (E.p₁ k ≫ E.f i) S).arrows
t : Presieve.FamilyOfElements F S.arrows
ht : t.Compatible (R := S.arrows)
s : (i : E.I₀) → F.obj (op (E.X i))
hs :
  ∀ (i : E.I₀),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
        (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
      (s i)
huniq :
  ∀ (i : E.I₀) (y : F.obj (op (E.X i))),
    (fun (t_1 : F.obj (op (E.X i))) ↦
          (Presieve.FamilyOfElements.pullback (E.f i) t).IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback (E.f i) S).arrows) t_1)
        y →
      y = s i
hr : Presieve.Arrows.Compatible F E.f s
s' : Presieve.FamilyOfElements F (Presieve.ofArrows E.X E.f)
hs' : ∀ (i : E.I₀), s' (E.f i) ⋯ = s i
t' : F.obj (op X)
ht' :
  ∀ (i : E.I₀),
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.f i).op) :
          (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op X))) → (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op (E.X i))))
        t' =
      s i
hunique :
  ∀ (y : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op X))),
    (fun (t : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op X))) ↦
          ∀ (i : E.I₀),
            (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (E.f i).op) :
                  (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op X))) → (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (op (E.X i))))
                t =
              s i)
        y →
      y = t'
⊢ ∃! t_1 : F.obj (op X), t.IsAmalgamation (R := S.arrows) t_1

Tactic:
⟨t', fun T f hf ↦ (h₂ f).ext fun Z g hg ↦ ?_, fun y hy ↦ ?_⟩

Premises used: CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor.ext, ExistsUnique, And.intro, Exists.intro