-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
inst_14 : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
A' : x₀ = (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this_1 :
  Eq (α :=
    TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) →L[𝕜]
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    (ContinuousLinearMap.inverse
      (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
    (mfderiv% (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') V (range (↑I' : H' → E'))
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') V (range (↑I' : H' → E'))
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') W (range (↑I' : H' → E'))
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') W (range (↑I' : H' → E'))
F : E → E' := ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M)
hF : F = ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M)
hFx₀ : (↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f x₀) = F ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
Y : (x : M') → TangentSpace I' x
this_2 :
  (extChartAt I x₀).target ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀
y : E
hy : y ∈ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)
h'''y : y ∈ (extChartAt I x₀).target
h'y : f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y) ∈ (extChartAt I' (f x₀)).source
h''y : f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y) ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (f x₀))).source
huy : UniqueMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) y
this_3 :
  f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y) =
    (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M')
      ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))
this :
  Eq (α :=
    TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)) →L[𝕜]
      TangentSpace I'
        ((↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M')
          ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))))
    (ContinuousLinearMap.comp (M₂ :=
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))
      (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') (range (↑I' : H' → E'))
        ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))
      (mfderiv% (↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))
    (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))
⊢ Eq (α := TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y →L[𝕜] TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))
    (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E)) y)
    (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M)
      ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) y)

Tactic:
exact ((mdifferentiableWithinAt_extChartAt_symm h'''y).mfderivWithin_mono huy
      inter_subset_right).symm

Premises used: mdifferentiableWithinAt_extChartAt_symm, MDifferentiableWithinAt.mfderivWithin_mono, Eq.symm, Set.inter_subset_right