awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
a : R
hay : a • y ∈ N
M' N' : Submodule R M
N'_le_N : N' ≤ N
ay_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h' :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'),
                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)
neg : ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
obtain ⟨n', ⟨bN'⟩⟩ := ih N' N'_le_N _ hay ay_ortho
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
a : R
hay : a • y ∈ N
M' N' : Submodule R M
N'_le_N : N' ≤ N
ay_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h' :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'),
                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'
neg :
  ∀ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N)
    (_hbN :
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'),
                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)),
    ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
obtain ⟨bN, _hbN⟩ := h' n' bN'
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
a : R
hay : a • y ∈ N
M' N' : Submodule R M
N'_le_N : N' ≤ N
ay_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h' :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'),
                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N
_hbN :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
    ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'),
            (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
              HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
          ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
            ∀ (i : Fin (n' + 1)),
              (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
⟨n' + 1, ⟨bN⟩⟩

Premises used: Nonempty.intro, HAdd.hAdd, Exists.intro, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
a : R
hay : a • y ∈ N
M' N' : Submodule R M
N'_le_N : N' ≤ N
ay_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h' :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'),
                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N
_hbN :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
    ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
      ∀ (as : Fin n' → R),
        (∀ (i : Fin n'),
            (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
              HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
          ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
            ∀ (i : Fin (n' + 1)),
              (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
exact ⟨n' + 1, ⟨bN⟩⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
intro :
  ∀ (N : Submodule R M)
    (ih :
      ∀ N' ≤ N,
        ∀ x ∈ N,
          (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')),
    ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)

Tactic:
induction N using inductionOnRank b with | ih N ih =>
  let b' := (b.reindex (Fintype.equivFin ι)).map (LinearEquiv.ofTop _ rfl).symm
  by_cases N_bot : N = ⊥
  · subst N_bot
    exact ⟨0, ⟨Basis.empty _⟩⟩
  obtain ⟨y, -, a, hay, M', -, N', N'_le_N, -, -, ay_ortho, h'⟩ :=
    Submodule.basis_of_pid_aux ⊤ N b' N_bot le_top
  obtain ⟨n', ⟨bN'⟩⟩ := ih N' N'_le_N _ hay ay_ortho
  obtain ⟨bN, _hbN⟩ := h' n' bN'
  exact ⟨n' + 1, ⟨bN⟩⟩

Premises used: Submodule.inductionOnRank
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
obtain :
  ∀ (n : ℕ) (b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥),
    Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
      (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) n b')
      (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥))
⊢ Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) (basisOfPid b ⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥))

Tactic:
obtain ⟨n, b'⟩ := Submodule.basisOfPid b ⊥

Premises used: Submodule.basisOfPid, Bot.bot
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
n : ℕ
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥
e : Fin n ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ n = 0

Tactic:
simpa using Fintype.card_eq.mpr ⟨e⟩

Premises used: Iff.mpr, Fintype.card_eq, Nonempty.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
n : ℕ
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥
e : Fin n ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
obtain :
  ∀ (b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin 0) R ↥⊥),
    Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
      (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 b' : (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
      (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥) :
        (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
⊢ Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) n b')
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥))

Tactic:
obtain rfl : n = 0 := by simpa using Fintype.card_eq.mpr ⟨e⟩

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin 0) R ↥⊥
e : Fin 0 ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 b' : (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥) :
      (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)

Tactic:
Sigma.eq rfl (Basis.eq_of_apply_eq <| finZeroElim)

Premises used: finZeroElim, Sigma.eq, Module.Basis.eq_of_apply_eq, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin 0) R ↥⊥
e : Fin 0 ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 b' : (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥) :
      (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)

Tactic:
exact Sigma.eq rfl (Basis.eq_of_apply_eq <| finZeroElim)

Premises used: finZeroElim, Sigma.eq, Module.Basis.eq_of_apply_eq, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
⊢ ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)

Tactic:
have := exists_maximal_linearIndepOn R s
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
⊢ LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))

Tactic:
obtain
      ⟨indepI : LinearIndependent R (s ∘ (fun x => x) : I → M), hI :
        ∀ i ∉ I, ∃ a : R, a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ span R (s '' I)⟩ :=
      this.choose_spec

Premises used: Exists.choose_spec, Function.comp, LinearIndependent, Submodule.span, Set.image, Subtype.val
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
⊢ ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)

Tactic:
obtain
      ⟨indepI : LinearIndependent R (s ∘ (fun x => x) : I → M), hI :
        ∀ i ∉ I, ∃ a : R, a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ span R (s '' I)⟩ :=
      this.choose_spec

Premises used: Exists.choose_spec, Function.comp, LinearIndependent, Submodule.span, Set.image, Subtype.val
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
N : Submodule R M := span R (range (ι := (↑I : Type u_1)) (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι)))
_sI : (↑I : Type u_1) → ↥N := fun (i : (↑I : Type u_1)) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (s (↑i : ι)) ⋯
sI_basis : Basis.{u_1, u_2, u_3} (↑I : Type u_1) R ↥N := Basis.span indepI
i : ι
pos : ∀ (hi : i ∈ I), ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N
neg : ∀ (hi : i ∉ I), ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N
⊢ ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N

Tactic:
by_cases hi : i ∈ I
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
N : Submodule R M := span R (range (ι := (↑I : Type u_1)) (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι)))
_sI : (↑I : Type u_1) → ↥N := fun (i : (↑I : Type u_1)) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (s (↑i : ι)) ⋯
sI_basis : Basis.{u_1, u_2, u_3} (↑I : Type u_1) R ↥N := Basis.span indepI
i : ι
hi : i ∈ I
right : HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 1 (s i) ∈ N
⊢ ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N

Tactic:
use 1, zero_ne_one.symm

Premises used: zero_ne_one, Ne.symm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
N : Submodule R M := span R (range (ι := (↑I : Type u_1)) (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι)))
_sI : (↑I : Type u_1) → ↥N := fun (i : (↑I : Type u_1)) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (s (↑i : ι)) ⋯
sI_basis : Basis.{u_1, u_2, u_3} (↑I : Type u_1) R ↥N := Basis.span indepI
i : ι
hi : i ∈ I
right : s i ∈ N
⊢ HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 1 (s i) ∈ N

Tactic:
rw [one_smul]

Premises used: one_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
N : Submodule R M := span R (range (ι := (↑I : Type u_1)) (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι)))
_sI : (↑I : Type u_1) → ↥N := fun (i : (↑I : Type u_1)) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (s (↑i : ι)) ⋯
sI_basis : Basis.{u_1, u_2, u_3} (↑I : Type u_1) R ↥N := Basis.span indepI
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ N

Tactic:
subset_span (mem_range_self (⟨i, hi⟩ : I))

Premises used: Set.mem_range_self, Set.Mem, Subtype.mk, Submodule.subset_span
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
N : Submodule R M := span R (range (ι := (↑I : Type u_1)) (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι)))
_sI : (↑I : Type u_1) → ↥N := fun (i : (↑I : Type u_1)) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (s (↑i : ι)) ⋯
sI_basis : Basis.{u_1, u_2, u_3} (↑I : Type u_1) R ↥N := Basis.span indepI
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ N

Tactic:
exact subset_span (mem_range_self (⟨i, hi⟩ : I))

Premises used: Set.mem_range_self, Subtype.mk, Submodule.subset_span
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
N : Submodule R M := span R (range (ι := (↑I : Type u_1)) (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι)))
_sI : (↑I : Type u_1) → ↥N := fun (i : (↑I : Type u_1)) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (s (↑i : ι)) ⋯
sI_basis : Basis.{u_1, u_2, u_3} (↑I : Type u_1) R ↥N := Basis.span indepI
i : ι
hi : i ∉ I
⊢ ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N

Tactic:
simpa [image_eq_range s I] using hI i hi

Premises used: Set.image_eq_range