awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : (↑(#(A.sup id)) : ℝ) ≤ HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#x) : ℝ) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑m : ℝ) 1 / (↑m : ℝ))
h₁ : (↑(#(B.sup id)) : ℝ) ≤ HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#B) : ℝ) (↑(#y) : ℝ) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑m : ℝ) 1 / (↑m : ℝ))
⊢ HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#(A.sup id)) : ℝ) (↑(#(B.sup id)) : ℝ) ≤
    HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#x) : ℝ) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑m : ℝ) 1 / (↑m : ℝ)) *
      (HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#B) : ℝ) (↑(#y) : ℝ) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑m : ℝ) 1 / (↑m : ℝ)))

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
sz_positivity sz_positivity₁ sz_positivity₂ sz_positivity₃ : 0 < m → LT.lt (α := ℝ) 0 (↑m : ℝ)
sz_positivity₄ sz_positivity₅ : 0 < m → 0 < ε → LT.lt (α := ℝ) 0 (↑m : ℝ)
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (↑m : ℝ)

Tactic:
sz_positivity
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ (↑(#(A.sup id)) : ℝ) ≤ HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#x) : ℝ) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑m : ℝ) 1 / (↑m : ℝ))

Tactic:
exacts [sum_card_subset_chunk_parts_le (by sz_positivity) hA hx,
          sum_card_subset_chunk_parts_le (by sz_positivity) hB hy]

Premises used: _private.0.SzemerediRegularity.sum_card_subset_chunk_parts_le
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ 0 ≤ HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#x) : ℝ) * HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#B) : ℝ) (↑(#y) : ℝ)

Tactic:
exact_mod_cast _root_.zero_le

Premises used: zero_le
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : 0 < #(A.sup id) * #(B.sup id)
⊢ 0 < HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#(A.sup id)) : ℝ) (↑(#(B.sup id)) : ℝ)

Tactic:
rw [← cast_mul, cast_pos]

Premises used: Nat.cast_pos, Nat.cast_mul
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : 0 < #(A.sup id)
h₁ : 0 < #(B.sup id)
⊢ 0 < #(A.sup id) * #(B.sup id)

Tactic:
apply mul_pos

Premises used: mul_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : ∃ x ∈ A, (id x).Nonempty
⊢ 0 < #(A.sup id)

Tactic:
rw [Finset.card_pos, sup_eq_biUnion, biUnion_nonempty]

Premises used: Finset.biUnion_nonempty, Finset.sup_eq_biUnion, Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : ∃ x ∈ B, (id x).Nonempty
⊢ 0 < #(B.sup id)

Tactic:
rw [Finset.card_pos, sup_eq_biUnion, biUnion_nonempty]

Premises used: Finset.biUnion_nonempty, Finset.sup_eq_biUnion, Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ∃ x ∈ A, (id x).Nonempty

Tactic:
⟨_, hx, nonempty_of_mem_parts _ (hA hx)⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Finpartition.nonempty_of_mem_parts
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ∃ x ∈ A, (id x).Nonempty

Tactic:
exact ⟨_, hx, nonempty_of_mem_parts _ (hA hx)⟩
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ∃ x ∈ B, (id x).Nonempty

Tactic:
⟨_, hy, nonempty_of_mem_parts _ (hB hy)⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Finpartition.nonempty_of_mem_parts
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ∃ x ∈ B, (id x).Nonempty

Tactic:
exact ⟨_, hy, nonempty_of_mem_parts _ (hB hy)⟩
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ 0 < HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#x) : ℝ) * HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#B) : ℝ) (↑(#y) : ℝ)

Tactic:
mul_pos (mul_pos ?_ ?_) (mul_pos ?_ ?_)

Premises used: mul_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(#A) : ℝ)
h₁ : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(#x) : ℝ)
h₂ : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(#B) : ℝ)
h₃ : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(#y) : ℝ)
⊢ 0 < HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#x) : ℝ) * HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#B) : ℝ) (↑(#y) : ℝ)

Tactic:
refine mul_pos (mul_pos ?_ ?_) (mul_pos ?_ ?_)

Premises used: mul_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : A.Nonempty
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(#A) : ℝ)

Tactic:
rw [cast_pos, Finset.card_pos]

Premises used: Nat.cast_pos, Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : x.Nonempty
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(#x) : ℝ)

Tactic:
rw [cast_pos, Finset.card_pos]

Premises used: Nat.cast_pos, Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : B.Nonempty
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(#B) : ℝ)

Tactic:
rw [cast_pos, Finset.card_pos]

Premises used: Nat.cast_pos, Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
h : y.Nonempty
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(#y) : ℝ)

Tactic:
rw [cast_pos, Finset.card_pos]

Premises used: Nat.cast_pos, Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ A.Nonempty

Tactic:
⟨_, hx⟩

Premises used: Exists.intro, Finset.Nonempty
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ x.Nonempty

Tactic:
nonempty_of_mem_parts _ (hA hx)

Premises used: Finpartition.nonempty_of_mem_parts
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ B.Nonempty

Tactic:
⟨_, hy⟩

Premises used: Exists.intro, Finset.Nonempty
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ y.Nonempty

Tactic:
nonempty_of_mem_parts _ (hB hy)

Premises used: Finpartition.nonempty_of_mem_parts
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49) * (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) + HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ A.Nonempty

Tactic:
exacts [⟨_, hx⟩, nonempty_of_mem_parts _ (hA hx), ⟨_, hy⟩, nonempty_of_mem_parts _ (hB hy)]

Premises used: Finpartition.nonempty_of_mem_parts
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
rw :
  (∑ ab ∈ A.product B, (↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) : ℝ)) / HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#B) : ℝ) -
        (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
      HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49 ∧
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) -
        (∑ ab ∈ A.product B, (↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) : ℝ)) / HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#B) : ℝ) ≤
      HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
⊢ |(∑ ab ∈ A.product B, (↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) : ℝ)) / HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#B) : ℝ) -
        (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ)| ≤
    HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49

Tactic:
rw [abs_sub_le_iff]

Premises used: abs_sub_le_iff
-- Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Chunk
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
inst_1 : DecidableEq α
P : Finpartition (α := Finset α) univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst_2 : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst_3 : Nonempty α
hPα : #P.parts * HPow.hPow (α := ℕ) 16 #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) 4 #P.parts * HPow.hPow (β := ℕ) ε 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
left :
  (∑ ab ∈ A.product B, (↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) : ℝ)) / HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#B) : ℝ) -
      (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
    HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
right :
  (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) -
      (∑ ab ∈ A.product B, (↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) : ℝ)) / HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#B) : ℝ) ≤
    HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, (↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) : ℝ)) / HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#B) : ℝ) -
        (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) ≤
      HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49 ∧
    (↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) : ℝ) -
        (∑ ab ∈ A.product B, (↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2) : ℝ)) / HMul.hMul (α := ℝ) (↑(#A) : ℝ) (↑(#B) : ℝ) ≤
      HPow.hPow (β := ℕ) ε 5 / 49

Tactic:
constructor