-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra_1 : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
rwa :
  ∀
    (h₁ :
      HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) l : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) l)
    (h₂ :
      HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) m)
    (this : Module.IsReflexive R M) (this : IsAddTorsionFree M) (contra : P.IsG2) (n : ι)
    (h₃ :
      (P.root : (a : ι) → M) n =
        HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    (x y : ℤ)
    (h₀ :
      HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) k)
    (hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)),
    (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
rwa₁ :
  ∀
    (h₁ :
      HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) l)
    (h₂ :
      HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) m)
    (this : Module.IsReflexive R M) (this : IsAddTorsionFree M) (contra : P.IsG2) (n : ι)
    (h₃ :
      (P.root : (a : ι) → M) n =
        HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    (x y : ℤ)
    (h₀ :
      HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) k)
    (hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)),
    (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
rwa₂ :
  ∀
    (h₁ :
      (P.root : (a : ι) → M) k =
        HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M))
    (h₂ :
      HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) m)
    (this : Module.IsReflexive R M) (this : IsAddTorsionFree M) (contra : P.IsG2) (n : ι)
    (h₃ :
      (P.root : (a : ι) → M) n =
        HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    (x y : ℤ)
    (h₀ :
      HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) k)
    (hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)),
    (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
rwa₃ rwa₄ rwa₅ rwa₆ :
  ∀ (h₁ : (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M))
    (h₂ :
      HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) m)
    (this : Module.IsReflexive R M) (this : IsAddTorsionFree M) (contra : P.IsG2) (n : ι)
    (h₃ :
      (P.root : (a : ι) → M) n =
        HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    (x y : ℤ)
    (h₀ :
      HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) k)
    (hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    (contra : Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)),
    (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) k = HSMul.hSMul («α» := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) l : M)

Tactic:
rwa [← neg_eq_iff_eq_neg.mpr contra, ← sub_eq_add_neg, sub_eq_iff_eq_add, ← two_nsmul] at h₁

Premises used: Iff.mpr, sub_eq_add_neg, neg_eq_iff_eq_neg, sub_eq_iff_eq_add, two_nsmul