-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.Reflection
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
x y : M
f g : Dual R M
hf : Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((f : (a : M) → R) x : R) (2 : R)
hg : Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((g : (a : M) → R) y : R) (2 : R)
z : M
t : R
ht : t = HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2
m : ℕ
S_eval_t_sub_two :
  ∀ (k : ℤ), Polynomial.eval t (S R (k - 2)) = t * Polynomial.eval t (S R (k - 1)) - Polynomial.eval t (S R k)
S_eval_t_sq_add_S_eval_t_sq :
  ∀ (k : ℤ),
    HPow.hPow (β := ℕ) (Polynomial.eval t (S R k)) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) (Polynomial.eval t (S R (k + 1))) 2 -
        t * Polynomial.eval t (S R k) * Polynomial.eval t (S R (k + 1)) =
      1
k : ℤ := HDiv.hDiv (α := ℤ) (↑m : ℤ) 2
ih :
  ((reflection hf * reflection hg) ^ m : (a : M) → M) z =
    z +
        (Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 2 / 2)) *
            (Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 1 / 2)) +
              Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 3 / 2)))) •
          (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((g : (a : M) → R) x : R) ((f : (a : M) → R) z : R))
                ((g : (a : M) → R) z : R) •
              y -
            HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R) x) +
      (Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 1 / 2)) *
          (Polynomial.eval t (S R k) + Polynomial.eval t (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 2 / 2)))) •
        (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
              ((f : (a : M) → R) z : R) •
            x -
          HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R) y)
e : ℤ
he : e = 0 ∨ e = 1
a :
  ∀
    (S_eval_t_sub_two :
      ∀ (k : ℤ),
        Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
            (S R (k - 2)) =
          (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2) *
              Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                (S R (k - 1)) -
            Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
              (S R k))
    (S_eval_t_sq_add_S_eval_t_sq :
      ∀ (k : ℤ),
        HPow.hPow (β := ℕ)
                (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R k))
                2 +
              HPow.hPow (β := ℕ)
                (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R (k + 1)))
                2 -
            (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2) *
                Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R k) *
              Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                (S R (k + 1)) =
          1)
    (ih :
      ((reflection hf * reflection hg) ^ m : (a : M) → M) z =
        z +
            (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 2 / 2)) *
                (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 1 / 2)) +
                  Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 3 / 2)))) •
              (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((g : (a : M) → R) x : R) ((f : (a : M) → R) z : R))
                    ((g : (a : M) → R) z : R) •
                  y -
                HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R) x) +
          (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 1 / 2)) *
              (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R k) +
                Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R (HSub.hSub (α := ℤ) (↑m : ℤ) 2 / 2)))) •
            (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
                  ((f : (a : M) → R) z : R) •
                x -
              HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R) y)),
    -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (1 : R) -
                HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R)
                  (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)) +
              Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R ((e - 2) / 2 + k)) *
                  (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                      (S R ((e - 1) / 2 + k)) +
                    Polynomial.eval
                      (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                      (S R ((e - 3) / 2 + k))) *
                (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((g : (a : M) → R) x : R) ((f : (a : M) → R) z : R))
                      ((g : (a : M) → R) z : R) *
                    (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R) -
                      2 * -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)) -
                  HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R)
                    (1 - HMul.hMul (α := R) 2 1 -
                      HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) x : R)
                        (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)))) +
            Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R ((e - 1) / 2 + k)) *
                (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (e / 2 + k)) +
                  Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R ((e - 2) / 2 + k))) *
              (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
                    ((f : (a : M) → R) z : R) *
                  (1 - HMul.hMul (α := R) 2 1 -
                    HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) x : R)
                      (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R))) -
                HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R)
                  (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R) -
                    2 * -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R))) +
          ((HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R) *
                  Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (e - 1 + k)) +
                HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R)
                  (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (e - 1 + k)))) *
              ((HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2) *
                  Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (e + k - 1)) -
                Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R (e + k))) +
            HAdd.hAdd (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R))
                ((f : (a : M) → R) z : R) *
              1) -
        (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R ((e + 1 - 2) / 2 + k)) *
                (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R ((e + 1 - 1) / 2 + k)) +
                  Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R ((e + 1 - 3) / 2 + k))) *
              -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (1 : R) +
            Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                  (S R ((e + 1 - 1) / 2 + k)) *
                (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R ((e + 1) / 2 + k)) +
                  Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R ((e + 1 - 2) / 2 + k))) *
              (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
                  ((f : (a : M) → R) z : R) *
                1) +
          ((HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R) *
                  Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (e - 1 + k)) +
                HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R)
                  (Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (e - 1 + k)))) *
              Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                (S R (e + k - 2)) +
            HAdd.hAdd (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R))
                ((f : (a : M) → R) z : R) *
              (HPow.hPow (β := ℕ)
                    (Polynomial.eval
                      (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                      (S R (k - 1)))
                    2 +
                  HPow.hPow (β := ℕ)
                    (Polynomial.eval
                      (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                      (S R (k - 1 + 1)))
                    2 -
                (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2) *
                    Polynomial.eval
                      (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                      (S R (k - 1)) *
                  Polynomial.eval (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) x : R) - 2)
                    (S R (k - 1 + 1))))) =
      0
⊢ -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (1 : R) -
              HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R)
                (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)) +
            Polynomial.eval t (S R ((e - 2) / 2 + k)) *
                (Polynomial.eval t (S R ((e - 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e - 3) / 2 + k))) *
              (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((g : (a : M) → R) x : R) ((f : (a : M) → R) z : R))
                    ((g : (a : M) → R) z : R) *
                  (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R) -
                    2 * -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)) -
                HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R)
                  (1 - HMul.hMul (α := R) 2 1 -
                    HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) x : R)
                      (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R)))) +
          Polynomial.eval t (S R ((e - 1) / 2 + k)) *
              (Polynomial.eval t (S R (e / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e - 2) / 2 + k))) *
            (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
                  ((f : (a : M) → R) z : R) *
                (1 - HMul.hMul (α := R) 2 1 -
                  HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) x : R)
                    (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R))) -
              HMul.hMul (α := R) ((g : (a : M) → R) z : R)
                (-HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R) -
                  2 * -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) (1 : R))) +
        ((HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R) *
                Polynomial.eval t (S R (e - 1 + k)) +
              HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (Polynomial.eval t (S R (e - 1 + k)))) *
            (t * Polynomial.eval t (S R (e + k - 1)) - Polynomial.eval t (S R (e + k))) +
          HAdd.hAdd (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R))
              ((f : (a : M) → R) z : R) *
            1) -
      (Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 2) / 2 + k)) *
              (Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 3) / 2 + k))) *
            -HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (1 : R) +
          Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 1) / 2 + k)) *
              (Polynomial.eval t (S R ((e + 1) / 2 + k)) + Polynomial.eval t (S R ((e + 1 - 2) / 2 + k))) *
            (HSub.hSub (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : M) → R) y : R) ((g : (a : M) → R) z : R))
                ((f : (a : M) → R) z : R) *
              1) +
        ((HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R) *
                Polynomial.eval t (S R (e - 1 + k)) +
              HMul.hMul (α := R) ((f : (a : M) → R) z : R) (Polynomial.eval t (S R (e - 1 + k)))) *
            Polynomial.eval t (S R (e + k - 2)) +
          HAdd.hAdd (β := R) (HMul.hMul (α := R) (β := R) (-(g : (a : M) → R) z : R) ((f : (a : M) → R) y : R))
              ((f : (a : M) → R) z : R) *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (Polynomial.eval t (S R (k - 1))) 2 +
                HPow.hPow (β := ℕ) (Polynomial.eval t (S R (k - 1 + 1))) 2 -
              t * Polynomial.eval t (S R (k - 1)) * Polynomial.eval t (S R (k - 1 + 1))))) =
    0

Tactic:
subst ht