awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
a :
  LE.le (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
    ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ)
a₁ :
  LE.le (α := ℝ) ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ)
    (@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ Eq (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
    ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
apply le_antisymm

Premises used: le_antisymm
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
⊢ Eq (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x)
    (-@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (-f : (a : X) → ℝ) x)

Tactic:
simpa using integral_neg' (-f)

Premises used: MeasureTheory.integral_neg', DFunLike.coe, Neg.neg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
⊢ LE.le (α := ℝ) (-@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (-f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
    (-(Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (-f) : ℝ)

Tactic:
neg_le_neg (integral_riesz_aux Λ (-f))

Premises used: _private.0.RealRMK.integral_riesz_aux, neg_le_neg, Neg.neg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
⊢ Eq (α := ℝ) (-(Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (-f) : ℝ) ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
_ :
  Eq (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x)
    (-@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (-f : (a : X) → ℝ) x)
_₁ : Eq (α := ℝ) (-(Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (-f) : ℝ) ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ)
⊢ LE.le (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
    ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
calc
      _ = - ∫ x, (-f) x ∂(rieszMeasure Λ) := by simpa using integral_neg' (-f)
      _ ≤ - Λ (-f) := neg_le_neg (integral_riesz_aux Λ (-f))
      _ = _ := by simp

Premises used: RealRMK.rieszMeasure, _private.0.RealRMK.integral_riesz_aux, neg_le_neg, DFunLike.coe, Neg.neg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
⊢ LE.le (α := ℝ) ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ)
    (@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
integral_riesz_aux Λ f

Premises used: _private.0.RealRMK.integral_riesz_aux
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
⊢ LE.le (α := ℝ) ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) f : ℝ)
    (@integral _ _ _ _ inst_2 (rieszMeasure Λ) fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
exact integral_riesz_aux Λ f

Premises used: _private.0.RealRMK.integral_riesz_aux
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
⊢ Measure.Regular (rieszMeasure Λ)

Tactic:
(rieszContent _).regular

Premises used: RealRMK.rieszMeasure, MeasureTheory.Content.regular, rieszContent
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞)

Tactic:
ENNReal.le_of_forall_pos_le_add fun ε hε hν ↦ ?_

Premises used: ENNReal.le_of_forall_pos_le_add
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
refine :
  ∀ (ε : NNReal) (hε : 0 < ε) (hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)),
    (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine ENNReal.le_of_forall_pos_le_add fun ε hε hν ↦ ?_

Premises used: ENNReal.le_of_forall_pos_le_add
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
have hνK : ν K ≠ ⊤ := hν.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
have hμK : μ K ≠ ⊤ := hK.measure_lt_top.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ V ⊇ K,
    IsOpen[inst] V ∧ (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
exists_isOpen_le_add K ν (ne_of_gt (ENNReal.coe_lt_coe.mpr hε))

Premises used: Iff.mpr, ENNReal.coe_lt_coe, ne_of_gt, Set.exists_isOpen_le_add
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
obtain :
  ∀ (V : Set X) (pV1 : V ⊇ K) (pV2 : IsOpen[inst] V)
    (pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)),
    (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
obtain ⟨V, pV1, pV2, pV3⟩ : ∃ V ⊇ K, IsOpen V ∧ ν V ≤ ν K + ε :=
    exists_isOpen_le_add K ν (ne_of_gt (ENNReal.coe_lt_coe.mpr hε))

Premises used: Iff.mpr, ENNReal.coe_lt_coe, ne_of_gt, Set.exists_isOpen_le_add, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
this : μ.real K ≤ ν.real K + (↑ε : ℝ)
ha : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hb : (↑ε : ℝ≥0∞) ≠ ∞
ha₁ : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hb₁ : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞) ≠ ∞
⊢ (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
rwa [← ENNReal.toReal_le_toReal, ENNReal.toReal_add, ENNReal.coe_toReal]

Premises used: ENNReal.toReal_add, ENNReal.coe_toReal, ENNReal.toReal_le_toReal
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
this : μ.real K ≤ ν.real K + (↑ε : ℝ)
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
this : μ.real K ≤ ν.real K + (↑ε : ℝ)
⊢ (↑ε : ℝ≥0∞) ≠ ∞

Tactic:
finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
this : μ.real K ≤ ν.real K + (↑ε : ℝ)
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
this : μ.real K ≤ ν.real K + (↑ε : ℝ)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞) ≠ ∞

Tactic:
finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
suffices : μ.real K ≤ ν.real K + (↑ε : ℝ)
⊢ (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
suffices μ.real K ≤ ν.real K + ε by
    rwa [← ENNReal.toReal_le_toReal, ENNReal.toReal_add, ENNReal.coe_toReal]
    all_goals finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞) < ∞

Tactic:
finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
have VltTop : ν V < ⊤ := pV3.trans_lt <| by finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
VltTop : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
obtain :
  ∀ (f : C(X, ℝ)) (hf1 : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 K)
    (hf2 : IsCompact (X := X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)))
    (hf3 :
      tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ V ∧
        ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)),
    ∃ (f : X →C_c ℝ),
      EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 K ∧
        tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ V ∧
          ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ ∃ (f : X →C_c ℝ),
    EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 K ∧
      tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ V ∧
        ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
obtain ⟨f, hf1, hf2, hf3⟩ := exists_continuousMap_one_of_isCompact_subset_isOpen hK pV2 pV1

Premises used: exists_continuousMap_one_of_isCompact_subset_isOpen
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
VltTop : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
f : C(X, ℝ)
hf1 : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 K
hf2 : IsCompact (X := X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ))
hf3 :
  tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ V ∧
    ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ ∃ (f : X →C_c ℝ),
    EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 K ∧
      tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ V ∧
        ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
⟨⟨f, hasCompactSupport_def.mpr hf2⟩, hf1, hf3⟩

Premises used: Iff.mpr, hasCompactSupport_def, And.intro, Exists.intro, CompactlySupportedContinuousMap.mk
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
VltTop : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
f : C(X, ℝ)
hf1 : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 K
hf2 : IsCompact (X := X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ))
hf3 :
  tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ V ∧
    ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ ∃ (f : X →C_c ℝ),
    EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 K ∧
      tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ V ∧
        ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)

Tactic:
exact ⟨⟨f, hasCompactSupport_def.mpr hf2⟩, hf1, hf3⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
μ ν : Measure X
inst_4 : LocallyCompactSpace X
inst_5 : ν.OuterRegular
inst_6 : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst_7 : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hμν : ∀ (f : X →C_c ℝ), LE.le (α := ℝ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂ν)
K : Set X
hK : IsCompact K
ε : NNReal
hε : 0 < ε
hν : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hνK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
hμK : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Set X
pV1 : V ⊇ K
pV2 : IsOpen[inst] V
pV3 : (ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) K : ℝ≥0∞) (↑ε : ℝ≥0∞)
VltTop : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set X) → ℝ≥0∞) V : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
obtain :
  ∀ (f : X →C_c ℝ) (pf1 : EqOn (β := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) 1 K) (pf2 : tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ V)
    (pf3 : ∀ (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)),
    μ.real K ≤ ν.real K + (↑ε : ℝ)
⊢ μ.real K ≤ ν.real K + (↑ε : ℝ)

Tactic:
obtain ⟨f, pf1, pf2, pf3⟩ :
      ∃ f : C_c(X, ℝ), Set.EqOn (⇑f) 1 K ∧ tsupport ⇑f ⊆ V ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Set.Icc 0 1 := by
    obtain ⟨f, hf1, hf2, hf3⟩ := exists_continuousMap_one_of_isCompact_subset_isOpen hK pV2 pV1
    exact ⟨⟨f, hasCompactSupport_def.mpr hf2⟩, hf1, hf3⟩