-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
U : TopCat
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
f : U ⟶ (↑X : TopCat)
h :
  IsOpenEmbedding (X := (↑U : Type v)) (Y := (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f) :
      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
x : (↑U : Type v)
V :
  OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f :
        (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x)
i : (h.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯
op :
  Eq (α :=
    obj
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf)
        (Opposite.op V) ⟶
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f :
                (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
              x))ᵒᵖ)
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf))
    (colimit.ι
      (obj
        (obj
          (whiskeringLeft
            (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))ᵒᵖ
            (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
          (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f :
                  (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                x))))
        X.presheaf)
      (Opposite.op V))
    (NatTrans.app
        (map
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) (X.ofRestrict h).base :
                      (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) (X.ofRestrict h).base :
                    (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          (X.ofRestrict h).c)
        (Opposite.op V) ≫
      (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv) (X.restrict h).presheaf).app
          (Opposite.op V) ≫
        CategoryStruct.comp (Y := (X.restrict h).presheaf.stalk x)
          (colimit.ι
              (obj
                (obj (whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
                  (OpenNhds.inclusion x).op)
                (X.restrict h).presheaf)
              ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (Opposite.op V)) :
            (obj
                    (obj (whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
                      (OpenNhds.inclusion x).op)
                    (X.restrict h).presheaf).obj
                ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (Opposite.op V)) ⟶
              colimit
                (obj
                  (obj (whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
                    (OpenNhds.inclusion x).op)
                  (X.restrict h).presheaf))
          (Iso.hom (X.restrictStalkIso h x) :
            (X.restrict h).presheaf.stalk x ⟶
              colimit (J :=
                (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f :
                        (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                      x))ᵒᵖ)
                (obj
                  (obj
                    (whiskeringLeft
                      (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                                TopCat.carrier) f :
                              (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                            x))ᵒᵖ
                      (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
                    (Functor.op
                      (OpenNhds.inclusion
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                              TopCat.carrier) f :
                            (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                          x))))
                  X.presheaf)))
⊢ Eq (α :=
    obj
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf)
        (Opposite.op V) ⟶
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f :
                (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
              x))ᵒᵖ)
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf))
    (colimit.ι
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf)
        (Opposite.op V) :
      obj
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f :
                        (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                      x))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))))
            X.presheaf)
          (Opposite.op V) ⟶
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f :
                  (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                x))ᵒᵖ)
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f :
                        (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                      x))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))))
            X.presheaf))
    (CategoryStruct.comp (Y := (X.restrict h).presheaf.stalk x)
        (NatTrans.app
            (map
              (obj
                (whiskeringLeft
                  (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) (X.ofRestrict h).base :
                          (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                        x))ᵒᵖ
                  (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
                (Functor.op
                  (OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) (X.ofRestrict h).base :
                        (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                      x))))
              (X.ofRestrict h).c)
            (Opposite.op V) ≫
          (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv)
                  (X.restrict h).presheaf).app
              (Opposite.op V) ≫
            colimit.ι
              (obj
                (obj (whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
                  (OpenNhds.inclusion x).op)
                (X.restrict h).presheaf)
              ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (Opposite.op V)))
        (Iso.hom (X.restrictStalkIso h x)) :
      obj
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f :
                        (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                      x))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))))
            X.presheaf)
          (Opposite.op V) ⟶
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f :
                  (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                x))ᵒᵖ)
          (obj
            (obj
              (whiskeringLeft
                (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f :
                        (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                      x))ᵒᵖ
                (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
              (Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))))
            X.presheaf))

Tactic:
simp_rw [Category.assoc]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc