-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Sheaf.Quasicoherent
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R_1 : Sheaf J RingCat
inst_1 :
  ∀ (X : C),
    (J.over X).HasSheafCompose
      (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
        AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
inst_2 : ∀ (X : C), HasSheafify (J.over X) AddCommGrpCat
inst_3 :
  ∀ (X : C),
    (J.over X).WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CA := AddCommGrpCat.carrier)
inst_4 :
  ∀ (X : C) (Y : Over.{v₁, u₁} X),
    ((J.over X).over Y).HasSheafCompose
      (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
        AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier))
inst_5 : ∀ (X : C) (Y : Over.{v₁, u₁} X), HasSheafify ((J.over X).over Y) AddCommGrpCat
inst_6 :
  ∀ (X : C) (Y : Over.{v₁, u₁} X),
    ((J.over X).over Y).WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CA := AddCommGrpCat.carrier)
R : Sheaf J RingCat
M : SheafOfModules R
I : Type u
X : I → C
hX : J.CoversTop X
D : (i : I) → QuasicoherentData (C := Over.{v₁, u₁} (X i)) (M.over (X i))
i : (i : I) × (D i).I
w :
  ∀ (x : (Over (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))ᵒᵖ),
    NatTrans.app
        (InducedCategory.Hom.hom
            (𝟙
              (Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))) ≫
          (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                        (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).iteratedSliceEquiv.functor.op.whiskerLeft
              (InducedCategory.Hom.hom
                (𝟙
                  (R.over
                    (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                        (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).left))) ≫
            Functor.whiskerRight
              (NatTrans.op
                (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                      (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).iteratedSliceEquiv.unit)
              ((Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                    (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                      (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))).obj
                (P :=
                Presheaf.IsSheaf
                  (GrothendieckTopology.over (J.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                    (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                      (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))))))
        x =
      NatTrans.app
        (𝟙
          ((Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))).obj
            (P :=
            Presheaf.IsSheaf
              (GrothendieckTopology.over (J.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))))))
        x
⊢ InducedCategory.Hom.hom
        (𝟙
          (Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
            (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))) ≫
      (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                    (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).iteratedSliceEquiv.functor.op.whiskerLeft
          (InducedCategory.Hom.hom
            (𝟙
              (R.over
                (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                    (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).left))) ≫
        Functor.whiskerRight
          (NatTrans.op
            (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))
                  (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))).iteratedSliceEquiv.unit)
          ((Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))).obj
            (P :=
            Presheaf.IsSheaf
              (GrothendieckTopology.over (J.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
                (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))))) =
    𝟙
      ((Sheaf.over (R.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
            (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I)))).obj
        (P :=
        Presheaf.IsSheaf
          (GrothendieckTopology.over (J.over (X (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))
            (QuasicoherentData.X (D (i.fst (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))) (i.snd (β := fun (i : I) ↦ (D i).I))))))

Tactic:
ext : 2