awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
      Associates N)
    1
rw :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Associates M)
    (↑((d.symm : (a : (↑(Set.Iic n) : Type u_2)) → (↑(Set.Iic m) : Type u_1))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦ x ∈ Set.Iic n)
            (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
                  (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
              Associates N)
            ⋯)) :
      Associates M)
    1
⊢ u = 1

Tactic:
rw [show u = (d.symm ⟨d ⟨u, hu'⟩, (d ⟨u, hu'⟩).prop⟩) by
        simp only [Subtype.coe_eta, OrderIso.symm_apply_apply, Subtype.coe_mk]]
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
      Associates N)
    1
rw :
  (↑((d.symm : (a : { l : Associates N // l ≤ n }) → { l : Associates M // l ≤ m })
        (Subtype.mk (p := fun (l : Associates N) ↦ l ≤ n) 1 ⋯)) :
    Associates M)
| 1

Tactic:
rw [← factor_orderIso_map_one_eq_bot d.symm]

Premises used: OrderIso.symm, factor_orderIso_map_one_eq_bot
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
      Associates N)
    1
conv_rhs :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Associates M)
    (↑((d.symm : (a : (↑(Set.Iic n) : Type u_2)) → (↑(Set.Iic m) : Type u_1))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦ x ∈ Set.Iic n)
            (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
                  (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
              Associates N)
            ⋯)) :
      Associates M)
    (↑((d.symm : (a : { l : Associates N // l ≤ n }) → { l : Associates M // l ≤ m })
          (Subtype.mk (p := fun (l : Associates N) ↦ l ≤ n) 1 ⋯)) :
      Associates M)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Associates M)
    (↑((d.symm : (a : (↑(Set.Iic n) : Type u_2)) → (↑(Set.Iic m) : Type u_1))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦ x ∈ Set.Iic n)
            (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
                  (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
              Associates N)
            ⋯)) :
      Associates M)
    1

Tactic:
conv_rhs => rw [← factor_orderIso_map_one_eq_bot d.symm]

Premises used: OrderIso.symm, factor_orderIso_map_one_eq_bot
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
      Associates N)
    1
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Associates M)
    (↑((d.symm : (a : (↑(Set.Iic n) : Type u_2)) → (↑(Set.Iic m) : Type u_1))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦ x ∈ Set.Iic n)
            (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
                  (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
              Associates N)
            ⋯)) :
      Associates M)
    (↑((d.symm : (a : { l : Associates N // l ≤ n }) → { l : Associates M // l ≤ m })
          (Subtype.mk (p := fun (l : Associates N) ↦ l ≤ n) 1 ⋯)) :
      Associates M)

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu : u = 1
simp_rw :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) 1 ⋯)) :
      Associates N)
    1
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) u hu')) :
      Associates N)
    1

Tactic:
simp_rw [hu]
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu : u = 1
rw :
  (↑((d : (a : { l : Associates M // l ≤ m }) → { l : Associates N // l ≤ n })
        (Subtype.mk (p := fun (l : Associates M) ↦ l ≤ m) 1 ⋯)) :
    Associates N)
| 1

Tactic:
rw [← factor_orderIso_map_one_eq_bot d]

Premises used: factor_orderIso_map_one_eq_bot
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu : u = 1
conv_rhs :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) 1 ⋯)) :
      Associates N)
    (↑((d : (a : { l : Associates M // l ≤ m }) → { l : Associates N // l ≤ n })
          (Subtype.mk (p := fun (l : Associates M) ↦ l ≤ m) 1 ⋯)) :
      Associates N)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) 1 ⋯)) :
      Associates N)
    1

Tactic:
conv_rhs => rw [← factor_orderIso_map_one_eq_bot d]

Premises used: factor_orderIso_map_one_eq_bot
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
hu : u = 1
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) 1 ⋯)) :
      Associates N)
    (↑((d : (a : { l : Associates M // l ≤ m }) → { l : Associates N // l ≤ n })
          (Subtype.mk (p := fun (l : Associates M) ↦ l ≤ m) 1 ⋯)) :
      Associates N)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
pos :
  ∀ (hs : s = 0),
    HPow.hPow (α := Associates N)
        (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
          Associates N)
        s ≤
      n
neg :
  ∀ (hs : ¬s = 0),
    HPow.hPow (α := Associates N)
        (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
          Associates N)
        s ≤
      n
⊢ HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
        Associates N)
      s ≤
    n

Tactic:
by_cases hs : s = 0
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : s = 0
⊢ HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
        Associates N)
      s ≤
    n

Tactic:
simp [← Associates.bot_eq_one, hs]

Premises used: Associates.bot_eq_one
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
this :
  HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
        Associates N)
      s =
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (p ^ s) hs')) :
      Associates N)
rw :
  (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (p ^ s) hs')) :
      Associates N) ≤
    n
⊢ HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
        Associates N)
      s ≤
    n

Tactic:
rw [this]
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
this :
  HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
        Associates N)
      s =
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (p ^ s) hs')) :
      Associates N)
⊢ (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (p ^ s) hs')) :
      Associates N) ≤
    n

Tactic:
apply Subtype.prop (d ⟨p ^ s, hs'⟩)

Premises used: Subtype.mk, HPow.hPow, Subtype.prop, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
neg :
  HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
        Associates N)
      s =
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (p ^ s) hs')) :
      Associates N)
⊢ HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
        Associates N)
      s ≤
    n

Tactic:
suffices (d ⟨p, dvd_of_mem_normalizedFactors hp⟩ : Associates N) ^ s =
      (d ⟨p ^ s, hs'⟩) by
    rw [this]
    apply Subtype.prop (d ⟨p ^ s, hs'⟩)
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
neg :
  ∀ (c₁ : Fin (s + 1) → Associates M) (hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m) (hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m) (hc₁' : StrictMono c₁)
    (hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₁ i),
    HPow.hPow (α := Associates N)
        (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1) ⋯)) :
          Associates N)
        s =
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1 ^ s) hs')) :
        Associates N)
⊢ HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) p ⋯)) :
        Associates N)
      s =
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (p ^ s) hs')) :
      Associates N)

Tactic:
obtain ⟨c₁, rfl, hc₁', hc₁''⟩ := exists_chain_of_prime_pow hs (prime_of_normalized_factor p hp)

Premises used: UniqueFactorizationMonoid.prime_of_normalized_factor, DivisorChain.exists_chain_of_prime_pow, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₁ i
t : Fin (s + 1)
⊢ c₁ t = c₁ t

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N :=
  fun (t : Fin (s + 1)) ↦
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
      Associates N)
⊢ ∀ (t : Fin (s + 1)),
    c₂ t =
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
        Associates N)

Tactic:
have c₂_def : ∀ t, c₂ t = d ⟨c₁ t, _⟩ := fun t => rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N :=
  fun (t : Fin (s + 1)) ↦
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
      Associates N)
c₂_def :
  ∀ (t : Fin (s + 1)),
    c₂ t =
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
        Associates N)
neg :
  c₂ 1 ^ s =
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1 ^ s) hs')) :
      Associates N)
⊢ HPow.hPow (α := Associates N)
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1) ⋯)) :
        Associates N)
      s =
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1 ^ s) hs')) :
      Associates N)

Tactic:
rw [← c₂_def]
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N :=
  fun (t : Fin (s + 1)) ↦
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
      Associates N)
c₂_def :
  ∀ (t : Fin (s + 1)),
    c₂ t =
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
        Associates N)
⊢ c₂ 1 ^ s =
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1 ^ s) hs')) :
      Associates N)

Tactic:
(eq_pow_second_of_chain_of_has_chain hs (fun t u h => ?_)
    (@fun r => ⟨@fun hr => ?_, ?_⟩) ?_).symm

Premises used: Iff.intro, DivisorChain.eq_pow_second_of_chain_of_has_chain, Eq.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N :=
  fun (t : Fin (s + 1)) ↦
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
      Associates N)
c₂_def :
  ∀ (t : Fin (s + 1)),
    c₂ t =
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
        Associates N)
neg : ∀ (t u : Fin (s + 1)) (h : t < u), c₂ t < c₂ u
neg₁ :
  ∀ (r : Associates N)
    (hr :
      r ≤
        (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1 ^ s) hs')) :
          Associates N)),
    ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₂ i
neg₂ :
  ∀ (r : Associates N),
    (∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₂ i) →
      r ≤
        (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1 ^ s) hs')) :
          Associates N)
neg₃ :
  Ne.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1 ^ s) hs')) :
      Associates N)
    0
⊢ c₂ 1 ^ s =
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ 1 ^ s) hs')) :
      Associates N)

Tactic:
refine (eq_pow_second_of_chain_of_has_chain hs (fun t u h => ?_)
    (@fun r => ⟨@fun hr => ?_, ?_⟩) ?_).symm

Premises used: Iff.intro, DivisorChain.eq_pow_second_of_chain_of_has_chain, Eq.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N :=
  fun (t : Fin (s + 1)) ↦
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
      Associates N)
c₂_def :
  ∀ (t : Fin (s + 1)),
    c₂ t =
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
        Associates N)
t u : Fin (s + 1)
h : t < u
neg : t < u
⊢ c₂ t < c₂ u

Tactic:
rw [c₂_def, c₂_def, Subtype.coe_lt_coe, d.lt_iff_lt, Subtype.mk_lt_mk, hc₁'.lt_iff_lt]

Premises used: OrderIso.lt_iff_lt, Subtype.coe_lt_coe, StrictMono.lt_iff_lt, Subtype.mk_lt_mk
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : UniqueFactorizationMonoid N
inst_4 : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : OrderIso.{u_1, u_2} (↑(Set.Iic m) : Type u_1) (↑(Set.Iic n) : Type u_2)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ (i : Fin (s + 1)), r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N :=
  fun (t : Fin (s + 1)) ↦
    (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
      Associates N)
c₂_def :
  ∀ (t : Fin (s + 1)),
    c₂ t =
      (↑((d : (a : (↑(Set.Iic m) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic n) : Type u_2))
            (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ x ∈ Set.Iic m) (c₁ t) ⋯)) :
        Associates N)
t u : Fin (s + 1)
h : t < u
⊢ t < u

Tactic:
h