-- Module: Mathlib.RingTheory.FinitePresentation
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
leI : LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
x : RXn
hx : Membership.mem (γ := Submodule RXn RXn) (RingHom.ker f.toRingHom) x
this : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x
refine_1 :
  ∀ (x : RXn) (hx : Membership.mem (γ := Set RXn) (Set.range MvPolynomial.X) x),
    x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
refine_2 :
  ∀ (r : R),
    Membership.mem (α := RXn) (aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s'))
      ((algebraMap R RXn : (a : R) → RXn) r : RXn)
refine_3 :
  ∀ (x y : RXn) (hx : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x)
    (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y),
    x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        x + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
refine_4 :
  ∀ (x y : RXn) (hx : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) x)
    (hy : Membership.mem (γ := Subalgebra R RXn) (adjoin R (Set.range MvPolynomial.X)) y),
    x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
      y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s') →
        x * y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')
⊢ x ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ Submodule.toAddSubmonoid (Ideal.span s')

Tactic:
refine adjoin_induction ?_ ?_ ?_ ?_ this