-- Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.IntegralClosure
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
B : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra R B
inst_5 : Algebra.IsStandardEtale R S
𝓟 : StandardEtalePresentation R S
n : ℕ
𝓟' : StandardEtalePresentation B (B ⊗[R] S) := 𝓟.baseChange
e : B ⊗[R] S ≃ₐ[B]
  Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
    ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) :=
  𝓟'.equivRing.trans 𝓟'.equivAwayAdjoinRoot
a : AdjoinRoot 𝓟'.f
m : ℕ
hx_1 :
  IsIntegral S (A := S ⊗[R] B)
    ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
      ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
        (IsLocalization.mk'
          (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
            ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
          a
          (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
            Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
              (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
              x)
            ((fun (x : ℕ) ↦
                HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                  ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
              m)
            ⋯))))
hx :
  ∀ (m_1 : ℕ),
    IsIntegral R
      (HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] B) (HPow.hPow (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) 𝓟.g : S) (n + m_1))
        ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
          ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
            (IsLocalization.mk'
              (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
              a
              (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
                Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                  (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                    Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                  x)
                ((fun (x : ℕ) ↦
                    HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                      ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
                  m)
                ⋯)))))
hfg : IsIntegral R (A := AdjoinRoot 𝓟'.f) ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f)
g : R[X]
rw :
  Eq.{u_3 + 1} (α :=
    Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
      ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
    ((e : (a : B ⊗[R] S) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g))
        (((aeval ((Algebra.TensorProduct.includeRight : (a : S) → B ⊗[R] S) 𝓟.x) : R[X] →ₐ[R] B ⊗[R] S) :
            (a : R[X]) → B ⊗[R] S)
          g) :
      Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
    ((e : (a : B ⊗[R] S) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g))
        ((aeval (1 ⊗ₜ[R] 𝓟.x) : (a : B[X]) → B ⊗[R] S) (Polynomial.map (algebraMap R B) g)) :
      Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α :=
    Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
      ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
    ((e : (a : B ⊗[R] S) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g))
        (1 ⊗ₜ[R] (aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) g) :
      Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
    ((e : (a : B ⊗[R] S) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g))
        ((aeval (1 ⊗ₜ[R] 𝓟.x) : (a : B[X]) → B ⊗[R] S) (Polynomial.map (algebraMap R B) g)) :
      Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))

Tactic:
rw [← Algebra.TensorProduct.includeRight_apply, ← aeval_algHom_apply]

Premises used: Algebra.TensorProduct.includeRight_apply, Polynomial.aeval_algHom_apply