awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Exactness
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
inst_7 : IsNoetherianRing R
inst_8 : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
hfg : Function.Exact (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Function.Surjective (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz :
  Membership.mem (α := AdicCompletion I N) (map I g).ker
    ((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b : AdicCompletion I N)
k : ℕ
hk :
  ∀ n ≥ k,
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤ ⊓ f.range =
      I ^ (n - k) • (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ k) ⊤ ⊓ f.range)
hb :
  ∀ (n : ℕ),
    Membership.mem (α := P) (HSMul.hSMul (β := Submodule R P) (I ^ n) ⊤) ((g : (a : N) → P) ((↑b : ℕ → N) n) : P)
a : (n : ℕ) →
  (↑{a : M |
        HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) a : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
          HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤} :
    Type u) :=
  mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
h :
  Eq (α := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    (Submodule.Quotient.mk ((f : (a : M) → N) (↑(a n) : M)) : N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    (Submodule.Quotient.mk ((↑b : ℕ → N) (k + n)) : N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
⊢ Eq.{u + 1} (α := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    ((↑((map I f : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I N)
            ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M)
              (AdicCauchySequence.mk I M (fun (n : ℕ) ↦ (↑(a n) : M)) ⋯))) :
        (n : ℕ) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      n)
    ((↑((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b) : (n : ℕ) → N ⧸ I ^ n • ⊤) n)

Tactic:
simp [h, AdicCauchySequence.mk_eq_mk (show n ≤ k + n by lia)]

Premises used: AdicCompletion.AdicCauchySequence.mk_eq_mk
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Exactness
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
inst_7 : IsNoetherianRing R
inst_8 : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
hfg : Function.Exact (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Function.Surjective (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz :
  Membership.mem (α := AdicCompletion I N) (map I g).ker
    ((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b : AdicCompletion I N)
k : ℕ
hk :
  ∀ n ≥ k,
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤ ⊓ f.range =
      I ^ (n - k) • (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ k) ⊤ ⊓ f.range)
hb :
  ∀ (n : ℕ),
    Membership.mem (α := P) (HSMul.hSMul (β := Submodule R P) (I ^ n) ⊤) ((g : (a : N) → P) ((↑b : ℕ → N) n) : P)
a : (n : ℕ) →
  (↑{a : M |
        HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) a : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
          HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤} :
    Type u) :=
  mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
refine_2 :
  Eq (α := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    (Submodule.Quotient.mk ((f : (a : M) → N) (↑(a n) : M)) : N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    (Submodule.Quotient.mk ((↑b : ℕ → N) (k + n)) : N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
⊢ Eq.{u + 1} (α := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    ((↑((map I f : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I N)
            ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M)
              (AdicCauchySequence.mk I M (fun (n : ℕ) ↦ (↑(a n) : M)) ⋯))) :
        (n : ℕ) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      n)
    ((↑((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b) : (n : ℕ) → N ⧸ I ^ n • ⊤) n)

Tactic:
suffices h : Submodule.Quotient.mk (p := (I ^ n • ⊤ : Submodule R N)) (f (a n)) =
            Submodule.Quotient.mk (p := (I ^ n • ⊤ : Submodule R N)) (b (k + n)) by
        simp [h, AdicCauchySequence.mk_eq_mk (show n ≤ k + n by lia)]
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Exactness
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
inst_7 : IsNoetherianRing R
inst_8 : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
hfg : Function.Exact (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Function.Surjective (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz :
  Membership.mem (α := AdicCompletion I N) (map I g).ker
    ((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b : AdicCompletion I N)
k : ℕ
hk :
  ∀ n ≥ k,
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤ ⊓ f.range =
      I ^ (n - k) • (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ k) ⊤ ⊓ f.range)
hb :
  ∀ (n : ℕ),
    Membership.mem (α := P) (HSMul.hSMul (β := Submodule R P) (I ^ n) ⊤) ((g : (a : N) → P) ((↑b : ℕ → N) n) : P)
a : (n : ℕ) →
  (↑{a : M |
        HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) a : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
          HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤} :
    Type u) :=
  mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
refine_2 :
  HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) (↑(a n) : M) : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤
⊢ Eq (α := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    (Submodule.Quotient.mk ((f : (a : M) → N) (↑(a n) : M)) : N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    (Submodule.Quotient.mk ((↑b : ℕ → N) (k + n)) : N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)

Tactic:
rw [Submodule.Quotient.eq]

Premises used: Submodule.Quotient.eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Exactness
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
inst_7 : IsNoetherianRing R
inst_8 : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
hfg : Function.Exact (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Function.Surjective (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz :
  Membership.mem (α := AdicCompletion I N) (map I g).ker
    ((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b : AdicCompletion I N)
k : ℕ
hk :
  ∀ n ≥ k,
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤ ⊓ f.range =
      I ^ (n - k) • (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ k) ⊤ ⊓ f.range)
hb :
  ∀ (n : ℕ),
    Membership.mem (α := P) (HSMul.hSMul (β := Submodule R P) (I ^ n) ⊤) ((g : (a : N) → P) ((↑b : ℕ → N) n) : P)
a : (n : ℕ) →
  (↑{a : M |
        HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) a : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
          HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤} :
    Type u) :=
  mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ n ≤ k + n

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Exactness
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
inst_7 : IsNoetherianRing R
inst_8 : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
hfg : Function.Exact (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Function.Surjective (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz :
  Membership.mem (α := AdicCompletion I N) (map I g).ker
    ((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b : AdicCompletion I N)
k : ℕ
hk :
  ∀ n ≥ k,
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤ ⊓ f.range =
      I ^ (n - k) • (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ k) ⊤ ⊓ f.range)
hb :
  ∀ (n : ℕ),
    Membership.mem (α := P) (HSMul.hSMul (β := Submodule R P) (I ^ n) ⊤) ((g : (a : N) → P) ((↑b : ℕ → N) n) : P)
a : (n : ℕ) →
  (↑{a : M |
        HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) a : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
          HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤} :
    Type u) :=
  mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤ ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤

Tactic:
have hle : (I ^ (k + n) • ⊤ : Submodule R N) ≤ (I ^ n • ⊤ : Submodule R N) :=
        Submodule.smul_mono_left (Ideal.pow_le_pow_right (by lia))
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Exactness
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
inst_7 : IsNoetherianRing R
inst_8 : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
hfg : Function.Exact (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Function.Surjective (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz :
  Membership.mem (α := AdicCompletion I N) (map I g).ker
    ((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b : AdicCompletion I N)
k : ℕ
hk :
  ∀ n ≥ k,
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤ ⊓ f.range =
      I ^ (n - k) • (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ k) ⊤ ⊓ f.range)
hb :
  ∀ (n : ℕ),
    Membership.mem (α := P) (HSMul.hSMul (β := Submodule R P) (I ^ n) ⊤) ((g : (a : N) → P) ((↑b : ℕ → N) n) : P)
a : (n : ℕ) →
  (↑{a : M |
        HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) a : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
          HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤} :
    Type u) :=
  mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
hle : HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤ ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤
⊢ HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) (↑(a n) : M) : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤

Tactic:
hle (a n).property

Premises used: Set.Mem, Subtype.property
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Exactness
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
inst_7 : IsNoetherianRing R
inst_8 : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
hfg : Function.Exact (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Function.Surjective (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz :
  Membership.mem (α := AdicCompletion I N) (map I g).ker
    ((mk I N : (a : AdicCauchySequence I N) → AdicCompletion I N) b : AdicCompletion I N)
k : ℕ
hk :
  ∀ n ≥ k,
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤ ⊓ f.range =
      I ^ (n - k) • (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ k) ⊤ ⊓ f.range)
hb :
  ∀ (n : ℕ),
    Membership.mem (α := P) (HSMul.hSMul (β := Submodule R P) (I ^ n) ⊤) ((g : (a : N) → P) ((↑b : ℕ → N) n) : P)
a : (n : ℕ) →
  (↑{a : M |
        HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) a : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
          HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤} :
    Type u) :=
  mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
hle : HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ (k + n)) ⊤ ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤
⊢ HSub.hSub (α := N) ((f : (a : M) → N) (↑(a n) : M) : N) ((↑b : ℕ → N) (k + n)) ∈
    HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤

Tactic:
exact hle (a n).property

Premises used: Subtype.property
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
x : M
hx : x ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I ⊤
⊢ x ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)

Tactic:
Submodule.smul_induction_on hx (fun r hr x _ ↦ ?_) (fun x y hx hy ↦ ?_)

Premises used: Submodule.smul_induction_on
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
x : M
hx : x ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I ⊤
refine_1 :
  ∀ (r : R) (hr : r ∈ I) (x : M),
    Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊤ x → r • x ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)
refine_2 :
  ∀ (x y : M) (hx : x ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤))
    (hy : y ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)),
    x + y ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)
⊢ x ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)

Tactic:
refine Submodule.smul_induction_on hx (fun r hr x _ ↦ ?_) (fun x y hx hy ↦ ?_)
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
x_1 : M
hx : x_1 ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I ⊤
r : R
hr : r ∈ I
x : M
h : Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊤ x
⊢ r • x ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)

Tactic:
simp [Submodule.smul_mem_smul hr Submodule.mem_top]

Premises used: Submodule.smul_mem_smul, Submodule.mem_top
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
x_1 : M
hx_1 : x_1 ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I ⊤
x y : M
hx : x ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)
hy : y ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)
⊢ x + y ∈ Submodule.comap f (HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)

Tactic:
simp [Submodule.add_mem _ hx hy]

Premises used: Submodule.add_mem
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
f : M →ₗ[R] N
x : M
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)
    ((reduceModIdeal I f : (a : M ⧸ I • ⊤) → N ⧸ I • ⊤) (Submodule.Quotient.mk x) :
      N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)
    (Submodule.Quotient.mk ((f : (a : M) → N) x) : N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) I ⊤)

Tactic:
rfl

Premises used: Quotient.liftOn', AddCon.liftOn, Submodule.Quotient.mk, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
f : M →ₗ[R] N
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
x : M
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤)
    (((transitionMap I N hmn ∘ₗ
              (↑R :
                  {S : Type u_1} →
                    {M : Type u_2} →
                      {M₂ : Type u_3} →
                        [inst : Semiring R] →
                          [inst_5 : Semiring S] →
                            [inst_6 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_7 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_8 : Module R M] →
                                  [inst_9 : Module R M₂] →
                                    [inst_10 : Module S M] →
                                      [inst_11 : Module S M₂] →
                                        [CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                (reduceModIdeal (I ^ n) f)) ∘ₗ
            (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ n) ⊤).mkQ :
          (a : M) → N ⧸ I ^ m • ⊤)
        x :
      N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤)
    (((((↑R :
                    {S : Type u_1} →
                      {M : Type u_2} →
                        {M₂ : Type u_3} →
                          [inst : Semiring R] →
                            [inst_5 : Semiring S] →
                              [inst_6 : AddCommMonoid M] →
                                [inst_7 : AddCommMonoid M₂] →
                                  [inst_8 : Module R M] →
                                    [inst_9 : Module R M₂] →
                                      [inst_10 : Module S M] →
                                        [inst_11 : Module S M₂] →
                                          [CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                  (reduceModIdeal (I ^ m) f) ∘ₗ
                transitionMap I M hmn) ∘ₗ
              (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ n) ⊤).mkQ :
            LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_3} (RingHom.id R) M (N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤)) :
          (a : M) → N ⧸ I ^ m • ⊤)
        x :
      N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
rw : I ^ m • Submodule.map f ⊤ ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤
⊢ Submodule.map f (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ m) ⊤) ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤

Tactic:
rw [Submodule.map_smul'']

Premises used: Submodule.map_smul''
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ I ^ m • Submodule.map f ⊤ ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤

Tactic:
smul_mono_right _ le_top

Premises used: smul_mono_right, le_top
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ I ^ m • Submodule.map f ⊤ ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤

Tactic:
exact smul_mono_right _ le_top

Premises used: smul_mono_right, le_top
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ Submodule.map f (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ m) ⊤) ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤

Tactic:
have hm : Submodule.map f (I ^ m • ⊤ : Submodule R M) ≤ (I ^ m • ⊤ : Submodule R N) := by
      rw [Submodule.map_smul'']
      exact smul_mono_right _ le_top
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hm : Submodule.map f (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ m) ⊤) ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤
apply :
  (fun (n : ℕ) ↦ ((f : (a : M) → N) ((↑a : ℕ → M) n) : N)) m ≡
    (fun (n : ℕ) ↦ ((f : (a : M) → N) ((↑a : ℕ → M) n) : N)) n [SMOD
    Submodule.map f (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ m) ⊤)]
⊢ (fun (n : ℕ) ↦ ((f : (a : M) → N) ((↑a : ℕ → M) n) : N)) m ≡
    (fun (n : ℕ) ↦ ((f : (a : M) → N) ((↑a : ℕ → M) n) : N)) n [SMOD HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤]

Tactic:
apply SModEq.mono hm

Premises used: SModEq.mono
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hm : Submodule.map f (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ m) ⊤) ≤ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ m) ⊤
⊢ (fun (n : ℕ) ↦ ((f : (a : M) → N) ((↑a : ℕ → M) n) : N)) m ≡
    (fun (n : ℕ) ↦ ((f : (a : M) → N) ((↑a : ℕ → M) n) : N)) n [SMOD
    Submodule.map f (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ m) ⊤)]

Tactic:
apply SModEq.map (a.property hmn) f

Premises used: SModEq.map, Subtype.property
-- Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a b : AdicCauchySequence I M
h :
  ∀ (n : ℕ),
    (↑(Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → N) ↦ IsAdicCauchy I N f) (fun (n : ℕ) ↦ (f : (a : M) → N) ((↑(a + b) : ℕ → M) n))
              ⋯) :
          ℕ → N)
        n =
      (↑(HAdd.hAdd (α := AdicCauchySequence I N)
              (Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → N) ↦ IsAdicCauchy I N f) (fun (n : ℕ) ↦ (f : (a : M) → N) ((↑a : ℕ → M) n))
                ⋯)
              (Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → N) ↦ IsAdicCauchy I N f) (fun (n : ℕ) ↦ (f : (a : M) → N) ((↑b : ℕ → M) n))
                ⋯)) :
          ℕ → N)
        n
⊢ Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → N) ↦ IsAdicCauchy I N f) (fun (n : ℕ) ↦ (f : (a : M) → N) ((↑(a + b) : ℕ → M) n)) ⋯ =
    HAdd.hAdd (α := AdicCauchySequence I N)
      (Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → N) ↦ IsAdicCauchy I N f) (fun (n : ℕ) ↦ (f : (a : M) → N) ((↑a : ℕ → M) n)) ⋯)
      (Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → N) ↦ IsAdicCauchy I N f) (fun (n : ℕ) ↦ (f : (a : M) → N) ((↑b : ℕ → M) n)) ⋯)

Tactic:
ext n