-- Module: Mathlib.RepresentationTheory.Homological.GroupCohomology.LowDegree
Goal:
k G : Type u
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
A : Rep k G
x : ↥(cocycles₂ A)
apply_fun :
  Eq (α :=
    (↑(Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat k) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
            AddCommGrpCat.carrier))
          ((inhomogeneousCochains A).X 2)) :
      Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X :=
            Functor.obj
              (forget₂ (ModuleCat k) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
                AddCommGrpCat.carrier))
              (HomologicalComplex.cycles (inhomogeneousCochains A) 2))
            (CategoryTheory.Functor.map
              (forget₂ (ModuleCat k) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
                AddCommGrpCat.carrier))
              (HomologicalComplex.iCycles (inhomogeneousCochains A) 2)) :
          (a : (↑((forget₂ (ModuleCat k) Ab).obj (HomologicalComplex.cycles (inhomogeneousCochains A) 2)) : Type u)) →
            (↑((forget₂ (ModuleCat k) Ab).obj ((inhomogeneousCochains A).X 2)) : Type u))
        (cocyclesMk
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) (cochainsIso₂ A).inv :
              (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) → (↑((inhomogeneousCochains A).X 2) : Type u))
            (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)))
          ⋯) :
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ (ModuleCat k) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
              AddCommGrpCat.carrier))
            ((inhomogeneousCochains A).X 2)) :
        Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X :=
            Functor.obj
              (forget₂ (ModuleCat k) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
                AddCommGrpCat.carrier))
              (HomologicalComplex.cycles (inhomogeneousCochains A) 2))
            (CategoryTheory.Functor.map
              (forget₂ (ModuleCat k) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
                AddCommGrpCat.carrier))
              (HomologicalComplex.iCycles (inhomogeneousCochains A) 2)) :
          (a : (↑((forget₂ (ModuleCat k) Ab).obj (HomologicalComplex.cycles (inhomogeneousCochains A) 2)) : Type u)) →
            (↑((forget₂ (ModuleCat k) Ab).obj ((inhomogeneousCochains A).X 2)) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) (isoCocycles₂ A).inv :
              (a : (↑(ModuleCat.of k ↥(cocycles₂ A)) : Type u)) → (↑(cocycles A 2) : Type u))
            x :
          (↑(cocycles A 2) : Type u)) :
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ (ModuleCat k) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
              AddCommGrpCat.carrier))
            ((inhomogeneousCochains A).X 2)) :
        Type u))
⊢ cocyclesMk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) (cochainsIso₂ A).inv :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) → (↑((inhomogeneousCochains A).X 2) : Type u))
        (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)))
      ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) (isoCocycles₂ A).inv :
        (a : (↑(ModuleCat.of k ↥(cocycles₂ A)) : Type u)) → (↑(cocycles A 2) : Type u))
      x

Tactic:
apply_fun (forget₂ _ Ab).map ((inhomogeneousCochains A).iCycles 2) using
    (AddCommGrpCat.mono_iff_injective _).1 <| (forget₂ _ _).map_mono _

Premises used: HomologicalComplex.iCycles, CategoryTheory.Functor.map_mono, Ab, CategoryTheory.Functor.map, groupCohomology.inhomogeneousCochains, AddCommGrpCat.mono_iff_injective, CategoryTheory.forget₂, Iff.mp, OfNat.ofNat