awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x y : M × P
e :
  HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((f : (a : M) → N) x.1 : N) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x.2 : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((f : (a : M) → N) y.1 : N) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) y.2 : N)
this : x.2 = y.2
rwa :
  ∀
    (e :
      HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((f : (a : M) → N) x.1 : N) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) y.2 : N) =
        HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((f : (a : M) → N) y.1 : N) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) y.2 : N))
    (this : x.2 = y.2), Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) x.1 : N) ((f : (a : M) → N) y.1 : N)
rwa₁ rwa₂ rwa₃ rwa₄ :
  ∀ (e : Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) x.1 : N) ((f : (a : M) → N) y.1 : N)) (this : x.2 = y.2),
    Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) x.1 : N) ((f : (a : M) → N) y.1 : N)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) x.1 : N) ((f : (a : M) → N) y.1 : N)

Tactic:
rwa [this, add_left_inj] at e

Premises used: add_left_inj
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x y : M × P
e :
  HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((f : (a : M) → N) x.1 : N) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x.2 : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((f : (a : M) → N) y.1 : N) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) y.2 : N)
refine_1 : x.2 = y.2
⊢ x = y

Tactic:
suffices x.2 = y.2 from Prod.ext (hf (by rwa [this, add_left_inj] at e)) this
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x y : M × P
e :
  HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((f : (a : M) → N) x.1 : N) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x.2 : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((f : (a : M) → N) y.1 : N) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) y.2 : N)
⊢ x.2 = y.2

Tactic:
simpa [h₁, h₂] using DFunLike.congr_arg g e

Premises used: DFunLike.congr_arg
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : N
⊢ Eq.{u_6 + 1} (α := P)
    ((g : (a : N) → P) (HSub.hSub (β := N) x (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) ((g : (a : N) → P) x : P) : N)) : P)
    (0 : P)

Tactic:
simp [h₁, g.map_sub]

Premises used: LinearMap.map_sub
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : N
refine_1 :
  ∀ (y : M)
    (hy : (f : (a : M) → N) y = HSub.hSub (β := N) x (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) ((g : (a : N) → P) x : P) : N)),
    ∃ (a : M × P), (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P : (a : M × P) → N) a = x
⊢ ∃ (a : M × P), (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P : (a : M × P) → N) a = x

Tactic:
obtain ⟨y, hy⟩ := (h (x - l.1 (g x))).mp (by simp [h₁, g.map_sub])

Premises used: HSub.hSub, Iff.mp, Subtype.val, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : N
y : M
hy : (f : (a : M) → N) y = HSub.hSub (β := N) x (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) ((g : (a : N) → P) x : P) : N)
⊢ (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P : (a : M × P) → N) ((y, (g : (a : N) → P) x) : M × P) = x

Tactic:
simp [hy]
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : N
y : M
hy : (f : (a : M) → N) y = HSub.hSub (β := N) x (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) ((g : (a : N) → P) x : P) : N)
⊢ ∃ (a : M × P), (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P : (a : M × P) → N) a = x

Tactic:
exact ⟨⟨y, g x⟩, by simp [hy]⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
refine_2 :
  f =
    (↑(LinearEquiv.symm
            (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))) :
        M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ
      inl R M P
refine_2₁ :
  g =
    snd R M P ∘ₗ
      (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯)) : N →ₗ[R] M × P)
⊢ f =
      (↑(LinearEquiv.symm
              (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))) :
          M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ
        inl R M P ∧
    g =
      snd R M P ∘ₗ
        (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯)) :
          N →ₗ[R] M × P)

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
refine_2 :
  ∀ (x : M),
    Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) x : N)
      (((↑(LinearEquiv.symm
                    (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))) :
                M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ
              inl R M P :
            (a : M) → N)
          x :
        N)
⊢ f =
    (↑(LinearEquiv.symm
            (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))) :
        M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ
      inl R M P

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : M
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) x : N)
    (((↑(LinearEquiv.symm
                  (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))) :
              M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ
            inl R M P :
          (a : M) → N)
        x :
      N)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
refine_2 :
  g ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯) : M × P →ₗ[R] N) = snd R M P
⊢ g =
    snd R M P ∘ₗ
      (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯)) : N →ₗ[R] M × P)

Tactic:
rw [LinearEquiv.eq_comp_toLinearMap_symm]

Premises used: LinearEquiv.eq_comp_toLinearMap_symm
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
refine_2 :
  ∀ (x : M),
    Eq.{u_6 + 1} (α := P)
      (((g ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯) : M × P →ₗ[R] N)) ∘ₗ
              inl R M P :
            (a : M) → P)
          x :
        P)
      ((snd R M P ∘ₗ inl R M P : (a : M) → P) x : P)
refine_2₁ :
  ∀ (x : P),
    Eq (α := P)
      (((g ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯) : M × P →ₗ[R] N)) ∘ₗ
              inr R M P :
            (a : P) → P)
          x :
        P)
      ((snd R M P ∘ₗ inr R M P : (a : P) → P) x : P)
⊢ g ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯) : M × P →ₗ[R] N) = snd R M P

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : M
⊢ Eq.{u_6 + 1} (α := P)
    (((g ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯) : M × P →ₗ[R] N)) ∘ₗ
            inl R M P :
          (a : M) → P)
        x :
      P)
    ((snd R M P ∘ₗ inl R M P : (a : M) → P) x : P)

Tactic:
simp [h₁, h₂]
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : P), (g : (a : N) → P) (((↑l : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_6 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : P
⊢ Eq (α := P)
    (((g ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯) : M × P →ₗ[R] N)) ∘ₗ
            inr R M P :
          (a : P) → P)
        x :
      P)
    ((snd R M P ∘ₗ inr R M P : (a : P) → P) x : P)

Tactic:
simp [h₁, h₂]
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
e : { e : N ≃ₗ[R] M × P // f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }
refine_3 : Eq (α := P →ₗ[R] P) (snd R M P ∘ₗ inr R M P) LinearMap.id
⊢ g ∘ₗ (↑(↑e : N ≃ₗ[R] M × P).symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inr R M P = LinearMap.id

Tactic:
rw [← LinearMap.comp_assoc, (LinearEquiv.eq_comp_toLinearMap_symm _ _).mp e.2.2]

Premises used: LinearMap.comp_assoc, LinearEquiv.eq_comp_toLinearMap_symm, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
e : { e : N ≃ₗ[R] M × P // f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }
⊢ Eq (α := P →ₗ[R] P) (snd R M P ∘ₗ inr R M P) LinearMap.id

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
x : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
refine_4 :
  ∀ (x_1 : P),
    Eq.{u_4 + 1} (α := N)
      (((↑((fun
                      (e :
                        { e : N ≃ₗ[R] M × P //
                          f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }) ↦
                    (Subtype.mk (p := fun (l : P →ₗ[R] N) ↦ g ∘ₗ l = LinearMap.id)
                        ((↑(↑e : N ≃ₗ[R] M × P).symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inr R M P) ⋯ :
                      { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }))
                  ((fun (l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }) ↦
                      (Subtype.mk (p := fun (e : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
                          f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P))
                          (LinearEquiv.symm
                            (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))
                          ⋯ :
                        { e : N ≃ₗ[R] M × P //
                          f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }))
                    x)) :
              P →ₗ[R] N) :
            (a : P) → N)
          x_1 :
        N)
      (((↑x : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x_1 : N)
⊢ (fun
          (e :
            { e : N ≃ₗ[R] M × P //
              f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (l : P →ₗ[R] N) ↦ g ∘ₗ l = LinearMap.id)
            ((↑(↑e : N ≃ₗ[R] M × P).symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inr R M P) ⋯ :
          { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }))
      ((fun (l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }) ↦
          (Subtype.mk (p := fun (e : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
              f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P))
              (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯)) ⋯ :
            { e : N ≃ₗ[R] M × P //
              f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }))
        x) =
    x

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Exact
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : AddCommGroup P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_2, u_4, u_6} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hf : Injective.{u_2 + 1, u_4 + 1} (α := M) (β := N) (⇑f : (a : M) → N)
x : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }
x_1 : P
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N)
    (((↑((fun
                    (e :
                      { e : N ≃ₗ[R] M × P //
                        f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }) ↦
                  (Subtype.mk (p := fun (l : P →ₗ[R] N) ↦ g ∘ₗ l = LinearMap.id)
                      ((↑(↑e : N ≃ₗ[R] M × P).symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inr R M P) ⋯ :
                    { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }))
                ((fun (l : { l : P →ₗ[R] N // g ∘ₗ l = LinearMap.id }) ↦
                    (Subtype.mk (p := fun (e : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
                        f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P))
                        (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective (f ∘ₗ fst R M P + (↑l : P →ₗ[R] N) ∘ₗ snd R M P) ⋯))
                        ⋯ :
                      { e : N ≃ₗ[R] M × P //
                        f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }))
                  x)) :
            P →ₗ[R] N) :
          (a : P) → N)
        x_1 :
      N)
    (((↑x : P →ₗ[R] N) : (a : P) → N) x_1 : N)

Tactic:
simp