-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.StructureSheaf
Goal:
R M A : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : CommRing A
inst_4 : Algebra R A
x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
r : R
m : (↑(Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x) : Type u)
α : Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x ≅
  Functor.obj
    (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
      ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
    (Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) :=
  Limits.colimit.isoColimitCocone
    {
      cocone :=
        Functor.mapCocone
          (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
            AddCommGrpCat.carrier))
          (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
      isColimit :=
        Limits.isColimitOfPreserves
          (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
            AddCommGrpCat.carrier))
          (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) }
obtain :
  ∀ (U : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) (hxU : x ∈ U)
    (s :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
        (Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) (op U))),
    Equiv.toFun
        (AddEquiv.toEquiv
          (Iso.addCommGroupIsoToAddEquiv
            (Limits.colimit.isoColimitCocone
              {
                cocone :=
                  Functor.mapCocone
                    (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                      (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
                isColimit :=
                  Limits.isColimitOfPreserves
                    (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                      (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) :
                Limits.ColimitCocone
                  (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                    forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                      ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                      (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })))
        (HSMul.hSMul (β := (↑(Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x) : Type u)) r
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                  Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) (op U)) (Y :=
                  Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x)
                  (Presheaf.germ (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) U x hxU) :
                (a : (↑((moduleStructurePresheaf R M).presheaf.obj (op U)) : Type u)) →
                  (↑(Presheaf.stalk (moduleStructurePresheaf R M).presheaf x) : Type u))
              s :
            (↑(Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x) : Type u))) =
      HSMul.hSMul (α := R) (β := (↑(Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) : Type u))
        ((RingHom.id R : (a : R) → R) r : R)
        (Equiv.toFun (α :=
            (↑(Limits.colimit
                  (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                    forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                      ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                      (CD := AddCommGrpCat.carrier))) :
              Type u))
            (AddEquiv.toEquiv
              (Iso.addCommGroupIsoToAddEquiv
                (Limits.colimit.isoColimitCocone
                  {
                    cocone :=
                      Functor.mapCocone
                        (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                          (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                        (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
                    isColimit :=
                      Limits.isColimitOfPreserves
                        (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                          (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                        (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) :
                    Limits.ColimitCocone
                      (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                        forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                          (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                  Functor.obj (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) (op U)) (Y :=
                  Presheaf.stalk (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) x)
                  (Presheaf.germ (PresheafOfModules.presheaf (moduleStructurePresheaf R M)) U x hxU) :
                (a : (↑((moduleStructurePresheaf R M).presheaf.obj (op U)) : Type u)) →
                  (↑(Presheaf.stalk (moduleStructurePresheaf R M).presheaf x) : Type u))
              s) :
          (↑(Limits.Cocone.pt (F :=
                ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                  forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                    (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                (Limits.ColimitCocone.cocone
                  {
                    cocone :=
                      Functor.mapCocone
                        (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                          (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                        (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
                    isColimit :=
                      Limits.isColimitOfPreserves
                        (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                          (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                        (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) :
                    Limits.ColimitCocone
                      (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                        forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                          (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })) :
            Type u))
⊢ Equiv.toFun
      (AddEquiv.toEquiv
        (Iso.addCommGroupIsoToAddEquiv
          (Limits.colimit.isoColimitCocone
            {
              cocone :=
                Functor.mapCocone
                  (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                    (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                  (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
              isColimit :=
                Limits.isColimitOfPreserves
                  (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                    (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                  (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) :
              Limits.ColimitCocone
                (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                  forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                    (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })))
      (r • m) =
    HSMul.hSMul (α := R) (β := (↑(Presheaf.stalk (structurePresheafInModuleCat R M) x) : Type u))
      ((RingHom.id R : (a : R) → R) r : R)
      (Equiv.toFun
          (AddEquiv.toEquiv
            (Iso.addCommGroupIsoToAddEquiv
              (Limits.colimit.isoColimitCocone
                {
                  cocone :=
                    Functor.mapCocone
                      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
                  isColimit :=
                    Limits.isColimitOfPreserves
                      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) :
                  Limits.ColimitCocone
                    (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                      forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })))
          m :
        (↑(Limits.Cocone.pt (F :=
              ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                  (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              (Limits.ColimitCocone.cocone
                {
                  cocone :=
                    Functor.mapCocone
                      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.cocone ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)),
                  isColimit :=
                    Limits.isColimitOfPreserves
                      (forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      (Limits.colimit.isColimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M)) :
                  Limits.ColimitCocone
                    (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ structurePresheafInModuleCat R M) ⋙
                      forget₂ (ModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat R) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[R] (↑x2 : Type u))
                        (CC := ModuleCat.carrier) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                        (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier)) })) :
          Type u))

Tactic:
obtain ⟨U, hxU, s, rfl⟩ := TopCat.Presheaf.exists_germ_eq _ m

Premises used: TopCat.Presheaf.exists_germ_eq, rfl