awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
h₁ :
  HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
      (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
        HMul.hMul (α := S) (β := S)
          (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
          ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) =
    0
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
      (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
        HMul.hMul (α := S) (β := S)
          (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
          ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))

Tactic:
convert! dvd_zero _

Premises used: dvd_zero
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
⊢ IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)

Tactic:
have : IsUnit (aeval (P.newtonMap^[n] x) <| derivative P) :=
        isUnit_aeval_of_isUnit_aeval_of_isNilpotent_sub h' <|
        isNilpotent_iterate_newtonMap_sub_of_isNilpotent h n
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
succ :
  HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n)) 2 ∣
    HPow.hPow (α := S) (β := ℕ)
        (Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        2 *
      HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) 2
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣
    HPow.hPow (β := ℕ)
      (HMul.hMul (α := S) (β := S)
        (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
      2

Tactic:
rw [neg_mul, even_two.neg_pow, mul_pow, pow_succ, pow_mul]

Premises used: even_two, pow_succ, Even.neg_pow, pow_mul, neg_mul, mul_pow
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n)) 2 ∣
    HPow.hPow (α := S) (β := ℕ)
        (Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        2 *
      HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) 2

Tactic:
dvd_mul_of_dvd_right (pow_dvd_pow_of_dvd ih 2) _

Premises used: dvd_mul_of_dvd_right, pow_dvd_pow_of_dvd, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
ih :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
d : S
hd :
  (aeval
          (P.newtonMap^[n] x +
            HMul.hMul (α := S) (β := S)
              (-Ring.inverse
                    ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
                S)
              ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) :
        (a : R[X]) → S)
      P =
    HAdd.hAdd (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)
        (eval (P.newtonMap^[n] x) ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) *
          HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S)) +
      d *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := S) (β := S)
            (-Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) :
              S)
            ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S))
          2
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n)) 2 ∣
    HPow.hPow (α := S) (β := ℕ)
        (Ring.inverse ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X])) : S)
        2 *
      HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) 2

Tactic:
exact dvd_mul_of_dvd_right (pow_dvd_pow_of_dvd ih 2) _

Premises used: dvd_mul_of_dvd_right, pow_dvd_pow_of_dvd, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
zero :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 2 0) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[0] x) : (a : R[X]) → S) P
succ :
  ∀ (n : ℕ)
    (ih :
      HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
        (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P),
    HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 (n + 1)) ∣
      (aeval (P.newtonMap^[n + 1] x) : (a : R[X]) → S) P
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P

Tactic:
induction n with
  | zero => simp
  | succ n ih =>
    have ⟨d, hd⟩ := binomExpansion (P.map (algebraMap R S)) (P.newtonMap^[n] x)
      (-Ring.inverse (aeval (P.newtonMap^[n] x) <| derivative P) * aeval (P.newtonMap^[n] x) P)
    rw [eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap] at hd
    rw [iterate_succ', comp_apply, newtonMap_apply, sub_eq_add_neg, neg_mul_eq_neg_mul, hd]
    refine dvd_add ?_ (dvd_mul_of_dvd_right ?_ _)
    · convert! dvd_zero _
      have : IsUnit (aeval (P.newtonMap^[n] x) <| derivative P) :=
        isUnit_aeval_of_isUnit_aeval_of_isNilpotent_sub h' <|
        isNilpotent_iterate_newtonMap_sub_of_isNilpotent h n
      rw [derivative_map, eval_map_algebraMap, ← mul_assoc, mul_neg, Ring.mul_inverse_cancel _ this,
        neg_mul, one_mul, add_neg_cancel]
    · rw [neg_mul, even_two.neg_pow, mul_pow, pow_succ, pow_mul]
      exact dvd_mul_of_dvd_right (pow_dvd_pow_of_dvd ih 2) _

Premises used: add_neg_cancel, dvd_zero, dvd_mul_of_dvd_right, even_two, pow_succ, Even.neg_pow, Function.iterate_succ', mul_assoc, sub_eq_add_neg, pow_mul, Polynomial.eval_map_algebraMap, Function.comp_apply, neg_mul, neg_mul_eq_neg_mul, Polynomial.newtonMap_apply, Polynomial.derivative_map, mul_pow, one_mul, dvd_add, mul_neg
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
simp_rw : ∃! r : S, IsNilpotent (r - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
⊢ ∃! r : S, IsNilpotent (x - r) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)

Tactic:
simp_rw [(neg_sub _ x).symm, isNilpotent_neg_iff]

Premises used: neg_sub, isNilpotent_neg_iff, Eq.symm
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
⊢ ∃! r : S, IsNilpotent (r - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)

Tactic:
existsUnique_of_exists_of_unique ?_ fun r₁ r₂ ⟨hr₁, hr₁'⟩ ⟨hr₂, hr₂'⟩ ↦ ?_

Premises used: _private.0.Polynomial.existsUnique_nilpotent_sub_and_aeval_eq_zero.match_1, existsUnique_of_exists_of_unique, Eq
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
refine_1 : ∃ (x_1 : S), IsNilpotent (x_1 - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x_1 : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
refine_2 :
  ∀ (r₁ r₂ : S),
    IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S) →
      IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S) →
        ∀ (hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)) (hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S))
          (hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)) (hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)),
          r₁ = r₂
⊢ ∃! r : S, IsNilpotent (r - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)

Tactic:
refine existsUnique_of_exists_of_unique ?_ fun r₁ r₂ ⟨hr₁, hr₁'⟩ ⟨hr₂, hr₂'⟩ ↦ ?_

Premises used: existsUnique_of_exists_of_unique
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
refine_1 :
  ∀ (n : ℕ) (hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0),
    ∃ (x_1 : S), IsNilpotent (x_1 - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x_1 : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
⊢ ∃ (x_1 : S), IsNilpotent (x_1 - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x_1 : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)

Tactic:
obtain ⟨n, hn⟩ := id h

Premises used: id
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0
⊢ ∃ (x_1 : S), IsNilpotent (x_1 - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x_1 : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)

Tactic:
⟨P.newtonMap^[n] x, isNilpotent_iterate_newtonMap_sub_of_isNilpotent h n, ?_⟩

Premises used: Nat.iterate, Polynomial.isNilpotent_iterate_newtonMap_sub_of_isNilpotent, And.intro, Exists.intro, Polynomial.newtonMap
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0
refine_1 : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
⊢ ∃ (x_1 : S), IsNilpotent (x_1 - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x_1 : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)

Tactic:
refine ⟨P.newtonMap^[n] x, isNilpotent_iterate_newtonMap_sub_of_isNilpotent h n, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0
refine_1 :
  HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)

Tactic:
rw [← zero_dvd_iff, ← pow_eq_zero_of_le (n.lt_two_pow_self).le hn]

Premises used: pow_eq_zero_of_le, zero_dvd_iff, LT.lt.le, Nat.lt_two_pow_self
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P

Tactic:
aeval_pow_two_pow_dvd_aeval_iterate_newtonMap h h' n

Premises used: Polynomial.aeval_pow_two_pow_dvd_aeval_iterate_newtonMap
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0
⊢ HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
    (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P

Tactic:
exact aeval_pow_two_pow_dvd_aeval_iterate_newtonMap h h' n

Premises used: Polynomial.aeval_pow_two_pow_dvd_aeval_iterate_newtonMap
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
refine_2 :
  ∀ (u : S)
    (hu :
      eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
        eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
            eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
          u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2),
    r₁ = r₂
⊢ r₁ = r₂

Tactic:
have ⟨u, hu⟩ := binomExpansion (P.map (algebraMap R S)) r₁ (r₂ - r₁)
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
refine_2 :
  IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))
⊢ r₁ = r₂

Tactic:
suffices IsUnit (aeval r₁ (derivative P) + u * (r₂ - r₁)) by
      rwa [derivative_map, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap,
        add_sub_cancel, hr₂', hr₁', zero_add, pow_two, ← mul_assoc, ← add_mul, eq_comm,
        this.mul_right_eq_zero, sub_eq_zero, eq_comm] at hu
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
⊢ IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)

Tactic:
have : IsUnit (aeval r₁ (derivative P)) :=
      isUnit_aeval_of_isUnit_aeval_of_isNilpotent_sub h' hr₁
-- Module: Mathlib.Dynamics.Newton
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
this : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
refine_2 :
  IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
      (u * (r₂ - x - (r₁ - x))))
⊢ IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))

Tactic:
rw [← sub_sub_sub_cancel_right r₂ r₁ x]

Premises used: sub_sub_sub_cancel_right