-- Module: Mathlib.ModelTheory.Encoding
Goal:
L : Language
α : Type u'
l_1 : List ((n : ℕ) × L.BoundedFormula α n)
n φ_n φ_l : ℕ
φ_R : L.Relations φ_l
ts : Fin φ_l → Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin φ_n)
l : List ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ)
h :
  ∀ (i : Fin φ_l),
    (getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((n : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin n)))) (i : Fin φ_l) ↦
          (↑i : ℕ) < xs.length)
          (List.map Sum.getLeft?
            (List.map
                (fun (i : Fin φ_l) ↦
                  Sum.inl
                    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin n))
                      ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst (β :=
                        fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                      (ts i)))
                (finRange φ_l) ++
              l))
          i).join =
      some (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin n)) φ_n (ts i))
rel :
  (if h' :
          ∀ (i : Fin φ_l),
            ((getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                          (↑i : ℕ) < xs.length)
                          (List.map Sum.getLeft?
                            (List.map
                                (fun (i : Fin φ_l) ↦
                                  Sum.inl
                                    (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                      ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n
                                            (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst
                                        (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                      (ts i)))
                                (finRange φ_l) ++
                              l))
                          i).join.get
                    ⋯).fst
                (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)) =
              (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst (β :=
                fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) then
        Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n)
          ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst (β := fun (n : ℕ) ↦
            L.BoundedFormula α n))
          (BoundedFormula.rel φ_R fun (i : Fin φ_l) ↦
            ⋯.mp
              (((getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                          (↑i : ℕ) < xs.length)
                          (List.map Sum.getLeft?
                            (List.map
                                (fun (i : Fin φ_l) ↦
                                  Sum.inl
                                    (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                      ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n
                                            (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst
                                        (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                      (ts i)))
                                (finRange φ_l) ++
                              l))
                          i).join.get
                    ⋯).snd
                (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))))
      else default) ::
      listDecode
        (drop φ_l
          (List.map
              (fun (i : Fin φ_l) ↦
                Sum.inl
                  (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                    ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst (β :=
                      fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                    (ts i)))
              (finRange φ_l) ++
            l)) =
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts) :: listDecode l
rel₁ :
  ∀ (i : Fin φ_l),
    (getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
            (↑i : ℕ) < xs.length)
            (List.map Sum.getLeft?
              (List.map
                  (fun (i : Fin φ_l) ↦
                    Sum.inl
                      (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                        ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst (β :=
                          fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                        (ts i)))
                  (finRange φ_l) ++
                l))
            i).join.isSome =
      true
⊢ (if h :
          ∀ (i : Fin φ_l),
            (getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                    (↑i : ℕ) < xs.length)
                    (List.map Sum.getLeft?
                      (List.map
                          (fun (i : Fin φ_l) ↦
                            Sum.inl
                              (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n
                                      (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst
                                  (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                (ts i)))
                          (finRange φ_l) ++
                        l))
                    i).join.isSome =
              true then
        if h' :
            ∀ (i : Fin φ_l),
              ((getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                            (↑i : ℕ) < xs.length)
                            (List.map Sum.getLeft?
                              (List.map
                                  (fun (i : Fin φ_l) ↦
                                    Sum.inl
                                      (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                        ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n
                                              (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst
                                          (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                        (ts i)))
                                  (finRange φ_l) ++
                                l))
                            i).join.get
                      ⋯).fst
                  (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)) =
                (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst (β :=
                  fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) then
          Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n)
            ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst (β :=
              fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
            (BoundedFormula.rel φ_R fun (i : Fin φ_l) ↦
              ⋯.mp
                (((getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                            (↑i : ℕ) < xs.length)
                            (List.map Sum.getLeft?
                              (List.map
                                  (fun (i : Fin φ_l) ↦
                                    Sum.inl
                                      (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                        ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n
                                              (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst
                                          (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                        (ts i)))
                                  (finRange φ_l) ++
                                l))
                            i).join.get
                      ⋯).snd
                  (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))))
        else default
      else default) ::
      listDecode
        (drop φ_l
          (List.map
              (fun (i : Fin φ_l) ↦
                Sum.inl
                  (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                    ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts)).fst (β :=
                      fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                    (ts i)))
              (finRange φ_l) ++
            l)) =
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (BoundedFormula.rel φ_R ts) :: listDecode l

Tactic:
rw [dif_pos]

Premises used: dif_pos