-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
Ist :
  ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
calc :
  ‖m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯) - m₁ s - m₁ t‖ₑ =
    ‖HSub.hSub (β := E)
              (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E))
              ((m : (a : Set α) → E) t' : E) +
            HSub.hSub (β := E)
              (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
              ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E) +
          HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s) +
        HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ
calc₁ :
  ‖HSub.hSub (β := E)
              (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E))
              ((m : (a : Set α) → E) t' : E)‖ₑ +
          ‖HSub.hSub (β := E) (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
              ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)‖ₑ +
        ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ +
      ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ =
    ‖HSub.hSub (β := E) (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
            ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)‖ₑ +
        ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ +
      ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ
calc₂ :
  ‖HSub.hSub (β := E) (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
            ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)‖ₑ +
        ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ +
      ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ <
    4 * δ + 3 * δ + δ
calc₃ : 4 * δ + 3 * δ + δ = 8 * δ
⊢ ‖m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯) - m₁ s - m₁ t‖ₑ < ε

Tactic:
calc ‖m₁ (⟨s ∪ t, s.2.union t.2⟩) - m₁ s - m₁ t‖ₑ
    _ = ‖(m (s'' ∪ t') - m s'' - m t') + (m₁ ⟨s ∪ t, s.2.union t.2⟩ - m (s'' ∪ t'))
          + (m s'' - m₁ s) + (m t' - m₁ t)‖ₑ := by abel_nf
    _ ≤ ‖m (s'' ∪ t') - m s'' - m t'‖ₑ + ‖m₁ ⟨s ∪ t, s.2.union t.2⟩ - m (s'' ∪ t')‖ₑ
          + ‖m s'' - m₁ s‖ₑ + ‖m t' - m₁ t‖ₑ := enorm_add₄_le
    _ = ‖m₁ ⟨s ∪ t, s.2.union t.2⟩ - m (s'' ∪ t')‖ₑ + ‖m s'' - m₁ s‖ₑ + ‖m t' - m₁ t‖ₑ := by
      rw [addContent_union hC s''C t'C Set.disjoint_sdiff_left]
      simp
    _ < 4 * δ + 3 * δ + δ := by
      gcongr
      rwa [enorm_sub_rev]
    _ = 8 * δ := by ring
    _ = ε := hδ

Premises used: HSub.hSub, enorm_add₄_le, Subtype.mk, SetLike.coe, MeasurableSet.union, Union.union, DFunLike.coe, Subtype.property