-- Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.CMField
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : CharZero K
inst_2 : IsCMField K
inst_3 : NumberField K
W₀ : InfinitePlace K := (Equiv.symm (equivInfinitePlace K) : (a : InfinitePlace ↥K⁺) → InfinitePlace K) w₀
f : { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ } ≃ { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } :=
  Equiv.subtypeEquiv (p := fun (w : InfinitePlace K) ↦ w ≠ W₀) (q := fun (w : InfinitePlace ↥K⁺) ↦ w ≠ w₀)
    (equivInfinitePlace K) ⋯
g : Fin (rank K) ≃ { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ } := Equiv.trans (Equiv.trans (finCongr ⋯) (equivFinRank ↥K⁺)) f.symm
rw :
  Eq (α := ℝ)
    |Matrix.det (n := { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ })
        (Matrix.submatrix (m := { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ }) (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ })
            ((Matrix.of :
                (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ } → ℝ) →
                  Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ } { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ } ℝ)
              fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ }) ↦
              (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
                Real.log
                  (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                    ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                        (↑(realFundSystem K ((g.symm : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ }) → Fin (rank K)) i)) :
                          𝓞 K) :
                      K)))
            (⇑f.symm : (a : { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ }) → { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ })
            (⇑f.symm : (a : { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ }) → { w : InfinitePlace K // w ≠ W₀ }) :
          Matrix { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } ℝ)|
    |Matrix.det (n := { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ })
        ((Matrix.of :
              (a : { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } → { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } ℝ)
            fun (i j : { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ }) ↦
            HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) (2 : ℝ)
              ((Matrix.of :
                    (a : { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } → { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } → ℝ) →
                      Matrix { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } ℝ)
                  (fun (i : { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ }) ↦
                    (logEmbedding ↥K⁺ : (a : Additive (𝓞 ↥K⁺)ˣ) → logSpace ↥K⁺)
                      ((Additive.ofMul : (a : (𝓞 ↥K⁺)ˣ) → Additive (𝓞 ↥K⁺)ˣ)
                          (fundSystem (↥K⁺)
                            (((Equiv.symm (equivFinRank ↥K⁺) :
                                  { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } ≃ Fin (rank.{u_1} ↥K⁺)) :
                                (a : { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ }) → Fin (rank ↥K⁺))
                              i)) :
                        Additive (𝓞 ↥K⁺)ˣ))
                  i j :
                ℝ) :
          Matrix { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ } ℝ)|
⊢ regOfFamily (realFundSystem K) = |∏ w : { w : InfinitePlace ↥K⁺ // w ≠ w₀ }, 2| * regulator.{u_1} ↥K⁺

Tactic:
rw [regulator_eq_regOfFamily_fundSystem, regOfFamily_eq_det _ W₀ g.symm, regOfFamily_eq_det',
    ← abs_mul, ← Matrix.det_mul_column, ← Matrix.det_reindex_self f, Matrix.reindex_apply]

Premises used: NumberField.Units.regOfFamily_eq_det, abs_mul, Matrix.reindex_apply, Matrix.det_reindex_self, Matrix.det_mul_column, NumberField.Units.regulator_eq_regOfFamily_fundSystem, Equiv.symm, NumberField.Units.regOfFamily_eq_det'