-- Module: Mathlib.Topology.Category.LightProfinite.Injective
Goal:
X Y S T : Profinite
inst : Finite.{u + 1} (↑(S.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)
f : X ⟶ Y
inst_1 : Mono f
f' : S ⟶ T
inst_2 : Epi f'
g : X ⟶ S
g' : Y ⟶ T
h_comm : f ≫ g' = g ≫ f'
k_fun :
  (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
        (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))
      Y →
    (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
        (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))
      S
k_cont : Continuous k_fun
h₁ :
  Eq (α :=
    (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))
        Y →
      (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))
        T)
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC :=
            fun (x1 x2 : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
            C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u),
              (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)))
            (CC := fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
            (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)) f') :
        (a :
            (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat) ↦ TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u)) ↦ (↑X.toTop : Type u))
              S) →
          (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat) ↦ TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u)) ↦ (↑X.toTop : Type u)) T) ∘
      k_fun)
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC :=
          fun (x1 x2 : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u),
            (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)))
          (CC := fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)) g') :
      (a : (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat) ↦ TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u)) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y) →
        (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat) ↦ TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u)) ↦ (↑X.toTop : Type u)) T)
h₂ :
  Eq (α :=
    (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))
        X →
      (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))
        S)
    (k_fun ∘
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC :=
            fun (x1 x2 : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
            C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u),
              (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)))
            (CC := fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
            (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)) f) :
        (a :
            (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat) ↦ TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u)) ↦ (↑X.toTop : Type u))
              X) →
          (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat) ↦ TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u)) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC :=
          fun (x1 x2 : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u),
            (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)))
          (CC := fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
          (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)) g) :
      (a : (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat) ↦ TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u)) ↦ (↑X.toTop : Type u)) X) →
        (fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat) ↦ TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type u)) ↦ (↑X.toTop : Type u)) S)
a : (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)
⊢ Eq (α := (↑(S.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))
    (((ConcreteCategory.hom (FC :=
              fun (x1 x2 : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
              C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u),
                (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)))
              (CC := fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
              (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)) (Y := S)
              (f ≫
                  CompHausLike.ofHom (fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))
                    { toFun := k_fun, continuous_toFun := k_cont } :
                X ⟶ S) :
            C((↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u),
              (↑(S.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))) :
          (a : (↑X.toTop : Type u)) → (↑S.toTop : Type u))
        a :
      (↑(S.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC :=
            fun (x1 x2 : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
            C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u),
              (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)))
            (CC := fun (X : CompHausLike fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u)) ↦
            (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u)) g :
          (a : (↑X.toTop : Type u)) → (↑S.toTop : Type u))
        a :
      (↑(S.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) : Type u))

Tactic:
simp [← h₂]