awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ‖f
        (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) k
          (Sigma.mk (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) l
            (Subtype.mk (p := fun (s : Finset (Fin (k + l))) ↦ s.card = l) s hs)))‖₊ ≤
    nnnorm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (k + l)) ↦ E) F) (p (k + l)) * ‖x‖₊ ^ l *
      ‖y‖₊ ^ k

Tactic:
exact p.nnnorm_changeOriginSeriesTerm_apply_le _ _ _ _ _ _

Premises used: FormalMultilinearSeries.nnnorm_changeOriginSeriesTerm_apply_le
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
⊢ Summable f

Tactic:
have hsf : Summable f := by
    refine .of_nnnorm_bounded (p.changeOriginSeries_summable_aux₁ h) ?_
    rintro ⟨k, l, s, hs⟩
    dsimp only [Subtype.coe_mk]
    exact p.nnnorm_changeOriginSeriesTerm_apply_le _ _ _ _ _ _
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
hsf : Summable f
⊢ HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)

Tactic:
HasSum.sigma_of_hasSum ((p.changeOrigin x).summable y_mem_ball).hasSum (fun k => ?_) hsf

Premises used: FormalMultilinearSeries.changeOrigin, Summable.hasSum, FormalMultilinearSeries.summable, HasSum.sigma_of_hasSum
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
hsf : Summable f
refine :
  ∀ (k : ℕ),
    HasSum.{u_3, 0} (α := F)
      (fun (c : (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
        f (Sigma.mk (β := fun (b : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (b + l)) // s.card = l }) k c))
      ((p.changeOrigin x k : (a : (i : Fin k) → E) → F) fun (x : Fin k) ↦ y : F)
⊢ HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)

Tactic:
refine HasSum.sigma_of_hasSum ((p.changeOrigin x).summable y_mem_ball).hasSum (fun k => ?_) hsf

Premises used: FormalMultilinearSeries.changeOrigin, Summable.hasSum, FormalMultilinearSeries.summable, HasSum.sigma_of_hasSum
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
hsf : Summable f
k : ℕ
⊢ HasSum.{u_3, 0} (α := F)
    (fun (c : (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
      (((p.changeOriginSeriesTerm k (c.fst (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
                  (↑(c.snd (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l })) : Finset (Fin (k + c.fst)))
                  ⋯ :
                (a : (i : Fin c.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
              fun (x_1 : Fin (c.fst (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ x :
            (a : (i : Fin k) → E) → F)
          fun (x : Fin k) ↦ y :
        F))
    ((p.changeOrigin x k : (a : (i : Fin k) → E) → F) fun (x : Fin k) ↦ y : F)

Tactic:
ContinuousMultilinearMap.hasSum_eval ?_ _

Premises used: ContinuousMultilinearMap.hasSum_eval
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
hsf : Summable f
k : ℕ
⊢ HasSum
    (fun (n : ℕ) ↦
      (p.changeOriginSeries k n : (a : (i : Fin n) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun (x_1 : Fin n) ↦ x)
    (p.changeOrigin (0 + x) k)

Tactic:
have := (p.hasFPowerSeriesOnBall_changeOrigin k h.pos).hasSum x_mem_ball
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
hsf : Summable f
k : ℕ
this :
  HasSum
    (fun (n : ℕ) ↦
      (p.changeOriginSeries k n : (a : (i : Fin n) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun (x_1 : Fin n) ↦ x)
    (p.changeOrigin (0 + x) k)
⊢ HasSum
    (fun (n : ℕ) ↦
      (p.changeOriginSeries k n : (a : (i : Fin n) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun (x_1 : Fin n) ↦ x)
    (p.changeOrigin x k)

Tactic:
rw [zero_add] at this

Premises used: zero_add
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : (↑‖x‖₊ : ℝ≥0∞) + (↑‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius
x_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) x
y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 (p.changeOrigin x).radius) y
x_add_y_mem_ball : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 p.radius) (x + y)
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l } → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
hsf : Summable f
k : ℕ
this :
  HasSum
    (fun (n : ℕ) ↦
      (p.changeOriginSeries k n : (a : (i : Fin n) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun (x_1 : Fin n) ↦ x)
    (p.changeOrigin x k)
⊢ HasSum
    (fun (c : (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
      (p.changeOriginSeriesTerm k (c.fst (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
            (↑(c.snd (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l })) : Finset (Fin (k + c.fst))) ⋯ :
          (a : (i : Fin c.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
        fun (x_1 : Fin (c.fst (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ x)
    (p.changeOrigin x k)

Tactic:
HasSum.sigma_of_hasSum this (fun l => ?_) ?_

Premises used: HasSum.sigma_of_hasSum