awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
h :
  ∑ k ∈ S,
      HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ)
        (gauge U
          (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E))) ≤
    1 / 2
h₁ :
  ∑ k ∈ Sᶜ,
      HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ)
        (gauge U
          (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E))) <
    1 / 2
⊢ gauge U
      (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((bernsteinApproximation n f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)
        ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)) <
    1

Tactic:
calc
    gauge U (bernsteinApproximation n f x - f x)
      = gauge U (∑ k : Fin (n + 1), bernstein n k x • (f k/ₙ - f x)) := by
      simp [bernsteinApproximation.apply, smul_sub, ← Finset.sum_smul]
    _ ≤ ∑ k : Fin (n + 1), gauge U (bernstein n k x • (f k/ₙ - f x)) :=
      gauge_sum_le hUc (absorbent_nhds_zero hU₀) _ _
    _ = ∑ k : Fin (n + 1), bernstein n k x * gauge U (f k/ₙ - f x) := by
      simp only [gauge_smul_of_nonneg, bernstein_nonneg, smul_eq_mul]
    _ = (∑ k ∈ S, bernstein n k x * gauge U (f k/ₙ - f x)) +
          ∑ k ∈ Sᶜ, bernstein n k x * gauge U (f k/ₙ - f x) :=
      (S.sum_add_sum_compl _).symm
    -- We'll now deal with the terms in `S` and the terms in `Sᶜ` in separate calc blocks.
    _ < 1 / 2 + 1 / 2 := add_lt_add_of_le_of_lt ?_ ?_
    _ = 1 := add_halves 1

Premises used: add_lt_add_of_le_of_lt, HMul.hMul, gauge, Finset.univ, add_halves, bernstein, HSub.hSub, absorbent_nhds_zero, Fin.val, HAdd.hAdd, gauge_sum_le, HSMul.hSMul, OfNat.ofNat, Eq.symm, Fin, DFunLike.coe, Finset.sum, Finset.sum_add_sum_compl, bernsteinApproximation, bernstein.z
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
h :
  ∀ (k : Fin (n + 1)) (hk : k ∈ S),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)) ≤
      1 / 2
⊢ LE.le (α := ℝ)
    (∑ k ∈ S,
      HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ)
        (gauge U
          (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E))))
    (∑ k ∈ S, HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ) (1 / 2))

Tactic:
gcongr with k hk
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
k : Fin (n + 1)
hk : k ∈ S
⊢ gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)) ≤
    1 / 2

Tactic:
(hδ _ _ ?_).le

Premises used: LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
k : Fin (n + 1)
hk : k ∈ S
h : dist k/ₙ x < δ
⊢ gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)) ≤
    1 / 2

Tactic:
refine (hδ _ _ ?_).le

Premises used: LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
k : Fin (n + 1)
hk : k ∈ S
⊢ dist k/ₙ x < δ

Tactic:
simpa [S] using hk
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
rw :
  ∑ k ∈ S, HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ) (1 / 2) =
    (∑ k ∈ S, (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x) * (1 / 2)
rw₁ rw₂ :
  Eq (α := ℝ) (∑ k ∈ S, HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ) (1 / 2))
    (∑ i ∈ S, HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑i : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ) (1 / 2))
⊢ ∑ k ∈ S, HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ) (1 / 2) =
    1 / 2 * ∑ k ∈ S, (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x

Tactic:
rw [mul_comm, Finset.sum_mul]

Premises used: mul_comm, Finset.sum_mul
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
hbc : S ⊆ Finset.univ
⊢ 1 / 2 * ∑ k ∈ S, (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x ≤
    1 / 2 * ∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
⊢ S ⊆ Finset.univ

Tactic:
S.subset_univ

Premises used: Finset.subset_univ
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
⊢ S ⊆ Finset.univ

Tactic:
exact S.subset_univ

Premises used: Finset.subset_univ
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
rw : 1 / 2 * 1 = 1 / 2
rw₁ rw₂ : 1 / 2 = 1 / 2
⊢ 1 / 2 * ∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x = 1 / 2

Tactic:
rw [bernstein.probability, mul_one]

Premises used: bernstein.probability, mul_one
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
k :
  LE.le (α := ℝ)
    (∑ k ∈ S,
      HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ)
        (gauge U
          (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E))))
    (∑ k ∈ S, HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ) (1 / 2))
k₁ :
  ∑ k ∈ S, HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ) (1 / 2) =
    1 / 2 * ∑ k ∈ S, (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x
k₂ :
  1 / 2 * ∑ k ∈ S, (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x ≤
    1 / 2 * ∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x
k₃ : 1 / 2 * ∑ k : Fin (n + 1), (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x = 1 / 2
⊢ ∑ k ∈ S,
      HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ)
        (gauge U
          (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E))) ≤
    1 / 2

Tactic:
calc
      ∑ k ∈ S, bernstein n k x * gauge U (f k/ₙ - f x) ≤ ∑ k ∈ S, bernstein n k x * (1 / 2) := by
        gcongr with k hk
        refine (hδ _ _ ?_).le
        simpa [S] using hk
      _ = 1 / 2 * ∑ k ∈ S, bernstein n k x := by rw [mul_comm, Finset.sum_mul]
      -- In this step we increase the sum over `S` back to a sum over all of `Fin (n+1)`,
      -- so that we can use `bernstein.probability`.
      _ ≤ 1 / 2 * ∑ k : Fin (n + 1), bernstein n k x := by gcongr; exact S.subset_univ
      _ = 1 / 2 := by rw [bernstein.probability, mul_one]

Premises used: HDiv.hDiv, HAdd.hAdd, OfNat.ofNat, Fin
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
simp :
  LE.le (α := ℝ)
    (∑ x_1 ∈ Sᶜ,
      HMul.hMul (β := ℝ)
        (gauge U
          (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x_1/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)))
        ((bernstein n (↑x_1 : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ))
    (∑ k ∈ Sᶜ, HMul.hMul (β := ℝ) C ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ))
⊢ LE.le (α := ℝ)
    (∑ k ∈ Sᶜ,
      HMul.hMul (α := ℝ) ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ)
        (gauge U
          (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) k/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E))))
    (∑ k ∈ Sᶜ, HMul.hMul (β := ℝ) C ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ))

Tactic:
simp only [mul_comm (bernstein n _ x)]

Premises used: bernstein, mul_comm, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
h :
  ∀ i ∈ Sᶜ,
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) i/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)) ≤ C
⊢ LE.le (α := ℝ)
    (∑ x_1 ∈ Sᶜ,
      HMul.hMul (β := ℝ)
        (gauge U
          (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x_1/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)))
        ((bernstein n (↑x_1 : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ))
    (∑ k ∈ Sᶜ, HMul.hMul (β := ℝ) C ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ))

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
i : Fin (n + 1)
h : i ∈ Sᶜ
⊢ gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) i/ₙ : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E)) ≤ C

Tactic:
apply hC
-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Bernstein
Goal:
E : Type u_1
inst : AddCommGroup E
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : IsTopologicalAddGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : ContinuousSMul ℝ E
inst_5 : LocallyConvexSpace ℝ E
f : C((↑I : Type), E)
this_1 : UniformSpace E := IsTopologicalAddGroup.rightUniformSpace E
this : IsUniformAddGroup E
U : Set E
hU₀ : Membership.mem (γ := Filter E) (𝓝 0) U
hUc : Convex ℝ U
C : ℝ
hC :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) ≤ C
hC₀ : 0 ≤ C
δ : ℝ
hδ₀ : δ > 0
hδ :
  ∀ (x y : (↑I : Type)),
    dist x y < δ →
      gauge U (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) x : E) ((f : (a : (↑I : Type)) → E) y : E)) <
        1 / 2
nhds_zero : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : C / HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / (↑n : ℝ) < 1 / 2
hn₀ : n ≠ 0
x : (↑I : Type)
S : Finset (Fin (n + 1)) := {k : Fin (n + 1) | dist k/ₙ x < δ}
rw rw₁ :
  Eq (α := ℝ) (∑ k ∈ Sᶜ, HMul.hMul (β := ℝ) C ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ))
    (∑ i ∈ Sᶜ, HMul.hMul (β := ℝ) C ((bernstein n (↑i : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ))
⊢ ∑ k ∈ Sᶜ, HMul.hMul (β := ℝ) C ((bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x : ℝ) =
    C * ∑ k ∈ Sᶜ, (bernstein n (↑k : ℕ) : (a : (↑I : Type)) → ℝ) x

Tactic:
rw [Finset.mul_sum]

Premises used: Finset.mul_sum