awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
g : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hg :
  Eq.{u_2 + 1} (α := (j : Gal(L/K)) → L)
    (∑ i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (β := (j : Gal(L/K)) → L) (g i) fun (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) i : L))
    (Pi.single (M := fun (j : Gal(L/K)) ↦ L) 1 1)
a :
  ∀ (i j : Gal(L/K)),
    Eq (α := L)
      ((RingHom.mapMatrix (MvPolynomial.eval g) :
            (a : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)) →
              Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) L)
          M i j :
        L)
      (1 i j : L)
⊢ Eq (α := Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) L)
    ((RingHom.mapMatrix (MvPolynomial.eval g) :
          (a : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)) →
            Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) L)
        M :
      Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) L)
    (1 : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) L)

Tactic:
ext i j
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
g : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hg :
  Eq.{u_2 + 1} (α := (j : Gal(L/K)) → L)
    (∑ i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (β := (j : Gal(L/K)) → L) (g i) fun (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) i : L))
    (Pi.single (M := fun (j : Gal(L/K)) ↦ L) 1 1)
i j : Gal(L/K)
⊢ Eq (α := L)
    ((RingHom.mapMatrix (MvPolynomial.eval g) :
          (a : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)) →
            Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) L)
        M i j :
      L)
    (1 i j : L)

Tactic:
simpa [M, Pi.single_apply, inv_mul_eq_one, mul_comm, Matrix.one_apply]
      using congr($hg (i⁻¹ * j))

Premises used: Matrix.one_apply, Pi.single_apply, mul_comm, inv_mul_eq_one
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
obtain :
  ∀ (c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L)
    (hc :
      Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L)
        (1 : L)),
    ∃ (x : L), LinearIndependent K (M := L) fun (σ : Gal(L/K)) ↦ (σ : (a : L) → L) x
⊢ ∃ (x : L), LinearIndependent K (M := L) fun (σ : Gal(L/K)) ↦ (σ : (a : L) → L) x

Tactic:
obtain ⟨c, hc⟩ : ∃ c : _ → L, M.det.eval c = 1 := by
    obtain ⟨g, hg⟩ := (Submodule.mem_span_range_iff_exists_fun _).mp
      (hq ▸ Submodule.mem_top (x := Pi.single 1 1))
    simp_rw [RingHom.map_det]
    refine ⟨g, congr(Matrix.det $(?_)).trans Matrix.det_one⟩
    ext i j
    simpa [M, Pi.single_apply, inv_mul_eq_one, mul_comm, Matrix.one_apply]
      using congr($hg (i⁻¹ * j))
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
h0 : M.det = 0
⊢ False

Tactic:
simpa [hc] using congr(($h0).eval c)
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
⊢ M.det ≠ 0

Tactic:
have hM : M.det ≠ 0 := fun h0 ↦ by
    simpa [hc] using congr(($h0).eval c)
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
hM : M.det ≠ 0
by_contra! :
  ∀
    (h :
      ∀ (b : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → K),
        Eq (α := L)
          ((MvPolynomial.eval ((⇑(algebraMap K L) : (a : K) → L) ∘ b) :
                (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
              M.det :
            L)
          (0 : L)),
    False
⊢ ∃ (b : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → K),
    Ne (α := L)
      ((MvPolynomial.eval ((⇑(algebraMap K L) : (a : K) → L) ∘ b) :
            (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
          M.det :
        L)
      (0 : L)

Tactic:
by_contra! h
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
hM : M.det ≠ 0
h :
  ∀ (b : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → K),
    Eq (α := L)
      ((MvPolynomial.eval ((⇑(algebraMap K L) : (a : K) → L) ∘ b) :
            (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
          M.det :
        L)
      (0 : L)
⊢ False

Tactic:
hM (MvPolynomial.funext_set _
      (fun _ ↦ Set.infinite_range_of_injective (algebraMap K L).injective) fun x hx ↦ ?_)

Premises used: Set.infinite_range_of_injective, Algebra.algebraMap, RingHom.injective, MvPolynomial.funext_set
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
hM : M.det ≠ 0
h :
  ∀ (b : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → K),
    Eq (α := L)
      ((MvPolynomial.eval ((⇑(algebraMap K L) : (a : K) → L) ∘ b) :
            (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
          M.det :
        L)
      (0 : L)
refine :
  ∀ (x : (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L)
    (hx :
      Membership.mem (γ := Set ((i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L))
        (Set.pi (α := fun (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ L) Set.univ
          fun (x : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦
          Set.range.{u_2, u_1 + 1} (ι := K) (⇑(algebraMap K L : K →+* L) : (a : K) → L))
        x),
    Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval x : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L)
      ((MvPolynomial.eval x : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) 0 : L)
⊢ False

Tactic:
refine hM (MvPolynomial.funext_set _
      (fun _ ↦ Set.infinite_range_of_injective (algebraMap K L).injective) fun x hx ↦ ?_)

Premises used: Set.infinite_range_of_injective, Algebra.algebraMap, RingHom.injective, MvPolynomial.funext_set
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
hM : M.det ≠ 0
h :
  ∀ (b : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → K),
    Eq (α := L)
      ((MvPolynomial.eval ((⇑(algebraMap K L) : (a : K) → L) ∘ b) :
            (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
          M.det :
        L)
      (0 : L)
x : (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → K
hx :
  Membership.mem (γ := Set ((i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L))
    (Set.pi (α := fun (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ L) Set.univ fun (x : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦
      Set.range.{u_2, u_1 + 1} (ι := K) (⇑(algebraMap K L : K →+* L) : (a : K) → L))
    (Pi.map (α := fun (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ K) (β := fun (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ L)
      (fun (x : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ (⇑(algebraMap K L : K →+* L) : (a : K) → L)) x)
⊢ Eq (α := L)
    ((MvPolynomial.eval
            (Pi.map (α := fun (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ K) (β :=
              fun (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ L)
              (fun (x : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ (⇑(algebraMap K L : K →+* L) : (a : K) → L)) x) :
          (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
        M.det :
      L)
    ((MvPolynomial.eval
            (Pi.map (α := fun (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ K) (β :=
              fun (i : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ L)
              (fun (x : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) ↦ (⇑(algebraMap K L : K →+* L) : (a : K) → L)) x) :
          (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
        0 :
      L)

Tactic:
simpa using h x
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
hM : M.det ≠ 0
obtain :
  ∀ (b : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → K)
    (hb :
      Ne (α := L)
        ((MvPolynomial.eval ((⇑(algebraMap K L) : (a : K) → L) ∘ b) :
              (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
            M.det :
          L)
        (0 : L)),
    ∃ (x : L), LinearIndependent K (M := L) fun (σ : Gal(L/K)) ↦ (σ : (a : L) → L) x
⊢ ∃ (x : L), LinearIndependent K (M := L) fun (σ : Gal(L/K)) ↦ (σ : (a : L) → L) x

Tactic:
obtain ⟨b, hb⟩ : ∃ b : _ → K, M.det.eval (algebraMap K L ∘ b) ≠ 0 := by
    by_contra! h
    refine hM (MvPolynomial.funext_set _
      (fun _ ↦ Set.infinite_range_of_injective (algebraMap K L).injective) fun x hx ↦ ?_)
    obtain ⟨x, rfl⟩ := Set.range_piMap _ ▸ hx
    simpa using h x
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
hM : M.det ≠ 0
b : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → K
hb :
  Ne (α := L)
    ((MvPolynomial.eval ((⇑(algebraMap K L) : (a : K) → L) ∘ b) :
          (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
        M.det :
      L)
    (0 : L)
⊢ ∃ (x : L), LinearIndependent K (M := L) fun (σ : Gal(L/K)) ↦ (σ : (a : L) → L) x

Tactic:
⟨∑ k, b k • e k, Fintype.linearIndependent_iff.mpr fun a ha ↦
    funext_iff.mp <| (algebraMap K L).injective.comp_left ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Finset.univ, Algebra.algebraMap, funext_iff, RingHom.injective, Fintype.linearIndependent_iff, Exists.intro, Iff.mp, Function.Injective.comp_left, HSMul.hSMul, DFunLike.coe, Finset.sum
-- Module: Mathlib.FieldTheory.Galois.NormalBasis
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
inst_4 : Infinite K
e : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) K L
M : Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) :=
  (Matrix.of :
      (a : Gal(L/K) → Gal(L/K) → MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) →
        Matrix Gal(L/K) Gal(L/K) (MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L))
    fun (i j : Gal(L/K)) ↦
    ∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
      HSMul.hSMul (α := L) (β := MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L)
        ((i.symm : (a : L) → L) ((j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L) : L) : L)
        (MvPolynomial.X k)
hq :
  Eq (α := Submodule L ((j : Gal(L/K)) → L))
    (Submodule.span L
      (Set.range fun (k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) (j : Gal(L/K)) ↦
        (j : (a : L) → L) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)))
    ⊤
c : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → L
hc : Eq (α := L) ((MvPolynomial.eval c : (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L) M.det : L) (1 : L)
hM : M.det ≠ 0
b : Module.Free.ChooseBasisIndex K L → K
hb :
  Ne (α := L)
    ((MvPolynomial.eval ((⇑(algebraMap K L) : (a : K) → L) ∘ b) :
          (a : MvPolynomial (Module.Free.ChooseBasisIndex K L) L) → L)
        M.det :
      L)
    (0 : L)
refine :
  ∀ (a : Gal(L/K) → K)
    (ha :
      Eq.{u_2 + 1} (α := L)
        (∑ i : Gal(L/K),
          HSMul.hSMul (β := L) (a i)
            ((i : (a : L) → L)
                (∑ k : Module.Free.ChooseBasisIndex K L,
                  HSMul.hSMul (β := L) (b k) ((e : (a : Module.Free.ChooseBasisIndex K L) → L) k : L)) :
              L))
        0),
    Eq.{u_2 + 1} (α := Gal(L/K) → L)
      ((fun (x : Gal(L/K) → K) ↦ ((⇑(algebraMap K L : K →+* L) : (a : K) → L) ∘ x : Gal(L/K) → L)) a)
      ((fun (x : Gal(L/K) → K) ↦ ((⇑(algebraMap K L : K →+* L) : (a : K) → L) ∘ x : Gal(L/K) → L)) fun (i : Gal(L/K)) ↦
        0)
⊢ ∃ (x : L), LinearIndependent K (M := L) fun (σ : Gal(L/K)) ↦ (σ : (a : L) → L) x

Tactic:
refine ⟨∑ k, b k • e k, Fintype.linearIndependent_iff.mpr fun a ha ↦
    funext_iff.mp <| (algebraMap K L).injective.comp_left ?_⟩