-- Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
mul₁ :
  ∀ (f g : C((↑s : Type), ℝ)₀),
    HMul.hMul (α := A) (β := A)
        (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
              (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
            f :
          A)
        (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
              (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
            g :
          A) =
      0
mul₂ :
  ∀ (f g : C((↑s : Type), ℝ)₀),
    HMul.hMul (α := A) (β := A)
        (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
              (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
            f :
          A)
        (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
              (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
            g :
          A) =
      0
ψ : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A :=
  let __src :=
    HAdd.hAdd (α := C((↑s : Type), ℝ)₀ →ₗ[ℝ] A)
      (↑(cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
        [inst_12 : FunLike (C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) C((↑s : Type), ℝ)₀ A] →
          [SemilinearMapClass (C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) (RingHom.id ℝ) C((↑s : Type), ℝ)₀ A] →
            C((↑s : Type), ℝ)₀ →ₗ[ℝ] A)
      (↑(cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
        [inst_12 : FunLike (C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) C((↑s : Type), ℝ)₀ A] →
          [SemilinearMapClass (C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) (RingHom.id ℝ) C((↑s : Type), ℝ)₀ A] →
            C((↑s : Type), ℝ)₀ →ₗ[ℝ] A);
  {
    toFun :=
      HAdd.hAdd (α := (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (⇑(cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (⇑(cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A),
    map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
⊢ cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) ha (s := s) has = ψ

Tactic:
have key : (cfcₙHomSuperset ha has) = ψ :=
    have : ContinuousMapZero.UniqueHom ℝ A := inferInstance
    ContinuousMapZero.UniqueHom.eq_of_continuous_of_map_id s
    (cfcₙHomSuperset ha has) ψ (cfcₙHomSuperset_continuous ha has)
    ((cfcₙHomSuperset_continuous hb' hbs).add (cfcₙHomSuperset_continuous hc' hcs))
    (by simpa [ψ, -cfcₙHomSuperset_apply, cfcₙHomSuperset_id, sub_eq_add_neg] using habc)