-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e_1 : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
V : X.Opens
hxV : x ∈ V
iVU : V ≤ U
hV : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
V' : X.Opens
hxV' : x ∈ V'
hV' : IsAffineOpen V'
iV'V : V' ≤ V
H :
  Function.Injective (α := (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) (β := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')) :
      (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
f : X.presheaf.obj (Opposite.op V') ⟶ X.presheaf.stalk x := X.presheaf.germ V' x hxV'
hf' : RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV)) ≤ (CommRingCat.Hom.hom f).range
e : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u) ≃+*
  ↥(RingHom.range
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV'))) :=
  RingEquiv.ofLeftInverse ⋯
a : (↑R : Type u)
refine_2 :
  Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV') :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map ⋯.hom.op) :
              (a : (↑Γ(X, U) : Type u)) → (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u))
            ((φRX.hom' : (a : (↑R : Type u)) → (↑Γ(X, U) : Type u)) a : (↑Γ(X, U) : Type u)) :
          (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (φRA ≫ φ) :
          (a : (↑R : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
        a :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
⊢ Eq.{u + 1} (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (↑((e :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) →
              ↥(ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ V' x hxV')).range)
          ((CommRingCat.Hom.hom (φRX ≫ X.presheaf.map ⋯.hom.op) : (a : (↑R : Type u)) → (↑Γ(X, V') : Type u)) a)) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (↑((((CommRingCat.Hom.hom φ).codRestrict
                (RingHom.range
                  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))
                ⋯ :
              (↑A : Type u) →+*
                ↥(RingHom.range
                    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))) :
            (a : (↑A : Type u)) → ↥(ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ V' x hxV')).range)
          ((φRA.hom' : (a : (↑R : Type u)) → (↑A : Type u)) a)) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))

Tactic:
change X.presheaf.germ _ _ _ (X.presheaf.map _ _) = (φRA ≫ φ) a

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, CategoryTheory.Functor.map, TopCat.Presheaf.germ, AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.toSheafedSpace, CategoryTheory.CategoryStruct.comp, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.presheaf, AlgebraicGeometry.SheafedSpace.toPresheafedSpace, DFunLike.coe, AlgebraicGeometry.Scheme.toLocallyRingedSpace