-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Presentable.Limits
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
K : Type u'
inst_1 : Category.{v', u'} K
F : K ⥤ Functor.{v, w', u, w' + 1} C (Type w')
c : Cone F
hc : (Y : C) → IsLimit (F := F ⋙ obj (evaluation C (Type w')) Y) (mapCone (obj (evaluation C (Type w')) Y) c)
κ : Cardinal.{w}
inst_2 : Fact κ.IsRegular
hK : HasCardinalLT (Arrow.{v', u'} K) κ
J : Type w
inst_3 : SmallCategory J
inst_4 : IsCardinalFiltered J κ
X : Functor.{w, v, w, u} J C
cX : Cocone X
hF : (k : K) → IsColimit ((F.obj k).mapCocone cX)
x : c.pt.obj cX.pt
this : IsFiltered J
y : (↑(F ⋙ obj (evaluation C (Type w')) cX.pt).sections : Type (max w' u'))
hy :
  (Equiv.symm (Types.isLimitEquivSections (hc cX.pt)) :
        (a : (↑(F ⋙ (evaluation C (Type w')).obj cX.pt).sections : Type (max w' u'))) →
          (((evaluation C (Type w')).obj cX.pt).mapCone c).pt)
      y =
    x
H :
  ∀ (k : K),
    ∃ (j : J) (y_1 : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj j)),
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (((F.obj k).mapCocone cX).ι.app j) :
            (a : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj j)) →
              (fun (X : Type w') ↦ X) (((const J).obj ((F.obj k).mapCocone cX).pt).obj j))
          y_1 =
        (↑y : (j : K) → (F ⋙ (evaluation C (Type w')).obj cX.pt).obj j) k
j : (k : K) → J :=
  fun (k : K) ↦
    ⋯.choose (p := fun (j : J) ↦
      ∃ (y_1 : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj j)),
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (((F.obj k).mapCocone cX).ι.app j) :
              (a : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj j)) →
                (fun (X : Type w') ↦ X) (((const J).obj ((F.obj k).mapCocone cX).pt).obj j))
            y_1 =
          (↑y : (j : K) → (F ⋙ (evaluation C (Type w')).obj cX.pt).obj j) k)
z : (k : K) → (F.obj k).obj (X.obj (j k)) :=
  fun (k : K) ↦
    ⋯.choose (p :=
      fun
        (y_1 :
          (X ⋙ F.obj k).obj
            (⋯.choose (p := fun (j : J) ↦
              ∃ (y_1 : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj j)),
                (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (((F.obj k).mapCocone cX).ι.app j) :
                      (a : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj j)) →
                        (fun (X : Type w') ↦ X) (((const J).obj ((F.obj k).mapCocone cX).pt).obj j))
                    y_1 =
                  (↑y : (j : K) → (F ⋙ (evaluation C (Type w')).obj cX.pt).obj j) k))) ↦
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (((F.obj k).mapCocone cX).ι.app
                (⋯.choose (p := fun (j : J) ↦
                  ∃ (y_2 : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj j)),
                    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (((F.obj k).mapCocone cX).ι.app j) :
                          (a : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj j)) →
                            (fun (X : Type w') ↦ X) (((const J).obj ((F.obj k).mapCocone cX).pt).obj j))
                        y_2 =
                      (↑y : (j : K) → (F ⋙ (evaluation C (Type w')).obj cX.pt).obj j) k))) :
            (a : (fun (X : Type w') ↦ X) ((X ⋙ F.obj k).obj ⋯.choose)) →
              (fun (X : Type w') ↦ X) (((const J).obj ((F.obj k).mapCocone cX).pt).obj ⋯.choose))
          y_1 =
        (↑y : (j : K) → (F ⋙ (evaluation C (Type w')).obj cX.pt).obj j) k)
hz :
  ∀ (k : K),
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) ((F.obj k).map (cX.ι.app (j k))) :
          (a : (fun (X : Type w') ↦ X) ((F.obj k).obj (X.obj (j k)))) →
            (fun (X : Type w') ↦ X) ((F.obj k).obj (((const J).obj cX.pt).obj (j k))))
        (z k) =
      (↑y : (j : K) → (F ⋙ (evaluation C (Type w')).obj cX.pt).obj j) k
⊢ ∃ (j₀ : J) (z : (k : K) → (F.obj k).obj (X.obj j₀)),
    ∀ (k : K),
      (↑y : (j : K) → (F ⋙ (evaluation C (Type w')).obj cX.pt).obj j) k =
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) ((F.obj k).map (cX.ι.app j₀)) :
            (a : (fun (X : Type w') ↦ X) ((F.obj k).obj (X.obj j₀))) →
              (fun (X : Type w') ↦ X) ((F.obj k).obj (((const J).obj cX.pt).obj j₀)))
          (z k)

Tactic:
exact ⟨IsCardinalFiltered.max j (hasCardinalLT_of_hasCardinalLT_arrow hK),
      fun k ↦ (F.obj k).map (X.map (IsCardinalFiltered.toMax j _ k)) (z k),
        fun k ↦ by rw [← hz, ← comp_apply, ← Functor.map_comp, cX.w]; rfl⟩