awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
X : Type u_2
inst : EMetricSpace X
inst_1 : MeasurableSpace X
inst_2 : BorelSpace X
α : Type u_4
inst_3 : SMul α X
inst_4 : IsIsometricSMul α X
d : ℝ
c : α
h : 0 ≤ d ∨ Surjective (β := X) fun (x : X) ↦ c • x
s : Set X
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞) (((μH[d] : Measure X) : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (c • s) : ℝ≥0∞)
    (((μH[d] : Measure X) : (a : Set X) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)

Tactic:
(isometry_smul X c).hausdorffMeasure_image h _

Premises used: Isometry.hausdorffMeasure_image, IsIsometricSMul.isometry_smul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := Measure (ι → ℝ)) (μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) (volume : Measure (ι → ℝ))

Tactic:
(pi_eq_generateFrom (fun _ => Real.borel_eq_generateFrom_Ioo_rat.symm)
    (fun _ => Real.isPiSystem_Ioo_rat) (fun _ => Real.finiteSpanningSetsInIooRat _) ?_).symm

Premises used: Real.borel_eq_generateFrom_Ioo_rat, Real.finiteSpanningSetsInIooRat, MeasureTheory.Measure.pi_eq_generateFrom, Eq.symm, Real.isPiSystem_Ioo_rat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
refine :
  ∀ (s : (i : ι) → Set ℝ),
    (∀ (i : ι),
        Membership.mem (γ := Set (Set ℝ)) (⋃ (a : ℚ), ⋃ (b : ℚ), ⋃ (_ : a < b), {Ioo (↑a : ℝ) (↑b : ℝ)}) (s i)) →
      Eq (α := ℝ≥0∞)
        (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
            (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ s) :
          ℝ≥0∞)
        (∏ i : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (s i) : ℝ≥0∞)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := Measure (ι → ℝ)) (μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) (volume : Measure (ι → ℝ))

Tactic:
refine (pi_eq_generateFrom (fun _ => Real.borel_eq_generateFrom_Ioo_rat.symm)
    (fun _ => Real.isPiSystem_Ioo_rat) (fun _ => Real.finiteSpanningSetsInIooRat _) ?_).symm

Premises used: Real.borel_eq_generateFrom_Ioo_rat, Real.finiteSpanningSetsInIooRat, MeasureTheory.Measure.pi_eq_generateFrom, Eq.symm, Real.isPiSystem_Ioo_rat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
simp :
  ∀ (s : (i : ι) → Set ℝ),
    (∀ (i : ι), ∃ (i_1 : ℚ) (i_2 : ℚ) (_ : i_1 < i_2), s i = Ioo (↑i_1 : ℝ) (↑i_2 : ℝ)) →
      Eq (α := ℝ≥0∞)
        (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
            (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ s) :
          ℝ≥0∞)
        (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (s x) : ℝ≥0∞)
⊢ ∀ (s : (i : ι) → Set ℝ),
    (∀ (i : ι),
        Membership.mem (γ := Set (Set ℝ)) (⋃ (a : ℚ), ⋃ (b : ℚ), ⋃ (_ : a < b), {Ioo (↑a : ℝ) (↑b : ℝ)}) (s i)) →
      Eq (α := ℝ≥0∞)
        (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
            (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ s) :
          ℝ≥0∞)
        (∏ i : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (s i) : ℝ≥0∞)

Tactic:
simp only [mem_iUnion, mem_singleton_iff]

Premises used: Set.mem_iUnion, Set.mem_singleton_iff
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
s : (i : ι) → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), ∃ (i_1 : ℚ) (i_2 : ℚ) (_ : i_1 < i_2), s i = Ioo (↑i_1 : ℝ) (↑i_2 : ℝ)
choose :
  ∀ (a b : (i : ι) → ℚ) (H : ∀ (i : ι), ∃ (_ : a i < b i), s i = Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)),
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
          (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ s) :
        ℝ≥0∞)
      (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (s x) : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ s) :
      ℝ≥0∞)
    (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (s x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
choose a b H using hs
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
s : (i : ι) → Set ℝ
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), ∃ (_ : a i < b i), s i = Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)
⊢ s = fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)

Tactic:
funext fun i => (H i).2

Premises used: funext
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
s : (i : ι) → Set ℝ
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), ∃ (_ : a i < b i), s i = Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)
obtain :
  ∀
    (H :
      ∀ (i : ι),
        ∃ (_ : a i < b i),
          Eq (α := Set ℝ) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) i) (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ))),
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
          (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
        ℝ≥0∞)
      (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) x) : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ s) :
      ℝ≥0∞)
    (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (s x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
obtain rfl : s = fun i => Ioo (α := ℝ) (a i) (b i) := funext fun i => (H i).2

Premises used: Rat.cast, funext, Set.Ioo, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H :
  ∀ (i : ι),
    ∃ (_ : a i < b i),
      Eq (α := Set ℝ) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) i) (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ))
⊢ ∀ (i : ι), a i < b i

Tactic:
replace H := fun i => (H i).1
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
apply :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) x) : ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
apply₁ :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
    (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) x) : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
    (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
apply le_antisymm _

Premises used: le_antisymm
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
⊢ LE.le.{u_4} (α := Measure (ι → ℝ)) volume μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)]

Tactic:
le_hausdorffMeasure _ _ ∞ ENNReal.coe_lt_top fun s _ => ?_

Premises used: MeasureTheory.Measure.le_hausdorffMeasure, Top.top, ENNReal.coe_lt_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
refine :
  ∀ (s : Set (ι → ℝ)),
    ediam s ≤ ∞ →
      ((volume : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) s ≤ HPow.hPow (β := ℝ) (ediam s) (↑(Fintype.card ι) : ℝ)
⊢ LE.le.{u_4} (α := Measure (ι → ℝ)) volume μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)]

Tactic:
refine le_hausdorffMeasure _ _ ∞ ENNReal.coe_lt_top fun s _ => ?_

Premises used: MeasureTheory.Measure.le_hausdorffMeasure, Top.top, ENNReal.coe_lt_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
s : Set (ι → ℝ)
h : ediam s ≤ ∞
rw : ((volume : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) s ≤ ediam s ^ Fintype.card ι
⊢ ((volume : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) s ≤ HPow.hPow (β := ℝ) (ediam s) (↑(Fintype.card ι) : ℝ)

Tactic:
rw [ENNReal.rpow_natCast]

Premises used: ENNReal.rpow_natCast
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
s : Set (ι → ℝ)
h : ediam s ≤ ∞
⊢ ((volume : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) s ≤ ediam s ^ Fintype.card ι

Tactic:
Real.volume_pi_le_diam_pow s

Premises used: Real.volume_pi_le_diam_pow
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
s : Set (ι → ℝ)
h : ediam s ≤ ∞
⊢ ((volume : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set (ι → ℝ)) → ℝ≥0∞) s ≤ ediam s ^ Fintype.card ι

Tactic:
exact Real.volume_pi_le_diam_pow s

Premises used: Real.volume_pi_le_diam_pow
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
⊢ LE.le.{u_4} (α := Measure (ι → ℝ)) volume μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)]

Tactic:
have Hle : volume ≤ (μH[Fintype.card ι] : Measure (ι → ℝ)) := by
      refine le_hausdorffMeasure _ _ ∞ ENNReal.coe_lt_top fun s _ => ?_
      rw [ENNReal.rpow_natCast]
      exact Real.volume_pi_le_diam_pow s
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
Hle : LE.le.{u_4} (α := Measure (ι → ℝ)) volume μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)]
rw :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (((volume : Measure ((i : ι) → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) x) : ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [← volume_pi_pi fun i => Ioo (a i : ℝ) (b i)]

Premises used: MeasureTheory.volume_pi_pi, Rat.cast, Set.Ioo
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
Hle : LE.le.{u_4} (α := Measure (ι → ℝ)) volume μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)]
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (((volume : Measure ((i : ι) → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)

Tactic:
Measure.le_iff'.1 Hle _

Premises used: MeasureTheory.Measure.le_iff', Iff.mp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
Hle : LE.le.{u_4} (α := Measure (ι → ℝ)) volume μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)]
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (((volume : Measure ((i : ι) → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)

Tactic:
exact Measure.le_iff'.1 Hle _

Premises used: MeasureTheory.Measure.le_iff', Iff.mp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
i : ι
⊢ 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)

Tactic:
simpa only [sub_nonneg, Rat.cast_le] using (H i).le

Premises used: LT.lt.le, Rat.cast_le, sub_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
⊢ ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)

Tactic:
have I : ∀ i, 0 ≤ (b i : ℝ) - a i := fun i => by
    simpa only [sub_nonneg, Rat.cast_le] using (H i).le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
⊢ Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
simp only [one_div, ENNReal.tendsto_inv_nat_nhds_zero]

Premises used: ENNReal.tendsto_inv_nat_nhds_zero, one_div
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
⊢ Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
have A : Tendsto (fun n : ℕ => 1 / (n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0) := by
    simp only [one_div, ENNReal.tendsto_inv_nat_nhds_zero]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
eventually_atTop.2 ⟨1, fun n hn => ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Exists.intro, Filter.eventually_atTop, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
refine : ∀ (n : ℕ) (hn : n ≥ 1) (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine eventually_atTop.2 ⟨1, fun n hn => ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Exists.intro, Filter.eventually_atTop, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
f : γ n
⊢ ediam (t n f) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
ediam_pi_le_of_le fun b => ?_

Premises used: Metric.ediam_pi_le_of_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
f : γ n
refine :
  ∀ (b_1 : ι),
    ediam
        (Icc ((↑(a b_1) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f b_1) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
          ((↑(a b_1) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f b_1) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))) ≤
      HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
⊢ ediam (t n f) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine ediam_pi_le_of_le fun b => ?_

Premises used: Metric.ediam_pi_le_of_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b_1 : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b_1 i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b_1 i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b_1 i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
f : γ n
b : ι
⊢ ediam
      (Icc ((↑(a b) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f b) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a b) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f b) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))) ≤
    HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
simp only [Real.ediam_Icc, add_div, ENNReal.ofReal_div_of_pos (Nat.cast_pos.mpr hn), le_refl,
      add_sub_add_left_eq_sub, add_sub_cancel_left, ENNReal.ofReal_one, ENNReal.ofReal_natCast]

Premises used: Iff.mpr, le_refl, Nat.cast_pos, add_sub_cancel_left, ENNReal.ofReal_div_of_pos, add_sub_add_left_eq_sub, ENNReal.ofReal_one, ENNReal.ofReal_natCast, Real.ediam_Icc, add_div
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)

Tactic:
have B : ∀ᶠ n in atTop, ∀ i : γ n, ediam (t n i) ≤ 1 / n := by
    refine eventually_atTop.2 ⟨1, fun n hn => ?_⟩
    intro f
    refine ediam_pi_le_of_le fun b => ?_
    simp only [Real.ediam_Icc, add_div, ENNReal.ofReal_div_of_pos (Nat.cast_pos.mpr hn), le_refl,
      add_sub_add_left_eq_sub, add_sub_cancel_left, ENNReal.ofReal_one, ENNReal.ofReal_natCast]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    Subset.{u_4} (α := Set ((i : ι) → ℝ))
      (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) (⋃ (i : γ n), t n i)

Tactic:
eventually_atTop.2 ⟨1, fun n hn => ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Exists.intro, Filter.eventually_atTop, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
refine :
  ∀ (n : ℕ) (hn : n ≥ 1),
    Subset.{u_4} (α := Set ((i : ι) → ℝ))
      (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) (⋃ (i : γ n), t n i)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    Subset.{u_4} (α := Set ((i : ι) → ℝ))
      (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) (⋃ (i : γ n), t n i)

Tactic:
refine eventually_atTop.2 ⟨1, fun n hn => ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, Exists.intro, Filter.eventually_atTop, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)

Tactic:
have npos : (0 : ℝ) < n := Nat.cast_pos.2 hn
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → ℝ))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) x
⊢ ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)

Tactic:
simp only [mem_Ioo, mem_univ_pi] at hx

Premises used: Set.mem_Ioo, Set.mem_univ_pi