-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hik_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
h₁' :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) (-l)
h₂' :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) (-m)
h₃' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hki : P.pairingIn ℤ k i < 0
hik : chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k = 0
hkj : P.pairingIn ℤ (-k) j < 0
hjk : chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) = 0
aux₁ :
  ¬(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m = 1 ∧
      chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) = 0)
aux₂ :
  ¬(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) = 1 ∧
      chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m = 0)
⊢ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m = 0 ∨
    chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m = 1

Tactic:
have aux₃ : P.chainBotCoeff i m = 0 ∨ P.chainBotCoeff i m = 1 := by
    have := P.chainBotCoeff_if_one_zero him_mem
    split at this <;> simp [this]