awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
hind :
  (↑(fs i) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
j : ι
pos :
  ∀ (hj : j = (↑i : ι)),
    r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
      ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
neg :
  ∀ (hj : ¬j = (↑i : ι)),
    r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
      ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
    ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
by_cases hj : j = i
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
hind :
  (↑(fs i) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
j : ι
hj : j = (↑i : ι)
⊢ r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
    ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
simp [hj]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
hind :
  (↑(fs i) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
j : ι
hj : ¬j = (↑i : ι)
⊢ (↑(fs i) : Set ι).indicator (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i)
      j =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
      j

Tactic:
replace hind := congr_fun hind j
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
j : ι
hj : ¬j = (↑i : ι)
hind :
  (↑(fs i) : Set ι).indicator (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i)
      j =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
      j
⊢ (↑(fs i) : Set ι).indicator (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i)
      j =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
      j

Tactic:
hind
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
j : ι
hj : ¬j = (↑i : ι)
hind :
  (↑(fs i) : Set ι).indicator (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i)
      j =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
      j
h :
  r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
    (↑(fs i) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) j
h₁ :
  ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
      j
⊢ r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
    ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
convert! hind using 1
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
j : ι
hj : ¬j = (↑i : ι)
hind :
  (↑(fs i) : Set ι).indicator (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i)
      j =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
      j
⊢ r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
    (↑(fs i) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) j

Tactic:
simp [Set.indicator_apply, hj]

Premises used: Set.indicator_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
j : ι
hj : ¬j = (↑i : ι)
hind :
  (↑(fs i) : Set ι).indicator (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i)
      j =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
      j
⊢ ((↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j =
    (↑(fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) : Set ι).indicator
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
        ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
      j

Tactic:
simp [Set.indicator_apply, hj, w', AffineMap.lineMap_apply_module]

Premises used: AffineMap.lineMap_apply_module, Set.indicator_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k)
    (∑ i_1 ∈ fs i, (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) i_1) 1

Tactic:
simp [Finset.sum_add_distrib, ← Finset.mul_sum, hw, hfs]

Premises used: Finset.mul_sum, Finset.sum_add_distrib
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
hfs : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fs i
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
hp'' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      (Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
          ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) (w i) : (a : k) → (j : ι) → k) r :
            (j : ι) → k) =
        p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
      ((AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi') : ι) 1)
              (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
            (a : k) → (j : ι) → k)
          ri' :
        (j : ι) → k) =
    p'
w' : ι → k :=
  (AffineMap.lineMap (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) (w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      (a : k) → (j : ι) → k)
    ri'
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - r) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) (↑i : ι) 1) + r • w i) :
      P)
    ((Finset.affineCombination k (fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) p : (a : ι → k) → P)
        (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi')) :
      P)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k)
    (∑ i ∈ fs (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'),
      (HSMul.hSMul (β := ι → k) (1 - ri') (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ k) i' 1) +
          ri' • w (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) i' hi'))
        i)
    1

Tactic:
simp [Finset.sum_add_distrib, ← Finset.mul_sum, hw, hfs]

Premises used: Finset.mul_sum, Finset.sum_add_distrib