awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
s : Set E
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
t : Set F
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f s x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxc : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)
hxs : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
hdf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hd2f : DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E →L[𝕜] F) (fderivWithin 𝕜 f s) s x
v : Fin (n + 1) → E
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := G)
    ((alternatizeUncurryFin
            (compContinuousLinearMapCLM (fderivWithin 𝕜 f s x) ∘SL fderivWithin 𝕜 ω t (f x) ∘SL fderivWithin 𝕜 f s x) :
          (a : Fin (n + 1) → E) → G)
        v :
      G)
    (((alternatizeUncurryFin (fderivWithin 𝕜 ω t (f x))).compContinuousLinearMap (fderivWithin 𝕜 f s x) :
          (a : Fin (n + 1) → E) → G)
        v :
      G)

Tactic:
simp +unfoldPartialApp [alternatizeUncurryFin_apply, Fin.removeNth, Function.comp_def]

Premises used: Fin.removeNth, Function.comp_def, ContinuousAlternatingMap.alternatizeUncurryFin_apply
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
s : Set E
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
t : Set F
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f s x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxc : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)
hxs : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
hdf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hd2f : DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E →L[𝕜] F) (fderivWithin 𝕜 f s) s x
hsymm : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hsymm₁ : UniqueDiffOn 𝕜 s
hsymm₂ : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)
hsymm₃ : x ∈ s
⊢ ∀ (x_1 y : E),
    Eq.{u_3 + 1} (α := F)
      ((((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x : (a : E) → E →L[𝕜] F) x_1 : E →L[𝕜] F) : (a : E) → F) y : F)
      ((((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x : (a : E) → E →L[𝕜] F) y : E →L[𝕜] F) : (a : E) → F) x_1 : F)

Tactic:
apply hf.isSymmSndFDerivWithinAt

Premises used: ContDiffWithinAt.isSymmSndFDerivWithinAt
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
s : Set E
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
t : Set F
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f s x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxc : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)
hxs : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
hdf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hd2f : DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E →L[𝕜] F) (fderivWithin 𝕜 f s) s x
⊢ minSmoothness 𝕜 2 ≤ r

Tactic:
assumption
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
s : Set E
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
t : Set F
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f s x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxc : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)
hxs : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
hdf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hd2f : DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E →L[𝕜] F) (fderivWithin 𝕜 f s) s x
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 s

Tactic:
assumption
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
s : Set E
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
t : Set F
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f s x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxc : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)
hxs : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
hdf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hd2f : DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E →L[𝕜] F) (fderivWithin 𝕜 f s) s x
⊢ x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)

Tactic:
assumption
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
s : Set E
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
t : Set F
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f s x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxc : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)
hxs : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
hdf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hd2f : DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E →L[𝕜] F) (fderivWithin 𝕜 f s) s x
⊢ x ∈ s

Tactic:
assumption
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hω : DifferentiableAt 𝕜 ω (f x)
hf : ContDiffAt 𝕜 r f x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
simp :
  ∀ (hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)) (hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x),
    Eq (α := E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] G)
      (extDerivWithin (fun (x : E) ↦ (ω (f x)).compContinuousLinearMap (fderivWithin 𝕜 f univ x)) univ x)
      ((extDerivWithin ω univ (f x)).compContinuousLinearMap (fderivWithin 𝕜 f univ x))
⊢ Eq (α := E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] G) (extDeriv (fun (x : E) ↦ (ω (f x)).compContinuousLinearMap (fderiv 𝕜 f x)) x)
    ((extDeriv ω (f x)).compContinuousLinearMap (fderiv 𝕜 f x))

Tactic:
simp only [← differentiableWithinAt_univ, ← extDerivWithin_univ, ← contDiffWithinAt_univ,
    ← fderivWithin_univ] at *

Premises used: contDiffWithinAt_univ, fderivWithin_univ, extDerivWithin_univ, differentiableWithinAt_univ
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
hω₁ : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
hr₁ : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hs : UniqueDiffOn.{u_1, u_2} 𝕜 (E := E) univ
hxc : Membership.mem (γ := Set E) (closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior univ)) x
hxs : Membership.mem (γ := Set E) univ x
hst : MapsTo f univ univ
⊢ Eq (α := E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] G)
    (extDerivWithin (fun (x : E) ↦ (ω (f x)).compContinuousLinearMap (fderivWithin 𝕜 f univ x)) univ x)
    ((extDerivWithin ω univ (f x)).compContinuousLinearMap (fderivWithin 𝕜 f univ x))

Tactic:
apply extDerivWithin_pullback (r := r)

Premises used: extDerivWithin_pullback
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)

Tactic:
simp [*]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x

Tactic:
simp [*]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
⊢ minSmoothness 𝕜 2 ≤ r

Tactic:
simp [*]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
⊢ UniqueDiffOn.{u_1, u_2} 𝕜 (E := E) univ

Tactic:
simp [*]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior univ)) x

Tactic:
simp [*]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
⊢ Membership.mem (γ := Set E) univ x

Tactic:
simp [*]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
x : E
ω : F → F [⋀^Fin n]→L[𝕜] G
f : E → F
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω univ (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 r f univ x
⊢ MapsTo f univ univ

Tactic:
simp [*]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x

Tactic:
have H₀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)) :
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y ↦ i.removeNth (V · y) j) s x := hV ..
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
symm :
  HSub.hSub (α := F)
      (∑ i : Fin (n + 2),
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑i : ℕ))
          ((fderivWithin 𝕜
                  (fun (x : E) ↦
                    (ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
                      (i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x :
                        (i : Fin (n + 1)) → E))
                  s x :
                (a : E) → F)
              (V i x) :
            F))
      (∑ i : Fin (n + 1),
        ∑ j ∈ Ici i,
          HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑i : ℕ) + (↑j : ℕ)))
            ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
                (Matrix.vecCons (lieBracketWithin 𝕜 (V i.castSucc) (V j.succ) s x)
                  (Fin.removeNth.{u_2 + 1} (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) j
                    (i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x :
                      (i : Fin (n + 1)) → E))) :
              F)) =
    (extDerivWithin ω s x : (a : Fin (n + 1 + 1) → E) → F) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x
⊢ ((extDerivWithin ω s x : (a : Fin (n + 1 + 1) → E) → F) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x) =
    HSub.hSub (α := F)
      (∑ i : Fin (n + 2),
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑i : ℕ))
          ((fderivWithin 𝕜
                  (fun (x : E) ↦
                    (ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
                      (i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x :
                        (i : Fin (n + 1)) → E))
                  s x :
                (a : E) → F)
              (V i x) :
            F))
      (∑ i : Fin (n + 1),
        ∑ j ∈ Ici i,
          HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑i : ℕ) + (↑j : ℕ)))
            ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
                (Matrix.vecCons (lieBracketWithin 𝕜 (V i.castSucc) (V j.succ) s x)
                  (Fin.removeNth.{u_2 + 1} (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) j
                    (i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x :
                      (i : Fin (n + 1)) → E))) :
              F))

Tactic:
symm
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := F)
    (∑ i : Fin (n + 1),
      ∑ j ∈ Ici i,
        (HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑i.castSucc : ℕ))
            ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
                (Function.update (β := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ E)
                  (fun (x_1 : Fin (n + 1)) ↦
                    i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x_2 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_2 x)
                      x_1)
                  j
                  ((fderivWithin 𝕜
                        (fun (y : E) ↦
                          i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y)
                            j)
                        s x :
                      (a : E) → E)
                    (V i.castSucc x))) :
              F) +
          HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) (↑j.succ : ℕ))
            ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
                (Function.update (β := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ E)
                  (fun (x_1 : Fin (n + 1)) ↦
                    j.succ.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x_2 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_2 x) x_1)
                  i
                  ((fderivWithin 𝕜
                        (fun (y : E) ↦
                          j.succ.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) i)
                        s x :
                      (a : E) → E)
                    (V j.succ x))) :
              F)))
    (∑ i : Fin (n + 1),
      ∑ j ∈ Ici i,
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑i : ℕ) + (↑j : ℕ)))
          ((ω x : (a : Fin (n + 1) → E) → F)
              (Matrix.vecCons (lieBracketWithin 𝕜 (V i.castSucc) (V j.succ) s x)
                (Fin.removeNth.{u_2 + 1} (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ E) j
                  (i.castSucc.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) fun (x_1 : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x_1 x :
                    (i : Fin (n + 1)) → E))) :
            F))

Tactic:
Fintype.sum_congr _ _ fun i ↦ sum_congr rfl fun j hj ↦ ?_

Premises used: Fintype.sum_congr, Finset.sum_congr, rfl
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
i j : Fin (n + 1)
hj : j ∈ Ici i
⊢ i ≤ j

Tactic:
rw [mem_Ici] at hj

Premises used: Finset.mem_Ici
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
⊢ i.castSucc.succAbove j = j.succ

Tactic:
simp [Fin.succAbove_of_le_castSucc, hj]

Premises used: Fin.succAbove_of_le_castSucc
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
⊢ i.castSucc.succAbove j = j.succ

Tactic:
have H₁ : i.castSucc.succAbove j = j.succ := by simp [Fin.succAbove_of_le_castSucc, hj]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
H₁ : i.castSucc.succAbove j = j.succ
⊢ j.predAbove i.castSucc = i

Tactic:
simp [Fin.predAbove_of_le_castSucc, hj]

Premises used: Fin.predAbove_of_le_castSucc
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
H₁ : i.castSucc.succAbove j = j.succ
⊢ j.predAbove i.castSucc = i

Tactic:
have H₂ : j.predAbove i.castSucc = i := by simp [Fin.predAbove_of_le_castSucc, hj]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
H₁ : i.castSucc.succAbove j = j.succ
H₂ : j.predAbove i.castSucc = i
⊢ j.succ.succAbove i = i.castSucc

Tactic:
simp [Fin.succAbove_of_castSucc_lt, hj]

Premises used: Fin.succAbove_of_castSucc_lt
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
s : Set E
x : E
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 2) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 2)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
H₀ :
  ∀ (i : Fin (n + 2)) (j : Fin (n + 1)),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (F := E)
      (fun (y : E) ↦ i.removeNth (α := fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ E) (fun (x : Fin (n + 1 + 1)) ↦ V x y) j) s x
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
H₁ : i.castSucc.succAbove j = j.succ
H₂ : j.predAbove i.castSucc = i
⊢ j.succ.succAbove i = i.castSucc

Tactic:
have H₃ : j.succ.succAbove i = i.castSucc := by simp [Fin.succAbove_of_castSucc_lt, hj]