-- Module: Mathlib.RingTheory.Derivation.Basic
Goal:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommSemiring B
inst_3 : AddCommMonoid M
inst_4 : Algebra R A
inst_5 : Algebra R B
inst_6 : Module A M
inst_7 : Module B M
inst_8 : Module R M
D_1 D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a_1 b_1 : A
N : Type u_5
inst_9 : AddCommMonoid N
inst_10 : Module A N
inst_11 : Module R N
inst_12 : IsScalarTower R A M
inst_13 : IsScalarTower R A N
f : M →ₗ[A] N
e : M ≃ₗ[A] N
D : Derivation R A M
a b : A
⊢ ((↑R :
              {S : Type u_2} →
                {M : Type u_4} →
                  {M₂ : Type u_5} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_14 : Semiring S] →
                        [inst_15 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_16 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_17 : Module R M] →
                              [inst_18 : Module R M₂] →
                                [inst_19 : Module S M] →
                                  [inst_20 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            f ∘ₗ
          (↑D : A →ₗ[R] M) :
        (a : A) → N)
      (a * b) =
    HSMul.hSMul (β := N) a
        (((↑R :
                    {S : Type u_2} →
                      {M : Type u_4} →
                        {M₂ : Type u_5} →
                          [inst : Semiring R] →
                            [inst_14 : Semiring S] →
                              [inst_15 : AddCommMonoid M] →
                                [inst_16 : AddCommMonoid M₂] →
                                  [inst_17 : Module R M] →
                                    [inst_18 : Module R M₂] →
                                      [inst_19 : Module S M] →
                                        [inst_20 : Module S M₂] →
                                          [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                  f ∘ₗ
                (↑D : A →ₗ[R] M) :
              (a : A) → N)
            b :
          N) +
      HSMul.hSMul (β := N) b
        (((↑R :
                    {S : Type u_2} →
                      {M : Type u_4} →
                        {M₂ : Type u_5} →
                          [inst : Semiring R] →
                            [inst_14 : Semiring S] →
                              [inst_15 : AddCommMonoid M] →
                                [inst_16 : AddCommMonoid M₂] →
                                  [inst_17 : Module R M] →
                                    [inst_18 : Module R M₂] →
                                      [inst_19 : Module S M] →
                                        [inst_20 : Module S M₂] →
                                          [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                  f ∘ₗ
                (↑D : A →ₗ[R] M) :
              (a : A) → N)
            a :
          N)

Tactic:
simp only [coeFn_coe, LinearMap.comp_apply, map_add, leibniz,
          LinearMap.coe_restrictScalars, LinearMap.map_smul]

Premises used: LinearMap.coe_restrictScalars, LinearMap.comp_apply, map_add, Derivation.leibniz, Derivation.coeFn_coe, LinearMap.map_smul