awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
⊢ ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
          ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
            x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R))
    {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x

Tactic:
5 → 4

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)

Tactic:
simpa [x', f', linearCombination_apply, sum_fintype] using hfx

Premises used: Finsupp.sum_fintype, Finsupp.linearCombination_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)

Tactic:
have : x' f' = 0 := by simpa [x', f', linearCombination_apply, sum_fintype] using hfx
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
obtain :
  ∀ (k : ℕ) (a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M) (ha'y' : x' = y' ∘ₗ a')
    (ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)),
    IsTrivialRelation f x
⊢ IsTrivialRelation f x

Tactic:
obtain ⟨k, a', y', ha'y', ha'⟩ := h₅ this
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
⊢ IsTrivialRelation f x

Tactic:
⟨k, fun i ↦ a' (single i 1), fun j ↦ y' (single j 1), fun i ↦ ?_, fun j ↦ ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, OfNat.ofNat, DFunLike.coe, Finsupp.single
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
refine_1 :
  ∀ (i : Fin l),
    x i =
      ∑ j : Fin k,
        HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := M)
          ((fun (i : Fin l) ↦
              ((⇑((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) (Finsupp.single i 1) : Fin k →₀ R) : (a : Fin k) → R) :
                (a : Fin k) → R))
            i j)
          ((fun (j : Fin k) ↦ ((y' : (a : Fin k →₀ R) → M) (Finsupp.single j 1) : M)) j)
refine_2 :
  ∀ (j : Fin k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
      (∑ i : Fin l,
        f i *
          (fun (i : Fin l) ↦
              ((⇑((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) (Finsupp.single i 1) : Fin k →₀ R) : (a : Fin k) → R) :
                (a : Fin k) → R))
            i j)
      0
⊢ IsTrivialRelation f x

Tactic:
refine ⟨k, fun i ↦ a' (single i 1), fun j ↦ y' (single j 1), fun i ↦ ?_, fun j ↦ ?_⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
i : Fin l
⊢ x i =
    ∑ j : Fin k,
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := M)
        ((fun (i : Fin l) ↦
            ((⇑((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) (Finsupp.single i 1) : Fin k →₀ R) : (a : Fin k) → R) :
              (a : Fin k) → R))
          i j)
        ((fun (j : Fin k) ↦ ((y' : (a : Fin k →₀ R) → M) (Finsupp.single j 1) : M)) j)

Tactic:
simpa [x', ← map_smul, ← map_sum, smul_single] using
        LinearMap.congr_fun ha'y' (Finsupp.single i 1)

Premises used: map_sum, LinearMap.congr_fun, OfNat.ofNat, Finsupp.smul_single, map_smul, Finsupp.single
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
j : Fin k
refine_2 :
  Eq (α := R)
    ((((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) ((Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f) :
            Fin k →₀ R) :
          (a : Fin k) → R)
        j :
      R)
    (0 : R)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (∑ i : Fin l,
      f i *
        (fun (i : Fin l) ↦
            ((⇑((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) (Finsupp.single i 1) : Fin k →₀ R) : (a : Fin k) → R) :
              (a : Fin k) → R))
          i j)
    0

Tactic:
simp_rw [← smul_eq_mul, ← Finsupp.smul_apply, ← map_smul, ← finsetSum_apply, ← map_sum,
        smul_single, smul_eq_mul, mul_one,
        ← (fun _ ↦ equivFunOnFinite_symm_apply_apply _ _ : ∀ x, f' x = f x), univ_sum_single]

Premises used: map_sum, Finsupp.smul_apply, Finsupp.univ_sum_single, smul_eq_mul, mul_one, Finsupp.finsetSum_apply, Finsupp.smul_single, map_smul, Finsupp.equivFunOnFinite_symm_apply_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
j : Fin k
⊢ Eq (α := R)
    ((((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) ((Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f) :
            Fin k →₀ R) :
          (a : Fin k) → R)
        j :
      R)
    (0 : R)

Tactic:
simpa using DFunLike.congr_fun ha' j

Premises used: DFunLike.congr_fun