-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst_9 : AddCommMonoid P
inst_10 : Module R P
inst_11 : AddCommMonoid Q
inst_12 : Module S Q
inst_13 : Module R Q
inst_14 : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
r : S
x : N
F : S →ₗ[R] M →ₗ[R] Q :=
  (↑R :
      {S M : Type v₃} →
        {M₂ : Type (max u_3 v₁)} →
          [inst : Semiring R] →
            [inst_15 : Semiring S] →
              [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                  [inst_18 : Module R M] →
                    [inst_19 : Module R M₂] →
                      [inst_20 : Module S M] →
                        [inst_21 : Module S M₂] → [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
    (S := S)
    (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] Q))) : (M →ₗ[R] Q) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] Q) :
        (a : M →ₗ[R] Q) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] Q)
      g)
hF :
  ∀ (s : S) (m : M),
    (IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) (HSMul.hSMul (β := N) s ((f : (a : M) → N) m : N)) =
      HSMul.hSMul (β := Q) s ((g : (a : M) → Q) m : Q)
zero :
  (IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) (HSMul.hSMul (β := N) r 0) =
    HSMul.hSMul (β := Q) r ((IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) 0 : Q)
tmul :
  ∀ (s : S) (m : M),
    (IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q)
        (HSMul.hSMul (β := N) r
          (((((↑R :
                          {S M : Type v₃} →
                            {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
                              [inst : Semiring R] →
                                [inst_15 : Semiring S] →
                                  [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                                    [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                                      [inst_18 : Module R M] →
                                        [inst_19 : Module R M₂] →
                                          [inst_20 : Module S M] →
                                            [inst_21 : Module S M₂] →
                                              [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                        (S := S)
                        (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) :
                              (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
                            (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
                          f) :
                      (a : S) → M →ₗ[R] N)
                    s :
                  M →ₗ[R] N) :
                (a : M) → N)
              m :
            N)) =
      HSMul.hSMul (β := Q) r
        ((IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q)
            (((((↑R :
                            {S M : Type v₃} →
                              {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
                                [inst : Semiring R] →
                                  [inst_15 : Semiring S] →
                                    [inst_16 : AddCommMonoid M] →
                                      [inst_17 : AddCommMonoid M₂] →
                                        [inst_18 : Module R M] →
                                          [inst_19 : Module R M₂] →
                                            [inst_20 : Module S M] →
                                              [inst_21 : Module S M₂] →
                                                [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                          (S := S)
                          (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) :
                                (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
                              (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
                            f) :
                        (a : S) → M →ₗ[R] N)
                      s :
                    M →ₗ[R] N) :
                  (a : M) → N)
                m :
              N) :
          Q)
add :
  ∀ (x₁ x₂ : N)
    (e₁ :
      (IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) (r • x₁) =
        HSMul.hSMul (β := Q) r ((IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) x₁ : Q))
    (e₂ :
      (IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) (r • x₂) =
        HSMul.hSMul (β := Q) r ((IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) x₂ : Q)),
    (IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) (r • (x₁ + x₂)) =
      HSMul.hSMul (β := Q) r ((IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) (x₁ + x₂) : Q)
⊢ (IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) (r • x) =
    HSMul.hSMul (β := Q) r ((IsTensorProduct.lift h F : (a : N) → Q) x : Q)

Tactic:
induction x using h.inductionOn with
      | zero => rw [smul_zero, map_zero, smul_zero]
      | tmul s m =>
        change h.lift F (r • s • f m) = r • h.lift F (s • f m)
        rw [← mul_smul, hF, hF, mul_smul]
      | add x₁ x₂ e₁ e₂ => rw [map_add, smul_add, map_add, smul_add, e₁, e₂]

Premises used: smul_zero, map_zero, map_add, TensorProduct.tmul, SemigroupAction.mul_smul, smul_add