-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
h :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hx : x ∈ U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : (x : ↥U) → Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ∈ V x
h_unit :
  ∀ (x : ↥U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)
hg :
  ∀ (x : ↥U),
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        (g x) =
      1
x y : ↥U
z : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hzVx : z ∈ (↑(V x) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
hzVy : z ∈ (↑(V y) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
h₁ :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      (HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        (g x)) =
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) (β := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          (g y) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
h₂ :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      1 =
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) (β := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          (g y) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
h₃ :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      1 =
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) (β := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ U z ⋯) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          (g y) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
h₄ :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      1 =
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) (β := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU y).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          (g y) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
h₅ :
  Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
        1 :
      (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
        (HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU y).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1))
          (g y)) :
      (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
h₆ :
  Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
        1 :
      (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
        1 :
      (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
h₇ :
  Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) (1 : (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
        1 :
      (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
h₈ h₉ : Eq.{u_1 + 1} (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) 1 1
⊢ HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) (β := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          (g x) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) =
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1)) (β := (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V x) z hzVx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk z) (X.presheaf.germ (V y) z hzVy) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op (V y))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))
          (g y) :
        (↑(X.presheaf.stalk z) : Type u_1))

Tactic:
rw [← map_mul, hg x, germ_res_apply X.presheaf _ _ _ f,
      ← germ_res_apply X.presheaf (iVU y) z hzVy f, ← map_mul, (hg y), map_one, map_one]

Premises used: TopCat.Presheaf.germ_res_apply, map_mul, map_one, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.presheaf, AlgebraicGeometry.SheafedSpace.toPresheafedSpace