awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ≤ (↑(f x) : ℝ≥0∞)
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < (SimpleFunc.map ENNReal.ofNNReal fs).lintegral μ + ε / 2
h : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ = (SimpleFunc.map ENNReal.ofNNReal fs).lintegral μ
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2

Tactic:
convert! int_fs.le

Premises used: LT.lt.le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ≤ (↑(f x) : ℝ≥0∞)
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < (SimpleFunc.map ENNReal.ofNNReal fs).lintegral μ + ε / 2
h :
  ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ =
    ∫⁻ (a : α), (SimpleFunc.map ENNReal.ofNNReal fs : (a : α) → ℝ≥0∞) a ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ = (SimpleFunc.map ENNReal.ofNNReal fs).lintegral μ

Tactic:
rw [← SimpleFunc.lintegral_eq_lintegral]

Premises used: MeasureTheory.SimpleFunc.lintegral_eq_lintegral
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ≤ (↑(f x) : ℝ≥0∞)
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < (SimpleFunc.map ENNReal.ofNNReal fs).lintegral μ + ε / 2
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ =
    ∫⁻ (a : α), (SimpleFunc.map ENNReal.ofNNReal fs : (a : α) → ℝ≥0∞) a ∂μ

Tactic:
simp only [SimpleFunc.coe_map, Function.comp_apply]

Premises used: MeasureTheory.SimpleFunc.coe_map, Function.comp_apply
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
obtain :
  ∀ (fs : α →ₛ ℝ≥0) (fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x)
    (int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2),
    ∃ (g : α → ℝ≥0),
      (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
        UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
obtain ⟨fs, fs_le_f, int_fs⟩ :
    ∃ fs : α →ₛ ℝ≥0, (∀ x, fs x ≤ f x) ∧ (∫⁻ x, f x ∂μ) ≤ (∫⁻ x, fs x ∂μ) + ε / 2 := by
    have := ENNReal.lt_add_right int_f (ENNReal.half_pos ε0).ne'
    conv_rhs at this => rw [lintegral_eq_nnreal (fun x => (f x : ℝ≥0∞)) μ]
    rw [ENNReal.biSup_add'] at this <;> [skip; exact ⟨0, fun x => by simp⟩]
    simp only [lt_iSup_iff] at this
    rcases this with ⟨fs, fs_le_f, int_fs⟩
    refine ⟨fs, fun x => by simpa only [ENNReal.coe_le_coe] using fs_le_f x, ?_⟩
    convert! int_fs.le
    rw [← SimpleFunc.lintegral_eq_lintegral]
    simp only [SimpleFunc.coe_map, Function.comp_apply]

Premises used: ENNReal.ofNNReal, MeasureTheory.lintegral
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞

Tactic:
ne_top_of_le_ne_top int_f (lintegral_mono fun x => ?_)

Premises used: ne_top_of_le_ne_top, MeasureTheory.lintegral_mono
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
refine : ∀ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ≤ (↑(f x) : ℝ≥0∞)
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞

Tactic:
refine ne_top_of_le_ne_top int_f (lintegral_mono fun x => ?_)

Premises used: ne_top_of_le_ne_top, MeasureTheory.lintegral_mono
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
x : α
⊢ (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ≤ (↑(f x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
simpa only [ENNReal.coe_le_coe] using fs_le_f x

Premises used: ENNReal.coe_le_coe
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞

Tactic:
have int_fs_lt_top : (∫⁻ x, fs x ∂μ) ≠ ∞ := by
    refine ne_top_of_le_ne_top int_f (lintegral_mono fun x => ?_)
    simpa only [ENNReal.coe_le_coe] using fs_le_f x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ (fs : (a : α) → ℝ≥0) x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2

Tactic:
fs.exists_upperSemicontinuous_le_lintegral_le int_fs_lt_top (ENNReal.half_pos ε0).ne'

Premises used: LT.lt.ne', ENNReal.half_pos, MeasureTheory.SimpleFunc.exists_upperSemicontinuous_le_lintegral_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
obtain :
  ∀ (g : α → ℝ≥0) (g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ (fs : (a : α) → ℝ≥0) x) (gcont : UpperSemicontinuous g)
    (gint : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2),
    ∃ (g : α → ℝ≥0),
      (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
        UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
obtain ⟨g, g_le_fs, gcont, gint⟩ :
    ∃ g : α → ℝ≥0,
      (∀ x, g x ≤ fs x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ (∫⁻ x, fs x ∂μ) ≤ (∫⁻ x, g x ∂μ) + ε / 2 :=
    fs.exists_upperSemicontinuous_le_lintegral_le int_fs_lt_top (ENNReal.half_pos ε0).ne'

Premises used: ENNReal.ofNNReal, LT.lt.ne', ENNReal.half_pos, MeasureTheory.SimpleFunc.exists_upperSemicontinuous_le_lintegral_le, DFunLike.coe, MeasureTheory.lintegral
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0
g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ (fs : (a : α) → ℝ≥0) x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
⟨g, fun x => (g_le_fs x).trans (fs_le_f x), gcont, ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0
g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ (fs : (a : α) → ℝ≥0) x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
refine : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
refine ⟨g, fun x => (g_le_fs x).trans (fs_le_f x), gcont, ?_⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0
g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ (fs : (a : α) → ℝ≥0) x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2

Tactic:
int_fs
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0
g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ (fs : (a : α) → ℝ≥0) x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2 ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2 + ε / 2

Tactic:
add_le_add gint le_rfl

Premises used: le_rfl, add_le_add
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0
g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ (fs : (a : α) → ℝ≥0) x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
rw : ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (ε / 2 + ε / 2) = ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε
rw₁ rw₂ : ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε = ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2 + ε / 2 = ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
rw [add_assoc, ENNReal.add_halves]

Premises used: add_assoc, ENNReal.add_halves
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
fs : α →ₛ ℝ≥0
fs_le_f : ∀ (x : α), (fs : (a : α) → ℝ≥0) x ≤ f x
int_fs : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
int_fs_lt_top : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≠ ∞
g : α → ℝ≥0
g_le_fs : ∀ (x : α), g x ≤ (fs : (a : α) → ℝ≥0) x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑((fs : (a : α) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2
f₁ : ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε / 2 + ε / 2 = ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + ε

Tactic:
calc
    (∫⁻ x, f x ∂μ) ≤ (∫⁻ x, fs x ∂μ) + ε / 2 := int_fs
    _ ≤ (∫⁻ x, g x ∂μ) + ε / 2 + ε / 2 := add_le_add gint le_rfl
    _ = (∫⁻ x, g x ∂μ) + ε := by rw [add_assoc, ENNReal.add_halves]

Premises used: ENNReal.ofNNReal, le_rfl, add_le_add, DFunLike.coe, MeasureTheory.lintegral
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ 0 ≤ ε

Tactic:
εpos.le

Premises used: LT.lt.le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
lift :
  ∀ (ε : ℝ≥0) (εpos : 0 < (↑ε : ℝ)),
    ∃ (g : α → ℝ≥0),
      (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
        UpperSemicontinuous g ∧
          Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ ∧
            ∫ (x : α), (↑(f x) : ℝ) ∂μ - (↑ε : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(g x) : ℝ) ∂μ
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧
        Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ ∧ ∫ (x : α), (↑(f x) : ℝ) ∂μ - ε ≤ ∫ (x : α), (↑(g x) : ℝ) ∂μ

Tactic:
lift ε to ℝ≥0 using εpos.le

Premises used: LT.lt.le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ)
⊢ 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [NNReal.coe_pos, ← ENNReal.coe_pos] at εpos

Premises used: ENNReal.coe_pos, NNReal.coe_pos
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞

Tactic:
have If : (∫⁻ x, f x ∂μ) < ∞ := hasFiniteIntegral_iff_ofNNReal.1 fint.hasFiniteIntegral
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
rcases :
  ∀ (g : α → ℝ≥0) (gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x) (gcont : UpperSemicontinuous g)
    (gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)),
    ∃ (g : α → ℝ≥0),
      (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
        UpperSemicontinuous g ∧
          Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ ∧
            ∫ (x : α), (↑(f x) : ℝ) ∂μ - (↑ε : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(g x) : ℝ) ∂μ
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧
        Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ ∧
          ∫ (x : α), (↑(f x) : ℝ) ∂μ - (↑ε : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(g x) : ℝ) ∂μ

Tactic:
rcases exists_upperSemicontinuous_le_lintegral_le f If.ne εpos.ne' with ⟨g, gf, gcont, gint⟩

Premises used: MeasureTheory.exists_upperSemicontinuous_le_lintegral_le, LT.lt.ne', LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞

Tactic:
lt_of_le_of_lt (lintegral_mono fun x => ?_) If

Premises used: lt_of_le_of_lt, MeasureTheory.lintegral_mono
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
refine : ∀ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ≤ (↑(f x) : ℝ≥0∞)
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞

Tactic:
refine lt_of_le_of_lt (lintegral_mono fun x => ?_) If

Premises used: lt_of_le_of_lt, MeasureTheory.lintegral_mono
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
x : α
⊢ (↑(g x) : ℝ≥0∞) ≤ (↑(f x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
simpa using gf x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
⊢ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞

Tactic:
have Ig : (∫⁻ x, g x ∂μ) < ∞ := by
    refine lt_of_le_of_lt (lintegral_mono fun x => ?_) If
    simpa using gf x
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
Ig : ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧
        Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ ∧
          ∫ (x : α), (↑(f x) : ℝ) ∂μ - (↑ε : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(g x) : ℝ) ∂μ

Tactic:
⟨g, gf, gcont, ?_, ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
Ig : ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
refine_1 : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ
refine_2 : ∫ (x : α), (↑(f x) : ℝ) ∂μ - (↑ε : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(g x) : ℝ) ∂μ
⊢ ∃ (g : α → ℝ≥0),
    (∀ (x : α), g x ≤ f x) ∧
      UpperSemicontinuous g ∧
        Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ ∧
          ∫ (x : α), (↑(f x) : ℝ) ∂μ - (↑ε : ℝ) ≤ ∫ (x : α), (↑(g x) : ℝ) ∂μ

Tactic:
refine ⟨g, gf, gcont, ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
Ig : ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
⊢ Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ

Tactic:
Integrable.mono fint gcont.measurable.coe_nnreal_real.aemeasurable.aestronglyMeasurable ?_

Premises used: AEMeasurable.aestronglyMeasurable, Measurable.aemeasurable, UpperSemicontinuous.measurable, MeasureTheory.Integrable.mono, Measurable.coe_nnreal_real
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
Ig : ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
refine_1 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖(↑(g a) : ℝ)‖ ≤ ‖(↑(f a) : ℝ)‖
⊢ Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(g x) : ℝ)) μ

Tactic:
refine
      Integrable.mono fint gcont.measurable.coe_nnreal_real.aemeasurable.aestronglyMeasurable ?_

Premises used: AEMeasurable.aestronglyMeasurable, Measurable.aemeasurable, UpperSemicontinuous.measurable, MeasureTheory.Integrable.mono, Measurable.coe_nnreal_real
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.VitaliCaratheodory
Goal:
α : Type u_1
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : MeasurableSpace α
inst_2 : BorelSpace α
μ : Measure α
inst_3 : μ.WeaklyRegular
f : α → ℝ≥0
fint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ)) μ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < (↑ε : ℝ≥0∞)
If : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
g : α → ℝ≥0
gf : ∀ (x : α), g x ≤ f x
gcont : UpperSemicontinuous g
gint : ∫⁻ (x : α), (↑(f x) : ℝ≥0∞) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ + (↑ε : ℝ≥0∞)
Ig : ∫⁻ (x : α), (↑(g x) : ℝ≥0∞) ∂μ < ∞
x : α
⊢ ‖(↑(g x) : ℝ)‖ ≤ ‖(↑(f x) : ℝ)‖

Tactic:
simp [gf x]