-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify
Goal:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : (↑X : Type v)
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) → F.stalk (↑y : (↑X : Type v))
hU :
  (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x).pred (T :=
    fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x) fU
fV : (y : ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) → F.stalk (↑y : (↑X : Type v))
hV :
  (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x).pred (T :=
    fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x) fV
e :
  Eq (α :=
    F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)))
    (fU (Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯))
    (fV (Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x ⋯))
U' : Opens (↑X : Type v)
mU : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)) ∈ U'
iU : U' ⟶ (↑U : Opens (↑X : Type v))
gU : F.obj (op U')
wU :
  ∀ (x_1 : ↥U'),
    Eq (α := F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))
      ((fun (x_2 : ↥U') ↦
            (fU ((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_2) :
              ?T (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_2) : (↑?X : Type ?u.5027))))
          x_1 :
        F.stalk (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑X : Type ?u.5027)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' (↑x_1 : (↑X : Type v)) ⋯) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
          gU :
        (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
w :
  ∀ (V' : Opens (↑X : Type v))
    (mV : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)) ∈ V')
    (iV : V' ⟶ (↑V : Opens (↑X : Type v))) (gV : F.obj (op V'))
    (wV :
      ∀ (x_1 : ↥V'),
        Eq (α := F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))
          ((fun (x_2 : ↥V') ↦
                (fV ((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_2) :
                  ?T (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_2) : (↑?X : Type ?u.5027))))
              x_1 :
            F.stalk (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑X : Type ?u.5027)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ V' (↑x_1 : (↑X : Type v)) ⋯) :
                (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
              gV :
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))),
    ∃ (W : OpenNhds x) (iU : W ⟶ U) (iV : W ⟶ V),
      ∀ (w : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))),
        Eq (α := F.stalk (↑((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w) : (↑X : Type v)))
          (fU ((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w))
          (fV ((iV : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) w))
⊢ ∃ (W : OpenNhds x) (iU : W ⟶ U) (iV : W ⟶ V),
    ∀ (w : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))),
      Eq (α := F.stalk (↑((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w) : (↑X : Type v)))
        (fU ((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w))
        (fV ((iV : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) w))

Tactic:
rcases hV ⟨x, V.2⟩ with ⟨V', mV, iV, gV, wV⟩

Premises used: Subtype.mk, Subtype.property