-- Module: Mathlib.CategoryTheory.SmallObject.Iteration.FunctorOfCocone
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
J : Type u
inst_1 : LinearOrder J
j : J
F : Functor.{u, v_1, u, u_1} (↑(Set.Iio j) : Type u) C
c : Cocone F
i₁ i₂ i₃ : J
hi : i₁ ≤ i₂
hi' : i₂ ≤ i₃
hi₃ : i₃ ≤ j
hi₁₂ : i₁ < i₂
hi₂₃ : i₂ < i₃
hi₃' : i₃ < j
inl :
  Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv =
    CategoryStruct.comp (Y := obj c i₂)
      (if h₂ : i₂ < j then Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi) ≫ (objIso c i₂ h₂).inv
      else
        if h₁ : i₁ < j then
          (objIso c i₁ h₁).hom ≫
            c.ι.app (Subtype.mk (p := fun (x : J) ↦ x ∈ Set.Iio j) i₁ h₁) ≫ (objIsoPt c).inv ≫ eqToHom ⋯
        else eqToHom ⋯)
      (if h₂ : i₃ < j then Iso.hom (objIso c i₂ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi') ≫ (objIso c i₃ h₂).inv
      else
        if h₁ : i₂ < j then
          (objIso c i₂ h₁).hom ≫
            c.ι.app (Subtype.mk (p := fun (x : J) ↦ x ∈ Set.Iio j) i₂ h₁) ≫ (objIsoPt c).inv ≫ eqToHom ⋯
        else eqToHom ⋯)
inl₁ :
  Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv =
    (Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi) ≫ Iso.inv (objIso c i₂ ⋯)) ≫
      if h₂ : i₃ < j then Iso.hom (objIso c i₂ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi') ≫ (objIso c i₃ h₂).inv
      else
        if h₁ : i₂ < j then
          (objIso c i₂ h₁).hom ≫
            c.ι.app (Subtype.mk (p := fun (x : J) ↦ x ∈ Set.Iio j) i₂ h₁) ≫ (objIsoPt c).inv ≫ eqToHom ⋯
        else eqToHom ⋯
inl₂ :
  Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv =
    (Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi) ≫ Iso.inv (objIso c i₂ ⋯)) ≫
      Iso.hom (objIso c i₂ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi') ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv
inl₃ :
  Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv =
    Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫
      (F.map (homOfLE hi) ≫ Iso.inv (objIso c i₂ ⋯)) ≫
        Iso.hom (objIso c i₂ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi') ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv
inl₄ :
  Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv =
    Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫
      F.map (homOfLE hi) ≫
        Iso.inv (objIso c i₂ ⋯) ≫ Iso.hom (objIso c i₂ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi') ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv
inl₅ :
  Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv =
    Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi) ≫ F.map (homOfLE hi') ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv
inl₆ :
  Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv =
    Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi ≫ homOfLE hi') ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv
inl₇ inl₈ :
  Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv =
    Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ hi₃').inv
⊢ Eq.{v_1 + 1} (α := obj c i₁ ⟶ obj c i₃)
    (if h₂ : i₃ < j then Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE ⋯) ≫ (objIso c i₃ h₂).inv
    else
      if h₁ : i₁ < j then
        (objIso c i₁ h₁).hom ≫
          c.ι.app (Subtype.mk (p := fun (x : J) ↦ x ∈ Set.Iio j) i₁ h₁) ≫ (objIsoPt c).inv ≫ eqToHom ⋯
      else eqToHom ⋯)
    (CategoryStruct.comp (Y := obj c i₂)
      (if h₂ : i₂ < j then Iso.hom (objIso c i₁ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi) ≫ (objIso c i₂ h₂).inv
      else
        if h₁ : i₁ < j then
          (objIso c i₁ h₁).hom ≫
            c.ι.app (Subtype.mk (p := fun (x : J) ↦ x ∈ Set.Iio j) i₁ h₁) ≫ (objIsoPt c).inv ≫ eqToHom ⋯
        else eqToHom ⋯)
      (if h₂ : i₃ < j then Iso.hom (objIso c i₂ ⋯) ≫ F.map (homOfLE hi') ≫ (objIso c i₃ h₂).inv
      else
        if h₁ : i₂ < j then
          (objIso c i₂ h₁).hom ≫
            c.ι.app (Subtype.mk (p := fun (x : J) ↦ x ∈ Set.Iio j) i₂ h₁) ≫ (objIsoPt c).inv ≫ eqToHom ⋯
        else eqToHom ⋯))

Tactic:
rw [dif_pos hi₃', dif_pos (hi₂₃.trans hi₃'), dif_pos hi₃', assoc, assoc,
          Iso.inv_hom_id_assoc, ← Functor.map_comp_assoc, homOfLE_comp]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc, dif_pos, CategoryTheory.Iso.inv_hom_id_assoc, CategoryTheory.Functor.map_comp_assoc, CategoryTheory.homOfLE_comp, LT.lt.trans