-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Ring.FinitePresentation
Goal:
J : Type uJ
inst : Category.{vJ, uJ} J
inst_1 : IsFiltered.{vJ, uJ} J
R : CommRingCat
F : CategoryTheory.Functor.{vJ, u, uJ, u + 1} J CommRingCat
α : Functor.obj (Functor.const J) R ⟶ F
S : CommRingCat
f : R ⟶ S
c : Cocone F
hc : IsColimit c
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
      CommRingCat.carrier))
hf : (CommRingCat.Hom.hom f).EssFiniteType
i : J
a : S ⟶ F.obj i
ha : f ≫ a = α.app i
j : J
b : S ⟶ F.obj j
hb : f ≫ b = α.app j
hab : a ≫ c.ι.app i = b ≫ c.ι.app j
hc' :
  IsColimit (F :=
    F ⋙
      forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier))
    (Functor.mapCocone
      (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier))
      c)
k : (x : (↑S : Type u)) → J
f₁ : (x : (↑S : Type u)) → i ⟶ k x
f₂ : (x : (↑S : Type u)) → j ⟶ k x
h :
  ∀ (x : (↑S : Type u)),
    Eq (α :=
      (fun (X : Type u) ↦ X)
        ((F ⋙
              forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier)).obj
          (k x)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              ((F ⋙
                    forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier)).map
                (f₁ x)) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj i)) →
              (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj (k x)))
          ((a.hom' : (a : (↑S : Type u)) → (↑(F.obj i) : Type u)) x : (↑(F.obj i) : Type u)) :
        (fun (X : Type u) ↦ X)
          ((F ⋙
                forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier)).obj
            (k x)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              ((F ⋙
                    forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier)).map
                (f₂ x)) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj j)) →
              (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj (k x)))
          ((b.hom' : (a : (↑S : Type u)) → (↑(F.obj j) : Type u)) x : (↑(F.obj j) : Type u)) :
        (fun (X : Type u) ↦ X)
          ((F ⋙
                forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier)).obj
            (k x)))
J' : MulticospanShape :=
  { L := Unit ⊕ Unit, R := ↥hf.finset, fst := fun (x : ↥hf.finset) ↦ Sum.inl (),
    snd := fun (x : ↥hf.finset) ↦ Sum.inr () }
D : MulticospanIndex.{0, u, vJ, uJ} J' J :=
  { left := Sum.elim (fun (x : Unit) ↦ i) fun (x : Unit) ↦ j, right := fun (x : J'.R) ↦ k (↑x : (↑S : Type u)),
    fst := fun (x : J'.R) ↦ f₁ (↑x : (↑S : Type u)), snd := fun (x : J'.R) ↦ f₂ (↑x : (↑S : Type u)) }
obtain : ∀ (c' : Cocone D.multicospan), ∃ (k : J) (hik : i ⟶ k) (hjk : j ⟶ k), a ≫ F.map hik = b ≫ F.map hjk
⊢ ∃ (k : J) (hik : i ⟶ k) (hjk : j ⟶ k), a ≫ F.map hik = b ≫ F.map hjk

Tactic:
obtain ⟨c'⟩ := IsFiltered.cocone_nonempty D.multicospan

Premises used: CategoryTheory.IsFiltered.cocone_nonempty, CategoryTheory.Limits.MulticospanIndex.multicospan