-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Topology.Basic
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
inst_1 : TopologicalSpace R
M : ModuleCat R
I : Type u_1
X : I → TopModuleCat R
f : (i : I) → Quiver.Hom.{?u.292990, max u (?u.292990 + 1)} M (X i).toModuleCat
J : Type u_2
inst_2 : Category.{v_1, u_2} J
F : J ⥤ TopModuleCat.{u_3, u} R
c :
  Cone
    (F ⋙
      forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
        (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC := fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
        (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦
        (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
hc : IsLimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (ofCone c).pt
H : ∀ (j : J), m ≫ (ofCone c).π.app j = s.π.app j
x : (↑s.pt.toModuleCat : Type u_3)
j : J
h :
  ∀
    (y :
      (↑(Cone.pt (F :=
            F ⋙
              forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
            (Functor.mapCone
              (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
              s)) :
        Type u_3)),
    Eq (α :=
      (↑(Functor.obj
            (F ⋙
              forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
            j) :
        Type u_3))
      (((ModuleCat.Hom.hom
                (CategoryTheory.Functor.map
                    (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                      (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                      fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                      ModuleCat.carrier))
                    m ≫
                  c.π.app j) :
              (↑(Cone.pt (F :=
                      F ⋙
                        forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                          (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                          fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                          fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                          ModuleCat.carrier))
                      (Functor.mapCone
                        (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                          (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                          fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                          fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                          ModuleCat.carrier))
                        s)) :
                  Type u_3) →ₗ[R]
                (↑(Functor.obj
                      (F ⋙
                        forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                          (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                          fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                          fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                          ModuleCat.carrier))
                      j) :
                  Type u_3)) :
            (a : (↑((forget₂ (TopModuleCat R) (ModuleCat R)).mapCone s).pt : Type u_3)) →
              (↑((F ⋙ forget₂ (TopModuleCat R) (ModuleCat R)).obj j) : Type u_3))
          y :
        (↑(Functor.obj
              (F ⋙
                forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                  (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                  fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                  fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                  ModuleCat.carrier))
              j) :
          Type u_3))
      (((ModuleCat.Hom.hom
                (NatTrans.app
                  (Cone.π
                    (Functor.mapCone
                      (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                        (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                        fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                        fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                        ModuleCat.carrier))
                      s))
                  j) :
              (↑(Cone.pt (F :=
                      F ⋙
                        forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                          (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                          fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                          fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                          ModuleCat.carrier))
                      (Functor.mapCone
                        (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                          (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                          fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                          fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                          ModuleCat.carrier))
                        s)) :
                  Type u_3) →ₗ[R]
                (↑(Functor.obj
                      (F ⋙
                        forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                          (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                          fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                          fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                          ModuleCat.carrier))
                      j) :
                  Type u_3)) :
            (a : (↑((forget₂ (TopModuleCat R) (ModuleCat R)).mapCone s).pt : Type u_3)) →
              (↑((F ⋙ forget₂ (TopModuleCat R) (ModuleCat R)).obj j) : Type u_3))
          y :
        (↑(Functor.obj
              (F ⋙
                forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                  (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                  fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                  fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                  ModuleCat.carrier))
              j) :
          Type u_3))
⊢ Eq (α :=
    Cone.pt (F :=
        F ⋙
          forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC := fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
        (Functor.mapCone
          (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC := fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
          s) ⟶
      Functor.obj
        (F ⋙
          forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC := fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
        j)
    (CategoryTheory.Functor.map
          (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC := fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦
            (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
          m ≫
        c.π.app j :
      Cone.pt (F :=
          F ⋙
            forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
              (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
              fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
          (Functor.mapCone
            (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
              (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
              fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
            s) ⟶
        Functor.obj
          (F ⋙
            forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
              (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
              fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
          j)
    (NatTrans.app
        (Cone.π
          (Functor.mapCone
            (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
              (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
              fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
            s))
        j :
      Functor.obj
          (Functor.obj (Functor.const J)
            (Cone.pt (F :=
              F ⋙
                forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                  (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                  fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                  fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                  ModuleCat.carrier))
              (Functor.mapCone
                (forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
                  (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
                  fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
                  fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD :=
                  ModuleCat.carrier))
                s)))
          j ⟶
        Functor.obj
          (F ⋙
            forget₂ (TopModuleCat.{u_3, u} R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦
              (↑x1.toModuleCat : Type u_3) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type u_3)) (CC :=
              fun (X : TopModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type u_3)) (ModuleCat.{u_3, u} R) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_3, u} R) ↦ (↑x1 : Type u_3) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_3)) (CD := ModuleCat.carrier))
          j)

Tactic:
ext y