-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
f : G → E
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n : WithTop ℕ∞) (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
eG : Type (max uG uE' uF uP) := ULift.{max uE' uF uP, uG} G
this : MeasurableSpace eG := borel eG
this_1 : BorelSpace eG
eE' : Type (max uE' uG uF uP) := ULift.{max uG uF uP, uE'} E'
eF : Type (max uF uG uE' uP) := ULift.{max uG uE' uP, uF} F
eP : Type (max uP uG uE' uF) := ULift.{max uG uE' uF, uP} P
isoG : eG ≃L[𝕜] G := ContinuousLinearEquiv.ulift
isoE' : eE' ≃L[𝕜] E' := ContinuousLinearEquiv.ulift
isoF : eF ≃L[𝕜] F := ContinuousLinearEquiv.ulift
isoP : eP ≃L[𝕜] P := ContinuousLinearEquiv.ulift
ef : eG → E := f ∘ (⇑isoG : (a : eG) → G)
eμ : Measure eG := Measure.map (⇑isoG.symm : (a : G) → eG) μ
eg : eP → eG → eE' :=
  fun (ep : eP) (ex : eG) ↦ (isoE'.symm : (a : E') → eE') (g ((isoP : (a : eP) → P) ep) ((isoG : (a : eG) → G) ex))
eL : E →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF :=
  ContinuousLinearMap.comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜)
    (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (isoE'.arrowCongr (𝕜 := 𝕜) (E := eE') (F := E') (G := F) (H := eF) isoF)) :
      (E' →L[𝕜] F) →L[𝕜] eE' →L[𝕜] eF)
    L
R : (q : eP × eG) → eF := fun (q : eP × eG) ↦ convolution (𝕜 := 𝕜) ef (eg q.1) eL eμ q.2
R_contdiff :
  ContDiffOn 𝕜 (↑n : WithTop ℕ∞) R (SProd.sprod (α := Set eP) (β := Set eG) ((⇑isoP : (a : eP) → P) ⁻¹' s) univ)
A :
  ContDiffOn 𝕜 (F := F) (↑n : WithTop ℕ∞)
    ((⇑isoF : (a : eF) → F) ∘ R ∘ (⇑(isoP.prodCongr isoG).symm : (a : P × G) → eP × eG))
    (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
p : P
x : G
h :
  Eq.{uF + 1} (α := F)
    (∫ (x_1 : G),
      (isoF : (a : eF) → F)
        ((((eL : (a : E) → eE' →L[𝕜] eF) (ef ((isoG.symm : (a : G) → eG) x_1)) : eE' →L[𝕜] eF) : (a : eE') → eF)
            (eg ((isoP.symm : (a : P) → eP) p)
              (HSub.hSub (α := eG) (β := eG) ((isoG.symm : (a : G) → eG) x : eG)
                ((isoG.symm : (a : G) → eG) x_1 : eG))) :
          eF) ∂μ)
    (∫ (t : G), (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g p (x - t)) ∂μ)
h₁ : IsClosedEmbedding (X := G) (Y := eG) (⇑isoG.symm : (a : G) → eG)
⊢ Eq.{uF + 1} (α := F)
    ((isoF : (a : eF) → F)
        (∫ (t : eG),
          (((eL : (a : E) → eE' →L[𝕜] eF) (ef t) : eE' →L[𝕜] eF) : (a : eE') → eF)
            (eg ((isoP.symm : (a : P) → eP) p) (HSub.hSub (α := eG) ((isoG.symm : (a : G) → eG) x : eG) t)) ∂eμ) :
      F)
    (∫ (t : G), (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g p (x - t)) ∂μ : F)

Tactic:
rw [IsClosedEmbedding.integral_map, ← isoF.integral_comp_comm]

Premises used: ContinuousLinearEquiv.integral_comp_comm, Topology.IsClosedEmbedding.integral_map