-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Stalks
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y Z : TopCat
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type u_2
inst_2 : (X Y : C) → FunLike.{u_1 + 1, u_2 + 1, u_2 + 1} (FC X Y) (CC X) (CC Y)
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
x : (↑X : Type v)
U : Opens (↑Y : Type v)
hU :
  Membership.mem (α := (↑Y : Type v)) U
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
        x :
      (↑Y : Type v))
ih :
  NatTrans.app (NatTrans.app (Adjunction.unit (pullbackPushforwardAdjunction C f)) F) (op U) ≫
      (obj (pullback C f) F).germ ((Opens.map f).obj U) x hU ≫ stalkPullbackInv C f F x =
    F.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
            (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
          x)
        hU ≫
      𝟙
        (F.stalk
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
              (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
            x))
ih₁ :
  NatTrans.app (NatTrans.app (Adjunction.unit (pullbackPushforwardAdjunction C f)) F) (op U) ≫
      germToPullbackStalk C f F ((Opens.map f).obj U) x hU =
    F.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
            (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
          x)
        hU ≫
      𝟙
        (F.stalk
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
              (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
            x))
ih₂ :
  Eq (α :=
    F.obj (op U) ⟶
      F.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
            (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
          x))
    (NatTrans.app (NatTrans.app (Adjunction.unit (pullbackPushforwardAdjunction C f)) F) (op U) ≫
      germToPullbackStalk C f F ((Opens.map f).obj U) x hU)
    (F.germ U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
        x)
      hU)
ih₃ ih₄ :
  Eq (α :=
    F.obj (op U) ⟶
      F.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
            (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
          x))
    (F.germ (unop (op U))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
        x)
      hU)
    (F.germ U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
        x)
      hU)
⊢ F.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
            (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
          x)
        hU ≫
      stalkPullbackHom C f F x ≫ stalkPullbackInv C f F x =
    F.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
            (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
          x)
        hU ≫
      𝟙
        (F.stalk
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) f :
              (a : (↑X : Type v)) → (↑Y : Type v))
            x))

Tactic:
rw [germ_stalkPullbackHom_assoc, germ_stalkPullbackInv, Category.comp_id,
      pullbackPushforwardAdjunction_unit_app_app_germToPullbackStalk]

Premises used: CategoryTheory.Category.comp_id, TopCat.Presheaf.germ_stalkPullbackHom_assoc, TopCat.Presheaf.germ_stalkPullbackInv, TopCat.Presheaf.pullbackPushforwardAdjunction_unit_app_app_germToPullbackStalk