awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A_1 :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact (SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k)
t : Set (P × G)
kt : SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k ⊆ t
t_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] t
ht : Bornology.IsBounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε (SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.1‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∈ k
H : (p, x) ∈ t
this : Membership.mem (γ := Set (P × G →L[𝕜] E')) (closedBall 0 C) (g' (p, x))
pos pos₁ pos₂ pos₃ : ∀ (this : ‖g' (p, x)‖ ≤ C), ‖g' (p, x)‖ ≤ C
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C

Tactic:
rwa [mem_closedBall_zero_iff] at this

Premises used: mem_closedBall_zero_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A_1 :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact (SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k)
t : Set (P × G)
kt : SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k ⊆ t
t_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] t
ht : Bornology.IsBounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε (SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.1‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∉ k
⊢ g' (p, x) = 0

Tactic:
have : g' (p, x) = 0 := g'_zero _ _ hps hx
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A_1 :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact (SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k)
t : Set (P × G)
kt : SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k ⊆ t
t_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] t
ht : Bornology.IsBounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε (SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.1‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∉ k
this : g' (p, x) = 0
neg : norm (E := P × G →L[𝕜] E') 0 ≤ C
⊢ ‖g' (p, x)‖ ≤ C

Tactic:
rw [this]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A_1 :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
A : IsCompact (SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k)
t : Set (P × G)
kt : SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k ⊆ t
t_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] t
ht : Bornology.IsBounded (g' '' t)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : thickening ε (SProd.sprod (α := Set P) {q₀.1} k) ⊆ t
h'ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
C : ℝ
Cpos : 0 < C
hC : g' '' t ⊆ closedBall 0 C
p : P
x : G
hp : ‖p - q₀.1‖ < ε
hps : p ∈ s
hx : x ∉ k
this : g' (p, x) = 0
⊢ norm (E := P × G →L[𝕜] E') 0 ≤ C

Tactic:
simpa only [norm_zero] using Cpos.le

Premises used: norm_zero, LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
h :
  ∀ a ∈ SProd.sprod (β := Set G) s univ,
    AEStronglyMeasurable.{uG, uF} (β := F)
      (fun (a_2 : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a_2) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g a.1 (a.2 - a_2))) μ
⊢ ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀,
    AEStronglyMeasurable.{uG, uF} (β := F)
      (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x.1 (x.2 - a))) μ

Tactic:
filter_upwards [A' q₀ hq₀]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).1 ∈ s
⊢ AEStronglyMeasurable.{uG, uF} (β := F)
    (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (p, x).1 ((p, x).2 - a))) μ

Tactic:
(HasCompactSupport.convolutionExists_right L ?_ hf (A _ hp) _).1

Premises used: HasCompactSupport.convolutionExists_right, And.left
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).1 ∈ s
h : HasCompactSupport (g (p, x).1)
⊢ AEStronglyMeasurable.{uG, uF} (β := F)
    (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (p, x).1 ((p, x).2 - a))) μ

Tactic:
refine (HasCompactSupport.convolutionExists_right L ?_ hf (A _ hp) _).1

Premises used: HasCompactSupport.convolutionExists_right, And.left
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).1 ∈ s
h : tsupport (g (p, x).1) ⊆ k
⊢ HasCompactSupport (g (p, x).1)

Tactic:
apply hk.of_isClosed_subset (isClosed_tsupport _)

Premises used: isClosed_tsupport, IsCompact.of_isClosed_subset
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).1 ∈ s
⊢ tsupport (g (p, x).1) ⊆ k

Tactic:
closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => hgs _ _ hp hz) hk.isClosed

Premises used: Iff.mpr, closure_minimal, tsupport, Prod.mk, Prod.fst, Function.support_subset_iff', IsCompact.isClosed
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
p : P
x : G
hp : (p, x).1 ∈ s
⊢ tsupport (g (p, x).1) ⊆ k

Tactic:
exact closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => hgs _ _ hp hz) hk.isClosed

Premises used: Iff.mpr, closure_minimal, Prod.mk, Prod.fst, Function.support_subset_iff', IsCompact.isClosed
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
⊢ ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀,
    AEStronglyMeasurable.{uG, uF} (β := F)
      (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x.1 (x.2 - a))) μ

Tactic:
have I1 :
    ∀ᶠ x : P × G in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a : G => L (f a) (g x.1 (x.2 - a))) μ := by
    filter_upwards [A' q₀ hq₀]
    rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
    refine (HasCompactSupport.convolutionExists_right L ?_ hf (A _ hp) _).1
    apply hk.of_isClosed_subset (isClosed_tsupport _)
    exact closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => hgs _ _ hp hz) hk.isClosed
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 :
  ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀,
    AEStronglyMeasurable.{uG, uF} (β := F)
      (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x.1 (x.2 - a))) μ
⊢ HasCompactSupport (g q₀.1)

Tactic:
have M : HasCompactSupport (g q₀.1) := HasCompactSupport.intro hk fun x hx => hgs q₀.1 x hq₀ hx
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 :
  ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀,
    AEStronglyMeasurable.{uG, uF} (β := F)
      (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x.1 (x.2 - a))) μ
M : HasCompactSupport (g q₀.1)
⊢ Integrable.{uF, uG} (ε := F)
    (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ

Tactic:
apply M.convolutionExists_right L hf (A q₀.1 hq₀) q₀.2

Premises used: HasCompactSupport.convolutionExists_right, Prod.fst, Prod.snd
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst_3 : RCLike 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace ℝ F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
inst_8 : MeasurableSpace G
inst_9 : NormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : NormedSpace 𝕜 G
inst_12 : NormedAddCommGroup P
inst_13 : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (SProd.sprod (β := Set G) s univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : (x : P × G) → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → SProd.sprod (β := Set G) s univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 :
  ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀,
    AEStronglyMeasurable.{uG, uF} (β := F)
      (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x.1 (x.2 - a))) μ
⊢ Integrable.{uF, uG} (ε := F)
    (fun (a : G) ↦ (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f a) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ

Tactic:
have I2 : Integrable (fun a : G => L (f a) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ := by
    have M : HasCompactSupport (g q₀.1) := HasCompactSupport.intro hk fun x hx => hgs q₀.1 x hq₀ hx
    apply M.convolutionExists_right L hf (A q₀.1 hq₀) q₀.2