awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : CharZero R
inst_7 : Fintype ι
i k l : ↥b.support
⊢ (ω b * h i) (Sum.inl k) (Sum.inl l) = (-h i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inl l)

Tactic:
simp [ω, h]

Premises used: RootPairing.GeckConstruction.ω, RootPairing.GeckConstruction.h
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : CharZero R
inst_7 : Fintype ι
i k : ↥b.support
l : ι
⊢ (ω b * h i) (Sum.inl k) (Sum.inr l) = (-h i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inr l)

Tactic:
simp [ω, h]

Premises used: RootPairing.GeckConstruction.ω, RootPairing.GeckConstruction.h
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : CharZero R
inst_7 : Fintype ι
i : ↥b.support
k : ι
l : ↥b.support
⊢ (ω b * h i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (-h i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)

Tactic:
simp [ω, h]

Premises used: RootPairing.GeckConstruction.ω, RootPairing.GeckConstruction.h
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : CharZero R
inst_7 : Fintype ι
i : ↥b.support
k l : ι
a :
  HAdd.hAdd (α := R)
      (∑ a₁ : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R)
          (Matrix.fromBlocks (m := ι) (n := ↥b.support) 1 0 0
            ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inr k)
            (Sum.inl a₁))
          (Matrix.fromBlocks (l := ↥b.support) 0 0 0 (Matrix.diagonal fun (x : ι) ↦ (↑(P.pairingIn ℤ x (↑i : ι)) : R))
            (Sum.inl a₁) (Sum.inr l)))
      (∑ x : ι,
        HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) (fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) k x : R)
          (Matrix.diagonal (fun (x : ι) ↦ (↑(P.pairingIn ℤ x (↑i : ι)) : R)) x l : R)) =
    HAdd.hAdd (α := R)
      (∑ a₁ : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((-Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun (x : ι) ↦ (↑(P.pairingIn ℤ x (↑i : ι)) : R))) (Sum.inr k)
              (Sum.inl a₁) :
            R)
          (Matrix.fromBlocks (l := ↥b.support) (o := ι) 1 0 0
              ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inl a₁)
              (Sum.inr l) :
            R))
      (∑ x : ι,
        HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((-Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun (x : ι) ↦ (↑(P.pairingIn ℤ x (↑i : ι)) : R))) (Sum.inr k)
              (Sum.inr x) :
            R)
          ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) (fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) x l : R))
⊢ (ω b * h i) (Sum.inr k) (Sum.inr l) = (-h i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr l)

Tactic:
simp only [ω, h, Matrix.mul_apply, Fintype.sum_sum_type, Matrix.fromBlocks_apply₂₂]

Premises used: Matrix.fromBlocks_apply₂₂, RootPairing.GeckConstruction.ω, RootPairing.GeckConstruction.h, Fintype.sum_sum_type, Matrix.mul_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : CharZero R
inst_7 : Fintype ι
i : ↥b.support
k l : ι
⊢ HAdd.hAdd (α := R)
      (∑ a₁ : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R)
          (Matrix.fromBlocks (m := ι) (n := ↥b.support) 1 0 0
            ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inr k)
            (Sum.inl a₁))
          (Matrix.fromBlocks (l := ↥b.support) 0 0 0 (Matrix.diagonal fun (x : ι) ↦ (↑(P.pairingIn ℤ x (↑i : ι)) : R))
            (Sum.inl a₁) (Sum.inr l)))
      (∑ x : ι,
        HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) (fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) k x : R)
          (Matrix.diagonal (fun (x : ι) ↦ (↑(P.pairingIn ℤ x (↑i : ι)) : R)) x l : R)) =
    HAdd.hAdd (α := R)
      (∑ a₁ : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((-Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun (x : ι) ↦ (↑(P.pairingIn ℤ x (↑i : ι)) : R))) (Sum.inr k)
              (Sum.inl a₁) :
            R)
          (Matrix.fromBlocks (l := ↥b.support) (o := ι) 1 0 0
              ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inl a₁)
              (Sum.inr l) :
            R))
      (∑ x : ι,
        HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((-Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun (x : ι) ↦ (↑(P.pairingIn ℤ x (↑i : ι)) : R))) (Sum.inr k)
              (Sum.inr x) :
            R)
          ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) (fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) x l : R))

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : CharZero R
inst_7 : Fintype ι
i : ↥b.support
a : ∀ (k l : ↥b.support), (ω b * h i) (Sum.inl k) (Sum.inl l) = (-h i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inl l)
a₁ : ∀ (k : ↥b.support) (l : ι), (ω b * h i) (Sum.inl k) (Sum.inr l) = (-h i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inr l)
a₂ : ∀ (k : ι) (l : ↥b.support), (ω b * h i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (-h i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)
a₃ : ∀ (k l : ι), (ω b * h i) (Sum.inr k) (Sum.inr l) = (-h i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr l)
a₄ : ∀ (k : ↥b.support) (l : ι), (ω b * h i) (Sum.inl k) (Sum.inr l) = (-h i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inr l)
a₅ : ∀ (k : ι) (l : ↥b.support), (ω b * h i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (-h i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)
a₆ : ∀ (k l : ι), (ω b * h i) (Sum.inr k) (Sum.inr l) = (-h i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr l)
a₇ : ∀ (k : ι) (l : ↥b.support), (ω b * h i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (-h i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)
a₈ a₉ : ∀ (k l : ι), (ω b * h i) (Sum.inr k) (Sum.inr l) = (-h i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr l)
⊢ ω b * h i = -h i * ω b

Tactic:
classical
  ext (k | k) (l | l)
  · simp [ω, h]
  · simp [ω, h]
  · simp [ω, h]
  · simp only [ω, h, Matrix.mul_apply, Fintype.sum_sum_type, Matrix.fromBlocks_apply₂₂]
    aesop

Premises used: Matrix.fromBlocks_apply₂₂, RootPairing.GeckConstruction.ω, RootPairing.GeckConstruction.h, Fintype.sum_sum_type, Matrix.mul_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
a : ∀ (k l : ↥b.support), (ω b * e i) (Sum.inl k) (Sum.inl l) = (f i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inl l)
a₁ : ∀ (k : ↥b.support) (l : ι), (ω b * e i) (Sum.inl k) (Sum.inr l) = (f i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inr l)
a₂ : ∀ (k : ι) (l : ↥b.support), (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)
a₃ : ∀ (k l : ι), (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inr l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr l)
⊢ ω b * e i = f i * ω b

Tactic:
ext (k | k) (l | l)
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ↥b.support
⊢ (ω b * e i) (Sum.inl k) (Sum.inl l) = (f i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inl l)

Tactic:
simp [ω, e, f]

Premises used: RootPairing.GeckConstruction.f, RootPairing.GeckConstruction.ω, RootPairing.GeckConstruction.e
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ↥b.support
l : ι
a :
  HAdd.hAdd (α := R)
      (∑ x : ↥b.support,
        if x = i ∧ l = -(↑i : ι) then
          HMul.hMul (α := R)
            (Matrix.fromBlocks (m := ι) (o := ι) 1 0 0
              ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inl k)
              (Sum.inl x))
            1
        else 0)
      (∑ x : ι,
        if
            (P.root : (a : ι) → M) x =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) then
          0 k x *
            HAdd.hAdd (α := R)
              (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l) : R) 1
        else 0) =
    ∑ x : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R)
          (Matrix.fromBlocks (m := ι) (o := ι) 0
            ((Matrix.of : (a : ↥b.support → ι → R) → Matrix (↥b.support) ι R) fun (i' : ↥b.support) (j : ι) ↦
              if i' = i ∧ j = (↑i : ι) then 1 else 0)
            ((Matrix.of : (a : ι → ↥b.support → R) → Matrix ι (↥b.support) R) fun (i' : ι) (j : ↥b.support) ↦
              if i' = -(↑i : ι) then (↑|b.cartanMatrix i j| : R) else 0)
            ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i' j : ι) ↦
              if
                  (P.root : (a : ι) → M) i' =
                    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                      ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) then
                HAdd.hAdd (α := R)
                  (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) j) : R) 1
              else 0)
            (Sum.inl k) (Sum.inl x))
          (0 x l) +
      if Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ (-l) then
        HMul.hMul (α := R) (if k = i ∧ -l = (↑i : ι) then 1 else 0) 1
      else 0
⊢ (ω b * e i) (Sum.inl k) (Sum.inr l) = (f i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inr l)

Tactic:
simp only [ω, e, f, mul_ite, mul_zero, Fintype.sum_sum_type, Matrix.mul_apply, Matrix.of_apply,
      Matrix.fromBlocks_apply₁₂, Matrix.fromBlocks_apply₂₂, Finset.sum_ite_eq']

Premises used: Matrix.fromBlocks_apply₁₂, Matrix.fromBlocks_apply₂₂, RootPairing.GeckConstruction.f, Finset.sum_ite_eq', RootPairing.GeckConstruction.ω, Fintype.sum_sum_type, mul_ite, Matrix.mul_apply, Matrix.of_apply, MulZeroClass.mul_zero, RootPairing.GeckConstruction.e
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ↥b.support
l : ι
⊢ ∀ (b_1 : ↥b.support),
    Membership.mem (γ := Finset ↥b.support) Finset.univ b_1 →
      b_1 ≠ i →
        (if b_1 = i ∧ l = -(↑i : ι) then
            HMul.hMul (α := R)
              (Matrix.fromBlocks (m := ι) (o := ι) 1 0 0
                ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inl k)
                (Sum.inl b_1))
              1
          else 0) =
          0

Tactic:
simp_all
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ↥b.support
l : ι
⊢ ((if i = i ∧ l = -(↑i : ι) then
        HMul.hMul (α := R)
          (Matrix.fromBlocks (m := ι) (o := ι) 1 0 0
            ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inl k)
            (Sum.inl i))
          1
      else 0) +
      ∑ x : ι,
        if
            (P.root : (a : ι) → M) x =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) then
          0 k x *
            HAdd.hAdd (α := R)
              (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l) : R) 1
        else 0) =
    ∑ x : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R)
          (Matrix.fromBlocks (m := ι) (o := ι) 0
            ((Matrix.of : (a : ↥b.support → ι → R) → Matrix (↥b.support) ι R) fun (i' : ↥b.support) (j : ι) ↦
              if i' = i ∧ j = (↑i : ι) then 1 else 0)
            ((Matrix.of : (a : ι → ↥b.support → R) → Matrix ι (↥b.support) R) fun (i' : ι) (j : ↥b.support) ↦
              if i' = -(↑i : ι) then (↑|b.cartanMatrix i j| : R) else 0)
            ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i' j : ι) ↦
              if
                  (P.root : (a : ι) → M) i' =
                    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                      ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) then
                HAdd.hAdd (α := R)
                  (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) j) : R) 1
              else 0)
            (Sum.inl k) (Sum.inl x))
          (0 x l) +
      if Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ (-l) then
        HMul.hMul (α := R) (if k = i ∧ -l = (↑i : ι) then 1 else 0) 1
      else 0

Tactic:
simp [← ite_and, and_comm, -indexNeg_neg, neg_eq_iff_eq_neg]

Premises used: neg_eq_iff_eq_neg, and_comm, ite_and, RootPairing.indexNeg_neg
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k : ι
l : ↥b.support
⊢ (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)

Tactic:
simp [ω, e, f]

Premises used: RootPairing.GeckConstruction.f, RootPairing.GeckConstruction.ω, RootPairing.GeckConstruction.e
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
⊢ ∀ (b_1 : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ b_1 →
      b_1 ≠ -k →
        (if
              (P.root : (a : ι) → M) b_1 =
                HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) then
            (if -k = b_1 then 1 else 0) *
              HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l) : R) 1
          else HMul.hMul (α := R) (if -k = b_1 then 1 else 0) 0) =
          0

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
⊢ (∑ x : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R) (0 k x)
          (Matrix.fromBlocks (l := ↥b.support) (o := ι) 0
            ((Matrix.of : (a : ↥b.support → ι → R) → Matrix (↥b.support) ι R) fun (i' : ↥b.support) (j : ι) ↦
              if i' = i ∧ j = -(↑i : ι) then 1 else 0)
            ((Matrix.of : (a : ι → ↥b.support → R) → Matrix ι (↥b.support) R) fun (i' : ι) (j : ↥b.support) ↦
              if i' = (↑i : ι) then (↑|b.cartanMatrix i j| : R) else 0)
            ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i' j : ι) ↦
              if
                  (P.root : (a : ι) → M) i' =
                    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
                      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) then
                HAdd.hAdd (α := R)
                  (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) j) : R) 1
              else 0)
            (Sum.inl x) (Sum.inr l)) +
      if
          (P.root : (a : ι) → M) (-k) =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) then
        (if -k = -k then 1 else 0) *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l) : R)
            1
      else HMul.hMul (α := R) (if -k = -k then 1 else 0) 0) =
    HAdd.hAdd (α := R)
      (∑ x : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R) (if -k = (↑i : ι) then (↑|b.cartanMatrix i x| : R) else 0)
          (Matrix.fromBlocks (l := ↥b.support) (o := ι) 1 0 0
            ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i j : ι) ↦ if i = -j then 1 else 0) (Sum.inl x)
            (Sum.inr l)))
      (∑ x : ι,
        if x = -l then
          (if
                (P.root : (a : ι) → M) k =
                  HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) then
              HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R) 1
            else 0) *
            1
        else
          (if
                (P.root : (a : ι) → M) k =
                  HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) then
              HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R) 1
            else 0) *
            0)

Tactic:
simp [neg_eq_iff_eq_neg, sub_eq_add_neg]

Premises used: sub_eq_add_neg, neg_eq_iff_eq_neg
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
a : ∀ (k l : ↥b.support), (ω b * e i) (Sum.inl k) (Sum.inl l) = (f i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inl l)
a₁ : ∀ (k : ↥b.support) (l : ι), (ω b * e i) (Sum.inl k) (Sum.inr l) = (f i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inr l)
a₂ : ∀ (k : ι) (l : ↥b.support), (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)
a₃ : ∀ (k l : ι), (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inr l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr l)
a₄ : ∀ (k : ↥b.support) (l : ι), (ω b * e i) (Sum.inl k) (Sum.inr l) = (f i * ω b) (Sum.inl k) (Sum.inr l)
a₅ : ∀ (k : ι) (l : ↥b.support), (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)
a₆ : ∀ (k l : ι), (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inr l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr l)
a₇ : ∀ (k : ι) (l : ↥b.support), (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inl l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inl l)
a₈ a₉ : ∀ (k l : ι), (ω b * e i) (Sum.inr k) (Sum.inr l) = (f i * ω b) (Sum.inr k) (Sum.inr l)
⊢ ω b * e i = f i * ω b

Tactic:
classical
  ext (k | k) (l | l)
  · simp [ω, e, f]
  · simp only [ω, e, f, mul_ite, mul_zero, Fintype.sum_sum_type, Matrix.mul_apply, Matrix.of_apply,
      Matrix.fromBlocks_apply₁₂, Matrix.fromBlocks_apply₂₂, Finset.sum_ite_eq']
    rw [Finset.sum_eq_single_of_mem i (Finset.mem_univ _) (by simp_all)]
    simp [← ite_and, and_comm, -indexNeg_neg, neg_eq_iff_eq_neg]
  · simp [ω, e, f]
  · simp only [ω, e, f, Matrix.mul_apply, Fintype.sum_sum_type, Matrix.fromBlocks_apply₂₁,
      Matrix.fromBlocks_apply₂₂, Matrix.of_apply, mul_ite, ← neg_eq_iff_eq_neg (a := k)]
    rw [Finset.sum_eq_single_of_mem (-k) (Finset.mem_univ _) (by aesop)]
    simp [neg_eq_iff_eq_neg, sub_eq_add_neg]

Premises used: Finset.mem_univ, Matrix.fromBlocks_apply₁₂, Finset.sum_eq_single_of_mem, Matrix.fromBlocks_apply₂₂, RootPairing.GeckConstruction.f, Finset.sum_ite_eq', RootPairing.GeckConstruction.ω, sub_eq_add_neg, Fintype.sum_sum_type, mul_ite, Matrix.mul_apply, neg_eq_iff_eq_neg, Matrix.fromBlocks_apply₂₁, and_comm, Matrix.of_apply, MulZeroClass.mul_zero, ite_and, RootPairing.indexNeg_neg, RootPairing.GeckConstruction.e
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
⊢ Eq (α := Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R)
    ((fun (x : Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) ↦ x * ω b)
      ((fun (x : Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) ↦ ω b * x) (ω b * e i)))
    ((fun (x : Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) ↦ x * ω b)
      ((fun (x : Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) ↦ ω b * x) (f i * ω b)))

Tactic:
have := congr_arg (· * ω b) (congr_arg (ω b * ·) (ω_mul_e i))
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this :
  Eq (α := Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R)
    ((fun (x : Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) ↦ x * ω b)
      ((fun (x : Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) ↦ ω b * x) (ω b * e i)))
    ((fun (x : Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) ↦ x * ω b)
      ((fun (x : Matrix.{u_1, u_1, u_2} (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) ↦ ω b * x) (f i * ω b)))
⊢ 1 * e i * ω b = ω b * f i * ω b * ω b

Tactic:
simp only [← mul_assoc, ω_mul_ω] at this

Premises used: mul_assoc, RootPairing.GeckConstruction.ω_mul_ω
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : CharZero R
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
this : 1 * e i * ω b = ω b * f i * ω b * ω b
⊢ ω b * f i = e i * ω b

Tactic:
simpa [mul_assoc, ω_mul_ω] using this.symm

Premises used: mul_assoc, RootPairing.GeckConstruction.ω_mul_ω, Eq.symm