-- Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Subsemiring
Goal:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst : AddMonoid ι
inst_1 : Semiring A
inst_2 : SetLike σ A
inst_3 : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : GradedRing 𝒜
s : Set A
h :
  ∀ (i : ι) ⦃x : A⦄,
    x ∈ s → (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) i) : A) ∈ s
x_1 x y : A
hx : Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s) x
hy : Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s) y
h₁ :
  ∀ (i : ι),
    Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) i) : A)
h₂ :
  ∀ (i : ι),
    Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
      (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) i) : A)
i : ι
mul :
  Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
    (↑((HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (β := ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
              ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
              ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
            (a : ι) → ↥(𝒜 a))
          i) :
      A)
mul₁ mul₂ mul₃ :
  Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
    (↑(((DFinsupp.sum (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x)
                fun (x : ι) (ai : ↥(𝒜 x)) ↦
                DFinsupp.sum (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y)
                  fun (x_2 : ι) (aj : ↥(𝒜 x_2)) ↦
                  ((of.{u_1, u_3} (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) (x + x_2) : ↥(𝒜 (x + x_2)) →+ ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                      (a : ↥(𝒜 (x + x_2))) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                    (@GradedMonoid.GMul.mul _ (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) AddSemigroup.toAdd _ _ _ ai aj) :
              ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
            (a : ι) → ↥(𝒜 a))
          i) :
      A)
mul₄ :
  Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
    (∑ i_1 ∈ DFinsupp.support (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x),
      (↑(((DFinsupp.sum (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y)
                  fun (x_2 : ι) (aj : ↥(𝒜 x_2)) ↦
                  ((of.{u_1, u_3} (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) (i_1 + x_2) : ↥(𝒜 (i_1 + x_2)) →+ ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                      (a : ↥(𝒜 (i_1 + x_2))) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                    (@GradedMonoid.GMul.mul _ (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) AddSemigroup.toAdd _ _ _
                      ((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) i_1)
                      aj) :
                ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
              (a : ι) → ↥(𝒜 a))
            i) :
        A))
mul₅ :
  ∀ (j : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι)
        (DFinsupp.support (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x)) j →
      Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
        (↑(((DFinsupp.sum (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y)
                    fun (x_3 : ι) (aj : ↥(𝒜 x_3)) ↦
                    ((of.{u_1, u_3} (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) (j + x_3) : ↥(𝒜 (j + x_3)) →+ ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                        (a : ↥(𝒜 (j + x_3))) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                      (@GradedMonoid.GMul.mul _ (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) AddSemigroup.toAdd _ _ _
                        ((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) j)
                        aj) :
                  ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                (a : ι) → ↥(𝒜 a))
              i) :
          A)
mul₆ :
  ∀ (j : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι)
        (DFinsupp.support (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x)) j →
      Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
        (∑ i_1 ∈ DFinsupp.support (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y),
          (↑(((((of.{u_1, u_3} (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) (j + i_1) : ↥(𝒜 (j + i_1)) →+ ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                        (a : ↥(𝒜 (j + i_1))) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                      (@GradedMonoid.GMul.mul _ (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) AddSemigroup.toAdd _ _ _
                        ((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) j)
                        ((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a))
                          i_1)) :
                    ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                  (a : ι) → ↥(𝒜 a))
                i) :
            A))
mul₇ :
  ∀ (j : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι)
        (DFinsupp.support (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x)) j →
      ∀ (k : ι),
        Membership.mem (γ := Finset ι)
            (DFinsupp.support (β := fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y)) k →
          Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
            (↑(((((of.{u_1, u_3} (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) (j + k) : ↥(𝒜 (j + k)) →+ ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                          (a : ↥(𝒜 (j + k))) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i))
                        (@GradedMonoid.GMul.mul _ (fun (i : ι) ↦ ↥(𝒜 i)) AddSemigroup.toAdd _ _ _
                          ((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) x : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) j)
                          ((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) y : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a))
                            k)) :
                      ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) :
                    (a : ι) → ↥(𝒜 a))
                  i) :
              A)
⊢ Membership.mem (γ := Subsemiring A) (Subsemiring.closure s)
    (↑((((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) (x * y) : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) : (a : ι) → ↥(𝒜 a)) i) : A)

Tactic:
classical
    rw [decompose_mul, DirectSum.mul_eq_dfinsuppSum]
    rw [DFinsupp.sum_apply, DFinsupp.sum, AddSubmonoidClass.coe_finsetSum]
    refine sum_mem fun j _ ↦ ?_
    rw [DFinsupp.sum_apply, DFinsupp.sum, AddSubmonoidClass.coe_finsetSum]
    refine sum_mem fun k _ ↦ ?_
    obtain rfl | h := eq_or_ne i (j + k) <;> simp [of_eq_of_ne, mul_mem, *]

Premises used: AddSubmonoidClass.coe_finsetSum, DFinsupp.sum, DFinsupp.sum_apply, DirectSum.mul_eq_dfinsuppSum, DirectSum.decompose_mul, sum_mem, rfl, MulMemClass.mul_mem, DirectSum.of_eq_of_ne