awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Fintype ι
i : ι
obtain :
  ∀ (c : R)
    (hc :
      ∏ i : ι,
          (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
            ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
        HMul.hMul (α := R)
          ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
              ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
            R)
          c),
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
        (∏ a : ι,
          (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) a) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
            ((P.root : (a : ι) → M) a : M))
        ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) ∈
      LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan R)) (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R))
⊢ HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
      (∏ a : ι,
        (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) a) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) a : M))
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) ∈
    LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan R)) (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R))

Tactic:
obtain ⟨c, hc⟩ := Finset.dvd_prod_of_mem (fun a ↦ P.RootForm (P.root a) (P.root a))
    (Finset.mem_univ i)

Premises used: Finset.mem_univ, RootPairing.RootForm, Finset.dvd_prod_of_mem, RootPairing.root, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Fintype ι
i : ι
c : R
hc :
  ∏ i : ι,
      (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HMul.hMul (α := R)
      ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R)
      c
rw :
  c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.Polarization : (a : M) → N) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) : N) ∈
    LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan R)) (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R))
⊢ HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
      (∏ a : ι,
        (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) a) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) a : M))
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) ∈
    LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan R)) (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R))

Tactic:
rw [hc, mul_comm, mul_smul, rootForm_self_smul_coroot]

Premises used: RootPairing.rootForm_self_smul_coroot, mul_comm, SemigroupAction.mul_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Fintype ι
i : ι
c : R
hc :
  ∏ i : ι,
      (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HMul.hMul (α := R)
      ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R)
      c
⊢ c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.Polarization : (a : M) → N) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) : N) ∈
    LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan R)) (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R))

Tactic:
LinearMap.mem_range.mpr ?_

Premises used: Iff.mpr, LinearMap.mem_range
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Fintype ι
i : ι
c : R
hc :
  ∏ i : ι,
      (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HMul.hMul (α := R)
      ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R)
      c
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R M) (P.rootSpan R)
    (c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M))

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Fintype ι
i : ι
c : R
hc :
  ∏ i : ι,
      (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HMul.hMul (α := R)
      ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R)
      c
h :
  (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R) : (a : ↥(P.rootSpan R)) → N)
      (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R M) (P.rootSpan R) x)
        (c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) ⋯) =
    c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.Polarization : (a : M) → N) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) : N)
⊢ ∃ (y : ↥(P.rootSpan R)),
    (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R) : (a : ↥(P.rootSpan R)) → N) y =
      c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.Polarization : (a : M) → N) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) : N)

Tactic:
use ⟨c • 2 • P.root i, by aesop⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Fintype ι
i : ι
c : R
hc :
  ∏ i : ι,
      (((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HMul.hMul (α := R)
      ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R)
      c
⊢ (P.Polarization.domRestrict (P.rootSpan R) : (a : ↥(P.rootSpan R)) → N)
      (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R M) (P.rootSpan R) x)
        (c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) ⋯) =
    c • HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.Polarization : (a : M) → N) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) : N)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i_1 j_1 i j : ι
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((algebraMap S R : (a : S) → R) (∑ k : ι, P.pairingIn S i k * P.pairingIn S j k) : R)
    ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) :
      R)

Tactic:
simp [rootForm_apply_apply]

Premises used: RootPairing.rootForm_apply_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i_1 j i : ι
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((algebraMap S R : (a : S) → R) (∑ k : ι, HPow.hPow (β := ℕ) (P.pairingIn S i k) 2) : R)
    ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R)

Tactic:
simp [sq, rootForm_apply_apply]

Premises used: sq, RootPairing.rootForm_apply_apply
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i_1 j i : ι
refine : GT.gt.{u_5} (α := S) (∑ k : ι, HPow.hPow (β := ℕ) (P.pairingIn S i k) 2) 0
⊢ ∃ s > 0,
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((algebraMap S R : (a : S) → R) s : R)
      ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R)

Tactic:
refine ⟨∑ k, P.pairingIn S i k ^ 2, ?_, by simp [sq, rootForm_apply_apply]⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i_1 j i : ι
⊢ Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ i ∧ 0 < HPow.hPow (β := ℕ) (P.pairingIn S i i) 2

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i_1 j i : ι
⊢ GT.gt.{u_5} (α := S) (∑ k : ι, HPow.hPow (β := ℕ) (P.pairingIn S i k) 2) 0

Tactic:
exact Finset.sum_pos' (fun j _ ↦ sq_nonneg _) ⟨i, by simp⟩

Premises used: Finset.sum_pos', sq_nonneg, Exists.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x y : ↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((algebraMap S R : (a : S) → R)
        ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                    (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                  x :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                  (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
              (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
            y :
          S) :
      R)
    ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) (↑x : M) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (↑y : M) : R)

Tactic:
simp [posRootForm]

Premises used: RootPairing.posRootForm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
h :
  ∀ (x x_1 : ↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))),
    Eq.{u_5 + 1} (α := S)
      ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                  (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                x :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
            (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
          x_1 :
        S)
      ((((P.RootFormIn S :
                  (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                x :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
            (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
          x_1 :
        S)
⊢ Eq (α := LinearMap.BilinForm.{u_5, u_3} S ↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))))
    (RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S)) (P.RootFormIn S)

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x x_1 : ↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((algebraMap S R : (a : S) → R)
        ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                    (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                  x :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                  (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
              (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
            x_1 :
          S) :
      R)
    ((algebraMap S R : (a : S) → R)
        ((((P.RootFormIn S :
                    (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                  x :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                  (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
              (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
            x_1 :
          S) :
      R)
⊢ Eq.{u_5 + 1} (α := S)
    ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
              x :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
              (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
          (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
        x_1 :
      S)
    ((((P.RootFormIn S :
                (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
              x :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
              (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
          (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
        x_1 :
      S)

Tactic:
apply FaithfulSMul.algebraMap_injective S R

Premises used: FaithfulSMul.algebraMap_injective
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x x_1 : ↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((algebraMap S R : (a : S) → R)
        ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                    (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                  x :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                  (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
              (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
            x_1 :
          S) :
      R)
    ((algebraMap S R : (a : S) → R)
        ((((P.RootFormIn S :
                    (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                  x :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                  (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
              (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
            x_1 :
          S) :
      R)

Tactic:
simp only [algebraMap_posRootForm_posForm, algebraMap_rootFormIn]

Premises used: RootPairing.algebraMap_rootFormIn, RootPairing.algebraMap_posRootForm_posForm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((algebraMap S R : (a : S) → R)
        ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                    (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                  (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦
                    Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))
                      x)
                    x hx) :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                  (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
              (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
            (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦
              Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x) x
              hx) :
          S) :
      R)
    ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) x : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)

Tactic:
simp [posRootForm]

Premises used: RootPairing.posRootForm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x
refine :
  IsSumSq.{u_5} (R := S)
    ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
              (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x)
                x hx) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
              (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
          (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
        (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦
          Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x) x
          hx) :
      S)
⊢ ∃ s ≥ 0,
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((algebraMap S R : (a : S) → R) s : R)
      ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) x : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)

Tactic:
refine ⟨(P.posRootForm S).posForm ⟨x, hx⟩ ⟨x, hx⟩, IsSumSq.nonneg ?_, by simp [posRootForm]⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : LinearOrder S
inst_7 : IsStrictOrderedRing S
inst_8 : Algebra S R
inst_9 : FaithfulSMul S R
inst_10 : Module S M
inst_11 : IsScalarTower S R M
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x
choose :
  ∀ (s : (i : ι) → S)
    (hs :
      ∀ (i : ι), Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((algebraMap S R : (a : S) → R) (s i) : R) ((P.coroot' i : (a : M) → R) x : R)),
    IsSumSq.{u_5} (R := S)
      ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                  (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
                (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦
                  Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))
                    x)
                  x hx) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
                (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
            (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
          (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦
            Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x) x
            hx) :
        S)
⊢ IsSumSq.{u_5} (R := S)
    ((((RootPositiveForm.posForm (P.posRootForm S) :
                (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M))) →ₗ[S] S)
              (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x)
                x hx) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S)
              (↥(span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)))) S) :
          (a : ↥(span S (range (⇑P.root : (a : ι) → M)))) → S)
        (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦
          Membership.mem (γ := Submodule S M) (span S (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x) x
          hx) :
      S)

Tactic:
choose s hs using P.coroot'_apply_apply_mem_of_mem_span S hx

Premises used: RootPairing.coroot'_apply_apply_mem_of_mem_span