awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Semifield S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : IsStrictOrderedRing S
inst_4 : Archimedean S
inst_5 : ExistsAddOfLE S
v w : AbsoluteValue R S
hv : v.IsNontrivial
hw : w.IsNontrivial
h : ¬v.IsEquiv w
a : R
hva : LT.lt.{u_2} (α := S) ((v : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hwa : LE.le.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
let :
  ∀ (b : R) (hwb : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S))
    (hvb : LE.le.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v : (a : R) → S) b : S)),
    ∃ (a : R),
      LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v : (a : R) → S) a : S) ∧ LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
⊢ ∃ (a : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v : (a : R) → S) a : S) ∧ LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)

Tactic:
let ⟨b, hwb, hvb⟩ := exists_lt_one_one_le_of_not_isEquiv hw (mt .symm h)
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Semifield S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : IsStrictOrderedRing S
inst_4 : Archimedean S
inst_5 : ExistsAddOfLE S
v w : AbsoluteValue R S
hv : v.IsNontrivial
hw : w.IsNontrivial
h : ¬v.IsEquiv w
a : R
hva : LT.lt.{u_2} (α := S) ((v : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hwa : LE.le.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
b : R
hwb : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
hvb : LE.le.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v : (a : R) → S) b : S)
⊢ LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v : (a : R) → S) (b / a) : S) ∧
    LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) (b / a) : S) (1 : S)

Tactic:
simp [w.pos_iff.1 (lt_of_lt_of_le zero_lt_one hwa), one_lt_div, div_lt_one,
    lt_of_le_of_lt' hvb hva, lt_of_le_of_lt' hwa hwb]

Premises used: one_lt_div, AbsoluteValue.pos_iff, lt_of_le_of_lt', zero_lt_one, div_lt_one, Iff.mp, lt_of_lt_of_le
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Semifield S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : IsStrictOrderedRing S
inst_4 : Archimedean S
inst_5 : ExistsAddOfLE S
v w : AbsoluteValue R S
hv : v.IsNontrivial
hw : w.IsNontrivial
h : ¬v.IsEquiv w
a : R
hva : LT.lt.{u_2} (α := S) ((v : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hwa : LE.le.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
b : R
hwb : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
hvb : LE.le.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v : (a : R) → S) b : S)
⊢ ∃ (a : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v : (a : R) → S) a : S) ∧ LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)

Tactic:
exact ⟨b / a, by simp [w.pos_iff.1 (lt_of_lt_of_le zero_lt_one hwa), one_lt_div, div_lt_one,
    lt_of_le_of_lt' hvb hva, lt_of_le_of_lt' hwa hwb]⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
linarith :
  LE.le.{u_2} (α := S) ((v i : (a : R) → S) b : S) (0 : S) →
    -1 + HSub.hSub (α := S) (β := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S) +
        HSub.hSub (α := S) (β := S) ((v i : (a : R) → S) b : S) (0 : S) =
      0
⊢ LT.lt.{u_2} (α := S) (0 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)

Tactic:
linarith
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop

Tactic:
simpa [c] using Tendsto.atTop_mul_const (by linarith) (tendsto_pow_atTop_atTop_of_one_lt ha)

Premises used: Filter.Tendsto.atTop_mul_const, tendsto_pow_atTop_atTop_of_one_lt
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop

Tactic:
have hcᵢ : Tendsto (fun n ↦ (v i) (c n)) atTop atTop := by
    simpa [c] using Tendsto.atTop_mul_const (by linarith) (tendsto_pow_atTop_atTop_of_one_lt ha)
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
simpa [c] using (tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one ((v j).nonneg _) (haj j hj)).mul_const _

Premises used: Filter.Tendsto.mul_const, AbsoluteValue.nonneg, tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
⊢ ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
have hcⱼ (j : ι) (hj : j ≠ i) : Tendsto (fun n ↦ (v j) (c n)) atTop (𝓝 0) := by
    simpa [c] using (tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one ((v j).nonneg _) (haj j hj)).mul_const _
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
⊢ ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)

Tactic:
simp_rw +instances [OrderTopology.topology_eq_generate_intervals,
    TopologicalSpace.tendsto_nhds_generateFrom_iff, mem_atTop_sets, Set.mem_preimage] at hcⱼ

Premises used: TopologicalSpace.tendsto_nhds_generateFrom_iff, Filter.mem_atTop_sets, OrderTopology.topology_eq_generate_intervals, Set.mem_preimage
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
choose :
  ∀ (r₁ : ℕ) (hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)),
    ∃ (k : R),
      LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
        (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
          LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)

Tactic:
choose r₁ hr₁ using tendsto_atTop_atTop.1 hcᵢ 2

Premises used: Filter.tendsto_atTop_atTop, Iff.mp, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} (Set.Iio 1)

Tactic:
simpa using ⟨1, .inr rfl⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ Membership.mem (γ := Set S) (Set.Iio 1) 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
choose :
  ∀ (rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ)
    (hrₙ :
      ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
        ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)),
    ∃ (k : R),
      LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
        (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
          LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)

Tactic:
choose rₙ hrₙ using fun j hj ↦ hcⱼ j hj (.Iio 1) (by simpa using ⟨1, .inr rfl⟩) (by simp)

Premises used: OfNat.ofNat, Set.Iio
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
have :
  ∀ (this : Fintype ι),
    ∃ (k : R),
      LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
        (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
          LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)

Tactic:
have := Fintype.ofFinite ι
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
this : Fintype ι
r : ℕ := Finset.sup Finset.univ fun (j : ι) ↦ if h : j = i then r₁ else rₙ j h
linarith : LE.le.{u_2} (α := S) 2 1 → -1 + HSub.hSub (α := S) 2 1 = 0
⊢ LT.lt.{u_2} (α := S) 1 2

Tactic:
linarith
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
this : Fintype ι
r : ℕ := Finset.sup Finset.univ fun (j : ι) ↦ if h : j = i then r₁ else rₙ j h
⊢ LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) (c r) : S) (1 : S)

Tactic:
simpa [c, haw]
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
this : Fintype ι
r : ℕ := Finset.sup Finset.univ fun (j : ι) ↦ if h : j = i then r₁ else rₙ j h
refine_1 : r₁ ≤ r
refine_2 : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) (c r) : S) (1 : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)

Tactic:
refine ⟨c r, lt_of_lt_of_le (by linarith) (hr₁ r ?_), fun j hj ↦ ?_, by simpa [c, haw]⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
this : Fintype ι
r : ℕ := Finset.sup Finset.univ fun (j : ι) ↦ if h : j = i then r₁ else rₙ j h
⊢ r₁ ≤ r

Tactic:
Finset.le_sup_dite_pos (p := fun j ↦ j = i) (f := fun _ _ ↦ r₁) (Finset.mem_univ _) rfl

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.le_sup_dite_pos, Eq, rfl