awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
simp_rw : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r' • r'₂ • m) ⊗ₜ[R] n) ((r'₂ • r' • m) ⊗ₜ[R] n)
⊢ r' • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r'₂ (m ⊗ₜ[R] n) = r'₂ • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r' (m ⊗ₜ[R] n)

Tactic:
simp_rw [smul_tmul', smul_comm]

Premises used: TensorProduct.smul_tmul', SMulCommClass.smul_comm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : r' • r'₂ • x = r'₂ • r' • x
ihy : r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • y
simp_rw : r' • r'₂ • x + r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
⊢ r' • r'₂ • (x + y) = r'₂ • r' • (x + y)

Tactic:
simp_rw [TensorProduct.smul_add]

Premises used: TensorProduct.smul_add
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : r' • r'₂ • x = r'₂ • r' • x
ihy : r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • y
rw : r'₂ • r' • x + r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
rw₁ rw₂ : r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
⊢ r' • r'₂ • x + r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y

Tactic:
rw [ihx, ihy]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x : M ⊗[R] N
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (s • r) 0 = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
rw : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
rw₁ : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s ((r • m) ⊗ₜ[R] n)
rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) (((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n)
rw₃ rw₄ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n)
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (s • r) (m ⊗ₜ[R] n) = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)

Tactic:
rw [smul_tmul', smul_tmul', smul_tmul', smul_assoc]

Premises used: smul_assoc, TensorProduct.smul_tmul'
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (s • r) • x = s • r • x
ihy : (s • r) • y = s • r • y
rw : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • (x + y)
rw₁ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • (r • x + r • y)
rw₂ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • x + s • r • y
rw₃ : s • r • x + (s • r) • y = s • r • x + s • r • y
rw₄ rw₅ : s • r • x + s • r • y = s • r • x + s • r • y
⊢ (s • r) • (x + y) = s • r • (x + y)

Tactic:
rw [smul_add, smul_add, smul_add, ihx, ihy]

Premises used: smul_add
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : DistribMulAction R'₂ N
inst_42 : DistribMulAction R' N
inst_43 : CompatibleSMul R R'₂ M N
inst_44 : CompatibleSMul R R' M N
inst_45 : IsScalarTower R'₂ R' N
s : R'₂
r : R'
x : M ⊗[R] N
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (s • r) 0 = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : DistribMulAction R'₂ N
inst_42 : DistribMulAction R' N
inst_43 : CompatibleSMul R R'₂ M N
inst_44 : CompatibleSMul R R' M N
inst_45 : IsScalarTower R'₂ R' N
s : R'₂
r : R'
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
rw : m ⊗ₜ[R] ((s • r) • n) = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
rw₁ : m ⊗ₜ[R] ((s • r) • n) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s (m ⊗ₜ[R] (r • n))
rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] ((s • r) • n)) (m ⊗ₜ[R] (s • r • n))
rw₃ rw₄ : Eq (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] (s • r • n)) (m ⊗ₜ[R] (s • r • n))
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (s • r) (m ⊗ₜ[R] n) = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)

Tactic:
rw [← tmul_smul, ← tmul_smul, ← tmul_smul, smul_assoc]

Premises used: smul_assoc, TensorProduct.tmul_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : DistribMulAction R'₂ N
inst_42 : DistribMulAction R' N
inst_43 : CompatibleSMul R R'₂ M N
inst_44 : CompatibleSMul R R' M N
inst_45 : IsScalarTower R'₂ R' N
s : R'₂
r : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (s • r) • x = s • r • x
ihy : (s • r) • y = s • r • y
rw : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • (x + y)
rw₁ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • (r • x + r • y)
rw₂ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • x + s • r • y
rw₃ : s • r • x + (s • r) • y = s • r • x + s • r • y
rw₄ rw₅ : s • r • x + s • r • y = s • r • x + s • r • y
⊢ (s • r) • (x + y) = s • r • (x + y)

Tactic:
rw [smul_add, smul_add, smul_add, ihx, ihy]

Premises used: smul_add
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : SMul R' R
inst_38 : IsScalarTower R' R M
⊢ IsScalarTower R' R (M ⊗[R] N)

Tactic:
TensorProduct.isScalarTower_left

Premises used: TensorProduct.isScalarTower_left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
c : R
m : M
n : N
simp_rw simp_rw₁ : (c • m) ⊗ₜ[R] n = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) c (m ⊗ₜ[R] n)
simp_rw₂ : m ⊗ₜ[R] (c • n) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) c (m ⊗ₜ[R] n)
⊢ (fun (x1 : M) (x2 : N) ↦ (x1 ⊗ₜ[R] x2 : M ⊗[R] N)) (c • m) n =
    HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) c ((fun (x1 : M) (x2 : N) ↦ (x1 ⊗ₜ[R] x2 : M ⊗[R] N)) m n)

Tactic:
simp_rw [smul_tmul, tmul_smul]

Premises used: TensorProduct.smul_tmul, TensorProduct.tmul_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
m : M
n : N
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N)
    ((((mk R M N : (a : M) → N →ₗ[R] M ⊗[R] N) m : N →ₗ[R] M ⊗[R] N) : (a : N) → M ⊗[R] N) n : M ⊗[R] N)
    (m ⊗ₜ[R] n : M ⊗[R] N)

Tactic:
rfl

Premises used: TensorProduct.tmul, AddCon.toQuotient, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
x₁ : M
x₂ : N
P : Prop
inst_5 : Decidable P
pos : P → Eq (α := M ⊗[R] N) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
neg : ¬P → Eq (α := M ⊗[R] N) (0 ⊗ₜ[R] x₂) 0
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((if P then x₁ else 0) ⊗ₜ[R] x₂) (if P then x₁ ⊗ₜ[R] x₂ else 0)

Tactic:
split_ifs
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
x₁ : M
x₂ : N
P : Prop
inst_5 : Decidable P
h : P
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
x₁ : M
x₂ : N
P : Prop
inst_5 : Decidable P
h : ¬P
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) (0 ⊗ₜ[R] x₂) 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
x₁ : M
x₂ : N
P : Prop
inst_5 : Decidable P
pos : P → Eq (α := M ⊗[R] N) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂) (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
neg : ¬P → Eq (α := M ⊗[R] N) (x₁ ⊗ₜ[R] 0) 0
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) (x₁ ⊗ₜ[R] if P then x₂ else 0) (if P then x₁ ⊗ₜ[R] x₂ else 0)

Tactic:
split_ifs
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
x₁ : M
x₂ : N
P : Prop
inst_5 : Decidable P
h : ¬P
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) (x₁ ⊗ₜ[R] 0) 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : Module R N
ι : Type u_22
inst_3 : DecidableEq ι
M : ι → Type u_23
inst_4 : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u_1, u_23} R (M i)
i : ι
x : N
m : M i
j : ι
pos :
  ∀ (h : i = j),
    Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M j)) (x ⊗ₜ[R] Pi.single (M := M) i m j)
      (Pi.single (M := fun (i : ι) ↦ TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M i)) i
        (x ⊗ₜ[R] m : TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M i)) j)
neg :
  ∀ (h : ¬i = j),
    Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M j)) (x ⊗ₜ[R] Pi.single (M := M) i m j)
      (Pi.single (M := fun (i : ι) ↦ TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M i)) i
        (x ⊗ₜ[R] m : TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M i)) j)
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M j)) (x ⊗ₜ[R] Pi.single (M := M) i m j)
    (Pi.single (M := fun (i : ι) ↦ TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M i)) i
      (x ⊗ₜ[R] m : TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M i)) j)

Tactic:
by_cases h : i = j
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : Module R N
ι : Type u_22
inst_3 : DecidableEq ι
M : ι → Type u_23
inst_4 : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst_5 : (i : ι) → Module.{u_1, u_23} R (M i)
i : ι
x : N
m : M i
j : ι
h : i = j
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M j)) (x ⊗ₜ[R] Pi.single (M := M) i m j)
    (Pi.single (M := fun (i : ι) ↦ TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M i)) i
      (x ⊗ₜ[R] m : TensorProduct.{u_1, u_8, u_23} R N (M i)) j)

Tactic:
aesop