-- Module: Mathlib.RingTheory.PicardGroup
Goal:
R : Type u_5
M : Type u_6
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : Module.Invertible R M
f : (P : Ideal R) → [inst_4 : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] LocalizedModule P.primeCompl M :=
  fun (P : Ideal R) [P.IsMaximal] ↦ LocalizedModule.mkLinearMap P.primeCompl M
ff : (P : Ideal R) →
  [inst_4 : P.IsMaximal] → M ⊗[R] M →ₗ[R] LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M :=
  fun (P : Ideal R) [P.IsMaximal] ↦ map (f P) (f P)
refine_1 :
  ∀ (P : Ideal R) (x : P.IsMaximal),
    Eq (α :=
      LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
        LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M)
      (((IsLocalizedModule.map P.primeCompl (ff P) (ff P) :
              (M ⊗[R] M →ₗ[R] M ⊗[R] M) →ₗ[R]
                LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
                  LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M) :
            (a : M ⊗[R] M →ₗ[R] M ⊗[R] M) →
              LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
                LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M)
          (↑(TensorProduct.comm R M M) : M ⊗[R] M →ₗ[R] M ⊗[R] M) :
        LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
          LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M)
      ((↑(TensorProduct.comm R (LocalizedModule P.primeCompl M) (LocalizedModule P.primeCompl M)) :
          LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
            LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M) :
        LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
          LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M)
refine_2 :
  ∀ (P : Ideal R) (x : P.IsMaximal),
    Eq (α :=
      LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
        LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M)
      (↑(TensorProduct.comm R (LocalizedModule P.primeCompl M) (LocalizedModule P.primeCompl M)) :
        LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
          LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M)
      (((IsLocalizedModule.map P.primeCompl (ff P) (ff P) :
            (M ⊗[R] M →ₗ[R] M ⊗[R] M) →ₗ[R]
              LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
                LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M) :
          (a : M ⊗[R] M →ₗ[R] M ⊗[R] M) →
            LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M →ₗ[R]
              LocalizedModule P.primeCompl M ⊗[R] LocalizedModule P.primeCompl M)
        (↑(LinearEquiv.refl R (M ⊗[R] M)) : M ⊗[R] M →ₗ[R] M ⊗[R] M))
⊢ Eq (α := M ⊗[R] M ≃ₗ[R] M ⊗[R] M) (TensorProduct.comm R M M) (LinearEquiv.refl R (M ⊗[R] M))

Tactic:
refine LinearEquiv.toLinearMap_injective <| LinearMap.eq_of_localization_maximal _ ff _ ff _ _
    fun P _ ↦ .trans (b := (TensorProduct.comm ..).toLinearMap) ?_ ?_

Premises used: LinearEquiv.toLinearMap_injective, LinearMap.eq_of_localization_maximal, Eq.trans