awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
n : ℕ
IH :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
grw :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞)
      ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 * ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
grw₁ :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 *
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
grw₂ grw₃ :
  (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 *
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ≤
    (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 *
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ (n + 1))
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)

Tactic:
grw [pow_succ', mul_assoc, IH]

Premises used: mul_assoc, pow_succ'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
n : ℕ
IH :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
_ :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u (n + 1), closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
_₁ :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ (n + 1))
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u (n + 1), closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ (n + 1))
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)

Tactic:
calc
          _ ≤ N / (N + 1) * μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) := by
            rw [u_succ]; exact (hF (u n) (Pu n)).2.2
          _ ≤ _ := by grw [pow_succ', mul_assoc, IH]

Premises used: Prod.fst, SDiff.sdiff, HAdd.hAdd, Metric.closedBall, OfNat.ofNat, Prod.snd, DFunLike.coe, Set.iUnion
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
n : ℕ
zero :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u 0, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (HPow.hPow (β := ℕ) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) 0)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
succ :
  ∀ (n : ℕ)
    (IH :
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
        HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
          ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u (n + 1), closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ (n + 1))
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)

Tactic:
induction n with
      | zero =>
        simp only [u, le_refl, diff_empty, one_mul, iUnion_false, iUnion_empty, pow_zero,
          Function.iterate_zero, id, Finset.notMem_empty]
      | succ n IH =>
        calc
          _ ≤ N / (N + 1) * μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) := by
            rw [u_succ]; exact (hF (u n) (Pu n)).2.2
          _ ≤ _ := by grw [pow_succ', mul_assoc, IH]

Premises used: le_refl, Fin.succ, Function.iterate_zero, id, Set.diff_empty, Prod.fst, pow_zero, Finset.notMem_empty, SDiff.sdiff, HAdd.hAdd, Set.iUnion_false, Set.iUnion_empty, Metric.closedBall, OfNat.ofNat, Prod.snd, DFunLike.coe, Set.iUnion, one_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
⊢ ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)

Tactic:
have B :
        ∀ n, μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) ≤
          (N / (N + 1) : ℝ≥0∞) ^ n * μ s := fun n ↦ by
      induction n with
      | zero =>
        simp only [u, le_refl, diff_empty, one_mul, iUnion_false, iUnion_empty, pow_zero,
          Function.iterate_zero, id, Finset.notMem_empty]
      | succ n IH =>
        calc
          _ ≤ N / (N + 1) * μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) := by
            rw [u_succ]; exact (hF (u n) (Pu n)).2.2
          _ ≤ _ := by grw [pow_succ', mul_assoc, IH]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
apply : Tendsto (α := ℕ) (HPow.hPow ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 (HMul.hMul (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)))

Tactic:
apply ENNReal.Tendsto.mul_const _ (Or.inr (measure_lt_top μ s).ne)

Premises used: ENNReal.Tendsto.mul_const, MeasureTheory.measure_lt_top, Or.inr, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
hr : (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 < 1
⊢ Tendsto (α := ℕ) (HPow.hPow ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
apply ENNReal.tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one

Premises used: ENNReal.tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
hr : (↑N : ℝ≥0∞) < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1
hr₁ : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 ≠ 0 ∨ Ne (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0
hr₂ : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 ≠ ∞ ∨ Ne (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) ∞
⊢ (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 < 1

Tactic:
rw [ENNReal.div_lt_iff, one_mul]

Premises used: ENNReal.div_lt_iff, one_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
rw : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0
| (↑N : ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]

Premises used: Nat.cast, add_zero
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
hr : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0 < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1
⊢ (↑N : ℝ≥0∞) < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1

Tactic:
conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]

Premises used: Nat.cast, add_zero
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0 < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1

Tactic:
ENNReal.add_lt_add_left (ENNReal.natCast_ne_top N) zero_lt_one

Premises used: ENNReal.add_lt_add_left, ENNReal.natCast_ne_top, zero_lt_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0 < HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1

Tactic:
exact ENNReal.add_lt_add_left (ENNReal.natCast_ne_top N) zero_lt_one

Premises used: ENNReal.add_lt_add_left, ENNReal.natCast_ne_top, zero_lt_one