awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : 0 ≤ p a b + 1
hbc : min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) ≤ c₂ * (1 - c₃)
⊢ c₂ * (1 - c₃) * g (↑n : ℝ) ≥ min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) * g (↑n : ℝ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : 0 ≤ p a b + 1
⊢ min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) ≤ c₂ * (1 - c₃)

Tactic:
min_le_left _ _

Premises used: min_le_left
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : 0 ≤ p a b + 1
⊢ min (c₂ * (1 - c₃)) ((1 - c₃) * c₂ / c₁ ^ (p a b + 1)) ≤ c₂ * (1 - c₃)

Tactic:
exact min_le_left _ _

Premises used: min_le_left
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
⊢ sumTransform (p a b) g (r i n) n =
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (p a b) * ∑ u ∈ Ico (r i n) n, g (↑u : ℝ) / HPow.hPow (α := ℝ) (↑u : ℝ) (p a b + 1)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
hbc : ∀ (u : ℕ) (hu : u ∈ Ico (r i n) n), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g (↑u : ℝ)
⊢ HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (p a b) * ∑ u ∈ Ico (r i n) n, g (↑u : ℝ) / HPow.hPow (α := ℝ) (↑u : ℝ) (p a b + 1) ≥
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (p a b) * ∑ u ∈ Ico (r i n) n, c₂ * g (↑n : ℝ) / HPow.hPow (α := ℝ) (↑u : ℝ) (p a b + 1)

Tactic:
gcongr with u hu
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : u ∈ Ico (r i n) n
⊢ r i n ≤ u ∧ u < n

Tactic:
rw [Finset.mem_Ico] at hu

Premises used: Finset.mem_Ico
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ u ≤ n

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ u ∈ Set.Icc (r i n) n

Tactic:
have hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n := ⟨hu.1, by lia⟩
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
⊢ c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g (↑u : ℝ)

Tactic:
hn₂ u ?_

Premises used: Nat.cast
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
hbc : (↑u : ℝ) ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ)
⊢ c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g (↑u : ℝ)

Tactic:
refine hn₂ u ?_

Premises used: Nat.cast
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
norm_cast : u ≤ n
⊢ LE.le (α := ℝ) (↑u : ℝ) (↑n : ℝ)

Tactic:
norm_cast
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
⊢ u ≤ n

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
hbc : c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑u : ℝ)
⊢ c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑u : ℝ) ∧ LE.le (α := ℝ) (↑u : ℝ) (↑n : ℝ)

Tactic:
refine ⟨?_, by norm_cast; lia⟩
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
⊢ c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)

Tactic:
hn₁ i
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
⊢ c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)

Tactic:
exact hn₁ i
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
⊢ LE.le (α := ℝ) (↑(r i n) : ℝ) (↑u : ℝ)

Tactic:
exact_mod_cast hu'.1

Premises used: And.left
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
calc : c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
calc₁ : LE.le (α := ℝ) (↑(r i n) : ℝ) (↑u : ℝ)
⊢ c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑u : ℝ)

Tactic:
calc c₁ * n ≤ r i n := by exact hn₁ i
                  _ ≤ u := by exact_mod_cast hu'.1
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
hbc : ∀ (u : ℕ) (hu : u ∈ Ico (r i n) n), 0 < HPow.hPow (α := ℝ) (↑u : ℝ) (p a b + 1)
hbc₁ :
  ∀ (u : ℕ) (hu : u ∈ Ico (r i n) n),
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑u : ℝ) (p a b + 1) ≤ HPow.hPow (α := ℝ) (↑(r i n) : ℝ) (p a b + 1)
⊢ HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (p a b) * ∑ u ∈ Ico (r i n) n, c₂ * g (↑n : ℝ) / HPow.hPow (α := ℝ) (↑u : ℝ) (p a b + 1) ≥
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑n : ℝ) (p a b) *
      ∑ _u ∈ Ico (r i n) n, c₂ * g (↑n : ℝ) / HPow.hPow (α := ℝ) (↑(r i n) : ℝ) (p a b + 1)

Tactic:
gcongr n ^ (p a b) * (Finset.Ico (r i n) n).sum (fun _ => c₂ * g n / ?_) with u hu

Premises used: HMul.hMul, Finset.Ico, HDiv.hDiv, Nat.cast, AkraBazziRecurrence.p, Finset.sum
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ 0 < u

Tactic:
have := calc 0 < r i n := hrpos_i
                      _ ≤ u := hu.1
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
this : 0 < u
⊢ 0 < HPow.hPow (α := ℝ) (↑u : ℝ) (p a b + 1)

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (↑(r i n) : ℝ)

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform
Goal:
α : Type u_1
inst : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst_1 : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₁
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioo 0 1) c₃
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * (↑n : ℝ) ≤ (↑(r i n) : ℝ)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * (↑n : ℝ)) (↑n : ℝ), c₂ * g (↑n : ℝ) ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), (↑(r i n) : ℝ) ≤ c₃ * (↑n : ℝ)
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g (↑n : ℝ)
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ LE.le (α := ℝ) (↑(r i n) : ℝ) (↑u : ℝ)

Tactic:
exact_mod_cast hu.1

Premises used: And.left