awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
obtain :
  ∀ (v : Finset α) (vs' : (↑v : Set α) ⊆ s')
    (hμv :
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
        HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞))
    (hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)),
    ∃ (u : Finset (α × ℝ)),
      t ⊆ u ∧
        P u ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ (u : Finset (α × ℝ)),
    t ⊆ u ∧
      P u ∧
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u, closedBall p.1 p.2) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)

Tactic:
obtain ⟨v, vs', hμv, hv⟩ :
      ∃ v : Finset α,
        ↑v ⊆ s' ∧
          μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ N / (N + 1) * μ s' ∧
            (v : Set α).PairwiseDisjoint fun x : α => closedBall x (r x) :=
      haveI rI : ∀ x ∈ s', r x ∈ Ioo (0 : ℝ) 1 := fun x hx => (hr x hx).1.2
      exist_finset_disjoint_balls_large_measure μ hτ hN s' r (fun x hx => (rI x hx).1) fun x hx =>
        (rI x hx).2.le

Premises used: Finset, Besicovitch.exist_finset_disjoint_balls_large_measure, LT.lt.le, And.right, And.left, HAdd.hAdd, OfNat.ofNat, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
⊢ ∃ (u : Finset (α × ℝ)),
    t ⊆ u ∧
      P u ∧
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u, closedBall p.1 p.2) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)

Tactic:
⟨t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v, Finset.subset_union_left, ⟨?_, ?_, ?_⟩, ?_⟩

Premises used: Prod.mk, Finset.subset_union_left, And.intro, Exists.intro, Union.union, Finset.image
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
refine_1 :
  (↑(t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v) : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦
    closedBall p.1 p.2
refine_2 : ∀ p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v, p.1 ∈ s
refine_3 : ∀ p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v, p.2 ∈ f p.1
refine_4 :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ (u : Finset (α × ℝ)),
    t ⊆ u ∧
      P u ∧
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u, closedBall p.1 p.2) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine ⟨t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v, Finset.subset_union_left, ⟨?_, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
refine_1 :
  (PairwiseDisjoint (α := Set α) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
    ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
      i ∈ (↑t : Set (α × ℝ)) →
        ∀ ⦃j : α × ℝ⦄,
          Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) j →
            i ≠ j → Disjoint (closedBall i.1 i.2) (closedBall j.1 j.2)
⊢ (↑(t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v) : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦
    closedBall p.1 p.2

Tactic:
simp only [Finset.coe_union, pairwiseDisjoint_union, ht.1, true_and, Finset.coe_image]

Premises used: Finset.coe_image, And.left, Set.pairwiseDisjoint_union, true_and, Finset.coe_union
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
refine_1 : PairwiseDisjoint (α := Set α) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
refine_1₁ :
  ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
    i ∈ (↑t : Set (α × ℝ)) →
      ∀ ⦃j : α × ℝ⦄,
        Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) j →
          i ≠ j → Disjoint (closedBall i.1 i.2) (closedBall j.1 j.2)
⊢ (PairwiseDisjoint (α := Set α) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
    ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
      i ∈ (↑t : Set (α × ℝ)) →
        ∀ ⦃j : α × ℝ⦄,
          Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) j →
            i ≠ j → Disjoint (closedBall i.1 i.2) (closedBall j.1 j.2)

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) p
q : α × ℝ
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) q
hpq : p ≠ q
refine_1 :
  ∀ (p' : α) (p'v : p' ∈ (↑v : Set α))
    (hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p'))
    (hpq : (p', r p') ≠ q), Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') q
⊢ Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) p q

Tactic:
rcases (mem_image _ _ _).1 hp with ⟨p', p'v, rfl⟩

Premises used: Set.mem_image, Iff.mp, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
q : α × ℝ
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) q
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
hpq : (p', r p') ≠ q
refine_1 :
  ∀ (q' : α) (q'v : q' ∈ (↑v : Set α))
    (hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q'))
    (hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')),
    Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') (q', r q')
⊢ Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') q

Tactic:
rcases (mem_image _ _ _).1 hq with ⟨q', q'v, rfl⟩

Premises used: Set.mem_image, Iff.mp, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')
⊢ Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') (q', r q')

Tactic:
hv p'v q'v fun hp'q' => ?_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')
refine_1 : ∀ (hp'q' : p' = (q', r q').1), False
⊢ Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') (q', r q')

Tactic:
refine hv p'v q'v fun hp'q' => ?_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')
hp'q' : p' = (q', r q').1
⊢ ((q', r q').1, r (q', r q').1) ≠ (q', r q')

Tactic:
rw [hp'q'] at hpq
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')
hp'q' : p' = (q', r q').1
hpq₁ : ((q', r q').1, r (q', r q').1) ≠ (q', r q')
⊢ p' = (q', r q').1

Tactic:
rw [hp'q'] at hpq
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : ((q', r q').1, r (q', r q').1) ≠ (q', r q')
hp'q' : p' = (q', r q').1
⊢ False

Tactic:
hpq rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : ((q', r q').1, r (q', r q').1) ≠ (q', r q')
hp'q' : p' = (q', r q').1
⊢ False

Tactic:
exact hpq rfl

Premises used: rfl