-- Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
i : Fin 4
h :
  LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
h₁ :
  LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
h₂ :
  LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨2, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
h₃ :
  LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨3, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨3, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        i) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          i) ≤
      ‖a‖

Tactic:
fin_cases i