-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
h :
  Eq (α :=
    Functor.obj.{v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight P.X) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) ⟶
      colimit
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
        coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one :
      Functor.obj.{v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight P.X) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (Iso.hom (α_ M.X N.X P.X) ≫
        M.X ◁
            (N.X ◁ f.hom ≫
              colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          AssociatorBimod.invAux M N P' :
      Functor.obj.{v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight P.X) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
⊢ Eq (α :=
    Functor.obj.{v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight P.X) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) ⟶
      colimit
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
        coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one :
      Functor.obj.{v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight P.X) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (Iso.hom (α_ M.X N.X P.X) ≫
        CategoryStruct.comp (Y :=
          coequalizer (X :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
            (Y :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
            (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
            (Iso.hom (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P' :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))))
          (M.X ◁
              (N.X ◁ f.hom ≫
                colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
                  WalkingParallelPair.one) ≫
            colimit.ι
              (parallelPair (X :=
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (Y :=
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) :
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (Iso.hom (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                    M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P' :
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))))
              WalkingParallelPair.one)
          (coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P') ⋯) :
      Functor.obj.{v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight P.X) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X N.X) ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))

Tactic:
slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]

Premises used: CategoryTheory.Limits.coequalizer.π_desc