awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
⊢ ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1

Tactic:
have hT₁ (s : Finset u) (i : ℕ) := (u_coe s).intervalGapsWithin_le_fst rfl i (hu₁ s)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
⊢ ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2

Tactic:
have hT₂ (s : Finset u) (i : ℕ) :=
    (u_coe s).intervalGapsWithin_fst_le_snd rfl i hdb (hu₁ s) (hu₂ s)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
⊢ ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b

Tactic:
have hT₃ (s : Finset u) (i : ℕ) := (u_coe s).intervalGapsWithin_snd_le rfl i (hu₁ s)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
⊢ ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2

Tactic:
have hT₄ (s : Finset u) := (u_coe s).intervalGapsWithin_pairwiseDisjoint_Ioc rfl (hu₁ s)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
s : Finset (↑u : Type)
_ : Membership.mem (γ := Set (Finset (↑u : Type))) univ s → T s ∈ disjWithin d b
⊢ Membership.mem (γ := Set (Finset (↑u : Type))) univ s → T s ∈ disjWithin d b

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
s : Finset (↑u : Type)
h : Membership.mem (γ := Set (Finset (↑u : Type))) univ s
simp :
  (∀ i < (T s).1, ((T s).2 i).1 ∈ uIcc d b ∧ ((T s).2 i).2 ∈ uIcc d b) ∧
    (Iio (T s).1).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (i : ℕ) ↦ uIoc ((T s).2 i).1 ((T s).2 i).2
⊢ T s ∈ disjWithin d b

Tactic:
simp [disjWithin]

Premises used: AbsolutelyContinuousOnInterval.disjWithin
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
s : Finset (↑u : Type)
h : Membership.mem (γ := Set (Finset (↑u : Type))) univ s
⊢ (∀ i < (T s).1, ((T s).2 i).1 ∈ uIcc d b ∧ ((T s).2 i).2 ∈ uIcc d b) ∧
    (Iio (T s).1).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (i : ℕ) ↦ uIoc ((T s).2 i).1 ((T s).2 i).2

Tactic:
grind [uIcc_of_le]

Premises used: Set.uIcc_of_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
⊢ MapsTo T univ (disjWithin d b)

Tactic:
have hT : univ.MapsTo T (disjWithin d b) := by
    intro s _
    #adaptation_note /-- Before https://github.com/leanprover/lean4/pull/13166
    (replacing grind's canonicalizer with a type-directed normalizer), `grind` closed this goal
    without the `simp`. It is not yet clear whether this is due to defeq abuse in Mathlib or a
    problem in the new canonicalizer; a minimization would help. The original proof was:
    `grind [disjWithin, uIcc_of_le]` -/
    simp [disjWithin]
    grind [uIcc_of_le]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
s : Finset (↑u : Type)
g : ℝ → ℝ → ℝ
⊢ ∀ a ∈ s, (↑a : ℝ × ℝ) ∈ u_coe s

Tactic:
simp [u_coe]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
s : Finset (↑u : Type)
g : ℝ → ℝ → ℝ
⊢ InjOn (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) (↑s : Set (↑u : Type))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
s : Finset (↑u : Type)
g : ℝ → ℝ → ℝ
simp :
  SurjOn (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) (↑s : Set (↑u : Type))
    (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u) '' (↑s : Set { x : ℝ × ℝ // x ∈ u }))
⊢ SurjOn (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) (↑s : Set (↑u : Type)) (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ))

Tactic:
simp only [Finset.coe_image, u_coe]

Premises used: Finset.coe_image
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
s : Finset (↑u : Type)
g : ℝ → ℝ → ℝ
tauto tauto₁ tauto₂ :
  ∀ ⦃a : ℝ × ℝ⦄,
    a ∈ Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u) '' (↑s : Set { x : ℝ × ℝ // x ∈ u }) →
      a ∈ Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u) '' (↑s : Set (↑u : Type))
⊢ SurjOn (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) (↑s : Set (↑u : Type))
    (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u) '' (↑s : Set { x : ℝ × ℝ // x ∈ u }))

Tactic:
tauto
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun
Goal:
X : Type u_1
inst : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ (↑z : ℝ × ℝ).2 - (↑z : ℝ × ℝ).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun (z : (↑u : Type)) ↦ dist (f (↑z : ℝ × ℝ).1) (f (↑z : ℝ × ℝ).2)) y
u_coe : (s : Finset (↑u : Type)) → Finset (ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦ Finset.image (Subtype.val (p := fun (x : ℝ × ℝ) ↦ x ∈ u)) s
hu₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)), (↑(u_coe s) : Set (ℝ × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (z : ℝ × ℝ) ↦ Icc z.1 z.2
T : (s : Finset (↑u : Type)) → ℕ × ((i : ℕ) → ℝ × ℝ) :=
  fun (s : Finset (↑u : Type)) ↦
    ((u_coe s).card + 1, fun (i : ℕ) ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1)))
hT₁ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
hT₂ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ),
    ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).1 ≤
      ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT₃ : ∀ (s : Finset (↑u : Type)) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑i : Fin ((u_coe s).card + 1))).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset (↑u : Type)),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint (α := Set ℝ) fun (j : ℕ) ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).1
        ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b (↑j : Fin ((u_coe s).card + 1))).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
s : Finset (↑u : Type)
g : ℝ → ℝ → ℝ
⊢ ∀ a ∈ s, g (↑a : ℝ × ℝ).1 (↑a : ℝ × ℝ).2 = g (↑a : ℝ × ℝ).1 (↑a : ℝ × ℝ).2

Tactic:
simp