-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify
Goal:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : (↑X : Type v)
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) → F.stalk (↑y : (↑X : Type v))
hU :
  (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x).pred (T :=
    fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x) fU
fV : (y : ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) → F.stalk (↑y : (↑X : Type v))
hV :
  (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x).pred (T :=
    fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x) fV
U' : Opens (↑X : Type v)
mU : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)) ∈ U'
iU : U' ⟶ (↑U : Opens (↑X : Type v))
gU : F.obj (op U')
V' : Opens (↑X : Type v)
mV : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)) ∈ V'
iV : V' ⟶ (↑V : Opens (↑X : Type v))
gV : F.obj (op V')
e :
  Eq (α :=
    F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' x ⋯) : (a : F.obj (op U')) → F.stalk x) gU : F.stalk x)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ V' x ⋯) : (a : F.obj (op V')) → F.stalk x) gV : F.stalk x)
W : Opens (↑X : Type v)
mW : x ∈ W
iU' : W ⟶ U'
iV' : W ⟶ V'
e' :
  Eq (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iU'.op) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
        gU :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iV'.op) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
        gV :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
w : ↥(↑(Subtype.mk (p := fun (U : Opens (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U) (W ⊓ (U' ⊓ V')) ⋯) : Opens (↑X : Type v))
wU :
  Eq (α := F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((fun (x_1 : ↥U') ↦
          (fU ((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_1) :
            ?T (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑?X : Type ?u.5027))))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
      F.stalk
        (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v)))
              (Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯)) :
          (↑X : Type ?u.5027)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (F.germ U' (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))
              ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gU :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
wV :
  Eq (α := F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((fun (x_1 : ↥V') ↦
          (fV ((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_1) :
            ?T (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑?X : Type ?u.5027))))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
      F.stalk
        (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v)))
              (Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯)) :
          (↑X : Type ?u.5027)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (F.germ V' (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))
              ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gV :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
h :
  Eq (α := F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iU'.op ≫ F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gU :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (F.germ V' (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))
              ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gV :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
h₁ :
  Eq (α := F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iU'.op ≫ F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gU :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iV'.op ≫ F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gV :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
h₂ :
  Eq (α := F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iU'.op) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
          gU) :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iV'.op ≫ F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gV :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
h₃ :
  Eq (α := F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iU'.op) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
          gU) :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iV'.op) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
          gV) :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
h₄ h₅ :
  Eq (α := F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iV'.op) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
          gV) :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ W (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map iV'.op) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op W)))
          gV) :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
⊢ Eq (α := F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (F.germ U' (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))
              ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gU :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ U') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (F.germ V' (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))
              ⋯) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) →
            (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑⟨(↑w : (↑X : Type v)), ⋯⟩ : (↑X : Type v))))
        gV :
      (fun (X : Type v) ↦ X)
        (F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ x ∈ V') (↑w : (↑X : Type v)) ⋯) : (↑X : Type v))))

Tactic:
rw [← F.germ_res iU' w w.2.1, ← F.germ_res iV' w w.2.1,
      CategoryTheory.types_comp_apply, CategoryTheory.types_comp_apply, e']

Premises used: TopCat.Presheaf.germ_res, And.left, Subtype.val, Subtype.property, CategoryTheory.types_comp_apply