-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S_1 : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S_1
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S_1
G : PreOneHypercover.{?u.284030, v, u} S_1
S : C
E F : PreOneHypercover.{u_2, v, u} S
s₀ : E.I₀ ≃ F.I₀
h₀ : (i : E.I₀) → E.X i ≅ F.X ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) i)
s₁ : ⦃i j : E.I₀⦄ → E.I₁ i j ≃ F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) i) ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) j)
h₁ :
  ⦃i j : E.I₀⦄ →
    (k : E.I₁ i j) →
      E.Y k ≅
        F.Y (i₁ := (s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) i) (i₂ := (s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) j)
          ((s₁ : (a : E.I₁ i j) → F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) i) ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) j)) k)
w₀ : ∀ (i : E.I₀), (h₀ i).hom ≫ F.f ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) i) = E.f i
w₁₁ :
  ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j),
    (h₁ k).hom ≫ F.p₁ ((s₁ : (a : E.I₁ i j) → F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) i) ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) j)) k) =
      E.p₁ k ≫ (h₀ i).hom
w₁₂ :
  ∀ ⦃i j : E.I₀⦄ (k : E.I₁ i j),
    (h₁ k).hom ≫ F.p₂ ((s₁ : (a : E.I₁ i j) → F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) i) ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) j)) k) =
      E.p₂ k ≫ (h₀ j).hom
i j : F.I₀
k : F.I₁ i j
simp :
  (congrIndexOneOfEqIso ⋯ ⋯ k).inv ≫ eqToHom ⋯ =
    𝟙 (F.Y k) ≫
      CategoryStruct.comp (Y :=
        F.Y (i₁ := (s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i : E.I₀)) (i₂ :=
          (s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j : E.I₀))
          ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
              (a : F.I₁ i j) →
                F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i))
                  ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j)))
            k))
        (Iso.inv (congrIndexOneOfEqIso ⋯ ⋯ k)) (eqToHom ⋯)
⊢ ((congrIndexOneOfEqIso ⋯ ⋯ k).inv ≫
        eqToHom ⋯ ≫
          Iso.inv
            (h₁
              ((Equiv.symm s₁ :
                  (a :
                      F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i))
                        ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j))) →
                    E.I₁ ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j))
                ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
                    (a : F.I₁ i j) →
                      F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i))
                        ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j)))
                  k)))) ≫
      Iso.hom
        (h₁
          ((Equiv.symm s₁ :
              (a :
                  F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i))
                    ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j))) →
                E.I₁ ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j))
            ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
                (a : F.I₁ i j) →
                  F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i))
                    ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j)))
              k))) =
    𝟙 (F.Y k) ≫
      CategoryStruct.comp (Y :=
        F.Y (i₁ := (s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i : E.I₀)) (i₂ :=
          (s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j : E.I₀))
          ((congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
              (a : F.I₁ i j) →
                F.I₁ ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) i))
                  ((s₀ : (a : E.I₀) → F.I₀) ((s₀.symm : (a : F.I₀) → E.I₀) j)))
            k))
        (Iso.inv (congrIndexOneOfEqIso ⋯ ⋯ k)) (eqToHom ⋯)

Tactic:
simp only [Category.assoc, Iso.inv_hom_id, Category.comp_id]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc, CategoryTheory.Iso.inv_hom_id, CategoryTheory.Category.comp_id