awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
A :
  ∑' (x : (↑t0 : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
B :
  ∀ (i : Fin N),
    ∑' (x : (↑(Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) : Type u_1)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
      ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞)
bc : ∑ i : Fin N, ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞) ≤ ε / 2
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2) + ∑ i : Fin N, ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞) ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2) + ε / 2

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
A :
  ∑' (x : (↑t0 : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
B :
  ∀ (i : Fin N),
    ∑' (x : (↑(Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) : Type u_1)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
      ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞)
⊢ ∑ i : Fin N, ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞) ≤ ε / 2

Tactic:
simp only [Finset.card_fin, Finset.sum_const, nsmul_eq_mul, ENNReal.mul_div_le]

Premises used: ENNReal.mul_div_le, Finset.card_fin, nsmul_eq_mul, Finset.sum_const
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
A :
  ∑' (x : (↑t0 : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
B :
  ∀ (i : Fin N),
    ∑' (x : (↑(Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) : Type u_1)),
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
      ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞)
rw :
  HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2 + ε / 2) =
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
rw₁ rw₂ :
  HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε =
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2) + ε / 2 =
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε

Tactic:
rw [add_assoc, ENNReal.add_halves]

Premises used: add_assoc, ENNReal.add_halves
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
⊢ ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x (δ / 2)

Tactic:
ffine x xs (δ / 2) (half_pos δpos)

Premises used: half_pos, HDiv.hDiv, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
obtain : ∀ (t : Set α) (tf : t ∈ f x) (ht : t ⊆ closedBall x (δ / 2)), (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Tactic:
obtain ⟨t, tf, ht⟩ : ∃ (t : Set α), t ∈ f x ∧ t ⊆ closedBall x (δ / 2) :=
        ffine x xs (δ / 2) (half_pos δpos)

Premises used: half_pos, HDiv.hDiv, Metric.closedBall, OfNat.ofNat, Set
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
t : Set α
tf : t ∈ f x
ht : t ⊆ closedBall x (δ / 2)
⊢ ∃ (r : ℝ), 0 < r ∧ closedBall x r = t

Tactic:
simpa using fsubset x xs tf
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
t : Set α
tf : t ∈ f x
ht : t ⊆ closedBall x (δ / 2)
obtain :
  ∀ (r : ℝ) (rpos : 0 < r) (tf : closedBall x r ∈ f x) (ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)),
    (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Tactic:
obtain ⟨r, rpos, rfl⟩ : ∃ r : ℝ, 0 < r ∧ closedBall x r = t := by simpa using fsubset x xs tf

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
inl : ∀ (H : r ≤ δ / 2), (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
inr : ∀ (H : δ / 2 ≤ r), (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Tactic:
rcases le_total r (δ / 2) with (H | H)

Premises used: HDiv.hDiv, le_total, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : r ≤ δ / 2
⊢ (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Tactic:
⟨r, ⟨rpos, tf⟩, ⟨rpos, H.trans_lt (half_lt_self δpos)⟩⟩

Premises used: half_lt_self, Set.Nonempty, And.intro, Exists.intro, LE.le.trans_lt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : r ≤ δ / 2
⊢ (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Tactic:
exact ⟨r, ⟨rpos, tf⟩, ⟨rpos, H.trans_lt (half_lt_self δpos)⟩⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : δ / 2 ≤ r
⊢ closedBall x (δ / 2) ⊆ closedBall x r

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : δ / 2 ≤ r
⊢ closedBall x r = closedBall x (δ / 2)

Tactic:
have : closedBall x r = closedBall x (δ / 2) := Subset.antisymm ht (by gcongr)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : δ / 2 ≤ r
this : closedBall x r = closedBall x (δ / 2)
⊢ closedBall x (δ / 2) ∈ f x

Tactic:
rw [this] at tf
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : δ / 2 ≤ r
this : closedBall x r = closedBall x (δ / 2)
tf₁ : closedBall x (δ / 2) ∈ f x
⊢ closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)

Tactic:
rw [this] at tf
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : δ / 2 ≤ r
this : closedBall x r = closedBall x (δ / 2)
tf₁ : closedBall x (δ / 2) ∈ f x
ht₁ : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
⊢ δ / 2 ≤ r

Tactic:
rw [this] at tf
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x r ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : δ / 2 ≤ r
this : closedBall x r = closedBall x (δ / 2)
tf₁ : closedBall x (δ / 2) ∈ f x
ht₁ : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H₁ : δ / 2 ≤ r
⊢ closedBall x r = closedBall x (δ / 2)

Tactic:
rw [this] at tf
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x (δ / 2) ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : δ / 2 ≤ r
this : closedBall x r = closedBall x (δ / 2)
⊢ (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Tactic:
⟨δ / 2, ⟨half_pos δpos, tf⟩, ⟨half_pos δpos, half_lt_self δpos⟩⟩

Premises used: half_lt_self, half_pos, HDiv.hDiv, Set.Nonempty, And.intro, Exists.intro, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
x : α
xs : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
r : ℝ
rpos : 0 < r
tf : closedBall x (δ / 2) ∈ f x
ht : closedBall x r ⊆ closedBall x (δ / 2)
H : δ / 2 ≤ r
this : closedBall x r = closedBall x (δ / 2)
⊢ (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Tactic:
exact ⟨δ / 2, ⟨half_pos δpos, tf⟩, ⟨half_pos δpos, half_lt_self δpos⟩⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

Tactic:
have A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty := by
      intro x xs δ δpos
      obtain ⟨t, tf, ht⟩ : ∃ (t : Set α), t ∈ f x ∧ t ⊆ closedBall x (δ / 2) :=
        ffine x xs (δ / 2) (half_pos δpos)
      obtain ⟨r, rpos, rfl⟩ : ∃ r : ℝ, 0 < r ∧ closedBall x r = t := by simpa using fsubset x xs tf
      rcases le_total r (δ / 2) with (H | H)
      · exact ⟨r, ⟨rpos, tf⟩, ⟨rpos, H.trans_lt (half_lt_self δpos)⟩⟩
      · have : closedBall x r = closedBall x (δ / 2) := Subset.antisymm ht (by gcongr)
        rw [this] at tf
        exact ⟨δ / 2, ⟨half_pos δpos, tf⟩, ⟨half_pos δpos, half_lt_self δpos⟩⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)

Tactic:
exists_disjoint_closedBall_covering_ae μ g s A (fun _ => 1) fun _ _ => zero_lt_one

Premises used: zero_lt_one, Besicovitch.exists_disjoint_closedBall_covering_ae, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
obtain :
  ∀ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable →
      ∀ (ts : t ⊆ s) (tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1)
        (μt : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞))
        (tdisj : t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)),
        ∃ (t : Set (α × Set α)),
          (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
            (t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × Set α) ↦ p.2) ∧
              (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ (t : Set (α × Set α)),
    (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
      (t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × Set α) ↦ p.2) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)

Tactic:
obtain ⟨t, r, _, ts, tg, μt, tdisj⟩ :
      ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
        t.Countable ∧
          t ⊆ s ∧
            (∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1) ∧
              μ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) = 0 ∧
                t.PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x) :=
      exists_disjoint_closedBall_covering_ae μ g s A (fun _ => 1) fun _ _ => zero_lt_one

Premises used: zero_lt_one, Besicovitch.exists_disjoint_closedBall_covering_ae, OfNat.ofNat, Set
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
s : Set α
f : α → Set (Set α)
fsubset : ∀ x ∈ s, f x ⊆ (fun (r : ℝ) ↦ closedBall x r) '' Ioi 0
ffine : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ t ∈ f x, t ⊆ closedBall x ε
g : α → Set ℝ := fun (x : α) ↦ {r : ℝ | 0 < r ∧ closedBall x r ∈ f x}
A : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
t : Set α
r : α → ℝ
left : t.Countable
ts : t ⊆ s
tg : ∀ x ∈ t, r x ∈ g x ∩ Ioo 0 1
μt : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
tdisj : t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
F : α → α × Set α := fun (x : α) ↦ (x, closedBall x (r x))
⊢ ∃ (t : Set (α × Set α)),
    (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
      (t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × Set α) ↦ p.2) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)

Tactic:
⟨F '' t, ?_, ?_, ?_, ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Set.image