awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hki' : P.pairingIn ℤ k i < 0
hkj' : 0 < P.pairingIn ℤ k j
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_3 : P.IsNotG2
this : IsAddTorsionFree M
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hlj_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hmi : P.pairingIn ℤ m i = 0
hlj : P.pairingIn ℤ l j ≠ 0
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = P.pairingIn ℤ k i
aux₁ : P.pairingIn ℤ i j = -1
aux₂ : P.pairingIn ℤ k j = 2
B : RootPositiveForm ℤ P
aux₃ : B.rootLength i = B.rootLength j
aux₄ : B.rootLength j < B.rootLength k
aux₅ : P.pairingIn ℤ k i = -1
aux₆ : B.rootLength k ≤ B.rootLength i
⊢ False

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
⊢ P.IsNotG2

Tactic:
have := chainBotCoeff_mul_chainTopCoeff.isNotG2 hi hj hij h₁ h₂ h₃
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this_2 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this :
  (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) + 1) =
    (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)
⊢ (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j k + 1) =
    (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j l + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
suffices :
  (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) + 1) =
    (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)
⊢ (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j k + 1) =
    (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j l + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)

Tactic:
suffices (P.chainBotCoeff i m + 1) * (P.chainBotCoeff j (-k) + 1) =
      (P.chainBotCoeff j (-l) + 1) * (P.chainBotCoeff i k + 1) by simpa
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
rw :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
      (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)))
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))

Tactic:
rw [← h₂]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))

Tactic:
h₃
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h :
  HAdd.hAdd («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
      (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)) =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
      (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)))

Tactic:
convert! h₃ using 1
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ HAdd.hAdd («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
      (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)) =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)

Tactic:
abel
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))

Tactic:
have him_mem : P.root i + P.root m ∈ range P.root := by rw [← h₂]; convert! h₃ using 1; abel
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))

Tactic:
have hik_mem : P.root k + P.root i ∈ range P.root := h₁ ▸ mem_range_self l
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hik_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
⊢ Membership.mem.{u_3, u_3} («α» := M) (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    ((P.root : (a : ι) → M) (-m) : M)

Tactic:
mem_range_self (-m)

Premises used: Set.mem_range_self, Neg.neg
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hik_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
h :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) (-m)
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))

Tactic:
convert! mem_range_self (-m) using 1

Premises used: Set.mem_range_self, Neg.neg
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hik_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
⊢ HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) (-m)

Tactic:
simpa [sub_eq_add_neg] using congr(-$h₂)

Premises used: sub_eq_add_neg
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
this_1 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hik_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))

Tactic:
have hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range P.root := by
    convert! mem_range_self (-m) using 1; simpa [sub_eq_add_neg] using congr(-$h₂)