awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : IsCancelMulZero N
m : M
n : N
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
x : (↑(Set.Iic (Associates.mk m)) : Type u_1)
l : Associates M
hl : Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) l
⊢ (fun (l : (↑(Set.Iic (Associates.mk n)) : Type u_2)) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦
            Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x)
            (Associates.mk
              (↑((d.symm : (a : { l : N // l ∣ n }) → { l : M // l ∣ m })
                    (Subtype.mk (p := fun (l : N) ↦ l ∣ n)
                      ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates N) → N) (↑l : Associates N)) ⋯)) :
                M))
            ⋯ :
          { x : Associates M // Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x }))
      ((fun (l : (↑(Set.Iic (Associates.mk m)) : Type u_1)) ↦
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦
              Membership.mem (γ := Set (Associates N)) (Set.Iic (Associates.mk n)) x)
              (Associates.mk
                (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n })
                      (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m)
                        ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M) (↑l : Associates M)) ⋯)) :
                  N))
              ⋯ :
            { x : Associates N // Membership.mem (γ := Set (Associates N)) (Set.Iic (Associates.mk n)) x }))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦
          Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x) l hl)) =
    Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦ Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x) l
      hl

Tactic:
simp only [Subtype.coe_eta, Equiv.symm_apply_apply, Subtype.coe_mk,
      associatesEquivOfUniqueUnits_apply, mk_out, out_mk, normalize_eq]

Premises used: Subtype.coe_mk, Associates.mk_out, Equiv.symm_apply_apply, Associates.out_mk, associatesEquivOfUniqueUnits_apply, Subtype.coe_eta, normalize_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : IsCancelMulZero N
m : M
n : N
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
x : (↑(Set.Iic (Associates.mk n)) : Type u_2)
l : Associates N
hl : Membership.mem (γ := Set (Associates N)) (Set.Iic (Associates.mk n)) l
⊢ (fun (l : (↑(Set.Iic (Associates.mk m)) : Type u_1)) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦
            Membership.mem (γ := Set (Associates N)) (Set.Iic (Associates.mk n)) x)
            (Associates.mk
              (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n })
                    (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m)
                      ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M) (↑l : Associates M)) ⋯)) :
                N))
            ⋯ :
          { x : Associates N // Membership.mem (γ := Set (Associates N)) (Set.Iic (Associates.mk n)) x }))
      ((fun (l : (↑(Set.Iic (Associates.mk n)) : Type u_2)) ↦
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦
              Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x)
              (Associates.mk
                (↑((d.symm : (a : { l : N // l ∣ n }) → { l : M // l ∣ m })
                      (Subtype.mk (p := fun (l : N) ↦ l ∣ n)
                        ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates N) → N) (↑l : Associates N)) ⋯)) :
                  M))
              ⋯ :
            { x : Associates M // Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x }))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦
          Membership.mem (γ := Set (Associates N)) (Set.Iic (Associates.mk n)) x) l hl)) =
    Subtype.mk (p := fun (x : Associates N) ↦ Membership.mem (γ := Set (Associates N)) (Set.Iic (Associates.mk n)) x) l
      hl

Tactic:
simp only [Subtype.coe_eta, Equiv.apply_symm_apply, Subtype.coe_mk,
      associatesEquivOfUniqueUnits_apply, out_mk, normalize_eq, mk_out]

Premises used: Subtype.coe_mk, Associates.mk_out, Equiv.apply_symm_apply, Associates.out_mk, associatesEquivOfUniqueUnits_apply, Subtype.coe_eta, normalize_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
⊢ (associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M)
      ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p : Associates M) ∣
    m

Tactic:
simp [dvd_of_mem_normalizedFactors hp]

Premises used: UniqueFactorizationMonoid.dvd_of_mem_normalizedFactors
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
this :
  Prime.{u_2} (M := N)
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n })
          (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m)
            ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M)
              ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p : Associates M))
            ⋯)) :
      N)
⊢ Prime.{u_2} (M := N)
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N)

Tactic:
simp only [associatesEquivOfUniqueUnits_apply, out_mk, normalize_eq,
      associatesEquivOfUniqueUnits_symm_apply] at this

Premises used: associatesEquivOfUniqueUnits_symm_apply, Associates.out_mk, associatesEquivOfUniqueUnits_apply, normalize_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
this :
  Prime.{u_2} (M := N)
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N)
H : p ∈ normalizedFactors m
⊢ p ∣ m

Tactic:
apply dvd_of_mem_normalizedFactors

Premises used: UniqueFactorizationMonoid.dvd_of_mem_normalizedFactors
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
this :
  Prime.{u_2} (M := N)
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N)
⊢ p ∈ normalizedFactors m

Tactic:
hp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
this :
  Prime.{u_2} (M := N)
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N)
⊢ p ∈ normalizedFactors m

Tactic:
convert! hp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
this :
  Prime.{u_2} (M := N)
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N)
obtain :
  ∀ (q : N) (hq : q ∈ normalizedFactors n)
    (hq' :
      Associated
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N) q),
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N) ∈
      normalizedFactors n
⊢ (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N) ∈
    normalizedFactors n

Tactic:
obtain ⟨q, hq, hq'⟩ :=
      exists_mem_normalizedFactors_of_dvd hn this.irreducible
        (d ⟨p, by apply dvd_of_mem_normalizedFactors; convert! hp⟩).prop

Premises used: Prime.irreducible, Subtype.mk, UniqueFactorizationMonoid.exists_mem_normalizedFactors_of_dvd, Subtype.prop, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
this :
  Prime.{u_2} (M := N)
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N)
q : N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' :
  Associated (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N) q
rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ : q ∈ normalizedFactors n
⊢ (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N) ∈
    normalizedFactors n

Tactic:
rwa [associated_iff_eq.mp hq']

Premises used: associated_iff_eq, Iff.mp
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
Prime :
  _root_.Prime.{u_2} (M := N)
    (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n })
          (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m)
            ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M)
              ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p : Associates M))
            ⋯)) :
      N)
⊢ (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m) p ⋯)) : N) ∈
    normalizedFactors n

Tactic:
suffices
    Prime (d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), by
            simp [dvd_of_mem_normalizedFactors hp]⟩ : N) by
    simp only [associatesEquivOfUniqueUnits_apply, out_mk, normalize_eq,
      associatesEquivOfUniqueUnits_symm_apply] at this
    obtain ⟨q, hq, hq'⟩ :=
      exists_mem_normalizedFactors_of_dvd hn this.irreducible
        (d ⟨p, by apply dvd_of_mem_normalizedFactors; convert! hp⟩).prop
    rwa [associated_iff_eq.mp hq']
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
⊢ (associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M)
      ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p : Associates M) ∣
    m

Tactic:
simp only [dvd_of_mem_normalizedFactors hp, associatesEquivOfUniqueUnits_apply,
                out_mk, normalize_eq, associatesEquivOfUniqueUnits_symm_apply]

Premises used: associatesEquivOfUniqueUnits_symm_apply, UniqueFactorizationMonoid.dvd_of_mem_normalizedFactors, Associates.out_mk, associatesEquivOfUniqueUnits_apply, normalize_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
⊢ Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) (Associates.mk p)

Tactic:
mk_dvd_mk.mpr (dvd_of_mem_normalizedFactors hp)

Premises used: Iff.mpr, Set.Mem, UniqueFactorizationMonoid.dvd_of_mem_normalizedFactors, setOf, Set.Iic, Associates.mk_dvd_mk
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
⊢ Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) (Associates.mk p)

Tactic:
exact mk_dvd_mk.mpr (dvd_of_mem_normalizedFactors hp)

Premises used: Iff.mpr, UniqueFactorizationMonoid.dvd_of_mem_normalizedFactors, Associates.mk_dvd_mk
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
rw rw₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (Associates.mk
      (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n })
            (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m)
              ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M)
                ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p : Associates M))
              ⋯)) :
        N))
    (Associates.mk
      (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n })
            (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m)
              ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M)
                ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦
                        Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x)
                        ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p) ⋯) :
                    Associates M) :
                  Associates M))
              ⋯)) :
        N))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (Associates.mk
      (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n })
            (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m)
              ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M)
                ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p : Associates M))
              ⋯)) :
        N))
    (↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd :
            (a : (↑(Set.Iic (Associates.mk m)) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic (Associates.mk n)) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦
            Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x)
            ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p) ⋯)) :
      Associates N)

Tactic:
rw [mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv_apply_coe]

Premises used: mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv_apply_coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors
Goal:
M : Type u_1
inst : CommMonoidWithZero M
inst_1 : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst_2 : CommMonoidWithZero N
inst_3 : Subsingleton.{u_1 + 1} Mˣ
inst_4 : Subsingleton.{u_2 + 1} Nˣ
inst_5 : UniqueFactorizationMonoid M
inst_6 : UniqueFactorizationMonoid N
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : Equiv.{max 1 (u_1 + 1), max 1 (u_2 + 1)} { l : M // l ∣ m } { l : N // l ∣ n }
hd :
  ∀ (l l' : { l : M // l ∣ m }),
    Dvd.dvd.{u_2} (α := N) (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l) : N)
        (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n }) l') : N) ↔
      (↑l : M) ∣ (↑l' : M)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Associates N)
    (Associates.mk
      (↑((d : (a : { l : M // l ∣ m }) → { l : N // l ∣ n })
            (Subtype.mk (p := fun (l : M) ↦ l ∣ m)
              ((associatesEquivOfUniqueUnits : (a : Associates M) → M)
                ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p : Associates M))
              ⋯)) :
        N))
    (↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd :
            (a : (↑(Set.Iic (Associates.mk m)) : Type u_1)) → (↑(Set.Iic (Associates.mk n)) : Type u_2))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Associates M) ↦
            Membership.mem (γ := Set (Associates M)) (Set.Iic (Associates.mk m)) x)
            ((MulEquiv.symm associatesEquivOfUniqueUnits : (a : M) → Associates M) p) ⋯)) :
      Associates N)

Tactic:
have :
    Associates.mk
        (d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), by
              simp only [dvd_of_mem_normalizedFactors hp, associatesEquivOfUniqueUnits_apply,
                out_mk, normalize_eq, associatesEquivOfUniqueUnits_symm_apply]⟩ : N) =
      ↑(mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd
          ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, by
            simp only [associatesEquivOfUniqueUnits_symm_apply]
            exact mk_dvd_mk.mpr (dvd_of_mem_normalizedFactors hp)⟩) := by
    rw [mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv_apply_coe]