-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
j k : D.J
left :
  Eq (α := Set (↑(↑(D.V (j, k)) : TopCat) : Type v))
    (Set.preimage (β := (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (D.f j k).base) :
        (a : (↑(↑(D.V (j, k)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v))
      (Set.preimage (β := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (Y := (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι j))) :
          (a : (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (Y := (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i))) :
            (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v)) ''
          (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)))))
    (Set.preimage (β := (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (X := (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.left (j, k))) : TopCat)) (Y :=
            (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
            (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.left (j, k))))) :
        (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.left (j, k))) : TopCat) : Type v)) →
          (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
      ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (Y := (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i))) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v)) ''
        (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))))
⊢ (↑((Opens.map (D.f j k).base).obj
          (unop
            (op
              (Functor.obj (C := Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
                (Opens.map (Hom.base (D.ι j)) :
                  Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v) ⥤ Opens (↑(↑(D.U j) : TopCat) : Type v))
                (Functor.obj
                    (IsOpenEmbedding.functor (f := Hom.base (D.ι i)) ⋯ :
                      Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v) ⥤ Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
                    U :
                  Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v)))))) :
      Set (↑(↑(D.V (j, k)) : TopCat) : Type v)) =
    (↑(Functor.obj (C := Opens (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
            (Opens.map (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.left (j, k)))))) :
              Opens (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v) ⥤
                Opens (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (unop (op (WalkingMultispan.left (j, k))))) : TopCat) : Type v))
            (Functor.obj
                (IsOpenEmbedding.functor (f := Hom.base (D.ι i)) ⋯ :
                  Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v) ⥤ Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
                U :
              Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v)) :
          Opens (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (unop (op (WalkingMultispan.left (j, k))))) : TopCat) : Type v)) :
      Set (↑(↑(D.V (j, k)) : TopCat) : Type v))

Tactic:
dsimp only [Functor.op_obj, Opens.map_coe, unop_op, IsOpenMap.coe_functor_obj]

Premises used: TopologicalSpace.Opens.map_coe, Opposite.unop_op, IsOpenMap.coe_functor_obj, CategoryTheory.Functor.op_obj