-- Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.DirectLimitFG
Goal:
R : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R N
P : Submodule R M
hP : P.FG
t t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥P) N
h :
  Eq (α := M ⊗[R] N) ((rTensor N P.subtype : (a : ↥P ⊗[R] N) → M ⊗[R] N) t : M ⊗[R] N)
    ((rTensor N P.subtype : (a : ↥P ⊗[R] N) → M ⊗[R] N) t' : M ⊗[R] N)
simp :
  ∀
    (h :
      Eq (α :=
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
          fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
        (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
                  (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                  (fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
                  (Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) :
                TensorProduct.{u, u_1, u_2} R
                    (↥(↑(Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) : Submodule R M)) N →ₗ[R]
                  Module.DirectLimit (R := R)
                    (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                    fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
              (a : ↥P ⊗[R] N) →
                Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                  fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
            t :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
            fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
        (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
                  (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                  (fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
                  (Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) :
                TensorProduct.{u, u_1, u_2} R
                    (↥(↑(Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) : Submodule R M)) N →ₗ[R]
                  Module.DirectLimit (R := R)
                    (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                    fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
              (a : ↥P ⊗[R] N) →
                Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                  fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
            t' :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
            fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))),
    ∃ (Q : Submodule R M) (hPQ : P ≤ Q),
      Q.FG ∧
        Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
          ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
          ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
simp₁ :
  ∀
    (h :
      Eq (α :=
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
          fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
        (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
                  (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                  (fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
                  (Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) :
                TensorProduct.{u, u_1, u_2} R
                    (↥(↑(Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) : Submodule R M)) N →ₗ[R]
                  Module.DirectLimit (R := R)
                    (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                    fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
              (a : ↥P ⊗[R] N) →
                Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                  fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
            t :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
            fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
        (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
                  (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                  (fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
                  (Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) :
                TensorProduct.{u, u_1, u_2} R
                    (↥(↑(Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) : Submodule R M)) N →ₗ[R]
                  Module.DirectLimit (R := R)
                    (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                    fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
              (a : ↥P ⊗[R] N) →
                Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                  fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
            t' :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
            fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)))
    (Q : { P : Submodule R M // P.FG }) (hPQ : Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP ≤ Q)
    (h :
      Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥(↑⟨P, hP⟩ : Submodule R M) ⊗[R] N) → ↥(↑Q : Submodule R M) ⊗[R] N) t :
          TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥(↑⟨P, hP⟩ : Submodule R M) ⊗[R] N) → ↥(↑Q : Submodule R M) ⊗[R] N) t' :
          TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)),
    ∃ (Q : Submodule R M) (hPQ : P ≤ Q),
      Q.FG ∧
        Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
          ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
          ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
⊢ ∃ (Q : Submodule R M) (hPQ : P ≤ Q),
    Q.FG ∧
      Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)

Tactic:
classical
  simp only [← Submodule.FG.rTensor.directLimit_apply' R M N hP, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq] at h
  obtain ⟨Q, hPQ, h⟩ := Module.DirectLimit.exists_eq_of_of_eq h
  use Q.val, Subtype.coe_le_coe.mpr hPQ, Q.property

Premises used: Module.DirectLimit.exists_eq_of_of_eq, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, Submodule.FG.rTensor.directLimit_apply'