-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Gluing
Goal:
J : Type w
inst : Category.{v, w} J
F : CategoryTheory.Functor.{v, u, w, u + 1} J Scheme
inst_1 : ∀ {i j : J} (f : i ⟶ j), IsOpenImmersion (F.map f)
inst_2 : (F ⋙ forget).IsLocallyDirected
inst_3 : Quiver.IsThin.{w, v} J
i j : J
k₁ k₂ : (k : J) × (k ⟶ i) × (k ⟶ j)
U : (F.obj i).Opens
h₁ : Hom.opensRange (F.map k₁.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1) ≤ U
h₂ : Hom.opensRange (F.map k₂.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1) ≤ U
x : ↥(pullback ((F.obj i).homOfLE h₁) ((F.obj i).homOfLE h₂))
l : J
hli : l ⟶ k₁.fst (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j))
hlj : l ⟶ k₂.fst (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j))
y : (F ⋙ forget).obj l
hy₁ :
  Eq (α := ↥(F.obj (k₁.fst (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (↾⇑(F.map hli)) : (a : ↥(F.obj l)) → ↥(F.obj k₁.fst)) y :
      ↥(F.obj (k₁.fst (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)))))
    ((TopCat.Hom.hom
            (Hom.base
              (LocallyRingedSpace.Hom.toHom
                (Hom.toLRSHom'
                  (Iso.inv (Hom.isoOpensRange (F.map k₁.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1)))))) :
          (a : ↥(↑(Hom.opensRange (F.map k₁.snd.1)) : Scheme)) → ↥(F.obj k₁.fst))
        ((TopCat.Hom.hom
                (Hom.base
                  (LocallyRingedSpace.Hom.toHom
                    (Hom.toLRSHom' (pullback.fst ((F.obj i).homOfLE h₁) ((F.obj i).homOfLE h₂))))) :
              (a : ↥(pullback ((F.obj i).homOfLE h₁) ((F.obj i).homOfLE h₂))) →
                ↥(↑(Hom.opensRange (F.map k₁.snd.1)) : Scheme))
            x :
          ↥(↑(Hom.opensRange (F.map k₁.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1)) : Scheme)) :
      ↥(F.obj (k₁.fst (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)))))
hy₂ :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget).obj (k₂.fst (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) ((F ⋙ forget).map hlj) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget).obj l)) → (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget).obj k₂.fst))
        y :
      (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget).obj (k₂.fst (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)))))
    ((pullback.snd ((F.obj i).homOfLE h₁) ((F.obj i).homOfLE h₂) ≫
          Iso.inv (Hom.isoOpensRange (F.map k₂.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1)))
        x :
      ↥(F.obj (k₂.fst (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)))))
α : F.obj l ⟶ pullback ((F.obj i).homOfLE h₁) ((F.obj i).homOfLE h₂) :=
  pullback.lift (F.map hli ≫ Iso.hom (Hom.isoOpensRange (F.map k₁.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1)))
    (F.map hlj ≫ Iso.hom (Hom.isoOpensRange (F.map k₂.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1))) ⋯
this : IsOpenImmersion α
a :
  Eq (α := ↥(↑(Hom.opensRange (F.map k₁.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1)) : Scheme))
    ((pullback.fst ((F.obj i).homOfLE h₁) ((F.obj i).homOfLE h₂)) (α y) :
      ↥(↑(Hom.opensRange (F.map k₁.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1)) : Scheme))
    ((pullback.fst ((F.obj i).homOfLE h₁) ((F.obj i).homOfLE h₂)) x :
      ↥(↑(Hom.opensRange (F.map k₁.snd (β := fun (k : J) ↦ (k ⟶ i) × (k ⟶ j)).1)) : Scheme))
⊢ α y = x

Tactic:
apply (pullback.fst ((F.obj i).homOfLE h₁) _).isOpenEmbedding.injective

Premises used: AlgebraicGeometry.Scheme.homOfLE, Topology.IsOpenEmbedding.toIsEmbedding, AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.isOpenEmbedding, CategoryTheory.Limits.pullback.fst, Topology.IsEmbedding.injective, CategoryTheory.Functor.obj