-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Flasque
Goal:
X : TopCat
U : Opens (↑X : Type u)
F G : Sheaf AddCommGrpCat X
g : F ⟶ G
s : (↑(G.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op U)) : Type u)
c : Set (Under g s)
h : IsChain (fun (x y : Under g s) ↦ Nonempty.{u + 1} (y ⟶ x)) c
f : (↑c : Type u) → Opens (↑X : Type u) :=
  fun (x : (↑c : Type u)) ↦
    unop
      ((StructuredArrow.right (↑x : Under g s)).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
        (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
              CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
          c))
i j : (↑c : Type u)
inl :
  Eq (α :=
    (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i ⊓ f i))) :
      Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (Y :=
            F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
              (op (f i ⊓ f i)))
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).map
              (Quiver.Hom.op ((f i).infLELeft (f i)))) :
          (a : (↑(F.obj.obj (op (f i))) : Type u)) → (↑(F.obj.obj (op (f i ⊓ f i))) : Type u))
        ((StructuredArrow.right (↑i : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
          (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                  (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
            c)) :
      (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i ⊓ f i))) :
        Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X :=
            F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i)))
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).map
              (Quiver.Hom.op ((f i).infLERight (f i)))) :
          (a : (↑(F.obj.obj (op (f i))) : Type u)) → (↑(F.obj.obj (op (f i ⊓ f i))) : Type u))
        ((StructuredArrow.right (↑i : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
          (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                  (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
            c)) :
      (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i ⊓ f i))) :
        Type u))
inr :
  ∀ (h₁ : Nonempty.{u + 1} ((↑i : Under g s) ⟶ (↑j : Under g s))),
    Eq (α :=
      (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i ⊓ f j))) :
        Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (Y :=
              F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
                (op (f i ⊓ f j)))
              (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).map
                (Quiver.Hom.op ((f i).infLELeft (f j)))) :
            (a : (↑(F.obj.obj (op (f i))) : Type u)) → (↑(F.obj.obj (op (f i ⊓ f j))) : Type u))
          ((StructuredArrow.right (↑i : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                  CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
              c)) :
        (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
              (op (f i ⊓ f j))) :
          Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (X :=
              F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f j)))
              (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).map
                (Quiver.Hom.op ((f i).infLERight (f j)))) :
            (a : (↑(F.obj.obj (op (f j))) : Type u)) → (↑(F.obj.obj (op (f i ⊓ f j))) : Type u))
          ((StructuredArrow.right (↑j : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                  CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
              c)) :
        (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
              (op (f i ⊓ f j))) :
          Type u))
inr₁ :
  ∀ (h₁ : Nonempty.{u + 1} ((↑j : Under g s) ⟶ (↑i : Under g s))),
    Eq (α :=
      (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i ⊓ f j))) :
        Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (Y :=
              F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
                (op (f i ⊓ f j)))
              (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).map
                (Quiver.Hom.op ((f i).infLELeft (f j)))) :
            (a : (↑(F.obj.obj (op (f i))) : Type u)) → (↑(F.obj.obj (op (f i ⊓ f j))) : Type u))
          ((StructuredArrow.right (↑i : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                  CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
              c)) :
        (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
              (op (f i ⊓ f j))) :
          Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (X :=
              F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f j)))
              (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).map
                (Quiver.Hom.op ((f i).infLERight (f j)))) :
            (a : (↑(F.obj.obj (op (f j))) : Type u)) → (↑(F.obj.obj (op (f i ⊓ f j))) : Type u))
          ((StructuredArrow.right (↑j : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                  CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
              c)) :
        (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
              (op (f i ⊓ f j))) :
          Type u))
⊢ Eq (α :=
    (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i ⊓ f j))) :
      Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (Y :=
            F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
              (op (f i ⊓ f j)))
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).map
              (Quiver.Hom.op ((f i).infLELeft (f j)))) :
          (a : (↑(F.obj.obj (op (f i))) : Type u)) → (↑(F.obj.obj (op (f i ⊓ f j))) : Type u))
        ((StructuredArrow.right (↑i : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
          (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                  (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
            c)) :
      (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i ⊓ f j))) :
        Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X :=
            F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f j)))
            (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).map
              (Quiver.Hom.op ((f i).infLERight (f j)))) :
          (a : (↑(F.obj.obj (op (f j))) : Type u)) → (↑(F.obj.obj (op (f i ⊓ f j))) : Type u))
        ((StructuredArrow.right (↑j : Under g s)).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
          (F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                  (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
            c)) :
      (↑(F.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op (f i ⊓ f j))) :
        Type u))

Tactic:
obtain (rfl | h₁ | h₁) : i = j ∨ Nonempty (i.val ⟶ j.val) ∨ Nonempty (j.val ⟶ i.val) := by
      grind [Subtype.ext_iff, h i.property j.property]

Premises used: Quiver.Hom, Nonempty, Subtype.val, rfl