-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Sheaf.PullbackFree
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst_1 : Category.{v₂, u₂} D
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
K : GrothendieckTopology.{v₂, u₂} D
F : CategoryTheory.Functor.{v₁, v₂, u₁, u₂} C D
S : Sheaf J RingCat
R : Sheaf K RingCat
inst_2 : F.IsContinuous J K
φ : S ⟶ Functor.obj (F.sheafPushforwardContinuous RingCat J K) R
inst_3 :
  J.HasSheafCompose
    (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
      AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
inst_4 :
  K.HasSheafCompose
    (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
      AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD :=
      AddCommGrpCat.carrier))
X : Cᵒᵖ
r : (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m :
  (↑(Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
          fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
          LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
            (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
          (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
          (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        ((unit S).val.obj X)) :
    Type u)
⊢ Eq (α :=
    (↑(Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
            fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
            LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
              (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
            (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
            (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
      Type u))
    (((AddCommGrpCat.Hom.hom
              (CategoryStruct.comp (Y :=
                Functor.obj
                  (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                    fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                    LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                      (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                    (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                  (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X))
                (CategoryTheory.Functor.map
                  (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                  (φ.hom.app X))
                (((((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X).smul :
                    (a : (↑(S.obj.obj X) : Type u)) →
                      End
                        ((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj
                          (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)))
                  r)) :
            (↑(Functor.obj
                    (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                      LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                        (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                      (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    ((unit S).val.obj X)) :
                Type u) →+
              (↑(Functor.obj
                    (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                      LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                        (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                      (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
                Type u)) :
          (a : (↑((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj ((unit S).val.obj X)) : Type u)) →
            (↑((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj
                  (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
              Type u))
        m :
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
              LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
              (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
              (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
        Type u))
    (((AddCommGrpCat.Hom.hom
              (CategoryStruct.comp (Y :=
                Functor.obj
                  (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                    fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                    LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                      (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                    (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                  ((unit S).val.obj X))
                ((((unit S).val.obj X).smul :
                    (a : (↑(S.obj.obj X) : Type u)) →
                      End ((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj ((unit S).val.obj X)))
                  r)
                (CategoryTheory.Functor.map
                  (forget₂ RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    RingCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                    (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                  (φ.hom.app X))) :
            (↑(Functor.obj
                    (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                      LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                        (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                      (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    ((unit S).val.obj X)) :
                Type u) →+
              (↑(Functor.obj
                    (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
                      fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
                      LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                        (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
                      (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                    (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
                Type u)) :
          (a : (↑((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj ((unit S).val.obj X)) : Type u)) →
            (↑((forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj.obj X) : Type u)) AddCommGrpCat).obj
                  (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
              Type u))
        m :
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ (ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (FC :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) ↦
              LinearMap (R := (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u))
                (RingHom.id (↑(S.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)) (↑x1 : Type u) (↑x2 : Type u))
              (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
              (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            (((pushforward φ).obj (unit R)).val.obj X)) :
        Type u))

Tactic:
exact ((φ.hom.app X).hom.map_mul _ _).symm

Premises used: RingHom.map_mul, RingCat.Hom.hom, CategoryTheory.InducedCategory.Hom.hom, Eq.symm, CategoryTheory.NatTrans.app