awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
refine_1 : ∀ (x : p.Rep), ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε
refine_2 : ∀ (x : q.Rep), ∃ (y : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ y) ≤ ε
refine_3 : ∀ (x y : (↑(s p) : Type)), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε
⊢ ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε

Tactic:
refine ghDist_le_of_approx_subsets Φ ?_ ?_ ?_

Premises used: GromovHausdorff.ghDist_le_of_approx_subsets
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : p.Rep
⊢ Membership.mem (γ := Set p.Rep) (⋃ y ∈ s p, ball y (u n)) x

Tactic:
have : x ∈ ⋃ y ∈ s p, ball y (u n) := (hs p pt) (mem_univ _)
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : p.Rep
this : Membership.mem (γ := Set p.Rep) (⋃ y ∈ s p, ball y (u n)) x
refine_1 : ∀ (y : p.Rep) (ys : y ∈ s p) (hy : x ∈ ball y (u n)), ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε
⊢ ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε

Tactic:
rcases mem_iUnion₂.1 this with ⟨y, ys, hy⟩

Premises used: Set.mem_iUnion₂, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : p.Rep
this : Membership.mem (γ := Set p.Rep) (⋃ y ∈ s p, ball y (u n)) x
y : p.Rep
ys : y ∈ s p
hy : x ∈ ball y (u n)
⊢ ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε

Tactic:
⟨y, ys, le_trans (le_of_lt hy) u_le_ε⟩

Premises used: le_of_lt, And.intro, Exists.intro, le_trans
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : p.Rep
this : Membership.mem (γ := Set p.Rep) (⋃ y ∈ s p, ball y (u n)) x
y : p.Rep
ys : y ∈ s p
hy : x ∈ ball y (u n)
⊢ ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε

Tactic:
exact ⟨y, ys, le_trans (le_of_lt hy) u_le_ε⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
⊢ Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y (u n)) x

Tactic:
have : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y (u n) := (hs q qt) (mem_univ _)
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y (u n)) x
refine_2 : ∀ (y : q.Rep) (ys : y ∈ s q) (hy : x ∈ ball y (u n)), ∃ (z : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ z) ≤ ε
⊢ ∃ (z : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ z) ≤ ε

Tactic:
rcases mem_iUnion₂.1 this with ⟨y, ys, hy⟩

Premises used: Set.mem_iUnion₂, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y (u n)) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y (u n)
i : ℕ := (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ) < N q := ⋯
rw :
  (↑(⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) : ℕ) =
    (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ)
rw₁ rw₂ : i = i
⊢ (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) = (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)

Tactic:
rw [Fin.ext_iff, Fin.val_mk]

Premises used: Fin.ext_iff, Fin.val_mk
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y (u n)) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y (u n)
i : ℕ := (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ) < N q := ⋯
⊢ (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) = (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)

Tactic:
have ihi_eq : (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) = (E q) ⟨y, ys⟩ := by rw [Fin.ext_iff, Fin.val_mk]
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y (u n)) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y (u n)
i : ℕ := (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ) < N q := ⋯
ihi_eq :
  (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) = (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
⊢ i < N q

Tactic:
have hiq : i < N q := hi
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y (u n)) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y (u n)
i : ℕ := (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) : ℕ) < N q := ⋯
ihi_eq :
  (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) = (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
hiq : i < N q
rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ : ∀ (hiq : i < N p), i < N p
⊢ i < N p

Tactic:
rwa [Npq.symm] at hiq

Premises used: Eq.symm