-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Preserves
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
I : C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
hF :
  IsSheafFor (X := I) F
    (ofArrows Empty.elim fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a)
Y : Type w
t : F.obj (op I)
h :
  (fun (t : F.obj (op I)) ↦
        FamilyOfElements.IsAmalgamation (R :=
          ofArrows Empty.elim fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a)
          (fun ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ I)
              (a :
                ofArrows Empty.elim (fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a)
                  f) ↦
            False.elim ⋯)
          t)
      t ∧
    ∀ (y : F.obj (op I)),
      (fun (t : F.obj (op I)) ↦
            FamilyOfElements.IsAmalgamation (R :=
              ofArrows Empty.elim fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a)
              (fun ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ I)
                  (a :
                    ofArrows Empty.elim (fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a)
                      f) ↦
                False.elim ⋯)
              t)
          y →
        y = t
a : Y ⟶ F.obj (op I)
x : Y
tauto tauto₁ tauto₂ tauto₃ :
  ∀ ⦃Y_1 : C⦄,
    FamilyOfElements.IsAmalgamation (R :=
        ofArrows Empty.elim fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a)
        (fun ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ I)
            (a :
              ofArrows Empty.elim (fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a) f) ↦
          False.elim ⋯)
        t →
      (∀ (y : F.obj (op I)),
          (fun (t : F.obj (op I)) ↦
                FamilyOfElements.IsAmalgamation (R :=
                  ofArrows Empty.elim fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a)
                  (fun ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ I)
                      (a :
                        ofArrows Empty.elim
                          (fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a) f) ↦
                    False.elim ⋯)
                  t)
              y →
            y = t) →
        ∀ (f : Y_1 ⟶ I)
          (h : ofArrows Empty.elim (fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a) f),
          Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (op Y_1)))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
                  (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (op I))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (op Y_1)))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) a).toFun x) :
              (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (op Y_1)))
            ((fun ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ I)
                    (a :
                      ofArrows Empty.elim
                        (fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a) f) ↦
                  (False.elim ⋯ : F.obj (op Y)))
                f h :
              F.obj (op Y_1))
⊢ FamilyOfElements.IsAmalgamation (R :=
    ofArrows Empty.elim fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a)
    (fun ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ I)
        (a : ofArrows Empty.elim (fun (a : Empty) ↦ Empty.instIsEmpty.elim (p := fun (x : Empty) ↦ x.elim ⟶ I) a) f) ↦
      False.elim ⋯)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) a).toFun x)

Tactic:
tauto