awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
⊢ IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume

Tactic:
mellinConvergent_of_isBigO_rpow hfc hf_top hs_top hf_bot hs_bot

Premises used: MellinConvergent, mellinConvergent_of_isBigO_rpow
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
⊢ IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume

Tactic:
exact mellinConvergent_of_isBigO_rpow hfc hf_top hs_top hf_bot hs_bot

Premises used: mellinConvergent_of_isBigO_rpow
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
⊢ IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume

Tactic:
have h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi (0 : ℝ)) := by
    exact mellinConvergent_of_isBigO_rpow hfc hf_top hs_top hf_bot hs_bot
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
hf : LocallyIntegrableOn (F' s) (Ioi 0) volume
⊢ AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))

Tactic:
apply LocallyIntegrableOn.aestronglyMeasurable

Premises used: MeasureTheory.LocallyIntegrableOn.aestronglyMeasurable
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
⊢ LocallyIntegrableOn (F' s) (Ioi 0) volume

Tactic:
hfc.continuousOn_smul isOpen_Ioi.isLocallyClosed
      ((continuousOn_of_forall_continuousAt fun t ht => ?_).mul ?_)

Premises used: continuousOn_of_forall_continuousAt, IsOpen.isLocallyClosed, isOpen_Ioi, ContinuousOn.mul, MeasureTheory.LocallyIntegrableOn.continuousOn_smul
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
hf : ∀ (t : ℝ) (ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t), ContinuousAt (Y := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (s - 1)) t
hf₁ : ContinuousOn (Y := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ (↑(log t) : ℂ)) (Ioi 0)
⊢ LocallyIntegrableOn (F' s) (Ioi 0) volume

Tactic:
refine hfc.continuousOn_smul isOpen_Ioi.isLocallyClosed
      ((continuousOn_of_forall_continuousAt fun t ht => ?_).mul ?_)

Premises used: continuousOn_of_forall_continuousAt, IsOpen.isLocallyClosed, isOpen_Ioi, ContinuousOn.mul, MeasureTheory.LocallyIntegrableOn.continuousOn_smul
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t
⊢ ContinuousAt (Y := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (s - 1)) t

Tactic:
continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt ht)

Premises used: ne_of_gt, Or.inr, Complex.continuousAt_ofReal_cpow_const
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t
⊢ ContinuousAt (Y := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (s - 1)) t

Tactic:
exact continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt ht)

Premises used: ne_of_gt, Or.inr, Complex.continuousAt_ofReal_cpow_const
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
⊢ ContinuousOn (Y := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ (↑(log t) : ℂ)) (Ioi 0)

Tactic:
continuous_ofReal.comp_continuousOn ?_

Premises used: Continuous.comp_continuousOn, Complex.continuous_ofReal
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
hf : ContinuousOn log (Ioi 0)
⊢ ContinuousOn (Y := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ (↑(log t) : ℂ)) (Ioi 0)

Tactic:
refine continuous_ofReal.comp_continuousOn ?_

Premises used: Continuous.comp_continuousOn, Complex.continuous_ofReal
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
⊢ ContinuousOn log (Ioi 0)

Tactic:
continuousOn_log.mono (subset_compl_singleton_iff.mpr self_notMem_Ioi)

Premises used: Iff.mpr, Set.subset_compl_singleton_iff, Real.continuousOn_log, ContinuousOn.mono, Set.self_notMem_Ioi
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
⊢ ContinuousOn log (Ioi 0)

Tactic:
exact continuousOn_log.mono (subset_compl_singleton_iff.mpr self_notMem_Ioi)

Premises used: Iff.mpr, Set.subset_compl_singleton_iff, Real.continuousOn_log, ContinuousOn.mono, Set.self_notMem_Ioi
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
⊢ AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))

Tactic:
have h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict <| Ioi 0) := by
    apply LocallyIntegrableOn.aestronglyMeasurable
    refine hfc.continuousOn_smul isOpen_Ioi.isLocallyClosed
      ((continuousOn_of_forall_continuousAt fun t ht => ?_).mul ?_)
    · exact continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt ht)
    · refine continuous_ofReal.comp_continuousOn ?_
      exact continuousOn_log.mono (subset_compl_singleton_iff.mpr self_notMem_Ioi)
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t

Tactic:
(ae_restrict_mem measurableSet_Ioi).mono fun t ht z hz => ?_

Premises used: MeasureTheory.ae_restrict_mem, measurableSet_Ioi, Filter.Eventually.mono
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
refine : ∀ (t : ℝ) (ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t) (z : ℂ) (hz : z ∈ Metric.ball s v), ‖F' z t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t

Tactic:
refine (ae_restrict_mem measurableSet_Ioi).mono fun t ht z hz => ?_

Premises used: MeasureTheory.ae_restrict_mem, measurableSet_Ioi, Filter.Eventually.mono
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
simp_rw : ‖(↑t : ℂ) ^ (z - 1)‖ * (|log t| * ‖f t‖) ≤ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * (|log t| * ‖f t‖)
⊢ ‖F' z t‖ ≤ bound t

Tactic:
simp_rw [F', bound, norm_smul, norm_mul, norm_real, mul_assoc, norm_eq_abs]

Premises used: norm_smul, mul_assoc, norm_mul, Complex.norm_real, Real.norm_eq_abs
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
hbc : ‖(↑t : ℂ) ^ (z - 1)‖ ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)
⊢ ‖(↑t : ℂ) ^ (z - 1)‖ * (|log t| * ‖f t‖) ≤ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * (|log t| * ‖f t‖)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
hbc : t ^ (z - 1).re ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)
⊢ ‖(↑t : ℂ) ^ (z - 1)‖ ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)

Tactic:
rw [norm_cpow_eq_rpow_re_of_pos ht]

Premises used: Complex.norm_cpow_eq_rpow_re_of_pos
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
hbc : ∀ (h : 1 ≤ t), t ^ (z - 1).re ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)
hbc₁ : ∀ (h : t < 1), t ^ (z - 1).re ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)
⊢ t ^ (z - 1).re ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)

Tactic:
rcases le_or_gt 1 t with h | h

Premises used: le_or_gt, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
h : 1 ≤ t
⊢ 0 ≤ t ^ (s.re - v - 1)

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : IsBigO (F := ℝ) atTop f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : IsBigO (F := ℝ) (𝓝[>] 0) f fun (x : ℝ) ↦ x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ (↑t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) ↦ ((↑t : ℂ) ^ (z - 1) * (↑(log t) : ℂ)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun (t : ℝ) ↦ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 :
  ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (m₀ := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioi 0) t
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
h : 1 ≤ t
hbc : (z - 1).re ≤ s.re + v - 1
⊢ t ^ (z - 1).re ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)

Tactic:
refine le_add_of_le_of_nonneg (rpow_le_rpow_of_exponent_le h ?_)
        (by positivity)

Premises used: le_add_of_le_of_nonneg, Real.rpow_le_rpow_of_exponent_le