awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
K : Type u
inst : Field K
V : FGModuleCat K
⊢ Eq (α :=
    (↑((tensorObj (𝒞 := ObjectProperty.FullSubcategory.category (ModuleCat.isFG K)) V (FGModuleCatDual K V)).obj (P :=
          ModuleCat.isFG K)) :
      Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat K) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[K] (↑x2 : Type u)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) (FGModuleCatCoevaluation K V).hom :
        (a : (↑(𝟙_ (FGModuleCat K)).obj : Type u)) → (↑(V ⊗ FGModuleCatDual K V).obj : Type u))
      1)
    (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K (↑V : Type u)) : Type u),
      (Basis.ofVectorSpace K (↑V : Type u) :
            (a : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K (↑V : Type u)) : Type u)) → (↑V : Type u))
          i ⊗ₜ[K]
        Basis.coord (Basis.ofVectorSpace K (↑V : Type u)) i)

Tactic:
coevaluation_apply_one K V

Premises used: coevaluation_apply_one, FGModuleCat.carrier, Quotient, TensorProduct, AddCon.Quotient
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
K : Type u
inst : Field K
V : FGModuleCat K
f : (↑(FGModuleCatDual K V) : Type u)
x : (↑V : Type u)
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat K) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[K] (↑x2 : Type u)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) (FGModuleCatEvaluation K V).hom :
        (a : (↑(FGModuleCatDual K V ⊗ V).obj : Type u)) → (↑(𝟙_ (FGModuleCat K)).obj : Type u))
      (f ⊗ₜ[K] x) =
    f.toFun x

Tactic:
contractLeft_apply f x

Premises used: contractLeft_apply
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
K : Type u
inst : Field K
V : FGModuleCat K
f : (↑(FGModuleCatDual K V) : Type u)
x : (↑V : Type u)
⊢ (ModuleCat.Hom.hom (FGModuleCatEvaluation K V).hom :
        (a : TensorProduct K (↑(FGModuleCatDual K V) : Type u) (↑V : Type u)) → (↑(𝟙_ (ModuleCat K)) : Type u))
      (f ⊗ₜ[K] x) =
    f.toFun x

Tactic:
contractLeft_apply f x

Premises used: contractLeft_apply
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
K : Type u
inst : Field K
V : FGModuleCat K
h :
  ModuleCat.Hom.hom
      (FGModuleCatDual K V ◁ FGModuleCatCoevaluation K V ≫
          Iso.inv (α_ (FGModuleCatDual K V) V (FGModuleCatDual K V)) ≫
            FGModuleCatEvaluation K V ▷ FGModuleCatDual K V).hom =
    ModuleCat.Hom.hom
      (InducedCategory.Hom.hom (Iso.hom (ρ_ (FGModuleCatDual K V)) ≫ Iso.inv (λ_ (FGModuleCatDual K V))))
⊢ FGModuleCatDual K V ◁ FGModuleCatCoevaluation K V ≫
      Iso.inv (α_ (FGModuleCatDual K V) V (FGModuleCatDual K V)) ≫ FGModuleCatEvaluation K V ▷ FGModuleCatDual K V =
    Iso.hom (ρ_ (FGModuleCatDual K V)) ≫ Iso.inv (λ_ (FGModuleCatDual K V))

Tactic:
ext : 1
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
K : Type u
inst : Field K
V : FGModuleCat K
⊢ ModuleCat.Hom.hom
      (FGModuleCatDual K V ◁ FGModuleCatCoevaluation K V ≫
          Iso.inv (α_ (FGModuleCatDual K V) V (FGModuleCatDual K V)) ≫
            FGModuleCatEvaluation K V ▷ FGModuleCatDual K V).hom =
    ModuleCat.Hom.hom
      (InducedCategory.Hom.hom (Iso.hom (ρ_ (FGModuleCatDual K V)) ≫ Iso.inv (λ_ (FGModuleCatDual K V))))

Tactic:
apply contractLeft_assoc_coevaluation K V

Premises used: contractLeft_assoc_coevaluation, FGModuleCat.carrier
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
K : Type u
inst : Field K
V : FGModuleCat K
h :
  ModuleCat.Hom.hom
      (FGModuleCatCoevaluation K V ▷ V ≫ Iso.hom (α_ V (FGModuleCatDual K V) V) ≫ V ◁ FGModuleCatEvaluation K V).hom =
    ModuleCat.Hom.hom (InducedCategory.Hom.hom (Iso.hom (λ_ V) ≫ Iso.inv (ρ_ V)))
⊢ FGModuleCatCoevaluation K V ▷ V ≫ Iso.hom (α_ V (FGModuleCatDual K V) V) ≫ V ◁ FGModuleCatEvaluation K V =
    Iso.hom (λ_ V) ≫ Iso.inv (ρ_ V)

Tactic:
ext : 1
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
K : Type u
inst : Field K
V : FGModuleCat K
⊢ ModuleCat.Hom.hom
      (FGModuleCatCoevaluation K V ▷ V ≫ Iso.hom (α_ V (FGModuleCatDual K V) V) ≫ V ◁ FGModuleCatEvaluation K V).hom =
    ModuleCat.Hom.hom (InducedCategory.Hom.hom (Iso.hom (λ_ V) ≫ Iso.inv (ρ_ V)))

Tactic:
apply contractLeft_assoc_coevaluation' K V

Premises used: FGModuleCat.carrier, contractLeft_assoc_coevaluation'
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : FGModuleCat.{v, u_1} R
H : Type v
inst_1 : AddCommGroup H
inst_2 : Module R H
f : (↑G : Type v) →ₗ[R] H
⊢ f ∘ₗ ModuleCat.Hom.hom (InducedCategory.Hom.hom (𝟙 G)) = f

Tactic:
ModuleCat.hom_ext_iff.mp <| Category.id_comp (ModuleCat.ofHom f)

Premises used: ModuleCat.hom_ext_iff, Iff.mp, ModuleCat.ofHom, CategoryTheory.Category.id_comp
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : Type v
inst_1 : AddCommGroup G
inst_2 : Module R G
H : FGModuleCat.{v, u_1} R
f : G →ₗ[R] (↑H : Type v)
⊢ ModuleCat.Hom.hom (InducedCategory.Hom.hom (𝟙 H)) ∘ₗ f = f

Tactic:
ModuleCat.hom_ext_iff.mp <| Category.comp_id (ModuleCat.ofHom f)

Premises used: CategoryTheory.Category.comp_id, ModuleCat.hom_ext_iff, Iff.mp, ModuleCat.ofHom
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Colimits
Goal:
J_1 : Type
inst : SmallCategory J_1
inst_1 : FinCategory J_1
k : Type u
inst_2 : Ring k
J : Type
inst_3 : Finite J
Z : J → ModuleCat.{v, u} k
inst_4 : ∀ (j : J), Module.Finite.{u, v} k (↑(Z j) : Type v)
⊢ Module.Finite.{u, v} k (↑(∐ fun (j : J) ↦ Z j) : Type v)

Tactic:
(Module.Finite.equiv_iff (ModuleCat.coprodIsoDirectSum Z).toLinearEquiv).mpr inferInstance

Premises used: Iff.mpr, CategoryTheory.Iso.toLinearEquiv, inferInstance, ModuleCat.coprodIsoDirectSum, Module.Finite.equiv_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Colimits
Goal:
J_1 : Type
inst : SmallCategory J_1
inst_1 : FinCategory J_1
k : Type u
inst_2 : Ring k
J : Type
inst_3 : Finite J
Z : J → ModuleCat.{v, u} k
inst_4 : ∀ (j : J), Module.Finite.{u, v} k (↑(Z j) : Type v)
⊢ Module.Finite.{u, v} k (↑(∐ fun (j : J) ↦ Z j) : Type v)

Tactic:
exact (Module.Finite.equiv_iff (ModuleCat.coprodIsoDirectSum Z).toLinearEquiv).mpr inferInstance

Premises used: Iff.mpr, CategoryTheory.Iso.toLinearEquiv, inferInstance, ModuleCat.coprodIsoDirectSum, Module.Finite.equiv_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Colimits
Goal:
J_1 : Type
inst : SmallCategory J_1
inst_1 : FinCategory J_1
k : Type u
inst_2 : Ring k
J : Type
inst_3 : Finite J
Z : J → ModuleCat.{v, u} k
inst_4 : ∀ (j : J), Module.Finite.{u, v} k (↑(Z j) : Type v)
⊢ Module.Finite.{u, v} k (↑(∐ fun (j : J) ↦ Z j) : Type v)

Tactic:
classical
exact (Module.Finite.equiv_iff (ModuleCat.coprodIsoDirectSum Z).toLinearEquiv).mpr inferInstance
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Colimits
Goal:
J : Type
inst : SmallCategory J
inst_1 : FinCategory J
k : Type u
inst_2 : Ring k
F : J ⥤ FGModuleCat.{v, u} k
⊢ Module.Finite.{u, v} k
    (↑(colimit
          (F ⋙
            forget₂ (FGModuleCat.{v, u} k) (FC :=
              fun (X Y : ObjectProperty.FullSubcategory (C := ModuleCat.{v, u} k) (ModuleCat.isFG k)) ↦
              (↑(X.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v) →ₗ[k] (↑(Y.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v)) (CC :=
              fun (X : ObjectProperty.FullSubcategory (C := ModuleCat.{v, u} k) (ModuleCat.isFG k)) ↦
              (↑(X.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v)) (ModuleCat.{v, u} k) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{v, u} k) ↦ (↑x1 : Type v) →ₗ[k] (↑x2 : Type v)) (CD := ModuleCat.carrier))) :
      Type v)

Tactic:
have (j : J) : Module.Finite k ((F ⋙ forget₂ (FGModuleCat k) (ModuleCat.{v} k)).obj j) :=
    inferInstanceAs <| Module.Finite k (F.obj j)
  Module.Finite.of_surjective
    (colimitQuotientCoproduct (F ⋙ forget₂ (FGModuleCat k) (ModuleCat.{v} k))).hom
    ((ModuleCat.epi_iff_surjective _).1 inferInstance)

Premises used: Module.Finite.of_surjective, ModuleCat, ModuleCat.epi_iff_surjective, CategoryTheory.Functor.comp, inferInstance, CategoryTheory.forget₂, _private.0.FGModuleCat.instFiniteCarrierColimitModuleCatCompForget₂LinearMapIdObjIsFG._proof_1, Iff.mp, FGModuleCat, ModuleCat.Hom.hom, CategoryTheory.Limits.colimitQuotientCoproduct
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Colimits
Goal:
J : Type
inst : SmallCategory J
inst_1 : FinCategory J
k : Type u
inst_2 : Ring k
F : J ⥤ FGModuleCat.{v, u} k
⊢ Module.Finite.{u, v} k
    (↑(colimit
          (F ⋙
            forget₂ (FGModuleCat.{v, u} k) (FC :=
              fun (X Y : ObjectProperty.FullSubcategory (C := ModuleCat.{v, u} k) (ModuleCat.isFG k)) ↦
              (↑(X.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v) →ₗ[k] (↑(Y.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v)) (CC :=
              fun (X : ObjectProperty.FullSubcategory (C := ModuleCat.{v, u} k) (ModuleCat.isFG k)) ↦
              (↑(X.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v)) (ModuleCat.{v, u} k) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{v, u} k) ↦ (↑x1 : Type v) →ₗ[k] (↑x2 : Type v)) (CD := ModuleCat.carrier))) :
      Type v)

Tactic:
infer_instance
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Colimits
Goal:
J_1 : Type
inst : SmallCategory J_1
inst_1 : FinCategory J_1
k : Type u
inst_2 : Ring k
J : Type
inst_3 : SmallCategory J
inst_4 : FinCategory J
⊢ HasColimitsOfShape J (FGModuleCat.{v, u} k)

Tactic:
hasColimitsOfShape_of_hasColimitsOfShape_createsColimitsOfShape
    (forget₂ (FGModuleCat k) (ModuleCat.{v} k))

Premises used: ModuleCat, CategoryTheory.hasColimitsOfShape_of_hasColimitsOfShape_createsColimitsOfShape, CategoryTheory.forget₂, FGModuleCat
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.EssentiallySmall
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
M : Type v
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : Module.Finite R M
x : FGModuleRepr R
⊢ Module.Finite R x.repr

Tactic:
inferInstanceAs <| Module.Finite R (_ ⧸ x.S)

Premises used: _private.0.FGModuleRepr.instFiniteRepr._proof_1
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.EssentiallySmall
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
⊢ EssentiallySmall.{u, v, max (v + 1) u} (FGModuleCat.{v, u} R)

Tactic:
letI : EssentiallySmall.{u} (FGModuleCat.{max u v} R) :=
    ⟨_, _, ⟨(FGModuleRepr.embed R).asEquivalence.symm⟩⟩
  essentiallySmall_of_fully_faithful (FGModuleCat.ulift.{v, max u v} R)

Premises used: CategoryTheory.essentiallySmall_of_fully_faithful, FGModuleCat.ulift
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Limits
Goal:
J_1 : Type
inst : SmallCategory J_1
inst_1 : FinCategory J_1
k : Type u
inst_2 : Ring k
J : Type
inst_3 : Finite J
Z : J → ModuleCat.{v, u} k
inst_4 : ∀ (j : J), Module.Finite.{u, v} k (↑(Z j) : Type v)
⊢ Module.Finite.{u, v} k
    (↑{ carrier := (j : J) → (↑(Z j) : Type v), isAddCommGroup := Pi.addCommGroup,
          isModule := Pi.module J (fun (j : J) ↦ (↑(Z j) : Type v)) k } :
      Type v)

Tactic:
infer_instance
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Limits
Goal:
J : Type
inst : SmallCategory J
inst_1 : FinCategory J
k : Type u
inst_2 : Ring k
inst_3 : IsNoetherianRing k
F : J ⥤ FGModuleCat.{v, u} k
⊢ Module.Finite.{u, v} k
    (↑(limit
          (F ⋙
            forget₂ (FGModuleCat.{v, u} k) (FC :=
              fun (X Y : ObjectProperty.FullSubcategory (C := ModuleCat.{v, u} k) (ModuleCat.isFG k)) ↦
              (↑(X.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v) →ₗ[k] (↑(Y.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v)) (CC :=
              fun (X : ObjectProperty.FullSubcategory (C := ModuleCat.{v, u} k) (ModuleCat.isFG k)) ↦
              (↑(X.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v)) (ModuleCat.{v, u} k) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{v, u} k) ↦ (↑x1 : Type v) →ₗ[k] (↑x2 : Type v)) (CD := ModuleCat.carrier))) :
      Type v)

Tactic:
haveI : ∀ j, Module.Finite k ((F ⋙ forget₂ (FGModuleCat k) (ModuleCat.{v} k)).obj j) :=
    inferInstanceAs <| ∀ j, Module.Finite k (F.obj j)
  Module.Finite.of_injective
    (limitSubobjectProduct (F ⋙ forget₂ (FGModuleCat k) (ModuleCat.{v} k))).hom
    ((ModuleCat.mono_iff_injective _).1 inferInstance)

Premises used: ModuleCat, CategoryTheory.Functor.comp, inferInstance, ModuleCat.mono_iff_injective, Module.Finite.of_injective, CategoryTheory.forget₂, Iff.mp, FGModuleCat, CategoryTheory.Limits.limitSubobjectProduct, ModuleCat.Hom.hom
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Limits
Goal:
J : Type
inst : SmallCategory J
inst_1 : FinCategory J
k : Type u
inst_2 : Ring k
inst_3 : IsNoetherianRing k
F : J ⥤ FGModuleCat.{v, u} k
⊢ Module.Finite.{u, v} k
    (↑(limit
          (F ⋙
            forget₂ (FGModuleCat.{v, u} k) (FC :=
              fun (X Y : ObjectProperty.FullSubcategory (C := ModuleCat.{v, u} k) (ModuleCat.isFG k)) ↦
              (↑(X.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v) →ₗ[k] (↑(Y.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v)) (CC :=
              fun (X : ObjectProperty.FullSubcategory (C := ModuleCat.{v, u} k) (ModuleCat.isFG k)) ↦
              (↑(X.obj (P := ModuleCat.isFG k)) : Type v)) (ModuleCat.{v, u} k) (FD :=
              fun (x1 x2 : ModuleCat.{v, u} k) ↦ (↑x1 : Type v) →ₗ[k] (↑x2 : Type v)) (CD := ModuleCat.carrier))) :
      Type v)

Tactic:
infer_instance
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.FGModuleCat.Limits
Goal:
J_1 : Type
inst : SmallCategory J_1
inst_1 : FinCategory J_1
k : Type u
inst_2 : Ring k
inst_3 : IsNoetherianRing k
J : Type
inst_4 : SmallCategory J
inst_5 : FinCategory J
⊢ HasLimitsOfShape J (FGModuleCat.{v, u} k)

Tactic:
hasLimitsOfShape_of_hasLimitsOfShape_createsLimitsOfShape
    (forget₂ (FGModuleCat k) (ModuleCat.{v} k))

Premises used: ModuleCat, CategoryTheory.forget₂, CategoryTheory.hasLimitsOfShape_of_hasLimitsOfShape_createsLimitsOfShape, FGModuleCat
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
S : ShortComplex (J ⥤ AddCommGrpCat)
hS : S.Exact
⊢ ∀ (j : J), ShortComplex.Exact (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j))

Tactic:
replace hS := fun j => hS.map ((evaluation _ _).obj j)
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
S : ShortComplex (J ⥤ AddCommGrpCat)
hS : ∀ (j : J), ShortComplex.Exact (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j))
simp :
  ∀
    (hS :
      ∀ (j : J),
        LE.le (α := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j))) : Type u))
          (AddMonoidHom.ker
            (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
          (AddMonoidHom.range
            (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))),
    LE.le (α := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u))
      (AddMonoidHom.ker (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map colim))))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map colim))))
⊢ ShortComplex.Exact (S.map colim)

Tactic:
simp only [ShortComplex.ab_exact_iff_ker_le_range] at hS ⊢

Premises used: CategoryTheory.ShortComplex.ab_exact_iff_ker_le_range
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
S : ShortComplex (J ⥤ AddCommGrpCat)
hS :
  ∀ (j : J),
    LE.le (α := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j))) : Type u))
      (AddMonoidHom.ker (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
x : (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u)
_ :
  ∀
    (hx :
      Eq (α := (↑(ShortComplex.X₃ (S.map colim)) : Type u))
        ((AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map colim)) :
              (a : (↑(S.map colim).X₂ : Type u)) → (↑(S.map colim).X₃ : Type u))
            x :
          (↑(ShortComplex.X₃ (S.map colim)) : Type u))
        (0 : (↑(ShortComplex.X₃ (S.map colim)) : Type u))),
    Membership.mem (γ := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map colim)))) x
⊢ Membership.mem (γ := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u))
      (AddMonoidHom.ker (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map colim)))) x →
    Membership.mem (γ := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map colim)))) x

Tactic:
(hx : _ = _)
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
S : ShortComplex (J ⥤ AddCommGrpCat)
hS :
  ∀ (j : J),
    LE.le (α := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j))) : Type u))
      (AddMonoidHom.ker (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
x : (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u)
hx :
  Eq (α := (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    ((AddCommGrpCat.Hom.hom (colimMap S.g) : (a : (↑(colimit S.X₂) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u)) x :
      (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    (0 : (↑(ShortComplex.X₃ (S.map colim)) : Type u))
rcases :
  ∀ (j : J)
    (y :
      ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
        (S.X₂.obj j))
    (hx :
      Eq (α := (↑(colimit S.X₃) : Type u))
        ((AddCommGrpCat.Hom.hom (colimMap S.g) : (a : (↑(colimit S.X₂) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    AddCommGrpCat.carrier) (Y := colimit S.X₂) (colimit.ι S.X₂ j) :
                  (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₂) : Type u))
                y :
              (↑(colimit S.X₂) : Type u)) :
          (↑(colimit S.X₃) : Type u))
        (0 : (↑(ShortComplex.X₃ (S.map colim)) : Type u))),
    Membership.mem (α := (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u)) (γ :=
      AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map colim))))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (Y := colimit S.X₂) (colimit.ι S.X₂ j) :
            (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₂) : Type u))
          y :
        (↑(colimit S.X₂) : Type u))
⊢ Membership.mem (γ := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u))
    (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map colim)))) x

Tactic:
rcases Concrete.colimit_exists_rep S.X₂ x with ⟨j, y, rfl⟩

Premises used: CategoryTheory.Limits.Concrete.colimit_exists_rep, rfl, CategoryTheory.ShortComplex.X₂
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
S : ShortComplex (J ⥤ AddCommGrpCat)
hS :
  ∀ (j : J),
    LE.le (α := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j))) : Type u))
      (AddMonoidHom.ker (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
j : J
y :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
    (S.X₂.obj j)
hx :
  Eq (α := (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    ((AddCommGrpCat.Hom.hom (colimMap S.g) : (a : (↑(colimit S.X₂) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (Y := colimit S.X₂) (colimit.ι S.X₂ j) :
              (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₂) : Type u))
            y :
          (↑(colimit S.X₂) : Type u)) :
      (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    (0 : (↑(ShortComplex.X₃ (S.map colim)) : Type u))
⊢ Eq (α := (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (Y := colimit S.X₃) (colimit.ι S.X₃ j) :
          (a : (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (S.g.app j) :
              (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(S.X₃.obj j) : Type u))
            y :
          (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) :
      (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    ((AddCommGrpCat.Hom.hom (colimit.ι S.X₃ j) : (a : (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u)) 0 :
      (↑(colimit S.X₃) : Type u))

Tactic:
rw [← ConcreteCategory.comp_apply, colimMap_eq, colimit.ι_map, ConcreteCategory.comp_apply,
      ← map_zero (colimit.ι S.X₃ j).hom] at hx

Premises used: CategoryTheory.Limits.colimit.ι_map, CategoryTheory.ConcreteCategory.comp_apply, CategoryTheory.Limits.colimMap_eq, map_zero, AddCommGrpCat.Hom.hom, CategoryTheory.ShortComplex.X₃, CategoryTheory.Limits.colimit.ι
-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
S : ShortComplex (J ⥤ AddCommGrpCat)
hS :
  ∀ (j : J),
    LE.le (α := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j))) : Type u))
      (AddMonoidHom.ker (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
j : J
y :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
    (S.X₂.obj j)
hx :
  Eq (α := (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (Y := colimit S.X₃) (colimit.ι S.X₃ j) :
          (a : (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (S.g.app j) :
              (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(S.X₃.obj j) : Type u))
            y :
          (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) :
      (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    ((AddCommGrpCat.Hom.hom (colimit.ι S.X₃ j) : (a : (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u)) 0 :
      (↑(colimit S.X₃) : Type u))
k : J
e₁ e₂ : j ⟶ k
hk :
  Eq (α := (↑(S.X₃.obj k) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (S.X₃.map e₁) :
          (a : (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) → (↑(S.X₃.obj k) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (S.g.app j) :
              (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(S.X₃.obj j) : Type u))
            y :
          (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) :
      (↑(S.X₃.obj k) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (S.X₃.map e₂) :
          (a : (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) → (↑(S.X₃.obj k) : Type u))
        0 :
      (↑(S.X₃.obj k) : Type u))
⊢ Eq (α := (↑(S.X₃.obj k) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (S.g.app k) :
          (a : (↑(S.X₂.obj k) : Type u)) → (↑(S.X₃.obj k) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (S.X₂.map e₁) :
              (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(S.X₂.obj k) : Type u))
            y :
          (↑(S.X₂.obj k) : Type u)) :
      (↑(S.X₃.obj k) : Type u))
    (0 : (↑(S.X₃.obj k) : Type u))

Tactic:
rw [map_zero, ← ConcreteCategory.comp_apply, ← NatTrans.naturality, ConcreteCategory.comp_apply]
      at hk

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.comp_apply, map_zero, CategoryTheory.NatTrans.naturality