-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.LocallyRingedSpace.HasColimits
Goal:
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)
s : (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.obj (op U)) : Type v)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)
e :
  Eq (α := (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (X :=
            (↑X.toPresheafedSpace : TopCat)) (Y :=
            (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
            (PresheafedSpace.Hom.base
              (f.toHom ≫ InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
          (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
            (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (X :=
            (↑X.toPresheafedSpace : TopCat)) (Y :=
            (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
            (PresheafedSpace.Hom.base
              (g.toHom ≫ InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
          (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
            (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
⊢ Eq (α := (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    (TypeCat.Fun.toFun
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
        (CategoryStruct.comp (Y := (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          (↾(⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f.base) :
              (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))
          (↾(⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) (Y := (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                  (PresheafedSpace.Hom.base
                    (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g))))) :
              (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))))
      x)
    (TypeCat.Fun.toFun
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
        (CategoryStruct.comp (Y := (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          (↾(⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) g.base) :
              (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))
          (↾(⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) (Y := (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                  (PresheafedSpace.Hom.base
                    (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g))))) :
              (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))))
      x)

Tactic:
simp only [TypeCat.Fun.toFun_apply, comp_apply, ConcreteCategory.hom_ofHom,
      TypeCat.Fun.coe_mk, ← TopCat.comp_app, ← PresheafedSpace.comp_base]

Premises used: TypeCat.Fun.coe_mk, TypeCat.Fun.toFun_apply, CategoryTheory.comp_apply, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.comp_base, TopCat.comp_app, CategoryTheory.ConcreteCategory.hom_ofHom