-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
U : TopCat
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
f : U ⟶ (↑X : TopCat)
h :
  IsOpenEmbedding (X := (↑U : Type v)) (Y := (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f) :
      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
x : (↑U : Type v)
V :
  OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f :
        (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x)
i : (h.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯
op :
  Eq (α :=
    obj
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf)
        (Opposite.op V) ⟶
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f :
                (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
              x))ᵒᵖ)
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf))
    (colimit.ι
      (obj
        (obj
          (whiskeringLeft
            (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))ᵒᵖ
            (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
          (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f :
                  (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                x))))
        X.presheaf)
      (Opposite.op V))
    (X.presheaf.map
        (Quiver.Hom.op
            (⋯.adjunction.counit.app
              (unop
                (obj
                  (Functor.op
                    (OpenNhds.inclusion
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                            TopCat.carrier) (X.ofRestrict h).base :
                          (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                        x)))
                  (Opposite.op V)))) ≫
          h.functor.op.map ((NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv).app (Opposite.op V))) ≫
      colimit.ι
        (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f :
                  (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                x)) ⋙
          X.presheaf)
        ((h.functorNhds x).op.obj ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (Opposite.op V))))
⊢ Eq (α :=
    obj
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf)
        (Opposite.op V) ⟶
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f :
                (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
              x))ᵒᵖ)
        (obj
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          X.presheaf))
    (colimit.ι
      (obj
        (obj
          (whiskeringLeft
            (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))ᵒᵖ
            (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
          (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f :
                  (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                x))))
        X.presheaf)
      (Opposite.op V))
    (NatTrans.app
        (map
          (obj
            (whiskeringLeft
              (OpenNhds (X := (↑X : TopCat))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) (X.ofRestrict h).base :
                      (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                    x))ᵒᵖ
              (Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v))ᵒᵖ C)
            (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) (X.ofRestrict h).base :
                    (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x))))
          (X.ofRestrict h).c)
        (Opposite.op V) ≫
      (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv) (X.restrict h).presheaf).app
          (Opposite.op V) ≫
        colimit.ι
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f :
                    (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
                  x)) ⋙
            X.presheaf)
          ((h.functorNhds x).op.obj ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (Opposite.op V))))

Tactic:
erw [← X.presheaf.map_comp_assoc]

Premises used: CategoryTheory.Functor.map_comp_assoc, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.presheaf