awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h' : (X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)
H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
nmf : h' ∉ H'
h'' :
  ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S)),
    ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
          H' →
        f ≫ T mY = T mX
insert :
  ∀ (X Y : C) (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) (f : X ⟶ Y)
    (nmf :
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
        H'),
    ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S)),
      ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
        PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X_1
              (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X_1 ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y)) Y_1
                (PSigma.mk (β := fun (x : X_1 ∈ O) ↦ (_ : Y_1 ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y_1)) mX_1
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y_1 ∈ O) ↦ X_1 ⟶ Y_1) mY_1 f_1))) ∈
            Insert.insert
              (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
                (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
                  (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                    (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
              H' →
          f_1 ≫ T mY_1 = T mX_1
⊢ ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S)),
    ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
          Insert.insert h' H' →
        f ≫ T mY = T mX

Tactic:
obtain ⟨X, Y, mX, mY, f⟩ := h'
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
        H' →
      f ≫ T' mY = T' mX
⊢ ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S)),
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X_1
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X_1 ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y)) Y_1
              (PSigma.mk (β := fun (x : X_1 ∈ O) ↦ (_ : Y_1 ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y_1)) mX_1
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y_1 ∈ O) ↦ X_1 ⟶ Y_1) mY_1 f_1))) ∈
          insert
            (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
              (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
            H' →
        f_1 ≫ T mY_1 = T mX_1

Tactic:
⟨coeq (f ≫ T' mY) (T' mX), fun mZ => T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX), ?_⟩

Premises used: CategoryTheory.IsFiltered.coeqHom, Exists.intro, CategoryTheory.CategoryStruct.comp, CategoryTheory.IsFiltered.coeq
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
        H' →
      f ≫ T' mY = T' mX
insert :
  ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X_1
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X_1 ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y)) Y_1
            (PSigma.mk (β := fun (x : X_1 ∈ O) ↦ (_ : Y_1 ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y_1)) mX_1
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y_1 ∈ O) ↦ X_1 ⟶ Y_1) mY_1 f_1))) ∈
        Insert.insert
          (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
          H' →
      Eq (α := X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))
        (f_1 ≫
          (fun {X_2 : C} (mZ : X_2 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_2 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mY_1)
        ((fun {X_2 : C} (mZ : X_2 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_2 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX_1)
⊢ ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S)),
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X_1
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X_1 ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y)) Y_1
              (PSigma.mk (β := fun (x : X_1 ∈ O) ↦ (_ : Y_1 ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y_1)) mX_1
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y_1 ∈ O) ↦ X_1 ⟶ Y_1) mY_1 f_1))) ∈
          Insert.insert
            (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
              (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
            H' →
        f_1 ≫ T mY_1 = T mX_1

Tactic:
refine ⟨coeq (f ≫ T' mY) (T' mX), fun mZ => T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX), ?_⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
        H' →
      f ≫ T' mY = T' mX
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X'
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X' ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X' ⟶ Y)) Y'
        (PSigma.mk (β := fun (x : X' ∈ O) ↦ (_ : Y' ∈ O) ×' (X' ⟶ Y')) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y' ∈ O) ↦ X' ⟶ Y') mY' f'))) ∈
    Insert.insert
      (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
        (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
      H'
insert :
  Eq (α := X' ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX)) ((f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX))
    ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')
⊢ Eq (α := X' ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))
    (f' ≫ (fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mY')
    ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')

Tactic:
rw [← Category.assoc]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
        H' →
      f ≫ T' mY = T' mX
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X'
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X' ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X' ⟶ Y)) Y'
        (PSigma.mk (β := fun (x : X' ∈ O) ↦ (_ : Y' ∈ O) ×' (X' ⟶ Y')) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y' ∈ O) ↦ X' ⟶ Y') mY' f'))) ∈
    insert
      (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
        (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
      H'
pos :
  ∀ (h : X = X' ∧ Y = Y'),
    Eq (α := X' ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX)) ((f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX))
      ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')
neg :
  ∀ (h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')),
    Eq (α := X' ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX)) ((f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX))
      ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')
⊢ Eq (α := X' ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX)) ((f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX))
    ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')

Tactic:
by_cases h : X = X' ∧ Y = Y'
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
        H' →
      f ≫ T' mY = T' mX
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X'
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X' ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X' ⟶ Y)) Y'
        (PSigma.mk (β := fun (x : X' ∈ O) ↦ (_ : Y' ∈ O) ×' (X' ⟶ Y')) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y' ∈ O) ↦ X' ⟶ Y') mY' f'))) ∈
    insert
      (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
        (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
      H'
h : X = X' ∧ Y = Y'
pos :
  ∀ (mX' : X ∈ O) (mY' : Y ∈ O) {f' : X ⟶ Y}
    (mf' :
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX'
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY' f'))) ∈
        insert
          (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
          H'),
    Eq (α := X ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX)) ((f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX))
      ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')
⊢ Eq (α := X' ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX)) ((f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX))
    ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')

Tactic:
rcases h with ⟨rfl, rfl⟩

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
        H' →
      f ≫ T' mY = T' mX
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY' f'))) ∈
    insert
      (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
        (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
      H'
⊢ Eq (α := X ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX)) ((f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX))
    ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')

Tactic:
grind [coeq_condition]

Premises used: CategoryTheory.IsFiltered.coeq_condition
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
        H' →
      f ≫ T' mY = T' mX
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X'
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X' ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X' ⟶ Y)) Y'
        (PSigma.mk (β := fun (x : X' ∈ O) ↦ (_ : Y' ∈ O) ×' (X' ⟶ Y')) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y' ∈ O) ↦ X' ⟶ Y') mY' f'))) ∈
    insert
      (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
        (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
      H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
rw :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X'
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X' ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X' ⟶ Y)) Y'
        (PSigma.mk (β := fun (x : X' ∈ O) ↦ (_ : Y' ∈ O) ×' (X' ⟶ Y')) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y' ∈ O) ↦ X' ⟶ Y') mY' f'))) ∈
    H'
⊢ Eq (α := X' ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX)) ((f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX))
    ((fun {X_1 : C} (mZ : X_1 ∈ O) ↦ (T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) : X_1 ⟶ coeq (f ≫ T' mY) (T' mX))) mX')

Tactic:
rw [@w' _ _ mX' mY' f' _]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsFiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
        H' →
      f ≫ T' mY = T' mX
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X'
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X' ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X' ⟶ Y)) Y'
        (PSigma.mk (β := fun (x : X' ∈ O) ↦ (_ : Y' ∈ O) ×' (X' ⟶ Y')) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y' ∈ O) ↦ X' ⟶ Y') mY' f'))) ∈
    insert
      (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
        (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
      H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
apply :
  Ne (α := (X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
    (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X'
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X' ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X' ⟶ Y)) Y'
        (PSigma.mk (β := fun (x : X' ∈ O) ↦ (_ : Y' ∈ O) ×' (X' ⟶ Y')) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y' ∈ O) ↦ X' ⟶ Y') mY' f'))))
    (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
⊢ PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X'
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X' ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X' ⟶ Y)) Y'
        (PSigma.mk (β := fun (x : X' ∈ O) ↦ (_ : Y' ∈ O) ×' (X' ⟶ Y')) mX'
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y' ∈ O) ↦ X' ⟶ Y') mY' f'))) ∈
    H'

Tactic:
apply Finset.mem_of_mem_insert_of_ne mf'

Premises used: Finset.mem_of_mem_insert_of_ne