-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.OpenImmersion
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, u_1} C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
Z : PresheafedSpace.{v, u, u_1} C
g : Y ⟶ Z
hg : IsOpenImmersion g
U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)
h :
  IsOpenEmbedding (X := (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) (Y := (↑(↑Z : TopCat) : Type u_1))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
          TopCat.carrier) (f ≫ g).base) :
      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type u_1))
x :
  Eq (α := Set (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
    (Set.preimage (β := (↑(↑Z : TopCat) : Type u_1))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
            TopCat.carrier) g.base) :
        (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type u_1))
      (Set.image (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
              TopCat.carrier) g.base) :
          (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type u_1))
        ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                TopCat.carrier) f.base) :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ''
          (↑U : Set (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)))))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
            TopCat.carrier) f.base) :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ''
      (↑U : Set (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)))
x₁ x₂ :
  Eq (α := Set (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
            TopCat.carrier) f.base) :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ''
      (↑U : Set (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
            TopCat.carrier) f.base) :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ''
      (↑U : Set (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)))
⊢ Eq (α := Set (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
    (Set.preimage (β := (↑(↑Z : TopCat) : Type u_1))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
            TopCat.carrier) g.base) :
        (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type u_1))
      (Function.comp (β := (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                TopCat.carrier) g.base) :
            (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type u_1))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                TopCat.carrier) f.base) :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ''
        (↑U : Set (↑(↑X : TopCat) : Type u_1))))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
            TopCat.carrier) f.base) :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ''
      (↑U : Set (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)))

Tactic:
rw [Set.image_comp, Set.preimage_image_eq _ hg.base_open.injective]

Premises used: Topology.IsOpenEmbedding.toIsEmbedding, Topology.IsEmbedding.injective, Set.image_comp, Set.preimage_image_eq, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.base_open