-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.QuasiCompact
Goal:
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact U.carrier
x f : (↑Γ(X, U) : Type u)
H :
  Eq (α :=
    ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
      (X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))))
    (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
      CommRingCat.carrier) x (X.basicOpen f) ⋯)
    0
s : Set (↑X.affineOpens : Type u)
hs : s.Finite
e : U = ⨆ (i : (↑s : Type u)), (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)
h₁ : ∀ (i : (↑s : Type u)), (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens) ≤ U
refine_2 :
  ∀
    (H' :
      ∀ (i : (↑s : Type u)),
        ∃ (n : ℕ),
          HMul.hMul (β := (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u))
              (HPow.hPow (α := (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                        CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
                      (a : (↑Γ(X, U) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u))
                    f :
                  (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u))
                n)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
                    (a : (↑Γ(X, U) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u))
                  x :
                (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u)) =
            0),
    ∃ (n : ℕ), f ^ n * x = 0
refine_1 :
  ∀ (i : (↑s : Type u)),
    Eq (α :=
      ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
        (X.presheaf.obj
          (op
            (X.basicOpen (U := (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
                  (a : (↑Γ(X, U) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u))
                f)))))
      (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
            (a : (↑Γ(X, U) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u))
          x)
        (X.basicOpen (U := (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
              (a : (↑Γ(X, U) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑(↑i : (↑X.affineOpens : Type u)) : X.Opens)) : Type u))
            f))
        ⋯)
      0
⊢ ∃ (n : ℕ), f ^ n * x = 0

Tactic:
have H' := fun i : s =>
    exists_pow_mul_eq_zero_of_res_basicOpen_eq_zero_of_isAffineOpen X i.1.2
      (X.presheaf.map (homOfLE (h₁ i)).op x) (X.presheaf.map (homOfLE (h₁ i)).op f) ?_