awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Set R
f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem_1 : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1
this :
  ∀ (s : Set R) (f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R))
    (h :
      ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
        Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
            Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
            Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
    (mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1) (finset_eq : ∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s),
    ∃! r : R, ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r = f a
finset_eq : ¬∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s
t : Finset R
hts : (↑t : Set R) ⊆ s
mem : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R (↑t : Set R)) 1
r : R
eq :
  (fun (r : R) ↦
      ∀ (a : (↑(↑t : Set R) : Type u_1)),
        Eq (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r : Away (↑a : R))
          (f (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) :
            Away (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) : R)))
    r
uniq :
  ∀ (y : R),
    (fun (r : R) ↦
          ∀ (a : (↑(↑t : Set R) : Type u_1)),
            Eq (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r : Away (↑a : R))
              (f (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) :
                Away (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) : R)))
        y →
      y = r
inr : ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r = f a
⊢ ∃! r : R, ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r = f a

Tactic:
refine ⟨r, fun a ↦ ?_, fun _ eq ↦ uniq _ fun a ↦ eq ⟨a, hts a.2⟩⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Set R
f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem_1 : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1
this :
  ∀ (s : Set R) (f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R))
    (h :
      ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
        Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
            Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
            Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
    (mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1) (finset_eq : ∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s),
    ∃! r : R, ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r = f a
finset_eq : ¬∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s
t : Finset R
hts : (↑t : Set R) ⊆ s
mem : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R (↑t : Set R)) 1
r : R
eq :
  (fun (r : R) ↦
      ∀ (a : (↑(↑t : Set R) : Type u_1)),
        Eq (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r : Away (↑a : R))
          (f (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) :
            Away (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) : R)))
    r
uniq :
  ∀ (y : R),
    (fun (r : R) ↦
          ∀ (a : (↑(↑t : Set R) : Type u_1)),
            Eq (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r : Away (↑a : R))
              (f (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) :
                Away (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) : R)))
        y →
      y = r
a : (↑s : Type u_1)
⊢ insert (↑a : R) (↑t : Set R) ⊆ s

Tactic:
replace hts := Set.insert_subset a.2 hts
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Set R
f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem_1 : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1
this :
  ∀ (s : Set R) (f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R))
    (h :
      ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
        Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
            Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
            Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
    (mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1) (finset_eq : ∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s),
    ∃! r : R, ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r = f a
finset_eq : ¬∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s
t : Finset R
hts_1 : (↑t : Set R) ⊆ s
mem : Membership.mem (γ := Submodule R R) (Submodule.span R (↑t : Set R)) 1
r : R
eq :
  (fun (r : R) ↦
      ∀ (a : (↑(↑t : Set R) : Type u_1)),
        Eq (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r : Away (↑a : R))
          (f (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) :
            Away (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) : R)))
    r
uniq :
  ∀ (y : R),
    (fun (r : R) ↦
          ∀ (a : (↑(↑t : Set R) : Type u_1)),
            Eq (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r : Away (↑a : R))
              (f (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) :
                Away (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ s) (↑a : R) ⋯) : R)))
        y →
      y = r
a : (↑s : Type u_1)
hts : insert (↑a : R) (↑t : Set R) ⊆ s
⊢ (↑({(↑a : R)} ∪ t) : Set R) = {(↑a : R)} ∪ (↑t : Set R)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Set R
f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1
finset_eq : ∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s
⊢ Eq (α := Ideal R) (Ideal.span s) ⊤

Tactic:
have span_eq := (Ideal.eq_top_iff_one _).mpr mem
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Set R
f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1
finset_eq : ∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span s) ⊤
⊢ ∃! r : R, ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r = f a

Tactic:
existsUnique_of_exists_of_unique ?_ fun x y hx hy ↦
    algebraMap_injective_of_span_eq_top s span_eq (funext fun a ↦ (hx a).trans (hy a).symm)

Premises used: Localization.algebraMap_injective_of_span_eq_top, existsUnique_of_exists_of_unique, funext, Eq.symm, Eq.trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Set R
f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1
finset_eq : ∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span s) ⊤
refine : ∃ (x : R), ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
⊢ ∃! r : R, ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) r = f a

Tactic:
refine existsUnique_of_exists_of_unique ?_ fun x y hx hy ↦
    algebraMap_injective_of_span_eq_top s span_eq (funext fun a ↦ (hx a).trans (hy a).symm)

Premises used: Localization.algebraMap_injective_of_span_eq_top, existsUnique_of_exists_of_unique, funext
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Set R
f : (a : (↑s : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑s : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span s) 1
finset_eq : ∃ (t : Finset R), (↑t : Set R) = s
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span s) ⊤
obtain :
  ∀ (s : Finset R) (f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R))
    (h :
      ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
        Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
            Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
          ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
            Away ((↑a : R) * (↑b : R))))
    (mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1)
    (span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤),
    ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
⊢ ∃ (x : R), ∀ (a : (↑s : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a

Tactic:
obtain ⟨s, rfl⟩ := finset_eq

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
choose :
  ∀ (n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ) (r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R)
    (eq :
      ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
        f a *
            HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
          (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)),
    ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
⊢ ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a

Tactic:
choose n r eq using fun a ↦ Away.surj a.1 (f a)

Premises used: Localization.r, IsLocalization.Away.surj
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
⊢ ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)

Tactic:
have eq a : f a * algebraMap R _ (a ^ N) = algebraMap R _ (r a) := by
    rw [map_mul, ← eq, mul_left_comm, ← map_pow, ← map_mul, ← pow_add,
      Nat.sub_add_cancel (Finset.le_sup <| s.mem_attach a)]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
⊢ ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ∃ (N' : ℕ), ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r b * (↑a : R) ^ N)

Tactic:
have eq2 a b : ∃ N', (a * b) ^ N' * (r a * b ^ N) = (a * b) ^ N' * (r b * a ^ N) :=
    Away.exists_of_eq (S := Away (a * b : R)) _ <| by
      simp_rw [map_mul, ← Away.awayToAwayRight_eq (S := Away a.1) a.1 b (r a),
        ← Away.awayToAwayLeft_eq (S := Away b.1) b.1 a (r b), ← eq, map_mul,
        Away.awayToAwayRight_eq, Away.awayToAwayLeft_eq, h, mul_assoc, ← map_mul, mul_comm]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
eq2 :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ∃ (N' : ℕ), ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r b * (↑a : R) ^ N)
choose :
  ∀ (N' : (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ)
    (hN' :
      ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
        ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' a b * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' a b * (r b * (↑a : R) ^ N)),
    ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
⊢ ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a

Tactic:
choose N' hN' using eq2
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
N'_1 : (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
hN' :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r b * (↑a : R) ^ N)
N' : ℕ :=
  (s ×ˢ s).attach.sup fun (a : ↥(s ×ˢ s)) ↦
    N'_1 (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).1 ⋯)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).2 ⋯)
a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)
dsimp :
  HPow.hPow (β := ℕ) ((↑a : R) * (↑b : R))
        ((s ×ˢ s).attach.sup fun (a : ↥(s ×ˢ s)) ↦
          N'_1 (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).1 ⋯)
            (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).2 ⋯)) *
      (r a * (↑b : R) ^ N) =
    HPow.hPow (β := ℕ) ((↑a : R) * (↑b : R))
        ((s ×ˢ s).attach.sup fun (a : ↥(s ×ˢ s)) ↦
          N'_1 (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).1 ⋯)
            (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).2 ⋯)) *
      (r b * (↑a : R) ^ N)
⊢ ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r b * (↑a : R) ^ N)

Tactic:
dsimp only [N']
-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
N'_1 : (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
hN' :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r b * (↑a : R) ^ N)
N' : ℕ :=
  (s ×ˢ s).attach.sup fun (a : ↥(s ×ˢ s)) ↦
    N'_1 (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).1 ⋯)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).2 ⋯)
⊢ ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r b * (↑a : R) ^ N)

Tactic:
have eq2 a b : (a * b) ^ N' * (r a * b ^ N) = (a * b) ^ N' * (r b * a ^ N) := by
    dsimp only [N']; rw [← Nat.sub_add_cancel (Finset.le_sup <| (Finset.mem_attach _ ⟨⟨a, b⟩,
      Finset.mk_mem_product a.2 b.2⟩)), pow_add, mul_assoc, hN', ← mul_assoc]