awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
h_1 : LiftRelO R (LiftRel R) none none
h_2 : s.destruct.Results none m1
rs5' : (destruct_append.aux S'.join none).Results a n1
mt : none ∈ t.destruct
this : n1 < n
ob : Option (β × WSeq β)
mb : ob ∈ T'.join.destruct
rob : LiftRelO R U a ob
⊢ ob ∈ destruct_append.aux T'.join none

Tactic:
exact mb
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
⊢ ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a_1 b

Tactic:
⟨some (b, append t' (join T')), ?_, ?_⟩

Premises used: Stream'.WSeq.join, Option.some, Prod.mk, And.intro, Exists.intro, Stream'.WSeq.append
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
refine_1 : some (b, t'.append T'.join) ∈ T.join.destruct
refine_2 : LiftRelO R U a_1 (some (b, t'.append T'.join))
⊢ ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a_1 b

Tactic:
refine ⟨some (b, append t' (join T')), ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
refine_1 :
  Membership.mem (γ := Computation (Option (β × WSeq β)))
    (T.destruct.bind fun (x : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))) ↦
      match (motive := Option (WSeq β × WSeq (WSeq β)) → Computation (Option (β × WSeq β))) x with
      | none => Computation.pure none
      | some (s, S) => (s.append S.join).destruct.think)
    (some (b, t'.append T'.join))
⊢ some (b, t'.append T'.join) ∈ T.join.destruct

Tactic:
simp +unfoldPartialApp only [destruct_join, destruct_join.aux]

Premises used: Stream'.WSeq.destruct_join.aux, Stream'.WSeq.destruct_join
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
refine_1 :
  Membership.mem (γ := Computation (Option (β × WSeq β)))
    (match (motive := Option (WSeq β × WSeq (WSeq β)) → Computation (Option (β × WSeq β))) some (t, T') with
      | none => Computation.pure none
      | some (s, S) => (s.append S.join).destruct.think :
      Computation (Option (β × WSeq β)))
    (some (b, t'.append T'.join))
⊢ Membership.mem (γ := Computation (Option (β × WSeq β)))
    (T.destruct.bind fun (x : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))) ↦
      match (motive := Option (WSeq β × WSeq (WSeq β)) → Computation (Option (β × WSeq β))) x with
      | none => Computation.pure none
      | some (s, S) => (s.append S.join).destruct.think)
    (some (b, t'.append T'.join))

Tactic:
apply mem_bind mT

Premises used: Computation.mem_bind
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
refine_1 : some (b, t'.append T'.join) ∈ (t.destruct.bind (destruct_append.aux T'.join)).think
⊢ Membership.mem (γ := Computation (Option (β × WSeq β)))
    (match (motive := Option (WSeq β × WSeq (WSeq β)) → Computation (Option (β × WSeq β))) some (t, T') with
      | none => Computation.pure none
      | some (s, S) => (s.append S.join).destruct.think :
      Computation (Option (β × WSeq β)))
    (some (b, t'.append T'.join))

Tactic:
simp only [destruct_append]

Premises used: Stream'.WSeq.destruct_append
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
refine_1 : some (b, t'.append T'.join) ∈ t.destruct.bind (destruct_append.aux T'.join)
⊢ some (b, t'.append T'.join) ∈ (t.destruct.bind (destruct_append.aux T'.join)).think

Tactic:
apply think_mem

Premises used: Computation.think_mem
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
refine_1 : some (b, t'.append T'.join) ∈ destruct_append.aux T'.join (some (b, t'))
⊢ some (b, t'.append T'.join) ∈ t.destruct.bind (destruct_append.aux T'.join)

Tactic:
apply mem_bind mt

Premises used: Computation.mem_bind
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
⊢ some (b, t'.append T'.join) ∈ destruct_append.aux T'.join (some (b, t'))

Tactic:
apply ret_mem

Premises used: Computation.ret_mem
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
refine_2 : LiftRelO R U (some (a, s'.append S'.join)) (some (b, t'.append T'.join))
⊢ LiftRelO R U a_1 (some (b, t'.append T'.join))

Tactic:
rw [eq_of_pure_mem rs5.mem]

Premises used: Computation.Results.mem, Computation.eq_of_pure_mem
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
⊢ LiftRelO R U (some (a, s'.append S'.join)) (some (b, t'.append T'.join))

Tactic:
⟨ab, HU _ _ ⟨s', t', S', T', rfl, rfl, st', ST'⟩⟩

Premises used: Stream'.WSeq.LiftRelO, And.intro, Exists.intro, rfl
-- Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation
Goal:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ (s : WSeq α) (t : WSeq β) (S : WSeq (WSeq α)) (T : WSeq (WSeq β)),
        s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) →
      U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)} (ST : LiftRel (LiftRel R) S T) {a : Option (α × WSeq α)}
      (h : S.join.destruct.Results a m), ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a_1 : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a_1 n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2_1 : (destruct_join.aux o).Results a_1 k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT_1 : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
h : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a_1 k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a_1 k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5_1 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a_1 n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt_1 : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
a : α
s' : WSeq α
b : β
t' : WSeq β
ab : R a b
st' : LiftRel R s' t'
h_1 : s.destruct.Results (some (a, s')) m1
rs5 : (Computation.pure (some (a, s'.append S'.join))).Results a_1 n1
mt : some (b, t') ∈ t.destruct
⊢ LiftRelO R U (some (a, s'.append S'.join)) (some (b, t'.append T'.join))

Tactic:
exact ⟨ab, HU _ _ ⟨s', t', S', T', rfl, rfl, st', ST'⟩⟩