awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : x ∉ thickening ε s
h₁ : ∀ (n : ℕ) (hn : u n < ε), g n x = 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, g n x = 0

Tactic:
filter_upwards [(tendsto_order.1 u_lim).2 _ εpos] with n hn

Premises used: tendsto_order, And.right, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : x ∉ thickening ε s
n : ℕ
hn : u n < ε
h₁ : x ∉ v n
⊢ g n x = 0

Tactic:
rw [← notMem_support, g_supp]

Premises used: Function.notMem_support
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : x ∉ thickening ε s
n : ℕ
hn : u n < ε
h₁ : ∀ (hε : x ∈ v n), x ∈ thickening ε s
⊢ x ∉ v n

Tactic:
contrapose hε
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : u n < ε
hε : x ∈ v n
⊢ x ∈ thickening ε s

Tactic:
thickening_mono hn.le s hε

Premises used: LT.lt.le, Metric.thickening_mono
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : u n < ε
hε : x ∈ v n
⊢ x ∈ thickening ε s

Tactic:
exact thickening_mono hn.le s hε

Premises used: LT.lt.le, Metric.thickening_mono
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ g n x • f x) atTop (𝓝 (s.indicator f x))

Tactic:
have D : ∀ᵐ x ∂μ, Tendsto (fun n => g n x • f x) atTop (𝓝 (s.indicator f x)) := by
      filter_upwards with x
      by_cases hxs : x ∈ s
      · have : ∀ n, g n x = 1 := fun n ↦ hg n x hxs
        simp [this, indicator_of_mem hxs f]
      · simp_rw [indicator_of_notMem hxs f]
        apply tendsto_const_nhds.congr'
        suffices H : ∀ᶠ n in atTop, g n x = 0 by
          filter_upwards [H] with n hn using by simp [hn]
        obtain ⟨ε, εpos, hε⟩ : ∃ ε, 0 < ε ∧ x ∉ thickening ε s := by
          rw [← hs.isClosed.closure_eq, closure_eq_iInter_thickening s] at hxs
          simpa using hxs
        filter_upwards [(tendsto_order.1 u_lim).2 _ εpos] with n hn
        rw [← notMem_support, g_supp]
        contrapose hε
        exact thickening_mono hn.le s hε
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
D : ∀ᵐ (x : M) ∂μ, Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ g n x • f x) atTop (𝓝 (s.indicator f x))
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M), s.indicator f x ∂μ))

Tactic:
tendsto_integral_of_dominated_convergence bound A B C D

Premises used: MeasureTheory.tendsto_integral_of_dominated_convergence
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
D : ∀ᵐ (x : M) ∂μ, Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ g n x • f x) atTop (𝓝 (s.indicator f x))
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M), s.indicator f x ∂μ))

Tactic:
exact tendsto_integral_of_dominated_convergence bound A B C D

Premises used: MeasureTheory.tendsto_integral_of_dominated_convergence
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
L : Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
⊢ ∀ (n : ℕ), Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) 0

Tactic:
fun n ↦ h _ (g_diff n) ?_
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
L : Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
refine : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
⊢ ∀ (n : ℕ), Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) 0

Tactic:
refine fun n ↦ h _ (g_diff n) ?_
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
L : Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
n : ℕ
apply : support (g n) ⊆ K
⊢ HasCompactSupport (g n)

Tactic:
apply HasCompactSupport.of_support_subset_isCompact K_compact

Premises used: HasCompactSupport.of_support_subset_isCompact
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
L : Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
n : ℕ
⊢ support (g n) ⊆ K

Tactic:
simpa [g_supp] using vK n
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
L : Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
⊢ ∀ (n : ℕ), Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) 0

Tactic:
have : ∀ n, ∫ x, g n x • f x ∂μ = 0 := by
    refine fun n ↦ h _ (g_diff n) ?_
    apply HasCompactSupport.of_support_subset_isCompact K_compact
    simpa [g_supp] using vK n
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this_4 : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
L : Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
this : ∀ (n : ℕ), Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) 0
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := F) 0 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ)

Tactic:
simpa [this] using L