awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A_1 : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
f : Fin N → E
fmem : Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) f
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
A : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖)
B : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 1)
⊢ (fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖) i j

Tactic:
exact le_of_tendsto_of_tendsto' B A fun n => (hF (u (φ n)) (zero_lt_u _)).2 hij

Premises used: And.right, le_of_tendsto_of_tendsto'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
⊢ ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
have : ∃ f : Fin N → E, (∀ i : Fin N, ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖ := by
    obtain ⟨u, _, zero_lt_u, hu⟩ :
      ∃ u : ℕ → ℝ,
        (∀ m n : ℕ, m < n → u n < u m) ∧ (∀ n : ℕ, 0 < u n) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 0) :=
      exists_seq_strictAnti_tendsto (0 : ℝ)
    have A : ∀ n, F (u n) ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2 := by
      intro n
      simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right,
        (hF (u n) (zero_lt_u n)).left, forall_const]
    obtain ⟨f, fmem, φ, φ_mono, hf⟩ :
      ∃ f ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2,
        ∃ φ : ℕ → ℕ, StrictMono φ ∧ Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f) :=
      IsCompact.tendsto_subseq (isCompact_closedBall _ _) A
    refine ⟨f, fun i => ?_, fun i j hij => ?_⟩
    · simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right] at fmem
      exact fmem i
    · have A : Tendsto (fun n => ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖) :=
        ((hf.apply_nhds i).sub (hf.apply_nhds j)).norm
      have B : Tendsto (fun n => 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 (1 - 0)) :=
        tendsto_const_nhds.sub (hu.comp φ_mono.tendsto_atTop)
      rw [sub_zero] at B
      exact le_of_tendsto_of_tendsto' B A fun n => (hF (u (φ n)) (zero_lt_u _)).2 hij
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
this : ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
rcases : ∀ (f : Fin N → E) (hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) (h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖), False
⊢ False

Tactic:
rcases this with ⟨f, hf, h'f⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
by_contra : ∀ (h : ¬i = j), False
⊢ i = j

Tactic:
by_contra h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
have : 1 ≤ ‖f i - f j‖ := h'f h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
this : 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ LE.le (α := ℝ) 1 0

Tactic:
simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this

Premises used: sub_self, norm_zero
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
this : LE.le (α := ℝ) 1 0
⊢ False

Tactic:
lt_irrefl _ (this.trans_lt zero_lt_one)

Premises used: lt_irrefl, zero_lt_one, LE.le.trans_lt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
this : LE.le (α := ℝ) 1 0
⊢ False

Tactic:
exact lt_irrefl _ (this.trans_lt zero_lt_one)

Premises used: lt_irrefl, zero_lt_one, LE.le.trans_lt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ Function.Injective f

Tactic:
have finj : Function.Injective f := by
    intro i j hij
    by_contra h
    have : 1 ≤ ‖f i - f j‖ := h'f h
    simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this
    exact lt_irrefl _ (this.trans_lt zero_lt_one)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
rw : Finset.card (α := Fin N) Finset.univ = N
⊢ s.card = N

Tactic:
rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]

Premises used: Finset.card_image_of_injective
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ Finset.card (α := Fin N) Finset.univ = N

Tactic:
Finset.card_fin N

Premises used: Finset.card_fin
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ Finset.card (α := Fin N) Finset.univ = N

Tactic:
exact Finset.card_fin N

Premises used: Finset.card_fin
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ s.card = N

Tactic:
have s_card : s.card = N := by rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]; exact Finset.card_fin N
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
⊢ ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Tactic:
simp only [s, hf, forall_apply_eq_imp_iff, forall_const, forall_exists_index, Finset.mem_univ,
      Finset.mem_image, true_and]

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.mem_image, forall_exists_index, forall_const, forall_apply_eq_imp_iff, true_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
⊢ ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2

Tactic:
have hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2 := by
    simp only [s, hf, forall_apply_eq_imp_iff, forall_const, forall_exists_index, Finset.mem_univ,
      Finset.mem_image, true_and]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
simp : ∀ (a a_1 : Fin N), ¬f a = f a_1 → 1 ≤ ‖f a - f a_1‖
⊢ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖

Tactic:
simp only [s, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
      Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and]

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.mem_image, forall_exists_index, Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
h : i = j
⊢ ¬f j = f j

Tactic:
rw [h] at hij
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
h : i = j
hij₁ : ¬f j = f j
⊢ i = j

Tactic:
rw [h] at hij
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f j = f j
h : i = j
⊢ False

Tactic:
hij rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f j = f j
h : i = j
⊢ False

Tactic:
exact hij rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
⊢ i ≠ j

Tactic:
have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij; exact hij rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
this : i ≠ j
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
h'f this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
this : i ≠ j
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
exact h'f this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
⊢ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖

Tactic:
have h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖ := by
    simp only [s, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
      Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and]
    intro i j hij
    have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij; exact hij rfl
    exact h'f this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ s.card ≤ multiplicity E

Tactic:
have : s.card ≤ multiplicity E := card_le_multiplicity hs h's
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : s.card ≤ multiplicity E
⊢ multiplicity E + 1 ≤ multiplicity E

Tactic:
rw [s_card, hN] at this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : multiplicity E + 1 ≤ multiplicity E
⊢ False

Tactic:
lt_irrefl _ ((Nat.lt_succ_self (multiplicity E)).trans_le this)

Premises used: lt_irrefl, Nat.lt_succ_self, Besicovitch.multiplicity, LT.lt.trans_le