awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
obtain :
  ∀ (a : G) (ha : a ∈ A) (b : G) (hb : b ∈ B) (hu : UniqueMul A B a b),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨a, ha, b, hb, hu⟩ := uniqueMul_of_nonempty hc.1 hc.2.1

Premises used: UniqueProds.uniqueMul_of_nonempty, And.right, And.left
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
simp_rw : 1 < #A ∨ 1 < #B
⊢ 1 < #C ∨ 1 < #D

Tactic:
simp_rw [C, D, card_map]

Premises used: Finset.card_map
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
⊢ 1 < #A ∨ 1 < #B

Tactic:
hc.2.2

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
⊢ 1 < #A ∨ 1 < #B

Tactic:
exact hc.2.2

Premises used: And.right
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
⊢ 1 < #C ∨ 1 < #D

Tactic:
have hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D := by simp_rw [C, D, card_map]; exact hc.2.2
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
⊢ 1 ∈ C

Tactic:
have hC : 1 ∈ C := mem_map.mpr ⟨a, ha, inv_mul_cancel a⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
⊢ 1 ∈ D

Tactic:
have hD : 1 ∈ D := mem_map.mpr ⟨b, hb, mul_inv_cancel b⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
this : ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
simp_rw :
  ∃ (p1 : G × G),
    (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
      ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
simp_rw [mem_product]

Premises used: Finset.mem_product
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
this : ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
obtain :
  ∀ (c : G) (hc : c ∈ C) (d : G) (hd : d ∈ D) (hne : c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) (hu' : UniqueMul C D c d),
    ∃ (p1 : G × G),
      (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
        ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ (p1 : G × G),
    (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
      ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨c, hc, d, hd, hne, hu'⟩ := this
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
c : G
hc : c ∈ C
d : G
hd : d ∈ D
hne : c ≠ 1 ∨ d ≠ 1
hu' : UniqueMul C D c d
obtain :
  ∀ (a0 : G) (ha0 : a0 ∈ A)
    (hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G))
    (hne : Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨ d ≠ 1)
    (hu' : UniqueMul C D (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0) d),
    ∃ (p1 : G × G),
      (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
        ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ (p1 : G × G),
    (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
      ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨a0, ha0, rfl⟩ := mem_map.mp hc

Premises used: Iff.mp, Finset.mem_map, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
d : G
hd : d ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
hne : Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨ d ≠ 1
hu' : UniqueMul C D (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0) d
obtain :
  ∀ (b0 : G) (hb0 : b0 ∈ B)
    (hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G))
    (hne :
      Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
        Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G))
    (hu' :
      UniqueMul C D (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0)),
    ∃ (p1 : G × G),
      (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
        ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ (p1 : G × G),
    (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
      ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨b0, hb0, rfl⟩ := mem_map.mp hd

Premises used: Iff.mp, Finset.mem_map, rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hne :
  Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
    Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G)
hu' :
  UniqueMul C D (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0)
    (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0)
⊢ ∃ (p1 : G × G),
    (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
      ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
⟨(_, _), ⟨ha0, hb0⟩, (a, b), ⟨ha, hb⟩, ?_, fun a' b' ha' hb' he => ?_, hu⟩

Premises used: Prod.mk, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hne :
  Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
    Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G)
hu' :
  UniqueMul C D (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0)
    (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0)
refine_1 : (a0, b0) ≠ (a, b)
refine_2 :
  ∀ (a' b' : G) (ha' : a' ∈ A) (hb' : b' ∈ B) (he : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2),
    a' = (a0, b0).1 ∧ b' = (a0, b0).2
⊢ ∃ (p1 : G × G),
    (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧
      ∃ (p2 : G × G), (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
refine ⟨(_, _), ⟨ha0, hb0⟩, (a, b), ⟨ha, hb⟩, ?_, fun a' b' ha' hb' he => ?_, hu⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hne :
  Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
    Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G)
hu' :
  UniqueMul C D (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0)
    (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0)
⊢ ¬a = a0 ∨ ¬b0 = b

Tactic:
simp_rw [Function.Embedding.coeFn_mk, Ne, inv_mul_eq_one, mul_inv_eq_one] at hne

Premises used: mul_inv_eq_one, Ne, Function.Embedding.coeFn_mk, inv_mul_eq_one
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hu' :
  UniqueMul C D (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0)
    (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0)
hne : ¬a = a0 ∨ ¬b0 = b
refine_1 : ¬(a0, b0) = (a, b)
refine_1₁ : ¬(a0 = a ∧ b0 = b)
refine_1₂ : ¬a0 = a ∨ ¬b0 = b
refine_1₃ refine_1₄ refine_1₅ refine_1₆ : ¬a = a0 ∨ ¬b0 = b
⊢ (a0, b0) ≠ (a, b)

Tactic:
rwa [Ne, Prod.mk_inj, not_and_or, eq_comm]

Premises used: Prod.mk_inj, Ne, eq_comm, not_and_or
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hne :
  Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
    Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G)
hu' :
  UniqueMul C D (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0)
    (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0)
a' b' : G
ha' : a' ∈ A
hb' : b' ∈ B
he : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2
⊢ HMul.hMul (α := G) (β := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a' : G)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b' : G) =
      HMul.hMul (α := G) (β := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) →
    Eq (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a' : G)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) ∧
      Eq (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b' : G)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)

Tactic:
specialize hu' (mem_map_of_mem _ ha') (mem_map_of_mem _ hb')

Premises used: Finset.mem_map_of_mem
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hne :
  Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
    Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G)
a' b' : G
ha' : a' ∈ A
hb' : b' ∈ B
he : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2
hu' :
  HMul.hMul (α := G) (β := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a' : G)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b' : G) =
      HMul.hMul (α := G) (β := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) →
    Eq (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a' : G)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) ∧
      Eq (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b' : G)
        (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
⊢ a⁻¹ * a' * (b' * b⁻¹) = a⁻¹ * a0 * (b0 * b⁻¹) → a' = a0 ∧ b' = b0

Tactic:
simp_rw [Function.Embedding.coeFn_mk, mul_left_cancel_iff, mul_right_cancel_iff] at hu'

Premises used: Function.Embedding.coeFn_mk, mul_right_cancel_iff, mul_left_cancel_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hne :
  Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
    Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G)
a' b' : G
ha' : a' ∈ A
hb' : b' ∈ B
he : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2
hu' : a⁻¹ * a' * (b' * b⁻¹) = a⁻¹ * a0 * (b0 * b⁻¹) → a' = a0 ∧ b' = b0
⊢ a⁻¹ * ((a0, b0).1 * ((a0, b0).2 * b⁻¹)) = a⁻¹ * (a0 * (b0 * b⁻¹)) → a' = a0 ∧ b' = b0

Tactic:
rw [mul_assoc, ← mul_assoc a', he, mul_assoc, mul_assoc] at hu'

Premises used: mul_assoc
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hne :
  Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
    Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G)
a' b' : G
ha' : a' ∈ A
hb' : b' ∈ B
he : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2
hu' : a⁻¹ * ((a0, b0).1 * ((a0, b0).2 * b⁻¹)) = a⁻¹ * (a0 * (b0 * b⁻¹)) → a' = a0 ∧ b' = b0
⊢ a' = (a0, b0).1 ∧ b' = (a0, b0).2

Tactic:
hu' rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc_1 : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
a0 : G
ha0 : a0 ∈ A
hc : Membership.mem (α := G) C (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G)
b0 : G
hb0 : b0 ∈ B
hd : Membership.mem (α := G) D (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G)
hne :
  Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) a0 : G) (1 : G) ∨
    Ne (α := G) (({ toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } : (a : G) → G) b0 : G) (1 : G)
a' b' : G
ha' : a' ∈ A
hb' : b' ∈ B
he : a' * b' = (a0, b0).1 * (a0, b0).2
hu' : a⁻¹ * ((a0, b0).1 * ((a0, b0).2 * b⁻¹)) = a⁻¹ * (a0 * (b0 * b⁻¹)) → a' = a0 ∧ b' = b0
⊢ a' = (a0, b0).1 ∧ b' = (a0, b0).2

Tactic:
exact hu' rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
suffices : ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
suffices ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d by
      simp_rw [mem_product]
      obtain ⟨c, hc, d, hd, hne, hu'⟩ := this
      obtain ⟨a0, ha0, rfl⟩ := mem_map.mp hc
      obtain ⟨b0, hb0, rfl⟩ := mem_map.mp hd
      refine ⟨(_, _), ⟨ha0, hb0⟩, (a, b), ⟨ha, hb⟩, ?_, fun a' b' ha' hb' he => ?_, hu⟩
      · simp_rw [Function.Embedding.coeFn_mk, Ne, inv_mul_eq_one, mul_inv_eq_one] at hne
        rwa [Ne, Prod.mk_inj, not_and_or, eq_comm]
      specialize hu' (mem_map_of_mem _ ha') (mem_map_of_mem _ hb')
      simp_rw [Function.Embedding.coeFn_mk, mul_left_cancel_iff, mul_right_cancel_iff] at hu'
      rw [mul_assoc, ← mul_assoc a', he, mul_assoc, mul_assoc] at hu'
      exact hu' rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
refine_3 :
  ∀
    (this :
      ∃ a0 ∈ image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C,
        ∃ b0 ∈ D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C,
          UniqueMul (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C) a0 b0),
    ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
refine_1 : (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C).Nonempty
refine_2 : (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C).Nonempty
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
have := uniqueMul_of_nonempty (A := D.image (·⁻¹) * C) (B := D * C.image (·⁻¹)) ?_ ?_
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
inst_1 : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ a⁻¹ * x, inj' := ⋯ : G ↪ G } A
D : Finset G := map { toFun := fun (x : G) ↦ x * b⁻¹, inj' := ⋯ : G ↪ G } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x : Mul (Finset G) := Finset.mul
this :
  ∃ a0 ∈ image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C,
    ∃ b0 ∈ D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C,
      UniqueMul (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C) a0 b0
refine_3 :
  ∀ (e : G) (he : e ∈ image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (f : G) (hf : f ∈ D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C)
    (hu : UniqueMul (image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) D * C) (D * image (fun (x : G) ↦ x⁻¹) C) e f),
    ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
obtain ⟨e, he, f, hf, hu⟩ := this