-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
x : Q.Ring
y : ↥P.ker
this_1 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_2 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
e : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker ≃ₗ[Q.Ring] ↥Q.ker :=
  LinearEquiv.ofBijective (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) H
rw :
  (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
          ((↑P.Ring :
                {S_1 : Type u_2} →
                  {M : Type u} →
                    {M₂ : Type (max u_3 u)} →
                      [inst_6 : Semiring P.Ring] →
                        [inst_7 : Semiring S_1] →
                          [inst_8 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_9 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_10 : Module P.Ring M] →
                                [inst_11 : Module P.Ring M₂] →
                                  [inst_12 : Module S_1 M] →
                                    [inst_13 : Module S_1 M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                        (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
              (S := S) ((TensorProduct.mk S T P.Cotangent : (a : T) → P.Cotangent →ₗ[S] T ⊗[S] P.Cotangent) 1) ∘ₗ
            Cotangent.mk) :
        (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      (x ⊗ₜ[P.Ring] y) =
    HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) x
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) y : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
⊢ (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
          ((↑P.Ring :
                {S_1 : Type u_2} →
                  {M : Type u} →
                    {M₂ : Type (max u_3 u)} →
                      [inst_6 : Semiring P.Ring] →
                        [inst_7 : Semiring S_1] →
                          [inst_8 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_9 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_10 : Module P.Ring M] →
                                [inst_11 : Module P.Ring M₂] →
                                  [inst_12 : Module S_1 M] →
                                    [inst_13 : Module S_1 M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                        (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
              (S := S) ((TensorProduct.mk S T P.Cotangent : (a : T) → P.Cotangent →ₗ[S] T ⊗[S] P.Cotangent) 1) ∘ₗ
            Cotangent.mk) :
        (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      ((e.symm : (a : ↥Q.ker) → Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker)
        ((e : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker) (x ⊗ₜ[P.Ring] y))) =
    HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) x
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) y : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
rw [e.symm_apply_apply]

Premises used: LinearEquiv.symm_apply_apply