awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
rw :
  HPow.hPow (α := ZMod m.natAbs) (β := ℕ) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) 2 -
      (↑d : ZMod m.natAbs) * HPow.hPow (α := ZMod m.natAbs) (β := ℕ) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs) 2 =
    0
⊢ HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) -
      (↑d : ZMod m.natAbs) * HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs) =
    0

Tactic:
rw [hq1, hq2, ← sq, ← sq]

Premises used: sq
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
norm_cast :
  Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑(HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * (↑(HPow.hPow (β := ℕ) q₂.den 2) : ℤ)) : ZMod m.natAbs) 0
⊢ HPow.hPow (α := ZMod m.natAbs) (β := ℕ) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) 2 -
      (↑d : ZMod m.natAbs) * HPow.hPow (α := ZMod m.natAbs) (β := ℕ) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs) 2 =
    0

Tactic:
norm_cast
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
rw : (↑m.natAbs : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * (↑(HPow.hPow (β := ℕ) q₂.den 2) : ℤ)
rw₁ : m ∣ HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * (↑(HPow.hPow (β := ℕ) q₂.den 2) : ℤ)
rw₂ : m ∣ HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2
rw₃ rw₄ :
  HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 ∣
    HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2
⊢ Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑(HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * (↑(HPow.hPow (β := ℕ) q₂.den 2) : ℤ)) : ZMod m.natAbs) 0

Tactic:
rw [ZMod.intCast_zmod_eq_zero_iff_dvd, Int.natAbs_dvd, Nat.cast_pow, ← h₂]

Premises used: ZMod.intCast_zmod_eq_zero_iff_dvd, Nat.cast_pow, Int.natAbs_dvd
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
⊢ m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)

Tactic:
have hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * (q₁.den * q₂.den) := by
    rw [← Int.natAbs_dvd, ← ZMod.intCast_zmod_eq_zero_iff_dvd]
    push_cast
    rw [hq1, hq2, ← sq, ← sq]
    norm_cast
    rw [ZMod.intCast_zmod_eq_zero_iff_dvd, Int.natAbs_dvd, Nat.cast_pow, ← h₂]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
rw : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑(q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) : ZMod m.natAbs) (↑(q₁.num * (↑q₂.den : ℤ)) : ZMod m.natAbs)
⊢ m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)

Tactic:
rw [← Int.natAbs_dvd, ← ZMod.intCast_eq_intCast_iff_dvd_sub]

Premises used: ZMod.intCast_eq_intCast_iff_dvd_sub, Int.natAbs_dvd
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
push_cast :
  HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) =
    HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
⊢ Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑(q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) : ZMod m.natAbs) (↑(q₁.num * (↑q₂.den : ℤ)) : ZMod m.natAbs)

Tactic:
push_cast
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
rw :
  HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) =
    HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
rw₁ rw₂ :
  HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs) =
    HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
⊢ HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) =
    HMul.hMul (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)

Tactic:
rw [hq1, hq2]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
⊢ m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)

Tactic:
have hd₂ : m ∣ q₁.num * q₂.den - q₂.num * q₁.den := by
    rw [← Int.natAbs_dvd, ← ZMod.intCast_eq_intCast_iff_dvd_sub]
    push_cast
    rw [hq1, hq2]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
⊢ Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0

Tactic:
replace hm₀ : (m : ℚ) ≠ 0 := Int.cast_ne_zero.mpr hm₀
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ ∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0

Tactic:
⟨(q₁.num * q₂.num - d * (q₁.den * q₂.den)) / m, (q₁.num * q₂.den - q₂.num * q₁.den) / m,
      ?_, ?_⟩

Premises used: Rat.num, HMul.hMul, HSub.hSub, Rat.den, HDiv.hDiv, Nat.cast, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
refine_1 :
  HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)) / m) 2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m) 2 =
    1
refine_2 : (q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m ≠ 0
⊢ ∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0

Tactic:
refine ⟨(q₁.num * q₂.num - d * (q₁.den * q₂.den)) / m, (q₁.num * q₂.den - q₂.num * q₁.den) / m,
      ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
refine_1 :
  HPow.hPow (β := ℕ)
        ((HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.num : ℚ) - (↑d : ℚ) * HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.den : ℚ) (↑q₂.den : ℚ)) /
          (↑m : ℚ))
        2 -
      (↑d : ℚ) *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          ((HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ))
          2 =
    1
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)) / m) 2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m) 2 =
    1

Tactic:
qify [hd₁, hd₂]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
refine_1 :
  HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.num : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑d : ℚ) (↑q₁.den : ℚ) * (↑q₂.den : ℚ)) 2 -
      (↑d : ℚ) *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) 2 =
    HPow.hPow (α := ℚ) (β := ℕ) (↑m : ℚ) 2
⊢ HPow.hPow (β := ℕ)
        ((HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.num : ℚ) - (↑d : ℚ) * HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.den : ℚ) (↑q₂.den : ℚ)) /
          (↑m : ℚ))
        2 -
      (↑d : ℚ) *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          ((HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ))
          2 =
    1

Tactic:
field_simp
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
refine_1 :
  HPow.hPow (β := ℕ) (q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den : ℤ) * (↑q₂.den : ℤ)) 2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) (q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) 2 =
    HPow.hPow (β := ℕ) m 2
⊢ HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.num : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑d : ℚ) (↑q₁.den : ℚ) * (↑q₂.den : ℚ)) 2 -
      (↑d : ℚ) *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) 2 =
    HPow.hPow (α := ℚ) (β := ℕ) (↑m : ℚ) 2

Tactic:
norm_cast
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den : ℤ) * (↑q₂.den : ℤ)) 2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) (q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) 2 =
    HPow.hPow (β := ℕ) m 2

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
refine_2 :
  (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ) ≠ 0
⊢ (q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m ≠ 0

Tactic:
qify [hd₂]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.Pell
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ) ≠ 0

Tactic:
div_ne_zero_iff.mpr ⟨?_, hm₀⟩

Premises used: Iff.mpr, div_ne_zero_iff, And.intro