-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.Valued.ValuedField
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst_1 : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
a b : ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v
hab :
  Eq.{u_2 + 1} (α := ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation)
    ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        (↑(⋯.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
              ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                    (a : K) → ValueGroup₀ v)
                  a_1 =
                a)) :
          hat K) :
      ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
    ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        (↑(⋯.choose (p := fun (a : K) ↦
              ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                    (a : K) → ValueGroup₀ v)
                  a =
                b)) :
          hat K) :
      ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
x : K :=
  Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
    ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
        a_1 =
      a)
    ⋯
hx_def :
  x =
    Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a_1 =
        a)
      ⋯
hx : ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
    (Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a_1 =
        a)
      ⋯) =
  a :=
  ⋯
y : K :=
  Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
    ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v) a =
      b)
    ⋯
hy_def :
  y =
    Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a =
        b)
      ⋯
hy : ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
    (Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a =
        b)
      ⋯) =
  b :=
  ⋯
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
    ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        ((algebraMap K (hat K) : (a : K) → hat K) x) :
      ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
    ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        ((algebraMap K (hat K) : (a : K) → hat K) y) :
      ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))

Tactic:
have : hv.extensionValuation.restrict (algebraMap K _ x) =
       hv.extensionValuation.restrict (algebraMap _ _ y) := hab