awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S_1 : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S_1
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S_1
G : PreOneHypercover.{?u.358778, v, u} S_1
S : C
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
e : E ≅ F
i j : F.I₀
k : F.I₁ i j
⊢ IsIso (e.inv.h₁ k)

Tactic:
.of_isIso_fac_right (PreOneHypercover.inv_hom_h₁ e k)

Premises used: CategoryTheory.IsIso.of_isIso_fac_right, CategoryTheory.PreOneHypercover.inv_hom_h₁
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
⊢ ∀ (i : E.multicospanShape.L),
    Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.left i) =
      (Hom.mapMulticospan f.hom ⋙ Hom.mapMulticospan f.inv).obj (WalkingMulticospan.left i)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
dsimp :
  WalkingMulticospan.right x =
    WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
        (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
          f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))
⊢ Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x) =
    (Hom.mapMulticospan f.hom ⋙ Hom.mapMulticospan f.inv).obj (WalkingMulticospan.right x)

Tactic:
dsimp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
e_a :
  x =
    Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
      (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
        f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))
⊢ WalkingMulticospan.right x =
    WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
        (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
          f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
⊢ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1 =
    (Sigma.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))).1

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
⊢ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2 =
    (Sigma.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))).2

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
dsimp :
  Eq (α :=
    Quiver.Hom (V := WalkingMulticospan E.multicospanShape)
      (WalkingMulticospan.left x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1)
      (WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))))
    (WalkingMulticospan.Hom.fst x ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫
      WalkingMulticospan.Hom.fst
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))))
⊢ CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x))
      (Functor.map (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.Hom.fst x)) (eqToHom ⋯) =
    eqToHom ⋯ ≫ (Hom.mapMulticospan f.hom ⋙ Hom.mapMulticospan f.inv).map (WalkingMulticospan.Hom.fst x)

Tactic:
dsimp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
w :
  x =
    Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
      (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
        f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))
⊢ Eq (α :=
    Quiver.Hom (V := WalkingMulticospan E.multicospanShape)
      (WalkingMulticospan.left x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1)
      (WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))))
    (WalkingMulticospan.Hom.fst x ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫
      WalkingMulticospan.Hom.fst
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))))

Tactic:
rw [eqToHom_naturality]

Premises used: CategoryTheory.eqToHom_naturality
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
dsimp :
  Eq (α :=
    Quiver.Hom (V := WalkingMulticospan E.multicospanShape)
      (WalkingMulticospan.left x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2)
      (WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))))
    (WalkingMulticospan.Hom.snd x ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫
      WalkingMulticospan.Hom.snd
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))))
⊢ CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x))
      (Functor.map (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.Hom.snd x)) (eqToHom ⋯) =
    eqToHom ⋯ ≫ (Hom.mapMulticospan f.hom ⋙ Hom.mapMulticospan f.inv).map (WalkingMulticospan.Hom.snd x)

Tactic:
dsimp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
w :
  x =
    Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
      (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
        f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))
⊢ Eq (α :=
    Quiver.Hom (V := WalkingMulticospan E.multicospanShape)
      (WalkingMulticospan.left x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2)
      (WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))))
    (WalkingMulticospan.Hom.snd x ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫
      WalkingMulticospan.Hom.snd
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))))

Tactic:
rw [eqToHom_naturality]

Premises used: CategoryTheory.eqToHom_naturality
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
⊢ ∀ (i : F.multicospanShape.L),
    (Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).obj (WalkingMulticospan.left i) =
      Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.left i)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
dsimp :
  WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))) =
    WalkingMulticospan.right x
⊢ (Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).obj (WalkingMulticospan.right x) =
    Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x)

Tactic:
dsimp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
e_a :
  Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x
⊢ WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))) =
    WalkingMulticospan.right x

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
e_a :
  (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
        (a :
            F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
              ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
          F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
      (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
    x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
e_a₁ :
  (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).1 =
    x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1
e_a₂ :
  (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).2 =
    x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x

Tactic:
apply PreOneHypercover.I₁'.ext

Premises used: CategoryTheory.PreOneHypercover.I₁'.ext
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
        (a :
            F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
              ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
          F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
      (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
    x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).1 =
    x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).2 =
    x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
dsimp :
  CategoryStruct.comp (Y :=
      WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
      (WalkingMulticospan.Hom.fst
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
      (eqToHom ⋯) =
    eqToHom ⋯ ≫ WalkingMulticospan.Hom.fst x
⊢ Eq (α :=
    (Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).obj (WalkingMulticospan.left (F.multicospanShape.fst x)) ⟶
      Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x))
    ((Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).map (WalkingMulticospan.Hom.fst x) ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫ Functor.map (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.Hom.fst x))

Tactic:
dsimp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
w :
  Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x
⊢ CategoryStruct.comp (Y :=
      WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
      (WalkingMulticospan.Hom.fst
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
      (eqToHom ⋯) =
    eqToHom ⋯ ≫ WalkingMulticospan.Hom.fst x

Tactic:
rw [eqToHom_naturality]

Premises used: CategoryTheory.eqToHom_naturality
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
w :
  (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
        (a :
            F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
              ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
          F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
      (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
    x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
w₁ :
  (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).1 =
    x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1
w₂ :
  (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).2 =
    x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x

Tactic:
apply PreOneHypercover.I₁'.ext

Premises used: CategoryTheory.PreOneHypercover.I₁'.ext