-- Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.IntegralClosure
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
B : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra R B
inst_5 : Algebra.IsStandardEtale R S
𝓟 : StandardEtalePresentation R S
n : ℕ
𝓟' : StandardEtalePresentation B (B ⊗[R] S) := 𝓟.baseChange
e : B ⊗[R] S ≃ₐ[B]
  Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
    ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) :=
  𝓟'.equivRing.trans 𝓟'.equivAwayAdjoinRoot
a : AdjoinRoot 𝓟'.f
m : ℕ
hx_1 :
  IsIntegral S (A := S ⊗[R] B)
    ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
      ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
        (IsLocalization.mk'
          (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
            ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
          a
          (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
            Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
              (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
              x)
            ((fun (x : ℕ) ↦
                HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                  ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
              m)
            ⋯))))
hx :
  ∀ (m_1 : ℕ),
    IsIntegral R
      (HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] B) (HPow.hPow (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) 𝓟.g : S) (n + m_1))
        ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
          ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
            (IsLocalization.mk'
              (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
              a
              (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
                Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                  (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                    Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                  x)
                ((fun (x : ℕ) ↦
                    HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                      ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
                  m)
                ⋯)))))
hfg : IsIntegral R (A := AdjoinRoot 𝓟'.f) ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f)
heg :
  ∀ (g : R[X]),
    Eq.{u_3 + 1} (α :=
      Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
      ((e : (a : B ⊗[R] S) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g))
          (1 ⊗ₜ[R] (aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) g) :
        Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
          ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
      ((algebraMap (AdjoinRoot 𝓟'.f)
              (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f)) :
            (a : AdjoinRoot 𝓟'.f) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g))
          ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) (Polynomial.map (algebraMap R B) g)) :
        Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
          ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
k : ℕ
hk :
  IsIntegral R
    (HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f) ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) k *
      a)
y : B[X]
hy :
  HMul.hMul (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
      ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) ((derivative : (a : B[X]) → B[X]) 𝓟'.f) : AdjoinRoot 𝓟'.f)
      (HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f) ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) k *
        a) =
    (AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) y
hRy : ∀ (i : ℕ), IsIntegral R (y.coeff i)
h :
  Eq (α := B ⊗[R] S)
    ((AlgEquiv.symm (Algebra.TensorProduct.comm R B S) : (a : S ⊗[R] B) → B ⊗[R] S)
        (HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] B)
          (HMul.hMul (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) 𝓟.f : R[X]) : S)
            (HPow.hPow (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) 𝓟.g : S) k *
              HPow.hPow (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) 𝓟.g : S) m))
          ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
            ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
              (IsLocalization.mk'
                (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                  ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
                a
                (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
                  Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                    (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                      Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                    x)
                  ((fun (x : ℕ) ↦
                      HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
                    m)
                  ⋯))))) :
      B ⊗[R] S)
    ((AlgEquiv.symm (Algebra.TensorProduct.comm R B S) : (a : S ⊗[R] B) → B ⊗[R] S)
        ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
          ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
            ((algebraMap (AdjoinRoot 𝓟'.f)
                  (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                    ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f)) :
                (a : AdjoinRoot 𝓟'.f) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g))
              (HMul.hMul (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) ((derivative : (a : B[X]) → B[X]) 𝓟'.f) :
                  AdjoinRoot 𝓟'.f)
                (HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                    ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) k *
                  a))))) :
      B ⊗[R] S)
⊢ HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] B)
      (HMul.hMul (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) 𝓟.f : R[X]) : S)
        (HPow.hPow (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) 𝓟.g : S) k *
          HPow.hPow (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) 𝓟.g : S) m))
      ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
        ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
          (IsLocalization.mk'
            (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
              ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
            a
            (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
              Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                  Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                x)
              ((fun (x : ℕ) ↦
                  HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                    ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
                m)
              ⋯)))) =
    (Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
      ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
        ((algebraMap (AdjoinRoot 𝓟'.f)
              (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f)) :
            (a : AdjoinRoot 𝓟'.f) → Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g))
          (HMul.hMul (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
            ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) ((derivative : (a : B[X]) → B[X]) 𝓟'.f) :
              AdjoinRoot 𝓟'.f)
            (HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) k *
              a))))

Tactic:
apply (Algebra.TensorProduct.comm R B S).symm.injective

Premises used: AlgEquiv.symm, Algebra.TensorProduct.comm, AlgEquiv.injective