awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this_1 : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
this :
  ∀ j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ∀ k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ) < ε
j : ℕ
ij : j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
⊢ HSub.hSub (α := ℚ) ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) ⌈ε⁻¹⌉₊)
      ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) j) <
    ε

Tactic:
this _ le_rfl _ ij

Premises used: le_rfl
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this_1 : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
this :
  ∀ j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ∀ k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ) < ε
j : ℕ
ij : j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
⊢ HSub.hSub (α := ℚ) ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) ⌈ε⁻¹⌉₊)
      ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) j) <
    ε

Tactic:
exact this _ le_rfl _ ij

Premises used: le_rfl
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
suffices :
  ∀ j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ∀ k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ) < ε
⊢ ∃ (i : ℕ),
    ∀ j ≥ i,
      |HSub.hSub (α := ℚ) ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) j)
            ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) i)| <
        ε

Tactic:
suffices ∀ j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ∀ k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, (f j / j - f k / k : ℚ) < ε by
      refine ⟨_, fun j ij => abs_lt.2 ⟨?_, this _ ij _ le_rfl⟩⟩
      rw [neg_lt, neg_sub]
      exact this _ le_rfl _ ij
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j : ℕ
ij : j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
k : ℕ
ik : k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
⊢ ε⁻¹ ≤ (↑j : ℚ)

Tactic:
replace ij := le_trans (Nat.le_ceil _) (Nat.cast_le.2 ij)
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ik : k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
ij : ε⁻¹ ≤ (↑j : ℚ)
⊢ ε⁻¹ ≤ (↑k : ℚ)

Tactic:
replace ik := le_trans (Nat.le_ceil _) (Nat.cast_le.2 ik)
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ij : ε⁻¹ ≤ (↑j : ℚ)
ik : ε⁻¹ ≤ (↑k : ℚ)
⊢ 0 < j

Tactic:
have j0 := Nat.cast_pos.1 ((inv_pos.2 ε0).trans_le ij)
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ij : ε⁻¹ ≤ (↑j : ℚ)
ik : ε⁻¹ ≤ (↑k : ℚ)
j0 : 0 < j
⊢ 0 < k

Tactic:
have k0 := Nat.cast_pos.1 ((inv_pos.2 ε0).trans_le ik)
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ij : ε⁻¹ ≤ (↑j : ℚ)
ik : ε⁻¹ ≤ (↑k : ℚ)
j0 : 0 < j
k0 : 0 < k
rcases :
  ∀ (y : ℝ) (yS : y ∈ s) (hy : (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ)) : ℝ) ≤ y),
    HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ) < ε
⊢ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ) < ε

Tactic:
rcases hf₁ _ j0 with ⟨y, yS, hy⟩
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ij : ε⁻¹ ≤ (↑j : ℚ)
ik : ε⁻¹ ≤ (↑k : ℚ)
j0 : 0 < j
k0 : 0 < k
y : ℝ
yS : y ∈ s
hy : (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ)) : ℝ) ≤ y
⊢ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ) < ε

Tactic:
lt_of_lt_of_le ((Rat.cast_lt (K := ℝ)).1 ?_) ((inv_le_comm₀ ε0 (Nat.cast_pos.2 k0)).1 ik)

Premises used: Iff.mpr, Nat.cast_pos, Rat.cast_lt, inv_le_comm₀, Iff.mp, lt_of_lt_of_le
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ij : ε⁻¹ ≤ (↑j : ℚ)
ik : ε⁻¹ ≤ (↑k : ℚ)
j0 : 0 < j
k0 : 0 < k
y : ℝ
yS : y ∈ s
hy : (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ)) : ℝ) ≤ y
refine :
  LT.lt (α := ℝ) (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ)) : ℝ)
    (↑(↑k : ℚ)⁻¹ : ℝ)
⊢ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ) < ε

Tactic:
refine lt_of_lt_of_le ((Rat.cast_lt (K := ℝ)).1 ?_) ((inv_le_comm₀ ε0 (Nat.cast_pos.2 k0)).1 ik)

Premises used: Iff.mpr, Nat.cast_pos, Rat.cast_lt, inv_le_comm₀, Iff.mp, lt_of_lt_of_le
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ij : ε⁻¹ ≤ (↑j : ℚ)
ik : ε⁻¹ ≤ (↑k : ℚ)
j0 : 0 < j
k0 : 0 < k
y : ℝ
yS : y ∈ s
hy : (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ)) : ℝ) ≤ y
⊢ LT.lt (α := ℝ) (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f j) : ℚ) (↑j : ℚ) - HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f k) : ℚ) (↑k : ℚ)) : ℝ)
    (↑(↑k : ℚ)⁻¹ : ℝ)

Tactic:
simpa using sub_lt_iff_lt_add'.2 (lt_of_le_of_lt hy <| sub_lt_iff_lt_add.1 <| hf₂ _ k0 _ yS)

Premises used: Iff.mpr, lt_of_le_of_lt, sub_lt_iff_lt_add', Iff.mp, sub_lt_iff_lt_add
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
⊢ IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)

Tactic:
have hg : IsCauSeq abs (fun n => f n / n : ℕ → ℚ) := by
    intro ε ε0
    suffices ∀ j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ∀ k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, (f j / j - f k / k : ℚ) < ε by
      refine ⟨_, fun j ij => abs_lt.2 ⟨?_, this _ ij _ le_rfl⟩⟩
      rw [neg_lt, neg_sub]
      exact this _ le_rfl _ ij
    intro j ij k ik
    replace ij := le_trans (Nat.le_ceil _) (Nat.cast_le.2 ij)
    replace ik := le_trans (Nat.le_ceil _) (Nat.cast_le.2 ik)
    have j0 := Nat.cast_pos.1 ((inv_pos.2 ε0).trans_le ij)
    have k0 := Nat.cast_pos.1 ((inv_pos.2 ε0).trans_le ik)
    rcases hf₁ _ j0 with ⟨y, yS, hy⟩
    refine lt_of_lt_of_le ((Rat.cast_lt (K := ℝ)).1 ?_) ((inv_le_comm₀ ε0 (Nat.cast_pos.2 k0)).1 ik)
    simpa using sub_lt_iff_lt_add'.2 (lt_of_le_of_lt hy <| sub_lt_iff_lt_add.1 <| hf₂ _ k0 _ yS)
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
⊢ ∃ (x : ℝ), IsLUB s x

Tactic:
⟨mk g, ⟨fun x xS => ?_, fun y h => ?_⟩⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, Real.mk
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
refine_1 : ∀ (x : ℝ) (xS : x ∈ s), x ≤ mk g
refine_2 : ∀ (y : ℝ) (h : y ∈ upperBounds s), mk g ≤ y
⊢ ∃ (x : ℝ), IsLUB s x

Tactic:
refine ⟨mk g, ⟨fun x xS => ?_, fun y h => ?_⟩⟩
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
⊢ x ≤ mk g

Tactic:
le_of_forall_lt_imp_le_of_dense fun z xz => ?_

Premises used: le_of_forall_lt_imp_le_of_dense
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
refine_1 : ∀ (z : ℝ) (xz : z < x), z ≤ mk g
⊢ x ≤ mk g

Tactic:
refine le_of_forall_lt_imp_le_of_dense fun z xz => ?_

Premises used: le_of_forall_lt_imp_le_of_dense
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
xz : z < x
refine_1 : ∀ (K : ℕ) (hK : (x - z)⁻¹ < (↑K : ℝ)), z ≤ mk g
⊢ z ≤ mk g

Tactic:
obtain ⟨K, hK⟩ := exists_nat_gt (x - z)⁻¹

Premises used: HSub.hSub, Inv.inv, exists_nat_gt
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
xz : z < x
K : ℕ
hK : (x - z)⁻¹ < (↑K : ℝ)
⊢ z ≤ mk g

Tactic:
le_mk_of_forall_le ⟨K, fun n nK => ?_⟩

Premises used: Real.le_mk_of_forall_le, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
xz : z < x
K : ℕ
hK : (x - z)⁻¹ < (↑K : ℝ)
refine_1 : ∀ (n : ℕ) (nK : n ≥ K), z ≤ (↑((↑g : ℕ → ℚ) n) : ℝ)
⊢ z ≤ mk g

Tactic:
refine le_mk_of_forall_le ⟨K, fun n nK => ?_⟩

Premises used: Real.le_mk_of_forall_le, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
xz : z < x
K : ℕ
hK : (x - z)⁻¹ < (↑K : ℝ)
n : ℕ
nK : n ≥ K
⊢ 0 < x - z

Tactic:
replace xz := sub_pos.2 xz
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
K : ℕ
hK : (x - z)⁻¹ < (↑K : ℝ)
n : ℕ
nK : n ≥ K
xz : 0 < x - z
⊢ (x - z)⁻¹ ≤ (↑n : ℝ)

Tactic:
replace hK := hK.le.trans (Nat.cast_le.2 nK)
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
K n : ℕ
nK : n ≥ K
xz : 0 < x - z
hK : (x - z)⁻¹ ≤ (↑n : ℝ)
⊢ 0 < n

Tactic:
have n0 : 0 < n := Nat.cast_pos.1 ((inv_pos.2 xz).trans_le hK)
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
K n : ℕ
nK : n ≥ K
xz : 0 < x - z
hK : (x - z)⁻¹ ≤ (↑n : ℝ)
n0 : 0 < n
⊢ z ≤ (↑((↑g : ℕ → ℚ) n) : ℝ)

Tactic:
le_trans ?_ (hf₂ _ n0 _ xS).le

Premises used: LT.lt.le, le_trans
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
K n : ℕ
nK : n ≥ K
xz : 0 < x - z
hK : (x - z)⁻¹ ≤ (↑n : ℝ)
n0 : 0 < n
refine_1 : z ≤ x - (↑n : ℝ)⁻¹
⊢ z ≤ (↑((↑g : ℕ → ℚ) n) : ℝ)

Tactic:
refine le_trans ?_ (hf₂ _ n0 _ xS).le

Premises used: LT.lt.le, le_trans
-- Module: Mathlib.Data.Real.Archimedean
Goal:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove (α := ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)}
f : (d : ℕ) → ℤ
hf :
  ∀ (d : ℕ),
    Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} (f d) ∧
      ∀ (z : ℤ), Membership.mem (γ := Set ℤ) {m : ℤ | ∃ y ∈ s, (↑m : ℝ) ≤ y * (↑d : ℝ)} z → z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n : ℝ)⁻¹ < (↑(HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) : ℝ)
hg : IsCauSeq (α := ℚ) abs fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)
g : CauSeq ℚ abs :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ℕ → ℚ) ↦ IsCauSeq abs f) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℚ) (↑(f n) : ℚ) (↑n : ℚ)) hg
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
K n : ℕ
nK : n ≥ K
xz : 0 < x - z
hK : (x - z)⁻¹ ≤ (↑n : ℝ)
n0 : 0 < n
refine_1 : (↑n : ℝ)⁻¹ ≤ x - z
refine_1₁ refine_1₂ refine_1₃ refine_1₄ : (x - z)⁻¹ ≤ (↑n : ℝ)
⊢ z ≤ x - (↑n : ℝ)⁻¹

Tactic:
rwa [le_sub_comm, inv_le_comm₀ (Nat.cast_pos.2 n0 : (_ : ℝ) < _) xz]

Premises used: Iff.mpr, Nat.cast_pos, inv_le_comm₀, le_sub_comm