-- Module: Mathlib.Algebra.Category.Ring.Constructions
Goal:
A B : CommRingCat
s : BinaryCofan A B
m : (↑A : Type u) ⊗[ℤ] (↑B : Type u) →+* (↑s.pt : Type u)
hm : ∀ (j : Discrete WalkingPair), (A.coproductCocone B).ι.app j ≫ { hom' := m } = s.ι.app j
hf :
  Eq (α :=
    { fg : ((↑A : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) × ((↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) //
      ∀ (x : (↑A : Type u)) (y : (↑B : Type u)),
        Commute (S := (↑s.pt : Type u)) ((fg.1 : (a : (↑A : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) x : (↑s.pt : Type u))
          ((fg.2 : (a : (↑B : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) y : (↑s.pt : Type u)) })
    (((Equiv.symm Algebra.TensorProduct.liftEquiv :
            ((↑A : Type u) ⊗[ℤ] (↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) ≃
              { fg : ((↑A : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) × ((↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) //
                ∀ (x : (↑A : Type u)) (y : (↑B : Type u)),
                  Commute (S := (↑s.pt : Type u)) ((fg.1 : (a : (↑A : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) x : (↑s.pt : Type u))
                    ((fg.2 : (a : (↑B : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) y : (↑s.pt : Type u)) }) :
          (a : (↑A : Type u) ⊗[ℤ] (↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) →
            { fg : ((↑A : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) × ((↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) //
              ∀ (x : (↑A : Type u)) (y : (↑B : Type u)),
                Commute ((fg.1 : (a : (↑A : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) x)
                  ((fg.2 : (a : (↑B : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) y) })
        (RingHom.toIntAlgHom (Hom.hom { hom' := m })) :
      { fg : ((↑A : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) × ((↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) //
        ∀ (x : (↑A : Type u)) (y : (↑B : Type u)),
          Commute (S := (↑s.pt : Type u)) ((fg.1 : (a : (↑A : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) x : (↑s.pt : Type u))
            ((fg.2 : (a : (↑B : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) y : (↑s.pt : Type u)) })
    (((Equiv.symm Algebra.TensorProduct.liftEquiv :
            ((↑A : Type u) ⊗[ℤ] (↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) ≃
              { fg : ((↑A : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) × ((↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) //
                ∀ (x : (↑A : Type u)) (y : (↑B : Type u)),
                  Commute (S := (↑s.pt : Type u)) ((fg.1 : (a : (↑A : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) x : (↑s.pt : Type u))
                    ((fg.2 : (a : (↑B : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) y : (↑s.pt : Type u)) }) :
          (a : (↑A : Type u) ⊗[ℤ] (↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) →
            { fg : ((↑A : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) × ((↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) //
              ∀ (x : (↑A : Type u)) (y : (↑B : Type u)),
                Commute ((fg.1 : (a : (↑A : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) x)
                  ((fg.2 : (a : (↑B : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) y) })
        (Hom.hom
            (ofHom
              (AlgHom.toRingHom
                (Algebra.TensorProduct.lift (Hom.hom s.inl).toIntAlgHom (Hom.hom s.inr).toIntAlgHom ⋯ :
                  (↑(Functor.obj (pair A B) { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) : Type u) ⊗[ℤ]
                      (↑(Functor.obj (pair A B) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) : Type u) →ₐ[ℤ]
                    (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const (Discrete WalkingPair)) s.pt)
                          { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) :
                      Type u))))).toIntAlgHom :
      { fg : ((↑A : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) × ((↑B : Type u) →ₐ[ℤ] (↑s.pt : Type u)) //
        ∀ (x : (↑A : Type u)) (y : (↑B : Type u)),
          Commute (S := (↑s.pt : Type u)) ((fg.1 : (a : (↑A : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) x : (↑s.pt : Type u))
            ((fg.2 : (a : (↑B : Type u)) → (↑s.pt : Type u)) y : (↑s.pt : Type u)) })
⊢ RingHom.toIntAlgHom (Hom.hom { hom' := m }) =
    (Hom.hom
        (ofHom
          (AlgHom.toRingHom
            (Algebra.TensorProduct.lift (Hom.hom s.inl).toIntAlgHom (Hom.hom s.inr).toIntAlgHom ⋯ :
              (↑(Functor.obj (pair A B) { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) : Type u) ⊗[ℤ]
                  (↑(Functor.obj (pair A B) { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) : Type u) →ₐ[ℤ]
                (↑(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const (Discrete WalkingPair)) s.pt)
                      { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) :
                  Type u))))).toIntAlgHom

Tactic:
apply Algebra.TensorProduct.liftEquiv.symm.injective

Premises used: Equiv.injective, Algebra.TensorProduct.liftEquiv, Equiv.symm