awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
n : ℕ
simp :
  LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
    (Submodule.span R
      ((fun (a : V) ↦ ⁅z, a⁆) ''
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x}))
    (Submodule.span R
      {x : V |
        ∃ i < n + 1,
          (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                  (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                    Module.End R V)
                  i :
                (a : V) → V)
              v =
            x})
⊢ LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
    (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
      (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
    ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))

Tactic:
simp only [OrderHom.coe_mk, Submodule.map_span, toEnd_apply_apply, U']

Premises used: OrderHom.coe_mk, LieModule.toEnd_apply_apply, Submodule.map_span
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
n : ℕ
h :
  Subset.{u_4} (α := Set V)
    ((fun (a : V) ↦ ⁅z, a⁆) ''
      {x : V |
        ∃ i < n,
          (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                  (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                    Module.End R V)
                  i :
                (a : V) → V)
              v =
            x})
    {x : V |
      ∃ i < n + 1,
        (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                i :
              (a : V) → V)
            v =
          x}
⊢ LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
    (Submodule.span R
      ((fun (a : V) ↦ ⁅z, a⁆) ''
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x}))
    (Submodule.span R
      {x : V |
        ∃ i < n + 1,
          (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                  (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                    Module.End R V)
                  i :
                (a : V) → V)
              v =
            x})

Tactic:
apply Submodule.span_mono

Premises used: Submodule.span_mono
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
n : ℕ
this :
  ∀ a < n,
    ∃ b < n + 1,
      Eq (α := V)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                b :
              (a : V) → V)
            v :
          V)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                (a + 1) :
              (a : V) → V)
            v :
          V)
⊢ Subset.{u_4} (α := Set V)
    ((fun (a : V) ↦ ⁅z, a⁆) ''
      {x : V |
        ∃ i < n,
          (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                  (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                    Module.End R V)
                  i :
                (a : V) → V)
              v =
            x})
    {x : V |
      ∃ i < n + 1,
        (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                i :
              (a : V) → V)
            v =
          x}

Tactic:
simpa [pow_succ']

Premises used: pow_succ'
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
n : ℕ
h :
  ∀ a < n,
    ∃ b < n + 1,
      Eq (α := V)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                b :
              (a : V) → V)
            v :
          V)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                (a + 1) :
              (a : V) → V)
            v :
          V)
⊢ Subset.{u_4} (α := Set V)
    ((fun (a : V) ↦ ⁅z, a⁆) ''
      {x : V |
        ∃ i < n,
          (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                  (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                    Module.End R V)
                  i :
                (a : V) → V)
              v =
            x})
    {x : V |
      ∃ i < n + 1,
        (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                i :
              (a : V) → V)
            v =
          x}

Tactic:
suffices ∀ a < n, ∃ b < n + 1, ((π z) ^ b) v = ((π z) ^ (a + 1)) v by simpa [pow_succ']
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
n : ℕ
⊢ ∀ a < n,
    ∃ b < n + 1,
      Eq (α := V)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                b :
              (a : V) → V)
            v :
          V)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                (a + 1) :
              (a : V) → V)
            v :
          V)

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
⊢ ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))

Tactic:
have map_U'_le (n : ℕ) : Submodule.map (π z) (U' n) ≤ U' (n + 1) := by
    simp only [OrderHom.coe_mk, Submodule.map_span, toEnd_apply_apply, U']
    apply Submodule.span_mono
    suffices ∀ a < n, ∃ b < n + 1, ((π z) ^ b) v = ((π z) ^ (a + 1)) v by simpa [pow_succ']
    aesop
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
w : A
n : ℕ
simp :
  Subset (α := Set V)
    {x : V |
      ∃ i < n + 1,
        (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                i :
              (a : V) → V)
            v =
          x}
    ((⇑(T χ w) : (a : V) → V) ⁻¹'
      (↑(Submodule.span R
            {x : V |
              ∃ i < n,
                (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                          Module.End R V)
                        i :
                      (a : V) → V)
                    v =
                  x}) :
        Set V))
⊢ LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
    ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)

Tactic:
simp only [OrderHom.coe_mk, U', Submodule.map_span, Submodule.span_le, Set.image_subset_iff]

Premises used: OrderHom.coe_mk, Set.image_subset_iff, Submodule.map_span, Submodule.span_le
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
w : A
n : ℕ
simp :
  ∀ a < n + 1,
    Membership.mem (α := V) (γ := Submodule R V)
      (Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x})
      ((T χ w : (a : V) → V)
          ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                  (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                    Module.End R V)
                  a :
                (a : V) → V)
              v :
            V) :
        V)
⊢ Subset (α := Set V)
    {x : V |
      ∃ i < n + 1,
        (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                  Module.End R V)
                i :
              (a : V) → V)
            v =
          x}
    ((⇑(T χ w) : (a : V) → V) ⁻¹'
      (↑(Submodule.span R
            {x : V |
              ∃ i < n,
                (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                          Module.End R V)
                        i :
                      (a : V) → V)
                    v =
                  x}) :
        Set V))

Tactic:
simp only [Set.subset_def, Set.mem_setOf_eq, Set.mem_preimage, SetLike.mem_coe,
      forall_exists_index, and_imp, forall_apply_eq_imp_iff₂]

Premises used: Set.subset_def, and_imp, forall_exists_index, Set.mem_setOf_eq, SetLike.mem_coe, forall_apply_eq_imp_iff₂, Set.mem_preimage
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
w : A
⊢ ∀ a < HAdd.hAdd (α := ℕ) 0 1,
    Membership.mem (α := V) (γ := Submodule R V)
      (Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < 0,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x})
      ((T χ w : (a : V) → V)
          ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                  (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                    Module.End R V)
                  a :
                (a : V) → V)
              v :
            V) :
        V)

Tactic:
simp only [zero_add, Nat.lt_one_iff, LinearMap.sub_apply, LieModule.toEnd_apply_apply,
        LinearMap.smul_apply, Module.End.one_apply, forall_eq, pow_zero, hv w, sub_self, zero_mem]

Premises used: sub_self, LinearMap.smul_apply, forall_eq, zero_add, pow_zero, Module.End.one_apply, LieModule.toEnd_apply_apply, Nat.lt_one_iff, LinearMap.sub_apply, ZeroMemClass.zero_mem
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
n : ℕ
hn :
  ∀ (w : A),
    ∀ a < n + 1,
      Membership.mem (α := V) (γ := Submodule R V)
        (Submodule.span R
          {x : V |
            ∃ i < n,
              (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                      (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                        Module.End R V)
                      i :
                    (a : V) → V)
                  v =
                x})
        ((T χ w : (a : V) → V)
            ((HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    a :
                  (a : V) → V)
                v :
              V) :
          V)
w : A
m : ℕ
hm : m < n + 1 + 1
⊢ m < n + 1 ∨ m = n + 1

Tactic:
lia