awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
rwa : -(↑s : ℂ).re < -1
rwa₁ : -s < -1
rwa₂ rwa₃ rwa₄ rwa₅ : 1 < s
⊢ (-(↑s : ℂ)).re < -1

Tactic:
rwa [neg_re, ofReal_re, neg_lt_neg_iff]

Premises used: neg_lt_neg_iff, Complex.neg_re, Complex.ofReal_re
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ @Integrable ℂ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (fun (t : ℝ) ↦ l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)))
    (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1))

Tactic:
exact (integrableOn_Ioi_cpow_of_lt
          (by rwa [neg_re, ofReal_re, neg_lt_neg_iff]) zero_lt_one).const_mul _

Premises used: MeasureTheory.Integrable.const_mul, zero_lt_one, integrableOn_Ioi_cpow_of_lt
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
e_a :
  Eq (α := ℂ)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      S t * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)))
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1))
⊢ ‖((↑s : ℂ) - 1) * (↑s : ℂ) *
        @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
          S t * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))‖ =
    ‖((↑s : ℂ) - 1) * (↑s : ℂ) *
        @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
          (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖

Tactic:
congr 2
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ Eq (α := ℂ)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      S t * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)))
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1))

Tactic:
setIntegral_congr_fun measurableSet_Ioi fun t ht ↦ ?_

Premises used: measurableSet_Ioi, MeasureTheory.setIntegral_congr_fun
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
e_a :
  ∀ (t : ℝ) (ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioi 1) t),
    S t * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) = (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)
⊢ Eq (α := ℂ)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      S t * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)))
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1))

Tactic:
refine setIntegral_congr_fun measurableSet_Ioi fun t ht ↦ ?_

Premises used: measurableSet_Ioi, MeasureTheory.setIntegral_congr_fun
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Ioi 1) t
⊢ (↑t : ℂ) ≠ 0

Tactic:
replace ht : (t : ℂ) ≠ 0 := ne_zero_of_one_lt_re ht
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
t : ℝ
ht : (↑t : ℂ) ≠ 0
e_a :
  S t * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) =
    S t * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1) - l * (↑t : ℂ) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)
e_a₁ :
  S t * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / HPow.hPow (β := ℂ) (↑t : ℂ) 1) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) =
    S t * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / HPow.hPow (β := ℂ) (↑t : ℂ) 1) -
      l * (↑t : ℂ) * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / HPow.hPow (β := ℂ) (↑t : ℂ) 1)
e_a₂ :
  S t * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / (↑t : ℂ)) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) =
    S t * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / (↑t : ℂ)) - l * (↑t : ℂ) * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / (↑t : ℂ))
e_a₃ :
  S t * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / (↑t : ℂ)) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) =
    S t * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / (↑t : ℂ)) - l * ((↑t : ℂ) * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / (↑t : ℂ)))
e_a₄ e_a₅ :
  S t * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / (↑t : ℂ)) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) =
    S t * ((↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) / (↑t : ℂ)) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))
⊢ S t * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1) - l * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ)) = (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)

Tactic:
rw [sub_mul, cpow_sub _ _ ht, cpow_one, mul_assoc, mul_div_cancel₀ _ ht]

Premises used: mul_assoc, Complex.cpow_sub, mul_div_cancel₀, sub_mul, Complex.cpow_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ ((↑s : ℂ) - 1) * (↑s : ℂ) = (↑((s - 1) * s) : ℂ)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
rw :
  (s - 1) * s *
      norm (E := ℂ)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
          (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)) ≤
    (s - 1) * s *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        ‖(S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖
⊢ ‖((↑s : ℂ) - 1) * (↑s : ℂ) *
        @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
          (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖ ≤
    (s - 1) * s *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        ‖(S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖

Tactic:
rw [norm_mul, show ((s : ℂ) - 1) * s = ((s - 1) * s : ℝ) by simp, norm_real,
        Real.norm_of_nonneg hs']

Premises used: norm_mul, Complex.norm_real, Real.norm_of_nonneg
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ (s - 1) * s *
      norm (E := ℂ)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
          (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)) ≤
    (s - 1) * s *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        ‖(S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖

Tactic:
mul_le_mul_of_nonneg_left (norm_integral_le_integral_norm _) hs'

Premises used: MeasureTheory.norm_integral_le_integral_norm, mul_le_mul_of_nonneg_left
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ (s - 1) * s *
      norm (E := ℂ)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
          (S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)) ≤
    (s - 1) * s *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        ‖(S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖

Tactic:
exact mul_le_mul_of_nonneg_left (norm_integral_le_integral_norm _) hs'

Premises used: MeasureTheory.norm_integral_le_integral_norm, mul_le_mul_of_nonneg_left
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
e_a :
  Eq (α := ℝ)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      ‖(S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
⊢ ((s - 1) * s *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        ‖(S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖) =
    (s - 1) * s *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff
Goal:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℂ)) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f (↑s : ℂ)
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : 1 ≤ T
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * (↑y : ℂ)‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun (t : ℝ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (ε := ℂ) (fun (t : ℝ) ↦ S t - l * (↑t : ℂ)) (Set.Ici 1) volume
h₁ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace) (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))
    (Set.Ici 1) volume
h₂ :
  IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (t : ℝ) ↦ ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ HSub.hSub (α := ℝ) (-1) 1) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ :
  (((↑s : ℂ) - 1) *
      @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
        (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ))) =
    1
Cs : ℝ :=
  @integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioc 1 T)) fun (t : ℝ) ↦
    ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ Eq (α := ℝ)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      ‖(S t - l * (↑t : ℂ)) * (↑t : ℂ) ^ (-(↑s : ℂ) - 1)‖)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Ioi 1)) fun (t : ℝ) ↦
      ‖S t - l * (↑t : ℂ)‖ * t ^ (-s - 1))

Tactic:
setIntegral_congr_fun measurableSet_Ioi fun t ht ↦ ?_

Premises used: measurableSet_Ioi, MeasureTheory.setIntegral_congr_fun