awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x

Tactic:
3

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ ∀ (I : Ideal R),
    Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
      (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)

Tactic:
2

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)

Tactic:
3 ↔ 2

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)

Tactic:
tfae_have 3 ↔ 2 := forall_vanishesTrivially_iff_forall_rTensor_injective R

Premises used: TensorProduct.forall_vanishesTrivially_iff_forall_rTensor_injective
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x

Tactic:
3

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x

Tactic:
4

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x

Tactic:
3 ↔ 4

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x

Tactic:
simp [(TensorProduct.lid R M).injective.eq_iff.symm, isTrivialRelation_iff_vanishesTrivially]

Premises used: Function.Injective.eq_iff, Module.isTrivialRelation_iff_vanishesTrivially, TensorProduct.lid, LinearEquiv.injective, Iff.symm
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
⊢ (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x

Tactic:
tfae_have 3 ↔ 4 := by
    simp [(TensorProduct.lid R M).injective.eq_iff.symm, isTrivialRelation_iff_vanishesTrivially]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
⊢ ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x

Tactic:
4

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
⊢ ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
5

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
⊢ ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
4 → 5

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
simp_rw :
  Eq.{u_2 + 1} (α := M)
    (∑ i : Fin l,
      HSMul.hSMul (α := R) (β := M) ((f : (a : Fin l) → R) i : R) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1) : M))
    (∑ x_1 : Fin l,
      (x : (a : Fin l →₀ R) → M)
        (HSMul.hSMul (α := R) (β := Fin l →₀ R) ((f : (a : Fin l) → R) x_1 : R) (Finsupp.single x_1 1)))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := M)
    (∑ i : Fin l,
        HSMul.hSMul (α := R) (β := M) ((f : (a : Fin l) → R) i : R)
          ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1) : M) :
      M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M)
        (∑ i : Fin l, HSMul.hSMul (α := R) (β := Fin l →₀ R) ((f : (a : Fin l) → R) i : R) (Finsupp.single i 1)) :
      M)

Tactic:
simp_rw [map_sum, map_smul]

Premises used: map_sum, map_smul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
simp_rw :
  Eq.{u_2 + 1} (α := M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M)
        (∑ x : Fin l, Finsupp.single x (HSMul.hSMul (α := R) (β := R) ((f : (a : Fin l) → R) x : R) 1)) :
      M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M)
simp_rw₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M)
        (∑ x : Fin l, Finsupp.single x (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((f : (a : Fin l) → R) x : R) (1 : R))) :
      M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M)
simp_rw₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) (∑ x : Fin l, Finsupp.single x ((f : (a : Fin l) → R) x)) : M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M)
        (∑ i : Fin l, HSMul.hSMul (α := R) (β := Fin l →₀ R) ((f : (a : Fin l) → R) i : R) (Finsupp.single i 1)) :
      M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M)

Tactic:
simp_rw [smul_single, smul_eq_mul, mul_one, univ_sum_single]

Premises used: Finsupp.univ_sum_single, smul_eq_mul, mul_one, Finsupp.smul_single
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0

Tactic:
have := calc
      ∑ i, f' i • x' i
      _ = ∑ i, f i • x (single i 1) := rfl
      _ = x (∑ i, f i • Finsupp.single i 1) := by simp_rw [map_sum, map_smul]
      _ = x f := by simp_rw [smul_single, smul_eq_mul, mul_one, univ_sum_single]
      _ = 0 := hfx
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
obtain :
  ∀ (k : ℕ) (a' : Fin l → Fin k → R) (y' : Fin k → M) (ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j)
    (ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0),
    ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
      x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
⊢ ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
    x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
obtain ⟨k, a', y', ⟨ha'y', ha'⟩⟩ := h₄ this
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
h :
  ∃ (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
    x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
⊢ ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
    x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
use k
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
h :
  ∃ (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
    (x =
        y ∘ₗ
          linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)) ∧
      Eq (α := Fin k →₀ R)
        ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
              (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
            f :
          Fin k →₀ R)
        (0 : Fin k →₀ R)
⊢ ∃ (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
    x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
use Finsupp.linearCombination R (fun i ↦ equivFunOnFinite.symm (a' i))

Premises used: Finsupp.equivFunOnFinite, Equiv.symm, Finsupp.linearCombination, DFunLike.coe