-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.AffineTransitionLimit
Goal:
I : Type u
inst : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst_1 : IsCofiltered I
inst_2 : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
s : (↑Γ(c.pt, ⊤) : Type u)
inst_3 : ∀ (i : I), CompactSpace.{u} ↥(D.obj i)
inst_4 : ∀ (i : I), QuasiSeparatedSpace.{u} ↥(D.obj i)
this : CompactSpace.{u} ↥c.pt
i : (x : ↥c.pt) → I
U : (x : ↥c.pt) → (D.obj (i x)).Opens
hU : ∀ (x : ↥c.pt), IsAffineOpen (U x)
hxU : ∀ (x : ↥c.pt), Membership.mem (α := ↥(D.obj (i x))) (U x) ((c.π.app (i x)) x : ↥(D.obj (i x)))
t : (x : ↥c.pt) → (↑Γ(D.obj (i x), U x) : Type u)
ht :
  ∀ (x : ↥c.pt),
    Eq (α := (↑Γ(c.pt, c.π.app (i x) ⁻¹ᵁ U x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := Γ(c.pt, c.π.app (i x) ⁻¹ᵁ U x)) (Scheme.Hom.app (c.π.app (i x)) (U x)) :
            (a : (↑Γ(D.obj (i x), U x) : Type u)) → (↑Γ(c.pt, c.π.app (i x) ⁻¹ᵁ U x) : Type u))
          (t x) :
        (↑Γ(c.pt, c.π.app (i x) ⁻¹ᵁ U x) : Type u))
      (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) s (c.π.app (i x) ⁻¹ᵁ U x) ⋯ :
        ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
          (c.pt.presheaf.obj (Opposite.op (c.π.app (i x) ⁻¹ᵁ U x))))
j : (x y : ↥c.pt) → I
fjx : (x y : ↥c.pt) → j x y ⟶ i x
fjy : (x y : ↥c.pt) → j x y ⟶ i y
hj :
  ∀ (x y : ↥c.pt),
    Eq (α :=
      ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
        ((D.obj (j x y)).presheaf.obj (Opposite.op (D.map (fjx x y) ⁻¹ᵁ U x ⊓ D.map (fjy x y) ⁻¹ᵁ U y))))
      (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X := Γ(D.obj (i x), U x)) (Scheme.Hom.app (D.map (fjx x y)) (U x)) :
            (a : (↑Γ(D.obj (i x), U x) : Type u)) → (↑Γ(D.obj (j x y), D.map (fjx x y) ⁻¹ᵁ U x) : Type u))
          (t x))
        (D.map (fjx x y) ⁻¹ᵁ U x ⊓ D.map (fjy x y) ⁻¹ᵁ U y) ⋯)
      (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X := Γ(D.obj (i y), U y)) (Scheme.Hom.app (D.map (fjy x y)) (U y)) :
            (a : (↑Γ(D.obj (i y), U y) : Type u)) → (↑Γ(D.obj (j x y), D.map (fjy x y) ⁻¹ᵁ U y) : Type u))
          (t y))
        (D.map (fjx x y) ⁻¹ᵁ U x ⊓ D.map (fjy x y) ⁻¹ᵁ U y) ⋯)
σ : Finset ↥c.pt
hσ : Eq.{u + 1} (α := Set ↥c.pt) (⋃ x ∈ σ, (c.π.app (i x) ⁻¹ᵁ U x).carrier) ⊤
σi : (x : ↥c.pt) → ↥c.pt
hσiσ : ∀ (x : ↥c.pt), σi x ∈ σ
hσi :
  ∀ (x : ↥c.pt),
    Membership.mem (γ := Set ↥c.pt)
      (TopologicalSpace.Opens.carrier (c.π.app (i (σi x)) ⁻¹ᵁ U (σi x)) :
        Set ↥(Functor.obj (Functor.obj (Functor.const I) c.pt) (i (σi x))))
      x
S : Finset I := Finset.image i σ ∪ Finset.image₂ j σ σ
hiS : ∀ {x : ↥c.pt} (hx : x ∈ σ), i x ∈ S
hjS : ∀ {x y : ↥c.pt} (hx : x ∈ σ) (hy : y ∈ σ), j x y ∈ S
k : I
fk : {X : I} → X ∈ S → (k ⟶ X)
hk :
  ∀ {X Y : I} (mX : X ∈ S) (mY : Y ∈ S) {f : X ⟶ Y},
    Membership.mem (γ := Finset ((X : I) ×' (Y : I) ×' (_ : X ∈ S) ×' (_ : Y ∈ S) ×' (X ⟶ Y)))
        (Finset.image₂
            (fun (x y : ↥σ) ↦
              PSigma.mk (β := fun (X : I) ↦ (Y : I) ×' (_ : X ∈ S) ×' (_ : Y ∈ S) ×' (X ⟶ Y))
                (j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt))
                (PSigma.mk (β := fun (Y : I) ↦
                  (_ : j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ∈ S) ×' (_ : Y ∈ S) ×' (j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ⟶ Y))
                  (i (↑x : ↥c.pt))
                  (PSigma.mk (β := fun (x_1 : j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ∈ S) ↦
                    (_ : i (↑x : ↥c.pt) ∈ S) ×' (j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ⟶ i (↑x : ↥c.pt))) ⋯
                    (PSigma.mk (β := fun (x_1 : i (↑x : ↥c.pt) ∈ S) ↦ j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ⟶ i (↑x : ↥c.pt)) ⋯
                      (fjx (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt))))))
            σ.attach σ.attach ∪
          Finset.image₂
            (fun (x y : ↥σ) ↦
              PSigma.mk (β := fun (X : I) ↦ (Y : I) ×' (_ : X ∈ S) ×' (_ : Y ∈ S) ×' (X ⟶ Y))
                (j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt))
                (PSigma.mk (β := fun (Y : I) ↦
                  (_ : j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ∈ S) ×' (_ : Y ∈ S) ×' (j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ⟶ Y))
                  (i (↑y : ↥c.pt))
                  (PSigma.mk (β := fun (x_1 : j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ∈ S) ↦
                    (_ : i (↑y : ↥c.pt) ∈ S) ×' (j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ⟶ i (↑y : ↥c.pt))) ⋯
                    (PSigma.mk (β := fun (x_1 : i (↑y : ↥c.pt) ∈ S) ↦ j (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt) ⟶ i (↑y : ↥c.pt)) ⋯
                      (fjy (↑x : ↥c.pt) (↑y : ↥c.pt))))))
            σ.attach σ.attach)
        (PSigma.mk (β := fun (X : I) ↦ (Y : I) ×' (_ : X ∈ S) ×' (_ : Y ∈ S) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : I) ↦ (_ : X ∈ S) ×' (_ : Y ∈ S) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ S) ↦ (_ : Y ∈ S) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ S) ↦ X ⟶ Y) mY f)))) →
      fk mX ≫ f = fk mY
hk₁ : ∀ {x y : ↥c.pt} (hx : x ∈ σ) (hy : y ∈ σ), fk ⋯ ≫ fjx x y = fk ⋯
hk₂ : ∀ {x y : ↥c.pt} (hx : x ∈ σ) (hy : y ∈ σ), fk ⋯ ≫ fjy x y = fk ⋯
obtain :
  ∀ (k' : I) (fk'k : k' ⟶ k) (hk' : D.map fk'k ⁻¹ᵁ ⨆ (x : ↥c.pt), ⨆ (hx : x ∈ σ), D.map (fk ⋯) ⁻¹ᵁ U x = ⊤),
    ∃ (i : I) (t : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)),
      s =
        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appTop (c.π.app i)) :
            (a : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
          t
⊢ ∃ (i : I) (t : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)),
    s =
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appTop (c.π.app i)) :
          (a : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
        t

Tactic:
obtain ⟨k', fk'k, hk'⟩ := exists_map_eq_top D c hc
    (⨆ (x : _) (hx : x ∈ σ), D.map (fk (hiS hx)) ⁻¹ᵁ U x) (by
    apply SetLike.coe_injective
    simpa [← Set.preimage_comp, ← TopCat.coe_comp, ← Scheme.Hom.comp_base])

Premises used: iSup, AlgebraicGeometry.LocallyRingedSpace.Hom.toHom, AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.toLRSHom', CategoryTheory.Functor.map, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.base, TopologicalSpace.Opens.map, AlgebraicGeometry.exists_map_eq_top, CategoryTheory.Functor.obj