awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ g = minpoly K x

Tactic:
simpa using hg₂
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ Separable (minpoly K x)

Tactic:
obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa using hg₂

Premises used: minpoly, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
hg₃ : Separable (minpoly K x)
⊢ Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) (minpoly K x) : K[X]) (minpoly K x : K[X])

Tactic:
obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa using hg₂

Premises used: minpoly, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
hg₁ : Separable (minpoly K x)
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) (minpoly K x) : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x

Tactic:
cases hx hg₁
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ 0 < p ^ (n + 1)

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
neg : ¬p ^ (n + 1) ∣ natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) - 1
neg₁ : ¬natDegree (minpoly K x) = 0
⊢ (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x

Tactic:
rw [nextCoeff, if_neg, ← hg₂, coeff_expand (by positivity),
        if_neg, neg_zero, mul_zero, LinearMap.zero_apply]

Premises used: LinearMap.zero_apply, MulZeroClass.mul_zero, Polynomial.nextCoeff, Polynomial.coeff_expand, neg_zero, if_neg
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
neg : ¬p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
⊢ ¬p ^ (n + 1) ∣ natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) - 1

Tactic:
rw [natDegree_expand]

Premises used: Polynomial.natDegree_expand
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
⊢ p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)

Tactic:
have := Nat.dvd_sub (dvd_mul_left (p ^ (n + 1)) g.natDegree) h
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
neg : ∀ (this : p ^ (n + 1) = 1), False
neg₁ : 1 ≤ g.natDegree * p ^ (n + 1)
⊢ False

Tactic:
rw [tsub_tsub_cancel_of_le, Nat.dvd_one] at this

Premises used: Nat.dvd_one, tsub_tsub_cancel_of_le
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
⊢ g = minpoly K x

Tactic:
simpa [this] using hg₂
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
⊢ Separable (minpoly K x)

Tactic:
obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa [this] using hg₂

Premises used: minpoly, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
hg₃ : Separable (minpoly K x)
⊢ Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) (minpoly K x) : K[X]) (minpoly K x : K[X])

Tactic:
obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa [this] using hg₂

Premises used: minpoly, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
hg₃ : Separable (minpoly K x)
hg₄ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) (minpoly K x) : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ p ^ (n + 1) ∣ natDegree (minpoly K x) * p ^ (n + 1) - 1

Tactic:
obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa [this] using hg₂

Premises used: minpoly, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
n : ℕ
this : p ^ (n + 1) = 1
hg₁ : Separable (minpoly K x)
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) (minpoly K x) : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ natDegree (minpoly K x) * p ^ (n + 1) - 1
⊢ False

Tactic:
cases hx hg₁
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
neg : g.natDegree * p ^ (n + 1) ≠ 0
⊢ 1 ≤ g.natDegree * p ^ (n + 1)

Tactic:
rw [Nat.one_le_iff_ne_zero]

Premises used: Nat.one_le_iff_ne_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
e : g.natDegree = 0
⊢ natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) = natDegree (minpoly K x)

Tactic:
have := congr(natDegree $hg₂)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this_2 : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
e : g.natDegree = 0
this : natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) = natDegree (minpoly K x)
⊢ 0 = natDegree (minpoly K x)

Tactic:
rw [natDegree_expand, e, zero_mul] at this

Premises used: MulZeroClass.zero_mul, Polynomial.natDegree_expand
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this_2 : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
e : g.natDegree = 0
this : 0 = natDegree (minpoly K x)
⊢ False

Tactic:
(minpoly.natDegree_pos (IsIntegral.isIntegral x)).ne this

Premises used: Algebra.IsIntegral.isIntegral, minpoly.natDegree_pos, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this_2 : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
e : g.natDegree = 0
this : 0 = natDegree (minpoly K x)
⊢ False

Tactic:
exact (minpoly.natDegree_pos (IsIntegral.isIntegral x)).ne this

Premises used: Algebra.IsIntegral.isIntegral, minpoly.natDegree_pos, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
⊢ g.natDegree ≠ 0

Tactic:
have : g.natDegree ≠ 0 := fun e ↦ by
            have := congr(natDegree $hg₂)
            rw [natDegree_expand, e, zero_mul] at this
            exact (minpoly.natDegree_pos (IsIntegral.isIntegral x)).ne this
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this_2 : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
this : g.natDegree ≠ 0
⊢ g.natDegree * p ^ (n + 1) ≠ 0

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ ¬natDegree (minpoly K x) = 0

Tactic:
(minpoly.natDegree_pos (IsIntegral.isIntegral x)).ne'

Premises used: Algebra.IsIntegral.isIntegral, LT.lt.ne', minpoly.natDegree_pos
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ ¬natDegree (minpoly K x) = 0

Tactic:
exact (minpoly.natDegree_pos (IsIntegral.isIntegral x)).ne'

Premises used: Algebra.IsIntegral.isIntegral, LT.lt.ne', minpoly.natDegree_pos
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
m : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ m) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
neg :
  ∀ (hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])),
    (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
neg₁ :
  ∀ (n : ℕ) (hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])),
    (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
⊢ (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x

Tactic:
cases m with
    | zero =>
      obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa using hg₂
      cases hx hg₁
    | succ n =>
      rw [nextCoeff, if_neg, ← hg₂, coeff_expand (by positivity),
        if_neg, neg_zero, mul_zero, LinearMap.zero_apply]
      · rw [natDegree_expand]
        intro h
        have := Nat.dvd_sub (dvd_mul_left (p ^ (n + 1)) g.natDegree) h
        rw [tsub_tsub_cancel_of_le, Nat.dvd_one] at this
        · obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa [this] using hg₂
          cases hx hg₁
        · rw [Nat.one_le_iff_ne_zero]
          have : g.natDegree ≠ 0 := fun e ↦ by
            have := congr(natDegree $hg₂)
            rw [natDegree_expand, e, zero_mul] at this
            exact (minpoly.natDegree_pos (IsIntegral.isIntegral x)).ne this
          positivity
      · exact (minpoly.natDegree_pos (IsIntegral.isIntegral x)).ne'

Premises used: Algebra.IsIntegral.isIntegral, LinearMap.zero_apply, Nat.dvd_one, minpoly, MulZeroClass.mul_zero, Polynomial.nextCoeff, LT.lt.ne', tsub_tsub_cancel_of_le, Polynomial.coeff_expand, Nat.one_le_iff_ne_zero, Polynomial.natDegree_expand, neg_zero, minpoly.natDegree_pos, Matrix.zero, if_neg, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
b : κ → B
i j : κ
⊢ traceMatrix A b i j = (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b i) : B →ₗ[A] A) : (a : B) → A) (b j)

Tactic:
rfl

Premises used: Algebra.traceMatrix, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
κ' : Type u_7
b : Basis κ A B
f : κ ≃ κ'
a :
  ∀ (x y : κ'),
    traceMatrix.{u, v, u_7} A (B := B) (⇑(b.reindex f) : (a : κ') → B) x y =
      (reindex f f : (a : Matrix κ κ A) → Matrix κ' κ' A) (traceMatrix.{u, v, w} A (B := B) (⇑b : (a : κ) → B)) x y
⊢ Eq (α := Matrix κ' κ' A) (traceMatrix.{u, v, u_7} A (B := B) (⇑(b.reindex f) : (a : κ') → B))
    ((reindex f f : (a : Matrix κ κ A) → Matrix κ' κ' A) (traceMatrix.{u, v, w} A (B := B) (⇑b : (a : κ) → B)))

Tactic:
ext (x y)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
κ' : Type u_7
b : Basis κ A B
f : κ ≃ κ'
x y : κ'
⊢ traceMatrix.{u, v, u_7} A (B := B) (⇑(b.reindex f) : (a : κ') → B) x y =
    (reindex f f : (a : Matrix κ κ A) → Matrix κ' κ' A) (traceMatrix.{u, v, w} A (B := B) (⇑b : (a : κ) → B)) x y

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
inst_3 : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
a : ∀ (α β : κ), traceMatrix A (b ᵥ* P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B)) α β = (Pᵀ * traceMatrix A b * P) α β
⊢ traceMatrix A (b ᵥ* P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B)) = Pᵀ * traceMatrix A b * P

Tactic:
ext (α β)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
inst_3 : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β : κ
a :
  Eq.{u + 1} (α := A)
    (∑ y : κ,
      ∑ x : κ,
        (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x α) : B →ₗ[A] A) :
            (a : B) → A)
          (b y * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) y β))
    (∑ j : κ, (Pᵀ * traceMatrix A b) α j * P j β)
⊢ traceMatrix A (b ᵥ* P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B)) α β = (Pᵀ * traceMatrix A b * P) α β

Tactic:
rw [traceMatrix_apply, vecMul, dotProduct, vecMul, dotProduct, Matrix.mul_apply,
    BilinForm.sum_left,
    Fintype.sum_congr _ _ fun i : κ =>
      BilinForm.sum_right _ _ (b i * P.map (algebraMap A B) i α) fun y : κ =>
        b y * P.map (algebraMap A B) y β,
    sum_comm]

Premises used: HMul.hMul, Algebra.algebraMap, Algebra.traceMatrix_apply, LinearMap.BilinForm.sum_right, dotProduct, LinearMap.BilinForm.sum_left, Matrix.vecMul, Matrix.mul_apply, Fintype.sum_congr, Matrix.map, Finset.sum_comm, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
inst_3 : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β : κ
a :
  Eq (α := κ → A)
    (fun (y : κ) ↦
      ∑ x : κ,
        (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x α) : B →ₗ[A] A) :
            (a : B) → A)
          (b y * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) y β))
    fun (j : κ) ↦ (Pᵀ * traceMatrix A b) α j * P j β
⊢ Eq.{u + 1} (α := A)
    (∑ y : κ,
      ∑ x : κ,
        (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x α) : B →ₗ[A] A) :
            (a : B) → A)
          (b y * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) y β))
    (∑ j : κ, (Pᵀ * traceMatrix A b) α j * P j β)

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
inst_3 : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β : κ
a :
  ∀ (x : κ),
    ∑ x_1 : κ,
        (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x_1 α) : B →ₗ[A] A) :
            (a : B) → A)
          (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β) =
      (Pᵀ * traceMatrix A b) α x * P x β
⊢ Eq (α := κ → A)
    (fun (y : κ) ↦
      ∑ x : κ,
        (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x α) : B →ₗ[A] A) :
            (a : B) → A)
          (b y * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) y β))
    fun (j : κ) ↦ (Pᵀ * traceMatrix A b) α j * P j β

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
inst_3 : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x : κ
a :
  Eq.{u + 1} (α := A)
    (∑ x_1 : κ,
      (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x_1 α) : B →ₗ[A] A) :
          (a : B) → A)
        (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β))
    (∑ i : κ, Pᵀ α i * traceMatrix A b i x * P x β)
⊢ ∑ x_1 : κ,
      (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x_1 α) : B →ₗ[A] A) :
          (a : B) → A)
        (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β) =
    (Pᵀ * traceMatrix A b) α x * P x β

Tactic:
rw [Matrix.mul_apply, sum_mul]

Premises used: Matrix.mul_apply, Finset.sum_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
inst_3 : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x : κ
a :
  Eq (α := κ → A)
    (fun (x_1 : κ) ↦
      (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x_1 α) : B →ₗ[A] A) :
          (a : B) → A)
        (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β))
    fun (i : κ) ↦ Pᵀ α i * traceMatrix A b i x * P x β
⊢ Eq.{u + 1} (α := A)
    (∑ x_1 : κ,
      (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x_1 α) : B →ₗ[A] A) :
          (a : B) → A)
        (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β))
    (∑ i : κ, Pᵀ α i * traceMatrix A b i x * P x β)

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
inst_3 : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x : κ
a :
  ∀ (y : κ),
    (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b y * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) y α) : B →ₗ[A] A) :
          (a : B) → A)
        (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β) =
      Pᵀ α y * traceMatrix A b y x * P x β
⊢ Eq (α := κ → A)
    (fun (x_1 : κ) ↦
      (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b x_1 * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x_1 α) : B →ₗ[A] A) :
          (a : B) → A)
        (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β))
    fun (i : κ) ↦ Pᵀ α i * traceMatrix A b i x * P x β

Tactic:
ext y
-- Module: Mathlib.RingTheory.Trace.Basic
Goal:
κ : Type w
A : Type u
B : Type v
inst : CommRing A
inst_1 : CommRing B
inst_2 : Algebra A B
inst_3 : Fintype κ
b : κ → B
P : Matrix κ κ A
α β x y : κ
a :
  (trace A B : (a : B) → A) (P y α • b y * (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β)) =
    Pᵀ α y * traceMatrix A b y x * P x β
⊢ (((traceForm A B : (a : B) → B →ₗ[A] A) (b y * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) y α) : B →ₗ[A] A) :
        (a : B) → A)
      (b x * P.map (⇑(algebraMap A B) : (a : A) → B) x β) =
    Pᵀ α y * traceMatrix A b y x * P x β

Tactic:
rw [map_apply, traceForm_apply, mul_comm (b y), ← smul_def]

Premises used: Algebra.traceForm_apply, Matrix.map_apply, mul_comm, Algebra.smul_def