-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Extensive
Goal:
J : Type v'
inst : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst_1 : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst_2 : Category.{v'', u''} D
X Y : C
Z : TopCat
f : Z ⟶ TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})
h₁ :
  Eq (α := Set (↑Z : Type u))
    (Set.range (ι :=
      (↑(TopCat.of
            { p :
              (↑Z : Type u) ×
                (↑(Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                      { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) :
                  Type u) //
              Eq (α := (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑Z : Type u)) → (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                    p.1 :
                  (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          TopCat.carrier) (X :=
                          Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                            { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair })
                          (Y := TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1}))
                          (BinaryCofan.inl ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})) :
                            Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair } ⟶
                              Functor.obj
                                (Functor.obj (Functor.const (Discrete WalkingPair))
                                  (Cocone.pt (F := pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                    ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1}))))
                                { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) :
                        C((↑(Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) :
                            Type u),
                          (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))) :
                      (a :
                          (↑((pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1})).obj
                                { as := WalkingPair.left }) :
                            Type u)) →
                        (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                    p.2 :
                  (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u)) }) :
        Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
            (X :=
            TopCat.of
              { p :
                (↑Z : Type u) ×
                  (↑(Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                        { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) :
                    Type u) //
                Eq (α := (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f :
                        (a : (↑Z : Type u)) → (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                      p.1 :
                    (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                  (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                            TopCat.carrier) (X :=
                            Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                              { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair })
                            (Y := TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1}))
                            (BinaryCofan.inl ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})) :
                              Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                  { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair } ⟶
                                Functor.obj
                                  (Functor.obj (Functor.const (Discrete WalkingPair))
                                    (Cocone.pt (F := pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                      ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1}))))
                                  { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) :
                          C((↑(Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                  { as := WalkingPair.left : Discrete WalkingPair }) :
                              Type u),
                            (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))) :
                        (a :
                            (↑((pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1})).obj
                                  { as := WalkingPair.left }) :
                              Type u)) →
                          (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                      p.2 :
                    (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u)) })
            (TopCat.pullbackFst f
              (BinaryCofan.inl ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1}))))) :
        (a :
            (↑(TopCat.of
                  { p :
                    (↑Z : Type u) ×
                      (↑((pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1})).obj { as := WalkingPair.left }) :
                        Type u) //
                    (ConcreteCategory.hom f :
                          (a : (↑Z : Type u)) → (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                        p.1 =
                      (ConcreteCategory.hom ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inl :
                          (a :
                              (↑((pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1})).obj
                                    { as := WalkingPair.left }) :
                                Type u)) →
                            (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                        p.2 }) :
              Type u)) →
          (↑Z : Type u)))
    (Set.preimage (β := (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
            f) :
        (a : (↑Z : Type u)) → (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
      (Set.range Sum.inl))
h₂ :
  Eq (α := Set (↑Z : Type u))
    (Set.range (ι :=
      (↑(TopCat.of
            { p :
              (↑Z : Type u) ×
                (↑(Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                      { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) :
                  Type u) //
              Eq (α := (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                        TopCat.carrier) f :
                      (a : (↑Z : Type u)) → (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                    p.1 :
                  (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          TopCat.carrier) (X :=
                          Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                            { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair })
                          (Y := TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1}))
                          (BinaryCofan.inr ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})) :
                            Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair } ⟶
                              Functor.obj
                                (Functor.obj (Functor.const (Discrete WalkingPair))
                                  (Cocone.pt (F := pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                    ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1}))))
                                { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) :
                        C((↑(Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) :
                            Type u),
                          (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))) :
                      (a :
                          (↑((pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1})).obj
                                { as := WalkingPair.right }) :
                            Type u)) →
                        (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                    p.2 :
                  (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u)) }) :
        Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
            (X :=
            TopCat.of
              { p :
                (↑Z : Type u) ×
                  (↑(Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                        { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) :
                    Type u) //
                Eq (α := (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                          TopCat.carrier) f :
                        (a : (↑Z : Type u)) → (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                      p.1 :
                    (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                  (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                            TopCat.carrier) (X :=
                            Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                              { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair })
                            (Y := TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1}))
                            (BinaryCofan.inr ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})) :
                              Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                  { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair } ⟶
                                Functor.obj
                                  (Functor.obj (Functor.const (Discrete WalkingPair))
                                    (Cocone.pt (F := pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                      ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1}))))
                                  { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) :
                          C((↑(Functor.obj (pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1}))
                                  { as := WalkingPair.right : Discrete WalkingPair }) :
                              Type u),
                            (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))) :
                        (a :
                            (↑((pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1})).obj
                                  { as := WalkingPair.right }) :
                              Type u)) →
                          (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                      p.2 :
                    (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u)) })
            (TopCat.pullbackFst f
              (BinaryCofan.inr ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1}))))) :
        (a :
            (↑(TopCat.of
                  { p :
                    (↑Z : Type u) ×
                      (↑((pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1})).obj { as := WalkingPair.right }) :
                        Type u) //
                    (ConcreteCategory.hom f :
                          (a : (↑Z : Type u)) → (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                        p.1 =
                      (ConcreteCategory.hom ((TopCat.of PUnit.{u + 1}).binaryCofan (TopCat.of PUnit.{u + 1})).inr :
                          (a :
                              (↑((pair (TopCat.of PUnit.{u + 1}) (TopCat.of PUnit.{u + 1})).obj
                                    { as := WalkingPair.right }) :
                                Type u)) →
                            (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
                        p.2 }) :
              Type u)) →
          (↑Z : Type u)))
    (Set.preimage (β := (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
            f) :
        (a : (↑Z : Type u)) → (↑(TopCat.of (PUnit.{u + 1} ⊕ PUnit.{u + 1})) : Type u))
      (Set.range Sum.inr))
⊢ IsOpen ((TopCat.Hom.hom f).toFun ⁻¹' Set.range Sum.inr)

Tactic:
f.hom.2.1 _ isOpen_range_inr

Premises used: isOpen_range_inr, ContinuousMap.continuous_toFun, TopCat.Hom.hom, Continuous.isOpen_preimage