-- Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.IsGaussianProcess.Independence
Goal:
T : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : MeasurableSpace E
inst_2 : BorelSpace E
inst_3 : SecondCountableTopology E
inst_4 : CompleteSpace E
S : T → Type u_4
X : (t : T) → (s : S t) → Ω → E
inst_5 : NormedSpace ℝ E
hX :
  IsGaussianProcess (E := E)
    (fun (p : (t : T) × S t) (ω : Ω) ↦ X (p.fst (β := fun (t : T) ↦ S t)) (p.snd (β := fun (t : T) ↦ S t)) ω) P
mX : ∀ (t : T) (s : S t), AEMeasurable (X t s) P
h :
  ∀ (t₁ t₂ : T),
    t₁ ≠ t₂ →
      ∀ (s₁ : S t₁) (s₂ : S t₂) (L₁ L₂ : StrongDual ℝ E),
        cov[(⇑L₁ : (a : E) → ℝ) ∘ X t₁ s₁, (⇑L₂ : (a : E) → ℝ) ∘ X t₂ s₂; P] = 0
this : IsProbabilityMeasure P
I : Finset T
J : (i : ↥I) → Finset (S (↑i : T))
x y : ↥(I.sigma (α := S) fun (i : T) ↦ if hi : i ∈ I then J (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦ x ∈ I) i hi) else ∅) → E
h₁ :
  ∀ (x_1 : ↥I) (x_2 : ↥(J x_1)),
    (x + y)
        (Subtype.mk (p := fun (x : (i : T) × S i) ↦
          Membership.mem (γ := Finset ((i : T) × S i))
            (I.sigma (α := S) fun (i : T) ↦ if hi : i ∈ I then J (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦ x ∈ I) i hi) else ∅) x)
          (Sigma.mk (β := fun (i : T) ↦ S i) (↑x_1 : T) (↑x_2 : S (↑x_1 : T))) ⋯) =
      HAdd.hAdd (α := (i : ↥I) → ↥(J i) → E) (β := (i : ↥I) → ↥(J i) → E)
        (fun (i : ↥I) (j : ↥(J i)) ↦
          x
            (Subtype.mk (p := fun (x : (i : T) × S i) ↦
              Membership.mem (γ := Finset ((i : T) × S i))
                (I.sigma (α := S) fun (i : T) ↦
                  if hi : i ∈ I then J (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦ x ∈ I) i hi) else ∅)
                x)
              (Sigma.mk (β := fun (i : T) ↦ S i) (↑i : T) (↑j : S (↑i : T))) ⋯))
        (fun (i : ↥I) (j : ↥(J i)) ↦
          y
            (Subtype.mk (p := fun (x : (i : T) × S i) ↦
              Membership.mem (γ := Finset ((i : T) × S i))
                (I.sigma (α := S) fun (i : T) ↦
                  if hi : i ∈ I then J (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦ x ∈ I) i hi) else ∅)
                x)
              (Sigma.mk (β := fun (i : T) ↦ S i) (↑i : T) (↑j : S (↑i : T))) ⋯))
        x_1 x_2
⊢ (fun (i : ↥I) (j : ↥(J i)) ↦
      (x + y)
        (Subtype.mk (p := fun (x : (i : T) × S i) ↦
          Membership.mem (γ := Finset ((i : T) × S i))
            (I.sigma (α := S) fun (i : T) ↦ if hi : i ∈ I then J (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦ x ∈ I) i hi) else ∅) x)
          (Sigma.mk (β := fun (i : T) ↦ S i) (↑i : T) (↑j : S (↑i : T))) ⋯)) =
    HAdd.hAdd (α := (i : ↥I) → ↥(J i) → E)
      (fun (i : ↥I) (j : ↥(J i)) ↦
        x
          (Subtype.mk (p := fun (x : (i : T) × S i) ↦
            Membership.mem (γ := Finset ((i : T) × S i))
              (I.sigma (α := S) fun (i : T) ↦ if hi : i ∈ I then J (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦ x ∈ I) i hi) else ∅)
              x)
            (Sigma.mk (β := fun (i : T) ↦ S i) (↑i : T) (↑j : S (↑i : T))) ⋯))
      fun (i : ↥I) (j : ↥(J i)) ↦
      y
        (Subtype.mk (p := fun (x : (i : T) × S i) ↦
          Membership.mem (γ := Finset ((i : T) × S i))
            (I.sigma (α := S) fun (i : T) ↦ if hi : i ∈ I then J (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦ x ∈ I) i hi) else ∅) x)
          (Sigma.mk (β := fun (i : T) ↦ S i) (↑i : T) (↑j : S (↑i : T))) ⋯)

Tactic:
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