awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
y : M
hy : y ∈ s
h'y : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ y ∈ (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s)

Tactic:
exact ⟨(extChartAt I x).map_source h'y,
      by simpa only [mem_preimage, (extChartAt I x).left_inv h'y] using hy⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
⊢ (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x

Tactic:
have pre_mem : (extChartAt I x) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (extChartAt I x).symm ⁻¹' s)
      ∈ 𝓝[s] x := by
    filter_upwards [self_mem_nhdsWithin,
      nhdsWithin_le_nhds (extChartAt_source_mem_nhds (I := I) x)] with y hy h'y
    exact ⟨(extChartAt I x).map_source h'y,
      by simpa only [mem_preimage, (extChartAt I x).left_inv h'y] using hy⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
⊢ (↑(extChartAt I x) : M → E) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s

Tactic:
simp [hx]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
have A : ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V'
      ((extChartAt I x).target ∩ (extChartAt I x).symm ⁻¹' s))
      ((extChartAt I x).target ∩ (extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (extChartAt I x x) :=
    ContDiffWithinAt.lieBracketWithin_vectorField
      (contMDiffWithinAt_vectorSpace_iff_contDiffWithinAt.1
        (contMDiffWithinAt_mpullbackWithin_extChartAt_symm hU hs hx le_rfl))
      (contMDiffWithinAt_vectorSpace_iff_contDiffWithinAt.1
        (contMDiffWithinAt_mpullbackWithin_extChartAt_symm hV hs hx le_rfl))
      (hs.uniqueDiffOn_target_inter x) hm'n (by simp [hx])
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m'
    (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
rw [← mlieBracketWithin_eq_lieBracketWithin] at A

Premises used: VectorField.mlieBracketWithin_eq_lieBracketWithin
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m'
    (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) (ModelWithCorners.prod 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E)) (M' :=
    Bundle.TotalSpace (B := E) E (TangentSpace 𝓘(𝕜, E))) m'
    (fun (x₀ : E) ↦
      ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
contMDiffWithinAt_vectorSpace_iff_contDiffWithinAt.2 A

Premises used: Iff.mpr, contMDiffWithinAt_vectorSpace_iff_contDiffWithinAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m'
    (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) (ModelWithCorners.prod 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E)) (M' :=
    Bundle.TotalSpace (B := E) E (TangentSpace 𝓘(𝕜, E))) m'
    (fun (x₀ : E) ↦
      ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
exact contMDiffWithinAt_vectorSpace_iff_contDiffWithinAt.2 A

Premises used: Iff.mpr, contMDiffWithinAt_vectorSpace_iff_contDiffWithinAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) (ModelWithCorners.prod 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E)) (M' :=
    Bundle.TotalSpace (B := E) E (TangentSpace 𝓘(𝕜, E))) m'
    (fun (x₀ : E) ↦
      ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
have B : CMDiffAt[((extChartAt I x).target ∩ (extChartAt I x).symm ⁻¹' s)] m'
      (T% (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (extChartAt I x).symm ⁻¹' s)))
      (extChartAt I x x) := by
    rw [← mlieBracketWithin_eq_lieBracketWithin] at A
    exact contMDiffWithinAt_vectorSpace_iff_contDiffWithinAt.2 A
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
B :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) (ModelWithCorners.prod 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E)) (M' :=
    Bundle.TotalSpace (B := E) E (TangentSpace 𝓘(𝕜, E))) m'
    (fun (x₀ : E) ↦
      ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) m'
    (fun (x_1 : M) ↦
      ⟨x_1,
        mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) : M → E)
          (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s)) x_1⟩)
    s x

Tactic:
have C : CMDiffAt[s] m' (T% ((mpullback I 𝓘(𝕜, E) (extChartAt I x)
      ((mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V'
      ((extChartAt I x).target ∩ (extChartAt I x).symm ⁻¹' s)))))) x :=
    ContMDiffWithinAt.mpullback_vectorField_of_mem_nhdsWithin_of_eq B (n := m' + 1)
      contMDiffAt_extChartAt
      (isInvertible_mfderiv_extChartAt (mem_extChartAt_source x)) le_rfl pre_mem rfl
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
B :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) (ModelWithCorners.prod 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E)) (M' :=
    Bundle.TotalSpace (B := E) E (TangentSpace 𝓘(𝕜, E))) m'
    (fun (x₀ : E) ↦
      ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
C :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) m'
    (fun (x_1 : M) ↦
      ⟨x_1,
        mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) : M → E)
          (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s)) x_1⟩)
    s x
apply :
  (𝓝[s] x).EventuallyEq (β := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I))
    (fun (x₀ : M) ↦ ⟨x₀, mlieBracketWithin I U V s x₀⟩) fun (x_1 : M) ↦
    ⟨x_1,
      mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) : M → E)
        (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s)) x_1⟩
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) m'
    (fun (x₀ : M) ↦ ⟨x₀, mlieBracketWithin I U V s x₀⟩) s x

Tactic:
apply C.congr_of_eventuallyEq_of_mem _ hx

Premises used: ContMDiffWithinAt.congr_of_eventuallyEq_of_mem
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
inst_6 : IsManifold I (minSmoothness 𝕜 2) M
inst_7 : CompleteSpace E
n : ℕ∞ω
inst_8 : IsManifold I (n + 1) M
m : ℕ∞ω
U V : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set M
x : M
hU :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, U x⟩) s x
hV :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) n
    (fun (x : M) ↦ ⟨x, V x⟩) s x
hs : UniqueMDiffOn I s
hx : x ∈ s
hmn : minSmoothness 𝕜 (m + 1) ≤ n
min2 : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n + 1
m' : ℕ∞ω
hm' : m' ≤ m
h'm' : m' ≠ ∞
hn : 1 ≤ m' + 1
hm'n : m' + 1 ≤ n
pre_mem : (↑(extChartAt I x) : M → E) ⁻¹' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ∈ 𝓝[s] x
U' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) U (range (↑I : H → E))
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E))
A :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m' (lieBracketWithin 𝕜 U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s))
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
B :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) (ModelWithCorners.prod 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E)) (M' :=
    Bundle.TotalSpace (B := E) E (TangentSpace 𝓘(𝕜, E))) m'
    (fun (x₀ : E) ↦
      ⟨x₀, mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) x₀⟩)
    ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
C :
  ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, E)) (M' := Bundle.TotalSpace.{u_4, u_3, u_3} (B := M) E (TangentSpace I)) m'
    (fun (x_1 : M) ↦
      ⟨x_1,
        mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) : M → E)
          (mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) U' V' ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s)) x_1⟩)
    s x
⊢ m' + 1 + 1 ≤ m' + 1 + 1

Tactic:
gcongr