-- Module: Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.AdmissibleCardPowDegree
Goal:
Fq : Type u_1
inst : Fintype Fq
inst_1 : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ (t : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)),
      ∀ (i₀ i₁ : Fin n),
        t i₀ = t i₁ ↔
          (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A i₁ % b - A i₀ % b)) : ℝ) <
            HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' :
  ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ},
    (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A i % b - A j % b)) : ℝ) < ε →
      (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A j % b - A k % b)) : ℝ) < ε →
        (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A i % b - A k % b)) : ℝ) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)
ht' :
  ∀ (i₀ i₁ : Fin n),
    t' i₀ = t' i₁ ↔
      (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ)
              (Fin.tail (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ Fq[X]) A i₁ % b -
                Fin.tail (α := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ Fq[X]) A i₀ % b)) :
          ℝ) <
        HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
hg :
  ∀ (j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)),
    ∃ (i : Fin n),
      t' i = j ∧
        HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε ≤
          (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A 0 % b - A i.succ % b)) : ℝ)
j₀_1 j₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊).succ
j₀ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)
j_ne : j₀.succ ≠ 0
approx :
  (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ)
          (HMod.hMod (α := Fq[X])
              (Fin.cons (α := fun (a : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊).succ) ↦ Fq[X])
                  (A 0)
                  (fun (j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) ↦
                    A
                      (Classical.choose (p := fun (x : Fin n) ↦
                          t' x = j ∧
                            HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε ≤
                              (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A 0 % b - A x.succ % b)) : ℝ))
                          ⋯).succ)
                  0 :
                Fq[X])
              b -
            HMod.hMod (α := Fq[X])
              (Fin.cons (α := fun (a : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊).succ) ↦ Fq[X])
                  (A 0)
                  (fun (j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (↑(Fintype.card Fq) : ℝ)⌉₊)) ↦
                    A
                      (Classical.choose (p := fun (x : Fin n) ↦
                          t' x = j ∧
                            HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε ≤
                              (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A 0 % b - A x.succ % b)) : ℝ))
                          ⋯).succ)
                  j₀.succ :
                Fq[X])
              b)) :
      ℝ) <
    HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε
⊢ ¬HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε ≤
      (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ)
            (A 0 % b -
              A
                  (Classical.choose (p := fun (x : Fin n) ↦
                      t' x = j₀ ∧
                        HSMul.hSMul (α := ℤ) ((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) b : ℤ) ε ≤
                          (↑((cardPowDegree : (a : Fq[X]) → ℤ) (A 0 % b - A x.succ % b)) : ℝ))
                      ⋯).succ %
                b)) :
        ℝ)

Tactic:
rw [Fin.cons_succ, Fin.cons_zero, ← not_le] at approx

Premises used: not_le, Fin.cons_succ, Fin.cons_zero