awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J (Type u_2)
x y : (↑F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).sections : Type (max u u_2))
h : ∀ (i : I), (↑x : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) (Opposite.op (Y i)) = (↑y : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) (Opposite.op (Y i))
W : Cᵒᵖ
a :
  ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Opposite.unop W⦄,
    Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y (Opposite.unop W)) f →
      Eq (α := (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y_1)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
              (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop W)))) →
                (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj.obj (Opposite.op Y_1)))
            ((↑x : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) W) :
          (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y_1)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
              (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop W)))) →
                (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj.obj (Opposite.op Y_1)))
            ((↑y : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) W) :
          (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y_1)))
⊢ (↑x : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) W = (↑y : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) W

Tactic:
apply (((isSheaf_iff_isSheaf_of_type _ _).1 F.2).isSeparated _ (hY W.unop)).ext

Premises used: CategoryTheory.ObjectProperty.FullSubcategory.property, CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor.ext, CategoryTheory.isSheaf_iff_isSheaf_of_type, Iff.mp, CategoryTheory.Presieve.IsSheaf.isSeparated, Opposite.unop
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J (Type u_2)
x y : (↑F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).sections : Type (max u u_2))
h : ∀ (i : I), (↑x : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) (Opposite.op (Y i)) = (↑y : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) (Opposite.op (Y i))
W : Cᵒᵖ
T : C
a : T ⟶ Opposite.unop W
i : I
b : T ⟶ Y i
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op T)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map a.op) :
          (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop W)))) →
            (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj.obj (Opposite.op T)))
        ((↑x : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) W) :
      (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op T)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map a.op) :
          (a : (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop W)))) →
            (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj.obj (Opposite.op T)))
        ((↑y : (j : Cᵒᵖ) → F.obj.obj j) W) :
      (fun (X : Type u_2) ↦ X) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op T)))

Tactic:
simpa using congr_arg (F.1.map b.op) (h i)

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, Quiver.Hom.op, CategoryTheory.ObjectProperty.FullSubcategory.obj, CategoryTheory.Functor.map, congr_arg, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
X Z : C
f : Z ⟶ X
i : I
φ : Z ⟶ Y i
⊢ x.familyOfElements X f ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map φ.op) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
      (x i)

Tactic:
apply hx
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
X Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
this :
  ∀ (i₁ : I) (φ₁ : Y₁ ⟶ Y i₁) (h₂ : Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X) f₂),
    g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂ →
      Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₁.op) :
              (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₁))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
            (x.familyOfElements X f₁ ⋯) :
          (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₂.op) :
              (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₂))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
            (x.familyOfElements X f₂ h₂) :
          (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
⊢ ∀ (h₁ : Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X) f₁) (h₂ : Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X) f₂),
    g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂ →
      Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₁.op) :
              (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₁))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
            (x.familyOfElements X f₁ h₁) :
          (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₂.op) :
              (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₂))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
            (x.familyOfElements X f₂ h₂) :
          (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))

Tactic:
⟨i₁, ⟨φ₁⟩⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
X Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
i₁ : I
φ₁ : Y₁ ⟶ Y i₁
this :
  ∀ (i₂ : I) (φ₂ : Y₂ ⟶ Y i₂),
    g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂ →
      Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₁.op) :
              (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₁))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
            (x.familyOfElements X f₁ ⋯) :
          (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₂.op) :
              (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₂))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
            (x.familyOfElements X f₂ ⋯) :
          (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
⊢ ∀ (h₂ : Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X) f₂),
    g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂ →
      Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₁.op) :
              (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₁))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
            (x.familyOfElements X f₁ ⋯) :
          (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₂.op) :
              (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₂))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
            (x.familyOfElements X f₂ h₂) :
          (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))

Tactic:
⟨i₂, ⟨φ₂⟩⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
X Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
i₁ : I
φ₁ : Y₁ ⟶ Y i₁
i₂ : I
φ₂ : Y₂ ⟶ Y i₂
_ :
  g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂ →
    Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₁.op) :
            (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₁))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
          (x.familyOfElements X f₁ ⋯) :
        (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₂.op) :
            (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₂))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
          (x.familyOfElements X f₂ ⋯) :
        (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
⊢ g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂ →
    Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₁.op) :
            (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₁))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
          (x.familyOfElements X f₁ ⋯) :
        (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₂.op) :
            (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₂))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
          (x.familyOfElements X f₂ ⋯) :
        (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
X Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
i₁ : I
φ₁ : Y₁ ⟶ Y i₁
i₂ : I
φ₂ : Y₂ ⟶ Y i₂
h : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₁.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₁))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        (x.familyOfElements X f₁ ⋯) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g₂.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Y₂))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))
        (x.familyOfElements X f₂ ⋯) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op Z)))

Tactic:
simpa [hx.familyOfElements_apply f₁ i₁ φ₁,
    hx.familyOfElements_apply f₂ i₂ φ₂] using hx Z i₁ i₂ (g₁ ≫ φ₁) (g₂ ≫ φ₂)

Premises used: CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects.IsCompatible.familyOfElements_apply, CategoryTheory.CategoryStruct.comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
⊢ Presieve.IsSheaf J F

Tactic:
have H := (isSheaf_iff_isSheaf_of_type _ _).1 hF
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
hex : ∃ (x_1 : (↑F.sections : Type (max u w))), ∀ (i : I), (↑x_1 : (j : Cᵒᵖ) → F.obj j) (Opposite.op (Y i)) = x i
hunique :
  ∀ (y₁ y₂ : (↑F.sections : Type (max u w))),
    (∀ (i : I), (↑y₁ : (j : Cᵒᵖ) → F.obj j) (Opposite.op (Y i)) = x i) →
      (∀ (i : I), (↑y₂ : (j : Cᵒᵖ) → F.obj j) (Opposite.op (Y i)) = x i) → y₁ = y₂
⊢ ∃! s : (↑F.sections : Type (max u w)), ∀ (i : I), (↑s : (j : Cᵒᵖ) → F.obj j) (Opposite.op (Y i)) = x i

Tactic:
apply existsUnique_of_exists_of_unique

Premises used: existsUnique_of_exists_of_unique
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
X : C
i : I
f : X ⟶ Y i
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (Quiver.Hom.op (𝟙 X))) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
      (⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯) =
    x.familyOfElements X (𝟙 X) ⋯

Tactic:
have h := Presieve.IsSheafFor.valid_glue (H _ (hY X))
          (hx.familyOfElements_isCompatible _) (𝟙 _) ⟨i, ⟨f⟩⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
X : C
i : I
f : X ⟶ Y i
h :
  (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (Quiver.Hom.op (𝟙 X))) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
      (⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯) =
    x.familyOfElements X (𝟙 X) ⋯
⊢ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯ = x.familyOfElements X (𝟙 X) ⋯

Tactic:
simp only [op_id, F.map_id, types_id_apply] at h

Premises used: CategoryTheory.types_id_apply, CategoryTheory.Functor.map_id, CategoryTheory.op_id
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
X : C
i : I
f : X ⟶ Y i
h : ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯ = x.familyOfElements X (𝟙 X) ⋯
⊢ s X =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
      (x i)

Tactic:
h.trans (hx.familyOfElements_apply _ _ _)

Premises used: CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects.IsCompatible.familyOfElements_apply, Eq.trans
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
X : C
i : I
f : X ⟶ Y i
h : ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯ = x.familyOfElements X (𝟙 X) ⋯
⊢ s X =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
      (x i)

Tactic:
exact h.trans (hx.familyOfElements_apply _ _ _)

Premises used: CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects.IsCompatible.familyOfElements_apply, Eq.trans
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
⊢ ∀ {X : C} (i : I) (f : X ⟶ Y i),
    s X =
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
        (x i)

Tactic:
have hs : ∀ {X : C} (i : I) (f : X ⟶ Y i), s X = F.map f.op (x i) := fun {X} i f => by
      have h := Presieve.IsSheafFor.valid_glue (H _ (hY X))
          (hx.familyOfElements_isCompatible _) (𝟙 _) ⟨i, ⟨f⟩⟩
      simp only [op_id, F.map_id, types_id_apply] at h
      exact h.trans (hx.familyOfElements_apply _ _ _)
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
hs :
  ∀ {X : C} (i : I) (f : X ⟶ Y i),
    s X =
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
        (x i)
W X : C
a : W ⟶ X
i : I
b : W ⟶ Y i
rw :
  Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
        (s X) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map b.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
        (x i) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a.op) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
      (s X) =
    s W

Tactic:
rw [hs i b]
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
hs :
  ∀ {X : C} (i : I) (f : X ⟶ Y i),
    s X =
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
        (x i)
W X : C
a : W ⟶ X
i : I
b : W ⟶ Y i
⊢ Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
        (s X) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map b.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
        (x i) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))

Tactic:
(Presieve.IsSheafFor.valid_glue (H _ (hY X))
        (hx.familyOfElements_isCompatible _) a ⟨i, ⟨b⟩⟩).trans (familyOfElements_apply hx _ _ _)

Premises used: CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects.IsCompatible.familyOfElements_apply, Nonempty.intro, Exists.intro, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor.valid_glue, CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects.IsCompatible.familyOfElements_isCompatible, Eq.trans
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
hs :
  ∀ {X : C} (i : I) (f : X ⟶ Y i),
    s X =
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
        (x i)
W X : C
a : W ⟶ X
i : I
b : W ⟶ Y i
⊢ Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
        (s X) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map b.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
        (x i) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))

Tactic:
exact (Presieve.IsSheafFor.valid_glue (H _ (hY X))
        (hx.familyOfElements_isCompatible _) a ⟨i, ⟨b⟩⟩).trans (familyOfElements_apply hx _ _ _)

Premises used: CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects.IsCompatible.familyOfElements_apply, Nonempty.intro, Exists.intro, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor.valid_glue, CategoryTheory.Presheaf.FamilyOfElementsOnObjects.IsCompatible.familyOfElements_isCompatible, Eq.trans
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
hs :
  ∀ {X : C} (i : I) (f : X ⟶ Y i),
    s X =
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
        (x i)
⊢ ∀ {W X : C} (a : W ⟶ X) (i : I) (x : W ⟶ Y i),
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
        (s X) =
      s W

Tactic:
have hs' : ∀ {W X : C} (a : W ⟶ X) (i : I) (_ : W ⟶ Y i), F.map a.op (s X) = s W := by
      intro W X a i b
      rw [hs i b]
      exact (Presieve.IsSheafFor.valid_glue (H _ (hY X))
        (hx.familyOfElements_isCompatible _) a ⟨i, ⟨b⟩⟩).trans (familyOfElements_apply hx _ _ _)
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CoversTop.Basic
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
F : Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
I : Type u_1
Y : I → C
x : FamilyOfElementsOnObjects F Y
hx : x.IsCompatible
hY : J.CoversTop Y
hF : IsSheaf J F
H : Presieve.IsSheaf J F
s : (X : C) → F.obj (Opposite.op X) :=
  fun (X : C) ↦ ⋯.amalgamate (R := Sieve.arrows (Sieve.ofObjects Y X)) (x.familyOfElements X) ⋯
hs :
  ∀ {X : C} (i : I) (f : X ⟶ Y i),
    s X =
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X)))
        (x i)
hs' :
  ∀ {W X : C} (a : W ⟶ X) (i : I) (x : W ⟶ Y i),
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a.op) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op W)))
        (s X) =
      s W
i : I
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (Quiver.Hom.op (𝟙 (Y i)))) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (F.obj (Opposite.op (Y i))))
      (x i) =
    x i

Tactic:
simp