awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b c / dist a b
h_sin1' : Real.sin (∠ c' a' b') = Real.sin (∠ b' c' a') * dist b' c' / dist a' b'
⊢ Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'

Tactic:
rw [← h₃, ← h₂] at h_sin1'
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist b' c' / dist a' b' = dist b c / dist a b
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
⊢ dist a' b' ≠ 0

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist b' c' / dist a' b' = dist b c / dist a b
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
⊢ dist a b ≠ 0

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b c / dist a b
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
⊢ dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'

Tactic:
rw [h_sin1', mul_div_assoc, mul_div_assoc, mul_right_inj' h_sin_ne1,
    div_eq_div_iff (by positivity) (by positivity), mul_comm] at h_sin1

Premises used: mul_div_assoc, div_eq_div_iff, mul_comm, mul_right_inj'
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b c / dist a b
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin1₁ : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
⊢ Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'

Tactic:
rw [h_sin1', mul_div_assoc, mul_div_assoc, mul_right_inj' h_sin_ne1,
    div_eq_div_iff (by positivity) (by positivity), mul_comm] at h_sin1

Premises used: mul_div_assoc, div_eq_div_iff, mul_comm, mul_right_inj'
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
⊢ Real.sin (∠ a b c) * dist b c = Real.sin (∠ c a b) * dist c a

Tactic:
have h_sin2 := law_sin a b c
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : Real.sin (∠ a b c) * dist b c = Real.sin (∠ c a b) * dist c a
⊢ Real.sin (∠ a' b' c') * dist b' c' = Real.sin (∠ c' a' b') * dist c' a'

Tactic:
have h_sin2' := law_sin a' b' c'
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : Real.sin (∠ a b c) * dist b c = Real.sin (∠ c a b) * dist c a
h_sin2' : Real.sin (∠ a' b' c') * dist b' c' = Real.sin (∠ c' a' b') * dist c' a'
⊢ dist b c ≠ 0

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c a / dist b c
h_sin2' : Real.sin (∠ a' b' c') * dist b' c' = Real.sin (∠ c' a' b') * dist c' a'
⊢ dist b' c' ≠ 0

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : Real.sin (∠ a b c) * dist b c = Real.sin (∠ c a b) * dist c a
h_sin2' : Real.sin (∠ a' b' c') * dist b' c' = Real.sin (∠ c' a' b') * dist c' a'
⊢ Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c a / dist b c

Tactic:
rw [← eq_div_iff_mul_eq (by positivity)] at h_sin2 h_sin2'

Premises used: eq_div_iff_mul_eq
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : Real.sin (∠ a b c) * dist b c = Real.sin (∠ c a b) * dist c a
h_sin2' : Real.sin (∠ a' b' c') * dist b' c' = Real.sin (∠ c' a' b') * dist c' a'
h_sin2₁ : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c a / dist b c
⊢ Real.sin (∠ a' b' c') = Real.sin (∠ c' a' b') * dist c' a' / dist b' c'

Tactic:
rw [← eq_div_iff_mul_eq (by positivity)] at h_sin2 h_sin2'

Premises used: eq_div_iff_mul_eq
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c a / dist b c
h_sin2' : Real.sin (∠ a' b' c') = Real.sin (∠ c' a' b') * dist c' a' / dist b' c'
⊢ Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'

Tactic:
rw [← h₁, ← h₃] at h_sin2'
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : dist c' a' / dist b' c' = dist c a / dist b c
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
⊢ dist b' c' ≠ 0

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : dist c' a' / dist b' c' = dist c a / dist b c
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
⊢ dist b c ≠ 0

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c a / dist b c
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
⊢ dist b c * dist c' a' = dist c a * dist b' c'

Tactic:
rw [h_sin2', mul_div_assoc, mul_div_assoc, mul_right_inj' h_sin_ne2,
    div_eq_div_iff (by positivity) (by positivity), mul_comm] at h_sin2

Premises used: mul_div_assoc, div_eq_div_iff, mul_comm, mul_right_inj'
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c a / dist b c
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
h_sin2₁ : dist b c * dist c' a' = dist c a * dist b' c'
⊢ Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'

Tactic:
rw [h_sin2', mul_div_assoc, mul_div_assoc, mul_right_inj' h_sin_ne2,
    div_eq_div_iff (by positivity) (by positivity), mul_comm] at h_sin2

Premises used: mul_div_assoc, div_eq_div_iff, mul_comm, mul_right_inj'
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : dist b c * dist c' a' = dist c a * dist b' c'
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
h : ![c, b, a] ∼ ![c', b', a']
⊢ ![a, b, c] ∼ ![a', b', c']

Tactic:
apply Similar.reverse_of_three

Premises used: Similar.reverse_of_three
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : dist b c * dist c' a' = dist c a * dist b' c'
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
h : ![b, c, a] ∼ ![b', c', a']
⊢ ![c, b, a] ∼ ![c', b', a']

Tactic:
apply Similar.comm_left

Premises used: Similar.comm_left
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : dist b c * dist c' a' = dist c a * dist b' c'
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
⊢ dist b c ≠ 0

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Similarity
Goal:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst : NormedAddCommGroup V₁
inst_1 : NormedAddCommGroup V₂
inst_2 : InnerProductSpace ℝ V₁
inst_3 : InnerProductSpace ℝ V₂
inst_4 : MetricSpace P₁
inst_5 : MetricSpace P₂
inst_6 : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst_7 : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h_not_col : ¬Collinear ℝ (P := P₁) {a, b, c}
h₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
h₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hne_pi_div_two : ∠ a b c ≠ Real.pi / 2 ∨ ∠ b c a ≠ Real.pi / 2
not_all_eq : a' ≠ b' ∨ b' ≠ c' ∨ a' ≠ c'
h_not_col' : ¬Collinear ℝ (P := P₂) {a', b', c'}
h_pos1 : 0 < dist a b
h_pos1' : 0 < dist a' b'
h_pos2 : 0 < dist b c
h_pos2' : 0 < dist b' c'
h₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_sin_ne1 : Real.sin (∠ b c a) ≠ 0
h_sin_ne2 : Real.sin (∠ c a b) ≠ 0
h_sin1 : dist a b * dist b' c' = dist b c * dist a' b'
h_sin1' : Real.sin (∠ c a b) = Real.sin (∠ b c a) * dist b' c' / dist a' b'
h_sin2 : dist b c * dist c' a' = dist c a * dist b' c'
h_sin2' : Real.sin (∠ a b c) = Real.sin (∠ c a b) * dist c' a' / dist b' c'
⊢ dist b' c' ≠ 0

Tactic:
positivity