-- Module: Mathlib.NumberTheory.LSeries.Nonvanishing
Goal:
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ
h₀ : 1 < (1 + (↑x : ℂ)).re
h₁ : 1 < (1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)).re
h₂ : 1 < (1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ)).re
H₀ :
  Summable (α := ℂ) fun (p : Nat.Primes) ↦
    -log
        (1 -
          HMul.hMul (α := ℂ) ((1 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
            (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ)))))
H₁ :
  Summable (α := ℂ) fun (p : Nat.Primes) ↦
    -log
        (1 -
          HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
            (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)))))
H₂ :
  Summable (α := ℂ) fun (p : Nat.Primes) ↦
    -log
        (1 -
          HMul.hMul (α := ℂ) ((HPow.hPow (β := ℕ) χ 2 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
            (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ)))))
hsum₀ :
  Summable (α := ℝ) fun (i : Nat.Primes) ↦
    3 *
      (-log
            (1 -
              HMul.hMul (α := ℂ) ((1 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑i : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑i : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ)))))).re
hsum₁ :
  Summable (α := ℝ) fun (i : Nat.Primes) ↦
    4 *
      (-log
            (1 -
              HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑i : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑i : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)))))).re
hsum₂ :
  Summable (α := ℝ) fun (x_1 : Nat.Primes) ↦
    (-log
          (1 -
            HMul.hMul (α := ℂ) ((HPow.hPow (β := ℕ) χ 2 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑x_1 : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
              (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑x_1 : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ)))))).re
rw :
  LE.le (α := ℝ) 0
    (∑' (b : Nat.Primes),
      (3 *
            (-log
                  (1 -
                    HMul.hMul (α := ℂ) ((1 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑b : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑b : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ)))))).re +
          4 *
            (-log
                  (1 -
                    HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑b : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑b : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)))))).re +
        (-log
              (1 -
                HMul.hMul (α := ℂ) ((HPow.hPow (β := ℕ) χ 2 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑b : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                  (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑b : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ)))))).re))
⊢ 0 ≤
    3 *
          re
            (∑' (p : Nat.Primes),
              -log
                  (1 -
                    HMul.hMul (α := ℂ) ((1 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ)))))) +
        4 *
          re
            (∑' (p : Nat.Primes),
              -log
                  (1 -
                    HMul.hMul (α := ℂ) ((χ : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                      (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + I * (↑y : ℂ)))))) +
      re
        (∑' (p : Nat.Primes),
          -log
              (1 -
                HMul.hMul (α := ℂ) ((HPow.hPow (β := ℕ) χ 2 : (a : ZMod N) → ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ZMod N) : ℂ)
                  (HPow.hPow (α := ℂ) (↑(↑p : ℕ) : ℂ) (-(1 + (↑x : ℂ) + 2 * I * (↑y : ℂ))))))

Tactic:
rw [re_tsum H₀, re_tsum H₁, re_tsum H₂, ← tsum_mul_left, ← tsum_mul_left,
    ← hsum₀.tsum_add hsum₁, ← (hsum₀.add hsum₁).tsum_add hsum₂]

Premises used: Summable.add, tsum_mul_left, Complex.re_tsum, Summable.tsum_add