awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x : (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)
x₁ : (↑W : Type u)
hx₁ :
  Eq (α := (↑Y : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₁ :
          (a : (↑W : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x₁ :
      (↑Y : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback g₁ g₂) (pullback.fst g₁ g₂) :
          (a : (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x :
      (↑Y : Type u))
x₂ : (↑X : Type u)
hx₂ :
  Eq (α := (↑Z : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₂ :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
        x₂ :
      (↑Z : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback g₁ g₂) (pullback.snd g₁ g₂) :
          (a : (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)) → (↑Z : Type u))
        x :
      (↑Z : Type u))
⊢ Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f₁ :
          (a : (↑W : Type u)) → (↑S : Type u))
        x₁ :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f₂ :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        x₂ :
      (↑S : Type u))

Tactic:
have : f₁ x₁ = f₂ x₂ := by
    apply (TopCat.mono_iff_injective _).mp H₃
    rw [← ConcreteCategory.comp_apply, eq₁, ← ConcreteCategory.comp_apply, eq₂,
      ConcreteCategory.comp_apply, ConcreteCategory.comp_apply, hx₁, hx₂,
      ← ConcreteCategory.comp_apply, pullback.condition, ConcreteCategory.comp_apply]
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h :
  ∀ (x : (↑X : Type u)),
    Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
        (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.fst f g)) :
            (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u)))
        x ↔
      Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
        {x : (↑X : Type u) |
          ∃ (y : (↑Y : Type u)),
            Eq (α := (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      f :
                    (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                  x :
                (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      g :
                    (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                  y :
                (↑S : Type u))}
        x
⊢ Eq (α := Set (↑X : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.fst f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u)))
    {x : (↑X : Type u) |
      ∃ (y : (↑Y : Type u)),
        Eq (α := (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
              x :
            (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
              y :
            (↑S : Type u))}

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x : (↑X : Type u)
h :
  Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.fst f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u)))
      x →
    Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
      {x : (↑X : Type u) |
        ∃ (y : (↑Y : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      x
h₁ :
  Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
      {x : (↑X : Type u) |
        ∃ (y : (↑Y : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      x →
    Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.fst f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u)))
      x
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.fst f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u)))
      x ↔
    Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
      {x : (↑X : Type u) |
        ∃ (y : (↑Y : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      x

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
y : (↑(pullback f g) : Type u)
h :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.fst f g) :
              (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
            y :
          (↑X : Type u)) :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.snd f g) :
              (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
            y :
          (↑Y : Type u)) :
      (↑S : Type u))
⊢ Membership.mem (α := (↑X : Type u)) (γ := Set (↑X : Type u))
    {x : (↑X : Type u) |
      ∃ (y : (↑Y : Type u)),
        Eq (α := (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
              x :
            (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
              y :
            (↑S : Type u))}
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.fst f g) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
        y :
      (↑X : Type u))

Tactic:
use pullback.snd f g y

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, CategoryTheory.Limits.pullback.snd, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
y : (↑(pullback f g) : Type u)
⊢ Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.fst f g) :
              (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
            y :
          (↑X : Type u)) :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.snd f g) :
              (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
            y :
          (↑Y : Type u)) :
      (↑S : Type u))

Tactic:
CategoryTheory.congr_fun pullback.condition y

Premises used: CategoryTheory.congr_fun, CategoryTheory.Limits.pullback.condition
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
y : (↑(pullback f g) : Type u)
⊢ Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.fst f g) :
              (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
            y :
          (↑X : Type u)) :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.snd f g) :
              (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
            y :
          (↑Y : Type u)) :
      (↑S : Type u))

Tactic:
exact CategoryTheory.congr_fun pullback.condition y

Premises used: CategoryTheory.congr_fun, CategoryTheory.Limits.pullback.condition
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x : (↑X : Type u)
y : (↑Y : Type u)
eq :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        x :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        y :
      (↑S : Type u))
h :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback f g) (pullback.fst f g) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (pullbackIsoProdSubtype f g).inv :
            (a :
                (↑(of
                      { p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u) //
                        (ConcreteCategory.hom f : (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u)) p.1 =
                          (ConcreteCategory.hom g : (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u)) p.2 }) :
                  Type u)) →
              (↑(pullback f g) : Type u))
          (Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
            Eq (α := (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      f :
                    (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.1 :
                (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      g :
                    (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.2 :
                (↑S : Type u)))
            (x, y) eq) :
        (↑(pullback f g) : Type u)) =
    x
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.fst f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u)))
    x

Tactic:
use (TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).inv ⟨⟨x, y⟩, eq⟩

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, Prod.mk, Subtype.mk, TopCat.pullbackIsoProdSubtype, DFunLike.coe, CategoryTheory.Iso.inv
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x : (↑X : Type u)
y : (↑Y : Type u)
eq :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        x :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        y :
      (↑S : Type u))
h h₁ :
  (↑(Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
            Eq (α := (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      f :
                    (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.1 :
                (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      g :
                    (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.2 :
                (↑S : Type u)))
            (x, y) eq) :
        (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)).1 =
    x
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback f g) (pullback.fst f g) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (pullbackIsoProdSubtype f g).inv :
            (a :
                (↑(of
                      { p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u) //
                        (ConcreteCategory.hom f : (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u)) p.1 =
                          (ConcreteCategory.hom g : (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u)) p.2 }) :
                  Type u)) →
              (↑(pullback f g) : Type u))
          (Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
            Eq (α := (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      f :
                    (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.1 :
                (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      g :
                    (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.2 :
                (↑S : Type u)))
            (x, y) eq) :
        (↑(pullback f g) : Type u)) =
    x

Tactic:
rw [pullbackIsoProdSubtype_inv_fst_apply]

Premises used: TopCat.pullbackIsoProdSubtype_inv_fst_apply
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h :
  ∀ (y : (↑Y : Type u)),
    Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
        (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.snd f g)) :
            (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
        y ↔
      Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
        {y : (↑Y : Type u) |
          ∃ (x : (↑X : Type u)),
            Eq (α := (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      f :
                    (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                  x :
                (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      g :
                    (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                  y :
                (↑S : Type u))}
        y
⊢ Eq (α := Set (↑Y : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.snd f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
    {y : (↑Y : Type u) |
      ∃ (x : (↑X : Type u)),
        Eq (α := (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
              x :
            (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
              y :
            (↑S : Type u))}

Tactic:
ext y
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
y : (↑Y : Type u)
h :
  Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.snd f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
      y →
    Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      {y : (↑Y : Type u) |
        ∃ (x : (↑X : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      y
h₁ :
  Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      {y : (↑Y : Type u) |
        ∃ (x : (↑X : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      y →
    Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.snd f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
      y
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.snd f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
      y ↔
    Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      {y : (↑Y : Type u) |
        ∃ (x : (↑X : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      y

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x : (↑(pullback f g) : Type u)
h :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.fst f g) :
              (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
            x :
          (↑X : Type u)) :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
                pullback f g) (pullback.snd f g) :
              (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
            x :
          (↑Y : Type u)) :
      (↑S : Type u))
⊢ Membership.mem (α := (↑Y : Type u)) (γ := Set (↑Y : Type u))
    {y : (↑Y : Type u) |
      ∃ (x : (↑X : Type u)),
        Eq (α := (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
              x :
            (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
              y :
            (↑S : Type u))}
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.snd f g) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x :
      (↑Y : Type u))

Tactic:
use pullback.fst f g x

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom, CategoryTheory.Limits.pullback.fst, DFunLike.coe