-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsMIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E :=
  fun (x : E) ↦
    (tangentCoordChange I ((↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M) x) (γ t₀) ((↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M) x) :
        (a : E) → E)
      (v ((↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M) x) : TangentSpace I ((↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M) x))
hv' :
  v' = fun (x : E) ↦
    (tangentCoordChange I ((↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M) x) (γ t₀) ((↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M) x) :
        (a : E) → E)
      (v ((↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M) x) : TangentSpace I ((↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M) x))
left : ContinuousAt (Y := Bundle.TotalSpace.{u_3, u_1, u_1} (B := M) E (TangentSpace I)) (fun (x : M) ↦ ⟨x, v x⟩) (γ t₀)
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1
    (comp (β := Bundle.TotalSpace.{u_3, u_1, u_1} (B := M) E (TangentSpace I))
      (↑(extChartAt (I.prod 𝓘(ℝ, E)) ⟨γ t₀, v (γ t₀)⟩) : Bundle.TotalSpace E (TangentSpace I) → E × E)
      ((fun (x : M) ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm : E → M)))
    (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I (γ t₀)) : M → E) (γ t₀))
K : NNReal
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 ((↑(extChartAt I (γ t₀)) : M → E) (γ t₀))
hlip_1 : LipschitzOnWith K v' s
hlip : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith.{u_1, u_1} (α := E) (β := E) K ((fun (x : ℝ) ↦ v') t) ((fun (x : ℝ) ↦ s) t)
hsrc : ∀ {g : ℝ → M} (hg : IsMIntegralCurveAt g v t₀), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 t₀, g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t
hmem : ∀ {g : ℝ → M} {t : ℝ} (ht : g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t), g t ∈ (extChartAt I (g t₀)).source
g : ℝ → M
hg : IsMIntegralCurveAt g v t₀
h' : γ t₀ = g t₀
t : ℝ
ht1 : g ⁻¹' (extChartAt I (g t₀)).source ∈ 𝓝 t
ht2 :
  HasDerivAt ((↑(extChartAt I (g t₀)) : M → E) ∘ g)
    ((tangentCoordChange I (g t) (g t₀) (g t) : (a : E) → E) (v (g t) : TangentSpace I (g t))) t
a :
  Eq (α := E) ((tangentCoordChange I (g t) (g t₀) (g t) : (a : E) → E) (v (g t) : TangentSpace I (g t)) : E)
    ((fun (x : ℝ) (x_1 : E) ↦
          ((tangentCoordChange I ((↑(extChartAt I (g t₀)).symm : E → M) x_1) (g t₀)
                  ((↑(extChartAt I (g t₀)).symm : E → M) x_1) :
                (a : E) → E)
              (v ((↑(extChartAt I (g t₀)).symm : E → M) x_1) :
                TangentSpace I ((↑(extChartAt I (g t₀)).symm : E → M) x_1)) :
            E))
        t (((↑(extChartAt I (g t₀)) : M → E) ∘ g) t) :
      E)
⊢ HasDerivAt ((↑(extChartAt I (g t₀)) : M → E) ∘ g)
    ((fun (x : ℝ) (x_1 : E) ↦
        ((tangentCoordChange I ((↑(extChartAt I (g t₀)).symm : E → M) x_1) (g t₀)
                ((↑(extChartAt I (g t₀)).symm : E → M) x_1) :
              (a : E) → E)
            (v ((↑(extChartAt I (g t₀)).symm : E → M) x_1) :
              TangentSpace I ((↑(extChartAt I (g t₀)).symm : E → M) x_1)) :
          E))
      t (((↑(extChartAt I (g t₀)) : M → E) ∘ g) t))
    t

Tactic:
apply ht2.congr_deriv

Premises used: HasDerivAt.congr_deriv