awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : Membership.mem (γ := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) x
y : ↥H
hy : Membership.mem (γ := Submodule K ↥H) (K ∙ coroot α) y
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K)
    ((((traceForm K (↥H) L : (a : ↥H) → ↥H →ₗ[K] K) x : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥H) K) :
          (a : ↥H) → K)
        y :
      K)
    (0 : K)

Tactic:
have := traceForm_eq_zero_of_mem_ker_of_mem_span_coroot hx hy
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : Membership.mem (γ := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) x
y : ↥H
hy : Membership.mem (γ := Submodule K ↥H) (K ∙ coroot α) y
this :
  Eq.{u_2 + 1} (α := K)
    ((((traceForm K (↥H) L : (a : ↥H) → ↥H →ₗ[K] K) x : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥H) K) :
          (a : ↥H) → K)
        y :
      K)
    (0 : K)
refine_2 refine_2₁ refine_2₂ refine_2₃ :
  ∀
    (this :
      Eq.{u_2 + 1} (α := K)
        ((((traceForm K (↥H) L : (a : ↥H) → ↥H →ₗ[K] K) y : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥H) K) :
              (a : ↥H) → K)
            x :
          K)
        (0 : K)),
    LinearMap.IsOrtho (traceForm K (↥H) L) y x
⊢ LinearMap.IsOrtho (traceForm K (↥H) L) y x

Tactic:
rwa [traceForm_comm] at this

Premises used: LieModule.traceForm_comm
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
if :
  ∀ (hα : α.IsZero),
    Eq (α := Submodule K ↥H) (LinearMap.BilinForm.orthogonal (traceForm K (↥H) L) (K ∙ coroot α))
      (Weight.ker (M := L) (χ := α))
if₁ :
  ∀ (hα : ¬α.IsZero),
    Eq (α := Submodule K ↥H) (LinearMap.BilinForm.orthogonal (traceForm K (↥H) L) (K ∙ coroot α))
      (Weight.ker (M := L) (χ := α))
if₂ :
  ∀ (hα : α.IsZero),
    Eq (α := Submodule K ↥H) (LinearMap.BilinForm.orthogonal (traceForm K (↥H) L) (K ∙ coroot α))
      (Weight.ker (M := L) (χ := α))
if₃ if₄ :
  ∀ (hα : ¬α.IsZero),
    Eq (α := Submodule K ↥H) (LinearMap.BilinForm.orthogonal (traceForm K (↥H) L) (K ∙ coroot α))
      (Weight.ker (M := L) (χ := α))
⊢ Eq (α := Submodule K ↥H) (LinearMap.BilinForm.orthogonal (traceForm K (↥H) L) (K ∙ coroot α))
    (Weight.ker (M := L) (χ := α))

Tactic:
if hα : α.IsZero then
    have hα' : coroot α = 0 := by simpa
    replace hα : α.ker = ⊤ := by ext; simp [hα]
    simp [hα, hα']
  else
    refine le_antisymm (fun x hx ↦ ?_) (fun x hx y hy ↦ ?_)
    · simp only [LinearMap.BilinForm.mem_orthogonal_iff] at hx
      specialize hx (coroot α) (Submodule.mem_span_singleton_self _)
      simp only [LinearMap.BilinForm.isOrtho_def, traceForm_coroot, smul_eq_mul, nsmul_eq_mul,
        Nat.cast_ofNat, mul_eq_zero, OfNat.ofNat_ne_zero, inv_eq_zero, false_or] at hx
      simpa using hx.resolve_left (root_apply_cartanEquivDual_symm_ne_zero hα)
    · have := traceForm_eq_zero_of_mem_ker_of_mem_span_coroot hx hy
      rwa [traceForm_comm] at this

Premises used: inv_eq_zero, Nat.cast_ofNat, OfNat.ofNat_ne_zero, LieModule.Weight.IsZero, LieModule.traceForm_comm, false_or, mul_eq_zero, le_antisymm, LinearMap.BilinForm.mem_orthogonal_iff, nsmul_eq_mul, LieAlgebra.IsKilling.traceForm_coroot, smul_eq_mul, LinearMap.BilinForm.isOrtho_def
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
h : α = β
rw rw₁ : coroot β = coroot β
⊢ coroot α = coroot β

Tactic:
rw [h]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
refine : ∀ (hyp : coroot α = coroot β), α = β
⊢ coroot α = coroot β ↔ α = β

Tactic:
refine ⟨fun hyp ↦ ?_, fun h ↦ by rw [h]⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : α.IsZero
rw : ∀ (hα : coroot α = 0), coroot β = 0
⊢ β.IsZero

Tactic:
rw [← coroot_eq_zero_iff] at hα ⊢

Premises used: LieAlgebra.IsKilling.coroot_eq_zero_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ : coroot α = 0
⊢ coroot β = 0

Tactic:
rwa [← hyp]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : α.IsZero
⊢ β.IsZero

Tactic:
have hβ : β.IsZero := by
      rw [← coroot_eq_zero_iff] at hα ⊢
      rwa [← hyp]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : α.IsZero
hβ : β.IsZero
h : ∀ (x : ↥H), Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((α : (a : ↥H) → K) x : K) ((β : (a : ↥H) → K) x : K)
⊢ α = β

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : α.IsZero
hβ : β.IsZero
x : ↥H
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((α : (a : ↥H) → K) x : K) ((β : (a : ↥H) → K) x : K)

Tactic:
simp [hα.eq, hβ.eq]

Premises used: LieModule.Weight.IsZero.eq
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
contrapose : ∀ (hα : β.IsZero), α.IsZero
⊢ β.IsNonZero

Tactic:
contrapose hα
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : β.IsZero
simp : ∀ (hα : coroot β = 0), coroot α = 0
⊢ α.IsZero

Tactic:
simp only [← coroot_eq_zero_iff] at hα ⊢

Premises used: LieAlgebra.IsKilling.coroot_eq_zero_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ : coroot β = 0
⊢ coroot α = 0

Tactic:
rwa [hyp]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
⊢ β.IsNonZero

Tactic:
have hβ : β.IsNonZero := by
      contrapose hα
      simp only [← coroot_eq_zero_iff] at hα ⊢
      rwa [hyp]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
hβ : β.IsNonZero
rw :
  Eq (α := Submodule K ↥H) (LinearMap.BilinForm.orthogonal (traceForm K (↥H) L) (K ∙ coroot α))
    (Weight.ker (M := L) (χ := β))
rw₁ :
  Eq (α := Submodule K ↥H) (LinearMap.BilinForm.orthogonal (traceForm K (↥H) L) (K ∙ coroot β))
    (Weight.ker (M := L) (χ := β))
rw₂ rw₃ : Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := β)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))

Tactic:
rw [← orthogonal_span_coroot_eq_ker α, hyp, orthogonal_span_coroot_eq_ker]

Premises used: LieAlgebra.IsKilling.orthogonal_span_coroot_eq_ker
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
hβ : β.IsNonZero
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))

Tactic:
have : α.ker = β.ker := by
      rw [← orthogonal_span_coroot_eq_ker α, hyp, orthogonal_span_coroot_eq_ker]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
hβ : β.IsNonZero
this_1 : Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))
this : Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
h : ∀ (x : ↥H), Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((α : (a : ↥H) → K) x : K) ((β : (a : ↥H) → K) x : K)
⊢ α = β

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
hβ : β.IsNonZero
this_1 : Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))
this : Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
x : ↥H
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((α : (a : ↥H) → K) x : K) ((β : (a : ↥H) → K) x : K)

Tactic:
simpa using LinearMap.congr_fun this x

Premises used: LinearMap.congr_fun
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
hβ : β.IsNonZero
this : Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))
suffices : Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
⊢ α = β

Tactic:
suffices (α : H →ₗ[K] K) = β by ext x; simpa using LinearMap.congr_fun this x
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
hβ : β.IsNonZero
this : Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))
h' :
  Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((Weight.toLinear K (↥H) L α : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K)
    ((Weight.toLinear K (↥H) L β : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K)
hx : Ne.{u_2 + 1} (α := K) ((Weight.toLinear K (↥H) L α : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K) (0 : K)
⊢ Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β

Tactic:
apply Module.Dual.eq_of_ker_eq_of_apply_eq (coroot α) this

Premises used: Module.Dual.eq_of_ker_eq_of_apply_eq, LieAlgebra.IsKilling.coroot
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
hβ : β.IsNonZero
this : Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))
h' :
  Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((α : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K) ((Weight.toLinear K (↥H) L β : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K)
h'₁ : Eq.{u_2 + 1} (α := K) (2 : K) ((Weight.toLinear K (↥H) L β : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K)
h'₂ : Eq.{u_2 + 1} (α := K) (2 : K) ((Weight.toLinear K (↥H) L β : (a : ↥H) → K) (coroot β) : K)
h'₃ : Eq.{u_2 + 1} (α := K) (2 : K) ((β : (a : ↥H) → K) (coroot β) : K)
h'₄ h'₅ : Eq.{u_2 + 1} (α := K) 2 2
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((Weight.toLinear K (↥H) L α : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K)
    ((Weight.toLinear K (↥H) L β : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K)

Tactic:
rw [Weight.toLinear_apply, root_apply_coroot hα, hyp, Weight.toLinear_apply,
        root_apply_coroot hβ]

Premises used: LieAlgebra.IsKilling.root_apply_coroot, LieModule.Weight.toLinear_apply
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
hα : ¬α.IsZero
hβ : β.IsNonZero
this : Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule K ↥H) (Weight.ker (M := L) (χ := α)) (Weight.ker (M := L) (χ := β))
⊢ Ne.{u_2 + 1} (α := K) ((Weight.toLinear K (↥H) L α : (a : ↥H) → K) (coroot α) : K) (0 : K)

Tactic:
simp [root_apply_coroot hα]

Premises used: LieAlgebra.IsKilling.root_apply_coroot
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
if : ∀ (hα : α.IsZero), α = β
if₁ : ∀ (hα : ¬α.IsZero), α = β
if₂ : ∀ (hα : α.IsZero), α = β
if₃ if₄ : ∀ (hα : ¬α.IsZero), α = β
⊢ α = β

Tactic:
if hα : α.IsZero then
    have hβ : β.IsZero := by
      rw [← coroot_eq_zero_iff] at hα ⊢
      rwa [← hyp]
    ext
    simp [hα.eq, hβ.eq]
  else
    have hβ : β.IsNonZero := by
      contrapose hα
      simp only [← coroot_eq_zero_iff] at hα ⊢
      rwa [hyp]
    have : α.ker = β.ker := by
      rw [← orthogonal_span_coroot_eq_ker α, hyp, orthogonal_span_coroot_eq_ker]
    suffices (α : H →ₗ[K] K) = β by ext x; simpa using LinearMap.congr_fun this x
    apply Module.Dual.eq_of_ker_eq_of_apply_eq (coroot α) this
    · rw [Weight.toLinear_apply, root_apply_coroot hα, hyp, Weight.toLinear_apply,
        root_apply_coroot hβ]
    · simp [root_apply_coroot hα]

Premises used: LieModule.Weight.IsZero, LieModule.Weight.toLinear_apply
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
obtain :
  ∀ (e : L) (heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) (he₀ : e ≠ 0),
    ∃ (h : L) (e : L) (f : L),
      IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
⊢ ∃ (h : L) (e : L) (f : L),
    IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))

Tactic:
obtain ⟨e, heα : e ∈ rootSpace H α, he₀ : e ≠ 0⟩ := α.exists_ne_zero

Premises used: LieModule.Weight.exists_ne_zero, LieAlgebra.rootSpace, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
he₀ : e ≠ 0
contrapose! :
  ∀
    (he₀ :
      ∀ (f : L) (_ : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))),
        Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K) (0 : K)),
    e = 0
⊢ ∃ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)),
    Ne.{u_2 + 1} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K) (0 : K)

Tactic:
contrapose! he₀
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
he₀ :
  ∀ (f : L) (_ : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))),
    Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K) (0 : K)
⊢ e = 0

Tactic:
simpa using mem_ker_killingForm_of_mem_rootSpace_of_forall_rootSpace_neg K L H heα he₀

Premises used: LieAlgebra.mem_ker_killingForm_of_mem_rootSpace_of_forall_rootSpace_neg
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
he₀ : e ≠ 0
obtain :
  ∀ (f' : L) (hfα : f' ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
    (hf :
      Ne.{u_2 + 1} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f' : K) (0 : K)),
    ∃ (h : L) (e : L) (f : L),
      IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
⊢ ∃ (h : L) (e : L) (f : L),
    IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))

Tactic:
obtain ⟨f', hfα, hf⟩ : ∃ f ∈ rootSpace H (-α), killingForm K L e f ≠ 0 := by
    contrapose! he₀
    simpa using mem_ker_killingForm_of_mem_rootSpace_of_forall_rootSpace_neg K L H heα he₀

Premises used: LieAlgebra.rootSpace, DFunLike.coe, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
hf : Ne.{u_2 + 1} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f' : K) (0 : K)
⊢ ⁅e, f'⁆ =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) (β := L)
      ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f' : K)
      (↑(((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α)) : L)

Tactic:
have hef := lie_eq_killingForm_smul_of_mem_rootSpace_of_mem_rootSpace_neg heα hfα
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
hf : Ne.{u_2 + 1} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f' : K) (0 : K)
hef :
  ⁅e, f'⁆ =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) (β := L)
      ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f' : K)
      (↑(((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α)) : L)
h : ↥H := Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) ⁅e, f'⁆ ⋯
simp :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) (β := L)
      ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f' : K)
      (↑(((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α)) : L) =
    (↑(HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) (β := ↥H)
          ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f' : K)
          (((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α) : ↥H)) :
      L)
⊢ h =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) (β := ↥H)
      ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f' : K)
      (((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α) : ↥H)

Tactic:
simp only [h, Subtype.ext_iff, hef]

Premises used: Subtype.ext_iff