awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FaithfulSMul R S
inst_4 : IsIntegrallyClosed R
inst_5 : IsDomain S
P : Ideal S
inst_6 : P.IsPrime
inst_7 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
this_1 : IsDomain R
f : R[X] →ₐ[R] S
hx' : f.Finite
hf' : Function.Injective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑f : (a : R[X]) → S)
hx : IsStronglyTranscendental.{u_1, u_2} R (S := S) ((f : (a : R[X]) → S) X : S)
hf : aeval ((f : (a : R[X]) → S) X) = f
this_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] S := f.toAlgebra
this_3 : IsScalarTower R R[X] S
this_4 : Module.Finite.{u_1, u_2} R[X] S
this_5 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] S
this : LT.lt (α := Ideal R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P)) (Ideal.under R[X] P)
Q : Ideal S
hQ : Q < P
left : Q.IsPrime
e : Eq (α := Ideal R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P)) (Ideal.under R[X] Q)
refine : Eq (α := Ideal R) (Ideal.under R Q) (Ideal.under R P)
⊢ False

Tactic:
refine hQ.ne (Algebra.WeaklyQuasiFiniteAt.eq_of_le_of_under_eq (R := R) hQ.le ?_)

Premises used: Algebra.WeaklyQuasiFiniteAt.eq_of_le_of_under_eq, LT.lt.le, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FaithfulSMul R S
inst_4 : IsIntegrallyClosed R
inst_5 : IsDomain S
P : Ideal S
inst_6 : P.IsPrime
inst_7 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
this_1 : IsDomain R
f : R[X] →ₐ[R] S
hx' : f.Finite
hf' : Function.Injective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑f : (a : R[X]) → S)
hx : IsStronglyTranscendental.{u_1, u_2} R (S := S) ((f : (a : R[X]) → S) X : S)
hf : aeval ((f : (a : R[X]) → S) X) = f
this_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] S := f.toAlgebra
this_3 : IsScalarTower R R[X] S
this_4 : Module.Finite.{u_1, u_2} R[X] S
this_5 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] S
this : LT.lt (α := Ideal R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P)) (Ideal.under R[X] P)
Q : Ideal S
hQ : Q < P
left : Q.IsPrime
e : Eq (α := Ideal R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P)) (Ideal.under R[X] Q)
rw : Eq (α := Ideal R) (Ideal.under R (B := R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P))) (Ideal.under R P)
⊢ Eq (α := Ideal R) (Ideal.under R Q) (Ideal.under R P)

Tactic:
rw [← Ideal.under_under (B := R[X]), ← e]

Premises used: Ideal.under_under
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FaithfulSMul R S
inst_4 : IsIntegrallyClosed R
inst_5 : IsDomain S
P : Ideal S
inst_6 : P.IsPrime
inst_7 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
this_1 : IsDomain R
f : R[X] →ₐ[R] S
hx' : f.Finite
hf' : Function.Injective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑f : (a : R[X]) → S)
hx : IsStronglyTranscendental.{u_1, u_2} R (S := S) ((f : (a : R[X]) → S) X : S)
hf : aeval ((f : (a : R[X]) → S) X) = f
this_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] S := f.toAlgebra
this_3 : IsScalarTower R R[X] S
this_4 : Module.Finite.{u_1, u_2} R[X] S
this_5 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] S
this : LT.lt (α := Ideal R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P)) (Ideal.under R[X] P)
Q : Ideal S
hQ : Q < P
left : Q.IsPrime
e : Eq (α := Ideal R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P)) (Ideal.under R[X] Q)
h :
  ∀ (x : R),
    Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.under R (B := R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P))) x ↔
      Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.under R P) x
⊢ Eq (α := Ideal R) (Ideal.under R (B := R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P))) (Ideal.under R P)

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FaithfulSMul R S
inst_4 : IsIntegrallyClosed R
inst_5 : IsDomain S
P : Ideal S
inst_6 : P.IsPrime
inst_7 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
this_1 : IsDomain R
f : R[X] →ₐ[R] S
hx' : f.Finite
hf' : Function.Injective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑f : (a : R[X]) → S)
hx : IsStronglyTranscendental.{u_1, u_2} R (S := S) ((f : (a : R[X]) → S) X : S)
hf : aeval ((f : (a : R[X]) → S) X) = f
this_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] S := f.toAlgebra
this_3 : IsScalarTower R R[X] S
this_4 : Module.Finite.{u_1, u_2} R[X] S
this_5 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] S
this : LT.lt (α := Ideal R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P)) (Ideal.under R[X] P)
Q : Ideal S
hQ : Q < P
left : Q.IsPrime
e : Eq (α := Ideal R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P)) (Ideal.under R[X] Q)
x : R
⊢ Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.under R (B := R[X]) (Ideal.map (F := R →+* R[X]) C (Ideal.under R P))) x ↔
    Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.under R P) x

Tactic:
simp [Ideal.mem_map_C_iff, coeff_C, apply_ite]

Premises used: apply_ite, Polynomial.coeff_C, Ideal.mem_map_C_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
⊢ IsDomain S'

Tactic:
have := (FaithfulSMul.algebraMap_injective S' L).isDomain
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this : IsDomain S'
⊢ IsDomain R

Tactic:
have := (FaithfulSMul.algebraMap_injective R K).isDomain
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this : IsDomain R
⊢ Algebra.IsIntegral R R'

Tactic:
have : Algebra.IsIntegral R R' := IsIntegralClosure.isIntegral_algebra _ K
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this : Algebra.IsIntegral R R'
⊢ FaithfulSMul R' K

Tactic:
have : FaithfulSMul R' K := (faithfulSMul_iff_algebraMap_injective _ _).mpr
    (IsIntegralClosure.algebraMap_injective R' R K)
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this : FaithfulSMul R' K
⊢ FaithfulSMul R R'

Tactic:
have : FaithfulSMul R R' := .tower_bot _ _ K
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this : FaithfulSMul R R'
⊢ FaithfulSMul R' L

Tactic:
have : FaithfulSMul R' L := .trans _ K _
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this : FaithfulSMul R' L
⊢ FaithfulSMul R' S'

Tactic:
have : FaithfulSMul R' S' := .tower_bot _ _ L
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this : FaithfulSMul R' S'
⊢ IsIntegrallyClosedIn R' K

Tactic:
have : IsIntegrallyClosedIn R' K := .of_isIntegralClosure R
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this : IsIntegrallyClosedIn R' K
⊢ IsIntegrallyClosed R'

Tactic:
have : IsIntegrallyClosed R' := .of_isIntegrallyClosed_of_isIntegrallyClosedIn _ K
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this_8 : IsIntegrallyClosedIn R' K
this : IsIntegrallyClosed R'
g : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S' := TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯
⊢ Function.Injective.{u_2 + 1, u_7 + 1} (α := S) (β := S') (⇑f : (a : S) → S')

Tactic:
have hf₃ : Function.Injective f :=
    .of_comp (f := algebraMap S' L) (hf₂ ▸ FaithfulSMul.algebraMap_injective S L:)
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this_8 : IsIntegrallyClosedIn R' K
this : IsIntegrallyClosed R'
g : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S' := TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯
hf₃ : Function.Injective.{u_2 + 1, u_7 + 1} (α := S) (β := S') (⇑f : (a : S) → S')
H :
  ∀ (x : S),
    Eq.{u_7 + 1} (α := S') ((f : (a : S) → S') x : S')
      ((AlgHom.comp (AlgHom.restrictScalars R g)
              (AlgHom.comp (↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S)
                (IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R'))) :
            (a : S) → S')
          x :
        S')
⊢ f =
    AlgHom.comp (AlgHom.restrictScalars R g)
      (AlgHom.comp (↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S) (IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R')))

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this_8 : IsIntegrallyClosedIn R' K
this : IsIntegrallyClosed R'
g : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S' := TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯
hf₃ : Function.Injective.{u_2 + 1, u_7 + 1} (α := S) (β := S') (⇑f : (a : S) → S')
x_1 : S
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := S') ((f : (a : S) → S') x_1 : S')
    ((AlgHom.comp (AlgHom.restrictScalars R g)
            (AlgHom.comp (↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S)
              (IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R'))) :
          (a : S) → S')
        x_1 :
      S')

Tactic:
simp [g]