-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.ColimitFunctor
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : LocallySmall.{w, v, u} C
inst_2 : IsCofiltered.{v, u} C
inst_3 : InitiallySmall.{w, v, u} C
R : CategoryTheory.Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ RingCat
cR : Cocone R
hcR : IsColimit cR
M : PresheafOfModules R
cM : Cocone M.presheaf
hcM : IsColimit cM
M' : PresheafOfModules R
cM' : Cocone M'.presheaf
hcM' : IsColimit cM'
M'' : PresheafOfModules R
cM'' : Cocone M''.presheaf
hcM'' : IsColimit cM''
m : ModuleColimit hcR hcM
m' : ModuleColimit hcR hcM'
m'' : ModuleColimit hcR hcM''
obtain :
  ∀ (U : Cᵒᵖ)
    (x :
      (M.presheaf ⋙
            forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier)).obj
        U)
    (x' :
      (M'.presheaf ⋙
            forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier)).obj
        U)
    (x'' :
      (M''.presheaf ⋙
            forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier)).obj
        U)
    (h :
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (NatTrans.app
                (Cocone.ι
                  (Cocone.tensor
                    (Functor.mapCocone
                      (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                        (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                      cM)
                    (Cocone.tensor
                      (Functor.mapCocone
                        (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                          (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                        cM')
                      (Functor.mapCocone
                        (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                          (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                        cM''))))
                U) :
            (a :
                (fun (X : Type w) ↦ X)
                  ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                        M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                    U)) →
              (fun (X : Type w) ↦ X)
                (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                      (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                          (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                            ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                  U))
          (x, x', x'') =
        (m, m', m'')),
    ∃ (U : Cᵒᵖ) (x : (↑(M.obj U) : Type w)) (x' : (↑(M'.obj U) : Type w)) (x'' : (↑(M''.obj U) : Type w)),
      (ιM : (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) x = m ∧
        (ιM : (a : (↑(M'.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM') x' = m' ∧
          (ιM : (a : (↑(M''.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM'') x'' = m''
⊢ ∃ (U : Cᵒᵖ) (x : (↑(M.obj U) : Type w)) (x' : (↑(M'.obj U) : Type w)) (x'' : (↑(M''.obj U) : Type w)),
    (ιM : (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) x = m ∧
      (ιM : (a : (↑(M'.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM') x' = m' ∧
        (ιM : (a : (↑(M''.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM'') x'' = m''

Tactic:
obtain ⟨U, ⟨x, x', x''⟩, h⟩ := Types.jointly_surjective_of_isColimit
    ((isColimitOfPreserves (forget AddCommGrpCat) hcM).tensor
      ((isColimitOfPreserves (forget AddCommGrpCat) hcM').tensor
        (isColimitOfPreserves (forget AddCommGrpCat) hcM''))) ⟨m, m', m''⟩

Premises used: CategoryTheory.Limits.IsColimit.tensor, Prod.mk, CategoryTheory.Limits.Types.jointly_surjective_of_isColimit, AddCommGrpCat, CategoryTheory.forget, CategoryTheory.Limits.isColimitOfPreserves