awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
x : ι
hx :
  (P.root : (a : ι) → M) x =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
hx' :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
⊢ False

Tactic:
exact h₅ ⟨k, by rw [hx', hx]; abel⟩

Premises used: Exists.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))

Tactic:
have aux₃ : ∀ x ∈ Finset.univ,
          ¬ (P.root x = P.root i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root j) := by
        rintro x - ⟨hx, hx'⟩; exact h₅ ⟨k, by rw [hx', hx]; abel⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
x : ι
hx :
  (P.root : (a : ι) → M) x =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
hx' :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M)
rw :
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
      (HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)) =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) k =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)

Tactic:
rw [hx', hx]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
x : ι
hx :
  (P.root : (a : ι) → M) x =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
hx' :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M)
⊢ HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
      (HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)) =
    HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)

Tactic:
abel
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
x : ι
hx :
  (P.root : (a : ι) → M) x =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
hx' :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M)
⊢ False

Tactic:
exact h₅ ⟨k, by rw [hx', hx]; abel⟩

Premises used: Exists.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
⊢ ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))

Tactic:
have aux₄ : ∀ x ∈ Finset.univ,
          ¬ (P.root x = P.root l - P.root j ∧ P.root k = P.root i + P.root x) := by
        rintro x - ⟨hx, hx'⟩; exact h₅ ⟨k, by rw [hx', hx]; abel⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
aux₄ :
  ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    (∑ x : ι,
      if
          (P.root : (a : ι) → M) x =
              HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
            (P.root : (a : ι) → M) k =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) then
        HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R)
            1 *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) l) : R)
            1
      else 0)
    (∑ x : ι,
      if
          (P.root : (a : ι) → M) x =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
            (P.root : (a : ι) → M) k =
              HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) then
        HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) x) : R)
            1 *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l) : R)
            1
      else 0)

Tactic:
simp [Finset.sum_ite_of_false aux₃, Finset.sum_ite_of_false aux₄]

Premises used: Finset.sum_ite_of_false
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
h₆ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
rwa : Ne.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
⊢ HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)

Tactic:
rwa [b.root_sub_mem_iff_root_add_mem i j l hij' i.property j.property h₃ _ h₅]

Premises used: RootPairing.Base.root_sub_mem_iff_root_add_mem, Subtype.val, Subtype.property
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
h₆ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ Ne.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
h₆ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)

Tactic:
have h₇ : P.root l - P.root j ∉ range P.root := by
        rwa [b.root_sub_mem_iff_root_add_mem i j l hij' i.property j.property h₃ _ h₅]
        simpa
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
h₆ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
h₇ :
  HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
x : ι
hx :
  (P.root : (a : ι) → M) x =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
rw :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) x =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)

Tactic:
rw [hx]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
h₆ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
h₇ :
  HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
x : ι
hx :
  (P.root : (a : ι) → M) x =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
⊢ HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)

Tactic:
abel
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
h₆ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
h₇ :
  HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
x : ι
hx :
  (P.root : (a : ι) → M) x =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
⊢ False

Tactic:
exact h₆ ⟨x, by rw [hx]; abel⟩

Premises used: Exists.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
h₆ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
h₇ :
  HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))

Tactic:
have aux₃ : ∀ x ∈ Finset.univ,
          ¬ (P.root x = P.root i + P.root l ∧ P.root k = P.root x - P.root j) := by
        rintro x - ⟨hx, -⟩; exact h₆ ⟨x, by rw [hx]; abel⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
h₆ :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
h₇ :
  HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₃ :
  ∀ (x : ι),
    Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ x →
      ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
          (P.root : (a : ι) → M) k =
            HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
x : ι
hx :
  (P.root : (a : ι) → M) x =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
hx' :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M)
⊢ False

Tactic:
h₇ ⟨x, hx⟩

Premises used: Exists.intro