awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
this : Fintype ι
r : ℕ := Finset.sup Finset.univ fun (j : ι) ↦ if h : j = i then r₁ else rₙ j h
⊢ r₁ ≤ r

Tactic:
exact Finset.le_sup_dite_pos (p := fun j ↦ j = i) (f := fun _ _ ↦ r₁) (Finset.mem_univ _) rfl

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.le_sup_dite_pos, Eq, rfl
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b
hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ (a : ℕ), r₁ ≤ a → LE.le.{u_2} (α := S) (2 : S) ((v i : (a : R) → S) (c a) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
this : Fintype ι
r : ℕ := Finset.sup Finset.univ fun (j : ι) ↦ if h : j = i then r₁ else rₙ j h
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) (c r) : S) (1 : S)

Tactic:
simpa using hrₙ j hj _ <| Finset.le_sup_dite_neg (fun j ↦ j = i) (Finset.mem_univ j) _

Premises used: Finset.mem_univ, Finset.le_sup_dite_neg, Eq
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
⊢ LT.lt.{u_2} (α := S) ((v i : (a : R) → S) a⁻¹ : S) (1 : S)

Tactic:
have : v i a⁻¹ < 1 := map_inv₀ (v i) a ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ ha
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
this : LT.lt.{u_2} (α := S) ((v i : (a : R) → S) a⁻¹ : S) (1 : S)
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)

Tactic:
simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_one this).mul_const (v i b)

Premises used: Filter.Tendsto.mul_const, AbsoluteValue.tendsto_div_one_add_pow_nhds_one, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)

Tactic:
have hcᵢ : Tendsto (fun n ↦ v i (c n)) atTop (𝓝 (v i b)) := by
    have : v i a⁻¹ < 1 := map_inv₀ (v i) a ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ ha
    simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_one this).mul_const (v i b)
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
j : ι
hj : j ≠ i
h : a = 0
linarith : -1 + HSub.hSub (α := S) 1 0 = 0
⊢ False

Tactic:
linarith [map_zero (v _) ▸ h ▸ ha]
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v j : (a : R) → S) a⁻¹ : S)

Tactic:
have : 1 < v j a⁻¹ := map_inv₀ (v j) _ ▸
      (one_lt_inv₀ <| (v j).pos fun h ↦ by linarith [map_zero (v _) ▸ h ▸ ha]).2 (haj j hj)
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
j : ι
hj : j ≠ i
this : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v j : (a : R) → S) a⁻¹ : S)
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_zero this).mul_const _

Premises used: Filter.Tendsto.mul_const, AbsoluteValue.tendsto_div_one_add_pow_nhds_zero
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
⊢ ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
have hcⱼ (j : ι) (hj : j ≠ i) : atTop.Tendsto (fun n ↦ v j (c n)) (𝓝 0) := by
    have : 1 < v j a⁻¹ := map_inv₀ (v j) _ ▸
      (one_lt_inv₀ <| (v j).pos fun h ↦ by linarith [map_zero (v _) ▸ h ▸ ha]).2 (haj j hj)
    simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_zero this).mul_const _
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
⊢ LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) a⁻¹ : S) (1 : S)

Tactic:
have : w a⁻¹ < 1 := map_inv₀ w _ ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ haw
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
this : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) a⁻¹ : S) (1 : S)
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)

Tactic:
simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_one this).mul_const (w b)

Premises used: Filter.Tendsto.mul_const, AbsoluteValue.tendsto_div_one_add_pow_nhds_one, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)

Tactic:
have hcₙ : atTop.Tendsto (fun n ↦ w (c n)) (𝓝 (w b)) := by
    have : w a⁻¹ < 1 := map_inv₀ w _ ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ haw
    simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_one this).mul_const (w b)
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
⊢ ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)

Tactic:
simp_rw +instances [OrderTopology.topology_eq_generate_intervals,
    TopologicalSpace.tendsto_nhds_generateFrom_iff, mem_atTop_sets, Set.mem_preimage] at hcⱼ

Premises used: TopologicalSpace.tendsto_nhds_generateFrom_iff, Filter.mem_atTop_sets, OrderTopology.topology_eq_generate_intervals, Set.mem_preimage
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
choose :
  ∀ (r₁ : ℕ) (hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)),
    ∃ (k : R),
      LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
        (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
          LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)

Tactic:
choose r₁ hr₁ using Filter.eventually_atTop.1 <| Filter.Tendsto.eventually_const_lt hb hcᵢ

Premises used: Filter.Tendsto.eventually_const_lt, Iff.mp, Filter.eventually_atTop
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} (Set.Iio 1)

Tactic:
simpa using ⟨1, .inr rfl⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ Membership.mem (γ := Set S) (Set.Iio 1) 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)
choose :
  ∀ (rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ)
    (hrₙ :
      ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
        ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)),
    ∃ (k : R),
      LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
        (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
          LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)

Tactic:
choose rₙ hrₙ using fun j hj ↦ hcⱼ j hj (.Iio 1) (by simpa using ⟨1, .inr rfl⟩) (by simp)

Premises used: OfNat.ofNat, Set.Iio