-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.DenseSubsite.OneHypercoverDense
Goal:
C₀ : Type u₀
C : Type u
inst : Category.{v₀, u₀} C₀
inst_1 : Category.{v, u} C
F : Functor.{v₀, v, u₀, u} C₀ C
J₀ : GrothendieckTopology.{v₀, u₀} C₀
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_2 : IsDenseSubsite J₀ J F
X : C
data : OneHypercoverDenseData.{w, v₀, v, u₀, u} F J₀ J X
i₁ i₂ : data.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ F.obj (data.X i₁)
p₂ : W ⟶ F.obj (data.X i₂)
w : p₁ ≫ data.f i₁ = p₂ ≫ data.f i₂
this : F.IsCoverDense J
S : Sieve.{v, u} W :=
  Sieve.bind (Sieve.coverByImage F W).arrows fun (Y : C) (f : Y ⟶ W) (hf : (Sieve.coverByImage F W).arrows f) ↦
    Sieve.pullback (Nonempty.some hf).lift
      (Sieve.functorPushforward F
        (F.imageSieve ((Nonempty.some hf).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some hf).map ≫ p₂)))
T : Sieve.{v, u} W :=
  Sieve.bind S.arrows fun (Z : C) (g : Z ⟶ W) (hg : S.arrows g) ↦
    Sieve.pullback
      ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
            (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯).lift
        (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows))
      (Sieve.functorPushforward F
        (data.sieve₁₀
          (Exists.choose (p :=
            fun
              (l :
                (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).preobj
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                  data.X i₁) ↦
            F.map l =
              F.map
                  ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).premap
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
                (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁)
            ⋯)
          (Exists.choose (p :=
            fun
              (l :
                (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).preobj
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                  data.X i₂) ↦
            F.map l =
              F.map
                  ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                        (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                        ⋯).premap
                    (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
                (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)
            ⋯)))
hS : S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) W
Z : C
g : Z ⟶ W
hg : S.arrows g
hS₁ :
  Membership.mem (γ :=
    Set
      (Sieve.{v₀, u₀}
        ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
              (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯).preobj
          (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows))))
    ((J₀ : (a : C₀) → Set (Sieve a))
      ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
            (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯).preobj
        (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)))
    (data.sieve₁₀
      (Exists.choose (p :=
        fun
          (l :
            (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                    ⋯).preobj
                (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
              data.X i₁) ↦
        F.map l =
          F.map
              ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                    ⋯).premap
                (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
            (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁)
        ⋯)
      (Exists.choose (p :=
        fun
          (l :
            (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                    ⋯).preobj
                (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
              data.X i₂) ↦
        F.map l =
          F.map
              ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                    (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                    ⋯).premap
                (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
            (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)
        ⋯))
⊢ Membership.mem (γ :=
    Set
      (Sieve.{v, u}
        (F.obj
          ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                ⋯).preobj
            (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)))))
    ((J : (a : C) → Set (Sieve a))
      (F.obj
        ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
              (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⋯).preobj
          (S := (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows))))
    (Sieve.functorPushforward F
      (data.sieve₁₀
        (Exists.choose (p :=
          fun
            (l :
              (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                      (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                      ⋯).preobj
                  (S :=
                  (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                data.X i₁) ↦
          F.map l =
            F.map
                ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                      (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                      ⋯).premap
                  (S :=
                  (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
              (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁)
          ⋯)
        (Exists.choose (p :=
          fun
            (l :
              (Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                      (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                      ⋯).preobj
                  (S :=
                  (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows) ⟶
                data.X i₂) ↦
          F.map l =
            F.map
                ((Presieve.getFunctorPushforwardStructure (S :=
                      (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)
                      ⋯).premap
                  (S :=
                  (F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₁) ⊓ F.imageSieve ((Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)).arrows)) ≫
              (Nonempty.some ⋯).map ≫ p₂)
          ⋯)))

Tactic:
rw [Functor.functorPushforward_mem_iff J₀]

Premises used: CategoryTheory.Functor.functorPushforward_mem_iff