-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.EqualizerSheafCondition
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve.{v, u} X
inst_1 : R.HasPairwisePullbacks
x : FirstObj P R
t :
  ∀ (j : Discrete (((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g })),
    Eq (α :=
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
        (Functor.obj
          (Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
            P.obj
              (op
                (Limits.pullback (↑(fg.1.snd (β := fun (Y : C) ↦ { f : Y ⟶ X // R f })) : fg.1.fst ⟶ X)
                  (↑(fg.2.snd (β := fun (Z : C) ↦ { g : Z ⟶ X // R g })) : fg.2.fst ⟶ X))))
          j))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (limit.π
                (Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
                  P.obj
                    (op
                      (Limits.pullback (↑(fg.1.snd (β := fun (Y : C) ↦ { f : Y ⟶ X // R f })) : fg.1.fst ⟶ X)
                        (↑(fg.2.snd (β := fun (Z : C) ↦ { g : Z ⟶ X // R g })) : fg.2.fst ⟶ X))))
                j) :
            (a :
                (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                  (limit
                    (Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
                      P.obj (op (Limits.pullback (↑fg.1.snd : fg.1.fst ⟶ X) (↑fg.2.snd : fg.2.fst ⟶ X)))))) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                ((Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
                      P.obj (op (Limits.pullback (↑fg.1.snd : fg.1.fst ⟶ X) (↑fg.2.snd : fg.2.fst ⟶ X)))).obj
                  j))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstMap P R) :
              (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P R)) → (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P R))
            x) :
        (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
          (Functor.obj
            (Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
              P.obj
                (op
                  (Limits.pullback (↑(fg.1.snd (β := fun (Y : C) ↦ { f : Y ⟶ X // R f })) : fg.1.fst ⟶ X)
                    (↑(fg.2.snd (β := fun (Z : C) ↦ { g : Z ⟶ X // R g })) : fg.2.fst ⟶ X))))
            j))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (limit.π
                (Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
                  P.obj
                    (op
                      (Limits.pullback (↑(fg.1.snd (β := fun (Y : C) ↦ { f : Y ⟶ X // R f })) : fg.1.fst ⟶ X)
                        (↑(fg.2.snd (β := fun (Z : C) ↦ { g : Z ⟶ X // R g })) : fg.2.fst ⟶ X))))
                j) :
            (a :
                (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                  (limit
                    (Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
                      P.obj (op (Limits.pullback (↑fg.1.snd : fg.1.fst ⟶ X) (↑fg.2.snd : fg.2.fst ⟶ X)))))) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                ((Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
                      P.obj (op (Limits.pullback (↑fg.1.snd : fg.1.fst ⟶ X) (↑fg.2.snd : fg.2.fst ⟶ X)))).obj
                  j))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (secondMap P R) :
              (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P R)) → (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P R))
            x) :
        (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
          (Functor.obj
            (Discrete.functor fun (fg : ((Y : C) × { f : Y ⟶ X // R f }) × (Z : C) × { g : Z ⟶ X // R g }) ↦
              P.obj
                (op
                  (Limits.pullback (↑(fg.1.snd (β := fun (Y : C) ↦ { f : Y ⟶ X // R f })) : fg.1.fst ⟶ X)
                    (↑(fg.2.snd (β := fun (Z : C) ↦ { g : Z ⟶ X // R g })) : fg.2.fst ⟶ X))))
            j))
Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ X
hf : R f
hg : R g
⊢ Eq (α := (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback f g))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (Quiver.Hom.op (pullback.fst f g))) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Y))) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback f g))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstObjEqFamily P R).hom :
            (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P R)) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (Presieve.FamilyOfElements P R))
          x f hf) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback f g))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (Quiver.Hom.op (pullback.snd f g))) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Z))) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback f g))))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstObjEqFamily P R).hom :
            (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P R)) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (Presieve.FamilyOfElements P R))
          x g hg) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback f g))))

Tactic:
simpa [firstMap, secondMap] using t ⟨⟨⟨Y, f, hf⟩, Z, g, hg⟩⟩

Premises used: CategoryTheory.Equalizer.Presieve.firstMap, Prod.mk, CategoryTheory.Equalizer.Presieve.secondMap, CategoryTheory.Discrete.mk, Subtype.mk, Sigma.mk