-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.L1Space.Integrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ε' : Type u_6
ε'' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst : MeasurableSpace δ
inst_1 : NormedAddCommGroup β
inst_2 : NormedAddCommGroup γ
inst_3 : TopologicalSpace ε
inst_4 : ContinuousENorm ε
inst_5 : TopologicalSpace ε'
inst_6 : ContinuousENorm ε'
inst_7 : ENorm ε''
E : Type u_8
inst_8 : NormedAddCommGroup E
inst_9 : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
u v : ↥(Lp E 1 (μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)))
x : α
hu :
  (↑(↑(MemLp.toLp (fun (x : α) ↦ f x • (↑(↑u : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x) ⋯) :
            α →ₘ[μ] E) :
        α → E)
      x =
    f x • (↑(↑u : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x
hv :
  (↑(↑(MemLp.toLp (fun (x : α) ↦ f x • (↑(↑v : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x) ⋯) :
            α →ₘ[μ] E) :
        α → E)
      x =
    f x • (↑(↑v : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x
huv :
  (↑(↑(MemLp.toLp (fun (x : α) ↦ f x • (↑(↑(u + v) : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x)
                ⋯) :
            α →ₘ[μ] E) :
        α → E)
      x =
    f x • (↑(↑(u + v) : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x
h' :
  (↑(↑(MemLp.toLp (fun (x : α) ↦ f x • (↑(↑u : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x) ⋯ +
                MemLp.toLp (fun (x : α) ↦ f x • (↑(↑v : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x)
                  ⋯) :
            α →ₘ[μ] E) :
        α → E)
      x =
    ((↑(↑(MemLp.toLp (fun (x : α) ↦ f x • (↑(↑u : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x) ⋯) :
              α →ₘ[μ] E) :
          α → E) +
        (↑(↑(MemLp.toLp (fun (x : α) ↦ f x • (↑(↑v : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x)
                  ⋯) :
              α →ₘ[μ] E) :
          α → E))
      x
h'' :
  (↑(f x) : ℝ≥0∞) ≠ 0 →
    (↑(↑(u + v) : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x =
      ((↑(↑u : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) +
          (↑(↑v : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E))
        x
h :
  ∀ (hx : f x = 0),
    f x • (↑(↑(u + v) : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x =
      f x • (↑(↑u : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x +
        f x • (↑(↑v : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x
h₁ :
  ∀ (hx : f x ≠ 0),
    f x • (↑(↑(u + v) : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x =
      f x • (↑(↑u : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x +
        f x • (↑(↑v : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x
⊢ f x • (↑(↑(u + v) : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x =
    f x • (↑(↑u : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x +
      f x • (↑(↑v : α →ₘ[μ.withDensity fun (x : α) ↦ (↑(f x) : ℝ≥0∞)] E) : α → E) x

Tactic:
rcases eq_or_ne (f x) 0 with (hx | hx)

Premises used: eq_or_ne, OfNat.ofNat