-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst_1 : Category.{v₂, u₂} A
P : Functor.{v₁, v₂, u₁, u₂} Cᵒᵖ A
X : C
S : Sieve.{v₁, u₁} X
h : ∀ (E : Aᵒᵖ), IsSeparatedFor (P ⋙ Functor.obj coyoneda E) S.arrows
E : A
π : Functor.obj (Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ) E ⟶ S.arrows.diagram.op ⋙ P
eqv : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E) ≃
  { x : FamilyOfElements (P ⋙ Functor.obj coyoneda (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible } :=
  conesEquivSieveCompatibleFamily P S (op E)
f₁ f₂ : { pt := E, π := eqv.invFun (eqv.toFun π) : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P) } ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op
eqv' : (SieveCompatible.cone (E := op E) (x :=
      (↑((eqv :
              (a : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E)) →
                { x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible })
            π) :
        FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows))
      ⋯ ⟶
    P.mapCone S.arrows.cocone.op) ≃
  { t : (P ⋙ Functor.obj coyoneda (op E)).obj (op X) //
    IsAmalgamation (R := S.arrows)
      (↑((eqv :
              (a : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E)) →
                { x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible })
            π) :
        FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows)
      t } :=
  homEquivAmalgamation ⋯
mpr :
  IsAmalgamation.{v₂, v₁, u₁} (P := P ⋙ Functor.obj coyoneda (op E)) (R := S.arrows)
    (↑((eqv :
            (a : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E)) →
              { x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible })
          π) :
      FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows)
    (↑((eqv' :
            (a : ⋯.cone ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op) →
              { t : (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X) //
                (↑((eqv :
                            (a : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E)) →
                              { x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible })
                          π) :
                      FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows).IsAmalgamation
                  t })
          f₁) :
      (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X))
mpr₁ :
  IsAmalgamation.{v₂, v₁, u₁} (P := P ⋙ Functor.obj coyoneda (op E)) (R := S.arrows)
    (↑((eqv :
            (a : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E)) →
              { x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible })
          π) :
      FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows)
    (↑((eqv' :
            (a : ⋯.cone ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op) →
              { t : (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X) //
                (↑((eqv :
                            (a : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E)) →
                              { x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible })
                          π) :
                      FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows).IsAmalgamation
                  t })
          f₂) :
      (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X))
⊢ Eq.{v₂ + 1} (α := (P ⋙ Functor.obj coyoneda (op E)).obj (op X))
    (↑((eqv' :
            (a : ⋯.cone ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op) →
              { t : (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X) //
                (↑((eqv :
                            (a : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E)) →
                              { x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible })
                          π) :
                      FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows).IsAmalgamation
                  t })
          f₁) :
      (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X))
    (↑((eqv' :
            (a : ⋯.cone ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op) →
              { t : (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X) //
                (↑((eqv :
                            (a : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj (op E)) →
                              { x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows // x.SieveCompatible })
                          π) :
                      FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows).IsAmalgamation
                  t })
          f₂) :
      (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X))

Tactic:
apply h _ (eqv π).1

Premises used: Subtype.val, DFunLike.coe