-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
inst_14 : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
A' : x₀ = (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
hf₁ :
  Eq (α :=
    TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) →L[𝕜]
      TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
    (ContinuousLinearMap.comp (M₂ := TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
        (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
          ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) :
      TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) →L[𝕜]
        TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
    (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))) :
      TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) →L[𝕜]
        TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
hg :
  Eq (α :=
    TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    (ContinuousLinearMap.comp (M₂ :=
      TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
      (mfderiv% (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀ :
        TangentSpace I x₀ →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
      (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
    (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
⊢ Eq (α :=
    TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) →L[𝕜]
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    (ContinuousLinearMap.inverse
      (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
    (mfderiv% (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)

Tactic:
apply ContinuousLinearMap.inverse_eq

Premises used: ContinuousLinearMap.inverse_eq