awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
refine :
  eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ =
    eLpNorm ((s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i) + (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤
    eLpNorm ((s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i)) p μ +
      eLpNorm ((s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ

Tactic:
refine le_trans (Eq.le ?_) (eLpNorm_add_le
        (StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable
          ((hf i).indicator (hs.inter (stronglyMeasurable_const.measurableSet_le (hf i).nnnorm))))
        (StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable
          ((hf i).indicator (hs.inter ((hf i).nnnorm.measurableSet_lt stronglyMeasurable_const))))
        hp)

Premises used: MeasureTheory.stronglyMeasurable_const, MeasureTheory.StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable, MeasureTheory.StronglyMeasurable.measurableSet_lt, MeasureTheory.StronglyMeasurable.measurableSet_le, Eq.le, MeasureTheory.StronglyMeasurable.indicator, MeasureTheory.StronglyMeasurable.nnnorm, MeasureTheory.eLpNorm_add_le, le_trans, MeasurableSet.inter
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
e_f : s.indicator (f i) = (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i) + (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ =
    eLpNorm ((s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i) + (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ

Tactic:
congr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
e_f :
  s.indicator (f i) = fun (x : α) ↦
    (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i) x + (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i) x
⊢ s.indicator (f i) = (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i) + (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)

Tactic:
change _ = fun x => (s ∩ { x : α | C ≤ ‖f i x‖₊ }).indicator (f i) x +
        (s ∩ { x : α | ‖f i x‖₊ < C }).indicator (f i) x

Premises used: Set.indicator, NNNorm.nnnorm, setOf, LE.le, Inter.inter, HAdd.hAdd, LT.lt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
e_f : s.indicator (f i) = (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} ∪ s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)
e_f₁ : Disjoint (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}) (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C})
⊢ s.indicator (f i) = fun (x : α) ↦
    (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i) x + (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i) x

Tactic:
rw [← Set.indicator_union_of_disjoint]

Premises used: Set.indicator_union_of_disjoint
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
h₁ :
  ∀ (x : α),
    Membership.mem (γ := Set α) ({x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} ∪ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}) x ↔ Membership.mem (γ := Set α) univ x
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set α) ({x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} ∪ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}) univ

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
x : α
⊢ Membership.mem (γ := Set α) ({x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} ∪ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}) x ↔ Membership.mem (γ := Set α) univ x

Tactic:
simp [le_or_gt]

Premises used: le_or_gt
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
e_f : s.indicator (f i) = (s ∩ ({x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} ∪ {x : α | ‖f i x‖₊ < C})).indicator (f i)
e_f₁ : s.indicator (f i) = (s ∩ univ).indicator (f i)
e_f₂ e_f₃ : s.indicator (f i) = s.indicator (f i)
⊢ s.indicator (f i) = (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} ∪ s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)

Tactic:
rw [← Set.inter_union_distrib_left, (by ext; simp [le_or_gt] :
            { x : α | C ≤ ‖f i x‖₊ } ∪ { x : α | ‖f i x‖₊ < C } = Set.univ),
          Set.inter_univ]

Premises used: Set.inter_univ, Set.inter_union_distrib_left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
⊢ Disjoint (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}) (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C})

Tactic:
(Disjoint.inf_right' _ ?_).inf_left' _

Premises used: Disjoint.inf_right', Disjoint.inf_left'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
e_f : Disjoint.{u_1} (α := Set α) {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} {x : α | ‖f i x‖₊ < C}
⊢ Disjoint (s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}) (s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C})

Tactic:
refine (Disjoint.inf_right' _ ?_).inf_left' _

Premises used: Disjoint.inf_right', Disjoint.inf_left'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
e_f : LE.le.{u_1} (α := Set α) ({x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} ⊓ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}) ⊥
⊢ Disjoint.{u_1} (α := Set α) {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} {x : α | ‖f i x‖₊ < C}

Tactic:
rw [disjoint_iff_inf_le]

Premises used: disjoint_iff_inf_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
x : α
hx₁ : Membership.mem (γ := Set α) {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} x
hx₂ : Membership.mem (γ := Set α) {x : α | ‖f i x‖₊ < C} x
⊢ C ≤ ‖f i x‖₊

Tactic:
rw [Set.mem_setOf_eq] at hx₁ hx₂

Premises used: Set.mem_setOf_eq
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
x : α
hx₁ : Membership.mem (γ := Set α) {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} x
hx₂ : Membership.mem (γ := Set α) {x : α | ‖f i x‖₊ < C} x
hx₃ : C ≤ ‖f i x‖₊
⊢ ‖f i x‖₊ < C

Tactic:
rw [Set.mem_setOf_eq] at hx₁ hx₂

Premises used: Set.mem_setOf_eq
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
x : α
hx₁ : C ≤ ‖f i x‖₊
hx₂ : ‖f i x‖₊ < C
⊢ Membership.mem (γ := Set α) ⊥ x

Tactic:
False.elim (hx₂.ne (eq_of_le_of_not_lt hx₁ (not_lt.2 hx₂.le)).symm)

Premises used: Iff.mpr, False.elim, LT.lt.le, not_lt, Eq.symm, eq_of_le_of_not_lt, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
x : α
hx₁ : C ≤ ‖f i x‖₊
hx₂ : ‖f i x‖₊ < C
⊢ Membership.mem (γ := Set α) ⊥ x

Tactic:
exact False.elim (hx₂.ne (eq_of_le_of_not_lt hx₁ (not_lt.2 hx₂.le)).symm)

Premises used: Iff.mpr, False.elim, LT.lt.le, not_lt, Eq.symm, eq_of_le_of_not_lt, LT.lt.ne
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
⊢ eLpNorm ((s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i)) p μ +
      eLpNorm ((s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ ≤
    eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ +
      (↑C : ℝ≥0∞) * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (1 / p.toReal)

Tactic:
add_le_add
        (eLpNorm_mono fun x => norm_indicator_le_of_subset Set.inter_subset_right _ _) ?_

Premises used: norm_indicator_le_of_subset, add_le_add, MeasureTheory.eLpNorm_mono, Set.inter_subset_right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
refine :
  eLpNorm ((s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (1 / p.toReal)
⊢ eLpNorm ((s ∩ {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i)) p μ +
      eLpNorm ((s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ ≤
    eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ +
      (↑C : ℝ≥0∞) * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (1 / p.toReal)

Tactic:
refine add_le_add
        (eLpNorm_mono fun x => norm_indicator_le_of_subset Set.inter_subset_right _ _) ?_

Premises used: add_le_add, MeasureTheory.eLpNorm_mono
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
rw :
  eLpNorm (s.indicator (indicator {x : α | ‖f i x‖₊ < C} (f i))) p μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (1 / p.toReal)
⊢ eLpNorm ((s ∩ {x : α | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (1 / p.toReal)

Tactic:
rw [← Set.indicator_indicator]

Premises used: Set.indicator_indicator
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
rw :
  eLpNorm (indicator {x : α | ‖f i x‖₊ < C} (f i)) p (μ.restrict s) ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (1 / p.toReal)
⊢ eLpNorm (s.indicator (indicator {x : α | ‖f i x‖₊ < C} (f i))) p μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (1 / p.toReal)

Tactic:
rw [eLpNorm_indicator_eq_eLpNorm_restrict hs]

Premises used: MeasureTheory.eLpNorm_indicator_eq_eLpNorm_restrict
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
h₁ : ∀ (a : α), ‖indicator {x : α | ‖f i x‖₊ < C} (f i) a‖ ≤ (↑C : ℝ)
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖indicator {x : α | ‖f i x‖₊ < C} (f i) x‖ ≤ (↑C : ℝ)

Tactic:
filter_upwards
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
h₁ : ∀ (a : α), indicator {x : α | ‖f i x‖₊ < C} (fun (a : α) ↦ ‖f i a‖) a ≤ (↑C : ℝ)
⊢ ∀ (a : α), ‖indicator {x : α | ‖f i x‖₊ < C} (f i) a‖ ≤ (↑C : ℝ)

Tactic:
simp_rw [norm_indicator_eq_indicator_norm]

Premises used: norm_indicator_eq_indicator_norm
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.UniformIntegrable
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ∞
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h :
  ∀ (ε : ℝ),
    0 < ε → ∃ (C : ℝ≥0), 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm (indicator {x : α | C ≤ ‖f i x‖₊} (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * (↑C : ℝ))) ^ p.toReal)
hμs' : ¬Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
⊢ ∀ (a : α), indicator {x : α | ‖f i x‖₊ < C} (fun (a : α) ↦ ‖f i a‖) a ≤ (↑C : ℝ)

Tactic:
Set.indicator_le' (fun x (hx : _ < _) => hx.le) fun _ _ => NNReal.coe_nonneg _

Premises used: LT.lt.le, NNReal.coe_nonneg, Set.indicator_le'