-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.ColimitFunctor
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : LocallySmall.{w, v, u} C
inst_2 : IsCofiltered.{v, u} C
inst_3 : InitiallySmall.{w, v, u} C
R : CategoryTheory.Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ RingCat
cR : Cocone R
hcR : IsColimit cR
M : PresheafOfModules R
cM : Cocone M.presheaf
hcM : IsColimit cM
N : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)
α : ModuleColimit hcR hcM →+ (↑N : Type w)
h :
  ∀ (r : (↑cR.pt : Type w)) (m : ModuleColimit hcR hcM),
    (α : (a : ModuleColimit hcR hcM) → (↑N : Type w)) (r • m) =
      HSMul.hSMul (β := (↑N : Type w)) r ((α : (a : ModuleColimit hcR hcM) → (↑N : Type w)) m : (↑N : Type w))
U : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj U) : Type w)
m : (↑(M.obj U) : Type w)
refine_2 :
  Eq (α := (↑N : Type w))
    ((α : (a : ModuleColimit hcR hcM) → (↑N : Type w))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (cM.ι.app U) :
              (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → (↑cM.pt : Type w))
            (r • m) :
          (↑cM.pt : Type w)) :
      (↑N : Type w))
    ((α : (a : ModuleColimit hcR hcM) → (↑N : Type w))
        (HSMul.hSMul (α := (↑cR.pt : Type w)) (β := ModuleColimit hcR hcM)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{w}) ↦ (↑R : Type w) →+* (↑S : Type w)) (CC :=
                  RingCat.carrier) (cR.ι.app U) :
                (a : (↑(R.obj U) : Type w)) → (↑cR.pt : Type w))
              r :
            (↑cR.pt : Type w))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier) (cM.ι.app U) :
                (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → (↑cM.pt : Type w))
              m :
            (↑cM.pt : Type w))) :
      (↑N : Type w))
⊢ (@ConcreteCategory.hom _ AddCommGrpCat.instCategory
          (fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) AddCommGrpCat.carrier _ _
          (M.presheaf.obj U) (AddCommGrpCat.of (↑N : Type w))
          (NatTrans.app
              ((homEquiv' hcR hcM :
                  (a : ModuleColimit hcR hcM →+ (↑N : Type w)) →
                    M.presheaf ⟶ (Functor.const Cᵒᵖ).obj (AddCommGrpCat.of (↑N : Type w)))
                α)
              U :
            M.presheaf.obj U ⟶
              Functor.obj.{v, w, u, w + 1} (Functor.obj (Functor.const Cᵒᵖ) (AddCommGrpCat.of (↑N : Type w))) U) :
        (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → (↑N : Type w))
      (r • m) =
    HSMul.hSMul (α := (↑cR.pt : Type w)) (β := (↑N : Type w))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{w}) ↦ (↑R : Type w) →+* (↑S : Type w)) (CC := RingCat.carrier)
              (cR.ι.app U) :
            (a : (↑(R.obj U) : Type w)) → (↑cR.pt : Type w))
          r :
        (↑cR.pt : Type w))
      ((@ConcreteCategory.hom _ AddCommGrpCat.instCategory
              (fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) AddCommGrpCat.carrier _ _
              (M.presheaf.obj U) (AddCommGrpCat.of (↑N : Type w))
              (NatTrans.app
                  ((homEquiv' hcR hcM :
                      (a : ModuleColimit hcR hcM →+ (↑N : Type w)) →
                        M.presheaf ⟶ (Functor.const Cᵒᵖ).obj (AddCommGrpCat.of (↑N : Type w)))
                    α)
                  U :
                M.presheaf.obj U ⟶
                  Functor.obj.{v, w, u, w + 1} (Functor.obj (Functor.const Cᵒᵖ) (AddCommGrpCat.of (↑N : Type w))) U) :
            (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → (↑N : Type w))
          m :
        (↑N : Type w))

Tactic:
rw [homEquiv'_app_apply, homEquiv'_app_apply, ← h]

Premises used: PresheafOfModules.ModuleColimit.homEquiv'_app_apply