-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.Valued.ValuedField
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst_1 : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
a b : ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v
hab :
  Eq.{u_2 + 1} (α := ValueGroup₀ (F := Valuation.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) extensionValuation)
    ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        (↑(⋯.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
              ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                    (a : K) → ValueGroup₀ v)
                  a_1 =
                a)) :
          hat K) :
      ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
    ((Valuation.restrict extensionValuation : (a : hat K) → ValueGroup₀ (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
        (↑(⋯.choose (p := fun (a : K) ↦
              ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) :
                    (a : K) → ValueGroup₀ v)
                  a =
                b)) :
          hat K) :
      ValueGroup₀ (F := MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} (hat K) Γ₀) (↑extensionValuation : hat K →*₀ Γ₀))
x : K :=
  Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
    ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
        a_1 =
      a)
    ⋯
hx_def :
  x =
    Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a_1 =
        a)
      ⋯
hx : ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
    (Exists.choose (p := fun (a_1 : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a_1 =
        a)
      ⋯) =
  a :=
  ⋯
y : K :=
  Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
    ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v) a =
      b)
    ⋯
hy_def :
  y =
    Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a =
        b)
      ⋯
hy : ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
    (Exists.choose (p := fun (a : K) ↦
      ((restrict₀ v : MonoidWithZeroHom.{u_1, u_2} K (ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)) : (a : K) → ValueGroup₀ v)
          a =
        b)
      ⋯) =
  b :=
  ⋯
ha0 : ¬a = 0
h0 : Ne (α := ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v) (extension ((algebraMap K (hat K) : (a : K) → hat K) x)) 0
h0' : Ne (α := ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v) (extension ((algebraMap K (hat K) : (a : K) → hat K) y)) 0
this :
  Eq (α := Γ₀) ((embedding : (a : ValueGroup₀ v) → Γ₀) (extension ((algebraMap K (hat K) : (a : K) → hat K) x)) : Γ₀)
    ((embedding : (a : ValueGroup₀ v) → Γ₀) (extension ((algebraMap K (hat K) : (a : K) → hat K) y)) : Γ₀)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := ValueGroup₀ (F := Valuation K Γ₀) v)
    ((Valuation.restrict v : (a : K) → ValueGroup₀ (↑v : K →*₀ Γ₀)) ((algebraMap K K : (a : K) → K) x) :
      ValueGroup₀ (F := K →*₀ Γ₀) (↑v : K →*₀ Γ₀))
    ((Valuation.restrict v : (a : K) → ValueGroup₀ (↑v : K →*₀ Γ₀)) ((algebraMap K K : (a : K) → K) y) :
      ValueGroup₀ (F := K →*₀ Γ₀) (↑v : K →*₀ Γ₀))

Tactic:
erw [embedding_strictMono.injective.eq_iff, extension_extends, extension_extends] at this

Premises used: Valued.extension_extends, Function.Injective.eq_iff, StrictMono.injective