awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
x : Q.Ring
y : ↥P.ker
this_1 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_2 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
e : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker ≃ₗ[Q.Ring] ↥Q.ker :=
  LinearEquiv.ofBijective (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) H
trans :
  Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) x
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
              (Subtype.mk (p := fun (x : Q.Ring) ↦ x ∈ Q.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) (↑y : P.Ring)) ⋯) :
            Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
          ((LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
            (x ⊗ₜ[P.Ring] y))) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
trans₁ :
  (tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
        ((LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker) (x ⊗ₜ[P.Ring] y))) =
    HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) x
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) y : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
⊢ (tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) x
        ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
            (Subtype.mk (p := fun (x : Q.Ring) ↦ x ∈ Q.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) (↑y : P.Ring)) ⋯) :
          Q.Cotangent)) =
    HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) x
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) y : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
trans tensorCotangentInvFun f halg H (.mk ((f.mapKer halg).liftBaseChange Q.Ring (x ⊗ₜ y)))

Premises used: Algebra.Extension.tensorCotangentInvFun, Algebra.Extension.Ring, Algebra.Extension.Hom.mapKer, LinearMap.liftBaseChange, Algebra.Extension.Cotangent.mk, TensorProduct.tmul, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
x : Q.Ring
y : ↥P.ker
this_1 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_2 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
e : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker ≃ₗ[Q.Ring] ↥Q.ker :=
  LinearEquiv.ofBijective (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) H
simp :
  Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) x
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
              (Subtype.mk (p := fun (x : Q.Ring) ↦ x ∈ Q.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) (↑y : P.Ring)) ⋯) :
            Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) x
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent) ((f.mapKer halg : (a : ↥P.ker) → ↥Q.ker) y) : Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) x
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
              (Subtype.mk (p := fun (x : Q.Ring) ↦ x ∈ Q.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) (↑y : P.Ring)) ⋯) :
            Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
          ((LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
            (x ⊗ₜ[P.Ring] y))) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
x : Q.Ring
y : ↥P.ker
this_1 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_2 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
e : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker ≃ₗ[Q.Ring] ↥Q.ker :=
  LinearEquiv.ofBijective (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) H
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) x
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
              (Subtype.mk (p := fun (x : Q.Ring) ↦ x ∈ Q.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) (↑y : P.Ring)) ⋯) :
            Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) x
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent) ((f.mapKer halg : (a : ↥P.ker) → ↥Q.ker) y) : Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
x : Q.Ring
y : ↥P.ker
this_1 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_2 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
e : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker ≃ₗ[Q.Ring] ↥Q.ker :=
  LinearEquiv.ofBijective (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) H
change :
  (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
          ((↑P.Ring :
                {S_1 : Type u_2} →
                  {M : Type u} →
                    {M₂ : Type (max u_3 u)} →
                      [inst_6 : Semiring P.Ring] →
                        [inst_7 : Semiring S_1] →
                          [inst_8 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_9 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_10 : Module P.Ring M] →
                                [inst_11 : Module P.Ring M₂] →
                                  [inst_12 : Module S_1 M] →
                                    [inst_13 : Module S_1 M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                        (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
              (S := S) ((TensorProduct.mk S T P.Cotangent : (a : T) → P.Cotangent →ₗ[S] T ⊗[S] P.Cotangent) 1) ∘ₗ
            Cotangent.mk) :
        (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      ((e.symm : (a : ↥Q.ker) → Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker)
        ((e : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker) (x ⊗ₜ[P.Ring] y))) =
    HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) x
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) y : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
⊢ (tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
        ((LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker) (x ⊗ₜ[P.Ring] y))) =
    HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) x
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) y : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
change ((TensorProduct.mk _ _ _ 1).restrictScalars _ ∘ₗ Cotangent.mk).liftBaseChange _
    (e.symm (e (x ⊗ₜ y))) = _

Premises used: LinearEquiv.symm, LinearMap.restrictScalars, LinearMap.comp, LinearMap.liftBaseChange, Algebra.Extension.Cotangent.mk, TensorProduct.tmul, OfNat.ofNat, DFunLike.coe, TensorProduct.mk
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
x : Q.Ring
y : ↥P.ker
this_1 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_2 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
e : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker ≃ₗ[Q.Ring] ↥Q.ker :=
  LinearEquiv.ofBijective (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) H
⊢ (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
          ((↑P.Ring :
                {S_1 : Type u_2} →
                  {M : Type u} →
                    {M₂ : Type (max u_3 u)} →
                      [inst_6 : Semiring P.Ring] →
                        [inst_7 : Semiring S_1] →
                          [inst_8 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_9 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_10 : Module P.Ring M] →
                                [inst_11 : Module P.Ring M₂] →
                                  [inst_12 : Module S_1 M] →
                                    [inst_13 : Module S_1 M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                        (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
              (S := S) ((TensorProduct.mk S T P.Cotangent : (a : T) → P.Cotangent →ₗ[S] T ⊗[S] P.Cotangent) 1) ∘ₗ
            Cotangent.mk) :
        (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      (x ⊗ₜ[P.Ring] y) =
    HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) x
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) y : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent) 0))
    0

Tactic:
simp only [map_zero]

Premises used: map_zero
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
x y : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent
h :
  (tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent) x) =
    x
h_1 :
  (tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent) y) =
    y
⊢ (tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
      ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent) (x + y)) =
    x + y

Tactic:
simp only [map_add, *]

Premises used: map_add
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
a : T
b : P.Cotangent
tmul :
  ∀ (b : ↥P.ker),
    Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
      ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
          ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent)
            (a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b)) :
        TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
      (a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent) (a ⊗ₜ[S] b)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    (a ⊗ₜ[S] b : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
obtain ⟨b, rfl⟩ := Cotangent.mk_surjective b

Premises used: Algebra.Extension.Cotangent.mk_surjective, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
a : T
b : ↥P.ker
tmul :
  ∀ (a : Q.Ring),
    Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
      ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
          ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent)
            ((algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b)) :
        TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
      ((algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b :
        TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent)
          (a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    (a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
obtain ⟨a, rfl⟩ := Q.algebraMap_surjective a

Premises used: Algebra.Extension.algebraMap_surjective, rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
b : ↥P.ker
a : Q.Ring
tmul :
  Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) a
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
              (Subtype.mk (p := fun (x : Q.Ring) ↦ x ∈ Q.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) (↑b : P.Ring)) ⋯) :
            Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        ((LinearMap.liftBaseChange T (Cotangent.map f) : (a : T ⊗[S] P.Cotangent) → Q.Cotangent)
          ((algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
simp only [LinearMap.liftBaseChange_tmul, Cotangent.map_mk, Hom.toAlgHom_apply,
          algebraMap_smul]

Premises used: algebraMap_smul, LinearMap.liftBaseChange_tmul, Algebra.Extension.Cotangent.map_mk, Algebra.Extension.Hom.toAlgHom_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
b : ↥P.ker
a : Q.Ring
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) a
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
              (Subtype.mk (p := fun (x : Q.Ring) ↦ x ∈ Q.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) (↑b : P.Ring)) ⋯) :
            Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
(tensorCotangentInvFun_smul_mk f halg H a b).trans ?_

Premises used: Algebra.Extension.tensorCotangentInvFun_smul_mk, Eq.trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
b : ↥P.ker
a : Q.Ring
tmul :
  HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) a
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) =
    (algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b
⊢ Eq (α := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((tensorCotangentInvFun f halg H : (a : Q.Cotangent) → T ⊗[S] P.Cotangent)
        (HSMul.hSMul (β := Q.Cotangent) a
          ((Cotangent.mk : (a : ↥Q.ker) → Q.Cotangent)
              (Subtype.mk (p := fun (x : Q.Ring) ↦ x ∈ Q.ker) ((f.toRingHom : (a : P.Ring) → Q.Ring) (↑b : P.Ring)) ⋯) :
            Q.Cotangent)) :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)
    ((algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b :
      TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent)

Tactic:
refine (tensorCotangentInvFun_smul_mk f halg H a b).trans ?_

Premises used: Algebra.Extension.tensorCotangentInvFun_smul_mk, Eq.trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
alg : Algebra P.Ring Q.Ring
halg : algebraMap P.Ring Q.Ring = f.toRingHom
H :
  Function.Bijective (α := Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) (β := ↥Q.ker)
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange Q.Ring (f.mapKer halg)) : (a : Q.Ring ⊗[P.Ring] ↥P.ker) → ↥Q.ker)
b : ↥P.ker
a : Q.Ring
⊢ HSMul.hSMul (β := TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) a
      (1 ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b : TensorProduct.{u_2, u_3, u} S T P.Cotangent) =
    (algebraMap Q.Ring T : (a : Q.Ring) → T) a ⊗ₜ[S] (Cotangent.mk : (a : ↥P.ker) → P.Cotangent) b

Tactic:
simp [algebraMap_eq_smul_one, TensorProduct.smul_tmul']

Premises used: Algebra.algebraMap_eq_smul_one, TensorProduct.smul_tmul'