awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst_1 : (ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
refine_1 :
  ∀ (t : Compatible P π x) (i j : I),
    Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (Quiver.Hom.op (pullback.fst (π i) (π j)))) :
            (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (X i)))) →
              (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
          (x i) :
        (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (Quiver.Hom.op (pullback.snd (π i) (π j)))) :
            (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (X j)))) →
              (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
          (x j) :
        (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
refine_2 :
  ∀ (t : PullbackCompatible P π x) (i j : I) (Z : C) (gi : Z ⟶ X i) (gj : Z ⟶ X j) (comm : gi ≫ π i = gj ≫ π j),
    Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map gi.op) :
            (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (X i)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
          (x i) :
        (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map gj.op) :
            (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (X j)))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
          (x j) :
        (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
⊢ Compatible P π x ↔ PullbackCompatible P π x

Tactic:
refine ⟨fun t i j ↦ ?_, fun t i j Z gi gj comm ↦ ?_⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst_1 : (ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
t : Compatible P π x
i j : I
refine_1 : Eq (α := Limits.pullback (π i) (π j) ⟶ B) (pullback.fst (π i) (π j) ≫ π i) (pullback.snd (π i) (π j) ≫ π j)
⊢ Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (Quiver.Hom.op (pullback.fst (π i) (π j)))) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (X i)))) →
            (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
        (x i) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (Quiver.Hom.op (pullback.snd (π i) (π j)))) :
          (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (X j)))) →
            (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))
        (x j) :
      (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (Limits.pullback (π i) (π j)))))

Tactic:
apply t
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst_1 : (ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
t : Compatible P π x
i j : I
⊢ Eq (α := Limits.pullback (π i) (π j) ⟶ B) (pullback.fst (π i) (π j) ≫ π i) (pullback.snd (π i) (π j) ≫ π j)

Tactic:
pullback.condition

Premises used: CategoryTheory.Limits.pullback.condition
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst_1 : (ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
t : Compatible P π x
i j : I
⊢ Eq (α := Limits.pullback (π i) (π j) ⟶ B) (pullback.fst (π i) (π j) ≫ π i) (pullback.snd (π i) (π j) ≫ π j)

Tactic:
exact pullback.condition

Premises used: CategoryTheory.Limits.pullback.condition
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst_1 : (ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
simp_rw simp_rw₁ :
  IsSheafFor P (ofArrows X π) ↔
    ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
      Arrows.PullbackCompatible P π x →
        ∃! t : P.obj (op B),
          ∀ (i : I),
            (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (π i).op) : (a : P.obj (op B)) → P.obj (op (X i))) t = x i
simp_rw₂ :
  IsSheafFor P (ofArrows X π) ↔
    ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
      Arrows.Compatible P π x →
        ∃! t : P.obj (op B),
          ∀ (i : I),
            (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (π i).op) : (a : P.obj (op B)) → P.obj (op (X i))) t = x i
⊢ IsSheafFor P (ofArrows X π) ↔
    ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))),
      Arrows.PullbackCompatible P π x →
        ∃! t : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op B)),
          ∀ (i : I),
            (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (π i).op) :
                  (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op B))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op (X i))))
                t =
              x i

Tactic:
simp_rw [← Arrows.pullbackCompatible_iff, isSheafFor_arrows_iff]

Premises used: CategoryTheory.Presieve.isSheafFor_arrows_iff, CategoryTheory.Presieve.Arrows.pullbackCompatible_iff
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
X Y : C
f : X ⟶ Y
rw :
  (∀ (b : P.obj (op X)) (t₁ t₂ : P.obj (op Y)),
      FamilyOfElements.IsAmalgamation (R := singleton f)
          (((FamilyOfElements.singletonEquiv P f).symm : (a : P.obj (op X)) → FamilyOfElements P (singleton f)) b) t₁ →
        FamilyOfElements.IsAmalgamation (R := singleton f)
            (((FamilyOfElements.singletonEquiv P f).symm : (a : P.obj (op X)) → FamilyOfElements P (singleton f)) b)
            t₂ →
          t₁ = t₂) ↔
    Function.Injective (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y))) (β := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op)) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X)))
⊢ IsSeparatedFor P (singleton f) ↔
    Function.Injective (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y))) (β := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op)) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X)))

Tactic:
rw [IsSeparatedFor, Equiv.forall_congr_left (Presieve.FamilyOfElements.singletonEquiv P f)]

Premises used: CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.singletonEquiv, Equiv.forall_congr_left, CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
X Y : C
f : X ⟶ Y
simp_rw :
  (∀ (b : P.obj (op X)) (t₁ t₂ : P.obj (op Y)),
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op X)) t₁ = b →
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op X)) t₂ = b → t₁ = t₂) ↔
    ∀ ⦃a₁ a₂ : P.obj (op Y)⦄,
      Eq (α := P.obj (op X))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op X)) a₁ :
            P.obj (op X))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op X)) a₂ :
            P.obj (op X)) →
        a₁ = a₂
⊢ (∀ (b : P.obj (op X)) (t₁ t₂ : P.obj (op Y)),
      FamilyOfElements.IsAmalgamation (R := singleton f)
          (((FamilyOfElements.singletonEquiv P f).symm : (a : P.obj (op X)) → FamilyOfElements P (singleton f)) b) t₁ →
        FamilyOfElements.IsAmalgamation (R := singleton f)
            (((FamilyOfElements.singletonEquiv P f).symm : (a : P.obj (op X)) → FamilyOfElements P (singleton f)) b)
            t₂ →
          t₁ = t₂) ↔
    Function.Injective (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y))) (β := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X)))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op)) :
        (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X)))

Tactic:
simp_rw [FamilyOfElements.isAmalgamation_singleton_iff,
    FamilyOfElements.singletonEquiv_symm_apply_self, Function.Injective]

Premises used: CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.singletonEquiv_symm_apply_self, CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.isAmalgamation_singleton_iff, Function.Injective
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (∀ (b : P.obj (op X)) (t₁ t₂ : P.obj (op Y)),
      (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op X)) t₁ = b →
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op X)) t₂ = b → t₁ = t₂) ↔
    ∀ ⦃a₁ a₂ : P.obj (op Y)⦄,
      Eq (α := P.obj (op X))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op X)) a₁ :
            P.obj (op X))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) : (a : P.obj (op Y)) → P.obj (op X)) a₂ :
            P.obj (op X)) →
        a₁ = a₂

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
P : Functor.{v₁, w, u₁, w + 1} Cᵒᵖ (Type w)
X Y : C
f : X ⟶ Y
rw :
  (∀ (b : P.obj (op X)),
      FamilyOfElements.Compatible.{w, v₁, u₁} (P := P) (R := singleton f)
          (((FamilyOfElements.singletonEquiv P f).symm : (a : P.obj (op X)) → FamilyOfElements P (singleton f)) b) →
        ∃! t : P.obj (op Y),
          FamilyOfElements.IsAmalgamation (R := singleton f)
            (((FamilyOfElements.singletonEquiv P f).symm : (a : P.obj (op X)) → FamilyOfElements P (singleton f)) b)
            t) ↔
    ∀ (x : P.obj (op X)),
      (∀ {Z : C} (p₁ p₂ : Z ⟶ X),
          p₁ ≫ f = p₂ ≫ f →
            Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map p₁.op) :
                    (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
                  x :
                (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map p₂.op) :
                    (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
                  x :
                (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))) →
        ∃! y : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y)),
          (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) :
                (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X)))
              y =
            x
⊢ IsSheafFor P (singleton f) ↔
    ∀ (x : P.obj (op X)),
      (∀ {Z : C} (p₁ p₂ : Z ⟶ X),
          p₁ ≫ f = p₂ ≫ f →
            Eq (α := (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map p₁.op) :
                    (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
                  x :
                (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map p₂.op) :
                    (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))
                  x :
                (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Z)))) →
        ∃! y : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y)),
          (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f.op) :
                (a : (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type w) ↦ X) (P.obj (op X)))
              y =
            x

Tactic:
rw [IsSheafFor, Equiv.forall_congr_left (Presieve.FamilyOfElements.singletonEquiv P f)]

Premises used: CategoryTheory.Presieve.FamilyOfElements.singletonEquiv, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor, Equiv.forall_congr_left
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
Y : C
f : Y ⟶ X
H : U.arrows f
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
hf₁ : (B H).arrows f₁
hf₂ : (B H).arrows f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
a : g₁ ≫ f₁ ≫ f = g₂ ≫ f₂ ≫ f
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g₁.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y₁))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        (y H f₁ hf₁) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g₂.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y₂))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        (y H f₂ hf₂) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z)))

Tactic:
apply hs
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
Y : C
f : Y ⟶ X
H : U.arrows f
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ Y
f₂ : Y₂ ⟶ Y
hf₁ : (B H).arrows f₁
hf₂ : (B H).arrows f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ g₁ ≫ f₁ ≫ f = g₂ ≫ f₂ ≫ f

Tactic:
apply reassoc_of% comm
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)

Tactic:
have hy : ∀ ⦃Y⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U f), (y hf).Compatible := by
    intro Y f H Y₁ Y₂ Z g₁ g₂ f₁ f₂ hf₁ hf₂ comm
    apply hs
    apply reassoc_of% comm
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)

Tactic:
have ht : ∀ ⦃Y⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf) := fun Y f hf =>
    (hB hf).isAmalgamation _
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
rw : t.SieveCompatible
⊢ t.Compatible (R := U.arrows)

Tactic:
rw [Presieve.compatible_iff_sieveCompatible]

Premises used: CategoryTheory.Presieve.compatible_iff_sieveCompatible
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
apply :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ W⦄,
    (B ⋯).arrows f_1 →
      Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f_1.op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
            (t (h ≫ f) ⋯) :
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map f_1.op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map h.op) :
                  (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W)))
                (t f hf) :
              (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W))) :
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Y)))
⊢ t (h ≫ f) ⋯ =
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map h.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (op W)))
      (t f hf)

Tactic:
apply (hB (U.downward_closed hf h)).isSeparatedFor.ext

Premises used: CategoryTheory.Sieve.downward_closed, CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor.ext, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor.isSeparatedFor
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
⊢ (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)

Tactic:
simpa using (bind_comp f hf hm : Sieve.bind U B _)

Premises used: CategoryTheory.Presieve.bind_comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Functor.{v₁, u_1, u₁, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
U : Sieve.{v₁, u₁} X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve.{v₁, u₁} Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible (R := (Sieve.bind U.arrows B).arrows)
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (B hf).arrows g) ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible (R := (B hf).arrows)
t : FamilyOfElements P U.arrows :=
  fun (Y : C) (f : Y ⟶ X) (hf : U.arrows f) ↦ ⋯.amalgamate (R := (B hf).arrows) (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (R := (B hf).arrows) (t f hf)
Z W : C
f : Z ⟶ X
h : W ⟶ Z
hf : U.arrows f
Y : C
l : Y ⟶ W
hl : (B ⋯).arrows l
M : C
m : M ⟶ Y
hm : (Sieve.pullback (l ≫ h) (B hf)).arrows m
⊢ (Sieve.bind U.arrows B).arrows (m ≫ l ≫ h ≫ f)

Tactic:
have : Sieve.bind U B (m ≫ l ≫ h ≫ f) := by simpa using (bind_comp f hf hm : Sieve.bind U B _)