-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Gluing
Goal:
D : GlueData
i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.J
y : (↑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.U i).toTopCat : Type u)
obtain :
  ∀ (j : PreZeroHypercover.I₀ (S := D.U i) (Precoverage.ZeroHypercover.toPreZeroHypercover (D.U i).affineCover))
    (z : ↥(PreZeroHypercover.X (Precoverage.ZeroHypercover.toPreZeroHypercover (D.U i).affineCover) j))
    (hz : (PreZeroHypercover.f (Precoverage.ZeroHypercover.toPreZeroHypercover (D.U i).affineCover) j) z = y),
    ∃ (R : CommRingCat.{u}) (f : Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R) ⟶ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued),
      Membership.mem (α := (↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toTopCat : Type u)) (γ :=
          Set (↑(↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
          (Set.range (ι := (↑(↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f.base) :
              (a : (↑(↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
                (↑(↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
                  (Y := (↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat))
                  (Hom.base (LocallyRingedSpace.Hom.toHom (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι i))) :
                (a : (↑(↑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.U i).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
                  (↑(↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
              y :
            (↑(↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) ∧
        LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f
⊢ ∃ (R : CommRingCat.{u}) (f : Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R) ⟶ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued),
    Membership.mem (α := (↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toTopCat : Type u)) (γ :=
        Set (↑(↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
        (Set.range (ι := (↑(↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                TopCat.carrier) f.base) :
            (a : (↑(↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
              (↑(↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
                (Y := (↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat))
                (Hom.base (LocallyRingedSpace.Hom.toHom (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι i))) :
              (a : (↑(↑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.U i).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
                (↑(↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
            y :
          (↑(↑D.toLocallyRingedSpaceGlueData.glued.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) ∧
      LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion f

Tactic:
obtain ⟨j, z, hz⟩ := (D.U i).affineCover.exists_eq y

Premises used: AlgebraicGeometry.Scheme.Cover.exists_eq, AlgebraicGeometry.Scheme.GlueData.toGlueData, CategoryTheory.GlueData.U, AlgebraicGeometry.Scheme.affineCover