awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
h :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k : (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)

Tactic:
use k
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
⊢ g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f

Tactic:
have hfg : g.comp (H : Submodule R L).subtype = (H : Submodule R L).subtype.comp f := rfl
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h :
  Eq (α := L)
    (((g ^ k) ∘ₗ H.subtype : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L)
    (0 : L)
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k : (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)

Tactic:
change (g ^ k).comp (H : Submodule R L).subtype ⟨x, hx⟩ = 0

Premises used: Subtype.mk, LinearMap.comp, HPow.hPow, Submodule.subtype, LieSubalgebra.toSubmodule, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h :
  Eq (α := L)
    ((H.subtype ∘ₗ f ^ k : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L)
    (0 : L)
⊢ Eq (α := L)
    (((g ^ k) ∘ₗ H.subtype : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L)
    (0 : L)

Tactic:
rw [Module.End.commute_pow_left_of_commute hfg k]

Premises used: Module.End.commute_pow_left_of_commute
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ Membership.mem (γ := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k)
    ((⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx))

Tactic:
have h := iterate_toEnd_mem_lowerCentralSeries R H H y ⟨x, hx⟩ k
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h :
  Membership.mem (γ := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k)
    ((⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx))
⊢ (⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx) =
    0

Tactic:
rw [hk, LieSubmodule.mem_bot] at h

Premises used: LieSubmodule.mem_bot
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h :
  (⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx) =
    0
h₁ : (⇑f : (a : ↥H.toSubmodule) → ↥H.toSubmodule)^[k] (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) = 0
⊢ Eq (α := L)
    ((H.subtype ∘ₗ f ^ k : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L)
    (0 : L)

Tactic:
simp only [Submodule.subtype_apply, Function.comp_apply, Module.End.pow_apply, LinearMap.coe_comp,
    Submodule.coe_eq_zero]

Premises used: Submodule.subtype_apply, Module.End.pow_apply, LinearMap.coe_comp, Submodule.coe_eq_zero, Function.comp_apply
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h :
  (⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx) =
    0
⊢ (⇑f : (a : ↥H.toSubmodule) → ↥H.toSubmodule)^[k] (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) = 0

Tactic:
h

Premises used: Set.Mem
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h :
  (⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx) =
    0
⊢ (⇑f : (a : ↥H.toSubmodule) → ↥H.toSubmodule)^[k] (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) = 0

Tactic:
exact h
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
M : Type u_3
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : LieRingModule L M
inst_7 : LieModule R L M
inst_8 : Nontrivial.{u_2} ↥H
obtain :
  ∀ (x : L) (hx : x ∈ H) (y : L) (hy : y ∈ H)
    (e : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx ≠ Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy),
    Nontrivial.{u_2} ↥(genWeightSpace L 0)
⊢ Nontrivial.{u_2} ↥(genWeightSpace L 0)

Tactic:
obtain ⟨⟨x, hx⟩, ⟨y, hy⟩, e⟩ := exists_pair_ne H

Premises used: Membership.mem, Subtype, exists_pair_ne
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
M : Type u_3
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : LieRingModule L M
inst_7 : LieModule R L M
inst_8 : Nontrivial.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : L
hy : y ∈ H
e : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx ≠ Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy
⊢ Ne (α := ↥(genWeightSpace L 0))
    (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ Membership.mem (γ := LieSubmodule R (↥H) L) (genWeightSpace L 0) x) x ⋯)
    (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ Membership.mem (γ := LieSubmodule R (↥H) L) (genWeightSpace L 0) x) y ⋯)

Tactic:
simpa using e
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
M : Type u_3
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : LieRingModule L M
inst_7 : LieModule R L M
inst_8 : Nontrivial.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : L
hy : y ∈ H
e : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx ≠ Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy
⊢ Nontrivial.{u_2} ↥(genWeightSpace L 0)

Tactic:
exact ⟨⟨x, toLieSubmodule_le_rootSpace_zero R L H hx⟩,
    ⟨y, toLieSubmodule_le_rootSpace_zero R L H hy⟩, by simpa using e⟩
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
rw : H.toLieSubmodule ≤ rootSpace H 0
⊢ H ≤ zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
rw [← LieSubalgebra.toSubmodule_le_toSubmodule, ← H.coe_toLieSubmodule,
    coe_zeroRootSubalgebra, LieSubmodule.toSubmodule_le_toSubmodule]

Premises used: LieSubmodule.toSubmodule_le_toSubmodule, LieAlgebra.coe_zeroRootSubalgebra, LieSubalgebra.toSubmodule_le_toSubmodule, LieSubalgebra.coe_toLieSubmodule
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
⊢ H.toLieSubmodule ≤ rootSpace H 0

Tactic:
toLieSubmodule_le_rootSpace_zero R L H

Premises used: LieAlgebra.toLieSubmodule_le_rootSpace_zero
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
⊢ H.toLieSubmodule ≤ rootSpace H 0

Tactic:
exact toLieSubmodule_le_rootSpace_zero R L H

Premises used: LieAlgebra.toLieSubmodule_le_rootSpace_zero
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
le_antisymm ?_ (LieSubalgebra.le_normalizer _)

Premises used: LieSubalgebra.le_normalizer, le_antisymm
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
refine : (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer ≤ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
refine le_antisymm ?_ (LieSubalgebra.le_normalizer _)

Premises used: LieSubalgebra.le_normalizer, le_antisymm
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer
⊢ ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
rw [LieSubalgebra.mem_normalizer_iff] at hx

Premises used: LieSubalgebra.mem_normalizer_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
rw :
  ∀ (y : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            x :
          L)
        (0 : L)
⊢ x ∈ zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
rw [mem_zeroRootSubalgebra]

Premises used: LieAlgebra.mem_zeroRootSubalgebra
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
y : L
hy : y ∈ H
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
specialize hx y (le_zeroRootSubalgebra R L H hy)

Premises used: LieAlgebra.le_zeroRootSubalgebra
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)

Tactic:
rw [mem_zeroRootSubalgebra] at hx

Premises used: LieAlgebra.mem_zeroRootSubalgebra
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
obtain :
  ∀ (k : ℕ)
    (hk :
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
                ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                  Module.End R L)
                k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
                ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                  Module.End R L)
                k :
              (a : L) → L)
            x :
          L)
        (0 : L)
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)

Tactic:
obtain ⟨k, hk⟩ := hx ⟨y, hy⟩

Premises used: Subtype.mk
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅x, y⁆ :
      L)
    (0 : L)
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)

Tactic:
rw [← lie_skew, map_neg, neg_eq_zero] at hk

Premises used: neg_eq_zero, map_neg, lie_skew
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
h :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            (k + 1) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)

Tactic:
use k + 1
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
h : zeroRootSubalgebra R L H = H
rw : (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H
⊢ H.normalizer = H

Tactic:
rw [← h]
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
h : zeroRootSubalgebra R L H = H
⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
zeroRootSubalgebra_normalizer_eq_self R L H

Premises used: LieAlgebra.zeroRootSubalgebra_normalizer_eq_self
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
h : zeroRootSubalgebra R L H = H
⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H

Tactic:
exact zeroRootSubalgebra_normalizer_eq_self R L H

Premises used: LieAlgebra.zeroRootSubalgebra_normalizer_eq_self
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
⊢ zeroRootSubalgebra R L H = H

Tactic:
le_antisymm ?_ (le_zeroRootSubalgebra R L H)

Premises used: le_antisymm, LieAlgebra.le_zeroRootSubalgebra
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
refine : zeroRootSubalgebra R L H ≤ H
⊢ zeroRootSubalgebra R L H = H

Tactic:
refine le_antisymm ?_ (le_zeroRootSubalgebra R L H)

Premises used: le_antisymm, LieAlgebra.le_zeroRootSubalgebra
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
this : rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule
⊢ zeroRootSubalgebra R L H ≤ H

Tactic:
fun x hx => this hx

Premises used: Set.Mem
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
this : rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule
⊢ zeroRootSubalgebra R L H ≤ H

Tactic:
exact fun x hx => this hx
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
suffices : rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule
⊢ zeroRootSubalgebra R L H ≤ H

Tactic:
suffices rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule by exact fun x hx => this hx
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
⊢ LieModule.IsNilpotent.{u_2, u_2} ↥H ↥(rootSpace H 0)

Tactic:
infer_instance
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
obtain : ∀ (k : ℕ) (hk : rootSpace H 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥), rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule
⊢ rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule

Tactic:
obtain ⟨k, hk⟩ := (rootSpace H 0).isNilpotent_iff_exists_self_le_ucs.mp (by infer_instance)

Premises used: LieSubmodule.isNilpotent_iff_exists_self_le_ucs, LieAlgebra.rootSpace, Iff.mp, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
k : ℕ
hk : rootSpace H 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥
⊢ H.toLieSubmodule.normalizer = H.toLieSubmodule

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : H.IsCartanSubalgebra
inst_4 : IsNoetherian R L
k : ℕ
hk : rootSpace H 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥
⊢ rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule

Tactic:
exact hk.trans (LieSubmodule.ucs_le_of_normalizer_eq_self (by simp) k)

Premises used: LieSubmodule.ucs_le_of_normalizer_eq_self, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
inst_4 : IsNoetherian R L
h : H.IsCartanSubalgebra
⊢ zeroRootSubalgebra R L H = H

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
inst_4 : IsNoetherian R L
rw :
  (↑H.toLieSubmodule : Submodule R L) = (↑(rootSpace H 0) : Submodule R L) ↔
    (zeroRootSubalgebra R L H).toSubmodule = H.toSubmodule
⊢ H.toLieSubmodule = rootSpace H 0 ↔ H.IsCartanSubalgebra

Tactic:
rw [← zeroRootSubalgebra_eq_iff_is_cartan, ← LieSubalgebra.toSubmodule_inj,
    ← LieSubmodule.toSubmodule_inj]

Premises used: LieSubalgebra.toSubmodule_inj, LieSubmodule.toSubmodule_inj, LieAlgebra.zeroRootSubalgebra_eq_iff_is_cartan
-- Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
inst_4 : IsNoetherian R L
⊢ (↑H.toLieSubmodule : Submodule R L) = (↑(rootSpace H 0) : Submodule R L) ↔
    (zeroRootSubalgebra R L H).toSubmodule = H.toSubmodule

Tactic:
aesop