awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u : α
huv : u ≤ u
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u u
this : onIocAux f (Set.Ioc u u) = ∑ u ∈ I, 0
apply : ∀ (i : Set α) (hi : i ∈ I), 0 = onIocAux f i
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := G) (∑ u ∈ I, 0) (∑ u ∈ I, onIocAux f u)

Tactic:
apply Finset.sum_congr rfl fun i hi ↦ ?_

Premises used: Finset.sum_congr, rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u : α
huv : u ≤ u
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u u
this : onIocAux f (Set.Ioc u u) = ∑ u ∈ I, 0
i : Set α
hi : i ∈ I
⊢ i = ∅

Tactic:
grind [sUnion_eq_empty]

Premises used: Set.sUnion_eq_empty
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u : α
huv : u ≤ u
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u u
this : onIocAux f (Set.Ioc u u) = ∑ u ∈ I, 0
i : Set α
hi : i ∈ I
⊢ i = ∅

Tactic:
have : i = ∅ := by grind [sUnion_eq_empty]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u : α
huv : u ≤ u
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u u
this_1 : onIocAux f (Set.Ioc u u) = ∑ u ∈ I, 0
i : Set α
hi : i ∈ I
this : i = ∅
⊢ 0 = onIocAux f i

Tactic:
grind [onIocAux_empty]

Premises used: MeasureTheory.AddContent.onIocAux_empty
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
⊢ v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))

Tactic:
simp [h'uv, huv]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
⊢ v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))

Tactic:
have : v ∈ ⋃₀ ↑I := by simp [h'uv, huv]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
⊢ ∃ t ∈ I, v ∈ t

Tactic:
simpa using this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
succ : ∀ (t : Set α) (tI : t ∈ I) (ht : v ∈ t), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
⊢ onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u

Tactic:
obtain ⟨t, tI, ht⟩ : ∃ t ∈ I, v ∈ t := by simpa using this
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t_1 : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
t : Set α
tI : t ∈ I
ht : v ∈ t
succ :
  ∀ (u' v' : α) (hu'v' : u' ≤ v') (tI : Set.Ioc u' v' ∈ I) (ht : v ∈ Set.Ioc u' v'),
    onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
⊢ onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u

Tactic:
rcases hI tI with ⟨u', v', hu'v', rfl⟩

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
⊢ u' < v'

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
⊢ Set.Ioc u' v' ⊆ Set.Ioc u v

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
⊢ v' ≤ v

Tactic:
have ⟨_, uu'⟩ : v' ≤ v ∧ u ≤ u' := (Ioc_subset_Ioc_iff (by grind)).1 (by grind)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
left : v' ≤ v
⊢ u ≤ u'

Tactic:
have ⟨_, uu'⟩ : v' ≤ v ∧ u ≤ u' := (Ioc_subset_Ioc_iff (by grind)).1 (by grind)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
left : v' ≤ v
uu' : u ≤ u'
⊢ v = v'

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
left : v' ≤ v
uu' : u ≤ u'
⊢ u' ≤ v

Tactic:
obtain rfl : v = v' := by grind

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
left : v' ≤ v
uu' : u ≤ u'
hu'v'₁ : u' ≤ v
⊢ Set.Ioc u' v ∈ I

Tactic:
obtain rfl : v = v' := by grind

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
left : v' ≤ v
uu' : u ≤ u'
hu'v'₁ : u' ≤ v
tI₁ : Set.Ioc u' v ∈ I
⊢ v ∈ Set.Ioc u' v

Tactic:
obtain rfl : v = v' := by grind

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' v' : α
hu'v' : u' ≤ v'
tI : Set.Ioc u' v' ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v'
left : v' ≤ v
uu' : u ≤ u'
hu'v'₁ : u' ≤ v
tI₁ : Set.Ioc u' v ∈ I
ht₁ : v ∈ Set.Ioc u' v
⊢ v ≤ v

Tactic:
obtain rfl : v = v' := by grind

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' : α
uu' : u ≤ u'
hu'v' : u' ≤ v
tI : Set.Ioc u' v ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v
left : v ≤ v
succ : f v - f u = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
⊢ onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u

Tactic:
rw [h'uv, onIocAux_apply huv.le]

Premises used: LT.lt.le, MeasureTheory.AddContent.onIocAux_apply
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' : α
uu' : u ≤ u'
hu'v' : u' ≤ v
tI : Set.Ioc u' v ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v
left : v ≤ v
I' : Finset (Set α) := I.erase (Set.Ioc u' v)
⊢ I' ⊆ I

Tactic:
have I'I : I' ⊆ I := erase_subset (Set.Ioc u' v) I
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' : α
uu' : u ≤ u'
hu'v' : u' ≤ v
tI : Set.Ioc u' v ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v
left : v ≤ v
I' : Finset (Set α) := I.erase (Set.Ioc u' v)
I'I : I' ⊆ I
⊢ I = insert (Set.Ioc u' v) I'

Tactic:
simp [I', tI]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I_1 : Finset (Set α)
G_1 : Type u_2
inst : AddCommMonoid G_1
m m' : AddContent G_1 C
inst_1 : LinearOrder α
G : Type u_3
inst_2 : AddCommGroup G
f : α → G
n : ℕ
ih :
  ∀ (I : Finset (Set α)) (hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v})
    (h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id)
    (h''I :
      Membership.mem (γ := Set (Set α)) {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
        (⋃₀ (↑I : Set (Set α))))
    (hn : #I = n), onIocAux f (⋃₀ (↑I : Set (Set α))) = ∑ u ∈ I, onIocAux f u
I : Finset (Set α)
hI : (↑I : Set (Set α)) ⊆ {s : Set α | ∃ (u : α) (v : α), u ≤ v ∧ s = Set.Ioc u v}
h'I : (↑I : Set (Set α)).PairwiseDisjoint id
hn : #I = n + 1
u v : α
huv_1 : u ≤ v
h'uv : ⋃₀ (↑I : Set (Set α)) = Set.Ioc u v
huv : u < v
this : v ∈ ⋃₀ (↑I : Set (Set α))
u' : α
uu' : u ≤ u'
hu'v' : u' ≤ v
tI : Set.Ioc u' v ∈ I
ht : v ∈ Set.Ioc u' v
left : v ≤ v
I' : Finset (Set α) := I.erase (Set.Ioc u' v)
I'I : I' ⊆ I
⊢ I = insert (Set.Ioc u' v) I'

Tactic:
have I_eq_insert : I = insert (Set.Ioc u' v) I' := by simp [I', tI]