-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.GrothendieckTopology
Goal:
X Y : TopCat
𝒰 : precoverage.ZeroHypercover Y
heq :
  ∀ (i : 𝒰.I₀) (y : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
    Eq (α := (↑Y : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (𝒰.f i) :
            (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
          y :
        (↑Y : Type u_1))
      ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑Y : Type u_1)) ↦
              Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u_1))
                (Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                        carrier) (𝒰.f i)) :
                    (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                x)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    carrier) (𝒰.f i) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
                y)
              ⋯) :
          (↑Y : Type u_1)) :
        (↑Y : Type u_1))
x : (i : 𝒰.I₀) → Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op (𝒰.X i))
hx : Presieve.Arrows.Compatible (Functor.obj yoneda X) 𝒰.f x
i : 𝒰.I₀
x_1 : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)
refine_2 :
  Eq (α := (↑X : Type u_1))
    ((ContinuousMap.liftCover
            (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
              Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                      carrier) (𝒰.f i)) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
            (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
              {
                toFun :=
                  Function.comp (β := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                    (⇑(Hom.hom (x i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                    (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                      (a :
                          (↑(Set.range
                                (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                            Type u_1)) →
                        (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
                continuous_toFun := ⋯ })
            ⋯ ⋯ :
          (a : (↑Y : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        ((Hom.hom (𝒰.f i) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)) x_1 : (↑Y : Type u_1)) :
      (↑X : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
            (x i) :
          (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        x_1 :
      (↑X : Type u_1))
⊢ Eq (α := (↑X : Type u_1))
    ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) carrier _ _
            (Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) X
            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj yoneda X) (𝒰.f i).op) :
                (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op Y))) →
                  (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op (𝒰.X i))))
              (ofHom
                (ContinuousMap.liftCover
                  (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
                    Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1)))
                            (CC := carrier) (𝒰.f i)) :
                        (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                  (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
                    {
                      toFun :=
                        Function.comp (β := (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1))
                          (⇑(Hom.hom (x i)) :
                            (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                          (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                            (a :
                                (↑(Set.range
                                      (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) :
                                        (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                                  Type u_1)) →
                              (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
                      continuous_toFun := ⋯ })
                  ⋯ ⋯))) :
          (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        x_1 :
      (↑X : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
            (x i) :
          (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
        x_1 :
      (↑X : Type u_1))

Tactic:
simp only [yoneda_obj_map, Quiver.Hom.unop_op, ConcreteCategory.hom_ofHom, TypeCat.Fun.coe_mk,
      hom_comp, ContinuousMap.comp_apply]

Premises used: Quiver.Hom.unop_op, TypeCat.Fun.coe_mk, ContinuousMap.comp_apply, CategoryTheory.yoneda_obj_map, CategoryTheory.ConcreteCategory.hom_ofHom, TopCat.hom_comp