awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
⊢ IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (Hom.opensRange (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯)))

Tactic:
isCompact_range (Proj.awayι _ _ (hxd _ i.2) (hd _ i.2).bot_lt).continuous

Premises used: setOf, isCompact_range, AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.continuous, Set.range, AlgebraicGeometry.Proj.awayι, Ne.bot_lt, Subtype.property
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
⊢ IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (Hom.opensRange (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯)))

Tactic:
exact isCompact_range (Proj.awayι _ _ (hxd _ i.2) (hd _ i.2).bot_lt).continuous

Premises used: isCompact_range, AlgebraicGeometry.Scheme.Hom.continuous, AlgebraicGeometry.Proj.awayι, Ne.bot_lt, Subtype.property
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
⊢ ∀ (i : ↥x), IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (basicOpen 𝒜 (↑i : A)))

Tactic:
have H (i : x) : IsCompact (Proj.basicOpen 𝒜 (i : A)).1 := by
    rw [← Proj.opensRange_awayι _ _ (hxd _ i.2) (hd _ i.2).bot_lt]
    exact isCompact_range (Proj.awayι _ _ (hxd _ i.2) (hd _ i.2).bot_lt).continuous
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
H : ∀ (i : ↥x), IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (basicOpen 𝒜 (↑i : A)))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A)
    (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥x) (Subtype.val (p := fun (x_1 : A) ↦ x_1 ∈ x)))) ⊤

Tactic:
simpa using hx
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
H : ∀ (i : ↥x), IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (basicOpen 𝒜 (↑i : A)))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Set ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (⨆ (i : ↥x), basicOpen 𝒜 (↑i : A)))
    (TopologicalSpace.Opens.carrier ⊤)

Tactic:
have := congr($(Proj.iSup_basicOpen_eq_top' 𝒜
    (ι := x) (↑) (fun i ↦ ⟨_, hxd _ i.2⟩) (by simpa using hx)).1)
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
H : ∀ (i : ↥x), IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (basicOpen 𝒜 (↑i : A)))
this :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Set ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (⨆ (i : ↥x), basicOpen 𝒜 (↑i : A)))
    (TopologicalSpace.Opens.carrier ⊤)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Set ↥(Proj 𝒜)) (⋃ (i : ↥x), (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜))) Set.univ

Tactic:
simp only [TopologicalSpace.Opens.iSup_mk, TopologicalSpace.Opens.carrier_eq_coe,
    TopologicalSpace.Opens.coe_mk, TopologicalSpace.Opens.coe_top] at this

Premises used: TopologicalSpace.Opens.iSup_mk, TopologicalSpace.Opens.coe_mk, TopologicalSpace.Opens.carrier_eq_coe, TopologicalSpace.Opens.coe_top
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
H : ∀ (i : ↥x), IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (basicOpen 𝒜 (↑i : A)))
this : Eq.{u_2 + 1} (α := Set ↥(Proj 𝒜)) (⋃ (i : ↥x), (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜))) Set.univ
rw : IsCompact.{u_2} (X := ↥(Proj 𝒜)) (⋃ (i : ↥x), (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜)))
⊢ CompactSpace.{u_2} ↥(Proj 𝒜)

Tactic:
rw [← isCompact_univ_iff, ← this]

Premises used: isCompact_univ_iff
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
H : ∀ (i : ↥x), IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (basicOpen 𝒜 (↑i : A)))
this : Eq.{u_2 + 1} (α := Set ↥(Proj 𝒜)) (⋃ (i : ↥x), (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜))) Set.univ
⊢ IsCompact.{u_2} (X := ↥(Proj 𝒜)) (⋃ (i : ↥x), (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜)))

Tactic:
isCompact_iUnion H

Premises used: isCompact_iUnion
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
H : ∀ (i : ↥x), IsCompact (X := ↥(Proj 𝒜)) (TopologicalSpace.Opens.carrier (basicOpen 𝒜 (↑i : A)))
this : Eq.{u_2 + 1} (α := Set ↥(Proj 𝒜)) (⋃ (i : ↥x), (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜))) Set.univ
⊢ IsCompact.{u_2} (X := ↥(Proj 𝒜)) (⋃ (i : ↥x), (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜)))

Tactic:
exact isCompact_iUnion H

Premises used: isCompact_iUnion
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
obtain :
  ∀ (x : Finset A) (hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤)
    (hx' : ∀ i ∈ x, ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ i ∈ 𝒜 n), ⋯.HasLift
⊢ ⋯.HasLift

Tactic:
obtain ⟨x, hx, hx'⟩ := GradedAlgebra.exists_finset_adjoin_eq_top_and_homogeneous_ne_zero 𝒜

Premises used: GradedAlgebra.exists_finset_adjoin_eq_top_and_homogeneous_ne_zero
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
hx' : ∀ i ∈ x, ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ i ∈ 𝒜 n
choose :
  ∀ (d : (i : A) → i ∈ x → ℕ) (hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0) (hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)),
    ⋯.HasLift
⊢ ⋯.HasLift

Tactic:
choose d hd hxd using hx'
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
⊢ Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := (Proj 𝒜).Opens) ⊤ (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))

Tactic:
have : i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) ∈ (⊤ : (Proj 𝒜).Opens) := trivial
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
this : Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := (Proj 𝒜).Opens) ⊤ (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A)
    (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥x) (Subtype.val (p := fun (x_1 : A) ↦ x_1 ∈ x)))) ⊤

Tactic:
simpa using hx
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
this : Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := (Proj 𝒜).Opens) ⊤ (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
⊢ ∃ (i : ↥x),
    Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
      (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))

Tactic:
rw [← Proj.iSup_basicOpen_eq_top' 𝒜 (ι := x) (↑) (fun i ↦ ⟨_, hxd _ i.2⟩) (by simpa using hx),
    TopologicalSpace.Opens.mem_iSup] at this

Premises used: AlgebraicGeometry.Proj.iSup_basicOpen_eq_top', TopologicalSpace.Opens.mem_iSup, Exists.intro
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
this :
  ∃ (i : ↥x),
    Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
      (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
obtain :
  ∀ (i : ↥x)
    (hi :
      Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
        (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))),
    ⋯.HasLift
⊢ ⋯.HasLift

Tactic:
obtain ⟨i, hi⟩ := this
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
    (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
rw : Set.range (ι := ↥(Spec (CommRingCat.of K))) ⇑i₁ ⊆ (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜))
⊢ Set.range (ι := ↥(Spec (CommRingCat.of K))) ⇑i₁ ⊆ (↑(Hom.opensRange (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯)) : Set ↥(Proj 𝒜))

Tactic:
rw [Proj.opensRange_awayι]

Premises used: AlgebraicGeometry.Proj.opensRange_awayι
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x_1 : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x_1 : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x_1 → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x_1), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x_1), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x_1
hi :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
    (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
x : ↥(Spec (CommRingCat.of K))
obtain :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜)) (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
⊢ Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜)) (i₁ x : ↥(Proj 𝒜))

Tactic:
obtain rfl := Subsingleton.elim x (IsLocalRing.closedPoint K)

Premises used: IsLocalRing.closedPoint, Subsingleton.elim, rfl
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
    (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
⊢ Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜)) (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))

Tactic:
hi

Premises used: Set.Mem
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
    (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
⊢ Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (↑(basicOpen 𝒜 (↑i : A)) : Set ↥(Proj 𝒜)) (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))

Tactic:
exact hi
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
    (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
⊢ Set.range (ι := ↥(Spec (CommRingCat.of K))) ⇑i₁ ⊆ (↑(Hom.opensRange (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯)) : Set ↥(Proj 𝒜))

Tactic:
have : Set.range i₁ ⊆ (Proj.awayι 𝒜 _ (hxd i i.2) (hd i i.2).bot_lt).opensRange := by
    rw [Proj.opensRange_awayι]
    rintro _ ⟨x, rfl⟩
    obtain rfl := Subsingleton.elim x (IsLocalRing.closedPoint K)
    exact hi
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
    (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
this : Set.range (ι := ↥(Spec (CommRingCat.of K))) ⇑i₁ ⊆ (↑(Hom.opensRange (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯)) : Set ↥(Proj 𝒜))
φ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Spec (CommRingCat.of (Away 𝒜 (↑i : A))) :=
  IsOpenImmersion.lift (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯) i₁ this
a :
  Spec.map (Spec.preimage i₂ ≫ CommRingCat.ofHom (algebraMap O K)) =
    Spec.map (CommRingCat.ofHom (fromZeroRingHom 𝒜 (Submonoid.powers (↑i : A))) ≫ Spec.preimage φ)
⊢ Spec.preimage i₂ ≫ CommRingCat.ofHom (algebraMap O K) =
    CommRingCat.ofHom (fromZeroRingHom 𝒜 (Submonoid.powers (↑i : A))) ≫ Spec.preimage φ

Tactic:
apply Spec.map_injective

Premises used: AlgebraicGeometry.Spec.map_injective
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
    (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
this : Set.range (ι := ↥(Spec (CommRingCat.of K))) ⇑i₁ ⊆ (↑(Hom.opensRange (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯)) : Set ↥(Proj 𝒜))
φ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Spec (CommRingCat.of (Away 𝒜 (↑i : A))) :=
  IsOpenImmersion.lift (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯) i₁ this
a : i₁ ≫ toSpecZero 𝒜 = φ ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (fromZeroRingHom 𝒜 (Submonoid.powers (↑i : A))))
⊢ Spec.map (Spec.preimage i₂ ≫ CommRingCat.ofHom (algebraMap O K)) =
    Spec.map (CommRingCat.ofHom (fromZeroRingHom 𝒜 (Submonoid.powers (↑i : A))) ≫ Spec.preimage φ)

Tactic:
simp only [Spec.map_comp, Spec.map_preimage, ← w.w]

Premises used: AlgebraicGeometry.Spec.map_comp, CategoryTheory.CommSq.w, AlgebraicGeometry.Spec.map_preimage
-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.ProjectiveSpectrum.Proper
Goal:
σ : Type u_1
A : Type u_2
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
inst_4 : Algebra.FiniteType (↥(𝒜 0)) A
O : Type u_2
commRing : CommRing O
domain : IsDomain O
valuationRing : ValuationRing O
K : Type u_2
field : Field K
algebra : Algebra O K
isFractionRing : IsFractionRing O K
i₁ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Proj 𝒜
i₂ : Spec (CommRingCat.of O) ⟶ Spec (CommRingCat.of ↥(𝒜 0))
w : CommSq i₁ (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap O K))) (toSpecZero 𝒜) i₂
x : Finset A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0) (↑x : Set A)) ⊤
d : (i : A) → i ∈ x → ℕ
hd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), d i a ≠ 0
hxd : ∀ (i : A) (a : i ∈ x), i ∈ 𝒜 (d i a)
i : ↥x
hi :
  Membership.mem (α := ↥(Proj 𝒜)) (γ := TopologicalSpace.Opens ↥(Proj 𝒜)) (basicOpen 𝒜 (↑i : A))
    (i₁ (IsLocalRing.closedPoint K) : ↥(Proj 𝒜))
this : Set.range (ι := ↥(Spec (CommRingCat.of K))) ⇑i₁ ⊆ (↑(Hom.opensRange (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯)) : Set ↥(Proj 𝒜))
φ : Spec (CommRingCat.of K) ⟶ Spec (CommRingCat.of (Away 𝒜 (↑i : A))) :=
  IsOpenImmersion.lift (awayι 𝒜 (↑i : A) ⋯ ⋯) i₁ this
a : 0 < d (↑i : A) ⋯
⊢ i₁ ≫ toSpecZero 𝒜 = φ ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (fromZeroRingHom 𝒜 (Submonoid.powers (↑i : A))))

Tactic:
rw [← Proj.awayι_toSpecZero _ _ (hxd i i.2), IsOpenImmersion.lift_fac_assoc]

Premises used: AlgebraicGeometry.Proj.awayι_toSpecZero, AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion.lift_fac_assoc, Subtype.val, Subtype.property