-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Sheaf
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R_1 : Sheaf J RingCat
R : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst_1 :
  J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
    (CA := AddCommGrpCat.carrier)
inst_2 : IsLocallySurjective J f
inst_3 : IsLocallyInjective J f
ψ : M₁ ⟶ N
φ : (toPresheaf R).obj M₂ ⟶ N.presheaf
hφ :
  ∀ (Z : Cᵒᵖ) (x : (↑(M₁.obj Z) : Type v)),
    Eq (α := (↑(N.presheaf.obj Z) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (φ.app Z) :
            (a : (↑(((toPresheaf R).obj M₂).obj Z) : Type v)) → (↑(N.presheaf.obj Z) : Type v))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{v, u} (↑(R.obj Z) : Type u)) ↦
                  LinearMap.{u, u, v, v} (R := (↑(R.obj Z) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj Z) : Type u)) (↑x1 : Type v)
                    (↑x2 : Type v))
                  (CC := ModuleCat.carrier) (f.app Z) :
                (a : (↑(M₁.obj Z) : Type v)) → (↑(M₂.obj Z) : Type v))
              x :
            (↑(M₂.obj Z) : Type v)) :
        (↑(N.presheaf.obj Z) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{v, u} (↑(R.obj Z) : Type u)) ↦
              LinearMap.{u, u, v, v} (R := (↑(R.obj Z) : Type u)) (RingHom.id (↑(R.obj Z) : Type u)) (↑x1 : Type v)
                (↑x2 : Type v))
              (CC := ModuleCat.carrier) (ψ.app Z) :
            (a : (↑(M₁.obj Z) : Type v)) → (↑(N.obj Z) : Type v))
          x :
        (↑(N.obj Z) : Type v))
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj X) : Type u)
y : (↑(M₂.obj X) : Type v)
a :
  ∀ (Y : C) (f_1 : Y ⟶ Opposite.unop X),
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
            AddCommGrpCat.carrier) ((toPresheaf R).map f) y).arrows
        f_1 →
      Eq (α := (↑(N.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (N.presheaf.map f_1.op) :
              (a : (↑(N.presheaf.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) →
                (↑(N.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                    AddCommGrpCat.carrier) (φ.app X) :
                  (a : (↑(M₂.presheaf.obj X) : Type v)) → (↑(N.presheaf.obj X) : Type v))
                (r • y) :
              (↑(N.presheaf.obj X) : Type v)) :
          (↑(N.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (N.presheaf.map f_1.op) :
              (a : (↑(N.presheaf.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) →
                (↑(N.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
            (HSMul.hSMul (β := (↑(N.presheaf.obj X) : Type v)) r
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                      AddCommGrpCat.carrier) (φ.app X) :
                    (a : (↑(M₂.presheaf.obj X) : Type v)) → (↑(N.presheaf.obj X) : Type v))
                  y :
                (↑(N.presheaf.obj X) : Type v))) :
          (↑(N.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (φ.app X) :
        (a : (↑(M₂.presheaf.obj X) : Type v)) → (↑(N.presheaf.obj X) : Type v))
      (r • y) =
    HSMul.hSMul (β := (↑(N.presheaf.obj X) : Type v)) r
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (φ.app X) :
            (a : (↑(M₂.presheaf.obj X) : Type v)) → (↑(N.presheaf.obj X) : Type v))
          y :
        (↑(N.presheaf.obj X) : Type v))

Tactic:
apply hN.isSeparated _ _
          (Presheaf.imageSieve_mem J ((toPresheaf R).map f) y)

Premises used: CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf.isSeparated, CategoryTheory.Functor.map, PresheafOfModules.toPresheaf, CategoryTheory.Presheaf.imageSieve_mem