awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
h :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R)
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R)
      (HSMul.hSMul (β := M) (P.pairing i i) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
h₁ h₂ :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R)
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R)
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
⊢ HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R)
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R)
      (HSMul.hSMul (β := M) (P.pairing i j) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))

Tactic:
rw [P.pairing_smul_root_eq j i i hij.symm, pairing_same]

Premises used: RootPairing.pairing_same, RootPairing.pairing_smul_root_eq, Eq.symm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
h :
  P.pairing i j •
      HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
h₁ :
  HSMul.hSMul (β := M)
      (HSMul.hSMul (β := R) (P.pairing i j)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
h₂ h₃ :
  HSMul.hSMul (β := M)
      (HSMul.hSMul (β := R) (P.pairing i j)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul (β := M)
      (HSMul.hSMul (β := R) (P.pairing i j)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) : R)
      (HSMul.hSMul (β := M) (P.pairing i j) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)

Tactic:
rw [← smul_comm, ← smul_assoc, map_smul]

Premises used: smul_assoc, SMulCommClass.smul_comm, map_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
h :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing j j) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) 2 ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
h₁ h₂ :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) 2 ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) 2 ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i j) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) 2 ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)

Tactic:
rw [← P.pairing_smul_coroot_eq j i j hij.symm, pairing_same]

Premises used: RootPairing.pairing_same, RootPairing.pairing_smul_coroot_eq, Eq.symm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
h :
  HSMul.hSMul (β := M)
      (HSMul.hSMul (α := R) (β := R) 2
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul (α := ℕ) 2
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
h₁ :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 2
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M)) =
    HSMul.hSMul (α := ℕ) 2
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
h₂ :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 2
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M)) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (↑2 : R)
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
h₃ h₄ :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 2
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M)) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 2
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
⊢ HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
          (HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) 2 ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N)) :
        R)
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul (α := ℕ) 2
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) x : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) : R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M))

Tactic:
rw [map_smul, smul_assoc, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, Nat.cast_ofNat]

Premises used: Nat.cast_ofNat, smul_assoc, Nat.cast_smul_eq_nsmul, map_smul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h2 : IsSMulRegular (R := ℕ) M 2
h : P.reflection i = P.reflection j
k : ι
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) k : ι) : M)
    ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) k : ι) : M)

Tactic:
simp [h]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h2 : IsSMulRegular (R := ℕ) M 2
refine : ∀ (h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j), P.reflection i = P.reflection j
⊢ P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j ↔ P.reflection i = P.reflection j

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ Equiv.ext fun k ↦ P.root.injective <| by simp [h]⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h2 : IsSMulRegular (R := ℕ) M 2
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
suffices : Eq (α := (a : M) → M) (⇑(P.reflection i) : (a : M) → M) (⇑(P.reflection j) : (a : M) → M)
⊢ P.reflection i = P.reflection j

Tactic:
suffices ⇑(P.reflection i) = ⇑(P.reflection j) from DFunLike.coe_injective this
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h2 : IsSMulRegular (R := ℕ) M 2
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
⊢ IsSMulRegular.{0, u_3} (R := ℕ) (M → M) 2

Tactic:
replace h2 : IsSMulRegular (M → M) 2 := IsSMulRegular.pi fun _ ↦ h2
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
h2 : IsSMulRegular.{0, u_3} (R := ℕ) (M → M) 2
⊢ Eq (α := (a : M) → M) (⇑(P.reflection i) : (a : M) → M) (⇑(P.reflection j) : (a : M) → M)

Tactic:
h2 <| P.two_nsmul_reflection_eq_of_perm_eq i j h

Premises used: RootPairing.two_nsmul_reflection_eq_of_perm_eq
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
h2 : IsSMulRegular.{0, u_3} (R := ℕ) (M → M) 2
⊢ Eq (α := (a : M) → M) (⇑(P.reflection i) : (a : M) → M) (⇑(P.reflection j) : (a : M) → M)

Tactic:
exact h2 <| P.two_nsmul_reflection_eq_of_perm_eq i j h

Premises used: RootPairing.two_nsmul_reflection_eq_of_perm_eq
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
⊢ P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j ↔
    ∀ (x : M),
      Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x →
        Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)

Tactic:
⟨fun h x hx ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩

Premises used: Iff.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
refine_1 :
  ∀ (h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j) (x : M)
    (hx : Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x),
    Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)
refine_2 :
  ∀
    (h :
      ∀ (x : M),
        Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x →
          Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)),
    P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
⊢ P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j ↔
    ∀ (x : M),
      Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x →
        Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)

Tactic:
refine ⟨fun h x hx ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x_1 x : M
hx : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) x
refine_1 :
  ∀ (k : ι),
    Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) : M)
      ((P.reflection j : (a : M) → M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) : M)
⊢ Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)

Tactic:
obtain ⟨k, rfl⟩ := hx

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
k : ι
⊢ Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) : M)
    ((P.reflection j : (a : M) → M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) : M)

Tactic:
simp only [← root_reflectionPerm, h]

Premises used: RootPairing.root_reflectionPerm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) 0 : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) 0 : M)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x_1 x y : M
hx_1 : Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x
hy_1 : Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) y
hx : Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)
hy : Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) y : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) y : M)
⊢ Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) (x + y) : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) (x + y) : M)

Tactic:
simp [hx, hy]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x_1 : M
t : R
x : M
hx_1 : Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x
hx : Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)
⊢ Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) (t • x) : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) (t • x) : M)

Tactic:
simp [hx]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x
refine_1 :
  ∀ (x : M) (hx : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) x),
    Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)
refine_1₁ : Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) 0 : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) 0 : M)
refine_1₂ :
  ∀ (x y : M),
    Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x →
      Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) y →
        ∀ (hx : Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M))
          (hy : Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) y : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) y : M)),
          Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) (x + y) : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) (x + y) : M)
refine_1₃ :
  ∀ (t : R) (x : M),
    Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x →
      ∀ (hx : Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)),
        Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) (t • x) : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) (t • x) : M)
⊢ Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)

Tactic:
induction hx using Submodule.span_induction with
    | mem x hx =>
      obtain ⟨k, rfl⟩ := hx
      simp only [← root_reflectionPerm, h]
    | zero => simp
    | add x y _ _ hx hy => simp [hx, hy]
    | smul t x _ hx => simp [hx]

Premises used: rfl, RootPairing.root_reflectionPerm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h :
  ∀ (x : M),
    Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x →
      Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)
refine_2 : ∀ (k : ι), Eq (α := ι) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) k : ι) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) k : ι)
⊢ P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j

Tactic:
ext k
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h :
  ∀ (x : M),
    Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x →
      Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)
k : ι
refine_2 :
  Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) k : ι) : M)
    ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) k : ι) : M)
⊢ Eq (α := ι) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) k : ι) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) k : ι)

Tactic:
apply P.root.injective

Premises used: RootPairing.root, Function.Embedding.injective
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
h :
  ∀ (x : M),
    Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x →
      Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)
k : ι
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) k : ι) : M)
    ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) k : ι) : M)

Tactic:
simp [h (P.root k) (Submodule.subset_span <| mem_range_self k)]

Premises used: Set.mem_range_self, RootPairing.root, Submodule.subset_span, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsRootSystem
i j : ι
h : P.reflection i = P.reflection j
k : ι
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) k : ι) : M)
    ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) k : ι) : M)

Tactic:
simp [h]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsRootSystem
i j : ι
refine : ∀ (h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j), P.reflection i = P.reflection j
⊢ P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j ↔ P.reflection i = P.reflection j

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ Equiv.ext fun k ↦ P.root.injective <| by simp [h]⟩
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsRootSystem
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
h₁ : ∀ (x : M), Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)
⊢ P.reflection i = P.reflection j

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsRootSystem
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))) x

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsRootSystem
i j : ι
h : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ Eq (α := M) ((P.reflection i : (a : M) → M) x : M) ((P.reflection j : (a : M) → M) x : M)

Tactic:
exact (P.reflectionPerm_eq_reflectionPerm_iff_of_span i j).mp h x <| by simp

Premises used: RootPairing.reflectionPerm_eq_reflectionPerm_iff_of_span, Iff.mp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ comp (β := M) (⇑P.toPerfPair : (a : M) → Dual R N) (⇑P.root : (a : ι) → M) = P.root'

Tactic:
rfl

Premises used: rfl