-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Grading
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
i_1 : ℕ
x_1 m : TensorAlgebra R M
hm : Membership.mem (γ := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) m
i : ℕ
x : TensorAlgebra R M
hx : x ∈ HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i
ih :
  Eq (α := ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
    ((((lift R : (a : M →ₗ[R] ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i)) → TensorAlgebra R M →ₐ[R] ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
              (GradedAlgebra.ι R M) :
            TensorAlgebra R M →ₐ[R]
              ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i)) :
          (a : TensorAlgebra R M) → ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
        x :
      ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ℕ) ↦ ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i)) i :
            ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i) →+
              ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i)) :
          (a : ↥((ι R).range ^ i)) → ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : TensorAlgebra R M) ↦
          x ∈ HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i) x hx) :
      ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
mem_mul :
  ∀ (w : M),
    Eq (α := ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
      ((((lift R : (a : M →ₗ[R] ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i)) → TensorAlgebra R M →ₐ[R] ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
                (GradedAlgebra.ι R M) :
              TensorAlgebra R M →ₐ[R]
                ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i)) :
            (a : TensorAlgebra R M) → ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
          (HMul.hMul (α := TensorAlgebra R M) ((ι R : (a : M) → TensorAlgebra R M) w : TensorAlgebra R M) x) :
        ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ℕ) ↦ ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
                i.succ :
              ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i.succ) →+
                ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i)) :
            (a : ↥((ι R).range ^ i.succ)) → ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : TensorAlgebra R M) ↦
            x ∈ HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i.succ)
            (HMul.hMul (α := TensorAlgebra R M) ((ι R : (a : M) → TensorAlgebra R M) w : TensorAlgebra R M) x) ⋯) :
        ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
⊢ Eq (α := ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
    ((((lift R : (a : M →ₗ[R] ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i)) → TensorAlgebra R M →ₐ[R] ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
              (GradedAlgebra.ι R M) :
            TensorAlgebra R M →ₐ[R]
              ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i)) :
          (a : TensorAlgebra R M) → ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
        (m * x) :
      ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ℕ) ↦ ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))
              i.succ :
            ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i.succ) →+
              ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i)) :
          (a : ↥((ι R).range ^ i.succ)) → ⨁ (i : ℕ), ↥((ι R).range ^ i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : TensorAlgebra R M) ↦
          x ∈ HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i.succ) (m * x) ⋯) :
      ⨁ (i : ℕ), ↥(HPow.hPow (α := Submodule R (TensorAlgebra R M)) (LinearMap.range (ι R)) i))

Tactic:
obtain ⟨_, rfl⟩ := hm

Premises used: rfl