awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate (s := univ) fun (x : M) ↦ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
g : (c : M) → H → ℝ
g_supp :
  ∀ (c : M),
    support (g c) =
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H c)).target ∩
        (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H c)) : H → M) ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g :
  ∀ (c x : M),
    0 ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
        (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x))
x : M
hx : x ∉ s
c : M
Hx : x ∉ tsupport (α := ℝ) (⇑((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ)
this : x ∉ support (M := ℝ) (⇑((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ)
⊢ Eq (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ) (0 : ℝ)

Tactic:
rw [notMem_support] at this

Premises used: Function.notMem_support
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate (s := univ) fun (x : M) ↦ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
g : (c : M) → H → ℝ
g_supp :
  ∀ (c : M),
    support (g c) =
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H c)).target ∩
        (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H c)) : H → M) ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g :
  ∀ (c x : M),
    0 ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
        (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x))
x : M
hx : x ∉ s
c : M
Hx : x ∉ tsupport (α := ℝ) (⇑((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ)
this : Eq (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ) (0 : ℝ)
⊢ HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
      (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x)) =
    0

Tactic:
simp [this]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate (s := univ) fun (x : M) ↦ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
g : (c : M) → H → ℝ
g_supp :
  ∀ (c : M),
    support (g c) =
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H c)).target ∩
        (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H c)) : H → M) ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g :
  ∀ (c x : M),
    0 ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
        (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x))
refine_2 :
  ∀ (i x : M),
    Membership.mem (γ := Set M)
        (tsupport (α := ℝ) (⇑((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) i : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ)) x →
      ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, ℝ) (M' := ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (fun (x : M) ↦ g i ((↑(chartAt H i) : M → H) x)) x
⊢ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (M' := ℝ) (↑n : ℕ∞ω) fun (x : M) ↦
    ∑ᶠ (c : M),
      HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
        (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x))

Tactic:
apply SmoothPartitionOfUnity.contMDiff_finsum_smul

Premises used: SmoothPartitionOfUnity.contMDiff_finsum_smul
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate (s := univ) fun (x : M) ↦ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
g : (c : M) → H → ℝ
g_supp :
  ∀ (c : M),
    support (g c) =
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H c)).target ∩
        (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H c)) : H → M) ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g :
  ∀ (c x : M),
    0 ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
        (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x))
c x : M
hx :
  Membership.mem (γ := Set M)
    (tsupport (α := ℝ) (⇑((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ)) x
refine_2 : ContMDiffAt I I (↑n : ℕ∞ω) (↑(chartAt H c) : M → H) x
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(ℝ, ℝ) (M' := ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (fun (x : M) ↦ g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x)) x

Tactic:
apply (g_diff c (chartAt H c x)).comp

Premises used: chartAt, OpenPartialHomeomorph.toFun', ContMDiffAt.comp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate (s := univ) fun (x : M) ↦ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
g : (c : M) → H → ℝ
g_supp :
  ∀ (c : M),
    support (g c) =
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H c)).target ∩
        (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H c)) : H → M) ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g :
  ∀ (c x : M),
    0 ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
        (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x))
c x : M
hx :
  Membership.mem (γ := Set M)
    (tsupport (α := ℝ) (⇑((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ)) x
⊢ ContMDiffAt I I (↑n : ℕ∞ω) (↑(chartAt H c) : M → H) x

Tactic:
contMDiffAt_of_mem_maximalAtlas (IsManifold.chart_mem_maximalAtlas _)
      (hf c hx)

Premises used: IsManifold.chart_mem_maximalAtlas, contMDiffAt_of_mem_maximalAtlas
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate (s := univ) fun (x : M) ↦ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
g : (c : M) → H → ℝ
g_supp :
  ∀ (c : M),
    support (g c) =
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H c)).target ∩
        (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H c)) : H → M) ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g :
  ∀ (c x : M),
    0 ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
        (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x))
c x : M
hx :
  Membership.mem (γ := Set M)
    (tsupport (α := ℝ) (⇑((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ)) x
⊢ ContMDiffAt I I (↑n : ℕ∞ω) (↑(chartAt H c) : M → H) x

Tactic:
exact contMDiffAt_of_mem_maximalAtlas (IsManifold.chart_mem_maximalAtlas _)
      (hf c hx)

Premises used: IsManifold.chart_mem_maximalAtlas, contMDiffAt_of_mem_maximalAtlas
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate (s := univ) fun (x : M) ↦ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
g : (c : M) → H → ℝ
g_supp :
  ∀ (c : M),
    support (g c) =
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H c)).target ∩
        (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H c)) : H → M) ⁻¹' s
g_diff : ∀ (c : M), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) (g c)
hg : ∀ (c : M), range (g c) ⊆ Icc 0 1
h'g : ∀ (c : M) (x : H), 0 ≤ g c x
h''g :
  ∀ (c x : M),
    0 ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
        (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x))
x : M
⊢ LE.le (α := ℝ) 0
    ((fun (x : M) ↦
        (∑ᶠ (c : M),
            HMul.hMul (α := ℝ) ((((f : (a : M) → C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) c : C^∞⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯) : (a : M) → ℝ) x : ℝ)
              (g c ((↑(chartAt H c) : M → H) x)) :
          ℝ))
      x)

Tactic:
apply finsum_nonneg (fun c ↦ h''g c x)

Premises used: finsum_nonneg
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
rcases :
  ∀ (f : M → ℝ) (f_supp : support f = s) (f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f) (f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x),
    ∃ (f : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ support f = s ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ ∃ (f : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ support f = s ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1

Tactic:
rcases hs.exists_contMDiff_support_eq I with ⟨f, f_supp, f_diff, f_pos⟩

Premises used: IsOpen.exists_contMDiff_support_eq
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
rcases :
  ∀ (g : M → ℝ) (g_supp : support g = tᶜ) (g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g) (g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x),
    ∃ (f : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ support f = s ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
⊢ ∃ (f : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ support f = s ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1

Tactic:
rcases ht.isOpen_compl.exists_contMDiff_support_eq I with ⟨g, g_supp, g_diff, g_pos⟩

Premises used: IsClosed.isOpen_compl, IsOpen.exists_contMDiff_support_eq
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
pos : ∀ (xs : x ∈ support f), 0 < f x + g x
neg : ∀ (xs : x ∉ support f), 0 < f x + g x
⊢ 0 < f x + g x

Tactic:
by_cases xs : x ∈ support f

Premises used: Function.support
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∈ support f
⊢ 0 < f x

Tactic:
have : 0 < f x := lt_of_le_of_ne (f_pos x) (Ne.symm xs)
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∈ support f
this : 0 < f x
linarith : f x + g x ≤ 0 → 0 - f x + (f x + g x - 0) + (0 - g x) = 0
⊢ 0 < f x + g x

Tactic:
linarith [g_pos x]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.72 : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.113 : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
apply : g x ≠ 0
⊢ 0 < g x

Tactic:
apply lt_of_le_of_ne (g_pos x) (Ne.symm ?_)

Premises used: Ne.symm, lt_of_le_of_ne
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.72 : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.113 : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
rw : x ∈ tᶜ
⊢ g x ≠ 0

Tactic:
rw [← mem_support, g_supp]

Premises used: Function.mem_support
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.72 : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.113 : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
contrapose : ∀ (xs : x ∉ tᶜ), x ∈ support f
⊢ x ∈ tᶜ

Tactic:
contrapose xs
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.72 : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.113 : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ tᶜ
⊢ x ∈ t

Tactic:
simpa using xs
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.72 : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑?m.113 : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ tᶜ
⊢ x ∈ support f

Tactic:
exact h.trans f_supp.symm.subset (by simpa using xs)

Premises used: HasSubset.Subset.trans, Eq.subset, Eq.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
apply : g x ≠ 0
apply₁ : x ∈ tᶜ
apply₂ : ∀ (xs : x ∉ tᶜ), x ∈ support f
⊢ 0 < g x

Tactic:
classical
        apply lt_of_le_of_ne (g_pos x) (Ne.symm ?_)
        rw [← mem_support, g_supp]
        contrapose xs
        exact h.trans f_supp.symm.subset (by simpa using xs)

Premises used: HasSubset.Subset.trans, Ne.symm, Eq.subset, Function.mem_support, Eq.symm, lt_of_le_of_ne
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
⊢ 0 < g x

Tactic:
have : 0 < g x := by
        classical
        apply lt_of_le_of_ne (g_pos x) (Ne.symm ?_)
        rw [← mem_support, g_supp]
        contrapose xs
        exact h.trans f_supp.symm.subset (by simpa using xs)
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
x : M
xs : x ∉ support f
this : 0 < g x
linarith : f x + g x ≤ 0 → 0 - g x + (f x + g x - 0) + (0 - f x) = 0
⊢ 0 < f x + g x

Tactic:
linarith [f_pos x]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
⊢ ∀ (x : M), 0 < f x + g x

Tactic:
have A : ∀ x, 0 < f x + g x := by
    intro x
    by_cases xs : x ∈ support f
    · have : 0 < f x := lt_of_le_of_ne (f_pos x) (Ne.symm xs)
      linarith [g_pos x]
    · have : 0 < g x := by
        classical
        apply lt_of_le_of_ne (g_pos x) (Ne.symm ?_)
        rw [← mem_support, g_supp]
        contrapose xs
        exact h.trans f_supp.symm.subset (by simpa using xs)
      linarith [f_pos x]
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity
Goal:
E : Type uE
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : FiniteDimensional ℝ E
inst_6 : IsManifold I ∞ M
inst_7 : SigmaCompactSpace M
inst_8 : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst_3] s
ht : IsClosed[inst_3] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ ∃ (f : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n : ℕ∞ω) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ support f = s ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1

Tactic:
⟨fun x ↦ f x / (f x + g x), ?_, ?_, ?_, ?_⟩

Premises used: HDiv.hDiv, HAdd.hAdd, And.intro, Exists.intro