awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
⊢ finrank ℝ (E' × ℝ) = n

Tactic:
simpa [this, E'] using Nat.sub_add_cancel finrank_pos

Premises used: Nat.sub_add_cancel, Module.finrank_pos
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
⊢ finrank ℝ (E' × ℝ) = n

Tactic:
have : finrank ℝ (E' × ℝ) = n := by simpa [this, E'] using Nat.sub_add_cancel finrank_pos
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
have :
  ∀ (L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ),
    ∃ (L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ), Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
⊢ ∃ (L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ), Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)

Tactic:
have L₀ : E ≃L[ℝ] (E' × ℝ) := (ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this).symm
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hx : Ne (α := E' × ℝ) ((L₀ : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) (0 : E' × ℝ)
hy : Ne (α := E' × ℝ) (0, 1) 0
⊢ ∃ (M : (E' × ℝ) ≃L[ℝ] E' × ℝ),
    Eq (α := E' × ℝ) ((M : (a : E' × ℝ) → E' × ℝ) ((L₀ : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)

Tactic:
apply SeparatingDual.exists_continuousLinearEquiv_apply_eq

Premises used: SeparatingDual.exists_continuousLinearEquiv_apply_eq
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
⊢ Ne (α := E' × ℝ) ((L₀ : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) (0 : E' × ℝ)

Tactic:
simpa using hv
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
⊢ Ne (α := E' × ℝ) (0, 1) 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
obtain :
  ∀ (M : (E' × ℝ) ≃L[ℝ] E' × ℝ)
    (hM :
      Eq (α := E' × ℝ) ((M : (a : E' × ℝ) → E' × ℝ) ((L₀ : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)),
    ∃ (L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ), Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
⊢ ∃ (L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ), Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)

Tactic:
obtain ⟨M, hM⟩ : ∃ M : (E' × ℝ) ≃L[ℝ] (E' × ℝ), M (L₀ v) = (0, 1) := by
      apply SeparatingDual.exists_continuousLinearEquiv_apply_eq
      · simpa using hv
      · simp

Premises used: Real, Prod.mk, Prod, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
M : (E' × ℝ) ≃L[ℝ] E' × ℝ
hM : Eq (α := E' × ℝ) ((M : (a : E' × ℝ) → E' × ℝ) ((L₀ : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
⊢ Eq (α := E' × ℝ) (((L₀.trans M : E ≃L[ℝ] E' × ℝ) : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)

Tactic:
simp [hM]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
M : (E' × ℝ) ≃L[ℝ] E' × ℝ
hM : Eq (α := E' × ℝ) ((M : (a : E' × ℝ) → E' × ℝ) ((L₀ : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
⊢ ∃ (L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ), Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)

Tactic:
exact ⟨L₀.trans M, by simp [hM]⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
pos :
  ∀ (L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ) (hL : Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)),
    Eq.{u_4 + 1} (α := W) (∫ (x : E), (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x) ∂μ)
      (-∫ (x : E), (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x) ∂μ)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := W) (∫ (x : E), (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x) ∂μ)
    (-∫ (x : E), (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x) ∂μ)

Tactic:
obtain ⟨L, hL⟩ : ∃ L : E ≃L[ℝ] (E' × ℝ), L v = (0, 1) := by
    have : finrank ℝ (E' × ℝ) = n := by simpa [this, E'] using Nat.sub_add_cancel finrank_pos
    have L₀ : E ≃L[ℝ] (E' × ℝ) := (ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq this).symm
    obtain ⟨M, hM⟩ : ∃ M : (E' × ℝ) ≃L[ℝ] (E' × ℝ), M (L₀ v) = (0, 1) := by
      apply SeparatingDual.exists_continuousLinearEquiv_apply_eq
      · simpa using hv
      · simp
    exact ⟨L₀.trans M, by simp [hM]⟩

Premises used: Real, Prod.mk, Prod, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L : (a : E) → E' × ℝ) μ
H :
  Eq.{u_4 + 1} (α := W)
    (∫ (x : E' × ℝ),
      (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
        (g' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
    (-∫ (x : E' × ℝ),
        (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
          (g ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
⊢ μ = map (⇑L.symm : (a : E' × ℝ) → E) ν

Tactic:
simp [ν, Measure.map_map L.symm.continuous.measurable L.continuous.measurable]

Premises used: ContinuousLinearEquiv.symm, ContinuousLinearEquiv.continuous, Continuous.measurable, MeasureTheory.Measure.map_map
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L : (a : E) → E' × ℝ) μ
H :
  Eq.{u_4 + 1} (α := W)
    (∫ (x : E' × ℝ),
      (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
        (g' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
    (-∫ (x : E' × ℝ),
        (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
          (g ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
⊢ μ = map (⇑L.symm : (a : E' × ℝ) → E) ν

Tactic:
have : μ = Measure.map L.symm ν := by
      simp [ν, Measure.map_map L.symm.continuous.measurable L.continuous.measurable]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L : (a : E) → E' × ℝ) μ
H :
  Eq.{u_4 + 1} (α := W)
    (∫ (x : E' × ℝ),
      (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
        (g' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
    (-∫ (x : E' × ℝ),
        (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
          (g ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
this : μ = map (⇑L.symm : (a : E' × ℝ) → E) ν
⊢ IsClosedEmbedding (X := E' × ℝ) (Y := E) (⇑L.symm : (a : E' × ℝ) → E)

Tactic:
have hL : IsClosedEmbedding L.symm := L.symm.toHomeomorph.isClosedEmbedding
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this_1 : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL_1 : Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L : (a : E) → E' × ℝ) μ
H :
  Eq.{u_4 + 1} (α := W)
    (∫ (x : E' × ℝ),
      (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
        (g' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
    (-∫ (x : E' × ℝ),
        (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
          (g ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
this : μ = map (⇑L.symm : (a : E' × ℝ) → E) ν
hL : IsClosedEmbedding (X := E' × ℝ) (Y := E) (⇑L.symm : (a : E' × ℝ) → E)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := W) (∫ (x : E), (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x) ∂μ)
    (-∫ (x : E), (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x) ∂μ)

Tactic:
simpa [this, hL.integral_map] using H

Premises used: Topology.IsClosedEmbedding.integral_map
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : NormedAddCommGroup W
inst_7 : NormedSpace ℝ W
inst_8 : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst_9 : BorelSpace E
inst_10 : FiniteDimensional ℝ E
inst_11 : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hfg' :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x)) μ
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := W) (fun (x : E) ↦ (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : Eq (α := E' × ℝ) ((L : (a : E) → E' × ℝ) v : E' × ℝ) ((0, 1) : E' × ℝ)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L : (a : E) → E' × ℝ) μ
pos :
  Eq.{u_4 + 1} (α := W)
    (∫ (x : E' × ℝ),
      (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
        (g' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
    (-∫ (x : E' × ℝ),
        (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W)
          (g ((L.symm : (a : E' × ℝ) → E) x)) ∂ν)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := W) (∫ (x : E), (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g' x) ∂μ)
    (-∫ (x : E), (((B : (a : F) → G →L[ℝ] W) (f' x) : G →L[ℝ] W) : (a : G) → W) (g x) ∂μ)

Tactic:
suffices H : ∫ (x : E' × ℝ), (B (f (L.symm x))) (g' (L.symm x)) ∂ν =
      -∫ (x : E' × ℝ), (B (f' (L.symm x))) (g (L.symm x)) ∂ν by
    have : μ = Measure.map L.symm ν := by
      simp [ν, Measure.map_map L.symm.continuous.measurable L.continuous.measurable]
    have hL : IsClosedEmbedding L.symm := L.symm.toHomeomorph.isClosedEmbedding
    simpa [this, hL.integral_map] using H