awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc : 1 < #A * #B
⊢ 0 < #A

Tactic:
obtain ⟨hA, hB, hc⟩ := Nat.one_lt_mul_iff.mp hc

Premises used: Iff.mp, Nat.one_lt_mul_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc : 1 < #A * #B
hA : 0 < #A
⊢ 0 < #B

Tactic:
obtain ⟨hA, hB, hc⟩ := Nat.one_lt_mul_iff.mp hc

Premises used: Iff.mp, Nat.one_lt_mul_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc : 1 < #A * #B
hA : 0 < #A
hB : 0 < #B
⊢ 1 < #A ∨ 1 < #B

Tactic:
obtain ⟨hA, hB, hc⟩ := Nat.one_lt_mul_iff.mp hc

Premises used: Iff.mp, Nat.one_lt_mul_iff
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : 0 < #A
hB : 0 < #B
hc : 1 < #A ∨ 1 < #B
⊢ A.Nonempty

Tactic:
rw [card_pos] at hA hB

Premises used: Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : 0 < #A
hB : 0 < #B
hc : 1 < #A ∨ 1 < #B
hA₁ : A.Nonempty
⊢ B.Nonempty

Tactic:
rw [card_pos] at hA hB

Premises used: Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : 0 < #A
hB : 0 < #B
hc : 1 < #A ∨ 1 < #B
hA₁ : A.Nonempty
hB₁ : B.Nonempty
⊢ 1 < #A ∨ 1 < #B

Tactic:
rw [card_pos] at hA hB

Premises used: Finset.card_pos
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc : 1 < #A ∨ 1 < #B
obtain :
  ∀ (i : ι)
    (hc :
      (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
        1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨i, hc⟩ := exists_or.mpr (hc.imp exists_of_one_lt_card_pi exists_of_one_lt_card_pi)

Premises used: Iff.mpr, exists_or, Finset.exists_of_one_lt_card_pi, Or.imp
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc_2 : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
hc :
  (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
    1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
obtain :
  ∀ (p1 : G i × G i)
    (h1 :
      p1 ∈
        SProd.sprod (α := Finset (G i)) (β := Finset (G i)) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A)
          (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B))
    (p2 : G i × G i)
    (h2 :
      p2 ∈
        SProd.sprod (α := Finset (G i)) (β := Finset (G i)) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A)
          (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B))
    (hne : p1 ≠ p2)
    (hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2)
    (hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨p1, h1, p2, h2, hne, hi1, hi2⟩ := uniqueMul_of_one_lt_card (Nat.one_lt_mul_iff.mpr
      ⟨card_pos.2 (hA.image _), card_pos.2 (hB.image _), hc.imp And.left And.left⟩)

Premises used: Iff.mpr, Finset.Nonempty.image, TwoUniqueProds.uniqueMul_of_one_lt_card, And.left, And.intro, Nat.one_lt_mul_iff, Finset.card_pos, Or.imp
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc_2 : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
hc :
  (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
    1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
p1 : G i × G i
h1 :
  p1 ∈
    SProd.sprod (α := Finset (G i)) (β := Finset (G i)) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A)
      (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B)
p2 : G i × G i
h2 :
  p2 ∈
    SProd.sprod (α := Finset (G i)) (β := Finset (G i)) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A)
      (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B)
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2
⊢ {a ∈ A | a i = p1.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p1.2}.Nonempty

Tactic:
simp_rw [mem_product, mem_image, ← filter_nonempty_iff] at h1 h2

Premises used: Finset.mem_image, Finset.filter_nonempty_iff, Finset.mem_product
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc_2 : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
hc :
  (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
    1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
p1 : G i × G i
h1 :
  p1 ∈
    SProd.sprod (α := Finset (G i)) (β := Finset (G i)) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A)
      (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B)
p2 : G i × G i
h2 :
  p2 ∈
    SProd.sprod (α := Finset (G i)) (β := Finset (G i)) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A)
      (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B)
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2
h1₁ : {a ∈ A | a i = p1.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p1.2}.Nonempty
⊢ {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty

Tactic:
simp_rw [mem_product, mem_image, ← filter_nonempty_iff] at h1 h2

Premises used: Finset.mem_image, Finset.filter_nonempty_iff, Finset.mem_product
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc_2 : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
hc :
  (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
    1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
p1 p2 : G i × G i
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2
h1 : {a ∈ A | a i = p1.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p1.2}.Nonempty
h2 : {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty
refine_2 :
  ∀
    (h1 :
      ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p1.1},
        ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p1.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) a b),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
refine_1 :
  1 < #({a ∈ A | a i = p1.1}) * #({a ∈ B | a i = p1.2}) →
    ∃ p1_1 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p1.2},
      ∃ p2 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p1.2},
        p1_1 ≠ p2 ∧
          UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) p1_1.1 p1_1.2 ∧
            UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) p2.1 p2.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
replace h1 := uniqueMul_of_twoUniqueMul ?_ h1.1 h1.2
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc_2 : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
hc :
  (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
    1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
p1 p2 : G i × G i
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2
h2 : {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty
h1 : ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p1.1}, ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p1.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) a b
refine_2 :
  ∀
    (h2 :
      ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p2.1},
        ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p2.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) a b),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
refine_2₁ :
  1 < #({a ∈ A | a i = p2.1}) * #({a ∈ B | a i = p2.2}) →
    ∃ p1 ∈ {a ∈ A | a i = p2.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p2.2},
      ∃ p2_1 ∈ {a ∈ A | a i = p2.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p2.2},
        p1 ≠ p2_1 ∧
          UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) p1.1 p1.2 ∧
            UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) p2_1.1 p2_1.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
replace h2 := uniqueMul_of_twoUniqueMul ?_ h2.1 h2.2
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc_2 : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
hc :
  (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
    1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
p1 p2 : G i × G i
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2
h2 : {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty
h1 : ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p1.1}, ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p1.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) a b
refine_2 :
  ∀
    (h2 :
      ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p2.1},
        ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p2.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) a b),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
refine_2₁ :
  1 < #({a ∈ A | a i = p2.1}) * #({a ∈ B | a i = p2.2}) →
    ∃ p1 ∈ {a ∈ A | a i = p2.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p2.2},
      ∃ p2_1 ∈ {a ∈ A | a i = p2.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p2.2},
        p1 ≠ p2_1 ∧
          UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) p1.1 p1.2 ∧
            UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) p2_1.1 p2_1.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
on_goal 1 => replace h2 := uniqueMul_of_twoUniqueMul ?_ h2.1 h2.2
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc_2 : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
hc :
  (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
    1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
p1 p2 : G i × G i
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2
h1 : ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p1.1}, ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p1.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) a b
h2 : ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p2.1}, ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p2.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) a b
refine_2 :
  ∀ (a1 : (i : ι) → G i) (ha1 : a1 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1}) (b1 : (i : ι) → G i) (hb1 : b1 ∈ {a ∈ B | a i = p1.2})
    (hu1 : UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) a1 b1),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨a1, ha1, b1, hb1, hu1⟩ := h1
-- Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A_1 : Finset ((i : ι) → G i)
h : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun (x1 x2 : Finset ((i : ι) → G i)) ↦ x1 ⊂ x2 := ⋯
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B_1 B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc_1 : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc_2 : 1 < #A ∨ 1 < #B
i : ι
hc :
  (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
    1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B
p1 p2 : G i × G i
hne : p1 ≠ p2
hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2
hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2
h2 : ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p2.1}, ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p2.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) a b
a1 : (i : ι) → G i
ha1 : a1 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1}
b1 : (i : ι) → G i
hb1 : b1 ∈ {a ∈ B | a i = p1.2}
hu1 : UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) a1 b1
refine_2 :
  ∀ (a2 : (i : ι) → G i) (ha2 : a2 ∈ {a ∈ A | a i = p2.1}) (b2 : (i : ι) → G i) (hb2 : b2 ∈ {a ∈ B | a i = p2.2})
    (hu2 : UniqueMul ({a ∈ A | a i = p2.1}) ({a ∈ B | a i = p2.2}) a2 b2),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨a2, ha2, b2, hb2, hu2⟩ := h2