-- Module: Mathlib.RepresentationTheory.Homological.GroupCohomology.Functoriality
Goal:
k G H : Type u
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
inst_2 : Group H
A_1 : Rep k H
B : Rep k G
f : G →* H
φ : Quiver.Hom.{?u.266374, max (?u.266374 + 1) u} (res f A_1) B
n : ℕ
A : Rep k G
S : Subgroup G
inst_3 : S.Normal
x : ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S))
hx :
  Eq (α := (↑(groupCohomology A 1) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) (H1π (of A.ρ)) :
          (a : ↥(cocycles₁ (of A.ρ))) → (↑(groupCohomology (of A.ρ) 1) : Type u))
        (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  ModuleCat.carrier) (X := ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S))) (Y :=
                  ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (of A.ρ)))
                  (mapCocycles₁ (QuotientGroup.mk' S) (ofHom (A.ρ.quotientToInvariants_lift S)) :
                    Quiver.Hom (V := ModuleCat k) (ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S)))
                      (ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (of A.ρ)))) :
                (↑(ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S))) : Type u) →ₗ[k]
                  (↑(ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (of A.ρ))) : Type u)) :
              (a : ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S))) → ↥(cocycles₁ (of A.ρ)))
            x :
          ↥(cocycles₁ (of A.ρ))) :
      (↑(groupCohomology (of A.ρ) 1) : Type u))
    (0 : (↑(H1InfRes A S).X₂ : Type u))
y : (↑(ModuleCat.of k (↑(of A.ρ) : Type u)) : Type u)
hy :
  Eq (α := G → (↑(of A.ρ) : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom (d₀₁ (of A.ρ)) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (↑(of A.ρ) : Type u)) : Type u)) → G → (↑(of A.ρ) : Type u))
        y :
      G → (↑(of A.ρ) : Type u))
    ((⇑(((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    ModuleCat.carrier) (X := ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S))) (Y :=
                    ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (of A.ρ)))
                    (mapCocycles₁ (QuotientGroup.mk' S) (ofHom (A.ρ.quotientToInvariants_lift S)) :
                      Quiver.Hom (V := ModuleCat k) (ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S)))
                        (ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (of A.ρ)))) :
                  (↑(ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S))) : Type u) →ₗ[k]
                    (↑(ModuleCat.of k ↥(cocycles₁ (of A.ρ))) : Type u)) :
                (a : ↥(cocycles₁ (A.quotientToInvariants S))) → ↥(cocycles₁ (of A.ρ)))
              x :
            ↥(cocycles₁ (of A.ρ))) :
        (a : G) → (↑(of A.ρ) : Type u)) :
      (a : G) → (↑(of A.ρ) : Type u))
s : ↥S
⊢ (((MonoidHom.comp A.ρ S.subtype : (a : ↥S) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) s :
          (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
        (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
      y =
    y

Tactic:
simpa [coe_mapCocycles₁ (x := x), sub_eq_zero, (QuotientGroup.eq_one_iff s.1).2 s.2] using
    congr_fun hy s.1

Premises used: Iff.mpr, groupCohomology.coe_mapCocycles₁, sub_eq_zero, congr_fun, Subtype.val, QuotientGroup.eq_one_iff, Subtype.property