awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
simp_rw :
  (∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r) ↔
    ∃ (signs : Finset (Fin (n + 1))), s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs
⊢ (∃ (r : ℝ),
      ∀ (i : Fin (n + 1)),
        dist p
            (↑(((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan :
                    (a : P) → ↥(affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)))
                  p) :
              P) =
          r) ↔
    ∃ (signs : Finset (Fin (n + 1))), s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs

Tactic:
simp_rw [← abs_signedInfDist_eq_dist_of_mem_affineSpan_range _ hp]

Premises used: Affine.Simplex.abs_signedInfDist_eq_dist_of_mem_affineSpan_range
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
⊢ (∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r) ↔
    ∃ (signs : Finset (Fin (n + 1))), s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs

Tactic:
⟨?_, ?_⟩

Premises used: Iff.intro
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
refine_1 :
  (∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r) →
    ∃ (signs : Finset (Fin (n + 1))), s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs
refine_2 :
  (∃ (signs : Finset (Fin (n + 1))), s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs) →
    ∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
⊢ (∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r) ↔
    ∃ (signs : Finset (Fin (n + 1))), s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs

Tactic:
refine ⟨?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = r ∨ (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r

Tactic:
have h' : ∀ i, s.signedInfDist i p = r ∨ s.signedInfDist i p = -r :=
      fun i ↦ eq_or_eq_neg_of_abs_eq (h i)
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = r ∨ (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r
⊢ ∃ (signs : Finset (Fin (n + 1))), s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs

Tactic:
⟨{i ∈ (Finset.univ : Finset (Fin (n + 1))) | s.signedInfDist i p = -r}, ?_⟩

Premises used: Finset.univ, Affine.Simplex.signedInfDist, Exists.intro, Finset.filter, Eq, DFunLike.coe, Neg.neg
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = r ∨ (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r
refine_1 :
  s.ExcenterExists {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r} ∧
    p = s.excenter {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r}
⊢ ∃ (signs : Finset (Fin (n + 1))), s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs

Tactic:
refine ⟨{i ∈ (Finset.univ : Finset (Fin (n + 1))) | s.signedInfDist i p = -r}, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = r ∨ (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r
refine_1 :
  ∃ (r_1 : ℝ),
    ∀ (i : Fin (n + 1)),
      (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p =
        (if
              Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r}
                i then
            -1
          else 1) *
          r_1
⊢ s.ExcenterExists {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r} ∧
    p = s.excenter {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r}

Tactic:
apply (s.exists_forall_signedInfDist_eq_iff_excenterExists_and_eq_excenter hp).1

Premises used: Iff.mp, Affine.Simplex.exists_forall_signedInfDist_eq_iff_excenterExists_and_eq_excenter
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = r ∨ (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r
⊢ ∃ (r_1 : ℝ),
    ∀ (i : Fin (n + 1)),
      (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p =
        (if
              Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r}
                i then
            -1
          else 1) *
          r_1

Tactic:
⟨r, ?_⟩

Premises used: Exists.intro
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = r ∨ (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r
refine_1 :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p =
      (if Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r} i then
          -1
        else 1) *
        r
⊢ ∃ (r_1 : ℝ),
    ∀ (i : Fin (n + 1)),
      (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p =
        (if
              Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r}
                i then
            -1
          else 1) *
          r_1

Tactic:
refine ⟨r, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = r ∨ (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p =
      (if Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1))) {i : Fin (n + 1) | (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = -r} i then
          -1
        else 1) *
        r

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs
⊢ ∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r

Tactic:
replace h := (s.exists_forall_signedInfDist_eq_iff_excenterExists_and_eq_excenter hp).2 h
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : ∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
refine_2 :
  ∀ (r : ℝ) (h : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r),
    ∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r
⊢ ∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r

Tactic:
rcases h with ⟨r, h⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
⊢ ∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r

Tactic:
⟨|r|, ?_⟩

Premises used: abs, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
refine_2 : ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = |r|
⊢ ∃ (r : ℝ), ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = r

Tactic:
refine ⟨|r|, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : Membership.mem (γ := AffineSubspace ℝ P) (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), (s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i : (a : P) → ℝ) p| = |r|

Tactic:
simp [h, abs_ite]

Premises used: abs_ite
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
by_contra : ∀ (hne : ¬i = j), False
⊢ i = j

Tactic:
by_contra hne
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
pos : ∀ (hn1 : n = 1), False
neg : ∀ (hn1 : ¬n = 1), False
⊢ False

Tactic:
by_cases hn1 : n = 1
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : n = 1
pos :
  ∀ [inst_5 : NeZero (R := ℕ) 1] {s : Simplex ℝ P 1} {signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))}
    (h : s.ExcenterExists signs) ⦃i j : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)⦄
    (hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j) (hne : ¬i = j), False
⊢ False

Tactic:
subst hn1
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : NeZero (R := ℕ) 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
⊢ s.points i.rev = s.points j.rev

Tactic:
rw [s.touchpoint_eq_point_rev signs i, s.touchpoint_eq_point_rev signs j] at hij

Premises used: Affine.Simplex.touchpoint_eq_point_rev
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : NeZero (R := ℕ) 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hij₁ : s.points i.rev = s.points j.rev
⊢ ¬i = j

Tactic:
rw [s.touchpoint_eq_point_rev signs i, s.touchpoint_eq_point_rev signs j] at hij

Premises used: Affine.Simplex.touchpoint_eq_point_rev
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : NeZero (R := ℕ) 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)
hij : s.points i.rev = s.points j.rev
hne : ¬i = j
pos : s.points i = s.points j
⊢ False

Tactic:
apply s.independent.injective.ne hne

Premises used: Function.Injective.ne, AffineIndependent.injective, Affine.Simplex.independent
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : NeZero (R := ℕ) 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)
hij : s.points i.rev = s.points j.rev
hne : ¬i = j
⊢ s.points j.rev = s.points i.rev

Tactic:
hij.symm

Premises used: Eq.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : NeZero (R := ℕ) 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)
hij : s.points i.rev = s.points j.rev
hne : ¬i = j
h₁ : i = j.rev
h₂ : j = i.rev
⊢ s.points i = s.points j

Tactic:
convert! hij.symm

Premises used: Eq.symm
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : NeZero (R := ℕ) 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)
hne : ¬i = j
⊢ i = j.rev

Tactic:
decide +revert
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
inst_4 : NeZero (R := ℕ) 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)
hne : ¬i = j
⊢ j = i.rev

Tactic:
decide +revert
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
rw :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (AffineSubspace.direction (affineSpan ℝ (Set.range s.points)))
    (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)

Tactic:
rw [← direction_affineSpan]

Premises used: direction_affineSpan
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (AffineSubspace.direction (affineSpan ℝ (Set.range s.points)))
    (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)

Tactic:
AffineSubspace.vsub_mem_direction h.excenter_mem_affineSpan_range
          (s.touchpoint_mem_affineSpan_simplex _ _)

Premises used: Set.Mem, AffineSubspace.vsub_mem_direction, Affine.Simplex.ExcenterExists.excenter_mem_affineSpan_range, Affine.Simplex.touchpoint_mem_affineSpan_simplex
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (AffineSubspace.direction (affineSpan ℝ (Set.range s.points)))
    (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)

Tactic:
exact AffineSubspace.vsub_mem_direction h.excenter_mem_affineSpan_range
          (s.touchpoint_mem_affineSpan_simplex _ _)

Premises used: AffineSubspace.vsub_mem_direction, Affine.Simplex.ExcenterExists.excenter_mem_affineSpan_range, Affine.Simplex.touchpoint_mem_affineSpan_simplex
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)

Tactic:
have h' : s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i ∈ (vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) := by
        rw [← direction_affineSpan]
        exact AffineSubspace.vsub_mem_direction h.excenter_mem_affineSpan_range
          (s.touchpoint_mem_affineSpan_simplex _ _)
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
h' : Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
rw :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points) ⊓ (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ)
    (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
⊢ s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i = 0

Tactic:
rw [← Submodule.mem_bot ℝ,
          ← Submodule.inf_orthogonal_eq_bot (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))]

Premises used: Affine.Simplex.points, Real, vectorSpan, Submodule.mem_bot, Submodule.inf_orthogonal_eq_bot, Set.range
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
h' : Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points) ⊓ (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ)
    (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)

Tactic:
⟨h', this⟩

Premises used: Set.Mem, setOf, Set.inter, And.intro
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
h' : Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points) ⊓ (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ)
    (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)

Tactic:
exact ⟨h', this⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter
Goal:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup V
inst_1 : InnerProductSpace ℝ V
inst_2 : MetricSpace P
inst_3 : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst_4 : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
hij : s.touchpoint signs i = s.touchpoint signs j
hne : ¬i = j
hn1 : ¬n = 1
this :
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))ᗮ (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
h' : Membership.mem (γ := Submodule ℝ V) (vectorSpan ℝ (Set.range s.points)) (s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i)
⊢ s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i = 0

Tactic:
have h0 : s.excenter signs -ᵥ s.touchpoint signs i = 0 := by
        rw [← Submodule.mem_bot ℝ,
          ← Submodule.inf_orthogonal_eq_bot (vectorSpan ℝ (Set.range s.points))]
        exact ⟨h', this⟩