-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.ColimitFunctor
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : LocallySmall.{w, v, u} C
inst_2 : IsCofiltered.{v, u} C
inst_3 : InitiallySmall.{w, v, u} C
R : CategoryTheory.Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ RingCat
cR : Cocone R
hcR : IsColimit cR
M : PresheafOfModules R
cM : Cocone M.presheaf
hcM : IsColimit cM
M' : PresheafOfModules R
cM' : Cocone M'.presheaf
hcM' : IsColimit cM'
U : Cᵒᵖ
a : (R ⋙ forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{w}) ↦ (↑R : Type w) →+* (↑S : Type w)) (CC := RingCat.carrier)).obj U
x₁ :
  (M.presheaf ⋙
        forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier)).obj
    U
x₂ :
  (M'.presheaf ⋙
        forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier)).obj
    U
⊢ ∃ (U_1 : Cᵒᵖ) (a_1 : (↑(R.obj U_1) : Type w)) (x₁_1 : (↑(M.obj U_1) : Type w)) (x₂_1 : (↑(M'.obj U_1) : Type w)),
    Eq (α := (↑cR.pt : Type w)) ((ιR cR : (a : (↑(R.obj U_1) : Type w)) → (↑cR.pt : Type w)) a_1 : (↑cR.pt : Type w))
        (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app
                    (Cocone.ι
                      (Cocone.tensor
                        (Functor.mapCocone
                          (forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{w}) ↦ (↑R : Type w) →+* (↑S : Type w)) (CC :=
                            RingCat.carrier))
                          cR)
                        (Cocone.tensor
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM)
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM'))))
                    U) :
                (a :
                    (fun (X : Type w) ↦ X)
                      ((R ⋙ forget RingCat ⊗ M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                        U)) →
                  (fun (X : Type w) ↦ X)
                    (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                          (((forget RingCat).mapCocone cR).tensor
                              (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                                ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM'))).pt).obj
                      U))
              (a, x₁, x₂)).1 :
          Cocone.pt (F :=
            R ⋙
              forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{w}) ↦ (↑R : Type w) →+* (↑S : Type w)) (CC := RingCat.carrier))
            (Functor.mapCocone
              (forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{w}) ↦ (↑R : Type w) →+* (↑S : Type w)) (CC := RingCat.carrier))
              cR)) ∧
      Eq (α := ModuleColimit hcR hcM)
          ((ιM : (a : (↑(M.obj U_1) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) x₁_1 : ModuleColimit hcR hcM)
          (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (NatTrans.app
                        (Cocone.ι
                          (Cocone.tensor
                            (Functor.mapCocone
                              (forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{w}) ↦ (↑R : Type w) →+* (↑S : Type w)) (CC :=
                                RingCat.carrier))
                              cR)
                            (Cocone.tensor
                              (Functor.mapCocone
                                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                                cM)
                              (Functor.mapCocone
                                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                                cM'))))
                        U) :
                    (a :
                        (fun (X : Type w) ↦ X)
                          ((R ⋙ forget RingCat ⊗
                                M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                            U)) →
                      (fun (X : Type w) ↦ X)
                        (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                              (((forget RingCat).mapCocone cR).tensor
                                  (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                                    ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM'))).pt).obj
                          U))
                  (a, x₁, x₂)).2.1 :
            Cocone.pt (F :=
              M.presheaf ⋙
                forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier))
              (Functor.mapCocone
                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier))
                cM)) ∧
        Eq (α := ModuleColimit hcR hcM')
          ((ιM : (a : (↑(M'.obj U_1) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM') x₂_1 : ModuleColimit hcR hcM')
          (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (NatTrans.app
                        (Cocone.ι
                          (Cocone.tensor
                            (Functor.mapCocone
                              (forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{w}) ↦ (↑R : Type w) →+* (↑S : Type w)) (CC :=
                                RingCat.carrier))
                              cR)
                            (Cocone.tensor
                              (Functor.mapCocone
                                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                                cM)
                              (Functor.mapCocone
                                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                  (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                                cM'))))
                        U) :
                    (a :
                        (fun (X : Type w) ↦ X)
                          ((R ⋙ forget RingCat ⊗
                                M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                            U)) →
                      (fun (X : Type w) ↦ X)
                        (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                              (((forget RingCat).mapCocone cR).tensor
                                  (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                                    ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM'))).pt).obj
                          U))
                  (a, x₁, x₂)).2.2 :
            Cocone.pt (F :=
              M'.presheaf ⋙
                forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier))
              (Functor.mapCocone
                (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier))
                cM'))

Tactic:
⟨U, a, x₁, x₂, rfl, rfl, rfl⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro, rfl