awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
⊢ ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P}) →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule R M) (Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P})) ⊤

Tactic:
have := P.span_root_image_eq_top_of_forall_orthogonal {long P, short P} (by simp)
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P}) →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule R M) (Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P})) ⊤
⊢ Eq (α := Set M) (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P}) {longRoot P, shortRoot P}

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P}) →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule R M) (Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P})) ⊤
⊢ ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤

Tactic:
rw [show P.root '' {long P, short P} = {longRoot P, shortRoot P} by aesop] at this
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
⊢ Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤

Tactic:
this fun k hk ij hij ↦ ?_
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
refine :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) (ij : ι)
    (hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij), P.IsOrthogonal k ij
⊢ Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤

Tactic:
refine this fun k hk ij hij ↦ ?_
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k : ι
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}
ij : ι
hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij
⊢ ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P

Tactic:
replace hk : P.root k ∉ allRoots P :=
    fun contra ↦ hk <| span_subset_span ℤ _ _ <| mem_span_of_mem_allRoots P contra
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k ij : ι
hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
⊢ P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)

Tactic:
have aux := isOrthogonal_short_and_long P hk
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k ij : ι
hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
inl : P.IsOrthogonal k (long P)
inr : P.IsOrthogonal k (short P)
⊢ P.IsOrthogonal k ij

Tactic:
rcases hij with rfl | rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k : ι
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
inl :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this :
      ¬∀ (j : ι),
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
            ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
inl₁ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
inl₂ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this :
      ¬∀ (j : ι),
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
            ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
inl₃ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
inl₄ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this :
      ¬∀ (j : ι),
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
            ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
inl₅ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
⊢ P.IsOrthogonal k (long P)

Tactic:
tauto
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k : ι
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
inr :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this :
      ¬∀ (j : ι),
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
            ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
inr₁ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
inr₂ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this :
      ¬∀ (j : ι),
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
            ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
inr₃ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
inr₄ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this :
      ¬∀ (j : ι),
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
            ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
inr₅ :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
⊢ P.IsOrthogonal k (short P)

Tactic:
tauto
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
⊢ P.pairing (long P) (short P) = -3

Tactic:
have := pairing_long_short P
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : P.pairing (long P) (short P) = -3
⊢ LinearIndependent R ![shortRoot P, longRoot P]

Tactic:
(IsReduced.linearIndependent_iff P).mpr ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, RootPairing.IsReduced.linearIndependent_iff, And.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : P.pairing (long P) (short P) = -3
refine_1 : ∀ (h : short P = long P), False
refine_2 :
  ∀ (h : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) (-(P.root : (a : ι) → M) (long P) : M)), False
⊢ LinearIndependent R ![shortRoot P, longRoot P]

Tactic:
refine (IsReduced.linearIndependent_iff P).mpr ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩

Premises used: Iff.mpr, RootPairing.IsReduced.linearIndependent_iff, And.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : P.pairing (long P) (short P) = -3
h : short P = long P
⊢ False

Tactic:
norm_num [h] at this
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : P.pairing (long P) (short P) = -3
h : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) (-(P.root : (a : ι) → M) (long P) : M)
⊢ short P = (P.reflectionPerm (long P) : (a : ι) → ι) (long P)

Tactic:
simp only [root_eq_neg_iff] at h

Premises used: RootPairing.root_eq_neg_iff
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : P.pairing (long P) (short P) = -3
h : short P = (P.reflectionPerm (long P) : (a : ι) → ι) (long P)
⊢ False

Tactic:
norm_num [h] at this
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : LinearIndependent R ![shortRoot P, longRoot P]
⊢ LE.le (α := Submodule R M) ⊤ (Submodule.span R (Set.range ![shortRoot P, longRoot P]))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
by_contra : ∀ (hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P), False
⊢ Membership.mem (α := M) (allRoots P) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)

Tactic:
by_contra hi
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
⊢ P.IsOrthogonal i (short P)

Tactic:
obtain ⟨h₁, h₂⟩ := isOrthogonal_short_and_long P hi

Premises used: RootPairing.EmbeddedG2.isOrthogonal_short_and_long
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
⊢ P.IsOrthogonal i (long P)

Tactic:
obtain ⟨h₁, h₂⟩ := isOrthogonal_short_and_long P hi

Premises used: RootPairing.EmbeddedG2.isOrthogonal_short_and_long
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
have : ∀ (this : Fintype ι), False
⊢ False

Tactic:
have : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
this : Fintype ι
have : ∀ (B : P.InvariantForm), False
⊢ False

Tactic:
have B := (P.posRootForm ℤ).toInvariantForm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ Module.IsReflexive R M

Tactic:
have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
this : Module.IsReflexive R M
rw :
  ∀ (this : Fintype ι) (B : P.InvariantForm)
    (h₂ :
      Eq.{u_2 + 1} (α := R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
            ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
          R)
        (0 : R))
    (h₁ :
      Eq.{u_2 + 1} (α := R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
            ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
          R)
        (0 : R))
    (this : Module.IsReflexive R M), False
⊢ False

Tactic:
rw [isOrthogonal_iff_pairing_eq_zero, ← B.apply_root_root_zero_iff] at h₁ h₂

Premises used: RootPairing.InvariantForm.apply_root_root_zero_iff, RootPairing.isOrthogonal_iff_pairing_eq_zero
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
h :
  ∀ (x : M),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
      ((0 : (a : M) → R) x : R)
⊢ Eq (α := M →ₗ[R] R) ((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) (0 : M →ₗ[R] R)

Tactic:
ext x
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
x : M
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
x : M
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x

Tactic:
have hx : x ∈ span R {longRoot P, shortRoot P} := by simp