-- Module: Mathlib.Topology.Algebra.IsUniformGroup.Basic
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst : TopologicalSpace α
inst_1 : AddCommGroup α
inst_2 : IsTopologicalAddGroup α
inst_3 : TopologicalSpace β
inst_4 : AddCommGroup β
inst_5 : TopologicalSpace γ
inst_6 : AddCommGroup γ
inst_7 : IsTopologicalAddGroup γ
inst_8 : TopologicalSpace δ
inst_9 : AddCommGroup δ
inst_10 : UniformSpace G
inst_11 : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing.{u_2, u_1} (α := β) (β := α) (⇑e : (a : β) → α)
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing.{u_4, u_3} (α := δ) (β := γ) (⇑f : (a : δ) → γ)
φ : β →+ δ →+ G
hφ :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst_10.toTopologicalSpace] fun (p : β × δ) ↦
    (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2
W' : Set G
W'_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W'
inst_12 : IsUniformAddGroup G
x₀ : α
y₀ : γ
ee : (u : β × β) → α × α := fun (u : β × β) ↦ ((e : (a : β) → α) u.1, (e : (a : β) → α) u.2)
ff : (u : δ × δ) → γ × γ := fun (u : δ × δ) ↦ ((f : (a : δ) → γ) u.1, (f : (a : δ) → γ) u.2)
lim_φ : Tendsto (β := G) (fun (p : β × δ) ↦ (((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub :
  Tendsto (β := G)
    (fun (p : Prod.{u_2, u_4} (β × β) (δ × δ)) ↦
      (fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G))
        (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1))
    (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhds : Membership.mem (γ := Filter G) (𝓝 0) W
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhds : Membership.mem (γ := Filter β) (comap (⇑e : (a : β) → α) (𝓝 x₀)) U₁
V₁ : Set δ
V₁_nhds : Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V₁
H :
  ∀ x ∈ U₁,
    ∀ x' ∈ U₁,
      ∀ y ∈ V₁,
        ∀ y' ∈ V₁,
          (fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x' - x, y' - y) ∈ W
obtain :
  ∀ (x₁ : β) (x₁_in : x₁ ∈ U₁),
    ∃ (U : Set β),
      Membership.mem (γ := Filter β) (comap (⇑e : (a : β) → α) (𝓝 x₀)) U ∧
        ∃ (V : Set δ),
          Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V ∧
            ∀ x ∈ U,
              ∀ x' ∈ U,
                ∀ y ∈ V,
                  ∀ y' ∈ V,
                    HSub.hSub (α := G)
                        ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
                        ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
                      W'
⊢ ∃ (U : Set β),
    Membership.mem (γ := Filter β) (comap (⇑e : (a : β) → α) (𝓝 x₀)) U ∧
      ∃ (V : Set δ),
        Membership.mem (γ := Filter δ) (comap (⇑f : (a : δ) → γ) (𝓝 y₀)) V ∧
          ∀ x ∈ U,
            ∀ x' ∈ U,
              ∀ y ∈ V,
                ∀ y' ∈ V,
                  HSub.hSub (α := G)
                      ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x', y'))
                      ((fun (p : β × δ) ↦ ((((φ : (a : β) → δ →+ G) p.1 : δ →+ G) : (a : δ) → G) p.2 : G)) (x, y)) ∈
                    W'

Tactic:
obtain ⟨x₁, x₁_in⟩ : U₁.Nonempty := (de.comap_nhds_neBot _).nonempty_of_mem U₁_nhds

Premises used: IsDenseInducing.comap_nhds_neBot, Set.Nonempty, Filter.NeBot.nonempty_of_mem