awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian
Goal:
B : Type u_1
inst : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst_4 : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst_5 : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst_6 : FiberBundle F E
inst_7 : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
G : ContinuousLinearEquiv.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E x) F :=
  Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun (x : B) ↦
    TotalSpace.mk' (E := fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ) (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = (((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) v : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun (y : B) ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this_1 : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F :=
  ((Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) y :
        ContinuousLinearMap.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E y) F) :
      (a : E y) → F)
    v
hgy :
  Eq (α := ℝ) ((((g y : (a : E y) → E y →L[ℝ] ℝ) v : E y →L[ℝ] ℝ) : (a : E y) → ℝ) v : ℝ)
    ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
hgx :
  Eq (α := ℝ)
    ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
          (a : E x) → ℝ)
        (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
      ℝ)
    ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
⊢ HAdd.hAdd (β := ℝ) (δ * HPow.hPow (β := ℕ) ‖w‖ 2)
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ) ≤
    HAdd.hAdd (β := ℝ)
      (δ *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (norm.{u_2} (E := F) (((↑G : E x →L[ℝ] F) : (a : E x) → F) ((G.symm : (a : F) → E x) w : E x) : F)) 2)
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian
Goal:
B : Type u_1
inst : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst_4 : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst_5 : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst_6 : FiberBundle F E
inst_7 : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
G : ContinuousLinearEquiv.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E x) F :=
  Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun (x : B) ↦
    TotalSpace.mk' (E := fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ) (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = (((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) v : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun (y : B) ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this_1 : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F :=
  ((Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) y :
        ContinuousLinearMap.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E y) F) :
      (a : E y) → F)
    v
hgy :
  Eq (α := ℝ) ((((g y : (a : E y) → E y →L[ℝ] ℝ) v : E y →L[ℝ] ℝ) : (a : E y) → ℝ) v : ℝ)
    ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
hgx :
  Eq (α := ℝ)
    ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
          (a : E x) → ℝ)
        (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
      ℝ)
    ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
⊢ HAdd.hAdd (β := ℝ)
      (δ * HPow.hPow (β := ℕ) (‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ * norm.{u_3} (E := E x) ((G.symm : (a : F) → E x) w : E x)) 2)
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ) =
    HAdd.hAdd (β := ℝ) (δ * C * HPow.hPow (β := ℕ) (norm.{u_3} (E := E x) ((G.symm : (a : F) → E x) w : E x)) 2)
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian
Goal:
B : Type u_1
inst : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst_4 : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst_5 : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst_6 : FiberBundle F E
inst_7 : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
G : ContinuousLinearEquiv.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E x) F :=
  Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun (x : B) ↦
    TotalSpace.mk' (E := fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ) (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = (((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) v : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun (y : B) ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this_1 : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F :=
  ((Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) y :
        ContinuousLinearMap.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E y) F) :
      (a : E y) → F)
    v
hgy :
  Eq (α := ℝ) ((((g y : (a : E y) → E y →L[ℝ] ℝ) v : E y →L[ℝ] ℝ) : (a : E y) → ℝ) v : ℝ)
    ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
hgx :
  Eq (α := ℝ)
    ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
          (a : E x) → ℝ)
        (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
      ℝ)
    ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
⊢ HAdd.hAdd (β := ℝ) (δ * C * HPow.hPow (β := ℕ) (norm.{u_3} (E := E x) ((G.symm : (a : F) → E x) w : E x)) 2)
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ) =
    HAdd.hAdd (β := ℝ)
      (HMul.hMul (β := ℝ) (δ * C)
        ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) ((G.symm : (a : F) → E x) w : E x) : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ)
            ((G.symm : (a : F) → E x) w : E x) :
          ℝ))
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)

Tactic:
simp [← hg]
-- Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian
Goal:
B : Type u_1
inst : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst_4 : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst_5 : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst_6 : FiberBundle F E
inst_7 : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
G : ContinuousLinearEquiv.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E x) F :=
  Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun (x : B) ↦
    TotalSpace.mk' (E := fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ) (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = (((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) v : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun (y : B) ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this_1 : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F :=
  ((Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) y :
        ContinuousLinearMap.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E y) F) :
      (a : E y) → F)
    v
hgy :
  Eq (α := ℝ) ((((g y : (a : E y) → E y →L[ℝ] ℝ) v : E y →L[ℝ] ℝ) : (a : E y) → ℝ) v : ℝ)
    ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
hgx :
  Eq (α := ℝ)
    ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
          (a : E x) → ℝ)
        (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
      ℝ)
    ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
⊢ HAdd.hAdd (β := ℝ)
      (HMul.hMul (β := ℝ) (δ * C)
        ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) ((G.symm : (a : F) → E x) w : E x) : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ)
            ((G.symm : (a : F) → E x) w : E x) :
          ℝ))
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ) =
    HAdd.hAdd (β := ℝ)
      (HMul.hMul (β := ℝ) (δ * C)
        ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
              (a : E x) → ℝ)
            (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
          ℝ))
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian
Goal:
B : Type u_1
inst : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst_4 : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst_5 : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst_6 : FiberBundle F E
inst_7 : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
G : ContinuousLinearEquiv.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E x) F :=
  Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun (x : B) ↦
    TotalSpace.mk' (E := fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ) (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = (((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) v : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun (y : B) ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this_1 : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
this : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F :=
  ((Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) y :
        ContinuousLinearMap.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E y) F) :
      (a : E y) → F)
    v
hgy :
  Eq (α := ℝ) ((((g y : (a : E y) → E y →L[ℝ] ℝ) v : E y →L[ℝ] ℝ) : (a : E y) → ℝ) v : ℝ)
    ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
hgx :
  Eq (α := ℝ)
    ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
          (a : E x) → ℝ)
        (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
      ℝ)
    ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
⊢ (((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w ≤
    HAdd.hAdd (β := ℝ) (HMul.hMul (β := ℝ) (δ * C) ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ))
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)

Tactic:
have : g' x w w ≤ δ * C * g' x w w + g' y w w := calc
        g' x w w
    _ = (g' x - g' y) w w + g' y w w := by simp
    _ ≤ ‖g' x - g' y‖ * ‖w‖ * ‖w‖ + g' y w w := by
      grw [← le_opNorm₂, ← Real.le_norm_self]
    _ ≤ δ * ‖w‖ ^ 2 + g' y w w := by
      rw [pow_two, mul_assoc]; gcongr
    _ ≤ δ * (‖(G : E x →L[ℝ] F)‖ * ‖G.symm w‖) ^ 2 + g' y w w := by
      grw [← le_opNorm]
      simp
    _ = δ * C * ‖G.symm w‖ ^ 2 + g' y w w := by ring
    _ = δ * C * g x (G.symm w) (G.symm w) + g' y w w := by simp [← hg]
    _ = δ * C * g' x w w + g' y w w := by
      rw [← hgx]; rfl
-- Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian
Goal:
B : Type u_1
inst : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst_4 : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst_5 : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst_6 : FiberBundle F E
inst_7 : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
G : ContinuousLinearEquiv.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E x) F :=
  Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun (x : B) ↦
    TotalSpace.mk' (E := fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ) (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = (((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) v : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun (y : B) ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this_1 : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
this_2 : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F :=
  ((Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) y :
        ContinuousLinearMap.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E y) F) :
      (a : E y) → F)
    v
hgy :
  Eq (α := ℝ) ((((g y : (a : E y) → E y →L[ℝ] ℝ) v : E y →L[ℝ] ℝ) : (a : E y) → ℝ) v : ℝ)
    ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
hgx :
  Eq (α := ℝ)
    ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
          (a : E x) → ℝ)
        (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
      ℝ)
    ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
this :
  (((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w ≤
    HAdd.hAdd (β := ℝ) (HMul.hMul (β := ℝ) (δ * C) ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ))
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
⊢ HMul.hMul (β := ℝ) (1 - δ * C) ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ) ≤
    (((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w

Tactic:
have : (1 - δ * C) * g' x w w ≤ g' y w w := by linarith
-- Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian
Goal:
B : Type u_1
inst : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst_4 : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst_5 : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst_6 : FiberBundle F E
inst_7 : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
G : ContinuousLinearEquiv.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E x) F :=
  Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun (x : B) ↦
    TotalSpace.mk' (E := fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ) (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = (((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) v : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun (y : B) ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this_1 : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
this_2 : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F :=
  ((Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) y :
        ContinuousLinearMap.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E y) F) :
      (a : E y) → F)
    v
hgy :
  Eq (α := ℝ) ((((g y : (a : E y) → E y →L[ℝ] ℝ) v : E y →L[ℝ] ℝ) : (a : E y) → ℝ) v : ℝ)
    ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
hgx :
  Eq (α := ℝ)
    ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
          (a : E x) → ℝ)
        (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
      ℝ)
    ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
this_3 :
  (((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w ≤
    HAdd.hAdd (β := ℝ) (HMul.hMul (β := ℝ) (δ * C) ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ))
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
this :
  HMul.hMul (β := ℝ) (1 - δ * C) ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ) ≤
    (((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w
⊢ 0 ≤ (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian
Goal:
B : Type u_1
inst : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst_4 : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst_5 : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst_6 : FiberBundle F E
inst_7 : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
r : ℝ
hr : 1 < r
r' : ℝ
hr' : 1 < r'
r'r : r' < r
h'x : x ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
G : ContinuousLinearEquiv.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E x) F :=
  Trivialization.continuousLinearEquivAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) x h'x
C : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑G : E x →L[ℝ] F)‖ 2
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (HPow.hPow (β := ℕ) r' 2)⁻¹ < 1 - δ * C
g : (x : B) → E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ
g_cont :
  Continuous[inst, topologicalSpaceTotalSpace (RingHom.id ℝ) F E (F →L[ℝ] ℝ) fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ] fun (x : B) ↦
    TotalSpace.mk' (E := fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] E x →L[ℝ] ℝ) (F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ) x (g x)
hg : ∀ (x : B) (v w : E x), ⟪v, w⟫ = (((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) v : E x →L[ℝ] ℝ) : (a : E x) → ℝ) w
g' : B → F →L[ℝ] F →L[ℝ] ℝ := fun (y : B) ↦ inCoordinates F E (F →L[ℝ] ℝ) (fun (x : B) ↦ E x →L[ℝ] ℝ) x y x y (g y)
hg' : ContinuousAt g' x
this_1 : ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, dist (g' y) (g' x) < δ
y : B
hy : dist (g' y) (g' x) < δ
h'y : y ∈ Trivialization.baseSet (trivializationAt F E x)
this_2 : ‖g' x - g' y‖ ≤ δ
v : E y
w : F :=
  ((Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (E := E) (trivializationAt F E x) y :
        ContinuousLinearMap.{0, 0, u_3, u_2} (RingHom.id ℝ) (E y) F) :
      (a : E y) → F)
    v
hgy :
  Eq (α := ℝ) ((((g y : (a : E y) → E y →L[ℝ] ℝ) v : E y →L[ℝ] ℝ) : (a : E y) → ℝ) v : ℝ)
    ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
hgx :
  Eq (α := ℝ)
    ((((g x : (a : E x) → E x →L[ℝ] ℝ) (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) : E x →L[ℝ] ℝ) :
          (a : E x) → ℝ)
        (Trivialization.symm (E := E) (trivializationAt F E x) x w) :
      ℝ)
    ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
this_3 :
  (((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w ≤
    HAdd.hAdd (β := ℝ) (HMul.hMul (β := ℝ) (δ * C) ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ))
      ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)
this :
  HMul.hMul (β := ℝ) (1 - δ * C) ((((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ) ≤
    (((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w
⊢ (((g' x : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (1 - δ * C)⁻¹ ((((g' y : (a : F) → F →L[ℝ] ℝ) w : F →L[ℝ] ℝ) : (a : F) → ℝ) w : ℝ)

Tactic:
rw [← (le_div_iff₀' (lt_of_le_of_lt (by positivity) hδ)), div_eq_inv_mul] at this

Premises used: lt_of_le_of_lt, le_div_iff₀', div_eq_inv_mul