-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
z : O
zN : z ∈ N
b : R
hb : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) z ⋯) = generator (ϕ.submoduleImage N) * b
neg :
  HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) z ⋯) : R)
      ((ϕ : (a : ↥M) → R) (b • Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) : R) =
    0
neg₁ :
  HSub.hSub (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) z ⋯) : R)
      (HSMul.hSMul (β := R) b ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) : R)) =
    0
neg₂ :
  generator (ϕ.submoduleImage N) * b -
      HSMul.hSMul (β := R) b ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) : R) =
    0
neg₃ : generator (ϕ.submoduleImage N) * b - b • a = 0
neg₄ : generator (ϕ.submoduleImage N) * b - b * a = 0
neg₅ : b * generator (ϕ.submoduleImage N) - b * a = 0
neg₆ neg₇ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) 0 0
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) z ⋯ - b • Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) : R)
    (0 : R)

Tactic:
rw [map_sub, map_smul, hb, ϕy_eq, smul_eq_mul, mul_comm, sub_self]

Premises used: map_sub, sub_self, mul_comm, smul_eq_mul, map_smul