-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.PrecoverageToGrothendieck
Goal:
C : Type u_3
inst : Category.{u_2, u_3} C
J : Precoverage.{u_2, u_3} C
P : Functor.{u_2, u_1, u_3, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
X_1 : C
S_1 : Sieve.{u_2, u_3} X_1
X : C
R S : Sieve.{u_2, u_3} X
hS : J.Saturate X R
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → J.Saturate Y (Sieve.pullback f S)
Y : C
f : Y ⟶ X
H :
  ∀ {X Y : C} {f : Y ⟶ X},
    ∀ R ∈ J.coverings X,
      Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows ∧
        ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows),
          x.Compatible (R := (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows) →
            ∃ (t : P.obj (Opposite.op Y)), x.IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback f (Sieve.generate R)).arrows) t
H1 : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
H1' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f R).arrows),
    x.Compatible (R := (Sieve.pullback f R).arrows) →
      ∃ (t : P.obj (Opposite.op Y)), x.IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback f R).arrows) t
H2 :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f → ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows
H2' :
  ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    R.arrows f →
      ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y) (x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows),
        x.Compatible (R := (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows) →
          ∃ (t : P.obj (Opposite.op Y_1)), x.IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S)).arrows) t
x : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.pullback f S).arrows
t₁ t₂ : P.obj (Opposite.op Y)
h₁ : x.IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback f S).arrows) t₁
h₂ : x.IsAmalgamation (R := (Sieve.pullback f S).arrows) t₂
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f R).arrows g
mpr :
  ∀ (ZZ : C) (gg : ZZ ⟶ Z) (hgg : (Sieve.pullback (𝟙 Z) (Sieve.pullback (g ≫ f) S)).arrows gg),
    Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op ZZ)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map gg.op) :
            (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op ZZ)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
                (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y))) →
                  (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z)))
              t₁ :
            (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z))) :
        (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op ZZ)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map gg.op) :
            (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op ZZ)))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
                (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y))) →
                  (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z)))
              t₂ :
            (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z))) :
        (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op ZZ)))
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z)))
        t₁ :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z)))
        t₂ :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Z)))

Tactic:
refine (H2 hg (𝟙 _)).ext (fun ZZ gg hgg => ?_)

Premises used: CategoryTheory.CategoryStruct.id, CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor.ext