-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
x : R
y : N
h :
  ∀ (x_1 : S) (y : M),
    Eq (α := N)
      ((IsTensorProduct.map hf hf LinearMap.id ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) x) : (a : N) → N)
          (((((↑R :
                          {S M : Type v₃} →
                            {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
                              [inst : Semiring R] →
                                [inst_9 : Semiring S] →
                                  [inst_10 : AddCommMonoid M] →
                                    [inst_11 : AddCommMonoid M₂] →
                                      [inst_12 : Module R M] →
                                        [inst_13 : Module R M₂] →
                                          [inst_14 : Module S M] →
                                            [inst_15 : Module S M₂] →
                                              [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                        (S := S)
                        (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) :
                              (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
                            (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
                          f) :
                      (a : S) → M →ₗ[R] N)
                    x_1 :
                  M →ₗ[R] N) :
                (a : M) → N)
              y :
            N) :
        N)
      (((↑R :
                {S : Type v₃} →
                  {M M₂ : Type v₂} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_9 : Semiring S] →
                        [inst_10 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_11 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_12 : Module R M] →
                              [inst_13 : Module R M₂] →
                                [inst_14 : Module S M] →
                                  [inst_15 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
              (S := S) ((LinearMap.lsmul S N : (a : S) → N →ₗ[S] N) ((algebraMap R S : (a : R) → S) x)) :
            (a : N) → N)
          (((((↑R :
                          {S M : Type v₃} →
                            {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
                              [inst : Semiring R] →
                                [inst_9 : Semiring S] →
                                  [inst_10 : AddCommMonoid M] →
                                    [inst_11 : AddCommMonoid M₂] →
                                      [inst_12 : Module R M] →
                                        [inst_13 : Module R M₂] →
                                          [inst_14 : Module S M] →
                                            [inst_15 : Module S M₂] →
                                              [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                        (S := S)
                        (((LinearMap.flip (Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] N))) :
                              (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
                            (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
                          f) :
                      (a : S) → M →ₗ[R] N)
                    x_1 :
                  M →ₗ[R] N) :
                (a : M) → N)
              y :
            N) :
        N)
⊢ Eq (α := N)
    ((IsTensorProduct.map hf hf LinearMap.id ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) x) : (a : N) → N) y : N)
    (((↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M M₂ : Type v₂} →
                  [inst : Semiring R] →
                    [inst_9 : Semiring S] →
                      [inst_10 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_11 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_12 : Module R M] →
                            [inst_13 : Module R M₂] →
                              [inst_14 : Module S M] →
                                [inst_15 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            (S := S) ((LinearMap.lsmul S N : (a : S) → N →ₗ[S] N) ((algebraMap R S : (a : R) → S) x)) :
          (a : N) → N)
        y :
      N)

Tactic:
refine IsTensorProduct.inductionOn hf y (by simp) ?_ (fun _ _ ha hb ↦ by simp [ha, hb])