-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.Kaehler
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
P : Extension.{u, u_1, u_2} R S
Q : Extension.{u, u_1, u_3} R T
f : P.Hom Q
H : f.toRingHom.FormallyEtale
this_1 : Algebra P.Ring Q.Ring := f.toRingHom.toAlgebra
this_2 : IsScalarTower.{u_1, u, u} R P.Ring Q.Ring
this_3 : Algebra.{u, u_3} P.Ring T :=
  RingHom.toAlgebra (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (algebraMap S T) (algebraMap P.Ring S))
this_4 : IsScalarTower.{u, u_2, u_3} P.Ring S T
this_5 : IsScalarTower.{u, u, u_3} P.Ring Q.Ring T
this : FormallyEtale.{u, u} P.Ring Q.Ring
x : Q.CotangentSpace
change :
  Eq (α := Q.CotangentSpace)
    ((LinearMap.liftBaseChange T (CotangentSpace.map f) ∘ₗ
            LinearMap.liftBaseChange T
              (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
                  ((↑P.Ring :
                        {S_1 : Type u_2} →
                          {M : Type (max u u_2)} →
                            {M₂ : Type (max u_3 u u_2)} →
                              [inst_7 : Semiring P.Ring] →
                                [inst_8 : Semiring S_1] →
                                  [inst_9 : AddCommMonoid M] →
                                    [inst_10 : AddCommMonoid M₂] →
                                      [inst_11 : Module P.Ring M] →
                                        [inst_12 : Module P.Ring M₂] →
                                          [inst_13 : Module S_1 M] →
                                            [inst_14 : Module S_1 M₂] →
                                              [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                                (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
                      (S := S)
                      ((TensorProduct.mk S T P.CotangentSpace :
                          (a : T) → P.CotangentSpace →ₗ[S] T ⊗[S] P.CotangentSpace)
                        1) ∘ₗ
                    (↑P.Ring :
                        {S_1 M : Type u} →
                          {M₂ : Type (max u_2 u)} →
                            [inst_7 : Semiring P.Ring] →
                              [inst_8 : Semiring S_1] →
                                [inst_9 : AddCommMonoid M] →
                                  [inst_10 : AddCommMonoid M₂] →
                                    [inst_11 : Module P.Ring M] →
                                      [inst_12 : Module P.Ring M₂] →
                                        [inst_13 : Module S_1 M] →
                                          [inst_14 : Module S_1 M₂] →
                                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                              (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
                      (S := P.Ring)
                      ((TensorProduct.mk P.Ring S Ω[P.Ring⁄R] :
                          (a : S) → Ω[P.Ring⁄R] →ₗ[P.Ring] S ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])
                        1)) ∘ₗ
                (↑(LinearEquiv.symm (tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale R P.Ring Q.Ring)) :
                  Ω[Q.Ring⁄R] →ₗ[Q.Ring] Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])) :
          (a : T ⊗[Q.Ring] Ω[Q.Ring⁄R]) → Q.CotangentSpace)
        x :
      Q.CotangentSpace)
    ((LinearMap.id : (a : Q.CotangentSpace) → Q.CotangentSpace) x : Q.CotangentSpace)
⊢ AddHom.toFun (M := T ⊗[S] P.CotangentSpace) (LinearMap.toAddHom (LinearMap.liftBaseChange T (CotangentSpace.map f)))
      ((LinearMap.liftBaseChange T
            (LinearMap.liftBaseChange Q.Ring
                ((↑P.Ring :
                      {S_1 : Type u_2} →
                        {M : Type (max u u_2)} →
                          {M₂ : Type (max u_3 u u_2)} →
                            [inst_7 : Semiring P.Ring] →
                              [inst_8 : Semiring S_1] →
                                [inst_9 : AddCommMonoid M] →
                                  [inst_10 : AddCommMonoid M₂] →
                                    [inst_11 : Module P.Ring M] →
                                      [inst_12 : Module P.Ring M₂] →
                                        [inst_13 : Module S_1 M] →
                                          [inst_14 : Module S_1 M₂] →
                                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                              (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
                    (S := S)
                    ((TensorProduct.mk S T P.CotangentSpace : (a : T) → P.CotangentSpace →ₗ[S] T ⊗[S] P.CotangentSpace)
                      1) ∘ₗ
                  (↑P.Ring :
                      {S_1 M : Type u} →
                        {M₂ : Type (max u_2 u)} →
                          [inst_7 : Semiring P.Ring] →
                            [inst_8 : Semiring S_1] →
                              [inst_9 : AddCommMonoid M] →
                                [inst_10 : AddCommMonoid M₂] →
                                  [inst_11 : Module P.Ring M] →
                                    [inst_12 : Module P.Ring M₂] →
                                      [inst_13 : Module S_1 M] →
                                        [inst_14 : Module S_1 M₂] →
                                          [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ P.Ring S_1] →
                                            (fₗ : M →ₗ[S_1] M₂) → M →ₗ[P.Ring] M₂)
                    (S := P.Ring)
                    ((TensorProduct.mk P.Ring S Ω[P.Ring⁄R] : (a : S) → Ω[P.Ring⁄R] →ₗ[P.Ring] S ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])
                      1)) ∘ₗ
              (↑(LinearEquiv.symm (tensorKaehlerEquivOfFormallyEtale R P.Ring Q.Ring)) :
                Ω[Q.Ring⁄R] →ₗ[Q.Ring] Q.Ring ⊗[P.Ring] Ω[P.Ring⁄R])) :
          (a : T ⊗[Q.Ring] Ω[Q.Ring⁄R]) → T ⊗[S] P.CotangentSpace)
        x) =
    x

Tactic:
change (LinearMap.liftBaseChange _ _ ∘ₗ LinearMap.liftBaseChange _ _) x =
        LinearMap.id (R := T) x

Premises used: LinearMap.id, LinearMap.comp, LinearMap.liftBaseChange, DFunLike.coe