awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M) ↔
    LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i,
          (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
        Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h' :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
S₁ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₁_def :
  S₁ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M)
        ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
        (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂_def :
  S₂ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M)
          ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
h₁ :
  ∀ (x : ℤ),
    x ∈ S₂ ↔
      Membership.mem (γ := Set ℤ)
        ((fun (z : ℤ) ↦ -(↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ) + z) '' S₁)
        x
⊢ S₂ = (fun (z : ℤ) ↦ -(↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ) + z) '' S₁

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M) ↔
    LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i,
          (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
        Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h' :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
S₁ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₁_def :
  S₁ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M)
        ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
        (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂_def :
  S₂ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M)
          ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
x : ℤ
⊢ x ∈ S₂ ↔
    Membership.mem (γ := Set ℤ)
      ((fun (z : ℤ) ↦ -(↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ) + z) '' S₁) x

Tactic:
simp [S₁_def, S₂_def, root_chainTopIdx, add_smul, add_assoc, natCast_zsmul]

Premises used: add_assoc, add_smul, RootPairing.root_chainTopIdx, natCast_zsmul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M) ↔
    LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i,
          (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
        Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h' :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
S₁ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₁_def :
  S₁ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M)
        ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
        (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂_def :
  S₂ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M)
          ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
⊢ S₂ = (fun (z : ℤ) ↦ -(↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ) + z) '' S₁

Tactic:
have hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ (-P.chainTopCoeff i j : ℤ) + z) '' S₁ := by
    ext; simp [S₁_def, S₂_def, root_chainTopIdx, add_smul, add_assoc, natCast_zsmul]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M) ↔
    LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i,
          (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
        Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h' :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
S₁ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₁_def :
  S₁ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M)
        ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
        (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂_def :
  S₂ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M)
          ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₁₂ :
  S₂ = (fun (z : ℤ) ↦ -(↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ) + z) '' S₁
h₁ :
  ∀ (x : ℤ),
    x ∈ S₁ ↔
      Membership.mem (γ := Set ℤ)
        (Icc (-(↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ))
          (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ))
        x
⊢ S₁ =
    Icc (-(↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ))
      (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ)

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M) ↔
    LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i,
          (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
        Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h' :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
S₁ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₁_def :
  S₁ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M)
        ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
        (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂_def :
  S₂ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M)
          ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₁₂ :
  S₂ = (fun (z : ℤ) ↦ -(↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ) + z) '' S₁
⊢ S₁ =
    Icc (-(↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ))
      (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ)

Tactic:
have hS₁ : S₁ = Icc (-P.chainBotCoeff i j : ℤ) (P.chainTopCoeff i j) := by
    ext; rw [S₁_def, mem_setOf_eq, root_add_zsmul_mem_range_iff h]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M) ↔
    LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
      (![(P.root : (a : ι) → M) i,
          (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
        Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
h' :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
S₁ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₁_def :
  S₁ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂ : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M)
        ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
        (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S₂_def :
  S₂ =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M)
          ((P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₁₂ :
  S₂ = (fun (z : ℤ) ↦ -(↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ) + z) '' S₁
hS₁ :
  S₁ =
    Icc (-(↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ))
      (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ)
⊢ S₂ =
    Icc
      (-(↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i
              (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)) :
          ℤ))
      (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i
            (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)) :
        ℤ)

Tactic:
have hS₂ : S₂ = Icc (-P.chainBotCoeff i (P.chainTopIdx i j) : ℤ)
      (P.chainTopCoeff i (P.chainTopIdx i j)) := by
    ext; rw [S₂_def, mem_setOf_eq, root_add_zsmul_mem_range_iff h']
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i
      (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) =
    chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j +
      chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j

Tactic:
chainCoeff_chainTopIdx_aux.1

Premises used: RootPairing.chainCoeff_chainTopIdx_aux, And.left
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i
      (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) =
    0

Tactic:
chainCoeff_chainTopIdx_aux.2

Premises used: RootPairing.chainCoeff_chainTopIdx_aux, And.right
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
rwa :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)
            ((P.root : (a : ι) → M) i : M))] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
rwa₁ :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        HAdd.hAdd (β := M)
          (HSMul.hSMul (β := M) (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)
            ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
rwa₂ :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        HAdd.hAdd (β := M)
          (HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M)
            (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ)
            ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
rwa₃ rwa₄ rwa₅ rwa₆ :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
⊢ LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)

Tactic:
rwa [P.root_chainTopIdx, add_comm (P.root j), ← natCast_zsmul,
      LinearIndependent.pair_add_smul_right_iff]

Premises used: LinearIndependent.pair_add_smul_right_iff, add_comm, RootPairing.root, RootPairing.root_chainTopIdx, DFunLike.coe, natCast_zsmul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
⊢ LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)

Tactic:
replace h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (P.chainTopIdx i j)] := by
    rwa [P.root_chainTopIdx, add_comm (P.root j), ← natCast_zsmul,
      LinearIndependent.pair_add_smul_right_iff]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℤ) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ)
      (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) : ℤ) =
    (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i
          (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)) :
      ℤ)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i,
        (P.root : (a : ι) → M) (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
⊢ (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i
          (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)) :
      ℤ) =
    HSub.hSub (α := ℤ)
      (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i
            (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)) :
        ℤ)
      (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i
            (chainTopIdx.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j)) :
        ℤ)

Tactic:
simp