-- Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Flasque
Goal:
X : TopCat
U : Opens (↑X : Type u)
S : ShortComplex (Sheaf AddCommGrpCat X)
hS : S.ShortExact
inst : S.X₁.IsFlasque
s : (↑(S.X₃.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op U)) : Type u)
t : Under S.g s
ht : ∀ (a : Under S.g s), Nonempty.{u + 1} (a ⟶ t) → Nonempty.{u + 1} (t ⟶ a)
tle :
  unop
      ((StructuredArrow.right t).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
        (S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
              CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
          c)) ≤
    U
tcomp :
  Eq (α :=
    ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
      (S.X₃.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
        (op
          (unop
            ((StructuredArrow.right t).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
              (S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                    CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                c))))))
    (restrictOpen (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
      AddCommGrpCat.carrier) s
      (unop
        ((StructuredArrow.right t).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
          (S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                  (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
            c)))
      tle)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (X :=
          S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj
            ((StructuredArrow.right t).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
              (S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                    CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                c)))
          (S.g.hom.app
            ((StructuredArrow.right t).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
              (S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                    CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                      (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                c))) :
        (a : (↑(S.X₂.obj.obj (StructuredArrow.right t).fst) : Type u)) →
          (↑(S.X₃.obj.obj (StructuredArrow.right t).fst) : Type u))
      ((StructuredArrow.right t).snd (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
        (S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
              CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
          c)))
x : (↑X : Type u)
hx : x ∈ U
this :
  Presheaf.IsLocallySurjective (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
    AddCommGrpCat.carrier) S.g.hom
obtain :
  ∀ (W : Opens (↑X : Type u)) (Wle : W ≤ U) (hW : x ∈ W)
    (t₁ :
      (↑(S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op W)) :
        Type u))
    (ht₁ :
      Eq (α :=
        (↑(S.X₃.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op W)) :
          Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op W))
                (S.g.hom.app (op W)) :
              (a : (↑(S.X₂.obj.obj (op W)) : Type u)) → (↑(S.X₃.obj.obj (op W)) : Type u))
            t₁ :
          (↑(S.X₃.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op W)) :
            Type u))
        (restrictOpen (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) s W Wle :
          ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier)
            (S.X₃.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))).obj (op W)))),
    x ∈
      unop
        ((StructuredArrow.right t).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
          (S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
                CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                  (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
            c))
⊢ x ∈
    unop
      ((StructuredArrow.right t).fst (β := fun (c : (Opens (↑X : Type u))ᵒᵖ) ↦
        (S.X₂.obj (P := CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑X : Type u))) ⋙
              CategoryTheory.forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
          c))

Tactic:
obtain ⟨W, Wle, ⟨t₁, ht₁⟩, hW⟩ := (isLocallySurjective_iff S.g.hom).mp this U s x hx

Premises used: TopCat.Presheaf.isLocallySurjective_iff, Iff.mp, CategoryTheory.InducedCategory.Hom.hom, CategoryTheory.ShortComplex.g