awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') ⋯) = (m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t')
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) ((s'' ∪ t') ∆ ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α))) : ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α) ∪ t' ∆ (↑t : Set α)) : ℝ≥0∞)

Tactic:
measure_mono (Set.union_symmDiff_union_subset ..)

Premises used: MeasureTheory.measure_mono, Set.union_symmDiff_union_subset
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') ⋯) = (m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t')
⊢ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α) ∪ t' ∆ (↑t : Set α)) ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) : ℝ≥0∞)

Tactic:
measure_union_le _ _

Premises used: MeasureTheory.measure_union_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') ⋯) = (m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t')
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) : ℝ≥0∞) <
    3 * δ + δ

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') ⋯) = (m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t')
⊢ 3 * δ + δ = 4 * δ

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') ⋯) = (m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t')
calc :
  HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) : ℝ≥0∞) <
    3 * δ + δ
calc₁ : 3 * δ + δ = 4 * δ
⊢ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) ((s'' ∪ t') ∆ ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α))) < 4 * δ

Tactic:
calc μ ((s'' ∪ t') ∆ (s ∪ t))
      _ ≤ μ (s'' ∆ s ∪ t' ∆ t) := measure_mono (Set.union_symmDiff_union_subset ..)
      _ ≤ μ (s'' ∆ s) + μ (t' ∆ t) := measure_union_le _ _
      _ < 3 * δ + δ := by gcongr
      _ = 4 * δ := by ring

Premises used: SetLike.coe, MeasureTheory.measure_mono, Union.union, DFunLike.coe, symmDiff, MeasureTheory.measure_union_le, Set.union_symmDiff_union_subset
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
⊢ ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ

Tactic:
have Ist : ‖m (s'' ∪ t') - m₁ ⟨s ∪ t, s.2.union t.2⟩‖ₑ < 4 * δ := by
      have s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C := hC.union_mem s''C t'C
      have : m₁ ⟨s'' ∪ t', hCmeas _ s''t'C⟩ = m (s'' ∪ t') :=
        C'_dense.extend_eq lip.continuous ⟨⟨s'' ∪ t', hCmeas _ s''t'C⟩, ⟨s'' ∪ t', s''t'C, rfl⟩⟩
      rw [← this, ← edist_eq_enorm_sub]
      apply (m₁_lip _ _).trans_lt
      simp only [ENNReal.coe_one, MeasuredSets.edist_def, one_mul]
      change μ ((s'' ∪ t') ∆ (s ∪ t)) < 4 * δ
      calc μ ((s'' ∪ t') ∆ (s ∪ t))
      _ ≤ μ (s'' ∆ s ∪ t' ∆ t) := measure_mono (Set.union_symmDiff_union_subset ..)
      _ ≤ μ (s'' ∆ s) + μ (t' ∆ t) := measure_union_le _ _
      _ < 3 * δ + δ := by gcongr
      _ = 4 * δ := by ring
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
Ist :
  ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
⊢ ‖m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯) - m₁ s - m₁ t‖ₑ =
    ‖HSub.hSub (β := E)
              (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E))
              ((m : (a : Set α) → E) t' : E) +
            HSub.hSub (β := E)
              (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
              ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E) +
          HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s) +
        HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ

Tactic:
abel_nf
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
Ist :
  ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
⊢ ‖HSub.hSub (β := E)
              (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E))
              ((m : (a : Set α) → E) t' : E) +
            HSub.hSub (β := E)
              (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
              ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E) +
          HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s) +
        HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ ≤
    ‖HSub.hSub (β := E)
              (HSub.hSub (α := E) (β := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E))
              ((m : (a : Set α) → E) t' : E)‖ₑ +
          ‖HSub.hSub (β := E) (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
              ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)‖ₑ +
        ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ +
      ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ

Tactic:
enorm_add₄_le

Premises used: enorm_add₄_le, ENNReal, WithTop
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
Ist :
  ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
⊢ ‖HSub.hSub (β := E)
              (HSub.hSub (β := E)
                (HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E))
                ((m : (a : Set α) → E) s'' : E))
              ((m : (a : Set α) → E) t' : E)‖ₑ +
          ‖m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯) -
              HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E)‖ₑ +
        ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ +
      ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ =
    ‖m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯) -
            HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E)‖ₑ +
        ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ +
      ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
Ist :
  ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
xz :
  ‖HSub.hSub (β := E) (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
        ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)‖ₑ <
    4 * δ
⊢ ‖HSub.hSub (β := E) (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
            ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)‖ₑ +
        ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ +
      ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ <
    4 * δ + 3 * δ + δ

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
Ist :
  ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
xz xz₁ xz₂ xz₃ :
  ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
⊢ ‖HSub.hSub (β := E) (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))
        ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)‖ₑ <
    4 * δ

Tactic:
rwa [enorm_sub_rev]

Premises used: enorm_sub_rev