awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
e_f : ∀ (y : ℝ), y ∈ Iic x ↔ Membership.mem (γ := Set ℝ) (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) y
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞) (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic x) : ℝ≥0∞)
    (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞)
        (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)

Tactic:
congr with y : 1
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
y : ℝ
e_f : y ≤ x ↔ ∀ (a : ℚ) (b : x < (↑a : ℝ)), y ≤ (↑a : ℝ)
⊢ y ∈ Iic x ↔ Membership.mem (γ := Set ℝ) (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) y

Tactic:
simp only [mem_Iic, mem_iInter, Subtype.forall]

Premises used: Subtype.forall, Set.mem_iInter, Set.mem_Iic
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
y : ℝ
⊢ y ≤ x ↔ ∀ (a : ℚ) (b : x < (↑a : ℝ)), y ≤ (↑a : ℝ)

Tactic:
le_iff_forall_lt_rat_imp_le

Premises used: le_iff_forall_lt_rat_imp_le
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
y : ℝ
⊢ y ≤ x ↔ ∀ (a : ℚ) (b : x < (↑a : ℝ)), y ≤ (↑a : ℝ)

Tactic:
exact le_iff_forall_lt_rat_imp_le

Premises used: le_iff_forall_lt_rat_imp_le
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
⊢ Monotone (β := Set ℝ) fun (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }) ↦ Iic (↑(↑r : ℚ) : ℝ)

Tactic:
fun r r' hrr' ↦ Iic_subset_Iic.mpr <| mod_cast hrr'

Premises used: Iff.mpr, Set.Iic_subset_Iic, Monotone, cast, Subtype.coe_le_coe._simp_1, Eq.symm, Rat.cast_le._simp_1, Eq.trans
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
⊢ Monotone (β := Set ℝ) fun (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }) ↦ Iic (↑(↑r : ℚ) : ℝ)

Tactic:
exact fun r r' hrr' ↦ Iic_subset_Iic.mpr <| mod_cast hrr'

Premises used: Iff.mpr, Set.Iic_subset_Iic
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
⊢ ∀ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    NullMeasurableSet (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) (stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure

Tactic:
fun _ ↦ nullMeasurableSet_Iic

Premises used: nullMeasurableSet_Iic
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
⊢ ∀ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    NullMeasurableSet (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) (stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure

Tactic:
exact fun _ ↦ nullMeasurableSet_Iic

Premises used: nullMeasurableSet_Iic
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
e_f :
  ∀ (q : ℚ) (hq : x < (↑q : ℝ)),
    ∃ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
      Ne (α := ℝ≥0∞) (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)
        (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    Ne (α := ℝ≥0∞) (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)
      (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
obtain ⟨q, hq⟩ := exists_rat_gt x

Premises used: exists_rat_gt
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
q : ℚ
hq : x < (↑q : ℝ)
⊢ ∃ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    Ne (α := ℝ≥0∞) (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)
      (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
⟨⟨q, hq⟩, measure_ne_top _ _⟩

Premises used: MeasureTheory.measure_ne_top, Subtype.mk, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
b : β
q : ℚ
hq : x < (↑q : ℝ)
⊢ ∃ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    Ne (α := ℝ≥0∞) (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)
      (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
exact ⟨⟨q, hq⟩, measure_ne_top _ _⟩
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a

Tactic:
have h : ∫⁻ b in s, ENNReal.ofReal (stieltjesOfMeasurableRat f hf.measurable (a, b) x) ∂(ν a)
      = ∫⁻ b in s, ⨅ r : { r' : ℚ // x < r' },
        ENNReal.ofReal (stieltjesOfMeasurableRat f hf.measurable (a, b) r) ∂(ν a) := by
    congr with b : 1
    simp_rw [← measure_stieltjesOfMeasurableRat_Iic]
    rw [← Monotone.measure_iInter]
    · congr with y : 1
      simp only [mem_Iic, mem_iInter, Subtype.forall]
      exact le_iff_forall_lt_rat_imp_le
    · exact fun r r' hrr' ↦ Iic_subset_Iic.mpr <| mod_cast hrr'
    · exact fun _ ↦ nullMeasurableSet_Iic
    · obtain ⟨q, hq⟩ := exists_rat_gt x
      exact ⟨⟨q, hq⟩, measure_ne_top _ _⟩
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
obtain : ∀ (r : ℚ) (hrx : x < (↑r : ℝ)), Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }

Tactic:
obtain ⟨r, hrx⟩ := exists_rat_gt x

Premises used: exists_rat_gt
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
r : ℚ
hrx : x < (↑r : ℝ)
⊢ Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }

Tactic:
⟨⟨r, hrx⟩⟩

Premises used: Nonempty.intro, Subtype.mk
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
r : ℚ
hrx : x < (↑r : ℝ)
⊢ Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }

Tactic:
exact ⟨⟨r, hrx⟩⟩
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
⊢ Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }

Tactic:
have h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < ↑r' } := by
    obtain ⟨r, hrx⟩ := exists_rat_gt x
    exact ⟨⟨r, hrx⟩⟩
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
neg :
  Eq (α := ℝ≥0∞)
    (⨅ (b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ∫⁻ (a_1 : β) in s,
          ENNReal.ofReal
            ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) : ℝ → ℝ) (↑(↑b : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x) : ℝ≥0∞)
neg₁ :
  ∀ (b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    ∫⁻ (a_1 : β) in s,
        ENNReal.ofReal
          ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) : ℝ → ℝ) (↑(↑b : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a ≠
      ∞
neg₂ :
  Directed (fun (x1 x2 : β → ℝ≥0∞) ↦ x1 ≥ x2) fun (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }) (b : β) ↦
    ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ))
rw :
  ∀ (q : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    Measurable (β := ℝ≥0∞) fun (b : β) ↦
      ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑q : ℚ) : ℝ))
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    (((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x)

Tactic:
rw [h, lintegral_iInf_directed_of_measurable hρ_zero fun q : { r' : ℚ // x < ↑r' } ↦ ?_]

Premises used: MeasureTheory.lintegral_iInf_directed_of_measurable
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
neg :
  Ne (α := ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑b : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ ∫⁻ (a_1 : β) in s,
      ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) : ℝ → ℝ) (↑(↑b : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a ≠
    ∞

Tactic:
rw [setLIntegral_stieltjesOfMeasurableRat_rat hf a _ hs]

Premises used: ProbabilityTheory.setLIntegral_stieltjesOfMeasurableRat_rat
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑b : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
measure_ne_top _ _

Premises used: MeasureTheory.measure_ne_top
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑b : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
exact measure_ne_top _ _

Premises used: MeasureTheory.measure_ne_top
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ Directed (fun (x1 x2 : β → ℝ≥0∞) ↦ x1 ≥ x2) fun (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }) (b : β) ↦
    ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ))

Tactic:
Monotone.directed_ge fun i j hij b ↦ ?_

Premises used: Monotone.directed_ge
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
neg :
  ∀ (i j : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }) (hij : i ≤ j) (b : β),
    ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) ≤
      ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑j : ℚ) : ℝ))
⊢ Directed (fun (x1 x2 : β → ℝ≥0∞) ↦ x1 ≥ x2) fun (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }) (b : β) ↦
    ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ))

Tactic:
refine Monotone.directed_ge fun i j hij b ↦ ?_
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
i j : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
hij : i ≤ j
b : β
neg :
  LE.le (α := ℝ≥0∞) (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)
    (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑j : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)
⊢ ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) ≤
    ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑j : ℚ) : ℝ))

Tactic:
simp_rw [← measure_stieltjesOfMeasurableRat_Iic]

Premises used: ProbabilityTheory.measure_stieltjesOfMeasurableRat_Iic
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
i j : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
hij : i ≤ j
b : β
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞) (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)
    (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑j : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)

Tactic:
measure_mono (Iic_subset_Iic.mpr ?_)

Premises used: Iff.mpr, Set.Iic_subset_Iic, MeasureTheory.measure_mono
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
i j : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
hij : i ≤ j
b : β
neg : LE.le (α := ℝ) (↑(↑i : ℚ) : ℝ) (↑(↑j : ℚ) : ℝ)
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞) (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)
    (((stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)).measure : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) (Iic (↑(↑j : ℚ) : ℝ)) : ℝ≥0∞)

Tactic:
refine measure_mono (Iic_subset_Iic.mpr ?_)

Premises used: Iff.mpr, Set.Iic_subset_Iic, MeasureTheory.measure_mono
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
i j : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
hij : i ≤ j
b : β
⊢ LE.le (α := ℝ) (↑(↑i : ℚ) : ℝ) (↑(↑j : ℚ) : ℝ)

Tactic:
mod_cast hij

Premises used: cast, Subtype.coe_le_coe._simp_1, Eq.symm, Rat.cast_le._simp_1, Eq.trans