-- Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N_1 : ℕ := s.attach.sup n
r_2 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N_1 - n a) * r_1 a
eq_2 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N_1) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_2 a)
N'_1 : (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
hN' :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r_2 a * (↑b : R) ^ N_1) =
      ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r_2 b * (↑a : R) ^ N_1)
N' : ℕ :=
  (s ×ˢ s).attach.sup fun (a : ↥(s ×ˢ s)) ↦
    N'_1 (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).1 ⋯)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).2 ⋯)
eq2_1 :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r_2 a * (↑b : R) ^ N_1) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r_2 b * (↑a : R) ^ N_1)
N : ℕ := N' + N_1
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ N' * r_2 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
eq2 : ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), r a * (↑b : R) ^ N = r b * (↑a : R) ^ N
c : (↑(↑s : Set R) : Type u_1) → R
eq1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c i • (↑i : R) ^ N) 1
a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)
simp_rw :
  HMul.hMul (α := Away (↑a : R)) (β := Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (∑ b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c b * r b) :
        Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R))
simp_rw₁ :
  HMul.hMul (α := Away (↑a : R)) (β := Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (∑ b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c b * r b) :
        Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
simp_rw₂ :
  Eq (α := Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R))
        ((∑ b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c b * r b) * (↑a : R) ^ N) :
      Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a) : Away (↑a : R))
simp_rw₃ :
  Eq (α := Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R))
        (∑ i : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c i * r i * (↑a : R) ^ N) :
      Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a) : Away (↑a : R))
simp_rw₄ :
  Eq (α := Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R))
        (∑ x : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c x * (r x * (↑a : R) ^ N)) :
      Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a) : Away (↑a : R))
simp_rw₅ :
  Eq (α := Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R))
        (∑ x : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c x * (r a * (↑x : R) ^ N)) :
      Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a) : Away (↑a : R))
simp_rw₆ :
  Eq (α := Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R))
        (∑ x : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), r a * (c x * (↑x : R) ^ N)) :
      Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a) : Away (↑a : R))
simp_rw₇ :
  Eq (α := Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R))
        (r a * ∑ i : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c i * (↑i : R) ^ N) :
      Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a) : Away (↑a : R))
simp_rw₈ :
  Eq (α := Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R))
        (r a * ∑ x : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c x • (↑x : R) ^ N) :
      Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a) : Away (↑a : R))
simp_rw₉ :
  Eq (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a * 1) : Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a) : Away (↑a : R))
⊢ (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (∑ b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1), c b * r b) *
      HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) N =
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) N

Tactic:
simp_rw [← map_pow, eq, ← map_mul, Finset.sum_mul, mul_assoc, eq2 _ a, mul_left_comm (c _),
    ← Finset.mul_sum, ← smul_eq_mul (a := c _), eq1, mul_one]

Premises used: Finset.mul_sum, mul_assoc, map_pow, mul_left_comm, map_mul, smul_eq_mul, mul_one, Finset.sum_mul