-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
h :
  Eq (α :=
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
      coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
        (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
          coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
    (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
          WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft))
        (coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) :
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft))
              P.X ⟶
            coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft))
        (coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ≫
            CategoryStruct.comp (Y :=
              coequalizer (X :=
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (Y :=
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) :
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (Iso.hom (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                    M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P' :
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))))
              (colimMap
                  (parallelPairHom
                    (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))
                    (Iso.hom
                        (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                      M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
                    (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
                    (Iso.hom
                        (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                      M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P')
                    (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X ◁
                      colimMap
                        (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)
                          (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)
                          (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
                    (M.X ◁
                      colimMap
                        (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)
                          (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)
                          (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
                    ⋯ ⋯) :
                colimit
                    (parallelPair (X :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                        (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
                      (Y :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                        (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
                      (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
                        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
                      (Iso.hom
                            (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                          M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
                        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))) ⟶
                  colimit
                    (parallelPair (X :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                        (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                      (Y :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                        (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                      (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) :
                        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                      (Iso.hom
                            (α_ M.X X.X
                              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                          M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P' :
                        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))))
              (AssociatorBimod.inv M N P' :
                (M.tensorBimod (N.tensorBimod P')).X ⟶ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P').X) :
          coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) ⟶
            coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
        coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
⊢ Eq (α :=
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (TensorBimod.X M N) P.X ⟶
      TensorBimod.X
        { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
          actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ : Bimod W Y }
        P')
    (TensorBimod.X M N ◁ f.hom ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X) ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft))
          WalkingParallelPair.one :
      (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
              (Iso.hom (α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X) ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)).obj
          WalkingParallelPair.one ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X) ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft)))
    (coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
          (Iso.hom (α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X) ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft) ≫
        AssociatorBimod.hom M N P ≫
          CategoryStruct.comp (Y :=
            TensorBimod.X M
              { X := TensorBimod.X N P', actLeft := TensorBimod.actLeft N P', one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                actRight := TensorBimod.actRight N P', actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ :
                Bimod X Z })
            (colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                  (Iso.hom (α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
                  (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P')
                  (Iso.hom (α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P')) ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P')
                  (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X ◁
                    colimMap
                      (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)
                        (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)
                        (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
                  (M.X ◁
                    colimMap
                      (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)
                        (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)
                        (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
                  ⋯ ⋯) :
              colimit
                  (parallelPair (X :=
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X) (TensorBimod.X N P))
                    (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    (Iso.hom (α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)) ⟶
                colimit
                  (parallelPair (X :=
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X) (TensorBimod.X N P'))
                    (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P')
                    (Iso.hom (α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P')) ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P')))
            (AssociatorBimod.inv M N P') :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (TensorBimod.X M N) P.X ⟶
        TensorBimod.X
          { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
            actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ : Bimod W Y }
          P')

Tactic:
dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.hom]

Premises used: Bimod.TensorBimod.X, Bimod.AssociatorBimod.hom