awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
⊢ x ∈ u

Tactic:
have xu : x ∈ u := mem_of_mem_nhdsWithin hx hu
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
⊢ v ∈ 𝓝[u] x

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem xu] at vu v'u

Premises used: Set.insert_eq_of_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
vu₁ : v ∈ 𝓝[u] x
⊢ v ⊆ u

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem xu] at vu v'u

Premises used: Set.insert_eq_of_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
vu₁ : v ∈ 𝓝[u] x
v'u₁ : v ⊆ u
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f' v

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem xu] at vu v'u

Premises used: Set.insert_eq_of_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
vu₁ : v ∈ 𝓝[u] x
v'u₁ : v ⊆ u
hv₁ : ContDiffOn 𝕜 n f' v
⊢ x ∈ u

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem xu] at vu v'u

Premises used: Set.insert_eq_of_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[u] x
v'u : v ⊆ u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Tactic:
⟨v, nhdsWithin_le_of_mem hu vu, fun h ↦ (f_an h).mono v'u, f',
      fun y hy ↦ (hf' y (v'u hy)).mono v'u, hv⟩

Premises used: nhdsWithin_le_of_mem, And.intro, Exists.intro, HasFDerivWithinAt.mono, AnalyticOn.mono
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[u] x
v'u : v ⊆ u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Tactic:
exact ⟨v, nhdsWithin_le_of_mem hu vu, fun h ↦ (f_an h).mono v'u, f',
      fun y hy ↦ (hf' y (v'u hy)).mono v'u, hv⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
        ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
mpr :
  ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
      ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x

Tactic:
rw [contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt hn]

Premises used: contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
        ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
mpr :
  ∀ (u : Set E) (u_nhbd : u ∈ 𝓝[insert x s] x) (f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) (f' : E → E →L[𝕜] F)
    (hu : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) (hf' : ContDiffOn 𝕜 n f' u),
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
        ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
      ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
rcases h x hx with ⟨u, u_nhbd, f_an, f', hu, hf'⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
        ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
u_nhbd : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hu : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffOn 𝕜 n f' u
⊢ x ∈ u

Tactic:
have : x ∈ u := mem_of_mem_nhdsWithin (mem_insert _ _) u_nhbd
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
        ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
u_nhbd : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hu : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffOn 𝕜 n f' u
this : x ∈ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
      ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
⟨u, u_nhbd, f_an, f', hu, hf' x this⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
        ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
u_nhbd : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hu : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffOn 𝕜 n f' u
this : x ∈ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
      ∃ (f' : E → E →L[𝕜] F), (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
exact ⟨u, u_nhbd, f_an, f', hu, hf' x this⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 f s ↔ ContinuousOn f s

Tactic:
⟨fun H => H.continuousOn, fun H => fun x hx m hm ↦ ?_⟩

Premises used: Iff.intro, ContDiffOn.continuousOn
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
refine :
  ∀ (H : ContinuousOn f s) (x : E) (hx : x ∈ s) (m : ℕ) (hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0),
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
⊢ ContDiffOn 𝕜 0 f s ↔ ContinuousOn f s

Tactic:
refine ⟨fun H => H.continuousOn, fun H => fun x hx m hm ↦ ?_⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0
⊢ Eq (α := ℕ∞ω) (↑m : ℕ∞ω) 0

Tactic:
have : (m : ℕ∞ω) = 0 := le_antisymm (mod_cast hm) bot_le
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0
this : Eq (α := ℕ∞ω) (↑m : ℕ∞ω) 0
rw : ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F), HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u

Tactic:
rw [this]
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0
this : Eq (α := ℕ∞ω) (↑m : ℕ∞ω) 0
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F), HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p u

Tactic:
⟨insert x s, self_mem_nhdsWithin, ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s, ?_⟩

Premises used: Insert.insert, ftaylorSeriesWithin, self_mem_nhdsWithin, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0
this : Eq (α := ℕ∞ω) (↑m : ℕ∞ω) 0
refine : HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (insert x s)
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F), HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p u

Tactic:
refine ⟨insert x s, self_mem_nhdsWithin, ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0
this : Eq (α := ℕ∞ω) (↑m : ℕ∞ω) 0
rw :
  ContinuousOn f (insert x s) ∧
    ∀ x_1 ∈ insert x s, ContinuousMultilinearMap.curry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x_1 0) = f x_1
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (insert x s)

Tactic:
rw [hasFTaylorSeriesUpToOn_zero_iff]

Premises used: hasFTaylorSeriesUpToOn_zero_iff
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0
this : Eq (α := ℕ∞ω) (↑m : ℕ∞ω) 0
rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ : ContinuousOn f s
⊢ ContinuousOn f (insert x s)

Tactic:
rwa [insert_eq_of_mem hx]

Premises used: Set.insert_eq_of_mem
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x_1 : E
hx : x_1 ∈ s
m : ℕ
hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0
this : Eq (α := ℕ∞ω) (↑m : ℕ∞ω) 0
x : E
h : x ∈ insert x_1 s
⊢ ContinuousMultilinearMap.curry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x 0) = f x

Tactic:
simp [ftaylorSeriesWithin]

Premises used: ftaylorSeriesWithin
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : LE.le (α := ℕ∞) (↑m : ℕ∞) 0
this : Eq (α := ℕ∞ω) (↑m : ℕ∞ω) 0
⊢ ContinuousOn f (insert x s) ∧
    ∀ x_1 ∈ insert x s, ContinuousMultilinearMap.curry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x_1 0) = f x_1

Tactic:
exact ⟨by rwa [insert_eq_of_mem hx], fun x _ => by simp [ftaylorSeriesWithin]⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
mp : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x → ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)
mpr : (∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)) → ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
h : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
mp :
  ∀ (u : Set E) (H : u ∈ 𝓝[insert x s] x) (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F)
    (hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0 : ℕ∞ω) f p u), ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)

Tactic:
obtain ⟨u, H, p, hp⟩ := h 0 le_rfl

Premises used: le_rfl, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
h : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0 : ℕ∞ω) f p u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)

Tactic:
⟨u, ?_, ?_⟩

Premises used: And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
h : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0 : ℕ∞ω) f p u
mp : u ∈ 𝓝[s] x
mp₁ : ContinuousOn f (s ∩ u)
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContinuousOn f (s ∩ u)

Tactic:
refine ⟨u, ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
h : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0 : ℕ∞ω) f p u
⊢ u ∈ 𝓝[s] x

Tactic:
simpa [hx] using H
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
h : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑0 : ℕ∞ω) f p u
⊢ ContinuousOn f u ∧ ∀ x ∈ u, ContinuousMultilinearMap.curry0 (p x 0) = f x

Tactic:
simp only [Nat.cast_zero, hasFTaylorSeriesUpToOn_zero_iff] at hp

Premises used: hasFTaylorSeriesUpToOn_zero_iff, Nat.cast_zero
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
h : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : ContinuousOn f u ∧ ∀ x ∈ u, ContinuousMultilinearMap.curry0 (p x 0) = f x
⊢ ContinuousOn f (s ∩ u)

Tactic:
hp.1.mono inter_subset_right

Premises used: And.left, ContinuousOn.mono, Set.inter_subset_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
h : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : ContinuousOn f u ∧ ∀ x ∈ u, ContinuousMultilinearMap.curry0 (p x 0) = f x
⊢ ContinuousOn f (s ∩ u)

Tactic:
exact hp.1.mono inter_subset_right

Premises used: And.left, ContinuousOn.mono, Set.inter_subset_right
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[s] x
hu : ContinuousOn f (s ∩ u)
mpr : ContDiffWithinAt 𝕜 0 f (s ∩ u) x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 0 f s x

Tactic:
rw [← contDiffWithinAt_inter' H]

Premises used: contDiffWithinAt_inter'
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[s] x
hu : ContinuousOn f (s ∩ u)
⊢ x ∈ s ∩ u

Tactic:
have h' : x ∈ s ∩ u := ⟨hx, mem_of_mem_nhdsWithin hx H⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[s] x
hu : ContinuousOn f (s ∩ u)
h' : x ∈ s ∩ u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 0 f (s ∩ u) x

Tactic:
(contDiffOn_zero.mpr hu).contDiffWithinAt h'

Premises used: Iff.mpr, contDiffOn_zero, ContDiffOn.contDiffWithinAt
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
H : u ∈ 𝓝[s] x
hu : ContinuousOn f (s ∩ u)
h' : x ∈ s ∩ u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 0 f (s ∩ u) x

Tactic:
exact (contDiffOn_zero.mpr hu).contDiffWithinAt h'

Premises used: Iff.mpr, contDiffOn_zero, ContDiffOn.contDiffWithinAt
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
zero_eq : ∀ x ∈ s, ContinuousMultilinearMap.curry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x 0) = f x
fderivWithin :
  ∀ (m : ℕ),
    (↑m : ℕ∞ω) < n →
      ∀ x ∈ s,
        HasFDerivWithinAt (𝕜 := 𝕜) (F := ContinuousMultilinearMap.{u, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin m) ↦ E) F)
          (fun (x : E) ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m)
          (ContinuousMultilinearMap.curryLeft (Ei := fun (i : Fin m.succ) ↦ E) (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m.succ)) s x
cont :
  ∀ (m : ℕ),
    (↑m : ℕ∞ω) ≤ n →
      ContinuousOn (Y := ContinuousMultilinearMap.{u, 0, uE, uF} 𝕜 (fun (i : Fin m) ↦ E) F)
        (fun (x : E) ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) s

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
zero_eq : x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.curry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x 0) = f x
⊢ x ∈ s → ContinuousMultilinearMap.curry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x 0) = f x

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
h_1 : x ∈ s
⊢ ContinuousMultilinearMap.curry0 (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x 0) = f x

Tactic:
simp only [ftaylorSeriesWithin, ContinuousMultilinearMap.curry0_apply,
      iteratedFDerivWithin_zero_apply]

Premises used: ContinuousMultilinearMap.curry0_apply, ftaylorSeriesWithin, iteratedFDerivWithin_zero_apply
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞ω) < n
x : E
hx : x ∈ s
⊢ (↑(m + 1) : ℕ∞ω) ≤ n

Tactic:
have : (m + 1 : ℕ) ≤ n := ENat.add_one_natCast_le_withTop_of_lt hm