-- Module: Mathlib.GroupTheory.PushoutI
Goal:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst : (i : ι) → Group (G i)
inst_1 : Group H
φ : (i : ι) → MonoidHom.{u_3, u_2} H (G i)
d : Transversal (G := G) φ
inst_2 : DecidableEq ι
inst_3 : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h_1 : H
hw :
  ∀ (i : ι) (g : G i),
    Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i g ∈ w.toList (M := G) →
      (↑((⋯.equiv (S := (↑(φ i).range : Set (G i))) (T := d.set (G := G) i) :
                  (a : G i) → (↑(↑(φ i).range : Set (G i)) : Type u_2) × (↑(d.set i) : Type u_2))
                g).2 :
          G i) =
        g
hφw :
  ∀ (j : ι) (g : G j),
    Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) j g ∈
        (HSMul.hSMul (α := CoprodI G)
              ((CoprodI.of (M := G) : (a : G i) → CoprodI G) ((φ i : (a : H) → G i) h_1) : CoprodI G) w).toList
          (M := G) →
      (↑((⋯.equiv (S := (↑(φ j).range : Set (G j))) (T := d.set (G := G) j) :
                  (a : G j) → (↑(↑(φ j).range : Set (G j)) : Type u_2) × (↑(d.set j) : Type u_2))
                g).2 :
          G j) =
        g
h : ∃ (h : w.toList (M := G) ≠ []), (w.toList (M := G).head h).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = i
pos :
  ∀ (w_1 : w.toList (M := G) ≠ [])
    (hφw :
      ∀ (j : ι) (g : G j),
        Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) j g ∈
            (HSMul.hSMul (α := CoprodI G)
                  ((CoprodI.of (M := G) : (a : G (w.toList.head w_1).fst) → CoprodI G)
                      ((φ ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) :
                          (a : H) → G (w.toList.head w_1).fst)
                        h_1) :
                    CoprodI G)
                  w).toList
              (M := G) →
          (↑((⋯.equiv (S := (↑(φ j).range : Set (G j))) (T := d.set (G := G) j) :
                      (a : G j) → (↑(↑(φ j).range : Set (G j)) : Type u_2) × (↑(d.set j) : Type u_2))
                    g).2 :
              G j) =
            g),
    Eq.{u_2 + 1} (α := G ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
      ((↑((equiv (S :=
                    (↑(MonoidHom.range (φ ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))) :
                      Set (G (w.toList.head w_1).fst)))
                    (T := d.set (G := G) ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i))) ⋯ :
                  (a : G (w.toList.head w_1).fst) →
                    (↑(↑(φ (w.toList.head w_1).fst).range : Set (G (w.toList.head w_1).fst)) : Type u_2) ×
                      (↑(d.set (w.toList.head w_1).fst) : Type u_2))
                (@Eq.rec _ _ (fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
                    ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i))
                    ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯ :
                  G ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))).2 :
          G ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i))) :
        G ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
      (@Eq.rec _ _ (fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
          ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i))
          ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯ :
        G ((w.toList (M := G).head w_1).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := G i)
    ((↑((⋯.equiv (S := (↑(φ i).range : Set (G i))) (T := d.set (G := G) i) :
                (a : G i) → (↑(↑(φ i).range : Set (G i)) : Type u_2) × (↑(d.set i) : Type u_2))
              (Eq.rec (motive := fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
                  ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯ :
                G i)).2 :
        G i) :
      G i)
    (Eq.rec (motive := fun (x : ι) (h : (w.toList (M := G).head ⋯).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) = x) ↦ G x)
        ((w.toList (M := G).head ⋯).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i)) ⋯ :
      G i)

Tactic:
rcases h with ⟨_, rfl⟩

Premises used: rfl