-- Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] K
ι : Type u_3
s : Finset ι
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q₁ q₂ : R[X]
r₁ r₂ : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr₁ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₁ i j).degree < (g i).degree
hr₂ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₂ i j).degree < (g i).degree
hf :
  HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₁ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₁ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K) =
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₂ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₂ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K)
q : R[X]
r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
i : ι
hi : i ∈ s
j : Fin (n i)
rw :
  gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1) * 1 * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₁ :
  gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1) * HPow.hPow (α := K) 1 (↑j : ℕ) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₂ :
  gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1) * HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) ^ (↑j : ℕ) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₃ :
  gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1) *
        (gi i ^ (↑j : ℕ) * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₄ :
  gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1) * gi i ^ (↑j : ℕ) *
        HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₅ :
  gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1 + (↑j : ℕ)) * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₆ :
  gi i ^ (n i - ((↑j : ℕ) + 1) + 1 + (↑j : ℕ)) *
        HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₇ :
  gi i ^ (n i - ((↑j : ℕ) + 1) + (↑j : ℕ) + 1) *
        HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₈ :
  gi i ^ (n i - ((↑j : ℕ) + 1) + ((↑j : ℕ) + 1)) *
        HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₉ :
  gi i ^ n i * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₁₀ :
  gi i ^ n i * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₁₁ :
  HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) ^ n i *
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₁₂ :
  HPow.hPow (α := K) 1 (n i) * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₁₃ :
  1 * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
rw₁₄ rw₁₅ :
  HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
⊢ gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1) * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)

Tactic:
rw [← mul_one (gi i ^ (j.rev.1 + 1)), ← @one_pow K _ j, ← hgi i hi,
    mul_pow, ← mul_assoc, ← pow_add, Fin.val_rev, Nat.add_right_comm, Nat.add_assoc,
    Nat.sub_add_cancel (by lia), mul_right_comm, ← mul_pow, hgi i hi, one_pow, one_mul]

Premises used: one_pow, mul_assoc, pow_add, Fin.val, Nat.sub_add_cancel, HPow.hPow, Fin.rev, HAdd.hAdd, mul_right_comm, Nat.add_assoc, mul_one, OfNat.ofNat, Fin.val_rev, mul_pow, one_mul, Nat.add_right_comm