-- Module: Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
refine_1 :
  Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
      ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
    MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
      HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
        (RingHom.ker (F :=
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
            HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
              Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
              (Ideal.span
                (Set.range (ι := D.rels)
                  (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)))))
          (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
            (Ideal.span
              (Set.range (ι := D.rels)
                (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))))
        2
refine_2 :
  AlgHom.comp
      (AlgHom.kerSquareLift
        (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
          (Ideal.span
            (Set.range (ι := D.rels)
              (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))))
      (Ideal.Quotient.liftₐ
        (Ideal.span
          (Set.range (ι := D.rels)
            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))
        (AlgHom.comp
          (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
            (HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
              (RingHom.ker (F :=
                MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
                  HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                    Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                    (Ideal.span
                      (Set.range (ι := D.rels)
                        (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                          ↥(subalgebra R D)))))
                (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
                  (Ideal.span
                    (Set.range (ι := D.rels)
                      (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                        ↥(subalgebra R D))))))
              2))
          (aeval p))
        ⋯) =
    AlgHom.id (↥(subalgebra R D))
      (Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
        ↥(subalgebra R D))
⊢ ∃ (σ₀ :
    Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
        ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
      MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
        HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
          (RingHom.ker (F :=
            MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
              HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                (Ideal.span
                  (Set.range (ι := D.rels)
                    (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                      ↥(subalgebra R D)))))
            (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
              (Ideal.span
                (Set.range (ι := D.rels)
                  (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                    ↥(subalgebra R D))))))
          2),
    AlgHom.comp
        (AlgHom.kerSquareLift
          (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
            (Ideal.span
              (Set.range (ι := D.rels)
                (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))))
        σ₀ =
      AlgHom.id (↥(subalgebra R D))
        (Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
          ↥(subalgebra R D))

Tactic:
refine ⟨?_, ?_⟩