-- Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] K
ι : Type u_3
s : Finset ι
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q₁ q₂ : R[X]
r₁ r₂ : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr₁ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₁ i j).degree < (g i).degree
hr₂ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₂ i j).degree < (g i).degree
hf :
  HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₁ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₁ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K) =
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₂ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₂ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K)
suffices suffices₁ suffices₂ suffices₃ :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∑ i ∈ s,
              ∑ j : Fin (n i),
                HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
            K) *
        ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
      (algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
        (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k)
suffices₄ :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
    HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) : K) +
        ∑ x ∈ s,
          ∑ i : Fin (n x),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r x i) : K) (gi x ^ ((↑i : ℕ) + 1)) *
              ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
      HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∏ x ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (n x) : K) +
        ∑ x ∈ s,
          ∑ x_1 : Fin (n x),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r x x_1.rev) : K)
                (HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (↑x_1 : ℕ)) *
              ∏ x ∈ s.erase x, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (n x)
suffices₅ :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]} (i : ι) (hi : i ∈ s),
    Eq.{u_2 + 1} (α := K)
      (∑ i_1 : Fin (n i),
        HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i i_1) : K) (gi i ^ ((↑i_1 : ℕ) + 1)) *
          ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i))
      (∑ x : Fin (n i),
        HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i x.rev) : K)
            (HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑x : ℕ)) *
          ∏ x ∈ s.erase i, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (n x))
suffices₆ :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]} (i : ι) (hi : i ∈ s) (j : Fin (n i)),
    HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i ((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) j)) : K)
          (gi i ^ ((↑((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) j) : ℕ) + 1)) *
        ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
      HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j.rev) : K)
          (HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)) *
        ∏ x ∈ s.erase i, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (n x)
suffices₇ :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]} (i : ι) (hi : i ∈ s) (j : Fin (n i)),
    HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j.rev) : K)
          (gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1) * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i)) *
        ∏ x ∈ s.erase i, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (n x) =
      HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j.rev) : K)
          (HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)) *
        ∏ x ∈ s.erase i, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (n x)
suffices₈ :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]} (i : ι) (hi : i ∈ s) (j : Fin (n i)),
    gi i ^ ((↑j.rev : ℕ) + 1) * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
      HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j : ℕ)
⊢ q₁ = q₂ ∧ ∀ i ∈ s, r₁ i = r₂ i

Tactic:
classical
  suffices hff : ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
      (algebraMap R[X] K q + ∑ i ∈ s, ∑ j,
        algebraMap R[X] K (r i j) * gi i ^ (j.1 + 1)) * ∏ i ∈ s, algebraMap R[X] K (g i) ^ n i =
      algebraMap R[X] K (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s,
        ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ j.1 * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k) by
    apply_fun (· * ∏ i ∈ s, algebraMap R[X] K (g i) ^ n i) at hf
    rw [hff, hff, (FaithfulSMul.algebraMap_injective R[X] K).eq_iff] at hf
    obtain ⟨hq, hr⟩ := quo_mul_prod_pow_add_sum_rem_mul_prod_pow_unique hg hgg
      (fun i hi j => hr₁ i hi j.rev) (fun i hi j => hr₂ i hi j.rev) hf
    exact ⟨hq, fun i hi => funext fun j => j.rev_rev ▸ congrFun (hr i hi) j.rev⟩
  intro q r
  simp_rw [add_mul, Finset.sum_mul, map_add, map_sum, map_mul, map_prod, map_pow]
  refine congrArg (_ + ·) (Finset.sum_congr rfl fun i hi => ?_)
  refine (Equiv.sum_comp Fin.revPerm _).symm.trans (Fintype.sum_congr _ _ fun j => ?_)
  rw [Fin.revPerm_apply, ← Finset.mul_prod_erase s _ hi, ← mul_assoc,
    mul_assoc (algebraMap R[X] K (r i j.rev))]
  refine congrArg (algebraMap R[X] K (r i j.rev) * · * _) ?_
  rw [← mul_one (gi i ^ (j.rev.1 + 1)), ← @one_pow K _ j, ← hgi i hi,
    mul_pow, ← mul_assoc, ← pow_add, Fin.val_rev, Nat.add_right_comm, Nat.add_assoc,
    Nat.sub_add_cancel (by lia), mul_right_comm, ← mul_pow, hgi i hi, one_pow, one_mul]

Premises used: one_pow, add_mul, congrArg, Equiv.sum_comp, mul_assoc, pow_add, map_add, Fintype.sum_congr, map_pow, map_sum, map_prod, Fin.revPerm_apply, map_mul, Nat.sub_add_cancel, HAdd.hAdd, mul_right_comm, Nat.add_assoc, Eq.symm, Fin.val_rev, mul_pow, Fin.revPerm, Finset.sum_congr, one_mul, rfl, Finset.sum_mul, Eq.trans, Nat.add_right_comm