awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
h : ContinuousOn f s
h' :
  ∀ (x : M) (y : M'),
    DifferentiableOn 𝕜
      ((↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv) : M' → E') ∘
        f ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M))
      ((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
        (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M) ⁻¹'
          (s ∩ f ⁻¹' (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv).source))
y : M'
h'' : ContinuousOn (↑I' : H' → E') univ
⊢ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv).source =
    (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source ∩
      (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)) : M' → H') ⁻¹' univ

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
h : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (y : M'),
      ContinuousOn ((↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv) : M' → E') ∘ f)
          (s ∩ f ⁻¹' (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv).source) ∧
        ∀ (x : M) (y_1 : E'),
          DifferentiableOn 𝕜
            ((↑(ModelWithCorners.toPartialEquiv 𝓘(𝕜, E')) : E' → E') ∘
              ((↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv) : M' → E') ∘ f) ∘
                (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M))
            ((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
              (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M) ⁻¹'
                (s ∩ f ⁻¹' (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv).source))) →
    ∀ (x : M) (y : M'),
      DifferentiableOn 𝕜
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv) : M' → E') ∘
          f ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M))
        ((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
          (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M) ⁻¹'
            (s ∩ f ⁻¹' (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv).source))

Tactic:
fun h' x y => (h' y).2 x 0

Premises used: And.right, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
h : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (y : M'),
      ContinuousOn ((↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv) : M' → E') ∘ f)
          (s ∩ f ⁻¹' (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv).source) ∧
        ∀ (x : M) (y_1 : E'),
          DifferentiableOn 𝕜
            ((↑(ModelWithCorners.toPartialEquiv 𝓘(𝕜, E')) : E' → E') ∘
              ((↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv) : M' → E') ∘ f) ∘
                (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M))
            ((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
              (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M) ⁻¹'
                (s ∩ f ⁻¹' (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv).source))) →
    ∀ (x : M) (y : M'),
      DifferentiableOn 𝕜
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv) : M' → E') ∘
          f ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M))
        ((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
          (↑(OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x) ≫ I.toPartialEquiv).symm : E → M) ⁻¹'
            (s ∩ f ⁻¹' (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y) ≫ I'.toPartialEquiv).source))

Tactic:
exact fun h' x y => (h' y).2 x 0
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
⊢ MDifferentiable I I' f ↔
    Continuous[inst_4, inst_9] f ∧
      ∀ (x : M) (y : M'),
        DifferentiableOn 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
          ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)

Tactic:
simp [← mdifferentiableOn_univ, mdifferentiableOn_iff, continuousOn_univ]

Premises used: mdifferentiableOn_iff, mdifferentiableOn_univ, continuousOn_univ
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
rw :
  (ContinuousOn f univ ∧
      ∀ (y : M'),
        MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) (univ ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ↔
    Continuous[inst_4, inst_9] f ∧
      ∀ (y : M'), MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
⊢ MDifferentiable I I' f ↔
    Continuous[inst_4, inst_9] f ∧
      ∀ (y : M'), MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)

Tactic:
rw [← mdifferentiableOn_univ, mdifferentiableOn_iff_target]

Premises used: mdifferentiableOn_iff_target, mdifferentiableOn_univ
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
⊢ (ContinuousOn f univ ∧
      ∀ (y : M'),
        MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) (univ ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ↔
    Continuous[inst_4, inst_9] f ∧
      ∀ (y : M'), MDifferentiableOn I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)

Tactic:
simp [continuousOn_univ]

Premises used: continuousOn_univ
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : n ≠ 0
h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
rwa : f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝[s] x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Tactic:
rwa [mdifferentiableWithinAt_inter'] at h

Premises used: mdifferentiableWithinAt_inter'
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : n ≠ 0
h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
apply : (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝 (f x)
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝[s] x

Tactic:
apply hf.1.preimage_mem_nhdsWithin

Premises used: ChartedSpace.LiftPropWithinAt.continuousWithinAt, ContinuousWithinAt.preimage_mem_nhdsWithin
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : n ≠ 0
h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝 (f x)

Tactic:
extChartAt_source_mem_nhds (f x)

Premises used: extChartAt_source_mem_nhds
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : n ≠ 0
h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝 (f x)

Tactic:
exact extChartAt_source_mem_nhds (f x)

Premises used: extChartAt_source_mem_nhds
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : n ≠ 0
suffices : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Tactic:
suffices h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x by
    rwa [mdifferentiableWithinAt_inter'] at h
    apply hf.1.preimage_mem_nhdsWithin
    exact extChartAt_source_mem_nhds (f x)
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : n ≠ 0
rw :
  ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x

Tactic:
rw [mdifferentiableWithinAt_iff]

Premises used: mdifferentiableWithinAt_iff
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : n ≠ 0
mfld_set_tac mfld_set_tac₁ mfld_set_tac₂ :
  ∀ ⦃my_y : E⦄,
    my_y ∈ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E) →
      my_y ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)
mfld_set_tac₃ mfld_set_tac₄ :
  ∀ ⦃my_y : E⦄,
    ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ((↑I.symm : E → H) my_y) ∈ s ∧
          f ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ((↑I.symm : E → H) my_y)) ∈
            (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (f x))).source) ∧
        my_y ∈ range (↑I : H → E) →
      my_y ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)
⊢ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E) ⊆
    (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)

Tactic:
mfld_set_tac
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : n ≠ 0
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)

Tactic:
exact ⟨hf.1.mono inter_subset_left, (hf.2.differentiableWithinAt hn).mono (by mfld_set_tac)⟩
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hn : n ≠ 0
⊢ MDifferentiableAt I I' f x

Tactic:
mdifferentiableWithinAt_univ.1 <| ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt hf hn

Premises used: mdifferentiableWithinAt_univ, ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
hn : n ≠ 0
⊢ MDifferentiableAt I I' f x

Tactic:
hf.contMDiffAt.mdifferentiableAt hn

Premises used: ContMDiffAt.mdifferentiableAt, ContMDiff.contMDiffAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
hn : n ≠ 0
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Tactic:
(hf.contMDiffAt.mdifferentiableAt hn).mdifferentiableWithinAt

Premises used: ContMDiffAt.mdifferentiableAt, MDifferentiableAt.mdifferentiableWithinAt, ContMDiff.contMDiffAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : WithTop ℕ∞
hf : ContMDiff I I' n f
hn : n ≠ 0
⊢ MDifferentiable I I' f

Tactic:
fun x => (hf x).mdifferentiableAt hn

Premises used: ContMDiffAt.mdifferentiableAt, MDifferentiable
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
h : MDifferentiableOn I I' f s
⊢ ContinuousOn f s

Tactic:
fun x hx => (h x hx).continuousWithinAt

Premises used: ContinuousOn, MDifferentiableWithinAt.continuousWithinAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
h : MDifferentiable I I' f
⊢ Continuous[inst_4, inst_9] f

Tactic:
continuous_iff_continuousAt.2 fun x => (h x).continuousAt

Premises used: Iff.mpr, MDifferentiableAt.continuousAt, continuous_iff_continuousAt
-- Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst_11 : NormedAddCommGroup E''
inst_12 : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst_13 : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst_14 : TopologicalSpace M''
inst_15 : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
h : ContinuousWithinAt f s x
_ :
  f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) x_2 =
            (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) x_2)
        x_1}
⊢ writtenInExtChartAt I I'' x
      (g ∘ f) =ᶠ[𝓝[(↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x) : M → E) x]
    writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f

Tactic:
apply
    @Filter.mem_of_superset _ _ (f ∘ (extChartAt I x).symm ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) _
      (extChartAt_preimage_mem_nhdsWithin
        (h.preimage_mem_nhdsWithin (extChartAt_source_mem_nhds _)))

Premises used: extChartAt_preimage_mem_nhdsWithin, ContinuousWithinAt.preimage_mem_nhdsWithin, extChartAt_source_mem_nhds, Filter.mem_of_superset