-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.StructureSheaf
Goal:
R M A : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : CommRing A
inst_4 : Algebra R A
P : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
U : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
r : ↥(sectionsSubalgebra R U)
a : (x : ↥U) → Localizations M (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))
ha_1 :
  Membership.mem (γ := Set ((x : ↥U) → Localizations M (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))))
    (AddSubsemigroup.carrier (AddSubmonoid.toAddSubsemigroup (Submodule.toAddSubmonoid (sectionsSubmodule M U)))) a
x : ↥U
V : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
hxV : (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ∈ V
hVU : V ⟶ U
rx rs : R
hr :
  ∀ (x : ↥V),
    ∃ (hs : rs ∉ (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal),
      Eq (α := Localizations R (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
        ((fun (x : ↥V) ↦
            (↑r : (x : ↥U) → Localizations R (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))) ((hVU : (a : ↥V) → ↥U) x))
          x)
        (LocalizedModule.mk rx
          (Subtype.mk (p := fun (x_1 : R) ↦ x_1 ∈ (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal.primeCompl) rs hs))
W : Opens (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)
hxW : (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ∈ W
hWU : W ⟶ U
ax : M
as : R
ha :
  ∀ (x : ↥W),
    ∃ (hs : as ∉ (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal),
      Eq (α := Localizations M (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
        ((fun (x : ↥W) ↦
            (a ((hWU : (a : ↥W) → ↥U) x) :
              Localizations (R := R) M (↑((hWU : (a : ↥W) → ↥U) x) : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))))
          x)
        (LocalizedModule.mk ax
          (Subtype.mk (p := fun (x_1 : R) ↦ x_1 ∈ (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal.primeCompl) as hs))
y : ↥(V ⊓ W)
hrsy :
  rs ∉
    (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ V) (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))
            ⋯) :
        (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal
hry :
  Eq (α :=
    Localizations R
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ V) (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))
            ⋯) :
        (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
    ((fun (x : ↥V) ↦
        (↑r : (x : ↥U) → Localizations R (↑x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))) ((hVU : (a : ↥V) → ↥U) x))
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ V) (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))
        ⋯))
    (LocalizedModule.mk rx
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦
        x ∈
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ V)
                    (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ⋯) :
                (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal.primeCompl)
        rs hrsy))
hasy :
  as ∉
    (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ W) (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))
            ⋯) :
        (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal
hay :
  Eq (α :=
    Localizations M
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ W) (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))
            ⋯) :
        (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
    ((fun (x : ↥W) ↦
        (a ((hWU : (a : ↥W) → ↥U) x) :
          Localizations (R := R) M (↑((hWU : (a : ↥W) → ↥U) x) : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))))
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ W) (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u))
        ⋯))
    (LocalizedModule.mk ax
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦
        x ∈
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ↦ x ∈ W)
                    (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)) ⋯) :
                (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal.primeCompl)
        as hasy))
⊢ ∃ (hs : as * rs ∉ (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal),
    Eq (α := Localizations M (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)))
      ((fun (x : ↥(V ⊓ W)) ↦ (r • a) ((homOfLE ⋯ : (a : ↥(V ⊓ W)) → ↥U) x)) y)
      (LocalizedModule.mk (rx • ax)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑y : (↑(PrimeSpectrum.Top R) : Type u)).asIdeal.primeCompl) (as * rs) hs))

Tactic:
⟨y.1.asIdeal.primeCompl.mul_mem hasy hrsy, congr($hry • $hay)⟩

Premises used: Submonoid.mul_mem, congrArg, id, congr, Exists.intro, HSMul.hSMul, Ideal.primeCompl, Subtype.val, PrimeSpectrum.asIdeal