-- Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.DirectLimitFG
Goal:
R : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R N
P : Submodule R M
hP : P.FG
t t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥P) N
h_1 :
  Eq (α :=
    Module.DirectLimit (R := R)
      (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
      fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
    (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
              (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
              (fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
              (Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) :
            TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑(Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) : Submodule R M))
                N →ₗ[R]
              Module.DirectLimit (R := R)
                (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
          (a : ↥P ⊗[R] N) →
            Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
              fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
        t :
      Module.DirectLimit (R := R)
        (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
        fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
    (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
              (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
              (fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
              (Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) :
            TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑(Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) : Submodule R M))
                N →ₗ[R]
              Module.DirectLimit (R := R)
                (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
          (a : ↥P ⊗[R] N) →
            Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
              fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
        t' :
      Module.DirectLimit (R := R)
        (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
        fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
Q : { P : Submodule R M // P.FG }
hPQ : Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP ≤ Q
h :
  Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)
    ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥(↑⟨P, hP⟩ : Submodule R M) ⊗[R] N) → ↥(↑Q : Submodule R M) ⊗[R] N) t :
      TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)
    ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥(↑⟨P, hP⟩ : Submodule R M) ⊗[R] N) → ↥(↑Q : Submodule R M) ⊗[R] N) t' :
      TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)
w : Submodule R M
w₁ : P ≤ (↑Q : Submodule R M)
left : (↑Q : Submodule R M).FG
right :
  Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)
    ((rTensor N (inclusion ⋯) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥(↑Q : Submodule R M) ⊗[R] N) t :
      TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)
    ((rTensor N (inclusion ⋯) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥(↑Q : Submodule R M) ⊗[R] N) t' :
      TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑Q : Submodule R M)) N)
⊢ ∃ (Q : Submodule R M) (hPQ : P ≤ Q),
    Q.FG ∧
      Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)

Tactic:
use Q.val, Subtype.coe_le_coe.mpr hPQ, Q.property

Premises used: Iff.mpr, Subtype.coe_le_coe, Subtype.val, Subtype.property