-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings
Goal:
R_1 : Type u₁
S_1 : Type u₂
inst : CommRing R_1
inst_1 : CommRing S_1
f_1 : R_1 →+* S_1
R : Type u₁
S : Type u₂
inst_2 : CommRing R
inst_3 : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R (↑Y : Type (max u₂ u_1)) := Module.compHom (↑Y : Type (max u₂ u_1)) f
x y : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑((restrictScalars f).obj Y) : Type (max u_1 u₂))
ih1 :
  (lift
          {
            toFun := fun (s : S) ↦
              { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ },
            map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
        (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (s • x) =
    HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          x :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
ih2 :
  (lift
          {
            toFun := fun (s : S) ↦
              { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ },
            map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
        (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (s • y) =
    HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          y :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
add :
  (lift
          {
            toFun := fun (s : S) ↦
              { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ },
            map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
        (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (s • x + s • y) =
    HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (x + y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
add₁ :
  HAdd.hAdd (α := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (s • x) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (s • y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1))) =
    HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (x + y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
add₂ :
  HAdd.hAdd (α := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (s • x) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (s • y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1))) =
    HSMul.hSMul (α := S) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
      (HAdd.hAdd (α := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            y :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))))
add₃ :
  HAdd.hAdd (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))))
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (s • y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1))) =
    HSMul.hSMul (α := S) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
      (HAdd.hAdd (α := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            y :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))))
add₄ :
  HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))) +
      HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            y :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))) =
    HSMul.hSMul (α := S) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
      (HAdd.hAdd (α := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            y :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))))
add₅ add₆ :
  HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))) +
      HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            y :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))) =
    HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1))) +
      HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
        ((lift
                {
                  toFun := fun (s : S) ↦
                    { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                      (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                  map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            y :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
⊢ (lift
          {
            toFun := fun (s : S) ↦
              { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ },
            map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
        (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (s • (x + y)) =
    HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) s : S)
      ((lift
              {
                toFun := fun (s : S) ↦
                  { toFun := fun (y : (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
                    (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) },
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : S →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : S ⊗[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (x + y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))

Tactic:
rw [smul_add, map_add, map_add, ih1, ih2, smul_add]

Premises used: map_add, smul_add