awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
⊢ 0 < δ

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
⊢ 0 < δ

Tactic:
have δpos : 0 < δ := by positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
⊢ a + d • y ∈ ball a ε

Tactic:
simp [dist_eq_norm, lt_of_le_of_lt ydlt.le (half_lt_self εpos)]

Premises used: half_lt_self, lt_of_le_of_lt, dist_eq_norm, LT.lt.le
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
⊢ a + d • y ∈ ball a ε

Tactic:
have : a + d • y ∈ ball a ε := by
      simp [dist_eq_norm, lt_of_le_of_lt ydlt.le (half_lt_self εpos)]
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
inr :
  ∀ (z₁ : F)
    (z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁)
    (h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ),
    ∃ (x : E), dist ((f : (a : E) → F) x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * (↑n : ℝ) * ‖y‖
⊢ ∃ (x : E), dist ((f : (a : E) → F) x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * (↑n : ℝ) * ‖y‖

Tactic:
rcases Metric.mem_closure_iff.1 (H this) _ δpos with ⟨z₁, z₁im, h₁⟩

Premises used: Metric.mem_closure_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ
inr :
  ∀ (x₁ : E) (hx₁ : Membership.mem (γ := Set E) (ball 0 (↑n : ℝ)) x₁) (xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁),
    ∃ (x : E), dist ((f : (a : E) → F) x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * (↑n : ℝ) * ‖y‖
⊢ ∃ (x : E), dist ((f : (a : E) → F) x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * (↑n : ℝ) * ‖y‖

Tactic:
rcases (mem_image _ _ _).1 z₁im with ⟨x₁, hx₁, xz₁⟩

Premises used: Set.mem_image, Iff.mp
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ
x₁ : E
hx₁ : Membership.mem (γ := Set E) (ball 0 (↑n : ℝ)) x₁
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
⊢ dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ

Tactic:
rw [← xz₁] at h₁
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ
x₁ : E
hx₁ : Membership.mem (γ := Set E) (ball 0 (↑n : ℝ)) x₁
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
h₂ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (ball 0 (↑n : ℝ)) x₁

Tactic:
rw [← xz₁] at h₁
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
h₁ : dist (a + d • y) z₁ < δ
x₁ : E
hx₁ : Membership.mem (γ := Set E) (ball 0 (↑n : ℝ)) x₁
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
h₂ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₂ : Membership.mem (γ := Set E) (ball 0 (↑n : ℝ)) x₁
⊢ (f : (a : E) → F) x₁ = z₁

Tactic:
rw [← xz₁] at h₁
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : Membership.mem (γ := Set E) (ball 0 (↑n : ℝ)) x₁
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
⊢ ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)

Tactic:
rw [mem_ball, dist_eq_norm, sub_zero] at hx₁

Premises used: dist_eq_norm, sub_zero, Metric.mem_ball
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : Membership.mem (γ := Set E) (ball 0 (↑n : ℝ)) x₁
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
hx₂ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
⊢ (f : (a : E) → F) x₁ = z₁

Tactic:
rw [mem_ball, dist_eq_norm, sub_zero] at hx₁

Premises used: dist_eq_norm, sub_zero, Metric.mem_ball
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
simp : 0 < ε
⊢ a ∈ ball a ε

Tactic:
simp only [mem_ball, dist_self]

Premises used: Metric.mem_ball, dist_self
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
⊢ 0 < ε

Tactic:
εpos
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
⊢ 0 < ε

Tactic:
exact εpos
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
⊢ a ∈ ball a ε

Tactic:
have : a ∈ ball a ε := by
      simp only [mem_ball, dist_self]
      exact εpos
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
inr :
  ∀ (z₂ : F)
    (z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂)
    (h₂ : dist a z₂ < δ),
    ∃ (x : E), dist ((f : (a : E) → F) x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * (↑n : ℝ) * ‖y‖
⊢ ∃ (x : E), dist ((f : (a : E) → F) x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * (↑n : ℝ) * ‖y‖

Tactic:
rcases Metric.mem_closure_iff.1 (H this) _ δpos with ⟨z₂, z₂im, h₂⟩

Premises used: Metric.mem_closure_iff, Iff.mp