-- Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.DirectLimitFG
Goal:
R : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R N
u : M ⊗[R] N
let let₁ let₂ :
  ∀ (P : { P : Submodule R M // P.FG }) (t : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
    (ht :
      Eq (α :=
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
          fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
        (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
                  (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                  (fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h)) P :
                TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N →ₗ[R]
                  Module.DirectLimit (R := R)
                    (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                    fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
              (a : ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N) →
                Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                  fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
            t :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
            fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
        ((LinearEquiv.symm (FG.rTensor.directLimit R M N) :
              (a : M ⊗[R] N) →
                Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                  fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
            u :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
            fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))),
    ∃ (P : Submodule R M), P.FG ∧ Membership.mem (γ := Submodule R (M ⊗[R] N)) (range (rTensor N P.subtype)) u
h :
  ∀ (P : { P : Submodule R M // P.FG }) (t : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
    (ht :
      Eq (α :=
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
          fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
        (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
                  (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                  (fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h)) P :
                TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N →ₗ[R]
                  Module.DirectLimit (R := R)
                    (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                    fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
              (a : ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N) →
                Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                  fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
            t :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
            fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
        ((LinearEquiv.symm (FG.rTensor.directLimit R M N) :
              (a : M ⊗[R] N) →
                Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                  fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
            u :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
            fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))),
    (rTensor N (↑P : Submodule R M).subtype : (a : ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N) → M ⊗[R] N) t = u
⊢ ∃ (P : Submodule R M), P.FG ∧ Membership.mem (γ := Submodule R (M ⊗[R] N)) (range (rTensor N P.subtype)) u

Tactic:
classical
  let ⟨P, t, ht⟩ := Module.DirectLimit.exists_of ((Submodule.FG.rTensor.directLimit R M N).symm u)
  use P.val, P.property, t
  rw [← Submodule.FG.rTensor.directLimit_apply, ht, LinearEquiv.apply_symm_apply]

Premises used: Submodule.FG.rTensor.directLimit_apply, LinearEquiv.apply_symm_apply