-- Module: Mathlib.NumberTheory.JacobiSum.Basic
Goal:
F : Type u_1
R : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Fintype F
n : ℕ
hn : 2 < n
χ ψ : MulChar F R
μ : R
hχ : χ ^ n = 1
hψ : ψ ^ n = 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
q : ℕ
hq : Fintype.card F = n * q + 1
z₁ : R
hz₁ : Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ] z₁
Hz₁ : (↑n : R) = z₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2
hχ₀ : ¬χ = 1
hψ₀ : ¬ψ = 1
this : NeZero n
H :
  ∀ (x : F),
    ∃ (z : R),
      Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ] z ∧
        HSub.hSub (α := R) (β := R) ((χ : (a : F) → R) x : R) (1 : R) *
            HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ψ : (a : F) → R) (1 - x) : R) (1 : R) =
          z * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2
Hcs :
  ∀ (x : F),
    Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ]
        (⋯.choose (p := fun (z : R) ↦
          Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ] z ∧
            HSub.hSub (α := R) (β := R) ((χ : (a : F) → R) x : R) (1 : R) *
                HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ψ : (a : F) → R) (1 - x) : R) (1 : R) =
              z * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2)) ∧
      HSub.hSub (α := R) (β := R) ((χ : (a : F) → R) x : R) (1 : R) *
          HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ψ : (a : F) → R) (1 - x) : R) (1 : R) =
        ⋯.choose (p := fun (z : R) ↦
            Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ] z ∧
              HSub.hSub (α := R) (β := R) ((χ : (a : F) → R) x : R) (1 : R) *
                  HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ψ : (a : F) → R) (1 - x) : R) (1 : R) =
                z * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2) *
          HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2
neg :
  HAdd.hAdd (α := R) 0 0 - (z₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2 * (↑q : R) + (↑1 : R)) +
      (∑ i ∈ univ \ {0, 1},
          ⋯.choose (p := fun (z : R) ↦
            Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ] z ∧
              HSub.hSub (α := R) (β := R) ((χ : (a : F) → R) i : R) (1 : R) *
                  HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ψ : (a : F) → R) (1 - i) : R) (1 : R) =
                z * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2)) *
        HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2 =
    -1 +
      (-(↑q : R) * z₁ +
          ∑ x ∈ univ \ {0, 1},
            ⋯.choose (p := fun (z : R) ↦
              Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ] z ∧
                HSub.hSub (α := R) (β := R) ((χ : (a : F) → R) x : R) (1 : R) *
                    HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ψ : (a : F) → R) (1 - x) : R) (1 : R) =
                  z * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2)) *
        HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2
⊢ HAdd.hAdd (α := R) 0 0 - (↑(n * q + 1) : R) +
      ∑ x ∈ univ \ {0, 1},
        ⋯.choose (p := fun (z : R) ↦
            Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ] z ∧
              HSub.hSub (α := R) (β := R) ((χ : (a : F) → R) x : R) (1 : R) *
                  HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ψ : (a : F) → R) (1 - x) : R) (1 : R) =
                z * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2) *
          HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2 =
    -1 +
      (-(↑q : R) * z₁ +
          ∑ x ∈ univ \ {0, 1},
            ⋯.choose (p := fun (z : R) ↦
              Membership.mem (γ := Subalgebra ℤ R) ℤ[μ] z ∧
                HSub.hSub (α := R) (β := R) ((χ : (a : F) → R) x : R) (1 : R) *
                    HSub.hSub (α := R) (β := R) ((ψ : (a : F) → R) (1 - x) : R) (1 : R) =
                  z * HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2)) *
        HPow.hPow (β := ℕ) (μ - 1) 2

Tactic:
rw [← Finset.sum_mul, Nat.cast_add, Nat.cast_mul, Hz₁]

Premises used: Nat.cast_add, Nat.cast_mul, Finset.sum_mul