awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
h : HasSum (fun (i : ℕ) ↦ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑i : ℝ) 2 * a ^ i) (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
⊢ HasSum B (L y)

Tactic:
apply HasSum.mul_left

Premises used: HasSum.mul_left
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
h : HasSum (fun (i : ℕ) ↦ (↑i : ℝ) * a ^ i + 2 * a ^ i) (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
⊢ HasSum (fun (i : ℕ) ↦ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑i : ℝ) 2 * a ^ i) (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))

Tactic:
simp only [add_mul]

Premises used: add_mul
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
⊢ ‖a‖ < 1

Tactic:
simp only [Real.norm_eq_abs, abs_of_pos ha.1, ha.2]

Premises used: And.right, And.left, abs_of_pos, Real.norm_eq_abs
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
⊢ ‖a‖ < 1

Tactic:
have : ‖a‖ < 1 := by simp only [Real.norm_eq_abs, abs_of_pos ha.1, ha.2]
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
this : ‖a‖ < 1
⊢ HasSum (fun (i : ℕ) ↦ (↑i : ℝ) * a ^ i + 2 * a ^ i) (a * (HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2)⁻¹ + 2 * (1 - a)⁻¹)

Tactic:
(hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one this).add
          ((hasSum_geometric_of_norm_lt_one this).mul_left 2)

Premises used: hasSum_geometric_of_norm_lt_one, HasSum.add, HasSum.mul_left, DivInvMonoid.div', hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
this : ‖a‖ < 1
⊢ HasSum (fun (i : ℕ) ↦ (↑i : ℝ) * a ^ i + 2 * a ^ i) (a * (HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2)⁻¹ + 2 * (1 - a)⁻¹)

Tactic:
exact (hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one this).add
          ((hasSum_geometric_of_norm_lt_one this).mul_left 2)

Premises used: hasSum_geometric_of_norm_lt_one, HasSum.add, HasSum.mul_left, hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
⊢ HasSum B (L y)

Tactic:
have hBL : HasSum B (L y) := by
      apply HasSum.mul_left
      simp only [add_mul]
      have : ‖a‖ < 1 := by simp only [Real.norm_eq_abs, abs_of_pos ha.1, ha.2]
      rw [div_eq_mul_inv, div_eq_mul_inv]
      exact (hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one this).add
          ((hasSum_geometric_of_norm_lt_one this).mul_left 2)
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
hBL : HasSum B (L y)
⊢ ‖HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F)‖ ≤ L y

Tactic:
hA.norm_le_of_bounded hBL hAB

Premises used: HasSum.norm_le_of_bounded
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r
A : ℕ → F :=
  fun (n : ℕ) ↦
    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.1 - x : F)
      ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ y.2 - x : F)
hA :
  HasSum (fun (n : ℕ) ↦ A (n + 2))
    (HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
B : ℕ → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 2 * a ^ n)
hAB : ∀ (n : ℕ), ‖A (n + 2)‖ ≤ B n
hBL : HasSum B (L y)
⊢ ‖HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F)‖ ≤ L y

Tactic:
exact hA.norm_le_of_bounded hBL hAB

Premises used: HasSum.norm_le_of_bounded
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
⊢ ∀ y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s,
    ‖HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F)‖ ≤ L y

Tactic:
have hL : ∀ y ∈ Metric.eball (x, x) r' ∩ ((insert x s) ×ˢ (insert x s)),
      ‖f y.1 - f y.2 - p 1 fun _ => y.1 - y.2‖ ≤ L y := by
    intro y ⟨hy', ys⟩
    have hy : y ∈ Metric.eball x r ×ˢ Metric.eball x r := by
      rw [Metric.eball_prod_same]
      exact Metric.eball_subset_eball hr.le hy'
    set A : ℕ → F := fun n => (p n fun _ => y.1 - x) - p n fun _ => y.2 - x
    have hA : HasSum (fun n => A (n + 2)) (f y.1 - f y.2 - p 1 fun _ => y.1 - y.2) := by
      convert!
        (hasSum_nat_add_iff' 2).2
          ((hf.hasSum_sub ⟨ys.1, hy.1⟩).sub (hf.hasSum_sub ⟨ys.2, hy.2⟩)) using 1
      rw [Finset.sum_range_succ, Finset.sum_range_one, hf.coeff_zero, hf.coeff_zero, sub_self,
        zero_add, ← Subsingleton.pi_single_eq (0 : Fin 1) (y.1 - x), Pi.single,
        ← Subsingleton.pi_single_eq (0 : Fin 1) (y.2 - x), Pi.single, ← (p 1).map_update_sub,
        ← Pi.single, Subsingleton.pi_single_eq, sub_sub_sub_cancel_right]
    rw [Metric.mem_eball, edist_eq_enorm_sub, enorm_lt_coe] at hy'
    set B : ℕ → ℝ := fun n => C * (a / r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * ((n + 2) * a ^ n)
    have hAB : ∀ n, ‖A (n + 2)‖ ≤ B n := fun n =>
      calc
        ‖A (n + 2)‖ ≤ ‖p (n + 2)‖ * ↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ ^ (n + 1) * ‖y.1 - y.2‖ := by
          simpa only [Fintype.card_fin, pi_norm_const, Prod.norm_def, Pi.sub_def,
            Prod.fst_sub, Prod.snd_sub, sub_sub_sub_cancel_right] using
            (p <| n + 2).norm_image_sub_le (fun _ => y.1 - x) fun _ => y.2 - x
        _ = ‖p (n + 2)‖ * ‖y - (x, x)‖ ^ n * (↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) := by
          rw [pow_succ ‖y - (x, x)‖]
          ring
        _ ≤ C * a ^ (n + 2) / r' ^ (n + 2)
            * r' ^ n * (↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) := by
          have : 0 < a := ha.1
          gcongr
          · apply hp
          · apply hy'.le
        _ = B n := by
          simp [field, B, pow_succ]
    have hBL : HasSum B (L y) := by
      apply HasSum.mul_left
      simp only [add_mul]
      have : ‖a‖ < 1 := by simp only [Real.norm_eq_abs, abs_of_pos ha.1, ha.2]
      rw [div_eq_mul_inv, div_eq_mul_inv]
      exact (hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one this).add
          ((hasSum_geometric_of_norm_lt_one this).mul_left 2)
    exact hA.norm_le_of_bounded hBL hAB
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
hL :
  ∀ y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s,
    ‖HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F)‖ ≤ L y
inr :
  IsBigO (F := ℝ) (𝓟 (Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s)) L fun (y : E × E) ↦
    ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
⊢ IsBigO.{u_2, u_3, 0} (E := F) (F := ℝ) (𝓟 (Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s))
    (fun (y : E × E) ↦
      HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F))
    fun (y : E × E) ↦ ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖

Tactic:
suffices L =O[𝓟 (Metric.eball (x, x) r' ∩ ((insert x s) ×ˢ (insert x s)))]
      fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖ from
    .trans (.of_norm_eventuallyLE (eventually_principal.2 hL)) this
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
hL :
  ∀ y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s,
    ‖HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F)‖ ≤ L y
inr :
  IsBigO (E := ℝ) (F := ℝ) (𝓟 (Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s))
    (fun (y : E × E) ↦
      C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a)) *
        (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖))
    fun (y : E × E) ↦ ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
⊢ IsBigO (F := ℝ) (𝓟 (Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s)) L fun (y : E × E) ↦
    ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖

Tactic:
simp_rw [L, mul_right_comm _ (_ * _)]

Premises used: HMul.hMul, mul_right_comm
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
hL :
  ∀ y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s,
    ‖HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F)‖ ≤ L y
⊢ IsBigO (E := ℝ) (F := ℝ) (𝓟 (Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s))
    (fun (y : E × E) ↦
      C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a)) *
        (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖))
    fun (y : E × E) ↦ ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖

Tactic:
(isBigO_refl _ _).const_mul_left _

Premises used: Asymptotics.IsBigO.const_mul_left, Asymptotics.isBigO_refl
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / (↑r' : ℝ) ^ n
L : E × E → ℝ :=
  fun (y : E × E) ↦
    C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) *
      (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a))
hL :
  ∀ y ∈ Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s,
    ‖HSub.hSub (β := F) (f y.1 - f y.2) ((p 1 : (a : (i : Fin 1) → E) → F) fun (x : Fin 1) ↦ y.1 - y.2 : F)‖ ≤ L y
⊢ IsBigO (E := ℝ) (F := ℝ) (𝓟 (Metric.eball (x, x) (↑r' : ℝ≥0∞) ∩ insert x s ×ˢ insert x s))
    (fun (y : E × E) ↦
      C * HPow.hPow (β := ℕ) (a / (↑r' : ℝ)) 2 * (a / HPow.hPow (β := ℕ) (1 - a) 2 + 2 / (1 - a)) *
        (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖))
    fun (y : E × E) ↦ ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖

Tactic:
exact (isBigO_refl _ _).const_mul_left _

Premises used: Asymptotics.IsBigO.const_mul_left, Asymptotics.isBigO_refl
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : r' < r
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall f p univ x r

Tactic:
rw [← hasFPowerSeriesWithinOnBall_univ] at hf

Premises used: hasFPowerSeriesWithinOnBall_univ
-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : r' < r
hf₁ : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p univ x r
⊢ r' < r

Tactic:
rw [← hasFPowerSeriesWithinOnBall_univ] at hf

Premises used: hasFPowerSeriesWithinOnBall_univ