awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
right :
  LE.le (α := ℝ)
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ‖x‖ ^ k *
        ((↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)))
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      1 *
        HMul.hMul (β := ℝ) ((↑(n.choose (n / 2)) : ℝ) * C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
          (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ))
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ‖x‖ ^ k *
        ((↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)) ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 *
      HMul.hMul (β := ℝ) ((↑(n.choose (n / 2)) : ℝ) * C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
        (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
rw [← this, Finset.sum_mul]

Premises used: Finset.sum_mul
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
⊢ LE.le (α := ℝ)
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ‖x‖ ^ k *
        ((↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)))
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      1 *
        HMul.hMul (β := ℝ) ((↑(n.choose (n / 2)) : ℝ) * C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
          (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ))

Tactic:
Finset.sum_le_sum fun i hi => ?_

Premises used: Finset.sum_le_sum
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
right :
  ∀ (i : ℕ) (hi : i ∈ Finset.range (n + 1)),
    ‖x‖ ^ k *
        ((↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)) ≤
      1 *
        HMul.hMul (β := ℝ) ((↑(n.choose (n / 2)) : ℝ) * C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
          (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)
⊢ LE.le (α := ℝ)
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ‖x‖ ^ k *
        ((↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)))
    (∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      1 *
        HMul.hMul (β := ℝ) ((↑(n.choose (n / 2)) : ℝ) * C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
          (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ))

Tactic:
refine Finset.sum_le_sum fun i hi => ?_

Premises used: Finset.sum_le_sum
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
right :
  ‖x‖ ^ k *
      ((↑(n.choose i) : ℝ) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
          (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) ((↑(n.choose (n / 2)) : ℝ) * C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)
⊢ ‖x‖ ^ k *
      ((↑(n.choose i) : ℝ) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
          (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)) ≤
    1 *
      HMul.hMul (β := ℝ) ((↑(n.choose (n / 2)) : ℝ) * C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
        (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
simp only [one_mul]

Premises used: one_mul
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
right :
  ‖x‖ ^ k *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
          (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) *
      (↑(n.choose i) : ℝ) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
        (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ) *
      (↑(n.choose (n / 2)) : ℝ)
⊢ ‖x‖ ^ k *
      ((↑(n.choose i) : ℝ) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
          (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) ((↑(n.choose (n / 2)) : ℝ) * C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)

Tactic:
move_mul [(Nat.choose n i : ℝ), (Nat.choose n (n / 2) : ℝ)]

Premises used: Nat.choose, HDiv.hDiv, Nat.cast, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
right :
  ‖x‖ ^ k *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
          (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
        (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
      (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ)
right₁ : LE.le (α := ℝ) (↑(n.choose i) : ℝ) (↑(n.choose (n / 2)) : ℝ)
⊢ ‖x‖ ^ k *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
        norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
          (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x) *
      (↑(n.choose i) : ℝ) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) (C * HPow.hPow (α := ℝ) 2 (l + k))
        (((Finset.Iic (l + k, n)).sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 D E) : (a : 𝓢(D, E)) → ℝ) f : ℝ) *
      (↑(n.choose (n / 2)) : ℝ)

Tactic:
gcongr ?_ * ?_
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
right : n.choose i ≤ n.choose (n / 2)
⊢ LE.le (α := ℝ) (↑(n.choose i) : ℝ) (↑(n.choose (n / 2)) : ℝ)

Tactic:
norm_cast
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ n.choose i ≤ n.choose (n / 2)

Tactic:
i.choose_le_middle n

Premises used: Nat.choose_le_middle
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ n.choose i ≤ n.choose (n / 2)

Tactic:
exact i.choose_le_middle n

Premises used: Nat.choose_le_middle
-- Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic
Goal:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_5 : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst_6 : NormedAddCommGroup D
inst_7 : NormedSpace ℝ D
inst_8 : NormedAddCommGroup G
inst_9 : NormedSpace ℝ G
inst_10 : NormedSpace 𝕜 F
inst_11 : NormedSpace 𝕜 E
inst_12 : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
g : D → F
hg : Function.HasTemperateGrowth g
k n l : ℕ
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hgrowth :
  ∀ N ≤ n,
    ∀ (x : D),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin N) ↦ D) F) (iteratedFDeriv ℝ N g x) ≤
        C * (1 + ‖x‖) ^ l
f : 𝓢(D, E)
x : D
hxk : 0 ≤ ‖x‖ ^ k
hnorm_mul :
  norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_7} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ D) G)
      (iteratedFDeriv ℝ n
        (fun (y : D) ↦
          (((ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B : (a : E) → F →L[ℝ] G) ((f : (a : D) → E) y) : F →L[ℝ] G) :
              (a : F) → G)
            (g y))
        x) ≤
    norm (E := E →L[ℝ] F →L[ℝ] G) (ContinuousLinearMap.bilinearRestrictScalars ℝ B) *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        (↑(n.choose i) : ℝ) *
            norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_5} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ D) E)
              (iteratedFDeriv ℝ i (⇑f : (a : D) → E) x) *
          norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_4, u_6} ℝ (fun (i : Fin (n - i)) ↦ D) F)
            (iteratedFDeriv ℝ (n - i) g x)
this : ∑ _x ∈ Finset.range (n + 1), 1 = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ n - i ≤ n

Tactic:
simp only [tsub_le_self]

Premises used: tsub_le_self