-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ (↑i : ι)
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm (↑i : ι) : (a : ι) → ι) (↑i : ι)
h_lin_ind :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι), (P.root : (a : ι) → M) k] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
inl :
  ∀ (x : ι)
    (hx :
      (P.root : (a : ι) → M) k =
        HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M)),
    HSub.hSub (α := R)
        (∑ x : ι,
          if
              (P.root : (a : ι) → M) k =
                HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) then
            HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R) 1 *
              HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R) 1
          else 0)
        (∑ x : ι,
          if
              (P.root : (a : ι) → M) k =
                HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) then
            HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R) 1 *
              HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R) 1
          else 0) =
      HSub.hSub (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R)
        (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R)
inr :
  ∀
    (h₁ :
      ∀ (a : ι),
        ¬(P.root : (a : ι) → M) k =
            HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) a : M)),
    HSub.hSub (α := R)
        (∑ x : ι,
          if
              (P.root : (a : ι) → M) k =
                HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) then
            HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R) 1 *
              HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R) 1
          else 0)
        (∑ x : ι,
          if
              (P.root : (a : ι) → M) k =
                HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) then
            HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R) 1 *
              HAdd.hAdd (α := R)
                (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R) 1
          else 0) =
      HSub.hSub (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R)
        (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R)
⊢ HSub.hSub (α := R)
      (∑ x : ι,
        if
            (P.root : (a : ι) → M) k =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) then
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R)
              1 *
            HAdd.hAdd (α := R)
              (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R) 1
        else 0)
      (∑ x : ι,
        if
            (P.root : (a : ι) → M) k =
              HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) then
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R)
              1 *
            HAdd.hAdd (α := R)
              (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R) 1
        else 0) =
    HSub.hSub (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R)
      (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k) : R)

Tactic:
rcases exists_or_forall_not (fun x ↦ P.root k = P.root i + P.root x) with ⟨x, hx⟩ | h₁

Premises used: RootPairing.root, HAdd.hAdd, Subtype.val, Eq, DFunLike.coe, exists_or_forall_not