awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 ≠ 0 ∨ Ne (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 0

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
hr : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 ≠ ∞
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 ≠ ∞ ∨ Ne (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) ∞

Tactic:
left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 ≠ ∞

Tactic:
finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ Tendsto
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 (HMul.hMul (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)))

Tactic:
have C : Tendsto (fun n : ℕ => ((N : ℝ≥0∞) / (N + 1)) ^ n * μ s) atTop (𝓝 (0 * μ s)) := by
      apply ENNReal.Tendsto.mul_const _ (Or.inr (measure_lt_top μ s).ne)
      apply ENNReal.tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one
      rw [ENNReal.div_lt_iff, one_mul]
      · conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]
        exact ENNReal.add_lt_add_left (ENNReal.natCast_ne_top N) zero_lt_one
      · simp
      · left; finiteness
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
C :
  Tendsto
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 (HMul.hMul (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)))
⊢ Tendsto (β := ℝ≥0∞)
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 0)

Tactic:
rw [zero_mul] at C

Premises used: MulZeroClass.zero_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
C :
  Tendsto (β := ℝ≥0∞)
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 0)
refine_3 :
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (⊥ : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (0 : ℝ≥0∞)

Tactic:
apply le_bot_iff.1

Premises used: le_bot_iff, Iff.mp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
C :
  Tendsto (β := ℝ≥0∞)
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 0)
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (⊥ : ℝ≥0∞)

Tactic:
le_of_tendsto_of_tendsto' tendsto_const_nhds C fun n => (A n).trans (B n)

Premises used: tendsto_const_nhds, le_of_tendsto_of_tendsto', LE.le.trans
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
C :
  Tendsto (β := ℝ≥0∞)
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 0)
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (⊥ : ℝ≥0∞)

Tactic:
exact le_of_tendsto_of_tendsto' tendsto_const_nhds C fun n => (A n).trans (B n)

Premises used: tendsto_const_nhds, le_of_tendsto_of_tendsto', LE.le.trans
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ PairwiseDisjoint (α := Set α) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2

Tactic:
(pairwiseDisjoint_iUnion ?_).2 fun n => (Pu n).1

Premises used: Iff.mpr, And.left, Set.pairwiseDisjoint_iUnion
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
refine_4 : Directed (fun (x1 x2 : Set (α × ℝ)) ↦ x1 ⊆ x2) fun (n : ℕ) ↦ (↑(u n) : Set (α × ℝ))
⊢ PairwiseDisjoint (α := Set α) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2

Tactic:
refine (pairwiseDisjoint_iUnion ?_).2 fun n => (Pu n).1

Premises used: Iff.mpr, And.left, Set.pairwiseDisjoint_iUnion
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
apply : ∀ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ)) ≤ (↑(u (n + 1)) : Set (α × ℝ))
⊢ Directed (fun (x1 x2 : Set (α × ℝ)) ↦ x1 ⊆ x2) fun (n : ℕ) ↦ (↑(u n) : Set (α × ℝ))

Tactic:
apply (monotone_nat_of_le_succ fun n => ?_).directed_le

Premises used: Monotone.directed_le, monotone_nat_of_le_succ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
rw : (↑(u n) : Set (α × ℝ)) ≤ (↑(F (u n)) : Set (α × ℝ))
⊢ (↑(u n) : Set (α × ℝ)) ≤ (↑(u (n + 1)) : Set (α × ℝ))

Tactic:
rw [← Nat.succ_eq_add_one, u_succ]

Premises used: Nat.succ_eq_add_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ (↑(u n) : Set (α × ℝ)) ≤ (↑(F (u n)) : Set (α × ℝ))

Tactic:
(hF (u n) (Pu n)).1

Premises used: Set.Subset, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ (↑(u n) : Set (α × ℝ)) ≤ (↑(F (u n)) : Set (α × ℝ))

Tactic:
exact (hF (u n) (Pu n)).1

Premises used: And.left