-- Module: Mathlib.Probability.StrongLaw
Goal:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace ℝ E
inst_3 : CompleteSpace E
inst_4 : MeasurableSpace E
inst_5 : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun (x1 x2 : Ω → E) ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this_1 : SeparableSpace.{u_2} (↑s : Type u_2)
this_2 : Nonempty.{u_2 + 1} (↑s : Type u_2)
φ : ℕ → SimpleFunc E E :=
  SimpleFunc.nearestPt fun (k : ℕ) ↦
    Nat.casesOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ E) k 0
      (Function.comp (β := (↑s : Type u_2)) (Subtype.val (p := fun (x : E) ↦ x ∈ s)) (denseSeq (↑s : Type u_2)))
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun (k i : ℕ) ↦ (⇑(φ k) : (a : E) → E) ∘ X i
A :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto.{0, u_2} (β := E) (fun (n : ℕ) ↦ HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω))
        atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
B :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) (↑n : ℝ)) atTop
        (𝓝 (∫ (x : Ω), (fun (ω : Ω) ↦ ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) x ∂μ))
ω : Ω
hω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto.{0, u_2} (β := E) (fun (n : ℕ) ↦ HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω))
      atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
h'ω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) (↑n : ℝ)) atTop
      (𝓝 (∫ (x : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) x‖ ∂μ))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ ∂μ < δ
this : ‖HSub.hSub (α := E) (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ) (∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ)‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) (↑n : ℝ) < δ
J :
  ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
n : ℕ
hn : HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) (↑n : ℝ) < δ
h'n : ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
i :
  ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ =
    ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, (X i ω - Y k i ω)) +
          (HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ) +
        HSub.hSub (α := E) (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ) (∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ)‖
i₁ :
  ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, (X i ω - Y k i ω))‖ +
        ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ +
      ‖HSub.hSub (α := E) (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ) (∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ)‖ ≤
    HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ i ∈ Finset.range n, ‖X i ω - Y k i ω‖) (↑n : ℝ) + δ + δ
i₂ : HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ i ∈ Finset.range n, ‖X i ω - Y k i ω‖) (↑n : ℝ) + δ + δ ≤ δ + δ + δ
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (↑n : ℝ)⁻¹ (∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ < ε

Tactic:
calc
  ‖(n : ℝ)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω - μ[X 0]‖
    = ‖(n : ℝ)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, (X i ω - Y k i ω) +
        ((n : ℝ)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - μ[Y k 0]) + (μ[Y k 0] - μ[X 0])‖ := by
      congr
      simp only [sum_sub_distrib, smul_sub]
      abel
  _ ≤ ‖(n : ℝ)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, (X i ω - Y k i ω)‖ +
        ‖(n : ℝ)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - μ[Y k 0]‖ + ‖μ[Y k 0] - μ[X 0]‖ :=
      norm_add₃_le
  _ ≤ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖X i ω - Y k i ω‖) / n + δ + δ := by
      gcongr
      simp only [norm_smul, norm_inv, RCLike.norm_natCast,
        div_eq_inv_mul]
      gcongr
      exact norm_sum_le _ _
  _ ≤ δ + δ + δ := by
      gcongr
      exact hn.le
  _ < ε := hδ

Premises used: Norm.norm, norm_add₃_le, HSub.hSub, Nat.cast, Finset.range, Inv.inv, MeasureTheory.integral, HSMul.hSMul, OfNat.ofNat, Finset.sum