awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
rw :
  ‖d⁻¹‖ * ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ =
    ‖d‖⁻¹ * ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖
rw₁ rw₂ :
  ‖d‖⁻¹ * ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ =
    ‖d‖⁻¹ * ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖
⊢ ‖d⁻¹ • HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ =
    ‖d‖⁻¹ * ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖

Tactic:
rw [norm_smul, norm_inv]

Premises used: norm_smul, norm_inv
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
ha : 0 ≤ ‖d‖⁻¹
⊢ ‖d‖⁻¹ * ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ ‖d‖⁻¹ * (2 * δ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
simp : HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 2 2 = 4
⊢ ‖d‖⁻¹ * (2 * δ) = 1 / 2 * ‖y‖

Tactic:
simp [δ, field]
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
⊢ HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 2 2 = 4

Tactic:
norm_num
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
⊢ ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x) : F)
        y‖ ≤
    1 / 2 * ‖y‖

Tactic:
have J : ‖f (σ' d⁻¹ • x) - y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖ :=
      calc
        ‖f (σ' d⁻¹ • x) - y‖ = ‖d⁻¹ • f x - (d⁻¹ * d) • y‖ := by
          rwa [f.map_smulₛₗ _, inv_mul_cancel₀, one_smul, map_inv₀, map_inv₀,
            RingHomCompTriple.comp_apply, RingHom.id_apply]
        _ = ‖d⁻¹ • (f x - d • y)‖ := by rw [mul_smul, smul_sub]
        _ = ‖d‖⁻¹ * ‖f x - d • y‖ := by rw [norm_smul, norm_inv]
        _ ≤ ‖d‖⁻¹ * (2 * δ) := by gcongr
        _ = 1 / 2 * ‖y‖ := by simp [δ, field]; norm_num
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
J :
  ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x) : F)
        y‖ ≤
    1 / 2 * ‖y‖
⊢ dist ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖

Tactic:
rw [← dist_eq_norm] at J

Premises used: dist_eq_norm
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
J : dist ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
rw : norm.{u_1} (E := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) * ‖x‖ = ‖d‖⁻¹ * ‖x₁ - x₂‖
rw₁ : ‖d⁻¹‖ * ‖x‖ = ‖d‖⁻¹ * ‖x₁ - x₂‖
rw₂ rw₃ : ‖d‖⁻¹ * ‖x‖ = ‖d‖⁻¹ * ‖x₁ - x₂‖
⊢ ‖HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x‖ = ‖d‖⁻¹ * ‖x₁ - x₂‖

Tactic:
rw [norm_smul, RingHomIsometric.norm_map, norm_inv]

Premises used: norm_smul, norm_inv, RingHomIsometric.norm_map
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
J : dist ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
h₃ : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * ‖y‖
h₄ : ‖x₁ - x₂‖ ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) (↑n : ℝ)
⊢ ‖d‖⁻¹ * ‖x₁ - x₂‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * ‖y‖ * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) (↑n : ℝ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
J : dist ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * ‖y‖

Tactic:
simpa using dinv
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
J : dist ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖x₁‖ + ‖x₂‖ ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) (↑n : ℝ)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
J : dist ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ ‖x₁ - x₂‖ ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) (↑n : ℝ)

Tactic:
exact le_trans (norm_sub_le _ _) (by gcongr)

Premises used: norm_sub_le, le_trans
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Banach
Goal:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst_6 : RingHomInvPair σ σ'
inst_7 : RingHomIsometric σ
inst_8 : RingHomIsometric σ'
inst_9 : CompleteSpace F
surj : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := E) (β := F) (⇑f : (a : E) → F)
A :
  Eq.{u_4 + 1} (α := Set F)
    (⋃ (n : ℕ),
      closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
        (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))))
    Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H :
  ball a ε ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ)))
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜')
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * norm.{u_2} (E := 𝕜') ((σ : (a : 𝕜) → 𝕜') c : 𝕜') * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this_1 : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₁
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) ((f : (a : E) → F) x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < (↑n : ℝ)
xz₁ : (f : (a : E) → F) x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : Membership.mem (γ := Set F) (Set.image.{u_3, u_4} (α := E) (⇑f : (a : E) → F) (ball 0 (↑n : ℝ))) z₂
x₂ : E
h₂ : dist a ((f : (a : E) → F) x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < (↑n : ℝ)
xz₂ : (f : (a : E) → F) x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖HSub.hSub (α := F) ((f : (a : E) → F) x : F) (d • y)‖ ≤ 2 * δ
J : dist ((f : (a : E) → F) (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := 𝕜) ((σ' : (a : 𝕜') → 𝕜) d⁻¹ : 𝕜) x)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖
⊢ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * ‖y‖ * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) (↑n : ℝ) = (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * (↑n : ℝ) * ‖y‖

Tactic:
ring