-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x y : (↑(s p) : Type)
i : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x) : ℕ)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Ψ x)) : ℕ)
j : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) y) : ℕ)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Ψ y)) : ℕ)
this_1 :
  (F p).snd (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x)
      ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) y) =
    ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋
Ap :
  (F p).snd (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (⟨i, hip⟩ : Fin ((F p).fst (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ)))
      (⟨j, hjp⟩ : Fin ((F p).fst (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ))) =
    ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋
this_2 :
  (F q).snd (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ)
      ((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Ψ x))
      ((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Ψ y)) =
    ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
Aq :
  (F q).snd (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (⟨i, hiq⟩ : Fin ((F q).fst (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ)))
      (⟨j, hjq⟩ : Fin ((F q).fst (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ))) =
    ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
I : ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ 1
x₁ : |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = ε * (ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|)
x₂ : ε * (ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|) ≤ ε * 1
⊢ |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε

Tactic:
calc
        |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|
        _ = ε * (ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|) := by
            #adaptation_note /-- Before https://github.com/leanprover/lean4/pull/13166
            (replacing grind's canonicalizer with a type-directed normalizer), `grind` closed
            this goal. It is not yet clear whether this is due to defeq abuse in Mathlib or a
            problem in the new canonicalizer; a minimization would help. The original proof was:
            `grind` -/
            field_simp
        _ ≤ ε * 1 := by gcongr
        _ = ε := mul_one _

Premises used: HMul.hMul, abs, HSub.hSub, Inv.inv, Dist.dist, mul_one