awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
refine : hausdorffEDist (↑(s (n + l)) : Set α) (↑(s (n + l + 1)) : Set α) < B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l
⊢ ∃ z' ∈ s (n + l + 1), edist (↑z : α) z' < B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l

Tactic:
refine exists_edist_lt_of_hausdorffEDist_lt (s := s (n + l)) z.2 ?_

Premises used: Metric.exists_edist_lt_of_hausdorffEDist_lt
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
simp : hausdorffEDist (↑(s (n + l)) : Set α) (↑(s (n + l + 1)) : Set α) < B n * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ l
⊢ hausdorffEDist (↑(s (n + l)) : Set α) (↑(s (n + l + 1)) : Set α) < B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l

Tactic:
simp only [ENNReal.inv_pow, div_eq_mul_inv]

Premises used: div_eq_mul_inv, ENNReal.inv_pow
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
rw : hausdorffEDist (↑(s (n + l)) : Set α) (↑(s (n + l + 1)) : Set α) < HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ (n + l)
⊢ hausdorffEDist (↑(s (n + l)) : Set α) (↑(s (n + l + 1)) : Set α) < B n * HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ l

Tactic:
rw [← pow_add]

Premises used: pow_add
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
a : n + l ≤ n + l
a₁ : n + l ≤ n + l + 1
⊢ hausdorffEDist (↑(s (n + l)) : Set α) (↑(s (n + l + 1)) : Set α) < HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ (n + l)

Tactic:
apply hs
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
⊢ n + l ≤ n + l

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
⊢ n + l ≤ n + l + 1

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
obtain :
  ∀ (z' : α) (z'_mem : z' ∈ s (n + l + 1)) (hz' : edist (↑z : α) z' < B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l),
    ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l
⊢ ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l

Tactic:
obtain ⟨z', z'_mem, hz'⟩ : ∃ z' ∈ s (n + l + 1), edist (z : α) z' < B n / 2 ^ l := by
          refine exists_edist_lt_of_hausdorffEDist_lt (s := s (n + l)) z.2 ?_
          simp only [ENNReal.inv_pow, div_eq_mul_inv]
          rw [← pow_add]
          apply hs <;> simp

Premises used: HAdd.hAdd, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
z' : α
z'_mem : z' ∈ s (n + l + 1)
hz' : edist (↑z : α) z' < B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l
⊢ ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l

Tactic:
⟨⟨z', z'_mem⟩, le_of_lt hz'⟩

Premises used: le_of_lt, Subtype.mk, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
l : ℕ
z : ↥(s (n + l))
z' : α
z'_mem : z' ∈ s (n + l + 1)
hz' : edist (↑z : α) z' < B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l
⊢ ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l

Tactic:
exact ⟨⟨z', z'_mem⟩, le_of_lt hz'⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
⊢ ∀ (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))), ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l

Tactic:
have : ∀ (l) (z : s (n + l)), ∃ z' : s (n + l + 1), edist (z : α) z' ≤ B n / 2 ^ l := by
        intro l z
        obtain ⟨z', z'_mem, hz'⟩ : ∃ z' ∈ s (n + l + 1), edist (z : α) z' < B n / 2 ^ l := by
          refine exists_edist_lt_of_hausdorffEDist_lt (s := s (n + l)) z.2 ?_
          simp only [ENNReal.inv_pow, div_eq_mul_inv]
          rw [← pow_add]
          apply hs <;> simp
        exact ⟨⟨z', z'_mem⟩, le_of_lt hz'⟩
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
this :
  ∀ (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))), ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l
h :
  (↑((fun (k : ℕ) ↦
              (Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) k
                  (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s (n + Nat.zero)) x hx) fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                  ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                    edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l) :
                ↥(s (n + k))))
            0) :
        α) =
      x ∧
    ∀ (k : ℕ),
      edist.{u_1} (α := α)
          (↑((fun (k : ℕ) ↦
                  (Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) k
                      (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s (n + Nat.zero)) x hx) fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                      ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                        edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l) :
                    ↥(s (n + k))))
                k) :
            α)
          (↑((fun (k : ℕ) ↦
                  (Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) k
                      (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s (n + Nat.zero)) x hx) fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                      ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                        edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l) :
                    ↥(s (n + k))))
                (k + 1)) :
            α) ≤
        B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k
⊢ ∃ (z : (l : ℕ) → ↥(s (n + l))),
    (↑(z 0) : α) = x ∧ ∀ (k : ℕ), edist (↑(z k) : α) (↑(z (k + 1)) : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k

Tactic:
use fun k => Nat.recOn k ⟨x, hx⟩ fun l z => (this l z).choose
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
this :
  ∀ (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))), ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l
h :
  ∀ (k : ℕ),
    edist
        (↑(Nat.rec (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s n) x hx)
              (fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                  edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l))
              k) :
          α)
        (↑(Exists.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + k + 1))) ↦
              edist
                  (↑(Nat.rec (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s n) x hx)
                        (fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                          ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                            edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l))
                        k) :
                    α)
                  (↑z' : α) ≤
                B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k)
              ⋯) :
          α) ≤
      B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k
⊢ (↑((fun (k : ℕ) ↦
              (Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) k
                  (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s (n + Nat.zero)) x hx) fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                  ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                    edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l) :
                ↥(s (n + k))))
            0) :
        α) =
      x ∧
    ∀ (k : ℕ),
      edist.{u_1} (α := α)
          (↑((fun (k : ℕ) ↦
                  (Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) k
                      (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s (n + Nat.zero)) x hx) fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                      ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                        edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l) :
                    ↥(s (n + k))))
                k) :
            α)
          (↑((fun (k : ℕ) ↦
                  (Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) k
                      (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s (n + Nat.zero)) x hx) fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                      ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                        edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l) :
                    ↥(s (n + k))))
                (k + 1)) :
            α) ≤
        B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k

Tactic:
simp only [Nat.add_zero, Nat.rec_zero, true_and]

Premises used: Nat.rec_zero, Nat.add_zero, true_and
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
this :
  ∀ (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))), ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l
⊢ ∀ (k : ℕ),
    edist
        (↑(Nat.rec (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s n) x hx)
              (fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                  edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l))
              k) :
          α)
        (↑(Exists.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + k + 1))) ↦
              edist
                  (↑(Nat.rec (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s n) x hx)
                        (fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                          ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                            edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l))
                        k) :
                    α)
                  (↑z' : α) ≤
                B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k)
              ⋯) :
          α) ≤
      B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k

Tactic:
fun k => (this k _).choose_spec

Premises used: Exists.choose_spec, Nat.rec, Subtype.mk, Exists.choose
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
this :
  ∀ (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))), ∃ (z' : ↥(s (n + l + 1))), edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l
⊢ ∀ (k : ℕ),
    edist
        (↑(Nat.rec (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s n) x hx)
              (fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                  edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l))
              k) :
          α)
        (↑(Exists.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + k + 1))) ↦
              edist
                  (↑(Nat.rec (motive := fun (x : ℕ) ↦ ↥(s (n + x))) (Subtype.mk (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s n) x hx)
                        (fun (l : ℕ) (z : ↥(s (n + l))) ↦
                          ⋯.choose (p := fun (z' : ↥(s (n + l + 1))) ↦
                            edist (↑z : α) (↑z' : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 l))
                        k) :
                    α)
                  (↑z' : α) ≤
                B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k)
              ⋯) :
          α) ≤
      B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k

Tactic:
exact fun k => (this k _).choose_spec

Premises used: Exists.choose_spec
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
obtain :
  ∀ (z : (l : ℕ) → ↥(s (n + l))) (hz₀ : (↑(z 0) : α) = x)
    (hz : ∀ (k : ℕ), edist (↑(z k) : α) (↑(z (k + 1)) : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k),
    ∃ y ∈ t0, edist x y ≤ 2 * B n
⊢ ∃ y ∈ t0, edist x y ≤ 2 * B n

Tactic:
obtain ⟨z, hz₀, hz⟩ :
      ∃ z : ∀ l, s (n + l), (z 0 : α) = x ∧ ∀ k, edist (z k : α) (z (k + 1) : α) ≤ B n / 2 ^ k := by
      -- We prove existence of the sequence by induction.
      have : ∀ (l) (z : s (n + l)), ∃ z' : s (n + l + 1), edist (z : α) z' ≤ B n / 2 ^ l := by
        intro l z
        obtain ⟨z', z'_mem, hz'⟩ : ∃ z' ∈ s (n + l + 1), edist (z : α) z' < B n / 2 ^ l := by
          refine exists_edist_lt_of_hausdorffEDist_lt (s := s (n + l)) z.2 ?_
          simp only [ENNReal.inv_pow, div_eq_mul_inv]
          rw [← pow_add]
          apply hs <;> simp
        exact ⟨⟨z', z'_mem⟩, le_of_lt hz'⟩
      use fun k => Nat.recOn k ⟨x, hx⟩ fun l z => (this l z).choose
      simp only [Nat.add_zero, Nat.rec_zero, true_and]
      exact fun k => (this k _).choose_spec
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
z : (l : ℕ) → ↥(s (n + l))
hz₀ : (↑(z 0) : α) = x
hz : ∀ (k : ℕ), edist (↑(z k) : α) (↑(z (k + 1)) : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k
⊢ CauchySeq.{u_1, 0} (α := α) fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)

Tactic:
have : CauchySeq fun k => (z k : α) := cauchySeq_of_edist_le_geometric_two (B n) (B_ne_top n) hz
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
z : (l : ℕ) → ↥(s (n + l))
hz₀ : (↑(z 0) : α) = x
hz : ∀ (k : ℕ), edist (↑(z k) : α) (↑(z (k + 1)) : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k
this : CauchySeq.{u_1, 0} (α := α) fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)
rcases : ∀ (y : α) (y_lim : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)) atTop (𝓝 y)), ∃ y ∈ t0, edist x y ≤ 2 * B n
⊢ ∃ y ∈ t0, edist x y ≤ 2 * B n

Tactic:
rcases cauchySeq_tendsto_of_complete this with ⟨y, y_lim⟩

Premises used: cauchySeq_tendsto_of_complete
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
z : (l : ℕ) → ↥(s (n + l))
hz₀ : (↑(z 0) : α) = x
hz : ∀ (k : ℕ), edist (↑(z k) : α) (↑(z (k + 1)) : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k
this : CauchySeq.{u_1, 0} (α := α) fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)
y : α
y_lim : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)) atTop (𝓝 y)
h : y ∈ t0 ∧ edist x y ≤ 2 * B n
⊢ ∃ y ∈ t0, edist x y ≤ 2 * B n

Tactic:
use y
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
z : (l : ℕ) → ↥(s (n + l))
hz₀ : (↑(z 0) : α) = x
hz : ∀ (k : ℕ), edist (↑(z k) : α) (↑(z (k + 1)) : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k
this : CauchySeq.{u_1, 0} (α := α) fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)
y : α
y_lim : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)) atTop (𝓝 y)
k : ℕ
simp : ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, ∃ i ≥ k, (↑(z b) : α) ∈ (↑(s i) : Set α)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ k), (↑(s m) : Set α)) (↑(z x) : α)

Tactic:
simp only [exists_prop, Set.mem_iUnion, Filter.eventually_atTop]

Premises used: Set.mem_iUnion, exists_prop, Filter.eventually_atTop
-- Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Closeds
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst : EMetricSpace α
inst_1 : EMetricSpace β
s_1 : Set α
inst_2 : CompleteSpace α
B : ℕ → ℝ≥0∞ := fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2⁻¹ n
B_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < B n
B_ne_top : ∀ (n : ℕ), B n ≠ ∞
s : ℕ → Closeds α
hs : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → edist (s n) (s m) < B N
t0 : Set α :=
  ⋂ (n : ℕ), closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (⋃ (m : ℕ), ⋃ (_ : m ≥ n), (↑(s m) : Set α))
t : Closeds α := { carrier := t0, isClosed' := ⋯ }
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s n
z : (l : ℕ) → ↥(s (n + l))
hz₀ : (↑(z 0) : α) = x
hz : ∀ (k : ℕ), edist (↑(z k) : α) (↑(z (k + 1)) : α) ≤ B n / HPow.hPow (α := ℝ≥0∞) 2 k
this : CauchySeq.{u_1, 0} (α := α) fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)
y : α
y_lim : Tendsto (fun (k : ℕ) ↦ (↑(z k) : α)) atTop (𝓝 y)
k m : ℕ
hm : m ≥ k
⊢ n + m ≥ k

Tactic:
lia