-- Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n_1 : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n_1 ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) → F :=
  fun (s : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
    ((p.changeOriginSeriesTerm (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))
              (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                { s_1 :
                  Finset (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                  s_1.card = l }))
              (↑(s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).snd (β := fun (l : ℕ) ↦
                    { s_1 :
                      Finset
                        (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                      s_1.card = l })) :
                Finset (Fin (s.fst + s.snd.fst)))
              ⋯ :
            (a : (i : Fin s.snd.fst) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin s.fst) ↦ E) F)
          fun
            (x_1 :
              Fin
                (s.snd (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }).fst (β := fun (l : ℕ) ↦
                  { s_1 :
                    Finset
                      (Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) + l)) //
                    s_1.card = l }))) ↦
          x :
        (a : (i : Fin s.fst) → E) → F)
      fun (x : Fin (s.fst (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }))) ↦ y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl :
  ∀ (k l : ℕ),
    HasSum.{u_3, 0} (α := F)
      (fun (x : { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
        f
          (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) k
            (Sigma.mk (β := fun (l : ℕ) ↦ { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) l x)))
      (((p.changeOriginSeries k l : (a : (i : Fin l) → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin k) ↦ E) F)
              fun (x_1 : Fin l) ↦ x :
            (a : (i : Fin k) → E) → F)
          fun (x : Fin k) ↦ y :
        F)
hfk :
  ∀ (k : ℕ),
    HasSum.{u_3, 0} (α := F)
      (fun (x : (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) ↦
        f (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l }) k x))
      ((p.changeOrigin x k : (a : (i : Fin k) → E) → F) fun (x : Fin k) ↦ y : F)
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
n : ℕ
rw :
  HasSum.{u_3, 0} (α := F)
    (fun (c : Finset (Fin n)) ↦
      Function.comp (α := (n : ℕ) × Finset (Fin n)) f
        (⇑changeOriginIndexEquiv.symm :
          (a : (n : ℕ) × Finset (Fin n)) → (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l })
        (Sigma.mk (β := fun (b : ℕ) ↦ Finset (Fin b)) n c))
    (∑ s : Finset (Fin n),
      (p n : (a : (i : Fin n) → E) → F)
        (s.piecewise (π := fun (i : Fin n) ↦ E) (fun (x_1 : Fin n) ↦ x) fun (x : Fin n) ↦ y))
⊢ HasSum.{u_3, 0} (α := F)
    (fun (c : Finset (Fin n)) ↦
      Function.comp (α := (n : ℕ) × Finset (Fin n)) f
        (⇑changeOriginIndexEquiv.symm :
          (a : (n : ℕ) × Finset (Fin n)) → (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s : Finset (Fin (k + l)) // s.card = l })
        (Sigma.mk (β := fun (b : ℕ) ↦ Finset (Fin b)) n c))
    ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x_1 : Fin n) ↦ x + y : F)

Tactic:
rw [← Pi.add_def, (p n).map_add_univ (fun _ ↦ x) fun _ ↦ y]

Premises used: ContinuousMultilinearMap.map_add_univ, Pi.add_def