-- Module: Mathlib.Algebra.Homology.ConcreteCategory
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst_1 : (X Y : C) → FunLike.{u_1 + 1, v + 1, v + 1} (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst_2 : ConcreteCategory C FC (CC := CC)
inst_3 :
  HasForget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
    (CD := AddCommGrpCat.carrier)
inst_4 : Abelian.{v, u} C
inst_5 :
  Functor.Additive
    (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
      (CD := AddCommGrpCat.carrier))
inst_6 :
  Functor.PreservesHomology
    (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
      (CD := AddCommGrpCat.carrier))
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex.{v, u, u_2} C c
i : ι
x :
  (↑(Functor.obj
        (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (K.X i)) :
    Type v)
hx :
  Eq (α :=
    (↑(Functor.obj
          (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
            (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          (K.X (c.next i))) :
      Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X :=
            Functor.obj
              (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦
                (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              (K.X i))
            (Y :=
            Functor.obj
              (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦
                (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              (K.X (c.next i)))
            (CategoryTheory.Functor.map
              (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦
                (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
              (K.d i (c.next i))) :
          (a : (↑((forget₂ C Ab).obj (K.X i)) : Type v)) → (↑((forget₂ C Ab).obj (K.X (c.next i))) : Type v))
        x :
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦
              (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            (K.X (c.next i))) :
        Type v))
    (0 :
      (↑(Functor.obj
            (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦
              (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            (K.X (c.next i))) :
        Type v))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (X :=
          Functor.obj
            (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦
              (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            (K.cycles i))
          (CategoryTheory.Functor.map
            (forget₂ C (FC := FC) (CC := CC) Ab (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦
              (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
            (K.iCycles i)) :
        (a : (↑((forget₂ C Ab).obj (K.cycles i)) : Type v)) → (↑((forget₂ C Ab).obj (K.X i)) : Type v))
      (K.cyclesMk (FC := FC) (CC := CC) x (c.next i) ⋯ hx) =
    x

Tactic:
apply (K.sc i).i_cyclesMk

Premises used: CategoryTheory.ShortComplex.i_cyclesMk, HomologicalComplex.sc