-- Module: Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FiniteType R S
p : Ideal R
inst_4 : p.IsPrime
q : Ideal S
inst_5 : q.IsPrime
inst_6 : q.LiesOver p
inst_7 : QuasiFiniteAt R q
s : S
hsq : s ∉ q
hRs : IsIntegral R s
hs : ∀ (q' : Ideal S), q'.IsPrime → q' ≠ q → q'.LiesOver p → s ∈ q'
hs₀ :
  ∀ (q' : Ideal ↥(integralClosure R S)),
    q'.IsPrime →
      q' ≠ Ideal.under (↥(integralClosure R S)) q →
        q'.LiesOver p →
          Subtype.mk (p := fun (x : S) ↦ Membership.mem (γ := Subalgebra R S) (integralClosure R S) x) s hRs ∈ q'
m : ℕ
f : R[X]
b : p.ResidueField[X]
hfm : f.Monic
hbm : b.Monic
hab : IsCoprime (HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1)) b
hfab : Polynomial.map (algebraMap R p.ResidueField) f = HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1) * b
hf : Eq.{v + 1} (α := S) ((aeval s : (a : R[X]) → S) f : S) (0 : S)
R' : Type u
w : CommRing R'
w_1 : Algebra R R'
w_2 : Etale R R'
P : Ideal R'
w_3 : P.IsPrime
w_4 : P.LiesOver p
a' b' : R'[X]
hP :
  Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
    (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField)
ha'm : a'.Monic
hb'm : b'.Monic
hfab' : Polynomial.map (algebraMap R R') f = a' * b'
c d : R'[X]
hcd : c * a' + d * b' = 1
ha' :
  Eq (α := P.ResidueField[X])
    (Polynomial.map (AlgHom.toRingHom (Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯))
      (HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1)))
    (Polynomial.map (algebraMap R' P.ResidueField) a')
hb' :
  Eq (α := P.ResidueField[X]) (Polynomial.map (AlgHom.toRingHom (Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯)) b)
    (Polynomial.map (algebraMap R' P.ResidueField) b')
s₀ : ↥(integralClosure R S) :=
  Subtype.mk (p := fun (x : S) ↦ Membership.mem (γ := Subalgebra R S) (integralClosure R S) x) s hRs
hfs₀ :
  Eq.{v + 1} (α := ↥(integralClosure R S)) ((aeval s₀ : (a : R[X]) → ↥(integralClosure R S)) f : ↥(integralClosure R S))
    (0 : ↥(integralClosure R S))
s' : R' ⊗[R] S := 1 ⊗ₜ[R] s
hs'f : Eq (α := R' ⊗[R] S) ((aeval s' : (a : R[X]) → R' ⊗[R] S) f : R' ⊗[R] S) (0 : R' ⊗[R] S)
hs₀'f :
  Eq (α := TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))
    ((aeval (1 ⊗ₜ[R] s₀) : (a : R[X]) → R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) f :
      TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))
    (0 : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))
e₀ : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) :=
  (aeval (1 ⊗ₜ[R] s₀) : (a : R'[X]) → R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) (c * a')
he₀ : IsIdempotentElem e₀
e : R' ⊗[R] S := (aeval s' : (a : R'[X]) → R' ⊗[R] S) (c * a')
φ : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S :=
  TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S))
he₀e : (φ : (a : R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) → R' ⊗[R] S) e₀ = e
he : IsIdempotentElem e
P' : (↑(P.primesOver (R' ⊗[R] S)) : Type (max u v)) :=
  (OrderIso.symm (Ideal.fiberIsoOfBijectiveResidueField hP) :
      (a : (↑(p.primesOver S) : Type v)) → (↑(P.primesOver (R' ⊗[R] S)) : Type (max u v)))
    (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) q ⋯)
this : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
hP'q : Ideal.comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) = q
hs'P' : s' ∉ (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
ha'P' : ((aeval s' : (a : R'[X]) → R' ⊗[R] S) a' : R' ⊗[R] S) ∉ (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
hb'P' : Membership.mem (α := R' ⊗[R] S) (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) ((aeval s' : (a : R'[X]) → R' ⊗[R] S) b' : R' ⊗[R] S)
heP' : e ∉ (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
refine_1 :
  ∀ (P'' : Ideal (TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))),
    P''.IsPrime →
      P''.LiesOver P →
        ∀ (H : e₀ ∉ P''),
          P'' =
            Ideal.comap (F := TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →+* R' ⊗[R] S)
              (AlgHom.toRingHom
                (TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
                  TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S))
              (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
refine_2 : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → ∀ (H : e ∉ P''), P'' = (↑P' : Ideal (R' ⊗[R] S))
⊢ ∃ (R' : Type u) (x : CommRing R') (x_1 : Algebra R R') (_ : Etale R R') (P : Ideal R') (x_3 : P.IsPrime) (x_4 :
    P.LiesOver p) (e : R' ⊗[R] S) (_ : IsIdempotentElem e) (e₀ : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S)) (_
    : IsIdempotentElem e₀) (_ :
    ((TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
            TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S) :
          (a : R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) → R' ⊗[R] S)
        e₀ =
      e)
    (P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) (_ : P'.IsPrime) (_ : P'.LiesOver P),
    Ideal.comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) P' = q ∧
      e ∉ P' ∧
        Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
            (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField) ∧
          (∀ (P'' : Ideal (TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))),
              P''.IsPrime →
                P''.LiesOver P →
                  e₀ ∉ P'' →
                    P'' =
                      Ideal.comap (F := TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →+* R' ⊗[R] S)
                        (AlgHom.toRingHom
                          (TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
                            TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S))
                        P') ∧
            ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'

Tactic:
refine ⟨_, inferInstance, inferInstance, inferInstance, P, ‹_›, ‹_›, e, he, e₀, he₀, he₀e, P',
    inferInstance, P'.2.2, hP'q, heP', hP, fun P'' _ _ H ↦ ?_, fun P'' _ _ H ↦ ?_⟩