-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks
Goal:
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x : (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)
x₁ : (↑W : Type u)
hx₁ :
  Eq (α := (↑Y : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₁ :
          (a : (↑W : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x₁ :
      (↑Y : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback g₁ g₂) (pullback.fst g₁ g₂) :
          (a : (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x :
      (↑Y : Type u))
x₂ : (↑X : Type u)
hx₂ :
  Eq (α := (↑Z : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₂ :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
        x₂ :
      (↑Z : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback g₁ g₂) (pullback.snd g₁ g₂) :
          (a : (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)) → (↑Z : Type u))
        x :
      (↑Z : Type u))
this :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f₁ :
          (a : (↑W : Type u)) → (↑S : Type u))
        x₁ :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f₂ :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        x₂ :
      (↑S : Type u))
⊢ Eq (α := (↑((cospan g₁ g₂).obj none) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y :=
            (cospan g₁ g₂).obj none)
            ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫
              CategoryStruct.comp (Y := limit (cospan g₁ g₂)) (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)
                (limit.π (cospan g₁ g₂) none)) :
          (a :
              (↑(of
                    { p : (↑W : Type u) × (↑X : Type u) //
                      (ConcreteCategory.hom f₁ : (a : (↑W : Type u)) → (↑S : Type u)) p.1 =
                        (ConcreteCategory.hom f₂ : (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u)) p.2 }) :
                Type u)) →
            (↑((cospan g₁ g₂).obj none) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (p : (↑W : Type u) × (↑X : Type u)) ↦
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f₁ :
                  (a : (↑W : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.1 :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f₂ :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.2 :
              (↑S : Type u)))
          (x₁, x₂) this) :
      (↑((cospan g₁ g₂).obj none) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            limit (cospan g₁ g₂)) (Y := (cospan g₁ g₂).obj none) (limit.π (cospan g₁ g₂) none) :
          (a : (↑(limit (cospan g₁ g₂)) : Type u)) → (↑((cospan g₁ g₂).obj none) : Type u))
        x :
      (↑((cospan g₁ g₂).obj none) : Type u))

Tactic:
simp [hx₁, ← limit.w _ WalkingCospan.Hom.inl]

Premises used: CategoryTheory.Limits.WalkingCospan.Hom.inl, CategoryTheory.Limits.limit.w