awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
⊢ x + h • v ∈ interior s

Tactic:
have : x + h • v ∈ interior s := s_conv.add_smul_mem_interior xs hv ⟨hpos, h_lt_1.le⟩
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
this : x + h • v ∈ interior s
rw : x + h • v + t • h • w ∈ interior s
⊢ x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s

Tactic:
rw [← smul_smul]

Premises used: smul_smul
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
this : x + h • v ∈ interior s
apply : x + h • v + h • w ∈ interior s
⊢ x + h • v + t • h • w ∈ interior s

Tactic:
apply s_conv.interior.add_smul_mem this _ ht

Premises used: Convex.add_smul_mem, Convex.interior
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
this : x + h • v ∈ interior s
rw :
  ∀ (hw : x + (v + w) ∈ interior s) (ε : ℝ) (εpos : 0 < ε) (δ : ℝ) (δpos : δ > 0)
    (sδ :
      Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
        {x_1 : E |
          (fun (x_2 : E) ↦
              ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
                ε * ‖x_2 - x‖)
            x_1})
    (E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ) (E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1) (h : ℝ)
    (hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ) (h_lt_1 : h < 1) (hpos : 0 < h) (t : ℝ) (ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t)
    (this : x + h • v ∈ interior s), x + h • v + h • w ∈ interior s
⊢ x + h • v + h • w ∈ interior s

Tactic:
rw [add_assoc] at hw

Premises used: add_assoc
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + (v + w) ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
this : x + h • v ∈ interior s
⊢ x + h • (v + w) ∈ interior s

Tactic:
s_conv.add_smul_mem_interior xs hw ⟨hpos, h_lt_1.le⟩

Premises used: LT.lt.le, And.intro, Convex.add_smul_mem_interior
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + (v + w) ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
this : x + h • v ∈ interior s
h₁ : x + h • v + h • w = x + h • (v + w)
⊢ x + h • v + h • w ∈ interior s

Tactic:
convert! s_conv.add_smul_mem_interior xs hw ⟨hpos, h_lt_1.le⟩ using 1

Premises used: LT.lt.le, And.intro, Convex.add_smul_mem_interior
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + (v + w) ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
this : x + h • v ∈ interior s
⊢ x + h • v + h • w = x + h • (v + w)

Tactic:
module
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
⊢ ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s

Tactic:
have xt_mem : ∀ t ∈ Icc (0 : ℝ) 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s := by
    intro t ht
    have : x + h • v ∈ interior s := s_conv.add_smul_mem_interior xs hv ⟨hpos, h_lt_1.le⟩
    rw [← smul_smul]
    apply s_conv.interior.add_smul_mem this _ ht
    rw [add_assoc] at hw
    convert! s_conv.add_smul_mem_interior xs hw ⟨hpos, h_lt_1.le⟩ using 1
    module
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
⊢ let g' : (t : ℝ) → F := fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F);
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)

Tactic:
set g' := fun t =>
    f' (x + h • v + (t * h) • w) (h • w) - h • f' x w - h ^ 2 • f'' v w - (t * h ^ 2) • f'' w w
    with hg'

Premises used: HMul.hMul, HSub.hSub, HPow.hPow, HAdd.hAdd, HSMul.hSMul, OfNat.ofNat, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
⊢ HasDerivWithinAt.{0, u_2} (F := F) (fun (t : ℝ) ↦ f (x + h • v + (t * h) • w))
    ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F) (Icc 0 1) t

Tactic:
(hf _ ?_).comp_hasDerivWithinAt _ ?_

Premises used: HasFDerivAt.comp_hasDerivWithinAt
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
hf₁ : x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
hf₂ : HasDerivWithinAt (fun (t : ℝ) ↦ x + h • v + (t * h) • w) (h • w) (Icc 0 1) t
⊢ HasDerivWithinAt.{0, u_2} (F := F) (fun (t : ℝ) ↦ f (x + h • v + (t * h) • w))
    ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F) (Icc 0 1) t

Tactic:
refine (hf _ ?_).comp_hasDerivWithinAt _ ?_

Premises used: HasFDerivAt.comp_hasDerivWithinAt
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
⊢ x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s

Tactic:
xt_mem t ht
-- Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx :
  ∀ ⦃c : ℝ⦄,
    0 < c →
      ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x,
        ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_1 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_1 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ :
  Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆
    {x_1 : E |
      (fun (x_2 : E) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E →L[ℝ] F) (f' x_2 - f' x) ((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) (x_2 - x) : E →L[ℝ] F)‖ ≤
            ε * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ (t : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t → x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    f (x + h • v + (t * h) • w) - HSMul.hSMul (β := F) (t * h) ((f' x : (a : E) → F) w : F) -
        HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) (t * h) 2 / 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
g' : (t : ℝ) → F :=
  fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
hg' :
  g' = fun (t : ℝ) ↦
    HSub.hSub (α := F) ((f' (x + h • v + (t * h) • w) : (a : E) → F) (h • w) : F)
          (HSMul.hSMul (β := F) h ((f' x : (a : E) → F) w : F)) -
        HSMul.hSMul (β := F) (HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
          ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F) -
      HSMul.hSMul (β := F) (t * HPow.hPow (β := ℕ) h 2)
        ((((f'' : (a : E) → E →L[ℝ] F) w : E →L[ℝ] F) : (a : E) → F) w : F)
t : ℝ
ht : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) t
⊢ x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s

Tactic:
exact xt_mem t ht