-- Module: Mathlib.NumberTheory.FLT.Polynomial
Goal:
k : Type u_1
inst : Field k
p q r : ℕ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : Ne.{u_1 + 1} (α := k) (↑p : k) 0
chq : Ne.{u_1 + 1} (α := k) (↑q : k) 0
chr : Ne.{u_1 + 1} (α := k) (↑r : k) 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq :
  HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (a ^ p) +
        HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (b ^ q) +
      HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (c ^ r) =
    0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : Ne (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (0 : k[X])
hCv : Ne (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (0 : k[X])
hCw : Ne (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (0 : k[X])
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
hcr : c ^ r ≠ 0
habp :
  IsCoprime (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (a ^ p))
    (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (b ^ q))
hbcp :
  IsCoprime (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (b ^ q))
    (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (c ^ r))
hcap :
  IsCoprime (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (c ^ r))
    (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (a ^ p))
habcp :
  IsCoprime
    (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (a ^ p) *
      HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (b ^ q))
    (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (c ^ r))
nd_lt :
  (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (a ^ p)).natDegree + 1 ≤
      (radical
          (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (a ^ p) *
              HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (b ^ q) *
            HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (c ^ r))).natDegree ∧
    (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (b ^ q)).natDegree + 1 ≤
        (radical
            (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (a ^ p) *
                HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (b ^ q) *
              HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (c ^ r))).natDegree ∧
      (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (c ^ r)).natDegree + 1 ≤
        (radical
            (HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) u : k[X]) (a ^ p) *
                HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) v : k[X]) (b ^ q) *
              HMul.hMul (α := k[X]) ((C : (a : k) → k[X]) w : k[X]) (c ^ r))).natDegree
⊢ p * a.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree ∧
    q * b.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree ∧ r * c.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree

Tactic:
simp_rw [radical_mul habcp.isRelPrime, radical_mul habp.isRelPrime,
      radical_mul_of_isUnit_left hu.isUnit_C,
      radical_mul_of_isUnit_left hv.isUnit_C,
      radical_mul_of_isUnit_left hw.isUnit_C,
      radical_pow a hp, radical_pow b hq, radical_pow c hr,
      natDegree_mul hCu hap,
      natDegree_mul hCv hbq,
      natDegree_mul hCw hcr,
      natDegree_C, natDegree_pow, zero_add,
      ← radical_mul hab.isRelPrime,
      ← radical_mul (hca.symm.mul_left hbc).isRelPrime] at nd_lt

Premises used: IsCoprime.mul_left, Polynomial.natDegree_mul, IsCoprime.symm, Polynomial.natDegree_C, zero_add, UniqueFactorizationMonoid.radical_pow, Polynomial.natDegree_pow, _private.0.Ne.isUnit_C, IsCoprime.isRelPrime, UniqueFactorizationMonoid.radical_mul_of_isUnit_left, UniqueFactorizationMonoid.radical_mul