-- Module: Mathlib.RepresentationTheory.Homological.GroupCohomology.LowDegree
Goal:
k G : Type u
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
A : Rep k G
x : ↥(cocycles₂ A)
rw :
  Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (X := ModuleCat.of k ((Fin 2 → G) → (↑A : Type u))) (inhomogeneousCochains.d A 2) ∘ₗ
            ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (cochainsIso₂ A).inv :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k ((Fin (2 + 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
        (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)) :
      (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    (0 : (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
rw₁ :
  Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom ((cochainsIso₂ A).inv ≫ inhomogeneousCochains.d A 2) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k ((Fin (2 + 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
        (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)) :
      (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    (0 : (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
rw₂ :
  Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom ((cochainsIso₂ A).inv ≫ (inhomogeneousCochains A).d 2 (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k ((Fin (2 + 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
        (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)) :
      (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    (0 : (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
rw₃ :
  Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom (d₂₃ A ≫ (cochainsIso₃ A).inv) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k ((Fin (2 + 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
        (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)) :
      (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    (0 : (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
rw₄ :
  Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom (cochainsIso₃ A).inv ∘ₗ ModuleCat.Hom.hom (d₂₃ A) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k ((Fin (2 + 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
        (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)) :
      (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    (0 : (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
rw₅ :
  Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom (cochainsIso₃ A).inv :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k ((Fin (2 + 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
        ((ModuleCat.Hom.hom (d₂₃ A) :
              (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) →
                (↑(ModuleCat.of k (G × G × G → (↑A : Type u))) : Type u))
            (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)) :
          (↑(ModuleCat.of k (G × G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) :
      (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    (0 : (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
rw₆ :
  Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    ((ModuleCat.Hom.hom (cochainsIso₃ A).inv :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k ((Fin (2 + 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
        0 :
      (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    (0 : (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
rw₇ rw₈ : Eq.{u + 1} (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u)) 0 0
⊢ Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) (X := ModuleCat.of k ((Fin 2 → G) → (↑A : Type u))) (inhomogeneousCochains.d A 2) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k ((Fin 2 → G) → (↑A : Type u))) : Type u)) →
            (↑(ModuleCat.of k ((Fin (2 + 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) (cochainsIso₂ A).inv :
              (a : (↑(ModuleCat.of k (G × G → (↑A : Type u))) : Type u)) → (↑((inhomogeneousCochains A).X 2) : Type u))
            (⇑x : (a : G × G) → (↑A : Type u)) :
          (↑((inhomogeneousCochains A).X 2) : Type u)) :
      (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))
    (0 : (↑(ModuleCat.of k ((Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1) → G) → (↑A : Type u))) : Type u))

Tactic:
rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, ← inhomogeneousCochains.d_def,
        eq_d₂₃_comp_inv, ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply, cocycles₂.d₂₃_apply x,
        map_zero]

Premises used: groupCohomology.inhomogeneousCochains.d_def, groupCohomology.cocycles₂.d₂₃_apply, LinearMap.comp_apply, map_zero, groupCohomology.eq_d₂₃_comp_inv, ModuleCat.hom_comp