awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
⊢ ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep

Tactic:
have A : ∀ z : β, p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep := by
    have : p.lastStep ∈ {i | ¬∃ b : β, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b} :=
      csInf_mem p.lastStep_nonempty
    simpa only [not_exists, mem_setOf_eq, not_and_or, not_le, not_notMem]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
by_contra : ∀ (h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep), False
⊢ p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep

Tactic:
by_contra h
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
inl : ∀ (H : p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep), False
inr : ∀ (H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep), False
⊢ False

Tactic:
rcases A x with (H | H)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
⊢ False

Tactic:
h H
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
⊢ False

Tactic:
exact h H
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
⊢ 0 < p.R p.lastStep

Tactic:
apply lt_trans (mul_pos (_root_.zero_lt_one.trans p.one_lt_tau) (p.rpos _)) H

Premises used: lt_trans, Besicovitch.TauPackage.one_lt_tau, zero_lt_one, mul_pos, Besicovitch.TauPackage.toBallPackage, LT.lt.trans, Besicovitch.BallPackage.rpos
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
⊢ 0 < p.R p.lastStep

Tactic:
have Rpos : 0 < p.R p.lastStep := by
    apply lt_trans (mul_pos (_root_.zero_lt_one.trans p.one_lt_tau) (p.rpos _)) H
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
rw : 1 * p.R p.lastStep
| p.R p.lastStep

Tactic:
rw [← one_mul (p.R p.lastStep)]

Premises used: Besicovitch.TauPackage.R, Besicovitch.TauPackage.lastStep, one_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
conv_rhs : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < 1 * p.R p.lastStep
⊢ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep

Tactic:
conv_rhs => rw [← one_mul (p.R p.lastStep)]

Premises used: Besicovitch.TauPackage.R, Besicovitch.TauPackage.lastStep, one_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
⊢ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < 1 * p.R p.lastStep

Tactic:
mul_lt_mul (inv_lt_one_of_one_lt₀ p.one_lt_tau) le_rfl Rpos zero_le_one

Premises used: le_rfl, mul_lt_mul, Besicovitch.TauPackage.one_lt_tau, zero_le_one, inv_lt_one_of_one_lt₀
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
⊢ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < 1 * p.R p.lastStep

Tactic:
exact mul_lt_mul (inv_lt_one_of_one_lt₀ p.one_lt_tau) le_rfl Rpos zero_le_one

Premises used: le_rfl, mul_lt_mul, Besicovitch.TauPackage.one_lt_tau, zero_le_one, inv_lt_one_of_one_lt₀
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
⊢ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep

Tactic:
have B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep := by
    conv_rhs => rw [← one_mul (p.R p.lastStep)]
    exact mul_lt_mul (inv_lt_one_of_one_lt₀ p.one_lt_tau) le_rfl Rpos zero_le_one
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
refine_2 :
  ∀
    (this :
      ∃ (a : ℝ),
        Membership.mem (γ := Set ℝ) (range fun (b : { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) ↦ p.r (↑b : β)) a ∧
          p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < a),
    ∃ (y : β), p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
refine_1 : Set.Nonempty (α := ℝ) (range fun (b : { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) ↦ p.r (↑b : β))
⊢ ∃ (y : β), p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y

Tactic:
have := exists_lt_of_lt_csSup ?_ B
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
this :
  ∃ (a : ℝ),
    Membership.mem (γ := Set ℝ) (range fun (b : { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) ↦ p.r (↑b : β)) a ∧
      p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < a
⊢ ∃ (y : β), p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y

Tactic:
simpa only [exists_prop, mem_range, exists_exists_and_eq_and, Subtype.exists,
      Subtype.coe_mk]

Premises used: Subtype.coe_mk, Set.mem_range, Subtype.exists, exists_prop, exists_exists_and_eq_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
refine_1 : Set.Nonempty.{u} (α := { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) univ
⊢ Set.Nonempty (α := ℝ) (range fun (b : { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) ↦ p.r (↑b : β))

Tactic:
rw [← image_univ, image_nonempty]

Premises used: Set.image_nonempty, Set.image_univ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ Set.Nonempty.{u} (α := { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) univ

Tactic:
⟨⟨_, h⟩, mem_univ _⟩

Premises used: Subtype.mk, Set.Nonempty, Exists.intro, Set.mem_univ
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ Set.Nonempty.{u} (α := { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) univ

Tactic:
exact ⟨⟨_, h⟩, mem_univ _⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
inr : ∀ (y : β) (hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep) (hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y), False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨y, hy1, hy2⟩ : ∃ y, p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y := by
    have := exists_lt_of_lt_csSup ?_ B
    · simpa only [exists_prop, mem_range, exists_exists_and_eq_and, Subtype.exists,
      Subtype.coe_mk]
    rw [← image_univ, image_nonempty]
    exact ⟨⟨_, h⟩, mem_univ _⟩

Premises used: Besicovitch.TauPackage.iUnionUpTo, Besicovitch.TauPackage.τ, Besicovitch.TauPackage.R, Besicovitch.TauPackage.lastStep
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
inr : ∀ (Hy : p.c y ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep), False
inr₁ : ∀ (Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep), False
⊢ False

Tactic:
rcases A y with (Hy | Hy)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
Hy : p.c y ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
⊢ False

Tactic:
hy1 Hy
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
Hy : p.c y ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
⊢ False

Tactic:
exact hy1 Hy
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
⊢ p.R p.lastStep / p.τ < p.r y

Tactic:
rw [← div_eq_inv_mul] at hy2

Premises used: div_eq_inv_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
hy2₁ : p.R p.lastStep / p.τ < p.r y
⊢ p.τ * p.r y < p.R p.lastStep

Tactic:
rw [← div_eq_inv_mul] at hy2

Premises used: div_eq_inv_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.R p.lastStep / p.τ < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
⊢ p.R p.lastStep ≤ p.τ * p.r y

Tactic:
have := (div_le_iff₀' (_root_.zero_lt_one.trans p.one_lt_tau)).1 hy2.le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.R p.lastStep / p.τ < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
this : p.R p.lastStep ≤ p.τ * p.r y
⊢ False

Tactic:
lt_irrefl _ (Hy.trans_le this)

Premises used: lt_irrefl, LT.lt.trans_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.R p.lastStep / p.τ < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
this : p.R p.lastStep ≤ p.τ * p.r y
⊢ False

Tactic:
exact lt_irrefl _ (Hy.trans_le this)

Premises used: lt_irrefl, LT.lt.trans_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
i : Ordinal.{u}
hi : i < p.lastStep
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
ind : ∀ (i : Ordinal.{u}) (IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N) (hi : i < p.lastStep), p.color i < N
⊢ p.color i < N

Tactic:
induction i using WellFoundedLT.induction with | ind i IH

Premises used: WellFoundedLT.induction
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
rw rw₁ :
  sInf
      (univ \
        ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
          ⋃ (_ :
            (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
                closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
            {p.color (↑j : Ordinal.{u})}) =
    sInf (univ \ A)
⊢ p.color i = sInf (univ \ A)

Tactic:
rw [color]

Premises used: Besicovitch.TauPackage.color
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
⊢ p.color i = sInf (univ \ A)

Tactic:
have color_i : p.color i = sInf (univ \ A) := by rw [color]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
ind : sInf (univ \ A) < N
⊢ p.color i < N

Tactic:
rw [color_i]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
simp :
  ∀ x < i,
    (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty →
      ¬N = p.color x
⊢ N ∈ univ \ A

Tactic:
simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff,
      not_and, mem_univ, mem_diff, Subtype.exists]

Premises used: Set.mem_iUnion, Subtype.exists, not_exists, exists_prop, Set.mem_singleton_iff, Set.mem_diff, Set.mem_univ, not_and, true_and
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
j : Ordinal.{u}
ji : j < i
_ :
  (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty →
    ¬N = p.color j
⊢ (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty →
    ¬N = p.color j

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
j : Ordinal.{u}
ji : j < i
h : (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty
⊢ ¬N = p.color j

Tactic:
(IH j ji (ji.trans hi)).ne'

Premises used: LT.lt.ne', LT.lt.trans
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
j : Ordinal.{u}
ji : j < i
h : (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty
⊢ ¬N = p.color j

Tactic:
exact (IH j ji (ji.trans hi)).ne'

Premises used: LT.lt.ne', LT.lt.trans
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
⊢ N ∈ univ \ A

Tactic:
have N_mem : N ∈ univ \ A := by
    simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff,
      not_and, mem_univ, mem_diff, Subtype.exists]
    intro j ji _
    exact (IH j ji (ji.trans hi)).ne'
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
this : sInf (univ \ A) ≠ N
inl : ∀ (H : sInf (univ \ A) < N), sInf (univ \ A) < N
inr : ∀ (H : sInf (univ \ A) = N), sInf (univ \ A) < N
⊢ sInf (univ \ A) < N

Tactic:
rcases (csInf_le (OrderBot.bddBelow (univ \ A)) N_mem).lt_or_eq with (H | H)

Premises used: Set.univ, LE.le.lt_or_eq, SDiff.sdiff, OrderBot.bddBelow, csInf_le
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
this : sInf (univ \ A) ≠ N
H : sInf (univ \ A) < N
⊢ sInf (univ \ A) < N

Tactic:
H
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
this : sInf (univ \ A) ≠ N
H : sInf (univ \ A) < N
⊢ sInf (univ \ A) < N

Tactic:
exact H