-- Module: Mathlib.Geometry.RingedSpace.OpenImmersion
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, u_1} C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)
rw :
  Eq (α :=
    Y.presheaf.obj (op U) ⟶
      X.presheaf.obj ((Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U)))))
    (f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯))
    (f.c.app (op U) ≫
      (Functor.obj (TopCat.Presheaf.pushforward C f.base) X.presheaf).map
        (Quiver.Hom.op (X :=
          Set.image (α := (↑(↑X : TopCat) : Type u_1))
            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f.base) :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
            ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f.base) :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ⁻¹'
              U.carrier))
          (Y := U.carrier)
          (homOfLE (x :=
            Set.image (α := (↑(↑X : TopCat) : Type u_1))
              (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f.base) :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
              ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                      TopCat.carrier) f.base) :
                  (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ⁻¹'
                U.carrier))
            (y := U.carrier) ⋯)))
⊢ Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ Y.presheaf.obj (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U))))
    (f.c.app (op U) ≫ invApp f ((Opens.map f.base).obj U))
    (Y.presheaf.map
      (Quiver.Hom.op (X :=
        Set.image (α := (↑(↑X : TopCat) : Type u_1))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                TopCat.carrier) f.base) :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
          ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f.base) :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ⁻¹'
            U.carrier))
        (Y := U.carrier)
        (homOfLE (x :=
          Set.image (α := (↑(↑X : TopCat) : Type u_1))
            (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                  TopCat.carrier) f.base) :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1))
            ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f.base) :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_1)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type u_1)) ⁻¹'
              U.carrier))
          (y := U.carrier) ⋯)))

Tactic:
rw [invApp, ← Category.assoc, IsIso.comp_inv_eq, f.c.naturality]

Premises used: CategoryTheory.Category.assoc, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.IsOpenImmersion.invApp, CategoryTheory.NatTrans.naturality, CategoryTheory.IsIso.comp_inv_eq, AlgebraicGeometry.PresheafedSpace.Hom.c