awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
i j : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
hij : i ≤ j
b : β
⊢ LE.le (α := ℝ) (↑(↑i : ℚ) : ℝ) (↑(↑j : ℚ) : ℝ)

Tactic:
exact mod_cast hij
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
q : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ Measurable (β := ℝ≥0∞) fun (b : β) ↦ ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑q : ℚ) : ℝ))

Tactic:
Measurable.ennreal_ofReal ?_

Premises used: Measurable.ennreal_ofReal
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
q : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
refine : Measurable (β := ℝ) fun (b : β) ↦ (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑q : ℚ) : ℝ)
⊢ Measurable (β := ℝ≥0∞) fun (b : β) ↦ ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑q : ℚ) : ℝ))

Tactic:
refine Measurable.ennreal_ofReal ?_

Premises used: Measurable.ennreal_ofReal
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
q : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ Measurable (β := ℝ) fun (b : β) ↦ (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑q : ℚ) : ℝ)

Tactic:
(measurable_stieltjesOfMeasurableRat hf.measurable _).comp measurable_prodMk_left

Premises used: Measurable.comp, ProbabilityTheory.measurable_stieltjesOfMeasurableRat, ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF.measurable, measurable_prodMk_left
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
q : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ Measurable (β := ℝ) fun (b : β) ↦ (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑q : ℚ) : ℝ)

Tactic:
exact (measurable_stieltjesOfMeasurableRat hf.measurable _).comp measurable_prodMk_left

Premises used: Measurable.comp, ProbabilityTheory.measurable_stieltjesOfMeasurableRat, ProbabilityTheory.IsRatCondKernelCDF.measurable, measurable_prodMk_left
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
neg :
  Eq (α := ℝ≥0∞)
    (⨅ (b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        (((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
          (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑b : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x) : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    (⨅ (b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ∫⁻ (a_1 : β) in s,
          ENNReal.ofReal
            ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) : ℝ → ℝ) (↑(↑b : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
simp_rw [setLIntegral_stieltjesOfMeasurableRat_rat hf _ _ hs]

Premises used: ProbabilityTheory.setLIntegral_stieltjesOfMeasurableRat_rat
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
neg :
  Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x) : ℝ≥0∞)
neg₁ :
  Monotone.{0, u_2} (β := Set (β × ℝ)) fun (b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }) ↦
    SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑b : ℚ) : ℝ))
neg₂ :
  ∀ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    NullMeasurableSet (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) ((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a)
neg₃ :
  ∃ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    Ne (α := ℝ≥0∞)
      ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
          (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) :
        ℝ≥0∞)
      (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    (⨅ (b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        (((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
          (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑b : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [← Monotone.measure_iInter]

Premises used: Monotone.measure_iInter
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
neg :
  Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x) : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [← prod_iInter]

Premises used: Set.prod_iInter
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
neg : ∀ (y : ℝ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) y ↔ y ∈ Iic x
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞) (s ×ˢ Iic x) : ℝ≥0∞)

Tactic:
congr with y
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
y : ℝ
neg : (∀ (a : ℚ) (b : x < (↑a : ℝ)), y ≤ (↑a : ℝ)) ↔ y ≤ x
⊢ Membership.mem (γ := Set ℝ) (⋂ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }), Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) y ↔ y ∈ Iic x

Tactic:
simp only [mem_iInter, mem_Iic, Subtype.forall]

Premises used: Subtype.forall, Set.mem_iInter, Set.mem_Iic
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
y : ℝ
⊢ (∀ (a : ℚ) (b : x < (↑a : ℝ)), y ≤ (↑a : ℝ)) ↔ y ≤ x

Tactic:
⟨le_of_forall_lt_rat_imp_le, fun hyx q hq ↦ hyx.trans hq.le⟩

Premises used: LT.lt.le, le_of_forall_lt_rat_imp_le, Iff.intro, LE.le.trans
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
y : ℝ
⊢ (∀ (a : ℚ) (b : x < (↑a : ℝ)), y ≤ (↑a : ℝ)) ↔ y ≤ x

Tactic:
exact ⟨le_of_forall_lt_rat_imp_le, fun hyx q hq ↦ hyx.trans hq.le⟩
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
i j : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
hij : i ≤ j
⊢ Subset (α := Set ℝ) (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ)) (Iic (↑(↑j : ℚ) : ℝ))

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ Monotone.{0, u_2} (β := Set (β × ℝ)) fun (b : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }) ↦
    SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑b : ℚ) : ℝ))

Tactic:
exact fun i j hij ↦ prod_mono_right (by gcongr)

Premises used: Set.prod_mono_right
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ ∀ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    NullMeasurableSet (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) ((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a)

Tactic:
fun i ↦ (hs.prod measurableSet_Iic).nullMeasurableSet

Premises used: MeasurableSet.nullMeasurableSet, MeasurableSet.prod, measurableSet_Iic
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ ∀ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    NullMeasurableSet (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) ((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a)

Tactic:
exact fun i ↦ (hs.prod measurableSet_Iic).nullMeasurableSet

Premises used: MeasurableSet.nullMeasurableSet, MeasurableSet.prod, measurableSet_Iic
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ ∃ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    Ne (α := ℝ≥0∞)
      ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
          (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) :
        ℝ≥0∞)
      (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
⟨h_nonempty.some, measure_ne_top _ _⟩

Premises used: MeasureTheory.measure_ne_top, Nonempty.some, Exists.intro
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬Eq (α := Measure β) (Measure.restrict ((ν : (a : α) → Measure β) a) s) 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    ∫⁻ (b : β) in s,
      ⨅ (r : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
        ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) (↑(↑r : ℚ) : ℝ)) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a
h_nonempty : Nonempty { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }
⊢ ∃ (i : { r' : ℚ // x < (↑r' : ℝ) }),
    Ne (α := ℝ≥0∞)
      ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
          (SProd.sprod (β := Set ℝ) s (Iic (↑(↑i : ℚ) : ℝ))) :
        ℝ≥0∞)
      (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
exact ⟨h_nonempty.some, measure_ne_top _ _⟩
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
rw :
  ∫⁻ (x_1 : β) in univ,
      ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x_1)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    (((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
      (SProd.sprod (α := Set β) univ (Iic x))
rw₁ rw₂ :
  Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (SProd.sprod (α := Set β) univ (Iic x)) :
      ℝ≥0∞)
    ((((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (SProd.sprod (α := Set β) univ (Iic x)) :
      ℝ≥0∞)
⊢ ∫⁻ (b : β), ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) ∂(ν : (a : α) → Measure β) a =
    (((κ : (a : α) → Measure (β × ℝ)) a : Measure (β × ℝ)) : (a : Set (β × ℝ)) → ℝ≥0∞)
      (SProd.sprod (α := Set β) univ (Iic x))

Tactic:
rw [← setLIntegral_univ, setLIntegral_stieltjesOfMeasurableRat hf _ _ MeasurableSet.univ]

Premises used: ProbabilityTheory.setLIntegral_stieltjesOfMeasurableRat, MeasurableSet.univ, MeasureTheory.setLIntegral_univ
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
h :
  ∀ (t : β),
    (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, t)) : ℝ → ℝ) x =
      (ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, t)) : ℝ → ℝ) x)).toReal
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := (b : β) → ℝ) (fun (b : β) ↦ (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x) fun (b : β) ↦
    (ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) : ℝ → ℝ) x)).toReal

Tactic:
ext t
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
t : β
h : 0 ≤ (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, t)) : ℝ → ℝ) x
⊢ (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, t)) : ℝ → ℝ) x =
    (ENNReal.ofReal ((↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, t)) : ℝ → ℝ) x)).toReal

Tactic:
rw [ENNReal.toReal_ofReal]

Premises used: ENNReal.toReal_ofReal
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
t : β
⊢ 0 ≤ (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, t)) : ℝ → ℝ) x

Tactic:
stieltjesOfMeasurableRat_nonneg _ _ _

Premises used: ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat_nonneg
-- Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel
Goal:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel.{u_1, u_2} α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
t : β
⊢ 0 ≤ (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, t)) : ℝ → ℝ) x

Tactic:
exact stieltjesOfMeasurableRat_nonneg _ _ _

Premises used: ProbabilityTheory.stieltjesOfMeasurableRat_nonneg