-- Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.Multivariate
Goal:
ι : Type u_2
inst : DecidableEq ι
I J : Finset ι
μ : EuclideanSpace ℝ ↥I
S : Matrix ↥I ↥I ℝ
hS : S.PosSemidef
hJI : J ⊆ I
i j : ↥J
hv :
  cov[(fun (u : EuclideanSpace ℝ ↥J) ↦
          ⟪(OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) i, u⟫) ∘
        (⇑(EuclideanSpace.restrict₂ hJI) : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J),
      (fun (u : EuclideanSpace ℝ ↥J) ↦
          ⟪(OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) j, u⟫) ∘
        (⇑(EuclideanSpace.restrict₂ hJI) : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J);
      multivariateGaussian μ S] =
    (((covarianceBilin
                (multivariateGaussian
                  ((EuclideanSpace.restrict₂ hJI : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J) μ)
                  (S.submatrix (fun (i : ↥J) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ I) (↑i : ι) ⋯) fun (i : ↥J) ↦
                    Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ I) (↑i : ι) ⋯)) :
              (a : EuclideanSpace ℝ ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J →L[ℝ] ℝ)
            ((OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) i :
              EuclideanSpace ℝ ↥J) :
          EuclideanSpace ℝ ↥J →L[ℝ] ℝ) :
        (a : EuclideanSpace ℝ ↥J) → ℝ)
      ((OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) j :
        EuclideanSpace ℝ ↥J)
hv₁ :
  AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := WithLp.measurableSpace 2 ((i : ↥J) → (fun (x : ↥J) ↦ ℝ) i))
    (fun (u : EuclideanSpace ℝ ↥J) ↦
      ⟪(OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) i, u⟫)
    (Measure.map (⇑(EuclideanSpace.restrict₂ hJI) : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J)
      (multivariateGaussian μ S))
hv₂ :
  AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := WithLp.measurableSpace 2 ((i : ↥J) → (fun (x : ↥J) ↦ ℝ) i))
    (fun (u : EuclideanSpace ℝ ↥J) ↦
      ⟪(OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) j, u⟫)
    (Measure.map (⇑(EuclideanSpace.restrict₂ hJI) : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J)
      (multivariateGaussian μ S))
hv₃ :
  AEMeasurable (β := EuclideanSpace ℝ ↥J)
    (⇑(EuclideanSpace.restrict₂ hJI) : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J) (multivariateGaussian μ S)
hv₄ :
  MemLp (α := EuclideanSpace ℝ ↥J) (m0 := WithLp.measurableSpace 2 ((i : ↥J) → (fun (x : ↥J) ↦ ℝ) i)) id 2
    (Measure.map (⇑(EuclideanSpace.restrict₂ hJI) : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J)
      (multivariateGaussian μ S))
⊢ Eq (α := ℝ)
    ((((ContinuousLinearMap.toBilinForm
                  (covarianceBilin
                    (Measure.map (⇑(EuclideanSpace.restrict₂ hJI) : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J)
                      (multivariateGaussian μ S))) :
                (a : EuclideanSpace ℝ ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J →ₗ[ℝ] ℝ)
              ((OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) i :
                EuclideanSpace ℝ ↥J) :
            EuclideanSpace ℝ ↥J →ₗ[ℝ] ℝ) :
          (a : EuclideanSpace ℝ ↥J) → ℝ)
        ((OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) j :
          EuclideanSpace ℝ ↥J) :
      ℝ)
    ((((ContinuousLinearMap.toBilinForm
                  (covarianceBilin
                    (multivariateGaussian
                      ((EuclideanSpace.restrict₂ hJI : (a : EuclideanSpace ℝ ↥I) → EuclideanSpace ℝ ↥J) μ)
                      (S.submatrix (fun (i : ↥J) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ I) (↑i : ι) ⋯) fun (i : ↥J) ↦
                        Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ I) (↑i : ι) ⋯))) :
                (a : EuclideanSpace ℝ ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J →ₗ[ℝ] ℝ)
              ((OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) i :
                EuclideanSpace ℝ ↥J) :
            EuclideanSpace ℝ ↥J →ₗ[ℝ] ℝ) :
          (a : EuclideanSpace ℝ ↥J) → ℝ)
        ((OrthonormalBasis.toBasis (EuclideanSpace.basisFun ↥J ℝ) : (a : ↥J) → EuclideanSpace ℝ ↥J) j :
          EuclideanSpace ℝ ↥J) :
      ℝ)

Tactic:
rw [ContinuousLinearMap.toBilinForm_apply, ContinuousLinearMap.toBilinForm_apply,
      covarianceBilin_apply_eq_cov, covariance_map]

Premises used: ContinuousLinearMap.toBilinForm_apply, ProbabilityTheory.covarianceBilin_apply_eq_cov, ProbabilityTheory.covariance_map