awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
nth_rw : ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (a.c j) - d‖ + ‖d - a.c i‖ = ‖a.c j‖ - ‖a.c i‖ + ‖d - a.c i‖
⊢ ‖a.c j - d‖ + ‖d - a.c i‖ = ‖a.c j‖ - ‖a.c i‖ + ‖d - a.c i‖

Tactic:
nth_rw 1 [← one_smul ℝ (a.c j)]

Premises used: Real, Besicovitch.SatelliteConfig.c, one_smul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
rw : 0 ≤ 1 - s / ‖a.c j‖
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (a.c j) - d‖ + ‖d - a.c i‖ = ‖a.c j‖ - ‖a.c i‖ + ‖d - a.c i‖

Tactic:
rw [add_left_inj, hd, ← sub_smul, norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg, sub_mul,
          one_mul, div_mul_cancel₀ _ (zero_le_two.trans_lt hj).ne']

Premises used: div_mul_cancel₀, norm_smul, sub_smul, add_left_inj, LT.lt.ne', sub_mul, abs_of_nonneg, zero_le_two, LE.le.trans_lt, one_mul, Real.norm_eq_abs
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
rwa : s / ‖a.c j‖ ≤ 1
rwa₁ : s ≤ 1 * ‖a.c j‖
rwa₂ rwa₃ rwa₄ rwa₅ : s ≤ ‖a.c j‖
⊢ 0 ≤ 1 - s / ‖a.c j‖

Tactic:
rwa [sub_nonneg, div_le_iff₀ (zero_lt_two.trans hj), one_mul]

Premises used: div_le_iff₀, LT.lt.trans, zero_lt_two, sub_nonneg, one_mul
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖

Tactic:
have I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖ :=
    calc
      ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j - d‖ + ‖d - a.c i‖ := by simp [← dist_eq_norm, dist_triangle]
      _ = ‖a.c j‖ - ‖a.c i‖ + ‖d - a.c i‖ := by
        nth_rw 1 [← one_smul ℝ (a.c j)]
        rw [add_left_inj, hd, ← sub_smul, norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg, sub_mul,
          one_mul, div_mul_cancel₀ _ (zero_le_two.trans_lt hj).ne']
        rwa [sub_nonneg, div_le_iff₀ (zero_lt_two.trans hj), one_mul]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
inl : ∀ (H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j), a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s * (τ - 1)
inr : ∀ (H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i), a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s * (τ - 1)
⊢ a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s * (τ - 1)

Tactic:
rcases ah inej.symm with (H | H)

Premises used: Ne.symm
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ 0

Tactic:
sub_nonpos.2 H.1

Premises used: Iff.mpr, And.left, sub_nonpos
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 0 ≤ s * (τ - 1)

Tactic:
mul_nonneg spos.le (sub_nonneg.2 hτ)

Premises used: Iff.mpr, mul_nonneg, LT.lt.le, sub_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s * (τ - 1)

Tactic:
calc
            a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ 0 := sub_nonpos.2 H.1
            _ ≤ s * (τ - 1) := mul_nonneg spos.le (sub_nonneg.2 hτ)

Premises used: Iff.mpr, mul_nonneg, Besicovitch.SatelliteConfig.c, HSub.hSub, LT.lt.le, Besicovitch.SatelliteConfig.r, And.left, sub_nonpos, OfNat.ofNat, sub_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
⊢ a.r i ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i

Tactic:
rw [norm_sub_rev] at H

Premises used: norm_sub_rev
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r i ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
⊢ a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ τ * a.r i - a.r i

Tactic:
sub_le_sub H.2 H.1

Premises used: And.right, And.left, sub_le_sub
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r i ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
⊢ τ * a.r i - a.r i = a.r i * (τ - 1)

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r i ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
ha : 0 ≤ τ - 1
⊢ a.r i * (τ - 1) ≤ s * (τ - 1)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r i ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
j₁ : τ * a.r i - a.r i = a.r i * (τ - 1)
j₂ : a.r i * (τ - 1) ≤ s * (τ - 1)
⊢ a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s * (τ - 1)

Tactic:
calc
            a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ τ * a.r i - a.r i := sub_le_sub H.2 H.1
            _ = a.r i * (τ - 1) := by ring
            _ ≤ s * (τ - 1) := by gcongr

Premises used: Besicovitch.SatelliteConfig.c, HSub.hSub, Besicovitch.SatelliteConfig.r, And.right, And.left, sub_le_sub, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
hbc : τ - 1 ≤ δ / 2
⊢ s * (τ - 1) ≤ s * (δ / 2)

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
linarith : δ / 2 < τ - 1 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : δ / 2 < τ - 1 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : δ / 2 < τ - 1 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₃ : δ / 2 < τ - 1 → 2 / 2 = 1
linarith₄ : δ / 2 < τ - 1 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₅ : δ / 2 < τ - 1 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₆ :
  δ / 2 < τ - 1 →
    2 * (1 * δ - (2 * τ - HMul.hMul (α := ℝ) 2 1)) + (0 - δ) + (4 * τ - (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 + 1 * δ)) = 0
linarith₇ : δ / 2 < τ - 1 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
⊢ τ - 1 ≤ δ / 2

Tactic:
linarith only [δnonneg, hδ1]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
⊢ s * (δ / 2) = s / 2 * δ

Tactic:
ring
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
⊢ a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ

Tactic:
have J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ :=
    calc
      a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s * (τ - 1) := by
        rcases ah inej.symm with (H | H)
        · calc
            a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ 0 := sub_nonpos.2 H.1
            _ ≤ s * (τ - 1) := mul_nonneg spos.le (sub_nonneg.2 hτ)
        · rw [norm_sub_rev] at H
          calc
            a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ τ * a.r i - a.r i := sub_le_sub H.2 H.1
            _ = a.r i * (τ - 1) := by ring
            _ ≤ s * (τ - 1) := by gcongr
      _ ≤ s * (δ / 2) := by gcongr; linarith only [δnonneg, hδ1]
      _ = s / 2 * δ := by ring
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
⊢ 0 ≤ 2 / s

Tactic:
have invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s := div_nonneg zero_le_two (zero_le_two.trans hi.le)
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
⊢ 1 - δ = 2 / s * (s / 2 - s / 2 * δ)

Tactic:
field
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
hbc : s / 2 - s / 2 * δ ≤ ‖d - a.c i‖
⊢ 2 / s * (s / 2 - s / 2 * δ) ≤ 2 / s * ‖d - a.c i‖

Tactic:
gcongr
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
linarith : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → 2 / 2 = 1
linarith₁ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → HMul.hMul (α := ℝ) 2 1 = 2
linarith₃ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₄ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → 2 / 2 = 1
linarith₅ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₆ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → 2 / 2 = 1
linarith₇ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₈ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → HMul.hMul (α := ℝ) 2 1 = 2
linarith₉ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₁₀ :
  ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ →
    2 * ‖d - a.c i‖ - (1 * s - 1 * s * (1 * δ)) + 2 * (‖a.c j‖ - (a.r j + 1)) +
            2 * (‖a.c j - a.c i‖ - (‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖)) +
          (2 * a.r j - 2 * ‖a.c j - a.c i‖ - 1 * s * (1 * δ)) +
        (2 - s) =
      0
linarith₁₁ linarith₁₂ : ‖d - a.c i‖ < s / 2 - s / 2 * δ → GT.gt (α := ℝ) 2 0
⊢ s / 2 - s / 2 * δ ≤ ‖d - a.c i‖

Tactic:
linarith only [hcrj, I, J, hi]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
rw : |2 / s| * ‖a.c i - d‖
| 2 / s * ‖d - a.c i‖

Tactic:
rw [norm_sub_rev, ← abs_of_nonneg invs_nonneg]

Premises used: abs_of_nonneg, norm_sub_rev
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
conv_lhs : |2 / s| * ‖a.c i - d‖ = ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
⊢ 2 / s * ‖d - a.c i‖ = ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Tactic:
conv_lhs => rw [norm_sub_rev, ← abs_of_nonneg invs_nonneg]

Premises used: abs_of_nonneg, norm_sub_rev
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
rw : ‖(2 / s) • a.c i - (2 / s * (s / ‖a.c j‖)) • a.c j‖ = ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
⊢ |2 / s| * ‖a.c i - d‖ = ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Tactic:
rw [← Real.norm_eq_abs, ← norm_smul, smul_sub, hd, smul_smul]

Premises used: norm_smul, smul_smul, smul_sub, Real.norm_eq_abs
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
e_a : 2 / s * (s / ‖a.c j‖) = 2 / ‖a.c j‖
⊢ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / s * (s / ‖a.c j‖)) • a.c j‖ = ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Tactic:
congr 3