awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
i : Fin N
x : { x : α // x ∈ s' }
h : x ∈ S i
⊢ Membership.mem (γ := Set { x : α // x ∈ s' }) (Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') ⁻¹' s) x

Tactic:
exact s's x.2

Premises used: Subtype.property
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
refine_3 : r0 x ∈ f x
⊢ r x ∈ f x

Tactic:
rw [r_t0 x hx]
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
⊢ r0 x ∈ f x

Tactic:
(hr0 _ hx).1

Premises used: And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
⊢ r0 x ∈ f x

Tactic:
exact (hr0 _ hx).1

Premises used: And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) x
⊢ ∃ (i : Fin N), ∃ x_1 ∈ S i, (↑x_1 : α) = x

Tactic:
simp only [mem_iUnion, mem_image] at hx

Premises used: Set.mem_iUnion, Set.mem_image
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : ∃ (i : Fin N), ∃ x_1 ∈ S i, (↑x_1 : α) = x
rcases : ∀ (i : Fin N), ∀ y ∈ S i, (↑y : α) ∈ s'
⊢ x ∈ s'

Tactic:
rcases hx with ⟨i, y, _, rfl⟩

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
i : Fin N
y : { x : α // x ∈ s' }
left : y ∈ S i
⊢ (↑y : α) ∈ s'

Tactic:
y.2

Premises used: Subtype.property
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
i : Fin N
y : { x : α // x ∈ s' }
left : y ∈ S i
⊢ (↑y : α) ∈ s'

Tactic:
exact y.2

Premises used: Subtype.property
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) x
⊢ x ∈ s'

Tactic:
have h'x : x ∈ s' := by
        simp only [mem_iUnion, mem_image] at hx
        rcases hx with ⟨i, y, _, rfl⟩
        exact y.2
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) x
h'x : x ∈ s'
⊢ r x ∈ f x

Tactic:
simp only [r, if_pos h'x, (hr1 x h'x).1.1]

Premises used: if_pos, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i
refine_3 : ∀ (hx : x ∈ t0), r x ∈ f x
refine_3₁ :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i) x), r x ∈ f x
⊢ r x ∈ f x

Tactic:
cases hx with
    | inl hx =>
      rw [r_t0 x hx]
      exact (hr0 _ hx).1
    | inr hx =>
      have h'x : x ∈ s' := by
        simp only [mem_iUnion, mem_image] at hx
        rcases hx with ⟨i, y, _, rfl⟩
        exact y.2
      simp only [r, if_pos h'x, (hr1 x h'x).1.1]

Premises used: And.left