-- Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings
Goal:
R_1 : Type u₁
S_1 : Type u₂
inst : CommRing R_1
inst_1 : CommRing S_1
f_1 : R_1 →+* S_1
R : Type u₁
S : Type u₂
inst_2 : CommRing R
inst_3 : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R (↑Y : Type (max u₂ u_1)) := Module.compHom (↑Y : Type (max u₂ u_1)) f
refine_1 :
  (z : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
    (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R] (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1))
refine_2 :
  ∀ (x y : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))),
    (lift
            { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯ } :
          (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
            (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        (x + y) =
      HAdd.hAdd (α := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        ((lift
                { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                  map_smul' := ⋯ :
                  (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                    (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
                (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        ((lift
                { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                  map_smul' := ⋯ :
                  (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                    (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
                (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            y :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
refine_3 :
  ∀ (m : S) (x : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))),
    (lift
            { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯ } :
          (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
            (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        (m • x) =
      HSMul.hSMul (α := S) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) ((RingHom.id S : (a : S) → S) m : S)
        ((lift
                { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                  map_smul' := ⋯ :
                  (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                    (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
              (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
                (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
            x :
          (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
⊢ (extendScalars f).obj X ⟶ Y

Tactic:
refine ofHom
    { toFun z := TensorProduct.lift (σ₁₂ := .id _) ?_ z, map_add' := ?_, map_smul' := ?_ }

Premises used: LinearMap.mk, AddHom.mk, ModuleCat.ofHom, TensorProduct.lift, DFunLike.coe