-- Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.TensorProduct
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring S
inst_2 : AddCommMonoid A
inst_3 : AddCommMonoid B
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R A
inst_6 : Module S A
inst_7 : Module R B
inst_8 : IsScalarTower R S A
inst_9 : Coalgebra R B
inst_10 : Coalgebra S A
x : A
y : B
F : TensorProduct.{u_1, u_3, u_4} R (A ⊗[S] (A ⊗[S] A)) (B ⊗[R] (B ⊗[R] B)) ≃ₗ[S]
  A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)) :=
  (AlgebraTensorModule.tensorTensorTensorComm R S R S A (A ⊗[S] A) B (B ⊗[R] B) :
      TensorProduct.{u_1, u_3, u_4} R (A ⊗[S] (A ⊗[S] A)) (B ⊗[R] (B ⊗[R] B)) ≃ₗ[S]
        A ⊗[R] B ⊗[S] TensorProduct.{u_1, u_3, u_4} R (A ⊗[S] A) (B ⊗[R] B)) ≪≫ₗ
    (AlgebraTensorModule.congr (LinearEquiv.refl S (A ⊗[R] B))
        (AlgebraTensorModule.tensorTensorTensorComm R S R S A A B B) :
      A ⊗[R] B ⊗[S] TensorProduct.{u_1, u_3, u_4} R (A ⊗[S] A) (B ⊗[R] B) ≃ₗ[S]
        A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
F' : TensorProduct.{u_1, u_3, u_4} R (A ⊗[S] (A ⊗[S] A)) (B ⊗[R] (B ⊗[R] B)) →ₗ[S]
  A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)) :=
  mapOfCompatibleSMul S S S (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)) ∘ₗ
    map LinearMap.id (mapOfCompatibleSMul S S S (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B)) ∘ₗ
      (↑F : A ⊗[S] (A ⊗[S] A) ⊗[R] (B ⊗[R] (B ⊗[R] B)) →ₗ[S] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
h :
  Eq (α := A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
    (((((AlgebraTensorModule.curry
                    ((↑(TensorProduct.assoc S (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B)) :
                        A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B) ⊗[S] (A ⊗[R] B) →ₗ[S] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) ∘ₗ
                      LinearMap.rTensor (A ⊗[R] B) comul ∘ₗ comul) :
                  A →ₗ[S] B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) :
                (a : A) → B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
              x :
            B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) :
          (a : B) → A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
        y :
      A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
    ((F : (a : A ⊗[S] (A ⊗[S] A) ⊗[R] (B ⊗[R] (B ⊗[R] B))) → A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
        ((TensorProduct.assoc S A A A : (a : A ⊗[S] A ⊗[S] A) → A ⊗[S] (A ⊗[S] A))
            ((LinearMap.rTensor A comul : (a : A ⊗[S] A) → A ⊗[S] A ⊗[S] A) ((comul : (a : A) → A ⊗[S] A) x)) ⊗ₜ[R]
          (TensorProduct.assoc R B B B : (a : B ⊗[R] B ⊗[R] B) → B ⊗[R] (B ⊗[R] B))
            ((LinearMap.rTensor B comul : (a : B ⊗[R] B) → B ⊗[R] B ⊗[R] B) ((comul : (a : B) → B ⊗[R] B) y))) :
      A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
h₁ :
  Eq (α := A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
    (((((AlgebraTensorModule.curry (LinearMap.lTensor (A ⊗[R] B) comul ∘ₗ comul) :
                  A →ₗ[S] B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) :
                (a : A) → B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
              x :
            B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) :
          (a : B) → A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
        y :
      A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
    ((F : (a : A ⊗[S] (A ⊗[S] A) ⊗[R] (B ⊗[R] (B ⊗[R] B))) → A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
        ((LinearMap.lTensor A comul : (a : A ⊗[S] A) → A ⊗[S] (A ⊗[S] A)) ((comul : (a : A) → A ⊗[S] A) x) ⊗ₜ[R]
          (LinearMap.lTensor B comul : (a : B ⊗[R] B) → B ⊗[R] (B ⊗[R] B)) ((comul : (a : B) → B ⊗[R] B) y)) :
      A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
⊢ Eq (α := A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
    (((((AlgebraTensorModule.curry
                    ((↑(TensorProduct.assoc S (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B)) :
                        A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B) ⊗[S] (A ⊗[R] B) →ₗ[S] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) ∘ₗ
                      LinearMap.rTensor (A ⊗[R] B) comul ∘ₗ comul) :
                  A →ₗ[S] B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) :
                (a : A) → B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
              x :
            B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) :
          (a : B) → A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
        y :
      A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
    (((((AlgebraTensorModule.curry (LinearMap.lTensor (A ⊗[R] B) comul ∘ₗ comul) :
                  A →ₗ[S] B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) :
                (a : A) → B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
              x :
            B →ₗ[R] A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B))) :
          (a : B) → A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))
        y :
      A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B ⊗[S] (A ⊗[R] B)))

Tactic:
convert! congr(F ($(Coalgebra.coassoc_apply x) ⊗ₜ[R] $(Coalgebra.coassoc_apply y))) using 1