awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
S : Type u_2
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
I p : Ideal R
P : Ideal S
inst_3 : P.IsPrime
inst_4 : P.LiesOver p
hI : p ∈ I.minimalPrimes
J : Ideal S
hJP : J ≤ P
hJ :
  Membership.mem (γ := Set (Ideal (HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))))
    (Ideal.minimalPrimes
      (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
        (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) J))
    (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
      (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) P)
q : Ideal S
h : (fun (q : Ideal S) ↦ q.IsPrime ∧ map (F := R →+* S) (algebraMap R S) I ⊔ J ≤ q) q
hqle : q ≤ P
left : q.IsPrime
hleq : map (F := R →+* S) (algebraMap R S) I ≤ q ∧ J ≤ q
⊢ p = comap (F := R →+* S) (algebraMap R S) P

Tactic:
exact Ideal.LiesOver.over

Premises used: Ideal.LiesOver.over
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
S : Type u_2
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
I p : Ideal R
P : Ideal S
inst_3 : P.IsPrime
inst_4 : P.LiesOver p
hI : p ∈ I.minimalPrimes
J : Ideal S
hJP : J ≤ P
hJ :
  Membership.mem (γ := Set (Ideal (HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))))
    (Ideal.minimalPrimes
      (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
        (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) J))
    (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
      (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) P)
q : Ideal S
h : (fun (q : Ideal S) ↦ q.IsPrime ∧ map (F := R →+* S) (algebraMap R S) I ⊔ J ≤ q) q
hqle : q ≤ P
left : q.IsPrime
hleq : map (F := R →+* S) (algebraMap R S) I ≤ q ∧ J ≤ q
⊢ map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p ≤ q

Tactic:
have h1 : p.map (algebraMap R S) ≤ q := by
      rw [Ideal.map_le_iff_le_comap]
      refine hI.2 ⟨inferInstance, le_trans Ideal.le_comap_map (Ideal.comap_mono hleq.1)⟩ ?_
      convert! Ideal.comap_mono hqle
      exact Ideal.LiesOver.over
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
S : Type u_2
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
I p : Ideal R
P : Ideal S
inst_3 : P.IsPrime
inst_4 : P.LiesOver p
hI : p ∈ I.minimalPrimes
J : Ideal S
hJP : J ≤ P
hJ :
  Membership.mem (γ := Set (Ideal (HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))))
    (Ideal.minimalPrimes
      (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
        (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) J))
    (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
      (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) P)
q : Ideal S
h : (fun (q : Ideal S) ↦ q.IsPrime ∧ map (F := R →+* S) (algebraMap R S) I ⊔ J ≤ q) q
hqle : q ≤ P
left : q.IsPrime
hleq : map (F := R →+* S) (algebraMap R S) I ≤ q ∧ J ≤ q
h1 : map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p ≤ q
⊢ LE.le (α := Ideal (HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)))
    (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
      (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) P)
    (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
      (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) q)

Tactic:
have h2 : P.map (Ideal.Quotient.mk (p.map (algebraMap R S))) ≤
        q.map (Ideal.Quotient.mk (p.map (algebraMap R S))) :=
      hJ.2 ⟨Ideal.isPrime_map_quotientMk_of_isPrime h1, Ideal.map_mono hleq.2⟩
        (Ideal.map_mono hqle)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Basic
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
S : Type u_2
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
I p : Ideal R
P : Ideal S
inst_3 : P.IsPrime
inst_4 : P.LiesOver p
hI : p ∈ I.minimalPrimes
J : Ideal S
hJP : J ≤ P
hJ :
  Membership.mem (γ := Set (Ideal (HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))))
    (Ideal.minimalPrimes
      (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
        (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) J))
    (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
      (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) P)
q : Ideal S
h : (fun (q : Ideal S) ↦ q.IsPrime ∧ map (F := R →+* S) (algebraMap R S) I ⊔ J ≤ q) q
hqle : q ≤ P
left : q.IsPrime
hleq : map (F := R →+* S) (algebraMap R S) I ≤ q ∧ J ≤ q
h1 : map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p ≤ q
h2 :
  LE.le (α := Ideal (HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)))
    (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
      (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) P)
    (map (F := S →+* HasQuotient.Quotient S (B := Ideal S) (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p))
      (Quotient.mk (map (F := R →+* S) (algebraMap R S) p)) q)
⊢ P ≤ q

Tactic:
simpa [h1] using Ideal.comap_mono (f := Ideal.Quotient.mk (p.map (algebraMap R S))) h2

Premises used: Ideal.comap_mono
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hI : I ∈ (N.colon {x}).minimalPrimes
pos : ∀ (hx : x ∈ N), ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}
neg : ∀ (hx : x ∉ N), ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}
⊢ ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}

Tactic:
by_cases hx : x ∈ N
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hI : I ∈ (N.colon {x}).minimalPrimes
hx : x ∈ N
⊢ N.colon {x} = ⊤

Tactic:
simpa
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hI : I ∈ (N.colon {x}).minimalPrimes
hx : x ∈ N
⊢ ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}

Tactic:
simp [show (colon N {x}) = ⊤ by simpa, Ideal.minimalPrimes_top] at hI

Premises used: Ideal.minimalPrimes_top
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hI : I ∈ (N.colon {x}).minimalPrimes
hx : x ∉ N
⊢ let ann := N.colon {x};
  I ∈ ann.minimalPrimes

Tactic:
set ann := colon N {x}

Premises used: Submodule.colon, Singleton.singleton
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
obtain : ∀ (n : ℕ) (hn : ann.radical ^ n ≤ ann), ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
⊢ ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I

Tactic:
obtain ⟨n, hn⟩ := ann.exists_radical_pow_le_of_fg ann.radical.fg_of_isNoetherianRing

Premises used: Ideal.fg_of_isNoetherianRing, Ideal.exists_radical_pow_le_of_fg, Ideal.radical
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : ann.radical ^ n ≤ ann
contrapose : ∀ (hn : n = 0), ¬ann.radical ^ n ≤ ann
⊢ n ≠ 0

Tactic:
contrapose hn
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : n = 0
⊢ ¬ann.radical ^ n ≤ ann

Tactic:
simpa [hn, ann]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : ann.radical ^ n ≤ ann
⊢ n ≠ 0

Tactic:
have hn0 : n ≠ 0 := by contrapose hn; simpa [hn, ann]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : ann.radical ^ n ≤ ann
hn0 : n ≠ 0
⊢ ann.minimalPrimes.Finite

Tactic:
have h := ann.finite_minimalPrimes_of_isNoetherianRing R
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : ann.radical ^ n ≤ ann
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
⊢ n ≠ 0

Tactic:
rw [← ann.sInf_minimalPrimes, ← h.coe_toFinset, ← h.toFinset.inf_id_eq_sInf,
      ← Finset.insert_erase (h.mem_toFinset.mpr hI), Finset.inf_insert, id_eq] at hn

Premises used: Iff.mpr, Finset.inf_id_eq_sInf, Set.Finite.mem_toFinset, Set.Finite.coe_toFinset, Finset.inf_insert, Set.Finite.toFinset, Ideal.sInf_minimalPrimes, Finset.insert_erase, id_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : ann.radical ^ n ≤ ann
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn0₁ : n ≠ 0
⊢ ann.minimalPrimes.Finite

Tactic:
rw [← ann.sInf_minimalPrimes, ← h.coe_toFinset, ← h.toFinset.inf_id_eq_sInf,
      ← Finset.insert_erase (h.mem_toFinset.mpr hI), Finset.inf_insert, id_eq] at hn

Premises used: Iff.mpr, Finset.inf_id_eq_sInf, Set.Finite.mem_toFinset, Set.Finite.coe_toFinset, Finset.inf_insert, Set.Finite.toFinset, Ideal.sInf_minimalPrimes, Finset.insert_erase, id_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn : ann.radical ^ n ≤ ann
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn0₁ : n ≠ 0
h₁ : ann.minimalPrimes.Finite
⊢ (I ⊓ (h₁.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id) ^ n ≤ ann

Tactic:
rw [← ann.sInf_minimalPrimes, ← h.coe_toFinset, ← h.toFinset.inf_id_eq_sInf,
      ← Finset.insert_erase (h.mem_toFinset.mpr hI), Finset.inf_insert, id_eq] at hn

Premises used: Iff.mpr, Finset.inf_id_eq_sInf, Set.Finite.mem_toFinset, Set.Finite.coe_toFinset, Finset.inf_insert, Set.Finite.toFinset, Ideal.sInf_minimalPrimes, Finset.insert_erase, id_eq
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn : (I ⊓ (h.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id) ^ n ≤ ann
⊢ I ^ n * (h.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id ^ n ≤ ann

Tactic:
grw [← Ideal.mul_le_inf, mul_pow] at hn

Premises used: Ideal.mul_le_inf, mul_pow
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn : I ^ n * (h.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id ^ n ≤ ann
⊢ ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I

Tactic:
⟨n, hn0, ((h.toFinset.erase I).inf id) ^ n, hn, ?_⟩

Premises used: id, HPow.hPow, Set.Finite.toFinset, And.intro, Exists.intro, Finset.inf, Finset.erase
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn : I ^ n * (h.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id ^ n ≤ ann
refine : ¬(h.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id ^ n ≤ I
⊢ ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I

Tactic:
refine ⟨n, hn0, ((h.toFinset.erase I).inf id) ^ n, hn, ?_⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn : I ^ n * (h.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id ^ n ≤ ann
⊢ ∀ (K : Ideal R) (hKI : K ≤ I) (hK : K ∈ ann.minimalPrimes), K = I

Tactic:
have (K : Ideal R) (hKI : K ≤ I) (hK : K ∈ ann.minimalPrimes) : K = I :=
      le_antisymm hKI (hI.2 hK.1 hKI)
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
n : ℕ
hn0 : n ≠ 0
h : ann.minimalPrimes.Finite
hn : I ^ n * (h.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id ^ n ≤ ann
this : ∀ (K : Ideal R) (hKI : K ≤ I) (hK : K ∈ ann.minimalPrimes), K = I
⊢ ¬(h.toFinset (s := ann.minimalPrimes).erase I).inf id ^ n ≤ I

Tactic:
simpa [hI.isPrime.pow_le_iff hn0, hI.isPrime.inf_le', imp_not_comm, not_imp_not]

Premises used: Ideal.IsPrime.inf_le', Ideal.IsMinimalPrime.isPrime, imp_not_comm, Ideal.IsPrime.pow_le_iff, not_imp_not
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
⊢ ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I

Tactic:
have key : ∃ n ≠ 0, ∃ J : Ideal R, I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬ J ≤ I := by
    -- let `n` be large enough so that `ann.radical ^ n ≤ ann` (uses Noetherian)
    obtain ⟨n, hn⟩ := ann.exists_radical_pow_le_of_fg ann.radical.fg_of_isNoetherianRing
    have hn0 : n ≠ 0 := by contrapose hn; simpa [hn, ann]
    -- then take `J` to be the product of the other minimal primes raised to the `n`th power
    have h := ann.finite_minimalPrimes_of_isNoetherianRing R
    rw [← ann.sInf_minimalPrimes, ← h.coe_toFinset, ← h.toFinset.inf_id_eq_sInf,
      ← Finset.insert_erase (h.mem_toFinset.mpr hI), Finset.inf_insert, id_eq] at hn
    grw [← Ideal.mul_le_inf, mul_pow] at hn
    refine ⟨n, hn0, ((h.toFinset.erase I).inf id) ^ n, hn, ?_⟩
    have (K : Ideal R) (hKI : K ≤ I) (hK : K ∈ ann.minimalPrimes) : K = I :=
      le_antisymm hKI (hI.2 hK.1 hKI)
    simpa [hI.isPrime.pow_le_iff hn0, hI.isPrime.inf_le', imp_not_comm, not_imp_not]
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
neg :
  ∀ (hn0 : Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key ≠ 0) (J : Ideal R)
    (hJ : I ^ Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key * J ≤ ann)
    (hJI : ¬J ≤ I), ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}
⊢ ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}

Tactic:
obtain ⟨hn0, J, hJ, hJI⟩ := Nat.find_spec key

Premises used: Nat.find_spec
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
hn0 : Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key ≠ 0
J : Ideal R
hJ : I ^ Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key * J ≤ ann
hJI : ¬J ≤ I
⊢ let n := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key;
  n ≠ 0

Tactic:
set n := Nat.find key

Premises used: Nat.find
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
hn0 : Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key ≠ 0
J : Ideal R
hJ : I ^ Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key * J ≤ ann
hJI : ¬J ≤ I
hn0₁ :
  let n := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key;
  n ≠ 0
⊢ let n := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key;
  I ^ n * J ≤ ann

Tactic:
set n := Nat.find key

Premises used: Nat.find
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hn0 : n ≠ 0
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
y : R
hy : y ∈ K
p : R
hp : p ∈ I
rw : p * y ∈ N.colon {x}
⊢ p ∈ N.colon {y • x}

Tactic:
rw [mem_colon_singleton, smul_smul, ← mem_colon_singleton]

Premises used: smul_smul, Submodule.mem_colon_singleton
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hn0 : n ≠ 0
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
y : R
hy : y ∈ K
p : R
hp : p ∈ I
a : p * y ∈ I ^ n * J
⊢ p * y ∈ N.colon {x}

Tactic:
apply hJ
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hn0 : n ≠ 0
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
y : R
hy : y ∈ K
p : R
hp : p ∈ I
⊢ p * y ∈ I ^ n * J

Tactic:
simpa [K, ← mul_assoc, mul_pow_sub_one hn0] using mul_mem_mul hp hy

Premises used: Submodule.mul_mem_mul, mul_assoc, mul_pow_sub_one
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hn0 : n ≠ 0
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
⊢ ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}

Tactic:
have step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ colon N {y • x} := by
    intro y hy p hp
    rw [mem_colon_singleton, smul_smul, ← mem_colon_singleton]
    apply hJ
    simpa [K, ← mul_assoc, mul_pow_sub_one hn0] using mul_mem_mul hp hy
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
step2 : ∃ (y : ↥K), N.colon {y • x} ≤ I
obtain : ∀ (y : ↥K) (hyI : N.colon {y • x} ≤ I), ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}
⊢ ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}

Tactic:
obtain ⟨y, hyI⟩ := step2
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
y : ↥K
hyI : N.colon {y • x} ≤ I
⊢ ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}

Tactic:
⟨y • x, le_antisymm (step1 y y.2) hyI⟩

Premises used: le_antisymm, Exists.intro, HSMul.hSMul, Subtype.val, Subtype.property
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
y : ↥K
hyI : N.colon {y • x} ≤ I
⊢ ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}

Tactic:
exact ⟨y • x, le_antisymm (step1 y y.2) hyI⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.MinimalPrime.Colon
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
N : Submodule R M
I : Ideal R
x : M
inst_3 : IsNoetherianRing R
hx : x ∉ N
ann : Ideal R := N.colon {x}
hI : I ∈ ann.minimalPrimes
key : ∃ (n : ℕ), n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I
J : Ideal R
hJI : ¬J ≤ I
n : ℕ := Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ n ≠ 0 ∧ ∃ (J : Ideal R), I ^ n * J ≤ ann ∧ ¬J ≤ I) key
hJ : I ^ n * J ≤ ann
K : Ideal R := I ^ (n - 1) * J
step1 : ∀ y ∈ K, I ≤ N.colon {y • x}
neg : ∃ (y : ↥K), N.colon {y • x} ≤ I
⊢ ∃ (x' : M), I = N.colon {x'}

Tactic:
suffices step2 : ∃ y : K, colon N {y • x} ≤ I by
    obtain ⟨y, hyI⟩ := step2
    exact ⟨y • x, le_antisymm (step1 y y.2) hyI⟩