awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ :
  Quiver.Hom (V := F.DescentData f') (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₁)
    (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₂)
W : C
q : W ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : W ⟶ X i₁
f₂ : W ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
H :
  Membership.mem (α := Sieve (Over.mk f₁)) (γ := Set (Sieve (Over.mk f₁)))
    ((J.over (X i₁) : (a : Over (X i₁)) → Set (Sieve a)) (Over.mk f₁))
    (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
        (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')) :
      Sieve (Over.mk f₁))
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc)) (hom w hf' φ i₁) =
    D₁.hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc)) (hom w hf' φ i₂) ≫ D₂.hom q f₂ f₁ ⋯ ⋯

Tactic:
((isSheaf_iff_isSheaf_of_type _ _).1
    (IsPrestack.isSheaf J (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)) _ H).isSeparatedFor.ext ?_

Premises used: CategoryTheory.Pseudofunctor.DescentData.obj, CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor.ext, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor.isSeparatedFor, CategoryTheory.isSheaf_iff_isSheaf_of_type, CategoryTheory.Pseudofunctor.IsPrestack.isSheaf, Iff.mp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ :
  Quiver.Hom (V := F.DescentData f') (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₁)
    (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₂)
W : C
q : W ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : W ⟶ X i₁
f₂ : W ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
H :
  Membership.mem (α := Sieve (Over.mk f₁)) (γ := Set (Sieve (Over.mk f₁)))
    ((J.over (X i₁) : (a : Over (X i₁)) → Set (Sieve a)) (Over.mk f₁))
    (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
        (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')) :
      Sieve (Over.mk f₁))
refine :
  ∀ ⦃Y : Over.{v, u} (X i₁)⦄ ⦃f_1 : Y ⟶ Over.mk f₁⦄,
    Sieve.arrows
        (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
          (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')))
        f_1 →
      Eq (α := (fun (X : Type v') ↦ X) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).obj (op Y)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).map f_1.op) :
              (a : (fun (X : Type v') ↦ X) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).obj (op (Over.mk f₁)))) →
                (fun (X : Type v') ↦ X) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).obj (op Y)))
            (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc)) (hom w hf' φ i₁)) :
          (fun (X : Type v') ↦ X) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).obj (op Y)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).map f_1.op) :
              (a : (fun (X : Type v') ↦ X) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).obj (op (Over.mk f₁)))) →
                (fun (X : Type v') ↦ X) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).obj (op Y)))
            (D₁.hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
              Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc)) (hom w hf' φ i₂) ≫ D₂.hom q f₂ f₁ ⋯ ⋯) :
          (fun (X : Type v') ↦ X) ((F.presheafHom (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)).obj (op Y)))
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc)) (hom w hf' φ i₁) =
    D₁.hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc)) (hom w hf' φ i₂) ≫ D₂.hom q f₂ f₁ ⋯ ⋯

Tactic:
refine ((isSheaf_iff_isSheaf_of_type _ _).1
    (IsPrestack.isSheaf J (D₁.obj i₁) (D₂.obj i₁)) _ H).isSeparatedFor.ext ?_

Premises used: CategoryTheory.Pseudofunctor.DescentData.obj, CategoryTheory.Presieve.IsSeparatedFor.ext, CategoryTheory.Presieve.IsSheafFor.isSeparatedFor, CategoryTheory.isSheaf_iff_isSheaf_of_type, CategoryTheory.Pseudofunctor.IsPrestack.isSheaf, Iff.mp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ :
  Quiver.Hom (V := F.DescentData f') (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₁)
    (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₂)
W : C
q : W ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : W ⟶ X i₁
f₂ : W ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
H :
  Membership.mem (α := Sieve (Over.mk f₁)) (γ := Set (Sieve (Over.mk f₁)))
    ((J.over (X i₁) : (a : Over (X i₁)) → Set (Sieve a)) (Over.mk f₁))
    (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
        (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')) :
      Sieve (Over.mk f₁))
Y : C
j : ι'
T : C
g : T ⟶ X' j
p : T ⟶ W
fac : g ≫ f' j = p ≫ q
⊢ Eq.{v + 1} (α := { as := op (X i₂) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ } ⟶ { as := op T })
    (CategoryStruct.comp (Y := { as := op W }) f₂.op.toLoc p.op.toLoc) (p ≫ f₂).op.toLoc

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ :
  Quiver.Hom (V := F.DescentData f') (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₁)
    (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₂)
W : C
q : W ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : W ⟶ X i₁
f₂ : W ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
H :
  Membership.mem (α := Sieve (Over.mk f₁)) (γ := Set (Sieve (Over.mk f₁)))
    ((J.over (X i₁) : (a : Over (X i₁)) → Set (Sieve a)) (Over.mk f₁))
    (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
        (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')) :
      Sieve (Over.mk f₁))
Y : C
j : ι'
T : C
g : T ⟶ X' j
p : T ⟶ W
fac : g ≫ f' j = p ≫ q
⊢ g ≫ f' j = (p ≫ f₁) ≫ f i₁

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ :
  Quiver.Hom (V := F.DescentData f') (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₁)
    (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₂)
W : C
q : W ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : W ⟶ X i₁
f₂ : W ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
H :
  Membership.mem (α := Sieve (Over.mk f₁)) (γ := Set (Sieve (Over.mk f₁)))
    ((J.over (X i₁) : (a : Over (X i₁)) → Set (Sieve a)) (Over.mk f₁))
    (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
        (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')) :
      Sieve (Over.mk f₁))
Y : C
j : ι'
T : C
g : T ⟶ X' j
p : T ⟶ W
fac : g ≫ f' j = p ≫ q
⊢ g ≫ f' j = (p ≫ f₂) ≫ f i₂

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ :
  Quiver.Hom (V := F.DescentData f') (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₁)
    (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₂)
W : C
q : W ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : W ⟶ X i₁
f₂ : W ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
H :
  Membership.mem (α := Sieve (Over.mk f₁)) (γ := Set (Sieve (Over.mk f₁)))
    ((J.over (X i₁) : (a : Over (X i₁)) → Set (Sieve a)) (Over.mk f₁))
    (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
        (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')) :
      Sieve (Over.mk f₁))
Y : C
j : ι'
T : C
g : T ⟶ X' j
p : T ⟶ W
fac : g ≫ f' j = p ≫ q
⊢ (p ≫ f₁) ≫ f i₁ = p ≫ q

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ :
  Quiver.Hom (V := F.DescentData f') (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₁)
    (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₂)
W : C
q : W ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : W ⟶ X i₁
f₂ : W ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
H :
  Membership.mem (α := Sieve (Over.mk f₁)) (γ := Set (Sieve (Over.mk f₁)))
    ((J.over (X i₁) : (a : Over (X i₁)) → Set (Sieve a)) (Over.mk f₁))
    (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
        (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')) :
      Sieve (Over.mk f₁))
Y : C
j : ι'
T : C
g : T ⟶ X' j
p : T ⟶ W
fac : g ≫ f' j = p ≫ q
⊢ (p ≫ f₂) ≫ f i₂ = p ≫ q

Tactic:
grind
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ :
  Quiver.Hom (V := F.DescentData f') (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₁)
    (Functor.obj (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p') ⋯) D₂)
W : C
q : W ⟶ S
i₁ i₂ : ι
f₁ : W ⟶ X i₁
f₂ : W ⟶ X i₂
hf₁ : f₁ ≫ f i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f i₂ = q
H :
  Membership.mem (α := Sieve (Over.mk f₁)) (γ := Set (Sieve (Over.mk f₁)))
    ((J.over (X i₁) : (a : Over (X i₁)) → Set (Sieve a)) (Over.mk f₁))
    (((Sieve.overEquiv (Over.mk f₁)).symm : (a : Sieve (Over.mk f₁).left) → Sieve (Over.mk f₁))
        (Sieve.pullback q (Sieve.ofArrows X' f')) :
      Sieve (Over.mk f₁))
Y : C
j : ι'
T : C
g : T ⟶ X' j
p : T ⟶ W
fac : g ≫ f' j = p ≫ q
⊢ D₁.hom (p ≫ q) (p ≫ f₁) (g ≫ p' j) ⋯ ⋯ ≫
      pullHom (φ.hom j) g (g ≫ p' j) (g ≫ p' j) ⋯ ⋯ ≫ D₂.hom (p ≫ q) (g ≫ p' j) (p ≫ f₁) ⋯ ⋯ =
    NatTrans.app (Cat.Hom₂.toNatTrans (Iso.hom (F.mapComp' f₁.op.toLoc p.op.toLoc (p ≫ f₁).op.toLoc ⋯))) (D₁.obj i₁) ≫
      ((F.mapComp' f₁.op.toLoc p.op.toLoc (p ≫ f₁).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D₁.obj i₁) ≫
          D₁.hom (p ≫ q) (p ≫ f₁) (p ≫ f₂) ⋯ ⋯ ≫
            (F.mapComp' f₂.op.toLoc p.op.toLoc (p ≫ f₂).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D₁.obj i₂)) ≫
        ((F.mapComp' f₂.op.toLoc p.op.toLoc (p ≫ f₂).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D₁.obj i₂) ≫
            (D₁.hom (p ≫ q) (p ≫ f₂) (g ≫ p' j) ⋯ ⋯ ≫
                pullHom (φ.hom j) g (g ≫ p' j) (g ≫ p' j) ⋯ ⋯ ≫ D₂.hom (p ≫ q) (g ≫ p' j) (p ≫ f₂) ⋯ ⋯) ≫
              (F.mapComp' f₂.op.toLoc p.op.toLoc (p ≫ f₂).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D₂.obj i₂)) ≫
          ((F.mapComp' f₂.op.toLoc p.op.toLoc (p ≫ f₂).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D₂.obj i₂) ≫
              D₂.hom (p ≫ q) (p ≫ f₂) (p ≫ f₁) ⋯ ⋯ ≫
                (F.mapComp' f₁.op.toLoc p.op.toLoc (p ≫ f₁).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D₂.obj i₁)) ≫
            NatTrans.app (Cat.Hom₂.toNatTrans (Iso.inv (F.mapComp' f₁.op.toLoc p.op.toLoc (p ≫ f₁).op.toLoc ⋯)))
              (D₂.obj i₁)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : (pullFunctor F ⋯).obj D₁ ⟶ (pullFunctor F ⋯).obj D₂
h :
  ∀ (i : ι'),
    ((pullFunctor F ⋯).map { hom := fun (i : ι) ↦ full_pullFunctor.hom w hf' φ i, comm := ⋯ : D₁.Hom D₂ }).hom i =
      φ.hom i
⊢ (pullFunctor F ⋯).map { hom := fun (i : ι) ↦ full_pullFunctor.hom w hf' φ i, comm := ⋯ : D₁.Hom D₂ } = φ

Tactic:
ext i
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : (pullFunctor F ⋯).obj D₁ ⟶ (pullFunctor F ⋯).obj D₂
i : ι'
h : Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' i).op.toLoc)) (full_pullFunctor.hom w hf' φ (α i)) = φ.hom i
⊢ ((pullFunctor F ⋯).map { hom := fun (i : ι) ↦ full_pullFunctor.hom w hf' φ i, comm := ⋯ : D₁.Hom D₂ }).hom i = φ.hom i

Tactic:
dsimp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : (pullFunctor F ⋯).obj D₁ ⟶ (pullFunctor F ⋯).obj D₂
i : ι'
h : mor w φ (p' i) (𝟙 (X' i)) ⋯ = φ.hom i
h₁ :
  D₁.hom (f' i) (p' i) (p' i) ⋯ ⋯ ≫ pullHom (φ.hom i) (𝟙 (X' i)) (p' i) (p' i) ⋯ ⋯ ≫ D₂.hom (f' i) (p' i) (p' i) ⋯ ⋯ =
    φ.hom i
h₂ : D₁.hom (f' i) (p' i) (p' i) ⋯ ⋯ ≫ φ.hom i ≫ D₂.hom (f' i) (p' i) (p' i) ⋯ ⋯ = φ.hom i
h₃ :
  𝟙
        (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α i)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
          (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' i).op.toLoc)) (D₁.obj (α i))) ≫
      φ.hom i ≫ D₂.hom (f' i) (p' i) (p' i) ⋯ ⋯ =
    φ.hom i
h₄ :
  𝟙
        (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α i)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
          (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' i).op.toLoc)) (D₁.obj (α i))) ≫
      φ.hom i ≫
        𝟙
          (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α i)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
            (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' i).op.toLoc)) (D₂.obj (α i))) =
    φ.hom i
h₅ :
  φ.hom i ≫
      𝟙
        (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α i)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
          (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' i).op.toLoc)) (D₂.obj (α i))) =
    φ.hom i
h₆ h₇ : φ.hom i = φ.hom i
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' i).op.toLoc)) (full_pullFunctor.hom w hf' φ (α i)) = φ.hom i

Tactic:
rw [map_hom _ _ _ _ (𝟙 _) (by cat_disch),
        mor_eq _ _ _ _ _ (f' i) (p' i), pullHom_id,
        D₁.hom_self _ _ (by cat_disch), D₂.hom_self _ _ (by cat_disch),
        Category.id_comp, Category.comp_id]

Premises used: CategoryTheory.CategoryStruct.id, CategoryTheory.Category.comp_id, CategoryTheory.Pseudofunctor.LocallyDiscreteOpToCat.pullHom_id, CategoryTheory.Pseudofunctor.DescentData.hom_self, _private.0.CategoryTheory.Pseudofunctor.DescentData.full_pullFunctor.map_hom, _private.0.CategoryTheory.Pseudofunctor.DescentData.full_pullFunctor.mor_eq, CategoryTheory.Category.id_comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
⊢ (pullFunctor F ⋯).Faithful

Tactic:
have := faithful_pullFunctor F w hf'
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
this : (pullFunctor F ⋯).Faithful
⊢ (pullFunctor F ⋯).Full

Tactic:
have := full_pullFunctor F w hf'
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j
hf' : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
this_1 : (pullFunctor F ⋯).Faithful
this : (pullFunctor F ⋯).Full
⊢ (pullFunctor F ⋯).FullyFaithful

Tactic:
exact .ofFullyFaithful _
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
h₁ : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
h₂ : Sieve.ofArrows X' f' ≤ Sieve.ofArrows X f
inst_2 : (F.toDescentData f').IsEquivalence
i' : ι'
obtain : ∀ ⦃Y : C⦄ (i : ι) (p : X' i' ⟶ X i) (fac : p ≫ f i = f' i'), ∃ (i : ι) (p : X' i' ⟶ X i), p ≫ f i = f' i'
⊢ ∃ (i : ι) (p : X' i' ⟶ X i), p ≫ f i = f' i'

Tactic:
obtain ⟨_, p, _, ⟨i⟩, fac⟩ := h₂ _ (Sieve.ofArrows_mk _ f' i')

Premises used: CategoryTheory.Sieve.ofArrows_mk
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
h₁ : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
h₂ : Sieve.ofArrows X' f' ≤ Sieve.ofArrows X f
inst_2 : (F.toDescentData f').IsEquivalence
i' : ι'
Y : C
i : ι
p : X' i' ⟶ X i
fac : p ≫ f i = f' i'
⊢ ∃ (i : ι) (p : X' i' ⟶ X i), p ≫ f i = f' i'

Tactic:
⟨_, _, fac⟩

Premises used: Exists.intro
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
h₁ : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
h₂ : Sieve.ofArrows X' f' ≤ Sieve.ofArrows X f
inst_2 : (F.toDescentData f').IsEquivalence
i' : ι'
Y : C
i : ι
p : X' i' ⟶ X i
fac : p ≫ f i = f' i'
⊢ ∃ (i : ι) (p : X' i' ⟶ X i), p ≫ f i = f' i'

Tactic:
exact ⟨_, _, fac⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
h₁ : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
h₂ : Sieve.ofArrows X' f' ≤ Sieve.ofArrows X f
inst_2 : (F.toDescentData f').IsEquivalence
⊢ ∀ (i' : ι'), ∃ (i : ι) (p : X' i' ⟶ X i), p ≫ f i = f' i'

Tactic:
have H (i' : ι') : ∃ (i : ι) (p : X' i' ⟶ X i), p ≫ f i = f' i' := by
    obtain ⟨_, p, _, ⟨i⟩, fac⟩ := h₂ _ (Sieve.ofArrows_mk _ f' i')
    exact ⟨_, _, fac⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
h₁ : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
h₂ : Sieve.ofArrows X' f' ≤ Sieve.ofArrows X f
inst_2 : (F.toDescentData f').IsEquivalence
H : ∀ (i' : ι'), ∃ (i : ι) (p : X' i' ⟶ X i), p ≫ f i = f' i'
choose :
  ∀ (α : (i' : ι') → ι) (p : (i' : ι') → X' i' ⟶ X (α i')) (hp : ∀ (i' : ι'), p i' ≫ f (α i') = f' i'),
    (F.toDescentData f).IsEquivalence
⊢ (F.toDescentData f).IsEquivalence

Tactic:
choose α p hp using H
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
h₁ : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
h₂ : Sieve.ofArrows X' f' ≤ Sieve.ofArrows X f
inst_2 : (F.toDescentData f').IsEquivalence
α : (i' : ι') → ι
p : (i' : ι') → X' i' ⟶ X (α i')
hp : ∀ (i' : ι'), p i' ≫ f (α i') = f' i'
refine_1 :
  Functor.FullyFaithful (C := F.DescentData f) (D := F.DescentData f') (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p) ⋯)
refine_2 : Nonempty (F.toDescentData f ⋙ pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p) ⋯ ≅ F.toDescentData f')
⊢ ∃ (H : F.DescentData f ⥤ F.DescentData f') (x : H.FullyFaithful),
    Nonempty (F.toDescentData f ⋙ H ≅ F.toDescentData f')

Tactic:
refine ⟨pullFunctor F (p := 𝟙 _) (p' := p) (by cat_disch), ?_, ?_⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.Precoverage
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : LocallyDiscrete Cᵒᵖ ⥤ᵖ Cat
J : GrothendieckTopology.{v, u} C
inst_1 : F.IsPrestack J
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S
h₁ : Sieve.ofArrows X' f' ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) S
h₂ : Sieve.ofArrows X' f' ≤ Sieve.ofArrows X f
inst_2 : (F.toDescentData f').IsEquivalence
α : (i' : ι') → ι
p : (i' : ι') → X' i' ⟶ X (α i')
hp : ∀ (i' : ι'), p i' ≫ f (α i') = f' i'
⊢ Functor.FullyFaithful (C := F.DescentData f) (D := F.DescentData f') (pullFunctor F (p := 𝟙 S) (α := α) (p' := p) ⋯)

Tactic:
exact fullyFaithfulPullFunctor F hp h₁

Premises used: CategoryTheory.Pseudofunctor.DescentData.fullyFaithfulPullFunctor