awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
⊢ StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))

Tactic:
have hmono : StrictMonoOn (fun x ↦ ArchimedeanClass.mk (f x).val) f.support := by
    intro c hc d hd h
    simp only
    rw [seed.archimedeanClassMk_of_mem_stratum (f c).prop (by simpa using hc)]
    rw [seed.archimedeanClassMk_of_mem_stratum (f d).prop (by simpa using hd)]
    exact h
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
hmono :
  StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))
refine_2 :
  LT.lt (α := ArchimedeanClass M)
    (ArchimedeanClass.mk
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M))
    (ArchimedeanClass.mk
      (∑
        x ∈
          f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
        (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)))
⊢ LT.lt (α := ArchimedeanClass M)
    (ArchimedeanClass.mk
      (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)))
    (ArchimedeanClass.mk
      (∑
        x ∈
          f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
        (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)))

Tactic:
rw [DFinsupp.sum, ArchimedeanClass.mk_sum hsupport hmono]

Premises used: DFinsupp.sum, ArchimedeanClass.mk_sum
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
hmono :
  StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))
⊢ (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
      M) ≠
    0

Tactic:
simpa using f.support.min'_mem hsupport

Premises used: Finset.min'_mem, DFinsupp.support
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
hmono :
  StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))
refine_2 :
  (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport) : ArchimedeanClass M) <
    ArchimedeanClass.mk
      (∑
        x ∈
          f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
        (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
⊢ LT.lt (α := ArchimedeanClass M)
    (ArchimedeanClass.mk
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M))
    (ArchimedeanClass.mk
      (∑
        x ∈
          f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
        (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)))

Tactic:
rw [seed.archimedeanClassMk_of_mem_stratum (f _).prop
    (by simpa using f.support.min'_mem hsupport)]

Premises used: HahnEmbedding.ArchimedeanStrata.archimedeanClassMk_of_mem_stratum, HahnEmbedding.Seed.toArchimedeanStrata, Subtype.prop, DFunLike.coe
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
hmono :
  StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))
hsupport' :
  (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
      (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).Nonempty
⊢ (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
      Set (FiniteArchimedeanClass M)) ⊆
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
hmono :
  StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))
hsupport' :
  (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
      (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).Nonempty
pos :
  (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport) : ArchimedeanClass M) <
    ArchimedeanClass.mk
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            ((f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
                  (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).min'
              hsupport')) :
        M)
⊢ (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport) : ArchimedeanClass M) <
    ArchimedeanClass.mk
      (∑
        x ∈
          f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
        (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))

Tactic:
rw [ArchimedeanClass.mk_sum hsupport' (hmono.mono (by simp))]

Premises used: StrictMonoOn.mono, ArchimedeanClass.mk_sum
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
hmono :
  StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))
hsupport' :
  (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
      (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).Nonempty
⊢ (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
          ((f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
                (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).min'
            hsupport')) :
      M) ≠
    0

Tactic:
simpa using (Finset.mem_erase.mp <| (f.support.erase _).min'_mem hsupport').2

Premises used: Finset.min'_mem, DFinsupp.support, Finset.mem_erase, And.right, Iff.mp, Finset.erase
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
hmono :
  StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))
hsupport' :
  (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
      (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).Nonempty
pos :
  (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).min'
      hsupport' ∈
    f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
      (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)
⊢ (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport) : ArchimedeanClass M) <
    (↑((f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
              (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).min'
          hsupport') :
      ArchimedeanClass M)

Tactic:
apply Finset.min'_lt_of_mem_erase_min' (α := FiniteArchimedeanClass M)

Premises used: Finset.min'_lt_of_mem_erase_min'
-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding
Goal:
K : Type u_1
inst : DivisionRing K
inst_1 : LinearOrder K
inst_2 : IsOrderedRing K
inst_3 : Archimedean K
M : Type u_2
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : LinearOrder M
inst_6 : IsOrderedAddMonoid M
inst_7 : Module K M
inst_8 : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst_9 : AddCommGroup R
inst_10 : LinearOrder R
inst_11 : Module K R
seed : Seed K M R
x : ↥seed.baseEmbedding.domain
hx : 0 < x
hmem : (↑x : M) ∈ seed.baseDomain
f : Π₀ (i : FiniteArchimedeanClass M), ↥(seed.stratum i)
hf :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (xi : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑xi : M)) =
    (↑x : M)
hfpos :
  LT.lt (α := M) 0
    (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
      fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M))
hsupport : f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).Nonempty
hferase :
  (f.sum (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))
        fun (x : FiniteArchimedeanClass M) (x_1 : ↥(seed.stratum x)) ↦ (↑x_1 : M)) -
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a))
            (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)) :
        M) =
    ∑
      x ∈
        f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport),
      (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M)
hmono :
  StrictMonoOn (β := ArchimedeanClass M)
    (fun (x : FiniteArchimedeanClass M) ↦
      ArchimedeanClass.mk (↑((f : (a : FiniteArchimedeanClass M) → ↥(seed.stratum a)) x) : M))
    (↑(f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i))) : Set (FiniteArchimedeanClass M))
hsupport' :
  (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
      (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).Nonempty
⊢ (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
          (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)).min'
      hsupport' ∈
    f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).erase
      (f.support (β := fun (i : FiniteArchimedeanClass M) ↦ ↥(seed.stratum i)).min' hsupport)

Tactic:
apply Finset.min'_mem _ _

Premises used: Finset.min'_mem