awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y x : (j : J) × F.obj j
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
⟨x.1, 𝟙 _, 𝟙 _, rfl⟩

Premises used: CategoryTheory.CategoryStruct.id, Sigma.fst, Exists.intro, rfl
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y x : (j : J) × F.obj j
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
exact ⟨x.1, 𝟙 _, 𝟙 _, rfl⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y x_1 y_1 : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x_1 y_1
h :
  ∃ (k : J) (f : x_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : y_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (y_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
mp :
  ∀ (k : J) (f : x_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : y_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k)
    (h :
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (x_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (y_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))),
    ∃ (k : J) (f : y_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : x_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (y_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (x_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ ∃ (k : J) (f : y_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : x_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (y_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
obtain ⟨k, f, g, h⟩ := h
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y x_1 y_1 : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x_1 y_1
k : J
f : x_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ ∃ (k : J) (f : y_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : x_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (y_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
⟨k, g, f, h.symm⟩

Premises used: Exists.intro, Eq.symm
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y x_1 y_1 : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x_1 y_1
k : J
f : x_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ ∃ (k : J) (f : y_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : x_1.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (y_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x_1.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x_1.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
exact ⟨k, g, f, h.symm⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y_1 x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
h_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
mp :
  ∀ (l : J) (a : k ⟶ l) (b : k' ⟶ l) (h'' : g ≫ a = f' ≫ b),
    ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
obtain ⟨l, a, b, h''⟩ := span g f'

Premises used: CategoryTheory.IsFiltered.span
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y_1 x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
h_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
a : k ⟶ l
b : k' ⟶ l
h'' : g ≫ a = f' ≫ b
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
⟨l, f ≫ a, g' ≫ b, ?_⟩

Premises used: Exists.intro, CategoryTheory.CategoryStruct.comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y_1 x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
h_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
a : k ⟶ l
b : k' ⟶ l
h'' : g ≫ a = f' ≫ b
mp :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f ≫ a)) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (g' ≫ b)) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))

Tactic:
refine ⟨l, f ≫ a, g' ≫ b, ?_⟩
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y_1 x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
h_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
a : k ⟶ l
b : k' ⟶ l
h'' : g ≫ a = f' ≫ b
mp :
  Eq (α := F.obj l)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a) : (a : F.obj k) → F.obj l)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : F.obj y.fst) → F.obj k)
            (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          F.obj k) :
      F.obj l)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map b) : (a : F.obj k') → F.obj l)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') : (a : F.obj y.fst) → F.obj k')
            (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          F.obj k') :
      F.obj l)
⊢ Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f ≫ a)) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (g' ≫ b)) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))

Tactic:
simp only [map_comp, comp_apply, h, ← h']

Premises used: CategoryTheory.comp_apply, CategoryTheory.Functor.map_comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y_1 x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
h_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
a : k ⟶ l
b : k' ⟶ l
h'' : g ≫ a = f' ≫ b
⊢ Eq (α := F.obj l)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a) : (a : F.obj k) → F.obj l)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : F.obj y.fst) → F.obj k)
            (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          F.obj k) :
      F.obj l)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map b) : (a : F.obj k') → F.obj l)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') : (a : F.obj y.fst) → F.obj k')
            (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          F.obj k') :
      F.obj l)

Tactic:
simp [← comp_apply, ← map_comp, h'']

Premises used: CategoryTheory.comp_apply, CategoryTheory.Functor.map_comp
-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y : (j : J) × F.obj j
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
mpr :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
mpr₁ :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
    y
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y

Tactic:
apply Relation.EqvGen.trans (y := ⟨k, F.map f' y.2⟩)

Premises used: Relation.EqvGen.trans