-- Module: Mathlib.Algebra.Order.Rearrangement
Goal:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : Semiring α
inst_1 : LinearOrder α
inst_2 : IsStrictOrderedRing α
inst_3 : ExistsAddOfLE α
inst_4 : AddCommMonoid β
inst_5 : LinearOrder β
inst_6 : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst_7 : Module α β
inst_8 : PosSMulMono α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g (↑s : Set ι)
hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι)
empty :
  ∀ {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑∅ : Set ι)) (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑∅ : Set ι)),
    LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ ∅, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ ∅, f i • g i)
insert insert₁ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    (hind :
      ∀ {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑s : Set ι)) (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι)),
        LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ Insert.insert a s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ Insert.insert a s, f i • g i)
insert₂ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    (hind :
      ∀ {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑s : Set ι)) (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι)),
        LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a))),
      LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ Insert.insert a s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ Insert.insert a s, f i • g i)
insert₃ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    (hind :
      ∀ {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑s : Set ι)) (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι)),
        LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι)),
      LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ Insert.insert a s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ Insert.insert a s, f i • g i)
insert₄ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i)),
      LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ Insert.insert a s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ Insert.insert a s, f i • g i)
insert₅ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i)),
      f a • g ((σ : (a : ι) → ι) a) + ∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i) ≤ f a • g a + ∑ i ∈ s, f i • g i
insert₆ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i)),
      f a • g ((σ : (a : ι) → ι) a) + ∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i) ≤
        f a • g a + ∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)
insert₇ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a = (σ : (a : ι) → ι) a),
      f a • g ((σ : (a : ι) → ι) a) + ∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i) ≤
        f a • g a + ∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)
insert₈ insert₉ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a),
      f a • g ((σ : (a : ι) → ι) a) + ∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i) ≤
        f a • g a + ∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)
insert₁₀ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)),
      f a • g ((σ : (a : ι) → ι) a) + ∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i) ≤
        f a • g a + ∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)
insert₁₁ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)),
      f a • g ((σ : (a : ι) → ι) a) +
          (f ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a) • g ((σ : (a : ι) → ι) ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)) +
            ∑ i ∈ s.erase ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a), f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) ≤
        f a • g a +
          (f ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a) • g ((τ : (a : ι) → ι) ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)) +
            ∑ i ∈ s.erase ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a), f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i))
insert₁₂ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)),
      f a • g ((σ : (a : ι) → ι) a) +
            f ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a) • g ((σ : (a : ι) → ι) ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)) +
          ∑ i ∈ s.erase ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a), f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i) ≤
        f a • g a + f ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a) • g ((τ : (a : ι) → ι) ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)) +
          ∑ i ∈ s.erase ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a), f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)
insert₁₃ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)),
      f a • g ((σ : (a : ι) → ι) a) + f ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a) • g a +
          ∑ i ∈ s.erase ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a), f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i) ≤
        f a • g a + f ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a) • g ((σ : (a : ι) → ι) a) +
          ∑ x ∈ s.erase ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a),
            f x • g ((Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a) : (a : ι) → ι) ((σ : (a : ι) → ι) x : ι))
insert₁₄ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)),
      f ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a) ≤ f a
insert₁₅ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)),
      g ((σ : (a : ι) → ι) a) ≤ g a
insert₁₆ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)) (x : ι)
      (hx : x ∈ s.erase ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a)),
      f x • g ((σ : (a : ι) → ι) x) =
        f x • g ((Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a) : (a : ι) → ι) ((σ : (a : ι) → ι) x : ι))
insert₁₇ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)),
      g ((σ : (a : ι) → ι) a) ≤ g a
insert₁₈ insert₁₉ :
  ∀ (a : ι) (s : Finset ι) (has : a ∉ s)
    (hamax :
      ∀ x ∈ s,
        LE.le (α := Lex (β × α)) ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g x, f x) : Lex (β × α))
          ((toLex : (a : β × α) → Lex (β × α)) (g a, f a) : Lex (β × α)))
    {σ : Perm ι} (hfg : MonovaryOn f g (↑(Insert.insert a s) : Set ι))
    (hσ : {x : ι | (σ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑(Insert.insert a s) : Set ι)),
    let τ := Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a));
    ∀ (hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a)))
      (hτs : {x : ι | (τ : (a : ι) → ι) x ≠ x} ⊆ (↑s : Set ι))
      (hind : LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((τ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i))
      (hσa : a ≠ (σ : (a : ι) → ι) a) (h1s : Membership.mem (α := ι) s ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a : ι)) (x : ι)
      (hx : x ∈ s.erase ((Equiv.symm σ : (a : ι) → ι) a)),
      f x • g ((σ : (a : ι) → ι) x) =
        f x • g ((Equiv.swap a ((σ : (a : ι) → ι) a) : (a : ι) → ι) ((σ : (a : ι) → ι) x : ι))
⊢ LE.le.{u_3} (α := β) (∑ i ∈ s, f i • g ((σ : (a : ι) → ι) i)) (∑ i ∈ s, f i • g i)

Tactic:
classical
  induction s using induction_on_max_value fun i ↦ toLex (g i, f i) generalizing σ with
  | empty => simp only [le_rfl, Finset.sum_empty]
  | insert a s has hamax hind => ?_
  set τ : Perm ι := σ.trans (swap a (σ a)) with hτ
  have hτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ s := by
    intro x hx
    simp only [τ, Ne, Set.mem_setOf_eq, Equiv.swap_comp_apply] at hx
    split_ifs at hx with h₁ h₂
    · obtain rfl | hax := eq_or_ne x a
      · contradiction
      · exact mem_of_mem_insert_of_ne (hσ fun h ↦ hax <| h.symm.trans h₁) hax
    · exact (hx <| σ.injective h₂.symm).elim
    · exact mem_of_mem_insert_of_ne (hσ hx) (ne_of_apply_ne _ h₂)
  specialize hind (hfg.subset <| subset_insert _ _) hτs
  simp_rw [sum_insert has]
  grw [← hind]
  obtain hσa | hσa := eq_or_ne a (σ a)
  · rw [hτ, ← hσa, swap_self, trans_refl]
  have h1s : σ.symm a ∈ s := by
    rw [Ne, ← inv_eq_iff_eq] at hσa
    refine mem_of_mem_insert_of_ne (hσ fun h ↦ hσa ?_) hσa
    rwa [apply_symm_apply, eq_comm] at h
  simp only [← s.sum_erase_add _ h1s, add_comm]
  rw [← add_assoc, ← add_assoc]
  simp only [hτ, swap_apply_left, Function.comp_apply, Equiv.coe_trans, apply_symm_apply]
  refine add_le_add (smul_add_smul_le_smul_add_smul' ?_ ?_) (sum_congr rfl fun x hx ↦ ?_).le
  · specialize hamax (σ.symm a) h1s
    rw [Prod.Lex.toLex_le_toLex] at hamax
    rcases hamax with hamax | hamax
    · exact hfg (mem_insert_of_mem h1s) (mem_insert_self _ _) hamax
    · exact hamax.2
  · specialize hamax (σ a) (mem_of_mem_insert_of_ne (hσ <| σ.injective.ne hσa.symm) hσa.symm)
    rw [Prod.Lex.toLex_le_toLex] at hamax
    rcases hamax with hamax | hamax
    · exact hamax.le
    · exact hamax.1.le
  · rw [mem_erase, Ne, eq_symm_apply] at hx
    rw [swap_apply_of_ne_of_ne hx.1 (σ.injective.ne _)]
    rintro rfl
    exact has hx.2

Premises used: Equiv.apply_symm_apply, le_rfl, add_assoc, add_le_add, MonovaryOn.empty, Insert.insert, Eq.le, Ne, add_comm, Equiv.trans_refl, Finset.mem_erase, Equiv.Perm, Equiv.swap_self, Function.comp_apply, Finset.sum_empty, smul_add_smul_le_smul_add_smul', Prod.Lex.toLex_le_toLex, Equiv.coe_trans, Equiv.swap_apply_left, Finset.sum_congr, rfl, Equiv.eq_symm_apply