awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij_1 : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
hij : P.pairing i j = 0
⊢ P.pairing k j = 1

Tactic:
have hkj : P.pairing k j = 1 := by
      rw [← P.algebraMap_pairingIn ℤ]
      have := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystal_of_isRed' j k (by grind) (by grind)
      aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij_1 : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
hij : P.pairing i j = 0
hkj : P.pairing k j = 1
a : Eq («α» := R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (P.pairingIn ℤ l j) : R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) 1 : R)
⊢ P.pairingIn ℤ l j = 1

Tactic:
apply algebraMap_injective ℤ R

Premises used: Int, FaithfulSMul.algebraMap_injective
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij_1 : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
hij : P.pairing i j = 0
hkj : P.pairing k j = 1
a :
  Eq («α» := R)
    ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R)
              (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) :
            N →ₗ[R] R) :
          (a : N) → R)
        ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) :
      R)
    ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) 1 : R)
⊢ Eq («α» := R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (P.pairingIn ℤ l j) : R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) 1 : R)

Tactic:
rw [algebraMap_pairingIn, ← root_coroot_eq_pairing, ← h₁]

Premises used: RootPairing.root_coroot_eq_pairing, RootPairing.algebraMap_pairingIn
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij_1 : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
hij : P.pairing i j = 0
hkj : P.pairing k j = 1
⊢ Eq («α» := R)
    ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R)
              (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) :
            N →ₗ[R] R) :
          (a : N) → R)
        ((P.coroot : (a : ι) → N) j : N) :
      R)
    ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) 1 : R)

Tactic:
simp [hkj, hij]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
⊢ P.pairingIn ℤ l j = 1

Tactic:
have key₄ : P.pairingIn ℤ l j = 1 := by
    have hij : P.pairing i j = 0 := by
      rw [pairing_eq_zero_iff, ← P.algebraMap_pairingIn ℤ, aux₁, map_zero]
    have hkj : P.pairing k j = 1 := by
      rw [← P.algebraMap_pairingIn ℤ]
      have := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystal_of_isRed' j k (by grind) (by grind)
      aesop
    apply algebraMap_injective ℤ R
    rw [algebraMap_pairingIn, ← root_coroot_eq_pairing, ← h₁]
    simp [hkj, hij]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ l j = 1
rw : ¬P.pairingIn ℤ l j = 0
⊢ P.pairingIn ℤ j l ≠ 0

Tactic:
rw [ne_eq, P.pairingIn_eq_zero_iff]

Premises used: ne_eq, RootPairing.pairingIn_eq_zero_iff
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ l j = 1
⊢ ¬P.pairingIn ℤ l j = 0

Tactic:
lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ l j = 1
⊢ P.pairingIn ℤ j l ≠ 0

Tactic:
replace key₄ : P.pairingIn ℤ j l ≠ 0 := by rw [ne_eq, P.pairingIn_eq_zero_iff]; lia
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ j l ≠ 0
rw :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)
rw₁ rw₂ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) =
    HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) l = HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)

Tactic:
rw [← h₁, add_comm]

Premises used: add_comm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ j l ≠ 0
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M))

Tactic:
have hik_mem : P.root i + P.root k ∈ range P.root := ⟨l, by rw [← h₁, add_comm]⟩