awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst_9 : AddCommMonoid Q] [inst_10 : Module R Q] [inst_11 : Module S Q]
    [inst_12 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N :=
  TensorProduct.lift
    ((↑R :
        {S M : Type v₃} →
          {M₂ : Type (max v₁ v₂)} →
            [inst : Semiring R] →
              [inst_9 : Semiring S] →
                [inst_10 : AddCommMonoid M] →
                  [inst_11 : AddCommMonoid M₂] →
                    [inst_12 : Module R M] →
                      [inst_13 : Module R M₂] →
                        [inst_14 : Module S M] →
                          [inst_15 : Module S M₂] →
                            [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
      (S := S)
      (((LinearMap.flip (AlgHom.toLinearMap (Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N)))) :
            (M →ₗ[R] N) →ₗ[S] S →ₗ[S] M →ₗ[R] N) :
          (a : M →ₗ[R] N) → S →ₗ[S] M →ₗ[R] N)
        f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
hg :
  ∀ (x : M),
    Eq (α := ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M))
      ((g : (a : N) → ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)) ((f : (a : M) → N) x) : ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M))
      (((↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) : S ⊗[R] M →ₗ[R] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)) :
            (a : S ⊗[R] M) → ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M))
          (((mk R S M : (a : S) → M →ₗ[R] S ⊗[R] M) 1 : (a : M) → S ⊗[R] M) x) :
        ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M))
x : M
⊢ Eq (α := S ⊗[R] M)
    (ULift.down
        (((↑(LinearEquiv.symm ULift.moduleEquiv) : S ⊗[R] M →ₗ[R] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)) :
            (a : S ⊗[R] M) → ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M))
          (((mk R S M : (a : S) → M →ₗ[R] S ⊗[R] M) 1 : (a : M) → S ⊗[R] M) x)) :
      S ⊗[R] M)
    ((((AlgebraTensorModule.curry LinearMap.id : S →ₗ[S] M →ₗ[R] S ⊗[R] M) : (a : S) → M →ₗ[R] S ⊗[R] M) 1 :
          (a : M) → S ⊗[R] M)
        x :
      S ⊗[R] M)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
_ :
  ∀ [inst_9 : AddCommMonoid Q] [inst_10 : Module R Q] [inst_11 : Module S Q] [inst_12 : IsScalarTower R S Q]
    (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g
⊢ ∀ [inst_9 : AddCommMonoid Q] [inst_10 : Module R Q] [inst_11 : Module S Q] [inst_12 : IsScalarTower R S Q]
    (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
inst_9 : AddCommMonoid Q
_ :
  ∀ [inst_10 : Module R Q] [inst_11 : Module S Q] [inst_12 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g
⊢ ∀ [inst_10 : Module R Q] [inst_11 : Module S Q] [inst_12 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
inst_9 : AddCommMonoid Q
inst_10 : Module R Q
_ :
  ∀ [inst_11 : Module S Q] [inst_12 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g
⊢ ∀ [inst_11 : Module S Q] [inst_12 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
inst_9 : AddCommMonoid Q
inst_10 : Module R Q
inst_11 : Module S Q
_ :
  ∀ [inst_12 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g
⊢ ∀ [inst_12 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
      (↑R :
              {S : Type v₃} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_13 : Semiring S] →
                        [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_16 : Module R M] →
                              [inst_17 : Module R M₂] →
                                [inst_18 : Module S M] →
                                  [inst_19 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          f =
        g

Tactic:
_
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
inst_9 : AddCommMonoid Q
inst_10 : Module R Q
inst_11 : Module S Q
inst_12 : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
    (↑R :
            {S : Type v₃} →
              {M : Type v₂} →
                {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                  [inst : Semiring R] →
                    [inst_13 : Semiring S] →
                      [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_16 : Module R M] →
                            [inst_17 : Module R M₂] →
                              [inst_18 : Module S M] →
                                [inst_19 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
          g' ∘ₗ
        f =
      g

Tactic:
⟨h.lift g, h.lift_comp g, fun g' e => h.algHom_ext' _ _ (e.trans (h.lift_comp g).symm)⟩

Premises used: IsBaseChange.lift, IsBaseChange.lift_comp, ExistsUnique, And.intro, Exists.intro, IsBaseChange.algHom_ext', Eq.symm, Eq.trans
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : CommSemiring S
inst_4 : Algebra R S
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module S N
inst_8 : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
inst_9 : AddCommMonoid Q
inst_10 : Module R Q
inst_11 : Module S Q
inst_12 : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ ∃! g' : N →ₗ[S] Q,
    (↑R :
            {S : Type v₃} →
              {M : Type v₂} →
                {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) v₃)} →
                  [inst : Semiring R] →
                    [inst_13 : Semiring S] →
                      [inst_14 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_15 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_16 : Module R M] →
                            [inst_17 : Module R M₂] →
                              [inst_18 : Module S M] →
                                [inst_19 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
          g' ∘ₗ
        f =
      g

Tactic:
exact ⟨h.lift g, h.lift_comp g, fun g' e => h.algHom_ext' _ _ (e.trans (h.lift_comp g).symm)⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ u_1)) [inst_5 : AddCommMonoid Q] [inst_6 : Module R Q] [inst_7 : Module R Q]
    [inst_8 : IsScalarTower R R Q] (g : M →ₗ[R] Q),
    ∃! g' : N →ₗ[R] Q,
      (↑R :
              {S : Type u_1} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) u_1)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_9 : Semiring S] →
                        [inst_10 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_11 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_12 : Module R M] →
                              [inst_13 : Module R M₂] →
                                [inst_14 : Module S M] →
                                  [inst_15 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          (↑e : M →ₗ[R] N) =
        g
⊢ IsBaseChange R (↑e : M →ₗ[R] N)

Tactic:
apply IsBaseChange.of_lift_unique

Premises used: IsBaseChange.of_lift_unique
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
smul : ∀ (r : R) (q : Q), SMul.smul r q = SMul.smul r q
⊢ I₂ = I₃

Tactic:
ext r q
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
let : Q
⊢ Q

Tactic:
let _ := I₂
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
x : Module R Q := I₂
⊢ Q

Tactic:
exact r • q
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
let : Q
⊢ Q

Tactic:
let _ := I₃
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
x : Module R Q := I₃
⊢ Q

Tactic:
exact r • q
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
smul :
  Eq (α := Q)
    (let x := I₂;
    r • q)
    (let x := I₃;
    r • q)
⊢ SMul.smul r q = SMul.smul r q

Tactic:
change (by let _ := I₂; exact r • q) = (by let _ := I₃; exact r • q)
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
r : R
q : Q
smul : r • HSMul.hSMul (α := R) 1 q = r • HSMul.hSMul (α := R) 1 q
smul₁ : r • HSMul.hSMul (α := R) 1 q = (r * 1) • q
smul₂ : HSMul.hSMul (β := R) r 1 • q = (r * 1) • q
smul₃ smul₄ : (r * 1) • q = (r * 1) • q
⊢ r • q = r • q

Tactic:
rw [← one_smul R q, smul_smul, ← @smul_assoc _ _ _ (id _) (id _) (id _) I₄, smul_eq_mul]

Premises used: smul_assoc, smul_smul, one_smul, smul_eq_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
⊢ I₂ = I₃

Tactic:
have : I₂ = I₃ := by
    ext r q
    change (by let _ := I₂; exact r • q) = (by let _ := I₃; exact r • q)
    dsimp
    rw [← one_smul R q, smul_smul, ← @smul_assoc _ _ _ (id _) (id _) (id _) I₄, smul_eq_mul]
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
this : I₂ = I₃
h :
  ∀ [I₄ : IsScalarTower R R Q],
    ∃! g' : N →ₗ[R] Q,
      (↑R :
              {S : Type u_1} →
                {M : Type v₂} →
                  {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) u_1)} →
                    [inst : Semiring R] →
                      [inst_5 : Semiring S] →
                        [inst_6 : AddCommMonoid M] →
                          [inst_7 : AddCommMonoid M₂] →
                            [inst_8 : Module R M] →
                              [inst_9 : Module R M₂] →
                                [inst_10 : Module S M] →
                                  [inst_11 : Module S M₂] →
                                    [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
            g' ∘ₗ
          (↑e : M →ₗ[R] N) =
        g
⊢ ∃! g' : N →ₗ[R] Q,
    (↑R :
            {S : Type u_1} →
              {M : Type v₂} →
                {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) u_1)} →
                  [inst : Semiring R] →
                    [inst_5 : Semiring S] →
                      [inst_6 : AddCommMonoid M] →
                        [inst_7 : AddCommMonoid M₂] →
                          [inst_8 : Module R M] →
                            [inst_9 : Module R M₂] →
                              [inst_10 : Module S M] →
                                [inst_11 : Module S M₂] →
                                  [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
          g' ∘ₗ
        (↑e : M →ₗ[R] N) =
      g

Tactic:
cases this
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
h :
  ∀ (x : M),
    Eq (α := Q)
      (((↑R :
                  {S : Type u_1} →
                    {M : Type v₂} →
                      {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) u_1)} →
                        [inst : Semiring R] →
                          [inst_5 : Semiring S] →
                            [inst_6 : AddCommMonoid M] →
                              [inst_7 : AddCommMonoid M₂] →
                                [inst_8 : Module R M] →
                                  [inst_9 : Module R M₂] →
                                    [inst_10 : Module S M] →
                                      [inst_11 : Module S M₂] →
                                        [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                (g ∘ₗ (↑e.symm : N →ₗ[R] M)) ∘ₗ
              (↑e : M →ₗ[R] N) :
            (a : M) → Q)
          x :
        Q)
      ((g : (a : M) → Q) x : Q)
⊢ (↑R :
          {S : Type u_1} →
            {M : Type v₂} →
              {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) u_1)} →
                [inst : Semiring R] →
                  [inst_5 : Semiring S] →
                    [inst_6 : AddCommMonoid M] →
                      [inst_7 : AddCommMonoid M₂] →
                        [inst_8 : Module R M] →
                          [inst_9 : Module R M₂] →
                            [inst_10 : Module S M] →
                              [inst_11 : Module S M₂] →
                                [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
        (g ∘ₗ (↑e.symm : N →ₗ[R] M)) ∘ₗ
      (↑e : M →ₗ[R] N) =
    g

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct
Goal:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
inst : AddCommMonoid M
inst_1 : AddCommMonoid N
inst_2 : CommSemiring R
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ : Module R Q
g : M →ₗ[R] Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
x : M
⊢ Eq (α := Q)
    (((↑R :
                {S : Type u_1} →
                  {M : Type v₂} →
                    {M₂ : Type (max (max v₁ v₂) u_1)} →
                      [inst : Semiring R] →
                        [inst_5 : Semiring S] →
                          [inst_6 : AddCommMonoid M] →
                            [inst_7 : AddCommMonoid M₂] →
                              [inst_8 : Module R M] →
                                [inst_9 : Module R M₂] →
                                  [inst_10 : Module S M] →
                                    [inst_11 : Module S M₂] →
                                      [LinearMap.CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
              (g ∘ₗ (↑e.symm : N →ₗ[R] M)) ∘ₗ
            (↑e : M →ₗ[R] N) :
          (a : M) → Q)
        x :
      Q)
    ((g : (a : M) → Q) x : Q)

Tactic:
simp