-- Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Units.Regulator
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : InfinitePlace K
e₁ : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)
e₂ : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K :=
  Equiv.trans (finSuccEquiv (rank K))
    (↑((Equiv.symm (Equiv.optionSubtype w₁) :
            (a : Fin (rank K) ≃ { y : InfinitePlace K // y ≠ w₁ }) →
              { e : Option (Fin (rank K)) ≃ InfinitePlace K //
                (e : (a : Option (Fin (rank K))) → InfinitePlace K) none = w₁ })
          e₁.symm) :
      Option (Fin (rank K)) ≃ InfinitePlace K)
g : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) :=
  Equiv.trans (β := { b : Fin (rank K + 1) // b ≠ (f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂ })
    (f.symm.subtypeEquiv (p := fun (w : InfinitePlace K) ↦ w ≠ w₂) (q := fun (b : Fin (rank K + 1)) ↦
      b ≠ (f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂) ⋯)
    (Equiv.symm (finSuccAboveEquiv ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂)))
h_col :
  Eq (α := ℝ)
    |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
        (submatrix (m := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
            ((of :
                (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                  Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
              fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
              (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
                Real.log
                  (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                    ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                        (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                      K)))
            (⇑(g.trans e₂.symm) : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) id :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)|
    |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
        ((of :
              (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
            fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
            (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
              Real.log
                (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                      (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                    K)) :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)|
h :
  |det (n := Fin (rank K))
        (submatrix
          ((of : (a : Fin (rank K) → Fin (rank K + 1) → ℝ) → Matrix (Fin (rank K)) (Fin (rank K + 1)) ℝ)
            fun (i : Fin (rank K)) (w : Fin (rank K + 1)) ↦
            (↑(mult.{u_1} (K := K) ((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K) w)) : ℝ) *
              Real.log
                ((((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K) w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K) (↑(u i) : 𝓞 K) : K)))
          id (Fin.succAbove 0))| =
    |HSMul.hSMul (β := ℝ)
        (HSub.hSub (α := ℤ) (↑(↑0 : ℕ) : ℤ)
            (↑(↑((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂) : ℕ) : ℤ)).negOnePow
        (det (n := Fin (rank K))
          (submatrix
            ((of : (a : Fin (rank K) → Fin (rank K + 1) → ℝ) → Matrix (Fin (rank K)) (Fin (rank K + 1)) ℝ)
              fun (i : Fin (rank K)) (w : Fin (rank K + 1)) ↦
              (↑(mult.{u_1} (K := K) ((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K) w)) : ℝ) *
                Real.log
                  ((((f : (a : Fin (rank K + 1)) → InfinitePlace K) w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                    ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K) (↑(u i) : 𝓞 K) : K)))
            id (Fin.succAbove ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂))))|
refine_2 :
  Eq (α := ℝ)
    |det (n := Fin (rank K))
        (((reindex e₁ e₁ :
              Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ℝ ≃
                Matrix (Fin (rank K)) (Fin (rank K)) ℝ) :
            (a : Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ℝ) →
              Matrix (Fin (rank K)) (Fin (rank K)) ℝ)
          ((of :
              (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ℝ)
            fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ }) ↦
            (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
              Real.log
                (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                      (↑(u ((e₁ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                    K))))|
    |det (n := Fin (rank K))
        (((reindex g g :
              Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ ≃
                Matrix (Fin (rank K)) (Fin (rank K)) ℝ) :
            (a : Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ) →
              Matrix (Fin (rank K)) (Fin (rank K)) ℝ)
          (submatrix (m := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
            ((of :
                (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                  Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
              fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
              (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
                Real.log
                  (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                    ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                        (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                      K)))
            (⇑(g.trans e₂.symm) : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) id))|
⊢ Eq (α := ℝ)
    |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ })
        ((of :
              (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ℝ)
            fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ }) ↦
            (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
              Real.log
                (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                      (↑(u ((e₁ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                    K)) :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ℝ)|
    |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
        (submatrix (m := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
            ((of :
                (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                  Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
              fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
              (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
                Real.log
                  (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                    ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                        (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                      K)))
            (⇑(g.trans e₂.symm) : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) id :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)|

Tactic:
rw [← det_reindex_self e₁, ← det_reindex_self g]

Premises used: Matrix.det_reindex_self