awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
h :
  (x =
      linearCombination R y' ∘ₗ
        linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)) ∧
    Eq (α := Fin k →₀ R)
      ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
            (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
          f :
        Fin k →₀ R)
      (0 : Fin k →₀ R)
⊢ ∃ (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
    (x =
        y ∘ₗ
          linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)) ∧
      Eq (α := Fin k →₀ R)
        ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
              (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
            f :
          Fin k →₀ R)
        (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
use Finsupp.linearCombination R y'

Premises used: Finsupp.linearCombination
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
h :
  x =
    linearCombination R y' ∘ₗ
      linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)
h₁ :
  Eq (α := Fin k →₀ R)
    ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
          (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
        f :
      Fin k →₀ R)
    (0 : Fin k →₀ R)
⊢ (x =
      linearCombination R y' ∘ₗ
        linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)) ∧
    Eq (α := Fin k →₀ R)
      ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
            (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
          f :
        Fin k →₀ R)
      (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
h :
  ∀ (i : Fin l),
    Eq.{u_2 + 1} (α := M)
      ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) ((Finsupp.basisSingleOne : (a : Fin l) → Fin l →₀ R) i : Fin l →₀ R) : M)
      ((linearCombination R y' ∘ₗ
              linearCombination R fun (i : Fin l) ↦
                (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
            (a : Fin l →₀ R) → M)
          ((Finsupp.basisSingleOne : (a : Fin l) → Fin l →₀ R) i : Fin l →₀ R) :
        M)
⊢ x =
    linearCombination R y' ∘ₗ
      linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)

Tactic:
apply Finsupp.basisSingleOne.ext

Premises used: Finsupp.basisSingleOne, Module.Basis.ext
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
i : Fin l
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) ((Finsupp.basisSingleOne : (a : Fin l) → Fin l →₀ R) i : Fin l →₀ R) : M)
    ((linearCombination R y' ∘ₗ
            linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
          (a : Fin l →₀ R) → M)
        ((Finsupp.basisSingleOne : (a : Fin l) → Fin l →₀ R) i : Fin l →₀ R) :
      M)

Tactic:
simpa [linearCombination_apply, sum_fintype, Finsupp.single_apply] using ha'y' i

Premises used: Finsupp.sum_fintype, Finsupp.linearCombination_apply, Finsupp.single_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
h :
  ∀ (j : Fin k),
    Eq (α := R)
      ((((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
                  (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
                f :
              Fin k →₀ R) :
            (a : Fin k) → R)
          j :
        R)
      ((0 : (a : Fin k) → R) j : R)
⊢ Eq (α := Fin k →₀ R)
    ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
          (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
        f :
      Fin k →₀ R)
    (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
ext j
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
j : Fin k
h :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (∑ i : Fin l,
        (HSMul.hSMul (α := R) (β := Fin k →₀ R) ((f : (a : Fin l) → R) i : R)
              ((Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) : Fin k →₀ R) :
            (a : Fin k) → R)
          j :
      R)
    ((0 : (a : Fin k) → R) j : R)
⊢ Eq (α := R)
    ((((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
                (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
              f :
            Fin k →₀ R) :
          (a : Fin k) → R)
        j :
      R)
    ((0 : (a : Fin k) → R) j : R)

Tactic:
simp only [linearCombination_apply, zero_smul, implies_true, sum_fintype, finsetSum_apply]

Premises used: Finsupp.sum_fintype, Finsupp.linearCombination_apply, zero_smul, implies_true, Finsupp.finsetSum_apply
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
j : Fin k
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (∑ i : Fin l,
        (HSMul.hSMul (α := R) (β := Fin k →₀ R) ((f : (a : Fin l) → R) i : R)
              ((Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) : Fin k →₀ R) :
            (a : Fin k) → R)
          j :
      R)
    ((0 : (a : Fin k) → R) j : R)

Tactic:
ha' j
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
j : Fin k
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (∑ i : Fin l,
        (HSMul.hSMul (α := R) (β := Fin k →₀ R) ((f : (a : Fin l) → R) i : R)
              ((Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) : Fin k →₀ R) :
            (a : Fin k) → R)
          j :
      R)
    ((0 : (a : Fin k) → R) j : R)

Tactic:
exact ha' j
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
⊢ ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
tfae_have 4 → 5
  | h₄, l, f, x, hfx => by
    let f' : Fin l → R := f
    let x' : Fin l → M := fun i ↦ x (single i 1)
    have := calc
      ∑ i, f' i • x' i
      _ = ∑ i, f i • x (single i 1) := rfl
      _ = x (∑ i, f i • Finsupp.single i 1) := by simp_rw [map_sum, map_smul]
      _ = x f := by simp_rw [smul_single, smul_eq_mul, mul_one, univ_sum_single]
      _ = 0 := hfx
    obtain ⟨k, a', y', ⟨ha'y', ha'⟩⟩ := h₄ this
    use k
    use Finsupp.linearCombination R (fun i ↦ equivFunOnFinite.symm (a' i))
    use Finsupp.linearCombination R y'
    constructor
    · apply Finsupp.basisSingleOne.ext
      intro i
      simpa [linearCombination_apply, sum_fintype, Finsupp.single_apply] using ha'y' i
    · ext j
      simp only [linearCombination_apply, zero_smul, implies_true, sum_fintype, finsetSum_apply]
      exact ha' j
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
⊢ ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)

Tactic:
5

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false
-- Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
⊢ ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x

Tactic:
4

Premises used: sorryAx, Lean.Name.num, Lean.Name.str, Lean.Name.anonymous, OfNat.ofNat, Bool.false