-- Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
E' : Submodule 𝕜 E
F' : Submodule 𝕜 F
iE' : Module.Finite.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E'
iF' : Module.Finite.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F'
y : TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 ↥E' ↥F'
hx :
  inner 𝕜 (E := E ⊗[𝕜] F) ((mapIncl E' F' : (a : ↥E' ⊗[𝕜] ↥F') → E ⊗[𝕜] F) y : E ⊗[𝕜] F)
      ((mapIncl E' F' : (a : ↥E' ⊗[𝕜] ↥F') → E ⊗[𝕜] F) y : E ⊗[𝕜] F) =
    0
hz :
  singleton (α := E ⊗[𝕜] F) ((mapIncl E' F' : (a : ↥E' ⊗[𝕜] ↥F') → E ⊗[𝕜] F) y : E ⊗[𝕜] F) ⊆
    (↑(mapIncl E' F').range : Set (E ⊗[𝕜] F))
e : OrthonormalBasis.{0, u_1, u_2} (Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E')) 𝕜 ↥E'
f : OrthonormalBasis.{0, u_1, u_3} (Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F')) 𝕜 ↥F'
i : Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E')
j : Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F')
rw :
  ∀
    (hz :
      singleton (α := E ⊗[𝕜] F) ((mapIncl E' F' : (a : ↥E' ⊗[𝕜] ↥F') → E ⊗[𝕜] F) y : E ⊗[𝕜] F) ⊆
        (↑(mapIncl E' F').range : Set (E ⊗[𝕜] F)))
    (e : OrthonormalBasis.{0, u_1, u_2} (Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E')) 𝕜 ↥E')
    (f : OrthonormalBasis.{0, u_1, u_3} (Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F')) 𝕜 ↥F')
    (hx :
      ∀ (i : Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E') × Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F')),
        Membership.mem (γ := Finset (Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E') × Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F'))) Finset.univ i →
          HPow.hPow (β := ℕ)
              (norm.{u_1} (E := 𝕜)
                (((((Basis.repr (e.toBasis.tensorProduct f.toBasis) :
                              TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 ↥E' ↥F' ≃ₗ[𝕜]
                                Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E') × Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜) :
                            (a : ↥E' ⊗[𝕜] ↥F') → Fin (finrank 𝕜 ↥E') × Fin (finrank 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜)
                          y :
                        Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E') × Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜) :
                      (a : Fin (finrank 𝕜 ↥E') × Fin (finrank 𝕜 ↥F')) → 𝕜)
                    i :
                  𝕜))
              2 =
            0)
    (i : Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E')) (j : Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F')),
    Eq.{u_1 + 1} (α := 𝕜)
      (((((Basis.repr (e.toBasis.tensorProduct f.toBasis) :
                    TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 ↥E' ↥F' ≃ₗ[𝕜]
                      Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E') × Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜) :
                  (a : ↥E' ⊗[𝕜] ↥F') → Fin (finrank 𝕜 ↥E') × Fin (finrank 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜)
                y :
              Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E') × Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜) :
            (a : Fin (finrank 𝕜 ↥E') × Fin (finrank 𝕜 ↥F')) → 𝕜)
          (i, j) :
        𝕜)
      (0 : 𝕜)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := 𝕜)
    (((((Basis.repr (e.toBasis.tensorProduct f.toBasis) :
                  TensorProduct.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 ↥E' ↥F' ≃ₗ[𝕜]
                    Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E') × Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜) :
                (a : ↥E' ⊗[𝕜] ↥F') → Fin (finrank 𝕜 ↥E') × Fin (finrank 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜)
              y :
            Fin (finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥E') × Fin (finrank.{u_1, u_3} 𝕜 ↥F') →₀ 𝕜) :
          (a : Fin (finrank 𝕜 ↥E') × Fin (finrank 𝕜 ↥F')) → 𝕜)
        (i, j) :
      𝕜)
    (0 : 𝕜)

Tactic:
rw [inner_mapIncl_mapIncl, inner_self y e f, RCLike.ofReal_eq_zero,
      Finset.sum_eq_zero_iff_of_nonneg fun _ _ => sq_nonneg _] at hx

Premises used: Finset.sum_eq_zero_iff_of_nonneg, _private.0.TensorProduct.inner_self, TensorProduct.inner_mapIncl_mapIncl, RCLike.ofReal_eq_zero, sq_nonneg