awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
⊢ ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i

Tactic:
simp [fsx]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
⊢ ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i

Tactic:
have hfsx : ∀ i, (i : ι) ∈ fsx i := by simp [fsx]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
i : (↑s : Type u_4)
simp_rw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ insert (↑i : ι) (fs i), (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i) x) (∑ j ∈ fs i, w i j)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1

Tactic:
simp_rw [← hw i, fsx, wx]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
i : (↑s : Type u_4)
pos :
  ∀ (hi : (↑i : ι) ∈ fs i),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ insert (↑i : ι) (fs i), (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i) x) (∑ j ∈ fs i, w i j)
neg :
  ∀ (hi : (↑i : ι) ∉ fs i),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ insert (↑i : ι) (fs i), (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i) x) (∑ j ∈ fs i, w i j)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ insert (↑i : ι) (fs i), (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i) x) (∑ j ∈ fs i, w i j)

Tactic:
by_cases hi : (i : ι) ∈ fs i

Premises used: Subtype.val
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
i : (↑s : Type u_4)
hi : (↑i : ι) ∈ fs i
⊢ ∀ x ∈ fs i, (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i) x = w i x

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
i : (↑s : Type u_4)
hi : (↑i : ι) ∈ fs i
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ insert (↑i : ι) (fs i), (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i) x) (∑ j ∈ fs i, w i j)

Tactic:
simpa [hi] using Finset.sum_congr rfl (by aesop)

Premises used: Finset.sum_congr, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
i : (↑s : Type u_4)
hi : (↑i : ι) ∉ fs i
⊢ ∀ x ∈ fs i, (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i) x = w i x

Tactic:
aesop
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
i : (↑s : Type u_4)
hi : (↑i : ι) ∉ fs i
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ insert (↑i : ι) (fs i), (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i) x) (∑ j ∈ fs i, w i j)

Tactic:
simpa [hi] using Finset.sum_congr rfl (by aesop)

Premises used: Finset.sum_congr, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
⊢ ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1

Tactic:
have hwx : ∀ i, ∑ j ∈ fsx i, wx i j = 1 := by
    intro i
    simp_rw [← hw i, fsx, wx]
    by_cases hi : (i : ι) ∈ fs i <;> simpa [hi] using Finset.sum_congr rfl (by aesop)
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
i : (↑s : Type u_4)
⊢ Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
    (affineSpan k
      (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
    p'

Tactic:
hp' i
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
i : (↑s : Type u_4)
h :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((Finset.affineCombination k (fsx i) p : (a : ι → k) → P) (wx i) : P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P)
⊢ Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
    (affineSpan k
      (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fsx i) p : (a : ι → k) → P) (wx i) : P))))
    p'

Tactic:
convert! hp' i using 4
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
i : (↑s : Type u_4)
h :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (insert (↑i : ι) (fs i)) p : (a : ι → k) → P) ((↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)) : P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((Finset.affineCombination k (fsx i) p : (a : ι → k) → P) (wx i) : P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P)

Tactic:
simp_rw [fsx, wx]
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
i : (↑s : Type u_4)
⊢ fs i ⊆ insert (↑i : ι) (fs i)

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
i : (↑s : Type u_4)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := P)
    ((Finset.affineCombination k (insert (↑i : ι) (fs i)) p : (a : ι → k) → P) ((↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)) : P)
    ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P)

Tactic:
exact (Finset.affineCombination_indicator_subset _ _ (by simp)).symm

Premises used: Finset.affineCombination_indicator_subset, Eq.symm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
⊢ ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fsx i) p : (a : ι → k) → P) (wx i) : P))))
      p'

Tactic:
have hp'x : ∀ i : s, p' ∈ line[k, p i, (fsx i).affineCombination k p (wx i)] := by
    intro i
    convert! hp' i using 4
    simp_rw [fsx, wx]
    exact (Finset.affineCombination_indicator_subset _ _ (by simp)).symm
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
hp'x :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fsx i) p : (a : ι → k) → P) (wx i) : P))))
      p'
obtain :
  ∀ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι)
    (h :
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
        (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
          ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
            ∃ (r : k),
              ∀ (j : ι),
                r * ((↑(fsx i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (wx i) j =
                  ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j),
    ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
        (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
          ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
            ∃ (r : k),
              ∀ (j : ι),
                r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k),
            ∀ (j : ι),
              r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
obtain ⟨w', fs', h⟩ := hp.exists_affineCombination_eq_smul_eq_aux hs hfsx hwx hp'x

Premises used: _private.0.AffineIndependent.exists_affineCombination_eq_smul_eq_aux
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
hp'x :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fsx i) p : (a : ι → k) → P) (wx i) : P))))
      p'
w' : ι → k
fs' : Finset ι
h :
  Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
    (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑(fsx i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (wx i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k),
            ∀ (j : ι),
              r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
⟨w', fs', h.1, h.2.1, fun i ↦ ?_⟩

Premises used: And.right, And.left, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : (↑s : Type u_4) → Finset ι
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs i, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι)) (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fs i) p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
fsx : (↑s : Type u_4) → Finset ι := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ insert (↑i : ι) (fs i)
hfsx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), (↑i : ι) ∈ fsx i
wx : (↑s : Type u_4) → ι → k := fun (i : (↑s : Type u_4)) ↦ (↑(fs i) : Set ι).indicator (w i)
hwx : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fsx i, wx i j) 1
hp'x :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k (fsx i) p : (a : ι → k) → P) (wx i) : P))))
      p'
w' : ι → k
fs' : Finset ι
h :
  Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
    (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑(fsx i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (wx i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
refine :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι), r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j
⊢ ∃ (w' : ι → k) (fs' : Finset ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs', w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k fs' p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k),
            ∀ (j : ι),
              r * ((↑(fs i) : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w' j

Tactic:
refine ⟨w', fs', h.1, h.2.1, fun i ↦ ?_⟩