-- Module: Mathlib.Topology.Category.TopCat.GrothendieckTopology
Goal:
X Y : TopCat
𝒰 : precoverage.ZeroHypercover Y
heq :
  ∀ (i : 𝒰.I₀) (y : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
    Eq (α := (↑Y : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (𝒰.f i) :
            (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
          y :
        (↑Y : Type u_1))
      ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑Y : Type u_1)) ↦
              Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u_1))
                (Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                        carrier) (𝒰.f i)) :
                    (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                x)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    carrier) (𝒰.f i) :
                  (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))
                y)
              ⋯) :
          (↑Y : Type u_1)) :
        (↑Y : Type u_1))
x : (i : 𝒰.I₀) → Functor.obj (Functor.obj yoneda X) (Opposite.op (𝒰.X i))
hx : Presieve.Arrows.Compatible (Functor.obj yoneda X) 𝒰.f x
i : 𝒰.I₀
refine_2 :
  ∀ (x_1 : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)),
    Eq (α := (↑X : Type u_1))
      ((@ConcreteCategory.hom _ instCategory (fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) carrier _
              _ (Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) X
              ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                    (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj yoneda X) (𝒰.f i).op) :
                  (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op Y))) →
                    (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op (𝒰.X i))))
                (ofHom
                  (ContinuousMap.liftCover
                    (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
                      Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
                        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1)))
                              (CC := carrier) (𝒰.f i)) :
                          (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
                    (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
                      {
                        toFun :=
                          Function.comp (β := (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1))
                            (⇑(Hom.hom (x i)) :
                              (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                            (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                              (a :
                                  (↑(Set.range
                                        (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) :
                                          (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                                    Type u_1)) →
                                (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
                        continuous_toFun := ⋯ })
                    ⋯ ⋯))) :
            (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
          x_1 :
        (↑X : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (x i) :
            (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
          x_1 :
        (↑X : Type u_1))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (CategoryTheory.Functor.map (Functor.obj yoneda X) (𝒰.f i).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op Y))) →
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) ((yoneda.obj X).obj (Opposite.op (𝒰.X i))))
      (ofHom
        (ContinuousMap.liftCover
          (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
            Set.range (ι := (↑(𝒰.X i) : Type u_1))
              (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    carrier) (𝒰.f i)) :
                (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)))
          (fun (i : 𝒰.I₀) ↦
            {
              toFun :=
                Function.comp (β := (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1))
                  (⇑(Hom.hom (x i)) : (a : (↑(Opposite.unop (Opposite.op (𝒰.X i))) : Type u_1)) → (↑X : Type u_1))
                  (⇑⋯.toHomeomorph.symm :
                    (a :
                        (↑(Set.range
                              (⇑(ConcreteCategory.hom (𝒰.f i)) : (a : (↑(𝒰.X i) : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1))) :
                          Type u_1)) →
                      (↑(𝒰.X i) : Type u_1)),
              continuous_toFun := ⋯ })
          ⋯ ⋯)) =
    x i

Tactic:
apply ConcreteCategory.hom_ext

Premises used: CategoryTheory.ConcreteCategory.hom_ext