-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
this_1 : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t)
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s})
    (Set.pi (α := Y) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t})
hπ1 : IsPiSystem π
hπ2 : Prod.instMeasurableSpace = generateFrom π
s : (i : ι) → Set (X i)
t : (i : κ) → Set (Y i)
hs : ∀ (i : ι), IsClosed[inst i] (s i)
ht : ∀ (i : κ), IsClosed[inst_3 i] (t i)
hp1 :
  ∀ (x : (i : ι) → X i),
    Eq (α := ℝ≥0) (∏ i : ι, (s i).indicator (fun (x : X i) ↦ 1) (x i)) ((Set.pi (α := X) univ s).indicator 1 x)
hp2 :
  ∀ (y : (j : κ) → Y j),
    Eq (α := ℝ≥0) (∏ j : κ, (t j).indicator (fun (x : Y j) ↦ 1) (y j)) ((Set.pi (α := Y) univ t).indicator 1 y)
this :
  ∀ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
    Tendsto (α := ℕ)
      (ofNNReal ∘ fun (x : ℕ) ↦
        HMul.hMul (α := ℝ≥0) (∏ c : ι, (⋯.apprSeq (F := s c) x : (a : X c) → ℝ≥0) (p.1 c))
          (∏ c : κ, (⋯.apprSeq (F := t c) x : (a : Y c) → ℝ≥0) (p.2 c)))
      atTop (𝓝 (↑((Set.pi (α := X) univ s ×ˢ Set.pi (α := Y) univ t).indicator 1 p) : ℝ≥0∞))
h1 :
  Tendsto
    (fun (n : ℕ) ↦
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(HMul.hMul (α := ℝ≥0) (∏ i : ι, (⋯.apprSeq (F := s i) n : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i))
              (∏ j : κ, (⋯.apprSeq (F := t j) n : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j))) :
          ℝ≥0∞) ∂μ)
    atTop
    (𝓝
      (∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑((Set.pi (α := X) univ s ×ˢ Set.pi (α := Y) univ t).indicator 1 p) : ℝ≥0∞) ∂μ))
⊢ Tendsto
    (fun (n : ℕ) ↦
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(HMul.hMul (α := ℝ≥0) (∏ i : ι, (⋯.apprSeq (F := s i) n : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i))
              (∏ j : κ, (⋯.apprSeq (F := t j) n : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j))) :
          ℝ≥0∞) ∂μ)
    atTop
    (𝓝
      (∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑((Set.pi (α := X) univ s ×ˢ Set.pi (α := Y) univ t).indicator 1 p) : ℝ≥0∞) ∂ν))

Tactic:
have h2 : Tendsto (fun n ↦ ∫⁻ p, ((∏ i, (hs i).apprSeq n (p.1 i)) *
        ∏ j, (ht j).apprSeq n (p.2 j) : ℝ≥0) ∂μ)
      atTop (𝓝 (∫⁻ p, (((Set.univ.pi s) ×ˢ (Set.univ.pi t)).indicator 1 p : ℝ≥0) ∂ν)) := by
    simp_rw [coe_mul, h]
    refine tendsto_lintegral_filter_of_dominated_convergence 1
      (Eventually.of_forall <| by fun_prop) (Eventually.of_forall fun _ ↦ ae_of_all _ fun _ ↦ ?_)
      (by simp) (ae_of_all _ this)
    grw [Finset.prod_le_one (by simp), Finset.prod_le_one (by simp)]
    · simp
    · exact fun j _ ↦ HasOuterApproxClosed.apprSeq_apply_le_one (ht j) _ _
    · exact fun i _ ↦ HasOuterApproxClosed.apprSeq_apply_le_one (hs i) _ _