-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
h :
  Eq (α :=
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X P.X) ⟶
      colimit
        (parallelPair (X :=
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (Y :=
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (Iso.hom (α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))))
    (M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
      f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (X :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (Y :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (Iso.hom (α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))))
          WalkingParallelPair.one)
    (Iso.inv (α_ M.X N.X P.X) ≫
      f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫
        Iso.hom (α_ M'.X N.X P.X) ≫
          CategoryStruct.comp (Y :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X P.X) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                (Iso.hom (α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                coequalizer (X :=
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X) (TensorBimod.X N P))
                  (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                  (Iso.hom (α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)))
⊢ Eq (α :=
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X P.X) ⟶
      colimit
        (parallelPair (X :=
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (Y :=
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
          (Iso.hom (α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))))
    (M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (X :=
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
              (Y :=
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
              (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                    (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                    (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
              (Iso.hom (α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                  M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                    (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                    (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))))
            WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X P.X) ⟶
        colimit
          (parallelPair (X :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (Y :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (Iso.hom (α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))))
    (Iso.inv (α_ M.X N.X P.X) ≫
        CategoryStruct.comp (Y :=
          coequalizer (X :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst)
              (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X) N.X) P.X)
            (M'.actRight ▷ N.X ▷ P.X) ((Iso.hom (α_ M'.X X.X N.X) ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X))
          (CategoryStruct.comp (Y :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst)
              (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M'.X X.X N.X) ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) P.X)
            (f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫
              colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M'.X X.X N.X) ≫ M'.X ◁ N.actLeft))
                  WalkingParallelPair.one ▷
                P.X)
            (Iso.inv
              (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X)
                (Iso.hom (α_ M'.X X.X N.X) ≫ M'.X ◁ N.actLeft))))
          (coequalizer.desc
            (Iso.hom (α_ M'.X N.X P.X) ≫
              CategoryStruct.comp (Y :=
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
                (M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X P.X) ⟶
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
                (coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    (Iso.hom (α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P) :
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                    coequalizer (X :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X) (TensorBimod.X N P))
                      (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                      (Iso.hom (α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)) ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)))
            ⋯) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X P.X) ⟶
        colimit
          (parallelPair (X :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (Y :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
            (Iso.hom (α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M'.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))))

Tactic:
slice_rhs 3 5 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]

Premises used: π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc