-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.MStructure
Goal:
X : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst_1 : Ring M
inst_2 : Module M X
inst_3 : FaithfulSMul M X
P Q R : { P : M // IsLprojection X P }
rw : (↑(P ⊔ Q) : M) * (↑(P ⊔ R) : M) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁ : ((↑P : M) + (↑Q : M) - (↑P : M) * (↑Q : M)) * (↑(P ⊔ R) : M) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₂ :
  ((↑P : M) + (↑Q : M) - (↑P : M) * (↑Q : M)) * ((↑P : M) + (↑R : M) - (↑P : M) * (↑R : M)) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₃ :
  ((↑P : M) + ((↑Q : M) - (↑P : M) * (↑Q : M))) * ((↑P : M) + (↑R : M) - (↑P : M) * (↑R : M)) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₄ :
  ((↑P : M) + ((↑Q : M) - (↑P : M) * (↑Q : M))) * ((↑P : M) + ((↑R : M) - (↑P : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₅ :
  ((↑P : M) + (↑Pᶜ : M) * (↑Q : M)) * ((↑P : M) + ((↑R : M) - (↑P : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₆ : ((↑P : M) + (↑Pᶜ : M) * (↑Q : M)) * ((↑P : M) + (↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₇ :
  (↑P : M) * ((↑P : M) + (↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) + (↑Pᶜ : M) * (↑Q : M) * ((↑P : M) + (↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₈ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + (↑P : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) + (↑Pᶜ : M) * (↑Q : M) * ((↑P : M) + (↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₉ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + (↑P : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑P : M) + (↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₀ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + (↑P : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) +
      ((↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₁ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + (↑P : M) * (↑Pᶜ : M) * (↑R : M) +
      ((↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₂ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + (↑P : M) * (↑Pᶜ : M) * (↑R : M) +
      ((↑Q : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑P : M)) + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₃ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + (↑P : M) * (↑Pᶜ : M) * (↑R : M) +
      ((↑Q : M) * ((↑P : M) * (↑Pᶜ : M)) + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₄ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + 0 * (↑R : M) + ((↑Q : M) * 0 + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₅ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + 0 + ((↑Q : M) * 0 + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₆ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + 0 + (0 + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M))) =
    (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₇ :
  (↑P : M) * (↑P : M) + 0 + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₈ : (↑P : M) * (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₁₉ : (↑P : M) * (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * (↑Pᶜ : M) * (↑R : M) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₂₀ : (↑P : M) * (↑P : M) + (↑Q : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑Pᶜ : M)) * (↑R : M) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₂₁ : (↑P : M) + (↑Q : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑Pᶜ : M)) * (↑R : M) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₂₂ : (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑Pᶜ : M) * (↑R : M) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₂₃ : (↑P : M) + (↑Q : M) * ((↑Pᶜ : M) * (↑R : M)) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₂₄ : (↑P : M) + (↑Q : M) * ((↑R : M) * (↑Pᶜ : M)) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
rw₂₅ rw₂₆ : (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)
⊢ (↑((P ⊔ Q) ⊓ (P ⊔ R)) : M) = (↑P : M) + (↑Q : M) * (↑R : M) * (↑Pᶜ : M)

Tactic:
rw [coe_inf, coe_sup, coe_sup, ← add_sub, ← add_sub, ← compl_mul, ← compl_mul, add_mul,
        mul_add, (Pᶜ.prop.commute Q.prop).eq, mul_add, ← mul_assoc, mul_assoc (Q : M),
        (Pᶜ.prop.commute P.prop).eq, mul_compl_self, zero_mul, mul_zero,
        zero_add, add_zero, ← mul_assoc, mul_assoc (Q : M), P.prop.proj.eq, Pᶜ.prop.proj.eq,
        mul_assoc, (Pᶜ.prop.commute R.prop).eq, ← mul_assoc]

Premises used: add_mul, Compl.compl, MulZeroClass.zero_mul, add_sub, mul_assoc, IsLprojection.commute, zero_add, MulZeroClass.mul_zero, Subtype.prop, IsLprojection.proj, mul_add, IsIdempotentElem.eq, add_zero, IsLprojection.mul_compl_self, Subtype.val, IsLprojection.coe_sup, IsLprojection.coe_inf, Commute.eq, IsLprojection.compl_mul