-- Module: Mathlib.Probability.Independence.Process.Basic
Goal:
S : Type u_1
Ω : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
α : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
κ : Kernel α Ω
P : Measure α
𝓧 : S → Type u_5
𝓨 : Type u_6
inst : (i : S) → MeasurableSpace (𝓧 i)
inst_1 : MeasurableSpace 𝓨
X X' : (i : S) → Ω → 𝓧 i
Y : Ω → 𝓨
h1 : IndepFun (β := (i : S) → 𝓧 i) (fun (ω : Ω) (i : S) ↦ X i ω) Y κ P
h2 : ∀ (i : S), ∀ᵐ (a : α) ∂P, X i =ᶠ[ae (F := Measure Ω) ((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω)] X' i
t : Set 𝓨
ht : MeasurableSet t
I : Set S
u : Set ((i : (↑I : Type u_1)) → 𝓧 (↑i : S))
hI : I.Countable
hs : MeasurableSet (I.restrict (π := 𝓧) ⁻¹' u)
this :
  ∀ᵐ (a : α) ∂P,
    (((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
        ((fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X (↑i : S) ω) ⁻¹' u ∩ Y ⁻¹' t) =
      HMul.hMul (α := ENNReal) (β := ENNReal)
        ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
            ((fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X (↑i : S) ω) ⁻¹' u) :
          ENNReal)
        ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal) (Y ⁻¹' t) : ENNReal)
aux : ∀ (f : (i : S) → Ω → 𝓧 i), True
h_1 : Countable.{u_1 + 1} (↑I : Type u_1)
h :
  ∀ᵐ (a : α) ∂P,
    (ae (F := Measure Ω) ((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω)).EventuallyEq (β :=
      (i : (↑I : Type u_1)) → 𝓧 (↑i : S)) (fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X (↑i : S) ω)
      fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X' (↑i : S) ω
a : α
ha1 :
  (((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
      ((fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X (↑i : S) ω) ⁻¹' u ∩ Y ⁻¹' t) =
    HMul.hMul (α := ENNReal) (β := ENNReal)
      ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
          ((fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X (↑i : S) ω) ⁻¹' u) :
        ENNReal)
      ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal) (Y ⁻¹' t) : ENNReal)
ha2 :
  (ae (F := Measure Ω) ((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω)).EventuallyEq (β := (i : (↑I : Type u_1)) → 𝓧 (↑i : S))
    (fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X (↑i : S) ω) fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X' (↑i : S) ω
h₁ :
  HMul.hMul (α := ENNReal) (β := ENNReal)
      ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
          ((fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X (↑i : S) ω) ⁻¹' u) :
        ENNReal)
      ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal) (Y ⁻¹' t) : ENNReal) =
    HMul.hMul (α := ENNReal) (β := ENNReal)
      ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
          ((fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X' (↑i : S) ω) ⁻¹' u) :
        ENNReal)
      ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal) (Y ⁻¹' t) : ENNReal)
⊢ (((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
      ((fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X' (↑i : S) ω) ⁻¹' u ∩ Y ⁻¹' t) =
    HMul.hMul (α := ENNReal) (β := ENNReal)
      ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal)
          ((fun (ω : Ω) (i : (↑I : Type u_1)) ↦ X' (↑i : S) ω) ⁻¹' u) :
        ENNReal)
      ((((κ : (a : α) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ENNReal) (Y ⁻¹' t) : ENNReal)

Tactic:
refine .trans (measure_congr (ae_eq_set_inter (ha2.symm.preimage _) .rfl)) (ha1.trans ?_)