-- Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.Homotopy
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
S : C
E : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F : PreOneHypercover.{w', v, u} S
inst_1 : HasPullbacks.{v, u} C
f g : E.Hom F
p : (cylinder f g).I₀
this :
  F.p₁ (p.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))) =
    CategoryStruct.comp (Y :=
      pullback (X := F.X (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))) (Y :=
        F.X (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (F.f (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (F.f (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))))
      (pullback.lift (F.p₁ (p.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
        (F.p₂ (p.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
      (pullback.fst (F.f (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
        (F.f (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))))
rw :
  Eq (α := (cylinder f g).X p ⟶ F.X (PreZeroHypercover.Hom.s₀ (Hom.toHom (Hom.comp (cylinderHom f g) f)) p))
    (pullback.fst
        (pullback.lift (f.h₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
          (g.h₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
        (F.toPullback (p.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ≫
      CategoryStruct.comp (Y :=
        pullback (X := F.X (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))) (Y :=
          F.X (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
          (F.f (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
          (F.f (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))))
        (pullback.lift (f.h₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
          (g.h₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
        (pullback.fst (F.f (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
          (F.f (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))))
    (PreZeroHypercover.Hom.h₀ (Hom.toHom (Hom.comp (cylinderHom f g) f)) p)
⊢ Eq (α := (cylinder f g).X p ⟶ F.X (PreZeroHypercover.Hom.s₀ (Hom.toHom (Hom.comp (cylinderHom f g) f)) p))
    (pullback.snd
        (pullback.lift (f.h₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
          (g.h₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
        (F.toPullback (p.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ≫
      CategoryStruct.comp (Y :=
        pullback (X := F.X (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))) (Y :=
          F.X (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
          (F.f (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
          (F.f (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))))
        (pullback.lift (F.p₁ (p.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i))))
          (F.p₂ (p.snd (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))) ⋯)
        (pullback.fst (F.f (f.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))
          (F.f (g.s₀ (p.fst (β := fun (i : E.I₀) ↦ F.I₁ (f.s₀ i) (g.s₀ i)))))))
    (PreZeroHypercover.Hom.h₀ (Hom.toHom (Hom.comp (cylinderHom f g) f)) p)

Tactic:
rw [← pullback.condition_assoc]

Premises used: CategoryTheory.Limits.pullback.condition_assoc