awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R (insert i s)))
hs : insert i s ⊆ (↑N : Set M)
hrn₁ :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
⊢ insert i s ⊆ (↑N : Set M)

Tactic:
rw [← Set.singleton_union, span_union, smul_sup] at hrn

Premises used: Set.singleton_union, Submodule.smul_sup, Submodule.span_union
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
hs : insert i s ⊆ (↑N : Set M)
⊢ i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)

Tactic:
rw [Set.insert_subset_iff] at hs

Premises used: Set.insert_subset_iff
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
hrn :
  Membership.mem (γ := Submodule R M)
    (comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)))
    i
⊢ ∃ y ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i),
    ∃ z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s),
      y + z = (((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r : M →ₗ[R] M) : (a : M) → M) i

Tactic:
rw [mem_comap, mem_sup] at hrn

Premises used: Submodule.mem_comap, Submodule.mem_sup
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
hrn :
  ∃ y ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i),
    ∃ z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s),
      y + z = (((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r : M →ₗ[R] M) : (a : M) → M) i
rcases :
  ∀ (y : M) (hy : y ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i)) (z : M)
    (hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
    (hyz : y + z = (((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r : M →ₗ[R] M) : (a : M) → M) i),
    ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
⊢ ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
rcases hrn with ⟨y, hy, z, hz, hyz⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
y : M
hy : y ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
hyz : y + z = r • i
rw :
  ∀ (hy : ∃ y_1 ∈ I, y_1 • i = y) (z : M) (hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
    (hyz : y + z = r • i), ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
⊢ ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
rw [mem_smul_span_singleton] at hy

Premises used: Submodule.mem_smul_span_singleton
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
y : M
hy : ∃ y_1 ∈ I, y_1 • i = y
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
hyz : y + z = r • i
rcases :
  ∀ (c : R) (hci : c ∈ I) (hyz : c • i + z = r • i),
    ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
⊢ ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
rcases hy with ⟨c, hci, rfl⟩

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h_1 : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
h : r - c - 1 ∈ I ∧ (r - c) • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
⊢ ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
use r - c
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h_1 : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
h : r - c - 1 ∈ I
h₁ : (r - c) • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
⊢ r - c - 1 ∈ I ∧ (r - c) • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
constructor
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h_1 : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
h : r - 1 - c ∈ I
⊢ r - c - 1 ∈ I

Tactic:
rw [sub_right_comm]

Premises used: sub_right_comm
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ r - 1 - c ∈ I

Tactic:
I.sub_mem hr1 hci

Premises used: Set.Mem, Ideal.sub_mem
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ r - 1 - c ∈ I

Tactic:
exact I.sub_mem hr1 hci

Premises used: Ideal.sub_mem
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h_1 : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
h : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
⊢ (r - c) • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
rw [sub_smul, ← hyz, add_sub_cancel_left]

Premises used: add_sub_cancel_left, sub_smul
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
hz

Premises used: Set.Mem
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
z : M
hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
exact hz
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
⊢ ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)

Tactic:
have : ∃ c : R, c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ I • span R s := by
    specialize hrn hs.1
    rw [mem_comap, mem_sup] at hrn
    rcases hrn with ⟨y, hy, z, hz, hyz⟩
    dsimp at hyz
    rw [mem_smul_span_singleton] at hy
    rcases hy with ⟨c, hci, rfl⟩
    use r - c
    constructor
    · rw [sub_right_comm]
      exact I.sub_mem hr1 hci
    · rw [sub_smul, ← hyz, add_sub_cancel_left]
      exact hz
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
this : ∃ (c : R), c - 1 ∈ I ∧ c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
insert :
  ∀ (c : R) (hc1 : c - 1 ∈ I) (hci : c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)),
    ∃ (r : R),
      r - 1 ∈ I ∧
        N ≤
            comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
              (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
          s ⊆ (↑N : Set M)
⊢ ∃ (r : R),
    r - 1 ∈ I ∧
      N ≤
          comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
            (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
        s ⊆ (↑N : Set M)

Tactic:
rcases this with ⟨c, hc1, hci⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
⊢ ∃ (r : R),
    r - 1 ∈ I ∧
      N ≤
          comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
            (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
        s ⊆ (↑N : Set M)

Tactic:
⟨c * r, ?_, ?_, hs.2⟩

Premises used: HMul.hMul, And.right, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
insert : c * r - 1 ∈ I
insert₁ :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) (c * r))
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
⊢ ∃ (r : R),
    r - 1 ∈ I ∧
      N ≤
          comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
            (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
        s ⊆ (↑N : Set M)

Tactic:
refine ⟨c * r, ?_, ?_, hs.2⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
⊢ c * r - 1 ∈ I

Tactic:
simpa only [mul_sub, mul_one, sub_add_sub_cancel] using I.add_mem (I.mul_mem_left c hr1) hc1

Premises used: sub_add_sub_cancel, mul_sub, Ideal.add_mem, mul_one, Ideal.mul_mem_left
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn :
  N ≤
    comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
n : M
hn : n ∈ N
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R M)
    (comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)))
    n

Tactic:
specialize hrn hn
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
n : M
hn : n ∈ N
hrn :
  Membership.mem (γ := Submodule R M)
    (comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i) ⊔ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)))
    n
⊢ ∃ y ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i),
    ∃ z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s),
      y + z = (((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r : M →ₗ[R] M) : (a : M) → M) n

Tactic:
rw [mem_comap, mem_sup] at hrn

Premises used: Submodule.mem_comap, Submodule.mem_sup
-- Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nakayama
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s_1 : Set M
i : M
s : Set M
h : i ∉ s
hs_1 : s.Finite
ih :
  ∀
    (H :
      ∃ (r : R),
        r - 1 ∈ I ∧
          N ≤
              comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r)
                (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)) ∧
            s ⊆ (↑N : Set M)),
    ∃ (r : R), r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ (↑N : Set M) ∧ s ⊆ (↑N : Set M)
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)
n : M
hn : n ∈ N
hrn :
  ∃ y ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i),
    ∃ z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s),
      y + z = (((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r : M →ₗ[R] M) : (a : M) → M) n
insert :
  ∀ (y : M) (hy : y ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (R ∙ i)) (z : M)
    (hz : z ∈ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s))
    (hyz : y + z = (((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) r : M →ₗ[R] M) : (a : M) → M) n),
    Membership.mem (γ := Submodule R M)
      (comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) (c * r))
        (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)))
      n
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R M)
    (comap (σ₁₂ := RingHom.id R) ((LinearMap.lsmul R M : (a : R) → M →ₗ[R] M) (c * r))
      (HSMul.hSMul (β := Submodule R M) I (span R s)))
    n

Tactic:
rcases hrn with ⟨y, hy, z, hz, hyz⟩