awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
M : Ideal R
hM : M ∈ s
h :
  ∀ (a : A) (_ : a ∈ I) (b : A) (_ : b ∈ I'),
    Membership.mem (γ := Submodule R A) (IsLocalization.coeSubmodule A M) (a * b)
x : A
hx : x ∈ (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A)
hxM : x ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
⊢ False

Tactic:
exact hxM (Submodule.mul_le.2 h hx)

Premises used: Iff.mpr, Submodule.mul_le
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
⊢ ∀ M ∈ s, ∃ a ∈ I, ∃ b ∈ I', a * b ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M

Tactic:
have : ∀ M ∈ s, ∃ a ∈ I, ∃ b ∈ I', a * b ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M := by
    intro M hM; by_contra! h
    obtain ⟨x, hx, hxM⟩ :=
      SetLike.exists_of_lt
        ((IsLocalization.coeSubmodule_strictMono hS (hf.mem_toFinset.1 hM).lt_top).trans_eq
          hinv.symm)
    exact hxM (Submodule.mul_le.2 h hx)
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this_1 : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
this : ∀ M ∈ s, ∃ a ∈ I, ∃ b ∈ I', a * b ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
choose! :
  ∀ (a : (M : Ideal R) → A) (ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I) (b : (M : Ideal R) → A) (hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I')
    (hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M), (↑I : Submodule R A).IsPrincipal
⊢ (↑I : Submodule R A).IsPrincipal

Tactic:
choose! a ha b hb hm using this
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
choose! :
  ∀ (u : (M : Ideal R) → R)
    (hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M))
    (hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M), (↑I : Submodule R A).IsPrincipal
⊢ (↑I : Submodule R A).IsPrincipal

Tactic:
choose! u hu hum using fun M hM => SetLike.not_le_iff_exists.1 (nle M hM)

Premises used: Iff.mp, SetLike.not_le_iff_exists
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
⊢ v ∈ I'

Tactic:
have hv : v ∈ I' := Submodule.sum_mem _ fun M hM => Submodule.smul_mem _ _ <| hb M hM
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
⊢ (↑I : Submodule R A).IsPrincipal

Tactic:
FractionalIdeal.isPrincipal_of_unit_of_comap_mul_span_singleton_eq_top
      (Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') hv (of_not_not fun h => ?_)

Premises used: Units.mkOfMulEqOne, FractionalIdeal.isPrincipal_of_unit_of_comap_mul_span_singleton_eq_top, of_not_not
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
I₁ :
  ∀
    (h :
      ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
            ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
          ⊤),
    False
⊢ (↑I : Submodule R A).IsPrincipal

Tactic:
refine
    FractionalIdeal.isPrincipal_of_unit_of_comap_mul_span_singleton_eq_top
      (Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') hv (of_not_not fun h => ?_)

Premises used: Units.mkOfMulEqOne, FractionalIdeal.isPrincipal_of_unit_of_comap_mul_span_singleton_eq_top, of_not_not
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
obtain :
  ∀ (M : Ideal R) (hM : M.IsMaximal)
    (hJM :
      Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
          ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
        M),
    False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨M, hM, hJM⟩ := Ideal.exists_le_maximal _ h

Premises used: Ideal.exists_le_maximal
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hM : M.IsMaximal
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
⊢ M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})

Tactic:
replace hM := hf.mem_toFinset.2 hM
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a_1 : (M : Ideal R) → A
ha_1 : ∀ M ∈ s, a_1 M ∈ I
b_1 : (M : Ideal R) → A
hb_1 : ∀ M ∈ s, b_1 M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a_1 M * b_1 M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b_1 M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
hM : M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
a : A
ha : a ∈ I
b : A
hb : b ∈ I'
⊢ (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) ≤ (↑1 : Submodule R A)

Tactic:
have hi := hinv.le
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a_1 : (M : Ideal R) → A
ha_1 : ∀ M ∈ s, a_1 M ∈ I
b_1 : (M : Ideal R) → A
hb_1 : ∀ M ∈ s, b_1 M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a_1 M * b_1 M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b_1 M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
hM : M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
a : A
ha : a ∈ I
b : A
hb : b ∈ I'
hi : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) ≤ (↑1 : Submodule R A)
obtain :
  ∀ (c : R) (hc : (Algebra.linearMap R A : (a : R) → A) c = a * b), ∃ (c : R), (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a * b
⊢ ∃ (c : R), (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a * b

Tactic:
obtain ⟨c, -, hc⟩ := hi (Submodule.mul_mem_mul ha hb)

Premises used: Submodule.mul_mem_mul
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a_1 : (M : Ideal R) → A
ha_1 : ∀ M ∈ s, a_1 M ∈ I
b_1 : (M : Ideal R) → A
hb_1 : ∀ M ∈ s, b_1 M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a_1 M * b_1 M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b_1 M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
hM : M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
a : A
ha : a ∈ I
b : A
hb : b ∈ I'
hi : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) ≤ (↑1 : Submodule R A)
c : R
hc : (Algebra.linearMap R A : (a : R) → A) c = a * b
⊢ ∃ (c : R), (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a * b

Tactic:
⟨c, hc⟩

Premises used: Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a_1 : (M : Ideal R) → A
ha_1 : ∀ M ∈ s, a_1 M ∈ I
b_1 : (M : Ideal R) → A
hb_1 : ∀ M ∈ s, b_1 M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a_1 M * b_1 M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b_1 M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
hM : M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
a : A
ha : a ∈ I
b : A
hb : b ∈ I'
hi : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) ≤ (↑1 : Submodule R A)
c : R
hc : (Algebra.linearMap R A : (a : R) → A) c = a * b
⊢ ∃ (c : R), (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a * b

Tactic:
exact ⟨c, hc⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
hM : M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
⊢ ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ (c : R), (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a * b

Tactic:
have : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ c, algebraMap R _ c = a * b := by
    intro a ha b hb; have hi := hinv.le
    obtain ⟨c, -, hc⟩ := hi (Submodule.mul_mem_mul ha hb)
    exact ⟨c, hc⟩
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this_1 : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
hM : M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ (c : R), (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a * b
obtain :
  ∀ (c : R) (hc : (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a M * v),
    Membership.mem (γ := Submodule R A) (IsLocalization.coeSubmodule A M) (a M * v)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R A) (IsLocalization.coeSubmodule A M) (a M * v)

Tactic:
obtain ⟨c, hc⟩ := this _ (ha M hM) v hv
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this_1 : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
hM : M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ (c : R), (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a * b
c : R
hc : (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a M * v
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R A) (IsLocalization.coeSubmodule A M) (a M * v)

Tactic:
IsLocalization.coeSubmodule_mono _ hJM ⟨c, ?_, hc⟩

Premises used: IsLocalization.coeSubmodule_mono, And.intro, Exists.intro
-- Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.PID
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
S : Submonoid R
inst_3 : IsLocalization S A
hS : S ≤ R⁰
hf : Set.Finite.{u_1} (α := Ideal R) {I : Ideal R | I.IsMaximal}
I I' : FractionalIdeal S A
hinv : (↑I : Submodule R A) * (↑I' : Submodule R A) = (↑1 : Submodule R A)
hinv' : I * I' = 1
s : Finset (Ideal R) := hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this_1 : DecidableEq (Ideal R)
coprime : ∀ M ∈ s, ∀ M' ∈ s.erase M, M ⊔ M' = ⊤
nle : ∀ M ∈ s, ¬⨅ M' ∈ s.erase M, M' ≤ M
a : (M : Ideal R) → A
ha : ∀ M ∈ s, a M ∈ I
b : (M : Ideal R) → A
hb : ∀ M ∈ s, b M ∈ I'
hm : ∀ M ∈ s, a M * b M ∉ IsLocalization.coeSubmodule A M
u : (M : Ideal R) → R
hu : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), Membership.mem (γ := Ideal R) (⨅ M' ∈ s.erase M, M') (u M)
hum : ∀ (M : Ideal R) (hM : M ∈ s), u M ∉ M
v : A := ∑ M ∈ s, u M • b M
hv : v ∈ I'
h :
  ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
        ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) =
      ⊤
M : Ideal R
hJM :
  Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
      ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v)) ≤
    M
hM : M ∈ hf.toFinset (s := {I : Ideal R | I.IsMaximal})
this : ∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I', ∃ (c : R), (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a * b
c : R
hc : (algebraMap R A : (a : R) → A) c = a M * v
refine :
  c ∈
    (↑(Submodule.comap (Algebra.linearMap R A)
          ((↑(↑(Units.mkOfMulEqOne I I' hinv') : FractionalIdeal S A) : Submodule R A) * (R ∙ v))) :
      Set R)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R A) (IsLocalization.coeSubmodule A M) (a M * v)

Tactic:
refine IsLocalization.coeSubmodule_mono _ hJM ⟨c, ?_, hc⟩

Premises used: IsLocalization.coeSubmodule_mono, And.intro, Exists.intro