awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
⊢ Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)

Tactic:
have hb_lim : Tendsto ((fun n : ℕ => (nu n : ℝ) / ↑n) ∘ ψ) atTop (𝓝 b) := by
    apply Tendsto.congr' _ (Tendsto.const_sub 1 hψ_lim)
    simp only [EventuallyEq, Function.comp_apply, eventually_atTop, ge_iff_le]
    use 1
    intro m hm
    have h0 : (ψ m : ℝ) ≠ 0 := cast_ne_zero.mpr
      (hψ_mono (Nat.pos_of_ne_zero (one_le_iff_ne_zero.mp hm))).ne_zero
    rw [← div_self h0, ← sub_div, cast_sub (hmu_le _)]
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
⊢ Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b

Tactic:
have b_in : b ∈ Set.Icc (0 : ℝ) 1 := Set.Icc.mem_iff_one_sub_mem.mp a_in
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
n : ℕ
⊢ nu n ≤ n

Tactic:
simp only [hnu, tsub_le_self]

Premises used: tsub_le_self
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
⊢ ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n

Tactic:
have hnu_le : ∀ n : ℕ, nu n ≤ n := fun n => by simp only [hnu, tsub_le_self]
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
⊢ limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a

Tactic:
have hx : limsup (fun n : ℕ => μ (x ^ mu (ψ n)) ^ (1 / (ψ n : ℝ))) atTop ≤
      smoothingFun μ x ^ a := limsup_mu_le μ hμ1 hmu_le a_in hψ_mono hψ_lim
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a
⊢ limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ y ^ b

Tactic:
have hy : limsup (fun n : ℕ => μ (y ^ nu (ψ n)) ^ (1 / (ψ n : ℝ))) atTop ≤
      smoothingFun μ y ^ b :=
    limsup_mu_le μ hμ1 hnu_le b_in hψ_mono hb_lim
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a
hy :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ y ^ b
n : ℕ
⊢ 0 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ))

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a
hy :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ y ^ b
n : ℕ
⊢ LE.le (α := ℝ) (0 n)
    ((fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ))) n)

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a
hy :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ y ^ b
⊢ limsup
      (fun (n : ℕ) ↦
        HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)) *
          HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    HMul.hMul (α := ℝ)
      (limsup
        (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
        atTop)
      (limsup
        (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
        atTop)

Tactic:
have hxy' :
      limsup (fun n : ℕ => μ (x ^ mu (ψ n)) ^ (1 / (ψ n : ℝ)) * μ (y ^ nu (ψ n)) ^ (1 / (ψ n : ℝ)))
        atTop ≤ limsup (fun n : ℕ => μ (x ^ mu (ψ n)) ^ (1 / (ψ n : ℝ))) atTop *
          limsup (fun n : ℕ => μ (y ^ nu (ψ n)) ^ (1 / (ψ n : ℝ))) atTop :=
      limsup_mul_le (Frequently.of_forall (fun n ↦ by positivity))
        (μ_bddAbove μ hμ1 hmu_le x ψ).isBoundedUnder_of_range
        (Eventually.of_forall (fun n ↦ by positivity))
        (μ_bddAbove μ hμ1 hnu_le y ψ).isBoundedUnder_of_range
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a
hy :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ y ^ b
hxy' :
  limsup
      (fun (n : ℕ) ↦
        HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)) *
          HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    HMul.hMul (α := ℝ)
      (limsup
        (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
        atTop)
      (limsup
        (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
        atTop)
⊢ IsBoundedUnder (α := ℝ) LE.le atTop fun (n : ℕ) ↦
    HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ))

Tactic:
have h_bdd : IsBoundedUnder LE.le atTop fun n : ℕ => μ (y ^ nu (ψ n)) ^ (1 / (ψ n : ℝ)) :=
      RingSeminorm.isBoundedUnder μ hμ1 hnu_le ψ
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a
hy :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ y ^ b
hxy' :
  limsup
      (fun (n : ℕ) ↦
        HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)) *
          HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    HMul.hMul (α := ℝ)
      (limsup
        (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
        atTop)
      (limsup
        (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
        atTop)
h_bdd :
  IsBoundedUnder (α := ℝ) LE.le atTop fun (n : ℕ) ↦
    HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ))
n : ℕ
⊢ 0 ≤ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ))

Tactic:
positivity
-- Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : LE.le (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) 1 : ℝ) (1 : ℝ)
hna : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := R) (⇑μ : (a : R) → ℝ)
x y : R
hn :
  ∀ (n : ℕ),
    ∃ m < n + 1,
      HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) ((x + y) ^ n) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)) ≤
        HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ m) : ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ (n - m)) : ℝ) ^
          HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑n : ℝ)
mu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ _root_.mu μ hn n
nu : ℕ → ℕ := fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hnu : nu = fun (n : ℕ) ↦ n - mu n
hmu_le : ∀ (n : ℕ), mu n ≤ n
hmu_bdd : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ))
hs : Bornology.IsBounded (α := ℝ) (Set.Icc 0 1)
a : ℝ
a_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) a
ψ : ℕ → ℕ
hψ_mono : StrictMono ψ
hψ_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(mu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 a)
b : ℝ := 1 - a
hb : b = 1 - a
hb_lim : Tendsto ((fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(nu n) : ℝ) (↑n : ℝ)) ∘ ψ) atTop (𝓝 b)
b_in : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) b
hnu_le : ∀ (n : ℕ), nu n ≤ n
hx :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a
hy :
  limsup (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ y ^ b
hxy' :
  limsup
      (fun (n : ℕ) ↦
        HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)) *
          HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    HMul.hMul (α := ℝ)
      (limsup
        (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
        atTop)
      (limsup
        (fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
        atTop)
h_bdd :
  IsBoundedUnder (α := ℝ) LE.le atTop fun (n : ℕ) ↦
    HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ))
⊢ limsup
      (fun (n : ℕ) ↦
        HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (x ^ mu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)) *
          HPow.hPow (α := ℝ) ((μ : (a : R) → ℝ) (y ^ nu (ψ n)) : ℝ) (HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 (↑(ψ n) : ℝ)))
      atTop ≤
    smoothingFun μ x ^ a * smoothingFun μ y ^ b

Tactic:
apply le_trans hxy' (mul_le_mul hx hy (le_limsup_of_frequently_le (Frequently.of_forall
      (fun n ↦ by positivity)) h_bdd) (rpow_nonneg (smoothingFun_nonneg μ hμ1 x) _))

Premises used: Filter.le_limsup_of_frequently_le, Filter.Frequently.of_forall, smoothingFun_nonneg, mul_le_mul, Real.rpow_nonneg, le_trans