-- Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.DivergenceTheorem
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst_2 : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
Hd :
  ∀ (x : Fin (n + 1) → ℝ),
    Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
        ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x →
      HasFDerivWithinAt f (f' x) ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I) x
i : Fin (n + 1)
Hc : ContinuousOn f ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I)
fI : ℝ → Box (Fin n) → E :=
  fun (y : ℝ) (J : Box (Fin n)) ↦
    integral J GP (fun (x : Fin n → ℝ) ↦ f (i.insertNth (α := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) y x)) BoxAdditiveMap.volume
fb : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type) → Fin n →ᵇᵃ[(↑(I.face i) : WithTop (Box (Fin n)))] E :=
  fun (x : (↑(Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) : Type)) ↦
    Integrable.toBoxAdditive (vol := BoxAdditiveMap.toSMul (Measure.toBoxAdditive volume)) ⋯
F : Fin (n + 1) →ᵇᵃ[(↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1))))] E := BoxAdditiveMap.upperSubLower I i fI fb ⋯
c : ℝ≥0
x : Fin (n + 1) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I \ s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
ε' : ℝ
ε'0 : 0 < ε'
hlt : 2 * (↑c : ℝ) * ε' < ε
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
Hδ :
  closedBall x δ ∩ (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) I ⊆
    {x_1 : Fin (n + 1) → ℝ |
      (fun (x_2 : Fin (n + 1) → ℝ) ↦
          ‖HSub.hSub (β := E) (f x_2 - f x) ((f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → E) (x_2 - x) : E)‖ ≤ ε' * ‖x_2 - x‖)
        x_1}
J : Box (Fin (n + 1))
hle : J ≤ I
hJδ : (Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) J ⊆ closedBall x δ
hxJ :
  Membership.mem (γ := Set (Fin (n + 1) → ℝ))
    ((Box.Icc : (a : Box (Fin (n + 1))) → Set (Fin (n + 1) → ℝ)) J : Set (Fin (n + 1) → ℝ)) x
hJc : GP.bDistortion = true → J.distortion ≤ c
refine_4 :
  ‖HSub.hSub (β := E)
        (HSMul.hSMul (α := ℝ) (β := E) (∏ j : Fin (n + 1), (J.upper j - J.lower j))
          ((f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) : E))
        ((F : (a : Box (Fin (n + 1))) → E) J : E)‖ ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) ε
      ((BoxAdditiveMap.restrict (Measure.toBoxAdditive volume) (↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1)))) ⋯ :
            (a : Box (Fin (n + 1))) → ℝ)
          J :
        ℝ)
⊢ dist (α := E)
      ((((BoxAdditiveMap.volume : (a : Box (Fin (n + 1))) → E →L[ℝ] E) J : E →L[ℝ] E) : (a : E) → E)
          ((f' x : (a : Fin (n + 1) → ℝ) → E) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ ℝ) i 1) : E) :
        E)
      ((F : (a : Box (Fin (n + 1))) → E) J : E) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ) ε
      ((BoxAdditiveMap.restrict (Measure.toBoxAdditive volume) (↑I : WithTop (Box (Fin (n + 1)))) ⋯ :
            (a : Box (Fin (n + 1))) → ℝ)
          J :
        ℝ)

Tactic:
simp only [BoxAdditiveMap.volume_apply, dist_eq_norm]

Premises used: dist_eq_norm, BoxIntegral.BoxAdditiveMap.volume_apply