awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : d a1 = n * n
this : n * n + 1 = a * a
na : n < a
⊢ (n + 1) * (n + 1) ≤ a * a

Tactic:
exact Nat.mul_self_le_mul_self na

Premises used: Nat.mul_self_le_mul_self
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : d a1 = n * n
this_1 : n * n + 1 = a * a
na : n < a
this : (n + 1) * (n + 1) ≤ n * n + 1
ring_nf :
  ∀ (this : 1 + n * 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2 ≤ 1 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2),
    1 + n * 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2 ≤ 1 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
⊢ n + n + (n * n + 1) ≤ 0 + (n * n + 1)

Tactic:
ring_nf at this ⊢
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : d a1 = n * n
this_1 : n * n + 1 = a * a
na : n < a
this : 1 + n * 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2 ≤ 1 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
⊢ 1 + n * 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2 ≤ 1 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2

Tactic:
assumption
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : d a1 = n * n
this_1 : n * n + 1 = a * a
na : n < a
this_2 : (n + 1) * (n + 1) ≤ n * n + 1
this : n + n ≤ 0
rwa rwa₁ rwa₂ rwa₃ :
  ∀ (h : d a1 = HMul.hMul (α := ℕ) 0 0) (this : n * n + 1 = a * a) (na : n < a) (this : (n + 1) * (n + 1) ≤ n * n + 1)
    (this : n + n ≤ 0), d a1 = 0
⊢ d a1 = 0

Tactic:
rwa [Nat.eq_zero_of_le_zero ((Nat.le_add_left _ _).trans this)] at h

Premises used: Nat.le_add_left, LE.le.trans, Nat.eq_zero_of_le_zero
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
simp : a ^ n * a ≤ xn a1 n * a + d a1 * yn a1 n
⊢ a ^ (n + 1) ≤ xn a1 (n + 1)

Tactic:
simp only [_root_.pow_succ, xn_succ]

Premises used: Pell.xn_succ, pow_succ
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ a ^ n * a ≤ xn a1 n * a + d a1 * yn a1 n

Tactic:
le_trans (Nat.mul_le_mul_right _ (xn_ge_a_pow n)) (Nat.le_add_right _ _)

Premises used: Nat.mul_le_mul_right, Nat.le_add_right, le_trans
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ a ^ n * a ≤ xn a1 n * a + d a1 * yn a1 n

Tactic:
exact le_trans (Nat.mul_le_mul_right _ (xn_ge_a_pow n)) (Nat.le_add_right _ _)

Premises used: Nat.mul_le_mul_right, Nat.le_add_right, le_trans
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ n < xn a1 n

Tactic:
lt_of_lt_of_le (Nat.lt_pow_self a1) (xn_ge_a_pow a1 n)

Premises used: Nat.lt_pow_self, Pell.xn_ge_a_pow, lt_of_lt_of_le
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
⊢ 0 < xn a1 n

Tactic:
lt_of_le_of_lt (Nat.zero_le n) (n_lt_xn a1 n)

Premises used: Nat.zero_le, lt_of_le_of_lt, Pell.n_lt_xn
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
⊢ d a1 * (0 + 1) * (0 + 1) ≤ 1 * (a + 0) * (a + 0)

Tactic:
simp [d]

Premises used: _private.0.Pell.d
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
rw :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
⊢ 1 ≤ b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }

Tactic:
rw [← a1m]
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
⊢ HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 }

Tactic:
mul_le_mul_of_nonneg_right ha am1p

Premises used: mul_le_mul_of_nonneg_right
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
⊢ HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 }

Tactic:
exact mul_le_mul_of_nonneg_right ha am1p

Premises used: mul_le_mul_of_nonneg_right
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
⊢ b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 (n + 1) * { re := (↑a : ℤ), im := -1 }

Tactic:
have t := mul_le_mul_of_nonneg_right h am1p
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
t : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 (n + 1) * { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
rwa :
  ∀
    (t :
      b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
        pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := -1 }),
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
rwa₁ :
  ∀
    (t :
      b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
        pellZd a1 n *
          HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
            { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }),
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
rwa₂ :
  ∀ (t : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n * 1),
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
rwa₃ rwa₄ rwa₅ rwa₆ :
  ∀ (t : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n),
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
⊢ b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n

Tactic:
rwa [pellZd_succ, mul_assoc, a1m, mul_one] at t

Premises used: mul_assoc, Pell.pellZd_succ, mul_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m
rw : b = b * 1
⊢ b = b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 }

Tactic:
rw [mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m]

Premises used: mul_assoc, mul_comm, Eq.trans
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m
⊢ b = b * 1

Tactic:
simp
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m
rw :
  b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 (m + 1)
rw₁ :
  b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    pellZd a1 m * { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
rw₂ rw₃ : pellZd a1 m * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m * { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
⊢ b = pellZd a1 (m + 1)

Tactic:
rw [show b = b * ⟨a, -1⟩ * ⟨a, 1⟩ by rw [mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m]; simp,
          pellZd_succ, e]

Premises used: Pell.pellZd_succ
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : ¬{ re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
h1l : 1 < b
obtain :
  ∀ (x y : ℤ) (h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y })
    (hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }) (h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1))
    (ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y })
    (h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }), False
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨x, y⟩ := b
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
⊢ HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1

Tactic:
have bm : (_ * ⟨_, _⟩ : ℤ√d a1) = 1 := Pell.isPell_norm.1 hp
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := -y }
⊢ HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } 1 ≤
    HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y } { re := x, im := -y }

Tactic:
have t := mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := -y }
t :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } 1 ≤
    HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y } { re := x, im := -y }
⊢ LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y } 1

Tactic:
rw [bm, mul_one] at t

Premises used: mul_one
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := -y }
t : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y } 1
⊢ False

Tactic:
h1l t
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := -y }
t : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y } 1
⊢ False

Tactic:
exact h1l t
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
⊢ LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }

Tactic:
have y0l : (0 : ℤ√d a1) < ⟨x - x, y - -y⟩ :=
          sub_lt_sub h1l fun hn : (1 : ℤ√d a1) ≤ ⟨x, -y⟩ => by
            have t := mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)
            rw [bm, mul_one] at t
            exact h1l t
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := -y } { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
⊢ HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } { re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } *
      { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
    HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
        { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } *
      { re := (↑a : ℤ), im := 1 }

Tactic:
have t := mul_le_mul_of_nonneg_right
                      (mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)) a1p
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := -y } { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
t :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } { re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } *
      { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
    HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
        { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } *
      { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
⊢ LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }

Tactic:
rw [bm, one_mul, mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m, mul_one] at t

Premises used: mul_assoc, mul_comm, mul_one, one_mul, Eq.trans
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := -y } { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
t : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
⊢ False

Tactic:
ha t
-- Module: Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := -y } { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
t : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
⊢ False

Tactic:
exact ha t