-- Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.AffineTransitionLimit
Goal:
I : Type u
inst : Category.{u, u} I
D : I ⥤ Scheme
c : Cone D
hc : IsLimit c
inst_1 : IsCofiltered I
inst_2 : ∀ {i j : I} (f : i ⟶ j), IsAffineHom (D.map f)
i : I
inst_3 : CompactSpace.{u} ↥(D.obj i)
s : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)
hs :
  Eq (α := (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appTop (c.π.app i)) :
          (a : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
        s :
      (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
    (0 : (↑Γ(((Functor.const I).obj c.pt).obj i, ⊤) : Type u))
this :
  ∀ (x : ↥(D.obj i)),
    ∃ (U : (D.obj i).Opens) (_ : IsAffineOpen U) (_ : x ∈ U) (j : I) (f : j ⟶ i),
      Eq (α := (↑Γ(D.obj j, D.map f ⁻¹ᵁ U) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.app (D.map f) U) :
              (a : (↑Γ(D.obj i, U) : Type u)) → (↑Γ(D.obj j, D.map f ⁻¹ᵁ U) : Type u))
            (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) s U ⋯ :
              ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
                ((D.obj i).presheaf.obj (Opposite.op U))) :
          (↑Γ(D.obj j, D.map f ⁻¹ᵁ U) : Type u))
        (0 : (↑Γ(D.obj j, D.map f ⁻¹ᵁ U) : Type u))
choose :
  ∀ (U : (x : ↥(D.obj i)) → (D.obj i).Opens) (hU : ∀ (x : ↥(D.obj i)), IsAffineOpen (U x))
    (hxU : ∀ (x : ↥(D.obj i)), x ∈ U x) (j : (x : ↥(D.obj i)) → I) (f : (x : ↥(D.obj i)) → j x ⟶ i)
    (H :
      ∀ (x : ↥(D.obj i)),
        Eq (α := (↑Γ(D.obj (j x), D.map (f x) ⁻¹ᵁ U x) : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X := Γ(D.obj i, U x)) (Scheme.Hom.app (D.map (f x)) (U x)) :
                (a : (↑Γ(D.obj i, U x) : Type u)) → (↑Γ(D.obj (j x), D.map (f x) ⁻¹ᵁ U x) : Type u))
              (TopCat.Presheaf.restrictOpen (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) s (U x) ⋯ :
                ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
                  ((D.obj i).presheaf.obj (Opposite.op (U x)))) :
            (↑Γ(D.obj (j x), D.map (f x) ⁻¹ᵁ U x) : Type u))
          (0 : (↑Γ(D.obj (j x), D.map (f x) ⁻¹ᵁ U x) : Type u))),
    ∃ (j : I) (f : j ⟶ i),
      Eq (α := (↑Γ(D.obj j, ⊤) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appTop (D.map f)) :
              (a : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(D.obj j, ⊤) : Type u))
            s :
          (↑Γ(D.obj j, ⊤) : Type u))
        (0 : (↑Γ(D.obj j, ⊤) : Type u))
⊢ ∃ (j : I) (f : j ⟶ i),
    Eq (α := (↑Γ(D.obj j, ⊤) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appTop (D.map f)) :
            (a : (↑Γ(D.obj i, ⊤) : Type u)) → (↑Γ(D.obj j, ⊤) : Type u))
          s :
        (↑Γ(D.obj j, ⊤) : Type u))
      (0 : (↑Γ(D.obj j, ⊤) : Type u))

Tactic:
choose U hU hxU j f H using this