awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
suffices :
  Eq (α := DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
    ((LinearMap.flip (gradedMul R 𝒜 ℬ) :
          (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) →
            DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
        ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜) : (a : R) → DirectSum ι 𝒜) r ⊗ₜ[R] 1) :
      DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
    (DistribSMul.toLinearMap R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) r :
      DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
⊢ (((gradedMul R 𝒜 ℬ :
              (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) →
                DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
            x :
          DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
        (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) → DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
      ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜) : (a : R) → DirectSum ι 𝒜) r ⊗ₜ[R] 1) =
    r • x

Tactic:
suffices (gradedMul R 𝒜 ℬ).flip (algebraMap R _ r ⊗ₜ 1) = DistribSMul.toLinearMap R _ r by
    exact DFunLike.congr_fun this x
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
a :
  ∀ (i : ι) (x : 𝒜 i) (i_1 : ι) (x_1 : ℬ i_1),
    Eq (α := DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
      (((((AlgebraTensorModule.curry
                          ((LinearMap.flip (gradedMul R 𝒜 ℬ) :
                              (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) →
                                DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
                            ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜) : (a : R) → DirectSum ι 𝒜) r ⊗ₜ[R] 1)) ∘ₗ
                        lof R ι 𝒜 i :
                      𝒜 i →ₗ[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
                    (a : 𝒜 i) → DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
                  x ∘ₗ
                lof R ι ℬ i_1 :
              ℬ i_1 →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
            (a : ℬ i_1) → DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
          x_1 :
        DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
      (((((AlgebraTensorModule.curry (DistribSMul.toLinearMap R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) r) ∘ₗ lof R ι 𝒜 i :
                      𝒜 i →ₗ[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
                    (a : 𝒜 i) → DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
                  x ∘ₗ
                lof R ι ℬ i_1 :
              ℬ i_1 →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
            (a : ℬ i_1) → DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
          x_1 :
        DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
⊢ Eq (α := DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
    ((LinearMap.flip (gradedMul R 𝒜 ℬ) :
          (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) →
            DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
        ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜) : (a : R) → DirectSum ι 𝒜) r ⊗ₜ[R] 1) :
      DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
    (DistribSMul.toLinearMap R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) r :
      DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)

Tactic:
ext
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
i : ι
x_1 : 𝒜 i
i_1 : ι
x_2 : ℬ i_1
a :
  HSMul.hSMul (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (i_1 * 0))
      (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 0 : (a : 𝒜 0) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
              (((@DirectSum.GAlgebra.toFun.{u_2, u_1, u_3} _ R 𝒜 CommRing.toCommSemiring
                      (fun (i : ι) ↦ AddCommGroup.toAddCommMonoid) inst_6 AddMonoidWithOne.toAddMonoid
                      (DirectSum.GRing.toGSemiring (A := 𝒜)) _ :
                    AddMonoidHom.{u_1, u_3} R (𝒜 0)) :
                  (a : R) → 𝒜 0)
                r) :
            ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗ₜ[R]
        HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) (β := ⨁ (i : ι), ℬ i)
          ((lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 : ⨁ (i : ι), ℬ i) (1 : DirectSum ι ℬ)) =
    HSMul.hSMul (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) r
      ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 :
        (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)
⊢ (((gradedMul R 𝒜 ℬ :
              (a : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) →
                DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
            ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2) :
          DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
        (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) → DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
      ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜) : (a : R) → DirectSum ι 𝒜) r ⊗ₜ[R] 1) =
    HSMul.hSMul (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) r
      ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 :
        (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)

Tactic:
erw [tmul_of_gradedMul_of_tmul]

Premises used: TensorProduct.tmul_of_gradedMul_of_tmul
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
i : ι
x_1 : 𝒜 i
i_1 : ι
x_2 : ℬ i_1
a :
  Eq (α := DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
    (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 0 : (a : 𝒜 0) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
              (((@DirectSum.GAlgebra.toFun.{u_2, u_1, u_3} _ R 𝒜 CommRing.toCommSemiring
                      (fun (i : ι) ↦ AddCommGroup.toAddCommMonoid) inst_6 AddMonoidWithOne.toAddMonoid
                      (DirectSum.GRing.toGSemiring (A := 𝒜)) _ :
                    AddMonoidHom.{u_1, u_3} R (𝒜 0)) :
                  (a : R) → 𝒜 0)
                r) :
            ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗ₜ[R]
        (lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 :
      (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)
    (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((algebraMap R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) : (a : R) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) r : ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗ₜ[R]
        (lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 :
      (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)
⊢ HSMul.hSMul (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (i_1 * 0))
      (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 0 : (a : 𝒜 0) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
              (((@DirectSum.GAlgebra.toFun.{u_2, u_1, u_3} _ R 𝒜 CommRing.toCommSemiring
                      (fun (i : ι) ↦ AddCommGroup.toAddCommMonoid) inst_6 AddMonoidWithOne.toAddMonoid
                      (DirectSum.GRing.toGSemiring (A := 𝒜)) _ :
                    AddMonoidHom.{u_1, u_3} R (𝒜 0)) :
                  (a : R) → 𝒜 0)
                r) :
            ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗ₜ[R]
        HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) (β := ⨁ (i : ι), ℬ i)
          ((lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 : ⨁ (i : ι), ℬ i) (1 : DirectSum ι ℬ)) =
    HSMul.hSMul (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) r
      ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 :
        (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)

Tactic:
rw [mul_zero, uzpow_zero, one_smul, smul_tmul',
      mul_one, _root_.Algebra.smul_def, Algebra.commutes]

Premises used: uzpow_zero, one_smul, MulZeroClass.mul_zero, TensorProduct.smul_tmul', Algebra.smul_def, mul_one, Algebra.commutes
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
r : R
i : ι
x_1 : 𝒜 i
i_1 : ι
x_2 : ℬ i_1
⊢ Eq (α := DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
    (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 0 : (a : 𝒜 0) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
              (((@DirectSum.GAlgebra.toFun.{u_2, u_1, u_3} _ R 𝒜 CommRing.toCommSemiring
                      (fun (i : ι) ↦ AddCommGroup.toAddCommMonoid) inst_6 AddMonoidWithOne.toAddMonoid
                      (DirectSum.GRing.toGSemiring (A := 𝒜)) _ :
                    AddMonoidHom.{u_1, u_3} R (𝒜 0)) :
                  (a : R) → 𝒜 0)
                r) :
            ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗ₜ[R]
        (lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 :
      (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)
    (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 i : (a : 𝒜 i) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) x_1 : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((algebraMap R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) : (a : R) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) r : ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗ₜ[R]
        (lof R ι ℬ i_1 : (a : ℬ i_1) → ⨁ (i : ι), ℬ i) x_2 :
      (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i)

Tactic:
rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ (((gradedMul R 𝒜 ℬ :
              (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) →
                DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
            x :
          DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
        (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) → DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
      1 =
    x

Tactic:
simpa only [RingHom.map_one, one_smul] using gradedMul_algebraMap 𝒜 ℬ x 1

Premises used: RingHom.map_one, one_smul, TensorProduct.gradedMul_algebraMap, OfNat.ofNat
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y z : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
mA : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ :=
  gradedMul R 𝒜 ℬ
ixa : ι
xa : 𝒜 ixa
ixb : ι
xb : ℬ ixb
iya : ι
ya : 𝒜 iya
iyb : ι
yb : ℬ iyb
iza : ι
za : 𝒜 iza
izb : ι
zb : ℬ izb
⊢ HSMul.hSMul (β := DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (ixb * iya + (ixb * iza + iyb * iza)))
      (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((lof R ι 𝒜 ixa : (a : 𝒜 ixa) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) xa : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
            ((lof R ι 𝒜 iya : (a : 𝒜 iya) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ya : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
            ((lof R ι 𝒜 iza : (a : 𝒜 iza) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) za : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)) ⊗ₜ[R]
        HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) ((lof R ι ℬ ixb : (a : ℬ ixb) → ⨁ (i : ι), ℬ i) xb : ⨁ (i : ι), ℬ i)
          (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) (β := ⨁ (i : ι), ℬ i)
            ((lof R ι ℬ iyb : (a : ℬ iyb) → ⨁ (i : ι), ℬ i) yb : ⨁ (i : ι), ℬ i)
            ((lof R ι ℬ izb : (a : ℬ izb) → ⨁ (i : ι), ℬ i) zb : ⨁ (i : ι), ℬ i))) =
    HSMul.hSMul (α := R) (↑(↑(HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (iyb * iza)) : ℤ) : R)
      (HSMul.hSMul (β := (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (ixb * iya + ixb * iza))
        (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ((lof R ι 𝒜 ixa : (a : 𝒜 ixa) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) xa : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
            (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
              ((lof R ι 𝒜 iya : (a : 𝒜 iya) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) ya : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
              ((lof R ι 𝒜 iza : (a : 𝒜 iza) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) za : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)) ⊗ₜ[R]
          HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) ((lof R ι ℬ ixb : (a : ℬ ixb) → ⨁ (i : ι), ℬ i) xb : ⨁ (i : ι), ℬ i)
            (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) (β := ⨁ (i : ι), ℬ i)
              ((lof R ι ℬ iyb : (a : ℬ iyb) → ⨁ (i : ι), ℬ i) yb : ⨁ (i : ι), ℬ i)
              ((lof R ι ℬ izb : (a : ℬ izb) → ⨁ (i : ι), ℬ i) zb : ⨁ (i : ι), ℬ i))))

Tactic:
congr 2
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
suffices :
  Eq (α :=
    DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
    (LinearMap.compr₂ (gradedMul R 𝒜 ℬ)
      (↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) : ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) →ₗ[R] (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i))
    (LinearMap.compl₂
      (gradedMul R ℬ 𝒜 ∘ₗ
        (↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) : ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) →ₗ[R] (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i))
      (↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) : ((⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) →ₗ[R] (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i))
⊢ Eq (α := (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
    ((gradedComm R 𝒜 ℬ : (a : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) → (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
        ((((gradedMul R 𝒜 ℬ :
                  (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) →
                    DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
                x :
              DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ →ₗ[R] DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) :
            (a : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) → DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ)
          y) :
      (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
    ((((gradedMul R ℬ 𝒜 :
                (a : DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜) →
                  DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜 →ₗ[R] DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜)
              ((gradedComm R 𝒜 ℬ : (a : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) → (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
                x) :
            DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜 →ₗ[R] DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜) :
          (a : DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜) → DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜)
        ((gradedComm R 𝒜 ℬ : (a : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i) → (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i) y) :
      DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜)

Tactic:
suffices (gradedMul R 𝒜 ℬ).compr₂ (gradedComm R 𝒜 ℬ).toLinearMap
      = (gradedMul R ℬ 𝒜 ∘ₗ (gradedComm R 𝒜 ℬ).toLinearMap).compl₂
        (gradedComm R 𝒜 ℬ).toLinearMap from
    LinearMap.congr_fun₂ this x y
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.External
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : CommSemiring ι
inst_1 : Module ι (Additive ℤˣ)
inst_2 : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst_3 : CommRing R
inst_4 : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst_5 : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (𝒜 i)
inst_7 : (i : ι) → Module.{u_1, u_4} R (ℬ i)
inst_8 : DirectSum.GRing 𝒜
inst_9 : DirectSum.GRing ℬ
inst_10 : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst_11 : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂
⊢ HSMul.hSMul (β := (⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
      (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (j₁ * i₂ + (j₁ * i₁ + j₂ * i₁ + (j₁ * i₂ + j₂ * i₂))))
      (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) (β := ⨁ (i : ι), ℬ i)
          ((lof R ι ℬ j₁ : (a : ℬ j₁) → ⨁ (i : ι), ℬ i) b₁ : ⨁ (i : ι), ℬ i)
          ((lof R ι ℬ j₂ : (a : ℬ j₂) → ⨁ (i : ι), ℬ i) b₂ : ⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗ₜ[R]
        HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 i₁ : (a : 𝒜 i₁) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₁ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
          ((lof R ι 𝒜 i₂ : (a : 𝒜 i₂) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₂ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)) =
    HSMul.hSMul (α := R) (↑(↑(HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (j₂ * i₂)) : ℤ) : R)
      (HSMul.hSMul (β := DirectSum ι ℬ ⊗[R] DirectSum ι 𝒜) (HPow.hPow (α := ℤˣ) (-1) (j₁ * i₁ + j₂ * i₁))
        (HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), ℬ i) (β := ⨁ (i : ι), ℬ i)
            ((lof R ι ℬ j₁ : (a : ℬ j₁) → ⨁ (i : ι), ℬ i) b₁ : ⨁ (i : ι), ℬ i)
            ((lof R ι ℬ j₂ : (a : ℬ j₂) → ⨁ (i : ι), ℬ i) b₂ : ⨁ (i : ι), ℬ i) ⊗ₜ[R]
          HMul.hMul (α := ⨁ (i : ι), 𝒜 i) (β := ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
            ((lof R ι 𝒜 i₁ : (a : 𝒜 i₁) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₁ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)
            ((lof R ι 𝒜 i₂ : (a : 𝒜 i₂) → ⨁ (i : ι), 𝒜 i) a₂ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i)))

Tactic:
congr 1
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.Internal
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommSemiring ι
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Ring A
inst_4 : Ring B
inst_5 : Algebra R A
inst_6 : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst_7 : GradedAlgebra 𝒜
inst_8 : GradedAlgebra ℬ
⊢ Eq (α := 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ((of R 𝒜 ℬ : (a : A ⊗[R] B) → 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) 1) 1

Tactic:
rfl

Premises used: TensorProduct.tmul, AddCon.toQuotient, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.Internal
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommSemiring ι
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Ring A
inst_4 : Ring B
inst_5 : Algebra R A
inst_6 : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst_7 : GradedAlgebra 𝒜
inst_8 : GradedAlgebra ℬ
⊢ Eq (α := A ⊗[R] B) ((LinearEquiv.symm (of R 𝒜 ℬ) : (a : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) → A ⊗[R] B) 1) 1

Tactic:
rfl

Premises used: TensorProduct.tmul, AddCon.toQuotient, rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.Internal
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommSemiring ι
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Ring A
inst_4 : Ring B
inst_5 : Algebra R A
inst_6 : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst_7 : GradedAlgebra 𝒜
inst_8 : GradedAlgebra ℬ
x : A ⊗[R] B
⊢ (LinearEquiv.symm (of R 𝒜 ℬ) : (a : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) → A ⊗[R] B) ((of R 𝒜 ℬ : (a : A ⊗[R] B) → 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) x) = x

Tactic:
rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.Internal
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommSemiring ι
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Ring A
inst_4 : Ring B
inst_5 : Algebra R A
inst_6 : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst_7 : GradedAlgebra 𝒜
inst_8 : GradedAlgebra ℬ
x : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ
⊢ (of R 𝒜 ℬ : (a : A ⊗[R] B) → 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ((LinearEquiv.symm (of R 𝒜 ℬ) : (a : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) → A ⊗[R] B) x) = x

Tactic:
rfl

Premises used: rfl
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.Internal
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommSemiring ι
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Ring A
inst_4 : Ring B
inst_5 : Algebra R A
inst_6 : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst_7 : GradedAlgebra 𝒜
inst_8 : GradedAlgebra ℬ
M : Type u_5
inst_9 : AddCommMonoid M
inst_10 : Module R M
f g : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ (↑(of R 𝒜 ℬ) : A ⊗[R] B →ₗ[R] 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) = g ∘ₗ (↑(of R 𝒜 ℬ) : A ⊗[R] B →ₗ[R] 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ)
⊢ f = g

Tactic:
h

Premises used: GradedTensorProduct
-- Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Graded.Internal
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst : CommSemiring ι
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Ring A
inst_4 : Ring B
inst_5 : Algebra R A
inst_6 : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst_7 : GradedAlgebra 𝒜
inst_8 : GradedAlgebra ℬ
a : A
b : B
⊢ Eq (α := (⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))
    ((auxEquiv R 𝒜 ℬ : (a : 𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) → (⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) (a ᵍ⊗ₜ[R] b) :
      (⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))
    ((decompose 𝒜 : (a : A) → ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) a ⊗ₜ[R] (decompose ℬ : (a : B) → ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i)) b :
      (⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ↥(ℬ i))

Tactic:
rfl

Premises used: Quotient.liftOn', AddCon.liftOn, List.foldl, TensorProduct.tmul, AddCon.toQuotient, FreeAddMonoid.sumAux, rfl