awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
⊢ 0 ≤ ε'

Tactic:
le_of_lt hε'.1

Premises used: le_of_lt, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
⊢ 0 ≤ ε'

Tactic:
exact le_of_lt hε'.1

Premises used: le_of_lt, And.left
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
_ : |a| + a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1 ≤ |a| + y n + ε'
⊢ 0 ≤ |a| + y n + ε'

Tactic:
calc
        _ ≤ |a| + a := neg_le_iff_add_nonneg'.mp <| neg_abs_le a
        _ ≤ |a| + a + ε' * (n + 1) := (le_add_iff_nonneg_right (|a| + a)).mpr <| Left.mul_nonneg
          (le_of_lt hε'.1) <| Left.add_nonneg (Nat.cast_nonneg' n) (zero_le_one' ℝ)
        _ ≤ _ := by rw [← add_assoc, le_add_iff_nonneg_right]; exact le_of_lt hε'.1

Premises used: Iff.mpr, le_add_iff_nonneg_right, Real, abs, neg_abs_le, le_of_lt, zero_le_one', Nat.cast_nonneg', neg_le_iff_add_nonneg', Fin.val, Left.mul_nonneg, And.left, HAdd.hAdd, Iff.mp, OfNat.ofNat, Left.add_nonneg
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
apply : ENNReal.ofReal ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n)) ≤ (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X)
apply₁ : Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ (Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n) ≤ μ.real (↑(V n) : Set X)

Tactic:
apply (ENNReal.ofReal_le_iff_le_toReal _).mp

Premises used: ENNReal.ofReal_le_iff_le_toReal, Iff.mp
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
⊢ ENNReal.ofReal ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n)) ≤ (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X)

Tactic:
le_rieszMeasure_tsupport_subset Λ (fun x ↦ hg.2.2.1 n x) (hg.1 n)

Premises used: And.right, And.left, RealRMK.le_rieszMeasure_tsupport_subset
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
⊢ ENNReal.ofReal ((Λ : (a : X →C_c ℝ) → ℝ) (g n)) ≤ (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X)

Tactic:
exact le_rieszMeasure_tsupport_subset Λ (fun x ↦ hg.2.2.1 n x) (hg.1 n)

Premises used: And.right, And.left, RealRMK.le_rieszMeasure_tsupport_subset
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
rw : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
⊢ Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
rw [← lt_top_iff_ne_top]

Premises used: lt_top_iff_ne_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
apply : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ))) < ∞
⊢ LT.lt (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)

Tactic:
apply lt_of_le_of_lt (hV n).2.2

Premises used: lt_of_le_of_lt, And.right
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
rw :
  LT.lt (α := WithTop NNReal) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (⊤ : WithTop NNReal) ∧
    ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)) < ⊤
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ))) < ∞

Tactic:
rw [WithTop.add_lt_top]

Premises used: WithTop.add_lt_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
⊢ LT.lt (α := WithTop NNReal) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (⊤ : WithTop NNReal) ∧
    ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)) < ⊤

Tactic:
⟨WithTop.lt_top_iff_ne_top.mpr (hE' n), ENNReal.ofReal_lt_top⟩

Premises used: Iff.mpr, ENNReal.ofReal_lt_top, And.intro, WithTop.lt_top_iff_ne_top
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
⊢ LT.lt (α := WithTop NNReal) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (⊤ : WithTop NNReal) ∧
    ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)) < ⊤

Tactic:
exact ⟨WithTop.lt_top_iff_ne_top.mpr (hE' n), ENNReal.ofReal_lt_top⟩
-- Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hn : Membership.mem (γ := Finset (Fin N)) Finset.univ n
rw : μ.real (↑(V n) : Set X) ≤ μ.real (E n) + (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ))).toReal
⊢ μ.real (↑(V n) : Set X) ≤ μ.real (E n) + ε' / (↑N : ℝ)

Tactic:
rw [← ENNReal.toReal_ofReal (div_nonneg (le_of_lt hε'.1) (Nat.cast_nonneg _))]

Premises used: Nat.cast_nonneg, le_of_lt, ENNReal.toReal_ofReal, And.left, div_nonneg