awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.PowerSeries.Derivative (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
f g : A⟦X⟧
hg : HasSubst g
n m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ∀ n' ≤ n + 1, Eq (α := A) ((coeff n' : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ b) : A) (0 : A)
⊢ Eq (α := A) ((coeff n : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) (subst g f) : A⟦X⟧) : A)
    ((coeff n : (a : A⟦X⟧) → A)
        (HMul.hMul (β := A⟦X⟧) (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) f))
          ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧)) :
      A)
have this : Eq (α := A) ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst g f) : A)
  ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧)) : A)
Tactic: have : coeff (n + 1) (f.subst g) = coeff (n + 1) ((↑(trunc (m + 1) f) : A⟦X⟧).subst g) := by
    rw [coeff_subst' hg, coeff_subst' hg]
    refine finsum_congr fun d ↦ ?_
    obtain hd | hd := lt_or_ge d m
    · rw [coeff_coe_trunc_of_lt (by lia)]
    · simp [coeff_trunc, hd, hm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.PowerSeries.Derivative (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
f g : A⟦X⟧
hg : HasSubst g
n m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ∀ n' ≤ n + 1, Eq (α := A) ((coeff n' : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ b) : A) (0 : A)
this :
  Eq (α := A) ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst g f) : A)
    ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧)) : A)
⊢ Eq (α := A) ((coeff n : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) (subst g f) : A⟦X⟧) : A)
    ((coeff n : (a : A⟦X⟧) → A)
        (HMul.hMul (β := A⟦X⟧) (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) f))
          ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧)) :
      A)
have h : Eq.{u_1 + 1} (α := A)
  (∑ p ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n,
    HMul.hMul (α := A) (β := A)
      ((coeff p.1 : (a : A⟦X⟧) → A)
          (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧))) :
        A)
      ((coeff p.2 : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧) : A))
  (∑ p ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n,
    HMul.hMul (α := A) (β := A) ((coeff p.1 : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) f)) : A)
      ((coeff p.2 : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧) : A))
Tactic: rw [coeff_derivative, this, ← coeff_derivative, derivative_subst_coe A _ hg, coeff_mul, coeff_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.PowerSeries.Derivative (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
f g : A⟦X⟧
hg : HasSubst g
n m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ∀ n' ≤ n + 1, Eq (α := A) ((coeff n' : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ b) : A) (0 : A)
this :
  Eq (α := A) ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst g f) : A)
    ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧)) : A)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := A)
    (∑ p ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n,
      HMul.hMul (α := A) (β := A)
        ((coeff p.1 : (a : A⟦X⟧) → A)
            (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧))) :
          A)
        ((coeff p.2 : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧) : A))
    (∑ p ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n,
      HMul.hMul (α := A) (β := A) ((coeff p.1 : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) f)) : A)
        ((coeff p.2 : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧) : A))
have h : ∀ (x : ℕ × ℕ) (i j : ℕ) (hij : (i, j) ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n),
  HMul.hMul (α := A) (β := A)
      ((coeff (i, j).1 : (a : A⟦X⟧) → A)
          (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧))) :
        A)
      ((coeff (i, j).2 : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧) : A) =
    HMul.hMul (α := A) (β := A)
      ((coeff (i, j).1 : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) f)) : A)
      ((coeff (i, j).2 : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧) : A)
Tactic: refine Finset.sum_congr rfl fun ⟨i, j⟩ hij ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.PowerSeries.Derivative (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
f g : A⟦X⟧
hg : HasSubst g
n m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ∀ n' ≤ n + 1, Eq (α := A) ((coeff n' : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ b) : A) (0 : A)
this :
  Eq (α := A) ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst g f) : A)
    ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧)) : A)
x : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      ((coeff (i, j).1 : (a : A⟦X⟧) → A)
          (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧))) :
        A)
      ((coeff (i, j).2 : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧) : A) =
    HMul.hMul (α := A) (β := A)
      ((coeff (i, j).1 : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) f)) : A)
      ((coeff (i, j).2 : (a : A⟦X⟧) → A) ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) g : A⟦X⟧) : A)
have h : Eq (α := A)
  ((coeff (i, j).1 : (a : A⟦X⟧) → A)
      (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧))) :
    A)
  ((coeff (i, j).1 : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) f)) : A)
Tactic: congr 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.PowerSeries.Derivative (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
f g : A⟦X⟧
hg : HasSubst g
n m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ∀ n' ≤ n + 1, Eq (α := A) ((coeff n' : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ b) : A) (0 : A)
this :
  Eq (α := A) ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst g f) : A)
    ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧)) : A)
x : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n
⊢ Eq (α := A)
    ((coeff (i, j).1 : (a : A⟦X⟧) → A)
        (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧))) :
      A)
    ((coeff (i, j).1 : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g ((d⁄dX A : (a : A⟦X⟧) → A⟦X⟧) f)) : A)
have h : Eq.{u_1 + 1} (α := A)
  (∑ᶠ (d : ℕ),
    HSMul.hSMul (β := A)
      (HMul.hMul (α := A) (if d + 1 < m + 1 then (coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f else 0 : A)
        (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A))
  (∑ᶠ (d : ℕ),
    HSMul.hSMul (β := A) (HMul.hMul (α := A) ((coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f : A) (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A))
Tactic: simp only [coeff_subst' hg, coeff_derivative, coeff_coe, coeff_trunc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.PowerSeries.Derivative (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
f g : A⟦X⟧
hg : HasSubst g
n m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ∀ n' ≤ n + 1, Eq (α := A) ((coeff n' : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ b) : A) (0 : A)
this :
  Eq (α := A) ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst g f) : A)
    ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧)) : A)
x : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n
d : ℕ
⊢ HSMul.hSMul (β := A)
      (HMul.hMul (α := A) (if d + 1 < m + 1 then (coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f else 0 : A)
        (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A) =
    HSMul.hSMul (β := A) (HMul.hMul (α := A) ((coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f : A) (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A)
have pos : d + 1 < m + 1 →
  HSMul.hSMul (β := A) (HMul.hMul (α := A) ((coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f : A) (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A) =
    HSMul.hSMul (β := A) (HMul.hMul (α := A) ((coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f : A) (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A)
Tactic: split_ifs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.PowerSeries.Derivative (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
f g : A⟦X⟧
hg : HasSubst g
n m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, ∀ n' ≤ n + 1, Eq (α := A) ((coeff n' : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ b) : A) (0 : A)
this :
  Eq (α := A) ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst g f) : A)
    ((coeff (n + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) (subst (R := A) g (↑((trunc (m + 1) : (a : A⟦X⟧) → A[X]) f) : A⟦X⟧)) : A)
x : ℕ × ℕ
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ @Finset.antidiagonal _ instAddMonoid _ n
d : ℕ
pos :
  d + 1 < m + 1 →
    HSMul.hSMul (β := A) (HMul.hMul (α := A) ((coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f : A) (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
        ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A) =
      HSMul.hSMul (β := A) (HMul.hMul (α := A) ((coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f : A) (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
        ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A)
⊢ HSMul.hSMul (β := A)
      (HMul.hMul (α := A) (if d + 1 < m + 1 then (coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f else 0 : A)
        (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A) =
    HSMul.hSMul (β := A) (HMul.hMul (α := A) ((coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f : A) (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A)
have neg : ¬d + 1 < m + 1 →
  HSMul.hSMul (β := A) (0 * HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1) ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A) =
    HSMul.hSMul (β := A) (HMul.hMul (α := A) ((coeff (d + 1) : (a : A⟦X⟧) → A) f : A) (HAdd.hAdd (α := A) (↑d : A) 1))
      ((coeff i : (a : A⟦X⟧) → A) (g ^ d) : A)
Tactic: split_ifs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
x y : P
⊢ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
      (HSub.hSub (β := P) (x + y) ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) (x + y) : S) : P)) ⋯ =
    Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
        (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) ⋯ +
      Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
        (HSub.hSub (β := P) y ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) y : S) : P)) ⋯
have simp : x + y -
    HAdd.hAdd (α := P) (β := P) ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)
      ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) y : S) : P) =
  HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P) +
    HSub.hSub (β := P) y ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) y : S) : P)
Tactic: simp only [map_add, AddMemClass.mk_add_mk, Subtype.mk.injEq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
x : R
y : P
⊢ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
      (HSub.hSub (β := P) (x • y) ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) (x • y) : S) : P)) ⋯ =
    HSMul.hSMul (α := R) ((RingHom.id R : (a : R) → R) x : R)
      (Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
        (HSub.hSub (β := P) y ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) y : S) : P)) ⋯)
have a : (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
        (HSub.hSub (β := P) (x • y) ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) (x • y) : S) : P)) sorry) :
    P) =
  (↑(HSMul.hSMul (α := R) ((RingHom.id R : (a : R) → R) x : R)
        (Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
          (HSub.hSub (β := P) y ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) y : S) : P)) sorry)) :
    P)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
x : R
y : P
⊢ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
          (HSub.hSub (β := P) (x • y) ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) (x • y) : S) : P)) ⋯) :
      P) =
    (↑(HSMul.hSMul (α := R) ((RingHom.id R : (a : R) → R) x : R)
          (Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
            (HSub.hSub (β := P) y ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) y : S) : P)) ⋯)) :
      P)
have a : HMul.hMul (α := P) ((algebraMap R P : (a : R) → P) x : P) y -
    HMul.hMul (α := P) (β := P) ((algebraMap R P : (a : R) → P) x : P)
      ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) y : S) : P) =
  HMul.hMul (α := P) ((algebraMap R P : (a : R) → P) x : P)
    (HSub.hSub (β := P) y ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) y : S) : P))
Tactic: simp only [Algebra.smul_def, map_mul, AlgHom.commutes,
      RingHom.id_apply, Submodule.coe_smul_of_tower]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
a b : P
⊢ HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P) *
      HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P) =
    0
have rw : HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P) *
    HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P) ∈
  HMul.hMul (α := Ideal P) (RingHom.ker f) (RingHom.ker f)
Tactic: rw [← Ideal.mem_bot, ← hf', pow_two]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
a b : P
⊢ HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P) *
      HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P) ∈
    HMul.hMul (α := Ideal P) (RingHom.ker f) (RingHom.ker f)
have hr : Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) (HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P))
Tactic: apply Ideal.mul_mem_mul
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
a b : P
hr :
  Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) (HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P))
⊢ HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P) *
      HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P) ∈
    HMul.hMul (α := Ideal P) (RingHom.ker f) (RingHom.ker f)
have hs : Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) (HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P))
Tactic: apply Ideal.mul_mem_mul
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
a b : P
⊢ ({
          toFun := fun (x : P) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
              (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) ⋯,
          map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
        (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
      (a * b) =
    HSMul.hSMul (β := ↥(RingHom.ker f)) a
        (({
                toFun := fun (x : P) ↦
                  Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
                    (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) ⋯,
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : P →ₗ[R] ↥(RingHom.ker f) } :
              (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
            b :
          ↥(RingHom.ker f)) +
      HSMul.hSMul (β := ↥(RingHom.ker f)) b
        (({
                toFun := fun (x : P) ↦
                  Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
                    (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) ⋯,
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : P →ₗ[R] ↥(RingHom.ker f) } :
              (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
            a :
          ↥(RingHom.ker f))
have this : HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P) *
    HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P) =
  0
Tactic: have : (a - g (f a)) * (b - g (f b)) = 0 := by
      rw [← Ideal.mem_bot, ← hf', pow_two]
      apply Ideal.mul_mem_mul
      · simpa [RingHom.mem_ker, sub_eq_zero] using AlgHom.congr_fun hg.symm (f a)
      · simpa [RingHom.mem_ker, sub_eq_zero] using AlgHom.congr_fun hg.symm (f b)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
a b : P
this :
  HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P) *
      HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P) =
    0
⊢ ({
          toFun := fun (x : P) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
              (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) ⋯,
          map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
        (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
      (a * b) =
    HSMul.hSMul (β := ↥(RingHom.ker f)) a
        (({
                toFun := fun (x : P) ↦
                  Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
                    (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) ⋯,
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : P →ₗ[R] ↥(RingHom.ker f) } :
              (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
            b :
          ↥(RingHom.ker f)) +
      HSMul.hSMul (β := ↥(RingHom.ker f)) b
        (({
                toFun := fun (x : P) ↦
                  Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
                    (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) ⋯,
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ : P →ₗ[R] ↥(RingHom.ker f) } :
              (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
            a :
          ↥(RingHom.ker f))
have a₁ : (↑(({
            toFun := fun (x : P) ↦
              Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
                (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) sorry,
            map_add' := sorry, map_smul' := sorry } :
          (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
        (a * b)) :
    P) =
  (↑(HSMul.hSMul (β := ↥(RingHom.ker f)) a
          (({
                  toFun := fun (x : P) ↦
                    Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
                      (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) sorry,
                  map_add' := sorry, map_smul' := sorry : P →ₗ[R] ↥(RingHom.ker f) } :
                (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
              b :
            ↥(RingHom.ker f)) +
        HSMul.hSMul (β := ↥(RingHom.ker f)) b
          (({
                  toFun := fun (x : P) ↦
                    Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ Membership.mem (γ := Ideal P) (RingHom.ker f) x)
                      (HSub.hSub (β := P) x ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) x : S) : P)) sorry,
                  map_add' := sorry, map_smul' := sorry : P →ₗ[R] ↥(RingHom.ker f) } :
                (a : P) → ↥(RingHom.ker f))
              a :
            ↥(RingHom.ker f))) :
    P)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
g_1 : S →ₐ[R] P
f : P →ₐ[R] S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker f) 2 = ⊥
g : S →ₐ[R] P
hg : f.comp g = AlgHom.id R S
a b : P
this :
  HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P) *
      HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P) =
    0
| 0
have rw : -(HSub.hSub (β := P) a ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) a : S) : P) *
    HSub.hSub (β := P) b ((g : (a : S) → P) ((f : (a : P) → S) b : S) : P))
Tactic: rw [← neg_zero, ← this]