-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.Kaehler (goal)
Goal:
R : Type u_1
P : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing P
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R P
inst_4 : Algebra P S
inst_5 : Algebra R S
inst_6 : IsScalarTower R P S
hf' : HPow.hPow (α := Ideal P) (β := ℕ) (RingHom.ker (F := P →+* S) (algebraMap P S)) 2 = ⊥
hf : Surjective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := P) (β := S) (⇑(algebraMap P S) : (a : P) → S)
g : { g : S →ₐ[R] P // AlgHom.comp (IsScalarTower.toAlgHom R P S) g = AlgHom.id R S }
s : S
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := P)
    (((↑((fun
                    (l :
                      { l : S ⊗[P] Ω[P⁄R] →ₗ[P] ↥(RingHom.ker (F := P →+* S) (algebraMap P S)) //
                        l ∘ₗ kerToTensor R P S = LinearMap.id }) ↦
                  (Subtype.mk (p := fun (g : S →ₐ[R] P) ↦ AlgHom.comp (IsScalarTower.toAlgHom R P S) g = AlgHom.id R S)
                      (sectionOfRetractionKerToTensor (↑l : S ⊗[P] Ω[P⁄R] →ₗ[P] ↥(RingHom.ker (algebraMap P S))) ⋯ hf'
                        hf)
                      ⋯ :
                    { g : S →ₐ[R] P // AlgHom.comp (IsScalarTower.toAlgHom R P S) g = AlgHom.id R S }))
                ((fun (g : { g : S →ₐ[R] P // AlgHom.comp (IsScalarTower.toAlgHom R P S) g = AlgHom.id R S }) ↦
                    (Subtype.mk (p := fun (l : S ⊗[P] Ω[P⁄R] →ₗ[P] ↥(RingHom.ker (F := P →+* S) (algebraMap P S))) ↦
                        l ∘ₗ kerToTensor R P S = LinearMap.id) (retractionOfSectionOfKerSqZero (↑g : S →ₐ[R] P) hf' ⋯)
                        ⋯ :
                      { l : S ⊗[P] Ω[P⁄R] →ₗ[P] ↥(RingHom.ker (F := P →+* S) (algebraMap P S)) //
                        l ∘ₗ kerToTensor R P S = LinearMap.id }))
                  g)) :
            S →ₐ[R] P) :
          (a : S) → P)
        s :
      P)
    (((↑g : S →ₐ[R] P) : (a : S) → P) s : P)
have a : ∀ (s : P),
  Eq.{u_2 + 1} (α := P)
    (((↑((fun
                    (l :
                      { l : S ⊗[P] Ω[P⁄R] →ₗ[P] ↥(RingHom.ker (F := P →+* S) (algebraMap P S)) //
                        l ∘ₗ kerToTensor R P S = LinearMap.id }) ↦
                  (Subtype.mk (p := fun (g : S →ₐ[R] P) ↦ AlgHom.comp (IsScalarTower.toAlgHom R P S) g = AlgHom.id R S)
                      (sectionOfRetractionKerToTensor (↑l : S ⊗[P] Ω[P⁄R] →ₗ[P] ↥(RingHom.ker (algebraMap P S))) sorry hf'
                        hf)
                      sorry :
                    { g : S →ₐ[R] P // AlgHom.comp (IsScalarTower.toAlgHom R P S) g = AlgHom.id R S }))
                ((fun (g : { g : S →ₐ[R] P // AlgHom.comp (IsScalarTower.toAlgHom R P S) g = AlgHom.id R S }) ↦
                    (Subtype.mk (p := fun (l : S ⊗[P] Ω[P⁄R] →ₗ[P] ↥(RingHom.ker (F := P →+* S) (algebraMap P S))) ↦
                        l ∘ₗ kerToTensor R P S = LinearMap.id) (retractionOfSectionOfKerSqZero (↑g : S →ₐ[R] P) hf' sorry)
                        sorry :
                      { l : S ⊗[P] Ω[P⁄R] →ₗ[P] ↥(RingHom.ker (F := P →+* S) (algebraMap P S)) //
                        l ∘ₗ kerToTensor R P S = LinearMap.id }))
                  g)) :
            S →ₐ[R] P) :
          (a : S) → P)
        ((algebraMap P S : (a : P) → S) s : S) :
      P)
    (((↑g : S →ₐ[R] P) : (a : S) → P) ((algebraMap P S : (a : P) → S) s : S) : P)
Tactic: obtain ⟨s, rfl⟩ := hf s
Cleared hypotheses: s