awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, g x = g x₀
t : G
ht : f t = 0
⊢ Eq.{uF + 1} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
    ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x₀) : F)
have neg : Eq.{uF + 1} (α := F) (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) 0 : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
  (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) 0 : (a : E') → F) (g x₀) : F)
Tactic: simp_rw [ht, L.map_zero₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, g x = g x₀
⊢ (f ⋆[L, μ] g) x₀ = ∫ (t : G), (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x₀) ∂μ
have h2 : ∀ (t : G),
  Eq.{uF + 1} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
    ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x₀) : F)
Tactic: have h2 : ∀ t, L (f t) (g (x₀ - t)) = L (f t) (g x₀) := fun t ↦ by
    by_cases ht : t ∈ support f
    · have h2t := hf ht
      rw [mem_ball_zero_iff] at h2t
      specialize hg (x₀ - t)
      rw [sub_eq_add_neg, add_mem_ball_iff_norm, norm_neg, ← sub_eq_add_neg] at hg
      rw [hg h2t]
    · rw [notMem_support] at ht
      simp_rw [ht, L.map_zero₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, g x = g x₀
h2 :
  ∀ (t : G),
    Eq.{uF + 1} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x₀) : F)
⊢ (f ⋆[L, μ] g) x₀ = ∫ (t : G), (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x₀) ∂μ
have simp_rw : Eq.{uF + 1} (α := F) (∫ (t : G), (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) ∂μ)
  (∫ (t : G), (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g x₀) ∂μ)
Tactic: simp_rw [convolution_def, h2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
have refine_1 : BddAbove (α := ℝ) ((fun (i : G) ↦ ‖g i‖) '' preimage (β := G) (fun (t : G) ↦ x₀ - t) (ball 0 R))
Tactic: refine BddAbove.convolutionExistsAt L ?_ Metric.isOpen_ball.measurableSet (Subset.trans ?_ hf)
      hif.integrableOn hmg
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
refine_1 : BddAbove (α := ℝ) ((fun (i : G) ↦ ‖g i‖) '' preimage (β := G) (fun (t : G) ↦ x₀ - t) (ball 0 R))
⊢ ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
have refine_2 : (support.{uG, uF} (M := F) fun (t : G) ↦
    (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t))) ⊆
  support f
Tactic: refine BddAbove.convolutionExistsAt L ?_ Metric.isOpen_ball.measurableSet (Subset.trans ?_ hf)
      hif.integrableOn hmg
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ (support.{uG, uF} (M := F) fun (t : G) ↦
      (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t))) ⊆
    support f
have refine_2 : ∀ (t : G) (ht : f t = 0),
  Eq.{uF + 1} (α := F)
    ((fun (t : G) ↦ ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)) t) 0
Tactic: refine fun t => mt fun ht : f t = 0 => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
t : G
ht : f t = 0
refine_2 refine_2₁ :
  Eq.{uF + 1} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F) (0 : F)
⊢ Eq.{uF + 1} (α := F)
    ((fun (t : G) ↦ ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)) t) 0
have refine_2₂ : Eq.{uF + 1} (α := F) (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) 0 : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F) (0 : F)
Tactic: simp_rw [ht, L.map_zero₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ ∃ (x : ℝ),
    ∀ (y : ℝ),
      Membership.mem (γ := Set ℝ) ((fun (i : G) ↦ ‖g i‖) '' preimage (β := G) (fun (t : G) ↦ x₀ - t) (ball 0 R)) y →
        y ≤ x
have refine_1 : ∀ (y : ℝ),
  Membership.mem (γ := Set ℝ) ((fun (i : G) ↦ ‖g i‖) '' preimage (β := G) (fun (t : G) ↦ x₀ - t) (ball 0 R)) y →
    y ≤ ‖z₀‖ + ε
Tactic: refine ⟨‖z₀‖ + ε, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
x : G
hx : Membership.mem (γ := Set G) (preimage (β := G) (fun (t : G) ↦ x₀ - t) (ball 0 R)) x
⊢ (fun (i : G) ↦ ‖g i‖) x ≤ ‖z₀‖ + ε
have refine_1 : x ∈ ball x₀ R
Tactic: refine norm_le_norm_add_const_of_dist_le (hg x ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
x : G
hx : Membership.mem (γ := Set G) (preimage (β := G) (fun (t : G) ↦ x₀ - t) (ball 0 R)) x
⊢ x ∈ ball x₀ R
have refine_1 : ‖x - x₀‖ < R
Tactic: rwa [mem_ball_iff_norm, norm_sub_rev, ← mem_ball_zero_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
x : G
hx : Membership.mem (γ := Set G) (preimage (β := G) (fun (t : G) ↦ x₀ - t) (ball 0 R)) x
refine_1 : ‖x - x₀‖ < R
⊢ x ∈ ball x₀ R
have refine_1₁ : ‖x₀ - x‖ < R
Tactic: rwa [mem_ball_iff_norm, norm_sub_rev, ← mem_ball_zero_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
x : G
hx : Membership.mem (γ := Set G) (preimage (β := G) (fun (t : G) ↦ x₀ - t) (ball 0 R)) x
refine_1 : ‖x - x₀‖ < R
refine_1₁ : ‖x₀ - x‖ < R
⊢ x ∈ ball x₀ R
have refine_1₂ : Membership.mem (γ := Set G) (ball 0 R) (x₀ - x)
Tactic: rwa [mem_ball_iff_norm, norm_sub_rev, ← mem_ball_zero_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ dist ((f ⋆[L, μ] g) x₀) (∫ (t : G), (((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ ∂μ) ≤
    (‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε
have hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
Tactic: have hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ := by
    refine BddAbove.convolutionExistsAt L ?_ Metric.isOpen_ball.measurableSet (Subset.trans ?_ hf)
      hif.integrableOn hmg
    swap; · refine fun t => mt fun ht : f t = 0 => ?_; simp_rw [ht, L.map_zero₂]
    rw [bddAbove_def]
    refine ⟨‖z₀‖ + ε, ?_⟩
    rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩
    refine norm_le_norm_add_const_of_dist_le (hg x ?_)
    rwa [mem_ball_iff_norm, norm_sub_rev, ← mem_ball_zero_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
⊢ dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
have pos : ∀ (ht : t ∈ support f),
  dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
Tactic: by_cases ht : t ∈ support f
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
pos :
  ∀ (ht : t ∈ support f),
    dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
        ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
      norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
⊢ dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
have neg : ∀ (ht : t ∉ support f),
  dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
Tactic: by_cases ht : t ∈ support f
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
ht : t ∈ support f
⊢ dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
have h2t : Membership.mem (γ := Set G) (ball 0 R) t
Tactic: have h2t := hf ht
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : Membership.mem (γ := Set G) (ball 0 R) t
⊢ dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
have h2t₁ : ‖t‖ < R
Tactic: rw [mem_ball_zero_iff] at h2t
Cleared hypotheses: h2t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
⊢ dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
have hg₁ : x₀ - t ∈ ball x₀ R → dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
Tactic: specialize hg (x₀ - t)
Cleared hypotheses: hg
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
hg : x₀ - t ∈ ball x₀ R → dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
⊢ dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
have hg₁ : ‖t‖ < R → dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
Tactic: rw [sub_eq_add_neg, add_mem_ball_iff_norm, norm_neg, ← sub_eq_add_neg] at hg
Cleared hypotheses: hg
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
hg : ‖t‖ < R → dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
⊢ dist.{uF} (α := F) ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) (g (x₀ - t)) : F)
      ((((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) : (a : E') → F) z₀ : F) ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
have pos : norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤
  norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
Tactic: refine ((L (f t)).dist_le_opNorm _ _).trans ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convolution (goal)
Goal:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup E'
inst_2 : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst_3 : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
inst_6 : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst_7 : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : SeminormedAddCommGroup G
inst_10 : BorelSpace G
inst_11 : SecondCountableTopology G
inst_12 : μ.IsAddLeftInvariant
inst_13 : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
t : G
ht : t ∈ support f
h2t : ‖t‖ < R
hg : ‖t‖ < R → dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
⊢ norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤
    norm (E := E' →L[𝕜] F) ((L : (a : E) → E' →L[𝕜] F) (f t) : E' →L[𝕜] F) * ε
have pos : dist (g (x₀ - t)) z₀ ≤ ε
Tactic: gcongr