awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
hfv : ∑ x ∈ s, f x • v x + ((-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)) • v n_1 = 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
⊢ ∑ x ∈ s, f x • v x + ((-∑ x ∈ s, f x * if x = (↑n : ι) then 0 else a' x) * (↑hj.unit⁻¹ : R)) • v (↑n : ι) =
    ∑ x ∈ s, f x • v x + ((-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)) • v n_1
have insert : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ x ∈ s, f x * if x = (↑n : ι) then 0 else a' x) (∑ i ∈ s, f i * a' i)
Tactic: congr 4
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
i_1 : ι
hi_1 : i_1 ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
hfv : ∑ x ∈ s, f x • v x + ((-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)) • v n_1 = 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (f i * if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) = f i * a' i
have rw : f i * a' i = f i * a' i
Tactic: rw [if_neg (ne_of_mem_of_not_mem hi hn)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
ih : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
⊢ f i = 0
have insert : ∀ (hi : i = n_1), f i = 0
Tactic: obtain hi | hi := Finset.mem_insert.mp hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ Insert.insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(Insert.insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa :
  ∀ (j : Fin l),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), (fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(Insert.insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦
    if hi : i ∈ Insert.insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
ih : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
insert : ∀ (hi : i = n_1), f i = 0
⊢ f i = 0
have insert₁ : ∀ (hi : i ∈ s), f i = 0
Tactic: obtain hi | hi := Finset.mem_insert.mp hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi_1 : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
ih : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
hi : i = n_1
⊢ f i = 0
have insert : ∀ x ∈ s, f x * a' x = 0
Tactic: rw [hi, hfn, Finset.sum_eq_zero, neg_zero, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i_1 : ι
hi_1 : i_1 ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
ih : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
hi_2 : i_1 = n_1
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ f i * a' i = 0
have insert : 0 * a' i = 0
Tactic: rw [ih i hi, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i_1 : ι
hi_1 : i_1 ∈ Insert.insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(Insert.insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa :
  ∀ (j : Fin l),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), (fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(Insert.insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦
    if hi : i ∈ Insert.insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
ih : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
hi_2 : i_1 = n_1
i : ι
hi : i ∈ s
insert : 0 * a' i = 0
⊢ f i * a' i = 0
have insert₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0
Tactic: rw [ih i hi, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
s : Finset ι
f : ι → R
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ f i = 0
have empty : ∀ (v : ι → M)
  (h :
    LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
      ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
  (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ ∅, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : Membership.mem (γ := Finset ι) ∅ i), f i = 0
Tactic: classical
  induction s using Finset.induction generalizing v i with
  | empty => exact (Finset.notMem_empty _ hi).elim
  | insert n s hn ih => ?_
  rw [← Finset.sum_coe_sort] at hfv
  have ⟨l, a, y, hay, hfa⟩ := Flat.isTrivialRelation_of_sum_smul_eq_zero hfv
  have : v n ∉ 𝔪 • (⊤ : Submodule R M) := by
    simpa only [← LinearMap.ker_tensorProductMk] using h.ne_zero n
  set n : ↥(insert n s) := ⟨n, Finset.mem_insert_self ..⟩ with n_def
  obtain ⟨j, hj⟩ : ∃ j, IsUnit (a n j) := by
    contrapose! this
    rw [show v n = _ from hay n]
    exact sum_mem fun _ _ ↦ Submodule.smul_mem_smul (this _) ⟨⟩
  let a' (i : ι) : R := if hi : _ then a ⟨i, hi⟩ j else 0
  have a_eq i : a i j = a' i.1 := by simp_rw [a', dif_pos i.2]
  have hfn : f n = -(∑ i ∈ s, f i * a' i) * hj.unit⁻¹ := by
    rw [← hj.mul_left_inj, mul_assoc, hj.val_inv_mul, mul_one, eq_neg_iff_add_eq_zero]
    convert! hfa j
    simp_rw [a_eq, Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i * a' i), s.sum_insert hn, n_def]
  let c (i : ι) : R := -(if i = n then 0 else a' i) * hj.unit⁻¹
  specialize ih (v + (c · • v n)) ?_ ?_
  · convert! (linearIndependent_add_smul_iff (c := Ideal.Quotient.mk _ ∘ c) (i := n.1) ?_).mpr h
    · ext; simp [tmul_add]; rfl
    simp_rw [Function.comp_def, c, if_pos, neg_zero, zero_mul, map_zero]
  · rw [Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i • v i), s.sum_insert hn, add_comm, hfn] at hfv
    simp_rw [Pi.add_apply, smul_add, s.sum_add_distrib, c, smul_smul, ← s.sum_smul, ← mul_assoc,
      ← s.sum_mul, mul_neg, s.sum_neg_distrib, ← hfv]
    congr 4
    exact s.sum_congr rfl fun i hi ↦ by rw [if_neg (ne_of_mem_of_not_mem hi hn)]
  obtain hi | hi := Finset.mem_insert.mp hi
  · rw [hi, hfn, Finset.sum_eq_zero, neg_zero, zero_mul]
    intro i hi; rw [ih i hi, zero_mul]
  · exact ih i hi
Cleared hypotheses: v, h, s, hfv, i, hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
s : Finset ι
f : ι → R
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0
i : ι
hi : i ∈ s
empty :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ ∅, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : Membership.mem (γ := Finset ι) ∅ i), f i = 0
⊢ f i = 0
have insert : ∀ (n : ι) (s : Finset ι) (hn : n ∉ s)
  (ih :
    ∀ (v : ι → M)
      (h :
        LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
          ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
      (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0)
  (v : ι → M)
  (h :
    LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
      ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
  (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ insert n s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ insert n s), f i = 0
Tactic: classical
  induction s using Finset.induction generalizing v i with
  | empty => exact (Finset.notMem_empty _ hi).elim
  | insert n s hn ih => ?_
  rw [← Finset.sum_coe_sort] at hfv
  have ⟨l, a, y, hay, hfa⟩ := Flat.isTrivialRelation_of_sum_smul_eq_zero hfv
  have : v n ∉ 𝔪 • (⊤ : Submodule R M) := by
    simpa only [← LinearMap.ker_tensorProductMk] using h.ne_zero n
  set n : ↥(insert n s) := ⟨n, Finset.mem_insert_self ..⟩ with n_def
  obtain ⟨j, hj⟩ : ∃ j, IsUnit (a n j) := by
    contrapose! this
    rw [show v n = _ from hay n]
    exact sum_mem fun _ _ ↦ Submodule.smul_mem_smul (this _) ⟨⟩
  let a' (i : ι) : R := if hi : _ then a ⟨i, hi⟩ j else 0
  have a_eq i : a i j = a' i.1 := by simp_rw [a', dif_pos i.2]
  have hfn : f n = -(∑ i ∈ s, f i * a' i) * hj.unit⁻¹ := by
    rw [← hj.mul_left_inj, mul_assoc, hj.val_inv_mul, mul_one, eq_neg_iff_add_eq_zero]
    convert! hfa j
    simp_rw [a_eq, Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i * a' i), s.sum_insert hn, n_def]
  let c (i : ι) : R := -(if i = n then 0 else a' i) * hj.unit⁻¹
  specialize ih (v + (c · • v n)) ?_ ?_
  · convert! (linearIndependent_add_smul_iff (c := Ideal.Quotient.mk _ ∘ c) (i := n.1) ?_).mpr h
    · ext; simp [tmul_add]; rfl
    simp_rw [Function.comp_def, c, if_pos, neg_zero, zero_mul, map_zero]
  · rw [Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i • v i), s.sum_insert hn, add_comm, hfn] at hfv
    simp_rw [Pi.add_apply, smul_add, s.sum_add_distrib, c, smul_smul, ← s.sum_smul, ← mul_assoc,
      ← s.sum_mul, mul_neg, s.sum_neg_distrib, ← hfv]
    congr 4
    exact s.sum_congr rfl fun i hi ↦ by rw [if_neg (ne_of_mem_of_not_mem hi hn)]
  obtain hi | hi := Finset.mem_insert.mp hi
  · rw [hi, hfn, Finset.sum_eq_zero, neg_zero, zero_mul]
    intro i hi; rw [ih i hi, zero_mul]
  · exact ih i hi
Cleared hypotheses: v, h, s, hfv, i, hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Module.Finite R M
inst_5 : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h :
  Function.Bijective (α := Finsupp.{u, u_1} ι k) (β := k ⊗[R] M)
    (⇑(linearCombination k ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)) :
      (a : ι →₀ k) → k ⊗[R] M)
⊢ Function.Bijective (α := ι →₀ R) (β := M) (⇑(linearCombination R v) : (a : ι →₀ R) → M)
have right : Surjective (α := ι →₀ R) (β := M) (⇑(linearCombination R v) : (a : ι →₀ R) → M)
Tactic: use linearIndependent_of_flat _ h.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Module.Finite R M
inst_5 : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h :
  Function.Bijective (α := Finsupp.{u, u_1} ι k) (β := k ⊗[R] M)
    (⇑(linearCombination k ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)) :
      (a : ι →₀ k) → k ⊗[R] M)
⊢ Surjective (α := ι →₀ R) (β := M) (⇑(linearCombination R v) : (a : ι →₀ R) → M)
have right : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range v)) ⊤
Tactic: rw [← LinearMap.range_eq_top, range_linearCombination]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Module.Finite R M
inst_5 : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h :
  Function.Bijective (α := Finsupp.{u, u_1} ι k) (β := k ⊗[R] M)
    (⇑(linearCombination k ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)) :
      (a : ι →₀ k) → k ⊗[R] M)
⊢ Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range v)) ⊤
have right : LE.le (α := Submodule k (k ⊗[R] M)) ⊤
  (Submodule.span k (Set.range ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)))
Tactic: refine span_eq_top_of_tmul_eq_basis _ (.mk h.1 ?_) fun _ ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Module.Finite R M
inst_5 : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h :
  Function.Bijective (α := Finsupp.{u, u_1} ι k) (β := k ⊗[R] M)
    (⇑(linearCombination k ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)) :
      (a : ι →₀ k) → k ⊗[R] M)
right :
  LE.le (α := Submodule k (k ⊗[R] M)) ⊤
    (Submodule.span k
      (Set.range ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)))
⊢ Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range v)) ⊤
have right₁ : ∀ (x : ι), Eq (α := k ⊗[R] M) (1 ⊗ₜ[R] v x) ((Basis.mk sorry sorry : (a : ι) → k ⊗[R] M) x)
Tactic: refine span_eq_top_of_tmul_eq_basis _ (.mk h.1 ?_) fun _ ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst_7 : IsLocalRing R
hg : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
h : Exact.{u_2, u_3, u_4} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : Module.Finite R N
inst_10 : Free R N
hf : Function.Injective (α := k ⊗[R] M) (β := k ⊗[R] N) (⇑(LinearMap.lTensor k f) : (a : k ⊗[R] M) → k ⊗[R] N)
⊢ g.ker.FG
have rw : (Submodule.map f ⊤).FG
Tactic: rw [h.linearMap_ker_eq, LinearMap.range_eq_map]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst_7 : IsLocalRing R
hg : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
h : Exact.{u_2, u_3, u_4} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : Module.Finite R N
inst_10 : Free R N
hf : Function.Injective (α := k ⊗[R] M) (β := k ⊗[R] N) (⇑(LinearMap.lTensor k f) : (a : k ⊗[R] M) → k ⊗[R] N)
⊢ Free R P
have this : FinitePresentation R P
Tactic: have := Module.finitePresentation_of_free_of_surjective g hg
    (by rw [h.linearMap_ker_eq, LinearMap.range_eq_map]; exact (Module.Finite.fg_top).map f)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst_7 : IsLocalRing R
hg : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
h : Exact.{u_2, u_3, u_4} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : Module.Finite R N
inst_10 : Free R N
hf : Function.Injective (α := k ⊗[R] M) (β := k ⊗[R] N) (⇑(LinearMap.lTensor k f) : (a : k ⊗[R] M) → k ⊗[R] N)
this : FinitePresentation R P
⊢ Free R P
have H : Function.Injective (α := ↥𝔪 ⊗[R] P) (β := R ⊗[R] P)
  (⇑(LinearMap.rTensor P (Submodule.subtype 𝔪)) : (a : ↥𝔪 ⊗[R] P) → R ⊗[R] P)
Tactic: apply free_of_maximalIdeal_rTensor_injective
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : AddCommGroup N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst_7 : IsLocalRing R
hg : Surjective.{u_3 + 1, u_4 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
h : Exact.{u_2, u_3, u_4} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : Module.Finite R N
inst_10 : Free R N
hf : Function.Injective (α := k ⊗[R] M) (β := k ⊗[R] N) (⇑(LinearMap.lTensor k f) : (a : k ⊗[R] M) → k ⊗[R] N)
this : FinitePresentation R P
⊢ Function.Injective (α := ↥𝔪 ⊗[R] P) (β := R ⊗[R] P)
    (⇑(LinearMap.rTensor P (Submodule.subtype 𝔪)) : (a : ↥𝔪 ⊗[R] P) → R ⊗[R] P)
have H : Function.Injective (α := P ⊗[R] ↥𝔪) (β := P ⊗[R] R)
  (⇑(LinearMap.lTensor P (Submodule.subtype 𝔪)) : (a : P ⊗[R] ↥𝔪) → P ⊗[R] R)
Tactic: rw [← LinearMap.lTensor_inj_iff_rTensor_inj]