-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst_3 : AddCommGroup M₁
inst_4 : Module R M₁
inst_5 : LieRingModule L M₁
inst_6 : LieModule R L M₁
inst_7 : AddCommGroup M₂
inst_8 : Module R M₂
inst_9 : LieRingModule L M₂
inst_10 : LieModule R L M₂
inst_11 : AddCommGroup M₃
inst_12 : Module R M₃
inst_13 : LieRingModule L M₃
inst_14 : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : TensorProduct.{u_2, u_5, u_6} R ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ :=
  HSub.hSub (α := Module.End R M₃)
    (((toEnd R L M₃ : LieHom.{u_2, u_3, u_7} R L (Module.End R M₃)) : (a : L) → Module.End R M₃) x : Module.End R M₃)
    (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₃) (χ₁ + χ₂) 1)
refine_1 :
  ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := M₃)
      ((HSub.hSub (α := Module.End R M₃)
                (((toEnd R L M₃ : LieHom.{u_2, u_3, u_7} R L (Module.End R M₃)) : (a : L) → Module.End R M₃) x :
                  Module.End R M₃)
                (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₃) (χ₁ + χ₂) 1) ^
              k :
            (a : M₃) → M₃)
          ((g : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₃)
              ((TensorProduct.map (Submodule.subtype 𝕎(M₁, χ₁, x)) (Submodule.subtype 𝕎(M₂, χ₂, x)) :
                  (a : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)) → M₁ ⊗[R] M₂)
                0) :
            M₃) :
        M₃)
      (0 : M₃)
refine_2 :
  ∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x)) (y : ↥𝕎(M₂, χ₂, x)),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := M₃)
        ((HSub.hSub (α := Module.End R M₃)
                  (((toEnd R L M₃ : LieHom.{u_2, u_3, u_7} R L (Module.End R M₃)) : (a : L) → Module.End R M₃) x :
                    Module.End R M₃)
                  (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₃) (χ₁ + χ₂) 1) ^
                k :
              (a : M₃) → M₃)
            ((g : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₃)
                ((TensorProduct.map (Submodule.subtype 𝕎(M₁, χ₁, x)) (Submodule.subtype 𝕎(M₂, χ₂, x)) :
                      (a : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)) → M₁ ⊗[R] M₂)
                    (x_1 ⊗ₜ[R] y) :
                  M₁ ⊗[R] M₂) :
              M₃) :
          M₃)
        (0 : M₃)
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := M₃)
      ((HSub.hSub (α := Module.End R M₃)
                (((toEnd R L M₃ : LieHom.{u_2, u_3, u_7} R L (Module.End R M₃)) : (a : L) → Module.End R M₃) x :
                  Module.End R M₃)
                (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₃) (χ₁ + χ₂) 1) ^
              k :
            (a : M₃) → M₃)
          ((g : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₃)
              ((TensorProduct.map (Submodule.subtype 𝕎(M₁, χ₁, x)) (Submodule.subtype 𝕎(M₂, χ₂, x)) :
                    (a : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)) → M₁ ⊗[R] M₂)
                  t :
                M₁ ⊗[R] M₂) :
            M₃) :
        M₃)
      (0 : M₃)
have refine_3 : ∀ (x_1 y : TensorProduct.{u_2, u_5, u_6} R ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ↥𝕎(M₂, χ₂, x)),
  (∃ (k : ℕ),
      Eq (α := M₃)
        ((HSub.hSub (α := Module.End R M₃)
                  (((toEnd R L M₃ : LieHom.{u_2, u_3, u_7} R L (Module.End R M₃)) : (a : L) → Module.End R M₃) x :
                    Module.End R M₃)
                  (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₃) (χ₁ + χ₂) 1) ^
                k :
              (a : M₃) → M₃)
            ((g : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₃)
                ((TensorProduct.map (Submodule.subtype 𝕎(M₁, χ₁, x)) (Submodule.subtype 𝕎(M₂, χ₂, x)) :
                      (a : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)) → M₁ ⊗[R] M₂)
                    x_1 :
                  M₁ ⊗[R] M₂) :
              M₃) :
          M₃)
        (0 : M₃)) →
    (∃ (k : ℕ),
        Eq (α := M₃)
          ((HSub.hSub (α := Module.End R M₃)
                    (((toEnd R L M₃ : LieHom.{u_2, u_3, u_7} R L (Module.End R M₃)) : (a : L) → Module.End R M₃) x :
                      Module.End R M₃)
                    (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₃) (χ₁ + χ₂) 1) ^
                  k :
                (a : M₃) → M₃)
              ((g : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₃)
                  ((TensorProduct.map (Submodule.subtype 𝕎(M₁, χ₁, x)) (Submodule.subtype 𝕎(M₂, χ₂, x)) :
                        (a : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)) → M₁ ⊗[R] M₂)
                      y :
                    M₁ ⊗[R] M₂) :
                M₃) :
            M₃)
          (0 : M₃)) →
      ∃ (k : ℕ),
        Eq (α := M₃)
          ((HSub.hSub (α := Module.End R M₃)
                    (((toEnd R L M₃ : LieHom.{u_2, u_3, u_7} R L (Module.End R M₃)) : (a : L) → Module.End R M₃) x :
                      Module.End R M₃)
                    (HSMul.hSMul (β := Module.End R M₃) (χ₁ + χ₂) 1) ^
                  k :
                (a : M₃) → M₃)
              ((g : (a : M₁ ⊗[R] M₂) → M₃)
                  ((TensorProduct.map (Submodule.subtype 𝕎(M₁, χ₁, x)) (Submodule.subtype 𝕎(M₂, χ₂, x)) :
                        (a : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)) → M₁ ⊗[R] M₂)
                      (x_1 + y) :
                    M₁ ⊗[R] M₂) :
                M₃) :
            M₃)
          (0 : M₃)
Tactic: refine t.induction_on ?_ ?_ ?_