awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
⊢ f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
have rw : f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = 0
Tactic: rw [← hj.mul_left_inj, mul_assoc, hj.val_inv_mul, mul_one, eq_neg_iff_add_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
⊢ f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = 0
have h₁ : f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j
Tactic: convert! hfa j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
h₁ h₂ : f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ x : ↥(insert n_1 s), f (↑x : ι) * a x j
⊢ f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j
have h₃ : f (↑n : ι) * a' (↑n : ι) + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ x : ↥(insert n_1 s), f (↑x : ι) * a' (↑x : ι)
Tactic: simp_rw [a_eq, Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i * a' i), s.sum_insert hn, n_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
h₁ h₂ : f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ x : ↥(insert n_1 s), f (↑x : ι) * a x j
h₃ : f (↑n : ι) * a' (↑n : ι) + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ x : ↥(insert n_1 s), f (↑x : ι) * a' (↑x : ι)
⊢ f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j
have h₄ : f (↑n : ι) * a' (↑n : ι) + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ i ∈ insert n_1 s, f i * a' i
Tactic: simp_rw [a_eq, Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i * a' i), s.sum_insert hn, n_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
h₁ h₂ : f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ x : ↥(insert n_1 s), f (↑x : ι) * a x j
h₃ : f (↑n : ι) * a' (↑n : ι) + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ x : ↥(insert n_1 s), f (↑x : ι) * a' (↑x : ι)
h₄ : f (↑n : ι) * a' (↑n : ι) + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ i ∈ insert n_1 s, f i * a' i
⊢ f (↑n : ι) * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = ∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j
have h₅ : f (↑n : ι) * a' (↑n : ι) + ∑ i ∈ s, f i * a' i = f n_1 * a' n_1 + ∑ i ∈ s, f i * a' i
Tactic: simp_rw [a_eq, Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i * a' i), s.sum_insert hn, n_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
⊢ f i = 0
have hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
Tactic: have hfn : f n = -(∑ i ∈ s, f i * a' i) * hj.unit⁻¹ := by
    rw [← hj.mul_left_inj, mul_assoc, hj.val_inv_mul, mul_one, eq_neg_iff_add_eq_zero]
    convert! hfa j
    simp_rw [a_eq, Finset.sum_coe_sort _ (fun i ↦ f i * a' i), s.sum_insert hn, n_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
⊢ f i = 0
have insert : LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
  ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘
    (v + fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)))
Tactic: specialize ih (v + (c · • v n)) ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ Insert.insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(Insert.insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa :
  ∀ (j : Fin l),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), (fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(Insert.insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦
    if hi : i ∈ Insert.insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
insert :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘
      (v + fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)))
⊢ f i = 0
have insert₁ : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • HAdd.hAdd (β := ι → M) v (fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)) i) 0
Tactic: specialize ih (v + (c · • v n)) ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ Insert.insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(Insert.insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa :
  ∀ (j : Fin l),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(Insert.insert n_1 s), (fun (i : ↥(Insert.insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(Insert.insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦
    if hi : i ∈ Insert.insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(Insert.insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
insert :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘
      (v + fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)))
insert₁ : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • HAdd.hAdd (β := ι → M) v (fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)) i) 0
⊢ f i = 0
have insert₂ : ∀ (ih : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0), f i = 0
Tactic: specialize ih (v + (c · • v n)) ?_ ?_
Cleared hypotheses: ih
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
⊢ LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘
      (v + fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)))
have h₁ : (⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘
    (v + fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)) =
  HAdd.hAdd (α := ι → k ⊗[R] M) ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
    fun (x : ι) ↦
    HSMul.hSMul (α := HasQuotient.Quotient R (B := Ideal R) (𝔪 : Ideal R)) (β := k ⊗[R] M)
      (((⇑(Ideal.Quotient.mk 𝔪) : (a : R) → R ⧸ 𝔪) ∘ c) x)
      (((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v) (↑n : ι))
Tactic: convert! (linearIndependent_add_smul_iff (c := Ideal.Quotient.mk _ ∘ c) (i := n.1) ?_).mpr h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsLocalRing R
inst_4 : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n_1 : ι
s : Finset ι
hn : n_1 ∉ s
ih :
  ∀ (v : ι → M)
    (h :
      LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
        ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v))
    (hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i ∈ s, f i • v i) 0) (i : ι) (hi : i ∈ s), f i = 0
v : ι → M
h :
  LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v)
hfv : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : ↥(insert n_1 s), f (↑i : ι) • v (↑i : ι)) 0
i : ι
hi : i ∈ insert n_1 s
l : ℕ
a : ↥(insert n_1 s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay :
  ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ v (↑i : ι)) i) (∑ j : Fin l, a i j • y j)
hfa : ∀ (j : Fin l), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : ↥(insert n_1 s), (fun (i : ↥(insert n_1 s)) ↦ f (↑i : ι)) i * a i j) 0
this : v n_1 ∉ HSMul.hSMul (α := Ideal R) (β := Submodule R M) 𝔪 ⊤
n : ↥(insert n_1 s) := Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
n_def : n = Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) n_1 ⋯
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : (i : ι) → R :=
  fun (i : ι) ↦ if hi : i ∈ insert n_1 s then a (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert n_1 s) i hi) j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n_1 s)), a i j = a' (↑i : ι)
hfn : f (↑n : ι) = (-∑ i ∈ s, f i * a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
c : (i : ι) → R := fun (i : ι) ↦ (-if i = (↑n : ι) then 0 else a' i) * (↑hj.unit⁻¹ : R)
h₁ :
  (⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘
      (v + fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)) =
    HAdd.hAdd (α := ι → k ⊗[R] M)
      ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v) fun (x : ι) ↦
      HSMul.hSMul (α := HasQuotient.Quotient R (B := Ideal R) (𝔪 : Ideal R)) (β := k ⊗[R] M)
        (((⇑(Ideal.Quotient.mk 𝔪) : (a : R) → R ⧸ 𝔪) ∘ c) x)
        (((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘ v) (↑n : ι))
⊢ LinearIndependent k (M := k ⊗[R] M)
    ((⇑((TensorProduct.mk R k M : (a : k) → M →ₗ[R] k ⊗[R] M) 1) : (a : M) → k ⊗[R] M) ∘
      (v + fun (x : ι) ↦ c x • v (↑n : ι)))
have insert : Eq (α := HasQuotient.Quotient R (B := Ideal R) (𝔪 : Ideal R))
  (((⇑(Ideal.Quotient.mk 𝔪) : (a : R) → R ⧸ 𝔪) ∘ c) (↑n : ι)) 0
Tactic: convert! (linearIndependent_add_smul_iff (c := Ideal.Quotient.mk _ ∘ c) (i := n.1) ?_).mpr h